Автор: Крейнин Я.Л.
Теги: математический анализ функциональный анализ математика неравенства
ISBN: 5-09-004612-3
Год: 1995
Текст
® It С ПАРАМЕТРАМИ
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
ч 1 i;m sinx , tax . arc sinx
1) lim = 1 hm = 1 hm---------------------------= 1
х->о х х-»о х->0 х
к
2) При a>1, к^1 lim = 0 |jm PogQ^ _ 0
X-»+ooU Х_>+оо X
• 1 - 1
з) lim ( 1 + ± )n = е lim (1 + х) х = е lim (1 + 4-)х = е
Л->оо П Х->0 x-юо л
е = 2,7182818... НАЗЫВАЕТСЯ НЕПЕРОВЫМ ЧИСЛОМ
^1*
Я. Л. НРЕЙНИН
ФУНКЦИИ
ПРЕДЕЛЫ
УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
С ПАРАМЕТРАМИ
ТЕОРИЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Книга для учащихся
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1995
ББК 22.161
К79
Рецензенты: доктор педагогических наук, зав. кафедрой методики преподава-
ния математики МПГУ им. В. И. Ленина В. А. Гусев\ методист Московского инсти-
тута повышения квалификации работников образования Ю. П. Дудницын
Крейнин Я. Л.
К79 Функции. Пределы. Уравнения и неравенства с парамет-
рами: Теория и решение задач: Кн. для учащихся.— М.: Про-
свещение, 1995.—319 с.: ил.— ISBN 5-09-004612-3.
Фундаментальные для математического анализа понятия функции, ее
предела и непрерывности в данной книге рассматриваются и разъясняются
более подробно, со значительно большим числом примеров, иллюстраций и
графиков, чем это доступно учебнику, в котором излагается весь курс анали-
за. На основе определенного предписания в главе IV решаются уравнения и
неравенства с параметрами. При желании читатель может заняться этой
главой в первую очередь, обращаясь но мере необходимости к предыдущим.
Книга предназначена для интересующихся математикой учащихся
старших классов средней школы. Она адресуется также и первокурсникам
высших учебных заведений. Учителя средней школы найдут в этой книге
материал, который смогут использовать в своей работе.
4306020000—240
103 (03)—95
Уточн. пл. 1995 г., № 136
ББК 22.161
Учебное издание
Крейнин Яков Лазаревич
ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЫ.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Л. Н. Белоновская. Младший
редактор Н. Е. Терехина. Художник В. В. Костин. Художественный редактор
Е. Р. Дашук. Технический редактор Л. М. Абрамова. Корректор Г. И. Мосякина.
ИБ № 14760
Сдано в набор 19.01.93. Лицензия ЛР № 010001 от 10.10.91. Подписано к печати
05.07.94. Формат 60 X 9О‘/16. Бумага офсетная № 2. Гарнитура Литературная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 21+0,25 форз. Усл. кр.-отт. 21,69. Уч.-изд. л.
18,52+0,42 форз. Тираж 30 000 экз. Заказ 607.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета
Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевско-
го, 59.
ISBN 5-09-004612-3 © Крейнин Я. Л., 1995
К ЧИТАТЕЛЮ
Эта книга призвана помочь читателю осмыслить и освоить как
в теоретическом плане, так и в плане решения задач следующие
вопросы математического анализа и алгебры:
— функции и многозначные функции;
— предел функции;
— непрерывность функций;
— уравнения и неравенства (без параметров и с параметрами).
Эти вопросы прямо относятся или близки к программе старших
классов средней школы, в частности специализированной, к про-
грамме факультативов, а также к вузовской программе. Роль и
значение их выяснятся в процессе нашей совместной с читателем
работы.
Выдающиеся отечественные математики и педагоги академики
Николай Николаевич Лузин (1883—1950) и Александр Яков-
левич Хинчин (1894—1959), профессора Иван Иванович Ж е-
галкин (1869—1947) и Григорий Михайлович Фихтен-
гольц (18881959) не только внесли значительный вклад в
науку, но оставили нам и целостную систему своих педагогичес-
ких взглядов на преподавание и изучение математического анали-
за, в первую очередь начал анализа. В книгах и статьях [4], [7],
[8], [10], [11], [13] — [15] (см. перечень литературы в конце
книги) теоретически и практически развита эта система взглядов.
Именно она и положена в основу предлагаемой читателю книги,
содержание которой мы сейчас кратко изложим.
Ни одно явление, ни один процесс в природе не могут быть
изучены, никакая машина не может быть сконструирована, а за-
тем действовать без полного математического описания. Следова-
тельно, реальная действительность, нуждаясь в надежном матема-
тическом аппарате, вызывает к жизни математические теории,
содержащие новые понятия и новые положения — аксиомы, тео-
ремы, формулы, их геометрические истолкования.
Новые теории в математике, естественно, не возникают сразу
в совершенном виде, наилучшим образом пригодном для приме-
нения в человеческой практике. Они возникают развиваясь и посте-
пенно совершенствуясь, оттачиваясь. В математическом анализе
это в первую очередь относится к его основным понятиям —
понятиям функции, предела функции, ее непрерывности, производ-
ной, дифференциала, интеграла. Первые три из них составляют
стержень материала данной книги.
3
Одна из педагогических концепций (мыслей, идей, принципов)
Лузина, Хинчина, Жегалкина, Фихтенгольца состоит в том, что
изучение основных понятий анализа, их усвоение будут успешными
и плодотворными в том случае, когда процесс этого изучения
будет отражать исторический процесс возникновения и развития
самих понятий (см. об этом [14], с. 8). Следуя этой концепции,
мы будем здесь следующим образом изучать понятия функции и
предела функции:
— сначала рассмотрим некоторые из тех явлений и процессов
в природе, математическое описание которых приводит к этим по-
нятиям;
— далее, как это было в истории науки, придем к формулиров-
кам, наглядно и доступно, но лишь весьма приближенно и неполно
выражающим суть понятий;
— затем вместе с читателем займемся уточнением фор-
мулировок, т. е. вскроем уже точно выраженную суть понятий;
— наконец, с помощью современной логической символики
опять-таки вместе с читателем запишем в компактной форме чет-
кие определения, выражающие существо рассматриваемых по-
нятий.
Подобно только что описанному мы будем в духе вышеуказан-
ных концепций изучать и лежащую в основе математического ана-
лиза теорию, которая сама основана на точно определенных
понятиях функции, ее предела и непрерывности. Эта теория состав-
ляет весьма ответственный самостоятельный раздел анализа и на-
зывается Введением в математический анализ.
От изучающего Введение в анализ требуется, как писал
Н. Н. Лузин, «систематическое расчленение на простые элементы
тех умственных актов, которые необходимы для овладения начала-
ми математического анализа, и доведение этих элементов до
возможно более ясного понимания» (см. [4], предисловие). По-
мочь в этом читателю — главная задача пособия (главы I, II, III).
Составной частью изучения Введения в анализ будет у нас
решение задач, которые, следовательно, не только являются иллю-
страциями к изложению теории, а входят в него в качестве необ-
ходимых элементов. Много дополнительных примеров и задач, от-
носящихся к главам I—IV, вместе с описанием способов их реше-
ния вы найдете в книгах [16] — [21] (в списке литературы они
указаны после перечня теоретических руководств и пособий).
Большое внимание нужно уделить построению графиков функ-
ций и многозначных функций элементарными средст-
ва м и, т. е. средствами Введения в анализ и элементарной алгеб-
ры. Графики функций пронизывают рассмотрение всех изучаемых
вопросов. Некоторые параграфы посвящены только графикам.
На понятии функции непосредственно основаны и понятия урав-
нения и неравенства, так как их смысл заключается в сопо-
ставлении числовых функций. Вот почему в нашей книге о
началах анализа значительное место отводится уравнениям и не-
4
равенствам, а среди них наибольшее — уравнениям и неравенст-
вам с параметрами, которым посвящена глава IV. Эта глава напи-
сана так, что читатель, которого в первую очередь интересуют рас-
сматриваемые в ней вопросы, может сразу заняться ее изучением,
обращаясь по мере необходимости к предыдущим главам. Урав-
нения с параметрами мы решаем методом равносильного преобра-
зования систем, а неравенства — методом областей, что создает
аппарат решения уравнений и неравенств с параметрами. Гла-
ва IV поможет читателю выработать умение успешно пользоваться
этим аппаратом.
Таковы общий смысл и краткое содержание предстоящей
работы, к которой мы теперь приступаем. В процессе этой работы
читателю весьма полезно ознакомиться и с книгами для учащихся
С. М. Никольского, Л. М. Фридмана, Н. Я. Виленкина, В. А. Гусева
и А. Г. Мордковича [1] — [3], [9], [12]. Указанные же в списке
литературы вузовские учебники Л. Д. Кудрявцева [6] и В. А. Зо-
рича [5] нужны в основном для последующей работы читателя.
Автор данной книги выражает сердечную благодарность ака-
демику С. П. Новикову, профессору Л. М. Фридману, учителю-
методисту математики школы-лицея г. Протвино Н. И. Баевой и
всем коллегам, чьи советы помогли ему в работе над руко-
писью книги. Среди этих коллег автора и незабвенные Меер Фе-
ликсович Бокштейн, Константин Николаевич Давыдов, Борис
Петрович Дробышев.
Глава I
ФУНКЦИИ
§ 1. Переменные и постоянные
1°. С понятий переменной и постоянной начинается математи-
ческий анализ. Ознакомление с этими понятиями, их обсуждение
мы начнем с традиционных примеров из физики.
Пример 1. Плотно закрытый сосуд заполнен газом, и данная
система подогревается. В этом процессе температура газа и его
давление на стенки сосуда увеличиваются и, следовательно, явля-
ются изменяющимися, переменными величинами, а объем, масса
газа, количество его молекул будут величинами неизменяющимися,
постоянными.
Если же определенная масса (идеального) газа пг содержится
под движущимся поршнем в некотором цилиндре при неизменной
температуре, то давление газа р и занимаемый им объем V будут
переменными величинами — величинами, принимающими беско-
нечно много различных значений, а температура газа Т и его
масса m (вместе с количеством молекул) являются постоянными
величинами, т. е. величинами, каждая из которых принимает
единственное значение. Постоянной величиной в рассматри-
ваемом процессе является согласно закону Бойля — Мариотта и
произведение давления газа на его объем: pV — const.
Пример 2. В процессе равномерного прямолинейного дви-
жения тела время t (в секундах), отсчитываемое от некоторого
момента, а также пройденный путь s (в метрах) будут переменны-
ми величинами, а скорость v (в метрах в секунду) — постоянной
величиной. В случае свободного падения тела — при отсутствии
сопротивления среды — время Z, пройденный путь $, скорость дви-
жения v являются величинами переменными, а ускорение g (рав-
ное 9,81 м/с2) — постоянной величиной.
Пример 3. В полете ракеты с работающим двигателем при
постоянной силе тяги переменными величинами будут не только
время, пройденный путь, мгновенная скорость, но также ввиду
расхода горючего и общая масса ракеты, а следовательно, и
ускорение ее движения. Масса конструкции ракеты в процессе ее
полета является постоянной величиной.
Пример 4. Далее представим себе находящееся в космосе
тело М (его массу обозначаем той же буквой Л1) и вращающееся
вокруг него по некоторой орбите тело массы m (где пг<^М, это
означает, что m значительно меньше М). Размерами тел М и пг
ввиду малости их по сравнению с расстоянием \пгМ\ пренебрегаем,
6
принимая эти тела за точки. По закону всемирного тяготения тело
М действует на тело т в каждой точке орбиты с определенной си-
лой, ее абсолютную величину обозначим через F. Если орбита ма-
териальной точки т представляет из себя окружность с центром М
радиуса г, то и величины Л4, т, г, и величина F будут постоянными,
а переменным в этом процессе будет положение в пространстве
точки т относительно Л1. Следовательно, переменными будут и ко-
ординаты х, у, z точки т в любой фиксированной системе пря-
моугольных координат с началом в точке М. В случае же любой
другой орбиты точки т (в плоскости, проходящей через Л4) рас-
стояние \Мт\, так же F и х, у, z, будут переменными величинами
(при постоянных величинах Л4, т).
В примерах с равномерным движением, свободным падением
тел и полетом ракеты отмечалось, что одной из переменных, участ-
вующих в указанных там процессах, является время t, причем
изменение одних величин и неизменяемость других связаны с
изменением времени t и, более того, основаны на изменении этой
переменной величины. В процессах, указанных в остальных при-
мерах, связь переменных и постоянных величин с временем для
нас несущественна, время не участвует в описании этих процессов.
Основой изменения переменных и неизменяемости постоянных
в первом примере является вызванное подогревом системы измене-
ние температуры, в следующем примере — изменение объема газа
вследствие движения поршня, а в примере 4 — изменение положе-
ния материальной точки в пространстве. Примером переменной ве-
личины такого же рода является температура по Цельсию в каж-
дой точке внутри и на поверхности нашей планеты в какой-нибудь
данный конкретный момент, скажем, в 18 ч 31 м 12 с 20 ноября
1989 г. Основой изменения переменной является здесь изменение
положения той точки Земли, в которой рассматривается темпера-
тура.
Таковы некоторые примеры переменных и постоянных величин,
участвующих в тех или иных процессах. Читатель может сам про-
должить этот перечень примеров и дополнить его примерами из
физики, химии, биологии, окружающей жизни.
Математическое обобщение и описание всех таких величин при-
водит и к примерам переменных и постоянных величин в самой
математике. Пусть, например, температура по Цельсию в некото-
рой точке Земли в течение 1989 г. имела максимум +29°, а мини-
мум — 27°. Если нас интересуют лишь численные зна-
чения рассматриваемой переменной температуры (5 вместо
3-5°; 7,5 вместо 4-7,5°; —4,39 вместо —4,39° и т. д.), то это приво-
дит к числовой переменной величине, пробегающей числовой про-
межуток [ — 27; 29]. Подобные числовые переменные величины,
пробегающие тот или иной промежуток или другое числовое мно-
жество, а также числовые постоянные величины мы получаем,
рассматривая и другие переменные и постоянные величины, кото-
рые прошли перед нами.
7
Переменные и постоянные величины мы будем иногда для
краткости называть просто величинами.
2°. Наиболее важное общее свойство переменных и постоян-
ных величин, как рассмотренных выше, так и многих других в ма-
тематике, физике, химии, биологии, экономике и т. д. состоит в
том, что значения этих величин измеряются с помощью действи-
тельных чисел, т. е. что этим значениям сопоставляются определен-
ные действительные числа. Это сопоставление таково, что значения
рассматриваемых переменных и постоянных величин сравниваются
друг с другом в смысле >, <С, а также складываются и умножа-
ются на числа по тем же законам, какие имеют место для действи-
тельных чисел.
Переменные и постоянные величины с этим общим свойством
называются скалярными величинами. Все рассмотренные выше пе-
ременные и постоянные величины, включая и числовые, явля-
ются скалярными.
Скалярные переменные и постоянные величины очень важны
для математического описания явлений и процессов окружающего
мира. Но это не единственные изучаемые в математике изменяю-
щиеся, переменные объекты. Например, в процессе вращения тела
по окружности вектор центростремительной силы является п е-
ременным, но он не есть скалярная переменная величина:
о различных двух положениях данного переменного вектора вы не
скажете, какое из них больше другого. То же относится к любому
переменному объекту, каждое значение которого определяется
(упорядоченным) числовым набором, например к процессу, тече-
ние которого определяется 15 параметрами.
Более того, переменное может еще дальше отстоять от скаляр-
ной переменной величины. Например, индивидуальность
человека (его характер, умственные способности, наклоннос-
ти) изменяется от человека к человеку и является, следовательно,
переменной; переменной будет и индивидуальность пла-
неты Солнечной системы (масса, форма, физико-
химические и другие процессы) при переходе от одной планеты к
другой. День недели (понедельник, вторник, среда, чет-
верг, пятница, суббота, воскресенье) является переменным.
Итак, понятие «переменное» (или «переменная») шире, чем
понятие «скалярная переменная величина». Это более широкое
понятие принято обозначать словом «переменная», которое, таким
образом, из прилагательного превращается в имя существительное
(пусть нас в данном случае не смущает весьма частое граммати-
ческое несоответствие женского рода этого существительного и
мужского или среднего рода того слова, к которому оно отно-
сится: слово «переменная» ставится вместо слов «переменный
предмет», «переменный вектор», «переменный числовой набор»,
«переменное напряжение», «переменное высказывание»).
Подобно этому слово «постоянная» употребляется в
смысле скалярной постоянной величины, а также в смысле любого
8
постоянного объекта и любого отдельно взятого значения перемен-
ной.
3°. Вместе с переменной х мы всегда должны иметь в виду
множество X ее значений или, как его иначе называют,
область изменения X данной переменной х. Переменная х как бы
пробегает область своего изменения X, а значение перемен-
ной х — это то же, что элемент множества X. Одной и той же бук-
вой х обозначается произвольный элемент множества X и пробе-
гающая это множество переменная.
Такова связь между понятиями переменной и значениями пе-
ременной, с одной стороны, и понятиями множества и его элемен-
та — с другой.
К понятиям множества и элемента примыкают понятия, выра-
жаемые словами «принадлежит», «соответствует», «существует...
такое, что», «для любого...». Все эти понятия будут рассмотрены
в § 2 и в § 6.
Если х — скалярная переменная величина, то вместе с об-
ластью ее изменения X мы рассматриваем числовое множество X',
составленное из тех чисел, каждое из которых служит мерой то-
го или иного значения данной переменной х. Числа из X' называют-
ся численными значениями переменной х, а множество X' — об-
ластью численных значений этой переменной. Данные численные
значения возникают в результате того, что мы отвлекаемся от фи-
зического смысла изучаемых переменных и постоянных величин,
мысленно отделяем эти величины от их содержания.
Таким путем от любой скалярной переменной мы переходим к
числовой переменной, которая и является основным объектом
изучения в математическом анализе. Отсюда следует, что в анали-
зе основополагающую роль играют действительные чис-
л а, рассмотрению которых мы посвящаем § 3.
Обратим еще внимание на то, что при обсуждении примеров
переменных и постоянных в п. 1° мы сталкивались с вопросом об
отношении одних переменных, участвующих в данном процессе, к
другим переменным в том же процессе: там отмечалось, что изме-
нение одних переменных основано на изменении других. Мы
видим, что уже с самого начала рассмотрения переменных возни-
кает вопрос о связи и зависимости между ними.
Связь и зависимость между переменными будут предметом на-
шего изучения в § 4 и 5 по отношению к любым переменным (в об-
щем плане), а в § 8—13 данной главы и в главах II и III по отно-
шению к числовым переменным. § 6 и 7 являются продолжением
соответственно § 2 и 3.
4°. Переменная величина прочно вошла в математику в XVII в.,
в первую очередь в трудах французского ученого Рене Де-
карта (1596—1650).
Это было поворотное, историческое событие в математике и ее
практическом применении. Математика получила благодаря этому
возможность изучать явления и процессы, в которых, как известно,
9
участвуют не только постоянные, но и переменные величины —
основа математического анализа.
По вопросам, рассмотренным в этом параграфе, читатель мо-
жет обратиться к соответствующим местам в книгах [2], [4], [8],
[9], [11], [14], а также к статье академика Андрея Ни-
колаевича Колмогорова «Величина», помещенной в
Математической энциклопедии (т. I, с. 651—653).
§ 2. Множества
1°. Как мы видели в предыдущем параграфе, понятие пере-
менной опирается на понятие множества, первое понятие
немыслимо без второго: у каждой переменной имеется область
изменения — множество ее значений, которое либо указы-
вается явно, либо непременно подразумевается.
Множество представляет из себя многое, рассматриваемое как
нечто единое, данное сразу, целиком. Благодаря
этому оно и является средством, инструментом исследования
переменной.
Часто можно услышать, что математика начинается с нату-
ральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . Но понятию натурального
числа предшествует понятие множества, а также понятие соот-
ветствия между множествами. Представление о числе 5 возникает
у человека лишь после того, как он видит и сопоставляет конкрет-
ные множества, содержащие пять элементов. Скажем, множество
пальцев правой руки, множество пальцев левой руки, множество
из пяти животных.
Математика, следовательно, начинается с множеств и соот-
ветствия между элементами различных множеств.
Понятия «множество», «элемент», «принадлежит», «соответст-
вует», так же как понятия «переменная» и «значение переменной»,
считаются неопределяемыми понятиями. На их основе определяют-
ся дальнейшие понятия математики.
Множества (как конечные, так и бесконечные} будем обозна-
чать большими, а их элементы — малыми латинскими буквами;
«принадлежит» будет обозначаться символом С, «не принадле-
жит» — символом £; для обозначения слова «соответствует» бу-
дем употреблять стрелку нк Выражения t£T, v £Т, у означа-
ют соответственно: элемент t принадлежит множеству Т, элемент v'
не принадлежит тому же множеству, элементу х соответствует
элемент у (или элемент у поставлен в соответствие элементу %).
х
Вместо х у будем также писать: у -нх и т. д.
У
Для обозначения множеств используется и такая символика.
Если множество составлено из элементов а, Ь, с, ..., d, то это запи-
сывается так: {а, Ь, с, ..., d}. В частности, символ {5} обозначает
10
множество, составленное из одного элемента — числа 5. Множест-
во натуральных чисел можно записать в виде {1, 2, 3, п, ...},
множество четных чисел — в виде [2, 4, 6, 2п, ...}.
Выражение (х | х2 > 25} означает: множество чисел %, таких, что
х2 >25 (вертикальная черта | читается: такое, что; такого, что;
такие, что; таких, что).
Заметим, что в дальнейшем фигурные скобки будут исполь-
зоваться и в совершенно другом смысле, чем здесь, например при
задании функций несколькими формулами, при задании областей,
для обозначения систем уравнений и неравенств.
Пусть, далее, даны множества Р и Q. Если каждый элемент,
принадлежащий множеству Р, одновременно принадлежит и мно-
жеству Q, то говорят, что Р есть часть Q или что Р есть подмно-
жество множества Q. Обозначение: Pc:Q.
Если не только PczQ, но и QccP, то множества Р и Q состоят
из одних и тех же элементов, т. е. Р и Q являются одним и тем же
множеством. В этом случае пишут: P = Q (множества Р и Q сов-
падают). Если же PczQ и в Q имеются элементы, не принадлежа-
щие Р, то Р называют собственной или правильной частью (соб-
ственным, или правильным, подмножеством) множества Q; при
этом предполагается, что в Р содержится хоть один элемент.
Например, пусть Q — множество всех деревьев некоторого сме-
шанного леса, а Р — множество всех сосен того же леса. Тогда
PczQ, причем Р — правильное подмножество множества Q. Если
же данный лес исключительно сосновый, то P=Q.
Обозначая через Р множество натуральных чисел, кратных 6, а
через Q множество четных чисел, получаем PczQ (собственная
часть). Если же Р — множество натуральных чисел, кратных 3, а
Q — множество тех натуральных чисел, сумма цифр которых в де-
сятичной системе делится на 3, то будем иметь P — Q.
Нередко мы сталкиваемся с пустым множеством, оно обозна-
чается через 0. Например, множество значений х, для которых
(в области действительных чисел) имеет смысл выражение
у]х2 — 9 + V1—является пустым множеством.
Пустое множество считается подмножеством любого мно-
жества.
Обратим еще внимание на то, что оперировать понятиями
«множество», «элемент», «принадлежит», «соответствует» в мате-
матике невозможно без слов «для любого...» и «существует такое...,
что», которые также входят в первоначальный язык множеств и
которым мы посвящаем § 6 данной главы.
2Е Пусть мы имеем определенную совокупность множеств Р,
Q, М, N, S, ... . Объединением этих множеств называется множест-
во элементов, принадлежащих хоть одному из множеств Р, Q, М,
N, S, ... . Обозначение: Р\д Q |JM J TV U 5 U ••• • Множество же эле-
ментов, принадлежащих одновременно всем данным множествам
Р, Q, М, N, S, ..., называется пересечением этих множеств и обо-
значается символом PriQOMpAfn^n--- •
11
Пусть, например, Р — множество жильцов некоторого дома, а
Q — множество учащихся ближайшей к дому школы. Тогда
P[JQ — множество, составленное из всех жильцов дома и всех
учащихся школы, a BHQ— множество учащихся школы, живу-
щих в указанном доме.
Если, далее, Р — множество четных натуральных чисел, a Q —
множество натуральных чисел, кратных трем, то P[}Q есть мно-
жество чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ..., a PQ Q — множест-
во натуральных чисел, кратных шести.
Множество квадратов представляет из себя пересечение мно-
жества прямоугольников и множества ромбов.
Если PczQ, то, очевидно, P\JQ = Q, a P(]Q = P. Очевидно
также, что для любых множеств А, В
ДсзДиВ, Bcz/lUB, ДПВсгД, ДрВстВ, Af]BczA{J В.
Познакомимся еще с двумя операциями над множествами.
Разностью двух данных множеств Л и В (обозначение: А\В)
называется множество тех элементов множества А, которые не
принадлежат В. Если, например, А множество четных чисел, а
В — множество чисел, кратных 3, то А\В — это множество чисел
2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, ..., а В\А — это множество
чисел 3, 9, 15, 21, 27, ..., би —3, ... .
Симметрической разностью множеств А и В (обозначение:
ДдВ) называется множество тех элементов из Д, которые не при-
надлежат В, и тех элементов из В, которые не принадлежат Д.
Ясно, что
Д АВ —(Д\В)Р(В\Д).
В последнем примере
ДдВ-{2, 3, 4, 8, 9, 10, 14, 15, 16, ..., 6/2-4, 6п — 3, 6/2—2, ...}.
Понятия объединения, пересечения, разности множеств, равно
как и само понятие множества, относятся к повседневной жизни.
В математике они принадлежат к числу ее фундаментальных
понятий. Естественным является вопрос: каковы основные свойст-
ва объединения, пересечения и разности множеств?
Прежде всего это совершенно очевидные свойства перемести-
тельности и сочетательности объединения и пересечения множеств:
1) Див —вид, ДПВ —ВПД;
2) (див)ис = ди(вис) = дивис, (ДрВ)ПС-ДП(ВПС)-
-дпвпс.
Далее идут несколько менее прозрачные и очевидные предло-
жения о свойствах объединения, пересечения и разности множеств:
3) ЛП(ВиС) = (ЛПВ)иИПС); 4) Ли(ВПС)=(ЛиВ)ПИиС);
5) А\(В и С) = (Л\В)П(Л\С); 6) Л\(ВПС) = (Л\В)и(Л\С);
7) Л\(ВиС) = (Л\В)\С; 8) (A UB)\C=(H\C)U(B\C);
9) если А ПВ= 0, то А\В=А.
12
Доказательство каждого из предложений 3—9 представляет
из себя проверку (подтверждение) того, что множество, записан-
ное в левой части предполагаемого равенства, есть подмножество
множества, обозначенного в правой части, и наоборот. Так как
это типично для предложений о множествах в математике (а мы
здесь знакомимся с языком множеств), то остановимся на доказа-
тельстве только двух из указанных предложений.
Докажем сначала равенство 4, выражающее распределитель-
ный закон объединения относительно пересечения.
а) Допустим, что х — произвольный элемент множест-
ва Ди(ВПС’)- Это значит, что справедливо хоть одно из утвержде-
ний х^А, х£В[\С. В обоих случаях одновременно (ибо
А аА [)В, B^CaiBczA (JB) ихС^ПС’ (так как A cz A J С, В П Сед
сеСсдД (J С), т. е. аД(Д UВ)р|(Д (JС), и потому А и(ВПС)с=(Д 0В)П
ПИ U С).
б) Пусть теперь у — произвольный элемент множества
(ДиВ)П(ДиС), т. е. пусть одновременно у£А[}В, у^А[}С. Если
у^А, то у принадлежит первому слагаемому объединения
Ди(ВрС); если же у£А, то у принадлежит как В, так и С, т. е.
у^В ПС. В обоих случаях y£A\j(B()C). Следовательно,
(ДиВ)ПИиС)сдДи(ВПС).
Оба доказанных включения вместе влекут равенство 4. Про-
иллюстрируйте это равенство геометрически, приняв за А, В, С
множества точек трех кругов радиуса 2 см с центрами, отстоя-
щими друг от друга на 3 см.
Докажем, далее, равенство 6. Пусть х£Д\(ВПС). Тогда х
принадлежит А и х не принадлежит хоть одному из множеств
В, С, а значит, х принадлежит хотя бы одному из множеств
А\В, А\С. Следовательно, лД (Д\В)П(Д\С). Обратно: если
аД(Д\В)П(Д\С), то хоть одно из утверждений х£А\В, х£А\С
справедливо, т. е. верно, что х принадлежит А и х не принадлежит
хотя бы одному из множеств В, С, а значит, х^А и х£Вб\С, откуда
лДД\(ВПС). Равенство 6 доказано.
Читателю рекомендуем доказать и проиллюстрировать с по-
мощью рисунка и другие равенства из числа приведенных выше,
в частности равенство 3, которое будет широко использоваться в
главе IV.
3°. Тот факт, что переменный объект весьма часто определяется
набором тех или иных переменных, приводит к понятию декар-
това произведения множеств.
Пусть даны множества А, В, С, D, ... — различные или одина-
ковые. Множество, составленное из всевозможных наборов вида
<а, Ь, с, d, ... >, где а£А, b^B, с£С, d£D, ..., называется декар-
товым произведением данных множеств и обозначается символом
дхяхехох... •
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Некоторый процесс в газе характеризуется
13
переменной температурой t, переменным объемом v и переменным
давлением р. Обозначим области изменения этих переменных соот-
ветственно через Т, V, Р. Декартово произведение ТХ VXP — это
множество всех наборов представителей Т, V, Р. Каждый из
этих троичных наборов есть характеристика определенного м о-
мента рассматриваемого процесса, a TXVXP— множество
всех таких характеристик, т. е. множество, характеризующее
процесс в целом.
Пример 2. Пусть точка О служит общим началом трех вза-
имно перпендикулярных лучей Ох, Оу, Oz (изобразите!). Рассмот-
рим все отрезки на данных полупрямых, начинающиеся в точке О.
Множества этих отрезков на полупрямых Ох, Оу, Oz обозначим
соответственно через X, Y, Z. Декартово произведение XXYXZ —
это множество всевозможных упорядоченных троек отрезков,
взятых соответственно из X, Y, Z Отметим, что XX РХ Z однознач-
но определяет множество Р всех прямоугольных параллелепипе-
дов, построенных на отрезках из X, Y, Z.
Пример 3. Пусть А — множество, составленное из m крас-
ных шаров, В — множество из п синих и С — множество из k зе-
леных шаров. Тогда ДХ^ХС есть множество всех красно-сине-
зеленых троек шаров, их количество равно произведению tnnk.
Пример 4. Даны четыре конечных множества, составленные
из букв а, Ь, с, d с индексами: Д = {б1], а2, аз}, B—-{b\, Ь2},
С = {с\, с2, Сз, сД D=-{d\, d2, d-з, d4, d5}.
Декартово произведение AXBXCXDXD— это множество
всех наборов вида <аг, bs, Ck, dm, dn>, где индексы I, j, k, tn, п
независимо друг от друга пробегают допустимые значения, соот-
ветственно Z=l,2,3; j = 1,2; k~ 1,2, 3, 4; tn = 1, 2, 3, 4, 5; /1=1,2,
3, 4, 5. Это множество содержит, например, такие наборы длины 5:
Са3, bi, с4, d3, dc>, Cai, bi, c4, d$, d2X>, Саз, b2, c4, d$, d2)>
Всех таких наборов будет 3-2-4-5-5 = 600.
В следующем параграфе мы встретимся с наиболее важным для
нас случаем декартова произведения числовых множеств.
Обратим внимание на тот частный случай понятия декартова
произведения п множеств, когда эти множества совпадают:
Д X Д X Д X X Д- В этом случае наборы Са\, а2, аз, ..., ап>
п
черпаются из одного и того же множества А и представляют из се-
бя упорядоченные наборы длины п элементов множества Д.
Слово «упорядоченные» в этом случае всюду опускаем.
§ 3. Действительные числа
1°. Первоначальная потребность счета предметов привела к
возникновению натуральных чисел
1, 2, 3, ..., п, ...,
14
а дальнейшие потребности измерения скалярных величин, таких,
как длина, площадь, скорость и сила, направленные по одной
прямой, приводят уже к рациональным, а затем и к действитель-
ным числам.
Множество всех натуральных чисел обозначается через N,
множество всех целых чисел (0, ±1, ±2, ...) — через Z, а мно-
жество всех рациональных чисел — через Q. Рациональное
число — это другое название обыкновенной дроби вида —, где
p£Z, q£Z, z/¥=0- При этом две обыкновенные дроби, которые
после сокращения приводятся к одной и той же дроби, считаются
/ 6 9
одним и тем же рациональным числом (например, — и — пред-
ставляют собой одно рациональное число). Так как дробь мо-
жет иметь знаменатель, равный 1, то все целые числа являются
рациональными. Таким образом,
WczZczQ
В множестве Q определены отношения порядка >, С, = и
арифметические действия, обладающие известными читателю
свойствами:
1) для любых чисел а, b либо a<Zb. либо а^>Ь, либо а = Ь;
из a<b, b<Zc следует
2) аb = bа', а-]-(Ьс) — (а-\-Ь)-\-с-, существует единствен-
ное число 0, такое, что а4~0 = а; для любого а существует единст-
венное противоположное ему число — а, такое, что а + ( — а) = 0;
3) если а<.Ь, то а-\- с <Zb с; если a<Zb, то ——/?; если
a<zb и c<Zd, то a~\-c<.b-}-d;
4) (a — 6)4-Z? =(а-|-( — b))-\-b = a; — а —b =-—(а-\-Ь);
5) a-b = b-а; а-(Ь • с) = (а-Ь)-с; существует единственное число
1 >0, такое, что а-1 =а;
6) для а^=0 существует единственное число —, такое, что
7) если a<Zb и е>0, то a-c<Zb-c-, если же a<Zb и с<0, то
а* О Ь-с\
8) если 6^0, то a'~Y П0 опРеделению’
9) (а-\-Ь)-с = а-с-\-Ь • с, отсюда (а — Ь)-с = а-с — Ь-с,
10) а-0 = 0;
11) (— а)-Ь =—(а-b), (— «)•( — b) = a-b;
12) (а। -f-а2 . ~4~ ял) *Ь = а\ • b 4~ а2 • b . -|-ап • b;
13)
14)
[а при а>0,
|а| _а при ^<0 (по определению); |а|,
— |а1;
\a + b\^Z\a\ + \b\, \\a\-\b\\^\a-b\-,
15
15) для любого а существует такое целое п, что а < п (аксиома
Архимеда);
16) для любых а, Ь, таких, что а<СЬ, существует такое число
с, что а<с</> (свойство плотности).
Некоторые из этих свойств являются основными, другие
выводятся из них.
Каждое рациональное число представимо в виде бесконечной
десятичной периодической дроби.
С помощью рациональных чисел можно приближенно со сколь
угодно высокой степенью точности измерить все отрезки прямой.
Но на ней имеется бесконечно много отрезков, которые в множест-
ве Q не имеют точной меры,— это отрезки, не соизмеримые (не
имеющие общей меры) с отрезком единичной длины. Например,
отрезок, равный диагонали квадрата со стороной, которая являет-
ся единицей измерения, не соизмерим с этой единицей. Мерами
(длинами) всех такого рода отрезков служат иррациональные
числа. Каждое иррациональное число представимо в виде беско-
нечной непериодической десятичной дроби — положительной или
отрицательной. Множество всех иррациональных чисел обознача-
ется через J. Пересечение JflQ пусто, так как каждое иррациональ-
ное число отлично от всех рациональных чисел (бесконечная пе-
риодическая десятичная дробь не совпадает ни с какой бесконеч-
ной непериодической десятичной дробью).
Объединение множеств Q и J обозначается через R, т. е.
Q{JJ=R. Каждый элемент множества R, являющийся либо рацио-
нальным, либо иррациональным числом, называется действитель-
ным числом.
В множестве определены те же, что и в Q, отношения поряд-
ка >, <С, = и арифметические действия, причем они обладают
перечисленными выше свойствами. Помимо этого, они обладают^
новыми свойствами.
2°. Под областью R мы понимаем множество R вместе с опре-
деленными в нем отношениями порядка и арифметическими дейст-
виями. Эта область уже достаточна для отыскания точной меры
(длины) любого отрезка прямой, что является следствием
следующего, существенно нового по сравнению с Q свойства об-
ласти R.
Для любого сечения области R, т. е. для любого такого ее
разбиения на два непустых подмножества — нижний класс X и
верхний класс Y, что каждое число из У больше каждого числа из
X, имеется пограничное число (рис. 1). При этом под пограничным
числом мы понимаем такое число, которое либо в X является наи-
большим, либо в У является наименьшим. Это название оправды-
Рис. 1
вается тем, что пограничное чис-
ло стоит на стыке нижнего и верх-
него классов X, Y и отделяет один
класс от другого, хотя непременно
принадлежит одному из них.
16
Изложенное свойство области R называется ее непрерыв-
ностью. Именно оно делает область R не только пригодной для
точного измерения всех отрезков прямой, но и достаточной для
построения математического анализа, важнейшей операцией кото-
рого является операция предельного перехода. (Мы увидим в гла-
ве II, что из свойства непрерывности области R вытекает существо-
вание в ней предела возрастающей ограниченной последователь-
ности — факт, без которого математический анализ был бы совер-
шенно невозможен.)
Существование в области R точной меры (длины) любого пря-
молинейного отрезка дает возможность естественным образом
установить взаимно однозначное соответствие между всеми дейст-
вительными числами и всеми точками прямой, если на этой прямой
выбраны начало, единица масштаба и определенное направление.
Такую геометрическую прямую называют координатной прямой, а
действительное число, соответствующее определенной точке,—
координатой этой точки.
Отметим, что область R часто называют числовой прямой и обо-
значают символом (—оо; Ц-оо), а действительные числа назы-
вают в этом случае точками числовой прямой.
3°. Вслед за множеством действительных чисел R естественно
рассматривать множество всевозможных пар действительных чи-
сел (<3, 5>, <5, 3>, < —/2, 0>, <1, 1 >, ...), затем мно-
жество всевозможных троек действительных чисел (<СЗ, 7, 9>>,
<9, 3, 7> , -< — 1,0, —-1 > , < 0, 0, 0>,...) и вообще для каж-
дого данного п — множество всевозможных наборов вида
<С%ь Х‘2, хп>, где х\, Х2, ..., хп— действительные числа.
Множество числовых пар, как мы знаем из предыдущего
параграфа, есть декартово произведение RXR, множество число-
вых троек — декартово произведение RXR\R, а множество чис-
ловых наборов С%1, х2, ..., xnz> —это декартово произведение
XX • • • XЭти множества обозначаются соответственно R2,
R3, R'1"
Наглядное геометрическое истолкование имеют множества R,
R2, R3 в виде множества всех геометрических точек соответственно
прямой Ох, координатной плоскости хОу и координатного про-
странства Oxyz. Это обстоятельство приводит к тому, что по от-
ношению к множествам числовой природы R, R2, R3 приме-
няют геометрические термины:
— множество R называют числовой прямой или
одномерным арифметическим пространством, а действительные
числа — точками этого пространства;
— множество R2 называют числовой плоскостью
или двумерным арифметическим пространством, а пары чисел —
точками этого пространства;
— множество R3 называется трехмерным арифметическим
пространством, а числовые тройки — его точками.
17
Эту терминологию распространяют дальше: уже не считаясь с
возможностью наглядного геометрического изображения, мно-
жество Rn и при п>3 называют арифметическим п-мерным прост-
ранством, а составляющие его числовые наборы <Xi, х2, хд>
называют точками пространства Rn. Числа Xi, х2, ..., хп называют-
ся координатами точки <хь х2, ...» х«>.
Такие названия оправдываются тем соображением, что мно-
жества числовой природы при всех различных п (где n£N)
имеют ряд существенных общих черт:
1) при любом п в определяются сложение элементов (точек)
путем сложения соответственных координат и умножение элемен-
тов на число (умножение координат на данное число);
2) при любом п множество Rn есть декартово произведение п
непрерывных одномерных пространств R и в этом смысле само
непрерывно;
3) во всех множествах Rn по существу одинаковым способом
вводится понятие расстояния между двумя любыми его точками
Cxi, х2, хй>, fa, •уп>, которые обозначим соответ-
ственно через X, Y. Это расстояние обозначается буквой р и опре-
деляется равенством
р (X, У) =“\/(Х1 — ^1)2 + (х2 ~ £/2)2-|- . . +(Хп — Уп)2,
которое обеспечивает все привычные для нас свойства рас-
стояния между геометрическими точками;
4) при любом п в множестве Rn для каждой его точки Л4о вво-
дится понятие ^-окрестности этой точки, или окрестности точки
Мо радиуса е. Такой окрестностью называется множество всех
точек M£Rn, для которых р (М; Мо)<С&. Эта окрестность обознача-
ется через U (Мо; е) или короче U (Мо). На числовой прямой R
окрестность числа хо радиуса е представляет из себя интервал
(хо — е; Хо + е), т. е. множество чисел х, для которых Хо—е<
<;хСхоН~е. Окрестностью числа хо называется также любой ин-
тервал (xi; х2), содержащий х0 (т. е. xi<x0<x2 или х2<хо<Х|);
5) на основании понятия окрестности вводятся для R" при лю-
бом п все понятия математического анализа, связанные с пре-
делом.
Эти общие черты множеств Rn при всех п и позволяют строить
математический анализ, содержащий развернутую теорию функ-
ций от п переменных, т. е. функций, определенных в Rn. Естествен-
но, что для множества Rn нужно и некоторое особое название,
выделяющее его среди всех множеств, составленных из числовых
наборов вида <Oi, х2, ...» хи>*. «Арифметическое п-мерное прост-
ранство» или короче «п-мерное пространство» как раз и является
таким названием. Оно пришло из геометрии сначала к Rt R2t R:i,
а затем ввиду общности существенных свойств всех Rn распрост-
ранилось на Rn для всех вообще натуральных п.
4® . Рассмотрим простейшие множества на числовой прямой R
и в пространстве Rn при п>1.
18
Пусть а и b — любые действительные числа. По определению:
— сегмент (или отрезок) [а; Ь] — это множество таких чисел х,
для которых а х b или Ь^Хх^а;
— интервал (а; Ь) — множество чисел х, для которых a<Zx<Z.b
или Ь<Сх<2а;
— полусегменты (а; Ь] и [а; Ь) — это сегмент [а; Ь], лишенный
одного из его концов а, Ь, т. е. множество чисел х, для которых при
а^Ь либо a<zx^Lb, либо a^x<Zb, а при b<Za либо b^x<Za,
либо b<Zx^a.
Полупрямой называется множество чисел х, таких, что либо
х^а, либо х>а, либо х^а, либо x<za (а — любое действитель-
ное число); ее соответственные обозначения: [а; -фоо), (а; -|-оо),
( — оо ; а], (— оо ; а).
Эти множества (сегмент, полусегмент, интервал, полупрямую),
а также саму числовую прямую R=( — оо; оо) мы и называем
простейшими множествами числовой прямой R. Читатель при
внимательном взгляде на изложенное должен был заметить, что
среди простейших есть и пустое множество 0, и одноточечное мно-
жество (а), так как а и b необязательно различны. Каждое из
простейших множеств в R называется иначе промежутком.
В пространстве/?'2 простейшими будут прежде всего множест-
ва точек <xi, х2, хлг>, определяемых нестрогими или строги-
ми неравенствами, в которых а{, b\\ а2, Ь2, ...» ап, Ьп — фиксирован-
ные числа, а хь х2, ..., хп — переменные:
' а\^Х\^Ь\
а2^х2^Ь2
замкнутый параллелепипед,
открытый параллелепипед.
Эти множества представляют из себя декартовы произведения
соответственно сегментов и интервалов числовой прямой R:
[di; Z?i]X[a2; b2]X.-.X[an; b'n],
(«ь bi)X(a2; b2)X-..X(an; bn).
К простейшим множествам в Rn относятся не только эти два
множества, но и любое такое множество, которое является декар-
товым произведением п простейших множеств числовой прямой,
например:
[ai; bi]X(a2; Ь2)Х[сь; +оо)х[а4; НХ-..Х(—о°; ап].
19
5°. В заключение параграфа приведем одно замечательное
неравенство с двумя числовыми (действительными) переменными
а и и, где а£(—1; + оо), a n£N. Для любых таких а и и
(1+014-па. (1)
В самом деле, при п = 1 это очевидно. При и = 2 имеем (1 + а)2=
= 1 +2а + а2^ 1 + 2а. При п = 3 ввиду того, что 1+а>0,
(1 + а)3—(1 + а)2 (1 + а) (1 + 2а) (1 + а) = 1 + За + 2а2 1 + За.
Допустим, что (1+a)fe^> 1+&а. Тогда в силу неравенства
1+а>0 имеем (1 +а)Л + ‘ =(1 +а)* (1 +а)^(1 + &а) (1 +а) =
= 1 + (k + 1)а + /га2 1 + (/г + 1)а, т. е. (l+a)fe 1 1 -1- (k -}- 1 )а.
По принципу математической индукции мы из этого
выводим, что для всех вышеуказанных а и п справедливо нера-
венство (1), называемое в честь знаменитого швейцарского мате-
матика Якоба Бернулли (1654—1705) неравенством Бернулли.
Заметим, что если а=#0, а п^2 (но по-прежнему
(— 1; +°°), то неравенство Бернулли превращается в
строгое неравенство
(1+аГ>1+па. (2)
Читатель легко докажет это, повторив предыдущие рассуждения
при новых условиях. Неравенство (2) будет использовано в § 7
(п. 2) данной главы, а также в главе II при исследовании показа-
тельной функции.
§ 4. Зависимости между переменными
1°. Каждый процесс связывает воедино все участвующие в нем
переменные, в силу чего эти переменные оказываются взаимо-
связанными и взаимозависимыми, как и сами
различные явления и процессы в природе.
Математический анализ, как говорилось в § 1, начинается с
переменной, а понятия множества и действительного числа играют
главную роль в исследовании, описании переменных.
В математическом учении об изменении величин и предметов
вторым понятием — после переменной — является понятие зависи-
мости между переменными.
В чем же состоит математическая сущность этого понятия?
Пусть мы имеем переменные х и у, изменяющиеся так, что
каждое значение переменной х определяет собой одно или более
значений переменной у. Именно в этом случае мы говорим, что
существует зависимость между переменными х иу и что х является
основной, или независимой, переменной, з у — зависимой пере-
менной. Последняя принимает свои значения в зависимости от тех
значений, какие принимает переменная х.
Под х и у подразумеваем какие угодно переменные, участ-
20
вующие в тех или иных явлениях и процессах. Каждая из пере-
менных х и у имеет какую угодно свою, точно очерченную область
изменения, составленную из элементов любой природы. Такими
элементами могут быть значения скалярной величины, в частности
числа. Это могут быть векторы, наборы чисел, наборы значений
скалярной величины или нескольких различных скалярных вели-
чин, наборы векторов, какие угодно предметы и объекты природы
и т. д. Слова «определяют собой» не содержат никаких ограниче-
ний, никаких рамок для способа указания или задания тех значе-
ний зависимой переменной, которые определяются значениями
основной, независимой переменной: даже в случае скалярных
(в частности, числовых) переменных х и у значения у необязатель-
но определяются какой-нибудь простой или сложной формулой,
связывающей значения х и у. Во всех случаях задание значений у
по известным значениям переменной х должно быть лишь четко
определенным безотносительно к тому, как это достигается.
Такой широкий взгляд на математическую сущность зависи-
мости между переменными начал утверждаться в математике в
30-х годах XIX в., когда знаменитый творец неевклидовой геомет-
рии Николай Иванович Лобачевский (1792—1856), а вско-
ре после него (и независимо от него) немецкий математик Лежен
Дирихле (1805—1859) впервые отчетливо выразили этот
взгляд.
Отметим еще, что для зависимости между переменными несу-
щественно, будет ли изменение одной из этих переменных яв-
ляться причиной изменения другой. Например, при рас-
смотрении известной читателю зависимости между временем t и
пройденным путем s при свободном падении тела обычно пере-
менную t считают независимой, as — зависимой переменной, хотя
не течение времени, а притяжение к земле является
причиной падения тела, а следовательно, и изменения пути s (см.
[1], с. 75). Кстати, за независимую переменную можно принять и
s, а / считать зависимой переменной.
2°. Отметим некоторые общие положения, относящиеся к
терминологии в вопросе о зависимостях между перемен-
ными.
Если в данной зависимости между х и у первая из этих пере-
менных является независимой, а вторая — зависимой, то говорят,
что переменная у зависит от переменной х.
Независимая переменная имеет другое название — аргумент.
Аргументу х мы придаем какие угодно значения из области
его изменения, а зависимая переменная у получает при этом
соответствующие значения из области ее изменения.
Если зависимость между переменными х и у такова, что каждое
значение ее аргумента определяет ровно одно значение
зависимой переменной у, то данная зависимость называется функ-
циональной (или однозначной). В противном случае, т. е. если
хоть одному значению аргумента отвечает более чем одно значе-
21
ние зависимой переменной, зависимость называется неоднознач-
ной (или чаще многозначной).
Переменная у, функционально зависящая от переменной х,
называется функцией от х или также функцией переменной х. Обо-
значения: y=f (х), р = ф (х), y — h (х), у=у (х), где f, ср, h, у, ... —
символы, обозначающие саму данную зависимость. Если же зави-
симость между х, у многозначная их — аргумент, а у — зависимая
переменная, то эту последнюю называют многозначной функцией
от х и обозначают y—F(x), у — Ф(х), у=Н(х), y = Y(x), ..., где
F, Ф, И, У, ... обозначают саму зависимость.
Наконец, функцией называется не только зависимая перемен-
ная при функциональной зависимости, но и сама эта зависи-
мость. Точно так же при многозначной зависимости не только
зависимая переменная, но и сама зависимость называются много-
значной функцией. Таким образом, слово «функция» — омоним, то
же следует сказать о словосочетании «многозначная функция».
Обозначения функций и многозначных функций во втором смысле
либо такие же, как в первом, либо, как уже сказано, просто f, ф, h,
у, ..., F, Ф, Н, У, ... (при этом, конечно, должны быть известны
аргумент и зависимая переменная данной зависимости).
Область изменения аргумента данной функции называет-
ся областью определения этой функции.
3°. Примеры функциональных зависимостей читатель без труда
увидит уже в тех примерах, которые рассматривались в § 1.
В процессе нагревания плотно закрытого сосуда, наполненного
газом, давление р этого газа есть функция темпе-
ратуры t (измеряемой по любой данной шкале): p = f(t) или
р = р(/)> а также и обратно: температура газа является функцией
его давления: t = t (р). Такие две функции называются обратными
друг другу: аргумент и зависимая переменная вместе с областями
их изменения меняются местами, а соответствие между элемента-
ми той и другой области, т. е. между значениями переменных, как
бы переворачивается: если значению to функция p = p(t) ставит в
соответствие значение р®, то функция t — t (р) значению ро ставит
в соответствие значение to (относительно слова «соответствие»
и стрелок соответствия см. § 2, п. 1°).
Области изменения переменных tup— это некоторые непре-
рывные промежутки значений данных скалярных величин.
Давление р газа, который находится в цилиндре под движу-
щимся поршнем при постоянной температуре, есть функция объема
V, занимаемого газом: р—р (V), конкретно р—, где с — некото-
рая известная константа. В этом процессе и переменную V можно
рассматривать как функцию давления р, т. е. У==~.
Снова мы имеем две взаимно обратные функции и снова облас-
ти их определения — некоторые промежутки значений скалярных
переменных величин, на сей раз V и р.
22
В случае равномерного прямолинейного движения тела имеется
функциональная зависимость между переменными t и s, выражае-
мая формулой s = vt, а свободное падение тела характеризуется
л. - gF 1
функциональной зависимостью s= , где опять-таки t —
аргумент, a s—функция (зависимая переменная).
Пусть теперь материальная точка т вращается вокруг другой
материальной точки М по некоторой орбите с переменным расстоя-
нием |Л4т| и пусть F — абсолютная величина силы, с которой М
действует на т. Переменная F есть функция расстояния |Л4т|,
а также функция положения точки т в трехмерном координатном
пространстве Mxyz, т. е. функция переменного набора координат
<х, у, z>>. Здесь речь идет о двух функциях с общей зависимой
переменной, но различными аргументами. Первая из этих двух
функций, так же как и предыдущие три, представляет из себя
скалярную функцию скалярного аргумента: как его аргумент, так
и зависимая переменная — скалярные величины. Эта функцио-
нальная зависимость согласно закону всемирного тяготения зада-
k
ется формулой F — — —р- , гДе &— некоторая константа.
Вторая функциональная зависимость есть скалярная функция
нескалярного аргумента, так как этим аргументом является поло-
жение точки m в пространстве, а оно, хотя и определяется тремя
скалярными величинами — координатами точки, все же не являет-
ся скалярной величиной. Ведь значениями переменной, которую мы
называем положение точки, можно считать числовые наборы вида
<С%о, //о, Zo>, а множество таких наборов не упорядочено
и, следовательно, не может служить областью изменения ска-
лярной переменной величины.
Скалярной функцией такого же, как только что упомянутый,
нескалярного аргумента является переменная температура t °C в
каждой точке планеты Земля в данный момент.
4°. Функции последних трех примеров из предыдущего пункта
можно обозначить соответственно так:
F = f (\Мпг\\ F = q(m(x-, у, z)), /°C = /i(m(x; у, z)).
Интересно поставить вопрос о зависимостях, обратных
этим трем. Что случится, если мы повернем в противоположную
сторону «стрелки соответствия», определяющие собой функцио-
нальные зависимости f, ср, /г?
Для функциональных зависимостей предыдущих примеров
st2
р = р (/), p = p(V), s = vt, подобный поворот стрелок соот-
ветствия приводил к новым зависимостям, которые также явля-
ются функциональными и которые называются обратными по отно-
шению к исходным. Это объясняется следующим свойством данных
зависимостей, которое Н. Н. Лузин называл свойством равно-
значности:
23
от любых двух различных значений аргумента стрелки соот-
ветствия идут непременно к различным значениям зависимой
переменной.
Из функций же, с которыми мы знакомимся, этим свойством
обладает лишь функция f. Действительно, если вы измените рас-
стояние \Мт|, изменится и значение зависимой переменной, рав-
ное , а Для функций F = ^(m (х; у; z)) и t °C ~h (т (х; у; z))
изменение точки т(х; у; z) совсем не обязательно приводит к
изменению зависимой переменной F или / °C.
Но если к некоторому значению у® зависимой переменной
подходит более чем одна стрелка соответствия, то после поворота
стрелок в противоположную сторону от элемента у о уже будет
отходить более чем одна стрелка соответствия. А это значит, что
для функциональной зависимости, не обладающей свойством
разнозначности, обратная зависимость будет не однозначной, не
функциональной, а многозначной.
Таким образом, зависимости, обратные функциям ср и А, явля-
ются многозначными функциями.
Уже это показывает, что математический анализ, изучающий
зависимости между переменными, не может оставаться лишь в
рамках однозначных функций: ведь зависимость, об-
ратная данной, возникает из рассмотрения одного и того же про-
цесса, а переход к обратной зависимости в указанных рамках
однозначных функций далеко не всегда возможен.
Вот еще примеры многозначных функций — на сей раз с чис-
ловыми независимой и зависимой переменными х и у, которые мы
зададим с помощью равенств или неравенств, выражающих у че-
рез х:
y—dhx/x, у= ±л/1 —х'\ у~ ±lgx, у~Arcsin х,
'0<х<4
* J (каждому числу х из промежутка [0; 4] соот-
ветствуют все числа у из промежутка [1; 2-j-x]).
Изобразите графически эти пять зависимостей.
Многозначной функцией будет и зависимость урожая зерновой
культуры от количества внесенных удобрений. С увеличением
этого количества (при прочих равных условиях) увеличивается и
урожай, но удобрения не единственный фактор, влияющий на
повышение урожайности, и в результате при одном и том же коли-
честве внесенных удобрений на том или ином участке земли в
разные годы получается различный урожай.
5°. Как отмечалось в § 1 и 2, понятие множества яв-
ляется необходимым средством изучения переменных. Сле-
довательно, понятия «множество», «элемент», «принадлежит», «со-
ответствует» должны быть инструментом и в изучении зависи-
мости между переменными, что мы видели уже в этом пара-
24
графе и что предстоит использовать во всем дальнейшем изучении
математического анализа.
Начать нужно с перевода описанных в данном параграфе поня-
тий на язык множеств, и это читатель должен сначала
попытаться сделать самостоятельно.
Для слова «функция» в смысле зависимости между перемен-
ными вводится синоним «отображение»', отображение множества в
множество, отображение множества на множество, взаимно одно-
значное отображение, обратное отображение, суперпозиция (ком-
позиция) отображений.
Основываясь на этих понятиях и пользуясь языком множеств
наряду с терминами настоящего параграфа, мы и будем изучать
Введение в математический анализ.
§ 5. Функции (отображения). Многозначные функции
Приступаем к рассмотрению понятий, о которых говорилось в
конце предыдущего параграфа, с указанной там точки зрения.
1°. Функция (или, что то же, отображение) представляет из
себя соответствие между элементами двух множеств. Из
первого множества мы черпаем значения аргумента, из второго —
значения функции. Относительно этих двух непустых множеств,
которые мы здесь обозначаем через Т и Р, предполагается, что
они состоят из элементов произвольной природы. Соответствие,
о котором будет идти речь, также является совершенно произволь-
ным, не ограниченным никаким специальным способом его за-
дания.
1) Пусть даны множества Т и Р. Если каждому элементу х
множества Т соответствует вполне определенный элемент у мно-
жества Р(хь+ у), то говорят, что мы имеем отображение множест-
ва Т в множество Р или что мы имеем функцию с областью опреде-
ления Т со значениями из Р. Множество Р называют областью
прибытия данной функции.
Если отображение Т в Р обозначено через f, то соответствие
х I—►- у (где х(Т, у(Р) записывают в виде равенства y = f(x).
При этом элемент у называют образом элемента х, а х — прообра-
зом элемента у.
Пример 1. Множества Т и Р состоят соответственно из квадратиков и кру-
жочков, изображенных на рисунке 2. Соответствие, указанное на рисунке, опре-
деляет собою отображение Т в Р. Если бы стрелки соответствия от всех квадрати-
ков подходили к какому-нибудь одному кружочку,
то такое соответствие определяло бы функцию,
равную постоянному,— констант у.
Пример 2.
Т: 1 2 3 4 5 .. п ...
Р-. а\ а? аз а^ аз ап
Рис. 2
25
Здесь Т — множество натуральных чисел, а Р — множество каких угодно объектов
ап. Такое отображение Т в Р называется последовательностью, а в частном случае,
когда Р есть числовое множество,— числовой последовательностью. Один и тот же
элемент множества Р может повторяться в качестве члена последовательности
несколько и даже бесконечно много раз, т. е. он может быть поставлен в соответст-
вие многим натуральным числам.
Отображение множества Т в множество Р охватывает много
стрелок соответствия, но оно рассматривается нами как единый
объект — так же, как точка, как линия, как треугольник, как
определенное множество. Именно поэтому отображение обознача-
ется той или иной буквой, например f, F, <р, а, р, у, h. Если данное
отображение Т в Р обозначено через f и еели при этом отображении
то это записывают в виде х^у, а также в виде равенства
f (х)—у. Отображение f множества Т в множество Р часто обозна-
чают символом f:Tt-+P.
Теперь рассмотрим важнейший частный вид отображения мно-
жества в множество, к которому сводится и общее понятие отобра-
жения (формулировка 1).
2) Отображением множества Т на множество Р называется та-
кое отображение первого из этих множеств во второе, при котором
каждый элемент у множества Р поставлен в соответствие хотя бы
одному элементу х множества Т (х ь*- у). Отображение множества
Т на множество Р называется иначе функцией с областью опреде-
ления Т и областью значений Р (множеством значений Р).
Понятно, что отображение множества Т в Р есть в то же время
отображение Т на вполне определенное подмножество Р' мно-
жества Р: именно Р' — это совокупность тех элементов Р, каждый
из которых поставлен в соответствие хоть одному элементу х, где
х^Т.
Рассмотрим примеры отображений множества на мно-
жество.
Пример 3. Пусть Т — множество кружочков, а Р — множество треуголь-
ников (рис. 3). Каждому элементу множества Т соответствует вполне определен-
ный элемент множества Р, причем к каждому элементу множества Р подходит хоть
одна стрелка соответствия. Следовательно, изображенное на рисунке 3 отображе-
ние множества Т в множество Р является в то же время отображением множества Т
на множество Р.
Пример 4. Пусть Т — множество первоклассников данной школы, Р —
множество классных журналов всех первых классов. Если каждому первокласснику
поставим в соответствие журнал, в котором записана его фамилия, то получим
Рис. 3
отображение множества Т на множество Р.
Пример 5. Обозначим через Т мно-
жество всех треугольников определенной
плоскости, а через Р множество всех отрез-
ков некоторой прямой, лежащей на данной
плоскости. Каждому треугольнику из Т поста-
вим в соответствие тот отрезок на прямой, ко-
26
торый является проекцией этого треуголь-
ника на прямую. Мы имеем отображение
множества Т на множество Р.
Пример 6. Пусть Т — множество
всех радиус-векторов плоскости хОу с на-
чалом в точке О, а Р — множество тех
из этих радиус-векторов, которые лежат в
верхней полуплоскости (включающей ось
Ох). Каждому радиус-вектору верхней
полуплоскости поставим в соответствие сам
этот радиус-вектор, а каждому радиус-век-
тору нижней полуплоскости поставим в соот-
ветствие радиус-вектор, симметричный
ему относительно оси Ох. Получаем отображение множества 7’ на множество Р.
Пример 7. Представим себе электрическую цепь, изображенную на рисун-
ке 4. Каждый из контактов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 может быть в положении
«включено» (И) или «выключено» (Л). Вся цепь может быть в состоянии «есть
ток» (Е) или «нет тока» (Н). Каждое из этих двух состояний Е, Н вполне определя-
ется положением И, Л каждого из контактов 1 —10. Это означает, что каждому
набору длины 10, составленному из И, Л, соответствует вполне определенное
положение Е или Н. Например, <ИЛ ИЛ ИЛ ИЛ И Л > Е
<И И И И И И Л Л Л Л> ь-> Н и т. д. для всех 210 наборов
<Zxt Х'2 x.i х4 Xs хь х7 х« х9 %|о>, где хк есть И или Л. Обозначим множество всех
таких наборов через Т. Ясно, что изображенная на схеме электрическая цепь
порождает отображение /' множества Т на двухэлементное множество {Е, Н}, или,
что то же, функцию f, определенную на множестве 7’, с множеством значений
{Е, Н}.
Пример 8. Пусть Т —множество всех действительных чисел (T = R), а
Р = \— 1; I]. Каждому числу х из Т поставим в соответствие его синус: х ь->- sin х.
Имеем отображение множества Т на множество Р, или, что то же, функцию с
областью определения Т и областью значений Р.
Функция f с областью определения Т и областью значений Р
и функция ф с областью определения Н и областью значений К
будут одинаковы (J = ф), т. е. будут представлять собой одну и
ту же функцию, если, во-первых, совпадают множества Т и Н
(т. е. Т = Н) и, во-вторых, для каждого их элемента х его образы
/' (х) и ф (х) одинаковы: f (х) = ф (х). Из этих двух условий вытекает
совпадение множеств Р и К.
Например, пусть Т и И — множества чисел х, для которых имеют
смысл соответственно выражения и Д/т-т • Через f обозна-
X у | X |
1x1
чим функцию x^y с областью определения Т, через ф —
функцию х д/др с областью определения Н. Имеем две одина-
ковые функции, т. е. одну и ту же функцию / = Ф, ибо Т — Н =
27
Рис. 5
Рис. 6
=Д\{0} и f (х)=ф (х) = 1 для каждого х > 0, a f (х) = ф (х) = — 1 для
любого х<0.
3) Взаимно однозначным отображением множества Т на мно-
жество Р называется такое отображение первого из этих множеств
на второе, при котором каждый элемент множества Р поставлен
в соответствие ровно одному элементу множества Т, т. е. каждый
элемент множества Р имеет единственный прообраз.
Пример 9. Отображение Т на Р, показанное на рисунке 5, является взаимно
однозначным. Отображения множества Т на Р в примерах 3—8 не являются взаим-
но однозначными (проверьте).
Пример 10. Пусть Т =(0; + °°). P=R- Отображение Т на Р, при котором
каждому числу х из Т ставится в соответствие его десятичный логарифм, т. е.
хь* 1g х, является взаимно однозначным. То же нужно сказать об отображениях
хн-2х, хн-х3, хн-'^х (назовите подразумеваемые здесь Т и Р).
4) В математической литературе читатель может еще встретить относящиеся
к отображениям термины «сюръекци я», «и н ъ е к ц и я», «б и е к ц и я».
Сюръекцией называют отображение множества на множество, биекцией — взаим-
но однозначное отображение множества на множество, а инъекцией — отображе-
ние множества в множество со следующим свойством разнозначности: различным
значениям аргумента соответствуют различные значения функции.
5) Пусть дано взаимно однозначное отображение f множества
Т на множество Р. Если все стрелки соответствия f повернуть
в противоположную сторону, т. е. каждое х н> у (х£Т, у£Р) заме-
нить на у\-+х, то полученное взаимно однозначное отображение
множества Р на множество Т называется обратным отображением
или обратной функцией относительно f и обозначается символом
г'.
Например, отображение, показанное на рисунке 6, будет обрат-
ным относительно отображения из примера 9 (рис. 5). Отображе-
жение хь-> 2х (в частности, 0 1, 1 2, — 1 н> 2~ у/2, ...)
является обратным по отношению к отображению х н> loga х
^в частности, 1 н> 0, 2н>1, 2~1н>-—1, д/2н>-|-, ...) . Здесь
T=R, Р = (0; +оо).
Понятие обратного отображения вводится только для взаимно
однозначного отображения. Поэтому взаимно однозначное отобра-
жение называют иначе обратимым отображением.
6) Пусть теперь даны отображения y — f(x) множества М
на множество Р и отображение х = ф (t) множества Т на множество
28
Рис. 7 Рис. 8
М (область значений функции ф есть область определения функции
[). Мы можем записать: t х у, т. е. элементу t функция ф
ставит в соответствие х, а функция f — элементу х элемент у.
Если условиться каждому элементу t£T ставить в соответствие
элемент у£Р, который здесь указан, то получим отображение Т на
Р. Это отображение задается равенством y = f(q(t)) (при чтении
символ f (ср •(/)) произносится: «эф от фи от тэ»). Проще говоря,
у зависит от х (т. е. y = f (х)), а х зависит от t (т. е. х = ф (/)). Сле-
довательно, у зависит от t (т. е. y = f(q (/))).
Отображение у = f (ф (/)) множества Т на Р, составленное из
отображения f множества М на Р и отображения ф множества Т
на М, называется суперпозицией отображений f и ф. При этом f
называется первой составляющей, а ф — второй составляющей су-
перпозиции у = f (ф (/)).
Суперпозиция f (ф (/)) называется иначе сложной функцией,
составленной из у — f (х) и х = ф (/). Функция f (ф (ф (/))) называется
суперпозицией трех функций: y — f(u), и = ф(у), ц = ф(/).
Рассмотрим примеры.
Пример 11. Пусть х —(р (/) есть отображение множества Т на множество М,
а у—-{ (х) - отображение М на Р, изображенные на рисунке 7. Тогда суперпозиция
У = [ (q (/)) есть отображение Т на Р, которое мы видим на рисунке 8.
Пример 12. у = 2х — отображение R на (0; -poo), x = tg/ — отображение
на R. Суперпозиция этих двух отображений — функция у = 2tg Z, ото-
бражающая ; -^0 на (0; -|-оо) (рис. 9).
29
2°. Понятие многозначной функции в терминах множеств и
соответствия между их элементами описывается следующим обра-
зом:
7) Пусть даны, множества Т и Р. Если каждому элементу х
множества Т соответствует хотя бы один элемент у множества Р
(т. е. х у), причем хоть одному элементу х£Т соответствует бо-
лее одного элемента у£Р> то говорят, что мы имеем многозначную
функцию с областью определения Т и со значениями из Р. В том
случае, когда при этом каждый элемент у множества Р поставлен
в соответствие хоть одному элементу множества Г, данное мно-
жество Р называется областью значений многозначной функции.
Обозначения для многозначной функции те же, что и для
функции, но символы, которыми мы обозначаем многозначную
функцию, будем писать жирным шрифтом: f, Н, F, Л, g, ... . Тот же
смысл, что и раньше, будут в новой ситуации иметь слова «образ»
и «прообраз», но теперь у элемента х может быть много образов.
Обратитесь к рисункам 3 и 5 и добавьте по одной стрелке,
идущей от первого кружочка к третьему треугольнику,— вы полу-
чите две многозначные функции с областью определения Т (состоя-
щей из кружочков) и областью значений Р (состоящей из тре-
угольников) .
Просмотрите вновь те примеры многозначных функций, кото-
рые мы рассматривали в предыдущем параграфе.
Напомним, что как для функции y = f (х), так и для многознач-
ной функции y~f(x) переменная х называется независимой пе-
ременной или аргументом, а переменная у — зависимой перемен-
ной. Область определения функции (а также и многозначной
функции) — это область изменения аргумента, а область значений
(а также множество значений) той и другой — область изменения
зависимой переменной. Слова «функция» и «многозначная функ-
ция» — омонимы: они употребляются в математическом анализе
не только в смысле зависимостей, описанном в формулиров-
ках 1 и 7 (это их главный смысл), но и в смысле зависимой
переменной.
Точно так же как для функций (отображений) выше определе-
ны обратная функция и суперпозиция, вводятся понятие много-
значной или однозначной функции, обратной относительно данной
многозначной функции (поворот всех стрелок соответствия в про-
тивоположную сторону), и понятие суперпозиции многозначных
функций y—f(xj, x — g(t):
tv+xt+y,
g f
Примером такой суперпозиции может служить многозначная
функция у= zfcy/Arcsin /, где Arcsin /^0.
В отличие от однозначных функций для многозначной функ-
ции с областью определения Т и областью значений Р всегда
30
возможен переход к обратной многозначной или однозначной
функции (почему?).
3°. Вернемся к описанному в формулировке 1 понятию функции и ответим на
вопрос: можно ли соответствие, составляющее основу понятия отображения Т в Р,
задать с помощью какого-нибудь одного множества, связанного с Т и Р, и, таким
образом, заменить указанную основу новой основой — множеством?
Пусть дано отображение /: Т Р. Каждое соответствие х\-^- у (где х^Т, у^Р)
можно немедленно «превратить» в пару элементов <х, у~>, просто сопо-
ставив указанному соответствию пару, составленную из участвующих в нем элемен-
тов х, у. Но тогда множество всех соответствий вида х у, которое как
раз и составляет данную функцию Д превращается в определенное множество пар
<х, у>, где х^Т, у£Р. Полученное множество пар, порожденное функцией
f'.T н>- Р, обозначим через S/. Представим себе, что функция [, породившая мно-
жество Sf, утеряна, a Sf сохранилось. Понятно, что по этому множеству Sf немедлен-
но однозначно восстанавливается и функция f. Таким образом, функция f:Ti-+ Р и
множество Sj однозначно определяют друг друга.
Конечно, вообще говоря, множество Sf — это только часть совокупности всех
мыслимых пар, какие можно составить из элементов Т и Р (первый элемент из Т,
второй — из Р), т. е. S/ есть только часть декартова произведения Т^Р. Чем же она
характеризуется?
Из однозначности функции / следует, что для каждого х£Т есть одна и только
одна пара <х, у>, принадлежащая Sj. Это свойство является характе-
ристическим для S/ в гом смысле, что всякое множество пар <х, z/> (где
х^Т, у£Р) с этим свойством порождается некоторым определенным отображением
f множества Т в Р.
Как видим, ответ на поставленный выше вопрос состоит в том, что именно
множество пар <х, у> (где х£Т, у^Р), обладающее характеристическим
свойством, может быть положено в основу понятия отображения, заменив собою
соответствие:
8) Пусть даны множества Т и Р. Всякая часть S декартова произведения
ТХР, которая для каждого xfT содержит ровно одну пару <х, у^> из Т"Х.Р,
называется отображением Т в Р или также функцией с областью определения Т
со значениями из Р.
Это определение можем считать по описанным выше причинам равносильным
формулировке 1. Нетрудно понять, что в случае числовых функций оно
близко к понятию графика функции.
Наконец, для многозначной функции можно дать определение, равносильное
формулировке 7.
9) Пусть даны множества Т и Р. Многозначной функцией с областью определе-
ния Т со значениями из Р называется всякая такая часть S декартова произведения
Т\Р, что для каждого х£Т имеется хоть одна пара <Zx, у>, принадлежащая S,
и хотя бы при одном х множество S содержит более одной пары <Zx, у >> с тем
же х.
Так раскрывается (пп. 1°, 2° и 3°) точно выраженная суть
описанного в § 4 понятия зависимости между переменными.
31
§6. Кванторы
Вгпредыдущем параграфе мы описали понятия функции и мно-
гозначной функции на языке множеств, на котором изучается и
весь /математический анализ. Продолжим наше ознакомление с
этим.’языком, обратившись, к некоторым элементам логики.
Запишем первую часть условия, определяющего многознач-
ную функцию F с областью определения Т со значениями из Р:
д*ля любого элемента х£Т (или каков бы ни был элемент х£Т)
существует (хотя бы один) элемент у£Р, такой, что F(x)=y
(х м- у).
(Слова «хотя бы одно», «хоть одно» после слова «существует»,
как правило, опускают, но они непременно подразумеваются.)
Мы встречаем здесь словосочетания «для любого» («каково бы
ни было») и «существует... такое, что», типичные для предложе-
ний математического анализа. Эти словосочетания составляют
необходимую составную часть предложений анализа, как и вообще
языка множеств. Они не допускают замены одного другим, их
нельзя опустить в предложениях, так как это ведет к искажению
смысла этих предложений, а то и к бессмыслице.
Чтобы овладеть языком множеств, нужно не только усвоить
понятия, рассматривавшиеся в § 2, но и понять смысл логических
операций, тесно связанных с понятием множества. Обратимся
к этим операциям (одними из них как раз и будут «для любого»
и «существует...»).
1°. Предложение, о котором известно, что оно истинно или ложно, называется
высказыванием. С примерами высказываний вы встречаетесь на каждом шагу:
дважды два — четыре, Крым — полуостров, л — иррациональное число, Кас-
пийское море соединяется морями с Атлантическим океаном. Первые три из этих
высказываний истинны, а четвертое ложно. Записанное выше условие отно-
сительно F является высказыванием, которое истинно тогда и только тогда, когда
F есть многозначная и однозначная функция с областью определения Т со значе-
ниями из Р. Высказывания обозначаются обычно большими буквами А, В, С, ...
с теми или иными индексами или без них. Какие логические операции произво-
дятся над высказываниями?
Это прежде всего операции отрицания ~ («не»), конъюнкции Д («и»),
дизъюнкции V («или»), импликации => («влечет»), эквивалентности («равно-
сильно») . Они называются элементарными операциями, и суть их
такова:
А — высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно;
А ДВ — высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А и В истинны;
А\/ В — высказывание, истинное тогда и только тогда, когда хоть одно из
высказываний А, В истинно;
А=^В — высказывание, ложное тогда и только тогда, когда А истинно, а В
ложно;
Ачф-В — высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А и В оба истинны
или оба ложны.
32
Говоря об операциях , Л, V, —, мы имеем в виду соответствия
А <А; В> А /\В, <Д; В> А\/ В ит. д.
Вслед за элементарными операциями рассматривают их композиции, т. е.
сложные операции, составленные из элементарных, например операции, опреде-
ляемые выражениями (Л Д В) => (М V АО; ((Л Д В) V C=^D) о (Н\/ Q): А\/Во
^А/\В.
2°. В логике оперируют далее с предложениями с переменными. Предложение с
переменной х (или с переменными х, у, z, ...) — это предложение, которое ста-
новится высказыванием и, следовательно, будет истинным или ложным при каж-
дом значении х (или при каждом наборе значений х, у, z, ...). Например, не-
равенство |х —5| < 1 есть предложение с переменной х, истинное при каждом
хб(4; 6) и ложное при любом х£(—оо; 4](J[6; + оо), а равенство х2-|-г/2=1 для
точек Л4 (х; у) плоскости хОу — предложение с переменными х, у, которое превраща-
ется в истинное высказывание в каждой точке окружности с центром в начале
координат радиуса 1 и в ложное высказывание во всех остальных точках плоскости
хОу. Подобно этому неравенство х2 -фу2 Д z2Ф 1 относительно точек Л4 (х; у, z)
пространства Oxyz есть предложение с переменными х, у, z, ложное в каждой точке
сферы с центром в начале координат радиуса 1 и истинное во всех остальных точ-
ках пространства. Еще пример. Для конкретной семьи можно рассматривать,
например, такие предложения с переменными и, v: «человек и является сыном чело-
века у», «человек и — брат человека а», «человек и — мать человека у», «чело-
век и - - дочь человека а».
Предложение с переменными иначе называется предикатом (с одной перемен-
ной — одноместным, с п переменными — п-местным), а сами переменные называют-
ся предикатными переменными. Понятно, что предикат представляет из себя функ-
цию, которая ставит в соответствие каждому значению переменной или набору зна-
чений переменных (если их несколько) вполне определенное истинное или ложное
высказывание. При этом областью определения функции (предиката) будет мно-
жество всех наборов значений предикатных переменных. Обозначение предикатов:
А (х), В (х), Р (х), С (х, у) и т. д.
3°. Какие операции над предложениями с переменными (или над предикатами)
производятся в логике? Прежде всего это те же операции , Д , V , =>, <=>- , кото-
рые производятся над высказываниями. Но эти операции от предикатов снова
приводят к предикату. Для нас же здесь наибольшую важность имеют такие логи-
ческие операции над предикатами, которые приводят к высказываниям.
Рассмотрим в качестве примера предикат с переменной х:
В (х) = ((х+ 1)2 = х2 + 2х+ 1).
Областью изменения переменной х считаем (— оо; -ф оо). Вместе с В (х) рассмотрим
предложение «для любого х имеет место (т. е. истинно) В (х)». Ясно, что данное
предложение истинно и, следовательно, является высказыванием.
Это, однако, может вызывать недоумение: как же так, предложение в своей
формулировке дважды содержит переменную х и в то же время оно есть высказы-
вание, которое ведь не является предложением с переменной! Но, как сказано выше,
предложение с переменной х — это предложение, которое после замены перемен-
ной любым ее значением становится истинным или ложным высказыванием. В рас-
сматриваемом же предложении «для любого х имеет место В (х)» замена переменной
2 Заказ 607
33
х ее значением невозможна, она сразу же приводит к бессмыслице: вы не можете
сказать «для любого 5 имеет место В (5)». Конструкция предложения «для любого
х имеет место В (х)» исключает замену переменной х ее значением. Следовательно,
это предложение не является предложением с переменной х
в указанном смысле, не является предикатом, а представляет из
себя высказывание.
В предложении с переменной (т. е. в предикате) эта переменная должна быть
свободна для замены ее значениями — она в этом и подобных случаях так и назы-
вается — свободная переменная. В предложении же «для любого х имеет место
В (х)> переменная х связана словосочетанием «для любого х», которое не позволяет
заменять переменную х ее значениями. В подобных случаях переменная х назы-
вается связанной переменной.
Все только что сказанное о словах «для любого х» относится и к словосочетанию
«существует х такое, что». Обращаясь вновь к предикату В (х) и рассматривая уже
предложение «существует х такое, что имеет место В (х)», мы видим, что и это
предложение является истинным высказыванием.
Оба рассмотренных высказывания являются характеристиками определенных
свойств предиката В (х).
Если, далее, обозначить через С (х) и D (х) предикаты соответственно х2— 5x4-
4-6=0 и х2 —5х4-7=0 с той же, что и выше, областью определения, то будем
иметь:
«для любого х имеет место С (х)> — ложное высказывание;
«существует х такое, что имеет место С (х)» — истинное высказывание;
«для любого х имеет место D (х)» — ложное высказывание;
«существует х такое, что имеет место D (х)» — ложное высказывание.
В этих примерах мы при помощи словосочетаний «для любого х» и «существует
х такое, что» поставили в соответствие каждому из предикатов В (х), С (х), D (х)
истинное или ложное высказывание. Очевидно, что при помощи тех же словосоче-
таний любому вообще предикату Р (х) ставится в соответствие определенное выска-
зывание — истинное или ложное.
Тем самым словосочетания «для любого х» и «существует х такое, что» опреде-
ляют такие логические операции, которые превращают одноместные
предикаты в высказывания. Нам остается подобрать для этих логи-
ческих операций какие-нибудь удобные символы. В качестве таких символов в логи-
ке используются так называемые кванторы V и 3. Первый из них называется
X X
квантором всеобщности и обозначает словосочетание «для любого х», а второй —
квантором существования, он обозначает словосочетание «существует х такое, что».
Высказывания «для любого х имеет место Р (х)> и «существует х такое, что
имеет место Р (х)» теперь запишутся соответственно так:
V (Р(х)), 3 (Р(х)). (1)
X X
Скобки с утолщениями ( ) заменяют слова «имеет место».
В примерах с предикатами В (х), С (х), D (х) мы имели шесть высказываний об
этих предикатах:
V ((х+1)2=х24-2х4-1), 3 ((х-Н)2=х24-2х4-1), V (х2-5х4-6=0),
XXX
3 (х2-5х4-6 = 0), V (х2 — 5х 4-7=0), 3 (х2-5х2 + 7=0).
XXX
34
Их значения истинности соответственно таковы: истина, истина, ложь, истина,
ложь, ложь.
Рядом с кванторной переменной часто указывают область изменения этой
переменной. Например, пишут:
V (Isinxl^l), 3 farcsinx = -^\
х€[1; 1]\ 7 /
3 farctgx=-^, 3 (2Х = 3).
х£[0;+оо)\ 2/ х е (_ оо ; 0]
Первые два из этих высказываний истинны, третье и четвертое ложны.
4°. Часто интересуются поведением предиката Р (х) не на всей области измене-
ния переменной х, как в случае высказываний (1), а на некоторой ее части, выделя-
емой предикатом Q (х) (например, допустим, что интересуются поведением преди-
ката |tgx| 1 не на всей области определения тангенса, а лишь на той ее части,
которая выделяется предикатом |х|^-^. Тогда в общем виде пишут:
V (Р(х)), 3 (Р(х)). (2)
x|Q(x) x|Q(x)
Это читается соответственно так: «Для любого х, такого, что истинно Q (х), имеет
место Р (х)», «Существует х, такое, что истинно Q (х) и что имеет место (истинно)
Р (х)». Вертикальная черта | читается: «такое, что».
В приведенном примере с предикатом |tg х| 1 мы запишем:
V (|tgx|<l),
3 (Itgxl^l),
л
т
т. е. для любого х,
такого, что
имеет место |tgx| 1; существует х,
такое, что |х| и что имеет место |tg х| 1 (слово «истинно» перед |х| —
можно и опустить). Первое высказывание ложное, а второе— истинное.
Выражения V , 3 называются ограниченными кванторами. Ими мы бу-
x|Q(x) x|Q(x)
дем часто пользоваться в анализе, особенно в определениях предела и непрерывнос-
ти функции.
Отметим следующие свойства обоих ограниченных кванторов, связанные
с операциями над высказываниями. Эти свойства читатель сам обнаружит при
внимательном чтении символических выражений (2):
1) V (Р (х)) о V (Q (х) =>Р (х)) (для любого х имеет место: из Q (х) следует
x|Q(x) х
PW);
2) 3 (Р (х)) о 3 (Q (х) Д Р (х)) (существует х, такое, что имеют место Q (х)
x|Q(x) X
и Р (х) одновременно).
В нашем примере это выглядит так: V
V (ItgxKD^V ( |x|<4=>|tgx|<l
3
35
Э W<y) A(ltg*l<l)) .
x| |x|<—
5°. Рассмотрим далее n-местные предикаты при и>1. С помощью кванторов
можно и каждому такому предикату сопоставить то или иное высказывание так же,
как это имеет место для одноместных предикатов.
Возьмем, например, двуместный предикат х<р. Рассмотрим предложение
3 (x<f). В нем переменная х является связанной квантором 3, а переменная
X X
у свободная. Следовательно, 3 (х<#) есть предложение с переменной у,
х
или одноместный предикат от этой переменной. Обозначим его через Р(у). Рас-
смотрим новое предложение
V(P(!/))=V (3 (х<//)),
f у *
или V (Р («/))= V 3 (х<.у), что проще (для любого у существует х, такое, что
У ух
имеет место x<Zy). Оно уже вовсе не содержит свободных переменных и является,
следовательно, высказыванием, которое истинно, так как для каждого
действительного числа у существуют числа х, меньшие у.
Точно так же образуются высказывания 3 3 (х<у) (истинное), 3 V (хС z/)
ух ух
(ложное), V V (х<р) (ложное). Выпишите и исследуйте еще четыре высказыва-
У х
ния того же типа для предиката х<_у.
В общем виде для произвольного двуместного предиката Л (х, у) мы имеем
восемь высказываний: 3 3 (Л (х, у)), 3V (Л (х, у)) и т. д.
ух ух
Трехместный предикат Л (х, у, z) порождает высказывания типа
3 3 V (Л (х, у, z)), V 3 V (Л (х, у, z)) (для любого у существует z, такое, что для
X у г у z X
любого х имеет место Л (х, у, z)).
Для п-местного предиката получаем высказывания при помощи п вхождений
кванторов V, 3, связывающих все переменные. Эти переменные могут связываться и
ограниченными кванторами. В таком случае возможно, что число вхождений
кванторов больше числа предикатных переменных. Например, для числовых пере-
менных х, у, z и предиката x+z>0 высказывание V 3 V (x4~z>0) (являю-
х у г \ г>у
щееся истинным) в данной своей записи содержит три вхождения кванторов,
среди которых одно вхождение ограниченного квантора V ; предикатных же
z\z>y
переменных здесь д в е: х и z.
Обратимся теперь к основным понятиям анализа, рассмотренным в § 5, и запи-
шем характеризующие их условия с помощью кванторов. Условие, определяющее
многозначную функцию F с областью определения Т со значениями из Р, таково:
V 3 (F(x)=yy\ 3 3 3 (F(^)=r. ГЦх0)=У")- (1)
хеТуЕР x^Ty'ZP у"£Р
у”^у'
Чтобы получить аналогичное условие, определяющее однозначную функцию
(отображение), воспользуемся символом 3!, обозначающим словосочетание «су-
36
ществует, и притом единственное, х, такое, что»-, мы скажем, что f есть отображение
множества Т в множество Р или что имеем функцию f с областью определения Т со
значениями из Р, если выполнено условие
V 3! (f(x) = z/), или V 3! (х^+у). (2)
хеТу^Р х^ТуЕР f
Если сверх того V 3 (хн->-у), то мы говорим об отображении множества Т на
У^РхеТ f
множество Р, а если
[ V 3! (xt-+y) 1 Л Г V 3! (х^у) ] ,
LxtTytP [ J LytPxtT f J
то f есть взаимно однозначное отображение Т на Р.
(Заметим, что символ 3 !, строго говоря, не является квантором, но он выража-
ется через кванторы следующим образом:
3! (А (х)) о Г 3 (Я(х))ЛУ V (T(7)V/l(x"))l .
х Lx х' х"\х"^х' J
Убедитесь в этом!
Высказывания (1) и (2) описывают поведение двуместных предикатов F (х)=у,
f(x) = y с предикатными переменными х, у.
Забегая вперед, обратимся здесь еще к одному основному понятию математи-
ческого анализа — понятию непрерывности функции, которое изучается в главе III,
представление же о нем имеется у читателя. Числовая функция f (х), определенная
на множестве Т, называется непрерывной в точке х0 (где хо^Г), если
V 3 , V (|f (х) — f (х0)| <е). (3)
е>06>0х| |х -х0| <6
Та же функция называется непрерывной на множестве Т, если
V V 3 . V (|f(x)-f(xo)l<e). (4)
Xogr F>0 6>0 х| |х-х()| <6
Условие (3) является высказыванием о двуместном предикате с переменными
х, е, а условие (4) — это высказывание о трехместном предикате с переменными
Хо, х, в. В обоих случаях предикат имеет один и тот же внешний вид: If (х) — f (х0)| < е.
6°. Как построить отрицание высказывания, записанного с помощью це-
почки кванторов подобно (3), (4)? При этом требуется представить отрицание
высказывания снова в виде цепочки кванторов, связывающих все переменные
некоторого предиката.
Прежде всего, очевидно, что
\ГСр (х)) о 3 (рТх)) , о \ ,
а также
V (Р(х))^> 3 (Р(х)), 3 (Р(х))^> V (Р(х)).
х|<?(х) х|(?(х) x|Q(x) x|Q(x)
Из этого вытекает следующее правило построения отрицания сложных вы-
сказываний: чтобы получить отрицание высказывания, записанного в виде цепочки
кванторов, связывающих все переменные некоторого предиката, нужно каждый из
37
этих кванторов заменить двойственным (V наЗ и наоборот), сохраняя все, что напи-
сано внизу под знаками кванторов, а предикат, записанный в конце, заменить его
отрицанием.
Например, отрицания условия (3) непрерывности функции f (х) в точке хо и ус-
ловия (4) ее непрерывности на множестве Т соответственно таковы:
“F ~э“ х (Г/ й-7йТ<^)
е>05>0х||х — х0| <5
(5)
о 3 V 3 (If(х)-f(х0)|>8),
8>0 8>0 х |х —х0| <fi
V V 3 , V
Хо€Т е>0 6>0 х[|х —Xol <й
(I/ (*) — f (*о)1<е) о
(6)
э 3 V . 3 (|f(x)-f(x0)|>8).
е>0 6>0 х|| |х —х0| <
Высказывание (5) характеризует точку разрыва хо функции f (х), а высказывание
(6) — существование хотя бы одной точки разрыва данной функции.
Кратко описанные здесь элементы логики предикатов исполь-
зуются при изложении математического анализа и прежде всего
теории пределов. Остановимся еще на одном вопросе, относящемся
и к анализу, и к алгебре.
7°. Среди одноместных и многоместных предикатов (предложе-
ний со свободными переменными) важную роль в математике иг-
рают уравнения и неравенства с числовыми переменными. Они име-
ют вид:
f (х)=Ф (х). f (х) > ф (х), f (х) < ф (х);
f(x, у... х)=ф(х, у, .... г\ f(x, у, г)^ф(х, у..... г),
где не только переменные х, у, z, но также f (х, г) и <р (х, г)
принимают лишь числовые значения.
Те значения переменных, при которых эти предикаты превра-
щаются в истинные высказывания, называются решениями данных
предикатов: число хо называется решением уравнения f (х) = ф (х),
если истинно высказывание f (хо)=ф(хо); набор <х0, уо, > z0>
называется решением уравнения f (х, у, ..., г)—ф(х, у, ..., z), если
высказывание f (х0, у®, ..., го)=ф(хо, уо, ...» z0) истинно. Точно так
же определяются решения неравенств. Относительно набора, явля-
ющегося решением уравнения или неравенства, говорят, что он
удовлетворяет уравнению (неравенству).
Областью определения уравнения (неравенства) называется
пересечение областей определения функций, стоящих в левой и
правой частях данного уравнения (неравенства).
Если множество решений уравнения совпадает с областью
его определения, то данное уравнение называется тождеством.
38
Уравнение (% + 1 )2 = %2 + 2х ~Н —тождество, напротив, урав-
нение (х + 1)2=х24-2% + 2 вовсе не имеет решений, а уравнение
(х-|-I)2—х24-х+1 имеет единственное решение х0 — 0.
Пусть имеем уравнение F (%, у) = 0 и пусть функция у = у(х)
такова, что уравнение с одной переменной F (х, у (х)) = 0 есть
тождество. Тогда говорят, что функция у=у(х) удовлетворяет
уравнению F (х, у) = 0.
Упражнения к §6
В упражнениях 1—6 сопоставьте следующие высказывания с
точки зрения их равносильности (<Х) или логического следова-
ния (импликации =>):
1. Л Л Я иТ4 V^-
2. А \/~В иТ4 /\В.
3. у (А (х)) и Э (Л (х)).
4. VV (А(х, у))
X у
5. ЭЭ (А (х. у))
6. V3 (Л (X, у))
X у
и VV (Л (х у)).
У х
и 33 (Л(х, у)).
и ЗУ(Д(х, у)).
У X
§ 7. Числовые множества. Грани.
Стягивающиеся сегменты. Предельные и внутренние точки
В математическом анализе нам необходимы не только вся об-
ласть действительных чисел R и все пространство R11, рассматри-
вавшиеся в § 3, но и различные множества в R и Rn, т. е. множества,
составленные из действительных чисел или из числовых наборов
вида <%1, %2, •••, хп>>. В частности, такие множества будут
встречаться в качестве областей определения и областей зна-
чений тех или иных функций. Нередко характер области опре-
деления будет определять собою и свойства самой функции.
При этом мы не можем ограничиться лишь указанными в § 3
простейшими множествами, так как в математическом анализе
используются и множества гораздо более сложного строения.
Например, множество S, составленное из всех рациональных чи-
сел сегмента [0; 1] и всех иррациональных чисел интервала (1; 2),
или множество К тех чисел сегмента [0; 1], десятичное представ-
ление которых не содержит цифр 3, 5, 7. Примером непростей-
шего множества в R3 служит декартово произведение SXSX/C
В настоящем параграфе мы познакомимся с некоторыми по-
нятиями, относящимися к множествам в R и в Rn, а также свой-
ствами этих понятий.
1°. Пусть М — непустое числовое множество. Число s назы-
вается верхним ограничителем этого множества, если s не меньше
(больше или равно) любого элемента множества М. Число k на-
зывается нижним ограничителем данного множества, если k не
больше (меньше или равно) любого числа из М (рис. 10). Верх-
ний и нижний ограничители множества М иначе называются со-
ответственно мажорантой и минорантой этого множества.
39
М ______ Например, для множества
$ д М=[— 1; 0] U [1; 2] каждое из чи-
м сел 2, 3, 4, равно как и любое
-----•----число из [2; -f-сю), является верх-
<----------. * ним ограничителем, а любое число
Рис. 10 из (—сю; — 1) будет нижним ог-
раничителем; в то же время ни од-
но число из интервала (—-1; 2) не
является ни верхним, ни нижним ограничителем данного мно-
жества М.
Обращаясь вновь к произвольному непустому числовому мно-
жеству М с /?, отметим, что если 5 — его верхний ограничитель,
то это же и подавно можно сказать о любом числе, большем s, а
если k — нижний ограничитель М, то и любое число, меньшее
чем k, является нижним ограничителем М. Очевидно также, что
число q тогда и только тогда не является верхним (или нижним) ог-
раничителем множества М, когда существует такое число т£Л4,
что m>q (или т<^).
Непустое множество М называется ограниченным сверху
(снизу), если для него существуют верхние (нижние) ограни-
чители.
Каждое из множеств [а; Ь], (а; Ь), [а; Ь), (а; Ь], где a=£b, огра-
ничено как сверху, так и снизу. Множества [а; 4-оо), (а; -|-оо)
ограничены снизу, но не сверху, числовые полупрямые (— оо; а],
(—<ю; а) — наоборот. Приводим теперь следующее определение:
Определение. Пусть М — непустое множество, Наимень-
ший верхний ограничитель ограниченного сверху множества М
называется верхней гранью этого множества и обозначается sup М
(от латинского слова supremum — высшее). Наибольший ниж-
ний ограничитель ограниченного снизу множества М называется
его нижней гранью и обозначается inf М (от латинского infimum —
низшее).
Например, для сегмента, интервала и полуинтервалов с кон-
цами 3, 4 верхняя грань и нижняя грань существуют и равны
соответственно 3 и 4, a sup (— оо; -^/2)=^/2, inf (у/2; 4- оо)=-^/2.
Если множество М имеет наибольший элемент, то он, очевид-
но, является sup М. Обратно: если существует sup М, причем
sup М^М, то число sup М — наибольший элемент М. Аналогич-
ным свойством обладает inf М (примеры выше).
Верхняя грань множества М — это число, как бы «зажатое»
между двумя множествами — множеством М и множеством его
верхних ограничителей, inf М — это число, «зажатое» между М
и множеством его нижних ограничителей.
Как видно из определения, для не ограниченного сверху (сни-
зу) множества понятие верхней (соответственно нижней) грани
не вводится. А непременно ли для множества, ограниченного
сверху (снизу), существует верхняя (соответственно нижняя)
грань? Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме:
40
Теорема (о гранях). В области действительных чисел для
всякого непустого ограниченного сверху множества М существу-
ет верхняя грань sup М. Для всякого непустого ограниченного
снизу множества М существует нижняя грань inf М.
Доказательство. Пусть М -- непустое числовое множество, для кото-
рого существуют верхние ограничители. Требуется доказать, что в области R
существует наименьший среди верхних ограничителей М, т. е. sup М.
По условию существуют верхние ограничители М, их наверняка бесконечно
много. Множество всех этих верхних ограничителей для М обозначим через Y.
Но имеются и такие действительные числа, которые в У не войдут, Т. е. существу-
ют числа, не являющиеся верхними ограничителями множества М: возьмите
какое-нибудь число т^М, а затем рассмотрите все числа, которые меньше т, они
не являются верхними ограничителями М и таких чисел бесконечно много. Мно-
жество всех чисел, не являющихся верхними ограничителями М, обозначим через
X. Вполне очевидно, что всякое действительное число, не вошедшее в У, войдет в
X и наоборот. Очевидно также, что всякое число у из У больше любого числа х из
X: х меньше некоторого числа т из М, а у^т, следовательно, у>х. Из всего
сказанного следует, что множества X и У образуют сечение (Х/Y) области /?,
причем X—нижний, а У—верхний классы сечения. (Задание. Постройте
сечение (Х/У) для множества М = (0; 1].)
В силу непрерывности области R (§ 3) существует число h, погранич-
ное для только что построенного сечения (Х/Y). Какому из двух классов X, У
принадлежит /г?
Пусть х — произвольное число класса X. Так как х — не верхний ограни-
читель множества М, то существует такое число т б Л4, что х<т. По свойству
плотности области R найдется число х', содержащееся между х и т:
х<х'<т. Неравенство х’ <т означает, что число х' не является верхним огра-
ничителем М (ибо т б М), т. е. что х' £ X. А так как при этом х'>х, то мы прихо-
дим к тому выводу, что для любого числа х из класса X имеется число х' из того
же класса, большее чем х. Следовательно, в классе X нет наибольшего числа.
Поэтому число h, будучи пограничным для сечения (Х/У), является наименьшим
в классе У.
Таким образом, h — наименьшее число класса У, или, что то же, h есть
наименьший верхний ограничитель множества М, т. е. h. — верхняя грань этого
множества, /г — sup М.
Вполне аналогично доказывается существование inf М в случае, когда М
ограничено снизу (подумайте, как нужно построить сечение в этом случае). Тео-
рема доказана.
Из доказательства теоремы о гранях видно, что она является
следствием свойства непрерывности области R. С другой стороны,
в области Q, не обладающей свойством непрерывности, теорема о
гранях неверна. (Приведите пример, доказывающий это.)
Отметим, что, помимо приведенной здесь терминологии, при-
нята и следующая: ограничитель множества называется иначе
гранью этого множества, а гр а н ь в нашем смысле иначе назы-
вается точной гранью (точная верхняя грань, точная нижняя
грань).
41
2°. Пусть мы имеем последовательность сегментов
[au 6Д [°2; 62], ...» [an; 6J, .... (1)
из которых каждый (начиная со второго) содержится как часть в
предыдущем. В этом случае говорят, что мы имеем последова-
тельность вложенных сегментов. Если, кроме того, числовая по-
следовательность длин сегментов приближается к нулю так, что
V 3 V (|6Й —a«|<e),
е>0 Ж n>/V 7
то уже говорят о последовательности (1) стягивающихся сег-
ментов.
Ставится вопрос о числах («точках»), общих для всех сег-
ментов данной последовательности (1) стягивающихся сегментов
(или, что то же, о пересечении этих сегментов). Прежде всего
ясно, что двух чисел, принадлежащих всем стягивающимся сег:
ментам (1), быть не может. (Убедитесь в этом сами. А как для вло-
женных сегментов?) Но для всякой ли последовательности (1)
стягивающихся сегментов существует хоть одна точка (число),
принадлежащая всем ее сегментам?
Рассмотрим множество чисел, являющихся левыми концами
данных сегментов: {аь а2, —) Оно ограничено сверху, при-
чем любое Ьп служит верхним ограничителем множества {щ, о2,
..., ап, ...}. Для этого множества по теореме о гранях существует
верхняя грань, которую обозначим через ht т. е. sup {an}=h. Ясно,
что при любом п. Кроме того, Ъп — верхний ограничитель
множества {aj, a h — наименьший верхний ограничитель того
же множества. Следовательно, h^bn. Мы видим, что для любого п
имеет место an^.h^ibn, или, что то же, 6£[ай; Ьп]- Поэтому
h — число, общее для всех сегментов из (1). Итак:
Теорема. В области действительных чисел для всякой
последовательности стягивающихся сегментов существует, и
притом единственная, точка, принадлежащая всем этим сег-
ментам.
Читатель без труда построит последовательность сегментов,
стягивающихся к произвольно выбранному числу.
В качестве важного примера применения теоремы о стяги-
вающихся сегментах рассмотрим последовательность сегментов
[оь 6i], [а2; 62], ..., [ай; 6Й], ...,
ГДеа„=(1+Я.И>+тГ-
Так как — — 1 , то Ьп>ап и по мере возрастания п дробь
ап п
приближается к 1, а разность Ьп — ап стремится к нулю.
Кроме того, покажем, что с возрастанием п значение Ья убыва-
ет, а ап возрастает. Мы это сделаем с помощью неравенства Бер-
42
нулли (н. Б.) (§ 3, п. 5°). Рассмотрим сначала для любого нату-
рального п^2 отношение —
т. е. £>1. Следовательно, bn-i2>bn, и Ьп убывает с возраста-
Ьп
нием п. Соединяя все полученные неравенства относительно ап,
Ьп, ап-\, Ьп-\, запишем an-i <Zan<bn<bn-}. Отсюда
fan', bn\ cz[tzn__i; bn-1]
при любом п^2.
Из этого следует, что рассматриваемая нами последователь-
ность сегментов \ап’, Ьп\ есть последовательность стягивающих-
ся сегментов. Согласно теореме существует единственное число,
принадлежащее всем данным сегментам. Это число обозначает-
ся буквой е и называется неперовым, числом — по имени шот-
ландского математика, изобретателя логарифмов Джона Непе-
ра (1550—1617).
Концы сегментов этой последовательности будут рациональ-
ными приближениями числа с; при этом по мере неограниченно-
го возрастания п абсолютная погрешность приближений умень-
шается, приближаясь к нулю. В математическом анализе дока-
зывается, что число е — иррациональное и что оно имеет деся-
тичное приближение 2,71828.
Логарифм числа М>0 при основании е называется нату-
ральным логарифмом и обозначается In М.
3°. Понятия, которые будут рассматриваться в этом пункте,
43
основываются на введенных в § 3 понятиях расстояния между
двумя точками пространства /?й и окрестностности каждой точки
этого пространства.
Пусть дано множество М cz Rn. Точка q пространства Rn на-
зывается предельной точкой множества М, если в любой ее
окрестности U (q; е) (при сколь угодно малом 8>0) содержится
бесконечно много точек из М. При этом сама точка q необяза-
тельно принадлежит М. Точка множества М, не являющаяся его
предельной точкой, называется изолированной точкой мно-
жества М.
Рассмотрим, например, множество
O)U{1. 4-. f....
(изобразите его на координатной прямой Ох). Окружим число О
сколь угодно малой окрестностью ( —е; е) (изобразите и ее).
Ясно, что в этой окрестности содержится бесконечно много чи-
сел из М (выделите их на вашем рисунке). Так как это от-
носится к любой окрестности числа 0, то 0 есть предельная
точка множества М. Если же возьмем окрестность
числа 1, то увидим, что в ней содержится только один элемент
множества М — само число 1. Поэтому число х— 1 не будет
предельной точкой М, оно является изолированной точкой
этого множества. Точно так же можно легко убедиться в том,
что и 4", ..., —, ... являются изолированными точками М, а
каждая из точек сегмента [—1; 0]— это предельная точка рас-
сматриваемого множества. Обратим внимание на то, что число 0
не принадлежит Л1, но является его предельной точкой. В отли-
чие от этого множество ЛР—[—1; 0] (J 1, ..., , ...} содержит
все свои предельные точки — это будут, очевидно, числа сегмента
[—1; 0] (изолированные точки те же, что для М). Точки, находя-
8
щиеся вне сегмента -1; 0] (например, —2, -—3, —), не будут
предельными ни для М, ни для М'.
Предлагаем читателю указать все предельные точки прямо-
угольника
М:
0<х<2,
0<у<1
в № (очевидно, М=[0; 2)Х(0; 1]) и
выяснить, все ли эти предельные точки принадлежат М.
Множество М cz Rn называется замкнутым, если оно содер-
жит все свои предельные точки или состоит из одних только изо-
лированных точек. Кроме того, и пустое множество считается
замкнутым.
Из рассмотренных выше множеств М и М' в первое не яв-
44
ляется замкнутым, а второе замкнуто. Замкнуто ли множество
М = [0; 2)Х(0; 1] cz R?
Точка р множества М cz Rn называется внутренней точкой
данного множества, если существует такая окрестность U (р; г)
точки р, которая содержится в М: U (р; е) cz М.
Например, все точки полуинтервала (0; 1], кроме 1, являются
его внутренними точками, для интервала же (0; 1) все его точки
будут внутренними.
Если все точки множества М cz Rn внутренние, то М называ-
ется открытым множеством. Помимо этого, и 0 считают откры-
тым множеством.
Рассмотрим ряд примеров. Все, что в них утверждается,
читателю следует проверить, а множества в R и R2 геометрически
изобразить.
1) Любая точка сегмента [а; Ь\, где а^=Ь, является его предельной точкой.
В то же время не будет предельной точкой сегмента никакая точка вне его. Поэ-
тому сегмент [а; Ь \ — з а м к н у т о е множество. Сегмент не является открытым
множеством, так как его концевые точки не будут внутренними для него.
2) Интервал (а; Ь) - открытое множество в /?, но не замкнутое при
а^=Ь, так как а и b являются предельными точками интервала.
3) Полуинтервалы [а; Ь) и (а; Ь], где а^=Ь, не являются ни замкнутыми, ни
открытыми множествами числовой прямой.
4) Ни одно из множеств предыдущих примеров не имеет изолированных
точек; множество Л4 = [0; 1] J |2; 3) U {4; 5; 6} имеет изолированные точки 4, 5, 6.
Множество М не является ни открытым, ни замкнутым.
5) Бесконечное множество N натуральных чисел не имеет предельных точек
и тривиальным образом замкнуто, все его точки изолированные. Заметим, что
множество N не ограничено в R.
6) Множество М рациональных чисел сегмента [0; 1] не замкнуто и не
открыто в пространстве R: все иррациональные числа из [0; 1] не принадлежат М,
но являются для него предельными точками, ни одна точка из М не будет внут-
ренней его точкой, так как в любой окрестности рационального числа имеется
бесконечно много иррациональных чисел.
7) Куб [0; 2|Х[4; 5] является замкнутым множеством простран-
ства R'; куб без оболочки (0; 1)Х(1; 2)Х(4; 5) — открытое (но не замкну-
тое) множество в R\
8) Множество точек <х, у>, для которых х2+у2<1,— открытое в R2.
Если х2-}-у2^. 1, то имеем замкнутое множество, но не открытое.
9) Множество точек <т,п> с целыми координатами т и п бесконечно, но
не имеет ни одной предельной точки в R2 (и потому замкнуто!). Заметим, что,
как и в примере 5, это множество не ограничено.
При этом под ограниченностью множества М в пространстве Rn мы понимаем
существование такого «-мерного-параллелепипеда П, в котором содержится дан-
ное множество: А!сП.
10) Множество точек ~~ > из R2, где tn, п — всевозможные натураль-
ные числа, состоит из одних изолированных точек, но для него существуют пре-
дельные точки. Оно не замкнуто.
45
11) Множество значений х, при которых имеет смысл выражение arcsinx-]-
4-ctgy, т. е. множество [-1; l]\|Oj ±1? ±^.( ...| открыто, но не
замкнуто.
Множество, которое является замкнутым и в то же время не
имеет изолированных точек, называется совершенным.
Вновь рассмотрите примеры 1—11 и выясните, какие из ука-
занных в них множеств являются совершенными.
Аналогично определению предельной точки множества в
определяется и понятие предельной точки последова-
тельности: точка q пространства Жг называется предельной
точкой последовательности ai, ..., ат, ..., где ат £ Яп, если в
любой окрестности U (q; е) содержится бесконечно много членов
данной последовательности.
Для последовательности 1, 6, б—-» "Т» б-^-, 5-~--, ...,
Z & <3 <3 4 4
5-|—... существуют две предельные точки: 0 и 5. Точно
так же и для последовательности 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, ... числа 0 и 5
являются ее предельными точками. Но различие состоит в следую-
щем: хотя в окрестности ^5—; б+-~^ и будет бесконечно
много членов как первой, так и второй последовательности, в ней
содержится бесконечно много чисел, являющихся чле-
нами первой, и лишь одно число, повторяющееся бесконечно
много раз, как член второй последовательности. Так что если от
указанных последовательностей мы перейдем к м но-
же с т в а м чисел, являющихся их членами, то первое множество
будет иметь те же предельные точки 0 и 5, а второе вовсе не будет
иметь предельных точек.
4°. Нам только что встречались множества в имеющие
предельные точки и вовсе лишенные их. Возникает вопрос: каково
условие существования предельных точек множества в I?"? Речь
при этом идет об условии, более или менее легко проверяемом и
формулируемом в терминах, обозначающих предшествующие
понятия.
Чтобы множество имело предельные точки, оно, прежде всего,
должно быть бесконечным. Но этого мало: множества в приме-
рах 5 и 9 бесконечны, но не имеют предельных точек. Мы обраща-
ли внимание на то, что эти множества не ограничены. Конечно,
и неограниченное множество может иметь предельные точки
(возьмите хотя бы все множество Ж). Но уже тот факт, что су-
ществуют неограниченные множества без предельных точек, го-
ворит сам за себя и побуждает нас поставить вопрос: । ограни-
ченные бесконечные множества в /?я непременно имеют предель-
ные точки (хотя бы одну)?
46
Пусть числовое множество Т cz R бесконечно и ограничено.
В этом случае оно содержится в некотором сегменте [а; Ь]. Ра-
зобьем этот сегмент на два одинаковых по длине сегмента
|^а; и Ясно, что хоть в одном из них содержится
бесконечно много элементов множества Т. Обозначим через [ai; b\]
тот из двух сегментов, который содержит бесконечно много эле-
ментов Т (а если бесконечно много элементов Т в обоих сегментах,
то обозначаем через [ас Ь\\ левый сегмент). Теперь разобьем уже
сегмент [а(; Ь\] на сегменты ^i; a'.+ bl j и и подобно
предыдущему обозначим через [аг; Ьг]тот из них, в котором беско-
нечно много точек из Т (если это будет в обоих сегментах, через
[а2; Ь2] обозначаем левый). Начатый процесс мысленно продолжа-
ем до бесконечности и получаем последовательность стяги-
вающихся сегментов
[a; b], [ai; b\], [а2; b2], [ап; Ьп], (2)
каждый из которых содержит бесконечно много точек из Т.
По теореме о стягивающихся сегментах (п. 2°) существует
единственная точка Хо, принадлежащая всем сегментам (2). Лег-
ко убедиться в том, что х0—предельная точка множества Т:
в произвольной, сколь угодно малой по длине окрестности точки
Хо содержится сегмент из последовательности (2), а вместе с ним
и бесконечно много элементов множества Т. Это и означает, что
%о предельная точка Т. Тем самым доказана теорема.
•Теорема. Для всякого ограниченного бесконечного число-
вого множества Т в пространстве R существует хотя бы одна пре-
дельная точка.
Если в предыдущем рассуждении мы заменим слова «эле-
менты множества Т» словами «члены данной числовой последо-
вательности», то придем к следующему утверждению:
для всякой ограниченной числовой последовательности Xi,
х2, ..., хп, ... существует хотя бы одна предельная точка.
Обе эти теоремы вместе с их доказательствами переносятся
на множества и последовательности в R'1.
Теоремы о существовании предельных точек множества и
последовательности принадлежат выдающимся ученым, много
сделавшим для обоснования математического анализа,— чешско-
му математику и философу Бернарду Больцано (1781 —
1848) и немецкому математику Карлу Вейерштрассу
(1815—1897). Поэтому указанные теоремы называются теорема-
ми (а также иногда принципом) Больцано — Вейерштрасса.
5°. Рассмотрим еще одно следствие из теоремы о гранях и от-
метим одно из важных его приложений в геометрии и анализе.
Пусть числовые множества S и Н таковы, что, во-первых,
любой элемент первого из них не превосходит ни одного из эле-
ментов второго и, во-вторых, каково бы ни было 8 > 0, найдется
47
такая пара <s, h^>, где s £ S, h£H, для которой h — s<Ce:
V V(s</i) ДУ Э (Л-5<8).
s e sh e h e>os e s.fe e н
Понятно, что в силу теоремы о гранях существуют sup 5 и inf Я,
причем sup S = inf Н. Эта общая грань множеств S и И, называе-
мых встречными множествами (S — левым, а Н— правым) , есть
число, находящееся на стыке S и Н. Оно называется пограничным
числом данных встречных множеств.
Пограничное число двух встречных множеств может принад-
лежать либо им обоим, либо одному из них, либо, наконец, не
принадлежать ни одному из данных множеств.
Пусть теперь дана дуга L окружности произвольного радиу-
са. Представим себе всевозможные ломаные, вписанные в дугу и
описанные около нее (концы каждой из этих ломаных совпадают
с концами дуги—сделайте поясняющий чертеж). В геометрии
доказывается, что длина вписанной в L ломаной меньше длины
любой ломаной, описанной около L, и что можно* выбрать сколь
угодно близкие по длине вписанную и описанную ломаные. Сле-
довательно, обозначив через S множество чисел, являющихся дли-
нами вписанных ломаных, а через Н множество чисел, которые
являются длинами описанных ломаных, получим встречные мно-
жества S и Н, их пограничное число есть по определению длина
дуги L, которую обозначим через /.
Для всякой вписанной в L ломаной легко указать другую впи-
санную в L ломаную большей длины, а для любой описанной око-
ло L ломаной — описанную ломаную меньшей длины. Из этого
в силу определения длины дуги следует, что длина всякой впи-
санной в L ломаной, в частности длина хорды, меньше /, а длина
любой описанной ломаной (в частности, двухзвенной) больше /.
Обратимся теперь к тригонометрическим функциям sin х, tg х
и сравним их по величине с аргументом этих функций х, что по-
надобится нам в главе II при рассмотрении первого замечательно-
го предела. Из рисунка 67 (с. 118.) в силу только что сказанного
видим, что для х £ ^0; верны неравенства 2 sin х<2х (длина
хорды меньше длины стягиваемой ею дуги) и 2tgx>2x (длина
описанной двухзвенной ломаной больше длины дуги). Отсюда
для х 6 (б; имеем sinx<x<tgx.
§ 8. Действительные функции действительного переменного
Для математического анализа особо важны те функции, об-
ласть определения и область значений которых являются число-
выми множествами, расположенными в области действительных
чисел Я. Эти функции называются действительными функциями
48
действительного переменного или короче действительными функ-
циями. Каждая такая функция есть отображение некоторого
числового множества Т cz R в множество R, что можно выразить
кратко: отображение из R в R.
С примерами действительных функций мы уже встречались
в § 5.
Если область определения и область значений функции яв-
ляются числовыми множествами, расположенными в области
комплексных чисел, то такая функция называется комп-
лексной. Действительные и комплексные функции называются
иначе числовыми функциями.
Числовая функция, областью определения которой является
множество натуральных чисел,— это числовая последова-
тельность.
В § 8—11 мы будем рассматривать исключительно действи-
тельные функции действительного переменного и поэтому будем
называть их просто функциями.
Пусть /“ есть функция с областью определения Т и областью
значений Р. Произвольный элемент множества Т обозначим че-
рез х, а соответствующий ему элемент множества Р — через у.
Тогда у = [ (х). При этом х как бы пробегает все множество Т и
называется, как мы знаем, независимой переменной или аргумен-
том функции [, а у пробегает множество Р и называется зависимой
переменной той же функции, а часто и просто функцией (второй
смысл этого слова в математике).
Остановимся на способах задания действительных функций.
1°. Функция может быть задана одной или несколькими фор-
мулами, содержащими знакомые нам знаки математических
действий и указывающими, как с их помощью для каждого зна-
чения аргумента найти соответствующее значение функции, т. е.
соответствующий элемент области ее значений. Это так назы-
ваемый аналитический способ задания функции.
Рассмотрим примеры.
1) Функция f(x) — x2 с областью определения (—оо; -|-оо).
Здесь х н* х2 (3 !-►- 9, -Зн>9, д/2н>2, 0 О, лкл2 и т. д.).
2) /(x)=lgsin х с областью определения J (2&л; (2&+1) л),
k
где k = 0, ±1, ±2, ... (объединение бесконечной совокупности
интервалов).
(х2 цля х<()
3) f(x)= | sjn х для
Область определения (— оо; Д- оо). Здесь — 3 9, —
JT • JT • JT гч * r\
—sin —, — sin — , О sin О и т. д.
2- Z 1 и 1 О
(3 для х целых
4) f (х) | 4 для х не целых>
49
Область определения (— оо; + оо). Здесь 5 н>- 3, — 7ь> 3, 0 н^З,
3-i-M-4, — -уН>-4, m4. 1g 2 н» 4 и т. д.
{О для х иррациональных
1 для х рациональных.
Область определения (—оо; -|-оо). Здесь 5— 1, ~н>-1,
~Г^ !• 44' 1. — О, -V3^0, ^0
и т. д.
Эта функция известна в математике под названием функции
Дирихле. Так же будем называть любую функцию вида
(р для х иррациональных
f(x)=|^ дЛя х рациональных, где p^=q,
с областью определения (—оо; -J-00) или [о; &].
6) f х2 для х е [0; 1]
f(x)=j тх+тдлях6<1: 3|
2 для х С (3; 4]
' 7-х для х Е (4; 5].
Область определения — сегмент [0; 5].
Тот, кто понятие функции отождествляет с формулой, по-
смотрев на этот пример, по-видимому, скажет, что здесь четыре
различные функции. На самом же деле мы имеем здесь одну
точно определенную функцию f, отображающую множество [0; 5J
в множество R. Соответствие при этом задается четырьмя фор-
мулами, каждая из которых действует на своем участке области
11 3 7
определения функции f. Например, ун^ —, 2н>~, у н-2,
9 , 5
Функции же у — х2 и </ = lgsinx из примеров 1 и 2 таковы,
что задание каждой из них осуществляется при помощи одной
формулы — это аналитический способ задания функции наиболее
простого типа. Правые части формул у — х2 и i/ = lgsinx пред-
ставляют из себя соответственно произведение х-х и суперпози-
цию функций 1g и sin. Функция j» определенная на
(—оо; -|-оо), также задается одной формулой: правая часть
этой формулы есть дробь, в числителе которой суперпозиция с
составляющими sin и х3, а в знаменателе сумма функций х2, х, 1.
Функция, задаваемая одной формулой у=\[х, где х^Ж являет-
ся обратной по отношению к функции у—х* с той же областью
определения R.
Всякую функцию y = f(x), которая подобно указанным четы-
50
рем допускает аналитический способ задания при помощи од-
ной формулы, называют элементарной. В ее построении участву-
ют арифметические операции над функциями, а также суперпо-
зиция и переход к обратной функции. При этом имеется какой-
то небольшой запас исходных функций, например у = const, у = х,
y = s\nx, у = ах, применяя к которым указанные операции над
функциями мы получаем элементарные функции. Их точному
определению и краткому общему описанию посвящен § 10 данной
главы.
Отметим уже сейчас, что элементарную функцию весьма часто
можно задавать указанием одной лишь характеризующей ее фор-
мулы, подразумевая, что областью определения функции являет-
ся множество тех значений аргумента, при которых формула
имеет смысл. Например, говоря об элементарной функции у =
=Д-'з+Уб-7, мы подразумеваем, что область ее определения
есть [3; 5]. Областью определения элементарной функции у =
= lg (%2—-25)4- Vх является множество (5; 4- оо). Область опреде-
к 7x4-9 .
ления функции у — -.———;—это множество (—сю; —4) U
U( —4; 4) и (4; 4~ Н- ~
2°. Для действительной функции действительного переменно-
го вводится понятие графика функции.
-16
Пусть дана функция y — f(x) с областью определения Т. Гра-
фиком этой функции называется множество всех таких точек ко-
ординатной плоскости хОу, координаты которых являются соот-
ветствующими значениями аргумента х и функции y = f (х); коро-
че: множество точек М (х; f (х)).
Если график функции y — f{x) спроектировать на оси коорди-
нат Ох и Оу, то получим изображения соответственно области
определения Г и области значений Р данной функции (рис. 11).
Любая вертикальная прямая, проходящая через изображение
области определения, пересекает график ровно в одной точ-
ке, всякая горизонтальная прямая, проходящая через изображе-
ние области значений, пересекает график хотя бы в одной
точке.
На рисунке 12 изображен график функции из примера 6.
График же функции Дирихле (пример 5), хотя и является вполне
51
определенным множеством точек, мы не сможем начертить, но
можем себе представить: все иррациональные точки оси Ох ос-
таются на месте, а все рациональные точки Ох подняты вверх
на единицу.
Действительная функция может быть задана своим графи-
ком— это графический способ задания функции. Любое мно-
жество точек плоскости хОу, пересекающееся с каждой верти-
кальной прямой не более чем в одной точке, является графиком
определенной функции y = f(x). Примером может служить ри-
сунок 13. Аналогичное множество точек (обычно некоторая линия
или несколько линий) нередко возникает, когда с помощью при-
боров исследуется зависимость между величинами в физике,
технике, медицине и т. д.
3°. Табличный способ задания функции, третий из рассматри-
ваемых нами способов, применяется при экспериментальном ис-
следовании зависимости между величинами. Но не только в этом
случае. Собственно само понятие функции предполагает сущест-
вование некоторой конечной или бесконечной таблицы, в которой
для каждого значения аргумента указывается соответствующее
значение функции. Практически же речь может идти лишь о таб-
лице, содержащей конечную совокупность значений аргумента
и функции. Именно такими таблицами мы пользуемся даже при
рассмотрении ряда элементарных функций (например, sin х,
cos х, 10х, 1g х). При этом значения функции, содержащиеся в
таблице, задаются приближенно, но с высокой степенью точности.
Кроме того, для каждого значения аргумента, не вошедшего в
таблицу, можно путем пропорционального деления почти со столь
же высокой степенью точности вычислить соответствующее зна-
чение функции.
4°. Мы будем сталкиваться еще с одним способом задания —
с заданием функции y — f(x) при помощи уравнения, связывающе-
го переменные х и у:
F(x, у) = 0.
Рассмотрим, например, уравнение x2-f-//2 —25 = 0.
Функции t/=V25 —х2 и у= —д/^Ь — х^. определенные на
[—5; 5], удовлетворяют уравнению х2-|-#2— 25 = 0, так как х24~
-|-(д/25 -- х2)2 — 25 £= 0, х2 + (—-д/25—х2)2 —25^0 (^ — это обще-
52
принятый знак тождества). Относительно функций у — ^2Ь — х2 и
у — — д/25 —х2 говорят, что они определяются из уравне-
ния х2-|-//2 —25 = 0.
Точно так же уравнение 16х2— 8г/-{-1=0 определяет
функцию у = ±—(-2х2 в том смысле, что 16х2 — 8(4—Н2х2) ф-1 =0.
Вообще говорят, что уравнение F (х, у) = () о п р е д е л я е т функ-
цию y — f (х) на множестве Т, если F (х, [ (х)) = 0 для всех х из Т.
В этом случае функцию y = f(x) называют также неявной функ-
цией, определяемой уравнениегч F (х, у) — 0. Дело в том, что вовсе
не обязательно разрешать уравнение F (х, у) — 0 относитель-
но у (как это сделано в двух рассмотренных примерах), чтобы
можно было говорить о функции, определяемой этим урав-
нением. Достаточно знать, что такая функция существует. Ин-
тересно, что в дифференциальном исчислении для отыскания
дифференциала функции, определяемой уравнением F (х, у)=0,
достаточно найти дифференциал функции F (х, у), а затем про-
делать простенькие алгебраические действия над получившими-
ся при этом выражениями. Мы здесь обходимся, таким образом,
без того, чтобы разрешать уравнение F (х, у) = 0 относи-
тельно у. Да это часто практически и нельзя сделать. Например,
уравнение t/5 — Зх2у2 —|—7x3t/2 — 8х4у— х54~3 = 0 мы не можем раз-
решить относительно у в обычном смысле слова, но уверены, что
оно определяет функцию у = [ (х) (и возможно, не одну), которую
и называют неявной. Этот последний термин относится лишь к
способу задания функции, и не следует думать, что неявные
функции — это какая-то особая разновидность функций или тем
более что это некоторые математические объекты, которые не под-
падают под общее понятие функции.
В тех случаях, когда уравнение F (х, у) = 0 определяет не одну
функцию, можно все-таки говорить о вполне определенной неяв-
ной функции, если имеется некоторое дополнительное ограни-
чение. Так, уравнение х2-f-у2— 25 = 0 при дополнительном усло-
вии у^О определяет функцию /у = д/25--х2 с областью определе-
ния [ — 5; 5].
Четырьмя вышеуказанными способами не исчерпываются все
способы задания функций. На всем протяжении изучения курса
математического анализа вы будете получать все новые и новые
способы задания функции: функции будут задаваемы с помощью
предела, производной, интеграла, дифференциальных уравнений,
рядов и т. д.
5°. Одна из особенностей действительных функций и много-
значных функций действительного аргумента состоит в том, что
над ними можно производить арифметические операции. Суть
этих операций состоит в следующем.
Пусть f\ (х) и f2 (х) — действительные функции, определенные
на числовом множестве Т. Суммой этих функций называется
53
такая функция с областью определения Т, для которой каждому
числу х £ Т ставится в соответствие число ft (х) + Д (х):
V (х^/,(х) + /2(х)).
v е т
Обозначения суммы функций:
1) h+ff, 2) (/i+f2)W; 3) Л(х)+Ь(х).
Аналогично определяются произведение и частное функций
fi (х) и f2 (х), определенных на числовом множестве Т (в случае
частного /2 (х)#=0);
V (хн>/,(х)./2(х)). У (хн-Ш.
хЕТ хЕТ\[2(х)^0\ f2(x)J
Произведение функции f (х) с областью определения Т на число
с можно рассматривать либо непосредственно, либо как произве-
дение данной функции f (х) на функцию, равную константе с.
Разностью функций f] (х) — f2 (х) называется сумма функций
f,(x) + (-l).f2(x).
Для действительных многозначных функций fi(x)
и f2 (х) действительного аргумента х £ Т определения арифмети-
ческих операций аналогичны предыдущим, но соответствующие
условия более сложны. Мы запишем эти определения с помощью
логических символов, употребляя знак о, который означает:
равносильно по определению:
ft(x)+f2(x)o V V V WW+fcW).
опр. X Е т ft (х) f2 (х)
/1(х)-/2(х)^ V V V (хн+ /,(х)-/2(х)),
опр' хЕТ fi (х) f2 (х)
/1 _ W W W / . /1 <х)\
—---- -ФФ- V V V I X I—*- -- I.
/2(^) опр. хет (х)/2 (х)^0 \
Разностью fi(x) —f2(x) называется сумма f\(х) + (— 1) f2 (х).
Примеры суммы, произведения и частного многозначных функ-
ций:
г/= Arcsin x-j-Arccos 2х, y = (±:xjx2~+ !)• Arcsin -2 * ,
Arcsin x
Упражнения к §8
7. Выразить объем V усеченного конуса с образующей 1= 10
и радиусом нижнего (большего) основания г\ = 10 как функцию
угла а наклона образующей к нижнему основанию.
8. Для функций f(x) = ^~^ и ф (х) = “-~(х^ — 3) найти
НО), <р(0), /(2), <р(2), р(-Д| , <р(—у), Ц2а-1).
54
9. Для функций F (х) = Зх 1 и f (х) = 3!х| 1 найти Е( —3),
П-3), F(2) + H2)-2F(-1)+3H-1).
10. Найти явное выражение для функции у = у(х), определяе-
мой уравнением lg x-f- 1g (у-\- 1) = 4.
Берман Г. Н. [18], № 4, 7, 9, 11, 38, 46, 50.
§ 9. Ограниченные функции. Монотонность.
Функции четные и нечетные. Периодические функции
Для произвольной действительной функции действительного
переменного введем понятия ограниченности, монотонности, чет-
ности, периодичности. Они дадут нам некоторую характеристику
рассматриваемых функций.
1°. Действительная функция f (%), определенная на множестве
Т, в частности числовая последовательность (для нее T = Af),
называется ограниченной сверху (снизу), если область ее значений
есть числовое множество, ограниченное сверху (снизу). Функция
f (х) называется ограниченной, если она ограничена как сверху,
так и снизу или, что то же, если функция |f(x)| ограничена
сверху.
Примеры. Показательная функция у~ах ограничена сни-
зу, но не ограничена сверху. Функции у — sinx, у = cos х, у =
= arcsinx, r/ = arctgx, функция Дирихле, функция г/=-у49 —х2,
определенная на сегменте [ — 7; 7], являются ограниченны-
м и функциями. Функция f (x) = tg х, определенная на ( —,
а также у = 1g х являются неограниченными функциями.
Заметим, что не существует никакой общей зависимости ме-
жду ограниченностью области определения Т и области значений Р
функции f (х), так как могут представиться все четыре случая: Т и Р
ограничены; Т ограничено, Р нет; Р ограничено, Т нет; ни Т, ни Р не
ограничены.
Если функция f (х), определенная на множестве Т, ограничена
сверху (снизу), то по теореме о гранях для области ее значений
существует верхняя (нижняя) грань. Эта грань области значений
называется верхней (нижней) гранью самой функции f (х) и обо-
значается sup f (х) (соответственно inf f (х)).
Может оказаться, что sup f (х) принадлежит области значений
функции, т. е. что sup f (х) есть одно из значений f (х). Тогда гово-
рят, что f (х) достигает своей верхней грани sup f (х). Само же число
sup f (х) в этом случае является наибольшим значением функции
f (х). Аналогичные термины приняты для inf f (х). Например, f (х) =
= sin х достигает своих граней 4" 1 и — 1, которые, таким
образом, являются наибольшим и соответственно наименьшим ее
значениями. Функция же f (х) = arctg х не достигает своих
граней Следовательно, arctg х не имеет ни наиболь-
55
шего, ни наименьшего значений, хотя эта функция и ограничена
с обеих сторон. То же относится к функциям 5х, 7х2, х3, 1g х, опре-
деленным на интервале (1; 4).
2°. Переходим к понятию монотонности. Пусть имеем
действительную функцию f (х), определенную на множестве 7', и
пусть S — подмножество множества Т. Функция f (х) называется
возрастающей (убывающей) на множестве S, если для любых двух
чисел Xi, Х2 из S, таких, что Xi<X2, имеет место соотношение
f(xi)^f(x2) (соответственно f (xi)^f (х2)). Функция называется
монотонной на S, если она является возрастающей или убываю-
щей на S.
Если из неравенства xi<cx2, где Xi£S, x2^S, следует нера-
венство /' (xi)<f (хг), то функция /' (х) называется строго возрастаю-
щей на S. Если же из х\ <х2 следует f (xi)>f (х2), то f (х) называет-
ся строго убывающей функцией на S. Функция [ (х) называется
строго монотонной на S, если она строго возрастает или строго
убывает на S.
В том частном случае, когда S=T = N, получаем понятия
монотонной и строго монотонной числовых последовательностей.
Примеры.
1. Функция у = х2 строго возрастает на [0; + оо) и строго убывает на ( — оо; 0].
То же для функции у=х2п. Функция у = х2п~' строго возрастает на ( — оо; + оо).
2. Тригонометрическая функция z/ = tg х строго возрастает на любом интер-
вале вида ( (2k — 1)--у ; (2&+1)--^-) , a t/ = ctg х строго убывает на
интервале вида (£л; (Аг -|- 1)л); z/ = sin х строго возрастает на любом сегменте вида
^(4^—1)-^-; (4^4-l)-~j , а на (—оо; -|-оо) функция z/ = sinx не является моно-
тонной функцией.
3. Функции у — ах и y = \ogax—монотонные на (—оо; -|-оо) и (0; -фоо)
соответственно.
4. Обозначим через Е (х) наибольшее целое число, не превосходящее х, напри-
мер £^17-^ = 17, £(5) = 5, £(у2)=1, £^—3-^ = —4. Очевидно, что функция
Е(х), определенная на (—оо; Д- оо), на всем
этом множестве возрастает (но не строго!).
График этой функции показан на рисунке 14.
Функция £ (х) обозначается иначе через [%]
и имеет название «антье», а также «целая
часть».
5. Рассмотрим функцию z/=sin-^, опре-
деленную на множестве 7’ = /?\{0). Если ар-
гумент х справа или слева приближается к
1
нулю, то — неограниченно возрастает или
соответственно убывает, но тогда sin — совер-
56
шает на каждом из ограниченных промежутков/" —— ; (Л и/" — ; (Л бесконечно
\ л 7 \ л 7 j
много колебаний между —1 и Д-1. Следовательно, функция t/ = sin -— не
монотонна ни на каком интервале вида (0; Ь), каким бы малым по абсолютной
Г 2 \
величине ни было число Ь. На — ; -f- оо ) эта функция строго убывает, а на
L л /
—оо; ——строго возрастает. На рисунке 15 изображен график рассматривае-
мой функции у — sin —, при этом на рисунке 15, а вы видите набросок гра-
фика, а на рисунке 15, б — часть более точного графика.
Если, далее, обратимся к функции Дирихле, то увидим, что
она не монотонна ни на каком интервале.
Примерами возрастающей и убывающей последова-
тельностей могут служить последовательности соответствен-
но (а„) и (Ьп), где ал=^1+-0 , />„=(1(см. § 7, п. 2°).
Отметим, что функция, обратная строго возрастающей, сама
является строго возрастающей, то же для строго убывающей
функции.
Если f (х) строго монотонна на Т, то она обратима (т. е. облада-
ет свойством взаимной однозначности). Обратное неверно, как по-
казывает пример функции, график которой изображен на рисунке
16. Эта функция не монотонна, но любая горизонтальная прямая
пересекает график не более чем в одной точке — признак обра-
тимой функции.
Если y — f (х) и у = ц (х) — обратимые функции, обратные друг
другу, то их графики симметричны относительно прямой у = х
(рис. 17).
3°. Пусть действительная функция f (х) определена на множест-
ве Г, симметричном относительно нуля (последнее означает:
57
если хСТ, то и — х£Т). Функция f (х) называется четной, если для
любого х£Т имеет место f [ — x) — f (х). Если же f ( — х)= —j (х) для
любого х£Т, то функция f (х) называется нечетной. Другими сло-
вами, функция называется четной (или нечетной), если любым
двум противоположным значениям аргумента соответствуют оди-
наковые (или противоположные) значения самой функции.
Сразу же отметим, что свойство, выражаемое равенством
f (-—x) = f (х) или равенством f ( —х) = — f (х),— это слишком ред-
кое явление среди всех действительных функций. (В самом деле,
с какой стати функция, которая есть не что иное, как произвольное
соответствие, обязана обладать этим свойством?!) Поэтому чаще
всего функции не являются ни четными, ни нечетными. Лишь «из-
бранные» функции оказываются четными или нечетными.
К числу этих «избранных» принадлежат все тригонометричес-
кие функции: cos (—x) = cos х, sin (—х)= — sin (х), tg(—х) = —tgx,
ctg ( —х) — — ctg (х). Далее, четными будут все степенные функции
вида y = x2k, так как( — x)2k—x2k; степенные функции вида х2/? | яв-
ляются нечетными: ( — x)2k~1 = ~x2k~ *; функция 1g |х| четна, ибо
I —х| — 1g 1*1 • Показательная функция f (х) = ах не будет ни чет-
ной, ни нечетной: f(x)=ax, f( — х)=а~х, отсюда f(— х)=#/(х);
/ (— х)у=—f(x). В то же время ах-\-а~х— четная, а ах — ах—
нечетная функции (проверьте это!).
График четной функции (рис. 18, а, б) симметричен относи-
тельно оси Оу (почему?), а график нечетной функции (рис. 18, в)
центрально симметричен относительно начала координат О.
Хотя чаще всего функция не будет ни четной, ни нечетной,
она очень просто выражается через четные и нечетные функции:
всякая функция f (х), определенная на множестве Т, симметрич-
ном относительно нуля, может быть представлена как сумма
четной и нечетной функций. Это сразу видно из следующего оче-
видного равенства:
f । Hx)-f(-x)
58
У|
5)
Рис. 18
При этом первое слагаемое правой части — четная функция, ибо
при замене х на — х ее значения сохраняются, а второе слагае-
мое — нечетная функция, так как здесь замена х на —х приводит
к противоположному значению рассматриваемой функции.
Что касается функции, область определения которой не сим-
метрична относительно нуля (например, 1g х), то для такой функ-
ции четность и нечетность вовсе не определяются.
4°. Действительная функция f (х), определенная на множестве
Т, называется периодической с периодом I (/#=0), если для любого
х£Т число хД-/ также принадлежит Т и f (хД-/) = f (х).
Из этого определения видно, что чаще всего функция не будет
периодической. Опять-таки лишь «избранные» функции являются
периодическими. Снова в число «избранных» попадают все триго-
нометрические функции:
sin (x-|-2n) = sin х, cos (x-}-2ji) -=cos x,
tg (x Д~ л) = tg x, ctg (x-j-л) = ctg л.
Если f (x) — периодическая функция с периодом /, то и 2/
является перидом f (х), ибо f (хД-2/) = / ((х Д-/)-[-/) = f (х Г) = f (х).
Точно так же периодами f (х) будут 3/, 4/, ..., nl, ... .
Ни степенная, ни показательная функции не являются перио-
дическими. Зато функция f(x) = c (константа) —периодическая
функция (в качестве ее периода можно взять любое отличное от
нуля число!). Функция Дирихле
(0 для иррациональных х,
I W— | 1 для рациональных х
также является периодической. Периодом ее является любое ра-
циональное число — это вытекает из определения функции Дирих-
ле и из того, что сумма двух рациональных чисел рациональна, а
сумма рационального и иррационального чисел есть иррациональ-
ное число.
Заметим еще следующее. Если f (х) есть суперпозиция несколь-
59
ких функций, скажем, f (x) = F (ф (ф (%))), причем последняя состав-
ляющая является периодической функцией с периодом /, то и f (х)
периодична с тем же периодом: F (ф (ф (х-\-= F (ф (ф (х))).
Например, функции z/ = 2C0SX, y=yj\ H-cos х, у — 25(ь‘ппериоди-
ческие с периодом 2л, а функция t/ = Vlg tg х имеет период л.
Функция t/ = lg sin х периодична с периодом 2л (рис. 19).
Упражнения к §9
11. Исследовать с точки зрения четности следующие функции:
l/ = 3x4-|-2x10, у — '\[х^—х5, у —5х' — 5“х’,
£/ = 3^-(Ч у = 2*^, >
i/=lg и+10*'-
12. Представить в виде суммы четной и нечетной функций
каждую из следующих функций:
r/ = sin x-j-cos Vх> У = ~^г~^
У~^х, у=^У+х\ y = cos^x-\--^.
13. Исследовать с точки зрения периодичности следующие
функции:
t/ = sin3 х, z/= 10s,r, v, t/ = sinx2,
y = cos 12х, i/ = sin(-|—z/ = x-cos2x.
Берман Г. H. [18], № 54, 55, 58, 59, 60, 61, 62.
60
§ 10. Элементарные функции
Для действительной функции одного действительного перемен-
ного определим теперь (гш. 1° и 4°) понятие элементарной
функции. При этом необходимо предварительно вновь прочи-
тать п. 1° из § 8.
1°. Условимся называть простейшими действительными функ-
циями следующие функции, определенные на числовой прямой R-.
1) у=Л (функция, ставящая в соответствие любому действи-
тельному числу единицу);
2) у — х (функция, Ставящая в соответствие любому действи-
тельному числу само это число);
3) у — sinx;
4) (/-КГ.
Далее, элементарными операциями назовем следующие опера-
ции над действительными функциями: а) сложение двух функций;
б) умножение функции на действительное число; в) умножение
двух функций; г) деление одной функции на другую; д) операцию
суперпозиции двух функций; е) операцию обратной функции —
переход к обратной функции.
Дадим пояснения.
1. Суммой, произведением, частным действительных функций [ (х) и ф (х) назы-
f (х)
ваются соответственно функции f (х) + ф (х), /Дх)-ф(х), —у— , определенные в
ф (X)
общей части (она предполагается непустой!) областей определения функций
f (х) и ф (х), в случае частного исключаются те точки х, в которых ф(х) = 0.
2. Пусть мы имеем функцию y — f (и) с областью определения Н, а также функ-
цию и —ф(х) с областью определения Q и областью значений Р. Всегда ли можно
образовать суперпозицию этих двух функций у = f (ф (х))? Ясно, что если все
точки из Р окажутся вне Н, т. е. если Р(]Н — 0, то суперпозицию f (ф (х)) образо-
вать нельзя. Ее можно построить тогда и только тогда, когда пересечение Р(]Н,
которое' мы обозначим через Ро, непусто. В этом случае областью определе-
ния суперпозиции у = / (ф (х)), если за таковую принять множество тех точек х, для
которых имеет смысл выражение / (ф (х)), будет множество таких точек х из Q,
что ф(х)ЕЛ).
Если, например, f (и) = arcsin и с областью определения Н = [—1; 1], а ф(х) =
= |х|+2 с областью определения Q = (—оо; -|-оо) и областью значений Р =
= [2; 4*оо), то Р() = [— 1; 1]П[2; +°°)—0, и суперпозицию f (ф (х)) построить
нельзя. Если же здесь ф(х)=|х|4~2 заменить на ф(х) = ^'х4~2, для которой
Q = [ — 2; + оо), а Р — [0\ + оо), то уже Ро = [— 1; 1]П [0; + оо) = [0; 1] и мы полу-
чим суперпозицию у — arcsin д/х-р 2, ее область определения — это множество
тех х, для которых ф(х)£А), т. е. Vx+2£[0; 1], что равносильно х-|-2Е[0; 1], т. е.
х£[-2; -1|.
3. Если, наконец, мы хотим от функции у = [ (х) перейти к обратной ей
функции, то сначала нужно область определения функции f (х) ограничить каким-
нибудь таким промежутком, чтобы на нем f (х) была строго монотонной,
подобно тому как мы это делаем с тригонометрическими функциями. Для sin х
61
л л
в качестве такого урезанного промежутка мы берем сегмент —— ; — , для
, / л л\
tg х — интервал I —— ; — I , для cos % и ctg х соответственно
[0; л] и (0; л). Функция, обратная f (х), обозначается через / “1, а также (х))*^ -1>.
Понятие элементарной функции основывается на понятиях
простейших функций и элементарных операций: элементарной
функцией называется каждая из четырех простейших, а также лю-
бая функция, полученная из простейших путем последовательного
применения к ним элементарных операций. Точнее, функция f (х)
называется элементарной, если имеется такая конечная цепочка
функций, каждая из которых является простейшей или получена из
предыдущих при помощи одной из элементарных операций, при-
чем последним членом цепочки является сама функция f (х).
Из этого определения следует, что если функция ср (я) получена
как результат применения элементарных операций к каким-нибудь
элементарным функциям, то ср (х) также элементарная функция.
Особая роль элементарных функций в математике объясняется
следующим весьма ценным их общим свойством: естественным
способом задания каждой элементарной функции является ана-
литический способ (задание ее при помощи формулы,
§ 8, п. 1°). При этом под формулой мы здесь понимаем равенство,
в левой части которого записана зависимая переменная (ска-
жем, у), а в правой — математическое выражение, составленное
из знаков исходных функций и элементарных операций над ними,
используемых для построения данной элементарной функции
(допустим, от х).
Пусть, например, элементарная функция f (х) есть сумма
двух слагаемых, первое из которых является произведением пер-
вой простейшей функции на 5, а второе представляет из себя су-
перпозицию простейшей функции (4) и произведения простейших
функций (2) и (3), умноженных на себя. Тогда формула, задаю-
щая функцию f (я), такова: //= 5 + 1 (Кs,rr х.
Подобно этому и любую другую элементарную функцию мы
задаем соответствующей формулой.
2°. Приведем примеры элементарных функций, ближайших к
простейшим (их графики изображены на рисунках 20—27). Эти
функции часто называют основными элементарными функциями.
1. у = с, где с — любое действительное число. Область опре-
деления функции (— оо ; -j- оо). Получена в результате умножения
простейшей функции у= 1 на число с. График функции — прямая,
параллельная оси абсцисс.
2. Степенная функция с натуральным показателем y = xtl.
Область определения ее R. Получена (п — 1)-кратным умножением
простейшей функции у = х на себя. Графики у = х2 и у = х3 изобра-
жены на рисунке 20, а.
62
Рис. 20
3. y = cos x = sinF*) (рис. 21).
4. z/ = tg x = = ctg x= (рис. 22), y = secx =
' & COS X sin x vr 7 ’ v
1 1
= —— , cosec x = —— .
cos x sin x
5. y — Igx. Область определения (0; Ц- оо). Получена примене-
нием операции обратной функции к простейшей функции у— 10х.
6. Показательная функция у = ах (cz 2> 0, а=#1) с областью оп-
ределения R в силу тождества av=10xlff" есть суперпозиция
простейшей функции 10й и первой простейшей функции х, умно-
женной на число 1g а. Следовательно, ах является элементар-
ной функцией (рис. 23).
7. Логарифмическая функция loga х (а>0, а=^=1), определен-
ная на (0; +°°), будучи обратной по отношению к ах, является
элементарной функцией (рис. 23).
8. Степенная функция с иррациональным показателем у — ха,
63
определенная на (0; 4~оо), элементарна, так как ха =
= 10algx (рис. 20, б).
9. Тождество 10xlgx = xx показывает, что функция у = хх, опре-
деленная на (0; + оо), является элементарной. Точно так же
доказывается, что функция (/ (х))ф(х) элементарна, если функции
f (х) (f (х)>0) и <р (х) элементарны.
10. Функции у = 2^х и y = 2k~\fx, определенные соответственно
на [0; оо) и (— оо ; 4- оо), являются элементарными как
обратные по отношению к степенной функции у = хп (k и п —
64
Рис. 24
натуральные числа), определенной на тех же множествах: [0; 4~ оо)
при и четном и (—оо; -f-oo) при п нечетном (рис. 20, а).
11. у=\х\ — элементарная функция, ибо |х| = \1х~
(рис. 27, в).
12. Функции i/ = arcsinx, z/ = arccosx с областью определе-
ния [—1; 1] и функции z/ = arctgx, у = arcctg х, определен-
ные на ( — оо; 4- оо), являются обратными по отношению к триго-
нометрическим функциям и, следовательно, будут элемен-
тарными (рис. 24).
13. Полином /i-й степени аохп-\~а\хп~1 ...-\-ап-\х-\-ап, яв-
ляющийся суммой степенных функций, умноженных на числа,
есть элементарная функция. Полином первой степени
аох + сц называется линейной функцией.
14. Элементарной функцией будет и отношение двух полиномов
аъхп-\-а{хп~х + ...-\-ап~[Х-\-ап
ЬоХт-}-Ь\Хт 1 4-... -р Ьт
Эта функция называется рациональной функцией. Ее область оп-
ределения — числовая прямая, «проколотая» в точках, в которых
знаменатель равен 0. Рациональная функция при Ьо=^О
box -р о 1
называется дробно-линейной.
3°. Отправляясь от основных элементарных функций (среди
них содержатся и четыре простейшие), мы при помощи элементар-
ных операций строим другие элементарные функции, например
такие:
// = lg sin arctg2cos%2, у = ее'ёХ, y = tg х-\- % ,
j/ = x-( + (sin %Г' + 4(2’ + 2-х),
у —cos + 2х+~\/х cos х + ^/х, t/=(sin-p)
3 Заказ 607
65
для i/=(tgx+x2)< 1:> для ХС^О; -0
или, например, для хСНр ; ^-1.
I о о J
Ясно, что класс элементарных функций бесконечен: ведь для
образования элементарной функции определение позволяет приме-
нять к простейшим функциям элементарные операции любое (ко-
нечное) количество раз.
Желая рассмотреть определенную часть этого обширного клас-
са, выясним, каковы те элементарные функции, которые образуют-
ся при помощи элементарных операций исходя только из первых
двух простейших функций у—1 и у — х. Если сначала применять
только операции сложения функций, умножения функции на
число и умножения функций, то, очевидно, получим все полиномы
(целые рациональные функции) и только их. Применение этих
трех операций и деления даст уже все рациональные функции.
То же будет, если к ним добавить операцию суперпозиции (дока-
жите!). Наконец, применяя все шесть элементарных операций
(включая и переход к обратной функции), получим, помимо
рациональных функций, и функции, выражаемые через радикалы
подобно примерам
а также другие функции, не являющиеся рациональными.
Элементарные функции, получаемые из простейших функций
у—1 и у = х применением к ним всех шести рассматриваемых
операций, называются алгебраическими функциями. Рациональ-
ные функции, как мы видели, являются алгебраическими. Алгебра-
ические же функции, не являющиеся рациональными, называются
иррациональными функциями. Иррациональными, например, яв-
ляются функции
у=^/х+^/х+2,
'>для%е[3; +*)•
Понятно, что существуют элементарные функции, не являю-
щиеся алгебраическими: это те функции, в построении .которых
непременно участвует хоть одна из простейших функций у — sin х и
i/=10x. Примерами могут служить функции
j/ = lgx+-i-, (/ = cos2x + Vx + 2", у = Зх' + ±-(ех + е~х').
Элементарная функция, не являющаяся алгебраической, на-
зывается трансцендентной функцией.
66
Рис. 25
Описанная классификация элементарных функций показана на
схеме, изображенной на рисунке 25.
4°. Вновь обратимся к приведенному в п. 1° определению эле-
ментарной функции. В том случае, когда в образовании элемен-
тарной функции участвует операция обратной функции,
наряду с записанным в правой части формулы выражением, ко-
торым данную функцию задают, приходится дополнительно ука-
зывать промежуток изменения аргумента (см. примеры в п. 3°).
Чтобы этого избежать, обычно ограничиваются теми элементарны-
ми функциями, которые Образуются из функций у = const, у = х’\
у — \[х, у = ах, y — \ogax, y = sinx, y = cosx, y = tgx, y=^ctgx,
f/ = arcsinx, z/ = arccosx, z/ = arctgx, r/ = arcctgx при помощи
только первых пяти операций (без операции обратной функции!).
Для каждой элементарной функции в этом, менее широком
смысле соответствующее выражение не только показывает, каково
строение функции, но и однозначно определяет саму область ее
определения как область, где данное выражение имеет смысл. На-
пример, элементарная функция у — 3arcsln7x имеет область опреде-
ления —у; у] , а функция у = lg sin х — объединение интерва-
лов (2/гл; (2k-\- 1) л). Область определения функции t/ = lg (25 — х2) +
-|-д/х2-~16 — это множество ( — 5; —4](J[4; 5), а функция у =
= arccos |lg х| областью своего определения имеет ; 10j.
Мы будем пользоваться как определением элементарных функ-
ций, приведенным в начале параграфа (и даже в дальнейшем
расширим это понятие), так и описанным только что понятием
элементарной функции в менее широком смысле. Именно в этом
смысле будет употребляться термин «элементарная функция», ког-
да будет ставиться задача указать область определения элемен-
тарной функции.
67
5°. Элементарные функции нередко задают и несколькими, в
частности двумя, равенствами. Среди этих функций отметим сле-
дующие пять:
f 1 для х>0 (х для х^О
signx=| _ 1 для х<0; “(0 для х<0;
{1 для х>0 |0 для х^О,
О для х<0; х-“(х для х<0.
[0 для х>0
Н W = ( 1 для х<0;
Область определения первых трех функций а двух последних
R. Элементарность этих функций доказывается просто:
signx=-y (рис. 26, а); г) (х)=-^(-у- + 1) (рис. 26,6);
и(*)=т(|—~г) (рис-26, й,;
х+ = -^-(х+1х|) (рис. 27, а); X- =-~-(х— |х|) (рис. 27,6).
С помощью этих функций легко обнаруживается, что элемен-
y^signx
Т
Tj
5)
Рис. 26
Рис. 27
68
тарными являются и такие функции, задаваемые двумя равенст-
вами:
{sin — для х>0
• /
sin Зх для х<(),
h (х) = т] (x)-sin р, (х) • sin Зх;
sin х для х> л
х2 для х<л,
h (х) = т] (х —jr)-sin х-фц (х —л)-х2;
Л (х)= {
sin х для х^О
х4 для х<0,
/з (x) = sin (х+) + (х_)4.
Примерами неэлементарных функций являются функция Ди-
рихле, а также любая функция, разрывная хотя бы в одной
точке области ее определения (см. гл. III, § 4). Например,
функция
Л (%и
1 п
sin —для х>О
sin Зх для х<0
не является элементарной, так как теперь уже (сравните с /1 (х))
точка х = 0 принадлежит области определения и является,
как увидим в дальнейшем, точкой разрыва для f4 (х). По этой
же причине не будут элементарными функции
( X2 для х>() (3х для х^О
h W = | cos x для x<0; W— | sin x для x<0;
( x2 для x^2,
h (x) = | %з для x<-2.
Вполне очевидно, что и класс неэлементарных функций являет-
ся бесконечным. Более того, как доказывается в теории множеств,
класс неэлементарных функций в количественном отношении
более мощен, нежели класс элементарных функций.
В общем курсе математического анализа изучаются как эле-
ментарные, так и неэлементарные функции.
Таков краткий обзор элементарных действительных функций
одного аргумента. К элементарным функциям мы вернемся в § 12,
в котором понятие элементарной действительной функции будет
расширено.
Упражнения к §10
В упражнениях 14—18 найти область определения каждой из
следующих элементарных функций:
•4. y = lg(x — 3) + lg(5 — х). 15. у = ^Х^х-\—
у*+з
69
16. у=Л!• 17. У = аresin (-д/cos 2х.
J V х2 — 8x4-15 у 2л 1 v
1О 1 х3 —27 , 1
18. у— g и_1)2(х+3) + х •
Берман Г. Н. [18], № 47, 48, 49.
§11. Преобразования графиков функций
1°. Пусть мы имеем графики действительных функций у = f (х)
и y = q(x), определенных на множестве Т, и требуется начертить
график функции у = f (х) + ср (%) (рис. 28, а). Ясно, что для каждого
х£Т нужно сложить ординаты соответствующих точек Mi
и М2 на кривых y = f (х) и y = q (х), чтобы получить ординату точки
М на кривой = f (х) + ф (х) для данного х.
На рисунке 28, б, в изображены графики функций ех--\-е~х и
sinx-j-cosx (о числе е см. § 7, п. 2°).
2°. Аналогично построению графика суммы функций f (х) и
Ф (х) строится график их произведения по уже построенным гра-
фикам y = f(x\ (/ = ср(х): на сей раз ординаты точек Mt и М2
перемножаются (рис. 29, а). На рисунке 29, б мы видим график
функции у = ах sin х, полученный путем умножения ординат соот-
ветствующих точек графиков функций у = ах и // = sinx.
3°. Допустим, что построен график y = f (х), а требуется постро-
, 1
ить график функции y—j^
для тех х, для которых / (х)=#0.
Так как знаки f (х) и всюду, где f (х)=/=0, совпадают, то
верхним (лежащим над Ох) участкам графика y = f (х) соответст-
вуют верхние же участки
При переходе от графика
, 1
графика 4 = ——- , а нижним— нижние.
к графику у
y—f W
на месте
70
остаются те точки первого графика, для которых f(x)=\ или
f (х) = — 1. Далее, если при приближении х к числу х0 значение f (х)
приближается к нулю, то при этом | у-^-| приближается к оо,
и, наоборот, если при х -> х0 значение If (х)| приближается к оо, то
| -ц-j | ~О (рис. 30). (Здесь стрелка -+
ся».)
означает «приближает-
4°. Допустим, что построен график функции y = f(x). Какому
преобразованию нужно подвергнуть этот график, чтобы получить
графики следующих четырех функций: а) у= —f (х); б) y = f (х) +
+ Ь; в) y = qf(x) г) д/= |f (х)|?
Все пять указанных здесь функций имеют одну и ту же об-
ласть определения. Ясно, что в случае а) нужно график y = f(x)
71
Рис. 31
преобразовать симметрично относительно оси Ох (рис. 31, а), а в
случае б) параллельно перенести по вертикали (т. е. перенести
параллельно оси Оу) на b (вверх, если Ь>0, вниз, если Ь<СО).
В случае в) следует ординаты графика y—f(x) умножить на q и тем
' самым растянуть или сжать его по вертикали (рис. 31, б, 32, а).
Наконец, в случае г) нужно верхние участки графика y=f (х)
оставить на месте, а нижние преобразовать симметрично относи-
тельно Ох. График функции у — \f (х)| будет состоять из верхних
участков графика y = f(x) и из кривых, симметричных нижним
участкам относительно Ох (рис. 31, в, 32, б).
Отметим, что при каждом из четырех рассмотренных в п. 4°
преобразований графика функции y—f (х) область ее определения
не изменяется. Иначе будет обстоять дело в следующем пункте.
5°. Пусть нам снова дан график функции y — f (х). Как преобра-
зовать его, чтобы получить графики функций y==f х), у=
==f (х+б), y = f(qx), где q>Q, y=f(\x\)?
Области определения этих четырех функций могут отличаться
от области определения f (х), что будет видно из описания преоб-
разований графика y = f(x).
Область определения f(—х) симметрична относительно нуля
области определения функции f (х), а график y=f (—х) симметри-
чен графику y — f(x) относительно оси Оу: если точка Л4о (хо; уо)
лежит на графике y=f (х), то уо—{(хо), но тогда yo=f (—(—хо)),
что означает, что точка No (—хо; уо) лежит на графике y=f (—х).
График функции y — f(x-\-b) получается в результате парал-
72
лельного переноса по горизонтали (параллельно Ох) на b графи-
ка y = f(x): при — влево, при —вправо (рис. 33).
Действительно, если точка Л1о (*о; Уо) находится на графике у =
— f (х), то yo — f (*о) и, следовательно, yo = f ((х0 — Ь)-\- Ь), т. е. точка
No(xq~ b\ уо) лежит на графике y = f(x-\-b).
Для получения графика y — f (qx) график y — f(x) сжимает-
с я к оси Оу в q раз при q >• 1 или растягивается от той же
оси в раз при 0 < q < 1: если точка Л40 (%о; Уо) лежит на графике
y = f(x), то Nq 0^-; у^ находится на графике y = f(qx), так как
если yQ = f (хо), то
Обратный переход от графика y — f (qx) к графику y = f (х) со-
вершается умножением х на Сформулируйте аналогичные
утверждения для рассмотренных выше преобразований графиков
f -f (4 f(x)\-+f(x) + b, f(x)h+q-f(x),
f(x)^f(-x), /(х)н4(% + 4
На рисунке 34 вы видите графики функций z/ = sin 2х и у —
= sin ~£~х. Первый из них получен в результате с ж а т и я, а вто-
73
рой — растяжения по горизонтали в два раза графика функ-
ции у = sin х.
Наконец, чтобы получить график функции y — f(\x\) (а вместе
с ним и область определения), нужно, очевидно, совершенно отбро-
сить ту часть графика y = f(x), что находится слева от оси Оу,
участок справа от этой оси полностью сохранить и «удвоить» его,
симметрично преобразовав относительно Оу (рис. 35): вполне
очевидно, что f (|х|) является четной функцией, причем для х>0
верно f (\x\}—f (х). Заметим, что для преобразования графика
f (х) н>- f (|х| ), так же как для f (х) н>- \f (х)|, не существует об-
ратного однозначного преобразования.
Обратим еще внимание на сходство правила преобразования
f (х) и-*- f (|х|) и правила построения кривой \y\=f(x) по заданно-
му графику у = [(х): чтобы построить кривую \y\=f(x), нужно
отбросить часть графика y = f (х), находящуюся под осью Ох, пол-
ностью сохранив его верхнюю часть (над осью Ох), и «удвоить»
ее, симметрично преобразовав относительно Ох (рис. 36).
6°. Сведем в таблицу рассмотренные в пп. 4° и 5° правила
преобразований исходного графика функции y — f(x) при
построении графика новой функции.
74
№ п/п Новая функция Преобразование исходного графика y = j{x) для получения графика новой функции
1 y=—f W Симметрия относительно оси Ох
2 У = К~х) Симметрия относительно оси Оу
3 y=f(x) + b Параллельный перенос по вертикали на b вверх при Ь>0, вниз при Ь<0
4 y = f(x + b) Параллельный перенос по горизонтали на b влево при Ь>0, вправо при б<0
5 У^Я'Кх), где Q>° Растяжение по вертикали в q раз при 1, сжатие по вертикали в раз при q<Z 1
6 y = f (qx), где q > 0 Сжатие по горизонтали в q раз при q>\, растяжение по горизонтали в раз при д<1
7 Верхние участки остаются на месте, нижние преобразуются симметрично относительно Ох
8 Участок, расположенный левее Оу, удаляет- ся, правый участок полностью сохраняется и преобразуется симметрично относительно оси Оу
Рассмотрим три примера преобразований по этим прави-
лам.
Пример 1. Построить график функции 1,52|х| +1 — 2,5.
В качестве исходной берем функцию у=\,5х (рис. 37, а). Подвергая этот
график преобразованию 4, получаем график функции у— 1,5%+1 (если f (х)=1,5V,
то f (хф-1) — 1,5л+1, рис. 37, б). Преобразуя полученный график по правилу 6,
получаем график у — 1,52х+1 (если ср (х)= 1,5х+‘, то ср (2х)= 1,52х+1, рис. 37, в).
Применяя к новому графику преобразование 8, получаем график функции
у— 1,52|jr|1 (если F (х) — 1,51,5х+ ”, то F (|х|)= 1,52|’г| +!, рис. 38, а). Преобра-
зуя, наконец, последний график по правилу 3, получаем график функции у~
= 1,52,х| + 1-2,5 (рис. 38, б).
Пример 2. Построить график функции у = 5 | sin^2x-|—| .
75
Предоставляя читателю выполнить построение, укажем лишь этапы построения.
Взяв за исходный график у=sinx, подвергнем его преобразованию 4 и получим
и-
график функции //=sin^x+—J если f (х)—sin х, то x-h—J ==s*n\x^-^'/) "
Преобразуя полученный график по правилу 6, получим график
^ = sin ^2х+-^0 ^если <p(x) = sin т0 ф(2х) = sin
меняя к новому графику преобразование 7, получим график функции у —
. Преобразуя, наконец, последний график по правилу 5,
получаем график функции у=5
(рис. 39, а).
Пример 3. Построить график функции у=5| sin^2|x|+—J .
Ясно, что для этого остается подвергнуть график, изображенный на рисун-
ке 39, а, преобразованию 8, так как если F(х)=5 sin( 2х+~) , то F(|x|)=
(рис. 39, б).
76
Я
6
о Л 5Л 8Л
3 6 6
_л о
3
Л 5Л 8Л X
3 6 Т
X
О) 5)
Рис. 39
7°. В этом пункте рассмотрим преобразования графика функ-
ции f (х) с помощью двух строго возрастающих функ-
ций — показательной и логарифмической при основании е. По из-
вестному графику функции f (х) требуется построить эскизы графи-
ков суперпозиций е1{х) и lnf(x). Перечислим некоторые свойства
этих суперпозиций.
t/ = In f (х)
у = е'^
1. Определена там же, где
определена функция f (х)
2. Принимает только положи-
тельные значения, так как
е/(А1>0
3. e/w>/(x)
4. е°=1
е+оо = Д- оо
е °°=0 +
1. Определена там, где f (х)>0
2. Может принимать положи-
тельные, отрицательные и
равное нулю значения
3. ln/(x)<f(x)
4. In 1=0
In (4- оо)= Д- оо
In 0+ = — ОО
5. При обоих преобразованиях сохраняется монотонность и перио-
дичность функции f (х).
Из этих свойств следует, что, во-первых, график ef(-x) будет вы-
ше, а график In f (х) ниже, чем исходный график f (х), во-вторых,
точки графика f (х), лежащие на оси Ох, поднимутся при переходе
к графику е!{х> вверх на 1, а точки графика f (х), лежащие на пря-
мой у — 1, при переходе к графику In f (х) опустятся вниз на 1 (ока-
жутся на оси Ох). Если ось Ох — горизонтальная асимптота гра-
фика f (х), то прямая у= \ — горизонтальная асимптота графика
ef(x\ Для In f (х) наоборот. Вообще если прямая у = а — горизон-
тальная асимптота графика f (х), то прямая у = еа — горизонталь-
ная асимптота графика еЦх\ При логарифмировании асимптота
у—а (где а>0) переходит в асимптоту у = \па.
«Хвостики» графика f (х), имеющие положения Д- оо, — оо и
0 + , при переходе к графикам е^х} и In f (х) преобразуются так, как
показано на рисунке 40.
77
Переход от графика f (х) к графикам е1[х) и In f (х) будем назы-
вать соответственно потенцированием и логарифмированием дан-
ного графика. Эти два преобразования удобно выполнять па од-
ном чертеже разноцветными карандашами.
На рисунках 41 и 42 показаны потенцирование и логарифми-
рование графиков двух функций <р(х) и f (х). Заметим, что при
этих двух преобразованиях выпуклость и вогнутость графика, во-
обще говоря, не сохраняются. Но этим в данном случае (вычерчи-
вание приближенного эскиза) мы Пренебрегаем.
Упражнения к §11
19. Построить график функции = x-|-ctg х.
20. Построить график функции у = •
X / X 1Л
78
21. Построить:
а) графики функций
г/=|-г—т-!—г- —2 I , z/ = 34|x l!, у = 3 sin (5x4-2), у=——-Д-—
v I ln|x—1| I у у \ I у Х1 _4 |х| +3 ,
в) кривую |р| = х-1_-44|Тз
22. Для функций из упражнений 19, 20 построить графики
функций in у (х) и еу{х\
23. Построить графики функций
y = esmx, у — In sin х, у = ех'~~4х+2, z/ = ln (х2 —8x4-15).
§ 12. Действительные функции нескольких переменных
1°. В § 8—11 мы рассматривали числовые функции число-
вой переменной. Функциями, ближайшими к ним, являются
числовые функции переменного числового набора, т. е. такие
функции, аргумент которых пробегает числовые наборы, а зави-
симая переменная по-прежнему действительные числа. Любая
функция f этого рода каждому числовому набору определенной
длины п из некоторой совокупности Т таких наборов ставит в
соответствие число:
V 3! (<Х|, ..., х„> н>- и) или
<х,, ., хп> e ти е r f
V 3! (f «х,, ..., хп>) = и).
<.х,, . , х„> б т u(R
К рассмотрению этих функций мы теперь и переходим.
Другими словами, вслед за отображениями числовых мно-
жеств в числовые множества мы будем теперь рассматривать
отображения множеств, составленных из числовых наборов дли-
ны п, в множества, составленные из чисел, или, что то же, отобра-
жения множеств, лежащих в Rn, в множества, лежащие в R,
еще короче — отображения из Rn в R.
Если набор <xi, х2, хп^> является переменным, пробегая
некоторое множество Т cz Rn, то переменными являются и члены
этого набора хь х2, ..., хп, каждый из которых пробегает свое опре-
деленное числовое множество. Обратно: числовые переменные
Xi, х2, ..., хп с областями изменения соответственно Х\, Х2, ..., Хп
порождают переменный числовой набор <хь х2, ..., хп>, об-
ластью изменения которого будет декартово произведение
Х1ХХ2Х...ХХп <=/Г
Понятно, что каждая из переменных Xi, х2, ..., хп в переменном
наборе <Xi, х2, ..., х/;7> принимает свои значения независи-
мо от значений остальных переменных. В этом смысле перемен-
ные Xi, х2, ..., хп называют^'независимыми переменными в наборе
<xi, х2, ..., хп>, а также независимыми переменными или аргу-
79
ментами функции u = f (Cxi, х2, xrt>), определенной на мно-
жестве Т—Ji ХЖХ.-.ХХг cz Rn. Ввиду этого указанную число-
вую функцию u — f (<Хь х2, ..., х„>) нг^ывают числовой функ-
цией от независимых переменных (или аргументов) хь х2,
хп и обозначают иначе u=f (xi, х2, хп).
Выражение «дана функция /(хь х2, ..., хге)» означает, что из-
вестны области изменения переменных хь х2, ..., хп,
а следовательно, известна и область определения функции f, а
также известно соответствие f, задаваемое часто одной или
несколькими формулами (равенствами). Такова суть понятия чис-
ловой функции от нескольких переменных.
Совершенно аналогичное содержание имеет понятие скаляр-
ной функции от нескольких скалярных переменных (аргументов)
и вообще любой функции от нескольких аргументов, зависимая и
независимые переменные которой пробегают множества произ-
вольной природы.
Примером функции от двух переменных может
служить зависимость давления газа р под поршнем в цилиндре при
переменной температуре от объема газа V и его абсолютной
температуры Т:
р=^~- (с — константа).
Объем прямоугольного параллелепипеда является функ-
цией трех его измерений. Площадь поверхности усе-
ченного конуса как функция радиусов Я и г и высоты Н также
есть функция трех переменных.
В примере 7 § 5 рассматривалась функция от 10 аргументов
х* (где 6—1, 2, 10). Каждый из этих аргументов принимает
лишь два значения И, Л, а зависимая переменная также прини-
мает всего два значения Е, Н. Эта функция от 10 переменных не
является скалярной (и в частности, числовой) функцией: ни
аргументы, ни зависимая переменная не являются скалярными
переменными.
Функция <х, yz> z—л/Г— (х*+7) с областью определения
Г: x2 + */2<U и областью значений [0; 1] является числовой
функцией двух числовых аргументов х, у. Легко получить ее
наглядное геометрическое изображение: в координатном трехмер-
ном пространстве Oxyz берем точки с координатами х, у, z, где
<х, i/> (Т, a z—-у/Т^(хг4-у2). Множество этих точек образу-
ет верхнюю полусферу с центром в начале координат и радиусом 1
(рис. 43). Эта полусфера есть график данной функции z=
=г{х, у).
Графиком функции двух переменных z—z(x, у) с областью оп-
ределения Т cR2 называется геометрическое место таких точек
М (х; у, z) пространства Oxyz, для которых <х, у> £Т, а
z = z(x, у).
80
Для функции z = z(x, у) имеется и другое, весьма часто ис-
пользуемое геометрическое ее изображение. Его суть разъясним
на том же примере z = — (х1'-f у2).
Возьмем какое-нибудь число из сегмента [0; 1], пусть это будет
Найдем множество всех тех точек <х, У~>€. Т, для которых
1 - (х2 + 1/2) = -|-,
откуда х2-\-у2 = ±-уравнение окружности в плоскости хОу с
1
центром в начале координат и радиусом —. Эту окружность назы-
/з
вают линией уровня ~ данной функции. Если подобным
образом мы найдем линии уровня 0, , 1, то, начер-
тив их (в плоскости хОу) и указав соответствующий уровень, по-
лучим представление о графике рассматриваемой функции
(рис. 44).
Линией уровня с функции от двух переменных z—z(x, у) назы-
вается расположенная в плоскости хОу линия z (х, у) = с. (Каждая
точка линии такова, что ее координаты удовлетворяют уравне-
нию z (%, у} —с, и обратно: если координаты точки удовлетворяют
уравнению, то она лежит на данной линии.)
Читателю рекомендуем составить карту линий уровня функ-
ции / (х, у\ определенной на R2 следующим образом:
I VI—(х2 + //2) для ,v2 + y2<l
у) — ( д/х2 у2 — 1 для X2+j/2>l.
12
(Возьмите, например, уровни 0, —, —, 1, 2, 3, 4.)
81
Изобразите график функции
z — f (х, у) в пространстве Oxyz.
Заметим, что с линиями
уровня мы встречаемся на т о-
пографических кар-
тах: изображенные на них
горизонтали, по которым су-
дят о рельефе местности, как
раз и являются линиями уров-
ня той или иной функции от
двух переменных, которая со-
ответствует участку земной по-
верхности.
Рис- 45 2°. Рассмотрим функцию от
двух переменных f (х, z/) = x (или f (х, у)= 1 • х-[-0-у), т. е. функ-
цию <Сх, у> х с областью определения Z?2. Графиком этой
f
функции является плоскость z = x, расположенная в пространст-
ве Oxyz (рис. 45). Сопоставим функцию f (х, у) с функцией одной
переменной ф(х)=х, т. е. с функцией х х, определенной на
<р
множестве /?. Графиком этой функции в координатной плос-
кости xOz будет прямая г = х (рис. 45). Мы видим, что, хотя обе
рассматриваемые функции можно задавать одной и той же фор-
мулой z-х, речь идет здесь о существенно различных функ-
циях f (X, у) И ф (х).
Для функции от двух переменных f (х, у) = х изменение зна-
чений аргумента у при неизменном значении х не влечет измене-
ния значения функции, например <5; 5> 5, <5; i->5,
I t
<5; 100> 5. По этой причине аргумент у функции f (х, у)~=х
называют пассивным аргументом. Можно сказать, что функция
f (х, у) — х возникла из функции ф(х) = х введением пассивного
аргумента у, пробегающего свое определенное множество значе-
ний.
Точно так же если, например, f (х, у, г) = ф (у) = у2 1, то х и z
называют пассивными аргументами функции f (х, у, z) и говорят,
что при переходе от функции ф (у) к функции f (х, у, z) введены пас-
сивные аргументы х, z. Областями определения функций f и ф мы
здесь считаем соответственно R3 и R.
Если f (х, у, z, у) = ф (х, у), причем переменные х, у, z, v пробе-
гают соответственно множества X, У, Z, V, то у и z — пассивные
аргументы функции f, а переход от ф к f состоит в введении этих
пассивных аргументов. Понятно, что область определения f — это
декартово произведение ХХУХ^ХГ, а произведение XX V —
область определения функции ф.
При men функция от m аргументов является и функцией от п
аргументов, если подразумевать введение в первую из этих функ-
82
ций пассивных аргументов. Для постоянной функции (константы)
от п аргументов все ее аргументы являются пассивными.
Мы описали одну из элементарных операций над функциями
от нескольких переменных — операцию введения пассивных аргу-
ментов.
Другими элементарными операциями над действительными
функциями от п переменных являются: а) сложение двух функ-
ций; б) умножение функции на действительное число; в) умно-
жение двух функций; г) деление одной функции на другую;
д) операция суперпозиции функции и набора функций; е) опера-
ция неявной функции.
Смысл первых четырех арифметических операций тот же, что
и для функций от одной переменной (см. § 10), но в новой ситуа-
ции для осуществления этих операций часто приходится вводить
пассивные аргументы. Например, функция f (х, у, z) — х2 -фу2 -ф z2
есть сумма следующих трех функций от трех переменных:
Ф1 (х, у, z) = x2, (р2 (х, у, z)--=^y2, (рз (х, у, z) — z2; первая из них имеет
пассивные аргументы у, z, вторая — х, z, третья — х, у, сумма же
ф! (х, у, ?)-фф2(х, у, 2)4-фз(х, у, z)=x2 + y2 d-z2
вовсе не имеет пассивных аргументов.
Суть операции суперпозиции состоит в следующем. Пусть
имеем, например, функцию от четырех переменных и — f (х, у, z, v)
и набор <фь ф2, фз, ф4> четырех функций от трех переменных
х = ф] (/, s, h), y = q>2(t, s, h\ г = ф3(/, s, ti), s, h). Мно-
жества значений функций ф1, ф2, фз, ф4 содержатся в областях
изменения переменных соответственно х, у, z, v. Так как пере-
менная и зависит от х, у, z, v, а эти четыре переменные, в свою
очередь, зависят от переменных t, s, h, то переменная и зависит в
конечном счете от /, s, h и эта зависимость такова:
и — / (ф] (/, s, h), ф2 (/, s, /г), s, h), ф4 (/, s, tifi.
Полученная функция от /, s, h — можем обозначить ее через
F (/, s, h)— называется суперпозицией (а также композицией)
функции u—f(x, у, z, v) и набора <фь ф2, фз, ф4> функций от
t, s, h. При этом функция и (х, у, z, v) называется первой состав-
ляющей, а набор <Ф1, ф2, фз, ф4> —второй составляющей су-
перпозиции F (t, s, h), аргументы функций ф, становятся аргумен-
тами суперпозиции. Переход от данных составляющих к супер-
позиции есть операция суперпозиции.
Наконец, об операции неявной функции. В дополнение
к тому, что сказано об этом в § 8, приведем следующие опреде-
ления, относящиеся к у р а в н е н и я м с п переменными
(хотя для простоты изложения мы возьмем случай м —5, в прин-
ципе он ничем не отличается от случая любого другого п ^2).
Пусть дано уравнение
F (х у. z, s, г')^--Ф(х, у, z, s, Ф (1)
83
с пятью переменными х, у, z, s, v, пробегающими множества
соответственно X, У, Z, S, V. Если однозначная или многозначная
функция v = v(x, у, z, s) на некотором множестве Р cz XX У X
XZXS удовлетворяет данному уравнению, т. е. если для всех
<х, yt z, s> £ Р
F (х, у, z, s, v (х, у, z, s)) —Ф(х, у, z, s, v (х, у, z, $)),
то зависимость и — v (х, у, z, s) называют неявной функцией,
определяемой данным уравнением (1). Точно так же определяют-
ся неявные функции х==х (//, a, s, ц), у—у (х, z, s, о), z=^z (х, у, s, ц),
s==s(x, у, z, у). Если же на некотором множестве Q, Q cz ХХУ,
однозначные или многозначные функции z = z(x, у), s = s(x, у),
и = и(х, у) удовлетворяют уравнению (1), т. е.
F (х, у, z(x, у), s(x, у), v(x, у))=Ф(х, у, z(x, у), s(x, у), v(x, у)),
то говорят о наборе (или системе) неявных функций
<г(х, у), s(x, у), v(x, у)>,
определяемых уравнением (1).
Нас особо будут интересовать однозначные неявные функции,
притом обладающие в области их определения свойством непре-
рывности. Это свойство состоит в том, что из близости друг к
другу значений каждого из аргументов вытекает близость соот-
ветствующих значений функции. Понятию и свойствам непрерыв-
ности функции посвящена вся третья глава, пока же будем осно-
вываться на том представлении о непрерывности функции, кото-
рое у каждого из нас имеется.
Рассмотрим простой пример. Уравнение х? + ^2=1 опреде-
ляет на [—1; 1] бесконечно много неявных функций: многознач-
ную (двузначную) функцию у= ± у/Т-х2, бесконечно много «раз-
рывных» функций (рис. 46, б, в) и две непрерывные функции
у = —д/1—х2 (46, а).
84
Переход от функции f (х, у, z, ..., и) к однозначной и непрерыв-
ной неявной функции, определяемой уравнением f (х, у, z, ..., у)=0,
будем называть операцией неявной функции (совершаемой над
функцией f (х, у, z, ..., у)).
Отметим, что операция обратной функции одной переменной
(§ 10) есть частный случай операции неявной функции,
так как функция x = f~l (у), обратная функции y = f(x), являет-
ся неявной функцией, определяемой уравнением y — f(x)=0.
Утверждая это, мы пользуемся тем, что из непрерывности f (х)
на промежутке вытекает непрерывность f~[ (у) на соответствую-
щем промежутке, как это будет доказано в § 4 гл. III.
3°. В предыдущем пункте данного параграфа описаны 7 эле-
ментарных операций над действительными функциями от несколь-
ких переменных: операция введения пассивных аргументов,
арифметические операции, операции суперпозиции и неявной
функции.
Основываясь на понятиях простейших функций (у—\, у — х,
z/ = sinx, t/=10r) и элементарных операций, определим понятие
элементарной функции от нескольких переменных совершенно
аналогично определению элементарной функции одной пере-
менной.
Действительная функция от п переменных называется эле-
ментарной функцией, если она получена из простейших функций
путем последовательного применения к ним элементарных опе-
раций.
Из этого определения следует, что если функция (р (xi, Х2, ..., хп)
получена как результат применения элементарных операций к ка-
ким-нибудь элементарным функциям, то tp(xi, xq, ..., хп) также
элементарная функция.
Сопоставляя определение элементарной функции одной пере-
менной (§ 10) с только что приведенным определением элемен-
тарной функции от п переменных и зная, что операция обратной
функции — частный случай операции неявной функции (переход
к обратной функции есть и переход к неявной функции), мы
приходим к выводу, что любая функция одной переменной, эле-
ментарная в смысле определения § 10, является элементарной
функцией и в смысле нового, общего определения. В то же время
применение операции неявной функции приводит к тому, что
появляются новые элементарные функции одной переменной
(например, неявная функция, определяемая уравнением х4г/5 +
4~х7г/4 — бу2 + ху-Нх23 — 0), и класс элементарных функций, оп-
ределенный в§ 10, расширяется.
Элементарная функция от п переменных называется алгеб-
раической, если она получается из двух простейших функций
у— 1, у--х применением к ним элементарных операций. Эле-
ментарная функция от п переменных, не являющаяся алгебраи-
ческой, называется трансцендентной функцией. В ее образова-
нии исходя из простейших функций при помощи элементарных
85
операций непременно участвует хоть одна из простейших функ-
ций t/ = sin %, у— 10х.
Если в образовании алгебраической функции (исходя из
простейших функций у=\, У~х) не участвует операция неявной
функции (а следовательно, и операция обратной функции), то
данная алгебраическая функция не может оказаться ух или иной
иррациональностью, т. е. она является в этом случае рациональ-
ной функцией. (Это можно принять за определение ра-
циональной функции.) Если, сверх того, будет «запрещена» опе-
рация деления двух функций, то алгебраическая функция будет
целой рациональной функцией (полиномом).
Примеры. Функции 10x2+y-j-cos (y + z\ ехи — 1 g (х-ф-z)-ф-x,f
являются трансцендентными функциями от аргументов
х, у, z. Функции ^x-\-yzs-\ 2 -,"Ух+л/у + 2?5 + -
алгебраические функции, не являющиеся рациональными
(иррациональные функции). Функции же , ———,
X ; о
У + х?
являются рациональными, но не целыми, а функции
z хЦ-у r
х’у2 -|-5х2//3 + Зх322/4, ((х2 ф-//3г2) (8х-~3//2г) + г4) (у^ + хЧ) —
целые рациональные (полиномы).
§ 13. Уравнения и неравенства с одной
и несколькими переменными
1°. В § 6 (п. 7°) уравнения и неравенства с число-
выми переменными определяются как предложения с этими пе-
ременными (предикаты) вида
f (х)=(р (х), f (х, у, г)=ф(х, у. z), (1)
где f и ср — известные числовые функции. Данные предложения
становятся истинными или ложными высказываниями, как только
вместо всех переменных будут подставлены те или иные числа или
числовые наборы, принадлежащие областям определения обеих
функций f и ф одновременно. Пересечение областей определения
функций f и ф называется областью определения уравнения и
неравенств (1).
Как видим, смысл уравнений и неравенств заключается в
сопоставлении функций f и ф, записанных в обеих частях
уравнения или неравенства.
Решением уравнения, а также неравенств (1) с областью
определения D называется число или соответственно числовой
86
набор из D, обращающие данное предложение в истинное выска-
зывание. О таком числе или наборе говорят, что они удовлетво-
ряют уравнению (неравенству).
Например, решениями уравнения х4— 625 = 0 являются числа
5, —5, решениями неравенства х2 — 25<0 будут все числа из
множества ( — 5; 5), а неравенства х2 — 25>0— все числа из
(— оо ; —5) U (5; + сю). Неравенства х2— 6х + 10<С0, —(x-f-z/)2—
— 2>0, уравнение cos(x-|-z/) = —2 не имеют решений. Решения-
ми уравнения (х—1) (у— 2) (г — 3) = 0 являются все числовые на-
боры вида <1, у, z>, <х, 2, <Сх, у, 3> и только они.
В этих примерах правая часть уравнения (неравенства) есть
число 0, но оно рассматривается как функция тех же аргументов,
что и функции, записанные в левой части (области их определе-
ния соответственно R, R, R, R, R2, R2, R3). В уравнении x2-j-z/3 =
= z4— v2 ф-2 и правая, и левая части рассматриваются как функ-
ции от аргументов х, у, z, и, определенные на множестве R4.
2°. В математике рассматриваются не только отдельно взятые
уравнения или неравенства, но и множества, составленные из
уравнений и неравенств (или только уравнений, или только не-
равенств— это будет подразумеваться и дальше). Во всех этих
случаях будем говорить о нескольких уравнениях и нера-
венствах.
Пусть несколько уравнений и неравенств записаны в любом
порядке и объединены фигурной или квадратной скобкой (верти-
кальной или горизонтальной). В случае фигурной скобки гово-
рят, что мы имеем систему уравнений и неравенств, а в случае
квадратной — совокупность уравнений и неравенств. Решением
системы уравнений и неравенств с одними и теми же переменны-
ми называется числовой набор, являющийся решением каждого
уравнения и неравенства системы. Решением же совокупности
уравнений и неравенств называется набор, который является
решением хотя бы одного уравнения или неравенства совокуп-
ности.
Замечание. Понятия системы и совокупности можно расширить, допуская,
что их элементами наряду с уравнениями и неравенствами могут быть совокуп-
ности и системы уравнений и неравенств («меньшего» размера), да и другие пре-
дикаты (например, х £ Р). Во всех случаях решение системы и совокуп-
ности определяется так же, как и выше, когда их элементы — уравнения или не-
равенства.
Множество решений системы есть пересечение, а множество
решений совокупности — объединение множеств решений их соот-
ветственных элементов.
В качестве примеров рассмотрите следующие системы и сово-
купности и найдите множества их решений:
(х-\-у = 2 Г x + z/ = 2 ( 2ху ~ х2у2
\x~y~Q-, [x — y~Q; li/>x;
87
2ху=х2+у2
у>%;
,х—5=0, х —7=0,
х^О, х<8;
I___________1
Г х — 5=0, х— 7 = 0,
L х>0, х<8.
I-----------1
(cos 2х=0
Для системы i x>q множество решений будет то же, что и
I л » > л
I х = —~k + ~
для системы I уже не содержащей
t k — целое неотрицательное,
тригонометрических функций. Совокупность х=-^-/г-]—яв-
ляющаяся элементом второй системы, в развернутом виде выгля-
дит так:
л 3 5 7
Х= —-, Х = — Л, Х = —Л, Х=~—Л....
4 4 4 4 ,
Она, как видим, имеет бесконечно много элементов. С этим будем
сталкиваться и при решении других тригонометрических урав-
нений.
3°. Для двух уравнений, двух неравенств, одного уравнения и
одного неравенства, двух систем, двух совокупностей, одной сис-
темы и одной совокупности вводятся понятия равносиль-
ности и следствия. Два таких объекта I и II называются
равносильными (I о II) , если совпадают множества их решений,
т. е. если каждое решение первого является в то же время реше-
нием II и обратно. Второй из двух сопоставляемых объектов назы-
вается следствием первого (I => II), если каждое решение первого
является решением второго.
Из этого определения сразу видно, что если для трех объектов
I, II и III указанного рода I -о II и II III, то I о III; точно так
же если I => II, а II => III, то I => III.
Заметьте, что символы о и => имеют здесь совершенно иной
смысл, чем в логике, где они означают соответственно одина-
ковую истинность высказываний и импликацию высказываний.
Примеры равносильностей и следствий:
x3-f- 1 =х4-1; х/х—-3 = 0 => х2 = 9;
(х-1)2>0 |х<31
х>4, х<31"ф>[х>4;
—6 = 1 о(х —7)2=0.
88
Обратим внимание на то, что в последнем примере мы имеем
два равносильных уравнения, область определения первого из
которых [6; -|- оо), а второго (—- оо; оо). Так что области опре-
деления равносильных уравнений или неравенств необязательно
совпадают.
4°. Чтобы решить уравнение, нужно располагать прави-
лами таких преобразований уравнений, которые от данного
уравнения ведут к равносильному ему новому уравнению. Эти
правила (их также называют свойствами равносильных урав-
нений) таковы:
[1] Если к обеим частям уравнения с областью определения
D прибавить функцию с той же областью определения, то вновь
полученное уравнение с областью определения D будет равно-
сильно исходному.
[2] Перенося какое-нибудь слагаемое из одной части уравне-
ния с областью определения D в другую часть данного уравне-
ния и изменяя при этом знак слагаемого на противоположный,
получаем новое уравнение с областью определения D, равно-
сильное данному.
[3] Умножая обе части уравнения с областью определения
D на функцию, которая определена на D и нигде в нуль не обра-
щается, получаем новое уравнение с той же областью определе-
ния, равносильное исходному.
[4] Приводя обе части уравнения с областью определения D
к общему знаменателю (нигде в нуль не обращающемуся на £))
и отбрасывая этот знаменатель, получаем новое уравнение с той
же областью определения, равносильное исходному.
[5] Возводя в степень с нечетным показателем обе части
уравнения, получим новое уравнение, равносильное данному, ес-
ли обе части уравнения в области определения D имеют один и
тот же знак, то, возводя их в степень с четным показателем,
получим новое уравнение с областью определения D, равносиль-
ное данному. В обоих случаях, возводя в степень с натуральным
показателем обе части уравнения, получаем уравнение, являю-
щееся следствием исходного.
[6] Потенцируя обе части уравнения при любом основании
а>0, а =/= 1, получаем новое уравнение с той же областью опре-
деления, равносильное данному:
f (...) = <р (...) о af (-^ = ач (-).
[7] Если обе части уравнения на всей области определения
положительны, то, логарифмируя их почленно при основании
а>0, а^=1, получаем новое уравнение, равносильное данному:
{/(...)>0, <р(...)>0, /(...) = <p(-.))o(logaf (...) = logoff (...)).
Области определения обоих уравнений одинаковы.
Докажем предложение [1].
89
Пусть уравнение
f(x, у, .... 2) = ф(х, у, г) (2)
с переменными х, у, z имеет областью своего определения мно-
жество D cz Rn и пусть h (х, у, ..., z) — функция, определенная на
том же множестве. Вместе с (2) рассмотрим уравнение с той же
областью определения D
Н...НН-)=ф(.-)+И4 (3)
Если <х0, Уо, , z0^>=M0—решение уравнения (2), то
f (х0, Уо, ., 20) = ф (х0, уо, ..., zo), и, следовательно, f (M0)~\~h (Mo) —
= Ф (Mo)-\-h (Mo). А это значит, что <х0, уо, ..., z0> является
решением и уравнения (3).
Если, обратно, набор <%i, у\, ..., Zi >> — Mi есть решение урав-
нения (3), то f (Mi)-\-h (Mi) = tp (Mi)-\-h (Mi), а следовательно,
f (M\) = q (Mi), что означает, что <Zx{, yi, ..., Zi > —решение
уравнения (2). Таким образом, (2) -4>(3), и предложение [1] до-
казано.
По аналогии с этим докажите предложения [3], [5], [6], [7].
При обратном переходе в [3] существенно, что h (х, у, ..., z)#=0,
а в [5] при четном п— совпадение знаков f (х, у, ..., z) и
<р(х, у, Z).
Предложения [2] и [4] являются логическими след-
ствиями предложений [1] и [3] соответственно: перенос сла-
гаемого h (х, у, ..., z) из одной части уравнения в другую пред-
ставляет собой прибавление к обеим частям функции —h (х,
у, ..., z), а отбрасывание отличного от нуля общего знаменателя
есть умножение обеих частей уравнения на этот знаменатель.
Отметим, что предложения (правила) [1], [2] вместе с их
доказательствами останутся в силе, если в их формулировке
знак = всюду заменить знаком > или знаком <\ А как в этом
смысле обстоит дело с правилами [4], [5]? Вопрос адресуем
читателю.
Уже в этом параграфе, помимо правил [1] — [7], мы будем
пользоваться следующим очевидным свойством равносиль-
ных систем уравнений и неравенств: если из множества G зна-
чений переменной (или наборов значений переменных), на ко-
тором рассматривается система, удаляется при помощи какого-
нибудь дополнительного неравенства некоторая часть этого мно-
жества G, заведомо не содержащая решений системы, то полу-
чается новая система, равносильная первой. Это свойство обозна-
чим символом [а].
Левая и правая части уравнений и неравенств, которые мы
будем решать, являются элементарными функциями. Области оп-
ределения функции однозначно определяются их видом и явно не
указываются. Нам самим придется указывать эти области опреде-
ления и их пересечение — область определения уравнения (не-
равенства) .
90
5°. Рассмотрим примеры уравнения и соответствующих
ему неравенств:*
\'2х’ — 6х + 4 = х 4- 1, (1)
л/2%2 —”бх + 4 > х 4-1, (2)
/2х2— 6х4~4<С%4~1- (3)
Область определения каждого из них
D: 2х2 — 6%4-4^0 о (%— 1) (% — 2)>0 о 1, х>2, (4)
(читается: D определяется неравенством 2х2— 6х4~4^0, а также
равносильным ему неравенством или совокупностью). Решаем
уравнение (1), т. е. решаем систему
(1),
(4),
строя такую цепочку
равносильных систем и совокупностей, первым звеном которой яв-
((1).
ляется система i ш а последним будет ответ. Выписывая цепоч-
ку, мы указываем внизу под знаком о- правило, на котором осно-
вана данная равносильность. Вот эта цепочка:
f (О ( (О г2%2-6%4-4 = (%+1)2
I (4) ^4 (4), (4), х>-1
г 2х2 — 6% 4- 4 = х2 4- 2х 4-1 ( х2 — 8% 4- 3 = 0
I — 1 %CJ1, %4^2 I — l^x^l, х^2^
| Х^4 + УГЗ, х = 4—/ГЗ, г% = 44-л/13
^4—1 х^2, [^1^ = 4 —д/Тз-
Здесь [пр] означает: непосредственная проверка того, удовлет-
воряют ли числа 4 ±/13 совокупности неравенств во второй стро-
ке последней системы. Ответ дан в форме совокупности простей-
ших уравнений.
Неравенства (2) и (3) решаем методом интервалов, который
полное свое обоснование получит в § 5 гл. III. Рассмотрим вспо-
могательную функцию f (х) = д/2х2— 6%4-4 — (%+1). Числа
4 ±-/13 обращают функцию f в нуль, а множество D\{4 ±/13}
разбивают на четыре интервала знакопостоянства этой функции:
D\(4+ <3) = (- оо; 4-<3) и (4 —УГЗ; 1) U (2; 4+УГз) U
U (4+VT3; +оо).
Изобразите эти интервалы на прямой. Чтобы установить знак
f (х) в интервалах знакопостоянства, выберем произвольно по
91
одному числу из каждого из них (обозначив интервалы 1, II, III,
IV) и найдем с точностью до знака соответствующие значения
функции: О Е I, 1 Е IL 2 Е Ш, 8 Е IV; f (0) = 1 >0, f (1)= — 2<0,
f(2)=—3<0, f(8)=V84 —9>0.
Следовательно, множество решений неравенства (2) есть
(—оо; 4 — фТЗ) U (4 + д/ТЗ; фею), а множество решений нера-
венства (3) — это (4 —-/13; 1) U (2; 4ф/ТЗ).
6°. Рассмотрим рациональные уравнения и неравенства с од-
Р (х)
ной переменной вида —ф!=0, где Р (х) и Q (х)— полиномы.
Если известны или нами найдены все корни числителя Р (х)
и знаменателя Q (х), то эти полиномы тут же могут быть разло-
жены на множители—линейные двучлены и многочлены без
действительных корней. Область определения рассматриваемых
уравнения и неравенств — это числовая прямая (— оо ; -ф оо) без
тех чисел, которые являются корнями знаменателя, а множество
решений уравнения — это конечное множество корней числителя,
не являющихся корнями знаменателя. Корни Р (х) и Q (х), будучи
удалены из ( — оо ; -ф оо), разбивают числовую прямую на интер-
валы знакопостоянства рациональной
же как в предыдущем пункте, следует
валов и, находя с точностью до знака
Р (х}
функции , определить ее знаки в
ства — тем самым решить неравенства. Для исследования знака
рассматриваемой функции необязательно ссылаться на доказы-
ваемое в § 5 гл. III предложение о промежутках знакопостоян-
ства непрерывной функции и даже обращаться к числам из
интервалов. Особенности рациональной функции таковы, что
интервалы ее знакопостоянства и знаки на каждом из этих интер-
валов устанавливаются непосредственно, как только Р (х) и Q (х)
разложены на указанные выше множители. Покажем на и р и-
мерах, как это делается.
i Р (Ф П
функции . Далее, так
взять числа из этих интер-
соответствующие значения
интервалах знакопостоян-
„ (х3-—27) (х —7)
Пример I. Пусть г, (х) = (%2_ 14х + 45)(х> + 4)'
„ (X - 3) (х - 7) (х2 + Зх 4- 9)
После разложения на множители получаем Г| (х) =—(х — 5) (х — 9) (х4'й~ 4)—’
Заметим, что многочлены х2 + Зх4-9 и х’~г4 не имеют действительных корней
и всюду положительны. Удаляя из (--оо; 4~оо) числа 3, 5, 7, 9, получаем ин-
тервалы,:
(-оо; 3), (3; 5), (5; 7), (7; 9), (9; + оо). (*)
На рисунках 47, 48 изображены эти интервалы (корни знаменателя 5 и 9 выко-
лоты). На крайнем справа интервале (9; + оо) все четыре двучлена положительны,
92
Рис. 47
Рис. 48
так как все точки этого интервала правее 3, 5, 7, 9, поэтому на интервале
(9; + оо) во всех его точках и (х)>0. На интервале (7; 9) (в перечне интерва-
лов (*) движемся справа налево) двучлен % —9 уже отрицателен, а остальные
двучлены положительны, ибо точки данного интервала левее 9, но правее 7, 5, 3;
следовательно, г\ (х)<0 на интервале (7; 9). Точно так же установим, что на
(5; 7), где два двучлена отрицательны, г\ (х)>0, на (3; 5), где три двучлена от-
рицательны, г\ (х)<0. Наконец, на интервале (—оо; 3) все четыре двучлена от-
рицательны, и, следовательно, г\ (х)>0 (рис. 48). Как видим, для неравенства
г, (х)>0 множество его решений есть (— оо; 3) ’J (5; 7) J (9; + оо), а множеством
решений неравенства г\ (х)<0 является объединение (3; 5) J (7; 9).
Пример 2. Дана рациональная функция
(х3 + 27) (х2 + 8х + 15)3 (х2 + 8х + 17)
Г'ЛХ) (х4 — 16) (х —2)5 х3
Разложив числитель и знаменатель на множители, получаем:
. ( X (-У + з)4 (х + 5)3 (х2 + 8х + 17) (х2 - Зх + 9)
Г2 Х (х — 2)6 (х + 2) х3 (х2 + 4)
Здесь три квадратных трехчлена с отрицательным дискриминантом сохраняют
всюду знак 4-. На оси Ох схематично (без соблюдения масштаба) изобразим
корни знаменателя 2, —2, 0 (точки прокола) и корни числителя —3, —5.
Получаем шесть интервалов знакопостоянства г2 (х), изображенных на рисун-
ке 49. Знак функции г2 (х) устанавливаем либо с помощью представителей, либо
прбще, как в предыдущем примере. Получаем картину, которая видна на ри-
сунке 50.
Заметим, что, двигаясь вдоль оси Ох справа налево и проходя через точку 2,
мы видим: знак г2 (х) сохраняется, что соответствует четному показателю степени
выражения (х — 2)ь, из которого появилась отмеченная на оси Ох точка х = 2; это
же относится к точке х= —3 и породившему ее выражению (х-|--3)4. Зато при пере-
ходе справа налево через каждую из точек 0, —2, —5 знак функции г2 (х) из-
меняется на противоположный, что соответствует нечетному показателю степе-
ни в выражениях х3, х-|-2, (х-|-5)3.
Обозначив через Н+ и Н- множества решений неравенств соответственно
Г2(х)>® и г2(х)<0, будем иметь (рис. 50): Н+=( — 5; — 3) (J ( — 3; —2) U
U (0; 2) U (2; +<*>); //_=(-оо; -5) U (-2; 0).
Рис. 49
Рис. 50
93
b-
6
ж
4 -3
-2 X
Рис. 51
Пример 3. Решите неравенство
х2 + 4х+2
3_5?~+9,+ ,8>)
I)
2
х+6
и убедитесь, что #+=(—оо; — 6) J 4; — 3) Ц { —2; + °°) (рис. 51). Под
Н+ подразумеваем множество решений неравенства вида f<р, под //_ —
множество решений неравенства вида f<Zq>. Через Но обозначаем множество
решений уравнения f=cp.
Упражнения к f 13
24. Решить неравенства:
ях (Зх-1)(х4-2)2(х-4)3 <п. (х3+64)(5-х) 0.
' (х-)-5)(х2—4x4-5) (х2—4x4-3)"' ’ ' (х4 —|6)х2 ’
в) '°gs|=|+log4 75z>0-
25. Решить уравнения и неравенства:
a) xlogjX=9¥/2; б) logs(8 — x) + log5(6 — x)^log5(x — 2);
в) ^/х—у/х-|-5—у/7.
26. Решить уравнение и систему и изобразить их решения:
(у2=х, у^х, у<.х
а) (х+у) (У — Зх) = 0; б) 1 2 2
Vх । У а •
Глава II
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 1. Явления и процессы,
математическое описание которых приводит
к понятию предела
1° . Рассмотрим несколько конкретных функциональных зави-
симостей между переменными величинами, участвующими в опре-
деленных процессах. При этом нас будет интересовать безгра-
ничное увеличение этих переменных, а также возможное
их приближение к тем или иным постоянным.
1) Представим себе летящую комету, которая, обогнув в своем
полете Солнце, неограниченно во времени и пространстве уда-
ляется от Солнца по некоторой траектории. Тогда переменное
расстояние г от Солнца до кометы безгранично увеличивается,
а сила F ее притяжения к Солнцу безгранично приближается к
нулю, ибо по закону всемирного тяготения эта сила обратно про-
порциональна г2:
F = Ar, где k — постоянная для данной кометы величина.
Г
Аналогично в процессе неограниченного во времени и прост-
ранстве полета запущенной с Земли космической ракеты при
безграничном увеличении времени полета расстояние от Земли до
ракеты также безгранично увеличивается. Сила же притя-
жения ракеты к Земле при этом стремится (приближается)
к нулю.
В дальнейшем слово «стремится» обозначается стрелкой ->
(не смешивайте с символом н>, которым обозначается слово «со-
ответствует») .
2) Пусть маятник ОМ (рис. 52) колеблется около вертикаль-
ной оси Ои, совершая при этом незатухающие колебания от по-
ложения I до положения II и обратно бесконечно много раз и
затрачивая на каждое колебание одно и то же время. Таким имен-
но будет колебательное движение маятника под воздействием си-
лы тяжести при отсутствии сопро-
тивления среды. Ось Ои будет осью рав-
новесия.
Обозначим через а переменный угол
(в градусах) между направлением ма-
ятника ОМ и вертикальной осью Ои.
Этот угол считаем положительным,
когда маятник находится справа от
Ои, и отрицательным, когда он слева от
оси. Угол (в градусах), который обра-
95
зует направление ОМ с горизонтальной осью Ох, обозначим че-
рез р. Для положения I считаем, что а=о45° и р=45°, а для по-
ложения II считаем а =—45°, а р=135°.
При безграничном увеличении времени i качания маятника
переменная а изменяется от 45° до —45° и обратно, а переменная
Р — от 45 до 135 и также обратно, проходя эти и все проме-
жуточные значения бесконечно много раз. При этом а и р не
приближаются окончательно (не стремятся) ни к какому опре-
деленному значению угла и не увеличиваются безгранично.
То же самое будет при любых других незатухающих коле-
бательных движениях.
3) Снова представьте себе колебательное движение маятни-
ка ОМ около оси Ои, происходящее под действием силы тяжести,
но уже в некоторой сопротивляющейся среде. Теперь
маятник будет совершать затухающие колебания: размах этих
колебаний будет неограниченно уменьшаться, хотя количество
их и в данном случае будет неограниченным (рис. 53).
Пусть первое колебание маятника совершается от положе-
ния I (ао—45°) до положения, соответствующего углу аи = —
45° 45°
второе колебание — от угла он =—— до угла а2==-7г, третье
45° 45°
колебание — от а&2=-^- до аз =—т и т- Д- Д° бесконечности.
3 4
Легко подсчитать значения угла р, соответствующие крайним
положениям колеблющегося маятника:
₽0=45°, ₽2=90°-4°’ ₽з=90°+^°, ....
Допустим, что на первое колебание маятника (от а() до он)
уйдет 1 мин, на второе колебание (от cti до а2) —~ мин, на
третье — мин, на четвертое----мин, на n-е колебание —
2~т мин. Тогда на первые два колебания уйдет 1 -|-мин, на первые
О
U
Рис. 53
96
3 7
три колебания — 1 — мин, на первые четыре колебания — 1 — мин,
15
на первые пять колебаний — 1 -jg- мин и т. д.
Это значит, что в рассматриваемом колебательном процессе
время t 2 и на весь колебательный процесс уйдет 2 мин, по
истечении которых маятник остановится в положении равнове-
сия Ои. В этом процессе при t, стремящемся к 2 мин, переменный
угол а стремится к 0 , а переменный угол р стремится к 90°.
4) Представим себе далее всевозможные прямоугольные па-
раллелепипеды, высота каждого из которых равна 3 м, а диаго-
наль основания 2 м (рис. 54). Обозначим длину одной из сторон
основания через х (в метрах), а площадь боковой поверхности
параллелепипеда через S (в квадратных метрах). Ясно, что х и
S — переменные величины, находящиеся в функциональной зави-
симости: по каждому значению переменной х, изменяющейся в
открытом промежутке от 0 до 2, можно найти соответствующее
значение величины S.
Кроме того, обозначив другое измерение прямоугольника, ле-
жащего в основании параллелепипеда, через у (в метрах), мы.
увидим, что и между переменными х и у имеется функциональная
зависимость. При этом ясно, что если х->2 м, то f->0, a S,
равное (Х’З м-\~y-3 м)-2 м, стремится к 12 м2.
Точно так же при х, стремящемся к нулю, у стремится к 2 м,
a S снова стремится к 12 м2.
Если х ^2 м, то и у —► м (прямоугольник приближается к
квадрату), a S 12-/2 м2.
На рисунке 55 изображены графики функциональных зави-
симостей из примеров 2—4.
5) При различных измерениях одной и той же постоян-
ной величины получаются различные ее приближения. Чем выше
степень точности измерения, тем ближе приближенное значение
к истинному значению и тем меньше абсолютная погреш-
ность приближения. Представим себе, что наши возможности по-
лучения все лучших и лучших приближений не ограничены, и мы
можем получить бесконечную последовательность таких прибли-
жений к истинному значению Ь*. Xi, Х2, ..., хп, ... .
Тогда при безграничном увеличении п зависящая от него пе-
ременная хп стремится к постоянной Ь, а абсолютная погрешность
Дга стремится к нулю. Например, требуется найти десятичные
приближения хп с недостатком для числа Ь~~. Очевидно, что
О
в этом случае
X! =0,3, *2 = 0,33, *3 = 0,333, ... .
Д1=0,1, Д2=0,01, Д3 = 0,001, ... .
При безгранично увеличивающемся п
Хп -* 4* ' Дл -► 0.
о
О безгранично увеличивающейся переменной величине * го-
ворят, что * стремится к бесконечности: хоо. При этом слово
«бесконечность» и символ оо не означают какого-либо самостоя-
тельного математического объекта и имеют смысл лишь как
составная часть выделенного в тексте предложения.
2°. Мы рассмотрели ряд функциональных зависимостей меж-
ду переменными величинами, участвующими в тех или иных про-
цессах. Для каждой из рассмотренных зависимостей нас инте-
ресовал следующий вопрос: если одна из переменных, прини-
маемая за независимую, стремится к оо или к определенному
значению величины, то как при этом ведет себя другая (зави-
симая) переменная? Стремится ли и она к какому-нибудь значе-
нию величины или к бесконечности либо, напротив, она ни к тому,
ни к другому не стремится?
В этом параграфе мы встречались с функциональными зави-
симостями обоего рода. В случае незатухающих колебаний (в
примере 2) имеем две зависимости второго рода: при t —> оо ни
а, ни р не стремятся ни к какому-нибудь определенному значе-
нию, ни к бесконечности. В остальных же рассмотренных слу-
чаях мы столкнулись с функциональными зависимостями перво-
го рода — зависимая переменная стремится к определенному зна-
чению той или иной величины или к бесконечности. Так, в приме-
ре 1 при t -> оо расстояние г->оо, сила F-+0. В примере 3
при t 2 угол а 0°, 0 90 . В примере 4 при * 2 м пере-
менная у 0, a S -> 12 м2; при * -► 0 у 2 м S 12 м2; при
*-^У2 м, у -+^/2 м S-► 12^/2 м2. В примере 5 при ц-► оо
*я -> Ь, а Дй 0.
Мы рассматриваем функциональные зависимости, которые
математически описываются числовыми функциями. Поэтому по-
ставленный выше вопрос о свойстве функциональной зависимос-
ти — это вопрос о соответствующем свойстве числовой функции
y = f(x): при стремлении числового аргумента * к бесконечности
или к числу а будет ли и f (*) стремиться к какому-нибудь числу b
или к бесконечности?
98
Если ответ на поставленный вопрос утвердительный, то число
b (или оо) называется пределом функции f (х) при х-> оо (или
х а). Если же ответ отрицательный, то говорят, что функция
f (х) не имеет предела при х -> оо (или х а).
На понятии предела функции основан метод пределов —
основной метод, с которым оперируют в математическом анали- -
зе. Приступая к изучению этого метода, мы в первую очередь
должны дать четкое определение понятия предела функ-
ции. Далее должны последовать теоремы о свойствах преде-
лов и описание применения этих теорем к вычислению пределов.
Эти вопросы составят содержание последующих параграфов
данной главы. Пока же мы адресуем читателю поставленную
только что задачу о четком определении, выражающем суть по-
нятия предела функции. К этой задаче, как вы видели, приводит
математическое описание многих происходящих в природе про-
цессов, лишь некоторые из которых здесь рассмотрены. Закрыв
на время книгу, самостоятельно поработайте над указанной зада-
чей — дайте точное выражение сути понятия предела функции.
Не довольствуйтесь приближенными представлениями об этом
понятии («стремится», «приближается»), переведите на точный
язык математики ваши приближенные представления, возникаю-
щие при соприкосновении с реальными процессами. Этого требу-
ет метод пределов, без которого не будет надежного математи-
ческого аппарата, столь необходимого на практике.
Для решения указанной задачи вам, очевидно, придется вос-
пользоваться простыми неравенствами, подобными тем, с которы-
ми работают в приближенных вычислениях:- |х —а|<Д,
|х„— а| |f (х)~Ь\ <8. Понадобятся также неравенства типа
x>JV, x<JV, f(x)>L, f(x)cL. Вы должны в каждом случае
(т. е. когда предел f (х) равен бесконечности или b при х -> оо или
х а) указать связь между неравенством для аргумента х и
неравенством для соответствующего значения f (х) при помощи
слов «для любого», «для любого х, такого, что», «существует
(найдется) ... такое, что».
§ 2. Определение предела функции
на бесконечности и в точке
1°. В этом параграфе нам предстоит дать определение понятия
предела числовой функции f (х) при х -> со и ее предела при х а.
Эти понятия были пока лишь описаны при помощи наших прибли-
женных представлений, но не были точно определены.
Обращаем внимание читателя на то, что в настоящей главе
речь идет только о числовых функциях одного действительного ар-
гумента. Слову «функция» будет придаваться именно этот смысл,
прилагательное «числовая» будет, как правило, опускаться.
Обратимся вновь к примерам предыдущего параграфа. Все зна-
99
чения встречавшихся там величин заменим соответствующими им
числами: например, значение величины время 5 с заменим чис-
лом 5, значение длины 7 м — числом 7, значение угла 45 — чис-
лом 45. Тогда рассматривавшиеся функциональные зависимости
превратятся в числовые функции, которые обозначим так: г (t),
F (0 (пример 1), a (t), 0 (t) (пример 2), a (t), р (0 (пример 3, в нем
функциональные зависимости между углами а, р и временем t уже
не те, что в примере 2), у (х), S (х) (в примере 4). В примере 5 мы
рассматривали числовую последовательность хь х2, хя, ... .
Слова «предел функции f (х)» обозначаются символическим вы-
ражением lim f (х), в котором буквы lim взяты из латинского сло-
ва limes, что означает «предел». Употребляя письменно символ
lim в этом смысле, мы будем, однако, читать: предел.
Высказанные в § 1 утверждения относительно приближения
величин мы теперь запишем следующим образом: lim г (0 =
/ + оо
= + оо (произносится: предел г (0 при I, стремящемся к -|-оо,
равен Hm F (0=0, lim а (0 и lim 0(0 не сущест-
t -* -f- оо i -»> -|- оо I —<- со
вуют: lim а (0=0, lim 0(0=90, lirnz/(x)=0, lirnS(x) = 12,
limt/(x)=2, liniS(x)=12.
Разберемся теперь в том, какой смысл мы вкладываем в эти
высказывания, которые заменим более общими утверждениями:
lim f(x)=4-oo, lim f(x) = b, limf(x) = b, (*)
x -> + oo x -*• + 00 x a
где а и b — данные числа, f — заданная функция, а значения x
здесь и далее берутся из области определения D (0 функции f.
Первое из равенств (*) означает, что рано или поздно f (х)
превзойдет любое наперед заданное сколь угодно большое положи-
тельное число, причем не просто превзойдет (и далее вернется
к малым значениям, как, например, функция #=xsinx), а окон-
чательно превзойдет. Подобно этому второе и третье из равенств
(*) означают, что рано или поздно f (х) с любой высокой степенью
точности, т. е. со сколь угодно малой абсолютной погрешностью,
приблизится к числу b опять-таки в окончательном смысле. Дру-
гими словами, второе и третье равенства означают следующее:
каково бы ни было положительное число в, рано или поздно
If (х)— Ь\ окончательно станет меньше, чем в,— именно так в тео-
рии приближенных вычислений оценивается степень точности при-
ближения f (х) к истинному значению Ь.
Слова «рано или поздно окончательно» лучше заменить слова-
ми «начиная с некоторого х». Тогда утверждение lim f (х) = + оо
X -+ + оо
будет состоять в том, что для любого числа £>0 начиная с не-
которого х имеет место неравенство f(x)>L, а утверждения
100
lim f(x) = b и limf(x) = b будут означать: для любого е>0
х -► + оо х -> а
начиная с некоторого х имеет место неравенство \ f (х)—
Остается разъяснить слова «начиная с некоторого х ...» для рас-
сматриваемых трех случаев. В первом случае их смысл состоит в
том, что найдется (существует) такое число N^>Q, что для каждо-
го такого х, что х> N..., во втором случае это то же самое, ибо сно-
ва х + оо. В третьем случае х а и «начиная с некоторого х...»
означает, что найдется такое положительное число 6>*0, что для
каждого х, такого, что |х— а| <6 ..., так как теперь все зависит от
близости х к а, а эта близость как раз и определяется неравенством
|х —а| <6.
Таким образом, точный смысл трех утверждений (*) раскры-
вается соответственно так: а) каково бы ни было L>0, найдется
такое Ж>0, что для любого х, такого, что х>Ж, имеет место
f{x)^>L: б) каково бы ни было 8>0, найдется такое N^>Q, что
для любого х, такого, что х> Ж, имеет место |f (х)— Ь\ <е; в) ка-
ково бы ни было f>0, найдется такое что для любого х,
такого, что 1х— а| <Сб, имеет место If (х) — b\<Ze (т. е. f (х) попа-
дает в окрестность (Ь — е; b 4~е)) . В случае в) х==а не учитывается:
х стремится к а, но х^=а. Этот вопрос с другой точки зрения будет
рассмотрен в п. 5°, § 1, гл. III.
Аналогично предыдущему утверждение lim f(x) = b имеет
следующий смысл: каково бы ни было f/>0, найдется такое Ж<СО,
что для любого х, такого, что х<Ж, имеет место |f (х) — Ь|<е.
2°. Раскрыв точный смысл всех высказанных выше утверж-
дений о пределе, мы подошли к общему определению предела
функции.
Условимся каждое из выражений х + оо, х — оо, х —> а
обозначать символом х т. Мы должны дать определение преде-
лов lim f(x)= 4-оо, limf(x)= —оо, limf(x) = b для каждого
X -* Т X т х->-т
х -> т, что даст нам девять видов предела функции:
lim X -* + ОО /:(х)= + ао, lim X — ОО f (х)=4-оо, lim f (х)= 4- 00 > х -► а (а)
lim X -> + оо lim X —> — оо f W= — оо, lim f (х) = — оо, х -► а (₽:>
lim X -> + 00 lim X -> — оо f(x)=», lim f(x)=b. ха (т)
Геометрическое (графическое) представление пределов (а),
(Р), (у) дано на рисунках 56, 57, 58 соответственно.
Необходимо отметить, что, когда речь идет о пределах
lim f(x), lim f (x), lim f (x), предполагается выполненным ec-
x -* + oo x->-oo x-► a
тественное требование к области определения функции f (х), со-
стоящее в том, чтобы аргумент х действительно мог стремиться
соответственно к 4~ 00, к — оо, к а. В первом случае область
101
определения должна быть не ограничена справа: для любого числа
7V>0 область определения должна содержать числа, большие
чем N. Во втором случае область определения не ограничена слева,
т. е. она содержит числа, меньшие любого наперед заданного
отрицательного числа. В третьем случае аргумент принимает
значения, сколь угодно близкие к а, т. е. область определения
содержит своих представителей в любой, сколь угодно малой ок-
рестности числа а, не считая самого этого числа, или, что то же,
а — предельная точка области определения (см. гл. I, § 7, п. 3°).
Сформулируем теперь общее определение предела
102
Определение. Говорят, что-.
1) 1 im f (х) = 4" 00> если для любого L > 0 начиная с некоторо-
го х имеет место неравенство f (х)> L;
2) lim f (х)= — оо, если для любого L<ZQ начиная с некоторо-
го х имеет место неравенство f(x)<zL;
3) lim f(x) = b, если для любого е>0 начиная с некоторого х
имеет место неравенство \[ (х)— Ь\<^г.
При этом слова «начиная с некоторого х» для: а) х -+ + оо;
б) х — оо ; в) х а — означают соответственно:
а) найдется такое N^>0, что для каждого х, такого, что х>Г\
. б) найдется такое N <0, что для каждого х, такого, что x<zN;
в) найдется такое что для каждого х, такого, что
\х — а\ <6, х=^а.
Все значения х берутся из области определения
D (/) функции [.
Это определение раскрывает точный смысл равенств (а), (|3), (у).
Выше мы рассмотрели четыре из этих девяти равенств:
lim f(x)=-\~oo, lim f(x) = b (с его частным случаем
А > 4 °° 1 Л --► У 00
lim xn = b), lim f(x) = b, lim/(x) = 6. Для каждого из них
я + f оо х -> — оо х + а
было приведено определение в развернутом виде, т. е. с расшиф-
ровкой слов «начиная с некоторого х». Сделаем это еще для ра-
венства lim /г(л)=4-оо, для чего нужно сочетать 1) и б) из
общего определения предела: мы скажем, что lirn f(x)=-\-oo,
если для любого L>0 найдется такое N <0, что для каждого х,
такого, что x<zN, имеет место /(%)>/>.
Читателю остается подобным образом привести в развернутом
виде определения не рассмотренных нами отдельно равенств
lim /'(х) — Д- оо, lim f(x)= — оо, lim f(x) =— оо, limf(x) =
-V ► а х > I оо х — оо х -+ а
— -- ОО .
Напомним, что неравенство \ f (х)— b | <е, фигурирующее в п. 3
определения, равносильно утверждению: [ (х) содержится в окрест-
ности (b — е; Ь-\-к).
Так как главный рабочий метод математического анализа —
метод пределов — основан на понятии предела функции, то работа
над определением этого понятия совершенно необходима. Особое
внимание обратим на содержащиеся в определении предела
функции слова «для любого» (или, что то же по смыслу, «для
каждого», «каково бы ни было») и «найдется» («существует»).
Они имеют решающее значение для смысла определения и потому
незыблемы в его формулировке. Если, например, в определении
равенства lim /' (x) = b вы замените «для любого е>0» на «найдет-
ся такое е>0, что», то получите определение совсем другого
юз
понятия, выражающего лишь ограниченность f(x) на некоторой
части D (f). Если же в формулировке определения lim f(x)—b бу-
X -► т
дут опущены слова «для любого б>0», то определяющее усло-
вие и вовсе лишится смысла (т. е. перестанет быть высказы-
ванием) .
§ 3. Некоторые вопросы,
связанные с определением предела функции
1°. Формулировка определения предела со словами «начиная с
некоторого х» удобна не только для запоминания, но, как увидим,
и в работе. Это объясняется следующим свойством словосочетания
«начиная с некоторого х>: если при х -> т начиная с некоторого х
справедливо какое-нибудь утверждение (скажем, какое-нибудь не-
равенство) , а также начиная с некоторого х справедливо какое бы
то ни было другое утверждение (например, другое неравенство),
то при х -> т начиная с некоторого х справедливы оба утвержде-
ния одновременно. В самом деле, если утверждение справедливо
для каждого х> 5, а второе — для каждого х> 10, то для каждого
х>10 справедливы одновременно оба утверждения; если первое
утверждение справедливо для х< — 7, а второе — для х< — 8, то
для х< —8 справедливы оба утверждения; если первое утвержде-
ние справедливо для каждого х, такого, что |х —а|<0,1, а вто-
рое — для каждого х, такого, что |х — а| <0,01, то для каждого х,
такого, что |х — а| <0,01, справедливы сразу оба утверждения.
В качестве первого применения указанного свойства словосо-
четания «начиная с некоторого х» (обозначим его через (1°))
укажем на следующий факт.
Если при х —> т начиная с некоторого х ни одно значение f (х)
не содержится в какой-нибудь окрестности (h — g; h 4- е) числа h, то
это число не есть lim f (х).
х —т
Действительно, допустим, что h есть lim f (х). Тогда начиная с
некоторого х f (х) содержится в окрестности (h — е; h + е). А так
как по условию начиная с некоторого х f (х) не содержится в
(/г — е; /z + е), то согласно вышеуказанному свойству (1°) начиная
с некоторого х одновременно f (х) содержится и не содержится в
окрестности (/г — б; /г 4-е)- Такое противоречие показывает, что
утверждение limf(x)=ft неверно.
Отметим, что если некоторое утверждение справедливо во всей
области определения функции, то и подавно можно сказать, что
при х -> т это утверждение справедливо начиная с некоторого х.
Например, всюду в области определения sin х^ 1, тем более можно
утверждать, что sinx^l для каждого х>3, или для каждого
х< —10, или для любого х, такого, что |х—3|<0,1.
Относительно самого термина «начиная с некоторого х» заме-
тим, что это словосочетание в ряде книг по анализу, в частности
104
в учебнике В. А. Зорича [5], заменяется одним словом: финально
(«близко к финалу»).
2°. Приведя определение предела функции, нам нужно ответить
на такой неотложный вопрос: является ли нахождение предела
однозначной операцией, будет ли lim f (х) в случае его существо-
вания вполне определенным числом, либо +оо, либо — оо?
Прежде всего, возможно ли, чтобы какая-нибудь функция f (х)
при каком бы то ни было стремлении х к т имела два различных
конечных предела bi и
Окружим числа Ь\ и Ь% столь малыми окрестностями (£>i — в;
&i + e), (62 — е; 62 + в), чтобы они не пересекались (сделайте чер-
теж). Согласно определению предела функции (§ 2) начиная с не-
которого х f (х) попадает в первую окрестность, а также начиная с
некоторого х f (х) попадает во вторую окрестность. Отсюда в силу
рассмотренного выше свойства (п. 1°) начиная с некоторого х f (х)
попадает одновременно в о б е окрестности, что невозможно. Сле-
довательно, хоть одно из чисел Ь\, Ь2 не является lim f (х).
X -► X
Возможно ли, далее, чтобы одновременно было lim f (х)= 4" сю
и lim f (x) — b, где b — какое-нибудь число?
Чтобы это выяснить, привлекаем окрестность (Ь — в; 6 4-в)
для произвольного в>0 и любое положительное число £, большее
чем b4-е (снова сделайте чертеж). Равенства lim f (х) = 4-
и lim f (x) = b согласно определению предела (§2) ив силу свойст-
ва (1°) требуют, чтобы начиная с некоторого х значение f (х)
было больше L и одновременно попадало в окрестность (£> —е;
Ь-\-е). Так как это исключается, то невозможно, чтобы одновре-
менно имели место lim f (х)= 4~ 00 и limf(x) = &.
Точно так же невозможно, чтобы одновременно имели место
limf(x) = 6 и limf(x)= —оо, limf(x)=4-°° и lim f (х)= — оо.
Вывод. Предел функции обладает свойством единственности,
т. е. не существует двух различных пределов данной функции f (х)
при данном х -> т.
При этом нельзя забывать, что очень часто lim f (х) вовсе
X -+ X
не существует, как показывает хотя бы пример незатухающих ко-
лебаний. Так что последний вывод можно сформулировать следую-
щим образом: функция имеет не более одного предела при любом
данном х —> т.
Отметим, что если бы оказалось, что lim f (х) определяется
Х-+ X
неоднозначно, то приведенное в § 2 определение понятия предела
не имело бы практического смысла.
3°. В связи с определением конечного предела lim f (х) =
х-*-х
= Ь заметим, что в его формулировке можно ограничиться положи-
105
тельными числами 8, меньшими любого данного положитель-
ного числа k. Действительно, если выполняется неравенство
If (х)— Ь\ <е, где е<£, то оно тем более выполняется при любом
таком е, что 8^ k. Поэтому можно пользоваться следующей
формулировкой определения конечного предела функции (она рав-
носильна прежней):
Говорят, что lim f (x) — b, если для любого 8, 0<е<£, нани-
жет
ная с некоторого х |f(x) — Ь|<е.
Такая формулировка, как мы убедимся в дальнейшем, создает
определенные удобства в работе с пределами.
4°. На основании определения предела очень просто решается
вопрос о пределе простейших элементарных функций f (х) =cons £
ф(х)=х, £(x) = sinx. Что касается четвертой простейшей эле-
ментарной функции z/=10£ то задача о ее пределе будет решена
в § 11, когда мы будем располагать определенным аппаратом
нахождения пределов.
Если f (х)—с (область определения /?), то, каково бы ни было
в>0, для всех х (тем более начиная с некоторого х) If (х)—с| =
= |с— с|<е. Отсюда согласно определению предела получаем
lim f (х) = с. Запишем это проще: lim с = с.
X -* т х -* г
Для функции ф(х)=х, также определенной на J?, имеем
|ф (х) —а| = |х — а|. Следовательно, для любого 8>0 при
|х — а|<8 будет и |ф(х)—а|<е. Это значит, что при х->а на-
чиная с некоторого х |ф (х)—а| <8, т. е. lim ф(х)=а, или проще:
limx = a. х~*а
х -* а
Для функции h (x) = sin х с той же областью определения имеет
место \h (х) — sin al = I sin x — sin a\ < |x — a| (см. рис. 59, на кото-
ром |OB| =r— 1, |ВД| =а, \ВМ\=х, |ЛЛ41 = |х — а== sin a,
Ol = sinx, \КМ — NA\ = (sin x — sin a\< |ДЖ| < |ДЛ41, гл. I,
§ 7, n. 5°).
Следовательно, для любого e>0 при |x — a|<<e и подавно
|sinx—sina|<e. Это значит, что при x->a начиная с некото-
рого х | sin х — sin а| < 8, т. е. lim sin х — sin а. Точно так же дока-
х а
зывается, что lim cos х — cos а.
То, что lim ф(х)=4-оо, т. е. что
х —> 4- °°
lim х—4-оо, доказывается так: если х>£,
X + 4 оо
то и ф(х)>£ (ибо ф(х)—х); отсюда для лю-
бого £>0 начиная с некоторого х ф(х)>£,
что согласно определению означает:
lim ф(х)=4-°°, или lim х=.4-°о. Заме-
X -► + оо х -► + оо
нив в этом рассуждении знак > на <, полу-
чим lim ф(х)= —сю, т. е. lim х= —оо.
106
При стремлении аргумента х к бесконечности sin х совер-
шает незатухающие колебания, и lim sin х, lim sin х не су-
X —> + оо х —► — оо
шествуют.
Итак, lim с — с, lim х = а, lim х=-|-оо, lim х— — оо,
х —> т х —а х —00 х — оо
lim sin x = sin a, a lim sin х и lim sin х не существуют.
х —г а х —»- + оо х —► — оо
5°. Дадим теперь геометрическое истолкование определения
предела функции. Оно связано с ее графиком в координатной
плоскости хОу.
Начнем с конечного предела (рис. 58, а, б). Если lim f(x)=b
X -> + оо
(или lim f(x)=b), то при х-> + оо (или соответственно при
X —> — оо
х->—оо) график функции y = f(x) приближается к прямой
у = Ь, которую называют горизонтальной асимптотой этого гра-
фика. Какой бы узкой 8-полосой (/> —е<//<£ +е) мы ни окружи-
ли асимптоту у = Ь, в эту полосу начиная с некоторого х полностью
попадает данный график. Поэтому начиная с некоторого х функ-
ция f (х) для нас не отличима от константы, равной b (скажем,
при е—105), а ее график практически сливается со своей
асимптотой. Для константы ее график и асимптота графика на
Н-оо и на — оо есть одна и та же прямая.
Если же lim/(x) = /?, то, какова бы ни была окрестность
х а
(Ь — ъ\ Ь-\-е), изображаемая на оси Оу (рис. 58, в), найдется та-
кая окрестность (а — 6; а + 6), изображаемая на оси Ох, все точки
х которой функция f переводит внутрь окрестности (6 — е; 6-(-е)
(говоря так, мы подразумеваем, что точки х являются значения-
ми аргумента, притом отличными от а).
На рисунках 56, 57 дано геометрическое истолкование беско-
нечного предела функции f (х) как при х —± оо , так и
при х а. В первом случае график имеет «хвостики», уходящие
по горизонтали и по вертикали в бесконечность. Во втором слу-
чае, т. е. когда lim f (х)= + оо или lim f (х)= — оо, график функ-
х а х а
ции f (х) по мере приближения х к точке а уходит неограниченно
вверх (или вниз) и при этом приближается к прямой х = а, кото-
рая называется вертикальной асимптотой графика. Каково бы ни
было число L>0 (или соответственно L<0), найдется такая
окрестность (а — 6; а + 6), все точки х которой функция f переводит
в точки, лежащие выше (соответственно ниже) L (рис. 56, в
и 57, в).
. 6°. Остановимся на некоторых случаях несуществования пре-
дела функции в точке. При этом мы рассматриваем лишь такие
функции аргумента х, которые при х —я начиная с некоторого
х ограничены, так что бесконечный предел при х а (или в
точке а) заведомо исключается и речь будет идти только о ко-
нечном пределе.
107
Действительная функция действительного аргумента y—f (х) в
общем виде представляет из себя произвольным образом задан-
ное, не связанное никакой единой формулой соответствие между
значениями переменной х и значениями переменной у (те и другие
значения — действительные числа). В силу этого значения пе-
ременной у никак не связаны между собой даже тогда, когда они
«возникают» из связанных в каком-то смысле значений х. При этом
нас особо интересует связанность значений переменной в смысле
их близости к определенному числу, а следовательно, и д р у г
к другу. Так вот, для произвольного соответствия y—f(x) из
близости значений х вовсе не вытекает близость друг к другу со-
ответствующих значений переменной у.
Вспомните функцию Дирихле
| 0 для иррациональных х,
f(x)=| । дЛЯ рациональных х.
Мы можем аргумент приближать, например, к 3. Но при этом
значениями переменной у будут то 0, то 1 в любой близости х от
числа 3 (с обеих сторон от него). При таких незатухающих коле-
баниях, скачках функции f (х), размах которых равен 1—0—1, не
может существовать lim^(x). В самом деле, если бы некоторое
число b являлось пределом f (х) при х -> 3, то в окрестности
{Ь — в; & + е) сколь угодно малой длины 2е содержались бы зна-
чения f (х) для всех х из некоторой окрестности (3—6; 34-6), чего
в рассматриваемом случае нет ни при каком в, меньшем чем
Точно так же не существует lim / (х) для любого а.
х -> а
Подобно этому и для функции
( 1 для рациональных х
F(x)=J х
I — для иррациональных х
не существует lim F (х), если а ^2. Нетрудно видеть, что lim Е(х)=
х а х —► 2
= 1. Сделайте наброски графиков функций f (х) и F (х).
Возьмите еще функцию sin-^- (ее график на рисунке 15 в гла-
ве I) и приближайте х к нулю. Значения функции будут при этом
совершать незатухающие колебания от —1 до 4-1 и, следова-
тельно, не будут приближаться ни к какому определенному числу:
lim sin — не существует. Если мы здесь заменим х на х — 5, то
х-> 0 X
придем к выводу, что и lim sin —— не существует.
х 5 X «
Обратимся к функции (qp4-1) *sin Ее график по мере
108
приближения х к 0 совершает незатухающие колебания между
кривыми у =—( ——|- 1 ] и у=——h 1 (сделайте чертеж). Поэтому
lim 1) • sin не существует. Для сравнения заметим, что
limf— -sin — ] существует и равен 0, так как фунция —-sin —
при х 0 совершает затухающие колебания (снова сделайте чер-
теж). Точно так же lim^(x — 5)-sin =0.
Читателю рекомендуем исследовать с точки зрения существо-
вания предела в любой точке а функцию f(x)-sinx, где f (х)—
функция Дирихле.
Существуют ли lim^3x• sin lim^xcos-^-)?
§ 4. еб-язык математического анализа
Языку множеств — языку, на котором излагается анализ, при-
надлежат в первую очередь слова «множество», «элемент», «при-
надлежит», «соответствует», а также словосочетания «существу-
ет... такое, что» и «для любого...» («каково бы ни было...»). Все
определения и предложения анализа явно или после расшифров-
ки содержат эти словосочетания.
К сожалению, это обстоятельство в обучении математике не
всегда подчеркивается, и оно выпадает из поля зрения учаще-
гося. Вследствие этого он часто не придает выделенным слово-
сочетаниям должного значения, и в его изложении (да и понима-
нии) анализ перестает быть точной наукой. Как изменить это
ненормальное положение?
Нужно, очевидно, каким-нибудь способом эффективно при-
влечь внимание учащегося к словосочетаниям «существует... та-
кое, что» и «для любого...». Таким способом является использо-
вание тех или иных символических обозначений для указанных
словосочетаний — например, символов 3 и V, заимствованных из
логики и называемых кванторами (гл. I, § 6).
Вот почему мы привлекаем кванторы к изложению анализа
в данной книге.
Напомним следующие обозначения:
3 (Q) — существует ос, такое, что имеет место Q;
а
V (Q) — для любого ос (каково бы ни было ос) имеет место Q;
3 (Q) — существует ос, такое, что Р и что имеет место Q;
а\Р
v (Q) — для любого ос, такого, что Р, имеет место Q.
а\Р
109
Здесь под Р и Q подразумеваются произвольные суждения
об а, а символ | означает «такое, что».
Обращаемся теперь к сформулированному в § 2 (п. 2°) обще-
му определению предела функции lim f (х). Оно охватывает де-
вять видов предела. Если для каждого из них дать развернутую
словесную формулировку, а затем перейти к кванторам (сде-
лайте это самостоятельно), то придем к следующей форме запи-
си определения предела: lim f (х). (x£D(j); D (f) удовлетворяет
требованиям, указанным в § 2, п. 2).
1. Говорят, что lim f (х) = -f- оо, если выполняется следующее
X -* + оо
условие:
V 3 V (f(x)>L),
L>0 /V>0 x\x>N
т. е. для любого L>Q существует такое ?V>0, что для любого х,
такого, что х> N, имеет место неравенство f (х)> L.
Аналогично формулируется определение предела функции f (х)
для восьми других конкретных случаев, которые ниже мы запи-
шем слева. Справа же запишем их характеристические условия.
Обе колонки соединим знаками о, которые означают: равносиль-
опр
но по определению следующему условию.
2. lim f(x)= + °° о V 3 V (f(x)>L),
х-*• — оо опр L>0 <V<0 x|x</V
т. е. равенство lim f(x)=-\-oo равносильно по определению
X —> — оо
следующему условию: для любого Л>0 существует такое А<0,
что для любого х, такого, что х<А, имеет место неравенство
f{x)>L. (Перед знаком lim добавляется слово «равенство».)
3. lim f (х)= + оо о V 3 V (f(x)>L).
х^а опр L>0 6>0 х |х —а | <6
1 х^а
4. lim f(x)= — оо -о V 3 V (f(x)<zL).
х ->• + оо опр L<0 Л' >0 х\х> N
5. lim f(x)= —оо о V 3 V (f(x)<L).
х —— оо' опр Z.<0 W<0 x|x<jV
6. limf(x)= —оо о V 3 , V (f(x)<L).
х->а опр L<0 6>0 х |х-а| <6
•х#=а
7. lim f(x) = bo V 3 V ( |f (х)-6|<е).
x-^+oo onp E>0iV>0x|x>W
8. lim f(x) = bo V 3 V ( | f (x) — 61 < e).
x-^-00 onp e>0 N<0 x\x<N
9. limf(x) = 6o V 3 , V ( |f (x)-6|<8).
x-^a onp e>0 6>0 x |x-a|<6
Ix^a
Выделим как частные случаи пределов 7, 1, 4-е определения
конечного и бесконечного пределов числовой последо-
вательности:
110
lim xn = b о V 3 V ( \xn — b\<Ze),
n -> + oo onp p>0 /V > 0 n\n> N
(“l)
lim xn=-p оо о V 3 V (x„>L), (0i)
n + oo onp L>0 N>0 n\n> N
lim xn= — oo о V 3 V (xn<L). (y})
n oo onp L < 0 N> 0 n In> N
Естественно далее объединить определения 1—9 в одно, как
это сделано в § 2. Присмотримся с этой целью к условиям, харак-
теризующим приведенные пределы.
Первым элементом указанных характеристических условий
является либо V , либо V , либо V . Каков смысл, какова роль
/.>0 Г<0 ' е>0
участвующих здесь кванторных переменных L>0, L<0, г>(),
показателем чего они служат? Число 8>0, очевидно, показывает,
насколько мы хотим приблизить функцию f (х) к ее пределу b за
счет приближения аргумента х либо к -ф- оо, либо к — оо, либо к
числу а. Аналогично L>>0, А<0 показывают, насколько нам нуж-
но приблизить /’ (%) к ее пределу ф- оо или — оо. Каждую из пере-
менных £>(), Л<0, 8>0 будем обозначать буквой А.
Вторым элементом рассматриваемых характеристических ус-
ловий является либо 3 , либо 3 , либо 3 . При этом квантор-
N >0 А<() 6>()
пые переменные Л/д>0, N<0, б>>0 показывают, насколько дол-
жен аргумент х приблизиться к -(-оо, — оо, а, чтобы обеспечить
нужное приближение f (х) к своему пределу. Каждую из пере-
менных /V>(), N<0, б>() обозначаем через В.
Близость функции f (х) к пределу b характеризуется у нас
неравенством \f (х) — b | < с, а ее близость к пределам Н~оо,
— оо — неравенствами соответственно f(x)>L, f(x)<L. Эти
неравенства обозначим символом Н (А) (читается: эн от А).
Наконец, неравенства х>А, x<zN, \х — a\<Zb являются не-
равенствами близости аргумента х соответственно к -ф- оо, к — оо,
к а. Их обозначим через Н (В) (эн от В).
Теперь мы можем записать общее, объединяющее отдельные
виды характеристическое условие предела
lim f (х) = <
— оо
ь.
Оно таково:
V 3 V (Н (А)) (I)
(каково бы ни было А, существует такое В, что, каково бы ни бы-
ло х, такое, что справедливо неравенство Н (В), имеет место не-
равенство Н (А)). При этом элементы условия (I) для каждого из
девяти случаев раскрываются при помощи следующей таблицы:
111
№ п/п Предел функции А Н (А)
1 lim/(x)= + оо А>0
2 lim f(x)= — оо LC0 f(x)<L
3 limf(x) = b 8>0 |/ (х) — Ь\ <8
№ п/п х -> т В Н (В)
4 X —оо А>0 х> N
5 X —— оо А<0 x<N
6 х -► а б>0 1 X — о | < &
х^=а
Эта таблица столь проста и естественна, что запомнить ее не
составляет никакого труда, зато, сочетая строки 1, 2, 3 поочеред-
но со строками 4, 5, 6, вы получите из общего характеристичес-
кого условия (I) характеристические условия всех девяти видов
предела. Например, сочетая строку 2 со строкой 6, будем иметь:
limf(x)= — ооо V 3 । V (f(x)<L).
х а опр /_<(.) 6>0 х |х — а|<6
I
Другой пример. Чтобы получить определение конечного пре-
дела функции в точке, нужно привлечь строки 3, 6 и подставить
указанные в них элементы в условие (I):
limf(x)=6o V 3 . V ( If (х)-6|<8). (II)
х а опр р > 0 S>0 х | х - - а | < 6
I х^а
Конечный предел функции в точке (т. е. при стремлении аргу-
мента к числу) по своей роли в математическом анализе явля-
ется первым среди пределов. То обстоятельство, что в нашем пе-
речне он оказался последним, объясняется следующими сообра-
жениями: для лучшего усвоения, для большей наглядности удоб-
нее начинать с бесконечного предела на бесконечности, затем
перейти к конечному пределу на бесконечности и лишь потом
обратиться к конечному пределу в точке.
При сопоставлении кванторной записи определения предела
функции с равносильной ей записью этого определения в § 2
(п. 2°) возникает вопрос: что в кванторной записи соответствует
словам «начиная с некоторого х»?
Легко видеть, что этому словосочетанию соответствует в кван-
торной записи символическое выражение 3 V , т. е. выражения
г Вх|Н(В)
3 V , 3 V , 3 , V
JV>0 x\x>N x\x<N 6>0 x |x — a|<6
I x#=a
Отметим еще, что определяющее условие предела lim f(x)=b
х -> а
формулируется в книгах по анализу двояко:
а) для любого е>0 существует такое <5>0, что для любого х,
такого, что |х — а|<6, х^а, имеет место неравенство
\f (х) — Ь\ <е;
112
б) для любого е>0 существует такое 5>0, что неравенства
|х — а|<б, х^=а (вместе) влекут неравенство \f (х) — Ь\<8.
Понятно, что обе формулировки равносильны (см. гл. I, § 6,
f 4- ОО,
п. 4°). В общем виде можем записать для lim f(x)=< — оо, что
Х^Х (б,
V3 V (Н (А)) о V3 (Н (В) => Н (А)).
Мы будем пользоваться обеими формулировками.
Таков язык теории пределов, а следовательно, й язык ма-
тематического анализа — так называемый еб-язык. Он не только
важен как основа теории, но играет существенную роль в прак-
тическом исследовании функций, описывающих те или иные
процессы, когда, вычислив предел функции, нужно установить,
быстро или медленно эта функция приближается к своему
пределу. Примерам такого рода посвящен § 6 данной главы, а в
ближайшем параграфе рассмотрим свойства предела.
§ 5. Свойства предела функции.
Первый замечательный предел
1°. Определение нового понятия тут же приводит к вопросу
о свойствах этого понятия, вытекающих из его определения.
Свойства предела функции рассматриваются во II и III гла-
вах. В настоящем же параграфе будет указан ряд существенных
свойств предела, наиболее просто выводимых из его определения
и в этом смысле ближайших к нему.
1) Если функция f (х) имеет при х ->► т конечный предел
Ь, то для любого 8>0 начиная с некоторого х данная функция
ограничена снизу и сверху числами соответственно Ь — 8, Ь-]-е.
Следовательно, найдется такое число с>0, что начиная с неко-
торого х | f (х) | < с. В качестве такого с можно взять большее
из двух чисел \Ь — б|, |b + е|. (Изобразите числовую прямую и
убедитесь в этом, рассматривая случаи, когда b — г и Ь-|-8 —
числа сначала одного знака, а затем противоположных.)
Обратите внимание на то, что функция, имеющая конечный
предел при каком-нибудь х т, не обязана быть ограниченной
во всей области определения (см. рис. 58), но она
должна быть ограничена начиная с некоторого х\ на некотором
луче(М; +°°), когда lim f(x) = b, на некотором луче (—оо; 7V),
если lim f(x) = b, на некотором интервале (а — б; а4-6), когда
X — оо s
lim f(x) = b. В отличие от этого функция с бесконечным
х а
113
h-£ h+E ffa) пределом не ограничена ни на одном
—(—•—) • —------из множеств указанного вида.
" к Напомним, что выражение «функция
Рис. 60 f (х) ограничена (или не ограничена) на
множестве Т» означает, что если аргу-
мент х этой функции принимает значения
из Т, то она ограничена (или соответственно не ограничена).
2) Пусть функция f (х) имеет конечный предел lim f (х), a k —
X - -> т
любое данное число. Если начиная с некоторого х f(x)^k, то и
lim f (x)^k. Если начиная с некоторого х [ (х)^£, то и lim f (x)^k.
Действительно, пусть сначала начиная с некоторого х f (x)^k,
a h—любое число, меньшее чем k. Можно взять столь малую
окрестность (h — е; Аф-е), что вся она будет слева от k (рис. 60).
Но тогда начиная с некоторого х f (х) не будет содержаться в ок-
рестности (А — е; /г + е), и, следовательно, число h не является
lim f (х) (§ 3, п. 1°). Таким образом, никакое число, меньшее k, не
есть предел f (х) при х —т. Из этого следует, что lim f (x)^k.
Л + 1
Точно так же (с изменением знака неравенства на противопо-
ложный) доказывается вторая половина свойства.
3) Пусть функция f (х) имеет конечный предел lim / (х). Если
X -> т
начиная с некоторого х f (х) неотрицательна, то и 1 irn / (х) 0.
Если начиная с некоторого х f (х) неположительна, то и lim / (х)^0.
Это свойство предела есть частный случай предыдущего.
Заметим, что заменить всюду в формулировке свойства 3
знак на >, а знак на < нельзя: вполне может случиться,
что f (х)>0, a lim f (х) не больше, а равен нулю (вспомните хотя
бы пример 1 из § 1, в котором сила F, оставаясь положительной,
стремится к пределу, равному 0); точно так же может оказаться,
что f (х)<0, a lim f (х) не меньше, а равен нулю. Но может, конеч-
но, быть и так, что и [ (х)>0, и limf(x)x>0, а также что и
f(x)<0, и limf(x)<0 (приведите примеры). В следующем пред-
ложении как раз и будет рассматриваться этот случай.
4) Пусть функция f (х) имеет конечный предел lim f (х). Если
lim f (х)у>0, то начиная с некоторого х и f (х)>>0; если lim / (х)<0,
то начиная с некоторого х и /(х)<с0. Другими словами, если
lim f (х)=/=0, то начиная с некоторого х [ (х) имеет тот же знак,
х -> т
что и ее предел.
114
Действительно, обозначим lim/(%) через b. Если 6 > О, то
возьмем столь малую окрестность (6 — 8; что вся она распо-
ложена справа от нуля; если же 6<СО, то выбираем окрестность
(6 — 8; 6-|-е), целиком находящуюся слева от нуля. При х т
начиная с некоторого х f (х) содержится в окрестности (6 — 8;
б-f-e), и, следовательно, в первом случае /(х)>0, а во вто-
ром f (х)<0.
В связи со свойством 4 сделаем следующие замечания:
а) Если lim/(x) = 0, то сколь угодно малая окрестность пре-
дела — это промежуток ( — 8; 8), и f (х), попав в эту окрестность,
может быть больше, а может оказаться меньше нуля. Такое яв-
ление мы наблюдаем в примере затухающих колебаний маятника
(§1): lima(/) = 0, а функция a(t) при t 2 то больше, то меньше
нуля.
б) Если lim / (х)= + оо, то начиная с некоторого х /(х)>0;
если lim f (х) = — оо, то начиная с некоторого х f (х)<0.
в) Функция сохраняет знак предела, отличного от нуля, лишь
начиная с некоторого %, но необязательно во всей об-
ласти определения (рис. 61).
5) Если lim /(х) = 0, то lim |/(х) | =0. Обратно: если
lim | f (х) | = 0, то limf(x) = 0. Другими словами, утверждения
lim f (х) = 0 и lim |/(х) |=0 равносильны.
Это сразу вытекает из следующего очевидного факта: если в
окрестности ( — е; е) содержится f (х), то там же содержится и
1/(х)|; обратно: если |/(х)|<8, то — 8</(х)<8.
6) Если limf(x) = 6, то lim | f (х) | = 161, т. е. предел модуля
функции равен модулю ее предела: lim |/ (х) | = | lim f (х) |.
115
то и \im g(x) = b (рис.
Действительно, если Ь=0, то данное
утверждение вытекает из предыдущего:
lim If (х) | =0= \Ь |. Если b ^0, то для
любого такого 8, что 0 с 8 < | b | начи-
ная с некоторого х f (х) содержится
в окрестности (Z> — 8; 6-J-e), a \f(x)\
содержится в окрестности (\Ь\—е;
I b | -ф8) (рис. 62) для 6<0. Это зна-
чит, что lim |f (х) | = 161.
7) Пусть даны функции f (х) и g (х).
Если lim f (x) = b, a g (х) начиная с не-
которого х содержится между [ (х) и Ь,
63). Действительно, так как для любо-
го 8 > 0 начиная с некоторого х f (х) попадает в окрестность
(Ь — 8; Ь-\-е), то начиная с некоторого х вместе с f (х) в эту же ок-
рестность попадет и g (х). А это значит, что lim g (x) = b.
Здесь и далее со словом «между» мы связываем необязатель-
но строгие неравенства. Мы говорим, что h содержится между
р и q, если q h р или
8) Пусть даны функции f (х), ф (х) и g (х). Если при х -> т
функции f (х) и ср (х) имеют общий предел Ь, т. е. limf(x) =
= lim ф(х) = 6, a g (х) начиная с некоторого х содержится между
f (х) и ф (х), то и limg(x) = 6.
Действительно, так как для любого 8>0 начиная с некоторо-
го х f (х) и ф (х) попадают в окрестность (ф — б; Ь-\-&), то начиная
с некоторого х вместе с ними и g (х) попадает в ту же окрестность.
Это значит, что lim g (x) = b (рис. 64). (Заметим, что свойство пре-
дела 7 представляет из себя частный случай свойства 8, если в
качестве функции ф (х) взять константу, равную Ь.)
9) Пусть функции f (х) и ф (х) (необязательно с общей об-
ластью определения) при х т начиная с некоторого х совпада-
ют по своим значениям: /(х) = ф(х). Тогда lim f (х) и Пгпф(х)
х —► т х т
либо одновременно не существуют, либо одинаковы: limf(x) =
= lim ф (х) (рис. 65).
Это сразу следует из определения предела, согласно которому
f(x) д(х) b д(х) f(x)
Рис. 63
Н —. _)
b-£ f(X) (р(Х) Ь ф(Х) f(x) Ь+Е
Рис. 64
116
неравенства j (х)> L, f(x)<L, \f(x)—b\<z, соответствующие
пределам lim f (x) = + oo, lim f (x)= — <x>, lim f(x) — b, выполня-
ются именно начиная с некоторого х.
Из свойства 9 предела функции вытекает такой практический
вывод: если, например, мы решаем задачу о lim f (х) для функ-
х —>- 3
ции f (х), определенной на (—оо; -|-оо), то можно, если это нам
удобно, рассматривать f (х) лишь для х из любого такого проме-
жутка, внутри которого содержится число 3 (скажем, из проме-
жутка [2; 4] или из промежутка [2,9; 3,1]). При этом 6 или jV, най-
денные для х из промежутка, можно принять и для х£( — °° ; -ф оо).
10) Если lim /(х) = />, то, как бы мы ни изменили значение
л > а
[ (х) в точке а (когда f (а) определено) или как бы ни доопредели-
ли функцию / (х) в этой точке (когда f (а) не определено), предел
вновь полученной при этом функции (х) при х а также будет
равен Ь, т. е. lim(p(x) = b (рис. 66).
t > (I
Чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить, что согласно
определению предела lim f (х) значение f {а) вовсе не учитывается.
х а
Таковы свойства предела числовой функции (в частности,
предела числовой последовательности), наиболее просто выводи-
мые из определения предела. Напомним, что в число его свойств
мы включаем и свойство единственности предела, которое ввиду
его неотложности было рассмотрено в § 3, п. 2°.
Следует отметить, что доказательства большей части свойств
предела 1 —10 основаны на свойстве 1° словосочетания «начиная
с некоторого х». Еще раз вникните в доказательства предло-
жений 1 —10 и выясните, в каких из этих доказательств исполь-
зуется это свойство.
2°. В заключение параграфа докажем с помощью свойства. 7
предела функции равенство
1'17
называемое первым замечательным преде-
лом. Роль его вам, по-видимому, уже из-
вестна: на основании этого равенства выво-
дятся формулы дифференциального исчисле-
ния
(sin х)' — cos %, (cos х)' = — sinx.
Пусть сначала 0<х<-^-. Тогда sinx<
<x<tg х, что доказано в п. 5° § 7 гл. I
с помощью рисунков 59 и 67.
Разделив почленно неравенства sin х<
<x<tgx на sinx>(), получим 1
< — ИлИ’ пеРех0ДЯ к обратным величинам, cosx<;——<Zi- Но,
как мы видели в п. 4°, § 3, lim cos x = cos а, в частности
х —► а
lim cos x = cos 0= 1. Отсюда в силу свойства 7 предела функ-
х —> 0
ЦИИ lim —=1.
х 0 X
0<х<^-
Из доказанного ввиду четности функции ~~ в области ее
определения следует, что и lim ^~=1. Отсюда, очевидно,
1 • Sin X 1 JT ! Г\ 19
lim^—— = 1 также при ——<х< —, х^О, а в силу свойства 9
предела, наконец, получаем lim -= 1 при x£R, х^О.
х —> 0 X
Докажите в общем виде, что если / (х) — четная функция и
lim f (x) = b, то и lim f (х) = b, а также lim f (x) = b (вместо b можно
x>0 x<0
здесь писать -|-оо или — оо).
§ 6. Примеры, решаемые непосредственно
на основании определения предела функции
1°. Рассмотрим сначала примеры, относящиеся к бесконеч-
ному пределу на бесконечности, в которых непосредственно на
основании определения предела (§ 2) докажем, что:
1) lim д/х= + оо; • 2) lim д/х= — оо;
X -+ + ОО X —> — оо
3) lim lgx=-j-oo; 4) lim х6=-роо.
х —► оо х —>- ~Г 00
1) Возьмем произвольное L>0. Решая относительно х нера-
венство \[х>L, будем иметьу/х>L о x>L3. Из этого видно, что,
118
приняв за N число £3, получим Q (А это озна-
чает, что lim V*= + °°-
X -► + оо
2) Каково бы ни было £<0, ^/х<£ох<£3. Обозначив
через N число £3, получаем V 3 V (Ух<£),т. е. lim Я/х =
L<0 N<0 x\x<N х^-ао
— -- ОО .
3) Каково бы ни было £>0, lg х> L о х> 10L. Следователь-
но, приняв Ж=10£, будем иметь V 3 ^V^(lgx>£), т. е.
lim lgx=H-oo.
X -* Н- оо
4) Для произвольно взятого £>0 при положительных х
верно, что х6> £ч> х>^£. Поэтому, обозначив ^/L = N, получим
V 3 V (х6>£), т. е. lim х6=-|-оо.
L>ON>Ox\x>N ж-^4-00
Напомним, что символическое выражение 3 V , а также
N>0 x\x>N
3 V можно заменить словами «начиная с некоторого х».
Ж<0 х|х<Ж
Так что в примере 4 будет: для любого £>0 начиная с некоторого
х имеет место х6>£.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Возьмем в
примерах 1, 3 и 4 значение £=64, а в примере 2 значение £ =
= —64. Тогда в примерах 1—4 имеем соответственно 2V=643,
JV =—643, N— 10й4, N = 2. Это свидетельствует о том, что хотя
во всех четырех случаях функции теоретически стремятся к оо
или — оо, но скорости такого «стремления» в данных слу-
чаях столь различны, что они практически несопоставимы: зна-
чения N как раз и отвечают на вопрос: начиная с какого х функ-
ция превосходит £ = 64? Чем раньше это произойдет, т. е. чем
меньше | /VI, тем функция стремится к -J- оо или — оо быстрее.
Из рассмотренных четырех функций наиболее быстро стремится
к бесконечности функция х6, наиболее медленно (крайне мед-
ленно) — функция 1g х.
2°. Рассмотрим далее примеры, которые относятся уже к оп-
ределению конечного предела функции на бесконечности и в точ-
ке. Теперь для 8>0 мы будем находить в п. 2° и п. 3° такое
/V>0, а в пунктах 4°, 5° такое 6>>0, что из неравенств соответ-
ственно х^> N и |х — а|<6 вытекает неравенство If (х)—6|<е.
Пусть на неограниченном справа промежутке [2; оо) задана
функция f (x)=^-ip. Существует ли lim f (х)?
X — I х -► + 00
Разделив числитель и знаменатель дроби 2*з на х3, можем
119
записать: f (х) =-р . Так как при неограниченном возрастании
1 х3
х функция -р- убывает, приближаясь к нулю, то представляется
правдоподобным, что при этом f (х) стремится к 2, т. е. что
lim f (х)=2. Это равенство мы и подвергнем проверке на основа-
х -> + оо
нии определения предела (§ 2).
Рассматриваем неравенство \f (%) — 21 <С8, которое решим от-
носительно х, считая 8 произвольно взятым, но зафиксированным,
а потому известным положительным числом. Напишем цепочку
равносильных друг другу неравенств, не забывая, что на проме-
жутке [2; + оо) знаменатель х3 — 1 положителен (х3 — 1 7 >> 0) и
что, следовательно, |х3 — 1|=х3— 1.
I 2х3-|-1 Q I I 2х3+1-2х3 + 2 I 3 3
I | ^3_1 | <<8, %3_j
—, х3-1>А х3>-М-1, х>ЛЖ+Т.
Зе 8 8 V е
Таким образом, найдено такое число 2V>0, именно Л/=
3/----Г
=“\/ 1 4-—, что если х> /V, to |f (х) —2| <8. Это значит, что для
любого 8>0 начиная с некоторого х выполняется неравен-
ство |/(х)-2|<8. Тем самым доказано на основании опреде-
ления предела, что lim f(x) = 2.
X + оо
Выкладки, с помощью которых мы только что доказали, что
lim f (х) = 2, не только устанавливают факт существования
X -* + оо
предела, но и дают нам нечто большее, представляющее практи-
ческую ценность: они показывают, как быстро функция стре-
мится к своему пределу.
В самом деле, для каждого е>0 мы теперь имеем положи-
тельное число W, равное д/-|—1-1, которое показывает, начиная
с какого х функция f (х) приблизилась к пределу на величину,
меньшую чем 8. Если, в частности, 8 — 0,001, то /V = \/3001 « 14,4,
т. е. приближенно со степенью точности s = 0,001 можем считать,
что для х>>14,4 функция f (х) — это константа, равная 2
(рис. 68).
При 8 = 0,0001 имеем М = д/30001 ^31,1. Повышение степени
точности приближения f (х) к lim f (х) влечет увеличение числа
х -* 4- оо
N, начиная с которого имеет место такое приближение.
120
Рис. 69
2% I 1
Сравним с f (х) функцию ф (х) — у , заданную на том же
промежутке [2; +°о). Проделанные для f (х) выкладки повторя-
ются и в случае ф (х), но с той разницей, что вместо х3 всюду бу-
дет х. Мы придем к выводу, что и lim ф(х) = 2, но уже N =
X -> + оо
= — -|-1. Теперь для 8 = 0,001 М = 3001, и приближение ф (х) к
lim ф(х) = 2 наступает лишь после х = 3001. Это показывает,
х + оо
что ф (х) приближается к своему пределу значительно медленнее,
чем [ (х), хотя предел при х -ф 00 обе эти функции имеют один
и тот же.
Если сравнить f (х) с функцией F (х) = 10-х-(-2, то окажется,
то и lim F (х) = 2, но приближение F (х) к 2 будет гораздо бо-
х -> + оо
лее быстрым, чем приближение f (х) к 2. Действительно, \F (х) —
— 2| = 10“х. Поэтому если х>*4, то | У7 (х)— 2| < 10”4, тогда как
неравенство \f (х) — 2| < 101 имеет место лишь после 7V = 31,1,
т. е. для х>31,1; для 8= 10~6 неравенство \F (х) — 2|<8 вы-
полняется для х>6, в то время как |f(x) —2|<8 начинает вы-
полняться сх~ 144. Для еще более мелких е эта разница в поль-
зу F (х) будет еще гораздо значительнее.
Отметим, что lim 10“х = 0 и что скорость приближения
X -> •+ оо
функции 10 Л (такая же в точности, как скорость приближения
F (х) к 2) очень большая, т. е. для очень малых положительных
8 число Af, как мы видели, совсем невелико (графики функций
F (х) и 1() Л см. на рисунке 69).
Нужно иметь в виду, что функция 10-х того же типа, что и
функции, которые описывают зависимость атмосферного давления
от высоты над уровнем моря, зависимость от времени коли-
чества нераспавилегося вещества при радиоактивном распаде
и многие другие зависимости величин, участвующих в различных
явлениях.
Заметим, что, хотя у нас не вызывает сомнений, что при
121
% -|- оо функция 10х стремится к +оо, а 10 х—0 (причем
очень быстро), сам этот факт пока нами не доказан. Это будет
сделано в § 11.
3°. Функции из примеров, которые рассматривались в пре-
дыдущем пункте, являются монотонно убывающими, их графи-
ки расположены над своими асимптотами. Функции — f (х), — (р (х),
— F(x), — 10“х будут возрастающими. Их графики расположены
под своими асимптотами (постройте!).
Приведем теперь два примера функций, графики которых
при удалении х в бесконечность пересекают свои асимптоты
в бесконечно многих точках и расположены то над, то под этими
, sin X COS X
асимптотами. Это функции —— и --......, которые мы определяем
на промежутке —;
гт 1 * S1П X а
Докажем, что lim ----------= () и
V -> X оо X
lim £2L£ = 0.
Так как |sin х| С 1, |cosx|^l, то каждое из неравенств
I —— I <e, I I <Ce заменяем более сильным неравенством
| | <8, т. е. просто -^-<<8. Отсюда х>>^-, и мы обозначаем
через АЛ Тогда из неравенства х>М следует, что | | <8,
I —I <8, т. е. начиная с некоторого х имеют место неравенства
| | <Е, | 5^-0 | <е.
Это и означает, что lim -^-£ = 0, Нт ^-^-=0. Следователь-
x » 4 'x> % х -> T °°
но, ось Ох (у = 0) является общей асимптотой графиков обеих
функций, которые обращаются в нуль и меняют знак бесконечно
много раз (рис. 70).
4°. Пусть функция /г(х) = х3 определена на промежутке [2; 4].
Докажем на основании определения предела, что lim А (х) —27.
Берем произвольное 8Д>0. Наша задача состоит в том, чтобы
найти такое число 6>0, что как только х приблизится к 3 ближе
122
чем на 6, так h (х) = х3 приблизится к 27 ближе чем на 8. Другими
словами, искомое 6>0 должно обладать тем свойством, что из
неравенства |х — 3|Сб (без учета х = 3) вытекает неравенство
\h (х) — 271 <8.
Итак, мы имеем \h(x) — 27| = |х3— 27| = \х — 31 • |х2-1-Зх +
+ 9|^|х--3| • |42 + 3-4 + 9| =37-|х-3|,
\h (х)-27|^37*|х-3|.
Чтобы обеспечить выполнение неравенства I / (х)— 271 <8, доста-
точно (не необходимо), чтобы 37- |х — 3| было меньше чем 8: ведь
тогда и подавно будет \h(x)—27|<8. Но для выполнения нера-
венства 37-|х —3|<8 нужно, чтобы имело место |х — 3|<^-.
Таким образом, из неравенства \х — 3| вытекает, что \h(x) —
<5 •
— 271 <8. Мы видим, что роль искомого 6 играет число Сле-
О I
довательно, 6 = -^-— искомое число, ибо для любого такого х, что
|х —3| <6, имеет место |Л (х) —271 <8.
Тем самым доказано на основании определения, что lim h (х) =
х -> 3
= 27. В силу свойства 9 предела (§ 5) из этого следует, что и
lim х3 = 27, где х3 — функция, определенная на всей числовой
х 3
прямой (— оо; Н-оо), причем число 6 = -^ сохраняется и в этом
случае.
5° В качестве второго примера к определению конечного
предела в точке рассмотрим функцию £(х) = д/х, определенную
на (—оо; —|—оо), и докажем, что limg(x) = 2.
х —»- 8
Снова воспользуемся свойством 9 предела (§ 5), которое
позволяет при решении вопроса о пределе lim g (х) ограничиться
х —> 8
рассмотрением значений х из какого-нибудь промежутка, внутри
которого содержится число 8.
Нам удобно взять промежуток [1; +оо). Для любого 8>0
нужно найти такое число (5>0, что из неравенства |х —8|<6
следует неравенство |g(x) —2|<8.
Мы имеем для х^1:
|£ /И —21 = |л/х —21 = I_й^£~.23__I =____!.х~81__<
N (д/х)2 + 2 V* + 22 + + 4
<____^=±1____1^/И_2|<1£2281
^(W + 2 V1+4 7 > 7 •
Подобно предыдущему примеру заменяем |g (х) — 2| <8 более
123
I д. _ g I
сильным неравенством -—-—-<8, которое равносильно неравен-
ству |х— 8|<;7е. Ясно, что в качестве искомого можно взять
6 = 7е, так как в этом случае для всякого х^1 из неравенства
|х — 8| <6 вытекает |g (х)— 2| <8. Этим и доказано, что lim 3/х =
= 2.
Относительно найденного 6 заметим, что если бы мы вместо
х^1 рассматривали более близкие к 8 значения х (например,
3
х^7—), то, так же как выше, получили бы 6=128.
На рисунке 71 вы видите геометрическое истолкование ут-
верждения lim//(x) = 2: на оси Оу изображается 8-окрестность
предела 2, т. е. (2— 8; 2-j-e), а на оси Ох — 6-окрестность числа 8,
т. е. (8 — 6; 84~ 6), функция у (х) каждую точку х из второй ок-
рестности переводит внутрь окрестности (2 — е; 2 -(- е).
Упражнения к §1 —6
1. Доказать на основании определения предела, что
lim
X -* + оо
4х3 + 3
8г3 + 7
1
2 ’
3;
Ьх2-7_ 5
6х2 + 8" 6 '
Начиная с какого х функция, записанная под знаком lim, будет
отличаться от своего предела на величину, меньшую чем 0,001,
0,0001?
2. Доказать, что lim -j-оо . Для каждого L > 0 найти
х 4- оо х -р 8
jV>>0, фигурирующее в условии, которое определяет limf(x) =
= + ОО При X —> 4- ОО .
3. Доказать, что lim ап,
П оо
з
—. По каждому 8>0 найти
Зя3 4-1
где = о—- - , существует и равен
Zfl, “г* о
/V ;> 0, фигурирующее в определении
124
предела последовательности. Начиная с какого п выполняется не-
равенство а„<с2?
4. Доказать на основании определения предела, что:
a) lim(x2 + 2) = 3, где 0^х^2;
х 1
б) limx2 = 25, где в) lim 1gf-^-ф- 1 ) =0-
5. Пусть функция f (х), определенная на множестве (1; ф-оо),
является ограниченной. Убедитесь, что выполнено следующее ус-
ловие:
Уэ„ У
b f > 0 X 6 (1, 4 оо ) '
6. Убедитесь, что для функции /' (х), определенной на любом
числовом множестве, условие
выполнено тогда и только тогда, когда / (х) = const = b.
7. В условии, определяющем lim f(x) = b, поменяем местами
первый и второй кванторы: 3 V V ( \f (х) — Ь\<е) (для
некоторого фиксированного Ь). Исследуйте это условие. Какие
функции ему удовлетворяют? Каковы их графики?
§ 7. Односторонние и двусторонние пределы.
Расширенное определение предела числовой функции
1°. Предел функции j (х) на бесконечности определен в § 2
в виде двух односторонних пределов: limf(x) при хф-оо и
lim f (х) при х— оо. Но имеется бесконечно много различных
функций, которые приближаются к одному и тому числу как при
х —•> ф-оо , так и при х— оо. Таковы функции вида сф-а(х),
для которых lim а(х) = 0, а среди функций с бесконечным пре-
А —► + ОО
делом на ±оо, например, сте-
пенные функции с четным показа-
телем и их суммы. Для указан-
ных функций вида сф-ос (х), и толь-
ко для таких функций, прямая
у = с является асимптотой на ф- оо
и на — оо их графика в коорди-
натной плоскости хОу (рис. 72).
Определение предела функции,
данное в § 2, дополняется опре-
делением двустороннего предела
125
на бесконечности: если для функции f (х), область определения
которой не ограничена ни справа, ни слева, lim f (х) и lim f (х)
х —> 00 х —► — оо
существуют и совпадают, то каждый из них называют двусторон-
ним пределом функции на бесконечности и обозначают lim f (х),
не ставя перед символом оо ни ни —, имея в виду то и другое
одновременно:
limf(x) = lim /(х) = lim f (х). (1)
X —► оо X —> оо х —> — оо
Если область определения функции f (х) не ограничена только
справа, то в выражении lim f (х) знак + перед символом оо
X — + ОО
часто опускают и пишут: lim f (х). Это, в частности, относится к
числовой последовательности (ап), предел которой обозначают
lim ап (или просто liman).
П —► ОО
Примеры.
1) lim (х4-|-х2)= + оо, lim (—х2—1)= — оо, limf 3-|—-^=3,
lim ( =5;
х -* оо \ уХ/
2) lim х, lim 2х, lim sin х, lim arctg х, lim arcctgx не су-
x —► оо X —► оо X —► оо х —* оо А* --► оо
шествуют.
Определяющие условия для lim f (х) = -f- оо, lim f (х) = — оо ,
X -> оо X -► ОО
limf(x) = b соответственно таковы: V 3 V (f(x)>L),
оо Л>() NX) х| |х| > N
V 3 V (/(x)<L), V 3 V ( \f (х) —b\с е) .
/. <О Х>0 х| |х| > Л/ f>0 NX) x||r|>,V
2°. Обратимся к пределу функции f (х) в точке а. Часто нас
интересует поведение f (х) при одностороннем приближении ар-
гумента к а: только слева или только справа от а, т. е. при x<Za
или при хД>ц. Это приводит к понятиям односторонних пределов
функции в точке а:
lim f (х) и lim f (х).
х-> а х-> а
х<_а х>а
Они определяются так же, как предел lim f (х), с той лишь разни-
х--> а
цей, что неравенство х^а заменяется неравенствами x<Za и
х~>а. Первый из указанных пределов называется левосторонним
и обозначается lim f (х), второй — правосторонним и обознача-
х а —
ется lim f (х).
х а +
126
Связь между двусторонним и односторонними пределами оче-
видна: в случае, когда аргумент принимает значения, сколь
угодно близкие к а и слева, и справа от а, справедливы равенства
limf(x) = lim f (х)= lim f (x). (2)
x —a x^a— x—>a-|-
B случае же, когда аргумент принимает значения, сколь угодно
близкие к а только справа или только слева от а, предел lim f (х) —
х а
это lim f (х) или соответственно lim f (х) (см. пример 4 из § 1, в
х ► а + х а —
котором lim S (х) = lim S(x)=12, limS(x) = lim S(x)=12).
x->() x-*0 + x+2 x—^2 —
Приведем следующий пример, связанный с односторон-
ними и двусторонним пределами функции в точке:
гх для х<8,
f(x)=\
у/Х ДЛЯ х>8,
ч 5 для х = 8.
Имеем lim f (х) = lim х = 8, lim f (х) = lim л[х = 2. В то же
х->8 — х-*8 х->8+ х —8
время lim/(x) не существует (рис. 73). Заметим, что f (8) =
(х) + л lirn^f (х)),
т. е. значение [ (х) в точке х = 8 есть
среднее арифметическое между односторонними пределами в той
же точке (понятно, что это лишь случай!).
Еще пример: /'(х) = ^|-^ (рис. 70). Для этой функции
lim /(х)=4-оо, a lim /(х)= —оо (докажите!).
v > О + X -> 0 -
3°. Определение предела функции на бесконечности и в точке,
приведенное в § 2, дополнено здесь определениями двусторон-
него предела на бесконечности и односторонних пределов в точке.
Дадим теперь расширенное определение предела функции, со-
держащее как основное определение (§ 2), так и его дополнения,
указанные в этом параграфе. Сде-
лать это просто: нужно лишь под
х т понимать не только х -> -ф 00,
х — оо, х а, но и х оо, х —
^а —, х^а-\~, а также для каж-
дого из этих шести случаев указать
смысл слов «начиная с некоторого х».
Определение. Говорят, что:
1) lim f (х) = -ф оо, если для лю-
х -> т
босо L^>0 начиная с некоторого х
имеет место неравенство f(x)>L;
2) lim/(x)= — оо, если для лю-
127
бого L<zQ начиная с некоторого х имеет место неравенство
f(x)<C
3) lim f (x) = b, если для любого 8/>0 начиная с некоторого х
имеет место неравенство \f (х) — Ь\ <е.
При этом слова «начиная с некоторого х» для: а) х -ф оо;
б) х -> — оо ; в) х -> оо ; г) х а\ д) х -> а-ф; е) х -> а— озна-
чают соответственно:
а) найдется такое число Л/>-0, что для каждого %, такого, что
x>2V;
б) найдется такое число N<0, что для каждого х, такого, что
x<z N;
в) найдется такое число М>0, что для каждого х, такого,
что |х| > УУ;
г) найдется такое число 6>0, что для каждого х, такого,
что \х — а|<6, х^а;
д) найдется такое число 6д>0, что для каждого х, такого,
что |х — а\ <6, х^>а;
е) найдется такое число 6>0, что для каждого %, такого,
что |х— а\ <6, x<Za.
Все значения х берутся из области определения функции f.
Это определение указывает точный смысл девяти равенств
(а), (р), (у) из § 2 и девяти равенств, определенных в настоящем па-
раграфе. Все свойства предела (§ 5, п. 1°) остаются в силе и для
lim f (х) при х -> оо, х а-j-, х -> а —.
Нам нужно еще записать расширенное определение предела
функции в символической форме с помощью кванторов (подобно
тому как это сделано в § 4 для определения lim f (х) при х -ф оо,
х —— оо, х а).
Для этого, очевидно, нужно сохранить условие (I) и расши-
рить таблицу (§ 4) за счет дополнения колонки х т тремя но-
выми видами приближения аргумента х.
Определение. Говорят, что
если выполнено следующее условие:
V3 V (Н(4)). (I)
А В х1Н(В)
При этом элементы условия (I) расшифровываются с помощью
следующей таблицы:
128
№ п/п Предел функции А И (А)
1 lim f (х)= + оо £>0 f(r)>£
2 lim f (х)= — сю £<0 f(x)<£
3 lim f (x) — b е>0 \f(x)-b\<e
X т В И (В)
4 X 4- оо А>0
5 X -> — ОО А<0 x<zN
6 X ОО А>0 \x\>N
7 х -> а 6>0 \х — а\ <6, х#=а
8 х а-\- 6>0 |х—а| <6, х>а
9 х а — 6>0 \х—а\ <6, х<а
Вы легко получите из равенства (I) и таблицы характеристи-
ческое условие любого из восемнадцати видов предела.
Напомним, что условие (I) можно при желании заменить
равносильным ему условием, содержащим импликацию:
V 3 (Н(В) =► Н(Д)).
л в
Это, конечно, относится ко всем частным видам условия (I).
§ 8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
1°. Мы неоднократно сталкивались с функциями, которые
при том или ином х -> т (т. е. при том или ином из приближений
х -+ + оо, х — оо, х оо, х а, х -> а +» х а —) имеют
конечный предел, равныйнулю.
Рассмотрим в общем виде функции с этим свойством. Для
них имеется особое название — бесконечно малые функ-
ции, хотя по смыслу этого понятия их следовало бы называть
бесконечно умаляющимися, уменьшающимися. Но
здесь действует укоренившаяся в течение столетий традиция
(см. об этом [14], с. 32, а также [4]).
Определение. Функция а(х) называется бесконечно ма-
лой при х->т, если lim а(х)=0, т. е. если для любого е>0 на-
X Г
чиная с некоторого х имеет место неравенство |а(х) | <е.
Сопоставим это с определением конечного предела: число b
называется lim f (х), если для любого е>0 начиная с некоторого
х -> т
х имеет место неравенство | f (х)—Ь\<Съ.
5 Заказ 607
129
Сразу видно, что здесь дня функции f(x)—b выполняется то
же условие, что в определении бесконечно малой для функции
а (х). Следовательно, число b есть lim f (х) тогда и только тогда,
когда разность f (х) —/>, которую обозначим через а (х), является
бесконечно малой при х -> т. Отсюда f (%) = b -ф а (х), и мы прихо-
дим к следующему выводу:
'Функция f (х) тогда и только тогда имеет конечный предел b
при х -> т, когда она представима в виде
f (х)= b + а. (х),
где а (х) — бесконечно малая при х -> т.
Как видим, функция, имеющая при х т конечный предел Ь,
простейшим образом выражается через бесконечно малую, т. е.
понятие конечного предела сводится к понятию бесконечно
малой.
Более того, и понятие бесконечного предела сво-
дится к понятию бесконечно малой функции, так как если
lim f (х) — -ф оо или lim f (х)= — оо, то — бесконечно малая
при х т. Действительно, возьмем произвольное е>0 и перейдем
к числу —, которое обозначим через L. По определению беско-
нечного предела начиная с некоторого х |f(x)|>>E, т. е.
If (х) | >-у-, откуда | | <8, и функция уД является бесконечно
малой при х —т.
1
IФ)
Если теперь вы запишете очевидное равенство f (х) = 1:
то
и получите простое выражение функции f (х) с бесконечным пре-
делом через бесконечно малую
Обратимся к примерам § 6, 7. Относительно рассмотренных в
них функций можем теперь сказать следующее.
Функции Д-Д1- —2, —2, 10~х, являются беско-
нечно малыми при х —-ф оо ; х3— 27 — бесконечно малая при
х —> 3; д[х — 2 — бесконечно малая при х 8; ^ДД, ------
х х
бесконечно малые при х-> оо. В первом примере пункта 2° § 7
функция f(x) —8 — бесконечно малая при х-^8 —; f(x) —2 —
бесконечно малая при х->8-ф.
2°. К понятию бесконечного предела близко понятие беско-
нечно большой функции.
Определение. Функция f (х) называется бесконечно боль-
шой при х -+ т, если lim If (х) | = -ф оо .
130
Понятно, что если lim f (х) = + оо
или lim f (х) = — оо, то f (х) — беско-
нечно большая при х т. Но функ-
ция f (х) может оказаться бесконечно
большой и в том случае, когда ни
lim f (х) = + 00, ни limf(x)= —оо
не имеют места. Примерами могут
служить tg х при х—а также
функция, графически представлен-
ная на рисунке 74, при х -> оо . Функ-
ции х, х3, %5, %7, ... являются бес-
конечно большими при Х^-ОО, но
пределы этих функций при оо не
существуют.
Связь между бесконечно малыми
и бесконечно большими фактически
указана выше: если f (х) — беско-
нечно большая при х -> т, то -т-- —
r f W
бесконечно малая при х т. Кроме того, если а (х) — беско-
нечно малая при х -> т и а (х) начиная с некоторого х не об-
ращается в нуль, то —— бесконечно большая. Действительно,
возьмем произвольное число Л>*0 и перейдем к числу -j-, ко-
торое обозначим через е. Начиная с некоторого х |а(х)|<Е,
т. е. |а(х) |<4~, и, следовательно, I -Vv I > L. Это значит, что
Л I а (х) I
-4— — бесконечно большая при х -> т.
а(х)
Дополнительно отметим, что если а(х)д>0, то lim—4; — + °о,
а если а(х)<0, то lim ——оо.
X Т а (х)
3°. Рассмотрим свойства бесконечно малых, свя-
занные в основном с арифметическими операциями над функция-
ми с одной и той же областью определения.
1) Если а (х) и р (х) — бесконечно малые при х -> т, то и их
сумма а (x)-f- р (х) является бесконечно малой при х т.
Действительно, возьмем произвольное положительное число
8, разделим его на 2. Начиная с некоторого х | а (х)| а также
начиная с некоторого х | р (х)| Но тогда начиная с некото-
131
рого х будут одновременно |ос (х) ) <-j~, |р (х) | <-|-, а следова-
тельно, и | ос (х)-|-р (х) | <-|—|--|-=е (так как модуль суммы двух
чисел не превосходит суммы модулей этих чисел). Это и зна-
чит, что ос (х) + Р (х) — бесконечно малая при х -> т.
2) Если а (х) — бесконечно малая при х -+ т, а с — любое
число, то с-ос(х) также является бесконечно малой при хт.
Чтобы это доказать, разделим произвольно взятое е>0 на
|с| (при ст^О). Начиная с некоторого х |ос (х) | , |с-ос (х) | <8.
Следовательно, с-ос(х)— бесконечно малая при хт.
3) Если а (х) — бесконечно малая при х -> т, а функция у (х)
начиная с некоторого х по абсолютной величине не больше чем
ос (х), то у (х) и подавно будет бесконечно малой при х —т, ибо если
| ОС (х) I < 8, ТО И I у (х) I < 8.
4) Если ос (х)—бесконечно малая при хт, а / (х) начиная
с некоторого х ограничена (т. е. \f (х) | меньше какого-нибудь
с>0), то произведение ос(х)Д(х) есть бесконечно малая при
х т. (Докажите это на основании свойств 2 и 3.)
5) Если при х -> т ос (х) — бесконечно малая, а [ (х) имеет
конечный предел, то произведение ос (х) • [ (х) является беско-
нечно малой функцией при х т.
Действительно, начиная с некоторого х Дх)|<с, где с —
некоторое положительное число (см. свойство 2 предела функции
в § 5). Следовательно, начиная с некоторого х |ос(х)Д(х)|<
< | с - а (х) |. Но с- ос (х) — бесконечно малая при х -> т (см. выше
свойство 2 бесконечно малой). Поэтому ос (х)Д (х) и подавно будет
бесконечно малой при х —т (свойство 3 бесконечно малой).
6) Если ос (х) и р (х) — бесконечно малые при х т, то их
произведение ос (х) • р (х) также является бесконечно малой при
х т.
Это утверждение всего лишь частный случай предыдущего
свойства 5, потому что роль функции / (х) из предложения об этом
свойстве играет в данном случае р (х), имеющая конечный предел
(равный нулю).
Отметим еще, что если ос (х) — бесконечно малая при х -> т,
то вместе с lim ос(х) = 0 будет и lim | ос (х) | =0 (см. § 5, свойст-
во 5), т. е. и |сс (х) | окажется бесконечно малой при х т. Спра-
ведливо и обратное утверждение: если | ос (х) | — бесконечно ма-
лая при х -> т, то а (х) — бесконечно малая при х -+ т.
Располагая этими свойствами бесконечно малых, мы можем
легко строить примеры бесконечно малых функций.
(х —З)(х3 —27)— бесконечно малая при х3; х2, х3, хп —
бесконечно малые при х -> 0; — бесконечно малые при
х оо ; (х —8)(д/х— 2)-J-9(x — 8)2-|-х(х — 8) — бесконечно малая
132
о 1 । 3 4 sin x
при x8;-------—r----г----9---бесконечно малая при x oo ;
r X X X x~
-----бесконечно малая при x^04-; ^-^-(44--—1--^-)—бес-
Ig X-X' \ X X }
конечно малая при xoo (свойство 5 бесконечно малых).
4°. Укажем некоторые очевидные свойства бесконеч-
но больших функций. В их формулировках всюду подразу-
мевается, что области определения рассматриваемых функций
одинаковы.
1) Сумма двух бесконечно больших одного знака есть беско-
нечно большая того же знака: если lim f (х) = 4- оо, Нтф(х) =
= -ф оо, то Irm (J (х)4~Ф (*)) = 4- 00 ; если lim f(x)= — оо, lim ф(х) —
= — оо, то lim (х)4~Ф (х))= — оо.
Действительно, возьмем любое число L>0, разделим его на 2.
Начиная с некоторого х /'(х)>-^-, и начиная с некоторого х
ф(х)>>-^-. Следовательно, начиная с некоторого х
f W+<₽ W>4-+i“=L’ т- е- W+(pW)= + °o-
Аналогично доказывается другое утверждение.
2) Если при х -> т начиная с некоторого х ф (х) f (х) >> О (или
Ф (х)^/ (х)<0) и при этом lim f (х) = -ф оо (или lim f (х) = — оо),
то и подавно Нтф(х)=4“°° (или Итф(х) ——оо). Если при
х т начиная с некоторого х |ф (х) | If (х) | и f (х) — бесконечно
большая, то и ф (х) — бесконечно большая.
3) Если при х -> т limf(x)=4”°° (или lim f (х) =— оо), а
h (х) — функция начиная с некоторого х ограниченная, в частнос-
ти имеет конечный предел, а в еще более частном случае есть
константа, то lim (f (х)4~h (х)) = 4- 00 (или равен —оо).
4) Произведение двух бесконечно больших при х->т есть
также бесконечно большая при х -> т. Если при этом перемно-
жаются бесконечно большие, каждая из которых имеет свой
определенный знак, то и произведение является бесконечно боль-
шой определенного знака, который определяется как при умно-
жении чисел.
5) Произведение бесконечно большой f (х) при х т на функ-
цию g (х), для которой существует конечный limg(x)v^0 (в
частности, g (х) = const э^О), является бесконечно большой при
х-^т. И здесь действует такое же правило знаков, как при ум-
ножении чисел, если бесконечно большая имеет определенный
знак.
Примеры.
1) lim х2 = lim (r-x)=-|-oo, lim xJ= — oo, lim x2=-|-oo,
133
lim xn= + oo, lim x'
при четном n,
при нечетном n.
xn— бесконечно большая при х —оо (свойство 4 бесконечно больших).
2) lim 7х2=-фоо (свойство 5 бесконечно больших), lim (5-{-7х2)=-|-оо
X —> оо X —> оо
(свойства 3 и 5 бесконечно больших).
3) lim ( х3 + х24х + 1 +sin % + ) = + °° (свойства 1, 3, 4, 5 беско-
X —> -|- оо \ X /
COS X
нечно больших, sin х-|--——ограниченная функция начиная с некоторого х
при х -> оо ).
4) lim(х3(3 + ~~ + Д-—д-)) = “Ь 00, так как—+ Д-——бесконечно ма-
лая при х->ф-оо, и, следовательно, lim (з + —+ Д-—^-)=3#=0, а
lim х3 = + оо (далее — свойство 5 бесконечно больших).
X + оо
5) lim (5х4 — 7х3 + 8х2 —4х —3)= lim f х4 f 5——+Д-—4—= ( + 00 )Х
х —► _|_ оо х -+ 4- оо ' X XX X X//
Х5= + оо (свойство 5 бесконечно больших).
6) lim (7х3 —2х2 + 3х —4) = lim (x3f 7 —— + Д-—^-^ =( — оо)-7 = — оо.
х —>- — оо V—► — ос ' X х X X//
Каждый полином степени и 1 на + оо и на —оо имеет бесконечный пре-
дел (рис. 75), следовательно, является бесконечно большой при х->- оо.
5х4 — 7х3Н~8х2 — 4х — 4 Л
7) -------------— бесконечно большая при х-> оо, ибо данная
1 । з
— Sin хН——
4 4
дробь по абсолютной величине не меньше ее числителя, являющегося беско-
нечно большой функцией при х оо. Мы здесь, очевидно, воспользовались
свойством 2 бесконечно больших.
Рис. 75
134
§ 9. Предел и арифметические операции над функциями.
Предел корня n-й степени
Определение предела не дает непосредственно ответа на воп-
рос о том, как найти, как вычислить предел данной функции.
Ответ на этот вопрос получается исходя из свойств предела,
вытекающих из его определения и рассмотренных нами в преды-
дущих параграфах.
Способы отыскания пределов функций составляют аппарат
теории пределов. Эти способы связаны в первую очередь с ариф-
метическими операциями над функциями, а также с возведением
в степень и извлечением корня.
Как найти предел суммы, разности, произведения и частного
двух функций, имеющих конечный предел? Каков предел степени
и корня? На эти вопросы и нужно ответить в данном параграфе.
При этом мы будем пользоваться связью между функцией, имею-
щей конечный предел, и бесконечно малой, а также свойствами
бесконечно малых (§ 8).
1°. Теорема 1. Предел суммы, разности, произведения
двух функций равен соответственно сумме, разности, произведе-
нию пределов этих функций. Постоянный множитель выносится
за знак предела.
Подробнее: если существуют конечные пределы lim f (х) и
lim ф (х), то функции /Дх)±ф(х), /(х)-ф(х), с-ф(х) также имеют
X > с
конечные пределы при х т, причем
lim [ f (х±ф (х) ]= lim f (х)±lim ф (х);
lim (х) • ср (х) ] = lim f (х)- lim ср (х); lim [с- f (х) ]= с- lim / (х).
г > т х * Т V * Т X г х —► т
Доказательство. Обозначим 1йп/Дх)=Д, limtp(x) = B.
Тогда, как мы знаем из предыдущего параграфа,
f (х) = А + а(х), <р(%)=В+|3(х),
где а (х) и р (х) — бесконечно малые при х —т. Отсюда
f (х)4-ср (х)=ДЛ+ В) + [а (х) + р (х)],
f (х) - ф (х) = (А - В) + [а (х) - р (х)J,
/ (х)-ср (х) = А -ВА-\В-а (х)-М -р (х)Ч-а (х)-р (х)],
с -f (х) = с • А + |с • а (х) ].
Функции, выражения которых записаны в квадратных скоб-
ках, в силу свойств бесконечно малых (§ 8, 3°) являются беско-
нечно малыми при х -+ т. Но тогда, в силу того же вывода из
предыдущего параграфа (§ 8, 1°) о связи между конечным преде-
лом и бесконечно малой заключаем, что числа А-\~В, А — В, А-В,
с-А являются пределами функций соответственно f (х)ф-Ф (х),
135
f(x)—ф(х), Дх)-ф(х), c-f(x), что и требовалось доказать.
Укажем некоторые следствия доказанной теоремы.
Следствие 1. Теорема о пределе суммы и произведения
двух функций распространяется на любое число функций:
Im U1 (%) + f 2 (х) + fз (х) +... + f Дх) ]=
= Л (x) + HmJ2 (%) + ••• + HmJn (%),
lim [fi (x)-f2 (x)-...-fn W]=lim fi (x)-lim f2 (x)«... - lim fn (x).
Действительно, lirn [fi -pf2 + f3]=lim [(/,+f2) + f3]=lim (f i +
-hf2)4-lim f3 = lim fi +lim f2-j-lim f3;
lim [fi -(-f24-f3 + f4]=lim (fi ~h f 2 + f 3) ~h lim /4 = lim fi -|- lim f2-p
4-lim f3 + lim f4; так же для n = 5, затем для п=6 и т. д.
Вполне аналогично рассматривается предел произведе-
ния п функций.
Следствие 2. Если lim f (х) = Л, то lim [f (х) \,1 = Ап.
Еще короче: lim [f (х) ]" = [lim f (х) ]
I т
Действительно, lim [f (х) ]" = lim [f (x)-f (x)-...-f (х)]=
= lim f (x)- lim f (x)-... • lim f (x)= A • A •... • A — An.
Следствие 3. Знак «минус» можно выносить за знак пре-
дела:
lim [ —f (х) ]= — lim f (х).
В самом деле,
lim[ — f (х)]= lim [( — 1) • f (х) j — (— !)• lim f (x)= — lim f (x).
Обратимся теперь к следующей теореме:
Теорема 2. Если функции f (х) и ф (х) имеют конечные пре-
делы lim f (х) и lim ф (х), причем последний не равен нулю, то при
х —т существует предел частного [ (х) на ф (х) и он равен частному
их пределов:
lim
ИД
(р W
lim f (х)
,ч i.'h,
lim <p(x) ’ a -
Для доказательства представим частное в виде произве-
дения f (х) на —Ц
(заметим, что так как lim ф(х)=#0, то начиная
с некоторого х и ф(х)^=0; это и дает нам право делить на ф(х)).
136
Первый из этих множителей имеет по условию конечный предел
lim / (х). Пусть Пт/(х) = Д, a limcp(x) = B.
Имеет ли функция —— предел при х т, мы пока не знаем, но
можно предположить, что lim -у- существует и равен 4".
х _> г ф (х) В
Желая это проверить, рассмотрим разность
J_____L=£-<p(*U__l_rw
ф(х) В В-<р(х) В W J Ф(х) '
(*)
Число B^Q, и мы можем окружить его столь малой окрест-
ностью (В —е; В + е), что число 0 окажется вне ее и вся она будет
или справа от нуля (когда В>0), или слева от него (когда В<0,
рис. 76). Начиная с некоторого х ф (х) попадает в окрестность
(В —е; В -4-е). Но тогда —!— для тех же х содержится между чис-
Ф (х)
лами —-— и —-V- , т. е. функция -4-т ограничена начиная с некото-
В — F В ф- е J ф (х) г
рого х.
В правой части равенства (*) мы имеем произведение трех
множителей: —бесконечно малой ю(х) —В при хт и огра-
в
ниченной начиная с некоторого х функции . Из этого в силу
свойств 2 и 4 бесконечно малых следует, что функция ±--------
бесконечно малая при х -+ т, т. е. что lim —существует и равен
В свою очередь, из этого по теореме 1 вытекает, что
lim Q (х) ) существует и равен т. е. что существует
f (х} А
lim и он равен — :
х ->тф х В ,, _ , ч
11111 - — .. —- ,
х х ср (х) lim ф (х)
что требовалось доказать.
Таковы теоремы о пределе суммы, разности, произведения и
частного функций, имеющих конечный предел.
2°. Прежде чем перейти к тео-
реме о пределе корня, приведем
одну алгебраическую формулу.
Вам известны формулы
(а — b) (a-[-b) = d2 — Ь2,(а — Ь) (а2-\-
в-е в+е в-е в+е
.)> Ч- * ) i>
О В х в о х
Рис. 76
137
-\-abA~b2) = a3 — b3. Их обобщением является следующая форму-
ла, справедливость которой проверьте сами:
(a-b)(an-]-i-an-2b^ran--~3b2-]-...^-a2bn--3-[-abn-2-^bn-i) =
— an — b,!.
Отсюда при аД>0, /?Д>0 получается равенство, которым мы ниже
воспользуемся:
tzf'-”‘+an 2& + аг13/)2 + ... + а2/Уг- ! + а^" 2 + //'1 ’ J
Кроме того, заметим, что если функция ф (х) содержится между
положительными числами р и q, то у/ф (х) содержится между по-
ложительными же числами у/p и д/q, а (у/ф7*)У — между (pjp)k и
(cfq)k. Заметим еще, что если каждое из каких-нибудь п слагаемых
содержится между двумя положительными числами, то и их сум-
ма содержится между некоторыми двумя положительными чис-
лами.
Теорема 3. Пусть ф(х)^0 во всей области определения
функции. Если lim ф(х)=Л, то lim у/ф (х) =у/Д.
Кратко: предел корня равен корню из предела, т. е. lim у/ф W —
% —► т
= -Vlim ф W-
Доказательство. В силу свойства 3 предела функции
(§ 5) Д^О. Если Д = 0, то ф (х) — бесконечно малая при х-> т.
Возьмем произвольное е>0 и возведем его в п-ю степень. Начи-
ная с некоторого х | ф (х) | < е", | Д/qp (xj | <С е. Это означает, что
у/ф (х)— бесконечно малая при х т, т. е. что Пт^фй=0 =
= у/Д при А =0.
Если же /1 >0, то на основании равенства имеем:
_____________________(л/^(ДГ-(^Г_____________________
+cV?wr3 оД7+-..г2+( аЯ г1
Обозначим знаменатель этой дроби через h (х). Тогда
Так как lim ф(х) = Д;>0, то начиная с некоторого х ф (х) содер-
жится между какими-то двумя положительными числами. То
138
же самое можно сказать о (V<PW)ft- Но тогда начиная с неко-
торого х----- также содержится
h (х)
между некоторыми положи-
тельными числами т и s.
Мы видим, таким образом, что разность д/ср (х) —д/Д есть
произведение бесконечно малой при х т функции ф(х) —-А на
ограниченную начиная с некоторого х функцию
1
Л (х) ’
В силу свой-
ства 4 бесконечно малой заключаем, что д/срАД) — х/А — бесконеч-
но малая при х->т,/т. е. lim д/ф W =х)А, что требовалось до-
казать.
Следствие. Пусть ср (х)=^0, а п — нечетное натуральное
число. Если lim ср(х) = Д, то lim д/ф~(х) = ГЦА.
Доказательство. Переходим к функции | ср (х) |, для ко-
торой по теореме 3 имеем lim дДф W I = д/Т^Т (так как lim |ср (х) | =
= |Л|, см. §5). Отсюда — lim д/[ф (х) | = — д/^Д I, или
П ------- П ------ . П ---------- П ---
lim у— | ср (х)| — у— |А | , т. е. lim уср (х) = уД , ибо для ср (х)^0
Д<0
ф (х)= — |<р (х) |, А = — |Д |,
что требовалось доказать.
3°. Рассмотрим теперь примеры вычисления пределов с
помощью изложенных правил.
1) Нтх* = 5’ (следствие 2 из теоремы 1);
lim (4х4 + Зх3 + 8х + 2) = 4 lim х4 + 3 lim х3 + 8 lim x + lim 2 = 4-24 + 3-23 +
х ->- 2 х -•* 2 х-+2 х 2 х 2
+ 8-2 + 2 = 64 + 24+164-2=106 (теорема 1).
lim (4х2+1)- lim (2х — 3)
lim (4х2+ 1) (2х-3)_х -> -з
' х-,П' з 5х3 + 2 lim (5х3 + 2)
(4-( —3)2+1)-(2-( —3) —3) 333 z
=—------ .2_.\ -----L--(теоремы 1, 2).
5-(-3)3ф2
х’-27
3) lim
’ Х^3х — 5х + 6
теорема 2 не при-
менима, ибо
lim <р (х) = 0,
поэтому преобразу-
ем дробь
lim (х~~ЗДх2 + Зх + 9)
Х^з (х — 3)(х — 2)
. • х ф- Зх + 9
= Пт --------!—
х з х — 2
теоремы 1, 2 при-
менимы
32 + 3-3 + 9
3-2
139
4) lim Д/2/ + 8х + 35 = \'lim(2x2 + 8x + 35) = V2-52 + 8-5 + 35 = '\Г\25 = 5
x 5 x 5
(теоремы 3, 1).
5) lim ( \[x2 -f-4 4-д/х2 -I-21 -|—-r + 3x^j ='\y8+\/25 + ~*---4-3-2= 15 (тео-
x-2\ yjX—\ / д/1
ремы 1, 2, 3).
fi. .. VF+25-5 . те°Рема 2 He
° x+o x2 + %3 —: применима, пре- =
образуем дробь
= iim (Vх"2 + 25 -5) (VP + 25 + 5) _ lim (Р + 25)-52
- о (+ + х’) (/хт+ 25 + 5) * -> о х2 (I +х) (ух2 + 25 + 5)
.. х2 1 1 1
= lim ----------f__________= lim -----------------=---------------=.—
х-о х2 (1+х) (ух2+ 25 + 5) <-о (1 +х) (VP + 25+5) (1 +0) (^25 + 5) 10
(теоремы 1, 2, 3).
4°. Каково поведение дробно-рациональной функции г (х) (т. е.
функции, равной отношению двух полиномов) на + оо и на —оо?
Рассмотрим три примера:
Зх3 + 8+ + 4х + 1
— 2х2 + Зх+1’"
— оо при х -> + оо,
+ оо при Х->--ОО.
Если показатель степени числителя дробно-рациональной
функции г (%) меньше показателя степени знаменателя, то
lim г(х) —0 (ось Ох — горизонтальная асимптота графика).
Если показатель степени числителя равен показателю сте-
пени знаменателя, то lim г (х) равен отношению коэфф и-
х > + оо
ц и е н т о в при старших членах (горизонтальная асимптота гра-
фика на zE сю выше или ниже оси Ох).
Если показатель степени числителя больше показателя
степени знаменателя, то г(х) — бесконечно большая на
+z 00 того или иного знака (график не имеет горизонтальной
асимптоты, но его ветви уходят в бесконечность и по горизонта-
ли, и по вертикали).
140
Число Хо, являющееся корнем знаменателя несократимой ра-
циональной дроби г (х), характеризуется тем, что lim г (х) равен
X Хи —
либо оо, либо — оо и lim г (х) равен либо оо, либо — оо.
X Л о -|-
Поэтому вертикальная прямая х = х0 является двусторонней вер-
тикальной асимптотой графика функции г (х).
Примеры построения графиков рациональных функций бу-
дут рассматриваться в следующей главе (§ 10), при этом отме-
ченные здесь предложения будут играть существенно важную
роль.
5°. Среди пределов вида lim выделим те случаи, когда
lim f (x)=lim ф(х)=0, а также когда lim f (х) и lim ф (х) бесконеч-
ны. В этих случаях теорема о пределе частного не применима и
требуются иные средства для вычисления lim^^, в частности
те, которыми мы пользовались при решении примеров в п. 3°.
В главе III появятся и другие средства.
Указанные случаи пределов вида lim обозначаются сим-
0 ОО 0 оо
волами — и — и называются «неопределенностями» —, —, а
также просто пределами видов -Ц-. Совершенно аналогично
определяются пределы видов 0- оо, 1°°, оо() — это соответственно
предел lim (/ (х)-ф (х)) при lim / (х) = 0 и бесконечном lim ф (х), пре-
дел lim f (х)’( (х) при lim/(x)=l и бесконечном Итф(х), предел
lim f (х)4'w при бесконечном lim f (х) и lim ф(х) = 0.
Вычисление пределов видов -Ц-, 0-оо, 1°°, оо° называют
раскрытием этих «неопределенностей».
§ 10. Предел последовательности
1°. С пределом числовой последовательности мы встретились
уже в § 1 настоящей главы: сначала в примерах 2 и 3 (если
иметь в виду лишь крайние положения колеблющегося маятни-
ка), а затем в примере 5. Определение этого предела содержит-
ся как часть в общем определении предела функции (§2 и 7).
Числовая последовательность а{, а2, ..., ап, ... (короче (а„)) пред-
ставляет из себя числовую функцию f с аргументом п, пробегаю-
щим множество натуральных чисел 7V={1, 2, 3, ..., п, ...} — об-
141
ласть определения функции f (п). Для каждого п значения f (п) =
— С^п
= f(2) — a2, ..., f(n) = an, ...
Область определения f (п) ограничена слева и не ограничена
справа. Кроме того, никакое число а не является предельной
точкой этой области определения. Поэтому речь может идти о пре-
деле функции f (я) только при п -+ Д- оо или проще при м оо.
Обозначать его будем не только обычным символом lim f (п), но
П -> ОО
и через lim ап, а иногда и просто lim ап.
П ОО
Определение lim f (х) применительно к пределу последователь-
X -+ ОО
ности (ап) дает нам следующее определение:
Определение. Говорят, что: a) lim ап — -ф оо, если для
любого £}>0 начиная с некоторого п ап> L; б) liman= — оо,
если для любого L<0 начиная с некоторого п an<zL; в) lim ап —
~Ь, если для любого е>0 начиная с некоторого п \ап — b \ <Z&.
Во всех трех случаях «начиная с некоторого п» означает:
найдется (существует) такое что для каждого W.
В § 4 данной главы это определение записано в символической
форме с помощью кванторов (см. (ai), (pi), (yi)).
Все общие свойства предела f (х) при х -|- оо сохраняются,
конечно, и для его частного случая — предела последователь-
ности. Почему же тогда особо выделяется предел последова-
тельности как частный случай предела lim f (х)?
X -> + оо
Всякая функция, определенная на множестве N натуральных
чисел, в отличие от функций непрерывно изменяющегося аргу-
мента допускает последовательное расположение своих значений
в виде бесконечной цепочки, в которой есть 1-й элемент, непос-
редственно следующий за ним 2-й элемент, непосредственно сле-
дующий за 2-м элементом 3-й элемент и т. д. Поэтому функциям
с областью определения N и присваивается название последо-
вательностей.
Каждый член последовательности имеет определенный номер,
и каждое натуральное число есть номер определенного ее члена.
Любому члену последовательности предшествует конечное число
ее членов, а следует за ним бесконечно много членов данной
последовательности. До любого ее члена можно дойти после ко-
нечного числа шагов, переходя от первого члена ко второму, от
второго — к третьему и т. д.
Это особое строение функций, определенных на N, порожда-
ет и особую роль их предела: предел последовательности явля-
ется простейшим из всех пределов, он присутствует в пределе
любой функции f (х) при любом данном х т, предел lim f (х) вы-
ражается через предел последовательности.
142
В самом деле. Рассмотрим в качестве примера функцию S (х)
из примера 4 § 1. Эта функция определена на промежутке (0; 2)
и выражает площадь боковой поверхности прямоугольного па-
раллелепипеда с высотой 3 м и диагональю основания 2 м
(рис. 54). Возьмем какие-нибудь три последовательности зна-
чений аргумента х, каждая из которых стремится к 2, например
последовательности ^2—^2—^2—Каждую из них
обозначим через (хп).
Мы имеем хь х2, хп, > 2, а последовательность соот-
ветствующих значений функции
S (хД S (х2), •••, S (хД 12.
Действительно, пусть 8 — произвольное положительное число.
Так как lim S (х)— 12, то найдется такое число 6>0, что из не-
X -> 2
равенства | х — 21 <6 следует |S (х) — 121 <8. А так как lim хп = 2,
П —► оо
то найдется такое А>0, что для каждого п, большего N,
\хп — 2|<б, а следовательно, и |S(xn)—121 <8. Это значит, что
lim S (хп) = 12.
Понятно, что в этих рассуждениях под (хп) можно подразу-
мевать вообще любую последовательность значений аргумента х,
стремящуюся к 2. Более того, эти рассуждения имеют общий
характер, на самом деле они доказывают следующую теорему:
если lim f(x) = b, то, какова бы ни была последовательность от-
х > а
личных от а значений аргумента (хп), стремящаяся к а, после-
довательность значений функции ДхД f (х2), ..., f (хД ... имеет
предел Ь.
Так выражается предел lim f(x) = b (а это чаще всего предел
х а
функции непрерывно изменяющегося аргумента) через предел
последовательности (J (хп)). Если мы уверены в существовании
конечного предела lim f (х), но не знаем, чему он равен, то для
х а
его отыскания можем взять какую-нибудь одну последователь-
ность (хД стремящуюся к а, перейти к последовательности зна-
чений функции f (хД f (хД ..., f (хп), ..., а затем найти предел этой
последовательности, что сделать часто легче, чем найти limf(x).
х -> а
Предел lim f(x) = b выражается через предел последова-
X + ОО
тельности (/' (хД следующим образом: какова ни была последо-
вательность (хД стремящаяся к Доо, последовательность f (хД
f (х2), ..., f (хп), ... имеет предел Ь. Аналогично выражаются
lim f(x) = b и бесконечные пределы функции f (х) через
V -► — оо
предел последовательности.
Вернемся к определению предела последовательности lim ап и
143
отметим следующую особенность этого предела как частного
случая предела функции f (х) при х -* +00 в случаях, когда
lim an = b, либо lim ап= + ею, либо lim ап = — оо, имеется лишь
конечная совокупность таких п, что где N— положитель-
ное число, начиная с которого соответственно \ап — Ь|<8,
ап> L, an<.L. В случае же непрерывно изменяющегося аргу-
мента х, вообще говоря, неверно, что множество таких значе-
ний х из области определения, для которых x^Af, конечно.
В силу этой особенности определяющее условие конечного
предела последовательности lim an = b может быть сформулиро-
вано следующим образом: вне любой ^-окрестности числа b
находится лишь конечное множество членов последовательности
(ап). Ясно, что при этом в самой окрестности (Ь —е; какой
бы малой она ни была, содержится бесконечно много
членов данной последовательности (с учетом возможного их
повторения).
Рассмотрите с этой точки зрения последовательность (ап),
/ _________ 1 \п
где = 1 -р . Сделайте схематично чертеж. Какие члены ап
находятся вне промежутка:
а) (,—Too Ч“Тоо) ’ б* (|— Тосю ’ 1 + юоо ) ;
в) ( 1 ЙГ’ 1 “'“Ttf7) ?
Легко теперь доказать, что последовательность, имеющая ко-
нечный предел, ограничена с обеих сторон: окружите предел
lim an — b окрестностью (/? —8; 6 4-е) при каком-нибудь 8>() и
среди тех членов последовательности, которые оказались вне
окрестности, и чисел b — 8; Ь-]-& выберите наименьшее и наиболь-
шее числа (что вполне осуществимо, так как вы выбираете их
среди конечной совокупности чисел), они и будут ограни-
чивать последовательность (ап) снизу и сверху.
Заметим, что для функции f (х) непрерывно изменяющегося
аргумента, имеющей конечный предел lim / (х), в общем виде
X -> + оо
верно лишь, что она ограничена начиная с некоторого
х, но не во всей области определения (рассмотрите пример
функции /(х) = -у-для х>0).
Еще легче, чем предыдущее свойство предела последователь-
ности, доказывается следующее предложение:
если последовательность «1, а2, а3, ..., ап, ... имеет предел
Ь, то и любая ее подпоследовательность ani, аП2, ..., аПк, ... (п\, п2,
..., rik, ...— любые попарно различные натуральные числа) имеет
тот же предел Ь.
Действительно, если вне окрестности (Ь — е; содержится
конечное множество членов последовательности (ап\ то вне этой
144
окрестности и подавно будет находиться конечное множество
членов подпоследовательности (аПк), так как каждый член под-
последовательности является одновременно членом данной
последовательности.
Доказанное предложение остается верным, если в нем число
b заменено на 4- оо или — оо (при доказательстве роль окрест-
ности (Ь —е; будет играть (Л; +оо) или соответственно
(—оо; L)).
Отметим еще, что если число b — предельная точка мно-
жества, то в этом множестве может быть выделена такая после-
довательность попарно различных элементов, для которой b явля-
ется пределом. Справедливо и обратное предложение: если в мно-
жестве Т может быть выделена последовательность попарно
различных элементов, имеющая предел Ь, то число b будет
предельной точкой множества Т.
Кроме того, справедливы следующие предложения о предель-
ных точках последовательности: число, являющееся предельной
точкой подпоследовательности данной последова-
тельности, будет предельной точкой и самой последовательности;
если последовательность имеет предельную точку Ь, то можно
найти такую подпоследовательность данной последовательности,
для которой b является пределом.
Предоставляем читателю доказать эти четыре предложения
о предельных точках множества и последовательности.
2°. Приведем два примера, иллюстрирующие определение конечно-
г о предела последовательности.
1)
Доказать, что lim—7— =1.
В
данном примере ап = • Возьмем произвольное 8>0. Наша задача —
найти такое /V>0, что для любого N имеет место |ал—11 <е.
Так как \ап— 11 = ” ,
• п +1
Iп~п—^ I 1
I п 4-1 । «+1
то интересующее
нас неравенство
1
8 — это неравенство — С
8. Его решить относи-
тельно п легко: п-|-1> —
п>------1. Следовательно, для любого п>---------1
8 8
имеет место |а„— 1|<е, т. е. действительно lima„=l, причем за искомое N
можем принять число —1, т. е. N — —1 (можно, очевидно, считать, что
8< 1, тогда найденное
= 9999; если мы хотим
У положительно), в частности, если
приблизить ап = .- . к пределу о=1
8 = 0,0001, то М =
на величину, мень-
шую чем 8 = 0,0001, мы должны для этого пойти в данной последовательности
очень далеко, пройдя 10 000 членов!
2) Для сравнения рассмотрим второй пример: доказать, что
lim
п'
I ап — 11
145
Взяв произвольное е>0, мы решаем относительно неизвестного п неравен-
I пъ , I 1
ство I —1 | <е, т. е. неравенство j <-е:
Из неравенства п
означает, что lim
причем на сей раз N =
следует, таким образом,
8.
Это
В частности, если 8 = 0,0001, то N = \/9999«6,5 (причем /V<6,5). Теперь
если мы хотим приблизить ап к пределу Ь=1 снова на величину, меньшую чем
10”4, мы должны в данной последовательности пойти совсем недалеко, пройдя
всего лишь шесть членов (все члены, начиная с седьмого, отличаются от преде-
ла меньше чем на 0,0001).
Сопоставляя две рассмотренные здесь последовательности с одним и тем же
пределом 1, мы видим, что первая стремится к нему очень медленно, а вторая
весьма быстро. То, что в обоих случаях lim а„ = 1, можно установить с помощью
аппарата теории пределов очень просто:
п ,. 1 1.
—_=1|п)_—=__|;
гд ,. ' 1 1
—_=|1|Л =—=|.
п
Но мы не видим здесь, быстро или медленно стремится ап
к 1. Зато определяющее
условие предела последовательности, которым мы непосредственно воспользо-
вались, позволило это установить. В этом его практическая ценность (не говоря
уже о том, что без него нет самого понятия предела последовательности).
3°. В пункте 1° данного параграфа была доказана теорема:
Теорема: Если lim f (x) = b, то, какова бы ни была последо-
х -> а
вательность значений аргумента (хп), стремящаяся к а (хп=^а\
последовательность соответствующих значений функции f (%i),
f (х2), ..., f (хп), ... имеет предел Ь:
lim f (%) = &=> V (lim f (xn) = b).
x а (Хп) | lim x„=a
xn ф a
А теперь обратимся к вопросу, который мы не можем себе не
задать: верна ли и обратная теорема?..
Формулировка обратной теоремы такова:
V (lim f (xn) = b) => lim f (x) = b,
(xn) | lim x„ = a r -* a
т. e. если для любой последовательности (хп) значений аргумента,
такой, что lim хп = а, хпфа, имеет место lim f(xn) = b, то lim f (х)
х а
существует и он равен Ь.
146
Прямого пути от условия этой обратной теоремы к ее заключению не видно.
Поэтому допустим, что она неверна, т. е. что условие ее выполнено и в то же
время b не является lim f(x). Тогда (см. в § 4 определение (II) и правило
х -> а
построения отрицаний в § 6 предыдущей главы)
з -4Ф- з v з (if(х)-б|>е)
в>0 S>0 х|х#=а в>0 S>0 x|x=#a
|х — а|<в |х — a|<8
Здесь речь идет о существовании 8, обладающего некоторым свойством.
Представим себе, что из всех таких в мы выбрали одно определенное, обозна-
чив его через 8. Для него имеем:
V 3 (|f (ж)-6|>е).
8>0 х\хфа
|х-а|<в
Вдумайтесь в это утверждение: как угодно близко к а вы найдете такую
точку х, что f(x) далеко от 6: If (х) — 6|^8. Это позволяет без труда соста-
вить такую последовательность значений аргумента xi, хг, хп, для которой
lim Хи = а, хпфа, и для которой в то же время |f(xn) —Но тогда f (xQ,
f (ха), f (xrt), ... не стремится к b вопреки условию.
Это противоречие отвергает допущение и, следовательно, доказывает спра-
ведливость рассматриваемой нами обратной теоремы.
Вывод. Условие V Э V ( If (х)—Ь|<е) и условие
8>о й>0 х\хфа
V (lim f (xn) = b) равносильны друг другу.
(хя)]хп=&а,
11тх„ = а
Каждое из этих условий может быть принято в качестве опре-
деления I im f (х)=6.
х -* а
Это предложение распространяется и на все остальные слу-
чаи приближения аргумента х:
х ->a-Н х-> а —, х-> + оо, х-^ —оо, х оо.
Оно также распространяется и на бесконечные пределы. В част-
ности, для lim f (x)==b и lim f (x)== oo имеем соответственно:
v 3 V (|/(x)-6|<8) V (lim/(xrt)=H
8>o /V>0 xlx>N (хп)1хя -> + oo
V 3 .V (f(x)>£)4> V (limf(x„)= + oo).
L>0 N>0 x |x|>/V (x„)|x„-*oo
Предоставляем читателю возможность доказать эти равно-
сильности в основном аналогично тому, как мы это сделали для
lim f (x) = b. Случаи х -> а +, х а— отличаются от случая х —а
х-^а
лишь тем, что неравенство х=/=а заменяется неравенствами соот-
ветственно x>a, х<а.
147
§ 11. Предел показательной функции
1°. Рассмотрим последовательность
10, v'10, V10, УГо, V16, ....
Члены ее убывают, но остаются большими 1. Представьте эту
картину на координатной прямой, и вы придете к мысли, что
данная последовательность должна приближаться к какому-то
числу как к своему пределу. К какому именно?
2 J.
Запишем данную последовательность в виде К)1, 10 2, 10 3 ,
д д
104 , ..., 10", .... Показатели степени стремятся к нулю, что
приводит к предположению (не более того — утверж-
дать пока не можем) о том, что последовательность стремится
к 10°, т. е. к 1. Проверим это.
2
Берем произвольное 8>0. Так как 10" >1, то \ап—1| =
= V10—1 и неравенство \ап — 1 |<е — это неравенство у/10—-
— 1 < е, равносильное неравенству (1 -|-8.)" > 10 с неизвестным п.
Из главы I (§ 3, п. 5°) мы знакомы с неравенством Бернулли,
в силу которого (1 З-е)"^ 1 -|-/г8. Это позволяет нам заменить не-
равенство (13~еГ>10 более сильным неравенством 13~^е>10
(если при некотором п выполняется второе неравенство, то первое
выполняется при том же п и подавно). Неравенство же 1 3~/?е> Ю
выполняется при лд> —. Следовательно, из неравенства —
следует (1 3-е)"> 10, а значит, и \ап— 1|<8.
Этим доказано, что Ишд/^0=1, причем за N можно принять
число-|---очень большое число при малых 8. Последовательность
приближается к своему пределу медленно (правда, мы пользова-
лись усилением неравенства, что привело к некоторому увеличе-
нию числа А, но к небольшому).
2
Заметим, что найти lim x/Тб (или lim 10" ) при помощи из-
вестного нам аппарата теории пределов (§ 9) мы не можем. Поэ-
тому мы обратились непосредственно к определению предела.
Зато теперь при помощи аппарата пределов мы легко можем
______________L
найти lim 10 " :
lim IO '' = lim —!—=□-= 1.
IO71
А из равенств lim 10" =1, lim 10 " = 1 и из того, что показа-
тельная функция 10А возрастающая, можно без труда получить
148
равенство lim 10х = 1, относящееся к функции непрерывно изме-
няющегося аргумента х.
Действительно, пусть 8 — сколь угодно малое положительное
2 _ L
число. Так как lim 10" — lim 10 п =1, то найдется такое нату-
। _д_
ральное число п0, что 10"° и 10 "" попадут в окрестность (1—е;
1 -Т е). Но тогда в эту же окрестность попадут значения функции
10х для всех таких х, что —<х< —. А это значит, что
По По
lim 10А = 1.
л > О
Из последнего равенства, в свою очередь, вытекает, что,
какое бы мы ни взяли действительное число х0, для него lim 10х =
х Хо
= 10Х|’. В самом деле, 10х можно представить как произведение
постоянного 10х°на 10х~х°. По только что доказанному lim 10Х Хо =
X Хо
= 1, ибо при х -> хо показатель х — хо стремится к нулю. Поэтому
lim 10х = lim (10’ -10’ ‘"j== IO'J- lim 10'-" = 10'"• 1 = 10".
V -* Хп х Хо X Хо
Рассмотрим вопрос о пределе показательной функции ах при
х -> х0. Если число а больше 1, то, как и выше, сначала доказыва-
ется, что lim а п =1 (теперь окажется, что N = ^——), затем
I п оо е
lim а п = 1 и далее из этого получаем 1 im ах = 1, lim ах = ах°.
п -> оо х —> 0 х
Если же 0<Ха<Д, то, переходя к числу большему чем 1,
получим:
Вывод: предел показательной функции ах в точке Хо (т. е.
при х —%о) равен значению данной функции в этой точке.
Мы уже отмечали роль показательной функции в математи-
ческом описании многих явлений и процессов (§ 6). Только что
рассмотрено такое важное свойство этой функции, как ее предел
в точке. В следующем пункте будет рассмотрен предел показа-
тельной функции на бесконечности.
2°. Рассмотрим последовательность а, а2, а3, ...., ап, ..., где
а — любое положительное число, отличное от 1. Данная после-
довательность представляет из себя геометрическую прогрессию
со знаменателем а и таким же первым членом. Каков предел
этой последовательности?
149
Пусть сначала <т>1. Представим а в виде cz = 1-J-ос, где
а>0 (так как а = а— 1). Применяя неравенство Бернулли
(гл. I, § 3, п. 5°), будем иметь (1 1 -|-па, т. е. anZ> 1 +«а,
когда п^2 (таково сравнение нашей геометрической прогрессии
с арифметической прогрессией, у которой первый член 1, а раз-
ность — положительное число а). А так как в силу свойств беско-
нечно больших lim (1 -|-па)= + оо, то и подавно Ита'г=4-°°-
П —► оо п -> оо
Пусть теперь ()<а<1. Переходим к числу оно больше 1,
и по доказанному lim( — ] =-|-оо. Следовательно, 1:(— \ —
бесконечно малая при п оо (см. § 8, связь между бесконечно
малыми и бесконечно большими), и мы можем написать:
lim ап = lim
\ а )
Вывод 1. При а^> 1 предел последовательности lim ап =
П —► ОО
= -f-oo, при 0<а<1 предел последовательности lim ап = 0,
п —► ОО
если |а|<1, то также lim я" = 0.
П —► ОО
Теперь можно перейти к показательной функции ах непре-
рывно изменяющегося аргумента х. При а> 1 она является воз-
растающей, а при 0<а<;1 —убывающей. Это позволяет рас-
пространить вывод о пределе последовательности (ап) на lim ах\
X -> + ОО
а) при а>1 lim ах=4-оо; б) при 1 lim <2Л=0.
X -> 4- оо X 4- оо
В самом деле, а) Пусть L — любое, сколь угодно большое
положительное число. Так как при а~> 1 lim ап= -(- оо, то найдет-
ся такое Л/>0, что для каждого п, большего чем N, a'lZ> L. Возь-
мем какое-нибудь натуральное число «о, большее чем N. Для него
ano>L, а если х>п0, то ax2>an°>L (большему показателю со-
ответствует большая степень). Таким образом, для произвольно
взятого числа >0 мы нашли такое положительное число по, что
как только х станет больше чем nQ, так ах будет больше чем L.
Это значит, что lim сС=-|-оо при а>1.
X -> 4- °°
б) При 0<1 переходим к числу -±-, которое больше 1.
По только что доказанному lim =4-оо. Зная, какова
связь между бесконечно малыми и бесконечно большими, ут-
верждаем: lim ах = lim х=0.
х ► 4- оо х —► 4- 00 / * \
\ а )
150
Вывод 2. Если а> 1, то lim ах = оо; если 0<а< 1, то
lim ах = 0.
Выясним теперь, каков предел ах при — оо, существует
ли он вообще. Чтобы свести этот вопрос к пределу показательной
функции при х 4- оо, заметим, что функция ах при х = —р при-
нимает такое же значение, как аГх при х~ -\-р, и наоборот. Сле-
довательно, функция ах при отрицательных значениях аргумента
х принимает такие же значения, как функция а~х при противо-
положных положительных значениях аргумента х. Из этого выте-
кает, что lim ах — это то же, что lim ах. Отсюда и из выво-
Л' — оо X + оо
да 2 следует:
_ । ( 0 при а> 1,
lim ах= lim а~х= lim = 1 । „ ппи
, . - х^+оо х^+оо а I 4-оо при и<а<1.
Мы и здесь воспользовались связью между бесконечно малыми
и бесконечно большими.
Вывод 3. Если 1, то lim ах = Q; если ()<4«<1, то
lim а
Проиллюстрируйте выводы 1, 2, 3 на графиках показательной
функции. Отметим еще, что при а=\ ах = const = 1, lim ах=\.
X —оо
3°. Рассмотрим некоторые пределы, основанные на изученных
в п. 2° свойствах показательной функции.
1) Дана геометрическая прогрессия
44- a, aq, aq2, ..., aqn~'[, ... (1)
со знаменателем q=£l.
Суммы ее членов: si=a, s? = a-}-aq, s3 = a-\-aq aq‘2, ..., sn =
= a-\-aq -]-aq2 aqn~l = Qn- Если 1^1 <L
то, как отмечалось в п. 2°, lim qn — 0, и, следовательно, lim sn =
=—2—. Если же Ы 4> 1,
1
то последовательность (qn), а вместе с
нею (sn) не имеют конечного
число lim sn обозначается через
/1 —> оо
предела. В случае \q\ <4 1
S и называется суммой всех
членов геометрической прогрессии (1):
a-]-aq-\-aq2-\-aqn [=S, S =—^—
(2)
Например, 1 + f+ ... +(f)" —1^ = 3.
151
2) Существует ли предел последовательности где а> 1?
Для решения этой задачи привлечем произвольное число Ь, та-
кое, что 1 <Zb<Ca, и представим его в виде b= 1 -|-а, где а>0
(так как a = b — 1). Напишем неравенство Бернулли: (1+а)">
> 1 4- па, т. е. b>l^> 1 4- па. И подавно Ьп>па. Отсюда =
а а
/ b \п
=( — \ , причем все указанные здесь числа положительны и
—<1. Поэтому lim ( —) =0 и тем более lim -^ = 0. Отбрасы-
вая постоянный множитель а (а =4=0), приходим к выводу:
lim 4=0. (3)
где а — const > 1.
3) Естественно теперь рассмотреть задачу о пределе lim 4
X —» т оо И
при а^> 1 (аргумент х также можем считать большим чем 1).
Обозначив целую часть х через п ([х]=п), будем иметь
п^х<_п-\-\, ап^ах<za'l+l, 4<4<^г. Но lim =
1 ап+ ах ап п-^сГ
=— lim ~ = 0, lim (4г) = lim(4d—4=0. Отсюда
ап^ооап п^оо\ а / п оД a11 а" /
lim 4=0. (4)
х _> _|_ оо а
Из этого следует, что при а> 1, 1
I =0
.. xk
lim —
X + оо а
и, далее, ввиду того, что lim logax= + °° X 4- oo (n. 1°, § 6)г
lim lim 10go x = t x —> 4- °° x 4“ °° а x —> + oo, t -> 4~ °0 I: = lim 4=0. t —► 4- °°
1
Таким образом, при aZ> 1, k^\
Hm hm (12g^ = 0.
X oo ci x —>4-00 x
(5)
152
§ 12. Сходящиеся последовательности
1°. Последовательности, имеющие конечный предел, принято называть
сходящимися. Все же остальные последовательности называются расходящими-
ся. Расходящаяся последовательность либо вовсе не имеет предела, либо имеет
бесконечный предел -ф- оо или —оо. Рассмотренная в предыдущем параграфе
(п. 3°) геометрическая прогрессия со знаменателем q, | q | < 1,—
сходящаяся, последовательность ее неполных сумм s2, sn, ... также
сходящаяся; если же | q | > 1, а=/=0, то и сама прогрессия, и (s„) — рас-
ходящиеся последовательности.
п / \ /?3 -ф- 4«2 -ф-1 „
Последовательность (ап), где ап = —г—-——- , является сходящейся, ибо
Зп 6п-ф-7
i+±+_L
.. .. п п 1
lim a„ = lim------— = — •
з+4+Л 3
~ , х д/П4 -ф-8—|—/22 П
1о же относится к последовательности (ап), где ап—~-------------, так как
3n2 + «+V«
2
lim ап = lim------j---:---= —- .
п3
1 + ( — 1)"
Очевидно, далее, что lim -—-=0 (числитель хотя и колеблется, но ограни-
/ 1 _1_ (_. п«\
чен). Поэтому последовательность (-----—— } сходится. В то же время
(1+(—!)"), т. е. последовательность 0; 2; 0; 2; 0; 2; ... расходится, так как она
колеблется с незатухающей амплитудой и потому не имеет предела (но имеет
две предельные точки: 0 и 2).
Последовательность десятичных приближений иррационального числа д/2
с недостатком 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... является сходящейся в области
действительных чисел R, но будет расходящейся в области Q рациональных
чисел. Последовательность, в которой на нечетных местах стоят те же приближе-
ния ^2, а на четных — числа вида 2ф--^-, т. е. 1; 2 ; 1,4; 2 ; 1,41; 2 ; 1,414;
2 -т^-; ..., является расходящейся и в области R какое бы число b мы ни взяли,
1о
вне некоторой малой окрестности (Ь — е; Ьф-е) будет содержаться бесконечно
много членов последовательности (проверьте!). Для данной последовательнос-
ти имеются две предельные точки: ^2 и 2. Именно это влечет ее расходимость.
После этого очевиден следующий общий вывод:
Если для последовательности (ап) имеется более одной предельной точки, то
она является расходящейся. Для сходящейся же последовательности предел
является ее единственной предельной точкой.
2°. Бросается в глаза сходство понятий предельной точки числовой после-
153
довательности и предельной точки числового множества (гл. I, § 7). Но, конечно,
это различные понятия как различны понятия последовательности и множества.
Последовательность 0; 2; 0; 2; 0; 2; ...; 1+(—1)"; ... имеет две предельные
точки: 0 и 2. Множество же чисел, являющихся членами последовательности,
т. е. множество {0; 2}, будучи конечным, не имеет предельных точек. (Мы говорим:
«Последовательность (а также множество) имеет предельную точку а» — в том
смысле, что а есть предельная точка этой последовательности или этого мно-
жества.)
Тем не менее сходство указанных понятий порождает и сходство некоторых
их свойств. В частности, это относится к теореме Больцано Вейерштрасса.
Как для бесконечного множества, так и для последовательности она формулиру-
ется (и доказывается — см. гл. I § 7) одинаково:
если последовательность (а также бесконечное множество) ограничена
(ограничено), то для нее (для него) существует хоть одна предельная точка.
Эта теорема верна в области /?, но не в Q, как показывает пример десятичных
приближений числа д/2. (Приведите еще примеры такого рода.)
Теорему Больцано - Вейерштрасса можно без изменения доказательства
несколько усилить, сформулировав ее следующим образом:
Если на отрезке [с; d\ содержится бесконечно много членов (элементов)
данной последовательности (данного множества), то на этом отрезке имеется
хоть одна предельная точка последовательности (множества).
Связь понятий предела последовательности и се предельной точки в области
отражена в следующей теореме:
Теорема. Для того чтобы предельная точка b последовательности (а„)
была ее пределом, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (а„) была
ограничена и чтобы число b было ее единственной предельной точкой.
Д о к а з а те л ь с т в о. 1) Докажем, что условие н е о б х о д и м о. Если
1ппа,( = Д то, как отмечалось в § 10, последовательность (ап) ограничена и, как
сказано выше в данном параграфе, число b - единственная предельная точка
последовательности.
2) Докажем, что условие достаточно. Если бы число b нс было lim ап и,
следовательно, вне окрестности (/? —г; & + ?) для некоторого е оказалось бесконечно
много членов данной последовательности (а„), то в силу теоремы Больцано
Вейерштрасса вне этой окрестности нашлась бы и предельная точка для (а„)
вопреки условию единственности предельной точки. Таким образом, b есть lim ап.
Теорема доказана.
Последовательность (0; 1; 0; 2; ...; 0; п\ ...) имеет единственную предельную
точку 0, но 0 не есть предел последовательности, так как она не ограничена.
Рассмотренная выше последовательность (1+(—1)") ограничена, но она имеет
две предельные точки и потому не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного).
Последовательность (1; 2; ...; п\ ...) не ограничена и вовсе не имеет предельных
точек.
Приведите пример последовательности, которая не ограничена ни слева, ни
справа и имеет предельные точки 0, 1, —1.
3°. Продолжаем рассматривать в области R последовательность (ап). Как
должны быть связаны друг с другом члены последовательности, чтобы она была
сходящейся? Очевидно, что по мере увеличения номера члены последовательности
должны становиться все ближе и ближе друг к другу. Но, во-первых, достаточно
154
ли этого? (Снова подумайте над примером (1; 1,4; 1,41; 1,414; ...).) Во-вторых,
как перевести на точный математический язык выделенное курсивом предложе-
ние?
Ответ на эти вопросы содержится в следующей теореме, принадлежащей
выдающемуся французскому математику Огюстену Коши (1789—1857):
Теорема. Для того чтобы последовательность (ап) была сходящейся, необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
V 3 V (|а„ — ат|)<Е
е>0 /V>0 п, пг\п> N,
(Ш)
(для любого 8>0 существует такое Л/>0, что для любых п, ш, больших N, име-
ет место \ап— ат1 <е).
Доказательство. 1) Докажем, что условие необходимо. Если
последовательность сходится и lim a„ = b, то при любом е>0 начиная с некоторого
п (т. е. для п> N) все члены последовательности (а„) попадают в окрестность
2
тогда для любых п, т, таких, что
n>N, т> N, имеет место
I CLn ат | <С
1Ы)-0-1)1
= е; \ап — ат \ <е.
2) Докажем, что условие достаточно. При выполнении условия (III)
последовательность (а„) ограничена (докажите это сначала сами).
Действительно, возьмем какое-нибудь е>0, скажем, 8=1, и для него какое-
нибудь А>0, о существовании которого говорится в условии (III). Возьмем также
произвольное натуральное число п0, большее чем А. Тогда для любого натурального
числа т, большего чем А, имеет место |аЛо —< 1, т. е. ат£(аПо — 1, а„о4-1) —
все члены последовательности (а„), начиная с некоторого, попадают в указанный
интервал. Остается лишь конечное число членов, не попавших в интервал. Следова-
тельно, последовательность (а„) ограничена.
Отсюда по теореме Больцано — Вейерштрасса заключаем, что для (а„) сущест-
вует хоть одна предельная точка. А могут ли при выполнении условия (III) сущест-
вовать две различные предельные точки b н с данной последовательности? Допус-
тим, что могут.
Окружим точки b и с непересекающимися окрестностями (рис. 77) и обозна-
чим через 8 расстояние между ближайшими друг к другу концами этих двух
интервалов — окрестностей точек b и с. Если ап принадлежит одной из этих окрест-
ностей, а ат — другой, то \ап — ат\ >8. Это неравенство имеет место для бесконечно
многих п и бесконечно многих т, что делает невозможным выполнение неравенства
I ап — ат | < 8 для всех п и т начиная с некоторого п (п > N) и некоторого m (m > N),
как того требует условие (III). Следовательно, двух различных предельных точек
для (ап) в данной ситуации быть не может. Но если последовательность ограничена
и имеет ровно одну предельную точку, то
эта последовательность сходящаяся.
Таким образом, из условия (III) сле-
дует, что последовательность сходится,
т. е. условие (III) достаточно для схо- €
димости последовательности (ал). рис 77
155
Подчеркнем, что доказанная теорема, называемая критерием Коши сходимости
последовательности, справедлива в области действительных чисел, но неверна в
области рациональных чисел: последовательность десятичных приближений д/2
удовлетворяет условию (III), но в Q она расходится. Следовательно, критерий
Коши, равно как и теорема Больцано — Вейерштрасса и теорема о пределе после-
довательности как единственной ее предельной точке, выражают непрерывность об-
ласти R действительных чисел. То же можно сказать и о теореме о пределе монотон-
ной последовательности, которую рассмотрим в § 13.
Читателю рекомендуем обратиться к примерам из п. 2°, § К) и доказать, не поль-
зуясь критерием Коши (но пользуясь, если нужно, его доказательством), что для
п п'у
последовательности ап —------- и последовательности а,,——F-— выполнено
ПД-1 /2’4-1
условие (III): по каждому е>0 найдите положительное Л/, о котором говорится в
этом условии.
§ 13. Предел монотонной последовательности
1°. Напомним сначала определения из главы I, относящиеся
к монотонности и ограниченности числовой последовательнос-
ти— частного вида числовой функции.
Последовательность (щ) называется возрастающей, если
a3=C ••• •••; последовательность (ап) называется
убывающей, если а\ ^а2^аз^ ...^ап^... . Всякая возрастаю-
щая, а также любая убывающая последовательности называются
монотонными. Если щ <Д <22 <... <щ <... (или «1 Д>а22> ... > ап Д>
>>...), то последовательность (ап) называется строго возрастающей
(или строго убывающей). В этих двух случаях последовательность
называется строго монотонной.
Последовательность (ап) называется ограниченной сверху (сни-
зу), если множество чисел, являющихся ее членами, ограничено
сверху (снизу). Последовательность называется ограниченной, ес-
ли она ограничена как сверху, так и снизу.
Если последовательность не монотонная или не ограничена,
то она может оказаться расходящейся (см. хотя бы примеры
в § 12). А если она и монотонна, и ограничена? Ответ на этот
вопрос дает одна из фундаментальных теорем анализа, принад-
лежащая К- Вейерштрассу. При ее доказательстве мы пользуемся
понятием грани числового множества, описанным в главе I (§7).
Теорема. В области действительных чисел R если после-
довательность (ап) возрастает (или убывает) и ограничена сверху
(или снизу), то она является сходящейся, т. е. для нее существует
конечный предел.
Доказательство. Пусть последовательность (щ) возрас-
тает и ограничена сверху. По теореме о гранях для нее (точнее,
для множества чисел, являющихся ее членами) существует верх-
няя грань, которую обозначим через Ь, т. е. 6 = sup (ап). Рассмот-
рим произвольную окрестность точки b вида (Ь — е; Ь-]-г) (еД>0).
156
Так как b — наименьший верх- z ^п>по
ний ограничитель последовательности, 11"g
a b — ?<zb, то Ь — е не является ее
верхним ограничителем. Ввиду этого Рис. 78
X
хоть один член последовательности,
пусть a,;ii, будет больше чем b — г
(рис. 78). А так как она возрастает, то все члены ап, для которых
Д>/?о, будут и подавно больше чем Ь— 8. В то же время ап^Ь
при любом /?, ибо b = sup (ап). Следовательно, в интервале (Ь— 8;
Ь-\~?) оказываются все члены ап, у которых п>по.
Таким образом, какую бы окрестность (Ь — 8; Ь-\-&) точки b
мы ни рассматривали (b = sup (я/г)), в эту окрестность попадают все
члены ai, а2, ..., ап, ..., начиная с некоторого из них. Это по опреде-
лению и означает, что b есть предел последовательности (ап).
Аналогично доказывается, что пределом убывающей
ограниченной снизу последовательности является ее нижняя грань.
/Доказанная теорема о пределе монотонной последовательности
может рассматриваться как достаточный признак
существования предела ограниченной последовательности (аг1):
именно ее монотонность есть достаточное условие существования
lim atl, но не необходимое. Ограниченная последовательность с п-м
(— 1)"
членом ап—~----— имеет предел, хотя она и не монотонна.
Отметим, что теорема Вейерштрасса широко применяется уже
в элементарной математике в вопросах определения и вычисления
длины окружности, площади круга, объема пирамиды, площади
поверхности и объема цилиндра, конуса, шара.
На рисунке 79 изображены окружность и вписанные в нее
квадрат и правильный 8-угольник с периметрами соответственно
pi, р2. Через р.] обозначим периметр правильного 16-угольника,
вписанного в ту же окружность, через р4 — периметр правильного
вписанного 32-угольника, через рп — периметр правильного впи-
санного 2-2"-угольника. Последовательность р{, р2, р^ ..., рп, ...,
очевидно, возрастает (длина объемлющей ломаной больше, чем
длина объемлемой выпуклой лома-
ной) и ограничена сверху периметром
любого многоугольника, содержащего
внутри себя данную окружность. В си-
лу теоремы Вейерштрасса существует
lim рп. Этот предел естественно при-
нять за длину окружности. Аналогич-
но можно ввести определения осталь-
ных упомянутых геометрических вели-
чин.
2°. Обратимся теперь к произволь-
но взятой последовательности стяги-
вающихся сегментов-.
[ai; Ь\], [а2; Ь2], \ап; Ьп], ... (ап<Ьп).
157
Как доказано в § 7 (п. 2°) предыдущей главы, существует, и при-
том единственная, точка Хо, общая для всех этих сегментов. Из
определения предела числовой последовательности сразу видно,
что xQ является пределом возрастающей последовательности (ап),
убывающей последовательности (Ьп), а также колеблющейся после-
довательности а\, Ь\, а2, Ь2, •••, ап, Ьп, ...:
Xo = lima„, х0 —lim bn, x0 = Hm(tz,I; btl). (1)
Возрастающую и убывающую последовательности с общим
пределом будем называть встречными последовательностями. При-
мером встречных последовательностей являются последователь-
ности периметров правильных вписанных в окружность и описан-
ных около нее многоугольников при неограниченном удвоении чис-
ла их сторон.
Члены встречных возрастающей и убывающей числовых после-
довательностей всегда можно считать соответственно левыми и
правыми концами стягивающихся сегментов. Обратно: для любой
последовательности стягивающихся сегментов две числовые после-
довательности левых концов и правых концов сегментов являются
встречными. Такова связь между встречными монотонными по-
следовательностями и стягивающимися сегментами.
В упоминавшемся п. 2°, § 7, гл. I при помощи стягивающихся
сегментов определяется неперово число е\ оно определено как об-
щая точка для стягивающихся сегментов [ап; Ьп], где ап =
=(1 + ’п)”’ а ^ = 0 ”rt)n+1' ТепеРь можно записать определе-
ние числа е с помощью предела встречных последовательностей:
Нгт1(1+-Ь) ='im(l+T) + =е- (2)
Полезно, как увидим ниже, эти основные равенства, определяю-
щие число е, записать и в других формах, а именно:
(I 1 \ tl / 1 \ п 1
п + = е, lim f 1 -]-— = е,
nJ \ п+1)
\ п — 1 / к п — 1
14-----) =е, т. е. lim ( - -) — е,
п—\) \n-\J
а следовательно, limf——t=limf——t-Л • lim —= е-1 = е:
\и— 1/ \п—1/ п—1
заметим, что из равенства lim^-^-—) — е следует, что
limf^-V^-1.
\ и + 1 /
Кроме того,
lim( 1 +-4—-),г = Нт( 1 +-4-)n+1. lim( 1 + --М '=еЛ=е,
\ 1 и+1 J \ и+1 J \ п+1J
далее, из равенства Нт(^-у) =е~~[ следует, что =
158
=4 т. е. что ~4 0ТКУда lirn^ 1—= е,
Пт( 1 __L \ -^+,)=е, lim( 1 -4-) lim( 1 ~П~=е.
\ «+1J \ «4-1/ X nJ
Среди этих равенств и равенств (2) выделим для применения
в следующем параграфе пять равенств:
Нгп(|+т)"=е' (3)
<4>
lim(1-ir)~’ = e’ lim(1_T) " ,=е-
§ 14. Неперово число
Изучая дифференциальное исчисление, вы убедитесь, что иссле-
дование показательной функции с точки зрения скорости ее измене-
ния приводит к пределу функции (1+^)х при х->-0. Областью
определения последней считаем множество всех х, которые больше
д
— 1 и отличны от нуля. Но существует ли lim (1 —|-х)х?
х->0
На этот вопрос ни определение предела непосредственно,
ни известный нам аппарат исчисления пределов ответа не дают,
и у нас остается лишь одна возможность — воспользоваться
рассмотренной в § 10 связью между пределом функции непрерывно
изменяющегося аргумента и пределом числовой последователь-
ности.
Поступим следующим образом. Возьмем какую-нибудь после-
довательность значений аргумента х, стремящуюся к 0, проще
всего взять последовательность 1, 4-, -4 ... . Составим по-
2 3 п
д
следовательность соответствующих значений функции (1 +х)х, для
чего заменим хна—, получаем последовательность с n-м членом
/ 1 \п п
а,г=( 1, которая нам неоднократно встречалась (§ 7 гл. I и
предыдущий параграф данной главы). Она строго возрастает,
ограничена и имеет своим пределом неперово число е, являющееся
иррациональным числом с рациональным приближением 2,71828.
В силу теоремы п. 3° § 10 о совпадении предела lim f (х) с пре-
159
делом последовательности f (%i), f (x2), f (xn), когда lim xn = a,
I n OO
функция (1 -f-x)x при x 0 либо имеет предел, равный е, либо не
имеет никакого предела.
Какая же из этих двух альтернатив имеет место?
Ограничимся рассмотрением тех значений х из области опре-
деления функции (1 -|-х) х, которые принадлежат интервалу (— 1; 1).
Любое положительное число х из этого интервала содержится
между двумя определенными соседними членами последователь-
ности 1, 4-, 4~, т. е. —> Для этого х
2 3 п п +1 п
14—1 + х< 1 + —, /?< — <^4-1,
п1 п х
и, следовательно,
(1-Ы
Подобно этому любое х из интервала (— 1; 0) содержится между
определенными двумя соседними членами последовательности
, т. е. -------
п
. Для этого х верно О
а также п
п
п 1, и потому в силу
1
(1)<а<Ь
свойства неравенств | p^>q^>
bq имеет место
(1-И)
Следовательно, переходя к отрицательным показателям, получим
для х£(— 1; 0):
л-Н
(1+%)
(б)
Каждая из четырех последовательностей, участвующих в нера-
венствах (а), (б), имеет предел, равный е (§ 13, формулы (4),
(5)). Поэтому для любого е > 0 начиная с некоторого п при п оо
члены этих последовательностей попадают в интервал (е— е; e-f-c)-
Но тогда в силу (а), (б) начиная с некоторого х при х-^0 в тот же
j_
интервал попадают и значения функции (14-х)А. Это значит, что
д
lim (1 4~х) А' = е. (1)
Л- О
Переходя теперь к левостороннему и правостороннему пре-
делам, имеем:
160
_L 1
lim (14-х) x = e, lim (14-x)x=e. (2)
x->0+ x->0-
B равенствах (2) заменим далее x на -j-, а следовательно,
на t. Тогда с приближением х к нулю переменная t будет прибли-
жаться к бесконечности и обратно, в силу чего мы получаем:
Отсюда
Кт (1+4-)'=е. (4)
Неперово число е, определяемое как предел последователь-
ности lim( 1 -1—, а также как предел функции непрерывно из-
меняющегося аргумента lim (1-|-х)х и lim ( 1 -|—, называет-
ся в математическом анализе вторым замечательным пределом.
Число е особенно ценно в качестве основания показательной
функции и основания логарифмов. Показательную функцию ех на-
зывают экспонентой и обозначают exp х, a logex, как указывалось
в главе I, обозначают символом In х и называют натуральным
логарифмом. В дальнейшем вы увидите, что это название является
вполне оправданным.,
Упражнения к §7—14
8. Непосредственно на основании определения предела после-
довательности доказать, что lim lim
2п + 3 2 2пл4-3 2
Сравнить скорости сходимости последовательностей.
9. Имеют ли предел последовательности (аД если
а„ = 4+(-1)л, а„
пз+4 , ап — из+1 .
10. Являются ли бесконечно большими при хоо функции
x*sin2x, х + [х]?
11. Найти пределы функций на бесконечности:
lim
X ОО
24-3~х
2Х4-3-Х
lim
X -> — оо
3 + 5Х
4Х + 6“Л
6 Заказ 607
161
x3 + 2x-|-sin x x2-f-arctgx
’™ 3/ + 4^+l ’ J™ AM+l ’
lim -^ЕЗ + х^^
x^oo V4xb + x5 + 3+xa + 2
12. Найти пределы функций в точке:
r (х2 —5х+6) cos лх r Jx2 + 16 —4
lim ----2—, 11 m -v-~ 7 г —
v -> з х — 9х + 18 д. () хл + х
lim
lim
л л
" 2 х 2
13. Найти предел последовательности
2 4 / 2\"
1+т+т+-+(т)
1Ш 2 4 / 2\" ‘
i+4+д +...+(4)
О \ м/
14. Найти сумму всех членов геометрической прогрессии
о- __L- 2 • • 2
7 ’ 49 ’ (-7)"-' ’ " ‘
15. Найти пределы последовательностей:
16. Даны последовательность (ап) и число Ь. Рассмотреть
высказывания:
а) V V 3 (|а„ —£>)<е); б) V 3 3 (\ап-Ь\<ь).
е>0 /V>0 rt|n>./V ?>()№>() n|n>jV
Определяют ли они какие-нибудь известные вам понятия теории
пределов?
17. Построить отрицание условия, определяющего lim an = b в
форме цепочки кванторов. Пользуясь полученным новым условием,
доказать, что число 2 не есть lim •
18. Построить в форме цепочки кванторов отрицание условия
из критерия Коши (§ 12).
162
Глава III
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Пусть материальная точка Л4 движется по некоторой траекто-
рии, начинающейся в точке Afo пространства Oxyz. В этом процес-
се расстояние |AfAfol является непрерывно изменяющейся вели-
чиной. Если эту переменную мы будем рассматривать в ее функцио-
нальной зависимости от времени, получим пример непрерывной
функции.
Наглядное представление идеи непрерывности ясно каждому.
Перед нами теперь стоят вопросы о точном определении непрерыв-
ной функции ио ее свойствах.
Простейшим видом непрерывности числовой функции f (х)
является ее непрерывность в заданной точке хо из области опре-
деления. Данное понятие связано с приближением f (х) к значению
f (хо) при приближении аргумента х к числу хо, т. е. с понятием
предела функции f (х) при х -► х().
Настоящая глава, следовательно, является прямым продолже-
нием предыдущей. С другой стороны, свойства непрерывных
функций обогащают аппарат теории пределов, дают новые средст-
ва вычисления предела функции.
Переходя к работе над материалом главы III, читателю нужно,
прежде всего, вспомнить определения предельной и изолированной
точек множества (гл. I, | 7, п. 3°), а также определение и свойства
конечного предела функции в точке (гл. П, § 2—5). Предел функ-
ции f (х) при х а определяется у нас в предположении, что а —
предельная точка области определения функции (к этому мы вер-
немся в п. 5° § 1 данной главы).
f 1. Определение непрерывности функции в точке
1°. Рассмотрим в качестве примеров три функции, описываю-
щие некоторые процессы, причем условия, в которых эти процессы
протекают, в определенный момент (момент х=1) изменяются
(рис. 80):
(2x4-3 для х<1 7 2x4-3 для х<1
а> для х>1; б) f (х)=.| 9 для х=1
I 5х для х > I;
в) f(x)=
2х4~3 для х< 1
5 для х == 1
5х для х > 1.
163
Область определения первой из этих функций — числовая пря-
мая без точки 1, две другие функции определены на всей числового
прямой. Во всех трех случаях число х() = 1 является пред е л ь-
ной точкой области определения функции, и мы можем ста-
вить вопрос о lim f (х).
А > А п
Легко видеть, что для каждой из трех функций lim / (х} =
\ ► 1
= lim f(x) = lim f (х) = 5, т. е. что
V 3 V (1Н4-5|<е).
8>0 6>() х|х Л1,
|х-1|<6
Заметим, что при написании этого условия для первого и
третьего примеров требование х^= 1 можно опустить, для примера
же второго это сделать нельзя: в примере а) область определения
не содержит 1; в примере в) при х = 1 модуль | / (х) — 51 =5 — 5 = 0,
а это меньше чем с при любом положительном е; в примере б) при
х= 1 верно 1/ (х) — 5| = |9 — 5| =4, что не будет меньше е при ма-
лых Е.
Вообще если относительно функции f (х) с областью определе-
ния Т известно, что lim f (x} = b, где х0 — предельная точка для Т,
то: а) либо Хо^Г, т. е. f (х0) не определено; б) либо х()^7, т. е. f (хо)
определено, но f(xo)^=b\ в) либо Хо^Т и / (х0)=^.
Итак, предел функции f (х) при х, стремящемся к х0, и ее частное
значение f (х0) в самой точке Хо вовсе не обязаны совпадать, и они
должны восприниматься нами как разные вещи. Но, конечно, сов-
падение чисел lim f (х) и [ (х0) для той или иной функции f не
164
исключено, как показывает хотя бы пример функции в). Слу-
чаев такого рода имеется бесконечно много. Вполне естественно,
что их выделяют особо.
Наше представление о непрерывности подсказывает, что функ-
ция в) будет непрерывной, а функция б) нет. В то же время разли-
чие между этими двумя функциями состоит в том, что для первой
имеет место совпадение lim f (х) и f (хо), а для второй — совпаде-
X -> Л-.:
ние не имеет места. Функцию Дирихле естественно считать разрыв-
ной (т. е. не непрерывной) в любой точке х$: предел ее при х -> хо
вовсе не существует. Это соображение побуждает положить в осно-
ву определения непрерывности функции f (х) в точке Хо требование
существования lim f (х) и его совпадения с f (хо). Понятно, что
х хп
сказанное относится лишь к такой точке хо из области определения
Т данной функции, которая является предельной для Т. Но Т может
иметь и изолированные (непредельные) точки даже в случае
элементарной функции. (Например, для функции
[ (х) = д/(х — 1) (х —3) —д/х (х— 1) (х —2) (х —3) + у/3=х
область определения Т = (—оо; 0]Ц{1; 3) — числа 1 и 3 — изоли-
рованные точки множества Т.) Как быть с определением непрерыв-
ности f (х) в изолированной точке хо области определения Г?
Так как в некоторой окрестности рассматриваемой точки Хо
вовсе нет отличных от хо точек из Т, то вблизи хо нет таких х,
для которых f (х) далеко от f (хо) (например, таких, что
|/(х) — / (хп)| > 1). Поэтому естественно считать данную функцию
непрерывной в точке хо, не предъявляя для этого к функции ника-
ких дополнительных требований.
Определение 1. Пусть имеем функцию f (х), определенную
на множестве Г, и пусть хо — точка этого множества, являющаяся
для него предельной. Данная функция называется непрерывной в
точке Хо, если существует предел f (х) при х хо, причем lim f (х)=
= / (хо). Если Хо — изолированная точка множества Т, то в такой
точке функция f считается непрерывной (без всяких дополнитель-
ных условий).
Чтобы получить еб-условие, характеризующее непрерыв-
ность функции /’ (х) в точке хоЕ Д нужно обратиться к условию (II)
предела lim f (x) = b из § 4 гл. II и, заменив в нем а на хо, положить
х а
Ь равным f (хо). Тогда определение 1 можно переписать в следую-
щей форме, охватывающей как случай предельной, так и случай
непредельной точки Хц.
Функция f (х), определенная на множестве Г, называется не-
прерывной в точке хоЕД если выполняется следующее условие:
V а V (|Цх)-Г(хо)Ке). (1)
е>() 6>0 хеДл —х(»|<6
165
То, что это условие справедливо для любой функции f (х) в
случае, когда хо — изолированная точка области ее определения Т,
проверяется просто: выбираем столь малое д > О, что в интервале
(х0 — 6; хо + б) нет иных точек из Г, кроме хо, тогда для любого е > О
V (|f(x)_ f(x0)| = 1Цх0)-?(хо)1 =0<е).
xgqlx—ХоI <а
Если же хо — предельная точка для Г, то условие (1) может вы-
полняться или нет, что проверяется для каждой данной функции
особо. Условие (1) есть точное математическое выражение того,
что для непрерывной функции малым изменениям значений аргу-
мента соответствуют малые изменения значений самой функции.
Как показывают определения предела и непрерывности функ-
ции, предел f (х) при х -> хо определяется только для такой точки
Хо, которая является предельной для множества Г, независимо
от того, х0£ Т или х0( Т, непрерывность же f (х) в точке х0 определя-
ется для любой точки Хо, принадлежащей Г, независимо от того,
является хо предельной точкой для Т или нет.
Из определений предела и непрерывности функции далее видно,
что значение f (х) в точке хо не влияет на предел lim f (х),
X -+ Хо
но влияет на непрерывность f (х) в точке хо. Функции б) и
в) отличаются лишь значением в точке Хо — 1, что не отразилось на
пределе при х -* хо, но повлияло на непрерывность функции в этой
точке: предел функции при х 1 существует в обоих примерах,
тогда как непрерывна функция в точке 1 лишь во втором из этих
примеров.
Константная функция (f(x)=c), а также, функция, равная
аргументу (ф (х) = х), непрерывны в каждой точке области их опре-
деления, ибо, как отмечалось в § 3 главы II, lim f (х) — с, lim ф(х)=
X -> Х(1 X -► Хо
=Хо = Ф (хо). То же относится к функциям sin х, cos х и, как видно
из § 11 предыдущей главы, к показательной функции ах.
_ х j sin— при х=#0, Л
Функция f (х)=< х г не будет непрерывна в
(О при х=0
точке хо=О, так как не существует lim f (х) (здесь уже дело не в
X -> О
значении f (х) в точке х0’). По этой же причине несуществования
предела функции при х —> Хо функция Дирихле не является непре-
рывной ни в какой точке.
2°. Условия, определяющие понятия предела и непрерывности
функции в точке, могут быть записаны и с помощью понятия ок-
рестности. Тем самым будет дано геометрическое истолкование
этих понятий. Предварительно условимся окрестность точки хо обо-
значать через V, а разность У\{хо}, т. е. окрестность той же точки,
проколотую в самой этой точке, обозначить символом V. Пе-
ресечение F и V с множеством Т будем обозначать соответственно
166
через FT и FT. Напомним (гл. I, § 3), что окрестность числа Хо мы
называем любой содержащий х0 интервал (xi; х2). В частности,
окрестностью х0 будет интервал (х0 — е; х0 + е).
Функция y—f (х), определенная на множестве Т, непрерывна
в точке Т тогда и только тогда, когда выполняется следующее
условие: для любой окрестности U точки f (хо) (изображаемой на
оси Оу) найдется такая окрестность V точки Хо (изображаемая на
оси Ох), что FT отображается функцией y = f(x) в окрестность U
(рис. 81).
Пусть дана функция y — f(x), определенная на множестве Г,
и пусть Хо — предельная точка множества Т. Число Л будет пре-
делом f (х) при х -> Хо тогда и только тогда, когда выполнено сле-
дующее условие: для любой окрестности U точки А (на оси Оу)
найдется такая окрестность Fточки Хо (на оси Ох), что FTотобра-
жается функцией y — f(x) в окрестность U (рис. 82).
Эти два предложения мы будем называть окрестностной
формой определений непрерывности и предела f (х) в точке хо.
3°. В математическом анализе используется еще одна форма
записи условия непрерывности функции y — f(x) в неизолирован-
ной точке области ее определения.
Обозначим, как это общепринято, разность х —Хо через Дх,
а разность f(x)—f (х0) через Ау. Тогда условие (1) непрерывности
данной функции в точке х0 запишется так:
V 3 V (|Ду|<е). (1, а)
f>0 6>0 т| |Лх| <6
Рядом с данной функцией y=f(x) естественно рассматривать \у
как функцию от Дх:
х — ХоН>/ (х)—f (хо).
Для этой функции условие (1, а) выражает не что иное, как
lim Ду = 0 (чтобы в этом убедиться, достаточно Дх и Ду предста-
Лх->0
вить в виде Дх = Дх —О, Ду —Ду —О и воспользоваться условием
определения предела).
167
ке Xq£T, если для
Таким образом, данная функция
y ~f W будет непрерывной в точке х0 тог-
да и только тогда, когда
lim Д# = 0 (1,6)
Дх->()
(рис. 83).
4°. Наконец, определение непрерыв-
ности функции в точке следует записать и
в форме, связанной с пределом числовой
последовательности.
Функция f (х\ определенная на мно-
жестве 7, называется непрерывной в точ-
любой последовательности значений аргу-
мента Xi, ха, хя, ... с пределом хо последовательность соот-
ветствующих значений функции f (xi), f (Х2), ...» f (xrt), ... имеет пре-
дел f (хо):
(xnJ lim x„=xB
(lim f (x„)=f (*o)).
Равносильность этого определения и определения 1 вытекает
из той связи между пределом функции f (х) при х -> а и пределом
числовой последовательности, которая нами рассмотрена в § 10
предыдущей главы.
5°. Пусть Т — числовое множество (ТсЯ). Число ха называется точкой при-
косновения множества Т, если имеет место хотя бы одно из двух: xBgT, хв — пре-
дельная точка множества Т. Другими словами, хв называется точкой прикоснове-
ния Т, если,в любой окрестности U (хв) точки хв содержится хоть одна точка из Т (не
исключая и самой точки хв). Ясно также, что точка прикосновения множества явля-
ется либо предельной, либо изолированной точкой этого множества и
обратно. Например, числа 0, 1, 2, 3, 4 будут точками прикосновения множества
Т — (0; 1)U{2; 3; 4}, а множество всех точек прикосновения Т — это Т=[0; 1](J{2; 3; 4}
(множество точек прикосновения любого числового множества М обозначается
через М и называется замыканием данного множества).
В главе П конечной предел lim f (х) определяется только для предельной
X -+ Хо
точки хо области определения Т. Но существует и иная точка зрения. Конечный
предел функции f (х) при х ->• х® вводится для любой точки прикоснове-
ния хо области определения данной функции (включая и изолированные точки
для Т): число А называется lim f (х), если
х+х0
v з V (|f (х)-А\<в).. (а)
8>0 й>0 х£Г||х— х0| <б
Здесь, как видим, в области изменения кванторной переменной третьего
вхождения кванторов дополнительное неравенство х#=хв не содержится! Благода-
ря этому точка х=х0 в неравенстве If (х)—Л| не исключается, и в случае xq^T
неравенство If (хв)—А | <в для любого е>0 существенно, оно порождает утверж-
168
дение f(xo)=A, выражающее не что иное, как непрерывность f (х) в точке хп.
В этом состоит единственное, но важное различие между новым определением
предела и определением из главы II применительно к случаю, когда хо — предель-
ная точка области определения. Если Хо — изолированная ее точка, то
lim f (х) в прежнем смысле не определяется, а в новом смысле lim f(x) =
X -► хо х -> Хо
~f (хо), что опять-таки выражает непрерывность f (х) в точке хо.
{sin х
----- при х=/=0
х '
3 при х = 0.
В прежнем смысле lim f (х)= 1, а в новом смысле lim f (х) не существует. Функ-
х —о х-*0
ция f (х) разрывна в точке 0. Если из Т исключить нуль и рассматривать f (х) на
множестве Го = 7’\{О|, то как в прежнем, так и в новом смысле lim f (х)=1, а
х0
непрерывность в точке 0 не определяется.
Отметим, что для функции f (х) с областью определения Т и точки хо, принадле-
жащей Т, приведенное в п. 1° условие (1), характеризующее ее непрерывность
в этой точке, есть одновременно и характеристическое условие существования ко-
нечного предела lim f (х) в новом смысле. Если же точка Хо не принадлежит Г, но
X -> Хо
является для него предельной точкой, то условие (а) является характеристическим
для существования конечного предела А функции f (х) при х -> Хо как в новом, так
и в прежнем смысле.
Впредь, как и до сих пор, мы будем пользоваться определением предела
функции, приведенным в главе II. Но следует иметь в виду, что определение, с кото-
рым мы познакомились в этом пункте, является более удобным в ряде вопросов,
например в формулировке теоремы 1 о замене переменной при вычислении предела
(§ 6 данной главы).
§ 2. Свойства непрерывности функции в точке.
Непрерывность и арифметические операции
над функциями
Вновь обратитесь к § 5 и 9 предыдущей главы, в которых анало-
гичные вопросы рассматривались по отношению к пределу функ-
ции. Из доказанных там предложений непосредственно вытекают
свойства непрерывности функции в точке, которые мы приводим
ниже.
1) Если для функции f (х), определенной на множестве Т, для
которого Хо — предельная точка, существует конечный предел
lim f (х), то данная функция может быть так определена или пере-
х —► х«
определена (если lim f (x)#=f (хо)) в точке хо, что она окажется
X —* Хо
непрерывной в этой точке: в качестве нового значения f (х0). нужно
просто взять число, равное lim f (х), сохранив все остальные
х-> Хо
169
значения функции (формально это другая функция, но отличается
она от данной функции значением лишь в одной точке, что в ряде
вопросов совершенно несущественно).
2) Непрерывность функции f (х) в точке х0 не нарушится, если
мы сузим произвольным образом область определения данной
функции, но так, чтобы точка хо принадлежала новой области опре-
деления. .
3) Если в некоторой окрестности V точки хо две данные функции
f (х) и ф (х) совпадают, го из непрерывности f (х) в точке х0 следует
непрерывность ф (х) в той же точке.
4) Если f (х) непрерывна в точке х0, то в некоторой окрестнос-
ти V точки хо функция f (х) ограничена.
5) Если функция f (х) непрерывна в точке Хо и f (хо)^О, то в не-
которой окрестности V точки хо данная функция сохраняет знак
числа f (хо) (свойство устойчивости знака).
6) Сумма, разность, произведение функций f (х) и ф (х), опреде-
ленных на множестве Т и непрерывных в точке Хо£Т, являются
функциями, непрерывными в точке хо. Произведение функции [ (х),
непрерывной в точке Хо, на число с есть функция, непрерывная
в той же точке.
Доказательство. Так как
lim f(x)=f(x0), lim ф(х) = ф(х0),
х -> х» х -> Хо
то по соответствующей теореме о пределе функции (гл. II, § 9)
lim (f (х)±ф(х))= lim f (х)± lim ф(x)==f (х0)±ф(х0);
X —► Хо X —* X» X —> Хо
lim (j (х)-ф(х))= lim f (х)> lim ф (х) = /(х0)-ф (х0);
X —> Хп х —-> Хп X —Хо
lim (cf (х))=с 1 im f (х)=cf (х0).
X Хо % ' *
В каждой из этих строк предел функции, записанной в скобках,
при х —► хо равен ее частному значению, записанному в конце стро-
ки. Следовательно, функции f (х)±ф (х), f (х)- ф (х), cf (х) непрерыв-
ны в точке хо.
7) Если функции f (x) и ф(х), определенные на.множестве Г,
непрерывны в точке хо и ф(х)^=0 всюду в 7, то отношение
есть также функция, непрерывная в точке хо-
Доказательство. Действительно, так как lim f (х)
IM
. =f(x0), lim ф(х) = ф(хо)5^О, то
X-* XO
X -> Хо
lim f(x)
lim x~ r
<P W hm ф(х)
IM
ф(х0)
170
Мы видим, что предел функции
при х -> хо совпадает с ее
значением в самой точке хо, что и означает непрерывность
этой функции в точке х0.
8) Степенная функция хп с натуральным, показателем, будучи
произведением п непрерывных функций, равных х, непрерывна
в любой точке числовой прямой R.
Заметим еще, что так как lim д/х" = д/хо" (см. § 9, гл. II), то
функция Д/х непрерывна в каждой точке области ее определения.
То же относится к показательной функции, а также к функциям
sin х, cos х, tg х, ctgx (гл. II).
f 3. Точки разрыва функции
Условимся обозначать через Тя ту часть числового множества
Г, что слева от данной точки х0, а через Гп ту его часть, которая
расположена правее Хо:
ТЛ = ТП(—*о), Тп = ТП(*о; Ч-оо).
Не исключено, что Тл или Гп — пустое множество (приведите
примеры).
Если предельная точка х0 множества Т является предельной
как для Тл, так и для Тп, то она называется двусторонней предель-
ной точкой множества Т. Если же предельная точка Хо множества
Т является предельной только для Тл или только для Тп, то хо на-
зывают односторонней предельной точкой данного множества Г.
Двусторонняя предельная точка хо множества Г, не принадле-
жащая Г, называется точкой прокола данного множества Г. На-
пример, 0 является точкой прокола множества положительных и
отрицательных чисел. Все числа вида (26—1)-^-, где /г = 0, ±1,
±2; ±3, ..., являются точками прокола области определения тан-
генса. Нуль является точкой прокола множества чисел вида
а число -д/5 является точкой прокола множества Q рацио-
нальных чисел.
Обратимся теперь вновь к понятию непрерывности функции в
точке (§ 1) и введем еще одно понятие.
Определение. Точкой разрыва функции f (х), определен-
ной на множестве Т, называется точка этого множества, в которой
данная функция не является непрерывной, а также точка его
прокола.
Точка 1 является точкой разрыва функций из примеров а) и б)
§ 1, причем в примере а) она является точкой прокола области
определения, а в примере б) число 1 — точка из области опреде-
171
ления, в которой функция не является непрерывной. Точно так же
J sin ——для х>0
нуль — точка разрыва функций sin—и f(x)=q х
х z ^х для х<0.
, h ( . J sin —-г- для х>5
Функция п{Х)— < 2Х ь непрерывна всюду, кроме
I X ДЛ Я X О
х = 5. Число 5 — единственная точка разрыва функции h (х).
с х для рациональных х
Для функции и (х)=| 5 для ИррационалЬных х
число 5 — единственная точка непрерывности, все остальные
действительные числа являются точками разрыва и (х). Для
г 0 для рациональных х
функции Дирихле D (х)=| 1 для иррациональных х
все действительные числа — точки ее разрыва. Числа (2k — Объ-
являются точками разрыва функции tgx.
Читателю предоставляется проверить это и сделать эскизы
графиков перечисленных функций.
Если хо—-точка разрыва функции f (х), принадлежащая ее
области определения Т, то еб-условие, характеризующее эту
точку, мы получим как отрицание условия (1) непрерывности
функции (см. правило построения отрицаний в гл. 1, § 6):
Э V Э (If (х)-f (х0)| >е).
е>0 6>0 хЕГрх — х«|<й
Это значит, что в любой близости от точки разрыва хо из области
определения Т имеются такие точки, для которых значения f (х)
удалены от f (хо) на расстояние, не меньшее некоторого числа
е>0.
Несколько слов о характере точек разрыва. Если в точке
разрыва Хо функции f (х) с областью определения Т существует
конечный предел lim f (х), то хо называют точкой устранимого
X -* Хо
разрыва: стоит функцию при х=хо доопределить (если Хо —
точка прокола Т) или переопределить (если хо£ Т) так, чтобы новое
значение f (хо) было равно числу lim f (х), и функция становится
X Хи
непрерывной в точке хо. Если же в точке разрыва х0 данной функ-
ции f (х) не существует lim f (х) (двусторонний предел, если хо —
х -* ха
двусторонняя предельная для Т точка), то х0 — точка неустрани-
мого разрыва.
Число 1 — точка устранимого разрыва функций из примеров а)
и б) 11 (рис. 80). Все точки разрыва в остальных примерах настоя-
щего параграфа — точки неустранимого разрыва.
Пусть Хо —- точка разрыва функции f (х), являющаяся двусто-
172
ронней предельной точкой области
определения Т. Данная точка на-
зывается точкой разрыва I рода,
если существуют оба односторон-
них конечных предела lim f (х),
Х-+ Хо —
lim f (х). Если же хоть один из
двух односторонних пределов не
существует или является бесконеч-
ным, то хо называют точкой раз-
рыва II рода.
Точки разрыва функций в примерах а), б) § 1 и на рисунке 84 —
точки разрыва I рода. Точки же разрыва функций в остальных
примерах данного параграфа являются точками разрыва II рода.
К примерам точек разрыва мы вернемся позднее (§ 9), когда
будем располагать большими средствами вычисления пределов и
исследования функций с точки зрения непрерывности.
§ 4. Непрерывность сложной функции
и обратной функции.
Непрерывность элементарных функций
1°. В § 2 доказано, что арифметические операции над непре-
рывными функциями снова приводят к непрерывным функциям.
Нам остается с этой точки зрения рассмотреть еще две элементар-
ные операции — операции суперпозиции (сложной функции) и об-
ратной функции (вспомните их определения в § 5, гл. I).
Теорема 1. Пусть функция F (х), определенная на множест-
ве Т, есть суперпозиция функций y — f (и) и ц = ф(х), т. е. Е(х) =
= / (ф (х)), и пусть хо£ Т, а ф (хо) обозначено через и®. Если вторая
составляющая ф (х) непрерывна в точке хо, а, первая составляющая
f (и) непрерывна в соответствующей точке ио, то суперпозиция
f (ф (х)) непрерывна в точке х0. (Кратко, но неполно: суперпозиция
двух непрерывных функций есть функция непрерывная.)
Воспользуемся для доказательства определением непрерывнос-
ти функции в окрестностной форме (см. § 1).
Обозначим через Q область значений второй составляющей.
Это же множество мы считаем и областью определения первой
составляющей. Область же значений первой составляющей обо-
значим через S. Наконец, обозначим f (uq) через у®, т. е. yo = f (ио).
На рисунке 85 схематично изображены функции и — ф (х) и y — f (и).
Там же изображена произвольно взятая окрестность W точ-
ки Уо.
В силу непрерывности y=f(u) в точке и0 найдется такая ок-
рестность Н этой точки, что все точки из Qf\H перейдут при отобра-
жении f в окрестность W. В свою очередь, ввиду непрерывности
173
Рис. 85
мы называем сегмент
интервал, полусегмент,
ц = ф(х) в точке хо найдется такая ок-
рестность £ этой точки, что все точки
из LflT при отображении ф перейдут
в QftH. Но тогда суперпозиция
. г/=/(ф(х)) (переводящая точки из Т
в точки из S как бы через точки из Q)
переводит все точки множества
в окрестность W (см. схему на ри-
сунке 85). Следовательно, функция
f (ф (х)) непрерывна в точке хо, что тре-
бовалось доказать.
Напомним далее, что промежутком
(в частности, одноточечное множество),
числовые полупрямые и прямую. Интер-
вал (а; Ь) иначе будем обозначать (6; а). Аналогично для сегмента
[а; Ь], полуинтервалов [а; Ь), (а; Ь].
Теорема 2. Пусть функция y = f (х) определена и строго мо-
нотонна на промежутке Т, а хо — любая его точка и пусть f (хо)=
= |/о. Тогда обратная ей функция х = ф(</) непрерывна в точке уо.
Доказательство. Обозначим через Q множество значе-
ний функции y=f (х). Множество Q будет в то же время и областью
определения функции х = ф(>). Эта функция строго монотонна в
том же направлении, что и y=f(x).
Пусть сначала Хо — неконцевая точка множества Т. Тогда у® —
неконцевая точка множества Q. Возьмем произвольную содержа-
щуюся в Т окрестность (xjj х2) числа х0, т. е. x0C(Xj; х2), где х^Т,
Ха€ Т.
Пусть f(Xi)=yi, f(x2)=y2> Тогда ф(1/1)=хь ф((/2)=х2. Ввиду
строгой монотонности функций f и ф интервал (хг, х2) отображается
функцией f в интервал (ус, у%). Функция же ф переводит все содер-
жащиеся в Q/i; у2) точки из Q в интервал (xi; х2). Таким образом,
для произвольной окрестности (xi; х2) числа хоЕ Т существует такая
окрестность (ус у2) числа yo£Q, все Q-точки которой функция ф
переводит в (xi; х2) (рис. 86). Это значит, что функция х=ф(г/)
непрерывна в точке у0.
174
Если хо — концевая точка множества Г, то уо — концевая точ-
ка Q. Возьмем произвольное число xi£T, xi^=xQ, пусть f (xi)—
= У\, У\=7^Уо- Полуинтервал [х0; х\) отображается функцией f в по-
луинтервал [г/0; yi), а все Q-точки из [уо; у^) функция ф переводит в
[х0; xi) (рис. 87). Это значит, что функция <р непрерывна в точ-
ке уо. Теорема доказана.
Замечание. По существу только что доказано, что если
функция ф определена и строго монотонна на некотором множест-
ве Q (необязательно являющемся промежутком) и имеет множест-
вом своих значений промежуток Т, то данная функция непрерывна
в каждой точке множества Q. Функция, обратная ф, в рассматри-
ваемом случае необязательно непрерывна. Приведите пример
(графически).
2°. Итак, не только арифметические, но и все элементарные
операции над непрерывными функциями снова приводят к непре-
рывным функциям. Мы знаем, что все простейшие функции
(const =1, х, sin х, 10х) непрерывны всюду в области их опреде-
ления. А так как элементарные функции — это те функции, кото-
рые получаются из простейших элементарными операциями, то все
элементарные функции непрерывны всюду, т. е. каждая из них
непрерывна в любой точке области своего определения.
Теперь видно, насколько широк класс непрерывных функций:
он, во всяком случае, не уже, чем класс элементарных функций.
Но оказывается, что он шире, чем второй класс. Примеры неэле-
ментарных непрерывных функций строятся, например, с помощью
интеграла. Здесь мы их не приводим. В классе непрерывных
функций, тем более в классе элементарных функций вычисление
предела функции в точке заменяется вычислением ее частного зна-
чения в этой точке: lim f (х)~ f (х«).
Так как мы можем применять это положение к весьма доступ-
ному для нас и вместе с тем очень широкому классу функций, то
оно составляет значительную составную часть аппарата теории
пределов. Это можно проиллюстрировать на таком примере:
Пт Igcos х + „ Igcos 04-e~3tg° __
х arcsin + arcsin 02 + tg^^-+0^
Без теорем этого и предыдущих параграфов данный пример ре-
шить нельзя.
Теперь мы располагаем средствами вычисления пределов, ис-
следования функций на непрерывность, обнаружения точек разры-
ва и выяснения их характера. В последующих параграфах эти
средства будут расширены.
175
§ 5. Свойства функций, непрерывных на промежутке
Выше мы рассматривали понятие непрерывности функции в
точке. Но нас интересует и непрерывность функции «в целом»,
непрерывность ее во всей области определения. Что понимать
под этим? Каково соответствующее определение?
В математике принят такой подход к непрерывности функции
«в целом», такое понимание этой непрерывности, при котором она
как бы складывается из непрерывности функции во всех точках
области определения. Другими словами, под непрерывностью
функции «в целом» или под непрерывностью функции в области
определения понимают ее поточечную непрерывность.
Определение. Функция f (х), определенная на множестве
Г, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерыв-
на в каждой точке Хо, принадлежащей Т.
Но наше представление о непрерывной функции связано с опре-
деленными свойствами такой функции. Перечислим их: а) свойство
функции, непрерывной на промежутке, принимать все числовые
значения, промежуточные между любыми двумя своими
значениями (представьте себе хотя бы рост человека как
функцию времени); б) свойство функции, непрерывной на сегмен-
те, иметь наименьшее и наибольшее значения;
в) свойство колебаний функции, непрерывной на сегменте:
при любом малом е>0 данный сегмент можно разбить на некото-
рое число п таких мелких сегментов, на каждом из которых коле-
бание функции будет меньше е.
Так вот, является ли принятое определение столь хорошим,
что из непрерывности функции на множестве в смысле этого
определения вытекают указанные ее свойства?
Принятое определение непрерывности функции «в целом» нуж-
но оправдать, и положительный ответ на поставленный вопрос бу-
дет таким оправданием. Этот положительный ответ не приходит
мгновенно, ибо никак не очевидно, что из равенства lim f (х) = f (хо)
X -> Х(|
для каждой точки х0 промежутка Т вытекает хотя бы свойство а)
промежуточных значений. Требуется свойства а), б), в) подверг-
нуть строгой проверке. Для этого мы сформулируем пять теорем о
свойствах функций, непрерывных на промежутке, дадим их гео-
метрическое истолкование, а затем докажем их.
Теорема 1. Если функция f (х) определена и непрерывна на
сегменте [а; Ь] и на концах его принимает значения противополож-
ных знаков, то существует хоть одна внутренняя точка £ сегмента
[а; Ь\ в которой данная функция обращается в нуль: f(J) = O
(рис. 88). График такой функции в плоскости хОу пересекает
ось Ох хотя бы в одной точке.
Теорема 2. Если функция f (х) определена и непрерывна на
промежутке Т, то, принимая два значения, она примет и все про-
межуточные между ними числовые значения (рис. 89).
176
Другими словами, если функция f (х) определена и непрерывна
на промежутке Т, то и множество ее значений есть некоторый
промежуток (в частности, одноточечное множество, когда f (х) —
= const).
График такой функции в плоскости хОу есть «сплошное», «не-
прерывное» геометрическое место (для элементарных функций —
та или иная линия). Этот график пересекается с любой горизон-
тальной и любой вертикальной прямыми, проходящими через соот-
ветствующие промежутки на осях координат.
Теорема 3. Если функция [ (х) определена и непрерывна на
сегменте [а; Ь\ то она ограничена.
Теорема 4. Если функция f (х) определена и непрерывна на
сегменте [а; Ь], то она имеет наименьшее и наибольшее значения
(рис. 90).
В силу теоремы 2 множеством значений такой функции являет-
ся сегмент [m; М], где m — наименьшее, а Л4 — наибольшее ее
значения.
Разность М — m между наибольшим и наименьшим значениями
функции, непрерывной на сегменте, называется колебанием этой
функции на данном сегменте.
Теорема 5. Если функция f (х) определена и непрерывна на
сегменте [а; Ь], то она обладает свойством колебаний: каково бы ни
было 8>0, можно сегмент [а; Ь] разбить на некоторое число п
таких мелких сегментов, на каждом из которых колебание функции
будет меньше 8 (рис. 91).
Доказательство теоремы 1. Разобьем [а; Ь] на два
сегмента |^а; a+b j и . Если f(^a~^b) =0, то
есть искомая точка g. Если же f(a~^b ) то из двух новых
сегментов выбираем для дальнейшего рассмотрения тот, на концах
которого f (х) имеет значения противоположных знаков. Обознача-
ем такой сегмент через [«i; Ь(]. Начатый процесс разбиения сегмен-
та на две половины продолжаем дальше. При этом либо мы на ка-
ком-то шаге встретим сегмент, в центре которого f (х) обращается
в нуль, либо такого сегмента никогда не будет. Но в этом втором
случае мы получаем последовательность стягивающихся сегментов
[аг, &i], [а2; Ь2], ..., [а«; Ьп], ... .
177
Общая для этих сегментов точка £, и будет искомой: f (£) = 0.
Действительно, £ = lim 6Z„ = Iim bn. Следовательно, в силу непре-
рывности f (%) в точке £
/ (£) = lim f (ап)= lim f (bn).
Но все f (ап) имеют один и тот же знак, скажем для определенности
«минус», а все f (bn) — знак «плюс». Отсюда lim f (ап)^ О,
lim f(M>О, т. е. f (£)<0, f g)>0. Значит, f © = 0.
Доказательство теоремы 2. Пусть а£Т, b £Т, f (а) =
=А, f (b) = В, а С — любое число, промежуточное между А и В,
скажем, А -< С< В (но может еще оказаться В •< С-< А). Привле-
каем вспомогательную функцию ф(х) = /Дх)—С. Эта функция не-
прерывна на промежутке Т, а следовательно, и на [а; Ь]. При
этом ф (a) = f (а)— С<0, ф (b) — f (b)— С> 0. По теореме 1 найдет-
ся такая точка что ф(£) = 0. Отсюда /(£) — С = 0, f(£)=C, так
что С есть значение функции f (х).
Доказательство теоремы 3. Допустим, что f (х)
не ограничена, и разобьем [а; Ь] на два сегмента j и
a + b ; b J . Хоть на одном из них f (х) не ограничена. Выберем тот
из них, на котором это будет, и обозначим его через [аь Ь\]. Нача-
тый процесс продолжим до бесконечности. В результате получает-
ся последовательность стягивающихся сегментов [аь Ь\], |а2; Ь2], ...,
[ап; Ьп], ... . На каждом из этих сегментов f (х) по построению не ог-
раничена. С другой стороны, обозначая через £ общую для стягива-
ющихся сегментов точку и используя условие непрерывности дан-
ной функции в этой точке, мы найдем такую окрестность V точки £,
в которой f (х) ограничена (см. § 2, свойство 4). Но некото-
рый сегмент \ап\ Ьп] содержится в V, и, следовательно, на нем / (%)
ограничена. Полученное противоречие отвергает допущение и,
стало быть, доказывает теорему.
Доказательство теоремы 4. Так как по теореме 3
функция f (х) ограничена, то для множества ее значений в силу тео-
ремы о гранях (гл. I, § 7) существуют верхняя и нижняя грани:
sup f (х) = Л4, inf f (x) = m. Требуется доказать, что М и m — зна-
чения данной функции. Допустим, напротив, что для всех х из
[а; Ь] выполняется условие f (х)=А=Л4. Тогда f (х)<34 для всех этих х.
Это позволяет привлечь вспомогательную функцию ф(х) =
= ——’ К0Т0Рая опРеДелена и непрерывна на [а; Ь]. По теореме
3 функция ф (%) ограничена. С другой стороны, f (х) как угодно
близка к 34, 34 — f (х) принимает значения, как угодно близкие к ну-
лю, следовательно,
——принимает сколь угодно большие
значения. Значит, ф (х) не ограничена. Полученное противоречие
доказывает, что 34 есть значение f (х). Аналогично для tn.
178
Доказательство теоремы 5. Допустим, что f (х) не обладает
свойством колебаний. Тогда по правилу построения отрицаний сложных предло-
жений (см. гл. I, § 6) существует такое е>0, например е, что при любом разбиении
сегмента [а; Ь] на более мелкие сегменты хоть на одном из них колебание функции
будет больше или равно е, и, следовательно, на всем [а; Ь] колебание f (х) и подавно
окажется больше или равно е.
. Хотя бы один из
г» г ki Г a-j-b "1 Г аЦ-Ь
Разобьем [а; Ь\ на сегменты I а; —-— и —-—
этих двух сегментов обладает тем свойством, что для любого его разбиения на более
мелкие сегменты найдется такой среди них, на котором колебание f (х) больше
[a-\-b 1 Г а-\-Ь
а; —2— I ’ I —2—
который
обладает указанным свойством, через [aij bi] (если оба сегмента
Ь
обладают этим свойством, то за [aj; принимаем первый сегмент).
Очевидно, колебание f (х) на [ои; больше или равно в.
Начатый процесс продолжается до бесконечности и дает последовательность
стягивающихся сегментов [ап\ Ьп], на каждом из которых колебание f (х) больше или
равно т. С другой стороны, в силу непрерывности f (х) в любой точке сегмента [а; Ь],
а значит, и в точке £, общей для всех [ап; Ьп], найдется такая окрестность V этой точ-
ки, что для всякого хС V \f (x) — f (£)| • Следовательно, для любых х', х" из V
о о ---
iHx')-f(x")i if си-f о +if< у+у=е-
Некоторый из стягивающихся сегментов [ап; Ьп] содержится в V. Значит, неравенст-
во If (х')— f (х")| <8 имеет место и для любых двух точек х', х" этого сегмента. Но
тогда на этом сегменте и колебание f (х) будет меньше е. Два подчеркнутых выска-
зывания противоречат друг другу, что и доказывает теорему.
Обратимся теперь еще раз к теореме 1 и отметим следующее
очевидное ее следствие: если функция f (х) непрерывна на про-
межутке Т и ни в одной его точке не обращается в нуль, то она со-
храняет на Т постоянный знак, т. е. Т есть промежуток знакопосто-
янства данной функции f.
Это предложение служит основой решения неравенств вида
f(x)^0c непрерывной левой частью методом интервалов: решаем
сначала уравнение f(x)=0; корни этого уравнения разбивают об-
ласть определения на интервалы знакопостоянства функции /; бе-
рем по одному представителю каждого из этих интервалов и под-
ставляем в выражение функции f (х) — знаки найденных значе-
ний f (х) и будут знаками f (х) на интервалах ее знакопостоян-
ства.
Отметим в заключение параграфа, что на теореме 4 в диффе-
ренциальном исчислении основана теорема Ролля, на которой, в
свою очередь, основываются все последующие предложения диф-
ференциального исчисления. На основе теоремы 5 доказывается те-
179
b
орема о существовании интеграла^ f (x)dx для любой непрерывной
а
на [а; Ь] подынтегральной функции.
Предложим теперь читателю несколько упражнений, связанных
с теоремами 1—5.
1) Приведите примеры графически заданных функций, показы-
вающие, что условие непрерывности функции в каждой из пяти тео-
рем существенно. Приведите пример функции, определенной
и непрерывной на и н т е р в а л е, но не имеющей ни наименьшего,
ни наибольшего значения.
2) Докажите следующее следствие теоремы 2: функция f (х),
определенная и непрерывная на промежутке Т, обратима (отобра-
жение f взаимно однозначно) тогда и только тогда, когда она
строго монотонна.
Приведите пример графически заданной функции, которая
определена на промежутке Т, имеет точки разрыва, немонотонна
и в то же время обратима. Постройте график обратной функции.
3) Колебание ограниченной функции f (х), определенной на
любом множестве, определяется как разность sup f (х) — inf f (%).
Обладает ли свойством колебаний функция / (х)= sinопре-
деленная и непрерывная на интервале (0; 1)?
§ 6. Замена переменной при вычислении
предела функции
Вновь обратимся к теореме о непрерывности суперпозиции
(§ 4) и рассмотрим на ее основе вопрос о пределе суперпози-
НИИ f (ф (х)).
В условиях теоремы о непрерывности суперпозиции
lim f (ср (х))=Д (ср (х0)). А так как cp(xo)=lim ср (х), то /'(ф(х())) =
X Хп X Хп
= f(lim ср (х)), и, следовательно,
X -> Хо
lim f (ср (x)) = f(lim q> W). (I)
X -> X() X Хо
Вывод. Знак предела lim и знак непрерывной функции f
можно менять местами (имеется в виду непрерывность f в точке и0.
См. формулировку теоремы 1 из § 4).
Это имеет место, в частности, в том случае, когда f — эле-
ментарная функция. Например:
lim In ф (х)= In (lim ф (х));
X —> Хо X Хо
lim sin ф (x) = sin (lim ф (х));
180
lim (<p(%))" = [lim <p(x)P; lim Д/<р(х) = "\/lim q>(x);
x^x0 x*xo x~^xQ x > xlt
lim ф (x)
lim a4>(x) = ax Xo ;
x -> Xo
lim In arctg (ф (x))= In arctg (lim ф (x)).
X X» x X(1
Равенство (1) и сформулированный вывод остаются в силе и
тогда, когда lim ф (х) существует (как конечное число), а ф (х0) не
х Хо
определено. Ведь мы сами можем доопределить ф (х) в точке хо по
непрерывности, что даст право пользоваться теоремой о непрерыв-
ности суперпозиции, а следовательно, и равенством (1). Благодаря
этому мы можем к приведенным примерам добавить такие (в них
также меняются местами знаки предела и непрерывной функции):
lim In-----= In lim-----= In 1 =0;
x О X X 0 X
2 1
lim sin (1 -фх) x = sin lim (1 -фх) x = sin e;
x 0 x 0
lim |im £L!LL\3=13=1
x - О \ X / \ x -> 0 X /
Примеры такого рода в теории пределов встречаются очень
часто.
Сформулируем теорему о пределе суперпозиции.
При условии непрерывности « = ф (х) в точке х0, а функции f (и)
в точке и0, где ц0—lim ф (х), предел суперпозиции f (ф (х)) при
х Хо равен пределу первой составляющей f (и) при и ->- и0:
lim /Дф(х)) = lim [ (и). (2)
X -> Хо и —► иа
Действительно, lim f (ф (х)) = / (ф (х0)) = f (w0) = lim f (и).
X -» Хо и -► и»
Легко понять, что равенство (2) остается в силе и тогда, когда
f (иф и ф (х0) не определены, но существуют конечные пределы
lim ф(х)=^0 и lim f (и), так как мы сами можем доопределить
х Хо и ип
Ф (х) в точке Хо, a f (и) точке ц0 по непрерывности.
Это дает возможность сформулировать и считать доказанной
следующую теорему о замене переменной при вычислении предела.
Теорема 1. Если для двух данных функций u = q (х), y = f (и)
их пределы lim ф(х)=н0, lim f(u) — yo, а частные значения
X -+ Хо и -> Un
f (хо), f (w0) либо не определены, либо соответственно равны ио, у0,
181
то предел суперпозиции f (ср (%)) при х xQ равен пределу первой
составляющей f (и) при и -> щ:
lim f (<р (х))= lim f (и),
х Хо и ио
(Если пользоваться определением предела из п. 5° § 1, то слова
«а частные значения ф (х0), f («о) либо не определены, либо соответ-
ственно равны и0, уо» становятся излишними и формулировка
теоремы принимает компактный вид — запишите ее!)
На основе этой теоремы предел сложной функции от х заменя-
ется пределом некоторой функции от и. Замена переменной осу-
ществляется при помощи равенства ц = ф(х).
Примеры.
1)
. л sin х
lim sin —----=
v-o 2%
л sin x
2x
при x 0
= lim sin и = 1.
(Символ J отделяет у нас знак равенства от того, что записано между вертикальны-
ми чертами.)
л sin х
Здесь и = <р(х) = —-------, хо = О,
1- / \ п
lim ср (х)== и0~ — ,
х ->- х(1 х
f (и) = sin и.
2) lim
Л
.. sin и
lim ------
и
вообще lim S*n .........- = 1, если lim <p(x) = 0.
х-т <р(х) х-т
Часто, вводя замену п = <р(х), бывает полезно выразить х через и:
sin 7х
3 lim —-—
х - о 8х
и = 7х
и
х~т
при х -> 0
и 0
.. sin и 7 ..
= lim ——=-7т- lim
и О О о и -> 0
7 и
sin и
и
7_
8" ’
Здесь ф(х) = 7х; / (и) = Sj--~ ; %о = О, ио = О.
О
4)
lim
х л
sin Зх
sin 2х
и = х — л
х = «-|-л
при X -> л
и —> 0
sin 3 (и 4- л) —sin Зи
lim -"с/—i—7= |1т —:
и -+ о sin 2 (и ф- л) u_>o sin 2и
/sin Зи 2и Зи\ 3
и "Ро \ Зи sin 2и 2и) 2
182
Целесообразно такую замену производить в уме и записывать ответ сразу.
Это относится к примерам lim , Hm и т. д. Но здесь можно
х о х » о
воспользоваться и равенством (1).
lim ----------
г о arcsin х
z/ = arcsin х
x = sin и
при х О
8) Нередко приходится пользоваться двумя заменами:
lim
х — 3
arctg (х—3)
и = х — 3
при х 3
и О
1 • “
— |1ГП -----------
и -> о arctg и
t = arctg и
u = tgt
при и -> О
/->0
Мы рассмотрели вопрос о пределе суперпозиции с составляю-
щими y — f(u), u = q(x) лишь для случая, когда хxQ, и и0 и
lim f (и) конечный. Но вопрос этот гораздо шире, он охватывает
следующие восемнадцать случаев:
183
' Uq (u-+ ц0)
jim ю (x) = 4" °° (w + °°)
Mo. x0\ Xo“, z '
I + 00, — 00 , 00 — OO Щ —>- — 00 ).
Здесь каждое из шести стремлений переменной х, которое обозна-
чим через тх, сочетается с одним из трех стремлений переменной и,
которое обозначим символом тц. При этом для каждого из таких со-
четаний существуют три возможности: lim f (w) = уо — конечный
предел; lim f (и)=оо ; lim f (и)= — оо. Всего, оказывается, 54
возможности. Для первой из них, т. е. для х —х0, и и0,
lim f (и)=уо, доказано, что предел суперпозиции равен пределу
и^и0
первой составляющей:
lim f (<p)x)) = lim f (и). (3)
Тх Т„
Справедливо ли это равенство в общем виде, т. е. для всех
54 возможностей? При этом предполагается, что существуют (ко-
нечные или бесконечные) пределы обеих составляющих lim ф(х),
lim f (и), где ти — стремление переменной и, соответствующее пре-
ти
делу второй составляющей ц = ср(х):
если Iim ф (х) = — оо, то ты — это и — оо ;
если lim ф (х)= 4~ , то ти — это и Ц- оо;
а при Нп1ф(х) = /70 т„ — это ии0.
Кроме того, предполагается, что в случае, когда хоть одна из
составляющих f (и), ф (х) имеет конечный предел в точке, эта со-
ставляющая либо непрерывна, либо не определена в данной точке.
Это условие будем называть условием конечных пределов.
Ответить на поставленный вопрос удобно при помощи понятия
окрестности (подобно доказательству теоремы о непрерывности
суперпозиции).
Наряду с определением окрестности числа а как интервала,
содержащего а, в случае, когда речь идет о пределе функции
при х->хо+ или при х Хо —, окрестностью числа хо условимся
считать любой промежуток вида [х0; х0 + 6) или (х0 —6; х0], где
6>0. Понятие окрестности вводится и для бесконечности:
У(+оо)— это промежуток вида (а; -ф оо), И(— оо) — проме-
жуток вида (—оо; —а), У(оо) — объединение ( — оо ; — a)U
U(а; —|—оо), где а есть любое положительное число.
184
Пределы (конечные или бесконечные) limf(w), lim ф (х) бу-
дем обозначать соответственно через А, В, а каждый из символов
х0, хо 4-, Хо —, 4-оо, — оо, оо — через С.
Заданные нам равенства Ит/(м) = Д (или, что то же,
Пт/(м)=Д) и limcp(x) = B (или Нтф(х) = В) характеризуют-
и - В тх х* С
ся следующими условиями соответственно:
V э V (f(u)€V(Л)), V э V (<p(x)ev(B)).
И (Л) И (В) UEV(B) V (В) V (С) хе v (С)
Другими словами, для любой окрестности V (Д) найдется такая ок-
рестность V (В), которую функция f отображает в V (Д), т. е.
V (В) V (Д), в свою очередь, для любой окрестности V (В) су-
ществует такая окрестность V (С), которая функцией ср отобража-
ется в V (В), т. е. V (С) V (В). Это в краткой записи выглядит
так:
Но тогда сложная функция (суперпозиция, или композиция)
f (ср) отображает V (С) в V (Д), т. е.
В полной записи это означает следующее:
V 3 V
г (Я) V (С) хег (С)
т. е. lim /Дф(х))=Д или lim f (ф (х)) = lim f (и).
X с х, т„
Таким образом, на поставленный выше вопрос о справедли-
вости в общем виде равенства (3) дан положительный ответ. Тем
самым доказана следующая общая теорема о замене переменной
при вычислении предела, в формулировке которой тх означает лю-
бой из сим волов х -> хо, х хо 4-, х —х0 —, х 4-°°,х^ — оо,
х -+ оо; ти — это стремление переменной и, соответствующее пре-
делу Игпф(х), а требование существования пределов lim ф (х),
lim f (и) включает в себя отмеченное выше условие конечных пре-
ти
делов.
Теорема 2. Пусть дана суперпозиция f (ф (х)) с составляю-
щими y = f(u), ц = ф(х). Если существуют (конечные или бесконеч-
ные) пределы обеих составляющих lim ф (х), lim f (ц), то существу-
т, т„
ет предел суперпозиции при тх и он равен пределу ее первой (внеш-
ней) составляющей при ти:
lim f (ф (х))= lim f (w). (3)
185
Применять эту теорему к решению примеров мы будем так же,
как применяли ее частный случай — теорему 1 — к решению при-
меров 1 — 8.
С помощью теоремы 2 можно обобщить и равенство (1) о пе-
рестановке знаков предела и непрерывной функции.
Следствие. Пусть даны суперпозиция f (ср (%)), а также не-
которое т.г — стремление переменной х. Если существует конечный
предел второй составляющей lim <р (х), равный и^, а первая состав-
ляющая f (w) непрерывна в точке ио, то знак предела lim и знак
функции f можно менять местами:
Нт Нфф W)-
(4)
Короче: знак предела и знак непрерывной функции можно
менять местами, если предел внутренней составляющей конечный.
Например:
1- лх! -р 8х3 -р 7х -р1 • >• лх! ~р 8х^ -р 7х -р 1 • л <
lim sin , 7, 2 7, 7 x^sm lim , 3 ; л 2 ; , .==:SH1 —1;
; со 2х ф 4х -р Зх -р 2 х -* оо 2х -р 4х -р Зх -р 2 2
im 8sin^ =^/8==2.
lim In ( 1 4-
x3~Psin x
x3 фarctg x
л -г u I
I I rn ----
lim ex’+x^ 1 = ex~* 00 x U|1 = 7 = ?.
Продолжим рассмотрение примеров на замену переменной при вычисле-
нии предела, основываясь уже на общей теореме 2.
1
и = —
X
1
х=—
и
при X ОО
и -> О
9)
sin и
и
lim (1-Р«)“ — е.
-0 +
186
I
1
u=------
X
1
X =----
и
при X — OO
= lim (1 +«)
и —► 0
12)
COS X
V(b—sin x)2
Л
x=^-u
Л
при x-> 2—
и —> 0 +
lim
и o +
sin и
V( 1 — cos и)2
13)
lim
sin2 лх
cos nx
u = nx
при x-+| +
sin2 и
-------— — сю.
cos и
n . и и
2 sin —• cos —
1
e
3 In3 x-j-2 In2 x-f-sin In x+ 1
x -> -f- oo —-In2 x-f-in x-|-arctg In x
w = ln X
при X + OO
U —> -|~ oo
3w3 + 2u2 + sin и +1 .. ' и ' и
— lim ------j—---------= lim -------------------= — oo.
и -> + co и ~г u arctg и u _► 4- oo j a refs’ и
-1+- +-----
« u2
Для вычисления пределов функций вида (j (х))г(х) мы прибегаем
к логарифмированию. При этом основываемся на равенстве (4), из
которого сразу следует:
187
1) знак предела и знак In можно менять местами, если подлога-
рифмическая функция имеет конечный предел;
2) если существует конечный предел lim In F (х), to существует
Та
и конечный предел lim F (х), так как lim F (х) — это lim е'11 f (А), т. е.
lim In F (а) Т' Т'
е Tv
Исходя из этого докажите, что если lim f (х) и limz(x) —
Тх Т,
конечные, то
hmz(x)
lim (f (x)Vw = (lim f (x))Tv . (5)
§ 7. Сравнение бесконечно малых
1°. Функции (х —З)2 и (х —З)5 являются бесконечно малыми при
х -> 3: lim(x —3)2 = 0, lim (х —3)5 = 0. Так как вторую из этих
х —» 3 х —► 3 ,
функций можно представить в виде произведения первой на бес-
конечно малую (х-З)3, то (х-З)5 при х3 стремится к нулю
быстрее, чем (х — З)2. В этом случае бесконечно малую
(х — 3)'э называют бесконечно малой более высокого по-
рядка, чем (х —З)2.
Определение 1. Пусть а (х) и р (х) — функции, определен-
ные на множестве Т, и пусть они являются бесконечно малыми при
х т. Если а (х) представима в виде произведения р (х) на некото-
рую бесконечно малую у (х) (х£Г) при хт, т. е. а(х)=у(х)Х
X 3 (х), то говорят, что а (х) есть бесконечно малая более высокого
порядка, чем р (х). Это записывают так: а (х) = о (Р (х)) (а (х) равно
о малое относительно р(х)).
Если известно, что при х т начиная с некоторого х р (х)=#0,
то данное определение можно записать в такой форме:
(а (х) = о(|3 lim—=о).
\ X -> т р w /
Примеры.
2
1) a(x)==sin2x, р(х) = х^— бесконечно малые при х -> 0.
sin2 х .. // sin х \ 2 4\ п
lim ------= lim (I —-—1 -(sinx) 1 =0.
x 2
Следовательно, a(x) = o(P(x))—a (%) есть бесконечно малая
более высокого порядка, чем Р (х).
2) а (х) = -^~ sin2 х, р (х)=— | arctg х| —бесконечно малые при хоо. Имеем:
188
Поэтому а (х) более высокого порядка малости,
чем р (х):
а (х) = о ([В (х)).
3) ос (х) = х! • sin 5 — , В (х) = х- sin -бесконеч-
X X
но малые при х —> 0. Обе функции обращаются
в нуль в любой близости ог х() = 0, поэтому к
частному переходить не нужно, а следует за-
&
X5
бесконечно малая при х —► 0, и, следовательно,
а (х) = о (р (х)).
4) Пусть х(х<П)— длина стороны квадрата, стягивающегося к точке Мо
(рис. 92), Xs — длина стороны другого квадрата, стягивающегося к той же точке.
Площади этих квадратов х2 и хь являются бесконечно малыми при х0. Так как
хь = х4-х2 и limx4 = 0, то хь = о(х2), т. е. площадь xG меныпего квадрата есть
л О
бесконечно малая часть площади х2 большего квадрата, которая сама при х -> 0 яв-
ляется бесконечно малой.
Подобным образом можно и в общем виде толковать равенство
а (х) = о (|3 (х)) так: а (х) есть бесконечно малая часть бесконечно
малой Р (х).
Отметим несколько легко доказываемых свойств бесконечно
малых высших порядков, или, что то же, свойства знака о ( ).
а) Если при Х т а (х) = о (Р (х)), а (3 (х) = о (у (х)), то при
х —► т также а (х) = о (у (х)).
б) Если при х-> т а, (х) = о (у (х)) (7= 1, 2, п\ то при х т и
он (х) + а2 (х) + ...-Еа„ (х) = о (у (х)).
в) Пусть а (х) = о ((3 (х)) при х^т и пусть- lim z (х)= £=#0.
А -> Т
Тогда при хт а (х) = о (z (х) • |3 (х)), а также z(x)-a(x) =
= о([3(х)). В частности, если а (х) = о ([3 (х)) при х т и /г=^0, то
а (х) = о (& • |3 (х)), а также k • а (х) = о ([3 (х)).
Докажите эти предложения.
2°. Сопоставим теперь функции а (х) = 2 (х —З)2 cos2 лх и
[3 (х) = (х —З)2. На сей раз lim ^д==2 lim cos2 лх = 2^0,
lim Ни одна из бесконечно малых а (х), 13 (х) не яв-
х з а (х) 2 \ । \ /
ляется бесконечно малой относительно другой, в то же время ко-
нечный предел отношения существует. Такие бесконечно малые на-
зывают однопорядковыми.
Определение 2. Пусть функции а (х) и [3 (х), определенные
на множестве Т, являются бесконечно малыми при х^т и пусть
189
начиная с некоторого х а(х)т^0, Р(х)У=0. Если существует конеч-
1 • а (х)
ный предел
, отличный от нуля, то бесконечно малые
а (х) и р (х) называются однопорядковыми при х -> т.
Бесконечно малые а (х), р (х) при х т называются сравни-
мыми, если они одного порядка или одна из них более высокого
порядка относительно другой. В противном случае а (х), р (х) на-
зываются несравнимыми (предполагаем, что начиная с некото-
рого х а(х)=До, р(х)т^О).
малые при
а (х), р (х) — однопорядковые
бесконечно малые при х .
6) a = sin 2х, р = 3 tg х — бесконечно малые при х 0.
а и р — одно порядковые бесконечно малые при х 0.
7) a = Vx — 1, Р==х — 1. При х -> 1 аир — бесконечно малые.
lim — = lim (Vx4 + V*3 + V*2+VX+0 —$•
a
x^1 x^1
а и p — однопорядковые бесконечно малые при х 1.
8) a = x3sin-^-, р = х3 — бесконечно малые при х->0. lim — , lim — не
a x^Q Р х—>о a
существуют, аир — несравнимые бесконечно малые при х 0 (предпола-
гается, что х2т^Д-).
л/г
Пусть теперь снова а (х) и р (х) — такие бесконечно малые при
х т, что а (х) — о (р (х)). Степень (р (х))* с показателем &>> 1 будет
бесконечно малой более высокого порядка, чем р (х). Может
поэтому так случиться, что (р (х))/г будет того же порядка, что
а (х). В этом случае говорят, что а (х) имеет порядок малости k
относительно р (х).
Примеры.
9) a = sin’x, р = х2 — бесконечно малые при х0. При этом а = о(Р), так
как
г a г / • / sin х\ 2\ п
lim —-= lim ( sin х-( - 1=0.
х-0 Р х->0\ \ X / /
190
3
Если р возвести в степень с показателем —, то получим Д
=х3. Очевидно, что а
и р 2 одного порядка малости при х 0. Следовательно, а имеет порядок
малости относительно 0.
10) a=x2sin3 —, P=xsin — , где х^~,— бесконечно малые при х 0,
х х . nk г
причем, очевидно, а=о(Р). Докажите, что а не имеет определенного по-
рядка малости относительно р.
§ 8. Эквивалентные бесконечно малые
и их применение к вычислению пределов
1°. Изучим важнейший частный случай однопорядковых бес-
конечно малых — эквивалентные бесконечно малые.
Определение. Пусть функции а (х) и р (х) (короче: аир),
определенные на множестве Г, являются бесконечно малыми при
х^-ти пусть начиная с некоторого х а(х)=#0, ₽(х)#=0. Беско-
нечно малые аир называются эквивалентными, если предел их
отношения равен
единице: lim Ь
х-т р
lim -£-= 1.
х -»т а
Обозначение: а ~ р.
Вполне очевидно, что определенная таким образом эквивалент-
ность бесконечно малых обладает свойствами рефлексив-
ности, симметрии, транзитивности: 1) а ~ а;
2) если а ~ р, то р ~ а; 3) если а ~ р и р у, то а ~ у.
Приведем в качестве примеров девять эквивалентностей,
которые затем сведем в таблицу, подлежащую запоминанию.
1)
sinx
lim ----
X
sin х ~ х;
при
2) lim 1, tg х
х О X при
О
~ х;
х-М)
u = arcsin х
arcsin х
lim ---------
г -> О X '
x = sin и
при х —► 0
и ->• 0
= hm —-------=1, arcsin х — х;
и -► 0 Sin и при X -► 0
и = arctg х
x=tg и
при х -+ 0
— lim --^—=1, arctg х ~ х;
и 0 tg U при х о
п ч х
х 2s,n ~2
5) 1 — cos х = 2 sin2 lim —, —Г7=1, т. е.
^°2О)
191
.. 1—cosx . , x2
lim ----1--— 1,1 — cos x ~ ;
x -* О X при x -> 0
T
6) lim (14~x)x —e, In lim (14~х)х — 1, отсюда
x-*0 x->0
lim In (1 4~x)x = 1, lim In (1 4-x) x;
x -> 0 x -* О X при x -* 0
.. 6х-1
7) lim ------
x->0 X
e* — 1 — и
X = ln (1 +«)
при x -> 0
и -> О
= lim In /14-пГ1 (CM- (6))»вХ“ 1 ~
u — 0 m (1 4~«) при x ->0
8)
г|п°-1
x-lno
u = x In a
при x —> 0
u-+Q
eu— 1
— lim -------=1 (cm. (7)),
u-+ о и
ax — 1 ~ x-ln a;
при x-+0
m In (1 +x)_ .
9) lim -————==
x-*o m In (1 +x)
u — m In (1 +x)
при x ->► 0
и -> 0
em I0 i ~ m [n (j _|_x) ~ mx (CM. (6)), но em 1,1 (1 1 =(1 4-x)f" — 1,
поэтому (l-f-x)'"— 1 nix.
при x -* 0 ’
(Очевидно, что если а ~ 0 и т — любое число, отличное от нуля,
то та т0.)
Итак, результаты приведенных примеров таковы:
X - •>0
sin х х In (1 +х) X
tgx ~ X ех — 1 — х
«arcsin х х ах— 1 х In а
arctg х х х2 1 — COS X -g- (1 4-х)'"— 1 ~ mx
(S)
2°. Рассмотрим предложения, выражающие свойства эквива-
лентных бесконечно малых. Мы пользуемся здесь знаком для
обозначения логической равносильности: ДоВ
означает, что из высказывания А следует высказывание В и об-
ратно. В этом параграфе вместо х -► т, и т мы часто пишем
соответственно тх, тм.
а) Пусть а и 0 — бесконечно малые при данном тх и отличны
от нуля начиная с некоторого х. Они будут эквивалентны тогда
192
и только тогда, когда разность а — р есть бесконечно малая более
высокого порядка относительно а, а также относительно р:
а — р = о(а), а —р = о(р).
Другими словами, а ~ р о а = р~)-о (а)^> а = р + о (Р).
Действительно,
а ~ р о lim — = 1 -о lim fl —— =0 -о lim -=
т, а тх \ а / тх а
= —р = о(а)о а = Р4-о (а);
аналогично
а ~ р о lim -^-= 1 о lim = 0 -о а — р = о (р).
Тх Р Тх Р
Отметим, что каждое из равенств а = р-|-о(а), ос = р-|—о (р)
может быть принято в качестве второго определения
эквивалентности а ~ р.
Во всем дальнейшем изложении предполагается, что беско-
нечно малые при данном тх начиная с некоторого х отличны
от нуля.
б) Пусть а, р, у — бесконечно малые при некотором тх. Если
а ~ р, а у более высокого порядка относительно а, то также у
более высокого порядка относительно р?
, lim -^-=lim =lim —-lim -^-=0-1 =0;
Тх P Tx v a P / Tx a Тх P
если же a ~ p и a = o{y), to p = o(y).
в) Если lim a (x) = 0, lim z (x) = A =£0, to z (x)- a (x) ~ A - a (x),
i • 2 (x)-a (x) i
так как lim \7 /V= j .
Tx A • a (x)
г) Если a ~ p, to ak ~ p\ где /г>0.
д) Пусть а, р, у — бесконечно малые при некотором тх. Если'
a ~ k{y, р ~ k<2y, где k\, &2— числа, для которых k\^=0, /г2=^0,
k\ + fc2¥=0, то a + р ~ М + + У у.
Действительно, так как lim-^-=l, lim =1, то lim —=
Тх М Тх «2? Тх V
— k\, lim -£-=Z?2, и, следовательно, lim”-^~^ = Z?i -|-£2, откуда
Нт^йЬ=1’ Т- * + ₽ ~(^+*2)Y-
е) Пусть ai, Pi, a2, р2 — бесконечно малые при данном тх.
Если ai ~ Pi, а2 ~ р2, то ai-a2 ~ Pi*p2:
lim ^-^=lim — - lim = 1 • 1 = 1.
Tx Pl • P2 Tx Pl Тх P2
7 Заказ 607
193
ж) Пусть ои, Рь а2, 02 — бесконечно малые при данном тх.
Если он ~ 01, аг ~ 02 и существует (конечный или бесконечный)
предел lim — , то также существует lim -f-1- , причем оба предела
Тх а2 Тх 02
равны между собой:
lim — = 1 im .
Тх «2 Тх 02
Это следует из равенства у'= ~ •
з) Пусть ои, 01, а2, 02 — бесконечно малые при некотором тх.
1
Если он ~ 01, а2 ~ 02 и если существует lim (1 t)“2Л то также
тЛ
1
существует lim (1 + 0i)pS причем
lim (1+р,)^—lim (1 +а,)^.
Тх
Это доказывается переходом к логарифму с последующим ис-
пользованием эквивалентности ln(l-j-a)~a и свойства ж):
lim ln(l+al)=;=liml^±^=lim-^=lim-|L =
Тх Тх «2 Тх а2 Тх 02
= lim ln(1/^=lim In (1 +₽,А
Тх 02 Тх
отсюда и нужное равенство.
и) Пусть имеем суперпозиции а (ф (%)) и 0 (ср (х)), вторая состав-
ляющая которых ц = ф(х) имеет предел при некотором тх. Обозна-
чим через ти стремление переменной и, соответствующее пределу
lim ср (х) (например, если limtp(x) = 3, то ти— это и -+ 3; если
Тх Тх
lim ср (х)= — оо, то ти — это и — оо). Если первые составляю-
щие а (и) и 0 (и) — эквивалентные бесконечно малые при ти, то
суперпозиции а (ф (х)) и 0 (ф (х)) — эквивалентные бесконечно ма-
лые при тх.
Это предложение о замене переменной в эквивалентностях
вытекает из о б щ е й теоремы о замене переменной при вычисле-
нии предела функции (§ 6, теорема 2):
Тх 0(<PW) т„ 0И
1.
Разъясним роль предложений а) — и) в технике вычисления
пределов.
194
Предложения ж), з) показывают, что эквивалентные беско-
нечно малые можно использовать для вычисления пределов функ-
ций, заданных выражениями вида -^-и 1°°. Предложение и) позво-
ляет исходя из какого-нибудь небольшого запаса эквивалентнос-
тей получить бесконечно много новых эквивалентностей. Напри-
мер, tg х ~ sin х при х -* 0. Отсюда tg ех ~ sin ех при х -+ — оо;
tg (х — З)5 ~ sin (х — З)5 при х -> 3; tg ~ sin при х 0+;
tg х3 ~ sin х3 при х —> 0. Пользуясь таблицей (S), можем, напри-
мер, утверждать, что при х -+ 0
sin х3 ~ х\ arcsin д/х — д/х, In (1 + tg Зх) ~ tg Зх ~ Зх,
1 — cos д/!)? — 2х3, earcsin 3x_ 1 ~ arcsin Зх ~ Зх,
д/1 4-arctg 2х — 1 ~ -^-arctg 2х ~ х.
Предложения а) и б) вместе с указанными в предыдущем
параграфе свойствами знака о ( ) используются для «эквива-
лентного преобразования» суммы бесконечно малых различных по-
рядков малости. Например, при х 0
sin х-|-х2 ~ sin х, tg х + (1 —cos х) — tg х, sin х2 + х ~ х,
In (1 +х Тх)4-(^2— 1) + tg 2х ~ tg 2х ~ 2х, x-j-sin х-|- 1 —
— cos х ~ x + sin х,
(arcsin х — sin х)4~5х ~ 5х, ибо arcsin х ~ х ~ sin х,
и, следовательно, arcsin х —sin х более высокого порядка, чем
sin х, а значит, и более высокого порядка, чем х, чем 5х (см. на-
чало § 7 о сравнении бесконечно малых а, р и б). Точно так,же
при х0
(tg 5х —sin 5х)+ In (1 4-х) ~ х,
ибо In (1 4-х) ~ х, tg 5х —sin 5х более высокого порядка, чем 5х,
чем х.
Предложение д) нужно для эквивалентного преобразования
суммы однопорядковых бесконечно малых. Например, при х 0
sin 4х4~ tg 2х — 4х4~2х = 6х, tg Зх2 —arctg 2х2 ~ Зх2 —2х2 = х2,
arcsin 4х —sin Зх ~ 4х — Зх = х,
In (1 4"*)4~ е2х — cos -Т2х = In (1 -|-*)4-(£2х— 04"(1 — cos д/2х) ~
~ x + 2x + 44=4x-
Предложение Д) не позволяет записать tg 5х — sin 5х ~ 5х —5х
при х —> 0, да эта эквивалентность и не имеет места, ибо 5х —5х =
= 0. В этом случае можно преобразовать: tg 5х —sin 5x = tg 5х —
195
— tg 5x-cos 5x — tg 5x(l — cos 5x) ~ %x~- —^-x3. Здесь мы
воспользовались уже предложением е).
Предложение г) позволяет, например, написать, что при х О
sin3 х ~ tg3 х, ^/arcsin Зх ~ ^/sTn Зх, (tg х)^ — хЛ
Наконец, в силу предложения в) можно делать, например, такие
упрощения бесконечно малых:
при х О
e*+cos3x.5* . « JL.cin Qr ~ —
(х2 + 3).е2х4-1 smdx Зе sindx Зе JX— е ,
при Х-> сю
5х3+8/ + 7x-j-arctg х+1 5х3 __ 5
4x5 + 9x3-|-3x24-sin х+2 4х5 4х2 ’
ибо данную нам дробь можно представить в виде
1 . А+Л+Н£Ю±1
5х3 1+бх + 5х2+ 5х3
4х5
1+4?+i?+
sin х4~2
4х5
а второй множитель при х -> оо имеет предел, равный 1.
Как видим, при х оо правильная дробь эквивалентна от-
ношению старших членов числителя и знаменателя.
3°. Приведем теперь примеры вычисления пределов вида
~ (о символах 4г, —, I00 см. гл. II, § 9, п. 4°) с помощью эк-
0 • 0 оо
вивалентностей. Будем при этом опираться на таблицу (S) и
предложения а) — и).
sin 5хЧ-tg 2х 5x4-2х 7
lim -------—= hm --------------= —
х-*о arcsin Зх х->о Зх 3
sin 5х 5х 5 .. tg4x2 .. 4х2
2) hm = hm —=-^-, hm ^-„"2= lim 7T"i
X_>osin3x x~>o3x 3 x-*osin2xz x->o2xz
2;
sin2 2x + ln (1 +^2)-Hkrcsin_x5' .. 4xz+x2
3) 11 in -------2---------- — 11ГП "j ~
x^o —cos 4x-H,tgx> — 1)+(1 — cos 4x)
5x2 5
- 9
(пунктиром обведены бесконечно малые более высокого порядка, чем остальные,
затем они на основании предложения а) отброшены; так же поступаем и в
дальнейшем);
196
4) jjm 8e* -sin2 2x-|-cos 3x- In (1 — 2x2)
X ° \/l-4-Зх2 — 1+tg (x4-^Yarcsin x2
предложение в)
3-4х2+ 1 -(-2х2) 10 _
= от ----------------
^°±.( + Зх2)+Ьх2
, 1 — sin 2х —cos 2х .. tfl — cos 2х)>—sin 2х .. — 2х
lim ———:— --------—-= lim :—5—= lim —— =
1-j-sm Зх — cos 2x x^o ;(! — cos 2x)H-sin 3x x-^o 3x
tg 2x —sin 2x-harcsin x4y_ lim tg 2x (1—cos 2X)-!-1 arcsin x^_
tg 8x (1 — cos 8x) + 4x3 —
5)
6)
lim Г о---------•—F 7 Л
c^o tg 8x — sin 8x-|-4x'
2x•2x2 1
= lim
x - 0
2_
3 ’
x 8x • 32x2 + 4x3 65 ’
.. (1— cos 2x)2
7) lim -------------—r~= lim
x ()_|_ tg x — sin x x->0 +
4х4
(tg x — sin x) (tg2 x + sin x • tg x + sin2 x)
— 4 lim ~ 7~ 7~, 2 j 2 i 2\
x->o + tg x-(l — COS x)(x2 + x +x )
= 4 lim ----й----
— <>+x.|.3x2
8 ,•
— hm
з х —>-о-
8) lim
x-> О
cos 2х —cos 8х
— km
х —о
5x2 3x2
e —e
— 4X2 64X2
(cos 2x— 1) + (1 — cos 8x) 2 2
x= 1 — и
при X -> 1
и -> 0
= lim
и ->0
л (1 — tz)
2
iz-ctg
tgy
.. и 2
— lim —= —
' ц _> (J ли Л
T
.. sin 7x
10 hm — —
x _> л sm 8x
— lim
u —► 0
и = л— х
х = л — и
при х —► л
и^О
sin 7u 7u
= lim ——
u —► 0 —8м
— 8и
7_.
8 ’
2 sin
11)
lim
6
л/з
------COS X
2-1
lim
± —4-x —-
6 Q • 6+ . 6
-2 sin—--sin —-
= lim
u-^0
2 )
lim
sin 7 (л — и) ___ sin (л — 7и)
sin 8 (л — и) sin (— 8и)
и 0
2Л х__— I
V 6 )
lim -----------
л Д
— cos——COS X
6 6
2
6
-2-l
------=— 4;
Л
1 ~6 -x
2
197
12)
3x2-|-8x-f-sin x ~v Зх2
.. 4x3 + 7%+2 17
lim ------------hm -------------~= lim
X -> OO 1, , 1 X —OO 1 . 1 X t
sm —+ arctg-- —+ —
% X XX
3
4x _ 3
x
4°. Переходим к примерам вычисления пределов вида 1°°.
Нам при этом будет удобно пользоваться следующим соглаше-
нием: бесконечно большие ф и f называем эквивалент-
ными (ф ~ [), если обратные им величины -у- и у-являются экви-
валентными бесконечно малыми. Обращаясь к предложе-
нию з), мы видим, что в нем ~ , так как по условию В2 ~ аг-
02 0С2
При х -> ± оо
Зх3 4“ 8х2 -р х -р 1 Зх3 _ 3
5х6 + 7х4 + 8х3 + 5 5хг'~~5хг ’
5х6 + 7х4 + 8х3 + 5 5х6 5 3 о
а также ------------~~—- = —х. Всякая рациональная
Зх3 4- Зх2 + х +1 Зх3 3 г
дробь, в которой показатели степени числителя и знаменателя раз-
личны, эквивалентна отношению старших членов числителя и
знаменателя.
Условимся еще писать 1-|-а ~ 1+Р, если а и р— эквива-
лентные бесконечно малые.
Рассмотрим примеры.
___1___
13) lim (1 4-tg2 Vx)arcsin :
* О
предложение
з)
— lim (1 4~х) х =е;
х ->0
4 cos лх
14)
предложения з), в)
198
2
и = —
х
2
х =—
и
при X оо
и-+0
±.А .5
= lim (1 -|-и)“ 4 = е 4 .
и —> О
Мы можем пользоваться следующими равенствами для второ-
го замечательного предела:
lim (1+-L)' = e, lim (l+-L-)' = e.
X —► -|- oo x —► — oo
Это освобождает от необходимости производить замену и=~,
при которой и -> 0.
Если в основании выражения 1°° не выделена 1 как слагаемое,
то предварительно нужно заняться соответствующим преобра-
зованием.
16) Найти lim
, который обозначим через А.
-3*-+§==1+-
8х-2
8 2
Показатель: -——— ------— ~ — ------—=------
(х4-2)(х — 2) 4(х —2) х —2
14 -з 9
_--Т77--гя- ТЙГ • 2
Основание: 1 +
8х —2 + 14 ( I'
__2 -1 — О(Х — 14
14-“7Т" (х~2) =е 1
14 J
8х2 + Зх + 2
17) Найти lim /Зх +8 4-2x4-1 \ Зх+1 Обозначим его через А.
+оо \ Зх3 —2х24-Зх-(-2/
. / • • • , \ , , 16х2 — 2х — 1
Основание: 1 +1
Зх3 — 2х2-|-Зх 4-2
_ 8х2 + Зх Д- 2 8х
Показатель: —-—— ~ .
ЗхД-1 3
8х
16х2
Зх3
16
Зх '
Поэтому A — lim
Зх 16 8
Тб'Т'ТГ 128
— е 9 .
18) Д= lim (cos х)с g *. Найти А.
х -> о
Основание: l-|-(cosx—1)
Показатель: ctg2x=—I—
ё tg2 х
2
2
Отсюда А = liml 14------—
х 0\ 2 >
е
о
199
§ 9. Аппарат теории пределов
Определение предела функции само по себе не дает возмож-
ности найти предел f (х) при том или ином стремлении тх ар-
гумента х. Определение предела позволяет проверить, будет
ли число А, или +оо, или —оо пределом f (%) при данном тх.
Конечно, нельзя забывать, что такая проверка дает конструктив-
ное решение вопроса о пределе в том смысле, что мы не только
устанавливаем сам факт существования предела, но и по любому
показателю близости функции к ее пределу находим показатель
близости аргумента к числу или бесконечности. Это представля-
ет большой интерес для практического исследования функции,
участвующей в том или ином процессе, что мы отмечали ра-
нее. Вот почему весьма важно хорошо усвоить sb-язык ана-
лиза, на котором как раз и проводится исследование функции с
точки зрения предела и непрерывности.
Но и вопрос о нахождении предела функции является
исключительно важным. Определение же предела непосредствен-
но не дает средств отыскания, нахождения lim f (х). Такие сред-
Тх
ства дают те предложения (теоремы) о пределах, которые мы
получаем на основании определения предела. Эти предложения
составляют аппарат теории пределов. Перечислим его составные
части, причем сделаем это не в том порядке, как они здесь
получены, а в порядке, обусловленном их ролью в самом ап-
парате.
Первой такой составной частью нужно считать теорему о не-
прерывности каждой элементарной функции во всех точках об-
ласти ее определения. Эта теорема сводит нахождение предела
элементарной функции в точке к вычислению значения
функции в этой точке и тем самым дает нам обширный класс
функций с вычисляемым пределом при х х0. К этому добавим
два замечательных предела — пределы элементарных функций
и (1-|-х)х в точке 0, не принадлежащей области их опре-
деления.
Далее следует назвать общую теорему о замене переменной
при вычислении предела (§ 6), теоремы из предыдущей главы о
пределе суммы, произведения, частного, свойства бесконечно ма-
лых, свойства предела функции (вспомните, например, как мы
применяли их к нахождению первого замечательного предела).
Благодаря этим предложениям уже можно вычислять предел и на
±оо, бесконечные пределы, а также пределы элементарных и
других функций в точках вне области их определения (именно к
этому относятся неопределенности вида —, — , 1 при
Наконец, очень значительной и полезной составной частью ап-
парата нахождения пределов являются эквивалентные
200
бесконечно малые, их свойства и таблица эквивалент-
ностей (S). На примерах, рассмотренных в предыдущих парагра-
фах, мы видели, как работает аппарат теории пределов.
К аппарату теории пределов следует отнести и признак не-
существования предела функции f (х) при данном стремлении тх
аргумента %: если при стремлении тх функция f (х) совершает не-
затухающие колебания, то не существует никакого предела f (х)
при данном тх. Аппарат теории пределов дает нам возможность
исследовать функцию и с точки зрения ее непрерывности в раз-
личных точках области ее определения, а также исследовать точ-
ки разрыва данной функции.
Приведем три примера.
1) f (х) — arctg —. Функция непрерывна во всех точках области определе-
ния, т. е. при ху^О. Нуль — точка прокола области определения, а следова-
тельно, и точка разрыва функции. При этом
lim f(x) —
X -о +
1
и = —
X
при х -> 0 +
и + оо
.. , л
lim arctg ,
4- 00
lim f(x)="
-»о —
Мы видим, что нуль — точка разрыва первого рода. Разрыв неустранимый.
Поведение функции на оо определяется равенством lim f (х)=0. Ось Ох —
горизонтальная асимптота графика f (х) (рис. 93). х °°
1
2) f (х) = 2х~3. Всюду, кроме х = 3, функция определена и непрерывна. Чис-
ло х0 = 3— точка разрыва. При этом lim f (х) = 2“°° =0, lim f (х) =
%—з- х^3+
= + оо, и х0 = 3 — точка разрыва второго рода. Поведение на оо таково:
lim f (х) = 2°=1. Прямая у=1 —горизонтальная асимптота графика f (х), пря-
X —► оо
мая х = 3 — вертикальная асимптота для правой ветви графика (рис. 94).
201
3) f(x) =
. Область определения Т = (—оо; —2)J(—2; 2)J
1 +2(х-2)(х + 2)
U (2; H-сю), функция четная (проверьте!), числа 2 и —2 — ее точки разрыва.
Функция непрерывна во всей области определения.
Если указать интервалы знакопостоянства дроби
(х —— 1) (х —|— 1)
(х-2) (х + 2)
и знаки, какие
она имеет на этих интервалах, то можно найти односторонние пределы f (х) в
точках —2 и 2:
Um, J W = ]+2'+°“=0; , J'™2 + f W=l+2- °°=3
( HmJ(x)=—^_^=3; , lim^ «=T^+^ = °-
Обе точки разрыва первого рода, разрыв неустранимый.
Поведение f (х) на бесконечности:
lim ZW=TTXT=I.
X —► ± оо 1 ~Г X
прямая у — 1 —
горизонтальная асимптота графика z/ = /(x).
Основываясь на полученных сведениях, строим график функции (рис. 95).
Отметим, что и раскрытие неопределенностей вида ~ >
1°° в точке прокола х0 области определения заданной нам функции
есть, по существу, исследование точки ее разрыва х0: раскрыв
неопределенность, т. е. вычислив предел функции или установив,
что предел не существует, можем утверждать, что х0 — точка
разрыва того или иного типа. Например:
\ 1- sin 5х-\-ех—1 1- 5хЧ-х г Л
a) lim ----------= lim ——=6, т. е. Хо = О — точка
arctg х х
, sin 5x4- е*— 1
устранимого разрыва функции —^tgx— ’
!• arcsin(x—I)2 ]• (x—l)2 । <
6) lim——-—lim )-----------4— + 00, t. e. x0=l—точка
x->l Sin(x—1) X^j(x—1)
разрыва второго рода
функции
arcsin (х — I)2
sin (x — I)4
202
Упражнения к § 6—9
В упражнениях 1—6 найти пределы.
'• 2- ++ ('-dry
3.
lim sin л (% + 2)
з Ictg3 л (% + 2) |
. 4. lim
л
ctgx
д/1 —sin X
5 lim 2 ln2 >+ + 1п 1*1 + 1
х * оо In2 |х| -|-3 In |х| + 2 arctg In |х|
/ 1 \ Зх2 + 1
6. lim ( 1 +Л)
7. а = \/(х — \ р = д/(х— I)4. Найти порядок одной из этих
бесконечно малых при х -> 1 относительно другой.
8. Сравнить бесконечно малые
а = sin2 (х — 1) и |3 = tg2 (2х —2)- In х при % 1.
о о <• sin (arctg 2x) + ln (1—х) + + — 1
9. Вычислить lim --------Ч—s---------*---Z-J— -----.
х о cos у2х — 1 Д-arcsin (ех — \ е2х — ех
cos х — cos 2x-j-ex — 1
2
(1+2+)2 —1
10. Вычислить
lim
х - 0
11. Вычислить lim ; .
Х-^ Л tg 10%
________________3
12. Найти lim (1 Ч-д/arcsin 2%2)tgx.
13. Найти lim
х -> з \5х — 1 /
14. Найти lim (
X по
5х4 + Зх3 + 2х2+1 \
5х4 + 7х3 + х —3 /
15. Исследовать точки разрыва функции
/ w=—+—
г+з'-11”-2’
16. Исследовать точку разрыва функции
sin (х — 1) + arcsin (х — 1)
—-------—-------------ДЛЯ X
/(%)=
1п х
(1+2х)3-1
. + п ДЛЯ X
tg (х— 1)
203
§ 10. Построение графиков рациональных
и некоторых иррациональных и неалгебраических функций
элементарными средствами
1°. К нашим прежним сведениям о графиках функций во II и
III главах добавились весьма существенные свойства графиков,
связанные с пределом и непрерывностью функции. Эти свойства
таковы: поведение графика вблизи точки, в которой функция
имеет конечный предел, поведение графика на бесконечности,
горизонтальные и вертикальные асимптоты (гл. II, § 3, § 7), пове-
дение графика вблизи точки непрерывности и точки разрыва
функции, непрерывность графика функции, непрерывной на про-
межутке, интервалы знакопостоянства непрерывной функции, ог-
раниченность графика функции, непрерывной на сегменте (гл. III,
§ 1, 3, 5).
В дополнение к этому рассмотрим еще понятие наклонной ас и м пто-
т ы графика функции и способы ее отыскания.
Пусть дан график функции / (%) в координатной плоскости хОу. Прямая
у = kx-ф b (/гф0) называется наклонном асимптотой графика y=f(x) на -ф оо или
на —оо, если lim (/' (%) — {kx-\-b')) = 0 (рис. 96) или соответственно
lim (f (х)—- {kx= 0. Если lim (f (x) — (£x +6 )) = (), то прямая y = kx-[-b
X -+ — oo X —> oo
называется наклонной асимптотой графика y = f (х) на оо (рис. 97).
При каких условиях существуют наклонные асимптоты графика у — [(х) и
как их найти, если выполнены эти условия?
Существование наклонной асимптоты y = kx-]-b графика у = [ (х) на ф- оо
равносильно равенству lim (/(х) —(/гх-ф&)) = 0, или, что то же, равенству
X —► Д- оо
lim (х-(f-^—k——^=0, а это влечет равенство lim ибо
+ оо \ \ х х // +оо х
lim — — 0. Таким образом, lim ^S^ = k является необходимым условием
X —оо X X -> + оо X
того, что y — kx-\-b является наклонной асимптотой на -фоо. Если это условие
выполнено, т. е. если найдено такое число k, при котором только и возможно
204
равенство lim (f (x) — (kx + b)) = 0, то остается подставить в это равенство
х —> -]- 00
найденное k. Тогда получим lim (f (х) — kx) — b.
X -> + ОО
Таким образом, равенства
k = lim LW, /у— |jm (/(x) —/гх) (a)
X —>- 4“ 00 % X —OO
вместе составляют необходимое и достаточное условие существования наклон-
ной асимптоты y = kx-\-b графика y = f(x) на -фоо. Эти же равенства (а) дают
и способ отыскания наклонной асимптоты: следует сначала найти k из равен-
Г (А
ства k= lim —“, затем при найденном k находим b из равенства
b = lim [f(x) — kx].
Х > Д оо
Понятно, что стоит в (а) заменить + оо на —оо, затем -|-оо на оо, и мы
получим асимптоту соответственно на —-оо, на оо.
Примеры.
__2х2 + Зх + 2 ।. 2Х2 -ф Зх-|-2
Х-ф 1 ’ х —► оо х (х-ф 1)
, .. / 2х2 -ф Зх -ф 2 \
b= lim ----------Т .../ -2х )
х оо \ X -ф I /
lim
х-ф 2
х+1
у = 2х—1 —наклонная асимптота графика у — [(х) на оо (а значит, и на
-ф оо, и на — оо ).
Заметим, что к тому же результату можно в данном случае прийти и так:
2х2 + 3х-ф2 х+1
2х2-ф2х 2х+1
хф-2
х-ф 1
/ (х) = 2х+ I +-ф ,
Л -j~ 1
ка y — j (х) на оо.
lim (f (х) — (2х+1)) = 0, // = 2x3-1 —асимптота графи-
X -> оо
Легко видеть, что наклонная асимптота на оо существует и так же легко
находится для графика любой рациональной функции, показатель степени чис-
лителя которой ровно на единицу превышает показатель степени ее знаменателя.
Если же первый из этих показателей превышает второй более чем на 1, наклонной
асимптоты график не имеет.
i
17 2 2
2) f (х) = х-е х ; k= lim —— = е° = 1, b = lim(xex— х)= lim [х(ех — 1)]=
1
— —и
X
при X -> ОО
и -> О
еи—1 и
= lim -----= lim—=1; k=l, b=l, y =
u->~0 U u^QU
=x + 1 —асимптота графика y = xex на oo.
205
3) f (x)=^/25x2+ 1 ; k = lim ^^x H~.l==5> £ = |jm (д/25х2+1 — 5x) =
x —> -|- оо X x —oo
,. 25x2+l—25x2 n
= lim ----=0,
x -* + °C д/25х -f-1 4~ 5x
y = 5x—асимптота графика 1/ = д/25х2+1 на -j-oo.
4) /(x) = xsinx; k= lim , H0 |jm -n x не сущёствует. Наклон-
x —>- + оо X х —>- zb °°
ной асимптоты графика нет ни на ф-оо, ни на —оо.
В этом параграфе мы будем строить графики функций, поль-
зуясь средствами, принятыми во Введении в анализ, т. е. исполь-
зуя свойства графиков, указанные в I, II и III главах, в основном
это будут свойства, связанные с пределом и непрерывностью, о
которых говорилось в начале параграфа. Мы не будем пользо-
ваться средствами дифференциального исчисления для отыскания
касательной, для исследования функций с точки зрения моно-
тонности, экстремума, выпуклости, точек перегиба.
Для нас здесь график функции, точнее, эскиз, набросок этого
графика,— это такое геометрическое место точек плоскости хОу,
которое графически выражает лишь перечисленные выше свой-
ства функции, связанные с ее пределом и непрерывностью. Та-
кой эскиз наглядно соединяет в одно целое указанные свойст-
ва функции, от чего выигрывает наше общее представление о
ней.
2°. Переходим к построению эскизов графиков рациональных
функций. Читателю следует обратиться к* § 9 (п. 3°) предыду-
щей главы и вспомнить сказанное там о пределе рациональной
функции, о горизонтальных и вертикальных асимптотах ее
графика.
Мы будем строить эскиз графика рациональной функции г (х)
по следующему плану: 1) найдем lim г (х) и тем самым решим
X -+ оо
вопрос о горизонтальной асимптоте; 2) разложим числитель и
знаменатель дроби г (х), которую предполагаем несократимой,
на простые множители — линейные двучлены и квадратные трех-
члены с отрицательным дискриминантом (если дробь не пред-
ставлена в таком виде); 3) на оси Ох координатой плоскости
хОу изобразим корни числителя дроби г (х) и корни ее знаменателя
(точки прокола области определения функции г (х)); 4) начертим
горизонтальную и вертикальные асимптоты графика (если они
имеются); 5) укажем знаки г (х) в интервалах знакопостоян-
ства; 6) отметим штрихи («хвостики») графика в точках его
пересечения с осью Ох, при горизонтальной асимптоте, а если ее
нет, то в правом и левом верхнем или нижнем углах в зависи-
мости от знака г (х) в крайних интервалах; 7) отметим штрихи
(«хвостики») графика при вертикальных асимптотах вверху или
внизу в зависимости от знака г (х) в соответствующем интервале.
206
Сами вертикальные асимптоты проходят через точки прокола
области определения. Эти точки прокола — точки разрыва ра-
циональной функции второго рода.
Примеры.
п .._(*3--1)(*2+5х+б)
У (х2 — 5% + 6) (х + 4)3 '
х5
lim —j7 = l. Следовательно, у—1 —горизонтальная асимптота. Сам график
Л ► ооХ
может оказаться как над, так и под асимптотой, что мы выяснять не будем, а
примем любую из этих возможностей.
У (0)= —tv • Разложим числитель и знаменатель на множители:
б • 4 Ь4
(х — 1) (х + 2) (х + 3) (х2 + х + 1)
У =----(%_2) (х-з^х + 4)3-----• График изображен на рисунке 98.
(х- 1) (х + 2) (х-3)
1 У (х+1) (х —2)2 (х + 3) (х2+1) ’
lim у = 0. Поэтому прямая // = 0—горизонтальная асимптота графика.
X оо
z/(0) = -^-. График показан на рисунке 99, помещенном в конце параграфа. Чи-
татель может самостоятельно сделать эскиз графика, а затем сопоставить его с
рисунком. Это же относится ко всем последующим примерам данного параграфа.
(х2 + 6) (х-I)4 (х + 2) (х-3)
У —
(х + 1 )3 (х — 2) х2
lim \у\ = 4-оо, горизонтальных асимптот нет, вертикальные асимптоты
х= —1, х = 0, х = 2 (рис. 100).
Зх + 5
4) у = ---j (дробно-линейная функция).
г 3
I'm //=—,
X —► ОО &
асимптота х = (рис. 101).
3
У—~2----горизонтальная асимптота; у (0) =—5; вертикальная
207
5) ^То2)(х+ °1)2(*-5Нх2+х+ О’
lim \у\ — + оо, горизонтальных асимптот нет; знаменатель корней не имеет,
вертикальных асимптот нет; у (0) = 1 (рис. 102).
%2 + 4
6) У-^—7-
х2 + 4
Функция четная; lim// — !,//=! - горизонтальная асимптота; //==—-— ----—.
х оо (х -|- 2) (х 2)
Числитель корней не имеет, точек пересечения графика с осью Ох нет, верти-
кальные асимптоты х=—2, х = 2 (рис. 103, а). Пользуясь построенным гра-
z/2 + 4
фиком, легко построить и график функции х==^—~2)"+~+ 2) (Рис‘ '
2х2 + Зх + 2
7) у =---——j---- (см. пример 1 в предыдущем пункте).
lim |у| = + оо , горизонтальных асимптот нет; г/ (0) = 2; числитель корней не
X —► оо
имеет. Эскиз графика можно начертить по ранее принятому плану (рис. 104, а).
Но более точным будет эскиз, учитывающий наклонную асимптоту у = 2х +1
(рис. 104, б).
| х _ 1 | (х — 5)
8) у=--- алгебраическая функция (заметим, что |х—1| =
(х — 2) (х + 3)
Так как
х— 1 для х> I
— (% — 1) ДЛЯ X
то у —
(х— 1)(х —5)
(%-2) (х + 3) ДЛЯ
(х — 1) (х —5)
(х-2) (х + 3) ЛЛЯ Х
Сначала
(х__|) (% — 5)
строим график //=;----г;-;———' для х£( — оо ; 4-оо), при этом для
(х-2)(х + 3)
сплошные, а для х<1 - пунктирные, затем пунктирные линии
симметрично относительно оси Ох (рис. 105). График функции
х^ 1 линии
преобразуем
обведен сплошными линиями.
3°. Построим графики некоторых иррациональных функций.
9) Даны функции у = -^-(5+>/25 —4х) и // = -^-(5—у^25 —4х ). Читатель мо-
жет построить их графики методом преобразования графиков (гл. I, § 11), от-
правляясь от графика функции у=\1х. Здесь мы, однако, воспользуемся тем,
что объединение графиков данных функций есть график многозначной функции
У = 4-(5+725-4х) и что она по теореме Виета является решением квадрат-
ного относительно у уравнения у2 — 5у х — 0, а значит, и уравнения х — Ьу — у2.
График
значнои
женную
же полученной функции х от аргумента у, а следовательно, и
функции У^-^-(5=Г д/25 —4х), представляет из себя параболу,
5
на рисунке 106. Ось параболы // = —делит параболу на верхнюю
нюю части (//в и ун), которые и будут графиками двух данных однозначных
функций.
много-
изобра-
и наж-
208
10) Построим графики функций
«/ = y(-*+\/F-16) и 1/ = у(-х—д/Р-16).
Подобно предыдущему многозначная функция У = -1_ (— х± д/х1 2 — 16) является
решением квадратного относительно у уравнения у2+ху + 4 = 0, равносильного
4
уравнению х—-------у (при у = 0 уравнение у2-\-xy-\-4 = Q не имеет решений
4
ни при каком х). График же х——-—у можно построить сложением гра-
4
фиков х— —у и х = —Получив график, изображенный на рисунке 107, ра-
зобьем его (каждую его ветвь) на верхнюю (цв) и нижнюю (цн) части. Объединение
двух участков, обозначенных через уц, будет графиком функции у = -^-( — х-|-
+ \]х2— 16 ), а объединение двух участков ц„ — графиком у = (— х — д/х2"— 16).
11) Построим графики однозначных функций у— (5 + д/25—16х) и у =
(5 — \/25 — 16х), а значит, и многозначной функции У = ^(5±д/25 — 16х),
которая будет решением квадратного относительно у уравнения ху2 — 5ц + 4 = 0
(х=#0, у=£(У). Нужно, следовательно, построить график рациональной функции
5ц —4
х= 2— (рис. 108), что мы умеем делать после решения примеров 1—3, в ко-
торых следует поменять ролями х и у.
4 (х— 1) (х+2) (х_3)
12) ц="у -—।График этой иррациональной функции мож-
но построить, применяя правило преобразования графика при извлечении ра-
(х—1) (х + 2) (х—3)
дикала к рациональной функции Z\ (х) = -——-—2------------. Для этого участки
И “г U и
графика, лежащие под осью Ох, удаляются; точки, лежащие на прямой у=\, и
сама эта прямая как горизонтальная асимптота сохраняются; участки графика
в полосе 0<_ц< 1 остаются в этой же полосе, но повышаются, а участки над пря-
мой у—1 понижаются, оставаясь выше той же прямой (рис. 109).
4°. Построим теперь эскизы графиков ряда неалгебраических функций, сле-
дуя в основном тому же плану, какой был в предыдущем пункте принят для
рациональных функций: интервалы знакопостоянства, предел на «краях» области
определения и в точках разрыва, горизонтальные и вертикальные асимптоты.
13) у=—. Как известно из главы II (§ 11, п. 3°), lim — = 0, т. е. ось Ох
2х х-> + оо 2х
служит горизонтальной асимптотой графика на +оо. Поведение функции на
— оо таково:
1 • Л
I'm
* — <Х>-£
lim (/-2^
при х
t
-I
•im
> 4- ОО X
(график опускается круто вниз при х—оо, рис. 110).
209
14) у — х-2х. Как известно, lim
(х*2х)=4-°° (график поднимается кру-
X -> + оо
то вверх при х -> + оо). Поведение на — оо таково:
lim (х-2х)=- x=—t ' = lim ( — /-2 ') = — lim Л- = 0,
X — ОС ( —> -j- OO t —>- -|- OO 2
t -+ -|- oo
t. e. ось Ox служит горизонтальной асимптотой на — oo (рис. 111).
15) t/ = Область определения (0; Н-оо).
.. 10g2 X
lim —-—
/ = log2x
x=2z
/->-|-oo
lim X = 0, t. c.
> J- OO 2
положительная полуось Ox яв-
ляется асимптотой. Поведение графика на левом конце области определения:
lim (—00)44-00)= — оо (рис. 112).
-> о+ X
16) z/ = x-log2x. Область определения (0; фоо).
lim = оо)-(4-°о)= 4 оо (график поднимается вверх круче, чем у = х,
Х-++ ОО
но менее круто, чем ц = х2);
lim (x-log2x)=-
х—0 +
/ = log2 X
х = 2'
t-*- — оо
= lim ( —у-2'и)=— lim ^- = 0.
График изображен на рисунке 113.
1
17) z/ = x-e% (см. пример 2 в п. 1°). Область определения: х=#(). Далее
отметим следующее:
в) х=0 — точка разрыва второго рода;
г) поведение /(х) = хе* на 4°° и на —оо уже исследовано в п. 1°: график
этой функции (рис. 114) имеет на оо наклонную асимптоту у = х-\- 1 (для менее
точного эскиза достаточно убедиться, что lim f(x)=4~oo,a lim f (*)= — °°)•
X—>• -|- oo x—► — oo
210
1
18) f (х)—< е для х = 0.
Функция непрерывна во всей области ее определения (—1, -|-оо), включая,
очевидно, и точку х = 0 (вспомните второй замечательный
функцию на концах области определения.
а) Чтобы найти lim f (х), найдем lim lnf(x):
предел!). Исследуем
lim
— оо
। t ( \ г In (1 х)
ln/(x) = lim —i—•—- =
%->--14- % — 1
отсюда
и подавно lim f(x) =
б)
1- . с 7 \ Г 1П О + *)
lim lnf(x)= lim ----------------
/ = In (1 +%)
— О, отсюда
lim —т—
lim /г(х) = е°=1.
г e i- 1
lim -----lim —
/ -> 4~ °° * /—► 4- 00 t
следует, что прямая x = — 1 будет вертикальной асимптотой
функции, а прямая у= I—горизонтальной.
t
I • с 1
lim ------
/-> 4~о°
Из а) и б)
графика данной
Во всей области определения f (х)>0 и, более того, f(x)>l. Эскиз графика
у = [ (х) изображен на рисунке 115.
19) /(х) =
sin X
-----дл я х О
X
1 для х = 0.
Область определения — вся числовая прямая /?, на ней функция непрерывна
(lim f (х) = f (0) - - первый замечательный предел).
х-Н)
Знак f (х) справа от нуля совпадает со знаком sin х, а для отрицательных х зна-
ки '/'(х) и sin х противоположны; f (/гл) = О, где k = Q, ±1, ±2, ... .
. . . . sin ( — х) sin х r z ч
Функция четная: /( — х) =---— =—— — f (х).
Если х>0, то —— ^f(x) причем равенство осуществляется в точках
х = л/г-ф-^. График y = f (х) проходит между двумя гиперболами У=~^ и
lim f(x) = O — ось Ох является асимптотой графика ,на оо.
СЮ
График y — f(x) показан на рисунке 116.
9m (Iog2*~l)(log2x+1)2
У log2x(log2x —2)5 •
Область определения: х>0, х#И, =#4.
lim z/=-
/ = log2 х
t —> -|- 00
lim
/-► 4- 00
q~l)(/+l)2
/a-2)2
211
lim «/=•
x^0 +
Z = log2 X
t —---- OO
lim
t-->--oo
(^-1)(/+1)2
/(/ —2)2
Корни функции: x = 2, x — —. Через точки прокола x—l, x — 4 проходят вер-
тикальные асимптоты, так как знаменатель непрерывен и в этих точках обраща-
ется в нуль. Прямая у=\ —горизонтальная асимптота на -фоо(Нт у — 1).
Х-+ + оо
График функции показан на рисунке 117.
(2х-V2) (2х—16) (2х-Ь
21) у =---------------------- .
(2х —2) (2х —2 V2) (2x-f- 1)
2
2
Корни числителя:
— 3, корни знаменателя:
Этим определяются
интервалы знакопостоянства.
Очевидно, lim z/=l, прямая у=\
горизонтальная
асимптота на -фоо.
(„72).(-16)-(-ф
I- о
lim у =--------------------
( —2)-( —2 s/2)-I -
прямая у= —— горизонтальная
асимптота на
— оо. Прямые х =
вертикальные асимптоты. График
2 ’
2
изображен на
рисунке 118. .
2х(х- 1) (х -ф 3) „
22) у— ——j'-jT/----yr7 Через точки прокола х— — 1, х = 3 проходят верти-
(X -f- 1) (X о)
кальные асимптоты.
lim у= -ф оо • 1 = -ф оо — горизонтальной асимптоты на -ф оо нет. Нет на
х —► -4- оо
У
-ф оо и наклонной асимптоты, так как lim — — -ф оо • 1 = -ф оо.
х -► 4 00 %
lim £/ = 0-1=0, т. е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика
на — оо. На рисунке 119 показан график данной функции.
х5—25х3
23) у =-----;----. Функция определена и непрерывна на (— оо, -ф оо), не-
ех
четна, lim г/ = 0, ось Ох—горизонтальная асимптота графика на оо.
X—>- оо
х3(х — 5) (х-ф 5)
у = —------£---корни: х = 0, +5, интервалы знакопостоянства указаны
ех
на рисунке 120, на котором изображен и эскиз графика.
24) у = хх. Функция определена и непрерывна на (0; -ф оо). у>0 для всех
х>0. Можно построить график по тому же плану, что и для предыдущих при-
меров. Но можно перейти к логарифму, скажем, по основанию 2: log2 у — х log2 х.
График функции х log2 х построен в примере 16. Остается «пропотенцировать»
построенный график по основанию 2, как это делалось в главе I. Получим график
функции у —Xх, изображенный на рисунке 121.
212
Рис. 100
. 213
5)
Рис. 103
Рис. 104
214
215'
216
Упражнения к §10
В упражнениях 17—21 построить эскизы графиков функций.
17. а) у
х6 —64
х8-1
б) у
_ (х3-27)(х3+1) .
(х2 — 1) (х3 + 27) ’
В) у
х8-1
х'— 13х2 + 36 ’
Г) У
__I х — 31 - (х — 2)
(x-hl)-lxl •
18. а) у
(log3 х)3— 1 .
(Iog3 X —2)2-|log3 х+11 ’
б) у = х2-Зх.
19. а) У =
б) у 7 + ^49 — 48х
217
21. a) </ = sin (cos x); б) у = cos (sin x).
22. a) f/ = x-|--Vx24- 16; 6) y = x — 7* + 16;
в) у = 5 + y/25 + 16%; r) у — Ъ — д/25-h 16x;
д) y=5±-V25+16x.
§ 11. Предел и непрерывность функции
нескольких переменных. Области
1°. Читателю нужно теперь вернуться к первой главе и вновь
прочитать § 3, п. 3\ 4°; § 7, п. 3°, 4° и весь § 12. Напомним, что
если А = <<21, ап> f^Rn, В= <Zb\, bn> ^Rn, то расстояние
между этими точками определяется по формуле
р(Л, + •
В частности, для чисел a, b (a^R, b^R) имеем р (а, Ь) = \а — Ь\,
так что \а — Ь\ в R играет ту же роль, что р (Л, В) в пространст-
ве Rn, а роль окрестности (а— 8, a-j-е) точки а в R играет в Rn ок-
рестность U (Л, s)czRn.
Распространить после этого изученные нами в главах II, III
понятия предела и непрерывности функции одной переменной
на действительные функции нескольких переменных пред-
ставляется делом совершенно естественным, так как предел и не-
прерывность основываются на понятиях расстояния между точ-
ками и окрестности точки. Сделайте это самостоятельно, а затем
переходите к последующему тексту книги.
1) Сначала приведем определение конечного предела последо-
вательности точек в пространстве Rn.
Пусть Л1, Л2, Л/л, ... — расположенная в Rn последователь-
ность точек и, кроме того, B<=Rn. Будем говорить, что lim Am = B,
m-+ оо
если выполнено следующее условие:
V 3 V (р(Л/л, В)<8). (1)
f >О N m>N
Здесь Am=<amX, am2, ..., amn>, B=Cbx, b2, ..., bn>,
P (Am, B) = ~y](am I Ь ।У -p • • • “F(^mn Ьti)
2) Переходим к определениям предела и непрерывности функ-
ции в точке.
Пусть f (X) — действительная функция от п действительных пе-
ременных, определенная на множестве Т<zzRn, и пусть Л — пре-
дельная точка для Т. Будем говорить, что lim f(X) = b (b — не-
которое число, X — любая точка из Rn, принадлежащая Г), если
выполнено следующее условие:
V 3 V (|f(X)-Z>|<e). (2)
е>0 6>0 Х\Х^А,
р(Х, Л)<б
218
3) Действительная функция f от п действительных перемен-
ных, определенная на множестве Тc:Rn, называется непрерыв-
ной в точке Хо, Xq^T, если выполнено следующее условие:
v a v
8>0 б>0 Л|р(Х, Хо)<6
(lf(*W(*o)l<e).
(3)
В случае, когда Хо — точка Т, предельная для этого множества,
условие (3) означает, что lim /(Х) = /(Х0). В этом случае опреде-
ляющее условие непрерывности f в точке Хо можно записать еще
и в таком виде:
lim А/ = 0. (4)
АХ-^О
В условиях (2), (3), (4) подразумевается, что
О — <0, 0, ..., 0>, А = <аь а2, Хо= <х?, х®, ..., х„>,
п
X=<Zxi, х2, ..., xrt>, АХ = Х — Хо= Cxi — х?, ..., хп— х2>,
Af = /(X)-f(X0).
Отметим, что lim f (X) принято обозначать и символом
X—»-Хо
lim f (xi, х2, ..., хп).
Функция f (xi, х2,хп) называется бесконечно малой при Х^-Хо,
если lim f (xi, х2, ..., хп)=0. >
X > х° '
Определяющее условие (4) непрерывности f (X) в точке Хо мож-
но теперь выразить так: бесконечно малым приращениям аргу-
ментов Xi, х2, ..., хп соответствует бесконечно малое приращение
функции f.
На функции от п переменных распространяются предложения
о единственности предела, о связи между пределом функции и пре-
делом последовательности (гл. II, § 10; гл. Ill, § 1), о свойствах
предела и непрерывности в точке (гл. II, § 5; гл. III, § 2), о свойст-
вах бесконечно малых, теоремы о пределе суммы, произведения,
частного, о непрерывности суперпозиции (§ 4), об эквивалентных
бесконечно малых. Легко видеть, что непрерывность функции
сохраняется также при введении пассивных аргументов: если,
например, f (х, у, г)==ф (х, у) и функция ф (х, у) непрерывна в точке
<Хо, г/оХ>, то f (х, у, z) непрерывна в точке <хо, f/o, при лю-
бом го, ибо lim f (х, у, г) = Итф(х, //) = ф(х0, r/o) = f(^o, //о, г0).
х -* Хо, у у0 х -> Хп
г — г0 у Уо
219
Как доказывается в курсе анализа (например, в книге [И],
т. И, гл. XIX), непрерывны и те элементарные функции, которые
определяются описанной в главе I (§ 12, п. 2°) операцией перехо-
да к неявной функции. Таким образом, все вообще элементарные
функции от п переменных непрерывны в каждой точке области
определения. Например, непрерывны во всей области определения
функции и = Хх2 , и = хуг, ц — In , элементарная неявная
функция г от аргументов х, у, определяемая уравнением x^y2z —
— х^у3 sin г2 = 0.
Рассмотрим пример неэлементарной функции
f ху
1(х,у) = \ x'W ДЛЯ <Х' У> * <0’ 0>’
( 1 для <х, yZ> = <0, ()>.
В каждой точке <х, //>=^<0, 0> данная функция непре-
рывна. Чтобы исследовать функцию на непрерывность в точке
Л40= <0, 0>, заставим точку М— <х, у> двигаться к Л4о
сначала по лучу у = х. Тогда f (х, х)—
= В то же время
f (х, 2х)~ —- = -f~; f (х, Зх)— А Это значит, что по
каждому направлению ММо имеется свой предел lim f (М), при-
М -> Л40
чем для различных направлений эти пределы различны. Следова-
тельно, единого для всех направлений предела нет, т. е. lim / (Л4)
не существует. Функция [ (х, у) в точке <0, 0> не является непре-
рывной. Мо — точка разрыва функции /, разрыв неустранимый
(не существует lim f (М)), первого рода (по каждому направле-
нию существует конечный предел). Читателю полезно представить
умозрительно ту поверхность в пространстве Oxyz, которая яв-
ляется графиком функции z = f(x, у).
Вычислим еще предел функции от х, у, z с помощью эквива-
лентностей:
|im sin (sin (xt/))+arctg (zx//) = |jm sin (xt/) + zxt/___
x^o, In (1 + xy) + ezxy — cos (zx/xy) o, o, 2 xy -f- (егху — 1)Ц-(1 — cos (z \Jxy)
-lim ——.=A.
1 2 x^o xy + 2xy + 2xy 5
xy-\-zxy + —z xy
= Нт -------х«+г-хУ
о, О, 2
2°. Пусть T — произвольный числовой промежуток (сегмент,
интервал, полуинтервал, числовая прямая R, полупрямая). Если
множество Т разбить на два каких угодно непустых непересекаю-
щихся подмножества Т\ и Т2: Т1\дТ2 = Т, то хоть в одном из этих
подмножеств найдется точка, предельная для другого. Это свойст-
220
во множества Т естественно назвать его связностью. Оно пред-
ставляется интуитивно очевидным и может быть читателем дока-
зано. С другой стороны, если множество Т не является промежут-
ком, т. е. если существуют такие чис^а а, Ь, с, что а<.Ь<.с, а^Т,
с^Т, а Ь^Т, то b разбивает Т на такие подмножества 7\, 7’2, рас-
положенные соответственно левее и правее числа Ь, что в Т\ нет
предельных точек для Т2 и в Г2 нет предельных точек для Т\. Мно-
жество Т в этом случае лишено связности. Таким образом, сре-
ди всевозможных числовых множеств все промежутки, и только
они, обладают свойством связности.
Вводим далее понятие связности для множеств простран-
ства Rn.
То или иное непустое и неодноточечное множество T<^Rn на-
зывается связным множеством, если оно обладает описанным
выше свойством связности: при любом разбиении Т на непустые
подмножества Т\, Т2 хоть в одном из них мы встретим предель-
ную точку для другого. Что касается одноточечных множеств
в Rn, то все они считаются по определению связными. Для пустого
множества понятие связности здесь мы не вводим.
Наглядными примерами связных множеств в 7?2 служат мно-
жества, геометрически изображаемые в координатной плоскости
хОу прямоугольником, кругом, полуплоскостью, углом, полоской
между двумя параллельными прямыми, любой непрерывной кри-
вой, в частности ломаной. Множества в R\ геометрическим изо-
бражением которых в пространстве Oxyz являются шар, парал-
лелепипед, круговой цилиндр, непрерывная кривая, связны, а две
непересекающиеся поверхности изображают несвязное мно-
жество.
Непрерывной кривой (короче — кривой или линией) в прост-
ранстве Rn (п = 2; 3) называют множество в этом пространстве,
геометрически изображаемое непрерывной кривой в плоскости
хОу или в пространстве Oxyz. Если любые две точки множества
Т в пространстве Rn (п = 2; 3) можно соединить непрерывной кри-
вой (в частности, ломаной), полностью содержащейся в Т, то
данное множество Т связно (рис. 122).
Множество, являющееся открытым и связным одновременно,
называется областью или открытой областью. Если к открытой об-
6)
а)
Рис. 122
221
ласти G присоединить те ее предельные точки, которые не при-
надлежат G (т. е. присоединить ее границу), то вновь получен-
ное множество называется замкнутой областью, оно обозначает-
ся иногда через G. Если же к G присоединена какая-нибудь соб-
ственная часть его границы, то полученное множество называет-
ся полузамкнутой областью. В дальнейшем слово «область» бу-
дем употреблять для обозначения собирательного понятия по от-
ношению к указанным трем видам областей: областью в /?2 будет,
например, открытый круг G : х2-\-х2<25, замкнутый круг
F : х2 -|-х2 25, полузамкнутый круг
( х2 + %2^25 для %i>0, х2>0,
( я?+ %2<25 для остальных <xi,x2>
(G = F, а также и для полузамкнутой области будем записывать:
Q = F).
Отметим, что и впредь мы будем задавать области и другие
множества в R2 и R3 при помощи их геометрических изображений
в плоскости хОу и в пространстве Oxyz, используя при этом гео-
метрические термины: круг, шар, квадрат, куб, параллелепипед,
кривая, поверхность и т. д. Широко будут использоваться для
задания областей неравенства (строгие и нестрогие). Примером
связного множества в R2, не являющегося областью, служит
окружность С: xf-|-*2 —25, задаваемая, как видим, уравнением.
Приведите еще несколько примеров областей и других связных
множеств в R2 и R3.
Отметим, что любые две точки области можно соединить
той или иной линией (в частности ломаной), содержащейся
в данной области.
3°. Переходим к функциям от п переменных, определенным на
связных множествах.
Теорема. Если действительная функция f от п переменных
определена и непрерывна на связном множестве Т cz Rn, то и мно-
жество QczR ее значений является связным, т. е. представляет-
из себя промежуток (в частности, точку).
Доказательство. Если / = const, то Q — одноточечное множество,
а оно связно. Если /5^const, то возьмем произвольное такое разбиение Q на
Q1, Q2, что Q1#=0, Q?^=0, С?1П^2=0, QiUQ2 = Q. Перейдем к прообразам
множеств Qi, Q2 при отображении f, которые обозначим соответственно через
Тх, Т2. Ясно что, Тх=/=ф, Т2У=ф, ТХС\Т2= ф, ТХ[)Т2=Т. В силу связности Т най-
дется точка Хо, принадлежащая Т2, предельная для Л, или наоборот. Тогда (в
первом случае) в Т\ можно выбрать такую последовательность точек Хь Х2, ...,
Хт, ..., что lim Хт — Хо. Отсюда ввиду непрерывности f в точке Хо верно
lim f (Xm) = f (Хо), причем f (X0)eQ2, f(Xm)^Qi, и потому f (Xm)=/=f (Xo). Из этого
следует, что f (Хо)— предельная точка для Qi, а сама принадлежит Q2, т. е. что
Q связно.
222
Пример, f (х\, х?) — — ... . Область определения
д/25 —(%? Н-Д)
Т:х? + х2<25—круг (открытая область), Q — полупрямая
Доказанная теорема есть обобщение теоремы 2 из § 5 о про-
межуточных значениях непрерывной функции одной переменной на
промежутке. Отметим теперь следующее следствие теоремы дан-
ного параграфа:
Следствие. Если функция f(xi, х2, хп) непрерывна на
связном множестве Т cz Rn и ни в одной его точке не обращается
в нуль, то данная функция сохраняет на множестве Т один и тот
же знак.
Это предложение составляет основу весьма эффективного ме-
тода решения неравенств — метода областей, который мы рас-
смотрим в § 13 и в следующей главе.
§ 12. Задание областей с помощью неравенств
В данном параграфе будем рассматривать области в простран-
ствах R2 и /?3. Задание этих областей, как отмечалось выше, есть
в то же время задание изображающих их геометрических фигур
в плоскости хОу и пространстве Oxyz.
Точки пространств R2 и Z?3 будем здесь обозначать соответ-
ственно через <х, у>, <х, у, z>, а их изображения на плос-
кости хОу и в пространстве Oxyz — через М (х; у), М (х; у; z) или
просто М.
1°. В качестве первого примера рассмотрим область G\, ограни-
1 4
ченную слева и справа прямыми х = —, х = —~, а снизу и сверху
Z о
кривыми у=-^~, у=\х (напомним, что, пользуясь здесь геометри-
ческими терминами, мы имеем в
виду множества в R2, а далее —
в /г). Область 01 изображена на
рисунке 123. Предполагаем снача-
ла, что данная область включает
в себя ограничивающие ее ли-
нии, т. е. является замкнутой.
Точки <х, y^>^G\ определяют-
ся условием
У|
12 3
Поэтому область G\ естествен-
ным образом задаем системой не-
строгих неравенств с переменны-
ми X, у
о
1 1 Е X
2 3
Рис. 123
223
(1)
которой точки <х,//>eGi удов-
летворяют. Если заменить все не-
строгие неравенства строгими, то
получим задание открытой облас-
ти, а при замене одного, двух или
трех неравенств будем иметь по-
лузамкнутую область.
Совершенно аналогично си-
стема с переменными х, у
(2)
характеризует замкнутую область G2, ограниченную снизу и свер-
14 у2 г~
ху прямыми у=—, у=—, а слева и справа кривыми х=?— х = у[у
Z о о
(рис. 124). И здесь, конечно, замена нестрогих неравенств стро-
гими приводит к открытым или полузамкнутым областям.
Условимся говорить, что в системе (1) за основу задания
области принята переменная х, а в системе (2) — переменная у.
Если на [a; b] (a<Z.b) определены и непрерывны функции
(рн (х), фв (х) (произносится: «ф нижнее от %, ф верхнее от х), при-
чем на (а; Ь) верно неравенство фн(х)<фв(х), то система
(а^х^Ь
I фн (х)<г/<фв (х) (3)
определяет область Рез/?2, ограниченную слева и справа прямы-
ми х = а, х = Ь, а снизу и сверху кривыми у = ц>н (х) («линия вхо-
да»), г/==<рв(х) («линия выхода»). Точно так же если функции
фл (у), Фп (у) (произносится: «ф левое от у, ф правое от у») опре-
делены и непрерывны на [с; d] (c<Zd), причем на (с; d) верно,
что фл (у)<фп (у), то система
I фл({/)<Х<фп(//)
(4)
определяет область Qcz/?2, ограниченную снизу и сверху прямыми
у = с, y = d, а слева и справа кривыми х = фл (у) («линия входа»),
х = фп («/) («линия выхода»). Области Р и Q изображены на ри-
сунке 125. Обращаем внимание читателя на то, что если за основу
принята переменная х, то уравнения «линий входа и выхода» долж-
224
ны быть разрешены относительно у (т. е. представлены в виде
У = ^н (х), y = yR(x)); если же за основу принята переменная у, то
уравнения «линий входа и выхода» нужно разрешить относитель-
но х (представить их в виде х = срл (г/), х = фп (#)).
Отметим, что системы неравенств (3) и (4), в частности,
системы (1), (2) и системы в дальнейших примерах, определяют
не только области, но вместе с ними и многозначные функции
одной переменной Y (х) и X (у):
Y(x) =
Х(У) =
c^Zy
Ф. (//)=^*<фп(//).
d
Многозначная функция Y (х) каждому числу х из ,[а; Ь] ставит
в соответствие каждое число у из [фн (х);фв (х)]; многозначная
функция X (у) каждому числу у^[с\ d] ставит в соответствие каж-
дое число х из [фл (у); фп (у)].
Геометрические фигуры, определяемые системами (3) и (4),
являются графиками многозначных функций У (х) и X (у) соот-
ветственно. Эти фигуры будем также называть графиками систем
(3), (4). Вообще если та или иная система, составленная из ра-
венств, неравенств, других предложений с переменными (напри-
мер, x^R), определяет однозначную или многозначную функцию,
то график этой функции иначе будем называть графиком данной
системы.
1) Пользуясь предшествующими описаниями, изобразите об-
ласти, определяемые следующими системами:
а)
б)'г 3<х^4
I 1
8 Заказ 607
225
2) Каждую из областей, изображенных на рисунке 126, задай-
те системой неравенств, приняв за основу х или у.
3) Изобразите и укажите системы неравенств (приняв за ос-
нову х или у), задающие области, которые ограничены следую-
щими линиями:
а) х = 3, х = 5, Зх —2t/ + 4 = 0, Зх —-2iy + 1 = 0;
б) х2-\-у2—\;
в) х = 0, у = 0, х-\-у = 2;
г) у — х2, у = 4— х2;
д) у = х, у = 2х, х — 2;
е) у = х, У = ^, у = 2.
2°. Область, задаваемая системой вида (3) или (4), может
оказаться такой, что линия входа или выхода является состав-
ной. Например, пусть в системе (3)
а=1, Ь = 4, фн (х)=у-х,
, ч (х2 для 1 ^х<2,
<₽"« = {6-х для 2<х^4.
Область Q, определяемая такой системой, изображена на ри-
сунке 127. Эту область удобно представить в виде Q = QiUQ2, где
а систему вида (3) целесообразно заменить равносильной ей со-
вокупностью двух систем:
2<х^4
^-^(/<6 — X.
(О совокупностях систем и их обозначении см. гл. I, § 13, (п. 2°)).
Точно так же области, изображенные на рисунках 128 и 129, опи-
сываются следующими двумя совокупностями соответственно:
226
Рис. 127
( 1^2//^ 2 |2<//<3
,1 У2<х^3у, | 4СхС3;/;
f — 2=C.v<C — 1 ( —1<хС1 ( l^xs$72
( 0^y^y]4 — x2, ( y/\—x2 ^у^л/4 — х2, ( О У C x[^— x2.
i-----------------------------------------------------1
3°. Приведем два примера неограниченных областей в Я2 и
их задания с помощью неравенств.
1) G: %2-|-//2 > 1—внешность круга (рис. 130). Эта открытая
область определяется совокупностью четырех систем:
(х<- 1 (— р>1 г-1^х^1
J у - любое, | у > -\/] _х2, (// — любое, ( y<Z — x[Y^-x2.-
2) Q — открытая область в R2, ограниченная кривыми у — 1п х
и у = ех (рис. 131). Задаем ее неравенствами с основной пере-
менной х\
(( х>0
, I У<ех, I In хСуСех, (
Задайте неравенствами ту же область, приняв за основу у.
227
Рис. 130
4°. Пусть F — область в R3. Если нам известны ее проекция
на плоскость хОу (Прху/7) и поверхности z = zH(x, у), z = zB(x, у),
ограничивающие F снизу и сверху (zH<zB внутри Пр^/7, z(I—
«поверхность входа», zB— «поверхность выхода»), то область
F определяется системой
( <х, z/> еПрху/7
| zH(x, t/)^z<zB(x, у). (5)
Изображение F дано на рисунке 132.
Если же F ограничена только снизу или только сверху, то ее
задание соответственно таково:
f <х, у>еПрХ!1Р Г <х, у>еПрх/
I Z>Z„(X, у). j Z«JZ„(x, у).
Как и выше, нестрогие неравенства могут заменяться строгими.
Так как Пр^/7 есть область в R2, то предложение с переменными
228
х, у (предикат) <х, у> может быть заменено соот-
ветствующими неравенствами, как в пп. 1° — 3°. Отметим еще,
что системы (5), (6) (с нестрогими или строгими неравенства-
ми) определяют не только области в R3, но и многозначные функ-
ции Z (х, у).
Приведем три примера.
1) Область F ограничена поверхностями z = x2-\-y2, z = x2 -j-2z/2, х=1, х — 2,
у— \jx, y = 2\jx. Изобразите ПрхуЛ. Так как у)х, х24-у2<Zx2Ц-2у2, то дан-
ная область характеризуется системой неравенств
' 1^х<2
< ^х^у^2^х
х2 + У2 С 2 С х2 + 2у2.
2) Задать с помощью неравенств область F, ограниченную поверх-
ностями у = фх, у — 3-^х, x-\-y-\-z= 1, 2x-\-y-\-z = 4.
Уравнения, содержащие z, подчеркиваем одной чертой, уравнения без z —
двумя чертами:
х-\-у~Fz—\, 2х-\-уЦ-г = 4, у = фх, у = 3-\/х.
Из уравнений, подчеркнутых одной чертой, исключаем z и полученное уравне-
ние без z подчеркиваем двумя чертами (оно представляет из себя уравнение
проекции линии пересечения поверхностей x-\-y-\-z—\, 2x-\-y-\-z~4 на плос-
кость хОу): х = 3 На плоскости хОу изображаем линии, уравнения которых под-
черкнуты двумя чертами. Эти линии ограничивают Пр^у/7 (рис. 133) Плоская
( О^х^З,
область ПрхуЛ определяется неравенствами^ фх^у^3~\[х.
Разрешив уравнения, подчеркнутые одной чертой, относительно z, получаем
z=l —(хЦ-у), z = 4— (2хЦ-у) и выясняем, какая из двух данных поверхностей
выше другой. Для этого достаточно подставить в правые части уравнений коор-
динаты какой-нибудь одной точки из Пр^у/7 (кроме точек прямой х = 3) и по-
смотреть, для какой поверхности получится большее значение z:
<1, 2>еПрХуД 1 - (1 +2)= - 2, 4 — (2-1 +2) = 0, -2<0.
Отсюда 2=1 — (х-\-у) — «поверхность входа», 2 = 4— (2хЦ-у)— «поверхность
выхода» (см. следствие теоремы о промежуточных значениях в предыдущем
параграфе). Таким образом,
( О^х^З, д/х^г/СЗд/х
F: | 1-(х + у)<г<4-(2х + у).
3) Пример неограниченной трехмерной области:
1 <х<3
</<х2
2> 2х2Ц-Зу2.
229
§ 13. Неравенства с несколькими переменными
1°. В § И (п. 3°) доказана теорема о промежуточных значе-
ниях функции, непрерывной на связном множестве в Rn, и сфор-
мулировано следствие теоремы. В силу этого следствия действи-
тельная функция от п переменных f (xi, х2, ..., хп), непрерывная
в области GaRn и не обращающаяся в ней в нуль, сохраняет в
G постоянный знак. Этот знак легко установить, выбрав произ-
вольным образом какую-нибудь точку <х?, х2, • ••> , принад-
лежащую G, и выяснив, положительным или отрицательным бу-
дет число f (х?, х2, ..., х„). На этом основан важнейший метод ре-
шения неравенств с несколькими переменными (неизвестны-
ми) — метод областей. Он состоит в следующем.
Чтобы решить неравенства f (xi, х2, хп) SB О с непре-
рывной левой частью в области определения D, нужно сначала
найти множество HQ всех решений уравнения f (xh х2,
х„) =0, затем, разбив D\H0 на области знакопостоян-
ства функции f, найти ее знак в каждой из них указанным вы-
ше способом; тем самым будут найдены множества решений обоих
неравенств f (хь х2, ..., х„) ^0. Эти множества обозначим соот-
ветственно через Н+ и Я_.
Разъясним метод областей на примерах.
№—у1'
1) Решить неравенства -— ^0.
у — Зх
Область определения D неравенств и соответствующего уравнения: у^=3х.
глк сс \ (х — у) (х-\-у) (х4 -\-х2у2-\-у4) .. и
Обозначаем: f (х, у) = ---------- — . Множество Но решении урав-
нения f (х, z/) = 0 определяется совокупностью двух систем:
или, что то же, Но:
Можно сказать, что Но — объединение двух пересекающихся прямых без точ-
ки их пересечения (рис. 134) Множество D\H0 есть, как видно из рисунка, объ-
единение шести областей:
3x<z/<x;
64:1
( х
Возьмем по одному представителю каждой из этих областей:
< 1, 0 €= G1; <Z 1, 2 > g= G‘2-, 0, 1 £= G3;
<С — 1, 0 е= G4; <С — 1, — 2 ge G5; <Z 0, — 1 gg Ge.
230
Рис. 135
Находим знаки значений f (х, у) в выбранных точках:
/(1. 0)=-Ц <0, /(I, 2)=1-^->0, f (0, 1)=—1 <0,
— о z — О 1
/(—1. 0)=±>0, Ц-l, -2)=-Ь~сО, f(0, - |) = -^[>о.
Из этого видно, что Н+ = G2II 64 U Go, а И- = Oi J G3IJ G5, т. е. что
_ и3 — sin х-//2 —x2// + x2sin х
2) Решить неравенства -----------------------------^0.
Область определения неравенств D:y^ ±2х. Левую часть обозначим через
f (х, у) и преобразуем:
у2 (у —sin х) —х2 (// — sin х) = (// — sin х) (у + х) (у — х)
(у+2х)(у—2х) (// + 2х)(// —2х)
Множество Но решений уравнения f (х, //) = 0 определяется совокупностью систем:
( z/ = sinx ( у=—х ( у = х
У У^= ±2х,[у^ ±2х, [ t/=# +2x,t
т. е. Но — объединение синусоиды и прямых у = х, у=—х без точки <0, 0>
(рис. 135). Мы видим, что D\H0 есть объединение десяти областей:
( х>0
’( sin х<//<х;
G3:
У>0
2 2’
G2!x>q
I х<//<2х;
( х<0
G4: ] — х<//<—2х;
231
( х<0 ( х<0
(x<i/<sinx; ^7’ ( 2х<г/<х;
(х>0 (х>0
{ — 2x<z/<—х; G|0' [ — x<//<sinx.
Выбираем представителей областей: MeG((i=l, 2, 10). Находим знаки
f (Мг), учитывая, что
у — sinx>0 — над кривой z/ = sinx J г/ + х>0 — над прямой у — — х
у— sin х<0 — иод этой кривой; I #4-х<0— под этой прямой;
у — х>0— над прямой у = х
у — х<0 — под этой прямой;
z/ + 2x>0—над прямой у=— 2х
(/ + 2х<0—под этой прямой;
у — 2х>0—над прямой f/ = 2x
у — 2х<0—под этой прямой.
В силу этого, пользуясь схематичной записью, будем иметь:
)>0. /(Мг)= +++_+ <0. /(М.,)-+++++ >о.
НМ4)=+ + + <0. + >0, + <0.
---Н г ---1-
f (М7) = >0' —<0’ f (^)"= >(),
дм„1)=~++_-<().
Отсюда Н+ = 6’1 U 6з11 Os U G7U G9, 77— = G2U G4 U G6U G8U Gio-
2°. В предыдущем пункте мы решали неравенства с двумя переменными
при помощи наглядного геометрического изображения решений уравнений и не-
равенств. Однако в случае трех и более переменных получить такое изображе-
ние, как правило, нельзя. К тому же при решении неравенств ответ должен быть
дан в форме системы или совокупности систем неравенств относительно данных
переменных. Как прийти к такому ответу, не прибегая к геометрическому изобра-
жению?
Пусть имеем систему {Р (или^Р, Р), а также совокупность [Р (или Р), где
Р — одно или несколько уравнений, неравенств с переменными х, у, z, ... . Множест-
О
во решений системы \Р обозначаем символом {Р ( Р, Р) — к фигурной скобке сверху
или спереди добавляем кружочек. Точно так же множество решений совокупности
о
обозначаем через [Р (Р, Р).
Множество {Р есть пересечение, а [Р — объединение множеств решений эле-
ментов Р. Из этого сразу следует, что {P(]{Q = {P,Q; [P|J[Q = т. e- Ч1'0 P и Q
232
соединяются в первом случае под знаком одной системы, во втором — под знаком
одной совокупности. Например,
П° о ° <>
( X <z У ( X > 1 X <z у"
у:> Z ( Z X \ у> z, zCZx,
x<Zy, z~^y2 U i/<C3, z<x = x<iy, z^y2, z/>3, z>x.
о i------------1 о i -----------I о I_______._______1____________I
Здесь же отметим, что если в пространстве Rn, точки которого обозначаем через
<х, у, z, и>, некоторое множество G, GczRn, задано одним неравенством с
переменными х, у, z, .... и, определенным на Rn, то множество Rn\G, характе-
ризуется противоположным неравенством. Например, если в R2
если в R2
G:x2 у2 sC 25, то R'2\G : х2 Д- у2 > 25;
G:x-\-y<Zz2 — у2, то R\G:xA-y^z2 — y2.
Далее читателю следует вспомнить свойства объединения, пересечения и раз-
ности множеств, отмеченные в § 2 главы I (п. 2°),— равенства 1 —9, обратив особое
внимание на равенства 3, 5 и 6. Примером применения равенства 3 — распредели-
тельного закона пересечения относительно объединения — может служить следую-
щее преобразование, в котором неравенства обозначены через А, В, С, М, а знаки
U, П в одном месте заменены на Д- и • соответственно (как это можно встретить
в математической литературе):
А В СМ
ох с; О, у () П охД-//>2, х2у>\
AC AM ВС ВМ
( х<0 ( хДО ( у^О ( у^О
J х-\-у>2, j х2у> 1, j хД-//>2, | х2у> I,.
Более подробно:
Ии#) П (СиМ)=(Д.С) + (Д.М) + (В.С)-Ь(Я.М)=ИПС)иИПМ)и(ВПС)и(ВПЛ1).
(+) (•) (+)
Пример применения равенства 6, выражающего правило — дополнение пересе-
чения множеств равно объединению дополнений этих множеств: пусть G, G оп-
Jx>z/ J *>У J х>У
ределяется системой \ т. е. тогда R' \G =RJ\ । =
— R\(\x^yC\{z<Zy} = (R'\{x^y)(j(R'\[z<Zy)^{x<Zy\J{z^y = х<у, z^y, т. е.
<ч °----------’
f
= x<z.y, z^у — дополнение к множества решении системы неравенств
x\z<y о-------;-----
равно множеству решений совокупности противоположных неравенств.
Если множество G, GczRn, определяется совокупностью систем неравенств, то
разность Rrl\G определяется некоторой другой совокупностью систем противопо-
ложных неравенств с помощью равенства 5 из § 2 главы I и предыдущих правил
данного пункта. Возьмем, например, расположенное в /?3 множество G =
Г х 0; Г х у sj;, 2
! '-> I I \ и пеРевдем к его дополнению:
233
( х>0; ( х-\-у^2
Л3\С = «Л|г>| { =
О »----------i
= х^О, г< 1 П х-)-у>2, ху^\ = (^<0Ц^< 1)Г)«-У + ^>2иИ> 0 =
О’------------1 о*-------------1
= ([хС0П)х + .//>2)и(кС0Пку^1)и(йс1Пк + .1/>2) и (&< 1 ПНС 1) =
х<0
%+г/>2,
х < () f z < 1 ( z < 1
х//> 1, \х+у>2,\ ху^\
Заметим, что уравнение всегда можно заменить системой неравенств'.
х>0
х<0;
о (% + //>!
1х -I- и = 1 =| । <
1 1 у 1х-ффС 1;
о J f (х, y)^q (х, у) (х + у=1 °( % + //> 1, % + //< 1
{f (Л У) — Ф (х> У) — j I t/Х ф (х, у)', I х < 0, у > 0 Ч х < 0, у > 0.
Таковы правила, с помощью которых мы можем охарактеризовать совокуп-
ностью систем неравенств множество Rn\H0, если Я(1 задано системой или сово-
купностью систем равенств и неравенств. Чтобы теперь получить характеристику
D\Hq, где HqCzDclR", достаточно воспользоваться равенством D\Ho —
= Dr\(Rn\Ho) — докажите его!
Пусть мы имеем уравнение и неравенства F (х, у, z, ..., u) = 0c областью опреде-
ления D и множеством решений //0, причем функция F непрерывна на D. В этом
случае найденное указанным способом представление множества D\H^ в виде со-
вокупности систем неравенств весьма часто определяет разбиение D\H^ на области
(открытые или полузамкнутые), которые по необходимости являются областями
знакопостоянства функции F. Те простые правила, которые мы применяли здесь для
характеристики D\H0, будем называть правилами исчисления областей. Они будут
расширены в следующей главе (§ 10).
3°. Пример. Решить уравнение и неравенства с переменными х, у, z:
yjz + x + ^y=y!x + ^z + y .
( х^О,
Область определения D: \ __
у z х, z у.
Обозначим уравнение через (1) и
решим его методом преобразования с сохранением равносильности систем, а также
совокупностей уравнений и неравенств, который уже применялся в § 13 главы I
(п. 5°) и будет постоянно действующим в главе IV.
(!) ( z + x + */ + 2'V(2 + x) z/=x + z + t/4-2 /x(z-Fy\
D [кв]I D
234
Далее, D\Hu = Пользуясь правилами п. 2°, мы должны каждую
( Х>0, £/^0
из только что указанных шестнадцати систем соединить с системой i _
V Z У X, z у.
При таком соединении окажутся несовместными системы 1—8, И, 15 (х<0их^0,
у<0 и у^О), а также 12,16 (г<—х и z^y—х). Остаются четыре системы — 9,
10, 13 и 14. Таким образом, D\lh} =
"х>0, у^О
’ z> — х, z^ — У
z>0, у>*
х^О, у^О и у <Zx соединяем в 0-СуСх; х ДгО, у ^0 и у> х соединя-
ем в 0^x<Zy; если 0=Су <х, то z^ —х, z^ — у о zX> —у, если же
toz>-x, z^ —у о z^ —х; в первой и второй системах
z<zO и —х, z^ —у, из чего видно, что в этих системах х=^=0, у=£0
0<у<х ( ()<х<у ( 0^у<х ( 0^х<у
— у<2<0, (— x<z<0, I z>0, | z>0
—*______________________________I.
235
Множества решений каждой из четырех систем неравенств обозначим соот-
ветственно через G], G2, G3, G4. Это области (полузамкнутые) знакопостоянства
функции F (х, у, = -x[z-\-y —д/% + л/Р- Области попарно не пересекаются:
для Gt, G2 z<0, а для G3, G4 z>0, для Gt, G3 y<Zx, а для G2, G4 y>x. Выбрав
представителей найденных областей Mi = <2,1, — 1 > С G\, М2 = < 1,2, — 1 >> б G2,
М3<1, 0, 1 > С G3, Л14=<0, 1, 1>6 64, легко убедимся, что F (2, 1, — 1)>0,
F(l, 2, — 1)<0, F (1, 0, 1)<0, F (0, 1, 1)>0. Следовательно, множества решений
неравенств соответственно таковы:
//+ = g1ug4, //_ = g2ug3.
Упражнения к § 11 —13
23. Исследовать на непрерывность функции:
а)
б)
г V1-(^2 + //2) Для +
f(x^y)—| о для х2ф-//2>
1
1;
для х2 + //2>0
для х2 у2 = 0.
24. Найти пределы:
a) lim Г(х2 + j/2)3-sin 2 1 2 1; б)
У — О
.. sin (хи)
Inn ---------
-> 0 у -> 2 *
25. Область, изображенную на рисунке 128, задать неравенст-
вами, приняв за основу х.
26. Решить неравенства:
а) у2 — (% + In х)у-\-х In х^О;
б) _d±b/£+Vy)£±V^L >о-
2 ху — (х-|-у)-|-1 < ’
в) + z^x + y.
Глава IV
УРАВНЕНИЯ и НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
§ 1. Явления и процессы, описываемые уравнениями
с параметрами
Рассмотрим в качестве примеров три уравнения:
Ю/ + ^-/2 (/>0), х2 -\-у2 = 25, sin—t=\
Первое из них описывает равноускоренное движение с началь-
ной скоростью 10 м/с и ускорением 5 м/с2 при so = O. Второе есть
уравнение окружности в плоскости хОу с центром в начале коорди-
нат радиуса 5, которую можно рассматривать как траекторию вра-
щающейся материальной точки. Третье уравнение описывает
следующее физическое явление: сила синусоидального электричес-
кого тока с амплитудой /0=1 и циклической частотой со=-|—ха-
рактеризуется формулой / = sin уравнение же sin -^-/=1
описывает множество тех моментов времени t, при которых сила то-
ка равна 1 А. Это множество вы найдете, решив данное простейшее
тригонометрическое уравнение:
= , / = 4&+1 (k = 0, 1, 2, 3, ...).
Итак, первое уравнение описывает конкретное движение, вто-
рое — конкретную траекторию движения, третье — конкретное
множество моментов времени в определенном электрическом про-
цессе.
Естественно теперь обратиться к таким уравнениям:
1) s = u0Z4--^2 (а>0, />0); 2) х2у2 = г (г >0);
3) sin (о/ = 1 (со>0, /^0).
Они содержат предыдущие три уравнения как весьма частные
случаи соответственно при vo= 10, а = 5, г = 5, При других
значениях величин у0 и а получаем другое по сравнению с преды-
дущим равноускоренное движение, при другом г — другую окруж-
ность с центром в начале координат, при другом значении (о
(т. е. при имеем и другое, отличное от предыдущего мно-
жество моментов времени.
В целом же уравнение 1 описывает совокупность всех равно-
237
ускоренных движений, а каждая определенная пара значений ве-
личин Vo, а дает конкретное движение; уравнение 2 описывает сово-
купность (семейство) окружностей с центром в начале коорди-
нат, а каждое значение г определяет конкретную окружность;
уравнение 3 описывает для всех синусоидальных токов с амплиту-
дой /0 = 1 совокупность тех моментов времени, при которых сила
тока в цепи равна 1 А, каждое же определенное значение величины
to дает свое конкретное множество моментов времени с этим
о i 2л , * л
свойством: t = —•#+ — .
о)
Величины Vo и а в механике называют параметрами равно-
ускоренного движения, г в геометрии называют параметром се-
мейства окружностей, а о — параметр силы синусоидального тока.
Вполне естественно назвать эти величины и параметрами соот-
ветствующих уравнений. Первое уравнение есть уравнение с пара-
метрами Vo, а и переменными /, s при любых фиксированных зна-
чениях параметров. Второе уравнение содержит один параметр г
и две переменные х, у при всяком значении г. В третьем уравне-
нии один параметр w и одна переменная / при каждом фиксирован-
ном значении параметра.
В уравнении 1 = ~, выражающем закон Ома для участка
к
электрической цепи, сопротивление R, будучи определенной вели-
чиной для каждого данного участка, является параметром, а на-
пряжение на участке U и сила тока в цепи / — переменные при
каждом значении параметра.
Мы привели несколько примеров, в которых рассмотрены реаль-
ные процессы, описываемые уравнениями с параметрами. Понятно,
что это не какие-то исключительные примеры, что подобные приме-
ры вы сами можете привести в большом количестве, рассматривая
различные физические процессы.
Из этого следует, что уравнения с параметрами, а вместе с ними
и неравенства с параметрами, а также решения таких уравнений
и неравенств должны быть предметом специального изучения в
математике.
Прежде всего, нужно вникнуть в сами понятия уравнения и
неравенства с параметрами, в понятие их решения. Далее необхо-
димо рассмотреть конкретные случаи отыскания таких решений,
дать их геометрическое истолкование, попытаться выработать со-
ответствующее общее предписание. Этому и посвящена данная
глава.
Следует уже сейчас заметить, что так как мы будем опериро-
вать с уравнениями, содержащими п переменных (n= 1, 2, 3, 4, ...),
то, как и в главе I (§ 3, 7, 12, 13), и в главе III (§ 11 —13), нам
придется пользоваться понятием п-мерного множества. Напомним,
что это просто та или иная совокупность (множество) числовых
наборов вида <Za, b, с, ..., dz>, по п чисел в каждом наборе.
Числа в наборе могут и повторяться, порядок их вхождения в на-
238
бор существен: переставите числа — получите другой набор. Чле-
ны набора иначе называются его компонентами.
Примеры.
1) Множество всех числовых наборов вида <а, Ь, О , где
1, — это трехмерное множество, куда входят, например, наборы
G44> <о-о-°>- <'•!>. 11(,
не входят —q-q-. -yyj- Ю 2, 10~3, —|- ^ . Геометрический об-
раз этого трехмерного множества — единичный куб.
2) Множество числовых наборов вида <х, у, z, t, v >, для которых %2+ 4 +
-|-z24-/2 +у2^ 10, есть пятимерное множество, содержащее, ска-
жем, набор 1, —1, а/2, 73’ ’ но не содержащее набор
< ', -,,2. -2,±> .
3) Числовой отрезок (сегмент) [0; 1] и числовой интервал (0; 1) — примеры
одномерных множеств.
Совокупность всех вообще числовых наборов вида
а, Ь, с, ..., называется п-мерным пространством (точнее,
п
арифметическим /i-мерным пространством) и обозначается, как
мы знаем из предыдущих глав, символом Rn. Числовые наборы
длины и, составляющие пространство Rn или какую-нибудь
данную его часть — /i-мерное множество, называются точками
пространства Rn или данного /i-мерного множества.
§ 2. Определения
Суть понятий уравнения, неравенства и их решений, как го-
ворилось в § 13 главы I, состоит в сопоставлении функций, вооб-
ще говоря, от п переменных (/i= 1, 2, 3, ... ) в смысле их равенства
или неравенства при всех значениях аргументов. Что нового будет
для уравнений и неравенств с параметрами? Новое состоит лишь в
том, что аргументы сопоставляемых функций подразделяются на
два типа — на параметры и переменные, не являющиеся парамет-
рами. Эти последние нужно как-то назвать. Сохраним за ними ста-
рое название — «неизвестные», так что аргументы сопоставляемых
функций подразделяются на параметры и неизвестные. Параметры
будем обычно обозначать буквами а, Ь, с, ..., а неизвестные —
х, у, z, t, и, ... . Но такое подразделение аргументов никак не отра-
жается на самих понятиях уравнения, неравенства и их решений.
Поэтому в данной ситуации основные определения, приводившиеся
в главе I, по существу, сохраняются. Вот они.
239
Определение 1. Выражение (символ) вида
f (а, Ь, ..., с; х, у, ..., z) = q(a, b, ..., с\ х, у, ..., z), (1)
где f и ср — функции от п переменных, определенные на данном
ц-мерном множестве D, называется уравнением с параметрами а,
Ь, ..., с и неизвестными х, у, ..., z с областью определения D.
Определение 2. Выражения вида
/'(а, Ь, ..., с; х, у, z)^4p (а, Ь, ..., с; х, у, ..., z), (2)
где f и ср—функции от п переменных, определенные на данном
n-мерном множестве D, называются неравенствами с параметрами
а, Ь, ..., с и неизвестными х, у, ..., z с областью определения D.
Множество Р наборов <Za, b, ..., О, входящих в наборы
<Za, b, ..., с; х, у, ..., z> из D, называется областью определения
параметров уравнения (1) и неравенств (2).
Точка <а0, Ьо, ..., с0; х0, уо, ..., z0> из D называется решением
уравнения (1) или неравенства (2), если справедливы равенство
f (aQ, bo, ..., с0; хо, уо, го)=ф(цо, Ьо, ..., с0; х0, уо, ..., z0) или соот-
ветственно неравенства
/(а0, bQ, ..., с(); х(), //0, ..., г0)^ф(ц0, Ь{), ..., с0; х0, yQ, z0).
Числа Цо, Ьо, ..., Со, х0, уо, ..., Zo называются компонентами реше-
ния уравнения (неравенства) <а0, Ьо, ..., с0; х0, уо, ..., z0>.
Мы будем рассматривать преимущественно уравнения и нера-
венства:
с одним параметром и одним неизвестным [(а; х) = ф(а; х);
с двумя параметрами и одним неизвестным f (а, Ь \ х) = ф (а, 6; х);
с одним параметром и двумя неизвестными f (а; х, у)^(р (а; х, у);
с двумя параметрами и двумя неизвестными
Ца, Ь- х, y)=(tp(a, Ь\ х, у).
В предыдущем параграфе нам встретилось сначала уравнение
с двумя параметрами и двумя неизвестными, затем уравнение с од-
ним параметром и двумя неизвестными, далее уравнение с одним
параметром и одним неизвестным, наконец, в законе Ома —
вторично уравнение с одним параметром и двумя неизвестными.
Для уравнений и неравенств с параметрами сохраняются из-
вестные нам из главы I (§13) определения решения системы и
решения совокупности таких уравнений и неравенств: чис-
ловой набор <Сяо, Ьо, ..., Со; Хо, уо, ..., Zo> называется решением
системы, составленной из уравнений и неравенств с параметрами
а, Ь, ..., с и неизвестными х, у, ..., z, если этот набор является ре-
шением каждого уравнения и неравенства данной системы
(записываемой с помощью фигурной скобки — вертикальной
или горизонтальной); числовой набор <а0, bQ, ..., с0; х0, уо, ..., z0>
называется решением совокупности уравнений и неравенств с теми
же параметрами и неизвестными, что и выше, если он является
решением хотя бы одного уравнения или неравенства дан-
ной совокупности (она записывается с помощью вертикальной или
горизонтальной квадратной скобки).
240
Рис. 137
Например, на рисунках 136 и 137 изображены соответственно
множество решений системы неравенств
х — а^О
1, а^2
и множество решений совокупности неравенств
Гх-f-a^O, х— a^Q
La^O, 1.
Вопрос читателю: пересечением и объединением каких мно-
жеств, определяемых отдельными неравенствами, являются в при-
веденных примерах изображаемые множества?
Напомним (см. гл. III, § 13, п. 2°), что множество решений сис-
темы {... обозначается символом °C?), а множество решений
совокупности [... — через (о...^, оС?). Система {..., имеющая п у с-
(несовместная система), обо-
тое множество решении
значается значком {. Например,
Ф
^х-{-а>Ь, х-\-2а^>0
(2х4-За<0;
Ф
(х^а2 -\-Ь4
Ь'< -2 (с2 4- I);
0
х<^2а
(х^ -а-}- 1;
0
(х + 2а— 1
(3x-f-6a = 2.
0
Наконец, не претерпевают никаких изменений при появлении
параметров и определения равносильности двух уравнений, двух
неравенств, двух систем, двух совокупностей, одной системы и од-
ной совокупности, составленных из уравнений и неравенств: два
таких математических объекта называются равносильными (обо-
значение: о ), если совпадают множества их решений.
241
Примеры:
1) д/х= |а| о х = а2. Область определения второго из этих равносильных
уравнений есть R2, т. е. вся плоскость а, х — любые, а область определения nep-
's—>
вого уравнения — полуплоскость а — любое, x^Q. Как видим, области определе-
ния равносильных уравнений или неравенств необязательно совпадают, что от-
мечалось уже в главе I (§ 13, п. 3°).
р2 + а2<1 iW-HVo)4^ 1
2) I х>0 L(V*)4+(V-1.
Изобразите в координатной плоскости аОх множества решений участвующих
здесь неравенств, найдите пересечение первых двух и объединение двух вторых,
сопоставьте найденные множества.
В дальнейшем мы будем постоянно опираться на свойства рав-
носильных уравнений, изученные в главе I (§13, п. 4°, предложения
[1] — [7]), а также на ряд свойств равносильных систем, который
будет рассмотрен в § 4.
Заметим, что если то или иное множество К определяется сис-
темой или совокупностью равенств, неравенств, иных утверждений,
то это обозначается при помощи двоеточия, поставленного между
К и знаком системы или совокупности, например:
<Za, b, х> £Т
ц>0, b<zQ, a-\-b=\
а —|- х <С 3;
I а -|- b + х Z> О
—6 = 0, 1.
Обратим внимание еще на то, что с помощью фигурных скобок
обозначаются не только системы, но и множества. Например,
H = {<Za, b, с, х> \х = а-\-Ь -\-с} означает: Н есть множество на-
боров <а, Ь, с, х^> , таких, что х — а-\- b -ф с.
§ 3. Что значит — решить уравнение с параметрами
1°. Теперь нам следует перейти к основной задаче настоящей
главы — к отысканию всех решений, или, что то же, множества
решений уравнения с параметрами. Область определения решае-
мого уравнения обозначаем через D, область определения пара-
метров — через Р, а искомое множество решений — через Но
(#о <=£>).
Чтобы решить поставленную задачу, обратимся к § 1, в котором
от реальных процессов мы переходили к описывающим их уравне-
ниям с параметрами. Там отмечалось, что основное свойство таких
уравнений состоит в следующем: фиксируя произвольным образом
значения параметров, мы, с одной стороны, выделяем из совокуп-
242
ности процессов конкретный процесс, а с другой — получаем опре-
деленное уравнение уже без параметров, только с неизвестными.
Это уравнение содержит меньше переменных, нежели исходное, и
потому проще для решения. Если его мы решить можем, т. е. знаем
все числовые наборы значений неизвестных, являющиеся его ре-
шениями, то можем решить и исходное уравнение с параметрами:
достаточно к каждому из известных нам наборов значений неиз-
вестных мысленно или явно приписать спереди зафиксированные
значения параметров, чтобы получить все решения данного урав-
нения с параметрами — решениями будут новые, более длинные
наборы. При этом вовсе не обязательно, чтобы для каждого фикси-
рованного набора допустимых значений параметров уравнение
имело решения. Совокупность всех наборов из Р, для которых
данное уравнение имеет хоть одно решение, естественно назвать
областью существования решений уравнения, обозначим ее через
Ро (Ро — собственное или несобственное подмножество множества
Р, т. е. PoczP).
Решим, например, уравнение стремя параметрами а, Ь, с и од-
ним неизвестным х
(ц2-|- 1)х2 — c~3^=>fix (1)
' а — любое
с областью определения
Р>: /?>0, с ФО и
х — любое
областью определе-
( а — любое
ния параметров Р: | с=^0
Зафиксировав параметры а, Ь, с, мы смотрим на них как на
известные числа. Следовательно, известными числами будут и
коэффициенты при второй, первой и нулевой степенях неизвестно-
го х, относительно которого данное уравнение является квадрат-
ным. Оно имеет решения тогда и только тогда, когда его дискрими-
нант b -|-4 (а2+ 1)с~3 будет больше или равен 0. Этим вместе с
( а — любое
системой |/)>>о с=^0 определяется область существования ре-
шений уравнения
( а — любое, b ^0, с=£0
Р°: I b + 4(u''+l)c '"’JsO (Л>с=Р, Ро^Р)-
Решая уравнение по известной формуле, получаем:
V — Vfr ± 4 (а2 + 1 )?=7?
К каждому найденному значению неизвестного х приписываем
спереди зафиксированные значения параметров и тем самым полу-
243
чаем решения уравнения (1) с параметрами а, Ь, с и неизвестным х:
это будут наборы b, с, Х\>, <а, Ь, с, х2>, или, что то же,
наборы вида
а, Ь, с,
^/b -+- b -\- 4 (cz2 -f- 1) с 3
2(а2 + 1)
Множество всех наборов такого вида, где <Za, b, О £Pq, и есть
искомое множество Но решений уравнения (1), что можно записать
и так:
С а, Ь, О
2 (zz2+ 1)
Hq есть множество наборов <Za, b, с, таких, что
а, Ь, О £Р0
_ \/h ± у/ь +4~CZ2 + 1)с 3
2(а2+1)
Если мы будем изменять значения переменных а, Ь, с, то будут
изменяться, вообще говоря, и числа Xi и х2, так что между теми и
другими имеется зависимость, в которой а, Ь, с естественно счи-
тать независимыми переменными, а х12 — зависимой перемен-
ной. Эту зависимость обозначим через X (а, Ь, с). Она является
многозначной функцией (двузначной для b + 4 (а2-|- 1)с~3>0).
Множество Но, таким образом, характеризуется следующим ра-
венством:
а — любое, Ь^О, с^О
&+4(а2+1)с-3>0
х = Х (а, Ь, с)
Утверждения, которые здесь записаны после вертикальной черты,
образуют систему
( <а, Ь, О £Ро
( х = Х (а, Ь, с).
Она вполне определяет множество Но и называется общим реше-
нием уравнения (1) с параметрами а, Ь, с и неизвестным х.
В качестве второго примера решим уравнение с параметрами
а, Ь, с и неизвестными х, у
(x — ^a + b + c)(y — x/a — ^[b—-y[c) = () (2)
244
(a^O, b^O, с^О
с областью определения D\ у_____любые и областью оп-
ределения параметров Р\ Ь^О
I с>0.
Фиксируя параметры в каждой точке <а, Ь, О £Р и решая
уравнение относительно х, у, получаем: в любой такой точке су-
ществует решение
( х = д/а-\-bс =Х (а, Ь, с)
( у = д[а-{-д[Ь^/с= Y (а, Ь, с)
и, следовательно, PQ = P, Но —
а, Ь, с, х, у
<а, b, О £PQ
х — Х (а, Ь, с),
У=У (а, Ь, с)
( <1а, Ь, о £Ро
Систему ( Х = х(а> с), у=ж 61 с} подобно предыдущему при-
меру называем общим решением уравнения (2).
На сей раз область существования решений уравнения — это
вся область определения его параметров, а зависимости X (а, Ь, с),
Y (а, Ь, с) — компоненты общего решения — являются однозначны-
ми функциями от параметров.
Описанный только что подход к отысканию всех решений урав-
нения с параметрами и неизвестными относится к любому из тако-
го рода уравнений — к уравнениям вида
/(а, Ь, ..., с\ х, у, ..., z)=cp(fl, b, с, х, у, ..., z) (3)
с областью определения D и областью определения параметров Р.
Фиксируя параметры в каждой точке из Р, рассматриваем их как
известные числа и в этом предположении решаем уравнение отно-
сительно неизвестных х, у, ..., г, т. е. находим область существова-
ния решений уравнения Ро и компоненты решения X (а, Ь, ..., с),
Y (а, Ь, ..., с), ..., Z (а, Ь, ..., с). Тогда все наборы вида
<а, Ь, ..., с- X {а, Ь, ..., с), Y (а, Ь, ..., с), ..., Z (а, Ь, ..., с)> (4)
будут искомыми решениями уравнения (3), множество Но этих ре-
шений характеризуется равенством
а, Ь, ..., с; х, у, z
<а, Ь, ..., о ^Ро л
х = Х (а, Ь, ..., с),
y=Y (a,b, -,с),
z = Z (а, Ь, ..., с) Z
(5)
245
а система, составленная из утверждений, записанных после верти-
кальной черты,
( <а, Ь, ..., с> £Ро
| х = Х(а, Ь, ..., с), y—Y (а, Ь, ..., с), ..., z = Z(a, b, ..., с)
есть по определению общее решение уравнения (3).
Из равенства (5) видно, что множество Яо решений исходного
уравнения с параметрами есть одновременно и множество решений
системы (6). Следовательно,
((3) ^>(6)
\<а, Ь, ..., с; х, у, ..., 6.D v '
Нам предстоит на основе этого вывода решать уравнения с
параметрами — находить для каждого из них общее решение, а
значит, и множество решений. Для этого нужно проделать опреде-
ленный путь от данного уравнения до равносильного ему общего
решения этого уравнения. Между началом и концом пути будет
цепочка равносильностей', (данное уравнение вместе с областью
его определения) о (некоторой другой системе уравнений и нера-
венств) (некоторой третьей системе) ...о (общему реше-
нию (6) (системе-ответу)).
В построении указанной цепочки следует начать с задания
области определения D с помощью неравенств, если эта область
определения не дана нам в такой форме. Затем, используя свойства
равносильных уравнений, неравенств и их систем, а также решая
встречающиеся уравнения и неравенства, мы шаг за шагом полу-
чаем все последующие звенья цепочки, вплоть до последнего —
общего решения (системы-ответа). Последующие параграфы мы
преимущественно посвятим описанию этой работы на конкретных
примерах.
2°. Пока еще раз обратимся к найденному выше решению
уравнения (3) в форме (4). Рассмотрим тот случай, когда уравне-
ние содержит лишь одно неизвестное %:
f (а, Ь, ..., с; х)=(р(а, Ь, ..., с; х). (7)
Тогда множество его решений Яо есть совокупность наборов
вида
<а, Ь, ..., с; X (а, Ь, ..., с)>, (8)
где <Za, b, ..., £ Ро, PoczPczD. Мы сохраняем все обозначения,
относящиеся к уравнению (1), и считаем, что Но и Ро — непустые
множества!
Подставляя наборы (8) в уравнение (7), получим равенство,
справедливое для всех наборов <а, Ь, ..., с>(Р0:
f (а, Ь, ..., с; (Х(а, Ь, ..., с)) = ф(а, Ь, ..., с; Х(а, Ь, ..., с)). (9)
О чем оно говорит? Здесь уместно вспомнить о неявных функци-
ях — функциях, задаваемых уравнениями (гл. I, § 12). Сопостав-
246
ление уравнения (7) и тождества (9) показывает, что рассматри-
ваемое уравнение (7) определяет неявную однозначную или много-
значную функцию х = Х(а, Ь, с) от параметров а, Ь, ..., с с об-
ластью определения Pq. Именно эту неявную функцию мы и нахо-
дим, решая уравнение с параметрами и одним неизвестным, и тем
самым превращаем неявную функцию от параметров в явно за-
данную.
В этом смысл задачи решения уравнений с параметрами и од-
ним неизвестным. Решить ее — значит для определяемой уравне-
нием (7) однозначной или многозначной функции X (а, Ь, ..., с) най-
ти область определения и явное задание. Если же рассматривае-
мое уравнение наряду с параметрами а, Ь, ..., с содержит несколько
неизвестных (неизвестные х, у, ..., z), то оно определяет набор
неявных функций от параметров
<Х(а, Ь, ..., с), Y (а, Ь, .... с), ..., Z (а, Ь, ..., с)>,
который мы находим, решая уравнение (3) и опять-таки превра-
щая неявные функции в явно заданные. Эти функции как раз и со-
держатся в общем решении уравнения, а также в выражении
множества HQ его решений.
3°. Вслед за уравнением (3) рассмотрим вопрос о соответст-
вующих неравенствах с параметрами. Заменим в (3) знак = зна-
ками д> и С. Получаем уже неравенства с параметрами а, Ь, ..., с
и неизвестными х, у, ..., z
f (а, b, ...., с; х, у, ..., z)^q(a, b, с; х, у, ..., z) (10)
с областью определения D. Множества решений этих двух нера-
венств обозначим через Н± и //_ соответственно.
Какова связь между не пересекающимися друг с другом мно-
жествами Н+, И- и множеством Но решений уравнения (3)? Если
точка области определения D не принадлежит Но, то она удовлет-
воряет одному из неравенств (10), и обратно. Следовательно,
D\Ho = H+()H_.
Неравенства (10) могут быть заменены равносильными им
неравенствами соответственно
F (а, Ь, ..., с\ х, у, ..., z)^0, (11)
где F (а, Ь, ..., с; х, у, ..., z) — f (а, Ь, ..., с; х, у, ..., z) — ср (а, Ь, ..., с;
х, у, ..., z). Функцию F будем называть вспомогательной функцией
для неравенств (10) и уравнения (3). Задача отыскания мно-
жеств // + и /7 для неравенств (10) сводится к задаче о знаке
вспомогательной функции F в точках множества D\Hq.
Всюду в дальнейшем предполагается, что функции f, (р, а зна-
чит, и F непрерывны в области определения D. В силу свойства
непрерывной функции отображать связное множество на связное
(гл. III, § 11) создается возможность решать неравенства (11), а
следовательно, и (10) методом областей. С этим методом мы зна-
комы из § 13 предыдущей главы, он нисколько не изменяется и
247
теперь, когда переменные в неравенстве подразделяются на пара-
метры и неизвестные. Суть метода состоит в том, что нужно найти
связные области, на которые разбивается множество D\Ho,—
это и будут области знакопостоянства вспомогательной функции F.
(Знак F в каждой из этих областей мы определяем по знаку функ-
ции в произвольно взятой точке области.)
В этой главе вместе с конкретными уравнениями с параметра-
ми, как правило, решаются и соответствующие неравенства с теми
же параметрами.
§ 4. Свойства равносильных систем и совокупностей
уравнений и неравенств с параметрами
Общий принцип решения уравнения с параметрами, описанный
в предыдущем параграфе (п. 1°), заключается, как мы видели, в
следующем.
Решая уравнение с параметрами, мы должны оперировать не с
отдельно взятым данным уравнением, а с системой, составленной
из этого уравнения и тех неравенств, которые указывают область
его определения: эта исходная система последовательно заменяет-
ся равносильными ей системами или совокупностями уравнений
и неравенств до тех пор, пока не получится система-ответ (со-
вокупность-ответ) — общее решение уравнения. Другими слова-
ми, процесс решения уравнения состоит в преобразовании систем,
а также совокупностей уравнений и неравенств, сохраняющем
их равносильность. Такой процесс позволяет надежно следить за
этой равносильностью.
Переход от одной системы или совокупности уравнений и не-
равенств к другой равносильной системе или совокупности совер-
шается на основании определенных правил. Эти правила, выра-
жающие свойства равносильных систем и совокупностей,
мы опишем в данном параграфе.
Прежде всего, это правила [1] — [7] , рассмотренные в § 13
главы I. На их основе мы прибавляем к обеим частям уравне-
ния одну и ту же функцию, переносим слагаемые из одной части в
другую, умножаем обе части на функцию, приводим их к общему
знаменателю, возводим обе части уравнения в степень, в частности
в квадрат ([кв]), потенцируем их и логарифмируем. Теперь
нужно дополнить эти простые правила рядом других столь же
простых предложений о равносильности систем и совокупнос-
тей уравнений и неравенств — предложений, которые будут систе-
матически использоваться в настоящей главе и которые мы обозна-
чим символами [а] , [б] , [в] , [г] , [д] , [е] , [ж] , [а], [р], [у].
Ссылки на них будут указываться внизу, под знаком о так:
о, о и т. д. Записывая эти символы, мы нередко будем опускать
квадратные скобки.
248
Читателю будет удобно пользоваться правилами [1] — [7] и
[а] —[у] (вместе имеем семнадцать правил), предварительно вы-
писав их все в краткой форме на отдельном листе. Впрочем,
ссылки на эти правила можно весьма часто опускать — в случае,
когда ясно, какое именно правило применяется. Это, прежде все-
го, относится к правилам [1] — [4] , [а] — [в] , [д] — [ж] , так
что практически остаются для ссылок лишь правила [5] , [6] ,
[7] , [г] , [а] , [|3], [у], к которым читатель быстро привыкнет.
В нашей дальнейшей работе мы будем пользоваться не только
основными правилами, но и другими, еще более очевидными
предложениями, непосредственно основанными на понятиях
решений системы и совокупности и не выделяемыми в качестве
самостоятельных правил. При этом важнейшую роль будут иг-
рать простейшие свойства пересечения и объедине-
ния множеств, так как множество решений системы есть
пересечение, а множество решений совокупности — объединение
множеств решений их элементов (§ 2).
Приведем несколько примеров очевидных предложений
о равносильных системах и совокупностях равенств и не-
равенств.
Пример ы.
1) «-^ОоасО, «>(),, та к как J?\{0}=(—оо; 0)U(0; 4~ оо);
2) а0, а^З о «<(), 0<«<3, а>‘3 , т. е.
< v 1--------------------'
(/?\{0})П(/?\{3})=(-оо; 0) u(0; 3)U(3; +«>);
3) (а~ 3)2>0<ф- (а — любое), а2 — 6«Д-10>0<ф- (а — любое) о (a£R);
4) «<5, «>5о(«— любое) о (a£R), так как
( — оо ; 5) U [5; 4~ оо)= (—оо; -|" оо );
5) Под знаком системы можно опустить (а, следовательно, и ввести)
то или иное равенство или неравенство, если оно является следствием других
элементов системы (в частности, если оно верно при всех числовых значениях
входящих в него букв). Например,
«>1, Ь>\, с>3, «4-64~с>5 | «>1, Ь>\
(a-}-b)'2 = a2-\-2ab-\-b2, а24-«4~ 1 >0 | с>3;
6) Под знаком совокупности можно о п \ стить или ввести такой
элемент (равенство, неравенство, систему), множество решений которого есть
часть множества решений другого элемента совокупности. Например,
(а> 1
«>1,6<0, а>3, 6< — 1<^а>1,6<0о«>1, 6<0, 1 , , о
( j ।’, («4-0 = 2, так как
।______•
«> 1
«4-6 = 2
249
Переходим к рассмотрению предложений [а] — [у].
1°. Рассмотрим сначала вполне очевидные правила [а] , [б] ,
[в] . В них для функций от параметров приняты обозначения:
Ф1 (а, Ь, с)=фь (р2 (а, Ь, с)=ф2.
г 1 ( , Г Ф1 <*<Ф2
[а] ф|<ф2
{ ab<Zx^a-\-b
Например, {ab <x^a±b
ГХ<ф1, Х<ф2 ( X < ф 1 (Х>ф1, X > ф2 Г-К>»ф2
1бЦф1<ф2 I Ф1 <ф2; I Ф1 <ф2 "Ф^ф1<ф2-
[в] Если функции f (а) и ф (а) определены на R, то
(ц — любое) о f (а)С(р (a), f(a)^q(a).
Например, (а — любое) оа-\-а2<а\ а-\-а2'^а1 .
Далее следует правило разбиения системы на несколько
систем.
[г] Если А, В,- С — некоторые уравнения или неравенства с те-
ми или иными переменными, то
( A (A fA
\ В, С^\ В,\С. .
L-__I I______I
ООО
Действительно, если обозначим через А, В, С множества
решений уравнений (неравенств) соответственно А, В, С, то
будем иметь (гл. I, § 2): А р| (В J С)—(Л П В)0(Л П Q— проверьте!
Но левая часть этого равенства есть множество решений системы
(А
( В, С, а правая — множество решений совокупности систем
М (А
( В, ( С . Тем самым доказана равносильность, составляющая
L_____1
суть правила [г]. Приведем два примера ее применения.
Примеры.
1)|я=£0, |а|<5 |,а<°, а>0
Ь + “=10 1х+а=ю
( 0<а<2, 2а2<а| 0^а<2, 2а2>а
( х<а, ( х<а
।__________________________I •
|а|^5 («>°> 1«К5
|г][% + а=10, ( хф-а = 10.
I______________ ।
0^а<2
2а2 < а, 2а2 а
х<а [г]
250
Заметим, что благодаря свойству [г] равносильных систем
общее решение уравнения с параметрами (§ 3, система (6))
может быть представлено в виде совокупности систем: если,
( <[0; 2]
например, система —а2_|»1 является общим решением некото-
рого уравнения, то общим его решением будет также совокупность
р€[0; 1] г«е(1; 2]
систем | х==а2_^ ।. если же общим решением некото-
( «е[0; 2]
рого другого уравнения будет система = где X (а) =
। а2 4- 1 для а £ [0; 1]
[а2— 1 для а£(1;2], то общее решение можно представить в
( 6Z £ [0; 1] ( а( (1; 2]
виде совокупности |Х;_ й2_|_| |х=-а2—\
В дальнейшем общее решение уравнения с параметрами будем
записывать как в форме системы, так и в форме совокупности
двух или нескольких систем равенств и неравенств.
2°. Переходим теперь к предложению [д] об алгебраическом
сложении уравнений, образующих систему.
Г > П Р'=^' . ,
[д] Пусть — система уравнении с любым числом
неизвестных и параметров и пусть (&3) — линейно незави-
симые (непропорциональные) числовые столбцы. Тогда-, производя
с помощью этих столбцов алгебраическое сложение уравнений
системы, мы получим новую систему, равносильную исходной:
п //1 =Ф1 ^3
' ' I /"2 = ф2 k-1 kt
(k\fl +^2^2 = ^1ф1 -h&2ф2
(Н) (Ml + М2 = ^3ф1 +^4ф2-
II
Доказательство. Очевидно, что всякое решение системы I является и
решением системы II, т. е. что вторая система есть следствие первой: I =>- II.
Остается доказать, что и первая система является следствием второй: II => I.
Для этого подберем такие два числовых столбца
, что алгебраическое
сложение с их помощью уравнений системы II превратит ее в систему I:
Ы1 +М2 = &|(Р1 +&2(р2 р $
Н-£4/2 = &3<Р1 Д'^4ф2 Я fl
( (pk\-\-qk^6 qk4)f2 = (pkx + f//e3)<pi + (pk2-\-qk4)(p2
{ski hks)f\ + {sk2 + hkdf2 = (ski + /i^3)tpi +(sfe2 + /i^4)<P2.
251
Полное совпадение этой новой системы уравнений III с системой I будет тогда
и только тогда, когда совпадут в обеих системах соответствующие коэффициенты
при fi, (pi, f2, ф2, т. е. когда окажется, что pki -\-qk3 = 1, pk2-\-qk4 = 0, ski +/i/e3 = 0,
s£2 + /^4=1. Мы приходим к двум системам линейных уравнений с неизвестными
р, q и s, /г:
J kip-\-k3q—\ ( kiS-\-k3h=G
( k2p + k4q = 0 ( k2s + k4h — 1.
Так как здесь столбцы коэффициентов при неизвестных
сна
по условию
линейно независимы, то каждая из этих двух систем имеет свое вполне определен-
ное решение, что обеспечивает при соответствующих значениях р, q, s, h совпаде-
ние систем I и III. Но ввиду того что система III получена из системы II алгебраи-
ческим сложением, II => III. Следовательно, II =>- I. Это вместе с утверждением
1=>П дает нам: I II, что и требовалось доказать.
В § 7 (п. 4°) и § И мы рассмотрим примеры применения дока-
занного предложения [д]. Для трех и большего числа уравнений
теорема об алгебраическом сложении формулируется и доказыва-
ется вполне аналогично рассмотренному.
3°. Отметим далее следующие два предложения о линейных
квадратных и простейших тригонометрических относительно неиз-
вестного уравнениях с параметрами.
ф (а)-х2 + /?х+с = 0 о
Ф (а) —0
Ьх-\-с = Ъ,
Ф (а) Ф 0, Ь'2 — 4с • ф (а) 0
Х_—Ь± х/b'2 —4с • <р (а)
2<р (а)
г<р(а)=О
[ж] sin (<р (а)-х.-\-Ь) = р о I sin b =р, 4 =
= nk +(— 1)Л-arcsin р,
( ф (а) = 0 ( ф (а)У=0
соs (ф (а) • % 6) = р о | cos b=p, | ф (a)-x-|-/7 = 2nZ?4=arccos р.
4°. Наконец, рассмотрим предложения [а], [0], [у] о равносиль-
ных системах, наиболее часто применяемые при решении уравне-
ний с параметрами.
[а] Пусть задана система, составленная из уравнений и нера-
венств и рассматриваемая в некоторой области G изменения их пе-
ременных. Если тем или иным способом (например, при помощи до-
полнительного неравенства) мы отсекаем от этой области G опре-
деленную ее часть, заведомо не содержащую решений данной
252
системы, то получаем новую систему, равносильную исходной.
(Предложение [а] назовем правилом отсечения.)
Например, системы
Зх2 — 5% + 2а = 0
а^О, х^ — 1 и
-^2ах-}-Т = х— 1
а> — 1, 2а%+ 1
>0
не имеют решений соответственно при 25 — 24о<0 и х—1 <0.
Поэтому, вводя в первую систему дополнительное неравенство
25 — 24^^0, а во вторую — неравенство х— 1 ^0, мы отсекаем в
каждой системе такую часть области изменения ее переменных,
которая не содержит решений этой системы. Следовательно,
согласно определению равносильных систем
( Зх2 — Ьх + 2а = 0 ( Зх2 — 5% + 2а = 0
х^>-— 1 ( а^О, — 1, 25 —24а^0
( д/2ах 4- 1 = х — 1 ( xj2ax-\^\ — х — 1
( а> — 1, 2ах— 1, 2ах +1 > 0, х — 1 0.
( ф| (а, х)^0, ф2 (а, х)>0, ..., ф/г (а, х)^0
< х = х (а)
( Ф1 (а, х (а))^0, ф2 (а, х (а))^0, ..., ф^ (а, х (я))^г0.
Здесь х (а) — известная непрерывная функция от параметра
а, а фг (a, x)(i= 1, 2, ..., k) — известные непрерывные функции от
переменных а и х. Переменная х в нижней строке всюду заменена
выражением х через а из верхней строки; неравенства могут быть
и строгими (кроме того, вместо них возможны и равенства). Если
набор <«о, *о> удовлетворяет системе в левой части, то он также
удовлетворяет системе в правой части и обратно. Предложение
[р] назовем правилом подстановки.
( х = 2аф-2
Пример < (й>_1.2ах+1>0.Л_1>0 о
[р]
' х = 2а + 2, а> — 1
< 2а(2а + 2)-Н>0,
ч (2а + 2)-1^0
х = 2а + 2,а> —1 | х— 2а-|-2, а > — 1 | х = 2а-Ь2
4а2 + 4“+ 1 2“+ 1 >0 Д (2а+ 1)>0, -XI -X .
Как видим, в результате применения правила [0] образуется
несколько неравенств с переменной а. Систему этих неравенств нам
нужно отдельно решить, приведя ее к простейшему неравенству
одного из видов а а0, а а0, а\ а а% или к совокупности таких
простейших неравенств (возможны при этом и строгие неравенст-
ва). Покажем на примере, как решается эта задача.
253
Пример 2. Привести к простейшему виду систему неравенств
а3 — 1 ^0, а2 —-11а 4- 10^0, а д/а2 —6>-^- а
a \jd2 + 2а 4-2 — а + 1, а2 — 8а 4- 15 0, а-^=3.
Можно решить каждое неравенство в отдельности и затем найти общую
часть (пересечение) полученных множеств решений. Но мы поступим иначе. Ре-
шим (а если это трудно сделать, то по возможности упростим) первое неравенство;
полученные неравенства (или неравенство) решим совместно со вторым нера-
венством; новые неравенства решим совместно с третьим и т. д. вплоть до последне-
го неравенства. На последнем шаге нужно прийти к требуемому виду.
1) а3-I _>0о 1.
(а^\ ( а^ 1 (а^1
a2— Ha+lOCO^l (а—1)(а—10)<0
Заметьте, что если бы мы решали третье неравенство отдельно, не
в системе, то нам пришлось бы еще рассматривать случаи а = 0 и а<0, от чего мы
теперь избавлены.
2 —<а^10 / ।
4) ______ <^<2 — <йХЮ — то же замечание.
a V«2 + 2tz-|-2^ — а-|- 1 2
5)
2-l.<as; ю
а2 — 8а+ 15^0
2 у<а<10
(а — 3) (а — 5)^0
V а#=3
Таким образом, данная система неравенств равносильна совокупности
неравенств 2~<Za<z3 и 5<ХЮ.
Правило [р] мы применяем на последнем этапе построения
цепочки равносильных систем, соединяющей заданное уравнение
254
с параметром и общее решение этого уравнения. Отметим еще,
что в [р] может участвовать и несколько параметров.
5°. Нам остается рассмотреть свойство [у] равносильных сис-
тем. Оно относится к вопросу о замене переменной в уравнении
с параметром. Пусть, например, требуется решить уравнение
Д/ 1---= (*)
V д/х — а
при дополнительных условиях: О^а^б, а-[-1 « + 9.
В этом уравнении напрашивается замена -у/х— а = у.
При такой замене переменной система дополнительных условий
{О^а^Сб^ переходит в систему {О^Са^Сб а само дан-
ное уравнение с параметром а и неизвестным х — в уравнение
с тем же параметром, но уже с неизвестным у:
д/1 —'--у=^й- (**)
Каково соотношение между множествами решений исходного
уравнения (*) и нового уравнения (**)?
Легко видеть, что если <а0, х0> —решение уравнения (*),
то <tz0, yQ>, где y^ = yJxQ — aQ, является решением уравнения
(**). Обратно: если <ZaQ, yQ> есть решение второго уравнения,
то <а(), у^>, где у0 = д/х0 — я0, является решением исходного
уравнения.
Уравнения (*) и (**) называются равносильными в смысле
замены xjx — a=y. Для обозначения этой равносильности будем
X
употреблять символ о:
у
х
(*) о (**) или развернуто
у
' (*) X (**)
О^Са^б oJ
а+Кх^а + 9 У 1 ^z/^3.
Решаем уравнение (**):
у2 —у —2 = 0 ( у~2' у~~{. (0<а<5
ОС^Сб J 1 3 tz/ = 2.
l^z/^3 j 1 <у<3 [г) I г/ = 2
(б)
255
В последней системе этой цепочки мы, естественно, производим
замену, обратную предыдущей, возвращаясь к переменной х\
| У = 2 х | д/% — а — 2.
(в)
Полученная новая система и исходная система равносильны:
(*) (
О С а С 5 о J
— а = 2.
Проверьте это, используя преобразования (а), (б), (в) (пря-
мой и обратный ходы: от левой части к правой и обратно).
Все описанное дает нам такую цепочку равносильных и равно-
сильных в смысле замены систем, первым звеном которой является
заданное уравнение (*), а последним — его общее решение:
В общем виде определение равносильности уравнений при
замене переменной таково.
Пусть дано уравнение с параметром а и неизвестным х
f (a, h (а, x)) = tp(a, h, (а, х)) (1)
с областью определения D (может, в частности, оказаться, что
h(a, х)=g (х), см. пример 6 в § 6). Тогда замена h (а, х)—у пре-
вращает множество D в новое множество £>', а уравнение (1) —
в уравнение с тем же параметром а и неизвестным у\
f(a. у)=ц>(а, у) (2)
с областью определения D'. Будем в этом случае говорить, что
уравнения (1) и (2) равносильны в смысле замены переменной
X
h (а, х) = у, и записывать это так: (1) о (2) или развернуто
у
Ю) 4 Я
(<а, х>£О у 1<а, y>^D'.
256
Если <о0, х0> — решение уравнения (1), то <а0, */о>, где
уо — h (а0, хо), есть решение уравнения (2). Если <а«, */о> — ре-
шение уравнения (2) и хо таково, что h (ао, хо)=^о, то Са»,
есть решение уравнения (1).
Нам встретится дальше (см., например, § 7, п. 4°) и другой
случай замены переменной в уравнении с параметром:
( fi (а, х, h (а, х))=ф1 (а, х, h (а, х)) £ П1 («, х, У) = Ф1 х, у)
I <а, х> \у=й(щх\ <щх,у> &У.
Если для уравнений указанных видов можно подобно решенно-
му примеру построить такую цепочку систем, равносильных в обыч-
ном смысле или в смысле замены переменной, первым звеном ко-
торой является заданное уравнение, а последним — его общее ре-
шение, то будем говорить, что построенная цепочка обладает
свойством [у], и кратко называть ее у-цепочкой.
Таков аппарат решения уравнений с параметрами методом
равносильного преобразования систем и совокупностей уравнений
и неравенств. Задача читателя — овладеть этим аппаратом с по-
мощью решаемых далее уравнений с параметрами и тем самым
подняться на одну ступень в своих математических познаниях и
умениях.
§ 5. Область определения уравнения
и неравенств с параметрами
Обе части рассматриваемых далее уравнений и неравенств
являются элементарными функциями, причем такими, области оп-
ределения которых — это множества точек, в которых соответст-
вующие математические выражения имеют смысл (см.
гл. I, § 10, п. 4°). Отыскание областей определения обеих частей
уравнения, а также их общей части — области определения D
самого этого уравнения — становится нашей задачей, являющей-
ся первым шагом в процессе решения уравнения с параметрами.
Одновременно мы должны указывать область определения па-
раметров, обозначаемую через Р. D и Р будем характеризовать
системами и совокупностями неравенств, пользуясь при этом
правилами из предыдущего параграфа. Геометрические изобра-
жения пусть читатель сначала получит сам, а мы приводим их
после рассмотрения всех примеров данного параграфа.
Пример 1. Для уравнения и неравенств
найти
D и Р.
Г а=/=0, —^0
I х
Очевидно, что D определяется системой неравенств л ,
I ---х>0,
9 Заказ 607
257
{а=£0, х=#0, —>0
* Так как отличные от нуля х
—а, х<_ —
а
и а имеют один и тот же знак, то х>> — а тогда и только тогда, когда х>0, а>0.
Следовательно,
а^О, х#=0, —>0
х
аЦ-х^О, ----х>0
а
( а>0
{а>0
1
0<х<—,
а
а>0. Это короче записывается так:
Р — неравенством
а
{а>0
0<х<—,
а
Изображение D и Р в плоскости аОх приведено на рисунке 138.
Пример 2. \/2а-\-х--^л/а+1 + In (х—1). Найти D и Р.
Ма — 2х
Решение D' / —I- 0, х 1 ^> ® f 1, х 1» х — 2а
I 2а-|~х>0, а — 2х>0 а а п а
Я (Х<У’ ~2>1’ ~2а<'2
—1, х> 1, а>2, а>0 ( а>2
а г. I 1 а
Ж<-,Х>-2О (бД'<Х<Т
Отсюда D:
Пример
Р:{а>2 (рис. 139).
4-lg(5ax —
1. Найти D и Р.
Решение: D: | а, х^|а|-|-1
( х2 — 5ах + 6а2 < 0
из х2 —5ах-|-6а2<0
следует, что а=#0
и х^О
\а>0, а<0.
а>0
(х—2d) (х — За)<0 о <
|а| + 1 trl
2а<х<3а За<х<2а<0 о
х>а+1, х>—а-|-1>0
0
а>0
2а<х<3а
х^а-f-1
| а>0, х>а4- 1
о/ 2а<х<3а о
[а]I а4-1 <3а
а>0, х^а+ 1
2а<х<3а
1
а> 2
х>а+ 1
2а<х<3а.
>4 (р«с-
140).
258
Пример 4. 1g (а — ~^2а х) = х+д/9 — а2. Найти D и Р.
Решение.
( |а| =СЗ, х> —2а
v д/2а + х<а а
0<а<3, х^ —2а
2а + х<а2
' 0<а<3
— 2а^х<а2 —2а о
— 2а<а2 —2а
0<а<3
— 2а<х<а2 —2а.
Р:{0<а^З (рис. 141).
Пример 5. д/х — д/х — 2а|| 1g (5 — х)+——— .HaftTHDnP.
Решение. D:J х^3- х<5’ х^2а I х=#з, х<5, х^2а^
I х>д/х-2а, х>0 х2>х-2а, х>0
есть
(х — х2)^а^-^- х (рис. 142 — за основу принята переменная х). Точки
х 2 2 1 1
пересечения прямой х = 5 с линиями а = —(х —х2) и а = —х имеют абсциссы со-
1 1 5
ответственно а = — (5 —52)= — 10 и а ——-5 = — . Поэтому проекция D на ось Оа
[5 *1 ( 5
— 10; — I. Отсюда Р:1 —10<а<—.
Z J I Z
r, с loga X 3 /-------- „
Пример 6. -----—......Цд/а —х. Наити D и Р.
д/logx (ах)
« I
{а>0, а=#1 f а>0, ауИ
х>0, х#^1 ’ о/ 0<х<1
logx(ax)>0 [г] I logx (ах)> 0,
! I । I
а>0, а#= 1
х> 1 о
1 Lrl
а
С0<а<1
pg] I 0<х< 1,
П р и м ер 7. д/а2 х/2 — х д/а2 + х2=2Л. Найти D и Р.
Решение. D :{а2 д/2 — х д/а2 + х?^0.
Решив уравнение а2 д/2 — х д/а2 + х2 = 0, получим х=|а|. Координатную плос-
кость аОх ломаная х— | а| разбивает на две открытые области — нижнюю и верх-
259
нюю. Функция а2 -\/2—х ->/а2+х2 при любом a=const строго убывает с возраста-
нием х, следовательно, она будет положительна в нижней области и отрицатель-
на в верхней (так как в точках ломаной функция обращается в нуль).
.. nJ а — любое _. . * . ,
Мы получаем ответ: • Р‘{а~ любое (рис. 144).
Пример 8. Vsm 2х—^4л2—x2^x+lg (х—а)+^а+4л. Найти D и Р.
„ г, Ja>—4л, х>а
Решение. D: sin2x>0
I a^—4л, x>a, —2л<х<2л
| 2fen<;2x<2fat-+-n
a> —4л, x>a.
— 2л<х<2л -
>«-2;
0; 1
—4л, x>a
3
— 2л<х< —л,
я^х^—2*» я^х^ g
— 2я<х<—|-я
з_
2
:л g
л
T’
0<x<^
a<+
T
з
I"
(рис. 145). P:{—4л<а<|-л.
Пример 9.
. Найти D и Р.
Решение. Ясно, что aZ>0 и x^O, но одновременное равенство ну-
лю переменных а и х должно быть исключено. Это можно записать так:
_ / a>0, х>0 n f а>0, х>0 п _ .
0=1 а^0. х¥=0 ' Т- е' D:t а>0, х>0- Для ПараМеТра а “меем р^а>°-
Пример 10. Найти D и Р для уравнения и неравенств
lg (a-xH^x-ta-ftJSVr^il+lg (1 -1 »|>.
Решение.
D f |а|<1, 1Ы<1^| laid, 1Ы<1, a-b<a( laid, 0<5<l
la—5<x<a hila—5<x<a la—5^x<a.
0<5<1 (рис. 146).
Пример 11. д/(а 4-25)4-2х -+-V(a + 25) — 2х $ х4~ 1g а. Найти D и Р.
{а>0 f а>0, а+25> —(а+25)
— (a + 25)<2x<a + 25 [aj ( —(а + 25)<2х<а + 25
>0, 5>—Г а>0
а+2* а + 26 ’ Р' 1 (» —2- (рис. 147).
2 ^**=—2 I 2
260
Рис. 140
Рис. 141
Хм
Рис. 144
261
Рис. 147
Упражнения к § 5
В упражнениях 1—3 найти D и Р для уравнений (и соот-
ветствующих им неравенств).
1. д/а + 2х — 1g (х — а)=д/25 — а2.
2. -yj х-\-а——д/л2 —х2 = д/соз х.
3. д/а4~Ь—д/х = \/а —lg (b—x).
§ 6. Квадратные и дробно-рациональные уравнения
и неравенства с одним параметром
В этом и в ближайших трех параграфах мы займемся урав-
нениями и неравенствами с одним параметром и одним неизвест-
ным, положив в основу предложения § 3, 4: для решения уравнений
будем строить цепочки равносильных систем и совокупностей
уравнений и неравенств, приводящие к общему решению, а для
решения неравенств воспользуемся методом областей.
При решении уравнения с параметрами необходимые вспомога-
тельные выкладки читатель должен производить на отдельном ли-
сте, сопровождая ими построение цепочки равносильностей.
Строя цепочку равносильных систем и совокупностей уравне-
ний и неравенств, мы часто будем временно прерывать це-
почку, давать пояснения, проводить вспомогательные рассуждения
и проделывать некоторые выкладки, а затем продолжать цепочку.
Помимо этого, при построении цепочки равносильностей для не-
больших, но необходимых пояснений и обозначений мы пользуем-
ся, как в примере 3 предыдущего параграфа, вставками вида
262
1°. Начнем с квадратных уравнений. Дискриминант квадрат-
ного трехчлена будем обозначать через Д, а — через До.
Зададим себе какие-нибудь два числа, скажем, 1 и 4. Напи-
шем квадратное уранение, корнями которого являются эти числа:
х2 — 5% + 4 = 0. Введем в него параметр следующим образом:
коэффициенты уравнения, начиная со свободного члена, заменим
поочередно буквой а, которую рассматриваем как параметр, а х по-
прежнему считаем неизвестным. Получаем три уравнения с пара-
метром а и неизвестным х:
1) х2-5х-\-а = 0; 2) х2-[-ах~[-4=0; 3). ах2 — 5% + 4 = 0.
Из построения видно, что в отличие, например, от уравнения
х2 + 2x4-2 + а2 =0 множества решений уравнений 1, 2, 3 не-
пусты. Действительно, данные уравнения соответственно при
а = 4, а — —5, а— 1 имеют по два решения: х= 1, х — 4, т. е. для
первого уравнения: <4; 1 > £#о, <4; 4> €//о, для второго:
<—5; 1 > Е//о, <—5; 4>ЕДо, для третьего: <1;
<1; 4> £Но (через соответствующие точки плоскости аОх прой-
дут графики решений этих уравнений).
Решим квадратные уравнения и неравенства
х2 — 5% + а = 0, х2 + <2% + 4 = 0, ах2 — 5% + 5 = 0
с параметром а и неизвестным х. (В каждом примере здесь и в
дальнейшем используется своя нумерация.)
Пример 1. Решить уравнение х2 —5х + а = 0.
{а — любое „
D = R (показываем штриховкой коор-
х — любое,
динатную плоскость аОх).
__5±у/25 — 4а
( х2 —5х + а = 0 f х2 —5х-|-а = 0 2
I <2 a, х> jaj ( D, 25 — 4a^0^ 25
a^— , x — любое
4
25
о — общее решение.
_ 5 + д/25-4а
Графическое изображение Но, по существу, было дано в § 10 главы III (при-
меры 9—И, в которых х, у играют ту же роль, что теперь переменные а, х
соответственно). Однако проще в данном случае для построения графика восполь-
зоваться не формулами ответа, а самим уравнением, из которого получаем:
а = 5х — х2 — парабола, изображенная на рисунке 148 (отметьте на ней вышеука-
занные начальные две точки).
263
Из того же рисунка видно, что область D разбивается графиком общего
решения уравнения на области G\ и G2, причем
5 —д/25 —4а
5 + V25-4a
Х< 2 ;
5-V25-4а (
х<---- 2---- < 4
,---- I х — любое
5 + J25 —4а V
Х> 2
В качестве представителей областей Gi и G2 удобно взять точки <0, 1 >
и <0, 6> соответственно. Подставив их в левую часть уравнения, которую
обозначаем через F (а, х) (вспомогательная функция для данного уравнения),
будем иметь: F (0; 1)=—4<0, F (0; 6) = 6>0.
Ответ:
{25
а<т
г ,---
[ х = 5± V25Hj£, H+ = G2, //_ = G,.
Прийти к этому можно и без рисунка, пользуясь лишь следующим
свойством квадратного трехчлена Ах2 -ф Вх-\-С при Д>0: если дискриминант
Д = В2 — 4ЛС<0, то Лх2 + Вх+С>0 для любого х£Я, если Д>0, а
хг2= —В + то
Лх2-}-Вхф-С>0 при х<х, и х>х2
4х2ф-Вх-|-С<0 при xt<x<x2,
если, наконец, Д = 0, то Дх2-|-Вх-|-С>0 при х#= —
В
2А ’
Пример 2. х2 -фах-ф4 = 0. Область определения
D=/?2J любое.
Ч х — любое
Требуется решить данное уравнение и соответствующие ему неравенства.
264
Решение. Обозначим данное уравнение через (1).
График общего решения смотрите в примерах 14—16 из § 10 предыдущей
главы, в которых переменные х, у — это нынешние а, х. И в данном случае для
— х2 — 4
построения графика можно воспользоваться самим уравнением (1): а =---------,
4 Х
или а=— х—— (рис. 149). График имеет на оо горизонтальную асимптоту х = 0
и наклонную асимптоту а= —х. На графике отмечены начальные точки.
Область определения D разбивается на области Gi, G2, G3, которые характе-
ризуются следующими системами неравенств:
а>4
у (-a-Va'-16)<x<y (-а + д/а2-16);
а< —4
у (-а — 7а2-16)<х<у (-а+7а2-16);
I-------------------------------------------
а<— 4 f —4<а<4 ( а= — 4 ( а —4
1 г—---- I х — любое, I х#=2, ( х=# — 2,
х>—( — а-|-уа2—16 )
х<у ( —а —д/а2 — 16),
-------------------!
а> 4
х>1(—а-НД/а2—16 )
х < у (—- а — -\/а? — 16).
В Gi х2-|-ах + 4<0, в G2 х24~ах4-4<0, в G3 х2 + ах + 4>0. В этом вы мо-
жете убедиться либо подставив в левую часть уравнения (1) представителей
трех областей <5, — 2>£Gi, < — 5; 2>£G2, <0, 0>£G3, либо с помощью
свойств квадратного трехчлена, связанных с его дискриминантом.
Пример 3. Решить уравнение ах2 —5х4-4 = 0 с областью определения
D=R2:{a, х — любые, а — параметр, х — неизвестное.
265
Решение. Обозначим данное уравнение через (1).
'-----------------------------------1
ах* 2 * — 5х 4-4 = 0 (а — 0 f(l)
а=/=0, x£R рх|\ _ 4 I а=#0, 25— 16а^0, х—любое
5 ’
______________I
5±д/25—16а
2а
„ ^25
О, а^—, х -
1о
I а —О I а$С~, а=#0 _
1 I 16 —общее решение.
С=Т’ [ х(5 ±725 - 16а)
I________________________।
График общего решения построен в примере 11 из § 10 главы III. Нужно лишь
заменить х, у на а, х соответственно (рис. 150). Этот график можно построить,
пользуясь и самим разрешенным относительно а уравнением (1): а——.
График общего решения уравнения (1) разбивает область определения D на
области Gi, 02, Оз, указанные на рисунке 150. На G\ ах2 — 5% + 4>0, на
G2UG3 ах2 — 5хН~4<0, в чем вы должны убедиться двумя способами аналогично
предыдущему.
2°. Рассмотрим теперь дробно-рациональные уравнения с пара-
метром.
Пример 4. Моторная лодка с собственной скоростью 20 км/ч (скорость
в стоячей воде) движется вниз по реке из пункта А в пункт В при скорости те-
чения 4 км/ч. Расстояние ЛВ=48 км. Ясно, что лодка затрачивает на этот путь
Рис. 150
ч, т. е. 2 ч. Возвращаясь из
В
ч,
Л 48
в А, лодка затрачивает уже ——-
т. е. 3 ч, а на путь АВА уходит
, 48 ,
+ 20=4 =5’ Г е- 5 Ч'
Заменим в этом
ную скорость лодки
соответственно на х
нение с параметром
равенстве собствен-
и скорость течения
и а. Получим урав-
а и неизвестным х:
48 48
хА-а х — а
Обе части уравнения представляют из
себя рациональные функции от а и х —
уравнение является рациональным. Пара
<а, х>, где а = 4, х = 20, есть одно из
266
решений уравнения (1). Наша задача состоит в том, чтобы найти все его решения,
т. е. выяснить, при какой скорости моторной лодки для каждой данной скорости
течения на путь АВА затрачивается 5 ч. Область определения D уравнения (1) по
физическому смыслу величин а и х определяется неравенствами а>0, х>а, т. е.
-J а>0
х>а (рис. 151).
Решая уравнение (1), имеем следующие равносильные системы:
( (1) ( 48(х-а) + 48(х + а) = 5(х1 2 * * 5 *-а2) ( 5х2 — 96% — 5а2 = О (2)
I £> f^la>0, х>а "l а>0, х>а
[4]
(2) х = 1- (48 + л/48^’+ 25а2)
5
а>0, х>а о) . __ о
Д0 = 482 + 25а2> О L х = -(48-W+25a2) 1Г1
а>0, х>а
{х = 1_ (48 +д/482 + 25а7) ( х= у (48 - л/482 + 25а2)
а>0, %>а, |^а~>0, х>а
1--------------------------------------------------------1
' х=^(48 + д/482 А-25а2)
о 1 ._________
10] а>0, -(48 + Д/482 + 25а2 )>а,
ч О
а>0
х = -I (48 + V'482 +25а2).
и
= ~ (48 - V48H25a2)
а>0, 1 (48-Д/482 + 25а2 )>
ч 5
0
Последняя система есть общее решение уравнения (1), а
Яо=<
у (48 + л/482 + 25а^)
Чтобы построить график общего решения, мы строим график функции
<р (а)==4* л/482 + 25а2 (а>0), который преобразуем, параллельно перенеся его
48
по вертикали на — вверх. Для построения же графика <р (а) находим его на-
О
клонную асимптоту при а
lim — = lim
а->Н-оо а а
= lim •
1 г / / х 1X1- д/482 + 25а2 — 5а
= 1, lim (<р (a) — a- l) = lim —-------!—------------=
а -* + оо л _i_ по 5
482 + 25a2-25a2 _ Q
5 (д/482+’25а2+5а)
Таким образом, прямая х = а в плоскости аОх является наклонной асимпто-
той графика кривой х = <р(а) на +оо. Параллельный перенос вверх по вертикали
этого графика на дает нам график общего решения уравнения (1). Получен-
267
ный график показан на рисунке 151. Асимптота гра-
ж ,48
фика на -f-o° есть, очевидно, прямая х = а+—
5
(верхняя пунктирная полупрямая, она полностью
содержится в D). Этот график разбивает D на
две области:
а>0
a<x<xi (а);
62:
а>0
х>Х| (а).
Они являются областями знакопостоянства функ-
ч 48 , 48
ции г (а, х)~— ----1--------о — вспомогательной
х-^-а х—а
функции для уравнения (1). Так как при любом
a=const>>0 F (а, х) убывает с возрастанием х, то
на G) F (а, х)>0, а на G2 F (а, х)<0. По-
этому
Пример 5. Решить уравнение и неравенства (а — параметр, х — неизвест-
ное)
с областью определения D: | х_^а а (координатная плоскость аОх без
прямых х = а, х—— а).
Решение. Обозначим данное уравнение через (1).
Решаем уравнение (1):
f (1) U8(x-a) + 48(x + «) = 5(x2-a2) /5л2~96л-5а2 = ()
ID I D, Д0 = 482 + 25а2>0
[4]
x = -1- (48 + з/4824-25а2)
э
х = -1- (48- л/4824-25а2)
О
( X = 4- (48 + V482 + 25а2)=х, (а)
I э
о 1 а — любое
[г] к х=#а, х=/= —а,
х=1(48-Д/482 + 25а2) = х2(а)
О
а — любое о
х-/=а, х=/=—а,_________([ЭД
x=xi (а) |х=х2(а)
а — любое 1 га — любое
xi (а)#= ±а) 1 Ъ |х2(а)=£±с
-------------------Ь----------------1 (6).
На звене (6) обрываем цепочку равносильностей и решаем системы (4), (5).
268
Xi (a)>~-д/482 + 25а2>-^--д/25а2> |a|. Следовательно, при любом а
О о
Х| (а)#= ± а, т. е. (4) о (а — любое).
Далее, (х2 (а) = ± а) о (48 - ^482 + 25а2 = ± 5а) о (48 Т 5а = 25а2) о
( 48 + 5а>0 ( 48=F5a>0
( 48 =Р 5а = V482 + 25a2 I 482 Т 480а + 25а2=482 + 252 а ~ °'
Отсюда ( х2^=а ,л ...
< -о а#=0, т. е. (5) <=> а=/=0.
I Х2 5^ О
Возвращаемся к прерванной цепочке и продолжаем ее:
(x=xi(a) (х = х2(а)
(6)^> < < о
la — любое, I а=/=0
।---------------------- ।
а — любое (а=/=0
х=-~(48-|-Д/482-|-25а2 ), |х=-^-(48 — Д/48225а2 ) — общее решение х — Х (а),
о I о
L----------------------2______________________1
Переходя к графику общего решения, заметим, что Xi (а) и х2 (а) являются
четными функциями и что кривые х = х\ (а), х = х2(а) симметричны друг другу от-
48 .
носительно прямой х — — (если не считать начало координат, которое не при-
48
надлежит второй кривой, но симметрично относительно прямой х=— точ-
5
ке Мо^О; у) ,
лежащей на первой кривой). Это позволяет, используя график
предыдущего примера, указать наклонные асимптоты кривых x=xi (а), х = х2(а)
на + оо и на —оо, а также построить сами эти кривые, которые вместе
составляют график общего решения уравнения (1), изображенный на рисунке 152.
Построенный график х — Х (а) разбивает область определения D на следующие
области знакопостоянства вспомогательной
{а — любое _ J а — любое
/ ч О2: । . . , .
x>xi (a); I |а| <x<xi (а);
0з(°<0 п 1а>°
3 Ьг(а)<х<-а; Gt-[xAa}<x<a.
G'/1 <0 , /ч г fa —любое
(а<х<х2(а); бб:|х<_|а|.
. (а>0
°7- 1-а<х<х2 (а).
При любом a = const функция F (а; х)
в каждой из этих областей убывает с воз-
растанием х. Поэтому на G2 F>0, на
Gi FcO, на G5 F>0, на G3 F<0, на
G? F>0, на G4 F<0, наконец, на
G6 F<0, ибо F (0, - 5<0.
Следовательно, множества решений нера-
венств (2) и (3) соответственно таковы:
Рис. 152
269
H+ = G2[]G5[]G7- Я-^СШбзи^ибб.
Как видим, в примере 5 расширена область определения и
вследствие этого расширены множества решений уравнения и не-
равенств по сравнению с предыдущим примером.
Напишем далее рациональное уравнение, левая часть которого
содержит одно слагаемое с первой, другое — с минус первой сте-
пенью неизвестного х и удовлетворяющееся при х=\, например:
х_।_1 _6
У*””-Т’
Введем в это уравнение параметр а так, чтобы уравнение с
параметром удовлетворялось при х=1, а=\. Это можно
сделать, в частности, так: перепишем уравнение (*) в виде
_£_ + _L
1+4 1 х
2-1+4
1+4
и в новом уравнении все явные вхождения еди-
г х । а 2а + 4
ницы заменим на а. Будем иметь ——Я-------=—.
J а + 4 х а + 4
Несколько усложним уравнение и сделаем его более интерес-
ным, заменив оба вхождения х каким-нибудь таким квадратным
трехчленом относительно х, который обращается в 1 при х— 1, на-
пример трехчленом х2 — 2х-|-2. Мы приходим к уравнению
х2 — 2х + 2 ,__________а__________2а + 4
а + 4 ' х2 — 2х + 2 а + 4 ’
(1)
а вместе с ним и к неравенствам
X2 —2х + 2
а + 4
а 2а+ 4
х2 —2х + 2<а + 4
(2), (3)
Пара чисел < ао, х0 >, где <+ = 1, х0 = 1, является априор-
ным решением уравнения (1). Наша задача состоит теперь в том,
чтобы найти все остальные решения уравнения, а затем и все реше-
ния неравенств (2), (3).
Пример 6. Решить уравнение и неравенства (1), (2), (3) с парамет-
ром а и неизвестным х.
Решение. Область определения D определяется, очевидно, неравенствами
а + 4 + 0, х2 —2х + 4 + 0, т. е. D: \
I х — любое.
Для нахождения общего решения уравнений (1) строим цепочку равносиль-
ностей со свойством (у):
Замена:
х2 — 2х + 2 — у
а+ —4
г/ = (х-1)2+1>
при любом X
х I * * У I а 2а + 4
о < « + 4 у а + 4 о
У I а + 4, 1 (41
270
( у2 — (2a + 4)t/ + a(a + 4) = 0
I a=# — 4, y^ 1
теорема
Виета
ty = a, </ = a + 4|
a#= — 4, y^ 1
У —a j У — а-Ь4 ( y — a ( y = a-\-4
[r]J a#= —47 a#=—4.ф^ J a#=—47 a=# — 4 о
I 1/>1, I y> 1 (Pl I а>1, I a + 4>l
x2 — 2x4-2 = a f x2 —2x4-2 = a4~4
a^l ।
x— любое, ^a^—3, x — любое
f x2 — 2x 4~ (2 — a) = 0 x2 — 2x — (a 4-2) = 0
7 a 1, До = a — 1 0 < a — 3, До=== a 4~ 3 ^2^ 0 o-
I x — любое, x — любое
{a> 1 J —3 , v . .
-------- s — —общее решение x— л (a).
x=l±^/a— 1, lx=l±Va+3
На рисунке 153 изображен график общего решения уравнения (1), состоящий
из графиков а = х2 — 2x^-2 и а = х2 — 2х — 2. Этим графиком область определения D
разбивается на четыре области знакопостоянства вспомогательной функции
, х2 —2x4-2. а
(а, х)— + х2_2х4-2
2а 4-4
а4-4
а<—4 G • I Х — любое
х — любое; 2’ I —4<а<х2 —2х —2;
х — любое ( х — любое
х2 —2х —2<а<х2 — 2x4-2; 4‘ I а>х2 —2x4-2.
Представители областей: < — 5; 0>6Gi, < — 3; 0>Е^2, <0, 0>Сбз,
<3; 0>СО4. Значения вспомогательной функции в этих точках: 7?( —5; 0) =
Рис. 153
271
=4[+"Г------=Т^<°’ f(-3; °)=
=T+^-^>0'f(0;0>=T+°-
-|<0, F(3; 0)=| + |—L2>0.
Следовательно, H + = G?\J G4, H_ =
— G\ U G3.
Отметьте на графике общего ре-
шения точку, соответствующую априор-
ному решению.
Составим и решим пример рационального уравнения с пара-
метром. На сей раз это будет уравнение с заранее данным множе-
ством решений HQ (а не с одним лишь априорным решением).
Пусть Но есть объединение линий х= |а| и х = (рис. 154)
без точек СО; 0>> и <0; 2>. Уравнение мы составим так, как
составляют квадратное уравнение по двум данным его решениям:
(х — j (аг— |а|) = 0. Умножим первый множитель на (1-|-а2),
а второй разделим на x-|al (считаем х=^=0, а=^=0). Получим
((1 4-а2) х — -----)=0, или ==(1-j-a2)-|--p-.
" ' \|а| х / |а\ ' х 4 |а|
Пример 7. Решить уравнение и неравенства с параметром а и неиз-
вестным х
Решение примера в части, касающейся уравнения, будет, очевидно, очень
кратким, особенно если воспользоваться теоремой Виета (обратной).
Область определения D(плоскость аОх без прямых х = 0, а = 0).
( (1) f(l W)*2 + 2|alHl+a2)lal*4-2x
[2ЦЗ]
^-(ia| +тт"^) *+|а| -7-7-2=0
\ 1-f-a / 1+а2
D
2 z z 2
,*=|а|- Х = Т+7? Г=|а| Г=Т+^ (а*0 [а^О
1 2 1х=|а|,< 2
^а^О, х#=0 I |д| =/z0, I а=^=0, ——s-#=0 I х~ , , 2 •
\ \ 1 +а \ 1 т“
общее решение
272
Изображенный на рисунке 154 график общего решения уравнения пред-
ставлен двумя линиями, проколотыми в начале координат и в точке <_(); 2>>. Этот
график разбивает D на области Gt — Сю, указанные на том же рисунке. Они явля
ются областями знакопостоянства вспомогательной функции. Чита гелю нредосыв
ляем выбрать представителей этих областей и указать знак F (а, х) в каждой из
них. Тем самым будут решены и неравенства.
Рекомендуем, кроме того, охарактеризовать области G\ — Gio неравенствами с
переменными а и х
2
(подбором легко установить, что точки пересечения линий
имеют координаты а = 1, х=1 и а =— 1, х=1).
3°. Рассмотрим пример уравнения и неравенств с модулями,
решив предварительно уравнение без параметров
|2х+ 11 + |х— 1 | =6
|2%~р 11 = —(2х-Р 1)
|х— 11 = — (х — 1)
2
|2х+1|=2х-Н
|х—1| = —(х—1
(*)
III
А> 1
12х -р 11 — 2х -р 1
\х— 1 I — X— 1 .
освобож-
даемся от
знака мо-
- (2х + 1)-(X- 1 ) = 6
-------1 дуля
(2х+1)-(х-1) = 6 (2х+1) + (х —
Переходим к уравнению и неравенствам с параметром а и не-
известным х.
Пример 8. а3 + а2|а4-х| + |а2%4~ 11 = 1.
Решение. Область определения: £)=/?2:{а, х — любые (вся координатная
плоскость служит ее изображением). Решим сначала уравнение, обозначив его
через (1).
( (1) f а2|а + х| + 1«2АТ-Ц = 1-а3 (2) I (2) |( 2), а < 1
I D £) I Z), 1 — а3 > О I х — любое
(2), х — любое
1 п [г]
а= 1, а = 0, ) , L J
I а< 1
l________________I
(2), xeK f (2), xeK f (2), хек
a—\, I a — Q, la^O. а<1
10 Заказ 607
273
f2|l+x|=0 fl = l f (2), x(R
^1(2=1, x£R, la=O, x£R, la< 1, a=^0
I_________________________________I
x=-i г хея f (2), xtR (3)
Д a = 1, (д = оДа<1, a^O.,
Далее первые две системы совокупности (3) переписываем без изменения,
а для преобразования третьей системы, содержащей (в уравнении (2)) модули
I а -|-х|, |ах2 +11, используем их корни (переломные точки) соответственно xt = —а,
х2= — ~5” • При а<1, а^О имеем xt — х2 = ^2^~ >0. Числовая прямая раз-
бивается точками х2 и хь х2<хь на три промежутка: I:x<x2, П:х2^х^хь
Ш:х>Х1. Картина такова:
I II III
| а2х 4- 11 = — (a2x + 1) | а2х + 11 = а2х + 1 | а2х -ф 1 | = а2х -ф 1
|а + х| = —(а-|-х) |а-фх| =—(а-фх) \a-\-x\ =а-\-х.
Продолжим теперь прерванную на звене (3) цепочку равносильностей:
( х= —1 f x£R ( (2), a< 1 а=ф0
I a = 0,l 'j п ш 1 [г]
I____________________________________________1
f x= — 1 f <2)> a< 1 (2), a< I ( (2), a<l
^la=l, [a = 0, • a#=0 < a =£0 < a=£Q о
I, I ”, ( III
I---------------------------------------------------------------1
— общее решение x=X(a).
a==0
x£R,
Рис. 155
График общего решения х=Х(а)
уравнения (1), а также те области, на
которые он разбивает D, изображены на
рисунке 155. Важно отметить, что гра-
фик общего решения уравнения пред-
ставляет из себя не линию или объеди-
нение нескольких линий, как в других при-
мерах, а область (с присоединенной к
ней полупрямой).
Читателю предоставляем указать не-
равенства, которыми определяются три
области знакопостоянства вспомогатель-
ной функции, и убедиться, что H+ — Gi[)
UG2UG3, //- = 0.
274
Решенный пример взят нами из задачника [19] (с. 30, № 5).
В условии этого примера содержится и такое требование: найти
все значения параметра а, при которых уравнение имеет не
менее четырех целых решений (относительно х). Полученный выше
ответ в форме совокупности трех систем, наглядно иллюстрируе-
мый рисунком 155, позволяет легко ответить на поставленный во-
прос: прежде всего, это а = 0, далее искомыми значениями пара-
метра будут
-3].
0; -у] , затем и, наконец, аЕ(— оо;
Упражнения к § 6
В упражнениях 4—9 решить уравнения и изобразить решения
соответствующих им неравенств.
4. ах2-(а2+1)х + а-0. 5. 1
v а(х — а) х(х — а) ах (х — а)
6- °> = ' 7‘ I* —“l + 1-v —(а2+1)1=а2 —а+1-
8. |х — (а2+ 1)1 1- 9. |х —а| =х — а.
§ 7. Решение иррациональных уравнений
и неравенств с параметром
1°. Задав какое угодно число (пусть это будет 3), можно соста-
вить такое иррациональное уравнение без параметров с неизвест-
ным х, для которого выбранное число является корнем. Вид этого
уравнения простейший: в левой его части квадратный корень из
линейного двучлена, а в правой — некоторый другой линейный
двучлен. В качестве подкоренного двучлена возьмем 7х-|-4, для
него при х = 3 будет: у/7х-]-4 = 5. В правой части уравнения, ко-
торое мы составляем, поместим двучлен х-ф2, он при х = 3 тоже
равен 5. Получаем иррациональное уравнение
д/7х + 4 = % + 2, (*)
для которого число 3 является корнем. На рисунке 156 изображено
графическое решение этого уравнения — сплошные линии: прямая
у = х-\-2 и верхняя ветвь параболы у = д/7х-\-4 с горизонтальной
осью, точки их пересечения Мо и /V, решения х = (), х = 3.
Введем в уравнение (*) параметр a£R, причем сделаем это дву-
мя способами: 1) коэффициент при х в подкоренном двучлене за-
меняем буквой а; 2) буквой а заменяем коэффициент при х в пра-
вой части. Второй способ соответствует вращению прямой вокруг
точки Л4о, минуя вертикальное положение (на рисунке пунктир-
ная прямая), первый же способ соответствует деформации пара-
болы с осью Ох при неподвижной точке Мо (пунктирная пара-
275
бола на рисунке 156). На нашем рисунке изображен лишь слу-
чай а>0, для a^ZQ изобразите сами.
Мы получили следующие иррациональные уравнения с пара-
метром а:
1) х/ах^-^ = х-\-2; 2) \j7x -ф 4 = ах-|-2.
Они имеют решение х — 3 при значении параметра соответственно
а = 7, а=\.
Читателю полезно представить себе с помощью рисунка поведе-
ние решения х = Х (а) каждого из двух уравнений. Для первого из
них при аД>0, помимо х = 0, начиная с некоторого а, есть еще
один корень, причем он будет возрастать до + 00 с возраста-
нием а до бесконечности; при a<ZQ нуль является единственным
корнем уравнения; если же а = 0, то левая и правая части опре-
деляют прямые у = 2, у = х-\~<2, их пересечение снова дает единст-
венное решение х = 0. Подобным образом исследуйте решения вто-
рого уравнения.
Переходим к неграфическому (аналитическому) решению при-
веденных выше уравнений и соответствующих неравенств.
Пример 1. Решить уравнение и неравенства с параметром
д/а% + 4 = х-|-2.
{а — любое
о
ах + 4^0
(рис. 157).
Решаем уравнение.
______ ( а% + 4 = (%+2)2
^/ах-\-4 = х-\-2 ( т/ахД-4 =х-|-2 о < а — любое
D D, хД-2^0 1x^—2, ахЦ-4^0
Ы [кв] 4
276
Рис. 157
{х = 0
a£R
х^ — 2, czx+47>()
a£R
х> — 2, ах4-4>0
LPJ
х = 0 ( х = а —4
()> — 2 < а-4> -2 о
а • 04-4> 0, а (а— 4)4-4 >0
х = 0
а — любое,
'х — а — 4
а^2
ч а2 — 4а4~4>0
_____________I
( х —О
I а — любое
х = а —4 I а — любое ( а^2
а>2 I х = 0, Iх=«—4
— общее решение х = Х (а).
График общего решения х = Х(а) изображен на рисунке 158. Сопоставьте
его с предварительным исследованием. Этот график разбивает D на четыре области
знакопостоянства вспомогательной функции F (а; х) = ~7ах4-4 —(х4-2):
| а<0 I 0<а<4 I а>4 I а>4
X Л 4 lx>0 I х>а — 4; 2‘( 0<х<й-4;
I 0<х<---,
V а
I------------------------1
277
При фиксированном х>0 функция F (а; х) возрастает с возрастанием а,
а при x = const<0 и возрастающем а функция F (а; х) убывает. Поэтому в пер-
вом случае слева от графика х = Х(а) верно F (а; х)<0, справа верно F (а; х)>0.
Во втором случае наоборот. Таким образом, F (а; х)<0 на Gi и G4, F (а; х)>0 на
G2IJG3. Следовательно, Н _ = GiUG4, Н + = G2UC3,
HQ=[<а, х> £D I [а — >любое
' tx = O, U = a —4
1____________________1
Пример 2. Решить уравнение и неравенства
>/7x4-4^ ах+ 2.
Решение.
Область определения
а — любое (а — любое
7х + 4>0 <>< . 7
I х ----— .
Для данного уравнения, которое обозначим через (1), ищем общее решение.
(1) 0) о
D («j I D, ах4~2>0 [кв|
г 7х-|-4 = (ах-|-2)2
ах + 2>0
(2)
f(x = 0, q2x = 7 —4а f х = 0 ( а2х = 7 — 4а
1(2) С* <2> I <2>
[г]
х=^(7-4а)
О=#0, 4(7-4а)>-4., —(7-4а) + 2>0
*- \ °_______ ' °______________.
(3)
Обрывая цепочку равносильностей на этом звене, решим систему (3), при-
ведя ее к простейшему виду (см. пример 2 в п. 4°, § 4).
( а^О Г а^О
1 7 (7 —4а)> —4а2^1 4а2 —28аД49>0
278
2) [ а^О
| -^(7-4а) + 2>0~
' а^=0
а
7
Таким образом, (3)о0<а^—.
прерванную на звене (4)
Продолжая
a£R,
цепочку равносильностей, получаем:
7 —4а
Х =---j—
а
а
0 < а < -|-
а
общее решение х = Х(а).
что х
Сделайте теперь эскиз графика рациональной функции х = -—(заметьте,
а ( 7 “I
и выделите ту часть этого графика, для которой ан 0; — .
На рисунке 159 вы видите график общего решения и те области, на которые //()
разбивает D, области знакопостоянства вспомогательной функции F (а; х) =
= д/7х-Т4—-(ах-ф 2):
. .. 1 0<а<2
7 —4а
а2
а< О
х>0.
0<а<1
О2: 4
7 —4а
I Х>~
7
а^ —
4
х>0;
О
С возрастанием параметра при
х= const >0 функция F (а; х) убывает, а при
х= const <0 возрастает. Поэтому на Gi(J G4
F (а, х)>0, а на G2UG3 F (а, х)<0. Следо-
вательно, Н + = GiU G4, Н.. = G\U з-
Решим теперь такое иррацио-
нальное уравнение с параметром, в
котором правая часть по-прежнему
представляет из себя линейный дву-
член, а левая — квадратный корень
из квадратного трехчлена, легко раз-
ложимого на множители, линейные
279
относительно х. Вместе с уравнением решим и соответствующие
неравенства.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства с параметром
у'х2 — Зах + 2а2 § (х + а).
^J2
/ a^R
Решение. Область определения и: _ За%-|- 2л12 > 0
' a£R
, (х — а) (х — 2а) О (рис. 160).
Обозначив данное уравнение через (1), найдем его общее решение.
(1) ( (1) J х2 —Зах4~2а2 —(х + а)2
D I D, х + а>0 |
|а| [КВ]^ D, х^ —а
f х2 — 8ах 4~ За2 = 0
I D, х> -а, Д = 13а2>0
( х = а(4+л/13), a£R
1 хДг — а, (х — а) (х — 2а) О,
х = а (4 —д/13), а^/?
х> —а, (х —а) (х —2а)>0 цз|
f х = а (4 + 713), a£R х = а (4 — >J\3\ a£R
a(4 + V13)>— а а (4— \Дз )> — а
1 ] ( (a (4+V13)-a) (а (4 + Т13)-2а)>0, (а (4- V13)-a) (а (4- 713)-2а)>0
х = а (4 + 713)
a(5 + Vf3)>0
a2 (3 + 713) (2 + 713)
' х = а (4 — 713)
а (5-713)^0
k а2 (3- V13) (2— 713)^0
х = а (4+713)
а>0,
х = а(4-Т13)о/
а>0 Щ
,х'^а(4±У|3)Г ОбЩСе реШеНИе X = 'Y(U)-
График общего решения уравнения (1), изображенный на рисунке
бивает D на следующие области знакопостоянства вспомогательной
161, раз-
функции
F (а, х) — Т^2 — Зах + 2а2------т(х + а):
72
Gi:
а<0
х^2а,
а>0
х<а (4 —713);
( а + 0
I а (4 —713)<х^а;
( а + 0
I 2а х < а (4 + 713);
Г а<0 (а>0
(х^а, 1х>а(4 + Т13)-
I______________1
Выбираем представителей данных областей: <1; 0> Е Gi, <1; 1 > Е G2)
<1;2>Ебз, < — 1; 0> Е G4 — и находим знаки F (а; х) в этих точках: F (1; 0) =
280
Рис. 161
—-2<0, F(l;2)= V4-6 + 2- —-3<0, F(-l;0) =
у 2 /2
= V2—!->о,/(!; ।
V2
v 2
Отсюда и знаки F (а; х) в указанных областях: на G|(J G4 F (а; х)>0, а на
G2UGi f dF х)<0. Следовательно, Н+ = G। J G4, И _ = <72U С?з-
2°. В следующем примере левая часть не содержит параметра и представляет
из себя разность радикалов. Уравнение явно задает функцию а=а(х\ а общее
решение х = Х (а) многозначная функция, обратная по отношению к а (х).
Пример 4. Решить уравнение и неравенства
^2х+ 1 — xjx — 1 = а.
Р е ш е и и е. Область определения
а — любое
0:<х- 1>0
ч2х+1 >0
(графически
полуплоскость). В области определения 2хф-1>х—1^0, откуда д/2х-|-1 —
— \/х —1>0. Одним из очевидных решений уравнения, которое мы обозначим
через (1), будет х=1, а=^3.
f(l) f(l) f (!) f2x+l-2V(2x+l)’(x-l)+x~l=a2^
I D "Т I Г), а > 0 I а > 0, х (д 1 I а > 0, х (> 1 а
|кв|
( 2 \/(2хф- 1) (х— 1) = Зх — а2
( а > 0, х 1, Зх — а2 > 0
|кв|
4 (2х + 1) (х — 1) = (Зх — a‘2F
а>0, х>1, х^±-а2
х 3
а
X2 —(ба2 —4) X-На14-4)== 0 (2)
х^ 1, х а2
а>0, До = 4а2,2а2-3)>0
(2)
Х> 1, Х^уС о
а>0, у4’5
281
(2)
а^Л/Ь5
х > 1, х>Х- а2
<5
Корни уравнения (2):
%i (а) — За2 — 2— 2а д/2а2 —3
х2 (а) = За2 — 2 + 2а д/2а2 — 3
x = xi (а), х = х2 (а)
1 ч
На этом звене временно обрываем цепочку и решаем системы (3), (4).
I) Для системы (3) имеем { ;2а2_-3> I
( афг у '1,5 а>д/К5
^1 За2-З>2а/2а2-ЗрХ]1 9а4-18а2 + 9>8а4—12а2
(а>7Ь5 ( а>д/1,5 .
I а4 —6а2 + 9>0^>1 (а2 —3)2>0^ далее’
f а>д/Т,5
_________________ i I a>V^5 _
За2-2-2а V2a2-3>—а2 | 4а2-3>3а д/2а2-3 о
< |кв ]
( а^у/1>5 | а:>д/1>5
[IX] I (4а2 — З)2 > 9а2 (2а2 — 3)^1. 2а4 — За2 — 9 < 0
{ 2 (^3) (а2 + 1,5) < 0 ’5
Следовательно, (3) <Ф- уТ,5^ а^ \/3.
2) Обратимся теперь к системе (4).
Только что мы доказали, что на [у/Т,5; у/3] xi(a)^l, Xi(a)^ —а2. А так
как на этом сегменте, очевидно, х2 (а)^х\ (а), то на нем и подавно х2(а)^1,
х2(а)^-Х а2. Будут ли верны эти два неравенства для а>у[3? Относительно
неравенства х2(а)^1 утвердительный ответ вытекает из того, что х2 (а) — стро-
го возрастающая функция на [д/1,5; -ф-°о) и х2 (д/3) = 8 —2ф-2-3> 1: при а>д/3
х2 (а)>х2 (у/3)> 1. Остается выяснить, справедливо ли неравенство х2 (а)^-Х- а2
О
для а>х[3. Перейдем к разности х2 (а)—X а2, которую обозначим через ср (а). Оче-
и
видно, что функция ф (а) = —а2 —2ф-2а д/2а2 —3, определенная на [д/Т,5; + оо),
является строго возрастающей в области своего определения. Поэтому при а> \[3
282
ведливы неравенства
’ 8
и ф (а)> ф (д/З). Но так как ф(д/3) = — -3 — 2-ф-6>0, то при а> \/3 и подавно
ф(а)>0, т. е. х2 (а)—^-а2>0, или, что то же, х2 а1.
о о
Суммируя все сказанное, приходим к выводу, что для а^[д/1,5; ф-оо) снра-
1 2 f а^\,Ь
— а , так что 5 , , .. I 2
3 ( х2 (а)> 1, х2 (а)^ — ст
Х2 (а)
(4)^в>Л,5).
прерванной на звене (5) нашей основной цепочке равно-
оа~^л[\,Ъ (короче:
Возвращаемся к
сильностей и продолжим ее, используя выводы относительно систем (3), (4).
(x = xt(a) (х = х2(а) ( ^1,5 а ^-^3 ( а^ф\,5
I д/1,5^а^ /3, I д/1,5 х = х\ (а), [х = х2(а)
А
общее решение х = Х(а).
Отметим, что решение уравнения (1) оказалось сложным из-за сложности
систем (3), (4), появляющихся в результате применения на определенном шаге
свойства подстановки (0). Само же построение основной цепочки равносильных
систем и совокупностей в данном случае естественно и несложно, хотя оно требует
ряда выкладок, которые нужно производить отдельно, сопровождая построение
цепочки.
Чтобы построить график полученного общего решения х = Х(а) в плоскости
аОх, заметим сначала, что этому графику принадлежат точки Aft (д/З; 1) (см. пред-
х и / 5\
варительное замечание об очевидном решении уравнения) и М2\~\1 — ; “rfl,
так как Xi =-|* • График х — Х (а) есть объединение непре-
рывной кривой M|M2 и уходящей круто вверх в бесконечность непрерывной кри-
вой L с началом в точке Л42. При этом кривая М\М2 представляет из себя график
функции х = х\ (a), a L — график функции х = х2 (а). Первая из этих функций строго
убывает на ; а вторая строго возрастает на
, так как
любая горизонтальная прямая x = const^ 1 пересекает график однозначной функ-
ции а = а (х)= д/2х-ф-1 — д/х—1 ровно в одной точке.
Заметим, что график х = Х(а) можно построить и сложением графиков
a — ai (х) — у/2х-\- 1 и а = а2 (х) = — \/х— 1, которым читатель может заняться само-
стоятельно.
Читателю, знакомому с элементами дифференциального исчисления, можно
порекомендовать построить график функции а (х) = д/2х"-ф- 1—д/х—1, где х^1 (он
же является и графиком х — Х (а)), с помощью производных а' (х), а” (х). Функ-
ция а (х) имеет на (1; -ф- оо) производные всех порядков. При этом окажется, что
xi=-^---точка минимума а (х), а х2 — — (5-ф-3 д/2-ф-З ^4)—абсцисса точки пе-
региба графика а —а (г), прямая х= 1 будет касательной к графику а = а(х) в
точке Л41.
283
На рисунке 162 показан график общего решения уравнения (1) и области
Gi, G2, на которые этот график разбивает область определения D. При этом данные
области знакопостоянства вспомогательной функции Е (a, x) = -\/2x-j- 1 — Vх— 1 —а
(х^1 /х>1
определяются следующими системами: GiO . . G2:i , ч
(а<я х; (а>а х, или также
G
a> л/З
1 =Сх<Сх2 (а).
При x = const функция F(fl, х) у бы в а ет с возрастанием а, и, следователь-
но, слева от графика х — Х (а), т. е. на Gj, F (а, х)>0, а справа, т. е. на G2,
F {а, х)<0. Отсюда H+ = G\, H_ = G2.
Решим пример иррационального уравнения, левая часть кото-
рого есть произведение двух выражений, содержащих неизвестные,
а правая по-прежнему содержит только параметр.
Пример 5. Решить уравнение и неравенства
|х| 7а2 + х2Ца2.
284
2 — а2-|-д/а4Ч-4а4
х _ _
D
а — любое
— общее решение.
На рисунке 163 изображены график общего решения и четыре области G, зпа-
копостоянства вспомогательной функции F (а, х) — |х| д/а2+х2—а2, для которых
fa>0 ./*>0
01-1 , . |
{ — ka <Z х <Z ka-, I — qx<Za<Zqx;
r ./ °>° r / x<0
G3.) G4J
{ka<Zx<Z—ka; {qx<Za<Z—qx,
где <г=~\/^52—. <7=y-
Представители областей знакопостоянства: <1; 0> EGi, <0; 1 > 6 G2,
< —1; 0>£G3, <0; — 1>6G4. Знаки вспомогательной функции: F (1, 0) =
= -1<0, F (0, 1)= 1 >0, F(—1, 0)= - 1 <0, F(0, —1)=1>0. F (а, х)<0 на
Gi и G3, F (а, х)>0 на G2|JG4.
Следовательно, Н + = G2|J G4, Н_ = GiJ G3.
Неравенства |х| \1а2~\~х2>а2 и |х| д/а2 + %2<а2 можно решить другим спо-
собом — не прибегая к геометрическому показу, найдем области знакопостоянства
вспомогательной функции F (а, х) средствами исчисления областей. (См. об этом
§ 13 предыдущей главы, правила пункта 2°, которые при появлении параметров
в существе своем не изменяются.) В рассматриваемом примере мы имеем:
„ J а — любое I а — любое , ,
D = R2, Н() = } , 1 , = x=ka,x=—ka=
I х = ka, I x = — ka о 1--------1
I_________________I
xZ^ — ka
x^Z»— ka
1_______________I
D\H„ = R2\H„ = R2\\X^k‘‘ x>kaf\x<-ka, x>-ka =
I x^Zka, I — ka
1-------------1 ° I------1 ° I---------1
x<Zka \x<Zka ix^>ka $xZ>ka _
x<Z—ka, {xZ>—ka, {x<Z—ka, lx>—/ш[а]
{x<Zka I — ka<Zx<Zka lxZ>ka
x<Z—ka, I—ka<Zka, —ka,
01--------------------------
00 о
a — любое ( a>0 J a — любое ( a<zO
x<z—k\a\ U \ —ka<Zx<Zka \ka<Zx<Z—ka.
285
Эти четыре попарно не пересекающиеся открытые области знакопостоян-
ства F (а, х) обозначим соответственно через Qi, Q2, Qs, Qi. Сопоставляя их с най-
денными выше Gt, видим, что Qi = Q2=Gi, Q3 = G2, Q4—G3, //+ = QiUQ3,
H - — Q2U Qi-
3°. Рассмотрим примеры уравнений и неравенств, содержащих
квадратный корень под знаком другого квадратного корня. Реко-
мендуем читателю предварительно просмотреть примеры 4 и 5
из § 5 (нахождение области определения D).
Пример 6. Решить уравнение и неравенства с параметром
х=а.
f
Решение. Область определения
х^ —а
х^а2 — а (рис. 164).
Найдем общее решение данного уравнения.
xfa — -\[а-\-х=а Г а — ^а-\- х = а2 < ( дМ + х = а — а2
D a I D, а — а2^0
|кв]
а-\-х = (а — а2')2
хДэ- — а, х^а2 — а
обозначение
х (а) —(а—-а2)2 — а
х = х (а)
х=х (а)
< 1, х (а)> —а
(1)
эту систему, содержащую три строки, обозначим через (л).
Систему неравенств (1) приведем к простейшему виду:
(1 f1
I х — а о I а2 (а— 1)2>0
286
(a — a2)2 — a < a2 — a t (a — a2)2 C d2 i. a3 (a -2)0 °
a^l. Следовательно, (1)о0<л
I0<а<1
I ООО
Возвращаясь к основной цепочке равносильностей, имеем:
J х = х (а) ( 0<a< 1
(л) о х —общее решение.
I 0< a< 1 { х = х (а)
График общего решения уравнения и области знакопостоянства вспомогатель-
ной функции F (a, x) — xfa — д/a + x— а показаны на рисунке 165. Эти области оп-
ределяются следующим образом:
G,:(
I — а^2х<Сх (а);
<1 I а>\
а2—а, ( — а^х^а2 — а.
^’i х(а)
При а — con st функция F [а, х) убывает с возрастанием х. Поэтому на G, F (а, х)>0,
'на G'2 F (а, х)<0, и, следовательно, H^ = Gi, H_ = G2-
Пример 7. Решить уравнение и неравенства
a = a.
a — любое
Решение. Область определения D:<
а — любое
х^О, х^а
х2 — х-ф a 3^0
(рис. 166). Отметим два очевидных решения уравнения: а—1, х = 2 и а — —,
3
х = — . Обозначим уравнение через (1) и найдем его общее решение.
(l)^J(l) fx — д/х — а = а2 I д/х— а — х~ а2
D о- I Z), а^О афО, x-a2>0[^]
{х — а = (х— а2)'2
а^О, х^О, х^а
х2 — х-\-а^0, х^а2
обозначения:
Х| (а) = а2-]-а
Х‘2 (а) —а2 — а-\- 1
tx — Xj (а), х = х2 (a)t
kl
, (2)
{x=xt (a) I x=X2 (a)
(2) I (2)
I____________________I
х2 — (2а2 + 1) х + (а4 -ф а) — О
а^гО, xCa, х^а2, х2 — х-\~а^0
287
3
x=Xi (а) (х = х2(а)
а^О, xi (а)^а, xi (а)^а2} < а^гО, х2 (а)^ а, х2 (а)^ а11
(xi (а))2 — %i (а)Ч~а>0 J 1 ^(х2 (а))2 — х2 (а) + а^0 )
—:--------------------------------------------------------! (5).
Прервав на этом цепочку равносильностей, рассмотрим системы (3), (4).
1) Решаем систему (3): ) о a^Q, )
{ a-j-a^a { а -[-а^ а
а>0 ( а^° -.А /94
^ + ^-^ + ^ + ^0^1 ал (а + ^О^0^0' ^»а™ьно. (3) о а^О.
2) Решаем систему 14):(^+1>а*|(“^)!>()*«М
о О^С аС 1, следовательно, |4)о0<п<1.
a — a-\-\^az (а^1
Возвращаемся к прерванной на звене (5) основной цепочке:
х = х, (а)
а>0,
х = х2(а) I а 4> 0 1 0 =С а <7 1
0=CasCl ( х = а2Д-а, ( % = а2 — аф-1
________I I___________________________1
общее решение х — Х (а).
Вспомогательная функция для данных
уравнения и неравенств такова:
F (a, x^-yfx — yjx—a—a.
знакопостоянства F (а, х)
График х — Х (а) вместе с областями Gi, G2, G.t, G4
изображены на рисунке 167. Представители областей:
, ~2~7> Е О], <: — > 6 С2, 4> Е 6л, <0, 4> Е ^4. Значения F (а, х) в
этих точках: F(± . ±) =д/±-ф-±<0, F(± . ±) =^-±>0.
F (4, 4) = д/4 —4<0, F (0, 4) = д/4 — 2 — 0>0. Следовательно, Н + = G2|J С4, Н^ =
= 6, U Оз.
Мы довольствуемся здесь графическим заданием четырех областей, но чи-
тателю рекомендуем задать их четырьмя совокупностями систем неравенств (в об-
щей сложности будет 3-|-2ф-24-3= 10 таких систем).
4°. Решим уравнение с параметром а и неизвестным %
-д/а+V« + ^ = x, (1)
областью определения которого мы
считаем множество D: «Д>0, х>0. Оно
близко к предыдущим, но двукратное
возведение в квадрат приводит к урав-
нению %4 — 2ах2 — х-\-(а2 — а) — 0, кото-
рое мы не можем решить. Поэтому це-
лесообразно воспользоваться заменой
у — д/а + %, приводящей к системе двух
уравнений с тем же параметром и не-
известными х, у:
Рис. 167
288
У=л/а+х
а>0, хД>0
У>уа
а \ у х-
//’ а | х о
1)'
'а 4- у = х2
а + х=у2 о
из верхнего уравне-
ния вычитаем нижнее
и сохраняем нижнее
'(* — У) НН1М
< а-^х = у2
D'
х~у = 0, х-Н+1=4)
।________________।
а-]-х~уг
D'
у — 1 —х
а-^-х — у2
D'
х2 — х — а = 0
D
х — "уО +л/1 +4а) Г х = -^-(1 —-д/1 -)-4а)
а>0, х>0, 1 а>0, х>0
=^(14-<+М
>0, х>0
а Д>() . v / х
. ____— общее решение х — л (а).
Т-Х(| +л/| +4ui
а>0, 4-(1+л/Г+4а)>0
Решите неравенства -\1а+ при а>0, %>0.
Начертите график общего решения уравнения (1), для чего вы
можете воспользоваться либо окончательным его выражением, ли-
бо выражением а = х2 — х (а>0, х>0) (см. десятое звено цепочки
равносильностей).
5°. Решим теперь геометрическую задачу, приводящую к ирра-
циональным уравнению и неравенствам с параметром.
Три шара одного и того же радиуса'а положены на горизон-
тальную плоскость Q, попарно друг с другом соприкасаются и в
таком положении закреплены. Четвертый шар переменного радиу-
са х касается каждого из закрепленных шаров в верхней их
части. При каком значении переменной х все четыре шара будут
сверху касаться горизонтальной плоскости, находящейся на
уровне 2а над плоскостью Q (т. е. на расстоянии 2а от нее) ? При
каких значениях х верхняя точка четвертого шара будет ниже, а
289
Рис. 169
при каких - выше этого уровня (если верхнюю горизонтальную
плоскость убрать)?
В этой задаче, условие которой содержит переменные а и х,
естественно а считать параметром, ах — неизвестным.
Обозначим через О\, О2, О3 центры закрепленных шаров и мыс-
ленно проведем через них плоскость. Она пересечет поверхности
этих шаров потрем окружностям радиуса а, попарно соприкасаю-
щимся (рис. 168). Пусть А—центр правильного треугольника
O1O2O3, аг — радиус указанной на рисунке окружности, касаю-
щейся трех окружностей с центрами О], О2, О3. Легко видеть, что
г= |О1Д | — ц =—— а = а(~ уЗ — 1 ) =г (а) ^0,16а.
уз \ '
Чтобы четвертый шар, радиус которого равен х, не провалил-
ся между шарами радиуса а, а касался этих шаров в верхней
части, нужно, чтобы х было больше чем г.
Центр четвертого шара мы обозначаем через В и рассматрива-
ем правильную треугольную пирамиду ВО\О2О3 с основанием, ле-
жащим в горизонтальной плоскости на уровне а над плоскостью Q.
Центр А треугольника O1O2O3 является проекцией точки В на
основание пирамиды (рис. 169).
Рассмотрим сначала тот случай, когда верхняя точка четвер-
того шара (верхний его полюс) находился на уровне 2а над
плоскостью Q, т. е. когда все четыре шара касаются горизонталь-
ной плоскости на этом уровне (2а), находясь под нею. В данном
случае \АВ \ -\~х = а.
В вертикально расположенном прямоугольном /\ВАО[ \АВ | =
= |О,Л|2. А так как | О\А | = ~^~а д/3, а \O\B\ —а-\~х
(01 и В — центры двух соприкасающихся шаров радиусов соот-
ветственно а и х), то мы приходим к следующему уравнению с па-
раметром а и неизвестным х:
290
д1(а + х)2—^-а2 4- х = а.
(1)
Те случаи, когда верхний полюс четвертого шара ниже, а за-
тем выше уровня 2а над плоскостью Q (или, что то же, уровня а
над плоскостью OiO2O3), характеризуются неравенствами соот-
ветственно \АВ\ фх<а, \АВ\ фх>а, т. е. неравенствами с пара-
метром а и неизвестным х:
Область определения D уравнения и неравенств определяется
системой
«>()
(2)
Решаем уравнение (1).
{ (1) (а + х)2 — ^-а2 = а — х
И2)^1(2),х<а
(а-\-х)2—~а2 = (а — х)2
[кв। (2), х а
. 4 2
4ах = — а
(2), х<а
х = — Г я>0
о 3 а —общее решение х = х(а).
<2>0 Х = У
На рисунке 170 вы видите график общего решения х = х(а)
и области 61, 62 знакопостоянства вспомогательной функции
F (а, х) =~tJ(афх)2—^а2-^х — а. При
Так как F (а, х) при o = const возраста-
ет с возрастанием х, то решения не-
равенств таковы: H_ = G\, H+=^Gj2.
291
Замечание. Решив уравнение, мы решили, очевидно, и следующую за-
дачу: три шара одного и того же радиуса а лежат на плоскости и попарно
соприкасаются друг с другом, а четвертый шар лежит на той же плоскости и со-
прикасается с каждым из трех шаров радиуса а (он накрывается ими); каков
радиус четвертого шара? Радиус четвертого шара
составит ~ объема каждого из шаров радиуса а.
„ а
снова будет —, а его объем
О
Упражнения к § 7
В упражнениях 10—16 решить уравнения и изобразить ре-
шения соответствующих им неравенств.
10. + 9 =%4-3. 11. д/4 — а2х = 2 — х.
12. ~\[а2 -\-х2 = а~х.
13. л/2х + а —=Va — *• '4. '/“+'/* = 2 Д _
V 2%a -\j3a-\-x + у/а yj3a-\-x—\ja
15. Vg-Jx+Vo-x =3 16 yx + T + gr-^2 = V2a-l.
д/а-Р 2х— yja — x
§ 8. Показательные и логарифмические уравнения
и неравенства с параметром
В этом и следующем параграфах в отличие от двух предыду-
щих мы будем решать неалгебраические уравнения и неравен-
ства с одним параметром, следуя тем же путем, который нам из-
вестен из данной главы.
Пример 1. Решить уравнение и неравенства с параметром а
и неизвестным х
2 1
ах — Ьах 4-4 = 0.
Решение. Область определения D: |
Обозначив уравнение через (1), получим:
подбор
по теореме
Виета
«>0, а=£ 1
ах =4
а>0,
а>0,
% =^= 0,
2
1х-5-1+4 = 0
а= 1, [7]
292
17]
-^log2 a = 2
(I —
x^=0,
4"log2 a
a= 1
x=^0
-y-log2 a^O,
4-log2o I — I
n n-t-\ I -v / 0
0, аФ 1 f a= 1
^-log2a,
общее решение x = X (a).
X =7^ 0,
0
2
На рисунке 171 мы видим график общего решения х = Х (а)
и области знакопостоянства вспомогательной функции F (а, х) =
2 1
~ах — 5ах -J-4:
G,: (х<0; G'2' {()<x<-yiog2 a; Gi' {x>T-|og2a;
„ . (0<a<l r . (°<a<l f0<a<l
4' Ia:>0; 5’ ^_L|Og2 a<x<0; b' |x<-y-log2a.
Знаки F (a, x) в областях:
G,: F (2, - 1) = 2~2 —5-2~1+4 >0;
G2: f(2, T-)=28-5-24+4>0;
G3: F(2, 1) = 22-5-24-4<0;
Л(т- 1) =(t)2-5-t+4>0;
Gs:
G6: F(-y, -1 )<0.
Следовательно, H+ = G\ U G2U G4U ^5,
/7-=63ибб.
Пример 2. Решить уравне-
ние и неравенства с параметром а
и неизвестным х:
lg x + lg (х — 2а) — 1g (Зх —4a) = lg а.
Решение. Область определения
Га>0, х>0 Jfl>o
i x>2a, х>Х-а lx>2a.
Рис. 171
293
3
Обозначив уравнение через (1), получим:
f /П ( —
] к ' О J Зх — 4а
U [пот], [6| I D
= а f х(х — 2а) = а (Зх— 4а)
Iti D
[2]
( х2 — 5ах4-4а2 = 0
[2| I D
теорема
Виета
х = а (х = 4а
а>() J а>() <4
х>2щ I х> 2а f*
х = 4а
а>()
х = а
а>0
а>2а, 4aZ>2a
х = 4а
а> О
а> о .
х — ^а — общее решение
х = х (а).
На рисунке 172 изображены график х=х(а) и области Gi, G2
знакопостоянства вспомогательной функции F (a, x) = lgx-{-
+ lg (х— 2а) — 1g (Зх — 4а) — 1g а:
(а>0 ы г . ( а,
‘‘ I 2а<х<4а 2‘ |х>4а
Знаки функции в областях такие:
G,: F(l, 3)=lg 3 + lg 1 —1g 5—lg 1 <0;
G2: Л(1, 5) = lg5 + lg3-lg 11-lg l=lg]|>0.
Отсюда //+ = G2, H- — G\.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства с параметром а
Решение. Область определения D: <] .
Рис. 172
294
a4 |OB- ° = a3x f a4 loe- “ = a3x (a1“
D ^l£>, a=l, ID, <ir
1 4 logx 1 _ v
. f a4los‘“ = a3x ( а"^'“ = а'х
а= ’х>°Ь, a^l ^\D,a^\
[7|. [loga]
4 log* a = 3 + loga x
D, aF-\
7—---=3 + 10ga X
loga X & О
D, a^\ W
f (loga A:)2 + 3 loga X — 4 = 0
[41 I D, CL =^= 1
теорема
Виета
1 loga x= —4 ( loga x= 1 f X = CL~
[rj I D, tZ =#= 1, I D, L2=^=l, a =7^=1,
I_____________________________I I__________________
[г]
x — a
D, CL=^ 1
fx = a-4 (x = a (x = a} (x — a
oL>0, a^\ Ja>0, a^\о Ja>0, a=^=l Ja>0,a^lo
]x>0, x=£l, |x>0, x=^\ 3 a“4>0, a“4=#l, I a>0, a^=\
i--------------------1 i_______________________i
общее решение x = X(a).
Графикх = Х (а) изображен на рисунке 173. На этом же рисунке
изображены области знакопостоянства вспомогательной функции
F (а, х) = а4[0^а-а3х:
с . I а> 1 с I а> 1 Г fx:> i
G' U~4<x<1; G3-[\<x<a- G3: |x”<a<%;
, z fo<x<l
r jO<a<l r JO<a<l r. i
G4'll<x<a-4; Gs:la<x<l; 6 |x<a<x~T
X
Знаки F (a, x) в областях:
Gi: f(2, 3-)=2-*-8.3-<0;
G2: F(^2, -j-)=24l0B|2 —8--|->24—12>0;
G3: F(2, 4) = 22-32<0;
295
4
0;
32
Следовательно, Н+ = G2U G4U G6, Я __ = G\{_\G3{jGb.
Пример 4. Решить уравнение и неравенства с парамет-
ром а
~^2ах-3 + 5 + д/ах-3'- 1 g 4.
(1)
Решение. Область определения Z): | ^С^Я.
fа>1 ( а=1 f 0<а<1
I х^З, I х — любое, I
Построим цепочку равносильных систем со свойством [у] для
решения уравнения (1), т. е. введем замену переменной.
[у]
замена:
ах~3 = у
D, \
A,fV2y + 5+Vy-l=4
У а>0,121
I D'
J V2f/ + 5=4 —д/у— I ( у/2у + 5 = 4 — 4у— 1
12ЛД' ° ' D', vV-1^4 |к»|
f 2</ + 5= 16-8 + 1 Г 8Уг/-1 = 10 —г/
3,а>0, у>1, 17 а (а>0, 1 17, 10 —
J 64 (у — 1) = (10 — у)2 J у2 — 84у 4- 164 = 0 I теорем а I
[кв].1а>0, 1 10 1а>0. 1 С у sg 10 ^1 Виета I
1^ = 82 \У = 2 I у = 2 У f а'-3 = 2
|Г| I а>0, 1 sJf/C 10, I а>0, 1^г/<10 сооУЧ а>0
л а
^kCrT^Cl о Вх“3) log2 а= 1
« ’а>0’ 1а>0, а^\
Х = 3-Ь-^— (а>0,
I°g2 а I
а>0, а^\ |% = 3-
1 —общее решение х = х (а).
log2 а
Область определения D и график общего решения уравне-
ния х = х(а), а также области знакопостоянства вспомогательной
функции F (а, х)== \[2ах~^3 -Д-3-\-^ах^3 \ изображены на ри-
сунке 174. При этом
0<а<1
x<Zx (ц)у
0<ц<1
х ( а)<Сх<^ 3,
j
296
X
Рис. 174
Рис. 175
1
(а),
а':> 1
%2>х (а).
При a = const>l F (а, х) возрастает с возрастанием х, а при
постоянном а, 0<а<1, убывает, когда х возрастает. Поэто-
му на Gi F (а, х)7>0, на G? F (а, х)<0, на G3 F (а, х)<С0,
на С4 F (а, х)>0. Следовательно, //+ = GiUG4, Я- = 62и^з-
Пример 5. Решить уравнение и неравенства
yTogx {ах)- loga х= — д/2.
Решение.
Область определения D:
а>0, а=£1, х>0
хф 1, logx (ах)^О
Iа>0, 1
10<%у=1, \ogxa^ — 1 [<]
( ад>(), а^=\ f аД>0, а=^\
И 10<х<1, logxa> —1, 1х>1, logxa> —1
f а>0, a^i (а^>0,а=^=1
10<х<1, а^х'"1, \х>1, а^х^1 (рис. 175).
Решая уравнение, обозначенное через (1), строим у-цепочку.
Замена:
а>0, 1
у^О, 1+у>0
297
-ф+^-(-у)= fi
а>0, а=/=|, - I1”1
у2 + у — 2 = 0
ц>0, а^\, i/C — 1
У= —2, у = 1
I--------—I
а>0, аФ 1, — 1
( у = — 2 У ( loga х = — 2 I х —а
la>0, а=^\D <(])
см. рис. 176, график
х = а~2, аД>0, 1
х = а
я>0, uF 1
есть часть графика D
а> 0, аф 1
х = сГ~2
— общее решение х=х(а\
На рисунке 176 вместе с областью определения D показаны
график х = х(а} и области знакопостоянства вспомогательной
функции F (a, x) = y/fog% (ax)-loga %+^2:
Gy
()<а< 1
0<x< 1;
^2’ (o<x<a 2;
r ( ay> 1
°3- lfl-2<x<a-1;
0 < < 1
a~~l ^.x<_a~2. Знаки F (a, x)\
Gi: Л(т’т)>0’ G-
G3: F(4, 3-) >0;G4: F (2, 2)>0;
G5: F(3-, 8)<0; G6: 64) >0.
Следовательно, H+ = Gt U G3U G4U G6,
/7„ = G2UG5.
Рис. 176
298
Упражнения к § 8
В упражнениях 17—21 решить уравнения и изобразить реше-
ния соответствующих им неравенств.
l-2 1og„x
17. а2 =х.
18. logQ д/х — 1 logx—i л/а= .
19. log* а2-\- , , J--[-3 loga2x a = 0. ।
s 1 1 + loga x &ax
20. a2x+2 + 3ax-H _|-4 + 1 — 6= 18.
21. x/a2 — 6 ^/a-\-8 = Q.
§ 9. Тригонометрические уравнения и неравенства
с параметром
Пример 1. Решить уравнение и неравенства с парамет-
ром а
sec2 х = 2а sin2 1.
Решение. Область определения
(а—любое
Icosx^O
х=£ kл + у (рис. 177).
Обозначим уравнение через (1).
(1) (tg2 х = а • (1 — cos х)
D
Sin X /< \
---— — а (1 — cos X)
cos х 4 7
a>0, x^kn-\--^-
1 — cos2 x= a (1 — cos x) cos2 x
a^O, x=^=kn-\-~
Замена
cos x~ a
a^Q
y=£0, \y\C 1
1—y2 = a(l — y) y1
D"
f (1 — y) (1 +y — ay2) = 0 <>
I D" ,r|
299
f 1 — у = О f 1 + У — ay2 = О
Ж \D"
I--------------------------1
( 1 — y = O f ay2— у — 1 =0 ( ay2— y — 1 =0
[e] I D", \ a — 0, y^=0, | у | 1, I a > 0, y^O, I у I 1
</=^-(1 + V'+4a)
. a>0, y=£0, lyl <1 ₽
( У — (I + Vl +4a)
(a>°, J-d + vl+^j^O, Cl
4-------------v-----------'
>_______________________________1 (4)
На этом звене обрываем цепочку равносильностей и решаем систе-
мы неравенств (2) и (3).
1) | «>0 оа>0 ( а>0
‘ £(i-VT+Wo I |^(i-V"i+4^)| ci
I а >0 ^(a>0 fa>0
^ д/l -|-4a—1^2u I д/Т-р4а 2a1 [KBj 11 ~l~4a^ (2a-|-I)2
Ua^O Следовательно, (2)oa>0.
2) a^>0 a>0
I ^(1+<+4а)^0<>а>0’ ] ±.(1+л/1+4о)^1
у I ZU
f u>0 u>0 ( u> —
* 1 +V1 +4u ^2а 1д/Т+4а^2а— 1 а д/Т^4а^.2а— 1 fKB|
о a^2. Итак, (3)ou^2.
300
Продолжаем прерванную на звене (4) цепочку равносильностей:
(4) о [у=] (у=~* 1 f У=^(> - Л» +- I)
' ' (1ГГ2Да>0, 1а=о, 1 2 * * * *"
</ = ~(1+\'4«+1
<г>2 х
< cos х = — V4a + 1 )
а> О,
X
cos х = ^‘<| + V4a + 1 )
а>2
J__________________।
{« Ул О | а = 0 Г я >> О ___
х=^2/лл, | x = (2k — 1) л, | x = 2nk ± arccos —1 ,
2а
' а^2
х —2 л£ ч-arccos 1 V4a+1
2а
________________________I
общее решение х = Х (а) (/г=0, ±1, ±2, ...)
Переходим к построению графика общего решения х = Х(а).
Это общее решение представляет из себя совокупность четырех
систем, а его график-есть объединение графиков этих систем
(гл. III: если система определяет однозначную или многозначную
функцию, то график этой функции называют иначе графиком
данной системы). График первой системы является объединением
указанных в ней полупрямых, график второй системы — совокуп-
ность определенных точек на оси Ох. Для построения графиков
третьей и четвертой систем нужно предварительно построить гра-
, . о 1 — Д/4а+1 , 1 +д/4а+1
фики функции х = arccos----------(а>0) и х = arccos——
2а v 7 2а
(а^2), которые обозначим соответственно через р (а) и q (а).
1 —л/4а-Р1 п 1Ц-д/4а-|-1 п л х
Так как -----—-—<0, а ———1—>0, то —<р(а)<л,
2а 2а 2 Г '
0 < q (а) <-у. Вычисляем далее пределы функций р (a), q (а) на
концах области определения каждой из них:
1) lim |"^+7=Нт ..1!-Н^+Л =Ит -2__ = -1,
а^° а->о 2а (I Д- д/4аЦ- 1) 1 Д- ДаЧ- 1
lim р (a) = arccos (— 1) = л.
а -> 0
301
2) lim '"^4a+' = lim (J-------д/-!—j- ‘ ) =o,
a + оо 2a a + + оо \ 2a V a 4аг /
lim p (a)— arccos 0 — у .
3) lim 1 — 1, lim q (a) —arccos 1=0.
4) lim l + ^4a + l = lim (4-+a/-L+t-3 = 0’
a^+oo 2a a^+oo\2a V a 4a2 J
lim q (a) = arccos 0 = -^-.
a + oo 2
Построив с помощью этих данных графики функций х = р(а),
x = q(a), мы затем строим графики х= — р (a), x——q(a),
х = 2л=ьр (a), x==2n4=q (а) и параллельным переносом по вертика-
ли — графики х = 2л/?±р (a), x = 2nk±q (а), т е. графики третьей
и четвертой систем из общего решения х — Х (а).
График многозначной функции х = Х(а) изображен на рисун-
ке 178. Там же мы видим области знакопостоянства вспомога-
тельной функции F (a, x) = tg2x — а-(1—cosx):
г ( а^2 г (а^2
Goi: I 0<х<б/(ц); G()2- I — q (а)
0;
X
Л
0^
ipjlii
с21 х=2Я+д(д)
р22 х=2я-д(а)
х=2П-р(а)
____
~Gm”*=4(a) э
Лог х.=-а(а) а
— — —
х=-р(а)
-2л
G-22 х=-у(а)-2я
Рис. 178
302
JI
0
2л —p(a)<x<^l
Все остальные области знакопостоянства (а, %) получаются из
Goi, G02, Gi, Qo, Qi параллельным переносом по вертикали на 2nk.
Знаки F (а, х) в этих областях легко указать, если заметить, что
при х = const функция F (а, х) строго убывает с возрастанием а:
на Qo, Qi, Q-i, Q2, Q-2, ... F (а, x)>0, а на GOi, 602, G{,
G-i, O2i, G 22, G — 21, G — 22, G3, G — 3, ... F (a, x)<cO. Следовательно,
H+ = J Qk, H- = U Gk, где k = 0, ± 1, ±2, ±3, ..., а в случае чет-
k k
ного k (при Gk) к нему добавляется второй индекс 1 или 2.
Таковы множества решений соответственных неравенств.
Пример 2. Решить уравнение и неравенства с параметром а
ctg2 2x-sin 2хЦ — а.
Решение. Область определения D: |2х^/гл о|х^-у.
Для данного уравнения имеем:
'ctg2 х- sin 2х =—а ( cos 2х- — —а
& о < sin 2% <£=>
a£R, sin 2х#=0 sin 2x^0 [41
f 1 —sin2 2х = —a-sin 2х ( sin2 2х — a sin 2х— 1 =0
sin 2x^0 <va£R, sin 2х=^0, Д=а24~4>0<=>
( sin 2x = y-(tx —Va2H-4), sin 2х = у-(а + д/ц2 + 4)
I sin 2x^0, |sin 2x| < 1
sin 2х = -^-(а — д/<22 + 4)
a^R, sin 2x^0
I sin 2x| 1,
1____________________________
sin 2x = -y(a+ Va2 + 4)
a^R, sin 2x5^0
I sin 2x| 1
303
р
sin 2х = -^-(а —д/<?4-4)
-|-(а —д/а2 + 4)=#0, | — л/а2 + 4)| < 1.
ч__________________v,
(О
' sin 2х = -^-(а + л/о2 + 4)
. (а + лМг + 4)^ 0, | X. (а + д/а2 + 4) | С 1
\/
Решим системы неравенств (1) и (2), приведя их к простей-
шему виду.
1) Так как |а| <д/я2 + 4, то при любом а имеет место
а±д/а2 4“ 4=# О, причем a— д/й2 + 4<0, а + д/п2 + 4>0. Первые
неравенства систем (1) и (2) выполняются, следовательно, при
любом а.
2) Рассматриваем вторые неравенства обеих систем.
а2 4- 4 *С4 4- 4n 4- а2 I
2 ^[а2х- 2
-у|а4-Л/^2НН1 4~(a-h Vfl24-4)sC I У°_ а о
z - Н ’ ~ 0^0 1кв)
(аЧ-4С4-4а4-а2^
|кв] I <2^2 I П^2
Таким образом, (1)оа^0, (2|<^а<0.
Обращаемся к основной цепочке равносильностей, прерван-
ной на звене (3). Имеем:
Г sin 2х = -^-(а — д/а24-4) Г sin 2х = -|~(а4~ Va2H~4)
[ а^О; [ аСО
I----------:----------------------------------1
( а^О
ч I I / t \Ь • а—~\[q~ ~к-4
1 * = — + — (— I) arcsin —Д-,
( яСО
1 х=4-+4<~ ‘)"arcsin --+^+4 (*ez)
общее решение х = Х (а)
304
Если ввести обозначения р («) = — arcsin , </(п) =
= -±- arcsin ? то общее решение х — Х(а) запишется так:
а^О а^.0
* = -у + (-1)‘рМ х = ^ + (-1)Ч(«).
При построении графика х = Х (а) воспользуемся следующим
равенством:
lim (а- -/д2 + 4) = Iim =
— + оо + оо а +
— lim ---------= 0,
+ оо а уа2 _р4
аналогично lim (а -ф х/а2-ф4) = 0. Поэтому lim р(а) =
=4-arcsin 0 = 0, lim (а) = -^-arcsin 0 = 0, и, следовательно, пря-
мая х = 0 — горизонтальная асимптота графиков х — р (a), x — q (а)
соответственно на -ф оо и на — оо. Кроме того, р (0) =
= -фarcsin (—1) ==—j-, <7 (0) = ~У arcsin 1 —j-^p(a)<0,
0<<?(а)^
л.
Т
Эти данные позволяют сде-
лать эскизы графиков функций
р (a), q (а) и многозначных функ-
ций х=-у+(—1/р(а), Х=^-+
ф( — V)k q (а) (рис. 179). На этом
же рисунке вы видите и области
знакопостоянства вспомогатель-
ной функции
F (а\ х) = ctg2 2% sin 2% + а
о
(вспомните обозначения: {...—
множество решений системы {...;
если S — область, то S — объеди-
нение множества S и его грани-
цы— см. гл. Ill, § II, п. 2°):
О
Г <2>0
G1 л / х , ^ / \
] ——р(а)<х<р(а),
\ о z
(а — любое х
Г) I „ WI,
Qi-j __^<х<о
Рис. 179
1 1 Заказ 607
305
a — любое
Сдвигая эти области по вертикали на nk и прибавляя к со-
ответствующим их индексам ±2, ±4, ±6, +8, получим
все остальные области знакопостоянства F (а; х).
Так как при фиксированном х функция F (а; х) строго возрас-
тает с возрастанием а, то в областях Qk F (а; х)<0, а в областях
Gk F (а; х)>0. Следовательно, H+ = \JGk, И =(jQk, где k = 0,
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, .... k k
Тем самым решены и соответствующие решенному уравнению
неравенства.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства с параметром а
sin (у-д/х— 1 ) - cos (y-V* — 1 ® °-
Решение. Область определения D: { ^ю^ое
Обозначив уравнение через (1), запишем:
2 sin p-cos Р =
sin (a + p) + sin (a — р)
[ sin (a T + -y) — sin-^-=0 f sin (a ^Jx — 1 =^~
( D « = (), a^O, x>l
i________i
ol(2) ((2) о
r la = 0, x^l, [a^=0, xj> 1 [ж]
I------------------:--1
ofslnV=T faV*— l+-g-=n*+(— 1)‘~
w (a=0, I, ( a=#0, х>1, (6=0, ±1, ±2, ±3, ...) ir|' “
I_________________________________________I
(5)
a = 0
x
(5) о О X
<(k = 0, 1, 2, 3, ...) J(fc=0, -1, —2, -3, ...)
1’|a>0, x^l cz<0, x>l
[kb]
•2
a = 0
[ KB ] ' 1
a>0, x>l = 1, 2, 3, ...),
a2 (x — 1) = л2
~12
a<0, x>l (k=0, -1, —2, —3, ...)
306
а = 0
х> 1
' а>0
/=1+Я/е+т«-ч
(&=0, 1, 2, 3, ...)
' а<0
х=1+Я*+1((~1)‘-1)]2
(& —О, —1, — 2, —3, ...)
общее решение х = Х (а)
Каковы однозначные составные части или ветви найденной
многозначной функции х — X (а) — общего решения уравне-
ния (1)?
Прежде всего, это (вертикальная полупрямая). Все
остальные ветви получаются при k = 0, ±1, ±2, ±3, ... из второй
и третьей систем совокупности, выражающей х = Х(а) (примем
для удобства обозначение р-=0
1) для а>0 х0 (а) = 1, х\ (а) = 1 -0 1—0 q, х2 (а) = 1 4-22^,
Хз (а)= 1 -03—00 X4(a)=\+42q, ..., х2п-1 (а) = 1 -02ц — 1 —
—0 q, х2п(а)=14-(2д)2^, ...;
2) для а <0 хо = 1, X} (а) = 1 -0 — 1 —0 q = 1 40 1 “t-”)
х2 (а) = 1 +( — 2)2 q = 1 Ц-22 q, ..., х2п_, (а) = 1 -02п — 1 -ф-0 q,
х2п (а)= 1 +(2ц)2 q, ... .
Совершенно ясно, что для любого ц>0
хо (я)<*1 (а)<х2 (cz)<...<Xfe (а)<хй + 1 (а)<...,
а также для любого а<0
Хо (ц)<Х1 (а)<х2 (a)C...<Zxk (a)<xfe+i (cz)<... .
Теперь легко задать и области знакопостоянства
вспомогательной функции, которую запишем в виде F (а, х) =
1 Г • / / у , л \ 1 ”1
= --[sm (a
307
r . (a>0 r . ( a>0 r . (a>0
’’ l %о(а)<%<х,(а); 2’ I xi(a)<x<x2(a), ...; k' lx^i(a)<x<
<х/г (a), ...;
q . (a<0 __ q . fqcO . fa<0
Vl' lxo(a)<x<xi(a);^2’ lxi(a)<x-<x2(a), ’ Ix^-i (a)<%<
<xk (a), ... .
График x = X (a), составленный из графиков | ’ x = x^ (a)’
x = x^(a), изображен на рисунке 180. Там же указаны и области
Gk, Qfe. Знаки функции F (а, х) в областях ее знакопостоянства
мы найдем тем же способом, что и в предыдущем примере. Но
на сей раз удобно провести
прямую (x = const), именно
некоторую горизонтальную
(а — любое гт
прямую j __9 . Получим:
F (a, 2)=-^sin . Корни этой функции от а, интерва-
лы ее знакопостоянства и знаки F (а, х) на них найти просто —
все они показаны на рисунке 181.
+ - + - + - + - + х=2 _
4я Jo^ 2п о 2^ 2л £я 4Л 1±п(а-лю?ое)
Qif. Qj 0-2 Q-1 Gj Gz G$ Gt,. G$
Рис. I8i
308
Интервалы справа от нуля принадлежат (]/., а слева от О
областям Qk (сопоставьте рисунки 180 и 181). Следовательно,
F {а, х)>0 в областях G\, G3, G$, ..., Q>, Q.(, Q(>, a /•’ (н, л)- 0 в
G2, Gi, Go, Qi, Q3, Q5, t. e.
H+= U- + U (бЛ.-U । 1)
k=1,3,5, .. /?-= 1.3,5.
множества решений неравенств из условия примера.
Замечание. Чтобы указать знак вспомогательной функции
F (а, х) в областях знакопостоянства, мы нередко использовали
свойство строгой монотонности F (а, х) при х = const или a —const.
В примере же 3 данного параграфа мы для той же цели восполь-
зовались тем, что при некотором фиксировании х вспомогательная
функция имеет хорошо известные нам интервалы знакопостоянства
и знаки в этих интервалах. Это или аналогичное свойство F (и, х)
(например, при a — const, при х = а, х = 2а, х = д/а, х = а2 и т. и.)
может быть использовано и при решении других неравенств с па-
раметром.
В качестве небольшого дополнения к § 6—9 рассмотрим один
вопрос, относящийся к уравнениям и неравенствам с одним па-
раметром и одним неизвестным.
Пусть решена однопараметрическая задача F (а\ х) = 0, т. е.
найдены и изображены на координатной плоскости аОх мно-
жества D, //о, Я + , // (D<^R2, F — элементарная функция с об-
ластью определения D, HoGH +GH --D). Пусть, кроме того,
рассматривается порожденная данной задачей серия задач-.
F( — а; х) = 0, F (а; —х) = 0, /7(|я|; х) = 0, F (а; |х|) = 0,
F (|а|; |х|) = 0, F (а-\-р-, х) = 0, F (а; х + р)=вЬ (р — данное число),
F (qa; х)Ц0, F (a; qx) = 0 (q— данное положительное число).
Требуется для каждой из задач этой серии найти изображение
на той же плоскости множеств D, Но, Н+, Н _ и указать их
задание при помощи систем и совокупностей равенств и нера-
венств (сравните с § 11 первой главы).
При переходе от F (а\ х) = 0 к F (— а; х) = 0, т. е. при замене
а — а, нужно каждую из фигур, изображающих D, Но, Н+, Н-
для F (а, х)Ц0, преобразовать симметрично относительно оси Ох.
Точно так же при замене х — х указанные фигуры преобразуют-
ся симметрично относительно оси Оа. При замене он- |а| каждая
из исходных фигур преобразуется следующим образом: та часть
фигуры, которая находится слева от оси Ох (а<0), удаляется, а
часть фигуры, находящаяся справа от Ох (а^О), сохраняется и
симметрично относительно Ох «удваивается». При замене хн> |х|
та часть фигуры, что под осью Оа (х<0), удаляется, а верхняя
часть (х^О) сохраняется и «удваивается» симметрично относи-
тельно Оа. При замене / а М сохраняется лишь часть фигуры,
находящаяся в первом квадранте плоскости аОх (а^О, х^О),
затем эта часть «учетверяется» симметрией относительно Ох и Оа.
309
При каждой из замен а\-+а-\-р, х\-+х-]-р происходит парал-
лельный перенос фигур соответственно по горизонтали и по вер-
тикали на —р. Наконец, замены а qa, х qx приводят к де-
формации (сжатию или растяжению) фигуры по горизонтали или
по вертикали в раз.
Докажите эти правила и на их основе, отправляясь от при-
меров 1, 2 из § 7, примера 3 из § 8 и примера 1 из § 9, решите
параметрические задачи дГ— ax-j~4=x-(-2, ^а ( — х)4~4 = — х-\-2,
д/7-v4-4 = |а|х-J-2, д/71х| -f-4 = a|x| -j-2, д/7|х| 4-4 = |fl| • |x| 4-2,
(a4~3)4 logJ:-2(a+3)=(fl4-3)3 (x —2), sec2 2x = 2a sin2 x-j- 1.
Отправляясь от других примеров § 6—9 по вашему выбору,
решите параметрические задачи, которые вы составите сами.
Упражнения к§9
Решить уравнения и изобразить решения соответствующих им
неравенств.
22. sin2 (x4-o)4-sin2 (х —a)4-cos 2а —2.
23. cos2 (х2 — 1) — (1 4- a) cos (х2 — 1) 4- а = 0.
24. a-cos х-|—-—|----—= tg2x.
25. sin (6 д/ах)— sin (2 д/ах) = 0.
§ 10. Аппарат решения неравенств
1°. Продолжим начатое в предыдущей главе (§ 13, п. 2°) описа-
ние исчисления областей знакопостоянства вспомогательной функ-
ции F для уравнения и неравенств с областью определения D
и множествами решений Но, Н+, Н. соответственно. Этот ма-
териал необходимо повторить, так как мы здесь с самого начала
опираемся на него.
Наша задача — найти разбиение множества D[\(Rn\Ho) на
вышеуказанные области (или иные связные множества) знакопос-
тоянства функции F. Поэтому для произвольного множества G,
GczRn, заданного теми или иными неравенствами относительно
координат а, b, с, х ... точек пространства Rn (а<Ь, а-^-с^х,
х<а24~^2; x>^fab и т. п.), мы рассматриваем разность Rn\G,
стремясь и ее задать неравенствами в Rn.
В главе III (§ 13, п. 2°) доказано следующее правило:
(I) Если множество Ga:Rn определяется системой неравенств
относительно координат точек Rn, причем областью определения
неравенств является само Rn, то множество Rn\G определяется
совокупностью противопо ложных неравенств (с той же, разумеет-
ся, областью определения).
зю
Пример 1. Пусть /?4 = Р’ с' х
г J |любые
Тогда 7?4\G: ta < 1, с > О, Ь-\-с^ах,.
( а I, с <Z О
7 ’ \b с -' ах
, о
Переходим к рассмотрению более общей ситуации когда
областью определения неравенств, характеризующих G (Gi~R"),
является некоторое множество Т пространства R", объемлю-
щее G: GczTdRn. При этом предполагается, что Т характе-
ризуется системой неравенств, областью определения которых яв-
ляется Rn.
Какими неравенствами будет определяться Rn\G в новой си-
туации? Сначала отметим, что если в рассуждениях § 13 гл. Ill,
доказывающих предложение (I), роль пространства Rn отвести
множеству Т (т. е. всюду в этих рассуждениях заменить Rn на 7’),
то получим следующее правило:
(II) В вышеуказанных условиях множество T\G характеризу-
ется совокупностью определенных на Т неравенств, противополож-
ных неравенствам системы, характеризующей G.
о
Пример 2. Пусть = , Ttlab^O, &>1,
ab^O, Ь>1 (ab^O, b >> 1
x^^ab,|
Если множество Q, QczRn, определяется системой неравенств
относительно координат точек пространства Rn, то набор противо-
положных неравенств условимся обозначать через Q, а нижнюю
строку данной системы — через QH.
Согласно этому соглашению можем сказать, что в условиях
правила (II) множество T\G определяется совокупностью опре-
деленных на Т неравенств из GH (см. пример 2).
Обращаясь, далее, к множеству Rn\G, воспользуемся очевид-
ным равенством: Rn\G =(Rn\T)\J(T\G). Оно приводит к следующе-
му правилу, основанному на предыдущих двух.
(III) Пусть множество G пространства Rn определяется
системой неравенств в Rn, состоящей из двух строк — первой
строки Т и второй (нижней) строки ) , и пусть нера-
венства из Т определены на всем Rn, а множество, определяемое
строкой Т и обозначаемое той же буквой Т, является областью
определения неравенств из 6Н. Тогда G аТ c^Rn, a Rn\G оп-
ределяется совокупностью определенных на Rn неравенств из Т и
определенных на Т неравенств из GH.
311
Символически:
Rn\G у или, что то же> Rn\G:T,
Это можно записать и так:
О I-------------1 о L
Пр и мер 3. В условиях примера 2
(R3 (Я3
«v= a6<o.bs
Т ( Т
х^ \[ab, [ х \
ab^O, b
х дС д/ab
ab ^O, b
х > а + 3
т~т л г>4 I ’
Пример 4. R :! ,
r I любые,
Т:{ а>0, а
3,
а-|-х<2, Ьсх^а2.
В этом случае
/?4\G:a<0, а
а>0, а
Ьсх<.а2
Пример 5.
а, Ь, х — (
Т:<а
любые t
Т ( а>0, Ь^О
х^О, x^O^I х^О, х^С).'
«зч z- о < „ ( а^О, Г а>0,
Тогда R3\G =аС0, ЬсО, < „
х>0 ,Iх<0
-1 , где
т
( а
а<0
Ь, х — любые,
6<0
а, х — любые.
Для слов «любое», «любые» будем в случае необходимости пользоваться
сокращением «л».
п с оз ( а, Ь, х — ( а>0, Ь^а
Пример 6. Яд л , G:{ . о Гд- гд
I любые 1x^2 л!аЬ, х^.2 у/ab, неравенства первой
строки определяют Т. В данном случае имеем:
R3\G:a^Q, b<a, j °
312
т. е.
Я\С=( Ь'Х,~Л-
I (i<0.
х — л.
b <Za,
«>(), b 'а
х< 2 ф1Ь,
(а -О, h -а
| V -2 \]ab
Примерами 5 и 6 мы воспользуемся в § 11, п. 2°. В ряде случаев
вместо G мы пишем только характеризующую его сие гем у.
а-\-Ь^Б, be ^2, и • 'с
L_____________2________
a-\-b<_5, be>2, а^с
ах < 3
а + ^<5, Ьс>2, а^с
bс ^х
Отметим, что правило (III) может быть расширено-, в системе, определяющей
множество GaRn, может быть и более двух строк. Остановимся на том случае,
когда этих строк будет три (при большем количестве строк задача решается
совершенно аналогично).
В системе из трех строк неравенств, определяющей множество G, подсистему,
состоящую из первых двух строк, обозначаем через Т', а первую строку —
через Г" (последовательно отсекаем от исходной системы одну строку снизу, за-
тем две). Множества, определяемые системами Т', Т", обозначаем теми же сим-
волами Т', Т". Следовательно, G czT' czT" cz.Rn. Множество Т' считаем областью
определения неравенств из G». Областью определения неравенств из Т" являет-
ся все пространство Rn. В силу равенства
R,l\G = (/Г\П U (Т"\Т'} [}{T'\G)
расширенное правило (III) для рассматриваемого случая в компактной сим-
волической форме запишется следующим образом:
{а> О, b >0, аф 1
Iogo > 0 0, а = 1,
х = х> — а
f ад>0, /)>(}, а-£\ Ь>0, а^-1
Г а>0, о>О, а^--1 J log^^C) < logo6>0
| log«^<0 , I b, lx<_La
Здесь подразумевается, что @ определяется указанной системой,
7„. J ад>() 6д>°, а^\ Т":[а>0, b>0, а^\, (Gcz Г cz T"cz7?3) и что R-
| logu b > 0 (
313
область определения неравенств из Т", Т" — область определения неравенств
из Т'н, Т' — область определения неравенств из 6Н.
Описанное расширенное правило (III) и пример 8 мы исполь-
зуем в следующем параграфе при решении неравенств с пара-
метрами в примере 6. Заметим, что при этом в двух случаях
первая строка системы содержит пять неравенств, последние два
из которых нам пришлось записать под первыми тремя. Но это
нужно рассматривать как запись одной строки Т". Так же можно
поступать и в других подобных случаях.
2°. Пусть теперь множество GaRn определяется совокуп-
ностью систем неравенств. В этом случае разность Rn\G опреде-
ляется, как и в § 13 (п. 2°) главы III, некоторой другой совокуп-
ностью противоположных неравенств, но с учетом их области
определения Т (GczTczRn, правило (III)). Эта новая совокупность
систем неравенств строится с помощью равенства 5 из § 2 (п. 2°)
первой главы, а также распределительного закона пересечения
относительно объединения. Покажем, как это делается, обратив-
шись к примеру 2 § 7 (п. 1°): найдем области знакопостоянства
функции F (а, х) = у7х-}-4 — (ах-\-2) методом исчисления этих об-
ластей. Рассматриваемому примеру дадим здесь № 9.
Мы имеем пример 9:
!п у__ (а — любое
’ * D: I 4 ’
любые, ) .. 2_
( 7
{а — любое ( а> 0, а^-^-
^>0 <гп I
X^U, X^U, х^а-2(7_4а)1 Х^а-Ц7_4ау,
о L-----------------------------------j
В С
Л* 2\н„=л2\(вио=|
=(Я2\В)П(Я2\С)= | Г,р.а,|“° | - х<0, Х>ОП
I (Ill) 1 OL--------------------------1
Па^О, а>у,
I гл. III, § 13
I п. 2°
7 17 17
0<а^—, х<0 0<а^—, х<0 ( а^Л) I —
I С» I
х<а~2 (7 —4а), х> а ~'2 (7 — 4а), х>0,
7(7
0<а^—, х>0 J 0<а^ —, х>0
2 \ 2
k х<а“2 (7 —4а), х> а~2 (7 —4а).
_______________1
Следовательно,
314
7
6
8
4
мы обозначаем как соответствующие системы, так
Эти множества являются областями, заданными,
также
Выделенными цифрами
и множества их решений,
как в § 12 главы III, неравенствами с основной переменной а. Области же,
содержащиеся в D\Ho, в силу свойства непрерывной функции отображать
связное множество на связное (гл. III, § 11, п. 3°),— это области знако-
постоянства функции F (а, х).
При сопоставлении друг с другом областей (А) — ^8^ сразу выявляется,
что они попарно не пересекаются (а^О и а>0, х<0 и х>0, Л'<а~2(7— 4а)
и х>а”2 (7 —4а)).
Взяв в каждой из областей по точке (координаты (компо-
ненты) а, х этих точек должны удовлетворять неравенствам соответствующей
системы), вы определите знаки F (а, х) в областях и, следовательно, решите
заданные в условии примера неравенства.
Однако весьма желательно найденные области знакопостоянства F (а; х) «ук-
рупнить», расширить, а число их уменьшить. Сделать это можно только объ-
единив те или иные из непересекающихся областей (7) — (8). Сопоставляя
друг с другом эти области, мы встречаем в соответствующих системах про-
тивоположные неравенства: и^0иа>0в системах соответственно (Г) и (3), а
Т) , а>~ и - в системах
и ^8J . Это означает, что области ^7^ и
а = 0, содержащуюся в области (А) ; области (
ницу а = —, содержащуюся в (А) ; области Q5) и (^7} —общую
я=0, содержащуюся в и —общую границу д==—,
содержится в ^8) (подразумевается, что речь идет не о прямых, а
торых их отрезках, определяемых значениями х в областях).
и
имеют общую границу
) и Cl/ — общую гра-
границу
которая
о неко-
Иодобно тому как
„ есть область , в силу сказанного выше
x£R У
315
ооластями являются множества
Вводя
обозначения -(j) U (з) , Q2=(2) U (j) - Qi=(J) U Q
и®
и зная, что Q,dD\H{) (/—-I, 2, 3, 4), получаем разбиение
множества D\Ho на четыре (вместо прежних восьми) области знакопостоянства
функции F (а, х). Задаем их совокупностями систем неравенств относительно а, х:
Если теперь сравним эти области с найденными ранее (см. рис. 159), то
увидим, что Qi==Gj, Q2 = G4, Qs=Gi, Q2 = G2-
Рекомендуем читателю подобно рассмотренному решить сред-
ствами исчисления областей неравенства в примерах 1, 3, 6,
7 § 7 и 1, 3 § 8.
3°. Граничная точка области Р в Rn — это такая точка
m^Rn, в любой окрестности которой содержатся как точки про-
странства Rn, принадлежащие области Р, так и не принадле-
жащие ей. Граница области Р — это множество всех ее граничных
точек.
( а, х —
В пространстве R: < для каждой из областей
I любые
граничными точками будут все точки окружности а2 + х:2 — 1, а
сама эта окружность — границей.
Присоединяя к области Р те или иные ее граничные точки,
мы вновь получаем область. Если к области Р присоединяются
все ее граничные точки, получается замкнутая область, которая
называется замыканием области Р и обозначается через Р (см.
гл. III § 11). В только что приведенном примере первая, вторая,
третья области являются соответственно замкнутой, открытой, по-
лузамкнутой областями.
Пусть, далее, К и S — две области в Rn (пересекающиеся или
нет). Эти области могут иметь, а могут и не иметь общих гра-
О
ничных точек. Например, в ^^{^бые ДЛЯ областей и
все точки прямой а=1 являются общими граничными точка-
ми, а сама прямая — общей границей. В первых двух случаях об-
ласти не пересекаются (не имеют общих точек), в третьем пересе-
каются. В первом случае общие граничные точки не принадлежат
316
ни одной из областей, во втором принадлежат только первой об-
ласти, в третьем — обеим областям. Сформулируем два правила,
относящиеся к областям /(, S, предоставляя их доказательство
читателю.
(IV). Если области К, S (KczRn, SczR") пересекаюгсч, го их
объединение /(JS есть связное множество, а в случат1 сущее г
вования общих внутренних точек для К и S представляет из себя
область (о понятиях предельной, изолированной, внутренней точек
и точки прикосновения множества см. гл. I, § 7, и. 3° и гл. Ill,
§ 1, П. 5°).
(V). Если области К и S (KczRn, SazRn) не пересекаются,
но имеют хоть одну общую для них граничную точку т, являющую-
ся внутренней точкой множества /((JS, то это множество пред-
ставляет из себя область.
Рассмотрим три примера, которыми воспользуемся в § 11 (при-
меры 2, 3).
Пример
10. R-.
а, Ь, х —
любые,
К:
я<0, b — люб.
x-^Za2, x^Zb2,
S:
b <0, а — люб.
х^а2, х^Ь2.
.Четко подбираются общие внутренние точки множеств Д, S, например: <Za — — 1,
чаем, что KIJS, т. е.
1
У’
— 5>. На основании правила (IV) заклю-
я<(), b£R ( Ь<0, a£R
х^а2, x^Zb2, ( представляет из себя область.
{а ь ( я>0, — а<Ь<а
' ' К.’- J , . , ,
любые, ( — (а~У b)^Zx Ь,
!я > О, > а
( ь ° этих системах мы встречаем противоположные нера-
венства b<Za, bZ^a. Временно заменим в К неравенство b<Za на нестрогое
b а и подберем точку т=<я, Ь, х>, координаты которой удовлетворяют
обеим системам (с b а в первой системе), например: m = <Za=l, b = \, x~0z>.
Она является общей граничной точкой для К и S, внутренней для Ди S. На ос-
новании правила (V) заключаем, что множество ДОS есть область.
12. R2:
а, Ь, х —
любые,
( я<0, b — люб. J я>0, Ь>0
1 х^а2, x^Zb2, ’ 1 х<0.
В К и S встречаем противоположные неравенства я<0, я^О. Временно
заменяем в К неравенство а <0 на я<Щ и для обеих систем (ся^О в первой из
них) легко подбираем общее решение
m = <Z а = 0, Ь—0, х =
являющееся общей граничной точкой для Д, S, внутренней для KIJS. По пра-
вилу (V) множество K\JS является областью.
Читателю рекомендуем вернуться к примеру 9 и убедиться в
том. что для областей (j) U (3) , (3) U Q) , (3) U Q) ’ ® U
U (3) в качестве точки m с указанными в правиле (V) свойст-
П р и м е р
317
вами можно взять соответственно <0, —— >,
<0, 1>, <р 1>.
4°. Сделаем еще следующее замечание, основанное на наших
простых, но достоверных геометрических представлениях.
Если из области в R2 удалить какую-нибудь ее точку, то сно-
ва получим область. Подобно этому, удаляя из области в R
содержащуюся в ней линию (например, прямую, полупрямую, ду-
гу параболы, отрезок винтовой линии), вновь получаем область
в /?3
§ 11. Уравнения и неравенства с несколькими параметрами
Основываясь по-прежнему на предложениях § 3 и 4, мы будем
теперь рассматривать конкретные примеры уравнений и нера-
венств с несколькими параметрами.
1°. Пример 1. Обратимся вновь к рассмотренной в § 6 зада-
че о движении моторной лодки (см. п. 2°, пример 4). Это движе-
ние описывается уравнением с одним параметром а:
Заменив в условии задачи расстояние АВ = 48 км на b км, а за-
траченное на путь АВА время 5 ч на с ч, введем в уравнение еще
два параметра — параметры b и с — и придем к следующему урав-
йению с параметрами а, Ь, с и неизвестным %:
Ь | Ь 7 1 \
Соответствующие неравенства таковы:
-'Ш.Н—ь—>с и --------ь—<с.
х — а
Решение. Область определения D: J °"
I х > а
п ( а>(), &>0
ния параметров: Р: ) -->0
, область он ределе-
Г(1) ( b (х — а)-[-Ь (х-Ра) = с (х2 — а2) ( ах2 — 2Ьх — са2 = 0
| D 1?]| D | D
I До = Ь2 + с2а2 >0
I всюду в Р
f I
х== — <Ь— \/Ь2~Ус~а2)
п>0, Ь>0, с>0
0
I_____________________
+ \/b2P-c2a2)
а>(), О 0
КХ>С1
318
х = ~(4 4- \Jb2 + c2a2)
< a>0, b>0, oO o
(b + ^/b2 4~ c2a2) > a
a>0, b>0, c>()
, - общее решение x = x(a, b, c).
x = — (b 4- \ b2 + c2cr)
( a>0, b>0
Как видим, /4: J „ , и, следовательно, Р{} = Р.
] с>0
Области знакопостоянства вспомогательной функции F (а, Ь, с\ х) =—---Р
ь х+а
-I------с таковы:
х — а
( аД>0, /?>0, с>0
1 a<Zx<Zx {а, Ь, с);
J а>0, b >0, с>0
1 х>х(а, Ь, с)
При а= const, b = const, с = const функция F строго убывает с возрастанием х.
Следовательно, на G\ F (а, Ь, с; х)>0, а на G~> F (а, Ь, с; х)<0, т. е. H+ = G\,
H_ = G2- Этим определяется множество тех <а, Ь, с, х>, при которых на
путь АВА моторная лодка затрачивает соответственно больше и меньше, чем
с часов.
2° В этом пункте мы рассмотри?'? три примера иррациональ-
ных уравнений и неравенств с параметрами а, b и неизвестным х.
Пример 2. Решить уравнение и неравенства
\!а' \ A~x[b'2 — x=za-\-b.
г» гч ( а> Ь — любые п . ,
Решение. Область определения D:l 2 2 , Р: {а, b — любые.
I а* а , х о
Обозначим уравнение через (1).
(1) J а2 — *4~2 х/(а2 — х) (Ь2 — x)+b‘2~x = d2A-2abA~b'2
D | а ^-1.2 а4-^^0, х^а2, х^Ь'2 рТа
I х^а , х^Ь '
( д/(а2—х) (Ь2— х) = хЦ-ab Г (а2— х) (b2— х)^х‘2 A~2abxA-a2b2
[Г4 a+fe>o,
I x-|-ab>0 lx^b~,x^—abj у
( (а2 4- Ь2 Ц-2а6) х = 0 ( (а4-Ь)2х = 0 ( аЦ-Ь = 0 | х = 0
Ш(2) ^1(2) Т|(2), |(2)
а 4- Ь=^ 0,
х^Ь2, х —ab,
в неравенстве —ab первой
системы заменяем —а на b(b =
= —а\ в неравенствах второй
системы х заменяем нулем;
при b = — а d2 = b2
319
{b=—a, x^d2 x — Q, —a f b=—a ( x = Q, ab^Q
x^b2, x^b-b, < O^d2, O^b2 oJ x^a2 — a
0^ —ab | x = b2,
I_____________2__________I 1—2____:_____________1
ab^O ( 0
Ь^ —Ь^О
b——a ( a^O, b^O
9 J — общее решение
x = cr = b'-, I %=0
------------------1 x=x(a, b).
(a^O
Область существования решений Pq: b = — a, [ 0f она со-
ставляет правильную часть множества Р.
Области знакопостоянства вспомогательной функции
F (a, b; x)—x/a2 — x-\-x/b2 — x--{a + b)
найдем методом исчисления этих областей. Введем обозначения:
„з (а, Ь, х — гл. (а, b—любые , (Ь=~а
[любые, [x^min (а , b ), \х = а =b ,
л . b^O b'^0
°* [X — 0 [x^O, x^O; HQ = Hq\JL.
Как и в § 10, п. 1° при решении примера 5, имеем:
d3\j_] _1 d<zQ | b <d.0
* ' 0 j b, x — люб., \ a, x — люб.,
0
o,
откуда
D\H0 = D(}^3\Hq) =
а<0, b—люб. (6<0, а — люб. ( а d> 0, Ь^О
x^min(a2, b2), [x^min(a2, b2), | CXx^min (я2, Ь2'
я^О, Ь^О
x<z0.
Так как при а = 0, а также при b—Q система
на, то
(a<zO, b—люб. (b<zO, а -- люб. ja>0, /?>0
D\Ho~y %<^min (a2, b2), |x^min(a2, b2), [0<x^mini
2
3
f a^O, b^O
i x<c0
I
(*)
320
Под (?) — (?) подразумеваем как соответствующие системы,
так и определяемые ими области в Z?3.
Ни одна из областей (?) , (?) , (4) не пересекается с полис i ью
(з) , ибо в (?) «_>(), Ьу>0, х>>0, а в Q в (?) Ь- О,
в (?) х<0.
Обратитесь к примерам 10 и 12 предыдущего пар.п рафа,
в которых рассматривались области (?) , (?) и (?) . Там дока
зано, что множества (?) (J (?) и (?) J (?) являются областя-
ми. Но тогда по правилу (IV) и множество (?) (J (?) U (?) оегь
область, так как все внутренние точки области (?) являются
общими для областей (?) U (?) и (?) (J (?) .
Таким образом, равенство (*) определяет разбиение множества
D\H0 на непересекающиеся области (?) и (?) J (?) J (?) , ко-
торые обозначим соответственно через G и Q: D\H(y = G{]Q
(CpQ-0).
г ( Ь — — а
Обращаясь, далее, к множеству , отметим, во-
первых, что L cz (?) U (?) czQ (проверьте по системам (?) , (?) )
и, во-вторых, что для всех точек L х = а2, х = Ь2, ввиду чего они
являются граничными точками для области Q. Следовательно,
множество Q\L - область. Теперь мы можем представить и D\HQ
в виде объединения непересекающихся областей:
D\H. = D\(H„ U Т) = (D\/7o)\L -(G U Q)U = G U(Q\L);
D\H^G[)(Q\L).
Из этого следует, что G и Q\L — искомые области знако-
постоянства вспомогательной функции С (а, Ь; х). Определяем зна-
ки F (а, Ь; х) в этих областях., произвольным образом выбирая
в них по точке:
/<1 = < 1, 1, 1>еС, К2=<1, 1, —1 > CQ\A,
F (Л1)=У12-Т+ур-Т-(1 +1)<0,
f(A'2) = V2+T2-2>0.
Отсюда множества решений неравенств из примера 2:
H+ = Q\L =
tz<0, b£R
x^Z min (а2,
Ь'\
|6<0, a^R (aZ^O, Ь^?0
|x^min(a2, b2),
__________________________j
j Ь = — а
| х=-а2,
321
rj г> ( ci ~^> 0, b 0
П — = U ~l / 2 t,2\
(0<x^min (a, b).
Заметьте, что при решении рассмотренных неравенств нам бы-
ло удобно временно отбросить линию L, а затем вновь ее учесть.
Так же мы поступим и при решении примера 3.
Рекомендуем читателю в этом и следующем примерах изобра-
зить пространство Oabx и представить себе в нем множества
Яо, G и Q, а также линии L.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства:
д/сГдУ-Дх+Va+^ —•
П П ( а>о, Ь — любое
Решение. Область определения D: I , , ,. , о
[ — (a-{-b)^.x^.a-\-b а
(а>0, а-]-Ь^0 ( а>0, Ь^ —а
( — (аД-b)^.x^a-\-b — (a-\-b)^x^a-\-b.
Обозначим через (1) данное уравнение.
_ х2
(1) |(1) ( 2(аД-6)Д2 7ДД^)2-х2= —
D Й j D, х^0Й| . . ,а о
vtz>0, b^ — a, ОДх^аДЬ [2], а
f 2 Д'Д'Д 6)2 —х2==-^—2(а-\-Ь) < 4 [(а Д- Ь)2 — %2] =|^~~ 2 (а
а>0’ b^~a> Q^x<a + b\ Й (2)
\х2^2а (a-[-b) J
4 (а Д 6)2 — 4х2 = 4 х2 Д 4 (fl Д b)2 f ~^ — —х2=--0
v 7 а2 а а- а о
(2) 1211(2)
( х2 (х2— 4аЬ) — 0 ( х2 = 0 ( х2 ~4аЬ = 0 ( х = 0 Г x‘2 — 4ab
[ (2) (2), | (2)Д((2), |(2),
непосредствен-
ное решение
систем; |3
х = 0, а>0
а Д b >0
0^ а Д Ь,
х~2 ~\[ab
< а>0, 6^0, 2 ^ab ^.a~b b
4аЬ^2а (а-}-Ь)
( а>0, а-\-Ь— 0 x = 2x]ab
| х — 0, < а>0, b^O, (\М—Vb)2^O
2Ь^а Д b
— общее решение х = х(а, Ь).
322
Неравенства F (а, b\ х)>0 и F (а, Ь\ х)<0, где
F (a, b\ x)^\!a^b + x-~-~\la-\-b — x~— ,
y/a
решим с помощью исчисления областей знакопостоянства функции F.
г> , ( п>0, & — — а
Временно отбросим линию L\ j и оставшуюся часть
(п>0, >п
. о г г общего
х^2 yab, х^.2 yab
рез Но-
Чтобы представить R3\Ho
менными а, Ь, х, воспользуемся
другое обозначение: Но):
( а<0
R\Ho =J b, х- <
I любые,
решения Но чанного уравнения обозначим че-
в виде совокупности систем неравенств с пере-
примером 6 § 10 (множество G получает при этом
^<'a J a>-0, bZ>.a ( a'_>0, b^a
a’ * | x<2-y/ab, | x>2 yjab.
любые, v. c ’
Переходя, далее, к D\Ho, т. е. к пересечению Df[(R3\H0), мы должны учесть,
что а>0 и п^О несовместимы и что для положительных a, b 2^[аЬ^а-\- Ь,
причем строгое неравенство справедливо при а^=Ь и только в этом случае, и по-
тому первую систему записанной совокупности нужно отбросить, а в последней
системе следует Ь^а заменить на Ь>а:
D\Ho —DC](R\Ho) —
п>0, —a^b<a ( п>0, b^a ( a>Q, b>a
— (аф- b)^ix^a-Yb, | — (а-\- b)^x<02 ^ab, | 2 ^[ab <Z.x^a-\-b
2
Выделенными
определяемые
Так как в
цифрами обозначаем соответствующие системы и одновременно
ими области в R3.
2 \ab, а
= 0 (и более
2
и
(?) разделены поверхностью
. Очевидно также,
что
= 0 (в
Следовательно, мно-
жества
множество
2j не пересекаются. Как доказано
представляет из себя область.
в § 10 (пример 11),
Обозначив области
соответственно
через G и Q, пере-
а
в
пишем равенство (*) в виде D\/70 = GUQ (G QQ= 0).
Сопоставляя систему для L с системой Qj , видим.
что каждая точка
<а, Ь, х>, удовлетворяющая первой из этих систем, удовлетворяет и второй.
Следовательно, Lee (?) czQ. Геометрический образ множества L — полупрямая,
лежащая в плоскости аОЬ пространства Oabx. На основании замечания 4° пре-
дыдущего параграфа заключаем, что Q\L -- область.
323
Далее имеем £>\Я0 = D\(H0 J Л) = (D\H0)\L=(G J Q)\L = G U (Q\L), т. e. D\Ho =
= GU(Q\L\ Gn(Q\L)= 0.
Это значит, что G и Q\L являются областями знакопостоянства функции
F (а, Ь\ %). Определяем знаки этой функции в областях G и Q\L:
М=<1, 8, 7>£G, W=<1, 8, 0> EQ\L, F (M)=V16 + V2-7 <0,
F(2V) = V9+V9>0.
Отсюда и множества решений заданных неравенств:
!а>0, — aCbCa ( «:>0, b~Cа ( а>0, b — а
-(а-\-Ь)С.х^а-\-Ь, | — (а-|-6)^х<2 ^/ab ]% = (),
о,----------------------------------------1 v
„ r f а>0, Ь>а
1 2 ylab СхС^а-\-Ь.
Пример 4. Решить неравенства с параметрами а, b и неизвестным х
л/хф- а — у/х-Р b \Ja — ^Ь. (*)
( а>0, ЬфгО
Область определения D: < ,. Множество решении соот-
— а, — b
,, (а^О, Ь^О (а^О, Ь—а ..
ветствующего уравнения /70: J ^__q < х~> а Читатель легко по-
।______________________I
строит цепочку равносильностей и получит этот ответ, который можно записать
и в виде
( а^О, Ь^О ( а^О, Ь^а
[хфгО, х=ф0, х^—а
Неравенства (*) с переименованными переменными (х, у, z вместо соответ-
ственно а, Ь, х) решены в § 13 п. 3° главы III с помощью исчисления областей зна-
копостоянства вспомогательной функции. Пользуясь этим, запишем ответ к рас-
сматриваемой задаче с параметрами (*):
ОСЬ Са ( 0 С ас b ( OcaCb (О^Ьса
— Ь<х<0, |х>0 а<л<0, |х>0
Читателю полезно заново решить пример 4 и прийти к указан-
ному ответу.
3°. Рассмотрим два примера неалгебраических уравнений и не-
равенств с несколькими параметрами.
Пример 5. Решить уравнение и неравенства с параметрами а, b и неиз-
вестным х
1g {х — 2а) — lg (b — tz)§lg 1g х.
324
Решение. Область определения /):[ ''
[ х > 0, л - 2</
Обозначив уравнение через (1), запишем:
( (1) J Г х (х — 2а) = Ь2 — а2 ( л"’ 2н\ | (</' //’) О
[D [по^[6]| °~а Х ^[d
I теорема! ( х=а-\-Ь ( х = а— b
^1 Виета I V j d | D
I_______________________________________I
| х = а-\-Ь Г х-=а — Ь
!=> г a£R, b>a, Ь>—а г a£R, b>a, Ь>—ао
0 1 аН-6>0, a-\-b>2a, I а — Ь>0, а — Ь>2а
0
Г х = а-\-Ь а — любое
о< a(zR оМ>а, Ь> — а — общее решение х = х (а, Ь).
|&>а, Ь>—а х = а-{-Ь
Переходя к неравенствам, вводим вспомогательную функцию F (а, Ь; х) =
— Ig (х— 2a)+lg х — lg (b — a)— 1g (Ь-фа). Области ее знакопостоянства:
{a£R, b>a, Ь> —а
max (0,2а)<х<а + b;
fa^R, b^>a, b> —a
x> a-\-b.
Функция F (a, b; x) при a = const, b = const возрастает с возрастанием x, и,
следовательно, F (a, b; x)<0 на Gi, a F (a, b; x)>0 на G-2. Отсюда множества
решений неравенств соответственно H+ = G<2, H_=G\.
Пример 6. Решить уравнение с параметрами а, Ь, с и неизвестным х
log, b
а =х
(1)
Решение. Область
_ ( а>0, &>(), с 7^=0
определения D: i
1 х>0, х^= 1.
при а= 1 нет ре-
шений, при b = 1
тоже
D, 1, b #= 1 -о
ч- _ [logal
logx b= — logo X
(2)
переход от ос-
нования х к ос-
нованию а
{logo b 1
,----------logo X О
loguX С & [4]
(2)
(loga Х)2
(2)
С - 10ga Ь
(10ga X)2 = С- loga Ь ( logo X = х/С loga Ь
(2), С -loga &>0 ^[(2), С • loga Ь > 0,
10ga Х= — V^’lOga Ь
(2), С loga Ь >0
0
325
-•Jc log,, b — ~Jc log,,'/?
x=a x = a
я>0, b>0, c=#0 < t/>0, b>0, c-^=0
T a=/=l, b=/=\, clogab>0 a=#l, & =И= 1, clog6>&>0
I__________________________________________________________I
v/log,, b / — -Ji log,, l>
x = aN I x=a v M
a > 0, b '> 0, с 0 I a > 0, b > 0, c =f= 0
a^l, b^=l I ay^l, b^--l
C log„ &>(), ( c logn 6>0
a>0, fe>0, c^=() o>0, й>0, cyO
O,^ \ , Ь \ tZ 1 , i
Hog^>0 clogufr>0 -Общее решение x--X(a, b, c).
Прежде чем перейти к решению неравенств аи^'ь^хс, чи-
тателю нужно вернуться к и. 1” предыдущего параграфа и вновь
рассмотреть расширенное правило (III) и пример 8.
Для решения указанных неравенств с областью определе-
ния Dcz/?4 (точками пространства J?4 считаем все наборы вида
<Za, b, с, хД>) введем следующие обозначения: -yjc*\oga b — k
в случае, когда с-loga Ь^О,
Hq\
'ад>0, а=^=1, Ьд>0, b^l, сфО
< C-\ogab:>()
а=^\,
Н 02 <
' а>0,
OlOgG Ь>0
Z?>0, C--A0
x=^a~~k
yr. I ct>0, a^l, b>{), b^=\, c=^Q
’ I c-logu /?>0 ;
T" * |аД>0, a 7^1, /?Д>0,
нижние строки и противоположные неравенства: //оы* {x = ak;
^02н • — а , Тн. ф • loga Ь Д> 0’ //oi н • х а , Н02н • -'т^- а \
Т'И:с loga b^Q.
Ясно, что Яо-Яо1иЯО2 и что Н^аТ' czT" ст/?4 (/=1, 2) (при
удалении из системы какого-нибудь ее неравенства множество
решений системы, вообще говоря, расширяется).
326
Так как, далее, в силу равенства 5 из главы I § 2
R4\H0 =/?4\(/7oi U = (/?1 \//о>) I I
то для задания R4\Hq неравенствами с переменным и о, />, <\
х нужно это сделать по отношению к множествам R'\П^, R'\/In>.
Воспользуемся для этой цели расширенным правилом (HI) и ана
логией с примером 8 из предыдущего параграфа.
В рассматриваемом случае
z А (Я4 (я4 V 7 (tz<0, (&<0, о 1 ( Т" (б>~| с log„fc<0. о 1 • II 11 ~ ° - -° * л> й II " 1+ >- Ьз II "
Подразумевается, что в равенстве для (д) число -}-k отно-
сится к /У01, а противоположное число — k — к Я02. Поэтому
в силу равенства (*) мы получаем:
( Т" ( Т'
R4\Ho[—a^O, /?^0, с = 0, а—1, b = l, | с loga b^Q, [x^ak,
ol---------------------------------------------—-----——I
{7VZ
c loga b^Q, ( x^a~k.
ol-------------------------------------------1
Найдем пересечение этих множеств с областью определения
(см. начало решения примера), учитывая, что а^О, с = 0
несовместны с D: {а>0, £>>(), с^=0, х>0, х=^1.
'а=1, bz>0 fa^>0, b = l
= < с=#=0 с=^0
х>0, хф\, х>0, х=£1,
--------------- ------------
(1), (2),
а>0, /?>0
С =^=0, 1
ЬФ 1, с logo Ь<0
х >0, ху= 1,
(3)
а>0, Ь>0, а^\
b^ 1,
с loga 6>0
х>0, х#= 1, x^ak,
_____________I
(4)
327
D П(/?4\Яо2) = (1), (2), (3),
a>0, b>0, a^= 1
b=£l, c=^0
C logo /?>0
x>0, x=^=\, x^=a~k.
oL
(5)
Переходим к множеству D\HQ. Так как D\//0 = Z)n(/?4\//0) =
= Dn[(r\^oi)n(/?4\^o2)]=[Z)A(/?4\^H)]A^n(/?4Wo2)], то в силу
записанного чуть выше имеем: £>\//0 = (1), (2), (3), (4) А
AJ1), (2), (3), (5)t = .(11), (12), (13), (15), (21J, (22), (23), (25),
(31), (32)~, (33), (35), (41), (42), (43), (45)|Т|(1), (12), (13),
(15), (2), (23), (25), (3), (35), (41), (42), (43), (45).
Легко видеть, что системы (13), (15), (23), (25), (35), (41),
(42), (43) несовместны: а~\ и а=^=1, Ь=1 и b^=l, clogab^CO
и с logq b^>Q. Поэтому
D\H. = (1), (12), (2), (3), (45), =
'<2=1, /?_>() fa=l, b—l Гa>0, b — 1
C 5^=0 < C 5^ 0 J C 0
x > 0, x 1, x > 0, x 1, I X > 0, 1,
'a>0, b>0, c#=0 fa>0, d>0.
< a=^l, b 1, c loga b C0 a=# 1, 6 y= 1, c logw b >0
x>0, x-^1 , x^>0, x^= I, x=^=ak, x^a^k,
_________________________________2____________________________________I
где ^ = д/с loga /г.
Пять систем равенств и неравенств этой совокупности имеют
своими основными переменными а, Ь, с и определяют несвязные
множества в /?4, что обусловлено неравенствами а^=\, b^l,
с--7^0, х^\, x^ak, x=^=a^k, т. е. совокупностями д< 1, a2> 1 ,t
b < 1, и г. д. По правилу [г] разбиения систем имеем:
328
{a=l, b^>0 (a—I, b>() fa—I, b::>() fa I, If -0
c<0 Jc<0 J c>() c -0
x>0, x< 1, I x>0, x> 1, I x>0, x < I, x • (), \ - I
oi------_---------------------------------к 1
Эти четыре системы определяют уже связные множества в R', ибо
каждый элемент каждой данной системы (а — 1, х«._ I, г- 0, Ь -()
и т. д.) определяет, очевидно, связное множество в Z?1, а пере
сечение этих связных множеств непусто: очень просто указан,
сколько угодно решений данной системы, они и принадлежа i
пересечению множеств, определяемых элементами системы. Отме
тим, что связные множества, определяемые четырьмя рассмат-
риваемыми системами, не являются областями в 7?4 (ни откры-
тыми, ни замкнутыми, ни полузамкнутыми), что следует из ра-
венства а—1, содержащегося в каждой системе, так же как
прямая ц=1 в координатной плоскости аОх не является об-
ластью. Так что в данном случае нужно говорить не об области,
а о связном множестве знакопостоянства функции F (а, Ь, с; х) =
1
_— д-с Определяем ее знаки на найденных четырех связ-
ных множествах, которые обозначим соответственно через Gi, 62,
G3, G4. Выбираем точки
b—\, с= — 1, x =
К2=<1, 1, -1, 2>eG2, К3=<1, 1, 1, 4>€G3,
X4=<1, 1, 1, 2>6G4; F(K,)=l-2<0, F (X2)= 1 -2*' >0,
№)>0, F(K4)<0, откуда , G^cz.H+, G:iczH+, G<aH_.
Вновь обратимся к равенству
D\Ho=(l), (12), (2), (3), (45),.
Мы рассмотрели систему (1) и определяемое ею множество^ (1).
Точно так же каждая из систем (12) и (2) определяет совокуп-
ность четырех попарно непересекающихся (и разделенных) связ-
ных множеств знакопостоянства F (а, Ь, с\ х), не являющихся
областями. Система (3) определяет совокупность восьми (23 —
три неравенства #=), а (45) — шестидесяти четырех (26 —
шесть неравенств ) попарно непересекающихся областей. Систе-
мы (3) и (45) не содержат равенств.
Для каждой из систем (12), (2), (3), (45) выделите одно
определяемое ею связное множество и укажите соответствующий
знак функции F (а, Ь, с; х).
Большое число разделенных связных множеств знакопостоян-
ства вспомогательной функции объясняется наличием трех пара-
метров и особенностями показательно-логарифмических нера-
венств.
329
4°. В этой главе мы решали уравнения, а также неравенства
с параметрами методом равносильного преобразования систем
и совокупностей неравенств и равенств в Rn. Эти системы и
совокупности с точки зрения их преобразования во многом подоб-
ны соответственно одночленам и многочленам, с которыми опе-
рируют в школьном курсе алгебры. Поэтому и запись совокуп-
ности систем
по своей форме (строка!) близка к записи многочлена. Роль
содержащихся в одночленах и многочленах букв и числовых
коэффициентов в системах и совокупностях играют входящие
в них неравенства и равенства. А роль, которую в одночленах и
многочленах играют действия умножения и сложения, в системах и
совокупностях отводится просто запятым. Эти запятые при перехо-
де к множествам решений систем ( { ) и совокупностей (о ,_,) оз-
начают соответственно пересечение (П) и объединение (U) опре-
деленных множеств в Rn.
Решим еще тем же методом две системы уравнений с пара-
метрами.
Пример 7. Решить систему двух уравнений с параметра-
ми а, Ь и неизвестными х, у
(Ьх2 — у= — \ ...
[ах — у=1.
Область определения D: {а, Ь, х, у — любые. Строим цепочку
равносильных систем и совокупностей уравнений и неравенств,
первым звеном которой является система, составленная из уравне-
ний (1) и D, а последним будет общее решение системы (1).
При этом мы пользуемся правилом [д] об алгебраическом сло-
жении уравнений, образующих систему (§ 4, п. 2°).
(1)^1 Ьх2 — у + 1 = 0 ( Ьх2 — у + 1 — О I 11 ОI
D | ах — у — 1 — О [д| | ах — у — 1=0 I — 11 11
(Ьх2 — ах+ 2 = 0
| у = ах — 1
Ьх2 — ах+2 = 0
’ у —ах— 1
Д = а2-Ы^
{b = 0, a£R
— ах + 2 = 0
у = ах — 1,
j____________
+ + 0, а2 >8/?
Ьх2 — ах+ 2 = 0
у = ах — 1
330
b = 0, a^=0
— axd~2 = 0
y = ax — 1,
/<=/=0, d2^8b
bx2 — ax 4- 2 — 0 <>
y = ax— 1
При
X\ (a,
x2 (a,
b^O обозначаем:
+ —86)
' a = 0, b = 0 Г6=/=0, a2^8b
x = 2 < {x = xi (a, b\ x = x2(a, b\
a I у = ax — 1
^y = ax—1, 4
1_______________________________________1
Г. ₽
' a=£Q, b = 0
x — — (b=£0, a2^8b (b=£Q, a2^8b
a 2 Jx=xi(a, b) Jx=x2(«, b)
. y = a---1, 1 y — a«xi (a, b)— 1, I y = a-x2 (a, b)—1
b=^=0, a2^8b
J/ = ^(a+ V6'7—
Эта совокупность трех систем и есть искомое общее решение систе-
мы (1):
(х = Х (а, Ь)
[y=Y(a, b).
Область существования решений системы (1), т. е. область определе-
ния общего решения данной системы:
Ро:
га^О ( 6^°
1/7 = 0, Ь^-^а2.
о
331
Пример 8. Решить систему двух иррациональных уравне-
ний с параметрами ад>0, и неизвестными х, у
f //=д/2ах— х2
Область определения
D:
'а>0, fц>0, (а>0, Ь>0
< 2ах — х2>0 oJ х (х — 2а)С0 oJ 0<Jx<2a
2Ьу — у2^0 у(у — 2Ь)^0 |^0 с: 2Ь.
Цепочка равносильных систем для нахождения общего реше-
ния системы уравнений (1):
' у2 = 2ах — х2
х2 — 2Ьу — у2 д
D
х2 у2 = 2ах
х2 + у2 = 2Ьу
D
1
2ах — 2Ьу = 0
х2 -\-у2 = 2ах о
D
x^ + y^Zax ^Уг2 + 4х2 = 2ах
О D
х ((/?2 + «2) а: — 2аЬ2) = 0
2аЬ2
a2 db2 |
2ab2
d2-\-b2
2b3
а2 ДДг
2а-
= --общее решение
_________I
х = Х (a, b), y=Y (а, Ь).
332
Упражнения к § 11
Решить уравнения с параметрами а, Ь, с.
26. л[х-\-2а —^[x=^j2b. 27. -д/а —|~+д/—у- - \J(I i l> '
28. lg (a-\-b — %) —lg (2c->x) = \g (2c-\-x) — lg (a-]-b 4-t).
29. ctg (\ax\ -{-b) = c.
Решить системы уравнений с параметрами а, b и неизвестными
%, у.
30jA±i+^=a 3|.
< х—у 1 х+у \х у-\-у х — а —2Ь .
I ху = Ь.
32 ftg2 + +л/3) tg (x+^)=tg
sin ay = cos -2-.
ЛИТЕРАТУРА
Теоретические руководства и пособия
1. Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Ш в а р ц б у р д С. И.
Алгебра и математический анализ: 9 кл.--М.: Просвещение, 1983.
2. В и л е н к и п Н. Я. Функции в природе и технике. - М.: Просвещение,
1978.
3. Г у с е в В. А., Морд кович А. Г. Математика: Справочные мате-
риалы. М.: Просвещение, 1990.
4. Ж е г а л к и н И. И., С л уде кая М. И. Введение в анализ.— М.:
Учпедгиз, 1935.
5. 3 о р и ч В. А. Математический анализ.— М.: Наука, 1981. Ч. I.
6. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ.- М.: Высшая школа,
1988 — Т. 1.
7. Л у з и н Н. Н. Дифференциальное исчисление.-- М.: Советская наука,
1946. - Предисловие.
8. Лузин Н. Н. Дифференциальное исчисление. - М.: Высшая школа,
1961.
9. Н и к о л ь с к и й С. М. Элементы математического анализа. - М.: Нау-
ка, 1981.
10. Фихтенгольц Г. М. Математика для инженеров.— М.; Л.: ГТТИ,
1932,- Ч. 1.
1 1. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Основы математического анализа.- - М.: Нау-
ка, 1968. - Т. 1, 2.
12. Фридман Л. М. Учитесь учиться математике. М.: Просвещение,
1985.
13. Хинчин А. Я Восемь лекций по математическому анализу,--М.:
Наука, 1977.
14. Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. - М.: ГИТТЛ,
1957.
15. Хинчин А Я. Педагогические статьи,- М.: Изд-во АПН РСФСР,
1983.
Руководства по решению задач
16. Башмаков М. И. Уравнения и неравенств. М.: Наука, 1976. -
Вып. 5.
17. Башмаков М. И. Уравнения и неравенства,—М.: ВЗМШ при МГУ,
1983.
18. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.—
М.: Наука, 1971.
19. Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. В., Смирно-
ва С. Ф. Сборник конкурсных задач по математике.— М.: Наука, 1983.
20. Д е м и д о в и ч Б. П. Сборник задач по математическому анализу для
университетов и педагогических институтов.— М.: Наука, 1972.
21. Я с т р е б и н е ц к и й Г. А. Задачи с параметрами,— М.: Просвещение,
1986.
334
ОГЛАВЛЕНИЕ
К читателю.......................................................................................................... 3
Глава I. Функции
§ 1. Переменные и постоянные..................................................................................... 6
§ 2. Множества.................................................................................................. 10
§ 3. Действительные числа....................................................................................... 14
§ 4. Зависимости между переменными.............................................................................. 20
§ 5. Функции (отображения). Многозначные функции......... 25
§ 6. Кванторы................................................................................................... 32
§ 7. Числовые множества. Грани. Стягивающиеся сегменты. Предельные
и внутренние точки............................................................................................ 39
§ 8. Действительные функции действительного переменного .... 48
§ 9. Ограниченные функции. Монотонность. Функции четные и нечетные.
Периодические функции ........................................................................................ 55
§ 10. Элементарные функции................... 61
§11. Преобразования графиков функций.............................................................................. 70
§ 12. Действительные функции нескольких переменных........ 79
§ 13. Уравнения и неравенства с одной и несколькими переменными . . . 86
Глава II. Предел функции
§ 1. Явления и процессы, математическое описание которых приводит к по-
нятию предела......................................................... 95
§ 2. Определение предела функции на бесконечности и в точке .... 99
§ 3. Некоторые вопросы, связанные с определением предела функции . . 104
§ 4. еб-язык математического анализа............................................................................109
§ 5. Свойства предела функции. Первый замечательный предел . . . . 113
§ 6. Примеры, решаемые непосредственно на основании определения преде-
ла функции............................................................118
§ 7. Односторонние и двусторонние пределы. Расширенное определение
предела числовой функции ............................................ 125
§ 8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции................................................................129
§ 9. Предел и арифметические операции над функциями. Предел корня п-й
степени...............................................................135
§ 10. Предел последовательности...................................................................................1-11
§ 11. Предел показательной функции.................................................................................148
§ 12. Сходящиеся последовательности................................................................................153
§ 13. Предел монотонной последовательности.........................................................................156
§ 14. Неперово число...............................................................................................159
335
Глава III. Непрерывность функций
§ 1. Определение непрерывности функции в точке.....................
§ 2. Свойства непрерывности функции в точке. Непрерывность и арифмети-
ческие операции над функциями .....................................
§ 3. Точки разрыва функции.........................................
§ 4. Непрерывность сложной функции и обратной функции. Непрерывность
элементарных функций...............................................
§ 5. Свойства функций, непрерывных на промежутке...................
§ 6. Замена переменной при вычислении предела функции..............
§ 7. Сравнение бесконечно малых....................................
§ 8. Эквивалентные бесконечно малые и их применение к вычислению
пределов ..........................................................
§ 9. Аппарат теории пределов.......................................
§ 10. Построение графиков рациональных и некоторых иррациональных и
неалгебраических функций элементарными средствами..................
§ 11. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Области
§ 12. Задание областей с помощью неравенств.........................
§ 13. Неравенства с несколькими переменными.........................
Глава IV. Уравнения и неравенства с параметрами
§ 1. Явления и процессы, описываемые уравнениями с параметрами .
§ 2. Определения................................................
§ 3. Что значит — решить уравнение с параметрами................
§ 4. Свойства равносильных систем и совокупностей уравнений и пера
венств с параметрами............................................
§ 5. Область определения уравнения и неравенств с параметрами .
§ 6. Квадратные и дробно-рациональные уравнения и неравенства с одним
параметром......................................................
§ 7. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметром .
§ 8. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с пара
метром..........................................................
§ 9. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром .
§ 10. Аппарат решения неравенств.................................
§ 11. Уравнения и неравенства с несколькими параметрами . . .
Литература.....................................................
ЗАДАНИЕ
НЕРАВЕНСТВАМИ
ОБЛАСТИ Q
lim у = О
1) Q:.
2)Q:«
I х + 3|(х-6)
(х + 1 )(х - 2)2(х - 4)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ С И НЕИЗВЕСТНЫМ х
а - любое
ОХ+1 = X2 + 2х + 1
ах + 1 >0, х £-1
Vqx + 1 = х+1
D, х+1 > О
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ D !
1 £ у £ 6-х
* а < 0 а = 0 а > 0
1 xc-q х - любое >.1 А а 1
х = 0, х = а-2
ах >-1, х >-1
х = 0 * ах >-1, х >-1 х = а - 2 ах >-1 х»-1
х = О
а - любое
> = а~2
- а(а-2) >-1
-2 >-1
х = 0 а - любое * х = а-2 а2 - 2а + 1 ^0 а > 1 L ।
а - любое
х = 0
а > 1
х = а -2
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (1)