В КВАНТОВУЮ
ВОЛ НОВЫХ
ПОЛ ЕЙ

ВВЕДЕНИЕ
В КВАНТОВУЮ'
ТЕОРИЮ
ВОЛНОВЫХ
ПОЛЕЙ
П Е Р Е В ОД
А.С.КОМПАНЕЙЦА

АННОТАЦИЯ
Книга Вентцеля содержит систематическое и стро-
строгое изложение квантовой теории волновых полей:
электромагнитного, электронного и мезонного в её
современном состоянии.
Книга рассчитана на физиков-теоретиков, но может
быть полезна и экспериментаторам, желающим рас-
расширить свой теоретический кругозор.
Редактор К. П. Гуров. Техн. редактор И. Д. Ту Маркина»
Подписано к печати 24/VII 1947 г. 18,25 печ. л. 18,62 уч.-изд. л. 40 800 тип. зн.
в иеч. л. А06394- Тираж 6 000 экз. Цена книги 11 р. Переплет 2 р. Заказ №7157.
1-я Образцовая тип. треста «Полиграфкнига» Огиза при Совете Министров СССР.
Москва, Валовая, 28.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Глава I. Формальные основы 7
§ 1. Канонический формализм 7
§ 2. Сохранение энергии, импульса и момента количества
движения 16
§ 3. Комплексные функции поля. Сохранение заряда ... 20
§ 4. Инвариантность по отношению к преобразованиям
Лорентца. Зависящие от времени операторы поля и
их перестановочные соотношения 25
§ 5. Переход к пространству импульсов 33
Глава II. Скалярные поля 41
§ 6. Действительные поля в пустоте 41
§ 7. Действительное поле с источниками 50
§ 8. Комплексное поле в вакууме 63
§ 9. Комплексное поле во взаимодействии с протонами и
нейтронами 69
§ 10. Комбинированное нейтральное и заряженное поле . 80
§ 11. Заряженные частицы в электромагнитном поле ... 83
Глава III. Векторное мезонное поле 92
§ 12. Комплексное поле в вакууме 92
§ 13. Векторные мезоны в электромагнитном поле .... 109
§ 14. Ядерные взаимодействия 118
§ 15. Мезонная теория и ядерные силы 126
Глава IV. Квантовая электродинамика 137
§ 16. Электромагнитное поле в вакууме 137
§ 17. Взаимодействие с электронами 152
§ 18. Теория со многими временами 168
§ 19. К вопросу о собственной энергии 184
Глава V. Квантование волнового поля электронов по
принципу Паули 200
§ 20. Свободные электроны 200
§ 21. Электроны в электромагнитном поле 224
Глава VI Заключительные замечания. 239
§ 22. Частицы с более высоким спином. Спин и стати-
статистика 239
§ 23. Перспективы 249
Новейшие исследования в теории мезонов 253
Именной и предметный указатель 291

ПРЕДИСЛОВИЕ
В исследованиях по теоретической физике за последние
годы значительное место заняли работы по квантовой тео-
теории поля. Кто попытается вникнуть в эту область по жур-
журнальной литературе, часто натолкнётся на затруднения, даже
если он хорошо владеет элементами квантовой механики.
Многие из моих коллег по специальности, знакомившие своих
учеников с оригинальной литературой, подтвердили мне это
впечатление. Настоящая книга должна облегчить ознакомле-
ознакомление с этой областью.
Конечно, я спрашивал себя, достаточно ли созрела тео-
теория для изложения в виде учебника, но всё же я полагаю,
что эти сомнения можно оставить в стороне. Несомненно,
теория имеет свои проблематические стороны (см., напри-
например, термин «собственная энергия»), и если в этом напра-
направлении в ближайшем будущем будет существенный успех,
то следует ожидать, что многие части книги быстро уста-
устареют, хотя вряд ли приходится надеяться на столь благопри-
благоприятное развитие теории в настоящее время. Но, пока отсут-
отсутствуют нсвые пролагающие путь идеи, надо пытаться
развивать существующую теорию на нынешней основе,
и поэтому не излишне сделать её более доступной боль-
большему кругу интересующихся. К тому же только тот
понимает проблемы, кто знает теорию.
Как говорит заглавие, эта книга мыслилась только как
введение, а не всеохватывающее изложение. Этот характер
книги заставил поместить на второй план вопросы система-
систематики. Так, мне показалось целесообразным исходить из «ка-
«канонического рецепта квантования» элементарной квантовой

ПРЕДИСЛОВИЕ 5
механики (гейзенберговские перестановочные соотношения),
хотя дальнейшее изложение теории показывает, что этот
способ не имеет общности и должен быть расширен, напри-
например, при квантовании по принципу Паули.
С другой стороны, я отказался от отдельного и подроб-
подробного изложения классической теории волновых полей.
Правда, было бы поучительно предпослать некоторым кван-
тово-теоретическим выводам соответствующие классические
соображения, но, так как квантовые операторные вычисления
часто оказываются проще, я предпочёл в ряде случаев об-
обратиться непосредственно к ним.
В первой главе рассматриваются в общем виде основы
теории, т. е. без специализации функции Лагранжа или
уравнений поля. Остальные главы посвящены специальным
типам полей, которым потом при квантовании ставят в со-
соответствие частицы с различными спинами, зарядами и мас-
массами. При этом, я не стремился ни к какой полноте; рас-
рассмотренные поля — это типичные примеры. Конечно, при этом
не должны отсутствовать электромагнитное поле и волновое
поле электрона. Некоторые вопросы, которые можно было
бы рассматривать уже в общей части, я относил к специаль-
специальным главам, чтобы уберечь читателя от лишних трудностей,
хотя при этом неизбежно вкрадываются повторения. Но,
с другой стороны, я считал, что совсем отказаться от об-
общей части нельзя, так как следовало, по крайней мере
отчасти, показать внутреннее единство и последовательность
теории. В частности, в § 4 доказательство релятивистской
инвариантности квантованной теории поля проведено так да-
далеко, что его без больших вычислений можно допол-
дополнить для специальных видов полей; я хотел показать,
почему при установлении инвариантных перестановоч-
перестановочных соотношений автоматически возникает «инвариантная
D-функция».
Читателю, которому I глава местами покажется трудной,
рекомендуется выяснить положение вещей на примере ска-
скалярного поля (§ 6 и 8). Разделы, напечатанные петитом,
посвящены отдельным актуальным вопросам; их можно и
пропустить, смотря по интересам читателя.
То из основ теории, чтб уже подробно излагалось
в учебниках, предполагается известным, по крайней мере,

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
в основном. Кроме элементарной квантовой механики (в вол-
волновой и матричной форме), это относится к дираковской
волновой механике электрона со спином (§ 17). Всё необ-
необходимое можно найти, например, в статье Паули в Geiger-
Scheelschen Handbuch der Physik, т. 24, ч. I1).
Цюрих,
август 1942.
Г. Вентцелъ
г) По-русски см. Дирак, Основы квантовой механики, 2-е изд.,
ОНТИ, 1937.

ГЛАВА I
ФОРМАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ
§ 1. Канонический формализм
«Поле» в классической физике описывается одной или
несколькими (действительными) функциями пространственных
координат и времени фв(лг, /), которые подчиняются извест-
известным уравнениям в частных производных, так называемым
«уравнениям поля». Вместо этого можно также исходить и из
вариационной задачи, эйлеровы дифференциальные уравнения
которой как раз и являются уравнениями поля. Пусть L
представляет функцию от <Ь0 (jc, t) и их первых производных
по координатам и по времени 1):
L=L{tyvgradtyvtyl; фа, gradф8,ф2; ...). A.1)
Интегрируя L по объёму V и по промежутку времени от t*
до f у образуем величину
9
Если варьировать функции фа при неизменной области
интегрирования
Ф„ (*, 0 -* Фв (
и притом так, чтобы исчезали вариации 8фа на границах
интегрирования (т. е. на поверхности, замыкающей объём V
1) Частная производная по времени обозначается точкой:

8 формальные основы [гл. г
и при t = ?, t = f), то вариация интеграла / получится по
известному способу:
¦' V
Классическое поле определяется требованием, чтобы ин-
интеграл / был экстремален (Ы=0) относительно произволь-
произвольных вариаций 8фв, отвечающих поставленным выше условиям,
причём при любом выборе области интегрирования. Для
этого необходимо, чтобы во всех точках пространства и во
все моменты времени выполнялись уравнения.
ddx~~k
Согласно A.1), эти уравнения являются уравнениями в част-
частных производных, порядок которых относительно волновой
функции не выше второго; A.2) и есть уравнение поля1).
2) Выражение
dL \-*t д dL &L
dxk
называется «функциональной производной» L = I dxL по фа. В этом
обозначении A.2) выглядит так:
Подстановка L —> L + ^ ^ Ak (фх, fa ...) + ^ Ло («^ ...),

§ 1] КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 9
Этот вариационный принцип можно поставить в парал-
параллель с гамильтоновским принципом экстремального действия
классической механики. Функции поля ф3 отличаются от ко-
координат механической системы, состоящей из материальных
точек #у, которые зависят только от времени, тем, что ф,
являются функциями точки х; но в теории поля можно по-
подражать описанию системы точек с помощью координат q,y
где индекс ] нумерует конечное число степеней свободы,
сопоставляя с j не только индекс а функции поля, но и не-
непрерывно изменяющийся радиус-вектор х. В этом смысле
поле интерпретируется как механическая система с беско-
бесконечным числом степеней свободы.
Для пояснения этой аналогии представим временно про-
пространство разделённым не на бесконечно малые элементы dx^
а на конечные ячейки bx<s\ нумеруемые верхним индексом s;
значение функции поля ф9 в ячейке 5 пусть будет ty[s)(t),
а пространственные производные ф, будем заменять соответ-
соответствующими отношениями разностей. Таким способом можно
представить функцию L A.1), точнее говоря, её значение №
в какой-либо ячейке (s), как функцию обобщённых координат
q — фО*') и принадлежащих им скоростей q . = §№). Также
представляется и сумма
S
Тогда формулированный выше вариационный принцип гласит,
что интеграл по времени
г
l=\dtl
где Ло,..., Л3 — произвольные функции <|>а, оставляет уравнения
поля инвариантными, так как интеграл
может быть преобразован в поверхностный по границам области,
где его вариация исчезает тождественно. При этом также допу-
допустимо, чтобы Ло,..., Л3 зависели от производных фв1 поскольку L
остаётся независимым от вторых производных.

10
формальные основы
[гл. I
должен быть экстремален по отношению к вариациям
Q/V)—> 4j @ Л~ fy/ М> если только bqj исчезает при t = t*
и t = t" во всех ячейках (s), внешних по отношению к V.
Но так как V выбирается произвольно, то это вполне соот-
соответствует гамильтоновскому вариационному принципу меха-
механики. Уравнения поля A.2) как эйлеровы дифференциальные
уравнения соответствуют механическим уравнениям движе-
движения Лагранжа, в которых L — функция Лагранжа.
Если вернуться к пространственному континууму, делая
все клетки снова бесконечно малыми, функция Лагранжа
перейдёт в интеграл по всему пространству:
фа;...). A.3)
Подинтегральное выражение L мы назовём «дифферен-
«дифференциальной функцией Лагранжа».
Для того чтобы перейти к формализму Гамильтона,
всё ещё оставаясь в ра\.ках классической теории, введём
прежде всего импульс pj—~ , канонически сопряжённый
Считая, что L = ^$xlst)IS*
координате #/
ски сопряжённой ^ =
канонически
lst)IS*'\ канониче-
величиной надо положить1):
В теории поля принято называть полем, канонически
сопряжённым с фб, частную производную L A.1) по ф5 (при
постоянных с|>в и gradc|>0):
*.= ?. 0.4)
Его значение в ($)-й ячейке связано с pj соотношением:
J) Ф^ входит только в L^s\ но не в другие lSs'^ (s' ф s), так как
по определению A.1) значение L в точке х задаётся только ф«
в той же точке (-а не, например, grad фв).

§ 1] КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Ц
Образуем далее гамильтонову функцию
которую следует понимать как функцию q, и р, или ф?)
и тг^). В пределе континуума
H=\dxH, Я=2ттА-1. A.5)
Путём исключения ф, из A.4) «дифференциальная гамиль-
тонова функция» может быть представлена как функция от
ф„ grad^ и тт,:
H=H(tyv gradф1Э ттр фа, gradф2, тт2, ...). A.6)
С помощью гамильтоновой функции И мы могли бы
теперь также заменить уравнение поля A.2) «каноническими
уравнениямии поля», соответствующими каноническим уравне-
уравнениям движения (Гамильтона) механики точек1):
• дН • _ дН
но мы не будем использовать такое представление, так как
для квантовой теории оно не нужно.
Ввиду того, что, как мы видели, классическое ф-поле
эквивалентно системе точек, хотя и с бесконечным числом
степеней свободы, то естественно произвести и квантование
поля по правилам, оправдавшим себя в квантовой механике
материальной точки.
Как известно, переход от классической теории к кван-
квантовой достигается тем, что канонические переменные q^ pj
заменяют эрмитовскими операторами, которые удовлетворяют
перестановочным соотношениям2):
{qr Чу,] = 0, [рр Ру.] = 0, [Рр Чу,] = 7 *""
х) Подробнее об этом см. Гейзенберг и Паули (Hei-
senberg и Pauli), Zs. f. Phys. 56, 1, § 1, 1929.
2) Наши обозначения обычны: [a, b] = ab — ba\ Л—-планков-
ский квант действия, делённый на 2я; / — мнимая единица, 8/#=1,
гУ = 0приу'ф/

12 формальные основы [гл. I
Механические свойства системы определяются гамильто-
новской функцией, которая формально берётся из классиче-
классической теории, но перетолковывается как эрмитовский опера-
оператор. Соответственно и в квантовой теории поля мы будем
предполагать, что свойства поля определены его функцией
Гамильтона Н= \dxff или функцией Лагранжа L=[dxLy
из которой И может быть вычислено по формулам A.4)
и A.5), но в которых отныне ф3 (х) и пC(х)—эрмитовские
операторы с перестановочными соотношениями, вытекающими
путём предельного перехода к континууму из перестановок
q. — tyij), p, = dx(sWgsK Это характеризует «каноническое
квантование поля», впервые формулированное для полей об-
общего вида Гейзенбергом и Паули !).
Составляем, таким образом, следующие соотношения:
Если теперь вернуться от ф?»>, п?*> к фв(*), тга (лг), то пере-
перестановочные соотношения будут гласить:
Ш = [*, (х), тт3, (*')] = 0;
j Ъо'Ъ (х, *'); AJ)
здесь 5 (х, х') означает функцию, значение которой равно
либо (Sjc^))", либо нулю, смотря по тому, находятся ли
точки л: и л:' в одной и той же или в различных ячейках.
Считая х' постоянным и интегрируя по ^-пространству,
получим \ dx5(xy д;')=1; далее I dxf(x) Ъ(х, лг') представ-
представляет среднее значение f (х) по ячейке E'), заключающей х\
В пределе континуума объём ячейки Ьх^ —г О, Ь (лг, х')
переходит в 5-функцию Дирака (трёхмерную):
ос при х = :
так, что
" dxb(x — х') = \. A.8)
1) В работе, цитированной выше.

§ 1] КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 13
Этот предельный переход имеет смысл всегда, если 5 (х, х')
стоит под знаком пространственного интеграла
J </*/(*) Ъ(х,х')-+ ^dxf(x)Z(x — *)=/(*'). A.9)
В перестановочных соотношениях A.7) пишут прямо
цх — х') вместо § (at, at"), и мы в дальнейшем будем писать
так, потому что этот способ записи не может вызвать неяс-
неясностей.
Итак, в квантовой теории поля <!><,, тт5 — операторы, ко-
которые зависят от координат х начала отсчёта, как от пара-
параметра1), и подчиняются перестановочным соотношениям
A.7, 8).
Представления этих операторов будут даны позже при
рассмотрении специальных видов поля. Надо подчеркнуть,
что мы рассматриваем фа (л;), тт3 (л:) пока что как операторы,
не зависящие от времени; построение операторов, зависящих
от времени, выполняется в § 4 в связи с вопросом о реля-
релятивистской инвариантности. Вместе с фф и тт3 Н тоже
является оператором, зависящим от координат; интег-
интегральная гамильтонова функция H=\dxH — тоже опера-
оператор. Иногда приходится переставить некоммутирующие опе-
операторы или произвести такую симметризацию, чтобы Н стало
эрмитовским оператором.
Дополнительно следует рассмотреть особый случай, играю-
играющий известную роль в квантовой теории поля. При функциях
Лагранжа определённого вида бывает, что некоторые из урав-
уравнений поля A.2) не содержат второй производной по вре-
времени ф3; тогда эти уравнения представляют «дополнительные
условия», связывающие ф3 и фа2). В этом случае перемен-
*) х — не оператор, а «г-число».
2) Пусть, например, функция Лагранжа имеет вид: L = ^X
где F не зависит ни от каких \ф а О не зависит от \х. Уравнение
A.2) при с = 1 имеет при этом вид дополнительного условия. Тогда
1^ = —т-== F, т. е. ях зависит только от <[>0 и их пространственных
производных. Если все операторы <[>0 перестановочны, то и кг пере-
перестановочно со всеми с|»0, в противоречии с A.7).

14 ФОРМАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ [гл. I
ные фв, тт^ не являются независимыми друг от друга, благо-
благодаря чему и перестановочные соотношения A.7) не могут
быть установлены для всех переменных непротиворечиво.
В § 12и 16 мы встретим случаи, когда <Ь совсем не вхо-
входит в ?, так что соответствующая яв = —г тождественно
обращается в нуль; при этом, конечно, не может выполняться
перестановочное соотношение [^(х), фв(лг)] = — ihb(x — л;').
Позже мы увидим, как в таких случаях производить кван-
квантование. Одна из возможностей состоит в том, чтобы исклю-
исключить излишние компоненты поля и применять перестановоч-
перестановочные соотношения A.7) к остающимся независимым компонентам
(ср. § 12). Тогда гамильтонова функция может стать зависимой
и от пространственных производных тса, так что вместо A.6)
будет
Л = Л (Фр е^Фх, тг1э gradTt,; ...). A.10)
Дальнейшее рассмотрение будет справедливо и для этого,
более общего вида гамильтоновых функций.
Известно, что канонические уравнения в квантовой меха-
механике, благодаря перестановочным соотношениям между qj
и pj, имеют операторный смысл:
Вообще, если ср — какая-либо функция <7/> Рр не содер-
содержащая времени явно, то её производной по времени отве-
отвечает оператор !)
Так как мы заимствовали перестановочные соотношения
из механики точки, здесь будег иметь место соответствие:
2) Чтобы ясно представить это, надо вспомнить, что оператор у
не должен зависеть от времени. Поэтому ? не является времен-
временной производной оператора у. Однако известно, что среднее значе-
значение у определяется производной от среднего значения величины ?

§ 1] КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 15
каждой величине ср, т. е. каждой функции $9(х) и ^Ах)
и их пространственных производных, не содержащей вре-
времени явно, можно сопоставить производную по времени
в виде оператора A.11). В частности, операторы ty9 и ть
определяются как
и определение значения скобок с помощью перестановочных
соотношений A.7,8) приводит к операторным уравнениям,
которые должны быть формально эквивалентны уравнениям
поля A.2) так же, как канонические уравнения движения
точки ( q.r=z— , Pj= —т—) эквивалентны уравнениям дви-
движения в форме Лагранжа. Мы откажемся здесь от общего
доказательства]), но в последующих применениях к спе-
специальным типам поля эквивалентность будет доказана в ка-
каждом отдельном случае.
Ввиду аналогии этих уравнений с каноническими мы бу-
будем называть систему A.12) «каноническими уравнениями
поля».
Из последующих примеров будет видно, как с помощьде
известных методов квантовой механики определить из этих
уравнений стационарные состояния и собственные значения
для И или других величин поля, несмотря на то обстоя-
обстоятельство, что здесь система имеет бесконечное число степе-
степеней свободы. Но сперва надо рассмотреть некоторые во-
вопросы общего характера, ответ на которые не предуказан
механикой точки.
х) См. цитированную работу Гейзенберга и Паули. Переста-
Перестановки A.12) оказываются равными функциональным производным Н
но тг0 и — <[>0:
[ср. примечание 1, стр. 8; отсюда следует эквивалентность A.12)
и A.2)].

16 ФОРМАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ [ГЛ. I
§ 2. Сохранение энергии, импульса и момента
количества движения
Вернёмся сначала к классической (неквантованной) тео-
рии. Закон сохранения энергии —. = 0 предполагает, что
функция Лагранжа явно не зависит от времени. В примене-
применении к интегральной гамильтоновой функции A.5), предста-
представляющей полную энергию поля, закон сохранения даёт воз-
возможность ожидать, что для дифференциальной функции
Гамильтона, имеющей смысл плотности энергии, имеет место
уравнение непрерывности
S=0. B.1)
В самом деле, имеем, согласно A.4) и A.5),
и, пользуясь уравнениями поля A.2),
дн VV fi д dLu^dL
следовательно, уравнение непрерывности B.1) выполняется,
если
Правда, это определение плотности потока энергии неодно-
неоднозначно, так как к 5 можно прибавить произвольное поле,
свободное от источников.

§ 2] СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 17
Попробуем далее определить импульс поля как
G=[dxG
так, чтобы выполнялся закон сохранения импульса:
^ 0, B.4)
где Т означает тензор натяжений, a DivT — его векторную
дивергенцию.
Обозначая
лг4 = /с/, B.5)
744=—Я, Tki = jSk, TAk = icG< (? = 1,2,3), B.6)
можно объединить оба закона сохранения B.1 и 4) в такой
Записи;
?§: = 0 <v= 1.2,3,4). B.7)
Выражение для тензора энергии-и шульса 7\ совпадаю-
совпадающее с A.5) и B.2) в отношении компонент 4,4 и 4,А сле-
следующее:
'4Д
Это выражение удовлетворяет законам сохранения B.7),
если только L явно не зависит от х^ (v = 1, 2, 3, 4), так
как после короткого вычисления имеем:
дТ ^ I д
а это равно нулю вследствие уравнений поля A.2), которые
в обозначениях B.5) гласят.
1*дх
2 Вснтце ib

18 формальные основы [гл. i
Поэтому импульс сохраняется, если его плотность опре-
определена следующим образом:
==— 7\ь =—у —^—- =— > —— тг. B.10)
ic +-* dxk дФв -^ dxk
о ° о
Это, конечно, не означает, что выражение B.8) един-
единственное, удовлетворяющее законам сохранения B.7). Тен-
Тензор B.8) называется «каноническим тензором энергии-
импульса».
Дальнейшее требование, которое нужно предъявить
к тензору энергии-импульса,—это свойство симметрии:
7^ = 7^, которое, как известно, представляет условие,
необходимое для сохранения момента количества движения
наряду с сохранением импульса и энергии1).
Удовлетворяет ли канонический тензор этому требова-
требованию,— зависит от строения функции Лагранжа L. В про-
простейших полях, которые мы в дальнейшем будем рассматри-
рассматривать как примеры (§ 5 до 10), условия симметрии выполнены.
В других случаях есть возможность дополнить Т до симме-
симметричного тензора, прибавляя к Т другой тензор Т\ дивер-
дивер= °/ '
генция которого равна нулю \ / ,-—-- = 0] ; примеры этому
встретятся дальше (§ 11 и дальн.J).
1) Если определить плотность момента
то дивергенция будет, согласно B.7),
т. с равна нулю, если Т симметрично. Отсюда вытекает, что анти-
антисимметричный тензор \ dx Af4w' постоянен во времени, в частности,
постоянны компоненты момента количества движения:
= j dx (Gkxk,- Gk,xk).
г) Общий способ построения Т дают Белинфанте (Belin-
fante, Physica 6, 887, 1939) и Розенфельд (Rosenfeld,
Mem. de TAcad. Roy. de Relgique, XVIII, № 6, 1940). При этом
Розенфельд исходит из общей теории относительности, которая,
как известно, ставит тензор энергии и импульса в связь с гравита-
гравитационным полем, а Белинфанте пользуется только постулатом инва-
инвариантности специальной теории относительности.

§ 2] СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 19
При выводе уравнений непрерывности B.1 и 4, соотв. 7)
мы подчеркнули, что функция Лагранжа L зависит от х и t
только через cj^ и их производные. Если же имеется и явная
зависимость от х, t (вспомним, например, шредингеровскую
волновую функцию частицы в заданном силовом поле), то
для канонического тензора B.8) получится при учёте B.9)
вместо B.7):
7Vv dL
где производная L по л:у в правой части берётся при по-
постоянных аргументах фв, фв, grad<}>3. Уравнение B.11) выра-
выражает собой то, что в тех пространственно-временных обла-
областях, где j-(—v не обращается в нуль, происходит обмен
энергией и импульсом между полем 6 и воздействующими
на него внешними системами.
Чтобы произвести переход к квантовой теории, надо
компоненты тензора Т^ (где точно так же, как и раньше,
Н= —Ти) с помощью A.4) представить как функции
переменных фв> gradcj), и тта, которые потом интерпрети-
интерпретируются как операторы с перестановочными отношениями A.7);
неперестановочные сомножители при этом надо расположить
так, чтобы операторы, отвечающие действительным величинам
(SkJ Gk, Tkl), были эрмитовскими. Тогда сохранение общего им-
импульса G (мы снова допустили, что ^—г=0) выразится в
том, что оператор G=\dxG коммутирует с оператором
Гамильтона Я: [/У, GJ^O1).
Чтобы доказать также справедливость дифференциальных
законов сохранения B.1 и 2.4) в квантованной теории, надо
а) Известно, что законы сохранения (как в классической меха-
механике) связаны с известными свойствами инвариантности гамильтоно-
вой функции; так, например, сохранение импульса требует инвари-
инвариантности Н относительно параллельного переноса координатной
системы. Это имеет место как раз, если dL\d (x^) = 0, и ею можно
воспользоваться, чтобы доказать перестановочность оператора им-
импульса G B.3, 10) с Н в общем виде: ср. Гейзенберг и Паули
(Н е i s е п b е г g и Р a u I i), Zs. f. Phys. 59, 168, § 1, 1929.
2*

20 форматьные основы [гл. i
образовать операторы, соответствующие классическим вели-
дН dG
чинам -тг и зг '.
ot at
Н(х) = { [Я, Я], G = ~ [Я, G], B.12)
но их наверняка можно представить как пространственные
дивергенции
Й= — divS, G= —Div7\ B.13)
так как пространственные интегралы
Н= \dxH(x), G= \dxG(x)
исчезают благодаря тому, что [Я, Я] = 0, [Я, G] = 0.
При специальном выборе функции Лагранжа эти опера-
операторные уравнения B.13), конечно, оказываются вполне ана-
аналогичными классическим уравнениям B.1, 4). Поэтому вели-
величины Т , взятые из классической теории и перетолкованные
как операторы [ср. B.6)], удовлетворяют уравнениям B.13),
если только надлежащим образом выбран, порядок сомножи-
сомножителей, и т. п.
§ 3. Комплексные функции поля. Сохранение заряда
Предыдущее рассмотрение относилось к действительным
полям фв. Но в природе важную роль играют также и комп-
комплексные поля, примером чему является волновая функция
де Бройля-Шредингера для электрона. Конечно, каждое
комплексное поле можно разложить на действительную
и мнимую части, представить L как функцию действитель-
действительных полей фв и применить вышеразвитый формализм. Но
проще вести вычисления непосредственно с комплексными
волновыми функциями. Мы вкратце поясним, в чём надо
изменить аппарат, причём для простоты на примере поля,
состоящего из единственной (комплексной) компоненты cj>.
Пусть
ф = ^=(ф1 + /фв), (J,* = J=((b1-/(b2), C.1)
где фх и ф2 — действительные функции (фо = фр#

§ 3] комплексные функции поля 21
Вместо того чтобы представлять L как функцию tyx и ф
и их производных, мы представим L в зависимости от ф
и ф* и их производных:
1=?(ф, grad^, ф; ф», рас!ф*, ф*). C.2)
Чтобы получить уравнения поля из вариационного прин-
принципа (§/=0), вместо ф! и ф2 можно независимо варьировать
ф (л:, t) и ф* (лг, t), так как этим учитывается такое же мно-
множество варьируемых полей:
ф (JC, <) — ф (JC, t) + Зф (X, t), ф* (ДГ, <) -* ф* (*, 0 -1- $ф* (*, /).
Тогда получаются уравнения поля, подобные выведенным
выше (*4 ==/<:*, |i=l,...,4):
Смысл стоящих здесь частных производных от L заклю-
заключается в том, что L считают, согласно C.2), представлен-
представленной как функцию ф, ф* и их производных, например: -р-
означает производную по ф при постоянных gradф, ф, ф*,
ф, ф*.
Разумеется, уравнения C.3) эквивалентны A.2) при
а=1, 2.
Естественно поэтому определить поля к, тт*, канонически
сопряжённые с ф, ф* следующим способом:
тт = —г, тт*=—— . C.4)
Выразим тт, тт* через действительные поля 7т1э я2, канони-
канонически сопряжённые с фх, ф2:
Пользуясь C.4) и C.1), получим
^ (« + *) ^

22 формальные основы [гл. 1
или
П=у=(Щ-Щ, П» = ^=(ТГ1+/ТГ?). C.5)
Так как ттф-f-тт*ф* = тс1ф1-[-тт2ф2, найдём плотность энергии,
согласно A.5),
// = 7Тф +**Ф*~ ?, C.6)
и аналогично для плотности импульса B.10)
0= — (TTgradcJ>-f TT*gradcJ>*). C.7)
Вообще легко проверить, что для всех компонент тензора
энергии-импульса B.8) справедливо равенство:
В квантовой теории ф, ф*, тт, тт*, так же как и ф0, ттб,
являются операторами, зависящими от координат, но, в то
время как операторы ф3, тт0, отвечающие действительным ком-
пгнентам поля, эрмитовские (ф5 = фа, тт^^^тг,,), это никоим
образом не относится к операторам C.1 и 5) ввиду присут-
присутствия в них мнимой единицы /; но ф* эрмитовски сопряжено
с ф и тт* с тт. Перестановочные соотношения для них непо-
непосредственно следуют из перестановок ф3, тт0; согласно C.1,5)
и A.7), находим:
[тт (х), ф (х')] = [тт*(*-),ф*(*')] = А Ь (х - х'),
= [п(х), ф*(дг')] = [тх* (х), ф (х')~] = 0.
Две пары неперестановочных переменных составляют ф, тт
и ф*, тт*, что оправдывает их название как канонически со-
сопряжённых; формулы C.1, 5) дают «каноническое преобра-
преобразование».
В случае волновой функции Шредингера-де-Бройля, ко-
которую мы упоминали при введении комплексной волновой
ф>нкции, известно, что функции ф и фг/а (а — действительная

§ 3] КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЯ 23
постоянная) описывают физически одинаковые состояния: все
наблюдаемые величины (как, например, ф*ф) не зависят от
значения постоянной фазы. Предположим, что наше поле
именно такого рода. Для этого постулируем, что дифферен-
дифференциальная функция Лагранжа C.2) инвариантна относительно
подстановки
ф —+ф?/а, ф*—*фг-/в (а — действительная постоянная). (ЗЛО)
Тогда величины, относящиеся к импульсу и энергии, со-
согласно C.8) обладают тем же свойством инвариантности1).
Мы утверждаем, что такое поле может быть интерпретиро-
интерпретировано как несущее заряд, причём этому полю можно сопоста-
сопоставить плотность заряда р и тока s, удовлетворяющие уравне-
уравнению непрерывности. А именно: пусть
= — /е(пФ -тг*ф*),
C.11)
(с — действительная постоянная). Тогда, пользуясь классиче-
классическими уравнениями поля C.3), получим:
Но с точностью до множителя — правая часть уравнения
тождественна с тем изменением, которое получит L C.2) от
преобразования калибровки (ЗЛО), если фазовое изменение
бесконечно мало: ф—>фA+/а)> ф*—+фA —/а), т.е. 5ф =
= /оф; 8ф* = — /оф. Эта вариация L исчезает ввиду посту-
постулированного выше свойства инвариантности, и отсюда полу-
*) Паули называет её «калибровочной инвариантностью (Eichinva-
rianz) первого рода». Pauli, Phys. Rev. 58, 716, 1940,

24 формальные основы [гл. I
чается уравнение непрерывности для плотностей электрического
заряда и тока:
g + div* = O. C.12)
Вводя л:4 = /с/, $4 = /ср, можно написать вместо C.11, 12)
и так (v= 1, ..., 4):
В квантовой теории, где р и s превращаются в эрмитов-
ские операторы, вместо C.12) имеет место операторное урав-
уравнение
р (х) = L [Я, р (*)] = - div s (х). C.14)
Если есть несколько комплексных ф-функций ф, ф', то
возможно, что L инвариантно только при одновременном пре-
преобразовании калибровки
Тогда, как легко видеть, уравнение непрерывности C.12)
справедливо только для суммы электрических плотностей, от-
относящихся к отдельным полям (см. § 12).
Действительные компоненты поля ф^, которые нельзя
объединить попарно в комплексные поля, не обладают группой
преобразования типа C.10); поэтому из таких действительных
полей и их производных нельзя сконструировать «плотност-
ных» функций, которые можно было бы интерпретировать
как плотность заряда и как плотность потока заряда; по
крайней мере, нельзя сделать это по общему рецепту [опе-
[операция C.11), применённая к действительным ф-функциям, даёт
р = 0, ?л=0]. Поэтому действительные функции применя-
применяются к описанию электрически нейтральных полей, таких, как
электромагнитное (световые кванты не заряжены). Напротив,
заряженные поля естественно описывать комплексными функ-
функциями (ср. § 8 и дальше).

§ 4] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНТЦА 25
§ 4. Инвариантность по отношению к преобразованиям
Лорентца. Зависящие от времени операторы поля и их
перестановочные соотношения
Чтобы обеспечить инвариантность классического формализ-
формализма относительно преобразований Лорентца, достаточно выбрать
инвариантную дифференциальную функцию Лагранжа. Тогда
уравнения поля инвариантным способом определяются из вариа-
вариационного принципа: варьируемый интеграл /= \ dt \ dxL ин-
инвариантен благодаря тому, что инвариантен четырёхмерный
элемент объёма dt dx. (Пространственно-временная область
интегрирования может быть выбрана произвольно, без какого-
либо выделения временной оси.) В каждой системе отсчёта
гамильтонова функция вычисляется из лагранжевой формально
одинаково; при изменении системы отсчёта //=—7\4 пре-
преобразуется как плотность энергии. В самом деле, легко ви-
видеть, что Т [B.8) соответственно C.8)] обладает трансфор-
трансформационными свойствами тензора второго ранга, a sv C.13)—
свойствами четырёхмерного вектора.
Способ построения инвариантной функции ?, конечно,
зависит от трансформационных свойств компонент поля фв.
Надо заметить, что A.1) представляет самое общее допусти-
допустимое предположение относительно L: вторая и более высокие
пространственные производные фв, по соображениям инва-
инвариантности, могли бы встречаться только в комбинации с
временными производными того же порядка, а это запре-
запрещено каноническим формализмом.
Труднее доказать релятивистскую инвариантность кванто-
квантованной теории. Прежде всего надо устранить выделение вре-
временной координаты, заключающееся в том, что вводились опе-
операторы фа (х)у тта(лг), зависящие только от пространственных
координат. Мы введём поэтому более общие операторы
Фв (•*> 0. ™9 (•*> 0» ПРИ построении которых нам снова послужит
образцом механика точки.
В квантовой механике точки зависящие от времени опе-
операторы <fy (/), pj (t) обыкновенно определяются из требования,
чтобы они удовлетворяли каноническим уравнениям движения
dqf_dH dp} _ дИ
~dt dp' dt dqj

26 ФОРМАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ [ГЛ. !
и переходили при / = 0 в не зависящие от времени опера-
операторы q^ pj. Так как начало отсчёта времени ничем не должно
выделяться, перестановочные соотношения A.7) должны иметь
место для любого значения t\ действительно, благодаря урав-
уравнениям движения:
дН
i dpj* dgj * i dqj dp? '
и также
a r , d г л n
dt J •* dt ' ^
Если оператор Гамильтона не зависит от времени явно, можно
построить зависящие от времени операторы из независящих
с помощью операторов:
?=0
(«)\ D.1)
k=0
унитарных благодаря тому, что
Если определить
то ясно, что
4j@) = qp Pj(O)=pJy (fc2)
а для производных по времени (благодаря тому, что
dt
1) Известно, что [F, gj] = j щ, [F, pj] = -j^m
2) Время t надо понимать не как оператор, а как параметр
(г-число); поэтому оно перестановочно с Я.

§ 4] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНТЦА 27
получится:
так что операторы #у(/), pj(t) удовлетворяют поставленным
требованиям. Инвариантность перестановочных соотношений
относительно ^-преобразования D.2) гарантирует их справед-
справедливость для любых моментов времени:
С помощью D.1,2) можно отсюда вычислить и переста-
перестановки неодновременных величин, как например [qj(t), qji(t')\
Аналогичным образом, в теории поля можно построить из
операторов ф3 (л:), тт3(лг), зависящих от радиуса-вектора л: как
параметра, зависящие от времени операторы tyg(x, t)y ттв(лг, /),
которые подчиняются каноническим уравнениям поля как
функции пространства и времени и переходят при/= О в не
зависящие от времени операторы
Чтобы доказать релятивистскую инвариантность переста-
перестановочных соотношений, надо, вообще говоря, поступать сле-
следующим образом: производя преобразование Лорентца х =
= 2а a:v, приписать операторам ф5(лг, /), тт3(лг, t) тот же ха-
v
рактер преобразований, что и классическим величинам с|)з, тг9.
Если, например, классическое поле образует четырёхмерный век-
вектор cj>v, то оператор фу (л:, t) преобразуется коградиентно к коор-
координатам л:у. Когда вычислены перестановки [фв(х, t), tyai(x', /')],
то тем самым определены и перестановки в новой си-
системе отсчёта [Фз(^> 0> фз' (#'f ^')] так> чт0 можно непо-
непосредственно проверить инвариантность. В частности, надо по-
потребовать, чтобы перестановка одновременных величин (? = ?)
соответствовала в новой системе отсчёта каноническим пере-
перестановочным соотношениям A.7).

28 формальные основы [гл. i
Гейзенберг и Паули1) доказали инвариантность в весьма
общем виде: они использовали групповое свойство преобра-
преобразований Лорентца, на основе которого достаточно доказать
инвариантность относительно бесконечно малого преобразо-
преобразования. Это приводит к упрощению по следующей причине
для двух событий, одновременных в новой и старой системе,
имеет место
з
t — t'= 2 ak(xk — xk)>
где ak можно считать бесконечно малыми и учитывать только
в первом порядке. В этом приближении достаточно вычислить
только, например,
= [{*,<*. О +-С-0 (^), J , <Ы*', П] =
что можно сделать с помощью канонических уравнений поля
и перестановочных соотношений A.7). Мы не будем доказы-
доказывать инвариантность в общем виде: вместо этого мы выведем
для перестановок, зависящих от времени операторов поля,
некоторые общие формулы, которые позволят нам найти
в релятивистски инвариантном виде перестановочные соотно-
'шения для определённых, специальных типов поля, рассмат-
рассматриваемых в дальнейшем. Мы определим:
/7F //E UE //Е
Если здесь отождествить Е с интегральной гамильтоновой
функцией H=[dxH, то D.4) представит точное подража-
подражание выражению B.1, 2). Однако мы предпочтём выбрать для Е
оператор энергии, отличный от Я, например гамильтонову
функцию «невозмущённой системы»2). Здесь существенно
J) Zs. f. Phys. 56, 1, 1929. Ср. Розенфельд (Rosenfeld),
Zs. f. Phys. 63, 574, 1930.
8) Это важно для теории поля со «многими временами», ср. § 18
(квантовая электродинамика со многими временами).

§ 4] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНТЦА 29
допущение, что оператор Е не зависит от времени явно:
§=0. D.5)
Аналогично D.3) из D.4) следует путём дифференцирова-
дифференцирования по времени (при постоянном ху что выражается в запи-
записи djdt):
die xt -Ei -*U i \ D'6)
-^Jf —еП -J [?> По (X)] e h — X [^» Па (Л:» f)\ j
Теперь рассмотрим перестановку [ф, (*, 0> Ф»'^'» ^)]* Приме-
Применяя тождество
мы можем записать:
Если разложим tyo(x, t — i') по степеням t —1'\
где
то получится:
i!L (л)
Сделаем теперь допущение, относящееся ко всем дальнейшим
приложениям, что оператор энергии Е и соответствующая
A) . B) ..
1) Если ?= Я, то по D.6) ф = ф, ^ = $ ...

30 Формальные основы [гл. i
плотность энергии Е (е=\ dxE) выражаются в виде квад-
квадратичной формы от фо(лг), тт3(л:) и их пространственных про-
производных. Тогда, на основе перестановочных соотношений
A.7) легко видеть, что перестановки [Е, фв(*)] и [Е, тт3 (л;)]
суть линейно однородные функции фо(лг), тго(лг) и их простран-
пространственных производных; следовательно, по D,6) и D.4) опе-
раторы --L-^f-J и —2-i-Z-J.—линейно однородные функции
ФЛ*> 0i ™(х* f) и их пространственных производных и то же
самое относится и к более высоким производным по времени
м*' и —~^* • Поэтому можно написать:
%Ax, О], D-9)
где С&] и d№ некоторые дифференциальные операторы от-
относительно пространственных координат х. В частности, при
(л)
tf = 0 отсюда получается для оператора фв(*), определённо-
определённого из D.7):
= 2
а'
(л)
Перестановка [фб(л:), ф^(^сг)], входящая в D.8), выводится
отсюда по правилу A.7):
(л) и
здесь дифференциальный оператор d[*) действует на аргу-
аргумент х 5-функции; [сингулярную 8-функцию надо сначала
представить себе аппроксимированной с помощью регу-
регулярной функции от х—х'; в пространственном интеграле
\ dxf (x) dffi (х — л:') заменить дифференцирование д дифферен-
дифференцированием f(x) с помощью интегрирования по частям и потом со-
совершить предельный переход к сингулярной 3-функциипоA.9)].
В формуле D.11) существенно, что её правая часть не зависит от
переменных поля и поэтому перестановочна с Е\ если под-

§ 4] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНТЦА 31
ставить D.11) в D.8), то сомножители е h могут быть пере-
перенесены оба направо или налево и сократятся. Результат
гласит:
= jDGa,(x — x'tt — f). D.12)
Итак, искомая перестановка зависящих от времени операто-
операторов ф0 получается в виде (сингулярной) функции от х — х1
и t — ?, которую можно вычислить, если известны дифферен-
дифференциальные операторы d^gl) определяемые D.9) или D.10).
Таким же образом принципиально вычисляются и пере-
перестановки [тто(лг, /), ire/(*r, /')], [тта(лг, t), ф<,/(*\ *')]> но это
излишне, так как все канонические правила перестановки
полностью заключаются в D.12) и этим равенством достаточно
ограничиться при рассмотрении релятивистской инвариантно-
инвариантности перестановочных соотношений. Чтобы доказать это, про-
продифференцируем обе стороны D.12) п раз по t и п' раз по
V и подставим t = t' = O; тогда из D.7) получается:
(я) («0 h
[ф.И, Ых')] = т(-1)п'^п1)Нх-х'). D.13)
/@) \
Если п = п' = 0 \cj>3 = cbj, то
-№.(*>. Ф.'(^)] = -г^)»(*-^) = О D.14)
и из D.9)
43° (^4¦ Dл5)
Полагая в D.13) /1=1, /гг = 0 или я = лг=1 и выражая
ф^) но D.10) через ф0 и тт0, будем иметь для перестановок
[тто(лг), фо>(.*:г)] и [tto(jc), тт^(л:г)] линейные уравнения, вполне
достаточные вместе с D.14) для их определения. Таким об-
образом мы снова получим канонические перестановочные соот-
соотношения A.7), следовательно, они вполне эквивалентны новым
соотношениям D.12).
Чтобы доказать релятивистскую инвариантность канониче-
канонического метода квантования, надо проверить, что соотношения

32 ФОРМАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ [ГЛ. Г
D.12) выглядят одинаково во всех лорентцевых системах от-
отсчёта, т. е., что функции Doot(x—х\ t — f) в D.12) преоб-
преобразуются как произведения ^(х, 0 •$*'(*', t) (например, как
тензор второго ранга, если <J>3(j=lf..., 4) образуют четы-
четырёхмерный вектор). Впоследствии мы вычислим функции D3^
для различных специальных типов поля, и тогда инвариант-
инвариантность выразится непосредственно в строении формул D.12).
Чтобы продвинуться в вычислении перестановок ещё на
один шаг, воспользуемся тем, что гамильтонова функция Е
во всех интересующих нас вопросах приводит к волновому
уравнению Шредингера-Гордона для функций ф0]):
где
Известно, что частными решениями этого волнового уравне-
уравнения являются, например, де-бройлевские волновые функции
(комплексные) ^/^йг=р^3+АЗг/), скалярная постоянная— пред-
представляет массу соответствующей частицы в покое. В самом
деле, в дальнейшем выяснится, что стационарные состояния
квантованных полей с уравнениями D.16) представляют си-
системы частиц с массой покоя.
Предположим, что D.16) справедливо для операторов
-^? (х, t) = с1 (А — \i2) J>ff (x, /). D.17)
Отсюда путём двукратного дифференцирования D.9) по t сле-
следует:
, t)}, D.18)
1) Речь идёт только о частном волновом уравнении для случая
«свободного поля», относительно общего уравнения Шредингера-
Гордона ср. § 11,

§ 4] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНТЦА 33
так что
*?+* = <**, (A-J*)
(и соответственно для двух неинтересных здесь операторов
№)). Так как d°ga, по определению — нуль, все d^j с чётным
п по D.18) исчезают:
<С° = 0, D.19)
а для нечётного п
^+) = </) [С (Л ^2)]* D.20)
Оператор */W может быть по D.9 или 10) либо по D.6) оп-
определён уравнением
$)>(*) = 4[^.Ф,(*)] = Е{':(.1Х*) + ^>"И}- D.21)
о'
С помощью D.19, 20) вычисляются функции D3Z,
00
?>.., (х, *) = X ^ ™Й# (*) = 41,! • ^ (*. <). D-22)
Л = 0 '
где
00
D (X, /) = 2
2 Bт 4. Щ
Чтобы произвести суммирование по т, представим дираков-
скую 8-функцию как интеграл Фурье
(Лд: — скалярное произведение волнового вектора k на ра-
радиус-вектор х; dk — элемент объёма ^-пространства). Что
свойства 5-функции правильно передаются интегральным
представлением D.24), легко видеть из интегральной теоремы
Фурье
J dxf (х)»(х - х') = ^dkj dxf (x) ««* (*-*) =
это уравнение совпадает с A.9) и эквивалентно A.8). Строго
говоря, в подинтегральную функцию D.24) надо было бы
Вентцель

34 ФОРМАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ [ГЛ. I
ввести множитель, обеспечивающий сходимость (например,
const. e~akl), что соответствует замене S-функции регулярной
функцией, и произвести предельный переход (а—>-0) сперва
в пространственном интеграле \dxf(x)b(x— л:'). Сомножи-
Сомножители, которые подавляют значение областей интегрирования
с большим \k\ («обрезают»), всегда предполагаются присут-
присутствующими в дальнейшем, если в них есть необходимость.
Вместе с D.24) D.23) даёт
или, так как
эо
dke
Мы утверждаем, что функция D (х — х'; / — /') инвариантна
относительно преобразований Лорентца. Для доказательства
рассмотрим пространственно-временной интеграл Фурье
j dk J
— k*) *'(*»-*•"/>, D.26)
где мы опять написали х вместо х — х' и / вместо t —1\
Трёхмерный вектор k образует вместе с k0 четырёхмерный
вектор, так что фаза волны (kx — koct) релятивистски инва-
инвариантна; то же относится и к четырёхмерному элементу объ-
объёма dk-dk0. Поэтому инвариантен и интеграл Фурье D.26),
если амплитудная функция g зависит только от инварианта
Щ — k2. To же самое верно, если интегрирование распро-
распространяется и не по всему /г, k0 пространству, а по инва-
инвариантной области, такой, как конус ko^>k> или по противо-
противоположному конусу kQ<^ — l^l1). В обоих случаях мы пре-
преобразуем интеграл D.26), вводя ji = j/&2 — ?2 как перемен-
переменную интегрирования вместо k0 (при неизменном k):
г) Преобразований с обращением знака времени мы не рас-
рассматриваем.

§ 4] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНТЦА 35
kQ = rb Vp-2-\-№, dk0 = -/" ** — ; если ещё поменять порядок
У pi2 -}- Л2
интегрирования по }Х- и по /г-пространству, получим из
D.26):
Так как переменная интегрирования }х (= V f^\ — k2) реляти-
вистски инвариантна и g—произвольная функция (можно
выбрать одномерную 5-функцию, отличную от нуля только
при одном значении ц), из инвариантности этих интегралов
следует, что обе функции координат и времени
[
J
dk rJ_ e*l***VF+**O D.27)
инвариантны для каждого действительного значения парамет-
параметра, но разность этих функций совпадает с функцией D (xtt)
с точностью до числового множителя, что и доказывает
релятивистскую инвариантность D.45)!).
Так как, если справедливо волновое уравнение D.12),
перестановочные соотношения могут быть написаны по D.4)
в виде
[Ф. (х, *), ф* (*', П] = j d% D(x-x',t- f); D.28)
для их релятивистской инвариантности необходимо только,
чтобы операторы d№n определённые в D.21), преобразовались
как (классические) функции ф,*фвг. Это легко будет под-
подтвердить в отдельности для каждого поля, которое мы будем
рассматривать. Надо указать на то, что все эти формулы
непосредственно переносятся на комплексные поля и неэрми-
товские операторы. Если рассматривать фиф* как незави*
1) Йордан и Паули (Jordan и Pauli, Zs. f. Phys 47,
151, 1928) впервые ввели инвариантную D-функцию для частного
значения ц = 0 и применили к установлению инвариантных пере*
становочных соотношений для электромагнитного поля. Ср. § 16
и 18.
3V

36 ФОРМАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ [ГЛ. !
симые переменные в смысле § 3, то в D.28,21) можно
отождествить одну половину фв с ф, а другую с ф* (ср. § 8
и 12).
Интегрированием по /^-пространству в D.25) D-функция
сводится к функции Бесселя от аргумента /
К
фу ру j
Кроме того, на световом конусе сЧ2— х2 имеется S-образная
особенность 1).
Мы не будем входить в это подробно, а установим толь-
только некоторые характерные черты D-функции, которые пона-
понадобятся позже. Согласно D.25) D(xtt)—действительная
функция со свойствами симметрии D.29)
= — D(—x,—t). D.29)
Ввиду того что интеграл Фурье D.25) представляет
суперпозицию де бройлевских волн e'Cto^JV-M*^), удо-
удовлетворяющих уравнению Шредингера-Гордона D.16), D-функ-
D-функция тоже является решением дифференциального уравнения
(D — №D(x,t) = 0. D.30)
При / = 0 из D.25) или D.30) получается:
D(x, 0) = 0. D.31)
Благодаря инвариантности D это должно означать, что
D исчезает во всей области, внешней по отношению к све-
световому конусу х2 — сЧ2, так как каждая мировая точка,
принадлежащая к этой области, путём преобразования
Лорентца может быть сведена к точке /==0:
D(x, /)=0 при c\t\<\x\. D.32)
Если продифференцировать D.23) или D.25) по / и затем
положить / = 0, получится другое важное уравнение
[ср. D.24)]:
(^L D.33)
*) Ср. Дирак (Dir ас, Ргос. Cambr. Phil. Soc. 30, 150, 1934);
Паули (Pauli, Phys. Rev, 58, 716, 1940). Относительно особого
случая ji = 0 ср. § 18.

§ 4] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНТЦА 37
Известно, что квантовая теория утверждает существование
связи между перестановочностью двух операторов и осно-
основанной на кванте действия предельной точностью измерения
двух соответствующих физических величин. Эта точность не
ограничена только тогда, когда операторы коммутативны,
т. е. могут быть вместе приведены к диагональному виду.
Перестановочные соотношения D.12 и соответственно 28)
утверждают в этом смысле, что функции фз в мировой точке
дс, t и фвг в точке х\ ? совместно определяются не точнее,
чем это позволяет соотношение неопределённости:
Щ,{*, t) ЦА*\ П ^ hD3Q, (х—х\ t — f).
Так как функции Dali обладают 5-образной особенностью на
световом конусе \х — х'\г = &\1— /' |2, а ^-функция имеет
непосредственный смысл только после интегрирования по
области, заключающей особенность, последовательнее рас-
рассматривать значения поля не в дискретных мировых точках,
а усреднённые по пространственно-временным областям Г, Г'.
Если обозначить усреднение символом Мт и ЖГг, то соот-
соотношения неопределённости в строгой формулировке будут
выглядеть так:
> hMvMT,D(x — x\ t — f). D.34)
Бор и Розенфельд1) указали мысленные эксперименты,
которые позволили бы достичь оптимальной по D.34) точ-
точности измерения для случая электромагнитного поля.
Принципиально неустранимая ошибка измерения обусловлена
тем, что электрически заряженное пробное тело, изменение
импульса которого служит для измерения действия поля,
в свою очередь излучает в процессе измерения поле, которое
не может быть точно компенсировано или определено. Чтобы
получить оптимальную точность, важно, между прочим,
употреблять как пробные не точечные заряды, а тела твёрдые
и протяжённые, атомным строением которых можно прене-
пренебрегать.
J) Kgl. Danske, Vidensk. Selsk. Math. fys. Medd., XII, 8,
1933. Ср. также Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, 1940, § 8.

88 формальные основы [гл. i
Если все пары точек из областей Г, Г' разделены про-
пространственными интервалами \х — -xr'l^^l* — *'|э то, со-
согласно D.28) и D.32), будет
г {Mr 4>3 (*, /)} г {л*г<<м*'> П) =о,
и оба измерения поля друг другу не мешают. Так и должно
быть, потому что возмущение поля, вызванное измерением
в одной области, не может распространяться быстрее света
и стать заметным в другой.
§ 5. Переход к пространству импульсов
В дальнейших вычислениях нам часто понадобятся разло-
разложения Фурье поля ф0 и соответствующих операторов. При
этом окажется полезным применять вместо более общих
интегралов Фурье ряды Фурье, так, чтобы волновые векторы
образовывали исчислимое множество. Чтобы достичь этого,
наложим на рассматриваемые функции координат требование
периодичности, причём основной областью периодичности
выберем куб с объёмом V= /3. Плоские волны e'kx (kx снова
означает скалярное произведение трёхмерных векторов k и а:),
обладающие этой периодичностью, характеризуются тем, что
декартовы компоненты волнового вектора k суть целые
2*
кратные у; требование периодичности превращает непрерыв-
непрерывное ^-пространство в кубическую точечную решётку с постоян-
постоянной у и объёмом элементарной ячейки (у) •
Разложения полей фв и тг, в ряды Фурье мы запишем
так:
Ф,(х)=v-*/. 2<?„ *****. тгв (х)=V-v. ^р* *'-**; EЛ)
суммирование распространяется здесь по всем точкам решёт-
решётки. Компоненты Фурье qQ> *, pOf k в классической теории —
функции времени, а в квантовой—операторы, причём не
зависящие от времени, если то же относится к $3(х), ъа(х).
Если <!>.,(*) и Tia(jc)—действительные или эрмитовские поля,
то надо потребовать, чтобы
E-2)

§ 5] ПЕРЕХОД К ПРОСТРАНСТВУ ИМПУЛЬСОВ 39
(это значит, что #„,_л, рв,—* комплексно или эрмитовски
сопряжены с gOf *, pOf *), ибо это необходимо и достаточно
для выполнения равенств
Формулы, обратные E.1), получаются путём умножения на
х1Ш и интегрирования по кубу V:
\а(х)е^. E.3)
V
Можно сохранить канонические перестановочные соотноше-
соотношения A.7), ограничиваясь парами точек л;, л;'в одном кубе V;
благодаря периодичности то же будет иметь место и для
других пар точек. Применение этого к E.3) показывает,
что q9tk между собой и р9,ь между собой коммутируют;
далее:
[/Ч *. Я*' А'] = У J dx f dxf [тто {х), фв. (л:')] е'(*« - »*') =
V V
Ъ V-tfdx е*(* - *0 * = j Ъа,> bkk,.
Перестановочным соотношениям между qf и рf отвечают та-
такие соотношения между канонически сопряжёнными перемен-
переменными:
[Яь к, Ч*\ к'] — [X *> Р.% к'} = 0, )
Поэтому формулы E.1) описывают каноническое преобразова-
преобразование от старых переменных ф9(лг), §аг-тто(л:) (ср. § 1) к новым
переменным qOt k, pg, &
Разложение Фурье комплексных (неэрмитовых) функций
поля ф (ср. § 3) тоже может быть выполнено по формулам
E.1, 3), но при этом отпадают условия дейстзит§дьно<;тц

40 ФОРМАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ [ГЛ. I
или эрмитовости E.2). В обозначениях § 3 мы запишем:
ф (х) = V- V.2 ?**'**, тг(х) = V" V.2 р,*-'**,
Из перестановочных соотношений C.9) тогда следует, как
и выше:
тогда как все другие пары переменных перестановочны.
Чтобы избавиться от ограничения, связанного с периодич-
периодичностью функций, надо произвести предельный переход /—>оо.
Тогда точечная решётка (k) перейдёт в континуум, а ряды —
в интегралы Фурье, в перестановочных соотношениях поя-
появится й-функция 8 (k — kr) вместо 8^г. Но рассматривать это
излишне.

ГЛАВА II
СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ
§ 6. Действительные поля в пустоте
Как простейший пример рассмотрим сначала действитель-
действительное скалярное поле, т. е. действительное, релятивистски
инвариантное поле с одной компонентой ф, = ф. В качестве
классического уравнения поля возьмём волновое уравнение
Шредингера-Гордона D.16)
(? _,18)ф = —^$ + Дф —,1»ф=0. F.1)
Оно получается путём выбора следующей, явно лорентц-
инвариантной функции Лагранжа
'--¦И? (©'+*¦}-
{ф2 c2|gradcj)|2 2»х2ф2} F.2)
В самом деле, отсюда получается:
Ъхк
так что уравнение поля A.2) принимает вид F.1). Канони-
Канонически сопряжённое с ф поле тг по A.4) будет:
.-«_¦. ,6.3)
а дифференциальная гамильтонова функция по A.5):

42 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. П
Надо заметить, что Н положительно-определённо, как это
и должно быть для плотности энергии.
В квантованной теории ф и тт — зависящие от координат
эрмитовские операторы (ф* = ф, тт* = тг) с перестановками
[ср. A.7, 8)]:
№(*)• ф (*')] = [*(*), ir(^)]=a
[irD 9(^)] = f Ъ(х-х'). F.5)
Если подставить эти операторы в Н и образовать
//= I ^л:Я, то М будет эрмитовским оператором Гамильтона.
Мы получим, согласно A.12), канонические уравнения поля
и с этой целью образуем перестановки Н F.4) с ф и тс
=4 {*(*)•[*(*>, 4> (*')]+[*(*).
тт(л;) S(* дО
ж), тг (*•)] = ^ [ {| grad ф (л:) | • + ^! (ф WJ}, я (л:')]
j — x')}.
Отсюда получаются путём интегрирования по ^-пространству
перестановки [Н, ty(x')\ и [Н,п(х')]; преобразуя, кроме то-
того, по частям
J йГлг (grad ф (jc) • grad 8 (х — х')) = — J dx Д']> {х) • Ь {х — х'),
придём, пользуясь A.9), к уравнениям:
)=^[//,ф(ж)] = 1г(*) [ср. F.3)], )
[ F-6)
Из них можно исключить тг, образуя $ = //А • \И, Щ:
§(х) = п [х) = с* {Д'|> (х) - Ц2<1> (*)}. F.7)

§ 6] ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПОЛЯ В ПУСТОТЕ 43
Это операторное уравнение формально соответствует клас-
классическому уравнению поля F.1), в частности, среднее значе-
значение ф как функция пространства и времени подчиняется F.1)
(ср. примечание на стр. 14).
Для того чтобы доказать релятивистскую инвариантность
канонического метода квантования в настоящем случае,
образуем по D.4) зависящий от времени оператор ф (*,
где E = H=\
Согласно D.6) и F.7), будет:
так что ф (л:, t) удовлетворяет волновому уравнению Шредин-
гера-Гордона. Как было доказано в § 4, канонические пере-
перестановочные соотношения F.5) эквивалентны D.48), так что по
, о, Ф(*\ O] = j
где </М определяется D.21), получим:
ф (*) = ф (*) = <*'> .ф (х)
Сравнение с F.6) даёт: dM=l (и сA) = 0), следовательно,
и
ГгЬ I v A rh I v' /'\1 - О / у» ____ vr / /'\ /^J Q\
J^^ ^л, IJ, ^ ^л , ? М ~г Z-/ \Х -—— л ) ? — ? j. ^D.oj
Здесь и правая и левая стороны инвариантны относительно
преобразований Лорентца, что и требовалось доказать.
Проверим ещё в этом простом случае, что канонические
перестановочные соотношения следуют из инвариантных
перестановок F.8): так как F.8) эквивалентно D.12), из
первого следует и D.13):
\х), ф (*')] = j (— \)п'd(»+nl)t(х — дгг),
где <#•+*') определяется D.17, 20) и тем, что

44 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ, It
В частности, при я = л', так как rfBm) = 0:
(л) (п)
№(*). *(*')]= о,
@) A)
или потому, что ф = ф, ф = ф = тт:
с другой стороны, при л = 1; /г' = 0:
Итак, снова получились все канонические перестановки F.5).
Зависящий от времени оператор ф (л:, /) нам больше не по-
понадобится.
Физические результаты квантованной теории можно полу-
получить, вычисляя тензор энергии-импульса. Канонический тен-
тензор B.8) определяется из функции Лагранжа F.2):
Для его эрмитизации достаточно так переставить сомножи-
сомножители:
тогда он станет эрмитовским. Например, оператор плотности
импульса
эрмитовский, потому что
\"dx~J ~^x'kK ~^lU'
Плотность энергии — Тн совпадает с И F.4). Условие сим-
симметрии 7И==7\^ в F.9) выполнено. Чтобы доказать спра-

§ 6] ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПОЛЯ В ПУСТОТЕ 45
ведливость уравнения непрерывности B.13), образуем, напри-
например х),
откуда на основе F.5 и 6) получится:
и небольшое вычисление показывает, что это совпадает
с выражением — V—Ч. Так же получается и //= —divS
так, что тензор энергии-импульса удовлетворяет всем постав-
поставленным требованиям.
Теперь надо найти стационарные состояния системы,
определённой по F.4, 5), пользуясь известными вычислитель-
вычислительными методами квантовой механики.
Хотя интегральная гамильтонова функция Н= \ dxH
формально и слагается из частей, принадлежащих отдель-
отдельным элементам обьёма dxt нельзя сказать, что в Н разде-
разделены переменные (<7/ = ф^), pj = bx^-^f\ ср. § 1), так как
с^лг | grad ф | зависит не только от значений ф в х, но и в
соседних элементах объёма. Но можно произвести разделе»
ние переменных путём перехода к новым каноническим пере-
переменным с помощью пространственного разложения Фурье
<!>(*) и тг(лг) по E.1):
ф (*) = К-1/. 2 qkeik*t и (jc) — y-Vi 2 pke'ikxt F.11)
где операторы qk, pk подчиняются условию эрмитовости E.2)
и перестановочным соотношениям E.4):
я-к=я1, P-*=Pt; F.12)
0; [Pk,qk>) = jhk: F.13)
i Надо учесть, что [//, аЬ\ = [//, а\Ъ + а [Я, Ь\>

46 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. П
В самом деле, если подставить ряды Фурье F.11) в F.4):
к к'
— kK -f- |i»
и проинтегрировать по кубу периодов V, то в двойной
сумме останутся только слагаемые с k= —k\ откуда с учётом
F.12) получится интегральная гамильтонова функция
Н = J 4хН=
где
F.15)
W аддитивно состоит из слагаемых, относящихся к отдель-
отдельным точкам решётки, чем и достигнуто разделение пере-
переменных.
Представление операторов q%y pk матрицами, удовлетво-
удовлетворяющими условиям F.12 и 13) и приводящими функцию
Гамильтона F.14) к диагональному виду, достигается сле-
следующим путём: каждой степени свободы сопоставляется
целое неотрицательное квантовое число Nk=0, 1, 2,... и
строятся две эрмитовски сопряжённые друг с другом ма-
матрицы: _
о, VT, о^ о ...
0, 0 , J/2, 0_.. .
о, о , о, Кз...
о, о , о, о ...
0^, 0 , 0 , 0.
Ki, о , о , о.
О , /2, 0_, 0.
о , о , Кз, о.
Их элементы можно записать так:
(€.16)

6] ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПОЛЯ В ПУСТОТЕ 47
В отношении других квантовых, чисел Л^(/ ф k) матрица ак
действует как единичная матрица; выписанные полнее матрич-
матричные элементы гласят:
- <617)
По известным правилам умножения матриц легко найти:
Fл8)
так что (ака\) и (a*kab)—диагональные матрицы с целочислен-
целочисленными элементами; разность их — единичная матрица
[аю #*]—1. С добавлением очевидных перестановочных со-
соотношений мы получаем:
Выберем вместо qky pk следующие матрицы:
тогда будут выполнены условия F.12), а перестановочные
соотношения F.13) будут следовать из F.19), что легко
проверить вычислением (в частности для k!= —k). Подста-
Подстановка F.20) в F.14) даёт (с учётом a)_ft = a)A):
По F.18) матрица энергии диагональна, и её элементы, т. е.
собственные значения энергии, суть
4 1). F.22)

48 скалярные поля [гл. и
Наименьшее значение энергии получится, если положить,
что все Nk = 0:
|. F.23)
Но называется нулевой энергией поля; оно бесконечно, так
как сумма F.23) расходится. Но как аддитивная постоянная
Ио не имеет физического значения.
После вычитания нулевой энергии значения энергии поля
равны:
..-^о = 2^'Н- F.24)
Стационарное состояние поля, характеризуемое числами
NuN2,...y имеет ту же энергию (в объёме V), что и Nx
частиц с энергией hmv N2 частиц с энергией ЛоJ и т. д.
в том же обьёме. Но h<ok по F.15) равно той энергии, ко-
которую по релятивистской механике имеет частица с массой
покоя т = ~ , когда её импульс р = hk\
huk = he VV + ?2 = cVm2c2-\-p*. F.25)
Здесь мы в первый раз видим, что квантование выражает
корпускулярные свойства системы, описываемой полем ф:
целое число Nk указывает, сколько имеется частиц с им-
импульсом hk.
Это толкование можно подтвердить вычислением импульса
поля G= \ dxO. Оператор плотности импульса по F.10)
такой:
G— — ^-(Trgrad^-f grad<J>.TT).
Подставляя сюда ряды Фурье F.11) и интегрируя по кубу
периодичности V, получим общий импульс области V:
О = - j ? k (ад4 + ркдк). F.26)

§ 6] действительные поля в пустоте 49
pk и qk снова представим через матрицы F.17) по F.20);
учитывая, что по соображениям симметрии
2 k (a_kak + aka_k) = 0, J k (a*_ka*k + a*ka*_ ) = 0,
ft л
будем иметь
По F.18) О представляет диагональную матрицу; её пере-
перестановочность с диагональной матрицей Н отвечает закону
сохранения импульса. Собственные значения импульса по
F.18) будут:
и так как импульс нулевого состояния — V k исчезает из
соображений симметрии (каждые два вектора k и —k со-
сокращаются), можно записать G как
0^,... = ?<Ч-^. F.28)
Это опять отвечает корпускулярному истолкованию;
в стационарном состоянии имеется N частиц с импуль-
импульсом hk.
Каждому стационарному состоянию системы при стати-
статистическом рассмотрении надо приписать вес 1, так как соб-
собственные значения энергии считаются по одному разу. Так
устанавливается вес в статистике Бозе-Эйнштейна ').
Таким образом наше скалярн^ поле, благодаря квантова-
квантованию с помощью канонических перестановочных соотноше-
х) В противоположность статистике Больтцмана, в которой при УУЛ
раз занятой k-Pi ячейке соответствующему состоянию приписывается
/VI кт \ i
вес, равный ^
Вентцель

50 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГД, II
ний A.7), описывает систему материальных точек, счёт
состояний которых выполняется по правилам статистики
Бозе-Эйнштейна. Дальше мы увидим, что этот результат
в отношении счёта состояний не ограничен только скаляр-
скалярным полем или специальным выбором уравнения F.1); корни его
лежат в перестановочных соотношениях A.4), и поэтому
говорят о «квантовании поля по статистике Бозе-Эйн-
Бозе-Эйнштейна» ]).
Параметр fi, входящий в вышенаписанные формулы,
может принимать любое (действительное) значение; в част-
частности, он может быть равен нулю, так что масса покоя
соответствующих частиц исчезает (h<dk = hc\k\). Частицы
с неисчезающей массой покоя и целочисленным спином на-
называются «мезонами» ввиду их предполагаемой связи с «ме-
«мезотронами» космического излучения. Отвечающие «мезонам»
поля ф называются в этом же смысле «мезонными» полями.
Здесь специально рассматривалось действительное скалярное
мезонное поле.
§ 7. Действительное поле с источниками
Предыдущие формулы описывают только «свободное дви-
движение» «мезонов» (в отсутствии внешних сил), число частиц
в каждом состоянии Nk остаётся постоянным во времени,
каждая частица сохраняет свой импульс, новые частицы
не могут возникнуть, а старые — исчезнуть. Теперь мы поста-
постараемся так изменить, точнее развить теорию, чтобы отпало
это ограничение. В качестве образца возьмём для этого
теорию света: известно, что в последней распространение
света в вакууме описывается однородными волновыми урав-
уравнениями; если же ввести взаимодействие с материей, ответ-
ответственной за испускание и поглощение света, то от однород-
однородных волновых уравнений надо перейти к неоднородным.
Желая описать аналогичным образом испускание и поглоще-
поглощение скалярных мезонов, мы перейдём от однородного урав-
уравнения Шредингера-Гордона F.1) к неоднородному волновому
уравнению
г) В противоположность квантованию по статистике Ферми-
Дирака, применимой к полю электронных волы (ср. § 20 и дальше).

7] ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ПОЛЕ С ИСТОЧНИКАМИ 51
Ему отвечает изменённая функция Лагранжа
где # = -?{?(?¦)' + №}. G.2)
Так же как и ф, функция ij должна быть лорентцовски
инвариантной. Мы принимаем в смысле оптической аналогии,
что 7) связана с плотностью материи, влияние которой на
ф-функцию должно быть изучено; если и эти частицы жела-
желательно описывать квантованным полем 4х, то tj должно быть
инвариантной функцией компонент ф и их производных
(например, для действительного скалярного Ф-поля
Г| = const. Ф2). Конечно также и 4*-поле будет испытывать
известную реакцию со стороны поля ф; чтобы учесть и это
обратное действие, надо было бы ввести в G.2) функцию
Лагранжа поля Ч* «в вакууме». Эту сторону вопроса мы
пока оставим вне рассмотрения. Мы хотим, таким образом,
считать поведение чужого 4*-поля заданным и т) будем рас-
рассматривать как известную функцию пространства и времени.
Это разумно в особенности тогда, когда частицы, соответ-
соответствующие Ф-полю, с которым взаимодействует ф-поле (мезо-
(мезонов), очень тяжелы; точнее говоря, когда их масса покоя
/т
очень велика по сравнению с массой мезона т=-г; в этом
случае отдача тяжёлых частиц при испускании и поглоще-
поглощении мезонов так мала, что ею в первом приближении можно
пренебречь. Мы подразумеваем здесь взаимодействие с прото-
протонами или нейтронами, массы которых очень велики, по срав-
сравнению с массами мезотронов космического излучения; если
приближённо считать протоны и нейтроны бесконечно тяжё-
тяжёлыми, то они совсем не испытывают действия со стороны
мезонов, но сами влияют на них, соответственно форму-
формулам G.1, 2). В частном случае протоны (нейтроны) могут
считаться покоящимися; если известны их радиусы-векторы
хп(п= 1, 2, ...), то можно представить плотность с помощью
J-функции [ср. A.8)]:
4 = 2^ (*—хп)* &п — const- (Действительная). G.3)
и
При этом предположено, что взаимодействие мезона с про-
протоном является «близкодействиемэ (tj отлично от нуля только
при x=xj; все дальнодействия рассматриваются как не-
А*

62 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
прямые, передаваемые через поле, для того чтобы твёрдо
быть уверенным, что скорость их распространения не ста-
становится больше скорости света с. Если все тяжёлые частицы
взаимодействуют с мезонами одинаково, то gn в G.3) не
эависит от я, и мы имеем в частности:
ч=*2*(*--О- GЛ)
п
Легко видеть, что размерность параметра g совпадает
с размерностью электрического заряда.
Будем теперь опять по каноническим правилам кванто-
квантовать систему, характеризуемую функцией Лагранжа G.2).
Дополнительный член — сцЬ в L ничего не изменяет в опре-
определении канонически сопряжённого импульса тт [ср. F 3)],
следовательно, взамен F.4) получим следующую гамильто-
нову функцию.
>
J
G.5)
Вместо F.6) на основе перестановочных соотношений F.5)
получатся канонические уравнения поля вида
ф==я, я=с2(А — }л2)ф — «], G.6)
исключение тг из этих уравнений снова приведёт к неодно-
неоднородному волновому уравнению. Проверим теперь инвариант-
инвариантность способа квантования в предположении, что т) — задан-
заданная инвариантная функция пространства и времени. Так
как Н может явно содержать время, формулы D.4 и дальше)
с Еу равными /У, не являются безоговорочно применимыми
[ср. D.5)] *). Мы возвратимся поэтому к исходному опреде-
J) Но есть возможность подставить в D.4) ?=Я°= \ dxHo,
так что + (дг, t) подчиняется однородному волновому уравнению
и инвариантным перестановочным соотношениям F 8) Эта возмож-
возможность интересна с точки зрения «многовременной» теории взаимо-
взаимодействия мезона с протоном Мы не коснемся этого вопроса, но
сошлёмся на ^ 18, где формализм многих времен рассмотрен на
.примере взаимодействия света с электроном [ср также Штюкель-
Cepr(Stueckelberg), Helv. Phys. Acta 11, 225, 1938].

§ 7] ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ПОЛЕ С ИСТОЧНИКАМИ $%
лению зависящих от времени операторов
ф(*. *). *(*.*).
которые как функции координат и времени должны удовле-
удовлетворять каноническим уравнениям классического поля, анало-
аналогичным G.6):
с дополнительным требованием ф (х, 0) = ф (х); к (а:, 0)
Пусть 7) разложена по степеням *:
тогда и операторы ф (л:, 0» ^ (-^» ') могут быть определены
степенные ряды
(Я) _, 1 (Л+1)
причём операторные коэффициенты вычисляются по рекур-
рекуррентным формулам:
(я+2) (л) (л) @)
ф (*) = *(Д — »1*)ф(*) —«)(*), где ф =
A)
ф (*) = *(*).
Результат может быть представлен в таком виде:
Т W = [^2 (А - f*2)]m Ф (*) S
B/n-J-l) _, (Л)
где d^, й^^ — известные дифференциальные операторы. Если
образовать отсюда перестановку
я, а'

54 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [Ъл. Ц
(*)
то очевидно, что члены т) ничего к ней не прибавляют, по-
потому что они коммутируют с ф(лг), тт(лг), т. е. получается
то же инвариантное перестановочное соотношение F.8), что
и в случае поля в вакууме (т) = 0).
Если образовать тензор энергии-импульса по канониче-
каноническому правилу B.8), то это сведётся к выражению F.9),
где L имеет значение 1°—и]ф. Вместо уравнений со-
сохранения B.13) теперь получится после короткого вычи-
вычисления J).
в формальном соответствии с классическими уравнениями
B.11). Правые части этих уравнений представляют источ-
источники энергии-импульса, иначе говоря, описывают перенос
энергии-импульса с протонов на мезоны. При выборе спе-
специального выражения G.3) имеется только перенос им-
импульса, но не энергии, соответственно с тем обстоятельством,
что энергия покоящегося протона постоянна.
Переход к пространству импульсов производится, как
и в § 6, с помощью рядов Фурье F.11), коэффициенты
которых связаны условиями F.12 и 13). Оператор Гамиль-
Гамильтона Н° поля в вакууме [ср. G.5)], конечно, снова полу-
получается в виде F.14):
При вычислении оператора взаимодействия Н' мы снова при-
применяем специальное представление т] G.4):
dxb(x — *я) ф (*) = «« 2 Ф(*я) =
п
JfcS*'**". G.7)
к п
Если выбрать для qk и рк матричное представление F.20, 17),
Если ^ф 0, то, конечно, #=*- [H,H] + dJ?.

§ 7] ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ПОЛЕ С ИСТОЧНИКАМИ 55
то Н° тождественно с диагональной матрицей F.22)
к
тогда как матрица //'[здесь не приводится к диагональному виду
G.9)
j
Если входящий в FT параметр связи g считать малой вели-
величиной, то, в смысле теории возмущения, поле в вакууме
можно рассматривать как сневозмущённую систему», а //' —
как возмущающую функцию. Если характеризовать стацио-
стационарные состояния поля в вакууме, как и в § 6, квантовыми
числами Nkt которые показывают, сколько имеется мезонов
с импульсом hky то «включение» возмущения Н' вызовет
переходы между этими состояниями невозмущённой системы,
причём, как показывают правила отбора в применении к воз-
возмущающей матрице, это будут только переходы с испуска-
испусканием или поглощением мезона [по G.9) и F.17) отличны от
нуля только матричные элементы, у которых N'k — А^ =
= 4з1 и все прочие NJ — A/J = O].
Для того чтобы эти переходы в действительности могли
происходить, должен, как известно, выполняться закон со-
сохранения энергии, т. е. нужно, чтобы испускающие протоны
и нейтроны могли отдавать или поглощать энергию
h®k=hc\fp?-{-k2 (^>hc]i)', это возможно только тогда,
когда они подвержены действию внешних сил, так, напри-
например, когда они связаны в атомное ядро. Но эти процессы
здесь не будут рассматриваться полнее, потому что для этого
требуется ввести волновые функции тяжёлых частиц, просто-
простого выражения G.3 или 4) уже недостаточно. Известно, однзко,
что для эффектов, описываемых вторым и более высоким
приближением теории возмущения, переходы, представляемые
//', могут играть роль «виртуальных* переходов, т. е. пере-
переходов в «виртуальные промежуточные состояния», энергия
которых не должна совпадать с энергией начального состояния.

56 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ ("ГЛ. II
В качестве примеров рассмотрим два таких эффекта.
Для этого воспользуемся возмущающей матрицей второго
приближения
#* _у^?1; G.10)
здесь индексы ау z и е относятся к начальному, промежу-
промежуточному и конечному состояниям, так что Н°а% Н°г — соответ-
соответствующие собственные значения энергии невозмущённой
системы, тогда как H'za и И'ег— матричные элементы воз-
возмущения для виртуальных переходов а—+z и z—*-е. Если
ни один из знаменателей не исчезает или не становится
малым, достаточно учесть матрицу Н" в первом приближе-
приближении теории возмущений, чтобы сохранить квадратичные в Н
члены соответственно второму приближению.
Пусть в начальном состоянии, кроме протона, есть ещё
мезон с импульсом hk(Nk=\, Nt=Q для / ф k). Если про-
протон поглощает мезон и потом испускает другой мезон
с импульсом 'lik', то это соответствует двухстепенному про-
процессу рассеяния мезона на протоне, причём рассеяние упру-
упругое, если протон бесконечно тяжёлый и не испытывает
отдачи; тогда сохранение энергии требует, чтобы <ukt = wk
и | k' | = | k |. В промежуточном состоянии z, в котором нет
мезона, энергия на Лео меньше, чем в начальном состоянии:
Так как по F.17) ak отвечает поглощению, а а*—испу-
а*—испусканию, из G.9) получаются матричные элементы для пере-
переходов а—»> z и z—*-е\
Но есть и друго i путь для процесса рассеяния: протон
может сначала испустить мезон k\ а потом поглотить ме-
мезон &, так что оба частичных процесса меняются порядком:

§ 7] ДЕЙСТВИТЕЛЬНО* ПОЛЕ С ИСТОЧНИКАМИ 57
Так как в этом случае промежуточное состояние имеет два
мезона одинаковой энергии h(dkf то знаменатель равен
Н°а — tt^ = — *°V Складывая G.10) по обоим промежуточ-
промежуточным состояниям, получим:
н„ Н'ег^га . Kz'H'z'a
Таким образом, слагаемые от обоих путей взаимно уничто-
уничтожаются, что означает, что в первом приближении рассея-
рассеяние отсутствует. Только при учёте обратной реакции поля
протона (отдачи протона) при виртуальных процессах погло-
поглощения и испускания получилась бы неисчезающая вероят-
вероятность рассеяния.
Другой эффект, который можно описать с помощью
второго приближения теории возмущения, — это взаимодей-
взаимодействие между двумя тяжёлыми частицами (протонами) посред-
посредством мезонного поля. Собственные значения энергии возму-
возмущённой системы, как известно, определяются во втором
приближении диагональными элементами матрицы tf G.10):
Иа = Иа —|- Haa *).
Мы вычислим возмущение энергии основного состояния поля
в вакууме (все Nk = 0):
rf у qzto /тих
Яоо=— 2. .. G.11)
z Hz~til
Виртуальные переходы 0—+z—*0, входящие в G.11), со-
состоят в том, что протон п испускает мезон /г, а другой
протон ri (или тот же протон п'—п) поглощает его. Для
знаменателей и матричных элементов //' получим по GJ и 9):
H°g—H°0=:h(Okt
1) Диагональные элементы /У, по G.9), равны нулю.

68 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. П
Следовательно, по G.11),
GЛ2)
л я'
где функция координат U(x) определяется по
Pikx
[ср. F.15)]. Энергия системы в основном состоянии является
функцией относительных координат протонов: потенциаль-
потенциальная энергия двух протонов (я, п') равна—g2U(xnt—хп).
Чтобы в G.13) превратить суммирование по точкам
й-решётки (ср. § 5) в интегрирование по непрерывному
А-пространству, заметим, что элемент объёма dk (в пределе
V—>оо) содержит 1ЛBтт)~3ч^? точек решётки, т. е. надо
заменить V~i%... на B)^
к
1 Г t>ikx
uW=jk>)dk7T*- GЛ4)
Введём теперь полярные координаты в А-тгространстве,
так, чтобы полярная ось была параллельна вектору х; тогда
dk =2Tisin&db-
L_ Г
Bк)»/|*| J

§ 7] ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ПОЛЕ С ИСТОЧНИКАМИ 59
Контур интегрирования можно деформировать в положительно-
мнимой полуплоскости х, так что останется только вычет
в полосе х = *}1:
^>=4^г- <7Л5>
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению l\U = \x2U. Точнее говоря, (Д — }А2)^
исчезает только при х^Ь®'> полнее получается из G.14)
[ср. также D.24)]:
^J b{x). G.16)
Вместо того чтобы выполнять ^-интегрирование в G.14), мы
могли бы найти формулу G.15) для ?/, интегрируя уравне-
уравнение G.16).
Функция G.15) называется потенциалом сЮкава» по имени
японского физика Ю к а в a (Yukawa), впервые предложив-
предложившего рассматривать ядерные силы, как произведённые ска-
скалярным полем, и отсюда получившего потенциал G.15) (ср.
§ 9, 14, 15). Для малых расстояний (х<^ 1/ja) U меняется
пропорционально I*!, т. е. как кулоновский потенциал;
на больших расстояниях (х ^>\\\l)U падает экспоненци-
экспоненциально, т. е. стремится к нулю быстрее, чем кулоновский
потенциал. Так как соответствующие силы практически
не действуют на расстояниях > —, длина — называется
«радиусом действия сил»; она совпадает (с точностью до
множителя 2тг) с комптоновской длиной волны «пере-
«передаточных» мезонов [ — = —. где т — масса мезонов,
\\l cm
ср. § 6).
Формулы справедливы и для |х = 0, т = 0; тогда потен-
потенциал Юкава переходит в кулоновский потенциал, и радиус
действия становится бесконечным. Поэтому, чтобы предста-
представить силы с конечным радиусом действия, нужны мезоны с
неисчезающей массой покоя.
Итак, поле нейтральных мезонов сообщает каждой паре
протонов силы статического взаимодействия с потенциальной

60 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [гЛ. И
анергией
отрицательный знак указывает на притяжение. Вывод G.17),
строго говоря, годится только для того случая, когда про-
протоны покоятся в точках хп; но надо ожидать, что при мед-
медленном движении протонов потенциальная энергия мало от-
отличается от G.17), так как мезонное поле в смысле
адиабатического изменения всё время приближается к мгно-
мгновенному стационарному состоянию. Это можно проверить,
совершенствуя теорию учётом движения протонов. Тогда
нужно принимать во внимание сохранение импульса при вир-
виртуальном испускании и поглощении мезонов: испускающий
протон получает импульс отдачи — hk, а поглощающий ~\- hk;
так что, если сталкиваются два протона с начальными им-
импульсами Pv P.,» то имеется известная вероятность того,
что они в конечном состоянии имеют импульсы Р1 — hky
P2-\-hk. Вероятность легко выразить с помощью матричных
элементов HqzHzq\(H°z— //[}), и она получится такой же, как
при волново-механическом рассмотрении соударения (в «при-
«приближении Борна») с потенциалом взаимодействия G.17) между
сталкивающимися частицами, предполагая, что изменения им-
импульса h\k\ достаточно малы. Но при изменениях импульса
h\k\^Mc (M — масса протона) потенциал Юкава G.17)
уже не описывает правильно процесса столкновения, так
как тогда нужно учитывать изменения знаменателей Hz—//J#
Это изменит коэффициенты Фурье G.13) при \k]>Mcjh и
может быть интерпретировано в том смысле, что зависимость
U от координат при самых маленьких расстояниях
(| х I < h\Mc = комптоновской длине волны протона) непра-
неправильно отображается формулой G.15).
В двойной сумме G 12) наряду с потенциалами взаимо-
взаимодействия (члены п Ф п') встречаются и «собственные энергии»,
обусловленные тем, что каждый протон может испустить и
опять поглотить мезон; собственная энергия, которой протон
обладает благодаря взаимодействию с мезонным полем, по
G.12), имеет вначение jg2U@). Но функция U(x) при

§ 7] ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ПОЛЕ С ИСТОЧНИКАМИ 61
лг = О становится, по G.15), бесконечной, как I*! (и при
этом ничего не меняет учёт отдачи протона), так что соб-
собственная энергия протона бесконечна, подобно бесконечной
собственной энергии точечного заряда которая бесконечна,
как -у е2 U @) . Можно сделать собственную энергию ко-
конечной, вводя в разложение Фурье Н' G.7, 9) обеспечиваю-
обеспечивающий сходимость множитель (например, е~а*2), «обрезающий»
большие импульсы мезонов; тогда ряд Фурье для U(х) G.13)
сходится и при х = 0, следовательно, ?/@) конечно. Для
представления И' в координатном пространстве [ср. G.5, 4)]
это означает, что 8-функция о (х — хп) заменяются в 7) ре-
регулярными функциями координат, отличными от нуля в ко-
конечной области пространства (например, е~~*' •*—•** а), т. е
протонам приписывают известные размеры и распределение
плотности; множитель, обеспечивающий сходимость в рядах
Фурье, имеет смысл «обрывающего» множителя для этого
распределения плотности. Но такое изменение гамильтоновой
функции с необходимостью нарушает лорентцовскую инвари-
инвариантность теории, собственная энергия и собственный импульс
движущегося протона не преобразуются как четырёхмер-
четырёхмерный вектор. Такую теорию можно считать разумной в
лучшем случае в нерелятивистском приближении, когда ско-
скорости протонов малы. С этой трудностью мы в даль-
дальнейшем будем часто встречаться; она представляет прин-
принципиальный недостаток современной квантовой теории полей.
К поставленной здесь проблеме мы вернёмся позд-
позднее (§ 23).
Наше вычисление энергии основного состояния основывалось
на втором приближении теории возмущений, в котором пренебрега-
лись члены третьего и более высокого порядка. Но в действитель-
действительности формула G.12) для возмущения собственных значений в слу-
случае покоящихся протонов точна также и в смысле более высоких
приближений относительно g. Мы докажем это, приводя к диаго-
диагональному виду гамильтонову функцию Н~Н°-\-Н' путём преоб-
преобразования унитарной матрицей S. Пусть

62 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Эрмитовски сопряжённая с S матрица получится, если заменить
в S i на—/ и pk на pk* [ср. F.12I; записывая k вместо — к, по-
получим:
следовательно,
SS* = S*S=\, S* = 5-1,
так что 5 — унитарный оператор, как и требовалось.
Правила перестановки F.13) дают:
—1/2 1 _ — ikxn
следовательно, перестановка № с S будет равна
к а
Подставляя теперь
и полученное выражение для [qki S], находим путём сравнения с
G.7 и 12):
так что
S- WS = S-i {N0 + Я') S = N0 + 5-1 {[Яо, S] + H'S} t
//Jo — рассмотренная выше потенциальная энергия статического вза-
взаимодействия двух протонов, и так как она не содержит qk и р^
то играет роль аддитивной постоянной. Преобразуя через 5, мы
привели, таким образом, Я к виду (Яо -{- const), где Я0 сделано
диагональным путём матричного представления F.20). По G.8) соб*

§ 8] КОМПЛЕКСНО! ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 63
ственные значения И таковы:
i) GЛ9)
т)
так что энергия мезонов точно аддитивно составлена из потенци-
потенциальных энергий Юкава между покоящимися протонами. Аддитив-
Аддитивность выражае^я л том, что мезоны, числа которых в состояниях
с различными импульсами равны Nk, не находятся ни в каком вза-
взаимодействии с протонами. В частности, они не могут и рассеиваться
протонами; этот результат, выведенный раньше во втором прибли-
приближении, теперь получен вполне строго, если только протоны счита-
считаются бесконечно тяжёлыми.
§ 8. Комплексное поле в вакууме!)
Поля, описанные в § 6 и 7, должны рассматриваться
как нейтральные (что было обосновано в § 3), точно так же
и соответствующие корпускулы нейтральны. Пусть теперь
имеется другое действительное поле того же рода, которое
можно объединить с первым в одно комплексное, согласно
C.1). Итак, чтобы иметь возможность описывать заряженные
мезоны, мы введём теперь два действительных поля фх и ф2
или образованные из них по C.1) комплексные поля ф, ф*.
Это будут снова скалярные (релятивистские инвариантные)
поля, которые в вакууме, т. е. при отсутствии частиц или
других полей, находящихся с ними во взаимодействии, под-
подчиняются однородному уравнению Шредингера-Гордона:
(?—|12)ф = 0| (П-|12)ф* = 0. (8.1)
Для функции Лагранжа в вакууме возьмём инвариантное вы-
выражение
= ф*ф — <* (grad ф*. grad ф) _ с*д2ф*ф. (8.2)
Если L считается, согласно C.2), функцией ф, ф* и их про-
производных, то уравнения поля C.3) совпадают с (8.1). (Вместо
1) Паули и Вайскопф (Pauli u Weiflkopf), Helv.
Phys. Acta 7,709, 1934.

64 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 11
этого можно было представить L с помощью C.1) и как
функцию 4>i» ф? и их производных, тогда L аддитивно сло-
сложится из частей, зависящих от ф1 и ф2, имеющих в отдель-
отдельности вид F.2). Из уравнения A.2) будет следовать, что
ф1 и ф2 удовлетворяют уравнению Шредингера-Гордона в
отдельности.)
Согласно (8.2), L инвариантно относительно преобразо-
преобразования калибровки C.10); следовательно, мы можем сопоста-
сопоставить классическому полю по C.11) плотность заряда и тока,
для которых получается (8.3):
р = — /е (ф*ф — фф*);
s = /ее2 (ф grad ф* — ф* grad ф). (8.3)
Легко проверить, что уравнение непрерывности (сохранение
заряда) C.12) будет выполнено благодаря волновым уравне-
уравнениям (8.1).
В обозначениях
получим, по C.6), функцию Гамильтона
. grad ф) -|- с«}12ф*ф. (8.5)
Будучи положительно определенной функцией, Н может быть
интерпретировано как плотность энергии. Для квантования
теории мы воспользуемся непосредственно перестановочными
соотношениями C.9). Тогда получится:
[Н (х), ф (*')] = тт* (*) [и (*), ф (х1)] = Tt* (х) ~ * (л - *'),
[//(а:), я(*')] = — С2 *. {grad ф* (*)• grad 8 (х — х1) +
и путём интегрирования по .^-пространству аналогично § 6:
v — „L{f-j ф (и] -== л* (х) |
Л»'-/-«—.1*^/-! _м«*^, I (8>6)

§ 8] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 65
Соответствующие уравнения для ф* имеют место после пе-
перестановки величин со звёздочкой и без неё. После исклю-
исключения тг и тг* будет:
(8.7)
ф* (х) = тг (х) = с* {Дф* (х) — ц2ф* (х)},
в формальном соответствии с (8.1).
Чтобы установить релятивистски инвариантные переста*
новочные соотношения, определим по D.4) с помощью
ф(*,/) = ел ф(*)е л , $*{x,t) = eh ф* (x) e h .
Так как эти операторы как функции пространства и времени
снова удовлетворяют уравнению Шредингера-Гордона, то
для них, в силу § 4, справедливы эквивалентные с C.9)
правила перестановки D.28), где фг можно отождествить с
ф и ф2 с ф*. Сравнивая D.21) с (8.6), находим:
Тогда перестановочные соотношения D.28) гласят:
[ф (х, /), Ф (*\ п] = [Г U> О, Г (*'> П] = о,
[Ф* {х, а ф (^, <')]=[Ф (^, о, ф* (х\ п]=
= i-D(x-x\t-tf); (8.8)
инвариантность их очевидна. Отметим, что благодаря соотно-
соотношению D (x, t) = — D (— *, — /) [ср. D.29)], оба последние
уравнения непротиворечивы.
Если разложить Н (8.5), согласно C.1,5), на два адди-
аддитивных члена, зависящих отдельно от фр тг1 и ф2, тг2, то
каждый из этих членов в отдельности имеет вид F.4) и по
способу § 6 в отдельности приводится к диагональному
виду. Но недостаток этого представления в том, что оно не
делает'диагональным общий электрический заряд e=\dxp,
так как для р и е не имеет места соответствующая адди-
аддитивность. Но так как общий заряд е по уравнению C.12)
5 Вентцель

66
СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ
[гл. II
постоянен во времени, т. е. перестановочен с Я, то должно
быть возможным одновременное приведение И и е к диа-
диагональному виду. Это и удаётся нижеописанным способом.
Прежде всего неэрмитовские поля раскладываются в ряд
Фурье по E.5) с перестановочными соотношениями для
амплитуд E.6). Дифференциальная функция Гамильтона (8.5)
будет:
k kt
Интегрирование по V оставляет только члены суммы k = k':
(8.9)
v
где ®k снова определено по F.15) (но гамильтонова функ-
функция (8.9) не тождественна с F.14), так как здесь не имеют
силы условия F.12): qk независимо от g_k). Мы вычислим
далее интегральный импульс поля: плотность импульса клас-
классической теории определяется C.7), перестановкой сомно-
сомножителей мы получим эрмитовский оператор
О = — (тг • grad ф -f" Srad Ф* * тг*)>
а отсюда подстановкой рядов Фурье E.5) и интегрирова-
интегрированием по V:
[ l (8.10)
(Для тензора энергии-импульса C.8) получится после надле-
надлежащей симметризации:
дх,
L
dx
который удовлетворяет условию зрмитовости и уравнениям
непрерывности B.13), в чём легко убедиться.) Плотность
электрического заряда, по C.11) или (8.3,4), равна
р = — /6 (гсф — тг*ф*) = — U (фтт — ф*71*);

§ 8] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 67
оба эти представления, согласно перестановочным соотноше-
соотношениям, эквивалентны, откуда видна и эрмитовость опера-
оператора р!). Итак, получается полный заряд:
l (8.11)
Чтобы сделать энергию, импульс и заряд диагональными
одновременно, мы положим:
(8Л2>
Здесь ak,ak — матрицы типа F.16) и ЬкУ Ък — такие же ма-
матрицы относительно других квантовых чисел, так что ак, а\
коммутируются, bk. Если обозначить квантовые числа че-
рез Nk и Nk (они могут иметь все целые неотрицательные
значения), то должно быть:
k'4
k k
в отношении всех невыписанных квантовых чисел ak% ak, bk%
bk действуют как единичные матрицы. Согласно F.18),
0*0*1 0*0*» ****i Ь*фк — диагональные матрицы, диагональные
элементы которых Л^-j-l, Nk, Nh-\-l, Nk\ мы запишем такие
собственные значения
J) Это представление имеет то преимущество перед другими
[например р = — /е (тсф — ф*я*)], что не даёт «нулевого заряда» [ср.
(8.17)].
5*

68 скалярные поля [гл. и
Согласно F.19), имеют место следующие правила переста-
перестановки:
% [bk9b\] = 9kkff (8.15)
тЬгда как остальные матрицы попарно коммутируют. Легко
проверить вычислением, что матричные представления (8.12)
*4» Я*ъ Pk, p\ удовлетворяют E.6).
Подстановка (8.12) в (8.9, 10, 11) даёт:
k I
1 (8.16)
k
Следовательно, энергия, импульс и заряд диагональны, и их
значения, по (8.14,15), таковы:
=1
ЧЛ. *j,..^
Отвлекаясь от бесконечной нулевой энергии 2//0, которая при
комплексном поле в два раза больше, чем при нейтральном
[ср. F.23)], выражения (8.17) снова можно истолковать кор-
пускулярно: если частицы имеют массу т = к\х/с, электриче-
электрические заряды dzhenNfc из имеющих заряд -[- he получили импульс
-\-hk} а Л^ из имеющих заряд — he получили импульс — hk%

§ 9] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 69
то энергия, импульс и заряд этих частиц даются как раз (8.17).
Поэтому можно сказать, что в стационарном состоянии, характе-
+ + — —
ризуемом квантовыми числами Nv 7V2,..., Nv N2, присутст-
присутствуют по А^ частиц с импульсом -\- hk и зарядом -\- he и Л^
частиц с импульсом — hk и зарядом — he. В противополож-
противоположность действительному полю квантованное комплексное поле
представляет заряженные «мезоны», у которых оба знака за-
заряда равноправны. То, что заряд является целым числом эле-
элементарных зарядов /is, в этой теории оказывается следствием
квантования поля. Так как каждое собственное значение
+ +
(8.17) — простое, то каждому состоянию (Л/j, ЛГ2,... , NVN2...)
всей системы отвечает вес 1, в согласии со статистикой Бозе-
Эйнштейна.
§ 9. Комплексное поле во взаимодействии
с протонами и нейтронами1)
Так же, как в § 7, нейтральное поле, так и здесь поле
заряженных мезонов рассматривается во взаимодействии с по-
покоящимися (бесконечно тяжёлыми) протонами и нейтронами2).
Формально это можно достичь тем, что перенимаются выра-
выражения G.1 до 5) для действительных компонент поля ф1э ф2
и линейно комбинируются; тогда для гамильтоновой функции
после перехода к комплексной записи получается [с 7j =
D "k)]
, 1
{(grade})*.grade})) -f- »л2ф*ф}, [ (9.1)
*ф#) )
Относительно лорентцовской инвариантности квантованной
теории, как и относительно тензора энергии-импульса, не по-
получается ничего существенно нового по сравнению с § 7 и 8,
так что эти пункты мы обойдём.
1) Юкава (Yukawa), Proc. Phys. Math. Soc. Iapan 17, 48,1935.
2) Силы, которые испытывают мезоны благодаря своему заряду
со стороны кулоновского поля протона, здесь рассматриваться не
будут.

70 скалярные поля [гл. и
Характерное отличие от нейтральных мезонов состоит
в следующем. Так как матрицы ф и ф*, по E.5) и
(8.12), представляют переходы, в которых числа мезонов Л^
и Nk меняются на + 1, то возмущающая энергия Н' = J* dxH'
снова описывает процессы, при которых мезоны поглощаются
или испускаются протонами и нейтронами. Но теперь мезоны
несут электрический заряд, и поэтому такие процессы только
тогда совместимы с сохранением заряда, когда тяжёлые
частицы испытывают соответствующие изменения заряда, пре-
превращаясь из протона в нейтрон, или наоборот. Для формального
представления этих превращений (как известно, имею-
имеющих место и при ^-распаде) удобно, по Гейзенбергу !), тракто-
трактовать протон и нейтрон как два состояния одной и той же
частицы, которую называют «протон-нейтрон» (или также «нук-
«нуклон»). Оба состояния характеризуют «зарядным числом» X,причём
Х = 0 отвечает нейтронному состоянию, а X = 1 — протонному.
При переходе i=l—*0 может испуститься положительный мезон
или поглотиться отрицательный; обратные процессы связаны
с переходом Х = 0—*1. Разумеется, при этом нужно отожде-
отождествить заряд положительного мезона с зарядом протона (эле-
(элементарным зарядом). Для всех дальнейших выводов удобно
измерять электрические заряды в единицах элементарного за-
заряда, и мы положим поэтому (в этом § 9)
he =s 1.
Поскольку, таким образом, введённая в § 8 функция плотно-
плотности представляет электрическую плотность в обычном смысле,
подчинённую совместно с зарядами протонов уравнению не-
непрерывности, то И' должно описывать, кроме процессов испу-
испускания и поглощения мезонов, также и одновременные с ними
процессы превращения протонов в нейтроны и наоборот, т. е.
функции 7] и 7j* в (9.1) должны быть ещё матрицами в отно-
отношении зарядных чисел \п протон-нейтронов (п= 1,2...).
Поэтому в теории взаимодействия заряженных мезонов с
ядерными частицами нельзя совсем оставлять в стороне измене-
изменения состояния последних даже если считать их, как в § 6, не-
неподвижными и тем самым пренебрегать их трансляционными
1) Zs. f. Phys. 77, 1, 1932.

§ 9] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 71
степенями свободы, всё же, по меньшей мере, нужно учиты-
учитывать «зарядные степени свободы», так как «правила отбора»,
обусловленные сохранением заряда, важны для переходов.
Чтобы формулировать приведённую таким образом про-
проблему взаимодействия, мы можем снова применить для 7] пред-
представление G.3):
ч=2 ^ (* - *я). ч* = 2 # (* - *J. 0-2)
а а
но теперь gni g*n должны рассматриваться как матрицы отно-
относительно зарядных чисел \п, которые надо определить так,
чтобы сохранялся заряд. Пусть
*Р=5>„ (9-3)
/7
— заряд всех протон-нейтронов, представленный, как матрица,
относительно \п (см. ниже). Заряд мезонного поля мы назовём ?°:
*° = ( Лер == — i- j rfx (иф — тт*ф*). (9.4)
Общий заряд
e = eojrep (9.5)
должен быть перестановочен с Н= f dxH,
[Н,е] = [Н"-\-Н',е] = 0. (9.6)
И° перестановочно с е> так как /Y<\ e° и ер — диагональные
относительно Nk, Nk и \п матрицы, так что остаётся только
выполнить условие
[Н\е] = [Н'у е»]-\-[Н*9 ер] = 0. (9.7)
Из (9.1,4) получается
[Я', e°) = --L$dx ([//, it] ф - [Н\ n*J ГУ.
[Н\ к (х)] = | Лс' [//' (х'), и (х)] =

72 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [гЛ. IB
так что
С другой стороны,
[Н1, е?] = с
Чтобы выполнить (9.7), мы потребуем:
[7),^] =-г), [i)Vp] = + if, (9.8)
или, по (9.2,3) (конечно, [#„, ?Л'] = 0 для я ф л'),
Заряд протон-нейтрона гл представляется как диагональная
матрица относительно зарядного числа Хл(=0, 1), элементы
которой равны 0 (нейтрон) и 1 (протон)
Беря выражения
где ^—числовой множитель, найдём:
так что условия (9.9) выполняются благодаря (9.11). Един-
Единственные неисчезающие элементы матриц (9.11) суть (gn)l0
и (^*H II так что gn описывает переходы из нейтронного
состояния в протонное, a g*n описывает обратные переходы.
Этому соответствует множитель ф(лгл) при gn в //', так как ф,
по E.5) и (8.12), относится к поглощению положительных
мезонов и испусканию отрицательных.
Для формального представления gn часто применяются
спиновые матрицы Паули:
О 1\ ,2) / О — /'
но их, разумеется, надо понимать как матрицы относительно
не спинового квантового числа, а зарядного \ («изотопного

§ 9] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 73
спина»). Матрицы Паули — эрмитовские со свойствами:
С учётом (9.12), мы запишем вместо (9.10,11):
1
«„ = 1A-тЮ), (9Л4)
индекс п означает, что матрицы относятся только к Хл, а в
отношении всех остальных зарядных чисел единичны. Легко
проверить справедливость (9.9), пользуясь (9.13). Подытожи-
Подытоживая, мы можем с помощью (9.1,2,15) написать для Н1:
т W -1 ^Ж*-)+«* • т^-И х'2)) ¦• W} • (9.16)
Если ещё ввести сюда ряды Фурье E.5) и матричное пред-
представление (8.12), то выйдет:
Желая учесть, что массы протона и нейтрона различны,
надо добавить к И энергию покоя протон-нейтрона, которая
является диагональной матрицей относительно зарядных
чисел \п:
Но разностью масс MN — Мр мы в дальнейшем будем пре-
пренебрегать, как малой по сравнению с массой мезона.
Считая Иг возмущением, можно снова рассматривать во-
вопросы о рассеянии мезонов или о ядерных силах во втором
приближении. В § 7 было показано, что рассеяние нейтраль-
нейтральных мезонов на покоящемся протоне или нейтроне исчезает,

74 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
потому что процесс рассеяния может итти двумя путями, отли-
отличающимися последовательностью виртуальных процессов (по-
(поглощение первичного и испускание вторичного мезона); при-
причём оба процесса взаимно компенсируются. Совсем иначе
обстоит дело при рассеянии заряженных мезонов. Пусть, на-
например, имеются первичный положительный мезон и протон;
последний, таким образом, не может поглотить этот мезон;
тогда процесс рассеяния не может итти так, чтобы сначала
поглощался первичный мезон, а потом испускался вторичный;
остаётся пригодным только второй путь, характеризуемый та-
такой схемой:
+
(Р — протон, N—нейтрон, ]ik, \xk—положительный и отри-
отрицательный мезоны с импульсом hk). Аналогично при рассеянии
отрицательного мезона на протоне имеется только такой путь:
С другой стороны, при рассеянии отрицательного мезона на
протоне и положительного мезона на нейтроне надо рассма-
рассматривать только первый частичный процесс:
В каждом случае вследствие сохранения заряда процесс рас-
рассеяния идёт только по одному пути. Соответствующий ма-
матричный элемент, который не может быть компенсирован ни-
никаким другим, получается по G.10) и (9.17) и с @^ = 0)^:
Отсюда по известному способу может быть вычислена веро-
вероятность рассеяния. Распределение рассеянных мезонов по на-
направлениям, очевидно, изотропно, а полное поперечное сече-
сечение рассеяния равно

Л 9] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 75
Чтобы определить производимые посредством заряженных
мезонов ядерные силы, как и в § 7, мы вычислим во втором
приближении произведённое за счёт И' возмущение собствен-
собственных значений энергии основного состояния поля (все Nk = 0
и Nk = 0).
Учтённые в G.11) виртуальные переходы 0—*z—> 0 снова
состоят в том, что один протон-нейтрон «л» испускает мезон,
а другой «л'» поглощает его. Смотря по тому, испускается
ли положительный или отриц^ельный мезон, промежуточное
+
состояние будет обозначаться z или z. Тогда, по (9.17) и
(8.13), матричные элементы виртуальных частичных процессов
О—>«г (испускание) иг—>О (поглощение) будут:
п
И' —с 1/ h V q eikxn И" —с
л
4
л
Здесь мы считаем, что gn являются матрицами относительно за-
зарядных чисел \п также и после подстановки в Н^ G.11), что
дозволено, если порядок сомножителей выбран по G.11).
Помня, что
Л1»
получим для
АЛ an1
4-
Как и в G.13), здесь можно ввести потенциальную функцию
Юкава G.12).
*Ги = — \ ЕЕ {(Г*'& + еМ U(xn,-xn). (9.19)
Каждый член двойной суммы по я, п' относительно зарядных
квантовых чисел \п, кП' протон-нейтрона является матрицей,
собственные значения которой легко определить.

76 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Что касается членов п = п\ то, по (9.11)т
g«& + gm?n = \g\*' (9-20)
т. е. они равны единичной матрице, помноженной на |^|2;
каждый из этих членов диагоналей и имеет значение
— у | ^| 2 U@). Следовательно, каждый протон-нейтрон благо-
благодаря взаимодействию с полем заряженных мезонов обладает
бесконечной отрицательной собственной энергией. Всё то, что
было сказано об этом в § 7, сохраняет силу и здесь.
Члены с п~^п' в (9.19) представляют силы между двумя
тяжёлыми частицами. Мы выберем частицы, у которых п = 1,
п' = 2 и л = 2, л' = 1:
^12 = —{ft«S + ?l&} V{Xi—x*)- (9.21)
Зависимость этого потенциала от координат точно такая же,
как и у потенциала Юкава G.15). Матричный множитель
{S\S\Ч"g*\g*} указывает, что мы имеем дело с «обменными
силами»: единственные неисчезающие матричные элементы
У gn и соответственно у g-* отвечают, по (9.11), переходам
я-й частицы из нейтронного состояния в протонное и соот-
соответственно из протонного состояния в нейтронное; следова-
следовательно, матрица gxg*2 имеет только один неисчезающий элемент,
соответствующий начальному состоянию.
частица 1 = нейтрон, частица 2 = протон,
и конечному состоянию:
частица 1= протон, частица 2 = нейтрон;
у матрицы gxg*v эрмитовски сопряжённой с g\g^ конечное и
начальное состояния переставлены. Так что, если обе частицы
вначале находились в одинаковом состоянии (два нейтрона
или два протона), то, по (9.21), вообще не остаётся возмож-
возможностей для перехода; это основано на том, что вследствие
закона сохранения заряда пара частиц не способна обмени-
обмениваться заряженными мезонами. Если, напротив, одна из частиц
вначале была нейтроном, а другая — протоном, то V12 пред-
представляет переход в конечное состояние, в котором частицы

§ 9] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 77
поменялись зарядами; перенос заряда, конечно, осуществил
перешедший мезон. Когда тяжёлые частицы рассматриваются
как подвижные (ср. § 7), то мезоны, кроме обмена зарядом,
способствуют и обмену импульсом, по одной из следующих
схем:
7
\-J j/
Г \ / ~\
N
Для обменной силы, произведённой заряженными мезо-
мезонами, характерно, что частицы при столкновении меняются
зарядами, тогда как нейтральное мезонное поле (§ 7), ко-
конечно, не меняет зарядов. То обстоятельство, что действи-
действительные ядерные силы, вероятно, хотя бы частично, имеют
обменный характер, и навело Юкава1) на мысль о возмож-
возможной связи настоящей теории с ядерными силами; к этой гипо-
гипотетической связи мы вернёмся позже (§ 15).
Вычислим собственные значения Н"ф (9.19) для того случая,
когда присутствуют только два протон-нейтрона. Тогда, после
вычитания собственных энергий, H'QQ тождественно с V12
(9.21). Обозначим четыре зарядные состояния пары частиц
буквами я, Ь, с, d в такой последовательности: нейтрон-ней-
нейтрон-нейтрон = я, протон-нейтрон = Ь, нейтрон-протон = с> протон-
протон = d, так что V12 представится такой матричной схе-
схемой:
a
b
с
d
a
0
0
0
0
b
0
0
-\g\*U(x
0
с
0
-kl2t/(
i—*зH
0
d
0
xl—x2H
0
0
Собственные значения этой матрицы, очевидно, равны:
Ср. примечание 1, стр, 69.

78 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Двойное собственное значение 0 принадлежит стационарным
состояниям а и d, два других собственных значения отве-
отвечают смеси состояний Ь и с, причём, как легко видеть, соб-
собственная функция системы симметрична относительно заряд-
зарядных чисел \v Х2 при энергии — g{2U и антисимметрична
при энергии -f-l^l2^. В первом случае протон и нейтрон
притягиваются, а во втором отталкиваются.
В литературе обменные операторы {gnf g*n -f- g*nlgn} обычно
выражаются через матрицы изотопного спина; (9.15) даёт:
«, = | \g\ М $> ф + tg> *„» }; (9.22)
вместо (9.21) можно написать и так:
\\* {tM> + }«<»} U(Xl-x2). (9.23)
Надо иметь в виду, что к этим обменным силам, выведен-
выведенным во втором приближении теории возмущения в более
высоких приближениях, прибавляю 1ся силы необмекного
характера, связывающие также и протоны между собой
и нейтроны между собой. Например, нейтрон может испустить
сначала отрицательный, а потом положительный мезон, кото-
которые потом будут поглощены другим нейтроном в обратном
порядке; этот четырёхстепенный переход и другие, ему
подобные, приводят в четвёртом приближении к обычному
статическому взаимодействию между нейтронами. К сожале-
сожалению, связь с проблемой собственной энергии делает невоз-
невозможным свободное от произвола вычисление высших прибли-
приближений такого взаимодействия; эти члены взаимодействия'
становятся конечными только тогда, когда, при отказе от
релятивистской инвариантности, протоны и нейтроны описы-
описываются пространственно протяжёнными, так что их собствен-
собственная энергия становится конечной; добавка к силам от высших
приближений зависит не только от параметра связи \g\, но
и от выбора радиуса протона и обрывающего множителя.
Только если этими величинами можно распорядиться так,
чтобы обменные силы Юкава, имеющие на расстояниях
удалённости частиц друг от друга \хг—х2\ порядок вели-
величины ft ( = радиусу действия сил между частицами), пре-
преобладали на этих расстояниях, то теория становится одно-
однозначнее.

§ 9] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 79
В случае взаимодействия нейтрального мезонного поля с поко-
покоящимися протонами и нейтронами мы могли точно определить
собственные значения //, точно по отношению к любой степени
|g| путём преобразования И с помощью унитарной матрицы S
G.18). Для заряженного мезонного поля, т. е. для проблемы (9.1), не
удалось найти соответствующее решение; хотя и можно разлагать 5
по степеням | ^|, что отвечает применённому выше методу возму-
возмущений, но всё же ряд нельзя просуммировать в замкнутом виде. То,
что обстоятельства здесь настолько сложнее, чем при нейтральном
поле, формально связано с неперестановочностью входящих в //'
матриц gn и gn.
В более высоких приближениях теории возмущения надо учи-
учитывать виртуальные переходы, в которых два или больше мезонов
испускаются различными протонами или нейтронами, а поглощаются
другими, так что в процессе принимают участие больше двух
протон-нейтронов. Отсюда у потенциала получаются члены, зависящие
от координат трёх и более частиц («силы взаимодействия многих
тел сразу»).
Если безразмерный параметр связи L~L-> 1, разложения тео-
теории возмущений неприменимы из-за плохой сходимостих). В случае
сильной связи (| g\Vhc^> 1) можно, напротив, пользоваться при-
приближёнными решениями в виде разложений по обратным степеням
\g\ 2). Мы не можем входить в эти несколько сложные вычисления;
упомянем только один результат. По этой теории протон-нейтроны
способны связывать положительные или отрицательные мезоны, так
что получаются «изобары протона» с произвольным зарядным чис-
числом; энергия или масса изобаров квадратично зависит от зарядного
числа
Для статических сил, в наинизшем приближении (т. е., пренебрегая
членами высшего порядка в | g\ ~2) и в предельном случае, когда
радиус протона -*-0, получаются силы между двумя телами с по-
потенциалом
где $ — обменный оператор, который вследствие появления высших
протонных изобар имеет несколько более общее значение, чем
1) Если определить | g\ из сравнения (9.23) с действительной
величиной ядерных сил (ср. § 15), то | ^| 2/hc оказывается по поряд-
порядку величины не существенно меньше единицы.
2) Вентцель (Wentzel, Helv. Phys. Acta 13, 269, 1940 и 14,
633,1941), Оппенгеймер и Швингер (Oppenheimer
nSchwinger, Phys. Цеу. 60, 150, 1941).

80 скалярные поля [гл. и
оператор в (9.21 или 23): он превращает зарядные числа обеих ча-
частиц \ъ Х2 в Хх -|- 1, Х2— 1 и в Хх—1, Х2+1- Отвлекаясь от этого
и от числового множителя, мы видим, что при сильной и при сла-
слабой связи силы совпадают.
§ 10. Комбинированное нейтральное и
заряженное поле
Мы вкратце рассмотрим ещё обобщение теории Юкава, состоя-
состоящее в том, что ядерные частицы связываются не только с заряжен-
заряженным, но и с нейтральным мезонным полем, причём особенным
симметричным образом, такого рода, что силы становятся незави-
независимыми от зарядного состояния частиц («симметричная теория»
Кеммера1). Мы обозначим нейтральное поле через ф3 (Фз = Ф*з)
и разложим комплексное поле ф, с целью его симметричного пред-
представления, на его действительные (эрмитовские) составляющие ф1э <j>2>
сообразно C.1). Гамильтонова функция выбирается так:
Н =
A0.1)
где суммирование по а распространяется на значения 1, 2, 3>*
%*?\ х*?\ т^ — матрицы «изотопного спина» л-го протон-нейтрона [ср.
(9.12)]; параметр связи g' — действителен. Члены A0.1), относящиеся
к заряженному полю (с=1, 2), совпадут с (9.1) и (9.16), если там
положить g— g*=zg'yr2. Но в отношении нейтрального поля <|>3
имеется различие с G.5), выражающееся в том, что в Н9 fa(xn)
множится на т^, т. е. множитель связи в G.3) имеет различный
знак, смотря по тому, находится ли частица в нейтронном или про-
протонном состоянии; этим достигается то, что т^ и tya(xn) связаны
наподобие скалярного произведения двух векторов хп и fy(xn).
Конечно, надо понимать это как векторы в символическом про-
пространстве, не имеющем ничего общего с обычным пространством
(xv х2, ха).
С помощью рядов Фурье E.1) для А/0 и Н' получается
yr=^^•'¦22«. *2#} «***•• * A°'2)
_____ Лол
])Кеммер (Kemraer), Proc. Carabr. Phil. Soc. 34, 354, 1938.

§ 10] КОМБИНИРОВАННОЕ НЕЙТРАЛЬНОЕ И ЗАРЯЖЕННОЕ ПОЛЕ 81
Для q9t k и pQt k имеют место условия эрмитовости E.2) и пере-
перестановочные соотношения E.4).
Преобразуем Н=Н°-\-Н' матрицей 5, которую мы предпо-
предполагаем разложенной по степеням g' в смысле метода возмущений:
при этом мы ограничимся вторым приближением, т. е. будем пре-
пренебрегать всеми членами, содержащими третью и более высокие
степени g'. Поскольку S унитарно, имеет место
S*S == 1 -f (Sf + S'*) + (S1 *S' + S" + 5"*) -f.. .= 1.
Для выполнения этого условия мы потребуем, чтобы
S'* = — S'% A0.4)
и положим
S''^S"* = ±S'* A0.5)
тогда в нужном приближении в самом деле будет:
Для Sf мы примем выражение
S' = i- cg'V- 'I-Zjr ^ря, k ? ф е- *** A0.6)
k k О П
которое удовлетворяет A0.4) благодаря E.2). Перестановка с И0
даёт на основании правил E.4):
k a
или с учётом E.2):
[H0,S'] = — H'. A0.7)
Если разложить преобразованный матрицей S A0.3, 4, 5) оператор
Гамильтона по степеням g'
6 Вентцель

82 скалярные поля [гл. н
то члены, линейные в g1, согласно A0.7), сократятся, и получится
во втором приближении:
-j[//',S'J-f... (Ю8)
Входящий сюда как новый возмущающий член у f^'> S'] пред-
представляет, по AQ.2, 6), двойную сумму по л и по п'\ мы отделим
суммирование членов с п~п' от членов с /гф/z':
±IH'S'] = H"(=)+H^. A0 9)
Н*=) — это сумма таких членов, какие появлялись бы и при наличии
одного единственного протон-нейтрона (собственная энергия плюс
члены, описывающие, например, процессы рассеяния); член М_\
ничего не прибавляет к ядерным силам, по крайней мере, в рассмот-
рассмотренном здесь приближении. Мы вычислим поэтому только Н'^у для
которого получится из-за [х^\ т?р] = 0 для лфл':
Здесь снова появляется определённый в G.13) потенциал Юкава.
Если ещё для сокращения записи заменить сумму по о символи-
символическим скалярным произведением
то получится
п < п'
Что касается матрицы (vv), то члены суммы с о—1, 2 в A0.10)
нам уже известны [ср. (9.22)]; сюда прибавляется ещё член т^ т^Д
являющийся по (9.12) диагональной матрицей с элементами ± 1.
Обозначая, как в § 9, зарядные состояния пары частиц п, п' бук-
буквами а, Ь, с, dt получим для матрицы (тл-тя,) следующую схему:
a
b
с
d
a
+ 1
0
0
0
b
0
— 1
_|_2
0
с
0
_J_ 2
— 1
0
+
d
0
0
0
1
Собственные значения суть: 1, (—1 ± 2), 1; три собственных значе-
значения -f" 1 принадлежат собственным функциям, симметричным в \п%

§ 11] ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 83
\п„ в то время как собственная функция с простым собственным
значением — 3 антисимметрична. Так что, если существуют только
два протон-нейтрона, то собственные значения Н'^ ^ таковы:
Vf2 =-?**/(*!-.*,), ^2 = + 3^(/(л^дг2), A0.12)
где Kf2, Kf2 также относятся к состояниям, собственные функции
которых симметричны и соответственно антисимметричны; в первом
случае силы притягивающие, во втором — отталкивающие. По
сравнению с силами, рассмотренными в § 9, которые создаются
только с помощью заряженных мезонов, имеется характерная раз-
разница, состоящая в том, что три симметричных состояния имеют
одинаковое собственное значение: силы между двумя протонами
или между двумя нейтронами таковы же, как и между протоном
и нейтроном, если только собственная функция симметрична относи-
относительно зарядных чисел. В этом случае говорят о силах, «не зави-
зависящих от заряда». Принимая во внимание экспериментальные
указания о независимости ядерных сил от заряда (§ 15), теория Кем-
мера заслуживает особого интереса.
Между прочим, действительно положение, что симметричная
теория даёт силы, не зависящие от заряда не только в рассмотрен-
рассмотренном здесь втором приближении теории возмущений, но и в любом,
более высоком приближении (Кеммер). Именно, теория инвариантна
относительно одновременного ортогонального преобразования «век-
«векторов» <[>!, <J>2. h и ^> т«2*» т«3^ (поворотов в пространстве изотоп-
изотопного спинаI), поэтому гамильтонова функция, после того как она
сделана диагональной относительно квантовых чисел поля, зависит
от зарядных чисел \п только через инвариантные комбинации
(W)> собственные значения которых не зависят от заряда.
§ 11. Заряженные частицы в электромагнитном поле
В классической релятивистской механике движение части-
частицы с зарядом ех в заданном электромагнитном поле опи-
описывается уравнением Гамильтона-Якоби, которое можно
привести к такому виду:
Здесь <1>V — четырёхмерный потенциал электромагнитного
поля F^y взятый в той точке, где находится заряд
1) Это следует, в частности, из отношений (9.13).
6*

84 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Волновое уравнение, отвечающее этой проблеме, установлено
Шредингером1) и Гордоном2):
Это дифференциальное уравнение, которое без поля(Фу = 0)
совпадает с (8.1), описывает влияние электромагнитного поля
на рассмотренное в § 8 заряженное мезонное поле. Если мы
при этом рассматриваем компоненты потенциала <PV как задан-
заданные функции пространства и времени, то это означает, что
мы пренебрегли обратным действием мезонного поля.
Положим, в согласии с обозначениями § 8, массу частицы
m = ]ihlc и элементарный заряд el = eh, тогда волновое
уравнение и сопряжённое с ним будут иметь вид:
{Щ-7*.)'-**}*= О,
Согласно C.3), они выводятся из такой функции Лагранжа:
По C.13) отсюда получается плотность заряда и тока ф-по-
ля8):
^ = /?c2(^^-^**)-2e2c$v^- О1-3)
Уравнение непрерывности 2 dsJdx^ = 0 выполнено, потому
1) Ann. d. Phys. 81, 109, 1926 (§ 6).
2) Zs. f. Phys. 40, 117, 1926.
8) Так как д$\дх^ и д^*/дх^ входят в L только в комбинациях
дх, с
по C*13) имеем:
6L

§ 1 1] ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 85
что L инвариантно относительно преобразования калибровки
(ЗЛО). С этим связано то, что теория инвариантна относи-
относительно более общего преобразования калибровки:
ф_*ф.в?А, ф»_ф#.Г^А, ф, —ф, + -|?, (Ц.4)
где А — произвольная функция пространства и времени. Это
понятно нужно потребовать, так как преобразование потен-
потенциалов Ф^ составляет напряжение поля Z7^, согласно A1.4I),
инвариантным, а действия поля определяются только через
F . Как легко проверить2), не только волновые уравнения
A1.1), но и функция Лагранжа A1.2) и четырёхмерный ток
A1.3) инвариантны относительно преобразования A1.4).
Тензор энергии-импульса, образованный по каноническому
правилу C.8), ещё не удовлетворяет этому требованию
инвариантности; также он ещё и несимметричен. Согласно
оговорке, сделанной в § 2, мы дополним его до симметрич-
симметричного тензора, который тогда будет и калибровочно-инва-
риантным, следующим способом:
Как показывает вычисление с помощью волновых уравнений
A1.1K), дивергенция этого тензора соответствует силам,
*) Преобразование калибровки 2-го рода по Паули; ср. прим. 1,
стр. 23.
2) Надо вспомнить операторное уравнение
д h (- . д\ \ \ ± '* А =*= j А / д U А \
дх^ с \ v ' dxj) \дх^ с V*
Удобно применить уравнение, вытекающее из A1.1):

86
СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [гЛ. II
с которыми электромагнитное поле действует на мезоны:
Но для гамильтоновой функции мы сохраним каноническое
определение C.6); отсюда прлучаются канонические уравне-
уравнения поля в согласии с A1.1). При
^ ф Фоф; (П.7)
dx
= /ф0) мы найдём:
ЁД+7 •.¦
— Ф0-/е(тгф — тг*ф*). A1.8)
Последний член (Фор) отличает Н от плотности энергии
— 744. Легко проверить, что A1.8) даёт правильные уравнения
поля; так, на основании перестановочных соотношений C.9),
непосредственно следует:
что совпадает с A1.7), и после короткого вычисления
- 7 ф
откуда после исключения к* снова получается волновое
уравнение A1.1). Если, как в (9.1), отщепить в Н гамиль-
*) Чтобы это уравнение имело место и в квантованной теории и с
выбранным в A1.3) и (8.3) порядком сомножителей (ср. примечание
на стр. 58), в 7^ должна ещё быть произведена симметризация
отдельных членов; так, в Tik надо заменить ф* (-— Ф*тЧ на
\uXk с J

§11] ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 87
тонову функцию невозмущённого мезонного поля //°, то воз-
возмущающая энергия будет:
#'=# — //° = — Ф0./?(тг!>— 1Г*ф*> —
а после сравнения с A1.3)
Применяя в квантованной теории1) снова матричное пред-
представление E.5), (8.12, 13), делающее Н° диагональным,
получим представление И' в виде билинейной формы относи-
относительно матриц ak, a*, bk% &*, т. е. матрица возмущения опи-
описывает переходы между стационарными состояниями невоз-
невозмущённого мезонного поля, при которых два мезонных числа
Nk, Nk меняются на -\- 1 или на —1. Конечно, общий заряд
мезонов при этих переходах должен сохраняться, так как
электромагнитное поле не может иметь заряда (перестано-
(перестановочность общего заряда е= \ dxp с Я, которую легко про-
проверить, гарантирует сохранение полного заряда). Таким
образом электромагнитное' поле может вызвать переходы
следующих родов:
Процессы (а) и (Р) представляют рассеяние положительного
и соответственно отрицательного мезонов электромагнитным
2) Мы опускаем доказательство релятивистской инвариантности
квантования и указываем на аналогичные рассуждения в § 21
(электроны в электромагнитном поле).

88 скалярные поля [гл. и
полем, тогда как (у) и (§) описывают образование пары
или, соответственно, уничтожение (исчезновение) одного
положительного и одного отрицательного мезонов. Эти про-
процессы могут происходить реально, если они совместимы
с законом сохранения энергии, а также они могут в высших
приближениях теории возмущений играть роль виртуальных
переходов.
В качестве простейшего примера рассмотрим вкратце
рассеяние мезона электростатическим полем:
^-° = 0, Ф1 = ф, = ф,=0. A1.11)
Скалярный потенциал разлагается в ряд Фурье
Тогда из A1.9) и E.5) получится путём интегрирования по
объёму V:
И = \ dxti = — Z6 2j2i Ak'- k\Pk*4k—pkqkjy
если отщепить здесь члены с k=k'y то из (8.11, 12) после-
последует:
- -- V(
Рассмотрим рассеяние положительного мезона: его импульс
в начальном состоянии hk, а в конечном hk*, соответствую-
соответствующий матричный элемент #', по (8.13), содержится в члене
-V- aki ak, и если в этих состояниях нет других мезонов, он
равен
или, так как закон сохранения энергии требует, чтобы ®# =
(оА (упругое рассеяние):
A A1.14)

§ И] ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 89
Этот результат полностью отвечает «борновскому прибли-
приближению» теории возмущений в обычной волново-механической
теории рассеяния (Н'еа =zh \ dxuk\ Фо##, где uk=V—xl*eikx).
Когда, в частности, Фо — кулоново поле покоящегося точеч-
точечного заряда, то рассеяние при нерелятивистских скоростях
отвечает формуле Резерфорда; при произвольной скорости
по известным методам получится следующее эффективное
поперечное сечение рассеяния в телесный угол dQ:
(v — скорость мезона, в-— угол рассеяния, el = eh — заряду
мезона, Zex = заряду рассеивающего ядра).
Члены *>-д# bk в A1.13) представляют образование пары
из положительного и отрицательного мезонов. Конечно, ста-
статическое поле не может дать необходимую энергию h(®k-\-
-j-<*>*')> для того чтобы пары образовывались реально. С другой
стороны, также и световая волна сама по себе, даже и при
достаточной частоте, неспособна образовать мезонную пару;
именно, если подставить векторный потенциал световой волны
в A1.9), легко видеть, что k'—k определяется её волновым
вектором, т. е. общий импульс мезонной пары hk' -f- (— hk)
задаётся импульсом кванта, но при этом невыполнимо сохра-
сохранение энергии (так как c\k — k' | <^сол—j— co^f). Иначе обстоит
дело, если, кроме световой волны с высокой частотой, при-
присутствует статическое поле Фо, как, например, кулоново п^ле
атомного ядра, могущее перенять избыточный импульс. В этом
случае получается двухстепенный переход по теории возму-
возмущений, при котором образуется сначала виртуальная пара,
а затем её импульсы во втором переходе изменяются так,
чтобы выполнялся закон сохранения энергии. Паули и Вейсс-
копф1) вычислили эффективное сечение такого процесса,
но мы не будем рассматривать этого подробнее. Во всяком
случае мы должны каждый раз ожидать, что световая волна
достаточно большой частоты при прохождении через мате-
материю будет образовывать пары мезонов рассмотренного нами
типа, если эти мезоны вообще существуют.
1) См. сноску на стр. 63.

90 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. II
Как подчёркивалось выше, при этих вычислениях мы
пренебрегли обратным действием мезонов на электромагнитное
поле. Для кулонова поля тяжёлых ядер это, конечно, до-
допустимо. При образовании пар обратное действие состоит
в том, что падающий квант исчезает; чтобы описать это,
нужно рассматривать электромагнитное поле на той же основе,
что и мезонное, так, чтобы Н' представило взаимодействие
между обоими полями (квантовая электродинамика, ср. § 17
и дальше). Укажем здесь только, что пренебрежение обрат-
обратным действием в задаче образования пар во втором прибли-
приближении теории возмущений не привносит ошибок, так же
как и при описании атомных процессов, индуцированных
световым полем (поглощение и вынужденное испускание):
достаточно положить световое поле заданной функцией про-
пространства и времени. Напротив, спонтанные процессы, такие,
как спонтанная аннигиляция мезонной пары, могут быть пол-
полностью представлены только в рамках квантовой электроди-
электродинамики.
Если электромагнитное поле таково, что не может обра-
образовывать действительных пар из-за законов сохранения, то
будут, тем не менее, виртуальные пары. Представим себе
адиабатически включение электрического поля, исходя из
состояния вакуума (все Nki Nk = Q, <1>V = O), причём так, что-
чтобы не возникали реальные мезоны, тогда виртуальные пары
проявятся, между прочим, в том, что возникнет неисчезающая
в среднем плотность электрического заряда р = — /е(ттсЬ —
— тт*ф*), пространственный интеграл которой, конечно, равен
нулю. В этом смысле вакуум ведёт себя как поляризуемая
электрически среда (р — «плотность свободных зарядов»;
говорят о «поляризации вакуума». В болез высоких прибли-
приближениях теории возмущений поляризуемость вакуума зависит
' от поля, чго приводит к эффектам, противоречащим принципу
суперпозиции электродинамики (нелинейности уравнений поля).
Энергия вакуумной поляризации представляет нечто вроде
собственной энергии электромагнитного поля, основанной на
его способности вызывать виртуальные мезонные пары. Как
и в других задачах о собственной энергии (ср. указанную
в § 7 собственную энергию протонов), вычисление по теории
возмущений приводит к расходящимся интегралам по &-про-

§ 11] ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 91
странству. Так что разумные результаты, относящиеся к по-
поляризации вакуума и к обусловленным ею эффектам, полу-
получатся только тогда, когда теория дополнена специальными
предписаниями для устранения бесконечностей1). Мы не будем
рассматривать это подробнее, а сошлёмся на §21, где
обсуждаются аналогичные явления, связанные с условием су-
существования электронов и позитронов Г со спином -7J-J
1) Ср. В а й с с к о п ф (W е i В к о р f), Kgl. Danske Vid. Selsk.
Math.-fys. Medd. XIV, 6, 1936.

ГЛАВА III
ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ
§ 12. Комплексное поле в вакуумег)
Простейшее после скалярного поле состоит из четырёх
компонентов фр ф2, ф3, сЬ4 = /ф0, которые образуют че-
четырёхмерный вектор.
Все компоненты классического поля снова были бы под-
подчинены уравнению Шредингера-Гордона D.16)
но его решение должно быть ещё ограничено дополнительным
условием инвариантности Лорентца
так что независимыми могут считаться только три волновые
функции. Это ограничение приводит к тому, что число ста-
стационарных состояний квантованного поля только утраивается
(а не учетверяется) по сравнению со скалярным полем, причём
каждому такому состоянию соответствуют, как мы покажем,
три возможные ориентации мезонного спина 1. При снятии
условия A2.2) каждому такому триплету будет соответство-
соответствовать ещё синглетное состояние, которое нужно было бы отнести
к частице со спином 0; но эта частица обладала бы отри-
отрицательной энергией (— hak вместо /гсоА ), поскольку выбрана
1) Впервые изучено (без квантования) Прока (Р г о с a). Journal
de Physiqi* 7, 347, 193б.

§ 12] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 93
положительной энергия *) для частицы со спином 1, а отрица-
отрицательные энергии должны быть исключены2). Вводя опреде-
определение
следует из A2.1,2):
Случай |х = 0 отвечает уравнениям Максвелла электромаг-
электромагнитного поля в вакууме. Но мы увидим, что как раз случай
jx=O должен быть рассмотрен особо; его мы поэтому отложим
до главы IV, а здесь обсудим только «мезонное поле»
Так как, с точки зрения теории ядерных сил, заряженные
мезоны представляют больший интерес, чем нейтральные, то
мы введём комплексные поля, так что фу будут комплексными
функциями времени и пространства и соответственно неэр-
митовскими операторами. Уравнения A2.1 до 4) должны быть
справедливы и для <j>v. Но, так как применяется мнимая
временная координата xi = idf комплексно и соответственно
эрмитовски сопряжённая с ф4, функция будет обозначена — ф^
тогда в A2.1 до 4) можно всюду заменить ф на ф* и /
на /*.
*) При функции Лагранжа
которая даёт A2.1) без A2.2), получается гамильтонова функция
член суммы v = 4 отрицателен, так как ф4 = /ф0 (ф0 действительно).
2) Например, заряженные частицы с отрицательной энергией, из-
излучая свет, переходили бы в состояния с большим импульсом. По-,
чему у дираковского электрона отрицательные энергии допустимы,
а здесь — нет, будет обсуждено ниже (§ 20 до 22).

94 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гл. Ill
Для канонической формулировки задачи мы применим
функцию Лагранжа
^V)_ ^VcL*^. A2.5)
dxj +-*
Отсюда получаются уравнения поля C.3) (которые здесь, ко-
конечно, применимы ко всем комплексным компонентам поля):
dL
д
если продифференцировать это по х^ и просуммировать по v,
и так как двойная сумма справа исчезает вследствие
/^ = —/Va» то благодаря тому, что р.^0, получается допол-
дополнительное условие A2.2), и при этом уравнения A2.6) пере-
переходят в A2.1). То же будет при замене c|>v на <J>V. Этим
показано, что функция^ Лагранжа даёт желаемое уравнение
поля, причём видно, что результат существенным образом
покоится на предположении \i=^0.
Чтобы получить плотность электрического заряда и тока,
надо сложить в C.13) члены, происходящие от четырёх ком-
компонент поля:
dL i dL .
4V
В самом деле, на основе A2.3,4) легко проверить закон-
законность уравнения непрерывности ^dsJdx^ = 0. Тензор энер-
V
гии-импульса мы рассмотрим позже.

§ 12] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 95
Канонически сопряжённое с <]>v, c|>v поле будет
^дх~,~дх1)
> A2.8)
Здесь имеет место тот особый случай, когда тт4 и щ исче-
исчезают тождественно ]):
тг4 = 0, тт4 = О. A2.9)
Несмотря на это, мы образуем функцию Гамильтона обыч-
обычным образом:
tf=2(nvi+n:<jC)-i,
V
где, по A2.8), положено (у= 1,2,3):
Если прибавить к Н ещё пространственную дивергенцию
4
что никак не изменит интегральную гамильтонову функцию
H=\dxH, то получится:
Индексы /, j меняются только от 1 до З2).
!) L не зависит от ф4 и $\. На этот случай мы указывали ещё
в § 1.
2) Так как в Я не входит тождественно равная нулю функция
я4, Н не даёт правильного канонического уравнения для ф4; его
можно получить, формально прибавляя к Н известные зависящие
от гс4 члены. Но мы не будем входить в это подробнее, потому что
последующее исключение <!>4, <!>4 ведёт к той же цели.

96 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гЛ. III
При установлении перестановочных соотношений надо по-
позаботиться о том, чтобы, по A2.9), тождественно равнялись
нулю перестановки [тг4, ф4] и [тс*, ф*]. Поэтому функции с ин-
индексом 4 не могут служить настоящими каноническими пере-
переменными. Но есть возможность совсем исключить эти компо-
компоненты благодаря тому обстоятельству, что независимы только
три из четырёх функций фу. Если в A2.11), в согласии
с A2.6 и 8), подставить
то будет:
Сюда входят только составляющие пространственных векто-
векторов ф = (ф1, ф2, ф3) и тт=(тт1> тт2, тт3) и комплексно сопря-
сопряжённых с ними ф* и тг*. В векторных обозначениях уравне-
уравнения A2.12, 13) гласят:
? A2.14)
~divTc*.divTr +
(']>* • 4>) + (rot ф* • rot ф). • A2.15)
Надо заметить, что Н теперь зависит и от пространствен-
пространственных производных тгу, ttJ [ср. A.10)]. Будучи суммой явно по-
положительных членов вида <р*<р, И положительно определена.
Для квантования мы потребуем по канонической схеме:
t/'=l,2,3), A2.16)

§ 12J
КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
97
тогда как пары функций с различными индексами 1, 2, 3
должны коммутировать. Тогда канонические уравнения поля
будут.
= ^ dx'
и после интегрирования по частям
соответственно
= с2т(* —-^ grad div тт*;
тг* = — у?<Ь — rot rot ф.
Исключение тг* или ф из A2.17, 18) даёт:
~2 ф = — }Х29 — rot rot ф -f- grad div ф =
A2.17)
A2.18)
— it* = — )a2tt* — rot rot tt* -f- grad div rc* =
= — jjl2tt* + Лтт*.
Для функции ф4, определённой A2 14), получится то же
и, по A2.18),
A2.21)
A2.20)
Так как уравнения A2.19, 20, 21) формально совпадают
с A2.1, 2), то этим показано, что гамильтонова функция
A2.15) вместе с правилами перестановки A2.16) правильно
передаёт свойства ф-поля. Она даёт также правильное соот-
соотношение между полями фу и лу, так как из A2.17) вместе
с A2.14) следует
что согласно с A2.8). Конечно, справедливы все уравнения,
которые получаются от перестановки величин со звёздочками
7 Вентцель

98 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
и без них. Надо заметить, что выбранный здесь метод исклю-
исключения ф4 и ф* существенным образом основан на допуще-
допущении Цт^О. Чтобы проверить релятивистскую инвариантность
квантования, введём опять операторы, зависящие от времени:
i±H -1±н
где H=\dxH даётся A2.15). Если рассматривать сначала
компоненты поля V7^=4, то вследствие A2.19) и D.17) при-
применимы формулы D.28, 21). ТЪк как, по A2.17), ф связано
только с тт* и ф* только с тт, эти формулы приводят к
№,(*><). Ы*>*')] = Ш*>*)> ФЖ,*')] = 0 A2.22)
(соответствующие d^\ равны нулю); далее
[<М*> <)• ФЖ> 0]= jd^D(x — x\ t — f), A2.23)
где dvv' определены уравнениями
?v (*) = fv (*) = 2 rfw'<, (*) + ...
V'
Из сравнения с A2.17) находим
^^}. A2.24)
Эти формулы выведены пока что только для компонент
v, v' == 1,2,3; во всяком случае, рассуждения § 4 не имеют
силы для компонент <|>4, ф*, так как эти последние по A2.14, 16)
не перестановочны с <Ь*. и ф. в противоречии с предполо-
предположенными в § 4 правилами перестановок. Несмотря на это,
правила перестановки A2.22, 23, 24), если они релятивист-
релятивистски инвариантны, должны выполняться и при v = 4 равно
как и при v' = 4, ибо только тогда левые и правые сто-
стороны A2.22, 23) преобразуются одинаково, именно как про-
произведения двух четырёхмерных векторов либо тензор вто-
второго ранга. Чтобы доказать инвариантность квантованной

§ 12] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 99
теории, надо ещё доказать совместимость формул A2.22, 23, 24)
и при v или v' = 4 с уравнениями A2.14 до 21). Мы огра-
ограничимся обсуждением A2.23) [в связи с A2.24), так как
переход к A2.22) тривиален].
Если мы, подобно тому как в § 4 [ср. D.13)], п раз
продифференцируем A2.23) по t и п' раз по f, а потом по-
положим t = t' = Q, то из D.7) последует:
(л) (л')
ф Ф
Совокупность этих уравнений эквивалентна A2.23). Их пра-
правые части мы вычислим с помощью формул D.30, 31 и 33):
A2.26)
D(jc,O) = O,
В частности, мы заметим, что, по A2.24),
*и = * + р 5. а также duD (x, t) = | ДО (*, t).
При л = «' = 0 A2.25) даёт (./,/=1,2,3)
I ф4 w, ф; (*•)]=[фУ (*), ф; (*')]=р ^s (* -
в согласии с A2.14, 16). Далее, при я = 1, «' = 0:
если выразить здесь фу и ф4 по A2.17 и 21) через тт* и фу,
то снова получится совместимость с A2.14, 16). Для
п — п' — \ не нужно заново вычислять правые части A2.25),
так как они, по A2.26), получатся из значений, найденных
7*

100 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
для п — п'=0 путём применения оператора — с2(Д — jx2);
и здесь имеется согласие с A2.14 до 21). Большие значе-
значения п не дают новых уравнений благодаря A2.19, 20) и
\ 12.26). Этим доказана справедливость инвариантных пере-
перестановочных соотношений A2.23, 24).
Чтобы представить гамильтонову функцию в пространстве
импульсов, мы можем применить ряды Фурье E.5), отождест-
отождествляя в них ф, ф*, тг, тг* с векторными полями, входящими
в A2.15); qk, q\, pk, p*k означают, разумеется, трёхмерные
векторы, для компонент которых, по A2.16), имеет место*
[P*J> 9k*ji] — [р\. у, 9kl,/l]=j hub/'- A2.27)
Тогда из A2.15) следует1):
. A2.28)
Разложим теперь векторы амплитуд (например qk) на про-
продольные и поперечные компоненты: пусть е^\ е%\ е(л3) — трой-
тройка ортогональных единичных векторов
A2.29)
ориентированных так, что е^ параллелен импульсу к.
A2-30)
Компоненты амплитудных векторов в направлениях tty мы
обозначим верхними индексами г( = 1, 2, 3):
1) (а-Ь) означает скалярное произведение векторов, а [а*Ь] —
векторное произведение.

§ 12]
КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
101
перестановочные соотношения вследствие A2.27, 29) будут*,
№ №=№> *П«7'«• A2-32>
тогда как другие компоненты перестановочны. Вставляя
A2.31) в A2.28), мы разложим Я на части, зависящие от
продольных и поперечных компонент в отдельности:
A2.33)
r=2,3
здесь о>? снова определено через F.15).
Отдельные члены суммы A2.33) с данными А, г можно,
как и в § 8, представить с помощью диагональной матрицы.
Аналогично (8.12), мы положим:
A2.34)
для г=2, 3.
A2.35)

102 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ. Ill
При этом а и b — матрицы типа F.16) или (8.13) отно-
относительно целых чисел Л/^г) и N)p с перестановками
[ojf), «<;>*]=[*(;>, ВД = 1, A2.36)
в то время как все другие перестановки равны нулю, и при-
притом, сообразно (8.14), имеет место
KP'k a>k )js/=J^k > (Ok
Совместно с A2.34, 35) перестановочные соотношения A2.32)
удовлетворены, и по A2.33) для И получается диагональная
матрица
4
Г). A2.38)
Аналогично (8.17) получаются собственные значения Н:
V S Л S (N(r) + М
S , S ( + + Я0. A2.39)
k г=1
Для импульса поля из B.10) и C.7) получится1):
или, используя E.5) и A2.9):
?{ \\ A2.41)
Матричное представление A2.31, 34, 35) даёт, как и в
(8.10, 16), диагональную матрицу
o=S Да* КГЧГ)-WH> A2.42)
!) Обобщение этой формулы на случай поля со многими ком-
компонентами тривиально. Относительно плотности импульса см. ниже.

§ 12] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ ЮЗ
с собственными значениями
GN=Ii hk 2 (NP-NV). A2.43)
k г=1
Соответственно получается из C.11) или из A2.7, 8) общий
заряд поля:
jc{(ir-<|>) — (п*.ф*)} =
;О ? (
?2 2
>* — ft?>*ft?) _ ЬфЫр}\ A2.44)
S (Л?(г) - 7V(Ar)). A2.45)
г=1
Из собственных значений A2.39,43,45) видно, что стацио-
стационарное состояние, характеризуемое квантовыми числами
Л/(Д МГ\ содержит (N^ + М2) + М3)) положительных ме-
мезонов с импульсом -|-Л? и (Л/^ + М^ + М^) отрицатель-
отрицательных мезонов с импульсом — hk. Трёхкратное вырождение,
состоящее в том, что число мезонов с заданным зарядом
и импульсом равно сумме трёх независимых целых чисел,
заставляет заключить, что «векторный мезон» содержит ещё
одну величину, подлежащую определению, которая способна
принимать три значения. Что это спиновая координата, проще
всего видеть из рассмотрения трёх состояний, в которых
находится только один (положительный или отрицательный)
мезон в состоянии покоя. Так как при k = 0 ориентация
координатных осей г^\ г^\ е^ произвольна) и различие
между продольной и поперечной поляризацией отпадает, по-
получаются три равноправных стационарных состояния, перехо-
переходящие друг в друга при поворотах координатной системы,
что характерно для частиц со спином 1. Дальнейшее рас-
рассмотрение момента количества движения подтвердит, что век-
векторный мезон обладает спином 1.
Конечно, состояние всей системы, заданное значениями
всех квантовых чисел N%\ N%\ имеет статистический вес 1,
соответственно статистике Бозе-Эйнштейна.

104 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
Обратимся теперь к вопросу о виде тензора энергии-им-
энергии-импульса, рассмотрение которого мы отложили. Канонический
тензор, образованный по правилу B.8), мы назовём его 7°,
выглядит, согласно A2.5 и 3), так:
дх^ dx
он подчиняется закону сохранения B.7)
0. „2.47)
Так как он несимметричен, мы дополним его до симметрич-
симметричного тензора прибавлением другого тензора:
р р
дивергенция которого тождественно равна нулю:
дт'
^v0
(так как она имеет вид 2^ а аю=—aPJ* Для СУММЬ1
тензоров A2.46 и 48) получится с учётом A2.3, 4).
Г =7*° 4-7' =
Теперь удовлетворено условие симметрии
^v=7v, 02.51)
и одновременно по A2.47, 49):
-O. „2.52)

§ 12] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 105
Порядок сомножителей в A2.50) выбран так, что операторы,
принадлежащие действительным величинам в квантованной
теории, эрмитовские. По B.6) мы можем интерпретировать
— 74 как плотность энергии, a T^jic как компоненты плот-
плотности импульса. На основе A2.5, 8 и 14) легко убедиться,
что Ти совпадает с гамильтоновой функцией A2.15) и по-
поэтому положительно определено. Что касается плотности
импульса 7*4у, то хотя она и не совпадает с употреблённой
в A2.40) канонической плотностью импульса 7^, но всё же
разность TAj—Т\}=Т\,, по A2.48), является пространствен-
пространственной дивергенцией B dy/jijdxjt, /=^4), ничего не прибав-
прибавляющей к интегралу по объёму:
A2.53)
поэтому мы могли вычислять общий импульс G A2.40 до 43)
из канонического тензора без ошибки. Наоборот, при вы-
вычислении момента количества движения
M=^dx[x*G] A2.54)
надо обязательно применять полное выражение плотности
импульса.
O = GM G, G°/ = 4-rjJ, G[=~T'. A2 55V
J 1С 4J J Ic 4/ » * •
Разложим момент количества движения соответствующим об-
образом.
•О']. A2 56)
Для составляющих обеих частей момента из A2.46 48 и 8)
получим;

106 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гл. III
;,) > A2.58)
{последнее выражение для М' получено путём интегрирования
по частям). Вводя ряды Фурье E.5), получим в векторных
обозначениях.
^° = -4 f Л*?*'<*-*'>* {[x-k](pkrqk) —
v ли
Разложение Л! на Ж0 и М' имеет физический смысл,
ибо, как мы утверждаем, в предположении, что скорости
всех существующих мезонов имеют нерелятивистское значе-
значение, М° представляет орбитальный момент, а М1 — спиновый
момент мезона. Именно, в этом случае можно показать, что
среднее значение М° не зависит от состояния поляризации ме-
мезонов, т. е. М° не изменяется, если мезон, при неизменном
импульсе, переводится в любое другое состояние поляриза-
поляризации; поэтому М° не может иметь ничего общего со спином
мезона. Доказательство, требующее некоторых вычислений,
мы здесь опускаем, вместо этого покажем, что спиновый
момент, который представляет главный интерес, выражается
членом М'.
Так как, по A2.60), М' имеет вид 2 ЛГ' достаточно
рассмотреть отдельный член суммы. Будем искать член
УИ|О)(Л=О), т. е. будем вычислять спин каждого мезона в
системе, в которой он покоится. Уже было отмечено, что
ориентация определённых по A2.29, 30) координатных осей
е*?\ г^р, е(?3) в покоящейся системе совершенно произволь-
произвольна; так как различие между продольными и поперечны-
поперечными компонентами отпадает, все три оси равноправны, что
проявляется в том, что формулы преобразования A2.34, 35)
для г = 1, 2, 3 совершенно идентичны (при k — Q <o0 = cjx

§ 12] КОМПЛЕКСНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 107
превращается в \/Г®о1р-= c/V^o)- He \потребляя больше ин-
индекса k = 0, запишем для компоненты M'Q вдоль произволь-
произвольной оси е^.
М[ = — pWqW + РC ?2) + q&>*pW* — q^*pW*,
или по A2.35)
Здесь разделены слагаемые от положительных и отрицатель-
отрицательных мезонов (члены а и Ь) и, учитывая их симметрию, до-
достаточно рассмотреть только положительные мезоны. Мы по-
положим поэтому все Л^г* —0, так что 6-члены дадут 0
2)}. A2.61)
Вместо операторов а^\ а<2)*, а(ъ\ а&)* мы введём четыре
новых оператора а,, а* , а__, а^ путём преобразования 1):
По A2.36) тогда будет
тогда как остальные пары, образованные из четырёх новых
операторов, коммутируют. Так как преобразование A2.62)
оставляет перестановочные соотношения инвариантными, новые
операторы можно снова представить матрицами типа F.16):
и соответственно для я__, а*, отчего а* а . и а* а стано-
-г ~г — —
вятся диагональными матрицами с неотрицательными собст-
2) В неквантованной теории я+, а« — амплитуды колебаний
поляризованных по кругу.

108 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
венными значениями N+ и, соответственно, N_:
При этом, по A2.62), имеет место:
или
+ B) , +C)
n + лг
С другой стороны, из A2.62) получается:
так что М[ в схеме квантовых чисел Л^+, Л^_ диагонально и
имеет собственные значения:
(M[)N+N_ = h(N+ — N_). A2.63)
Этот результат надо интерпретировать так: составляющая ме-
зонного спина по любому направлению в неподвижном про-
пространстве (е^) может принимать значения ЧЬ h и 0; для
рассмотренных положительных покоящихся мезонов, число
которых
-HI) +B) +C) +A)
ЛГ +ЛГ +ЛГ =ЛГ
числа
+ ()
соответственно связаны со спиновыми компонентами 0, —}— Л
и —h. Три компоненты отвечают трём возможным ориен-
тациям спина величины h или соответственно 1, если спин,
как обычно, измеряется в единицах h.
Для квадрата момента М' т. е. слагаемого в A2.60)
с ? = 0, на основании A2.61), будет:

13] ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Ю9
Ограничимся далее такими состояниями, в которых есть
VI +(Г) ч
только один положительный покоящийся мезон /^ЛГ =1 ),
тогда операторы (а^)J, уменьшающие число мезонов N
ia 2, в применении к шредингеровской функции (амплитуде
вероятности) этих состояний, обращаются в нуль. Остальные
+()
+)
шены ЛГ2 диагональны в квантовых числах N и дают:
(*)
+1).
+() +()
Здесь исчезают ещё члены N >N , так как один из обоих
сомножителей всегда нуль, и таким образом остаётся
Это соответствует известному значению h2*s(s-\-\) квад-
квадрата момента количества движения при s=\ и снова под-
подтверждает значение спина 1 для рассматриваемых мезонов.
Кроме механического спинового момента, заряженный
векторный мезон обладает магнитным спиновым моментом.
Чтобы вычислить и его, мы исследуем в дальнейшем дейст-
действие заданного электромагнитного поля на мезонное.
§ 13. Векторные мезоны в электромагнитном поле1)
Пусть максвелловское поле
p Ш
как и в § 11, — заданное поле, действующее на заряд ме-
мезонов. Чтобы построить функцию Лагранжа векторного ме-
зонного поля, заметим, что в случае скалярного поля функция
Лагранжа A1.2) происходит от функции (8.2), где Ф = 0,
но при замене в (8.2)
1) Впервые рассмотрено (без квантования) Прока, Journ. de
Phys. 7, 347, 1936.

ПО ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
где гН означает элементарный заряд ev Мы применим здесь
то же правило в отношении всех компонент поля ф? и
ф*. Для операторов, заменяющих djdx, введём такое сокра-
сокращение записи:
Тогда из A2.5) получается функция Лагранжа:
l=- 4- Е W - W (дЛ -w - v-1 Е фж=
если ввести новые определения:
Вместо A2.6) из A3.2) теперь, как легко видеть, полу-
получается:
Отсюда следует при
V(JL
Это выражение, вообще говоря, не равно нулю, так как по
A3.2, 1):
п/дФч дФЛ is
следовательно,

§ 13] ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ \\\
Для четырёхмерного тока и тензора энергии-импульса мы
можем просто взять формулы A2.7 и 50), где /^ и /^сле-
/^следует интерпретировать по новым определениям A3.4) ^;
вместо A2.52) теперь будет:
L, sv и 7^, очевидно, инвариантны относительно преоб-
преобразования калибровки A1.4).
Как и в скалярной теории (§ 11), плотность энергии 7*44>
выбранная в качестве гамильтоновой функции, не даёт пра-
правильных уравнений движения. Мы вернёмся поэтому к кано-
канонической гамильтоновой функции
я=2 (*,&+*:#)-!,
х) Для тока имеет место: sv =
2) Так как ^ (Xf) = (<?*х) ? + X (<^)> из A2.50) и A3.5) сле-
следует:
н-р
jx v"p. pp \ ~
Вместо этого можно записать:
^ч дТ^ 1 ^i % / /е
^ ^ "^ —- ~""~ Т ^^^ / мр I v/txp J OJ vu. I" U.Tpv | """"" ixp ri
Н- ^ Н-Р
+ 7У. )+KonJ,
или, пользуясь A3.6):
Но это и есть утверждаемый закон сохранения [ср. A2.7)]. В кван*
тованной теории нужна ещё симметризация порядка сомножителей
в Т^у как и в скалярной теории (ср. примечание на стр. 86).

112 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ
где
„ _ dL _ 1 - ._ 1 -
'ф,= ic (d4 + 'i Ф4) ф4 = <V + /с д,
^Ф4 = /ф0). Прибавляя к // ещё дивергенцию
и исключая ф4, с]>4 с помощью волнового уравнения A3.5)
^с учётом того, что тг4 = тт* = 0):
•получим для гамильтоновой функции:
«7
Последний, член (Ф0*р) отличает Н от плотности энергии
— 7*44, что легко проверить. С помощью перестановочных
соотношений A2.16) из A3.10) получаются уравнения поля1):
Ь= т № Фу]=CS -
ято совпадает с A3.8, 9); далее
Надо учесть, что при интегрировании по частям dj переходит

§ 13] ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ИЗ
ИЛИ
и ¦ з4п}=- djAJ=
соответственно уравнениям поля A3.5). В комбинации с опре-
определяющими уравнениями A3.9) для ф4 и cbj гамильтонова
функция A3.10) эквивалентна функции Лагранжа A3.3).
На основе выбранных так выражений для взаимодействия
между электромагнитным и мезонным полями мы должны
теперь определить магнитный момент мезона. Для этого
введём слабое однородное статическое магнитное поле ,?),
представленное как ротор трёхмерного вектора-потенциа-
вектора-потенциала Ф:
?=го!Ф, Ф = ^[ф-*] (ф = const.I).
Разложим гамильтонову функцию A3.10) с помощью A3.4, 2)
по степеням «?) или Ф и ограничимся линейными в Ф членами
разложения; в векторных обозначениях это выглядит так:
#1 = -22ГуФу = — 2(Г.Ф),
где
Так как (Т-[$-х]) = ($-[х-Т]), то
где
Итак, 3I означает плотность магнитного момента в предель-
предельном случае ,!р—>-0. Сравним эту плотность с плотностью
механического момента Af=[jc«O], ограничиваясь тем слу-
случаем, когда есть только медленные мезоны. Для 0@.=:
¦=Tifjic) в пределе § = 0 из A2.50,8, 12) получится:
О = (ф*. div тг* + div тг• ф) + (— [и • rot ф] + [rot ф* • тт*]).
1) Вместе с ним можно допустить существование электрического
поля (?'= — grad Ф (например, центральное поле).
8 Вентцель

J44 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гл. III
Надо сравнить Г с О. Для этого мы снова введём ряды
Фурье E.5) и матричные представления A2.34, 35), в кото-
которые в нерелятивистском приближении подставлено о)л==с}х.
Результат вычислений мы напишем вместе для Гиб, причём
верхний знак относится к Г, нижний — к О.
X у ? ei(k-k>)x ?
:>* ±
Если вычислить средние значения для состояний, в которых
присутствуют только положительные (или только отрица-
отрицательные) мезоьы, то исчезнут члены, содержащие множители
by b* (соответственно а, а*), и получится;
Г = ^-О, 9Л = ;т-Л1 для положительных мезонов,
Г = ~^ G, Ш = у- М для отрицательных мезонов.
Таким образом по этой теории для медленных мезонов опре-
определённого заряда устанавливается точная пропорциональность
между магнитным и механическим моментами; отношение
обоих моментов равно + ej2}i = 4- ех\2тс (sh = e1 = элемен-
тарному заряду; ii.hjc = m = массе мезона), притом это отно-
относится не только к орбитальному, но и к спиновому моменту,
т. е. магнитный момент спина по величине равен «мезонному
магнетону» e1hj2mc. В действительности, по A2.63), собст-
собственные значения компоненты магнитного момента спина по-
покоящихся положительных или отрицательных мезонов в пре-
пределе Фу—^0 равны

§ 13] ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Ц5
К предыдущему надо ещё заметить, что предположение A3.3)
для связи мезонов с максвелловским полем неоднозначно;
именно, к L можно прибавить член
где у — произвольная действительная постоянная1). Мы не
будем доказывать, что тогда величина магнитного момента
спина изменится на множитель A—у)> т- е- в системе покоя
будет равна мезонному магнетону, умноженному на A —у)«
Действия слабых электромагнитных полей на мезоны со
спином 1, как и в случае скалярных мезонов, могут быть
определены по методам теории возмущения. Рассмотрим,
например, снова рассеяние положительных мезонов электро-
электростатическим полем Фо A1.11, 12). По A3.10), возмущающая
энергия этой задачи равна
Н = J </*фор = — /е J </*ФоЗ (ir; Фу — тту фу),
или в разложении Фурье по A1.12) и E.5)
После разложения на продольную и поперечную компоненты,
согласно A2.31), мы введём матричные представления
A2.34, 35), но, желая исключить отрицательные мезоны, сразу
не будем писать члены, содержащие Ь или Ь*. Тогда Н'
станет выражением такого вида:
Н' = ек%Ак>-ь%(гр.г%))Ц:^-ар*а(р; A3.11)
kk' rr'
коэффициенты С берутся только для о)# = <ok [k! =? k) из-за
сохранения энергии при ударе:
A3.12)
J) П ay л и (Pa u li), доклад на Сольвеевском конгрессе 1939 г.
(не опубликован), Rev. of Modern Physics 13, 203, 1941, Корбен и
Швингер (Gorben и Schwinger), Phys. Rev. 58, 953, 1940.
8*

Пб ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гЛ. 111
В частности, рассмотрим начальное состояние, в котором
мезон обладает определённым импульсом к и определённой
+ ,г)
поляризацией г (N\ = 1, все другие N = 0), тогда вероят-
вероятность перехода в определённое конечное состояние к\ г'
даётся квадратом матричного элемента
Н> (г', г) _ г^д . МО. ^г')\. С*''. О
так что вероятность перехода зависит не только от импуль-
импульсов &, к'у но также и от поляризаций г, г'. Если отвлечься
от поляризации рассеянного излучения, т. е. интересоваться
только общей его интенсивностью в направлении к\ то надо
вычислить сумму 2|^'Г'г)|2. Рассмотрим сначала случай
г' " '
когда падающий мезон поляризован продольно (г— 1), тогда*
по A3.12):
где 0 — угол рассеяния: cos& = (c^-eO)). Учитывая далее,
что а>2 =
получим:
Если, напротив, первичный мезон поляризован поперечно
(г=2), то, по A3.12):
где cos f = (c(A2) • е^}), т. е. <р — угол между направлением

§ 13] ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Ц7
рассеяния К и поляризацией г&\ В этом случае, следова-
следовательно, будет:
A3.14)
Случай произвольных поляризаций (собственных функций
спина) можно рассмотреть по A3.11), но мы не будем этого
делать1). При нерелятивистских скоростях мезона (|&|<^/х),
где можно пренебречь c2k2jiL2<o2k по сравнению с 1, рассеяние
в кулоновом поле от точечного заряда всегда происходит по
формуле Резерфорда. Но при больших скоростях, по сравне-
сравнению с рассеянием скалярных мезонов A1.14, 15), появляется
дополнительное рассеяние, даваемое членами, зависящими
от 0 и соответственно от ср в A3,13, 14), и которое можно
рассматривать как влияние кулонова поля на движущийся маг-
магнитный момент спина2). При очень больших энергиях (] k | ^> jx,
a)ft^>cjj.) этот дополнительный член сильно преобладает, что
означает, что мезон со спином 1 рассеивается гораздо силь-
сильнее, чем со спином 0. Формальная причина этого заключается
в том, что коэффициенты ^к A3.12), определяющие вероят-
вероятности перехода между продольными и поперечными состоя-
состояниями мезонов, неограниченно возрастают при росте энер-
энергии h(ok. И при других действиях электромагнитного поля,
как, например, образовании мезонных пар квантами света
в присутствии кулонова поля (ср. § ИK), эффективные се-
сечения при больших энергиях получаются гораздо большими
по сравнению с сечениями в скалярной теории, что вызвано
переходами между продольными и поперечными состояниями.
1) Ср. Л а п о р т (L а р о г t e), Phys. Rev. 54, 905, 1938, где рас-
рассмотрено рассеяние векторного мезона в неквантованной теории.
2) Этот эффект становится важным и при связывании мезона
в притягивающем поле. В случае кулонова поля точечного заряда
(Фо *>- г-1) из-за этого невыполнимы некоторые требования регу-
регулярности собственных функций для определённых азимутальных
квантовмх чисел; ср. Корбен и Швингер.
3) Ср. Бус и Вильсон (Booth и Wilson), Proc. Roy.
Soc. 175, 483, 1940, Кобаяси и Утияма (Kobayasin
U t i у a m a), Proe. Phys., Math. Soc. Japan 22, 882. 1940; Кристи
и Кусака (Christ! и Kusaka), Phys. Rev. 59, 405, 1941.

118 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гЛ. III
§ 14. Ядерные взаимодействия1)
Наряду с электромагнитными взаимодействиями протона
с мезоном, оставляющими постоянный полный заряд мезона,
могут, как мы уже видели на примере скалярного мезона
в § 9, быть допущены «ядерные» взаимодействия между
мезонами и протон-нейтронами, которые ведут к поглощению
или испусканию мезонов, причём испускающий или поглощаю-
поглощающий протон-нейтрон так меняет свой заряд, что общий за-
заряд сохраняется. Дискутируя эти взаимодействия в случае
векторных мезонов, мы для простоты не будем рассматривать
электрические силы.
Так как соответствующий сопряжённый член в функции
Лагранжа должен быть линейным относительно полей фу
и ф*, то простейшее из возможных выражений для него
будет 1'=2(чЖ+чЖ>
где 7jv — четырёхмерный вектор, образованный из волновых
функций протон-нейтрона. Но компоненты т^, 7j2, 7K могут
быть связаны только с плотностью тока, т. е. со скоростью
протон-нейтрона, и должны исчезать, если мы снова вернёмся
к предельному случаю бесконечно тяжёлой покоящейся
частицы:
При L= L°-\-L'y где L° задаётся через A2.5), уравнение
поля A2.6) для v = 4 меняется таким образом:
о. (ил)
При переходе к гамильтоновой функции формулы A2.8, 9, 10)
сохраняют силу, так что к A2.11) прибавится только ещё
!) Ю к а в а, Саката и Такетани (Yukava, Sakata и
Т а к е t a n l), Ргос. Phys.-Math. Soc. Japan 20, 319, 1938, К е м м е р
(К е m m е г), Ргос. Roy. Soc. 166, 127, 1938; Фрелих, Гайтлер
и Кеммер (Frohlich, HeitlernKemmer), Ргос. Roy. Soc.
166, 154, 1938; Штюкельберг (Stueckelberg), Helv. Phys.
Acta 11,299, 1938; Баба (Bhabha), Ргос. Roy. Soc. 166,501,1938;
Гайтлер (Hei tier), Ргос. Roy. Soc. 166, 529, 1938.

§ 14] ЯДЕРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 119
член L'. Учитывая, что тг4 = тг4 = 0, и исключая ф4 и ф?
с помощью A4.1), получим, с точностью до аддитивной
пространственной дивергенции, выражение для //:
где Н° даётся A2.13 или 15) и где
tf' = -p{4o<"vif + 4;divir}, Н» = ±г?ощ A4.2)
{ти = iri0, Гц = ir*0). Для jjo, Ч* мы примем выражение близко-
действия типа G.3) и соответственно (9.2):
Чо = 2 &в <*-*«>• < = ^ё*пНх-х„), A4.3)
п п
где gh, g*n — матрицы относительно зарядных чисел прото-
протонов Хл, выбранные так, что заряд сохраняется. Это требова-
требование выполняется, если gn и g*n в A4.3) снова отождествлены
с матрицами изотопа спина (9.11, соответственно, 15); дока-
доказательство точно такое же, как в § 91). С учётом E.5)
A2.30,31) будет
v
Так как Н" совсем не содержит переменных поля, а Н' за-
зависит только от ру>, р?)*, то выражение A4.2) связывает
только продольные составляющие мезонов с покоящимися
протон-нейтронами; для поперечных составляющих формулы
§ 12 строго выполняются.
Чтобы вычислить ядерные силы по теории возмущения, исходя
из гыражения A4.2), мы поступим так же, как и в § 10: преобраз>ем
гамильтонову функцию унитарной матрицей S, разложенной по пара-
параметру связи [ср. A0.3, 4, 5)]:
!) Действительно, уравнения (9.3 до 15) здесь не меняются
[в (9.4) то|> надо, согласно A2.44), интерпретировать как скалярное
произведение двух векторов и и $].

120 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
При этом пусть
к ^
отсюда и из A2.33) получится, аналогично A0.7),
[//о, S'] = [//lon*, S'] = -//',
так что преобразованная гамильтонова функция, с точностью до
членов второго порядка в параметре связи, выразится так [ср.
A0.8)]:
5 - W5 = S* (НО + Н' + Н") S = //• + у [//', 5' ] + И" +...
По A4.2, 3) будет:
расщепим Н'\ а также и [//', S'] на члены с п = п' и с л т= л':
i- [Я', S'] + Н" = Я("=) + //(%,, A4.7)
тогда, с учётом A4.4, 5, 6), получится:
Если ещё учесть, что
и что <u? = c2(n2-f-?2), получится простой результат:
^^t*"JP-). A4.8)
где ^—снова та же потенциальная функция Юкава, что и опреде-
определённая в G.13). Сравнение с членами п ф ri (9.19) учит, что про-
продольные векторные мезоны вызывают с точностью до знака те
же ядерные силы, что и скалярные мезоны; знаки же везде
противоположные. Отвлекаясь от изменения знака, повторяется всё,
«то говорилось в § 9 относительно ядерных сил, произведённых
скалярными мезонами.

§ 14] ЯДЕРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 121
При вычислении членов #('=) в A4.7) надо помнить, что g*n и
gn не коммутируют, более того, по (9.13, 15), имеет место
Опуская члены с собственной энергией, не зависящие от переменных
поля, получим:
а,
Как можно убедиться в матричном представлении A2.34), эта возму-
возмущающая энергия описывает рассеяние продольных мезонов ядерными
частицами и, кроме того, двойные процессы испускания и поглоще-
поглощения. Матричный элемент упругого рассеяния продольного мезона на
нейтроне (хC)= 1) или протоне (т(8) = —1) оказывается равным
что соответствует полному поперечному сечению рассеяния
По сравнению с эффективным сечением рассеяния скалярных мезо-
мезонов (9.18) здесь прибавился множитель (k\y)*\ в то время как сече-
сечение в скалярном случае уменьшается при возрастании энергии ме-
мезонов, сечение A4.9) неограниченно возрастает, по крайней мере,
в том приближении теории возмущений, которое рассмотрено здесь.
В выражение A4.2) не входит спин протонов и нейтро-
нейтронов1), благодаря чему при всех до сих пор рассмотренных
переходах спин ядерных частиц оставался неизменным. В част-
частности, спин протон-нейтрона также не входит в ядерные
силы A4.8); если рассмотреть в качестве примера столкно-
столкновение медленных протона и нейтрона, то статический
потенциал вывовет обмен импульсом и зарядом, но без
всякого изменения спина. Обменные силы этого типа называ-
называются «силами Гейзенберга», так как их впервые ввёл Гей-
1) Здесь речь идёт не об «изотопном спине», т. е. зарядном числе,»
а о собственном моменте количества движения ядерных частиц.

122 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гЛ. III
зенберг1), при квантово-механическом рассмотрении энергии
связи сложных ядер. Точно так же, как и скалярные мезоны,
которые не могут переносить спина, будучи сами лишены
его, так и продольные мезоны благодаря связи A4.2) вызы-
вызывают только силы Гейзенберга между (покоящимися или мед-
медленно движущимися) протонами и нейтронами. Однако, как
будет разъяснено в § 15, в действительности ядерные силы
-преимущественно «типа Майорана», которые при взаимодейст-
взаимодействии производят обмен не только зарядом, но и спином2).
Интересно поэтому кратко рассмотреть, кроме A4.2),
-ещё другое выражение связи, в котором играет роль спин
ядер.
Известно, что протон-нейтрон имеет спин —. Из его
волновых функций можно построить антисимметричный тен-
тензор («шестивектор») С^= — CV|X, v, 4-компоненты которого
исчезают в системе покоя, тогда как /, у-компоненты (/, / =
= 1,2,3) связаны со спином. Из этого тензора и из «на-
«напряжений мезонного поля» / A2.3) мы образуем инвариант-
инвариантное слагаемое функции Лагранжа:
Если опять предположить ядерные частицы покоящимися, то
в сумме исчезнут члены |х=:4 и v = 4:
<(? — вектор с компонентами ?23, ?3i> W- Так как ^ не со'
держит производных <{>v по времени и ф4 тоже в него не
входит, то в гамильтонову функцию, по сравнению с § 12,
войдёт только дополнительный член
//' = — {(C-rot ф) +(C*-rot ф*)}. A4.10)
*) Zs. f. Phys. 77, 1, 1932.
2) М а й о р а н а (М a j о г a n a), Zs. f. Phys. 82, 137, 1933. Под-
робная дискуссия сил Майорана—-см. § 15.

§ 14] ЯДЕРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 123
В квантовой теории компоненты С и С* должны трактоваться
как матрицы относительно спиновых индексов протон-нейтро-
протон-нейтронов и, кроме того, с учётом сохранения заряда, также и
как матрицы относительно зарядных чисел ХЛ. Мы положим
в A4.10):
A4.11)
где ап — вектор спина я-го протон-нейтрона, т. е. вектор <зп
имеет компонентами о^ матрицы Паули, свойства которых:
— _ jC) jB) _ /j(l) (
n n n '
аB) аC) ~т ~са\ ;~т Г \i4.12)
п п
Если выбрать для gn и g*n в A4.11) снова матрицы изотопа
спина (9.11, соответственно, 15), то опять имеет место
(9.6, 7), т. е. сохранение заряда гарантировано. С помощью
E.5), A2.30,31) пишем возмущающую функцию
21 k |
A4.13)
Таким образом, это возмущение действует только на попе-
поперечные мезоны (г=2, 3).
Вместо A4.5) мы выберем
S' = - ? 7-V. ? 1*!
так что, с учётом A2.33), снова будет:

124 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ. III
В выражении —- [#', S'] члены п ф п' дают:
или с G.13)
"(*> = S
X {K-v)-d«-K-g«dn)(an,.gradn)} t/(xn,-^). A4.15)
Члены nz=zn' мы здесь совсем не рассматриваем; они описывают,
между прочим, рассеяние поперечных мезонов, причём эффективное
сечение имеет ту же зависимость от энергии, что и в случае про-
продольных мезонов [ср. A4.9)] *).
Для случая, когда имеются только две ядерные частицы, фор-
формула A4.15) с х2 — Xi = x гласит:
Л&) = (В1&1 + ^&)-{(вгва) л — (^i-grad) (a2.grad)} U(x).
Матрица (g\g*2 + g\?i) уже дискутировалась в § 9, её значения О
(для Х1 = Х2) и ±|^»|2 (для Хг Ф Х2). Для дискуссии остальных мно-
множителей разложим их следующим образом:
П ) } С416)
в = { з"('1' ) 4 ~(ai'grad) (f2'grad) 1 u {x) j
Разложение выбрано так, чтобы среднее значение В для всех на-
направлений х исчезало. Для А, по G.16), можно написать:
2) Надо заметить, что в случае нейтральных векторных мезонов,
где ga he матрицы, а просто численные коэффициенты, рассеяние
продольных мезонов на покоящемся протон-нейтроне не происходит,
ио поперечные мезоны рассеиваются, потому что компоненты аа не
перестановочны относительно друг друга.

§ 14] ЯДЕРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 125
член с ~ 8 (х) представляет здесь «близкодействие» между протоном
и нейтроном, которое, однако, несовместимо с конечной энергией
связи протона с нейтроном и должно быть исключено, чего можно
достичь соответствующей добавкой к функции Лагранжа
(Г = const. 2 СW-
После этой поправки остаётся
A = j)P(<>v4)-U(x). A4.17)
Спиновую матрицу (e1«a2) = 2 °[J) °2^ легко привести к диагональ-
диагональному виду: так как матрицы Паули с^ могут быть выбраны фор-
формально равными матрицам изотопного спина ty (9.12), то мы имеем
ту же задачу, что и уже решённая в § 10 при дискуссии матрицы
(тгт2) в «симметричной теории», так что можно воспользоваться
прежним результатом, только заменяя зарядные числа Х1? Х2 спино-
спиновыми координатами обеих частиц: (va2) имеет трёхкратное собст-
собственное значение + 1 и простое —3, причём собственные спиновые
функции частиц симметричны для трёхкратного собственного значе-
значения -f 1 и антисимметричны для значения — 3. С другой стороны,
член В в A1.46) с учётом того что U (х) зависит только от рас-
расстояния частиц |л"| = г, преобразуется так:
Если ввести результир)ющий спин s = -rj- (а1-\-а2) и его компоненту
в направлении х sx~(s-x)[r, то на основе соотношений A4.12):
и поэтому
Собственные значения s2 и sx (при заданном х=х2 — хх)} как
известно, таковы:
,у2 = о, Sjc — 0 и 52 = 2, sx = 0, ± 1,
чем определяются и собственные значения В. В тех же обозначе-
обозначениях А мз A4.17) равно:

ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гЛ. Ш
Вышенаписанные выражения взаимодействия A4.2) и A4.10) являются
единственными выражениями, совместимыми с релятивистскими
постулатами и содержащими волновые функции мезонов линейно.
Конечно, их можно и линейно комбинировать [//' = сумме A4.2) и
A4.10)], считая параметры связи \ g\ обоих членов независимо выб-
выбранными. Тогда с ядерными частицами связываются не только про-
продольные, но и поперечные мезоны: те и другие рассеиваются
с помощью сил типа A4.8) и соответственно A4.15 до 20). Наконец,
можно, как и в § 10 для скалярного поля, путём добавления ней-
нейтрального векторного мезонного поля построить «симметричную»
теорию!). Мы не будем рассматривать выражений этой теории,
могущих быть построенными по образцу § 10. Матрицы изотопного
спина для ядерных сил A4.8, 15)
[ср. (9.22)] тогда надо снова заменить на
Самый общий потенциал статического взаимодействия между двумя
протон-нейтронами в симметричной векторной теории, по A4.8),
Aб,17), таков:
{[ ] ) A4.21)
где \ g\ и |/|—два независимых параметра связи. Эти ядерные
силы «не зависят от заряда» в том же смысле, что и в § 10: между
протоном и нейтроном, собственные функции которых симметричны
в обоих зарядах [(т1'?2)= 1], действуют такие же силы, как и между
протоном и протоном или нейтроном и нейтроном.
§ 15. Мезонная теория и ядерные силы
Когда мы в § 9, 10 и 14 подробнее рассматривали теорию
Юкава-Кеммера взаимодействия между мезонами и ядерными части-
частицами, то имели в виду, главным образом, поучительный пример
вычислительных методов, которые чаще всего встречаются в при-
применениях квантовой теории поля. Однако эта теория заслуживает
также особого интереса как одна из наиболее часто дискутируемых
теорий ядерных сил, и мы попутно рассмотрим вопрос, насколько
она соответствует фактам ядерной физики. Мы будем поэтому
опираться на результаты феноменологической теории ядерных сил,
которая, исходя из специально выбранных выражений для силы,
Кет тег, см. цитату в § 10.

§ 15] МЕЗОННАЯ ТЕОРИЯ И ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ 127
квантовомеханически выводит условия устойчивости ядер и путём
сравнения с опытом приходит к заключениям о действительных
свойствах сил. Полученные, таким образом, полуэмпирические дан-
данные о ядерных силах, хотя и неполные во многих отношениях и не
совсем свободные от гипотез, естественно, гораздо лучше обосно-
обоснованы, чем теория поля, требующая гораздо более детальных до-
допущений о природе поля, передающего ядерные силы, и о его
взаимодействии с ядерными частицами1). Поэтому следует про-
проверять теорию поля путём сравнения с феноменологической
теорией.
В этой теории вместе с Гейзенбергом2) принимают, что силы, с ко-
которыми взаимодействуют в атомном ядре две частицы (протоны или
нейтроны), могут, по крайней мере в первом приближении, считаться
статическими и центральными, т. е. представляются потенциалом У (г)
(г — расстояние между частицами). Чтобы силы допускали «насыще-
«насыщение», принимается, что они имеют обменный характер. Тогда как
Гейзенберг первоначально принимал, что неэлектрические силы
в существенном действуют только между протоном и нейтроном,
позднейшие экспериментальные исследования рассеяния протонов
с энергией 1 MeV3) в водороде показали, что между двумя прото-
протонами, кроме кулоновской силы, существует ещё одна, короткодейст-
короткодействующая сила, причём из квантовомеханической дискуссии следует,
что эта «ядерная» сила между протонами в состоянии (XS) равна
или почти равна силе между протоном и нейтроном, а это говорит
!) Как предшественницу мезонной теории мы упомянем fi-тео-
рию ядерных сил, по которой передающее поле — электрона-я^Й-
трино (Та мм и Иваненко, Nature 133, 981, 1934); но, как это
видно из большого значения периодов полураспада |3-активных
веществ, такое поле связано с ядерными частицами слишком слабо,
чтобы его можно было считать ответственным за большие ядерные
силы. В одном варианте р-теории, свободной от этого возражения»
кроме {1-поля, принимается ещё и электронно-позитронное поле
[Гамов и Теллер (Gamow и Teller), Phys. Rev. 51, 289, 1937;
Вентцель (Wentzel), Helv. Phys. Acta 10, 107, 1937; Вигнер,
КритчфильдиТеллер(\\^пег, Critchfield и Teller),
Phys. Rev. 56, 530, 1939; Яух (Jauch), Helv. Phys. Acta. 15, 175,
1942]. Рассматривались также и пары «мезонов» со спином —[Мар-
—[Маршак (Marschak), Phys. Rev. 57, 1101, 1940; Маршак и Вайс-
копф (Marschak и Weifikopf), Phys. Rev. 59, 130, 1941]. По
сравнению с этими теориями, в которых ядерные силы передаются
испусканием и поглощением пар частиц, теория Юкава имеет пре-
преимущество в большом сходстве с квантовой электродинамикой,
где тоже все взаимодействия сводятся к испусканию и поглоще-
поглощению отдельных частиц со спином 1 (ср. гл. IV).
2) Zs. f. Phys. 77, 1, 1932.
3) Тюв, Хейденбург и Хафстад, (Tuve. Heyden-
burg и Hafstad), Phys. Rev. 50, 806, 1936.

128 ВЕКТОРНОЕ МЕ30НН0Е ПОЛЕ [ГЛ. Ill
в пользу «независимости от заряда» ядерных сил*). С этих пор
гипотеза о независимости ядерных сил от заряда кладётся в основу
почти всех вычислений в теории ядра.
Если статическая ядерная сила считается независимой от заряда,
то, согласно её обменному характеру, могут быть ещё четыре
независимых предположения о потенциальной энергии V пары ча-
частиц; записываются они так:
силы Вигнера V=J(r),
силы Бартлетта V=L+J?l^*>
.j(r
силы Гейзенберга V= 111а111^.
силы Майорана K=-i
1 _j_ (a a)
Согласно сказанному выше, операторы —!—^—=- и соответствен-
соответственно ' * *—— имеют собственные значения zt 12), а принадлежащие
им собственные функции симметричны или антисимметричны в спи-
спиновых и аи зарядных координатах. Благодаря свойствам симметрии
1 -f(ara2) 1 +(тгт.)
можно также сказать: ——~—- и соответственно —{—^~—- — опе-
оператор, переставляющий спиновые или зарядные координаты частиц
1 и 2, так как в применении к симметричной или антисимметричной
функции этот оператор эквивалентен + 1 или — i. Применяя его,
на; о помнить, что, по принципу Паули, волновая функция должна
быть антисимметрична относительно совокупности координат (про-
(пространственных, спиновых и зарядных). Отсюда следует, что харак-
характерный для сил Майорана оператор ( ' :?1 °2 • ^г
эквивалентен перестановке пространственных координат частиц 1 и 2.
Допуская, что присутствуют силы всех четырёх типов, причём
с одинаковой зависимостью от г, приходим к употребительному
допущению о потенциале
{ } A5.1)
где с, ?а, ?т, сдх — четыре независимые постоянные. Что касается
выбора функции J (г), то существенно, что силам приписывается
J) Брейт, Кондон и Презент (Breit, Condon и Pre-
Present), Phys. Rev. 50, 825, 1936; Брейт и Финберг (Breit
и F e e n b е г g), Phys. Rev. 50, 850, 1936.
2) Собственные значения (ai-c2) и соответственно (vt2) равны
-}-1 (триплет) и —3 (синглет) (ср. § 10 и 14).

§ 15] МЕЗОННАЯ ТЕОРИЯ И ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ 129
«конечный радиус действия» a: J{r) отлично от нуля только при
г < я; чаще всего применяются выражения:
и в последнее время также потенциал Юкава
У(г) = -5-Г«.
Важнейшие результаты в значительной степени не зависят от вы-
выбора типа функции.
Первые два уравнения, определяющих константы в A5.1), полу-
получаются из задачи двух тел. Основное состояние дейтрона есть
35-состояние, так что волновая функция симметрична в простран-
пространственных и спиновых координатах протона и нейтрона и, таким
образом, антисимметрична, по принципу Паули, в зарядных коор-
координатах: (ага2)=1, (тгт2) = — 3. Отсюда по энергии связи дей-
дейтрона можно заключить и о численном значении
если для J(г) выбрана функция определённого типа. Достаточно
удовлетворительно известна и энергия ^-состояния дейтрона,
обусловливающего сильное рассеяние медленных нейтронов в водо-
водороде; она также играет важнейшую роль как в теории фотоэлектри-
фотоэлектрического разложения дейтрона, так и в теории фотомагнитного
захвата нейтрона протоном. Из энергии этого (неустойчивого)
состояния, собственные функции которого симметричны в про-
пространственных и зарядных координатах и антисимметричны в спиновых
координатах [(о1.с2) = — 3, (zx»^)=: 1), возможно определить по-
постоянную
Если силы в самом деле не зависят от заряда, то это же ^-взаимо-
^-взаимодействие должно определять и рассеяние протонов на протонах; тот
факт, что в действительности так и происходит, а при выборе потен-
потенциала Юкава даже и в пределах точности эксперимента1), является
основным опорным пунктом гипотезы о независимости сил от заряда.
Тогда как задачи о трёх и четырёх телах (№, #?3, НеА) позво-
позволяют в основном заключить только о радиусе действия сил «а»,
новые данные о константах «с» получают из теории тяжёлых ядер.
а)Хойзингтон, Шэр и Брейт (Н oi si n g ton, Share
и В г е i t), Phys. Rev. 56, 884, 136.
Вентцель

130 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гл. III
Здесь применяется приближение Хартри-Фока. В потенциальную
энергию ядер в первом приближении входят члены двоякого типа:
Vt=[ dxi [ dx2 p (хг. хг) р (лг2, x2)J{\x2—xl\)- const.,
V2 = [ dxl \ dx2 p (xh x2) p {x2, xi) J A x2 — хг |) • const.,
(где p{xhx2) — функция плотности смеси (матрица плотности):
(ип — пространственная собственная функция ядерной частицы
в занятом состоянии). Энергия Vh определяемая обыкновенной
плотностью частиц р(х,х), должна быть положительной во всех
случаях; если эти ненасыщенные силы были бы притягивающими,
то должны были бы существовать — вопреки опыту — очень малень-
маленькие и очень устойчивые ядра. Поэтому, естественно, что V2 должна
быть отрицательной и по абсолютной величине, большей, чем Vx\
так как эти силы обладают характером насыщения, то объём ядра
и энергия связи оказываются приблизительно пропорциональными
числу частиц или атомному весу, как того и требует опыт. Условие,
чтобы V\ было положительно для всех мыслимых ядер, даёт для
коэффициентов «с» в A5.1) много неравенств, называемых «усло-
«условиями насыщения». Они особенно ценны благодаря тому, что спра-
справедливы независимо от качества приближения Хартри, которое для
основного состояния может дать лишь завышенные значения энер-
энергии. В применении к таким ядрам, в которых заняты все состояния
частиц с обоими значениями спина, можно усреднить по всем
спиновым квантовым числам, причём члены A5.1), помноженные
на (згз2), отпаДУт, так как ШПУР (диагональная сумма) (сга2)
равен нулю. Можно произвести такое же усреднение и по зарядным
квантовым числам, если только число существующих протонов
и нейтронов равно и все пространственные состояния одинаково
заняты теми и другими; тогда в V\ члены, умноженные на ^('х-'2)>
ничего не прибавят, и условие насыщения будет гласить1):
Но так как, с другой стороны, не существует очень устойчивых
ядер, состоящих исключительно или из одних протонов или из одних
нейтронов, т. е. таких, у которых собственная функция симметрична
в зарядных числах всех частиц, то надо потребовать положитель-
положительности Vh когда в A5.1) (fi-f2) = ^ и (JrJ2) (в среднем) = 0:
Аналогично должно иметь место благодаря симметрии заряда
J) Брейт и Финберг (Breit и Feenberg), Phys. Rev. 50,
850, 1936.

§ 15] МЕЗОННАЯ ТЕОРИЯ И ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ
и спина:
что выражает условие того, что не существует очень устойчивого
протонно-нейтронного ядра, содержащего исключительно параллель-
параллельные спины.
Если сопоставить эти неравенства с более качественными резуль-
результатами, получаемыми из приближения Хартри путём сравнения
с опытными данными о ядрах, то теория оказывается в наи-
наилучшем соответствии с фактами, когда константы с и г0 поло-
положены равными нулю1). Тогда данные о дейтроне дают значения
остальных постоянных сх и сп\ они получаются положительными
и в примерном отношении гт:сат^1:2.
Когда г = са = 0, с, > 0, caz > 0, выражение A5.1) согласуется
с формулой A4 21), если' в последней пренебречь членом В. Постоль-
Постольку, поскольку последнее приближение оправдано, симметричная
векторная мезонная теория удовлетворительна. Если прибавить к
A5 1) член const (Ti*T2) ^» то это ничего не изменит в теории тяжё-
тяжёлых ядер, так как он исчезает при усреднениях как по всем напра-
направлениям спина, так и по всем направлениям вектора х = х2^ Х\\ но
его влияние на дейтрон должно сказываться. Именно, согласна
A4.9), В зависит от ориентации радиуса-вектора относительно спина
дейтрона Эга «связь спина с орбитой» лишает пространственную
волновую функцию основного состояния дейтрона сферической
симметрии: 85-функция получает «добавку SD» Поэтому и простран-
пространственное распределение электрического заряда в дейтроне откло-
отклоняется от сферической симметрии, так что возникает электрический
квадрупольный момент. Это предсказание теории поля качественно*
выполняется; как показали Келлог, Раби, Рамсей и Захариас2),
наблюдая переходы в молекулах тяжёлого водорода HD и D>, вы-
вызванные периодическим магнитным полем, дейтрон действительно
обладает электрическим квадрупольным моментом. Но количественно
возникают принципиальные трудности. Именно, если подставить в &
A4.19) для U потенциал Юкава, то при г—>0 В обращается в бес-
бесконечность, как г~3, а такая сильная сингулярность несовместима
с конечной энергией связи дейтрона. Это вынуждает либо обрезать,
либо ослабить сингулярность путём введения обрывающего множи-
множителя. Вычисляя с изменённой в этом смысле потенциальной функ-
функцией U, получим, на основании A4.19), добавку 3D к функции
Шредингера 3S, как и требовалось, малой (из-за малости амплитуды
/^-функции в области S-функции), так что вычисленный квадруполь-
квадрупольный момент получит правильный порядок величины Тем не менее,
возникнет расхождение в знаке квадрупольного момента: теорети-
теоретическое распределение заряда имеет форму эллипсоида, сплющенного
1) К ем мер (Kemmer), Nature 140, 192, 1937.
2) Kellogg, Rabi, Ramsey uZacharias, Phys. Rev. 57,
677, 1940.
9*

132 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гл. III
в направлении спина *), а экспериментальные данные говорят о вы-
тянчтой форме. Остаётся спорным, не связано ли это несогласие
с расходимостями и вызвано поэтому неправильным способом обра-
образования2)
Для суждения о мезонной теории надо помнить, что формула
A4.21) для ядерных сил может считаться только приближённой,
потом\ что она, отвлекаясь от ограничения статическими взаимо-
взаимодействиями, выведена во втором приближении теории возму-
возмущений. Если определить константы | ?|2 и |/|2 в A4.21) путём
сравнения с полуэмпирической формулой A5.1), то можно оценить
поправки, обусловленные высшими приближениями; но из-за недо-
недостаточной малости | g\2 и | /12 а) эти поправки отнюдь не малы,
даже и при благоприятном выборе обрывающих множителей, вво-
вводимых для устранения расходимостей *). При таких обстоятель-
обстоятельствах, конечно, нельзя ожидать безупречного согласия с опытом.
Но тем больше значения нужно придать качественным аргу-
аргументам, говорящим в пользу теории Юкава, после открытия «мезотро-
«мезотронов» в космическом излучении. О связи между массой мезона
и радиусом действия ядерных сил говорилось уже в § 7. Если
отождествить мезон теории Юкава с частицей из космического
излучения, масса которой т по точнейшим измерениям лежит ме-
между 150 и 220 электронными массами, то для радиуса действия потен-
потенциала Юкава 1/ц = &//ис получится число, лежащее между 1,7 и
2,6.Ю-13 см. Точнейшие экспериментальные данные о радиусе дей-
') Это основано на том, что член В в A4.41) в случае основ-
основного состояния дейтрона [(Ti тг)= — ^1» п0 A4.19), представляет
отталкивающий потенциал, когда радиус-вектор х параллелен спи-
спину 5, и притягивающий потенциал, когда х перпендикулярен к s. Ср.
Б е т е (В е t h e), Phys. Rev. 57, 390, 1940.
2) Меллер и Розенфельд (М011ег и Rosenfeld; Kgl.
Danske Vidensk. Selsk. Math.-fys. Medd. XVII, 8, 1940) предложили
вариант теории Юкава, в котором к векторному мезонному полю
добавляется псевдоскалярное; при надлежащем выборе параметров
связи статическое взаимодействие спина с орбитой исчезает. Квадру-
польный момент дейтрона сводится к нестатическим силам, причём
знак может быть согласован с опытом.
8) При l/|i = 2,8-10-13 см («радиус электрона») будет \g\ijhc^=
^1/3, \f\2/hc^\. В случае электрических сил соответствующее
число 4гс??2//и?^г4я/137 ^1/11.
4) Если стремить радиус протона к нулю, то расходимости бу-
будут ещё сильнее, чем в скалярной теории (§ 9) (ср. Штюкель-
берг и Патри (Stueckelberd и Patry), Helv. Phys. Acta
13, 167, 1940). Более однозначных результатов, вероятно, можно
ожидать в граничном случае «сильной связи» (ср. § 9, последний
абзац), но об этом известно слишком мало. Теория, похожая на
вариант Меллера-Розенфельда, дискутированная Швингером с этой
точки зрения, кажется вполне отвечающей данным опыта (S с h w i n-
ger, Bull. American. Phys. Soc. 16, №7, 7, 1941).

§ 15] МЕЗОННАЯ ТЕОРИЯ И ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ 13$
ствия сил даёт квантовомеханическая дискуссия рассеяния протонов,
на протонах; когда J(r) в A5.1) взят в виде потенциала Юкава ?/,
зависимость рассеяния от энергии и его распределение по углам
лучше всего передаются1 при 1/ja= 1,2» 10~13 см. Совпадение обоих
значений по порядку величины (большего нельзя и ожидать),
вероятно, не случайно.
Сюда же относится предположенная Юкава 2) связь с явлениям»
^-активности. Известно, что, по Паули и Ферми 8), р-распад ядра
истолковывается как процесс, при котором нейтрон в ядре пре-
превращается в протон, испуская электрон и нейтрино; и, наоборот,
протон в ядре может превратиться в нейтрон, испуская позитрон
и (анти) нейтрино. Юкава выдвинул гипотезу, согласно которой эти
переходы происходят не прямо, а через промежуточное состояние
в присутствии мезона. Уже в теории ядерных сил рассматривались
переходы:
нейтрон —> протон + отрицательный мезон,
протон —у нейтрон + положительный мезон,
ведущие по энергетическим соображениям не в действительные
состояния, а в виртуальные, промежуточные. Если теперь вместе
с Юкава принять, что отрицательный' мезон может распасться на
электрон и нейтрино, а положительный на позитрон и нейтрино, то
Р-процессы пойдут как двухстепенные по схеме
нейтрон электрон протон позитрон
W W
п
W
г\ . 1 \
й е
г . .
протон нейтрино нейтрон нейтрино
Возможен ли процесс энергетически, зависит, конечно, как и в тео-
теории Ферми, от энергии ядра в начальном и конечном состояниях.
Чтобы формально описать переходы
отрицательный мезон —> электрон -f- нейтрино
положительный мезон —> позитрон + нейтрино,
нужно ввести связь мезонного поля с электронно-нейтринными вол-
волновыми функциями, аналогично рассмотренной в § 14 связи с про-
протон-нейтронными волновыми функциями, причём снова можно по-
построить два инвариантных выражения; соответствующие параметры
1) Хойзингтен, Шэр иБрейт (Hoisington, Share
и В г е i t), Phys. Rev. 56, 884, 1939.
2) Ср. сноски на стр. 69 и 118.
3) Ферми (Fermi), Zs. f. Phys. 88, 161, 1934,

134 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [гЛ. II
связи (]?sl2, |/р|2) выбираются так, чтобы экспериментальные дан-
данные — продолжительности жизни f-излучателей1) и формы ^-спек-
^-спектров— передавались как можно лучше. По этой теории свободный
мезон неустойчив, так как его масса больше, чем у электрона
(позитрона) и нейтрино; он* может спонтанно распадаться на эти
лёгкие частицы со средним периодом жизни в своей системе покоя2)
10~8 сек.3). Мезоны космического излучения действительно неустой-
неустойчивы, о чём свидетельствуют многие эффекты 4), но все эти эффекты
согласованно между собой указывают на большую продолжитель-
продолжительность жизни, именно 3«10~6 сек. Хотя расхождение так велико, что
потребует, вероятно, изменения теории 5), сам факт ^-неустойчивости
мезона, как таковой, и порядок величины продолжительности жизни
мезонов говорят о правильности основных идей теории Юкава.
Если мезотроны имеют свойства, приписываемые им в § 12, 13, 14,
то они должны при прохождении через материю испытывать могу-
могущее наблюдаться рассеяние на ядрах, причём не только из-за дей-
действия электрического поля ядра (ср. § 13), но и благодаря рассмо-
рассмотренному в § 12 ядерному взаимодействию с протонами и нейтронами.
По имеющимся наблюдениям это дополнительное рассеяние гораздо
меньше, чем можно было бы ожидать из эффективного сечения A4.9),
вычисленного по теории возмущений. Но, как заметил Гейзенберг6),
ъычисленное сечение, вероятно, слишком велико, так как метод те-
теории возмущений в применённом приближении не учитывает обрат-
обратного действия рассеянной мезонной волны на протон-нейтрон. Оце-
!) Длительность периода распада показывает, что связь в этом
случае весьма слаба: порядок величины \g^\2jhc и \f$\2jhc оказы-
оказывается = 10~15.
2) Движущийся мезон имеет из-за релятивистского удлинения
времени большую продолжительность жизни.
3) Бете и Нордгейм (Bethe и Nordheim), Phys. Rev
57, 998, 1940.
*) Ср. Эйлер и Гейзенберг (Euler и Heisenberg),
Erg. d. ex. Naturwiss. 17, 1, 1938; Росс и (Rossi), Rev. of Modern
Phys. 11, 296, 1939. В камере Вильсона C-распад мезона наблюдали
Вильяме, Роберте иЭван (Williams, Roberts и Evans)
Nature, 145, 102 и 818, 1940.
5) Одна из возможностей состоит, вероятно, во введении не-
нескольких сортов мезонов (например векторных и псевдоскалярных)
(ср. Меллер, Розенфельд иРозенталь(М011ег, R о-
senfeld и Rosental), Nature 144, 629, 1939; XVIII, 7, 1941 и
60, 612, 1941). По Розеиталю, наблюдаемые сравнительно долго
живущие частицы космического излучения лучше всего было бы
рассматривать как псевдоскалярные; это отвечало бы и наблюдениям
над образованными мезонами мягкими ливнями (теоретически рас-
рассмотрено Кристи и Кусака (Christy и Kusaka) Phys.
Rev. 59, 414, 1941, экспериментальные данные Шейн»й Джилл
(Schein и Gill) Rev. of. Moderu Phys. И. 267, 1939.
*) Zs. f. Phys. 113, 61, 1939.

§ 15] МЕЗОНЫ^ Т^РИЯ И ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ 135
нивая это обратное действие, отвечающее «радиационному затуха-
затуханию» при излучении, приходится, из-за отсутствия необходимых
квантовотеоретических методов, ограничиться вычислением, основан-
основанным на принципе соответствия классике; согласно ему, эффективное
сечение не возрастает неограниченно, как A4.9), а убывает после
прохождения максимума1), причём из-за сильной связи между
мезоном и ядром этот максимум лежит при сравнительно низких
энергиях мезона (несколько энергий покоя мезона). Поэтому не ка-
кажется исключением, что этот эффект затухания в самом деле ответ-
ответствен за малость сечения рассеяния2).
Как пример того, что мезонная теория бросает свет и на дру-
другие вопросы физики ядра, упомянем проблему магнитного момента
протона и нейтрона. Если бы эти частицы взаимодействовали только
с электромагнитным полем, они обладали бы, поскольку они подчи-
подчиняются уравнению Дирака, магнитными моментами 1 и 0 в ядерных
магнетонах (ehl2Mc), отвечающими их зарядам. Но благодаря связи
с полем заряженных мезонов может происходить непрямое допол-
дополнительное взаимодействие с внешними магнитными полями, т. е.
мезонное поле, окружающее протон-нейтрон, даёт дополнительный
магнитный момент. Чтобы вычислить его, надо комбинировать вы-
выражения для возмущающих энергий § 13 и 14 и провести расчёт
до третьего приближения 3).
Так как входящие в результат интегралы по импульсному про-
пространству без обрезания расходятся, то теория не может дать чис-
численных значений магнитного момента; но качественно она объ-
объясняет тот опытный факт, что момент протона отличен от 1, а
момент нейтрона — от 04), и даёт указание о соотношении между
1) Баба, Proc. Indian. Acad. Sc. 11, 247, 1940 и Proc. Roy. Soc. 178,
314, 1941; Фирц, Helv. Phys. Acta, 14, 257, 1941. В этих работах
расходящиеся инерционные эффекты исключены по методу Дирака,
тогда как Гейзенберг оставляет их, делая конечными с помощью
обрывающих множителей.
2) Другие возможные объяснения (существование других состоя-
состояний протон-нейтрона со значениями заряда и спина, отличными от
обыкновенных) рассматривались Баба (В h a b h a), Proc. Indian.
Acad. Sc. 11, 347, 1940 и Гайтлером и Ма (Heitler иМа),
Proc. Roy. Soc. 176, 368, 1940. (Теперь известно, что эти рассмотре-
рассмотрения эквивалентны. Прим. перев.)
3) Ф р ё л и х, Гайтлер и KeMMep(Frohlich, Heitler
и К em me r), Proc. Roy. Soc. 166, 154, 1938.
4) Ф р и ш и Штерн (F r i s с h и Stern), Zs. f. Phys. 85, 4,
1933; Келлог, Раб и, Рэмси и Захариас (Kellogg, Rabi,
Ramsey и Zacharias), Phys. Rev. 56, 728, 1939; Милльман
и Куш (Millman и Kusch), Phys. R e v. 60, 91, 1941; А л ь-
варец и Блох (Alvarez и Bloch), Phys. Rev. 57, 111, 1940. Маг-
Магнитный момент протона, по данным Раби и его сотрудников,
равен 2,7896 zt 0,0008 ядерных магнетонов, а нейтрона, по Альва-
рецу и Блоху, — 1,935:1:0,02 тех же единиц.

136 ВЕКТОРНОЕ МЕЗОННОЕ ПОЛЕ [ГЛ ПК
моментами. Именно, так как мезонные поля в окрестности протона
и нейтрона отличаются только знаком их плотности заряда, то
в этом (третьем) приближении теории возмущения перевес момента
протона над ядерным магнетоном равен по абсолютной величине мо-
моменту нейтрона, тогда как знаки их обратиы (т. е. при параллельных
механических моментах спина соответствующие магнитные моменты
антипараллельны). Это предсказание теории, могущее иметь, конечно,
только приближённый характер, подтверждается измерениями1).
В основном состоянии дейтрона, где спины протона и нейтрона
направлены одинаково, магнитные моменты, обусловленные мезон-
ным полем, приблизительно взаимно уничтожаются, так что момент
дейтрона в круглых числах равен одному ядерному магнетону 2).
*) Ср. предыдущее примечание.
2) 0,8565 it 0,0006 ядерных магнетонов, по измерениям Раби и
сотрудников. В пределах ошибок измерения магнитные моменты про-
протона и нейтрона в основном состоянии дейтрона складываются. Но
благодаря упоминавшейся добавке Ю к 35-волновой функции можно
ожидать на самом деле небольшого отклонения от аддитивности
[ср. Рарита и Швингер (Rarita и Schwinger), Phys.
Rev. 59, 436, 1941].

ГЛАВА IV
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 16. Электромагнитное поле в вакууме
Электромагнитное поле отличается от векторного мезок-
ного поля в двух смыслах: во-первых, оно действительно и
электрически нейтрально и, во-вторчх, равен нулю параметр
jx, а с ним и масса покоя w = jx/z/c соответствующих корпу-
корпускул— световых квантов или фотонов. Чтобы выявить анало-
аналогию с мезонным полем, насколько она существует, мы обо-
обозначим составляющие электромагнитного поля через /(JLV:
Л/ = -//4 = *в/. /23 =/82 = &..•• 06Л>
Тогда, как известно, уравнения Максвелла для пустоты по-
показывают, что антисимметричный тензор / может быть пред-
представлен как ротор четырёхмерного потенциала фу;
и что его дивергенция обращается в нуль:
'-=?-&• <16-21
Это совпадает с уравнениями A2.3,4), если в них поло-
положено JJL = O.
При описании поля / четырёхмерным потенциалом ф^
,надо обратить внимание на то, что A6.2) определяет ф7 не-
неоднозначно: напряжения поля / инвариантны относительно
преобразования калибровки
^^+ <164>

138 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
где А — произвольная скалярная функция. Так как все элек-
электромагнитные действия определяются только величиной на-
напряжения поля, то теория должна быть сформулирована так,
чтобы все измеримые величины были инвариантны относи-
относительно калибровки. В этом состоит дальнейшее отличие от
мезонной теории, которое, впрочем, связано с исчезновением
|Х [для \iy^0 уравнения поля A2.1 до 4) не обладают груп-
группой калибровки].
Если выбрать функцию Лагранжа, аналогичную A2.5),
то получатся уравнения поля A2.6) с pi = 0:
в согласии с A6.2, 3). Соответственно A2.8), будет ttv=/v4//?,
так что снова тт4 = 0. Но необходимое для канонического
квантования исключение ф4 здесь не может быть произве-
произведено тем же способом, что в § 12, ибо там, как подчёрки-
подчёркивалось, было существенно допущение ]iy^0. Хотя эта цель,
как показали Гейзенберг и Паули !), и может быть достиг-
достигнута, мы предпочтём иную каноническую формулировку, по-
позволяющую избегнуть трудности, связанной с тождественным
обращением в нуль тт42).
Пусть функция Лангранжа имеет вид:
Тогда уравнения поля A.2) выглядят так:
д^ Zu дх„ .д^ " 2шА дх {дх дхы
2f2*v=D*v = 0. A6.6)
X
1) Zs. f. Phys. 56, 1, 1929 и 59, 168, 1930.
2) Ферми (Fermi), Rendiconti d. R. Ace. d. Lincei 9, 881, 1929
и 12, 431, 1930, Rev. of Modern Physics 4, 87, 1932. Мы присоединя-
присоединяемся здесь к представлению Дира'ка, Фока и Подольского
<Dirac, FocknPodolsky)B Phys. Zs. d. Sowjetunion 2, 468, 1932.

§ 16] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ ?39
Для напряжённостей поля/^, определённых по A6.2), по-
получается:
^ d
2^ 5^ =°> О6-7)
где
Чтобы-A6.7) совпадало с требуемыми уравнениями Максвелла,
1 должно быть постоянно в пространстве и во времени. Мы
утверждаем, что для этого достаточно наложить на / и d^jdt
требование, чтобы при ^ = 0 они всюду исчезали, что имеет
смысл начальных условий:
1 = 0 и gj[ = O при * = 0. A6.9)
Для доказательства представим % разложенным в произ-
произвольной точке по степеням t\
первые два члена этого ряда исчезают по A6.9), но так как,
по A6.6,8), ПХ = 0> ТО при./=0 обращаются в нуль и
^/^2 = с2ДХ и dbi}dt* = c*\dildt, d*yJdt* = c*Mi и вообще
все высшие члены, следовательно, в области сходимости ряда,
могущей быть сколь угодно продолженной, i исчезает то-
тождественно:
Х = 0. A6.10)
Добавление начальных условий A6.9) выделяет из всей сово-
совокупности решений более общей задачи A6.6) максвелловские
поля 1).
Чтобы перенести этот ход идей в квантовую теорию, надо
перейти сначала к гамильтоновскому формализму. Поля, кано-
х) Дополнительное условие A6.10) ограничивает группу преоб-
преобразования калибровки потенциала: скалярная функция А в A6.4) должна
удовлетворять волновому уравнению рЛ = 0. Каждое более общее
поле потенциала легко можно перекалибровать так, чтобы выполня-
выполнялось условие A6.10),

140 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
нически сопряжённые с потенциалами фу, по A6.5), таковы:
так что по A6.1, 2 и 8):
Решение относительно фу следующее;
или в векторной записи:
ф == с2тт -f /с grad ф4, . ф4 = с2тг4 — /с div ф. A6.12)
Отсюда получается для гамильтоновой функции A.5):
Я = 1сМ1тг|2+Тт|)+1|^6|2 +
+ fc {(TT.gradc^,)— 7T4divcb}; A6.13)
для проквантованной теории можно теперь ввести без всякого
перестановочные соотношения A.7):
)
КD^'М] = {М(^ -А ] A6Л4)
Следующие отсюда канонические уравнения поля для
(})v совпадают с A6.12)х); с другой стороны, для tcv полу-
получается:
тг = — rot rot ф — /cgradTT4, тт4 = /с div тт. A6.15)
Если из этих уравнений исключим тг и тт4, то снова придём
к уравнениям поля A6.6)
ф = ?2Дф, ф4 = с2 Д4>4. A6.16)
2) Ср. аналогичные вычисления в § 12, ведущие к уравнениям
A2.17, 18).

§ 16] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 141
Исключение ф и ф4 даёт
те=с2Дтт, тг4 = с2Дтг4. A6.17)
Так как уравнения D.17) (при jx —0) выполнены по A6.16),
то для зависящих от времени операторов
имеют место правила перестановки D.28), где d^J равно
с2§00/, что видно из сравнения D.21) с D.16):
h
Эти правила перестановки, эквивалентные по § 4 канониче-
каноническим перестановкам A6.14), очевидно, инвариантны относи-
относительно преобразований Лорентца. D означает здесь, конечно,
инвариантную функцию D.25) со специальным значением па-
параметра ix = 0:
^""'Ш A6.20)
(инвариантная D-функция Иордана и Паули)*). Если ещё ввести
зависящие от времени операторы напряжённости поля:
""" ** """ IT О U
ОХ^ ОХу
то для них из A6.19) следуют правила перестановки2):
*) См. сноску 1 на стр. 33.
2) Эти правила и соответствующие соотношения неопределённости
D.34) дискутировались Бором и Розенфельдом в отношении мыслен-
мысленного эксперимента для измерения напряжённости поля с оптимальной
точностью в двух областях пространства — времени (об этом см. ко-
конец § 4).

142 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
Поле, определённое гамильтоновой функцией A6.13), как и
соответствующее классическое поле, слишком общее; в самом
деле, канонические уравнения поля A6.12, 15) эквивалентны
уравнениям A6.7), следовательно, их общность больше, чем
максвелловских уравнений. Чтобы выделить максвелловские
поля, мы попробуем снова наложить начальные условия, чтобы
5(, т. е., по A6.11), тг4, исчезало во всей области простран-
пространства—времени. Правда, мы не можем потребовать, чтобы опе-
оператор тт4 или 1 исчезал как таковой; это противоречило бы
перестановкам A6.14). Но достаточно потребовать, чтобы опе-
оператор тг4 или 1, применённый к шредингеровской функции,
давал в результате нуль.
Чтобы выяснить это подробнее, рассмотрим шредингеров-
скую функцию системы: F = F(t, q). Мы напишем здесь q для
совокупности переменных системы (^ = ф(*) в обозначении § 1;
по разложению Фурье E.1), вместо них можно употреблять
и коэффициенты Фурье q^ k или qW, о чём см. ниже) F —
это решение уравнения Шредингера:
h д ,
где Н — определённый по A6.13) интегральный оператор Га-
Гамильтона (H=[dxH, dHjdt = O). Так как F в момент вре-
времени t = 0 даётся как функция q> то его значение в момент
t получается путём применения оператора е h к F@, q):
— — я
F{t,q) = e * F@,q), A6.21)
ибо эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера и
переходит при t = Q в F@,q). Тогда указанное требование
гласит:
l(x)-F(ty q) = 0 или 'Ki(x)*F(tJ q) = 0. A6.22)
— н
Если применить к функции, стоящей слева, оператор eh
и выразить F{t,q), согласно A6.21), через F@,q)> то из
уравнения A6.22) будет следовать, что зависящий от времени
оператор
tt_H __ tt_ H
l(x,t) — eh i(x)e h , A6.23)

§ 16] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 143
применённый к F@, q), должен дать нуль:
l(x,t).F@,q) = 0. A6.24)
Оператор % (х, t), как и соответствующую классическую функ-
функцию, можно разложить в ряд Тэйлора:
я=0
[ср. D.7) и относящуюся к нему сноску].
Остаётся показать, что требование A6.22 или 24) экви-
эквивалентно начальному условию и потому выполнимо. По об-
разцу классического начального условия A6.9) мы потребуем:
, q) = 0, X(x).F@, q) = 0, A6.26>
что по A6.11 и 15) означает:
= 0, &ivn(x)-F@, q)=0. A6.27>
Эти уравнения надо рассматривать как условия, ограничиваю-
ограничивающие выбор начальной шредингеровской функции F@,q): до-
допустимы только такие функции F(Q,q), которые обращаются,
в нуль от применения операторов тг4(л;) и сНутг(л;) при про-
произвольном х. Если зависящий от времени оператор A6.25)
применён к F@,q), то оба первых члена ряда дают па
A6.26) нуль. Но то же относится и к дальнейшим членам,,
ибо, по A6.17),
и т. д.
тогда как из A6.26) следует:
Дх(^)-/7(о,?)=о,
ит. д.

144 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
Так получаются уравнения A6.24 и 22) как следствие началь-
начальных условий A6.26 или 27). С помощью A6.22) далее сле-
следует:
или по A6.15):
) = 0. A6.29)
Итак, операторы тг4 (л;) и divir (л:) обращают шредингеровскую
функцию в нуль при всех t^> О, если это имело место в на-
начальный момент (/ = 0).
Результат этого рассмотрения тот, что мы можем форму-
формулировать задачу о максвелловском поле в вакууме с помощью
гамильтоновой функции A6.13), если только к уравнению
Шредингера добавлены начальные условия A6.26 или 27) или
эквивалентное им «дополнительное условие» A6.22). Проверим
^щё, что при этом уравнения Максвелла имеют смысл опера-
операторных. Прежде всего каноническое уравнение для тт A6.15)
вместе с дополнительным условием A6.22) имеет вид:
(тс + rot rot $)./*(*, q) = 0;
яо так как по A6.1, 11)
© = — пт, § =
то также можно написать:
<16.29) означает
div <?./*(/, q) = 0.
С другой стороны, из A6.12) следует, так как ротор опера-
оператора (ф— с2тт) исчезает, что
(l$+rot©)=0,

§ 16] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 145
тогда как «§ = rot ф по определению не имеет источников:
Тем самым получены все уравнения поля. Образуем ещё сред-
средние значения полей !):
G(х, /) = J dqF* (t, q).(g(x)-F(t, q),
они удовлетворяют как функции пространства и времени урав-
уравнениям Максвелла:
Следовательно, распространение волнового поля©{xyt) и
§ (л:, t) в пустоте происходит по законам электромагнитной
теории света.
Надо упомянуть, что из-за дополнительного условия A6.22)
оператор Гамильтона Н в уравнении Шредингера может быть
заменён более простым оператором. Именно, если прибавить
к Н A6.13) пространственную дивергенцию
получится эквивалентный оператор Гамильтона
Но в применении к шредингеровской функции /7(/, #) все
члены, содержащие множители тг4 или divir, дают нуль вслед-
вследствие A6.22, 29), следовательно, Н в уравнении Шредингера
можно заменить на HQ= \ dxff0, где
J) Шредингеровская функция нормирована на 1:
10 Веитце^ть

146 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
Но тождественно с известной плотностью энергии электро-
электромагнитного поля1), т. е. Но = — Г44, где электромагнитный
тензор энергии-импульса определён, как обычно:
Как и в случае векторного мезонного поля (§ 12), Т^ от-
отлично от канонического тензора энергии-импульса B.8), ко-
который несимметричен. Тем не менее, для средних значений
Т действуют законы сохранения
и-
как следствие максвелловских уравнений. Доказательство мы
опускаем, потому что его просто получить по образцу клас-
классического.
Произведём теперь снова переход к пространству импуль-
импульсов с помощью рядов Фурье E.1):
rt lx)=V-lbjfp e-ik* \ A6.32)
Так как ф,, Ну (/=1, 2, 3) должны быть действительными
полями и соответственно эрмитовскими операторами, то, со-
сообразно E.2), надо потребовать:
9гу,-А==^Аft> Р/,-* — /7*, л> A6.33)
тогда как из-за употребления мнимой временной координаты
Х4 не $4> nv а ^4» Z1I4 — эрмитовские операторы:
9г4,-* = —г!,*. Р4,-л = — Pj,*- A6.34)
Для операторов ^v h% pv Л имеют место канонические переста-
перестановки E.4): ^ kf q^ ^ = ^ ^ ^f ^ = Qj v
Гп Л '.л — А'* .> ' О6-35)
2) Поля © и § измерены в единицах Хевисайда. При употребле-
употреблении обычных единиц все энергетические величины надо поделить
на 4л.

§ 16] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 147
Будем рассматривать теперь шредингеровскую функцию Р
как функцию от переменных q^ k\ тогда соответствующие
импульсы pv k надо истолковать как дифференциальные опе-
операторы
л А д
ибо тем самым выполнены перестановочные соотношения
A6.35) и притом в согласии с условиями эрмитовости
A6.33,34). Обратимся теперь к дополнительному условию
A6.22), которое, по A6.32), имеет вид:
k
Так как это должно иметь место для всех л:, надо, чтобы
Pi,kF(t> Я) ^-jT—F(t> ?) = °» A6.36)
причём для всех k, т. е. F (t, q) должно быть независимо от
qA k. Другой простой результат следует из уравнения A6.29),
выведенного из дополнительного условия A6.22):
k j y k
где pk, как в § 12, представляет трёхмерный вектор с ком-
компонентами рх k, рг k, ръ k, так что A6.29) означает, что
Если разложить векторы qk, pk с помощью координатных
осей &р A2.29, 30) на продольные и поперечные компоненты
to получится:
10*

148 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
т. е. F не зависит и от продольных компонент qkl). Как
существенные компоненты, остаются только поперечные qip
и gf.
Об уравнении Шредингера мы уже знаем, что в нём
оператор Гамильтона Н может быть заменён на //0 A6.30).
Подстановка рядов Фурье A6.32) даёт:
V к
или, применяя разложение на компоненты A6.37):
A6.39)
4
k r-2,3
Так как A6.38) Нш& F(/, q) = 0, уравнение Шредингера
сводится к
После того как этим способом исключены величины qA k
и q^\ мы снова перейдём к матричному формализму, чтобы
определить собственные значения Ии\ решение можно полу-
получить подобно тому, как в случае действительного мезонного
поля (§ 6), Аналогично F.20), мы подставим в A6.37)
*'(«Г-*!:',)
Этим выполнены условия эрмитовости A6.33) в предполо-
предположении, что принадлежащие двум векторам k и — k коорди-
координатные оси е^р и &?}k параллельны и одинаково направлены:
е?> = +еЦ>л. A6.42)
!) Надо обратить внимание на то, что и в классической теории
уравнение divn; = 0 или divi? = Q приводит к пиперечнисти свето-
световых волн.

§ 16] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 149
(Это означает перемену знака в уравнениях A2.30) для
половины всех значений kt но эти знаки для дальнейшего
несущественны.) Пусть а^\ а№* — матрицы относительно
целых чисел №р (^ 0), с перестановками
[а?>, <>] = [ар*, а($*} = 0, [<>, <>*] = Ь„,ЬШ; A6.43)
тогда будет
[<#>. W1 = ИР. рР] = о- ДО». <'] = т 5"'г**"
что вместе с A6.37) отвечает правилам перестановки A6.35).
Матрицы (а?* а<р) диагональны и имеют собственные значения
{а%* (*'%=№$. A6.44)
Для HiT A6.39) получаем, с помощью A6.41), диагональ-
диагональную матрицу
ни = Ч Z S I * IW 4Г)+а^г) «Г)
/г г=2,3
с собственными значениями
Я^=2 hc\k\-(N<*> + NW+l).. A6.45)
Если, в соответствии с применённой матричной схемой,
шредингеровская функция F рассматривается как функция
от переменных N^\ то общее решение уравнения Шредин-
гера таково:
F@,N) — «амплитуда вероятности» стационарного состояния
максвелловского поля, характеризуемого квантовыми числами
JVW. Помимо нулевой энергии йс]У]|?| [СР- F.23)], значе-
k
ния энергии A6.45) отвечают корпускулярному толкованию
света: NW-{-NW — это число квантов с импульсом hk и энер-
энергией hc\k\, причём верхние индексы (г =2,3) отвечают
поперечным линейным поляризациям.
Чтобы подтвердить это толкование, рассмотрим импульс
поля, плотность которого в классической теории даётся, как

150 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
известно, выражением 1/г•[(?*«&]; эрмитовский оператор,
в согласии с A6.31) (Gy = TA/jic)y таков:
— [rot ф • тг]}. A6.46)
Подставим сюда опять ряды Фурье A6.32) и образуем общий
импульс G—\dxG. Для сокращения не будем выписывать
V
члены, содержащие множитель р?), поскольку полагаем, что
оператор G всегда применён к шредингеровской функции Z7,
и при этом учитываем A6.38). Тогда получится
и, с учётом A6.41)!),
A6.47)
k r=2, 3
5> ИКЧ^Г
k r=2,3
Эта диагональная матрица имеет собственные значения
0^=2 Aft. (ДГ^ + Л43)), A6.48)
которые, как и ожидалось, представляют результирующий
импульс всех фотонов.
Конечно, каждое состояние (Д42)> ^Р) надо считать по
одному разу в соответствии с бозевским методом счёта со-
состояний «газа световых квантов».
То обстоятельство, что число световых квантов с данным
импульсом представляется суммой двух независимых целых
чисел, означает, что световой квант имеет спин с двумя
возможными ориентациями. Чтобы вывести это свойство,
разложим момент количества движения
^ {[тт.rotcj>] — [rotф-тт]}] A6.49)
*) Ср. аналогичные формулы F.26, 27, 28).

§ 16] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 151
по образцу формул A2.56 до 60) на два момента М° и М';
если снова отбросить члены с множителем div тт [учитывая
A6.26 и 38)], то выйдет:
М =;
{«уФ/'-^фу}. A6.50)
Относительно М° можно снова показать, что его среднее
значение не зависит от поляризации световых квантов; сле-
следовательно, спиновый момент должен содержаться в М\
Переход к пространству импульсов даёт:
М' = 2Ж<*). M\k) = -[pk.qk]. A6.51)
Как и в § 12, мы можем изучать каждый член суммы М'^
в отдельности, но здесь невозможно, в противовес § 12,
производить вычисления в системе покоя, так как световой
квант не обладает ею, будучи частицей с нулевой массой
покоя (в каждой системе отсчёта скорость d(ukjd\k\ = c):
Так что мы выберем в сумме A6.51) произвольный член
Ai[k) и с ним М\—к) учитывая, что операторы qk% pk, no A6.41),
действуют на числа световых квантов л4г) и N^)k и рас-
рассмотрим продольную составляющую момента (М'щ-\-М\—щ)>
т. е. её проекцию на направление движения светового кванта
В матричных представлениях A6.41) это перепишется так:
Здесь разделены слагаемые фотонов с импульсами -\-hk
и —hk. Оба слагаемых имеют вид A2.61) и могут быть

152 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
приведены к диагональному виду каноническим преобразо-
преобразованием типа A2.62), что соответствовало бы переходу от
линейной поляризации к круговой. По A2.63), результат
гласит: продольная компонента спина световых квантов с им-
импульсом hk имеет собственные значения
h(Nk+-Nk_),
где А^+ и Nk_ — неотрицательные целые числа, сумма кото-
которых равна общему числу световых квантов с импульсом hk
Этот результат можно истолковать наглядно в том смысле,
что спин фотона имеет величину h (фотон-корпускула со
«спином 1»), причём возможны только параллельная и анти-
иараллельная установки спина относительно направления дви-
движения. Nk+ означает число параллельных спинов, а Л^_ —•
число антипараллельных
§ 17. Взаимодействие с электронами
При наличии электрических зарядов и токов уравнения
Максвелла, как известно, пишутся так:
и-
где, как и раньше, sjic = p — плотность заряда, а 5—плот-
5—плотность тока. В классической теории sv—функции простран-
пространства и времени, подчинённые уравнению непрерывности
= 0 или g + div* = O. A7.2)
Если, в частности, заряды точечные, равные еп, и движутся
по известным траекториям x=xn(t), то плотность заряда
в соответствующей точке имеет особенность еп*Ъ(х — х ),
а плотность тока равна плотности заряда, умноженной на
поступательную скорость

§ 17] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЭЛЕКТРОНАМИ 153
уравнение непрерывности выполнено, потому что
| = - Е еп (хп it) • grad 8 {х - хп {()) = - div s.
П
Будем сначала рассматривать р и s как заданные функции
пространства — времени и обобщим на этот случай канони-
канонический формализм, применённый в § 16. Пусть
1', I'=jI>v<I>v, A7.4)
где L° — функция Лагранжа поля в вакууме A6.5). Вместо
уравнений поля A6.6), очевидно, тогда получится
ИЛИ
где 1 снова определено по A6.8);
Из A7.5), вместе с уравнением непрерывности A7.2), следует.
Отсюда, как и в случае поля в вакууме, можно заключить»
что, если 1 и dyjdi обращаются в 0 при t = 0, % вообще
исчезает, отчего A7.6) переходит в уравнения Максвелла
A7.1). Так как в определяющих канонически сопряжённое
поле ttv уравнениях A6.11) ничего не изменяется, функции
Лагранжа A7.4) отвечает гамильтонова функция H°-\-H'f
где Н° даётся A6.13):
A7.7)

154 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
и где #' = — L равно
1
Квантование поля можно снова произвести на основании
канонических перестановок A6.14I).
Мы откажемся теперь от предположения, что заряды
и токи даны, чтобы учесть влияние электромагнитного поля
на заряженные поля или частицы, которые должны быть для
этого также характеризованы функцией Лагранжа или Гамиль-
Гамильтона. Например, по A1.2) функция Лагранжа комплексного
скалярного поля Ч1 запишется так (если писать для электро-
электромагнитных потенциалов <bv вместо Фу):
Прибавляя сюда ещё 1° A6.5), получим функцию Лагранжа,
описывающую взаимодействие электромагнитного и скаляр-
скалярного полей. В самом деле, отсюда получаются уравнения
поля для 4* и V* в согласии с A1.1), а уравнения для <J>V
переходят в A7.5 или 6), если определить четырёхмерный
ток скалярного поля sv по A1.3).
Важнее, чем взаимодействие с гипотетическими скаляр-
скалярными частицами, является взаимодействие с электронами,
подчиняющимися волновому уравнению Дирака; этой специ-
специальной задачей мы и займёмся. Так как квантование волно-
волнового поля электронов с учётом принципа Паули будет
произведено только позже (гл. V), то мы должны здесь
удовлетвориться описанием электронов в конфигурационном
пространстве (волновомеханический формализм без «вторич-
«вторичного квантования»J).
!) При этом дополнительное условие ц = 0, как и в случае ваку-
вакуума, заменяется операторным уравнением A6.22); см. ниже. Реляти-
Релятивистская инвариантность квантования может быть доказана подобно
тому, как в § 7 (мезонное поле в связи со скалярной функцией
плотности rj). Мы не будем этого делать, так как вопросы инвари-
инвариантности найдут более общую трактовку в § 18.
2) В том же смысле мы рассматривали и задачу о взаимодейст-
взаимодействии протон-нейтрона с мезонными полями (§ 9 и 14); но там мы
упростили задачу, считая протон-нейтроны покоящимися и беско-
бесконечно тяжёлыми, так что их трансляционные степени свободы оста-
остались без рассмотрения.

§ 17] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЭЛЕКТРОНАМИ 155
Согласно Дираку, мы припишем л-му электрону следую-
следующий оператор Гамильтона:
й))вя./ф4(д{/1); A7.9)
$п и йп (соответственно три компоненты этого вектора) —
это известные дираковские матрицы относительно спиновой
координаты я-го электрона, рп означает вектор импульса
как дифференциальный оператор относительно вектора хп:
ря = ± gradn. A7.10)
Гамильтонову функцию всей системы (поле плюс электроны)
образуем так:
я=яо+2"ы. {17 и)
где //°= \dxH° A7.7) отвечает полю в вакууме. Назовём
часть, относящуюся к свободным электронам, Ир%
п
тогда вместо A7.11) можно записать:
Н=№-\-Нр-\-Н*, A7.13)
где Н' составляет энергию взаимодействия:
"=-2«я{(«я-Ф(*я>) + *Ы*я)>. О7-14)
п
Это выражение для взаимодействия совпадает с A7.8), ибо
если туда подставить для плотности заряда и тока электронов
[ср. A7.3), сап отвечает скорости хп)у то \dxH' переходит
в Н* A7.14). Для заряда A7.15) имеет место закон сохра-
сохранения в виде операторного уравнения
A7.16)

156 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
G.11 или 13) дают уравнение Шредингера
07.17)
Функция Шредингера F зависит, кроме переменных поля q
[ = фДх) (ср. § 16)], ещё и от электронных координат
Я\>Чъ •••» пРичем П°Д Яп подразумевают совокупность про-
пространственных и спиновых координат я-го электрона1).
Движение электронов в поле нам рассматривать не нуж-
нужно, потому что оно описывается уравнением A7.17), в соот-
соответствии с дираковской теорией электрона. Обратимся по-
поэтому снова к рассмотрению поля. Вместо уравнений для
пустоты A6.12, 15, 17) на основании A7.13) получаются
теперь следующие уравнения [с Н* = \dxH'} где Н' вида
A7.8)]:
ф4 = с2тг4 — ic div ф,
ti = — rot rot ф — ic grad it4-J-
7T4 = /(cdivTT-]-p);
ф = с2 Дф -J- cs,
tz=c2 Дтт-j- у -{- с grad p,
тг4 — с2 Дтт4.
а_ \
A7.19)
Эти уравнения отвечают слишком общим уравнениям A7.5, 6);
чтобы придти к максвелловским уравнениям, надо найти со-
соответствие классическому дополнительному условию % = О
!) Спиновые координаты, как обычно в волновой механике Ди-
Дирака, можно представлять индексами у F; тогда операторы ал, рл
действуют на я-й спиновый индекс по известным правилам умноже-
умножения матриц, тогда как относительно остальных спиновых индексов
\п' Ф п) это единичные матрицы Вопрос о калибровочной и электро-
электромагнитной инвариантности мы рассмотрим в следующем § 18.

§ 17] ЁЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЗЛЬКТРОНАМН 157
или начальным условиям: «% — 0, dydt=^O при / = 0». По
второму уравнению A7.18)
Как и в случае вакуума, мы наложим на функцию Шредин-
repa F начальные условия
v ...) = <>, \
v ...) = 0. J
Так как, по A7.19),
тг4=с2Дтт4, тг4 = с2 Дтт4, тт4 = с4 ДДтт4 и т д.,
то, подобно тому как и в § 16, отсюда следует, что все
операторы тт4(*), ^М*)» пк(х) и т- Д-, применённые к
F@,q, ...)»Дают нуль, и с помощью формул A6.23, 25,21)
(где х== — *пт4 и Н — Н°-\-Нр -\- Н') можно, как и в случае
пустоты, заключить отсюда о справедливости уравнений
A6.22, 24, 28):
^(x)-F(t,q,qv ...) = 0. ^4 (x)-F(t, q, qv ... ) = 0. A7.21)
Следовательно, дополнительные условия для F выполняются
для ?^>0, если они выполнялись при ? = 0. Но, по A7.18),
второе дополнительное условие A7.21) означает, что
,^, ...) = 0, A7.22)
или, так как tiJ=fJJlc = — ©у/с:
что отвечает классическому уравнению div(S = p. Далее,
третье уравнение A7.18) в связи с A7.21) даёт
и все остальные уравнения Максвелла справедливы без из-
изменения для вакуума. В частности, отсюда следует, что

158 КВАНТОВАЯ, ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
средние значения (?(#, t), $(xt t), 7(x, t)f р (xt t) удовлетво-
удовлетворяют уравнениям Максвелла
Тем самым квантовомеханически перетолковываются классиче-
классические уравнения поля; роль' классических полей здесь играют
средние значения величин поля. Соответственно, для тензора
энергии-импульса A6.31) получатся, путём известного из
классической теории вычисления, законы сохранения в виде
1
Благодаря дополнительным условиям можно снова упростить
оператор Гамильтона в уравнении Шредингера. Прежде всего
в Н° A7.7) отпадают члены, содержащие тт4. Далее, член
путём прибавления дивергенции — ic div (ттф4) может быть
превращен в —гсф4 divтт, а это в применении к F, по A7.22),
эквивалентно /рф4; этот член как раз компенсирует —/рф4
в //' A7.8). Результат тот, что в уравнении Шредингера
надо заменить Н°-\-Н' на H0-\-Hv где
//0 = 1{^|тгр4-|го1фр} A7.23)
[ср. A6.30)] — плотность электромагнитной энергии, а
#i = -7M), \dxHx = -^en{an^(xn)). A7.24)
Новое уравнение Шредингера мы запишем так:
^^ •••) = 0. A7.25)
Для дальнейших вычислений целесообразно перейти к про-
пространству импульсов. Для этого мы снова применим ряды

§ 17] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЭЛЕКТРОНАМИ 159
Фурье A6.32), коэффициенты которых qH% *, рч% k подчинены
условиям эрмитовости A6.33, 34) и каноническим правилам
перестановки A6.35). Тогда дополнительное условие
tza(x)*F=0, согласно A6.36), значит, что функция Шредин-
гера не зависит от q\% д*.
/ft* •••) = 0. A7.26)
Во второе дополнительное условие A7.22) мы подставим,
согласно A6.32),
diviT = — iV~xl^
и предположим плотность заряда р разложенной в простран-
пространственный ряд Фурье:
2рЛ A7.27)
Здесь, благодаря действительной природе р:
P_* = PV A7.28)
Чтобы A7.22) выполнялось для всех лг-ов, должно быть
причём для всех k. Если опять рассматривать F как функ-
функцию продольных и поперечных составляющих qk [g^\ а также
<%\ <jf; ср. A6.37)], то
, A7.29)
и мы получим дифференциальные уравнения
Они интегрируются выражением
** */ , ...), A7.30)

160 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
где F1* не зависит от qM:
Здесь ещё надо заметить, что в A7.29) q
компоненты qk и pk в направлении k\
^1) = (^-е<1)), Ру = (Рк-ф), где
так что
и условие эрмитовости A6.33) требует:
Отсюда и из A7.28) видно, что сумма
[ГЛ. IV
A7.31)
означают
|4|.
A7.32)
A7.33)
в пока"
зателе A7.30) чисто мнимая.
Подставим теперь выражение A7.30) в уравнение Шре-
дингера A7.25). Для энергии поля \dxH0 получится, как и
в пустоте [ср. A6.39)]:
A7.34)
=\Л S
к г=2, 3
Применим сначала оператор Я1опг к F, учитывая A7.30, 31):
* c, .. .), A7.35)
!) Координатные системы с^ не обязательно должны быть пра-
вовинтовыми; можно, поэтому, направить поперечные оси e*J?
и г^}к параллельно: с^=+^2\ в^=4-^« Для дискуссии по-
поперечного поля это предпочтительно, так как тогда можно восполь-
воспользоваться формулами A6.41 и т. д.;.

§ 17] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЭЛЕКТРОНАМИ 161
где
Мы утверждаем: Ис — не что иное, как кулоновская энергия
распределения зарядов р(лг) A7.27), ибо эта энергия, как
1 Г
известно, равна -g- \ dx р (л:) Ф (л:), где Ф — кулоновский по-
потенциал зарядов р, определяемый дифференциальным урав-
уравнением Пуассона ДФ = — р:
ф (х) = y-V-2 Jk- er*** A7.37)
(ср. 17.27). Но тогда
1 [^Р^)ФМ=4-Хр^Ш2-^С> A7.38)
(V) *
что и утверждалось. В частности это верно, когда плотность
заряда вырождается в сингулярную функцию A7.15); тогда
(в пределе V=oo)
Ф (х) — — V €п *)
а Я0 равна электростатической энергии точечных зарядов:
Надо отметить, что здесь вместе с энергиями кулоновского
взаимодействия (пфп') встречаются и электрические соб-
собственные энергии частиц (п = пг), которые в пределе точечных
зарядов бесконечны. Если приписать электрону конечные
размеры, как в классической теории Лорентца, то хотя соб-
собственные энергии и остаются конечными, но зато в кванто-
квантовой теории это означает отказ от релятивистской инвариант-
инвариантности, чего мы подробнее касались в § 7 при обсуждении
аналогичной проблемы для мезонного поля. Другая возмож-
1) Множитель 1/4я отвечает выбору для заряда хевисайдовой
системы единиц.
11 Вентцель

162 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
ность исключить или сделать конечной электрическую собст-
собственную энергию будет обсуждена в § 19.
После подстановки A7.34, 35) уравнение Шредингера
A7.25) выглядит так.
или, пользуясь A7.12, 24):
>9' •••) = 0. A7.40)
Теперь нужно перенести налево от оператора Гамильтона
A7.40) входящий в F A7.30) экспоненциальный множитель
S = *Hk |л| , A7.41)
чтобы уравнение Шредингера относилось только к Р-Т. Оче-
Очевидно, операторы d/dt> Ни A7.34) и Нс коммутируют с S
A7.39), но не дифференциальные операторы рп A7.30), так
как S зависит через pk от координат электронов хп. А именно,
по A7.27 и 15),
9k =V-1k J dx p (x)e***=V-*l* S eneikx«. A7.42)
Если это подставить в
Ол. s] = т grad«5 = Ti S iTi W(grad" p*> • s>
то получится
e-s- A7-43)
Входящая сюда сумма по k имеет простое значение: если
разложить векторный потенциал
& k г

§ 17] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЭЛЕКТРОНАМИ
на продольные и поперечные волны
163
> A7.44)
что в A7.43) входит ф|0П2, взятый в точке лгл:
[ря9 S] = ^№(xn).S.
Отсюда следует:
} {-Ьф^(*||)}> A7.45)
т. е. перенос 5 налево превращает ф в ф1г, а ф1оп2 исклю-
исключается. Так что, если подставить в уравнение Шредингера
A7.40) F= S-F1*, согласно A7.30, 41), и вынести 5 налево,
то во всех членах ф превращается в ф1г. После умножения
на S [по A7.28, 33) имеем 55* = 5*5=1, а также
5~1 = 5*J окончательно получится:
to(t,q,qvqv...) = O. A7.46)
Здесь Нр — снова гамильтонов оператор свободных частиц
A7.12), a Hw—оператор взаимодействия вида
A7.47)
Надо учесть, что продольные величины д<?), рМ не входят
ни в //tr, ни в Hw, так что A7.46) совместимо с A7.31).
С помощью дополнительных условий A7.21, 22) мы свели
задачу о взаимодействии между электромагнитным полем и
электронами к задаче A7.46), в которую, кроме электронных
II*

164 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
координат, входят только координаты поперечных световых
волн д&\ q^. Оператор Гамильтона этой приведённой за-
задачи включает: энергию световых волн (Ни), кинетическую
и кулоновскую энергии электронов (Нр -\-Нс) и член Hw,
связывающий электроны со световыми волнами. Легко видеть,
что, если вместо дираковских электронов взяты заряженные
частицы с другими свойствами, существенные черты этого ре-
результата сохраняют свою силу. Если, например, описывать
частицы нерелятивистским уравнением Шредингера, то вместо
A7.9) будет:
а исключение q4 k и q&) снова приведёт к уравнению типа
A7.46), где Hw>получается из Н' путём замены с]>4 на 0 и
ф на itr:
{Г К)
То же имеет место, если заряженные частицы представлены
квантованными волнами, например, для скалярного комплекс-
комплексного мезонного поля (см. выше).
Приведённое уравнение Шредингера A7.46) в основном
то же, что и установленное в 1827 г. Дираком1) в его из-
известной теории излучения. Дирак разлагал электромагнитные
взаимодействия на статические (кулоновские) потенциалы,
включённые им в гамильтоновы функции рассматриваемых
атомных систем и на взаимодействия между атомами и попе-
поперечными волнами, которые квантуются. С точки зрения теории
Максвелла, рассматривающей статическое поле и поперечные
волны как единое целое, их расщепление было, конечно, не-
неудовлетворительно; только сведение теории Дирака к общей
квантовой электродинамике, в чём мы обязаны Гейзенбергу,
Паули и Ферми2), сделало возможным возврат к единому по-
понятию поля и установило связь с классической электродина-
электродинамикой макрофизики. Кроме того, формализм, инвариантный
1) Ргос. Roy. Soc. 114, 243 и 710, 1927.
а) См. сноски на стр. 138.

§ 17] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЭЛЕКТРОНАМИ 165
при преобразованиях Лорентца, при которых статическая и
волновая части поля преобразуются друг через друга, можно
понять только на основе общей квантэвой электродинамики
(ср. § 18).
В применениях теории к специальным задачам, конечно,
удобнее пользоваться приведённой формулировкой A7.46),
т. е. дираковской теорией излучения. Мы не намереваемся
входить во многие важные результаты теории1), но удо-
удовлетворимся краткой характеристикой возможностей непосред-
непосредственного применения теории и дадим простой вычислитель-
вычислительный пример.
Будем рассматривать член взаимосвязи Hw в A7.46) как
малое возмущение. Переменные поля и частиц невозмущён-
невозмущённой задачи (Hw—>О) разделены. Собственные значения Htr та-
такие же, как и в пустоте [ср. A6.45)]:
"лг=2 kc\k\.(Np + N$) +1).
С другой стороны, оператор Гамильтона (Нр -(- Нс) «мате-
«материальной системы* — подразумевается атом или молекула
со стационарными состояниями Ж = 1, 2, ... — имеет соб-
собственные значения Ем, так что невозмущённая собственная
функция имеет вид
F{t, N, M) = F@, N, М).е~
Член взаимодействия Hw тогда известным образом описы-
описывает переходы между этими состояниями невозмущённой си-
системы и притом одновременные переходы как поля, так и
материальной системы. Вероятность переходов определяется
соответствующим матричным элементом Hw. Представленный*
в виде матрицы относительно чисел световых квантов &\ &>
i) Общие обзоры этой теории можно найти у Ферми (Fer-
(Fermi), Rev. of Modern Physics 4, 87, 1932; Брейт (Breit), там же
4, 504, 1932 и 5, 91, 1933; Вентцель (Wentzel), Handbuch der
Physik Geiger-Scheel, 24, часть 1-я, 740, 1933; Гайтлер, Квантовая
теория излучения; Oxford, 1936 (есть русский перевод Крамер
(Kramer s), Hand- und Jahrbuch der Chemischen Physik Eucken-
Wolf, т. I, раздел И, гл. 8, 1938.

166 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
член Hw A7.47) по A7.44) и A7.41), имеет вид
Г=2, 3
+ «ITDS en («„• e*r)) «'**•• A7.49)
п
Матричные элементы, определяющие переходы, поэтому та-
таковы:
r=r2, 3
S
Так как операторы а<?\ aW* уменьшают или увеличивают
число световых квантов N^ на 1, то возмущающая функ-
функция Hw описывает процессы поглощения и испускания
света, что связано с одновременным изменением состояния
материальной системы. Расчёт вероятностей по теории воз-
возмущений в первом приближении даёт простые процессы по-
поглощения и испускания, а во втором приближении двухстепен-
двухстепенные процессы, такие, как рассеяние света, и т. п.
Для примера рассмотрим рассеяние света на свободном
электроне, ограничиваясь нерелятивистским граничным слу-
случаем, скоростью электрона будет пренебрегаться, по сравне-
сравнению со скоростью света, причём не только в начальном
состоянии, но и в конечном и в промежуточных. Это до-
дозволено только тогда, когда комптоновская отдача достаточно
мала: импульс h\k\ кванта должен быть <<;тс. Возмущаю-
Возмущающую матрицу второго приближения мы пишем в виде
:• F »
z
где индексы а, г, е [как в G.10)] относятся соответственно
к начальному, промежуточному и конечному состояниям,
а ЕаУ Ег—соответствующие невозмущённые собственные
значения энергии. Благодаря множителю а в A7.49) в нере-
нерелятивистском граничном случае надо принимать во внимание
только те элементы матрицы Hw, которые отвечают пере-

§ 17] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЭЛЕКТРОНАМИ 167
ходам из положительного спектра энергии в отрицательный
спектр!); все остальные матричные элементы, как легко
убедиться, исчезающе малы и пренебрегаются. Так что, если
электрон в начальном и конечном состояниях обладает по-
положительной энергией (^= тс2), то его энергия в проме-
промежуточном состоянии отрицательна и притом: s?—тс2. Но
так как, по предположению, энергии световых квантов
hc\k\<^mc2y знаменатель Еа — Ez в H"gQ для всех реализуе-
реализуемых промежуточных состояний приблизительно равен -\-2mc2.
Так что в нашем приближении
И" — _L V hwhw
еа— 2тс*2 ег га'
т. е. матрица И" равна квадрату матрицы Hw, делённому
на 2тс2. Поэтому, вместо того, чтобы вычислять во втором
приближении теории возмущений матрицу Hw, достаточно
рассмотреть в первом приближении возмущающую функцию
п — 2тс*[П > '
В случае одного электрона оператор Hw, по A7.47), таков
для квадрата его благодаря известному соотношению
а<у)а</'> -j- aU')aV) — 2bjj> получают: {Hwf = е (c}>tr (хг))\ так
что
Здесь н^ж> заметить, что нерелятивистская возмущающая
функция П 7.48) ведёт к тому же результату; в самом деле,
квадратичный в ф член в A7.48), дающий рассеяние уже в
первом приближении («истинное рассеяние» Дирака—«true
scattering»), совпадает с Н", тогда как добавка второго
приближения, составленная из линейных в ф членов, по по-
г) Если электронные волны квантованы по принципу Паули
(^дырочная теория»), толкование промежуточных состояний несколько
иное; ср. § 21.

168 * КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
рядку величины оказывается малой; с помощью A7.44) и
A6.41) будет:
Матричный элемент перехода светового кванта из состояния
k, r в состояние k\ f равен
Если вычислить отсюда интенсивность и поляризацию рас-
рассеянного излучения, то получится полное совпадение с клас-
классической (томсоновской) теорией рассеяния света.
§ 18. Теория со многими временами
Применявшееся до сих пор основное уравнение кванто-
квантовой электродинамики, именно уравнение Шредингера A7.17),
содержит пространственные и временные координаты несим-
несимметрично: в то время как для каждого электрона мы ввели
свой особый радиус-вектор хп, и к тому же ещё имеется
радиус-вектор начала координат х, фигурирует только одна
временная координата t. Чтобы сделать очевидной реляти-
релятивистскую инвариантность теории, надо найти общую форму-
формулировку, в которой каждой частице приписывается своё вре-
время tn, — так что пространственно-временные координаты ка-
каждой отдельной частицы (хп, tn) образуют мировой четырёх-
четырёхмерный вектор; кроме того, задаются текущие координаты
(л:, t), которые тоже образуют мировой вектор и называются
«точкой поля» и «временем поля». Дирак, Фок и Подоль-
Подольский1) нашли такую инвариантную формулировку квантовой
электродинамики, из которой вытекает теория с одним вре-
временем, как мы её представили в § 17, если заставить все
времена tn совпасть с временем поля t.
Мы применим определённые в A6.18), зависящие от вре-
времени операторы ф? (*,/), причём изменим обозначение; опе-
1) Phys. Zs. d. Sowjetunion 2, 468, 1932.

§ 18] ТЕОРИЯ СО МНОГИМИ ВРЕМЕНАМИ 16<>
ратор Гамильтона поля в вакууме, который в § 16 писался
через Н [ср. A6.13)], будет теперь, в смысле A7.7), писаться
через Я0:
Л Но -!LHo
Л • A8.1)
Характерные особенности этих операторов следующие: во-
первых, они подчиняются как функции пространства — вре-
времени уравнениям для пустоты, т. е. однородным уравне-
уравнениям 1)
? <Ы*.')=0; A8.2)
далее имеют место инвариантные правила перестановок A6.19):
[ФЛ*. '). ФИ*', О] = jc4^D(x — x\ t-t'). A8.3)
С помощью этого оператора потенциала мы определим,
операторы Гамильтона каждого отдельного электрона
(ф без индекса снова означает трёхмерный вектор ф1? ф2, ф8).
Пусть Ф — функция Шредингера, которая, кроме пере-
переменных поля q и электронов qn (= радиусам-векторам хп и
спиновым координатам; ср. § 17), зависит также от времён
отдельных частиц
v ...), A8.5)
но не зависит от времени поля / и от точки поля х:
5 0. A8.6)
!) Надо обратить внимание на различие с операторами D,4), для
которых при Е = Н, по A7.19), имеют место неоднородные волно-
волновые уравнения A7.5). Если Е = Н0, то благодаря A6.6) будет
просто:
как было замечено уже в § 16.

170 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
Чтобы определить зависимость от времён различных частиц,
нам нужно соответствующее число уравнений, так что имеет
место:
для всех значений п. Эти совместные дифференциальные
уравнения во всяком случае не интегрируемы без ограниче-
ограничений !): если образовать, по A7.7), вторые производные по
времени для пары неравных значений пфп'
Ф~ dt> \ h "«*) ~~~ h « dt' \h
din» dtn Ф~ dtn> \ h "«*) ~~~ h « dtn' \h
то результат не должен зависеть от порядка дифференци-
дифференцирования, и тем самым оба уравнения A8.7) будут совместимы;
это означает, что операторы Нп и Нп, должны коммутиро-
коммутировать:
[Нп,Нп,]=0. A8.8)
Но так как операторы A8.4) содержат потенциалы фу с пере-
перестановочными соотношениями A8.3), то получится
[Я„, Нп1] = jс*епеп, {(ап-ап,) — \}D(xn — xn,, tn — /„,),
так что интегрируемость имеет место только тогда, когда
исчезает D(xn — хп,, tn — tnr). По D.32) это выполняется
тогда, когда интервал между частицами п и п' «пространст-
«пространственного рода»:
\<n-xn,\. A8.9)
Поскольку мы ограничим этими неравенствами времена частиц
для всех пар пфп\ дифференциальные уравнения A8.7)
могут применяться для определения Ф. Надо заметить, что
область теории с одним временем (все tn = t) лежит в пре-
пределах, даваемых A8.9). При дФ/д/ = 0 уравнения A8.7),
конечно, совместимы с A8.6), так как операторы Нп не за-
зависят от времени поля t.
Так как дифференциальные уравнения A8.7) имеют форму
дираковского волнового уравнения [ср. A8.4)], то вытекаю-
1) Блох (В loch), Phys. Zs. d. Sowjetunion 5, 301, 1934.

§ 18] ТЕОРИЯ СО МНОГИМИ БРЕМЕНАМИ 171
щие из них выводы релятивистски инвариантны: при пере-
переходе к другой системе отсчёта уравнения Дирака сохраняют
свою форму, в случае, если Ф множится на оператор П5Л,
п
где Sn—матрица относительно спиновых координат п-го
электрона, вид которой известен из одноэлектронной задачи.
Пределы применимости уравнений Дирака тоже инвариантно
налагаются неравенствами A8.9): каждая мировая точка
электрона (хп, tn) должна лежать вне световых конусов всех
других электронов.
Мы утверждаем, что функция Шредингера F теории
с одним временем (§ 17) получится из функции со многими
временами Ф, если помножить последнюю на оператор
е " и приравнять времена всех частиц времени поля:
-'-'- w
F(t,q,quq2, ...) = « » -Ф(д; t, 9l; t, qt; . . .)• A8.10)
Производная по времени этой функции равна
^H0
т. е., по A8.7),
Мы перенесём множитель е h направо относительно опе-
оператора (н°-\-^нЛ и заметим, что он коммутирует со
всеми членами последнего, кроме входящих в (Hn)tn~t опе-
операторов потенциала <|^(лгЛ,/), для которых, по A8.1), будет:
так что теперь вместо зависящих от времени операторов
войдут независящие ^(хп). Итак, в A8.11) справа появится
оператор, обозначенный в A7.9,11) как #(„),

172 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
и, наконец, из A8.10) получится
("° + ?") FHF A8.12)
Но это в точности уравнение Шредингера A7.17), что и
требовалось доказать. Этим показано, что совместные диф-
дифференциальные уравнения A8.7) представляют релятивистски
инвариантное обобщение уравнения Шредингера A7.17).
Чтобы получить уравнения Максвелла, в теории с одним
временем мы подчинили функцию F в § 17 дополнитель-
дополнительному условию
*i(x)-F{t>q, ...) = 0 A8.13)
[ср. A7.21)]; второе дополнительное условие A7.21)
— следствие первого [ср. A6.28), где #= #° +2 "(«)]•
п
Если мы выразим F через Ф по A8.10), то A8.13) после
умножения на еп даст
И но -*1Но
е» щ(х)е h .ф/=,1=/8=...=0. A8.14)
По A7.18)
- /пт4 (х) = div ф (х) +1 L [//, ф4 {х)]
или, так как И—^°( = 2"(л)) коммутирует с ф4(*):
Подставляя это в уравнение A8.14), видим, на основании
A8.1), что оно равнозначно с
A8.15)
В пространстве с координатами /, tv t21 ... «прямая»
t = t1 = t2=... представляет область применения теории
с одним временем, т. е. дифференциальные уравнения A8.7)
с одним временем для функции F эквивалентны A8.10) от-

§ 18] ТЕОРИЯ СО МНОГИМИ ВРЕМЕНАМИ 173
носительно изменений Ф вдоль этой прямой. Так как,
согласно § 17, уравнение Шредингера совместимо вдоль
прямой одного времени с дополнительным условием A8.13),
то совместимы и уравнения A8.6, 7) с A8.15). Надо теперь
обобщить уравнение A8.15) на теорию со многими време-
временами для функции Ф. Мы положим
Й.ф = 0, A8.16)
где й— оператор, переходящий при tn=t в 2 ^К (x>
Если выйти из какой-либо точки прямой одного времени по
произвольной кривой в область теории со многими време-
временами, то изменение Ф даётся уравнениями A8.6, 7); й дол-
должен быть построен так, чтобы Й-Ф вдоль пути автомати-
автоматически оставался равным нулю. Так как можно достичь любой
«точки» /, tv tv ..., достигая заданного значения t и дви-
двигаясь дальше в «гиперплоскости» t = const., то достаточно
рассмотреть элементы пути с dt=O, т. е. надо потребовать:
— (йф) = 0 для всех л.
Но, по A8.7),
Пусть Q выбрано так, что
§-п-\-^[Н„,Щ = 0 (лт всех п), A8.18)
причём как тождество не только в применении к Ф. Тогда,
по A8.17),
т. е. если функция ЙФ исчезает в одной точке, то она оста-
останется равной нулю на всех исходящих из неё элементах пути в
гиперплоскости t= const. Уравнение A8.8) гарантирует выпол-
выполнение условия A8.16)во всей той области, в которой интегрируе-
интегрируемы дифференциальные уравнения A8.7), в предположении, что й

174 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ.
IV
на прямой одного времени совпадает с V d]>v (х, f)jdx^ и что
v
уравнение Шредингера A8.10) отвечает дополнительным
условиям A7.21) или начальным условиям A7.20).
Вместо A8.18) можно написать также
= 0, A8.19)
причём, по A8.4),
H ^2L + c (а„. {grad,,-
* еп
Если мы допустим, что Q не зависит от спиновых коорди-
координат электронов, т. е. коммутирует с матрицами ал, [5Л, то
A8.19) выполнено при условии, что Q перестановочно
с операторами
о I еа
ot' h с
п
т. е. если:
dQ е„ i .
(PL = 1, ..., 4, xn4t = ictn). A8.20)
Этим требованиям удовлетворяет выражение
г — хп% t — tn)t A8.21)
потому что, согласно правилам перестановки A8.3),
и-
д

§ 18] ТЕОРИЯ СО МНОГИМИ ВРЕМЕНАМИ 175
так что A8.20) выполнится тождественно. Так как
D(x — хп, 0), по D.31), равно нулю, то
как и требовалось. Искомое обобщение дополнительного
условия A8.13) на многие времена даётся A8.16) в связи
с A8.21). Относительно преобразований Лорентца оператор
A8.21), очевидно, инвариантен.
Если мы будем рассматривать уравнения A8.2 до 7, 16-
и 21) как основные уравнения квантовой электродинамики —
действительно, все другие следствия могут быть из них
выведены, — то релятивистский характер теории очевиден.
В частности, рассматривая в произвольной системе изменения
шредингеровской функции Ф вдоль «прямой» t = tt — t2=.. .f
мы вернёмся к теории с одним временем § 17.
Формализм допускает и калибровочные преобразования
где А— перестановочная с <J>V функция пространства и вре-
времени, удовлетворяющая волновому уравнению ?А = 0, так
что уравнения A8.2, 3) сохраняют силу. Преобразуя функ-
функцию Шредингера по формуле
мы увидим, что уравнения Дирака A8.7, 4) так же калибро-
вочно инвариантны, как и в дираковской волновой механике
электрона в заданном поле; дополнительное условие A8.16,
21) тоже инвариантно (вследствие ? А = 0).
Тогда как функция Шредингера с одним временем F
имеет простой смысл, известный из обычной волновой меха-
механики— она определяет вероятности значений измерения,
получаемых при измерении физических величин, — функция
со многими временами Ф в построенном нами формализме
играет пока что вспомогательную роль. Однако Блох1) по-
показал, что и Ф может быть интерпретировано как ампли-
В 1 о с л, Phys. Zs. d. Sowjetunion 5, 301, 1934.

176 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
туда вероятности для известных измерений, именно для
таких измерений или серий измерений, которые производятся
в момент / над электромагнитным полем и во времена
tv /2, ... над частицами я=1, 2, ... Неравенства A8.19),
гарантирующие интегрируемость уравнений A8.7), означают,
что не влияют друг на друга произведённые над различными
частицами измерения, обратные действия которых на поле
распространяются со скоростью света. Истолкование Блоха
связано с предположением, что измерение поля производится
только в таких областях пространства и времени (л:, /), на
которые не оказывают влияния измерения над частицами,
действующие на поле. При этих ограничениях Ф*Ф dq dq1 dq2. ..
означает вероятность того, что в момент времени t коорди-
координаты поля q лежат в области dq, в момент tv координаты qx
частицы п = 1 лежат в области dqx и т. д.
Рассмотрим какие-нибудь относящиеся к системе вели-
величины X X /„ 4 п п п Ч.
их средние значения можно определить так:
J dq J dq, $</?,.. .|Ф*/Ф=/(*, t, tv tv ...).
При этом вследствие A8.7)
§-a={WH\> 08.22)
то время как, по A8.6),
§ % iFI A8.23)
С помощью A8.10) легко видеть, что при t = t1 = t2= ...
/ переходит в средние значения теории с одним временем,
независимо от того, относится ли / к частице (например рп)
или к полю [например rot ф (jt, i)\. Для изменений во вре-
времени средних значений с одним временем из A8.22) полу-
получается:

§ 18] ТЕОРИЯ СО МНОГИМИ ВРЕМЕНАМИ 177
Применим эти формулы, например, к напряжениям поля
'i"— дх„. дх,
тогда, по A8.2 и 21),
~ — ~ш2* dx,L =*
и, так как по A8.16) 2 = 0, то
В частности, для v = 4 это уравнение значит, что
^Я(*-*Я1<-/Л); A8.26)
если здесь все tn—+ty то, по D.33), выйдет:
div (!),я=, = S ^я (§(х-хл))/п=,
в согласии с теорией с одним временем. С другой стороны,
A8.25) даёт для v=l, 2, 3:
|| ^(^-^, t-1n) . A8.27)
п
Правая сторона исчезает при tn = t. Чтобы получить соот-
соответствующее уравнение теории Максвелла с одним време-
временем, надо, по A8.24), ещё прибавить член
п
его значение легко найти, на основании A8.3, 4), путём
короткого вычисления:
(««•*(*-*«>)'«=' = -7
12 Вентцель

178 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
т. е.
чем подтверждается и это уравнение Максвелла. Из тождеств
l^ 0 A8.28)
следуют и другие уравнения Максвелла, если учесть, что
[Нп9 §] равно нулю при tn = i.
Полученные уравнения можно применить и для того,
чтобы проследить за полями, 6, § и в стороне от прямой
общего времени. Мы сделаем это для поля одного элек-
электрона, но для простоты только в статическом граничном слу-
случае, т. е. мы примем электрон бесконечно тяжёлым и по-
покоящимся, так что в Шг A8.4) надо заменить матрицы а
нулём, a [J — единицей:
Нх = const. — *. хф4 (jclf tx). A8.29)
В этом пределе можно считать фиксированным и положение
точки хх\ например х1 = 0; тогда Ф*Ф содержит множитель
8 (хгI и определение среднего относительно хг состоит в под-
подстановке 0 вместо xv например:
На прямой общего времени действуют уравнения Максвелла,
так что в нашем случае законы электростатики имеют вид:
ф=0, Ш = — -grad^ при tt = t. A8.30)
Но так как «§ = rot ф (лг, /) коммутирует с Нг A8.29), то,
по A8.22), d^ldt{ = 0; следовательно, Зр исчезает не только
при t1 = t, но и вообще:
ф = 0. A8.31)
По A8.28) тогда и rot(? = 0, так что GF представляется
градиентом скалярной функции
@ = _* gradC/. A8.32)

§ 18] ТЕОРИЯ СО МНОГИМИ ВРЕМЕНАМИ 179
Здесь потенциальная функция U может зависеть ещё от х
и (t — tx)\ по A8.30)
tf=—l_-(-t-const.) при tx = t. A8.33)
Подставляя выражение A8.32) в уравнения A8.26, 27),
будем иметь:
A8-34)
Эти два уравнения совместны, так как D-функция Иордана
и Паули подчиняется однородному волновому уравнению
? D = 0. Пользуясь интегральным представлением A6.20)
?)-функции, непосредственно видим, что оба дифференциаль-
дифференциальных уравнения интегрируются:
3.35)
Чтобы вычислить этот интеграл, мы введём полярные коор-
координаты в /^-пространстве: пусть & — угол между вектором k
и постоянным вектором х и cos&=?; \k\ назовём я, так
что элемент объёма dk — 2ттх2 dx d?:
О —1
12*

180 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
Сюда входит известный интеграл
Г* Г +т при а>0,
/(а)= ?sinxa=={
о [ — ^ при а<0;
отсюда будет:
и1П*\са
*1+*(*_*,))]. A8.36)
Если четырёхмерный вектор х— 0, t — tx пространственного
рода (|^|^>^U — ^i D» то аргументы обеих /-функций поло-
положительны, следовательно,
При tx = t это совпадает с A8.33). Но, помимо этого,
A8.37) учит, что U повсюду вне светового конуса
(л: — x1\ = c\t — tx\ не зависит от / — tx и равно кулонов-
скому потенциалу 1/4тг|*— хх\. Но если рассмотреть точки
(л:, *), для которых по отношению к мировой точке @, tx)
имеет место |лг|<[с|/— tx\ (т. е. или t — ^Хл^/сили
t — tx<^—[хЦс), то аргументы /-функций в A8.36) и с ними
значения функций имеют обратные знаки, так что A8.36)
G=0 при \x\<c\t — txl A8.38)
и поле @, § тождественно обращается в нуль в световом
конусе | л: — хх\ — с \ t — tx\. Подводя итог статического
граничного случая, будем иметь по A8.31, 32, 37, 38):
при |*|<ф — t
Попутно мы «спользуем формулы A8.37, 38), чтобы рассмо-
рассмотреть D-функцию Иордана и Паули в её пространственно-
временной зависимости. По A8.34) (при ^ = 0)

§ 18] ТЕОРИЯ СО МНОГИМИ ВРЕМЕНАМИ 181
где
\ О при |
Так как U не зависит от t и внутри и вне светового ко-
конуса, там исчезает и D:
D(x,t) = 0 при |л;|=^ф|. A8.41)
На самом световом конусе U терпит разрыв, причём так,
что [dtdU\dt (проинтегрированный через точку разрыва) =
= гЬ 1/4тт|л;|, т. е. конечен; D-функция поэтому имеет на
световом конусе «5-образную» особенность. Если ввести
«одномерную 8-функцию» по формулам
it(t) = 0 при гфО%
то D-функцию можно записать так:
ибо это, во-первых, совпадает с A8.41) при
а, во-вторых, отсюда получается, сообразно A8.40):
?
если теперь пересечь при заданном расстоянии |д:| положи-
положительный или отрицательный (в смысле возрастания времени t)
световой конус (t = + \x\jc) в направлении возрастающего
времени t (сравни стрелки на приложенном рисунке), то
{dtdUjdt = -±:\l4n\x\, в согласии с данными A8.40) о раз-
разрывностях U. Надо ещё помнить, что представление A8.40)
относится только к D-функции Иордана и Паули, а не
к инвариантной функции D.25) с (Х^О; по D.32), послед-

182
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
[ГЛ. IV
няя хотя и исчезает вне светового конуса, но не внутри
него.
Что касается поля электрона ©, $ в общем нестатиче-
нестатическом случае, то мы дадим обобщение формул A8.39) без
U-0
доказательства'). Пусть в теории с одним временем уравне-
уравнения Максвелла интегрируются известными запаздывающими
потенциалами:
A8.43)
ЧВентцель (W e n t z e 1), Zs. f. Phys. 86, 479, 1933.

ТЕОРИЯ СО МНОГИМИ ВРЕМЕНАМИ
183
?/=?/««== A dx'
|дг — х1
A8.44)
Тогда оказывается, что эти формулы для поля справедливы
и при t=jt=txl), если мировая точка электрона (xv tx) с до-
достоверностью расположена от точки поля (л:, t) на расстоя-
расстоянии \хх—x\^>c\tx—1\ (Ф^=0 только в таких областях х1%
для которых \хх— x\^>c\tx—1\ при заданном a:, t и tx).
Если заставить / возрастать при прочих равных условиях,
пока точка поля (а:, /) с достоверностью попадёт в положи-
положительный световой конус электрона, то поле (§, ,<р с досто-
достоверностью обратится в нуль, как и в статическом случае,
т. е. в A8.43) будет:
?/ = 0, 31 = 0 при l — tt>]x~~*l]. A8.45)
Но поле не исчезает, если t стремится к — оо; более того,
имеет место A8.43) с
A8.46)
при t-tx<-
т. e. U и 31 получаются как разности определённых из
A8.44) запаздывающих и «опережающих» потенциалов:
\Х — X
р*'.'+!
«"=¦¦
t 4- \х — х'
A8.47)
В статическом граничном случае различие между запазды-
запаздывающими и опережающими потенциалами, конечно, исчезает,
так что мы возвращаемся к A8.39).
1) В теории со многими временами "р" и 5 — функции х и^, но не
зависят от t [ср. A8.23) и A7.15)]; для tx надо подставить в подин-
тегральную функцию A8.44) запаздывающее время t — \х—х1 [jc.

184 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
§ 19. К вопросу о собственной энергии
Теория со многими временами имеет перед одновременной не
только то преимущество, что в ней непосредственно видна лорент-
цовская инвариантность, но также заслуживает особого интереса
и в связи с трудностями собственной энергии. Хотя полностью
устранить эти трудности без радикальной перестройки теории
(ср. § 23) яряд ли возможно, но и частичные решения задачи ввиду
их принципиального значения заслуживают внимания, а для этого
многовременный формализм предоставляет новые возможности.
Для пояснения напомним аналогичные проблемы классической
(лорентцовской) теории электрона: в пределе точечного электрона
энергия поля и электромагнитная масса электрона становятся беско-
бесконечными, точно так же как и сила, с которой на электрон действует
его собственное поле. Но сила определяется из выражения Лорентца
путём предельного перехода напряжений собственного поля к той
точке, где находится электрон. Эти предельные значения в теории
со многими временами многозначны. Здесь надо заметить, что пре-
предельный переход к классической теории (h—> ()) очень легко про-
производится и в теории с одним и со многими временами; в частности,
остаются справедливыми формулы A8.43 до 47) для собственного
поля электрона, причём функции плотности р, J в потенциалах
A8.44 до 47) переходят в классические функции A7.3), так что за-
запаздывающие потенциалы A8.44) становятся идентичными с извест-
известными льенард-вихертовскими потенциалами движущегося заряда и то
же справедливо для опережающих потенциалов A8.47). Чтобы
найти предельное значение напряжений поля A8.43) в мировой
точке (хь tt) электрона, надо устремить к ней точку поля (х> t).
В теории с одним временем при этом заранее подставляется
t = tx\ при этом, как известно, не получается конечной собствен-
собственной силы точечного электрона. То же самое будет, если прибли-
приближаться к электрону из любого пространственно-подобного направ-
направления (р Ц < 1), ибо вне светового конуса, как упоминалось
\\ х — Xi I /
выше, всюду действуют запаздывающие поля A8.44). Но имеется
возможность подойти из времени-подобного направления
(•р ~>1); в положительном конусе (?>*i), по A8.45), соб-
ственные поля, а значит, и их предельные значения, исчезают;
в отрицательном световом конусе (t < t{) поля, хотя и не равны
нулю, но имеют конечные предельные значения, так как особен-
особенности запаздывающих и опережающих потенциалов сокращаются
в разности A8.46). Это делает возможным построение классической
теории взаимодействия поля с точечными зарядами, в которой соб-
собственные силы конечны*). Чтобы обеспечить сохранение энергии,
1) В е н т ц е л ь (W e n t г el), Zs. f. Phys. 86,489, 1933 и 87, 726,
1934. Другая формулировка классической теории, дающая то же самое,
принадлежит Дираку (Dirac), Proc. Roy. Soc. 167, 148, 1938.

§ 19] К ВОПРОСУ О СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ 185
надо определить значение напряжения поля в точке, где находится
заряд, арифметическим средним предельных значений при подходе
к этой точке из положительного и отрицательного светового конуса;
собственная сила тогда сводится к лорентцовскому «трению»
(?2/6я??/^1 в системе покоя частицы), т. е. в отличие от лорентцо-
вой теории протяжённого электрона не существует электромаг-
электромагнитной инерции; собственная энергия при надлежащем определении
тоже конечна.
Указанный рецепт перехода к пределу в точке, где находится
частица, может быть перенесён и в квантовую теорию *). Вместо
этого можно, как показал Дирак2), заменить в перестановочных
соотношениях A8.3) инвариантную D-функцию другой, неинвариант-
неинвариантной, для которой допустим последующий переход в инвариантную.
Мы будем следовать методу Дирака.
Пусть S— малый вектор в дг-пространстве, а х — малый проме-
промежуток времени; вместе они образуют времене-подобный четырёх-
четырёхмерный вектор, для которого
С2Х2 _ {2 = S2 > 0. A9.1)
Впоследствии мы устремим 5 и х вместе к нулю, но так, что отно-
отношение Z'ct, определяющее направление четырёхмерного вектора,
остаётся неизменным; этот предельный переход мы назовём «пре-
«предельный переход 5—>()». Применим теперь функцию Иордана
и Паули A6.20) к определению новой функции, зависящей от пара-
параметров S, х:
Эта функция релятивистски неинвариантна, так как она выделяет си-
систему, в которой исчезают пространственные составляющие S, но
в пределе 5—>0 она переходит в инвариантную D-функцию.
Мы формально заимствуем основные уравнения теории из § 18;
но, по способу Дирака, заменим всюду D на D. [ср. A8.2 до 7,
16, 21)]:
П<Ы*> г) = 0, A9.3)
1т\ С*» '). <V (¦*'» *')] = т с%К*°ж С* — *'» * — *'). A9.4)
= О, A9.5)
^ 09.6)
!) Вентцель (W е п t г е 1), Zs. f. Phys. 86, 635, 1933.
2) Д и р а к (D i г а с), Annales de l'lnstitut H. Poincare 9, 13,
1939 (доложено в Париже в марте 1939 г.).

186 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
Что «дополнительное условие» A9.6) совместимо с уравнениями Ди-
Дирака A9 5) видно из такого же вычисления, как в § 19 [ср. A8.19
и дальше)], ибо в приведённом там доказательстве не использовался
частный вид пространственно-временной зависимости D-функции,
а требовалось тольк >, чтобы дополнительное условие и перестано-
перестановочные соотношения содержали одну и ту же функцию, что имеет
место и здесь Условия интегрируемости уравнений Дирака A0.5)
получаются с помощью изменённых перестановочных соотношений
A9.4) [ср. A8.8)]:
(для всех пар п Ф п') Область интегрируемости немного уменьшена
по сравнению с A8.9), но в пределе s—*-0 принимает прежние
размеры
Чтобы показать выполнимость новых перестановочных соотно-
соотношений A9.4) в связи с A9.3), мы дадим явное матричное представ-
представление операторов ф„ (х, t), удовлетворяющее этим требованиям. Вол-
Волновым уравнениям A9.3) удовлетворим, подставляя ^ в виде
суперпозиции световых волн:
+ <л*-/(А*-|*|*>}; A9.8)
здесь
'he I Vi
. cos F$ —• | k | gT) -ач л,
/L v/..' \ <19-9>
ГГ7ГТ cos V«- — I
где flv> л, a* k — матрицы часто употреблявшегося нами вида, с
перестановочными соотношениями:
!) Здесь надо обратить внимание на то, что (из-за мнимого ха-
характера t|>4) a*4 k означает оператор, эрмитовски сопряжённый с —а4 А.
Если записать a±k =iaOk, а\^ = ш^, то перестановочное соотно-
соотношение эрмитовски сопряжённых матриц aQk и aOk будет
г [«о*. ao*]=—* ИЛИ la0k> aok]=+U
по сравнению с компонентами v= 1, 2, 3 матрицы а и а* меняются
ролью.

§ 19] К ВОПРОСУ О СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ 187
Тогда выражение A9.8,9) даёт
Xsin{*(*-.r')-|*|*(f-f')}.
Если заменить здесь (в смысле перехода V—> оо) К-* 2 • •• на
Bтс)-з fdk... то достаточно элементарного вычисления, чтобы по-
показать совпадение с A9 4) [в связи с A9.2) и A6.20)]
Чтобы раскрыть дополнительное условие A9.6), разложим трёх-
трёхмерные векторы ^(компоненты alyk а2чк, а3у k) и а\ на продоль-
продольные и поперечные составляющие*
«*=S tf} «Р e*=S 4° «Г; A9.Ю)
г
здесь координаты е^г) снова определены формулами A2.29 30)
(е^ = + Л/ Л|), а перестановочные соотношения для я^ а^*
задаются через A6.43) Тогда получится:
В пределе s —> 0 [cos (k* — ]k\cx) —»-1] выражение A9.8, 9) от-
отвечает определению зависящих от времени операторов потенциала
A3.1), где
Чтобы доказать это, заметим, что, по A9.8), A6.11), A7.7),
/уо = л* 21 * 12 *t a*v, «+ const.,
следовательно,
H<>a,yk = a^k(H0-hc\k\), H*a\ k = a\ k (Я04 hc\k\
и, наконец,
в согласии с A8.1).

|88 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гл. IV
С другой стороны, по A9.2) и A6.20):
X { е*(kx "! * ! *} У, еа е-'(kx«" ' k 'ctn) —
tf-1 k | <:/) vi ^ ^/ (^n - | k | r/n) i
Чтобы тождественно выполнялось условие A9.6) при всех х и t,
очевидно, должно быть:
ф=о, («г-н<*+с;)ф=о,
где
Cft= [icos (А? -1 * |«)] "/а | ft | -''•2 ^п е- '(**-1 * I "•>. A9.12)
Если записать
е*=4(«г-<*). ^^-зтС^-'Ч*). ]A9ЛЗ)
то Qk, Q*k и Рл, Р^ —канонически сопряженные переменные, так
как
в то время как другие пары коммутируют. Рассматривая функцию Шре-
дингера Ф как функцию от Qk и О\, так что Р* = — ihd/dQk
Р\ = — ihdjdQ*ki перепишем уравнения A9.11) с помощью A9.13):
Эти уравнения интегрируются так:
Ф = 5-Ф4г, A9.14)
где
S = e * , A9.15)
н где Фи не зависит от Qk и d-

§ 19] К ВОПРОСУ О СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ 189
Подставляем теперь A9.14) в уравнения Дирака A9.5); снова возни-
возникает задача перенести оператор S налево (ср. § 17). Сначала из
A9.15)
_ у (l . дСк
или, по A9.12):
h OS . (he \V.
X {Q\ei {kXn~! k l ctn) — QkT
Далее, по A9.8, 9 и 13):
(^I/аZ [cos(Л":~
-! *
так что
h dS
75^'^)S==fe«V2v?) 2-[Wcos( ' kT)J x
При учёте A9.14, 15, 16)
) {|А ) tr. A9.17)
где
или, по A9.12):
X 2j еп'cos \k (xn>""" xn) — l Л | r |
л'

190 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
С помощью функции
U(X, t) = -~ ^-^СО5{кХ-\к\а) =
*W»C08(*Jf~'*lrf) (Ш9)
я, очевидно, может быть представлено так:
+ U(xnl-xn-i, tnl-ta-*)\. A9.20)
Но U(x, t) тождественно с функцией A8.35), в которой положено
<1 = 0; по A8.37, 38) получается:
ПРИ cU|<|x|' A9.21
о при *m>i*i.
Поэтому член суммы п' = п в A9.2)) исчезает, так как четыре!
мерный вектор 5, а — типа A9.1). Для п1 Ф п> напротив, четыре!
мерные векторы хп, — хп it 6, с (tn, — tn zt *) — типа A9.7), следе
вательно,
Y ! ?
п
и в пределе .
s—¦¦ 0
Ьт V
1
2
1
у
2-
е
1 4я| хп
л»
1
il #
A9.21
("' ф п)
Это равно половине кулоновского потенциала остальных зарядов
(п1 Ф п) в точке /z-го электрона Надо заметить что бесконечный
собственный потенциал точечных зарядов благодаря введению вре-
мени-подобного вектора 5, а сюда не входит.
С другой стороны, если разложить трёхмерный потенциал ty{x,t)
на продольные и поперечные составляющие
ф = ф1опг^_ф*'> A9.24)
где ф|оп? содержит члены "^tfj^ и я|^*, то по A9.13):

§ 19] к вопросу о собственной энергии 191
Здесь члены ^ Q*k и Qk снова сократятся при образовании
и, по A9,24), получится аналогично A9.17):
{у grad,-*¦(*., *.)}ф =
= 5 { *.grade-^^ (xa, tn) + e-f\ } Фи, A9.25)
где Зя отличаются от Уп A9.18) только множителем ?/|fc| под зна-
знаком суммы. Поэтому получатся формулы, аналогичные A9.20 и 19):
я'
где
A9.26)
A9.27)
Из сравнения с A9.19) находим:
Так как, по A9.21),
4гс
то
о
¦ ПРИ с | ? | < | х |,
при ct > | х | ,
-4J при ^<-|лг|,
О при с \t I > \x |.
В 8Л A9.26) поэтому снова выпадет член суммы п1'-.
с Iт I > I $ I), так что остае'тся:
A9.28)
(из-за

192 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
а в пределе *—»-0:
A9-30)
{Ш ф л)
По A9.5, 17, 25) уравнения Дирака для Ф*г гласят так:
>tr=0. A9.31)
В это уравнение, кроме электронных координат, еще* входят только
поперечные составляющие поля.
Проверим ещё, как изменяется по A9.31) Ф*г вдоль «прямой
одного времени» fj = f2=...= *.
Положим для сокращения
фЛ=/1=...=/ = ^/ (')' A9.32)
тогда вследствие того, что
дР1
и с обозначениями
[ср. A7.12)] и
п
выйдет:
' = 0. A9.34)
В пределе S—>0(т->0), по A9.30), исчезнет слагаемое 8Л; по
A9.23):
а это как раз кулоновская энергия электронов, но не включающая,
в противоположность A7.39), собственных потенциалов. Аналогично
A8.10) мы положим:
-ILfftr 1LH tr
Fu = e h F't Flz=zeh FXt,

§ 19] К ВОПРОСУ О СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ 193
где //tr означает часть энергии поля в вакууме, обязанную попе-
поперечным волнам [ср. A7.34)]. В A9.34) можно снова перенести мно-
L
-L/y
житель е налево по формуле
^{xait)e =e ^(xn)
fno A8.1), так как #0 —#tr перестановочно с «|*tr, имеет место:
h =
i>tT (x)e
Отсюда, как легко видеть, получается для Fu дифференциальное
уравнение A7.46, 47), где только значение НС и перестановочные
соотношения для <|>tr изменяются согласно A9.33) и A9.4).
После того как члены собственного потенциала отпали, соб-
собственная энергия электронов может получаться только за счёт
взаимодействия электронов с поперечными волнами. Чтобы исследо-
исследовать этот вопрос, ограничимся тем случаем, когда имеется один
единственный электрон. Тогда мы имеем только одно уравнение Ди-
Дирака A9.31) для Ф*г; в нём исчезают Yn и ЛЛ [нет членов п1 ф п
вA9.22, 29j]. Для сокращения введём четырёхмерные векторы
(хг ictx) = х (/ар, Р) = y;
с ними A9.31) имеет вид:
}и=0, A9.36)
где тс t,nvi\
(i = -^-r A9.37)
Х=?(Т *"(*))• A9.3S)
Мы будем рассматривать х как возмущение, т. е. разложим Ф1г по
степеням параметра е:
Фи = фо -f Ф' 4- Ф" +..., A9.39)
<1М0)
13 Вентцель

194 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
/ 3\
Применяя оператор (Т'тг-)""""!1 к 9ТИМ уравнениям, благодаря
свойству
+v=2»,,,. A9.41)
как известно, получим:
~ —v • A942)
где
A9.43)
Для вычисления собственной энергии электрона достаточно
выбрать функцию Шредингера Ф° такого невозмущённого состоя-
состояния, в котором нет световых квантов:
р.и, когдавсе^=о,
[О в других случаях;
при этом и — спинорная амплитуда, удовлетворяющая, по A9.40),
уравнению
) + *}* = 0; A9.45)
конечно, согласно A9.42), должно быть
Рг = — ц2 A9.46)
(/г/ — вектор энергии-импульса невозмущённого электрона).
Для вычисления Ф' по A9.40 или 42) надо образовать хФ° или
Х'Ф°. Если применить операюр <[>tr [ср. A9.8 9. 10)] к Ф° A9.44),
то операторы а^р дадут 0 (они отвечают процессам поглощения,
невозможным при отсутствии квантов), 1ак что останутся только

§ 19] К ВОПРОСУ О СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ 195
(k =ac (k, 11 k I), 5 = (;, icx)). Если образовать отсюда по A9.38 и 43),
—>
Х'Ф°, то дифференциальный оператор — в A9.43) действует на
показательную функцию ei(p~~k'x\ так что
Х'ФО = ie BhcV)-lU X [ щ cos (k Л)\ Ч% \ i (".? - Л) - р} X
г=2,3
Но так как, с другой стороны,
( ? - I*) *'<?- ^ Л — _ j (^ — Хз2 + ^ } */( *-*
(благодаря тому, чтор2 = — ji2 и k2 — 0) из A9.42) получится для Ф':
* L
х S (
Здесь мы учтём, что, по A9.41),
или, так как (Л-е^ =0 (для г = 2,3) и с учётом A9.45):
''X [пг cos (*. 1) 1 V4~ X
Итак, выйдет
X S {(т-е^^^+г^е^Х'^-'^Фо. A9.47)
Г=2,3
13*

196 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [гЛ. IV
Чтобы вычислить тем же способом Ф7, мы должны снова применить
оператор <|>tr (*), но только к Ф'. Отсюда возникают, с одной сто-
стороны, члены "ч* affl* а]?)* Ф°, отвечающие испусканию двух квантов,
и, с другой стороны, — члены ^ affl а^* Ф0| отличные от нуля
только при b' = kf rl = r:
В Ф" для нас здесь интересна только эта последняя часть (Ф^), так
как только она определяет собственную энергию -ч, е2. По A9.8, 9,
10, 42 и 43) для этой составляющей будет:
X 2 (т- № {(Т- eir)) (г *) + 2 (/>• е^)} Ф»,
г=2, 3
ИЛИ
(?-^ф^х.фо, A9.48)
где
S (T-ePXP-e^)}1)
г = 2, 3
(благодаря тому что (-ре^J=1). Мы утверждаем, что члены
^ 2 fr'e/T^ (/>•**"*) могут быть опущены, потому что обращается
г
в нуль включающая их сумма по k или интеграл по ^-пространству.
Именно: если проинтегрировать сначала при заданном направлении
трёхмерного вектора k (т. е. при ty = const.), т. е. по | k \ = х, то
(k -5) и (/?-Л) меняются пропорционально х, и появляется интеграл
00
\ flfxcos(fx). Его можно сделать сходящимся с помощью множи-
о
*) Теория с одним временем (§ 17) даёт те же формулы
->
с $ = 0; тогда сумма по А в A9.49) расходится, и A9.48) даёт бес-
бесконечную собственную энергию электрона как это впервые вычислил
Балл ер (Waller) Zs. f. Phys. 62, 673, 1930.

§ 19] К ВОПРОСУ О СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ 197
теля *-«*, и тогда
00
I rfxcos(jhc) e-** =
i
после предельного перехода а—> () исчезает. Надо заметить, что
этот результат основан на выбранной нами последовательности пре-
предельных переходов а —> 0 до s —* О (т. е. р —* 0). Важно, кроме
того, чтобы р было отлично от нуля для всех направлений ?, что
->
гарантируется временным херактером S. Частный вид множителя,
обеспечивающего сходимость, напротив, не играет роли. Итак, фор-
формула A9.49) упрощается:
" '" ' k ' (p-k)
Учитывая, кроме того, что, по A9.41),
{'(Т*) ~ V) G-5 = - (Г« {' G/0 + ^} + 2/(?¦*),
а оператор \i(fp) + v) в применении к фо, по A9.45), даёт нуль,
видим, что \ в A9.48) может быть заменена выражением
iC0S^-Ift|ct)- <19-50>
Входящий сюда интеграл по ^-пространству может быть представлен
обеими релятивистски инвариантными пространственно-временными
функциями D.27I) (при ji = O, дгз=5, * = *); поэтому величина X
инвариантна в том смысле, что она зависит только от абсолютной
величины четырёхмерного вектора 5, т. е. только от s [ср. A9Л)}.
Поэтому для вычисления X можно выбрать ту систему отсчёта,
в которой исчезают пространственные компоненты 5;
5 = 0, c\x{ = s9 cos (?-5)=c
Причём их суммой, а не разностью, как D.

198 КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА [ГЛ. IV
Тогда если снова ввести для сходимости множитель е-**, -
00
I — cos (k• ?) = liii 4тс I rfx x cos
J I*1 «=o J
— г
следовательно,
о
q2 — ^2 4*
Так как в пределе 5—> 0 величинах бесконечна, то по A9.48), то же отно-
относится и кФ^ и, следовательно, теория в этой форме не свг бодна от
бесконечностей. Но в вычисленном здесь члене ~ е2 бесконечность,
как заметил Дирак, такого рода, что её можно исключить простым
изменением функции Гамильтона электрона. Именно, если заменить
в уравнении Дирака A9.36) \i на ii-f-т), где т) — постоянная которою
мы принимаем малой порядка е\ то вместо третьего уравнения
A9.40 и 42) будет:
О - \>?) Ф" = *Ф' - ч ( G- §^j - Иj Фо = Х'Ф'
н вместо A9.48):
Значит если выбрать
то Фо исчезнет, а вся теория во втором приближении теории возму-
возмущения освободится от бесконечностей. Как легко видеть, это верно
и при наличии нескольких электронов, в случае, если изменены все
ыассы покоя та: по A9.37) массы тп надо заменить на
Значит, если приписать свободным частицам массы покоя та (s),
становящиеся в пределе s—**0 положительно бесконечными, то
в электромагнитном поле они ведут себя как электроны с массами

§ 19J К ВОПРОСУ О СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ 199
покоя /яд, что можно истолковать как прибавку к «механической
массе покоя» mn(s) электромагнитной массы покоя — у-2~7з *2*
Итак, найдена квантовая теория взаимодействия поля с точечными
зарядами, которая, по крайней мере с точностью до членов -^ е2,
не даёт бесконечности и в пределе s = и. Хотя введение времени-
подобного вектора 5, с? означало вначале выделение той системы,
в которой исчезают пространственные компоненты $ всё же в рас-
рассмотренном приближении в пределе $ = 0 теория инвариантна отно-
относительно преобразований Лорентца1).
1) Автору неизвестно, насколько усовершенствована теория
после парижских докладов Дирака в марте 1939 г. (ср. сноску 2,
стр. 185). Дальнейшие вопросы относятся к более высоким прибли-
приближениям (члены е*> е6, ...) и к представлению электронов квантован-
квантованным волновым полем (ср. следующую главу).

ГЛАВА V
КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ
ПО ПРИНЦИПУ ПАУЛИ
§ 20. Свободные электроны
Описание взаимодействия световых волн с электронами,
данное в прошлой главе, не даёт места аналогии между све-
световыми квантами и электронами: в то время как квантовая
природа света получалась как следствие квантования световых
волн, электроны вводились с самого начала как индивидуаль-
индивидуальные единицы и описывались по методу квантовой механики
в конфигурационном пространстве в том смысле, что функция
Шредингера рассматривалась как функция от координат раз-
различных электронов. Аналогичное имело место при описании
мезонов, с одной стороны, и протон-нейтрона, с другой,
в теории мезонного поля (главы II, III); удовлетворить тому
требованию, чтобы частицы с целым и полуцелым спином
описывались единообразно, можно только путём квантования
волновых полей электронов, протонов и т. п.1). При этом
принцип исключения Паули, справедливый для этих частиц,
вносит некоторые изменения в приведённый до сих пор ка-
канонический формализм: «Квантование по статистике Бозе-
*) Говорят о «вторичном квантовании» или «гиперквантовании»
в том смысле, что переход от классической механики к квантовой
отвечает «первичному квантованию*. Аналогию между световым
квантом и электроном можно, конечно получить и путём описания
световых квантов с помощью конфигурационного пространства [ср.
Д и р а к (D i г а с), Proc. Roy. Soc. 114, 243, 1927; П ay л и (Paul i),
Handbuch der Physi4 Geiger — Scheel 24, часть 1-я, 259], но
при этом теория теряет формальную простоту в случае если надо
описывать процессы поглощения и испускания, при которых меняется
число частиц.

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 201
Эйнштейна» заменяется «квантованием по принципу Паули».
Для пояснения рассмотрим сначала свободные электроны.
Мы исходим из дираковского волнового уравнения для
свободных электронов:
0 ? (
ф означает четырёхкомпонентное спинорное поле; компоненты
вектора а и $ = а.(*) — дираковские матрицы со свойствами1)
B0.2):
Рассмотрим сначала комплексные составляющие поля как
классические функции поля. Функция Лагранжа задачи может
быть записана так:
^{Нт?Х^Й?мф B0-3)
р * R f
ибо если L считается функцией фа и ф* и их производных,
то вариация ф0, по A.2), даёт
что совпадает с комплексно сопряжённым с B0.1) уравнением,
тогда как само это уравнение получается из вариации
по ф*, производные которой не входят в L:
' *
!) Мы для краткости вводим несимметричное в ф и ф* представ-
представление, однако заметим, что эту несимметрию легко устранить при-
прибавлением пространственно-временной дивергенции (ср. сноску,
стр. 8).

202 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [ГЛ. V
Плотности заряда и тока надо, по (ЗЛ1), определить так*
V'JT» д7п, I
так что
p = eft-$*d>, s — zhc ф*аф B0.4)
в согласии с известны ш выражениями теории Дирака. С по-
помощью матриц
Y<*>=-.pa<*>= a(;>? (ft= 1,2,3), YU) = P, B0.5)
тоже имеющих свойства
и в обозначении
$t = /}>*? B0.6)
перепишем формулы B0.1, 3, 4):
B0.7)i
I
B0.8I
B0.9)
Образованный по правилу B.8), соответственно C.8), кано-
канонический тензор энергии импульса таков:
Член I-8av исчезает, если удовлетворено уравнение Дирака
B0.7). Прибавлением тензора

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 203
дивергенция которого равна нулю, в силу уравнения непре-
непрерывности четырёхмерного тока, получим действительный
тензор 1):
Этот тензор ещё несимметричен, но так как имеет место
не только ^дТ^\дх^ = 0у но, как легко проверить, и
2d7Vv/dArv==0, то симметризованный тензор Т =-х-(Т^-\-
v
I каждый раз удовлетворяет закону сохранения
B0.10)
Преобразования Лорентца д?„=2л^Л преобразуют ф и ф t
по формулам ф = 5ф, cft^r^t^-1, где матрица S опреде-
определена через
так что
х) Точнее с действительными компонентами 4, 4 и у j' и мнимыми
4 у и у, 4. Если преобразовать функцию Лагранжа
то получится сразу в качестве канонического тензора энергии-им-
энергии-импульса тензор T^t .

204 квантование волнового поля [гл. v
Отсюда непосредственно следует инвариантность функции
Лагранжа ? B0.8), так же как и векторный характер sv
B0.9) и тензорный характер Т^ B0.10).
Так как, по B0.3), канонические импульсы тт* = д?/дф*
тождественно обращаются в нуль, то при переходе к гамиль-
тоновскому формализму мы будем стараться — аналогично,
как и в случае мезонного поля (§12) — исключить поля ф* и тт*
из гамильтоновой функции; здесь это удаётся непосредственно
с помощью соотношений
irs=f-=-T^ B0Л2)
Для гамильтоновой функции Н = 2тук~{~^А*— L(=—Г44);
о
отсюда получается:
?>/ if-\3W0. B0.13)
С помощью B0.1, 2 и 12) легко видеть, что интегральная
гамильтонова функция H=\dxff действительна, т. е.
является эрмитовским оператором и совпадает с полной
энергией —\я?.*Т44[ср. B0.10)]. Если бы мы произвели
квантование по каноническим перестановочным соотношениям
A.7), то в качестве канонических уравнений поля получи-
получились бы B0.13)
в формальном соответствии с B0.1).
Против этого канонического метода квантования надо
прежде всего возразить, что он не делает энергию положи-
положительно определённой. Чтобы показать это, разложим ф-функ-
цию по собственным функциям уравнения Дирака B0.1),
причём мы снова потребуем пространственную периодичность,

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 205
чтобы получить дискретный спектр энергии1):
ф0 (л:, /) = 2 <*те ^ титз (х), B0.14)
т
(Ь (-^j l) 2^ ^fti & ^т<з \*^/>
ftt
где
(- EM + ?) «л = 0, J ^n^i = a^r. B0.15)
к
Тогда, по B0.12 и 14),
ттв(л:, 0 = —7]?*«** ^W««» W- B0.16)
т
Перестановочные соотношения A.7) будут выполнены, если
коэффициенты атУ а*т рассматриваются как матрицы типа
F.16) с перестановками:
отсюда, по B0Л4 и 16), находим:
т
в последнем уравнении использовано свойство полноты
системы собственных функций ит. Для энергии //= Г дГл://, по
B0.13 до 16), получится
!) Индекс т, нумерующий собственные функции, стоит вместо
импульса и спинового квантового числа; ит<3 означает о-компоненту
спинорной собственной функции ит.

206 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [гл. V
где а*тат(^0), по F.18), означает число электронов Nm
в стационарном состоянии т. Но известно, что собственные
значения энергии Ет уравнения Дирака B0.15) наполовину по-
положительны, наполовину отрицательны (Е = ^Ь c]f(mcJ -j- /?2),
так что энергия B0.17) может принимать оба знака (пе-
(перестановка сомножителей а*тУ ат здесь ничего не может
изменить).
Как уже упоминалось, другое возражение против канони-
канонического метода квантования состоит в том, что оно не-
непосредственно приводит к статистике Бозе-Эйн штейна, в то
время как опытным путём известно что электроны подчи-
подчиняются принципу исключения Паули и статистике Ферми-
Дирака. Несовместимость с опытными фактами выражается
в том, что число rfftPm электронов, находящихся в одном
состоянии, не ограничено сверху, вместо того, чтобы иметь
значения 0 и 1. Причину этого надо искать, конечно, не
в частном виде гамильтоновой функции B0.13), ибо каждое
волновое поле, квадратичное в канонических переменных q, /?,
эквивалентно системе гармонических осцилляторов, квантовые
числт которых при KaHjHH4ecKOvi квантовании не имеют
верхней границы, а так как эти квантовые числа означают
здесь, сколько раз занято состояние, видно, что канонические
перестановочные соотношения A.7) вообще не могут быть
совместимы с принципом Паули.
Изменённым рецептом квантования, позволяющим учесть
принцип Паули, мы обязаны Иордану и Вигнеру1). Чтобы
получить соответствующие выражения специально для задачи
о свободных электронах, обсудим формулы B0.14), где и/п,
как и раньше, означают собственные функции уравнения
Дирака B0.15), тогда как смысл операторов ат должен
быть пересмотрен. Положим для пробы, что операторы ат
и а* повышают и соответственно понижают число частиц /Vm
на 1, оставляя все остальные Nmi (от' =? т)' без изменения
[ср. F.17)]:
1) Jordan и Wig ner, Zs. f. Phys. 47, 631, 1928.

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 207
Но числа Nm, в соответствии с принципом Паули, смогут
теперь иметь только значения 0 и 1. ат и а'п представляют
поэтому двухрядные матрицы отнэсительно всех чисел
Nmi(m'^m)t тогда как относительно Nm они имеют такой
вид:
(J) (;S) B0.18)
где первые столбец и строка отвечают значению /Vw = 0,
а вторые столбец и строка отвечают значению Nm=\.
Числовой множитель 7]^ будет ещё рассмотрен 1). Другими
словами: пусть F^m —функция числа /Vw, принимающая два
значения; тогда для функций am-F и а*т F, имеющих также
по два значения, имеет место.
По правилам матричного умножения, из B0.18) получится:
здесь мы для краткости обозначили буквой Nm диагональную
матрицу с собственными значениями Nm\
B0.21)
Если потребовать |ij/W|2 = l, то из B0.20) следует
e-e«-r eX=1; B0-22)
1) т)т выбирается независимо от Nm так, чтобы множитель
(оо) Б Qmy изменЯ1°Щи" ^/я' ^ыл бы перестановочен с t\m:
/01\ {Q 1 \
Тогда операторы дт и ат эрмитовски сопряжены.

208 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [ГЛ. V
эта «антиперестановка» ат и а*т равна единичной матрице,
в то время как перестановка [ат, а*т], по B0.20), равна
диагональной матрице A—2<Vm). Произошёл обмен ролями
перестановки и антиперестановки по сравнению с канони-
каноническим квантованием
ср. F.18)).
Применяя символ
[a, b]+=
объединим формулы B0.19 и 22) так:
[««. *«]+ = К. <J + = 0, [ам, a*J+ = 1.
Что касается перестановок этих двух матриц с т=^=т\ то
можно сначала попробовать считать их перестановочными;
но это не даст простых перестановочных соотношений для ф
и тт B0.14, 16). Вместо этого Иордан и Вигнер заменяют
во всех канонических соотношениях перестановки соответ-
соответствующими антикоммутаторами:
К. **']+ = К. e«i]+ = °> К. e«J+ = *««'• B0-23)
Как доказали Иордан и Вигнер, квантованная таким способом
теория эквивалентна- теории в конфигурационном простран-
пространстве, в которой принцип Паули учтён тем, что допускаются
только функции, антисимметричные в координатах каждой
пары электронов.
Надо ещё показать, как выражения B0.18) выполняют
перестановочные соотношения B3) для матричной пары
т^=т\ Установим для этого определённую последователь-
последовательность нумерации стационарных состояний /я=1, 2, ...; по
началу она произвольна, но, однажды выбранная, должна
сохраняться. Положим теперь -цт в B0.18) равным -{-1 или
— 1, в зависимости от того, является ли число занятых
состояний с нумерами п<^т чётным или нечётным1). Это
можно записать такой формулой:
Tin = mn\\-2Nn); B0.24)
Но i\m не должно зависеть от

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 209
ибо в произведении занятые уровни п<^т дают множитель
1— 2Nn = — 1, а свободные дают 1—2Nn = -\-\. Сравним
теперь две матрицы amamf и amiam на основе B0.18 и 24),
причём пусть, например, т<^т'; тогда очевидно, что мно-
множитель 7\т в обеих матрицах имеет одинаковый знак, потому
что оператор ат* не меняет чисел Nn с п<^т\ напротив,
Т\т* в обеих матрицах имеют противоположные знаки, потому
что в случае расположения множителей ат*ат предваритель-
предварительное применение оператора ат изменило число Nm(m<^m')
на единицу, что не относится к случаю amamrt так что
amiam = — ^nflmu B согласии с B0.23). То же имеет место,
если ап заменено через а*т или amt через а*т1. Это рас-
рассуждение можно уточнить, представляя в ч\т B0.24) сомно-
сомножители 1—2ЫпУ по B0.21), матрицами
что согласуется с 7jmr*m = г^т = 1; произведения а$а%
и Д$я)?? содержат матрицы, одинаковые относительно всех
чисел Nn, кроме Мт(т<^т')> тогда как в отношении Nm
знаки матриц обратные:
'° МП °)—(l °V°M — @1\
о оДо — iy — [о —\J\o o)~ vo о;1
/0 0V1 0\_ /1 0\/0 0\_,/0 0\
\\ оДо -\) — {о -i][\ о)—г[х о)-
Этим доказана выполнимость перестановочных соотношений
B0.23) для тф-т* и для т = т\ Как показали Иордан и
Вигнер, операторы ат и а*т определены этими соотношениями
однозначно, если ограничиться неприводимыми системами
матриц и не считать различными системы матриц, связанные
преобразованием подобия: (яот—^S"lamSy a*m—+S~la*mS).
Определённые таким образом операторы ат и а*т мы
подставим в разложение собственных функций B0.14) и
получим отсюда операторы поля фв, причём как функции
пространства и времени они, конечно, удовлетворяют урав-
14 Вентцель

210 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [гЛ. V
нениям Дирака B0.1). Соотношение между зависящими и не
зависящими от времени операторами снова отвечает общему
виду D.4) (при Е^Н), ибо из B0.17 и 23) следует1):
**"* = **(**-Ет), На*т=:а*т(Н + Ет)9
т. е. д(*\ перенесённое относительно Н налево, превра-
превращает Н в #(+) Ет; поэтому перенос а?) налево относи-
тельно еп даёт
i± „ и и р it it и
или, по B0.14),
-1Lh
B0.25)
как и утверждалось.
Для операторов <Ьа B0.14), на основании B0.23), непо-
непосредственно получатся следующие перестановочные соотно-
соотношения;
[<Ы*. '),Ф- (*'> П]+ = Ш*, О,Ф:,(-*г', П]+ =0, B0.26)
[ФД*> 0, Ф; (*', ?)]+=Сп,(х-х', t-t'), B0.27)
где
С„. {х - х', t - V) = 2 «¦*('' ~ ° ?м вя. (*) С' (*")• B0 • 28)
/л
То, что C^i зависит только от разностей координат х — х\
следует из инвариантности относительно переноса и будет ещё
J) Именно:

§ 20] СВОВОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 211
показано вычислением. В частности, при t = t' получается
теорема полноты для ортогональной системы функций ит\
CQ9, (х — х*, 0) = 2 ит9 (х) иш, (х') = Ь*Ь (х - x')f B0.29)
т
так что для не зависящих от времени операторов имеют,
место такие соотношения:
№.(*. о), ф; (х\ о)] +=*„,* {х - *'),
или, по B0.12),
№.(*• О),тгу {xf, 0)]+ =-Lb9^(x-x')> B0.30)
Таким образом, перестановки и здесь заменяются антипереста-
антиперестановками. Вычисление для t=fct* можно, исходя из B0.25
и 30), провести способом, подобным вычислению перестано-
перестановок в § 4. Мы будем производить вычисление несколько
другим (но в принципе эквивалентным) способом, причём
будет использована функция Гамильтона и уравнение поля —
в § 4 предполагалась только справедливость уравнения Шре-
дингера-Гордона.
Множитель eh mtfwC*0, входящий в слагаемые
B0.28), может быть представлен как а-компоненты спинора:
ет(/'-^Чот(лг) = Л(Г-/)Я«т(л:), B0.31)
где ?—оператор, определённый по B0.1); уравнение B0.31)
имеет силу, потому что, по B0.15), Етит(х) = Еит(х)
(показательную функцию можно разложить в степенной ряд).
Вместо B0.28) напишем так:
-2
р т
или, используя B0.29),
14*

212 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [гл. V
где Е действует как дифференциальный оператор на про-
пространственные координаты х в аргументе й-функции; её надо
либо представить как предел регулярной функции, либо как
интеграл Фурье D.24), так что Е под знаком интеграла
в применении к ei x заменяется на
Ek=ch(a-k)-\-mc2$.
Интерпретируя Са9/ как элементы матрицы С, запишем вместо
B0.32) короче:
— —tE * /on зз\
С (х t\ е h *h(x\ \4\J•Оо)
Разделим чётные и нечётные в Е члены в разложении пока-
показательной функции в ряд
причём, по BЭ.1, 2),
!У -Д); B0.34)
член с косинусом, содержащий только чётные степени Е,
можно поэтому записать:
cos (!?) =
и аналогично для члена с синусом после отделения множи-
множителя E\h\
cin ftE\ — Е
111 I ~~7~ I —— .
\hj h
Введённые здесь функции оператора j/jx2 — А содержат
в разложениях только целые степени \х2 — \ и поэтому
в применении к eikx А равно — /г2. Так получается для С
B0.33):
С <*,<)» {cos (fcKS^
или также

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 213
где
B0.36)
Но это не что иное, как многократно употреблявшаяся нами
?>-функция, что непосредственно видно из интегральных
представлений Ь(х) и D(x, t) [ср. D.24, 25)]. Этим определён,
оператор С. Подстановка B.35) в B0.27) даёт желаемое
перестановочное соотношение
, 0, 1С (*'¦ *')]+ = (*«• §t - { EJ) D(x-x\t- f) =
|— l^$,,f}D(x — x\t-tf). B0.37)
Чтобы доказать инвариантность перестановки относительно
преобразований Лорентца, удобно вместо ф* ввести «сопря-
«сопряжённую» волновую функцию с1Д=гф*[5. Умножая B0.27) на
/pev' и суммируя по а\ получим для [фа(#, 0, ф?,,(лг',/')]
элемент (а, а") матрицы (/С[$), которая в обозначениях B0.5)
выглядит так:
1С(х, t)$ = i (jt-j)
V) 3J, ~ A D (х>f)- B0 • 38>
Преобразуя аналогичным образом остальные перестановки,
имеем:
[ф. {х, 4, ф.' (*', П]+ = [<К (*, <), ^ (*'. О]+=о,
= ~ С {Z ^)Й;- &«} D(x-x\t- f). B0.39)
При изменении системы отсчёта преобразованные спиноры
ф = 5ф и Ц>+ == ф+ «S выглядят так:
=-с

214 квантование волнового поля [гл. v
что делает при учёте B0.11) очевидной инвариантность
соотношений B0.39). Этим доказана релятивистская инва-
инвариантность квантования по Иордану-Вигнеру в применении
к свободным электронам.
Что касается тока sv и энергии-импульса 7^, то надо
заметить, что выбранный при их определении B0.9, 10)
порядок сомножителей может быть непосредственно перенесён
в квантованную этим способом теорию, так как он отвечает всем
требованиям эрмитовости: законы охранения 5jdsv/d*v = 0
v
и ^dT^Jdx =0 справедливы, разумеется, как и в некван-
и-
тованной теории, потому что операторы <|> B0.14) в их
пространственно-временной зависимости удовлетворяют тем
же уравнениям поля B0.7), что и «классические» (некван-
тованные) волновые функции ф.
Против такой формулировки теории всё ещё сохраняется
возражение, поскольку энергия H=^EwNm [ср. B0.17, 20)]
т
неположительно определена. Но этот недостаток можно ис-
исправить дальнейшим изменением форма 1изма в смысле «дира-
ковскоЙ теории позитрона» («дырочной теории»). Квантование
по принципу Паули создало для этого необходимую предпо-
предпосылку.
Будем для краткости называть положительные и отрица-
отрицательные уровни энергии (Е 5^0) положительными и отрица-
отрицательными уровнями; тогда, по Дираку, «вакуумом» называется
такое состояние системы, в котором заняты все отрицатель-
отрицательные уровни, а все положительные свободны;
xr II При t
"«-]0 при Em>0. ^'™>
Определения электрического заряда и энергии надо изменить
так, чтобы они исчезали в ваку>ме. По старому определению
B0.4) и B0.13 или 17) общий заряд равнялся
и общая энергия

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 215
Вычитая отсюда значения для вакуума
eh 2,1 и, соответственно, 2 Ет»
т гп
iEm < 0) (Ет < 0)
получим новые определения заряда
« = «А2 "«-** 2.0-*«)=¦
/И /Я
(Я» > 0) (Я„, < 0)
= $Л ? "«-* ? ^ B0.41)
(Яш > 0) (Ет < 0)
и энергии
н= 2 ЗД,- 2 ^«0-^) =
т т
(Ет > 0) (Eth < 0)
= 2 1**1"*+ I |Z?JA?. B0.42)
m m
{Ет> 0) (Ят < 0)
Введённая здесь диагональная матрица
(J0) Bо.43)
[ср. B0.21)] даёт в применении к шредингеровской функции
0, если уровень т занят, и 1, если он свободен; другими
словами, Mm означает число «дырок» в отрицательной части
спектра энергии или число позитронов. В самом деле, такая
дырка (А^=1) прибавляет к заряду B0.41) величину — eh
и к э^ргии B0.42) величину \Ет\, тогда как электрону
в положительном спектре (Nmz=z\) отвечает заряд-j-g/г
и энергия \Ет\» Этот дираковский искусственный приём
вычитания делает энергию положительно определённой, тогда
как заряд теряет свой характер определённости, как это
и требуется при учёте действительного положения вещей
(существование позитрона).
Чтобы рассмотреть с этой точки зрения также импульс
и момент количества движения, мы заметим, что выражение
B0.10) для плотности импульса (Gk = Tikjlc)

216 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [гл. V
с помощью уравнения Дирака B0.1) и правил перестановки
для а B0.2) может быть переписано так:
б = | {ф* • grad ф - grad ф*. ф} + ^rot ф*аф; B0.44)
здесь а — матричный вектор с компонентами оМ = —
— /а<2)аC\....... (циклический). Член rot ф*аф ничего не
прибавляет к общему импульсу G= \dxG. В остальные
члены мы подставим разложения B0.14) и учтём, что
ит ->- eik*»*t так что grad um = ikmum. На основе соотношений
ортогональности B0.15), для общего импульса следует:
2
т т
Вычтем отсюда снова значение в вакууме
т
{Вт < 0)
тогда получится исправленное определение импульса
О= 2 **Л- 2 ЬЬт"т- B0.45)
т т
(Ет > 0) (Ет < 0)
Поэтому отдельному занятому состоянию в положительном
спектре энергии отвечает импульс -\-hkmf а свободному
состоянию с отрицательной энергией (т. е. позитрону) им-
импульс— hkm.
Момент количества движения M—\dx[x'G] щ расще-
расщепим на два слагаемых (аналогично формулам A2.56 до 60)
и A6.50):
1
V
v
.rotф*аф] = -|
В применении к частицам с нерелятивистскими скоростями
^е зависящий от ориентации спина член М° даёт орбиталь-

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 217
ный момент, а член М* — интересующий нас спиновый мо-
момент. Так как ит ->- elk™* и а не зависит от х, М1 аддитивно
распадается на слагаемые от собственных функций^ принад-
принадлежащих различным значениям k:
и мы можем, как и в случае мезона со спином 1, огра-
ограничиться дискуссией члена М\о) (частица в системе покоя).
При значении импульса k = 0 имеется, как известно, 4
собственные функции #lf..., uK со значениями энергии
причём Яр..., их (с помощью унитарного преобразования)
могут быть определены так, что для одной из компонент
векторной матрицы \ с1хи*таит>{=У'и*таит1), например,
для л^-компоненты, получится:
С dxu*mo(l^umt = 0 при т-фт!(т, /и' = 1,..., 4),
+1 при т=Х и т==3>
—\ при /Я=2 И Щ = 4.
Отсюда получается для ^-компоненты M[q)
Состояния т = 3 и /я = 4 (?т<0) в «вакууме* заняты;
вычитание вакуумного значения М\ превращает также /V8
в iV3—1=—Л/3' и Д/4 в N±—1= — Л/J, так что испра-
исправленное значение М\ таково:
т. е.
(покоящихся) электронов и Ли позитронов имеют
компоненту спина (в направлении х^-^-^у N% электронов

218 квантование волнового поля [гл. v
и Nz позитронов — компоненту — у . Таким образом, физиче-
физическое значение квантовых чисел Nm и N'm выяснено.
Очевидно, что состояния всей системы, заданные всеми
квантовыми числами Nm, Nm> должны считаться как простые.
Вместе с ограничением значениями 0 и 1 это отвечает методу
подсчёта состояний Ферми-Дирака.
Способ вычитания, формулированный нами, оставляет
желать большей однозначности, так как приходится вычитать
бесконечные выражения (расходящиеся суммы). При вычисле-
вычислении заряда, энергии и т. д. мы обошли эту неоднозначность
тем, что производили вычитание в отдельных членах суммы;
но этот способ нельзя обобщить в достаточной мере (элек-
(электроны в силовых полях, ср. § 21). Чтобы получить формули-
формулировку, своботную от этого недостатка, введём следующую
«матрицу плотности» !):
г„. (х, t; х\ f) = 1 ? (а>„, _ ата*т, + jgj W) X
т 1
Xе итЛ*)»ЪЛх')> B0.47)
и заменим данные выше определения плотности заряда
и энергии-импульса такими:
s, == Пт the
? Т,'/** (х> *'> х'> *')> B0.48)
х>=х
Xr,o'(xyt;x',t'). B0.49)
Чтобы установить сначала соответствие с примитивным спо-
способом вычитания, сравним новые определения со старыми.
1) Фок (F о с к С. R.), Leningrad, 1933, 267; Фэрри и Оппен-
геймер (Furry и Орре п hei me г) Phys. Kev. 45, 245, 1934;
Пайерлс (Ре i e r Is). Proc. Roy. Soc. 146, 4'JO, 1934; Дирак
(Dirac), Proc. Cambr Phil. Soc. 30, 150, 1934; Гейзецберг
(heisen berg) Zs. f. Phys. 90, 209, 1934.

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 219
Что касается, например, четырёхмерного тока s4, то разность
выражений B0.48) и B0.9) находится с помощью B0.14 и 23):
B0.50)
что совпадает с обратной по знаку величиной среднего значения
тока B0.9) в вакууме; то же имеет место и для тензора
энергии-импульса. Отсюда легко видеть, что интегральные
величины e,H,GyM' на основе B0.47,48,49) в самом деле
имеют те же значения, что и по начальному способу вычитания
вакуума |ср. B0.41, 42, 45, 46)]. Новые выражения B0.47,
48, 49), в противоположность прежним, свободны от расходя-
расходящихся сумм типа B0.50); ибо если выбрать из матрицы
B0.47) диагональные элементы, т. е. члены суммы с т = т\
о которых только идёт речь:
= { 2 Nm- 2 ^
I m m
{Em>0) (Em<0)
то это конечные суммы, когда занято конечное число поло-
положительных уровней и свободно конечное число отрицатель-
отрицательных уровней, т. е. если присутствует конечное число частиц.
Если расщепить г B0.47) на две суммы
r = R-\-S, B0.51)
= iV|LgT ^t)BmunAx) *Л*)% B0.53)
т, тг

220 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [гл. V
то обе суммы сходятся в отдельности, если только мировой
вектор (х — x\i — /') не нулевой (| х — х' j2 — с2 (t — t'f ф 0).
Предельный переход V—> /, х'—> .*:, предусмотренный
в B0 48, 49), возможен только после того, как R и S
объединены в г. Для Rt по B0.14), можно написать и так:
(, \ )
=4 (*J'(Х'> П ^{Х> t] — ^(*' /} ^(^ П) " B0-54)
С другой стороны, S есть функция х — х' и t —1\ которая
может быть вычислена следующим образом. Подставим
формально в B0.53) [подобно B0.31) и B0.34)]
где А снова имеет смысл — k2 (um -v- e'kx); тогда можно пред-
представить матрицу 5 (с элементами Soot) через матрицу С
B0.28) так:
(надо учесть, что «» = /««{$), и свести её, на основании
B0.35 или о8), к инвариантной ?>-функцин
S(x,t; x;t') =
= ~ic (Zyw al "I1) D' (*-*'. '-O, B0.55)
где
V
4-
В этих формулах надо представить себе С и D разложен-
разложенными в интеграл Фурье, так что оператор 1/J/ji2 —"д, при-
применённый под знаком интеграла eikxt получает значение
1/J/ jx24-^2- По представлению Фурье из D D.25) получается
B„.56)

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 221
D\ очевидно, релятивистски инвариантно в том же смысле,
что и D; D' определяется суммой инвариантных функций
D.27), a D — их разностью. Производя интегрирование по
/^-пространству в B0.56), можно притти к цилиндрическим
У
функциям Ганкеля от аргумента рУсЧ2 — л:2, чего мы,
однако, производить не будем1).
Так получается запись основных уравнений теории без
привлечения собственных функций, как в B0.14): свойства
операторов фо(лг, t)y ф*(лг, t) определены уравнением Дирака
B0.1 или 7) и перестановочными соотношениями B0.26, 37
или 39), а физическая интерпретация основывается на опре-
определениях B0.48, 49) для sv, 7^ в связи с B0.51, 54, 55, 56).
В то время как примитивный способ вычитания отдаёт
предпочтение электронам перед позитронами, интерпретируя
последние как электронные «дырки», формулировка с по-
помощью матрицы плотности г имеет ещё и то преимущество,
что она симметрична в зарядах обоего знака. Чтобы видеть
это, положим
Это преобразование операторов а оставляет перестановку
B0.23), очевидно, инвариантной
к, *«и=Кп cl=о. к. «:,]+=**«'•
Оно отвечает подмене занятых и незанятых состояний, т. е.
чисел Nm и N'm — \—Nm; как, например, оператор ат по-
понижает число Nm на 1Э так и а'т понижает N'm на 1. Вспо-
Вспоминая, что Nm — число электронов на положительных уровнях,
N'm — число позитронов на отрицательных, видим, что пере-
перестановка электронов и позитронов должна включать и пере-
перемену знака энергии. Преобразование этого рода, включающее
и B0.57), таково:
4>: = Ф!, B0.58)
l) См. сноску 2 на стр. 36. В частном случае
/У (*.') = * ''-¦¦ •cos|*|rt *
ср A9.50) A9.51).

222 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [ГЛ. V
притом определённая B0.58) спинорная функция ф' удовле-
удовлетворяет не тому же уравнению Дирака B0.57), что ф; именно
для cjjt имеет место уравнение
и отсюда для ф':
{Ll)^ + ) B0.59)
где y'W означает транспонированную матрицу у№ с обратным
знаком:
Y'^ = -Y<;}- B0.60)
Но так как эти эрмитовские матрицы у'М обладают теми же
перестановочными соотношениями, что #и y(v) (Y'(ovY(lx) -f-
_|_ Y'(fA)Y'(v) = 25^), то уравнение B0.59) можно, путём даль-
дальнейшего преобразования ф'^5]/', где y'(v>S = Sy<v\ SS* =
= S*S= \, привести к виду B0.7I), и оба уравнения
B0.7 и 60) эквивалентны. Если определить «сопряжённую»
с ф' функцию по B0.6) как ф^ = гф'*у'(О| то, по B0.60),
ф^ = _ /уD)ф'*, и, так как, по B0.58), ф'* = (/ф*уD))* =
= —/уD)ф| то
Ф? = -Ф.. B0.61)
Для ф' и i't из B0.58, 61, 39) получаются следующие пере-
перестановочные соотношения:
а при учёте B0.60) и D.29):
i) Ср., например, Паули (Paul i), Annales de Tlnstitut H. PoUtl
care 6, 109, 1936, в особенности § 4,

§ 20] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ 223
и, очевидно, что
и»: <*, о, ф; (*', щ+=[ф;+ (*, о ф;? <*', щ + - о.
Этим показано, что преобразование B0.58) оставляет инва-
инвариантной перестановку B0.39). Чтобы видеть, как преобра-
преобразуются величины sv, Г^, выразим матрицу плотности г •
через ф' и ф'1". Для составляющей /? B0.54) получится
С другой стороны, если учесть B0.60) и свойство чётности
функции D' B0.56): D'(x, t) =D' (— x, — t)y то S B0.55)
перепишется:
И в /? и в 5 преобразование B0.58) меняет местами штри-
штрихованные переменные х\ V а' с нештрихованными х, t% а и
то же имеет место для r — R-\-S:
r^(x,t\ x\f) = r\,9(x\e\ xj).
При подстановке этого в формулы B0.48, 49) для sv, T
там надо переставить справа штрихованные переменные с не-
нештрихованными, в смысле перемены обозначений, и при
повторном применении B0.60) выйдет:
»т( (- г) he %
Этот результат показывает, что тензор энергии-импульса
инвариантен относительно рассмотренного преобразования,

224 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [ГЛ. V
тогда как четырёхмерный ток sv меняет знак в соответствии
с тем обстоятельством, что eh означает в sv заряд электрона,
а в s^ — заряд позитрона. То, что формализм допускает
перемену ролями электрона и позитрона, удовлетворительно
не только в смысле согласия с экспериментальными фактами,
но и тем, что подчёркивается сходство теории частиц со
спином 1/2 с ранее рассмотренными теориями для частиц
с целым спином, в которых симметрия относительно заряда
видна непосредственно (ср. § 8 и 12).
§ 21. Электроны в электромагнитном поле
В обозначении A3.2)
где Фы — заданные электромагнитные потенциалы, мы получим
функцию Лагранжа электронов в поле, если заменим в вы-
выражении для свободных электронов B0.8) (подобно § 11
и 13) д\дхн на dv:
? = _^BТГ('Ч + Йф. B1.2)
Отсюда, как легко проверить, получатся следующие
уравнения поля:
Четырёхмерный ток (без вычитания вакуума) остаётся таким
же, как и в случае отсутствия поля:
sv=efo-<j>tyM<j)f B1.4)
в то время как в тензоре знергии-импульса надо заменить
на д$ и д^\дхч на д*$Ъ
Мф}. B1.5)

§ 21] ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 225
В самом деле, при B1.3, 4, 5) имеют место законы сохра-
сохранения1):
По отношению к преобразованию калибровки [ср. A1.4)]
- д\ -а — — л
охн
величины I, sv, 7^v, как и уравнения поля B1.3), инвариантны.
В обозначениях
*. = -^- = А(Ф+Л = /Аф:, nJ=^-=O B1.8)
гамильтонова функция запишется в виде:
#= A 4>t у(«ф _ i — ihc (J>t fi) ^L — L =
/8пфф0 B1.9)
(ф4 = /ф0). Легко убедиться в том, что //-{-/етгфФ0 совпа-
совпадает с—Ти с точностью до членов, которые либо обра-
обращаются в нуль по уравнению Дирака, .либо имеют вид про-
пространственной дивергенции, т. е. Н в существенном отли-
отличается от — Г44 членом—/етгфФ0 = рФ0.
Что касается квантования теории, то мы напомним, что
во всех предыдущих случаях при квантовании по статистике
Бозе-Эйнштейна правила перестановки не зависящих от вре-
времени операторов фв, тгв в электромагнитном поле и без него
были одинаковы; это лежит в основе канонического кванто-
квантования. Поэтому будет естественно и здесь, где мы квантуем
по принципу Паули, позаимствовать перестановочные соотно-
соотношения не зависящих от времени операторов ф0, тт0 из теории
свободных электронов [ср. B0.26,30)]:
(х), тт„ (х')]+ = Ш„,8(*-
*) Ср., например Паули, Handbuch der Physik 24, часть 1-я,
стр. 235.
15 Вснтцель

226 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [ГЛ. V
Этим соотношениям возможно удовлетворить, разлагая тгв и фв
по какой-либо ортогональной системе собственных функций
(например, по собственным функциям свободных электронов):
где коэффициенты атУ а*т — матрицы типа B0.18) с перестано-
перестановочными соотношениями B0.23); это выражение удовлетво-
удовлетворяет требованию B1.10). На основании B1.9 и 10) находим
для (Ь (х) = L [Н, <Ь (*)] и тт (*) = ± [Н, тт (х)]'):
B1.12)
что отвечает уравнениям поля B1.3) [ср. B1.8)].
Чтобы решить вопрос о релятивистской инвариантности тео-
теории, введём зависящие от времени операторы §(x,t), тс(лг, t)
так, чтобы они удовлетворяли дифференциальным уравнениям
B1.12). Мы можем их представить как разложения в ряд Тей-
Тейлора по степеням времени t\
1г(*,*) = 11(-Л ' '-'- ' Х
ф = — с
Если Я записано в виде
р.
где О — дифференциальный оператор, действующий на <[>„, то полу-
получится, например:
так что

§ 21] ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 227
Если образовать с помощью этих операторов антипереста-
антиперестановки [tyo(x,t), §,i(x',t')]+, то, на основании B1.10 и 12),
получится:
[Ф. (*.'), ф.» (х\ t')} + = [it, (х, t), it,, (*', f)}.. = 0, B1.13)
{
/ейаЯг Фо (*; 0)) + ...} 8 (* — л:') >).
Свободные от Фу части разложений могут быть просуммиро-
просуммированы, и результат берётся непосредственно из теории сво-
свободных электронов [т. е. из B0.37)]:
', <')] + = /A {S33. | - с (а„, • grad) -
(х— х') B1.14)
(здесь подставлено Ф,(*', 0) i(лг — х')=Фч(х,0) i(x — л:'), что,
ясно, дозволено).
Представим себе преобразование Лорентца и рассмотрим
две мировые точки jc, t ил:', t\ которые одновременны в но-
новой системе отсчёта, так что для них имеет место
^ B1.15)
*) Для t'=zt, разумеется, должно быть
[Ф* lxt t\ trcrf (x\ t)] + = ihln* I (x — л:'),
причём для произвольного t. В самом деле, это созместимо с B1.12):
= »e (X, 0, «*' U'» 01 + + »а U. 0 ™ (*'< *)] + = 0.
Начало отсчёта времени ничем не выделено, и для дальнейшего нет
никакого ограничения общности в том, что разлагается по V u t%
а не по Г— t (можно было бы положить f = Q).
15*

228 квантование волнового поля [гл. v
тогда в B1.14) исчезнет член, линейный в V — /, потому
что (x'k—xk)8(x — л;') = 0. Ограничиваясь бесконечно малыми
преобразованиями Лорентца, при которых можно пренебречь
членами более высокого порядка t'—ty видим, что уравне-
уравнение B0.14) в предположении B1.15) становится таким же, как
без поля, а так как там релятивистская инвариантность пере-
перестановок доказана (§ 20), то здесь для преобразованных опе-
операторов ф = 5сЬ, tc = <jtS* = 'tt[5S~1[J мы заключаем, что
[?, (*> "п. ^ C?, 7)]+=ia »„,«?—F).
С другой стороны, по B1.13),
№. (*. 0. ?•' (*'• 0]+ = [М*. '). ** (*. Т)]+ =о.
Этим доказана инвариантность перестановок для одновремен-
одновременных мировых точек и бесконечно малых преобразований Ло-
Лорентца, а тогда инвариантность относительно произвольных
(не бесконечно малых) преобразований следует непосредственно
из группового свойства их совокупности, так что с учётом
ещё инвариантности функции Лагранжа B1.2) удовлетворены
в этом смысле все требования.
Квантование электронных волн не изменяется, если элек-
электромагнитное поле считать не заданным, как раньше, а изме-
изменяющимся волновым полем, находящимся во взаимодействии
с электронным волновым полем. Тогда Ф^ имеет смысл опе-
операторов поля, обозначавшихся в § 17 через <|>v. К гамильто-
новой функции B1.9), представляющей кинетическую энергию
электронов и их взаимодействие с электромагнитным полем
[соответственно 2 "(л) в § ^» СР- 07.9,11)], прибавляется
п
гамильтонова функция электромагнитного поля в вакууме;
далее, функцию Шредингера всей системы надо подчинить
известным дополнительным условиям, гарантирующим спра-
справедливость уравнений Максвелла, что ведёт к исключению
продольных цветовых волн, как и в § 17. Мы не будем про-
производить здесь вычислений, потому что они вполне сходны
с прежними и приводят к аналогичным результатам [ср. A7.46,
47)]: в гамильтоновой функции остаются только попереч-
поперечные компоненты поля (Фо—*0, Ф—+Ф1г)> а вместо энергии

§ 21] ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 229
продольных световых волн появится кулоновская энергия элек-
электронов [ср. A7.35 до 39)]:
нс_1 Г dx Г dx> ? (*) f (¦*')
" — 8Od J dX \x~x'\ '
|л:-лг'| '
где р =— /етгф1). Далее, можно подражать и многовремен-
многовременной формулировке квантовой электродинамики (§ 18), причём
роль отдельных электронов в конфигурационном пространстве
переходит к квантованному электронному волновому полю,
временная координата которого tx, заменяющая времена tn
отдельных электронов, должна отличаться от времени максвел-
лова поля t. В дальнейшем мы ограничимся случаем заданного
поля Фу, но иногда будем рассматривать и максвелловское
поле как квантованное.
Чтобы рассмотреть действие слабого поля по теории воз-
возмущений, напишем гамильтонову функцию B1.9)
+ ,
Я° = — CTt{(a-grad) — Щ\$* \ B1.16)
J/f = ien {(а-Ф) — Ф0}ф. j
Если разложить далее ф и тг по собственным функциям сво-
свободных электронов по B1.11), то
=\4хН = ?Р \ И',
mt n
где
L [d{№® B1Л7)
При этом допустимо сразу перекалибровать И0 в смысле дира-
ковской 'теории дырок путём вычитания постоянной 2^/я
[ср. B0.42, 43)]: (^<о)
J.l<4, BМ8)
(Ет > 0) {Еп, < 0)
) Надо учесть, что р (л:) и р(лг'), по B1.10), коммутируют
1?()> р(х')] = 0} поэтому коммутируют также pk и р^'[ср. A7.27
и ниже)].

230 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [ГЛ. V
Возмущающая функция Н' описывает вызванные полем <5V
переходы между невозмущёнными (свободными) состояниями,
причём слагаемое m, n в B1.17), по B0.18), отвечает пере-
переходу электрона из состояния п в первоначально свободное
состояние т. При этом свободные уровни отрицательной части
спектра снова должны истолковываться как позитроны: если
рассмотреть, например, член т, я, в котором Ет^>0 и
Еп<^0, то это отвечает рождению электронно-позитронной
пары: Wm=0-*lf Nn = 1 -*0 или ЛГл = О-> 1 [ср. B0.43)].
Оставляя в стороне обобщение и уточнение общей формули-
формулировки позитронной теории, рассмотрим сначала ход расчётов
на примере рассеяния света на свободном электроне.
Матричный элемент двухстепенного перехода а—*z—*e
напишем, как в G.10):
# B119)
Рассмотрим сначала переход, при котором первоначально
существовавший квант света с энергией Ашд сперва поглощается
электроном, находящимся в состоянии та(Ета">0)> а потом
испускается с энергией /го)^ Такой переход прибавляет к Н"еа
следующее выражение1):
rjeznza um9mz итё ат? стгтд umzama
а
?'(Em)?'(Abs)
[cp. B0.18) и ниже]. Состояния mz, которые были сначала
заняты (Vm<5=l), ничего не прибавляют к B1.20); соответ-
соответствующие переходы a—+z запрещены по принципу Паули. Это
относится ко всем уровням с отрицательной энергией (Етг <^ 0)
в случае, если принято, что вначале не было позитронов, т. е.
1) Целесообразно не подставлять для элементов матриц дл,а*т
специальных числовых значений, а считать Н^а как матрицу относи-
относительно Ыъ N2,... [подобно тому как в (9.19) входит матрица отно-
относительно зарядных чисел 1\, Х2% ...].

§ 21] ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 231
дырок, в отрицательной части спектра. Вместо этого уровни,
первоначально занятые, приводят к переходам такого рода:
сначала испускается световой квант h(ae, причём первоначально
занимавший уровень т2 электрон перескакивает на конечный
уровень те, а начальный электрон уровня та попадает в по-
получившуюся дырку тг путём поглощения начального светового
кванта /код:
/4 Я* Е1^атгатл.Г>™а\ атг
4
c-'(Era)F'(Abs)
И°а-Н°г
[Относительно знака учтена некоммутативность матриц а и а*;
матричные элементы ?^(^т) и ?l^s) здесь имеют тот же
смысл, что и в B1.20).] Так как процесс рассеяния может
итти только с сохранением энергии, должно быть
и, следовательно, сумма обоих членов B1.20 и 21) не зави-
зависит от Nmz и равна
(Abs)
т. е. каждый уровень тг, безразлично, занятый или свобод-
свободный, прибавляет тем или иным путём одну и ту же величину
к сумме B1.19). Легко видеть, что то же самое относится
к другому классу переходов, которые отличаются от рассмо-
рассмотренного тем, что в них переставлены порядком испускание
и поглощение. В совокупности получается:
р
Если процесс рассеяния не запрещён вообще принципом Паули
(т. е., поскольку в начальном состоянии ЛГ^а=1, Nme=0),
вероятность рассеяния, по B1.22), очевидно, точно такая же,
как в неквантованиой дираковской волновой механике (без

232 квантование волнового поля [гл. v
теории дырок), и отвечает известной формуле Клейна и Ни-
шина1), а, в частности, в нерелятивистском случае — класси-
классической томсоновской формуле рассеяния (ср. § 17). То же
относится к рассеянию света на позитронах.
Другие вопросы, которые, по B1.17), могут быть рас-
рассмотрены с помощью теории возмущений, — это образование
и противоположный ему процесс аннигиляции электронно-
позитронной пары. По причинам, связанным с сохранением
энергии и импульса, для этих процессов, как и для рождения
мезонных пар в § 11, необходимо дополнительное электро-
электромагнитное (или электростатическое) поле2).
Метод возмущений, набросанный здесь, приводит к удо-
удовлетворительным результатам только для весьма ограниченного
круга вопросов. В других случаях, даже отвлекаясь от квантово-
электродинамических собственных энергий, суммы по вирту-
виртуальным промежуточным состояниям расходятся. Примером
является поляризация вакуума, происходящая, как и в ска-
скалярном заряженном поле (ср. § 11), от образования виртуаль-
виртуальных пар при включении электрического поля «в вакууме»; про-
происходящая от этого плотность заряда бесконечна, даже и после
вычитания «заряда вакуума» без поля. Этим ставится вопрос,
как вообще разумно определить величину заряда и энергии-
импульса электронов в поле.
Дирак8) и Гейзенберг 4) предложили метод вычитания, ко-
который отвечает на этот вопрос и в то же время симметричен
относительно знака заряда (ср. § 20). Мы должны будем удо-
удовлетвориться краткой характеристикой метода.
Как и в случае отсутствия поля, вводится матрица плотно-
плотности /w(jc,?; x', t'), выражение которой через операторы ф3,тта
и электромагнитное поле должно быть найдено. С её помощью
*)Klein и Ni shin a, Zs. f. Phys. 52,853,1929, ср. Гайтлер,
Квантовая теория излучения, § 16.
2) Оппенгеймер и Плессет (Oppenheimer и PJes-
set), Phys. Rev. 44, 53, 1933; Гайтлер и Заутер (Heit-
1ег и Sauter), Nature 132, 892, 1933; Бете и Гайтлер
(Be the и Н е i 11 е г), Ргос. Roy. Soc. 146, 83, 1934. Ср. Гайтлер,
Квантовая теория излучения, § 20. Из процессов аннигиляции важ-
важнейший происходит с испусканием двух квантов (Dirac, Ргос.
Cambr. Phil. Soc. 26, 361, 1930); ср. Гайтлер, там же, § 21.
3) Ргос. Cambr. Phil. Soc. 30, 150, 1934.
¦) Zs. f. Phvs. 90, 209, 1934.

§ 21] ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 233
величины тока и тензора энергии-импульса представляются
следующим образом:
лу спи ^j \\iLiqq' \Z\.Zo)
в, а'
7^=1@^ + 0^),
- — • " * B1.24)
,
где, согласно B1.1), dv, д* имеют следующее значение:
^ 4 Ф (*>'>' dr=-^ + |*v(^O. B1.25)
4
Для Фу = 0 эти определения несколько превосходят по общ-
общности определения § 20 B0.48, 49) в том смысле, что в них
ещё не произведён предельный переход V—>t и х'—+х\
так что через B1.23, 24) sv и 7^ определяются как матрицы
относительно пространственно-временных переменных; пред-
предполагается, что настоящие плотности получатся путём даль-
дальнейшего предельного перехода. Чтобы имело место уравнение
непрерывности для четырёхмерного тока, достаточно потре-
потребовать, чтобы матрица плотности удовлетворяла такому диф-
дифференциальному уравнению:
ибо тогда J(^-|-^)s, = 0 или, в пределе x',t'—*x,f no
B1.25): V
Далее, из B1.26) следует
учитывая, что по B1.25) [ср. A3.6)]

234 квантование волнового поля [гл.
будем иметь
и в пределе x\f —>лг, t:
4
Чтобы выполнилось и равенство
и- ^ и-
кроме B1.25), надо потребовать и
^ + <)(в^-в^) = 0. B1.27)
и-
Если подставить в B1.23, 24)
получаются снова выражения B1.4, 5), из которых не вычтены
вакуумные члены. Желая построить матрицу плотности, со-
составленную в смысле дырочной теории, примем, по Дираку
и Гейзенбергу, как и в случае, свободном от поля, такое
выражение:
г — R + S, B1.28)
j*', П ф, {х, t) -1 {x, t) ft (^ f)} B1.29)
(ф1" == /ф*р == fip/A). Как следствие уравнений Дирака B1.3)j
матрица R удовлетворяет дифференциальным уравнениям:
v p

§ 21] ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 235
Складывая эти уравнения и суммируя по J, а', полу им
т. е. /?-часть г подчиняется уравнению B1.26). Легко про-
проверить, что для Участи выполняется и требование B1.27).
Надо потребовать того же и от S-части, которая без поля
даётся B0.55, 56). При этом', по идее метода вычитания, от
S требуется, чтобы оно не зависело от состояний электро-
электронов, т. е. не должно явно содержать операторов ф, d/l* y но
допускается явная зависимость от электромагнитных потенци-
потенциалов и их производных, конечно, при соблюдении релятивист-
релятивистской и калибровочной инвариантности.
Остаётся только определить при должных ограничениях ма-
матрицу S так, чтобы оператор г = /?-}-5 давал в пределе
х\ f —> х, t при всех обстоятельствах конечные результаты, при-
причём для определения S существенны только те члены, которые
задают предельные значения sv и Т^ (х\ ?—*х, i). В этом
обьёме задачу, в основном однозначно, решил Гейзенберг !),
основываясь на работах Дирака. Мы не будем входить здесь
в сравнительно длинные вычисления и удовлетворимся краткой'
характеристикой полученной Гейзенбергом исправленной га-
мильтоновой функции Н = J dx ( — T4i -f- рФ0). Она содержит,
кроме B1.16), вычитаемые члены, являющиеся единичными
матрицами относительно чисел электронов Nm и в сложной
форме зависящие от 4>v и их производных; при этом Ф„
всегда множится на элементарный заряд eh. Если разложить
И по степеням электронного заряда в смысле теории воз-
мущений н^
то нулевой член Н^\ конечно, такой же, как и без поля,
т. е., как B0.42, 43) или B1.18), но прибавляется ещё
энергия световых квантов, поскольку максвелловское поле
считается квантованным. Далее,
#0) = ^Emm Nm—^EmmNm-\- ^E'mm amani
m m шфп
(Em > 0) (Em < 0)
i) Гейзенберг (Н eise nb e rg), Zs. f. Phys. 20, 209, 193Ф
При этом остаётся, кажется, ещё один пробел, так как не проведена
справедливость условия B1.27) для части S..

236 квантование волнового поля [гл. v
где Е* — матрица, определённая в B1.17). В отношении
членов суммы т=^=п, конечно, HW совпадает с употребляв-
употреблявшейся раньше возмущающей функцией Н' B1.27); этим
подтверждается рассмотренная выше теория образования
пар, рассеяния света и т. п., так как гейзенберговская воз-
возмущающая энергия второго приближения НМ ничего не
прибавляет к соответствующим квадратичным в заряде матрич-
матричным элементам. В задачах, требующих более высоких при-
приближений, метод становится гораздо сложнее. Тогда как
в #(°) и //W можно прямо подставить предельные значения
при *', t' = x, t, в высших членах Н&\ ... надо вер-
вернуться к соответствующим плотностям //B),..., причём их
надо понимать как матрицы относительно пространства — вре-
времени, потому что предельные значения не обязательно конечны.
Чтобы образовать из матриц интегральные величины Шк\
положим
(для упрощения принято t' — i) и проинтегрируем по л;-про-
странству при постоянном S:
Предельный переход S —>0 может быть, как правило, про-
произведён только в конце вычислений, например во втором
приближении, в матричных элементах
и тогда получается конечный результат. /?-члены ничего не
прибавляют к //B), //<3>, ..., поэтому каждая из более
высоких по порядку возмущающих функций (k ^ 2) по-
постоянна в числах электронов и позитронов (jVw, AQ, т. е.
относительно последних она является единичной матрицей,
а зависимость возмущающей функции от потенциалов <[\
даётся 5-матрицей. Как сравнительно простой пример, при-
ведём //(О: , .
" —4а*\е ) he\4f{x> 151/ '
и более высокие члены исчезают для 5 =

§ 21] ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 237
Значение гейзенберговских членов Н&\ f-fl*\HW суще-
существенно, главным образом, для электродинамики. Так как
функция Гамильтона содержит члены третьего и четвёртого
порядка в Фу, электромагнитные уравнения уже не строго
линейны, т. е. при сильных полях надо ожидать отклонений
от принципа суперпозиции. Наглядно это можно Представить
так, как будто вызванная полем поляризация вакуума обратно
действует на поле, причём это действие нелинейно (подобно
тому, как в поляризуемой среде с зависящей от поля диэлек-
диэлектрической постоянной). Как о типично нелинейном эффекте
упомянем о рассеянии света на свете или на электрическом
поле. Эти эффекты качественно понятны уже на основе при-
примитивного представления о дырках1): взаимодействие двух
световых квантов, приводящее к рассеянию, можно представить
себе через посредство виртуальных электронно-позитронных
пар, поглощающих и испускающих кванты, принципиально
аналогичным путём с электромагнитным взаимодействием двух
электронов через обмен световыми квантами. Но только спо-
способ вычитания Гейзенберга даёт достаточно малую вероят-
вероятность рассеяния света светом (в частности, при низких ча-
частотахJ): в относящемся сюда матричном элементе четвёр-
четвёртого порядка относительно е часть от //(*) в большой
степени компенсируется членом //D); последний содержит
матричные элементы, отвечающие исчезновению и возник-
возникновению двух квантов, без изменения состояний электронов;
в Н^ Ф надо, конечно, понимать как заменённый опера-
оператором, названным ф в § 16. Для рассеяния света электри-
электрическими полями при не слишком больших частотах тоже
получается эффект, величина которого вряд ли наблюдаемого
порядка8).
Если все встречающиеся длины волн велики по сравне-
сравнению с комптоновской длиной волны электрона, то не зави-
зависящие от электронов эффекты, повидимому, можно описать
1) Гальперн (Hal pern), Phys. Rev, 44,855, 1933; Дель-
Дельбрюк (D e 1 b г U с k), Zs. f. Phys. 84, 144, 1933.
2) Эйлер (Eulerj, Ann. d. Phys. 26, 398, 1936.
8) Э й л e p (E u 1 e r), Ann. d. Phys. 26,398,1936; Гейзенберг
и Э й л e p (H e i s e n b e г g и E u 1 e г), Zs. f. Phys. 98, Z14,1936; В а й с-
копф (Weifikopf), Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Math.-fys. Medd-
XIV, 6,1936; Кеммер (Keramer), там же.

238 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ [ГЛ. V
единой функцией Лагранжа для электромагнитного поля
(Эта функция Лагранжа напоминает выражения нелинейных
теорий поля Ми и Борна, которые стремились к «единому»
описанию поля и заряженных частиц. Но кажется весьма
сомнительным, не является ли эта связь чисто формальной,
так как основные идеи этих двух теорий весьма отличны.)
В отношении проблемы о собственной энергии метод
вычитаний Дирака-Гейзенберга не приводит ни к каким успе-
успехам. В квантовой электродинамике собственная энергия элек-
электрона всё равно остаётся бесконечной; правда, интеграл по
импульсному пространству расходится только логарифмиче-
логарифмически1); но как раз это обстоятельство ставит под сомнение,
можно ли решить задачу в теории со многими временами,
подобно тому как это делалось при описании электронов
в конфигурационном пространстве. Далее, в дырочной теории
и световой квант обладает собственной энергией благодаря
своей способности создавать виртуальные электронно-пози-
тронные пары; формализм Гейзенберга приводит здесь тоже к ин-
интегралу, расходящемуся логарифмически. Если значения импуль-
импульсов обрезаются, то собственная энергия во втором прибли-
приближении мала по сравнению с невозмущённой энергией4 (Ет и
соответственно /zc|&|), даже когда обрезание произведено
при значении импульса, во много раз большем тс; это
связано, во-первых, с логарифмич?ским характером расходи-
расходимости и, во-вторых, с малостью израметра связи e2hjc. Как
отмечалось выше, способ обрезания может считаться только
временной мерой, потому что он нарушает релятивистскую
неинвариантность теории.
1) Вайскопф (WeiDkopf), Zs. f. Phys. 89, 27, 1934 и 90,
817, 1934; Phys. Rev. 56, 72, 1939.

ГЛАВА VI
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
§ 22. Частицы с более высоким спином.
Спин и статистика
Типы полей, подробно рассмотренные в предыдущих
главах, выбраны частично из-за их сравнительной простоты,
частично из-за их предполагаемой или установленной связи
с опытными фактами для известных элементарных частиц:
мезонов, фотонов, электронов.
В отношении других, более сложных полей мы удовле-
удовлетворимся только кратким обзором, уже ввиду того, что при
их рассмотрении возникают быстро растущие с числом ком-
компонент поля формально-математические усложнения; кроме
того, нет указаний на то, что в природе на самом деле
встречаются такие поля, за исключением «гравитационных
волн», к которым мы вернёмся позже.
Как мы видели, существует связь между характером
релятивистского преобразования поля и спином частиц, опи-
описываемых квантовым полем: скалярное поле описывает частицы
снулевым спином, векторное—соспином1,а электроны со спи-
спином тг описываются «спинорным» дираковским полем. Отсюда
легко усмотреть обобщение на целочисленный спин: частице со
спином 5 отвечает тензорное поле s-го ранга. При полуцелом
спине (s = 3 2, 5/2,...) математический способ построения
поля с требуемым характером преобразования даётся «спи-
«спинорным исчислением» Ван-дер-Вардена *), которое мы рассма-
рассматривать не будем. Это исчисление позволяет описывать
1) Van der Wae'den, Die gruppenthcoretische Methode in
der Quantenmechanik, Berlin, 1932.

240 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [гл. VI
единым методом как целый, так и полуцелый спин *), причём
при целом спине допускается переход от спиноров к тензорам.
Однако, если мы хотим, чтобы определённые тензорные,
соответственно спинорные, поля описывали только, частицы
со вполне определённым спином s, нужно ещё на эти поля
наложить дополнительные ограничивающие условия. Пример
этого мы видели в § 12; там на векторное поле ф^ накла-
накладывалось дополнительное условие равенства нулю диверген-
дивергенции A2.2), чем избегалось появление, кроме частиц со
спином 1, ещё частиц с нулевым спином; так как последние
имели бы, кроме того, отрицательную энергию, условие
A2.2) делает энергию положительно определённой. Ту же
роль играют дополнительные условия и при ббльшем спине.
Чтобы показать, как обобщается при большем спине ранее
применявшийся формализм, рассмотрим кратко спин 2. Пусть
ф—симметричный тензор второго ранга, шпур (диагональ-
(диагональная сумма) которого равен нулю:
Не только каждая компонента ф^7 должна удовлетворять
уравнению Шредингера-Гордона
(D-H2)<5vv = O, B2.2).
но, кроме того, аналогично A2.2), требуется, чтобы обра-
обращалась в нуль векторная дивергенция тензора ф:
- = 0. B2.3)
И- ^
В неквантованной теории представим ф как плоскую
бегущую волну:
где
1) Дирак (Dirac), Proc. Rov. Soc. 155, 447, 1936; Фирц
(Fierz), Helv. Phys. Acta 12, 3, 1Й9.

§ 22] ВЫСОКИЕ СПИНЫ. СПИН И СТАТИСТИКА 241
и сосчитаем, сколько есть независимых волн при заданном
волновом векторе k. Для простоты перейдем к системе, где
k — Q (система покоя частицы в квантованной теории), тогда
и условие B2.3) даёт
Если масса покоя не равна нулю, т. е. jx^O, то'в этой
системе обращаются в нуль все компоненты фь = фу4 и
остаются только независимые компоненты трёхмерного тен-
тензора ty{k со свойствами
Число их равно 5, т. е. 2s-f-1. Из способа преобразо-
преобразования этих компонент при вращении пространственных коорди-
координат легко заключить, что принадлежащие частице пять
состояний в квантованной теории как раз соответствуют пяти
возможным ориентациям спина 2.
В частном случае ]х = 0 имеет место аналогия с электро-
электромагнитным полем (s=l, ср. § 16). В этом случае существуют
преобразования калибровки [аналогично A6. 4)], оставляющие
уравнения поля инвариантными. Например, уравнения B2.1, 2, 3)
с jx = O не изменяются, если заменить ф^ на ф^-J-
т~л—" "ГЛ"» где ^v — векторное поле, удовлетворяющее
условиям DAv = 0, и ^д\^дХу = 0. Если, как в электроди-
V
намике, считать физически эквивалентными два состояния
поля, переходящие друг в друга при калибровочном преоб-
преобразовании, то при заданной частоте и .направлении распро-
распространения волн будут только два независимых состояния
поляризации, так же как и у света. Это справедливо при
всех s=fcO.
Задача построения такой функции Лагранжа, чтобы не
только волновые уравнения, но и дополнительные условия
одновременно получались из дифференциальных уравнений
Эйлера вариационного принципа [как при 5 = 1 из функции
16 Вен-щель

342 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. VI
Лагранжа A2.5)], может оказаться довольно сложной1).
Простейшее выражение при s = 2 таково:
B2.4)
здесь ф^ заранее считается симметричным тензором, а ф
имеет значение
<22-5>
Вариация по десяти независимым компонентам ф^ Даёт урав-
уравнения поля
ПА У( *** I ^ ^ I
- ?*)-^(^-U) = °- B2-6)
Если применить слева ряд операторов
V JL . V <*
*tдх* '?? дх+дх-
то последует:
B2.7)
Я-
^vH' B2-8)
дЧ
- — B П — 3;л2)ф = 0 v B2.9)
i) Ср. Ф и р ц и П а у л и (F i e г z и P a u 1 i), Proc. Roy. Soc. 173,
211, 1939. Встречающиеся в этой работе функции Лагранжа содержат
и вспомогательные поля, принадлежащие меньшему спину, исчезнове-
исчезновение которых тоже следует из вариационного принципа. Влияние внеш-
внешнего электромагнитного поля можно учесть заменой в этих функциях
Лагрпнжа d/d*rv на dv и д* [ср. A3.2) и B1.1)]. Здесь мы будем
рассматривать только «поля в вакууме», отвлекаясь от внешних сил.

§ 22] BUGOKHE СПИНЫ. СПИН И СТАТИСТИКА 243
Б случае ^^0 из B2.8 и 9) следует, что
ф = 0, B2.10)
и тем самым из B2.7)
Тогда B2.6) означает, что и
(? —V?)%4 = 0. B2.12)
При jx = O следствия B2.10, И, 12) больше не получаются
из B2.6), потому что B2.7, 8) вырождаются в тождества; это
отвечает случаю 5 = 1. Если подставить в уравнения B2.6, 9)
jjl=o, то они переходят в эйнштейновские уравнения слабо
гравитационного поля в пространстве, лишённом материи;
Ф тогда означает отклонение фундаментального метрического
тензора g^ от единичного тензора
а члены, квадратичные в Ф^, отброшены !). Если ещё ввести
поле
ф' =ф —It ф
то, как показал Гильберт*), можно путём преобразования
координат, не меняющего порядка величины Ф' достичь того,
чтобы
что соответствует преобразованию калибровки поля2); тогда
B2.6, 9) сводится к
') Ср., например, Паули, Encykl. d Math. Wissensch. 2, § 60.
ф^у—"здесь, конечно, «действительный» тензор. Ср. также Ландау
и Л и ф ш и ц, Теория поля, § 98.
2) Уравнения B2.6, 9) (при ц—О) инвариантны относительно пре-
16*

244 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [гЛ. V!
Плоские волны, удовлетворяющие этим уравнениям, имеют
только два неэквивалентных состояния поляризации*); эти
«гравитационные волны» тождественны с вышеупомянутыми
решениями уравнений Фирца для s = 2, jji = O. Им отвечают
частицы квантованной теории, «гравитационные кванты» («гра-
(«гравитоны»), имеющие спин 2/г, который может ориентироваться
только параллельно или антипараллельно направлению распро-
распространения.
Другая задача состоит в том, чтобы построить тензоры
энергии-импульса, удовлетворяющие уравнениям сохранения
B.7), а для комплексных (заряженных) полей согласующиеся
с уравнением непрерывно ти C.12) для плотности заряда и
тока. Это сделано впервые Яухом и Фирцем2). Особенно
образования калибровки
где Л, — произвольное векторное поле. Этому соответствует преоб-
преобразование
так чю
при надлежащем выборе Av это выражение можно сделать равным
нулю так же как и шпур
*) Эйнштейн (Einstein), Berliner Berichte, 1918,стр. 154.
а) При рассмотрении свободного поля получаются (кроме случая
$ = 0) многие способы определения T|lv и ^v, причём интегральные
величины \dxT^ и \ dxsi (энергия, импульс и заряд) определяются
однозначно; только локализация их в поле оказывается многозначной.
Так, например, для s«=l к плотности тока A2.7) можно прибавить
«ток поляризации»

§ 22] ВЫСОКИЕ СПИНЫ. СПИН И СТАТИСТИКА 245
важны выводы относительно знака энергии и заряда. Мы ви-
видели выше, что в случаях s=\ и s О плотность энергии
положительно определённа. При больших спинах это уже не
так; но при целом спине, по крайней мере, полная энергия
положительно определённа, тогда как общий заряд неопреде-
неопределёнен. Наоборот, при полуцелом спине, как в частности при
5 = ~ (ср. § 20), заряд определённа энергия не определена:
не предуказан знак энергии. Для квантования поля это имеет
те же следствия, с какими мы имели дело в теории электро-
электронов и позитронов.
При квантовании полей со спином, ббльшим 1, возникает
новое усложнение В скалярной теории (§ 6 и 8) канонические
перестановочные соотношения A.7) и C.9) непосредственно
давали релятивистски инвариантный метод квантования. В слу-
случае 5=1 (§ 12), вследствие дополнительного условия A2.2),
канонические правила перестановки были неприменимы к лиш-
лишней компонен. е поля ф4; но всё же <Ь4 могло быть исключено,
и тогда канонический формализм снова приводил к инвариант-
Y = const.)f не нарушая уравнения непрерывности; этому отвечает
изменение функции Лагранжа на дивергенцию:
д
Для s =-п" соответствующая подстановка такова:
Но функции плотности однозначны, если рассматривать заряженные
частицы в электромагнитном поле и приписать им определённые урав-
уравнения движения. В случае 5=1 это означает выбор константы у в
дополнительном члене функции Лагранжа (§ 13, стр. 89—90), т. ^,
выбор магнитного спинового момента частицы,

246 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. VI
ным перестановочным соотношениям. При большем спине число
дополнительных условий и лишних компонент поля быстро
увеличивается, и оказывается, что их уже нельзя исключить
тем же способом, как при 5S1. Но и без помощи канони-
канонического формализма удаётся достигнуть релятивистски инва-
инвариантного квантования. Фирц установил инвариантные пере-
перестановочные соотношения, справедливые при любом спине,
совпадающие при s:5Sl с выведенными ранее F.8), (8.8),
A2.22, 23, 24), B0.39) и обобщающие их. Они удовлетворяют
общим требованиям формализма квантовой теории, так как
из них для любой величины, не содержащей времени, явно
следует операторное уравнение <р = ijh»[Н, <р]. Корпускуляр-
Корпускулярные свойства квантовой системы выражаются, например, в том,
что собственные значения энергии получаются в виде суммы
энергий частиц h(uk.
Для пояснения приведём перестановочные соотношения
Фирца для случая 5 = 2, jx^O (комплексное поле). В тех же
обозначениях, что и выше, и с сокращением
[ср. A2.24)] перестановки имеют вид
)(x — x\t — t'). B2.13)
Легко проверить, что эти соотношения совместимы с уравне-
уравнениями поля B2.1, 2, 3), если учесть, что инвариантная функ-
функция удовлетворяет уравнению Шредингера-Гордона; например,
свёртывание правой части B2.13) по индексам ja, v даёт нуль,
в согласии с B2.1), из-за того, что
1 д2

§ 22] ВЫСОКИЕ СПИНЫ. СПИН И СТАТИСТИКА 247
Уже указывалось на важность того обстоятельства, что при
полуцелом спине E=1/2, 3/2,...) знак энергии в некванто-
ванной теории неопределёнен. Единственный способ получить
в квантовой теории положительно определённую энергию —
это перенести дырочную теорию позитрона и рассмотренный
в § 20 способ вычитания на частицы с большим спином; в'
частности, вакуум надо отождествить с тем состоянием, в ко-
котором заняты все состояния с отрицательной энергией и сво-
свободны все состояния с положительной энергией. Но, что-
чтобы говорить о «заполненных» состояниях вообще, надо
квантовать по принципу Паули, т. е. правила перестанов-
перестановки надо относить к антикоммутаторам (к скобкам с ин-
индексом -)-).
Требование, чтобы энергия в квантовой
теории всегда была положительно определён-
определённой, выполнимо только на основе предполо-
предположения, что частицы с полуцелым спином во-
вообще подчиняются принципу Паули.
С другой стороны, если попробовать применить принцип
Паули к частицам с целым спином (s = 0,l,...)» т. е. под-
подставить плюс в их перестановках, то получится математиче-
математическое противоречие. Оно основано на том, что антипереста-
антиперестановка оператора с эрмитовски сопряжённым с ним оператором
([а, а*]+ = аа*-\-а*а) положительно определённа, тогда как
выражение, которому она была бы равна при релятивистски
инвариантном квантовании, имеет оба знака. Для целочис-
целочисленного спина квантование по принципу Паули
невозможно. Перестановка с минусом, напротив, не ве-
ведёт к противоречию ([а, а*] = аа* — а*а неопределённа по
знаку).
Наиболее общее доказательство этих выводов принадлежит
Паули1). При этом частный вид уравнений поля остаётся
произвольным, и не предуказывается никакое особое значение
спина; по свойствам преобразования компонент поля по отно-
отношению к преобразованиям Лорентца судят, описывает ли поле
частицы с целым или же с полуцелым спином. Предполагая
релятивистскую инвариантность каждого решения в некванто-
Phys. Rev. 58, 716, 1940,

248 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. VI
ванной теории1), можно сопоставить с ним то решение, в ко-
которое оно переходит при замене a;v на —a:v и одновременной
перемене знака некоторых составляющих поля. Тензор энер-
энергии-импульса, составленный квадратично или билинейно из
функций поля как тензор второго ранга, имеет то свойство,
что значения компонент для обоих решений либо равны, либо
равны и противоположны по знаку, смотря по тому, является
ли спин целым или полуцелым. Этим доказана неопределён-
неопределённость знака энергии ( — W-^u) B неквантованной теории,
а значит, необходимо квантовать по принципу Паули. При
целом спине соответственно не определён заряд. От инвари-
инвариантных перестановочных соотношений Паули требует, чтобы
перестановки и антиперестановки компонент поля могли быть
представлены инвариантной ?>-функцией D.25). Правда, здесь
есть формальная возможность допустить вторую инвариантную
функцию D' [ср. B0.56)]; но так как эта функция вне све-
светового конуса не равна нулю [в противоположность D-функ-
ции, ср. D.34)], то по физическим соображениям пользоваться
D' нельзя, ибо перестановочные соотношения, которые со-
содержат ?>'-функцию, означают, что измерения в двух мировых
точках, разделённых пространственным интервалом, не неза-
независимы, а это предполагает распространение возмущений бы-
быстрее света (ср. § 4, последний абзац). Итак, остаётся только
?>-функция. Но тогда оказывается, что перестановочное соот-
соотношение может непротиворечиво применяться со знаком -(-
только при полуцелочисленном спине; при целочисленном
спине отсюда последовало бы уравнение типа [а, а*]+ =0, бес-
бессмысленное из-за положительно определённого характера левой
стороны. Этим ещё раз доказана в самом общем виде непри-
неприменимость принципа Паули к частицам с целым спином.
Таким образом, релятивистская квантовая теория волновых
полей принудительно приводит к тому, чтобы описывать ча-
частицы с целочисленным спином перестановкой со знаком минус,
а с полуцелочисленным спином—со знаком плюс. Это равносиль-
равносильно утверждению, что к частицам с целым спином необходимо
1) Существенна только инвариантность по отношению к «собст-
«собственной» лорентцовой группе преобразований, с определением 1, т. е.
по отношению к преобразованиям, которые не меняют знака времени
на обратный)

§ 23] перспективы 249
применять статистику Бозе-Эйнштейна, а к частицам с полу-
полуцелым спином-—статистику Ферми-Дирака. Известно, что это
отвечает действительности, по крайней мере, у тех элемен-
элементарных частиц, которые в достаточной мере доступны экспе-
эксперименту: световых квантов, электронов, протонов и нейтронов.
Без сомнения, это один из лучших успехов квантовой теории
поля, нашедшей общее теоретическое обоснование для взаи-
взаимосвязи спина со статистикой на основе постулатов теории
относительности.
§ 23. Перспективы
Желая судить об успехах рассмотренной здесь теории
в целом, надо различать теории с «взаимодействием» и без
него. Теория свободных полей или, соответственно, частиц
вряд ли оставляет желать лучшего. Она объединяет волновое
и корпускулярное описание; стоит особенно вспомнить, что
квантовая природа энергии, импульса и заряда получается как
следствие квантования поля; теория даёт естественную клас-
классификацию элементарных частиц по спинам, причём может
быть обоснована характерная взаимосвязь спина и статистики
в зависимости от свойств соответствующего поля; множество
простых типов полей достаточно богато, чтобы уместить все
известные элементарные частицы в эти рамки.
Напротив, в теориях с взаимодействием последнее слово,
конечно, ещё не сказано. Здесь исходят из представления,
что заданы различные поля или частицы, которые потом вза-
взаимосвязываются путём последующего введения надлежащих
инвариантных добавок к функциям Лагранжа. Применение
аппарата квантовой теории к системам, определённым таким
образом, приводит к некоторым удовлетворительным резуль-
результатам; например, для сил, определяемых полем; но, с другой
стороны, проблемы собственной энергии всегда приводят к
расходимостям, устранить которые пока что можно только неин-
неинвариантными и весьма произвольными «обрезаниями». Удастся ли
здесь помочь чисто формальным изменением теории (ср. § 19),—
кажется, по меньшей мере, спорным. Конечно, теории взаи-
взаимодействия нельзя совсем отказать во всякой ценности: мно-
многие результаты, не зависящие от специального выбора метода
обрезания, кажутся заслуживающими доверия, и можно счи-
считать, что они в основном правильно передают положение дел,

250 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. VI
Тем не менее, нужно подчеркнуть, что эти теории надо рас-
рассматривать всё же как предварительные, с ограниченной об-
областью применимости.
Из классической электронной теории Лорентца известно,
как связана проблема собственной энергии с вопросом об
«электромагнитной массе». Те же вопросы, на которые в рам-
рамках классической теории поля пытались ответить на основе
гипотез о пространственно-протяжённом строении электрона
и действующих в нём силах связи !), возникают здесь снова
в несколько изменённой форме. Что для ответа на них в кван-
квантовой теории недостаточно приписать электрону пространст-
пространственную протяжённость и, тем самым, обрывающий множитель,—
уже указывалось; к тому же это едва ли было бы совместимо
с представлением об электроне как элементарной частице.
Хотя путь к удовлетворительному решению ещё скрыт от нас,
возникает впечатление, что проблема собственной энергии
теснейшим образом связана с вопросом о массах элементар-
элементарных частиц. В то время как в формализме нынешней теории
постоянная массы покоя (л играет роль параметра, выбирае-
выбираемого произвольно, в будущей теории может подняться во-
вопрос— независимо от того, приводит ли взаимодействие с дру-
другими полями к дополнительной инерции, — о значении величины
массы или о значении отношений масс элементарных частиц.
Если раньше можно было в упомянутых классических ис-
исследованиях рассматривать электромагнитное поле (наряду с
гравитационным) как единственный агент, так что казалось
правомерным искать «единую теорию» на электромагнитной
основе, то теперь такое ограничение проблемы никак не от-
отвечает современным знаниям. Кроме электромагнитных сил,
нужно учесть, например, ядерные, неэлектромагнитный харак-
характер которых несомненен, даже если не соглашаться с мезон-
ной теорией. Например, можно предполагать, что массы про-
протона и нейтрона обусловлены, главным образом, инерцией
связанного с ними «ядерного поля», тогда как электромагне-
электромагнетизм приводит только к малым поправкам; это объяснило бы,
почему массы протона и нейтрона приближённо равны и ве-
велики по сравнению с массой электрона. Точно так же, как
и о массах, можно задать вопросы и о других свойствах эле-
Ср. П а у л и (Р a u I i), Encykl. d. Math. Wissensch. 2, § 63 до 67,

§ 23] ПЕРСПЕКТИВЫ 251
ментарных частиц. Что касается спина, то мы, правда, видели,
что наименьшие значения (s = 0,1 и 1/2) выделяются особой
простотой формализма; но это ещё не объясняет, почему
в природе встречаются только частицы с малым спином, не
говоря уже о том, почему определённые значения спина ком-
комбинируют только со вполне определёнными массами и за-
зарядами.
Так же мало мы знаем, почему взаимодействия между
различными элементарными частицами именно таковы, как они
есть, а не осуществлены другие, формально возможные. Сюда
относится вопрос о числовом значении безразмерной постоян-
постоянной e^jhc, определяющей взаимодействие между электроном
и световым квантом1) (зоммерфельдова постоянная тонкой
структуры). В квантовой электродинамике это численное
значение берётся из эксперимента (e2jhc= 1/137, если эле-
элементарный заряд измерен в обычных, а не «хэвисайдовских»
единицах). Такой «параметр связи» входит, конечно, в каждое
. взаимодействие. Особый случай возникает, если параметр
связи исчезает, т. е. взаимодействие не существует; но и это
не следует из теории, а получается эмпирически.
Представим себе, например, взаимодействие между прото-
протоном, позитроном и электромагнитным полем, которое сделало
бы возможным спонтанное превращение протона в позитрон
с испусканием кванта2); такое взаимодействие, формально до-
допустимое, не подтверждается известной из опыта стабиль-
стабильностью протона.
Веб это показывает, что квантовая теория волновых
полей в её современном виде представляется слишком широ-
широкой и всеобъемлющей схемой, заключающей гораздо больше
теоретических возможностей, чем их реализуется в природе.
Очевидно, вопрос о численном значении параметров связи
имеет отношение к проблеме масс, и можно предполагать,
1) В выражении для взаимодействия A7.14) и B1.17) сила взаи-
взаимодействия определена множителем е (еа или sh), так что величина
ejYhc играет роль безразмерного параметра.
2) Соответствующее выражение возмущающей функции было бы
2 сйт№о?<&ч + компл. сопряж., где <J> ?r 4»v — волновые функции
протона, позитрона и светового поля; коэффициенты срг, (с точностью
до общего множителя; определены из требования лорентцовской ин-
инвариантности.

252 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [гл. VI
что проблема собственной энергии может быть решена только
в общей связи с ним. По всему кажется, что для этого нужна
совсем новая мысль, которая в настоящей теории отсутствует.
До этого придётся пользоваться вспомогательными средствами
типа обрезаний, что так же правомерно, как в классической
электронной теории, красивые и бесспорные результаты ко-
которой тоже могли быть получены только при отстране-
отстранении более глубоких вопросов о строении массы электрона.
В том же смысле, как и классическую, квантовую теорию поля
можно считать в современном виде законченной дисциплиной.
«Классический радиус электрона» получается, как известно,
порядка величины e^jmc2 ^* 2,8-10~18 см, если принять элек-
электромагнитную массу равной истинной массе т. Всё указывает
на то, что в квантовой теории «радиус обрезания» должен быть
выбран не ббльшим, чем классический электронный радиус,
т. е. обрезание спектра импульсов должно касаться только
значений ^>h-mc2je2 ^ 137 тс. Поэтому результаты теории
должны были бы иметь достоверный характер только для явле-
явлений, в которых играют существенную роль только волны длины
^>e2jmc или импульсы<^137тс. В известных вопросах теория под-'
тверждается и в области больших энергий, например, квантово-
электродинамические формулы для вероятностей процессов
с излучением (тормозное излучение, образование пар) даже и
при очень высоких энергиях согласуются с наблюдениями над
космическими лучами. Гейзенберг1) пытался точнее ограничить
область применимости теории на основе ряда правдоподобных
допущений; при этом вводится «универсальная длина», кото-
которую Гейзенберг принимает порядка классического электрон-
электронного радиуса. Область по ту сторону этой границы — сбелое
пятно», и можно, вероятно, надеяться, что эксперимент, на-
например в области космических лучей, укажет, в каком напра-
направлении надо искать ответ на ещё открытые вопросы,
1) Н е i s е п b e г g Zs. f. Phys. 110, 251, 1938.

НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ.
(Перевод с английского В. Авербаха1))
Обозначения
Греческие индексы относятся к пространственно-временным
координатам (xA = it);
yv — матрицы Дирака, действующие на спиновые
координаты нуклеонного2) поля; ,
Тб = Y1Y2Y3Y4»
/ — индекс изотопного спина (в симметричной
теории принимает значения от 1 до 3);
т,- — матрицы изотопного спина — матрицы Паули,
действующие на зарядную • координату ну-
нуклеонного поля;
ср — волновая функция нуклеонов (8 компонент —
по 4 для протонного и нейтронного состо-
состояний; <p+ = /cp*Y4;
Ф/> Ф/v — (действительные) волновые функции соот-
соответственно псевдоскалярного и векторного
мезонных полей;
jjl v, (i \iv — массы покоя нуклеона, псевдоскалярного и
векторного мезона;
Kps> fps> Sw fv — (действительные) константы связи, имеющие
размерность длины;
Используются рациональные единицы: Й = с=1.
J) Помещено в Reviews of Modern Physics 19, I, 1947.
2) Нуклеон — термин, применяющийся также взамен термина про*
тон-нейтрон, который был использован в основной части этой книги.
(Прим. ред.)

254
НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОрИИ МЕЗОНОВ
Функция Лагранжа системы нуклеонов и мезонов может
быть представлена в виде интеграла по объему I d^x Ly
где
L — LN— Lps -{- U — в псевдоскалярном варианте теории;
L = LN~- Lv-\- Uv — в векторном варианте;
L = LNJrLpSJrLvJrLtpSJrLtv в СЛУчае смеси-
2 Ъ*
-дх -
л — _ I
I*,— 2
/(IV
§ 1. Вводные замечания
Современная математическая теория мезонов, взаимодейст-
взаимодействующих с ядерными частицами, может базироваться только на
квантовой теории полей. Классические теории могут использо-
использоваться в качестве иллюстрации, но в действительных проблемах
неизбежно квантовое рассмотрение: мезоны должны описываться
квантованным мезонным полем. Вследствие этого теория мезо-
мезонов страдает теми же хорошо известными пороками, что
и квантовая эльктродинамика. Поиски выхода из этих трудно-
трудностей занимают главное место в современной литературе по ме-
зодинамике. Существуют как более скромные, так и более
претенциозные теории, удовлетворяющие требованию реляти-
релятивистской инвариантности и внутренне непротиворечивые. Про-
Простейшим подходом к проблеме является применение обычного
метода возмущений (разложение по степеням константы вза-
взаимодействия) с пренебрежением членами высшего порядка,
хотя они и могут быть велики или даже бесконечны. В пользу
этой процедуры, повторяющей принятую в квантовой электро-
электродинамике (где получаются, повидимому, правильные результаты),

§ 1] ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 255
можно привести общие аргументы в духе принципа соответст-
соответствия— или же надеяться на оправдание ее в будущей теории.
Однако ядерные силы, которые, как предполагается, обуслов-
обусловлены взаимодействием нуклеонов с мезонным полем, значительно
больше электромагнитных. Это означает, что параметр разло-
разложения теории возмущений в мезодинамике заметно больше,
чем в квантовой электродинамике (в последней разложение
ведётся по постоянной тонкой структуры Зоммерфельда). Можно
думать поэтому, что в теории мезонов выгоднее разлагать не
по возрастающим, а по убывающим степеням константы вза-
взаимодействия. Такое разложение характерно для теории силь-
сильной связи.
Здесь проблема собственной энергии принимает несколько
иную форму: если нуклеону приписывается малый, но исчезаю*
щий радиус «а», сходимость разложения улучшается с выбором
меньших значений «а», но в случае точечного источника (т. е.
в пределе при а —> 0) инерционные эффекты мезонного поля
становятся бесконечными (исключая случай скалярного поля).
До сих пор не найден способ избежать этой дилеммы, что
препятствует релятивистскому описанию нуклеонов в теориях
сильной связи. С другой стороны, недавно был предпринят
ряд попыток вычесть получающиеся в квантовых теориях по-
полей бесконечности, не входя в противоречие с релятивизмом.
Мы отметим здесь предельный Х-процесс, подкреплённый
новым методом квантования полей, предложенным Дираком,
теорию радиационного торможения Гайтлера и Пенга и теорию
Шгкжельберга, основывающуюся на схеме матрицы 5 Гейзен-
берга.
Все эти вычитательные теории существенно предполагают
слабость связи, так как в них применяется разложение по воз-
возрастающим степеням константы взаимодействия.
Даже из этого поверхностного обзора современной ситуации
явствует, что теории мезоноз могут быть весьма различными.
Об этом всегда нужно помнить при сопоставлении теории с
опытом. Более того, та или иная теория может быть хороша
в одном отношении и явно недостаточна в другом. Например,
вряд ли можно считать очень убедительным тот факт, что не-
некоторые теоретически вычисленные эффективные сечения со-
согласуются с экспериментальными значениями. В то же время,
может быть, гораздо большую ценность может составить кон-

256 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОрИИ МЕЗОНОВ
статация явных несогласий с опытом, позволяющая отбрасывать
те или иные теории. Поэтому для настоящего обзора послед-
последних теоретических работ были выбраны именно такие пункты,
которые обнаруживают не столько достижения, сколько недо-
недостатки и слабые места различных теорий. Итог оказывается
довольно неутешительным: ни одна из существующих теорий
не является вполне удовлетворительной. Означает ли это, что
теория мезонов должна быть полностью отброшена? Пока что
нельзя решиться утверждать это, учитывая незаконченность
квантовой теории полей. Нужно также иметь в виду, что ос-
основные идеи мезонной теории подтверждаются, правда, только
качественно, несколькими поразительными фактами: 1) прибли-
приближённым равенством радиуса действия ядерных сил и компто-
новской длины волны мезонов, наблюдающихся в космических
лучах; 2) j}-распадом мезона, согласующимся, более или менее,
с предсказанием Юкава; 3) аномальными значениями магнитных
моментов протона и нейтрона, указывающими, повидимому, на
существование мезонного облака вокруг нуклеона. Все эти об-
обстоятельства могут стимулировать дальнейшие теоретические
исследования, однако окончательное суждение о теории мезо-
мезонов должно быть отложено до того момента, когда будет до-
достигнут значительный прогресс в релятивистской квантовой
механике.
§ 2. О выборе гамильтониана
Экспериментальные исследования космических лучей достав-
доставляют некоторые сведения об основных свойствах мезонов, но
в высшей степени желательны более полные и надёжные дан-
данные. Массы мезонов (массы покоя) заключены в интервале1)
от, примерно, 20 до почти 1000 электронных масс, но, к со-
сожалению, точность большинства экспериментов весьма мала,
так что можно сомневаться в том, что мы действительно имеем
дело со спектром масс. В теории мезонов обычно выбирается
одно} максимум два значения массы. Для определения спина
1) Н. Maier-Leibnitz, Zeits, f. Phys. 112, 569, 1939. C\f. также
J. A. Wheeler a. R. Ladenburg, Phys. Rev. 60, 754, 1941;
L epri n ce-R i ng u et et Lheritier. J. de Phys. et Radium,
сер. VIII, т. VII, стр. 65, 1945.

§ 2] О ВЫБОРЕ ГАМИЛЬТОНИАНА 257
мезонов данные об образуемых ими ливнях сравнивались с те-
теоретическими предсказаниями *).
Результаты говорят в пользу спина 0 или — и, иовиди-
мому, исключают спин 1; однако, мезоны спина 1 с меньшим
временем жизни могут присутствовать в верхних слоях атмо-
атмосферы 2).
Частицы спина ~ допустимы только в теориях парных сил,
где за элементарный акт принимается испускание нуклеоном
пары мезонов (а не одного, как у Юкава и в обычной тео-
теории). Однако парные теории не могут объяснить зависимость
ядерных сил от спинов3), и мы не будем их рассмат-
рассматривать.
Таким образом, остаются только мезоны спина 0 (скаляр-
(скалярное или псевдоскалярное поле) и, может быть, спина 1 (век-
(векторное поле).
Существование нейтральных мезонов («нейтретто») трудно
доказать, основываясь только на наблюдениях космических лу-
лучей. Хорошо известно, что нейтральные мезоны приходится
вводить в рассмотрение, чтобы объяснить независимость ядер-
ядерных сил от электрического заряда нуклеонов. Этот факт вы-
вытекает из опытов по рассеянию протонов и нейтронов прото-
протонами (в обоих случаях ^-потенциалы оказываются одинаковыми).
Существуют два вида теорий, автоматически обеспечивающих
независимость ядерных сил от электрического заряда; симмет-
симметричная теория Кеммера, в которую равноправно входят как
заряженные, так и нейтральные мезоны4), и «нейтральная»
теория Бете, предполагающая, что нуклсоны взаимодействуют
только с нейтральными мезонами5). Однако эта «нейтральная»
теория вряд ли соответствует исходным идеям мезодинамики.
В самом деле, радиус действия ядерных сил и времена жизни
1) М. Schein a. P. S. Gill, Rev. Mod. Phys. 11, 267, 1939;
R. E. L a p p, Phys. Rev. 64, 255, 1943; R, F. G h г i s t у а. К u s a k a,
Phys. Rev. 59, 414, 1941; S. B. Bat do г f a. R. Thomas, Phys.
Rev. 59, 621, 1941.
2) H. Snyder, Phys. Rev. 59, 1043, 1941.
3) W. Pauli a. Ning H u, Rev. Mod. Phys. 17, 267, 1945; J. M.
Blatt, Phvs. Rev. 69, 285, 1946.
¦) N. Kfemmer. Proc. Camb. Phil. Soc. 34, 354, 1938,
*j H. A. Be the, Phys. Rev. 55, 1261, 1939.
17 Вентцель

258 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
р-активных ядер в этой теории определяются массой и време-
временем жизни нейтрального мезона, которые совершенно отличны
от соответствующих свойств заряженных мезонов, наблюдаемых
в космических лучах. Таким образом, как раз те стороны тео-
теории Юкава, которые сделали её столь привлекательной при
открытии в 1937 г. мезонов в космических лучах, полностью
теряются в нейтральной теории. Более того, нейтральная тео-
теория не может объяснить магнитных аномалий, так как нейтраль-
нейтральное мезонное облако ничего не добавляет к магнитному мо-
моменту. Поэтому её нельзя принимать в расчёт слишком серь-
серьёзно. В дальнейшем мы ограничимся симметричными теориями,
исключая те случаи, когда в других вариантах легче рас-
рассматривать общие проблемы.
Рассматривая только один вид мезонного ноля, мы должны
отбросить скалярный вариант, ибо такие мезоны не могут
взаимодействовать со спином нуклеонов, поэтому, например,
не говоря о других недостатках, нельзя будет объяснить ано-
аномальные магнитные моменты протона и нейтрона. На псевдо-
векторный вариант не обращалось особого внимания — главным
образом потому, что он даёт силы отталкивания в обоих ^-со-
^-состояниях проблемы двух тел в предположении слабой связи 1))
где исследуются «заряженные» теории, включая псевдовектор-
псевдовекторную. В симметричной теории только фактор, зависящий от
изотопической силы, должен быть изменён хорошо известным
образом (см. A0)), однако, этот вариант как будто бы никогда
не исследовался в теории сильной связи. В псевдоскалярном
и векторном вариантах трудности менее очевидны. Нашей
главной задачей будет рассмотрение более тонких проблем,
в которых как раз сказываются эти трудности.
§ 3. Тензорное взаимодействие. Смеси Меллера-
Розенфельда и Швингера
Мы начнём с обсуждения проблемы тензорного взаимодей-
взаимодействия, потому что здесь можно воспользоваться просто теорией
возмущений во втором приближении. В самом деле, поскольку
здесь существенны только знак и порядок величины, и теория
сильной связи и вычитательные теории дают то же самое. По
тем же соображениям достаточно рассмотреть только статиче-
См. N. Kem me г, Ргос. Roy. Soc. 166, 127, 1938.

§ 3] ТЕНЗОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 259
ское взаимодействие (оно получится, если считать нуклеоны
покоящимися). Возможные силы близкодействия E-потенциалы)
всегда предполагаются исключёнными путём добавления подхо-
подходящих членов в лагранжиан.
С этими ограничениями, потенциальная энергия задачи двух
тел в псевдоскалярной и векторной симметричных теориях мо-
может быть записана в виде:
д 1 д
ч д 1 д l
а', з", т', т" суть векторные операторы спина и изотопного
спина двух нуклеонов, Т — оператор тензорного взаимодействия:
(индекс г означает проекцию на направление вектора, соединя-
соединяющего два нуклеона). Вводя вектор полного спина s == -tj- (of —[—
-\-<з") имеем:
(а'.а") = 2s2 — 3, Т = 2 (s \ — -^ s2) . C)
Собственные значения оператора (з'-а/;) суть — 3 (спин-синглет,
S2 = O) и -)-1 (спин-триплет, s2 = 2): аналогично, собственные
значения (т'-т'') суть — 3 (зарядный синглет) и -|-1 (зарядный
триплет).
При качественном рассмотрении проблемы двух нуклеонов
удобно рассматривать тензорное взаимодействие, как малое
возмущение. Пренебрегая им в нулевом приближении, мы по-
получаем, что Wps даёт притяжение как в ^-состоянии [(а'« j") =
= + 1, (т'.тГ) = — 3], так и в ^-состоянии [(j'.a") = — 3,
(t'«t") = -j-1]. Тоже самое получается и в зекторной теории,
если только отношение {gvjfvJ достаточно мало1).
х) Член ->- (^v\ivJ в Wv появляется из-за взаимодействия продоль-
продольных векторных мезонов с нуклеонами. В векторной теории силь-
сильной связи такой член не появляется, если только (gv!fvJ < 4/з5 см«
Went z el, Helv. Phys. Acta 16, 551, 1943.
17*

260 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
В следующем приближении, в результате спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия волновая функция триплета (s2 = 2) пе-
перестаёт быть сферически симметричной и превращается в смесь
3S -\- 2D. Получающееся при этом в дейтероне распределение
заряда создаёт электрический квадруполъный момент. При
этом множитель при s^ (или Т) отрицателен в W s и поло-
положителен в Wv. Таким образом, в псевдоскалярной теории вы-
выгодны большие значения (r-sJ и, следовательно, распреде-
распределение заряда в основном состоянии дейтерона вытянуто вдоль
спиновой оси («сигарообразная» форма), в соответствии со зна-
знаком квадрупольного момента, экспериментально определённым
Раби с сотрудниками ]). С другой стороны, чисто векторная
теория даёт неверный знак и, следовательно, должна быть
отброшена.
К сожалению, строгие вычисления показывают, что и псев-
псевдоскалярный вариант неудовлетворителен. Первую трудность
составляет зависимость тензорного потенциала от расстояния:
Потенциал со столь сильной особенностью в начале коорди-
координат при (г=0) недопустим в волновой механике (он не даёт
уровня с минимальной энергией). Правда, на малых расстоя-
расстояниях уже нельзя пренебрегать нестатическими взаимодейст-
взаимодействиями, но учёт последних не улучшает дела. В теории,
использующей предельный X — процесс, потенциалы A), B)
выводятся только для расстояний г, значительно превы-
превышающие некоторую критическую длину2), и, может быть,
можно надеяться, что вычитатсльные теории сумеют устранить
эти недопустимые особенности. Но пока что единственный вы-
выход (в чисто псевдоскалярной теории) состоит в том, чтобы
оборвать ход потенциала на малых расстояниях, рассматривая
нуклеон, как протяжённый источник ноля. Конечно, это озна-
означает возврат к нерелятивистскому описанию нуклеонов. Со-
Согласно A), изотропный потенциал в Wps один и тот же как
в ^-состоянии, так и в основном состоянии дейтерона CS-\- 8D),
1) J. M. Kellogg, I. I. R a b i, N. F. R a m s e у a. J. R. Z а с h a-
rias, Phys. Rev. 55, 318, 1939 и 57, 677, 1940.
2) W. Pauli, Phys. 64, 332, 1943.

§ 3] ТЕНЗОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 261
так как в обоих случаях (т'т")(Уа") =— 3; разница между
двумя собственными значениями энергии (т. е. практически
вся энергия связи основного состояния) должна, таким обра-
образом, обусловливаться тензорным взаимодействием. Если теперь
оборвать ход потенциала только на малых расстояниях (ра-
(радиус обрезания а <^ jjt), to тензорное взаимодействие всё же
останется весьма сильным на малых и средних расстояниях, и
можно заподозрить, что разница в энергиях двух состояний
окажется чересчур большой ( 5>> 2 MeV). И действительно, Фе-
ретти1) показал, что для того, чтобы получить правильные
значения обеих энергий, обрывающий радиус должен быть
выбран неразумно большим (я^ц), независимо от выбора
потенциала при г<^а. Здесь даже вычитательные механизмы,
например предельный Х-процесс, не могут помочь. Это как
будто бы оправдывает окончательный приговор, выносимый
чисто псевдоскалярной (симметричной) теории.
Остаётся возможность рассматривать смесь различных ме-
зонных полей (складывая их лагранжианы). В частности, смеси
псевдоскалярного и векторного полей были рассмотрены Мел-
лером и Розенфельдом2) и Швингером3). Силы взаимодейст-
взаимодействия между двумя телами оказываются просто аддитивными
(Wmix=W-\-Wv), как в случае сильной, так и в случае
слабой связи. Из A) и B) легко видеть, что в псевдоска-
псевдоскалярно-векторной смеси недопустимые особенности тензорного
взаимодействия могут быть устранены без «обрывания». Мел-
лер и Розенфельд предложили принйть 1^ = 1^, 1^,1== |Д|;
тогда «тензорные» члены в статическом потенциале Wmix пол-
полностью уничтожаются, а ответственность за электрический
квадрупольный момент можно возложить на релятивистские по-
поправки. Однако Нинг Ху 4) более строгим исследованием реля-
релятивистских поправок показал, что если выбрать константы
так, что недопустимые особенности исчезают, то и квадру-
1) В. Feretti, Ricerca Scient. 19, 993, 1941, добавление. Другая
неудача чисто псевдоскалярной теории, связанная с теорией р-рас-
пада Юкава, была отмечена Нельсоном (Е. С. Nelson, Phys. Rev. 60,
830, 1941).
2) С. М о е 1 1 е г a. L. R о s e n f e I d, Kgl. Danske Vil. Sels. Math.-
fys. Medd. 17, № 8, 1940.
3) J. Schwinger, Phys. Rev. 61, 387, 1Э42.
*) Ning H u, Ph\s. Rev. 67, 339, 1945.

262 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
польный момент исчезает в том же приближении. С другой
стороны, Швингер заметил, что для исключения чле-
членов с г~3 и г~2 достаточно положить \gpS\ = \fv\1 но не
обязательно должно быть ц =|iv. Это легко проверить,
разлагая выражение D) в ряд по возрастающим степеням цг:
д 1 д ехр [— jxr] 3 у2 .
дг г дг г г3 2г ' ' '
подставляя это разложение в A) и B), находим, что в W 4-
~т Wv (при ! gps |= \fv\) остаются только допустимые особен-
особенности вида г. Знак тензорного взаимодействия определяется
теперь знаком (\х2 —}i^, и из сказанного выше легко усмот-
усмотреть, что правильный знак квадрупольного момента дейтерона
получается, если принять V>v^> )±ps. Швингер отмечает, что
этот результат удовлетворителен в связи с данными о косми-
космических лучах: хотя в верхних слоях атмосферы одновременно
образуются как псевдоскалярные (спин 0), так и векторные
(спин 1) мезоны, однако можно ожидать быстрого распада век-
векторных мезонов, так что на небольших высотах будут наблю-
наблюдаться только псевдоскалярные. Таким образом без труда объ-
объясняются полученные Шайном и Гиллом данные об образовании
ливней мезонами. Можно заметить здесь, что, согласно теории
Швингера, векторный мезон действительно должен быть весь-
весьма неустойчив, даже если пренебречь его ^-распадом. Рас-
Рассмотрим, например, отрицательный векторный мезон в вакууме.
Применяя к протону «теорию дырок» Дирака, мы должны
считать все отрицательные протонные уровни занятыми в со-
состоянии вакуума. Возможен следующий процесс третьего по-
порядка (говоря языком теории возмущений): во-первых, отри-
отрицательный векторный мезон поглощается каким-нибудь из
протонов с отрицательной энергией, в результате чего этот
протон превращается в нейтрон с положительной энергией,
оставляя «дырку» на одном из отрицательных уровней. Во-
вторых, нейтрон, испуская теперь псевдоскалярный отрица-
отрицательный мезон, опять становится протоном и падает назад
в дырку. Чтобы удовлетворить закону сохранения энергии,
одна из участвующих в процессе заряженных частиц должна
испустить ещё фотон. В результате, минуя виртуальные про-
промежуточные состоянии, первоначальный векторный мезон рас-
распадается на псевдоскалярный мезон и фотон; этот процесс

§ 3] • ТЕНЗОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 263
совместим с законами сохранения энергии и импульса, если век-
векторный мезон тяжелее псевдоскалярного, что согласуется с пред-
предположением Швингера. Вероятность этого процесса до сих пор
не вычислена, но она, несомненно, достаточно велика для того,
чтобы объяснить очень быстрый распад векторных мезонов
в космических лучах1). К сожалению, это не избавляет нас
от необходимости принять ещё дополнительную, независимую
неустойчивость векторного мезона относительно ^-распада.
В самом деле, хорошо известно, что для предложенной Юкава
теории ^-распада ядер необходимы мезоны, вероятность рас-
распада которых, по крайней мере, в сто раз больше, чем у
наблюдаемых в космических лучах2). Таким образом, если
последние являются, по предположению, псевдоскалярными,
большая вероятность распада должна быть приписана вектор-
векторным мезонам. Конечно, это сделанное ad hoc новое предпо-
предположение не улучшает внутренней согласованности теории; хо-
хотя, с другой стороны, нужно заметить, что оно замечательно
хорошо укладывается в картину Швингера.
Возвращаясь к задаче двух нуклеонов, вспомним, что пред-
предположение Швингера (\iv^> |x ) ведёт к правильному знаку
тензорного взаимодействия. Однако его теория не выдержи-
выдерживает более строгой вычислительной проверки. Яух и Нинг Ху3)
проделали численное интегрирование волново-механической за-
задачи двух тел с потенциалом смеси Швингера (Wm\x=Wv-\-
+ WPs> I gps 1 = 1/* I. JV<^' пРинимая gv = ° (нуклеоны
не связаны с продольными векторными мезонами). Масса псев-
псевдоскалярного мезона на основании измерений в космических
лучах была принята равной 177 электронным массам. Тогда
отношение масс \ij\i s и константу связи (\g¦ \) можно опре-
!) J. H a m i 11 о n, W. H e i 11 e г а. Н. W. Peng в своей работе о
возникновении космического излучения (Phys. Rev. 64, 78, 1943; см.
также W. Heitler a. P. Walsh, Rev. Mod. Phys. 17,252, 1945) не
указывают на этот процесс. Правда, их работа основана на теории
Меллера-Розенфельда (\iv = \Lps). Но коль скоро мы приписали раз-
различным сортам мезонов различные массы, р- и ^-распад более тяжё-
тяжёлой из них начинают конкурировать.
2) Н. A. Bet he a. L. W. Nordheim, Phys. Rev. 57, 998, 1940;
E. С. Nelson, Phys. Rev. 60, 830, 1941. По существу, такой же
результат получается в теории сильной связи или вычитательной
теории.
3) J. M. J a u с h a. N i n g Hu, Phys. Rev. 65, 289, 1944.

264 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
делить, зная энергию связи основного состояния деитерона и
энергию 1S — состояния *); отношение масс оказывается равным
1,6. После этого можно вычислить электрический квадруполь-
ный момент деитерона в основном состоянии, причём полу-
получается значение, равное одной трети экспериментального.
Расхождение становится ещё больше, если допустить в B)
член (gv]ivJj так как он сам по себе привнесёт нечто в раз-
разницу энергий XS- и 3?-состояний; поэтому потребуется более
слабое тензорное взаимодействие, и квадрупольный момент
получится ещё меньше. Возможно, нестатические силы и дру-
другие поправки улучшат положение, но трудно поверить, что
они смогут объяснить большую часть квадрупольного момента.
Можно, конечно, испробовать смеси с другим значением g sIJv
(с обрыванием появляющихся тогда особенностей типа г*).
Можно даже исследовать смеси, включающие другие типы
мезонных полей. Но нельзя построить убедительную теорию,
попросту увеличивая число произвольных констант и подгоняя
их под экспериментальные результаты.
§ 4. Теория сильной связи
а) Инерция спина. Изобарные состояния
В § 1 было отмечено, что в теории сильной связи неиз-
неизбежно использование протяжённой модели нуклеона. Хотя
это позволяет получить только нерелятивистскую теорию ну-
клеонов, важным преимуществом теории сильной связи является
то обстоятельство, что она допускает непосредственный под-
подход к проблемам инерции поля. В самом деле, хорошо из-
известно, что лорентцова электромагнитная теория массы элект-
электрона базируется на представлении о протяжённом электроне,
в то время как в теориях, рассматривающих точечный элект-
электрон, электромагнитная масса оказывается или бесконечной
(в пределе при а —> 0) или равной нулю (вычитательные тео-
теории). Можно, конечно, усомниться в том, много ли из пред-
представлений об инерции поля уцелеет в будущей теории, но
1) Для эффективного сечения рассеяния нейтронов протонами
при малых энергиях Яух и Нинг Ху принимают значение 14,8* 10~24 см2.
Это, может быть, несколько мало, но ошибка здесь вряд ли может
как-либо повлиять на численные результаты,

§ 4] теория сильной связи 265
именно потому, что нельзя сделать определённых предсказаний,
есть смысл изучить теоретические возможности даже в огра-
ограниченных рамках нерелятивистской теории.
В теории электрона обычно рассматривается только инерция
относительно трансляционного ускорения. Однако поскольку
ядерные силы зависят от спинов, в случае нуклеона, окружён-
окружённого мезонным полем, существенными становятся и ротацион-
ротационные ускорения. Рассмотрим на один момент классическую ча-
частицу, взаимодействующую с полем. Рассматривая частицу, как
протяжённый источник поля, можно вычислить её собственную
энергию в нерелятивистском приближении. Вообще говоря,
собственная энергия будет содержать трансляционный (р2/2/и)
и вращательный (р2/2С, где р — момент количества движения)
члены. Если действующие силы не зависят от характера вра-
вращения, последний член постоянен, и можно не принимать его
во внимание. Это может быть правильным для электрона, но
в случае нуклеона положение иное, так как ядерные силы за-
зависят от спинов. По крайней мере, с точки зрения модели
протяжённого источника — аргументы против которой даются
вычитательными теориями — нет оснований считать ротацион-
ротационный член несущественным. В квантовой теории, где момент
количества движения квантован, учёт ротационной энергии даёт
возбуждённые состояния с более высокими значениями спина.
Если поле заряжено и связано с «зарядной» координатой
(«изотопный спин» нуклеона), т. е. в симметричных теориях
«зарядная» степень свободы также добавляет нечто к «рота-
«ротационной > собственной энергии, и возбуждённым состояниям
могут принадлежать также более высокие значения заряда.
Этот результат, конечно, можно выразить, сказав, что мезоны
могут связываться с «чистым» нуклеоном, образуя таким обра-
образом «составные» нуклеоны с более -высокими значениями спина
и заряда. Эти состояния обычно именуются «изобарными».
Строгий квантово-механический вывод ротационной собст-
собственной энергии удалось проделать только с помощью прибли-
приближения сильной связи. Что касается математического метода,
мы должны ограничиться здесь лишь несколькими указаниями.
Рассматривая нуклеоны бесконечной массы, можно заменить
плотность нуклеонного поля (з *<р) данной функцией источника
о„(х) (сферически симметричной, исчезающей вне сферы ради-
радиуса -^tf^JJT, и удовлетворяющей условию нормировки

266 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
$а= 1). Тогда гамильтониан принимает вид: Я = const, -f-
\ где Я0 описывает свободные мезоны, И' — их вза-
взаимодействие с нуклеоном:
(фл— компоненты мезонного поля, Оп — операторы, выключаю-
выключающие операторы спина и изотопного спина, g—константа свя-
связи, например, в смеси Меллера-Розенфельда или Швингера
g=\g s\=:\fv\)^ Поскольку g предполагается большим, пер-
первое требование заключается в диагонализации члена большого
взаимодействия И': определяется такой унитарный оператор S
(матрица относительно спиновых индексов и индексов изотоп-
изотопного спина), что оператор SH'S~~2 становится диагональ-
диагональным. Оператор Я0, зависящий от полей, канонически сопря-
сопряженных с фя, не коммутирует с S, но можно проделать
последовательные канонические преобразования с тем, чтобы
диагонализовать весь гамильтониан в форме разложения по
убывающим степеням константы связи g^1). В псевдоскалярной
и векторной теориях, включая псевдоскалярно-векторные смеси,
условие, гарантирующее быструю сходимость разложения, гла-
гласит2)
> E)
(«условие сильной связи»). Член высшего порядка (^^
статическую собственную энергию нуклеона. Следующие члены
описывают взаимодействие свободных мезонов с составным нук-
нуклеоном; например, рассеяние мезонов ядрами определяется чле-
членами -^ g°. Ротационная собственная энергия появляется среди
членов -- g. В симметричных псевдоскалярной и векторной
1) См. G. Wentzel, Helv. Phys. Acta 13, 269, 1940 и 14, 633,
1941: заряженная скалярная теория; R. Serber a. S. M. Dan с off,
Phys. Rev. 63, 143, 1943: заряженная скалярная и нейтральная псев-
псевдоскалярная теория; W. Pauli a. S. M. Da n с о f f, Phys. Rev. 62,
85, 1942: симметричная псевдоскалярная теория;% W. Pauli a. S. Ku-
saka, ibid. 63, 400, 1943: псевдоскалярная и векторная теория и
смеси; G. Wentzel. Helv. Phys. Acta 16, 551, 1943: симметричная
векторная теория с двумя константами связи.
2) Мы пользуемся естественными единицами: ft = c = l; тогда
'Hw fv) имеет размерность длины. Всегда предполагается, что
1

§ 4] ТЕОРИЯ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ 267
теориях, а также в смесях она формально равна кинетической
энергии шарового волчка:
^|| F)
(С — момент инерции, Р — момент количества движения шаро-
шарового волчка). «Инерция спина» С зависит от радиуса нуклео-
на «а» и константы связи g следующим образом: С ^ g2ja.
| Р ] и проекции Р на неподвижную и подвижную оси (говоря
языком теорий шарового волчка) имеют полуцелые собственные
значения: у, т, п (\т\у \n\^J). Сточки зрения физичес-
физического нуклеона jam суть обычные спиновые квантовые числа,
л_|__- есть заряд данного нуклеонного состояния, Собствен-
Собственные значения ротационной энергии суть:
у = -г- (/л = ±тг, я = 4^-7т-) соответствует обычным протону
и нейтрону, j ^ -г} возбуждённым состояниям или «изоба-
«изобарам». Энергия возбуждения низшего изобарного состояния
равна -—С. Подбирая подходящие численные значения а
и g", можно ожидать, что энергия возбуждения окажется по-
порядка 50 MeV 2). Ясно, что вопрос о том, существуют ли такие
изобары в действительности, в высшей степени важен в связи
с проблемами собственной энергии. Надо надеяться, что он
вскоре будет разрешён экспериментами с мощными ускорите-
ускорителями. Из теории сильной связи можно получить оценку веро-
вероятности возбуждения. Возбуждение путём фотодиссоциации
дейтерона было исследовано Яухом2), который нашёл, что не-
несколько процентов фотонуклеонов должны появляться в возбуж-
возбуждённых состояниях, если энергия у-лучей несколько превышает
*) В пределе при а -+ 0 энергия возбуждения стремится к нулю
(С -+ оо). Именно поэтому точечный источник недопустим в теориях
сильной связи, исключая скалярный вариант, в котором С не зависит
от а. См. R. Serber и S. M. Dane off, Phys. Rev. 63, 143, 1943,
где скалярный вариант окончательно отвергается, так как не полу-
получаются нужные свойства насыщения сил.
2) J. M. Jau ch, Phys. Rev. 69, 275, 1946,

268 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
порог возбуждения. Согласно Лоупсу *), то же самое должно
наблюдаться при столкновениях нейтронов или протонов боль-
большой энергии.
Ь) Магнитные моменты и разность масс
прото на и нейтрона
До сих пор мы не рассматривали взаимодействия заряжен-
заряженных частиц с электромагнитным полем. Если теперь поместить
нуклеон, например, в однородное магнитное поле Н, то собст-
собственная энергия будет содержать дополнительный член—Л4(Н),
где М — магнитный момент нуклеона. Вычисление М является
очень строгой проверкой для всякой теории мезонов, так как
объяснение магнитных аномалий протона и нейтрона присут-
присутствием мезонного облака является одним из главных притяза-
притязаний мезодинамики.
Обращаясь к этой задаче, мы должны обратить внимание
на электрические токи, текущие в мезонном облаке. В теории
сильной связи мы встречаемся здесь с трудностью, внутренне
присущей модели протяжённого источника: как показали Паули
и Данков 2), нельзя определить плотности электрического заряда
и тока так, чтобы удовлетворить уравнению непрерывности
внутри источника (где Ьа(х)=/=0). К несчастью, в этих тео-
теориях область внутри источника вносит весьма значительную
долю в магнитный момент. Оказывается, однако, что для ста-
стационарных состояний составного нуклеона уравнение непрерыв-
непрерывности выполняется точно в предельном случае бесконечно силь-
сильной связи (это замечание приписывается ХурьеK). Таким обра-
образом, возражения, выдвигаемые против функций Паули и Дан-
кова, для плотности тока-заряда, становятся менее серьёзными
в теории сильной связи.
Основываясь на симметричной теории сильной связи, Паули
и Данков вывели следующую формулу для магнитного момента
в стационарном состоянии:
1) J. L. L о р е s, Phys. Rev. 70, 5, 1946.
2) W. Pauli a. S. M Dancoff, Phys. Rev. 62, 85, 1942.
»> A. Hguriet, Helv. Phys. Acta 18, 473, 1945.

§4]
ТЕОРИЯ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ 269
(Здесь: Мо — магнитный момент «чистого» нуклеона, е — эле-
элементарный электрический заряд, С — спиновый момент инер-
инерции.I) В частности, для основных состояний: j= -—ут = — ,
—j' имеем:
Gа)
знаки «-[-» и «—» относятся, соответственно, к протонному
и нейтронному состояниям. Таким образом, магнитные моменты
протона и нейтрона получаются противоположными по знаку
и равными по абсолютной величине, что противоречит опыту.
Экспериментальные значения суть: протон: Mp = -\-2J9 ядер-
ядерных магнетонов2), нейтрон: Мп = — 1э9 ядерных магнетонов8).
Интересно сравнить этот результат теории сильной связи
с тем, что получается в предположении слабой связи (по методу
возмущений). В обеих теориях все стационарные состояния
суть смеси подсостояний, в которых «чистый» нуклеон встре-
встречается как в протонном, так и в нейтронном видах.
Физический протон — смеси
{а) «чистый» протон ~\-нейтральное мезонное облако;
Ь) «чистый» нейтрон ~j-положительно заряженное мезонное
облако.
Физический нейтрон=смеси
fa) «чистый» нейтрон -|-нейтральное мезонное облако;
\Ъ) «чистый» протон-^-отрицательно заряженное мезонное
облако.
В случае слабой связи подсостояния (Ь) являются лишь
малыми добавками, и к магнитному моменту «чистого» нукле-
нуклеона добавляется почти целый ядерный магнетон в (физически)
протонном состоянии и практически нуль в нейтронном состо-
состоянии:
*) В работе Паули и Данкова используется только псевдоскаляр-
псевдоскалярная теория, но то же выражение (с точностью до возможного чи-
численного фактора 1/4) получается и в векторной теории и для смеси.
См. W. Pau Ii a. S. К и s a k a, Phys. Rev. 63, 400, 1943.
2) S. M i I I m а п а. Р. К и s с h, Phys. Rev. 60, 91, 1941.
3) L. W. A 1 v а г e z a. F. В 1 о с h, Phys. Rev. 57, 111, 1940.

270 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
Это — теория Фрелиха, Гайтлера и Кеммера ]), которую
хотя бы приближённо можно подогнать под экспериментальные
данные (трудности, возникающие в вычитательных теориях, бу-
будут рассмотрены позднее). Однако в теории сильной связи
положение совершенно меняется, так как в оба физических
состояния в случае бесконечно сильной связи подсостояния
а) и Ь) входят с одинаковыми вероятностями. Именно поэтому
в Gа) доля «чистого» протона в М оказывается для физиче-
физических протонов и нейтрона одинаковой по абсолютной величине
и противоположной по знаку. Конечно, значение М, данное
Паули и Данковым, является только первым членом разложе-
разложения по степеням малого параметра a\g. Поправка в следую-
следующем приближении была вычислена Хурье. Знак её делает
|Ж |]>]ЖП|, в согласии с экспериментальными данными, но
порядок величины этой поправки (М0(а^)*) очень мал. Это,
повидимому, подтверждает заключение Паули и Кусака о том,
что в действительности связь не может быть сильной. Надо,
однако, иметь в виду, что использование функций электриче-
электрической плотности Паули и Данкова в вычислениях Хурье может
вызвать возражения, так как эти функции выведены не для
предельного случая бесконечной сильной связи. Тем не менее,
надо признать, что теория сильной связи не сумела объяснить
экспериментальные факты в этой области.
В связи с этим надо отметить ещё один недостаток тео-
теории. Поскольку магнитный момент определяется собственной
энергией нуклеона в магнитном поле, с тем же правом можно
исследовать и другие электромагнитные члены в собственной
энергии, даже в отсутствии внешнего поля. Самый интересный
из них даётся кулоновским взаимодействием мезонного облака
с «чистым» нуклеоном. Из вышеприведённой схемы смесей
явствует, что этот член равен нулю для физического протона
и отрицателен для физического нейтрона. В случае слабой
связи это несущественно, поскольку массы «чистых» протона
и нейтрона можно выбрать так, чтобы уничтожить этот и дру-
другие члены и получить произвольные значения масс физических
протона и нейтрона. Но в теории сильной связи в обоих сме-
смешанных состояниях с одинаковыми вероятностями присутствуют
1) Н. F г б h I i с h, W. H e i 11 е г а. N. Kemmer, Proc. Roy. Soc.
166, 154, 1938.

§ 4] теория сильной связи 271
как «чистый» протон, так и «чистый» нейтрон, так что они
привносят одинаковые доли как в массу физического протона,
так и в массу физического нейтрона. Разница масс протона
и нейтрона определяется, таким образом, вышеуказанным ку-
лоновским членом. Соответственно, протон должен быть тяже-
тяжелее нейтрона, что резко противоречит опыту.
Эти соображения были количественно развиты Хурье, кото-
который вычислил также следующий член в разложении по степе-
степеням ajg. Оказалось, что поправочный член не улучшает не-
неправильного результата, если только не вводить весьма искусст-
искусственных предположений о массах «чистых» нуклеонов. Это
опять подтверждает тот вывод, что связь не может быть дей-
действительно «сильной». Однако и здесь остаётся тень сомне-
сомнения в безукоризненности этого вывода, так как опять исполь-
использовались функции плотности Паули и Данкова. Кроме того,
«чистый» нуклеон рассматривался во всех вычислениях, как
бесконечно тяжёлый, что может до некоторой степени повлиять
на результат. Наконец, можно заметить, что нерелятивистская
теория не может служить надёжным базисом при исследовании
собственной энергии. Однако в том же направлении указывают
и другие данные, доставляемые задачей двух тел.
с) Дейтерон
Пользуясь описанным в 4а методом сильной связи в случае
двух нуклеонов, мы находим, что статическая собственная
энергия (-^g2) системы двух тел зависит от координат частиц.
Вычитая из неё удвоенную собственную энергию одной ча-
частицы, находим энергию статического взаимодействия. В симме-
симметричной теории она может быть записана в виде матрицы от-
относительно квантовых чисел ju mv nx, y2, mv n2 двух частиц.
Подматрица, отвечающая основным состояниям (jl=j2-=-~)
совпадает с матрицей W, получающейся по теории возмуще-
возмущений (см. формулы A), B) в § 3) с точностью до численного
множителя 1/9; однако есть ещё дополнительные матричные
элементы, соответствующие изобарным состояниям. В пре-
предельном случае бесконечно высокой энергии возбуждения изо-
изобар (спиновый момент инерции С—*0) возбуждёнными состоя-
состояниями нуклеонов можно пренебречь, и результаты теории силь-

272 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
ной связи совпадают с выводами теории возмущений, рассмот-
рассмотренными в разделе 3 (исключая перемену в обозначениях,
вызванную множителем 1/91). Наиболее тщательное исследова-
исследование проблемы дейтерона на основе теории сильной связи было
проделано Вилларсом2). Подобно хорошо известной теории
дейтерона3), построенной Рарита и Швингером методом возму-
возмущений, Вилларс заменяет потенциал Юкава (ехр (— \^г)\г) и тен-
тензорный потенциал прямоугольными потенциальными ямами про-
произвольной глубины, в обоих случаях — с одним и тем же ради-
радиусом г0. Поскольку теория Вилларса при С—*0 совпадает с
теорией Рарита и Швингера, можно считать, что она обобщает
последнюю, учитывая инерцию спина нуклеонов. Главная черта
волново-механического формализма состоит в том, что, благо-
благодаря наличию изобарных состояний, в волновых функциях ста-
стационарных состояний появляются дополнительные компоненты.
Например, в основном состоянии дейтерона, являющемся, по
Рарита и Швингеру, смесью 3S-f-sZ), появляются ещё примеси
типа 7D, 1F1 UF и т. д.; ^-состояние превращается в смесь
с компонентами 5D, 9F и т. д. Задаваясь произвольными зна-
значениями спинового момента инерции С и радиуса потенциальных
ям г0, Вилларс из известных значений энергии связи и квад-
рупольного момента основного состояния вычисляет глубины
обеих ям (изотропного и тензорного взаимодействий). Зная их,
он определяет энергию синглетного состояния, как функцию
С и г0. В результате синглет оказывается устойчивым (благо-
(благодаря довольно большой примеси б/3-состояния), если только
не принять очень малые значения С. Увеличение энергии синг-
синглетного состояния до нуля требует энергии возбуждения изобар
C 2 С) не меньше 300 MeV *).
1) Детали см. в работе М. Fierz, Helv. Phys. Acta 17, 181, 1944
и 18, 158, 1945. В симметричной теории существование изобарных
состояний не влияет на свойства насыщения сил; см. W. Pauli and
S. К u s a k a, Phys. Rev. 63, 400, 1943; F. С о e s t e r, Helv. Phys. Acta
17, 35, 1944.
2) F. Vi liars, Helv. Phys. Acta 19, 323, 1946.
3) W. Rarita a. J. S ch wi n ge r, Phys. Rev. 59, 436, 1941.
4) При столь больших значениях энергии возбуждения теория
Вилларса весьма близко подходит к теории слабой связи Рарита и
Швингера, так как новые примеси становятся совершенно несуще-
несущественными. Этим объясняется, почему при обсуждении тензорного

§ 5] ВЫЧИТАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ 273
С другой стороны, условие сильной связи E) даёт для
верхнего предела энергии возбуждения около 100 MeV. Таким
образом, мы опять приходим к выводу, что связь не может
быть действительно сильной, или, другими словами, что инер-
инерция спина нуклеонов не может быть очень большой.
К сожалению, если теория сильной связи потерпит неудачу,
у нас остаётся мало надежды получить простое и убедительное
описание спин-инерционных эффектов на основе модели про-
протяжённого источника. В самом деле, эта модель в случаях
слабой связи и промежуточном оказывается совершенно непрак-
непрактичной. Остаётся посмотреть, как выглядит проблема инерции
спина в модели точечного источника (в вычитательных теориях).
§ 5. Вычитательные теории
а) Предельный Х-процесс
Основную идею предельного Х-процесса легче всего выяс-
выяснить, рассматривая классическую задачу о взаимодействии
электрона со своим собственным электромагнитным полем.
Электрон рассматривается здесь, как точечный источник, дви-
движущийся но заданной траектории Xj (^). Поле, описываемое
четырёхмерным вектором-потенциалом ф, состоит из собствен-
собственного поля данного электрона tyx и созданного другими заря-
зарядами поля фа: ф == фж —|— ф2. Здесь фх есть хорошо известный
запаздывающий потенциал: ф1 = фге*. Дирак, Фок и Подоль-
Подольский !) обобщили уравнения Максвелла, определив ф (х, t) для
закона взаимодействия не надо было различать теории сильной и
слабой связи. Одно время казалось, что <симметричная» теория
Рарита и Швингера не даёт правильного углового распределения
рассеяния нейтронов протонами при больших энергиях (Е. A m a I d i,
D. Bocciarelli, В. Feretti a. G. С. Т г a b а с с h i, Naturwis-
senschaften 30, 582, 1942 и Ricerca Scient, 13, 502, 1942), и выража-
выражались надежды, что теория сильной связи сможет поправить дело
(G, Wentzel, Helv. Phys. Acta 18, 430, 1945; J. L. Lopes, Phys.
Rev. 70, 5, 1946). Теперь эта проблема устарела с тех пор, как Пау-
элл сообщил, что рассеяние нейтронов с энергией 14 MeV прото-
протонами практически изотропно в системе координат, связанной с цен-
центром инерции. (Международная Конференция по физике, Кембридж,
июль 1946 г.).
1) P. A. M. Dirac, V. A. Fock а. В. Podolsky, Physik.
Zeits. Sowjet Union, 2, 468, 1932.
18 Вснтцель

274 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
«времени поля» /, отличного от «времени частицы» tv При
этом оказалось, что соотношение ^j=:cbret(x, t) выполняется
всюду вне светового конуса (|tf — ^(^[х— xi (^1) I х)> в то
время как внутри светового конуса <|>j исчезает при (/ —
— tx ]> | х — Xj (tx) |) (абсолютно будущее) и равно разности
запаздывающего и опережающего потенциалов (d>ret — ^adv) при
(t — /х < — | х — хг Aг) |) (абсолютно прошедшееJ). Действу-
Действующую на электрон лоренцову силу F = e(E-{-[x1H]) можно
расщепить на силу реакции F1 и внешнюю силу Р2. Значения Е
и Н в F нужно брать в точке х=х1(^1). Хорошо известно,
что в обычной теории из-за особенности запаздывающего по-
потенциала в точке нахождения источника F{ становится беско-
бесконечной (модель протяжённого источника даёт: F2 = — /flXj-f-
+-о- е2(д*хг1д?*)-{-..¦ в той системе координат, где электрон
покоится; т— электромагнитная масса, обращающаяся в бес-
бесконечность при а —> 0). Однако обобщение уравнений поля
на случай tz^tl позволяет иначе определить необходимые
предельные значения Е и HL Рассмотрим мировую точку
х = х1(/1)-1~1, ^ = /1-|-Хо» гДе 1,\0 — временаподобный
четырёхмерный вектор (| Хо | ^> | \ \). Пусть длина этого век-
вектора стремится к нулю, причём направление его не меняется
A/Х0 = const.). Двигаясь со стороны абсолютно будущего
(Aoj>|X|), гДе Ф1 (-^t 0 = 0, мы, очевидно, получим: Е! =
= Н1^=0, Fj = O; в абсолютно прошлом потенциал ф1 =
= фге1 — файу7^0, но всюду конечен, так как особенности
запаздывающего и опережающего потенциалов взаимно уничто-
уничтожаются. Соответственно получается конечное предельное значе-
2d3
ние гх, а именно: rIIim = -r г в той системе координат, где
электрон покоится, ((дл:1/д/1) = О). Поскольку численный коэф-
коэффициент члена, описывающего торможение излучением
(-^(^xjd/i)), однозначно определяется из закона сохранения
энергии, мы неизбежно должны определить Fj, как полусумму
обоих предельных значений. Это даёт: F1 = ~- e3 (<?3x,/<WJ) в
той системе координат, где электрон покоится. Этот метод
1) Мы положили попрежиему с=\.
2) О. Wentzel, Zeits. f. Phys. 86, 479, 1933.

§ 5] вычитлткльнык теории 275
нахождения предельных значений величин поля в мировой точке,
занимаемой электроном, может быть применён также и в кван-
квантовой электродинамике — для вычисления четырёхмерного по-
потенциала в дираковском волновом уравнении для электрона !).
Релятивистская инвариантность этого метода очевидна во всех
случаях, когда предельные значения не зависят от направлений
выбранных четырёхмерных Х-векторов; в противном случае,
подходящее усреднение по всем этим направлениям восстанав-
восстанавливает инвариантность. Дирак предложил несколько иную
формулировку, в которой i-вектор появляется в правилах
перестановки компонент поля ф2); с этим формализмом легче
работать, но результаты, очевидно, получаются одинаковые.
Теория теперь может быть непосредственно распространена на
другие квантованные поля.
В классической теории точечного электрона 1-процесс
устраняет все бесконечности; в самом деле, все классические
бесконечности непосредственно связаны с электромагнитной мас-
массой, которая в Х-теории точно равна нулю (сила реакции Fj
не содержит инерционного члена). Однако в квантовой теории
появляется несколько независимых бесконечностей, обычно —
в форме расходящихся интегралов по пространству импульсов.
Их подинтегральные выражения асимптотически ведут себя
как | к |л (п ^ — 3): п = — 2 появляется в интеграле, опреде-
определяющем классическую электромагнитную массу; собственная
энергия дираковского электрона, вычисленная Валлером3), со-
содержит дополнительный член с п = —1; «теория дырок»
Дирака в соединении с квантовой электродинамикой вызывает
логарифмическую расходимость (п — —3). Предельный Х-про-
цесс оказывается эффективным средством только для устране-
устранения бесконечностей, связанных с чётными значениями п;
прочие расходимости остаются. В частности, на встречаю-
встречающиеся в теории дырок логарифмические расходимости Х-про-
цесс никак не влияет4). Из-за этой неудачи Дирак оставил
*) G. Wentzel, Zeits. f. Phys. 86, 635, 1933.
2) P. A. M. Dirac, Ann. de l'Institut H. Poincare 9, 13, 1930.
Ср. Па у л и, Релятивистская теория элементарных частиц, Госино-
издат, 1947.
3) J. Wa 11 е г, Zeits. f. Phys. 62, 673, 1930.
*) Паули в своём обзоре подчёркивает несовместимость основных
идей теории дырок и Х-процесса.
19 Венгце.ш

276 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
теорию дырок и предложил новый, весьма сложный cnocodf
квантования поля, включающий фотоны отрицательной энергии?
и «отрицательные вероятности» г). С помощью этого формализма,
соединённого с предельным Х-процессом, Дирак действительно
сумел устранить все расходимости; однако его физическая
интерпретация довольно загадочна. Недавно2) Дирак опублико-
опубликовал улучшенную форму теории, в которой этой трудности,
повидимому, нет.
Это отступление в область квантовой электродинамики было
необходимо для того, чтобы показать, на что способен предель-
предельный Х-процесс й как можно оценить дальнейшие перспективы
базирующейся на нём теории.
Возвращаясь теперь к мезодинамике, мы должны иметь дело не
с фотонами и электронами, а с мезонами и нуклеонами. Как
и в случае электронов, формализм «теории дырок» должен
быть отброшен.
Паули3) применил Х-процесс к симметричной смеси Мел-
лера и Розенфельда, пользуясь обычным разложением тео-
теории слабой связи. Статическая собственная энергия и члены
взаимодействия четвёртого и шестого порядков относительно
g были вычислены и оказались конечными (члены -^g4, возни-
возникающие из-за взаимодействия нуклеонов с нулевыми колеба-
колебаниями осцилляторов поля, также оказались конечными в ста-
статическом приближении). Сравнивая члены второго и шестого
порядков в выражении для взаимодействия двух нуклеонов,
Паули нашёл, что разложение теории слабой связи быстро
сходится везде, исключая малые расстояния между нуклеонами
(r<^ngls), гДе статическое приближение (покоящиеся нуклеоны)
во всяком случае непригодно.
Что касается инерции спина, то приближение слабой связи,
к сожалению, нелегко применить к исследованию этой про-
проблемы. Паули ограничивается изучением классической задачи о
взаимодействии нейтрального псевдоскалярного поля со спином
нуклеона. Вектор спина а классически истолковывается, как
единичный вектор произвольной ориентации. Уравнения движе-
!) P. A. M. Dirac, Ргос. Roy. Soc. 180, 1, 1942. См. также ци-
цитированную выше книгу Паули.
2) Международная конференция по физике, Кэмбридж,июль 1946 г.
3) W. P a u I i, Phys. Rev. 64, 332, 1943.

§ 5] ВЫЧИТАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ 277
ния имеют решения, соответствующие периодическим движе-
движениям, при которых спин нуклеоиа свободно вращается около
фиксированной оси:
1 L
а3 = const., 7i = (\—j^cosco/, J2 = 0—J3Jsin©<;
мезонное поле на больших расстояниях от нуклеона ведёт себя
либо как шаровая волна, если @2^>ц2, либо экспоненциально
затухает при со2 <^ jx2. В первом случае мы имеем классиче-
классическое описание рассеяния мезонов нуклеоном; во втором — нук-
леон, окружённый облаком связанных мезонов, что весьма на-
напоминает модель составного нуклеона в теории сильной связи.
В самом деле, считая связь достаточно сильной и описывая
нуклеон, как протяжённый источник, мы находим, что энергия
и момент количества движения составного нуклеона связаны
формулой F) раздела 4а1), причём спиновый момент инерции
С всегда порядка g2ja. Конечно, поскольку момент количества
движения не квантован, энергетический спектр непрерывен, но
он имеет верхнюю границу благодаря условию оJ <^ ц2. Однако,
если пользоваться моделью точечного источника и Х-процессом,
то результат получается совершенно иной. В этом случае пе-
периодические решения с экспоненциально затухающим мезонным
полем (оJ<^|х2) возможны только при достаточно сильной
связи (|gp9j должна быть больше некоторой критической ве-
величины порядка ц"). В действительности это условие не вы-
выполняется для значения g, оценённого по ядерным силам. Пе-
Переводя этот результат на квантовый язык, Паули приходит к
выводу, что в i-теории не существует стационарных изо-
изобарных состояний. Он показывает также, что константа, кото-
которую, согласно классическому рассмотрению Баба2), нужно
назвать механической инерцией спина, в Х-теории точно равна
нулю.
Хотя все эти результаты носят довольно предварительный
характер, так как основаны только на классическом рассмот-
рассмотрении нейтрального поля, они, повидимому, подтверждают тот
факт, что все эффекты, связанные с инерцией поля, радикально
х) См. также J. R. Oppenheimer a. J. Schwinger, Phys»
Rev. 60, 150, 1941.
Ь Н. J. Bhabha, Proc. Roy. Soc. 178, 314, 1941.
19*

278 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
уничтожаются Х-процессом. Можно спросить, так ли уж жела-
желательна эта тенденция с точки зрения требований будущей
теории? Хорошо, конечно, что электромагнитная масса равна
нулю, а не бесконечности, но не лучше ли было бы получить
конечное значение, которое можно было бы отождествить с
действительной массой электрона, покончив тем самым, в соот-
соответствии с идеями Лоренца, с концепцией механической массы?
Хотя и неизвестно, как достигнуть этого в релятивистской
теории, нам всё же кажется, что Х-процесс является слиш-
слишком радикальной операцией, по крайней мере, в отношении
инерционных эффектов, не говоря уже о его бессилии в дру-
других вопросах. С чисто теоретической точки зрения можно,
таким образом, поставить вопрос: являются ли очень надёж-
надёжными предсказания Х-процесса, касающиеся, например, инер-
инерции спина нуклеона, или же теории протяжённого источника
дают, может быть, лучшее приближение к действительности?
Единственные вычисления, продвинутые столь далеко, что
их можно сравнивать с опытом, принадлежат Яуху1) и каса-
касаются магнитных моментов протона и нейтрона. Следуя Паули,
Яух считает связь слабой. Таким образом, вычисления на
основе теории возмущений почти те же, что и в теории Фре-
лиха, Гейтлера и Кеммера, и ведут к формулам, объяснённым
в § 4:
зона! МпЪ — ^мезона- (8)
Как в псевдоскалярном, так и в векторном варианте А/мезона
содержит интеграл по пространству импульсов, который в про-
простой модели точечного источника был бы расходящимся (-{- ее).
В прежних теориях, основывавшихся на модели протяжённого
источника, его сходимость достигалась обрыванием при боль-
больших энергиях. Предельный Х-процесс обеспечивает сходимость
этого интеграла, по крайней мере — в нерелятивистском при-
приближении (нуклеоны бесконечной массы, отдача отсутствует).
Однако и здесь вычитание оказывается чересчур радикальным:
конечное предельное значение этого интеграла становится даже
отрицательным, так что магнитный момент нейтрона делается
положительным, в противоречии с опытом. Знак можно изме-
изменить, только введя ad hoc предположение о наличии у вектор-
1) J. M. Jauch, Phys. Rev. 63, 334, 1943.

§ 5] ВЫЧИТАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ 279
ного мезона аномального магнитного момента, притом с ано-
аномальным знаком.
Хоть, как замечает Яух, это предположение в принципе
м.ожио проверить независимыми опытами, оно слишком искус-
искусственно, чтобы считаться удовлетворительным. Мы можем, та-
таким образом, заключить, что хотя экспериментальные значения
магнитных моментов говорят скорее в пользу слабой, нежели
сильной связи, как мы видели в разделе 4Ь, всё же очень мало
вероятно, что с помощью предельного Х-процесса удастся
построить последовательную и согласующуюся с опытом тео-
теорию слабой связи1).
Ь) Теории Гайтлера и Штюкельберга.
Во второй группе вычитательных теорий в центре внима-
внимания стоит проблема рассеяния — рассеяние мезонов нуклеонами.
Обычная теория возмущений во втором приближении пренебре-
пренебрегает реакцией рассеянной мезонной волны и поэтому даёт при
больших энергиях слишком большие эффективные сечения.
Гейзенберг2) первый с помощью классической модели протяжён-
протяжённого источника подчеркнул значение реакции излучения в за-
задаче рассеяния. Согласно таким классическим теориям, как
инерционные эффекты, так и торможение излучением умень-
уменьшают эффективное сечение. В i-предельной теории и других
теориях точечного источника, в которых спин-инерцион-
спин-инерционные эффекты отсутствуют, остаётся только гораздо менее
резко выраженное влияние торможения излучением. В кванто-
квантовой теории, если принять модель протяжённого нуклеона, ме-
метод сильной связи автоматически учитывает все эффекты, свя-
связанные с реакцией поля; соответственно, эффективное сечение
становится весьма малым (< 4яа2 при всех энергиях, во всех
1) Можно попытаться заменить Х-процесс другими математиче-
математическими ухищрениями, вроде схемы, предложенной Риссом, которую,
может быть, можно перенести в квантовую теорию полей. См.
М. R i e s z, Comptes rendus du Congres International de Mathema-
tique Oslo, 1936, 11, 44; N. E. Fremberg, Linds Fysiografiska,
Forh, 15, No 27, 1945; T. Gustaf son, Tunds Fysiografiska Forh,
15, N 28,1945 и 16, No 2, 1946; N. E. Fremberg, Medd. f r. Lunds.
Univ. Mat. Semin., 7, 1946.
2) W. Heisenberg, Zeits. f. Phys. 113, 61, 1939c

280 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
вариантах теории, исключая скалярный). В рассматриваемых
сейчас вычитательных теориях содержится, вероятно, значи-
значительный элемент произвольности в вычитании эффектов, свя-
связанных с инерцией спина.
Ясно, что в такой ситуации надёжным путеводителем могут
служить экспериментальные измерения эффективных сечений.
К сожалению, на опыте трудно отличить рассеяние на боль-
большие углы, вызванное ядерным взаимодействием, от многократ-
многократного кулоновского рассеяния, которым обычно пренебрегают в
теории мезонов. Это особенно важно в области малых энергий
(порядка 108eV), где результаты различных теорий более всего
разнятся между собой. Работа Шатта1) указывает на то, что
ядерное эффективное сечение рассеяния несколько больше,
чем думали раньше. Этот результат, если он верен, доставляет
ещё один аргумент против теории сильной связи, но точность
опытов ещё явно недостаточна, чтобы можно было сделать
выбор между различными конкурирующими вычитательными
теориями.
Чтобы охарактеризовать эти теории, удобно начать с ин-
интегрального уравнения Гайтлера2). Мы воспроизведём здесь
краткий вывод этого уравнения, принадлежащий Паули3).
В уравнении Шредингера для стационарных состояний
рассматриваем ответственный за взаимодействие член Я', как
малое возмущение, и пользуемся тем представлением ф, в ко-
котором Я0 диагонально:
(q — квантовые числа осцилляторов поля в вакууме). Чтобы
различить между собой разнообразные решения, напишем ф в
виде матрицы (q | ф | #0), где q0 — начальные значения перемен-
переменных <7, так что в предельном случае равной нулю энергии
1) R. P. Shut t, Phys. Rev. 69, 261, 1946.
2) W. Heitler, Proc. Gamb. Phil. Soc.,37, 291, 1941; W. H e i t-
1 e г а. Н. W. Peng, Proc. Camb. Phil. Soc. 38, 296, 1942.
3) Международная Конференция по физике, Кэмбридж, июль
1946. См. также Паули, Мезонная теория ядерных сил, Госино-
издат 1947 г.

§ 5] ВЫЧИТА ТЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ 281
взаимодействия {q\ty\qQ) -+(q\\[q0). Теперь уравнение Шре-
Шредингера можно записать в виде:
(я\Щ\Яо) = (Ео — Ед)№\4о). (9)
По Дираку, решения, изображающие процесс рассеяния,
имеют вид:
где
(интегралы типа \ dEf(E)(E — Е')~1 берутся в смысле глав-
главного значения Коши в точке Е — Е'). Подставляя это выра-
выражение для ф в уравнение Шредингера (9), получаем следую-
следующее уравнение для R:
я1
X (?Ч Я: ?«) о\ (?> - ?0) == 25" (? IЯ | ?0)
(в правой части (?0 — Ед)Ь(Ей — Ед) и (Ео—E9)(q\l \q0)
уничтожаются).
Вводя матрицы:
(q\R\go) = (q\R\qo)S(E<,-Eo), A2)
приводим последнее уравнение к виду:
Умножая на Та и суммируя по всем я, имеем:
или, обозначая
00
2Т«Н' = К, A4)

282 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
Умножая на 8 (Е— ?0), имеем окончательно:
где
{q',K\q') = {q\K\g')i(E9-E9,). A7)
A5) и A6) суть интегральные уравнения относительно
«рассеянной волны» /?, так как матричное умножение (KR)
включает интегрирование по пространству импульсов, A6) и
есть искомое уравнение Гайтлера в форме, обобщённой на
случай учёта высших приближений.
Матрица К, в силу A3) и A4), определена в виде ряда
по степеням константы связи g. В случае обычного процесса
рассеяния (в обоих состояниях д0 и q присутствует по од-
одному мезону) матрица Н' не имеет элемента, отвечающего
непосредственному переходу q0 —> q, и первый неисчезающий
член в разложении A4) есть ТН' (^ g2). Поэтому, как легко
усмотреть из A5), разложение R по степеням g (слабая связь)
также начинается с члена второго порядка, а именноJ):
(q | R | q0) x= 2ш (q | THr !%)+••• Отбрасывание членов выс-
высшего порядка в R соответствует второму приближению теории
возмущений и пренебрежению реакцией излучения.
Однако следующий неисчезающий член в (q\K\qQ)i
т. е. (q\ ТВИ' \qQ), в релятивистской теории точечного источ-
источника расходится. И здесь-то вступает в действие вычита-
тельный приём Гайтлера: вычитаются все расходящиеся
члены типа (q\TnH'\q0)y л = 3, 5, ... Остаётся только
A4а)
Вообще, в произвольном процессе q0—>q в разложении
A4) оставляется только первый (всегда конечный) неисчезаю-
неисчезающий член, т. е.:
(q\K\qo) = (q\Tr*+fi-*H'\qo), A4b)
если в начальном состоянии присутствует пОу в конечном — п
мезонов. Предполагается, что при таком определении К и К
A7) уравнение A6) точно определяет R. Член — KR в левой
1) Матричные элементы R первого порядка по ^исчезают в силу
вакоцов сохранения энергии и импульса,

§ 5] ВЫЧИТАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ 283
части описывает то, что осталось от реакции излучения. Ре-
Решение A6) символически может быть записано в виде:
Релятивистская инвариантность этого вычитательного метода
явствует из того простого факта, что все члены разложения
A4) должны обладать одними и теми же трансформационными
свойствами *).
Будучи применена к рассеянию фотонов малой энергии на
свободном электроне (v<^jx^), теория Гайтлера даёт в точно-
точности ту же интенсивность рассеяния, что и классическая тео-
теория, включающая лоренцову силу трения -^ е2(дНг1д№). Так-
Также и для рассеяния мезонов нуклеонами гайтлеровские
эффективные сечения, вычисленные на основе мезонныхтеорий2),
обнаруживают близкое сходство с результатами классических
теорий, учитывающих торможение излучением, но пренебрегаю-
пренебрегающих эффектами инерции поля. В качестве примера приведём
гайтлеровскую формулу для эффективного сечения рассеяния
продольных векторных мезонов импульса &, вычисленную в
статическом приближении (без учёта отдачи) по «заряженной»
векторной теории с Д=0:
?* А* 1
J= 4* —
Последний множитель учитывает эффект торможения излуче-
излучением3). Он становится важным с увеличением импульса при
k > I gv I"*1 DтгJ и ведёт, в конце концов, к уменьшению
эффективного сечения, как 4тг&-2.
2) P. G. G о г m 1 е у a. W. H e i 11 e r, Proc. Roy. Irish. Acad. 50,
29 А, 39, 1944. См. также Е. С. G. S t ti с к е 1 b e r g а. Р. В о u v i е г,
Gomptes Rendus Soc. de Physique Geneve 61, 162, 1944.
2) Для <заряженной> и симметричной смеси Меллера-Розен-
фельда различные эффективные сечения были даны Гайтлером и
Пенгом (W. Hei tier and H. W. Peng, Proc. Roy. Irish. Acad. 49,'
101 A, 1943).
3) Квантовая теория торможения излучением была независимо
развитна Гора (Е. Go r a, Acta Phys. Polonica 7, 159, 1938 и 374,
1939; Zeits. f. Physik. 120, 121, 1943), Вильсоном (Д. H. W i 1-

284 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
Обратимся теперь к более общей теории, развитой Штю-
кельбергом в рамках схемы S-матрицы Гейзенберга !). Матрица
тесно связана с /^-матрицей, определяемой формулой A0).
Положим:
i(Eq — EQ)9 B0)'
где Д — матрица, единичная относительно всех переменных,
кроме полной энергии, и
^ B1)
тогда вместо A0) можно написать:
(?| ф ко) = (?!*ко) *-(?,—Eo)+D\S\qo)*+(E9— Е„), B2)
где
5
B3)
Два члена в правой части B2) описывают соответственно
«падающую» и «уходящую» волны. В силу сохранения энер-
энергии в действительности существенна только матрица S, опре-
определяемая равенством:
(q\I\qo) = (q\S\qQ)i(Eq — Eo) = (q\l+R\qQ). B4)
Принимая соотношения A6) или A8), как результат квантово-
механического рассуждения, мы имеем:
К — эрмитова матрица и, следовательно, 5—унитарна. При
преобразованиях Лоренца 5 должна трансформироваться, как
единичная матрица, так как S —> 1 в предельном случае исче-
исчезающего взаимодействия. Вероятности всех наблюдаемых про-
процессов можно выразить через матричные элементы S.
Гейзенберг, ввиду связанных с расходимостями трудностей
современной теории, стремится освободить матрицу 5 от всех
ограничений, налагаемых на неё уравнением Шредингера, со-
son, Proc. Gamb. Phil. Soc. 37, 301, 1941); Иваненко и Соко-
Соколовым (D. Iwanenko a. A. Sokolow, Phys. Rev. 60, 277,
1941).
i) W. Heisenberg, Zeits. f. Phys. 120, 513, 1943.

§ 5] ВЫЧИТАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ 285
храняя, однако, её общие свойства, как-то: унитарность и
релятивистское поведение. На языке изложенной выше волно-
во-механической теории это означает, что хотя и можно опре-
определить эрмитову матрицу/^ соотношениями A6) или B5)*),
её нельзя больше вычислять с помощью гамильтониана по
формулам A3), A4) и A7). Само собой разумеется, что до
тех пор, пока не даны другие правила, заменяющие уравнение
Шредингера, такая теория остаётся весьма неполной, напоми-
напоминая пустую раму для ещё не написанной картины.
Для того чтобы хотя бы частично заполнить эту раму,
Штюкельберг прежде всего постулирует принцип соответ-
соответствия с классической теорией торможения излучением2).
Некоторый элемент произвольности вносится возможностью
включить в классическое уравнение движения не только ло-
ренцову силу трения, но и другие силы реакции поля, содер-
содержащие четвёртую и высшие производные координат частицы
по времени, подобные имеющимся в лэренцовой модели про-
протяжённого электрона. Эта произвольность классической теории
имеет квантовый аналог. Предположим, например, что, приме-
применяя к разложению A4) определённое правило вычитания, на-
например правило Гайтлера, мы построили конечную матрицу К
и определили (сохраняя тем самым некоторую аналогию с фор-
формализмом волновой механики) матрицу R или 5 по формуле
A6) или B3). С другой стороны, по теории Гейзенберга
можно было бы положить:
SW*, tg| = TT/C, B6)
и применить правило вычитания не к К, а к г]. Эта теория,
также свободная от расходимостей и релятивистски инвариант-
инвариантная, будет отличаться от предыдущей в эффектах высшего
порядка. Аналогично можно ввести и другие функции от 7?
или 7]. Раз мы покинули волново-механическую теорию, при-
приведшую к интегральному уравнению Гайтлера, неясно, какая
из этих функций заслуживает предпочтения. Из рассуждений
Штюкельберга следует, что это разнообразие теорий соответ-
1) Гейзенберг вместо B5) полагает: S = e*rly где т) — эрмитова
матрица, и рассматривает теории с простыми выражениями для п
(Zeits. f. Phys. 120, 673, 1943).
2) E. С. G. Stuckelberg, Helv. Phys. Acta, 17, 3, 1944,

286 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
ствует разнообразию классических теорий с различными силами
реакции. В частности, теории Гайтлера соответствует простей-
простейшее классическое уравнение движения, содержащее только
третью производную.
Как бы то ни было, правило вычитания само по себе до-
допускает ещё один элемент произвольности. Как Гейзенберг,
так и Штюкельберг применяют следующий вычитательный
формализм: хорошо известно, что расходимости всегда возни-
возникают из-за промежуточных (виртуальных) процессов, в которых
квант (фотон или мезон) испускается и затем вновь погло-
поглощается; интеграл по возникающим промежуточным состояниям
расходится. Эти расходящиеся интегралы можно исключить
релятивистски инвариантным образом, изменив порядок следо-
следования операторов испускания и поглощения1) (например, в
Т'Н'). Если, например, поставить все операторы испускания
слева от операторов поглощения, то однажды испущенный
квант никогда уже не сможет вновь поглотиться, и, соответ-
соответственно, расходящихся интегралов не будет. Однако возможны
и другие расположения множителей, отличающиеся друг от
друга лишь конечными интегралами2).
Чтобы сократить число возможностей, Штюкельберг3)
вводит ещё один принцип — «принцип соответствия», заявляя,
что в пренебрежении торможением излучения и другими силами
реакции должна получиться обычная волново-механическая
теория. Этот новый принцип позволяет ему выразить К в виде
разложения по степеням константы связи, в котором главный
член (выбранный, например, в соответствии с теорией Гайтлера)
влечёт за собой бесконечную последовательность членов выс-
высшего порядка4). Можно, конечно, с тем же правом разлагать
7j = 2 tg-*1 (v;K), но с К гораздо легче работать. Это и не
удивительно ввиду интегрального уравнения Гайтлера. Как
*) Этот приём <изменения порядка> был впервые введён Иор-
Иорданом и Клейном (P. Jordan u. О. Klein, Zeits. f. Phys. 45,
751, 1927).
2) Я обязан доктору Костеру за разъясняющую дискуссию по
этому и другим вопросам теории Штюкельберга. Работа Костера и
Хурье, в которой рассматриваются эти вопросы, приготовлена для
публикации в Helv. Phys. Acta.
*) Е. С. G. S t u с k e 1 b е г g, Gomptes Rendus Soc. de Physique
Geneve, 61, 159, 1944; Helv. Phys. Acta 18, 195, 1945.
<) E. G. G. Stuckelberg, Helv. Phys. Acta 18,211—213, 1945.

§ 5] ВЫЧИТАТЕЛЬНЫП ТЕОРИИ 287
бы то ни было, это рассуждение явно недостаточно для того,
чтобы устранить всякую произвольность в расположении опе-
операторов испускания и поглощения в членах высшего порядка,
не говоря уже о возможности произвольно вводить новые
«главные члены».
Наконец, разложение матрицы S надо подчинить ещё одному
условию1). Для теорий Гейзенберга и Штюкельберга харак-
характерно, что они стремятся только установить связь между
начальным и конечным состояниями, не давая пространственно-
временного описания реального процесса, который считается
ненаблюдаемым. Рассмотрим теперь множественный процесс, в
котором участвуют, например, два нуклеона I и II, находящиеся1
на макроскопическом расстоянии г. Согласно изложенному выше
общему формализму, может случиться, что мезон, присутствую-
присутствующий в начальном состоянии, появляется и в конце, но так,
что его пространственно-временная локализация приведёт к
заключению, будто бы этот вторичный мезон был испущен
нуклеоном И, прежде, чем первичный мезон поглотился нуклео-
ном I. В течение интервала времени между испусканием и
поглощением, который может быть сколь угодно велик (^ tj),
теория отказывается описывать состояние системы; однако закон
сохранения энергии требует присутствия в это время частицы
с отрицательной энергией. Несомненно, это предсказание не-
неправильно. Его, однако, можно избежать, соответствующим
образом выбрав члены высшего порядка в разложении К. Пока
ещё неясно, в какой мере результаты этого рассуждения со-
совпадают с выводами из «второго принципа соответствия». Но,
вообще говоря, надо ожидать, что более близкое соответствие
с волново-механической теорией автоматически приведёт к
исключению всех «некаузальных» предсказаний, так как в
строгой, базирующейся на уравнении Шредингера волново-
механической теории последовательность событий во времени,
по необходимости, «каузальна».
До сих пор Штюкельберг и его сотрудники изучали, в
основном, упрощённые теории, не допускающие сравнения с
опытом. В частности, надо ещё исследовать возможность такого
обобщения теории, чтобы она включала эффекты, связанные с
инерцией спина. В этом отношении должна быть некоторая
1) Е. С. G. SUckelberg, Helv. Phys. Acta, 19, 242, 1946.

288 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
свобода, связанная со свободой выбора соответствующей клас-
классической и волново-механической теории.
Хотя теории Гайтлера и Штюкельберга применяются
прежде всего к рассеянию и связанным с ним явлениям, т. е.
к стационарным состояниям, принадлежащим непрерывному
спектру энергии, Крамере и Гейзенберг1) указали на возмож-
возможность определить и дискретный энергетический спектр. Для
примера рассмотрим рассеяние частицы мезона центральным
полем сил (покоящимся нуклеоном). Для чистой S-волны (т. е.
в случае равного нулю момента количества движения L) асимп-
асимптотическое поведение волновой функции в обычном простран-
пространстве даётся выражением:
<|>л {г —> сю) = j е-'*' — S (k) e+ikr. B7)
( = e(^^ определяет сдвиг фазы рассеянной волны, выз-
вызванный взаимодействием двух частиц. Аналитически продолжая
функцию 5 (k), можно определить i)k для комплексных зна-
значений k. Для значений k на отрицательной мнимой полуоси в
плоскости комплексного переменного k мы получаем, положив
k— —i\k\\
<bk (r —> оо) = j e'Wr _ s (— i | k | )e+ W' B8)
(при этом фл(г—>()) остаётся конечной). Рассматривая B8),
как асимптотическое выражение собственной функции связанного
состояния («мезон, связанный с нуклеоном»), мы должны иметь,
очевидно: S (k) = S (— /1 k |) = 0. Тогда дискретные собствен-
собственные значения энергии (принадлежащие 5-состояниям) будут:
где kn—расположенные на отрицательной мнимой полуос^
нули аналитической функции S(kJ). Вместо этого можад
!) W. H e i s e n b e г g, Заседание Цюрихского семинара по тео-
теоретической физике, 1944 г. и две неопубликованные работы, имею-
имеющиеся в Швейцарии. См. также С. М о е 11 е г, Лекции в Бристоль-
Бристольском университете, весенний семестр, 1946 г. и Kgl. Danske Vid.
Sels. Math.-fys. Medd. 23, № 1, 1945.
2) Однако не всем этим нулям обязательно соответствуют соб-
собственные функции; см. S. Т. М a, Phys. Rev. 70, 668, 1946.

§ 5] ВЫЧИТАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ 289
искать полюсы на положительной мнимой полуоси; они, со-
согласно общему соотношению S(k)S( — k)=\ или q (?)_}-
-|-ij(— &) = 0, находятся в точках k= -\-i\ka\.
Связь с теорией матрицы 5 можно установить, заметив,
что S(k) есть собственное значение матрицы S, принадлежа-
принадлежащее 5-состоянию (L = 0) с импульсом k. Аналогично и в
более сложных задачах, включающих большое число частиц
или другие взаимодействия, можно, зная собственные значения
матрицы 5, как функции энергии, с помощью аналитического
продолжения найти энергию стационарных состояний, в кото-
которых несколько частиц связаны друг с другом*). В рамках
волновой механики этот метод полностью эквивалентен более
привычным способам определения дискретного энергетического
спектра. В теории матрицы 5, отбрасывающей уравнение Шре-
дингера, его можно ввести ad hoc, чтобы связать энергии связан-
связанных систем с рассеянием соответствующих свободных частиц.
Этим способом матрицу 5, описывающую рассеяние мезо-
мезонов нуклеонами по теории Гайтлера или Штюкельберга, можно
использовать для определения «изобарных состояний-», в
которых мезоны связаны с нуклеонами2). Нули функции S(k)
принадлежат к числу нулей знаменателя формулы для эффек-
эффективного сечения рассеяния. Воспользуемся, например, форму-
формулой Гайтлера A9) (статическое приближение «заряженной»
векторной теории с fv = 0). Уравнение
Dтг)« (ji«+ **) + ?#• = О
имеет одно решение вида
L=—i\ki\(O<\kl\<V),
означающее, что мезон может быть соединён с нуклеоном8)
с энергией связи jx— (jx2 — |&i|2J» Соответствующая энергия
возбуждения, отсчитываемая от основного состояния («чистый»
1) Гейзенберг показывает также, как можно вычислить вероят-
вероятность перехода в эти состояния, зная матричные элементы S для
соответствующих множественных процессов рассеяния.
а) W. H e i 11 е г а. N i n g H u, Proc. Roy. Irich. Acad., в печати;
J. P i г е n n e, заседание Цюрихского семинара по теоретической
физике, лето 1946 г.
8 Доктор Гайтлер любезно сообщил мне, что по его теории
заряд изобарного состояния равен или -\-2 или — 1.

290 НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ МЕЗОНОВ
нуклеон), равна (jjl2—l^i|2J. Легко видеть, что она немно-
немногим меньше, чем ja в случае сильной связи (| gv | [Х^>1), и
стремится к нулю в предельном случае исчезающего взаимо-
взаимодействия (\gv\ [X—> ()). Эта зависимость от величины связи
резко расходится с результатами теорий протяжённого источ-
источника (см. § 4,а). Очевидное объяснение этого расхождения
состоит в том, что спин-инерционные эффекты, ответственные
за образование изобарных состояний в теориях протяжённого
источника, как раз вычитаются в теории Гайтлера. Численно,
пользуясь значениями константы связи, принятыми в теории
ядерных сил (приближение слабой связи), можно ожидать энер-
энергии возбуждения порядка только 20 MeV.
Зная матрицу S для столкновений протона с нейтроном,
можно таким же образом определить энергию связи дейтерона.
Здесь, однако, нельзя ожидать, что силы реакции окажут
заметное влияние, так как волновая функция дейтерона мед-
медленно меняется в пространстве.
Что касается решающей проблемы магнитных аномалий
нуклеона, то здесь мы встречаемся с той трудностью, что
электрический заряд «мезонного облака» и распределение
тока в нём не определяются непосредственно в теории матрицы
5, хотя их и можно определить косвенным путём, изучая рас-
рассеяние световой волны нуклеоном. Как бы то ни было, вели-
величиной, подлежащей вычислению, является энергия нуклеона в
магнитном поле, причём нуклеон находится в одном из основ-
основных состояний. Эти состояния нельзя с помощью аналитиче-
аналитического продолжения связать с непрерывным спектром мезонных
волн. Вместо этого можно попытаться исследовать поведение
нуклеонов в осциллирующем или неоднородном магнитном поле,
вроде тех, которые в действительности использовались для
измерения магнитных моментов. Теории Гайтлера и Штюкель-
берга должны решить эту проблему магнитных аномалий
прежде, чем станет возможным справедливое сравнение их с
другими теориями.

ИМЕННОЙ И ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Альварец 135, 269
Амальди 273
Антиперестановка 207—208
Баба 118, 135, 277
Бат 257
Батдорф 257
Белифанте 118
Э-распад 133
Бете 132, 134, 232, 257, 263
Блох 135, 170, 175, 269
Бор 37, 141
Борн 238
Бочиарелли 273
Брейт 128, 129, 131, 134, 165
Бувьер 283
Бус 117
Вайсскопф 63, 89, 91, 127, 237
Валлер 196, 275, 276
Ван дер Варден 239
Вентцель 79, 127, 165, 182, 259, 266, 273,
274, 275
Взаимодействие «тензорное» 258
— ядерное 57 и д., 74 и д., 120 и д.
Вигнер 127, 206
Вилларс 272
Вильсон 117, 283
Вильяме 134
Гайтлер 37, 118, 135, 165, 232, 255, 263,
270, 280, 283, 289, 290
Гальперн 237
Гамильтон 263
Гамов 127
Гейзенберг И, 28, 70, 121, 128, 134. 136,
164, 218, 232, 252, 279, 284, 285, 288, 289
Гилл 257, 262
Гильберт 243
Гора 283
Гордон 84
Гормлей*283
Гравитон (гравитационный квант) 244
Густавсон 279
Даяков 266, 267, 268
Дейтрон 129 и д., 270 и д.
Дельбрук 237
Дирак 36, 138, 164, 168,184, 185, 300, 218,
232, 240, 255, 274, 275, 276
Законы сохранения 16 и д., 24
Заряд (плотность заряда) 23, 218, 245
Заутер 232
Захариас 131, 135, 260
Иваненко 127, 284
Изобары прогона 79, 267
Иордан 36, 206, 286
Келлог 131, 135, 260
Кемиер 118, 126, 135, 237, 257, 258, 270
Клейн 232, 286
Кобаяси 117
Кондоа 128
Конус световой 180 и д.
Корбен 115, 117
Костер 286
Крамере 165, 288
Кристи 117, 257
Критчфельд 127
Кусака 117, 257, 266, 269, 272
Куш 135, 269
Ланденбург 256
Х-процесс 273 и д.
Лапорт 117
Лапп 257
Лепренс-Ренге 256
Лопес 268, 273'
Лорег!гц-илвариангность 25 и д.
Лоупс 267
Ма 135, 289
Майер-Лейбниц 258
Майорана 122, 128
Маршак 127
Масса электромаг.штнпя 184 и д., 199,
249 и д.
Матрица Гейзенберга 284 и д,
— плотности 218
Матрицы Дирака 155, 201
— Паули 72—73, 123
— относительна зарядных чисел 71 и д.
числа частиц 46, 67, 82—83 •
Метод обрезания 61, 250
Меллер 131, 261, 288
Мезон (мезотрон) 50 и д., 103 и д., 109
и д., 133 н д.
Ми 238
Мильман 135, 269
Множитель обрезания (обрывающий и«о-
житель) 61, 78, 132, 261
Моменты магнитные 114 и л., 135, 268 и д«
Нейтретто 257
Нельсон 263
Нинг-Ху 257, 261, 263, 264, 289
Нишина 232
Нордгейм 134, 26)
Нуклон 70
Образования пар 87 и д., 117, 230, 232
Оператор поля 12, 22, 26 и д., 4E и д,
Оппенгеймер 79, 218, 232, 277
Пайерлс 218
Параметр свази 77 и я,
Патри 133

292
ИМЕННОЙ И ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Паул» 11, 12, 23, 28, 36, 63, 85, 89, 115,
138, 164, 200, 222, 225, 242, 243, 247,
250, 257, 260, 266, 268, 269, 272, 276, 280
Пенг 255, 263, 280, 283
Пиренне 289
Плессет 232
Подольский 138, 168, 274
Позитрон 214 и д.
Поле мезонное 50
, векторное 92 и д.
, заряженное 63 и д.
, псевдоскалярное 129 и д,
— электромагнитное 137 и д.
во взаимодействии с мезонами
154 н д.
с электронами 152 и д.
— электронное 200 и д.
Потенциал кулоновский 161, 180, 190, 229
— Юкава 59, 129
Правила перестановки 11 и д., 26 и д.,
35 и д., 39 И д., 141 н д., 207 и д.,
246 и д.
Презент 128
Преобразование калибровки 1-го рода 23
2-го рода 85, 137, 225
Принцип исключения (Паули) 206
Прока 92
Протон-нейтрон 70
Раби 131, 135, 260
Рарита 136, 272
Рассеяние света 166 и д., 230 и д., 23В и д.
— мезонов 57 и д., 74 и д., 88 и д.,
112 и д., 120 и д., 133
Рисе 279
Роберте 134
Розенфельд 18, 28, 37, 131, 141, 261
Росси 134
Рэмси 131, 135, 260
Саката 118
Сербер 266, 267
Сила Бартлетта 128
— Вигнера 128
— Гайзечберга 121, 128
— Майорана 122,128
Силы, независящее от зарядов 83
Собственная энергия 6йи-д., 78, 90, 161,
184 и д., 238, 249 и д.
Соколов 284
Спин 257
— векторного мезона 108 и д»
— изотопный 72
— , инерция спина 267
— светового кванта 252
— электрона и позитрона 217
Статистика Бозе 150
— Бозе-Эйнштейна 50
— Ферми-Дирака 206
Тамм 127
Такетани 118
Теллер 127
Тензор энергии импульса 17, 218
Теория излучения Дирака 164 и д.
— позитронов Дирака 214 и д.
— сильной связи 255, 264 и д.
— со многими временами 168 и д.
— Юкава 75 и д., 120 и д., 133 и д»
Томас 257
Ток четырёхмерный 25
Трабачи 273
Тув 128
Уравнение Гамильтона-Якоби 83
— Дирака 202 и д.
— Шредингера-Гордона 32, 84
Уравнения Максвелла 145, 158
— поля 7 и д.
Утияма 117
Уэнелер 256
Феррети 261, 273
Ферми 134, 138, 164, 165
Финберг 128, 131
Фнрц 135, 240, 242, 272
Фок 138, 168, 218, 274
Фотон 149 и д.
Ф ре лих 118, 135, 270
Фремберг 279
Фриш 135
Функция Гамильтона 11
-D33
— D'220
— Дирака (8-функция) 12, 33
— Лагранжа 7 и д., 245
— Паули-Иордана 141, 181
— поля 7 и д.
Фэри 218
Хафстяд 128
Хейденб/рг 128
Хойз нгтон 129, 134
Хурье 268, 2S6
Шайн 217, 262
Шатт 280
Швингер 79, 115, 134, 136, 261, 202, 272,
277
Шер 129, 134
Штерн 135
Штюкельберг 52, 118, 133, 255, 283, 285,
286
Эванс 134
Эйлер 134, 237
Эйнштейн 244
Электрон, радиус—252
Энергии, плотность—16, 245
— , собственное значение 48
Юкава 59, 69, 77, 118, 133
Яух 127, 245, 263, 264, 267, 278,

Стр.
24
28
59
74
Зак. 71
Строка
14 св.
10 сн.
7 св.
11 сн.
57. Вентцель
Опечатки
Напечатано
НЕ
}9(xtt)=:e h
Х + 0
Должно быть
ф'_>ф'</а
НЕ
'^(xft)=:eh
X 5^0
По чьей
вине
Ред.
>