Сборник задач по теоретической механике - Морозов В.И., Бражниченко Н.А., Кан В.Л., Минцберг Б.Л., Ушакова Г.Н.

Автор: Морозов В.И. Бражниченко Н.А. Кан В.Л. Минцберг Б.Л. Ушакова Г.Н.

Теги: общая механика механика твердых и жидких тел физика механика теоретическая механика задачи по механике сборник задач

Год: 1987

Похожие

Сборник задач по теоретической механике

Теоретическая механика в примерах и задачах

Текст

Н. А. БРАЖНИЧЕНКО, В. Л. КАН,
Б. Л. МИНЦБЕРГ, В. И. МОРОЗОВ,
Г. Н. УШАКОВА
Сборник задач
по теоретической
механике
Издание второе,
переработанное и дополненное
До пущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва — 1987

УДК 531
, 531
С—232
Рецензент
кафедра теоретической механики МВТУ
им. Баумана.
2-4-2
72=87

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач предназначается в качестве
учебного пособия по теоретической механике для втузов
как дополнение к общеизвестному сборнику задач проф.
И. В. Мещерского и охватывает все темы учебной про-
программы, рассчитанной на 200 — 220 часов.
В начале каждой главы (иногда в начале соответству-
соответствующего параграфа) приводятся основные формулы и урав-
уравнения, которые избавляют учащихся от необходимости
обращаться к другим источникам. Разумеется, наличие
такого справочного материала не исключает необходи-
необходимости глубокого изучения теории.
В соответствующих местах сборника даются методи-
методические указания к решению задач, приводятся подробные
решения 122 типовых задач. Все задачи, за исключением
задач по расчету ферм и графическому исследованию
плоских механизмов, снабжены ответами.
Авторы благодарны рецензентам профессору Н. В. Бу-
тенину и доценту Н. Н. Никитину, кафедрам теоретиче-
теоретической механики Московского высшего технического училища
им. Баумана, Николаевского кораблестроительного инсти-
института, Северо-Западного заочного политехнического инсти-
института, а также Р. И. Шкадову за ряд существенных замечаний
и полезных советов, внесенных при рецензировании книги
и подготовке ее к печати. Особую признательность авторы
выражают доценту А. Ф. Захаревичу за ценные указа-
указания, сделанные им при редактировании книги.
Во второе издание книги внесены следующие изменения:
условия всех задач (как цифровых, так и буквенных)
приведены в соответствие с Международной системой еди-
единиц (СИ);

исправлены замеченные опечатки;
уточнены решения ряда задач;
введен новый параграф «Движение материальной точки
в центральном силовом поле».
В подготовке книги ко второму изданию активное
участие принимала Г. Н. Ушакова. В связи с этим она
включена в число авторов второго издания книги.
Авторы выражают глубокую благодарность всем лицам,
приславшим свои замечания и рекомендации, которые
возникли у них при чтении книги.
Авторы

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
СТАТИКИ НА РАВНОВЕСИЕ
Наиболее общим методом решения задач статики на равнове-
равновесие является аналитический метод.
Под равновесием твердого тела понимают состояние покоя
тела по отношению к окружающим его телам. Уравновешенность
сил, приложенных к свободному твердому телу, является необ-
необходимым, но не достаточным условием равновесия самого тела.
В покое твердое тело будет находиться лишь в том случае, если оно
было в покое и до приложения к нему уравновешенной системы сил.
Применяя аналитический метод решения, полезно придержи-
придерживаться следующего порядка. Прежде всего надо ясно понять
смысл задачи: установить, что задано и что требуется определить.
Затем следует иллюстрировать задачу чертежом. После этого
необходимо:
выявить объект (тело или точку), равновесие которого следует
рассматривать;
показать на чертеже задаваемые силы, приложенные к этому
объекту;
установить связи, непосредственно наложенные на тело, осво-
освободить тело от связей и изобразить на чертеже реакции отбро-
отброшенных связей;
проанализировать полученную систему сил (задаваемых и
реакций) с точки зрения расположения их линий действия в про-
пространстве, установив тем самым число уравнений равновесия;
выявив число неизвестных в задаче, установить ее статичес-
статическую определимость;
выбрать оси координат и составить уравнения равновесия
рассматриваемого тела под действием всех сил, в том числе и
реакций связей;
решить эти уравнения относительно тех неизвестных, которые
требуется определить по условиям задачи.
Уравнения равновесия лучше решать в общем виде. Найдя
ответ в виде некоторой формулы, выражающей искомую вели-

чину через заданные, следует, не производя числовых расчетов,
проверить правильность полученной величины с точки зрения
размерности. После пересчета всех данных в какую-нибудь одну
систему единиц можно приступить к числовым расчетам. При
расчетах рекомендуется пользоваться счетной логарифмической
линейкой.
В дальнейшем на конкретных примерах показано, как сле-
следует решать задачи статики на равновесие твердых тел.
В большинстве задач статики нельзя заранее указать не
только величину, но и направление той или иной реакции связи.
В таких случаях неизвестную реакцию разлагают на составля-
составляющие, направленные вдоль соответствующих осей координат, и
вводят в уравнения равновесия в качестве неизвестных эти соста-
составляющие.
Если в результате решения уравнений величина какой-нибудь
из составляющих окажется отрицательной, то это означает, что
данная составляющая реакции в действительности направлена в
сторону, противоположную положительному направлению оси.
В тех случаях, когда истинное направление реакции не вызы-
вызывает сомнения, лучше, не считаясь с принятым направлением
оси, направлять реакцию в ту сторону, в которую она действует.
Если по условию задачи требуется определить действие тела
на какую-нибудь связь (давление, натяжение нити, усилие в
стержне и т. д.), то в уравнения равновесия следует вводить по-
прежнему реакцию связи. Искомая сила будет равна по вели-
величине и противоположна по направлению этой реакции.
В статике приходится иногда решать задачи на равновесие
нескольких тел, каким-либо образом связанных между собой. В
данном случае для каждого тела в отдельности составляются
уравнения равновесия с учетом сил, с которыми действуют друг
на друга тела, входящие в систему. Эти силы попарно равны
по величине и противоположны по направлению.
В некоторых случаях удобно рассматривать равновесие всей
системы связанных между собой тел как единого твердого тела
(что возможно на основании принципа затвердевания) и равно-
равновесие только некоторых из входящих в систему тел.
При определении усилий в стержнях жесткой идеальной кон-
конструкции рекомендуется пользоваться методом сечений, предпо-
предполагая при этом, что перерезанные стержни растянуты. Вследствие
этого реакции таких стержней будут, направлены в сторону
отброшенной части конструкции. Если в результате решения
задачи величина какой-нибудь из реакций окажется отрицатель-
отрицательной, то это означает, что соответствующий стержень в действи-
действительности сжат.
Иногда при решении задачи требуется знать какую-нибудь
величину, не заданную условиями задачи, например угол или
длину. В этих случаях данную величину необходимо обозначить

какой-нибудь буквой и ввести ее в уравнения равновесия. Если
в ходе решения задачи введенная величина не исключается, то
ее надо выразить через заданные величины.
В отделе «Статика» приняты следующие основные обозначения:
F, Q, P, G и др. — силы;'
Fx, Fy, Fz— проекции силы
.Рна координат-
координатные оси Ох, Оу,
Ог;
/— коэффициент
трения покоя и
скольжения;
k — коэффициент
трения качения;
М, т — момент пары;
Мо — главный момент
относительно
центра О;
т0 (F) — алгебраический
момент силы F
относительно
центра О;
т0 (F) — векторный мо-
момент силы F
относительно
центра О;
тг{Р) — момент сипы(/г)
относительно
оси Oz;
N — нормальная ре-
реакция;
q — интенсивность
распределенной
_ нагрузки;
R — главный вектор;
ftA — полная реакция
опоры А;
$xi 5y — статические мо-
моменты площади;
6', f— усилие в стерж-
стержне, натяжение
_ троса и др.;
д, Уд, 2д—составляющие
полной реакции
7?Л, направлен-
направленные по осям Ох,
Оу, Ог;
х, у, г —координаты то-
точек приложе-
приложения силы;
хс, ус, гс — координаты
центра тяжести;
о — угол трения.

ГЛАВА Г
СИЛЫ, СХОДЯЩИЕСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ
Уравнениями равновесия твердого тела, находящегося под
действием сил, сходящихся в одной точке, являются
2^ = 0; 2^ = 0; 2^ = 0; A.1)
ft=l k—l S=l
В A.1) входят как силы задаваемые, так и реакции связей,
наложенных на тело. Если на тело действуют сходящиеся силы,
лежащие в одной плоскости, то уравнений равновесия будет два.
При решении некоторых задач можно использовать теорему
о трех силах:
Если твердое тело находится в равновесии под действием
трех сил и линии действия двух из этих сил пересекаются, то
линия действия третьей силы проходит через эту точку пересе-
пересечения, и все три силы лежат в одной плоскости.
Если на покоящееся тело наложены связи с трением, то к
уравнениям равновесия с учетом сил трения следует присоеди-
присоединить дополнительное условие
Fw^fN, A 2)
где / — коэффициент трения скольжения при покое,
N — величина нормальной реакции.
Задачи на равновесие твердого тела под действием системы
сходящихся сил можно решать геометрическим и аналитическим
методами. Первым методом удобно пользоваться лишь для плос-
плоской системы и особенно в тех случаях, когда общее число сил,
действующих на тело, равно трем. При равновесии тела треу-
треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнутым.
Аналитическим методом можно пользоваться также и для
пространственной системы сил при любом числе сил При этом
следует иметь в виду, что общее число неизвестных в задаче
должно быть не больше трех для пространственной системы
сходящихся сил и не больше двух для плоской системы сходя-
сходящихся сил.
§ 1. Плоская система сходящихся сил
Задача 1. Груз Mi весом Р (рис 1,а) подвешен на гибком
нерастяжимом тросе ОМ, отклоненном от вертикали на угол а, и
удерживается в равновесии при помощи другого гибкого нерас-
нерастяжимого троса MiAMj, охватывающего идеальный блок А и
несущего на свободном конце груз М$ Считая, что при равно-
равновесии участок троса М^А горизонтален, определить величину Q

веса груза Мг и натяжение троса ОМХ. Размерами груза MY и
весом тросов пренебречь.
Решение. Рассмотрим равновесие груза Мх Задаваемыми си-
силами являются вертикально направленная сила Р и горизон-
горизонтально направленная сила Т2, равная по величине весу груза Q,
так как идеальный блок А изменяет только направление силы.
На груз Aft наложена связь, осуществляемая тросом ОМХ.
Освободим его от связи. Реакция связи 7\ направлена по тросу
вверх. Таким образом, груз Aft находится в равновесии под
действием плоской сходящейся системы трех сил Р,7\ й Г3,
причем T<i = Q (рис. 1,6).
/У1
Рис I
Решим эту задачу двумя способами- геометрическим и ана-
аналитическим.
Геометрический способ Поскольку точка Mt находит-
находится в равновесии под действием трех сил, то силовой треугольник,
построенный на этих силах, должен быть замкнутым (рис 1,е).
Построение силового треугольника следует начинать с заданной
силы Р. Изобразив вектор Р, проводим через его начало и конец
прямые, параллельные направлениям сил 7\ и Тг. Точка пересе-
пересечения этих прямых определит третью вершину силового тре-
треугольника. Ориентация всех векторов должна быть такова, чтобы
силовой треугольник был замкнутым. Это дает возможность про-
проверить правильность направления неизвестных реакций.
Из силового треугольника находим
Таким образом, вес Q груза Mh равный Т3, будет

а натяжение троса ОМ, численно равно
Т — Р
1 COS ос'
Аналитический способ. Выберем оси координат. Их-
следует выбирать так, чтобы уравнения равновесия имели наи-
наипростейший вид. Этого можно добиться, проводя оси перпенди-
перпендикулярно неизвестным силам, при этом оси могут оказаться неор-
гогональными (оси Мху и Мху'). Обычно пользуются ортогональными
осями. Проведем ось MYy перпендикулярно неизвестной силе Т4>
а ось Мхх—горизонтально.
Система приложенных сил Р, Ти Тг — плоская сходящаяся
система, для которой имеют место два уравнения равновесия.
В задаче две неизвестные величины: 7\ и Тъ т. е. задача ста-
статически определима.
Составим уравнения равновесия в форме A.1):
1 — ■ г 11 — 1 i sin ос — .
1 СОЯ а ' i l
Отсюда находим
Т\ -
Если воспользоваться осями Мху и Mtt/, то получим
- = Т3 cos а — Р sin or = 0.
В каждое из этих уравнений входит только по одному неиз-
неизвестному, что упрощает их нахождение.
Задача 2. Однородный цилиндр А весом Р и радиусом г
(рис. 2,а) опирается на гладкую поверхность цилиндра В радиу-
///77777777Т777Т/
Рас. 2
сом R, и удерживается в равновесии при помощи нити CD дли-
длиной /, расположенной в поперечной плоскости симметрии. Опре-
Определить натяжение нити и реакцию цилиндрической поверхности.
10

Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра А. На него дей-
действует сила Р, направленная вертикально вниз. Связями явля-
-ются гладкая цилиндрическая поверхность В и нить CD. ОсвО'
бодимся от связей. Реакция JV (рис. 2,6) цилиндрической по-
поверхности направлена по общей нормали к цилиндрам и, следо-
следовательно, проходит через точку Ot. Реакция f направлена по
нити CD. Поскольку на цилиндр А действуют три силы, то на
основании теоремы о трех силах, их линии действия должны
пересекаться в точке Ot. Следовательно, цилиндр А при равно-
равновесии займет такое положение, при котором нить CD будет
являться продолжением его радиуса.
Построим силовой треугольник (рис. 2,в). Этот треугольник
подобен /\OOiC Из подобия треугольников имеем
p
'со1
или
N
:oot
N
Отсюда находим
l + r
R
N —
R
P.
Аналитический метод для этой задачи привел бы к более гро-
громоздким вычислениям.
Задача 3. Прямоугольная пластина со сторонами АВ = а и
ВС = Ь (рис. 3,а) шарнирно закреплена в вершине В, а верши-
в) о
£ В
Рис. 3
ной А опирается на гладкую вертикальную стену ЕЕ. Пренебре-
Пренебрегая весом пластины, определить реакции стены и шарнира, если
к вершине С пластины подвешен груз М весом Р.
Решение. Рассмотрим равновесие пластины. Задаваемой силой
является вес груза Р. Связями являются стена ЕЕ и шарнир В.
11

Реакция NA (рис.3,6) гладкой стены направлена по нормали
к стене, реакция RB шарнира В заранее по направлению не опре-
определена. Поскольку пластина находится в равновесии под дейст-
действием трех непараллельных сил Р, NA, RB, то на основании тео-
теоремы о трех силах заключаем, что линии действия этих сил
должны пересекаться видной точке К — точке пересечения ли-
линий действия сил Р и NА. Тем самым вполне определяется линия
действия реакции RB. Для нахождения величин реакций следует
использовать условия или уравнения равновесия.
Решим задачу геометрическим способом. Составим силовой
треугольник (рис. 3,е). Он должен быть замкнутым. Для постро-
построения силового треугольника отложим от произвольной точки О
вектор Р, из его начала О и конца h проведем прямые, парал-
параллельные линиям действия сил RB и NA. Пусть 5 — точка пересе-
пересечения этих прямых. Тогда LS — NA, SO — RB. Опустим из точки В
перпендикуляр ВТ на прямую АК, получим
следовательно,
OL __LS __SO
ВГ~ TK~~ KB
или
Тт~ тк~вкш (fl)
Из /\ABT находим
BT = AB sin a = a sin a,
где a— угол, составленный стороной АВ с горизонтом. Отре-
Отрезок ТК является проекцией отрезка ВС, следовательно,
ТК = ВС sin % = Ъ sin a.
Далее,
ВК = V{BTf -j- (Г КK == "j/a^fF sin я.
Подставляя эти величины в (а), имеем
Р
а
откуда
Заметим, что величины реакций не зависят от угла на-
наклона о/.
12
a sin а * sm а у а- + ¥ sin а '

Задача 4 (рис. 4). При съеме крышки корпуса турбины тре-
требуется, чтобы она все время находилась в горизонтальном поло-
положении. В приспособлении, показанном на рисунке, горизонталь-
горизонтальность крышки достигается при помощи винтовых стяжек. Опреде-
Определить усилия ТАВи Тсв, возникающие в стяжках АВ и СВ, если вес
крышки турбины 6 кн, а = 20°, Р = 30°.
Ответ: ТАВ = 2,68 кн;
Тсв = 3,92 кн.
Задача 5 (рис. 5). Пассажирский
реактивный самолет движется равно-
равноРис. 4
Рас. 5
мерно прямолинейно и поступательно под углом 8 = 25° к горн-
зонту. Сила тяги, равная по величине 100 кн, образует с напра-
направлением движения самолета угол а = 5°. Определить величину
равнодействующей Q аэродинамических сил и угол -;, составляе-
составляемый ею с направлением полета в момент, когда
вес самолета равен 200 кн. м
Ответ: Q= 100/3"= 173,2 кн;
Задача 6 (рис. 6). К наивысшей точке глад-
гладкого неподвижного шара радиусом г = 6 см
прикреплена упругая нить, естественная (не-
(ненапряженная) длина которой / = 3 см, а коэф-
коэффициент жесткости с— 100 н/см (т. е. для удли-
удлинения ее на 1 см необходима сила в 100 н).
После того как к нити была подвешена тя-
тяжелая материальная точка, центральный угол а, соответст-
соответствующий дуге охвата нити, стал равным ~. Найти вес точки и
давление, оказываемое ею на шар.
Рис. 6
Ответ: Р —
c(ar
sin а
= 28,3 н;
N =
=24>5 *•
Задача 7 (рис. 7). Однородная цилиндрическая труба радиу-
радиусом г и весом 2Р подвешена горизонтально на двух тросах, охва-
охватывающих трубу и расположенных в вертикальных параллель-
параллельных плоскостях симметрично относительно среднего поперечного
сечения трубы, как показано на рисунке. Определить усилия

в каждой части троса, если длины хорд, соответствующих дугам
охвата троса, равны Ь.
Ответ. Т = у.
Задача 8 (рис. 8). Подъемный кран АВО удерживается в рав-
равновесии тросом ВС, Определить натяжение троса, а также вели-
Рис 7
Рис. 8
чину и направление реакции шарнира О, если вес подвешенного
груза М равен Р. Часть ОВ стрелы вертикальна, а трос яв-
является продолжением АВ. Даны разме-
размеры: АВ = а, ОВ = Ь, АО = с. Весом
стрелы пренебречь.
Ответ. Т = °-
= ~P.
Реакция Ro направлена по пря-
прямой О А.
Задача 9 (рис. 9). Брусок АВ дли-
длиной /, на конце которого прикреплен
груз М весом Р, опирается в точке А
на гладкую вертикальную плоскость,
а в точке С — на уступ. Определить,
пренебрегая весом бруска и трением, реакции опор и расстояние
АС при равновесии, если брусок образует с горизонтом угол я.
Рас. 9
Ответ:
AC =
= Ptg a; Nc =
Задача 10 (рис. 10). Судно стоит
на якоре. В точке А находится
скоба якоря, а в точке В — клюз
(отверстие в корпусе судна для
якорной цепи). Определить натя- рис. 10
жения якорной цепи у скобы (ТА)
и у клюза (Тв), если вес Р цепи в воде равен 2 кн, угол между
касательной, проведенной к цепной линии в точке А, и гори-

зонталью а= 10°, а угол между касательной в точке В и гори-
горизонталью {3 = 45°.
Ответ: ТА =
PcosS
— 2,47 кн;
PcOSa
= 3,43 кн.
'sm(p —а) ф )
Задача 11 (рис. 11). Судно стоит на якоре. Вес якорной цепи
в воде равен Р и действует по прямой, находящейся на расстоя-
расстоянии I от клюза А. Разность высот между точками А и В равна h.
Рис. 11
777777777}
Рис. 12
Определить натяжения якорной цепи в точках А и В, а также
угол а, составленный касательной к цепи в точке А с горизон-
горизонтом, считая касательную в точке В горизонтальной.
Ответ: а = г ^
Задача 12 (рис. 12). Определить наименьшую величину гори-
горизонтальной силы Q, которую надо приложить к верхней грани
кубического ящика весом Р при кантовании его по горизонтальной
поверхности. Чему равно давление D на упор в начале кантования?
Указание. В начале кантования на ящик действуют только три
Силы: Q P RA — — 5, которые должны пересекаться в одной точке.
--» р- г^^рУь
Ответ: О — [
Задача 13 (рис. 13). Воздуш-
Воздушный шарик А с подъемной силой Q
Рис, 13
Рис 14
удерживается невесомым тросом ОА длиной I и относится вет-
ветром на расстояние 0В=а. Определить натяжение Т троса и
силу F ветра, считая ее горизонтальной. Размерами шарика и
его весом пренебречь.
Ответ: Т==-
aQ
Задача 14 (рис. 14). Теплоход ошвартован у бочки, удержи-
удерживаемой при помощи якорной цепи. Определить натяжения Тд
15

швартовного троса и Тв якорной цепи в точках А и В, если
бочка погрузилась в воду до половины и имеет форму цилиндра,
диаметр которого 1,2 м, длина 2 м, вес 3 кн. Удечьный вес
воды 10 кн/мл, а = 60°, р = 15°.
Ответ: Тл = 27,8 кн; Гв = 31,0 кн.
Задача 15 (рис. 15). Шарнирный стержневой треугольник ЛВС
может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходя-
проходящей через точку А. На стержне ВС
укреплен груз М весом Р. Опреде-
Определить в условиях равновесия уси-
Рис. 15
Рис 16
лия, возникающие в стержнях АВ и АС в зависимости от угла р,
образованного перпендикуляром AD с вертикалью, если угол при
вершине А равен 2я и АВ — АС. Весом стержней пренебречь.
Ответ: ТД13 = Ь^^-Р; TAC = b^±^P.
АВ sin 2а ' AL sm 2а
Задача 16 (рис. 16). Точка М весом Р удерживается в рав-
равновесии на внутренней гладкой поверхности полусферы с помощью
груза весом Q. Определить давление Л^ точки на сферу и угол а,
образованный радиусом ОМ с горизонталью. При каком соотно-
соотношении между величинами сил Р и Q возможно равновесие?
Ответ: N = -
^ г
cosa -- 2 ~~ АР ' ' ^^'
Задача 17 (рис. 17). К точке М весом Р, находящейся на
шероховатой кривой, уравнение которой y = sinx, приложена
у сила Q, направленная по касательной
к кривой вверх. Определить вели-
величину этой силы, если точка находится
в равновесии при х=хп. Коэффи-
Коэффициент трения равен /. Считать, что
при отсутствии силы Q равновесие
не имеет места.
Решение. Возмежны два случая:
1) при отсутствии трения точка
стремится сдвинуться вверх;
2) при отсутствии трения точка стремится сдвинуться вниз.
Рассмотрим первый случай. На точку М, находящуюся в рав-
равновесии, действуют силы Р и Q. Точка не свободна, связь осу-
2
Рас. П

ществляется шероховатой кривой. Применяя принцип освобож-
даемости, введем реакции отброшенной связи: нормальную реак-
реакцию N и касательную реакцию—-силу трения Р,р, направлен-
направленную по касательной к кривой вниз.
Примем оси пи т за оси координат и напишем уравнения
равновесия
2f = ~ N + Р C0S * = О,
где я — угол наклона касательной к оси Ох, причем
COSX.
—— f ч 1ч: v • liin я ——
'dx
sma=
f COSSX0
Присоединяя к полученным уравнениям неравенство
которое должно иметь место при равновесии, найдем
Q-sS P(sin a-j-fcob а)
или
п ^
^.)) р
Во втором случае сила трения /7тр направлена по касатель-
касательной вверх. Уравнениями равновесия будут
N — Pcosa — 0; Q + ^тр — Psina^O,
откуда
Q^s: P (sin a —/cos а).
Заменяя sin a и cos a их значениями, получим
Q >. (cosA-a —/) p
Итак, равновесие точки будет при условии
COS Х„ —f ^ Q ^_ COS
Kl+cos=u0 ^ р ^ l
Задача 18 (рис. 18). Шарик М весом Я находится на внут-
внутренней поверх-ности неподвижной полусферы. Определить, прене-
пренебрегая размерами шарика, наиболь- п
Ший угол я, образованный вертикалью
с прямой, проходящей через центр О
и шарик М, при котором послед-
последний может находиться в равновесии,
если коэффициент трения скольже-
скольжения равен /. Трение качения не учи-
учитывать.
Ответ: a=arctg/. Рис. 18
17

Задача 19. Судно при спуске на воду движется по наклон-
наклонным спусковым путям. Определить необходимый угол наклона
путей, если коэффициент трения / = 0,087.
Ответ: а5г5°.
Задача 20. Катер весом 5 кн с железным килем надо пере-
передвинуть по деревянному горизонтальному настилу при помощи
троса, составляющего угол 15° с горизонтом (коэффициент тре-
трения между килем и настилом равен 0,6). Можно ли использо-
использовать для этого трос, выдерживающий нагрузку в 2,5 кн?
Ответ: нельзя.
Задача 21 (рис. 19). Тело М весом Р лежит на наклонной
шероховатой плоскости, образующей с горизонтом угол а. К телу
Рис. 19
Рис. 20
прикреплен трос, огибающий идеальный блок О и несущий на
своем конце груз весом Q. Определить наибольшее значение Q
при условии равновесия тела, если угол трения равен <р(<р^>а),
а участок троса ОМ горизонтальный.
Ответ: Qmax = P tg(» — a).
Задача 22 (рис. 20). Плита А весом Р удерживается в рав-
равновесии на наклонной шероховатой плоскости при помощи двух
одинаково нагруженных тросов (один из ко-
которых показан на рисунке). Определить веса
грузов Qi=Q-2 = Q, действующих на тросы,
если угол трения равен <р, угол наклона
плоскости к горизонту равен а, участок тро-
троса АВ горизонтален, <р<Са.
Ответ: f tg (а — <р) =«£ Q < £ tg (я + <р).
Задача 23 (рис. 21), Определить вели-
величину силы Р, необходимую для удержа-
удержания в равновесии тела А весом Q на на-
наклонной плоскости при заданных углах а и р и угле трения <р,
считая «^><р.
Ответ: sJ^f^LQ^P^s^±^,Q.
cos (Р + f) ^ ros (р — <р) ^-
Задача 24 (рис.22). На наклонной плоскости, образующей с горн-
зонтом угол я, находится груз А весом Q. Определить величину
наименьшей силы Р и угол р, под которым ее надо приложить,
18

чтобы сдвинуть груз вверх, если коэффициент трения равен /.
Какое при этом давление D будет оказывать груз на плоскость?
Ответ: p = arctg/; />„,,„ = ^
Q.
. (COS а —/ sin a)
1Н-/2
Задача 25 (рис. 23). Ползун А весом Р удерживается в рав-
равновесии на вертикальном стержне с помощью нити, перекинутой
Рас. 22
Рис. 23
через идеальный блок В и натягиваемой грузом. Определить вес
груза Q, если коэффициент трения ползуна о стержень равен f,
а угол, образованный тросом со стержнем, равен я. Считать, что
при отсутствии груза Q равновесие не имеет места.
Р Р
Ответ: г—. «ё Q ~ ~ т—.—.
COS a -]-/ sin a ^ ~cosa—/ sill 2
Задача 26 (рис. 24). Точка А весом Р находится в равнове-
равновесии на внутренней шероховатой поверхности полусферы. Определить
при данном угле а величину наименьшей
силы Q, которую надо приложить к точке,
как указано на рисунке, чтобы привести
ее в движение, если коэффициент трения
/ = tg'f, причем »^>а. Блоки считать
идеальными.
0твет:<1шт=Щ^^Р.
Рис. 24
cos U? —,
2
Задача 27. Па шероховатой кривой, расположенной в верти-
вертикальной плоскости, находится тяжелая точка. Определить область
изменения аргумента х, соответствующую равновесному положе-
положению точки, если коэффициент трения / = 0,5, а кривая задана
Уравнениями:
1. i/ = sin х @ ==£;
3. i/ =
5. y=:2
2. (/ = xJ —
4. y = x* (*
6. y=\ —e
19

Ответ: I. * ^.jk^J- 2. 1,25 <х-с 1,75.
3.
5.
4. О
0,409.
-. 6. х=э 0,693.
Задача 28. В конструкции, изображенной на рис. 25,а, стер-
стержень АВ образует с вертикалью угол я, а стержни DC и £С -
углы р. Считая все соединения стержней шарнирными и прене-
Рис. 25
брегая весами стержней, определить усилия в стержнях, если
стержень ВС горизонтален, а к узлу В приложена вертикальная
сила Р.
Решение. Рассмотрим равновесие узлов В и С в отдельности;
сначала—равновесие у_зла В (рис. 25,6). На этот узел дейст-
действует задаваемая сила Р. Связями, наложенными на узел В, яв-
являются стержни АВ и ВС. Освобождаем узел от связей. Реак-
Реакции отброшенных связей, направленные по стержням А В и ВС,
обозначим^ через Твл и Твс. Так как точка В под действием
трех сил Р, ТВА и Твс находится в равновесии, треугольник,
построенный на этих силах (рис. 25,в), должен быть замкнутым.
Из этого прямоугольного треугольника находим
в а ■
COS
Рассмотрим теперь равновесие узла С (рис. 25,г). На этот
'с
стержней CD и СЕ, направленные
узел действуют сила Тсв — —Твс (причем Тсв—Твс) и реакции
через
1 CD
ПО
и
этим стержням. Обозна-
ТСЕ и предположим, что
чим их соответственно
стержни растянуты.
Направив координатные оси Сх и Су соответственно по гори-
горизонтали вправо и по вертикали вверх, имеем следующие уравне-
уравнения равновесия узла С:
CD
sin
rrBsin? = 0;
20

Из второго уравнения получим
' СЛ = 'СЕ'
следовательно,
2TCD sin р = 2ТСЕ sin р = 7СВ = Р tg a.
Отсюда находим
CD CE 2 sin p
Так как величины всех реакций оказались положительными,
то все стержни действительно растянуты.
Усилия в стержнях В А, ВС, CD и_С£ по величине соответ-
соответственно равны модулям реакций ТВА, Твс, TCD, TCE, но проти-
противоположны им по направлению.
Задача 29 (рис. 26). К узлу А равносторон-
равностороннего шарнирного треугольника ABC приложена
вертикальная сила Р. Треугольник удерживается
в равновесном положении стержнями BE и CD.
Определить усилия во всех стержнях, если
стержень АС горизонтален, а стержни BE и
CD вертикальны. Весом стержней пренебречь.
.2/3 •
Ответ: Тпг =
вс — л в л —"
т _ V*
1 ас— з~
1 CD = F-
Рис. 26
Задача 30 (рис. 27). Стержневая система A BCD закреплена
шарнирно в неподвижных точках А _и D. В узлах В и С дей-
действуют вертикальные силы Р и Q. Определить соотношение
Рис. 27
Рис. 28
между величинами этих сил при равновесии системы и усилия
в стержнях, если [3 = ^ —а-
Ответ: р — cos 2а; ТАВ = Р cos а; Твс = Р sin а; 7CD = Pcos а.
Задача 31 (рис^ 28). К бочке В, на которую действует гори-
горизонтальная сила F, прикреплен якорь А с помощью троса А В.
21

С целью увеличения сопротивления, оказываемого якорем, в не-
некоторой точке М троса подвешивают дополнительный груз. При
этом часть троса AM располагается горизонтально, а угол, со-
составленный с горизонтом касательной в точке М к части троса MB,
равен р. Определить наименьший вес G груза, натяжения троса
в точках М и В, угол а, составленный с горизонтом касатель-
касательной к тросу в точке В, а также величину Q силы плавучести,
действующей на бочку, если вес части
MB троса в воде равен Р.
Ответ: G = Ftg$\ Q =
Р Т F
?; J м—
Задача 32 (рис. 29). Гладкий шар
Рис. 29 радиусом R и весом Р, касаясь' верти-
вертикальной стены, покоится на горизон-
горизонтальном полу. С какой силой F следует прижать к нему брусок
высотой h, чтобы шар приподнялся над полом?
Ответ:
(считать h<TR).
Задача 33 (рис. 30). В прессе с приводом от шарнирного че-
тырехзвенника определить силу Q, сжимающую тело М в поло-
положении, когда звено АВ горизонтально, звенья ВС и BD обра-
с. 30
Рис. 31
зуют с вертикалью углы а = 60° и р = 30° соответственно, а вдоль
звена АВ от кривошипа ОА действует сила Р. Весом стержней
пренебречь.
Ответ: Q = ^L.
Задача 34 (рис. 31). В шарнирной стержневой конструкции,
расположенной в вертикальной плоскости, стержень ВС горизон-
горизонтален, стержень СП вертикален, а стержни А В и CD парал-
параллельны друг другу и составляют с горизонтом углы а. Опреде-
22

лить усилия в стержнях, пренебрегая их весом, если к узлу В
подвешен груз М весом Р.
Ответ: TRA=-—; Твс = — Pcigo\
НА pin n ' UL о »
1 CD
СЕ
Задача 35 (рис. 32). Стержневой шарнирный прямоугольный
треугольник ABC закреплен в точке В, а вершиной О опирается
на подвижную опору. Определить уси-
усилия в стержнях и давление на опору С,
если вес груза D равен Р, угол, со-
составленный тросом и стержнем АВ,
равен а, /_АСВ = §. Весом стержней
и трением на блоке пренебречь.
Ответ: ТАВ =— Pcoso;
т Psina
'ев cosp >
ТАС — Psina; iVc —Psinatg^.
Задача 36. Определить усилия в Рш. 32
Стержнях и реакцию шарнира А в стерж-
стержневой системе, изображенной на рис. 33, если /_ DC А = /_САВ =
=■%, АВ = АС, а на узел В действует вертикальная сила Р.
Считать все соединения шарнирными, весом стержней пренебречь.
Ответ: RA = V2 Р; (ЯДГ*АВ) =J; TDC = P;
TBC = V2 Р; ТАВ = ТАС = ~Р.
Задача 37. В стержневой системе, изображенной на рис. 34,
шарнир С неподвижен, стержни АВ и DC горизонтальны,
а стержни AD, ВС и трос АЕ вертикальны АВ = ВС~ AD = DC.
Рис 33
Рис. 34
На узел В действует горизонтальная сила Р: Определить
Усилия в стержнях и тросе, а также величину реакции шарнира С,
считая все соединения шарнирными и пренебрегая весом стержней.
Ответ: Rc = У~2~ Р; ТАЬ = TAD = TBt = TLD = Р;
ТАВ=0; TBD = ~V

Задача 38. На узел D фермы, изображенной на рис. 35, дей-
действует горизонтальная сила Q. Определить усилия в стержнях и
реакции шарнира А и подвижной опоры В, если AC = CB = 2CD
Весом стержней пренебречь.
Ответ: TAr = TRC = — ,т;
Т —YAJL
1 BD —4 '
Т _ V$ Q
'AD 4 '
/17 С?
Задача 39. В стержневой шарнирной системе, изображенной
на рис. 36, стержни АВ п CD вертикальны, стержень ВС гори-
горизонтален, шарниры А и D неподвиж-
неподвижны. На узел В действует сила F,
параллельная стержню АС. Пренебре-
Пренебрегая весом стержней, определить воз-
в
Рис. 33
никающие в них усилия и величину реакции шарнира А, если
Z ВСА = а.
Ответ: TAB = F sin а; Твс = — Fcosa;
Т Р r
^ +
Задача 40. В прессе, изображенном на рис. 37, найти силу,
действующую на тело Т, если к вертикальному штоку АВ при-
Рис. 37
Рис.
ложена сила Р. Углы, образованные одинаковыми распорками DC,
СЕ, МК, MN с вертикалью и стержнями ВС, ВМ с горизон-
горизонталью, равны a = 5°. Весом распорок и штока пренебречь.
Ответ: S — ^/^- = 65,8P.
2 Sirra
2
24

Задача 41 (рис. 38). Узел D шарнирной стержневой конст-
конструкции нагружен силой Р, направленной вертикально вниз. Пре-
Пренебрегая весом стержней, определить реакции шарнира А и под-
подвижной опоры В, а также усилия во всех стержнях, считая их
одинаковыми по длине.
г — Р^;Т т _Р/з"
1 DC ■} i
Ответ: Тт = —
2PJ/3
3
рУз"
С А
АВ
Реакция RA направлена вертикально вниз.
Задача 42 (рис. 39). На ферму в узлах Си £ действуют силы
Р и Q, направленные вертикально вниз. Определить усилия
Рис. 39
Рис. 40
в стержнях и реакции опор, если /_ СAF = 90°
Весом стержней пренебречь.
Ответ: TBC^Qctga; TCF=TDF=0;
Qclga; Глс = -(Р + д
R
TAF=TEP=
Z.DEF = a.
Задача 43 (рис 40). Шарнирная стержневая конструкция удер-
удерживается в равновесии стержнями АВ, CD, СЕ. Узлы Ь и К
нагружены силами Р и Q. Определить усилия в стержнях, пре-
пренебрегая их весом.
Р V 2
Ответ: TLK= 75—;
1 KF
и
Т
AF-
Я_У_2
Задача 44 (рис. 41). Шарнирная стержневая конструкция
ABCED укреплена при помощи неподвижного шарнира Е и троса
ВОС, перекинутого через идеальный блок О. Узел А нагружен
25

вертикальной силой Р. Определить натяжение Т троса и усилия
в стержнях, пренебрегая их весом.
Ответ: Г = /
tde=tad=-p- tce=tab=pV2.
Задача 45 (рис. 42). На звенья Л и В пружинного аморти-
амортизатора, служащего для смягчения толчков, действуют силы' Pt
Рис. 41
и Рг, причем Р1 = Р.2 = Р. Определить, какова должна быть жест-
жесткость пружины с (сила, потребная для деформации пружины на
единицу длины), для того чтобы равновесие имело место при
а = 60°, если при а —180° пружина не напряжена. Трением и
весом деталей пренебречь. Принять АС =
Ответ: с==-
з/ •
Задача 46 (рис. 43). Два шарика А и В
весом Р[ и Р3, соединенные между собой
невесомым жестким стержнем, находятся в
положении равновесия внутри гладкой сфе-
сферической неподвижной чаши радиусом R.
Определить давления М и N% шаров на чашу, усилие Г, возни-
возникающее в стержне, и угол а, образованный стержнем с горизонтом,
если длина стержня 21. Размерами шаров пренебречь.
Рис, 43
Ответ: Т =
COS C — а)
sin \i ' '
v =cosapy
i sin {J "'
sinfi
где
§ 2. Пространственная система сходящихся сил
Задача 47. Бочка А весом Р=Ъ кн (рис. 44, а) удерживается
от сноса течением при помощи двух якорей В я С, лежащих на
одной глубине. Объем подводной части бочки V = 0,33 л3; удель-

иый вес воды 7 = 9,81 кн!мя. Якорные тросы, принимаемые пря-
прямолинейными, образуют между собой угол р = 90° и лежат в пло-
плоскости, наклоненной к горизонту под углом а = 60°. Определить
натяжения тросов и величину горизонтальной силы Q, обуслов-
обусловленной течением воды, если эта сила лежит в вертикальной пло-
плоскости, делящей угол р пополам.
Рис. 44
Решение. Рассмотрим равновесие бочки А. На нее действуют
подъемная сила F=Vi— Р = 0,33-9,81 — 3 — 0,24 кн, направ-
направленная вертикально вверх, и горизонтальная сила Q (рис. 44, б).
Связями, непосредственно наложенными на бочку, являются
тросы. Реакции связей, направленные по тросам, обозначим через
f, и 7',.
Силы, F, Q, 7\ и 7*3 можно ввиду малости размеров бочки
считать пересекающимися в одной точке А. Поэтому мы имеем
дело с равновесием твердого тела под действием пространственной
системы сходящихся сил, для которой имеют место jpn уравнения
равновесия. Неизвестных в задаче три: Ти Т2, Q, т. е. задача
статически определимая. Начало координат поместим в точке А —
точке пересечения линий действия всех сил. Ось Ах направим
параллельно ВС, ось Ау — по линии действия силы Q, ось Аг —
вертикально вверх.
Составим уравнения равновесия бочки. Имеем *
•£Fkx— Г, sin 45° — Га sin 45° = 0;
YFky = Ti cos 45° cos 60° -j- T2 cos 45° cos 60° — Q = 0;
vf кг ^f^Ti cos 45° bin 60° — T2 cos 45° sin 60° = 0.
* При проектировании сил TL и 7'2 на оси Ау и Аг применен метод
Двойного проектирования. Например, для того чтобы найти Т1у, следует
(ввиду того, что угол между 7\ и осью Ау неизвестен) сначала спроекти-
спроектировать силу 7\ на какую-либо плоскость, содержащую ось Ау (в данном
27

Из первого уравнения найдем
7, = 7,.
В соответствии с этим из третьего уравнения получим
71 = 7з = ~п Z ■ Rn°- = Q.l9 KH-
1 2 cos 45 sin 60 '
Подставив значения Тг и Тг во второе уравнение, имеем
Q = 27 cos 45° cos 60° = F ctg 60° = 0,14 кн.
Натяжения тросов равны по величине найденным реакциям, но
направлены противоположно.
Задача 48 (рис. 45). Шар А весом 5 кн и объемом 0,7 мя удер-
удерживается в подводном положении при помощи трех якорей В,
С, D, расположенных на одной глубине на одинаковых расстоя-
расстояниях друг от друга. Определить натяжение
каждого троса, если они образуют с верти-
вертикалью углы в 45°. Удельный вес воды
10 кн'м3.
Ответ: 7 = 0,943 кн.
Задача 49. В условиях задачи 48 тросы
АВ и АС расположены в вертикальной пло-
плоскости, а трос AD образует с ними равные
углы. Найти усилия в каждом тросе, если все
они образуют с вертикалью углы, равные 45°.
Ответ: ТАВ = ТАС — 1,414 кн; TAD = 0.
Задача 50. Чаша весов подвешена на трех нитях равной
длины I. Точки, в которых нити прикрепляются к чаше, являются
вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окруж-
окружность радиусом R. Определить натяжения нитей, если в середину
чаши положен груз весом Р. Весом чаши пренебречь.
р/
Ответ: 7 = — ^
Задача 51. В гладкой полусфере радиусом г находится одно-
однородный равносторонний треугольник со стороной а и весом Р.
Определить давления вершин треугольника на сферу при его гори-
горизонтальном равновесном положении.
Ответ: N =
случае выгодно проектировать на плоскость yz). При этом получим вектор,
направленный по биссектрисе угла р и равный по величине ^cos-^-. Полу-
ченный вектор следует спроектировать на ось Ау. Получим Tsy = 7\ cos -^- X
X cos a = Tx cos 45° cos 60°. Аналогично находятся другие проекции.
28

Задача 52. К бочке весом 2 кн, стоящей на якоре, прикреп-
прикреплены тросами (швартовами) две шлюпки. Вследствие действия
ветра и течения якорная цепь и швартовы натянуты. Якорный
трос образует с горизонтом угол 60J и лежит в вертикальной пло-
плоскости, которая делит угол между швартовами, равный 60°, по-
пополам. Удельный вес воды равен 10 кн/м\
Определить натяжение 7 якорного троса
и натяжения Т, и 7\ швартовых, если объем
подводной части бочки равен 0,250 мл.
Ответ: 7\ = 7\2=167 н; 7 = 577 н.
Задача 53 (рис. 46). К вершинам А и
В однородной квадратной пластины весом
р и к середине Е ее стороны CD шар-
нирно прикреплены невесомые стержни,
соединенные в точке О. Принимая, что
плоскость ОАВ перпендикулярна плоско-
плоскости пластины, Z BOA =90° и ОА=ОВ,
определить усилия в стержнях, которые возникнут, если систему
подвесить шарнирно в точке О.
Рис. 46
Ответ: Т0Е =
Задача 54 (рис. 47). К вершине С треножника ABCD прило-
приложена сила Р = 2 кн, лежащая в вертикальной плоскости CDE и
образующая с вертикалью угол а = 30°. Определить усилия в ногах
треножника, если углы [3 = 45°, ^ = 30°.
Ответ: TDC — ~ 1,153 кн; ГЛС = ТВС = —0,816 кн.
Задача 55 (рис. 48). Крышка паровой турбины весом 15 кн
поднимается равномерно лебедкой. Ходовой конец троса состав-
составляет с горизонталью угол а = 45°.
Оттяжки С В и DB лежат в гори-
горизонтальной плоскости и образуют
углы с вертикальной плоскостью
Рис. 48
ABE, равные 45°. Определить усилия в стреле и оттяжках,
если угол 7 между стрелой и свешивающейся частью троса ВК
Равен 30°. Блок В считать идеальным.
Ответ: ТВА = — 29,6 кн; ТВС = Т' BD = 2,95 кн.
29

Задача 56. Груз весом 900 н подвешен на трех одинаковых
пружинах, концы которых закреплены в вершинах горизонтального
равностороннего треугольника со сторонами, равными 40)^3 см.
Если груз поместить в центре этого треугольника, то пружины
придут в естественное ненапряженное состояние. Какова должна
быть жесткость с (см. задачу 45) этих пружин для того, чтобы
удержать в равновесии груз, опущенный на 30 см от плоскости
треугольника? Размерами груза пренебречь.
Указание. Сила в пружинах выражается формулой
F = 0A-1,),
где / — длина напряженной пружины;
/0 — ее естественная длина.
Ответ: с = 50 н'см.
Задача 57 (рис. 49). На гладкой наклонной плоскости, обра-
образующей с горизонтом угол а = 60°, лежит тело М весом Р=\кн.
Рис. 49
Рис. 50
От скольжения оно удерживается двумя веревками AM и ВМ,
расположенными вдоль плоскости и образующими с линией наи-
наибольшего ската MN углы [3 = 30° и ^ = 60° соответственно. Найти
давление тела на плоскость и натяжения веревок. Размерами тела
пренебречь.
Ответ: N = P cos а = 500 н;
Ps
sm
=75()
Задача 58 (рис. 50). Определить усилия, возникающие в стерж-
стержнях АВ и ВС и в горизонтальном тросе BE кран-балки ABC,
если груз Р весом 10 кн поднимается посредством троса, пере-
перекинутого, через блок В и блок D, находящийся на середине от-
отрезка AC; Z. АВС= Z.DBE = 30°. Весом стержней и размерами
блоков пренебречь. Блок В считать идеальным.
Ответ: 7В£=17,3 кн;
7^ = 7^ = -15,6 кн.
30

Задача 59 (рис. 51). Электрический заряд пренебрежимо малого
веса находится в центре О куба. В двух соседних вершинах А
и, В нижнего основания помещены одноименные с ним заряды
е,=е и е2 = 2е. Какие одноименные заряды нужно поместить
в двух остальных вершинах ниж-
нижнего основания и в центре верх-
верхнего основания, чтобы силы, дей-
действующие на заряд, находящийся
в центре, уравновешивались?
Примечание. Силы отталки-
отталкивания, действующие между зарядами,
пропорциональны их величинам, об-
обратно пропорциональны квадрату
расстояния между ними и направлены
по прямой, соединяющей заряды.
Решение. Ребро куба и вели-
величина заряда в точке О не даны.
Обозначим их соответственно
через а и q. Другие неизвестные
заряды обозначим через еъ, е4, е5.
Силы взаимодействия направле-
направлены по прямым О А, ОВ, ОС, Рис. 51
OD, OOi- Данная система сил
образует пространственную сходящуюся систему, для которой
имеют место три уравнения равновесия. Неизвестных в задаче
три: е3, е4, е5, т. е. задача статически определима.
Для удобства проектирования поместим начало координат в О,
ось Oz направим по 00,, а оси Ох и Оу расположим в плоско-
плоскостях АОС и B0D соответственно. Тогда, обозначив силы взаимодей-
взаимодействия между зарядами через F\, Fit F3, F\, Т^, получим, что силы F,
и F9 лежат в плоскости xOz, а силы F\ и F\—в плоскости yOz.
Углы, образованные силами Flt Fit F3, F4 с горизонтальной
плоскостью, равны между собой. Обозначив их через а, из пря-
прямоугольника AAiCfi имеем
АС -,/Т. .:„ .. ССУ 1
Величины сил:
Aeq
~№'
Seq
За2'
!~~ (ОВ)*
р сь4
а~" (ОС)* ~"Ш
Fi ~ ТдЬТ =
F — _М_
8 ~ (OOyf
За8
31

Составим уравнения равновесия заряда, находящегося в точке О:
VFky = Ft COS a — Ft COS а = |^ COS а — ^jf COS а = 0;
Vfk= Ft sin a -f- /",2 bin a-f-^sma-f-FjSina — /""» =
_ _ sma a% _u.
Из первого уравнения получим е3 —е. Из второго уравнения
находим е4 = 2е. Подставляя значения ^ и «4 в третье уравнение,
найдем
2е
Заметим, что величины а и g не вошли в ответ. Поэтому их
и не следовало задавать.
Задача 60. В трех вершинах основания правильной треуголь-
треугольной пирамиды, боковые ребра которой наклонены к основанию
под углами, равными 60°, помещены одинаковые заряды е. Неко-
Некоторый четвертый одноименный заряд помещен на высоте пирамиды
на расстоянии одной ее трети от основания. Какой пятый заряд
нужно поместить в вершине пирамиды, чтобы четвертый заряд
находился в равновесии? Весом зарядов пренебречь.
Примечание. Сила взаимодействия одноименных зарядов равна —j,
где г — расстояние между ними, и направлена вдоль прямой, их соеди-
соединяющей.
Ответ: ев = -„ •
Задача 61. Решить предыдущую задачу, считая, что боковые
ребра пирамиды образуют с основанием углы, равные а, а отрезки,
соединяющие вершины основания с зарядом, помещенным внутри
пирамиды, образуют с основанием углы, равные S.
Л Я sin 3 • sin2 (a — 3)
Ответ: еь== 5 —е.
& cosJ о
Задача 62. Стержневая система состоит из шести шарнирно
соединенных между собой стержней, расположенных по ребрам
и диагоналям куба, как показано на рис. 52, а. Узел D нагру-
нагружен силой Q, направленной вдоль диагонали LD. Узел С нагру-
нагружен вертикальной силой Р. Шарниры L, В, Н закреплены. Опре-
Определить реакции стержней и опор, считая стержни невесомыми.
Решение. Рассмотрим сначала равновесие узла D, так как
в нем сходятся три стержня (рис. 52, б). Применяя метод выре-
вырезания узлов и обозначив реакции перерезанных стержней, которые
3'2

предполагаются растянутыми, через TDC, TDB, TD[J, будем иметь
следующие уравнения равновесия этого узла:
S^** = TDC + TDB cos 45° -f- TDH cos 45° = 0;
y = — TDB cos 45° + Q cos 45° = 0;
, = — TDH cos 45° -f- Q cos 45° = 0.
Из этих уравнений получим
TDH = TDB = Q; TDC = -QV2.
Таким образом, стержни DH и DB растянуты, стержень DC сжат.
в
— 9
«k"
Рис. 52
Составим теперь уравнения равновесия узла С (рис. 52,' в)
в проекциях на те же координатные оси:
= T cd
— Тсв TCL —==- — 0;
— — TCH Tt
/3
_1
1
=- = 0;
ci:
При проектировании силы TCL имелось в виду, что
= ~1С = -^ИТ-Д-
2 Н А. Еражниченко и др
33

Учитывая теперь, что TCD = TDC, найдем
Таким образом, стержни СВ и СН сжаты. Реакция опоры L
равна по величине TCL, т. е.
Для определения реакций опоры В (рис. 52, г) составим урав-
уравнения равновесия узла В под действием сил TBD = —TDB,
'вс== *св и "в
= YB + TBD cos 45° + TBC = 0;
= ZB = 0.
Учитывая, что TBD = TDB; TBC = TCB, найдем
у _QK~2. у _QVX. 7 _П
Лв— 2 ' B— 2 ' B —
Следовательно,
RB = Yxb + Yb-{-Zb = Q-
Для определения направления ^в находим
Cos
cos(RB, г) = 0.
Следовательно, ^в лежит в плоскости лгу и составляет с осями х
и у углы, равные 45°.
Для определения реакции RH составляем уравнения равнове-
равновесия узла Н (рис. 52, г):
= ZH-{- THC + THD cos 45° = 0.
Отсюда
_£O_. r _0. 7 _n |
Величина реакции RH будет
34

Задача 63. Стержневая система состоит из шести шарнирно
соединенных между собой стержней, расположенных, как пока-
показано на рис. J53. На узел А дей-
действует сила F, а на узел В —
сила Q. Определить усилия в
стержнях, пренебрегая их весами,
и величины реакций неподвижных
шарниров.
Ответ: TAD=0; TAE=-FV2;
1 АВ г> ' BE V;
Т р.
1 вс — г >
Задача 64 (рис. 54). Определить
усилия в стержнях и величины
реакций опор в стержневой кон-
конструкции, считая все соединения шарнирными и пренебрегая ве-
весами стержней. Узлы Л и В нагружены силами Р и Q = 2P
соответственно.
Ответ: Tac = -
Задача 65 (рис. 55). Определить опорные реакции и усилия
в стержнях пространственной шарнирной стержневой конструк-
Рис. 54
Рис. 55
Ции в виде правильной пирамиды, ребра которой наклонены
к основанию под углом а. Верхний узел 4 нагружен вертикальной
силой Р, а вершины В, С, D находятся на гладкой горизонталь-
горизонтальной плоскости. Весами стержней 'пренебречь.
35

Ответ: TAB = TAC = TAD =
3 sin a '
Pctga. „
Задача 66. Шарнирный стержневой треугольник АВС удержи-
удерживается в положении, изобра-
изображенном на рис. 56, при по-
помощи пяти стержней, сое-
соединенных с треугольником
и горизонтальным потолком
при помощи шарниров. Пло-
Плоскости равносторонних тре-
треугольников DAE и FBG
перпендикулярны к плоско-
, - сти треугольника АВС. К уз-
' лу С приложена вертикаль-
Рис. 56 ная сила Р. Определить
усилия в стержнях системы
при равновесии, если £ В AC— L АВС = 30°. Весами стержней
пренебречь.
гр р. rri
Ответ:
AD
1 «г1 Р У о гр р.
BF 1 ВО g ' AF
АЕ 1 BF 1 ВО g
Задача 67 (рис. 57). В шарнирной стержневой конструкции
узлы А, В, С, D находятся в вершинах горизонтально располо-
расположенного квадрата,а узел
Е — на одной вертика-
вертикали с узлом В, причем
Рис. 57
ВЕ = АВ. К узлу D приложена вертикальная сила Р. Опреде-
Определить усилия в стержнях, пренебрегая их весами.
Ответ; Tde=pV~3; Tca = .
' сп — * ял — 1 пл — i
ев-
НА
DA-
KD-
Тсе—ТАЕ — (
= TCL = -P.
36

Задача 68 (рис. 58). Шарнирная стержневая конструкция со-
состоит из девяти одинаковых стержней. Узел А укреплен непод-
неподвижно, к узлам В, С, D прикреплены горизонтальные тросы, на-
направленные соответственно по сторонам BD, ВС, CD. Определить
усилия в стержнях и тросах, если узел Е нагружен вертикаль-
вертикальной силой Р.
Ответ: ТBP=TCQ = TDH = 0;
Т =т —Т —
1 BE = 7 СЕ 1 DE
г —т —т —
1 ВА 1 СЛ J DA
—т —т
ВА 1 СЛ J DA —g
Т —Т —
1 CD * BD

Г ЛАВ А II
СИЛЫ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ
Уравнения равновесия твердого тела под действием произволь-
произвольной плоской системы сил можно записать в одной из следующих
форм:
/п0(/=■*) = 0;
B.1)
причем за центр моментов О принимают любую точку на плоскости;
п
2 «a fa) = 0;
B.2)
при этом прямая А В, соединяющая центры моментов Л и В, не
должна быть перпендикулярной к оси проекций х;
B-3)
при этом центры моментов Л, В, С не должны лежать на одной прямой.
Если все силы, расположенные в плоскости, взаимно парал-
параллельны, то число уравнений равновесия сократится до двух. Эти
уравнения можно записать в одной из двух форм:
ъ—\
B.4)
38

где ось у параллельна силам;
B.5)
при этом отрезок АВ, соединяющий центры моментов Л и В, не
должен быть параллелен силам.
Для получения наиболее простых уравнений равновесия (если
это не усложняет ход решения в остальном) следует одну из ко-
координатных осей проводить перпендикулярно возможно большему
числу неизвестных сил, а за центр моментов брать точку, в ко-
которой пересекается возможно большее число неизвестных сил.
При вычислении момента силы удобно иногда разлагать дан-
данную силу на составляющие и пользоваться теоремой о моменте
равнодействующей (теоремой Вариньона).
Если на тело наряду с силами действуют и пары, лежащие
в плоскости сил, то при составлении уравнений равновесия в
уравнения проекций пары не войдут, так как сумма проекций
сил пары на любую ось равна нулю. В уравнениях же моментов
к моментам сил алгебраически прибавятся моменты пар, так как
сумма моментов сил пары относительно любого центра равна мо-
моменту пары.
При решении некоторых задач следует учитывать трение ка-
качения. Наибольшее значение момента трения качения опреде-
определяется по формуле
M=kN, B.6)
где k — коэффициент трения качения,
N — нормальное давление.
§ 1. Плоская система параллельных сил
Задача 69. Система, состоящая из трех грузов Ми Мъ М3 и
блоков, как показано на рис. 59, а, находится в равновесии.
Определить зависимость между весами грузов Ри Ра, Pa и уси-
усилия в тросах, если вес блока 3 равен Q, радиусы блоков г,,
ri» гз, rit rs. Блоки 1 и 2, а также 4 и 5 попарно жестко соеди-
соединены между собой.
Решение. Система состоит из нескольких тел и находится
в равновесии, следовательно, находятся в равновесии и блоки
1-2, 3, 4-5.
Рассмотрим равновесие спаренных блоков 1—2 (щс._ 59, б).
Непосредственно приложенными силами являются вес Pi груза
39

yVfj и суммарный вес блоков Qt. Связями являются ось блока
С*! и трос 2—3.
Реакция троса Гм направлена по тросу вертикально вниз.
Реакция оси N\ направлена вертикально вверх, так как все ос-
остальные силы вертикальны. Поскольку в задаче не требуется оп-
определить Л^1, то следует составить уравнение равновесия, не со-
Рис. 59
держащее Nx. Таким уравнением является уравнение моментов
Относительно точки Ot:
откуда
43
Рассмотрим равновесие блока 3. Кроме веса груза Р3 и веса
Q самого блока, на него действует сила Тш со стороны троса
2—3, направленная вертикально вверх и равная по величине Тп
в силу аксиомы действия и противодействия. Связью является
трос 3—4, реакция которого Ти направлена вертикально вверх.
Составим уравнения равновесия этого блока (рис. 59, в):
= т**г* — TVs = 0.
Отсюда находим
34 = J 39 * 23 —— ,
34-
,2Р,г,
(a)
Рассмотрим равновесие спаренных блоков 4—5 (рис. 59, г).
На них действуют вес груза Ра, суммарный вес блоков Q2 и сила
40

7'43 со стороны троса 3—4, равная по величине Ти, но на-
направленная вертикально вниз. Связью является ось блока О2.
Реакция jVs этой оси направлена вертикально вверх. Поскольку
Rt не подлежит определению, составим уравнение равновесия,
не включающее Nt. Таким уравнением будет уравнение момен-
моментов относительно точки О*.
,тпАгь) =
отсюда
*9. „ „ '
(Ь)
Соотношения (а) и (Ь) являются искомыми соотношениями
между весами грузов и блока 3 при равновесии.
Задача 70 (рис. 60). При расчете на изгиб поршневой палец
рассматривается как балка, свободно лежащая на двух опорах.
Рас. 60
Рис. 61
Определить реакции опор, принимая нагрузку интенсивностью q
равномерно распределенной по длине / и расположенной симмет-
симметрично относительно опор. Весом пальца пренебречь.
Ответ: RA — RB = 'L.
Задача 71 (рис. 61). Определить величину вертикальной силы
F, с которой нужно поддерживать тачку, если ее вес Р = 200«,
а вес груза Q = 700 н. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: F= 153,6 н.
Рис. 62
Задача 72 (рис. 62). На однопролетном горизонтальном мосту
АВ длиной 20 м находится автомобиль с нагрузкой на переднюю
0Сь в Ю кн и на заднюю — в 20 кн. Определить расстояние х
От оси заднего колеса автомобиля до опоры А, при котором дав-
41

ления на опоры А и В будут одинаковы Расстояние между осями
автомобиля равно 2,5 м.
Ответ: х = 9 -^ м .
Задача 73 (рис. 63). К концу А рычага пресса подвешен груз
М весом 300 н. Определить усилие S в штоке CD и давление NB
на шарнир В, если а=100 см, 6=10 см.
Ответ: 5 = 3 км;
iV • 2 7 кн *
Задача 74 (рис. 64). Вертолет висит неподвижно. Приняв, что
подъемная сила хвостового винта составляет 5% от веса верто-
Рас. 63
Рис. 64
лета, найти расстояние d от центра тяжести вертолета до верти-
вертикали, проходящей через линию тяги главного винта, если рас-
расстояние от главного до хвостового винта / = 4 м. Найти также
обе подъемные силы, считая их вер-
вертикальными, если вес вертолета
Р==20 кн.
Ответ: d = 0,2 м;
Fi=l кн;
/=■,= 19 кн.
Задача 75 (рис. 65). Поплавко-
Поплавковый регулятор состоит из поплавка
А, рычага ВО, штока CD и заслон-
заслонки DE. В горизонтальном положении
рычага ВО архимедова сила уравно-
уравновешивает собственный вес регуля-
регулятора. На какой уровень должна под-
подняться вода в регулируемом сосуде
от номинала, чтобы архимедова сила
поплавка могла поднять заслонку DE, если для поднятия ее тре-
требуется преодолеть вертикальную силу Р = 49 н? Поплавок счи-
считать цилиндрическим телом с поперечным сечением S = 100 см*;
ВО = 50 см; СО = 5 см. Удельный вес воды принять if = 0,0098 м/слА
Ответ: вода должна подняться на 5 см.
42

Задача 76 (рис. 66). Лестница ОВ длиной / и весом Р, за-
закрепленная шарнирно в точке О, удерживается в равновесии вер-
вертикально расположенным тросом АВ. По
лестнице перемещается человек, вес кото-
которого Q. В зависимости от длины BC = s
определить реакцию Ro шарнира О и на-
натяжение Т троса.
Ответ: R0=-^jty'1
^ Р
Рас
Задача 77 (рис. 67). Найти реакцию
опор А и В балки Л С, нагруженной рав-
равномерно на участке ВС. Интенсивность нагрузки равна q. Весом
балки пренебречь.
Ответ: Яд = ^; tfB = <?6 (l
Задача 78 (рис. 68). На балку Л С действуют силы Pt = 60 кн,
j = 4 кн, и пары с моментами mi = 40 кн • ж и т8 = 30 км • м так,
6
Рис.
Рис.
как показано на рисунке. Определить опорные реакции, пренебре-
пренебрегая весом балки, если а —2 м\ /i = l м\ 4 = 0,5 м.
Ответ: RA = 24 кн; RB = 40 кн.
Задача 79 (рис. 69). На балку АС действуют равномерно рас-
распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и две пары
Рис. 69
Рис. 70
с моментами /nt и /п3 так, как показано на рисунке. Определить
опорные реакции RA, RB, если Р = 10 кн; mj = 5 кн-м; т^ =
= 2 кн-м; q = 8 кн/м; а = с = 2 м; 6 = 5 м. Весом балки пре-
пренебречь.
Ответ: #д=11 кн; #в = 39 кн.
Задача 80 (рис. 70). Временный мост свободно опирается на
°поры С и D. Вес одного погонного метра покрытия равен 5/3 кн.
Определить наибольшую длину / консольной части моста, при
которой он не опрокидывался бы при проезде машины с нагрузкой
43

на переднюю ось в 20 км и на заднюю —в 40 км, если расстояние
между осями равно 3 м. Расстояние между опорами CD = 2d=6 м.
Ответ: 1=1 м.
Задача 81. Решить предыдущую задачу, считая, что расстоя-
расстояние между «порами 2d=12 м.
Ответ: / = 4,5 м.
Задача 82 (рис. 71). Однородный стержень ОА закреплен
шарнир но в точке О. В точке В, находящейся на расстоянии
OB = b, подвешен груз весом Q. Стер-
Стержень удерживается в равновесии в го-
горизонтальном положении посредством
груза F. Какова должна быть длина
стержня, чтобы вес груза F был наи-
наименьшим, если вес единицы длины стерж-
цш" И' ня равен 7? Блок считать идеальным.
Рис. 71 if2Qb
Ответ: 1= I/ -=—.
Задача 83 (рис. 72). Однородная балка АВ длиной 200 см и
весом 400 н подвешена на двух пружинах. Пружины имеют в
ненапряженном состоянии одинако-
одинаковую длину, но жесткость пружины
DL в два раза больше жесткости
пружины EF (жесткость пружины
равна силе, потребной для растяже-
растяжения пружины на 1 см). Определить вес
груза Р, который надо положить на
балку в точке К, чтобы балка заня- (
ла горизонтальное положение, если
AD — BE = 30 см, D/( = 20 см.
Ответ: Р —350 н.
Задача 84. На балку AD на участке ВС (рис. 73, а) действует
нагрузка, распределенная по закону треугольника и достигающая
£ в
к
Рис. 72
А В
С D X
— ь-
а
——»>
9
]
С . г А
В
\
и
3
£
С
i
Рис. 73
наибольшей интенсивности в точке С. Найти реакции опор, пре-
пренебрегая весом балки. Размеры указаны на рисунке.
44

Решение. Предварительно найдем равнодействующую распре-
распределенной нагрузки. Поскольку мы имеем дело с параллельными
одинаково направленными силами, то их равнодействующая Q
параллельна им, направлена в ту же сторону и равна их сумме.
Линию ее действия найдем из условия равенства моментов (тео-
(теорема Вариньона). Поместим начало координат в точку В и на-
направим ось Вх вдоль ВС (рис. 73, б).
Так как
то
b
О _ С qxdx _ qb
Знак «минус» означает, что сила ^направлена вниз.
Расстояние от линии действия силы Q до точки В обозначим че-
через *i. Тогда момент равнодействующей относительно центра В равен
2
Сумма моментов распределенной нагрузки относительно того
же центра составит
ь ь
х% , qb*
— ах — ~ д-.
о" о"
Приравнивая найденные моменты, находим
_2&
Xi~ з •
Примечание. В случае, если к моменту решения этой задачи соот-
соответствующий раздел математического анализа еще не пройден, можно при-
принять без доказательства, что равнодействующая треугольной нагрузки чис-
численно равна половине произведения максимальной интенсивности на длину
нагруженного участка, а линия ее действия проходит на расстоянии, равном
2/8 длины участка от конца, на котором интенсивность равна нулю.
В рассматриваемой задаче, заменяя распределенную нагрузку
ее равнодействующей, приходим к задаче об определении реак-
реакций опор при действии на балку одной силы Q (рис. 73, в).
Составим уравнения равновесия балки в форме уравнений мо-
моментов относительно точек А и D:
Отсюда находим
45

Складывая равенства, получим RA-\~RD = Qt как и должно
быть.
Задача 85* (рис. 74). При упрощенном способе расчета на
изгиб шатуна двигателя внутреннего сгорания шатун рассматри-
рассматривается как балка, лежащая на двух опорах и нагруженная на-
нагрузкой, распределенной по закону треугольника. Определить
реакции опор, если наибольшая интенсивность нагрузки равна
q н/см, а длина шатуна / см. Весом шатуна пренебречь.
Ответ: Ra = ^h; Rb = \h.
Рис. 74
Задача 86 (рис. 75). Определить опорные реакции для балки
АВ весом 4 кн, нагруженной так, как показано на рисунке, если
а = Ь — с = 2 м. Максимальная интенсивность нагрузки д=2кн/л1.
Ответ: ^д = 4,44 кн; #в:=5,56 кн.
Задача 87 (рис. 76). Определить опорные реакции для балки
АВ, нагруженной сплошной нагрузкой треугольного вида, до-
Рис. 76
Рис. 77
стигающей наибольшей интенсивности q на расстоянии а от опоры
А. Весом балки пренебречь.
Ответ: RA = -t(a-\-2b);
Задача 88 (рис. 77). Определить опорные реакции для балки
длиной 1 = 2 м, нагруженной сплошной трапециевидной нагруз-
нагрузкой интенсивностью ^ = 150 н/м на опоре А и 72 = 300 н/м на
опоре В. Весом балки пренебречь.
Ответ: RA = 20Q н; RB = 250 н.
* При решении задач 85—89, связанных с треугольной нагрузкой, см.
примечание к задаче' 84.
46

Задача 89 (рис. 78). Однородная балка А В длиной / и весом
Р концом А заделана в стену, имеющую толщину а<^-^. Счи-
—а —
тая, что реакции в заделанном конце
распределены по линейному закону,
в
Рас. 78
Рас. 79
определить наибольшие значения сил qx и qit приходящихся
единицу длины балки.
Ответ:
на
ны балки.
C1 — 4а) Р C1 — 2а) Р
Задача 90 (рис. 79). Определить, с какой силой Q барабан М
давит на неподвижный барабан N, если к концу А рычага В А
подвешен груз Р = 250н. При-
Принять АС = 74 см, ВС = 6 см,
а = 6 см, Ь=12 см. Весом
стержней пренебречь.
Ответ: Q = 5 кн.
Задача 91 (рис. 80). Развет-
Разветвленный механизм распределе- '1 2 з V У
ния давлений устроен так, что Рис 8q
АВ: ВС = 2:1, DE:EF — 3:4;
GK, : KN — 3 : 2. Груз Р весом 21 кн помещен посередине плат-
платформы ML. Определить давления колес на грунт.
Ответ: iVj = 3,5 кн; Л^2 = 7 кн;
N3 = 6 кн; Л\=1,8 кн; N$ = 2,7 кн.
Рис. 81
Рис. 82
Задача 92 (рис. 81). Для того чтобы выдернуть из земли
сваю М, сделана система рычагов. На каком расстоянии от А
47

следует поместить опору О, если к концу В прикладывается вер-
вертикальная сила 0,6 км, сопротивление выдергиванию сваи равно
10 кн, АВ = \ м, C0j = 2 м, DO1 = 0,2 ж? Весом рычагов пре-
пренебречь.
Ответ: АО^ 1,5 м.
Задача 93 (рис. 82). Система состоит из п горизонтальных
стержней одинаковой длины весом Р каждый, укрепленных при
помощи тросов.
При этом
АпВп
4 *
Показать, что натяжение троса АХК при я->-оо имеет преде-
пределом величину -д-Р.
§ 2. Плоская система как угодно расположенных сил
Задача 94. Дана стрела АВ, вес Р которой равен 1,8 кн и
приложен к точке С, причем ВС = -^ АВ (рис. 83, а). Опреде-
Определить натяжение троса AD, прикрепленного к концу А стрелы,
и давление стрелы на шарнир В, если углы а = C = 30°, а вес
подвешенного груза Q = 20 кн.
а)
Рис. 83
Решение. Рассмотрим равновесие стрелы АВ. На стрелу дей-
действуют силы Р и Q. Связями, наложенными на стрелу, являются
шарнир В и трос^ AD. Реакция троса Т направлена по AD, ре-
реакция шарнира RB неизвестна ни по величине, ни по направле-
направлению (рис. 83, б).
Разложим реакцию RB на две взаимно перпендикулярные со-
составляющие — горизонтальную Ха и вертикальную YB. Направ-
Направления этих составляющих примем совпадающими с направлени-
направлениями осей Вх и By. Таким образом, стрела находится в равнове-
равновесии под действием плоской системы пяти сил Q, Р, Т, XBt Yв,
48

для которой имеют место три уравнения равновесия. Неизвестных
в задаче три: Т, Хв, Y в, т. е. задача статически определима.
Составим уравнения в форме B.1). За центр моментов возь-
возьмем точку В, так как в ней пересекаются две неизвестные силы:
Хв и ¥в. Получим
(с)
(d)
O. (e)
Из рисунка имеем
ВС = ~АВcosт, BA' = ABcosy, BK =
где 7 = а-И = 60о.
Подставляя эти выражения в (е) и сокращая на АВ, получим
р
— -g- cos 7 — Q cos 7 -f- T sin p = 0,
откуда
Из уравнения (с) находим
T = ?2\ P+ ^1A = 20,6 кн.
3 sin p ' sin p ^
B =17,8 км.
Уравнение (d) дает
YBz=pJrQJrT stna = 32,l кн.
Примечание. Если бы какая-либо из величин Xfi, Yв оказалась
отрицательной, то это означало бы, что соответствующая сила Х„ или
У в действительности направлена не так, как показано на рисунке, а в про-
противоположную сторону.
Зная Хв и Ув, находим величину реакция RB:
Ь = 36,7 кн.
Эта реакция образует с осью Вх угол <р, косинус которого
найдем по формуле
4
откуда ф=:60о55'.
Давление стрелы на шарнир В равно RB, направлено в сто-
сторону, противоположную RB, и приложено не к стреле В А, а к
шарниру.
Задача 95 (рис. 84). На коленчатый рычаг действуют силы:
Pi =100 н, P<j = 150 н, Р3 = 200 н. Определить силу Р, необ-
49

ходимую для уравновешивания рычага, и величину реакции шар-
шарнира А. Весом рычага пренебречь.
Ответ: Р=110 н; RA = 266 н.
Задача 96 (рис. 85). Балка АВ закреплена горизонтально при
помощи шарнира А и стержня DF, соединенного с ней шарнирно.
го
Рас. 84
Рис. 85
На балку действует сила Р под углом а к вертикали и пара сил
с моментом т. Пренебрегая весом балки и стержня, определить
усилие Т в стержне DF. Размеры указаны на рисунке.
_ ^ Pa cos a — m
Ответ: I = т .
Задача 97 (рис. 86). Ломаный рычаг АОВ имеет на конце В
противовес весом 100 н. К середине плеча ОВ шарнирно присо-
присоединен шток CD, конец которого D закреплен. Определить уси-
Рис. 86
Рас. 87
лие в штоке, если к концу А рычага перпендикулярно прило-
приложена сила P = 4tH н. Принять а = 30°, 7 = 60°, АО = ОВ. Весом
рычага и штока пренебречь.
Ответ: S = 724 н.
Задача 98 (рис. 87). Стрела AD весом 3 кн укреплена шар-
шарнирно в точке А и поддерживается под углом а = 30° к гори-
горизонту тросом ВС, причем АВ =AC — 0,6AD. Определить пре-
предельный вес Р груза М, подвешенного к концу стрелы, если
трос выдерживает усилие 27,5 кн.
Ответ; Р— 15 кн.
50

Задача 99 (рис. 88). Клапан двигателя работает от кулачка
при помощи рычага АОВ. Определить давление Q кулачка на
ролик, если известно, что на клапан действует общее усилие
F = 400 н. Весом рычага пренебречь.
Ответ: Q — 277 н.
Задача 100 (рис. 89). При испытаниях модель самолета за-
закрепили так, чтобы она могла свободно вращаться вокруг гори-
горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести О. Благодаря
отклонению управляемого крыла К на угол C горизонтальный
Рис. 88
Рис. 89
поток воздуха вызывает поворот самолета в вертикальной пло-
плоскости на угол а (возникающие при этом колебания гасятся спе-
специальным устройством). Повороту модели препятствуют две оди-
одинаковые пружины жесткостью с каждая (см. задачу 45), прикре-
прикрепленные на расстоянии b от центра тяжести и находившиеся
в естественном ненапряженном состоянии при горизонтальном
положении модели.
Пренебрегая отклонением пружин от вертикали и считая, что рав-
равнодействующая сил, обусловленных потоком, проходит через центр
тяжести, определить силу подъема F, направленную перпендику-
перпендикулярно к крылу и приложенную на расстоянии а от центра тяжести.
^ n b'2c sin 2a
Ответ: г = j- .
a cosfi
Задача 101. Определить уси-
усилие Т в стержне АВ и реакцию
шарнира С в шарнирной стерж-
стержневой конструкции, изображенной
на рис. 90, если Pt = 500 н,
Р 2= Ю00 н, а = р = 45°. Весом
стержней пренебречь.
Ответ: Г =1500 «;
Хс=1500 н; Ус = 500 н.
Задача 102 (рис. 91). Определить усилие Т в стержне АВ и
реакцию шарнира С для шарнирной стержневой системы, если
D 1 г- Ь \
*1 = 1 кн, Ро = 0,5 кн, Р3 = 0,5 кн, а = ^
Рис. 90
Ответ: Г =1,25 кн; Хс = —1
кн;
а 4 '
'с = 2,25 кн.
51

Задача ЮЗ (рис. 92). Руль судна состоит из баллера ABD и
пера Я руля. Определить реакции - опорного А и упорного В
подшипников в среднем положении руля, считая, что его вес ра-
равен 6 кн и приложен в точке С
на расстоянии s = 40 см от оси
баллера, AB=*=\20 см.
О Х
Ответ
Хв =
р,
g
л
■ *д~
о-
Рис
2 кн
Ув
У
if
91
= 6 кн.
, 1
1
л*
Задача 104 (рис. 93). На балку АВ, имеющую неподвижный
шарнир А и горизонтальную подвижную опору В, в точке С
действует сила F, равная по величине 1,5 кн и образующая
с вертикалью угол а = 60°. Определить опорные реакции, вызы-
Рис. 93
Рис. 94
ваемые этой силой, если ВС = 2АС, а угол, образованный балкой
с горизонтом, р = 30°.
Ответ: NB = 0,5 кн; ХА = —1,3 кн; ^ = 0,25 кн.
Задача 105 (рис. 94). К треугольному ключу с сечением в виде
прямоугольного треугольника с катетами АВ = а и ВС =-& при-
приложена пара сил с моментом М. Определить давления, произво-
производимые вершинами А, В, С на грани гнезда замка. Трением пре-
пренебречь. Зазор между ключом и гнездом считать малым.
Ответ: п/, jvV
А
Задача 106 (рис. 95). К концу Е стержня BE, укрепленного
в точке В при помощи шарнира, подвешен груз весом G. В точ-
точках С и D к стержню прикреплена гибкая нить, проходящая
52

через идеальный блок А. Считая BC = DE = CD и AC — AD,
определить реакции нити и шарнира. Весом стержня и трением
пренебречь. Углы аир известны.
,. гг, О cos 3
Ответ: 1 =—;—-;
Sin а '
Уд = — Gcos2p.
Задача 107 (рис. 96). Вершина С прямо-
прямоугольной пластины, расположенной в верти-
вертикальной плоскости, закреплена шарнирно,
а к вершинам D и В приложены соответ-
соответственно горизонтальная сила Р\—101^3 н
и вертикальная сила Р3=120 н. Пластина
удерживается в равновесии вертикальным
тросом АЕ в положении, при котором ее диагональ BE горизон-
горизонтальна. Пренебрегая весом пластины, определить натяжение
троса и реакцию шарнира, если /_BED = 60°.
Ответ: 7 = 20 н; Хс=17,3 «;-Гс=140 н.
Задача 108 (рис. 97). Однородный стержень ОА весом Р, за-
закрепленный шарнирно в точке О, удерживается в положении
Рис. 95
Рис. 96
Рис. 97
равновесия при помощи троса, перекинутого через гладкий
блок В и несущего груз Q. Определить угол |3, составленный
стержнем с горизонтом, и реакцию шарнира О, если Р = 200 н,
Q=100 н, а угол а, образованный частью нити ВА с балкой,
равен 60°.
Ответ: р = 30°, Хо = — 50Уз = — 86,6 к; Уо=150 к.
Задача 109 (рис. 98). Жесткая рама нагружена на участке CD
равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 5 кн/м.
Определить спорные реакции, обусловленные этой нагрузкой,
если а = 45°, а = 2 м, 6 = 0,3 м, /DBA 4b°
Ответ: ХЛ = 4,35 кн,
ГЛ = 5,65 кн,
NB = 6,l5 кн.

Задача НО (рис. 99). Однородная балка АВ весом 3 кн при-
прикреплена к вертикальной стене посредством шарнира А и удер-
удерживается в горизонтальном положении при помощи троса ВС.
На балку действует пара сил с моментом т=1,2 кн-м. Опре-
Определить натяжение троса Т и реакцию
шарнира А, если а = 30°, АВ — 2 м.
Ответ: Т= 1,41/3 = 2,42 кн;
Ал = 0,7]/3= 1,212 кн; УЛ = 0,9 км.
Рис. 98
Задачи 111—122 (рис. 100). Балки нагружены и закреплены
так, как показано на схемах. Определить реакции связей, пре-
пренебрегая весами балок! Числовые данные взять из таблицы.
№ задачи
111
m
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
Схема
a
б
в
г
д
е
ж
3
и
к
л
м
1, м
4
4
4
4
3
3
3
2
3
4
5
4
а, м
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
Ь, м
1
.
1
—
q, кн/ас
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
F, кн
_
—
—
—
—
4
1
4
4
—
2
аг град
30
60
30
45
30
45
60
30
60
45
60
60
т, кн • м
—
2
3
6
1
. .
Ответы:
№ задачи
in
112
из
114
115
не
117
118
119
120
121
122
Хд, кн
2,31
4,76
0,86
3,00
0,33
—3,33
—2,00
—0,29
—1,73
—8,50
—3,08
1,00
YA, .кн
4,00
3,25
2,50
1,00
2,12
4,67
2,64
3,50
3,00
—4,50
—1,33
2,09
RB, кн
4,62
5,50
1,73
4,24
4,24
—
2,82
0,58
2,00
—
—
7,64
Т, кн
.
4,71
—
12,02
6,16
—
54

Задача 123 (рис. 101). Определить опорные реакции для
жесткой рамы, возникающие от действия горизонтальной силы
Р —2 кн и сплошной, распределенной по закону треугольника,
ас)
ж)
У-х
TTTTf 1
О
ю
У\
III IПI В X
т |
?7
f i• //1
*)
Рис. 100
Jrlyfi
F
нагрузки, если наибольшая ее интенсивность q = 0,2 khjm,
b=3,0 м, /=1,5 м.
Ответ: Хд = 4,2 кн, Хв = — 4,2 кн; Уд = —2,3 кн.
Задача 124 (рис. 102). В вибрографе, употребляемом для за-
Пнси вертикальных колебаний, стержень весом Р и длиной
55

О А —I несет на конце А груз весом Q и удерживается в гори-
горизонтальном положении спиральной пружиной. При закручивании
пружины на один радиан возникает упругий момент, равный с.
в Определить, на какой угол за-
с " ——ц кручена пружина.
Рис. 101
Ответ: 9^
Рис. 102
Задача 125 (рис. 103). Однородный куб с ребром а и весом Р
одной гранью опирается на гладкую вертикальную плоскость,
а одним из своих ребер — на гладкую наклонную плоскость,
образующую с вертикальной плоскостью угол а. Найти реакцию
Рис. 103
Рис. 104
Ni наклонной плоскости, равнодействующую Nt реакций верти-
вертикальной плоскости и точку К ее приложения при равновесии
куба.
Ответ: N^ = ; yV2 = Pctga.
Точка К находится на расстоянии ВК = -?-tga.
Равновесие возможно, если O=g
Задача 126 (рис. 104). Однородный куб с ребром а и весом Р
ребром В упирается в гладкую вертикальную плоскость, а гранью
лежит на гладкой наклонной плоскости, образующей с горизон-
горизонтальной плоскостью угол а. Найти реакцию A/t вертикальной

плоскости, равнодействующую Nt реакций наклонной плоскости
и точку К ее приложения при равновесии куба.
Ответ: Nx — P tga; N3 = - P
COS a
Точка К находится на расстоянии
А К = ^y~ cos a • cos D5° — a).
Задача 127. На рис. 105 показана мачта, служащая для кре-
крепления проводов электрической железной дороги. Верхний про-
провод имеет натяжение Р, а нижний
натягивается при помощи груза М
и троса ECDK, перекинутого через
неподвижный блок С и подвижный
блок D. Высота проводов над уров-
уровнем опор равна соответственно а и Ь,
кратчайшее расстояние от опоры В
до свешивающейся части троса СЕ
равно с, расстояние между опорами
2d, вес мачты G, вес груза Q. Опре-
Определить натяжение нижнего троса и
вертикальную составляющую реакции
в опоре А, если мачта симметрична
относительно прямой т — п. Трением
и размерами блоков пренебречь.
Ответ: TDL — 2Q;
Q (с — 26) -\-Gd~Pa
t/"
Рис. 105
Задача 128 (рис. 106). Пластина в виде равнобедренного
треугольника ABD с боковой стороной / и углом а закреплена
в р в вертикальной плоскости
посредством шарнира в вер-
вершине А. На вершину В
действует горизонтальная си-
сила Р. Вес пластины прило-
приложен в точке пересечения
медиан; вес единицы пло-
щади пластины равен q.
Найти максимальный угол а,
при котором не произойдет опрокидывания пластины вокруг
шарнира А.
~ 6Р — l'q
Ответ: amax = arccos
рис
При
аI2
^
равновесие невозможно.
Задача 129 (рис. 107). Ящик с поперечными равмерами 26
и 2с и весом Р втаскивается по наклонной плоскости, составляю-
57

щей с горизонтом угол а, при помощи груза М. Каков должен
быть вес Q этого груза, для того чтобы ящик опрокинулся в тот
момент, когда вершина А будет находиться на одной горизон-
горизонтали с блоком В, находя-
находящимся выше точки С на ве-
величину а? Трением прене-
пренебречь.
Ответ: Q Зг — [6 sin а -+-
-|-ccos а — actga].
Задача 130 (рис. 108).
На колесо с цевками дей-
действует пара сил с моментом т.
К фиксатору АО прикреплена
пружина, упругая сила кото-
которой F = c&, где А —удлине-
—удлинение пружины по сравнению с ее недеформированной длиной,
которая имеет место при a =45° (коэффициент с называется
жесткостью пружины). Определить наименьшее значение жест-
о
Рис. 107
Рис. 108
кости с, при котором колесо остается в равновесии, если a = 90°,
р = 45°. Размеры указаны на рисунке. Трением пренебречь.
Указание. Считать, что колесо А давит только на правую
цевку.
Ответ: cmln = ?ff
(/2 -У 2 —
Задача 131. На однородную балку АВ длиной 2а = 2 м и
весом Р=\ кн, вкопанную концом А в землю под углом a = 60°
к горизонту (рис. 109, а), действует равномерно распределенная
нагрузка интенсивностью д*—0,5 кн/м. Определить реакцию
в заделке при равновесии балки.
Решение. Рассмотрим равновесие балки АВ. На балку дей-
действуют задаваемые силы: вес балки Р и равномерно распределен-
58

ная нагрузка, равнодействующая которой Q = 2ag (рис. 109, б)
приложена в середине балки и направлена перпендикулярно
к ней. В точке А на балку наложена жесткая связь (заделка),
препятствующая этой точке перемещаться в горизонтальном и
вертикальном направлениях и лишающая балку возможности по-
поворачиваться вокруг точки А. Действие такой связи на балку
эквивалентно действию одной силы реакции RA и некоторой пары
сил — реактивной пары.
в)
У
•-z
Рис. 109
Реакцию RA представим в виде двух составляющих сил: X А
и YA, направленных вдоль соответствующих осей координат
в положительном направлении, и учтем, что реактивная пара
сил препятствует повороту балки по ходу часовой стрелки. Момент
этой пары обозначим через тА. Таким образом, балканаходится
в равновесии под действием четырех сил Р, Q, XA, YА и реак-
реактивной пары сил с моментом тА. Эти силы образуют плоскую
систему произвольно расположенных сил, для которой имеют
место три уравнения равновесия. Неизвестных в задаче три: ХА„
YА, тА, т. е. задача статически определима.
Составим уравнения равновесия балки
y = YA — Р~ Qcosa = 0;
2/яА (Fk) = mA — Pa cos a — Qa = 0.
Отсюда находим
ХА — — Qsin a = — 2a<7sina;
YA == P -f- Q cos a = P -f- 2aq cos a;
mA = a(Pcos a-f-2a</).
Знак «минус» у величины ХА указывает на то, что в действи-
действительности составляющая ХА действует в направлении, противо-
противоположном направлению оси Ах.
59'

Подставив соответствующие числовые данные, получим
ХА = — 0,866 кн;
Уд=1,5 кн;
тА= 1,5 кн.
Полная реакция в точке А
причем
COS
Следовательно, вектор /?д соста-
составляет с положительным направле-
гт нием оси Лх угол 120°, а с осью
■£-■ i А у—угол 30°.
Задачи 132—134. Консольные бал-
Рас. ПО ки нагружены так, как показано на
рис. ПО. Определить реакции в точке
А, пренебрегая собственным весом балок. Данные взять из сле-
следующей таблицы:
№ задачи
132
133
134
Схема
а
б
в
1, м
2
2
2
а, м
1
1
q, кн/м
2
2
2
F, кн
4
—
2
т, кн • ас
—
2
а, град
30
Ответы:
М* задачи
132
133
134
Хд, кн
—2,00
0,00
0,00
Уд, кн
7,46
2,00
4,00
/Яд, КН • М,
10,93
3,00
7,00
Задача 135. Две балки АВ и ВС (рис. 111, а) одинаковой
длины 2а соединены между собой шарниром В. Конец А балки АВ
заделан в горизонтальную плоскость, а конец С балки ВС опи-

рается на горизонтальную подвижную опору. Углы, образованные
балками с горизонтом, одинаковы и равны 60°. В середине
балки ВС перпендикулярно к ней действует сила Q. Определить
реакции опор Л и С, а также шарнира В, если вес каждой
балки равен Р.
Решение. Система двух балок АВ и ВС находится в равно-
равновесии, следовательно, и каждая из них также находится в равно-
равновесии.
Рассмотрим равновесие_ балки ВС (рис. 111,6). На нее дей-
действуют задаваемые силы Р и Q. Связями являются шарнир В,
У\
s 8
60Г
Рис. 111
через который передается действие балки АВ на балку ВС, и
подвижная опора С.
Реакция подвижной опоры на балку ВС направлена по нор-
нормали к поверхности опоры. Обозначим ее через N. Реакция шар-
шарнира В не известна ни по величине, ни по направлению. Пред-
Представим ее в виде двух составляющих Хв, Y в, направленных
в сторону положительных направлений выбранных координатных
осей. Таким образом, балка_ ВСнаходится в равновесии под дей-
действием пяти сил Р, Q, N, Хв, Y в, расположенных в одной пло-
плоскости.
Составим уравнения равновесия балки ВС:
(g)
Fky= YB -f N — P — Q cos 60° = 0;
тв
cos 60° — Qa — Pa cos 60° = 0. J
Из этих уравнений можно определить N, Хв, Yв.
Теперь рассмотрим равновесие балки АВ. На нее действует
сила Р. Связями являются шарнир В, передающий действие
балки ВС, и заделка конца А. Реакцию шарнира В на балку АВ
представим в виде двух составляющих Х'в и 7'в, которые согласно
третьему закону Ньютона равны по величине и противоположны
по направлениям соответственно силам Хв, Ув, т. е.
Хв = —X
а; Yb =
61

Действие жесткой связи (заделки) в точке А равносильно
действию силы RA и пары сил (см. задачу 131).
Реакцию RA представим в виде двух составляющих ХА и Y А,
а пару сил будем считать действующей против хода часовой
стрелки. Момент пары обозначим через тА.
Таким образом, балка ЛЯ находится в равновесии под дей-
действием пяти сил Р, Х'в, У'в, ХА, YА и пары сил с моментом тА.
Составим уравнения равновесия балки АВ:
£ tnA (Fk) = mA + X'B2a sin 60° —
— Yb ■ 2a cos 60° — Pa cos 60° = 0.
Решая системы (g), (h) и учитывая, что Хв=Х'в, Ув = '
найдем
ХА =
(h)
у —
'А—
—. Yn — Yn — -
А— 2 ' — — 2 '
тА = а(Р~ 2Q).
Так как реакции шарнира В на балки АВ и ВС направлены
противоположно друг другу, то окончательно получим
ЛВ — — 2 '
г в — — 2 •
Примечание. Вместо того чтобы рассматривать равновесие каждой
балки в отдельности, можно было бы составить уравнения равновесия лишь
для одной из балок и для всей системы в целом, рассматривая ее как еди-
единое твердое тело. При составлении .последней системы уравнений необхо-
необходимо иметь в виду, что силы Хв, Х'в, YB, YB образуют уравновешенную
систему внутренних сил и, следовательно, не войдут ни в одно из уравне-
уравнений равновесия.
Задача 136 " (рис. 112). Балка АВ укреплена шарнирно
в точке А и удерживается в горизонтальном положении при по-
помощи 'тросов DE, EK, EF. Определить натяжение троса DE,
если на балку действуют сила Р и пара сил с моментом т. Ве-
Весом балки пренебречь. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: TDE = ^±^.
Задача 137 (рис. 113). Балка АВ укреплена шарнирно
в точке А и удерживается в горизонтальном положении тро-
62

сами КЕ, EF, ED. На балку действуют сила Я и две пары сил
с моментами тх и т$. Определить натяжение троса DE, прене-
пренебрегая весом балки. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: TDE = ^ '+ '.
Рис. ИЗ
сх/
Задача 138 (рис. 114). На звено О А шарнирного четырех-
звенного механизма действует пара сил с моментом mt. Опреде-
Определить момент т.2 пары сил, которую надо приложить к звену
0,В, для того чтобы механизм находился в равновесии при
а = 90°, ^ = 30°, если ОА = а,
OtB=^b. Весом звеньев и трением S, A_ S3 Sk В
пренебречь. "*"
Решение. Механизм находится в
равновесии, следовательно, и каж-
каждое звено находится в равновесии.
Рассмотрим равновесие звена А В
(рис. И 4). На него действуют две
силы Si и 52, передаваемые шарни-
шарнирами А и В от звеньев ОА и OtB.
Так как звено АВ невесомо, то ^®
52== — 5t и обе эти силы направле- Рис. 114
ны вдоль АВ.
Рассмотрим равновесие звеньев О А и О^В. На звено О А дей-
действуют сила 53 = — Sl = Si со стороны стержня АВ, реакция
шарнира О ипарасил с моментом mi. На звено ОХВ действуют
сила Si = —52 = 5t со стороны стержня АВ, реакция шар-
шарнира Oi и пара сил с моментом т2.
Поскольку реакции шарниров О и О1 нас не интересуют, то
усилия Si и 52 найдем из уравнений моментов относительно
центров О и Оь составленных согласно условиям равновесия
звеньев О А и OiB.
Имеем:
для звена О A: £mo(Fk) = —
для звена OiB: ^mot (Fk) = rn2 — S2-
r О А =0;
63

Так как S1 =
находим
О А'
• sin
ИЛИ
• sin
ОА
Ответ: пц — =-~тх.
Задача 139 (рис. 115). К звену АВ шарнирного четырех-
звенника под прямым углом в точке А приложена сила F. Опре-
Определить величину силы Q, кото-
которую надо приложить перпенди-
перпендикулярно к звену CD в точке D
для того, чтобы система находи-
находилась в равновесии при данных
значениях углов inp. Трением и
Т
Рис. 116
весом звеньев пренебречь. Принять: ОА=а; OB = b; OiC=c;
O1D = d.
Ответ: Q —
ас sm
F.
' bd sin a
Задача 140 (рис. 116). В реечном подающем храповом меха-
механизме одностороннего действия длины плеч рычага подобраны
так, что EC = ADC. Какой величины силу Р следует приложить
перпендикулярно к рычагу СЕ в точке Е, чтобы сдвинутьс места
рейку, на которую действует горизонтальная сила Q, если
Z.FDC — <p, £.ВСЕ = ф Опоры А я В гладкие, весом деталей
механизма можно пренебречь.
sin tp
Ответ: Р"
-Q.
4 cos (<р —
Задача 141 (рис. 117). В кривошипно-кулисном механизме на
кулису с горизонтальными направляющими С и D действует го-
горизонтальная сила Р. Определить в зависимости от угла пово-
поворота кривошипа а. момент М пары сил, которую надо к нему
приложить, чтобы механизм находился в равновесии, если длина
64

кривошипа ОА=г, ^АВС = §. Весом частей механизма и тре-
трением пренебречь.
,-. ,, Pr COS (8—-а)
Ответ: М = ——^ -.
sm S
Задача 142 (рис. 118). На штангу АВ шатунно-балансирного
механизма действует сила F. Определить момент т пары сил,
м
Рис. 117
которую следует приложить к балансиру ОЕ для того, чтобы
уравновесить механизм в том его положении, когда /_ОЕА = §,
/_ЕАВ = ч, если длина балансира ЕО равна а. Весом звеньев и
трением пренебречь.
,-, a sin в „
Ответ: т = —г.
COS Ct
Задача 143 (рис. 119). Определить момент mt пары сил, кото-
которую надо приложить к кривошипу АВ кривошипно-кулисного
механизма для его равновесия в том
положении, когда АВ J_ AC, если к ку-
кулисе CD приложена пара сил с момен-
моментом т, /_АСВ = а, АВ = а. Трением и
т
В F
Рис. 118
Рис. 119
весом частей механизма пренебречь. Каковы при этом величины
реакций шарниров Л и С?
Ответ: /ni = 2
т sin a
а
Задача 144 (рис. 120). Передача вращения коромыслу DE от
Рукоятки ABC осуществляется при помощи двух шарнирных па-
3 Н. А, Бражничеико и до.
65

раллелограммов ABK.L и MNDE со взаимно перпендикулярными
сторонами, причем шарниры М, К, L, N образуют квадрат.
Определить при условии равновесия системы усилия в тягах ME
и ND, если к рукоятке в точке С
приложена сила F, ОС —а, ОА =
= OB = b, LOAL = %. Трением и
весом звеньев пренебречь.
Ответ: 7Tn.v = 5Mp = ;
aF
Иис. 120
Задача 145 (рис. 121). На ше-
шестерни А и В, находящиеся в за-
зацеплении с шестерней С, действуют
пары сил с моментами Ш\ и пъ_. Опре-
Определить момент тл пары, которую надо
приложить к шестерне С, чтобы си-
система находилась в равновесии, если
радиусы шестерен А, В и. С соот-
соответственно равны ru га и /3. Тре-
Трением пренебречь.
Ответ: т^{т^ + т^)г\
rr
Задача 146 (рис. 122). Лебедка состоит из барабана диаметром
d = 50 мм и двух шестерен диаметрами D, = 750 мм и D.2 =
= 150 мм. Длина рукоятки / = 400 мм. Какой груз Q может
поднять лебедка, если на рукоятку дей-
действовать с силой Я =150 я?
Ответ: Q= 12 кн.
Задача 147 (рис. 123). Два одинако-
одинаковых однородных стержня А В и CD дли-
Рис. 121
Рис. 122
ной 120 см и весом 0,6 кн каждый шарнирно прикреплены
к стене и поддерживаются двумя тросами BE и DG оди-
одинаковой длины. Между стержнями и стеной лежит однород-
однородный цилиндрический вал весом 4 кн и радиусом г=--*-9У~3 см.
Определить натяжения тросов, если а = 60°, АВ — АЕ. Трением
пренебречь.
Ответ: ГВ£ = Гоо = 0,9 кн.

Задача 148. На рис. 124 показана схема испытательного
стенда. Динамометр М показывает натяжение троса Т. Опреде-
Определить величину реактивной силы F и реакции опор С и D, считая
все крепления шарнирными. Расстояние между опорами С п D
Рис. 12.3
/ ,)■■■/,, Л,,■ * Т
Рис. 124
равно 26, расстояние между линией действия силы F и прямой А В
равно a; CL = h, АС = Н. Отклонением стоек АС и BD от вер-
вертикали и их весом пренебречь. Вес двигателя и стола N равен Р,
причем его линия действия проходит посередине между стойками.
Т/1 v I.
Ответ: F = -г-.-:
у —
ahT
J. ел)' ti £
Задача 149 (рис. 125). В прессе с приводом от шарнирного
четырехзвенника определить усилие, сжимающее тело М, в поло-
Рис. 125
Рис. 126
женин, когда звено А В горизонтально, звенья ВС и BD обра-
обра60° р 30°
р
зуют с вертикалью углы а = 60°
ОА Е
р
= 30° соответственно,
р у р ,
плечо ОА вертикально, а в точке Е рукоятки рычага перпенди-
67

кулярно к ОЕ приложена сила Р = 500 н. Плечи рычага:
О£ = 100 см, ОА — 10 см.
Ответ: Q = 4,33 кн. 4
Задача 150 (рис. 126). Найти величину усилия Q, сжимаю-
сжимающего тело М в прессе, если к концу В прямоугольного_ ры-
рычага ОАВ, имеющего неподвижную ось О, приложена сила Р под
прямым углом к А В; ОА=АС, в рассматриваемом положении
ось О и точка В лежат на одной горизонтали, а угол а = 30°.
Весом частей пресса пренебречь.
Ответ: Q = V?>P.
Задача 151 (рис. 127). Однородный куб А с ребром а и ве-
весом Q установлен на горизонтальной плоскости, имеющей упор С.
Рис. 127
Рис. 128
Другой куб В с ребром Ъ и весом Р положен на гладкую на-
наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтальной пло-
плоскостью, причем ребро куба В упирается в грань куба А. При-
Принимая плоскость рисунка за вертикальную плоскость материаль-
материальной симметрии кубов, определить, при каком весе куба В
произойдет опрокидывание куба А. Размерами упора С пре-
пренебречь.
2
Ответ: при
sm
О.
Задача 152 (рис. 128). На гладкой горизонтальной плоскости,
касаясь упора С, покоится однородный куб А с ребром 2а и ве-
весом Q, а на гладкой плоскости, наклоненной под углом а к го-
горизонту, находится цилиндр В радиусом R и весом Р, касаясь
грани куба так, что плоскость рисунка является вертикальной
плоскостью материальной симметрии цилиндра и куба. Опреде-
Определить давление цилиндра на куб и на наклонную плоскость,
а также наименьший вес куба, при котором он не опрокиды-
опрокидывается вокруг точки С. Размерами упора С пренебречь.
Ответ: ND =
Qmin =
COS a ' "ля
R tg о ctg D5" — -
a
p.
68

Задача 153 (рис. 129). На двух гладких наклонных плоско-
плоскостях, образующих с горизонтом углы аир, покоятся два одно-
однородных куба А и В весом Р и Q, причем ребро куба А упи-
упирается в грань куба В. Приняв плоскость рисунка за вертикаль-
вертикальную плоскость материальной сим-
симметрии, найти зависимость между
величинами Р и Q при равнове-
равновесии, а также равнодействующие
реакций плоскостей и давления
кубов друг на друга.
^ п sin S cos (a -i- 8) _
Ответ: Р — ^ . ~VI Q;
N = sin 2?
A 2 sin a
Q.
Рис. 129
Задача 154 (рис. 130). Двуплечий угловой рычаг ABC соеди-
соединен с рычагом OYD тросом, огибающим идеальный блок К. Опре-
Определить силу Q, которую следует приложить в точке А параллельно
OiD для равновесия рычагов, если в точке D подвешен груз М
Q А
\М
С х
Рис. 130
Рис. 131
весом P; OK±OtD, ОС ±CK, OB ± BK, O,/C = a, OyD = b,
OK — c, OA = d, 2.0KB = a., /_OKC — §. Весом рычагов, трением
и размерами блока К. пренебречь.
сЬ\^~а
Ответ: О = Р
2
ad
Задача 155 (рис. 131). Две однородные балки АВ и ВС со-
соединены шарнирно между собой в точке В, составляя " одну пря-
прямую, перпендикулярную стене АН. Балка АВ прикреплена к стене
шарниром А. Система находится в равновесии благодаря двум
оттяжкам ED и ЕС, составляющим с балками углы аир. При-

нпмая AD = DB~i? ВС, а вес каждой балки равным Р, опре-
определить реакции шарниров и ^усилия в оттяжках.
Ответ: Тг = -у-г-^; Тп = —.—;
u i Sin i u Sin a
Задачи 156 —169. Определить реакции опор А и В и
промежуточного шарнира С для балок, изображенных на
рис. 132. Весами балок пренебречь. Числовые данные взять
из таблицы.
«Ne задачи
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
Схема
а
б
в
С
()
е
ж
3
и
к
л
м
н
О
1. м
2
2
2
1
6
2
6
6
6
4
6
6
6
6
о, и
1
2
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
9
2
й, «
—
—
2
1
—
2
2
2
[
с, к
—
—
—.
—
2
q, кн/ и
0,5
1
1
2
0,5
0,5
1
1
1
тп, кн • и
—
2
4
2
3
2
—
—
—
к, град
—
—
30
45
30
30
30
45
60
45
45
30
F, кн
3
2
2
2
_
—
.
—
—
Ответы:
К задачи
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
ХА, кн
0,00
0,00
0,00
0,58
0,50
—0,58
3,46
0.29
1,50
0,00
■ 1,73
1,00
- 1,00
—0,87
YА' ''«
—3,00
0,37
1,00
1,00
3,50
1,00
6,00
—1,50
—5,50
0,7.5
0,50
—5,00
—3,00
-4,00
ТПД ,КН-М
—3,00
0,75
0,50
2,00
5,00
6,00
22,00
—
—
4,50
—
—
—
—
Хс, кн
0,00
0,00
0,00
±Л58
±0,50
+0,58
±3,47
-t-0,29
-i-l,50
0,00
+ 1,73
+ 1,00
+ 1.00
+0,87
Yc. кн
н 3,00
• 0,37
0,00
+ 1,00
+ 1,50
-*• 1,00
+6,00
+0,50
+ 1,50
+0,75
+ 1,00
+ 1,00
+1,00
•- 0,50
Rg, ЛЯ
6.00
1,12
4,00
1,15
0,71
—1,16
6,93
2,00
7,00
—0,75
1,50
12,00
4,00
10,50
R[), кн
—
—
—
0,58
2,12
—
2,00
1,41
—
—.
Г, кн
-
—
—.
—
1,41
1,00
70

/П
■а
««—
в
ж.
F
D
X
D
X
\B D
A'i
■*- a
d)
-*4
x
41
' ТТТТТТ
* —Q
тттттп
б1
F
f
В о
JCJ
1:
m
I
[-•—
cC
Рис. 132

Задача 170 (рис. 133). Однородная горизонтальная балка АВ
весом Р прикреплена одним концом к стене шарниром А и опи-
опирается на опору С. К другому ее концу В шарнирно прикрепле-
прикреплена однородная балка BD весом Q, опирающаяся на выступ Е
и образующая с вертикалью угол а. Определить реакции шар-
шарнира А и опор С и Е, если
D л„ 2 Лг> ££__2_В£)
3
Ответ: Ne—~tQ
X Q
2а;
П y.= Up-
Задача 171 (рис. 134). Однородная балка АВ длиной / и ве-
весом Р жестко заделана в стену, образуя с ней угол а. На балке
лежит однородный диск весом Q, касающийся стены в точке С и
балки в точке D. Определить давления Nc и ND диска на стену
2
и балку, а также реакцию заделки, если BD = -^l.
Ответ: /Vc =
= —Qctga;
2^-[-ЗЯ sin2 a
6 sin а
I.
где mA — момент заделки.
Задача 172 (рис. 135). Однородная горизонтальная балка АВ
весом 3 кн опирается на гладкую опору Е и имеет шарнирное
Рис. 134
Рис. 135
крепление в точке А, а однородная балка CD весом 6 кн с шар-
шарнирным креплением в точке С опирается на балку АВ в точке
В и несет на конце D груз М весом 1,2 кн. Определить реакции
72

шарниров Л и С и опоры Е, если СВ = 3 м, BD = \ м, BE —
= Х£л, LACB = 45°:
Ответ: Хд = 2,80 кн; YA — — 0,65 кн; Хс = —2,80 кн;
Кс^4,40 кн; JV£ = 6,45 кн.
Задача 173 (рис. 136). Две однородные балки АС и СК сое-
соединены шарнирно. Определить усилие в стержне AD, реакции
опоры В и шарниров С и К, если ^
веса балок АС и С/С соответственно
равны 500 н и 100 н; ЛС = 4 л,
ЯС=1 л.
Ответ: 7ДО = 0; Л/в=1 кн;
FA-= 0,5 кн.
Задача 174 (рис. 137). Однород-
Однородная балка А В весом 500 н опирается
на две гладкие опоры А и С, а в точке В соединена шарнирно
с балкой BD, вес которой 1 кн. В точке £ на балку АВ дей-
действует сила F=\ кн. Определить
реакции опор Л и С, шарниров
e В и D, если а = 60°, ЛВ = 4 м,
-*- x
Рис. 136
Ответ: YA — — 411 н;
ХБ = ±500 «; Хо = — 500 н,
Fc = 44,7 н; КБ = 0; Го=1 кн.
Задача 175 (рис. 138). Однород-
Рис. 137 ная горизонтальная балка АВ ве-
весом 1 кн опирается на гладкую
опору С и поддерживает однородную балку DE весом 2 кн. На бал-
балку DE в точке Е действует вертикальная сила Q, равная по вели-
Рис. 138
Рис. 139
чине 0,5 кн. Определить реакции шарниров D и В, опоры С и
Давление в точке А, если AD = -\-DE, АВ^Зм, ВС=1м, а =30°.
73

Ответ: Хо= 1,501/3 =2,60 кн; Yd=Ikh; Хв = —0,151/ =
= — 0,26 кн; YB — ~ 3,50 кн, NA = 3 кн; Nc — 6 кн.
Задача 176 (рис 139). Решить задачу 175 при условии, что
сила Q направлена горизонтально.
Ответ: NA = 3,73 кн; Nс = 7,10 кн; Хд = —3,23 кн;
Уй=-4,23 кн; ХО = 2,73 кн; Yо = 0,134 кн.
Задача 177 (рис. 140). Однородная балка ВС весом 3 кн опи-
опирается в точке D на гладкую опору и соединена шарнирно с од-
однородной балкой Л В весом 1,5 кн, на которую действует посред-
посредством нити, перекинутой через
__£j| идеальный блок, груз F весом
r 0,9 кн. Определить реакции шар-
шарниров В и С, опор А и D, если
а = 60°, ,АЕ = ВЕ, ВС—А м.
Ответ: iVA=l,53 кн;
WD=1,96 кн; Хв=±0,9 кн;
Рис 140 Уй = ±30 н; Хс = — 0,9 кн;
Yc = 1,01 кн.
Задача 178 (рис. 141). Три однородные балки соединены
между собой шарнирами, причем горизонтальная балка АВ весом
500 н опирается точкой К на глад-
гладкую опору. Балка CD в ее середине
нагружена горизонтальной силой Q,
равной по величине 200 н. Каждая из
балок ВС и CD весит по 300 н. Опре-
Определить .реакции всех шарниров и опо-
опоры К, если АВ = 4 м, КВ=1 м.
ТП
Рас. 141
Рис. 142
Ответ: ХА = — 200 н; Y 4 =■ 50 н; Хв == ± 200 н; Ffl = ± 350 я;
I— оПП «j- V "— ~Л- ^\С\ и- У П* V Ос^Л */
(- ' ^(-/*-/ it , х /" _i_ «J*-/ Гь, У\. rj L/, 7 f~j йОи H.
Мк = 800 н.
Задача 179 (рис. 142). Горизонтальная балка АВ весом Р заде-
заделана концом А в стену, а шарниром В соединена с вертикальной
балкой ЙС того же веса, опирающейся на подвижную вертикальную
опору своим концом С. Определить реакции в точках^Л, В, С,
если на балку ВС действует пара сил с моментом т, а АВ — ВС = а
Ответ: ХА~ - - ; УД = 2Р; тд= 2 аР; Хл = + --;
74

Задача 180 (рис. 143). Две однородные балки — АВ весом
Р и СВ весом Q — соединены между собой шарнирно. Балка АВ
горизонтальна и концом А заделана. Балка СВ составляет с
TF77T7}
Рис. 143
Рис. 144
балкой АВ угол а и концом С посредством катка свободно опи-
опирается на стену. Определить реакции опор, если АВ = 2а.
Ответ: ХА = - J- ctg a; YA = Р + Q; тА = (Р + 2Q) а;
Xc =-§-ctg or.
XB==r_|-ctga; yB=iL
Задача 181 (рис. 144). Две однородные горизонтальные балки
АВ и CD соединены с вертикальной балкой ВС при помощи шар-
шарниров. Конец А балки АВ заделан в стену, а конец D балки CD
закреплен шарниром. Определить реакции шарниров и заделки,
если вес каждой балки равен Р, а длина 2а.
5Р 4 У
Ответ: X, = 0; у.=—^-; т, = 4аР;
•-а;
Рис. 145
Y =-ь —• X —0- Y — -
Задача 182 (рис. 145). Две однородные
балки — А В весом Р и ВС весом Q — шар-
нирно соединены между собой и закреп-
закреплены на концах при помощи шарниров
так, что балка АВ горизонтальна, а ВС
вертикальна. На шарнир В действует сила F под углом з = 30°
к вертикали. Определить реакции шарниров А, В и С, считая,
что сила F в одном случае приложена непосредственно к балке
АВ, в другом — к балке ВС.
Ответ: в обоих случаях:
F
"
— Р • X —П- V — OJ- Р
— ~2~» с— ' с — ^ ' 2
75

в первом случае:
во втором случае:
у
F Р
"» *в — -у-
Задача 183. Труба АВ длиной / опирается концом А на гори-
горизонтальную плоскость, а точкой С — на гладкую вертикальную
опору высотой а — -^ (рис. 146, а). Найти наименьшую величину
коэффициента трения между трубой и плоскостью, при котором
возможно равновесие, если угол наклона трубы
к горизонту а = 60°.
Решение. Рассмотрим равновесие трубы. На
трубу действует задаваемая сила — вес Р. Свя-
Связями являются опоры в точках А и С (рис.
146, б). Реакция Rc в точке С направлена,
перпендикулярно к АВ. Реакция в точке А
имеет две составляющие: нормальную N А и ка-
касательную — силу трения F. Выбрав координат-
координатные оси, как показано на рисунке, имеем сле-
следующие уравнения равновесия трубы:
vfftv = NА — Р + Rc cos а = 0;
£/пд (Fk) = — P ~ cos o.-\-Rc-AC = 0.
Из этих уравнений определим
„ PI COS a PI COS а sin а
2AC
2а
PI cos а sms а
2a
PI cos2 a sin a
Напишем условие равновесия при наличии трения
Следовательно,
отсюда
Pi cos я sin2 a n^Ti I cosg a sin a
I COS a sin2 a
la — I cos2 a sin a '
76

Так как а = -*"> то
j. COS at sin2 a
' *""" 1 — COS2 si Sin a '
Подставляя численные значения, найдем искомый коэффициент
трения
/5=0,48.
Задача 184. Доказать, что балка, прислоненная к вертикаль-
вертикальной стене, не может находиться в равновесии, если между ней
и полом нет трения, а трение между балкой и стеной существует.
Задача 185. Однородная балка опирается одним концом на
гладкий пол, а другим — на негладкую наклонную плоскость,
образующую с горизонтом угол а. Найти, при каком угле а балка
будет находиться в равновесии, если коэффициент трения ее о
наклонную плоскость равен /.
Ответ' a^arctg/.
Задача 186. Решить предыдущую задачу, считая, что пол яв-
является негладким, а стена — гладкой. Угол, образуемый балкой
с полом, равен C.
Ответ:
при tgP^>-K- равновесие будет при любом а.
Задача 187 (рис. 147). На эксцентрик кулачкового механиз-
механизма действует пара сил с моментом т. Определить, какую силу
Рис. 147
Рис. 148
F надо приложить к штоку (в зависимости от угла ш поворота
эксцентрика) для равновесия системы, если коэффициент трения
Между эксцентриком и штоком равен /, радиус эксцентрика г,
®ксцентриситет е. Трением между направляющими и штоком и
77

Бесом частей механизма пренебречь. При каком угле <р сила F
имеет наименьшее значение?
; fmia при ? = arctg/
Ответ: f =
Задача 188 (рис. 148). Двойной клиновой захват для деталей
с отверстиями состоит из трех клиньев А, В и С. Каким должен
быть угол я скоса клиньев, чтобы можно было поднимать детали,
коэффициент трения которых о клинья А и В равен /? Трением
клина С о клинья А я В пренебречь.
Ответ: assSarctg/.
Задача 189 (рис. 149). Определить суммарное усилие в рас-
распорках захвата, несущего максимально возможный груз Р, если
распорки параллельны между со-
собой, а детали АВ и CD верти-
вертикальны. Коэффициенты трения
по плоскостям соприкосновения
АВ и CD равны /. Весами де-
деталей захвата пренебречь.
0
Рис. 149
Рис. VJ)
Ответ: суммарное сжимающее усилие во всех распорках равно
руТ+JF
if ■
Задача 190 (рис. 150). Ящик М весом Р удерживается сила-
силами трения с помощью клещевого захвата. Определить давления,
производимые концами D и Е захвата на ящик, если ширина
ящика DE~2a; АВ = ВС = 2а; Н = 4а; /. ОАВ= .£ ОСВ = 90°,
/_ АОС= 120°.
Каким должен быть наименьший коэффициент трения? Весом
деталей захвата пренебречь.
Ответ: ND — NE — -gP; fmm = 0,8.
Задача 191 (рис. 151) Ящик М весом Р удерживается сила-
силами трения с помощью клещевого захвата. Определить давления
78

О
на ящик в точках Е и F, а также сжимающее усилие в соеди-
соединительном стержне CD, если расстояние между осями CD равно
2а, ширина ящика EF = 2c; CA =
h, z. О А С — £_ OBD= Ш;
' — 60°. Высота захвата ящика
над уровнем соединительного стержня
равна Ь. Весом деталей захвата и кри-
кривизной участков АС и BD пренебречь.
Ответ: NP=NF = ~—
Рис. 151
6b
с /3(&-|-2й) —3(а—с) о
6ft
Задача 192 (рис. 152). Клиновой
захват состоит из двух клиньев А и В,
распираемых цилиндром С. Каким дол-
должен быть коэффициент трения клиньев
о поднимаемую деталь, чтобы при
заданном угле <х = 5° скоса клиньев можно было ее поднять? Ве-
Весом клиньев, цилиндра, трением скольжения и качения цилиндра
пренебречь.
Ответ: / ^ tg a = 0,0875.
Задача 193 (рис. 153). Два однородных кубических ящика А
и В весом Р и Q установлены один на горизонтальной шерохова-
шероховатой плоскости с углом трения ?,
другой — на гладкой плоскости,
наклоненной к горизонту под
у,
1
V,
V.
l
Ш
С К/\>
У
1
к
■у,
1
Рис Li2
О
Рис 153
углом а. Ящик В ребром касается грани ящика А, причем пло-
плоскость рисунка является вертикальной плоскостью материальной
симметрии. Определить зависимость между весами ящиков при
равновесии. Где находится точка К приложения равнодействую-
равнодействующей нормальных сил реакций горизонтальной плоскости, если
ребра ящиков равны а и b соответственно?
^ ^ , г. i s^is Ч I Ob Sin a
Ответ: Q tg a ^ P tg <р; ОК = т + р-^рт •
Задача 194 (рис. 154). На барабан ворота намотан трос, к
Концу которого подвешен груз весом 4,5 кн. Определить наимень-
наименьшую величину силы Р, приложенную к рукоятке колодочного
79

тормоза при равновесии барабана, если коэффициент трения
скольжения равен 0,5. Размеры указаны на рисунке. Весом ру-
рукоятки пренебречь.
Ответ: Р= 150 н.
Задача 195 (рис. 155). Какие равные по величине силы F\ и
Ft следует приложить к рычагам колодочного тормоза, чтобы
удержать в равновесии вал, к которому приложен вращающий
Рис. 154
Рас. 155
Рис. 156
момент т=160 н-м, если коэффициент трения равен 0,2? Раз-
Размеры указаны на рисунке.
Ответ: F^800 н.
Задача 196 (рис. 156). Какой силой F надо прижать фрик-
фрикционный шкив А к шкиву В, чтобы шкив В находился в равно-
равновесии, если вес груза Р равен 500 н, коэффициент трения равен
0,5 и £ =2?
Ответ: F^500 н.
Задача 197 (рис. 157). На цилиндрические катки, образующие
фрикционную передачу, действуют равные по величине прижи-
прижимающие силы Q% и Qn. Определить
величину этих сил в условиях ^^К
равновесия, если на ведущий ка- ^^^ \д С
м.
Рис. 157
Рис. 158
ток / действует пара сил с моментом Мь коэффициент трения
между катками равен /, радиус катка / равен Ri.
Ответ: 4^

Задача 198 (рис. 158). Колесо тормозится двухколодочным
тормозом с уравнительным механизмом нажатия колодок. Опре-
Определить тормозной момент, если на конец рычага OiB действует
перпендикулярно к нему сила Р, равная по величине 200 н.
Коэффициент трения колодок о барабан f = 0,5; 2-R = O,Os =
— KD=DC = OtA =KL = ОгЬ = 50 см; Ofi = 75 см; AC = Oj5 =
= O2/( = 100 cm; ED = 25 см. Весом деталей тормоза и размера-
размерами колодок пренебречь.
Ответ: 7WT = 300 н-м.
Задача 199 (рис. 159). В двухколодочном тормозе определить
при указанном направлении вращения барабана тормозной мо-
момент, приложенный к барабану, если
на рычаг CD действует пара сил с мо-
моментом /п = 200 н-м. Коэффициент тре-
Рис. 160
ния колодок о барабан / = 0,5; ОА = ОВ —30 см; AC — AD =
= 10 см, радиус барабана R—15 см, /_ ВАС = 60°; Z.ADE =
= /1ЛС/г = 90о. Весом деталей тормозного устройства и разме-
размерами колодок пренебречь.
Ответ: МТ = 173,3 н-м.
Задача 200 (рис. 160). В тормозе с внутренними колодками,
прижимаемыми к ободу барабана посредством рычага О А, опре-
определить при указанном направлении вращения барабана тормозной
момент, если длина рукоятки ОА=а, стержни BD и СЕ парал-
параллельны и образуют с рукояткой О А углы 30°, OK — OF~OL =
= OM = r, OB = OC = b, коэффициент трения колодок о барабан/.
Сила, действующая на рычаг, равна Р. Весом деталей и разме-
размерами колодок пренебречь.
Указание. Считать усилия в оттяжках BD и СЕ по величине
одинаковыми.
Ответ: МТ =
Задача 201 (рис. 161). В тормозе с внутренними колодками
определить при указанном направлении вращения барабана тор-
тормозной момент, если на рычаг АОВ действует сила Р = 450 н,
81

коэффициент трения колодок о барабан / = 0,5, сила пружины,
отжимающая рычаги OJD и О,,Е при торможении, равна 100 к,
0/5 = 50 см, ОВ = 25 см, О,Л/ =
z= OiK==OiOi=40 см, OzM=20cm,
плечи h = 60 см, [3 = 90°, f=a =
= 60°. Весом деталей и размера-
размерами колодок пренебречь.
Ответ: МТ =1,413 кн-м.
Задача 202 (рис. 162). В тор-
тормозе с внутренними колодками
К и L, прижимаемыми к ободу
барабана посредством рычагов
АОВ, OiD, О,£ и конуса С,
длины плеч рычагов ОА и ОВ
равны соответственно а и Ь. Угол
при вершине конуса 2а, радиус
барабана г, коэффициент трения
колодок о барабан /. Определить
тормозной момент, если Z АОВ =
= ,/СШС = 90°, а в точке А перпендикулярно О А действует
сила Р. Весом рычагов и размерами конуса пренебречь.
Ответ: мТ = Щ{^Р.
Задача 203 (рис. 163). Для торможения вращающегося бара-
барабана применяется тормоз с внутренними колодками. При указан-
указанном направлении вращения барабана определить силы трения ко-
Рис 161
Рис. 163
лодок о барабан, если к концу рычага ACD приложена сила
Р = 320 н; сила пружины, отжимающая рычаги ОА и ОВ с ко-
колодками М и N, при торможении равна 100 н. Коэффициент тре-
трения колодок о барабан/ = 0,5; АС = ВС = а, CD = 2a, 0/C = 4o,
0lN^=00l = 0lM = 2,5а; /_ ВАС= /_ ЛВС = 30°, Z ACD -= 120е.
Размерами колодок и весом деталей механизма пренебречь.
Ответ: /7м = 320 н;
FA = 768 к.
Ь2

Задача 204 (рис. 164). Тормозной предохранитель для подъемни-
подъемников работает от пружины L. Канат, на котором подвешена гру-
грузовая клеть, прикрепляется в точке С. В случае обрыва каната
или поломки лебедки подъемни-
подъемника пружина, разжимаясь, повора-
поворачивает вокруг точек А и В
рычаги Dj£ и D*K, которые при-
прижимают колодки к направляю-
направляющим клети Найти наименьшую
величину упругой силы F пру-
пружины, достаточную для удержа-
удержания клети в равновесии, если вес
ее с грузом равен Р, коэффициент
трения колодок о направляющие
клети равен /, а острый угол
между рычагами и направляющи-
направляющими клети равен a., ADi=D,B =
=4ЕА—4ВК
.-, г- PfCOSa—/Sin а)
Ответ: /ГШ1„ = —у-— ± >
Рис.
Задача 205. На рис. 165 показан клиновой зажим для каната.
Определить предельный угол скоса клина а, необходимый для
защемления каната, если углы трения металла о канат и метал-
металла о металл равны соответственно <pi и ?2- Весом зажима пре-
пренебречь.
Ответ: a = <pi-rcPj-
Задача 206 (рис. 166). Груз М весом Q поднимается при по-
помощи клиньев А и В, имеющих угол скоса а. Определить иаи-
Рш. 165
/////////77/'////////////
Рм 166
меньшую силу Р, которую следует приложить к клину А при
подъеме груза, если угол трения между клиньями равен ср,, а
угол трения между клином А и горизонтальной направляющей
равен <р*. Трением в вертикальных направляющих и весом клиньев
пренебречь Принять o^>ft.
г\ п О COS B о. if.,)
Ответ: Р~~~ ■-— Ь'
sm A — <f j

Задача 207 (рис. 167). Цилиндр радиусом R перемещается по
горизонтальной плоскости под действием некоторой силы Q, при-
приложенной в конце его вертикального диаметра. Коэффициент тре-
трения качения цилиндра о плоскость равен k. Определить, каков
должен быть коэффициент трения скольжения /, для того чтобы
цилиндр под действием данной силы Q катился без скольжения.
77/V//7//77/////////
Рис. 167
0
В
'//////У/7777/;/ 7/7777/
Рис. 168
Указание. Для того чтобы цилиндр катился без скольжения,
необходимо, чтобы Q<^Frp.
Ответ: />п-
Задача 208 (рис. 168). Определить величину горизонтальной
силы Р, под действием которой тележка весом G движется рав-
равномерно по рельсовому пути, если веса всех колес равны Q, их
радиусы R, а коэффициент тре-
трения качения колес о рельсы ра-
равен k. Принять АО — ОВ.
Ответ: P=klQ+GK
н
Задача 209 (рис. 169). Ка-
Катушка радиусом R и весом Р
находится в равновесии на го-
горизонтальной плоскости. Па
среднюю цилиндрическую часть
катушки радиусом г намота-
намотана нить, переброшенная через
идеальный блок А и несущая
на своем конце груз D весом Q.
Участок нити АВ составляет с вертикалью угол а. Опреде-
Определить момент сил трения качения и реакцию плоскости в точке
касания С.
Ответ: М—Q(£sma. — г) (при М^>0 пара трения качения
стремится вращать катушку против хода часовой стрелки).
Хс =
= Р — Qcos ?.
84

§ 3. Расчет плоских ферм
Рассчитать ферму — значит определить реакции опор и уси-
усилия во всех стержнях фермы. Для того чтобы ферма была стати-
статически определимой, необходимо, чтобы число неизвестных состав-
составляющих опорных реакций не превосходило трех, а число стер-
стержней s и число шарниров (узлов) и были связаны соотношением
s — 2u — 3.
Расчет ферм можно производить графическим и аналитическим
методами. На примере решения нижеследующей задачи демонстри-
демонстрируется наиболее распространенный графический метод Максвел-
Максвелла—Кремоны и аналитический метод Риттера.
Задача 210. Дана ферма, изображенная на рис. 170, а. Опре-
Определить реакции опрр и усилия в стержнях, если Pi—2 кн, Р2 —
= 2 кн, Р3= 1 кн.
Решение.
Графический метод
1. Установим, является ли данная ферма статически опреде-
определимой. Число неизвестных составляющих реакций равно 3 (в
опоре N неизвестна только величина реакции; в опоре М реак-
реакция не известна ни по величине, ни по направлению). Число стерж-
стержней фермы s=ll, число узлов и = 7. Ферма статически опре-
определима.
2. Определим опорные реакции графически, путем построения
силового и веревочного многоугольников. Для этого прежде все-
всего выберем масштаб сил и построим незамкнутый многоугольник
задаваемых сил Рь Р2, Р3, приложенных к ферме (рис. 170, б).
Через точку Bt проводим прямую, параллельную линии действия
силы RN. Соединим вершины этого многоугольника с произвольной
точкой О на плоскости (полюсом) лучами а — 1, / — 2, 2 — 3, 3 — 4.
В данном случае задаваемые силы непараллельны. Поэтому
построение веревочного многоугольника следует начинать с шар-
шарнира неподвижной опоры. Из точки М проводим прямую, парал-
параллельную лучу а — 1, до пересечения с линией действия силы Pt
(точка Ах на рис. 170, а). Из Ах проводим прямую, параллель-
параллельную лучу 1—2, до пересечения с линией действия силы Р3 (точ-
(точка Л2), затем проводим прямую, параллельную лучу 2 — 3, до пере-
пересечения с линией действия силы Р3 (точка А3), наконец, проводим
прямую, параллельную лучу 3 — 4, до пересечения с линией дейст-
действия реакции RN (точка Л4). Полученную точку Л4 соединим
с точкой М прямой 4 — 5, параллельно которой из полюса О
(рис. 170, б) проводим луч 4 — 5 до пересечения с линией дей-
действия силы RN в точке В8. Вектор Ъ4ВЬ в принятом масштабе
равен RN, а замыкающий вектор BiBi=RM. Пользуясь масшта-
масштабом, найдем Р\Л = 4 кн; #^ = 2,25 кн.
85

3. Перейдем к построению диаграммы Максвелла — Кремоны.
Разобьем плоскость, в которой расположена ферма, на обла-
области, ограниченные стержнями и линиями действия сил (рис. 170, е).
а,)
Рис. 170
4. Выберем положительное направление обхода (например, по
движению часовой стрелки) и построим замкнутый многоугольник
внешних сил (на рис. 170, г он изображен жирными линиями).
Начало и конец каждой силы обозначим теми буквами, какими

обозначены две смежные области, разграниченные линией действия
этой силы. При этом последовательность букв от начала к концу силы
должна соответствовать принятому направлению обхода. Напри-
Например, сила Pi будет обозначена KL, сила Нм — OF и т. д.
5. Строим силовые многоугольники для каждого из узлов
фермы, начиная с того узла, где сходятся два стержня, напри-
например с узла OF А. Силовой треугольник для этого узла состоит из
силы RM, изображенной отрезком OF, и реакций стержней АО и
FА. Для нахождения этих реакций проводим через точку О пря-
-.мую, параллельную О А, через F — прямую, параллельную FA.
Точка пересечения этих прямых будет А. Длины отрезков ОА и
FA в масштабе определяют усилия в соответствующих стержнях.
Перейдем к следующему узлу, где сходятся не более двух
стержней с неизвестными усилиями, например к узлу ABLO. Для
нахождения точки В на диаграмме надо провести через точку А
прямую, параллельную АВ, а через L - прямую, параллельную
BL. Точка пересечения этих прямых и будет В. Теперь можно
перейти к узлу AFGCB, затем к узлам CDLB, DCGKE. Предпос-
Предпоследний узел KLE является контрольным. Прямая КЕ на диаг-
диаграмме должна быть параллельна соответствующему стержню.
6. Из диаграммы найдем величины усилий во всех стержнях
фермы Остается определить характер этих усилий. Для этого
следует установить направления реакций стержней на узлы. Если
данный стержень растянут, то реакции его на узлы направлены
от узла по стержню, а при сжатии — в обратную сторону.
Возьмем, например, стержень CD. Если рассматривать узел
CDLB, то, обходя его в принятом направлении, перейдем из обла-
области С в область D. Направление вектора реакции данного стержня
на рассматриваемый узел будет соответствовать направлению пе-
перемещения от 'С к D, т. е. стержень CD сжат. Аналогично оп-
определяется характер усильй в остальных стержнях. Окончатель-
Окончательный результат приведен в следующей таблице (усилия сжатия
даны со знаком «минус»).
Стержни
Усилие, кн
АО
-2,0
AF
1,0
АВ
4,5
ы
8,0
ПС
10,0
са
11,2
CD
--11
DE
DI
-2,0
EL
-2,0
LK
2,8
Аналитический расчет
1. Определим реакции опор. Составим для этого уравнения рав-
равновесия фермы как одного твердого тела (рис. 170, д):
P, -P,-=0;
7*) = Р» 2а
87

Рис. 171а A—9)
Схема 12 3 4 5 6 7 8 9
№ задачи 211 212 213 214 215 216 217 218~~219

'8)
Рис. 7776 (продолжение) A0—11)
Схема 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
№ задачи 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229

Рис. 171в (продолжение) B0—30)
Схема 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
№ задачи 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240

Решая совместно эти уравнения, найдем
Хм = 2 кн; YN = 2P3 + 3Pl — 2P1 = 4 кн; Yv = —\kh;
отсюда RM= ]/5 =2,24 кн.
2. Определим усилия в стержнях фермы по методу Риттера.
Мысленно «разрежем» ферму на две части так, чтобы при этом
оказались перерезанными не более трех стержней. Рассмотрим
затем равновесие одной из частей фермы, причем действие отбро-
отброшенной части заменим действием реакций перерезанных стер-
стержней. Будем условно предполагать, что все стержни растянуты,,
тогда их реакции будут направлены в сторону отброшенной час-
части. «Разрежем» ферму, например, по стержням GC, CD, DL
(рис. 170, е) и рассмотрим равновесие правой части фермы. Для
составления уравнений равновесия воспользуемся уравнениями
моментов относительно точек пересечения линий действия реакций.
Имеем
vmo, (Fk) = 70СА, - Р,а - Р, 2а = 0;
2/ло, (Fk) = - TCDh2 - Р3 2а - Р, За = 0.
Отсюда получим
TOi = -P, = —2 кн\^
^oc = (^n-2Pi) /5=5V5 кн;
7СО = —BPi-f3P,)Vr2=-8i''2 кн.
Знаки «минус» означают, что стержни DL и CD сжаты.
Задачи 211—240. Графическим способом определить реакции
опор и усилия в стержнях ферм, изображенных вместе с дейст-
действующими на них силами на рис. 171, 1—30 соответственно но-
номерам задач, если а = 30°, Pt=l кн; Р4 = Ра = 2 кн, Р4 = 3 кн,
Р5 = Рв=1 кн. Аналитическим методом определить реакции опор
и усилия в трех-четырех стержнях фермы.

ГЛД ВА III
СИЛЫ, КАК УГОДНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Произвольная система сил может быть в общем случае приве-
приведена к одной силе R (главному вектору), равной геометрической
сумме всех сил и приложенной в произвольном центре приведения —
О, и к одной паре, момент которой Мо, называемый главным мо-
моментом, равен геометрической сумме моментов всех сил системы
относительно этого центра:
При изменении центра приведения главный вектор сохраняет
свою величину и направление (первый вариант), главный же мо-
момент изменяется, но так, что скалярное произведение Mo-R со-
сохраняет одно и то же численное значение для всех точек приве-
приведения (второй инвариант).
Частные случаи: _
1. Система приводится к равнодействующей, если Мо = 0,
R ^ 0 или Мо ± R.
2. Система приводится к паре сил, если_^ = 0, Мо^0.
3. Система приводится к динаме, если Моф0, R^O и эти
векторы не перпендикулярны друг другу. При аналитическом
задании сил ось динамы имеет уравнения:
. _ =__ _ _ _р, {6Л)
R-M
где р = —о^—параметр динамы.
4. Система находится в равновесии, если R = 0, (УИо) = 0.
Таким образом, для равновесия произвольной пространственной
системы сил необходимо и достаточно^ чтобы для какого-либо
центра приведения О главный вектор R и главный момент Мо
были равны нулю.
Эти условия аналитически выражаются шестью уравнениями:
mx (Fk) = 0; 2 m, (F,) = 0; ^ m, (Fft) - 0.
C.2)
Если на тело действует пространственная система параллель-
параллельных сил, то, направив ось Oz параллельно этим силам, будем
иметь следующие три уравнения равновесия:
S^** = 0; 2тЛ/?*) = 0; £ my(Fk) = 0. C.3)
ft=i ft=i s = i
92

Примечание. При решении пространственных задач следует имен,
в виду, что могут встретиться такие частные случаи расположения сил, что
некоторые из уравнений равновесия обратятся в тождества. Это произойдет,
например, в случаях, когда все линии действия сил пересекают как>ю-тибо
одну ось, либо все силы перпендикулярны какой-либо оси, и в некоторых
других случаях. Число неизвестных в таких задачах при их статической оп-
определенности должно быть менее шести (см, например, задачи 257 259, 261,
263, 265, 266, 267, 268, 272, 275).
Для нахождения момента силы относительно оси следует
спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси,
после чего найти алгебраический момент полученной проекции
относительно точки пересечения оси и проведенной плоскости.
Момент силы относительно оси считается положительным, если
при наблюдении с положительного конца оси кажется, что сила
стремится повернуть тело против движения часовой стрелки.
Если сила параллельна оси или ее линия действия пересекает
ось, то момент силы относительно оси равен нулю.
Значительно облегчает нахождение момента силы относитель-
относительно оси применение теоремы Вариньона, согласно которой момент
равнодействующей равен сумме моментов составляющих. Для при-
применения этой теоремы силу, момент которой требуется определить,
раскладывают на составляющие, одна из которых параллельна
данной оси, а другие две перпендикулярны. Нахождение момен-
моментов этих составляющих обычно труда не представляет.
Если сила задана аналитически (т. е. заданы ее проекции и
координаты точки приложения), то для определения моментов
силы относительно координат-
координатных осей пользуются формулами
C.4)
где х, у, z — координаты точки
приложения силы.
Задача 241 (рис. 172). На
прямоугольный параллелепипед
действуют силы Р и Q. Опреде-
Определить моменты этих сил относи-
относительно координатных осей, если
ОА = 3 см, ОС = 4см, OL = 5см,
а величины сил равны 3 н.
Решение. Найдем тх{Р),
пользуясь определением момента
силы относительно оси. Для
этого проектируем вектор Р на
плоскость ABED, перпендикулярную к оси Ох. Полученная проек-
дия Pt будет направлена по BE и равна по величине
?! = Р cos a.
Рис. 172
93

Учитывая, что
НГ 5
cos я = -7—- =
получим
УМ
Далее имеем
тк(Р) = тА{Р1) = АВ PI==^L=r 10,28 н см.
Найдем теперь тх,(Р) Поскольку сила Р лежит в плоскости
ВЕКС, перпендикулярной оси Оу, то
В свою очередь
mc(P) = -P/z,
где h — длина перпендикуляра, опущенного из точки С на линию
действия силы Р.
Для определения h заметим, что
SAkbc=!2 KB-h=l КС-ВС,
откуда
Таким образом,
, КС_ВС 15
KB Ум
, = --^ = -7,72 «.с*.
Аналогично найдем
mz (р) = т0 (Ра) = ~ = 6,18 н-см.
у М
Определим теперь mx(Q). Для этого проектируем силу Q на
плоскость LKCO, перпендикулярную к оси Ох. Получим вектор
Q, направленный по диагонали LC и равный по величине
(У _ q 1С __ 3|/4Т
Согласно определению момента, имегм
где hx — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на ли-
линию действия силы Q.
94

Для определения /г, заметим, что
5долс= \hi-LC=\ OL ОС,
откуда
hi = см.
141
Таким образом,
mv(© = —6/2=^= —8,49 н См.
Аналогично найдем момент силы Q относительно оси Оу:
m>(Q) = 4 =6,36 н-см.
Что касается mz{Q), то он равен нулю, так как линия дейст-
действия силы Q пересекает ось Oz
Решим теперь эту задачу, используя теорему Вариньона. Для
этого разложим силы на составляющие, параллельные осям.
Так как
то
Но tnx(Pi) — 0, так как линия действия силы Р9 параллельна
оси Ох, следовательно,
тх{Р) = тх(Р]) = АВ- Pi = 10,28 н-см.
Разложим теперь силу Q на составляющие, направленные па-
параллельно координатным осям:
где Qi — составляющая, параллельная оси Ох.
Силу Qi, направленную по диагонали LC, разложим на две
составляющие: Q* — по линии L/C и Q, — по линии LO.
Таким образом,
Величину Qi определим из подобия треугольников:
Q, __DL_
Q LB '
откуда
Далее найдем
r\f LK
3~у Тс •
95

Пользуясь (а), имеем
/50 ]/41
=Л1£ = 1,696 «,
= 1*1 = 2,12 «.
2
По теореме Вариньона,
Силы Q, и Q3 моментов относительно оси Ох не дают, следо-
следовательно,
&) = —0L.Ql== —6]/=-8,49 к-ел.
Аналогично определяются моменты относительно других осей.
Эту же задачу можно решить, используя формулы C.4). Пред-
Предварительно найдем проекции силы Q:
и координаты точки ее приложения:
Н
По C.4) имеем
= — 8,49 н-см,
V V^t/ £/%■& £^%.'&"~~~ о "
= 6,38 н-см.
Аналогично находятся остальные мо-
моменты.
Задача 242 (рис. 173). Определить
моменты сил, приложенных в вершинах
прямоугольного параллелепипеда, относительно координатных
осей. Размеры указаны на рисунке.
Ответ:
Момент си1ы
«1* (Fk)
ту ОТ»)
тг (Fk)
_
0
-cF,
0
Fa
-FJ>
0
0
Силы
Тг
FJb cos а
— Fza cos a
FJsrm
—FtC cos P
Fte sm p
0
96

Здесь
с а Ь
COS а — — t; COS fj = -— ;
sin р —-
а
а
Sin а — —=
|V
Задача 243. Две одинаковые по величине силы F и F' направ-
направлены соответственно по двум скрещивающимся осям х и х До-
Доказать, что момент силы F относительно оси х' равен моменту
силы Р относительно оси х.
Задача 244 (рис. 174). Дана треугольная призма, в основании
которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник Оп-
У В
Рис. 174
ределить моменты силы F, направленной по диагонали BD гра-
грани ABCD, относительно координатных осей, если DL — LC~a;
Z BDC = 30°.
Ответ
аГ / р\
ms(F) = —
Задача 245 (рис. 175). Дана правильная пирамида, в основа-
основании которой лежит квадрат со стороной а, а в углы наклона
ребер к плоскости основания равны а Поребру ВО действует
сила F, а по стороне основания ВС — сила Q. Определить момен-
моменты этих сил относительно боковых ребер, сторон и диагоналей
основания
Ответ:
Сила
F
Q
Оси
АО
0
Qa sin a
со
0
0
DO
0
Q a Sin a
CD
Fa sin a
0
AD
— Fa sin a
0
AC
Fa V2
1_ sin a
0
4 H. А. Бражннченко и др
97

Задача 246. На куб со стороной а =-10 см действуют силы,
показанные на рис. 176, Величины всех сил одинаковы и равны
Р=10н. Привести эту систему сил
к простейшему виду.
Решение Задачу будем решать
аналитически. Проведем систему осей
Ах, Ау, Аг, взяв за начало коорди-
координат точку А. Определим координаты
точек приложения сил:
xi—a; yi=a; г, = 0;
м
Рис. 176
= 0; Ui — а;
= а;
Найдем проекции сил Fk на оси координат:
р —р. р —п. р —п.
Для нахождения проекций F8 эту силу разложили предвари-
предварительно на составляющие вдоль AD и AM и учли, что
COS a =
"l/з' Уд'
Найдем проекции главного вектора на координатные оси:
н;
= 15,77 н.
Определим главные моменты системы относительно координат-
координатных осей:
МДх =
МАУ = S {z,tFkx -
y) = 0,293Fa = 29,3 к • см;
= - 0,707Fa = -70,7 «. еж;
Л = 0,414Fa = 41,4 н-см.
98

Таким образом, главный вектор и главный момент оказались
отличными от нуля. Составим скалярное произведение главного
вектора на главный момент (второй инвариант):
RMA = RXMAX + RvMAy + RzMAz = — OJ07aF- = — 707 н2 • см.
Отсюда видно, что векторы R и МА не перпендикулярны друг
другу, следовательно, система сил приводится к динаме. Уравне-
Уравнения оси динамы C.1):
29,3 —15,77з>-)-19,91 г — 70,7 — 1,63г-{-15,77 у 41,4— 19,91*4- l,63y
1,63 ~ 19,91 ~ 15,77
Найдем параметр динамы по формуле
R-M, R-7\r
Р =
Имеем
707
Задача 247. Система сил задана проекциями сил и координа-
координатами точек их приложения (силы — в килоньютонах, расстоя-
расстояния — в метрах).
k
Проекции сил
Координаты точек
приложения сил
Fky
Fkz
xk
Ук
i
0
2
3
1
2
1
2
2
0
J
1
2
3
3
1
1
0
j
— 1
0
4
2
1
1
0
2
j
5
0
1
1
2
0
0
2
6
1
i
2
1
1
0
Привести систему к простейшему виду.
Ответ: система приводится к динаме, уравнения оси которой:
9х -\- Зу + 20z — 25 = 0;
Главный вектор R = 7 кн. Параметр динамы р = — -^ м.
4»
99

Задача 248. Система сил задана проекциями сил и координатами то-
точек их приложения (силы — в килоньютонах, расстояния — вмсфах;.
k
Проекции сил
Координаты точек
приложения сил
FkX
Fki .
Fkz
xk
Ук
Ч
1
0
1
2
1
—1
0
2
1
0
—1
2
0
1
3
1
1
0
0
1
2
4
—2
—1
1
—2
—1
0
Определить статические инварианты системы сил. Привести
систему сил к простейшему виду.
Ответ: R = 3 кн; R- М0=\Ь кн*-м. Система приводится к
динаме, уравнения оси которой:
4х~- 2t/-]-5z + 5 = 0;
Параметр динамы Р — ~о м.
Задача 249 (рис. 177). По ребрам прямоугольного параллеле-
параллелепипеда действуют четыре силы: Р, = 2 кн, Р2 = 3 кн, Р3 = 4 кн,
Pt = 5 кн. Определить статиче-
статические инварианты этой системы сил.
К какому простейшему виду мож-
можно привести эту систему? Размеры
указаны на рисунке.
Ответ: jR = 3,74 кн,
R.M0 = 7 кнг-м.
Систему можно привести к ди-
динаме, уравнения оси которой:
6х — Зу + Бг — 36 = 0;
z- 39 = 0.
— м.
' Параметр динамы
Задача 250. Определить, будет ли уравновешена система сил
pk (k=l; 2; ...; 6), приложенных к центрам мотылевых шеек ко-
100

ленчатого вала и направленных от оси вала перпендикулярно к
нему, если величины всех сил одинаковы и равны Р, а расстоя-
расстояния между центрами мотылевых шеек равны а. Мотыли распо-
расположены так, как показано на рис. 178.
z
г
Pi
Рис. 178
Решение: Для того чтобы установить, будет ли данная систе-
система сил уравновешенной, определим главный вектор и главный
момент системы, взяв за центр приведения начало координат.
Найдем проекции главного вектора:
Rx = Z.Fkx = — Р2 cos 30° 4- Р3 cos 30° — Р8 cos 30J 4-
4rP6cos30° = 0; Ry = £Fky = 0,
так как все силы перпендикулярны к оси Оу\
Rz = ^Fuz = Pi — Pz cos 60° — Pa cos 60° — P4 4- P8 cos 60° -f-
+ Pecos60° = 0.
Таким образом,
Далее найдем проекции главного момента (алгебраическую
сумму моментов всех сил относительно соответствующих осей):
Мх = 2тх (Fk) = — Рга cos 60° — 2Р3а cos 60° — ЗР4а 4-
4- 4аР8 cos 60° 4- 5аРе cos 60° = 0;
так как все силы пересекают ось Оу.
Мг = £тг (Fk) = Р*а cos 30° — 2Р3а cos 30° -\-
4- 4aPs cos 30° — 5аР6 cos 30° = — РаУ~3 .
Таким образом, главный момент Мо направлен по оси Ог в
отрицательную сторону и имеет величину
Система данных сил приводится к одной паре.
101

Задача 251. Решить задачу 250 при условии, что мотыли
шестицилиндрового четырехтактного двигателя расположены по
схеме, указанной на рис. 179.
Ответ: система уравновешена.
Задача 252. Решить задачу 250 при расположении мотылей
по схеме, указанной на рис. 180.
Ответ: система не уравновешена, так как R =
1,6
Рис. 179
Рис. 180
Задача 253. Решить задачу 250 при расположении мотылей
восьмицилиндрового четырехтактного двигателя по схеме, указан-
указанной на рис. 181. _
Ответ: система не уравновешена, так как R — G, М0 = 2Ра\г2 .
Задача 254 (рис. 182). Станковый пулемет установлен на тре-
треноге ОАВС, причем двугранный угол между плоскостью ОАС и
основанием равен ср. Вес пу-
пулемета равен Р и приложен
в точке О. Ствол пулемета
Рис. 182
составляет с горизонтом угол а и повернут по азимуту на угол
р<^90° (по отношению к плоскости ВОЕ). Определить макси-
максимальную силу отдачи F, при которой не происходит опрокидыва-
опрокидывания пулемета. Весом треноги пренебречь.
Ответ:
' max
COS a cos P tg if — sin а '
Задача 255. На барабан шпиля весом 1,6 кн намотана якор-
якорная цепь, имеющая натяжение Г=^20 кн (рис. 183, а). Барабан
удерживается в равновесии силой F, приложенной к шестерне С
102

и направленной по касательной к ней параллельно Т. Определить
величину этой силы и реакции подпятника А и подшипника В,
если радиус шпилевого барабана rt = 20 см, радиус шестерни
/-2 = 40 см, расстояние центра шестерни от подпятника равно
10 см, АВ = 120 см, а линия
действия силы Т отстоит от пло-
плоскости шестерни на расстоянии
40 см. Толщиной шестерни пре-
пренебречь".
Решение. Рассматриваем рав-
равновесие шпиля. На шпиль дей-
действуют силы Р, F, Т. Связями
являются подшипник В и под-
подпятник А. Освободимся от свя-
связей. Цилиндрический подшип-
подшипник не препятствует перемеще-
перемещению тела вдоль оси Az, и,
следовательно, его реакция ле-
лежит в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к оси Az. Разложим эту
реакцию на две составляющие,
параллельные осям, Хв и Y в
(рис. 183, б). Подпятник препятствует, кроме бокового смещения,
вертикальному перемещению, поэтому его реакцию можно разло-
разложить на три составляющие ХА, Y A, ZA.
Таким образом, барабан находится в равновесии под действием
сил Т, F, Р, ~XBt Y B, XA, YA, ZA. Для этой системы сил, рас-
расположенной произвольным образом в пространстве, имеют место
шесть уравнений равновесия. Неизвестных в задаче шесть: Хд,
YA, ZA, XB, YB, F — задача статически определима
Составим уравнения равновесия. Ось Ау направим параллель-
параллельно силам F и Т. Имеем
х = ХА -4- Хв = 0;
Ffc) = 207-40^ = 0.
Решая эту систему, получим
F=l0 кн, ХА = 0, УА = ~ 2,5 кн: ZA=1,6 кн,
Хв = 0, YB = —
кн.
Знаки «минус» для реакций YА и YB означают, что действи-
действительные направления этих реакций противоположны принятым.
103

Задача 256. Прямоугольная плита ABCD весом Р укреплена
в горизонтальном положении с помощью шарнира А, стержней
CN, СК и троса BS (рис. 184, а). Пренебрегая весом стержней
и считая все соединения шарнирными, определить реакцию в точ-
точке А, усилия в стержнях и тросе, если к точке В подвешен груз
М весом Q. Точки А, В, С, D, L, E, F, К расположены в вер-
Рис 184
шинах прямоугольного параллелепипеда со сторонами GD —За;
СВ = 4а; С£ = 5а. Точка S крепления троса находится на про-
продолжении линии FD и Z SBD = 45°.
Решение. Рассмотри^ равновесие плиты. На нее действуют
задаваемые силы Р и Q. Связями являются шарнир А, стержни
CN, CK и jpocBS Освободимся от связей. Направление реак-
реакции шарнира А заранее не известно. Поэтому разложим RA на
три составляющие: ХА, YA, ZA, направленные по осям, указан-
указанным на рис. 184, б (заметим, что от выбора осей существенно
зависит простота составления и решения уравнений равновесия).
Поскольку весом стержней пренебрегаем и крепления счи-
считаем шарнирными, то реакции стержней направлены вдоль этих
стержней, т. е. стержни будут находиться в условиях либо сжа-
сжатия, либо растяжения (но не изгиба, кручения и пр.). Удобно
принять условно, что все стержни, например, растянуты. Прини-
Принимая это предположение, направим реакции в сторону отброшенных
стержней и_ обозначим их через Г, и Тъ. Реакцию троса обозна-
обозначим через Г2.
Таким образом, плита находится в равновесии под действием
пространственной системы сил Р, Q, XA, Y A, ZA, Tu Tit Тд>
104

для которой имеют место шесть уравнений равновесия. Неизвест-
Неизвестных в задаче шесть: ХА, YA, ZAr Tu Тг, Тл~задача статически
определима. __
Силы Г2 и Т3 удобно предварительно разложить на составля-
составляющие, направленные вдоль выбранных координатных осей. Именно:
П = т* + п,
причем сила Т*, направленная по BD, в свою очередь расклады-
раскладывается на составляющие:
т* т _i_ Т"
1 2 — ' г -\- ' г-
Замечая, что cos /_DBC= r ; cos / DBA =-^-, буде,м иметь
Т* гп У±_. т" т1* ' Т •
2 — 1 1 ~2~ 1 * ч — 2 ~5 — АО ' 3'
-«2 1 2 ~5" — -g— У 2, -«3 -" * Ч-
Далее,
г^п + П",
причем сила Т$, направленная по диагонали С А, в свою очередь
раскладывается на составляющие:
Замечая, что
cos /_ ACK--
будем иметь
' ъ 1 & о •i'
/2
1Г'
cos i
:dca =
3 3V~
5 10
a
5 '
' s>
COS /_
' 3
ACB
T* 4
Ya 5
=4.
_2^2
5
(направления составляющих указаны на рисунке).
Составим уравнения равновесия плиты:
V J_ Т 4- Т' — X 1 ^' ^
Т I ^^^ Т
3 ' Ш~ 3
?A) = — P2a — T3'4a = — 2Pa — 2]/ Га — 0;
''k) = P-Y — ZA-3a — 0;
105

Решая эту систему уравнений, получим
J1 -_ V_J- p.
о о <> и
X Г) \- P- Y — — P- 7
ЛА— — 5 V Г 10 ^. * A— 5 r< AA— -J.
Знаки «минус» Тх и Т3 показывают, что соответствующие стерж-
стержни не растянуты, как это предполагалось, а сжаты.
Задача 257 (рис. 185). Лестница опирается на гладкую стену
на высоте h и концом D упирается в выступ, находящийся на
гладком полу и отстоящий от стены на
расстоянии а. Определить реакции в точ-
точках Л, В, С, D, если вес лестницы равен
Р и приложен в ее центре.
Ответ: ZA —-т^; Ув = 0; Ус=-т-;
Y llr- 7
Задача 258 (рис. 186). На токарном
станке обтачивается цилиндрическая де-
деталь. Считая вес детали равным 400 н,
определить, какой вращательный момент
М должен быть приложен к детали, чтобы
удержать ее в равновесии, если на нее
со стороны резца действует сила F, при-
Рис. 185 ложенная в точке К,, лежащей на гори-
горизонтальном диаметре детали. Эта сила
имеет проекции на оси Ах, Ay, Az, равные соответственно
Fx = — 3 кн, /^ = 2,4 кн, Fz—\2 кн. Найти также реакции
в точках А и В в зависимости от координаты х, определяющей
^ 7/7777777777
Рис. 186
положение резца относительно точки А. Трением пренебречь.
Размеры указаны на рисунке.
Ответ: УИ = 480 н-м; Хд = 3 кн; YА = (ЗОх — 2550) н;
ZA = (—11,8 + 0,15х)кн; ХА +Хв = 3 кн;
YB = (l50—30x) н; ZB = B00 — 150х) н;
х — в сантиметрах.
106

Задача 259 (рис. 187). Храповое колесо и барабан лебедки
жестко насажены на общий вал А В длиной 80 см. На барабан
намотана веревка, несущая
груз М весом 3 кн. Опре-
Определить опорные реакции
подшипников А и В и уси-
усилие в стопорной собачке х
ED, составляющей с гори-
горизонтом угол а = 60°, если
свешивающаяся часть ве-
веревки делит барабан по-
пополам. Радиус барабана
10 см, радиус храпового
колеса 20 см, вес барабана
с валом 2 кн. Края бара-
барабана удалены от подшип-
подшипников на 10 см. Расстоя-
Расстоянием между храповым колесом и барабаном, весом собачки, хра-
храпового колеса и веревки пренебречь.
Ответ: SED = 3 кн; ХА = — 1,312 кн; ZA = 4,77 кн;
Х"в = — 0,1875 кн; ZB = 2,82 кн.
Задача 260 (рис. 188). При повороте шлюпки на ее руль дей-
действует сила давления воды Q = 400 н, направленная перпендику-
перпендикулярно к плоскости пера руля и приложенная в точке F. Вес
руля Я == 100 н и приложен в точке Е. Определить в условиях
Рас. 187
Рис. 188
Рис 189
равновесия реакции опор А и В, а также величину силы S, при-
приложенной к румпелю CD под углом р = 120° и лежащей в гори-
горизонтальной плоскости, если АК = 30 см, АВ = 60 см, СВ — 20 см,
CD = 60 см, ЕК=\Ъ см, £F = 30 см.
Ответ: S = 346 н; Хд = 300 н; YA = 33 н; ZA = 100 н;
Хв = 400 и; YB = — 206 н.
Задача 261 (рис. 189). Однородная пластина весом 9 кн, имею-
имеющая форму равностороннего треугольника, петлями А и В зак-
107

реп лена на горизонтальной оси, а вершиной С опирается на
гладкую вертикальную стенку, параллельную отрезку АВ. Пло-
Плоскость ABC составляет с горизонтальной плоскостью угол 30°.
Определить реакции петель и стенки, зная, что точка приложе-
приложения веса пластины находится в точке пересечения медиан. Раз-
Размерами петель пренебречь.
Ответ: JVC = 5,2 кн; YА = — 2,6 кн; ZA = 4,5 кн;
Г„ = —2,6 кн; ZB = 4,5 кн.
Задача 262 (рис. 190). Тело весом Р, подвешенное к самолету,
имеет форму цилиндра и удерживается тремя захватами А, В, С
и стопором D. Захват А удерживает тело только от падения и
бокового смещения и располо-
расположен на верхней образующей на
расстоянии с от вертикали, про-
проходящей через центр тяжести К.
Захват В, имеющий то же наз-
назначение, что и А, и захват С,
препятствующий только паде-
падению, расположены симметрично
верхней образующей на расстоя-
расстоянии d друг от друга в плоско-
плоскости, отстоящей на расстоянии Ь
от захвата А. Стопор D, пре-
препятствующий только продоль-
продольному смещению, расположен на
верхней образующей.
Определить реакции захватов
и стопора при равномерном пря-
прямолинейном горизонтальном полете самолета, если на тело при
этом действует сила лобового сопротивления Т, направленная
вдоль его оси, а в точке Е на оси, удаленной на расстояние а
от центра тяжести К, приложены вертикальная подъемная сила Q
и боковая аэродинамическая сила F. Вертикальным смещением
точек В и С от верхней образующей пренебречь. Принять для
расчета Р~50 кн; <? = 5 кн, F—1 кн, Т = 0,8 кн, г = 8 см,
d = 6 см, а=10 см, с = 20 см, Ь = 40 см.
Ответ: YA = ~ 0,25 кн; ZA = 23,91 кн; YB = — 0,75 кн;
ZB = 9,2\2 кн; Z^=l 1,878 кн, Хд = 0,8 кн.
Задача 263 (рис. 191). Однородная прямоугольная крышка
люка весом 600 н удерживается в равновесии под углом а = 30°
силой F, приложенной перпендикулярно к крышке в точке Е.
Определить величину- этой силы и реакции подшипников А и В,
если С£ = 20 см, DC = 60 см.
Ответ: F = 260 н; Хд = 43,3 н; Z4 = 225 н; Хв = 86,6 н;
ZB=150 н.
Задача 264 (рис. 192). Коленчатый вал может вращаться в
подшипниках А и В. На конце вала насажена шестерня радиу-
Рис. 190
108

сом R = 20 см. В центре D мотылевой шейки горизонтально рас-
расположенного колена приложена сила F, лежащая в плоскости,
перпендикулярной к оси вала, под углом а = 30° к вертикали.
Рис . 191
Определить величину силы Q, приложенной к шестерне парал-
параллельно оси Ау при равновесии вала, и обусловленные силами F
и Q реакции подшипников А и В, если F — 20 кн, ED=\5 см,
а =15 см, Ь = 20 см, с —25 см.
Ответ: Q= 12,99 кн, YA = — 22,9 кн; ZA = 0,64 кн,
A
YB = — 111 н, ZB = 7,
кн.
B B
Задача 265 (рис. 103). Коленчатый вал может вращаться в
подшипниках А и В. На него действует сила Р, равная по вели-
Рас 194
чине 30 кн, направленная под углом а= 10° к вертикали и ле-
лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вала. Определить мо-
момент М пары сил, которую следует приложить к валу для его
равновесия, а также реакции подшипников А и В, если плоскость
109

DEGF образует с горизонтальной плоскостью угол <р = 60°, DE =
= 20 см, FB = AD—FD — 40 см. Весом, вала пренебречь.
Ответ: УИ = 3,86 кн-м; YA = YB = — 2,61 кн;
ZA = ZB= 14,8 кн.
Задача 266 (рис. 194). Симметричный кран весом Р = 20 кн
удерживается тросом EF, составляющим с горизонтом угол <х =
= 30° и имеющим натяжение, равное 28 кн. Вылет крана Ь — 2м,
расстояние от его центра тяжести G до вертикали, проходящей
через неподвижный шарнир С, а = 0,6 м. Определить реакции
шарнира С и подвижных опор А и В, если АВ = 1,2 м, КС =
= 1,5 м, KF —0,9 м, Q= 15 кн.
Ответ: Хс = 0, Yс = 24,2 кн, Zc = 38,6 кн, Na — Nb = 5,2kh.
Задача 267 (рис. 195). Мачта О А весом 1,2 кн закреплена в
подпятнике А и подшипнике В. К вершине мачты прикреплены
И
Рис. 195
Рас 196
тросы ОС, OD и ОЕ, натяжения которых соответственно равны:
7с = Гд = 600 «; Г£ = 300 н. Кроме того, дано: АВ = 0>,8 м.
ОА = 4 м, углы <х=р = 60°, 7 = 30°. Определить опорные реак-
реакции.
Ответ: ХА = 0, Кд= 1,038 кн; 2Д = 2,39 кн; Хв = 0;
YB = — 1,298 кн.
Задача 268. Решить задачу 267 при условии, что 7с = 600 н,
Го = 800 н.
Ответ: ХА = — 400 н; YА = 1,038 кн; ZA = 2,56 кн,
Хв = 500 н; Yв = — 1,298 кн.
Задача 269 (рис. 196). Коленчатый стержень ACDE изогнут
так, что плоскость колена ACD горизонтальна, а плоскость ко-
колена CDE вертикальна. Стержень закреплен в точке А с помощью
неподвижного шарнира, в точке В свободно проходит через под-
подшипник, а в точке Е удерживается горизонтальным тросом ЕК,
параллельным АС. Определить реакции шарнира А, подшипника
ПО

В и натяжение троса, если стержень нагружен вертикальной си-
силой Р и парой сил, лежащей в горизонтальной плоскости и имею-
имеющей момент т.
Принять: АС = 40 см; ВС = 20 см; CD = 60 см; DE = iO см;
Р=100 н; т = 600 н-см; /_ ACD = /_ CD£ = 90°. Весом стерж-
стержня пренебречь.
Ответ: 7 = 200 н; ХА = ~ 430 н; Гл = 0; Z4=-200 «;
Хд = 630 н; ZB = 300 н.
Задача 270 (рис. 197). Коленчатый стержень ADEK укреплен
в горизонтальной плоскости в подшипниках А, В, Си нагружен
на конце А горизонтальной силой Р,
направленной вдоль AD, а на конце
К — вертикальной силой Q." Опреде-
У
х
Рис 197
Рис. 198
лить реакции подшипников, если £ ADE—
AD = 20cm, BD = \0 см, £Х> = 25 см, ЕС = 20 см, £/( = 30 см,
Р = 200 н, Q = 400 н. Весом стержня пренебречь.
Ответ: Хд = 50н; ZA = ~600 н; Ув~ — 200 «, Zb=1000h;
Хс = —50 «, Zc = 0.
Задача 271 (рис. 198). Коленчатый стержень ABCD изогнут
так, что плоскость колена ABC горизонтальна, а плоскость ко-
колена BCD вертикальна, /, ЛВС= /_ BCD = 90°. В точке D стер-
стержень удерживается неподвижным шарниром, а концом Л поме-
помещен в подшипник. На стержень действуют три пары сил в пло-
плоскостях, соответственно перпендикулярных АВ, ВС и CD. Считая
известными величины моментов пар т2 и та, определить величи-
величину ти а также реакции шарнира и подшипника, если АВ=а,
BC = b, CD=c. Весом стержня пренебречь.
Ответ: Y , = ■
О V "J_-
и' 'D „ )
т.
t- ~a m*-
~u a ' ' a
Задача 272 (рис. 199). Однородная балка АВ весом Р и дли-
длиной / = 4Ь прикреплена к вертикальной стене сферическим шар-
111

ниром А я удерживается перпендикулярно к стене растяжками
DE и CG, причем DE лежит в горизонтальной плоскости, a CG
составляет с этой плоскостью
угол а. К концу В балки под-
подвешен груз М весом Q. Опреде-
Определить реакцию шарнира А и на-
натяжения растяжек, если AD =
В Ответ: TDE=2 (P-\-2Q) ctg а;
со —
Р + 2О
Рис. 199
A
Задача 273 (рис. 200). Однородная балка AL весом 1 кн ук-
укреплена шарнирно в точке А и удерживается в горизонтальном
положении двумя тросами DE и DF, составляющими с горизон-
горизонтом углы C = 30°. Определить реакции шарнира и натяжения
Рис. 200
Рис. 201
тросов, если к балке в точке К подвешен груз М, вес которого
равен 1,2 кн, AL = 5 м, L/C=l м, AD=2m, / ЛОС = а1 = 45°,
/_ ЛОВ = а2==60°.
Ответ: 7>D = 3,28 кн; TED = 4,02 кн; Хл = 3,18 кн; YA = 0,
ZA —— 1,45 кн.
Задача 274 (рис. 201). Однородная плита ABC весом Р имеет
форму прямоугольного треугольника и представляет собой по-
половину квадрата ABCF. Плита прикреплена шарнирно вершиной
А к неподвижному основанию и удерживается в горизонтальном
положении при помощи невесомых стержней BD, BE и СЕ, ук-
укрепленных в точках D и Е, лежащих на одной вертикали с точ-
точками А и F соответственно. Определить реакцию шарнира А и
усилия в стержнях, если EF A AF
112

Указание. Вес Р приложен в точке пересечения медиан тре-
треугольника ABC.
2J/2P
Ответ: Тп„ =
dr-
2
3 '
тВЕ=-
A 3 >
T tJLz..
P_
3 "
Задача 275. Для подъема крышки паровой турбины весом Р ис-
использовано приспособление, показанное на рис. 202. Тросы прикреп-
прикреплены к крышке в точках Аи Л2, Л3, Л4 и лежат в вертикальных
плоскостях, проходящих соответственно через отрезки А\А3 и А.гАх.
Рис. 202
Точки Аи Л9> Аъ At лежат в горизонтальной плоскости и обра-
образуют прямоугольник со сторонами А1Аъ==2а\ АХАЪ — 2Ь.
Определить при условии равновесия крышки веса грузов Ри
Pi, Рз> Р* и ординату ус центра тяжести, если известно, что его
абсцисса равна хс, тросы, несущие грузы Pt и Pt, наклонены к го-
горизонту под углами, равными а, а два других троса — под углами,
равными р.
Опшш: P1 = 4(l + ?
COS?
sin (a -f-8) ' s"
COS a
P_
2
b sin (a — 3)
Sin(oc-j-S)' »C sin(a + ^l) •
Задача 276 (рис. 203). Тетраэдр закреплен петлей А, сфери-
сферическим шарниром В и свободно опирается вершиной С на каток.
Определить реакции опор, вызванные действием силы F, прило-
приложенной в вершине тетраэдра и параллельной стороне АС.
Ответ: YA = —
2'
7 _П- 7 —
113

Задача 277. Решить задачу 261 при условии, что петля А
заменена сферическим шарниром, петля В снята и пластина опи-
опирается непосредственно в точке В на негладкую горизонтальную
плоскость. Считая коэффициент трения между пластиной и пло-
плоскостью / = 0,1, определить наименьший угол а наклона пласти-
пластины к горизонту, при котором возможно равновесие, а также
реакции опор при этом угле.
Ответ: ctgamin = 0,3; ашш = 73°18'; Л/с = 900 «;
Л/в = 4,5 кн.; Хд = 0; YA — — 450 н, 1А — А,Ъ кн;
YB = — 450 н.
Задача 278. На вал / зубчатого редуктора (рис. 204, а) дей-
действуй вращающий момент Mi. Определить величину момента Mit
А .1
5)
(N1
ш
Рис. 204
который надо приложить к валу IV для того, чтобы редуктор
был в равновесии. Трением в подшипниках пренебречь. Размеры
указаны на рисунке.
Решение. Система состоит из трех тел — вала / с колесом /,
вала // с колесами 2 и 3 и вала IV с колесом 4. Рассмотрим
равновесие каждого тела в отдельности.
Вал / с колесом/ (рис. 204, б). На этот вал действуют:
вес Pj, пара сил с моментом Мь реакция подшипника RA и реак-
реакция Sn колеса 2. Реакция подшипника, если пренебречь его раз-
размерами, приложена в точке А. Реакция колеса 5М действует в
плоскости, перпендикулярной к оси вала /. Разложим эту силу
114

на две составляющие, направленные по касательной к окружности
колеса / (Тп) я по его радиусу (Rn), т е.
Считаем эти силы приложенными в точке О колеса /.
Поскольку величины реакций подшипников не подлежат оп-
определению, следует использовать такие уравнения равновесия, ко-
которые этих реакций не содержат. Легко видеть, что таким урав-
уравнением будет уравнение моментов относительно оси вала / (ось г).
Таким образом, имеем
откуда
M
Вал //с колесами 2 и 3 (рис. 204, в). На колесо 2 в
точке D действует со стороны колеса / сила
0 12 = '12 ~Ь ^»2>
причем
Si2 = О<!Ь * 13 г== '21> "l<2 == Ril-
Реакцию подшипника обозначим RB, вес колес — Р2з, реакцию
колеса 4 на колесо 3 — через SA3. Эту реакцию разложим^ на со-
составляющие: по касательной — Тш и по радиусу колеса — #43. Эти
силы приложены в точке Е. Из всех уравнений равновесия снова
используем только уравнение моментов относительно оси вала //
(ОСЬ Zi).
Имеем
%rnZl (Fk) = Tnrz — Ti3r3 = Or
откуда
71 т1 rs
■■ 43 ' 11 ~ >
' i
а так как
1 12 1 21 — ,
• i
TO
Вал /У с колесом 4 (рис. 204, г). Пусть Mt — искомый
момент. Тогда, аналогично ранее рассмотренным случаям, получим
откуда окончательно
115

Задача 279 (рис. 205). В зубчатой передаче к ведущему валу
А приложен вращающий момент МА. Определить величину мо-
момента Мв, который следует приложить к ведомому валу В для равно-
равновесия системы. Трением пренебречь. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: Мв = -— М А.
Задача 280 (рис. 206). Лебедка с двухступенчатой передачей
предназначена для подъема груза весом Р. Определить, какой
IV
ГТ77 3
ш
ш
Рис. 205
Рис. 206
величины вращающий момент М следует приложить к ведущему
валу для удержания груза в равновесии. Задачу решить в двух
предположениях: 1) когда ведущим валом является вал А; 2) когда
ведущим валом является вал В. Радиус барабана R, радиусы
колес; /-,, гъ r3, rk.
Ответ: \)MA = r^PR; 2) Мв = ^ PR; МД = ^Л
Рис 207
Рис 208
Задача 281. Решить задачу 279, имея в виду передачу с ко-
коническими колесами, изображенную на рис. 207.
Ответ: Мв=~ МА.
116

Задача 282 (рис. 208). В машине для испытаний на кручение
величина крутящего момента измеряется по показаниям динамо-
динамометра. Определить величину крутящего момента, а также давле-
давления на подшипники D и Е, если динамометр показывает усилие F.
Весом деталей пренебречь. Стержень ВС считать параллель-
параллельным валу, ВК = КС, угол а = 90°, KL = a, LD = b, DE = c.
Ответ: M = 2aF; ND = 2F(l+±Y " 2bF
1 с I ' '- с
Задача 283 (рис. 209). В двухдисковой фрикционной передаче
на ведущий вал / действует вращающий момент М,. Определить
необходимую величину сил нажатия Qt и Q,2 (Qt = Q2 = Q) при
Рис. 210
равновесии, если коэффициент трения между дисками и роликами
равен/, расстояния от оси Л В до точек касания роликов равный! ий8,
радиусы роликов г. Какой момент Mi передается при этом на вал //?
Ответ: Q = M^ ^
Задача 284 (рис. 210). Два одинаковых однородных стержня,
весом Р каждый, шарнирно соединены между собой в точке В, а
концами А и С шарнирно прикреплены к полу и к стене так,
что стержень АВ вертикален, а ВС горизонтален. К середине D
стержня АВ приложены сила G, параллельная ВС, и сила Q,
перпендикулярная к плоскости ABC. Система удерживается в рав-
равновесии тросом ЕЬ, перпендикулярным к плоскости ABC. Опре-
Определить натяжение троса и реакции шарниров.
Ответ: T = Q; Ху) = 0; ^л = -у; ZA —~к—;
Хг\. V -4- " 7
В U> ' В —~9~> LB
2 *
P
2
О
117

Задача 285 (рис. 211). Два одинаковых однородных стержня
АС и СВ, весом Р каждый, соединены между собой под прямым
углом шарнирно и прикреплены к стене неподвижными шарни-
шарнирами А и В. Благодаря наличию невесомого вертикального стерж-
стержня DE система удерживается в равновесии так, что плоскость
треугольника ABC горизонтальна. Определить реакции шарниров
А, В, С и усилие в стержне DE, если AD—DC.
Ответ: S = 2P, Хд = 0; УА = 0; ZA = — ~-; XB = Q;
Задача 286 (рис. 212). Однородная прямоугольная плита ве-
весом Р укреплена при помощи петель А и В к удерживается в го-
Рис. 211
Рис. 212
ризонтальном положении однородным стержнем CD, прикреплен-
прикрепленным к плите и к стене шарнирами С и D, причем шарнир С
расположен на одной вертикали с петлей В. Вес стержня CD
равен Q. Определить реакции петель и шарниров, если /. BDC =
= /_ BCD = 45°. Удостовериться, что при Q = 0 реакции шарни-
шарниров С и D направлены вдоль CD.
„ v . „ р v
Ответ: X, = 0; Za = -?t; л„ = -
"— 2
Q. 7 -+- JL
Задача 287. Два однородных стержня АВ и ВС весом Р и Q
соответственно закреплены шарнирно в точках А и С, а соеди-
соединительным шарниром В свободно опираются на гладкую верти-
вертикальную стену, плоскость которой параллельна АС (рис. 213, а).
118

Определить реакции шарниров Л и С, а также реакцию стены N,
если плоскость треугольника ABC наклонена к горизонту под
углом 45°, £ В АС = 90°.
Решение. Если рассматривать всю систему как одно твердое
тело, то получим статически неопределимую задачу, так как чис-
число неизвестных равно семи (шесть составляющих реакций в шар-
I А
Рис. 213
нирах А и С и реакция стены). Поэтому следует расчле-
расчленить систему, рассматривая равновесие отдельных ее частей
(АВ и ВС).
Рассмотрим равновесие стержня АВ (рис. 213, б). На этот
стержень действует вес Р, приложенный в середине стержня D. Свя-
зямиявляются сферические шарниры А и В. Реакции этих свя-
связей RA и RH не имеют заранее определенных направлений в про-
пространстве. Поэтому разложим искомые реакции на составляющие
вдоль осей: Хл, YA, ZA, Хв, YB, ZB. Стена будет являться связью
для стержня А В только в том случае, когда этот стержень не-
непосредственно ее касается. В зависимости от конкретного уст-
устройства шарнира В может оказаться, что реакция стены будет
непосредственно приложена только к стержню АВ или только
к ВС либо стена будет действовать на оба стержня одновре-
одновременно. _
Допустим, что реакция стены N приложена только
к стержню АВ. Составим уравнения равновесия для стерж-
стержня АВ.
119

Имеем
= хА
где
Рассмотрим равновесие стержня ВС (рис. 213, в). На этот
стержень действуют: вес Q, реакция Rc шарнира С и реакция R,'B
шарнира В. При этом R'B = ~RB, т. е. Я'в= —Хв и т. д.
Уравнения равновесия стержня ВС имеют вид
причем
x — Хс — Х'в = Хс — Хв — 0;
) = FB • OS — Q ■ OE + Zc • ОЛ = 0;
= — XB • OB — Q ■ EL ~\- Zc ■ AC = 0;
= 0,
AC
(c)
Q
Решая систему уравнений F) и (с), получим
д7 ^ ~т~ W, у rv. V" ~Т~ ^ у . D _I ^
1\ ^ , ЛА и> 1 А 2 ' А ' ~^ '
2 "
(rf)
Если теперь принять, что сила УУ приложена к стержню ВС,
то вместо (Ь) и (с) получим
ZC-ZB-Q = O;
-Q-EL-\-Zc-AC = l
— ХГ-ОА
120

Решая эту систему, имеем
г\. у ' г У. 7 j*_. У п
в— v> 'в— о ' ^в— о 1 лс — и>
я.
2
(d'}
Сравнивая эти ответы с (d), убеждаемся, что изменение точки
приложения силы N сказывается только на реакциях шарнира В.
Итак,
-P+Q.
Y _
Я.
2
Я.
2 ■
Задача 288 (рис. 214). Два
одинаковых стержня АВ и ВС,
весом Р каждый, соединены
шарнирно между собой под пря-
прямым углом, а шарнирами А и
С прикреплены к стене. Стерж-
Стержни удерживаются в равновесии Рис. 214
в горизонтальной плоскости при
помощи троса DB, составляющего с ней угол 45° и равные,
углы со стержнями.
Определить натяжение троса и реакции шарниров А и С. Ре-
Решить задачу дважды, считая в первом случае, что реакция трек
са непосредственно приложена к стержню АВ, во втором —
к стержню СВ. Сравнить результаты.
Ответ: в обоих случаях
р Р Р Р
Т = Р\/2; Xa = y', 'л —у; 2л = ^г; Xc~y\
Y —-£• Z —^
i с— 2 ' с— 2 •
Задача 289. Решить задачу 288, считая, что трос закреплен
в точке D, находящейся на одной вертикали с точкой А, и по-
прежнему образует с горизонтальной плоскостью угол 45°
Ответ: Т = Р/2; Хд = ^- YA = P^; ZA = ~;
121

ГЛАВА IV
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Координаты центра тяжести тела определяются по формулам
— m , Ус—
m , Ус— p
n
m
Суммы, стоящие в числителях, называют статическими момен-
моментами веса (массы) относительно плоскостей yOz, хОг, хОу соот-
соответственно.
Если тело однородно, то координаты его центра тяжести оп-
определяют по формулам
V " ' ' . 4 I " * . у k —\
лс — у 1 Ус — V ' с — V '
Координаты центра тяжести тонких однородных поверхностей
(имеющих постоянный вес единицы площади) определяют по фор-
формулам
п п п
xc — s > Ус — s . zc — s
Координаты центра тяжести пластины (оси Ох, Оу располо-
расположены в плоскости пластины) будут
где Sx = 2 yksk, Sy = ^] xAsft — статические моменты площади
Й= 1 Й = 1
относительно осей Ох и Ог/.
Аналогичные формулы применяют для определения координат
центров тяжести тонких однородных стержней (имеющих постоян-
постоянный вес единицы длины).
В формулах D.2), D.3) vk, sk — объемы и площади тех частей,
на которые разбиваются имеющие сложную форму тела (поверх-
(поверхности), Mk (xk, yk, zk) — центры тяжести этих частей.
При нахождении центра тяжести тела (фигуры) с отверстиями
можно применять формулы D.1), D.2), D.3), считая веса, объемы
или площади, соответствующие вырезанным частям, отрицатель-
122

ными. Для криволинейных тел (фигур), разбиваемых на беско-
бесконечно малые элементы, суммы в выражениях для статических
моментов и масс (объемов, площадей) заменяют интегралами.
Задача 290*. Корабль водоизмещением 9000 т имеет центр
тяжести в точке с координатами хс = — 4,2 м, ус~0, zc —8,4 м
(ось Ох направлена в нос, ось Оу— на левый борт, ось Oz — вверх).
С корабля снимают часть груза массой 300 т координаты центра
тяжести которого: ^=6 л, i/, = 0,8 л, 2t = 6 м. Определить
новые координаты центра тяжести корабля.
Решение. Обозначим ш2 массу корабля после снятия груза;
Хг, Уч %г — искомые координаты центра тяжести.
Используем формулы D.1)
ХС т ' Ус т ' Zc m
Отсюда находим
хт — х.т, Угт — ytm!
х2 = -^— =-4,55 м; y^^S—- = — 0,03 л;
г т — г1тх
z^-^-HQ = 8,5 ж.
Таким образом, центр тяжести корабля сдвинулся к корме,
к правому борту и вверх.
Задача 291. Танкер водоизмещением 20 000 т в результате
полученной подводной пробоины принял 600 т забортной воды
в танк (отсек) с координатами центра тяжести Xi = 20 м, ;/j = 8 м,
z1 = 2 м относительно координатных осей с началом в старом
центре тяжести танкера. Для частичного выравнивания крена и
дифферента (т. е. для устранения поворота судна вокруг продоль-
продольной и поперечной осей) было принято дополнительно 400 т воды
в танк, имеющий координаты центра тяжести x2 = — 25 м,
уг — —10 м, za = l м. Определить новые координаты центра тя-
тяжести танкера.
Ответ: д;с = 9,5 см; ус = 3,8 см; zc —7,6 см.
Задача 292. Судно имеет водоизмещение 1500 т. Определить
новые координаты центра тяжести судна при заполнении носовой
цистерны забортной водой плотностью р = 1,03 т/м3, если объем
цистерны F = 40 мь, а координаты центра тяжести цистерны
х = 2 м, у = 30 м, z=l,5 м. До заполнения цистерны центр
тяжести судна находился в начале координат.
Ответ: хс = 0,053 м; г/с = 0,8 м; гс = 0,04 м.
Задача 293. Как изменится абсцисса хс общего центра тяжести
корабля водоизмещением 1500 т, если поменять местами два грузау
* Здесь и в дальнейшем под водоизмещением корабля понимается масса
вытесненной им воды.
123

находящихся в диаметральной плоскости и отстоящих друг от
друга по горизонтали на расстояние s= 15 м? Массы грузов
равны 10 т и 2 т (ось Ох направлена на нос, более легкий груз
был ближе к носу).
Ответ: Лд;с = 8 см (к носу).
Задача 294. На какое расстояние по горизонтали в диамет-
диаметральной плоскости корабля можно переместить груз 60 т, чтобы
общий центр тяжести корабля сместился не более чем на 0,1 м>
Водоизмещение корабля равно 12 000 т.
Ответ: на 20 м.
Задача 295. Определить координаты центра тяжести однород-
однородного тела, изображенного на рис. 215.
Рис. 215
Решение. Применим метод «разбиения». «Разобьем» рассматри-
рассматриваемое тело на три части: l — ABD'E', U — EDLF, IU—LKHG.
Найдем координаты центров тяжести отдельных частей и их объемы.
Данные сведем в следующую таблицу:
Части тела
1
И
(и
а
2
а
2
3
Координаты
г
центров тяжести частей
Ун
d
с
4
. . Зс
а -*- .-
4
ь
т
d
2
d
Объемы частей
abd
acd
2
acd
4
124

Определим координаты центра тяжести всего тела по форму-
формулам D.2):
XjVt-f *at>2-f x%v, _a(U-\-7c)
~ V 4 D& 4- 3r)'
^i 8^4-12crf4- 5c2
c~ V 4 D&
V
4 Db 4- 3c)
Zr = -
Эту же задачу решим методом «отрицательных» объемов. Для
этого представим себе, что тело состоит из трех частей: I — ABDE',
II—EDKM и III — FGHM — части с «отрицательным» объемом.
Имеем
Части тела
1
II
Ш
Координаты центров тяжести частей
хь
а
~2
а
~2~
а
4
d
2
гк
Ь
2
d
d
2
Объемы части
"ft
abd
acd
acd
4
Найдем координаты центра тяжести всего тела:
Xq == ~ i ~ Г~7. :=; л /ли i ow\ И Т. Д.
Задача 296. Определить координаты центров тяжести стержне-
стержневых систем, изображенных на рис. 216, а, б, в, г, д (поперечны-
(поперечными размерами стержней пренебречь).
Ответ: а) х^^ ^^
а*-\-ауд2
■; Ус
_ Ь2+аУа*-\-Ь*
2(a + b-lrValr-\-b!!) ' а^ 2 (а + Ъ + V<>2 + Ьг) '
„0B-/3"). . х _aV±. _q
125

Задача 297 (рис. 217). От пластины в виде прямоугольного
треугольника ОАВ отсечен треугольник CD В. Определить црнтр
тяжести оставшейся части OADC, если ОА = ОВ — а; СВ—-ггй.
О
„ Ьа
Ответ: хс=-^\
г
I
9) у
-X
13а
Рис. 216
s)
Задача 298 (рис. 218). Из однородной пластины в виде квад-
квадрата ABCD со стороной а вырезан квадрат AB\CiD\ так, что
стороны обоих квадратов параллельны. Какова должна быть сто-
щ
Ш
Рас. 217
D,
Рас. 218
рона ах меньшего квадрата для того, чтобы центр тяжести остав-
оставшейся после выреза части совпал с точкой Ct?
Ответ: а1=^—~~- а = 0,618 а.
126

Задача 299 (рис. 219). В однородном диске радиусом R = 2a
сделан вырез в виде прямоугольного треугольника ОАВ. Опреде-
Определить центр тяжести оставшейся части ди-
диска, если ОА — ОВ—а.
Ответ:
Хс = Ус = -Щ~Т} =-0,0138 а.
Задача 300. Определить статические
моменты и координаты центров тяжести
изображенных на рис. 220, а, б, в пло-
площадей относительно координатных осей
Ох и Оу, если а = 90 мм, Ь = 60 мм, Рцс 219
d~10 мм, h =100 мм.
Ответ: a) Sy = 43 см3; Sx = 22 см3; хс = 3,07 см; ус = 1,57 см;
б) Sv = 0; SA= 128,5 см9; хс = 0; ус = 5,6 см;
в) Sy = 62,5 см9; SA= 128,5 еж1; х( =2,72 гл;
Задача 301 (рис. 221). Балка состоит из прямоугольной полосы
и двух уголков, размеры которых в миллиметрах указаны на
g, рисунке. Определить поло-
" жение центра тяжести се-
сечения.
Ответ: д;с = 69,5 мм;
ыг = Ю,3 мм.
Рас. 220
Рис 221
Задача 302 (рис. 222). В первом приближении погруженную
часть диаметральной плоскости корабля можно принять за тра-
трапецию. Определить статические моменты этой площади и коорди-
координаты ее центра тяжести относительно указанных координатных
осей, если а = 50 м; 6 = 47,9 м; с = 3 м; d = 3 м.
Ответ: Sx = 230,8 мл; хс = 23,7 м; S^ = 3590 м*; ус=1,53 м.
Задача 303 (рис. 223). Однородное тело состоит из куба с реб-
ребром а и четырехгранной пирамиды SABCD, основание которой
совпадает с верхней гранью куба, а вершина S лежит на про-
продолжении ребра АА'. Найти длину ребра AS пирамиды и поло-
127

жение центра тяжести всего тела, если известно, что он лежит
на верхней грани куба.
Решение. Система состоит из двух тел: 1 —пирамиды SABCD
и II — куба. Проведем оси так, как показано на рисунке.
Имеем согласно D.2)
. ,, yiVi+y*Vs . , z^i
Ус— гс—
где и, .и и3 — объемы пирамиды и куба соответственно: xlt yx zx
координаты центра тяжести пирами-
пирамиды; Xi, Hi, zi — координаты центра
тяжести куба.
Определим координаты центра тя-
тяжести пирамиды*. Для этого рас- У
смотрим элементарный объем, полу-
полученный сечением пирамиды плоско-
Рис. 222
Рис. 223
стями, параллельными плоскости xSy, на расстояниях z и z-\-dz
от вершины. Имеем
dVi = ЬЧг,
где 6 — сторона полученного в сечении квадрата.
Очевидно,
таким образом,
Объем пирамиды
aszsdz
: h3 *
* Учащемуся, незнакомому с интегральным исчислением, можно восполь-
воспользоваться окончательными формулами, опустив вывод.
128

Далее имеем*
h
[ zdv, -T,
v a'Jh 4
Пусть jc и у — центры тяжести элементарного объема. Из по-
подобия треугольников найдем
х г у г
~~а_ ¥' ~а~Т'
1
откуда
Теперь
л
V,
x
3
-— 8 a-
az
i/l
ft
\y t/t/,
0
8 a-
Итак, центр тяжести пирамиды находится в точке Cif-н-а;
3 ЗЛ\ ГТ , „ f а а , , а\
-g-a; -jj. Центр тяжести куба — в точке С2( у-, -^-; ^ + -2")*
Объем куба у2 = а3.
По формулам D.2) имеем
ЗаDд-)-А) __ За Dа-|-й) . 3 Bа2 -|- 4ah -f hs)
Хс ' Ус 8 (За-f Л) ' ?с 4ГЗ + Г
По условию, общий центр тяжести должен лежать в плоскости
A BCD, т. е. должно быть zc = h.
Отсюда получим
При этом условии имеем
Y _,, _ а F-Кб')
Лс — t/c — g •
Задача 304 (рис. 224). Из однородной правильной треуголь-
треугольной пирамиды SABC высотой h вырезана правильная пирамида
SiABC с тем же основанием. Какова должна быть высота этой
*) Этот же результат имеет место для любой пирамиды, т. е. центр тя-
тяжести пирамиды находится на расстоянии, равном 1/4 высоты пирамиды, от
соответствующего основания
б Н, А. Бражниченко а др 129

пирамиды, чтобы центр тяжести полученного тела совпадал с вер-
вершиной выреза?
Указание. См. сноску на стр. 129.
h
Ответ: ht =
3 •
Задача S05 (рис. 225). Однородное тело состоит из куба с
ребром а и прямой трехгранной призмы, одна из боковых гра-
Рис. 224
Рис. 225
ней которой совпадав! с верхней гранью куба, а основание
представляет прямоугольный треугольник. Найти координаты
центра тяжести тела и второй катет 6 основания призмы, если
известно, что центр тяжести тела лежит
в плоскости верхней грани куба.
Ответ: Ь = а\^3; хс=~;
aj/T.
Задача 306 (рис. 226). В однородной
сфере с радиусом R = 2a и центром О
имеется сферическая полость с радиусом
г=а и центром О, к); ~; Ц-). Опреде-
Определить центр тяжести данного тела.
dmfiptn' у — П */ — . у —
14 2t\
Задача 307 (рис. 227). К противоположным концам диаметра
основания однородного кругового конуса весом Р и высотой А
припаяны два тонких однородных стержня, перпендикулярных
основанию и имеющих вес Q каждый. Какова должна быть дли-
длина I этих стержней для того, чтобы конус, опертый на вершину,
оставался в безразличном равновесии?
Рис. 226
J30

Указание. Центр тяжести системы должен совпадать с вер-
вершиной конуса.
Ответ: 1 = 1
Задача 308 (рис. 228). Найти центр тяжести плоской фигуры,
ограниченной гиперболой ху=-^ и прямыми х — а, у = а.
v
у-а
0 L
Рис. 227
Рис. 228
Решение. Так как фигура ABE имеет ось симметрии — бис-
биссектрису координатного угла, центр тяжести должен лежать на
этой биссектрисе. Таким образом,
Для нахождения хс применим формулу
где S — площадь фигуры;
Sy — статический момент площади относительно оси у.
Обе величины вычисляют с помощью интегрирования.
Абсциссы крайних точек фигуры суть хв = ~ (пересечение ли-
линим у —а и xy = -j) и хд = а.
Имеем
"А а
S
о
a — yl)dx= j x[a— 4~jdx= ш.
j x[
*в
131

Таким образом, получим
8 C — In 4)
=0,697 а.
Задача 309 (рис. 229). Обводы поперечного сечения судна
имеют форму половины эллипса, уравнение которого
У
=±4/
где В — ширина сечения;
Т — осадка.
Определить статические моменты Sv, Sy изображенной пло-
площади.
ВТ"
Ответ: Sv — —$--; Sx = 0.
Задача 310 (рис. 230). Носовая часть ватерлинии задана урав-
уравнением
причем Osgxs^Zi. Определить статический момент Sy площади,
ограниченной этой частью ватерлинии и осью Оу, относительно
Рис. 229
Рис. 230
оси Оу, если ширина В = 12 м, а длина носовой части ватер-
ватерлинии L = 64 м.
Ответ: Sy = 0,15SL2 = 7320 л*3.
Задача 311. Найти центр тяжести площади, ограниченной ли-
, ПХ
ниеи, уравнение которой у = о cos ^-, и осями координат, если
а = 80 м, 6 = 9 м.
I 2
Ответ: хс — а[\
м;
lift Q J

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КИНЕМАТИКА
В «Кинематике» приняты следующие обозначения:
г — радиус-вектор точки;
s—дуговая координата;
t — время;
v — скорость точки;
vn »„, vz — проекции скорости на
оси цилиндрических ко-
координат;
Vft, v , v^ — проекции скорости на оси
9 сферических координат;
vx, wv, vt — проекции скорости на
декартовы оси;
w — ускорение точки;
w ,wCor — ускорение Кориолиса;
wn — нормальное ускорение;
давР — вращательное ускоре-
ускорение точки тела при его
вращении вокруг оси;
тц — центростремительное
ускорение точки тела
при его вращении во-
вокруг оси;
дат — осестремительное уско-
ускорение точки тела при
его вращении вокруг не-
неподвижной точки;
ws — вращательное ускорение
точки тела при его вра-
вращении вокруг неподвиж-
неподвижной точки;
,
И1Т—-касательное ускорение;
wv, wz — проекции ускорения на
оси цилиндрических ко-
координат;
— проекции ускорения на
оси сферических коор-
координат;
wx,wytws — проекции ускорения
точки на декартовы
оси;
г, <? — полярные координаты;
г, (f, г — цилиндрические коорди-
координаты;
R, if, 9 — сферические координа-
координаты;
па>™а''^а — кинематические харак-
характеристики абсолютного
движения;
vr, wr, <or — кинематические харак-
характеристики относитель-
относительного движения;
wf, we, п>е — кинематические характе-
характеристики переносного
движения;
х, у, г—декартовы координаш;
е—угловое ускорение;
р—радиус кривизны;
а—угловая скорость;
if, if, ft — углы Эйлера.

ГЛАВА V
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 1. Координатный и векторный способы задания движения точки
Уравнения движения точки. Траектория
При координатном способе задания движения положение точки
в пространстве в любой момент времени t определяется декарто-
декартовыми координатами *:
* = *(/); y = y(t); z = z(t). E.1)
Уравнения E.1) называют уравнениями движения точки. При
векторном способе задания движения положение точки в любой
момент времени определяется ее радиусом-вектором:
r = r(t).
Исключив из уравнений E.1) параметр /, получим непара-
непараметрические уравнения кривой, по которой движется точка. Тра-
Траекторией точки может быть вся полученная кривая или ее часть.
Для определения траектории следует установить области изме-
изменения координат х, у и г по заданным уравнениям движения,
считая время движения / существенно положительной величиной.
При известном уравнении кривой, по которой движется точка,
траектория во многих случаях может быть выделена заданием
области изменения только одной координаты. При исследовании
траекторий точек механизмов следует учитывать также конструк-
конструктивные особенности данного механизма, ограничивающие его дви-
движение.
Задача 312 (рис. 231). Движение точки в плоскости хОу за-
задано уравнениями
у = 2а cos 2/,
где а — постоянная (а]>0);
/ — время.
Определить траекторию точки и исследовать ее движение.
Решение, Заданные уравнения движения точки (а) являются
уравнениями траектории в параметрической форме. Для получе-
получения уравнения кривой, по которой движется точка, в непара-
непараметрической форме следует из этих уравнений исключить пара-
параметр t. Имеем
у = 2а cos 2t = 2а A — 2 sin91).
* Если заданы только два уравнения x — x(t) и y—y(t), то подразу-
подразумевается, что точка движется в плоскости хОу, т. е. г = 0.
134

Из первого уравнения (а) найдем
л*
—
а
тогда
Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке
@,2а), а ветви направлены вниз. Однако не вся полученная па-
парабола является траекторией точки.
Действительно, из (а) следует, что
| х | ^ а, | у | «^ 2а, т. е\ траекторией
точки является часть параболы, заклю-
заключенная внутри прямоугольника со сто-
сторонами 2а и 4а. Таким образом, урав-
уравнением траектории точки является
1
у = 2а(\—^\ при —
Найдем начальное положение точки.
При t = 0 имеем
*ко = О; у|,_о = 2а,
т. е. точка в начальный момент нахо-
находилась в вершине параболы. При воз-
возрастании t от 0 до -£ сек абсцисса х
увеличивается, а ордината у уменьшается, т. е. точка движется
по параболе вправо. При t = tl = ^ сек имеем
Рис. 231
В промежутке ~ сек^t^-^сек точка движется по параболе
влево, проходя ее вершину в момент t = t2 = n сек. Начиная с мо-
мента / = ^3 = Y сек, точка снова движется вправо, проходя на-
начальное положение в момент f = /4 = 2n сек, и т. д. Таким об-
образом, точка совершает с течением времени колебательное дви-
движение вдоль параболы.
Задача 313 (рис. 232). Зубчатое колесо / радиусом г обкаты-
обкатывается внутри неподвижного зубчатого колеса // радиусом R = 2г
с помощью кривошипа OiOit угол поворота которого <р задан как
функция времени: <p = fe/ (k — постоянная). Определить уравнения
движения и траекторию конца А отрезка АВ длиной /, неизменно
связанного с колесом / и расположенного вдоль его радиуса. При
/ = 0 колесо / занимало нижнее положение (показанное на ри-
рисунке пунктиром) и точка В совпадала с центром колеса //
135

Решение. Рассмотрим положение механизма в некоторый те-
текущий момент времени t. Колесо / займет при этом положение,
показанное на рисунке.
Пусть С — точка колеса /, которая в начальный момент ^ = 0
находилась в Со — месте зацепления колес. Из условия отсутствия
скольжения (благодаря на-
наличию зубцов) имеем
или
где
cd=c7d
R<? = п,
Имея в виду, что
R — 2г, получим *с = 2f.
Обозначим через ф острый
угол, составленный диамет-
диаметром СВ с вертикальной
осью 0$у. По теореме о
внешнем угле треугольни-
треугольника, имеем
Рис. 232 ! = '■? I 1t' = 2f.
откуда ф = ср.
Отсюда легко заключить, что точка С в процессе всего дви-
движения будет перемещаться вдоль оси О^у.
Обозначим координаты точки А через х и у. Введем радиус-
вектор р —02Д. Из рисунка ясно, что
Проектируя это векторное равенство на оси, получим
х — ОЮх sin ср -}- Oiv4 sin ^ = Br -^j— /) sin ^
у— — O.2Oi cos cp-j- OiA cos 0 = / cos cp.
Отсюда следует, что точка В в процессе движения переме-
перемещается вдоль оси Огх, так как ув = уА —I cosy = 0.
Подставляя в (с) y = kt, получим уравнения движения точки А:
x = Br-\-l)sinkt, y — lcoskt,
которые одновременно являются и уравнениями траектории точки
в параметрической форме. Исключая время t, получим уравнение
кривой, по которой движется точка, в непараметрической форме.
Для исключения / перепишем уравнения движения в виде
* —-sinfef; y =
136

Пользуясь тождеством
получим
id)
Это эллипс с полуосями а = 2г-г/, b = l и центром в начале
координат. При изменении t от 0 до со абсцисса х изменяется
в пределах —а-г^х^а, а ордината у — в пределах — b^y&tb,
и, следовательно, точка в своем движении обходит весь эллипс.
Таким образом, в данной задаче вся кривая определяемая урав-
уравнением (d), является траекторией точки.
Задача 314. В инверсоре, изображенном па рис. 233, стержни
AC, CB, BD, DA соединены шарнирно между собой и со стерж-
стержнями ОС п OD, вращающимися независимо друг от друга вокруг
оси О. Шарнир А при помощи
ползуна перемещается по прямо-
прямолинейной направляющей MN.
Найти уравнения движения и
траекторию точки В механизма,
если угол, образованный прямой
ОА и перпендикуляром ОЕ к на- ^
правляющей MN, изменяется I
' = ^/3= I
у
рщ ,
по закону <s = kt, AC = CB =
DDA C b
J/V
Рис. 233
ОЕ-1 (k = const).
II p п м е ч а и и с. Конструкция
механизма такова, что угол <р не мо-
может неограниченно увеличиваться,
поэтому рассматриваемое движение
механизма возможно лишь в течение
oi рапиченного времени.
Решение. Выберем оси координат, как показано на рисунке.
Точку пересечения диагоналей ромба ACBD обозначим Ох. Вслед-
Вследствие симметрии точка В лежит на прямой ОА. Кроме того, оче-
очевидно, что BOi — ОХА. Обозначив текущие координаты точки В
через х и у, из рисунка найдем
У
— OB cos у, \
= OjBsintp. |
Для определения ОВ рассмотрим произведение ОВОА. Имеем
но
OO'i =
следовательно,
ОВ-ОА= V1 - с?
137

(это равенство показывает, что произведение расстояний от то-
точек Л и В до точки О постоянно при любом положении меха-
механизма и характеризует геометрическое преобразование — инверсию,
чем и вызвано название механизма).
Из рисунка видно, что
0Л — 1
cos?
а тогда
0B = b*~a2 cosy. (f)
Принимая во внимание равенство (f) и cp = fe/, из (е) получим
г/ = ^-j^- sin W cos kt = ~W~ sin 2kL
Эти выражения представляют собой уравнения движения точ-
точки В. Исключая из них время t с помощью тождества
получим уравнение кривой, по которой движется точка,
b «\ , з /b
[Х 21 ) ~Г~У ~[ 21
Таким образом, траекторией точки В является дуга окруж-
окружности, проходящей через начало координат и имеющей радиус
г = —2?—• Центр этой окружности лежит на оси Ох и делит по-
пополам расстояние от точки О до положения точки В, отвечаю-
отвечающего значению ср = 0 *.
Задача 315. По заданным в векторной форме уравнениям дви-
движения точки определить ее траекторию:
1. /-=B/
2. r = B
3. r = t4~ E —
4. f = 3c^
5. f=
6. r =
7. f = C -(- 2 cos 20 f-f- B — 3 sin 2t) j;
8. r = /
9. r = ti-i-Bt
10. r = cob,2li
* Очевидно, что траектория не зависит от закона изменения с (t).
138

Ответы: 1. Зл--|~2г/=7; г = 0 A ^.v-
2 НГ—^-1^ B
3. 2х-\-г — Ь; у==0 (O=s=.v
4. *» + («,-1)' = 9; г=0;
5 (л:-2)'+^=-^=1; у = 0
6. y =
7 (х-3)= 0>-2)' . 0.
о -Vs _| г' _ 1. v л-
о. "у~-Г"— ' •
9. у = 2х — х\ z = 0 @<л:<оо);
Ю. x=l— 2z\ у = 0 (—1-^x^1).
Задача 316. По заданным уравнениям движения точки найти
ее траекторию в плоскости хОу и начальное положение.
Tit Tt
1. х — 2 Sin ; у = 3 COS ч ;
2. x = 3cos^; у = 3 — 5 sin/;
3. x = Vt; y = e ';
4. х = ^3 + 2; у = 3 /л;
5. a-^2cos2^; y = 3sinr;
6 x = 4sm2*; у = 2cos/;
7. * = 2tgT2; ;/
8. jB = 3tg-2; y
9. x = 3^; у = 6/ — 5^2;
10. л; = с(ыпй/- cos kt)\ y = b (sin /г/ — coskt);
11. л; = 2sin/2; t/ = 3coi.^;
12. A; = a-|-rcos ш/; y^rsinco/;
Ответы:
1. -^4-^=1. При / = 0:ж0 = 0; у„ = 3;
2. ^-!-<^^l=i. При/ = 0:хв = 3; «/, = 3;
3. y = e~l~ @^x<oo). При / = 0:x,, = 0; «/0=l;
4. *-)-y = 5 B<^л-<оо). При/ = 0:x0 —2; yo = 3;
5. yJ = -JB —x)(— 2sc:x=sc2). При t = 0:x() = 2) yo = O;
6 л;2 = 4у3D- У3)(— 4<х<4). При / = O:xo = O; yo = 2;
7- y^T^V @<^-<oo). При/ = 0:х„ = 0; у„^О;
139

9. у =
JO.
2a2
При / = 0:х„ = 0; yo=
= 0:х0 —О; г/0 =
У _
i FTnn / О ■ v /у* ii
12. (х~оK-{-г/2 = г2. При ^ = 0:х„ = а-{-/-; уо = О.
Задача 317. Точка движется по окружности радиусом г про-
против хода часовой стрелки так, что проходимая ею дуга изменяется
по закону s = kt. Найти уравнения движения точки по отноше-
отношению к системе хОу с началом в центре окружности, если гори-
горизонтальная ось Ох проходит через начальное положение точки.
kt kt
Ответ: x = rcos—; y = r%m~ .
Задача 318 (рис. 234). Кулиса ОМ длиной / приводится в
движение кривошипом OtA, вращающимся по закону <p = kB.
Составить уравнения движения конца кулисы М, если ОХО = ОХА.
Ответ: х—/sin -^-; y = l cos-гг.
Рис. 234
Рис. 235
Задача 319 (рис. 235). Стержень АВ длиной / движется так,
что одна из его точек описывает окружность радиусом г<^,
а сам стержень проходит через неподвижную точку N, лежащую
на той же окружности. Составить уравнения движения точки В,
если (р = ш/.
Ответ: x — r cos wt -f-1 sin ^ ;
у = r sin mt
COS ~ ,
Задача 320 (рис. 236). В V-образном двигателе угол между
осями цилиндров а = 90°. Коленчатый вал вращается по закону
140

(f = oit. Составить уравнения движения пальцев В и С, если
длина кривошипа OA — R, а длины шатунов АВ и АС равны L.
Ответ:
I? k ш "
Задача 321. В У-образном двига-
двигателе угол а между осями цилинд-
цилиндров равен 60°. Коленчатый вал
вращается по закону <р = <о/. Со-
Составить уравнения движения паль-
пальцев В и С по направляющим, если
длина кривошипа ОА равна R,
а длины шатунов А В и АС равны 2R. Определить положение
пальца поршня В в тот момент, когда поршень С находится
в крайнем верхнем положении (рис. 236).
Рис. 236
Ответ: OB — R cos
1
sin8 <ot
bin3 [~ - (
Задача 322 (рис. 237). Стержень А В длиной / поворачивается
около точки В так, что угол <р изменяется по закону <p = W, a
Рис. 237
Рис. 238
ползун В совершает гармонические колебания согласно уравнению
s = a-\-bsinwt. Определить траекторию точки А.
Ответ: ., . y-f ^ = 1 (эллипс).
Задача 323 (рис. 238). Стержень АВ длиной / движется так,
что конец А скользит по неподвижной прямой Оу, а ось стержня
А В все время проходит через неподвижную точку С, отстоящую
141

от оси Оу на расстоянии ОС = а. Найти уравнение кривой, по
которой движется точка В.
Ответ: у* =(л" ~ а)* f ~ х*}-.
Задача 324 (рис. 239). Кривошип О А вращается так, что угол
его поворота 9 = 2071/. Длина кривошипа О А = 20 см, длина
шатуна ЛВ = 100 см. Определить
уравнения движения точки М ша- у\
туна, отстоящей от точки А на I
расстоянии АМ—-^АВ.
fff}T)
Рис. 239
Рис. 240
Ответ: * = 20cos 2(Ы +81/25-
у— 12 sin 20те^ см.
sin22(W см,
Задача 325 (рис. 240). Составить уравнения движения точки N
реборды колеса, если оно катится без скольжения по горизон-
горизонтальной рейке и имеет скорость центра, равную t»0. В начальный
момент точка N занимает наинизшее положение. Радиус колеса г,
радиус реборды R.
V t
Ответ: xN=vut— Rsin—-;
yN
■ — Rcos
Задача 326 (рис. 241). Зубчатая рейка АВ обкатывается по
неподвижному зубчатому колесу радиусом R так, что угол между
Рис. 241
Рис. 242
радиусом ON, проведенным в точку касания N, и горизонталью
изменяется по закону y = kt. Составить уравнения движения
точки М рейки, занимавшей в начальный момент положение Ми.
Ответ:
х — R cos kt-\-kRt sin kt; y — Rsm kt — kRt соь kt.
142

Задача 327. В механизме, изображенном на рис. 242, линей-
линейка Л В движется так, что ее концы Л и В во все время движе-
движения скользят по прямолинейным направляющим, которые образуют
между собой угол а. Определить траекторию точки М линейки,
если AM—a, BM = b.
Ответ: дуга эллипса, уравнение которого
(эта кривая второго порядка может быть только эллипсом, так
как из уравнения видно, что всегда \у\^Ь).
Задача-328 (рис. 243). Кривошип ОА поворачивается вокруг
неподвижного шарнира О гак, что y = kt, и имеет, на конце А
ползун, заставляющий кулису K.L перемещаться в направляющих Е.
Рис. 243
Рас. 244
При этом ползун С с двумя взаимно перпендикулярными направ-
направляющими приводится в движение по прямой KL благодаря стерж-
стержню ВМ, шарнирно соединенному с кривошипом ОА в точке В.
Определить уравнения движения точки С и ее траекторию, если
ОА=а, ОВ = Ь.
Ответ: xc = acoskl; yc — b sin kt;
траектория — эллипс: ^--j-p"—'■
Задача 329 (рис. 244). Кривошип ОА длиной а поворачивается
вокруг неподвижного шарнира О. На конце А он имеет ползун,
заставляющий кулису K.L перемещаться в направляющих Е. При
этом по прямой KL перемещается ползун D, соединенный шар-
шарнирно с кривошипом ОА стержнем BD. Определить траекторию
точки D, если BA—BD — b.
Ответ: эллипс *-\-—£~ = 1ш
Задача 330 (рис. 245). Линейка АВ длиной 2а скользит своими
концами Л и В по двум взаимно перпендикулярным направляю-
направляющим. В середине С линейки, под прямым углом к ней, прикреп-
прикреплен стержень CD, длина которого равна а. Показать, что конец D
стержня движется по биссектрисе угла между направляющими.
143

Задача 331. Считая в задаче 330, что длина стержня CD
равна с (причем с Ф а), определить траекторию точки D, отнеся
движение к осям, являющимся биссектрисами углов между
направляющими.
Указание. Принять за параметр угол, составленный CD
с осью Ох.
Ответ: эллипс ^^ + j^y = l ■
Задача 332 (рис. 246). Стержень BCD, изогнутый под прямым
углом, перемещается таким образом, что точка В скользит по
Рис. 245
Рис. 246
прямолинейной направляющей, a CD все время проходит через
неподвижную точку А. Считая, что ВС = О А = а, определить урав-
уравнения движения точки С и ее траекторию, если угол ср изменяется
по закону <f = kt в пределах (
kt
Ответ: х = a cos kt\ y = acosktig-^.
Траектория — дуга строфоиды
у2 а — х
х* ~ а 4- х '
причем О^х^а.
Задача 333 (рис. 247). В механизме Сомова ползуны Л и С
перемещаются по общей направляющей, а шарнирный четырех-
Рис. 247
угольник EDBF представляет собой ромб со стороной а. Механизм
приводится в движение кривошипом OEF, вращающимся вокруг
144

точки О так, что Z. AOE — <? = kt. Определить уравнения движе-
движения точек В и D и их траектории, если ОГ, — ВС = АВ = Ь.
Ответ: хв = (b -\- 2а) cos kl; yB = b sin kt.
xD—{b~\-a) cos kt\ yD = (b — a)i>\nkt.
Траектория точки В — эллипс
х- . у
F +2аJ i^62
Траектория точки D — эллипс
л- , vs
аУ ' (Ъ — аУ
Задача 334. В эллипсографе, изображенном на рис. 248, опре-
определить траекторию точки D при вращении кривошипа О,Л вокруг
Рис. 248
точки Ои если
K D
= a, О^-^За, АС = АВ = 4а, АК = АЕ =
_ л2
Ответ: эллипс ^
—За)-
Задача 335. В гиперболографе, изображенном на рис. 249,
ползун А движется по прямолинейной направляющей MN. Найти
уравнение кривых, по которым движутся точки Е и D, если
OiA — O2A= a, O1E = OiE = OlD = O1D — b, а угол, образованный
направляющей MN с осью Ох, равен а.
Ответ: гипербола х1 — ^—^ — Ь"' — а1.
Задача 336. На рис. 250 показан механизм Гершгорина. В точ-
точках D и С двух одинаковых зубчатых колес на расстояниях Г|
и г% от их центров присоединены одинаковые по длине стержни DF
и CF, соединенные между собой шарниром. К серединам этих
стержней шарнирно присоединены стержни КМ и LM так, что
фигура KMLF образует ромб. Определить траекторию точки М при
движении механизма, если в начальный момент точки D, С и М
лежали на прямой, соединяющей центры колес А и В.
143

Указание. Углы, образованные отрезками DA и СВ с пря-
прямой АВ, будут все время равны между собой. Точка М все время
находится на середине отрезка DC.
Ответ: эллипс
, ' 1 •
Задача 337. В механизме, изображенном на рис. 251, найти
уравнение движения точки В, если кулиса ОАВ вращается так,
Рис. 250
Рис. 251
что угол cp = utf, а расстояние от точки О до направляющей
стержня OOi = b, длина О А равна а. Угол ОАВ — прямой.
Ответ: и = -. 4- b tg wt.
а cos at ' ь
Скорость и ускорение точки
При задании движения точки в прямоугольных декартовых
координатах скорость и ускорение точки определяются по их проек-
проекциям на неподвижные оси:
dx ._ dy . _ dz
dv.
dvy
'' df
dv,
cos (Cx) = 5;
cos (Oy) = ^
E.3)
E.4)
E.5)
E-6>
E.7)
E.8)
146

Уравнениями годографа скорости в параметрическом виде
являются
x, = vA~\; yi = vyz=tj; z1=^v, = z, E.9)
где xit уи z,—текущие координаты точки, вычерчивающей годо-
годограф, а оси O\Xit 0i(/b OyZi соответственно параллельны осям Ох,
Оу, Ог.
Задача 338. Даны уравнения движения точки:
(х, у —в сантиметрах; t — в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) скорость точки в момент
t—1 сек; 3) годограф скорости; 4) ускорение точки при t — 2 сек.
Решение. 1. Исключая t из уравнений движения, получим
уравнение кривой, по которой движется точка,
У ~YX
(полукубическая парабола). Траекторией является часть этой
параболы, соответствующая х^О.
2. Находим проекции скорости точки на оси координат по
формулам E.3):
vx = x = 2t; yv = </ = tfJf
откуда
Следовательно,
v |<=i С(?к=^5=2,24 см/сек.
Направление скорости определяется направляющими косину-
косинусами E.7):
cos (урх) =Д* = 2 ; cos (хСу) = Ь = -т-1—.
При t=l сек имеем
cos {Сх) == ^=; cos (oCy) —
\ 5
Таким образом, скорость в момент t — 1 сек составляет с ося-
осями Ох и Оу соответственно углы, равные 26°34' и 63°26'.
3. Находим уравнения годографа скорости в параметрическом
виде по формулам E.9):
Исключая /, получим
147

Годографом скорости точки является часть этой параболы,
соответствующа я
0-гх,<со.
4. Находим проекции ускорения на оси координат по фор-
формулам E.4):
r = -rf — z; wv
Отсюда
следовательно,
' dt lt-
w = W\-\-P>
= 4,47 см/сек2.
Направление ускорения определяется направляющими косину-
косинусами по формулам E.8):
==; cos(aC</) = ;7=F-
cos (w, х) = ■
При ^ = 2 сек получим
cos (&, х) = -^; cos (т^у) = Л .
у О у О
Таким образом, вектор © в момент / = 2 сек образует с осями Ох
и Оу соответственно углы 63С26' и 26С34'.
Задача 339. В механизме, показанном на рис. 252, стержень OL
вращается вокруг неподвижного шарнира О по закону <р = Ы
(«) — постоянная) и проходит
в точке В через поворотный
ползун /, соединенный шар-
нирно с другим ползуном /У,
движущимся по вертикаль-
вертикальной направляющей СМ, ко-
которая может перемещаться
лишь поступательно. К пол-
я зуну / прикреплен стержень
ВК, перпендикулярный к его
оси и 'проходящий в точке А
через поворотный ползун ///.
Ось этого ползуна закреплена на стержне CD на расстоянии
С А ~2р от точки С.
Найти кривую, по которой движется точка В, а также ско-
скорость и ускорение этой точки.
Решение. Выберем оси координат так, как показано на рисунке.
Обозначив текущие координаты точки В через х и у, из прямо-
прямоугольного треугольника АСВ найдем
а из треугольника ОСВ —
148

Принимая во внимание, что <р = о^, получим уравнения движе-
движения точки В:
x = 2pctg2c< y = 2pctgmt.
Исключая время /, находим уравнение искомой кривой:
у* = 2рх (парабола).
Заметим, что конструктивно угол <р не может увеличиваться
беспредельно, и потому движение точки В фактически происходит
по части параболы. Скорость точки В определим по E.3):
vx = х = — Ар ш ctg (о/ cosec2 «>/; vy — у = — 2р ш cosec2 Ы.
По E.5) найдем величину скорости:
По E.7) можно найти направление вектора v. Выразим v так
же, как функцию абсциссы х. Имеем
ctg2 (at = =- ■, cosec2 4>t = 1 -j- ,j—,
следовательно,
Vp
Для определения ускорения воспользуемся формулами E.4).
Получим после простых преобразований:
wx = vx = Ap оУ2 cosecs Ы A -\- 3 ctg2 wt);
Wy = vy = Ар (os cosec'2 Ы • ctg wt.
Проекции ускорения можно выразить и как функции координат.
Получим
Из этих формул видно, что wx, wv увеличи-
увеличиваются с возрастанием х и у. По E.6) теперь
легко найти величину ускорения, а по E.8) —
направление вектора w.
Задача 340 (рис. 253). Груз С поднимает-
поднимается по вертикальной направляющей при по-
помощи троса, перекинутого через неподвиж- Рис. 253
ный блок А, отстоящий от направляющей
на расстоянии АО —а. Определить скорость и ускорение груза С
в зависимости от расстояния ОС — х, если свободный конец троса
тянут с постоянной скоростью и.
на

Решение. Из треугольника АОС имеем
a*.
Пусть Со — начальное положение груза. Обозначая АС0 — 1,
получим
AC = l — ut,
и уравнением движения груза С будет
Находим проекцию скорости на ось Ох:
__dx u(l~ut) (/ — ut) и
Из (g) найдем
следовательно,
/1 \
(h)
Знак «минус» указывает на то, что точка движется в сторону
уменьшения абсциссы х, т. е. вверх.
Находим проекцию ускорения точки на ось Ох:
dVx
W
Так как x — vx, то окончательно получим
и-а"-
Знак «минус» указывает на то, что ускорение точки направлено
также вверх. Таким образом, движение груза является ускореиным.
Задача 341 (рис. 254). Два судна А и В идут взаимно пер-
перпендикулярными курсами с постоянными скоростями, равными по
величине 20 узлам (узел — единица ско-
скорости, равная миле в час). Определить
закон изменения расстояния s между ними,
если в начальный момент суда занимали по-
положения Л0 и Во, причем ОЛ0~ОВ0 —3
мили.
Ответ: s = 1^2C + 20/) миль (/ — в часах).
Задача 342 (рис. 255). Курсы двух судов
Л и В, идущих с постоянными скоростями
улг=25 узлов и ов=15 узлов, пересекают-
пересекаются в точке О под прямым углом. Опреде-
Определить, в какой момент времени ty расстояние s между судами
будет наименьшим, а также момент времени tit когда это рас-
150

стояние снова станет равным начальному расстоянию /40B0 = s(l,
если ОА№ = 2,2 мили, а ОВ0 = 2 мили.
Ответ: ^ = 6 мин; 4=12 мин.
Задача 343 (рис. 256). Из пункта А, находящегося на берегу
моря, нужно попасть в пункт В, отстоящий от берега на расстоя-
расстоянии 9 км. В каком пункте С
нужно высадиться на берег со
шлюпки, идущей со скоростью
и, = 1,5 м'сек, чтобы в крат-
Рис. 255
Рис. 256
Рис. 257
чайшее время прибыть в пункт В, если средняя скорость ходьбы
0^=1,2 м/сек, а расстояние ЛВ = 41 км?
Ответ: АС — 28 км.
Задача 344 (рис. 257). Человек получил задание в кратчайшее
время добраться из пункта А, находящегося на берегу, на остров В,
отстоящий от берега на расстоянии
17,3 км. В каком месте С человек
должен пересесть на катер, если ско-
скорость катера 36 км;час, а скорость
автомобиля, на котором он передви-
передвигался по участку АС, равна 72 км, час?
Ответ: DC =10 км.
Задача 345. Какое минимальное
время потребуется самолету для его
полета на расстояние 1000 км, если горизонтальные составляющие
ускорения в начале и в конце движения не должны превосходить
(для удобства пассажиров) 1 м{сек%?
Ответ: tmm = 33 -5- мин.
о
Задача 346. Движение точки М задано уравнениями
х = a (sin kt-^-cos kt); (/ = a(sin kt — cos kt),
где а и k — постоянные величины.
Определить величины скорости и ускорения точки.
Ответ: v — ak\/~lZ'< w — ak^y1}.
Задача 347. Движение точки В механизма (см. задачу 319)
задано уравнениями
х — г cos Ы-\- /sin ^-; у —г sin u>t— I cos ^-.
где ш — постоянная.
151

Определить величины, скорости и ускорения точки В.
Ответ: v — со 1/ г3 -(- -- — г/ sin у;
ш = <« I/ г -4- -^—ff sin -д-.
Задача 348 (рис. 258). Кулиса ОМ длиной / приводится во
вращение кривошипом ОИ, угол поворота которого <p~=fe/(fe —
постоянная). Определить величины
скорости и ускорения точки М, если
lk /k"
Ответ: v= • w = -r-.
Задача 349. Даны уравнения дви-
движения точки М (см. задачу 326):
x = Rcosk(-^kRtsm kt,
у = R sin kt — k Rt cos kt,
где k — постоянная.
Определить величины скорости и ускорения точки М как
функции времени.
Ответ: v = i
Рис. 258
Задача 350 (рис. 259). Два стержня ОА и О^В, соединенные
крестообразным ползуном D, могут вращаться вокруг точек О и
0i соответственно, образуя между собой все время угол 90°.
Рис. 259
Рис. 260
Определить величины скорости и ускорения точки D, если ОО^ = а,
а 2. AOOl = <? — kt, где k — постоянная.
Ответ: v = ak, w — 2aki.
Задача 351 (рис. 260). В кулисном механизме штанга АВ
движется вверх с постоянной скоростью и. Составить уравнения
движения точки С кулисы и определить величину скорости этой
152

точки в момент, когда ?=?-, если в начальный момент <? = 0,
длина ОС = а, расстояние OD — 1.
Ответ: хг =
mt
аи
Задача 352. На рис. 261 показан механизм Антонова. Кресто-
Крестообразный ползун А перемещается вверх по прямолинейной на-
направляющей QQ' с постоян-
постоянной скоростью и. С центром
этого ползуна шарнирно сое-
соединена втулка D, через ко-
которую проходит изогнутый
под прямым углом рычаг
LOM, вращающийся вокруг
точки О, отстоящей на рас-
расстоянии а от направляю-
направляющей QQ'. Другой стержень
СВ, проходящий через пол-
ползун А, заканчивается ползу-
ползуном В, скользящим по стороне ОМ рычага LOM. Определить
траекторию точки В и величину ее скорости в момент, когда
QA = a. В начале движения ползун А находился в точке Q.
Ответ: дуга параболы ф — ах\ v = uV 5.
Задача 353 (рис. 262). В механизме проектора ползуны А и
С движутся друг от друга со скоростью о каждый. Определить
в момент, когда z_ BDE = tf>, ско-
скорости шарниров В, Е, F, D, если
X
рт, 261
Ответ: v
Dx
,ч-«.
Задача 354 (рис. 263). Проек-
Проектор Делоне состоит из двух шар-
шарнирно соединенных между собой
стержней А В и ВС длиной /
каждый, с которыми шарнирно соединены два других стержня ED
и DF так, что фигура BEDF образует ромб со стороной а. Опре-
15Я

делить скорость точки D в зависимости от угла <р — Z ВАС, если
точка А неподвижна, а тонка С движется по прямой, перпенди-
перпендикулярной к BD, со скоростью v.
Ответ: vDx — -? ;
v Bа — [) ,
Задача 355. Даны уравнения
движения точки:
Рис.263 (х, у —в сантиметрах, t — в се-
секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) величину скорости точки;
3) годограф скорости; 4) величину ускорения точки.
Ответ: 1) \} = \ — 3 D=<£х<оо); 2) v = ЫУ1> см/сек;
3) у1 = 0,5х1@^Х1<Соо); 4) т = ^УЪ см/сек*.
Задача 356. Даны уравнения движения точки:
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) величину скорости точки;
3) годограф скорости; 4) величину ускорения точки.
Ответ: 1) у = — Зх-{- 10B===:х<оо); 2) у = 3/*>Т0 см/сек;
3) у у = — 3xL @ ==s xi < oo); 4) w = 6^ У" 10 сл/сек*.
Задача 357. Даны уравнения движения точки М:
2
t
(х, у—в сантиметрах, t — секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) момент времени, когда
величина скорости точки равна 5 см/сек; 3) величину скорости
точки А, вычерчивающей годограф скорости.
Ответ: \) у = — @0<оо); 2) ^=^Г сек'<
3) иА~ы>м — тй- см/сек4.
Задача 358. Движение точки задано уравнениями
154

(n = 0; 1; 2; ...)
Определить: 1) уравнение траектории; 2) моменты времени,
в которые скорость точки параллельна оси Ох; 3) моменты вре-
времени, в которые точка пересекает ось Ох.
Ответ: 1) y = e~ix
3) * = '-f
Задача 359. Движение точки происходит в вертикальной пло-
плоскости и задано уравнениями
x — t; </ = sin^
(х, (/ — в сантиметрах; t — в секундах).
Определить: 1) величину скорости точки в ближайший после
начала движения момент времени, когда точка пересекает ось Ох;
2) величину ускорения точки в этот момент; 3) величину скоро-
скорости точки в ее наивысшем положении на траектории.
Ответ: 1) v = 3,68 см/сек;
2) w = 2 см/сек?.
3) v = 1 см/сек.
Задача 360. Даны уравнения движения точки:
(х, у —в сантиметрах, t — в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) моменты времени, в ко-
которые точка находится на оси Ох; 3) момент времени, в который
величина скорости точки имеет наименьшее значение; 4) угол
между направлениями скорости и ускорения точки при ^=1/6 сек.
Ответ: 1) у = -^-:^-@=£Сл:<^оо);
2) ^i = 0; tt = „- сек;
3) * = -| сек; 4) я—135°.
Задача 361. Даны уравнения движения точки:
(х, у — в сантиметрах; t — в секундах).
Определить моменты времени, в которые угол между скоростью
и ускорением точки a = arccos
Ответ: tx=\ сек; tt= 1/2 сек.
155

Задача 362. Движение точки в интервале 0 <:t<^~ задано
уравнениями
(х, у— в сантиметрах, t — в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) величину начальной ско-
скорости точки о0; 3) уравнение годографа скорости.
Ответ: 1) </ = гцгт («локон» Марии Аньези) @^х<^оо);
2) v0 = 1 см сек;
3) y1 = --^V^=rT.
Задача 363. Движение точки в интервале 0 ==с t <^ я задано
уравнениями
(х, у~ъ сантиметрах, t — в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) уравнение годографа
скорости.
Ответ: 1) ц = ~—s\
2) tji = 1 (гипербола).
xi
Задача 364. Движение двух точек М^ я М^ задано соответ-
соответственно уравнениями
1) x = t; y = 1t\ 2) x = tJ; y = 2tl
(x, у — в сантиметрах, / — в секундах).
Определить: 1) траектории точек; 2) время Т, по истечении
которого одна из точек догонит другую; 3) величины скоростей
точек в этот момент; 4) величины ускорений точек в этот момент.
Ответ: 1) у = 2х* @<х<оо);
2) Т=\ сек;
3) к1 = 4,12 см/сек; У2 = 8,25 см/сек;
4) да, = 4 см/сек*; ш3 = 24,1 cMJceK%.
Задача 365. Брандспойт имеет расход воды q м?/сек. Площадь
отверстия брандспойта равна а м*. Под каким углом я следует
направить струю, чтобы она падала на расстоянии s метров?
Указание. Считать, что капли воды летят независимо друг от
друга с ускорением свободного падения. Начальную скорость
определить исходя из расхода.
Ответ: я = у arcsin^-(g = 9,8 м/сек1).
Задача 366. Точка движется из начала координат с ускоре-
ускорением w = — al-\~a], имея начальную скорость оо = у/.
156

Найти уравнение траектории и величину минимальной скорости
точки.
Ответ: (х-f- у)* = Ш; vmin =-p*~.
Выбрав новые оси, повернутые на а = 45°, можно показать,
что полученная кривая является параболой.
Задача 367. Точка движется с постоянной по величине ско-
скоростью в плоскости хОу. Вектор скорости о образует с осью Ох
переменный угол a. = at (а —постоянная). Определить траекторию
точки и величину ее ускорения, если в начальный момент точка
находилась в начале координат.
Ответ: окружность
Задача 368 (рис. 264). Шток может свободно перемещаться
в направляющих С и D при помощи шатуна А В длиной /, ко-
f~ «a ip -j
м
Рис. 264
Q J X
Рис. 265
нец А которого, движется по закону О А —х~аип a>t. Опреде-
Определить скорость штока в зависимости от абсциссы х ползуна А.
У а- — Xs
Ответ: у = ш х
V 1*~
Задача 369 (рис. 265). Источник света А опускается по вер-
вертикали со скоростью и = const. На столе имеется стойка высо-
высотой h, отстоящая от этой вертикали на расстоянии а. Определить
величины скорости и ускорения конца М тени по столу в зави-
зависимости от высоты источника света.
г. ahu 2ahu2
Ответ: v = u=s?; w^^^,.
Задача 370 (рис. 266). Гибкая нерастяжимая нить ABCD одним
концом закреплена в точке D, а другим перекинута через непод-
неподвижный блок В, находящийся на той же высоте, что и точка D,
причем расстояние BD — a. В точке С нити закреплен груз М,
157

Определить вертикальную составляющую скорости груза М
в зависимости от угла ?, образованного частью нити CD с вер-
вертикалью, если конец А нити тянут с постоянной скоростью и.
Ответ: vy = 5LJL? у а* _|_ ft»— 2absin<?.
Задача 371 (рис. 267). Точка М при помощи стержня АВ,
перемещающегося поступательно с постоянной скоростью а, пер-
перОтвет: v^
1
пендикулярной к оси Оу, приводится в движение по параболиче-
параболической направляющей, уравнение которой у* = 2рх. Определить ве-
величины скорости и ускорения точки в зависимости от величины
перемещения стержня.
2л: ' 4х V х '
Задача 372 (рис. 268). Кольцо М приводится в движение
по параболической направляющей, уравнение которой уг — 2рх,
при помощи стержня ОА, вращаю-
вращающегося вокруг точки О по закону
<p = «tf (со —постоянная). Определить
величину скорости кольца М в зави-
зависимости от координаты х.
Otneem: v = г£= (■* + 2p)V~2x + р-
V Р
Задача 373. Точка движется по
эллипсу, уравнение которого
Рис. 268 i! ! У* _ 1
Найти те положения точки, в которых величина ее скорости
больше величины проекции скорости на ось Ох в два раза.
Ответ: х = ±~7
158

Цилиндричеекие, полярные и сферическне координаты
Цилиндрические координаты точки г, ср, г (рис. 269) связаны
с декартовыми соотношениями
x = rcos<p; (/== г sin cp; z — z. E.10)
Уравнениями движения точки в цилиндрических координатах
являются
r = r(t); <p = <p(f); z = z(t). E.11)
Если г = 0 во все время движения, то цилиндрические коор-
координаты превращаются в полярные на плоскости хОу.
Рис. 269
Рис. 270
Уравнениями движения точки в полярных координатах будут
r = r(t); <р = <р(О- E.12)
Если движение задано в полярных координатах, то скорость
и ускорение точки можно определить через их проекции на оси
полярных координат (г) и (ср):
E.13)
E.14)
E.15)
E.16)
Если движение задано в цилиндрических координатах, то до-
дополнительно появятся проекции на ось (г), а именно:
и тогда
W= Vwr -j- Wf -f-
159

= Я»;
Сферические координаты R, ф, Ь (рис. 270) связаны с декар-
декартовыми формулами перехода:
x = /?sinOcos<p; (/=i?sin&sincp; z = Rcosb. E.17)
Проекции скорости на оси сферических координат (R), (<р), (&):
E.18)
E.19)
E.20)
Задача 374. Движение точки в плоскости задано параметриче-
параметрическими уравнениями в полярных координатах:
Проекции ускорения на оси сферических координат:
Rsln4-'f2;
> — Rsin&cos ft- «в3;
, = ^siii ft-f 2#cpsin&-|-2i?ftcpcos9-.
(г — в сантиметрах, щ —в радианах, t — в секундах).
Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки.
Решение. 1. Найдем кривую, по которой движется точка, для
этого исключим t из уравнений движения. Имеем
следовательно, уравнением искомой кривой является г = —^т.
COS '-р
Для преобразования этого уравнения к декартовым координатам
воспользуемся E.10). Имеем
г2 cos2 <p = аг
или
х* = а Ух"- ~\- у1.
Возводя в квадрат, получим
У^ = ~2^ — а2),
отсюда
Эга кривая состоит из двух ветвей. Точка при движении описы-
описывает только правую верхнюю ветвь (так как /5^0), которая и
является ее траекторией.
160

2. Для определения скорости найдем ее проекции по E.13)
Отсюда величина скорости
Направление скорости определяется углом а, который она
образует с полярным радиусом:
2f
Таким образом, с возрастанием времени скорость растет по вели-
величине, а угол, образуемый ею с полярным радиусом, стремится
к нулю, т. е. направление скорости приближается к направлению
полярного радиуса.
3. Найдем проекции ускорения по E.15)
величина ускорения будет
W = у Wsr —f
2at
« у 4^4 -4- 8г2
—
Направление ускорения определяется углом
образует с полярным радиусом:
который оно
gP да/ l+2ir*
Таким образом, вектор w, как
и v, при возрастании * стремится
совпасть по направлению с по-
полярным радиусом.
Задача 375. В механизме, изоб-
изображенном на рис. 271, стержень
LC проходит через поворотный
ползун в точке Л, а в точке В
шарнирно закреплен на ползуне,
движущемся по прямолинейной
вертикальной направляющей MN. Найти кривую, по
движется точка С, а также скорость и ускорение точки,
MN±Ax, ЛО — а,
BC — b, cp = to/,
где и) — постоянная.
Рис. 271
которой
если
6 Н. А. Бражииченко а
161

Решение. Введем полярную систему координат с полюсом
в точке А и полярной осью АО. Тогда полярный радиус точки С
будет
= Ь-\
1
а
.
costp
Это и есть уравнение кривой, по которой движется точка С,
в полярных координатах. Эта кривая называется конхоидой Нико-
меда.
Подставляя значение
? = «>/, (О
получим
Уравнения (i) и (/) представляют собой уравнения движения
точки С в полярных координатах.
Для нахождения скорости определим ее проекции по E.13)
дм sin at
v r
r cosW '
. , , аш
Отсюда величина скорости по E.14):
2ab cos3 wt 4- b* cos4 to/.
Найдем проекции ускорения по E.15):
, . о 2aw2 sin2 u>t
2 sin
так как ф = 0.
Отсюда величина ускорения по E.16):
w = *! ' V^4aa sina u>t — Aab s ina wt ■ cos3 to/ 4- b3 cos6 to/.
cos3 «i<' '
Задача 376. Даны уравнения движения точки в сферических
координатах:
R = e; т = 2/; b = t
(R — в сантиметрах; / — в секундах; <р, 8- — в радианах).
Найти величины ее скорости и ускорения в момент / = ~ сек.
162

Решение. 1. Определим проекции скорости по E.18):
Отсюда величина скорости будет
= <^Уб=11,8 см/сек.
2. Найдем проекции ускорения по E.20):
wR = R — №* — R sin2 Ь ■ ср2 = — 4е* sin2 /;
= 4J {sint+cost)
по» —Rf sin&-\-2Rysm
Величина ускорения
w = 2e'V~5 + 4 sin t cos f -f- 4 sin2 f,
7C
se» | « =6^=28,9 сл/се/са.
tceic
Задача 377. В механизме, изображенном на рис. 272, линейка
ВС, имеющая на концах ползуны В к С, остается все время пер-
перпендикулярной к стержню.ОА, вращающемуся вокруг точки О,
Рис. 272
Рис. 273
благодаря крестообразному ползуну D. Принимая точку О за
нолюс полярной системы, а направляющую ползуна С — за поляр-
полярную ось, определить в полярных координатах траекторию точки D,
а также величины ее скорости и ускорения в момент, когда
6» 163

<p = -™-, если стержень О А вращается так, что y = kt (k — постоян-
постоянная), а ВС = 2а.
Ответ: г = 0D = a sin 2<p — четырехлепестковая роза.
v\ т =ak; w\ * -
Задача .378 (рис. 273). Конхоидограф представляет собой стер-
стержень QQ', шарнирно скрепленный с кривошипом ОА и проходя-
проходящий через неподвижную точку В. На стержне находится точка М,
причем расстояние АМ = Ь. Принимая точку В за полюс поляр-
полярной системы, а прямую ВО — за полярную ось, определить урав-
уравнения движения точки М в полярных координатах, уравнение ее
траектории, а также скорость и ускорение, если полярный угол
cp — kt (k— постоянная), а ВО=АО = а.
Ответ: уравнения движения
<p = kt; r = b-\-2acoskt.
Траектория — конхоида окружности (улитка Паскаля):
r = 6-f-2acoso; v = kVia* + б2 + 4ab cos kt;
w =
-ffc* + 8ab cos kt.
Задача 379 (рис. 274). Два стержня AD и СК соединены между
собой под прямым углом и движутся так, что стержень AD все
Рис. 274
Рас. 275
время проходит через неподвижную точку О, а стержень СК —
через точку В, причем 0В = 2а. Принимая точку О за полюс
полярной системы, ОВ — за полярную ось, определить в поляр-
полярных координатах траекторию точки D, удаленной от С на рас-
расстояние CD — 2a, а также величины ее скорости и ускорения, если
полярный угол <f = kt (k — постоянная).
Ответ: траектория — дуга кардиоиды:
г = 0D — 2а A+ cos ?); v — iak
w — 2afe2 \fb -j- 4 cos kt.
kt
COS tj-

Задача 380 (рис. 275). Шестеренка радиусом R обкатывается
•без скольжения по неподвижной шестеренке с тем же радиусом
при помощи кривошипа ОИ. вращающегося так, чтоа = ^(& —
постоянная). Найти полярные уравнения движения той точки
обода подвижной шестеренки, которая в начальный момент была
точкой соприкосновения с неподвижной шестеренкой, принимая
начальное положение точки за полюс, а начальное положение диа-
диаметра, проходящего через эту точку подвижной шестеренки, — за
полярную ось.
Ответ: г = <У? sin2 -^-; <? = kt.
Задача 381. Движение точки задано в декартовых координа-
координатах уравнениями:
х = аР cos kt\ y = afs'\nkf-
(а, k — постоянные Ееличины).
Определить проекции скорости и ускорения на оси полярных
координат, выбрав за полюс начало декартовых координат, а за
полярную ось — ось абсцисс.
Ответ: vr = 2at; v^ = 2akP; wr = 2a A — 2fc^4); W9 = Wakt*.
Задача 382. Точка движется по гиперболической спирали г — —,
причем радиальная скорость ее удаления равна и. Найти величину
полной скорости точки в зависимости от угла ср.
Ответ: v = F
Задача 383. Точка движется в плоскости по логарифмической
спирали г = аек<?, прич"ем <р = и>/ (со — постоянная). Найти вели-
величины скорости и,ускорения точки, выразив их как функции г.
Ответ: y = o>r"|/"l + fe2; . w = u?r A -f- /г2).
Задача 384. Самолет равномерно набирает высоту, поднимаясь
на 7000 м за 1 мин 40 сек, и двигается при этом со скоростью
■900 км/час по винтовой линии, расположенной на вертикальном
цилиндре радиусом 10 км. За самолетом следит луч радиолока-
радиолокатора, помещенного на оси винтовой линии. С какой быстротой ф
должен при этом изменяться угол поворота антенны вокруг вер-
вертикальной оси?
Указание. Использовать цилиндрическую систему координат.
Ответ: ф —24-10 рад/сек.
Задача 385. Радиолокатор обнаружил на расстоянии 1000 км
тело, радиальная скорость которого ид = 6 км/сек, причем угол 9-
луча локатора с вертикалью в этот момент равен 30°. При сле-
слежении за телом быстрота изменения угла поворота локатора около
вертикальной оси ф = 0,006 рад/сек, а быстрота изменения угла
с вертикалью — Ь = 0,002 рад/сек. Найти величину скорости
тела.
Ответ: v = 7 км/сек.
165

Задача 386. Движение точки задано в сферических координа-
координатах уравнениями
R = t, <f = tt b = t
(R— 3 сантиметрах, <р, & — в радианах, t — в секундах).
Определить величины скорости и ускорения точки в момент
f=-J сек.
Ответ: v = j/ -XJL== 2D4 см/сек;
W= /«» +8 = 4,23 cju/mc2.
Задача 387. Движение судна задано уравнениями
где ср — долгота;
ф — широта места, занимаемого судном на земной поверхности;
k — постоянная величина.
Определить величины скорости и ускорения судна в любой
момент времени.
Указание. Сферическая координата Ь будет равна ~—ф, так
как широта отсчитывается от эк-
экватора.
Ответ: v~i
■ sin2 kt,
где R — радиус Земли.
Задача 388 (рис. 276). Судно
движется равномерно со ско-
скоростью v, образующей с геогра-
географическим меридианом постоянный
угол а. Принимая судно за точ-
точку, определить величину его уско-
Рис 276 рения в функции угла Ь, заклю-
заключенного между осью Земли и
радиусом, проведенным из ее центра в точку, занимаемую судном.
Ответ: w = ~
-j- sina a ctga 9-,
где R — радиус Земли.
§ 2. Естественный спсссб задания движения течки
Уравнение движения точки по траектории. Скорость точки.
Уравнение движения точки по траектории имеет вид
s = s(t), E.21)
где s — дуговая координата, отсчитываемая от выбранного начала
отсчета на траектории.
166

Знак s определяют в соответствии с выбранным положением
отсчета дуг.
При задании движения точки естественным способом ее ско-
скорость находят по формуле
• = £*• E-22>
где т —единичный вектор касательной, направленный в сторону
возрастающих значений s.
Скорость точки, как алгебраическую величину, определяют по
формуле*
v = %. E.23)
При о^>0 точка движется в сторону возрастающих, а при v <^0 —
в сторону убывающих значений s.
Если известна зависимость v = v (t), то дуговую координату
находят по формуле
s = \v(t)dt + Sl), E.24)
о
где s() — значение дуговой координаты при £ = 0.
Если начало отсчета дуг совпадает с начальным положением
точки, то s,, = 0, и тогда
i
s = \v{t)dt. E.25)
о
Так как движущаяся точка может изменить направление дви-
движения по траектории, то путь П, пройденный точкой за проме-
промежуток времени @, t), определяют как сумму длин дуг отдельных
участков, на каждом из которых скорость v сохраняет свой знак.
Таким образом,
П = |в, —sj + ls, —s,| + ... + |s —sB|, E.26)
где Si, s%, ..., sn — значения дуговой координаты в моменты вре-
времени tu t%, ..., tn, в которые скорость изменяет свой знак.
Задача 389 (рис. 277). Нерастяжимый трос сматывается с не-
неподвижного барабана радиусом R, все время оставаясь в натяну-
натянутом состоянии. Определить уравнение движения по траектории
точки троса, находившейся в начальный момент времени на бара-
барабане, если угол «р. определяющий положение радиуса, проведен-
проведенного в точку N схода троса, задан как возрастающая функция
времени (>0)
* Там, где это не вызывает недоразумений, под v понимается также аб-
абсолютная величина скорости.
167

Решение. Проведем ось Ох через центр барабана и начальное
положение рассматриваемой точки Мо. В силу нерастяжимости
троса длина смотанного конца равна длине
соответствующей дуги барабана, т. е.
Из рисунка найдем
х = ON cos ср -|- NM sin ер =
= R cos tp -j- R<p sin tp;
y = — ON sin cp -f- WM cos ep =
= — #sincp-f-#cpcoscp.
(ft)
При сматывании троса угол ср = ср(/), следовательно, уравнения
(k) являются уравнениями движения точки М.
Найдем проекции скорости точки на выбранные оси:
VX==X = ~ /? ср Sin ср -^— /? ф sin ср —(— /? ср ср COS ср = R cpcp COS ср;
Vv =р = — /? ср COS ср -j- R ф COS ср — /?срф sincp^ — ^(рф sin ср,
следовательно,
(О
Считая, что ср = О, s = 0 при ^ = 0, по формуле E.25) найдем
Если вместо
имеем
ср подставить известную функцию
), то
т. е. получим уравнение движения точки по траектории.
Задача 390. Движение точки по траектории задано уравнением
(s — в метрах, t — в секундах).
Определить значение дуговой координаты s в момент /=15 сек
и путь П, пройденный точкой за первые 15 сек.
Решение. Определим скорость точки
s
v = -г. == it
sin
izt
168

Найдем моменты времени tit t<t, ..., в которые скорость точки
изменяет свой знак. Имеем
откуда
^i = (-l)" + 6 п сек (л = 0; 1; 2; ...).
Следовательно, в течение первых 15 сек скорость изменяет
свой знак в моменты времени: fi = l сек, t2 = 5 сек, t3=\3 сек.
Определим значения дуговой координаты s в эти моменты вре-
времени, а также в момент to = O и в момент ^=15 сек:
so= 12 м;
51 = s|,= i CfK = it-j-6 КЗ м;
52 = S\t = 5 сек = 5тс — 6 УН М;
53 = S|* = i3 сек— IЗтт: —}— 6 у 3 Л,*
Пользуясь формулой E.26), найдем путь, пройденный точкой
за первые 15 сек.:
Л = | и + 6 /3 — 12 | + 15™ — 6 КЗ" — * — 61^3 | +11 Зя
— 5тг-[-6j/3~j + | I5u— 13« — 6УЗ 1 = 59,7 ж.
Задача 391. Определить уравнение движения точки по траек-
траектории, если даны ее уравнения движения в декартовых координа-
координатах:
х = a Bcos t -f- cos 2t)\
y = aBsint — sin2^).
Дуговую координату отсчитывать от начального положения точ-
точки в сторону первоначального движения.
Решение. Заданные уравнения представляют собой параметри-
параметрические уравнения гипоциклоиды, т. е. линии, которую описыва-
описывает точка окружности радиусом а, катящейся внутри окружности
радиусом За, причем t равно углу поворота линии центров от
ее начального положения .
Для определения s найдем v (t). Имеем
vx = x = ~ 2a(sin*-f sin20,
vv = у — 2a (cost — cos 2t),
•отсюда и2 = ia-f~ У2 = 16a2 sin2-^--
Заметим, что величина v (t) всегда положительна, так как
точка не меняет направления своего движения. Это следует из вы-
169

шеуказанной интерпретации движения. Аналитически в этом можно
убедиться, если рассмотреть изменение угла <р, образованного ра-
радиусом-вектором точки с осью абсцисс. Имеем
X '
отсюда
у Я:
Знаменатель и числитель всегда положительны, так как
xy — Jty = 8aa sina у.
Таким образом, точка всегда движется в одном направлении
(ер растет) и скорость сохраняет постоянный знак, который сов-
совпадает с ее первоначальным знаком:
v (t) = 4а
sin ~2"
Для s{t) получим
s(t)=\v(t)dt =
— 4а V si
Sin-тг
dt.
Этот интеграл не может быть вычислен в элементарных функ-
функциях (для произвольного t). Вычислим его по участкам.
При 0 sS t s^ Щ- имеем
тогда
. ы
sin -y
3t
2 '
Ы
(m)
В частности, при t = -^- имеем
16a
~3~"
Применять формулу (m) при больших t нельзя. Например,
= -5- она привела бы к нелепому результату: s = 0. При
имеем
sin ^
= — sin
2 *
170

Тогда
s{t)=\ Aa
sin3
3'
2ъ_
3
f
={ 4a sin-f-df-{-{ 4a(— si
16a , 8a 3t
— "' з C0ST
16a , 16a
.2к
Задача 392. Определить уравнение движения точки по траек-
траектории, а также значение дуговой координаты s и пройденный
путь П к моменту t — 5 сек, если ее скорость задана уравнением:
1. v= 10 см(сек;
2. и = 2 сл</дас
3. y = (
4. о = C — 0 см/сек;
5. u^
см сек;
6. v = f3 + -J cos -^j сл/се/с;
7. » = f я -j- 2те cos -|- J см/сек;
8. и = (/2 —
I.
2.
t см; s|<==5c«k = 50 ел; П|,=5 „« = 50 еж;
см @s£^s£3); s^=5 «« = 8 сии;
t 4
=5c>k = 30 см; П]<
| = 2,5 см;
ceK = 8 см;
= 30 ел;
сек = 6,5 ел;
-g-fl — cos—нсук;
= -j§ cm;
4. s
5. s
6. s— Ы-\- ysin-^-j ел; s|<=5ce«=l5 ел; П|,=5с(,к= 15
7. S= fit/-|-5 SHI -^-j CM', S\t=bceK = 5 П|
29
Задача 393. Определить уравнение движения точки по траек-
траектории, если даны уравнения ее движения в декартовых коорди-
171
8 S~(t*-3JL
О. Ь ~5 п

натах. Дуговую координату s отсчитывать от начального положе-
положения точки в сторону первоначального движения:
2. x=l—t; y = t—l;
3. x = 2sin2<; у = 2 cos 2t.
4. x = a -f- r cos at;
5. v —
6. x^ y
7. x = 4a cos2 w/; у = 3a sin* ш/;
8. x^acosV; y = asin8rf;
9. x = a(t — sin/); y = a(l—cost);
10, A: = acos/; y = asin/; z~ct.
Ответы:
2. s^
3. s = 4/;
4. s = /■<«/;
5. s = 3^j_
6. s=Vr3(er—1);
7. s^Sasin^a)/;
8. s = -|-sin2/ro</^|-(cM. задачу 391)];
9. s = 4afl—cosyjFo£S/^27t(cM. задачу 391)];
10. s=^tV"^T^-
Задача 394. Колесо радиусом R катится без скольжения по-
горизонтальному рельсу со скоростью центра va. Определить
уравнение движения по траектории точки обода колеса, находив-
находившейся в начальный момент в точке касания с рельсом. Какое
расстояние Si будет пройдено точкой по траектории от начала
движения до наивысшего положения?
Ответ: s = 8/? sin2 -—-; s, = 4/?.
Выражение для s справедливо только до момента t = - ■
(при котором s = 8R). После него нужно вычислять s так же„
как в задаче 391.
Ускорение точки. Равномерное и равнопеременное движение
При естественном способе задания движения ускорение точки
-определяют формулой
w = w^ -\- wnTL. E.27>
172

При этом
w — у wx —\~ wn , (o.zo)
где
wz = ~7T- — алгебраическая величина касательного ускорения*,
E.29)
a o = s — алгебраическая величина скорости точки;
wn~- нормальное ускорение; E.30)
п,т —единичные векторы главной нормали и касательной.
Если точка движется равномерно, то
о = const; шт = 0; &=*so-\-vt. E.31)
При равнопеременном движении ffi>T=const.
В этом случае
v = vo-}-wJ; E.32)
s = s0 -f- vot-\-^-, E.3'3)
а также
» = sq—у 2 '» ^t».otj
с c i Pj PJe /c oc\
Задача 395. При прямолинейном движении судна его скорость
в пункте А была 10 узлов, а в пункте В стала 30 узлов. Рас-
Расстояние между пунктами А и В равно 2 милям. Считая в первом
приближении движение судна равноускоренным, определить вре-
время Т движения судна на данном расстоянии, а также величину
его ускорения (узел — единица скорости, равная миле в час или
0,5144 м/сек).
Решение. Если взять начало отсчета в начальном положении,
то
so = O; £-i0 = 10 узл.;
о = 30 узл.; s = 2 мили.
По формуле E.34) найдем
j — —— = час = 5 мин.
* Там, где это не вызывает недоразумений, иод дах понимается также
величина касательного ускорения.
173

Пользуясь E.32), получим
wz = ®~tv° = 220 уз л. /час.
Так как движение прямолинейное, то wx — w.
Задача 396. Искусственный спутник обращается вокруг Зем-
Земли на высоте 500 км по круговой орбите. Определить время об-
обращения и скорость спутника, если известно, что его центростре-
центростремительное ускорение должно быть равно ускорению свободно
падающего тела.
На данной высоте g = 8,5 м/сек*, а радиус Земли #^6370 км.
Ответ: v = 7,64 км/сек.
Т = 1,56 час.
Задача 397. Считая движение снаряда в канале ствола рав-'
ноускоренным, определить изменение величины скорости снаряда
при выходе из канала, если ствол укоротить в п раз.
Ответ: скорость уменьшится в Vn раз.
Задача 398. Ракета, движущаяся вертикально вверх равноус-
равноускоренно, в момент окончания процесса горения рабочего вещества
(а'ктивный участок траектории) достигла высоты 30 км, имея
скорость 7200 км/ч. Считая дальнейшее движение ракеты равно-
замедленным с ускорением, равным по величие 9,2 м/сек*, опре-
определить время Т и полную высоту Н подъема ракеты, если в
начальный момент ее скорость была равна
нулю.
Ответ: Я = 247 км; Т — 4 мин 7 сек.
Задача 399 (рис. 278). Скорость катера
задана графически. Определить его макси-
максимальную скорость, если он прошел расстоя-
расстояние s = 0,5 мили за время Т = 2 мин.
2s
Ответ: утах = -^=30 узл.
Задача 400. Точка движется по окружности радиусом R рав-
равноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный обо-
оборот за Т сек. Определить величины скорости и ускорения точки
в конце этого промежутка времени.
Omeem: v — '■
Задача-401. Точка движется по окружности равноускоренно
из состояния покоя. Определить отношение величины полного
ускорения точки после того, как она обойдет всю окружность т
раз к ее ускорению, приобретаемому после первого оборота.
Ответ: = ,
Задача 402. Точка движется равноускоренно, из состояния
покоя по окружности. Доказать, что между углом а.^составляе-
174

мым полным ускорением точки с касательной к окружности, и
центральным углом р, соответствующим пройденной дуге, суще-
существует следующая зависимость:
Задача 403 (рис. 279). Точка М, выйдя
из положения Мо @; R), движется по окруж-
окружности (х — Rf -{-(«/ — #J=./?а равноускоренно
против хода часовой стрелки с начальной
скоростью о0. В то же время из начала ко-
координат (х = у = 0) вышла другая точка N,
двигаясь по оси Ох равноускоренно без на-
начальной скорости. Каково должно быть касательное ускорение
точки М и ускорение точки N, чтобы в пункт К (R; 0) обе точки
пришли одновременно с одинаковыми по величине и по направле-
направлению скоростями? -
Ответ: ^ = 1--^; a,JV==___.
Произвольное движение точки
Задача 404. При проворачивании гребного вала угол его пово-
поворота пропорционален кубу времени. Зная, что вал за время
/* = 4 сек сделал N=10 полных оборотов, определить уравнение
движения точки лопасти винта, отстоящей от оси вращения на
расстоянии / = 0,4 м, а также скорость и ускорение точки в этот
момент времени.
Решение. По условию,
где k — пока неизвестный коэффициент пропорциональности.
Тогда
К моменту времени /„. дуговая координата s = 2nlN, следова-
следовательно,
k
и уравнение движения точки по ее траектории будет
Найдем скорость точки по E.23):
ds __ ШМ*
V dt ~~ t%
175

Далее по E.29) и E.30) получим
dv \2ntNt
w '
Таким образом, полное ускорение точки
w = У wx -+- w\ = —^— у 1 -j
t%
При t = t*
f)\ i j ; 1
w\ i =,„ == -^^Vrl+9itW = 888 MJceK*.
Задача 405. При движении точки по окружности радиусом R
касательное ускорение пропорционально квадратному корню из
нормального ускорения (коэффициент пропорциональности k^>0).
Найти зависимость величины скорости точки от времени и урав-
уравнение ее движения по траектории, если начальная скорость рав-
равна 1>0, а дуговая координата отсчитывается от начального поло-
положения точки в направлении ее первоначального движения.
Решение. По условию, имеем
wz = k Vwn. (п)
Согласно E.29) и E.30)
dv о2
Пользуясь (п), получим
w=* Vw -■&•■ w
Из (п) следует, что шт>0, поэтому в (о) v всегда положительно.
Разделяя переменные в (о), имеем
dv k ,
откуда, интегрируя, получим
"о VR
и, следовательно,
Пользуясь E.25), найдем уравнение движения точки по траек-
траектории:
(
s(t)= \ v(t)dt= \ vue*R dt = ^yJL{eV4 - 1).
176

Задача 406. Точка движется по окружности радиусом 10 см
согласно уравнению s = 20ir£sc.M. Определить касательное и нор-
нормальное ускорения точки после того, как она один раз обойдет
всю окружность.
Ответ: wr = 40те см/сек?; wn— ШО^'3 см1сек*.
Задача 407 (рис. 280). Угол поворота зубчатого колеса / редук-
редуктора изменяется по закону t|>1 = -y (b — постоянная). Найти за-
закон движения по траектории
точки М, находящейся на ок-
окружности колеса //, а также
определить ее скорость и уско-
ускорение. Расстояние s отсчитывать
от начального положения точки
в направлении ее движения.
Радиусы колес соответственно
равны Г) и г2.
Ответ: s = -±-^-; v = rxbt\
r b Рис. 280
Задача 408. Две точки Мх и М% движутся по одной и той же
окружности в одну сторону согласно уравнениям
(s — в сантиметрах, t — в секундах), причем начало отсчета рас-
расстояний Sj и sa взято в одной точке.
Определить время Т первой встречи обеих точек и величины
их скоростей и ускорений в этот момент, если радиус окружности
равен 16 см.
Ответ: Т =2 сек, d, = 8 см/сек; о2 = 32 см/сек;
ш1 = 4У см[сек?; гг^ = 80 см/сек*.
Задача 409. Точка движется так, что пройденное расстояние s
пропорционально разности начальной скорости и скорости в дан-
данный момент. Определить зависимость ускорения от скорости,
если движение прямолинейное. Коэффициент пропорциональности
равен ft.
Ответ: wz = — ~ , где v = s.
Задача 410. Точка совершает криволинейное движение так,
что величина скорости ее в зависимости от времени выражается
уравнением
1(
Найти зависимость между касательным ускорением точки и ее
скоростью.
Ответ: wz — e~v.
177

Задача 411. При небольшой отрицательной плавучести скорость
вертикального погружения подводной лодки выражается уравнением
где а и Ь — некоторые постоянные величины.
Определить закон изменения расстояния, проходимого под-
подводной лодкой, в зависимости от времени и ускорение лодки
в зависимости от ее скорости.
Ответ: s = a[t — i-(l — <гм)|; w = b(a — v).
Задача 412. Величина скорости судна, движущегося прямолиней-
прямолинейно, за 2 мин уменьшилась с 30 до 5 узлов. Считая, что величина уско-
ускорения при этом была пропорциональна квадрату скорости, опреде-
определить величины скорости и ускорения судна к концу четвертой минуты.
Ответ: v = 2,73 узла, ш = 37,1 узл./час
Задача 413. В момент, когда парашют раскрылся, парашю-
парашютист, летящий по вертикали вниз, имел скорость 40 м/сек, а че-
через 10 сек после раскрытия парашюта его скорость стала 10 м/сек.
На какое расстояние s опустился парашютист за это время, если
величина ускорения при его падении все время была пропорцио-
пропорциональна величине скорости?
Ответ: s = 216 м.
Задача 414. В течение 20 сек скорость судна, совершающего
движение по дуге круга радиусом 200 м, падает с 15 м/сек
до 12 м1сек. Предполагая, что величина касательного ускорения
судна в рассматриваемом промежутке времени пропорциональна
квадрату скорости, определить пройденный им путь за первые Юсек.
Ответ: s== 141 м.
Задача 415 (рис. 281). Прямоугольный рычаг АОВ имеет не-
неподвижную ось вращения О. К концам А и В рычага прикреп-
прикреплены тросы, перекинутые через
блоки С и D. Точки D, О, С
лежат на одной горизонтали так,
Рис 281
Рис. 282
что ОА—ОС — а\ OB = OD =b. Определить скорость v груза Р
в зависимости от угла <р, образованного плечом О А с,вертикалью^
если конец троса АС имеет скорость и.
178

Указание. Выразить расстояния АС и BD через угол ф и найти
скорости тросов при помощи дифференцирования.
COSy
Ответ: v = u ;
acOS\4~ 2,
Задача 416 (рис. 282). Груз М поднимается вертикально вверх
по направляющей при помощи троса, проходящего через непод-
неподвижные блоки А и В, находящиеся на одном уровне,' и подвиж-
подвижный блок С, причем ОА=ОВ~а. Концы троса имеют заданные
постоянные скорости щ и п2. Определить скорость груза v в функ-
функции от расстояния OM = h и время Т подъема груза на высоту
Omeem: v = ^±^-
§ 3. Определение радиуса кривизны траектории
Радиус кривизны траектории движущейся точки определяют
по формуле
Если даны уравнения движения точки в координатной форме:
x = x(t); y = y(t)\ z = z(t),
то для определения р находят:
3. wx = Jc; wy=y; wz = lt; w =
j,2
4. wn—Vw2 — w\. 5. p — —.
Задача 417. Движение точки задано уравнениями
х — а C cos f-f- cos 3/),
t/ = aCsin/-f sin30
(a — постоянная величина).
Определить радиус кривизны траектории как функцию времени
в промежутке 0 ^ t sg; -|- сек.
Решение. Определим проекции скорости точки на координат-
координатные оси:
vx — х = — 3a (sin / -f- sin 3^),
vy = p = За (cos t -f cos 3/),
179

следовательно,
у* == 18а2 A + cos 2t) = 36а2 cos3 /,
откуда о = 6а cos t.
Касательное ускорение
dv „ . ,
о», =-^-= — 6а sin г.
Найдем проекции ускорения точки на координатные оси:
wx = vx = —За (cos t-{-3 cos 3/),
Wy = vy = —За (sin^-^-3 sin3/),
отсюда
ша= 18а2 E + 3 cos 2/).
Определим нормальное ускорение точки:
w% — ш2 — ш? = 144a2 cos2 f,
откуда
wn= 12acos t.
Искомый радиус кривизны траектории будет
Наибольший радиус кривизны ртах = 3а.
Задача 418. Точка движется в плоскости хОу с постоянным
ускорением W, равным по величине 2м/сек? и направленным парал-
параллельно оси Ох. Определить радиус кривизны траектории точки
в момент t=\ сек, если в начальный момент точка имела ско-
скорость So, равную по величине 2 м/сек и направленную под уг-
углом a = 30° к оси О у.
Решение. Согласно условиям задачи, ускорение w постоянно
по величине и направлению. Поэтому в любой момент времени t
будут иметь место соотношения
Интегрируя эти равенства, получим
Так как при ^ = 0
vx\t = о = *о = "о sin a; vy\t = Q = y(t = o0cos a,
TO
Ci — Vq sin a= 1; С2 = o0 cos a = У .
Следовательно,
180

Теперь найдем величины скорости
v = V~vl-\-v*y
и касательного ускорения
dv
dt V(
IJ + 3 '
В момент /=1 сек, получим
v\t = i«« = 21/Tjn/ceft;; дат|, = |Се« = ]/ л/сек*.
Так как ш = 2 м/сек?, то при /=1 сек имеем
wn\t = ice« = 1Ле>2 — ш? |, = 1 сек = 1 .и/сея;2.
После этого найдем
Pl/= \сек =-
п-
= 12л.
= 1 сек
Задача 419. Движение точки задано уравнениями
(х,у — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить радиус кривизны траектории точки в те моменты»
когда она пересекает ось Ох.
Ответ: р = 6,94сл«.
Задача 420. Движение точки задано уравнениями
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить радиус кривизны траектории в точке A; I).
Ответ: р = 7,81 см.
Задача 421. Движение точки задано уравнениями
x — akt — b sin kt\
y = a — bcoskt
Определить радиус кривизны траектории точки в момент
пересечения ею оси Ox (a, b и k — постоянные величины).
Ответ: р = l/V — а%.
Задача 422. Движение точки задано уравнениями (см. зада-
задачу 326)
х = Rcos kt + kRt sin kt,
y = R sin kt — kRt cos kt,
где R и k — постоянные величины.
Определить: 1) радиус кривизны траектории точки в момент t,
2) геометрическое место центров кривизны.
Ответ: 1) p = kRt; 2) окружность радиусом R.
181

Задача 423. Движение точки в вертикальной плоскости зада-
задано уравнениями
где v0, г и R — постоянные величины.
Определить радиус кривизны траектории точки в наивысшем
■ее положении.
Ответ: Р = -Ш^,
Задача 424. Движение точки задано уравнениями (см. зада-
задачу 319):
х = г cos <&t-\-l sin -^ ;
У = — / COS -я- -j- Г SID (ttf,
где г, I, со — постоянные величины.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t= ~.
^ (I + 2гJ
Ответ: Р = \J_ /| ■
Задача 425. Движение точки задано уравнениями
а; = a cos8 /, у = a sin* ^,
где я — постоянная величина.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t.
Ответ: р = ~ а | sin 2f|.
Задача 426. Движение точки задано уравнениями
х = 2а cos £ — a cos 2t,
y = 2asint — a sin 2t,
где а — постоянная величина.
Определить наибольший радиус кривизны траектории точки.
о
Ответ: ртаХ = -5-а.
О
Задача 427. Движение точки задано уравнениями
x=t; y= sin ft
\х, у — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить радиус кривизны траектории точки в ближайший
после начала движения момент времени, в который точка пере-
пересекает ось Ох
Ответ. р = 25,1 см.
182

Задача 428. Движение точки задано уравнениями
x = tcost, y = tsmt, z = H~2t,
где постоянная величина Я и х, у, г — в метрах, / — в секундах.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент
t — 2 сек.
Ответ: р = 3,27 м.
Задача 429. Движение точки задано уравнениями
x — t — sin/;
у=\ — cos t;
(x, у, г — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить радиус кривизны траектории точки в момент
п 4 16
Ответ: о — = = —==- см.
Г * У 16 + г2
Задача 430. Движение точки задано уравнениями
х-=е* соь/; y = etsmt, z — ё.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t.
Отчет: р = —^—е'-
Задача 431. Точка движется в пространстве с постоянным
ускорением W, направленным параллельно оси Ох и равным по
величине 5 м/сек* В начальный момент точка имела скорость v0,
равную по величине 5 м/сек и образующую с осями Ох и Оу
соответственно углы а = 60° и fJ = 45° Определить радиус кри-
кривизны траектории точки в момент t=\ сек.
Ответ: р —30 м.
Задача 432. Угол поворота винта судна диаметром 120 см изме-
изменяется по закону ср= \0nt радиан (t — в секундах). Судно движет-
движется прямым курсом с постоянной скоростью, равной 10 м/сек.
Определить радиус кривизны траектории точки винта, наиболее
удаленной от оси
Ответ: р = 0,77 м.
Задача 433. Колесо радиусом R катится без скольжения по
прямолинейному рельсу со скоростью центра о0 = const. Опре-
Определить радиус кривизны траектории точки на ободе колеса
в тот момент, когда оно сделает 1/4 оборота, если в начальный,
момент данная точка совпадала с точкой касания
Ответ: р = 2/?]/".
Задача 434. Из условий задачи 433 определить радиус кри-
кривизны траектории точки при повороте колеса на угол 120°.
Ответ: р = 2^|/"з".
183

Задача 435. Мост имеет форму параболы я2 = 200у (х, у — в
метрах). Определить ускорение автомобиля, находящегося в дан-
данный момент в середине моста (в вершине параболы) и движуще-
движущегося с постоянной скоростью v = 36 км/ч.
Ответ: w = wn= 1 м/сек1.
Задача 436. Движение точки по кривой г/ = #2 задано урав-
уравнением
5=1,5*» —4/
(х, у, s — в метрах, t — в секундах). При ^ = 0 jc = t/ = O.
Определить: 1) характер движения точки в моменты: /0 —0;
fi=l сек и U = 2 сек; 2) величины скорости, касательного и
нормального ускорений точки в момент ^ = 0.
Ответ: 1) при t = 0 и ^=1 сек движение замедленное, при
/ = 2сек — ускоренное; 2) v = 4 м/сек; wr = 3 м/сек?; wn = 32 м/сек*.
Задача 437. Движение точки задано уравнениями
(x,y — в метрах t — в секундах).
Определить скорость и ускорение точки, а также радиус кри-
кривизны траектории в момент, когда последний достигает своего
наименьшего значения.
Ответ: v = l м/сек; w = 2 м/сек?; р = 0,5 м.
Задача 438. Определить радиусы кривизны эллипса - 3—j—=^- = 1
в его вершинах.
Указание. Представить уравнение эллипса в параметрической
форме и принять параметр за фиктивное время.
Ответ: pi = —; p2 = -^-.
Задача 439 (рис. 283). Перемещение грузов по подвесному
тросу осуществляется с помощью люльки, подвешенной к под-
'вижному ролику С. Точки А
и В крепления троса находятся
на одной горизонтали на рас-
расстоянии ЛВ = 40 м. Считая
части троса АС и ВС прямо-
прямолинейными, определить радиус
кривизны траектории ролика С,
Ш если наибольшее провисание
троса равно 4 м. Найти также
нормальное ускорение ролика
в тот момент, когда он прохо-
проходит середину троса со скоростью 3 м/сек. Размерами ролика
пренебречь.
Ответ: р=100 м;
wn = 0,0865 м/сек\
Рас. 283
184

Задача 440. Движение точки задано параметрическими уравне-
уравнениями в полярных координатах
где а и /"о — постоянные.
Найти траекторию, радиус кривизны траектории, а также ве-
величины скорости и ускорения точки.
Ответ: траектория — логарифмическая спираль
г г
— о
Задача 441. Движение точки задано в цилиндрических коор-
координатах уравнениями z
(r, г — в сантиметрах, ср — в радианах,
t — в секундах).
Определить радиус кривизны траекто-
траектории точки в момент t=l сек.
Ответ: р —2,28 см.
Задача 442 (рис. 284). Кран имеет вер-
вертикальную неподвижную ось вращения,
вокруг которой он поворачивается так,
что угол поворота cp = atf(a> = const),
а угол р между осью вращения и стрелой
крана остается постоянным. Одновременно груз Р
с постоянной скоростью и.
Определить траекторию, скорость, ускорение и радиус кри-
кривизны траектории центра груза, если в начальный момент груз
находился в горизонтальной плоскости хОу на оси Ох, а вылет
крана равен /.
Ответ: траектория — винтовая линия;
Рис. 284
поднимается
w =
р = / + .

Г Л ДВА VI
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
§ 1. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение
тела. Равномерное и равнопеременное вращение тела
Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид
 = -~ рад/сек, F.2)
е= Т. —-^-рад/сек?. F 3)
Если в данный момент времени еш^>0, то в этот момент тело
вращается ускоренно, если же еш <^ 0, то вращение замедленное.
При вращении тела в одном и том же направлении угол по-
поворота тела ф за промежуток времени t — ^ определяют по фор-
формуле
ф = |<Р — <pol> F 4)
где ср и ср„ — значения угловой координаты в моменты t и ta.
Угол ф поворота тела связан с числом оборотов тела N зави-
зависимостью
ф = 2тгЛ/. F.5)
В технике угловую скорость тела выражают числом оборотов
в минуту. Переход от п (об/мин) к ш (рад/сек) осуществляют по
формуле
т=ж- <6-6)
При равномерном вращении тела u> = const, e = 0 В этом слу-
случае уравнение вращения тела имеет вид
? = То + ш^- F 7)
При равнопеременном вращении тела е — const. В этом случае
ш = шо-|-ег, F 8)
и уравнение вращения тела принимает вид
<? = fо Н- <V + -V-- F 9)
* Там, где это не вызывает недоразумений^ под и> и « понимают также
абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения.
186

Задача 443 (рис. 285). Крен судна на спокойной воде описы-
описывается уравнением
(а)
'= i¥cos
o
<f (радиан)
((— в секундах, ср — в радианах)
Определить моменты времени, в которые судно имеет макси-
максимальный крен, и моменты, когда его угловая скорость достигает
максимальных значений, а также про-
промежутки времени, когда вращение судна
ускоренное и когда замедленное.
Решение. Для исследования движе-
движения определим ш и е.
Имеем согласно F 2) и F.3)
7t3 Ttt . .
8 — 1800"C0S ТбГ- W
Из уравнения (а) видно, что макси-
максимальный крен судна равен ,*г и имеет
место в моменты времени tn=\0n сек
(л = 0; 1; 2; ...)
В эти моменты времени, как следует
из (Ь) и (с), угловая скорость равна
нулю, а угловое ускорение имеет экстре-
экстремальные значения
Угловая скорость приобретает максимальное значение, равнее
-j^p рад/сек в моменты времени tm = 5(;2m-\- 1) сек (т = 0; 1; 2; .. ).
Рассматриваемое движение имеет периодический характер (пе-
(период Т = 20 сек), поэтому достаточно провести исследование за
время одного периода. Из графиков функций ср, ш, е следует, что
в начальный момент (^ — 0) судно имело крен сро = -|^-, движе-
движение началось без начальной угловой скорости с угловым ускоре-
ускорением ео = — -^у- рад/сек*
1800
Рис 285
В интервале 0<^^<^5 сек угловая координата ср уменьшается,
качка судна является ускоренной, так как ше>0 При t~5 сек
угловая скорость достигает экстремального значения, а угловое
ускорение равно нулю В интервале 5 сек<С.(<^\0 сек вращение
судна замедленно При ?=10 сек угловая скорость равна нулю,
затем меняет знак, т. е. происходит изменение направления вра-
вращения судна.
В интервале 10 сея;<7<45 сек ше^>0, поэтому вращение
ускоренное, а в интервале 15 шс<^/<[20 сек ше<^0, и вращение
снова замедленное.
187

При t=z20 сек судно возвращается в первоначальное положе-
положение, и процесс качки повторяется.
Задача 444. Угол поворота диска, вращающегося вокруг не-
неподвижной оси, изменяется согласно уравнению
(k — постоянная величина, ф — в радианах, t — в секундах).
Определить угловую скорость и угловое ускорение диска че-
через 4 сек после начала движения, если за первые 2 сек он сде-
сделал N = 8 оборотов.
Решение. Вращение диска согласно заданному уравнению про-
происходит в одном и том же направлении. Поэтому можно считать
Согласно F.5), имеем
отсюда найдем
k = ~Y рад/сек9,
таким образом,
Используя F.2) и F.3), получим
В момент времени t = 4 сек имеем
аI<=4Сгк = 80тс рад/сек;
Ф= 4 сек = 38тс рад'/сек*.
Задача 445. Гребной винт судна, имевший угловую скорость
<о0 = 20тс рад/сек, останавливается через 20 сек вследствие сопро-
сопротивления воды и трения в подшипниках. Считая вращение винта
равнопеременным, определить угловое ускорение и число оборо-
оборотов винта до остановки.
Решение. Так как вращение винта является равнопеременным,
то пользуемся формулами F.8) и F.9)
Приняв сро = О, имеем
ш = ш0 -\- s.t;
188

В соответствии с условиями задачи получим
где Г — время вращения винта до остановки. Отсюда найдем
е = — ■— = — те рад, сек?;
<? = ^ = 200к рад.
Так как в процессе вращения ш и е имеют разные знаки, то
вращение является равнозамедленным.
До остановки винт сделал
N = 2г. == *00 оборотов.
Задача 446. Колебание маятника задано уравнением
{t — в секундах, ср — в радианах).
Исследовать характер движения маятника за период колеба-
колебания. Построить графики изменения угловой скорости и углового
ускорения.
Ответ: В интервалах 0<^<|у сек и у<7<|2 сек враще-
2 4
ние маятника ускоренное, в интервалах -к-<С. t <Стг ceK и 2<^
О
<^ ^ <^ -=- сек — замедленное.
В моменты ^ = -о" сек и t = 2 сек угловое ускорение равно ну-
нулю, а угловая скорость достигает экстремума.
Задача 447. По заданным уравнениям вращения тела опреде-
определить угловую скорость, угловое ускорение и характер вращения
тела в моменты времени, указанные в следующей таблице.
.p = ip [f),pad
t, сек
1
2
0
3
Ответ
рад
сек
—1
4
12
12
рад
' сек*
2
8
—18
18
Характер крашения
Замедленное
Ускоренное
Замедленное
Ускоренное
189

Продолжение
f = f (t), pad
¥ = 3t ^ @^s£3)
 3)
<f = It — fa
 3)
—2
0
0
0
Характер вращения
Мгновенная оста-
остановка с последую-
последующим вращением в
том же направлении
Мгновенная оста-
остановка с последую-
последующим вращением в
про гивопо ложном
направлении
Величина угловой
скорости имеет мак-
максимальное значение
Мгновенная оста-
остановка с последую-
последующим вращением в
гом же направлении
Мшовенная оста-
остановка с последую-
последующим вращением в
противоположном
направлении
Примечание. При <и >• 0 вращение тела происходит в сторону возрастания угловой
координаты f.
Задача 448 (рис. 286). Устройство, предназначенное для фото-
фотографирования облачного покрова Земли, движется горизонтально
со скоростью 7,55 км/сек на вы-
высоте 800 км и при этом равно-
равномерно вращается вокруг своей
оси. Аппарат, оптическая ось ко-
которого перпендикулярна к оси
устройства, делает автоматически
снимок каждый раз в момент,
когда его объектив, занимает наи-
наинизшее положение. С какой угло-
угловой скоростью должно вращаться
устройство вокруг своей оси, что-
не перекрывались соседние кадры,
Рис. 286
бы при фотографировании
если угол съемки а=1°?
Ответ: 3,40 рад/сек = 32,5 об/мин.
Задача 449. На рис. 287 показана кинематическая часть
устройства прибора, служащего для изменения длительности
посылаемых сигналов. Мотор М вращается с угловой скоростью
ш0 и при помощи шестерен / и 11 с числами зубцов zx и г% соот-
190

ветственно вращает вал, составленный из двух усеченных цилинд-
цилиндров Bt и Въ разных радиусов, но имеющих общую ось. В зави-
зависимости от того, к какому цилиндру прижимается контакт К,
Рис. 287
включается генератор частоты /г или /%. Определить время t2
передачи сигнала частоты /2 в зависимости от положения кон-
контакта, если АК—х; АС = 1.
Ответ: U — -~ arccos A j- J.
Задача 450. Ротор турбины имел угловую скорость, соответ-
соответствующую 3600 об/мин. Вращаясь затем равноускоренно, он
удвоил свою угловую скорость за 12 сек. Определить, сколько
-оборотов сделал ротор за это время.
Ответ: 1080 оборотов.
Задача 451. Компрессор, вращаясь равнозамедлешю, умень-
уменьшил угловую скорость с 14000 об/'мин до 10000 об/мин, 'совер-
'совершив при этом 9000 оборотов. Определить время, в течение кото-
которого произошло снижение угловой скорости.
Ответ: / = 45 сек.
Задача 452. Ротор турбины, вращаясь равноускоренно, в мо-
моменты времени /, и tt имел соответственно «i = 1300 об/мин и
щ=4000 об/мин. Определить угловое ускорение е и число обо-
оборотов N ротора за промежуток времени t — U — ^ = 30 сек.
Ответ: е = 3п: рад/сек\
N =1325 оборотов.
Задача 453. Вал двигателя, вращаясь равноускоренно с угло-
угловым ускорением s = n: рад/сек, за промежуток времени U— /t =
—10 сек совершил 100 оборотов. Определить число оборотов
вала в минуту в моменты времени ^ и tt.
Ответ: /^ = 450 об/мин;
tt<j = 750 об/мин.
Задача 454. Ротор, имея угловую скорость ш0 рад/сек, вра-
вращался в течение 7\ сек равномерно, затем — равнозамедленно до
Остановки в течение Т3 сек. Зная полное время движения Г и
Число оборотов N за все это время, определить 7\ и 7V
Ответ: Тх = — — Г; Г2 — 2Г -
191

Задача 455. Ротор сначала вращался равноускоренно из
состояния покоя и, достигнув некоторой угловой скорости, начал
вращаться равнозамедленно до остановки. Зная полное время
движения Г сек и совершенное число оборотов N, определить
максимальную угловую скорость ротора.
Ответ: «>тах = -у-.
Задача 456 (рис. 288). Разводной мост поворачивается в го-
горизонтальной плоскости на 90°. Считая, что при повороте от 0
до 30° мост вращается равноускоренно, при повороте от 30 до
60° — равномерно и при повороте от
60 до 90° — равнозамедленно, опре-
определить время полного поворота, если
известно, что максимальная скорость
конца В равна 1 м/сек, а длина
ОБ = 50 м.
Ответ: Т = 2 мин 10,7 сек.
Рис. 288 Задача 457. При пуске в ход ги-
гирокомпаса угловое ускорение его ро-
ротора возрастает от нуля пропорционально времени. По про-
прошествии 5 мин ротор имеет 18000 об/мин. Сколько оборотов
сделал ротор за это время?
Ответ: 30000 оборотов.
Задача 458. В период разгона из состояния покоя угловое
ускорение ротора турбины за время t равномерно убывает от
начального значения е0 до нуля, после чего ротор вращается
равномерна. Определить максимальную угловую скорость ротора.
Ответ: штах = -|- •
Задача 459. Самолет, летящий с постоянной скоростью v
прямолинейным горизонтальным курсом, сопровождается лучом
прожектора. С какой угловой скоростью должен поворачиваться
луч прожектора, если кратчайшее'расстояние между прожектором
и курсом самолета равно Л?
Ответ: ш = — cos2 <p,
где <р — угол между лучом прожек-
прожектора и перпендикуляром, восста-
восставленным из точки нахождения про-
прожектора на курс самолета.
Задача 460. В кулисном механиз-
механизме, изображенном на рис. 289, опре- Рис 289
делить угловую скорость и угловое
ускорение кулисы ОС в момент, когда у = ~рад, если штанга АВ
движется с постоянной скоростью и. В начальный момент <р = 0.
^ и «а
Ответ: ш = ^; е = — ■-«•.
192

Задача 461 (рис. 290). Движение поршня двигателя задано
уравнением s — Rsinkt. Определить угловую скорость коленча-
коленчатого вала двигателя в момент, когда поршень занимает среднее
положение, если длина шатуна АВ равна L, а длина криво-
кривошипа ОА равна R.
fc BL2 /?2)
Ответ: ш = ;—;
если b°^>R, то <uF&k,
Задача 462 (рис. 291). Кулисный механизм приводится в дви-
движение кривошипом ОС. Определить угловую скорость и угловое
Рис. 290
Рас. 291
ускорение кулисы BD, если кривошип ОС вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью шив начальный момент занимал верти-
вертикальное положение, а отношение расстояния между осями О и В
к длине кривошипа у равно X.
Ответ: .«да =
&BD
l+2Xcos<^-f Я2
X A — X2) sin и
щ
ZK cos U + X2J
§ 2. Скорости и ускорения точек тела
Величину скорости точки тела, отстоящей от оси вращения
на расстоянии Л, определяют по формуле
и = |ш|.А. F.10)
Ускорение любой точки тела равно геометрической сумме
центростремительного и вращательного ускорений:
F.11)
где
twBI>=|e|.A.
7 Н. А. Бражннченко н др,
F.12)
193

Вектор та>ц всегда направлен по перпендикуляру к оси враще-
вращения (в сторону оси), вектор wBp направлен по касательной
к траектории точки в ту же сторону, что и скорость, если вра-
вращение тела ускоренное, и в обратную, если оно замедленное.
Величину ускорения находят по формуле
oyt=:/tl/e2-f со4. F.13)
Острый угол между w и Шц будет
a = arctg^J. F.14)
Задача 463. При наличии крутильных колебаний вращение
вала описывается уравнением
где ср0) ш0> k — постоянные.
Определить величины скорости, вращательного и центростре-
центростремительного ускорений точки вала, если ее расстояние до оси вала
равно г.
Решение. Определим угловую скорость и угловое ускорение
вала по F.2) и F.3):
и) = ^| = ш0 -[- (fok COS kt\ e = -^=—fijk^sinkt.
Найдем величину скорости точки по формуле F.10):
OS/tf [ Г.
Максимальная величина этой скорости будет достигаться в те
моменты времени, для которых coskt=l, т. е.
Umax =(«>„+ <?tk)r-
Найдем величину центростремительного ускорения по F.12):
а>ц = (oV = ((в0 -\- сро/г cos ktf r.
Оно имеет максимум одновременно со скоростью, следовательно,
Определим величину вращательного ускорения:
w^ = \ъ\г — ^
Максимальное значение его
Задача 464. По проекту Циолковского, для создания искус-
искусственной тяжести на обитаемых искусственных спутниках, имею-
имеющих форму кольца (тора), предполагается им сообщить враща-
вращательное движение вокруг оси симметрии. Определить период
194

такого вращения, необходимый для того, чтобы находящиеся на
нем тела имели земной вес, если их расстояния до оси вращения
равны 39,2 м (g = 9,8 м/сек*).
Ответ: Т = 4тс сек.
Задача 465. Для безопасной работы» маховика необходимо,
чтобы ускорения его точек не превосходили некоторого предель-
предельного значения Дотах- Определить предельное значение угловой ско-
скорости, считая ее постоянной, если радиус маховика равен R.
Ответ: штах = у ^2р.
Задача 466 (рис. 292). На какое расстояние s=^A9A переме-
переместилась муфта А регулятора, если известно, что ускорение центра
А'-
Рис. 292
каждого шара В равно 288 м/сек*, угловая скорость регулятора
постоянна и равна 60 рад/сек, а Аи — положение муфты при
<х=0. Длины стержней 10 см. Расстоянием ОО\ пренебречь.
Ответ: s = 8 см.
Задача 467 (рис. 293). В центробежном регуляторе при вра-
вращении вокруг вертикальной оси 00' рычаги АСВ и А'С'В' пово-
поворачиваются вокруг горизонтальных осей С и С и отжимают
муфту М. Зная перемещение муфты s, длины плеч рычагов:
ВС = В'С = г\ АС=А'С' — 1 и угловую скорость регулятора
«о = const, определить ускорения шаров А и А'. При отсутствии
вращения ВС и В'С перпендикулярны к оси 00', а АС и А'С
параллельны этой оси. Расстояние СС равно 26.
Ответ: а; = «W& {
Задача 468. Корабельный зубчатый редуктор, схема которого
показана на рис. 294, состоит из трех зубчатых колес. Первое
колесо имеет диаметр 20 см и делает 7200 o6Jmuh. Второе колесо
195

делает 4000 об/мин, а третье, вращающее гребной вал, совершает
600 об/мин. Определить диаметры второго и третьего колес.
О d 36
/ р
Ответ: da =
см;
см.
Рис. 294
Рис. 295
Задача 469. На рис. 295 изображена схема привода управле-
управления рулевой машиной. Определить вертикальное перемещение s
рейки АВ при повороте штурвала
на 45°, если г1 = 20 см, г2 = 10 см,
га—\5 см.
Ответ: s = 23,6 см.
Задача 470 (рис. 296). В двухсту-
двухступенчатом редукторе ведущее зубчатое
колесо 1 делает 3000 об/мин.
Определить число оборотов в ми-
минуту ведомого вала, если числа зубцов
колес соответственно равны- 2, = 20;
40 30 6
Рис. 296
Ответ: 750 об/мин.
Задача 471 (рис. 297). Определить передаточное число кони-
конической зубчатой передачи, если углы при вершинах конусов
равны соответственно 2а! и 2оц.
Ответ: м, 2 = — =
Sina.
Рис. 297
Рис. 298
Задача 472 (рис. 298). Определить передаточное число редук-
редуктора, составленного из конических колес, имеющих общие верши-
вершины, если углы при вершинах соответственно равны 2аь 2«j, 2аз, 2а4.
Ответ: i\, 4=Wl = -
sin «i sm
196

Задача 473. На рис. 299 показана схема фрикционного вариа-
вариатора скорости. Конус А приводится во вращение вокруг оси 0^
при помощи ролика В, вращающегося вокруг оси О,Д. Опреде-
Определить передаточное число от ролика к конусу, если радиус
ролика р, радиусы оснований конуса г и /?, а точка сцепления М
находится на расстоянии s от меньшего основания конуса. Ось
ролика находится в одной плоскости с осью конуса. Длина обра-
образующей равна /.
Ответ: ц i = — = —~ ; .
Задача 474 (рис. 300). Кривошипы К радиусом 2г, вращаясь
равномерно с угловой скоростью и>0, приводят в движение зубча-
Рис. 299
Рис. 300
тое колесо / радиусом г через посредство зубчатого колеса //,
наглухо скрепленного со спарником АВ. Определить ускорение
любой точки внешней окружности колеса /.
Ответ: w = Aru>\.
Задача 475. Во фрикционном вариаторе скорости, описанном
в задаче 473, принять, что ось 0^0^ параллельна образующей
конуса и ролик В может перемещаться вдоль этой оси с постоян-
постоянной скоростью и=18 см/сек. Определить при s = -^ величины
ускорений а>1 и w2 точек ролика и конуса, находящихся в этот
момент в соприкосновении, если г = р = 3 см; R = 2r; 1 = 8 г;
% — 120 рад/сек — со п st.
Ответ: wt = 432 м/секг;
288 /\
/
ш«р=1,8 м/сек%.
Задача 476. Колесо сепаратора радиусом 80 см, вращающееся
в период разгона равноускоренно из состояния покоя, совершило
за некоторое время 750 оборотов. Зная, что величины скоростей
точек на ободе колеса достигли при этом 200 м/сек, определить
время разгона.
Ответ: t = 37,7 сек.
Задача 477. Ротор турбины вращается равноускоренно из
состояния покоя таким образом, что его точка М, отстоящая от
оси вращения на расстоянии 0,4 м, имеет в некоторый момент
197

ускорение Ш, равное по величине 40 м/сек? и направленное под.
углом 30° к радиусу. Определить уравнение вращения ротора, а
также величины скорости и центростремительного ускорения
точки в момент t — 5 сек.
Ответ: <р —25^2; v =100 м/сек;
шц = 25000 м/сек2.
Задача 478. Ротор турбины делает 6600 o6jmuh. После при-
прикрытия маневрового клапана он стал делать 3600 об/мин. Про-
Промежуток времени, в течение которого произошло уменьшение
угловой скорости, равен 8 сек. Считая вращение ротора равно-
замедленным, определить скорость, вращательное и центростре-
центростремительное ускорения точки лопатки ротора, отстоящей от оси
вращения на расстоянии 0,5 м, спустя
4 сек после прикрытия клапана.
Ответ: и = 267 м!сек;
wBp= 19,62 м/сек2;
дац= 142,2 км/сек*.
Задача 479 (рис. 301). На бара-
барабан А радиусом i?=15 см односту-
одноступенчатого зубчатого редуктора ле-
лебедки намотан трос, на конце кото-
которого подвешен груз М. В течение
5 сек груз поднимается с постоянным
ускорением ш0 —0,2я м/сек?. Опреде-
Определить, сколько оборотов сделает веду-
ведущий вал Вх за этот промежуток времени, если начальная ско-
скорость груза ио = О,1 те м/сек, радиус ведущей шестерни гу— 10 см,
а ведомой /-3 = 20 см.
Ответ: 20 оборотов.
Задача 480. Диск вращается вокруг неподвижной оси в тече-
течение некоторого промежутка времени так, что ускорения всех его точек
составляют с их скоростями одинаковые углы, равные 45°. Опре-
Определить угловую скорость диска как функцию времени, если
в момент / = 0 она была равна ш0.
Ответ: ш = -
(для
— сек).
Задача 481. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
задано уравнением
(ср — в радианах, t — в секундах).
Определить: 1) характер вращения тела в моменты ^ = 1 сек и
tb = 2 сек; 2) величины скорости и ускорения точки тела, отстоя-
отстоящей от оси вращения на расстоянии 0,2 м, в эти моменты времени.
Ответ: 1) при /=1 сек вращение замедленное; при t — 2 сек
вращение ускоренное; 2) i>i = 0,2 м/сек; ^ = 0,633 м/сек?; v% =
= 0,4 м/сек; ш3=1,0 м/сек*.
198

Задача 482 (рис. 302). Груз М поднимается по наклонной
плоскости при помощи ворота так, что проходимое им расстояние
s = 2^f-см. Определить скорость и ускорение конца рукоятки А
после одного оборота, если радиус барабана г = 27 см, а длина
рукоятки / = 54 см.
Ответ: и = 3,39 м/сек;
да = 21,3 м/сек*. «
Задача 483. Вращение винта ко-
корабля в период пуска задано урав-
уравнением
<р= 15^-4-3070 (<?-*< — 1)
Рис. 302
{k — величина постоянная).
Определить наибольшую угловую скорость винта (об/мин),
а также ускорение точки, отстоящей от оси винта на расстоя-
расстоянии 0,8 м, в момент ^ = 0, если начальная
угловая скорость винта равна нулю. Опре-
Определить также момент времени Г, когда винт
будет делать 270 об/мин.
Ответ: nmax = 450 об/мин;
— 0,58 м/сек?\
Г = 60 сек.
Задача 484 (рис. 303). Стержень АВ,
двигающийся вниз в вертикальных напра-
направляющих с постоянной скоростью и, сколь-
скользит своим концом В по стороне CD прямо-
прямоугольного рычага CDO, благодаря чему по-
последний поворачивается вокруг точки О,
Рис 303 лежащей на оси направляющей. Опреде-
Определить величины скорости и ускорения точ-
точки С рычага в зависимости от угла поворота f, если OD = a;
CD = 2a.
Ответ: vc = v
COS2
sin f *
Шг = -

ГЛАВА VII
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Уравнения движения и скорости точек плоской фигуры
Уравнениями движения плоской фигуры в неподвижной системе
координат являются
G-1)
где х0 и у0 — координаты произвольной точки О, принятой за
полюс;
ср — угол между неподвижной осью О^х и осью Ох", неизменно
связанной с фигурой (рис. 304).
Рис. 304
Рис. 305
Уравнения движения любой точки плоской фигуры имеют вид
х = х0 -j- х' cos ср — у1 sin ср,
У = У о + х" sin ср -f \f cos ср,
G.2)
где х', t/ — координаты этой точки в системе, скрепленной с фигурой.
Скорости двух любых точек плоской фигуры О и Л связаны
между собой зависимостью (рис. 305)
"л = ^о+^о, G-3)
где
ЪАО = «ХОА G.4)
— вращательная скорость точки А относительно О, направленная
перпендикулярно отрезку ОА в сторону вращения фигуры и
равная по величине
vAO = «-0A. G.5)
200

В этих формулах ш есть мгновенная угловая скорость плоской
фигуры.
Если за полюс О принять мгновенный центр скоростей Р,
т. е. точку, скорость которой в данный момент равна нулю, то
скорость любой точки А будет перпендикулярна к отрезку РА,
направлена в сторону вращения фигуры и равна по величине
vA = w-PA. G.6)
Таким образом,
vA = wXP~A- G 7)
Для нахождения мгновенного центра скоростей достаточно
знать направления скоростей двух каких-либо точек плоской
фигуры: мгновенный центр скоростей находится на пересечении
перпендикуляров, восставленных из данных точек к направле-
направлениям их скоростей. Если эти перпендикуляры сливаются в один,
то для нахождения мгновенного центра скоростей надо дополни-
дополнительно знать,величины скоростей Мгновенный центр находится
в этом случае в точке пересечения общего перпендикуляра и
прямой, соединяющей концы векторов скоростей. Если же пер-
перпендикуляры параллельны, то мгновенного центра не существует.
В этом случае ш = 0, а скорости всех точек плоской фигуры
одинаковы по величине и по направлению.
Если плоская фигура, ограниченная некоторым контуром,
катится без скольжения по другому неподвижному контуру, то
точка их соприкосновения в данный момент является мгновенным
центром скоростей этой фигуры
Имеет место теорема: проекции скоростей двух точек плоской
фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой,
т. е.
G-8)
Проекции_вектора v на оси, связанные с фигурой, определяют
по формулам"
Vx' = Vox' — '
Vy' = Voy' ~j~ '
/ } G-9)
Задача 485. Кривошип ОА механизма, показанного на рис. 306,
вращается с угловой скоростью ш0- Определить скорости точек В
и С, угловую скорость звена BD в том положении механизма,
когда а = 30°, р = 60°, а шатун ВС занимает вертикальное поло-
положение Принять ОА = АВ = а\ BD = d\f?>.
Решение, Механизм совершает плоское движение. Ведущим
звеном, движение которого задано, является кривошип ОА, совер-
совершающий вращение вокруг оси О. Определим скорость конца
кривошипа, т. е. скорость точки А. Имеем
vA = ш0 О А = ща,
201

Вектор VA перпендикулярен к 0/1 и направлен в сторону
вращения кривошипа. Перейдем к звену АВ. Найдем скорость
точки В. Вектор vB направлен перпендикулярно BD, так как
точка В принадлежит одновременно и звену BD, которое может
вращаться вокруг точки D. Мгновенный
центр скоростей звена А В находится в
точке Р пересечения перпендикуляров к.
0А и_ vB.
Из Д АВР находим
АР — —
лг— 2.
По формуле G.6) имеем
откуда
Пользуясь этой же формулой, определим
Рис. 306
Перейдем к звену BD. Зная скорость точки В, найдем
Далее рассмотрим движение звена ВС. Используя теорему
о проекциях скоростей двух точек, получим
отсюда
= пРвсес = vc>
vb cos 30° = -j
Направления скоростей vB и ос показаны на рисунке.
Задача 486 (рис. 307). Стержневой механизм состоит из четы-
четырех стержней, причем стер-
стержень OiA вращается с угло-
угловой скоростью а>ь а стержень
ОъВ — с угловой скоростью
ш2 в указанных на рисунке
направлениях. В рассматри-
рассматриваемый момент стержень OtA
вертикален, стержни АС и
0%В горизонтальны, а стер-
стержень ВС образует с вер- А Рис 807
тикалью угол 30°. Опреде-
Определить в этот момент величину скорости точки С, если О^В — Ь,
202

Решение. Найдем скорости точек А и В Имеем
vA = («, • О А = шф VS; vB = щ ■ 0гВ = шф,
Направления скоростей дА и vB указаны на рисунке.
Точка С одновременно принадлежит звеньям АС и ВС. Поль-
Пользуясь G.3), находим, с одной стороны,
vr = v»-\-0r» (a)
С п I С В' \ г
€ другой
Приравнивая правые части (а) и (Ь), получим векторное
уравнение
*>а + 5са = г!в + Юсв. (с)
Векторы vCA и vCB перпендикулярны соответственно к СА
и к СВ, однако направления и величины их неизвестны. Примем
условно, что эти векторы направлены так, как показано на ри-
рисунке. Проведем координатные оси и спроектируем на каждую
из них обе части равенства (с). Получим
'jca
, 1
— vb ~r vcb Y ■
Из первого уравнения найдем
А
Знак «минус» указывает на то, что вектор vCB в действитель-
действительности имеет направление, противополож-
противоположное принятому.
Из второго уравнения
VCA = VB — VCB у = VB + J7J = К + Ш2) Ъ-
Так как vA и vCA взаимно перпенди-
перпендикулярны, то согласно (а)
или
Vc=
Рис. 308
Задача 487 (рис. 308). Цилиндр ра-
радиусом R обмотан тросом, перекинутым
через блок О. Конец троса тянут со скоростью vit в то время как
центр цилиндра имеет скорость с8. Определить угловую скорость
цилиндра, считая участок троса от цилиндра до блока вертикаль-
203

ным. Найти величины скоростей точки В на горизонтальном диа-
диаметре цилиндра и точки С на вертикальном диаметре.
Ответ: M=Vi~^v"; ув=гу1 + 2и8; vc— У^-М^ + Уз)9.
Задача 488 (рис. 309). Подъем трубы производится при по-
помощи талевого ступенчатого барабана А, вал которого делает
л
Рис. 309
Рис. 310
10 об(мин. Определить скорость подъема трубы, если г = 5 см,
./?=15 см. Участки тросов BE и DC считать вертикальными.
Ответ: v = 5,24 см/сек.
Задача 489 (рис. 310). Через блок А радиусом R перекинут
трос, к одному концу которого подвешен груз М1; а к другому —
блок В. Через блок В перекинут второй трос, несущий на кон-
концах грузы Мг и Мъ. Определить скорости грузов М\ и Mit
если блок А вращается с угловой скоростью и>0, а груз М2 под-
поднимается по отношению к неподвижному основанию со скоростью v%.
При каком значении ш0 груз М3 будет опускаться?
Ответ: у4 = 7?ш0; v3 = | 2Ru>0 — иг |.
Груз М3 будет опускаться при шо<^-~-.
Задача 490 (рис. 311). Кривошип ОА = г, вращающийся рав-
равномерно вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью ши>
Рис. 311
Рис 312
передает через посредство шатуна АВ = Ъг движение ползуну В,
который соединен с зубчатым сектором, перемещающимся по не-
204

подвижной рейке. Определить скорость точки С механизма в момент,
когда угол а= -*-, если в этот момент B = 2arccos—L. Расстояние
2 /ю
ВС равно радиусу дуги сектора, величиной зубцов пренебречь.
Ответ: vc = -j ru>0; vc±_PC.
Задача 491 (рис. 312). В эпициклическом механизме кривошип
ОА вращается с угловой скоростью щ и приводит в движение
колесо / радиусом г, которое находится во внешнем зацеплении
с колесом // радиусом # = 2г. С колесом / жестко связан диск ///
радиусом р = 2г. Какова должна быть угловая скорость колеса//,
чтобы точка С диска ///, находящаяся на прямой ОА, соединяю-
соединяющей центры колес, имела бы скорость, равную нулю?
Ответ- колесо /7 должно вращаться в том же направлении,
что и кривошип, с угловой скоростью <в —-^-w0.
Задача 492 (рис. 313). В планетарном механизме кривошип
ОА вращается с угловой скоростью ш0 и приводит в движение
Рис. 313
Рис 314
шестерню / радиусом г, которая находится во внутреннем за-
зацеплении с 'шестерней // радиусом R. Определить скорости то-
точек Mi и Мг шестерни /, находящихся на концах ее диаметра,
перпендикулярного кривошипу, если шестерня // вращается
с угловой скоростью (%.
Принять: г = -^\ ша = 3шо-
Ответ: при противоположных направлениях вращения колеса
// и кривошипа
При одинаковых направлениях вращения
Задача 493. Поршень приводится в движение при помощи
кривошипного механизма с зубчатой рейкой и зубчатым сегментом.
205

Определить скорость поршня в положении механизма, указанном
на рис 314, если при этом а = 30°, р = 60°, а угловая скорость
кривошипа равна ш0. Размеры даны на рисунке
_ 2]/Загю„
Ответ: v = _r—-.
Задача 494. Определить величину скорости точки D шатуна
NK в положении механизма, изображенном на рис 315, когда
коромысло OXN перпендикулярно к шатуну МК, и параллельно
направляющим ползуна В, а скорость ползуна В равна v При-
цям Г) Т\ ——- Д/ Т{
tin 1Ь LJ1\ —- ^r IV Г\ .
2
Ответ: vD — -^v.
Задача 495 (рис. 316). В механизме паровой машины криво-
кривошип ОА длиной г вращается с угловой скоростью ш0. Опреде-
Рис. 315
лить угловую скорость звена CD и величину скорости точки С
в тот момент, когда <р = 90°, если при этом точки О, В, С, лежат
на одной прямой, а отрезок BD
перпендикулярен ОВ. Расстояние
BD равно Ь, длина CD равна а.
Ответ: «ooc = m^; vc=^.
Задача 496. Определить вели-
величину скорости точки D и угловую
скорость звена CD механизма,
изображенного на рис. 317, если
в рассматриваемый момент а = 30°,
звенья ED и Л В находятся в го-
ризотальном положении, а криво-
кривошип ОА, вращающийся с угловой
скоростью %, занимает вертикальное положение Принять О А = г,
DC = 6r Звено ВС жестко скреплено с муфтой 0^
j/з _ у a «5
Рис 317
Ответ: Уд=—
206

Задача 497 (рис. 318). В механизме инверсора при вращении
звена ОС вокруг точки О ползуны А я В движутся вдоль одной
направляющей. Принимая АС = СВ, доказать, что в любой мо-
момент времени
Задача 498 (рис. 319). Механизм инверсора занимает в дан-
данный момент положение, при котором а = р = 60о, f = 30°. Опре-
Рис. 318
делить величину скорости ползуна В в этот момент, если пол-
зун А имеет при этом скорость у, а ткг — ^-
Ответ: ув = 2Хи.
Задача 499 (рис. 320). Ведущее звено О А антипараллелограмма
в момент, когда /_ AOOt —90°, а /_ В/40= L BOiO^=45°, имеет
в
Рис. 320
Рис. 321
угловую скорость, равную ш0. Определить в этот момент угловую
скорость звена ВОи если BOi = AO.
Ответ: шВОу — №° ^ .
Задача 500 (рис. 321). В механизме Чебышева шатун ABC
изогнут под углом 120°, длина кривошипа О\А = г, АВ = ОВ = ВС.
Определить величину скорости точки С в тот момент, когда кри-
кривошип имеет угловую скорость (% и занимает крайнее правое
положение, если при этом а = 45°.
Ответ: vc
_ г», (/3 -1)
207

Задача 501. В механизме, изображенном на рис. 322, шатун
АВМ изогнут под углом в 150°, а кривошип О А вращается
с угловой скоростью (%■ Определить величины скоростей то-
Рис 322
Рис. 323
чек В, М, D и угловую скорость звена DM в тот момент, когда
кривошип О А занимает крайнее правое положение, если в этот мо-
момент Z ОАВ = 45°, а точки С, М и D лежат на одной прямой.
Принять ОА= a; ABBM MD CB b
Ответ
и>„а VT
: ив = им = -^->2—; vD =
*>DM
а„а 1/2"
= ^
Задача 502 (рис. 323). В реверсивном паррраспределительном
механизме угол между направляющими ползунов равен 60°, а кри-
кривошип ОА длиной г вращается с угловой скоростью ш0. Опре-
Определить величины скоростей ползунов В и D в изображенном
на рисунке положении механизма, если при этом шатун АВ за-
занимает горизонтальное, шатун
BD — вертикальное положение,
а кривошип ОА параллелен на-
направляющей ВС.
Ответ: vB = ra)n *-=-;
Рис 324
Задача 503 (рис. 324). Меха-
Механизм Чебышева занимает в дан-
данный момент такое положение,
при котором а=90°, [3 = 60°,
при котором а=90, [3 = 60,
= 90°. Определить в этот момент величины скоростей точек
В я С, если скорость точки А равна v, a
Ответ:
BC — — AB.
•208

Задача 504 (рис 325). Линейка А В длиной а шзрнирно сое-
соединена с двумя ползунами А и В, которые могут двигаться
в направляющих, образующих между собой угол я. Определить
центроиды линейки.
Ответ: неподвижная центроида — окружность с центром
в точке О и радиусом ^1 = ^^; подвижная центроида — окруж-
окружность, проходящая через О, А, В, радиус ее ^ = ~—■.
£ sin л
Задача 505 (рис. 326). Кривошип ОЛ = # реверсивной пере-
передачи с качающейся кулисой АВ в виде зубчатой рейки равномерно
вращается вокруг оси О с угло-
угловой скоростью («о- Определить
угловую скорость ш шестерни /
Рис 325
Рис. 326
радиусом г = -я" в момент, когда угол а = 60°. Размерами зубцов
пренебречь.
Ответ: ш =
Задача 506. При вращении кривошипа 0А механизма, изобра-
изображенного на рис. 327, стержень АС благодаря наличию поворотной
втулки все время проходит через неподвижную точку В С втул-
Рис. 327
кой неизменно связан стержень BD длиной /, перпендикулярный
стержню АС. Определить скорость точки D в тот момент, когда
/_ АОВ=90°, /. АВО = 30°, а угловая скорость кривошипа равна о>0.
Ответ: скорость vD направлена перпендикулярно BD влево
и равна по величине vD^"^j-.
209

Задача 507 (рис. 328). Толкатель АВ, двигающийся со ско-
скоростью и, поворачивает благодаря ползуну В стержень ОС вокруг
точки О. Со стержнем ОС в точке D шарнирно соединен шатун
DE. Определить скорость ползуна Е в том положении механизма,
когда /_ DOE = 60°, а /_DEO = 3QP, если расстояние между
направляющими АВ и ОЕ равно b, a OD — a.
„ Уъаи
Ответ: иь = -^ь—•
Задача 508 (рис. 329). В механизме продольнострогального
станка кривошип ОА длиной г вращается с угловой скоростью ш0-
Рис. 329
Рис. 330
Определить величину скорости штока BE в момент, когда
43 = 90°, р = 60°, если при этом DC: BC=\ : 2, а отрезок ОС
параллелен штоку BE. Длина шатуна АС равна 2г.
Ответ: о = 3'гша
Задача 509. Механизм пилонасекательной машины устроен,
как показано на рис. 330, и имеет размеры ОА — г; АВ=а;
ВС = 2а; CD = R\ DE = RY%- Определить угловые скорости
звеньев и величину скорости точки Е рычага DE в положении
механизма, при котором £ОАВ = 90°, /_ AOF = /_ BCD =
= /_ ABC = 30°, 0iC = 0iB, а угловая скорость кривошипа О А
равна шл. Стержень С В свободно проходит через поворотную
втулку 0%.
Ответ: vE =
Задача 510 (рис. 331). Кривошип О А планетарно-кулисного
механизма, вращаясь вокруг оси О с угловой скоростью ш0,
приводит в движение сателлит D, связанный шарнирно со стерж-
стержнем BF. Стержень BF в своем движении все время проходит
через неподвижную точку С. Определить величину скорости точки
стержня BF, совпадающей в данный момент с точкой С, если
в этот момент кривошип ОА занимает вертикальное положение,
угол ср = 30°, А В АО = 90°. Радиус неподвижной шестерни 2г,
подвижной —г, ЛВ = "
Ответ: vc = 3V
210

Задача 511. Определить скорость штока CD механизма, изобра-
изображенного на рис. 332, в тот момент, когда /_ А^ОС= Z. А%ОС,
если OAi — OAi; А1В1 = А.гВ2; В\С = ВгС, а ломаный рычаг АХОА^
вращается вокруг точки О. а,
Рис. 331
Рис 332
Указание. Доказать сначала, что vB и vB параллельны
затем воспользоваться теоремой о проекциях скоростей G.8).
Ответ: ус = 0.
Задача 512 (рис. 333). Стержневой механизм занимает в дан-
= 30°, 8 =
= 30°.
ный момент положение, при котором «
Зная, что в этот момент величины
скоростей шарнира А и ползуна
С равны vA — vc = v, определить
величину скорости точки В. Напра-
Направления вращения кривошипа ОА
и движения ползуна С указаны
на рисунке.
Ответ: vB — vv 13.
Задача 513. В механизме, изображенном на рис. 334 («рим-
(«римская передача»), ведущее зубчатое колесо / вращается с угловой
скоростью u>0- Определить скорость штока CD в момент, когда
рие. 333
Рис. 334
Рис. 335
a = 90°, если при этом шарниры At и Л2 лежат на прямой, про-
проходящей через центры Ot и О, и параллельной звену ВХВ^. Радиусы
колес соответственно равны rt и r3; OiAi = ai\ 0%А2 — а%; CBi — CB$.
Ответ: v — -^~
211

Задача 514. Доказать, что отношение скоростей поршней Bt
и Въ в механизме компрессора, изображенном на рис. 335, в лю-
любой момент времени такое же, как и отношение расстояний от них
до центра вращения кривошипа, если ОАг = ОА2, a /41B1 = /4sB3.
Указание. Использовать равенство углов Z. А^ВХО и /_ А^В%0.
Задача 515. На рис. 336 изображен механизм газового двига-
двигателя. Определить угловые скорости зубчатых колес в момент,
когда звено BtB<i параллельно линии центров, шток ЕС — гори-
Рис. 336
Рис 337
зонтален, а точки крепления тяг Аг и А3 занимают наинизшие
положения, если в этот момент скорость поршня равна v. Дано-
Oj./41 = a1; О^Аъ^пъ', СВ\^Ьи СВъ = Ь%; радиусы г4 и г3
„ (Ь, -4- ЬЛ r.v (b, 4- ЬЛ гл>
Ответ: шг = —у—^—2/ а ; ш2 = — \ __ h
(если знаменатель положителен, то колесо / вращается против
движения часовой стрелки).
Задача 516 (рис. 337). Два катка положены на наклонные
плоскости, образующие между собой угол т., так, что они могут
катиться по этим плоскостям без скольжения. Центры катков А и В
шарнирно соединены со стержнями АС и ВС, имеющими общий
шарнир С. Определить величину скорости точки С в момент,
когда стержни параллельны соответствующим плоскостям, если
при этом центры катков имеют скорости vA и vB соответственно.
Ответ: vc =—-+ °Ь ~ 2v'Vr C°S 7 ' % ~~ °л '
sin 7
sin 7
§ 2. Ускорения точек плоокой фигуры
Ускорения двух любых точек плоской фигуры А я В связаны
между собой соотношением (рис. 338)
®В=®А + ^Л + ®ВРЛ. GЛ0)
где WnBA — центростремительное ускорение точки В — направлено
от В к Л по линии ВА и по величине равно
wBA = ^-BA; G.11)
212

ш — мгновенная угловая скорость плоской фигуры; ffiff.—вра-
ffiff.—вращательное ускорение точки В по отношению к точке А; она
перпендикулярно к В А и направлено в сторону вращения фигуры,
если это вращение ускоренное, и в обратную сторону, если оно
замедленное.
Величину этого ускорения определяют по формуле
иР& = \*\ВА, G.12)
где е—мгновенное угловое ускорение плоской фигуры.
Если известен мгновенный центр ускорений, т. е. точка Q,
ускорение которой в данный момент равно нулю, то ускорение
любой точки А находят по формуле
причем
G.13)
G.14)
Если в некоторый момент
известно ускорение точки А,
а также величины ш и е,
то для нахождения Q следует
повернуть вектор wA в на-
направлении вращения фигуры,
если оно ускоренное (и в об-
обратном— если замедленное), на острый угол а, определяемый
формулой
G.15)
Рис 338
СО
Ha полученной полупрямой следует отложить отрезок
) А
G 16)
Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений
в данный момент.
Проекции ускорения Ш на оси, связанные с фигурой, имеют вид
wx< = wOx' — ву' — А',
Wy = woy -j- ex? — <»>У.
G.17)
Задачи на определение ускорений точек плоской фигуры можно
разделить на четыре основных типа.
Задачи типа I. Известны (или могут быть найдены) ускорение
какой-либо точки А и мгновенная угловая скорость ш в любой
момент времени. Требуется определить мгновенное угловое уско-
ускорение & и ускорение любой другой точки В плоской фигуры.
21»

Поскольку известна зависимость ш от t, то е находят путем
простого дифференцирования ш. Величины неизвестных составляю-
составляющих искомого вектора wB находят согласно G.11) и G.12). После
этого по G.10) определяют wB. Величину wB удобнее всего на-
находить путем проектирования G.10) на взаимно ортогональные
направления.
Задача 517 (рис. 339). Центр колеса, которое катится по на-
наклонной плоскости без скольжения, движется по закону
s = 4*4-16
(t — в секундах, s — в санти-
сантиметрах).
Определить ускорение точ-
точки касания колеса с плос-
плоскостью в момент t = 2 сек,
если радиус колеса R = 16 см.
Решение. Так как центр
колеса О движется прямоли-
прямолинейно, то его скорость и уско-
ускорение находят по формулам
v =ds = 8t- w =Л = 8
Рис. 339 При t = 2ceK уо= 16 см/сек\
wo = 8 см/сек*.
Ввиду отсутствия скольжения мгновенный центр скоростей
находится в точке касания колеса с плоскостью. Следовательно,
мгновенную угловую скорость ш получим по формуле
о„ t
Ш~~ОР Т'
т. е. она представляет собой известную функцию времени. Диф-
Дифференцируя по времени ш, найдем
Итак, в рассматриваемый момент
, рад ш 1 рад
се/с' 2 сек2'
Определим ускорение точки Р. Имеем по G.10)
где
причем
направлено от Р к О, а
W&
t=1 сек
= $•0^ = 8 см/сек*
214

Так как колесо вращается ускоренно (е и ш одного знака),
то вращательное ускорение Щ^ направлено перпендикулярно
к РО в сторону вращения фигуры вокруг полюса О.
В данном случае
следовательно,
wp— wpo>
т. e. wp= 16 см/сек*.
Вектор wP направлен к центру колеса О.
Замечание. Таким же образом определяют вив случае, когда
в некоторый данный момент t* заданы произвольным образом
скорость 00 и ускорение Шо центра. Обозначим переменную ско-
скорость центра через v{t), его ускорение — w(t), причем в момент t*,
рассматриваемый в задаче,
Тогда в любой момент времени
Отсюда найдем
«@=-^.
dco 1 dv
Ввиду того, что центр движется прямолинейно,
dv
и, следовательно,
При t = t* получим
h
Задача 518. Эпициклический механизм состоит из двух оди-
одинаковых зубчатых колес // и III радиусом г и колеса /, которое
имеет ось вращения, проходящую через центр неподвижного колеса
/// (рис. 340, а). Колесо / вращается в данный момент с угловой
скоростью щ и угловым ускорением et. Определить величины
ускорений точек Л2 и Р колеса //, находящихся в данный мо-
момент в зацеплении с колесами / и ///.
Решение. Ведущим является колесо /. Определим скорость
точки Ai как точки, принадлежащей этому колесу. Имеем
215

Рассмотрим движение колеса //. Оно катится без скольжения
по неподвижному колесу ///, поэтому мгновенный центр скоростей
этого колеса находится в точке Р соприкосновения колес // и ///.
Так как скольжение между колесами / и // также отсутст-
отсутствует, то
где Аз —точка колеса //, находящаяся в зацеплении с колесом /.
Мгновенная угловая скорость колеса // будет
(d)
Полученное соотношение между угловыми скоростями колес /
« // имеет место в любой момент времени.
Рис 340
Дифференцируя это соотношение, получим зависимость между
угловыми ускорениями *
Примем за полюс центр О3 колеса //. Найдем его скорость
и ускорение (рис. 340,6). Имеем
где
Зге,
Определим ускорение точки Р (рис. 340, в). По формуле G.10)
имеем
где
* Чтобы не вводить новых обозначений, будем понимать под ыи asit et
и т. д. не только значения этих величин в данный момент, но и функции
времени t.
216

При этом вектор и>£Оа направлен от точки Р к Оъ а век-
вектор ®^2 перпендикулярен к WpQ и направлен в сторону враще-
вращения колеса // вокруг полюса 02) так как оно вращается ускоренно.
Для удобства перенесем все векторы, находящиеся в правой
части (е), в точку Р (рис. 340, в). Так как што2 =0^ =-^-1, а
векторы ®^Оаи Ш°^Ог направлены противоположно друг другу, та
wp = штоа - ш*оа = Т <г ~ т "^ == т ^•
Следовательно, вектор Шр направлен от Р к О2 (рис. 340, а).
Рассмотрим теперь точку Аг. За полюс можно принять не только
точку 0%, но и точку Р, поскольку ее ускорение уже известно. Имеем
W . =1
где
Направления векторов показаны на рис. 340, г. Вектор wB£p на-
направлен перпендикулярно к Л,Р в сторону вращения колеса //
вокруг полюса Р, так как вращение этого колеса ускоренное.
Складывая векторы геометри-
геометрически, получим у
81
Заметим, что
следовательно,
D
Рис. 341
Задачи 519-529 (рис. 341). С шатуном АВ шатунно-кривошипного
механизма жестко связан треугольник ABD. Определить ускорения
точек В и D, если кривошип ОА вращается с постоянной угловой
скоростью o)ft. Данные взять из таблицы; принять ОА — АВ~а.
Н задачи
519
520
521
522
Z. ABD
45°
30°
45°
60°
/ BAD
45°
90°
45°
90°
?
0
30'
45°
60°
№ задачи
523
524
525
526
Z.ABD
30°
60°
90°
60°
/.BAD
90°
60°
45°
60°
<р
0
30°
45"
60°
217

Указание. Предварительно доказать, чтошдв = оH для любого
Ответы:
№ задачи
519
520
521
522
523
524
525
526
wBx
/з<к
wDx
2/3" flwS
3 "
— au>l
3/2 дю2
л .2
-л,
1 au>s
/2 дю2
Кз a[2
2 °
/з acoS
2 "
/To ди2
Л "°
—2~ аю°
2/3 ,
3 °
Задача 527. Диск движется в своей плоскости так, что его
центр О описывает окружность радиусом R с постоянной по ве-
величине скоростью % и вращается вокруг своего центра с постоян-
постоянной угловой скоростью ш0. Найти положение мгновенного центра
ускорений диска.
Ответ: мгновенный центр ускорений Q находится на прямой,
соединяющей центры окружности и диска, причем OQ = ~\~~.
Задача 528. В условиях предыдущей задачи центр диска имеет
в данный момент то же значение скорости va и обладает каса-
касательным ускорением шх. Какое угловое ускорение s надо сооб-
сообщить диску (при прежней угловой скорости ш0), чтобы мгновен-
мгновенный центр ускорений Q находился на прямой, соединяющей центры
окружности и диска? На каком расстоянии от центра диска О
будет при этом находиться мгновенный центр ускорений?
Rw и! -г-,
Ответ: s = ^~-. При ускоренном движении центра диск
должен вращаться ускоренно в ту же сторону, в которую дви-
движется центр, или замедленно в обратную сторону. При замед-
замедленном движении центра — все наоборот. Расстояние OQ = - ®°%
{сравните с ответом предыдущей задачи).
Задача 529. Колесо радиусом R катится без скольжения по
прямолинейному рельсу, имея в данный момент скорость центра
Щ (и произвольную величину ускорения центра). Определить
218

нормальное ускорение точек на ободе колеса в зависимости от
центрального угла rj) между радиусами, проведенными в данную
точку и точку касания.
Ответ • wn — -
Я
Задача 530. Колесо радиусом R катится без скольжения по
неподвижному рельсу. Зная, что ускорение точки касания в дан-
данный момент равно w, определить в этот момент величину скоро-
скорости диаметрально противоположной точки.
Указание. Предварительно доказать, приняв центр колеса за
полюс, что ускорение точки касания направлено к центру колеса.
Использовать также замечание к
задаче 517. шм иш -
Ответ: v = 2}/rwJR.
Задача 531 (рис. 342). Сумми-
Суммирующий механизм состоит из зуб-
зубчатого колеса радиусом г и двух
параллельных зубчатых реек, дви-
движущихся в одном направлении
с постоянными скоростями г»! и щ.
Определить величины ускорений
точек Ai и Ai зубчатого колеса, находящихся в местах за-
зацепления с рейкой.
Ответ: wAl = wAi = y 1 4r •
Задача 532. Решить задачу 531, считая, что рейки движутся
в противоположных направлениях.
Ответ: wAi = wA% — ~^. .
Задача 533. Решить задачу 531, считая, что рейки движутся
в одну сторону, имея в данный момент скорости щ и щ и уско-
ускорения w1 и Щ соответственно.
Рис. 342
Ответ- w
'Ах
Задача 534. Доказать, что центры кривизны траекторий различ-
различных точек обода колеса, катящегося без скольжения по прямому
рельсу, расположены симметрично этим точкам относительно точки
..Касания колеса с рельсом.
'' Задача 535. Колесо радиусом г, катящееся без скольжения
по неподвижному колесу радиусом R, приводится в движение
кривошипом, соединяющим центры колес. Определить угловую
скорость кривошипа, если известно, что ускорение точки подвиж-
подвижного колеса, находящейся в данный момент в зацеплении, равно w
|см. указание к задаче 530).
Ответ. шп =
219

Задача 536 (рис. 343). Катушка радиусом R, которая катится
без скольжения по горизонтальной плоскости, приводится в дви-
движение при помощи груза М. Груз, привязанный к нити, намо-
намотанной на барабан катушки, движется вниз, имея в данный мо-
момент скорость v и ускорение w. Опре-
Определить величины ускорений точек С и В
катушки, находящихся в рассматривае-
рассматриваемый момент на вертикальном диаметре,
если радиус барабана г.
Указание. Взять за полюс центр
катушки, предварительно найдя его
ускорение.
Ответ: wc— ,R ,3 ;
Рис 343 7т _ Я
Задача 537. В условиях задачи 536 определить ускорение
точки катушки, совпадающей с точкой схода нити.
Ответ: wD = ]/^ + j~^r ■
Задачи типа II. 6 некоторый момент времени известны величина
и направление ускорения какой-либо точки А плоской фигуры, мгно-
мгновенная угловая скорость ш и прямая, вдоль которой направлено
ускорение другой точки В. Определить угловое ускорение е и уско-
ускорение точки В (а затем и любой точки фигуры) в рассматри-
рассматриваемый момент времени.
Если прямая, по которой направлено ускорение wB, не пер-
перпендикулярна к АВ, то wA и in могут быть заданы произвольно.
Если wBJ_ АВ, то задача может иметь решение лишь только в
том случае, когда угол между wA и АВ яе тупой и при наличии
определенной зависимости между ША и ш. Для решения задачи
типа II следует векторное равенство G.10) спроектировать на ось,
перпендикулярную к wB. В правой части этого равенства два
первых вектора (wA и ®вл) известны и по величине, и по на-
направлению. Вектор w"ba перпендикулярен к АВ, но направление
этого вектора неизвестно. Оно обычно указывается предположи-
предположительно. При проектировании G.10) получим, таким образом, одно
скалярное уравнение, из которого находится величина w$A, Если
эта величина окажется отрицательной, то это будет указывать
на то, что предполагаемое направление вектора wB^A противопо-
противоположно действительному. Зная wBJ>A, находим е, а проектированием
G.10) на прямую, по которой направлен вектор Шв, находим ве-
величину и направление (по знаку проекции) вектора wB. Зная wA,
шив, можно по G.10) определить ускорение любой точки С.
При этом следует иметь в виду, что вектор W%?A ориентирован по
отношению к А так же, как и ^
220

Задача 538. Коленчатый вал (рис. 344, а) в период пуска вра-
вращается с угловой скоростью со0 и угловым ускорением е0. Опре-
Определить ускорение поршня В и угловое ускорение шатуна А В при
крайнем верхнем и крайнем правом положениях мотыля О А, если
длина мотыля г, а длина шатуна /.
5) wjj» g W«" 6j
0
у
яг
X-
we
в
Г
Решение. Ведущим звеном механизма является мотыль О А.
Движение его задано. Определим скорость и ускорение точки А.
Имеем
где
Направления этих векторов для первого положения механизма
указаны на рис. 344, б.
Рассмотрим движение шатуна АВ. За полюс примем точку А,
так как ее скорость и ускорение известны. По G.10) имеем
©л + ®
причем по G.11) и G.12)
где со и s — угловая скорость и угловое ускорение шатуна АВ.
Вектор Шва направлен от точки В к полюсу А, а вектор
— перпендикулярно АВ. Направим его предположительно так,
как показано на рис. 344, б. Так как мгновенный центр скоро-
221

стей шатуна в рассматриваемом положении механизма находится
в точке В, то
Формула (g) определяет угловую скорость шатуна только
в данный момент времени, соответствующий рассматриваемому
положению механизма, поэтому е не может быть получено диф-
дифференцированием по времени ш, найденного из (g).
Для определения е воспользуемся тем, что линия действия
искомого ускорения точки В известна: wB направлено по пря-
прямой ОВ.
Поэтому, проектируя векторное равенство (/) на ось Вх, пер-
перпендикулярную направлению wB, получим
Отсюда
и, следовательно,
•=¥■
Так как w"pa^>0, to предположение о направлении этого вектора
верно.
Проектируя равенство (/) на ось By, найдем проекцию уско-
ускорения точки В на эту ось
wBy = Wa + w'ba = Щ[1-\--
Так как wBy^>0, то вектор wB направлен в положительном
направлении оси By.
Величина ускорения точки В в первом положении механизма
будет
)
Рассмотрим теперь крайнее правое положение мотыля
(рис. 344, в). Обратимся снова к равенству (/). Так как перпен-
перпендикуляры к скоростям точек А и В параллельны, то угловая
скорость <и шатуна АВ равна нулю и, следовательно, да^д = 0.
Ускорение №$А, перпендикулярное АВ, предположительно на-
направим так, как показано на рисунке. Проектируя (/) на ось Вх,,
получим
wBX = 0 = wA — w*JA cos a,
отсюда
6== "°г — "°r
/ cos a |/"/si гз
222

Так как дойд>0, то предположение о направлении w"ba верно.
Проектируя (/) на ось By, имеем
сй,?Г
Если so>—=L=-, то ©в>,>0, т. е. в этом случае wB направ-
направлено вниз.
Величина ускорения wB будет
В рассматриваемый момент поршень движется ускоренно вниз,
так как wB и vB совпадают по направлению.
Если
—га
то wB направлено вверх и по величине будет равно
(i>j Г
В этом случае поршень движется вниз замедленно, так как
wD и vB имеют противоположные направления.
Задачи 539—547. С шатуном А В шатунно-кривошипного ме-
механизма жестко связан треугольник ABD. Определить угловую
скорость и угловое ускорение треугольника, а также ускорения
точек В и D, если кривошип О А вращается с постоянной угло-
угловой скоростью <v, ОА — а; АВ = 2а. Данные взять из следующей
таблицы (см. рис. 341):
№ задачи
539
540
541
542
543
544
545
546
547
/. дао
30°
30°
60°
60°
60°
30°
90°
90°
90°
Z.BAD
30°
90°
60°
30°
60°
90°
30°
30°
30°
0°
90°
180°
0°
90°
180°
0°
90°
180°
223

Ответы:
задачи
wDx
wDy
wD
539
540
541
542
543
544
545
546
547
]/57
/3
7г- a^l
з
3
И
3
о
12
2
аи>$
■аа>*
я.
3
*?
}/2Т
3
1
I'
1/3
ешя
Задача 548 (рис. 345). Определить скорости и ускорения порш-
поршней двигателя с V-образным расположением цилиндров в момент,
когда <р —90°, если ОА = \0см,
АВ = АС= 10)^2 см и криво-
кривошип ОА вращается с постоянной
угловой скоростью шо=Ю-^—.
С€К
Угол между осями цилиндров ра-
равен 90°.
Ответ: vB = 0; vc = 100 см/сек;
wc = 1000 см/сек?;
wB— 1707 см/сек*.
Задача 549. В кривошипно-ша-
тунном механизме длина криво-
кривошипа г и длина шатуна / связаны соотношением / = г |/. Оп-
Определить угловую скорость и угловое ускорение шатуна в тот
момент, когда он составляет с кривошипом прямой угол, если уг-
угловая скорость кривошипа постоянна и равна соо.
итвет: и> = -^\ е=—jr-.
Рис. 345
224

Задача 550. В механизме, изображенном на рис. 346, криво-
кривошип О А длиной г вращается с постоянной угловой скоростью <и0.
Определить проекции ускорений точек В и С на оси в тот мо-
момент, когда /.D0A=y> если AD — AB — 2r, BC~Ar.
Ответ: wBX — -^- гщ\ wBy = — 2ru>l; wCx = г ]/3(»4.
Задача 551 (рис. 347). Кривошип О А длиной г парораспре-
парораспределительного механизма вращается равномерно вокруг оси О с
угловой скоростью (ю0. Определить
скорость и ускорение ползуна С
для положения, изображенного на
Рис. 346
Рис. 347
рисунке, если при этом 9 = 60°; f = 90°- Принять ЛВ =
wc =
п 3
Ответ: vc = -^ rm0;
Вектор vc направлен вниз, вектор
З 552 ( 348) К
вверх.
DCKiup vq направлен вниз, всмир vu^ — bbcjja.
Задача 552 (рис. 348). Колесо радиусом R катится без сколь-
скольжения по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью
центра v0 и приводит в движение ползун В при помощи шатуна А В
длиной /. Определить величину ускорения ползуна В при крайнем
верхнем и крайнем нижнем положениях точки Л, если ОА — -^-.
Ответ: в крайнем верхнем поло-
положении h
0 с
в крайнем нижнем положении
Рис. 348
Задача 553 (рис. 349). Со стойкой ОЕ кривошишю-шатунного
механизма связано неподвижное колесо / радиусом 2г, по кото-
которому без скольжения катится колесо 77 радиусом г. С колесом //
наглухо скреплен поводок BD длиной г, а шатун ВС связывает
поводок с ползуном С. Определить ускорение ползуна С и угло-
8 Н, А. Бражниченко и др.
225

вое ускорение шатуна в момент, когда а = 30°, если известно,
что в этот момент точки О, Л и 6 находятся на одной горизон-
горизонтальной прямой. Кривошип ОА вращается
с постоянной угловой скоростью со,,. _
Ответ: Wq = 7~V 3 rm\\ s^—^—шЦ.
Вектор Шс направлен вдоль вертикали вниз.
Задача 554 (рис. 350). Кривошип ОА
приводит "в движение тележку на катках.
Рис. 350
На общих осях с катками вращаются свободно два ролика, на
которые натянут ремень, прикрепленный в точке К к станине.
Определить угловые скорости и ускорения катков и роликов
в момент, когда кривошип ОА образует с горизонтом угол 60°
и /_ВАО — 90°, если ОА = 4г, радиус ролика г, радиус каждого
катка 2г, угловая скорость кривошипа юо = const.
Ответ:
У
"рол ■
рол
Задача 555. На рис. 351 показан механизм, преобразующий
вращательное движение в поступательное. Кривошипы ОА и OiB
Рис. 351
механизма спарены с шестернями, которые имеют одинаковые ра-
радиусы. Кривошип О А соединен шатуном AD с тележкой, пере-
перемещающейся по горизонтальной плоскости на катках. На общих
осях с катками свободно укреплены ролики с натянутым на них
ремнем, некоторая точка Е которого связана с кривошипом О,В
посредством шатуна BE. Кривошип ОА вращается с постоянной
угловой скоростью а>0.
226

Определить угловые скорости катка и ролика и угловое уско-
ускорение катка тележки в тот момент, когда кривошипы ОА и 0tB
занимают вертикальное нижнее положение, если радиусы роликов
равны г, радиусы катков 2r, AD — 4r, OA = r, QxB — 2r.
Ответ: шкат — ^<
о
(">рол =3u»0.
Задачи типа III. В некоторый момент времени известны вели-
величины и направления ускорений двух точек А и В плоской фигуры.
Определить в этот момент мгновенную угловую скорость <и, мгно-
мгновенное угловое ускорение s, и ускорение любой точки С.
Задачи этого типа разрешимы только в том случае, когда
уго'л между векторами В А и разностью wB — wA не является
тупым. Решение задачи осуществляют путем проектирования G.10)
на две взаимно перпендикулярные оси (лучше всего на ось, на-
направленную по АВ, и на ось, перпендикулярную АВ). Из полу-
полученных при проектировании двух скалярных уравнений находят
неизвестные величины wB^A и ЩА, из которых определяют е и си.
При этом величина w^A может быть только положительной, в то
время как знак W$A зависит от предположительного направления
вектора wb^A, так как известна лишь прямая, по которой направ-
направлен этот вектор.
Задача 556. Ползуны А и В, соединенные стержнем длиной I,
движутся вдоль направляющих, которые образуют между собой
Рис. 352
угол 60° (рис. 352, а). Определить ускорение середины С егеря ня
в момент, когда ОА — ОВ, если известно, что в этот момент уско-
ускорения точек А и В имеют величины
и показанные на рисунке направления.
Решение. Условия разрешимости задачи выполнены. Для оп-
определения ускорения точки С по формуле
Wq = wA -\- w ел -)- ®cvi (h)
В* 227

необходимо знать угловую скорость и» и угловое ускорение е
стержня.
Эти величины найдем из соотношения между ускорениями то-
точек А и В:
® + ^
(О
где
причем Wba направлено от В к Л, a wBB\ перпендикулярно к В А
и предположительно направлено так, как показано на рис. 352, а.
Проектируя (i) на выбранные оси Вх и By, получим два ска-
скалярных уравнения
— wB cos 60° = — wA cos 60° -f wBA ,
Отсюда
wB cos 30° = — wA cos 30° + w^a-
W, W- Wn-\-W,
=W wV= A
следовательно,
wba= 2 =W' wVa= 2
AB
W
I?A 2w /3"
Так как s^>0, то w*$a направлено в действительности так,
как указано на рисунке. Заметим, что вектор wbba «стремится»
вращать фигуру вокруг полюса А по движению часовой стрелки.
Обратимся к формуле (h). Имеем
Вектор wca направлен от С к А, а вектор w^a направлен
перпендикулярно к АС так, чтобы он, как и вектор wB\, «стре-
«стремился» вращать фигуру вокруг полюса А по движению часовой
стрелки (рис. 352, б).
Для нахождения wc проектируем равенство (h) на оси Вх и
By. Имеем
wCx = — wA cos 60° -f- wca = — w;
Величина ускорения wc равна
_ К 7"
228

Задача 557 (рис. 353). В эпициклическом дифференциальном
механизме кривошип и колесо / вращаются с некоторыми угло-
угловыми скоростями и ускорениями. В данный момент известно, что
ускорение точки А колеса //, находящейся в месте зацепления,
равно по величине wl и направлено к центру колеса //, а уско-
ускорение диаметрально противоположной точки В равно по вели-
величине Wi и направлено под острым углом C к диаметру ВА. Оп-
Определить в этот момент угловые скорости и
угловые ускорения кривошипа и колеса //.
Установить, при каком угле C колесо / будет
в этот момент иметь угловую скорость, рав-
равную нулю. Радиусы колес равны соответ-
соответственно Г{ и г2.
Ответ:
.=f"i
,=y
wt
sin C
2(r,
cos
"П— I/ 2r2
(й/==0 при условии
"" 2r,
I Щ (л I
2rs
Puc. 353
Задача 558. Однородный свободно падающий стержень А В
длиной / = 1,5 м вращается в вертикальной плоскости вокруг
перпендикулярной к нему оси. Найти величину угловой скорости
и углового ускорения стержня, а также ускорение левого его
конца в тот момент, когда он находится в горизонтальном поло-
положении, если в этот момент ускорение его правого конца равно
по величине wB — 6 м/сек? и образует со стержнем угол а = 60°,
отсчитанный от направления АВ против хода часовой стрелки.
Припять, что середина стержня имеет
ускорение g = 9,81 м/сек*.
-1 ГЪю COS a
Ответ: ш = у —^— = 2 рад/сек;
2 (g — W,. sin а)
B = -J±—rs 1 = 6,15 рад/сек*;
w,=
Рис. 354
Задача 559 (рис. 354). Определить
положение мгновенного центра ускоре-
ускорений линейки эллипсографа в момент, когда а = 30°, если уско-
ускорения точек А и В имеют указанные на рисунке направления и
величины, связанные соотношением
©л =
wR.
Длина линейки равна /.
229

Ответ: мгновенный центр ускорений Q находится на расстоя-
расстоянии -у от точки В и имеет координаты
XQ
\ _
Q 4 ' ^Q 4 '
Задача 560. Решить задачу 559, считая, что направление ускоре-
ускорения точки В заменено на противоположное Определить, кроме того,
ускорение средней точки С линейки
Ответ: мгновенный центр ускорений находится в точке О;
ускорение wc направлено к точке О и численно равно wB
Задача 561. Ускорения концов А и В стержня длиной I па-
параллельны между собой, направлены в противоположные стороны,
составляют острые углы fi со стержнем и имеют величины wA и
wB Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня,
а также его мгновенный центр ускорений.
Ответ: ш= у —£ -е , е = —-
, е = .
Мгновенный центр ускорений находится в точке пересечения
прямой АВ и прямой, соединяющей концы векторов wA и wB
Задача 562. Колесо катится по неподвижному рельсу без
скольжения, причем в некоторый момент ускорение его центра
равно w0, а ускорение точки обода, находящейся в этот момент
в соприкосновении с рельсом, равно wy. Определить величину
ускорения точки, наиболее удаленной от рельса (см. указание
к задаче 530).
Ответ, w = V4w% -\- w\.
Задача 563. Сохранив условия задачи 562 и приняв а>о = шь
определить положение мгновенного центра ускорений.
Ответ: мгновенный центр ускорений Q отстоит от центра и
от точки касания на расстоянии г — -у=^ и расположен так, что
)
Задачи типа IV. В некоторый момент времени известны мгно-
мгновенная угловая скорость плоской фигуры I, величина и направле-
направление ускорения какой-либо ее точки А. Некоторая точка В этой
фигуры одновременно принадлежит и другой фигуре II, движу-
движущейся в той оке плоскости. При этом ускорение точки О
и мгновенная угловая скорость фигуры II известны (в частности,
точка О может быть и неподвижной). Определить угловое ускоре-
ускорение фигуры I и ускорение точки В.
До решения задачи данного типа следует согласно G.10) на-
написать выражение для ускорения точки В как точки, принадле-
принадлежащей каждой плоской фигуре в отдельности:
wB — w0^- Wbo i~Wo- J
230

Приравнивая правые части этих равенств, получим векторное
уравнение, в котором известны величины и направления векто-
векторов wA, Wo, Wba и W'bo (так как известны угловые скорости от-
отдельных фигур). Неизвестными являются величины w%£, и &>?&
прямые же, по которым направлены векторы «уВл и w$0, известны.
Проектируя полученное векторное уравнение на выбранные оси,
■будем иметь два скалярных уравнения, из которых найдем иско-
искомые величины, а затем ех и е3 Для определения wB восполь-
воспользуемся одной из формул (/).
Задача 564 (рис. 355) Четырехзвенник расположен в данный
момент так, что звено ОА занимает верхнее вертикальное поло-
положение, а точки О, В, Oi находятся на одной горизонтали. Опре-
о,
\
Рис. 355
делить в этом положении ускорение точки В, если угловая ско-
скорость звена О А равна ш0, его угловое ускорение so = cdjjJ/3;
ОА = г; АВ = 2г; О1В^2г]/гЗ.
Решение. Так как точка В принадлежит шатуну АВ и зве-
звену OiB, то ее ускорение может быть найдено двояким образом:
(k)
При этом
В этих формулах
:Гшо"'
(I)
а А
= u>*. А В = 2r со2; ш^л = 2r s;
(m)
где со и s — соответственно мгновенная угловая скорость и мгно-
мгновенное угловое ускорение шатуна.
231

Ускорение wB^A направлено перпендикулярно к АВ, a WB^0 —
перпендикулярно к BCV Предположим, что эти векторы направ-
направлены так, как указано на рисунке.
Так как мгновенный центр скоростей шатуна АВ находится
в точке О, то мгновенную угловую скорость ш шатуна А В опре-
определим по формуле
Зная со, найдем скорость точки В:
vB — w ■ OB = щг Уз,
а также
Из (k) и (/) имеем
С»)
В этом векторном равенстве неизвестны величины wB^0 и Ф$А,
которые определим из двух скалярных уравнений, получаемых
проектированием (п) на оси Вх, By. Имеем
waBOi = ~-wJ — w\A cos 30° -f- w*gA cos 60°;
_ WfOi — — wA + W%A cos 60° + w*gA cos 30°,
отсюда
Знак; «минус» показывает, что вектор w^0 в действительности
направлен в сторону, противоположную указанной на рисунке.
Зная ©|Oi и WgpQ , найдем величину ускорения точки В:
Задача 565. Шатуны С А и С В двух кривошипно-шатунных
механизмов соединены между собой шарниром С. Кривошипы OtA
и ОгВ длиной г каждый вращаются в одну сторону с равными
постоянными угловыми скоростями (и0. Определить скорость и
ускорение точки С в момент, когда кривошипы расположены на
одной прямой, как показано на рис. 356, а, если в этот момент
£ CAOi = L СВО2 = 45е. Расстояние OlOi = 2r.
Решение. Определим скорости точек А и В ведущих звеньев.
Имеем
232

Направления векторов vA и vB показаны на рис. 356, б.
Поскольку точка С одновременно принадлежит шатунам АС и
СВ, то
ЭС = бД + ЭС А - VC = VB -f 0CB, (О)
где 0сл и г)св — вращательные скорости точки С относительно А
С
Щ с w.
и В. Приравнивая правые части этих равенств, получим вектор-
векторное уравнение
Проектируя это уравнение на оси Сх и Су, найдем два скаляр-
скалярных уравнения:
\/2 J/2" \f2 , V'i
С Л 2 СИ 2 ' ^ С А 2 £» I С В 2 *
Отсюда
следовательно,
ШСА:==~ГгД^~;)~1 ШСВ == /Тй" == "о" •
Для определения скорости точки С проектируем первое из
равенств (о) на оси Сл; и Q/:
отсюда ис = шог. Вектор ис направлен параллельно 0i02 вправо.
233

Определим ускорения. Имеем
Для определения ускорения точки С воспользуемся G.10).
Имеем
отсюда получим
По G.11) имеем
На рис. 356, в показаны направления векторов wA, Шв, ш.
и Щв- Направления векторов w^?A и w^B неизвестны и показаны
предположительно. Проектируя (р) на оси Сж, Су, получим
°^л 2 * шс& 2 WCB 2 "г шсв 2
отсюда найдем
Знак «минус» показывает, что направления векторов
®»^ в действительности противоположны указанным на рисунке.
Зная w%PA и wfPB, получим
р — —г.
есд — гсв —
(по абсолютной величине).
Для нахождения Шс воспользуемся выражениями
следовательно, wc — 0.
Таким образом, точка С является в данный момент мгновен-
мгновенным центром ускорений как для шатуна АС, так и для шатуна ВС.
Заметим, что мгновенные центры скоростей шатунов находятся
в данный момент в точке 0.
234

Задача 566 (рис. 357). Определить угловую скорость и угло-
угловое ускорение кривошипа О А в момент, когда у = ~, если в этот
момент поршень движется со скоростью о и ускорением W. Длина
кривошипа равна г, длина шатуна /.
Ответ: <аА0 = у\ Чо = у + г1//г__г2
(вращение ускоренное).
Задача 567 (рис. 358). Определить ускорение точки А (центра
мотылевой шейки) в момент, когда мотыль О А и шатун А В
Рис. 358
взаимно перпендикулярны, а угол а = 30°, если при этом скорость
поршня В имеет максимальное значение, равное о0. Длина О А =г.
Ответ: wA = 6r .
Задача 568 (рис. 359). Ведущее звено 0YA четырехзвенника
вращается с постоянной угловой скоростью ш0. Зная, что 0vA =
в
Рис. 359
Рис. 360
~ОгВ = а; OiOi = Y:> AB = Ya< определить угловое ускорение
ведомого звена О*В в случаях: 1) когда О^А занимает крайнее
правое положение; 2) когда Оф занимает крайнее левое положение.
Ответ: 1) ^в^Т (вращение замедленное);
2) s0B —27W<> (вращение замедленное).
Задача 569 (рис. 360). Ползун В движется равномерно в пря-
прямолинейных горизонтальных направляющих со скоростью v и при-
235

водит в движение стержень АС и балансир О А. Определить уско-
ускорения точек Л и С в тот момент, когда точка В находится на
одной вертикали с неподвижной точкой О, если в этот момент
/_ ОАС — 90°. Длина кривошипа OA=R, расстояние шарнира О
до направляющих ползуна равно h, расстояние ВС равно а.
■а* а
Ответ: wA — j-; wc —
Задача 570 (рис. 361). В четырехшарнирном антипараллело-
антипараллелограмме звено О А имеет угловую скорость <и0 и угловое ускорение
Рис. 361
Рис. 362
б, = 0 в том положении механизма, когда а = р = 45°. Определить
величину ускорения точки В в этом положении, если
= - 1==Fr
Ответ: wB = Y~5 /u^.
Задача 571 (рис. 362). В антипараллелограмме ведущее звено ОА
вращается с постоянной угловой скоростью си0. Определить отно-
отношение величин ускорений точек В и А
в момент, когда /_ AOOi = 90°, L ВАО =
= 45°, ,/£010 = 45°, если OA=OiB.
Ответ: -$- = ~-.
Задача 572 (рис. 363). В механизме
Чебышева шатун ABC изогнут под углом
в 135°. Определить проекции ускорений
точек В и С на оси Ох, Оу, если криво-
-х шип ОА длиной г вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью ш0 и занимает
в данный момент крайнее правое положе-
положение, образуя с АВ угол а = 45°. Где
находится в этом положении механизма мгновенный центр ускоре-
ускорений шатуна? Принять AB = OvB=r\f2; BC = 2r.
Ответ: wRx = —^ шог> wey — ®> wcx =■ ®'> wcy = — у w'°r'
Мгновенный центр ускорений находится на продолжении АВ
в сторону В на расстоянии г \^2 от точки В.
236
Рис. 363

Задача 573 (рис. 364). В кривошипно-ша гунном механизме
с круговой направляющей кривошип ОА имеет в данный момент
угловую скорость «в0) угловое ускорение е0 и составляет с гори-
горизонталью угол 60". При этом /,ОАВ = 90°, /_ О\ВА =30°, где
Рис. 364
Oj — центр кривизны направляющей. Определить в этот момент
касательное и нормальное ускорения ползуна В, если ОА=а\
AB--=2aYr3; О,В = 2а.
Ответ: wn = 2аш^; ©т = а (— 2е„ -f- u>J ]/~3) ■
Задача 574 (рис. 365). Круговой направляющий механизм
Чебышева для самокатного кресла расположен в данный момент
так, что стержни А В и CD занимают соответственно горизонталь-
горизонтальное и вертикальное положения.
Определить проекции ускоре-
ускорений точек 6 и С на оси Ох,
Оу, если в рассматриваемый мо-
момент угловая скорость
кривошипа ОА равна со0, а его
угловое ускорение ев =
Принять: ОА = г; ЛС
с'365
Ответ: 1) при вращении О А против хода часовой стрелки:
1 „ 3 1/3" ..„ 7 ,.й 9/3" 2
W
ву
2) при вращении ОА по ходу часовой стрелки:
5 8 . 3]/.Т 2 . __19 „
"CJ1"
16
Щп
уз
" 2
Задача 575 (рис. 366). Ползуны А л В движутся ускоренно
навстречу друг другу по прямолинейным взаимно перпендикуляр-
237

ным направляющим и шарнирно соединены двумя стержнями — АС
длиной а и ВС длиной Ь, имеющими общий шарнир С. Определить
величины скорости и ускорения точки С в момент, когда стержни
перпендикулярны соответствующим направляющим, если в этот
момент ползуны имеют скорости vA и vB и произвольные ускорения.
Ответ: ос = 0; wc =
Задача 576. В механизме, изображенном на рис. 367, криво-
кривошип О А вращается с постоянной угловой скоростью <а0 = 1 рад[сек.
Рис 366
Рас. 367
Независимо от кривошипа ползун С движется по направляющим
в указанном направлении. Определить вращательное и центростре-
центростремительное ускорения точки В относительно С в момент, когда
стержень ВС вертикален, /.ВО А =60°, /. ВАО = 90°, а точки В
и О находятся на одной горизонтали, если в этот момент скорость
ползуна vc — 2Уз см/сек, а его уско-
ускорение wc = 2 см[сек%. Дано: О А = 6 см;
вС_зуз
Ответ:
CM .
= —у- см/сек*;
Рис 365
од|£, = 6 см/сек*.
Задача 577 (рис. 368). Механизм
состоит из четырех стержней, из
которых АО и ВО длиной г каждый вращаются вокруг общей
оси О с одинаковой и постоянной угловой скоростью оH. Опреде-
Определить мгновенные угловые скорости и угловые ускорения стерж-
стержней С А и СВ длиной г У 2 каждый, а также ускорение соеди-
соединительного шарнира С в том положении механизма, когда АО и
ВО горизонтальны.
Ответ: 1) если вращения стержней АО и О В происходят
в разные стороны, то
"ев-
= &св
"V,
причем wc направлено вверх;
238

2) если стержни вращаются в одном направлении, то
ускорение wc направлено вниз.
§ 3. Графическое определение скоростей и ускорений
Графическое определение скоростей и ускорений точек меха-
механизмов, совершающих плоскопараллельное движение, осущест-
осуществляется путем построения планов скоростей и ускорений. Приве-
Приведенная ниже задача иллюстрирует применение этого метода
Задача 578. Определить скорости и ускорения точек В, С и D
механизма в положении, изображенном на рис 369,а, если
кривошип ОХА вращается с постоянной угловой скоростью
<и0 —10 рад/сек; О{А=30 мм; ЛВ = 80 мм, ОгВ = 80 мм;
О2С = 60 мм; CD =100 мм; ср = 90°; а= L ЯО,С = 60°.
Решение. Для определения скоростей точек В, С и D построим
план скоростей. Прежде всего определим скорость точки А:
vA — (ю0 • Ot/4 = 300 мм/сек.
Вектор vA направлен перпендикулярно к кривошипу ОХА
в сторону вращения
Выбрав масштаб скоростей, примем произвольную точку S sa
полюс (рис 369, б) и от нее проведем вектор Sa = vA. Затем из
полюса S проводим прямую, параллельную vB (т. е. перпендику-
перпендикулярную коромыслу СЬВ), а из точки а — прямую, перпендикуляр-
перпендикулярную шатуну АВ. Пересечение этих прямых определит вершину Ь
плана скоростей для шатуна АВ. Скорость точки В по величине
и по направлению определяется вектором Sb. Пользуясь масшта-
масштабом, получим
vB — 3l5 мм/сек.
Вектор ah определяет вращательную скорость точки В вокруг
точки А. Пользуясь масштабом, получим
уяд —230 мм/сек.
Поскольку ивл = (йлв- АВ, то мгновенная угловая скорость
шатуна А В
АВ — id — z,oo рии/сеп:
Перейдем к звену ВО$С. Имея в виду, что это звено совершает
только вращательное движение вокруг точки Oit найдем скорость
точки С из пропорции
239

откуда t)c = 235 мм/сек. Вектор vc направлен по перпендикуляру
к 0гС. Угловую скорость звена ВО^С определим по формуле
Теперь построим план скоростей для звена CD. Скорость точки D
известна по направлению, поэтому из полюса S проведем прямую,
100 50 О
гоо ,
—4 мм/сек
то 5оо о то гооо ■
'■■'""■■| ' ' т/сек'
Рис. 369
параллельную vD, а из точки с—прямую, перпендикулярную
шатуну CD. В пересечении этих прямых получим вершину плана d
скоростей шатуна CD.
240

Вектор Sd определяет по величине и по направлению скорость
точки D, а вектор ей — вращательную скорость точки D вокруг С.
Пользуясь масштабом, получим
uD = 340 мм/сек; uDC = 200 мм^ек.
Мгновенная угловая скорость шатуна
шсо = ^==^ рад/сек.
Для определения ускорений точек механизма строим план
ускорений. Прежде всего определим ускорение точки А. Так как
кривошип вращается равномерно, то wA направлено к точке Ot
и равно по величине
wA = o>o- OiA = 3000 мм/сек*.
Выбрав масштаб ускорений, примем произвольную точку St
за полюс (рис. 369, б) и от нее проведем вектор Sial = fBA.
Так как точка В одновременно принадлежит и шатуну АВ и
коромыслу О.2В, то ее ускорение можно представить с одной сто-
стороны в виде
+ + ()
а с другой стороны — в виде
где Ш^А направлено от б к Л и численно равно
ы>1Д = шлв.АВ = 665 мм/сек1,
a ffi$A направлено перпендикулярно к АВ, но неизвестно по
величине;
®во3 ~~ иентРостРемительпое ускорение точки В во вращатель-
вращательном движении коромысла вокруг точки О2 — направлено от В к О2
и численно равно
w^Oi = о>2 Oi • ВОг = 1235 мм/сек*;
Щ?01 — вращательное ускорение точки В во вращательном дви-
движении коромысла вокруг точки 0^ — направлено перпендикулярно
к ВО*.
В соответствии с формулой (q) из точки at проведем век-
вектор щп, параллельный и равный вектору wha (т. е. направленный
параллельно В А от В к А). Из точки п проведем прямую, парал-
параллельную ©ЦР, (т. е. направленную перпендикулярно к ВА).
На основании (г) из точки 5t проведем вектор •Sj.m, парал-
параллельный и равный SJgOg, а из полученной точки т — прямую,
параллельную W$o , до пересечения с направлением fflffA. Полу-
241

ченная точка пересечения Ьх и будет являться искомой вершиной
плана ускорений, т. е. wD = Sb
а)
Рис 370, а, б, в, г, д, е
Пользуясь масштабом, получим
шв = 2680 мм/сек2.
Вектор nb1 = w'$A, откуда
Далее, m&i —й>во2, откуда
wfOa = 24l0 мм/сек*.
Так как точки В ц С принадлежат одному звену, вращаю-
вращающемуся вокруг точки Оч, то
отсюда найдем
242
wB — ВО,'
= 20l0 мм]сек\

Рис. 370, ж, з, и, к, л, м, н, о

Вектор SiCx получен на плане ускорений путем поворота Si&t
на угол а = 60°. Направление этого поворота должно соответст-
ЕОзать направлению поворота отрезка О2В до совмещения с направ-
направлением отрезка OtC.
Рис. 370, п, р, с, т, у, ф
Перейдем к определению ускорения точки D. Направление'
ускорения этой точки известно. Рассматривая шатун CD, имеем
где
направлено от D к С и численно равно
тЪс = шсо"CD = 408 мм/сек*,
a fflgc направлено по перпендикуляру к CD. Величина этого
ускорения неизвестна.
В соответствии с (s) из точки с, проведем вектор Citii==WDC
(т. е. направленный параллельно DC от D к С). Из точки пг про-
244

ведем прямую, параллельную wB£c (т. е. направленную перпен-
перпендикулярно к DC), до пересечения с прямой, проведенной из
полюса Sb параллельно ускорению wD. Полученная точка пере-
пересечения di является вершиной плана ускорений шатуна CD.
Вектор Stdi определяет величину и направление ускорения точки D.
X) А ш)
д —
Рис. 370, х, ц, ч, ш, э, ю
Пользуясь масштабом, найдем
= 3050 мм/сек*.
Используя планы ускорений, можно определить угловые уско-
ускорения звеньев. Имеем
Чв = ^ = 8,88 рад/сек*; гВо2 = ^- = 30,1 рад/сек*;
bcd =-^ = 9,98 рад/сек?.
Задачи 579—604. Для изображенных на рис. 370 механизмов, путем
построения планов скоростей и ускорений, определить скорости и
245

ускорения точек В, С, D, угловые скорости и угловые ускорения
всех звеньев, если ведущий кривошип О^А вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью, соответствующей 30 об/мин, ОХА — Ш мм,
ЛВ=150 мм, О2В = 50 мм, О1О3 = 100 мм. Размеры прочих
звеньев взять из таблицы, приведенной ниже. Положение меха-
механизмов определяется углом ср = 30°л (л = 0; 1; 2; ...).
М задачи
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
Схема
а
б
в
г
д
е
Ж
э
и
к
л
м
н
о
и
р
с
т
у
Ф
X
Ц
ч
ш
э
ю
OgC, мм
30
—
.—
—
—
—
—
—
—
30
75
40
40
40
—
—
—
—
—
CD мм
80
80
90
100
100
100
80
100
100
120
80
90
100
100
90
130
150
100
120
100
100
100
120
100
110
ПО
АС, мм
20
130
130
20
140
30
70
70
70
20
60
20
10
—.
—
—
40
70
150
30
150
150
80
Z ВО2С, град
—.
—
.—
—
90
90
30
—
—
Л, мм
.
—.
—„
—.
.
—.
—,
„
—„
.
—.
20
100
20
100
120

ГЛАВА Vlll
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛД ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Уравнениями вращения тела вокруг неподвижной точки яв-
являются
где ф, &, <р — углы Эйлера, определяющие положение системы
Otft/z, скрепленной с телом, по отношению к неподвижной
системе Охуг.
Проекции вектора мгновенной угловой скорости ш на непод-
неподвижные оси определяют по формулам
шх — $ sin ф sin & -f- & cos ф,
шу =— ф cosф sm
Шг = ф COS & -f ф,
а проекции ш на оси, связанные с телом, — по формулам
10*, = <j> sin & Sin f -j- & COS f,
(8.2')
= ф cos & -J- ф.
Величина угловой скорости
ш = /f 4- &а -f- 9a + 2фф cos &. (8.3)
Вектор ш направлен вдоль мгновенной оси, предстааляющей
собой геометрическое место точек, скорости которых в данный
момент равны нулю. Если тело представляет собой конус, катя-
катящийся без скольжения по другому неподвижному конусу, то
мгновенной осью в данный момент является общая образующая
этих конусов.
Уравнениями мгновенной оси в неподвижных осях являются
^ = ^ = i-. (8.4)
шх а>у аг v '
Вектор мгновенного углового ускорения s определяют как
скорость конца вектора ш, т. е
i-ff. (8-5)
247

Если обозначить через ш0 единичный вектор мгновенной оси,
то 5 = о>«>0, следовательно,
ё = е, -у- е2, (8.6)
где
da __ - da u
(8.7)
Вектор ?! направлен по мгновенной оси и характеризует ско-
скорость изменения вектора ш только по величине. Вектор ё8 харак-
характеризует скорость изменения ш только по направлению. Если
обозначить через «h угловую скорость вращения вектора «>, то
^° = («1X">0 и
е$ = oj| /\ ш. (8.8)
Векторы и и ё считаем приложенными в неподвижной точке О.
Скорость любой точки М тела определяют по формуле
Э = шХг, (8.9)
где Г — радиус-вектор точки М, проведенный из неподвижной
точки тела.
Величина вектора v определяется равенством
" = Чо> (8.10)
где и — величина вектора о>,
hm — расстояние от точки М до мгновенной оси.
Проекции скорости v на неподвижные оси Oxyz находят по
формулам
(8.11)
Ускорение любой точки М тела равно геометрической сумме
вращательной we и осестремительной Шш составляющих:
W = wE-\-Wai. (8.12)
Величины wm и Шг находят по формулам
а;„ = «'/»„, (8.13)
ws = Bh,, (8.14)
где hE — расстояние от точки М до прямой, по которой направлен
вектор е.
248

Вектор wm направлен перпендикулярно к мгновенной оси из
рассматриваемой точки. Величину и направление вектора да,
определяют векторной формулой
®. = eXr. (8.15)
По аналогии с (8.9) можно утверждать, что ®г направлено
так, как была бы направлена скорость точки, если бы тело вра-
вращалось вокруг линии действия вектора I, как вокруг оси. Если
то
(8.16)
Проекции ускорения w на неподвижные оси координат соот-
соответственно равны
ez -f-
-f ymy -f гш,) —
(8.17)
Аналогичные формулы имеют место для проекций ускорения
на оси, связанные с телом.
Задача 605 (рис. 371). Коническая шестерня / радиусом г,
находящаяся в зацеплении с неподвижной шестерней // радиу-
радиусом R — 2r, приводится в дви-
движение кривошипом ///, вра-
вращающимся вокруг неподвижной
о
оси по закону § = -^гг. Опре-
Определить величины угловой ско-
рости » и углового ускорения i
шестерни / в момент t = 1 сек.
Решение. Мгновенной осью
шестерни / в данный момент
является прямая ОВ. Вектор
ш направлен вдоль этой пря-
прямой.
Обозначим центр подвиж-
ной шестерни буквой А. Тогда,
рассматривая точку А как точку, принадлежащую кривошипу,
имеем
в
Рис. 371
С другой стороны, рассматривая точку А как точку шестерни /,
получим по (8.10):
vA = ш/гш = о) ■ АС =
cos a.
249

Сравнивая, получим
3t
@:
Поскольку
ТО
В момент t = 1 сек
в>Ь=1 сек
Для определения ё воспользуемся формулой (8.6):
1 = ё1+ё8.
Вектор et направлен так же, как и вектор <5. По величине
он равен:
е, = -^ = 3 ^5 рад/сек*.
Для определения ia воспользуемся (8.8). В данной задаче
<ol = ^t причем вектор u>t направлен по OD вниз. Поэтому век-
вектор е2 направлен перпендикулярно к плоскости ОАВ парал-
параллельно скорости 0А. Величина этого вектора
г2 = и)Ш! sin (шь «>) = po)sina
При /= 1 сек
4\t^\ сеК= 18 рад/сек*.
Окончательно получим
^ = 3 ]/Т
Задача 606 (рис. 372). Прямой круговой конус К' с радиу-
радиусом основания г = 2 см катится без скольжения по неподвиж-
неподвижному конусу К так, что его вершина О остается неподвижной,
а центр основания А движется со скоростью vA = t см/сек.
Определить в момент t = 2 сек величину ускорения точки С— конца
вертикального диаметра основания конуса К!', если углы при вер-
вершинах О обоих конусов одинаковы и равны 2а = -т?.
Решение. Так как подвижный конус катится по неподвижному
без скольжения, то его мгновенной осью в данный момент яв-
является образующая ОВ. Мгновенная угловая скорость ш направ-
направлена вдоль этой образующей в сторону, определяемую направле-
направлением скорости точки Д.
Величина ш равна;
250

№ = ЛЯ = F^sT = V" ^A*"-
Поскольку вектор <о изменяется и по величине и по направ-
направлению, то мгновенное угловое ускорение ё определим по (8.6):
Вектор it направлен по ОВ в ту же сторону, что и вектор «5.
По величине он равен:
el = ~=^T- рад/сек*.
Для определения е2 восполь-
воспользуемся (8.8). В данной задаче
со —°А
где ft = AD — расстояние точки
А от оси конуса К. Так как
а = -т» т0 А = ОЛ. Таким обра-
образом,
Вектор Щх направлен по оси конуса К вниз.
По (8.8) имеем
E2 = o)oIsin-|- = -j рад/сек*.
Вектор s2 направлен перпендикулярно к плоскости ОДВ и
параллельно вектору ул.
Для определения ускорения точки С воспользуемся (8.12) и
(8Л6
Вектор ®jet = SiX ОС приложен к точке С, направлен по пер-
перпендикуляру к плоскости, проходящей через векторы et и ОС, в
сторону, определяемую правилом правого винта, т. е. он парал-
параллелен вектору vA. Величина вектора wH равна
Wtl = 6l • ОС ■ sin 90° = 2 см/секг.
Вектор ©е2 = ё2 • ОС, приложенный в точке С, направлен по
перпендикуляру к ОС в плоскости СОВ и по величине равен
w.t = ei-ОС = ¥£-?.
Вектор ©ш направлен по образующей конуса СО от точки С
к точке О, так как ОС А^ОВ, и по величине равен
У
251

Так как векторы wa, w:i и w4 взаимно ортогональны в дан-
данной задаче, то величину ускорения wc определим по формуле
wc = Vwl, i<+£ У* +
В момент t = 1 сек получим
дас|/=2С^- = 2/1 см/сек*.
Задача 607. Движение твердого тела, имеющего неподвижную
точку О, задано уравнениями
{^ — в секундах, углы — в радианах).
Определить величины скорости и ускорения точки М тела,
координаты которой по отношению к неподвижной системе в
данный момент времени равны 0; 0; 32 (в сантиметрах).
Решение. Используя (8.2), определим проекции мгновенной
угловой скорости тела «> на неподвижные оси координат Oxyz:
тс 1/3 nt rcl/3 it* я
<•>, = — cos— шу = -^-зшт; «, = —т.
Отсюда найдем проекции мгновенного углового ускорения
тела в на те же оси:
7tL>}/3 nt . те2 1^3 ic* -г.
е = а) =^sm e = cu =COS e = ^ = 0
По формулам (8.11) определим проекции скорости v точки М
на оси Oxyz:
Таким образом, величина скорости
о =^ 4 V^3 т; см/сек.
Для определения ускорения точки М воспользуемся форму-
формулами (8.17):
cos 4; ш^—-^—sin
Следовательно, величина ускорения
Y\-wl = 3'K'i см/сек1.
Задача 608. Твердое тело вращается вокруг точки О, приня-
принятой за начало неподвижной системы координат Oxyz. Определить
в данный момент времени скорость точки N [-^; V%', 2) тела,
252

если мгновенная ось проходит в этот момент через точку М
B; V~3; 3) и образует с осями координат острые углы, а вели-
величина мгновенной угловой скорости равна 8 рад/сек. Координаты
точек даны в сантиметрах.
Ответ: vN = 8 см/сек;
cos @, х) = — 4-\
cos (с, у) = — |-;
Задача 609. Ось вращения Земли, образующая с перпендику-
перпендикуляром к плоскости эклиптики (земной орбиты) угол Ьо = 23°,
описывает вокруг него конус (конус прецессии) в течение 7\ =
= 25700 лет. Найти угловое ускорение Земли, считая, что период
ее вращения вокруг оси Гй = 24 час.
Ответ: & = -ars'"— = 2,20 • 10 16 рад/сек*
(То и Тх выражены в секундах).
Задача 610 (рис. 37.3). Шестерня / радиусом г, находящаяся
в зацеплении с неподвижной шестерней // радиусом R = 2r,
приводится в движение валом ///, вращаю-
вращающимся равноускоренно с угловым ускорением
Е0 — ~рад'гек'*, имея в начальный момент вре-
времени угловую скорость 0H = 71 рад/сек. Опреде-
Определить в момент t =■ 1 сек угловую скорость, угло-
угловое ускорение и скорость точки В подвижной
шестерни.
Ответ: 0) = ^?,,. рад/сек;
\- 81ira рад1секг; v =
Задача 611. Твердое тело, вращающееся
вокруг неподвижной точки, в некоторый момент Рис. 373
времени имеет угловую скорость и> = 2 рад/Сек
и угловое ускорение е = 3 рад^ек1, причем векторы п> и I взаимно
перпендикулярны. Найти величину ускорения точки тела, от-
отстоящей от неподвижной точки на расстоянии h = 4 см, если
линия, соединяющая эту точку с неподвижной точкой, перпенди-
перпендикулярна плоскости, в которой расположены векторы угловой ско-
скорости и углового ускорения.
Ответ: да = 20 см/сек*.
Задача 612. Движение твердого тела, имеющего неподвижную
точку О, задано уравнениями
(ф, &, <р — в радианах, t — в секундах).
253

Определить величину ускорения точки тела, лежащей в дан-
данный момент времени на мгновенной оси на расстоянии от непод-
неподвижной точки О, равном 2)/3 см.
Ответ: и) = -тгъ1 см/сек2.
Задача 613. Сохранив условия предыдущей задачи, опреде-
определить величину скорости точки М тела, имеющей в данный момент
времени координаты: 0; 0; У? (в сантиметрах), а также величину
ускорения той точки тела, которая в этот момент совпадает с
основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на мгно-
мгновенную ось.
п те |/2! , те2 VW , о
Ответ: v = —-к— см/сек; w = —к— см/сек*.
Задача 614. Проекции угловой скорости твердого тела, вра-
вращающегося вокруг неподвижной точки О, на неподвижные коор-
координатные оси Oxyz выражаются формулами
Определить в момент ^=1 сек величины скорости и ускоре-
ускорения точки тела, имеющей в этот момент координаты: 1; 0; 0 (в
сантиметрах).
Ответ: v =1,41 см/сек; w = 6,7l см/сек*.
Задача 615 (рис. 374). Прямой круговой конус с углом 27
при вершине катится без скольжения по горизонтальной пло-
плоскости, имея угловую скорость ^ во вра-
вращательном движении вокруг оси, пер-
перпендикулярной этой плоскости. Через
центр А основания конуса проведена
с
Рис. 374
прямая AD, параллельная образующей ОВ. Определить величину и
направление ускорения точки М на этой прямой, зная ее расстоя-
расстояние s от точки Лц — проекции точки А на образующую ОВ.
Ответ: тм = ^а,
wM лежит в плоскости ОСВ и направлено перпендикулярно к AtM
вниз.
Задача 616 (рис. 375). Вал /, вращающийся вокруг непод-
неподвижной горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ш0,
254

приводит в движение шестерню // радиусом 4 см, находящуюся
в зацеплении с неподвижной шестерней Ш. Определить величины
ускорений точек В я С шестерни //, если углы при вершинах
начальных конусов подвижной и неподвижной шестерен равны
соответственно а = 60° и fS=120J, a центр А подвижной
шестерни движется с постоянной по величине скоростью, рав-
равной 4 см/сек.
8 \^3
Ответ: wc = -~- см/сек1; wB = 8 см/сек2.
Задача 617. В механизме, рассмотренном в предыдущей задаче,
вал / вращается с постоянным угловым ускорением ев =
= 0,5 рад/сек*, имея в начальный момент угловую скорость ш0 =
= 1 рад/сек. Определить в момент /=1 сек ускорения точек С
и В подвижной шестерни.
Ответ: wc = 18 У'З см/сек\
w,
, = 21^741 см/сек2.
Задача 618 (рис. 376). Определить величину ускорения точки С
подвижной шестерни / радиусом г, находящейся в зацеплении
Рис. 376
Рис. 377
с неподвижной шестерней //, если вал /// имеет в данный
момент угловую скорость ш0 и угловое ускорение eo = w'a.
Углы при вершине О начальных конусов обеих шестерен
равны по 60°.
Ответ: wc = У^ЗО ги>'л.
Зддача 619 (рис. 377). Коническое зубчатое колесо радиусом R,
катящееся по плоской опорной шестерне, приводится в движение
водилом AD, которое соединено с колесом в точке А шаровым
шарниром. Водило имеет угловую скорость шь а опорная ше-
шестерня вращается с угловой скоростью ш2 = -=-">1 в том же на-
направлении. Считая, что ось колеса проходит через центр О опор-
опорной шестерни, определить скорость и ускорение точки С, диамет-
255

рально противоположной точке касания В, если OB = OC =
а £ СОВ = 60°.
Ответ: ис =
Ускорение wc лежит в плоскости рисунка и направлено
под прямым углом к ОС вниз.
Задача 620 (рис. 378). Коническое
зубчатое колесо / радиусом R вра-
вращается с постоянной угловой ско-
скоростью (Bj. Зубчатое колесо // при-
приводится в движение с помощью
кривошипа, имеющего угловую ско-
3
рость o), = y «1 и то же направление
вращения, что и колесо /. Опреде-
Определить мгновенную угловую скорость
и угловое ускорение колеса //, а так-
также скорость и ускорение точки С
этого колеса, диаметрально противоположной точке касания А,
если угол 2ai=120°, угол 2а2 = 60°, а оси колес пересекаются
в точке О.
ш1Д\^Ш
2
Рис. 378
Ответ: ш^
Wr — -

ГЛАВА IX
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТЕЛА
§ 1. Скорость точки в сложном движении
Скорость точки в сложном движении определяют по формуле
va = vr + Se, (9.1)
где Va — скорость точки относительно условно неподвижной си-
системы отсчета (абсолютная скорость);
vr — скорость точки относительно подвижной системы отсчета
(относительная скорость);
Юе — скорость той точки подвижной системы отсчета, через
которую в данный момент проходит рассматриваемая
точка (переносная скорость).
Задача 621. В кривошипно-кулисном механизме с поступательно
движущейся кулисой (рис. 379, а) кривошип ОА длиной г вра-
вращается с постоянной угловой скоростью ш0 и приводит в движение
Рис. 379
кулису ВВ, прорезь которой образует с направлением ее пере-
перемещения постоянный угол, равный 60°. Определить скорость
кулисы и скорость скольжения камня А в прорези кулисы, если
в начальный момент времени кривршип занимал левое горизон-
горизонтальное положение.
Решение. Движение камня А можно изучать по отношению
к двум системам отсчета: по отношению к неподвижной си-
системе Оху (абсолютное движение) и по отношению к подвижной
системе ОУг/, связанной с кулисой (относительное движение).
Абсолютным движением камня является его движение по окруж-
окружности с центром в точке О, и, следовательно, абсолютная ско-
скорость Va направлена перпендикулярно к кривошипу ОА и равна по
величине шог. Относительное движение — это скольжение камня
по прорези кулисы, поэтому относительная скорость vr точки А
направлена по кулисе.
9 Н. А. Бражниченко н др.
257

Переносным движением камня А в данный момент является
движение той точки кулисы, с которой в этот момент совпадает
камень. Так как кулиса движется поступательно, то переносная
скорость ve параллельна прямой СС.
По теореме сложения скоростей (9.1) имеем
Из параллелограмма скоростей (рие. 379, б) найдем
Уг __ Уа __ Уе
( я \ .я . / я
sin 1 -=- — ш sin -5- sin I <р — -д-
откуда
2<o0r V 3 -
Так. как
? = <V
TO
f, = —°-^-— с os
В моменты времени, когда
ср = |- -f me,
имеем
и, следовательно, в эти моменты кулиса изменяет направление
своего движения.
Задача 622. В механизме, изображенном на рис. 380, а,
рейка / имеет скорость ^ = 20 см(сек, рейка // — скорость
t>2 = 40 см/сек, расстояние между рейками равно 50 см. Опреде-
Определить угловую скорость рейки ///, а также скорость рейки IV
в тот момент, когда АС=ВС и угол а между рейками /// и IV
равен 60°.
Решение. Рассмотрим движение точки В. С рейкой /// свяжем
подвижную систему координат Dx't/. С неподвижным основанием
механизма свяжем неподвижную систему осей Оху. Точка В дви-
движется по отношению к обеим координатным системам. Абсолютным
движением этой точки является прямолинейное движение со ско-
258

ростью vt вдоль оси Ох. Относительным движением является прямо-
прямолинейное движение вдоль прорези рейки ///. Переносным движе-
движением будет движение той точки рейки ///, которая в данный
момент совпадает с точ-
точкой В. ^
По теореме сложения шш> а ииш
скоростей (9.1) имеем 1\-
(рис. 380, б)
— " —- 4-S У'
Для определения пере-
переносной скорости vBe поль-
пользуемся формулами кинема-
кинематики плоского движения
G.3) и G.5):
*ВА = "игАВ,
где vA = Si — скорость точ-
точки Л, приня-
принятой за полюс;
vBA — вращатель-
вращательная скорость
вокруг полю-
полюса А — точки
рейки ///, с
которой в
данный мо-
момент совпа-
совпадает точка В.
Итак,
Рис. 380
Относительная скорость vBr направлена по прорези рейки III,
а скорость VBAJ_AB. Направления этих скоростей наперед не-
неизвестны. Согласно (а), изобразим все составляющие векторы на
рис. 380, б. Направления векторов х}^ и veA указаны предполо-
предположительно. Векторное равенство (а) равносильно следующим двум
скалярным, полученным проектированием (а) на оси Вх"у", парал-
параллельные осям Оху:
= vBr
и — ивг 2 вд 2 "
259

Отсюда найдем
tj _-—- _*! L . . ■■ 1Q qm Jc€K
ВА О ' '
vBr = У 3 vBA = 10 У 3 см/сек.
Знак «плюс» в ответах указывает на то, что направления век-
векторов var и vBA выбраны правильно.
Зная vBA, найдем угловую скорость рейки ///:
V
1«ш =-^| = 0,1 рад/сек.
Рассмотрим движение точки С (рис. 380, в). Абсолютная ско-
скорость точки С определится векторной суммой
-Мм. Ф)
где вращательная скорость
vca — шш • ~2 А В = 5 см/сек,
vCr—относительная скорость точки С, направленная вдоль
рейки ///; vA = Vi.
Вектор vCA перпендикулярен к АС и направлен в ту же сто-
сторону, что и вектор vBA. Направление вектора vCr дано предполо-
предположительно. Векторное равенство (Ь) равносильно двум скалярным,
полученным проектированием F) на оси Сх'"у"', параллельные
осям Оху:
1 Vli
иСау = ~иСгТ~иСА12Г-
В первом равенстве проекция скорости vCax равна нулю по-
потому, что абсолютная скорость точки С, равная скорости рейки IV,
направлена вдоль вертикали. Из этих урав-
уравнений найдем
vCr = 15 У 3 см/сек;
vCay = — 10 У" 3 см/сек.
Знак «минус» указывает на то, что ско-
рость точки С в рассматриваемый момент
направлена вниз.
Величина абсолютной скорости точки С
/ см/сек.
Рис Ш ой = 10/3 см/
Иис- ^ Задача 623 (рис. 381). Два корабля идут
прямыми расходящимися курсами, образую-
образующими между собой угол а. Скорость одного корабля равна yt.
Какую скорость v2'должен иметь второй корабль, чтобы первый
'260

находился все' время у него на траверсе, т. е. на перпендикуляре
к его курсу? С какой скоростью и будет увеличиваться при этом
расстояние между кораблями?
Ответ: v2 = vx cos а;
u = v1 sin a.
Задача 624. Судно движется на юго-восток со скоростью и.
Флюгер на судне составляет угол 90° с его диаметральной пло-
плоскостью, причем ветер дует с левого борта. Определить истинную
скорость ветра и его направление, если относительная скорость
ветра равна скорости судна. __
Ответ: ветер дует с севера со скоростью v = u.y~2.
Задача 625. Тело, запущенное на экваторе вертикально вверх,
приобрело скорость 2 км, сек относительно места пуска. Какова
его скорость относительно системы координат, поступательно дви-
движущейся вместе с Землей по отношению к неподвижным звездам?
Движение центра Земли за небольшой промежуток времени считать
равномерным и прямолинейным. Высотой тела над поверхностью Зем-
Земли пренебречь. Радиус Земли i? = 6400 км.
Ответ: v = 2,06 км /сек.
Задача 626 (рис. 382). Призма А дви-
движется поступательно со скоростью 3 м/сек,
а груз В движется по грани призмы так, что
расстояние s — OB изменяется по закону
s = i'a (t — в секундах, s — в метрах). Опре-
Определить при t = 2 сек величины абсолютных
скоростей грузов В и С, связанных не-
нерастяжимой нитью.
Ответ: ов —3,62 м/сек;
vc = b м/сек.
Задача 627. Вращение диска вокруг
своей оси соответствует закону ср = 1,5^ рад.
Вдоль радиуса диска в направлении от центра к его ободу дви-
движется точка М. Определить величину абсолютной скорости этой
точки в момент t—\ сек, если ее движение относительно диска
задано уравнением
s = O/W = A -\-Р) см.
Ответ: v = 2 У10 см/сек.
Задача 628. Определить величину абсолютной скорости точки
ротора паровой турбины, ось которого горизонтальна и лежит
в диаметральной (продольной) плоскости судна, идущего со ско-
скоростью 40 узлов (узел — единица скорости, равная 1 миле в час,
или 0,5144 м/сек). Расстояние данной точки до оси вращения
равно 60 см. Ротор делает 3000 об/мин.
Ответ: v =189 м/сек.
Задача 629 (рис. 383). Ползун А перемещается по прямоли-
прямолинейным направляющим при помощи рычага, который вращается
Рис. 382
261

вокруг неподвижной оси О. Определить скорость ползуна в зави-
зависимости от угла поворота рычага <р, если он имеет в данный
момент угловую скорость <о, а расстояние от оси О до направ-
направляющих равно h.
Ответ: о = -^-.
sin2 9
Задача 630 (рис. 384). Кулисный механизм с вращающейся
кулисой приводится в движение кривошипом ОС. Определить ско-
скорость ползуна С относительно кулисы, в момент времени ^=v2^,
Рис. 383
В
Рис. 384
где о) — постоянная угловая скорость кривошипа, если в началь-
начальный момент кривошип занимал правое горизонтальное положение.
Принять b = aV2.
Ответ: vr—au>.
Задача 631 (рис. 385). Стержень ОА длиной / может повора-
поворачиваться в плоскости рисунка вокруг точки О при помощи толка-
Рис. 385
Рис. 386
теля, движущегося со скоростью и. Определить величину скоросги
конца А стержня в зависимости от расстояния х от толкателя
до точки О, если высота стойки равна а.
_ lau
Ответ: v
Задача 632 (рис. 386). Стержень О А длиной / приводится во
вращательное движение вокруг неподвижной точки О кулачком,
имеющим форму полуокружности радиусом г = —=г# Определить
угловую скорость стержня в тот момент, когда он составляет
262

угол ср = 30° с_ горизонталью, а кулачок движется поступательно
со скоростью и.
Ответ: ш =
Задача 633 (рис. 387). Частица М пара попадает на рабочую
лопатку колеса осевой турбины со скоростью у, равной по вели-
величине 1200 м/сек и образующей с плоскостью ВВ, перпендикуляр-
перпендикулярной к оси вала, угол а = 20°, а с радиусом ротора —угол 90°.
Определить величину относитель-
относительной скорости частицы пара, если
эта скорость образует с плоскостью
ВВ угол р = 45°. Каково при этом
число оборотов колеса, если рас-
расстояние от частицы до оси вала
равно 1,2 Л1?
Ответ: о,. = 581 м/сек; Рис. 387
л = 5720 об/мин.
Задача 634. Флюгер корабля, двигавшегося на север, откло-
отклоняется из-за ветра и составляет с направлением движения корабля
угол 135°, отсчитываемый против хода часовой стрелки. При из-
изменении курса корабля на северо-восток угол между направле-
1/9
нием движения корабля и флюгером стал равным ср==я — arctg —-.
Определить истинное направление ветра, считая, что величина
скорости корабля при изменении курса сохранилась прежней.
Указание. Проектировать векторные уравнения на направления
северо-восток и северо-запад.
Ответ: ветер дует с юго-востока.
Задача 635. Движение точки в плоскости хОу задано уравне-
уравнениями
x = r -\-r cos kt,
у = г sin kt,
причем сама плоскость хОу вращается по ходу часовой стрелки
вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростью ш = /г. Определить
величину абсолютной скорости точки в момент t = ^r сек.
Ответ: v — rk.
Задача 636. Точка движется в плоскости хОу по эллипсу
согласно уравнениям
x = a-\~acos kt;
y = b-\- bsinkt,
а сама плоскость вращается против движения часовой стрелки
вокруг оси Ог с угловой скоростью со. Определить величину абсо-
263

лютной скорости точки в те моменты, когда она находится в
вершинах эллипса.
Ответ: од = /^Ч~ Bаш -f bkf;
v2 = ]/"«V -f B6
Задача 637. Точка движется в плоскости хОу согласно урав-
уравнениям
(х, у — в метрах, t — в секундах), а сама плоскость вращается
вокруг оси Oz с угловой скоростью ю = 2 рад/сек. Определить
величину абсолютной скорости точки в момент времени t = 1 сек.
Ответ: при вращении плоскости против движения часовой
стрелки у=6,71 м/сек; при вращении плоскости по ходу часовой
стрелки о = 5,39 м/сек.
Задача 638 (рис. 388). Реверсивная передача с зубчатым сек-
сектором радиусом Я приводится в движение от кривошипа О А, вра-
вращающегося ВОКруГ неПОДВИЖНОЙ ОСИ О С УГЛОВОЙ СКОрОСТЬЮ U)e.
Рис. 388
Рас. 389
Цапфа А кривошипа скользит в качающейся кулисе. Определить
угловую скорость (о колеса // радиусом г = — в момент, когда
а = -g-, если OOi — 4>- О А.
Ответ: о> = 2,28о>0.
Задача 639 (рис. 389). В кулисном механизме поперечно-стро-
поперечно-строгального станка кривошип ОА делает п об/мин. Определить ско-
скорость перемещения стержня ВС в момент, когда угол между кри-
кривошипом ОА и кулисой равен а, а угол между стержнем ВС и
кулисой равен р. Принять OA = r, OiA AB 2
Ответ: v =
nnr cos a
15 sin 3 '
264

Задача 640 (рис. 390). В кулисном механизме поперечно-стро-
поперечно-строгального станка кривошип ОА вращается с угловой скоростью <«п-
Определить скорость ползуна С и угловую скорость коромысла О^В
в указанном на рисунке положении механизма, если
ОА—тУ\ ОхК = О^В^г, ВС = 4г.
Ответ: wc = 3<o0r; <«OlB = 3u>0.
Задача 641 (рис. 391). В кулисном механизме поперечно-стро-
поперечно-строгального станка кривошип ОА вращается с угловой скоростью ш0-
Рис. 390
Рис. 391
Найти скорость ползуна С и угловую скорость коромысла OtB
в тот момент, когда кривошип и коромысло горизонтальны, если
расстояние от точки О до направляющей ползуна С равно а, а от
точки 0J до той же направляющей —2а, OA=R, О^В = г,
Ответ:
= о)и/? VЪ; ш0,в==
==~^г'
Задача 642. В механизме, изображенном на рис. 392, криво-
кривошип ОА вращается с угловой скоростью шп. Определить угловую
скорость ш кулисы MN в момент, когда
она составляет угол а с горизонтом,
если при этом DM = 2a, CD _L CO "-
и кривошип ОА занимает правое гори-
горизонтальное положение. Кроме того,
дано:
ОА=ОС = а\ ВС =
Ответ: со = со0
sin a.
Рис. 392
Задача 643 (рис. 393). В шатунно-кривошипном механизме
кривошип ОА вращается с угловой скоростью т. Связав с кри-
кривошипом подвижную систему отсчета, определить величины пере-
265

носной, относительной и абсолютной скоростей ползуна В в тот
момент, когда 0В = 2а, ОА=АВ = 1.
указание. Относительная скорость ползуна В должна быть пер-
перпендикулярна к шатуну А В, так как в относительном движении
точка В движется по окружности с центром в -точке А.
Ответ: ve = 2aw; vr — 2l®\ va = 2^yii — а4.
Задача 644 (рис. 394). Шестерня радиусом R, катящаяся по не-
неподвижной шестерне с тем же радиусом, приводится в движение
кривошипом О А, вращающимся вокруг
точки О с угловой скоростью щ. Свя-
Связав с кривошипом подвижную систему
отсчета, определить величины перенос-
переносРис. 393
Рис. 394
ной и относительной скоростей точек Mlt Мъ М3, УИ4, принад-
принадлежащих подвижной шестерне.
Ответ: vei = (ol)R; ve3=vei = wl)Ry5.
Задача 645 (рис. 395). Круговой конус, радиус основания
которого равен 10 см, а высота 20 У" 2 см, катится без скольже-
скольжения по неподвижной гори-
горизонтальной плоскости так,
что его вершина О остается
неподвижной. Вдоль высо-
высоты конуса просверлен ка-
канал, по которому в напра-
направлении от центра основа-
основания А к вершине движется
точка М по закону s =
= AM = 10y~2tcM. Onpe-
Р«с- 395 делить в момент времени
t = 1 сек величину абсолют-
абсолютной скорости точки М, если в этот момент скорость точки В конуса,
наиболее удаленной от плоскости, равна 20 У см/сек.
Ответ: v = 5 У10 см/сек.
Задача 646 (рис. 396). Колесо / радиусом 20 см катится без
скольжения по внутренней поверхности неподвижного колеса //
и приводится в движение кривошипом ОА длиной 30 см, вра-
вращающимся вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью, равной
266

0,5 рад/'сек. Вдоль радиуса подвижного колеса в направлении от его
центра движется точка М со скоростью 5 см/сек. Определить вели-
величину абсолютной скорости точки М
в момент, когда она находится на рас-
расстоянии 10 см от центра колеса, если
в этот момент радиус, вдоль которого
движется точка, перпендикулярен к кри-
кривошипу.
Ответ: va=\2,b см/сек.
Задача 647 (рис. 397). Кривошип 0А{
суммирующего механизма имеет в дан-
данный момент угловую скорость щ и со-
составляет угол oti с горизонтальной
осью Ох. В этот же момент кривошип
ОА$ имеет угловую скорость (% и со- Рас. 396
ставляет с той же осью угол о^. Опре-
Определить в этот момент величину скорости стержня CD, если пря-
прямая, по которой он движется, делит расстояние между направ-
Рис. 397
ляющими М и N в отношении —. Длины кривошипов равны
и
соответственно, их направления вращения указаны на рисунке.
.^i sin aj — mr2w2 sin яа
Ответ: v =
Задача 648 (рис. 398). В множительном механизме рейка /
движется со скоростью vt, а рейка // — со скоростью vt в ука-
указанных направлениях. Определить скорость v-i рейки /// и угло-
267

вую скорость кулисы IV в зависимости от перемещений х и у
реек / и //. Расстояние между направляющими реек // и ///
равно а.
_ я у а — х
Ответ: о8 = i>i -=£ — и» —•—
(если У8>0, то /// движется вниз);
"IV
х'+у*
(если ");^>0, то вращение кулисы происходит против хода часо-
часовой стрелки).
Задача 649 (рис. 399). Рейки lull суммирующего меха-
механизма движутся в одном направлении со скоростями 0t и с, соот-
Рис. 398
ветственно. Определить скорость рейки ///, угловую скорость
кулисы IV, а также скорости ползунов А и В относительно
кулисы в тот момент, когда угол, составленный прямой АВ
с горизонталью, равен а. Расстояния между направляющими стерж-
стержней / и ///, // и /// равны соответственно at и аа.
Ответ: t>8=
Т > <о
а1-\-а2 '
(при О!>оа кулиса вращается по ходу часовой стрелки);
(и, — vs) a, sin a
(DAr направлено от Л к О при
(vt — vs) as sin a
~ i "
gr направлено от S к О при о,
268

§ 2. Ускорение точки в сложном движении
Ускорение точки в сложном движении определяют по формуле
Wa = mr-\- We-L- wc, (9 2)
где ©а — ускорение точки относительно условно неподвижной си-
системы отсчета (абсолютное ускорение),
Шг — ускорение точки относительно подвижной системы от-
отсчета (относительное ускорение);
Ше — ускорение той точки подвижной системы отсчета, через
которую в данный момент проходит рассматриваемая
точка (переносное ускорение),
Wc — поворотное ускорение или ускорение Кориолиса, выра-
выражающееся формулой
®( = 2КХ0,), (9.3)
здесь ше — мгновенная угловая скорость подвижной системы от-
отсчета;
vr — относительная скорость точки.
Задача 650. Окружность радиусом R—\m вращается в вер-
вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси О против хода часо-
часовой стрелки по закону cp = rf (t — в секундах; <р— в радианах),
Рис. 400
где ср — угол, составляемый диаметром окружности О А с горизон-
горизонтальной прямой (рис. 400, а). По окружности из точки О дви-
движется точка М по ходу часовой стрелки согласно уравнению s~-t
(t — в секундах; s — в метрах). Определить абсолютное ускорение
точки в моменты времени tx = ~T сек и ^=1 сек.
Решение. Точка М совершает сложное движение. Свяжем по-
подвижную систему координат с окружностью. Тогда движение
точки М по окружности будет относительным. Переносным движе-
движением точки в данный момент является движение той точки окруж-
окружности, через которую в этот момент проходит точка М.
269

Найдем положения точки М в указанные условиями задачи
моменты времени:
I п
при t = -j сек Sj = " м;
при tt = 1 сек ^ = к м.
Следовательно, к моменту U = -^ сек точка М пройдет чет-
четверть окружности, а к моменту /9=1 сек — половину окружности
от начального положения. Для этих моментов времени угол по-
поворота окружности будет равен соответственно — и п (рис. 400, б, в).
Согласно (9.2), имеем
Wa == ©, -f *®e + ®е- (С)
Определим сначала относительное ускорение ®г:
где касательное ускорение
а нормальное
так как относительная скорость
1)г = ^ = т! м/свк.
Таким образом, относительное ускорение в любой момент вре-
времени направлено к центру окружности и по величине равно
о)г —тс* м/сек*.
Найдем переносное ускорение точки М. Так как переносное
движение вращательное, то, следовательно,
здесь
где ОМ — расстояние от точки М до оси вращения окружности;
шв и ее — угловая скорость и угловое ускорение вращающейся
окружности.
Имеем
=h = V2 м; 0M\t==ia = 2 м.
270

Угловая скорость ше и угловое ускорение ев соответственно равны:
рад .
"^ ='f ~ тс ТгаГ = const; Be=ip = O,
таким образом,
*
В момент *i = y ceK wei = K*y2 м'сек2, в момент ^=1 сек
ьие2 = 2тс9 м/сек*. Ускорения wei и we, направлены к оси О.
Найдем теперь ускорение Кориолиса по (9.3). Вектор угловой
скорости сос перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен
к читателю. Относительная скорость vr направлена по касатель-
касательной к окружности в сторону движения часовой стрелки. Следо-
Следовательно, угол между векторами ше и о, в любой момент движе-
движения равен у. Поэтому в обоих случаях величина ускорения Ко-
Кориолиса
wCl = wC2 = 2u>evr sin у = 2тга м/сек3.
Направления вектора wc в моменты -ty и U показаны на рисунках.
Для определения ffla применим метод проекций. Проектируя
правую и левую части векторного равенства (с) на выбранные
оси координат, получим для t = tx:
1/2"
wax = wn — wCl -(- wei Y~=w9— 2к% -\~ z3 == 0;
way = — WecY~ = — ^-
Отсюда видно, что
wa\(s=t1 = Ki MJceK'1
и вектор wa\t=-tl направлен вниз.
При t=.t<i все векторы ускорений направлены по одной пря-
прямой, следовательно,
wa i/=;s = Wrt -f" wes — wCs = л3 -J- 2ла — 2я2 = it9 м/сек*.
Вектор wa\t=ts направлен вправо.
Задача 651. В механизме, изображенном на рис. 401, а, рейка
/ движется ускоренно вверх, имея в момент, когда а — 30°,
скорость yt =V~3 см/сек и ускорение wy='Vb см/сек*. В этот
же момент конец рейки // удален от направляющей рейки / на
расстояние ВО = Ъ см, а рейка // имеет скорость v% — 5 см/сек
и замедление wt=l см/секК Определить в этот момент угловое
ускорение кулисы /// и ускорение камня В относительно кулисы.
271

Решение. Рассмотрим движение точки В. Эта точка участвует
в двух движениях: по отношению к неподвижной системе ху,
скрепленной с основанием механизма (абсолютное движение), и
по отношению к системе х'у, скрепленной с кулисой (относитель-
(относительное движение). Оба эти движения прямолинейные, поэтому vBa
и vBr направлены вдоль прямых ВО и ВА (направление вектора
Рис. 401
vBr по прямой ВА наперед не известно и показано на рис. 401, б
предположительно); vBa = v2. Переносным движением для точки
В в данный момент является движение той точки кулисы, с кото-
которой совпадает в этот момент точка В. Так как кулиса совершает
плоское движение, то по формуле G.3) получим
»да = »;i + »ai = »i-Ива.
где вращательная скорость vBA направлена перпендикулярно АВ
(предположительно в сторону, указанную на рис. 401, б). По
теореме сложения скоростей (9.1), имеем
т. е.
272

Это векторное уравнение эквивалентно двум скалярным, полу-
полученным проектированием (d) на координатные оси (например, В;т)):
Vq COS a = — i»! sin а -f- vBA; Oj sin а = vBr -f- Vi COS a,
отсюда
vBA = iij COS a -f- wt sin a = 2>V3 см/сек;
vBr = Vi sin a — Vi cos a = 1 см/сек.
Знаки «плюс» показывают, что направления векторов vBA и
VBr выбраны правильно.
Зная vBA, найдем угловую скорость кулисы (переносную угло-
угловую скорость)
®е=='°Ш==^~Т Рад1сек-
В соответствии с полученным направлением vBA заключаем, что век-
вектор ше направлен перпендикулярно к плоскости рисунка к читателю.
Перейдем к ускорениям (рис. 401, в). По (9.2) имеем
т — Щ;&)Вг — направлено по В А (предположительно от В к Л).
Ускорение Кориолиса
Зная направления векторов ше и vBr, найдем, что wBC направле-
направлено так, как показано на рисунке. Величина ускорения Кориолиса
wBc — 2uevBr sin 90° = У см/сек*.
Переносное ускорение wBe определим по формулам G.10),
G.11), G.12), т. е.
здесь ША = щ\ w^A направлено от В к Л и по величине равно
ги^д = (о|-ЛВ = 4,5 см/сек1.
Направление wB^A указано на рисунке предположительно.
Итак,
W, = WBr + Wi-{-mBA-\-&fA-{-wBc. (e)
Проектируя (ё) на оси ?, -ц, получим
— w-i cos a = — w\ sin a -f- wBgA — wBc;
— Wi sin a = wBr -)- wBA -\- wx COS a,
отсюда
wB\ = wBc -\- wt sin a — Wi cos a = У см/сек*;
wBr — —w-i sin a — Wi cos a — wBA = — 6,5 см/сек1.
273

Зная wfA, по формуле G.12) найдем
Знак «плюс» для wBgA показывает, что направление этого век-
вектора выбрано правильно. Кулиса /// в данный момент имеет ус-
ускоренное вращение, так как wagA имеет то же направление, что
и 0ва- Точка В вдоль прорези движется замедленно, так как от-
относительное движение прямолинейное и wBr и ЮВг направлены в
противоположные стороны.
Задача 652 (рис. 402). В кулачковом механизме барабанного
типа толкатель с роликом движется поступательно параллельно
оси вращения барабана и благо-
благодаря винтовому пазу с шагом h
заставляет вращаться барабан.
Определить ускорения точек на по-
верхности барабана, если ско-
рость толкателя v = const и радиус
.«— ""■" барабана R. Размерами ролика
? пренебречь.
Рас-402 Ответ: w =*■****
л2 •
Задача 653. Поршень горизонтальной паровой машины дви-
движется в диаметральной (продольной) плоскости судна, имея в
данный момент относительную скорость vr=l5 м/сек. Определить
величину ускорения Кориолиса поршня, если судно совершает
круговую циркуляцию за время Т = 3 мин.
Ответ: wc = —^=1,045 м/сек*
Задача 654. Судно, двигаясь с постоянной скоростью, испы-
испытывает бортовую качку, имея в данный момент угловую скорость
«>,, = 0,5 padjceK. Определить в этот момент ускорение Кориолиса
наивысшей точки на окружности диска турбины радиусом 0,8 м,
если он делает 3000 об/мин вокруг горизонтальной оси, лежащей
в диаметральной (продольной) плоскости судна.
Ответ: ©с направлено по радиусу диска турбины к центру,
если вращение турбины и качка судна происходят в одну сторо-
сторону, и направлено от центра при противоположных вращениях:
оус —251 м/сек*.
Задача 655. Судно испытывает килевую качку согласно урав-
уравнению
я . ret
Определить наибольшее значение ускорения Кориолиса точек ро-
ротора, совершающего 6000 об/мин, если его ось вращения гори-
274

зонтальна и лежит в диаметральной плоскости судна. Радиус
ротора равен 40 см.
о
Ответ: №стах — -ц-к* м/сек1.
Задача 656 (рис. 403). Деталь кулисного механизма состоит
из кулисы, вращающейся вокруг оси О, и ползуна А, который
может двигаться в направляющих кулисы. Кулиса вращается
с постоянной угловой скоростью ш = 2 рад/сек. Движение ползуна
по кулисе соответствует закону
(t — в секундах; s — в сантиметрах).
Определить величину абсолютного
ускорения ползуна при /=1 сек. Рас. 403
Ответ: wa = 27,78 см/сек*.
Задача 657 (рис. 404). Крановая тележка А движется по стре-
стреле крана равноускоренно из состояния покоя и, пройдя расстоя-
расстояние О А = 2 м, имеет скорость 2 м/сек относительно стрелы. Оп-
Рис. 405
ределить в этот момент величину абсолютного ускорения тележки,
30 -,
если кран вращается равномерно, делая п = — об/мин.
Ответ: wa = A,l2 м/сек*.
Задача 658. Решить задачу 657 при условии, что кран вра-
вращается ускоренно, имея в данный момент угловое ускорение е=
= 4 рад/сек*.
Ответ: wa = VU8 = 12,17 м/сек\
Задача 659 (рис. 405). В поршневом двигателе с качающимся
цилиндром кривошип ОА делает 300 об/мин. Связав подвижную
систему координатных осей с цилиндром, определить величину
ускорения Кориолиса поршня в тот момент, когда кривошип и
цилиндр образуют с горизонталью углы в 30° и 15° соответствен-
соответственно. Длина кривошипа ОА = 10 см.
Ответ: шс = ^^ = 51,1 м/сек*.
275

Задача 660 (рис. 406). Квадратная рама со стороной а вра-
вращается вокруг оси А В с постоянной угловой скоростью о),. Вок-
Вокруг оси ВС, совпадающей с диагональю рамы, вращается диск
радиусом R = -^Л— с постоянной угловой ско-
с ростью 0J = 0), |/. Определить величину абсолют-
абсолютного ускорения точки М диска, лежащей в дан-
данный момент в плоскости рамы.
л /29 з
Ответ: wM = L—.— ao)j.
Задача 661 (рис. 407). В регуляторе числа
оборотов турбины грузы Л, и /1j при заданном
предельном числе оборотов ротора занимают по-
Рис 406 ложения, указанные на рисунке, а вал регулятора
вращается с угловой скоростью о>. При уменьше-
уменьшении нагрузки турбины в некоторый момент времени вал регуля-
регулятора приобретает угловое ускорение г, а грузы начинают расхо-
расходиться, вращаясь вокруг точек d и О2 с угловыми ускорениями s^
, М j h
7/7/////////Y/лу//T///77/////J'//////
Рис. 407
Рис. 408
Определить величины абсолютных ускорений точек Сг и С2 грузов
в этот момент, если OiCl = O2C.2 = a, O1Oi = 2b.
Ответ: wa = V^ Щ
f (
Задача 662. Тело поднимается вертикально вверх с пункта,
находящегося на северной широте 60°, и имеет относительно
Земли постоянную скорость, равную 6000 км/час. Определить ве-
величину абсолютного ускорения тела на высоте 500 км по отно-
отношению к осям, движущимся поступательно вместе с Землей отно-
относительно неподвижных звезд. Считать, что центр Земли движется
прямолинейно и равномерно, радиус Земли принять равным
6400 км.
Ответ: wa= 1590 км/час*.
Задача 663 (рис. 408). Башенный кран вращается равномерно
с угловой скоростью со = 2 рад/Сек, По стреле перемещается
276

Рис. 409
крановая тележка А с постоянной скоростью 3 м/сек. Груз В
движется вертикально вниз равноускоренно из состояния покоя;
пройдя расстояние 2 м, он имеет скорость, равную 2 м/сек.
Определить величину абсолютного ускорения груза В, если в рас-
рассматриваемый момент О А = 2 м.
Ответ: wa= 14,49 м/сек?.
Задача 664. Башенный кран (рис. 408) вращается равномерно
с угловой скоростью ш = 2 рад/сек. Тележка А имеет в данный
момент скорость о1 = 3 м/сек и ускорение ai1 = 4 м/сек* по отно-
отношению к стреле ОС. Груз В опускается равномерно вертикально
вниз. Чему равна величина абсолют-
абсолютного ускорения груза в тот момент,
когда расстояние О А = 3 м?
Ответ: wa— 14,42 м/сек?.
Задача 665 (рис. 409). Кран дви-
движется с ускорением Wi по прямо-
прямолинейным рельсам и одновременно
вращается вокруг своей оси с по-
постоянной угловой скоростью со. Длина
свисающей части троса изменяется
по закону / = /0 — ^~— (/„ и ша — по-
постоянные). Вылет крана О А равен R. Определить величину абсо-
абсолютного ускорения груза в момент, когда стрела О А параллельна
рельсам.
Ответ: wa = V{wi — Rm*f -f- w\.
Задача 666. Плоскость хОу, в которой движется точка соглас-
согласно уравнениям
x = acoskt,
y—b sin kt,
{a, b, k — постоянные), вращается вокруг оси Oz с постоянной
угловой скоростью и). Определить величины абсолютных ускоре-
ускорений точки в моменты пересечения ею координатных осей Ох и Оу.
Ответ: в точках пересечения оси Ох
в точках пересечения оси Оу
(знак «плюс» — при вращении плоскости вокруг оси Oz в поло-
положительном направлении).
Задача 667. Плоскость хОу, в которой движется точка соглас-
согласно уравнениям
x = r -\-r coskt; y = r sin kt
27?

(,- и д.— постоянные), вращается равномерно вокруг оси Ог по
ходу часовой стрелки с угловой скоростью w = fe. Определить аб-
абсолютное ускорение точки в любой момент t.
Ответ: wa = — k?rl,
где I — орт оси Ох.
Задача 668. Плоскость, в которой движется точка согласно
уравнениям
* /; у
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах), вращается вокруг ос.и Ог
против движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью
(о=1 рад/сек. Определить величину абсолютного ускорения этой
точки в тот момент, когда она находится на кратчайшем рассто-
расстоянии от оси вращения.
Ответ: wa= „ - см/сек1.
Задача 669. Плоскость хОу, в которой движется точка сог-
согласно уравнениям
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах), вращается с постоянной
угловой скоростью ]/2 рад/сек вокруг оси Ог. Найти величину
абсолютного ускорения точки, когда она находится на кратчай-
кратчайшем расстоянии от оси вращения.
Ответ: при вращении плоскости по движению часовой стрелки
шо= 17,2 см/сек*;
при вращении в противоположном направлении
wa — 6,325 см/сек4.
Задача 670. Используя условия задачи 637, найти абсолютное
ускорение точки, считая, что плоскость вращается по ходу часо-
часовой стрелки.
Ответ: wa — 41/ 13 см/сек?.
Задача 671. Движение центра тяжести снаряда задано урав-
уравнениями
х = vot cos a; \
(уоа, g — постоянные).
Снаряд вращается вокруг оси, совпадающей с касательной к
траектории, с постоянной угловой скоростью о>. Определить в наи-
наивысшем положении снаряда величины абсолютных ускорений тех
278

точек на его поверхности, кориолисово ускорение которых макси-
максимально, если диаметр снаряда равен 27?. Вращение Земли не
учитывать.
Ответ:
COS2 a
Задача 672 (рис. 410). По трубке, изогнутой в средней части
по полуокружности CD радиусом R, движется точка М с постоян-
постоянной относительной скоростью vr. Трубка вращается
в подшипниках А и В с постоянной угловой ско-
скоростью, поворачиваясь на пол-оборота за время,
пока точка перемещается из С в D. Определить
величину абсолютного ускорения точки в зависи-
зависимости от угла ср.
Ответ: wa = -Jr}/'4 —)— sin3 ср.
Задача 673. Движение поршня горизонтальной
паровой машины катера задано уравнением
х = а sin wt
Рис. 410
(ось х направлена к носу).
Определить абсолютное ускорение поршня в его среднем поло-
положении, если катер движется по окружности радиусом R с посто-
постоянной скоростью и.
Ответ: wa^-^-dz—^-
(знак «плюс» — при совпадении направлений скоростей поршня и
катера).
Задача 674 (рис. 411). Диск вращается в своей плоскости
вокруг точки О с некоторой постоянной угловой скоростью, а
точка М равномерно движется по окружности диска, обходя его
два раза за время одного оборота. Зная, что абсолютное уско-
Рис. 411
Рис. 412
рение точки М в момент, когда ср = 90°, равно ]/^82 м/сек*, опре-
определить угловую скорость диска о>, если его радиус равен 1 м. Напра-
Направления движения точки и вращения диска указаны на рисунке.
Ответ: v> = I рад/сек.
Задача 675 (рис. 412). Диск радиусом г вращается вокруг
своего диаметра так, что его угловое ускорение е = со2 (ш — угло-
279

вая скорость). По окружности диска движется точка М с пере-
переменной относительной скоростью иг = гш. Определить те положе-
положения точки М, в которых она имеет абсолютные ускорения, лежа-
лежащие в плоскости диска. Каковы величины этих ускорений?
Ответ: при a = arctg2; ш0 = 2,28го)а.
Задача 676 (рис. 413). Шестерня /, вращаясь с постоянной
угловой скоростью со, приводит во вращение шестерню //. Шес-
Шестерни имеют одинаковые радиусы R. Связав с шестерней / под-
Рис. 413
Рис. 414
вижную систему отсчета, определить величины относительной и
переносной скоростей, а также величины переносного, относитель-
относительного и кориолисова ускорений точки М колеса // в положении,
указанном на рисунке.
Ответ: vr = 4Rur, v(,^=3Rur, we = 3Ru>\ wr = 6Ru^\ ttjc = 8/?u>2.
Задача 677 (рис. 414). В шатунно-кривошипном механизме
кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ш.
Связав с кривошипом подвижную систему отсчета, определить
величины относительного, переносного и кориолисова ускорений
ползуна в момент, когда ОВ = 2а, если 0А = АВ==1.
Указание. В относительном движении скорость точки В пер-
перпендикулярна к АВ.
Ответ: ьуЛ = 4/и>3; we = 2a^\ wc = \l<s?.
Задача 678. Используя условия задачи 644, определить
величины переносного, относительного, кориолисова и абсо-
абсолютного ускорений точек М1 и Ма.
ур
Ответ: wfl = (
; wri =
w
Cl
Рис. 415
wr. = wiR; wC2 = 2«>o#; wa2
Задача 679 (рис. 415). Шток AD,
двигаясь в направляющих, приводит в
движение стержень АС, который все
время проходит через неподвижную точ-
точку В. В момент, когда /.CAD — 3O0,
шток имеет скорость 10 см\сек и уско-
ускорение 2 У см/сек1. Определить в этот момент угловую скорость
и угловое ускорение стержня АС, а также относительное уско-
ускорение и ускорение Кориолиса точки В, предполагая, что подвиж-
подвижная система отсчета х'у связана со стержнем. Расстояние от
точки В до направляющей штока равно 5 см.
280

Указание. Учесть, что абсолютные скорость и ускорение точки
В равны нулю. Для vBe, wBe использовать формулы плоскопарал-
плоскопараллельного движения.
Ответ: <в==у рад/сек; & =
pad/сек*;
= -Y см/сек2; wBc =
см /сек*.
Задача 680 (рис. 416). В кулисном механизме поперечно-стро-
поперечно-строгального станка кривошип вращается с постоянной угловой ско-
скоростью %. Определить угловую скорость и угловое ускорение
ч \ \ \ \ \ \У\
Рис. 416
Рис. 417
стержня 0\D, а также ускорения точек стержня ВС в момент,
когда кривошип занимает горизонтальное правое положение. При-
Принять: _ _
OA = r; OOi = г У^З; h = 2r У.
Указание. Связать подвижную систему отсчета со стержнем O\D.
_ ю0 MoV^3 2 ,
Ответ: w = -p- s = —^—• оу = _гш;;.
rr О О
Задача 681 (рис. 417). Кривошип ОА кулисного механизма
поперечно-строгального станка вращается с постоянной угловой
скоростью о>9. В момент, когда кривошип занимает правое гори-
горизонтальное положение, определить скорость ползуна С и ускоре-
ускорение Кориолиса точки А, если подвижная система отсчета связана
с кулисой ВС. Принять ОА — г; 00j=r]/3; /t —2r]/3. Точки
О и 0\ находятся на одной вертикали.
л 2уТГ 51/3" 2
Ответ: уг = ~—«у; а»,с = -^W--шЦг.
Задача 682 (рис. 418). В механизме автопилота руль АОВ
автоматически перекладывается в нужном направлении при помощи
железных тяг АХА и BVB, втягиваемых электромагнитами и име-
281

ющих на концах А и В ползуны, которые могут скользить в про-
прорезях, сделанных в руле. Определить угловую скорость и угло-
угловое ускорение руля при его отклонении от среднего положения
на угол а, если в этот момент
магнит втягивает тягу АХА со
скоростью v и ускорением w.
Расстояние между осями тяг
равно 2а.
Ответ: ш = — cos2a;
в,
= —cosaa-
■cos8a sin a.
Рис. 418
Задача 683 (рис. 419). В сум-
суммирующем механизме оба криво-
кривошипа 0А\ и 0А% имеют одинаковые длины, равные полрвине рас-
расстояния между направляющими М и N. В некоторый момент, когда
углы а, — аз = р = 30°, оба кривошипа имеют одинаковые направ-
направления вращения, равные угловые скорости ш0 и угловые ускоре-
Рис 419
ния, равные нулю. Определить в этот момент угловую скорость
и угловое ускорение звена £/(.
Указание. При использовании теоремы Кориолиса для точки
К переносное ускорение определять по формулам плоского дви-
движения
s\ ,,3 I, 31/3 (о?
Ответ: |<о|=у<о0; |е|=-*~°
(вращение замедленное).
282

Задача 684. Круговой конус с прямым углом при вершине и
радиусом основания, равным R, катится без скольжения по горизон-
горизонтальной плоскости так, что скорость v центра основания постоянна
по величине. Вдоль прямолинейного канала, проведенного из вер-
вершины конуса в центр его основания, равномерно движется точка
со скоростью, величина которой также равна и. Определить величину
абсолютного ускорения этой точ-
точки в момент, когда она попадает
в центр основания.
Ответ: wa — —jj—.
Задача 685 (рис. 420). Кру-
Круговой конус с неподвижной вер-
вершиной О и радиусом основания
8 см катится без скольжения по
плоскости. Центр основания дви- Рис. 420
жется со скоростью 2t см/сек.
Около центра А вдоль диаметра основания ВС совершает гармониче-
гармонические колебания точка М по закону s = AM — 2cos-" см. Опре-
Определить величину абсолютного ускорения точки М и величину абсо-
абсолютного углового ускорения конуса в момент /=1 сек, если
угол при вершине конуса равен-у-
О 1 ,
Ответ: еа = у рад/сек?; wa = -j ]/тс2 -]~ 8тс + 18 см/сек?.
§ 3. Сложение вращений
Если тело вращается вокруг некоторой оси с угловой ско-
скоростью шг, а эта ось в свою очередь вращается вокруг другой
(неподвижной) оси с угловой скоростью <5е, то абсолютную угло-
угловую скорость п)о определяют по формуле
<5в — и>е + wr. (9.4)
Если имеется плоский эпициклический механизм, состоящий
из двух колес и водила, то между абсолютными угловыми ско-
скоростями колес щ и щ и угловой скоростью водила ш0 существует
соотношение (формула Виллиса)
_°i ~ ф<> —±— =.-*-£_. (9.5)
где г( и rs — радиусы колес;
Z\ и Хч — числа зубцов.
Знак «плюс» относится к внутреннему зацеплению, знак «ми-
«минус» — к внешнему, шь ш2, <ав — алгебраические значения угловых
скоростей. Эти величины следует брать с одинаковыми знаками,
283

если соответствующие вращения происходят в одном направлении,
и с разными — при противоположных направлениях вращения.
В эпициклических механизмах, состоящих из трех и более
колес, формулу (9.5) следует применять отдельно к каждой паре
зацепленных между собой колес.
Задача 686 (рис. 421). В дифференциальном эпициклическом
механизме колесо VI неподвижно, водило О А имеет угловую ско-
скорость о>0, а колесо IV — угловую скорость и>4 и вращается в том
же направлении, что и водило. Определить угловую скорость
колеса V, если г1=№ см, rt = 4 см,
г8 = 4 см, г4 —8 см.
Решение. Используем формулу
il (9.5) для пары колес (/, VI). Имеем
Рис. 421
(в формуле взят знак «плюс», так как
зацепление внутреннее). По условию,
шв —0, а из рисунка ясно, что
г& = Га + 2rt = 24 см.
Из (/) получим при этих данных
7
Знак «минус» показывает, что колесо / вращается в сторону, про-
противоположную направлению вращения водила.
Применим (9.5) к паре (I, II):
Подставляя числа, получим
= 7о>9.
Для системы колес ///, IV, V роль водила играет стержень
В, вращающийся с угловой скоростью ш2.
Применим формулу (9.5) к паре (III, IV), имеем
Ш4— Ю2 Гъ '
здесь u>a = 7w0; ш4 задано. Получим
<в3 = 21<в0 —2<о4.
Наконец используем (9.5) для пары колес (///, V):
284

Из рисунка следует, что ri = 2rz-\-ri=l6 см. Подставляя
числа, получим
2К-»,
8
Если ш4<С21ш0, то колесо V имеет то же направление вращения,
что колесо IV и водило О А.
Задача 687. В дифференциальной передаче, изображенной на
рис. 422, водило и колесо / с внутренним зацеплением вращаются
ы, ш0
I
ш
(ТТЛ
•
1.
ш
ш
1
ТГ7Г, \
Рис. 422
Рис. 423
в одну сторону и совершают соответственно па и п1 об/мин. Опре-
Определить, сколько оборотов в минуту делает колесо ///, если г2 =
= 5 см, г3— 10 см.
Ответ: я3 = Зя0 — 2п,
(при я3^>0 вращение колеса /// происходит в ту же сторону,
что и колеса /).
Задача 688. В дифференциальной передаче, изображенной на
рис. 423, колесо / неподвижно, радиусы колес равны соответст-
соответственно: гх —5 см, г.2=15 см, г3=10 см, гь = Ь см. Водило совер-
совершает «0 об/мин. Сколько оборотов в ми-
нуту делают колеса IV и V7? 1
Ответ: n[v = -5- па; nvl = -g- n0.
Задача 689 (рис. 424). В дифференциаль-
дифференциальном механизме водило делает 160 об/мин.
Сколько оборотов в минуту (и в какую сто-
сторону) должно совершать колесо /, чтобы вал
колеса IV был бы неподвижным? Радиусы ш°
колес: г1=10 см, r.i —15 см; г3—-8 см.
Ответ: nI = 70 об!мин (при этом ко-
колесо / должно вращаться в ту же сто-
сторону, что и водило).
Задача 690. В зубчатой "передаче вращений, представленной
на рис. 425, водило имеет угловую скорость <»„, а колесо // обка-
Рис. 424
285

тьшается по неподвижному колесу V. Найти угловые скорости зуб-
зубчатых колес / и IV. Радиусы колес соответственно равны г,, га, гг.
() ^±^±
Задача 691 (рис. 426). Планетарный редуктор авиационного
двигателя состоит из двух подвижных колес / и // с числами
зубцов г, иг, и одного неподвижного колеса /// с числом зубцов
гъ. Определить отношение числа
оборотов пв винта к числу обо-
оборотов п; шестерни /.
Ответ: -в =—Ц—.
Рис. 425
Рис. 426
Задача 692. Период обращения искусственного спутника вокруг
Земли в плоскости меридиана—1,5 ч. Найти, на сколько про-
процентов относительная угловая скорость спутника больше его аб-
абсолютной угловой скорости. Подвижную систему координат свя-
связать с Землей, абсолютную — с «неподвижными» звездами.
Ответ: приблизительно на 0,2°/„-
Задача 693. Искусственный спутник, находящийся от Земли
на большом расстоянии, вращается вокруг нее по круговой ор-
орбите, плоскость которой наклонена к плоскости экватора под
углом а = 45°. Обращаясь в ту же сторону, что и Земля, спут-
спутник делает один оборот за 24 ч. Найти отношение угловой ско-
скорости и>г спутника по отношению к системе координат, вращаю-
вращающейся вместе с Землей, к угловой скорости Земли <ов.
Ответ: -^ = 0,766.
«о
Задача 694. Искусственный спутник, вращающийся вокруг
Земли по круговой орбите, находится в некоторый момент на пря-
прямой, соединяющей центры Земли и Луны, и имеет период обра-
обращения вокруг Земли, равный Tt. Зная, что период обращения
Луны вокруг Земли равен Та, определить, через какое время Т
спутник снова окажется на прямой Земля — Луна, если плоскость
его «орбиты совпадает с плоскостью лунной орбиты. Периоды 7\
и Тг вычислены по отношению к системе, движущейся вместе
с центром Земли поступательно относительно звезд.
286

т т
Ответ: Т = т \_ST — при противоположных направлениях дви-
т т
жения спутника и Луны относительно Земли; Т= _LtH—ПРИ
1»\
одинаковых направлениях их движения.
Задача 695. Период вращения экваториальных солнечных пятен
(синодический), наблюдаемый с Земли, равен 26,9 суток. Опреде-
Определить истинный (сидерический) период вращения этих пятен, зная,
что Солнце вращается в ту же сторону, в которую обращается
вокруг него Земля. Год принять равным 365 суткам. Считать
земную ось перпендикулярной к плоскости эклиптики.
Ответ: 25,0 суток.
Задача 696. Искусственный спутник движется вокруг Земли
со скоростью va (по отношению к системе, поступательно переме-
перемещающейся вместе с центром Земли относительно «неподвижных»
звезд) в направлении вращения земли по круговой орбите, пло-
плоскость которой составляет угол [3 с плоскостью экватора. Опре-
Определить величину угловой скорости спутника относительно Земли
(шг), а также величину его наименьшей относительной линейной
скорости vr, если радиус Земли R, высота орбиты Н.
Указание. Определив вектор ы>г, можно найти Ъг по формуле
vr — v>rh, где h — расстояние спутника от линии действия век-
вектора п>г.
„ -. Г „ , / Va Y 2<яЛ!а COS
Ответ: шг=|/ o>-+^_j хф_
где % — угловая скорость Земли.
vr min =va — (R -f- H) % cos p и имеет место в точках, наиболее
удаленных от плоскости экватора.
Задача 697. Сохранив условия предыдущей задачи и имея
в виду, что va = ~y djl.h (вторая космическая скорость), опре-
определить, на какой высоте Н должен двигаться спутник, чтобы его
скорость относительно Земли @г) была все время перпендику-
перпендикулярна к плоскости его орбиты. Найти Н при р = 60°.
Указание. Необходимо, чтобы вектор &г лежал в плоскости
орбиты.
Ответ: -=г =
R<*>% cos2 p '
При этом скорость vr обращается в нуль в точках, наиболее уда-
удаленных от плоскости экватора.
Если р = 60°, то Я = 9,51Я.
Задача 698 (рис. 427). Конический каток / с углом при вер-
вершине а = 60° катится без скольжения по конической поверхно-
поверхности //, вращающейся вокруг неподвижной оси в направлении,
указанном стрелкой, по закону <р = 2/2 (t — в секундах, ср — в
радианах). Определить в момент t=l сек величину абсолютной
287

скорости той точки В катка /, которая в этот момент наиболее
удалена от поверхности //, если скорость vr центра А катка по
отношению к вращающейся поверхности // имеет указанное на
рисунке направление и по величине равна It см/сек, 0А= 16 см.
Ответ: vea = 60 см/сек.
Задача 699 (рис. 428). Коническая шестерня /, высота началь-
начального конуса которой ОА — 8 см, а угол при вершине конуса
0
Л''
-1 v"-
\ \ \ \ ч
/
/
Рис. 427
Рис. 428
а = 60°, находится в зацеплении с конической шестерней //, вра-
вращающейся вокруг неподвижной оси в направлении, указанном
t"
стрелкой, по закону cp^f (* — в секундах, ср —в радианах). Оп-
Определить в момент t= 1 сек величину абсолютного ускорения точки
В шестерни /, наиболее удаленной от шестерни //, если скорость
v, центра А шестерни / по отношению к шестерне // имеет ука-
указанное на рисунке направление и по величине равна It см/сек.
Ответ: 1ЮВа = Уъ см/сек2.
Задача 700 (рис. 429). Круговой конус, вершина которого А
все время находится в центре колеса / радиусом г, катится без
Рис. 429
скольжения по поверхности этого колеса. Образующая конуса
равна г, угол при его вершине а = -|-. Колесо /, приводимое в
288

движение кривошипом О А, вращающимся вокруг неподвижной
оси О с угловой скоростью ш0) катится без скольжения по непо-
неподвижному колесу // с тем же радиусом. Определить абсолютное
ускорение точки В конуса в момент, когда точки О, Л и С нахо-
находятся на одной прямой (ОС^>ОА), если центр D основания ко-
конуса движется по отношению к колесу / равномерно со скоростью
vr = r%. Направления вращений указаны па рисунке стрелками.
Ответ:
10 Н. А. Бражниченко и др.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ДИНАМИКА
В «Динамике» приняты следующие основные обозначения-
A — работа
с — коэффициент жесткости
(квазиупругий коэффи-
коэффициент);
Jx — момент инерции системы
материальных точек от-
относительно оси Ох;
J—сила инерции;
]с —сила инерции Кориолиса;
je — переносная сила инерции;
k — круговая частота колеба-
_ ния;
1 q, Lx — момент количества дви-
движения системы матери-
материальных точек относитель-
относительно центра О, оси Ох;
Мг — гироскопический момент;
5* М^ — главный момент внешних
сил относительно центра
О, оси Ох;
т, М — масса точки, системы то-
точек;
N_— мощность;
Q—количество движения;
Qj — обобщенная сила;
j— обобщенная координата;
— главный вектор внешних
сил;
S — импульс силы;
Т—кинетическая энергия
материальной точки; си-
системы материальных то-
точек;
п — относительная скорость
присоединяющихся или
отделяющихся частиц;
xci У a zc — координаты центра инер-
инерции;
Ьх, Ьу, 8ср — возможные перемещения;
х—коэффициент восстанов-
восстановления при ударе;
П — потенциальная энергия;
т — период колебания;
Ф—реактивная сила.

ГЛАВА X
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 1. Первая задача динамики точки
К первой задаче динамики точки относятся задачи, в которых
по заданному движению точки требуется определить равнодейст-
равнодействующую всех сил, приложенных к точке (в том числе и реакций
связей, если точка не свободна). Решение этой задачи сводится
к определению ускорения и, следовательно, к дифференцированию
по времени заданных уравнений движения точки.
Если движение точки задано уравнением в векторной форме
то
W = ■
dt2 ■
Тогда по второму закону Ньютона
р = tnw = т
dt*
Если движение точки задано уравнениями в координатной
форме
x = x(t); y = y(t)\ z = z(t),
то предварительно находят проекции равнодействующей F всех
сил, приложенных к точке, по формулам
(Ю.1)
а затем определяют величину и направление самой равнодействую-
равнодействующей по формулам
ff|, A0.2)
F
F F
= -^-; COS *[=-p.
A0.3)
Если движение точки задано в естественной форме, то нахо-
находят v = -Д- и далее проекции F на естественные оси координат:
„ dv
1 х dt '
(Ю.4)
v-
/4 = 0.
10*
291

Решение первой задачи можно осуществить также, используя
метод кинетостатики. Для этого вводят силу инерции } = — mw,
которую условно прикладывают к движущейся точке, после чего
считают, что геометрическая сумма всех сил: задаваемых, реак-
реакций связей и силы инерции — равна нулю:
F + tf + / = Ot A0.5)
где F— равнодействующая всех задаваемых сил, приложенных
_ к точке;
N — равнодействующая реакций связей, наложенных на точку.
Задача 701. Материальная точка массой т — -^ кг совершает
движение согласно уравнениям
х = 0,3 cos 3t; у — 0,1 sin 3?
(х, у — в метрах, t — в секундах).
Определить силу F, под действием которой происходит дви-
движение точки, и показать, что она направлена в сторону, прямо
противоположную радиусу-вектору г точки.
Решение. Найдем сначала проекции Fx, Fy силы F на коор-
координатные оси Ох, Оу.'Согласно A0.1), имеем
Fx = nix = — 0,9 cos 3^ = —Зд;;
Fy — ту = — 0,3 sin 3/ = —Зу,
следовательно, по A0.2) и A0.3) найдем
F = VFl + F» =1/0,81 cos3 3^ + 0,09 sin2 3^ = ъУ^ + ф = 3r;
LU5a— p — r > LU:>P— —
а так как
то
F = — 3xi — 3yj = — 3 {xl-\-yl) = — ЗЛ
Отсюда видно, что сила F и радиус-вектор г направлены в про-
противоположные стороны.
Задача 702. Движение материальной точки массой т с неко-
некоторого момента происходит по окружности радиусом г согласно
уравнению
s — a-\-2r\nt,
где а — постоянное число.
Определить величину равнодействующей F сил, приложенных
к точке, как функцию времени /.
292

Решение. Так как закон движения точки задан в естествен-
естественной форме, то следует воспользоваться уравнениями A0.4). Имеем
Р dv ___ .. 2mr p __ v- m's- 4mr p ,-.
следовательно,
Задача 703 (рис. 430). Самолет в период взлета (набора вы-
высоты) движется поступательно и прямолинейно с постоянным
ускорением w, образующим с гори-
горизонтом угол р. Определить величину
этого ускорения, если известно, что
пить ОМ математического маятника,
находящегося на самолете, отклоне-
отклонена от вертикали на угол а. Каково
при этом натяжение нити? Масса
маятника равна т.
Решение.
I способ. На материальную
точку М действуют сила тяжести Р и
реакция нити Т. По закону Ньютона
mw = Р -\-Т.
Проектируя это равенство на оси Ох и Оу, получим
— mw sin 3 = Р — Т cos я; )
I (а)
mw cos P —T sin я, J
откуда найдем, учитывая, что P = mg,
g sin a _, игр- cos p
w = — , r-оч; I =—t^jtw-
II способ. Воспользуемся методом кинетостатики. Условно
прикладывая к точке М силу инерции / = — mw, по A0.5) имеем
Рис. 430
Проектируя это векторное равенство на координатные оси, полу-
получим
P-\-j sin p — Tcosa==0;
Учитывая, что по величине j = mw, придем к уравнениям (а).
Задача 704. В центробежном тахометре шарик массой m поме-
помещен на конце стержня АВ, шарнирно укрепленного на вращаю-
293

щейся вертикальной оси BE (рис. 431, а). Шарик удерживается
упругой нитью ACD, конец которой'!) укреплен в трубке CD.
Естественная (ненапряженная) длина нити равна длине трубки
CD, коэффициент упругости нити (сила, потребная для растяже-
Рис. 431
ния нити на единицу длины) равен с. Принимая АВ = СВ = 1
и пренебрегая массой стержня, определить зависимость угловой*
скорости оси тахометра от угла отклонения а, а также усилие
в стержне АВ.
Решение. На точку А действуют силы: Р — вес шарика,
F — упругая сила нити, S — реакция стержня (рис. 431, б).
Рассмотрим установившееся вращение тахометра, т. е. пред-
предположим, что и> и а — постоянные. Найдем ускорение точки А.
Поскольку е = 0, то
Таким образом, ускорение точки А направлено перпендикулярно
к оси вращения и равно по величине
йУд = ш2 / sin a.
Введем силу инерции ] = —т&А. Эта сила направлена противо-
противоположно wA, т. е. является центробежной силой. Величина этой силы
j = mwA = m<oJ / bin a.
Упругая сила направлена по нити и по величине равна
294

В соответствии с методом кинетостатики имеем
O. (b)
Проведем через точку А оси Ах и Ау и спроектируем на эти
оси векторное равенство (Ь), получим
/+Ssinot — Fcos~ = 0; 5 cos a-ff sin у — Р = 0.
Подставляя значения / и F, имеем
тшЧ sin a-f-5 sin a —2c/ sin|-cosy = 0;
Если sin a 9^ 0, то из первого уравнения найдем
Из второго имеем
5 cos a -f- cl (I — cos a) — Р = О,
или, используя (с),
— /nu>a/ cos а -(- cl = mg,
откуда
Г W/ COS a '
Такова искомая зависимость угловой скорости от угла а. Так
как cosa<4, то установившееся вращение возможно лишь при
cl— mg
ml •
Если же <и<С]/ . , то a = 0.
Задача 705. Судно движется равноуско-
равноускоренно по спусковой дорожке стапеля, имею-
имеющей наклон 1 : 15, и проходит ее за 31 сек.
Чему равен коэффициент трения, если длина
СПУСКОВОЙ ДОрОЖКИ 90 Ж> Рис 432
Ответ: f = 0,048.
Задача 706 (рис. 432). Груз М массой т поднимается при
помощи троса, наматывающегося на ворот радиусом R, который
вращается с угловым ускорением е. Определить натяжение троса.
Ответ: T — m(g-\-zR).
Задача 707. Используя условия задачи 706, определить до-
допустимое число оборотов в минуту ворота, которое он может иметь
в конце первой минуты, если трос выдерживает усилие Т; а ворот
вращается равноускоренно из состояния покоя.
Л 1800 IT— mg\ ,,
Ответ: п=-р— ——-— об/лнн.
{ т
295

Задача 708. Мостовой кран движется равноускоренно и дости-
достигает скорости 2 м'сек через 1,5 сек после начала движения. Опре-
Определить в этот момент угол а отклонения троса, несущего груз,
от вертикали, пренебрегая весом троса.
Ответ: а = 7°45'.
Задача 709. Для определения ускорения летательного аппа-
аппарата, движущегося равноускоренно вертикально вверх, произво-
производится взвешивание груза на пружинных весах. Показание весов
на поверхности Земли Р, а в момент взвешивания в аппарате /V
Определить ускорение аппарата, если на данной высоте ускоре-
ускорение, обусловленное силой тяжести, равно gu а на поверхности
Земли g.
Ответ: w= ^ g — g,.
Задача 710. Груз поднимается вертикально вверх равноуско-
равноускоренно при помощи 'подъемного крана так, что из состояния покоя
за первые / сек он проходит s м. Определить предельную массу
1руза, если разрывное усилие каната Т.
Ответ: m = ^-j^s.
Задача 711. Пароход, взяв на буксир баржу водоизмещением
1000 т, развивает ход равноускоренно и через 80 сек имеет ско-
скорость 16 узлов. Определить натяжение буксирного троса в тот момент,
когда сила сопротивления воды движению равна 1200 кн (узел —
единица скорости, равная 1 миле в час, т. е. 0,5144 м'сек).
Ответ: Г =1303 кн.
Задача 712. Груз массой 2 т поднимается равноускоренно
вертикально вверх посредством троса. Определить натяжение
троса, если известно, что за первые 4 сек груз подняли на 8 м.
Ответ: Т — 21,6 кн.
Задача 713. Ленточный подъемник поднимает руду при угле
наклона ленты к горизонту, равном а. Каков должен быть коэф-
коэффициент трения, чтобы руда не соскаль-
соскальзывала с ленты, когда она движется
с ускорением w?
Ответ: />—-—f~tga.
' -^ g COS a ' &
Задача 714 (рис. 433). Груз М мас-
массой т поднимается при помощи лебедки
по наклонной плоскости, образующей
с горизонтом угол а. Определить натя-
натяжение троса, если барабан лебедки ра-
Рис- ~*33 диусом г вращается по закону y = -:yatl
{t — в секундах, <р — в радианах), а коэффициент трения груза
о плоскость равен /.
Ответ: T = mg(sina-|-/cos я-|—-|.
296

Задача 715. Аэростат массой т (с балластом) опускается вер-
вертикально с постоянным ускорением W. Определить массу М бал-
балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил
такое же по величине ускорение, но направленное вверх. Сопро-
Сопротивлением пренебречь.
Ответ: M=-^L.
Задача 716. Судно водоизмещением 1800 т движется прямым
курсом с ускорением w = ^ м/сек*, имея в данный момент ско-
скорость 20 узлов. Сопротивление движению корабля пропорцио-
пропорционально квадрату скорости и при скорости в 1 м[сек равно 4,9 кн.
Определить упорное давление гребных винтов в рассматриваемый
момент времени (узел — единица скорости, равная 1 миле в час,
т. е. 0,5144 м!сек).
Ответ: f —3460 км.
Задача 717 (рис. 434). На шероховатой грани АВ треуголь-
треугольной призмы ABC находится тело М массой т. Призме сообщается
Рис. 434
Рис. 435
постоянное ускорение w, направленное горизонтально. Определить
величину наибольшего ускорения w, при котором тело будет на-
находиться в покое по отношению к призме, и величину давления
тела на призму при этом ускорении, если коэффициент трения
равен /, причем /<^ctga.
„ g(sin a-f-/"cosa) ., mg
Ответ: w = — ^j-.—-; N — ^—•
COS a—/sin a ' COS a —/ sm a
Задача 718. На рис. 435 приведена упроадашая схема акселе-
акселерометра— прибора, предназначенного для измерения ускорений.
Определить вертикальное ускорение погружающегося батискафа,
если прибор показывает отклонение стрелки от горизонта на
угол с?. Пружина имеет жесткость с, расстояние от оси стрелки
до груза массой m равно /. Массой стрелки пренебречь. Угол со
считать малым.
Л cfo
Ответ: w = ~.
Задача 719 (рис. 436). Прибор для определения ускорений
(акселерометр) состоит из инертной массы тA), прикрепленной
к двум одинаковым пружинам жесткостью с каядая. К потенцио-
297

метру //, полная длина которого/., подведено постоянное напря-
напряжение L/o. Определить величину ускорения прибора w по снятому
напряжению U между движком
потенциометра и его средней точ-
точкой. Прибор движется поступа-
поступательно и прямолинейно. Демпфер
/// служит для гашения колебаний.
Ответ: w =
W Рис 436 Задача 720. Движение мате-
материальной точки массой т. по пря-
прямой линии, принятой за ось Ох, задано уравнением
где а и и0 — постоянные.
Определить силу F, действующую на точку, как функцию
времени и как функцию скорости.
Ответ: r = — . ;p; г = —/.
Задача 721. Под действием некоторой силы величина скорости
точки, масса которой равна т, меняется по закону c = aln--
(а, Ь — постоянные). Найти силу как функцию скорости, считая
движение точки происходящим по оси Ох.
v
Ответ: Р== — ^-еа1.
Задача 722. При проникновении снаряда в броню зависимость
пройденного расстояния от скорости выражается формулой Дидиона
где v0 — начальная скорость;
v — скорость по прохождении пути s;
г — радиус снаряда;
р — средняя плотность снаряда;
а, ,3 — коэффициенты, зависящие от материала брони;
с — числовой коэффициент.
Найти зависимость величины силы сопротивления от скорости
снаряда, если его масса равна т.
Ответ: F ^
Задача 723. Движение материальной точки массой т задано
уравнениями
x — acosiat; y = asin<*>t; z~bt.
Определить силу F, действующую на точку.
Ответ: F = $-ти>г (xl -f- у}).
298

Задача 724. Движение материальной точки массой т проис-
происходит по окружности радиусом г согласно уравнению s = reit.
Определить величину равнодействующей сил, приложенных к точке,
как функцию времени.
Ответ: F — Атгег' V\ -\- ei(.
Задача 725. Искусственный спутник выведен со скоростью ил на
круговую орбиту вокруг Земли радиусом г = R -\- Н, где R — радиус
Земли, Я — расстояние от спутника до поверхности Земли. Считая
силу притяжения спутника к Земле обратно пропорциональной
квадрату расстояния от него до центра Земли, определить высоту Я.
Ответ: Н= gR~vf> R.
Задача 726. Определить наименьший радиус мертвой петли,
совершаемой самолетом, если скорость самолета v — const, а допу-
допустимая для организма нагрузка равна учетверенному весу летчика.
Ответ: Р = §^-
Задача 727. Определить радиус виража самолета в горизон-
горизонтальной плоскости, если плоскости крыльев наклонены к гори-
горизонту под углом я, а величина скорости самолета
постоянна и равна и.
Указание. Подъемная сила направлена перпенди-
перпендикулярно к плоскости крыльев.
Ответ: R = —l—.
Задача 728 (рис. 437). Шарик М массой т скреп-
скреплен шарнирно с двумя одинаковыми невесомыми
стержнями МА и MB длиной / каждый. Система вра-
вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг
вертикальной оси АВ. Определить усилия в стер-
стержнях, если расстояние АВ равно 2а.
it// tftj _
Ответ: Тлм—-*-(шча4-е); TltM = »-(u1a — g)
Рис. 437
стержень AM растянут, стержень ВМ растянут при и>>1/ —)•
Задача 729. Подъемный кран, подняв груз так, что длина
свисающего троса равна 3 м, разворачивается вокруг вертикаль-
вертикальной оси. С какой угловой скоростью должен
вращаться кран, чтобы отклонение груза от
вертикального положения троса не превосхо-
превосходило 1 м, если расстояние точки подвеса троса
от оси равно 4 м?
Ответ: ш< 0,833 рад сек.
Рис. 438 Задача 730 (рис. 438). Материальная точка М
массой т движется равномерно в сторону воз-
возрастания х со скоростью ил по шероховатой кривой, заданной
уравнением у = у{х) и расположенной в вертикальной плоскости,
299
/С

На точку действует сила F, направленная все время по касатель-
касательной к кривой в сторону движения точки. Определить как функции
от х нормальное давление на кривую и величину силы F, если
коэффициент трения точки о кривую равен /.
Ответ: N==
mg
mgy'
Задача 731. В условиях предыдущей задачи материальная
точка М массой т=\ кг движется равномерно со скоростью
у„=1 м/сек по шероховатой кривой y=-j *9- Определить нор-
нормальную реакцию N кривой и величину силы F в тот момент,
когда х—\, если коэффициент трения точки о кривую / = 0,5,
а ось Оу направлена вертикально вверх.
Ответ: Л/ = 7,29 н; /='=10,58 н.
Задача 732 (рис. 439). Груз А массой т поднимается по глад-
гладкому вертикальному стержню при помощи троса, перекинутого
через малый идеальный блок В, от-
отстоящий от стержня на расстоянии /.
Определить натяжение Т нити в зави-
зависимости от расстояния х, если трос на-
Рис. 439
Рич. 440
матывается с линейной скоростью v0 на равномерно вращаю-
вращающийся барабан.
Ответ: T==
\ ] gx*
Задача 733 (рис. 440). Груз А массой т перемещается по пря-
прямолинейной направляющей при помощи троса, наматываемого
с постоянной угловой скоростью ш на ворот радиусом г. Опре-
Определить натяжение троса в зависимости от расстояния ОЛ=х.
Трением пренебречь.
Ответ: 1 = —.
B2)''2
§ 2. Вторая задача динамики точки
Ко второй (или обратной) задаче динамики точки относятся
те задачи, в которых определяется движение точки по заданным
силам. Силы, действующие на точку, могут быть как постоян-
300

ными, так и заданными функциями времени, координат и скоро-
скорости точки, т. е.
Fx:=Fx(t, х, у, z, х,у, г);
Fy = Fy(t, х, у, г, х, у, г);
Fz = Fz(t, х, у, z, х, у, г).
Решение второй задачи сводится к интегрированию системы
дифференциальных уравнений движения точки в координатной
форме:
тх = Fx,
ту = t у,
mz — Fz
или в естественной форме:
mv--
В этих уравнениях под F понимают равнодействующую всех
сил, действующих на точку, в том числе и реакций связей, если
точка не свободна. При интегрировании системы уравнений A0.6)
в общем случае появляются шесть произвольных постоянных,
которые определяют по начальным условиям. Под начальными
условиями движения точки понимают значения координат и про-
проекций скорости точки в начальный момент движения, т. е. при
1 = 0:
х = Хц', vx — Xj)',
Если движение точки происходит в плоскости, то число урав-
уравнений A0.6) сокращается до двух, а число начальных условий —
до четырех. При движении точки по прямой будем иметь одно
дифференциальное уравнение и два начальных условия.
При решении задач второго типа полезно придерживаться
следующей последовательности:
1. Составить дифференциальные уравнения движения. Для
этого нужно:
а) выбрать координатные оси, поместив их начало (в боль-
большинстве случаев) в начальном положении точки; если движение
точки является прямолинейным, то одну из координатных осей
следует проводить вдоль линии движения точки;
301

б) изобразить движущуюся точку в произвольный текущий
момент t и показать на рисунке все действующие на нее силы,
в том числе и реакции связей; при наличии сил, зависящих от
скорости, вектор скорости направить предположительно так, чтобы
все его проекции на выбранные оси были положительными;
в) найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и под-
подставить эту сумму в правые части уравнений A0.6) или A0.7).
2. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравне-
уравнения. Интегрирование производят соответствующими методами,
зависящими от вида полученных уравнений.
3. Установить начальные условия движения материальной точки
и по ним определить произвольные постоянные интегрирования.
4. Из полученных в результате интегрирования уравнений
определить искомые величины.
При интегрировании дифференциальных уравнений иногда
целесообразно определять значения произвольных постоянных по
мере их появления. В некоторых случаях удобно при интегри-
интегрировании дифференциальных уравнений пользоваться определенными
интегралами.
Задача 734 (рис. 441). Телу М массой т, принимаемому за
материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной пло-
плоскости, образующей с горизон-
горизонтом угол л, сообщена начальная
скорость Vd, направленная под
углом р к линии наибольшего
уклона. Определить уравнения
движения тела по наклонной
плоскости.
Решение. Так как точка со-
совершает движение по наклонной
плоскости, то для решения зада-
задачи достаточно выбрать систему
из двух координатных осей, ле-
лежащих в этой плоскости. Поме-
Поместим начало1 системы осей Оху в начальном положении тела, ось Ох
направим по линии наибольшего уклона вниз, а ось Оу— перпен-
перпендикулярно к ней.
Изобразим тело в произвольном положении. На него действуют
две силы:_сила тяжести Р, направленная вертикально вниз, и
реакция N наклонной плоскости направленная по перпендику-
перпендикуляру к этой плоскости.
Составив суммы проекций на оси Ох и Оу всех сил, действу-
действующих на тело, и подставив их в правые части уравнений A0.6),
имеем
mx = mg sin а, ту — О,
откуда
JP = gsina; у — О.
302
/77777777777777777777777777777777777/
Рис. 441

Проинтегрировав эти уравнения, получим
i = g/sina-f-C1; у —
Интегрируя еще раз, найдем
Установим начальные условия движения тела. При t = Q:
Следовательно,
таким образом,
Это и есть искомые уравнения движения тела. Видно, что траек-
траекторией движения тела является парабола с осью симметрии,
параллельной оси Оу.
Задача 735 (рис. 442). Судно водоизмещением т, движущееся
прямым курсом, в момент включения двигателя имело скорость и0.
Считая, что величина силы упора
винтов Q пропорциональна времени
(Q = kt), а сила сопротивления воды р f
Т = const, определить путь s, прой- ь=0° *~ ^ц
денный судном за время tx, если р
за это время его скорость увели чи- Рис 442
лась в два раза.
Решение. Примем судно за материальную точку, а направле-
направление движения — за ось Ох, взяв начало координат в начальном
положении судна.
На_судно действуют: вес Р, выталкивающая сила (архимедова
сила) D, сила упора винтов Q, сила сопротивления Т.
Составим дифференциальное уравнение движения в проекциях
на ось Ох. Имеем
или
mx — kt — T.
Интегрируя, получим
mx = \ {kt — Т) dt + Ct
или
dx kt*
m
303

Интегрируя еще раз, найдем
tnx — ~Q 2- -f-c^-f-Ca. (e;
Установим начальные условия движения:
Используя начальные условия, из уравнений (d) и (е) получим
таким образом,
kt^ Tt^ dx ktz
Эти формулы определяют пройденный путь и скорость судна
в любой момент времени.
Так как при t — tu v = vx — 2v0, то
2 '
откуда найдем значение коэффициента k:
2
Окончательно
Задача 736. Материальной точке, находящейся на поверхности
Земли (радиус Земли равен R), сообщена начальная вертикальная
скорость vo = '\/r2gR (вторая космическая скорость). Определить
уравнение движения точки, пренебрегая силой сопротивления
воздуха.
Решение. Направим ось Ох вдоль линии движения точки.
Начало координат поместим в центре Земли (в данной задаче это
удобнее). На точку действует лишь сила притяжения к Земле,
по величине обратно пропорциональная квадрату расстояния от
точки до центра Земли:
Для определения k заметим, что при x = R сила F = mg.
Следовательно,
k = mgR\
и тогда
304

Составим дифференциальное уравнение движения точки в форме
A0.6). Имеем
Для интегрирования этого уравнения преобразуем левую часть:
. dx
тх = тх -т-,
dx'
после чего получим
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
Установим начальные условия движения точки: при ^ =
Подставляя в (/), получим d = 0.
Таким образом,
2 ~~ х
отсюда*
Интегрируя, получим
Пользуясь начальными условиями, найдем
с,=!*■/..
Подставляя это значение С2 в (g), имеем
Таково искомое уравнение движения точки.
Задача 737. Свободная материальная точка массой т, имею-
имеющая начальную скорость О0) движется_ прямолинейно. На точку
действует только сила сопротивления F, направленная в сторону,
противоположную скорости, и rto величине равная F = k\/4>{k —
*) При извлечении корня взяг знак «плюо, так как рассматривается
только движение вверх.
305

постоянное число). Определить время tu прошедшее от начала
движения точки до остановки, и путь s, пройденный точкой.
Решение. Примем прямую, вдоль которой происходит движение,
за ось Ох, а начало координат выберем в начальном положении
точки. На точку действует только одна сила F.
Следовательно, дифференциальным уравнением движения точки
будет
Так как точка движется по прямой, то
dv
х ~di'
и уравнение примет вид
dv , »,— ...
nijt= — kyv. (h)
Это дифференциальное уравнение допускает разделение перемен-
переменных:
{Г,
откуда, интегрируя, получим
f dv
J у v
или
Так как при г* = 0 v = v0, то отсюда найдем
С,—т
Следовательно, имеем
imv ' ~ 2
или
(о
Эта формула определяет скорость точки в любой момент времени.
Так как в момент 4 (остановка точки) v = Q, то из преды-
предыдущего равенства
306

Для того чтобы найти х как функцию t, уравнение (t) перепишем
в виде
dt \ ° Зт
откуда, интегрируя, получим
Зт
Так как при ^ = 0 х = 0, то
Р Зт 5/
таким образом,
Зт к, Зт
Это уравнение определяет закон движения точки вдоль пря-
прямой Ох.
В момент остановки t = ti, следовательно,
Таков путь, пройденный точкой до остановки.
Задача 738. В условиях предыдущей задачи определить зави-
зависимость скорости от пройденного расстояния, т. е. v — v(x).
Решение. Обратимся к уравнению (Л) предыдущей задачи.
Умножая обе части этого равенства на dx, получим
mvdv — —k -y^v dx.
Разделяя переменные, имеем
mv3/*dv — — kdx.
Интегрируя, получим
При х = 0 у = у0, следовательно,
Таким образом,
Эта формула и определяет искомую зависимость v ит х. В момент
остановки и = 0, следовательно,
Зт v%
т. е. пришли к тому же результату, что и в задаче 737.
307

Задача 739 (рис. 443). Материальной точке М массой т, на-
находящейся в однородном поле силы тяжести, сообщена начальная
скорость щ, направленная горизонтально. Определить уравнения
„ г, движения точки, если при ее дви-
движении действует сила сопротивления
F — — kv, где k — положительный коэф-
коэффициент.
Решение. Поместим начало О систе-
системы координат Оху в начальном положе-
положении точки М. Ось Оу направим верти-
вертикально вниз, ось Ох — горизонтально.
На точку М действуют две силы: сила
Рис. 443 тяжести Р и сила сопротивления F.
Предполагая, что скорость точки имеет
положительные проекции, составим уравнения движения точки
в форме A0.6). Имеем
тх = Рх — FK = — kvx —
ту = Ру -j-Fv=P — kvy =
Разделяя переменные, получим
— kx;
md.i , ,, dy
—^—— Rat; inp
—at.
Интегрируя, найдем
т In x = —kt -f- С,; — mk In (P — ky) = t -f- Ct.
При ^ = 0: х = х9
Следовательно,
т,
таким образом,
т In x~ ~ kt-\-tn In u0; — -. In (P~ky) = t — -.
или
■»0 т' Р т
Отсюда найдем
_ *J р _ "Л
x = vl)e т; у= ^A — е '").
Интегрируя еще раз, получим
ы м
308

При ^ = 0: х = хо = О, у = уо = 0. Следовательно,
С
таким образом,
. v_ojn _ р Рт
k ' 4 № '
f[
Примечание. Если в этих уравнениях перейти к пределу при k—<■ 0,
ю, раскрывая неопределенности, имеем
_*/
\ е т (
х = vjn lira г = vom ■ — = vot;
k^o * '«
kt — m(\—e m) ,. t — te "' t ■ gt gt*
Получились известные уравнения движения точки под действием силы тя-
тяжести при отсутствии сопротивления воздуха.
Задача 740. Тело движется вниз по наклонной плоскости, об-
образующей с горизонтом угол а. Найти время движения тела,
.если в начальный момент его скорость равнялась нулю, коэффи-
коэффициент трения равен / = const, а длина пути L.
Ответ: t = ]/g (sjn ^ y
Задача 741. Поезд общей массой т движется по прямолиней-
прямолинейному горизонтальному пути и имеет в момент начала торможе-
торможения скорость w0. Определить суммарную силу торможения, считая
ее постоянной, если длина тормозного участка пути равна s.
Ответ: R = ■*?§-.
Задача 742. Груз, сброшенный с пикирующего самолета на
высоте /г, имеет начальную скорость 0„, направленную под уг-
углом а к вертикали. На каком расстоянии (по горизонтали) от
точки сбрасывания груз упадет на землю, если пренебречь сопро-
сопротивлением воздуха?
Ответ: s = ^^ (Vv% cos2 a -f 2gh — и0 cos а).
Задача 743. Показать, что движение материальной точки без
начальной скорости вдоль любой из хорд сферы, имеющих общим
началом верхнюю точку (полюс), под действием силы тяжести
происходит за одно и то же время.
Задача 744. На тело массой т, находящееся на горизонталь-
горизонтальной шероховатой плоскости, в течение tx сек действует горизон-
горизонтальная сила Q = const. Определить расстояние s, пройденное
509

телом до остановки, если коэффициент трения его о плоскость
равен /. Начальная скорость тела равна нулю. '
Ответ- s = ^{Q-fmg)t*
итвет. ь— 2fm*g
Движение возможно, если Q^>fmg.
Задача 745. Для аварийной остановки атомного реактора
стержень длиной / падает в канал под действием собственного
веса Р и добавочной силы Q, действующей на начальном участке
падения lt. Падению стержня препятствует сила трения F, при-
принимаемая постоянной. Найти время полного погружения стержня
в канал, длина которого равна длине стержня, если первоначаль-
первоначально нижний конец стержня находился у верхнего среза канала и
стержень освобождается без начальной скорости. Найти также
скорость стержня в момент достижения им дна. Принять массу
стержня т = 25 кг; Q = 245 н; F = 49 н; / = 250 см; ^ = 30 см.
Ответ: t = 0,622 сек;
v = 6,71 м]сек.
Задача 746. Найти уравнения движения материальной точки
массой т, притягиваемой однородным горизонтальным перемен-
переменным магнитным полем, если сила этого поля F = Asinwt, где
А и ш — постоянные. Принять начальное положение точки за на-
начало координат, ось Ох направить по горизонтали, а ось Оу—■
по вертикали вниз. Начальная скорость точки равна нулю.
A At j?£2
Ответ: х = — —Г- sinutf-j ; y=%r-
Задача 747. Решить задачу 746 для случая вертикального
магнитного поля.
Ответ: х — 0;
gt* . At A . .
^ 2 ' ти> (Аи
Задача 748. Электрон массой т, имеющий скорость v0, вле-
влетает перпендикулярно плоскостям электродов в тормозящее
электрическое поле с напряженностью £ = £osinu>/. Найти, ка-
какой должна быть амплитуда напряженности поля Ео, для того
чтобы электрон по истечении полупериода (т. е. к моменту Т =
= — ) вернулся в исходное положение. Какое максимальное
расстояние / должно быть между плоскостями электродов, чтобы
электрон долетел до второго электрода? Сила, действующая на
электрон в поле, есть F — — еЕ.
Ответ: £„ = » I =v°.
Задача 749. Частица массой т, несущая заряд q электри-
электричества, находится в переменном электрическом поле с затухаю-
затухающим напряжением, которое изменяется по закону Е = E$e~at sin pt
(£(,, а, р — постоянные). Сила, действующая на частицу, равна
F = qE и направлена в сторону напряжения Е. Определить дви-
310

жение частицы, если она находилась в начальный момент в по-
покое в начале координат. Силой тяжести пренебречь, ось Ох на-
направить параллельно вектору Е.
Ответ:
Задача 750. Принимая силу сопротивления воздуха * в сво-
свободном полете планера равной F = kv, где k — коэффициент про-
пропорциональности, v — скорость планера, определить расстояние,
которое пролетит планер за t сек от момента, когда его скорость
была равна va. Считать, что движение планера происходит по
горизонтальной прямой. Масса планера равна т.
_«
Ответ: s=^(l —e т).
Задача 751. Сила тяги винтов вертолета массой т при его
вертикальном подъеме в 1,5 раза более его веса. Сопротивление
воздуха выражается формулой
где k — постоянная, S — площадь поперечного сечения.
Какова предельная** (максимально возможная) скорость вер-
вертолета?
Ответ: еПр=-щ--
Задача 752. Парашютист опускается без начальной скорости.
Масса парашютиста равна 90 кг, площадь проекции раскрытого па-
парашюта на плоскость, перпендикулярную направлению движения,
5 = 64 ж2. Определить предельную (максимальную) скорость опу-
опускания парашютиста, если сила сопротивления F = CpSvi, где
постоянная С = 0,45, а плотность воздуха р = 1,226 кг/м3.
Ответ: 1>пр=5 м\сек.
Задача 753. Парашютист массой т совершает прыжок с неподвиж-
неподвижного вертолета. Сила сопротивления воздуха равна R = kSv, где
k — постоянный коэффициент, а 5 — площадь проекции раскрытого
парашюта на плоскость, перпендикулярную направлению движе-
движения Определить величину S, необходимую для того, чтобы
* Учащийся должен иметь в виду, что в этой и последующих задачах
законы сопротивления среды упрощены в учебных целях. В действитель-
действительности эти законы значительно сложнее, и сила сопротивления, как правило,
не может быть представлена одним аналитическим выражением на всем ин-
интервале времени движения.
** В этой и других задачах под предельной скоростью понимаете»
«„„= limо. Если при (—►сю» монотонно изменяется, то »пр можно опреде-
лить, не инте!рируя уравнение, из условия ., = 0.
311

скорость парашютиста не превышала заданной величины vnp.
Ответ: s у^ ~—.
Задача 754. В момент раскрытия парашюта скорость падения
парашютиста равна и0. Парашют испытывает сопротивление воз-
воздуха, пропорциональное первой степени скорости. Определить
скорость падения парашютиста в зависимости от предельной ско-
скорости и времени. gt
Ответ: v = t»np — (vnp — щ) е *пР.
Задача 755. Сила упорного давления винтов судна водоизме-
водоизмещением т равна Q. Определить величину предельной скорости ипр,
которую может развить судно, а также зависимость величины его
скорости от времени и ипр, если сила сопротивления движению
по величине равна.mfeV. Начальную скорость судна принять
равной нулю, а его движение считать прямолинейным.
п I -, /~Q е"*—1
Ответ: onp = -fe J/ — о = опр ^yqr-p
где а = 2йЧ>„Р-
Задача 756. Модель реактивного самолета массой 85 кг разви-
развивает силу тяги, равную 9,8 кн, и имеет начальную скорость
150 м/сек. Зная, что предельная скорость при данной тяге равна
250 м/сек, и считая силу сопротивления воздуха пропорциональ-
пропорциональной квадрату скорости, найти время, по истечении которого ско-
скорость модели будет отличаться от предельной на 5 м/сек. Дейст-
Действием силы тяжести и изменением массы модели пренебречь.
Ответ: ^ = 3,48 сек.
Задача 757. Батискаф, обладая постоянной отрицательной
плавучестью, погружается вертикально, испытывая сопротивление
воды, пропорциональное квадрату его скорости. Определить, с ка-
какой глубины погружения h движение аппарата можно считать
равномерным с относительной ошибкой ^. == —sp_zz—} если со-
сопредельная скорость погружения при данной плавучести, а отно-
отношение плавучести к весу батискафа равно А. Начальная скорость
равна нулю.
Ответ: h = — ^ In Bjx — jj.2).
Задача 758. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
определить время-, по истечении которого погружение можно практи-
практически считать равномерным.
Ответ: t = fTnp, In .
Zgf [X
Задача 759. Материальная точка, двигаясь по горизонтальной
прямой, имела в некоторый момент скорость v0. Определить ее
скорость по истечении следующих t сек, а также пройденный ею
путь, если сила сопротивления движению равна /? = fe/nu3, где
312

т — масса точки, k - постоянная Остановится ли точка под
действием указанной силы?
Ответ: v = x Z\v t\ s~ k ln(l-j-foy). Точка не остановится
(v -*-0 при t ->-co).
Задача 760. Автомобиль массой in движется по горизонтальной
прямолинейной дороге. Принимая силу тяги мотора постоянной
и равной Q, а суммарное сопротивление движению R = kv*
(k —постоянная), определить скорость автомобиля по прошествии
им пути s, если в начале этого пути он имел скорость, равную у„.
Ответ: v — 1/ ^ IQ — (Q — kv\)е '"].
Задача 761. Для взлета самолетов с судна применяют спе-
специальные катапульты, уменьшающие длину свободного пробега
самолета. Считая, что действие катапульты эквивалентно допол-
дополнительной тяге, равной 4,9 кн, определить, на сколько сокра-
сократится длина взлетной дорожки, если масса самолета Зт, тяга
винта 14,71 кн, взлетная скорость 130 км,ч, а сопротивление
воздуха равно 1,962 v*h (v — м/сек).
Ответ: на 90,3 м.
Задача 762. Материальная точка массой т, получив начальную
скорость, равную va, движется затем вдоль горизонтальной пря-
прямой, испытывая силу сопротивления, пропорциональную квадрат-
квадратному корню из величины скорости (коэффициент пропорциональ-
пропорциональности равен k). Определить время движения точки до остановки,
пройденный ею путь, а также среднюю скорость за время дви-
движения.
Ответ: t= k° ; s = -^u;/8; vcp = -j= s i>8.
Задача 763. Судно, двигаясь прямолинейно со скоростью ийг
после остановки двигателей через некоторое время замедлило
свой ход до скорости и, = 2°. Определить среднюю скорость
судна за это время, если сила сопротивления воды пропорцио-
пропорциональна его скорости.
Ответ: vcp=^Y =
Задача 764. Решить задачу 763 при условии, что сила сопро-
сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости.
Ответ: игр = ио1п2^О,693ио-
Задача 765. Пуля, пробив доску толщиной h, изменяет свою
скорость от значения t»i до значения и.г. Считая силу сопротивле-
сопротивления пропорциональной квадрату скорости, определить время дви-
движения пули в доске.
Ответ: /= * (Р'~Ч
v,v» In - -
313

Задача 766. Две точки Мх и М% с одинаковыми массами, рав-
равными т, находятся на одной вертикали: точка Mt на поверхно-
поверхности Земли, точка М4 — на высоте Н. Определить время встречи
точек, если точке М% сообщена начальная скорость v0, направлен-
направленная вдоль вертикали, а точка УИ4 падает без начальной скорости.
Поле силы тяжести считать однородным, сопротивление воздуха
принять пропорциональным скорости (k — коэффициент пропор-
пропорциональности). При каком значении начальной скорости у0 воз-
возможна встреча точек?
Ответ: t — ?\n mv\N; встреча возможна-при vo*~>—.
К /fit/p " rtil /fl
Задача 767. Самолет массой т в момент приземления имел
скорость va. Определить, какое расстояние он пройдет до оста-
остановки при выключенных моторах, если суммарное сопротивление
движению выражается формулой
R^kv-j-kiV*,
где k и kx — постоянные;
v-—скорость самолета.
Ответ: s = -г- In I -f- -4-^ .
Ri \ к 1
Задача 768. Сила, действующая на автомобиль массой т в
первое время после начала движения, выражается формулой
F = a — bv, где а и Ъ — постоянные, v — скорость автомобиля.
Выразить силу F как функцию времени.
_ bt_
Ответ: F — ae m.
Задача 769. В момент прекращения работы двигателей судно
имело скорость va. Определить время, прошедшее до остановки
судна, если его водоизмещение равно т, а сила сопротивления
R = c-\-kv (с и k — постоянные), v — скорость судна.
Ответ: Т = , In I -j ? i.
К \ С j
Задача 770. Пользуясь условиями предыдущей задачи, опре-
определить пройденный судном путь до остановки при известном вре-
времени торможения Т (постоянная с считается неизвестной).
Ответ: s = ~ ^ .
ет —1
Задача 771. С поверхности Земли брошено вверх тело со ско-
скоростью о0. Определить, с какой скоростью vt тело упадет об-
обратно на землю, если сила сопротивления воздуха R = mkvi,
где k—постэянная, т — масса тела.
Ответ: vx=-
314

Задача 772. При измерении заряда электрона изучают паде-
падение масляной капли в воздухе. Найти уравнение движения капли,.
если на нее действуют сила тяжести, сила сопротивления воздуха,
равная бщаи (ta — вязкость воздуха, а — радикс капли, v — ско-
скорость капли), и постоянная сила со стороны электрического поля,
равная qE и направленная вверх (q — заряд капли, Е = const —
напряженность поля). Принять, что капля имеет форму шара,
плотность р и начальную скорость, равную нулю.
Ответ: x = k [t-\-b(e~ T — 1)],
где
4
-- qE
~ P
h— ? - h~
6nfie ' 9(i
Задача 773. В условиях предыдущей задачи измеряют один
раз предельную скорость падения капли при отсутствии электри-
электрического поля, а в другой раз, поместив каплю в электрическое
поле, подбирают его напряженность так, чтобы капля находи-
находилась в равновесии. Считая известными только р, jj., vnv, найти
q — величину электрического заряда капли.
9V2"n(iJ/V{?
Ответ: q = —-тутт/г-1-
Задача 774. После достижения судном скорости w0 движение
продолжается при постоянной мощности двигателя N, т. е. при
силе упора винтов F = — . Считая силу сопротивления R постоян-
постоянной, определить величину предельной скорости судна упр и про-
промежуток времени tlt по истечении которого будет достигнута
скорость vx. Водоизмещение судна равно т.
Ответ: vnp = ^ tt = ^[о, - и, + ^In N_ViR\
Задача 775. В условиях задачи 774 определить путь, Прой-
Пройденный судном за -время, в течение которого его скорость изме-
изменилась ОТ Уо ДО Vi.
Ответ: s = «j^W- of) + |s(^-^)-^ 'n^f }•
Задача 776. После достижения поездом скорости v0 движение
продолжается при постоянной мощности паровоза N, т. е. прини-
принимается, что сила тяги равна -. Сила сопротивления складывается
из силы трения F, не зависящей от скорости, и других сопро-
сопротивлений R, пропорциональных первой степени скорости (R = kv).
Найти предельную скорость упр.
Ответ: ^ = ^
315

Задача 777 (рис. 444). Точка М массой т движется по гори-
горизонтальной хорде окружности радиусом R под действием силы,
обратно пропорциональной расстоянию от
точки до центра окружности (коэффициент
пропорциональности k). Кратчайшее расстоя-
расстояние от хорды до центра окружности рав-
равно г. Найти скорость точки в момент про-
прохождения середины хорды, если в начальный
момент она занимала крайнее положение и
была отпущена без начальной скорости. Тре-
Трением пренебречь.
Рис- 444 -.rWT~R
Ответ: v = I/ — In —.
Задача 778. Решить задачу 777 при условии, что сила обратно
пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра.
Ответ: v^f \nrR >.
Задача 779. Материальная точка притягивается к неподвиж-
неподвижному центру с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния
между ними, причем коэффициент пропорциональности равен k.
Найти, через сколько времени она попадает в центр притяжения,
если ее масса т, начальное расстояние хй, а начальная скорость
равна нулю.
Ответ: t~\/ "r x'l-
Задача 780. Материальная точка М притягивается к центру
О с силой F = —1, где $ — ОМ, т — масса точки, k — постоян-
постоянная. В начальный момент расстояние 0Ма = ха и точка не имеет
начальной скорости. Определить скорость точки в момент, когда
Ответ: v = -
Задача 781. На тело массой т, принимаемое за материальную
точку, действует сила, пропорциональная времени (коэффициент
пропорциональности k). Кроме того, на тело действует сила сопро-
сопротивления R = — jj.0, где [J. — постоянная величина. Найти закон
изменения величины скорости тела в функции времени, если в на-
начальный момент его скорость была равна нулю. Движение счи-
считать происходящим по горизонтальной прямой.
Ответ: v = - -f ~ (<Г ">"— 1).
Задача 782. Тело, принимаемое за материальную точку мас-
г, Ы
сои т, движется прямолинейно под действием силы г =—, где
k — постоянный коэффициент, t — время, v — величина скорости
316

точки. Определить в момент t=l сек величину скорости тела,
если в начальный момент она была равна ty
Ответ: v = 1/ vl + -.
Задача 783. Решить предыдущую задачу при условии, что
Г
Ответ: v=y uj
ЗА
m"
Задача 784. Последней ступени ракеты* массой m сообщили
некотврую вертикальную скорость и0 на высоте h над Землей.
Определить, какова должна быть величина этой скорости для
того, чтобы ракета поднялась на высоту Н от поверхности Земли,
если сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна квад-
квадрату ее скорости и обратно пропорциональна квадрату расстоя-
расстояния до центра Земли (коэффициент пропорциональности k). Ка-
Какова должна быть величина и0 для того, чтобы ракета удалилась
в бесконечность (#-*со)? Радиус Земли равен R.
Указание. Учесть, что сила притяжения, равная на поверх-
поверхности Земли mg, изменяется обратно пропорционально квадрату
расстояния от центра Земли.
t/mgR3 , ) Г7 1 2k (II—h)
Ответ: Оо===|/_£_(«.'_ 1), где ^-^-J—-^-.
При
При k = Q o0=j/
45
—вторая космическая скорость.
Задача 785 (рис. 445). Материальная точка М массой т при-
притягивается к двум центрам Ох и Ог с силами Fx = mk<lMOi
и Fi = mk'iMOi соответствен-
соответственно (k — постоянная). Определить
траекторию точки, если МОО =
^OiO = O2O = a (УИ0 — начальное
положение точки), а начальная
скорость точки 00 параллельна оси
Ох. Размерами точки и силой тя-
тяжести пренебречь.
Ответ: —^- -J- ^ = 1 (эллипс).
Задача 786. Материальная точка движется в горизонтальной
плоскости под действием центральной силы, пропорциональной
расстоянию от точки до притягивающего центра (коэффициент
пропорциональности равен №т, где k — постоянная, am — масса
точки). Принимая центр притяжения за начало координат, опре-
определить уравнение траектории точки, если в начальный момент
317

она имела координаты х = 0; у = 1 и скорость й0, составляющую
угол а с осью Ох.
Ответ: (*=£^)' + (^г)' = 1 (эллипс).
Задача 787. Внутри трубки, расположенной в вертикальной пло-
плоскости и изогнутой в виде окружности радиусом /?, помещен шарик.
В нижнем положении шарику сообщается начальная скорость v0.
Найти зависимость скорости шарика от дуговой координаты s,
если он испытывает силу сопротивления, пропорциональную квад-
квадрату скорости с коэффициентом пропорциональности km, где k —
постоянная, а т — масса шарика. Считать отклонения шарика
от вертикального положения малыми.
Ответ: Ь* = [v\ - ^) * -' + ^ (^ - з).
Задача 788. Материальной точке, находящейся в неподвижной
круглой трубке, занимающей горизонтальное положение, сообщена
начальная скорость £>0> направленная по касательной к средней
окружности трубки. Определить путь s, пройденный точкой до
остановки, если радиус трубки г, а коэффициент трения точки
о трубку равен /.
Ответ: s = ^\n °" + >Ag_±l!^.
Задача 789. Сила, действующая на электрон массой т при
его нахождении в электромагнитном поле,
где Е — вектор напряженности электрического поля;
Н — вектор напряженности магнитного поля;
е — заряд электрона;
и —скорость электрона;
с — скорость света.
Найти уравнения движения и траекторию электрона, который
в начальный момент находился в начале координат и имел ско-
скорость, равную нулю, если напряженность электрического поля
постоянна и направлена по оси Ох, а напряженность магнитного
поля постоянна и направлена по оси Ог. Силой тяжести пре-
пренебречь .
п тс*Е I ell, Л
Ответ: * = —- ^os ffl-/ - 1 ];
—^os ffl/ 1 ];
mcsE! . еН, еН Л Л
и = -—.-т..- sin t t): z—Q.
" eliJ \ me me ;'
Траектория — циклоида в плоскости хОу.
Задача 790. На электрон массой т в электромагнитном поле
действует сила
318

где Е — вектор напряженности электрического поля;
Я —вектор напряженности магнитного поля;
е — заряд электрона;
V — скорость электрона;
с — скорость света.
Найти уравнения движения электрона, если векторы напря-
напряженности обоих полей постоянны и направлены по оси Oz.
Электрон находился в начальный момент в начале координат и
имел скорость д0, направленную по оси Ох.
Ответ: x = s\ny
eli
1 — cos —
Траектория представляет собой винтовую линию с увеличи-
увеличивающимся шагом, находящуюся на цилиндре радиусом v-^jr, од-
одной из образующих которого является ось Oz.
Задача 791 (рис. 446). Электрон влетает в плоское электриче-
электрическое поле, образованное двумя наклоненными друг к другу под
углом 2а электродами, с начальной
скоростью v0, направленной по оси сим-
симметрии системы. Разность потенциалов
между электродами равна U, а напря-
напряженность электрического поля напра-
направлена перпендикулярно к оси симметрии
и равна Ь=-з, где а — расстояние
между пластинами, взятое по перпен-
перпендикуляру к оси симметрии. Найти угол,
на который отклонится электрон после
пролета между пластинами, если дли-
длина соответствующего пространства рав-
равна /, а наименьшее расстояние между пластинами равно da.
Указание. Сила, действующая на электрон, равна еЕ. Счи-
Считать, что вне пространства между пластинами поля нет.
Ответ:
Рис-446
Задача 792. В конце пускового участка ракета имеет скорость,
величина которой равна у0, а угол наклона к горизонту а„.
В дальнейшем движение ракеты регулируется таким образом, что
величина скорости остается постоянной. Найти уравнение ее
траектории, считая, что сила тяги направлена по направлению
скорости. Поле силы тяжести считать однородным, массу ракеты
постоянной; аэродинамической подъемной силой и сопротивлением
воздуха пренебречь. Начало координат взять в начальном поло-
положении ракеты, ось Ох направить горизонтально, ось Оу — вер-
вертикально вверх.
Ответ: #=.— In-
COS fа„
COS а,,
319

Задача 793. С поверхности цилиндрического провода радиу-
радиусом а, по которому протекает ток /, вылетает электрон массой т
с начальной скоростью б0, перпендикулярной к поверхности про-
провода. Найти, на какое максимальное расстояние он удалится от
оси провода, прежде чем повернет обратно под действием магнит-
магнитного поля тока. Напряженность магнитного поля на расстоянии г
it 2/
от оси провода равна Я = — и направлена по касательной к ок-
окружности с центром на оси провода. Сила, действующая на
_ р
электрон в магнитном поле, есть F = -(v~XH); весом пре-
пренебречь.
Указание. Использовать цилиндрическую систему координат.
Учесть, что координата <р не изменяется. Составить дифферен-
дифференциальные уравнения движения электрона в плоскости (г, г).
— ад
Ответ: гтт = аеь, где Ь = " .
Задача 794. В магнетроне электрон массой т, вылетающий из
цилиндрического провода радиусом а с начальной скоростью 50,
перпендикулярной поверхности провода, движется далее в одно-
однородном магнитном поле напряженностью Я, параллельной оси
провода. Сила, действующая на электрон в магнитном поле, F —
= (v~XH). Действием силы тяжести пренебречь. Определить
максимальное расстояние г, на которое может удалиться элек-
электрон от оси провода.
Указание. Ввести цилиндрические координаты. Доказать, что
z = const. Дифференциальное уравнение, отвечающее координате tp,
умножить на г и проинтегрировать, С помощью полученного ин-
интеграла исключить $ из уравнения, отвечающего координате г.
Ответ: rmax= "^v ^ , где Ь = — .
Задача 795. В условиях предыдущей задачи начальная ско-
скорость ио = О, но имеется второй цилиндрический электрод радиу-
радиусом R^>a, к которому приложен потенциал V по отношению к
первому электроду, что вызывает появление радиально направлен-
направленного электрического поля напряженностью Ег — ъ .Сила,
а
действующая на электрон со стороны электрического поля, равна
?■ — — еЁ. Найти, при какой величине потенциала V электрон
долетит до второго электрода. См. указание к предыдущей за-
задаче.
Ответ: у 2*-^£-(# - а«)», где 6 = ^.

ГЛАВА XI
КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1. Собственные колебания
Пусть на точку действует упругая или квазиупругая сила,
т. е. сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия
и по величине пропорциональная отклонению точки от этого по-
положения. Если движение точки происходит вдоль оси Ох, а О —
положение равновесия, то
где с — коэффициент упругости (жесткости).
Дифференциальное уравнение движения точки в этом случае
имеет вид
тх = — сх
или
* + *'* = 0, A1.1)
.где _
k=V~.
У т
Решением этого уравнения будет
х = d cos kt -f С, sin kt = a sin (kt -fa), A1.2)
где d и С2 (или a и a) — произвольные постоянные, определяе-
определяемые по начальным условиям движения;
a — амплитуда колебания;
a ■— начальная фаза;
k — круговая частота.
Период колебания определяется формулой
A1.3)
Колебания точки в этом случае являются незатухающими и гар-
гармоническими.
Если, кроме упругой (квазиупругой) силы, на точку дейст-
действует сила сопротивления среды, пропорциональная первой сте-
степени скорости и направленная противоположно скорости, т. е.
то дифференциальное уравнение движения точки
тх = — сх — Ьх
или
х -f 2n.Z -f №x = О, A1.4)
где
•=£•
11 Н. А Ьражниченко и др. 321

При решении этого дифференциального уравнения возможны
три случая.
Случай I. n<^k («малое» сопротивление среды). Решение
дифференциального уравнения A1.4) имеет вид
х = ае ra/sin(V + «), (П 5)
где
ife,=VrA2 —ns; A16)
а и а — произвольные постоянные, определяемые по начальным
условиям.
Движение точки в этом случае носит характер затухающего
колебания с условным периодом (промежуток времени между двумя
последующими наибольшими отклонениями точки в одну сторону)
т, —Ife — 2тс П1 7}
Я1 у k2 — п}
Величина е 2 характеризует отношение величин двух после-
последовательных экстремальных отклонений (в разные стороны) и на-
называется декрементом, а
Ь = ^ A18)
— логарифмическим декрементом
Случай II. n^>k («большое» сопротивление среды). Реше-
Решением дифференциального уравнения A1 4) будет
'-}-С,в-(в-**)', A19)
1де Ci и С2 — произвольные постоянные, а
В этом случае точка совершает апериодическое затухающее
движение, т. е.
lim x = 0.
t-юо
Случай III. n = k («предельный» случай). Решение уравне-
уравнения A1 4) примет вид
x = (C1t + C,)e-ht, A1.10)
где Ci и Са — произвольные постоянные.
В данном случае имеет место также апериодическое затухаю-
затухающее движение,
322

Задача 796 (рис 447). На гладкой плоскости, наклоненной
к горизонту под углом а = 30°, находится груз М массой т= I кг,
прикрепленный к пружине, жесткость которой с = 4,9 • 103 я/ж.
Определить уравнение колебаний груза,
если он отпущен без начальной скоро-
скорости из положения, при котором пру-
пружина не деформирована
Решение. Направим ось Ох по на-
направлению движения груза вдоль на-
наклонной плоскости Начало координат
1 ////////////////////////////7Т7//7
примем в положении статического рав-
равновесия. На груз М действуют силы рис 447
Р — вес груза, F ■— упругая сила пру-
пружины и N-—нормальная реакция плоскости. Дифференциальное
уравнение движения груза имеет вид
тх = — F-j-Psmot.
Упругая сила пружины
F = cM,
где М — удлинение пружины по сравнению с ее естественным
(ненапряженным) состоянием, т. е.
где f — удлинение пружины при равновесии,
следовательно,
Итак, уравнение движения
mJc = — c(f-\-x)-}-Psm*. (a)
При х = 0 имеет место равновесие, т. е. при этом i = Jc —0.
Из предыдущего уравнения имеем *
0~—cf-fPsina (b)
При учете (Ь) уравнение (а) упрощается и принимает вид
тх = — сх
или
тх-{-сх=.О.
Обозначив &2 = —, получим уравнение собственных незатухающих
колебаний A1.1)
Решение уравнения возьмем в виде
t -\-CiS\nkt. (с)
* Это уравнение можно получить также из условия равновесия.
11» 323

Определим произвольные постоянные Ci и С2, для чего уста-
установим начальные условия движения. Имеем
так как пружина была при этом не деформирована;
так как груз был отпущен без начальной скорости.
Подставляя в (с) начальные условия, получим
Дифференцируя (с) и снова подставляя начальные условия,
имеем
Таким образом,
х = — /cos kt,
и, пользуясь (£>), получим уравнение движения
— /
т
Подставляя числовые данные, найдем
а: = — 0,1 cos 70/ см.
Следовательно, амплитуда колебаний
а = 0,1 см,
а период колебаний по A1.3) будет
т = ~ = 0,0898 сек.
Задача 797 (рис 448). Тяжелая материальная точка М мас-
массой т поддерживается во взвешенном состоянии над горизонталь-
горизонтальной плоскостью отталкивающей силой,
обратно пропорциональной расстоянию до
плоскости (коэффициент пропорциональ-
пропорциональности >.). Найти период малых вертикаль-
вертикальных колебаний точки около положения
равновесия.
Решение. Составим дифференциальное
О
уравнение движения точки. Проведем ось
Ох вертикально вверх, поместив начало
О в положении равновесия На точку
1т действуют сила отталкивания F, напра-
" вленная вертикально вверх, и вес Р.
Рис. 448 L, X .
При этом ** —тг! гДе " — расстояние до
плоскости, a P = mg. Уравнением движения точки будет
324

Так как при равновесии х~х = х = 0, то
где /г0 — расстояние от точки до плоскости при равновесии.
Поскольку рассматриваются малые перемещения, то разложим
величину силы в ряд по степеням малого отклонения и сохраним
только член, пропорциональный первой степени х («квазиупру-
(«квазиупругий член»). Учитывая (е), имеем
В соответствии с этим согласно (d) получим
(/)
или
Это уравнение собственных гармонических колебаний A1.1) имею-
имеющих круговую частоту k — 1/ ■—.
Искомый период малых колебаний
x~~k тс У ~g~~~g V ~m'
Примечание. Следует иметь в виду, что колебания действительно
будут иметь место только в том случае, когда в уравнении (/) справа стоит
знак «минус». Наличие знака «плюс» указывало бы на неустойчивость рав-
равновесия. Если бы линейные члены сократились, то это указывало бы на
существенно нелинейны» характер колебаний или на безразличное равнове-
равновесие (в зависимости от наличия или отсутствия членов высшего порядка по
отношению к х)
Задача 798 *. К пружине подвешен груз. Статическое удли-
удлинение пружины равно /. Определить колебание груза, если в на-
начальный момент пружина была растянута из ненапряженного
состояния на длину, равную 3/, а груз был отпущен без началь-
начальной скорости.
Ответ: х = 2/ cos |/ £-1.
Задача 799. Груз массой 100 г подвесили к концу недеформи-
недеформированнои пружины и отпустили без начальной скорости. Длина
недеформированнои пружины равна 65 см, а при равновесии груза
* В задачах данной главы за начало координат принимается положение
статического равновесия; g=9,8 м'сек*.
325

на пружине ее длина равна 85 см. Определить: 1) уравнение
движения груза; 2) амплитуду и период колебаний; 3) наиболь-
наибольшую упругую силу пружины.
о
Ответ: 1) х = — 20 cos 7^ см; 2) а = 20 см; * = у тс сек;
3) Fme=l,96 «.
Задача 800. К концу пружины жесткостью 98 н/'м подвешен
груз массой 2 кг. В начальный момент груз находился в положе-
положении равновесия и получил некоторую начальную скорость г>0-
Зная, что амплитуда колебаний равна 2 см, определить величину
начальной скорости.
Ответ: ио=14 см/сек.
Задача 801. Статическое удлинение пружины под действием
данного груза равно 20 см, В начальный момент груз, находясь
в положении равновесия, получил начальную скорость и стал
совершать незатухающие колебания с амплитудой, равной 4 см.
Определить величину начальной скорости.
Ответ: о0 = 28 см/сек.
Задача 802. Статические удлинения пружины под действием
двух грузов порознь соответственно равны ft и /2. Определить ча-
частоту свободных незатухающих колебаний, если к концу пружины
подвесить оба груза.
Ответ: k = ~\/ , g, , .
г ft ~г/г
Задача 803. Пружина расположена вдоль гладкой наклонной
плоскости с углом наклона а. К концу недеформированной пру-
пружины подвешен груз массой т и отпущен без начальной
скорости. Определить наибольшую величину упругой силы пру-
пружины
Ответ: Fmax — 2 mg sin a.
Задача 804. Груз подвешен к концу недеформированной пру-
пружины и получил начальную скорость v0, направленную вверх.
Определить, через сколько времени после начала движения груз
впервые пройдет через положение равновесия, если статическое
удлинение пружины для данного груза равно /.
Ответ: t = l/'^ U~arcig
f ё \
f ё о
Задача 805. На вертикально расположенной пружине подве-
подвешены два равных груза, в результате чего она получила стати-
статическое удлинение /. После этого один из грузов оборвался.
Найти уравнение движения второго груза, пренебрегая массой
пружины.
Ответ: * = ^cosl/ -jt.
Задача 806. Тело массой М подвешено на вертикально распо-
расположенной пружине. Период его колебаний равен т. Если при-
присоединить к нему в положении равновесия массу т, то удлине-
326

ние пружины увеличится на /. Найти ускорение g свободно па-
падающего тела. Массой пружины пренебречь.
Ответ: g = ^i.
Задача 807 (рис. 449). Определить период вертикальных ко-
колебаний груза М массой т, подвешенного на трех пружинах
с коэффициентами жесткости сх=с, с2 = 2с и c3 = Zc
так, как показано на рисунке.
Ответ: ■z ='.
Зт_
ТпГ
Задача 808. В гладкой трубке, изогнутой в виде
окружности радиусом R и занимающей вертикальное
положение, помещен тяжелый шарик. Находясь в
нижнем положении, он получил начальную скорость v0.
Определить колебания шарика в трубке, считая от-
отклонения его от положения статического равновесия
малыми.
Ответ:
: s = vn I/ — sin l/ jL t.
Рас 449
Задача 809. По горизонтальной хорде вертикального круга
движется точка массой 4 кё под действием силы притяжения,
пропорциональной расстоянию от точки до центра, причем коэф-
коэффициент пропорциональности равен 196 н/м. Определить закон
движения точки и ее давление на хорду, если в начальный мо-
момент она находилась в крайнем правом положении и была отпу-
отпущена без начальной скорости. Принять расстояние от центра до
хорды равным 30 см, а радиус окружности — 50 см.
Ответ: л: = 40 cos 7/ см (от середины хорды);
N = 98 н (const).
Задача 810. Материальная точка массой т, находящаяся под
действием упругой силы (коэффициент жесткости с), выводится
из состояния равновесия постоянной силой F, действующей в те-
течение промежутка времени tt. Найти амплитуду колебаний после
прекращения действия силы.
VI-
Ответ: а =
sin-
Задача 811. Однородный конус высотой Н и плотностью ^
погружен в жидкость плотности 7а(?з1>71) так> чт0 ег0 вершина
находится над поверхностью жидкости, а основание — параллельно
этой поверхности. Определить период малых вертикальных соб-
собственных колебаний конуса, пренебрегая сопротивлением воды.
Ответ: х= t *■*—л—
ъЧъ — ъ) 3
Задача 812. При равновесии шара радиусом R в жидкости
высота погруженного шарового сегмента равна h. Определить
327

период малых вертикальных собственных колебаний шара, пре-
пренебрегая сопротивлением воды.
„ о ЛГ h{3R — h)
Ответ: , = 2*|/ 3g\2R_hy
Задача 813. Материальная точка массой т, несущая электри-
электрический заряд ц, находится на одной горизонтальной прямой
с двумя равными одноименными зарядами qu посередине между
ними. При отклонении вдоль этой прямой точка начинает коле-
колебаться. Найти период этих колебаний, считая их малыми. Сила
взаимодействия зарядов равна ^ (закон Кулона). Расстояние
между неподвижными зарядами равно 21.
Ответ: , = WA
Задача 814. Сосуд объемом Vo, наполненный воздухом при
давлении р0» равном наружному давлению, заканчивается ци-
цилиндрической трубкой, имеющей площадь сечения 5 и закрытой
поршнем с ма.ссой т. Найти период свободных колебаний поршня
при его малых смещениях, если давление и объем газа в сосуде
связаны соотношением pV = const. Массой газа по сравнению
с массой поршня и трением пренебречь (см. задачу 823).
„ 2я -, /"Vim
Ответ: t = -^ 1/ —2—.
Задача 815. Материальная точка массой т прикреплена к тон-
тонкой горизонтальной нити, имеющей натяжение N и закрепленной
на концах. Расстояния от точки до концов нити равны а и Ь.
Считая, что натяжение не изменяется в процессе колебаний, найти
период малых поперечных колебаний точки.
Ответ: х = 2* Y+)
Задача 816. В трубке, изогнутой в виде окружности радиу-
радиусом 49 см и расположенной в вертикальной плоскости, помещен
тяжелый шарик. Из нижнего положения равновесия ему сооб-
сообщается скорость 20 см/сек. Определить закон движения шарика,
учитывая силу сопротивления, пропорциональную первой -степени
скорости (R — Atnv, где т — масса, v — скорость). Считать откло-
отклонения шарика от равновесного положения малыми. Принять
g = 980 см/сек*.
Ответ: s=5e~*sin4/ см.
Задача 817. Решить задачу 816, если сила сопротивления
равна 12 mv.
Ответ: s = ~ {е~* — е~ш) см.
Задача 818. Статическое удлинение пружины под действием
груза массой т равно /. На колеблющийся груз действует сила
сопротивления среды, пропорциональная скорости (R = bv). Опре-
Определить наименьшую силу сопротивления, возникающую при ско-
328

рости, равной единице, при которой процесс движения будет
апериодическим.
Ответ: Ь = 2тЛ/ ~.
Задача 819. Используя условия задачи 818, определить дви-
движение груза, если в начальный момент он находился в положении
равновесия и имел скорость г>0, направленную вниз.
Ответ: x — v^te r f •
Задача 820. По горизонтальной хорде вертикального круга
движется точка массой 1 кг. На точку действует упругая сила,
пропорциональная расстоянию от нее до центра и направленная
все время к центру (коэффициент пропорциональности с= 16 н/м).
Кроме того, на точку действует сила сопротивления, пропорцио-
пропорциональная первой степени скорости, причем коэффициент пропор-
пропорциональности т=10 н • ceKJM.
Определить закон движения точки, если в начальный момент
она находилась в крайнем правом положении и была отпущена
без начальной скорости. Принять расстояние от центра до хорды
равным 30 см, а радиус круга 50 см.
Ответ: x = -* Dе^ — е~ы) см.
Задача 821. Решить задачу 820, если масса точки 0,5 кг,
с= 12,5 н/м, 7 = 4 н-сек/м.
Ответ: x = 4qV4' [3cos 3^ + 4 sin 3/J см.
§ 2. Вынужденные колебания
Если, кроме квазиупругой силы и силы сопротивления среды,
на точку действует внешняя сила^ зависящая от времени, — так
называемая возмущающая сила Q, проекция которой на ось х
есть
QX = H sin pt,
где Н — амплитуда силы (ее наибольшее значение),
р — круговая частота силы,
то дифференциальным уравнением движения точки будет
тх = — сх — Ы -{- И sm pt,
или
je-j-2/iJC + ftJ;c = ftsinp/, A1-11)
где
, Н ш b _ ,t с
~w' 2m' ~m'
329

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
где хг — общее решение однородного уравнения A1.4);
х^ — частное решение уравнения A1.11), которое можно полу-
получить в виде
x, = asin{pt — p), A1.12)
где
а= , h tgp = ^4. A1.13)
Частное решение х$ называют вынужденным колебанием.
Если п Ф 0 (т. е. имеет место сопротивление среды), то ^-^0
при / ->- со, и поэтому интерес представляют только вынужденные
колебания.
Если л = 0, то
а= k*~p>'-> ^ = W=T'smpt A1-14)
и
х = a sin (kt -f а) + -fe3 _1 „a si" /й- A1.15)
Если p = k, т. е. частота воамущающей силы совпадает с ча-
частотой собственных незатухающих колебаний, то наступает явле-
явление резонанса. В этом случае при отсутствии сопротивления
x3 = — ~coskt, A1.16)
т. е. происходит нарастание амплитуды.
При наличии сопротивления при условии резонанса (p~k)
уравнение вынужденных колебаний имеет вид
x, = —~cospt. A1.17)
При фиксированных h и п максимум амплитуды вынужденных
колебаний имеет место при
.Если у<!1, то при p = k амплитуда близка к максимальной.
Задача 822. При прямолинейных колебаниях точки в сопро-
сопротивляющейся среде экспериментально найдены: частота ky свобод-
свободных затухающих колебаний и частота рх возмущающей силы, при
которой амплитуда вынужденных колебаний имеет максимум.
Определить собственную частоту k, коэффициент затухания п и
логарифмический декремент 8.
330

Решение. По A1 6) и A1.18) имеем
отсюда
п = VW^fi; k =
По A1.8) найдём
Задача 823 (рис. 450). На поршень А, закрывающий сосуд
с газом, имеющим давление р0 (равное внешнему), действует из-
избыточное Давление, изменяющееся по закону q = q9smu>t (q<,—
Рис, 450
максимальное значение давления, и>— круговая частота). Измене-
Изменение состояния газа происходит адиабатно, т. е. ^ = const, где
р — давление в сосуде; р — плотность газа; у ■— показатель ади-
адиабаты
Определить движение поршня, если его масса т, площадь S.
Объем сосуда равен Vo. Трением пренебречь. В начальный момент
поршень находился в покое.
Решение. На поршень, выведенный из положения равновесия,
действуют горизонтальные силы: Ft = pS, обусловленная -внут-
-внутренним давлением; Fi — p0S, обусловленная внешним давлением,
кроме того, на поршень действует возмущающая сила Fi^qS =
= q№S sin ш(, обусловленная избыточным давлением q.
Проведем ось Ох горизонтально, как показано на рис. 450, б,
поместив начало координат в равновесном положении поршня.
Тогда дифференциальным уравнением движения поршня будет
или
тх = (р — рь) S — g0S sin wt. (g)
331

Так как
2 — Ел. J_ Y»
рт-pj' t*-V
где V — переменный объем газа;
Ро — плотность газа при давлении р0,
то
Считая, что поршень движется в прямом цилиндре, получим
V = Vt + Sx.
Таким образом,
откуда
Считая перемещение х малым, разложим величину - °—)
в ряд, ограничиваясь членом первого порядка малости. Имеем
следовательно,
P Ро ^^
Подставив значение р — р0 в (g), получим
ГУ, X _]_ Ь~~1Ро Coin <.i^
UiX ~\ tj— X — t/0^ bill wt.
Это уравнение можно переписать в виде
Jfc* -f- №х = — h sin ч>(,
где
В соответствии с A1.15), в котором вместо р следует взять ш,
получим
х = a sin (fe -}- а) — fea _ ^-8 sin шЛ
Продифференцировав по времени предыдущее равенство, получим
x = ak cos (^ 4- а) — /у——а с05> ш^
У32

Начальные условия движения
В соответствии с начальными условиями имеем
0 = asin a;
О = ak cos a — ,. " „ ,
к2 — ш2 '
отсюда
п. 'гш
Таким образом, имеем следующий закон движения поршня:
Лео . fi
Х = Ъ (Ь2 r) Sln k* ffl2 S111 Ш^'
Если имеется хотя бы очень малое сопротивление, то по A1.14)
приближенным уравнением движения поршня будет
Л
х = — ts у sin wt.
При этом амплитуда вынужденных колебаний имеет значение
Задача 824. Материальная точка совершает движение вдоль
оси Ох. На точку, кроме упругой силы пружины, действуют
еще сила сопротивления R=—0,2у и возмущающая сила Q,
направленная вдоль оси Ох, проекция которой на эту ось
Ql = 4sin pt (R, Q — в ньютонах, и — в м/сек). Изменяя ча-
частоту р возмущающей силы, добиваются появления резонанса
при р = 20тс Мсек. Определить амплитуду а вынужденных коле-
колебаний при резонансе.
Ответ: « = 0,318 м.
Задача 825. Электромотор установлен на упругой балке, при-
причем статический прогиб балки равен /. Ротор мотора имеет
смещение центра тяжести по отношению к оси вращения на вели-
величину г. Определить амплитуду а вынужденных колебаний электро-
электромотора, если ротор мотора имеет массу т и вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью со. Масса мотора вместе с ротором равна М.
Массой балки пренебречь. При каком значении угловой скорости
может наступить явление резонанса?
Ответ: а — -,,'"г<* ,.а. .
Резонанс наступит при
•-VT-
ззз

SI
Задача 826 (рис. 451). Пружина Л скреплена со штоком
поршня, который находится в камере В. В эту камеру попере-
Тменно сверху и снизу поступает сжатый воз-
воздух, вследствие чего сила, действующая на
поршень, изменяется по закону F = 2,3 sin8r.t
(/ — в секундах, F — в ньютонах). Определить
вынужденные колебания поршня, если его
масса равна 0,5 кг, а жесгкость пружины
с = 200 н/м.
Ответ: х = — 1,98 sin 8itf см.
Задача 827. Точка колеблется на пружине
в среде, сопротивление которой R — bv (b — по-
р р р (
Рис 451 стоянная, v — скорость точки). На точку дей-
действует возмущающая сила F — Hsmpt. Опре-
Определить амплитуду силы по измеренной амплитуде а вынужденных
колебаний при наличии резонанса.
Ответ: Н = Ьра
Задача 828. В условиях предыдущей задачи, изменяя частоту
возмущающей силы, добиваются появления максимальной ампли-
амплитуды вынужденных колебаний атах при р — рг. Зная, что масса
точки равна т, определить амплитуду силы Н.
Ответ: H = bpxam^y 1 -)- 4m2 „ .
Задача 829. Показать, что амплитуда скорости вынужденных
колебаний имеет максимум при p = k и при наличии сопротивле-
сопротивления среды.
Задача 830. Двигатель массой т, установленный на упругом
фундаменте, совершает п оборотов в минуту. Вследствие неурав-
неуравновешенности частей двигателя фундамент совершает вынужденные
колебания с амплитудой а. Определить наибольшее значение Н
возмущающей силы, если статическая осадка фундамента равна /.
Сопротивлением пренебречь.
Ответ: Н = ат (-§- — ^г i.
\ / I
Задача 831. Бочка массой 4/л находится на поверхности воды,
уровень которой в месте нахождения бочки изменяется вследствие
волнения по закону
4 . 3t
881П
(t — в секундах; s — в метрах).
Считая горизонтальное сечение бочки постоянным по высоте
и равным 5 л2, определить ее вертикальные колебания относительно
уровня спокойной воды, если плотность воды равна 1 т/мл. В началь-
начальный момент бочка находилась на уровне спокойной воды, и ее абсо-
абсолютная скорость была равна нулю. Сопротивлением воды пренебречь.
р у
Ответ: дг = (—^sin-^--J-^rSin-к-) м.
\ ) £ Уи
334

Задача 832. По условиям предыдущей задачи определить уста-
установившиеся колебания бочки относительно колеблющегося уровня
воды, если сила сопротивления воды пропорциональна первой
степени скорости бочки, причем коэффициент пропорциональности
равен 16 кн-сек/м.
Ct 3 \
-7J-— arctg-g- м.
z о;
Задача 833. Электромотор массой М (вместе с ротором) уста-
установлен на упругом фундаменте, снабженном демпфером. Статиче-
Статический прогиб фундамента равен f. Ротор мотора имеет массу т,
а центр тяжести его смещен по отношению к оси вращения на
величину г. Определить угловую скорость со ротора, если ампли-
амплитуда вынужденных колебаний замерена и равна а. Демпфер обу-
обусловливает появление силы сопротивления, пропорциональной
скорости, и сконструирован так, что при выключенном моторе
имеет место предельное апериодическое движение фундамента.
Ответ: * = YГ(^=Щ-
Задача 834. На стержне, имеющем при данной температуре То
равновесную длину /0, подвешен груз массой т. Температура
окружающей среды начинает колебаться по закону Т — То ~\- b sin pt.
Определить вынужденные колебания груза, если коэффициент рас-
расширения стержня равен а, а коэффициент жесткости с не зависит
от температуры. Массой стержня пренебречь.
Указание. Упругая сила пропорциональна разности между
действительной длиной стержня и его номинальной длиной при
данной температуре. За номинальную длину при данной темпе-
температуре принять
Л с1м
Ответ: х= °_mp

ГЛАВА XII
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
§ 1. Теоремы о движении центра инерции
и об изменении количества движения
Центром инерции (масс) системы материальных точек назы-
называют геометрическую точку, положение которой определяется
радиусом-вектором
или координатами
М
у
с— м
Ус = ±Ам-
гс
A2.1)
м
A2.2)
где М = ^ mk — масса системы.
Уравнение движения центра инерции имеет вид
или в координатной форме
Xc = R*
A2.3)
A2.4)
где R{e) — главный вектор внешних сил.
Таким образом, центр инерции любой системы движется так,
как двигалась бы материальная точка, имеющая массу, равную
массе всей системы, если бы на нее действовала сила, равная
главному вектору всех внешних сил, приложенных к данной
системе.
Если Я(е) = 0, то vc = const; если i?^ = 0, то vCx = xc — const.
336

Количеством движения точки называют вектор, равный mv, a
количеством движения системы — геометрическую сумму векторов
количеств движения всех точек системы, т. е.
Q= 2 tnkvn =
A2.5)
Производная по времени от количества движения системы
равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему,
т. е.
dQ
>dt
A2.6)
Приращение количества движения системы за конечный про-
промежуток времени равно импульсу главного вектора всех внешних
сил, действующих на систему, за этот же промежуток времени, т. е.
t
Q Qo_f^(e)^ A2.7)
О
или в проекциях на оси:
t
Qf) Г рй ,//
л- — ^-Ол — ) ^х >
а
О.— О... ={Re:dt,
— Q^^^^.dt.
о
Для материальной точки
mv — mva = \F dt
A2.8)
или в проекциях на оси координат
т G) г, 1 — f p At
О
t
m(vy — Vvy) =\Fydt, ■
о
t
m(vz-VbZ) = \Fzdt,
A2.9)
где 00 — скорость точки в начальный момент;
v — скорость точки в момент t\
F — равнодействующая всех сил, приложенных к точке.
337

Задача 835. Скорость судна водоизмещением m = 25 000m за
время / = 50 сек после прекращения работы турбины уменьши-
уменьшилась на 5 узлов. Определить среднюю силу сопротивления воды,
считая движение корабля прямолинейным (узел — единица скоро-
скорости, равная 1 миле в час, или 0,5144 м/сек).
Решение. Рассматриваем корабль как материальную точку,
движущуюся вдоль оси Ох. По первой формуле A2.9) имеем
t
т (vx — vOx) =\Fxdt = Fxcpt,
о
откуда
F _m(vx — vOx) _ — 25000-5-0,514 _
50
кн.
Задача 836. Горизонтальный поршневой двигатель установлен
без крепления на горизонтальном гладком фундаменте (рис. 452).
Кривошип ОА длиной г вращается
с постоянной угловой скоростью со.
Принимая длину шатуна равной
длине кривошипа и считая, что мас-
массы движущихся частей приведены
к двум массам mt и пц, сосредото-
ченным в пальце кривошипа и в
центре поршня, определить горизон-
Рт- 452 тальное движение корпуса двигателя,
если его масса равна тъ. В началь-
начальный момент поршень занимал крайнее левое положение, а корпус
находился в покое.
Решение. Рассмотрим двигатель как систему, состоящую из
трех_ масс %, /п2. т3. На нее действуют внешние силы:
Pi, Pi, Рз — силы тяжести;
N — нормальная реакция гладкого фундамента.
Поскольку требуется найти горизонтальное движение корпуса,
воспользуемся первым уравнением A2.4):
ЛЦес = /#\ (а)
Пусть хи хъ хл — абсциссы масс системы в текущий момент t.
Тогда абсцисса центра масс системы будет
„ n»i*i + m%Xy,-f-тъх3 ...
Хс— ^ -. (О)
Выразим все абсциссы через искомую х3, имеем
хх = х3 -\-1 — г cos Ы,
(с)
— 2r cos mt\ w
где /== const — разность абсцисс точки О и массы т3.
33S

Подставляя эти абсциссы в формулу (£>), получим
№ + т2-f-Щ) -*Ч + Щ[-\- mj — m^r cos«>t — ims cos»?
c M
— V
— 3
M Ж
Дифференцируя хс дважды по времени и подставляя в (а),
будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс
корпуса двигателя:
Мхъ = В1(х —(щ 4~ 2m2) no2 cos u>t. (d)
В данной задаче R^> = 0, так как при выбранных осях все
внешние силы параллельны оси О^у. Уравнение (d) примет вид
Интегрируя, найдем
Учитывая начальные условия движения корпуса (х3 !ь0 = хл,
x3\t o = 0), получим
С! —U, Сг — Х3 щ
где х\ — начальная абсцисса корпуса двигателя.
Итак,
d л тх 4-ms Ч" п^ч
Это и есть искомое уравнение движения корпуса двигателя.
Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические
колебания с амплитудой
щ^ -f- m2 -j- тг
и с круговой частотой ш.
Задача 837. Используя условия предыдущей задачи и полагая,
что корпус двигателя закреплен при помощи болтов, определить
суммарное горизонтальное усилие на болты и давление на фун-
фундамент.
Решение. Воспользуемся уравнениями A2.4):
339

Так как
лс~ м > ус— м
то
Хг = -
М , ус — м
Имеем
х1 = х\-{-г ■—г cos W; t/j = yj-[-/• sinu)/;
х8 = jr£ -j- 2r — 2r cos to/; j/8 = r/£ = const;
x3 = xjj = const; t/3 = y!J = const.
Следовательно,
Таким образом,
Поскольку, с другой стороны,
$f = N — (mi + m2 + пц) g,
то давление на фундамент будет
W = (пц —j— /тга —(— гщ) g — mjrw2 sin wt.
Суммарное усилие, срезывающее болты,
Т = | Rx] I = {щ -\- 2т4) гт21 cos ш/1.
Задача 838. На покоящейся непривязанной шлюпке массой т
находятся два человека, массы которых равны mt и т2. Что про-
произойдет со шлюпкой, если первый человек переместится по на-
направлению к корме на расстояние /ь а второй — к носу на рас-
расстояние /.2? Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ: шлюпка переместится на расстояние
| от,/! — mj.2 |
Задача 839. Лодка с находящимся на ней человеком имеет
скорость у0. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, пере-
перемещение s лодки вследствие движения по ней человека с отно-
относительной скоростью и по направлению к носу, если масса чело-
человека т, а масса лодки М. При каком значении и лодка не будет
перемещаться?
„ vn (т -\~ М) — ти , ,
Ответ: s— "v ;) i д! *> л°Дка не будет перемещаться
1)„ (т-\-М)
при „ = JLL-f-J
340

Задача 840 (рис. 453). Эллиптический маятник состоит из
тела А массой ти которое может перемещаться поступательно
по гладкой горизонтальной плоскости, и груза В массой пц, свя-у
занного с телом стержнем длиной I. В на-
начальный момент стержень отклонен на угол
<р0 и отпущен без начальной скорости. Пре-
Пренебрегая весом стержня, определить смеще-
смещение тела А в зависимости от угла откло-
отклонения <р.
Ответ: Ьх= "*'(*"?.—""?)..
т\ ~\- Щ
Задача 841. Однородный прямой конус высотой h, имеющий
угол 2а при вершине, поставлен вершиной на гладкую горизон-
горизонтальную плоскость. Найти расстояние s, на которое переместится
вершина конуса к моменту его падения на плоскость.
О
Ответ: s = -jh cos a.
Задача 842 (рис. 454). В полом цилиндре радиусом R и мас-
массой М находится тяжелый шарик массой т. Цилиндр может
поступательно перемещаться по гладкой горизонтальной плоскости.
/7777777777 J
Рис. 454 Рис. 455
Определить уравнение движения центра тяжести цилиндра. Раз-
Размерами шарика пренебречь. В начальный момент <р = 0, скорость
шарика равна у0, а цилиндр находится в покое.
(t R )
Ответ: s^-
Задача 843 (рис. 455). К тележке А массой М подвешен маят-
маятник, который колеблется по закону <p = tposin^. Определить
уравнение движения тележки, если масса маятника т, а длина
стержня маятника равна /. Трением скольжения и массой стерж-
стержня пренебречь. В начальный момент тележка находилась в покое.
Ответ- х— "ПЧ>'-ап(ТоапМ)]
итвет. х— М-\-т
Задача 844. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
определить давление N тележки на горизонтальный фундамент.
Ответ: N = (М -f- rri) g -f- m/cp0fe3 [cos (<p0 sin kt) ■ cp0 cos3 kt —
— sin (<p0 sin kt) smW].
Задача 845 (рис. 456). Тяжелый круглый цилиндр В массой т
посередине обмотан тонким гибким тросом, конец которого за-
341

креплен в неподвижной точке А. Цилиндр падает так, что уско-
ускорение его оси равно w. Найти натяжение нити Т.
Ответ: T = m(g — w).
Задача 846 (рис. 457). На однородный цилиндр А, могущий
свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, намотан трос,
А
А
Рас. 456
Рис 457
Рис. 458
на свободном конце которого подвешен груз В массой т. Опре-
Определить давление на ось цилиндра, если груз опускается с уско-
ускорением w, масса цилиндра равна М.
Ответ: N = (M-{-m)g — mw.
Задача 847 (рис. 458). Грузы Mt и УИ2 массами тх и гщ
подвешены к концам троса, перекинутого через неве-
невесомый блок А. Определить давление блока на ось
при движении грузов, если ускорения грузов равны w.
Ответ: N— {тх-{-гщ)ц — (тх — m^w.
Задача 848 (рис. 459). Груз 7Wt массой т, под-
поднимается при помощи блочного приспособления.
Определить величину реакции оси блока /, если
груз М2 массой т2 опускается с ускорением w. Тре-
Трением и массой блоков пренебречь.
Ответ: N = (mi-{- ma) g — (m2 — ^ i w.
Задача 849. Горизонтальная паровая машина
установлена на неподвижном фундаменте.t Масса мо-
мотыля ти масса шатуна тг, масса поршня т3. Найти
максимальное горизонтальное давление машины на крепления при
ее работе, если мотыль вращается с постоянной угловой ско-
скоростью со0, а отношение у <^ ], где г — длина мотыля, / — длина
шатуна. Мотыль и шатун считать однородными стержнями.
Ответ: AW = ^r \mi + 2 (та + тз) + т (т* + 2тз) ■
Задача 850. Железнодорожный состав массой 1000 т передви-
передвигается равномерно по горизонтальному пути со скоростью 36 км/ч
паровозом массой 100 т. После разрыва сцепки между паровозом
и составом вагоны прокатились на 95 м за 10 сек. Считая, что
342

ни сила тяги, ни сила трения при разрыве не изменились, найти,
на каком расстоянии от вагонов находится в тот же момент
паровоз.
Ответ: х = 55 м.
Задача 851. Две массы ту и та связаны нерастяжимой нитью
длиной I и лежат на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости.
Массе т1 сообщается скорость щ, перпендикулярная нити. Найти
натяжение нити.
Ответ: T^-j^g^.
Задача 852 (рис. 460). Однородная квадратная рама ABDC
со стороной а вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой
Рис. 460
Рис. 461
скоростью (о. Вокруг оси СВ, совпадающей с диагональю рамы,
вращается однородный диск массой mt. Определить количество
движения системы, если масса рамы равна т2.
Ответ: Q— 2 —•
Вектор Q направлен по перпендикуляру к плоскости рамы
в сторону ее вращения.
Задача 853 (рис. 461). Однородная шестерня / радиусом г
катится по неподвижной шестерне // с таким же радиусом при
помощи кривошипа О А, вращающегося с по-
постоянной угловой'скоростью <«0.
Определить количество движения системы,
если масса шестерни / равна ти а кривошип
представляет собой однородный стержень
массой та. _
Ответ: Q = ru><iBml-j-m<i), QA_OA.
Задача 854. Кулисный механизм, пока-
показанный на рис. 462, приводится в движение
кривошипом ОС, вращающимся с постоянной
угловой скоростью ш0 вокруг оси О. Опреде-
Определить количество движения механизма в момент / = -.— сек, если
4<л0
й начальный момент кривошип занимал крайнее правое положе-
Рис. 462
34а

ние. Массы кривошипа, ползуна и кулисы соответственно равны
ти тг и т3. Расстояния: ОВ = а; ОС = аУ2; АВ — 2а. Криво-
Кривошип и кулису считать однородными стержнями.
Ответ: Q = ща 1/ ml -}- 2 (^ -{- т2) 4- 2т3 (^у 4- та |.
Задача 855. Точка массой т движется по окружности с по-
постоянной по величине скоростью v. Определить величину импульса
силы за четверть и пол-оборота.
Ответ: за 1/4 оборота S = mvy2; за 1/2 оборота S = 2mv.
Задача 856. Точка массой т брошена с начальной скоростью v9
под углом а. к горизонту. Определить, пренебрегая сопротивлением
воздуха, полный импульс силы тяжести за время движения точки.
Ответ S = 2tnv0sma..
Задача 857. Точка массой т движется в плоскости хОу со-
согласно уравнениям
x — acoskt; y = b%mkt.
Определить импульс силы за время, в течение которого точка
находится в положительном квадранте.
Ответ- S = mkV~а*-\-Ъ*.
Задача 858. По настилу, наклоненному под углом 30° к гори-
горизонту, опускается груз без начальной скорости. Определить ско-
скорость груза по истечении 3 сек, если коэффициент трения сколь-
скольжения равен 0,5
Ответ: а= 1,97 м/сек.
Задача 859. Телу, находящемуся на наклонной плоскости,
образующей с горизонтом угол 45°, сообщена начальная скорость,
параллельная плоскости, равная 9,81 м/сек и направленная вверх.
Определить время движения тела до остановки, если коэффи-
коэффициент трения равен 0,2.
Ответ. £=1,18 сек.
Задача 860 (рис. 463). Тяжелая точка помещена на наклон-
наклонную плоскость / с углом наклона ^ и отпускается без началь-
Рис 463 Рис 464
ной скорости. Дойдя до наинизшего положения, она поднимается
затем по наклонной плоскости II с углом наклона <х2. Зная вре-
время спуска tu определить время подъема tit пренебрегая трением.
Ответ: /, = ^5!^.
sin я2
Задача 861 (рис. 464) Тело А массой 10 кг перемещается по
горизонтальной плоскости под действием постоянной силы Q, об-
344

разующей с плоскостью угол а = 30°. Определить величину си-
силы Q, если за 5 сек скорость тела возросла с 2 м/сек до 4 м/сек,
а коэффициент трения / = 0,15.
Ответ: Q = 20 н.
Задача 862. Под каким углом а должна быть приложена к
телу сила Q, чтобы она была мшшмальн&й, если все прочие дан-
данные задачи 861 остаются неизменными? Какова при эгом вели-
величина силы Q?
Ответ: л = arctg/ == 8С32'; Qmin= 18,52 н.
Задача, 863 (рис. 465). Ползун М массой 20 кг перемещается
вдоль вертикального стержня АВ под действием силы Q — 700 ну
Рис. 466
направленной под углом а = бО° к стержню. Определить время ^
в течение которого скорость ползуна увеличится на 2 м/сек,
если коэффициент трения / = 0,2.
Ответ: г =1,227 сек.
Задача 864 (рис. 466). Решить задачу 863 при условии, что
стержень АВ образует с горизонтом угол [3 = 30°, а с вектором
Q — угол а = 45°.
Ответ: / = 0,12 сек.
Задача 865 (рис. 467). На тело М
массой т, лежащее на шероховатой го-
горизонтальной плоскости, действует си-
сила Q, направленная под углом а к гори-
горизонту. Определить скорость тела по
истечении t сек, если величина силы
изменяется по закону Q = at, где а — постоянная величина. Коэф-
Коэффициент трения скольжения равен /.
Ответ: о = ^
V =
^
Рис 467
для
{hat — fmgf
2k a
где & = cosa — /sin a.
ПРИ Г^ ь?»
Задача 866. Электрон массой т влетает в переменное электри-
электрическое поле, изменяющееся по закону Е— E^smuit, и летит в на-
345

правлении поля. Найти изменение его скорости за половину
периода [0-^.t^—). Сила, действующая на электрон, равна еЕ.
Ответ: Ду = -—.
та>
Задача 867. На покоящейся лодке массой М находится чело-
человек, масса которого равна т. С какой скоростью v будет пере-
перемещаться лодка, если человек начнет двигаться по ней с относи-
относительной скоростью й? Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ: 0 = ~1^мп.
Задача 868. Матрос весом P = mg перемещается по шлюпке
массой М с относительной скоростью и. Определить скорость
шлюпки в зависимости от времени, считая сопротивление воды
постоянным и равным R. В начальный момент матрос и шлюпка
находились в покое.
Ответ: v=^^
Задача 869. Считая в условиях предыдущей задачи, что шлюпка
получила в начальный момент скорость у0, определить, через
сколько времени ее скорость станет равной нулю? Какому усло-
условию должна отвечать длина шлюпки /, чтобы задача имела реше-
решение при любом значении относительной скорости и?
Ответ: <= ( + **)(+$™
Задача 870. Корабль водоизмещением 10 000 т, двигающийся
со скоростью. 36 км/ч, производит залп из шести орудий по на-
направлению, образующему с направлением движения угол 30°.
Определить, на сколько процентов изменится скорость корабля
в первый момент после выстрела, если считать, что поперечная
составляющая отдачи уничтожается сопротивлением воды. Масса
каждого снаряда 250 кг, а его начальная скорость равна 800 м/сек.
Ответ: Скорость корабля уменьшится на 1,04%.
Задача 871. Снаряд противотанковой пушки, имеющий массу 6 кг,
ударившись о лобовую броню танка, масса которого равна 30 т
под углом к ней 30°, рикошетирует. Найти изменение скорости
танка, если скорость снаряда равна 500 м/сек.
Ответ: Скорость танка изменится на 0,1 м/сек.
§ 2. Теорема об изменении кинетического момента,
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
Кинетическим моментом системы называют главный момент
количеств движения всех точек системы:
346

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной
оси его вращения определяют формулой
Lt = J,*, A2.11)
где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения;
ш = ср — алгебраическая величина угловой скорости.
Производная по времени от кинетического момента системы
материальных точек относительно неподвижного центра равна
главному моменту всех внешних сил, действующих на систему,
относительно того же центра, т. е.
dh = M[e). A2.12)
Производная по времени от кинетического момента системы
относительно неподвижной оси равна главному моменту всех внеш-
внешних сил относительно той же оси, т. е.
^ = М(*]; iL.y=M{:\ а% = МУ. A2.13)
ut at ul
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 0гу
последняя формула примет вид
Jtt = M(i\ A2.14)
где е= п> = ф.
Если М$=0, то из A2.12) имеем закон сохранения кинети-
кинетического момента:
A2.15)
Если M(x] = Q, то Lx — const.
Теорема об изменении кинетического момента справедлива и
для случая относительного движения точек системы по отноше-
отношению к поступательно движущимся осям с началом в центре масс
(центре инерции) системы, т. е.
^ = М$. A2.16)
Задача 872 (рис. 468). В экспериментальной установке для
определения моментов инерции испытуемая деталь укрепляется
на шпинделе АВ, на котором насажен барабан радиусом R. На
барабан намотана нить, к концу которой прикреплен груз мас-
массой т. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, опреде-
определить момент инерции детали, если груз, будучи отпущен без
начальной скорости, проходит расстояние h за время t. Момент
инерции вала с барабаном равен Jo. Принять, что центр тяже-
тяжести С детали находится на оси шпинделя.
347

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из детали, барабана
с валом и груза. Воспользуемся третьим уравнением A2.13).
Имеем
Кинетический момент системы равен сумме кинетических
моментов детали, вала с барабаном и груза, т. е.
•II | гШ
Поскольку
f1 I/1
— Ьг -j- Lz
L\ = /or, L" = Jaw; L =
где / — искомый момент инерции детали;
v = wR — скорость груза, то
Внешними силами (рис. 468, б), действующими на систему,
являются вес Р^ падающего груза; вес Q детали, вала и бара-
барабана; реакции NA и NB подшипников А и В.
Рис 468
чим
Пренебрегая трением в подшипниках и их размерами, полу-
полуПоскольку центр тяжести вращающихся тел лежит на оси, то
следовательно,
Подставляя полученные величины в уравнение (d), имеем
откуда
w
= -7П7^¥^Г = Const.
348

Интегрируя дважды это выражение и учитывая начальные усло-
условия получим
h~-
откуда
J== mgRH*
Задача 873. Винт судна имеет момент инерции / и приво-
приводится во вращение из состояния покоя вращающим моментом М.
Винт испытывает силы сопротивления воды, момент которых про-
пропорционален квадрату угловой скорости, т. е. Л1сопр = ЬЛ где
k — постоянный коэффициент. Определить среднюю угловую ско-
скорость винта за промежуток времени, по истечении которого угло-
угловая скорость его станет равной w,.
Решение. Применим дифференциальное уравнение вращения
твердого тела A2.14):
J* = М(Р.
Внешними моментами являются вращающий момент М и мо-
момент МС0Пр. Таким образом,
J -тт = М — few*. (e)
Искомая средняя угловая скорость может быть найдена по фор-
формуле
т
«v=I- (f)
Для нахождения ср и t проинтегрируем уравнение (е). Разде-
Разделяя переменные, получим
uJd\ t==dt.
М — В»2
Обозначим
м_ ,
k a'
тогда
JdiA ,.
Интегрируя, будем иметь
1ак а — и ш=о '
откуда
eft" а —V
319

Найдем <р как функцию о>. Для этого умножим (е) на dtp, получим
Ju>du> = (М
Разделяя переменные, имеем
Интегрируя, найдем
отсюда
2*
2Л a2 — «of
Согласно (/), имеем
"cp"
Задача 874. Ротор гироскопа массой 30 кг в момент выклю-
выключения делал 12 000 об/мин. Определить момент относительно оси
вращения сил сопротивления, приложенных к ротору, считая их
постоянными, если ротор остановился
-а *j p через 30 мин. Осевой радиус инерции
К_ ^ ротора равен 10 см.
Ответ: УИг = £ = 0,209 н-м.
Задача 875 (рис. 469). Шкив М,
вращающийся с угловой скоростью ш0,
Рис. 469 тормозится при помощи ручного тор-
тормоза. С какой силой Р надо прижать
рукоятку, чтобы шкив остановился через t сек, если коэффициент
трения /, длина рукоятки а, ОК~Ь, момент инерции шкива J,
а его радиус г.
г.-. и
Ответ: Р = -
Задача 876. Используя условия задачи 875, определить число
оборотов, совершенных шкивом до его остановки.
Ответ: N =
Задача 877. Однородному стержню длиной 21, лежащему на
горизонтальной плоскости, сообщена угловая скорость ю0 вокруг
оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр.
Определить время вращения стержня до остановки, считая его
давление на плоскость равномерным, а коэффициент трения
о плоскость равным /.
Ответ: t = -~j.
350

Задача 878. Однородный диск радиусом R, вращающийся
с угловой скоростью ш0 вокруг оси, перпендикулярной к плоско-
плоскости диска и проходящей через его центр, помещен на шерохова-
шероховатую горизонтальную плоскость. Найти время, прошедшее до
остановки диска, считая давление диска на плоскость равно-
равномерным, а коэффициент трения скольжения равным /.
Ответ: (=-j-~.
Задача 879. Маховик, момент инерции которого J, в начале
торможения имел угловую скорость <о0. Определить, через сколько
времени его угловая скорость уменьшится в два раза, если момент
сил сопротивления пропорционален квадрату угловой скорости
(коэффициент пропорциональности равен к).
Ответ: t = —r.
Задача 880. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
определить число оборотов, совершенных маховиком за указанный про-
промежуток времени. Какова при этом средняя угловая скорость?
Ответ: N = -~-; а>ср = а>в 1п 2.
Задача 881. Винт судна имеет момент инерции J и приводится
во вращение из состояния покоя постоянным вращающим момен-
моментом М, встречая при этом сопротивление воды, пропорциональ-
пропорциональное его угловой скорости. Зная предельную угловую скорость а>пр,
определить, через сколько времени после начала движения вра-
вращение винта можно считать равномерным с относительной ошиб-
s ^ «ил <0
кои не более к = —-р .
юлр
Ответ: через t = -^j? ^nT-
Задача 882. Маховик, имеющий угловую скорость ш0, тормо-
тормозится силами, момент сопротивления которых пропорционален
корню квадратному из угловой скорости. Определить среднюю
угловую скорость за время торможения.
Ответ: ">tp = ^,
Задача 883. Движущий момент сериесного электродвигателя
в некоторых условиях обратно пропорционален квадрату угловой
скорости вращения вала. Принимая момент сил сопротивления
постоянным и равным М, определить, через сколько времени
угловая скорость мотора утроится, если начальная угловая ско-
скорость ш0 вчетверо меньше предельной. Момент инерции ротора
равен /.
Ответ: ^ = 0,87~°.
Задача 884. При работе дизеля с отключенным винтом и без
регулятора движущий момент МА = — А -\- Вш (А ^>0; В ^> 0;
351

ш — угловая скорость). Определить закон изменения угловой скоро-
скорости с течением времени, если приведенный момент инерции равен J.
Л
Начальная угловая скорость о>0^> —.
,, А , / А\ -г
Ответ: a> = -g--j-f0—-g\e J.
Задача 885. На тормозящийся вал действуют постоянный мо-
момент Mt сил трения подшипников и момент сил сопротивления М8,
вызываемый электромагнитной муфтой и изменяющийся по закону
где МТ — наибольшее значение момента сопротивления,
к — постоянная, зависящая от параметров муфты.
Определить угловую скорость вала как функцию времени, если
его начальная угловая скорость равна <о0, а момент инерции равен </.
Ответ, со = <«„ - ^-i^ops-j t _ '^ (Г« _ 1).
Задача 886. Для уменьшения ошибок в показаниях гироско-
гироскопических приборов, вызванных движением судна, приборы кон-
конструируют так, чтобы период собственных колебаний был равен
периоду колебаний математического маятника, имеющего длину,
равную радиусу Земли (# = 6400 км). Определить этот период.
Ответ: хя»84 мин
Задача 887. Однородный диск радиусом R подвешен так, что
может совершать колебания в вертикальной плоскости вокруг
горизонтальной оси, проходящей через точку на его окружности.
Определить период малых колебаний диска.
Ответ: х = 2тс у £.
Задача 888 (рис. 470). В сейсмографе однородный стержень
массой т удерживается в горизонтальном положении при помощи
вертикальной пружины с жесткостью с,
прикрепленной в точке М к стержню
на расстоянии 0М = а. Определить пе-
период собственных колебаний стержня
в вертикальной плоскости, если длина
О $м его равна /.
IP" ~ ^— ' -* Ответ: т = 2* - Лр±-.
Рис. 470 Задача 889. Однородный стержень
длиной 2/ может колебаться в верти-
вертикальной плоскости около одной из своих точек, как физический
маятник. Найти, где должна быть расположена точка подвеса,
чтобы период колебаний был наименьшим.
Ответ: расстояние от точки подвеса до середины стержня
равно -—.
352

.Задача 890 (рис. 471). Однородный диск массой М может
вращаться вокруг перпендикулярной к нему горизонтальной оси О.
К точке А диска прикреплена пружина с жесткостью с, как ука-
Рис. 471
Рис. 472
зано на рисунке. Определить период колебаний диска, если при
горизонтальном положении радиуса ОА пружина ненапряжена.
= 2тс 1/ ^.
Задача 891 (рис. 472). Тонкий стержень, изогнутый по дуге
окружности радиусом R, подвешен на нитях так, что он может
колебаться в своей плоскости вокруг горизонтальной оси, совпа-
совпадающей с центром окружности. Определить период малых коле-
колебаний стержня, если Z. ЛОВ = 2а.
Ответ: Х = 2/Ж
Задача 892 (рис. 473). В горизонтальном сейсмографе ось АВ
составляет весьма малый угол а с вертикалью. Центр тяжести
груза М отстоит от оси вращения
на расстоянии /. Определить пе-
период малых собственных колебаний
сейсмографа. Массами стержней
пренебречь.
Ответ: г = 2
Задача 893 (рис. 474). Тонкая
однородная пластина A BCD мас-
массой 1 кг может колебаться вокруг
оси АВ, составляющей с верти-
вертикалью угол а= arcsin 0,2. Каждый
элемент площади dS при этом испытывает силу сопротивления
среды, равную kvdS, где v — скорость, a k = 200 «• сек/м*. Найти
условный период затухающих колебаний пластины при малых
начальных возмущениях, если ЛБ = Ь = 20 см, AD = a— 10 см.
Ответ: х = 1,25 сек.
Рис. 473
12 Н. А Бражниченко и др,
353

Задача 894 (рис. 475). Прибор Рэлея для измерения звукового
давления состоит из тонкого диска радиусом а и массой т, под-
подвешенного на кварцевой нити При воздействии на диск звуковой
волны появляется момент
(p — плотность воздуха, и = и^ sin ш/ — скорость волны), вызываю-
вызывающий крутильные колебания нити. Определить амплитуду вынуж-
вынужденных колебаний диска, считая упругий коэффициент нити при кру-
кручении равным с, а момент сил трения равным ?$ (а — постоянная).
Ответ: А =
где
2 4с , 2а , _8ра«|
н ^= —5л л =^ —^~ \ о -^= — -
Задача 895 (рис. 476). Груз М массой тх прикреплен к тросу,
намотанному на сплошной цилиндрический барабан, который мо-
Рис 475
Рис. 476
Рис 477
жет вращаться вокруг горизонтальной оси. Определить ускорение
груза при его падении, а также суммарное давление барабана
на подшипники, если масса барабана равна т2. Массой троса
и трением пренебречь.
Ответ- w — 2fftlg • N~ Smim* + mt p
итвет. w— 2т1 + щ, n— 2m, + ms ^1
Задача 896 (рис. 477). Четыре одинаковых точечных груза
массой mt каждый вращаются на крестовине в вертикальной пло-
плоскости. Расстояния от грузов до оси вращения одинаковы
и равны /. Крестовина приводится во вращение при помощи
груза массой т2, прикрепленного к нити, намотанной на барабан.
Определить натяжение Т троса, если радиус барабана, на кото-
который он намотан, равен г. Массой барабана, крестовины и троса,
а также трением пренебречь.
354

Задача 897 (рис 478). Груз М массой mt поднимается при
помощи ворота. Масса барабана ворота равна т2, радиус бара-
барабана R, длина рукоятки О А = I. Счи-
Считая силу G, приложенную перпендику-
перпендикулярно к рукоятке барабана, постоян-
постоянной по величине, определить закон дви-
движения груза М и натяжение Т троса,
если в начальный момент скорость гру-
груза была равна нулю. Барабан считать
сплошным однородным цилиндром. Мас-
Массой рукоятки пренебречь.
Ответ: s = f
(
\M
Рис 478
Задача 898 (рис 479). На однородный сплошной цилиндр ра-
радиусом г и массой тъ который может вращаться вокруг непод-
неподвижной горизонтальной оси, намотан в один ряд
трос длиной / и массой тг. Определить угловое
ускорение цилиндра в зависимости от длины све-
свешивающейся части троса х. Трением в подшип-
подшипниках и толщиной троса пренебречь. Считать, что
центр тяжести намотанной части совпадает с цен-
центром барабана.
Ответ: е = — 2^— .
Рас 479 Задача 899. Используя условия предыдущей
задачи, определить угловое ускорение цилиндра
при условии, что к концу троса подвешен груз массой /п3-
Задача 900. Тонкий однородный диск массой 20 кг и радиу-
радиусом 0,8 м вращается в горизонтальной плоскости вокруг закреп-
закрепленной^ точки О, отстоящей от его центра на расстоянии 0,4 м.
Определить величину горизонтальной составляющей реакции в за-
закрепленной точке через 1 сек после начала движения, если
к диску приложен вращающий момент, равный 30 н-м. В на-
начальный момент диск находился в покое.
Указание. После определения е и <в использовать теорему
о движении центра инерции.
Ответ: R — 82 н.
Задача 901 (рис. 480). Однородный сплошной цилиндр радиу-
радиусом г и массой т может свободно вращаться вокруг неподвиж-
неподвижной оси АВ. На цилиндр намотан нерастяжимый трос, к концам
которого прикреплены грузы Мг и М$. Определить закон изме-
изменения угловой скорости и угла поворота цилиндра как функции
12»
355

от t, если в начальный момент цилиндр был в покое. Масса
груза Mi равна ти масса груза Л12 равна та. Трением в под-
подшипниках и массой троса пренебречь.
*^=з Принять тч~^>тх.
s*. 2 (тп — т.) gt
Ответ: <« = ' ~ —У, •
Bт1-\-2та-\-т) г'
" Bт, -|- 2т2 -\-т) г '
Задача 902. Цилиндр радиусом R и
массой М, имеющий радиус инерции р,
Рис. 480 приводится во вращение вокруг гори-
горизонтальной оси при помощи навитого
на него троса, на конце которого прикреплен груз массой т.
Вращению цилиндра препятствует спиральная пружина, для за-
закручивания которой на 1 радиан необходимо приложить момент,
равный с. Определить закон вращения цилиндра и наибольший
угол его поворота, если в начальный момент система была в по-
покое, а пружина не деформирована
Ответ1 ср —-^^A—coskt); cpmax =
где
k =
Задача 903 (рис. 481). Однородная тяжелая
прямоугольная пластина шириной 26 и высо-
высотой а вращается без трения вокруг вертикаль-
вертикальной оси АВ На этой оси закреплен шкив ра-
радиусом г с намотанной на него нитью, которая
переброшена через идеальный блок D и несет
на конце груз Е. Считая, что каждый элемент
пластины dS испытывает перпендикулярную рт 481
к нему силу сопротивления R = kvdS (k — коэф-
коэффициент пропорциональности, v — скорость элемента), определить
массу т груза Е, при которой предельная угловая скорость пла-
пластины равна ш0. Массой шкива и блока пренебречь.
Ответ: т = —~—.
Задача 904. В задаче 903 определить закон изменения угло-
угловой скорости с течением времени, если в начальный момент ско-
скорость груза Е была гравна нулю, а масса пластины равна М.
Ответ: ш = ш0 A — е'щ), где р =
Задача 905. Снаряд, имеющий осевой момент инерции, рав-
равный 15 кг-м*, выходит из ствола орудия с угловой скоро-
скоростью 200 рад/сек. Считая, что снаряд движется в канале ствола
равноускоренно в течение 0,02 сек, найти внешний момент М,
356

действующий на снаряд Определить разность давлений на колеса
орудия, если расстояние между ними 1,5 м, а ствол составляет
с горизонтом угол 60°.
Ответ УМ = 150 кн-м; Nx — iV3 = 100 кн.
Задача 906 (рис. 482). Полому кольцу радиусом R сообщена
некоторая угловая скорость вокруг вертикального диаметра.
Внутри кольца из наивысшей точки движется шарик М мас-
массой т. Найти отношение наибольшей угловой скорости кольца
к наименьшей, если момент инерции кольца относительно оси
вращения равен /.
Ответ: ^« = 1 +^£.
Задача 907 (рис. 483). Однородный горизонтальный диск ра-
радиусом г и массой mt может вращаться вокруг неподвижной
Рис 483
вертикальной оси АВ, проходящей через его центр О. По ободу
диска движется материальная точка М массой т3 по закону
s = МаМ = -у-. Определить угловое ускорение е диска, если в на-
начальный момент диск был неподвижен. Трением пренебречь.
п 2ат,
Ответ: е = -~—i ■, ■.
Задача 908 (рис. 484). Однородный диск массой mt и ра-
радиусом г вращается вокруг оси АВ с угловой скоростью ш0.
В некоторый момент от центра диска по его радиусу начинает
двигаться материальная точка М массой т2 с постоянной ско-
скоростью «. Определить угловую скорость w диска по истечении
времени t после выхода точки из центра, а гакже в момент tu
когда точка дойдет до конца диска. Трением пренебречь.
Ответ: w= ... .. ,' о"..^й ; <°i=-
Задача 909. Однородный диск радиусом г и массой mt может
свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через
его центр. На диске в точке, отстоящей от оси вращения на рас-
расстоянии h = -jr, находится человек массой та. Определить
357

угол ер поворота диска при перемещении человека вдоль кон-
концентрической окружности радиусом h на половину ее длины.
Трением пренебречь.
Ответ: 9 = J
т
Задача 910 (рис. 485). По горизонтально расположенной пло-
плоской пластинке, которая может вращаться вокруг вертикальной
оси, движется по окружности с постоянной по величине скоростью оо
материальная точка М с массой т. Центр этой окружности О,
расположен на расстоянии / от оси вращения, радиус ее равен г.
Рис. 485
Рис 486
Найти зависимость угловой скорости пластинки ш от угла ср,
определяющего положение точки М на плоскости, если момент
инерции пластинки равен J, а ее угловая скорость в момент,
когда точка дальше всего отстоит от оси вращения, равна нулю.
Трением в осях и сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: <о= ^У
J-j- т (/2 -(- г2
Задача 911 (рис. 486). Деревянная доска длиной / и массой т
может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси 00^.
В середине доски застревает пуля, летевшая перпендикулярно
к доске со скоростью vQ. Определить угловую скорость, которую
приобретает доска в момент попадания пули, если масса пули
равна Ш\.
Ответ: »=,
4-3m,)
§ 3. Теорема об изменении кинетической энергии
Кинетическую энергию материальной системы определяют
формулой
A2.17)
358

Для систем, совершающих сложное движение, кинетическую
энергию определяют по формуле Кёнига:
Т = -^- + Т, A2.18)
где Т — кинетическая энергия системы в ее относительном дви-
движении по отношению к поступательно движущейся системе коор-
координат с началом в центре инерции.
Для твердого тела, движущегося поступательно,
Mv%
Т = -^, A2.19)
где М — масса тела;
vc — скорость центра инерции (или любой друюй точки).
Для твердого тела, вращающегося вокруг оси,
T = ^f, A2.20)
где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения,
(о — угловая скорость.
Для общего случая движения твердого тела (в том числе
и для плоского движения)
где Jc — момент инерции тела относительно мгновенной оси, про-
проходящей через центр инерции (для плоского движения
эта ось перпендикулярна плоскости движения);
ш — мгновенная угловая скорость.
Элементарную работу силы, приложенной к материальной
точке, на бесконечно малом перемещении определяют формулой
2dz. A2.22)
Работа силы на конечном перемещении материальной точки
z). A2.23)
/ L L
Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути s
A=Fscos(F, i). A2.24)
Работа сил тяжести любой системы
A»(P) = P(zCi-zc), A2.25)
где Р — вес всей системы;
гс и zc — аппликаты центра инерции в начальном и конечном
положениях системы.
359

Работа упругой силы Fx =— сх при прямолинейном переме-
перемещении точки
Аи— у (•"■i — XD-
Элементарную работу сил, приложенных к твердому телу, пе-
перемещающемуся произвольно, определяют по формуле
bA = [R-D0-\-Mow]dt, A2.26)
где R и Мо — главный вектор и главный момент приложенных
к телу сил;
О — произвольная точка тела.
Работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся
вокруг оси,
bA=Mzdr, Al9 = \M,d<?, A2.27)
VI
где Мг — главный момент всех сил относительно оси вращения Oz.
Сумма работ всех внутренних сил в твердом теле равна нулю.
Мощность силы, приложенной к точке,
£ zz. A2.28)
Мощность сил, приложенных к твердому телу,
M = R-vo-\- М0-п. A2.29)
Для сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг
неподвижной оси,
N = M,w. A2.30)
В общем случае работа силы на криволинейном участке пути
зависит от формы кривой Ь, по которой перемещается точка.
Если силы, действующие на точку, таковы, что
&Fx_dFy Mje^dEi dFv —dF*
ду дх~' дг дх ' дг ду '
то работа не зависит от формы траектории точки, и поле сил
называют потенциальным. В этом случае
U = — dU\ An = Ui~ П2, A2.31)
где П (х, у, г) — потенциальная энергия точки;
nt и П2 — значения П(л, у, г) в начальном и конечном
положениях точки.
Потенциальная энергия поля силы тяжести
n = Pzc + const. A2.32)
Если выбрана нулевая поверхность уровня, то получим
П = ±ЯА, A2.33)
360

где h — высота центра тяжести относительно нулевой поверхности,
причем знак «плюс» имеет место в случае, когда центр тяжести
расположен выше этой поверхности.
Потенциальную энергию пружины (линейной и спиральной)
выражают формулой
П = -2-, A2.34)
где для линейной пружины:
с —жесткость, равная величине силы, вызывающей изменение
длины пружины на единицу длины;
Д — изменение длины пружины по сравнению с ее недефор-
мированной длиной;
для спиральной пружины:
с —жесткость, равная величине момента силы, вызывающего
закручивание пружины на 1 радиан;
Д — угол закручивания от недеформированного состояния.
Приращение кинетической энергии системы при перемещении
ее из одного положения в другое равно сумме работ, произведенных
на этом перемещении всеми силами, приложенными к системе, т. е.
Тг-Т, = Аа. A2.35)
Если система неизменяемая, то
7, —7\ = A%\ A2.36)
где А[ъ — сумма работ внешних сил.
Производная от кинетической энергии системы равна сумме
мощностей всех сил, действующих на эту систему, т. е.
% = N. A2.37)
Если система движется в потенциальном силовом поле, то
полная механическая энергия, равная сумме кинетической и по-
потенциальной энергий, остается
постоянной, т. е.
A2.38)
Задача 912 (рис. 487). Груз М
массой т помещен на неглад-
негладкую наклонную плоскость,
образующую с горизонтом угол а,
и прикреплен к концу пружины :?»-
с жесткостью с, другой конец Рис 487
которой закреплен неподвижно.
Определить максимальное растяжение s пружины, если в началь-
начальный момент пружина была недеформирована, а груз отпущен
без начальной скорости. Коэффициент трения тела о плоскость
равен f, причем f<^tga.
361

Решение. Согласно A2.35), имеем
mv\
На груз Af действует вес Р, упругая сила F, нормальная реак-
реакция плоскости N и сила трения F^p, направленная как F.
Так как
т. е _ __
Здесь
FTp=^/Pcosa, F — cx, P = mg.
Далее найдем
Ап (Р) = Ps sin a; Ап (FTV) = — FTps = — fPs cos 7;
I = — \cxdx = -
Следовательно,
откуда
cs*
Ps sin a — Psf cos a =- = 0,
2mg { sin a —/cos a)
с
Задача 913 (рис. 488). Редуктор скоростей состоит из трех
зубчатых колес /, // и III радиусами rl — ri — r, r3 — 3r Пер-
Первое колесо насажено на ведущий вал, второе свободно насажено
на раму, связанную с ведомым валом В, третье неподвижно.
Принимая колеса I n II за однородные
сплошные диски массами т1 и пц соответ-
соответственно, определить зависимость между угло-
угловой скоростью ведомого вала и углом по-
поворота ведущего вала, если к ведущему
валу приложен момент МА, а к ведо-
ведомому— момент сопротивления Мв В началь-
начальный момент система находилась в покое,
а центр колеса // занимал верхнее поло-
положение Трением и массой рамы пренебречь.
Решение. Воспользуемся теоремой об из-
изменении кинетической энергии системы
A2 35), имеем
'i—М — Лп {g)
Так как в начальный момент система была в покое, то 7х = 0.
Найдем Та
^"а = Уу Ч~ ^//>
Рис 488
362

где Т, и Тп — кинетические энергии колес / и //. Согласно
A2.20) и A2 21)
гп ЛиГ ^'мд
1'~ 2 ~~Т''
_
и— 2 ~1~ 2 "
Установим зависимость между угловыми скоростями. Для
точки D имеем
отсюда
Найдем скорость точки С и угловую скорость вала В:
отсюда
и>л = <»1 = 4шв; (/г)
Поскольку колеса принимаются за однородные диски, то
Г "'1' 1 ШУ . Г "'gf 3 !llV
Таким образом,
Вычислим работу. Так как система состоит из твердых тел
и трение отсутствует, то
Аи = Аы (МА) 4- Аа (Мя) + Л„ (Р,)-
Имеем
Ли (Р^ = m%gh — 2m%gr A — cos <?B).
Найдем зависимость между <рд и <рЛ. Из (/г) получим
<Рл = 4<Рв>
таким образом,
^и == МА?А - Мв^ 4- 2magr(i - cos Ц).
363

Пользуясь (g), найдем
DМ —М )и .+8m3gT ( 1 —cos ''
{\тх + Зта) г3ш^ = —
откуда
=27|/
- cos ^
4ml -J- Зт2
Задача 914. Тело, принимаемое за материальную точку, дви-
движется прямолинейно по закону x = kif, где kt — постоянная ве-
величина. Сила сопротивления среды пропорциональна квадрату
скорости тела, причем коэффициент пропорциональности равен &3.
Найти работу силы сопротивления при перемещении точки из
положения х — 0 в положение х = а.
л 27 ,, , 8 f~a
Ответ: А — — -=- a*#,&» 1/ -г-.
7 у kt
Задача 915. Материальная точка подвешена на невесомом
стержне длиной /. Какую начальную скорость следует сообщить
точке, чтобы при прохождении ее через верхнее вертикальное
положение стержень не испытывал бы усилий растяжения или
сжатия?
Ответ: v = V^5gl.
Задача 916. Шлюпка вместе с гребцами имеет массу 800 кг.
Считая, что каждый гребец прикладывает к рукоятке весла
силу 100 н, перемещая ее при этом на 1 м, найти, какую ско-
скорость сообщают шлюпке восемь гребцов после пяти размахов.
Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ: и —3,16 м/сек.
Задача 917 (рис. 489). Тело скользит по наклонной плоско-
плоскости / без начальной скорости и, пройдя путь st до точки С, под-
, - нимается по наклонной плоскости //.
Считая, что в точке С вследствие не-
*.- большого закругления не происходит
2_ потери скорости, определить, какое
' расстояние s3 по плоскости // пройдет
Рис. 489 тело до остановки, если углы наклона
плоскостей соответственно равны а4
и оц, а углы трения тела о плоскости равны tpi и Та» причем
Ответ: Sv = i
Задача 918 (рис. 490). В трубке, изогнутой в виде окружности
радиусом R и расположенной в вертикальной плоскости, помещен
гладкий весомый шарик. Найти скорость шарика в зависимости
от угла ср, образованного нижним вертикальным радиусом и ра-
364

диусом, проведенным в точку, соответствующую положению ша-
шарика в данный момент времени, если в начальный момент шарик
был отклонен на уюл <?0 и отпущен без начальной скорости.
Размерами шарика пренебречь.
Ответ: v = Y2gR (cos cp — cos <р0).
Задача 919 (рис. 491). Точка М может скользить без трения
но вертикально расположенной параболической направляющей,
УЖ\
•2x0 0 x0 x
Рис. 490 Рис. 491
уравнение которой у = ~^, В некоторый момент точку помещают
в положение А (хА — — 2хй) и отпускают без начальной скорости.
Дойдя до конца направляющей В (хв = х0), точка далее летит
свободно под действием силы тяжести. Определить наибольшую
высоту t/max, на которую поднимается точка.
Ответ: Цтах — ^т
Задача 920. Судно должно спускаться со стапеля на воду по
наклонным спусковым путям длиной s. Определить угол а наклона
путей к горизонту так, чтобы скорость судна в конце спуска не
превосходила v, если угол трения <р = const.
Ответ:
Решение возможно, если
V2 COS if
Задача 921. Телу, находящемуся на наклонной плоскости,
сообщена начальная скорость б0, направленная вдоль плоскости
вверх. Определить, с какой скоростью тело вернется в исходное
положение, если угол трения скольжения © = const, а угол на-
наклона плоскости а, причем а^>у.
Ответ: v = v,\f^^{. I J^
f sm(a-|— <f) Ялллл/wwviI N ,||
Задача 922 (рис. 492). Тело М массой т %?*.;тшy^S^wv,
лежит на шероховатой горизонтальной плос-
плоскости (коэффициент трения скольжения ра- Рис 492
вен f) и прикреплено к недефор миров энной
пружине с жесткостью с. Затем тело отводят вправо, рэстяги-
вэя пружину нэ длину I, и отпускэют без нэчальной скорости.
365

Какова должна быть величина коэффициента жесткости с, чтобы
тело, двигаясь сначала влево, затем изменило направление своего
движения?
Ответ: с ^> —г— ■
Задача 923 (рис. 493). К ползуну М, который может переме-
перемещаться в горизонтальных направляющих, прикреплена пружина,
имеющая естественную (ненапряженную) длину ta = AB. В неко-
некоторый момент ползун помещают в положение Мо так, что пру-
пружина при этом имеет длину 210, и отпускают без начальной ско-
скорости. Определить, при каком коэффициенте трения ползун оста-
остановится в точке В, если пружина такова, что под действием силы,
равной весу ползуна, она имеет статическое
удлинение, равное /0.
Ответ: / = 0,5.
Задача 924 (рис. 494). Груз М массой
т может свободно скользить по стержню
АВ, жесткость которого на растяжение
А 8
Я/чллллллллл/
-I
О ' с0
Рис. 493
У///////////////////
Рис. 494
равна Cj. Конец стержня В упирается в пружину жесткости ct.
Пренебрегая массой стержня и пружины, определить наибольшее
удлинение § стержня при падении груза без начальной скорости
с высоты h, если в начальный момент пружина и стержень
находятся в педеформированном состоянии.
Задача 925. Груз падает с высоты h на горизонтальную упру-
упругую балку и остается в дальнейшем на ней. При этом наиболь-
наибольший прогиб балки оказывается равным s. Пренебрегая сопротив-
м лением и массой балки, определить пе-
период собственных колебаний груза на
балке, если упругая реакция балки
пропорциональна ее прогибу.
„ 2tcs
Ответ: т = -^г
Задача 926 (рис. 495). Ползун А
Рис. 495 массой т может двигаться без трения
по горизонтальной направляющей A0D
под действием пружины жесткостью с, закрепленной в точке М.
Определить, с какой скоростью ползун придет в точку D, если
366

в начальный момент он не имел скорости и находился в положе-
положении Ао, причем AaD=a. Принять, что, когда ползун находится
в положении D, пружина не деформирована и ее длина равна /
Ответ: v = (у /"
Задача 927. К концу недеформированной упругой нити, кото-
которая может выдержать максимальное натяжение Q, подвешивается
груз массой т и отпускается без начальной скорости. Найти,
при каком значении т нить оборвется и какова будет скорость
груза в момент разрыва. Коэффициент жесткости нити равен с.
Ответ: mj>Z; v= I/ v v *——.
Задача 928. Определить, какую скорость необходимо сообщить
ракете на высоте Н над Землей, чтобы она удалилась в беско-
бесконечность. Сопротивлением среды и притяжением других космиче-
космических тел пренебречь. Радиус Земли равен /?.
Ответ: v=y ,-Д „- (вторая космическая скорость).
При Н = 0 u = |/2g/?«rf 11,16 км/сек.
Задача 929. На материальную точку массой т действует сила
отталкивания от неподвижного центра О, обратно пропорциональ-
пропорциональная кубу расстояния между ними (коэффициент пропорциональ-
пропорциональности равен /г). Найти наименьшее расстояние между точкой и
центрам, если точке, помещенной от центра О на расстоянии х0,
сообщена начальная скорость у0) направленная к этому центру.
Ответ: хтш— ■
V + ll
Задача 930 (рис. 496). В установке для получения высоких
давлений поршень сжимает газ в замкнутом цилиндрическом объеме.
На поршень действует в течение всего процесса постоянное внешнее
давление ру. Какова должна быть величина рь чтобы газ был сжат
Рас. 496
г — 1
—*-
' р, =1
^ 1 ^
7
I
ft'
■*~~ hi~*
Рис. 497
до максимального давления рШах? Принять, что давление газа об-
обратно пропорционально его объему (т. е. процесс сжатия является
изотермическим). Начальная скорость поршня равна нулю, началь-
начальное давление в цилиндре р0. Трением и утечкой газа пренебречь.
Ответ: pt =
РоРтах л Pinta
Рты ~i
367

Задача 931 (рис. 497). В условиях предыдущей задачи при-
принять, что внешнее давление равно рх только в начале движения
(когда начинает двигаться поршень), в дальнейшем оно убывает
из-за расширения занимаемого газом объема /. Найти необходи-
необходимую начальную величину рх для достижения требуемого рШах в
объеме //. Давления считать обратно пропорциональными объемам.
При давлениях, равных р4 и р0, длины занятых газом объемов
равны соответственно 1^ и /м.
In ^
Ответ: pi =
где
Ь — ~2*
— / •
Задача 932. В условиях задачи 930 сжатие газа (вследствие
быстроты протекания процесса) происходит не изотермически, а
адиабатически. Поэтому зависимость давления р от объема газа V
имеет вид
где / — показатель адиабаты;
ро — начальное давление;
Уо — начальный объем.
Найти искомую величину рх при следующих данных:
р„=10' н1м\ pmtx=W* н\м\ х=1,4.
Ответ: pi = 4SsL1 • ^^ ^ = 3,47-106 н/м\
I- -Во
\Рт*х
Задача 933. (рис. 498). Точка М массой т удерживается в
вертикальной плоскости при помощи невесомого стержня AM и
троса MB. Определить величину усилия N в стержне в момент,
когда трос будет оборван, и в момент прохождения стержнем
вертикального положения. В начальный момент стержень обра-
образует с вертикалью угол а.
Ответ: Nl = mg cos a; N2 = mgC-\-2cosa).
Задача 934. Сплошной однородный шар радиусом R и плот-
плотностью ft помещен в жидкость, плотность которой равна 7 (y^>Ti).
так, что его центр в начальный момент находится на глубине
И (H^>R), и затем отпущен без начальной скорости. Определить,
при каком условии шар полностью поднимется над поверхностью
368

жидкости и какова будет при этом наибольшая высота подъема h
его центра. Силой сопротивления жидкости пренебречь.
Ответ: h>-R при -!• 5=1 + -; А = я(-7- — lj
Задача 935. Решить предыдущую задачу, считая шар пусто-
пустотелым и тонкостенным с толщиной стенки 8. При решении пре-
пренебречь членами, содержащими &а и В3.
Ответ: А^ ^^Й^
Задача 936. Система, изображенная на рис. 499, находится
в равновесии при x = h. Определить изменение потенциальной
Рис. 498
Рас. 499
энергии системы при отклонении груза в положение, при кото-
котором х = 0. Груз М и блок А имеют одинаковые массы, жесткость
пружины равна с.
Ответ: ДП = ~-
о
Задача 937. Пята вертикального вала радиусом г и массой т
упирается в плоский подпятник. Принимая, что вес вала распре-
распределяется равномерно на всю поверхность опоры, определить ра-
работу сил трения при одном обороте вала, если коэффициент
трения вала об опору равен /.
Ответ: А = —~- fnzmg.
Задача 938. В троллейбусе с инерционным двигателем на каждой
промежуточной стоянке маховик разгоняется в течение трех минут
от 1500 до 3000 об/мин, после чего, вращаясь по инерции, он при-
приводит в движение троллейбус. Масса маховика 1,5 т, диаметр 1,6 м.
Считая маховик однородным диском, найти среднюю мощность
двигателя, разгоняющего маховик. Сопротивлением пренебречь.
Ответ: Ncp = 98,7 кет.
Задача 939. Принимая в условиях предыдущей задачи, что
после полного разгона маховика троллейбус может двигаться
6 км, определить среднюю величину силы сопротивления.
Ответ: F —3,92 кн.
869

Задача 940. В некоторых проектах «центробежного» пулемета
предполагалось сообщить пуле, расположенной на ободе быстро
вращающегося диска, скорость 900 м/сек. Считая диск однородным,
имеющим массу 20 кг и радиус 0,5 м, найти, какова должна
быть средняя мощность двигателя, чтобы разогнать диск из со-
состояния покоя в течение одной минуты до указанной скорости.
Трением пренебречь.
Ответ: N^ = 67,7 кет.
Задача 941. Искусственная межпланетная станция спроекти-
спроектирована в виде диска диаметром 40 м, вращающегося для созда-
создания искусственной тяжести с угловой скоростью ш = 0,5 рад'сек.
Считая, что масса М станции распределена по ободу диска,
найти среднюю мощность двигателя, который должен сооб-
сообщить станции соответствующее вращение в течение 1 час, если
М 0 0 т.
Ответ: iVcp = 139 кет.
Задача 942. Однородный цилиндр, получив начальную ско-
скорость центра, равную и0, катится без скольжения вверх по на-
наклонной плоскости. Пренебрегая трением качения и сопротивле-
сопротивлением воздуха, определить, на какую высоту поднимается центр
цилиндра.
Ответ: А = ^.
Задача 943. На наклонной плоскости помещены цилиндр (таким
образом, что его ось перпендикулярна линиям наибольшего ската)
и шар, массы которых одинаковы. Центру шара и оси цилиндра
сообщены одинаковые скорости, направленные вверх по наклон-
наклонной плоскости. Сравнить расстояния, пройденные ими до оста-
остановки, если качение тел происходит без скольжения. Тела счи-
считать однородными, трением качения пренебречь.
Ответ: ^-1 = -Гг.
Задача 944 (рис. 500). Два тяжелых однородных стержня дли-
длиной 1Х и /g, имеющие одинаковую плотность и одинаковое попе-
речное сечение, жестко связаны между
собой под прямым углом. Эти стержни
могут вращаться в вертикальной плос-
плоскости вокруг перпендикулярной к ним
горизонтальной оси О, проходящей
через точку их соединения. В началь-
начальный момент больший стержень распо-
Рис. 500 ложен горизонтально и отпущен без
начальной скорости. Найти скорость
конца меньшего стержня в момент, когда он займет горизонталь-
горизонтальное положение. Трением пренебречь.
Ответ: у2 = /2
370

Задача 945 (рис. 501). Прямоугольная дверь шириной а и
массой М закрывается при помощи груза массой т, веревки и
идеального блока Определить угловую ско-
скорость двери в момент закрытия, если в мо-
момент, когда она была открыта на угол
<Р = 6О°, груз был отпущен без начальной
скорости. Принять АВ = АС, трением пре-
пренебречь.
Ответ: а>= у ^+Жп"
Задача 946 (рис. 502). По рельсам, обра-
образующим в вертикальной плоскости петлю
в виде кругового кольца радиусом R, скаты-
скатывается вагонетка массой М. Определить, как
изменится начальная высота h центра тяже-
тяжести вагонетки, необходимая для того, чтобы
она обошла всю петлю, не отделяясь от нее,
в двух случаях: если учитывать и если не учитывать вращение
колес. Масса каждого из четырех колес равна т. Колеса считать
однородными дисками, сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: при учете вращения колес начальная высота должна
быть больше на величину
Rm
~М \-Лт ш
Задача 947 (рис 503) Колесо / массой mt может катиться
без скольжения в вертикальной плоскости внутри неподвижной
шестерни // и приводится в движение кривошипом АВ, длиной /
Л
Рис 501
Рис. 502
Рис. 503
и массой т. В начальный момент кривошип составлял угол а = 60°
с вертикалью и был отпущен без начальной скорости. Определить
его угловую скорость в момент прохождения через равновесное
положение. Кривошип считать однородным стержнем, колесо / —
однородным диском. Трением пренебречь.
Ответ: ш=1 , Пт ,
371

Задача 948. Тело, имеющее форму цилиндра радиусом г, имеет
массу М и момент инерции относительно оси цилиндра J. Центр
тяжести цилиндра смещен на величину а от его оси. Цилиндр
положен на горизонтальную плоскость так, что его центр тяжести
занимает наивысшее положение. Вследствие небольшого толчка
цилиндр катится по плоскости Сез скольжения. Определить ско-
скорость оси цилиндра в момент, когда его центр тяжести занимает
наинизшее положение.
Ответ
: v = 2r ]/"
Н
] +
Задача 949. На однородный сплошной цилиндр массой т и
радиусом г, который может вращаться вокруг неподвижной гори-
горизонтальной оси, намотан в один ряд трос длиной L и массой М.
В начальный момент цилиндр находится в покое, а длина свеши-
свешивающейся части троса равна 10. Определить угловую скорость
цилиндра в момент, когда конец троса опустится на длину 2irr.
Трением пренебречь.
Задача 950. Решить задачу 949, считая, что свешивающийся
конец троса опустился на длину, равную яг, и что в начальный
момент длина намотанной части троса была кратна длине окруж-
окружности цилиндра. Принять /0 = 2г. '
/~i -\ /~2gM (я8 -I- 4n — 4)
Ответ: а> = у —1{т^Ш) ■
Задача 951. В кривошипно-шатунном механизме к кривошипу
длиной г приложен постоянный вращающий момент М. Определить,
какую угловую скорость приобретет кривошип после одного обо-
оборота, если в начальный момент система находилась в покое,
а кривошип занимал горизонтальное положение. Кривошип и
шатун считать однородными стержнями с массами mt и /щ соот-
соответственно, трением и массой ползуна пренебречь.
Ответ: ш = — п
Задача 952. Решить задачу 951 при условии, что в начальный
момент кривошип занимал вертикальное положение.
2 -./
= — 1/
3 ( 50
Ответ: <»
Задача 953 (рис. 504). На кривошип О А кривошишю-кулисного
механизма действует постоянный вращающий момент М. В началь-
начальный момент механизм находился в покое, причем /_ АОВ = <?0.
Какую угловую скорость приобретет кривошип после одного
оборота, если его длина г, момент инерции относительно оси вра-
вращения J, а масса кулисы т. Принять, что сила трения в направ-
направляющих постоянна и равна F, массой камня А пренебречь.
Ответ: ы = 2^~^ЦЩ~-.
372

Задача 954 (рис. 505). Шатунно-кривошипный механизм рас-
расположен в горизонтальной плоскости и состоит из кривошипа ОА
массой тх и шатуна АВ массой тъ принимаемых за однородные
9
Рис. 504
Рис. 505
стержни. В момент, когда / BOA = 90°, точка А имеет скорость и.
Определить ее скорость в момент, когда ползун занимает крайнее
правое положение, если к кривошипу приложен постоянный
момент М. Трением и массой ползуна пренебречь.
: оА=]/
ЫМ 4- и2
*
Рис. 506
Ответ:
Задача 955 (рис. 506). Шатунно-кривошипный механизм рас-
расположен в вертикальной плоскости и состоит из кривошипа ОА
длиной г и шатуна А В длиной /, кото-
которые можно принять за однородные
стержни. В момент, когда кривошип
занимает верхнее вертикальное положе-
положение, точке А сообщают ничтожно малую
скорость вправо. Определить скорость
этой точки в тот момент, когда криво-
кривошип займет горизонтальное положение,
если на ползун В действует постоянная
сила торможения F, равная по величине 1 /4 суммы весов криво-
кривошипа и шатуна. Массой ползуна и трением пренебречь.
„ а 3 (Vl2 — Г2 + Г — I)
Ответ: va = —^——^ Не-
Незадача 956. Шатунно-кривошипный механизм расположен
в вертикальной плоскости. Определить, какую угловую скорость щ
(против движения часовой стрелки) следует сообщить кривошипу
при его горизонтальном правом положении для того, чтобы он
дошел до вертикального положения. Шатун и кривошип считать
однородными стержнями; массой ползуна и трением пренебречь.
Длина кривошипа равна г.
Ответ: шв;
УУ-
Задача 957. Сплошной однородный шар радиусом г и массой т
катится без скольжения по наклонной плоскости, образующей
с горизонтом угол а. Его центр, пройдя путь /, приобретает
373

скорость v Определить момент сил трения качения, если шар
в начальный момент был в покое.
Ответ:
Задача
массой М
M = ™(g/sina — 0,7u2).
958 (рис. 507). На однородный сплошной цилиндр
навит трос, к концу которого подвешен груз массой т.
Груз соединен с неподвижным основанием пружи-
пружиной с жесткостью с. Поворачивая цилиндр, груз
поднимают до положения, при котором пружина
растянута на длину s, и отпускают без начальной
скорости. Определить скорость груза в том его
положении, при котором упругое усилие в пру-
пружине отсутствует. Массой троса пренебречь.
Рис 507
Задача 959 (рис. 508). Однородный стержень
АВ длиной 2а может вращаться без трения вокруг
горизонтальной оси А. К стержню прикреплена
спиральная пружина, жесткость которой подобра-
подобрана так, что стержень может находиться в равновесии в гори-
горизонтальном положении; при вертикальном же положении стержня
пружина не напряжена. Определить, с какой угловой скоростью
! !о0
Рис 508
Рис. 509
стержень пройдет через горизонтальное положение, если в началь-
начальном вертикальном положении ему была сообщена ничтожно малая
угловая скорость.
Ответ: ш = 0,567 ]/ |".
Задача 960. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
определить, какую угловую скорость следует сообщить стержню в верх-
верхнем вертикальном положении, чтобы он повернулся на пол-оборота.
Ответ: и>0 = 1,308 |/-|-.
Задача 961 (рис. 509). Сплошной однородный цилиндр массой т
катится без скольжения по цилиндрической поверхности из поло-
положения, определяемого углом ср„. Найти величину нормального
давления цилиндра на поверхность как функцию угла ср. если
374

в начальный момент цилиндр был в покое. Трением качения
пренебречь.
Ответ: N = -/ G cos <р — 4 cos ш0)
О
Задача 962 (рис. 510) По двум параллельным горизонтальным
рейкам катится без скольжения тонкостенный цилиндр массой М
при помощи груза, подвешенного на нити, намотанной на цилиндр.
Рис. 510
Рис 511
Определить скорость оси цилиндра в момент, когда груз опустится
на расстояние h, если масса груза равна т, а система в началь-
начальный момент находилась в покое. Во все время движения нить
с помощью особого устройства удерживается вертикальной.
Ответ vc=]/~0^.
Задача 963 (рис 511). В условиях задачи 962 принять, что
рейки наклонены к горизонту под углом а. Определить, при каком
значении угла а цилиндр будет двигаться вверх. Найти при этом
условии зависимость между ско-
скоростью оси цилиндра и пройденным
путем.
Ответ: sina^
Рис. 512
-• fgs [m — (M-\- m) sin a]
У MJrm — man»
Задача 964 (рис. 512). Редуктор м
судового турбозубчатого агрегата со- 2
стоит из трех колес, радиусы кото-
которых соответственно равны ги гъ гъ.
На ведущие колеса / и // от турбин
передаются моменты М\ и УИ2. Определить угловое ускорение
гребного вала, если на винт действует момент сопротивления Мл.
Принять моменты инерции ведущих колес равными Jt и J2,
а момент инерции колеса /// с валом и винтом Уа-
Решение. Воспользуемся формулой A2.37)
375

Определим кинетическую энергию системы. Имеем
Так как
то
или
где приведенный момент инерции
Найдем мощность iV:
, — м3ш3 = [ мЛ -\- мЛ —,
\ ri 'a
Из выражения для Т находим
dT
Следовательно,
отсюда
Задача 965. Для регулирования ядерного реактора1 нужно
сообщить управляющему стержню массой 50 кг колебательное
движение вдоль горизонтальной прямой с ампли-
амплитудой а = 30 см и периодом т = 0,5 сек. Какова
потребная максимальная мощность двигателя,
приводящего в движение стержень?
Ответ: iVmax —4,46 кет.
Задача 966 (рис. 513). Однородный диск
радиусом R и массой т насажен на цилиндри-
цилиндрический вал радиусом г и поддерживается
Рис. 513 двумя нитями, намотанными на вал (маятник
Максвелла).
Определить ускорение центра диска и натяжение каждой нити
при его опускании. Массой вала пренебречь.
Ответ: w=—^-~r\ N =
376

Задача 967. Тележка, имеющая четыре колеса массой т каж-
каждое, находится под действием постоянной силы F, направленной
параллельно рельсам. Найти ускорение тележки, считая колеса
однородными дисками, катящимися без скольжения. Масса тележки
(без колес) равна М. Трением качения пренебречь.
Ответ: w —
Задача 968 (рис. 514). На однородный сплошной цилиндр,
который может вращаться вокруг вертикальной оси АВ, намотан
вщ
Рис. 514
Рис. 515
канат, переброшенный через идеальный блок С. К концу каната
подвешен груз М. Определить предельную массу mt груза, если
канат может выдержать натяжение, равное Q (масса цилиндра
равна т).
Ответ: гщ= mgm_?2Q.
Задача 969 (рис. 515). Груз М, падая по вертикали, посредст-
посредством невесомой и нерастяжимой нити, переброшенной через идеаль-
идеальный неподвижный блок В, заставляет катиться без скольжения
однородный цилиндрический каток А, масса которого в 5 раз
более массы груза. Пренебрегая массой блока и нити, определить
ускорение оси катка, если коэффициент трения
качения k = 0,02r, где г — радиус катка, а у час-
ток нити А В горизонтален.
д
Ответ: w = ^
Задача 970 (рис. 516). Нить, один конец
которой закреплен неподвижно, огибает под-
подвижный блок с массой М, радиусом г и момен-
моментом инерции / и неподвижный блок с тем же рис. 516
радиусом и моментом инерции Jt. На свобод-
свободном конце нити подвешен груз с массой т. Найти ускорение
грузЭ| считая, что свободные участки нити вертикальны.
„ 2r*g Bm — М)
Ответ: w— , . .,*>.,. '
377

Задача 971 (рис. 517). Груз А посредством бесконечного ремня
и ворота поднимается при помощи мотора, на валу которого
развивается постоянный момент М. Пренебрегая массой ремня,
определить ускорение груза,
если его масса т, радиус бара-
бана ворота >г, радиус шкива R,
радиус приводного колеса мо-
м
Рис. 517
Рис. 518
тора р, момент инерции вращающихся частей мотора Jlt момент
инерции ворота и барабана У
(MR \
Ответ:
\
Задача 972 (рис. 518). Доска АВ, к которой прикреплены две
одинаковые пружины жесткостью с каждая, лежит на двух оди-
одинаковых тонкостенных цилиндрах. Считая, что скольжение между
доской и цилиндрами, а также между цилиндрами и горизонталь-
горизонтальной плоскостью отсутствует, определить период колебаний системы,
если масса каждого цилиндра равна т, а масса доски М.
Ответ: т = 2
2с •
§ 4. Движение материальной точки в центральном силовом поле
Задачи на движение материальной точки в центральном сило-
силовом поле решают, используя первую и вторую формулы Бинэ:
A2.39)
а также формулы
rv sin a = С,
A2.40)
A2.41)
A2.42)
где С — произвольная постоянная;
а — угол между направлением полярного радиуса-вектора г
и скоростью V точки М;
Fr — проекция центральной силы F, приложенной к точке М,
на направление полярного радиуса;
<р — полярный угол.
378

Задача 973. Материальная точка М массой т под действием
центральной силы F описывает эллипс с полуосями а и Ь, центр
которого совпадает с центром силы О. Определить зависимость
величины силы F от расстояния г точки М до центра силы, если
в начальный момент точка имеет координаты ха = а, г/0 —0 и
начальную скорость Эо, параллельную оси Оу.
Решение. Уравнение эллипса в координатной системе Оху:
Найдем уравнение эллипса в полярных координатах, поместив
полюс в центре. Так как
то
Г2 COS2 tp
а2
Следовательно,
г = -
i — е2 cos8 tp
где е='—^ - эксцентриситет эллипса.
Замечая, что
cosa
найдем
1
Согласно второй формуле Бинэ A2.40) имеем
р п% 1— e2cos2? f(l— escos24>J , е2 cos 2Т A — е» cos3
<, —— mo ^ ^ -j f- ^
e4sin22y(l — e2cos39) 2] wC^Q — e2 cos3
4& J — W
X
1 _!
ГA — е3 cos3 у) 2 A — es cos3 <p -f- e2 cos 2?) ej sin3 2? A — e3 cos2 <p)
f(l — e3 cos3 y) A — e2 cos3 <p -f- e2 cos 2?) eA sin3 2<? A — e3 cos2 9) '* 1
X [ j — Tb J —
e«sina<p) —e*sin«2<p] =
_ ^
mC* (\-e* cos* 4) 2
46»
379

Постоянную С определим, используя начальные условия дви-
движения точки М. Так как при t = 0 r = a, v = va, a = -?[•, то
согласно A2.42) C = av0.
Подставив его в равенство (/), получим
откуда
P ,F | та*у0 (I — e*) r
r — I * r I — jt •
Это и есть искомая зависимость величины силы F от рассто-
расстояния г.
Задача 974. Период обращения первого советского искусст-
искусственного спутника Земли в первый день его движения составлял
Т~ 96,2 мин. Считая траекторию спутника близкой к круговой,
определить среднюю высоту Яср спутника над поверхностью Зем-
Земли. Радиус Земли принять равным 6370 км, сопротивлением пре-
пренебречь. '
Ответ: #ср —672 км.
Задача 975. Точка М под действием центральной силы опи-
описывает окружность радиусом R, причем центр притяжения О
находится на этой окружности. В момент, когда точка находится
на расстоянии 2/? от центра притяжения, ее скорость равна va.
Определить скорость точки как функцию расстояния г = 0М.
Ответ: v = ^^.
Задача 976. В условии предыдущей задачи определить силу,
действующую на точку, как функцию радиуса-вектора г, если
масса точки равна т.
Ответ: F = ^f—- f.
Задача 977. Материальная точка М массой т движется под
действием центральной силы F=——, направленной к неподвиж-
неподвижному центру О, где г — расстояние точки М от центра О, а~
постоянный коэффициент. В начальный момент r = r№, v~vo = Q.
Определить промежуток времени t —10, по истечении которого
точка М достигнет центра О.
г2
Ответ: t — to = -± .
Задача 978. Точка движется по кривой, уравнение которой
в полярных координатах имеет вид r = — (a = const), под дейст-
действием центральной силы с центром в начале координат. Зная, что при
г = а скорость точки va, определить ее скорость для произвольного г.
Ответ: v = ^-^±^.
380

Задача 979. В условии предыдущей задачи определить силу,
действующую на точку, если масса точки равна m
Ответ: F = ~-^r.
Задача 980. Комета движется по эллипсу, эксцентриситет ко-
которого е. В перигее (точке, ближайшей к притягивающему цент-
центру— фокусу эллипса) скорость кометы равна по величине vu и
перпендикулярна к прямой, соединяющей эту точку с Солнцем.
Найти скорость кометы как функцию полярного угла ср-
Ответ: v = -~—V\ + 2<? cos cp 4- е9.
Задача 981. В условии предыдущей задачи найти силу при-
притяжения кометы к Солнцу, зная, что параметр эллипса равен р,
а масса кометы т.
Ответ: F^-j^^r.
Задача 982. Комета движется по параболической траектории,
параметр которой равен р, а фокус совпадает с Солнцем. В пери-
перигее (ближайшей к Солнцу точке) скорость кометы равна и0. Оп-
Определить модуль скорости кометы как функцию расстояния от
Солнца.
I——
Ответ: v = v(ly -jp- .
Задача 983. Период обращения второго советского искусствен-
искусственного спутника Земли Т= 103,75 мин. Наибольшая высота его
подъема над поверхностью Земли Я =1670 км. Определить тра-
траекторию и модуль начальной скорости спутника, считая, что его
начальная скорость и0 ортогональна к начальному полярному ра-
радиусу г0. Радиус Земли принять равным 6370 км, сопротивле-
сопротивлением пренебречь.
Ответ: траекторией спутника является эллипс с полуосями
я = 7320 км, 6 = 7260 км; иог=8,17 км/сек.
Задача 984. Материальная точка М массой т движется под
действием центральной силы притяжения F, модуль которой об-
обратно пропорционален кубу расстояния от движущейся точки до
центра притяжения О, причем коэффициент пропорциональности
равен mvld*, где а — начальное расстояние точки М от центра О,
й0 — начальная скорость точки, направленная под углом а =
= arctg-r- (k — постоянная величина) к прямой, соединяю-
щей центр О с начальным положением Мо точки М. Приняв
центр притяжения О за полюс и проведя полярную ось
через начальное положение точки, определить траекторию
точки М.
Ответ: траекторией точки М является логарифмическая спи-
спираль, определяемая уравнением r~aek<f.
381

§ 5. Движение твердого тела параллельно неподвижной плоскости
Дифференциальными уравнениями плоскопараллельного дви-
движения тела (параллельно плоскости хОу) являются:
A2,43)
где М — масса тела;
хс> Ус — координаты центра масс;
ср — угловая координата;
R^\ R{e) — проекции главного вектора внешних сил на оси коор-
координат;
Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей
через центр масс и перпендикулярной к плоскости
движения тела хОу;
M<f>— главный момент внешних сил относительно той же оси.
Задача 985 (рис. 519). Однородному диску, поставленному
ребром на горизонтальную шероховатую плоскость, сообщено
поступательное движение со скоростью
v0, параллельной плоскости. Опреде-
Определить скорость центра диска в тот мо-
момент, когда начнется качение без сколь-
скольжения.
Решение. На диск действуют силы:
л вес Q, равный по величине/ng, нор-
Рис. 519 мальная реакция плоскости N и сила
трения F. Напишем уравнения движе-
движения диска в форме A2.43) непосредственно после толчка:
iXc = — F; myc = Q — N;
m
T
m a d» _ F
где Щ- момент инерции диска относительно оси, проходящей
через центр диска перпендикулярно к его плоскости.
Так как i/c==0, To Q — N. Следовательно, сила трения
где f — коэффициент трения диска о плоскость.
Таким образом, уравнения движения диска принимают вид
382

Интегрируя, найдем
где и0 — начальная скорость центра диска;
со0 = 0 — начальная угловая скорость диска.
Качение без скольжения характеризуется тем условием, что
скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю. Следо-
Следовательно,
или
Отсюда найдем время, по истечении которого начнется качение
без скольжения:
Зная tlt из (k) определим скорость центра диска в момент,
когда начнется качение без скольжения:
vc\t = h = xc\t^h = — fgtiJrv0= ^v0.
Задача 986. К пластине, лежащей в покое на горизонтальном
гладком етоле, приложена пара сил с постоянным моментом М
Зная, что центральный момент инерции равен Jc, определить пе-
перемещение пластины за время t.
Ответ: центр инерции пластины останется на месте; пластина
повернется вокруг центра инерции на угол
Aft2
Задача 987. Однородный стержень длиной / и массой m дви-
движется в плоскости хОу. На стержень действуют постоянный мо-
момент М и сила F, приложенная в его середине, величина которой
пропорциональна угловой скорости стержня (коэффициент пропор-
пропорциональности k), а направление параллельно оси Ох. Найти
уравнения движения стержня, если его середина С находилась в
начальный момент в начале координат и имела скорость и„, на-
направленную по оси Оу. Начальная угловая скорость стержня
равна нулю.
Ответ: ч = ~^рг\ хс=-^]гП Ус~и»*-
Задача 988. Однородный стержень длиной / и массой т дви-
движется в плоскости хОу. На стержень действует постоянная сила
F, параллельная оси Ох и приложенная в его середине, и момент,
пропорциональный абсциссе хс середины стержня (коэффициент
383

пропорциональности равен k). Найти уравнения движения стерж-
стержня, если в начальный момент стержень находился в покое и был
расположен вдоль оси Ох так, что его середина совпадала с на-
началом координат.
kFt* Ft*
Ответ: <? = -^^jr; хс = ^\ Ус = 0.
Задача 989. Однородная равносторонняя треугольная плас-
пластинка массой т движется в плоскости хОу под действием шести
сил, три из которых, равные по величине F, параллельны оси
Ох и приложены в серединах сторон. Остальные три, равные
F
—.=, приложены в вершинах и параллельны противоположным сто-
сторонам, при этом они стремятся вращать треугольник против хода
часовой стрелки. Найти уравнения движения треугольника, если
его сторона равна а. В начальный момент пластина находилась
в покое, центр тяжести совпадал с началом координат, а ось у
направлена по высоте треугольника.
Ответ: хс = -^—; г/с = 0; <р = —г.
Задача 990 (рис. 520). Однородная тонкостенная труба массой
т поднимается при помощи идеальных блоков, как показано на
рисунке. Определить угловое ускорение трубы и время ее подъ-
подъема на высоту h, если к концам тросов приложены силы Fx и F2.
Радиус трубы равен г. Массами блоков пренебречь.
Ответ: e = J—g i ; t =
Задача 991 (рис. 521). Однородная круглая катушка радиусом
/? и массой т в средней части барабана радиуёом г обмотана
нитью так, что концы нити рас-
расходятся в разные стороны и на-
натягиваются постоянными гори-
горизонтальными силами Fx и Ръ.
F,
у/////////////////////////////,
Рис. 521
С каким ускорением будет двигаться ось катушки, если момент
инерции катушки относительно ее оси равен У? Считать, что
катушка катится без скольжения.
Задача 992. Однородный стержень длиной 21 и массой т на-
находится на горизонтальной плоскости. В начальный момент стер-
384

жню сообщена угловая скорость <% а центр масс получил ско-
скорость va. При своем движении каждый элемент dx стержня испы-
испытывает силу сопротивления d~F =— vbdx, где b — постоянный
коэффициент пропорциональности; v — абсолютная скорость эле-
элемента dx. Определить, как будут изменяться со временем вели-
величина скорости центра масс и угловая скорость стержня.
Ответ: vc = v(>e
= v(e~ai;
> = <о0е
~°'
где а = .
Задача 993 (рис. 522). Однородная тонкая пластина, имеющая
форму квадрата, закреплена шарниром А и удерживается упором
В так, что сторона АВ вертикальна. Опреде-
Определить реакцию шарнира А сразу после того,
как убран упор В. Вес пластины равен Р.
Ответ: ХА = — ^-- YA = ^-.
Задача 994. Один конец однородного стер-
стержня весом Р закреплен шарнирно, а другой
опирается на упор. В некоторый момент упор
убирают. Определить в этот момент величину
полной реакции шарнира, если в началь-
начальный момент стержень составлял с горизон-
Т0М ^Г0Л "• г J5 Рис. 522
Ответ: R = P~y I—-Yg-cos2a.
Задача 995 (рис. 523). Центру С однородного сплошного ци-
цилиндра радиусом г, находящегося на шероховатой плоскости,
сообщена начальная скорость у0, параллель-
параллельная плоскости; одновременно самому цилиндру
сообщено вращение в направлении, указанном
стрелкой, с начальной угловой скоростью и>0.
Принимая, что wor<^u0) определить момент
времени t, начиная с которого центр С будет
двигаться с постоянной скоростью (т. е. ка-
качение будет происходить без скольжения).
Найти также величину этой скорости, если
коэффициент трения скольжения между цилиндром и плоскостью
равен f.
/-. л On <0пГ 2Оп-I-ГСО„
Ответ: t= " " -; vc= ^—-.
Задача 996. Решить задачу 995 при условии, что <«y*^i>o.
Ответ: t = <*"r^7j>0 \ vc— Vb'^rm-.
Задача 997. Решить задачу 995 при условии, что в начальный
момент цилиндру сообщено вращение с угловой скоростью <%
в направлении, противоположном указанному на рис. 523.
Ответ: t— ^Г^ ; vr — 2v° Т Г<Л".
Рис. 523
13 Н. А Бражииченко в др.
385

Задача 998. При движении реактивного аппарата его поворот
происходит вследствие вращения камер двигателей Принимая,
что это вращение происходит с постоянной угловой скоростью и>ь
определить закон изменения угла поворота аппарата, если его
центральный момент инерции J скорость истечения vr и секунд-
секундный расход массы ^ считаются постоянными. Движущей силой
аппарата является реактивная сила F = — \ьг)г, приложенная в
точке на оси симметрии, отстоящей от центра инерции на рас-
расстоянии А.
„ wv.h I, sm u>.t\
Ответ: <? = ^V^- t —

ГЛАВА XIII
МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. ДАВЛЕНИЕ НА ОСЬ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
§ 1. Метод кинетостатики для системы
При движении системы в любой данный момент времени гео-
геометрическая сумма задаваемых сил, действующих на каждую точку
системы, реакций связей, наложенных на эту точку, и силы инер-
инерции точки равна нулю, т. е.
Рк-\-Як + ]к = 0 (ft=l; 2; ... ; п), A3.1)
где Fk — равнодействующая задаваемых сил, действующих на
_ точку Mk системы;
Nk — равнодействующая реакций связей, наложенных на эту
точку;
]к — сила инерции точки Mk.
Если все силы, действующие на систему, в том числе и реак-
реакции связей, разделить на силы внешние и внутренние (будем
обозначать их соответственно индексами е и г), то, используя
свойства внутренних сил, из A3.1) получим
=о,
= о
A3 2)
или в проекциях на оси:
п
У1
A3.3)
Где суммирование произведено по всем точкам системы.
13»
387

Уравнения A3.3), называемые уравнениями кинетостатики,
упрощают процесс решения динамических задач, так как они не
содержат внутренних сил. Эти уравнения подобны уравнениям
равновесия, полученным в статике.
Если все силы расположены в одной плоскости, параллельны
или сходятся в одной точке, то число уравнений A3.3) соответст-
соответственно уменьшается. Заметим, что, как и в статике, может встре-
встретиться необходимость рассмотрения кинетостатического «равнове-
«равновесия» не только всей системы в целом, но и отдельных ее частей.
В частности, так следует поступать для определения внутренних
сил, а также в тех случаях, когда число уравнений оказывается
недостаточным для определения всех неизвестных величин. При
этом, как и в статике, могут встретиться «кинетостатически»
неопределимые системы.
Задача 999. Буксир А водоизмещением пц тянет две баржи
В и С, водоизмещения которых соответственно равны пц и т3
(рис. 524, а). Определить силу упора винтов буксира Q, если
он движется прямолинейным курсом с ускор_ением W. Общая
сила сопротивления движению системы равна R.
S)
i t
^3
U
Рис. 524
Решение. Система состоит из трех тел, которые примем за
материальные точки. Внешними силами являются силы тяжести
^ь Pi, Рз, силы выталкивания (архимедовы силы) Du Dit D3,
сила сопротивления R и сила упора винтов Q (рис. 524, б).
Приложим к точкам силы инерции )k — — mkWk.
Используя уравнение A3.3) в проекциях на горизонтальную
ось Ох, направленную в сторону движения системы, получим
отсюда найдем
388

Буксир и баржи движутся прямолинейно и поступательно
с одним и тем же ускорением w, поэтому
следовательно,
Задача 1000. Три груза Ми М2 и Л43 с массами ти щ и
тъ соединены невесомой и нерастяжимой нитью, переброшенной
через идеальный неподвижный блок А (рис. 525, а). Два груза
лежат на гладкой горизонтальной плоскости, а третий подвешен
вертикально. Определить величину ускорения грузов и натяже-
натяжение нити, соединяющей грузы М2 и Мл, если блок представляет
собой однородный диск массой т.
Р.'
Рис. 525
Решение. Система состоит из трех грузов и блока. .Внешними
силами являются силы тяжести Рь Р3, Р3 грузов и Р блока
реакции Nu Ж2 плоскости и реакция Л^ закрепленной точки О
блока А (рис. 525, б). Присоединим к силам, действующим на
каждый груз, силы инерции /ь /8, /3. Рассмотрим сначала груз
Mi (рис. 525, в), т. е. мысленно разрежем нить, соединяющую
грузы Mi и Ма. Реакция Г21 этой нити, являясь внутренней си-
силой для всей системы, по отношению к грузу Aft является силой
внешней. Воспользуемся вторым из уравнений A3.3). Получим
N1-Pl = 0,
откуда Nl = Pl. Аналогично, рассматривая груз Мь получим,
что N2 = P2.
Рассмотрим теперь всю систему в целом и воспользуемся
уравнением моментов относительно оси Oz, перпендикулярной
389

плоскости рисунка и проходящей через ось блока А. Тогда, учи-
учитывая, что для всех сил mz(F) = m(>(F), имеем
т, (Р3) + т0 (/,) + щ (/,) + т0 (/„) + М</> = 0, (а)
где М|/1 = ]!Г/п0(/1) — главный момент сил инерции частиц Mt
блока А относительно центра_ О; при составлении этого уравне-
уравнения учтено, что /no(jV) + (P) O
()
Имея в виду, что /,- равна геометрической сумме центробежной
силы инерции ]in и касательной силы инерции /,-т = — т,етгвР
(рис. 525, г), а также замечая, что силы jin не дают момента от-
относительно точки О, получим
Так как ш^р = | е | г,-, то
где Уг — момент инерции блока относительно оси Ог.
Подставляя ъ (а), получим
Заменяя здесь |е| на у, a /ft на mkw, имеем
~ gm3r + rw (m, + m2 + m3) + -^ = 0,
отсюда найдем
1ак как Jz——2~, то окончательно получим
Для определения натяжения нити, соединяющей грузы М2 и
ЛТ3, мысленно разрежем эту нить и рассмотрим отдельно груз
М,( (рис. 525, д). Внешними силами, действующими на этот груз,
будут вес Р3 и реакция нити Тп, направленная вверх.
Присоединим силу инерции /3 и воспользуемся вторым из
уравнений A3.3). Получим
Ти-Р, + Д = 0,
откуда
Р3 — /л — m3 (g —

Подставив сюда полученное выше значение w, найдем
г =£г'"з[у" + 2(т' + 'I
п т + 2 (т, + ота + т.) '
Искомое натяжение нити по величине _равно реакции Тгз, но
направлено в сторону, противоположную Та.
Задача 1001. Однородный стержень А В длиной / и массой m
прикреплен шарниром А к горизонтальному стержню С А, жестко
связанному с вертикальным валом, вращающимся с постоянной
угловой скоростью ш0 (рис. 526, а). Определить величину натя-
натяжения Т нити BD, удерживающей стержень АВ под углом а
к вертикали, если угол E = -^-, а С А— а.
Рис. 526
Решение. Пользуясь методом кинетостатики, присоединим к дейст-
действующим на стержень АВ силам Р, Т, ХА, YА центробежные
силы инерции djn элементов стержня (так как вращение равномер-
равномерное, то касательных сил инерции не будет). Проведем вдоль
стержня АВ ось /U (рис. 526, б). Тогда величина центробежной
силы инерции будет определяться выражением
Взяв за центр моментов точку А, имеем
mgl .
-§-sin
+ 77 - \ {а + S sin a) JH<
отсюда
Т~2 [g&m «■ + «шо COS а -{ 2-g J.
При а = 0 получим
391

Задача 1002 (рис. 527). Груз М1 массой т^ находится на ше-
шероховатой горизонтальной плоскости. К нему прикреплена
нерастяжимая нить, перекинутая через
а идеальный блок А, на другом конце ко-
которой прикреплен груз М2 массой пц.
Пренебрегая массой блока и нити, опреде-
определить коэффициент трения / груза Мх о пло-
плоскость, считая его постоянным, если грузы
движутся с ускорением, равным по вели-
величине W.
Рас. 527
Ответ: / =
Задача 1003. Решить задачу 1002 при условии, что масса
блока А равна т и распределена равномерно по его ободу.
r\ j: ttlig — (nti -j- tlla -f- Itl) W
Ответ: f = —==—* .
Задача 1004. Грузовик массой т (кг) движется вместе с при-
прицепом массой mi (кг) из состояния покоя равноускоренно с
ускорением w (м/сек*). Определить мощность мо-
мотора грузовика в момент, когда грузовик имеет
скорость v (м/сек), если движение системы про-
происходит прямолинейно. Общая сила сопротивления
при движении равна R (н).
Ответ: N = [R-{-(m-\-mt) w] v em.
Задача 1005 (рис. 528). Электромотор мас-
массой М установлен на горизонтальном фундаменте.
Центр тяжести ротора С смещен от оси враще-
вращения О на расстояние г. Определить максимальное
и минимальное давления мотора на фундамент, если ротор вра-
вращается с постоянной угловой скоростью ю и имеет массу т.
Ответ: Л/щах = Mg4~m<°V> Nmm = Mg — mu>V.
Задача 1006. На рис. 529 представлена схема моментного
центробежного вибратора. Две одинаковые неуравновешенные
Рис. 528
Рис. 529
шестерни А и В массой т каждая вращаются вокруг своих осей
с одинаковой угловой скоростью со в одном направлении. Цент-
Центры тяжести их удалены от осей на расстояние /-ив начальный
392

момент расположены на одной горизонтали по разные стороны от
соответствующих осей. Расстояние между осями равно а. Опре-
Определить момент пары, образуемой силами инерции.
Ответ: М = amv^r sin coif.
Задача 1007. Три материальные точки А, В, С массой m
каждая расположены на гладкой горизонтальной плоскости и
соединены тремя одинаковыми пружинами жесткостью с. Система
вращается с постоянной угловой скоростью со0 вокруг вертикаль-
вертикальной оси, проходящей через центр треугольника ABC. Найти рас-
расстояния / между точками в положении относительного равнове-
равновесия, если при отсутствии вращения эти расстояния были равны /0.
Ответ: I = -к —;.
Зс_— ш<
г-г ^ -I /"Зс
При co0j> I/ —относительное равновесие невозможно.
Задача 1008. Шарнирно-стержневой ромб A BCD с поперечным
стержнем BD вращается с постоянной угловой скоростью ш0
вокруг оси, проходящей через вершину А и перпендикулярной
к его плоскости. В вершинах В, С и D находятся равные точеч-
точечные массы т. Найти натяжения в стерж-
стержнях, вызываемые вращением, пренебрегая
силой тяжести и массой стержней, если
Рис. 530
Ответ: TBC=TCD=ma>ll; TAB=TAD=
= 2mu>ll; SBO = m<oj|/ (сжатие).
Задача 1009. На рис. 530 показана
схема регулятора, состоящего из жесткого
равнобочного угольника АОВ(/.АОВ =
= 90°), на концах которого укреплены
грузы А я В массами mi и т2 соот-
соответственно (т1^>тг). Угольник может по-
поворачиваться вокруг горизонтальной оси О
и вместе с нею вокруг вертикальной
оси CD. Определить угловую скорость со
установившегося вращения, если при этом ,/ AOD — <$ = const;
OA = OB = L Массой угольника и трением пренебречь.
Л „ 2g (т, sin ш — m» cos <p)
Ответ: ш- — -^-^ • , - Y/.
Задача 1010. Упрощенная схема одного из типов тахометров
{прибора для измерения угловой скорости) показана на рис. 531.
Груз А массой т укреплен на конце стержня АВ длиной /,
который может поворачиваться вокруг горизонтальной оси В.
К стержню в точке С, находящейся на расстоянии 1Х от точки В,
прикреплена пружина CD, имеющая естественную длину х0 и
коэффициент жесткости с. При вращении прибора вокруг верти-
вертикальной оси стержень отклоняется от вертикали на угол а. Опре-
Определить угловую скорость тахометра при установившемся вращении,
393

считая пружину расположенной горизонтально и пренебрегай
массой стержня АВ.
2 \ mgl sm a -\- с (^ sin a — x0) /, cos о)
Ответ- ш* —
mls sm 2a
Рис, 531
Рис. 532
Задача 1011 (рис. 532). Однородный стержень АВ длиной / и
массой т вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг
вертикальной оси, проходящей через конец А, образуя с этой
осью неизменный угол а. Определить равнодействующую сил
инерции.
Ответ: равнодействующая сил инерции равна по величине
j — "^^LJEJL и проходит через точку, отстоящую от конца А
на расстоянии, равном -у /.
Задача 1012. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
определить изгибающий момент в месте соединения стержня с осью
вращения, считая это соединение жестким. При какой угловой
скорости вращения шх изгибающий момент будет равен нулю?
^ ,. mi sin а ,о
Ответ: М = —^— [3g ■
■2/<o*cosa]; w, =
21 cos a'
Задача 1013. Решить задачу № 1010 при условии, что стер-
стержень АВ имеет массу тх и является однородным.
3g/ Bm + mi) sin а + 6c/, (lx sm а — xa) cos а
Cm+ »•,)/• sin 2a •
Задача 1014. Однородный стержень массой т к длиной I вра-
вращается с постоянной угловой скоростью (о в горизонтальной пло-
плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец.
Определить усилия в сечениях стержня в зависимости от расстоя-
расстояния х от этих сечений до оси вращения.
Ответ: Т = ^(Р — х*).
Задача 1015 (рис. 533). Однородный стержень ABC согнут
под углом а и равномерно вращается вокруг вертикальной оси
394

OyOi так, что участок его ВС остается в горизонтальной пло-
плоскости. Определить, при какой угловой скорости «> будет
отсутствовать изгибающий момент в точке В.
Принять ВС = а и AD =
2 -
Ответ: со =
Задача 1016 (рис. 534). Однородный стер-
стержень А В длиной / и массой т концом А
прикреплен шарниром к горизонтальному стерж-
стержню СА длиной а, жестко связанному с вертикаль-
вертикальным валом, вращающимся с постоянной угловой
скоростью со0. Конец В стержня А В связан
с пружиной DB, имеющей естественную длину,
равную а. Определить, какова должна быть
жесткость пружины с, чтобы стержень А В при данной угловой
скорости отклонился от вертикали на угол а. Пружину считать
расположенной горизонтально.
[2 ( + 21
Рис. 533
Ответ: с ^
т
i
(За
cos а — 3gsina]
_ К 1
Рис. 534
Рас. 535
Задача 1017 (рис. 535). Однородный стержень АВ длиной /
и массой т прикреплен концом А с помощью цилиндрического
шарнира к горизонтальному стержню О А, который вращается
около вертикальной оси, проходящей через точку О. Второй
конец В стержня связан пружиной с точкой О. Пружина имеет
в нерастянутом состоянии длину а0, ее жесткость равна с. Найти,
с какой постоянной угловой скоростью следует вращать эту систему,
чтобы стержни ОА и АВ были бы взаимно перпендикулярными.
Определить также усилие в стержне О А, если его длина равна 3/4 /.
Считать ao<^-j.
Ответ: ш
=|/
3/й/о>е
Задача 1018 (рис. 536). На гладкой горизонтальной плоско-
плоскости, вращающейся с угловой скоростью со вокруг вертикальной
395

оси, проходящей через точку О, помещен составной стержень
ABC, состоящий из двух жестко связанных между собой однород-
однородных стержней АВ и ВС одинаковой длины /. Массы стержней равны
т и 2т соответственно. Стержень ABC может вращаться в гори-
горизонтальной плоскости вокруг шарнира В и удерживается нитью
ОС в положении, при котором Z ОВС = 90°, a Z ВСО = 60°. Опре-
Определить натяжение нити и реакцию шарнира, обусловленную вра-
вращением.
Ответ: Т0С тЧ; R У
Рис. 536
Рис. 537
Задача 1019 (рис. 537). Пластина, имеющая форму равнобед-
равнобедренного треугольника высотой h и массой т равномерно вращается
вокруг оси АВ, совпадающей с основанием упомянутого треуголь-
треугольника. Определить равнодействующую усилий в сече-
сечении пластины, параллельном ее основанию и отстоя-
отстоящем от него на расстоянии х.
Ответ: T = ^{h-\-2x) (Л — xf.
Задача 1020 (рис. 538). В вертикальном двигателе
мотыль ОА вращается равномерно с угловой ско-
скоростью ю. Определить усилие в штоке ВС поршня,
когда последний находится в верхнем «мертвом» по-
положении, если масса поршня равна т, давление
газов на поршень F, длина мотыля ОА равна г,
а шатун АВ имеет длину /.
Указание. Определить ускорение поршня по фор-
формулам плоского движения.
Ответ: T = mgA-F — mwV (l +y)-
Задача 1021. Решить предыдущую задачу в случае горизон-
горизонтального положения мотыля.
Ответ: I =mg4-F-\~
«А /2 /-3
396

Задача 1022. Диск укреплен на конце упругого вала, другой
конец которого закреплен неподвижно. С целью создания вы-
вынужденных крутильных колебаний на диске установлен момент-
ный вибратор, описанный в задаче 1006. Пренебрегая массой вала
и сопротивлениями, а также моментом инерции вибратора, опре-
определить предельную амплитуду <?0 вынужденных ко-
колебаний при очень большой угловой скорости со, если
момент инерции диска равен J. Данные взять из
задачи 1006.
„ таг
Ответ: сро = —у-.
Задача 1023 (рис. 539). Однородная прямоуголь-
прямоугольная пластина со сторонами а и b вершиной А укреп-
укреплена на валу АК с помощью цилиндрического
шарнира, ось которого перпендикулярна плоскости
пластины. Вал АК вращается с постоянной угловой
скоростью со, а вершина D удерживается в наиниз-
наинизшем положении с помощью сферического шарнира.
Определить угловое ускорение s пластины в ее отно-
относительном вращении вокруг оси шарнира А в тот
момент, когда сферический шарнир убирают.
Указание. Предварительно найти сумму моментов сил инерции
относительно оси А, пользуясь формулой МА (/) = co2f Jxyt где
7—плотность, ось Ах направлена по AD.
Ответ: s= 4(l
Рис. 539
§ 2. Давление на ось вращающегося тела
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси могут
возникнуть дополнительные давления, обусловленные силами инер-
инерции точек тела.
Свяжем оси координат Oxyz с телом так, чтобы ось Oz была
осью вращения тела. Пусть А и В— закрепленные точки тела.
Тогда проекции на координатные оси дополнительных динамиче-
динамических реакций NА и Nв определяются из уравнений:
— еМус,
N
Ay
= — ^ мУс
тх (NJ) + тх (NB) = шЧуг —
ту (Мв) =
A3.4)
где (о и s—угловая скорость и угловое ускорение тела;
хс> Ус — абсцисса и ордината центра масс тела;
М — масса тела;
Jxz, Jyz — центробежные моменты инерции тела.
397

Если в точке А имеется цилиндрический подшипник, то
N Аг = 0, а тогда и NBz = 0
Для того чтобы найти полные реакции в закрепленных точках
тела, следует к найденным величинам добавить статические реак-
реакции, обусловленные приложенными внешними силами. Дополни-
Дополнительные динамические реакции не возникают только тогда, когда
главный вектор и главный момент всех сил инерции равны нулю,
или, что равносильно этомуv в том случае, когда ось вращения
является главной центральной осью инерции, т. е., когда
ЛС УС ' " хг «уг ^- ^lO.OJ
Замечание. При решении ряда
задач вместо уравнений A3^4) удоб-
удобнее использовать метод кинетоста-
кинетостатики непосредственно.
Задача 1024 (рис. 540). Махо-
Маховое колесо, насаженное посере-
посередине вала с небольшим переко-
перекосом а = 1° i ~ рад) к поперечной
оси, вращается с постоянной угло-
угловой скоростью со (« = 3000 об/мин).
Определить добавочные динами-
динамические давления на подшипники
вала, считая массу маховика т = 100 кг, центр тяжести рас-
расположенным на оси вращения вала, радиус маховика R—\m,
расстояние между подшипниками й=1 л. Массу считать равно-
равномерно распределенной по ободу.
Решение. Воспользуемся уравнениями A3.4). Выбрав оси
координат Oxyz, как указано на рисунке, и учитывая, что ма-
маховое колесо вращается равномерно, а центр тяжести его нахо-
находится на оси вращения вала, получим
Рис. 540
_Ay + BJ ;
тх {N_A) -f тх (N_B) = «У v,;
или
(а)
398

отсюда
(b)
Для вычисления центробежных моментов инерции Jx, и Jуг
введем в рассмотрение главные оси инерции OxtyiZi (рис. 540).
По известным формулам геометрии масс имеем
так как ось Ох, совпадающая с Охи есть главная ось инерции,
Jxz — ^Wzi — Jyi) sin 2 a,
где Jv , JSl — моменты инерции колеса относительно указанных
главных осей.
Поскольку
то
Подставляя значения центробежных моментов инерции в фор-
формулы (Ь), получим окончательные выражения для добавочных ди-
динамических реакций подшипников:
" Если а мало, то
Полученные результаты показывают, что в данной задаче вслед-
вследствие неуравновешенности система реакций эквивалентна одной
паре, стремящейся повернуть колесо так, чтобы угол а. стал рав-
равным нулю.
Динамические давления на подшипники численно равны най-
найденным реакциям и противоположны по направлениям.
Задача 1025. Однородный тонкий стержень массой М, имею-
имеющий форму дуги одной четверти окружности радиусом R, одним
концом неизменно связан с валом, находящимся с ним в одной
плоскости (рис. 541, а). Вал вращается с постоянной угловой
399

скоростью (о. Определить координаты хи у\ добавочной массы ти
с присоединением которой устраняются добавочные динамические
давления на подшипники.
Рис. 541
Решение. Воспользуемся методом кинетостатики. К каждому
эпементу стержня и к добавочной массе приложим силы инерции.
Для того чтобы подшипники не испытывали добавочных ди-
динамических реакций, необходимо и достаточно, чтобы совокупность
всех сил инерции представляла собой уравновешенную систему
сил.
Выделим элемент длины стержня ds = Rdn. Элементарная сила
инерции d/ (центробежная, так как вращение равномерное) равна
по величине
\d]\ = u>s/t dm,
где h — R cos a — расстояние от элемента до оси;
dm = — da.
Таким образом,
dj\ = -
cos a da.
Вектор d] направлен от оси вращения перпендикулярно к ней.
Сила инерции /, присоединенной массы тх параллельна d/ и по
величине равна
Составим уравнения равновесия полученной системы парал-
параллельных сил инерции:
где
400
= R sin a.

Подставляя в эти равенства значение dj и интегрируя, получим
= 0.
Отсюда найдем требуемые величины:
2MR
т. е. ^i = —
2MR
Задача 1026 (рис. 542). Однородный тонкий стержень ОС дли-
длиной / и массой т соединен с вертикальным валом посредством
цилиндрического шарнира. Определить полные
реакции подшипников А и В при установившемся
относительном равновесии стержня, если вал вра-
вращается с постоянной угловой скоростью W, а рас- А
стояния от шарнира О до подшипников одина-
одинаковы. Ось Oz выбрать совпадающей с осью вра-
вращения, а ось Ох лежащей в плоскости, которая
проходит через стержень и ось вращения. L
Ответ: NRz = mg\ NAv = N[h — 0;
Задача 1027 (рис. 543). Однородный тонкий
стержень длиной 21 и массой 2т посредине изогнут
под прямым углом и одним концом прикреплен
жестко к вертикальному валу так, что его
плоскость составляет с этим валом прямой угол. Вал вращается
с постоянной угловой скоростью и) в подшипниках А и В, от-
отстоящих на расстояниях а от точки
крепления стержня. Определить полные
реакции подшипников, считая верхний
подшипник цилиндрическим.
Ответ: NAx=-
я N = 3ml
О | & » Ау 4а
ml , <>\
Рис. 542
3 Задача 1028 (рис. 544). Однород-
Однородная тонкая прямоугольная пластина со
Рис 543 сторонами 2а и 2Ь и массой т закреп-
закреплена на валу, проходящем через ее
центр, так, что составляет с валом неизменный угол ас. Вал вра-
вращается с постоянной угловой скоростью <о в подшипниках А и В,
401

удаленных от точки крепления пластины к валу на расстояния
Определить добавочные динамические реакции _ подшипников.
« it .» п 17 17 miu'2b'2 sm 2a
Ответ: N. —N Rx = 0; NBt,= — NXt, = -
ву
Ау
12/
Задача 1029 (рис. 545). Однородный тонкий стержень ОС мас-
массой т и длиной / приварен концом О под углом а к валу, вра-
вращающемуся в подшипниках А и В под действием внешнего мо-
момента М. Определить добавочные динамические реакции подшип-
Рис. 544
ников в момент, когда угловая скорость вала станет равной ш,
если расстояния от подшипников до точки крепления стержня
равны а.
Указание. Определить е из уравнения sJ2 = Mtz).
Ответ: и„ = ёШ°»?=М. NВх = - М ^2lcosв + За>•
Лл Л/7/ С1П rt ' 13л
4fl/ sin a
, = —ps B/cos а — За); NBV— —
Sill C(
sin а
12a
B1 cos а -(- За).
Задача 1030. Однородная тонкая пластинка, имеющая форму
прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, вращается вокруг
оси, расположенной в ее плоскости. Как должна быть располо-
расположена эта ось, чтобы динамические давления на подшипники от-
отсутствовали?
Ответ: ось должна проходить через центр тяжести треуголь-
треугольника и составлять с катетом а угол
1
аЬ
Задача 1031 (рис. 546). Однородная тонкая пластина массой М,
имеющая форму кругового сектора радиусом R с центральным
углом 90°, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной уг-
402

ловой скоростью. Определить положение добавочной массы гп,
присоединение которой устраняет добавочные динамические дав-
давления на подшипники.
ARM _ __ 3 г,
-; у 8 -к-
Ответ: х — —:
Задача 1032 (рис. 547). Однородная тонкая пластина массой М,
имеющая форму прямоугольного треугольника с катетами а и Ь,
вращается равномерно вокруг оси, совпадающей с катетом Ь. Опре-
Определить положение добавочной массы т, присоединение которой
устраняет добавочные динамические давления пластины на под-
подшипники.
У
т
4ш'/,
Рис. 546
Рис. 547
ш
Рис. 548
Ответ: масса должна быть присоединена в точке с координа-
Ма 1 ,
тами: х = — =-- ; г/ —^-о.
Задача 1033 (рис. 548). Однородный стержень АВ жестко при-
прикреплен к вертикальному валу 00, под некоторым углом и вращает-
вращается вместе с ним с постоянной угловой скоростью. Для динамического
уравновешивания к валу присоединены на одинаковых от него
расстояниях две точечные массы С и D, расположенные в одной
плоскости с валом и стержнем, так что
С В _L 0Ох и DA _!_ ООХ. Определить отно-
отношение величин этих масс.
тг
Ответ: —- = 2.
т,
т,
Задача 1034 (рис. 549). Три невесомых
стержня скреплены своими концами в од-
одной точке и находятся в одной плоскости. Рис 549
К другим концам стержней прикреплены
точечные массы ти т% и т3. Система равномерно вращается
вокруг оси, лежащей в плоскости стержней и проходящей через
точку их пересечения, причем массы тх и /л2 находятся по одну
сторону от оси, а масса тъ—по другую. Каковы должны быть
отношения масс тх и щ к массе /л3, чтобы подшипники не ис-
испытывали динамических давлений? Длины стержней соответственно
403

равны h, k h, a углы, образованные ими с осью вращения,
равны яь а2. «з (причем углы at и я, острые).
Ответ:
ша
/, sin <*! (l^ cos al -\- /2 cos a2)
m2 /3 sin аэ (lL cos a, -f- 's cos as)
m3 /3 sin o>2 G, cos a; -j- 4 cos o>2) '
Решение невозможно в случае острого угла а3, если l3 cos a3 ^з
2, и в случае тупого угла ал, если /3cosa3^ — /jcosa!.
Задача 1035 (рис. 550). Два тонких однородных стержня / и
// длиной I каждый, имеющие массы уИ, и Мъ скреплены под
прямым углом в точке О, делящей каж-
каждый из стержней в отношении 1 :2.
На коротком конце первого стержня
находится точечная масса ти а вдоль
короткого конца второго может пере-
передвигаться точечная масса тг. Какими
должны быть массы т1 и тг и расстоя-
расстояние h до второй массы от точки пере-
пересечения стержней О, чтобы при враще-
вращении системы вокруг любой оси, проходящей через эту точку и
лежащей в плоскости стержней, подшипники не испытывали
динамических давлений? В каких границах должно находиться
отношение масс стержней, чтобы решение задачи было возмож-
возможным (т. е. чтобы масса пц не оказалась за пределами короткого
конца второго стержня)?
л / lMi 2 \ » М, Ml
XjmociU. fl~— 1 . ш q *» Ш1 i) i nH О/ОД/Г oAf \ •
1.
Рас. 550
2 (
Решение задачи возможно при выполнении условия
2_
3

ГЛАВА XIV
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
§ 1. Принцип возможных перемещений
Возможными перемещениями называют воображаемые беско-
бесконечно малые перемещения, которые могут быть у точек системы
в данный фиксируемый момент времени без нарушения связей,
наложенных на систему.
Если данное положение системы, подчиненной идеальным ста-
стационарным и удерживающим связям, является ее положением равно-
равновесия, то сумма работ всех задаваемых сил на любом возможном
перемещении равна нулю, т. е.
ЬА (F)= 2 Fk-brk= S (Fkfrk -\-Fkybyk-{-Flubzk) = O. A4.1)
ft—1 * = I
Наоборот, если сумма работ всех задаваемых сил на любом
возможном перемещении равна нулю и начальные скорости всех ее
точек равны нулю, то система с указанными связями находится
в равновесии.
В обобщенных координатах элементарная работа на возможном
перемещении системы
lA^j^Qjlqj. A4.2)
Принцип возможных перемещений в независимых обобщенных
координатах (при голономных связях) выражается следующим об-
образом:
Q, = 0 (/=l;2;...;s), A4.3)
где Qj — обобщенная сила, соответствующая обобщенной коорди-
координате q7;
s — число степеней свободы системы.
Обобщенные силы определяют как коэффициенты при bq}
в выражении A4.2) или по одной из следующих формул:
*.= 2 '•*=2
k — 1 /; =■ I
где bAj — элементарная работа всех задаваемых сил, действующих
на систему, на таком возможном перемещении системы, при кото-
405

ром изменяется только данная обобщенная координата q/, а для
консервативных систем
О - L
где П — потенциальная энергия системы.
Если ввести понятие возможных скоростей
A4.6)
то вместо A4.1) получим
A4.7)
Задача 1036 (рис. 551). В винтовом зажиме тело D сдавли-
сдавливается губкой А, которая перемещается винтом В Определить
давление Q на тело, если к штурвалу винта
приложена пара сил с моментом М —120 н-м,
передаточное число конического зубчатого за-
заr шаг винта h = 20
цепления fe = r- =
мм.
• 1
Трением пренебречь.
Решение. Рассмотрим систему, состоящую
из штурвала, зубчатых колес,_ винта_и губки.
Введем в рассмотрение силу Р —— Q, с кото-
которой сжимаемое тело D действует на губку.
Величину этой силы определим из условия рав-
равновесия системы. Таким образом, задаваемыми
силами, действующими на систему, будут сила Р
и пара сил с моментом М. Система имеет
теперь одну степень свободы. Сообщим ей воз-
возможное перемещение, мысленно повернув штур-
штурвал на угол 8ср в сторону действия момента. При
этом губка опустится на некоторую величину 8а.
Так как связи считаются идеальными в силу отсутствия трения
и твердости тел системы, а также стационарными и удерживаю-
удерживающими, то, согласно принципу возможных перемещений A4.1),
Рис. 551
где ЬА (М) — элементарная работа пары сил;
ЬА {Р) — элементарная работа силы Р.
Очевидно,
таким образом,
(а)
405

Так как система имеет одну степень свободы, то величины Ьа
и Sp связаны между собой некоторой зависимостью. Установим ее.
При повороте штурвала на угол Ъу шестерня / получит угло-
угловое перемещение
Угловое перемещение 8<р2 шестерни // найдем из соотношения
откуда
Такое же угловое перемещение будет иметь и винт.
При повороте винта на угол 2л губка опускается на величину
шага винта h. При повороте винта на угол Scp2 губка опустится
на величину
Таким образом,
Подставляя это значение 8а в (а), имеем
В силу произвольности 8? получим
откуда
Р — y~ .
Подставляя числовые данные, найдем
Р= 150,8 кн.
Следовательно, Q— Р = 150,8 кн.
407

Задача 1037 (рис. 552). Пресс состоит из шести одинаковых
стержней и винта АВ с гайкой А, укрепленной ца корпусе.
Определить при равновесии силу давления пресса, если на винт
действует пара сил с моментом М = 80 н-м, а = р=10°, шаг
винта h =12 мм. Весом стержней и
плиты, а также трением пренебречь.
Решение. Рассмотрим систему, со-
состоящую из винта, стержней и плиты.
Введем в рассмотрение силу Р, с кото-
которой сжимаемый предмет действует на
плиту. Величину этой силы следует
определить из условия равновесия
системы.
Таким образом, задаваемыми силами
являются пара сил с моментом М и
введенная сила Р. Система имеет теперь
одну степень свободы. Принимая, что
все стержни абсолютно твердые, и учи-
учитывая отсутствие трения, связи можем
считать идеальными (кроме того, эти
связи стационарные, удерживающие).
Введем оси координат, показанные
на рисунке. Дадим системе возможное
перемещение, мысленно повернув винт в направлении действия
пары на угол Ц. При этом плита получит вертикальное смеще-
смещение Ьук. Согласно принципу возможных перемещений,
или
При этом работа силы Р определена по формуле
Ф)
Ввиду того, что система имеет одну степень свободы, заклю-
заключаем, что величины Вер и Ьук взаимно связаны. Найдем эту зави-
зависимость. Для этого определим координаты точек В и К. Обозна-
Обозначив длины стержней через /, имеем
— /sin P; yK = yE = 2lcosa..
Углы i и р в свою очередь связаны между собой соотношением
/ cos р —j— / sin ос. == ЕК = const.
Варьируя полученные соотношения, найдем
ЬуИ = — I sin а5а — / cos Щ;
Ъук= — 2/sin а8а;
— / sin Щ -\-1 COS а§а = 0.
408

Из последнего равенства найдем зависимость между 8а и
go COS a g
Подставляя это значение
8hr = — /sin a8c
в byBl получим
/ COS (a — f
/ COS 3 COS а „
^ oa
8а.
С другой стороны, 8r/g связано с углом поворота винта Sep.
При повороте на угол 2л винт опускается на величину шага
винта h, а при повороте на угол 8ср — на величину Ьув, следова-
следовательно,
X 2л5!„ _ 2л/COS (a — P)
h sm
-8я.
Подставляя полученные выражения для &ср и Ьук в (Ь), получим
~М 2"/СГ81пр~Р) §Я"
В силу произвольности 5а
р Мтс COS (a — f
р
Л sin P sin а
Подставив численные данные, найдем
Р = 694 кн.
Задача 1038 (рис. 553). Дифференциальная передача состоит
из двух шестерен / и ///, вращающихся вокруг общей непод-
неподвижной оси О, и бегающей шестерни //,
приводимой в движение водилом О А.
К водилу приложена пара сил с момен-
моментом Мо.
Пренебрегая трением, определить
моменты М] и М3 пар сил, которые надо
приложить к шестерням / и ///, чтобы
уравновесить механизм. Радиусы колес /
и /// равны соответственно г, и гя.
Механизм расположен в горизонтальной
плоскости.
Решение. Система имеет две степени
свободы и находится в равновесии под
действием трех пар сил (задаваемые силы) с моментами М0) Mt
и Мз- Примем за обобщенные координаты ср0 — угол поворота
водила и ср! — угол поворота шестерни /.
Дадим системе возможные перемещения Вср0 и 8cpt в сторону,
определяемую действием пары с моментом Мй. При этом шестерня //
получит угловое перемещение 8<ра, а шестерня /// — угловое пере-
Рис. 553

■мещение 8<р3. Направления этих перемещений зависят от Scp0 и 5<р,.
Согласно принципу возможных перемещений, имеем
8А (Л*,) + ЬА (М,) + ЪА (М,) = 0
или
Mo&cpo + Mi^i-f-MsScps^O. (с)
При этом предполагается, что пары сил с моментами М}
и Мя стремятся повернуть соответствующие шестерни в направ-
направлении угловых перемещений 5ср( и 5ср8.
Введем в рассмотрение возможные угловые скорости Ш1 ~-§г
A=0; 1; 2; 3).
Тогда вместо (с) получим
М0< + М,ш? + М3<4 = 0. (d)
Угловая скорость wf зависит от и>$ и ш*. Установим эту зави-
зависимость, пользуясь формулой (9.5):
<■>? — < г,' <■>? — < /У
Перемножая эти равенства, найдем
отсюда
Подставляя это значение в (of), получим
Здесь «о' и wf — взаимно независимые величины в силу независи-
независимости Scp0 и S«p±.
Поэтому можно положить: 1) w* 9^ 0; wf^O и 2) w£ = 0;
wf 7^ 0. Тогда получим
отсюда найдем
Знаки «минус» указывают на то, что при равновесии системы
действия пар, приложенных к шестерням / и ///, имеют проти-
противоположные направления действию пары, приложенной к водилу.
410

Задача 1039 (рис.554). Два однородных стержня AiB, и Л8В«,
веса которых равны соответственно Р1 и Р9, опираются концами
Ах и Ai на гладкие вертикальные стенки, а концами В^ и
Bi — на гладкую горизонтальную плоскость.
Определить зависимость между углами на-
наклона стержней <fi и yt при равновесии
системы.
Решение. Система состоит из двух стерж-
стержней .Задаваемыми силами являются веса Pt
и Р%.' В силу отсутствия трения связи
будут идеальными. Будем считать, что изо-
изображенное на рисунке положение системы
есть положение равновесия. Дадим системе
возможное перемещение и воспользуемся принципом
перемещений, выраженным в виде равенства A4.1):
возможных
F*
■■= 0.
В нашем случае п = 2; Fkx =
Согласно (е), имеем
= Q; Fkz~ — Pk
(f)
где Zi и г2 ■—аппликаты точек приложения сил Р\ и
Так как
= /2 sin cpa,
то
= -j-* 8<pa = A cos
Здесь 2/j и 2/9 —длины стержней.
Установим зависимость между 8ср, и 8<ра. Имея в виду-, что
расстояние между стенками постоянно, получим
2li cos <pt -f- 2/2 cos 99 = const,
отсюда имеем
следовательно,
Далее найдем
— 2lx sin
2/2 sin <p8 • 8cp2 = 0,
/( sin <p,
5s /( si
Ti L2 si
sin <pg
411

Подставляя в (/) значения bzt и bzit получим
— Pi/i cos ф,8<р! 4- PiU ^-^ cos cpAfi = 0.
откуда
Р
Такова искомая зависимость между углами <р, и <?2 при рав-
равновесии системы.
Задача 1040. Определить при условии равновесия величины
моментов Mi и М8, приложенных к барабанам lull подъем-
подъемного механизма, изображенного на рис. 555, а. Вес груза А ра-
равен РА, вес подвижного блока В равен Рв, коэффициент трения
между грузом А и наклонной плоскостью, образующей угол а
с горизонтом, равен f. Радиусы барабанов равны гу и гъ трением
в осях пренебречь.
Решение. Система имеет две степени свободы. За обобщенные
координаты примем углы поворотов барабанов ?i и <р8- Определим
предварительно обобщенные силы как функции обобщенных коор-
координат. Для этого составим выражение для элементарной работы
задаваемых сил на возможном перемещении:
Задаваемыми силами являются веса Рд и Рв и пары сил с мо-
моментами Mi и М^ Следует рассмотреть два случая.
Первый случай. Предположим, что при отсутствии трения
груз А стремится двигаться вверх. В этом случае при наличии
трения сила трения будет направлена вниз вдоль наклонной пло-
плоскости (рис. 595, б). Включая силу трения в число задаваемых
сил, имеем
U = Mi&<Pi + Л1»8:р, + PB8s, + P^8s, sin a. 4~ FTp8s.2)
где sl — расстояние от оси неподвижного блока С до оси блока В;
s4 — расстояние от оси неподвижного блока D до груза А.
Выразим 8sj и 8sa через приращения независимых обобщенных
координат 8<pi и 8<р4. Для этого напишем уравнения связей. Обозна-
Обозначив длину нити BCI через Ьи получим (рис. 555, в)
или
Si-{-r^i = const. (g)
Если длина второй нити равна Lit то (рис. 555, г)
b {\{l b
где tD — длина участка нити, охватывающего блок D.
Таким образом,
sa — 2s L -f- г9ср2 = const. (A)
412

Рис. 555

Варьируя полученные соотношения (g) и (К), получим
отсюда
Подставив эти величины в выражение для ЬА, имеем
ЬА = (Mi — Рвг, — 2PArx sin а — 2/-,/^) 5^ +
-{- (Л14 — г2Рл sin а — r
таким образом.
Q, = Л*, — Рвг, - 2Рл/ч sin а - 2^;
Qa = УИа — Рлг2 sin а — г^тр.
a. и, согласно A4.3), Q,=
При равновесии F7p^fN = fP
=rQa^O, следовательно,
Mi < PBrx -f- 2РлГ! sin a -(- 2Г]/Рл cos a;
УИа ^ Рдг2 sin ot -f- rtfPA cos a.
Во втором случае предположим, что при отсутствии трения
груз опускается (рис. 455, д). После аналогичных выкладок по-
получим
Л*15г Psr, -f- 2Рдп sin a — 2г,/Рл cos a;
Mi ^ Рлга sin a — rJPA COS a.
Итак, при равновесии системы
Рвгх -\- 2Рлг4 sin a — 2PArJ cos a < Mt ^ РВГ! +
4- 2PArx sin a-(- 2РлГ]/ cos a;
P^r4 sin a — PAr4 cos a ^ ^s *S ^лгг sin a -)-
-f- Рдга/ COS a.
Задача 1041 (рис. 556). Лебедка состоит из барабана, зубча-
зубчатой шестерни /, жестко скрепленной с барабаном, зубчатой
шестерни //, находящейся в зацеплении с шестерней /, и руко-
рукоятки О А, приваренной к шестерне //. Опре-
- делить минимальную величину силы F, ко-
которую надо приложить перпендикулярно
к концу рукоятки О А, чтобы поднять груз М
весом Р, подвешенный к тросу, если числа
зубцов шестерен соответственно равны г(
и za, длина рукоятки равна /, радиус бара-
барабана равен г. Трением пренебречь.
Ответ: F~
414

Задача 1042 (рис. 557). К штурвалу рулевой машины прило-
приложена пара сил, величины которых Fl = Fi = 80 н. Определить вели-
величину вертикального усилия S, передаваемого на рейку АВ, если
радиус штурвала /? = 45 см, а радиусы барабанов 1 и 2 и ше-
шестерни 3 соответственно равны: г1=\§см, г^=Юсм, г3=15см.
Трением пренебречь.
Ответ: 5 = 300 н.
Задача 1043 (рис. 558). Редуктор составлен из четырех кони-
конических колес, имеющих общую вершину начальных конусов, углы
в
-5S\J
4
S
t
j
Рис. 557
Рис. 558
при которых соответственно равны 2аь 2%г, 2а3, 2д4- К ведущему
валу / приложен вращающий момент Мг. Определить момент,
передаваемый на вал //, пренебрегая трением.
г\ 11 », sin Jo ■ sin a.
Ответ: М„ = М, —.—-—:—- .
а ' sin *L ■ sin i%
Задача 1044. В гидравлическом прессе, изображенном на
рис. 559, перпендикулярно к рычагу ОА в точке А действует
а,-
Рис. 559
Рис. 560
сила F. Площадь левого поршняравна Sb площадь правого — 5а.
Определить величину усилия Q, сжимающего тело М, если
О А—а; ОВ = Ь. Трением пренебречь.
Ответ: Q ———.
Задача 1045 (рис. 560). Два горизонтальных стержня шарнирно
закреплены в точках А и В, а их свободные концы соединены
тросом, перекинутым через блок С. Длины стержней равны /t и lt.
415

На расстояниях at и я9 от закрепленных концов к стержням
подвешены грузы весом Pt и Рг соответственно. Пренебрегая тре-
трением и весом стержней, найти соотноше-
соотношение между величинами а} и о2, если
система находится в равновесии.
Ответ: — = -pV~ •
Задача 1046. Решить предыдущую за-
задачу, учитывая веса стержней Qr и Qa.
Считать стержни однородными.
Ответ: 2P,/.2ai — 2Piliai = (Qi — Q{) IJ^.
Задача 1047 (рис. 561). В двухколо-
дочном тормозе с уравнительным механиз-
механизмом определить давления колодок на ко-
колесо, если к рычагу ОА приложена горизонтальная сила Q.
Весом частей механизма пренебречь. Принять: ОА=а; ОВ — Ь;
DC —с; DE = d. Найти, при каком условии ось Ot не испытывает
давления.
Ответ: 7VO —-=^—^—'-; ND = '—-.
Ось Ох не испытывает давления при ас= bd.
Задача 1048 (рис. 562). В двухколодочном тормозе определить
давления колодок на колесо, если к рычагу приложена верти-
Рис. 563
кальная сила Q, BC — BD — c, KL — AO=a, LE = OD—b. Весом
частей механизма пренебречь.
Ответ: NK = — ; NA= Q.
Задача 1049 (рис. 563). Для распора параллельных плоско-
плоскостей с — с и d — d используются встречные клинья А и В, ко-
которые приводятся в движение звездочкой О радиусом г. Опреде-
Определить величины сил Qi и Qit с которыми производится распор,
если со звездочкой скреплена рукоятка длиной /, к концу которой
приложена вертикальная сила F, а угол скоса клиньев равен <?.
Угол поворота звездочки считать настолько малым, что сцепле-
сцепление между звездочкой и клиньями не нарушается. Размерами
зубьев и трением пренебречь.
416

Считать Q1 = Q,2,
Ответ: Ql = Qi = ~*—-.
Задача 1050 (рис. 564). Четыре одинаковых однородных
стержня, соединенных между собой шарнирно, расположены в вер-
вертикальной плоскости. Противоположные вершины А и В по-
полученного ромба связаны между собой нитью. Нижняя
вершина С закреплена при помощи неподвижного
шарнира, а верхний шарнир D может свободно
перемещаться . по вертикальной направляющей.
Определить натяжение нити, если острые углы при
вершинах ромба равны 2<р, а вес каждого стержня
равен Р. Весом ползуна D и трением пренебречь.
Ответ: T = 2Ptg<?.
Задача 1051. В условиях предыдущей задачи,
заменив нить пружиной, естественная длина ко-
которой равна длине стержня I, определить жест-
жесткость с пружины, если при равновесии острые
углы при вершинах ромба равны 2?, причем
<Р>30°.
Ответ: с=
Рис. 564
Задача 1052 (рис. 565). Однородный стержень АОВ весом Р
изогнут под прямым углом так, что OA = llt ОВ = 1%. Стержень
подвешен в точке сгиба О и может вращаться около нее в верти-
вертикальной плоскости, опираясь концом В на горизонтальный одно-
однородный стержень CD, шарнирно закрепленный в точке С и
Рис. 565
Рис. 566
удерживаемый пружиной в точке D. Найти натяжение пру-
пружины, если вес стержня CD равен Q, CB=^CD, a = 45°. Тре-
нием пренебречь.
Ответ: F = -^--\ ^——.
Задача 1053. В механизме, показанном на рис. 566, ползун D
весом Q может скользить вдоль гладкой неподвижной направляю-
направляющей АВ, образующей с горизонтом угол а = 30°. Кривошип АС
и шатун CD имеют одинаковые длины и веса, в два раза большие
14 Н. А. Бражниченко и др.
417

веса ползуна. Определить при равновесии системы угол у, обра-
образованный кривошипом с направляющей АВ. Трением пренебречь.
Ответ: <р = ЗО°.
Задача 1054 (рис. 567). Система состоит из двух одинаковых одно-
однородных шарнирно скрепленных стержней АВ и ВС весом Р каждый.
Стержень А В шарнирнр закреплен в точке А
и к середине его подвешен груз М весом Q.
Стержень ВС опирается на гладкий гори-
горизонтальный пол. Какую горизонтальную
силу F следует приложить в точке С, чтобы
сисгема находилась в равновесии, если
/_ОАВ= /_ ОСВ = 60°?Трением пренебречь.
в
С F
Рис. 567
Ответ: F =
Задача 1055 (рис. 568). Два одинаковых однородных стержня
АВ и ВС соединены между собой шарниром В. К концу С
стержня ВС приложена горизонталь-
горизонтальная сила F, равная по величине по-
половине веса стержня. Определить
в положении равновесия системы
углы аир, пренебрегая трением.
Ответ: а. = arc tg ]/з = 18°25';
Р = 45°.
Задача 1056. В стержневой си-
системе, изображенной на рис. 569,
стержни АВ, ВС, CD соединены шар-
шарнирно друг с другом и с неподвижны-
неподвижными опорами. Определить зависимость
между величинами сил Q и F при равновесии, если (pj = <p9 =
= у. Весом стержней пренебречь.
Ответ: F~Qtg<f.
Задача 1057 (рис. 570). В кулисном механизме, расположен-
расположенном в горизонтальной плоскости, определить соотношение, имею-
У
Рас. 568
Рис. 569
Рис. 570
418

щее место при равновесии, между моментами, приложенными
к кривошипу и к колесу //, если длина кривошипа г, а радиус
колеса // равен г2. Трением пренебречь.
Ответ: ^ = r-^L.
Задача 1058 (рис. 571). Редуктор скоростей состоит из непод-
неподвижной шестерни 1 радиусом ги двух спаренных между собой
бегающих шестерен 2 и 3 с ра-
радиусами г2 и г3 и шестерни 4,
сидящей на ведомом валу IV.
К ведущему валу / приложен
вращающий момент Mt. Прене-
Пренебрегая трением, определить мо-
Рис. 571
мент М% сил полезного сопротивления, приложенных к валу IV,
при условии равномерного вращения механизма.
Ответ: M,=Ml b±>
Vir2) (n з)
Задача 1059 (рис. 572). В блоке системы «Триплекс» на валу
а — а жестко насажен цепной блок А; на том же
валу заклинена шестерня /. При вращении шестер-
шестерни / бегающие шестерни /// катятся по непод-
неподвижной шестерне IV и посредством водила В
приводят во вращение цепной блок С. Числа
зубцов шестерен соответственно равны: гг = 12;
z2 — 28; г3=14; z4 —54. Определить массу под-
поднимаемого груза т, если на цепь, надетую на
блок А, действует сила F=100 н, а радиус R
блока А в J0 раз больше радиуса г блока С.
Связи считать идеальными.
Ответ: т = ™ <««-«.><'.+».> =1>02 т.
gf г12з
Задача 1060 (рис. 573). Кривошипно-шатунный
механизм расположен в вертикальной плоскости.
Определить, какой вращающий момент М пере-
14»
419

дается на кривошип, когда он образует угол ср с вертикалью, если
результирующее давление пара в цилиндре равно F. Кривошип
и шатун считать однородными стержнями равной длины / и
весом Р каждый. Трением и весом поршня пренебречь.
Ответ: М = 21 (F-\-P) sin ср.
Задача 1061. На поршень двигателя действует сила F.
Определить в зависимости от углов ср и ф вращающий мо-
момент М на коленчатом валу, если длина
кривошипа г. Весом частей пренебречь
(рис. 573).
s\ % я sin (ф -4— Ф)
Ответ: М =—>т т -Fr.
cosy
Задача 1062 (рис. 574). Колесо ра-
радиусом R равномерно катится без сколь-
скольжения по горизонтальному рельсу под
действием пары с моментом М. С центром колеса шарнирно свя-
связан стержень, другой конец которого скользит по направляющим,
параллельным рельсу. Определить силу трения F в направляю-
направляющих. Трением качения пренебречь.
Ответ: F = ~^.
Задача 1063 (рис. 575). На кривошип OtA кулисного меха-
низ^4a, расположенного в горизонтальной плоскости, действует
Рис. 574
Рис. 575
Рис. 576
вращающий момент Mt. Определить, какой момент М.2 следует
приложить к кулисе, чтобы уравновесить механизм в момент,
когда /mA010i = Y> Z0i0H==¥- Трением пренебречь.
Ответ: М9 = ^.
Задача 1064 (рис. 576). К коромыслу OtA четырехзвенного
механизма приложен вращающий момент Mt. Определить момент Mlt
передаваемый на коромысло О*В, в положении механизма, изобра-
420

женном_ на рисунке, если ОуА — 0> см, О1
— IV 3 см, 1_ А0,0\ = 90°, Z. ВО2О1= 120°.
Ответ: Mi=-^Ml.
= |А3 см, 0^В==
Задача 1065 (рис. 577). Пресс приводится в действие при
помощи кулисного механизма, причем к кривошипу ОА приложен
Рис. 577
Рис. 578
момент М. Найти давление, оказываемое прессом в зависимости
от угла ср, если длина кривошипа равна /. Трением и весом
частей пренебречь.
Ответ: F = -. .
/ sm у
Задача 1066 (рис. 578). Для перемещения ползуна А по на-
направляющим применяется рычаг, длина которого /, расстояние
оси вращения до направляющих равно h. К концу рычага пер-
перпендикулярно к нему приложена сила F. Определить величину
горизонтальной силы R, которую следует при-
приложить к ползуну, чтобы уравновесить меха-
механизм. Весом частей механизма и трением пре- 1 ?<Г
небречь.
Ответ: /< = -r-sin<?.
Задача 1067 (рис. 579). Две тяжелые точки Рио- 579
Mi и УИ2, соединенные между собой невесомым
жестким стержнем длиной /, находятся внутри гладкой сферы
радиусом /? = /. Определить при равновесии угол а, образованный
стержнем с горизонтом если вес точки Mi равен Р, а вес точки Мг
равен 2Р."
Ответ: a = arct
421

Задача 1968. В кратных полиспастах, изображенных на рис. 580,
определить зависимость между величиной силы Q и весом груза Р
при равновесии, если число блоков с подвижными осями равно л.
Весом блоков и трением в осях пренебречь. Считать все части
тросов между блоками параллельными.
Ответ: а) <?=^; б) Q=^
Задача 1069. В дифференциальном полиспасте, изображенном
на рис. 581, определить зависимость между величиной силы Q
а)
Р
Рис. 580
Рис. 581
и весом Р груза М при равновесии, если радиус большого блока
равен R, а радиус верхнего малого блока г. Весом блоков и тре-
трением в осях пренебречь.
Ответ: Q = *LijLp.
Задача 1070 (рис. 582). Однородная стремянка с шарниром С
стоит на горизонтальной шероховатой плоскости. При каком пре-
С
А
Рие. 582
Рис. 583
дельном угле наклона а стремянка будет находиться в равнове-
равновесии, если коэффициент трения ее о плоскость равен /?
Ответ, a^arctg^.
Задача 1071 (рис. 583). С какой силой сжимают тиски обра-
обрабатываемую деталь, если к концу В рукоятки приложена пер-
422

тсендикулярная к ней сила F, шаг винта равек h, а длина руко-
рукоятки /?
Ответ: Q =
Задача 1072. Для подъема легкового автомобиля применяется
домкрат, изображенный на рис. 584. Считая, что АО — ОВ —
~CE = ED~a; CB — AD — 2a и угол а = 60°, определить не-
необходимый шаг винта, если усилие, приложен-
приложенное к рукоятке, равно 80 н, а масса подни-
поднимаемого груза равна 1 т. Расстояние от ру-
рукоятки до оси винта равно 20 см. Трением
пренебречь. Стержни СВ и AD шарнирно скреп-
скреплены посередине.
Ответ: ft = 4,44 мм.
Задача 1073 (рис. 585). В винтовом руле-
рулевом приводе силовой мотор развивает на своем
валу вращающий момент Ма. Пренебрегая
трением, определить момент УИЬ передаваемый
на руль, в зависимости от углов а и f, пока-
показанных на рисунке, если шаг винта равен h,
длина О А — г. Крепления в точках А и В шарнир-
шарнирные. Передаточное число, т. е. отношение углов
поворота вала мотора и винта, равно к.
Ответ: М,
Рис. 584
Задача 1074. В прессе, показанном на рис. 586, на махови-
маховичок А действует пара сил с моментом М. Благодаря различным
яарезкам гайки В и С одновременно сходятся или расходятся.
Рис. 585
Рис. 586
Определить сжимающее усилие S, развиваемое прессом, в том
положении механизма, когда стержни BD и OD образуют с вер-
вертикалью углы <Ь и а. соответственно. Весом частей пресса и тре-
трением пренебречь. Шаг винта равен h.
л г, л sin la -4- ф) М
Ответ: S= ■ ■ —.
h sin 4* cos а
423

Задача 1075 (рис. 587). Пресс состоит из двух рычагов, со-
соединенных в точке А шарнирно, и из винта с правой и левой
резьбой, который может ввинчиваться в гайки В к С. Определить
величину усилия F, создаваемого прессом, если к рукоятке винта
приложен вращающий момент М. Шаг винта равен h, длины плеч
Рис. 587
Рис 588
рычагов соответственно равны а и Ь; /_ ВАО= / CAOi — 90°;
£ AOOi — y. Весом частей пресса и трением пренебречь.
^ п ЬпМ
Ответ: F = ^^.
Задача 1076 (рис 588). К рукоятке ОБ домкрата приложена
перпендикулярная к ней сила Р. При вращении рукоятки ше-
шестерня /, закрепленная на ее оси, приводит во вращение ше-
шестерню //; через шестерню // проходит ходовой винт, которому
она сообщает продольное поступательное перемещение вверх.
Шестерня ///, скрепленная с шестерней /, нахо-
находится в зацеплении с шестерней IV, которая может
поворачивать винт, не препятствуя его продоль-
продольному перемещению, благодаря наличию на ней
пальца, скользящего в прорези. При этом винт,
ввинчиваясь в неподвижную гайку А, опускается.
Определить вес поднимаемого груза Q, если шаг
винта 1г, а радиусы шестерен соответственно равны
Т\, г2> г3, г4. Длина рукоятки ОА равна R.
Ответ: Q ==
Задача 1077. Определить момент М пары сил,
которую необходимо приложить к вороту Л,
и соотношение между весами грузов для того, чтобы система, изо-
изображенная на рис. 589, находилась в равновесии, если радиус
ворота равен R. Весом блоков и трением пренебречь.
Ответ: M = PiR; Р1 = 4Ра.
424

Задача 1078 (рис. 590). Система состоит из двух невесомых
блоков: неподвижного А и подвижного В, и из трех грузов УИЬ
М2, М3, подвешенных с помощью нерастяжимых нитей, как ука-
указано на рисунке. Определить соотношение между
весами грузов в условиях равновесия системы. Весом
блоков и трением пренебречь.
Ответ: Р, = 2Р2 = 2Р3.
Задача 1079. В системе, изображенной на рис. 591,
определить соотношение между весами грузов Рх
и Ра при их равновесии. Весом блоков и трением
пренебречь.
Ответ- Р1 = 4Ра.
Задача 1080. Четыре груза Mlt Mit M3, Мь
подвешенные посредством системы блоков, изобра-
изображенной на рис. 592, находятся в равновесии. Опре-
Определить зависимость между весами грузов, прене-
пренебрегая весом блоков и трением.
Ответ: 2Р1 = Р4 = 2Р4 = Р3.
Задача 1081 (рис. 593). Определить вес Р груза А и момент УИа
пары, который необходимо приложить к вороту // для того,
чтобы система находилась в равновесии, если к вороту / прило-
Рис. 590
им,
Рис. 593
жена пара с моментом Mt. Вес подвижного блока равен Q, а ради-
радиусы воротов одинаковы и равны R. Весом блоков и трением пре-
пренебречь.
„ п ML — QR .. ML— QR
Ответ: Р — ' 2/? ; Mt = - 2 .
§ 2. Общее уравнение динамики системы
При идеальных удерживающих связях, наложенных на систему,
имеет место общее уравнение динамики:
A4 8)
ft=i
425

или
Уравнение A4.8) можно переписать в виде
bA(F)-\-ZA(]) = O,
A4.9)
A4.10)
т. е. при движении системы с идеальными удерживающими свя-
связями сумма элементарных работ задаваемых сил и сил инерции
равна нулю на всяком возможном перемещении системы из любого
ее положения.
Работу сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг не-
неподвижной оси, при элементарном повороте Вер вокруг оси вра-
вращения определяют формулой
ЬА (/) = — игЦ, A4.11)
где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения;
£ — угловое ускорение.
В случае наличия сил трения их нужно причислять к зада-
задаваемым силам.
Задача 1082 (рис. 594). Центробежный тахометр состоит из
двух точечных масс А н В, соединенных между собой стержнем,
муфты С, скрепленной с массой А
при помощи стержня АС, и спираль-
спиральной пружины. Стержень АВ может
поворачиваться вокруг оси О, перпен-
перпендикулярной к оси тахометра ОгОг.
При отсутствии вращения стержень
АВ образует с осью тахометра угол ср0.
Определить зависимость угловой ско-
скорости вращения тахометра от угла <р,
если масса тА = тв = т, а масса
муфты равна тх. Жесткость спи-
спиральной пружины принять равной с
и считать ОА=ОВ = АС = 1. Весом
стержней и трением пренебречь.
Решение. Система состоит из точеч-
точечных масс Л и В и муфты С. Зада-
Задаваемыми силами являются веса и упругие силы пружины, момент
последних МуПр = е(ср — ср0). Приложим условно к точкам системы
силы инерции:
h = ~ mw.
Рис. 594
A;
Так как
— wi 4- ®"р,
426

■a wbp = O в силу равномерности вращения, то wA = w°; т. е.
wA = u>2/sin ip.
Таким образом,
/а =/в = "*«>*/sin <р.
При этом силы инерции являются центробежными и направлены
перпендикулярно к оси вращения.
Если не пренебрегать размерами муфты, то к каждой частице
муфты будет приложена сила инерции //( также являющаяся
центробежной. Приложив силы инерции, сообщим системе воз-
возможное перемещение 8ср, повернув мысленно стержень АВ вокруг
точки О в плоскости рисунка. Определим элементарную работу
задаваемых сил и сил инерции.
При повороте твердого тела
Обозначая Ра — Рв — Р — Щ — веса грузов, имеем
ЬА(РА) = — P/sincpScp;
8Л (PB) = Pl sin cp8<p;
Работа упругих сил
8Л(/?упр) = -с(<р —<ро)8?-
Работу веса Р\ муфты С найдем по формуле
bA(Pl) = Pibz,
где bz — изменение расстояния муфты от точки О.
Так как
г = 21 cos tp,
то
8г=г-^ 8<р = —2/sin<p8cp
dip т т
и, следовательно,
ЪА(Р1) = — 2/P,sin<p8'f.
Работа сил инерции /; на возможном перемещении равна
нулю, так как эти силы перпендикулярны к элементарным пере-
перемещениям.
Таким образом, согласно A4.10), имеем
ЬА (F) -+- §Л (/) = jj cos <р Ц -f /я^cos ? *? —
— 2/Р, sin tp Scp - с (tp — ср0) S*p = 0.
427

Подставив найденные значения, получим
2тшЧ* sin tp cos <р bf — 21РХ sin cp 8tp — с (cp — <p0) Stp = 0,
отсюда
1 /~2gtm1 sin <;> + с (у — <[>„)
К ffl/2sin2<f
Задача 1083. Система состоит из четырех масс ть т2, тъ, ть,
соединенных попарно и подвешенных при помощи блоков А, В,
С, как показано на рис. 595. Определить, при
каком соотношении масс груз с массой т4
будет оставаться на месте, если в начальный
момент система находилась в покое. Весом бло-
блоков, нитей и трением пренебречь.
Решение. Система имеет три степени свободы.
Обозначим абсолютные координаты грузов
через уи уг, у3, yk. Задаваемыми силами яв-
"' ляются веса. Согласно уравнению A4.9),
имеем
+
,=о. (о
(m3w3 — mzg) Ъу3 -f
Рис 595 Установим зависимость между перемеще-
перемещениями Ъуи byit Ьу3, 8#4> Для чего составим урав-
уравнения связей. Так как все нити предполагаются нерастяжимыми,
то, обозначая через Lu L2, h3 длины нитей, получим
а ~
У» —
Умножая второе уравнение на 2 и складывая все три уравне-
уравнения (чтобы исключить Si и s2), имеем
= 2Ь2 — 2тггв -\-Li~ ъг
— rcrc = const
(поскольку система имеет три степени свободы, это единственное
уравнение связи). Варьируя, найдем
а дважды дифференцируя по времени, получим
vi\ —\- w% -\- w& ~\~ Wg — 0. (h\
428

Заменяя в (i)byi его выражением через Ьуи 8у„ Ьу3 из (/), имеем
[/я( (да1 — g) — пц (щ>4 — g)] 8f/i -f- [m? (а/? — g) — m4 (ш4 — $)] by*,-f-
-f [/ (aws — g) — ^4 (Щ — g)] %y-A = 0.
Так как вариации bylt Ъу$, 8уя взаимно независимы, то коэф-
коэффициенты при них должны быть равны нулю, отсюда
Щ (wi — ё);= mi (wi — ё) >
mi (да, — g) = ^4 (^4 — g);
гпз (ш» — ё)==ть (^i — &) •
Умножая эти равенства соответственно на mam3, /7iim3, /7iim.2 и
складывая, а также учитывая (&), получим
4 m,m3ms-|-я»1тая»4-|-/«1тз'п4 + 'ягт8т4 "'
Для того чтобы груз массой т4 при отсутствии начальной
скорости не двигался, необходимо, чтобы
^4 = 0, т. е.
Разделив обе части этого соотношения
на mi/njfl29, можем представить его в виде
m, ~^~ ш2 "i" m3
Это и есть искомая зависимость между
массами грузов.
Задача 1084 (рис. 596). К ведущему
барабану / радиусом R подъемного меха-
механизма приложен постоянный вращающий
момент М.
Не учитывая масс вращающихся ча-
частей и тросов и пренебрегая трением в
осях, определить ускорение поднимаемого
груза А, если радиусы барабанов // и /// соответственно равны
га и г3, передаточное число ~ = k, а масса груза равна т.
Ответ: w = %£-g.
Задача 1085. Решить предыдущую задачу с учетом масс вра-
вращающихся частей механизма, приняв моменты инерции: ведущего
барабана Ju барабана // с зубчатым колесом /а, барабана ///
с зубчатым колесом У3-
Ответ:
Рис. 596
Задача 1086 (рис. 597). На трех сплошных однородных валах,
к каждому из которых приложен вращающий момент М, нахо-
429

дится балка массой т%. Определить ускорение балки, если масса
каждого вала равна ти а радиус равен г, считая, что между
валами и балкой скольжение отсут-
отсутствует. Трением в осях пренебречь.
Ответ: w= ^
Задача 1087 (рис. 598). Зубчатый
редуктор состоит из двух зубчатых
Рис. 597
Рис. 598
колес / и //, массы которых равны т, и тъ а радиусы г и R
соответственно. На первое колесо действует момент М, приводящий
его в движение, а на второе колесо — тормозной момент Ь = -^ М.
Определить угловые ускорения вг и е, колес, считая их однород-
однородными дисками, если #=12 г. Трением в подшипниках прене-
пренебречь.
г* 15М 5Л4
Ответ: Bi = -jpjm^^-; ч— 32r3(mi + WJ-
Задача 1088 (рис. 599). На транспортере находится 1руз А
массой т. К ведущему шкиву приложен вращающий момент М.
Рис 599
Рис. 600
Ведомый и ведущий шкивы имеют одинаковые массы, распреде-
распределенные по ободу, и радиусы, равные г. Лента транспортера счи-
считается однородной, имеет массу т, и натягивается роликом С,
массой которого пренебрегаем. Определить ускорение груза А,
если масса каждого шкива равна тъ а угол наклона ленты к го-
горизонту равен ос.
Трением в осях пренебречь.
,, М — mgr sin a
Ответ: w= o \_„\т\г •
Задача 1089 (рис. 600). Два сплошных однородных вала / и
// массами т% и т% вращаются без трения около параллельных
430

осей при помощи бесконечного ремня так, что скольжение отсут-
отсутствует. К первому валу приложен вращающий момент М, а на
второй вал наматывается трос, к концу которого привязан груз
массой тъ. Определить ускорение груза, пренебрегая массой ремня
и троса. Радиус вала / равен г.
Л 2 (М )
Ответ: w= {\
Задача 1090. В регуляторе, показанном на рис. 601, опреде-
определить угол раствора а при установившемся вращении с угловой
Рис. 601
Рис. 602
скоростью со, если масса каждого шара равна т, масса муфты Е
равна М, ОС — ЕС = АС — а. Массой стержней, размерами шаров
и муфты, а также трением пренебречь.
Mg
Ответ: cos ос =
а=0, если
если <!>>-it
та'1
Mg
та'
Задача 1091. В центробежном регуляторе, изображенном на
рис. 602, каждый из грузов А и В имеет массу т, а муфта
С — массу М. Пренебрегая массой стержней, определить, на
какую высоту поднимется муфта, если регулятор равномерно
вращается с угловой скоростью о>. Считать, что при отсутствии
вращения <р = 0. Найти также, при какой угловой скорости «ч
муфта вовсе не поднимается. Трением и размерами муфты пре-
пренебречь.
Ответ: х
« /« ml-\- Мп \
= 2а 1 4т2— 8 ;
V mob I* ° J '
g (ml-\-Ma)
in
431

Задача 1092. В регуляторе, изображенном на рис. 603, грузы А
и В имеют массы по 1 кг каждый, масса муфты 3 кг, длины
стержней 10 см. Определить число оборотов в минуту, которое
совершает регулятор, если муфта С поднялась при этом на рас-
расстояние s = 2 см, а при отсутствии вра-
вращения угол а равен нулю. Размерами
грузов и муфты, а также трением пре-
пренебречь.
Ответ: л =129 об/мин.
Задача 1093 (рис. 604). Косинусный
регулятор представляет собой угловой
рычаг, на концах которого прикреплены
два точечных груза А и В с одинаковыми
массами. Длины плеч рычага равны соот-
соответственно 1Х и 1ч {1\Ф 4), причем угол,
под которым согнут рычаг, равен 90°.
Пренебрегая массой рычага и трением
в оси, определить, при какой угловой
скорости регулятора прямая, соединяющая центры грузов, будет
горизонтальной.
Ответ: «в* =
Задача 1094. Определить угловую скорость, с которой враща-
вращается регулятор, изображенный на рис. 605, если при установив-
Рис. 604
Рис. 605
шемся вращении <|> = 30°; (р = 60°. Масса каждого груза D равна т,
масса муфты А равна УИ(УИ<Зт); AB = CD = l; BC = -—L-;
Z BCD == 90°.
Массами стержней и ползуна В, а также трением пренебречь.
Г
Ответ
р
: <в = — 1/ -
Зт - M)
432

Задача 1095. При вращении регулятора, показанного на
рис. 606, шары А и В, расходясь, сжимают при помощи рычагов
АОС и BOiD пружину, жесткость которой равна с. Установить
зависимость угловой скорости о> от угла а отклонения рычагов,
если массы грузов равны т, AO = BOt = l, расстояния центров
вращения рычагов О и О, от оси
регулятора равны г, а расстояния от
этих центров до роликов равны Ь.
При а = 0 пружина не напряжена,
при этом центры вращения рычагов
и ролики находятся на одной гори-
горизонтали. Массой рычагов и трением
пренебречь.
a (cbs cos a-i-2mgl) tga
ч _'
Задача 1096. При вращении цен-
центробежного регулятора, изображен-
изображенного на рис. 607, прямоугольные
рычаги АСВ и А'С'В' поворачивают-
поворачиваются вокруг горизонтальных осей С и С и отжимают муфту М.
При отсутствии вращения плечи рычагов ВС и В'С перпенди-
перпендикулярны к оси вращения, пружина при этом недеформирована.
Зная массы т грузов и пренебрегая
массой рычагов, муфты и пружины,
а также трением, определить, какова
должна быть жесткость пружины с,
Рис. 608
для того чтобы рычаги регулятора при заданной углооой ско-
скорости ш отклонялись на заданный угол а, если СС = 2а, ВС =
= В'С = г, АС~А'С — 1.
Ответ:
2ml \g sin i -\- a2 cos a (a -\-1 sin a)]
Г2 Sin a COS а
Задача 1097 (рис. 608). Шарнирный четырехзвенник ABCD,
расположенный в вертикальной плоскости, имеет неподвижное
звено AD. Каждое подвижное звено представляет собой однород-
однородный стержень длиной /, причем все стержни имеют одинаковые
433

массы. Определить период колебаний системы при малых откло-
отклонениях от равновесного положения.
Ответ: т = 2тс 1/ —.
Задача 1098. Определить период малых крутильных колеба-
колебаний системы, изображенной на рис. 609, считая колеса однород-
однородными дисками с массами mt и тг. Пру-
Пружины имеют жесткости си с2 и при горизон-
горизонтальных положениях радиусов ОУА и ОгВ
не напряжены.
Ответ: т = 2тс 1/ .,*"' , 'V.
Г 2 (с, -f-Cg)
Задача 1099 (рис. 610). Однородный
сплошной цилиндр массой М может вра-
вращаться без трения вокруг неподвижной
оси О. Через цилиндр перекинут трос,
один конец которого несет груз А массой т,
а другой прикреплен к пружине с жесткостью с. Считая, что
трос не проскальзывает по цилиндру, определить период малых
вертикальных колебаний системы.
Ответ: т = 2-
Рис. 609
2с
Задача 1100 (рис. 611). Два ползуна А и В массой т каждый
шарнирно скреплены с двумя одинаковыми стержнями, которые
Рис. 610
Рис. 611
соединены шарниром в точке С. Ползуны могут скользить по
горизонтальным направляющим без трения. К точке соединения
стержней подвешен груз D массой М и отпущен без начальной
скорости. Каково будет ускорение груза D в начальный момент
движения, если стержни образуют в этот момент угол а. с гори-
горизонтом и движутся в вертикальной плоскости? Массой стержней
пренебречь.
Ответ: w |<=0 = 8
434

Задача 1101 (рис. 612). К концам горизонтального рычага АВ
прикреплены два вертикальных каната, перекинутых через блоки
С и D. К свободным концам канатов подвешены грузы F и Е
с массами mt и т2 соответственно, которые отпущены без началь-
Н
в
Рис. 612
Рис 613
ной скорости. Найти начальное ускорение груза F, если отноше-
отношение плеч рычага АО :ОВ— k. Массами рычага, блоков и трением
пренебречь.
Ответ: wF\i
Задача 1102 (рис. 613). Стержень, на середине которого укреп-
укреплен груз М массой ти одним концом может скользить по глад-
гладкой вертикальной стене, а другим шарнирно
прикреплен к ползуну В с массой mit который
может двигаться без трения в горизонтальных
направляющих. Найти ускорение ползуна в на-
начальный момент движения из состояния покоя,
если стержень образует в этот момент с горизон-
горизонтом угол а. Массой стержня и размерами груза
пренебречь.
Ответ:
, т. sin 2a
В 1/ = 0 mt COS2 а-|-4от2 sin2 a *»'
Задача 1103 (рис. 614). Груз А с массой т Рис. 614
поднимается при помощи воротов / и //, имею-
имеющих равные радиусы R и равные моменты инерции J. Опре-
Определить ускорение груза, если к воротам приложены пары с мо-
моментами Mi и М^ соответственно. Массами блоков и трением
пренебречь.
Ответ: wA —
При wA^>0 груз поднимается.
Задача 1104. Система, изображенная на рис. 615, находилась
в начальный момент в покое, а затем была предоставлена дейст-
действию сил тяжести. Считая свободные участки тросов вертикальными
435

и пренебрегая массами блоков и трением, определить, какова
должна 'быть масса т3, для того чтобы она оставалась во все
время движения системы в покое (по отноше-
отношению к неподвижной системе отсчета), если тх —
= 21 кг, т2= 14 кг.
Ответ: т3 = 6 кг.
Задача 1105. В системе, изображенной на
рис. 616, определить натяжение Т троса CD и
величины ускорений грузов Mt и Мъ массы
которых соответственно равны т4 и та, считая
свободные участки тросов вертикальными и пре-
пренебрегая массами блоков, а также трением.
Ответ: TCD=
Рис. 615
' W\ = -—— i ,
/Л;-j-16/И2 ' till -J— 16ffl2
4Dиа —mt)g
^ mi + 16m2 '•
Задача 1106. В системе, изображенной на рис. 617, опреде-
определить величины абсолютных ускорений грузов Mi и М2, массы
которых связаны соотношением т^ = \т2, если к вороту А, пред-
представляющему собой однородный цилиндр массой тг и радиусом R,
М
Рис. 616
Рис 617
Рис. 618
приложена пара сил с моментом М. Массами блоков, тросов и
1рением пренебречь.
Ответ: Wi~w2 = - 7^^—'-.
Задача 1107 (рис. 618). К вороту А, представляющему собой
цилиндр с моментом инерции J и радиусом R, приложен враща-
вращающий момент М. Определить угловое ускорение г ворота, если
массы грузов Л1, и М2 соответственно равны ту и тг. Массами
блоков, тросов и трением пренебречь.
м + ) П

ГЛАВА XV
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
Для системы с голономными идеальными и удерживающими
связями уравнения Лагранжа имеют вид
дТ г, /■ 1 о n /ir in
-wrQ] 0 = 1*2> ••"s)' A5Л)
где qu qit ..., qs — обобщенные координаты системы;
s — число степеней свободы системы;
Чи Чъ ■•-, ^ — обобщенные скорости;
Т — кинетическая энергия системы;
Qi. Q21 • • •> Qs — обобщенные силы.
Для систем, движущихся в потенциальном силовом поле, урав-
уравнения Лагранжа будут:
dt \dq,
где L = T — П — функция Лагранжа.
Для составления уравнений Лагранжа следует:
установить число степеней свободы и выбрать обобщенные
координаты;
предположив, что система движется так, что все обобщенные
координаты увеличиваются, составить выражения для кинетиче-
кинетической энергии системы, при этом все переменные величины, входя-
входящие в Т, должны быть выражены через обобщенные координаты
и обобщенные скорости, т. е.
T = T(qh q4, ..., qs, qu q%, ...,<?,;/) A5.3)
(в случае стационарных связей время t не входит в выражение Г);
дТ
определить частные производные -^-; определить производ-
d I дТ\ ' дТ ,
ные ,. U-.- , считая все переменные, входящие в -*-г, функциями
at \oqjj aq;
времени /; найти обобщенные силы по A4.4), A4.5), A4.6); под-
подставить все найденные величины в A5.1).
Задача 1108. Прямоугольная призма А может скользить па
гладкой горизонтальной плоскости. На наклонной гладкой грани
призмы помещен однородный цилиндр В, на который намотана
нерастяжимая нить, перекинутая через идеальный блок С. К концу
нити прикреплен груз D массой т. Принимая массу цилиндра
равной 2т, а массу призмы Зт, определить движение системы,
если в начальный момент она находилась в покое, а угол ос=30°.
Размерами и массой блока пренебречь.
437

Решение. Система имеет три степени свободы. Выберем обоб-
обобщенные координаты (рис. 619, а):
qt — x — расстояние от оси блока С до центра тяжести груза D;
qi = y — расстояние между осями блока С и цилиндра В;
q%=*z — перемещение призмы.
Рис. 619
Предполагаем, что все обобщенные координаты изменяются
в сторону их увеличения.
Определим кинетическую энергию системы. Имеем
где ТА — кинетическая энергия призмы;
Тв — кинетическая энергия цилиндра;
TD—кинетическая энергия груза.
Призма движется поступательно со скоростью i>a = 2, следо-
следовательно,
1 а <iz ~ 2 г ■
Груз D участвует в двух поступательных движениях: относи-
относительном (по отношению к призме) со скоростью vl — x и перенос-
переносном (вместе с призмой) со скоростью ил~г. Поэтому абсолютное
движение груза является также поступательным со скоростью, рав-
равной геометрической сумме указанных скоростей (рис. 619, б), т. е.
следовательно,
Таким образом,
438

Цилиндр совершает плоскопараллельное движение. Его кине-
кинетическую энергию определим по формуле Кёнига:
т _ mvl \«Ъ
1 В—
где Но — абсолютная скорость оси цилиндра;
юв — угловая скорость цилиндра;
/„ — момент инерции цилиндра относительно его оси О.
Скорость точки О согласно теореме Сложения скоростей равна
геометрической сумме относительной и переносной скоростей
(рис. 619, в), т. е.
где v%—$ — относительная скорость оси цилиндра, следовательно,
vo — v\ -\~ v\ — 2v%v3 cos a = j>2 -\- z% — 2pi cos a.
Определим mB. Так как движение призмы А является посту-
поступательным, то угловую скорость шв следует определить лишь
в относительном движении цилиндра по отношению к призме А.
Известны относительные скорости двух точек цилиндра О и £
(рис. 619, г):
Относительный мгновенный центр скоростей цилиндра В
находится в точке К, поэтому
Составляя производную пропорцию, получим
где JR — радиус цилиндра.
Момент инерции цилиндра
Jo = —Y~~
следовательно,
Тв = m (у* + г* - 2yz cos a) + f- (x + 0)«
Кинетическая энергия всей системы
71 = ■— za -f- -^ (i2 -j- za) -f- m (ya -|- za — 2yz cos i
Найдем частные производные:
= 3mz + mi -\- 2m {z — у cos a).
439-

Так как обобщенные координаты х, у, г непосредственно не
входят в выражение для Т, то
дх ду dz
далее
-^ (ту) — 2т (у — z cos a)-\-m (х -f- j/) = mx -(- 3mt/ — 2//гг cos a;
-— (-3J-) = 3mz -|- ffiz ~f- 2m (z — i/ cos а) = — 2my cos a -f- 6tnz.
Определим обобщенные силы.
Для нахождения Qx воспользуемся формулой
"■* Ьх '
где 8Л1 — элементарная работа задаваемых сил в предположении,
что Ьху^О; Ъу = Ъг = О, следовательно,
bAl = PDbx = tngbx,
откуда
Qx = mg.
Аналогично найдем
где 8Л2 — элементарная работа задаваемых сил при перемещении
ЬуфО; Ъх = Ъг = 0.
Очевидно,
8Л2 = Рв by sin a = 2mg sin а8у,
тогда
Qv = 2mg sin a.
Если же
Ьх — Ьу = О\ ЬгуЬО,
то
8Л3 = 0,
и, следовательно,
Qz = 0.
440

Замечание. Обобщенные силы можно легко определить и по
формуле
п — дп
В нашей задаче
П = — PDx — Рв г/ sin a -f- const,
следовательно,
О_^o
Подставляя все найденные величины в уравнения Лагранжа,
получим
2тх -|- mi/ = mg; tnx -\- Зту — 2tnz cos a = 2mg sin a;
— 2mj/cosa-f-6/nz = 0,
Принимая во внимание, что a = 30°, найдем
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения
движения системы в обобщенных координатах.
Умножая второе уравнение на 2 и вычитая из него первое,
получим
Решая это уравнение совместно с третьим, найдем
..з 1 .. уТ
Интегрируя, получим
Постоянные Си Съ С3 равны нулю, так как в начальный момент
Интегрируя еще раз и отбрасывая несущественные постоян-
постоянные, получим искомые уравнения движения системы:
*=ж^ y=W- г=ж^-
Задача 1109. Однородный стержень АВ длиной / движется
в вертикальной плоскости под действием силы тяжести так, что
его конец А скользит без трения по наклонной плоскости, состав-
441

ляющей с горизонтом угол я (рис. 620, а). Составить дифферен-
дифференциальные уравнения движения стержня и установить, может ли
он двигаться таким образом, чтобы угол <р отклонения стержня
от вертикали был постоянным.
с
Рис. 620
Решение. Система имеет две степени свободы. Примем за
обобщенные координаты: qi = x — смещение точки А по наклон-
наклонной плоскости; q% — <?— угол отклонения стержня от вертикали.
Уравнения Лагранжа имеют вид
d (дТ\ дТ „ d Idl
^J_ __ Q (q\
j dx '°ii' dt \d& j dy '
Предполагая, что х и ср увеличиваются, составим выражение
для кинетической энергии системы Г:
1 , а
Здесь w = $; •^с:=^2". ^ — масса стержня.
Для определения vc воспользуемся теоремой сложения ско-
скоростей (рис. 620, б). Имеем
где относительная скорость vCr есть скорость центра инерции
стержня в его относительном вращении вокруг точки А; она
направлена перпендикулярно стержню и по величине равна
Переносная скорость vCe направлена параллельно плоскости и
равна
vce = x.
Из параллелограмма скоростей найдем
таким образом,
Т = 2 [х2 -f -J- - /х<р cos (а - cp)J + ~2
442

Вычислим производные, входящие в уравнения (а),
±п 1
дх ~~и< дЛ
оТ 1 .... . . , .
Щ = — ~f Ml<?x sm i* — 1?)'
дТ М/Зф MIX cos (a—<p) , М1Цш
Щ ~Т~ 2 I "W'
COS (а - ^ ~ Т Ml^ sin (* ~
■
Определим обобщенные силы по формулам
Qi = -
Ьх
Имеем
5* = О
ЬА
Pi .
= ~ Т sin ?»
где Р = Mg — вес стержня.
Подставив все найденные величины в (а), после упрощений
получим
(с)
х rc0s (а— ^ 1"s^n (а — ^ — gsina —0.
Таковы дифференциальные уравнения движения стержня.
Исключая х, найдем дифференциальное уравнение для координаты ср:
-fsinY=0. (d)
Определим теперь, может ли стержень двигаться так, чтобы
угол <р оставался постоянным. Положив в уравнении (d) f и f
равными нулю, получим
откуда
(p = a = const.
При этом из (с) следует, что X = g
Исследуем характер движения стержня вблизи положения от-
относительного равновесия <р = а. Положим в уравнении (d) a — у =
= 3, где р —малый угол. Тогда, имея в виду, что
cos (a — <р) == cos p (=« 1; sm (a — <р)«^^; sin tp ^= sin a — ficosa,
443

и пренебрегая малыми второго и высших порядков, после упро-
упрощений получим
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний с
периодом
r COS a
Задача 1110 (рис. 621). Тележка скатывается без скольже-
скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол я.
Масса тележки без колес равна М, масса всех
колес т. Считая колеса сплошными однород-
однородными дисками, определить ускорение тележки.
Трением качения, а также трением в осях
пренебречь.
Ответ: w =
Рис. 621
Задача 1111 (рис. 622). Груз /И, массой ти спускаясь вниз
по гладкой неподвижной наклонной плоскости, образующей угол a
с горизонтом, приводит в движение посредством невесомой и
нерастяжимой нити идеальный блок А, имеющий массу тъ и ра-
радиус г, и груз Мг массой пц. Определить угловое ускорение s
блока, считая его сплошным диском.
Ответ- -— 2( )
ответ.
Задача 1112 (рис. 623). К ведущему шкиву / ременной пере-
передачи приложен вращающий момент М, а на ведомый шкив //
действует момент сопротивления Мс.
Натяжение ремня осуществляется роли-
роликом ///. Определить угловое ускорение
ведущего шкива, если моменты инер-
м,М/ Щмг ции шкивов /,= 10/, /я=5/, радиу-
Ж
Рис 622
Рас 623
сы #, = 6г, #2 = 3г, где J, г — момент инерции и радиус ролика.
Массой ремня пренебречь.
М 2М
Ответ: s^
рнере
М — 2МС
Задача 1113 (рис. 624). В редукторе скоростей колесо / радиу-
радиусом г насажено на ведущий вал А; два колеса // с тем же
радиусом свободно насажены на раму, жестко связанную с ведо-
444

мым валом В; колесо /// с внутренним зацеплением неподвижно
К ведущему валу приложен вращающий момент МА, а к ведо-
ведомому — момент сопротивления Мо. Колеса / и // считать одно-
одноРис. Ь24
родными дисками с массами т^ и т,г соответственно. Определить
угловые ускорения валов, пренебрегая массой рамы.
4Л1, — М AM . — М „
Отерт- р — — ■ е А в
ответ. вл— „_ ,„_,_,, ев — 4Bш1 + з^Гга'
Задача 1114 (рис. 625). В полиспасте, состоящем из п идеаль-
идеальных блоков с подвижными осями, груз Mi массой mt поднимается
при помощи падающего груза Мг массой пц. Определить ускоре-
ускорения грузов, пренебрегая массой блоков и тросов. Участки све-
свешивающихся частей тросов считать вертикальными.
*~ Л Шч lilt £ (tlti ^ >"v)
Ответ: W\ = —zLo* B> ^2=—^~\~^ш— g
(если Wi ^> 0, то вектор wt направлен вверх).
Задача 1115. В предыдущей задаче определить
ускорение груза /И,, полагая, что вместо груза М,г
на трос действует вертикальная сила F.
Ответ: wx — 2n g.
Задача 1116 (рис. 626). Груз УИ, массой 2 кг под-
поднимается дифференциальным полиспастом с помощью
падающего груза Мг массой 3 кг. Определить уско-
ускорение поднимаемого груза, если радиусы спаренных
блоков, вращающихся вокруг неподвижной оси О, соответственно
равны 15 еж и 5 см, а участки свешивающихся частей троса
вертикальны. Масса малого блока равна 1 кг, масса блока с под-
подвижной осью — 2 кг, масса наибольшего блока — 3 кг. Все
блоки считать однородными дисками.
Ответ: w,=~
Вектор ®! направлен вверх.
445

Задача 1117. Решить предыдущую задачу, заменив вес груза
Mt силой F — 3g н. Сравнить результаты.
О тает: w[ =
Задача 1118 (рис. 627). В полиспасте, состоящем из п блоков
с подвижными осями, груз Mj массой тх поднимается при по-
помощи падающего груза М, массой т2. Полагая,
что все блоки имеют одинаковые радиусы и оди-
одинаковые массы т, равномерно распределенные по
ободам, определить ускорения грузов. Участки
свешивающихся частей троса считать вертикаль-
вертикальными. Массой троса пренебречь. Исследовать ответ
при п—>оо.
Ответ: wMi = -ф^
wm* = з
При п -> со
л»,) + т E • 28" — 2) •
ffl2— т) + т — /я,]
•О.
-от1) + 'яE-22'1 — 2)'
3g(m2—m)
Задача 1119 (рис. 628). В механизме фрикционной передачи
колесо II приводится во вращение колесом I, имеющим горизон-
горизонтальную ось вращения, продолжение которой проходит через ось
колеса //. К ведущему колесу / приложен вращающий момент Mit
а на ведомое колесо // действует момент сопротивления УИ2.
1 :
Рис. 629
Радиус колеса / равен г, момент инерции Ju момент инерции
колеса // равен Л, а расстояние от его центра до точки касания
колес равно г0. Определить уравнение вращения колеса //, если
в начальный момент механизм находился в покое.
Ответ: Т = -2(}1г8 + Лг,;) •
Задача 1120 (рис. 629). Механизм стрелочного индикатора
расположен в горизонтальной плоскости. Движение зубчатой рей-
446

ки мерительного штифта / передается шестерне 2, на оси которой
укреплена шестерня 3, сцепленная с шестерней 4, несущей стрел-
стрелку. Штифт имеет массу тик нему приложена сила F~Hs\nkt
(Н и k — постоянные). Шестерни считать однородными дисками
с одинаковыми толщинами и удельными весами, их массы пц =
— 2т\ т3 — 8т; mi = m. Радиус шестерни 2 равен г. Опреде-
Определить движение стрелки, пренебрегая ее массой и трением в осях.
Считать, что в начальный момент система была в покое.
„ V2 Н !, sin kt\
Ответ: ^{t)
)
Задача 1121 (рис. 630). На конце В рычага АВ, длины плеч
которого OA = li и OB = lit подвешен груз М с массой т. Ры-
Рт. 630
V//////77///////////////,
Рис 631
чаг удерживается с помощью нерастяжимой нити, намотанной на
барабан радиусом г. К барабану прикреплена спиральная пру-
пружина, дающая при повороте на один радиан упругий момент с.
Зная, что равновесие имеет место при горизонтальном положении
рычага, найти период малых колебаний груза.
Момент инерции барабана равен J, массой ры- zi
чага и трением пренебречь. *
Ответ: т = 2
Задача 1122 (рис 631). Тяжелый однород-
однородный стержень длиной 2/ может скользить кон-
концами по гладкой внутренней поверхности
неподвижного цилиндра радиусом R, оставаясь
во все время движения в одной и той же
вертикальной плоскости. Определить период
малых колебаний стержня около его положения
равновесия.
Ответ: х=-
Задача 1123 (рис. 632). Однородный стер-
стержень длиной 21, двигаясь под действием силы
тяжести, скользит одним концом по винтовым
Рис 632
направляющим,
параметрические уравнения которых: a: = 2/cos^; y =
z = hy, а другим —по оси г, оставаясь все время к ней перпен-
447

дикулярным. Найти расстояние, на которое опустится стержень за
время U если в начальный момент он находится в покое. Трением
пренебречь.
Ответ: Н=?
Задача 1124 (рис. 633). Два ползуна Л и В с равными мас-
массами, соединенные стержнем длиной /, движутся один по верти-
вертикальной, другой по горизонтальной на-
направляющим. Составить дифференциальное
уравнение для угла ср, образуемого стерж-
стержнем с горизонтом, пренебрегая массой
стержня и трением.
Ответ: $ + 4- cos cp = 0.
Задача 1125 (рис. 634). Однородный
стержень О А длиной I, шарняряо закреп-
закрепленный на одном конце, опирается на
прямоугольный ящик, который может
скользить по горизонтальной плоскости.
Написать дифференциальное уравнение для
стержня равна т, масса ящика ти а вы-
Рис. 633
угля f, если масса
сота h. Трением пренебречь.
Ответ: 2 {ml3 sin4 cp -f- ZmJP) ? — 12m,/iY ctg cp +
-|- 3mgl cos cp sin4 cp = 0.
Задача 1126 (рис. 635). Кривошипно-шатунный механизм рас-
расположен в горизонтальной плоскости и состоит из кривошипа
Рис. 634
Рис. 635
и шатуна, представляющих собой однородные стержни с одина-
одинаковыми длинами / и массами т. На ползун В действует сила F.
Момент сил сопротивления, приложенных к кривошипу, равен М.
Составить дифференциальное уравнение для угла » поворота
кривошипа, пренебрегая массой ползуна В.
Ответ: у A + 3 sin2 <р) т/$ + т1Ц2 sin 2? = 2/Fsin <p — М.
Задача 1127 (рис. 636). Гладкая призма с массой М может
скользить по горизонтальной плоскости. Два груза Л и В с оди-
одинаковыми массами, равными ---, соединены нерастяжимой нитью
448

и скользят один по наклонной, а другой по вертикальной грани
призмы. Определить ускорение призмы, относительные ускорения
грузов, а также давление груза А на наклонную грань призмы.
В начальный момент система была в покое.
'////'''S///////S/77///7/777
Рис. 636
Рис. 637
Ответ: призма движется вправо с ускорением
A — sin a) COS a
Пр g COS2 a 6-
Груз 8 опускается, а груз А поднимается с относительным ус-
ускорением
4 A — SB») "
о — cos а
д, COS a G -f- Sin a)
А 2(8—cos2 а)
Задача 1128 (рис. 637). В теле А с массой /п, сделан паз,
образующий угол а. с горизонтальными направляющими, по кото-
которым тело движется под действием некоторой силы, параллельной
этим направляющим. По пазу может перемещаться ползун В
с массой т%. Определить отношение величины ускорения wt тела А
при застопоренном ползуне к величине его ускорения да4 в слу-
случае, когда ползун может свободно перемещаться в пазу. Трением и
действием силы тяжести пренебречь.
Л w, , m, cos3 a
Ответ: — = 1 •
Задача 1129 (рис. 638). На
гладкой горизонтальной плоскости Рис 638
находится доска массой ти а на
доске — тонкостенный цилиндр массой тг. Предполагая, что сколь-
скольжение между цилиндром и доской отсутствует, определить абсо-
абсолютные ускорения доски w1 и оси цилиндра wif если к доске
приложена сила G.
Ответ: wY = -,
2mi -\- т<1'
15 Н. А. Бражяиченко и др.
~2m1 + i
449

Задача ИЗО (рис. 639). Однородный цилиндр с массой М
катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей
угол а = 30° с горизонтом. На цилиндр намотана нить, переки-
перекинутая через блок А и заканчивающаяся блоком В. Через блок
также перекинута нить, к концам которой привязаны грузы С
и D с массами тс и mD соответственно. Пренебрегая массами
В
Рис 639
Рис 640
нитей и блоков, а также трением в осях, определить ускорения
грузов и оси цилиндра, если система была в начальный момент
в покое. Принять:
/nc = (*; mD = ~; M = 2\>..
Ответ: цилиндр движется вверх с ускорением оси
груз С движется вниз с ускорением wc — Q,6g;
груз D движется вниз с ускорением wD = Q,2g.
Задача П31 (рис. 640). Цилиндр А обмотан нитью, конец
которой навит на цилиндр В, жестко связанный с цилиндром С.
На цилиндр С в свою очередь намотана нить, конец которой за-
закреплен в точке D. Радиус цилиндра С равен R, радиус инерции
его вместе с цилиндром В равен у; радиус цилинд-
рай равен у. Считая, что цилиндр А тонкостен-
тонкостенный, а масса его в два раза меньше массы цилинд-
цилиндров В а С, вместе взятых, определить абсолютные
ускорения осей цилиндров, если система предостав-
предоставлена самой себе.
Ответ: wB = Tg; wA = -jg.
Задача П32 (рис. 641). Решить предыдущую
задачу, считая, что цилиндр В отсутствует, а нить,
обмотанная вокруг цилиндра А, закреплена на оси

цилиндра С. Масса цилиндра А в два раза меньше массы цн-
р
линдра С. Радиус инерции цилиндра С равен у.
Ответ: wc = -^
R об-
обРис, 642
Задача 1133 (рис. 642). Два цилиндра с радиусами
мотаны нерастяжимым тросом, переки-
перекинутым через идеальный блок. Масса
первого цилиндра равна mY и распре-
распределена по его поверхности. Второй
цилиндр сплошной, масса его равна тг.
Первый цилиндр катится без скольже-
скольжения по горизонтальной плоскости, вто-
второй падает вертикально вниз. Опреде-
Определить: 1) ускорения осей обоих цилинд-
цилиндров; 2) угловые ускорения цилиндров; 3) натяжение Т троса.
Ответ- 1) ^ = - т*е 2{
2) е1 =
в
/7777
Задача 1134 (рис. 643). На сплошной однородный цилиндр А
радиусом г и массой тг намотан
трос, перекинутый через идеальный
блок. Конец этого троса прикреплен
к грузу В массой /л2, который нахо-
находится на негладкой горизонтальной
плоскости (коэффициент трения равен
f = const). Считая, что в начальный
момент система находилась в покое,
определить: 1) коэффициент трения,
при котором груз будет двигаться;
2) ускорение груза; 3) ускорение оси
цилиндра; 4) угловое ускорение цилиндра; 5) натяжение троса
при движении груза В.
Ответ: 1)
Рис. 643
3) wo={-
4) г=7^Г
°> mj-f-Зтз ■
Задача 1135 (рис. 644). Два одинаковых сплошных однород-
однородных цилиндра А и В массой т и радиусом г каждый обмотаны
15*
451

тросом, перекинутым через идеальный блок С. Цилиндр А имеет
неподвижную ось вращения и находится под действием пары сил
с моментом М. Определить ускорение w оси цилиндра В и натя-
^ жение Т троса. Найти также, при каких усло-
условиях ось этого цилиндра будет подниматься,
если в начальный момент система находилась
в покое. Массой блока С пренебречь.
2B M) ~ тег-\-2М
Ответ: w= Л
Цилиндр В будет подниматься при М ]>
>2mgr.
Задача 1136 (рис. 645). Два одинаковых
сплошных однородных цилиндра А и В радиу-
радиусом R и массой mt каждый обмотаны тросом,
несущим на свободном конце груз С массой щ.
Цилиндр А имеет неподвижную ось, а ци-
цилиндр В падает под действием силы тяжести.
Определить ускорение груза С и натяжение Т
участка троса CD. При каком соотношении масс цилиндров груз С
будет оставаться на месте, если его начальная скорость равна
нулю? Доказать, что как бы велика ни была масса груза С, ось
цилиндра В будет опускаться.
777777/
Рис 644
Ответ: wr =
_2Cш2 — т,)
Груз С будет оставаться на месте, если т^ —
Задача 1137 (рис. 646). Сохранив условия предыдущей задачи,
заменить вес груза С силой F. Найти ускорение оси цилиндра В
С{
7
<3
Рис. 646
и определить, при какой величине силы F эта ось будет подни-
подниматься, если в начальный момент система была в покое.
Ответ: ускорение оси цилиндра
4m,g-— IF
да = -
5m!
Ось будет подниматься при
452

Задача 1138 (рис. 647). Дифференциальный механизм с внеш-
внешним зацеплением расположен в горизонтальной плоскости и
состоит из шестерни / радиусом гу
и массой ти шестерни // радиусом
г2=^~- и кривошипа О А. Шестерни
U
принять за однородные диски оди-
одинаковой толщины и плотности. К
кривошипу приложен вращающий мо-
момент Mi, а к шестерне / — вращаю-
вращающий момент Mi противоположного
направления. Определить угловые
ускорения кривошипа и шестерни /. Массой кривошипа пре-
пренебречь.
8A(Ш2 — 3Mj) _
рис. 647
Ответ: еко=-
63m,r?
648)
Задача 1139 (рис. 648). Система состоит из призмы А и тонко-
тонкостенного цилиндра В, масса которого в 3 раза меньше массы
призмы. Цилиндр обмотан гибкой нерастяжимой нитью, закреп-
закрепленной на призме так, что участок нити ВС параллелен линии
Рис. 648
Рис. 649
наибольшего ската наклонной грани призмы. Определить ускоре-
ускорение Ш) призмы и ускорение w% оси цилиндра по отношению
к призме, если угол наклона грани к горизонту ср —45°. Трение
между призмой и горизонтальной плоскостью, а также между
цилиндром и призмой отсутствует.
Ответ: wY = ^g; Wi = -^~g.
Задача 1140 (рис. 649). Тонкостенный цилиндр, обмотанный
гибкой нерастяжимой нитью, и груз М, привязанный к другому
ее концу, положены на грани гладкой равносторонней неподвиж-
неподвижной призмы с углами при основании а = 30° так, что соответ-
соответствующие части нити параллельны линиям наибольшего ската.
Считая блок А идеальным, определить движение груза М и оси
цилиндра, если масса цилиндра в два раза больше массы груза,
а система в начальный момент находилась в покое. Массой блока
пренебречь.
453

Ответ: груз М останется неподвижным, а ось цилиндра будет
опускаться с ускорением w — -^g.
Задача 1141 (рис. 650). Тонкостенный цилиндр А массой т и
груз В массой ть соединенные между собой посредством нити,
конец которой намотан на цилиндр, положены на стороны непод-
неподвижной гладкой призмы, как указано на рисунке. Найти уско-
ускорения груза и оси цилиндра, пренебрегая массой блока С, если
углы, образуемые гранями призмы с горизонтом, соответственно
Рис. 650
Рис. 651
равны аир. При каком соотношении масс цилиндр будет вра-
вращаться, оставаясь на месте, если в начальный момент система
была в покое? Трением в блоке пренебречь.
Ответ: w ^«-.««ыв
й 2т! -\-т б
(при шв>0 груз будет опускаться);
(т -\-
sin p — rrij sin a
(при ау4>0 ось цилиндра будет опускаться). Ось не будет пере-
перемещаться, если
sin
т
sin a — sin p '
Задача 1142 (рис. 651). Зубчатая шестерня радиусом г и мас-
массой т, распределенной по ободу, находится между двумя парал-
параллельными зубчатыми рейками с массой mt каждая. К рейкам
приложены силы Р и Q, направленные в противоположные сто-
стороны вдоль реек. Найти ускорение оси шестерни w0, угловое
ускорение шестерни и ускорения реек. Трением между рейками
и направляющими пренебречь.
Q
Ответ:
wn =
т
2т1 '
P+Q
2Р
2Q
454

Задача 1143. Решить задачу 1142 в предположении, что силы
действуют в одном направлении.
л Р-+-0 P—Q
Ответ: wn= г-т^-~; £ = -,—г-^-,—;
° т~\-2т1 ' (in j-2mj) r '
„. _ 2Р . ... _ 2Q
Задача 1144. В механизме, описанном в задаче 1142, к оси
зубчатого колеса приложена сила F, направленная параллельно
рейкам. Найти движение реек, если их массы равны т{ и тп, а
начальные скорости равны нулю. Трением пренебречь. Колесо
заменить однородным диском с массой т, причем т7 = ^;
Ответ: х,=Ш', хп=
19т'
Задача 1145 (рис. 652). На гладкой призме, помещенной на
гладкой горизонтальной плоскости, находится тонкостенный
цилиндр А с намотанной на него нитью,
к концу которой привязан груз М, как ука-
указано на рисунке. Считая, что массы ци-
цилиндра и груза равны между собой, опреде-
определить ускорение призмы, если угол а =45°.
В начальный момент система была в покое, v////////////////////////////
Указание. Цилиндр катится со сколь-
скольжением. Рис. 652
Ответ: призма будет оставаться на
месте, ось цилиндра и груз будут опускаться с равными уско-
ускорениями:
6 «'
Задача 1146. Решить задачу ИЗО, считая, что между цилинд-
цилиндром и наклонной плоскостью отсутствует трение, так что цилиндр
по отношению к плоскости проскальзывает.
Ответ: цилиндр опускается с ускорением оси
w = —
груз С опускается с абсолютным ускорением
груз D опускается с абсолютным ускорением
455

Задача 1147 (рис. 653). Два цилиндра, обмотанные гибкой
нерастяжимой нитью, перекинутой через блок А, положены на
стороны неподвижной равно-
равнобедренной гладкой призмы
с углом наклона а = 30° так,
что соответствующие части
нитей параллельны линиям
наибольшего ската. Считая,
что блок А приводится во
вращение нитью без сколь-
скольжения и без трения в оси,
определить ускорения осей
цилиндров, если массы ци-
цилиндров и блока распределены по ободам, причем массы цилинд-
цилиндров соответственно больше массы блока в два-три раза. Радиусы
цилиндров и блока одинаковы, массой нити пренебречь.
Ответ: оси цилиндров имеют ускорения
з 2
Рис. 653
Задача 1148 (рис. 654). Через блок А перекинута нить, один
конец которой прикреплен к блоку В, а другой навит на тонко-
тонкостенный цилиндр С с массой пг3, имеющий свободную ось Через
Рис. 654
Рис, 655
блок В также перекинута нить, несущая грузы MY и Л19 с мас-
массами, равными mi vi пц соответственно. Определить ускорения
грузов и оси цилиндра (по отношению к неподвижному основа-
основанию прибора), если /nt = 2 кг; т2=1 кг; т3 = 2 кг. Массами
блоков и нитей, а также трением в осях пренебречь. В началь-
начальный момент система находилась в покое.
Ответ: грузы и ось цилиндра опускаются с ускорениями
_7_ _ з__ . _з_
1 и»1 2 11°' 3 11»"
Задача 1149 (рис. 655). На гладких гранях призмы, которая
может скользить без трения по горизонтальной поверхности, нахо-
456

дятся груз А и тонкостенный цилиндр В, связанные между собой
посредством нити, перекинутой через идеальный блок, конец
которой намотан на цилиндр В так, что участки нити во все
время движения системы остаются параллельными линиям наи-
наибольшего ската соответствующих граней призмы. Найти ускоре-
ускорение призмы, относительные ускорения груза и оси цилиндра,
если массы груза, цилиндра и призмы относятся как 2:1:3.
Массой блока С пренебречь. В начальный момент система нахо-
находилась в покое.
Ответ: призма движется вправо с ускорением
^nP=-g-g;
цилиндр скатывается вниз с относительным ускорением оси
""О/-— 45 S)
груз опускается с относительным ускорением
аг 45 s '
Задача 1150 (рис. 656). Груз А массой т прикреплен пру-
пружиной с жесткостью с к платформе, по которой он может дви-
двигаться без трения. Платформа имеет четыре колеса, принимаемых
I
/////S//S////////7///
Рис. 656
Рис. 657
за однородные диски радиусом г. Масса платформы равна 8 т,
масса каждого колеса у. Считая, что колеса катятся без сколь-
скольжения, определить движение платформы, если груз в начальный
момент был отклонен от положения равновесия на расстояние s
и отпущен без начальной скорости. При / = 0 х = 0, к =0. Тре-
Трением качения пренебречь.
Ответ:
ГДе R~
\\т-
Задача 1151 (рис. 657). Полый цилиндр / установлен на под-
подставке, которая может поступательно перемещаться по гладкой
горизонтальной плоскости. Внутри этого цилиндра может кататься
457

без скольжения тонкостенный цилиндр //. Определить зависи-
зависимость ускорения цилиндра / от угла » (при малых ср), а также
амплитуду а и период t малых колебаний этого цилиндра около
положения равновесия, если расстояние между осями цилиндров
равно /, масса цилиндра / (с подставкой) равна ти а масса
цилиндра // равна пц. В начальный момент система была в покое,
а цилиндр // отклонен так, что ср = <р0.
Ответ:
wlx =
a=-
+ Щ '
:=2, г/"f
V g
Задача 1152 (рис. 658). Два сплошных однородных цилиндра,
оси которых связаны упругой нитью, лежат на гранях призмы,
составляющих с горизонтом углы наклона соответственно 30° и.
45°. Нить перекинута через
неподвижный идеальный блок. /
Считая, что цилиндры катятся
без скольжения, и пренебрегая
трением нити о блок, найти
Рис. 658
Рас. 659
уравнения движения осей цилиндров. В начальный момент нить
не была растянута, а система находилась в покое, Массы цилинд-
цилиндров соответственно равны 5 кг и 7 кг, коэффициент жесткости нити
равен 70 н/м, g = 9,8 м/сек*.
Ответ: х, = 0,288 A — cos At) — 0,67^;
хг = 0,202 A — cos At) + 0,67^
(xi, х^ — в метрах, t — в секундах).
Задача 1153 (рис. 659). Материальная точка А массой ть
движущаяся по гладкой горизонтальной плоскости, связана нерас-
нерастяжимой нитью, пропущенной через отверстие в плоскости, с гру-
грузом В. Груз имеет массу т2 и может двигаться только верти-
вертикально. Найти дифференциальные уравнения движения системы,
приняв за обобщенные координаты г и ср. Трением пренебречь.'
Ответ: {mY -\- тг) ? —
458

откуда
т^у — ntir^n = const,
где г0 и <Ь0 — начальные значения гиф.
Задача 1154. Сохраняя данные предыдущей задачи, удостове-
удостовериться что при начальных условиях го = О и <j>0= I/ -^- точ-
ка Л описывает окружность радиусом г0. Найти период малых
колебаний точки А около этой окружности.
Указание. Исключив ф в уравнениях предыдущей задачи,
положить г = /•„-{-р. Считая р малым, в уравнении пренебречь
членами второго порядка.
Ответ:
2itn /
n. -f-

ГЛАВА XVI
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§ 1. Малые колебания системы с одной степень» свободы
В положениях равновесия потенциальная энергия консерва-
консервативной системы П(<7Ь д2, ..., qs) имеет экстремальное значение,
т е. если при q; = a} консервативная система находится в равно-
равновесии, то
Равновесное положение консервативной системы с голономными
идеальными и стационарными связями является устойчивым, если
потенциальная энергия системы имеет в этом положении изолиро-
изолированный минимум (теорема Лагранжа — Дирихле).
Для системы с одной степенью свободы условиями устойчи-
устойчивости положения равновесия будут
__0. (дт\
Приближенное выражение потенциальной энергии консерва-
консервативной системы с одной степенью свободы (вблизи положения
равновесия q = a) с точностью до малых второго порядка имеет
вид
n^lcfo-aL, A6.2)
причем при условии устойчивости положения равновесия
Если на систему с одной степенью свободы наложены стацио-
стационарные связи, то ее кинетическая энергия имеет вид
T = ±A{q)q\ A6.4)
Для q, близких к положению равновесия (q = a,)>
Тъ^аф, A6.5)
где
а=А(а). A6.6)
Уравнения Лагранжа дают (вблизи положения равновесия,
соответствующего q — a)
aq-\-c{q — oi) = 0, A6.7)
а при a = 0; aq -J-c</ = 0.
460

При <?^>0 система совершает незатухающие гармонические
колебания с периодом
При наличии сил сопротивления среды
Л = —М» A6.9)
обобщенная сила сопротивления при малых q и q имеет вид
Qconp=-^=-M, A6.10)
где функция рассеяния
Ф = 2,^Г^Т^2- A6.11)
Уравнения Лагранжа дают в этом случае
а§ + [а<7 -\-cq = 0. A6.12)
При решении задач на определение положения устойчивого
равновесия консервативных систем с 'одной степенью свободы
полезно придерживаться такой последовательности:
1. Выбрать обобщенную координату системы.
2. Составить выражение для потенциальной энергии системы.
3. Найти положения равновесия системы. Для этого следует
приравнять нулю первую производную от потенциальной энергии
системы по обобщенной координате и найти корни полученного
уравнения.
4. Пользуясь теоремой Лагранжа — Дирихле, исследовать
найденные положения равновесия на устойчивость. В положении
устойчивого равновесия системы (q = o) должно выполняться
условие
Если с<^0, то, по теореме Ляпунова, равновесие неустой-
неустойчиво.
Если по условиям задачи требуется, кроме того, найти период
собственных колебаний системы вблизи положения устойчивого
равновесия, то далее необходимо:
5. Определить значение инерционного коэффициента а. Он
равен множителю, стоящему при -^ Ф в приближенном выраже-
выражении кинетической энергии системы A6.5).
6. Пользуясь формулой A6.8), найти значение периода т.
461

Задача 1155 (рис. 660). Однородный стержень АВ длиной /
и массой т,\ концом А укреплен шарнирно. К концу В стержня
прикреплен нерастяжимый трос,
перекинутый через блок С и несу-
т,
щии груз массой т2 = —-=-.
Л2 J/3
ринимая, что АС = АВ, и
пренебрегая трением, определить
угол ср в интервале @; тс), при кото-
котором стержень будет находиться в
положении устойчивого равнове-
равновесия, а также период его малых
колебаний около этого положения.
Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщен-
обобщенную координату примем угол ср. Найдем потенциальную энергию
системы. Имеем
Рис. 660
где
: — Р^уу -\- const
П, = -
sincp -(-const,
= m1g и Pi =
Так как
где L — длина троса,
то
-const,
■ веса стержня и груза.
i/2 = L — 2/sin-2-,
П = — Р, -^- sin
sin -|- 4- const.
Найдем угол ср, при котором система находится в равновесии.
В соответствии с A6.1) имеем
|~ = - Р, у cos ? +/Р2 cos |-= 0.
Учитывая условия задачи, получим
УЗ coscp — cos у =0.
Решая это уравнение, найдем
Исследуем устойчивость найденного положения равновесия.
Имеем
т. е. данное положение равновесия устойчиво.
462

Вычислим кинетическую энергию системы. Имеем
Здесь
i=~-; («! = ?; vi = yi = — /$cos-|-,
таким образом,
121/3
Сравнивая это выражение с A6.4), найдем
Согласно A6.6)
По A6.8) определим искомый период колебаний:
Задача 1156 (рис. 661). Тонкий однородный стержень АВ
длиной / и массой т шарнирно закреплен в точке А и удержи-
удерживается в вертикальном положении горизон-
горизонтальной пружиной с жесткостью сь прикреп-
прикрепленной в точке О, причем АО = ^. Другой
конец пружины закреплен неподвижно.
Когда стержень находится в вертикальном
положении, пружина не напряжена. При
движении стержня на каждый егоэлемент ds
действует сила сопротивления йР = — §dsv.
Считая коэффициент р постоянным, опреде-
определить значение жесткости сь при котором
вертикальное положение стержня будет поло-
положением устойчивого равновесия. Найти также
значение коэффициента £!, при котором стер-
стержень будет совершать малые затухающие Рис. 661
колебания около вертикального положения.
Решение. Система имеег одну степень свободы. За обобщенную
координату системы примем угол ср отклонения стержня от верти-
вертикали. Составим выражение для потенциальной энергии сисгемы:
где П, — потенциальная энергия системы в поле силы тяжести;
П.а — потенциальная энергия системы в поле упругих сил.
463

Приняв за нулевую эквипотенциальную поверхность горизон-
горизонтальную плоскость, проходящую через точку А, имеем П1 =
= -rj-coscp, где P = mg — вес стержня, далее,
П -^
где Д — изменение длины пружины по сравнению с ее недефор-
мированной длиной, следовательно,
Ограничиваясь малыми второго порядка, примем
cos 9^1—^-; Дя«-^9-
В соответствии с этим получим
n_c1iy , РЦХ Т'\
И~ 18 > 2 \1 2J-
Приравняв произвольную j- нулю, имеем
дП с^а Р1 .
V0
Отсюда видно, что при «у = 0 стержень находится в положе-
положении равновесия. Чтобы это положение было положением устойчи-
устойчивого равновесия, необходимо, чтобы выполнялось условие
o~ 9
Таким образом, при вертикальном положении стержень будет
находиться в положении устойчивого равновесия, если
. ЭР
>
Составим выражение для кинетической энергии стержня:
Т1 т . л till , л 1 • а
= ~2J(? =-Q-t =TatP.
откуда
а— 3 .
Определим функцию рассеяния. Согласно A6.9) \xk =
По A6.11), заменяя суммирование интегрированием, получим
464

Так как
то
Сравнивая с A6.11), найдем
Т.
По A6 12) получим
(а)
On—'— • №— '
Вводя обозначения
вместо (а) имеем
Это дифференциальное уравнение движения стержня вблизи
вертикального положения равновесия. Движение будет носить
колебательный (не апе-
апериодический) характер,
если
Подставив в это нера-
неравенство значения п и k,
получим
2m{2cil —
3/
Задача 1157 (рис.
662). Однородный ци-
цилиндр радиусом г и
массой т, который мо-
может вращаться вокруг вертикальной оси OOlt охватывает невесо-
невесомая нить. Концы нити связаны с концами А я С горизонтальных
пружин А В и CD, имеющих одинаковую жесткость, равную с,.
Конец В пружины АВ закреплен неподвижно, а конец D пру-
пружины CD связан с ползуном, совершающим прямолинейное дви-
движение по закону s = 6 sin «)/, где Ь— малая величина. В начальный
момент пружины находятся в недеформированном состоянии,
465

а цилиндр — в покое. Пренебрегая сопротивлением, определить
амплитуду вынужденных колебаний цилиндра.
Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную
координату примем угловую координату ср цилиндра. Составим
выражение для кинетической энергии цилиндра:
Потенциальная энергия пружины будет определяться вы-
выражением
где Дг — приращения длин пружин АВ и CD по сравнению с их
недеформированной длиной.
Ограничиваясь в П малыми второго порядка, имеем
и, следовательно,
П = Ц- [гУ -\- {b sin urf — /-срJ].
Подставив значения Т и П в уравнение Лагранжа
d_(dT\ <УГ _дп
получим
—2^ = — 2ctr2cp -)- С\гЪ sin Ы
или
-к~- -\- 2.С\ГЧ? = Сф Sin СОГ.
Обозначив
m ' mr '
имеем следующее дифференциальное уравнение движения цилиндра:
ор -|- й3ср = /г sin iot.
Отсюда следует, что амплитуда вынужденных колебаний
равна [см. A1.14)]
h 2ctt>
466

Задача 1158 (рис. 663). На шероховатой поверхности не-
неподвижного цилиндра радиусом R, ось которого горизон-
горизонтальна, симметрично расположена однородная доска толщиной а.
Определить соотношение между R и а, при котором доска в ука-
Рис 663
////////////777.
Рис. 664
занном на рисунке положении будет находиться в устойчивом
равновесии. Считать, что трение достаточно для предотвращения
скольжения доски.
Ответ: R^>-^.
Задача 1159 (рис. 664). Однородная полусфера радиусом г
расположена на неподвижной шероховатой полусфере радиусом R.
Считая трение достаточным для предотвращения скольжения, оп-
определить критерий устойчивости полусферы для показанного
на рисунке положения.
Указание. Центр тяжести полу-
, 3
сферы находится на расстоянии -гг г от
центра О\.
Ответ: R^>^.
Задача 1160 (рис. 665). Три одина-
одинаковых однородных стержня длиной / и
массой т каждый соединены шарнирно
и могут двигаться в вертикальной плоскости. К стержню АВ на
расстоянии li от неподвижной точки Л, а к стержню CD на рас-
расстоянии /а от неподвижной точки С прикреплены пружины жест-
жесткостью Су каждая. Пренебрегая трением и массой пружин, опре-
определить величину си при которой вертикальное положение стерж-
стержней АВ и CD будет положением устойчивого равновесия, если
при этом пружины не напряжены. Найти также период малых
колебаний системы около этого положения.
Ответ: с, ^
Рис-
Задача 1161. Четыре стержня длиной / и массой т каждый,
находящиеся в вертикальной плоскости, образуют систему, пока-
467

занную на рис. 666. Система удерживается в вертикальном поло-
положении при помощи двух спиральных пружин. Пренебрегая тре-
трением и считая все соединения шарнирными, определить, при
каком значении жесткости с2 второй пружины вертикальное по-
положение системы будет положением устойчивого равновесия,
Рас. 666
а также период малых колебаний системы вблизи этого положе-
положения, если жесткость первой пружины равна сх и при вертикаль-
вертикальном положении системы пружины не напряжены.
Ответ: с2^>—у-—су, t = 4u/
Задача 1162 (рис. 667). Однородный стержень массой т и дли-
длиной 21 концами Л и В может скользить по гладким взаимно-
перпендикулярным направляющим. В точке В к стержню при-
прикреплена пружина BD жесткостью с1; естественная длина которой
равна OD. Определить углы а, при которых стержень будет на-
находиться в положении равновесия, и период его малых коле-
колебаний около устойчивого положения
равновесия. Массой ползунов и пру-
пружины, а также трением пренебречь.
•^f (неустойчи-
. 41с ^
Ответ: <х =
вое);
а = -^-( устойчивое при
4ml
Рис-668 Задача 1163 (рис. 668). Однород-
Однородный стержень АВ массой ту и дли-
длиной 21 концами А я В может скользить по гладким взаимно-
перпендикулярным направляющим. В точке В к стержню при-
прикреплена нить, перекинутая через идеальный блок, другой конец
которой несет груз М массой mi = \/r2rih. Определить угол а„,
при котором система находится в" положении устойчивого равно-
463

весия, и период малых колебаний около этого положения. Мас-
Массами ползунов и блока пренебречь.
Ответ: а<,=
Задача 1164 (рис. 669). U-образная трубка с одинаковой пло-
площадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов.
Трубка содержит две несжимаемых и несме-
шивающихся жидкости с плотностями pt и ра.
Определить период собственных колебаний
системы около положения устойчивого равно-
равновесия, после того как она была выведена из
этого положения, если длина части трубки,
занимаемой жидкостью плотности рь равна /lt
а длина части, занимаемой жидкостью плот-
плотности Ра, равна 1^. Трением пренебречь.
а
Ответ: т =
Рис. 669
*4fPi
Задача 1165. Однородный сплошной цилиндр радиусом г
жет катиться без скольжения внутри полого неподвижного ци-
цилиндра радиусом R. Найти период малых колебаний оси цилиндра
Ответ: х = 2
мо-
моЗадача 1166 (рис. 670). С физическим маятником неизменно
скреплен цилиндр А радиусом г, который может катиться- без
скольжения внутри неподвижного ци-
цилиндрического подшипнику В радиу-
радиусом R, причем оси обоих цилиндров
параллельны и горизонтальны. Зная,
что расстояние от центра тяжести маят-
Рис. 670
Рис. 671
ника до геометрической оси цилиндра А равно s, а центральный
радиус инерции маятника равен рс, определить период его малых
колебаний.
Ответ: х = 2
Задача 1167 (рис. 671). Два одинаковых однородных стержня
длиной / каждый соединены между собой в точке А шарнирно,
46»

а концами В и С могут скользить без трения по горизонтальной
направляющей. К шарниру А присоединена вертикальная пру-
пружина, длина которой в недеформированном состоянии равна /,
а жесткость такова, что равновесие системы имеет место при
ср = 30°. Определить период малых колебаний системы около этого
положения равновесия, пренебрегая массами ползунов.
Ответ:
4*-./"'
•—з У У-
Задача 1168 (рис. 672). Механизм, расположенный в верти-
вертикальной плоскости, состоит из однородного стержня АО массой т,,
однородного стержня АВ длиной / и массой т2 и штока ВС мас-
массой т3, который может перемещаться лишь поступательно. В по-
положении, когда стержень АО горизонтален, а стержень АВ вер-
Рас 672 Рис 673
тикален, пружина CD не напряжена. Определить, какова должна
быть жесткость пружины си для того чтобы указанное положе-
положение системы было положением устойчивого равновесия. Чему ра-
равен период малых колебаний системы около этого положения?
Трением пренебречь.
Задача 1169 (рис. 673). Два одинаковых однородных стержня
ОА и АВ длиной b каждый соединены между собой шарнирно
и могут перемещаться в вертикальной плоскости. Конец О стер-
стержня О А закреплен шарнирно, а конец В стержня АВ поддержи-
поддерживается нитью ВС длиной /, закрепленной в точке С. Определить,
при каком соотношении длин b я I положение системы, показан-
показанное на рисунке, будет устойчивым. Найти также период малых
колебаний системы около этого положения равновесия.
Ответ: при у^>2.
2Ы
»— 21)'
470

Задача 1170. При расчете боковой качки судна для учета
инерционных сил воды момент инерции судна принимают равным
J-j-u., где J — собственный момент инерции судна, a [i — так на-
называемый присоединенный момент инерции. Для определения [j.
динамически подобную модель судна подвергают воздействию
внешнего гармонического момента Masmpt (Мо — постоянная).
Изменяя частоту р, добиваются появления максимальных ампли-
амплитуд (при p — pi максимальная амплитуда равна а). Принимая, что
восстанавливающий момент равен mghy {т — масса судна, h — так
называемая метацентрическая высота) и что момент сопротивления
пропорционален угловой скорости судна при качке, определить
присоединенный момент инерции \х.
Ответ: \i. = L
^
Задача 1171 (рис. 674). Определить период собственных коле-
колебаний сейсмографа Голицына, если угол между вертикалью и осью
вращения АВ равен я, а расстояние от инертной массы М до
3 й"
#
Рис 674
Рис 675
оси АВ равно /. Масса стержня CD равна от, момент инерции
относительно оси вращения равен J, а расстояние от центра тя-
тяжести до этой оси равно а. Размерами массы М и трением
пренебречь.
_. п -. / JA-M12
Ответ: т = 2тс I/ тттт-т—!—ч •
у (Ml-f- та) g sm о
Задача 1172. Маятниковый вертикальный сейсмограф устроен
так, как показано на рис. 675. Определить период собственных
колебаний сейсмографа, если масса инертного груза А равна т,
жесткость пружины равна си ОА — 1, ОО\ = ОВ = Ь, в положении
равновесия /_ OfiB равен рв, а стержень О А горизонтален
Массой рычагов ОВ и ОА пренебречь.
Ответ
■ 1 — ЛТ.1-Ш/ 5
У 262clCos2^-
471

Задача 1173 (рис. 676). Усеченный конус с весьма малой
высотой (его .можно принять за однородный диск радиусом г)
подвешен на нити, прикрепленной к центру основания, причем
другой конец нити совпадает с вершиной конуса и закреплен
на вертикальной стене. Считая, что при отклонении от равновес-
Рис 676
Рис 677
ного положения конус катится по стене без скольжения, опреде-
определить период его малых колебаний. Угол при вершине конуса
равен 2а.
I/^A+5 cos2 а) г
= ic I/ ^—-С —
Ответ:
g Sin а
677)
g
Задача 1174 (рис. 677). Однородный стержень АВ длиной I
и массой т, один конец которого закреплен при помощи шар-
шарнира, удерживается в вертикальном положении спиральной пру-
пружиной, жесткость которой равна ct. На каждый элемент длины
стержня ds при его вращении действует сила сопротивления, про-
пропорциональная скорости этого элемента и его длине и направлен-
направленная в сторону, противоположную скорости этого элемента, т. е.
dF~ — fivds. При вертикальном положении стержня пружина
находится в ненапряженном состоянии. Принимая р = const, оп-
определить, при каком значении жесткости ct вертикальное поло-
положение стержня будет положением устойчивого равновесия. Найти
также значение коэффициента р, при котором стержень будет
совершать малые затухающие колебания вблизи вертикального
положения.
; р<~Vbm{2с,-mgl).
Ответ:
Задача 1175 (рис. 678). Однородный стержень АВ массой т
закреплен при помощи шарнира в точке С, отстоящей от точки А
на расстоянии, равном у его длины. В конце А стержня при-
прикреплена пружина с жесткостью cit а к концу В прикреп-
прикреплен трос, переброшенный через блок и несущий железный стер-
стержень М, помещенный в катушку соленоида. В положении рав-
равновесия стержень АВ горизонтален, пружина находится в неде-
472

формированном состоянии и ток в соленоиде отсутствует. При
протекании по катушке соленоида переменного тока на стержень М
действует вертикальная сила F, величина которой изменяется
по закону F — b sinmt F-—малая величина). Определить ампли-
/)//?•
Рис 678
' Рис. 679
туду вынужденных колебаний стержня М, пренебрегая массой
пружины, троса и блока и сопротивлениями.
Ответ' а— л—5-
Задача 1176 (рис. 679). Диск радиусом г и массой т насажен
на свободный конец вала, другой конец которого закреплен не-
неподвижно. К точке А обода диска, лежащей на горизонтальном
диаметре, прикреплена длинная пружина с жесткостью с\. Дру-
Другим концом В она прикреплена эксцентрично к валу электромо-
электромотора в точке, отстоящей от оси вала О{ на малом расстоянии е.
Считая, что мотор вращается с угловой скоростью ш и что
при горизонтальном положении отрезка 0хВ пружина АВ нахо-
находится в недефбрмированном состоянии, определить амплитуду
вынужденных колебаний диска, если на него действуют силы со-
сопротивления, момент которых относительно оси вращения про-
пропорционален угловой скорости диска (jj. — коэффициент пропор-
пропорциональности). Массой вала и отклонением пружины от верти-
вертикали пренебречь; коэффициент жесткости вала на кручение
принять равным с2.
Ответ: д = — с ^ . ,, —р;.
Задача 1177 (рис. 680). На сейсмограмме, записанной пером
сейсмографа, помещенным в точке В, амплитуда колебаний полу-
получилась равной Н, а частота р. Опре-
Определить амплитуду а истинных верти-
вертикальных колебаний почвы, если длина
стержня АВ равна I, инертная масса
в точке В равна М, жесткость пру-
пружины й, AD~b. Рис.680
В
473

Массой стержня А В пренебречь *.
Ответ: а = К l
Задача 1178 (рис. 681). Горизонтальный сейсмограф Голицына
записал при землетрясении пером D
колебания с амплитудой Н и часто-
частотой р. Найти амплитуду а колеба-
колебаний земной коры, считая их пропс-
пропсходящими в горизонтальной плоскости
так, что перемещения точек Земли пер-
перпендикулярны равновесному положе-
положению стержня CD, если расстояние МС
равно г, угол наклона оси вращения АВ
Рис. 681 к вертикали равен я, длина CD — I.
Массой стержня и размерами инертной
массы пренебречь.
.-. Н (g sina — rp2 cos2 a)
Ответ: а==—^ ^-~ '-.
Задача 1179. Решить задачу 1177 при наличии в точке В силы
сопротивления, пропорциональной первой степени скорости (коэф-
(коэффициент пропорциональности равен jx).
Ответ: a = ^VW~
§ 2. Малые колебания консервативной сиотемы
с несколькими степенями свободы
Исследование малых колебаний консервативной системы с не-
несколькими степенями свободы вблизи ее положения устойчивого
равновесия удобно проводить, используя уравнения Лагранжа
второго рода.
При нахождении кинетической энергии системы следует поль-
пользоваться приближенной формулой
где коэффициенты аг]- — постоянные величины, удовлетворяющие
соотношениям: ац = ац при у, i = l; 2; „..; s.
Если в положении-равновесия системы ^ = 0, то потенциаль-
потенциальная энергия с точностью до малых второго порядка может быть
*) В задачах 1177—1179 принять, что колебания почвы происходят
по закону s = asinp£. Приложив к инертной массе силу инерции Ms, счи-
считать далее, что основание прибора неподвижно.
474

представлена в виде
где
коэффициенты
Для системы с
г
1
П
о
двумя
Гя«-(
аи
1
~ 1
i
/■=1
( °4i \
'j \dqidqjjq=
степенями свободы имеем
а«<й + 2аи«,*4-М5),
>0;
2 2
- 2cnq\Ci
>0;
r»+cM?S),
A6.
A6.
A6.
A6.
A6.
13)
14)
15)
16)
17)
при условии устойчивости положения равновесия
сп
Сц
A6.18)
При решении задач на малые колебания системы с двумя сте-
степенями свободы полезно придерживаться такой последователь-
последовательности:
1. Выбрать обобщенные координаты системы.
2. Составить выражение для потенциальной энергии системы
и дать ее приближенное значение с точностью до малых величин
второго порядка A6.17).
3. Составить выражение для кинетической Энергии систё*мы и
дать ее приближенное значение с точностью до малых величин
второго порядка A6.15).
4. Составить уравнение Лагранжа второго рода.
5. Найти частное решение полученной системы дифференци-
дифференциальных уравнений в форме
, A6.19)
A6.20)
которая имеет нетривиальное решение относительно неизвестных
А я В только тогда, когда определитель системы равен нулю,
т. е.
где Л, В, я, k — постоянные, подлежащие определению.
При этом будет получена система уравнений
А {сп — k*an) -f- В (с12 — А»см) = О,
А (с19 — £Чз) + в (с™ —
= 0.
A6.21)
475

Уравнение A6.21) называется уравнением частот. *
6. Найти, используя A6.21), главные частоты kt и
7. Найти коэффициенты распределения:
О &\ С12
"» Т г
С12
где Ль В, — значения постоянных, соответствующих частоте ky\
А^ В.2 — значения постоянных, соответствующих частоте k$.
8. Написать закон изменения каждой обобщенной координаты
в виде
{ '
9. Определить, используя начальные условия движения, по-
постоянные Аи А^ а,, а2-
10. Исследовать, если требуется условиями задачи, формы
главных колебаний.
Задача 1180. Два груза Му и М2 с одинаковыми массами m
образуют систему, показанную на рис. 682. Определить частоты
главных вертикальных колебаний грузов, если пружины имеют
одинаковую жесткость, равную с. Массой блока, пружин и нити,
а также сопротивлением пренебречь. Найти уравнения движения
грузов, если из положения равновесия грузу М2
была сообщена начальная скорость щ, направ-
направленная вниз.
Решение. Система имеет две степени свободы.
т [Т] I За обобщенные координаты примем абсолютные
1 f m^i вертикальные перемещения st и s2 грузов из по-
положения статического равновесия. Составим выра-
выражение для потенциальной энергии системы:
Рис. 682
где
U~mgSi — mgs2-|—^ 2 -f-
_|_ c(s2 Si-f- sj _j_ cons|. ^
- статические удлинения пружин, отсюда найдем
— = mg -f- с (st -j- ДО — с (sa — Si -f- Да) i
|П = — mg + с
— s,-f
В положении равновесия sl = sa = O.
Согласно A6.1), л~^0 при s1 = s2 = 0. Отсюда получим
л л. \ —тё
* При выполнении условий A6.16) и A6.18) корни этого уравнения
(главные частоты) вещественны.
476

Далее найдем
Си —
д"'П
dm
= с.
dsf
Составим выражение для кинетической энергии системы:
т m's\ , ms|
1 — 2 ~f~~2~-
Сравнивая это выражение с A6.15), найдем
Таким образом, согласно A6.21), уравнением частот будет
Д {№) = {2с — &т) {с — №т) — с2 = 0
или
т
Отсюда найдем квадраты частот главных колебаний:
k\ = 3 ~ ^ — = 0,382 -;
^ = ^£-=,2,6184,
следовательно,
^ = 0,618 1/^-^; ^=1,618 1/"-^-. (&)
По A6.22) определим коэффициенты распределения амплитуд:
о Я.
1 с— 0,382— т
т
i в, I я-
— 1,ою,
с —2,618-
m
В соответствии с A6.23)
Si = Ai sin {kit -f- ai) + ^2 sin
При г = 0; 5! = 53:=0; s,=0; sa = u0, следовательно,
О = Ax sin at -{- Ла sin оц;
0 = p,/4i sin 04 -)- р2Л2 sin оц;
0 = Л^! cos a, -)- Лайа cos o^;
v0 = i4iP,fci cos a, -)- ЛаРайа cos a,;
отсюда
= a3 = 0; Л! = Й1 {^°_ м = 0,725у0 ]/ у;
477

Таким образом, уравнения движения грузов примут вид
s, = 0,725и0 У j sin kit ~ 0,276и„ ]/~у sin k.2t;
Si=l,l7vu ]/~т sin ^ + 0,17oo Y't sin W'
где 6, и fe2 определяются по (b).
Задача 1181. Материальная точка массой т находится на
гладкой неподвижной горизонтальной плоскости и прикреплена
к двум пружинам, концы которых закреплены неподвижно. В по-
положении равновесия обе пружины не напряжены и образуют
между собой прямой угол. Определить частоты малых колебаний
точки, если жесткости пружин равны соответственно с, и с.а.
Ответ: &i = l/ -г; &з=1/ ~.
Задача 1182 (рис. 683). К середине упругой невесомой балки
с коэффициентом жесткости с присоединен математический маят-
ник массой т и длиной I. Определить малые колебания системы.
Трением и сопротивлением пренебречь.
Ответ: (р = Л sin f l/ уf + aJ; x—At sin f 1/ ^
где Л,, Л2, otj, аз — произвольные постоянные.
Задача 1183. Используя условия задачи 1180, определить
частоты главных колебании системы с учетом массы блока /% =
= -^-, считая ее равномерно распределенной по ободу блока.
Ответ: ^ = 0,60 1/ —; fea = l,5
Задача 1184 (рис. 684). К однородному цилиндру Л с момен-
моментом инерции J и радиусом г, имеющему неподвижную горизон-
478

тальную ось вращения О прикреплены с двух сторон две верти-
вертикальные упругие нити с коэффициентами жесткости с, и сг. Конец
первой нити закреплен неподвижно в точке В, а на конце вто-
второй нити висит груз М с массой т. Найти частоты собственных
колебаний системы около положения равновесия, пренебрегая
трением. Принять cl = 2ci; J — 2mri.
равно-
одина-
Ответ: kx = I/ -~; «a = J/ 2m •
Задача 1185. Решить задачу 1181, если в положении
весия пружины образуют между собой угол 60° и имеют
ковые жесткости с.
Отеет
■•*■=■/»! *■-/£•
Задача 1186 (рис. 685). Система состоит из трех грузов, массы
которых m1 = m2 = M; ma = 2M. К грузам прикреплены верти-
вертикальные пружины с жесткостями соот-
соответственно Ci = c2 = c; c3 = 4c, причем
в положении равновесия системы пру-
пружины не деформированы. Определить
Рис. 685
Рис. 686
частоты вертикальных колебаний грузов с массами mt и m2 и
коэффициенты распределения амплитуд этих колебаний, прене-
пренебрегая массами блоков, тросов и сопротивлениями.
Ответ: ^ = |/ -^; к,2= 1/ ^; р, = —1; ра=1.
Задача 1187 (рис. 686). Стержень ОА на одном конце имеет
горизонтальную ось вращения О, а на другом — точечную массу т,
к которой при помощи пружины подвешена такая же масса.
Стержень удерживается в горизонтальном положении вертикаль-
вертикальной пружиной, прикрепленной к его середине. Определить
частоты главных колебаний системы, считая жесткости пружин
одинаковыми и равными с. Массой стержня пренебречь.
Ответ: ^t = 1,4<
479

Задача 1188. Однородная балка массой т подвешена горизон-
горизонтально на двух вертикальных пружинах жесткостью с каждая,
прикрепленных к ее концам. Определить частоты главных коле-
колебаний балки в вертикальной плоскости, принимая, что ее центр
масс движется по вертикали.
Ответ: ky =
Задача 1189 (рис. 687). Частица массой т, имеющая электри-
электрический заряд q, расположена в центре квадрата со стороной 2а,
в вершинах которого расположены четыре
неподвижных заряда того же знака, два
из которых имеют величину qu а два
других — величину qt, причем одинако-
одинаковые заряды расположены в несмежных
вершинах. Частица может совершать ко-
колебания около центра квадрата в его пло-
плоскости. Найти частоты и направления глав-
17
ных колебаний частицы, если с/2 = тг
Весом частицы пренебречь.
Указание. Сила взаимодействия зарядов q и qt
Рис. 687
равна ~.
Ответ: ki — b; kv — 5b, где 62 =
—^—=.
Эта3 у 2
Главные колебания направлены по диагоналям квадрата.
Задача 1190 (рис. 688). Две материальные точки с одинако-
одинаковыми массами от и зарядами q могут колебаться без сопротив-
сопротивления вдоль отрезка прямой, на pt ^
концах которого неподвижно за-
закреплены одноименные заряды qx =
= ус/. Длина отрезка равна За.
Показать, что если все заряды Рис. 688
находятся на равных расстояниях,
то имеет место положение равновесия. Найти частоты главных
колебаний при отклонениях средних зарядов от положения рав-
равновесия. Найти типы движения, соответствующие главным колеба-
колебаниям.
■ Ответ: h = V'ib\ kt = V7b, где Ь2 =
та*
Главные колебания соответствуют движению синфазно (т. е. оба
заряда движутся в одну сторону, сохраняя постоянное расстоя-
расстояние) и противофазно (т. е. оба заряда движутся в противополож-
противоположные стороны, отклоняясь одинаково от своих положений равно-
равновесия в разные стороны).
480

Задача 1191. Три материальные точки, массы которых соот-
соответственно равны т, 2т, т, связаны между собой одинаковыми
пружинами жесткостью с, как показано на рис. 689. Определить
Рис. 689
частоты главных колебаний системы, пренебрегая сопротивлениями
и массами пружин.
Ответ:
Задача 1192 (рис. 690). На свободно вращающемся валу
укреплены три маховика, моменты инерции
которых соответственно равны ,/,, Jit Ja. Q . ,-
Определить главные частоты крутильных J'
колебаний, если коэффициент жесткости на
о
Рис. 690
Рис. 691
кручение на участке между маховиками 1 и 2 равен сь а на
участке между маховиками 2 и 3 равен с2.
Ответ: fei = 0; fe2 з =
где а = JiJoJ*; b — Ci {Jt -f- У9) Ja -f- сз (Л + Л) Л;
■ 4ас
Задача 1193 (рис. 691). Диск радиусом R укреплен на конце
упругого горизонтального вала, заделанного на другом конце,
и совершает вынужденные крутильные колебания под действием
возмущающего момента М = Н sin pt. К диску в его верхней
точке шарнирно прикреплен астатический маятник с точечной
массой m и длиной /, удерживаемый спиральной пружиной, не
показанной на рисунке. Считая, что при вертикальном положе-
положении маятника пружина не напряжена, и пренебрегая трением,
определить жесткость пружины, необходимую для того, чтобы
маятник служил динамическим гасителем (т. е. чтобы амплитуда
вынужденных колебаний диска была равна нулю). Найти также
наибольший угол отклонения маятника относительно диска.
Ответ: c = ml{g-\-рЧ); tht» = -^
'/416 И, А. Бражниченко и др,
481

ГЛАВА XVII
ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
По отношению к системе отсчета Oxyz, движущейся произ-
произвольным образом относительно йнерциальной системы О'х'г/z',
уравнение движения материальной точки в векторной форме
имеет вид
mwr = F-\-]e-\-'h, A7.1)
где т — масса точки;
wr — ускорение точки по отношению к
системе Oxyz;
F — равнодействующая приложенных
к точке сил (задаваемых и реак-
реакций связей);
/„ = — mwe — переносная сила инерции;
jc — — mwc = — 2т (ше X vr)— кориолисова сила инерции.
Условие относительного равновесия материальной точки можно
записать так:
F + h = 0. A7.2)
Если система, состоящая из п материальных точек, движется
по отношению к системе Oxyz, которая равномерно вращается
вокруг оси Oz, совпадающей с неподвижной осью О'г', то пере-
переносные силы инерции всех точек системы обладают потенциалом
nM = — ±jy, A7.3)
где Jz — момент инерции системы относительно оси Oz.
Для консервативной системы-с потенциалом П в этом случае
имеет место закон сохранения энергии в относительном движении
Тм-\-П{г) = const, A7.4)
где
A7.5)
k — \
— кинетическая энергия системы в относительном движении;
Пы —П-f Пи). A7.6)
Если положение системы точек в относительном движении
определяется координатами qt, qit ..., qs и при <7; = а,- система
находится в положении относительного равновесия, то условия
относительного равновесия приобретают вид
?%— = 0 (/ = 1; 2; ...; s). A7.7)
482

Положение относительного равновесия системы является устой-
устойчивым, если функция П{г) имеет в этом положении изолированный
минимум.
Для систем с одной степенью свободы это условие устойчи-
устойчивости имеет вид
A7.8)
dq*
Для консервативной системы в рассматриваемом случае урав-
уравнения Лагранжа в относительном движении имеют вид
d <дРг'\ д'.
dt \ dq/ ] dqj
где обобщенная сила Кориолиса
dqf
A7.9)
определяется выражением
Замечание. Сила Q<c> для стационарных связей обращается в
нуль в следующих частных случаях:
для систем с одной степенью свободы;
для систем, каждая из точек которых имеет одну степень
свободы;
для систем, относительные траектории точек которых лежат
в одной плоскости с осью Oz.
Во всех этих случаях кориолисовы силы инерции перпенди-
перпендикулярны к возможным относительным перемещениям.
Задача 1194 (рис. 692). Внутри прямолинейной гладкой трубки,
вращающейся в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной
оси, проходящей через ее
конец, находится шарик
массой т = 0,2 кг. К ша-
шарику прикреплена пружи-
пружина, другой конец которой
закреплен в начале трубки.
Жесткость пружины с =
4 кн/м, ее ненапряженная
длина а = 3 см. Опреде-
Определить, по какому закону
должна изменяться угло-
угловая скорость со труб-
трубки, чтобы шарик дви-
двигался относительно нее с постоянной скоростью vr — 1 см/сек,
если он в начальный момент находился на расстоянии Ь = 5 см
от начала трубки. Найти также боковое давление шарика на
трубку в момент t = \ сек.
H.1R* 483
т
-VWWWVWV
Рис. 692

Решение. Свяжем с вращающейся трубкой систему отсчета Охуг,
как показано на рисунке Относительным движением шарика
является прямолинейное движение его вдоль оси Ох. Напишем
уравнение динамики относительного движения A7.1)-
P N + Nl + /5 + j°p r ]с, (а)
где Р — вес точки;
F_—упругая сила пружины;
N — вертикальная составляющая реакции труб-
трубки;
Ni — горизонтальная (боковая) составляющая
реакции трубки;
}це = —nvw^e — центробежная переносная сила инерции;
;°р = — mwf — вращательная переносная сила инерции;
}с = —- 2т (ше X vr) — сила инерции Кориолиса;
wr — ускорение точки в относительном движении,
направленное по оси Ох.
Проектируем (а) на оси Ох и Оу Получим
mx = Fx + j*x; 0 = ^, + /»? + /^. (b)
Далее,
Fx = ~cx; j*x = mw* = m»9 (x -f a);
/»p = — mz(x-\-a); jcy — — 2тшг.
Подставляя полученные выше выражения в (Ь), имеем
тх = — сх-{-тшг(х-\-а);
0 = W, — nu(x-\-a) — 2mmvr.
По условию задачи,
х = хе -f vrt,
где X(, = b — а — начальная абсцисса шарика.
Рассмотрим первое уравнение (с). Так как Х = 0, ибо vr —
= const, то
Таков искомый закон изменения угловой скорости. Используя
второе уравнение (с), найдем
Ni = те (х -f- a) -)- 2rm»vr.
Определим угловое ускорение г:
_ _
2 (а + лгд + »,0К(*в + V) (а
484

Подставляя в выражение для Nt значения ш, е и х, после
простых преобразований получим
В момент t = I сек имеем
#, = 0,5 н.
Задача 1195. Плоскость S равномерно вращается с угловой
скоростью w вокруг вертикальной оси Oz, образуя с ней прямой
угол (рис. 693, а). К точке А плоскости, отстоящей от оси вра-
вращения на расстоянии а, шарнирно прикреплен стержень длиной
Ь, несущий на своем конце материальную точку М массой т.
Рис. 693
Определить период малых колебаний точки вблизи ее положения
устойчивого относительного равновесия, пренебрегая трением.
Определить также усилие в стержне при прохождении этого поло-
положения, если в момент, когда стержень был отклонен на угол ср„
от линии О А, его угловая скорость была равна нулю. Массой
стержня пренебречь.
Решение, Рассмотрим относительное движение точки М в
плоскости S. Согласно A7.1), имеем
(d)
где jVj — нормальная реакция плоскости;
N — реакция стержня, направленная вдоль стержня;
/с — кориолисова сила инерции, причем
эта сила направлена также вдоль стержня, так как вектор <о
перпендикулярен к плоскости S, а вектор относительной скоро-
скорости 0г лежит в этой плоскости и перпендикулярен AM (рис. 693, б);
]е — переносная сила инерции; она является центробежной
и направлена от центра вращения по прямой ОМ, величина ее
/е = тюа ■ ОМ = тиРг.
16 Н. А. Бражииченко и др.
485

За обобщенную координату примем угол ср, составленный
стержнем с продолжением линии О А.
Спроектируем (d) на касательную (т) к относительной траек-
траектории, имея в виду, что
wrz = bt = bo; N. = 0; /ет = 0; /,, = — Л sin я,
где
а.= /_ ОМА,
получим
тЪу = — mtoV sin я.
Из А О AM найдем
г sin a —a sin ср,
следовательно,
bjo3 sin cp = O. (s)
Как известно, решение этого уравнения дается в эллиптиче-
эллиптических интегралах.
Для того чтобы найти положение равновесия, достаточно по-
положить в этом уравнении ф = 0. Получим sincp = O, откуда
Для малых ср уравнение (е) приближенно примет вид
6?-f-aaAp = 0, (/)
а для ср, близких к it, полагая ф = я — ю, получим
ш\ = 0. (g)
Общие решения уравнений (f) и (g) имеют соответственно вид
ср = At sin kt -f- Bi cos W;
^ = y44sh^ + Bsch^,
где k = шу ~ . ,
Первое из этих уравнений отвечает гармоническим колебаниям
около положения ср = О, во втором же уравнении при t-*co
tj) -> ОО,
Таким образом, при ср = 0 стержень находится в положении
устойчивого относительного равновесия, а при ф = 0 (cp = w) —
в неустойчивом.
Период малых колебаний около положения устойчивого рав-
равновесия будет
Ъъ_ 2я -, / Ь
486

Для нахождения усилия N спроектируем (d) на нормаль п
к относительной траектории, получим
m^b i=N — ]с — je cos a.
Но
/c = 2mb'fu>; je cos a. — muPr cos о.— mw1* (b -f~acos <?)■
следовательно,
N = m^b -j- 2mb$a> -j- шш3 (й -f- a cos cp). (h)
Для нахождения $ обратимся к уравнению (е). Умножая
его на <? и интегрируя, получим
b\ — m
Из условия, что ср = 0 при ср == ср0, найдем
С = — аш2 cos «0.
Решая (i) относительно $ в момент, когда ср = О, имеем
(О
Подставляя это значение в (h), после преобразований получим
Задача 1196 (рис. 694). Линейка АВ длиной I и массой т
своим концом А может скользить
вдоль вертикальной оси Oz, a
концом В — вдоль горизонтальной
оси Ох, вращающейся вокруг
оси Ог с постоянной угловой ско-
скоростью о). Перемещению конца В
препятствует пружина, которая при
вертикальном положении стержня
не напряжена. Определить поло-
положения относительного равновесия
линейки и исследовать их на ус-
устойчивость. Найти также период
малых колебаний около положе-
положения устойчивого равновесия.
Решение. За обобщенную координату возьмем угол а. Опре-
Определим потенциальную энергию системы
т-т сА* . mgl
2 ~т~
Рис. 694
■ COS a,
где Д = / sin а — деформация пружины.
16*
487

Вычислим П(е) по A7.3). Имеем
2 '
Для вычисления Jz выделим элемент стержня ds на расстоя-
расстоянии s от А. Имеем
dJz = fds-si sin2 a,
где т— масса единицы длины стержня.
Интегрируя, получим"
С Is ml2
J,= \vsa sin2 ads = 4 sin2a-1r- = -—- sin3a.
5'
Таким образом,
П<«) = _ i^lsin2a.
Составим выражение A7.6):
Определим
т-j 1 t-j(e) cls sin2 а , mg/ cos a m/2M8sin2ix
JL At О
cls mPn* \ o . mgl sin a
- ^Jsinacosa ^_
Приравнивая это выражение нулю согласно A7.7), считая
а<у, найдем
где
далее,
даз =5cos2h — Л cose.
При a = a!==0
и, следовательно, вертикальное положение равновесия стержня
согласно A7.8) будет устойчивым, если В^>А, т. е. при
С-^ 2/ "г 3
и неустойчивым, если
488

Исследуем теперь положение равновесия я = а2, найдем
= В COS 2йа — A COS ос2 = В BcOS3a2 — 1) — A COS а2.
Согласно (k), угол оц существует лишь при условии
Л<В. (т)
Поэтому
да2
Таким образом, положение относительного равновесия о. = ог
является неустойчивым.
Составим теперь дифференциальное уравнение относительного
движения в форме A7.9). Найдем сначала Т(г). По теореме Кё-
нига имеем
где С — центр масс стержня.
Далее,
п/~, la * ml2
=za.; vCr~ov PC- = j; Jc — -y2~
таким образом,
Так как система имеет одну степень свободы, то обобщенная
сила Кориолиса равна нулю, и уравнение A7.9) с учетом (у)
принимает вид
-g-/72ra=:— 1~2 g—J sin 2а -| ^- sin я.
При малых я (вблизи положения устойчивого равновесия)
имеем
При условии (I) это уравнение гармонических колебаний с
периодом
т = 2тс I/ .
У о/с — 2mlaa — 3mg
Задача 1197. На шероховатую горизонтальную плоскость,
вращающуюся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой
скоростью о>, помещена тяжелая точка. Где может находиться
эта точка в положении относительного равновесия, если коэффи-
коэффициент трения равен /?
489

fa
Ответ: в пределах круга радиусом г = —% с центром на оси
вращения.
Задача 1198 (рис. 695). Гладкий стержень АВ равномерно
вращается вокруг вертикальной оси, составляя с ней неизменный
угол а. Определить наибольшую величину угловой скорости
стержня ш, при которой колечко М, надетое на стержень, будет
находиться в относительном равновесии в наинизшем положении
А, если при этом его расстояние до оси вращения равно а.
Ответ:
= у gcXaga .
Задача 1199. Сохранив условия предыдущей задачи, опреде-
определить, каков должен быть закон изменения угловой скорости
стержня АВ, чтобы колечко М перемещалось по стержню с
постоянным по отношению к этому стержню ускорением wr,
если начальная относительная скорость была равна нулю.
Ответ: u> =
2(wr-\-gcosa)
sin a Ba -\- wrts sin a) '
Задача 1200 (рис. 696). Трубка вращается с постоянной угло-
угловой скоростью to вокруг вертикальной оси, составляя с ней все
Ж
Рис. 695
Рис. 696
время прямой угол. В трубке находится шарик массой т, скреп-
скрепленный с ней посредством пружины жесткостью с. В начальный
момент шарик находился на расстоянии а от оси трубки и был
отпущен без начальной скорости; пружина при этом была не де-
деформирована. Определить последующее движение шарика вдоль
трубки, совместив начало координат с начальным положением
шарика. Трением пренебречь.
Ответ: если
с
т
то х = -.г A — coskt),
где k
490

если
то x = -^-
— 1),
где /г, = у о>3 — ~
~ ;
если
Задача 1201 (рис. 697). Точка М может двигаться по глад-
гладкому стержню О А, который вращается с постоянной угловой
скоростью о) вокруг вертикальной оси, составляя с ней неизмен-
неизменный угол а. В начальный момент точка находилась на расстоянии
а от точки О и не имела относительной скорости. Определить
Рис. 697
Рис. 698
закон движения точки по стержню. При каком значении to точка
будет двигаться вверх и при каком вниз?
Ответ: ОМ = _-а °' °а ~\-Ы — -£s s°s" I ch (Ы sin
При
\fag cos a
-^—^
точка будет двигаться вверх, при
вниз.
Задача 1202 (рис. 698). По гладкой трубке, изогнутой в виде
полуокружности радиусом R и вращающейся вокруг вертикаль-
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью о>, может двигаться
тяжелая точка М массой т. Определить относительную скорость
точки в зависимости от угла ср, составленного радиусом ОМ с
осью вращения, если в начальный момент ор^=<р0, фв = 0.
Ответ: vr = Ry юа (sin3 ср — sin3 ср0) -}- -— (cos ю0 — cos ср).
Задача 1203 (рис. 699). В диске, вращающемся с постоянной
угловрй скоростью <о вокруг вертикальной оси О, перпендику-
■491

лярной к его плоскости, сделана криволинейная канавка в виде
окружности, проходящей через центр диска и имеющей диа-
диаметр а. Вдоль канавки может без трения двигать-
двигаться материальная точка М массой т, которая
в начальный момент находится на конце А диа-
диаметра окружности АВ, перпендикулярного к ООи
и имеет в этот момент относительную скорость
vr = —— . Определить в дальнейшем движении
точки ее относительную скорость, а также давле-
давление на стенки канавки, как функции расстоя-
расстояния ОМ = г.
Указание. Спроектировать A7.1) на касательную и нормаль
к окружности.
Ответ: vr = a>r;
Рис. 699
(знак «минус» имеет место при указанном направлении вращения,
знак «плюс» — при противоположном).
Задача 1204 (рис. 700). По диску, вращающемуся вокруг не-
неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w,
может скользить без трения вдоль хорды А В материальная точка М
Рис. 700
массой т. Точка М скреплена с точками А и В хорды двумя пру-
пружинами с одинаковой жесткостью с. Определить период колебаний
точки М в ее относительном движении, если она в средней точке
хорды находится в положении относительного равновесия.
Ответ: независимо от расстояния между хордой и центром
диска
т
Задача 1205 (рис. 701). Круглая трубка радиусом г вращает-
вращается с постоянной угловой скоростью о) вокруг своего вертикаль-
492

ного диаметра. Внутри трубки находится шарик М. Определить
положения устойчивого относительного равновесия шарика по
отношению к трубке, пренебрегая трением и раз-
размерами шарика.
Ответ: при <о>1/ ~ a —arcsin-^f- (в ниж-
ней половине трубки), при ш ^
Задача 1206 (рис. 702). Направляющая в виде
полу параболы n-го порядка (y = kxn) вращается
с постоянной угловой скоростью ш вокруг верти-
вертикальной оси, совпадающей с осью Оу. По на-
направляющей может двигаться без трения колечко М. Рис-
Определить, при каких п существует положение
устойчивого относительного равновесия колечка, отличное от на-
начала координат, и найти это положение.
Ответ: при
gkn
п — Ч
Задача 1207. Сохранив условия задачи 1205, определить пе-
период' малых колебаний шарика вблизи положения устойчивого
относительного равновесия.
Ответ: если о»
>Yi-n--vm
если <о-
то т = !
Задача 1208. В условиях задачи 1206 определить период ма-
малых колебаний колечка вблизи положения устойчивого отно-
относительного равновесия.
Ответ
2*-, Г 1 + /г2ге2.
: х==— I/ I
w г п —
Задача 1209. Регулятор Уатта вращается с некоторой постоян-
постоянной угловой скоростью так, что в относительном равновесии
углы отклонения всех стержней от вертикали
равны а. В результате возмущений возникают
относительные колебания шаров регулятора в вер-
вертикальных плоскостях. Определить период этих ко-
колебаний, считая их малыми. Длины всех стержней
равны /. Массой стержней, муфты и трением пре-
пренебречь.
7
Ответ: т=-
cos a
Рис. 703
Задача 1210 (рис. 703). Центробежный регу-
регулятор состоит из четырех одинаковых шарнирно
соединенных стержней длиной I каждый. Опреде-
Определить угол отклонения стержней от оси вращения,
493

если угловая скорость to = const. Массой, размерами муфты С,
а также трением пренебречь.
Ответ: при
a = 0;
при
Задача 1211 (рис. 704). Точка подвеса маятника, имеющего
вид однородного стержня длиной /, движется горизонтально с
постоянным ускорением w. Определить угол отклонения стержня
Рис. 704
Рис. 705
в относительном равновесии и период малых колебаний стержня
около этого положения.
2/
Ответ: tga = —; x = 2-
Задача 1212 (рис. 705). Плоскость вращается с постоянной
угловой скоростью ш вокруг перпендикулярной к ней вертикаль-
вертикальной оси. К плоскости в точке А, отстоящей от оси вращения на
расстоянии OA — R, шарнирно прикреплен однородный стержень
длиной /. Пренебрегая трением, определить период малых коле-
колебаний стержня около положения устойчивого относительного
равновесия.
Ответ: положение относительного устойчивого равновесия бу-
будет при <р = 0:
3R ■
Задача 1213. На рис. 706 изображена ракета.
Из бака А по направлению к соплу движется газовая струя
с постоянным секундным расходом [j. = p«S (р — плотноаь, и —
494

относительная скорость частиц газа, 5 — площадь сечения). В не-
некоторый момент на ракету начинает действовать постоянный вра-
вращающий момент М.
Составив дифференциальное
уравнение вращения ракеты в ее
относительном движении по отно-
отношению к центру инерции, найти
угловую скорость ракеты как функ-
функцию времени. Момент инерции
ракеты относительно центральной
оси принять постоянным и рав-
равным J, экстремальные расстояния частиц газа от центра инерции
равны а и Ь. Сопротивлением среды пренебречь.
Указание. Учесть силы инерции Кориолиса частиц газа, воз-
возникающие вследствие вращения ракеты.
Рис. 706
Ответ: «> =

ГЛАВА XVI!:
ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
В приближенной теории гироскопов вектор Zo кинетического
момента относительно неподвижного центра О предполагается
направленным по оси гироскопа и равным
Z0 = y,», A8.1)
где Jz—'Момент инерции относительно собственной оси гироскопа;
«> — собственная угловая скорость гироскопа.
Движение оси гироскопа определяется движением конца век-
вектора 10. Согласно теореме Резаля,
0л = М<*\ A8.2)
гд.еуА — скорость конца А вектора Ъо\
М{^ — главный момент внешних сил относительно неподвиж-
неподвижного центра.
Гироскопический момент определяют по формуле
A8.3)
где ">i — угловая скорость прецессии.
Задача 1214 (рис. 707). Уравновешенный гироскоп в карда-
новом подвесе имеет собственную угло-
угловую скорость п> и момент инерции Jz.
Zv Он установлен так, что его внутрен-
внутренняя рамка составляет с горизонтальной
плоскостью угол а. Определить угло-
угловую скорость прецессии, если к оси
гироскопа на расстоянии г от центра
подвешен груз М массой т. Трением
и массой рамок пренебречь.
Решение. По A8.3), имеем
или
(a)
Рис. 707
где P = mg — вес гироскопа.
Вектор «• направлен по оси гироскопа, вектор ">] — по непо-
неподвижной оси Ог'. Согласно (а), имеем
Pr COS !X —
откуда
охо, COS
mgr
496

и параллельна про-
Такова угловая скорость прецессии. Из полученной формулы
следует, что эта угловая скорость не зависит от угла наклона а.
Задача 1215 (рис. 708). Ротор турбины, ось которого распо-
расположена в диаметральной плоскости судна
дольной его оси, вращается со
скоростью п = 3000 об/мин.
Масса ротора т = 4000 кг, его
радиус инерции относительно
оси вращения р = 0,6 м, рас-
расстояние / между подшипниками
А и В равно 2 м. Судно имеет
килевую качку с амплитудой <ро=
— щ и периодом ъ — 8 сек. Опре- Рис 708
делить величины максимальных гироскопических давлений на
подшипники.
Решение. В данной задаче осью собственного вращения яв-
является ось ротора. Собственная угловая скорость ш равна по вели-
величине
<о = ^=1 ООг рад/сек
и направлена по оси ротора.
Прецессией является килевая качка. Согласно условию, угло-
угловая координата <р, характеризующая килевую качку, изменяется
по закону
Угловая скорость качки (угловая скорость прецессии) по вели-
величине равна
ъ-л
COS —
г.*
120
cosT
Вектор Wj направлен по оси вращения судна Ог% так, как
показано на рисунке, если в рассматриваемый момент судно
поворачивается вокруг этой оси против движения часовой стрелки.
При изменении направления качки вектор w, изменяет свое на-
направление на противоположное.
Вычислим гироскопический момент. По A8.3), имеем
по
Вектор М{ ) направлен так, как показано на рисунке, т. е.
перпендикуляру к плоскости, проходящей через векторы «> и
в сторону, определяемую векторным произведением.
497

Так как
тора
МХ) равна
и ш, взаимно перпендикулярны, то величина век-
векЛ1(Г| =
Имея в виду, что
получим
= МР2=1440 кг
cos
М[ '
Гироскопический момент М'1' обусловливаем появление дав-
давлений на подшипники А и В. Реакции NA и NB этих подшип-
подшипников, численно равные давлениям, но противоположно им на-
направленные, образуют пару, момент которой уравновешивает
гироскопический момент. Следовательно, величины реакций NА
и NB будут:
Лт ч lit
А в i '
В моменты t, для которых cos^- = ±l, эти величины получат
максимальные значения, равные
Л/лтач = Л/вта, = 600тг3=: 18,61 кн.
Задача 1216. Ротор турбины, вращающийся вокруг горизон-
горизонтальной оси с угловой скоростью 0^ =1000 рад/сек и имеющий
2 момент инерции относительно оси вращения
J = 750 «г • м% установлен на широте г. Ленин-
Ленинграда. Определить величину гироскопического
момента ротора, возникающего вследствие
вращения Земли, если вектор угловой ско-
скорости ротора направлен точно на север.
Ответ: М{Г) =
86400
± = 47,4 нм.
Этот момент уменьшает давление на под-
подшипник, расположенный ближе к северу.
Задача 1217 (рис. 709). Угловая скорость
Рис. 709 прецессии волчка, имеющего форму прямого
кругового конуса, опирающегося своей вер-
вершиной на плоскость, равна щ. Определить собственную угловую
скорость ю волчка, если радиус основания конуса равен г,
а высота h.
Ответ: ш = ^_.
498

S/s.
Задача 1218 (рис. 710). Однородный тонкий стержень длиной
2/ за середину подвешен на нити. На один из концов стержня
надет однородный сплошной диск, который вращается вокруг
стержня с большой постоянной угловой ско-
скоростью ю. Определить угловую скорость пре-
прецессии стержня с диском, если радиус диска
равен г. Сопротивлением нити на кручение
пренебречь.
Ответ: щ=^\.
Задача 1219 (рис. 711). Ротор гирогори-
зонта представляет собой турбинку, вращаю-
вращающуюся вокруг вертикальной оси струей воздуха, рис. 710
который выходит затем через отверстия А, на-
наполовину прикрытые маятниковыми заслонками В. При отклонении
оси ротора от вертикали (вследствие возникающих моментов сил
трения в подшипниках) одна из двух противоположно расположен-
расположенных заслонок полностью открывается, другая же полностью за-
закрывается, в то время как остальные две не смещаются. При
этом возникает реактивный момент, обусловленный действием
струи воздуха и направленный противоположно скорости струи.
Рис. 711
Рис. 712
Пользуясь теоремой Резаля, показать, что ось гироскопа
будет восстанавливать свое вертикальное положение.
Задача 1220 (рис. 712). Квадратная рама ABDC вращается
вокруг вертикальной оси А В с постоянной угловой скоростью «,.
Вокруг диагонали рамы ВС с постоянной угловой скоростью м
вращается ротор, представляющий собой сплошной диск радиу-
радиусом г и массой т. Определить гироскопические давления на под-
подшипник Е и подпятник F, если сторона рамы равна а.
Ответ: NE = NF=^ir ja——.
499

Задача 1221 (рис. 713). В полом кольце радиусом R с малым
поперечным сечением движется жидкость с большой постоянной
по величине скоростью и, а само кольцо вращается вокруг оси
АВ с постоянной угловой скоростью о»!. Считая массу жидкости
в трубке равной т, определить гиро-
гироскопические давления на подшипники
А и В, обусловленные движением
жидкости н вращением кольца, если
Рис. 713
Ответ: NA = NB = ^
Задача 1222 (рис. 714). Вал, вра-
титл щающийся вокруг вертикальной оси
OOi с угловой скоростью шь приво-
приводит в движение каток А массой т
и радиусом R. Приняв каток за одно-
однородный диск и считая, что он по горизонтальной плоскости не
скользит, определить усилие S, возникающее в валу от действия
гироскопического момента.
Ответ: S = ^.
Задача 1223 (рис. 715). Между статором однофазного генера-
генератора переменного тока и фундаментом установлены четыре пру-
пружины по две с каждой стороны, имеющие одинаковую жесткость,
Рис. 714
Рис. 715
равную с. Определить деформации Д пружин, вызванные дей-
действием гироскопического момента ротора, вращающегося вокруг
горизонтальной оси с угловой скоростью о), если в рассматри-
рассматриваемый момент времени платформа, на которой находится гене-
генератор, вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью о»,.
Момент инерции ротора относительно его оси равен J, осевое
расстояние между пружинами равно /.
_ , Juno.
Ответ: Д = ~г~.
Задача 1224 (рис. 716). Ось ротора гироскопического указа-
указателя поворотов совпадает с направлением горизонтального полета
500

самолета. Определить угловую скорость щ виража самолета, если
момент инерции ротора равен J, его собственная угловая ско-
скорость равна ш, жесткость каждой из пружин равна с, а изме-
Рис. 716
Рас. 717
ренный угол отклонения оси ротора от горизонтали равен а (счи-
(считать этот угол малым). Расстояние между пружинами равно а.
Ответ: ш,«^^-.
Задача 1225 (рис. 717). Однородный диск радиусом г и мас-
массой т вращается с большой угловой скоростью ш = const вокруг
стержня О А, имеющего в точке О сферический шарнир, и в
то же время прецессирует вследствие наличия момента силы
тяжести. Определить приближенное значение горизонтальной
составляющей реакции шарнира О, если расстояние от него до
центра диска равно /, а угол между
стержнем и вертикалью равен а. Массой
стержня ОА пренебречь.
Указание. Найдя угловую скорость
прецессии, применить теорему о движении
центра инерции.
О,
Ответ:
RTOp =
-тп^т
sin a.
Рис. 718
Задача 1226. Для определения скорости
летательного аппарата в период старта
(по вертикали) используется интегратор,
схема которого показана на рис. 718.
Ротор гироскопа помещен в кожухе А, который может вращаться
вокруг горизонтальной оси 00. В момент старта конец В оси
гироскопа освобождается от опоры и кожух оказывается висящим
на оси 00. При этом моменты веса и силы инерции создают
прецессию относительно вертикальной оси ОХО^.
Зная угол поворота ф вокруг этой оси за время t, определить
скорость подъема в этот момент, если масса ротора с кожухом
равна т, расстояние от их общего центра тяжести до оси 00
равно а, момент инерции ротора У, а его собственная угловая
скорость равна <о.
17 Н. А. Бражничеико и др.
501

Указание. Проинтегрировать t}>, учитывая, что"$ wdt = v.
о
Задача 1227 (рис. 719). Невесомый стержень АВ длиной I,
на конце которого находится точечная масса т,
закреплен с помощью цилиндрического шарнира
на вертикальной оси, вращающейся с угловой
скоростью <о. При отклонении стержня АВ на
малый угол сро от положения относительного
равновесия он начинает колебаться около этого
положения с круговой частотой, равной со sin а,
\В где а — угол, при котором имеет место относи-
относительное равновесие (см. задачу 1209).
Найти добавочные гироскопические давления
на подшипники при прохождении стержнем поло-
Рис. 719 жения относительного равновесия, если расстоя-
расстояние между подшипниками равно /.
Указание. Определить угол а из условия относительного рав-
равновесия.
Ответ: N = ^^ ]/72ш* — g3 .
Решение возможно при

ГЛАВА XIX
ТЕОРИЯ УДАРА
Приращение количества движения системы за время удара
равно главному вектору всех внешних ударных импульсов, дейст-
действующих на систему*, т. е
Q.-Qi=S£. A9.1)
Приращение за время удара кинетического момента относи-
относительно неподвижного центра (или центра инерции) равно глав-
главному моменту всех внешних ударных импульсов, действующих
на систему, относительно того же центра, т. е.
В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
имеем
Jz(iS)i~is>l) = Mfl(SyA). A9.3)
При ударе точки о неподвижную поверхность связь между
углом падения о^ и углом отражения аг устанавливается формулой
tga? = -tga1, A9.4)
где * — коэффициент восстановления, равный отношению абсо-
абсолютных величин нормальных проекций скоростей точки после
удара и до удара, т. е.
х= ^ . A9.5)
Зависимость между величинами скоростей точки до удара и
после удара такова
Vi = vi cos о, Уу? + tg%. A9.6)
При прямом центральном ударе двух тел Л и В, центры тя-
тяжести которых движутся вдоль оси Ох, проекции скоростей тел
после удара vfx, v%x связаны с проекциями скоростей этих тел
до удара v*x, vfx (при отсутствии внешних ударных импульсов)
следующими соотношениями:
А
А __ («д-*Мв) «&+ «д
A9-7)
* В этой главе все кинематические величины непосредственно до удара
обозначены индексом <1>, а после удара — индексом <2».
17* 503

Имеет место теорема Карно: кинетическая энергия, теряемая
при ударе, равна . ~* доле кинетической энергии, соответствую-
соответствующей потерянным скоростям, т. е.
где
Г* = 1 mA (vi - vfx
f?
mB
- of,)»
A9.8)
A9.9)
Если удар является абсолютно упругим, то х=1 и ДТ —0.
Если удар является абсолютно неупругим, то х = 0 и Д71 = Г*;
при этом следует иметь в виду, что v£x = v%x.
Уравнения Лагранжа для случая удара имеют вид
h
A9.10)
(/=1; 2; ... ; s),
где R?A — обобщенные импульсы ударных сил, которые можно
найти по формуле
Задача 1228 (рис. 720). На гладком горизонтальном столе
покоится мяч М массой т. В некоторый момент по мячу произ-
производится удар, импульс которого S направлен горизонтально.
\«,
ч
У
Рис. 720
Определить расстояние между двумя первыми точками падения
мяча на пол, если высота стола равна h, а коэффициент восста-
восстановления равен ■*.. Сопротивлением воздуха и размерами мяча
пренебречь.
Решение. Определим скорость й0, приобретаемую мячом в ре-
результате удара. Пользуясь A9.1), имеем
504

Учитывая, что Qi=0; Qi = tnvo, получим
Скорость у0 направлена так же, как и вектор S. Найдем
скорость падения Ю\. Для этого составим уравнения движения
мяча как точки, движущейся под действием силы тяжести,
х = vat; у = -g-.
В момент падения y = h, r. e. tl = l/ ^-, и скорость и, най-
найдем по формуле
направление скорости Si определяется углом at.
Так как
то
Пользуясь A9.6) и A9.4), найдем скорость 0а отражения
мяча после удара о пол и угол отражения:
= и, cos aj V-t? -\- tg2a, = vy
Уравнениями движения мяча на участке А В будут
х' = v4 cos p.2; (/' = v4 sin ^2 — ^.
В момент падения (в точке В) г/ = 0, откуда / = v*sin ^, и,
следовательно,
Pg sin 2?2 oj sin 2а3 2og tg аг .
Задача 1229. Боек молота массой mA = l0 tn падает со ско-
скоростью v = 5 м/сек на наковальню, масса которой вместе с от-
отковываемым металлом тв = 240 т. Определить коэффициент по-
полезного действия молота, считая удар упругим с коэффициентом
восстановления х = 0,3.
505

Решение. Удар считаем прямым и центральным. Соударяю-
Соударяющимися телами являются боек молота (тело А) и наковальня
с отковываемым металлом (тело В). Направим ось Ох в сторону
движения бойка, т. е. вниз. Согласно принятым обозначениям,
vix — скорость бойка до удара, т. е. vlx = v; v^x— скорость на-
наковальни до удара; так как наковальня была неподвижна,
vlx — 0. Определим по формулам A9.7) скорости v*x и v%x после
удара:
А 0nA—%mB^V\x (mA~~%mB>'°.
ЩХ ~ 1ПА + >ПВ ~ mA + mR '
mA(\-\-x)vfx mA A + *.) v
_mA(\-\-x)vfx_ mA
Найдем по A9.9) кинетическую энергию, соответствующую
потерянным скоростям:
1 '■ ~т
-\-mBy ~ 2(mA-\-mB) •
Потеря кинетической энергии при ударе согласно A9.8) будет
A —*Л m.nijvs
AT — i а в _ 1 по „ а
а1 — 2 (,пА + Ид) дас-
В этой задаче полезной является потерянная кинетическая
энергия Д7\ затрачиваемая на деформацию отковываемого ме-
металла. Следовательно, коэффициентом полезного действия молота
будет
_ДГ
Ч —г,'
где /1 = —=^ вся затраченная энергия, равная кинетической
энергии бойка молота.
Подставляя численные значения, получим
' тА + В
Задача 1230 (рис. 721). Однородный диск радиусом R нахо-
находится в покое на гладкой горизонтальной плоскости. В некото-
некоторый момент по ободу диска наносится удар, импульс которого
лежит в плоскости диска и направлен вдоль прямой, отстоящей
на расстоянии а от его центра. Определить положение мгновен-
мгновенного центра скоростей в момент окончания удара.
506

Решение. Воспользуемся A9.1). Учитывая, что Qn = 0, получим
где М—масса диска.
Следовательно, скорость центра масс непосредственно после
удара направлена параллельно импульсу S и
равна по величине
vc=Sm- (a)
Применим формулу A9.2) по отношению
к оси, проходящей через центр масс и перпен-
перпендикулярной к плоскости диска. Учитывая, что
Lc = 0, получим
или
S
* Рис. 721
,/са>2 = Sa.
Отсюда угловая скорость диска непосредственно после удара
равна
Sa
2Sa
: MR*'
Пользуясь (а) и ф), найдем, что мгновенный центр скорос-
скоростей Р сразу после удара находится от центра С на расстоянии
'2a ■
Задача 1231. Эллиптический маятник состоит из ползуна
массой М, который может скользить вдоль горизонтальной на-
направляющей, и однородного стержня АВ массой т и длиной /,
Jfl
Рис. 722
скрепленного с ползуном посредством цилиндрического шарнира
(рис. 722,а). В некоторый момент, когда система находится в рав-
равновесии, по ползуну производится удар с импульсом S. Опреде-
Определить скорость ползуна щ и угловую скорость стержня ш^ непо-
непосредственно после удара.
Решение. Исподьзуем уравнения Лагранжа A9.10):
■дТ\ (дТ\
Mjk-Щк-Ki-

Mjk-Щк-KiСистема имеет две степени свободы. За обобщенные коорди-
координаты примем: q\. = x—перемещение ползуна; <7а = <р — угол пово-
поворота стержня (рис. 722,6), отсчитываемый против движения часо-
часовой стрелки.
Определим кинетическую энергию системы:
MX- mvS Уг<о2
Т= J П0лз -\- J ст = -т> I 2 I 2~
(кинетическая энергия стержня определена по формуле Кёнига).
По теореме сложения скоростей имеем
Относительная скорость vCr перпендикулярна к АС и по ве-
величине равна
/со /i
Переносная скорость vCe параллельна оси Ох и по величине
равна
Таким образом,
v'c = ~- -f- х2 -f- l&x cos ср.
Учитывая, что Jc = -r^, получим
i 4
** COS <P).
Найдем обобщенные ударные импульсы #?д:
Sbx о- п„„ 8Л9 (S)
Ьх
= 0.
Имеем
Вычислим -р- при ср = О; дс = О.
дТ
Учитывая, что при
получим
откуда найдем
дТ ml* . . mlJt
= tu § = х = 0, пользуясь A9.10),
4S
6S
508

Знак «минус» показывает, что стержень в результате удара начнет
вращаться по направлению движения часовой стрелки.
Задача 1232. Шар падает из состояния покоя с высоты h,
ударяется о пол, подпрыгивает, снова падает и т. д. Принимая
коэффициент восстановления равным х, определить время, по
истечении которого шар остановится.
Ответ: t= . _* Т/ — .
Задача 1233. Шарик ударяется в вертикальную стенку, дви-
двигаясь в нормальной к ней плоскости так, что его скорость в момент
удара составляет угол 30° с вертикалью, направлена снизу вверх
и по величине равна и0- Определить, на каком расстоянии от
стенки шарик упадет на горизонтальную плоскость, если коэффи-
коэффициент восстановления при ударе равен *, а высота места удара
над горизонтом равна 1г.
Задача 1234. Ядро атома, имеющее массу т и скорость о„,
ударяется в другое неподвижное ядро атома, имеющее ту же
массу и находящееся в возбужденном состоянии. При ударе
выделяется энергия Ео (удар второго рода). Найти скорость
обоих ядер после соударения.
Ответ: и, =-—L-~-) -, иа = -—LJ-^—1—^, гдеа=-°.
Скорость vx направлена противоположно v0, скорость у2 совпадает
по направлению с v0.
Задача 1235. Неподвижное ядро атома массой М обстрели-
обстреливается частицами массой т, имеющими кинетическую энергию Ти.
При слиянии частицы с ядром образуется новая частица, однако
реакция будет происходить только при условии, что внутренняя
энергия, равная потере кинетической энергии при ударе, возра-
возрастет не менее чем на величину Е„ (порог реакции). Определить,
какова должна быть кинетическая энергия То.
Ответ: То 5= —^— Ео.
Задача 1236. п материальных точек с массами ть гщ,...,тп
находятся на одной прямой. Первой из них сообщается скорость Di
вдоль этой прямой. Считая удары точек абсолютно неупругими,
определить скорость точек после последнего удара.
Ответ: vn = = ^^—, .
Задача 1237. Определить, с какой высоты h должен падать
без начальной скорости боек молота массой 0,5 т, чтобы при
ковке детали ее толщина после каждого удара уменьшалась на
5 мм. Считать, что среднее усилие, потребное для этой деформа-
деформации детали, равно 980 кн{ а коэффициент полезного действия
509

молота равен 0,8. Найти также коэффициент х восстановления
при ударе. Массу наковальни считать весьма большой по сравне-
сравнению с массой бойка.
Ответ: h =1,25 м, у. = 0,45.
Задача 1238. Паровая баба двойного действия массой 0,6 т
опускается без начальной скорости с высоты 2 м, испытывая
среднюю суммарную силу давления пара, равную 9 кн. Опреде-
Определить перемещение а забиваемой сваи при ударе, считая среднюю
силу сопротивления грунта равной 900 кн. Коэффициент полез-
Т
ного действия бабы т} = -~г = 0,6. Удар считать абсолютно не-
неупругим.
Ответ: а я» 2 см.
Задача 1239. Два тела, получив встречные ударные импульсы
St и 52, соударяются. Считая удар абсолютно неупругим, прямым
и центральным, определить скорости тел после удара, если их
общая масса равна М. Трением и сопротивлением пренебречь.
Ответ: 0, = Оа = i?L=A.
/VI
Задача 1240. Два тела / и // с массами тх и тг соответ-
соответственно лежат в покое на горизонтальном негладком столе на
расстоянии /, друг от друга. В некоторый момент к телу / при-
прикладывают ударный импульс S, направленный вдоль прямой,
у//// соединяющей центры тяжести тел. Определить, на
какое расстояние /3 переместится тело // после удара
о него тела /, если коэффициент восстановления равен х,
а коэффициент трения скольжения равен /. Размерами
тел пренебречь.
Задача 1241 (рис. 723). Стержню АВ массой М и
а длиной а, подвешенному на шарнире А и занимающему
, в начальный момент нижнее вертикальное положение,
' ■ сообщена начальная угловая скорость ш0. Проходя
\ через верхнее вертикальное положение, он ударяет
J груз С массой т = -~, подвешенный на невесомом
Рис. 723 а
жестком стержне OL длиной у, сообщая ему враща-
вращательное движение вокруг шарнира О. Считая удар абсолютно
неупругим, определить, какова должна быть величина угловой
скорости ш0, чтобы стержень ОС сделал четверть оборота.
Задача 1242. Доска длиной I положена на стол так, что ее
конец длиной Ъ свободно свешивается. На конце доски, лежа-
510

щем на столе, находится груз массой т, а к свободному концу
прикладывается ударный импульс S, направленный вертикально
вниз. Определить высоту, на которую подскочит груз в резуль-
результате удара, пренебрегая массой доски и сопротивлением воздуха.
Ответ: Н = 2gJ[f_ bJ.
Задача 1243. Однородный стержень А В лежит на гладком
горизонтальном столе. В некоторый момент по его концу А перпен-
перпендикулярно к стержню в плоскорти стола производят удар. Где
будет находиться мгновенный центр скоростей Р стержня непо-
непосредственно после удара? Каково соотношение между величинами
скоростей точек Л и В в этот момент?
Ответ: А 2АВ ^
Задача 1244. Микрометеорит, массой которого можно прене-
пренебречь, ударяет в искусственный спутник Земли, имеющий форму
тонкостенного однородного шара радиусом R и массой М, центр
которого движется со скоростью Si, сам шар вращается с угло-
угловой скоростью со, вокруг центральной оси, перпендикулярной
к скорости. Найти скорость щ центра шара, направление оси
вращения и угловую скорость щ непосредственно после удара,
если количество движения микрометеорита равно q и направлено
противоположно £>!. Считать, что удар приходится в точку пере-
пересечения оси вращения с поверхностью шара и является абсолютно
неупругим.
Указание. Момент инерции тонкостенного шара относительно
диаметра равен -^ MR2.
Ответ: Vt — 0t — -jfc ; ш, = ]/ ш* -f
Новая ось вращения находится в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к направлению движения, и образует со старой осью
угол a = arctg^_.
Задача 1245. Кривошипно-шатунный механизм состоит из
кривошипа и шатуна, принимаемых за однородные стержни с общей
массой т. В момент, когда кривошип находится в покое в край-
крайнем правом положении, на него действует ударный импульс,
момент которого относительно оси вращения кривошипа равен
М (S). Определить угловую скорость, которую приобретет криво-
кривошип сразу после удара, если его длина равна г.
г, ЪМ (S)
Ответ: щ = тД ;.
Задача 1246. В кривошипно-шатунном механизме кривошип и
шатун представляют собой однородные стержни, длины / и массы т
которых одинаковы; масса ползуна равна М. В момент, когда
511

угол, составленный кривошипом с направляющими ползуна,
равен 30°, по ползуну производится удар, имеющий импульс S,
направленный противоположно скорости ползуна. Найти угловую
скорость кривошипа непосредственно после удара, если в момент
удара она равна ш,.
Ответ: ^ = щ - ,GД Ш) .
Задача 1247 (рис. 724). Стержень АВ длиной / и массой т
концом А закреплен при помощи цилиндрического шарнира.
Повороту стержня препятствует спиральная пру-
пружина с жесткостью с, которая при вертикальном
положении стержня не напряжена. В некоторый
Рис. 725
Рис 726
момент по стержню в точке В наносится удар, импульс которого
перпендикулярен к стержню. Определить величину этого импульса,
если известно, что стержень после удара отклонился от верти-
вертикали на угол а.
Ответ
:*-/£
- 2mgl
in
Задача 1248 (рис. 725). Два маятника в виде однородных
стержней длиной I и массой т каждый соединены шарнирно
таким же стержнем. Когда система находится в равновесии,
по шарниру А производится удар, импульс которого S направлен
вдоль стержня АВ. Определить, на какой угол <р отклонятся
стержни.
ч _ S\/J
2 9
Ответ:
Задача 1249 (рис. 726). Система, состоящая из трех желез-
железных масс, подвешенных при помощи нитей и блоков, находится
в равновесии. В некоторый момент включается на очень малое
512

время мощный электромагнит А, помещенный снизу, в резуль-
результате чего на каждую массу в этот момент действуют импульсы
Si, S9, "S3, направленные вертикально вниз. Какую начальную
скорость приобретут грузы, если их массы соответственно равны
ml = 2M; т2 = /л3 = УЙ? Массами блоков и нитей пренебречь.
Ответ: *1 = -±-^ J; х2 = -^^ Н
а 3S8 — SL — S2
Хз — 4М

ГЛАВА XX
ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
Движение точки переменной массы описывается уравнением
И. В. Мещерского:
где т — масса точки в данный момент;
F — равнодействующая сил, приложенных к точке;
Ф — реактивная сила, определяемая формулой
B0.2)
п — относительная скорость присоединяющихся или отделяющихся
частиц по отношению к движущейся точке.
Если масса точки убывает вследствие отделения частиц, то
-^<0, и, следовательно, реактивная сила направлена при этом
в сторону, противоположную относительной скорости отделяемых
частиц п.
При увеличении массы точки вследствие присоединения частиц
]>0 и реактивная сила направлена в ту же сторону, что и
относительная скорость присоединяющихся частиц.
Если одновременно происходит и присоединение, и отделе-
отделение частиц, то
т = т0 — Щ-\- щ,
где т0 — начальная масса;
mt — масса частиц, отделенных к данному моменту;
/л2 — масса присоединенных частиц (к этому же моменту вре-
времени).
В этом случае
Ф = Ф,+Ф„ B0.3)
где
Ф1 = _^Й1; Щ = ^щ, B0.4)
S, и щ — соответственно относительные скорости отделяющихся
и присоединяющихся частиц.
Если внешние силы отсутствуют и точка, получив начальную
скорость t»0. движется прямолинейно при постоянной относитель-
относительной скорости отделяющихся частиц й, то величина ее конечной
скорости Vi определяется по формуле Циолковского:
vl = vQ-\-u\nz, B0.5)
514

где число Циолковского г равно отношению начальной и конеч-
конечной масс, т. е.
г="щ- B0-6)
Из B0.5) следует, что
г = Г^. B0-7)
Задача 1250. Для исследования верхних слоев атмосферы
употребляется трехступенчатая ракета. Принимая отношение по-
полезного груза данной ступени к оставшейся массе ракеты без
топлива этой ступени s=l/2 и относительную скорость истече-
истечения газов и = 2500 м/сек, найти полную начальную массу ракеты,
если конечная скорость ее должна быть у» = 8000 м/сек, а масса
аппаратуры т — 60 кг. Сопротивлением воздуха и действием силы
тяжести пренебречь.
Указание. Под полезным грузом данной ступени понимается
начальная масса всех последующих ступеней, а для последней
ступени — масса спутника.
Решение. Введем следующие обозначения:
т —масса аппаратуры (полезный груз третьей ступени);
тъ — масса ракеты без первой и второй ступеней н без топлива
третьей ступени;
тт — начальная масса третьей ступени с аппаратурой (полезный
груз второй ступени);
пц — масса ракеты без первой ступени и без топлива второй сту-
ступени;
Шю — сумма начальных масс второй и третьей ступени и аппара-
аппаратуры (полезный груз первой ступени);
mi — масса ракеты без топлива первой ступени;
т10 — начальная масса ракеты;
vч — конечная скорость третьей ступени;
Vi — скорость, достигнутая второй ступенью;
vt —скорость, достигнутая первой ступенью.
В соответствии с данными задачи имеем
/и, ' т. ~~ ' m, • {а)
Согласно определению числа Циолковского,
где z,, zj, гя — соответственно числа Циолковского для первой,
второй и третьей ступеней.
515

Перемножая все равенства (а) и (Ь), получим
т е3
'«10 «l^Za '
отсюда
/ию ^— . (с)
Поскольку конечная скорость первой ступени является началь-
начальной скоростью для второй, а конечная скорость второй ступени —
начальной скоростью для третьей, то по B0.7) имеем
Zl=e u ; Zt =
Согласно (с) и (d),
Подставив в правую часть этого равенства численные данные,
получим
ш10=11,8 т.
Задача 1251. Космическая четырехступенчатая ракета, пред-
предназначенная для исследования ионосферы, стартует с Земли вер-
вертикально. Необходимая конечная скорость и4=П500 м/сек.
Считая полезный груз четвертой ступени т=100 кг, относитель-
относительную скорость и истечения газов во всех ступенях одинаковой и
равной 2500 м/сек, найти начальную массу ракеты, если отношение
массы полезного груза каждой ступени к массе полного груза
е= у (см. предыдущую задачу), а время горения топлива во
всех ступенях /=102 сек. Сопротивлением воздуха, изменением
силы тяжести с изменением высоты и вращением Земли пренеб-
пренебречь. Найти также массу топлива, если числа Циолковского для
всех ступеней одинаковы.
Решение. Вводя те же обозначения, что и в предыдущей
задаче, имеем
т
'«40
tlls
т,0 ■
..
1
г '
'«10 _
- ->
1
г»
'"it)
"h
у
/И,
«10
'«40
1
Z. "
(е)
Рассмотрим движение одной из ступеней. Проектируя урав-
уравнение Мещерского на ось, направленную вертикально вверх, по-
получим
dv dm
откуда
516

Интегрируя от ta до t, имеем
'"о
Вводя число Циолковского г и время горения х, получим
v — иц = и In г — grt,
отсюда
Перемножая эти числа для всех ступеней, найдем
4 -ч +t8 -ftt> -р4 + g(
«■ —е и , (g)
где ^—полное время горения топлива во всех ступенях.
Перемножая выражения (е), получим
Отсюда согласно (g-) найдем
Подставляя численные значения, имеем
ты — 237,5 т.
Масса всего топлива равна сумме масс топлива во всех ступе-
ступенях, следовательно,
ттопЛ = тю — mi + т-щ — tiii -f- mM — m3 + m40 — m4.
Так как число г для всех ступеней одно и то же, то из
выражений (е) имеем:
1 г4 г zt г
trii===г — /п! tiir.n ^= — ~ tn =^= — rti\ fiii ^—~ ~~» т ~~= —^ ^J
с е г ew е
/Зг4 __ г2 г,^ __ г2
Е £ Ё° £'
Z«Z*Zi ZS ZtZ»Z. Z*
triio = ——,j— ш = 8- tn\ tti\ == —f— ttt = -7- /n;
/ii10 " ~ л ' Л ill•
e e
Таким образом,
1 г i г2 23
т.
517

Согласно (g), при г] =
1 = г4 —z имеем
или
Подставив заданные величины, получим г=3,490, следовательно,
ттопл = 197,6 т.
Задача
г
А-т
Рис. 727
1252 (рис. 727). Как должна изменяться масса тела,
для того чтобы оно двигалось вертикально вверх
с постоянной скоростью va, если относительная ско-
скорость истечения газов постоянна и равна п. Учесть
изменение с высотой силы притяжения Земли (ра-
(радиус R). Силой сопротивления воздуха пренебречь,
начальная масса тела равна т0.
Решение. Поместим начало координат в центре
Земли. Сила притяжения к Земле
рMm
где y —всемирная постоянная тяготения;
М — масса Земли;
т — масса тела,
г —расстояние от тела до центра Земли.
При т = т$ F = mag, где g— ускорение свободно
падающего тела на поверхности Земли.
Отсюда имеем
R2
и, следовательно,
Таким образом,
g&m
Воспользуемся B0.1) и B0.2):
dv p
dt
Й.
Проектируя на ось z это векторное уравнение и учитывая,
dv ~ —
что —— = 0, а и и F направлены вниз, получим
г, eR2m dm
илн
dm
uz"
518

Умножая обе части этого уравнения на dz и разделяя пере-
переменные, найдем
dz
так как -jt-~v
Интегрируя,
dm
v m
имеем
v\nm
_ S#3
и
fflrt tl
dz
z3 '
z
г
R
откуда
m = m^
Таков закон изменения массы с высотой.
Если учесть, что z = R-\-vt, то получим закон изменения
массы в функции времени:
т = тое
Задача 1253. По какому закону должна изменяться масса тела,
чтобы оно двигалось горизонтально с постоянным ускорением w,
если относительная скорость истечения газов й = const, а началь-
начальная масса равна т0? Сопротивлением воздуха пренебречь.
_ ^i
Ответ: т = тае " .
Задача 1254. Решить предыдущую задачу при вертикальном
подъеме тела в однородном поле силы тяжести, т. е. не учитывая
изменения силы тяжести с высотой.
Ответ: т =
Задача 1255. Ракета движется вверх в однородном поле силы
тяжести с постоянным ускорением oy = 3g-. Определить, через
сколько времени масса ракеты уменьшится вдвое, если относи-
относительная скорость истечения газов равна 2000 м/сек.
Ответ: через 35,4 сек.
Задача 1256. Ракета массой 12 700 кг выпущена при помощи
вертикальной катапульты. В момент остановки ракеты начинается
истечение газов, происходящее с относительной скоростью, равной
2000 м/сек. Сколько топлива потребуется для того, чтобы ракета
висела в пространстве в течение 10 сек?
Ответ: 607 кг.
Задача 1257. Воображаемая ракета состоит из двух ступе-
ступеней. Число Циолковского для второй ступени za = 3,3, а отно-
относительные скорости истечения газов из первой и второй ступеней
соответственно равны г/,==2000 м/сек, аа = 2400 м/сек. Опреде-
Определить общую массу топлива, необходимого для обеспечения ско-
скорости второй ступени иа = 5060 м/сек, если масса корпуса вто-
второй ступени вместе с научными приборами равна М, а масса
519

корпуса первой ступени /Wi = 2M. Сопротивлением среды и влия-
влиянием силы тяжести пренебречь: начальную скорость ракеты при-
принять равной нулю.
Ответ: т =12,9 М.
Задача 1528 (рис. 728). В трехступенчатой ракете массы
корпусов соответствующих ступеней равны Ми Мц = 0,5Мх,
VW3 —О,5Д12> я числа Циолковского zx и z.t для первой и вгорой
ступеней одинаковы и равны 4. Определить общую
массу т топлива, необходимого для обеспечения
скорости третьей ступени и3 = 8 км/сек, если
относительная скорость истечения газов в каждой
ступени « = 2000 м/сек. Сопротивлением воздуха
и влиянием силы тяжести пренебречь; начальную
скорость ракеты считать равной нулю.
Ответ: т = 23,9 Ми
Задача 1259. Сохранив условия задачи 1250
и считая, что первая ступень достигает скорости
i't = 2000 м/сек, вторая — и2 = 5000 м/сек и
третья — окончательной скорости vt = 8000 м/сек,
найти общую массу топлива.
Ответ: общая масса топлива равна 8,62 т.
Задача 1260. На активном участке траектории
ракеты расходуется большое количество топлива
на преодоление силы тяжести. Для исключения
влияния силы тяжести в некоторых фантастиче-
фантастических проектах предложено разгон одноступенчатой
ракеты осуществлять по горизонтальным направляющим. Каковы
должны быть длина Ь эгих направляющих и число Циолков-
Циолковского, для того чтобы сообщить ракете параболическую скорость
у = 11,2 км/сек, если она при разгоне имеет постоянное ускоре-
ускорение ш=100 м,сек?? Скорость истечения газов считать постоян-
постоянной и равной 2000 м/сек. Трением и сопротивлением воздуха
пренебречь. Землю считать неподвижной.
Ответ: Ь = 627 км; г=^е>-ъ^210.
Задача 1261. Ракета запущена с поверхности Земли верти-
вертикально вверх из состояния покоя так, что ее масса изменяется
по закону m = inae~ai, где а — постоянная. Скорость истечения
газов постоянна и равна и. Определить зависимость скорости от
расстояния х между ракетой и центром Земли, учитывая измене-
изменение силы притяжения с изменением высоты и пренебрегая сопро-
сопротивлением воздуха. Радиус Земли равен R.
Рис. 728
Ответ: d = |/ 2ш (* — Я) + 2gl? (-£- - -)
Задача 1262. По одному из проектов, межпланетный пассажир-
пассажирский корабль с атомным двигателем стартует вертикально. Счи-
Считая конечную массу корабля равной 10 т, скорость истечения
газов равной 100 км/сек, найти начальную массу корабля, если
520

в целях безопасности пассажиров его ускорение во все время
старта поддерживается ,равным 12,8 м/сек*, а конечная скорость
равна 12,8 км/сек. Учесть изменение силы тяжести с изменением
высоты (радиус Земли равен 6400 км). Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Ответ: начальная масса равна 12,1 т.
Задача 1263. Решить предыдущую задачу, не учитывая изме-
изменения силы тяжести с изменением высоты, т. е. считая поле
тяготения однородным.
Ответ: начальная масса равна 12,54 т.
Задача 1264. Считая, что в условиях предыдущей задачи
корабль стартует без людей, благодаря чему допускаемое ускоре-
ускорение увеличивается в 25 раз, найти начальную массу корабля.
Ответ: начальная масса 11,41 т.
Задача 1265. Материальная точка, масса которой изменяется
вследствие отделения от нее материальных частиц, движется в без-
безвоздушном пространстве без воздействия внешних сил. Считая,
что частицы отделяются с постоянной скоростью й, определить
скорость точки в момент t и путь, пройденный ею с начала дви-
движения, если масса отделяющихся частиц в единицу времени по-
постоянна и равна q. Начальная масса равна т0, а начальная
скорость v№ направлена противоположно п.
Ответ: v = и0 -j- и In m"
— qt '
Задача 1266. Ракета, масса которой изменяется по закону
т = тое~™, где /л0 и а — постоянные, движется вертикально
вверх в однородном поле силы тяжести. Определить полную
высоту подъема ракеты Н, если относительная скорость отделяю-
отделяющихся частиц равна п и направлена вниз, масса запасенного
горючего равна т1у а начальная скорость va — 0. Сопротивле-
Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать a^
К^гН7)
Задача 1267. Используя условия предыдущей задачи, найти,
при каком значении коэффициента а длина Hi активного уча-
участка траектории ракеты будет наибольшей и определить эту
длину.
? '
Задача 1268. Свободная материальная точка переменной мас-
массы движется вследствие отделения частиц так, что относительная
скорость отделяемых частиц имеет постоянную величину и и по-
постоянное направление. Определить, по какому закону должна
изменяться масса точки и каким должно быть направление от-
носительндй скорости, чтобы точка двигалась с постоянным ус-
521

корением по прямой, составляющей угол я с горизонтом. Поле
силы тяжести считать однородным.
awt cos a
Ответ: масса должна изменяться по закону т = тйе а
где т0 — начальная масса;
w sin о\2
Относительная скорость п должна составлять с горизонтом
угол
8 = arccos—.
1 а
Задача 1269. Свободная материальная точка, масса которой
изменяется вследствие отделения от нее материальных частиц,
движется в однородном поле силы тяжести согласно уравнениям
6 ' у 2 ' 2 "
Как должна изменяться масса точки со временем и каким
должно быть направление реактивной силы, чтобы обеспечить
заданное движение точки, если скорость отделяющихся частиц
и = const?
Ym~gt
Ответ: т = тае 3" ;
cos((&, x) = L Д
—L=r;
/118 /
г*
cosE>, г)= г- .
/118
Задача 1270. Ящик, опускаясь по шероховатой наклонной
плоскости, составляющей угол Э с горизонтом, наполняется пес-
песчинками, имеющими абсолютную скорость, равную нулю. По ка-
какому закону должна изменяться масса ящика для того, чтобы он
двигался равномерно со скоростью v, если коэффициент трения
/ = const?
g (sin |3 — / cos 0) t
Ответ: т = mae v
Задача 1271. По шероховатой наклонной плоскости, составляю-
составляющей угол р с горизонтом, спускается тело без начальной ско-
скорости. Масса тела уменьшается по закону /л = /лоA — at), где
а — постоянная величина. Определить скорость тела в момент
—, если абсолютная скорость отделяющихся частиц равна ну-
нулю. Коэффициент трения равен f, причем
at
A )*
Ответ: v = g (sin 8 — /cosp), T
Задача 1272. По какому закону должна изменяться масса го-
горизонтально движущегося ракетного автомобиля, чтобы^движение
522

происходило из состояния покоя с постоянным ускорением w,
если на него действует сила сопротивления, пропорциональная
скорости (коэффициент пропорциональности k)? Скорость истече-
истечения газов постоянна и равна и, а начальная масса автомобиля
равна пц.
_ wt
Ответ: т = \тй ^-j е — Ы + —^-.
Задача 1273. Ракета движется вертикально вверх в однород-
однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением w. Найти раз-
разницу в расходах массы топлива за одно и то же время при на-
наличии и отсутствии сопротивления, если сила сопротивления про-
пропорциональна первой степени скорости. Относительная скорость
истечения газов постоянна и равна и. Начальная скорость ракеты
равна нулю.
„ . kwU rl — W "r St-, kwt
Ответ: Am—. , , [1-е » ]—т^гтг-.
Задача 1274. Определить закон изменения массы ракеты за
счет отделения от нее материальных частиц с постоянной отно-
относительной скоростью и, если она движется с постоянным уско-
ускорением w в сопротивляющейся среде. Силу сопротивления среды
принять пропорциональной квадрату скорости (коэффициент про-
пропорциональности равен k). Считать, что, кроме реактивной силы
и силы сопротивления, на ракету никакие другие силы не дей-
действуют. Начальная скорость ракеты v9 = 0.
Ответ, т = (m0 +~-j e " — йш/1 + 2 fe«/ —
движение ракеты возможно лишь в течение определенного проме-
промежутка времени, так как при больших t величина т становится
отрицательной, что невозможно.
Задача 1275. Ракетный автомобиль движется по горизонталь-
горизонтальному пути. Считая суммарное сопротивление движению пропор-
пропорциональным нормальному давлению (коэффициент пропорциональ-
пропорциональности равен f), найти: 1) расход горючего, необходимый для
того, чтобы при постоянном ускорении ш0 автомобиль мог достиг-
достигнуть скорости Vi, если начальная скорость была равна нулю;
2) расход горючего, необходимый для того, чтобы, двигаясь затем
равномерно с этой скоростью vu автомобиль мог пройти путь s.
Начальная масса автомобиля равна т0, скорость истечения га-
газов «=const. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 1) Д/яг=/яв[1 — е "^ *>«']•,
2) Anh=m6e " ^ "«/[l — е
523

Задача 1276. В сильный снегопад от железнодорожного соста-
состава, идущего со скоростью v0, оторвалась платформа. Считая, что
на платформу выпадает за единицу времени q кг снега, опреде-
определить время, прошедшее до полной остановки платформы, если
ее начальная масса равна т„, а сила сопротивления движению
равна fP, где P = mg— вес платформы в данный момент.
Ответ: t=*
У "■>#("»■>#+ 2<М)- "»./g
fgq
Задача 1277. На судне установлен реактивный двигатель, вы-
выбрасывающий q единиц массы в 1 сек с относительной скоростью и.
Сила сопротивления воды F = kv'1. Найти скорость судна через
t сек после начала движения из состояния покоя, если его
начальная масса вместе с горючим равна Ма. Движение считать
прямолинейным.
Ika
Ответ: v = a±M*~qt'n- , где
г—
а=У Т"
\M0-qtl ]
Задача 1278. Решить предыдущую задачу при условии, что
сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости,
т. е. F = kv.
к
Задача 1279. Самолет с воздушно-реактивным двигателем со-
совершает прямолинейный горизонтальный полет. Определить ско-
скорость самолета как функцию времени, считая, что масса q отбра-
отбрасываемых частиц в единицу времени равна массе присоединяющихся
частиц воздуха (т. е. пренебрегая массой впрыскиваемого топлива).
Принять абсолютную скорость присоединяющихся частиц возду-
воздуха равной нулю, а относительную скорость отбрасываемых час-
частиц — постоянной и равной и. Начальная масса самолета т№.
Силами сопротивления пренебречь.
Ответ: v — u A—е т»).
Задача 1280. Считать в предыдущей задаче двигатель прямо-
прямоточным и принять в связи с этим, что относительная скорость
отбрасываемых частиц u=c-\-v, где v — скорость потока
воздуха в двигателе, равная скорости самолета, a c = const —
добавочная скорость, создаваемая за счет сгорания топлива.
Определить скорость самолета как функцию времени.
Ответ: v = -^L.
Задача 1281. Точка пере'менной массы движется прямолинейно
по гладкой горизонтальной плоскости. Относительная скорость
524

отделяющихся частиц пропорциональна израсходованной в данный
момент массе (коэффициент пропорциональности k). Определить
скорость точки в моменты, когда ее общая масса уменьшится в два
и в четыре раза по сравнению с начальной массой, равной тп
Ответ: 1) o = 0,193fe/n0; 2) v = 0,636 km9.
Задача 1282. Тепло переменной массы движется поступательно
и прямолинейно по гладкой горизонтальной плоскости и состоит
из неизменяемого корпуса массой mt и отделяемой массы, рав-
равной 4 mt. Относительная скорость отделяемых частиц в каждый
момент времени прямо пропорциональна количеству оставшейся
отделяемой массы (коэффициент пропорциональности k). Опреде-
Определить скорость тела в момент, когда его полная масса будет равна
половине первоначальной.
Ответ: u=l,81femi.
Задача 1283. Ракета состоит из неизменяемого корпуса массой
тх и отделяемой массы, равной в начальный момент 5 т1ш Относитель-
Относительная скорость отделяемых частиц в каждый момент времени прямо
пропорциональна количеству оставшейся отделяемой массы (коэф-
(коэффициент пропорциональности k). Определить, через какое время
масса ракеты уменьшится в два раза по сравнению с начальной,
если ракета движется в однородном поле силы тяжести по верти-
вертикали вверх с постоянным ускорением o» = 3g. Какова будет ско-
скорость ракеты в этот момент?
Ответ: / = 0,576-^-; о=1,728А:т1.
Задача 1284. Падение капли воды происходит в неподвижной
среде без сопротивления. Скорость увеличения массы капли вслед-
вследствие конденсации паров подчиняется закону ~^- = kr, где k —
постоянное число, г —радиус капли. Определить закон измене-
изменения величины скорости капли в функции ее радиуса, если в на-
начальный момент величина ее скорости равна у„, начальный ра-
радиус равен г0, а начальная масса равна т„.
Ответ: v = -U vB r03 + |gf (r8 - ro8)l.
Задача 1285. Решить предыдущую задачу, считая, что ско-
скорость увеличения массы пропорциональна площади поверхности
dm , о
капли, т. е. -yf= kr1.
Ответ
Задача 1286. Кольцо радиусом R с равномерно распределен-
распределенными по внешнему ободу отверстиями заполнено жидкостью. Оно
вращается из состояния покоя под действием постоянного мо-
момента Мг вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью сим-
симметрии, в результате чего жидкость радиально выбрасывается из
отверстий. Момент инерции кольца с жидкостью в начальный
525
: v =-J [ va r03 + ^f (r4 - r,*)].

момент равен /„. Считая секундный расход массы постоянным
и равным |х, определить закон изменения угловой скорости коль-
кольца, пренебрегая его поперечными размерами. Перейти к пределу
при ц, -*• 0, т. е. пренебречь изменением массы.
Ответ: ш = -=-f In -r- "
М t
При |х-»-0 ш-*■-—-, что и должно быть для тела постоянной
массы.
Задача 1287. Межпланетная станция имеет форму кольца с
внешним радиусом R. Для создания искусственного поля тяжес-
тяжести станция приводится во вращение вокруг оси симметрии.
С этой целью на внешнем ободе кольца на противоположных
концах диаметра установлены два реактивных двигателя. Отно-
Относительная скорость п истечения газов в двигателе направлена по
касательной к кольцу и постоянна по величине. Считая, что об-
общий секундный расход массы ц = const, определить, через сколь-
сколько времени t тела на станции преобретут искусственный вес, рав-
равный земному, если начальный момент инерции станции вместе
с горючим равен /0.
Ответ: t = -^-(l-e " ).
Задача 1288. Материальная точка М, находящаяся под дейст-
действием квазиупругой силы, совершает движение вдоль оси Ох.
Определить уравнение движения этой точки, если ее масса вслед-
вследствие отделения от нее материальных частиц с относительной
скоростью, равной нулю, изменяется по закону т = твA—.at),
где т0 и а —постоянные величины. Считать, что при ^ = 0, на-
начальная скорость точки М равна нулю, а х = х0.
Ответ: x^^bV'sx, {Го B6)Л Bfe/i) — /„ B6) Yx BbV~s )},
Д. Л. У«> Yi — функции Бесселя;
с — квазиупругий коэффициент.
Задача 1289. Решить предыдущую задачу при условии, что
масса точки М изменяется по закону m = mae~'lt , где тв и а —
постоянные величины.
Ответ:
(v •
*'{*)'•{*'%
где п =
, U, Y9, Yi — функции Бесселя;
с — квазиупругин коэффициент.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Международная система единиц (СИ) и соотношения единиц международной и технической систем
г
Наимено-
Наименование
величины
Единица
измерения
в системе
СИ
Кратные в дольные единицы
Соотношения единиц
Определение основной единицы
Масса
Сила
Работа
Мощ-
Мощность
Давле-
Давление
килограмм
(кг)
ньютон
(к)
джоуль
.(дав)
ватт
(em)
к/л2
тонна (т)
1 т =1000 кг
грамм (г)
1 г = 0,001 кг
килоныотон
(*ся)
1 кн= 100U к
килоджоуль
(лтдэя:)
1 кдж = 1000 дэж
ватт-час (вт • ч)
вт- ч = 3,6-103 й»
киловатт
(кет)
= 1000 в/я
бар (бар)
1 бар = 105 н/л*
100
1 кг = 0,102 т. е. м.
1 т. е. м. = 9,81 /сг
( = 0,102 кг
кГ = 9,81 «
1 йдас = 0,102 кГм
г = 9,81 дж
1 вт = 0,102 кГм!,сек =
= 0,00136 л. с.
1 л7и/сек = 9,81 вт,
1 л. с. = 735,5 вт
1 к/л2 = 0,102 кГ\м*
1 ат=1 лгГ/сжа = 98100 я/ж8
1 ньютон — сила, сообщаю-
сообщающая массе в 1 кг ускорение
1 Mjcetc1
1 джоуль — работа постоян-
постоянной силы в 1 к на перемеще-
перемещении в 1 м, направление кото-
которого совпадает с направлением
силы
1 ватт — мощность, при ко-
которой за 1 сек совершается
работа в 1 дж

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Статика твердого тела
Общие методические указания к решению задач статики на равновесие 5
Глава I. Силы, сходящиеся в одной точке 8
§ 1. Плоская система сходящихся сил . . 8
§ 2. Пространственная система сходящихся сил 26
Глава II. Силы, расположенные в одной плоскости 38
§ 1. Плоская система параллельных сил 39
§ 2. Плоская система как угодно расположенных сил 48
§ 3. Расчет плоских ферм 85
Глава III. Силы, как угодно расположенные в пространстве 92
Глава IV. Центр тяжести 122
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Кинематика
Глава V. Кинематика точки 134
§ 1. Координатный и векторный способы задания движения точки . 134
§ 2. Естественный способ задания движения точки 166
§ 3. Определение радиуса кривизны траектории 179
Глава VI. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 186
§ 1. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение
тела. Равномерное и равнопеременное вращения тела 186
§ 2. Скорости и ускорения точек тела 193
Глава VII. Плоскопараллельное движение твердого тела 200
§ 1. Уравнения движения и скорости точек плоской фш уры 200
§ 2. Ускорения точек плоской фигуры 212
§ 3. Графическое определение скоростей и ускорений 239
Г л а* а VIII. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки .... 247
Глава IX. Сложное движение точки и тела 257
§ 1. Скорость точки в сложном движении • 257
§ 2. Ускорение точки в сложном движении 269
§ 3. Сложное вращение 283
528

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Динамика
Глава X. Основные задачи динамики точки 291
§ 1. Первая задача динамики точки 291
§ 2. Вторая задача динамики точки 300
Глава XI. Колебания материальной точки 321
§ 1. Собственные колебания 321
§ 2. Вынужденные колебания 329
Глава XII. Общие теоремы динамики 336
§ 1. Теоремы о движении центра инерции и об изменении количе-
количества движения 336
§ 2. Теорема об изменении кинетическою момента. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела 346
§ 3. Теорема об изменении кинетической энергии 358
§ 4. Движение материальной точки в центральном силовом поле . . 378
§ 5. Движение твердого тела параллельно неподвижной плоскости . 382
Глава XIII. Метод кинетостатики для материальной системы. Давле-
Давление на ось вращающегося тела 387
§ 1. Метод кинетостатики для системы 387
§ 2. Давление на ось вращающегося тела 397
Глава XIV. Принцип возможных перемещений и общее уравнение ди-
динамики системы 405
§ 1. Принцип возможных перемещений 405
§ 2. Общее уравнение динамики системы 425
Глава XV. Уравнение Лагранжа второго рода 437
Гла^а XVI. Малые колебания механической системы 460
§ 1. Малые колебания системы с одной степенью свободы 460
§ 2. Малые колебания консервативной системы с несколькими cic-
пенями свободы 474
Глава XVII. Динамика относительного движения 482
Глава XVIII. Приближенная теория гироскопов 496
Глава XIX. Теория удара 503
Глава XX. Динамика точки переменной массы 514
Приложение 527

Н. А. Бражниченко, В. Л. Кан,
Б. П. Минцберг, В. И. Морозов,
Г. Н. Ушакова
GEOPHHK ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Художественный редактор Н К. Гуторов
Редактор Ю. Ф. Бочарова
Художник В. К. Васильев
Технический редактор Э М. Чижевский
Корректор А И. Гурычева
Т-02827. Сдано в набор 8/IX 66' г. Подп,
к печати 10/11-67 г Формат 60Х90'/и. Объем
33,25 печ. л. Уч -изд. л. 27,3. Изд.
№ ОТ-8/65. Тираж 25000 экэ. Цена 86 коп.
Зак. № 581.
Тематический план издательства
«Высшая школа» (вузы и техникумы)
на 1967. Позиция Mi 72
Москва, K-5I, Неглииная ул., д. 29,'Н.
Издательство «Высшая школа»
Ордена Трудового Красного Знамени Ле«
нниградская типография № 1 «Печатный
Двор» имени А. М. Горького Главлоли-
графпрома Комитета по печати при Совете
Министпов СССР, г. Ленинград, Гат-
Гатчинская ул.. 26.