Курс физики - Детлаф А.А.

Автор: Детлаф А.А.
Теги: физика
ISBN: 5-06-003556-5
Год: 2002
Похожие
Курс физики
Курс физики. Том III: Волновые процессы. Оптика. Атомная и ядерная физика
Справочник по физике
Текст
                    А.А.Детлаф Б.М.Яворскии
КУРС
ФИЗИКИ
ААДетлаф Б.М.Яворский
КУРС
ФИЗИКИ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
в качество учебного пособия
для студентов втузов
Москва
«Высшая школа»
2002
УДК 53
ББК 22 3
Д 38
Детлаф А. А.
Д 38 Курс физика: Учеб- пособие для втузов/А. А. Детлаф, Б. М. Явор-
ский. — 4-е изд., мспр. — М.: Высш, шк., 2002.— 718 с.: ил
ISBN 5-06-003556-5
Учебное Носова* вапясаио в соответствия с тфагр&шоЯ'курсв фихяхх во втузах. Квхта содержат
основы клвсаПеской в овцмыавой фкзжхв Звачнтальво* внамгине удикио сошвалаао* теории
относительности, кявспаи*в вваягошм стхтвсптхвм, квантовое теории тамщаго тела в спаремиа-
ным предстаалавваы об мвЫпщииц *аспщаа> а твхжв выиашиию органжшхоя взааыоашт а цреат-
ствснностя соарммвиой W кмяйакоА
Дм студентов высших тгтппвстп мадвыиЦ институтов и университетов
Я
223
ISBN 5-06-003556-5	© ФГУП «Издательство «Выппвя школа», 2002
Орягинал-махст дмжого издадня является собственностью издательства «Выппая школа»,
 его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласи издательства запреща-
ется.
Предисловие
Фюиха нежит к числу фундаментальных нате составляющих основу те-
оретической подготовки инженеров и играющих роль той базы, без которой невозмож-
на успешная деятельность инженера в любой области современной техники. На протя-
жении последних трех столетий развитие техники тесно переплеталось с развитием
фипиш, которая предваряла и научно обосновывала прит^тгапкио новые напра-
вления в технике В XX в эта связь стала неразрывной. Бурное развитие научно-
технической революции потребовало коренного пересмотра содержания курса физики
во втузах. Современному инженеру требуются достаточно глубокие знания не только
классической физики, но также так называемой современной физики (теории от-
носительности, квантовой механики, физики твердого тепа и др) Авторы этой
книги постарались реализовать в вей идею органического соединения во втузовском
курсе физики фундаментальных основ класопсской и современной физики. Эго
потребовало пересмотра как содержания и объема отдельных разделов курса, так
и последовательности их изложения Например, специальная теория относительности
излояюна в пособии сразу же после ктсочестой механики и использована в по-
следующих разделах курса (в частности, в. электродинамике для релятивистского
истолкования магнитного взаимодействия движущегося электрического заряда и про-
водника с током) Достаточно подробно рассмотрены основы квантовых статистик
Ферми — Дирака и Бозе—Эйнштейна и их примевенкя к вырожденному элект-
ронному газу в металлах, к полупроводникам, к равновесному тепловому излучению
и фононному газу в кристаллах. Должное внимание уделено сверхпроводимости
и связанным с ней эффектам, основам физики плазмы, современному состоянию
физии элементарных частиц. Рассмотрена связь законов сохранения в механике
со свойствами симметрии пространства и времени
В пособии обсуждаются трудности н ошибки, возникавшие на историческом пути
развития физики, а также границы прижжАиимпсти тех или иных физических теорий
и законов В отборе материала н методике его изложения был использован многолет-
ний преподавательский опыт авторов, которые стремились к возможной краткости
и общности рассмотрения без ущерба дня	физического смысла изучаемых
мендД, понятий и законов В книге приведены краткие описания основополагающих
физических экспериментов, а также нетоторых лекционных демонстраций. Сведения
о размерностях физических величин и системах единиц вынесены в Г^жложсыия. Там
же приведены значения фундаментальных фюичсских постоянных и правила расчета
погрешностей при прямых и косвенных измерениях физических величин.
По математическому уровню «Курс физики* соответствует математической подго-
товке студентов первых курсов втузов и лишь в нескольких местах даны небольшие
математические дополнения
Для обозначения векторных величин на всех рисунках и в тексте использован
полужирный шрифт, за исключением величин, обозначенных треяескнмн буквами,
которые по техническим причинам набраны в тексте светлым шрифтом со стрелкой
Главы 1 — 7, 13 — 34н Приложения написаны А. А. Детлафом, главы 8 — 12,
35 — 45 — Б М Яворским, а глава 46 — А. И Наумовым
Авторы выражают глубокую благодарность за целый ряд полезных советов и заме-
чаний рецензентам первого издания книги — профессорам И Г Берзиной, И К.
Верещагину, Ф П Денисову, А. И Елькину и Н Л Пахомовой, доцентам Н П
Наровской, В А. Селезневу, Е А. Серову н В. Г Хавруняку
При подготовке второго издания в книгу внесены некоторые изменения и дополне-
ния. В частности, в соответствии с современными представлениями было решено
отказаться от использования устаревших понятий рслкпшютской массы частицы и ее
массы покоя К сожалению, вследствие д лительной тяжелой болезни н уходу из жизни
£ 1996 г мой многолетний соавтор и игибвеяный друг Борис Михайлович Яворский не
смог принять активное участие в подготовке книги к переизданию Од нако все измене-
ния были им одобрены
А А Детлаф
ядерные превращения. На этой основе развилась ядерная энергетика, а искусственная
радиоактивность стала основой метода меченых атомов, широко применяемого в раз-
личных областях производства, в геологии, биологии и медицине. Успехи физики
полупроводников привели к подлинной революции в радиотехнике и электронике,
а также в вычислительной технике. Даже простой перечень выдающихся достижений
физики наших дней занял бы слишком много времени Однако в этом нет необ-
ходимости, тем более что только систематическое изучение курса физики позволяет
понять смысл и значение этих достижений.
4.	Одна из важнейших задач курса физики состоит в формировании у студентов
представлений о современной физической картине мира. Окружающие нас тела образу-
ют макромир. В классической физике, описывающей макромир, считаете, что материя
существует в двух формах — в виде вещества н поля. Вещество состоит из атомов
и молекул. Атомы н молекулы столь малы, что принадлежат к числу наиболее крупных
по размеру ттедставителей микромира, объекты которого имеют характерные раз-
меры Ж 10~” м. Следующие, более мелкие по размерам объекты микромира — со-
ставные части атомов: электроны н атомные ядра. В свою очередь, атомные ядра
состоят из протонов н нейтронов. Электроны н нуклоны (протоны н нейтроны)
принадлежат к числу частиц, которые, по традиции, называют элементарными части-
цами. Электроны относятся к так называемым фундаментальным частицам, под
которыми понимают несоставные, т. е. истинно «элементарные», частицы. Протоны
и нейтроны — составные частицы. Они образованы из фундаментальных частиц, име-
нуемых кварками.	лооЗо ,нэщ
В настоящее время известно несколько сотен Вц<рнощщ^нестабильных элементар-
ных частиц. Все процессы, в которых участвуют этютМТВДМ, связаны с тремя типами
взаимодействий, называемых фундамента т-имми	сильным, элект-
ромагнитным н слабым. Сильное взаимодействие осуществляется между адронами —
составными элементарными частицами, построенными из кварков (например, между
нуклонами) Ядерные силы, обеспечивающие устойчивость атомных ядер, обусловлены
сильным взаимодействием нуклонов в ядре. Электромагнитное взаимодействие харак-
терно для всех электрически заряженных частиц (например, для электронов, протонов,
ионов и др.). Оно наиболее известно из курса физики средней школы. Слабое взаимо-
действие присуще всем элементарным частицам и обусловливает, например, нестабиль-
ность многих из этих частиц. Четвертый тип фундаментальных взаимодействий —
гравитационное взаимодействие, которое присуще всем частицам н телам. Для эле-
ментарных частиц силы гравитационного притяжения столь малы, что ими пренеб-
регают. В макромире гравитационное взаимодействие проявляется в силах всемирного
тяготения н должно учитываться.
Установлено, что все фундаментальные взаимодействия имеют обменный харак-
тер элементарные акты любого взаимодействия связаны с испусканием н поглощением
взаимодействующими частицами некоторых частиц — переносчиков взаимодействия
Например, переносчиком электромагнитного взаимодействия является фотон. Пере-
носчики взаимодействия рассматриваются как истинно элементарные, т. е. фундамен-
тальные, частицы.
5.	Известно, что развитие науки н техники определяется экономическими потреб-
ностями общества. Технический уровень производства в значительной степени зависит
от состояния науки. История развития физики и техники показывает, какое большое
значение имели открытия в физике для создания и развития новых отраслей техники.
Физика явилась научным фундаментом, на котором выросли такие новые области
техники, как электро- н радиотехника, электронная н вычислительная техника, кос-
мическая техника н приборостроение, ядерная энергетика н лазерная техника н т. д На
основе достижений физической науки разрабатываются принципиально новые и более
совершенные методы производства, приборы и установки.
В свою очередь, техника оказывает большое влияние на прогресс физики Известно,
что именно технические потребности общества привели в свое время к развитию
механики, необходимой для строительства различных сооружений. Задача создания
более экономичных тепловых двигателей вызвала быстрое развитие термодинамики.
Эти примеры можно продолжить. Развитие техники оказывает огромное влияние на
совершенствование экспериментальных методов физических исследований. Современ-
5
дая техника дает экспериментаторам такие приборы и установки, как ускорители
зар «венных частиц, искусственные спутники Земли и космические станции, радиотеле-
скопы, масс-спектрометры, лазеры, электронные вычислительные машины и др
Ecus в прошлом между открытием нового физического явления я его практическим
использованием проходили многие десятилетия, то современное развитие физики
я техники характеризуется резким сокращением этого промежутка времени Так,
например, в 1939 г была открыта цепнаяреакция де пени» ядер урана под действием
нейтронов, а уже в 1954 г в Советском Союзе была пущена в эксплуатацию первая
в мире промышленная атомная электростанция (АЭС) Величайшим достижением
совместных усилий различных областей науки и техники явились полеты человека
в космос, осуществленные впервые в нашей стране в 1961 г
*. В последние десятилетия мир переживает невиданную по своим масштабам и скоро-
сти осуществления научно-техническую революцию Современная наука и техника
развиваются необыкновенно быстрыми темпами Регулярно совершенствуются и об-
ювляются методы и технология производства, используемое оборудование и, что
особенно важно, качественно изменяются требования к инженерно техническим я дру-
гим спвцаа тегам Совершенно очевидно, что быстро ориентироваться я успешно
работать в современном юре могут только те выпускники вузов, которые получили
в процессе обучения достаточно широкую я глубокую фундаментальную подготовку,
а таках навыки самостоятельной исследовательской работы. Исходя из этого, можно
следующим образом сформулировать роль и задачи курса физики во втузе
а)	изучение физики играет важную роль в формировании фундаментальной подго-
товки выпускников я выработке у них научного мировоззрения,
6)	физика является базовой дисциплиной для большого числа общеинженерных
 специализирующих дисциплин;
в)	пути развития любой отрасли современного производства весьма тесно перепле-
таются с физикой, поэтому инженер любого профиля должен владеть физикой в такой
степени, чтобы быть в состоянии активно и со знанием дела применять достижения
научно-технической революции в своей производственной деятельности.
Физические основы
механики
Глава 1
Кинеыатика точки
и поступательного движения
твердого тела
Глеев 2
Динамика материальной
точки
и поступательного движения
твердого тепе
Главе 3
Работе
и механическая анергия
Глава 4
Кинематика и динамика
вращательного движения
Глава 5
Законы сохранения
а механика
Глава в
Движение а неинерциальных
системах отсчета
Глава 7
Основы специальной теории
относительности
вы там
нн у ахтойс
1ЭЫД ЙОСОС£
ннгггчх
Глава 1_______________________________________
Кинематика материальной точки
и поступательного движения
твердого тела
§1.1. Механическое движение
1. Простейшей и в то же времд наиболее часто встречающейся и привычной нам
формой движения в природе является мсхяшческое дважепе, состоящее в изменении
взаимного расположения тел или их частей.
Раздел физики, занимающийся изучением закономерностей механического движе-
ния и взаимодействия тел, называется механикой. При этом под механжчеясим действи-
ем на тело понимают такое воздействие со стороны других тел, которое приводит
к изменению состояния йеинич^кого днижеттия рассматриваемого тела шти к его
деформации, т. е. к измещ^шз^шнмного расположения его частей. В общем случае оба
эти щюявления мехдничмштддо^вия на тело сопутствуют друг другу.
Механику тел, двнжтЩиха'с^^малыми скоростями (по сравнению со скоростью
света в вакууме с=3 10’ ii/c), называют классической механикой в отличие от реляти-
вистской метаинки быстро движущихся тел. Основы классической механики были
разработаны И. Ньютоном. Поэтому ее обычно называют ньютоновской механасой.
Релятивистская механика основывается на специальной теории относительности и рас-
смотрена ниже (см. § 7.6).
Решая ту или иную конкретную задачу механики, всегда приходится мысленно
выделять из множества тел только те, которые играют в данной задаче существенную
роль. Такая мысленно выделенная совокупность рассматриваемых тел называется
механической системой
Мы ограничимся изучением двух основных разделов ньютоновской механики*
кипемятики и динамики. В кинематике дается математическое описание механического
движения тел безотносительно к причинам, обеспечивающим осуществление каждого
конкретного вида движения. Основным разделом механики является динамика, занима-
ющаяся исследованием влияния взаимодействия тел на их механическое движение.
2. Все окружающие нас тела состоят из огромного числа атомов или молекул, т. е
представляют собой макроскопические системы. Механические свойства тел определя-
ются их химическим составом, внутренним строением и состоянием, изучение которых
выходит за рамки механики, так как эти вопросы рассматриваются в других разделах
физики В механике для описания реальных тел пользуются в зависимости от условий
конкретной задачи различными упрощенными моделями* материальная точка, аб-
солютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело и т. п.
Выбор той или иной модели нужно производить так, чтобы учесть все существенные
особенности поведения реального тела в данной задаче и отбросить все второстепен-
ные, пел при идя ннл усложняющие решение этой задачи.
Материя гп-ппй точкой называется тело, форма и размеры которого несущественны
В данной чадяне.
Одно и то же тело в одних задачах можно считать материальной точкой, а в дру-
гих — нельзя. Например, рассматривая движение Земли и других планет по орбитам
вокруг Солнца, их можно принять за материальные тонки, так как размеры планет
малы по сравнению с размерами их орбит. В то же время Землю нельзя считать
материальной точкой во всех «земных» задачах механики. Любое протяженное тело
или систему тел, образующих исследуемую механическую систему, можно рассматри-
вать, как систему материальных точек. Для этого нужно мысленно разбить все тела
8
системы на столь большое число частей, чтобы размеры каждой части были пренеб-
режимо малы по сравнению с размерами самих тел.
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя
точками которого всегда остается неизменным.	i
Эта модель пригодна в тех случаях, когда в рассматриваемой задаче
тела при его взаимодействии с другими телами пренебрежимо малы. Абсолютно
твердое тело можно представить в виде системы материальных точек, жестко связан-
ных между собой. В дальнейшем там, где это не может вызвать недоразумений, мы
будем для краткости говорить не «абсолютно твердое тело», а просто «твердое тело».
Соответственно вместо слов «материальная точка, входящая в состав тела» мы будем
говорить «точка тела».
Абсолютно упругое тело и абсолютно неупругое тело — два предельных случая
реальных тел, деформациями которых нельзя пренебрегать в изучаемых процессах
(например, при соударении тел). Тело называется абсолцтюупрутпм, если его дефор-
мации подчиняются закону Гука, т. с. пропорциональны вызывающим их силам. После
прекращения внешнего механического действия на такое тело оно полностью вос-
станавливает свои первоначальные размеры и форму. Абсолютно веупрутжи телом
называется тело, которое после прекращения внешнего механического действия полно-
стью сохраняет деформированное состояние, вызванное этим действием.
3. Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Понятия пространства
и времени — основополагающие для всех ее г ее шейных наук. Любое тело имеет объем,
т. е. пространственную протяженность. Время выражает "Порядок смены состояний,
составляющих любой процесс, любое движение? ^бЙ^СЙужит мерой длительности
процесса. Таким образом, пространство и время птФНтаейярт- наиболее общие формы
существования материи. Ф. Энгельс писал: «...остсгрм1 ш^рмы всякого бытия суть
пространство и время; бытие вне времени есть такая"» {^Дичайшая бессмыслица, как
бытие вне пространства»*.
Не имеет также никакого смысла говорить о положении и механическом движении
какого-либо тела в пространстве «вообще», т. е. безотносительно к другим телам.
Всегда говорят о положении и движении этого тела по отношению к какому-то
другому конкретно выбранному телу (например, планеты относительно Солнца, само-
лета относительно поверхности Земли и т. д.).
Для однозначного определения положения исследуемого тела в произвольный
момент времени необходимо выбрать систему отсчета.
Системой отсчета называется система координат, снабженная часами и жестко
связанная с абсолютно твердым телом, по отношению к которому определяется
положение других тел в различные моменты времени.
При этом под часами подразумевается лю-
бое устройство, используемое для измерения
времени или, точнее, промежутков времени меж-
ду событиями, так как в силу однородности
времени начало его отсчета можно выбирать
произвольно. В ньютоновской механике пред-
полагается, что свойства пространства описыва-
ются геометрией Евклида, а ход времени оди-
наков во всех системах отсчета. В дальнейшем
мы будем называть земной, или лабсраторвой,
систему отсчета, жестко связанную с Землей.
4. Наиболее часто пользуются правой прямо-
угольной декартовой системой координат, изоб-
раженной на рис. 1.1. Здесь i, j и к — единичные
по модулю и взаимно перпендикулярные век-	Рис. 1.1
торы — орты системы координат, образующие
ее ортонормироваиный базрс. Система координат называется правой, так как-из конца
третьего орта (вектора к) вращение от первого орта (1) ко второму (J) по кратчайшему
расстоянию видно про ист пдяпртм против часовой стрелки, т. е. взаимная ориентация
*Маркс К., Энгельс Ф. Сон 2-е изд Т. 20. С. 55.
9
векторов i, j и к совпадает с взаимной ориентацией трех пальцев правой руки —
большого, указательного и среднего, когда они расположены взаимно перпенди-
кулярно.
Положение точки М относительно этой системы координат можно задать двумя
эквивалентными способами: либо указав значения всех координат х, у, z точки М, либо
указав значение ее радиусагвектора г, т. е. вектора, проведенного В точку М из начала
координат 0. Из правила сложения векторов следует, что радиус-вектор точки М мож-
но разложить по оазису 1, j, к следующим образом:
r=xi+yj+zk.
(1.1)
Координаты х, у, z точки М называются также коордвнятями (компонента»)
ражусе-векторя г относительно базиса, а векторы xi, yj и zk - составлякиж» вектора
г по осям координат. В силу ортогональности этой системы координат величины х,
у и z равны проекциям вектора г на оси декартовых координат.
гж—прлГ=г cos а=х,
г,=пр/=г cos fi=у,
г,=пр/=г cos у=z,
(1.2)
где а, 0 и у	углы, состм/ицмэд дадиусом-вектором г с ортами осей координат.
5. При движении точки м ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением
времени. Поэтому для зэдздшдьэддона движения точки М нужно указать вид функци-
ональных зависимостей оу времецд t либо всех трех ее координат
х=х(г),у=у(г), z=z(r),
либо ее радиуса-вектора
г=г(г).
(1-3)
(1.3')
Три уравнения (1.3) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.33 называ-
ются кинематическими уравнения» жяжеяия точен.
Траекторией точа называется линия, описываемая этой точкой при ее движении
относительно выбранной системы отсчета.
Кинематические уравнения движения точки (1.3) задают ее траекторию в парамет-
рической форме. Параметром служит время г. Уравнение траектории точки в обычной
форме, т. е. в виде двух уравнений, связывающих между собой декартовы координаты
точек траектории, можно получить решая уравнения (1.3) совместно и исключая из них
параметр г. Например, пусть кинематические уравнения движения точки заданы
в форме
x=acmtot, y=bsnwt, z=0,
где ш=const.
Уравнение траектории этой точки
т. е. точка движется в плоскости z=0 по эллиптической траектории с полуосями,
равными а и А.
В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и крнволяиейвое
движения точки. Если траектория точки плоская кривая, т. е. целиком лежит в одной
плоскости, то движение точки называют плоским.
Механическое движение тела относительно: его характер и, в частности, траек-
тории точек этого тела зависят от выбора системы отсчета. Так, например, известно,
что по отношению к системе отсчета, связанной с Солнцем, планеты Солнечной
10
системы движутся по эллиптическим орбитам. В то же время по отношению к земной
системе отсчета они движутся по достаточно замысловатым траекториям.
в. В общем случае траектория точки представляет собой пространственную кривую.
Для описания произвольной траектории точки в кинематике пользуются такими поня-
тиями, как соприкасающиеся плоскость и окружность, центр и радиус кривизны,
главная нормаль и др. Сопрюсясяющейся плоскостью в какой-либо точке М кривой
называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки N,
М и Р этой кривой, когда точки N и Р неограниченно приближаются к точке М.
Сопрюсасакнцейся окружностью в точке М кривой называется предельное положение
окружности, проведенной через три точки N,MhP этой кривой, когда точки N и Рне-
ограниченно приближаются к точке М. Соприкасающаяся окружность лежит в со-
прикасающейся плоскости, а ее центр и радиус называются hlbi|mjm irpwiaiM t и раж-
усом криви им кривой в точке М. Едавчый вектор главной вормалв в в точке
М траектории направляют из точки М к центру кривизны, а едмювый вектор
касательной т — по касательной к траектории в точке М в направлении движения.
Векторы пит лежат в соприкасающейся плоскости и взаимно ортогональны.
Если траектория точки — плоская кривая, то во всех точках соприкасающаяся
плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит эта траектория.
Если же траектория — прямая линия, то для ие понятия соприкасающейся плоско-
сти, соприкасающейся окружности, главной нормали, центра кривизны лишены але-
ла. Рассматривая такую траекторию как предел все более спрямляющейся криволиней-
ной траектории, можно считать, что радиус критййЫ’’Прямолинейной траектории
бесконечно велик.	100м 39
7. Длвной пути называется расстояние з, прой^ййсйЫ|гЬ^кой за рассматриваемый
промежуток времени и измеряемое вдоль траектории’в направлении движения точки.
Иначе говоря, длина пути точки равна сумме
пройденных точкой за рассматриваемый промежу-
ток времени Из этого определения следует, что
длина пути з не может быть отрицательной. Пусть
точка движется по участку криволинейной траек-
тории АВ (рис. 1.2) так, что в начальный момент
времени (г=0) находится в точке А, радиус-вектор
которой г0=г (0), а в момент времени t > 0 находит-
ся в точке М, радиус-вектор которой r=r(f). Если
в течение всего рассматриваемого нами промежут-
ка времени от 0 до t точка движется в одном и том
же направлении, то, как показано на рте 1 2, путь
точки за это время s(t)= и AM. Однако точка
может двигаться и более сложным образом. На-
пример, в течение времени от 0 до < t она может
длин всех участков траекюрми,
Рис. 1.2
переместиться по траектории из точки А в точку В, а затем, возвращаясь по той же
траектории назад, оказаться в момент времени t в точке М. В этом случае путь точки за
промежуток времени от 0 до г к(г)=иЛВ+ иВМ, т. е. j(f)> uAB.
8. Велором перемещения точки за промежуток времени от t=ti до t=ti называется
приращение радиуса-вектора г этой точки за рассматриваемый промежуток времени:
П-Г1=г(»2)-г(П)-
Вектор перемещения направлен вдоль хорды, стягивающей соответствующий уча-
сток траектории точки, из положения движущейся точки в момент времени fj в ее
положение в момент времени t3. Поэтому во всех случаях, кроме прямолинейного
движения точки, модуль вектора перемещения меньше длины пути точки за тот же
промежуток времени. На рис. 1.2 показан вектор перемещения точки г—г0 за промежу-
то! времени от 0 до t.
Из геометрии известно, что разность длин участка какой-либо кривой и стягива-
ющей его хорды уменьшается по мерс уменьшения длины этого участка. Следователь-
но, рассматривая элементарное перемещаем точен по траектории за достаточно малый
11
промежуток времени dr (от t до r+dr), мы можем пренебречь отличием между модулем
вектора соответствующего перемещения точки dr=г (г+dr)—г (г) и длиной ее пути за то
же время dr=j(r+dr)—г (Г): |dr|*-dj. Из сказанного ясно, что вектор dr направлен по
касательной к траектории в сторону движения точки, т. е. так же, как и единичный
вектор касательной т. Таким образом,
dr=|dr|t=dr т.	(1.4)
Вектор перемещения материальной точки за любой конечный промежуток времени
от г до r+Дг можно представить, основываясь на (1.1), в виде геометрической суммы
перемоцений точки вдоль трех осей координат:
Дг = г (г+Аг)—г (Г)=Ajd+Ду)+ДА.
(1.5)
Здесь Дх=х(г+Дг)—x(r), Ay=y(t+Af)—y(t), Az=z(t+At)—z(t)— приращения коор-
динат материальной точки за рассматриваемый промежуток времени.
в. В заключение остановимся на вопросе о некотором различии в толковании в мате-
матике и физике смысла обозначений dr, dr и др., широко используемых в физике.
Согласно принятым в математике обозначениям для функций одного переменного (в
нашем случае — времени Г), dr и dr представляют собой дифференциалы соответству-
ющих функций, т. е. линейные части приращений этих функций при произвольном
изменении аргумента от г до г+Дг. По' определению понятия дифференциала в матема-
тике, dr=Ar, dr=r'dr=r'Ar, a dr™/dr=/Ar, где г' и / — производные по г от функций
г(г)иг(г).	?ь
производной
Очевидно, что при произвольных значениях
Дг приращения функций Дг=г(г+Дг)—г(г) и-
Дг=г(г+Ar)—г(г) могут существенно отличать-
ся от дифференциалов. Рис. 1.3 иллюстрирует
сказанное для изображенной на нем функции
г(г). Так как r'=tga, где а — угол наклона каса-
тельной к кривой зависимости з (г) в точке М, то
dr=Ar tga и заметно меньше приращения Дг
функции j (г).
В физике различают дифференциал аргумен-
та dr и произвольное (конечное) приращение
аргумента Дг. Под дифференциалом аргумента
понимают столь малое его приращение («элеме-
нтарное приращение»), чтобы можно было пренебречь разностью между соответст-
вующими значениями приращения функции и линейной части ее приращения, т. е.
чтобы эта разность была малой высшего порядка малости по сравнению с приращени-
ем функции. Поэтому в физике, исцользуя предложенное Г. Лейбницем обозначение
dr	dj
r'=—, s'=—,
dr	dr
трактуют эти выражения как отношения не математических дифференциалов функции
и аргумента, а малых («элементарных») приращений функции и аргумента.
§ 1.2. Скорость
1. Для характеристики направления и быстроты движения точки в механике вводится
векторная физическая величина, называемая скоростью. Средней скоростью точки
в промежутке времени от г до Г+Дг называется вектор (у), равный отношению
приращения Дг радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его продол-
жительности Дг:
Дг
Дг
(1.6)
12
Средняя скорость направлена так же, как вектор перемещения Дг, т. е. вдоль хорды,
втягивающей соответствующий участок траектории точки*. Так как |Дг|^ Л.г, где
Дг длина пути точки за рассматриваемый промежуток времени, то
l<v>l<f-	О'7)
Дг
1нак равенства в соотношении (1.7) соответствует движению точки в течение времени
эт г до / + Дг вдоль прямолинейной траектории в одном и том же направлении.
I. Скоростью точки в момент времени t называется вектор v, равный первой произвОд-
юй по времени от радиуса-вектора этой точки:
Дг dr
v=lim — ,
лг-.о Дг dr
1ЛИ
v= lim
Дг-0
(1.8)
(1.8')
d.t .
т,
df
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону ее
движения. Из (1.4)- следует, что	и / — ?.Ь в ъ
dj
dr’
(1-9)
г. е. модуль скорости точки равен первой производной по времени от пути этой точки.
Вектор v можно разложить по базису i, j, к, т. е. на три составляющие по осям
прямоугольной декартовой системы координат:
	v=«ri+«J+t,k,	(1-Ю)
причем, согласно (1.1) и (1.8),	dx	d2	л in Ur= ,	= , v,= ,	ll.ll) dr y dr ’ dr
(1.11)
3.	Если направление вектора v скорости точки не изменяется, то траектория точки
прямая линия. "В случае криволинейного движения точки направление ее скорости
непрерывно изменяется. При равномерном движения точки остается постоянным мо-
дуль ее скорости т, а путь, пройденный точкой за промежуток времени от f до Г Ч- Дг,
Дг—и Дг. В этом случае точка проходит за равные промежутки времени пути равной
длины. Если точка движется равномерно и прямолинейно со скоростью v вдоль оси
ОХ, то зависимость ее координаты х от времени имеет вид: x=xo + t>It, где хп значе-
ние х в начальный момент времени (г=0), а проекция скорости точки на ось ОХ.
Если модуль вектора скорости точки изменяется с течением времени, то такое
движение точки называется неравномерным. Путь Д.г, пройденный точкой в неравномер-
ном движении за промежуток времени от г до г+Дг, равен
г+Дг
Дг= j «dr.
г
(1.12)
’Время в отличие от координат движущейся точки не может убывать. Поэтому длитель-
ность любого перемещения точки Дг>0.
13
Неравномерное движение точки называется ускоренным, если в процессе движения
модуль скорости точки увеличивается, т. е. (de/dr)>0. Если же (de/dr)<0, то движение
точки называется зямедле^шам.
4.	В механике часто приходится иметь дело с задачами, в которых осуществляется
сложение двух или большего числа одновременно совершающихся движений, скорости
которых заданы относительно разных систем отсчета, движущихся друг относительно
друга. В качестве простейшего примера рассмотрим следующую задачу: теплоход вдет
вниз по течению реки со скоростью ▼] относительно воды; найти скорость теплохода
относительно берега, если скорость течения реки равна т2. Ответ известен каждому
школьнику - скорость теплохода относительно берега равна геометрической сумме
скоростей и яу. +т2. Однако, пользуясь этим привычным соотношением, многие
не задумываются над таи, что оно является следствием не только векторного харак-
тера скорости, но и тех представлений о свойствах пространства и времени, которые
лежат в основе ньютоновской механики*. Из векторного характера скорости следует
лишь, что для нахождения результирующей скорости т теплохода относительно берета
нужно к вектору скорости т2 течения реки прибавить вектор скорости т* движения
теплохода относительно воды реки, измеренной из системы отсчета, связанной с бере-
гом: т“т|+т2. Таким образом, для обоснования вышеприведенного выражения для
т нужно доказать, что т*=Т1-
В ньютоновской механике предполагается справедливость двух аксиом: об инвари-
антности промежутков времени между двумя событиями и расстояний между двумя
точками по отношению к выбору системы отсчета. Следовательно, за один и тот же
промежуток времени dr ^жендоход проходит по воде одно и то же расстояние dr как
в системе отсчета, связанной с берегом, так и в системе отсчета, движущейся вместе
с водой реки. Поэтому T| = (dr/dr)«rf.
5.	Для описания плоского движения точки часто оказывается удобным пользоваться
полярными координатами г и <р, где г - расстояние от полюса О до рассматриваемой
точки М, а <р - полярный угол, отсчитываемый от полярной оси ОА в направлении
против часовой стрелки (рис. 1.4). Скорость т тояки М можно разложить на две
взаимно перпендикулярные составляющие — ряда-
V	иыро скороегь зг и тряягвгреяльную скорость
'*гг'Г '
v=vr+v_ и	(1.13)
erv	^пя отысгания значений и запишем выраже-
г____________ние полярного радиуса-вектора г точки М в форме
ОТ ~	А
Рис 14	г=г(1совр+)япф),-
где i орт полярной оси ОА, a j орт оси, составляющей с ОА угол <р=п/2 (рис. 1.4).
Тогда скорость точки М
dr dr	d?
v= =» (1со8ф+]ыпо>)+г (-ian?+jcos0).
dr dr	dr
Здесь 1соБф+)япф=г/г единичный вектор, совпадающий по направлению с ради-
усом-вектором г точки М, а — Inin ф+)со«ф=еф единичный вектор, ортогональный
вектору г. Таким образом.
dr г
dr г
dr
(1.14)
•Например, в релятивистской механике, как будет показано в гл. 7, скорость точки тоже
величина векторная, но в задаче, аналогичной вышеприведенной, vrfV|+v2 (разумеется, при
значениях в( и »2, близких к с).
14
Из этих формул видно, что радиальная скорость тонки харакгершует быстроту
изменения расстояния от точки до полюса, а трансверсальная — быстроту измеяеви
полярного угла д>, т. с. быстроту вращения полярного радиуса-вектора г точки.
За время dr полярный радиус-вектор г точки М поворачивается вокруг полюса О ва
малый угол d? и прочерчивает круговой сектор площадью dS= i/1r1ap.
Величина
d5 1 ,d$>
tr=—=-r2—
dr 2 dr
(1.15)
называется секторной скоростью точки М.
§1.3. Ускорении
1.	При любом движении точки, кроме равномерного прямолинейного движения, ско-
рость точки изменяется. Для характеристики быстроты изменения скорости v точки
в механике вводится векторная физическая величина, называемая ускорением.
Ускорении называется вектор а, равный первой производной по времени г от
скорости v этой точки:
dr
-a? i ooue,	<L,‘>
На основании (1.8) ускорение точки равно также второйтфоизводной по времени от
радиуса-вектора г этой точки:	>qad □ йонн
dar (ibhb) (
в=—.	•>' и1	(Ыб1)
dr’
Разложение ускорения точки по базису I, j, 1с, т. е. га составляющие по осям
прямоугольной декартовой системы координат, имеет вид
=e»i+aJ+Ojk,	(117)
Здесь ех, и t. — компоненты скорости точки, а х, у и z — координаты этой точки
в рассматриваемый момент времени
2.	Если траектория точки — плоская кривая, то ускорение а точки лежит в этой
плоскости. В общем случае траектория точки — пространственная кривая, а ускорение
в лежит в соприкасающейся плоскости. В соприкасающейся плоскости есть два избран-
ных направления — касательной к траектории (орт т) и главной нормали (орт а).
Поэтому вектор в удобно разложить иа две составляющие вдоль этих направлений,
т. е. по базису т, о:
а=а,+а„.	(1.18)
Составляющая ат=о,т называется касятельвли или г ши извини пи уосореими
точен, а составляющая a„.= a„n — иормальши уедорешвем точек.
Для нахождение значений о, и а, компонент вектора а воспользуемся выражением
(1.9) для скорости точки* т=гт. Следовательно,
d -. de-,	dt
в=— (от)-—т+и—.
dr dr	dr
(1.19)
IS
Здесь dr — приращение орта касательной к траектории, соответствующее элементар-
ному пути ds=vdt, проходимому точкой по траектории за малое время dr (рис. 1.5, а).
Лввду малости этого участка траектории его можно считать совпадающим с соответст-
вующим участком соприкасающейся окружности радиуса R с центром в точке О,
•>
которому соответствует центральный угол da=—=-dr.
Я Я
Соответ с 1 ненно можно считать, что при перемещении по траектории на малое
расстояние dr единичный вектор касательной поворачивается иа угол da (рис. 1.5, б). Из
равнобедренного треугольника векторов г, г +dr и dr видно, что ввиду малости da
|dr|=2|r|an(da/2)=da, а по направлению вектор dr совпадает с ортом главной
нормали и. Таким образом,
dr ds	v
— =—п = — о
dr dr	Я
(1.20)
и выражение (1.19) для ускорения точки можно переписать в более удобной форме:
de- е2
=— т -|—п.
dr Я
(1.21)
3.	Из (1.21) видно, что касательное ускорение точки
'	de —
’I в,=-т.	О -22)
<31
Касательное ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля ее скоро-
сти. При ускоренном движении (dv/dr)>0 и вектор а, совпадает по направлению со
скоростью точки г, а проекция ускорения а иа направление ▼ ar=(d®/dr)>0. При
замедленном движении at=>(dv/dr)<0 и вектор а, противоположен по направлению
скорости т.
Движение точки называется равнопеременным, если в этом движении a,=const, т. е.
за равные промежутки времени модуль скорости точки изменяется на одинаковые
величины. В случае равяоуогоретшого движения а^=const >0, а в случае рявнозямедлен-
ного движения a,=const <0. При равномерном движении 6^=0.
4.	Нормальное ускорение точки, как видно из (1.19) и (1.20), равно
ds е2
а„=«—п=-п.	(123)
dr Я
Оно характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки. Нор-
мальное ускорение направлено всегда к центру кривизны траектории, так что его
проекция иа главную нормаль п не может быть отрицательной:
а»=«’2/Я.	(1.23Э
а)
Рис. 1.6
Рис 1.5
16
По этой причине нормальное ускорение точки часто называют также центростремитель-
ным ускорением. Нормальное ускорение точки равно нулю только в том случае, если
точка движется прямолинейно При равномерном движении точки по окружности
д,=const, но вектор a„«a^n изменяется, так ках направление векторов о в разных
точках окружности разные.
Модуль ускорения точки
(1-24)
При криволинейном движении точки вектор ее ускорения всегда отклонен от
касательной к траектории в сторону ее вогнутости. В показанном на рис. 1.6 случае
ускоренного движения точки по криволинейной траектории угол <р между векторами
а и т острый. При замедленном движении точки угол (р тупой.
§ 1.4. Поступательное движение твердого тела
1. Простейшим видом механического движения протяженного твердого тела является
поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки этого
тела, перемещаясь вместе с телом, остается параллельной своему первоначальному
направлению.
Поступательно движутся относительно земной (лабораторной) системы отсчета,
например, шарик, подвешенный на пружине и совершающий колебания вдоль вер-
тикальной прямой, поршень в цилиндре стационарного двигателя, кабина шахтного
подъемника, резец токарного станка и т. д. На рис. 1.7 показаны траектории двух
вершин А к В поступательно движущегося куба, а также точки С иа диагонали АВ.
Положению куба в начальный момент времени соответствуют точки Ао, Во и -Со-
Траектории BqB и С0С идентичны траектории AqA и могут быть полностью совмещены
с ней путем параллельного переноса вдоль прямой ЛоД> на расстояния AqBo и АоСо.
Таким образом, за время dr радиусы-векторы всех точек поступательно движущегося
тела изменяются на одну и ту же величину dr dr4—dr>—drc=dr, где гл, гЛ гс,
г — радиусы-векторы точек А, В, С и произвольной точки М тела. Соответственно
в каждый момент времени скорости всех точек тела, а также их ускорения должны быть
одинаковы:
и ал=ав=ас=а.
Из этих соотношений видно, что для кинематического описания поступательного
движения твердого тела достаточно рассмотреть движение какой-либо одной его
точки.
2. В заключение напомним известные из средней школы соотношения для равнопере-
менного прямолинейного поступательного движения тела по оси ОХ:
а=Яг=ах.
Так как ax=(d«x/dr)=const, то
«х (г)=«* (0)+axr.
Тах ках «X=dx/dr, то зависимость от времени коор-
динаты х какой-либо точки М тепа имеет вид
Г	^2
x(r)=x(0)+ vx(r)dr~x(0)+«x(0)r+—. (1.27)
J	2
о
Здесь х(0) и vx(0) — значения х и «х в момент начала
отсчета времени (г=0).
17
Вопросы:
1.	На каких аксиомах о свойствах пространства и времени основывается ньютоновская меха-
ника?
2.	В каких случаях модуль перемещения точки равен длине пути, пройденного точкой за тот же
промежуток времени?
3.	Как движется точка, если скорость этой точки все время ортогональна ее ускорению?
♦. Какова траектория плоского движения точки, если ее радиальная скорость равна нулю?
S. Что можно сказать о скорости и ускорении точки, если ее траектория — винтовая линия?
Глава 2________________________________________
Динамика материальной точки
и поступательного движения
твердого тела
§ 2.1.	Закон инерции. Инерциальные системы отсчета
1.	В основе классической динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные
в его сочинении «Математические начала натуральной философии», которое было
впервые опубликовано в 1687 г. Эти законы явились результатом гениального обобще-
ния тех частных опытных и теоретических закономерностей в области механики,
которые былН установлены Ньютоном и такими выдающимися его предшествен-
никами и современниками, как И. Кеплер, Г. Галилей, X. Гюйгенс, Р. Гук и др.
В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон, установленный еще
Галилеем. Пгрвпй засов Ньютона гласит:
всяко* тало еохраияст состояли* покоя или рамюмариого
^г^г^^яя^)лвгне^1ного ^^*1вж*с^и^с тая	owM^Rva^^ ^во^^ца^^—
ствм ио 3OCTSMTT ОСО мэмоиитъ ото состояиио*
Первый закон Ньютона утверждает, что состояние покоя или равномерного прямо-
линейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздейст-
вий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое мерпюстью.
Соответственно первый закон Ньютона называют также заколом вверни, а движение
тела, свободного от внешних воздействий,— двавеввем во яверви.
2.	В приведенной выше формулировке первого закона Ньютона неявно подразумевает-
ся, во-первых, что тело не деформируется, т. е. абсолютно твердое, и, во-вторых, что
движется оно в отсутствие внешних воздействий поступательно. Между тем, как
показывает опыт, твердое тело может также еще и равномерно вращаться по инерции.
Необходимость во всех этих оговорках отпадает, если в первом законе Ньютона
говорить не о «теле», а о материальной точке, которая по самому ее* определению не
может ни деформироваться, ни вращаться. Поэтому в дальнейшем мы будем пользо-
ваться следующей формулировкой этого закона.
материальная точка сохраняет состояние покоя или равно
мерного прямолинейного движения до тех пор, пока анонтое
воздействие ио выведет ее на этого состояния.
3.	Мы уже говорили о том, что механическое движение относительно и его характер
зависит от выбора системы отсчета. Поэтому возникают естественные вопросы: о ка-
ком покое н равномерном прямолинейном движении говорится в первом законе
Ньютона? Как нужно выбирать систему отсчета, чтобы этот закон соблюдался9
Ответ можно получить только из опыта. Оказывается, первый закон Ньютона
выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие неподвижно иа
19
гладком полу каюты на корабле, который идет равномерно и прямолинейно по
спокойной воде, могут прийти в движение по полу без всякого воздействия на них со
стороны других тел. Для этого достаточно, чтобы корабль начал изменять курс или
скорость хода, т. е. начал двигаться с ускорением.
Системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции, называют*
ся инерциальными системами отсчета.
Естественно, что если бы такие системы отсчета нельзя было указать, то и сам
первый закон Ньютона потерял бы всякий смысл. Следовательно, в первом законе
Ньютона содержатся два утверждения: во-первых, всем телам присуще свойство инерт-
ности, и, во-вторых, можно указать системы отсчета, являющиеся инерциальными.
Свободная от внешних воздействий материальная точка должна иметь равное
нулю ускорение относительно всякой инерциальной системы отсчета. Поэтому любые
две инерциальные системы отсчета либо взаимно неподвижны, либо движутся друг
относительно друга поступательно и притом равномерно и прямолинейно.
♦. Опыты показали, что с очень большой степенью точности можно считать инерци-
альной гелиоцентрическую систему отсчета. Начало координат этой системы находится
в центре масс (см. § 2.6) Солнечной системы*, а оси проведены в направлениях трех
удаленных звезд, выбранных, например, так, чтобы оси системы координат были
взаимно перпендикулярны. Лабораторная (земная) система отсчета неинерциальна
главным образом из-за суточного вращения Земли. Однако это вращение очень мед-
ленное. Поэтому в большинстве прах 1 и чес кил задач эффекты, которые обусловлены
суточным вращением Земли и будут рассмотрены в гл. б, оказываются пренебрежимо
малыми, так что лабораторную систему отсчета можно с достаточной степенью
точности считать инерциальной.
В специальной теории относительности показано, что инерциальные системы от-
счета играют особую роль не только в механике, но также и во всех других разделах
физики’ математическая запись любого физического закона должна иметь одинаковый
вид во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому в дальнейшем мы будем пользо-
ваться только такими системами отсчета, не оговаривая это специально. Особенности
описания движения материальной точки относительно неинерциальной системы от-
счета рассмотрены в гл. б.
§ 2.2. Сила
1.	В качестве меры механического действия одного тела на другое в механике вводится
векторная величина, называемая силой. Механическое взаимодействие может осуществ-
ляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе,
трении, давлении тел друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами.
Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и пере-
дающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется фнзачес-
кям полем или просто полем.
Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных
с ними гравитационных и электромагнитных полей (например, при 1 имение планет
к Солнцу, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц и тел, проводников
с током и т. п.).
Пользуясь понятием силы, в механике обычно говорят о движении и деформации
рассматриваемого тела под действием приложенных к нему сил. При этом, конечно,
каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее
с этой силой. Сила F полностью задана, если указаны ее модуль F, направление
в пространстве и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называ-
ется ливней действия силы.
Поле, действующее на материальную точку с силой F, называется стронярным
полем, если оно не изменяется с течением времени. Для стационарности поля необ-
•Масса Солнца почти в 750 раз больше суммы масс всех остальных тел Солнечной системы.
Следовательно, можно приближенно считать, что центр масс Солнечной системы практически
совпадает с центром Солнца.
20
ходимо, чтобы создающие его тела покоились относительно инерциальной системы
отсчета, используемой в данной задаче.
2.	Измерение силы, т. е. сравнение ее с силой, принятой за единицу силы, можно
произвести, основываясь, например, на таком проявлении механического действия, как
деформация упругого тела. На этом принципе основаны известные из курса средней
школы пружинные динамометры. Одиако определение значения силы с помощью
пружинного динамометра нуждается в некоторых пояснениях. При пользовании таким
динамометром предполагается, что между модулем измеряемой силы F, действующей
вдоль оси пружины динамометра, и соответствующим этой силе растяжением х (или
сжатием) пружины существует линейная зависимость
F=kx,	(2.1)
где к коэффициент пропорциональности, зависящий от упругих свойств пружины.
Спрашивается: как же, не умея еще измерять силы, убедиться в правильности соот-
ношения (2.1)? Для этого на динамометр поочередно действуют двумя разными по
модулю, но одинаковыми по направлению силами Ft и F2 (например, подвешивая
к динамометру два разных груза), а затем одновременно обеими силами F( и F2, т. е.
силой F3 = F, + F2. Соответствующие деформации пружины обозначим хь х2 и х3. Из
(2.1) следует, что
F3 Fi+Fi
Х3 =	=	= Х,4-Х2.
к к
Согласие найденных из опыта значений Х|, х2 и х3 с этой формулой является косвенной
проверкой справедливости соотношения (2.1). Опыты показали, что при достаточно
малых деформациях х, т. е. при действии на пружину не слишком больших сил, закон
Гука (2.1) выполняется с большой степенью точности.
3.	Опыты показали, что механическое действие на тело л сил Fl( F2, ..., Fm которые
одновременно приложены в одной и той же точке М тела, полностью эквивалентно
действию одной силы F, равной их геометрической сумме:
п
f=£f,
<-|
и приложенной в той же точке М тела. Заметим, что в тех (обычно реализующихся)
случаях, когда силы Fh F2, ..., Fn приложены в разных точках тела, их действие на тело
нельзя заменить действием одной вышеуказанной силы F. Поэтому такое довольно
распространенное название силы F, как «результирующая» или «равнодействующая»
сила, следует понимать буквально лишь применительно к материальной точке.
В абсолютно твердом теле точку приложения силы можно переносить вдоль линии
действия этой силы, т. е. силу можно рассматривать как скользящий, а не закрепленный
вектор.
4.	Рассмотренный нами метод измереиня сил с помощью пружинного динамометра
принадлежит к числу статических методов, в которых измеряемая сила уравновешива-
ется известной силой (например, действующей со стороны эталонной пружины динамо-
метра). Между тем действие силы на тело может проявляться не только статически, но
и динамически, т. е. в соответствующем изменении состояния механического движения
тела. Поэтому возможен также динамический метод измерения сил путем сравнения
изменений движения одного и того же эталонного тела, вызываемых измеряемой силой
и силой, принятой за единичную. Однако для практического применения этого метода
необходимо предварительно знать закон изменения движения тел под действием сил.
Таким законом для материальной точки Является второй закон Ньютона. Основываясь
на нем, можно, конечно, производить измерение сил, как это обычно и делают на
практике. Во многих случаях такой метод измерения сил вообще единственно возмож-
ный (например, для измерения сил тяготения планет к Солнцу, сил, действующих на
21
электроны, протоны и другие заряженные частицы в электромагнитных полях). Однако
при установлении самого второго закона Ньютона нужно было пользоваться не
связанным с ним методом измерения сил.
5.	Тело называется свободами, если на его перемещения не наложено нитягит ограни-
чений.
Свободное тело может занимать всевозможные положения в пространстве и дви-
гаться любым образом. Свободными телами являются, например, летящий космичес-
кий корабль или самолет, плывущая в толще воды подводная лодка.
В большинстве случаев тела нельзя считать свободными, так хак на их возможные
положения и движения наложены те или иные ограничения, которые называются
в механике связями. Например, роторы турбин и электрических генераторов на элект-
ростанциях могут только вращаться, а поршни компрессоров двигаться в цилиндрах
только поступательно, трамвай и поезд могут перемещаться только вдоль рельсов,
а остальной наземный транспорт — только по поверхности земли. Связи осуществля-
ются посредством действия на несвободное тело других тел, которые скреплены или
соприкасаются с ним (например, подшипников, стенок цилиндра, рельсов, дорожного
покрытия и т. п.).
При изучении поведения несвободных тел или их систем в механике пользуются
иряшщпом осмбождаемоепг несвободное тело (или систему тел) можно рассматри-
вать как свободное, заменив действие на него тел, осуществляющих связи, соответст-
вующими силами.
Эти силы называются реяхияям связей, а все остальные силы, действующие на
тело, называются ктшяля салями. Так, задача о движении несвободного шарика,
подвешенного иа иерастяжимой нити и движущегося под действием силы тяжести,
сводится с помощью принципа освобождаемоети к задаче о движении свободного
шарика, на который помимо силы тяжести действует еще реакция нити. Принцип
освобождаемоети непосредственно вытекает из самого определения силы как меры
механического действия тел друг на друга. Ведь тела, осуществляющие связи, именно
потому и ограничивают движение рассматриваемого тела, что действуют иа него
с соответствующими силами — реакциями связей.
Отличие реакций связей от активных сил состоит лишь в том, что в задаче
о движении несвободного тела значения активных сил обычно бывают заранее извест-
ны (заданы при постановке задачи), а значения реакций связей заранее не известны. Их
нужно найти по ходу решения задачи. Таким образом, ист никаких принципиальных
различий между этими силами. Найденные значения реакций связей должны быть
такими, чтобы движение «освобожденного» тела под действием активных сил и реак-
ций связей полностью согласовалось с ограничениями, наложенными на несвободное
тело. Например, при соскальзывании тела по наклонной плоскости на него действуют
две активные силы: сила тяжести и сила трения скольжения. Вводя в рассмотрение силу
нормальной реакции плоскости, мы можем «освободить» тело. Однако под действием
указанных сил тело должно двигаться параллельно «отброшенной» нами наклонной
плоскости.
В дальнейшем, рассматривая закономерности движения тел под действием сил, мы
постоянно будем пользоваться принципом освобождаемоети. Иными словами, мы
всегда будем считать, не оговаривая это каждый раз, что рассматриваемое тело
свободно или «освобождено». Соответственно всюду, где это необходимо, мы будем
включать в число действующих на тело сил помимо активных сил также и реакции
связей, не делая между ними каких-либо различий в обозначениях.
в. Свободная материальная точка может совершать три независимых между собой
перемещения - вдоль трех осей координат: ОХ, О Y и OZ. При соскальзывании по
наклонной плоскости материальная точка может совершать уже только два независи-
мых перемещения, так как ее координаты все время должны удовлетворять одному
условию связи уравнению наклонной плоскости.
Число независимых возможных перемещений механической системы называется
числом степеней свободы этой системы.
Итак, свободная материальная точка имеет три степени свободы, а материальная
точка, безотрывно скользящая по наклонной плоскости или какой-либо другой поверх-
ности, имеет две степени свободы.
22
§ 23. Масса
1. Основная задача динамики заключается в выяснении того, как изменяется механи-
ческое движение тел под влиянием приложенных к ним сил. Опыты показали, что под
действием силы F свободное твердое тело изменяет свою скорость ч, приобретая
ускорение а. Это ускорение пропорционально силе и совпадает с ней по направлению:
•=*iF,	(2.2)
где к\ — положительный коэффициент пропорциональности, постоянный для каждого
конкретного тела*, но, вообще говоря, неодинаковый для разных тел и зависящий еще
ст выбора единиц силы и ускорения.
Соотношение (2.2) служит убедительных^ подтверждением того, что тела обладают
свойством инертности. Ведь именно благодаря инертности тело изменяет свою ско-
рость не мгновенно, а постепенно, приобретая под действием силы конечное ускорение.
2. В качестве меры инертности тела в механике вводится положительная скалярная
величина т — масса теля. Чем больше инертность тела, а следовательно, и его масса
т, тем меньшее ускорение оно должно приобретать под действием одной и той же силы
F. Поэтому, полагая в (2 2) Aj =к^т и учитывая, что во всех системах единиц физичес-
ки величин коэффициент к^ 1, получаем
F
•	(23)
т
Из постоянства для данного тела коэффициента ki — 1/т следует, что масса те-
ла — величина постоянная, не зависящая ни от состояния движения тела, ни от его
местоположения в пространстве, ни от того, действуют на него другие тела или нет**.
Поэтому для сравнения масс и т2 двух тел достаточно сравнить ускорения а1 и а2,
приобретаемые ими под действием одной и той же силы. Из (23) следует, что
3. Ках показывает опыт, масса — величина аддитивная: масса тела равна сумме масс
всех частей этого тела. Соотвшvi венно масса произвольной механической системы
равна сумме масс всех материальных точек, на которые эту систему можно мысленно
разбить.
Обычно массу тела определяют, сравнивая ее с массой эталонных тел (гирь) путем
взвешивания на рычажных весах. Этот метод основывается на следующей эксперимен-
тально установленной закономерности для свободного падения тел: в одной и той же
точке земного шара все тела свободно падают с одинаковым ускорением g. Свободное
падение вызывается действием на тело единственной силы — силы тяжести тела Р, так
что, согласно (23),
g=P/m	(2.4)
и отношение масс двух тел mj/mj=P2JPi.
4. Инертность тел можно продемонстрировать с помощью ряда опытов. Рассмотрим
два таких опыта.
Опыт. Стеклянную колбу ставят на край листа бумаги, лежащей на горизонтальной поверх-
ности стола Затем, взявшись за другой край листа, медленно тянут его вдоль стола. При этом
бумага вместе со стоящей на ней колбой перемещается по столу. Если же бумагу потянуть
рывком, то она выдергнвастся из-под колбы, которая продолжает стоять на столе. Различное
поведете колбы в этих двух случаях непосредственно связано с ее инертностью. Для приведения
колбы в движение относительно стола к ней нужно приложить горизонтальную силу F—та, где
т — масса колбы,  — сообщаемое ей ускорение. Роль этой силы играет сила трения между
•Напомним, что в рассматриваемой нами задаче классической (ньютоновской) механики
скорость тела в «с, где с — скорость света в вакууме.
••Заметим, что независимость массы тела от его скорости полностью согласовалась с пред-
ставлениями Ньютона о том, что масса тела определяется количеством воцесгва («материю»),
содержащегося в этом теле
23
колбой и листом бумаги. Однако, их известно из школьного курса, F^^fyng, где f0 — коэффици-
ент трении Поэтому если ускорение сообщаемое листу бумаги, невелико (а| <fog), то сила
трения покоя достаточна для сообщения колбе такого же ускорения, так что колба движется
вместе с бумагой Если же ускорение at листа бумаги очень велико, то колба приобретает пой
действием силы трения скольжения ускорение о-/og«oi- За очень малый промежуток времени,
в течение которого происходит выдергивание бумаги из-под колбы, последняя практически не
успевает сдвинуться с места.
Отт. Два кольца одинакового размера, вырезанные из чертежной бумаги, подвешивают на
одном уровне на горизонтальные шержни, укрепленные в штативах. В вырезы колец вставляют
Тонкую и длинную деревянную планку так, что она своими концами опирается на бумажные
кольца и висит горизонтально. Затем медленно нажимают массивным металлическим стержнем
на середину планки до тех пор, пои одно кэ колец не рвется н планка падает на пол. Вновь
подвешивают планку на бумажные кольца и тем же металлическим стержнем резко ударяют по
середине планки. При этом плавка ломается, а кольца остаются целыми, так как из-за инертности
планки ее концы не успевают за очень короткое время удара сместиться настолько, чтобы порвать
кольца.
§ 2Л. Основной закон динамики материальной точки
1.	Уравнение (2.3) описывает изменение движения протяженного тела под действием
силы только при условии, что тело не деформируется и движется поступательно.
В противном случае ускорения разных точек тела неодинаковы и изменение движения
всего тела нельзя описать с помощью единого для всего тела ускорения в. Для
материальной точки в отличив от протяженного тела уравнение (2.3) справедливо
всегда. Поэтому его следует рассматривать как математическую запись основного
закона динамики материальной точек
ускоренна материальной точки пропорционально вызыва-
ющей ого сила, совпадает с ней по направлению и обратно
пропорционально масса материальной точки.
2.	В ньютоновской механике масса материальной точки не зависит от времени г,
а ускорение a—dv/dt, где г — скорость точки. Поэтому уравнение (2.3) можно ГЕрепи-
сать в форме
d
(mr)=F
dr
илн
—=F
dr
(2.5)
(2.6)
Вектор р, равный произведению массы материальной точки на ее скорость, называ-
ется импульсом материально* точен.
В теоретической механике (а также раньше и в физике) вектор тт называется
количеством даижеяп. Импульс материальной точки — одна из важнейших ее динами-
ческих характеристик.
Основной закон динамики материальной точки, записанный в форме (2.5) или (2.6),
утверждает, что
скорость изменения импульса материальной точки равна дей-
ствующей на ное сило.
В этом утверждении и состоит, согласно совреьдениой терминологии, содержание
второго закона Ньютона. У самого Ньютона второй закон динамики был сформулиро-
24
ван следующим образом (в переводе ауад. А. Н. Крылова): «Изменение количества
движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направле-
нию той прямой, по которой эта сила действует».
Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причинности
и классической механике, так как устанавливает однозначную связь между изменением
с течением времени состояния движения и положения в пространстве материальной
точки и действующей на нее силой. Этот закон позволяет, зная начальное состояние
материальной точки (ее координаты н скорость в какой-либо начальный момент
времени) н действующую на нее силу, рассчитать состояние материальной точки
в любой последующий момент времени.
3.	На основании обобщения опытных фактов был сформулирован важный принцип
ньютоновской механики, названный прнвщипом независимости действия сил: если на
материальную точку одновременно действует несколько сил, то каждая из них сообща-
ет материальной точке такое же ускорение, как если бы других сил не было.
Таким образом, ускорение в, приобретаемое материальной точкой массы т под
действием одновременно приложенных к ней сил Fb F2, ..., F„, равно
п
(2-7)
где F= £ F, — результирующая сила. Эта сила, так же как ускорение а материальной
<-i
точки, лежит в соприкасающейся плоскости и может быть разложена в этой плоскости
на две составляющие — касательную к траектории (F,) и нормальную (F„):
f=f,+f„.
Из (2.7) следует, что касательное и нормальное ускорения точки соответственно
равны
aI=Ft/m, u„=F„Jm.	(2.7’)
Нормальная сила F„, так же как и ускорение вл, направлена к центру кривизны
траектории. Из (1.23) видно, что
F„=mv2n/R, F„=mi>2IR,	(2.8)
где R радиус кривизны траектории материальной точки, a v — ее скорость.
Согласно (1-22),
dv -• т dr
F,=тлг=т — т=- - v.	(2.9)
dt v dt
4.	Рассмотрим некоторые частные случаи:
1)	вектор F, совпадает по направлению с v точка движется ускоренно (dv/dr>0);
2)	вектор F, противоположен по направлению v точка движется замедленно
(dv/dz <0);
3)	Fr=0 точка движется равномерно (dr/dZ=O);
4)	Ft=0, a F„= const точка движется равномерно (t>= const) по траектории
с постоянным радиусом кривизны (Л=const), т. е. в случае плоской траектории - по
окружности, а в случае пространственной траектории по винтовой линии.
5.	Перепишем основной закон динамики материальной точки (2.6) в форме
dp=Fdz.	(2.10)
Вектор Fdr называется элементарным импульсом силы F за малый промежуток
времени dz ее действия. Таким образом, из основного закона динамики материальной
25
точки и принципа независимости действия сил следует, что изменение импульса
материальной точки за малый промсжутоцнремени dr равно элементарному импульсу
за тот же промежуток времени результирующей всех сил, действующих на эту матери-
альную точку.
Изменение импульса мггермшшюй точки за конечный промежуток времени от г» г(
до /—12 = Л + Аг найдем, интегрируя уравнение (2.10):
Р2-Р1= I Fdr.	(2.11)
Интеграл, стоящий в правой части уравнения (2.11), есть импульс силы F за
промежуток времени Аг=/2 — Гр Если на материальную точку действует постоянная
сила F, то
P2-P1 = F(r2-r,).	(2.11)
В случае переменной силы
₽2-Pi = <F>(h-'i).	(2-11')
где (F) среднее значение переменной силы F в промежутке времени от г( до г2, т. е.
такая постоянная сила, импульс которой за рассматриваемый промежуток времени
равен импульсу переменной силы F.
§ 2.5.	Закон изменения импульса
1.	Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие двух тел
друг на друга всегда является их взаимодействием. Если тело 2 действует на тело /, то
при этом обязательно тело /, в свою очередь, действует на тело 2. Так, например, на
ведущие колеса электровоза действуют со стороны рельсов силы трения покоя, кото-
рые направлены в сторону движения электровоза. Сумма этих сил и есть сила тяги
электровоза. В свою очередь, ведущие колеса действуют иа рельсы с силами трения
покоя, направленными в противоположную сторону.
Количественное описание механического взаимодействия тел было дано Ньютоном
в его третьем законе динамики:*
«Действию всегда ость равное и противоположное противо-
действие, иначе, вааимодойствиа двух тел друг на друга меж-
ду собой равны и направлены в противоположные стороны».
F2l=-F12,	(2.12)
где F2| сила, действующая на второе тело со стороны первого, Fl2 на первое со
стороны второго.
В дальнейшем мы будем пользоваться третьим законом Ньютона, сформулирован-
ным применительно к двум материальным точкам
две материальные точки действуют друг на друга с силами,
равными по модулю и направленными в противоположные
стороны вдоль соединяющей эти точки прямой.
* Перевод акад. А. Н. Крылова.
26
2.	Третий закон Ньютона в соединении с его первым и вторым законами позволил
перейти от динамики отдельной материальной точки к дияямим произвольной меха-
нической системы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из л материя тп.яых
точек. Для i-й материальной точки системы, согласно второму закону Ньютона (2.5),
Г (flVj-F,.	(2.13)
Здесь mi и т( — масса и скорость i-й точки, F( — сумма всех действующих на нее сил.
Будем называть ввипммн телам все тела, не входящие в рассматриваемую
механическую систему. Соответственно будем называть вий^вм силами силы, дейст-
вующие на тела системы со стороны внешних тел, а виутреажми алами — силы
взаимодействие частей самой системы. Тогда силу F; в уравнении (2.13) можно пред-
ставить в виде суммы внешних и внутренних сил:
F<—F“+ Z F*.	(2.14)
*-1
где F ™ — результирующая всех внешних сил, действующих на i-ю точку системы;
Fu — внутренняя сила, действующая на эту точку со стороны k-tk. Подставим выраже-
ние (2.14) в (2.13):
у (вдМГ+ Z Ftt.	(2.139
*	*-i
Суммируя левые и правые части уравнений (2.133, записанных для всех л матери-
альных точек системы, получаем
i ~	i FT"+ i i Fib	(2.15)
<-l Л1	1-1	<-l *-l
По третьему закону Ньютона, силы взаимодействия ьй и к-й тачан системы равны
по модулю и противоположны по направлению: F*j= — F^, так что Fi*+F*j=-0 и сумма
всех внутренних сил в системе
X £ Fa-0.	(2.16)
i-i *-i
Геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему,
F“- X F“,	(2.17)
i—i
называется главами вектором вигилии сил.
Импульсом (количеством движении) мехамнеской систевил называется вектор р,
равный сумме импульсов всех материальных точек этой системы:
Р= Е Pi“ Е	(2-18)
1-1	1-1
По известному правилу дифференцирования суммы,
dp d Д	id
=- £	Е ~ ("WD-	(2.19)
di di (_| I (_i di
Таким образом, из (2.15) — (2.19) следует
27
d₽ , внеш
-?»F	.	(220)
d/
Это уравнение выряжает закон измевеия нкшульса механической системы:
проиааодиая по врмиии от импульса механической системы
равна главному вектору внешних сил, доАствукмцих на си-
стему.
3.	Рассмотрим в качестве примера простейшую механическую систему — твердое
тело, движущееся поступательно. Скорости всех материальных точек, на которые
можно мысленно разбить тело, одинаковы и равны скорости т поступательного
движения тела. Поэтому импульс тела р=шт, где т — ъааххл тела.
Уравнение (220) в этом случае можно рассматривать как ооовной закон динамики
поступательного движения твердого тела'
или
а=1р““,
т
(2.21)
(2 2 Г)
где а — ускорение тела в поступательном движении
§ 2.8.	Центр месс и закон его движения
1.	В динамике широко используется понятие центра масс механической системы.
Центром масс (центром инерция) системы материальных точек называется точка С,
радиус-вектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных
точек системы на их радиусы-векторы к массе всей системы
1 
rc=- mtrh	(2.22)
т 1-1
Я
где mi и Г| — масса и радиус-вектор i-й материальной точки, л и т= £	— общее
,-1
число этих точек в системе и ее суммарная масса. В частности, если радиусы-векторы
проведены из центра масс С (обозначим их г*), то
X mrf=0.	(2.223
i-i
Таким образом, центр масс — это геометрическая точка, для которой сумма
произведений масс всех материя гткюл точек, образующих метянинесту!» систему, на их
радиусы-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.
В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протя-
женного тела) радиус-вектор центра масс системы
(2.22я)
28
где г радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm, а интег-
рирование проводится по всем элементам системы, т. е. по всей ее массе т.
2.	Скорость центра масс механической системы равна отношению импульса этой
системы к ее массе:
drc
(2-23)
Соответственно импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра
масс: р—mvr. Подставив это выражение для р в уравнение (2.20), получим закон
движения центра масс:
‘ «-к-	' «.ад
dl
Из сравнения (2.24) с (2.5) видно, что
центр масс механической системы движется как материаль-
ная точка, масса которой равна массе всей системы и на
которую действует сила, равная главному вектору приложен-
ных к системе внешних сил.
Этот закон показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо,
чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей
системы могут вызывать изменения скоростей этих частей (например, при разрыве
снаряда на несколько осколков), но они не могут повлиять на суммарный импульс
системы и скорость ее центра масс.
3.	Для иллюстрации сказанного рассмотрим пример, хорошо знакомый каждому.
При переходе человека с носа на корму лодки, которая первоначально стояла непо-
движно на спокойной воде озера, лодка перемещается относительно воды и берега
в противоположном направлении. Если бы не было сопротивления воды движению
лодки, то при переходе человека лодка должна была бы смещаться таким образом,
чтобы центр масс системы человек лодка оставался в покое относительно берега.
В действительности на лодку, движущуюся в воде, действует горизонтальная внешняя
сила сопротивления воды F н перемещение лодки оказывается несколько меньшим.
Поэтому при переходе человека по лодке центр масс системы смещается относительно
берега в направлении силы F, т. е. в направлении перемещения человека.
4.	Механическая система, на которую не действуют внешние силы, называется захигну-
той системой. Строго говоря, замкнутых систем нет хотя бы уже потому, что на все
тела действуют силы тяготения. Однако реальную систему тел можно приближенно
считать замкнутой, если силы взаимодействия частей этой системы во много раз
больше внешних сил. Например, внешние силы тяготения, действующие на тела
Солнечной системы, пренебрежимо малы по сравнению с силами тяготения этих тел
друг к другу. Поэтому с достаточно большой степенью точности можно считать
Солнечную систему замкнутой.
Из закона движения центра масс (2.24) следует, что скорость ус центра масс
замкнутой механической системы не изменяется с течением времени. Иными словами,
центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью
относительно инерциальной системы отсчета.
В качестве системы отсчета в механике часто пользуются системой центра масс
поступательно движущейся системой отсчета, относительно которой центр масс рас-
сматриваемой механической системы неподвижен. Из сказанного выше ясно, что
29
система центра масс замкнутой механической системы инерциальна. Если же механичес-
кая система не замкнута и главный вектор внешних сил	то скорость центра
масс vc/ const и система центра масс такой механической системы неинерци-
альна.
§ 2.7. Движении тили переменной мессы
1. В ньютоновской механике считается, что масса тела не зависит от его скорости.
Однако это вовсе не означает, что всегда при движении тела его масса остается
постоянной. Она может изменяться за счет обмена веществом между телом и внешней
средой, т. е. вследствие изменения состава движущегося тела. Например, масса враща-
ющейся катушки с кабелем увеличивается или уменьшается в зависимости от того,
наматывается на нее кабель или сматывается. Типичным примером движения тела
переменной массы может служить полет ракеты на активном участке ее траектории,
т. е. в процессе работы установленного на ней двигателя. Продукты сгорания запасен-
ного в ракете топлива выбрасываются через сопло двигателя, и масса ракеты постепен-
но уменьшается.
2. Основное уравнение динамики материальной точки (а также поступательно движу-
щегося тела) переменной массы впервые было получено И. В. Мещерским (1897).
Изменение за малое время dr импульса р системы, состоящей из поступательно
движущегося тела переменной массы и отделяющихся от него за это время (или
присоединяющихся к нему) частиц, равно
dp •= (m+dm) (т+d v) — rm—▼1dmf
Здесь m и v - масса и скорость тела в момент времени Г; dm и dr — их изменения за
малый промежуток времени dr; v1 скорость отделяющихся частиц после отделения
(их общая масса (—dm)> 0) или присоединяющихся частиц до присоединения (их общая
масса dm>0). Выполнив преобразования и отбросив член dmdv, являющийся малым
высшего порядка малости по сравнению с остальными, получим
dp=mdv+(v—V|)dm
или
dp=mdv—в dm,
(2-25)
где U—т1 — v скорость отделяющихся частиц после отделения (или присоединяющих-
ся частиц до присоединения) по отношению к телу переменной массы, называемая
огноемте.’жвой скоростью этих частиц.
Подставив выражение (2.25) в закон изменения импульса (2.20), получим уравнение
Мещерского:
3. Векторная величина
(2.26)
(2.27)
имеет размерность силы и называется реакпшюй силой. Она характеризует механичес-
кое действие на тело отделяющихся от него или присоединяющихся к нему частиц
(например, действие на ракету вытекающей из нее струи газов).
Идея использования реактивной силы для создания летательных аппаратов выска-
зывалась уже цавно. Так, в 1881 г. революционер-народоволец Н. И. Кибальчич,
находясь в тюрьме перед казнью за участие в убийстве царя Александра II, составил
30
проект реактивного летательного аппарата. Однако этот проект затерялся в тюремных
архивах и впервые был опубликован только в 1918 г. Вся жизнь выдающегося ученого
и изобретателя К. Э. Циолковского была посвящена вопросам ракетной техники
и применению ракет, для межпланетных сообщений. Уже в 1903 г. он опубликовал
статью, в которой были заложены основы теории движения ракеты и жидкостного
ракетного двигателя (ЖРД). Теория воздушно-реактивного двигателя впервые была
разработана и опубликована Б. С. Стечкиным (1929).
4. Циолковский впервые опубликовал (1903) формулу для расчета максимальной
скорости, которую может развить ракета, двигаясь под действием одной только
реактивной силы тяги ЖРД, т. е. в отсутствие сил тяготения и сопротивления воздуха.
Полагая в уравнении Мещерского (2.26) Р*Ж°Ш=0> получим следующее уравнение
движения ракеты:
где и — скорость истечения продуктов сгорания из сопла ракеты, измеренная от-
носительно ракеты.
Если начальная скорость ракеты равна нулю, а траектория — прямая линия, то
скорости тин направлены во взаимно противоположные стороны. В проекции на
направление движения ракеты получим из (2.28)
du dm
или
dm
dv= — и —
m
(2.28')
Если то — стартовая масса ракеты, а т*=/По—«Ч— конечная масса ракеты после
окончания работы двигателя вследствие выгорания всего топлива (т^ — суммарная
масса топлива и окислителя в полностью снаряженной ракете на старте), то мак-
симальная скорость ракеты может быть найдена из (2 28') путем интегрирования'
Г dm	mg
и....-——и | —=н1п—
J т	т*
или
mg
имжи:= u In —----
(2 29)
Эта формула называется формулой Циолковского, а скорость и._— характеристи-
ческой скоростью ракеты. В действительности из-за влияния тяготения Земли и аэроди-
намического сопротивления атмосферы скорость ракеты в момент полного выгорания
топлива и прекращения работы двигателя значительно меньше характеристической
скорости (2.29).
Из-за ряда технических трудностей широкое развитие реактивной и ракетной
техники началось только в период второй мировой войны и особенно после ее
окончания. Применение реактивных двигателей в янняцин позволило во много раз
увеличить скорости самолетов, дальность их полетов и грузоподъемность. Ракетная
техника явилась той базой, на основе которой стали возможными запуски искусствен-
ных спутников Земли, пилотируемых космических кораблей, орбитальных и меж-
планетных станций.
31
Вопросы:
1.	Какова логическая связь между тремя законами Ньютона? Нельзя ли рассматривать первый
закон как следствие второго?
2.	На твердое тало действуют две силы F) и Fj, приложенные в разных точках тела. Где нужно
приложить силу F—Fi 4- Fi, чтобы она былв эквивалентна по своему действию на тало силам
Fi и Fa?
3.	Зависит ли закон движения центра масс тала от того, твердое это тело или деформируемое?
В каких случаях скорость центра масс остается постоянной?
4.	В чем состоит закон изменения импульса механической системы и как на его основе
получить уравнение Мещерского для тала переменной массы?
8. Что такое характеристическая скорость ракеты и как ее можно увеличить?
Глава 3
Работа и механическая энергия
§ 3.1. Работа силы
1. В качестве еднй&й количественной меры различных форм движения материи и соот-
ветствующих у пэяимпдгмгтвий в физике вводится скалярная величина, пячмияемя»
энергией. Двм^Дав — вегй^лмлемос свойство материи. Поэтому любое тело, любая
система т^г и ***£ обладают энергией, или, как часто говорят, запасом энергии.
Энергия лЛстемы Д^дествевао характеризует эту систему в отношении возможных
в ней прММцший двжвкия. Эти превращения происходят вследствие взаимодействия
между* ‘таепЦ^ыщемыГЯ также между системой и внешней средой. Для различных
4>9рм двитлкшгиР^вкнетствующих им взаимодействий в физике вводят различные
ЫЩЫ (<?-4Эмы) энертЖ— механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную
i Т. л- В згой главе мм рассмотрим механическую энергию, являющуюся мерой
мряоиккого движения рассматриваемой системы, а также механического взаимодей-
ТМ СЖСТСМЬ ДРУГ С друГОМ и С внешними тепами,
мех 11 ццыМетодвижения тела и, следовательно, его механической энер-
механического действия на рассматриваемое тело со сторо-
ны цн0шВкМерой этого действия служат соответствующие силы. Поэтому в даль-
вйщиадлбы будем говорить об изменении механической энергии'тела под влиянием
приложенных к нему сил. Дту количественного описания такого процесса изменения
энергии тела вводят в механике понятие работы силы.
<У Элементарной работой ЗА силы F на малом перемещении dr точки М приложения
силы называется скалярное произведение F на dr*
&4=Fdr=Fvdt,
(3.1)
где г и vdr/dr — радиус-вектор и скорость точки М; dr — малый промежуток време-
ни, в течение которого сила F совершает работу ЗА.
Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на
косинус угла между ними, то
3 А = F |dr| cos а - Fds cos a=Fx ds,
(3.2)
где <Ls=|dr| — путь точки M за малое вр1емя dr; a — угол между ецлой F и элементар-
ным перемещением dr (или скоростью т) точки М; FT=Fcosa — проекция силы F на
направление dr (или v).
Из (3.1) и (3.2) видно, что сила не совершает работы в двух случаях:
а)	точка приложения силы неподвижна (г-const, a dr=O);
б)	угол a = ± я/2, т. е. сила F направлена по нормали к траектории точки ее
приложения (F_1_t).
Если Fx> 0, т. е. угол a — острый, то ЗА > 0. Такая сила называется движущей силой
(например, сила тяги двигателя ракеты). Если же Fx<0, т. е. угол a — тупой, то ЗА <0.
Такая сила называется тормозящей силой (например, сила трения скольжения).
В прямоугольных декартовых координатах F=FIi+FJ+FIk и dr=dxi+dyj+dzk.
Поэтому, согласно правилу скалярного умножения векторов, элементарная работа
силы F равна
M-^dx + Z^dy + ^dz.	(3.3)
33
Здесь х, у, г координаты точки приложения силы; FIt F^, Fz проекции силы F на
оси координат.
3. Сила F, действующая на материальную точку М, как правило, изменяется по мере
перемещения точки М относительно системы отсчета. При этом сила F может зависеть
как от координат х, у, г точки М (например, сила тяжести тела зависит от географичес-
кой широты и высоты над уровнем моря места нахождения тела), так и от скорости
v точки М (например, аэродинамическая сила, действующая на летящий в воздухе
самолет). Иными словами, сила F в общем случае — функция нескольких переменных.
Поэтому, ках показывается в математике, элементарная работа (3.3) силы F не являет-
ся, вообще говоря, полным дифференциалом какой-либо функции координат точки М.
Поскольку в математике символ d/ общепринятое обозначение полного дифференци-
ала функции f многих переменных*, мы здесь и всюду в дальнейшем обозначаем
элементарную работу силы символом 6А, а не 6Л.
4. Работа А । _2, совершаемая силой F на конечном перемещяяяи точки ее приложения
М из положения 1 в положение 2, равна сумме элементарных работ силы F на всех
малых участках траектории точки М от 1 до 2. Эта сумма приводится к интегралу:
а	Ч
Al _2 - J Fdr=| F, ds,	(3.4)
где s дуговая координата точки М, отсчитываемая вДОв*~¥рвйггорп; Ji —
значения я в точках 1 и 2,	-Ъ длина дуги траектории мсж|у
I и 2, т. е. путь точки М от начального положения /	2. В математ^те
интеграл называется криволинейным интегралом. Его йцчш irniH*Ta . .•^'ЙгДятсгютг
нию определенного интеграла; для этого иг пбтпдммо* ji|jpi завжжмость F, от дуговой
координаты .г. Если эта зависимость задана графнчкхз! (рас. 3-1), то элементарная
работа 6А силы F на малом участке траектории точяж Зи от г до л+dr измеряется
площадью заштрихованного на рис. 3.1 узкого прямоугольника шириной дя«(яг—хО
и высотой F, (г). Работа A^j силы F ня всем участке 1	2 траектории измеряется
площадью, ограниченной осью абсцисс, графиком зависимости F, от .г и вертикаль-
ными прямыми -г=Х1 и я=я1г т. е. площадью криволинейной трапеции sii2si.
5. Сила F, действующая на материальную точку М, называется аотеадеольной, если
работа этой силы зависит только от начального и конечного положений точки М.
Работа потенциальной силы не зависит ни от вида траектории точки М между ее
начальным (1) и конечным (2) положениями, ни от закона движения точки М по
траектории
Л1_,_2= Л1_»-2 = Л1_2,
где Л1_а_2 и Ai-b-i значения работы потенциальной силы при перемещении точки
М из 1 в 2 по траекториям 1—а—2 и 1—Ь—2 (рис. 3.2).
Изменение направления движения точки М вдоль малого участка траектории на
противоположное вызывает изменение знака проекции F, потенциальной силы и знака
•Если f (х, у, г) функции трех переменных х. у, г. то полным дифференциалом этой
функции называется выражение
а/	а/	а/
<!/« dx+ dy+ dr.
дх	Sy	ar
а/ а/ а/
где и частные производные от функции / по соответствующим аргументам, вычис-
дх ду дг
ляемые в предположении, что все другие аргументы, кроме рассматриваемого, фиксированные
параметры.
34
Рис 31
ее элементарной работы б A=Fdr. Следовательно, Лг-ь-!" — Л1_*_2 Поэтому работа
потенциальной силы вдоль замкнутой траектории 1—й—2—Ь—1 равна нулю:
Л1	= А) _,_г +	= A1—<—2“ _*_2 — 0.
(3-5)
Точки / и 2, а также участки замкнутой траектории 1—а—2 и 2—Ь—1 можно
выбирать'совершенно произвольно. Таким образом, работа потенциальной силы на
произвольной замкнутой траектории L точки ее приложения равна нулю-
Г	£ Fdr=O.	(З.б)
‘fpV_	(I)
В этой формуле кружок на знаке интеграла показывает, что интегрирование прово-
дится по замкнутому контуру L.
Силы взаимодействия частей (материальных точек) системы потенциальны, если
они зависят только от взаимного расположения всех частей системы. Примерами таких
сил могут служить силы тяготения и силы электростатического взаимодействия заря-
женных тел
в. Не изменяющееся с течением времени (стационарное) поле, действующее на мате-
риальную точку с силой F, называется пл тлями и ih nt нолем, если сила F потенциальна,
т е удовлетворяет условию (3.6). Однако, как правило, внешние тела перемещаются
относительно инерциальной системы отсчета, используемой для описания движения
рассматриваемой материальной точки или системы точек. При этом поля, связанные
с внешними телами, нестационарны. Сила F, действующая на материальную точку
М со стороны нестационарного поля, изменяется с течением времени t даже если
положение точки М относительно системы отсчета полностью сохраняется. В таких
случаях говорят, что сила F зависит от времени явно. Иными словами, для нестаци-
онарного поля 8Ff8iy=G. Например, сила электрического притяжения или отталкива-
ния, действующая на неподвижное заряженное тело со стороны движущегося заряжен-
ного тела, увеличивается при приближении второго тела к первому.
Нестационарное поле, так же как и стационарное, называется потенциальным, если
для него выполняется условие (З.б), где значения силы F в разных точках контура L при
вычислении интеграла нужно брать в один и тот же момент времени t, т. е. при
выполнении интегрирования считать t фиксированным параметром
7.	Существуют силы, которые не принято называть потенциальными, хотя они и удов-
летворяют соотношениям (3.5) и (3.6). Они зависят от скоростей материя т.нмх точек,
на которые действуют, и направлены перпендикулярно этим скоростям. Работа таких
сил, часто называемых пфмхмжчесжшж силами, всегда равна нулю независимо от
того, как движутся материальные точки, к которым они приложены. Примером
гироскопической силы может служить магнитная сила Лоренца, действующая со
стороны магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу.
Типичным примером непотенциальных сил являются диссипативные силы. Двс-
называются силы, зависящие от скоростей точек механической системы
и совершающие отрицательную суммарную работу при любых перемещениях этой
35
системы. Действие этил сил приводит к уменьшению механической энергии замкнутой
системы. Таковы, например, силы трения скольжения и силы сопротивления движению
тел в жидкостях и газах. Сила трения скольжения, действующая на движущееся тело со
стороны неподвижного, всегда направлена в сторону, противоположную движению
тела, так что cosa=— 1, a F,= —г<0. Поэтому работа такой силы вдоль любой
замкнутой траектории точки ее приложения всегда отрицательна н никогда не равна
нулю.
8.	Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил Flt Ft,.... Ff>
то за малое время dr они совершают общую работу 6А, равную алгебраической сумме
работ каждой из этих сил порознь:
I	I
5А= £ 6Aj= X Fjdr=Fdr,	(3.7)
I
где dr — приращение радиуса-вектора точки за время dr, F= £ Fy.
J-i
Рассмотрим теперь произвольную механическую систему, состоящую из л матери-
альных точек. Обозначим F( сумму всех сил (внешних и внутренних), действующих на
Лю точку системы, радиус-вектор которой за время dr изменяется на dr,. Общая
элементарная работа SA, совершаемая за время dr всеми силами над системой, равна
M-SF.dr,.
Покажем, что при движении твердого тела общая работа
нулю. Для этого достаточно доказать, что сумма работ оАа и дАц сил взаимодействия
F* и F*j двух произвольно выбранных точек этого тела (i-й и к-й) равна нулю. По
третьему закону Ньютона, Fw— — Flt. Поэтому
=Fa dr,+F*( dr*=F(* (dr(—dr*)=F(* drlt,
где r№=r(—r* — радиус-вектор, проведенный ‘из к-й точки в i-ю (рис. 3.3). Так как
расстояние между точками твердого тела не изменяется, то |r(*]<= const и вектор dr(*
перпендикулярен вектору G*, а также силе Flt, которая направлена вдоль прямой,
соединяющей точки (на рнс. 3.3 показаны в качестве примера силы Отталкивания, для
которых Ец совпадает по направлению с вектором rtt). Таким образом, дАц+дА^=0
и для твердого тела выражение (3.8) можно переписать в виде
<L4=£F“dr(.	(3.8')
1-1
Если твердое тело движется поступательно, то перемещения всех его точек за
время dr одинаковы, т. е. dr;=dr*=die- Здесь rc — радиус-вектор центра масс тела.
В этом случае
дА-= £ F““drc=F““drc,	(3.8я)
где F*"™ — главный вектор внешних сил, действующих на
\	тело.
г\ /Гъ.	•• *араггсрист™1 работы, совершаемой силой за сди-
\/	ннцу времени, в механике вводится понятие мощности.
j	Мондостыо N алы называется отношение элементарной
работы 6А, совершаемой этой силой F за малый промежуток
Рис з з	времени, к его длительности dr.
36
гл	dr	'h1,!"
=F = Fv, oi.(3.9)
dr	dr	q-vr .
где у скорость перемещения точки приложения силы, Итак, мощность силы равна
скалярному произведению этой силы на скорость точки, е? .приложения.
В заключение нужно подчеркнуть, что и работа, и мощность силы зависят от
выбора системы отсчета. Это отчетливо видно из формулы (3.9), где скорость v различ-
на по отношению к двум системам отсчета, движущимся друг относительно друга.
§ 3.2.	Кинетическая энергия
1.	В механике различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциаль-
ную. Кинетической энергией механической системы называется энергия механического
движения этой системы. Изменение кинетической энергии материальной точки проис-
ходит под действием приложенной к ней силы F и равно работе, совершаемой этой
силой:
dH/, = Fdr—Fvdr,	4	(3.10)
где v скорость материальной точки. Подставив значение Fdr из (2.6), получим
dH/1=vdp= pdp,	(3.11)
т
где р=хк* импульс материальной точки, ат ее масса. Так как
р dp = * /2d (рр) =1 /2d (рп) =р dp,
•< Ml. I'
то
pdp 1
=	d(p2).	(3.11)
т 2т
Интегрируя (3.1 Г) и полагая W^—0 при р=0, получаем следующее выражение для
кинетической энергии материальной точки:
2.	Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий
всех частей этой системы. Например, кинетическая энергия системы из л материальных
точек равна
Д т и*
",	(3.13)
1“ I
где т, скорость r-й материальной точки, т, ее масса. В частности, кинетическую
энергию твердого тела, движущегося поступательно со скоростью v, можно найти по
формуле (3.12), где т масса всего тела.
Кинетическая энергия системы полностью определяемся значениями масс и скоро-
стей входящих в нее материальных точек. Она не зависит от «предыстории» системы,
т. е. от того, каким образом части системы приобрели данные значения скоростей.
Кратко это важное утверждение формулируют следующим образом: кинетическая
энергия системы есть функция состояния ее механического движения.
Заметим также, что в отличие от импульса кинетическая энергия системы не
зависит от того, в каких направлениях движутся ее чести:
37
3.	При выводе формулы (3.12) мы псоользовалв второй залов Ньютона (2.6), т. е предполагала,
ве оговаривая это, что используется инерция дымя система отсчета. Однако сема формула (3.12)
для ливетичеокой энергии материальной точка справедлива в любой системе отсчета независимо
от того, ннершальш ова пли нет.
Значения саоростм и кинетической энергии одной и той же материальной точки различны
в двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга Рассмотрим две системы отсчета,
инерциальную систему отсчета К и систему отсчета К', движущуюся относительно К востуитль-
но со скоростью V. Скорость V может быть как постоянной (тогда система отсчета /С также
ннерциальна), так н зависящей от времени (тогда К' неинерцнальная система отсчета). Из рве.
ЗА видно, что радиусы-векторы 1-й материальной точки
в системах отсчета л (Г,) н К' (гр связаны соотношением
(3.14)
где *о - радвус-воггор в системе отсчета К точки <У —
начала координат системы JC Отсюда следует, что меж-
ду скоростями <-й точки Tj—dfi/df и tJ— di^/dt имеется
следующая связь'
dra
Ъ-^+— "< + V’	(***)
Си
J	-«+V)2 -<2+2V»;+V2 -»;2+2V»;+у2
Подставив это значение в формулу (3 13) для кинетической энергии механической
системы относительно системы отсчет* К, получим
" я».»!2	" И2 "
в;- £ —+v £
1-1	/-1	Z-1
ИЛИ
mV1
jF,-ir-+Vp'+----
‘	2
(3 15)
Здесь т масса всей системы (це зависит от выбора системы отсчета.1), р’“ £ т,т(' н
1 "
— £	значения импульса и кинетической энергии рассматриваемой мехамгеской састе-
z i-i
мы, измеренные в системе отсчета К1.
Импульс р'—iwrj, где vj. скорость центра масс системы в К' Поэтому если в качестве JT
взять систему центра масс рассматриваемой механической системы, то V—tc, vj.—О, р' «О н
(3.16)
Это равенство выражает тес репу Юшт кинетнчесжая энергия механической системы равна
сумме кинетической энергии той же системы в ее движении относительно системы титра масс
н кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со
скоростью ее центра маос.
Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия твердого тела равна сумме его
кинетической энергии в поступательном движении со скоростью центра масс тела н кинетической
энергии вращения этого тела вокруг титра масс.
§ 3.3.	Потенциальная энергия
1.	Работа А!—а, совершаемая потенциальными силами при изменении канфтуращн
езкггемы, т. е. расположения ее частей (материальных точек) относительно системы
отсчета, не зависит от того, как конкретно осуществляется процесс перехода из
начальной конфигурации системы (/) в конечную (2). Работа А !_а полностью определя-
ется начальной и конечной конфигурациями системы. Следовательно, ее можно пред-
38
ставить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы
называемой нотешвмльиой энергией сястеэш*
Л-2«Жв(1)-Жи(2).	(3.17)
Соответственно элементарная работа потенциальных сил при малом изменении кон-
фигурации системы
<5,4=-dlP.	(3.17Э
Если внешние потенциальные сапы нестационарны, то потенциальная энергия
системы зависит не только от конфигурации системы, но также и от времени t. Между
тем работу эти силы совершают только при перемещении системы. Поэтому соотноше-
ние (3.173 справедливо лишь при условии стационарности внешних потенциальных сил.
В общем случае
Г	3fr- 1	8Wa
ЗА-- dIF.------dr = -dlF.+— dr.	(3.18)
|_	Bt	J	Bt
BW.
Член----dr показывает, как изменяется за малое время dr потенциальная энергия
Bt
системы при условии, что конфигурация системы остается одной н той же.
X Из соотношений (3.17) и (3.18) видно, что, измеряя работу потенциальных сил,
приложенных к системе, можно найти только разность значений потенциальной энер-
гии этой системы в двух ее состояниях: начальном н конечном Иначе говоря, потенци-
альную энергию системы можно найти только с точностно до произвольного постоян-
ного слагаемого. В каждой конкретной задаче для получения однозначной эавигимосгн
потенциальной энергии рассматриваемой системы от ее конфигурации выбирают нуле-
вую конфигурацию, в которой потенциальную энергию системы полагают равной
нулю. Таким образом, ноте^алнвй энергией мехавнесжон сястеаш называется вели-
чина, равная работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные
силы при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние, соотвстст-
вующее ее нулевой конфигурации*.
Э. Рассмотрим простейшего механическую системы, состоящую из одной материаль-
ной точки, на которую действует потенциальная сила F. Из (3.18) следует, что
t3W.	BW.	BW.	1
	dx-l	dy+	dz I
Bx---------------By-Bz-J
иди, согласно (3.9),
raw.	aw.	aw. 1
Fxdx+F.dy+Fxdre —I-----dxH------dy+----dz I.
L Bx	By	oz	J
Так как координаты точки х, у, z — независимые переменные, то в последнем уравне-
нии должны быть попарно равны слева и справа коэффициенты при dx, dy и dz. Таким
образом, связь между потенциальной энергией материальной точки и соответствующей
ей потенцияпкчоВ силой F имеет вид
BW.	3W. _ BW.
— ।	Z-»
Bx	By	Bz
(3.19)
•При вычислении работы вестациоорных внешних потенциальных сил время г иувою
считать фиксированным параметром (см. { 3.1, п 6)
39
или
F=
aw. aw. aw. 1
Ti+Tj+-k L
_ ax ay ax j
(ЗЛУ)
Вектор, стоящий в (3.19Q справа в квадратных скобках и построенный с помощью
скалярной функции W., называется градиентом функции и обозначается grad fFn.
Итак, сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взя-
тому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой точки в рассматрива-
емом поле:
F« -grad W..	(320)
Часто эту формулу записывают также в виде
F= - VJFn,	(3.20')
а	а	а
где V=— id— jd— k — операторнябля.
Зх	By	Зх
4. Рассмотрим несколько примеров расчета потенциальной энергии.
Пример 1. Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле.
Поле называется одеородшм, если сила F, действующая на материальную точку со стороны
поля, одинакова во всех точках поля Пусть эта сила направлена вдоль оси OZ: F«Fxk, где Ft не
зависит от координат материальной точки. Прежде всего докажем, что однородное поле потенци-
ально, т. е удовлетворяет условию (3 б):
Fdr-Fxdz,
ф Fdr" Ffdx^Ff £ dz—0.
(£) Ш	(£)
Найдем потенция m.wyin энергию материальной точки:
dSF.--£4--.Fxdr,
R'n(z)- JF.(O)- - Fxdz-—Ftx	(321)
о
или
W„(z)--Ftx + W„(f))
Например, для тела массы т, находящегося в однородном поле силы тяжести у поверхности
Земли, Ft—-mg (ось OZ направлена вертикально вверх), g — ускорение свободного падят» и
W.—mgh,
(322)
где Л — высота подъема тела над поверхностью Земли, а начало Отсчета энергии W. выбрано так,
что у поверхности Земли Wa—0
Пример 1 Потенциальная Энергия материальной точки в поле центральных сил.
Силы, действующие на материальную точку, называются центральными, если они зависят
только от расстояния между материальной точкой и некоторой неподвижной точкой — центрам
аыы — и направлены всюду от центра сил либо всюду к центру сил. Если центр сил принять за
начало координат, то центральная сила
F-F,(r) -,	(323)
г
40
где г * радиус-вектор, проведенный из центра сил в рассматриваемую точку полк; г — расстоя-
ние от точки до центра сил; F,(r) — проекции силы F на радиус-вектор г. Для сил отталкивании
Fr(r)>0, а длк отл притяжения Fr(r)<0.
Докажем, что поле центральных сил потенциально: так ках гг—г1, то rdr—rdr, &4~Fdr=
=Fr (r)rdr/r»Fr(r)dr и	'
£ Fdr—ф Fr(r)dr=0.
W (Ц
Найдем потенциальную энергию материальной точки:
dH'n--dX--fr(r)dr,
Ж.(г)-Жж(со)----J F,(r)dr.	(3.24)
А
Обычно полагают И/п(со)=0. Тогда
Г	"
И'п(г)= - JFr(r)dr-JFf(r)dr.	(3.24Э
Примерами полей центральных сил, в которых проекция crjjbj обратно пропорциональна
квадрату расстояния до центра сил:
К,(г)-Д/Л
(3.25)
где р= const, могут служить гравитационные поля материальной точки и однородного шара,
а также электростатические поля точечного электрического заряда и равномерно заряженных
сферы или шара. Для этих полей
f/Mr р
(3.26)
По закону всемирного тяготения Ньютона,
F,(r)--G
Мт
(3.27)
где G =6,67 10~11 Н м2/кг2 гравитационная постоянная; М — масса материальной точки (или
однородного шара), создающей гравитационное поле; т — масса материальной точки, находя-
щейся в рассматриваемом поле. Таким образом, Р— —GMm и
По закону Кулона,
(3.28)
(3.29)
где £0=8,85 10~11 Ф/м -- электрическая постоянная; q — точечный электрический заряд, в цент-
ральном электростатическом поле которого находится точечной электрический заряд qo. В этом
рлучде =<7?о/(4лес) и
1 Wo
JF„(r)=--- —.	(3.30)
4тио г
41
Прчгр 3. Потенциальная энергия системы, состоящей из двух материальных точек, которые
взаимодействуют по закону нейтральных сил, т. е. притягиваются друг к другу или отталкиваются
друг от друга с силами, зависящими только от расстояния между этими точками.
На ряс. 3.5 показаны силы взаимного отталкивания F[2 и F2i “ —Fn> причем
Vu-F'lp)*’,
Р
(3.31)
где р «г2—г1 радиус-вектор, проведенный из точки 1 в точку 2; Fp (д) — проекция силы F21 на
направление вектора р, зависящая только от расстояния р между точками
Докажем, что силы F|2 и F21 потенциальны:
a^“f'i2dr1 + F21dr2«F21 (dr2—dr|)KF2|d(r2-ij),
т. е
<5X-F2ldp-Fp(p)dp, j F„(p)dp~0.
W
Найдем потенциальную энергию системы:
dWB--Fp(p)dp,
»»(Р)----Fp(p)dp + JFn(co).
'if I'	I
\	Полагая И'н (со) =0, получаем
»'П(Р)= F,(p)dp.	(3.32)
Рис. 3.5	J
р
Примером рассматриваемой системы могут служить две молекулы реального газа, которые
взаимодействуют друг с другом посредством ван-дер-ваальсовых сил притяжения и сил взаим-
ного отталкивания (см. $ 12.1)
Пример 4 Потенциальная энергия упруго деформированного тела.
При деформации упругого тела в нем возникают внутренние силы, препятствующие дефор-
мации тела и называемые cmbmi уиругостн. При продольном растяжении или сжатии тела
(например, пружины вдоль ее оси ОХ) сила упругости подчиняется закону Гука:
F--kxi,	(3.33)
где к постоянный положительный коэффициент, характеризующий упругие свойства тела;
xi вектор деформации (1 орт осн ОХ, координата х = 0 соответствует недаформированному
состоянию).
Сила упругости (3.33) потенциальная сила, так как
Fdr»^ Fxdx“— к	xdx—0
(Il (D	(I)
Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела, полагая ее равной нулю
у недеформированиого тела, т. е. при х»0:
?	kS
dH'„-kxdx, W„-k xdx=	(3.34)
J 2
42
§ ЭЛ. Закон иэмаиания механической энергии
1.	Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из я материальных
точек. Ее кинетическая энергия выражается формулой (3.13), а изменение этой
энергии при малом перемещении системы равно сумме работ, совершаемых при этом
всеми внешними и внутренними силами:
dn;= £ м>	(3.35)
i-i
Сумму элементарных работ 6At всех от, приложенных к i-й материальной точке
системы, удобно разбить на две части:
6Ai=6AF+Wc,
где &А^ и 6А“ — суммы элементарных работ, совершаемых над ьй материальной
точкой соответственно всеми потенциальными и всеми непотенцнальными силами
Тогда
d - X	(ззб)
i-i
Я
где &4пве= £ 5А“ — результирующая работа всех непотенциальных сил, дайству-
<-|
ющих на систему.
2.	Из определения потенциальной энергии системы Жв следует, что, согласно (3.18),
я	Яху
X SA’T=‘-dWa+—dt.
i-i	г‘
Подставляя это выражение в (3.36), получаем
dWI+dWa=‘6A"l+— dt
St
или
„ aw.
dW=SA + dt,	(3.37)
at
где
W.+ W.	(338)
Величина W, равная сумме кинетической и потенциальной энергий системы, назы-
вается механической энерпкй (полной механической энергией) свете»*!.
Уравнение (3.37) выражает закон нэмевешм мехамнеосой звергас
иэятеттеттио м^вяатти^тесхо^! ^нте^т^тпт си^^тем^вт ра^тно ^т^^го^В^в^ттвта^^*
кой сумма работ всея иопотеициаяымх сил, дейстаутоиря на
систему, и иямаиания лотентршы10й энергии отстаем за ра»*
сматримолмй промемутпя аремемт, обуелоаявилого иестмрк
онартюстые внемля потпмргалымх сил.
3.	Если система замкнута, то изменение ее механической энергии обусловлено только
действием в ней непотенциальных сил:
dlF=W“e	(339)
43
В частности, работа диссипативных сил (например, сил трения движения) всегда
отрицательна. Поэтому действие а,замкнутой системе одних только диссипативных сил
приводит к постепенному уменьшению механической энергии этой системы. Такой
процесс называется	энергии, а сама механическая система, в которой
действуют диссипативные силы, — диссипативной системой. При диссипации энергии
происходит преобразование механической энергии системы в другие виды энергии
(например, в энергию беспорядочного теплового движения молекул, образующих тела
системы).	1
§ 3.5.	Уравнения неразрывности и Бернулли
1.	Раздел механики, в котором изучаются законы движения жидкой среды и ее
взаимодействия с Телами, обтекаемыми этой средой, называется гядродинямюсой.
Движение жидкости называют течением, а саму движущуюся жидкость — потоком.
В гидроди па миге отвлекаются от молекулярного строения жидкости, рассматривая ее
как сплошную среду, непрерывно распределенную в пределах потока. При этом под
частицей среды понимают физически малый элемент объема среды, размеры которого
во много раз больше межмолекулярных расстояний, но в то же время столь малы, что
в пределах этого элемента все параметры потока (скорость течения, давление н др.)
можно считать всюду одинаковыми. Межмолекулярные расстояния в жидкостях так
малы (порядка 10 10 м), что частицы жидкой среды рассматриваются приближенно как
точечные. Плотность жидкости практически не зависит от давления, Поэтому в гидро-
динамике жидкость считается несжимаемой средой, плотность которой при одной и той
же температуре одинакова во всех точках потока. В отличие от жидкостей газы, вообще
говоря, нельзя считать несжимаемыми, так как при постоянной температуре плотность
газа пропорциональна его давлению. Однако, как показывают расчеты, сжимаемостью
газа можно пренебречь при не слишком больших скоростях течения « (наппимер,
пренебрежение сжимаемостью воздуха при 100 м/с приводит к ошибке, не превыша-
ющей 5%).
Для кинематического описания течения жидкости обычно используется метод Эй-
лера, который заключается в задании поля скоростей жидкости т, т. е. зависимости v от
радиуса-вектора г рассматриваемой точки в потоке и от времени г т=т(г, /). В случае
устаиошшшегося (стяцжтнарвот-о) течения скорость т не зависит явно от времени, т. е.
dv[dt=O. Линией токи называется мысленно проведенная в потоке линия, касательная
к которой в любой се точке совпадает по направлению с вектором т скорости жидкости
в этой точке. Поверхность, образованная линиями тока, которые проведены через все
точки замкнутого контура, называется трубкой тока. Часть потока, ограниченная
трубкой тока, называется струйной. В случае установившегося движения жидкости
трубки тока не изменяются с течением времени н представляют для частиц жидкости
как бы непроницаемую стенку, так что скорости частиц около этой поверхности
направлены по касательной К ней. Поэтому при установившемся течении жидкости
частицы движутся так, что каждая из них все время остается в пределах определенной
струйки.
2.	В реальных жидкостях течение усложняется тем, что между отдельными слоями
потока происходит внутреннее трение. Однако в ряде случаев влияние внутреннего
трения невелико н им можно пренебречь. Жидкость, в которой отсутствует внутреннее
трение, называется идеальной жидкостью. Опыт показывает, что при течении жид-
костей в коротких и достаточно широких трубах и каналах, а также при обтекании
ящдкостями твердых тел, имеющих удобообтекаемую форму (например, крыла само-
лета), влияние внутреннего трения проявляется лишь в сравнительно тонком погршч-
ном слое жидкости, который непосредственно прилегает к поверхности труб, каналов
и обтекаемых тел. Вне погращчного слоя течение реальной жидкости ничем не
отличается от течения идеальной жидкости. Поэтому, изучая движение идеальной
жидкости, можно установить ряд закономерностей, которые с известным приближени-
ем применимы к течению реальных жидкостей. Это приближение тем более точно, чем
меньше вязкость жидкости. Вязкость многих жидкостей (например, воды, спирта и др.)
в обычных условиях сравнительно невелика, вязкость же газов вообще незначительна.
44
3.	Рассмотрим участок элементарной струнки жидкости, ограниченный двумя произ-
вольно выбранными поперечными сечениями 1 и 2, площади которых dS1 н dS3
(рис. 3.6). Скорости жидкости в этих сечениях обозначим vt н v2 (на рнс. 3.6 скорости не
показаны). Прн установившемся течении масса жидкости на участке струйки между
сечениями / и 2 не изменяется с течением времени. Следовательно, в соответствии
с законом сохранения массы масса	dS| жидкости, поступающей, за 1 с в рас-
сматриваемый участок струйки сквозь сеченне /, равна массе	жидкости,
вытекающей из этого участка за 1 с сквозь сеченне 2:
pv\ dS| = pvj dSj.
(3.40)
Сечения / и 2 можно выбирать совершенно произ-
вольно. Поэтому
pv dS=d/nOT = const,	(3-41)
где р и v плотность и скорость жидкости в прою-
вольном поперечном сечении струйки площадью d5;
dmra секундный массовый расход жидкости, посто-
янный вдоль всей струйки.
Соотношение (3.41) называется уравнением нераз-
рывности. Оно справедливо не только для несжима-
емых сплошных сред жидкостей, но также и для газов, плотность которых может
изменяться вдоль струйки. Величина dFu., = tdS называется секундным объемным
расходом.
Секундные расходы dmm н dFCT были определены нами для элементарной струйки
с малым поперечным сечением dS. Для струн конечных размеров массовый и объемный
расходы находятся путем интегрирования dmai и dK^, по всей площади S поперечного
сечения струи:
*яи:«= I pvdS И I «'dS.
(3.42)
Если р и v одинаковы во всех точках поперечного сечения струн, то ma:t=pvS и
V„=vS.
4.	Найдем теперь выражение закона изменения механической энергии применительно
к установившемуся течению идеальной жидкости. Выделим мысленно часть жидкости,
которая в момент времени t заполняет участок элементарной струйки, ограниченный
поперечными сечениями / и 2 (рис. 3.6). К моменту времени t+dt эта часть жидкости
переместится вдоль струйки в направлении течения, показанном на рис. 3.6 стрелкой,
и будет заключена между сечениями /' и 2'. На жидкость действуют только силы
тяжести и давления. Поэтому по закону изменения механической энергии (3.37) имеем

(3.43)
где &4 работа сил давления; d Wt и d W„ изменения кинетической и потенциальной
энергий рассматриваемой части жидкости. Работа сил давления, приложенных к боко-
вой поверхности струйки, равна нулю, так как эти силы направлены перпендикулярно
направлению течения жидкости. Поэтому работа дА равна разности работ сил давле-
ния dF| и dF2, действующих на поперечные сечения / и 2, площади которых равны
соответственно dS| и dS2:
дА=р\ dS,r| dr—pidS2yidt=(pi —p3)t>idS| dr,	(3.44)
45
где Pi и pt - давления в сечениях 1 и 2; щ и »2 — скорости течения жидкости в этих
сечениях, причем, как следует из уравнения неразрывности (3 41), для несжимаемой
жидкости в) dS, ™ vjdS]. Поток жидкости установившийся, поэтому можно утверждать,
что в объеме струйки, заключенном между сечениями Г и 7, не произошло никаких
изменений. Энергия этого участка жидкости осталась также прежней. Все свелось
к тому, что часть жидкости массой dm, которая первоначально была заключена между
сечениями I и оказалась как бы перенесенной в новое положение между сечениями
2 и 2. Поэтому изменения кинетической и потенциальной энергий всей жидкости при ее
перемещении из положения / — 2 в новое положение /' — 2 равны
d/и
dIF,— («’-«?),
(3.45)
dB'.-dmgfo-A,),
где dm=pt>|dS'|df“pvjdSjdr, Aj и Aj — вертикальные расстояния от некоторого услов-
ного горизонтального уровня до Центров тяжести элементов объема жидкости, заклю-
ченных в шруйке между сечениями /, Г и 2 и 2. Ввиду малости этих элементов можно
считать, что Л, и Л2 — высоты центров тяясеши самих сечений 1 и 2 над условным
уровнем. Подставив в уравнение (3.43) значения 6 A, dJFc и d)FB из формул (3.44)
и (3.45), получим
*/i(«'l-«'?)dm-l-g(A2-Ai)dm=(pl-pj)uidyldr,
или после сокращения на щ dSt df »*dm/p и простых преобразований
peift+pi+pgh^pvill+pi+pghi.	(3.46)
Сечения 1 и 2 были выбраны совершенно произвольно. Следовательно, уравнение
(3.46) можно записать в следующей форме:
pe1l2+p+pgh=const.	(3.47)
Это уравнение называется урщмешем Бервулль Оно, как видно из его вывода,
является выражением закона изменения механической энергии применительно к уста-
новившемуся течению идеальной несжимаемой жидкости.
В случае горизонтальной струн (например, при течении жидкости в горизонтальной
трубе) величина А постоянна и уравнение Бернулли принимает более простой вид:
рю’/2+р=const.	(3.48)
Величина р называется етжпнкжявв давлежвеи, р»а/2 — сжороспвм мвмором,
p+pv2/2 —	 Статическое давление равно давлению жидкости на
стенки трубы.
Вопросы:
1. Как выражается работа силы на малом и конечном перемещениях? Покажите, что при
движении твердого тала работа внутренних сил равна нуле.
2. Найдите связь между кинетической энергией системы и работой действующих на систему сил.
3. От чего зависит потенциальная энергия механической системы? Какова связь между лотен-
(мальной силой, действующей на материальную точку, и потенциальной энергией этой
материальной точки?
4. Выведите выражение для потенциальной энергии материальной точки в поле центральных
сил
в. Выведите закон изменения механической энергии системы и получите с его помощью
уравнение Бернулли
46
Глава 4
Кинематика и динамика вращательного движения
§ 4.1. Кинематика вращательного движения твердого тела
1. Движение твердого теш, при котором все точки прямой АВ, жалко связанной
с телом, остаются неподвижными, называется вращешем тела вокруг веводанжнпй оси
АВ Прямая АВ называется осью щиицеявн тела. Пусть D — произвольная точка
твердого теш, вращающегося вокруг неподвижной оса АВ Так как тело твердое
(абсолютно твердое), то при его вращении расстоянии АВ, AD и BD остаются неизмен-
ными. Следовательно, точка D тела движется по окружности, центр которой лежит на
оси вращения, а плоскость перпендикулярна ей
Тело, вращающееся вокруг неподвижной осн, имеет одну степень свободы Его
положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг
осн вращения из некоторого условно выбранного начального положения этого тела.
Чем дальше отстоят от оси вращения теш расоиатрпаемые его точки, тем бблыпие
пути ds они проходят за одни и тот же промежуток времени dr Сосивегсгвенно тем
больше их скорости v—ds/dr Поэтому для описании вращательного движения тела
неудобно пользоваться такими понятиями кинематики точки, как перемещение, прой-
денный путь, скорость и ускорение точки В этом случае мерой перемещения всего теш
за малый промежуток времени dr служит вектор dp элементарного оверита тела. По
модулю сп равен углу dp поворота теш вокруг осн за время ш в направлен вдоль оси
вращения по вравиу оравого вмта. из конца вектора dp поворот теш виден проис-
ходящим против хооа часовой стрелки.
•• В случае использования не правой, а левой системы координат вектор dp направляют вдоль
осн вралшня в противоположную сторону, т е так, что из Сто конца поворот тела вждея
проясходкпщм по ходу часовой стрелка В математике такие векторы, взмаиюпме аое направле-
ние на противоположное при переходе от правой системы коордиат к левой, называют всю-
дввекторааиди яигиаяывд вектораме в отличие от обычаях векторов, называемыхввшуажи1
векторами, которые сохраняют свое направление при указанном иреобре himhhi коорданат
Примерами полярных векторов являются такие векторы, как радиус-вектор точки, ее скорость
и ускорение, вектор силы и др В то же время векторное произведение двух полярных векторов —
псевдовоггор
3. Кинематической характеристикой направления и быстроты вращения тела служит
угловая скорость теш, равная отношению вектора элементарного поворота тела
к продолжительности этого поворота.
_ dp	dp
tO “—	или	—
dr	dr
(41)
Вращение теш вокруг неподвижной оси называется рввнииержш протешем, если
модуль угловой скорости теш постоянен
Ду
ш-—„ coast	(4.2)
dr
В этом случае угол поворота теш прямо пропорционален времени вращения г
р-он	(4 3)
47
Рис 4.1
Найдем скорость v произвольной точки N тела, отсто-
ящей на расстоянии р от неподвижной оси вращения ОА
(рис. 4.1). Примем точку О оси вращения за начало коор-
динат, а центр окружности, по которой движется точка N,
обозначим О'. Тогда радиус-вектор точки N равен
t
г=ОО'+р,	(4.4)
где р — вектор О 'N. Аксиальные векторы dp и ш не имеют
определенных точек приложения на оси вращения ОА. На
рис. 4.1 они отложены из точки О.
За малое время dr точка N, перемещаясь по дуге окру-
жности, показанной штриховой линией, проходит путь
ds=pdcp=pcodt.
Поэтому модуль скорости точки N тела
dr
v=—=рш.	(4.5)
dr
Учитывая, что векторы р и ш взаимно перпендикулярны, а вектор v скорости точки
N направлен перпендикулярно обоим этим векторам за плоскость рис. 4.1, можем
написать
▼=у=[ш р].	(4.6)
dr
Так как при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор ОО' постоянен, то из
(4.4) следует, что в этом случае
dp
—.
dr
(4.7)
Векторы ОО' и со коллинеарны, поэтому из (4.4) следует, что формулу (4.6) можно
переписать в виде
dr -.
¥=-«[ш г].
dr
(4.6Э
В отличие от угловой скорости тела со скорость г часто называют лпейной
скоростью точки N тела. Вектор т направлен также по правилу правого винта: из конца
вектора v поворот вектора со к г по кратчайшему расстоянию виден совершающимся
против хода часовой стрелки.
Промежуток времени Т=2я/ш, в течение которого тело, равномерно вращаясь
с угловой скоростью со, совершает один оборот, т. е. поворачивается на угол ф=2тс,
называется периодом вращения.
Частота вращения показывает, сколько оборотов совершает за единицу времени
тело, равномерно вращающееся с угловой скоростью со:
1 ш
п=-=—.
Т 2п
(4-8)
3.	Прн неравномерном вращении тела вокруг неподвижной оси его угловая скорость
изменяется. Вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости тела,
называется угловым ускорением:
_ da>
е ==—.
dr
(4-9)
48
Если тело вращается вокруг неподвижной оси ускоренно, т. е. dw/dr>0, то вектор е
направлен по осн вращения в ту же сторону, что и вектор ш. При замедленном
вращении dra/df <0 и вектор в направлен в сторону, противоположную вектору ш.
Найдем ускорение  точки N тела, вращающегося вокруг неподвижной осн. Из (4.6),
(4.7) и (4.9) имеем
dv
в=—=[е р] + [ш v]
dr
или
в=[е р] + [со [со рД.	(4.10)
Первый член в правой части формулы (4.10) представляет собой касательное
ускорение точки N:
«г = [е Р]=[£ г],	(4.11)
а второй член — нормальное ускорение в* точки N:
вл = [ш [ш pD= -согр.	(4.12)
4.	Движение твердого тела, при котором только одна его точка О остается все время
неподвижной, называется движением (вращением) твердого тела вокруг неподвижной
точки.
В этом случае все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер,
центры которых находятся в точке О. Поэтому такое движение твердого тела часто
называют сферическим дввжепем тела. В теоретической механике доказывается, что
движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно рассматривать в каждый
момент времени как вращение вокруг оси, проходящей через неподвижную точку тела
и называемой мгновенной осью вращения. В общем случае положение мгновенной оси
вращения изменяется с течением времени по отношению как к неподвижной инерциаль-
ной системе отсчета, так и к системе отсчета, жестко связанной с движущимся телом.
Векторы элементарного поворота d<p и угловой скорости со направлены вдоль мгно-
венной оси вращения тела, а вектор в углового ускорения (4.9) направлен не по этой
оси.
Для скорости точки N тела v=dr/dr по-прежнему справедлива формула (4.6'), где
г — радиус-вектор точки N, проведенный из неподвижной точки О тела. Ускорение
точки N
dv d -	_	-
а = - = - [шг] - [ег] + [со v]
dr dr
или
а=[«] + [со[сог]].	(4.10')
Вектор авр = [£г] называется вращательным ускорением точки N тела, а вектор
аа=[ш[шг]] осестремнгельвым ускорением точки N, так как эта составляющая век-
тора а направлена перпендикулярно мгновенной оси вращения от точки N к этой оси.
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О, имеет три степени
свободы, оно может совершать независимые вращения вокруг трех взаимно перпен-
дикулярных неподвижных осей, проходящих через точку О. Для однозначного задания
положения такого тела в пространстве необходимо задать значения трех независимых
координат. Обычно для этого используют три угла, называемые углами Эйлера.
Однако рассмотрение углов Эйлера выходит за рамки нашего курса.
5.	Свободное твердое тело, например летящий в воздухе самолет, имеет шесть
степеней свободы. Три из них соответствуют независимым поступательным движениям
49
вдоль трех осей координат, а три — вращениям вокруг этих осей. Поэтому говорят,
что свободное твердое тело имеет три поступательные степени свободы и три враща-
тельные.
Любое движение твердого тела можно рассматривать как комбинацию двух одно-
временно совершающихся движений: поступательного со скоростью какой-либо
произвольно выбранной точки А тела, называемой полюсом, и вращения вокруг
мгновенной оси, проходящей через полюс. При этом оказывается, что выбор полюса не
влияет на значение угловой скорости ш вращения тела вокруг полюса в каждый
рассматриваемый момент времени (с течением времени ш, ках правило, изменяется).
Скорость произвольной точки N тела равна
»-»л+1«(г-гЛ.	(413)
Здесь Гл и v^=dr^/dr - радиус-вектор и скорость полюса А, г —радиус-вектор точ-
ки N.
В задачах динамики твердого тела часто удобнее всего выбирать в качестве полюса
центр масс С тела. Тогда
v=vc+[w (г-гс)].	(4.13')
При качении однородного кругового цилиндра по плоскости все его точки движутся
в парад педъных плоскостях. Такое движение твердого тела называется плоскотрал-
лельпым или плоски. Этот вид движения очень часто встречается в технике. Его
совершают многие детали машин и механизмов (например, шатуны стационарных
двигателей внутреннего сгорания, детали кулисных механизмов и др.). В случае плоско-
го движения мгновенная ось вращения тела вокруг полюса А перемещается поступате-
льно, т. е. не изменяя своего направления в пространстве, а векторы ш и взаимно
перпендикулярны.
Еще одним примером сложного движения твердого тела служи! шаговое движение
тела. Оно получается в результате одновременного участия тела во вращении вокруг
некоторой оси и поступательного движения вдоль этой оси. Именно так движутся
винты и болты при их завинчивании и отвинчивании.
§ АЛ. Закон извинения момента импульса
1. Моментом силы F отвоежгельио втодвижиой точки О называется векторное произ-
ведение радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку N, приложения силы F, на
саму эту силу*:
M=[rFJ.	(4.14)
Вектор М направлен перпендикулярно плоскости векторов г и F по правилу правого
винта (рис. 4 2). Модуль момента силы
M=Frsma=Fl,	(4.15)
Z
где а — угол между г и F; I—г ап а длина перпендикуляра, опущенного из точки О на
линию действия силы F. Величина I называется плечом сжш F.
2. Рассмотрим механическую систему, состоящую из л материальных точек (в частно-
сти, это может быть и твердое тело, но мы пока такое ограничение накладывать не
будем). Пусть ttij и Tj масса и скорость г-й точки системы.
Моментом пшульсв L, материв шипй томш относительно неподвижной томов О назы->
•Здесь и в дальнейшем точка О принимается за начало координат инерциальной системы
отсчета.
50
F
вается векторное произведение радиуса-вектора г< материальной точки, проведенного
вз точки О, на импульс этой материальной точки р>“>л»Л| (ряс. 4.3):
'	(4.16)
Соответственно, моментам мицужса мехажчкко* системы опмспымо иенодаиж-
ввй точен О называется вектор L, равный геометрической сумме моментов импульса
отнооггельно той же точки всех материальных точек отстемы:
L“ J} L/= X [riP<l-
r-i I-I
(4.17)
Продифференцируем по времени f выражение (4.17):
‘ Pi
I at J
Из (2.13) и (2.14) следует, что
dL "	" Г "	1
-“EfoFTI+X I г< Е f<4
<Jf i-1	i-i L *-i J
(4.18)
3. Вектор, разный геометрической сумме моментов относятел>во точки О всех внеш-
них сил, действующих на механическую систему, называется глмжни моментом ини-
ап сил in мн ни I—> иенвжпжмй точив О:
i-i
(4.19)
Покажем, что вторая сумма в правой части уравнения (4.18), представляющая
собой сумму моментов относительно точки О всех внутренних сил, равна нулю. В этой
сумме фигурируют попарно моменты сил Ftt н F^: MA=[rfF^ н	Из
третьего закона Ньютона следует, что
Мд 4-М*( “[Г/FjJ 4- [r*F* 3 «[г/F/J—[r*Fl(J=[(rr—rJFuJ.
Из рис. 3.3 видно, что векторы (г,—г*) и F(* коллинеарны. Поэтому их векторное
произведение равно нулю. Следовательно,
i	£ fJ=o,
i-i t-i i-i L *-i J
(4.193
c
51
-=14"“
dr
Уравнение (4.20) выражает закон жзмеиашя момента импульса:
(4-20)
проиааодиая по вромш от момента импульса мпмичаской
системы относительно неподвижной точки рама главному
моменту относительно той же точки всех внешних сил, Дейст-
вуюирп не систему.
4. Моментом импульса механической системы относительно оси называется проекция на
эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на
рассматриваемой оси. Соответственно, моментом силы относительно оси называется
проекция на эту ось вектора момента силы относительно любой точки, выбранной на
данной оси.
Можно доказать, что выбор точки на оси влияет на значения моментов импульса
L и силы М относительно этой точки, но в то же время никак не влияет на значения
моментов импульса и силы относительно оси.
Из уравнения (4.20) следует, что в проекциях на осн прямоугольной декартовой
системы координат с началом в точке О имеем:
d£x	dL,	dZ,
—=ЛГ"П,	—=Л/Г“.	(4.21)
dr	dr * dt
Уравнения (421) показывают, что производная по времени от момента импульса
механической системы относительно неподвижной оси равна главному моменту от-
носительно этой оси всех внешних сил, действующих на систему.
5. Уравнение (4.20) справедливо для моментов импульса системы L и внешних сил
М”” относительно неподвижной точки О. Выясним теперь, какова связь между
L и моментом импульса механической системы относительно точки А, движущейся
произвольным образом. При расчете ЪА мы будем подставлять значения р( импульсов
материальных точек системы, соответствующие их движению относительно неподвиж-
ной инерциальной системы отсчета К с началом координат в точке О (т. е. такие же, как
и при вычислении L). Пусть гл — радиус-вектор точки А в системе отсчета К. Тогда
радиус-вектор, проведенный в /-ю точку механической системы из точки А, равен
г}=г,—гА. Поэтому
ьл= £ [г;рд= Е [г/рД-рл Ё р/
/-1	/-1	L /-1	_
или
Ьл=Ь-[глР1,	(4.22)
где р — импульс системы относительно системы отсчета К. Дифференцируя это соот-
ношение, получаем
dL^ dL	Г
— =-—[тлр]- тА — .
dr dr	|_ drj
Согласно (2.20), =F™°, поэтому
dL^ dL	ажш
~--fc.p]-kiF"“].	(4.23)
dr dr
52
Момент внешних сил относительно точки А
X [HFn= X [Г/Fr™]- rA £ FT”
|n|	I“1	L Г “ 1
_______ _внсш _ „внеш,
МГ“=М -[глР ].
Из (4.20), (4.23) и (4.23') следует, что
с1Ел
=МГ“-[*иР]-
(4.23')
(4-24)
В частности, если в качестве точки А взять центр масс С системы, то *и = *с.
a [vcp]=0. Поэтому
dLc
dr
=мт“.
(4.25)
Производная по времени от момента импульса механической системы относитель-
но ее центра масс равна главному моменту относительно той же точки всех внешних
сил, действующих на систему.
** Легко показать, что при вычислении с равным правом можно брать импульсы всех точек
системы в их движении по отношению к системе отсчета либо неподвижной, либо движущейся
относительно нее поступательно со скоростью »с центра масс. В самом деле, пользуясь обозначе-
ниями ^=r^=jr(—гс н v*=v,—vq которые были введены в § 2.6, получим
ЯЛ	л	л
ьс= У, (rfpj- У H<T(*r+Vc)]»= у [гГрГ]+"’[г(‘уг]= £ [г*Р,‘],
1	I	1“ I	I
так как г£*0.
§ 4.3.	ДийамиКа твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
1.	Направим оси декартовых координат так, чтобы ось OZ совпадала с осью враще-
ния тела, а ее орт к был сонаправлен с угловой скоростью со тела (рис. 4.4), При этом
w = co,k, где ш1=й)>0.
Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ, имеет вид
d£.
=МГ”.
dr
(4-26)
Найдем связь между моментом импульса Lz вращающегося
тела относительно оси вращения и угловой скоростью to. Из
рис. 4.4 видно, что радиус-вектор материальной точки массы т„
входящей в состав тела, равен т,=ОО,+р,, где О(- центр
окружности радиуса pt, по которой движется рассматриваемая
материальная точка. Момент импульса тела относительно на-
чала координат О
L= £ [rim,vj= £ [ОО, m(v,]+ £ [p/"»*’/]-
/I	/»1	/“I
Рис. 4.4
53
Вектор [OO/niiTj перпендикулярен оси OZ, а вектор	pifc=fntpl<o
направлен вдоль оси OZ. Таким образом,
4х= X	(4.27)
/-1
2.	Величина J, равная сумме произведений масс mi всех материальных точек, образу-
ющих механическую систему, на квадраты их расстояний pt от данной оси, называется
моментом термю системы отвоснтельно этой оск
"И
1	(4.28)
«-1
Таким образом, момент импульса тела относительно оси OZ равен
£,=/<0,,	(4.27')
где J — момент инерции тела относительно оси вращения OZ. Соответственно уравне-
ние (4.26) можно переписать в форме
d
-(/ш1)=МГ“-	(4.29)
Если тело в процессе вращения не деформируется, то его момент инерции ие
изменяется и его можно вынести в (4.29) из-под знака производной.
или
(4.293
где e^do^/dr — проекция вектора углового ускорения Г=е,к на ось вращения OZ.
Из (4.293 видно, что ez обратно пропорционально моменту инерции J. Следователь-
но, момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела в его
вращении вокруг этой оси.
3.	Строго говоря, тело нужно рассматривать как механическую систему, масса т ко-
торой непрерывно распределена по объему V тела, так что момент инерции тела
J= | р1 dm= | р1 DdК	(4.30)
(Ж)	(И
Здесь D — плотность тела, a dm^DdV — масса малого элемента тела объемом dV,
отстоящего от оси вращения на расстоянии р. Момент инерции тела зависит от
материала, формы и размеров тела, а также от расположения тела относительно оси.
Подсчет момента инерции тела относительно оси облегчается, если воспользовать-
ся теоремой Гюйгенса — ШтеЬера: момент инерции Ja тела относительно произвола
ной оси а равен сумме моментов инерции Jc тела относительно параллельной ей оси ас,
проходящей через центр масс С тела, и произведения массы тела т на квадрат
расстояния d между этими осями (рис. 4.5):
J.-Jc+md1.	(4.31)
54
Докажем эту теорему. На рис. 4.6 осн а и ас направлены перпендикулярно плоскости
чертежа, а расстояния от малого элемента тела массой dm до этих осей обозначены
соответственно р и р& По теореме косинусов, p2=‘pc+d3+2dpccoe^ и
Ja= j p2dm= J pcim+md1+2d J x*dm,
(") (<") (<")
где x* =pccoa — абсцисса элемента dm тела в системе координат с началом ц центре
масс тела и осью абсцисс, пересекающей оси а и ас и лежащей в перпендикулярной
нм плоскости. Из определения центра масс (2 22*) следует, что
J x*dm=mx£=O,
(<")
так как центр масс тела совпадает с началом координат х*. Таким образом, справед-
ливость соотношения (4.31) доказана.
4.	Рассмотрим несколько примеров расчета момента инерции для тел простейшей формы.
Пршеер 1. Момент инерции тонкостенного кругового цилиндра массы т и радиуса R от-
носительно его оси
Все малья элпмты такого цилиндра находятся на одном и том же расстоянии R от его осн,
проходящей через его цетр масс С. Поэтому
JC“ | fl2dm-mrt2.	(4 32)
W
Пршяер 2. Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра массы m и радиуса
Л относительно его оси.
Разобьем мыслимо цилиндр на очень большое число соосяых тонкостенных цилиндров
Пусть г — радиус какого-либо из них, а толщина его санки dr «г (рис 4 7) Тогда, соглводо
(4 32), момент инерции этого элемента сплошного цилиндра равен
dJc-radm-ra2nr£7Ddr,	(4 33)
где Н— высота цилиндра; D — его плотность. Искомый момент иверцж сплошного цилиндра
находим, суммируя моменты инеродн всех его малых элементов, т. е. интегрируя выражение (4.33)
по г от 0 до Я
Рис. 45
Рис 48
SS
f ,	1	mR2
Jc-2nHD	nR*ffD=---.	(4.34)
J	2	2
о
так как масса цилиндра m^DnR2H.
Прммер 3. Момент инерции однородного тонкого стержня массы т и длины I относительно
оси, проходящей перпендикулярно сгержню через его середину.
Разобьем мысленно стержень на малые отрезки. Пусть х — расстояние от одного из таких
элементов стержня до оси, a dx — его длина, Тогда момент инерции этого элемента	>
dJc«xadm=x22)Sdx,	(4.35)
где 5 — площадь поперечного сечения стержня	D —его плотность. Момент инерции
одной половины стержня находим, интегрируя выражение (4.35) по х от 0 до 7/2, а искомый
момент инерции всего стержня вдвое больше:
1/2
С	2	/Ч\* ml2
JC-=2DS x2dx—-DS - =--------,	(4.36)
J	3	\Zj 12
о
так как масса стержня m=DlS.
В заключение приведем без вывода значение момента инерции однородного шара массы
m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр:
Jc~2l,mR2.	(4.37)
5.	При вращении тела вокруг неподвижной оси момент относительно этой оси создает
только одна составляющая действующей на него силы, а именно касательная к траек-
тории точки ее приложения. В самом деле, разложим, как показано на рис. 4.8, силу F,
приложенную в точке N вращающегося тела, сначала на две составляющие: параллель-
ную оси вращения OZ (F() и перпендикулярную ей (F±). Силу FL, в свою очередь,
разложим на две составляющие: FT — касательную к окружности с центром в точке О',
по которой движется точка N, и F, — нормальную, направленную по радиусу O'N, т. е.
перпендикулярно оси вращения тела. Момент силы F относительно начала координат
О равен
M=[rF]«[r(F,+Fe+Ft)].
Так как г=ОО'+р, а векторы 0О' и F,, р и F„ попарно коллинеарны, так что их
векторные произведения равны нулю, то
М=& F,]+[OOTJ+[OOTJ+[р FJ.
Рис. 4.7
56
Первые три члена, стоящие в правой части этого равенства, представляют собой
векторы, направленные перпендикулярно оси вращения тела, а четвертый — вектор,
направленный по этой оси. Следовательно, момент сипы F относительно оси OZ равен
Л/1=(р₽Лх=рЛ.	(438)
Здесь р — расстояние от точки N приложения силы до оси, a F, — проекция силы F на
направление вектора т = v/v, где т — линейна  скорость точки N вращающегося тела*.
За малое время dr точка N совершает перемещение
dr=т dr=[со р] dr«=[d<pp ],
где d<p* — вектор элементарного поворота тела за время dr. При этом сила F, прило-
женная к телу, совершает элементарную работу
<M«Fdr=Ft|dr|.
Так как векторы dy и р взаимно ортогональны, то |dr|=pdtp и
6А =pFxdy=Mtd(p=Mdi>.	(439)
6.	Найдем выражение для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг непо-
движной оси OZ. Кинетическая энергия dFF, малого элемента тела, отстоящего на
расстоянии р от оси вращения и имеющего массу dm, равна
d	*/2*ia dm= i/i4i1p1 dm.
Кинетическая энергия всего тела
ш2 С _ Ли2
padm=—,	(4.40)
2 J	2
(я)
где J — момент инерции тела относительно оси вращения.
Можно показать (см. теорему Кёнига в § 3.2), что прн произвольном движении
твердого тела его кинетическая энергия FF, равна сумме кинетической энергии поступа-
тельного движения тела со скоростью его центра масс (FFJ”=m — масса
тела) и кинетической энергии вращения тела с угловой скоростью о вокруг мгновенной
осн, проходящей через центр масс (FF*“"= Jc — момент инерции тела от-
носительно мгновенной оси):
1Р,= */а™с + W-	(4.41)
Следует иметь в виду, что в общем случае положение по отношению к телу
мгновенной оси вращения этого тела вокруг центра масс изменяется с течением
времени; так что Jc# const. Однако в ряде случаев (например, при качении по плоскости
однородного цилиндра или Шара) Jc=const.
7.	Если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью tu, то его
кинетическая энергия
(4.42)
* Положительное направление оси OZ выбрано так, как указано в начале параграфа.
57
гдеЬ
[rr]dm — момент импульса тела относительно точи О, арявхт<Л за начало координат
(") _
В самом деле, скорость малого элемента тела »-[в г] Поэтому его аииешчесжая энертш
’/jdmTlcu	[rv]dM,
так как смешанное произведение трех векторов не изменяется при циклической переста-
новке всех сомножителей Интегрируя это выражение, найдем кинетическую энергию
всего тела:
| [rv]dm—*/а® L-
<*)
Вопросы:
1. Как связаны кинематические характеристики вращательного движения твердого тала со
скоростями и ускорениями точек стога тела?
1. Как связаны между собой момент импульса механической системы относительно неподвиж-
ной точки и момент относительно той же точки всех сил, действующих на систему?
3. Как получить закон динамики твердого тела в случае его вращения вокруг неподвижной оси?
4. От чего зависит момент инерции тела и какую роль он играет при вращении тела?
6. Найдите кинетическую энергию катящегося без проскальзывания однородного шара массы
т. если скорость его центра масс равна »с- Как изменится результат, если вместо шара
катится однородный круговой цилиндр?
Глава 5___________________________________________
Законы сохранения в механике
§ 5.1. Закон сохранения импульса. Абсолютно неупругий удар
1. На замкнутую систему внешние силы не действуют. Поэтому из закона изменения
импульса (2.20) вытекает следующий закон, называемый засовом сохрвеемк вхшулса:
шмулье шешутпй сметаны но иммшмпоя о твчеиивм врв-
dp/drsO н р=£ "»Л|"вconst,	(5.1)
;-i
где m( и V| — масса и скорость i-й материальной точки системы, состоящей из л точек.
Соответственно не изменяются также и проекции импульса замкнутой системы на
оси декартовых координат инерциальной системы отсчета:
const, р,=const,	const	(5.19
Импульс системы р=лгтс, где т — масса всей остемы, а тс — скорость ее центра
масс Поэтому из закона сохранения импульса следует, что при любых процессах,
происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра масс не изменяется' Tc-const
Мы получили закон сохранения импульса, основываясь на законах Ньютона, так
как именно с их помощью был выведан закон изменения импульса (2.20). Однако закон
сохранения импульса в отличие от законов Ньютона справедлив не только в рамках
классической механики Ньютона Например, как показывают эксперименты, он в рав-
ной мере справедлив как для макроскопических систем тел, так и для систем микроча-
стиц, хотя поведение последних описывается не ньютоновской, а квантовой механикой.
Выполняется этот закон и в релятивистской механике, т. е независимо от того, велики
или малы скорости тел или частиц, образующих систему. При этом нужно иметь
в виду, что импульсом могут обладать не только частицы и тела, ио также и поля
Наглядное тому подтверждение — давление электромагнитных волн и, в частности,
света на отражающие или поглощающие их препятствия
Таким образом, закон сохранения импульса принадлежит к числу самых фундамен-
тальных законов физики. На этом вопросе мы еще остановимся в $ 5.6.
2. В некоторых процессах (например, при ударе, взрыве или выстреле) импульсы
частей системы претерпевают большие изменения за сравнительно короткие промежут-
ки времени. Это связано с возникновением в системе кратковременных, но весьма
значительных по величине внутренних сил взаимодействия частей система, по сравне-
нию с которыми все постоянно действующие на систему внешние силы (например, сила
тяжести) оказываются малыми. В таком процессе обычно можно пренебречь действием
на систему внешних сил, т е можно приближенно считать, что импульс всей системы
в целом не изменяется в рассматриваемом процессе
Если система не замкнута, но действующие на нее внешние силы таковы, что их
главный вектор тождественно равен нулю (^^О), то согласно закону (2.20) импульс
системы не изменяется с течением времени р=const	7
59
Обычно /0 и р/const. Однако если проекция главного вектора внешних сиг
на какую-либо неподвижную ось тождественно равна нулю, то проекция на ту же ось
вектора импульса системы не изменяется со временем. Так, рх=const при условии, чтс
pum=O Например, если на систему действуют внешние силы, которые направлены
только иертигапкип, то горизонтальная составляющая импульса системы не изменяет-
ся. В этом можно убедиться на следующем опыте.
Опыт Тяжелый маятник установлен на тележке, которая имеет возможность свободно
перемещаться по горизонтальным рельсам практически без всякого трения (рис. 5 1). Если,
придерживая тележку, отклонить маятник от положения равновесия, а затем одновременно
отпустить маятник и тележку, то они оба прихоДят
в движение Скорость тележки всегда противоположна
по направлению горизонтальной составляющей ско-
рости Центра масс маятника. В те моменты времени,
когда при колебаниях шар маятника проходит через
положения наибольших отклонений и имеет нулевую
скорость, тележка также останавливается
3. Рассмотрим применение закона сохранения
импульса к расчету абсолютно неупругого пря-
мого центрального удара двух тел. Ударом на-
зывается явление изменения скоростей тел на
конечные значения за очень короткий промежу-
ток времени, происходящее при их столкновени-
ях. В процессе удара возникают кратковремен-
ные ударные силы взаимодействия, между стал-
кивающимися телами, причем эти силы во много раз превосходят все внешние силы,
действующие на тела. Поэтому в процессе удара систему соударяющихся тел можно
приближенно считать замкнутой* и применять к ней закон сохранения импульса.
Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения
называется линией удара. Удар называется прямым, если перед ударом скорости
центров масс соударяющихся тел параллельны линии удара Удар называется цент-
ральным, если' центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара. Прямой
центральный удар наливается абсолютно иеупругим, если после удара тела дрижутся
как одно целое, т. е. с одной и той же скоростью. Если скорости тел до удара равны
▼i и т2, а их массы равны mt и т2> то в соответствии с законом сохранения импульса
общая скорость поступательного движения этих тел после абсолютно неупругого
прямого центрального удара равна
1И|Т| +M2VJ
п= --------------.
/Л| 4-/Яз
(5.2)
В случае абсолютно неупругого удара, не являющегося прямым центральным,
формула (5.2) позволяет найти скорость центра масс соединившихся при ударе тел.
Однако в результате такого удара может также возникнуть вращение системы вокруг
ее центра масс, согласующееся с законом сохранения момента импульса, который мы
рассмотрим в § 5.3.
4. При неупругом ударе происходят различного рода процессы в соударяющихся
телах (их пластические деформации, трение и др.), в результате которых кинетическая
энергия системы частично преобразуется в ее внутреннюю энергию, т. е. происходит
диссипация механической энергии системы.
Изменение кинетической энергии системы двух сталкивающихся тел при абсолютно
неудругом прямом центральном ударе равно	„
'Предполагается, что соударяющиеся тела либо свободны, либо наложенные на них связи
таковы, что ударитле реакции связей не возникают В противном случае систему соударяющихся
тел нельзя считать замкнутой.
60
/И|+/и2 ,
Д»71= u2—
2	2
m2
2
Ш|/П2
2(да,+т2)
(V,- v2)2<0.
(5-3)
В частности, если второе теЛо до удара покоится (например, свая, забиваемая при
помощи копра, или поковка, лежащая на наковальне), то относительное уменьшение
кинетической энергии системы при абсолютно неупругом прямом центральном ударе
ДИ; 2ДИ7Ж да2
же —	•=.
H'jI	+т2
(5-3')
В технике используют абсолютно неупругий прямой центральный удар либо для
изменения формы тел (ковка, штамповка, клепка и т. п.), либо для перемещения тел
в среде с большим сопротивлением (забивание гвоздей, свай и т. п.). В первом случае
целесообразно, чтобы отношение ЛН'Я/Н',1 было возможно ближе к 1, т. е. необ-
ходимо, чтобы т2» т, (масса отковываемого изделия и наковальни должна во много
раз превосходить массу молота). Во втором случае, наоборот, нужно, чтобы потери
кинетической энергии при ударе были возможно меньшими, т. е. чтобы mt »т2 (масса
молотка должна во много раз превосходить массу забиваемого гвоздя).
§ 5.2. Закон сохранения механической энергии.
Абсолютно упругий удар
1. Механическая система называется консервативной, если все действующие на нее
внешние и внутренние непотенциальные силы не совершают работы (о А =0), а все
внешние потенциальные силы стационарны. Потенциальная энергия консервативной
системы может изменяться только при изменении конфигурации системы. Следовате-
льно, частная производная по времени от потенциальной энергии консервативной
системы, характеризующая быстроту изменения этой энергии с течением времени при
условии постоянства конфигурации системы, тождественно равна нулю: dn'JStsO.
Поэтому из (3.37) видно, что
мвяаничвекал энергия консервативной системы ня изменяет-
ся с течением времени.
Этот закон называется законом сохранения механической энергии. В частности, он
справедлив для замкнутых консервативных систем: механическая энергия замкнутой
системы не изменяется, если все внутренние силы потенциальны либо не совершают
работы. Например, силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают.
Поэтому действие таких сил на систему не вызывает изменения ее механической
энергии.
2. Рассмотрим применение закона сохранения механической энергии к расчету аб-
солютно упругого прямого центрального удара двух тел. Абсолютно упругим ударом
называется такой удар, при котором механическая энергия соударяющихся тел не
преобразуется в другие виды энергии.
Пусть два абсолютно упругих ша-
ра массами т} и т2 движутся до удара
поступательно со скоростями vt и т2,
направленными вдоль осн ОХ, прохо-
дящей через центры шаров (на рис.
5.2, а скорости и т2 направлены
в одну сторону, причем dIT>d2x>0).
Нужно найти скорости щ и н2 шаров
после соударения (рис. 5.2, б).

Рис. 5 2
61
В процессе удара систему соударяющихся упругих тел можно считать замкнутой
 консервативной. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться
законами сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его
завершения соударяющиеся тела не деформированы, так что потенциальную энергию
системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из
закона сохранения механической энергии имеем
Hi!®?+m2v2=>m1uf+m2u£.	(5.4)
По закону сохранения импульса,
mi¥l+m2¥I=miBi+mjH2-	(5.5)
Так как все скорости ть v2, «1 иц направлены по оси ОХ, то из (5.5) следует, что
»»i»ijr+»»2®i«=»»*iUi,+mjM2jr,	(5.6)
где «1я, »2х. и1я и — проекции векторов ть т2, щ и на линию удара — ось ОХ. Тах
как vi=vt„ v2=v2>> ui = uu и u2=uL> тО из (5.4) и (5.6) имеем
»"i («?,“•?«) “ -«2 («4 -®D.	(5.7)
«1 (н1ж-и1ж)- -/п2(н21-*1х)-	(5.8)
Совместное решение уравнений (5.7) и (5.8) дает
И1я+®1ж““2ж+*'2>.	(5.83
Из (5.8) и (5.83 окончательно получаем
(mi -я12>1«+2т2я2ж
И11 +Я12
t
«1.-=----------------.	(5.9)
Рассмотрю* два частных случая.
1 Массы шаров одинаковы (mi	Тогда
т. е. при ударе шары обмениваются скоростями.
2 Масса второго шара во много раз больше масо* первого шара (m2»mi). Тогда
Если при этом второй шар первоначально покоился («2 —0), то
 Ч2х«0.
т. е. первый шар отскакивает от неподвижного мастииного шара н движется в обратную сторону
со скоростью «1 “ — »1.
Я. В случае косого цеятращиаго удара жух айсп патио увругнх ты (например, шаров) удобно
рассматривать две составляющие скорости каждого из ты до н после удара: нормадьиуй>
(направленную вдоль линии удара) п касательную (направленную пциыцдиулярно лот ударе).
Если соударяющиеся тела гладанв, то можно пренебречь действием скд трения между ними во
время удара. Соответственно при ударе не изменяются касательные составляюдше скоростей тел:
(5.10)
62
Нормальные составляющие иэманяютск ти же, как при прахом ударе:
(|Я| “*>*2)01,,+ 2т2>2а
«I» ----------------------,
Ж]4-Л12
(m2—+2miei„
U2,--------------
/Я| +Л>2
(511)
В частности, при абсолютно упругом косом ударе гладкого шара о неподвижную плоскую
стенку (/яг^оть Кг—ч—0)
т е шар отскакивает от стенки по закону зеркального отражвних. угол отражения равен углу
падения Числовое значение скорости сохраняется (щ »»i) Вектор изменения импульса Api шара
при ударе направлен перпендикулярно стенке и равен
Л₽1 ""1 ("1 - ’О- -2вцт1в
Соответственно импульс ударной силы, действующей на стенку, равен 2ж1Т1а.
4.	Закон сохранения механической энергии позволяет указать условия равновесия
консервативных систем Состоянием мехявчеосогЬ равновесия называется такое состо-
яние системы, из которого она может быть выведана только в результате внешнего
силового воздействия В этом состоянии все материальные точки системы находятся
в покое, так что кинетическая энергия системы равна нулю. Состояние механического
равновесия системы называется усгойчдаым, если малое внешнее воздействие на систе-
му вызывает малое изменение ее состояния. При этом в системе возникают силы,
стремящиеся возвратить ее в состояние равновесия. Состояние механического равнове-
сия называется иеугтп^м ш, если система при сколь угодно малом внешнем воздейст-
вии выходит из этого состояния и больше не возвращается в него. При этом возникают
силы, вызывающие дапиейтцее отклонение системы от состояния равновесия Соглас-
но закону сохранения механической энергии, в состояниях устойчивого равновесия
потенциальная энергия системы имеет минимумы, а в состояниях неустойчивого
равновесия — максимумы.
На основе закона сохранения механической энергии можно выяснить, какова об-
ласть возможных конфигураций консервативной системы. Кинетическая энергия систе-
мы — величина неотрицательная (IF, >0). Поэтому при заданном значении W механи-
ческой энергии системы последняя может находиться только в таких состояниях,
которые удовлетворяют условию FF,< W. Рис 5 3 соответствует простейшему случаю,
когда материальная точка совершает одномерное движение вдоль оси ОХ во внешнем
стационарном потенция пыгпм поле Потенция икни я энергия ТОЧКИ — функции Только
одной координаты х, т. е. IF,=“IF,(x). График этой зависимости, показанный на
рис. 53, называется ппп^итвпйкривой. При фиксированном значении Wмеханичес-
кой энергии материальной, точки, показанном на рте 5 3, точка может двигаться,
оставаясь в одной из следующих трех област-
ей. х<Х] (область I), ха<х<хз (область
Ш) и х>х« (область V) Эти три области
отделены друг от друга областями II и IV так
называемых потадащльных барьеров aeb
и cgd, в пределах которых материальная точ-
ка не может находиться На границах потен-
циальных барьеров (в точках а, Ь, с и d)
тщтсриальная точка изменяет направление
своао движения ня противоположное, т е,
как часто говорят, она «отражается от потен-
циального барьера». В области I точка может
63
неограниченно удаляться влево от границы а барьера, а в области V — неограниченно
удаляться вправо от границы d барьера. В области III материальная точка колеблется
между точками i й с — она находится в потенциальной яме efg.
5* В реальных механических системах действуют диссипативные силы сопротивления
и трения, а внешние потенциальные силы, вообще говоря, нестационарны. Поэтому
реальные механические сиЬтсмы неконсервативны и их механическая энергия не со-
храняется. Однако в ряде случаев их можно приближенно считать консервативными
и применять к ним закон сохранения механической энергий. Такой приближенный
подход возможен, если в рассматриваемом процессе выполняются следующие два
условия:
а)	работа А непотенциальных сил, действующих на систему, мала по сравнению
с механической энергией W сиспмп, т. е.
|Лта/ИП-<к1;
б)	изменение потенциальной энергии системы Wa вследствие нестационарности
внешних потенциальных сил, действующих на систему, мало по сравнению с ее
механической энергией W, т. е
где ti—Г] — продолжительность рассматриваемого процесса.
в. В 40-х годах прошлого столетия Ю. Майер, Дж. Джоуль и Г. Гельмгольц впервые
показали, что все процессы преобразования и обмена энергией подчиняются закону,
названному засовом сохранена и цревращежвя энергия:
энергия системы может переводить из одной формы в другую
и перераспределяться между частями системы, но изменение
полной энергии системы в любом процессе всегда равно энер-
гии, полученной системой извне в этом процессе.
Закон сохранения и превращения энергии является одним из важнейших законов
природы.
Существуют три возможных и качественно различных способа обмена энергией
между рассматрваемой системой и внешними телами (пнетпией средой) — путем совер-
шения работы, путем теплообмена и путем обмена веществом или, как часто говорят,
путем массообмена. Об этом мы поговорим подробнее в связи с первым законом
термодинамики, являющимся выражением закона сохранения и превращения энергия.
Следует заметить, что в общем случае полную энергию системы можно лишь весьма
условно рассматривать как сумму определенных значений различных видов ее энергии.
Так, например, энергию электромагнитного поля в среде можно считать частью
внутренней энергии системы, а можно выделить в самостоятельный вид энергии.
Энергию упругой деформации тел системы можно считать частью потенциальной
энергии системы, а можно — частью ее внутренней энергии.
Закон сохранения и превращения энергии имеет глубокий философский смысл. Он
блестяще подтверждает одно из основных положений диалектического материализма
о том, что движение является неотъемлемым свойством материи, что оно несотворию
и неуничтожимо, а пить преобразуется из одних форм в другие.
64
§ 5.3.	Закон сохранения момента импульса
1.	Для замкнутой системы момент внешних сил м”"" всегда равен нулю, так как на
нее внешние силы не действуют. Поэтому из закона изменения момента импульса (4.20)
вытекает следующий закон, называемый законом сохранено момента импульса:
момент импульса замкнутой системы относительно неподвиж-
ной точки на изменяется с течением времени:
dL
— s0 и L=const.	(5.12)
Соответственно из (4.25) следует, что момент импульса замкнутой системы от-
носительно ее центра масс не изменяется с течением времени:
Lc=const.	(5.13)
Из (5.12) видно, что момент импульса замкнутой системы относительно любой
неподвижной оси а также все время остается постоянным:
La=const.	(5.12')
Подобно законам сохранения импульса и энергии, закон сохранения момента
импульса принадлежит к числу самых фундаментальных законов природы, которые
далеко выходят за рамки классической ньютоновской механики. Моментом импульса
обладают не только движущиеся макроскопические тела и системы, но также и отдель-
ные атомы, атомные ядра и элементарные частицы, причем последние и построенные
из них системы (например, атомные ядра) могут иметь моменты импульса, не связан-
ные с движением этих частиц в пространстве и называемые их спинами.
2.	Если система незамкнутая, ио главный момент относительно неподвижной точки
О всех внешних сил, действующих на систему; тождественно равен нулю,'То, как видно
из (4.20), момент импульса системы относительно точки О остается постоянным:
dL »цп
—=М =0 и L—const.	(5-14)
В справедливости этого закона можно убедиться на опыте с уравновешенным
гироскопом, имеющим три степени свободы.
Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось
вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп имеет
три степени свободы, если ои закреплен таким образом,
что может совершать любой поворот вокруг некоторой
неподвижной точки, называемой центром подвеса. Если
центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести,
то результирующий момент сил тяжести всех частей гиро-
скопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой
гироскоп называется уравновешенным. На рис. 5.4 показан
простейший уравновешенный гироскоп, имеющий три сте-
пени свободы. Гироскоп G быстро вращается во внутрен-
ней обойме А вокруг оси AtA2, которая совпадает с осью
симметрии гироскопа и проходит через его центр тяжести
С. Обойма А, в свою очередь, может свободно вращаться
во внешней обойме В вокруг оси В|В2, перпендикулярной
Рис 5 4
оси j4[v42- Наконец, внешняя обойма В может свободно
65
вращаться в стойке D вокруг оси DtD2. Все три оси пересекаются в центре подвеса,
совпадающем с центром тяжести С гироскопа.
На опыте с таким гироскопом легко убедиться в том, что при любых поворотах
стойки D ось вращения гироскопа сохраняет неизменное направление по отноше-
нию к лабораторной систёме ктгсчета. Объясняется это следующим образом. Момент
относительно точки подвеса С всех внешних сил, прикладываемых к гироскопу через
стойку D при ее поворотах, равен только моменту сил трения (момент силы тяжести
равен нулю, так как гироскоп уравновешен). Обычно момент сил трения мал, так что за
небольшой промежуток времени, в течение которого производится поворот стойки D,
момент импульса гироскопа L относительно центра подвеса С практически не изменя-
ется. Так как гироскоп симметричен и вращается вокруг своей оси симметрии, то его
момент импульса L налравлен вдоль оси вращения AtA2. Поэтому при всевозможных
поворотах стойки D ориентация оси вращения гироскопа должна оставаться неизмен-
ной.	,
3.	Из уравнений (4.21) вытекает следующее условие сохранения мойся i а пшулься
езаваежутой системы относительно осж если момент относительно какой-либо непо-
движной оси всех внешних СИЛ, действующих на систему, тождественно равен нулю, то
момент импульса системы СГгносительно этой оси не изменяется с течением времени.
Например, если	то
Lz—const.	(5-15)
В частности, для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ,
Lz=Jo>za= const,
если Л/-О,
(5.15')
где J момент инерции тела относительно оси OZ.
4.	Справедливость этого закона можно продемонстрировать на ряде опытов.
Опыт. На рис. 5 5 изображена квадратная рамка ABCD, изготовленная из тонких стер вшей.
На стержни AD и CD надеты одинаковые цилиндрические грузы К, имеющие возможность
свободно скользить по этим стержням. Грузы К удерживаются в верхнем положении прикреплен-
ной к ним ниткой N, перекинутой через крючки Е в рамке Рамка подвешена на неупругой нити
ОВ. Если рамку привести во вращение вокруг вертикальной оси ОВ с некоторой утловой
скоростью сщ, а затем нитку N пережечь, то грузы К опустятся по стержням AD и CD Вниз,
приближаясь к оси вращения, а утдовая скорость вращения рамки заметно возрастет (o>j>a>i)
Это связано с тем, что момент относительно неподвижной оси ОВ внешних сил — реакции нити
ОВ и сил тяжести, приложенных к рамке и грузам, - равен нулю. Поэтому произведение момента
инерции рамки с грузами относительно оси ОВ на угловую скорость рамки до и после пережига-
ния нитки должно остаться неизменным: J1cd1 —J2a>2. Так как J\ >J2, то <uj><U|.
Аналогичное явление наблюдается в опыте со скамье* Жуковского.
Олыщ. Схамья Жуковского представляет собой горизонтальную
____	площадку, имеющую форму круга и свободно вращающуюся без
	трения вокруг неподвижной вертикальной оси ОО\. Человек, стоящий
О	на скамье (рис. 5.6), держит в вытянутых руках гимнастические ган-
тели и вращается вместе со скамьей вокруг оси О0(. Приближая
. 5	гантели к груди, человек уменьшает момент инерции системы и уг-
ловая скорость ее вращения возрастает. Поскольку момент внешних
сил (сил тяжести и реакции подшипников скамьи) относительно оси
jk OOt равен нулю, момент импульса системы относительно оси OOt
Л жУ-----~с  рассматриваемом процессе не изменяется, т. е.
/Jr К	(Л)+2w J)»i = (Jo+2mr})a>2,	(5.16)
p	где Jo момент инерции человека и скамьи (изменением момента
инерции человека при изменении положения его рук мы пренебрегли);
Рис. 5 5	2тг^ и 2тг% — моменты инерции гантелей в первом и втором положе-
66
Рис 58	Рис 57*
кип относительно оси ОО\, т — xirri одной гантели; Г; и rj — расстояния от гантелей да оси;
со] и toj — угловые скорости вращения системы
В этом процессе изменяется также и кинетическая энергия системы:
ДЖж- W.2-Жж1 -*/х [(J0+2mr>)’-(4)+2жг>?]
Воспользовавшись значением а>? из (5 16) и выполнив несложные преобразования, найдем
Jo+2/w?
ДИ^-—~—- т(г?-фш}>0.
Jo+Z/wJ
(5 17)
Кинетическая ввергни систоаы увеличивается за счет работы, совершаемой человеком при
перемещении гантелей
Изменение угловой спорости шщеш человека путем изменения его момента инерции
широко используется в балете, акробатике, фигурном катавши.
В. Рассмотрим еще один опыт со скамьей Жуковского
Оным Человек стоит на неподвижной скамье и держит в руках ось массивного колоса так, что
она является продолжением оси OZ вращения скамьи (рис. 5.7) Вцачале колесо не вращается,
а затем человек раскручивает его до угловой скорости ш ] При этом он сам вместе со скамьей
риходит во вращение в обратном направлении с угловой скоростью tuj, которая, как показывает
опыт, находится в полном согласии с законом сохранения момента импульса системы относитель-
но неподвижной оси OZ'
, /1 .
<U7“ — 0)1,
h
где и J2 — моменты инерции колоса и скамьи с человеком.
§64. Движение  поле центральные сил
1. В } 3 3 было показано, что поле центральных сил — потенциальное поле. Было также
получено выражение (3 24) для потенциальной эвргии материальной точки в этом поле Выясним
теперь особенности движения материальной точки в поле цитра сил и, в частности,
закономерности движения планет Солнечной системы по их орбитам вокруг Солнца. В поле на
материальную точку действует центральная сила (3 23)
67
F-F,(r)r,
т
где г — радиус-вектор материальной точки, проведенной из начала координат О, которое со-
впадает с центром сид.
Момент М центральной силы F относительно центра сил О тождественно равен нулю:
Fr(r)
M=[rF]-------[rr]«=O.
т
Следовательно, согласно (5.14), момент импульса материальной точки относительно центра
сил не изменяется при движении точки:
L»[rmv]=const,	(5 18)
где тит — масса и скорость материальной точки.
Вектор L всегда ортогонален плоскости векторов гит. Поэтому постоянство направления
вектора L свидетельствует о том, что движение материальной точки в поле центральных сил —
плоское. Скорость точки можно разложить на радиальную и трансверсальную составляющие,
причем из (1.14) и (1.15) видно, что
L—m [rvr]+m[rvj=m[rvj,
dtp
L=^mrvlf=mr3 ——2ma,	(5.19)
где г и q> — полярные координаты точки (см. ряс. 1.4); а — ее секторная скорость Итак,
а—=const.	(5.20)
Отсюда следует, что
при движении штариельной тачки  поло центральных сил
секторная скорость тачки остается постоянной.
Этот закон впервые был установлен И. Кеплером (1609) применительно к движению планет
в центральном поле тяготения Солнца. Его называют ггорим законом Кеплера.
2. Материальная точка, движущаяся в поле театральных сил, представляет собой консерватив-
ную систему, так как это внешнее поле потенциально и стационарно. Поэтому при движении
материальной точки сохраняется не только ее момент импульса L, но также и механическая
энергия точки:
W— W*+WB—const.
(5.21)
Кинетическую энергию материальной точки можно представить, «гиттия игь ца соотношени-
ях (1.13), (1.14) и (5.19), в виде
Подставив это выражение в уравнение (5 Л) и разрешив его относительно dr/df, получим
/гу
(W-WJ- — .
\/ИГ /
68
Из (5.19) следует, что
dfl>/d<=£/(mr2).
Таким образом,
Г/г2
Ну m	-	......
yj2jn{W-W^-(LIT)
Г d(£/r)
9»= - —— --
J y/2m(W-W^-(Llr)2
(5-22)
3. Для нахождения этого интеграла необходимо знать конкретный вид зависимости потенциаль-
ной энергии Wo от г. Большой практический интерес представляет, как мы уже отмечали в § 3.3,
случай движения материальной точки в центральном поле, для которого справедливы соотноше-
ния (3,25) и (3.26):
Fr=fi/P и Wo-filr,
где Д» const.
Подставим это выражение для Wo в (5.22):
Г d(£/r)	f AiLlr+mfilL)
ф— — I -	--- — I —	— -у 
J	J y/pmW+(mPIL?]-[L/r+mPIL]2
Последний интеграл сводится к табличному, если ввести обозначения
L тР
-+—-П.
г L
(тР\2 ,
2тИЧ-( — -а2,
\Lj
так что
Г d7	7
— I — °агссо« г+Ф»
а
(5.22')
где фо — постоянная интегрирования, которую можно обратить в нуль, выбрав начало отсчета
угла <р так, чтобы <р —0 при 7 —а. Подставив выражения для 7 и а в (5^2Э. получим уравнение
траектории материальной точки:
Lfr+mPIL -ri
ф-агссов —
< y/2mW+(mPIL)2
ИЛИ
L
-mP/L+coigt y/2mW+(mPfE?
(5-23)
4. Если материя 1ткяя и точка притягивается к центру сил, как это происходит, ня пример, с плане-
тами в центральном поле тяготения Солнца, то /?<0 и уравнение (5.23) траектории точки можно
переписать в форме
Р
1 -f-ecosp
(5.24)
где
L2 I2.WL2
Р т\0\‘ ‘ У г»р2
(5-25)
69
Траектория материальной точки представляет.собой кривую второго порядка, причем р — ее
фокальный параметр, е — эксцентриситет. Возможны следующие типы траекторий материальной
точки:
а)	эллиптическая орбита (е<1) при ^<0;
б)	параболическая орбита (е—1) при FF—O,
в)	гиперболическая орбита (е> 1) при W>0;
г)	прямолинейная траектория, проходящая через центр сил (р—0, е— 1) при £«0
В первых трех случаях центр сил совпадает с одним из фокусов орбиты. Для планет,
движущихся в поле тяготения Солнца, W<0. Поэтому для них справедлив вермй1 закон Кеплера-
иси ллвмиты Солничной систвмы движутся по эллиптическим
орбитам, в одном иа фокусов которых Находится Солнце-
В соответствии со вторым законом Кеплера секторная скорость в каждой из планет постоян-
на. Следовательно, период Т обращения планеты по орбите равен отношению площади S,
ограниченной орбитой, к секторной скорости <r. T-S/a. Площадь эллипса S—nab, где а и b — его
большая и малая полуоси. Учитывая, что
/> —а-у/1 —е1, р—я(1-е2),
а также используя соотношение (5 20), получаем
н2р
Т2-------------------------------------------— а2.
L2l^m2)
Так как, по формуле (5.25),р—£а/(т|Д), где |3|—CmM, М — масса Солнца, то
Т2
4ft1
“gm
а2.
(5.26)
Уравнение (5.26) выражает треп* закон Кеплера*
квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца прямо
пропорциональны кубам болыиия полуосей ия орбит.
5.	В случае отталкивания материальной точки от центра сил (например, при движкии точечного
электрического заряда 9| в электростатическом поле одноименного с ним неподвижного заряда ft)
Р> 0. Уравнение траектории материальной точки (5.23) также является уравнением кривой второ-
го порядка:
г---Р  ,	(527)
— 1+есовф
где р и е определяются по формулам (5.25).
Полная энергия материальной точки	FFB)>0, так как Wo>0. Поэтому е> 1 н мате-
риальная точка движется в ^игральном поле сил отталкивания (3.25) либо по гиперболической
орбите, либо (при £—0) по прямой, Проходящей через центр сил.
б.	В заключение рассмотрим задачу о движении замкнутой системы, состоящей из двух частиц
(материальных точек), которые взаимодействуют по закону центральных ил (3.31). Ее ранение
существенно упрощается, если -в качестве системы отсчета выбрать не лабораторную систему,
а систему центра масс. В § 2 6 было показано, что система центра масс замкнутой механической
системы инерциальиа Поэтому для описания движения обеих частиц в системе центра мясе
можно воспользоваться вторым законом Ньютона:	1
dar*	dM
mi “₽12>	Fit,	(5.28)
d/1	dt2
70
где mi я — массы частац, i rj и rj — ржджусы-ваггоры  сжспме центра масс Так как
радиус-вектор центра масс в этой (жтсме отсчета равен нулю
-----------О,
1И| +Я12
то
М|Г^+т]*|’-0
029)
Выразим rj  rj, пользуясь этим соотношеиясм, через вектор р ее*—rj, соедвипоивсй первую
часпцу со второй.
W|P
7И| +Шд
mjp
«?
0 30)
Следовательно, для рапскня шло* задачи достаточно найти зависимость от времени одного
только вектора р Из 0 28) и 0 30) следует, что
wij/nj dap
-------T7”F11
mj+Hjj dr
Наконец, если подставить оода выражение (3 31), то окончательно получим
dap	р
AW
dra	р
где
+тг)	0-32)
— шжедажия масса свспш
Уравнение 0 31) описывает дв^юте материальной точки массы т в ноле центральных ал.
Таким образом, задача о движении (столкновении) двух частиц, взаимодействующих по закону
центральных сил, может быть сводик к рассмотренной ками раньше задаче о движении одно*
материальной точки в поле центральных сил.
$ 5J5. Космически* скорости и проблоиа космических полото*
1.	Выдающимися достижениями советской науки и техники, положившими начало
освоению человеком космического пространства, явились запуск в Советском Союзе
4 октября 1957 г первого в истории человечества искусственного спутника Земли
и полег 12 апреля 1961 г. на корабле-спутнике «Восток» первого в мире космонавта
Ю А. Гагарина. В последующие годы изучение и освоение космоса посредством
автоматических и пилотируемых космических летательных аппаратов развивалось
чрезвычайно быстрыми темпами. Достаточно сказать, что уже в июле 1969 г впервые
шла осуществлена с помощью американского пилотируемого корабля «Аполлон-11»
высадка на поверхность Луны двух космонавтов — Н. Армстронга и Э. Олдри-
щ, а в 1970 г. советская автоматическая станция «Луна-16» аыппплица мягкую
посадку на Луну, произвела бурение грунта, забрала образцы лунной породы и до-
ставила их на Землю. Ныне стали уже привычными сообщения печати об иссле-
дованиях планет Солнечной системы с помощью различных автоматических меж-
йшктиых станций («Луна», «Венера», «Марс» и др.). Искусственные спутники Земли
(ИСЗ) и стационарные обитаемые и автоматические орбитальные станции успешно
«пользуются для осуществления устойчивой да льней рядно- и телевизионной связи,
прожедет« метеорологических исследований, изучения природных ресурсов Земли
к особенностей протекания различных физико-химических процессов в условиях не-
весомости и сверхглубокого вакуума, а также для проведения медихо-бнологических
71
и других исследований. Специально оборудованные ИСЗ используются в Международ-
ной системе обнаружения и оповещения о терпящих бедствие морских судах.
2.	Практическое осуществление космических исследований и проведение полетов в ко-
смосе автоматических и пилотируемых космических аппаратов связано с решением
очень широкого комплекса сложных научных и технических проблем. Эти проблемы
далеко выходят за рамки не только механики, но и физики в целом. Поэтому в даль-
нейшем мы ограничимся рассмотрением пишь некоторых простейших вопросов меха-
ники, связанных с проблемой космических полетов.
Первой космической скоростью называется наименьшая скорость vj, которую нужно
сообщить телу, чтобы оно могло стать искусственным спутником Земли.
Скорость vi называют также круговой скоростью, так как она равна скорости
искусственного спутника, обращающегося вокруг Земли в отсутствие сопротивления
атмосферы по круговой орбите под действием одной только силы тяготения к Земле.
Если т — масса тела, г — радиус орбиты, а М3 — масса Земли, то по второму закону
Ньютона
thi'j тиА/з	/ GA/3
—=<?——	и t>i= /----.
Г Г	\1 Г
(5-33)
У поверхности Земли — 7,9 км/с.
Второй космической скоростью называется наименьшая скорость v2, которую нужно
сообщить телу, чтобы оно могло без воздействия каких-либо дополнительных сил
преодолеть земное притяжение и превратиться в искусственный спутник Солнца.
Эту скорость называют такКе параболической скоростью, так как она соответствует
параболической траектории тела в поле тяготения Земли (в отсутствие сопротивления
атмосферы). Найдем скорость исходя из того, что при движении тела в поле
тяготения Земли механическая энергия тела не изменяется: Wx+ Wv— W= const. Если
воспользоваться формулой (3,28) для потенциальной энергии тела Wv и учесть, что при
начальном значении скорости тела, равном v2, кинетическая энергия тела очень далеко
от Земли обращается в нуль, так же как и потенциальная, то W= FFK+ FKB=O. Следова-
тельно,
тс1.	тМ3
~-G-=0,
2 г
где г — расстояние от центра Земли до места запуска тела со скоростью Таким
образом, вторая космическая скорость в, -^2 раз больше первой космической скорости:
(5-34)
При запуске с поверхности Земли i>j= 11,2 км/с.
Третьей космической скоростью t>j называется наименьшая скорость, которую нуж-
но сообщить телу, чтобы он© могло удалиться за пределы Солнечной системы, т. е.
преодолеть тяготение не только Земли, но и Солнца.
Значение скорости vj существенным образом зависит от того, в Каком направлении
запускается тело по отношению К направлению скорости орбитального движения
Земли вокруг Солнца. Скорость и минимальна и равна 16,7 км/с, если вектор v3 сов-
падает по направлению с vo?c- При этом тело уходит из Солнечной системы по
параболе, касающейся орбиты Земли.
3.	Для запуска искусственных спутников Земли и космических кораблей применяют
ракеты-носители. На борту ракеты-носителя находятся топливо и окислитель, необ-
72
ходимые для работы жидкостного реактивного двигателя ракеты. Они составляют
значительную часть стартовой массы ракеты тио- По мере работы двигателя масса
ракеты уменьшается. Наибольшая скорость, которую может приобрести ракета в про-
цессе работы двигателя, меньше характеристической скорости (2.29). Однако анализ
этой формулы позволяет сделать ряд существенных выводов. Для увеличения харак-
теристической скорости ракеты необходимо увеличивать относительную скорость и ис-
течения продуктов сгорания и относительную массу топлива и окислителя mjmo.
Максимальные значения и для реактивных двигателей, работающих на жидких топ-
ливах, ограничиваются свойствами этих топлив и в настоящее время не превосходят
5 км/с. Отношение
пи ( пи т„\	пи
—=( 1--------)< 1
то \ т0 тй/	то
где тг — масса конструкции ракеты и ее двигателя; п^ — масса полезной нагрузки
(искусственного спутника или космического корабля). Уменьшение относительной
массы конструкции mjmo лимитируется прочностью н плотностью имеющихся матери-
алов. Поэтому, как показывают расчеты, на современном уровне развития техники
ракета не может развить даже первую космическую скорость.
Путь преодоления этой трудности был указан К. Э. Циолковским, который впервые
научно обосновал возможность межпланетных сообщений. Для достижения космичес-
ких скоростей Циолковский предложил использовать не обычную (одноступенчатую)
ракету, а составную (многоступенчатую) ракету. Многоступенчатая ракета состоит из
нескольких соединенных между собой ракет, каждая из которых имеет свой двигатель
и несет в себе запас топлива и окислителя. Во время старта включается двигатель
одной из этих ракет, называемой первой ступенью составной ракеты. После выгорания
всего топлива, имеющегося в Первой ступени, происходит автоматическое включение
двигателя второй ступени ракеты и отделение первой СТупейи от составной ракеты.
После выгорания топлива во второй ступени она также отделяется и начинает работать
двигатель третьей ступени. Так продолжается вплоть до последней ступени составной
ракеты, несущей на себе полезный груз.
Увеличение характеристической скорости многоступенчатой ракеты по сравнению
с одноступенчатой ракетой, имеющей ту же стартовую массу и тот же запас топлива
и окислителя, связано с уменьшением массы конструкции по мере выгорания топлива.
4. В настоящее время проводятся интенсивные работы по созданию новых типов
ракетных двигателей, которые принципиально отличаются от жидкостных реактивных
двигателей, использующих химическую энергию топлива. В проектах вдерпых ракет-
ных двигателей рабочее вещество нагревается в ядерном реакторе и затем вытекает
через сопло. Предполагается, что таким образом удастсд значительно повысить ско-
рость истечения и. Еще более значительное увеличение скорости и предполагается
осуществить в ионном ракетном двигателе. В этом двигателе реактивная сила тяги
создается вследствие выбрасывания из двигателя заряженных частиц — ионов, кото-
рые предварительно разгоняются в электрическом поле до скоростей порядка сотен
и даже тысяч километров в секунду. Однако сила тяги ионного двигателя Fp=u|d/n/drj
не может быть сделана большой, так как секундный массовый расход |dm/dfj, численно
равный массе всех ионов, образующихся в двигателе и выбраояваемых из него за 1 с,
крайне невелик. Для запуска ракеты с Земли требуется Двигатель, сила тяги которого
больше силы тяжести ракеты на старте. Поэтому ионный двигатель непригоден для
осуществления старта ракеты с Земли. Зато он может с успехом применяться для
ускорения ракеты и управления ее движением при полете в космическом пространстве
вдали от небесных тел, т. е. когда результирующая сил притяжения ракеты этими
телами мала. Незначительный расход массы при работе ионного двигателя позволяет
увеличить массу полезной нагрузки и длительность работы ионного двигателя по
сравнению с жидкостным реактивным двигателем.
Теоретически наиболее совершенным следует считать фотонный ракетный двига-
тель. Тяга этого двигателя создается за счет отдачи при испускании электромагнитного
излучения, т. е. за счет испускания фотонов, скорость которых достигает максимально
73
возможного значения, равного скорости света в вакууме. Однако создание ракетных
двигателей такого типа, по-видимому, дело не очень близкого будущего. Ввиду малой
тяги фотонный двигатель может найти применение в будущем для дальних космичес-
ких полетов в очень слабых гравитационных полях.
§ 5.8.	Связь между свойствами симметрии пространства и времени
и законами сохранения
1.	В приведенных выше выводах законов сохранения импульса (см. § 5.1) и момента
импульса (см. § 5.3) мы исходили из законов изменения импульса (2.20) и момента
импульса (4.20), для получения которых были использованы как второй, так и третий
законы Ньютона. На основании третьего закона Ньютона мы считали равными нулю
сумму всех внутренних сил и сумму моментов этих сил. Однако эти соотношения,
оказывается, можно получить, не прибегая к третьему закону Ньютона, а основываясь
на таких свойствах симметрии пространства, как его однородность и изотропность.
Иначе говоря, законы сохранения импульса и момента импульса можно вывести,
опираясь иа один только основной закон динамики (второй закон Ньютона) и на
указанные свойства симметрии пространства. Именно в этом смысле следует понимать
утверждение о том, что закон сохранения импульса связан с однородностью простран-
ства, а закон сохранения момента импульса — с изотропностью пространства.
2.	Одиородаость прострмства проявляется в том, что законы движения и физические
свойства замкнутой системы не зависят от выбора начала координат инерциальной
системы отсчета. Иначе говоря, они не изменяются, если замкнутую систему переста-
вить в пространстве как целое путем параллельного переноса, т. е. при полном
сохранении взаимного расположения всех частей системы и тех условий, в которых они
находились до переноса. В частности, при произвольном малом перемещении dr
системы как целого должна быть равна нулю работа SA всех сил в системе. В замкну-
той системе действуют только внутренние силы, так что
Ё ( Е F.*dr)= Е Е F^dr=O.
1-1 V-1	/	4-1 t—1
Поскольку dr/0, должна быть равна нулю сумма всех внутренних сил:
Я я
Е Е f,*=o.
i-i *-i
Из этого соотношения и уравнения (2.15), вытекающего из второго закона Ньюто-
на, следует закон сохранения нмпульра замкнутой системы.
3.	Изотропность прострваетва проявляется в том, что физические свойства и законы
движения замкнутой системы не изменяются при ее повороте в пространстве как
целого иа любой угол, т. е. не зависят от выбора направления осей координат
инерциальной системы отсчета. В частности, при произвольном малом повороте бф
замкнутой системы как целого вокруг неподвижной точки О начала координат -
должна быть равна нулю работа SA всех сил, действующих в системе. Если
М,*=[г, F,*] момент силы Fit относительно точки О, а г( радиус-вектор, проведен-
ный в /-ю точку системы из точки О, то, согласно (4.39),
6A=i(t Ё Ё Мдбф =0.
1-1 \*-1	/ i-t А-1
Поскольку бф /0, должна быть равна нулю сумма моментов относительно точки
О всех внутренних сил:
Е Е м,к=Е г- Е f.* =о.
74
(5.35)
Из этого соотношения и уравнения (4.18), полученного на основании второго закона
Ньютона, следует закон сохранения момента импульса замкнутой системы.
4.	Покажем, что закон сохранения механической энергии связан с однородностью
времени. Однородность временя проявляется в том, что законы движения замкнутой
системы не зависят от выбора начала отсчета времени: если в любые два момента
времени замкнутую систему поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная
с этих моментов времени все процессы в системе будут протекать совершенно оди-
наково. Из однородности времени следует, что потенциальная энергия замкнутой
системы не может зависеть явно от времени, т. е. изменяться с течением времени при
условии неизменности конфигурации системы:
^=о.
Bt
Поэтому, если в системе не действуют непотенциальные силы или эти силы не
совершают работы (ЙЛ™С=О), то согласно уравнению (3.37), вытекающему из второго
закона Ньютона, механическая энергия такой замкнутой системы (замкнутой консер-
вативной системы) не изменяется с течением времени. Этот вывод легко распрост-
ранить также на случаи системы, находящейся в стационарном потенциальном вне-
шнем поле, так как и в этом случае из однородности времени следует справедливость
условия (5.35).
5.	В заключение следует сказать о симметрии классической механики по отношению
к направлению хода времени t — его возрастанию или убыванию. Формально это
следует из инвариантности уравнений механики по отношению к замене переменной
/на —г.
В самом деле, исходное уравнение всей ньютоновской механики — уравнение вто-
рого закона Ньютона (2.6):
——F.
dr
Оно полностью сохраняет свой вид, если произвести замену t на 1'= — тир на
р'= — р, т. е. изменить направление хода времени, а также изменить на противополож-
ное направление движения материальной, точки:
*-F.
dr'
Эта симметрия уравнений классической механики свидетельствует об обратимости
иехаявческих процессов: если механическая система совершает какое-либо движение, то
она может под действием тех же сил совершать и прямо противоположное движение,
при котором эта система будет проходить через те же самые промежуточные кон-
фигурации в обратном порядке.
Вопросы:
--------------------------------------1---------------------------------------------
1. При каких условиях сохраняется импульс механической системы?
1 При каких условиях сохраняется момент импульса механической системы?
X При каких условиях сохраняется механическая энергия системы?
,4. Объясните связь между законами сохранения импульса, момента импульса, механической
энергии и свойствами симметрии пространства и времени.
5. Какой смысл вкладывается в утверждение о том, что механические процессы обратимы?
Глава 6
Движение в неинерциальных системах отсчета
§ 6.1.	Кинематика относительного движения
1.	До сих пор мы всегда пользовались для описания механического движения тел
инерциальными системами отсчета. Между тем во многих случаях необходимо изучать
движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета. Так, например,
движение тел на Земле естественно рассматривать в лабораторной системе отсчета,
которая, строго говоря, не является инерциальной. В § 2.1 мы говорили, что в первом
приближении можно пренебречь неинсрциальностью этой системы отсчета. Однако
возможность такого допущения требует специального обоснования, так как иначе
неясна величина возникающих при этом погрешностей. Целый ряд явлений — «само-
произвольный» поворот плоскости качаний маятника (опыт Фуко), отклонение свобод-
но падающих тел к востоку, подмывание одного из берегов реками, текущими в мери-
диональном направлении, и др.— вообще можно объяснить только неинерциально-
стью земной системы отсчета.
2. В классической (ньютоновской) механике считается, что расстояния и промежутки
времени не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся
относительно первой самым произвольным образом. Например, пусть К инерци-
альная система отсчета с началом координат в точке О*, i S - неинерциальная
система отсчета с началом .координат в точке О (рнс. 6.1). В общем случае движение
системы отсчета S относительно К можно рассматривать как сумму двух движений:
поступательного со скоростью vD точки О и вращения
вокруг этой точки с угловой скоростью П. Значения г*
и г радиуса-вектора произвольной материальной точки
М, измеренные в системах отсчета К н S, связаны соот-
ношением
(6.1)
где —радиус-вектор точки О, измеренный в системе
отсчета К, а
r=xi+yj+zk,
(6.2)
где х, у, z — декартовы координаты точки М; I, j и к —
орты осей координат в системе отсчета S.
Движение материальной точки М относительно инерциальной системы отсчета К,
условно принимаемой за неподвижную, называется абсолютизм дмжепем. Движение
той же точки относительно неннерцийльной системы отсчета S называется отвоежгель-
шзм движепем.
3.	Абсолютная скорость точки М, т. е. ее скорость относительно системы отсчета К,
равна
dr* drj dr
dt di di
или
( dl dj dk\
x ~-+y -+z — + v„
\ di di di /
(6.3)
76
где
dx	dy	dz
— i+—j+—к
di	di	dt
(6.4)
— относительная скорость точки M, т. е. ее скорость по отношению к системе отсчета 5,
a vo=drj/di — абсолютная скорость точки О, т. е. скорость поступательного движения
системы отсчета S относительно системы К.
Орты i, j и к подвижной системы S могут изменяться в системе отсчета К только
вследствие вращения системы S вокруг точки О с угловой скоростью О. Производные
по времени от i, j и к равны линейным скоростям концов этих векторов при вращении
системы £. Поэтому на основании формулы (4.6'), где v=dr/di, а под г можно
поочередно принимать орты системы S, имеем:
di	di	dk -
-=[ng, /-[nj], -=Щк].
di	di	di
(6.5)
Подставив эти выражения в (6.3) и выполнив несложные преобразования, получим
(6.6)
где
ve=vo+[Or]
(6.7)
— переносная скорость точки М. Она равна абсолютной скорости той точки подвижной
системы 5 (т. е. жестко связанной с этой системой), через которую проходит точка
М в рассматриваемый момент времени.
Из (6.6) видно, что абсолютная скорость точки М равна сумме ее относительной
и переносной скоростей.
4.	Отвосжгельное ускорение яг точки М, т. е. ее ускорение в относительном движении,
найдем дифференцируя относительную скорость точки тг в предположении постоянства
векторов i, j и к. Из (6.4) получим
d2x d2y d2x
'=i?i+dpi+jp
(6.8)
Абсолютное ускорение ла точки М, т. е. ее ускорение относительно системы отсчета
К, найдем из (6.6):
dve dvr dve
яа=— -----h—.
di di di
Из выражений (6.4) — (6.7) следует, что
ae=tr+a<+aK.
Здесь
а<.
dvo Гdil ~|	’
=—+ — г +[°[ПгИ
di [_di
(6-9)
(6.10)
— переносное ускорение точки М, равное абсолютному ускорению той точки подви-
жной системы отсчета S, через которую проходит точка М в рассматриваемый момент
времени. Первый член в правой части формулы (6.10) представляет собой ускорение
системы S в поступательном движении, а второй и третий — вращательное и осе-
стремительное ускорения, обусловленные вращением системы S.
77
Ускорение
к=2 [Ov,]
(6.11)
называется корволкмым ускорешем точки М. Оно направлено перпендикулярно
векторам П и у, и максимально, если относительная скорость точки у, ортогональна
угловой скорости П вращения подвижной системы отсчета. Кориолисово ускорение
равно нулю, если угол между векторами у, и П равен 0 или я, либо если хотя бы одни из
этих векторов равен нулю.
Итак, согласно (6.9), абсолютное ускорение точки равно сумме ее относительного,
переносного и кориолисова ускорений.
5.	Если неинерциальная система отсчета 5 не вращается, а движется только поступате-
льно, то П =0 и
▼«“▼о.	’о“’г+тО,
Наконец, если подвижная система отсчета S инерцнальна, то П=0 и v0“const, так
что а,=я,=0 и я,=я,. Следовательно, ускорение точки не зависит от выбора инерциаль-
ной системы отсчета (инвариантно по отношению к этому выбору).
§ В.2.	Силы инерции
1.	В иеинерциальных системах отсчета законы Ньютона не выполняются. В частности,
материальная точка может изменять состояние своего движения относительно нсинер-
циальной системы отсчета S без всякого воздействия на эту точку со стороны других
тел. Например, шарик, подвешенный на нити к потолку вагона равномерно и прямоли-
нейно движущегося поезда, отклоняется назад при ускорении движения поезда и впе-
ред при его замедлении, т. е. приходит в движение относительно неинерциальиой
системы отсчета, связанной с вагоном. Между тем никакие горизонтальные силы на
шарик при этом не действуют.
2.	Основной закон динамики материальной точки в неиверциальных системах отсчета
можно получить исходя из второго закона Ньютона и связи между абсолютным
и относительным ускорениями материальной точки. Из (6.9) следует, что произведение
массы материальной точки на ее относительное ускорение равно
ти,=т—та,—так.
Согласно второму закону Ньютона, записанному применительно к абсолютному
движению материальной точки, т. е. к ее движению относительно инерция гп.нпй
системы отсчета К,
ma**Vt
где F геометрическая сумма всех сил, действующих на материальную точку. Следо-
вательно, основное ураввеше дававшей относительного дажжешк вмтервалшй повей
имеет вид
ma,=F—та,—так-	(6-12)
Его можно привести к виду, аталопечному по форме основному закону динамики
абсолютного движения точки:
ma,=F+I,+IK.	(6.13)
Векторные величины 1,= —та, и 1к= — так имеют размерность силы и называются
соответственно переносно* шло* акрщм и корволвсово* силой шерщв.
78
3.	Из (6.10) следует, что в общем случае переносная сила инерции равна сумме трех
членов*
dv0
1,= — т-------т
dt
<ю
di
г —т[П(Пг]].
(6-14)
Последний член правой части этого выражения
!*=-«[« М
(6.15)
называется центробежной силой перщж или просто центробежной силой, так как
этот вектор перпендикулярен мгновенной оси вращения инерциальной системы отсчета
S (т. е вектору fl) и направлен от указанной оси. Модуль центробежной силы
1л=тЯ2р,	(SAS')
где р — расстояние от материальной точки массы т до мгновенной оси вращения
системы отсчета S.
Переносная сила инерции совпадает с центробежной, если неинерциальная система
отсчета движется поступательно с постоянной скоростью (vD=const) и вращается
с постоянной угловой скоростью (fl=const).
Действие центробежной силы инерции широко используют в технике в центробеж-
ных насосах, сепараторах, центробежном регуляторе и т. д. При проектировании
быстро вращающихся деталей машин — роторов турбин, компрессоров, электрических
двигателей, двигателей внутреннего сгорания, винтов самолетов и вертолетов — при-
нимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции. Напри-
мер, в случае деталей, симметричных относительно оси вращения, производят их
тщательную статическую и динамическую балансировку, так как малейшее смещение
центра масс в сторону от оси вызывает при быстром вращении детали столь большие
дополнительные нагрузки на ее подшипники, что они быстро разрушаются. В случае
несимметричных деталей, например, коленчатых валов, применяют специальные про-
тивовесы. При расчете на прочность быстро вращающихся деталей машин учет центро-
бежных сил инерции совершенно необходим, так как эти силы во многих случаях
играют определяющую роль.
4.	Кориолисова сила инерции	_
1к-2т[яД1].	(6.16)
Эта сила действует на материальную точку только тогда, когда неинерциальная
система отсчета вращается, а материальная точка движется относительно нее. Так,
например, на частицы воды в реках Северного полушария, текущих в меридиональном
направлении, действуют кориолисовы силы инерции, которые направлены перпен-
дикулярно скорости течения реки и вызывают подмывание правого по течению берега.
Кориолисова сила инерции не совершает работы в относительном движении мате-
риальной точки, так как эта сила направлена перпендикулярно скорости относитель-
ного движения точки. Следовательно, кориолисова сила инерции служит гримером
гироскопических сил (см. § 3.1).
3. Силы инерции реально действуют на материальную точку в неинерциальной систе-
ме отсчета н могут быть в ней измерены, например с помощью пружинного динамоме-
тра. Однако в отличие от обычных сил взаимодействия тел для сил инерции нельзя
сказать, действие каких конкретно тел на рассматриваемую материальную точку они
выражают. Следовательно, к этим силам неприменим, например, третий закон Ньюто-
на Эта особенность сил инерции связана с тем, что само появление векторных величин
I, и 1к в основном уравнении динамики относительного движения обусловлено только
неинерциальностью системы отсчета, используемой для описания относительного дви-
жения точки. Добавление к силе F, характеризующей действие на материальную точку
всех других тел, сил инерции L н Ir позволяет записать основное уравнение динамики
79
относительного движения в форме, похожей на запись второго закона Ньютона
в инерциальной системе отсчета.
В неинерциальных системах отсчета не может быть замкнутых систем тел, так как
для тел системы силы инерции — внешние силы. Поэтому в неинерциальных системах
отсчета не выполняются законы сохранения импульса, момента импульса и энергии,
в. Различное объяснение одних и тех же явлений наблюдателем, находящимся в инер-
циальной системе отсчета К и называемым неподвижным наблюдателем, и подвижным
наблюдателем, находящимся в неинерциальной системе отсчета S, не дает никаких
оснований для утверждений об отсутствии объективных закономерностей этих явлений
и произвола в их истолковании в зависимости от «точки зрения» наблюдателя.
Рассматривая движения тел относительно неинерциальной системы отсчета с позиций
мех я нити Ньютона, подвижный наблюдатель, хочет он того или нет, должен вводить
силы инерции. Необходимость использования сил инерции связана с тем объективным,
т. е. не зависящим от воли и сознания наблюдателя, фактом, что законы Ньютона
неприменимы в неинерциальных системах отсчета.
§ 6.3.	Относительное движение в системе отсчета,
связанной с Землей
1.	Система отсчета, связанная с Землей, неинерциальна по двум причинам: во-первых,
вследствие суточного вращения Земли с постоянной угловой скоростью П (П=2л
рад/сут= 7,3'10“5 рад/с) и, во-вторых, вследствие действия на Землю гравитационного
поля Солнца, Луны, планет и других астрономических тел. Это гравитационное поле
практически однородно в пределах Земного шара и сообщает земной системе отсчета
и всем движущимся относительно нее телам одно и то же ускорение поступательного
движения Bo=dve/df=gr, где & — напряженность гравигацнопого поля, равная отноше-
нию силы Гр?, действующей со стороны поля на помещенную в него материальную
точку, к массе т этой материальной точки:
Ftp
ь=—
(6-17)
т
Напряженность однородного поля одинакова во всех его точках.
Из (6.13) — (6.15) следует, что уравнение относительного движении материальной
точки массы т в системе отсчета, связанной с Землй, имеет вид
тяг=F+F-гщ.+1цб+1к,
(6.18)
где 1цб и 1к — центробежная и кориолисова силы инерции; FTjr — сила тяготения
материальной точки к Земле; F — сумма всех остальных сил, действующих на матери-
альную точку, кроме гравитационных.
2.	Склей тяжести тела называется сила Р, приложенная к телу и равная геометричес-
кой сумме силы Ртаг тяготения тела к Земле и центробежной силы инерции, обусловлен-
ной суточным вращением Земли (рис. 6.2):
Р=Ртжг+1я6.	(6.19)
В первом приближении можно считать, что Зем-
ля — шар, плотность которого зависит только от рас-
стояния до его центра. В этом случае из закона всемир-
ного тяготения Ньютона следует, что сила тяготения
к Земле тела массы т равна
тМз
Ртжг---G Jr>	(6J20)
где G — гравитационная постоянная; Мз — масса Зем-
Рис. 6 2	ли; г — радиус-вектор, проведенный из центра Земли
80
в точку, где находится тело (размеры всех тел во много раз меньше г, так что тела
можно считать точечными).
Подставив в (6.19) выражения (6.20) и (6.15), получим
Р= —G ~ г—т[П [Or]],	(6.21)
где О — угловая скорость суточного вращения Земли.
Сила тяжести вызывает падение на Землю незакрепленного тела. Она равна силе,
с которой неподвижное относительно Земли тело давит на горизонтальную опору (или
действует на вертикальный подвес) вследствие тяготения к Земле. Ее можно измерить
в земной системе отсчета, например, с помощью пружинного динамометра. Точка
приложения силы тяжести тела, т. е. точка приложения результирующей сил тяжести
всех частиц тела, называется центром тяжести тела. Центр тяжести тела совпадает с его
центром масс.
3.	Сила тяжести тела не зависит от скорости его относительного движения. Она
пропорциональна массе т тела и может быть представлена в виде
P=mg,	(6.22)
где g — ускорение свободного падания. В данном месте Земли вектор g одинаков для
всех тел и зависит от положения этого места.
Сила тяжести тела совпадает с силой тяготения его к Земле там, где центробежная
сила инерции 1ц«=0, т. е. на полюсах. Наибольшее отличие силы тяжести от силы
тяготения тела наблюдается на экваторе, так ках там сила достигает максимального
значения и направлена в сторону, противоположную направлению силы F^. Однако
даже на экваторе сила тяжести отличается от силы тяготения всего лишь на 0,35%. Во
всех точках земной поверхности, кроме полюсов и экватора, силы Р и не
совпадают также и по направлению (рис. 6.2), но максимальный угол между ними не
превосходит 6'. Сила тяжести уменьшается с подъемом на высоту. Вблизи поверхности
Земли это уменьшение составляет приблизительно 0,034% на каждый километр
подъема.
Ускорение g вблизи поверхности Земли изменяется от значения 9,78 м/с3 на
экваторе до значения 9,83 м/с3 на полюсах. Это связано, во-первых, с зависимостью
центробежной силы инерции от географической широты места и, во-вторых, с нешаро-
образностью Земли, которая слегка сплюснута вдоль оси вращения (полярный и эк-
ваториальный радиусы Земли равны 7?^=6357 км и 7?„,=6378 км). Стандартное
зяаченве ускорения свободного падения, принятое при построении систем единиц и при
барометрических расчетах, равно 9,80665 м/с3.
4.	Свободным падением тела называется его движение, происходящее под действием
только поля тяготения. Ускорение свободно падающего на Землю тела, регистрируг
емое во вращающейся вместе с Землей неииерциальной системе отсчета, можно найти
из уравнения движения (6.18), положив в нем F=0, FTir-l-Irt5=mgM Ijrno формуле (6.16):
ar=B+2[v,O].
Если г,=0, то a,=g. Следовательно, вектор g равен ускорению свободно падающе-
го тела, измеренному относительно земной системы отсчета в тот момент, когда
относительная скорость тела равна нулю. Поэтому вектор g и называют ускорением
свободного падения.
Если относительная скорость свободно падающего тела vr#0, то его ускорение
относительно Земли не равно g: a,^g. Однако при скоростях иг<680 м/с значения
g и аг различаются менее чем на 1 %. Поэтому во многих случаях можно считать, что
для наблюдателя, находящегося на Земле, свободное падение тела происходит с уско-
рением g. Соответственно действие на свободно падающее тело кориолисовой силы
инерции можно рассматривать как сравнительно малое возмущение. Так, например,
под влиянием кориолисовой силы инерции свободно падающее тело отклоняется
81
к востоку от направления отвеса, т. е. от направления вектора Р—mg. Это отклонение
для тела, свободно падающего без начальной скорости с высоты h над поверхностью
Земли, на широте ф равно
2^, Z2*
л— Пп I COS0.
3 g
Например, если Л= 100 м и <р=45°, то з= 1,55 см.
5.	При определенных условиях в ускоренно движущейся механической системе может
осуществляться состояние невесомости. Невесомостью называется такое состояние
механической системы, движущейся в гравитационном поле, при котором это поле не
вызывает взаимного давления частей системы друг на друга и их деформации.
Состояние невесомости реализуется, например, в лифте, который свободно падает
в поле тяготения Земли, или в космическом корабле, движущемся с неработающим
двигателем в гравитационном поле. Такое состояние характерно для искусственных
спутников и орбитальных космических станций. При невесомости действие на механи-
ческую систему гравитационного поля компенсируется силами инерции.
§ 6.4.	Принцип эквивалентности
1.	Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорци-
ональны массам этих тел н при прочих равных условиях сообщают нм одинаковые
относительные ускорения. Иными словами, все тела, свободные от внешних воздейст-
вий, движутся в «поле сил инерции» (т. е. относительно неинерциальной системы
отсчета) совершенно одинаково, если только начальные условия их движения тоже
одинаковы. Аналогичная закономерность наблюдается при движении относительно
инерциальных систем отсчета тел, находящихся под действием сил гравитационного
поля. В каждой точке поля эти силы, подобно силам инерции, пропорциональны
массам тел и сообщают всем телам одинаковые ускорения свободного падения, равные
напряженности поля в рассматриваемой его точке.
Например, в неинерциальной системе отсчета, связанной с лифтом, который дви-
жется равноускоренно вертикально вверх с переносным ускорением во—const, все
свободные тела падают в отсутствие гравитационного поля с одинаковым относи-
тельным ускорением а,= — Яд. Точно так же ведут себя свободные тела в том же лифте,
движущемся равномерно в однородном гравитационном поле, напряженность которого
g,= — Яд, т. е. направлена вертикально вниз. Таким образом, на основе экспериментов
по свободному падению тел внутри наглухо закрытого лифта нельзя установить,
движется ли лифт равномерно в гравитационном поле напряженностью 6 = а, (в
частности, лифт может также покоиться в этом поле) или он движется в отсутствие
гравитационного поля, но с постоянным переносным ускорением я4= — я,.
Эйнштейн обобщил указанную закономерность на любые физические процессы,
сформулировав следующий прп^п эюмаялеятиостя: гравитационное поле в ограничен-
ной области пространства физически эквивалентно «полю сил инерции» в соответст-
вующим образом выбранной неинерциальной системе отсчета.
Размеры этой области пространства должны быть достаточно малыми, чтобы в ее
пределах гравитационное поле можно было считать однородным. Поэтому принцип
эквивалентности Эйнштейна часто называют локяльиым припиши эквивалентности.
2. Принцип эквивалентности не следует понимать как утверждение о тождественности
сил инерции и сил ньютоновского тяготения между телами. Действительно, напряжен-
ность истинного гравитационного поля, создаваемого телами, убывает по мере удале-
ния от этих тел н обращается в нуль на бесконечности. Гравитационные поля, «эк-
вивалентные» силам инерции, не удовлетворяют этому условию. Например, напряжен-
ность гравитационного поля, «эквивалентного» центробежным силам инерции во
вращающейся системе отсчета, неограниченно возрастает по мере удаления от оси
вращения этой системы. Напряженность поля, «эквивалентного» переносным силам
инерции в поступательно движущейся неинерциальной системе отсчета, всюду оди-
накова.
82
Истинное гравитационное поле в отличие т «эквивалентного» силам инерции
существует как в неинерциальных, так в в инерциальных системах отсчета. Никаким
выбором иеннерциальной системы отсчета нельзя полностью шжлючить истинное
гравитационное поле, т. е. скомпенсировать его во всем пространстве «полем сил
инерции». Это следует хотя бы из различного поведения «полей сил инерции» и истин-
ных гравитационных полей иа бесконечности Такое исключение гравитационного поля
можно осуществить лишь локально, т. е. для малой области пространства, в пределах
которой это поле можно считать однородным, и для промежутка времени, в течение
которого поле можно считать постоянным. Соответствующая этой операции неинерци-
альная система отсчета должна двигаться с переносным ускорением, равным ускоре-
нию свободного падения тел в рассматриваемой области истинного гравитационного
поля. Так, в космическом корабле, совершающем свободный полет с выключенным
двигателем в гравитационном поле, силы тяготения компенсируются переносной силой
инерции и не вызывают относительного движения тел на корабле.
Вопросы:
1.	Приведите примеры, показывающие неприменимость каконов Ньютона в неинерциальных
системах отсчета
2.	Зачем в неинерциальных системах отсчета нужно вводить силы инерции и чем они отличают-
ся от обычных сил взаимодействия между телами?
3.	Почему в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения?
4.	Дайте объяснения известных Вам явлений, обусловленных неинерциальностью земной систе-
мы отсчета
S.	Сформулируйте и поясните принцип эквивалентности
Глава 7_______________________________________
Основы специальной теории относительности
§ 7.1.	Механический принцип относительности Галилея
1.	В ньютоновской механике при переходе от одной инерциальной системы отсчета
К(х, у, г, /) к другой К(Х, у',	t'), движущейся относительно К поступательно
с постоянной скоростью V, пользуются преобразованиями координат и времени,
которые называются преобразованиями Галилея. Они основаны на уже упоминавшихся
нами в § 1.2 двух аксиомах об инвариантности промежутков времени и расстояний. Из
первой аксиомы следует, что ход времени одинаков во всех системах отсчета, а из
второй — что размеры тела не зависят от скорости его движения.
Если сходственные оси декартовых координат инерциальных систем отсчета К и К
проведены попарно параллельно друг другу и если в начальный момент времени
(t=f=0) начала координат О и О' совпадают друг с другом (рис. 7.1), то преобразова-
ния Галилея имеют вид
х'=х—Vxt, y’=y—Vyt, i=z—Vzt и t'=t
(7.1)
““	r'=r—Vr и f=t.
где x, у, z и х', у1, / — координаты точки М в системах отсчета К (в момент времени г)
и К (в момент времени г=г); г и Г — радиусы-векторы точки М в тех же системах
отсчета, a V„ Vt и Vz — проекции скорости V системы К на оси координат системы К.
Обычно оси координат проводят так, чтобы система К двигалась вдоль положи-
тельного направления оса ОХ (рис. 7.2). В этом случае преобразования Галилея имеют
наиболее простой вид:
x'=x—Vt, yf=y, t=z, t'=t.	(7.2)
2.	Из преобразований Галилея (7.1) вытекает следующий закон преобразования скоро-
сти произвольной точки М при переходе от одной инерциальной системы отсчета
К (скорост! точки v=dr/d/) к другой К (скорость той же точки v'=dr'/d?):
t'=v—V.
(7-3)
и проекции скорости иа сходственные оси коор-
Соответственно преобразуются
(7.3')
84
В частности, при движении системы К вдоль положительного направления оси ОХ
(рис. 7.2)
= V, v'y — Vy. v'.=vx.	(7.4)
Ускорения точки М в системах отсчета A(a = dv/d?) и K'(a.'=dv'ldf) одинаковы:
а' —а. Итак, ускорение материальной точки не зависит от выбора инерциальной систе-
мы отсчета оно инвариантно относительно преобразований Галилея.
3.	Силы взаимодействия материальных точек зависят только от их взаимного рас-
положения и от скоростей движения друг относительно друга. Взаимное расположение
каких-либо двух точек I и 2 характеризуется вектором, равным разности радиусов-
векторов этих точек, т. е. в системе отсчета К вектором r2i=r2—rlt а в системе
К вектором г'21 = Г2 —г'(. Из преобразований Галилея следует, что rj, = r21. Поэтому
расстояния между точками 1 и 2 в системах К н К' одинаковы: г^ = г21, т. е.
- х', )2 + (у2 -у',)2 + (z'2 - z, )2 = (х2-х,)2 + (у2 -yt)2 + (z2 - z,)2.
Скорость движения точки 2 относительно точки 1 равна разности скоростей этих
точек: v2—vt (в системе К) и v2 — v, (в системе К'). Иэ преобразований Галилея следует,
ЧТО V'2 — v', = V2 — V].
Итак, взаимное расположение и скорость относительного движения любых двух
материальных точек не зависят от 1 выбора инерциальной системы отсчета они
инвариантны относительно преобразований Галилея. Соответственно инвариантны
относительно преобразований Галилея и силы, действующие на материальную точку:
F' = F.
4.	Уравнения, выражающие второй и третий законы Ньютона, инвариантны относите-
льно преобразований Галилея, т. е. не изменяют свой вид при преобразовании коор-
динат и времени от одной инерциальной системы отсчета К к другой К:
ma=F, F*,= — F,* (в системе К),
m'a' = F', F*,= — FJt ( системе К},
где т'=т - масса рассматриваемой материальной точки, одинаковая во всех систе-
мах отсчета.
Таким образом, в ньютоновской механике справедлив мехвначескжй принцип от-
носительности (принцип относительности Галилея): законы механики одинаковы во всех
инерциальных системах отсчета.
Это значит, что в разных инерциальных системах отсчета все механические процес-
сы при одних и тех же условиях протекают одинаково. Следовательно, с помощью
любых механических экспериментов, проведенных в замкнутой системе тел, нельзя
установить, покоится эта система или движется равномерно н прямолинейно (от-
носительно какой-либо инерциальной системы отсчета). Механический принцип от-
носительности свидетельствует о том, что в механике все инерциальные системы
отсчета совершенно равноправны. На основе законов механики нельзя выделить из
множества инерциальных систем отсчета какую-то «главную» инерциальную систему
отсчета, которая обладала бы какими-либо преимуществами перед другими, так что
движение тел относительно нее можно было бы рассматривать как их «абсолютное
движение», а покой — как «абсолютный покой».
§ 7.2.	Постулаты специальной теории относительности
1.	В связи с механическим принципом относительности естественно возникает вопрос:
равноправны ли все инерциальные системы отсчета только в механике или также
и в отношении других физических явлений и процессов? Нельзя ли выделить из
множества инерциальных систем отсчета «главную», основываясь, например, на зако-
нах распространения электромагнитных воли? Ответ на этот вопрос был дан в 1905 г.
А. Эйнштейном в его работе «К электродинамике движущихся тел», в которой были
85
изложены основные положения спммяльвой теории otoochtbjmdcto*. В специальной
теории относительности, так же как и в ньютоновской механике, предполагается, что
время однородно, а пространство однородно и изотропно.
2.	В основу специальной теории относительности Эйнштейн положил два постула-
та — два основных принципа, являющихся обобщением экспериментально установлен-
ных закономерностей.
Первый постулат обобщает механический принцип относительности Галилея на
любые физические процессы. Этот постулат, называемый прв^аом относительности
или реляпвпетским принтом отвосиге.'жвостя ЭЬишейма, гласит: в любых инерциаль-
ных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают
одинаково. Иначе говоря, принцип относительности утверждает, что физические законы
независимы (инвариантны) по отношению к выбору инерциальной системы отсчета:
уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных
системах отсчета.
Следовательно, на основе любых физических экспериментов, проведенных в за-
мкнутой системе тел, нельзя установить, покоится эта система или движется равномер-
но и прямолинейно (относительно какой-либо инерциальной системы отсчета). В физи-
ке все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, из их множества
нельзя выбрать какую-то главную («абсолютную») систему отсчета, обладающую
какими-либо качественными отличиями от других инерциальных систем отсчета.
Второй постулат выражает иряшвш инвариантности агоростя света: скорость света
в вакууме не зависит от движения источника света. Она одинакова во всех направлени-
ях и во всех инерциальных системах отсчета, являясь одной из важнейших физических
постоянных. Опыты показывают, что скорость света с в вакууме — предельная ско-
рость в природе: скорость любых тел и частиц, а также скорость распространения
любых сигналов и взаимодействий не может превосходить с.
Указанные специфические закономерности распространения света в вакууме позво-
ляют использовать этот реальный физический процесс для установления процедуры
хронометризации системы отсчета, т. е. для синхронизации часов, расположенных
в разных точках пространства и перемещающихся вместе с рассматриваемой системой
отсчета.
3.	Постулаты теории относительности противоречат тем представлениям о свойствах
пространства н времени, которые приняты в классической (ньютоновской) механике
и отражены в преобразованиях Галилея (7.1). В частности, это относится к счита-
ющемуся в механике Ньютона «само собой разумеющимся» утверждению об одина-
ковости хода времени во всех инерциальных системах отсчета и, следовательно, об
абсолютности промежутка времени между какими-либо двумя событиями. Например,
если два события происходят одновременно по часам в одной инерциальной системе
отсчета, то они, согласно классическим представлениям, совершаются также одновре-
менно по часам в любой другой инерциальной системе отсчета.
Указанное противоречие можно пояснить на
следующем примере (рис. 7.3). Имеются две инер-
циальные системы отсчета: неподвижная система
К н система К', движущаяся вдоль оси ОХ с посто-
янной скоростью V. Пусть в момент начала от-
счета времени в обеих системах К и К' (t=t’=O),
когда начала координат О н О' совпадают, в точке
О производится мгновенная световая вспышка.
К моменту t> 0 свет, распространяясь в вакууме со
скоростью с, достигнет в системе отсчета а точек
поверхности сферы с центром в точке О н ради-
усом ct.
В системе К можно считать, что световая
вспышка произошла в момент времени ^=0 в точ-
ке О'. Поэтому, согласно постулатам специальной
теории относительности, к моменту f=t свет в
•Ее часто называют также частной теорией отпоапелыюстн.
86
системе отсчета К* достигнет точек сферы того же радиуса ct, что и в системе отсчета К,
но с центром в точке О', находящейся в это время не в точке О, а на расстоянии Fit от
нее. Таким образом, соединение постулатов специальной теории относительности
и классических представлений об абсолютном времени, идущем одинаково во всех
системах отсчета, приводит к абсурду — свет вспышки должен одновременно достигать
точек, принадлежащих двум разным сферам.
4.	Основываясь на двух постулатах специипьяпй теории относительности, Эйнштейн
пересмотрел классические представления о свойствах пространства и времени, поло-
женные в основу преобразований Галилея. Остановимся подробнее на этом вопросе.
Основополагающими понятиями всей физики служат понятия длины и времени. Для
того чтобы этими понятиями можно было пользоваться, необходимо указать способы
однозначного измерения расстояний и промежутков времени. Измерение длины ка-
кого-нибудь тела (например, стержня) производится путем ее сравнения с длиной
эталонного тела, которая, по определению, считается равной одному метру (само собой
разумеется, что при этом нужно точно оговорить внешние условия — температуру,
давление и т. д.). В качестве эталонного тела можно использовать, например, масштаб-
ную линейку, которая, таким образом, является необходимой принадлежностью всякой
системы отсчета. Укачанный способ измерения легко осуществить, прикладывая линей-
ку к измеряемому стержню, если последний неподвижен относительно системы отсчета
К и ее масштабной линейки. А ках определить длину того же самого стержня, если он
движется относительно линейки системы К пзвесп с системой К' (рис 7 3)7 Во-первых,
длину этого стержня можно измерить указанным выше способом, пользуясь такой же
масштабной линейкой, движущейся вместе с системой отсчета К' и являющейся
эталоном длины в этой системе. Легко видеть, что при этом длина стержня Го должна
получиться такой же, как и при измерении ее в первом случае (4), когда стержень
покоился относительно системы отсчета К. В самом деле, пусть например l'0>k
Можем теперь принять, что система К' покоится, а система К движется относительно
нес со скоростью —V. Тогда длина 4 стержня, неподвижного относитель-
но движущейся системы отсчета К, должна была бы быть больше Го, что противоречит
сделанному допущению Аналогично доказывается, что Го не может быть меньше 4-
Следовательно, 4=4-
Длину стержня, движущегося вместе с системой К', можно также измерить с помо-
щью масштабной линейки, находящейся в неподвижной системе К. Предположим ради
простоты, что стержень расположен вдоль осн О'Х'. Тогда для измерения его длины из
системы отсчета К нужно измерить расстояние I между двумя точками оси ОХ,
с которыми совпадают концы движущегося стержня в произвольный, но обязательно
один и тот же момент времени. Обозначим координаты этих точек X] и х2. Ясно, что
искомая длина движущегося стержня Z=|x2—xi[. В системе отсчета К' координаты
концов стержня пусть равны х'1их'2,а сто длина |xj—xJ|=-=4> так как в системе отсчета К'
(Л*С£ЖСНЬ НСЛОДВНЛКСИа
Возникает вопрос будут ли равны друг другу I и IqI Иначе говоря, будут ли
совпадать результаты измерений длины одного и того же стержня, когда он покоится
относительно масштабной линейки и когда он движется относительно нее? Согласно
представлениям о свойствах пространства, положенных в основу преобразований
Галилея и всей ньютоновской механики, считалось само собой разумеющимся, что
/=4 Эйнштейн ответил на этот вопрос иначе — равны / и 4 или нет, должен показать
опыт, до опыта (а рпоп) ничего нельзя сказать по этому поводу.
5.	Для измерения времени также необходим эталон, в качестве которого используется
какой-либо реальный периодический процесс (например, движение Земли вокруг Со-
лнца, качания маятника, вращение стрелки часов и т. п.). Всякое измерение времени
тесно связано с понятием одновременности двух событий (выше мы уже пользовались
этим понятием, не уточняя его смысла, когда говорили об измерении длины движуще-
гося стержня с помощью неподвижной мааптабной линейки). Действительно, что
означает, например, такое утверждение — самолет совершил посадку в аэропорту
Домодедово в 12 ч? Оно означает, что посадка самолета и прохождение стрелки
87
эталонных часов через деление их шкалы, которое, по определению, соответствует 12
часам, происходят одновременно.
Эйнштейн обратил внимание на то, что в классической физике еще со времен
Ньютона господствует убеждение о существовании некоего абсолютного времени,
которое, по выражению Ньютона, «течет одинаково, безотносительно к чему-либо
внешнему». Поэтому такие понятия, как «одновременность двух событий», «раньше»
и «позже», считались априорными, т. е. ясными сами собой безотносительно к какому-
либо эксперименту. Эйнштейн отверг это заблуждение. Он показал, что понятие
одновременности вовсе не самоочевидно и так же, как другие понятия, нуждается
в четком определении, основанном на реальном физическом процессе, с помощью
которого можно проверить одновременны или нет рассматриваемые события. Дейст-
вительно, мы легко и однозначно можем установить одновременность двух событий по
их совпаденюо, если они происходят в одном и том же месте. Однако, вообще говоря,
совершенно не ясно, каким образом можно с помощью одних часов, находящихся
а точке А, обнаружить одновременность или иеодвовременность двух событий, одно из
которых происходит в точке А, а другое — в удаленной от нее точке В.
в. Важность решения этого вопроса для физики можно проиллюстрировать на следу-
ющем примере. Для экспериментального определения скорости распрос i ранения неко-
торого сигнала, посылаемого из точки А в точку В, необходимо знать промежуток
времени Ат между моментами отправления и прихода этого сигнала. Измерение Аг
можно произвести с помощью двух одинаковых часов, одни из которых находятся
в точке А, а вторые после сверки синхронности их хода с ходом первых часов
перевезены из точки А в точку В. Пусть сигнал отправляется из А в момент времени
fi (по первым часам) и приходит в В в момент времени t2 (по вторым часам). Тогда,
казалось бы, скорость сигнала г=£/(г2— б)> где L — расстояние между точками А и В.
Однако это было бы так на самом деле, если бы мы могли с уверенностью сказать, что
после перевозки в точку В вторые часы продолжают идти синхронно с первыми часами,
т. е. в момент отправления сигнала из точки А также показывают время 6 и идут
одинаково быстро с часами в точке А. Одинаково ли быстро идут эти часы, можно
проверить на опыте, например посылая из А сигналы через определенные равные
промежутки времени по первым часам и регистрируя по вторым часам промежутки
времени между моментами прихода сигналов в точку В. Проверить же одинаковость
показаний часов можно только с помощью сигнала, который распространялся бы из
А в В мгновенно. Однако таких сигналов в природе нет. Следовательно, вопрос
о синхронизации часов в точках А и В, т. е. об одновременности прохождения стрелок
этих часов через сходственные деления их шкал, можно решить только путем соглаше-
ния (определения) о том, когда эти часы следует считать идущими синхронно.
7. За основу такого определения Эйнштейн берет процесс распространения света
в вакууме. Пусть по часам в точке А световой сигнал отправлен в момент времени
Г1 и после отражения в точке В возвратился в точку А в момент времени t2. Тогда, по
определению, часы в точке В синхронны с часами в точке А, если они идут одинаково
быстро и в момент прихода светового сигнала в точку В установленные в ней часы
показывают время Гз«=(Г1 + Т2)/2.
Выбор светового сигнала в вакууме в качестве физического процесса, служащего
для синхронизации часов, сделан Эйнштейном не случайно. Во-первых, как показыва-
ют опыты, скорость любого другого сигнала, т. е. какого-либо физического процесса,
способного оказывать то или иное воздействие на встречающиеся препятствия, не
может превосходить скорость с света в вакууме. Во-вторых, согласно постулатам
теории относительности, величина с одинакова во всех направлениях и во всех инерци-
альных системах отсчета.
Определение, данное Эйнштейном, устанавливает однозначный и практически осу-
ществимый способ синхронизации часов, находящихся в разных точках системы от-
счета. Тем самым осуществляется хроипаетркмдея сжсгаш отсчета, т. е. в ней каждому
событию соответствует вполне определенный момент времени t (с точностью до
постоянного слагаемого, зависящего от выбора начала отсчета времени) независимо от
места совершения этого события.
88
§ 73. Преобразования Лоренца
1. № постулатов специальной теории относительности, а также из однородности
и изотропности пространства и однородности времени следует, что соотношения
между координатами и временем одного и того же события в двух инерция пыпл
системах отсчета выражаются преобразованиями Лоренца, а не преобразованиями
Галилея (7.1), как это считается в ньютоновской механике.
Преобразовала Лоренца имеют простейший вид в том случае, когда сходственные
оси декартовых координат неподвижной (X) и движущейся (К") инерциальных систем
попарно параллельны, причем система К' движется относительно К с постоянной
скоростью V вдоль оси ОХ (см. рис. 7.2). Если, кроме того, в качестве начала отсчета
времени в обеих системах (г=0 и t’=0) выбран тот момент, когда начала координат
О и О' обеих систем совпадают, то преобразования Лоренца имеют следующий вид:
x-Vt	_ x'+W
У=ь	у=У,
z'=z,	2=1!,
t—Vxjc2	t'+V*lc2
t'*=- - - - t= -	-,
y/x-V^c2	Jx-V^c2
(7-5)
где с - скорость света в вакууме.
2. Формулы (7.5) можно получить, например, следующим образом. Пусть в началь-
ный момент времени г=0 из точки О неподвижной системы отсчета К (рис. 7.3)
испускается весьма короткий световой сигнал, распространяющийся в вакууме. В систе-
ме отсчета К координаты точек, до которых дойдет сигнал к моменту времени t,
удовлетворяют условию
x2+y2+z2=c2i2.	(7.6)
В момент t=0 начало О' подвижной системы отсчета К' совпадает с точкой О. Часы
в системе К' целесообразно установить так, чтобы в этот момент времени г’ = 0. Из
постулатов теории относительности следует, что в системе отсчета К' закон распрост-
ранения того же короткого светового сигнала имеет вид, аналогичный (7.6), т. е.
к моменту времени f сигнал достигнет точек, координаты которых в системе отсчета К'
удовлетворяют условию
(л')2+(/)2+(2')2=с2(г')2.	(7.63
Таким образом, согласно постулатам специальной теории относительности, коор-
динаты и время в системах отсчета К и К' должны удовлетворять соотношению
(х')2+(У)2 + (И2 - с2 (02=х2+y2+z2 -et2.	(7.7)
Преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной систе-
мы отсчета к другой должны быть линейными, так как только такие соотношения не
противоречат полному равноправию Любых двух инерциальных систем отсчета, каж-
дую из которых с равным правом можно принять за неподвижную.
Оси O’Y’ и O'Z', а также попарно параллельные им осн OY и OZ лежат в плоско-
стях, перпендикулярных вектору V скорости движения подвижной системы К', т. е.
ориентированы по отношению к V совершенно одинаково. Поэтому связь между
координатами у и у должна быть такой же, как между / иг. Иными словами, искомые
преобразования имеют следующий вид:
х' = Я1К + ^1(, У = «2У + А/,
(7.8)
г' = а^ + р21, t’=aix+Pjt,
89
где аь Oj, в], fa, fa, А — постоянные коэффициенты, значения которых нужно найти.
Координаты точки О' в системах отсчета ЙГ и К равны:
л£-Уг“4“°, Xfr-Ff, ур-я^-О.
Подставив зги значения в (7Л), получим
ajFr+^ir-O; fat—О,
т. е.
Л---------------------------------aiK Д-0.	(7J)
Аналогично, координаты точки О в системах КпК' равны:
Хо-Уо-Хо-0,xj- - Fir', ye-xJ-O.
Подставив зги значении в (7.8), получим -Иг'-Д»и»'-Дг,т.е.
А---А/К-Оь	(7.У)
Таким образом, искомые преобразовании р.8) можно представить в более простом
ввде:
K'-ai(x-F0, У-«1У,
,	,	(7.10)
г—a>z, г—a»x-l-air.
Преобразовании (7.10) должны обеспечивать тождественное выполнение соотноше-
нии (7.7):
a?(x—Fr)2+a£y3+«|z2—с2(вэх+в1Г)2мх2+у2+я3—Л2.
Дли этого должны быть попарно равны слева и справа коэффициенты при л3, у2, я2, Г2
и хг
aJ-AJ-l, ag-1, a2(c2-F3)-c2,
FaJ+e’ajaj-O.	(7.11)
Таким образом, искомые коэффициенты равны:
«1- - -1-	, «2-1,
V1-W
F	F/c2
«»- ai-.............
<•
Подставив зги выражении в (7.10), подучим формулы (7.5) преобразований Лоренца.
** Мы отбросили второе ibbmi ад, удеалпворяпцее солги пп—ей (7.11) в рваное
e^-l/Vl-F’/c3, так как деи О]<0 вг>дм юн времени t в снстмв отстгга К. coonmnjm
убывание прминп г* в системе отсчета JT. Второе звачове «2 ——1 аш также отбрел петы, так ш
при этом У——у в я, т. а. орты содптвиш осей коордедег СТ в ОТ, СТ в 02
Шфввлеиы во ггпчис прптивпппвл— гтпрпк—
3. Преобразование Лоренца покатывают, что при псрешде от одной шерфаньиой
системы отсчета к другой, движушвйси относительно первой, ишенямпси де тольсо
простраясгвсиные координаты рассматриваемы! событии, ио и соответствующие им
моменты времени. Однако между простраиствсинымн координатами х', У ж У события
90
и временем f его совершения в произвольной инерциальной системе отсчета К'
существует определенная взаимосвязь. Согласно (7.7) величина (*Эа+6О1+(Иа—(С,Э2
не зависит от скорости V движения системы К', т. е. одинакова во всех инерциальных
системах отсчета — инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца:
(хЭ3+(/)’+(И2-(сОа -mv.
Координата ji и время t' не могут быть мнимыми. Поэтому из преобрячомядий
Лоренца следует, что скорость относительного движения любых двух инерциальных
систем отсчета V<c.
Преобразования Лоренца (7.5) переходят в преобразования Галилея (7.2) при V<c.c
или, точнее, в пределе при (И/с)-»0, т. е при с-»со. Иными словами, преобразования
Галилея и основанная на них классическая (ньютоновская) механика построены на
предположении о мгновенном распространении взаимодействий. Тахой приближенный
подход допустим лишь при рассмотрении закономерностей механического движения
тел со скоростями, во много раз меньшими скорости света в вакууме.
4. Из преобразований Лоренца видно, что в теории относительности можно говорить
об определенном «моменте времени» лишь применительно к одной и той же инерци-
альной системе отсчета, а также ко всем другим инерция тлым системам отсчета,
неподвижным тноатльво первой ^4ежду тем одному «моменту времени» в системе
отсчета К (одному определенному значению времени t в этой системе во всех точках
пространства) соответствует множество различных значений времени f в движущейся
системе отсчета К' в зависимости от значений координаты х различных точек прост-
ранства*
, I- Ух/с3
t'——==.
Наоборот, одному «моменту времени» в системе К' соответствует множество
значений времени t в системе отсчета К в зависимости от значений координаты х':
У+УхЦс1
Из сказанного ясно, что промежуток времени между какими-либо двумя определен-
ными событиями относителен, он изменяется при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой, движущейся относительно первой.
В частности, отмоежгежм пдапирмииипнь даух событий, ^ibbthjimihi в pawn
тожоях пространства события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета,
вовсе не всегда одновременны в других инерция ш.пмя системах отсчета, движущихся
относительно первой. Так, в примере, изображенном на рис. 7.3, достижение светом
вспышки точек А (событие 1) и В (событие 7) — события, пдипиреыеннме в неподвиж-
ной системе отсчета К (t3=6), ио совершающиеся в разных точках (х*= — х^) В движу-
щейся системе отсчета К' эти два события не одновременны*
, „ ti-Vx^ ti-VxAl^ 2VxA
—-	---— 	-° -	<0.
Vl-F’/c’	у/г-V1
В точку А, удаляющуюся от источника остовой вспышки — точки О', свет попадет
позже, чем в точку В, приближающуюся к О'.
5, События, связанные причинно-следственной связью, не могут совершаться одно-
временно ни в одной системе отсчета, так как всякое следствие обусловлено каким-то
цхщессом, вызываемым причиной. Между тем любой процесс (физический, химичес-
кий, биологический) не может протекать мгновенно. Поэтому относительность проме-
жутка времени между двумя событиями ни в какой мере не противоречит принципу
91
причинности. В любой инерциальной системе отсчета событие-следствие совершается
позже, чем событие, являющееся его причиной.
в. Специальную теорию относительности часто называют релипвиспжой теорией,
а специфические явления, описываемые этой теорией,— релятавнстаспа эффектами.
Как правило, релятивистские эффекты проявляются при скоростях движения тел,
близких к скорости света в вакууме (с=3*10в м/с) н называемых релятявастосимв
скоростями. Релятивистской мехапкой называется механика движении с релятивистс-
кими скоростями, основанная на специальной теории относительности.
6 7.4. Относительность длим и промежутков времени.
Интервал между двумя событиями
1. Из преобразований Лоренца (7.5) следует, что линейный размер тела, движущегося
относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения.
Это изменение продольного размера тела при его движении называется лоренцевыи
сокращенней. Пусть 4> — длина шержня, покоящегося в системе отсчета К'. Если
стержень расположен вдоль оси ОХ' (рис. 7.4), то Iq=x?2—xi> где х'2 и л/, — координаты
концов стержня. Длина I того же шержня в системе отсчета К, относительно которой
он движется вдоль оси ОХ со скоростью V, равна разности значений координат концов
стержня, измеренных в один и тот же момент времени f.
l=X2(t)-Xi W=(x'a-x'1)Vl- ^=4,71- F’/c1.	(7.12)
Поперечные размеры тела нс зависят от скорости его движения и одинаковы во всех
инерциальных системах отсчета:
Уг-У1=У1-Уи zz-zi^zi-z;.	(7.12')
Итак, линейные размеры тела относительны. Они максимальны в той инерциальной
системе отсчета, относительно которой тело покоится. Эти размеры тела называются
его собственными размерами.
Лоренцев о сокращение является кинематическим релятивистским эффектом. Оно нс
связано с действием на движущееся тело каких-либо продольных сил, сжимающих его
вдоль направления движения. Это сокращение
заметно сказывается только при скоростях дви-
жения, близких к скорости света в вакууме. Из
формулы для лорснцсва сокращения следует, что
тела не могут двигаться со скоростями с, так
как при V= с продольный размер тела становится
равным нулю, а при V> с он должен был бы быть
мнимым.
2. Еще одно важное следствие преобразований
Лоренца — относительность промежутка време-
ни между какими-либо двумя событиями (напри-
мер, между началом и концом какого-нибудь
промежутка времени от выбора инерциальной
системы отсчета. Пусть в движущейся инерциальной системе отсчета К' два рассмат-
риваемых события 1 и 2 происходят в одной и той же неподвижной относительно К
точке Л(х'1=х'1) в моменты времени t\ и t'2, так что промежуток времени между этими
событиями То=?2 —*1- Относительно неподвижной инерциальной системы отсчета
К точка А движется с той же скоростью V, что и система К'. Поэтому в К события
1 и 2 совершаются в разных точках с координатами Xi и х2, причем х2—xt = Ft, где
т= t2—tt — промежуток времени между событиями I и 2 по часам в системе отсчета К.
Из преобразований Лоренца следует, что
ПК Y1K’
О'
#	X'
x2(t) f
Рис. 7.4
процесса), т. е. зависимость этого
О
Ч Ч
(7-13)
92
Таким образом, промежуток времени между двумя событиями минимален в той
инерциальной системе отсчета, относительно которой оба события совершаются в од-
ной и той же точке. Время, измеряемое по часам, движущимся вместе с данным
объектом, называется собственным вршенем этого объекта. Рассмотренная нами зако-
номерность свидетельствует о существовании релятжаастского эффекта замедления
хода временя: часы, движущиеся со скоростью V относительно данной инерциальной
системы отсчета, идут медленнее в 1/^/1—Р’/с2 раз, чем неподвижные. Соответственно
в согласии с принципом относительности все физические процессы в движущейся
системе отсчета протекают медленнее, чем в неподвижной.
Эффект замедления хода времени становится заметным только при очень больших
скоростях движения V, близких к скорости света в вакууме. Он подтверждается
экспериментально, например в опытах с мюонами. Мюон — нестабильная элементар-
ная частица. Среднее собственное время жизни мюона (по часам в той инерциальной
системе отсчета, относительно которой он покоится) т0—2,2 мкс. Мюоны рождаются
в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лучей и движутся
относительно Земли со скоростями V, близкими к с. Если бы релятивистского эффекта
замедления хода времени не было, то по отношению к земному наблюдателю мюон
мог бы пройти за время своей жизни путь к атмосфере, не превосходящий в среднем
тос=66О м. Иными словами, мюоны не могли бы достигать поверхности Земли.
В действительности они регистрируются приборами, установленными на поверхности
Земли, так как среднее время жизни движущегося мюона по часам земного наблюда-
теля т=(то/^/1 — И2/^2)^*^ и путь, проходимый мюоном за это время, тУ5>660 м.
3.	Релятивистский эффект замедления хода времени в космическом корабле, движу-
щемся относительно Земли, открывает возможность осуществления сколь угодно
дальних космических полетов и путешествий «в будущее». Согласно принципу от-
носительности, все процессы на космическом корабле, включая и процесс старения
космонавтов, идут по тем же законам, что и на Земле. Однако при этом время на
корабле нужно измерять по часам, движущимся вместе с ним со скоростью V от-
носительно Земли. Если V близко к с, то часы на корабле идут значительно медленнее,
чем на космодроме, а именно в — раз. Например, при Д= V/c=0,99999 ход
часов на корабле и на Земле различается в 224 раза. Следовательно, на таком корабле
за промежуток времени т0—10 лет по корабельным часам можно совершить, постарев
всего на 10 лет, космический перелет, который по часам на Земле будет продолжаться
г=2240 лет! При этом корабль удалится от Земли -на огромное расстояние
1= Ут=ficr=2239,98 св. лет (световым годом называется расстояние, проходимое све-
том в вакууме за один год: 1 св. год=9,46* 1015 м). Чем ближе И к с, тем больший путь
/может пройти космический корабль относительно Земли за один и тот же промежуток
т0 собственного времени на корабле, т. е. тем более дальний космический перелет могут
совершить космонавты за свою жизнь. Если космонавт, совершив космический полет
со скоростью V, близкой к с, возвратится на Землю, то он обнаружит, что люди на
Земле (в частности, его брат-близнец, оставшийся на Земле) постарели за время полета
больше, чем он. При достаточно малом отличии V от с, когда (1 —И’/с2) 1/25>1,
космонавт может за время полета пережить всех своих сверстников на Земле и оказать-
ся по возвращении на Землю среди представителей последующих поколений людей.
4.	На первый взгляд кажется, что, основываясь на принципе относительности, можно
прийти к прямо противоположным выводам, часы на Земле, движущейся со скоростью
—V относительно космического корабля, должны отставать от часов на корабле.
Поэтому длительность полета должна быть большей для космонавта, а не для жителей
Земли. Соответственно за время полета должен сильнее постареть тот из двух близ-
нецов, который летел на корабле. Таким образом получается, что разность показаний
часов на космодроме и на корабле после приземления последнего должна быть, с одной
стороны, положительной, а с другой — отрицательной. Этот абсурдный результат
получил название парадокса часов, или парадокса времена. В действительности ника-
кого парадокса здесь нет. Он возник вследствие неправильного применения принципа
относительности. Этот принцип говорит о полном равноправии не любых систем
отсчета, а только инерциальных. Между тем система отсчета, связанная с космическим
93
кораблем, в отличие ст земной или, точнее, солнечной системы отсчета не все время
является инерциальной, тая как во время набора скорости после старта, при облете
цели и торможении иа участке спуска на Землю корабль движется с ускорением.
Поэтому задача о ходе часов на космодроме, которые все время покоятся относитель-
но одной и той же инерциальной системы отсчета, и часов на космическом корабле
несимметрична, а соответствующие системы отсчета - неравноправны. Правильны
рассуждения, изложенные вначале, поскольку они основаны на использовании инерци-
альной (земной) системы отсчета. Соответственно дальнейшие рассуждения, привед-
шие к парадоксу часов, ошибочны. Во втором случае нужно пользоваться не специаль-
ной, а общей теорией относительности. При этом оказывается, что н с точки зрения
космонавта его часы должны идти медленнее, чем часы на космодроме.
5.	Интервалом (вросграветвешо-време^вш шгервалом) вежду даумя еобы1ив1и, из-
меренным в инерциальной системе отсчета К', называется величина
^2=>42(Г12)2-(Г12)2,	(7.14)
где t\2=i'2—t j промежуток времени между рассматриваемыми событиями I и 2 (по
часам в системе отсчета А^'); Г12 расстояние между точками, в которых совершаются
события / и 2, измеренное также в системе отсчета К':
г - у/(А - О1+W -У1)2 + (z2 ~ А )2-
Из преобразований Лоренца (7.5) следует, что интервал между двумя событиями
/ и 2 инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, т. е. не
изменяется при переходе от движущейся инерциальной системы отсчета К' к неподвиж-
ной системе отсчета К:
Хц='\/с2^ i2—/j2-	(7.15)
В самом деле,
« 2)2=с2 (t'2 -1 'i )2 - (x*2 - x\ )2 - (у2 -у; )2 - (/2 - У,)2=
с2-»'2	l-F’/c2
1 — У/с*	1 — v*lcr
Если г}2>0, т. е. in действительное число, то интервал зц называется времеяжю-
добным. Интервал з12 называется пространспемоподобиым, если з?2 < 0, т. е. з,2 — мни-
мое число
в. Из инвариантности интервала по отношению к выбору инерциальной системы
отсчета К' следует, что во всех системах отсчета К*, движущихся вдоль осн ОХ
неподвижной системы отсчета К со всевозможными скоростями V, значения
i/p //—ш X Iе о —4-		 X \	4 Рис. 7.5	112 и /12 для данных двух событий удовлетворяют урав- нению гиперболы Оо)2 —012)2 = ^12- Если т?2>0, то связь между f'12 и /'12 в различных инерциальных системах отсчета К', отличающихся значе- ниями скорости V (0<И<с), изображается графически в вида двух ветвей I и II гиперболы (рис. 7.5). Следовате- льно, знак промежутка времени между событиями 1 и 2, связанными времениподобным интервалом, абсолютен, т. е. не зависит от выбора инерция ттьнпй системы от- счета: во всех системах отсчета К* второе событие проис- ходит либо всегда позже первого (г'12>0, ветвь I), либо всегда раньше первого (f'12<0, ветвь II). Расстояние
94
Гц относительно, причем можно указать такую инерциальную систему отсчета JC,
в которой Г12=0, т. е. события / и 2 совершаются в одном и том же месте (точки
Л и Я на гиперболах I и II).
Двум событиям, связанным причинно-следственной связью, всегда должен соответ-
ствовать времениподобный интервал или в крайнем случае интервал, равный нулю
($12=0). Эго обусловлено тем, что сигнал, посредством которого событие / (причина)
вызывает событие 2 (следствие), не может распространяться в пространстве со скоро-
стью, превосходящей скорость света в вакууме: Г12
В случае событий, связанных пространственноподобным интервалом (г?2 <0), знак
t'и относителен: г'12>0 (верхняя часть гиперболы III на рис. 7.5) в одних инерциальных
системах отсчета К', а в других г'12 <0 (нижиняя часть гиперболы III). Точка С соответ-
ствует такой системе отсчета К', в которой г']2=0, т. е. события I и 2 происходят
одновременно.
§ 7.5.	Преобразование скоростей и ускорений
в релятивистской кинематике
1.	Значения v и У скорости точки в двух инерциальных системах отсчета К и К' равны
dr
v=—=vxl + v>j+vIk,
dr*
У=—(=+ Vyf + i^k',
где r=xi+yj+zk и У=хТ+У|'+Л' — радиусы-векторы рассматриваемой точки в си-
стемах отсчета К и К’. Проекции скоростей v и У на осн декаровых координат равны:
(7.16)
Если сходственные осн декартовых координат систем отсчета К и К' попарно
параллельны и система К' движется относительно К с постоянной скоростью V,
направленной вдоль оси ОХ (см. рис. 7.2), причем в момент начала отсчета времени
вКиА" (г=г'—0) начала координат О и СУ этих систем совпадают, то спр&всдливы
преобразования Лоренца в форме (7.5). Из этих преобразований следует, что
dy_dx/df-F_ ъ-V
ш чА-Л2 Vi-/»2’
VAx
d/	dy dr*	dz di' c1 di	1 — Увж/са
di	di	f’ di	di	” di	^/i— fi1	4/1 —fi2 ’
где fl= V/c. Так как
t4=dx'/dr'=(dx'/dr) .(di'/dr),
=d//dr'=(d//di): (dr '/dr),
<=dy/di'=(dz'/dr): (dr'/dr),
95
то связь между проекциями скоростей точки на оси декартовых координат в системах
отсчета К и К' имеет вид
ъ-V	^+У
*>х=------:
I-Vvjc*	l + Vv’Jc*
f ny^i-v2/^	v2/'?
*x	I — Vvjc* ’ 9f~ 1 + Vv'Jc2 ’
(7-17)
,	v’^l-V^c2
vL=--------—, t)»=-------------.
I-Pejc2	l+Pt^/c2
Эти формулы выражают закон сложения (преобразовании) скоростей в релятивистс-
кой кинематике. В пределе при с-» ос они приводят к обычному закону сложения
скоростей в классической механике Ньютона (7.3) и (7.4):
v'^=vI— V, tiy=Vy, v?=Vi и v'=v—V.
2.	Пользуясь формулами (7.17), можно показать, что квадраты модулей векторов
v н У связаны между собой следующими соотношениями:
(И2=с2
(i-^Xi-rW
(1-F.Jc2)2 J’
(7.18)
(1+И</с2)2 j
Из (7.18) следует, что если v'=c, то v=c и наоборот. Таким образом, если скорость
точки относительно какой-либо инерциальной системы отсчета равна скорости света
в вакууме, то она должна быть такой же по отношению к любой другой инерциальной
системе отсчета.
С другой стороны, если v'<c, то же, и, наоборот, если же, то v'<c, так как при
этих условиях выражения, стоящие в формулах (7.18) в квадратных скобках, меньше
единицы. Отсюда, в частности, следует: как бы ни были близки к с скорости двух
частиц, их относительная скорость всегда меньше с. Например, пусть две частицы
движутся вдоль оси ОХ системы отсчета К навстречу друг другу со скоростями,
соответственно равными V|=0,9ri и v2= — 0,7а. Скорость п2] второй частицы относите-
льно первой не равна, как это считается в ньютоновской механике, геометрической
разности v2 —*!= — l,6ci хотя бы потому, что модуль этой скорости превосходит с.
Искомая скорость равна скорости второй частицы относительно инерциальной систе-
мы отсчета К’, движущейся вместе с первой частицей (V=0,9ci), т. е.
«21
Так как 1^= —0,7с, v2/=v2l=0 и И=0,9с, то из формул (7.17) следует, что
”2*— V 1,6с
v' =----------- ----------= - 0,982с.
1-FtiiJc2	1+0,63
«2/=^=0,
т. е. u2i= — 0,982сГ и |в22|<с.
96
3.	Аналогично можно показать, что из (7.5) и (7.17) получаются слЬдующие соотноше-
ния между проекциями ускорения точки на оси декартовых координат систем отсчета
К и К' :

di'
1 - V2/^
(1 - Vvjc2)3’
(7.19)
di/, Г/	F«x\ Vvt “I 1 - V2/c2
a*~dt’ ~L\	c’ □ (’ - Fejc2)3’
d»x	/V’-F’/c’Y
Ож = — ~ai I -----. I >
di	\ 1 + Vv’Jc? )
d«„	/ Pti'\ Fti'. l-^/c2
av =	=	1+-— la’-----г aL -----------,
-di \ c2) y c2 (1 + Pt^/c2)3
(7.19')
а®, Г А	И1,Л Vv'< ,1 i-r2/c2
— = I 1 "J—7’ I oL-----— dj I---------—.
di |_\ c2 ) c2 J (1 + Pfy/c2)3
Формулы (7.19) и (7.19') выражают закон преобразования ускорений в релятивистской
кинематике. Если с и скорость точки®-*:с, то«,х<сс,	с, ох« с и релятивистские
формулы (7.19) и (7.190 переходят в классические; ay=ax, d^=ay, dy=az и а'=а.
§ 7.6.	Понято о релятивистской динамике
1.	Из принципа относительности следует, что математическая запись любого закона
физики должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчета. Это означа-
ет, что уравнения, описывающие какое-либо явление в системе отсчета К', получаются
из уравнений, описывающих то же самое явление в системе отсчета К, путем простой
замены в последних всех нештрихованных величин, т. е. измеренных в системе К, на
штрихованные, т. е. измеренные в системе К'. Указанное условие называется условием
ковариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца
или, короче, условием лоревщ-ннвариянтности.
Основной закон классической динамики Ньютона для материальной точки
dv	d
т —=F или - (mv) = F,
di	d/
в котором масса т этой точки и действующая на нее сила F считаются одинаковыми во
всех инерциальных системах отсчета, не удовлетворяет условию лоренц-инвариант-
ностн и не может служить основой релятивистской динамики.
2.	В релятивистской динамике, как и в ньютоновской, принимается, что импульс
р материальной точки пропорционален ее массе т и совпадает по направлению со
скоростью v этой точки. Однако, в отличие от ньютоновской динамики, импульс
точки нелинейная функция ее скорости:
гт
Р= - “ - •	(7-20)
у/\-V2lc2
97
При этом предполагается, что масса т не зависит от скорости материя пиилЬ точки
и тем самым инвариантна по отношению к выбору системы отсчета. Если t«c, то
выражение (7.20) практически равно tm, т. е. совпадает со значением импульса мате-
риальной точки в ньютоновской механике. Импульс р, выражаемый формулой (7.20),
иногда называют релитпвпстоов* маулсом материалыюй точки.
••До иедямег» времени массу т обычно называли массой покои мятгрчшпой точки,
а т/у/1 — в1/с1 — релятивистской массой этой точен. Сошветвенно говорили о зависимости
массы материальной точки от ее скорости, пошли при этом под массой релятивистскую массу
точки.
3.	Освопаое уравиеме релятшиегасой двмипя материальной точен имеет вид:
d
dt
(7.21)
или
— = F.	(7.22)
dr
В отличие от ньютоновской механики сила F, действующая на материальную
точку, не инвариантна по отношению к выбору инерциальной системы отсчета. Прави-
ла преобразования компонент силы при переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой можно получить из условия лоренц-инвариантности уравнения (721)
и найденных ранее правил преобразования времени и компонент скорости материаль-
ной точки.
При малых скоростях (с«с) уравнение (7.21) практически совпадает с основным
уравнением ньютоновской динамики (2.5). Однако по мере увеличения скорости мате-
риальной точки ее импульс возрастает быстрее, чем скорость. Из (7.20) видно, что
lim р =оо. Все рея пьиме силы конечны по величине, а их действие на тело ограничено по
времени. Поэтому согласно (722) они не могут сообщить телу бесконечно большой
импульс Следовательно, скорость тела по отношению к любой инерциальной системе
отсчета не может быть равна скорости света в вакууме, а всегда меньше ее.
Это утверждение справедливо также для атомов, молекул и всех элементарных
частиц, за'исключением фотонов, нейтрино и антинейтрино, у которых масса равна
нулю*, так что их скорость не может отличаться от с.
4.	Найдем выражение для ^ннетичссжой энергии материальной точки в релятивистс-
кой механике. Приращение кинетической энергии материальной точки на элементар-
ном перемещении dr равно работе, совершаемой на этом перемещении силой F,
действующей на материальную точку:
d»/,=Fdr=Fvdt,
(723)
где v — скорость точки. Из (721) следует, что
поэтому
т	mvdv
dlF_= - vdv +--------------
Vl-v’/C2	?(i-^)3/2
•В настоящее время тщательно изучается вопрос о возможном отличии от 0 значений масс
нейтрино и антинейтрино (см. § 46.5)
98
Тах ках vdv=»di> и w=»2, то
Mirdv
dw;=-=
mvdv
-------—=c*d
(1-^
m
Итак, связь между изменением кинетической энергии материальной точки и ее
скоростью имеет вид:
dH>= с2 d ( -^т 	|.	(724)
v^/i— в2/са/
Интегрируя это уравнение по е от 0 до v, получаем следующую зависимость
хане! и ческой энергии материальной точки от скорости:
Г mvdv , Г 1	1
W.= ---------=mc2	-1 I.
J (1 —х>2/са)Э/3 Wl-vV J
(725)
Воспользуемся разложением в ряд Тейлора:
1
1
1 + -
2
Если v«c, то можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда, тогда

7am»2.
Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки ее кинетичес-
кая энергия, вычисленная по релятивистской формуле (7.25), совпадает со значением
этой энергии в ньютоновской механике. Однако при больших скоростях материальной
точки ее кинетическая энергия W, отлична от m»r/2, неограниченно возрастая по мере
приближения v к с. Формулы (724) и (725) справедливы также для системы материаль-
ных точек (например, твердого тела), движущихся ках одно целое со скоростью v.
5.	С помощью соотношений (7.23) и (724) можно преобразовать уравнение (721)
и найти в явном виде связь между ускорением материальной точки a=dv/df и вызыва-
ющей сто силой F:
d / rm \ d ( т \ т v dW* т Fv ma
--1 —____: l=v — I —— .	|+—	. b=--------ha — . .	— v+—------.
d<Vl-»7e/ d‘VI-b’/c2/	d<	V'l-v’/c2
Таким образом,
(7.26)
Из этого уравнения видно, что ускорение а совпадает по направлению с вызыва-
вшей его силой F только в двух случаях:
a)	F±v (поперечная сим), так что Fv=0 и
а«------F;
т
(727)
99
6)	F||v (продольная сила), так что
(728)
Из формул (7.28) и_(727) видно, что продольная сила сообщает материальной точке
ускорение в (1	' раз меньшее, чем такая хе по модулю поперечная сила. Это
связано с тем, что поперечная сила вызывает изменение скорости точки только по
направлению (модуль v скорости точки не изменяется), а продольная сида вызывает
изменение значения модуля скорости и, соответственно, модуля импульса,
в. В специальной теории относительности так же, как и в ньютоновской механике,
предполагается, что пространство однородно. Поэтому из основного закона динамики
(7.22) следует справедливость закона сохранения ямпульса в релятивистской механике
импульс эаквшутой системы на изменяется при любых процес-
сах, происходящих  этой сметано.
Если замкнутая система состоит из л материальных точек, то
а
Е
<-1

=const,
где tnt и vj — масса и скорость /-й материальной точки.
§ 7.7. Закон взаимосвязи массы и анергии
1.	Кинетическая энергия W* частицы иди тела есть не что иное ках разность значений
полной энергии згой частицы (или тела) в двух состояниях: движения со скоростью
v и покоя (при о—0). Поэтому согласно (725) полная энергия W чветшцл или поступате-
льно движущегося тела, а также их полная энергия (Уо в состоянии покоя, называемая
энергией покоя, равны:
W-  - и Wo^mc2.	(729)
ч/1
Энергию покоя свободной частицы обычно называют ее собственной энергией.
Второе соотношение (729) справедливо как для отдельной частицы, так и для любой
системы частиц (в частности, дня атомного ядра, атома, молекулы, твердого тела и
т. д.). Оно выражает один из основных законов теории относительности — закон
взаимосвязи масоа н энергии:
энергия покоя сиотамы равна произведению массы этой си-
стемы на квцдрат скорости свата в вакуума.
2. Энергия покоя тела завиогг от его состава и внутреннего состояния. Например, при
нагревании тела его энергия покоя увеличивается. Одновременно с этим происходит
возрастание массы тела, как того требует закон взаимосвязи массы и энергии.
100
В качестве примера найдем увеличение массы сиЬтёмы йз двух одинаковых шаров
в результате их нагревания при абсолютно неупругом прямом центральном ударе.
Пусть, ради простоты, шары движутся навстречу друг другу с одинаковыми помодулю
скоростями. В процессе удара систему шаров можно считать замкнутой, т. е. удовлет-
воряющей условиям сохранения импульса и полной энергии. Если т масса каждого
шара до удара, a v и —v — начальные скорости шаров, то импульс системы после
удара равен нулю:
zrv	пти
р=	------=0.
>/1—»2/с2	v/1- i>2/t2
После удара шары останавливаются, а их полная энергия представляет собой только
энергию покоя: W= Мс1. Из закона сохранения полшой энергии при ударе имеем:
, Ъпс1
Мс2 =
v/1-^/С2
Таким образом, увеличение массы системы при ударе
( 1 А
М—2т^2т\	— — I I.
W1--V '/
3. Из формул (7.29) и (7.20) легко найти связь между полной энергией частицы (или
тела) н ее импульсом;
„	т2?
И* =-------
1-(„/с)2
mV?
1-(«/с)2
т. е.

(7.30)
где т — масса частицы (тела). При переходе от одной инерциальной системы отсчета
к другой, движущейся относительно первой, скорость частицы, ее импульс и полная
энергия изменяются. Однако, как видно из (7.30), разность квадрата полной энергии
частицы, деленной на квадрат скорости света в вакууме, и квадрата импульса этой
частицы, подобно интервалу между двумя событиями, не зависит от выбора инерци-
альной системы отсчета:
(И”)2	И'2
, —p2=m2c2=inv.	(7.31)
с2	с2
Можно показать, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета
К к другой К', движущейся со скоростью V=const вдоль оси ОХ (рис. 7.2), проекции
импульса частицы на оси координат и ее полная энергия преобразуются по формулам,
получающимся из формул (7.5) для координат и времени путем замены в них х, у и z на
рх, ру и pz (соответственно х', у и / на ру, р'у и р'у), а г на W/c2 (соответственно Г' на
W’lc1):
, P1-VWI?	Уу+VW'/c1
ру=—	,	рх= — --——
^/l-E’/c2	Vl-^/c2
Ру=Ру,	Ру=Р/г
(7-32)
Pt1—Pit	Pz — Ptt
W-VPl ,	i¥'+Vp'
W'=	-	-=¥=.
4/l-E2/c2 Jl-V2/c2
101
4. Найдем закон преобразования проекций силы F, действующей на частицу (матери-
альную) точку) при переходе от инерциальной системы отсчета К к К'. Из основного
уравнения релятивистской динамики (7.22) следует, что в системе отсчета К
Эти выражения для проекций силы F' на оси координат системы отсчета К' можно
переписать в форме:
dp*, dr , dX dt	dp' dr
FL,=— —, F'~ ' — и	,
dt dt'	dt dt’	dt dt’
где согласно преобразованиям Лоренца (7.5)
dt' I-Vejt? dt v/l-FV
— = — — и —=  ——.
dr — V^c* dr' 1—Pbx/c2
Из формул (7.32) для преобразований проекций импульса и полной энергии части-
цы имеем:
dpx V dH'
, d /рх— FW/ca\ >/1 — Fa/ca dt с1 dt
* dt X^/l _ Г’/cV 1 - Fvx/c2	1 - Июх/с2 ’
dA^l-K’/c1
F' =------------ и Fj= —-------------•
' dr 1-Ивх/с2	dr 1-Ггх/с3
Энергия частицы изменяется за счет работы, совершаемой силой F:
d»F=Fdr=Fvdr.
Таким образом, окончательно получаем следующие правила преобразования проекций
силы в релятивистской динамике:
Fx- И(Гу)/?
1 ’
l-yvjc? '
(7.33)
Xs/l-F2/^
F* set	*•
' 1-Fvx/C2
102
Обратные преобразования имеют вид:
г J^+VWIc1
1+ l-V/c2 ’
/= 1 + Г^/с2 ’
(7.ззэ
r_F'^l-V1/ci
*	1 + WJt?
Из формул (7.33) и (7.33') видно, что в нерслятивистсхом случае (У«с и ®<кс)
F^=F„ F'y^Fy, F't.=FI и F'=F, т. е. сила, действующая на частицу, не зависит от
выбора инерциальной системы отсчета. Именно это и предполагается в ньютоновской
механике.
в. Рассмотрим несколько частных случаев преобразования проекций силы, дейст-
вующей на частицу.
Пример 1. В системе отсчета К частица неподвижна (v=0, »х—0):
F^=F„ F'^Fyyfi-m и F’^F.y/l-V2^.
Таким образом, в этом случае продольная (по отношению к скорости V движения
системы отсчета К') составляющая силы не изменяется, а поперечная уменьшатся
Bl/v/l-F’/c2 раз.
Пример 2. В системе отсчета К скорость частицы ортогональна оси ОХ (®х=0).
Тогд а в системе отсчета К'
F^F,-V(fy,+F*M?,
F',=F,Ji-vy<? и	W-
Пример 3. В системе отсчета К скорость частицы параллельна оси OX(v,=vz=>0).
В системе отсчета К' проекции силы равны:
J’yy/l-V2/?	F^l-V2/^
\-VeJc2 И	l-Fr^/c2
в. Легко видеть, что энергия покоя Wo свободного твердого тела или любой другой
системы взаимодействующих частиц (например, молекулы, атома, атомного ядра),
обладающей некоторой прочностью, не равна сумме собственных энергий л^с3 всех
частиц, входящих в состав этой системы, в свободном состоянии. Для расщепления
такой системы на ее составные части (например, атомного ядра — на свободные
протоны и нейтроны, атома — на электроны и ядро и т. д.) необходимо совершить
определенную работу А против сил сцепления между частицами. Поэтому на основа-
нии закона сохранения и превращения энергии
£ «,<?= Wo+A
или
Wo= f	(7.34)
/-1
103
где ЛИ'еа=Л>0 — ввергая сваи системы, характеризующая степень ее прочности;
л — число частиц в системе.
Соответственно масса М системы меньше суммы масс всех се частиц в свободном
состоянии*
__	CS
«I- —у-<о.
i-1	*
(7-35)
Закон взаимосвязи массы и энергии был надежно подтвержден многочисленными
экспериментами в ядерной физике. Предсказываемые на его основе энергетические
эффекты различных ядерных реакций И превращений элементарных частиц находятся
в точном согласии с результатами экспериментов.
Вопросы:
1. Что нового внесла специальная теория относительности в наши представления о свойствах
пространства и времени?
3.	Как согласовать конечное значение скорости космического корабля с утверждением о при-
нципиально неограниченной дальности палета этого корабля? Докажите, что интервал
между стартом космического корабля и его возвращением — времениподобный.
3.	Докажите, что относительная скорость двух частиц с ненулевыми массами всегда меньше
скорости света в вакууме
4.	Как зависят от скорости материальной точки ее релятивистский импульс и кинетическая
энергия?
5.	Объясните смысл закона взаимосвязи массы и энергии. Может ли при ядерных реакциях
происходить преобразование массы в энергию?
1. Какие Вам известны величины, сохраняющиеся при переходе от одной инерциальной систе-
мы отсчета к другой?
7. Соблюдается ли закон сохранения импульса в специальной теории относительности?
Часть
2
Основы
молекулярной физики
и термодинамики
Глава 8
Исходные понятия и
определения
Глава 8
Первый закон
термодинамики
Глава 10
Кинетическая теория газов
Глева 11
Второй закон термодинамики
Главе 12
Реальные газы и пары
Глава S’______________________________________
Исходные понятия и определения термодинамики
и молекулярной физики
§ В.1. Введение. Тепловое движение
1. Мы приступаем к изучению молекулярной физики — раздела физической науки,
в котором рассматриваются зависимости агрегатных состояний и свойств тел от их
строения, взаимодействия между частицами, из которых состоят тела, и характера
движения частиц.
Уже давно было доказано, что все тела состоят из атомов, молекул или ионов,
находящихся в непрерывном хаотическом тепловом движении. Теория строения веще-
ства, базирующаяся на этих представлениях, называется молекулярно-кинетической. Ее
основы были заложены в 40-х годах XVIII в. М. В. Ломоносовым. Он сформулировал
исходные положения этой теории и применил ее к объяснению различных явлений.
Ломоносов считал, что все тела состоят из «корпускул», содержащих некоторое
количество «элементов». Спустя столетие выяснилось, что под этими терминами нужно
понимать молекулы и атомы. Вот, например, как Ломоносов доказывал справед-
ливость закона Бойля -- Мариотта, открытого Р. Бойлем (1611) и независимо от него
Э. Мариоттом (1676). Предположим, ради простоты, что газ находится в сосуде
кубической формы* со стороной а и объемом Va3, и допустим, что частицы газа
движутся перпендикулярно стенкам сосуда. Ломоносов считал, что давление р газа есть
результат соударений его частиц со стенками сосуда. Как оно изменится, если сторона
куба уменьшится вдвое и, следовательно, объем сосуда будет V'l = i/ea3 = l/eVl Оказы-
вается, что оно должно возрасти в восемь раз: в два раза за счет того, что каждая
частица проходит между стенками вдвое меньшее расстояние, и в четыре раза за счет
того, что площадь поверхности стенки в четыре раза уменьшается. Таким образом,
новое давление газа будет равно pt = Sp. Следовательно, pV=p\V\. Это и есть закон
Бойля Мариотта.
Во второй половине прошлого столетня работами многих выдающихся физиков
(Д. Джоуля, Р. Клаузиуса, Д. К. Максвелла, Л. Больцмана и др.) молекулярно-
кинетическая теория строения и свойств вещества получила всестороннее развитие
и применение во многих областях физики и химии. Экспериментальной проверкой
правильности молекулярно-кинетической теории явилось объяснение на ее основе
броуновского движения, процессов диффузии, теплопроводности н других явлений.
2. Огромная роль молекулярно-кинетической теории в развитии физики состоит
в том, что она позволила единым образом подойти к изучению физических явлений,
так или иначе связанных с характером движения молекул в телах. Многие свойства тел
в разных агрегатных состояниях объясняются различиями в характере движения
атомов и молекул в газах, жидкостях и твердых телах. В свою очередь, особенности
теплового движения в трех агрегатных состояниях связаны с тем, что между молекула-
ми действуют силы взаимного притяжения и отталкивания. Они проявляют себя тем
в большей степени, чем меньше среднее расстояние между молекулами.
В не слишком сильно сжатых газах средние расстояния между молекулами столь
велики, что силы межмолекулярного взаимодействия практически не влияют на движе-
ние молекул. Поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что молекулы
движутся прямолинейно и равномерно до тех пор, пока не происходят столкновения их
между собой или со стенками сосуда, в котором находится газ.
* Л омоносов рассматривал газ, находящийся в сосуде сферической формы.
106
3. В твердых кристаллических телах силы взаимодействия между тастицами (атома-
ми, ьдолскулаъли или ионавки) весьэ^а ие^шжла ^)дновревленное	сип пр— 
и отталкивания мезкду частицами твердых тел приводит к тому, что эти частицы №
могут удалиться друг от друга на большие расстояния. Они совершают колебания,
около некоторых средних равновесных положений, которые называются узлями кри-
сталлической решетки.
4. Тепловое движение молекул жидкости имеет промежуточный характер между
двумя предыдущими видами д видений. В нем наблюдаются черты, присущие теплово-
му движению частиц как в твердых телах, так и в газах. Молекула какое-то время
колеблется около некоторого положения равновесия — находится в оседлом положе-
нии, которое время от времени смещается на расстояния, сравнимые с размерами
молекул. Таким образом, молекула после пребывания в одном оседлом положении
перемещается в другое оседлое положение Выходит, что молекулы жидкости и колеб-
лются и медленно перемещаются по объему сосуда
§ 8.2.	Статистический и термодинамический методы
исследования
1.	Число атомов (или молекул) в любом теле огромно. Например, в 1 м1 газа при
обычных давлениях и температурах содержится порядка Ю25 молекул, а в жидких
и твердых телах — порядка 102* молекул. Если считать, что движение каждого атома
(или молекулы) подчиняется законам классической механики, то практически невоз-
можно даже написать систему дифференциальных уравнений движения такого множе-
ства молекул*. Но, если бы такая система уравнений и была написана, о ее решении
(даже с помощью самых совершенных ЭВМ) не может быть и речи Поэтому поведение
отдельной молекулы (или атома) тела, например ее траектория, последовательность
изменений ее местоположения и скорости не могут быть изучены методами классичес-
кой механики — они изменяются во времени случайным образом.
2.	Физические свойства макроскопических систем, состоящих из очень большого числа
частиц, изучаются двумя взаимно дополняющими друг друга методами: статистичес-
ким и термодинамическим. СтятвстичесжЛ метод основан иа использовании теории
вероятностей и определенных моделей строения изучаемых оятгем. В совокупном
поведении большого числа частиц, координаты и импульсы которых случайны в любой
момент времени, проявляются особые стгпкггвчеоак зякоиимцивети. Например, в га-
зе можно определить средние значения скоростей теплового движения молекул и их
энергий, однозначно связанных с температурой газа Можно также найти зависимость
от температуры средней энергии колебательного движения частиц в твердом теле
Свойства макроскопической системы частиц обусловлены не только индивидуальными
свойствами самих частиц, но также особенностями их совокупных движений и сред-
ними значениями динамических характеристик частиц (средние скорости, средние
энергии и т д.). Раздел теоретической физики, в котором с помощью статистического
метода изучаются физические свойства макроскопических систем, называется статисти-
ческой фвзжкой. Связь между динамическими закономерностями, описывающими дви-
жение отдельных частиц системы, и статистическими закономерностями заключается
в том, что законы движения отдельных частиц после усреднения по всей системе
определяют свойства системы частиц, описываемые статистическим методом.
Э.	Кроме статистического метода исследования физических явлений существует термо-
лявпонеск^1 метод, в котором не рассматриваются внутреннее строение изучаемых
тел и характер движения отдельных их частиц. Термодинамический метод основан на
я на пите условий и количественных соотношений при различных превращен ii ях энергии,
происходящих в системе. Соотношения между разными видами энергии позволяют
изучать физические свойства исследуемых систем при самых разнообразных процессах,
в которых эти системы участвуют Раздел теоретической физики, в котором физические
свойства макроскопических систем изучаются с помощью термодинамического метода,
называется термодктмвкой.
Термодинамика основывается на двух, установленных опытным путем законах
первом и втором законах (началах) термодинамики, а также на тепловой теореме
•Всей бумаги, имеющейся на Земле, для этого не хватило бы!
107
Нсрнста, или третьем захонс (начале) термодипампти. Применение этого начала
необходимо при решении сравнительно небольшого числа задач. Загоны термодинами-
ки позволяют получить много сведений о физических свойствах макроскопических
систем в различных условиях. При этом не нужно пользоваться какими-либо конкрет-
ными представлениями о внутреннем строении исследуемых систем и характере движе-
ния тех частиц, из которых образованы тела системы. В этом состоит преимущество
термодинамики. Она может применяться к изучению явлений, относящихся к различ-
ным разделам физики (налримср, в молекулярной физике, члегтродинамите и др.). Но
в этом же состоит и ограниченность термодинамики При изучении тех явлений,
в которых строение вещества тел играет определяющую роль, термодинамика оказы-
вается беспомощной.
Б ВЛ. Термодинамические системы,
термодинамические параметры и процессы
1. Мысленно выделенная макроскопическая система, рассматриваемая методами тер-
модинамики, называется термодпамической системой Все тела, не включенные в со-
став исследуемой системы, называются внешними телами или внешней средой. Обмен
энергией и веществом может происходить как внутри самой системы между ее частями,
так и между системой и внешней средой В зависимости от возможных способов
изоляции системы от внешней среды различают несколько видов термодинамических
систем.
Открытой системой называется термодинамическая система, которая может об-
мениваться веществом с внешней средой. Типичными примерами таких систем могут
служит! все живые организмы, а также жидкость, масса которой непрерывно уменьша-
ется вследствие испарения или кипения Закрытая снстема не может обмениваться
веществом с внешней средой. В дальнейшем мы будем рассматривать только закрытые
системы, химический состав и масса которых не изменяются
Термодинамическая снстема называется азолироваявой, если она не может об-
мениваться с внешней средой ни энергией, ни веществом. Замкнутой системой будем
называть термодинамическую систему, изолированную в механическом отношении,
т. е. не способную к обмену энергией с внешней средой путем совершения работы.
Примером такой системы может служить газ, заключенный в сосуд постоянного
объема. Термодинамическая система называется ядвябятвой, если она не может об-
мениваться с другими системами энергией путем теплообмена. Примером адиабатной
системы может служить тело-, окруженное теплоизолирующей оболочкой (например,
тело, помещенное в сосуд Дьюара). В каком-либо процессе систему можно приближен-
но считать адиабатной, если изменение ее состояния в этом процессе происходит
достаточно быстро, так что теплообмен между системой и внешней средой не успевает
происходить (например, при быстром сжатии газа в цилиндре с подвижным поршнем)
2. Термодинамическими параметра» (параметрами состояпн) называются физические
величины, служащие для характеристики состояния термодинамической системы.
Примерами термодинамических параметров являются давление, объем, температу-
ра, концентрация и др. Различают два типа термодинамических параметров* экстеиап-
iu и нптевевшв. Первые пропорциональны количеству вещества в данной термоди-
намической системе, вторые не зависят от количества вещества в системе. Простейшим
экстенсивным параметром является объем V системы Величину с, равную отношению
объема системы к ее массе, называют удельшм объемом системы. Простейшими
интенсивными параметрами являются давление р и температура Т.
Давлением называется физическая величина

где	— модуль нормальной силы, действующей на малый участок поверхности тела
площадью
108
3.	Если давление и удельный объем имеют ясный и простой физический смысл,
то гораздо более сложным и менее наглядным является понятие температуры.
Заметим прежде всего, что понятие температуры, строго говоря, имеет смысл
только для равновесных состояний системы*.
Под равновесным сое го днем понимают состояние термодинамической системы,
характеризующееся при постоянных внешних условиях неизменностью параметров во
времени и отсутствием в системе потоков (например, потоков энергии или вещества).
Из этого определения следует, что постоянство параметров не связано с протекани-
ем каких-либо процессов во внешней среде. Другими словами, равновесное состоя-
ние это состояние, в которое при неизменных внешних условиях приходит в конце
концов термодинамическая система и дальше остается в этом состоянии сколь угодно
долго. Температура во всех частях термодинамической системы, находящейся в равно-
весном состоянии, одинакова.
При теплообмене между двумя телами с различной температурой происходит
передача теплоты от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой.
Этот процесс прекращается, когда температуры обоих тел выравниваются.
4.	Температура системы, находящейся в равновесном состоянии, служит мерой интен-
сивности теплового движения атомов, молекул н других частиц, образующих систему.
В этом состоит молекулярно-кинетическое истолкование температуры. В системе ча-
стиц, описываемых законами классической статистической физики и находящейся
в равновесном состоянии, средняя кинетическая энергия теплового движения частиц
прямо пропорциональна термодинамической температуре системы**. Поэтому иногда
говорят, что температура характеризует степень нагрстости тела.
При измерении температуры, которое можно производить только Косвенным пу-
тем, используется зависимость от температуры целого ряда физических свойств тела,
поддающихся прямому или косвенному измерению. Например, при изменении тем-
пературы тела изменяются его длина и объем, плотность, упругие свойства, элект-
рическое сопротивление и т. д. Изменение любого из этих свойств является основой для
измерений температуры. Для этого необходимо, чтобы для одного тела, называемого
1ермоме 1 рическим телом, была известна функциональная зависимость данного свойст-
ва от температуры. Для практических измерений температуры применяются тем-
SarypHbie шкалы, установленные с помощью термометрических тел. В Междупрод-
сгопшдусной температурной шкале температура выражается в градусах Цельсия
(°C) и обозначается t, причем принимается, что при нормальном давлении 1,01325 I05
Па температуры плавления льда и кипения воды равны соответственно 0 и 100 °C.
В термодинамической iCMiiepaiурной шкале температура выражается в кельвинах (К),
обозначается Т и называется термодвтампческой температурой. Связь между термоди-
намической температурой Т и температурой по стоградусной шкале имеет вид
Г=г+273,15 °C. Температура Т=0 К (по стоградусной шкале Г= -273,15 °C) называ-
ется абсолютщм нулем температуры, или нулем по термодинамической шкале тем-
ператур.
5.	Параметры состояния системы разделяются на внешние и внутренние, внешними
параметрами системы называются физические величины, зависящие от положения
в пространстве и различных свойств (например, электрических зарядов) тел, которые
являются внешними по отношению к данной системе. Например, для газа таким
параметром является объем V сосуда, в котором находится газ, ибо объем зависит от
расположения внешних тел — стенок сосуда. Для диэлектрика, находящегося в элект-
рическом поле, внешним параметром является напряженность этого поля, связанного
с внешними источниками поля. Атмосферное давление является внешним параметром
дня жидкости в открытом сосуде. Внутренними параметрами системы называются
физические величины, зависящие как от положения внешних по отношению к системе
тел, так и от координат и скоростей частиц, образующих данную систему. Например,
внутренними параметрами газа являются его давление и энергия, которые зависят от
координат и скоростей движущихся молекул и от плотности газа.
*Из определения температуры как термодинамического параметра состояния макроскопи-
ческой системы следует, что это понятие не имеет смысла для одной частицы (атома, молекулы
и др.)
**До недавнего времени она называлась иВеолютвой температурой.
109
в. Под термодмпмвчеаом вроцесеом понимают всякое изменение состояния рассмат-
риваемой термодинамической системы, характеризующееся изменением ее термодина-
мических параметров. Термодинамический процесс называется равновесии, если
в этом процессе система проходит непрерывный ряд бесконечно близких термодинами-
чески равновесных состояний. Реальные процессы изменения состояния системы всегда
происходят с конечной скоростью и поэтому № могут быть равновесными. Очевидно,
однако, что реальный процесс изменения состояния системы будет тем ближе к равно-
весному, чем мед леннее он совершается, поэтому равновесные процессы называют
киазнс! ап1Ч1 гиини.
Примерами простейших термодинамических процессов могут служить следующие
процессы.
а)	вэотермичесхЛ процесс, при котором температура системы не изменяется
(Т= const),
б)	кюхоршй процесс, происходящий при постоянном объеме системы (И=const),
в) взобарий процесс, происходящий при постоянном давлении в системе (р=const).
Большую роль играет вдввбятвый процесс, который происходит без теплообмена
между системой и внешней средой.
§ 8Л. Уравнение состояния идеального газа
1.	Можно доказать, что не все параметры термодинамической системы, находящейся
в равновесном состоянии, независимы, внутренние параметры такой системы зависят
только от се внешних параметров и температуры Уравнение, связывающее любой
термодинамический параметр системы с параметрами, принятыми в качестве независи-
мых переменных, называется уряявеяпем состояли Уравнение состояния, связыва-
ющее для однородного тела давление р, объем V и температуру Т, называется
термическим уравнением состояния.	ч
/(₽. У, 7>0.	(8.1)
Конкретный вид функции / в термодинамике предполагается известным из опыта
Теоретический вывод уравнения состояния проводится только методами статистичес-
кой физики. В этом состоит тесная взаимосвязь между статистическим и термодинами-
ческим методами исследования в современной физике.
Уравнение состояния (8.1) описывает свойства простых систем, у которых в отсутст-
вие внешних полей имеется едннепкяный внешний параметр — объем V.
2.	Простейшим объектом, дли которого в термодинамике может быть рассмотрено
термическое уравнение состояния, является идеальный гях Идеальным называется газ,
молекулы которого имеют пренебрежимо малый собственный объем и не взаимодей-
ствуют друг с другом на расстоянии.
В реальных газах существуют силы межмолекуляриого притяжения и отталкива-
ния. Существенно, что эти силы действуют совместно. Если бы отсутствовал один вид
этих сил, например не было бы сил отталкивания, то все молекулы газа слиплись бы
друг с другом под действием сил притяжения и само существование газа было бы
невозможно. Силы отталкивания проявляются при взаимных столкновениях молекул
друге другом и со стенками сосуда Далее мы покажем, что при взаимных столкнове-
ниях молекулы газа ведут себя как абсолютные упругие шары с диаметром d, завися-
щим от химической природы газа. Этот эффективный диаметр молекулы свидетель-
ствует о наличии сил отталкивания между молекулами. Если бы этих сил не было, то
молекулы могли бы сближаться на сколь угодно малые расстояния. В действитель-
ности оказалось, что эффективные диаметры молекул разных газов имеют величины
порядка 10“10 м.
Межмолекулярные силы притяжения преобладают на ббльших расстояниях, чем
силы отталкивания. Однако и эти силы быстро убывают с увеличением расстояния
г между молекулами и практически равны нулю при г> 10" 9 м. Поэтому реальные газы
тем ближе по своим свойствам к идеальным газам, чем больше средние расстояния
между молекулами, т. е. чем меньше концентрация молекул и соответственно плот-
ность газа
НО
3.	При нормальных условиях, т. с. при давлении ро“»1О1325 Па и температуре
То=273,15 К, многие газы (например, водород, гелий, неон, азот, кислород, воздух
и ) ь^о^кно aib с хоро^шоа пр-б...,ддеальныхви* В сазаовл дгле, три лшл
условиях концентрация молекул газа по порядку величины составляет По~1(г’ м-э,
а средние расстояния между молекулами <г>~^/ло"'*О-в м столь велики, что силами
притяжения можно пренебречь. Суммарный собственный объем всех л~ 10д’ молекул,
содержащихся в 1 м3, пж/’/6~10-5 м3-^! м3. Следовательно, собственным объемом
молекул газа тоже можно пренебречь. Вместе с тем суммарная площадь поверхности
всех молекул газа в сосуде объемом 1 м3 составляет mu/a~(10s + 10е) м3» 1 м3, т. е во
много раз больше площади поверхности стенок сосуда. Это означает, что в газе,
несмотря на малый эффективный диаметр d молекул, межмолекулярные столкновения
происходят значительное чаще, чем соударения молекул со стенками сосуда. Другими
словами, возможность пренебрегать собственным объемом молекул вовсе не означает,
что в газе можно не учитывать взаимные столкновения частиц.
4.	В курсе физики средней школы рассматривается термическое уравнение состояния
идеального газа, называемое уравнением Клапейрона:
pVjT- C=const	(82)
Для данной массы идея m.wnrn газа отношение произведения давления и объема
к термодинамической температуре есть величина постоянная.
Газовая ностоямтя С зависит от химического состава газа и пропорциональна его
массе т. Тах как ¥=чпв, где с — удельный объем газа, то уравнение Клапейрона (82)
можно переписать в форме
pv=BT,	(8.3)
где С/т — удельная газовая иосгояшая, зависящая только от химического состава
газа
S.	Из определения единицы количества вещества следует, что 1 моль любого газа
содержит одно и то же число молекул NA, ваымсияк постоянной Авогадро
А'а—6,02 102Э моль-1. Если то — масса одной молекулы, то масса произвольного
количества вещества » равна
m—m^AV“Afv,
где	— молярная масса газа, равная отношению массы газа к содержащемуся
в нем количеству вещества: М^т]ч.	_
Молярным объемом называется величина Кж= F/v. Перепишем уравнение состояния
(8.2) в форме
рИ„т=*СГ или pV^RT,	(8.4)
С
где R = = МВ — молярная газовая постоянная Согласно закону Ааогвдро,
v
при оданвкооых давлениях и температурах мшнрьм объемы
различных газов также одинаковы.
Из этого закона и уравнения (8.4) следует, что молярная газовая постоянная
Я одинакова у всех газов. Поэтому ее принято называть у^юерсалыюй газовой постояв*
пой Экспериментально установлено, что Л=8,31 Дж/(моль К).
Для произвольной массы m газа можно переписать уравнение (8.4) в виде
RT	(8.5)
111
В такой наиболее общей форме записи термическое уравнение состояния идеаль-
ного газа называется уравнением Клапейрона — Менделеев*. Из него получается, что
плотность газа
т рМ р
^V^RT^BT
(8.6)
Употребляется еще одна форма уравнения (8.4). Введем постоянную Больцмана к,
равную отношению универсальной газовой постоянной R к постоянной Авогадро N^:
R
к~—-1,38-10-” Дж/К.	(8.7)
Из уравнения (8.4) получим
р=— Т=къТ,	(8.8)
чп
где По=ЛГд/Ки — концентрация молекул газа.
в. Понятие об идеальном газе, уравнение состояния которого мы только что рассмат-
ривали, является модельным представлением. Как ухе указывалось, даже простейшие
по своим свойствам газы лишь приближенно могут считаться идеальными. Модель
идеального газа позволяет изучать свойства газов в кинетической теории (гл. 10)
простейшим образом. В физике используется ряд других моделей (например, модель
материальной точки, точечного элекхрического заряда и др.). Применение всех моделей
в физике всегда преследует одну цель — изучить определенную группу физических
явлений таким образом, чтобы можно было абстрагироваться от целого ряда реальных
условий, усложняющих данные явления. Например, рассматривая модель идеального
газа, мы не учитываем, что реальные атомы и молекулы имеют сложную структуру —
состоят из электрически заряженных частиц (электронов, протонов), а также нейтро-
нов. Взаимодействие атомов и молекул, которое в модели идеального газа рассмат-
ривается как простое соударение, в действительности представляет собой очень слож-
ное явление. В разделах курса, посвященных электродинамике и атомной физике, мы
будем изучать это явление.
Модель идеального газа широко используется в физике. Например, в электродина-
мике при изучении электропроводности металлов в классическом приближении элект-
роны считаются идеальным электронным газом. Это дает возможность не учитывать
электромагнитное взаимодействие электронов между собой и рассматривать их вза-
имодействие с тюггожитепыллми ионами кристаллической решетки металла ках простое
соударение. Модель идеального электронного газа используется при изучении явлений,
возникающих при движении проводников в магнитном поле. Число примеров примене-
ний модели идеального газа можно было бы увеличить, но в этом нет необходимости.
Вопросы:
1.	Приведите характеристики теплового движения молекул в различных агрегатных состояниях
тел.
2.	Чем отличается статистический метод исследования от термодинамического?
3.	Можно ли принять за термодинамический параметр функцию состояния?
4.	Какая форма уравнения состояния идеального газа наиболее удобна для определения!
концентрации частиц этого газа?
Глава 9
Первый закон термодинамики
§ 9.1.	Внутренняя энергия системы
1	. Полная энергия W термодинамической системы включает в себя кинетическую
энергию механического движения системы как целого или ее макроскопических
частей, потенциальную энергию системы во внешнем поле (гравитационном или
электромагнитном) и iiiij ipnaimin зтрпив U, зависящую только от внутреннего состо-
яния системы. В некоторых простейших случаях можно считать, что полная энергия
системы равна сумме членов, coo i веют жующих вышеуказанным формам энергии:
(9.1)
В дальнейшем мы будем рассматривать термодинамические системы, которые
макроскопически неподвижны и не подвержены действию внешнего поля. Для таких
систем значения полной и внутренней энергий совпадают.
2	Внутренняя энергия включает в себя энергию всевозможных видов движения и вза-
имодействия всех частиц (молекул, атомов, иоиов и т. д), образующих рассматрива-
емую систему.
Например, внутренняя энергия системы, находящейся в газообразном состоянии,
состоит из
а)	кинетической энергии беспорядочного (теплового) поступательного и вращатель-
ного движения молекул, а также колебательного движеяня атомов в молекулах;
б)	потенциальной энергии, обусловленной силами межмолскулярного взаимодейст-
вия,
в)	энергии электронных оболочек атомов и ионов;
г)	энергии движения и взаимодействия нуклонов в атомных ядрах.
Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния термодинамической
системы. Значение внутренней энергии в каком-либо произвольно выбранном состоя-
нии системы не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Иначе
говоря, изменение внутренней энергии Д17|_2 при переходе системы из состояния
1 в состояние 2 не зависит от видя процесса перехода и равно ДС71_2“ U2—Ui.
В частности, если в результате какого-либо процесса система возвращается в исход-
ное состояние, то полное изменение внутренней энергии равно нулю.
3. Подобно потенциальной энергии в механике, внутренняя энергия определяется
только с точностью до постоянного слагаемого Uo, зависящего ст выбора «начала
отсчета» внутренней энергии, т. е. от выбора состояния, в котором внутренняя энергия
принимается равной нулю. Тах как во всех термодинамических расчетах определяются
не абсолютные значения внутренней энергии 17, а ее изменения ДС7, не зависящие от Uo,
то выбор Uo не играет роли.
Во всех процессах, не связанных с химическими реакциями и другими превращени-
ями электронных оболочек атомов и ионов, а также с ядерными реакциями, состав-
ляющие в) и г) внутренней энергии не изменяются и их можно не включать во
внутреннюю энергию. Поэтому в дальнейшем, рассматривая, например, внутреннюю
энергию газа, мы будем под ней понимать только сумму кинетической энергии
теплового движения молекул (поступательного, вращательного в колебательного)
и потенциальную энергию межмолекулярного взаимодействия. В идеальном газе пре-
небрегают силами межмолскулярного взаимодействия на расстоянии Соответственно
внутреннюю энергию такого газа можно считать равной сумме кинетических энергий
беспорядочного движения всех молекул При расчете внутренней энергии кристаллмчес-
113
кого диэлектрика нужно учитывать кинетическую и потенциальную энергию, связан-
ную с тепловыми колебаниями атомов, молекул или ионов, образующих этот кристал-
лический диэлектрик. Внутренняя энергия металла включает в себя не только энергию
тепловых колебаний ионов, но также и энергию теплового движения электронов
пр сводимости.
§ ВЛ. Работа и теплота
1.	Обмен энергией между закрытой термодинамической системой и внешними телами
может осуществляться двумя качественно различными способами путем совершения
работы и путем теплообмена. Первый способ, как известно из механики, осуществляет-
ся при силовом взаимодействии между телами.
Энергия, передаваемая при этом рассматриваемой тсрмбдинамической системе
внешними телами, называется работой, совершаемой над системой.
Энергия, передаваемая системе внешними телами путем теплообмена, называется
теплотой, получаемой системой от внешней среды.
2.	Работу над системой производят внешние силы. Для совершения работы над
макроскопически неподвижной системой нужно, чтобы перемещались взаимодейст-
вующие с ней внешние тела, т. е. чтобы изменялись внешние параметры состояния
системы В отсутствие внешних силовых полей обмен энергией между неподвижной
системой н внешней средой может осуществляться путем совершения работы лишь
в процессе изменения объема н формы системы Например, работу над газом произ-
водят силы давления на газ со стороны внешней среды. При этом работа А', соверша-
емая внешними телами над системой, численно равна и противоположна по знаку
работе А, совершаемой самой системой над внешней средой, т. е. против внешних сил
—А.
3.	Теплообмен происходит между телами или частями одного н того все тела, нагре-
тыми до различной температуры. Например, в батарее водяного отопления путем
квмек! явного теплообмена от более горячей воды, протекающей по батарее, энергия
передается к менее нагретым стенкам. В свою очередь, передача теплоты через стенку
батареи от более нагретой внутренней поверхности к менее нагретой наружной поверх-
ности происходит путем ттлопронодвости. Есть и третий вид теплообмена. Он осуще-
ствляется без непосредственного соприкосновения тел друг с другом и происходит
между удаленными телами без посредства промежуточной среды. Этот вид теплооб-
мена называется теплообменом излучением. Он происходит за счет испускания и погло-
щения телами электромагнитного излучения. Именно так Земля получает от Солнца
очень большую энергию.
4.	В отличие от внутренней энергии системы, которая является однозначной функцией
состояния этой системы, понятия теплоты и работы имеют смысл только в связи
с процессом изменения состояния системы. Они являются энергетическими харак-
теристиками этого процесса. Как будет дальше показано, для перевода системы из
одного н того же состояния / в одно и то же конечное состояние 2 необходимо
сообщить системе различную теплоту н совершить над системой разную работу в зави-
симости от вида процесса 1 — 2, т. е. в зависимости от того, через какие промежуточ-
ные состояния проходит система. В отличие от этого изменение внутренней энергии
системы не зависит от того, какой процесс происходит, и целиком определяется
начальным н конечным состояниями системы. Можно сказать, что в данном состоянии
термодинамическая система обладает Определенным «запасом» внутренней энергии, но
нельзя говорить ни о «запасе работы», ни о «запасе теплоты» в системе.
5.	Существует качественная неравноценность между совершением работы н теплооб-
меном как способами обмена энергией между макроскопическими системами. Совер-
шение работы над системой может изменить любой вид энергии системы. Например,
при быстром сжатии газа в сосуде с подвижным поршнем работа, совершаемая над
газом внешними силами, целиком идет на увеличение внутренней энергии газа. При
неупругом соударении двух тел часть совершенной работы идет на изменение кинети-
ческой энергии тел, а часть работы — на изменение внутренней энергии тел. Если
энергия сообщается системе в форме теплоты, то она идет на увеличение энергии
теплового движения частиц системы (атомов, молекул н ионов). При этом увелнчивает-
114
ся внутренняя энергия системы. К такому выводу приводит изучение механизма
теплообмена. Рассмотрим, например, соприкосновение двух тел, имеющих различные
температуры. Частицы тела с более высокой температурой имеют в среднем бблыпую
кинетическую энергию теплового движения, чем частицы тела с меньшей температу-
рой. В результате столкновений частиц обоих тел частицы более нагретого тела
передают часть своей Кинетической энергии частицам менее нагретого тепа. В итоге
внутренняя энергия тела, имеющего более высокую температуру, уменьшается, а у вто-
рого тела внутренняя энергия возрастает. Соответственно убывает температура перво-
го тела и возрастает температура второго тела. Когда температуры обоих тел стано-
вятся равными, выравниваются и средние значения кинетической энергии теплового
движения в обоих телах. При этом процесс теплообмена между телами прекращается,
так как при взаимных столкновениях частиц двух тел с равной температурой энергия
с равной вероятностью передается ках от первого тела ко второму, так и от второго
к первому.
8. Часто оба способа передачи энергии системе (в форме работы и в форме теплоты)
осуществляются одновременно Например, при нагревании газа в сосуде с подвижным
поршнем газу сообщается теплота и происходит увеличение его объема При этом
совершается работа против внешнего давления. Бывает и так, что одна из форм
передачи энергии отсутствует. Например, адиабатная термодинамическая система
может совершать работу над внешними телами. Внешние тела также могут совершать
работу над адиабатной системой. Примером может служить цилиндр с подвижным
поршнем, наполненный газом и со всех сторон окруженный плотным слоем теплонеп-
роницаемого войлока. Отсутствие теплообмена с внешней средой не исключает воз-
можности газу совершать работу расширения при увеличении объема газа. Вместе
с тем если силы внешнего давления сжимают газ под поршнем, то над газом соверша-
етси работа сжатия.
§ 9.3.	Первый закон термодинамики
1.	Существование двух способов передачи энергии термодинамической системе позво-
ляет проанализировать с энергетической точки зрения равновесный процесс перехода
системы из какого-либо начального состояния I в другое состояние 2. Изменение
внутренней энергии системы Д171_2=172— U\ в таком процессе равно сумме работы
A't_2, совершаемой над системой внешними силами, и теплоты Q|_2, сообщенной
системе*:
Л^-2“^1-з + С1-2-
(92)
Работа A’i 2 численно равна и противоположна по знаку работе Л]_2, совершаемой
самой системой против внешних сил в том же равновесном процессе перехода'
— At-2- Поэтому выражение (92) можно переписать иначе:
Q1-2 =	+At-2-
(9.3)
Уравнение (9 3) является математической записью первого закона (первого начала)
термодпамакж.
теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение внут-
ренней энергии системы и не совершение системой роботы
против внешних сил.
‘Рассматриваются только закрытые, макроскопически неподвижные системы, не находащв-
еса во внешних гравитационном, электрическом иля магнитном полях
115
2.	Первый закон термодинамики обычно записывают для изменения состояния систе-
мы, вызванного сообщением ей малой теплоты 3Q, совершением системой элементар-
ной (малой) работы ЗА и приводящего к малому изменению dl7 внутренней энергии:
3Q~dU+3A.	(9.4)
Отличия в записи (3Q; ЗА и dU) малых величин теплоты и работы и изменения
внутренней энергии имеют отнюдь не формальный характер, а выражают глубокие
физические различия этих величин. Дело в том, что, как отмечалось в 5 9.1, внутренняя
энергия системы является однозначной функцией ее состояния. Отсюда следует, что
при совершении системой произвольного процесса, в результате которого она вновь
возвращается в исходное состояние, полное изменение внутренней энергии системы
равно нулю. Математической записью этого вывода служит тождество
fdl7=O,
которое является необходимым н достаточным условием для того, чтобы выражение
dU представляло собой полный дифференциал. Как будет видно из дальнейшего, ни
работа, ни теплота не являются функциями состояния и поэтому 3Q и ЗА не являются
полными дифференциалами.
3.	Все физические величины, входящие в первое начало термодинамики (9.4), могут
быть ках положительными, так и отрицательными. Возможны случаи, когда 3Q или ЗА
либо 5Q+ЗА равны нулю. Например, для адиабатной термодинамической системы
3Q—0.
Если к системе подводится теплота, то 3Q>0; если 3Q<0, то от системы отводится
теплота На одних участках процесса перехода системы из состояния / в состояние
2 теплота может подводиться, а на других — отвадиться от нее. Общее количество
теплоты Qi _2, сообщаемое системе в процессе I — 2, равно алгебраической сумме
2
теплот 3Q, сообщаемых системе на всех участках процесса I — 2: Qt-2=^ &Q-
i
4.	Если система совершает работу над внешними телами, то считается, что £Л>0.
Если же над системой внешние силы совершают работу, то &4<0. Работа А i_2,
совершаемая системой в конечном процессе 1 — 2, равна алгебраической сумме работ
2
ЗА, совершаемых системой на всех участках этого процесса: Л1_2=J ЗА.
1
В качестве примера рассмотрим работу, которая совершается при расширении или
сжатии газа, заключенного в сосуде с подвижным невесомым поршнем площадью
S (рис. 9.1). Пусть г—— — давление, которое производится на
поршень и газ внешними силами. Тогда сила, действующая на
Рвиеш поршень, равна К—=ривш^ При перемещении поршня вверх на
Li 1 ‘малое расстояние dx газ совершает против внешнего давления
- 4-4 4 4 4 элементарную работу
	3A^Fmdx=pmdV,	(9.5)
где dV= Sdx — изменение объема газа.
Если изменение объема газа происходит квазистатически, то
в любой момент времени газ находится в состоянии равновесий
с внешней средой и его давление р=р|КП. Элементарная работа ЗА
газа в равновесном (квазистатическо^) процессе изменения сто
Рис в 1 объема
116
6А~рйУ.
(9.5')
Давление p газа всегда положительно. Поэтому при расширении газа (d 0) газ
совершает положительную работу (ЗЛ>0). Если газ сжимается, то dK<0 и 6А<0.
В этом случае положительную работу над газом совершают силы внешнего давления.
Формула (9.5) справедлива не только для газа или жидкости, но и для твердого тела
при его расширении или сжатии под действием внешнего давления, равномерно
распределенного по поверхности тела.
§ 94.	Графическое изображение термодинамических
процессов и работы
1.	Термодинамические процессы удобно изучать и сравнивать друг с другом, исполь-
зуя их графическое изображение. Это особенно наглядно для простых систем, так как
термическое уравнение состояния такой системы (8.1) позволяет по любым значениям
двух параметров состояния, например V и р, определить значение третьего параметра
Т. Для графического изображения процесса, совершаемого простой системой, можно
воспользоваться системой координат на плоскости, по осям которой откладываются
два независимых параметра состояния. Кроме наиболее распространенной диаграммы
р — V, по осн абсцисс которой откладывается объем И, а по оси ординат — давление
р, применяют также диаграммы р — Т и V — Т. На рис. 92 термодинамический
процесс в диаграмме р — V изображен кривой CiC2, на которой точки Ct(pi, И])
н С2 (рг, И2) характеризуют начальное и конечное состояния термодинамической систе-
мы.
2,	Графически можно изображать только равновесные процессы. Для неравновесных
процессов нельзя говорить о параметрах состояния для всего тела (или системы)
в данном состояниях. Значения параметров в разных частях тела различны. Точек
Ci и Cj на рис. 9.2, характеризующих состояние всей системы (иди тела), не существует.
Поэтому графическое изображение неравновесного процесса невозможно. Поясним
сказанное на примере сжатия газа в цилиндре с подвижным поршнем (рис. 9.1). Пока
поршень неподвижен, газ находится в равновесии с внешней средой. Давление, тем-
пература и плотность газа во всех частях объема цилиндра одинаковы. Когда поршень
начинает перемещаться под действием внешних сил, изменения давления газа распрост-
раняются в нем со скоростью звука. При сжатии газа под поршнем образуется область
повышенного давления. Нарушается равенство давлений во всех частях объема газа
н тем сильнее, чем с большей скоростью движется поршень. Такое состояние газа
является неравновесным и не может оставаться долго после остановки поршня. Этот
пример показывает, что сжатие газа поршнем — неравновесный процесс.
В некоторых случаях неравновесностью реальных процессов можно пренебречь.
В рассмотренном примере это можно сделать, если скорость движения поршня значи-
тельно меньше скорости звука в газе и размеры цилиндра невелики.
3.	На диаграмме р—V элементарная работа 3A=p&V графически изображается
площадью криволинейной трапеции, закрашенной на рис. 9.2.
Работа, совершаемая системой в процессе C(G, равна
V,
vt
и измеряется площадью, ограниченной на рис. 9.2 кривой процесса CiC2, осью абсцисс
я вертикальными прямыми V=~ Vt и V*= Уг- Из рис. 9.2 видно, что работа А1-2 зависит
$Т того, каким образом система переходит из состояния Q в состояние С2, т. е. от вида
процесса С(С2.
Работы, совершенные системой в показанных на рис. 9.3 процессах CtLtC], C1L2C2
я CtLjCj, равные соответственно Л/.,, At, и А^г, измеряются разными площадями:
117
После завершения системой процесса по замкнутой кривой QLtCiLjCi, при кото-
ром система возвратилась в исходное состояние Сь полная работа -t, не равна
нулю. Положительная работа расширения, совершаемая системой в процессе QZ4C2,
превышает отрицательную работу, которая совершается в процессе сжатия C]LjCt.
В итоге получается результирующая положительная работа, измеряемая площадью,
закрашенной на рис. 9.3.
Итак, работа Л(_2 — это функция не только состояний термодинамической систе-
мы, но и вида процесса, который происходит. Следовательно, работа не является
однозначной функцией состояния, такой, как внутренняя энергия. Из уравнения (9.3)
следует, что и теплота 21-2. так же как и работа Л1_2, является функцией процесса,
который происходит с системой. В различных процессах I — 2 изменения состояния
системы к ней подводятся различные теплоты и ею совершаются различные работы.
Поэтому, как указывалось в начале § 9.3, элементарные, т. е. малые, величины SA и 5Q
не являются полными дифференциалами.
§ 9.S. Теплоемкость вещества. Применение первого закона термодинамики
к изопроцессам идеальных газов
1.	Одним из основных тепловых свойств тел, широко используемых в термодинами-
ческом методе исследования, является теплоемкость.
Теплоеввсостью тела называется физическая величина, численно равная отношению
теплоты 5Q, сообщаемой телу, к изменению dT температуры тела в рассматриваемом
термодинамическом процессе.
«е
dT
(9.6)
Теплоемкость тела зависит от его химического состава, массы тела и его термодинами-
ческого состояния, а также, ках видно из определения С*, от вида процесса изменения
состояния тела, в котором поступает теплота 5Q.
2.	Тепловые свойства однородных тел характеризуются значениями удельной и моль-
ной (молярной) теплоемкости. Теплоемкость однородного тепа равна произведению
массы т тела на удельную теплоемкость с его вещества:
«б	1 6Q
тс=— или с=---------
dr	т dT
Таким образом, связь между 5Q и dT для однородного тела имеет вид
6Q=mcdT.	(9.6*)
llfl
Молярной тешюемокстью называется физическая величина С, численно равная
теплоте, которую нужно сообщить одному молю вещества для изменения его тем-
пературы на 1 К в рассматриваемом термодинамическом процессе:
М 6Q
С~Мс=-	(9.6")
т АТ
где М — молярная масса вещества; с — его удельная теплоемкость в том же процессе.
Выражение (9.6*) можно записать теперь в форме
m
CdT,	(9.7)
где m]M=v — количество вещества.
Формулы (9.5') н (9.7) позволяют записать уравнение (9.4) первого начала термоди-
намики для равновесных процессов изменения состояния газа в следующем виде:
CdT=dL4-pdK	(9.8)
3.	Применим это уравнение к различным изопроцессам идеальных газов. Начнем
с рассмотрения изохорного процесса (V= const). На диаграмме р — V этот процесс
изображается прямой, параллельной осн ординат. На рис. 9.4 показаны процессы
изохорного нагревания (прямая 1 — 2) н охлаждения (прямая / — J). Практически
изохорный процесс осуществляется при изменении температуры газа, находятщгося
в толстостенном сосуде постоянного объема. В изохорном процессе газ не совершает
работы*. 6A=pdV=0. По первому началу термодинамики (9.8), вся теплота, сообща-
емая газу в изохорном процессе, идет на изменение его внутренней энергии: dU=6Q,
т. е.
m
dtf=- CrdT,	(9.9)
М
где Сг — молярная теплоемкость газа в изохорном процессе, или, как принято говорить,
молярная теплоемкость при постоянном объеме (изохорная теплоемкость). Из опытов
установлено, что теплоемкость Су зависит от химического состава газа н от его
температуры. Однако в не очень широкой области изменения температуры можно
считать, что Cr&const. Соответственно при изохорном нагревании газа от температу-
ры Т| до 7j изменение внутренней энергии газа и сообщенная ему теплота равны
MJt_2-U2-Ut-?- Cy(T2-Tt),
м
т
Су(Т2—то.
м
4.	Во всех других процессах, кроме изохорного, объем газа
изменяется. В реальных газах внутренняя энергия включает
в себя как кинетическую энергию беспорядочного теплового
движения молекул, так и потенциальную энергию их вза-
имодействия, которая зависит от среднего расстояния между
молекулами и, следовательно, изменяется при расширении
кии сжатии газа. Поэтому для реальных газов формулы (9.9)
й (9.10) выражают изменение внутренней энергии только
в изохорном процессе и характеризуют зависимость энергии
теплового движения молекул газа от его температуры.
Иначе обстоит дело в случае идеального газа, внутрен-
ви энергия которого представляет собой только кинетичес-
(9.Ю)
119
кую энергию теплового движения молекул и непосредственно не зависит от объема,
занимаемого данной массой газа. При расширении или сжатии идеального газа его
внутренняя энергия будет измеряться только за счет происходящего при этом измене-
ния температуры.
Таким образом, соотношения (9.9) и (9.10) справедливы для любого процесса
изменения состояния идеального газа. Внутренняя энергия такого газа зависит только
от его массы, химического состава н температуры.
Этот важнейший вывод был подтвержден опытами, которые осуществили независи-
мо друг от друга Ж. Гей-Люссак н Д. Джоуль. Схема опытов Джоуля изображена на
рис. 9.5. Разреженный газ, близкий по своим свойствам к идеальному, находится
в сосуде А н имеет температуру Т. Из сосуда В газ откачан. Оба сосуда и трубка,
которая их соединяет, теплоизолированы от внешней среды (6Q=0). Если кран от-
крыть, то газ расширится в сосуд В и займет весь объем установки. Оказалось, что при
этом температура газа не изменялась и по-прежнему была равна Т. Не изменилась
и внутренняя энергия газа. В самом деле, газ не совершает работы против внешних сил
(дЛ = 0). Кроме того, так как 6Q*“0, то из первого начала термодинамики следует, что
и dL'=0, т. е. U=const. Следовательно, внутренняя энергия идеального газа не зависит
от его объема. В реальных газах дело обстоит сложнее: его внутренняя энергия зависит
н от температуры газа, и от его объема.
Мы получили важный результат: для любого равновесного процесса изменения
состояния идеального газа уравнение (9.8) первого закона термодинамики можно
записать в виде
£cdT-^CrdT+pdK	(9.8')
5.	Рассмотрим теперь изобарный процесс, при котором р™const. Практически он
осуществляется, например, при нагревании или охлаждении газа, находящегося в цили-
ндре с подвижным поршнем, на который действует постоянное внешнее давление. На
рис. 9.6 изображены процессы изобарного расширения газа прц его нагревании (про-
цесс 1 — 2) н изобарного сжатия газа при его охлаждении (процесс 1 — 3). Элементар-
ная теплота 6Q, сообщаемая газу в изобарном процессе,
«2“- QdT,	(9.11)
где Ср — ьимшрвяя теплоемкость газа при постоянном давлааи, которую также на-
зывают изобарной теплоемкостью.
Элементарная работа 6А, совершаемая идеальным газом в изобарном процессе,
6A~pdV=-RdT,	(9.12)
М
гд^ использовано выражение pdV из уравнения Клапейрона — Менделеева (8.5) при
const. Соотношение (9.12) позволяет выяснить физический смысл универсальной
газовой постоянной R:
Рис. 9.5
120
(9.12')
6А
т. e. она численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при его
изобарном нагревании на 1 К.
Установим связь между молярными теплоемкостями Ср и Су идеального газа. Для
этого подставим выражение (9-11) и (9.12) в уравнение первого начала термодинамики
(9.8Э:
т	т _ т
— C,dT=— CydT+- RdT.
и ' м м
Отсюда следует, что
Cr—CV=R.	(9.13)
Эго соотношение называется уравнением Майера. Для удельных теплоемкостей
cf и су оно имеет вид
cr—cy—RIM.	(9.139
Физический смысл ура рвения Майера заключается в том, что при изобарном нагрева-
нии газа к нему должна быть подведена ббдьшая теплота, чем для такого же изохор-
ного нагревания. Разность теплот должна быть равна работе, совершенной газом при
изобарном расширении.	‘
Работа, которую совершает газ при изобарном процессе расширения 1 — 2 (рис.
9.6), равна
у,
= pdV^pCV.-Vd-	(9.14)
vt
Она измеряется площадью, закрашенной на рис. 9.6. Для идеального газа работу
можно выразить также формулой
т
Ai-2°-R(T2-Ti).	(9.149
Если в интервале температур ДТ=Гэ—Т\ молярную теплоемкость Cf можно считать
постоянной, то теплота £?12> сообщаемая газу в изобарном процессе 1-2,
Qi-^C^-Ti).
6. Изотермический процесс расширения или сжатия газа может происходить в услови-
ях, когда теплообмен между газом и внешней средой осуществляется при постоянной
разности температур. Для этого теплоемкость вне-
шней среды должна быть достаточно велика и про-
цесс расширения (или сжатия) должен происходить
весьма медленно. Изотермическими являются процес-
сы кипения, конденсации, плавления и кристаллиза-
ции химически чистых веществ, происходящие при
постоянном внешнем давлении. Для идеального газа
в процессе при Т= const выполняется закон Бойля —
Мариотта рУ=const и в диаграмме р — V такой про-
цесс графически изображается изотермой, имеющей
вид равнобочной гиперболы (рис. 9.7). Внутренняя
энергия идеального газа в изотермическом процессе
не изменяется:
(9.14")
121
т
d£J= - CrdT=O,
M
так как T=const и dT=O.
Вся теплота, сообщаемая газу, расходуется на совершение газом работы против
внешних сил:
С1-2— -Л1-2 —
К,	V,
Г	т	ГdF т
pdV= - RT — =- RTln
J	М JVM
V2
Vi
(9-15)
vt
vt
Если газ изотермически расширяется (У2> Pi), то к нему подводится теплота
(Ci-2>0) и газ совершает положительную работу (Л|_2>0), которая измеряется пло-
щадью, закрашенной на рис. 9.7. При изотермическом сжатии газа (процесс /	3)
работа Л|_з, совершаемая газом, отрицательна (Л1_3<0). Положительную работу
(Л'| j=— Л|_з>0) совершают внешние силы. При этом от газа отводится теплота
Ci-з (2|-з<0).
Теплоемкость газа в изотермическом процессе СТ= ±оо, так как 6Q^0, a dT=0.
§ 9.6. Адиабатный и политропный процессы идеальных газов
1. Большой практический интерес представляет адиабатный процесс термодинами-
ческий процесс, в котором система не обменивается теплотой с окружающей средой. Из
этого определения следует, что в адиабатном процессе 6Q=0. Следует отметить, что
условие отсутствия теплообмена нельзя формулировать в виде Q— 0. Это равенство
говорит лишь о том, что в целом за весь процесс алгебраическая сумма теплот,
подведенных к системе и отведенных от нее, равна нулю. Условие Q^O вовсе нс
исключает теплообмена между системой и внешней средой на отдельных участках
рассматриваемого процесса. Практически адиабатный процесс осуществляется при
Достаточно быстром расширении или сжатии газа.
Из первого закона термодинамики (9.4) имеем для адиабатного процесса
SA= — di/, т. е. в адиабатном процессе система совершает работу за счет убыли
внутренней энергии системы.
Для адиабатного процесса идеального газа из (9.8') следует, что
т
8А= — CydT.	(9.16)
М
Если газ адиабатно расширяется, то 8А =pdK>0 и dT<0, т. е. происходит охлаждение
газа. При адиабатном сжатии газ нагревается, потому что 5Л<0 и dT>0.
6Q
Теплоемкость вещества при адиабатном процессе См =	=0, так как 8Q—0,
adTVO.	dr
2. Найдем связь между параметрами состояния (например, между р и V) идеального
газа в адиабатном процессе. Для этого запишем уравнение (9.16) в виде
т
pdV= - Ci-dT.
М
Из уравнения Клапейрона Менделеева имеем
т RdT=d(pV)=pdV+Vdp.
м
Следо вате л ь» о,
pdV=-Cf(pdv+ Vdp),
R
122
или, учитывая уравнение (9.13),
CrpdV+CyVdp=O.
В последнем уравнении можно разделить переменные, поделив обе части на СурУ.
dV dp
—+- = 0,
V Р
(9.167
где
С, сг
— S —
Су Су
(9.17)
- - безразмерная величина, называемая показателем адиабаты, или кяэффцдежтом Пу-
ассона. Пренебрегая зависимостью Су от температуры, можно считать, что для дни-
ного газа □£ — const. Тогда, интегрируя дифференциальное уравнение (9.167 с разделен-
ными переменными, имеем
In Р^+1пр«= In const,
или
pV^ const.
(9.18)
Эго уравнение называется уравнением Пуаесоиа. С помощью уравнения Клапейрона —
Менделеева можно уравнение Пуассона записать в виде связи между другими параме-
трами состояния газа в адиабатном процессе:
pT^'^const, FT'^'^const	(9.187
3. Линия, изображающая адиабатный процесс, называется адиабатой На рис. 9.8
в р — F-диаграмме адиабата показана сплошной линией. На этом же рисунке для
сравнения штриховой линией изображена изотерма, соответствующая температуре
газа в начальном состоянии 1. Для любого идеального газа коэффициент Пуассона
ае>1. Поэтому в р — F-диаграмме адиабата изображается краевой, идущей более
круто, чем изотерма. Объясняется это тем, что при адиабатном ежа 1 им увеличение
давления происхоит не только за счет уменьшения объема, как при изотермическом
сжатии, но также связано с возрастанием температуры. При адиабатном расширении
газа его температура уменьшается и давление газа падает быстрее, чем при соответст-
вующем изотермическом расширении.
4. Вычислим теперь работу, которую совершает газ в адиабатном процессе I — 2. Она
измеряется площадью, закрашенной на рис. 9.8. Интегрируя выражение (9.16) для 6А,
получаем
m
Л,_2--CHTi-T,). (9.19)
м
Из уравнения Майера (9.13) и формулы (9.17)
для коэффициента Пуассоца следует, что
Си=Л/(ае-1),	(9.19')
поэтому
Если использовать соотношения (9.187, то мож-
но написать
Рис. В в
123
-I
и работу Л|_2 газа при адиабатном процессе представить в форме:
(9.19'")
5. Обобщением рассмотренных выше процессов изменения состояния идеального
газа является полятропмга процесс — термодинамический процесс, описываемый урав-
нением
pV"яя const,
(920)
где л — безразмерная постоянная величина, называемая показателем политропы. Четы-
рем процессам, когорте были проанализированы ранее, соответствуют различные
значения показателя политропы. Так, при л “Омы имеем изобарный процесс Q>=const),
при л=1 —изотермический процесс (pF=conit), при Л“Эб— адиабатный процесс
(рК^ const), при л= ± со — изохорный процесс.
Вычислим молярную теплоемкость С идеального газа в политропном процессе. Из
уравнения (9.89 запишем
Мр dV
М df
(9-21)
Связь между объемом газа и его температурой в политропном процессе найдем из
уравнения (920) и уравнения Клапейрона — Менделеева:
И’0 Г-const.
Дифференцируя последнее выражение, получаем
(л-1)Р"-2ТаИ+ F"-,dT=0,
dV V
dr” (л-1)7
Теперь уравнение (921) примет вид
pV	R
С~ Су-------------- Су----.
(я-1)НХ)7’	я—1
Наконец, используя соотношение (9.19Э, окончательно находим
----------R.
(X-!)("-!)
(922)
6. Для изопроцессов из этой формулы следуют результаты, которые получены ранее*
1) для изобарного процесса (л=0)
чЭе Л
С------^ХСУ~С„
124
2)	для изотермического процесса (л = 1)
Ст= ±со;
3)	для изохорного процесса (л = + со)
4)	для адиабатного процесса (л=^С)
CMJ = 0.
Работа, совершаемая идеальным газом в политропном процессе I 2,
(9-23)
Формула (9.23) неприменима к изотермическому процессу, т. е. при л= 1.
Вопросы:
1.	Почему в термодинамике и молекулярной физике при вычислении внутренней энергии можно
не учитывать энергию электронных слоев атомов и ионов, в также энергию взаимодействия
нуклонов а ядрах атомов?
2.	Раскройте физический, смысл понятий работы термодинамической системы и работы над
такой системой.
3.	В чем состоит качественная неравноценность между работой и теплообменом кек формами
передачи энергии?
4.	Почему малое количество теплоты, сообщаемое термодинамической системе, не является
полным дифференциалом?
Глава 10
Кинетическая теория газов
$ 10.1. Некоторые сведения о классической статистической физике
1.	В § 9.2 мы ознакомились со статистическим методом изучения физических явлений,
происходящих с макроскопическими телами или системами таких тел. Теперь мы
применим статистический метод к изучению физических свойств газов. Теория, ос-
нованная на статистическом методе исследования этих свойств, называется кинетичес-
кой теорией газов. Она является частью классической статистической физики.
2.	Диетическая теория газов основана на следующих общих положениях классичес-
кой статистической физики:
а)	в системе частиц выполняются законы сохранения импульса, момента импульса,
энергии, электрического заряда (для систем заряженных частиц) н числа частиц (для
закрытых систем частиц, не претерпевающих химических и других превращений);
б)	все частицы системы считаются «мечеными», т. е. предполагается возможность
отличать друг от друга тождественные частицы (например, молекулы одного и того же
вещества);
в)	все физические процессы в системе протекают в пространстве и времени непреры-
вно (например, энергия молекулы может изменяться под влиянием внешних воздейст-
вий на любую величину, т. е. непрерывно);
г)	каждая частица системы может иметь совершенно произвольные значения коор-
динат (в пределах объема системы) и компонент скорости совершенно независимо от
того, каковы значения этих характеристик у других частиц системы.
$ 10.2. Уравнение кинетической теории идеального газа
1.	Мы уже говорили, что идеальный газ можно рассматривать как совокупность
безпорядочно движущихся молекул-шариков, имеющих пренебрежимо малый со-
бственный объем н не взаимодействующих друг с другом на расстоянии. Молекулы
непрерывно сталкиваются между собой н со стенками сосуда, производя на них
давление. Таким образом, давление — макроскопическое проявление теплового движе-
ния молекул газа. Если газ не Находится во внешнем силовом поле (например, в поле
силы тяжести), то ввиду хаотичности теплового движения молекул давление газа на все
стенки сосуда одинаково и, по определению, численно равно средней силе, дейст-
вующей на единицу площади поверхности стенки по направлению нормали к этой
поверхности.
2.	Важнейшей задачей кинетической теории газов является вычисление давления иде-
ального газа на основе молекулярно-кинетических представлений. Взаимные столкно-
вения молекул в объеме газа происходят значительно чаще, чем их соударения со
стенками сосуда, в котором находится газ. Однако, как показал Д. К. Максвелл,
в случае идеального газа соударения молекул между собой нс влияют на давление газа,
оказываемое на стенки сосуда. Кроме того Максвелл показал, что давление газа нс
зависит от характера соударений молекул со стенками — упругие они или не упругие.
Именно поэтому давление идеального газа на стенки сосуда не зависит, как это видно
из уравнения состояния газа (8.8), от материала стенок.
3.	Из сказанного выше очевидно, что давление р химически однородного идеального
газа зависит от массы т0 и концентрации ло молекул, а также от скоростей ш
теплового движения. Эту связь можно найти с точностью до безразмерного (чис-
лового) коэффициента пропорциональности С, пользуясь методами теории размер
ностей. Будем ради простоты предполагать, что все молекулы газа движутся с одина-
ковыми по модулю и скоростями. Тогда
126
Р’ьСл&пк,
где а, Д и у — показатели степени, которые нужно найти путем сравнения размерностей
правой и левой частей написанного равенства. Тах как размерности данле-
шя — ML'- *Т-2, массы молекулы — М, скорости — LT-1 и концентрации — L-3, то
должно выполняться равенство
ml - *т- 2 - mVtY Л
т. е. а=1, 0—Зу-« — 1 и —Д=—2. Таким образом, у=1 и давление идеального газа
равно
N	JF"*
р = Oiomou2“С —	= 2С
где V—объем сосуда с газом; N—общее число молекул в сосуде; —
кинетическая энергия поступательного движения всех N молекул. В курсе физики
средней школы доказывается, что коэффициент С=Ч3, так что ура—епт ним са мс ипй
тсор— для давлен— идеального газа имеет вид
рИ=2/эИТ".	(10.1)
Оно показывает, что произведение давления идеального газа и его объема равно 2/э
кинетической энергии поступательного движения всех его молекул.
В действительности скорости теплового движения молекул различны как по напра-
влению, так и по модулю. Поэтому кинетическая энергия поступательного движения
N молекул газа, входящая в уравнение (10.1), равна
иг1»- Z *?.
z /-с
где ц — скорость i-fi молекулы.
4.	Средней квадратичной скоростью «п поступательного движения молекул газа назы-
вается корень квадратный из среднего арифметического значения квадратов скоростей
поступательного движения всех его молекул:
/1 "	(102)
Если ввести эту скорость в выражение для W'J0CT, то получим	
	(W.3)
Уравнение (10.1) можно теперь записать так:	
pV= ll3Nmf&= */з"и£	(Ю.4)
иди	
Р= 1(з^п^= 7зР»^.	(Ю.4Э
где p=m&iQ — плотность газа.
с Из сравнения (10.4) с уравнением Клапейрона — Менделеева следует, что
v„=y/3RT/M= yJ'ikTIm^	(10.5)
где к — постоянная Больцмана.
127
Средняя квадратичная скорость является одной из характеристик движения всей
совокупности молекул. Она не имеет смысла для одной молекулы или небольшого их
числа.
5.	Найдем выражение для средней квиетической энергии поступательного движения
молекулы идеального газа Из формул (103) и (10 5) имеем
<»<*>=
(Ю.6)

Средняя кинетическая энергия поступательного движе-
ния молекулы идеального газа зависит только от его термо-
динамической температуры Т и прямо пропорциональна
этой температуре. На рис. 10.1 графически изображена зави-
симость <Н*> от Т Линейная зависимость (>РЖ> от Т не
справедлива при сверхнизких температурах, близких к тем-
пературе Т=0К. В этой области температур неприменимы
выводы кинетической теории газов и вообще результаты
классической статистической физики. Там действуют законы квантовой статистики,
которые рассмотрены в гл. 41.
В области температур, далеких от 0.К, термодинамическая температура является
мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального
газа
§ 10.3.	Закон раелродалония молекул по скоростям и энергиям
1.	При рассмотрении уравнения для давления идеального газа мы считали, что
молекулы имеют различные скорости теплового движения. Если даже предположить,
что в какой-то момент времени скорости всех молекул одинаковы по модулю и раз-
личаются только по направлению, то соударения между молекулами приведут к изме-
нению их скоростей и нарушению равенства скоростей по модулю. Действительно,
пусть молекула А имеет скорость ], равную по модулю и и направленную вдоль оси
ОХ. После упругого столкновения с другом молекулой, движущейся с такой же по
модулю скоростью «j вдоль оаи OZ, молекула А может подучить дополнительную
скорость Иг (рис 102). В результате такого столкновения вторая молекула останав-
ливается, а скорость молекулы А спяоитя равной aj=«j+hj, так что п'1=>/2 и.
2.	Заход распределения по скоростям теплового движения молекул газа, находящегося
в состоянии термодинамического равновесия, впервые был найден Д. К. Максвеллом
(1859) и называется расиредслеммм Манаелла. Ход рассуждений Максвелла достаточ-
но сложен, и приводить его мы не будем, а ограничимся рассмотрением физического
смысла закона Максвелла и некоторых его следствий.
Рис ЮЗ
128
Скорости молекул удобно Изображать в виде полярных векторов в трехмерном
пространстве скоростей, в котором по взаимно ортогональным осям координат от-
ложены компоненты uX) uy и и/ скоростей молекул (рнс. 10.3). Пусть dn — число
молекул в единице объема газа, модули скоростей которых заключены в пределах от
и до u+du. Очевидно, что концы векторов скоростей этих молекул должны лежать
в пространстве скоростей внутри шарового слоя, закрашенного на рнс. 10.3. Объем
этого слоя d<a=4nu1du. При тепловом движении из-за его беспорядочности все направ-
ления скоростей молекул равновероятны. Поэтому число dn должно быть пропорци-
онально как числу ло молекул в единице объема газа, так и объему dcu шарового слоя.
Кроме того, dn должно зависеть от модуля скорости и. Таким образом,
dn=n[/(u)'4nu2du=noF(u)du,	(10.7)
где
Г(и) = 4яи2/(и).	(10.7')
3.	Функция распределения
ёл
F(u) = —	(10.7")
«0 du
представляет собой долю молекул, модули скоростей которых находятся в шаровом
слое единичной толщины. Произведение F(u)du=dn/ло есть вероятность того, что
модуль скорости молекулы заключен между и и u+du. функция F(u) называется
функцией распределения молекул газа по модулям ах скоростей. Из физического смысла
функции F(u) следует, что
СО
|r(u)du=l.	(10.8)
о
Смысл интеграла (10.8) состоит в следующем. Любая молекула имеет какое-то аб-
солютное значение скорости и. Поэтому если просуммировать все доли молекул,
имеющих всевозможные абсолютные значения скорости и, то получим единицу.
Функция /(и) имеет такрй же смысл, как и F(u), но, согласно (10.7Э, является
функцией распределения, отнесенной к единичному интервалу объемов do)=4nuzdu.
Расчеты показали, что
(\ 3/2
— )	(Ю-9)
2лкТ/
На рис. 10.4 представлен график функции F(u). Из ее физического смысла и интеграла
(10.8) следует, что вся площадь, ограниченная кривой на рис. 10.4 и осью абсцисс, равна
единице.
4.	Кривая на рис. 10.4 описывает распределение молекул по модулям скоростей.
Объединяя формулы (10.7) и (10.9), можно записать закон распределения молекул по
скоростям (закон Максвелла):
\3/2
----1 е 4nu2du.	(10.10)
IttkTj
Из закона (10.10) можно определить так называемую наиболее вероятную скорость и„
соответствующую максимуму на графике функции F(u) (рис. 10.4).
Запишем условие максимума функции F(u):
-а	1 _0
129
где v„ средняя квадратичная скорость, определяемая по формуле (10.5). Обе скоро-
сти и и, зависят только от температуры газа и его молярной маем.
5.	Если по оси абсцисс отложить скорости и, а по оси ординат — функцию F(u), то
для разных температур Т| < Т2< Т3 кривые распределения молекул по скоростям будут
иметь вид, изображенный на рис. 10.5. С увеличением температуры газа максимум
кривой смещается в сторону больших скоростей, а его абсолютная величина уменьша-
ется. Следовательно, при нагревании газа доля молекул, обладающих малыми скоро-
стями, уменьшается, а доля молекул с большими скоростями увеличивается.
в. Закон распределения молекул по скоростям позволяет вычислить среднюю ариф-
метическую скорость (и) поступательного движения молекул идеального газа. Для
этого необходимо долю молекул dn/no, обладающих некоторой скоростью и, умножить
на эту скорость и просуммировать по всем скоростям. Так как скорость изменяется
непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. В результате получим
СО
f dn
<u> = u
J «о
о
Вместо dn/n0 введем по формуле (10.7) функцию F(u). Тогда
<и> = JuF(u)du.	(10.12)
о
Этот результат имеет общее значение. Среднее значение любой физической величины
х с учетом закона распределения молекул по скоростям в классической статистической
физике вычисляется по формуле
со
<x> = |xF(u)du.	(10.13)
о
Подставим в формулу (10.12) выражение для F(u) из формул (10.7') и (10.9). Тогда
СО
(\3/2 -
I I н е du.
2я*Т/ J
О
130
После интегрирования получаем
(10.14)
Три скорости о,,, (к) и и, отличаются друг от друга числовыми множителями
порядка единицы, причем t>K1> (и) > и,.
7. С помощью закона распределения молекул по скоростям (10.10) можно найти
распределемк молекул do отиосжтельным скоростям. Как показано в § 5.4, относитель-
ное движение двух частиц с массами mj и т2 эквивалентно движению одной частицы
с приведенной массой /ищ>=/п11п2/(/и1+/и2). Для однородного газа mt =/и2=то
и тшр=т0/2. Распределение молекул по их относительным скоростям устанавливает
долю	молекул из общего их числа по, относительные скорости которых
лежат в пределах от Цл, до u^+du^. Закон (10.10) для этого распределения при-
мет вид
d/’«bni=‘n0
< _ \3/2
) е
4я*Т/
(10.10')
Здесь —— =Fi (ио™) dum, где
«о
то \	Д4*Т)
ш)’
— фумосия распределеиш молекул идеального газа по относипльшм скоростям.
С помощью закона (10.10') и формулы (10.13) можно найти грг гмжип отиоежтельиую
скорость молекул идеального газа:
<“ оти>	I I (Ноги) dUor»-
о
Если подставить в этот интеграл функцию Ft(utm) и провести интегрирование, то
получим
<К™>=72 x/8W7(^)=V^ <“>.
(10-15)
где <и> — средняя арифметическая скорость молекул.
I. В заключение найдем закон распределения молекул идеального газа по кинетичес-
ким энергиям их теплового движения. Это распределение устанавливает долю dn^Jno
молекул, кинетические энергии J¥t= которых заключены в интервале от Wx до
H't+dH'j. Чтобы получить такое распределение, нужно в законе (10.10) перейти от
скорости и к энергии W* по соотношениям u=y/2Wt!mo и du= W, ^dWJ-Jbn^. В ре-
зультате получим
а	2 /ь.тл-3/2
dn^, =ио — (к 7) е
Jw.dW..
(10.10”)
Здесь
AnwJ^F^W^dW^
131
где
Г2(Иу=Л(/сТ) 3/2с
— функция распределены молекул идеального газа по кинетическим энергиям. Исполь-
зуя эту функцию и формулу (10.13), найдем среднюю кинетическую энергию
молекулы идеального газа:
(£	ОС
<и;> = |	— | и;с~"*/(*п ^/w,	(lo.io")
Как и следовало ожидать, мы получили результат, совпадающий с формулой (10.6) для
средней кинетической энергии поступательного движения молекулы.
§ 10.4.	Экспериментальная проверка закона распределения
молекул по скоростям
1.	Экспериментальная проверка закона распределения молекул по скоростям была
проведена спустя 60 лет после того, как закон был найден Д. К. Максвеллом. О. Штерн
использовал (1920) метод молекулярных и атомных пучков и впервые измерил средние
скорости атомов в таких пучках. Опыты Штерна изучаются в курсе физики средней
школы. Они показали, что атомы в пучке летят с различными скоростями. В даль-
нейшем предложенная Штерном методика использовалась многими учеными для
изучения законов распределения атомов по скоростям. Мы рассмотрим опыты, постав-
ленные Б. Ламмертом (1929).
2.	Опыт. Прибор состоял из тол-
стостенного сосуда 1, к которому
присоединялась «молекулярная
печка» 2 — сосуд, в котором ис-
парялся какой-либо жидкий ме-
талл, например ртуть (рис. 10.6).
Пары металла проходили сквозь
систему диафрагм 3, после кото-
рых создавался узкий молекуляр-
ный пучок. В этом и состоял ме-
тод молекулярных пучков, разра-
ботанный Штерном. На пути пуч-
ка атомов располагались два дис-
Рис. 10.6	ка 4 и 5 с узкими прорезями, пове-
рнутыми друг относительно друга
на некоторый угол <р (рис. 10.7). Диски приводились во вращение двигателем 6. Пучок атомов,
пройдя через прорези в обоих дисках, попадал в ловушку 7, охлаждавшуюся жидким азотом.
Атомы осаждались на стеклянной мишени 8, образуя на ней видимый осадок. С помощью насоса
9 в установке поддерживался высокий вакуум, чтобы не происходило столкновений атомов
с молекулами воздуха.
3.	Очевидно, что при неподвижных дисках пучок атомов не попадает на мишень. Если же диски
привести во вращение, то атомы, имеющие определенную скорость, смогут пройти сквозь прорезь
во втором диске. Это произойдет в том случае, когда за время, в течение которого атомы
движутся между дисками, второй диск успеет повернуться на угол <р, так что прорезь окажется на
пути пучка атомов. Если диски вращаются с угловой скоростью ш=2лл, где л — частота их
вращения, то угол ф=ш1=2ял1. Но t—1/и, где / — расстояние между дисками, и —скорость
атомов. Например, если /=40 см=0,4 м, ф=24°=24л/180 рад и л=3000 об/мин=50 об/с, то
скорость атомов
2я500,4 180
и=—---------- м/с =300 м/с.
24л
4.	Конечная ширина прорезей в дисках приводила к тому, что скорость атомов измерялась
в опыте с погрешностью, которую можно оценить. Пусть атом пролетел вблизи левого края
132
прорези первого диска; в прорези второго диска он может пролететь как вблизи левого края, так
и вблизи правого. Но в первом случае система повернется на угол tp, а во втором на угол
<pt = <p + &<p. Соответственно, на мишень попадут как атомы, которые движутся со скоростью
и (они пройдут вблизи левого края), так и атомы, движущиеся с меньшей скоростью uj =2nnl/tpi
(они пройдут вблизи правого края прорези). Погрешность при измерении скорости равна
2лл/ 2пп1 2тгл/’Дф и Ду
Ди = и - U| =	—	=	-	—
<р (<р+Ду) [ф(<р + Д<р)] (<р + Дф)
В конкретном примере, который приведен выше, при Д^=2° получим
Ди = 300 2/26 м/с = 23 м/с.
Таким образом, в опыте, который рассмотрен, можно было лишь утверждать, что скорость
атомов лежит в интервале между 277 и 323 м/с. Эту погрешность можно уменьшить, сделав
прорези более узкими. Однако, поскольку сделать шель бесконечно тонкой нельзя, принципиально
невозможно полностью ликвидировать разброс в измерениях скоростей отдельных атомов.
5. Разброс в значениях измеренных опытным путем скоростей отдель-
ных атомов нельзя смешивать е измерениями распределения атомов
по скоростям, которые были проведены Ламмертом и другими ис-
следователями. Опытная проверка закона распределения основывалась
на том, что видимый осадок атомов на мишени 8 (см. рис. 10.6)
получается при вполне определенном числе сконденсировавшихся
атомов. Чем больше число атомов в пучке, тем меньше времени
требуется для получения осадка определенной толщины; nxjnj—ti/ti.
Этим методом было определено относительное число молекул, скоро-
dn
сти которых лежат в интервале от и до u+du, т. е. величина . Оры-
ngdu
ты показали, что закон распределения молекул по скоростям спра-	Рис 10.7
ведлив.
Мы так подробно остановились на опытной проверке распределения молекул по скоростям,
чтобы показать, насколько сложны физические экспериментнк-ИбдТэерждакшШб (а иногда н не
подтверждающие!) теоретические выводы. ЭкспериментальнДя <пррверка, и только она, является
«верховным судьей» справедливости любой физической’ теории',лг/ в частности, кинетической
теории газов. Eice выводы этой теории были экспериментально подтверждены,
В заключение отметим, что все опыты по измерению скорр<спей теплового Движений атомов
и молекул и по изучению распределения молекул (атомов) ц^'Лрро^тям Методом молекулярных
пучков имеют один Существенный недостаток. При з-к^м 'Измеркют скорбеть не хаотически
движущихся в газе частиц*, а скорость упорядоченно движущихся в пучке атомов (или молекул).
В таком пучке быстрых молекул (или атомов) заведомо больше, чем в газе, из которого пучок
возник, потому что быстрые частицы чаще проходят через диафрагмы, чем медленные.
§ 10.5.	Барометрическая формула. Закон Больцмана
для распределения частиц во. внешнем потенциальном поле
1.	До сих пор в кинетической теории газов мы считали;, что на молекулы газа не
действуют внешние силы. Поэтому можно было предполагать, что молекулы равноме-
рно распределены по объему сосуда. В действительности это предположение ошибоч-
но. Молекулы любого газа всегда находятся в поле Тяготения Земли. Если бы не было
теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они упали бы на Землю.
Если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной.
Совместные действия поля тяготения и теплового движения приводят к такому состоя-
нию атмосферы, при котором концентрация и давление газа убывают с возрастанием
высоты над Землей.
2,	Найдем закон изменения давления идеального газа с высотой в однородном поле
тяготения,; Будем считать, что газ находится в состоянии термодинамического равнове-
сия, так что его температура Т всюду одинакова. Выделим на высоте h столб abed газа
высотой d/i и площадью основания, равной единице (рис. 10.8). Разность давлений
*3акон Максвелла установлен для совершенно беспорядочного движения молекул.
133
р и p+dp иа нижнее и верхнее основания выделенного нами столба abed, т. е. иа
высотах h и Л+ёЛ, равна гидростатическому давлению pg Ah столба abed газа:
—dp=pgdh.
Заменим в этом уравнении плотность р по формуле (8.6):
рМ	dp	gM
dp= -—gdh, или — = —— dh.
RT	p	RT
Интегрируя это выражение пр высоте от 0 до Л и по давлению от ро до р, получаем
lnp—lnp0= —gMhl(RT),
или
p=poe-,w*n.	(10.16)
Здесь ро давление газа иа высоте h=Q. Если с помощью, барометра измерить
давление и р, то по формуле (10.16) можно по изменению давления определить
высоту:
Поэтому (10.16) называется барометрической формулой. Барометр, специально про-
градуированный для отсчета высоты над уровнем моря, называется альтиметром. Он
широко применяется в авиации, при восхождениях на горы и т. п.
3.	Барометрическая формула позволяет получить соотношение между концентраци-
ями газа иа различных высотах. Используем уравнение состояния идеального газа
в форме (8.8): p—nJiT, где по концентрация молекул газа. При Т= const имеем
р/РО= Лц/Лоо,
где лоо концентрация молекул газа при давлении ро (на высоте Л=0). Поэтому
уравнение (10.16) можно записать в форме
ло=лоое_,"мл7).	(10.17)
Заменяя R/M= k/m0, где то - масса молекулы газа, получаем
л0=л00е”м*/(*7>.	(10.17')
Из формулы (10.17') следует, что ло~»лоо при Г-»оо, т. е. повышение температуры
приводит к выравниванию концентрации газа по всему предоставленному ему объему.
При Г-»0 К ло-»О, т. е. молекулы под действием силы тяжести будут опускаться на дно
Рис. 10. в
Ah
h
Микроскоп
Покровное
стекло
Эмульсия
Рис 10.8
134
сосуда. Наша атмосфера существует лишь благодаря тепловому движению частиц
воздуха.
4.	Если учесть, что mgh= Wn — потенциальная энергия молекулы в однородном поле
тяготения вблизи поверхности Земли (при условии, что на уровне Л=0 потенциальная
энергия молекулы ^=0), то формулу (10.17') можно переписать в виде
По^лоое'и'°/(*Л.	(10.18)
Значение этого соотношения далеко выходит за рамки рассмотренной намц конк-
ретной задачи. Формула (10.18) является математичеаим выражением весьма общего
и важного закона — закона	« для распределения частиц во внешнем потенци-
альном поле. Закон Больцмана (10.18) справедлив для любого потенциального поля
независимо от его физической природы. Этот закон широко используется в физике,
и мы будем с ним неоднократно встречаться в нашем курсе.
5.	Заменив в (10.17) M^rnoN^, получим
По — ЛооС
Эго выражение можно использовать для экспериментального определения одной из
важнейших констант физики — постоянной Авогадро:
(10.19)
/ЛдуЛ Лф
Трудность экспериментов заключается в том, что молекулы газов невидимы в микроскоп
и измерение их концентрации на различных высотах невозможно Ж Перрен (1906) исследовал
распределение по высоте сосуда мельчайших частиц эмульсии смолы гуммигута и воде Зерна
эмульсии имели форму шариков диметром порядка 0,1 мкм, которые были отчетливо видны
 микроскоп Частицы таких малых размеров совершают интенсивное броуновское движение
Схема опытов Перрена приведена на рис. 10 9 Эмульедя находилась в сосуде высотой
в несколько десятых долей миллиметра На какую-либо одну из горизонтальных плоскостей,
проходящих в эмульсии, наводился микроскоп с малой глубиной ДА пола зрения. Наблюдения
частиц эмульсии н подсчет их числа на данной высоте затруднялись их интенсивным броуновским
движением Поэтому Перрен производил мгновенные фотоснимки наблюдаемой в микроскоп
картины н по ним определял концентрацию зерен Измерения проводились последовательно для
ряда сечений, отстоящих друг от друга ив разных расстояниях При увеличении расстояния Л от
два сосуда в арифметической прогрессии концентрация зерен убывает в геометрической прогрес-
ш, т е изменяется по закону
яо=лоое-в*,
прячем коэффициент а обратно пропорционален темгиратуре Т Эта формула аналогична (10 17)
и показывает, что броуновские частицы, иаштывая многочисленные удары со стороны можяул
жидкости, в которой они движутся, ведут себк подобно молекулам тяжелого таза Перрен
предположил, что масса то такой тяжелой молекулы должна быть равна разности между нитами
броуновской частицы  вытесненной ею жидкости
то-4/з«»*(р-Р1).
гда р — плотность гуммигута, pi — плотность жидкости; а — радаус сферической броуновской
частицы Если подставить это значение то в формулу (10 10), то подучится следующее выражение
д и постоянной Авогадро
 Ь —	(Ю 19Э
4жг(р-Р1>Я*	»Ч>
В опытах Перрена изменялась темтиратура, вязкость среды и размер зерен эмульсии. Во всех
опытах значения постоянной Авогадро подучались близкими к 6,8 10” моль-1
135
§ 10.6.	Средняя длина свободного пробега молекул
1.	Мы уже говорили о том, что конечные размеры молекул и их огромная концент-
рация даже в газах при обычных условиях приводят к тому, что молекулы непрерывно
Сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями моле-
кулы движутся равномерно и прямолинейно.
Расстояние z, которое молекула пролетает за время свободного пробега от
одного столкновения до следующего, называется длиной свободного пробега. Эти
расстояния могут быть самыми разными. Поэтому в кинетической теории вводится
понятие средней длкзы свободного пробега молекул Величина (А) является
характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления
н температуры.
Для вычисления необходимо принять определенную модель молекул газа.
Будем считать, что молекулы представляют собой шарики некоторого диаметра
d порядка 10“16 м, зависящего от химической природы газа.
Такая модель, как мы увидим в § 12.1, правильно передает характер сил отталкива-
ния, которые действуют при сильном сближении молекул реальных газов.
2.	Подсчитаем среднее число столкновений, которое испытывает за единицу времени
молекула при движении в однородном газе.
Для упрощения расчетов предположим, что все остальные молекулы, кроме рас-
сматриваемой, неподвижны, а эта одна движется со скоростью, равной средней ариф-
метической скорости (и). При своем движении молекула будет сталкиваться со всеми
молекулами газа, центры которых отстоят от траектории движения ее центра на
расстояниях, меньших или равных диаметру молекул d. За единицу времени рассмат-
риваемая молекула столкнется со всеми частицами, центры которых лежат внутри
цилйндра высотой (и) н радиусом основания d (рис. 10.10). Если по — концентрация
молекул газа, то среднее число соударений молекулы в единицу времени равно
<г>=я«/2ло<и>.	(10.20)
3.	Мы сделали заведомо неправильное предположение о том, что все молекулы, кроме
одной, неподвижны. В действительности все молекулы движутся, и возможность
соударения двух частиц зависит от их относительной скорости. Поэтому в формулу
(10.20) вместо средней арифметической скорости (и) должна входить средняя от-
носительная скорость (ЦотХ По формуле (10.15), (иОП1>=>/2<и). Поэтому значение
I
среднего числа соударений (10.20) нужно увеличить в ^/2 раз:
<Z>=-v/2nJIn0<u>.
(10.21)
Среднее расстояние, которое пролетает молекула за единицу времени, численно
равно <и>. Оно представляет собой, очевидно, произведение (Z) <2). Поэтому средняя
длина свободного пробега молекул
yJ2 nd2no
(1022)
Рис. 10.10
Из формулы (10.22) следует, что при постоянной
температуре, когда, согласно (8.8), концентрация
по молекул пропорциональна давлению р газа, сред-
няя длина свободного пробега обратно пропорци-
ональна давлению. Для данного газа при Т—const
н различных давлениях до н до имеем
<21>до = <22>до=сопз1.	(10.22*]
4.	Рассмотрим один из методов экспериментального опре-
деления средней длины свободного пробега атомов н моле-
136
гул, примененный в опыте, который поставили М. Бори и Е. Борман (1921). В этом опыте
исследовалась закономерность убывания интенсивности пучка атомов серебра по мере его рас-
пространения в замкнутом сосуде с сильно разреженным воздухом, давление которого можно
было изменять с помощью вакуумного насоса. Уменьшение количества атомов серебра в пучке
обусловлено их рассеянием вследствие столкновений с молекулами воздуха. Пусть N — число
атомов, прошедших без рассеяния путь в воздухе, равный,,х, а |dA/] -— число атомов, испытыва-
ющих столкновения с молекулами воздуха в слое толщиной dx и выбывающих из пучка в этом
слое (dN<0). Отношение -dN/N есть вероятность того, что атом серебра, долетевший до рас-
сматриваемого слоя, выйдет в этом слое из пучка Вероятность такого события равна вероятности
столкновения атома с молекулой воздуха в слое толщиной dx, т. е. равна отношению dx/^ДХ где
(2) — средняя длина свободного пробега атомов серебра в воздухе. Таким образом,
dN_dx
Проинтегрировав это уравнение, получим
W=Noe“x/<1>,	(10.23)
где No — число атомов в пучке при х=0. Для определения значений W при разных значе-
ниях х Борн н Борман использовали метод осаждения атомов серебра на охлаждаемых стеклян-
ных пластинках: чем больше N, тем более плотный слой серебра откладывается за одно и то же
время экспонирования на стеклянной пластинке, установленной на пути пучка перпендикулярно
ему.
5.	Соотношение (10.23) называется законом распределения свободных пробегов. С его
помощью можно найти среднюю длину свободного пробега атомов серебра в воздухе.
В самом деле, если N(xi)=Nt, а ,<V(x2)=^2, то, согласно (10.23),
откуда	N1
*2-Х|
ln(Ni/N2)‘
Отношение N^/Nj Борн и Борман определяли оптическим методом путем сравнения
степеней почернения стеклянных пластинок, установленных на расстояниях* Xi н хг.
Опытным путем была также проверена справедливость соотношения (10.22).
В. В этом параграфе мы предполагали, что молекулы (или атомы) представляют
фзбой шарики некоторого диаметра d. В действительности каждый атом (или молеку-
ла) представляет собой сложную систему ядер и электронов. Ясно, что такие молекулы
соударяются не как шары. Вместе с тем представление о том, что при соударениях
каждая молекула имеет некоторый «эффективный» диаметр d и «эффективное» попе-
речное сечение nd1/4, оказывается правильным. Эффективное поперечное сечение моле-
кул зависит от характера сил взаимодействия между ними. При повышении тем-
пературы газа, когда скорости движения молекул увеличиваются, эффективное попе-
речное сечение молекул уменьшается.
В заключение заметим, что (Л) можно определить экспериментально на основе
изучения явлений переноса в газах.
§ 10.7.	Явления переноса в термодинамически неравновесных системах
1.	В § 8.3 мы ввели понятие равновесного состояния термодинамической системы.
Одним из условий такого состояния является отсутствие в системе потоков вещества
и энергии. В кинетической теории газов мы рассматривали дЬ сих пор газы, находящие-
ся в состоянии равновесия. Однако беспорядочность теплового движения молекул газа,
непрерывные столкновения между ними приводят к постоянному перемешиванию
частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная
♦На самом деле в опыте одновременно экспонировались четыре стеклянные пластинки,
установленные друг за другом на равных расстояниях Каждая из этих пластинок перекрывала
только */4 сечения пучка (один его квадрант), так что в совокупности они перекрывали весь пучок
137
неоднородность плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения
отдельных слоев газа, то происходит самопроизвольное выравнивание этих жоднород-
иостей. В газе возникают потоки энергии, вещества, а также импульса упорядоченного
движения частиц. Эти потоки, характерные для неравновесных состояний газа, являют-
ся физической основой особых процессов, объединенных общим названием явлеяЛ
переноса. К этим явлениям относятся теплопроводность, внутреннее трение и диф-
фузия.
2.	Теплопроводность возникает при наличии разности температур, вызванной какими-
либо внешними причинами. При этом молекулы газа в разных местах его объема
имеют разные средние кинетические энергии и хаотическое тепловое движение молекул
приводит к направленному переносу внутренней энергии газа. Молекулы, попавшие из
нагретых частей объема газа в более холодные, отдают часть своей энергии окружа-
ющим частицам. Наоборот, медленнее движущиеся молекулы, попадая из холодных
частей объема газа в более нагретые, увеличивают свою энергию за счет соударений
с молекулами, имеющими большие скорости и энергии.
3.	Внутреннее трепне (ввзкостъ) связано с возникновением сил трения между слоями
газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными по модулю скоростя-
ми*. Со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой
действует ускоряющая сила. Наоборот, медленнее перемещающиеся слои тормозят
более быстро движущиеся слои газа. Силы трения, которые при этом возникают,
направлены по касательной к поверхности соприкос-
новения слоев. С молекулярно-кинетической точки
зрения причиной вязкости является наложение упоря-
доченного движения слоев газа с различными скоро-
стями v и хаотического теплового движения молекул.
Рассмотрим два слоя А и В газа, движущихся
параллельно друг другу со скоростями и vj (рис.
10.11). Благодаря тепловому движению молекулы из
слоя В переходят в слой А и «переносят» в этот слой
импульсы гпоЪ своего упорядоченного движения.

Рис. 10 11
Если V| > V2, то такие молекулы при столкновениях с частицами слоя А ускоряют свое
упорядоченное движение, а молекулы слоя А замедляют. При переходе молекул из
быстрее движущегося слоя А в слой В оии переносят большие импульсы и соударе-
ния между молекулами приводят к ускорению упорядоченного движения молекул слоя
В. В результате этих процессов переноса импульсов молекул между слоями А и В воз-
никают силы трения, направленные, как уже сказано выше, по касательной к поверх-
ности соприкосновения слоев.
4.	Диффузией в простейшем случае называется явление самопроизвольного взаимного
проникновения и перемешивания частиц двух соприкасающихся газов**. В химически
чистых газах при постоянной температуре диффузия возникает вследствие неодинако-
вой плотности в различных частях объема газа. Для смеси газов диффузия вызывается
различием в концентрациях отдельных газов в разных частях объема смеси. При
постоянной температуре явление диффузии заключается в переносе массы газа из мест
с большей концентрацией даннс/Го газа в места с меньшей его концентрацией.
5.	Все явления переноса возникают в газах в результате нарушения полной хаотич-
ности движения молекул. Эти нарушения вызваны направленным воздействием на газ,
приводящим в случае диффузии к неоднородной плотности, в случае теплопровод-
ности к разной температуре в различных частях объема газа. Внутреннее трение
связано с тем, что создается упорядоченное движение разных слоев газа с различными
скоростями.
Нарушение полной хаотичности движения молекул в явлениях переноса сопровож-
дается отклонением от максвелловского закона распределения молекул по скоростям.
Именно отклонениями от этого закона объясняется направленный перенос массы,
импульса н внутренней энергии в газах. Строгий молекулярно-кинетический анализ
явлений переноса оказывается весьма затруднительным. В каждом конкретном случае
*В жидкостях вязкость возникает таким же образом.
♦♦Диффузия может происходить также в жидкостях и твердых телах.
138
внешнего воздействия на газ необходимо сначала найти отклонения от максвелловс-
кого распределения и лишь затем можно перейти к изучению закономерностей явления
переноса, вызываемого этим воздействием.
Впервые такой расчет провел Максвелл, основываясь на тщательном анализе
динамики молекулярных столкновений. Мы не можем входить в обсуждение строгих
методов расчета явлений переноса и ограничимся лишь рассмотрением основных
закономерностей этих явлений и их приближенным качественным обоснованием. Из-
учение явлений переноса представляет особый интерес в связи с тем, что эти явления
позволяют определить опытным путем такие важнейшие характеристики газа, как
средняя длина свободного пробега молекул и их эффективный диаметр.
§ 10.8.	Основные уравнения и коэффициенты явлений переноса
1.	В химически однородном газе перенос вещества при диффузии подчиняется закону
Фт (1855):
dp
т„= -D	(10.24)
dx
Здесь Шт — удельный поток массы, равный
dm
где dm — масса вещества, диффундирующего за время dr через площадку dSi, рас-
положенную перпендикулярно направлению переноса вещества; р — плотность газа;
D — коэффициент диффузии. Формула (10.24) описывает простейший случай одномер-
ной диффузии, при которой плотность р есть функция только одной координаты х, т. е.
р=р(х). Вещество при этом переносится также только вдоль оси ОХ. Знак минус
в формуле (10.24) показывает, что перенос массы при диффузии происходит в направле-
нии убывания плотности, т. е. вдоль положительного направления оси Ох при dp/dx<0
и в обратном направлении при dp/dx>0. Учитывая, что р—тоЛо, запишем закон Фика
в другой форме:
^=/= — D	(10.24')
mo	dx
Здесь J — плотность потока молекул при диффузии, равная
dn
'“dSjdt’
где dn число молекул, диффундирующих за время dr через площадку dS±.
В общем случае трехмерной диффузии, когда плотность р зависит от трех коор-
динат х, у и z, т. е. р — р(х, у, z), закон Фика для плотности потока молекул
j= — Dgradno,	(10.24”)
где j — вектор плотности потока молекул, модуль которого имеет прежний смысл,
а направление совпадает с направлением переноса вещества.
2.	Явление теплопроводности в простейшем одномерном случае возникает в газе,
температура которого зависит только от одной координаты х, т. е. Г= Г(х). При этом
перенос внутренней энергии газа путем теплообмена осуществляется только вдоль оси
ОХ и описывается законом Фурье (1822):
Здесь qm - плотность теплового потока, 5Q -- количество теплоты, которое пере-
139
дается вследствие теплопроводности за время dz через площадку dS^, расположенную
Перпендикулярно направлению переноса внутренней Энергии. Величина К называется
теплопроводностью (коэффициентам теплопроводности). Знак минус в формуле (10.25)
указывает на то, что при теплопроводности перенос внутренней энергии происходит
в направлении убывания температуры. Теплопроводность численно равна плотности
теплового потока при dT/dx= 1 К/м, т. е. при единичном градиенте температуры.
В общем случае трехмерной теплопроводности, когда температура является функ-
цией трех координат х, у и г, т. е. 7'= Т(х, у, г), закон Фурье имеет вид
q=-Кgrad Г.	(KUS’)
Здесь q — вектор плотности теплового потока, модуль которого имеет указанный выше
смысл, а направление совпадает с направлением переноса энергии.
3.	Для явления внутреннего трения справедлив закон Ньютона (1687):
dv
.	(10.26)
dn
Здесь т — напряжение трения, равное
dF
T=dS’
где dF — касательная сила трения, действующая на поверхность слоя площадью dS1,
a dr — изменение скорости течения газа (жидкости) на расстоянии dzi в направлении
внешней нормали п к поверхности слоя. Напряжение трения т считается положитель-
ным, если сила внутреннего трения, действующая на рассматриваемую поверхность
слоя, совпадает по направлению со скоростью v движения газа, т. е. является ускоря-
ющей силой для этого слоя. Если сила внутреннего трения тормозит слой, то т<0.
Величина »? называется динамической вязкостью (коэффициентом внутреннего трения).
Она численно равна напряжению трения при условии, что dv/dn= 1с1. Кроме динами-
ческой вязкости часто используется понятие квюматической вязкости: v=ijIp, где
р — плотность жидкости (газа).
4.	Попытаемся теперь качественно, не претендуя на строгость изложения, рассмотреть
явления переноса с молекулярно-кинетической точки зрения. Пусть в одномерной
задаче вдоль оси ОХ происходит одно из явлений переноса. Это значит, что существует
пространственная неоднородность некоторой физической величины А, характеризу-
ющей явление переноса, т. е. производная dA/dx отлична от нуля. Неоднородность
величины А обусловливает ее перенос. Через единицу площади поверхности, перпен-
дикулярной оси ОХ, в единицу времени проходит с обеих сторон определенное число
молекул. В среднем это число пропорционально произведению «о (и), где (и) — сред-
няя скорость молекулы. Перенос физической величины А вдоль оси ОХ означает, что
молекулы, проходящие через поверхность в одну сторону, имеют бблыпие значения
величины А, чем молекулы, проходящие в противоположную сторону. Разность вели-
чин А, переносимых в разные стороны, является мерой явления переноса. Обозначим
эту меру М(А) и оценим ее. Если средняя длина пробега молекулы (А), то до
прохождения через поверхность молекулы со времени последнего столкновения про-
шли в среднем путь (А). С точностью до числового множителя
М(Л)~ив <«> {А [х - <А>] - А [х+ <А>]},	(10.27)
где х — абсцисса рассматриваемой площади поверхности. Предыдущее выражение
можно переписать в другом виде**
AL4\
♦Из математического анализа известно, что А [х—<А>]=Л (х) — <А> I — 1; А [х+<А>]—
\dx/
/<МХ
(х)+(А> 1 — 1. Подставляя в (10.27) эти выражения, получим формулу (10 27).
\dx/
140	'
Л/(Л)---2nn<w> <л>
(10.27)
Полученное уравнение называется уравнением переноса. По своей форме оно напомина-
ет законы явлений переноса (10.24)	(10.26).
5.	Применим уравнение переноса (10.27 ) к явлению теплопроводности. Тогда под
А следует понимать кинетическую энергию молекулы, которую можно выразить через
удельную теплоемкость сг, массу молекулы и температуру Т: A = wI = cvmoT. Плот-
ность теплового потока
d-T
Чю----2пп <ы> <л> crzno .
□X
Более точное равенство, которое может быть получено в кинетической теории газов,
имеет вид
<7а.-,^-73ра<и><л>^Г.	(10.25")
dx	*
Сравнивая (10,25) и (10.25"), получаем формулу для теплопроводности газа
К = 7э <и> <л> Сур.
(10.28)
в. Прн внутреннем трении переносимой физической величиной является импульс
упорядоченного движения молекулы в слое газа' А = т&. Тогда уравнение переноса
(10.27 ) приводит к закону Ньютона для внутреннего трения. С числовым коэффициен-
том он записывается так:
	dv
т-=7з<и><л>р	.
on
(10.26')
Сравнивая (10.26) и (Ю.Зб'), получаем выражение для коэффициента внутреннего
трения газа:
ц=7з<"><а>д	(10.29)
В случае диффузии переносимая величина масса тп молекулы не зависит от
координат, но зато концентрация л0 молекул изменяется вдоль оси ОХ. Поэтому для
диффузии уравнение переноса имеет вид, несколько отличный от (10.27'):
WJu:i=-73 <“> <*> d.P-
dx
(10.24'")
Из сравнения (10.24) и (10.24'") получаем следующую формулу для коэффициента
диффузии в газах:
о=7з<ы> <А>.
(10.30)
§ 10.9.	Некоторые следствия из теории явлений переноса в газах
1.	Формулы для коэффициентов переноса показывают, что коэффициенты вну-
треннего трения и теплопроводности не зависят от давления газа. Это было
установлено Максвеллом н в свое время вызвало серьезные трудности в признании
> молекулярно-кинетической теории газов и ее выводов. Формально дело сводится
к тому, что в формулах (10.28) и (10.29) плотность р входит и в числитель,
и в знаменатель, поскольку средняя длина .свободного пробега <л> обратно
пропорциональна плотности:	Поэтому коэффициенты переноса К и ц от
плотности не зависят. Физически это объясняется -тем, что Для не слишком
141
Рис 10.12
разреженных газов при неизменной температуре с ростом давле-
ния (а следовательно, и плотности) в переносе импульса и внут-
ренней энергии принимает участие большее число молекул. Одна-
ко каждая из них за счет уменьшения средней длины свободного
пробега переносит меньшие импульсы упорядоченного движения
или энергии (в случае теплопроводности). Поэтому в целом для
всей массы газа перенос импульса и энергии не изменяется.
2.	Из формул (10.28) — (10.30) для коэффициентов переноса вытекают
простые зависимости между коэффициентами
1,-рД К1(чсг)-1,	(10.31)
из которых следует, что по найденным из опыта значениям коэффициента
внутреннего трения, теплопроводности или диффузии можно определить
остальные коэффициенты переноса.
На ряс 10.12 изображена одна из схем опытов по измерению коэф-
фициента внутреннего трения газов.
Опыт. Металлический цилиндр А подвешен на кварцевой нити внут-
ри концентричного ему полого вращающегося цилиндра В. Под действи-
ем сил внутреннего трения в газе, заполняющем зазор между цилинд-
рами, цилиндр А поворачивается При этом он закручивает нить на
некоторый уго^, пропорциональный действующему на него крутящему моменту. Угол измеряется
с помощью зеркального отсчета С. Теоретический расчет позволяет найти коэффициент внутрен-
него трения газа, если знать радиусы цилиндров, их высоту, угловую скорость вращения цилиндра
В и измерить в опыте крутящий момент, действующий на цилиндр А.
В подобных экспериментах было установлено, что уменьшение давления воздуха в 500 раз
вызывает изменение коэффициента внутреннего трения только на 4%, т. е. ч действительно не
зависит от давления н плотности.
3.	Исследования явлений переноса в химически однородных газах позволяют опреде-
лить «эффективный» диаметр d молекул. Из уравнения (10.22) имеем
</=ч/1/(72япо<2».
Вместо по введем молярную массу М и плотность р: na—plmo^=pNfJM. Тогда
d=A/Af/(V2nNAp<2>).
С другой стороны, из формул для коэффициентов переноса следует
... ЗК	3ij
₽<>> -yr—. PW-7X*
<w>er	<w>
Подставляя эти выражения в уравнение (10.32), получаем
/ (иуМсу d= Г&>М~
У 3 у/2 nN/^K	У 3 у/2 nNM'
(10.32)
(10.32Q
Последние формулы позволяют по известным из опытов значениям коэффициентов
переноса и характеристикам газа (средней скорости молекулы при данной температуре,
удельной теплоемкости и молярной массе) определить «эффективный» диаметр моле-
кул. Для водорода, кислорода, азота, гелия и углекислого газа значения d при 0 °C
составляют (1,64 — 2,79)'10"’° м.
142-
4.	В заключение приведем сводную таблицу загонов и коэффициентов явлений перено-
са для одномерного случая (табл. 10.]).
Таблица 10,1
Явлоие	Переносимая фпвчвекая млпюа	Ооаопой звюн —ним переноса	Формула для коэффициента переноса
Диффузия	Масса	dp -D — dx	Л-‘/а <><*>
Внутреннее трение	Импульс	do t=IJ — dn	
Теплопроводность	Внутренняя энергия	dr ffca—-К — dx	Х-»/1реК<н><2>
§ 10.10. Понятии о свойствах разреженных газов
1. Газ, давление которого ниже нормального атмосферного давления, называется
разреженмм газом. Такое состояние газа называют также вакуумом. Мерой Степени
разрежения (вакуума) служит отношение средней длины свободного пробега молекул
газа ^2), связанной с их взаимными столкновениями в газе, т. е. подсчитываемой по
формуле (10.22), и характерного линейного размера / сосуда, в котором находится газ.
Различают кякнй вакуум (<2) «I), средой вакуум «2> «/) и высока вакуум (<2) »/).
При высоком вакууме молекулы газа пролетают от одной стенки сосуда к другой
практически бе? столкновений между собой. В этом случае длина свободного пробега
молекул определяется размерами и формой сосуда, т. е. ж зависит ни от плотности
газа, ни от размера его молекул. Некоторые характеристики вакуума различных
степеней в вакуумных установках с характерным размером /«0,1 м приведены в
табл. 10.2.
Таблица 10 2
Характеристика	Вакуум			
	шгхнвгЙ	средний	высокий	сверхвысокий
Давление, мм рт. ст Концентрация, м-а Зависимость от давления коэффициентов К и ц	760—1 10й -10“ Не зависят от давления	1 — 10-а 10“ —10*’ Определяется параметром <2>//	10а — 10"* 10»» _ ю«* Прямо пропорцио- нальны давлению	10“ * и менее 10** в менее Теплопроводность и вязкость практи- чески отсутствуют
2. Теория явлений переноса, изложенная в § 10.9, основана на предположении о том,
что (2) во много раз меньше линейных размеров сосуда. Поэтому она неприменима
к разреженным газам.
Уменьшение плотности сильно разреженного газа, ж вызывая изменения <2\
приводит к убыли числа молекул, участвующих в процессе переноса импульса или
внутренней энергии. Поэтому коэффициенты внутреннего трения и теплопроводности
газа в состоянии высокого вакуума прямо пропорцией» т.им его плотности. В состоя-
ниях сверхвысокого вакуума в газах отсутствует внутреннее трение, а существует лишь
внешнее трение движущегося газа о стенки сосуда. Это связано с тем, что изменение
импульса молекул происходит только в результате их взаимодействия со стенками.
Сила трения, действующая на единицу площади стенки, в первом приближении пропор-
143
циональна скорости движения газа и его плотности. Такая законо-
мерность резко отличается от закона Ньютона (10.26) для внут-
реннего трения.
3. Отсутствие соударений между молекулами разреженного газа
изменяет характер закономерностей процесса теплопроводности
в разреженных газах. Свободно перемещаясь от одной стенки
сосуда к другой, молекулы непосредственно обмениваются энерги-
ей со стенками, имеющими температуры Т\ и Г2. Теплота, отдан-
ная (или полученная) за единицу времени, пропорциональна раз-
ности температур и плотности газа. Закон Фурье для теплопрово-
дности (10.25) здесь неприменим. Особенности процесса тсплопро-
Рис. 10.13 водности в разреженных газах используются на практике для
создания тепловой изоляции. Так, например, для уменьшения
теплообмена между телом и окружающей средой тело помещают в сосуд Дьюара.
Сосуд Дьюара (рис. 10.13) имеет двойные стенки. Между стенками находится сильно
разреженный воздух, теплопроводность которого весьма мала.
4. Не изменяющееся с течением времени стационарное состояние разреженного газа,
находящегося в двух сосудах, соединенных узкой трубкой, возможно в том случае, если
через единицу площади сечения трубки, перпендикулярного направлению движения
частиц, за единицу времени в противоположных направлениях будет проходить одина-
ковое число молекул. Пусть nj н п2 — концентрации молекул в обоих сосудах, а <U|>
и (и2> — их средние арифметические скорости. Тогда условие стационарного состоя-
ния разреженного газа можно записать в форме
«I <Щ>=П2<и2>.
(10.33)
Но, согласно (8.8) и (10.14), п=р[(кТ) и <u) = y/9kT/(im0). Подставив эти выраже-
ния в формулу (10.33), получим уравнение, выражающее эффект Кнудсена:
(10.33')
где pi и рг — давления разреженного газа в обоих сосудах; 7) и Ti — температуры газа
в сосудах.
§	10.11. Закон равномерного распределения энергии
по степеням свободы
1.	В этом параграфе мы снова остановимся на некоторых общих вопросах, связанных
с применением статистического метода в молекулярной физике. Особое значение имеет
закон распределения энергии по степеням свободы.
Числом степеней свободы теля называется наименьшее число координат (число
независимых координат), которые необходимо задать для того, чтобы полностью
определить положение тела в пространстве.
Например, материальная точка, свободно движущаяся в пространстве, имеет три
степени свободы; координаты х, у их. Материальная точка, движущаяся на плоскости,
имеет две степени свободы: координаты х и у. Абсолютно твердое тело имеет шесть
степеней свободы; его положение в пространстве определяется тремя координатами
центра масс, двумя координатами, определяющими положение в пространстве опреде-
ленной оси, проходящей через центр масс и какую-либо другую фиксированную точку
тела, и, наконец, углом поворота тела вокруг этой оси по отношению к некоторому
начальному положению. Таким образом, абсолютно твердое тело обладает тремя
степенями свободы поступательного движения и тремя степенями свободы вращатель-
ного движения.
Если тело не абсолютно твердое и его части могут смещаться друг относительно
друга, то необходимо рассматривать дополнительные степени свободы колебательного
движения.
2.	Молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку,
потому что практически вся масса такой частицы сосредоточена в атомном ядре,
144
размеры-которого весьма малы. Такая молекула (точнее, атом) имеет три степени
свободы поступательного движения. Ее средняя кинетическая энергия равна кинетичес-
кой энергии молекулы, движущейся со скоростью, равной средней квадратичной скоро-
сти:
<^>=7^^.
Заменив v„ по формуле (10.2), получим
• » N
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,
например на движение вдоль осн ОХ, равна
о°-34)
так как движение вдоль этой оси происходит только за счет составляющей вектора
Of скорости ьй молекулы газа. В силу полной хаотичности теплового движения молекул
газа все направления этого движения равновозможны и одинаково вероятны. Поэтому
в очевидном равенстве	все три слагаемых правой части в среднем
одинаковы, поэтому
Уравнение (10.34) теперь дает
<»^>=73<^>.	(10.35)
т. е. в среднем на каждую степень свободы поступательного движения одноатомной
молекулы приходится одинаковая кинетическая энергия равная 7з(^)- Из
соотношения (10.6) следует, что
<№>^!гкТ.	(10.36)
3.	Двух-, трех- и многоатомные молекулы нельзя рассматривать ках материальные
точки. Молекула двухатомного газа в первом приближении представляет собой два
жестко связанных атома Л и В, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.
Такая молекула напоминет гимнастическую гантель с невесомой ручкой (рис. 10.14).
Она помимо трех степенен свободы поступательного движения имеет еще две степени
свободы вращательного движения вокруг осей Ot — Ot н Oi — О2. Вращение вокруг
третьей осн О' — О' не рассматривается, так как момент инерции атомов относительно
этой оси очень мал и, следовательно, весьма мала кинетическая энергия молекулы,
связанная с этим вращением. Молекулы, состоящие из трех (и более) жестко связанных
атомов (рис. 10.15), имеют, подобно абсолютно твердому телу, шесть степеней свобо-
ды: три степени свободы поступательного движения н три степени свободы вращатель-
ного движения.
145
Какой же вклад вносят дополнительные степени свободы вращательного движения
в среднюю кинетическую энергию молекулы? Ответ на этот вопрос дает важнейший
закон статистической физики — закон равномерного распределена эвергм по степеням
свободы:
на каждую ствлань свободы молекулы в среднем приходится
одинаковая кинетическая энергия, равняя 1 2!JcT.
Другими словами, в среднем на любую степень свободы сложной молекулы прихо-
дится такая же кинетическая энергия, как и на одну степень свободы молекулы
одноатомного газа при той же температуре. Следовательно, средняя кинетическая
энергия молекулы, имеющей i степеней свободы, равна
<И;> = ^Т.	(10.37)
4.	Модель молекулы в виде жестко связанных атомов является чрезмерно упрощен-
ной. Во многих случаях приходится учитывать возможность относительных смещений
атомов в молекуле, т. е. вводить в рассмотрение колебательные степени свободы.
Найрнмер, нежесткая двухатомная молекула (см. рис. 10.14) имеет одну колебательную
степень свободы, а нежесткая трехатомная молекула — три колебательные степени
свободы. При колебательном движении молекула имеет и кинетическую И^, и потенци-
альную энергии. Если колебания гармонические, то в среднем эти энергии равны
друг другу.
Таким образом, в соответствии с законом равномерного распределения энергии
средняя полная энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы моле-
кулы, равна
<»,о> = <»,по> + <И,жо> = 2<1РжО> = ЛТ.	(10.38)
Она вдвое превышает среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы
поступательного или вращательного движения молекулы.
5.	Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинетическую энергию его
молекул. Для одного моля
Um= <Ж„> ЛГА=^ kTN^RT	(10.39)
Как видно, внутренняя энергия идеального газа зависит линейно от термодинамичес-
кой температуры Т газа и от числа степеней свободы его молекул.
В реальных газах внутренняя энергия включает в себя также еще и потенциальную
энергию молекул, обусловленную межмолекуляриыми взаимодействиями между ними.
Потенциальная энергия зависит от среднего расстояния между молекулами, т. е. от
удельного объема газа и от характера сил межмолекулярного взаимодействия. Поэто-
му внутреннюю энергию реального газа нельзя найти на основе одного только закона
равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул.
§	10.12. Классическая теория теплоемкостей
идеальных газов и ее трудности
1. Классический статистический метод изучения тепловых свойств веществ позволил
теоретически вычислить теплоемкости газов и твердых тел (см. § 41.8). Вместе с тем
именно в проблеме теплоемкостей в полной мере обнаружились недостатки и затрудне-
ния классического статистического метода, потребовавшие пересмотра некоторых
основных его положений, изложенных в § 10.1.
2. Молярные теплоемкости Су и Ср для идеального газа легко найти из уравнены
(10.39), если учесть, что, согласно (9.9) и (9.13), Cy=dUm/dr, a Cr=Cy+R. Таким
образом,
146
(10.40)
Подставляя в (10.40) значения универсальной газовой постоянной, получаем:
Су^ 4,16i Дж/(моль К) и i кал/(моль  К),
С,=4,16 (/4-2) Дж/(моль.К)и(/+2) кал/(моль-К).
Соответственно, показатель адиабаты для идеального газа равен
Ж	.	(10.41)
Ср I
В частности, для одноатомного (/= 3), двухатомного (i=5) и многоатомных (1=~ 6) газов
показатель адиабаты имеет соответственно следующие значения: 1,67; 1,40; 1,33.
*	• Предположение, что молекула двухатомного газа имеет пять степеней свободы — три посту-
пательного н две вращательного движения,— основывается иа том, что вращение молекулы
вокруг оси, проходящей через атомы, не вносит вклада а энергию и теплоемкость ввиду малости
момента инер!щи атомов при таком вращении. Однако такое рассуждение противоречит закону
равномерного распределения кжнетнчетей энергии по степеням свобода: формула (10.37), его
выражающая, не содержит момента инерции. Эта трудность классической теории теплоемкостей,
как и другие трудности, преодолена в квантовой теории теплоемкостей.
Для сравнения теории с данными экспериментов в табл. 10.3 приведены найденные
из опытов значения молярных теплоемкостей некоторых газов.
Таблица 10.3
Газ	Темпе- ратур*. •с,	Су		Ср		Ж	1
		Дж/СмольК)	кал/(моль К)	Цж/(мсшь К)	кадДмоль К)		
Гелий	13	12,6	3,00	20,9	5,00	1,66	3
Неон	13	12,3	2,99	20,9	3,00	1,67	3
Водород	0	20,3	4,85	28,6	6,83	1,41	5
Азот	0	20,8	4,97	29,1	6,95	1,40	5
Кислород	0	21,0	3,01	293	6,99	1,39	5
Окад углерода	0	20,8	4,97	29,1	6,96	1,40	5
Диоксид углерода	0	27,6	6,58	33,8	8,56	1,30	6
Пары вода	0	25,2	6,02	33,5	8,00	1,33	6
Метав	0	26,4	6,31	34,8	8,30	1,32	6
Пары бензола С«Н«	0	65,4	15,61	73,7	17,60	1,13	6
Пары этилового							
спирта С2Н5ОН	0	61,8	14,75	70,1	16,74	1,13	6
Из табл. 10.3 видно, что в ряде случаев теоретические значения молярных теплоем-
костей Су и Ср хорошо согласуются со значениями, полученными экспериментально.
Однако из этой же таблицы видно, что для сложных молекул типа С«Н( и CjHjOH
результаты теории и опыта сильно различаются.
3. Классическая теория теплоемкостей газов приводит к серьезным расхождениям
с опытными данными. Прежде всего теория приводит к выводу о независимости
теплоемкости от температуры, в то время, как данные экспериментов показывают,
г что для всех веществ, в том числе и для газов, теплоемкость растет с увеличением
I температуры, а при достаточно низких термодинамических температурах быстро
убывает с понижением температуры и стремится к нулю при Т-»0 к. Классическая
теория теплоемкостей дает заниженные значения теплоемкостей многоатомных газов
во сравнению с опытными данными при средних и высоких температурах. Введение
147
колебательных степенен свободы в рамках классического закона о равномерном рас-
пределении энергии по степеням свободы не устраняет расхождения между теорией
и экспериментом. Причина всех этих трудностей заключается в ограниченной пригод-
ности закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. В квантовой
теории теплоемкостей все эти трудности преодолены.
Вопросы:
1.	Дайте общую характеристику классической статистической физики.
2.	Почему формула для давления идеального газа на стенки сосуда одинакова для упругого
и неупругого столкновений молекул со стенкой?
3.	Какие предположения делаются в законе распределения молекул по скоростям и кинетичес-
ким энергиям теплового движения?
4.	Как экспериментально подтверждается этот закон?
5.	Как объяснить физический смысл независимости динамической вязкости газов от их плот-
ности?
в. Применимо ли к разреженным газам уравнение состояния идеального газа?
7. В чем состоят трудности классической теории теплоемкостей идеального газа?
Глава 11_______________________________________
Второй закон термодинамики
§11.1. Обратимые и необратимые процессы
1.	В этой главе мы вновь обращаемся к термодинамическому методу изучения физи-
ческих явлений. Дело в том, что .для описания термодинамических процессов одного
первого начала термодинамики недостаточно. Выражая всеобщий закон сохранения
и превращения энергии, первое начало не позволяет определить направление протека-
ния процессов. В самом деле, процесс самопроизвольной передачи теплоты от холод-
ного тела к горячему не противоречит первому закону термодинамики, если только
уменьшение внутренней энергии первого тела равно энергии, подученной вторым
телом. Однако опыты показывают, что такой процесс не происходит. Например, при
опускании раскаленного куска железа в холодную воду никогда не наблюдается
дальнейшее нагревание железа за Счет соответствующего охлаждения воды. Далее мы
увидим, что ограниченность первого начала состоит не только в этом. Обобщение
огромного экспериментального материала привело к необходимости расширения тер-
модинамики. Было сформулировано второе начало (второй закон) термодинамики,
позволившее превратить термодинамический метод исследования физических явлений
в один нз самых мощных методов, применяемых в физике. Однако для того чтобы
можно было перейти к изучению второго закона термодинамики, необходимо рассмот-
реть предварительно целый ряд вопросов.
2.	Прежде всего необходимо расширить представления о термодинамических процес-
сах. Введем понятие обратимого процесса. Термодинамический процесс, совершаемый
системой, называется обратимым, если после него можно возвратить систему и все
взаимодействовавшие с ней тела в их начальные состояния таким образом, чтобы
в других телах не возникло каких-либо остаточных изменений. Другими словами, при
обратимом процессе система может возвратиться в исходное состояние так, что
в окружающей ее среде не останется никаких изменений. Процесс, который не удовлет-
воряет вышеуказанному условию, называется необратимым процессом.
В термодинамике доказывается, что необходимое условие обратимости термодина-
мического процесса его равновесность, т. е. всякий обратимый процесс всегда
является равновесным Огвазистатичес-
ким). Однако не всякий равновесный
процесс обязательно обратим. Напри-
мер, квазистатический процесс равно-
мерного движения тела по горизон-
тальной шероховатой поверхности
под действием взаимно уравновешива-
ющихся сил тяги и трения — процесс
необратимый.
3.	Примером обратимого процесса
могут служить незатухающие колеба-
ния, которые совершает в вакууме те-
ло, подвешенное на абсолютно упру-
гой пружине. На рис. 11.1 показаны
положения колеблющегося тела в раз-
ные моменты времени. Система те-
ло — пружина является консерватив-
ной. Ее механические колебания не
Рис. 11.1
вызывают изменения энергии тецло-
149
•ото дмжсяма чютиц сжотсмм. Изменение состояния это* системы опало тодьяо
с взменежмсм ее конфигурация н скорости дхжжойжк, которые полностью похторхютса
•три однкалоаые промежутки Времежх, равные перюду жолебанж* Т
Примером меобр1т»м1х> гцюцсоск каяжстсж торгеонкя* те. л под де*стсм салы
трскхж Если эта сада сдансзвен***, деФствующи на тело, то скорость те.л
уменьшается а ово а кокос концов оставляла влется Пра этом жргая мехаичвагого
движеюгя тела как целого уыошиаетса а расходуется жа ужеджчегие энергия -готового
движения частиц те.л  оятгужиюиж* среды Другкмв слогана, м счет вачждьао*
ккмегнчссяоВ мкргкж те.л «озраствет внутренняя лверг ад L тела а среды. JMfjna-
ющнхед при тремкн ДС—Н''.
Рассмотреквыб npcwccv иро.сдает снхсспроямягмо оа осуществляется без
каких-либо процессов, происходящая с осружающимн телаыа Для осуществления
обрапжа/о npoyfcea влтиралзеиня сиг гемы в «сходное сосгоккне жобходвао. чтобы
остал о вившееся тело ввовь претило в двлженме та счет Эиергкж, амдЕлжаше*са при
охлаждения сто самою в окружной*! среды ОпЫты покатывают, что хаотическое
движения част тела ж гложет самсгпроазвольяо врпсстн а вОЗнихиовсжжю упорхдо-
чзиото дмжеяма воет чдетки те. л хая хилого Для осуижстжгнпия такхзго два же вал
необходим дополнительны!, так называемы* вжяамефушвв* нрсяюес Оа должен
заключаться в Охлаждения ттла в охружжюижй среды до оспвовачялык>1 температуры,
т с а отдаче жыж вех атерому другому телу тези-оты Q JF. в в совсршеган над
рассматравасмым телом работы, рвано * W, Поэтому, дога а результате прямого
к обрати Сто 1фо скоса снстема тело среда к возвращается в «сходное состояние,
состояния анодахх тел мзмеклмтея Следовательно, все процессы, сопровождающиеся
трением, являются необратимыми
4 Процесс теплообмена между двумя телами с различно* гсмиеразуро* вряводит
к вырввнивашоо средина а верти* теплового движения часткц обо кд тел Энергия
часткц более ашретого тела умельшвгтса, а более до гидвого уиелнчзаается В итоге
температуры тел выравкжшотся Этот процесс идет самопронзао тьло. кая тпльяо
обеспечен тепдоао* коягтагт между телами Обратны* процесс вагрежадне одного
те. л за счет охлаждения другого, жмкжизего вначале такую ж температуру, что
в первое, - самопроизвольно прогкходжть вс гложет Для осуществлена я тая аг о дро-
зессж используется кпладвлыюе устроВство. работа которого жежзбежжо приводит
к жэмаггажю состоижнх ср утих жжщмжх тел Поэтому хфодвос теплообмена пра
жовечмо* раэвоетж температур кжджстсж необратимым
Можно показать, что процессы дифф узка а раста орежжх также квлхются аеоб-
Гз вымыл
Из рассмотршмыл выше примеров жео бра там ых процессов можно сделать об гож
аыжодм Все «жж в одыоы, прямом, валтжжлаши гфождодгг самопрокзжольао. а ди
осуихствлежмл обратных процессов требуется Оди О Времен мое протсхажже коЫпеасжру
кипах процессов Все реальные процессы проге я ею т с конечно* скоростью ж сопровож
даются треи нем в тепчообмгяоы при конечно* разности температур тел, жадодщнлся
в rttbioaoM контакте Сэсдоватедыю, вое реальные простоем, строго говоря, необ-
ратимы Одеяло а некоторых случаях уело вал проге каши процессов твхоам, что кх
прибткженио можно считать обужтнмммж Примеры таких процессов рассмотрены
а слсдуюшмл параграфах
Ъ 11.2. Круговьм процессы. Цикл Карно
* Еозыяое мяченже для прнмеяеяж* термодкилыкгн имеют круговые прогасш.
Крутонам яфОнкссм или *слям называется такая совокупность термодикаамжо
яка процессов, а резу тьтхтс которых снстема аэтаращается а «сходное состхмжж.
Равновесные круговые процессы ггюбражаютсл а дввграммах р V. р Г в др
а ваде замкнутых кривых, ибо двум тсждестяснкым состояниям началу в концу
кругового процссся соответствует а любо* двагрямме одна а тв к точка
Тело, совершающее крутого* процесс и обмеыпаюижеся зяергже* с Друтязо
телами, Ж взывается ржбочм тулеы Обычно таким теплы является газ Круговые
процессы пенят в основе веса тепловых машкх двигателе* внутреннего ежораип,]
паровых м гв зо в мт турбин, холодильник ыхлпвя  щ> Поэтому юучеаже СжО*СТ»
paxwnna круговых процессе* одп из важнейших мд, тфмодпкжмики. Мы
сможем рассмотреть лжив некоторые общее эаюжомариосп круговых прсгхюсоэ
1 Произьольжый раажовеаый круговой процесс С^яС^ЬС^ (рве 11 2), совершаемы*
ндеальжмм газом. можно разбил, ж* дм процесса рахзпягаве газ» из состокхже
С  спстокиже Cj (гривах CinCj) ж сжатие газ» из состоим» С; а состокхже С (кривая
СfbCi) lipa раяпирсиж газ совершает иоложите/муто работу А>, которая измеряется
птлщадмо фш уры P’IC|eCjFj (рже 11 2) Ира сжатии сам вмешжж силы совершают
вал жим поэоиительиую работу Лт— —Аз, »□ ыерхемую площадью фюурм ViCibCi'b'i
Из ряс Ц 2 видно, что Л. >Аз Поэтому а целена за шиш газеиверижет иолоинтельжую
работу А *Ai I Аз — Л| Аз Овж чжжжио равна площалж, стражжчедвой замицтой
рамой процесса Ci jiCi На рже 11 2 эта площадь закраосаа Раомотрежиый шиш
плывастса ^пма Примером прямого цикла является фкл совершаемы* рабочим
гелом а тепловом двигателе, где галата от ввешнкх жсточжжжов соступает к рабочему
гиту в часть ее отдаете» в форме работы другим телам.
Если бы круговой процесс, изображенный па рас. 112, 1фотежал а обратном
вправлсаак, 1 е против часовойстрелгн, то сумтариал работа,щвсуиилмвя газом за
цвал, ссазалаа бы отрицательно* в измерялась бы ПО-Прежнему плогцалью
Тахой цыд называется вбратмаа. Примером обратного цикла может служить жрую-
вой процесс, совершаемый рабочим телом в «олодильиой устало иг В обратном пиале
рабочее тело перелает теплоту ст млоакло тела а более вмретому за счет затраты
положительной работы внешних сжл.
1 Внутренняя энергия рабочего тела эвансит только от его тсрыодаяамжчЕехого
состоим Поэтому полос и мп, ни а нутре иней эжерпш рабочего тела в результате
рутового процесса равно жулю АС'—О
Следовательно, дла любого 4"°». по первому жачжду терыоднжамжта, должжо
амполиитъеа ржаежство
Q-A,
П1 1)
гл» Q общее жолжчоство теплоты, сообщенное рабочему телу а таном цикле,
А работа, совершаема! за цнхл рабочим телом
В пргмом цикле Q>0, тек рабочему телу подводжтеа больше теплоты, чем ст
него отаоднтеа Соответственно за цнхл совершается палоаштеаькав работа A—Q
В обратном цикла О<О, в за цикл вмешжж сады совершают работу А - Л т-0
4 Рассмотрим обратимы* apyi ивой процесс, влержьж изученный С Карно (1В24)
 потому налываояы* ^шлом Карво Этот цикл состоит из четыре обратимых
проиеооов двух изотерма чтил к двух адвабатаых Цикл Карно сыграл большую роль
 раТВИТИЯ ттумпraw«- в ТеОЛОТеХЯШИ, та» КЖ1 ПОЗВОХНЛ ПОДОЙТИ В aranwy
епффицаежтоа полезного действия теитоамх двигателе! На рже. 11 3 изображен
драмой шиш Карво, еожергааааый идеальным газом и состовщж* ЖЗ таких посжедова
Tn.-n.mjx обратимых процессов изотер мнчвеиог о расширении /	1 при температуре
Рис. 11
Рж. и з
Ti (2'i=T|)I адиабатного расширения Г — 2, изотермического сжатия 2 — 2' при
температуре Т2 (Ti = Ti) и адиабатного сжатия 2' — 1. Практически прямой цикл
Карно можно представить себе происходящим следующим Образом. Газ, заключенный
в цилиндре с подвижным поршнем, в процессе изотермического расширения 1 — Г
находится в тепловом контакте и равновесии с телом, имеющим температуру 7\. Это
тело называется нагревателем (теплоотдатчиком). Им может быть большой резервуар
с водой. В процессе 1 — Г нагреватель передает газу теплоту Q\ (Qt >0). Теплоемкость
нагревателя, строго говоря, должна быть бесконечно большой; Иначе отдача газу
теплоты Qt вызвала бы понижение температуры нагревателя, а следовательно, и нару-
шение изотермичности процесса расширения газа 1 — Г. В процессе Г — 2 газ полно-
стью теплоизолируют и его расширение происходит адиабаТно. Для этого необходимо
на участке Г — 2 цикля разобщить газ с нагревателем и заключить в адиабатную
оболочку, например покрыть цилиндр с газом толстым слоем войлока. На участке
2 — 2 газ приводится в тепловой контакт с другим телом, имеющим температуру
7г (Т2< ^i)- Оно называется холодильвпсом (теплоприемником). В процессе 2 — 2 газ
изотермический сжимается и передает холодильнику теплоту — Q2 (если считать, что
бг есть теплота, получаемая газом от холодильника, т. е. С2<0). В состоянии 2 газ
снова полностью теплоизолируется и адиабатно сжимается до первоначального состо-
яния 1, где цикл Карно завершается.
5. Работа, которую совершает рабочее тело в прямом цикле Карно, на основании
уравнения (11.1) равна
A = Q=Ql + Q2=Qi-\Qi\.	(П-2)
Из этой формулы видно, что А < (2ь т. е. при совершении рабочим телом цикла Карно
полезная работа меньше энергии, полученной в форме теплоты от нагревателя, на
количество теплоты, переданное холодильнику. Этот результат справедлив для любого
прямого кругового процесса*, работа А, совершаемая за прямой цикл, всегда меньше
количества теплоты Спод>, подводимого к рабочему телу всеми нагревателями.
Величина, равная отношению работы А, совершенной рабочим телом в прямом
обратимом цикле, к количеству теплоты Спод», сообщенному в этом процессе рабочему
телу нагревателями, называется термическим коэффициентом полезного действия цикля:'
Ч=Л/(2ш>д»-	(11-3)
Термический КПД характеризует экономичность цикла теплового двигателя.
Предположим, что идеальный газ совершает прямой цикл Карно. Для такого
цикла, согласно формуле (11.2), Я=(?1 + (?2, а Спода=Сь Термический КПД этого
цикла по формуле (11.3) имеет вид
В § 11.4 будет доказано, что где зависит только от температур нагревателя и холо-
дильника и определяется выражением
’7K=L^=1-Ff	(115)
Из двух последних формул следует, что для прямого цикла Карно справедливо
соотношение
61+С2_Г|-Г2	Л154
С. Ъ ’	1	;
или
^+^=0.
Tt Тг
(11.5*)
152
в. В обратном цикле Кяряо (рис. 11.4) количест-
во теплоты Qi отводится оттаза в процессе Г —
1 изотермического сжатия при температуре 7\,
а количество теплоты Qj подводится к газу
в процессе 2' — 2 изотермического расширения
при температуре	Следовательно, <0,
2i>0 и работа А, совершаемая газом за один
цикл, отрицательна: A = Qt + Q2<0. Этот вывод
справедлив для любого обратного цикла. Если
рабочее тело совершает обратный цикл, то при
этом осуществляется передача теплоты от хо-
лодного тела к горячему за счет совершения
внешними силами соответствующей работы. По
такому принципу работают многие холодиль-
ные установки.
Величина, равная отношению теплоты Q„n,
Рис. 11.4
отведенной в обратном цикле от
(11.6)
охлаждаемого тела, к работе А', затраченной в этом цикле, называется холодильным
коэффыщентом:
® — QoT»/A •
В частности, для обратного цикла Карно 6<r™=Gz» = — А = — (Qt +C2)=ICil — Qi,
а связь между Qi и @2, как и в прямом цикле Карно, выражается соотношением (11.5").
Поэтому холодильный коэффициент обратного цикля Карно равен
ек=-^-=-7^.
IC1I-C2 rj-Гг
(П.6')
§11.3. Энтропия
1. Помимо внутренней энергии, с которой мы уже ознакомились, в термодинамике
широко пользуются и другими функциями состояния термодинамической системы.
Особое место среди них занимает энтропия.
Пусть 3Q — элементарное количество ‘теплоты, сообщаемое нагревателем системе
при малом изменении ее состояния, а Т — температура нагревателя. Если процесс
обратимый, то температура системы тоже равна Т. Можно показать, что в отличие от
6Q отношение 6QJT в обратимом процессе есть полный дифференциал функции состоя-
ния системы, называемой энтропией S системы:
\ /°бр
(11.7)
Таким образом, в обратимом процессе температура Т является интегрирующим
делителем, который обращает элементарную теплоту 6Q в полный дифференциал dS.
2. Для того чтобы определение энтропии с помощью соотношения (11.7) было обосно-
ванным, необходимо доказать, что в любом обратимом круговом процессе интеграл от
6Q/T тождественно равен нулю:
f Y=o-	(1L8)
обр
Не приводя общего доказательства справедливости этого тождества, мы ограни-
чимся частным случаем: рассмотрим систему, представляющую собой идеальный газ.
Из первого начала термодинамики для идеального газа (9.8') следует, что
m г ЛТ р
— I =— Сг — + — Or.
Т /обр м г т
153
Заменим отношение р/Т по уравнению Клапейрона — Менделеева:
(<5(Л	m
Т /обр М
dr „
+ Я
Т
(П-9)
В обратимом процессе перехода идеального газа из состояния / в состояние
2 интеграл от 6QIT не зависит от вида процесса перехода / - 2:
И2\
vj
(П.У)
В частности, если процесс круговой, то Т7= Tt и V2=И, так что для идеального газа
справедливо тождество (11.8).
3.	Из (11.7) и (11.9) следует, что дифференциал энтропии идеального газа равен
cv	l=w (CrdlnT+fldln Ю	(11.10)
М \ Т К у м
Так как для постоянного количества идеального газа />Р7Г= const, то
dlnp+dln И—din Г=0.
Поэтому выражение (11.10) для энтропии идеального газа можно также переписать
в следующих двух эквивалентных ему формах:
dS~™ [(CH-fl)dln T-fldlnp>™ ( С„ d^-R dp),	(11.10)
м	М \ л р у
dS= " ((С» + Л) d In r+ Crd 1п р] - 2 ( С, d5 + Cv dp ).	(11.10")
м	М \ V р у
4.	Из (11.7) видно, что dS и 3Q имеют один и тот же знак. Это позволяет по характеру
изменения энтропии судить о направлении процесса теплообмена. При нагревании тела
6Q>0 и его энтропия возрастает (dS>0), при охлаждении 60 <0 и.энтропия тела
убывает (dS<0). В обратимом адиабатном процессе 6Q= 7aS=0, так что dS=0
и 5= const. Таким образом, обратимый адиабатный процесс представляет собой нэозе-
трошшным процесс.
5.	Энтропия, подобно внутренней энергии, аддитивная функция состояния системы:,
энтропия системы равна сумме энтропий всех тел, входящих в состав системы. В тер-
модинамике доказывается, что энтропия изолированной системы в любом обратимом
процессе не изменяется.
Дело в том, что при передаче теплоты 5Q от тела / к телу 2 в обратимом процессе
температуры обоих тел одинаковы. Поэтому изменение dS2 энтропии тела 2, получа-
ющего теплоту 6Q, равно и противоположно по знаку изменению dS| энтропии тела /,
отдающего теплоту 5Q:
AS = dS| + dS2=0.
§	11.4. Термодинамическая диаграмма Т— 5 и ее применение
1.	При изучении термодинамических процессов и некоторых общих вопросов термо-
динамики широко используется Т S-диаграмма, в которой по осям абсцисс н ор-
динат отложены соответственно энтропия S и термодинамическая температура Т рас-
сматриваемого тела (системы). Ценность этой диаграммы легко понять из рассмотри
I54
ния некоторого обратимого процесса, который в этой
диаграмме изображается линией DE (рис. 11.5). Из
(11.7) следует, что*
о\> = 1 do.
На диаграмме Т — S элементарная теплота 6Q изоб-
ражается площадью, закрашенной на рис. 11.5. Коли-
чество теплоты Qde, сообщаемое системе в процессе
DE, пропорционально площади фигуры SDDESt (коэф-
фициент пропорциональности зависит от выбора мас-
штабов по осям координат):
Е	S1
QDE=pQ= £ TdS. (11.11)
о	Я,
Рис. 11.5
2.	Формулы (11.10) и (11.10') позволяют найти связь между температурой и энтропией
идеального газа в четырех простейших его процессах и построить соответствующие им
линии в Г — S-диаграмме. Пусть точка О в диаграмме Т — S изображает начальное
состояние идеального газа (рис. 11.6). Прямая /' - /, проходящая через точку О парал-
лельно оси абсцисс, соответствует изотермическому процессу: 0 — 1 — изотермичес-
кое расширение (теплота подводится, так что dS>0), 0 — /' — изотермическое сжатие
(теплота отводится, так что dS<0). Прямая 2’ — 2, проходящая через точку О парал-
лельно оси ординат, изображает адиабатный (изознтропийный) процесс: 0 — 2 — ади-
абатное сжатие (dT>0) и 0 — 2' — адиабатное расширение (dT<0).
В изохорном процессе, как видно из (11.
изохорном процессе 0 — 3
A&_,-S(3)-S(0)=£ Cpln Д
. m dT
10), dS= —	. Поэтому в конечном
М 1
Изохорный процесс показан на рис. 11.6 линией 3' — 3:0 — 3 — изохорное нагре-
вание (dS>0 и dT>0), 0 - 3' — изохорное охлаждение (dS<0 и dT’cO).
В изобарном процессе, как видно из первого соотношения (11. IO7), dS=— Cf —
и в конечном изобарном процессе 0 — 4	МТ
ASo_«=S(4)-S(O)=™C,ln J.
м То
Так как Ср>Су, то изобарный процесс по-
казан линией 4' — 4, идущей положе изохоры
3’	3. Изобарному расширению газа соответ-
ствует участок изобары 0 — 4 (dS> 0 н dr> 0),
и изобарному сжатию — участок 0 — 4'
(dS<0 и dT<0).
3.	На рнс. 11.7 изображен в Т — S-диаграмме
произвольный (обратимый!) прямой цикл
abeda. Состояния а и с соответствуют наимень-
шему (£,<„) и наибольшему (5Шс) зна-
чениям энтропии рабочего тела в цикле. В про-
цессе abc теплота подводится: Сооа>=
= J 7'dS>0, а в процессе eda отводится:
abc
*В этом параграфе, если нет специальных оговорок, рассматриваются обратимые процессы.
Потому индекс «обр» в формуле (11.7) опущен.
155
Рис. 11.7
Qtm= I TdS<0. Работе за цикл А= Спол»+Сот> соответствует площадь цикда, т. е.
ede	Г*
площадь, ограниченная замкнутой кривой abcda процесса. Л = ФТс15>0. Термичес-
кому КПД ц цикла по формуле (11.3) соответствует отношение площади цикла
к площади под кривой abc:
А__________
Qnoiu J ТdS
' abc
|TdS
Прямой цикл Карно независимо от природы рабочего тела изображается в Т — S-
диаграмме в виде прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат
(рис. 11.8). Из рисунка и формулы (11.12) следует, что термический КПД цвела Карво
равен
ТНй-Я,) -Г,
(11.12)
Таким образом мы доказали важное положение термодинамики, называемое те-
оремой Карно: термический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела
и определяется только температурами нагревателя и холодильника.
Теорема Карно н формула (11.5") служат основанием для установления термодина-
мической шкалы температур. Из (11.5") имеем
Ъ Ci Gi'
Таким образом, для сравнения температур Tt н Tj двух тел нужно осуществить
обратимый цикл Карно, в котором эти тела являются нагревателем и холодильником.
Отношение температур тел равно отношению абсолютных значений количеств тепло-
ты, отданных или полученных телами в этом цикле. По теореме Карно, химический
состав рабочего тела, осуществляющего цикл, не влияет на результаты сравнения
температур. Поэтому установленная таким образом термодинамическая пт^я гтя тем-
ператур не связана со свойствами какого-либо определенного термометрического тела.
В этом состоит большое достоинство такой шкалы. Однако вследствие необратимости
реальных термодинамических процессов такой способ сравнения температур прак-
тически неосуществим и имеет лили, принципиальное значение.
4.	Докажем с помощью Т — 5-диаграммы теорему о том*, что термический КПД
Цобр любого обратимого цикла не может превосходить термический КПД г)^ цикла
•Она составляет вторую часть теоремы Карно.
156
Карно, проведенного между экстремальны-
ми температурами рабочего тела в рассмат-
риваемом цикле, т. е. при Т| = Тмахс
и Г2=ГЧН„.
На рис. 11.9 изображены обратимый
цикл abcda и соответствующий ему цикл Ка-
рно 1-Г-2-2'-!, проведенный между макси-
мальными и минимальными значениями те-
мпературы и энтропий. Рабочее тело совер-
шает в цикле abcda работу А, которой соот-
ветствует площадь цикла;
А — (Тмахс Тмин) (^мавс ^мин)
(Л| +А2 + А3 + А4),	РИС. 119
где работам Л|, А2, Аз, Ал соответствуют площади криволинейных треугольников,
закрашенных на рис. 11.9.
Количество теплоты QI10ttB, переданное за цикл рабочему телу нагревателями,
соответствует площади под кривой abed:
QlKMIB— (S’vhxu ^чнн) (Л1 + Л2).
Термический коэффициент полезного действия цикла найдем по формуле (11.3):
•А
*1“ер — п
VUUAB
(Т'ммхс Т'мии) (*$М11ЖС ‘^мия)
Тмавс (Хщи. - ^мир) - (А | + А2)
(Л| 4-Лг+Лз + Л^)
Тмнхс (^махс *^мии) (Л 1 + А2)
(П-13)
Выражение (11.13) можно преобразовать:
Т —Т
л макс ‘ мин
>/обр —	—
Г мавс
I t
IJc'
(И-13')
Здесь
( Тмин; Тмин) (^мнве — ^мии)
к'=	1 2
Тмавс (-Vmbcc — ^мин)
причем к^к', так что (1 — &)<(! — к'). Таким образом, из (Н.13') следует, что
Тмавс- Тмин
ТЧа вс
Мы доказали сформулированную выше теорему:
Тмис—Тмин
f/обр < f/к —
Г макс
(П-14)
3. Необратимые процессы ввиду их неравцовесностн нельзя изображать в какой-либо
диаграмме состояния. Это сильно осложняет исследование необратимых процессов
и циклов. Обычно на практике нужно знать интегральные характеристики необ-
157
ратимого процесса, который переводит рабочее
тело из состояния С| в состояние Сг, т. е.
знать, какая работа совершена телом и ка-
кую теплоту Сиовр оно получило. Поэтому необ-
ратимый процесс может быть заменен «эквива-
лентным» ему обратимым процессом Ct — С2. Для
этого обратимого процесса нужно потребовать,
чтобы совершаемая телом работа А и полученное
им количество теплоты Q были равны соответст-
венно и Свговр:
С=С»«>вр
Удобство такой замены состоит в том, что «эк-
Рис. 11.10	виваленгный» обратимый процесс может быть из-
ображен в термодинамических диаграммах. Таким
образом удастся условно изобразить любой необратимый процесс. Нужно, однако,
иметь в виду, что в действительном необратимом процессе рабочее тел о- проходит не
через те состояния, которым соответствуют промежуточные точки кривой, «изоб-
ражающей» этот процесс на диаграмме.
в. Можио доказать, что термический КПД любого необратимого цикла всегда меньше
коэффициента полезного действия цикла Карно, протекающего между двумя «источ-
никами теплоты» с температурами, равными экстремальным значениям температур
«источников теплоты», участвующих в осуществлении необратимого цикла:
Тмис- Тмяя
"всобр <	_
• МЫС
(11.15)
Покажем справедливость соотношения (11.15) на примере необратимого прямого
цикла aheda, состоящего из двух изотермических процессов оЬ и cd и двух изоэитропий-
ных адиабатных процессов Ьс и da (рис. 11.10). Пусть необратимость этого цикла
обусловлена только тем, что в процессах ah и cd теплообмен между рабочим телом
н «источниками теплоты» происходит прн конечных разностях температур. Температу-
ра нагревателя, используемого в процессе ab, Ti = Ta+ATl>Ta, а температура холо-
дильника, используемого в процессе cd, Тг= Ге—ДГг< Гс, где АТ) и A7j — положитель-
ные величины.
Термический КПД цикла abeda равен
А _(?«-7’е)(5,-5д)_ _ Ъ =	Тэ+ДТг
Ч=е-д.= Ta(S'-SJ	Та	Ti-bT,
т. е. в соответствии с (11.15)
Ч<1-—.
Г,
(11.16)
§ 11.5. Второй закон термодинамики
1. В § 11.1 мы уже говорили, что первый закон термодинамики не позволяет устано-
вить направление протекания процессов. Он не исключает возможности такого процес-
са, единственным результатом которого было бы превращение теплоты, полученной от
некоторого тела, в эквивалентную ей работу. Например, первое начало допускает
построение периодически действующего двигателя, совершающего работу за счет
охлаждения одного источника теплоты (например, за счет внутренней энергии оке-
анов). Такой двигатель называется вечшм двмителем второго рода. Обобщение огром-
158
кого экспериментального материала привело к выводу о невозможности построения
вечного двигателя второго рода и получило название второго закоия (второго начала)
термодинамики.
2. Существует несколько эквивалентных друг другу формулировок второго закона
термодтпиносн. Приведем две из них, принадлежащих соответственно Р. Клаузиусу
(1850) и У. Томсону (1851):
1) невозможен процесс, единственным результатом которого
является передача теплоты от холодного тола к горячему;
2) невозможен процесс, единственным результатом которого
является совершение работы за счет охлаждения одного
тела.
Для доказательства эквивалентности этих двух формулировок нужно показать, что
из отрицания справедливости первой из этих формулировок следует отрицание справе-
дливости второй формулировки, и наоборот.
Предположим, что неверна первая формулировка второго закона, т. е. существует
такой JT-процесс, единственный результат которого состоит в передаче теплоты от
холодного тела к горячему. Возьмем тогда два тела: первое с температурой Т\ и второе
с температурой 72<7'ь Осуществим идеальный тепловой двигатель, работающий по
прямому циклу Карно и использующий упомянутые тела в качестве нагревателя
и холодильника. За один цикл рабочее тело получает от нагревателя количество
теплоты Qit передает холодильнику количество теплоты и совершает работу
A=*Qi — IC2I- Если затем с помощью Jf-процесса передать теплоту от холодильника
обратно нагревателю, то удастся осуществить процесс, противоречащий второй фор-
мулировке второго закона термодинамики: единственным результатом этого процесса
будет совершение работы за счет равной ей теплоты, полученной от нагревателя.
Предположим теперь, что неверна вторая формулировка второго начала термоди-
намики, т..е. существует такой У-процесс, единственный результат которого состоит
в совершении работы за счет соответствующего охлаждения одного тела. Тогда
осуществим идеальную холодильную установку, работающую по обратному циклу
Карно между телами с температурами 7\ и Ti< 7\. За один цикл рабочее тело заберет
у тела с меньшей температурой теплоту Qi и передаст телу с большей температурой
теплоту |£>||. На привод этой установки нужно затратить за один цикл работу
X'=|6i|—Qi, которую можно получить с помощью У-процесса за счет равной ей
теплоты, забираемой у тела с температурой Т\. В результате совершения цикла
и У-процесса будет осуществлен процесс, противоречащий первой формулировке вто-
рого закона термодинамики: единственный результат этого процесса — передача теп-
лоты Qi > 0 горячему телу от холодного.
3.	Рассмотрим еще одну формулировку второго закона термодинамики: энтропия
изолированной системы не может убывать при любых происходящих в ней процессах:
dS>0,	(11.17)
где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак больше — к необ-
ратимым процессам.
4.	Мы не будем приводить доказательство эквивалентности этой, третьей, фор-
мулировки двум предыдущим, а ограничимся рассмотрением лишь некоторых приме-
ров, подтверждающих правильность соотношения (11.17).
Пример 1. Необратимый процесс теплообмена между двумя телами, образующими изо-
лированную систему. Пусть начальные температуры тел равны 7) и Тг < 7), а теплоемкости тел
ради простоты будем считать одинаковыми и рядными С. В соответствии с первой формулиров-
кой второго начала термодинамики при теплообмене первое тело отдает теплоту, а второе —
получает. Процесс теплообмена превращается, когда температуры тел становятся одинаковыми
 равными 7j.
159
Из первого закона термодинамики следует, что С(Г| — 7з)=С(7з — Г2), откуда 7з =
='/2 (Г| 4-Г2). Изменения энтропий первого тела при его остывании и второго тела при его
нагревании можно найти, мысленно заменив эти необратимые процессы соответствующими
обратимыми процессами:
Л5,=
dr г.
—=с ш —,
Т Тх
Изменение энтропии системы равно сумме изменений энтропий обоих тел:
Л5= Л5| + Л52 -= С fin — + 1п — )=С1п — = С1п
\ Г| T2J ТХТ2 4ТХТ2
(П.18)
Так как (Тх 4- Гг)2-4ТХ Т2=(Тх - Т2?, то Д5> 0.
Пршер 2. Необратимый процесс смешения двух различных идеальных газов, образующих
изолированную систему Пусть первоначально один газ массой тх находятся при давлении
ро и температуре То в сосуде объемом Vx, а другой газ
массой т2 находится при том же давжнии ро и той же
температуре Го в сосуде объемом V2 (рис. 11.11, а)
Сосуды теплоизолированы и соединены трубкой с закры-
тым краном К. Если кран открыть (рис. 11.11, б), то газы
перемешаются: каждый из них распределится по всему
объату Fi4-K2. Очевидно, что при этом температура
и давление в сообщающихся сосудах не измшятся, т. е.
останутся равными То и ро-
Для нахождения изменения энтропии каждого из га-
- зов в рассматриваемом процессе подставим в выражение
(11.7) для дифференциала энтропии выражение д ля 6Q из
первого начала термодинамики (9.8)*
6)
Рис. 11.11
dU+pdV р	т dV
аЛ =-----»=— а К=— л —,
Г	Г	М V
(П.19)
так как в рассматриваемом процессе температура, а следовательно, и внутренняя энергия каждого
из идеальных газов не изменяется. Таким образом, изменение энтропии при смпгиАии газов
А5=”’1 Я
Л/|
Г dV т2
I —Л
J V М2
И
И + Г2 /И2	и+г2
-----	ш-------
к,---М2 v2
(11-20)
Пример 3. Изменение энтропии изолированной системы, совершающей необратимый цикл
oieda, изображенный на рис. 11.10 и рассмотренный в конце § 11.4. Система состоит из рабочего
тела, нагревателя и холодильника с температурами Г| и Г2<Г|, а также «потребителя рабо-
ты» — тела, которое обменивается энергией с рабочим телом только путем совершения работы.
Роль «потребителя работы» может играть, например, упругая пружина или груз, поднимающий!
и опускающийся в поле тяготения у поверхности Земли.
Изменение энтропии системы при совершении рабочим телом цикла abcda равно
где Л5рт — изменение энтропии рабочего тела; и — изменения энтропий нагреватем
и холодильника; Д5рр — изменение энтропии «потребителя работы». Рабочее тело, Совсршв
цикл, возвращается в исходное состояние, поэтому Д5^т=О. Изменение энтропии «потребитеи
работы» тоже равно нулю, так как оно получает энергию только в форме работы. ИзмешяяС
энтропий нагревателя и холодильника в необратимых изотермических процессах ab и cd равны
160
А5рт 4-4-Д5х 4"
Л С G«6	„ А с Qcd
	и Д5,=	,
тх---------------т2’
где Qab я Qat — количества теплоты, полученные рабочим телом в процессах ab и cd. Из рнс. 11.10
видно, что
СоЬя7д(5с—5д)>0 и Qcj—Tc(Sa Sc)<0.
Таким образом, изменение энтропии системы за один цикл
Д5=Д5н+Д5х=(5с-5а) -е-
Т2 Тх
>0,
5.	Из определения энтропии (11.7) следует, что количество теплоты, сообщенное
рабочему телу при малом обратимом изменении его состояния,
5Q=TdS,	(1121)
где Т— температура рабочего тела. В случае необратимого процесса равенства (11.7)
и (11-21) превращаются в неравенства
dS>^,
(11.7')
6Q<TdS,	(11.21')
где Т — температура того «источника теплоты», который сообщает рабочему телу
количество теплоты 6Q в процессе малого необратимого изменения состояния этого
тела.
Справедливость неравенства (11.7') легко показать на примере изотермического
нагревания тела, необратимость которого обусловлена только тем, что теплообмен
происходит при конечной разности Д7’>0 между температурой нагревателя (7) и тела
(Г-Д 7). Элементарное приращение энтропии тела при сообщении ему количества
теплоты <5(2>О
яс 6Q ^6Q
г-дг т
Для произвольного процесса
bQ^TdS.	(11.22)
Знак равенства относится к обратимым процессам, а знак неравенства — к необ-
ратимым. По первому закону термодинамики, 6Q=dU+6A, тогда соотношение (11.22)
можно записать в форме
TdS>dU+6A.	(11.22’)
Неравенство (11.22'), объединяющее оба закона термодинамики, является ее важ-
нейшим соотношением.
6.	В случае обратимых процессов выполняется термодянамяческое тождество
TdS=dU+6A,	(11.22")
которое можно переписать в форме
6A = TdS—dU=d(TS) — SdT—dU
или
8A=—dF—SdT,	(11.23)
где
F=U—TS	(11.24)
новая функция состояния рассматриваемого тела, называемая энергией Гельмгольца,
или свободной энергией. Физическии смысл энергии Гельмгольца легко выяснить из
термодинамического тождества, записанного в форме (11.23): при 7’= const 6А = — dF
,vAi-1 = Fi-F1.
i	161
Следовательно, работа, совершаемая телом в обратимом изотермическом процессе,
равна убыли в этом процессе энергии Гельмгольца рассматриваемого тела.
Из (11.24) видно, что энергия Гельмгольца составляет лишь часть внутренней
энергии тела, так как 7’5>0. Величина TS имеет размерность энергии и представляет
собой ту часть внутренней энергии тела, которую нельзя в обратимом изотермическом
процессе передать в форме работы. Это как бы «обесцененная» часть внутренней
энергии тела, которую часто называют связанной энергией. При одной и той же
температуре связанная энергия тела тем больше, чем больше энтропия тела.
§ 11.6.	Статистическое истолкование второго закона термодинамики
1.	До сих пор, рассматривая второй закон термодинамики, мы пользовались термоди-
намическим методом исследования и не интересовались внутренним строением тел.
Однако существует связь второго закона термодинамики с молекулярно-кинетической
теорией строения вещества. Раскрытие этой связи позволяет глубже понять физический
смысл второго закона термодинамики.
С молекулярно-кинетической точки зрения каждому состоянию газа (или другого
тела) соответствует некоторое распределение его молекул по объему и определенное
распределение молекул по скоростям (или импульсам и энергиям). Предположим,
например, что в сосуде находятся только три «меченые» молекулы газа а, b и с, а весь
объем сосуда разбит на три равные части Д, II и III. Отвлечемся ради простоты от
влияния на состояние газа распределения молекул по скоростям, т. е. предположим,
что различные состояния газа отличаются только распределением молекул а, b и с по
трем ячейкам объема. Всего возможно 27 различных распределений (табл. 11.1).
Таблица 11.1
л.
Номер распреде- лешш	Ячейка		
	1	II	III
1 2 3	abc	abc	abc
4	ah	С	
5	ab		С
6	ас	h	
7	ас		b
8	he	а	
9	he		а
Ю	С	ah	
11		ah	с
12	h	ас	
13		ас	ь
14	а	he	
15		he	а
16	с		ab
17		С	ah
18	h		ас
19		h	ас
20	а		he
21		а	he
22	а	h	С
23	а	с	h
24	h	а	с
25	h	с	а
26	с	а	h
27	с	h	а
162
2.	Полная хаотичность движения молекул газа приводит к тому, что если длительное
время т наблюдать за возможными распределениями молекул а, b и с по ячейкам
объема, то в среднем все 27 распределений 'встретятся одинаково часто. Они являются
равиовозможными. Для характеристики степени возможности появления в заданных
конкретных условиях некоторого события в математике вводится понятие вероятности
и> этого события. Например, если при данных условиях могут поочередно осуществ-
ляться N различных событий и все они равновозможны, то вероятность одного
какого-либо определенного события
w=l/JV.	(И-23)
Согласно этой формуле, вероятность каждого из равновозможных распределений
равна 1/27. Но эта вероятность отличается от вероятности термодинамического состо-
яния системы, соответствующего этому распределению. Дело в том, что в однородном
газе все молекулы тождественны друг другу. Поэтому все состояния, соответст-
вующие одинаковому числу молекул в каждой ячейке, будут тождественными независи-
мо от того, какие именно молекулы газа <; находятся в данной ячейке. Например,
распределения 4,6 и 8 соответствуют одному и тому все состоянию, в котором в первой
ячейке находятся две молекулы, во второй ячейке — одна, а в третьей — ни одной
молекулы. Вероятность такого состояния равна 3/27, и она втрое больше вероятности
каждого из распределений 4, 6 и 8. Предлагаем читателю найти по табл. 11.1 рас-
пределения, которым соответствует вероятность состояния 6/27.
Вероятность W какого-либо состояния тела (или системы) больше вероятности
w отдельного распределения в Р раз:
W=wP,	(1126)
где Р — термодвпмичеекяя вероятность состоямя тела или системы. Она равна числу
всевозможных микрораспределений частиц по координатам и скоростям, соответству-
ющих данному термодинамическому состоянию (макрососгоянию). В отличие от
w и W, которые всегда меньше или равны единице, Р всегда больше или в крайнем
случае, равно единице
3.	Л. Больцман доказал (1872), что между энтропией системы и термодинамической
веротностью ее состояния существует связь, которая называется формулой Бшывмна:
S=JtlnP,	(11.27)
где к — постоянная Больцмана.
Формула Больцмана позволяет дать статистическое истолкование второго закона
термодинамики, утверждающего, чтр энтропия изолированной системы не убывает:
термодинамическая вероятность состояния изолированной системы при всех проис-
ходящих в ней процессах не может убывать.
Следовательно, при всяком процессе, протекающем в изолированной системе,
изменение термодинамической вероятности ее состояния АР положительно или равно
нулю*
AP-Pj-P^O.	(1128)
Для обратимого процесса АР=0 и Р=const, а в случае необратимого процесса
Д7*> 0 и Р возрастает. Следовательно, необратимый процесс — процесс, при котором
система из менее вероятного состояния переходит в более вероятное, в пределе — в
равновесное состояние. Иначе его можно определить как процесс, обратный тому, при
котором система из более вероятного состояния переходит в менее вероятное. Само-
произвольное протекание обратного процесса маловероятно, хотя в принципе и воз-
можно. Чтобы ои произошел, требуется одновременное протекание компенсирующего
процесса во внешних телах. По второму закону термодинамики, компенсирующий
процесс должен быть таким, чтобы термодинамическая вероятность состояния систе-
мы всех тел, участвующих в осуществлении обратного и компенсирующего процессов,
возрастала. Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть с этой точки зрения
описанные в § 11.1 необратимые процессы.
163
Итак, второй закон термодинамики является статистическим законом. Он выража-
ет необходимые закономерности хаотического движения большого числа частиц, входя-
щих в состав изолированной системы.
4.	Неправомерно распространение второго начала термодинамики, установленного
для замкнутых земных систем, на всю безграничную Вселенную. Такая экстраполяция
привела некоторых физиков и философов к выводу о неизбежности ныраннипядия
температур всех тел Вселенной и прекращения всяких иных форм движения, кроме
хаотического теплового движения. Р. Клаузиус назвал такое состояние «тепловой
смертью» Вселенной. Состояние «тепловой смерти» должно быть равновесным с мак-
симумом энтропии.
5.	Были сделаны многочисленные попытки опровергнуть вывод о «тепловой смерти»
Вселенной. Наибольшей известностью пользуется гипотеза Больцмана. Согласно этой
гипотезе, Вселенная пребывает все время в равновесном изотермическом состоянии, но
в различных ее частях происходят отклонения от этого состояния. Чем большую
область Вселенной они захватывают и чем больше отклонения от равновесного
состояния, тем реже происходят такие отклонения. В настоящее время установлено, что
ошибочен не только вывод о «тепловой смерти» Вселенной, но также и первоначальные
попытки его опровержения, так как в них не учитывалось влияние тяготения. Оказа-
лось, что вследствие тяготения однородное изотермическое распределение вещества во
Вселенной ие соответствует максимуму энтропии, потому что не является наиболее
вероятным. Дело в том, что Вселенная нестационарна -т— оиа расширяется и первонача-
льно однородное вещество распадается под действием сил тяготения, образуя скопле-
ния галактик, галактики, 'звезды и т. д. Эти процессы происходят с ростом энтропии,
т. е. в согласии со вторым законом термодинамики. Они и в будущем не приведут
к рднородному изотермическому состоянию Вселенной, т. е. к состоянию «тепловой
смерти» Вселенной.
§ 11.7.	Флуктуации
1.	К системам, состоящим из сравнительно небольшого числа частиц, неприменим
второй закон термодинамики. Так, в сильно разреженных газах происходят значитель-
ные случайные отклонения от равномерного распределения молекул по объему сосуда.
Поэтому плотность газа в различных местах может отличаться от средней плотности,
соответствующей равновесному состоянию при заданных температуре и давлении.,
Точно тах же могут происходить случайные отклонения температуры, давления и дру-
гих физических величин от их средних значений. Подобные явления называются
флуктуациями соответствующих величин (флуктуации плотности, температуры, давле-
ния и т. д.).
2.	Не вдаваясь в подробности, рассмотрим некоторые количественные оценки флукту-
аций произвольной физической величины. Если L — значение этой величины в данный
момент, — ее среднее значение, то разность Д£=Л—<£), а также среднее значение
(ДА) ие могут служить количественной мерой флуктуаций величины L. Дело в том, что
величина АЛ ие постоянна во времени, а ее среднее значение (AL) равно нулю;
<Д£> = <(£—<£»> = <£> —<£> = 0.	(12.29)
Равенство (11.29) непосредственно вытекает из математического определения поня-
тия среднего значения переменной величины.
В качестве количественной характеристики флуктуаций физической величины L ис-
пользуют квадратичную флуктуацию, или дисперсию 07, равную среднему значению
квадрата отклонения L от ее среднего значения:
<=<(Д£)2> = <(£- <L»2> - <£а> —«L»2,	(11.30)
так как среднее значение -2L <£> равно —2«£»2.
Соотношение (11.30) показывает, что среднее значение квадрата величины L, т. с.
(L2), нельзя смешивать с квадратом среднего значения той же величины, т. е. с «О)1.
Очевидно, что квадратичная флуктуация ие может быть отрицательной:
164
<(AL)2>>0.
Абсолютной флуктуацией at величины L называется корень квадратный из квад-
атичной флуктуации:
<7t=V<(AL)2>.
Если абсолютная флуктуация ai_ близка к нулю, то значительные отклонения L от
маловероятны, т. е. происходят крайне редко.
Для оценки относительной величины отклонений L от (L) применяется относитель-
ная флуктуация 3L, равная отношению абсолютной флуктуации к <L>:
<rL
>L W <!>' '	(1L51)
3.	Флуктуации обусловлены тепловым движением частиц, образующих макроскопи-
ческую систему. Чем больше этих частиц, тем меньше относительные флуктуации
термодинамических параметров этой системы (например, концентрации молекул, пло-
тности, давления, температуры). Можно доказать, что в химически однородном иде-
альном газе, находящемся в сосуде постоянного объема, относительные флуктуации
плотности, давления и температуры обратно пропорциональны корню квадратному из
числа N молекул газа в сосуде:
3,-3,~3т~ ' -	(11.32)
Например, если в сосуде содержится 1 моль газа (У=6,02‘ 102Э), то Зр, Зр и Зт имеют
значения порядка 1,3 10“12. Отсюда видно, что в этом случае вероятность заметных
отклонений плотности, давления и температуры газа от их средних (равновесных)
значений ничтожио мала. Совершенно иную картину мы получим в сильно разрежен-
ных газах. Читатель легко может в этом убедиться, прйняв в качестве N значения,
характерные для разреженных газов (см. табл. 10.2).
4.	Флуктуации физических величин имеют большое значение для оценки предела
чувствительности измерительных приборов. Пояснив это на конкретных примерах.
Пример 1. Измерение температуры с помощью газового термометра, наполненного идеаль-
ным газом. В результате флуктуаций температуры/показания термометра не будут оставаться
постоянными. Из (11.32) следует, что абсолютная флуктуация температуры от— N Ясно, что
вт ограничивает точность измерения температуры с помощью газового термометра. Если в этом
термометре содержится, например, 10“6 моль газа, т. е, N=.6 1O17 молекул, то <тт-~ 10“’Г.
Практически во всех случаях измерения температуры такая точность более чем достаточна.
Пример 2. Электрические флуктуации в радиоаппаратуре. Например, в результате флуктуаций
числа электронов, вылетающих нз раскаленного катода,, происходят флуктуации тока в элект-
ронной лампе, называемые дробовым эффектом. Дробовой эффект вместе с другими флуктуацион-
ными явлениями ограничивает пределы чувствительности приемной аппаратуры.
§ 11.8.	Броуновское движение
1.	Английский ботаник Р. Броун (1827) обнаружил видимое в микроскоп непрерывное
беспорядочное движение мелких частиц, взвешенных в жиДкости или газе. Это движе-
ние получило название броуновского движения, а совершающие его частицы называют
броуновскими частицами. Потребовалось более трех четвертей века, чтобы физики
смогли понять причины и закономерности броуновского движения и его важность для
молЬкулярно-кинетической теории и термодинамики. Первоначальные попытки объяс-
нить движение броуновских частиц простыми физическими причинами встряхивани-
ем, неоднородностью температуры, световыми, химическими или какими-либо други-
ми воздействиями успеха не имели. Постепенно выяснились важнейшие особенности
броуновского движения:
а)	движение продолжается неограниченно долго бе:) каких-либо видимых изме-
нений;
165
6)	интенсивность движения броуновских частиц зависит от их размеров, но вс от
природы частиц; она возрастает с ростом температуры и уменьшением вязкости
жидкости.
2.	Было установлено, что броуновское движение происходит под действием ударов
молекул среды. Броуновские частицы подобны поплавкам на «молекулярном море» —-
их беспорядочное броуновское движение лишь выявляет хаотическое тепловое движе-
ние самих молекул среды. При своем движении броуновские частицы могут переме-
щаться вверх, как бы всплывая в жидкости. Это происходит в тех случаях, когда
молекулы жидкости, находящиеся ниже частицы, передают ей больший импульс, чем
молекулы, расположенные над ней. Подъем вверх броуновской частицы означает
увеличение ее потенциальной энергии за счет кинетической энергии соседних молекул,
т. е. за счет местного охлаждения жидкости Механическая энергия броуновской
частицы возрастает за счет охлаждения одного источника теплоты —- жидкости или
газа. Это противоречит второму закону термодинамики и тем самым доказывает
ограниченность этого закона, его статистический характер.
3.	Закономерности броуновского движения были изучены А. Эйнштейном (1905)
и несколько позднее М. Смолуховскмм. В основе работы Эйнштейна лежало пред-
положение о том, что броуновские частицы подобны большим молекулам посторон-
него вещества, разбросанным среди молекул чистой жидкости или газа. Такие частицы
должны подчиняться законам разбавленных растворов, которые совпадают с законами
идеальных газов. Наблюдение броуновских частиц под микроскопом показало, что
среднее шещение <х> частицы вдоль произвольного направления равно нулю. Это
доказывает полную хаотичность движения броуновских частиц. Теоретически было
установлено, что среднее значение квадрата смещения (х2) частицы пропорционально
времени t наблюдения над ней:
<x2>=2D/,	(11.33)
где D — коэффициент диффузии броуновских частиц, который для частицы сферичес-
кой формы равен
D ^RTK/biuiaNJ,	(11.34)
где ч - вязкость жидкости, в — радиус частицы. В формулах Эйнштейна не содержит-
ся величин, зависящих от природы частиц. Формулы броуновского движения (11.33)
и (11.34) дают независимый метод экспериментального определения постоянной Авога-
дро. Такие опыты были проведены Ж. Перреном и привели к результатам, совпада-
ющим с результатами его же опытов по измерению Л^д (см. § 10.5).
Вопросы:
1.	Приведите примеры процессов, которые приближенно можно считать обратимыми
2.	Будет ли обратимым круговым процессом превращение в пар кипящей жидкости а закрытом
сосуде с последующей конденсацией пара а жидкость?
3.	Как доказывается теорема Карно с помощью Т — S-диагрмммы?
4.	Приведите все известные Вам формулировки второго начала термодинамики
5.	Докажите, что е броуновском движении нарушается второе начало термодинамики
Глава 12
Реальные газы и пары
§12.1. Силы амжмолакулярного взаимодействии в газах
1	. Свойства не сильно разреженных газов отличаются от свойств идеальных газов,
подчиняющихся уравнению Клайейрона —- Менделеева. Тах, например, из этого урав-
нения следует, что отношение рНаДЯТ), называемое фактором сжмммосгн, для
идеальных газов всегда равно единице. Однако опыты повязывают, что факторы
сжимаемости для всех газов зависят от давлении и температуры При достаточно
высоких давлениях все реальные газы независимо ст их температуры менее сжимаемы,
чем идеальные
Экспериментальные исследования удельной теплоемкости, вязкости и других
свойств газов показали, что эти свойства тоже более или менее значительно отличают-
ся от соответствующих свойств иуят-тл газов Более того, приближенная теория,
основанная на законах идеальных газов, часто не в состоянии объяснить даже качест-
венно характер зависимости свойств газов от их параметров состояния.
2	Причина этих трудностей кроется в том, что поведение молекул реальных газов
отлично от того, какое приписывается частицам идеальных газов. Во всех телах
(твердых, жидких и газообразных) молекулы взаимодействуют друг с другом. Тот
факт, что свойства разреженных газов блики к свойствам идеальных газов, свидетель-
ствует о том, что силы взаимодействия между молекулами в сильной степени зависят
от расстояния между ними. Эта силы имеют электромагнитную, а также особую
квантовую природу. Опыты показывают, что при расстояниях более 10 ~1 см меж-
молекулярным взаимодействием можно пренебречь.
3	Своеобразные свойства поверхностного слоя жи дкостей, а также способность твер-
дых тел сопротивляться растяжению приводит к выводу о том, что между молекулами
вещества в любом агрегатном состоянии действуют силы взаимного притяжения.
Относительно малая сжимаемость сильно уплотненных газов, а также способность
жидких И твердых тел сопротивляться сжатию указывают на то, что между молекула-
ми действуют также и силы взаимного отталкивания. Существенно, что эта силы
действуют одновременно. В противном случае тела не были бы устойчивы, образующие
кх частицы разлетались бы в разные стороны или «слипали» Из тех же соображений
следует, что завигимость сил взаимного притяжения и отталкивания от расстояния
г между молекулами долита быть различной На стань близких расстояниях преоб-
ладают силы отталкивания Fi, ня более далеких — силы взаимного притяжения Fj,
причем
Fi-F,/. Fi=Fi,',	(121)
где г —- радиус-вектор, проведенный в точку нахождения рассматриваемой молекулы
из той точки, в которой находится другая молекула, действующая на первую с силами
Fi н Fj. Проекции Flr и F^ сил Fj и Fi на направление вектора г зависят от расстояния
г между взаимодействующими молекулами. Примерный характер этих зависимостей
показал ив рнс 12 1 Результирующая сила
F-Fi+Fj-F,-,	(1219
г
причем

(12 1")
167
Рис. 12.1
Характер зависимости Fr от т также показан
на рис. 12.1.
При т=та силы Fi и Fj взаимно уравновеши-
ваются и результирующая сила F» 0. Если г > го,
то преобладают силы взаимного притяжения,
если г<го — преобладают силы отталкивания.
Таким образом, го — это то равновесное рассто-
яние между молекулами, на котором они нахо-
дились бы пр^ отсутствии теплового движения,
нарушающего 'это равновесие.
4. Рассмотрим взаимную потаввшльную энер-
гию WB двух молекул. Ее можно найти следу-
ющим образом. Подсчитаем элементарную ра-
боту 6А, совершаемую результирующей потен-
циальной силой F межмолекулярного взаимо-
действия при увеличении расстояния между мо-
лекулами на аг:
dr«=Frdr.	(12.2)
С другой стороны, эта работа совершается за
счет уменьшения взаимной потенциальной энер-
гии молекул:
SA=—dWB.	(П2’)
Из уравнений (12.2) и (12.27) следует
dlPn- -F,dr.	(12.3)
Интегрируя выражение (12.3) по т от г до оо, получаем
Ги(со)
dJPn- - Ffdr,

WB(f)-WB{ca)= Frdr.
На бесконечно большом расстоянии друг от друга молекулы не взаимодействуют.
Поэтому взаимную потенциальную энергию 1Гп(оо) двух бесконечно удаленных друг
от друга молекул удобно принять равной нулю. Окончательно,
WB~
(12.4)
Интеграл, стоящий справа, можно найти графически, если задана зависимость силы
Fr от г (рис. 12.1). Он пропорционален площади, ограниченной кривой F,—Fr(r), осью
г и вертикалью (г=const), соответствующей тому значению г, для которого нужно
найти WB. Из рис. 12.1 Видно, что при г>го взаимная потенциальная энергия от-
рицательна, так как Fr>0. При >*=го, как видно из (12.3),
<
(4^ц/<1г),-г,--Гг(го)=О,	(12.5)
т. е WB достигает минимума.
При сближении молекул До 'расстояния го их взаимная потенциальная энергия
уменьшается, а кинетическая соответственно увеличивается. Эго происходит за счет
168
положительной работы, совершаемой ре-
зультирующей силой взаимного притяже-
ния молекул (при r>r0 Fr<0). Дальнейшее
уменьшение расстояния между молекулами
сопряжено с совершением ими работы про-
тив результирующей силы F взаимного от-
талкивания молекул (при г < го Fr> 0). Соот-
ветственно взаимная потенциальная энер-
гия молекул начинает расти с уменьшением
г. Характер зависимости WB от г показан на
Рис. 12-2
рйс. 12.2.
5. Если молекулы находятся достаточно
далеко друг от друга, то их взаимная поте-
нциальная энергия равна нулю, а полная
энергия W этой консервативной системы
равна их кинетической энергии Wt. К моме-
нту максимального сближения молекул
(r=ri) вся их кинетическая энергия оказыва-
ется полностью израсходованной на совер-
шение работы против сил отталкивания [^(ri)=0], а их взаимная потенциальная
энергия IFn(ri)= W. При прочих равных условиях расстояние и тем меньше, чем выше
температура газа. Однако зависимость. Wa от г в области положительных значений
JFn настолько «крутая», что даже значительные изменения температуры газа приводят
к сравнительно небольшим изменениям величины rt. Поэтому в первом приближении
можно считать, что Г| зависит только от химической природы газа и представляет
собой не что иное, как эффективный диаметр d молекул. Из сказанного ясно, что
возможность представления молекул газа в виде твердых шариков диаметра d связана
сочень быстрым увеличением сил взаимного отталкивания молекул реального газа при
уменьшении расстояния между ними.
В. Зависимость взаимной потенциальной энергии WB двух молекул реального газа от
расстояния т между ними неплохо описывается формулой Ленарда-Джонса (1924):
-а^+аг/г12,
(12.6)
где й| и а2 — постоянные положительные коэффициенты, зависящие от химической
природы газа.	,
Дифференцируя выражение (12.6) по г, находим зависимость от г проекции Fr ре-
зультирующей силы F взаимодействия двух молекул реального газа:
л=-^=-*+-£.	<12'7>
dr г' г *
где Ct = 6ai и с2= 12а2.
Первый член в правой части формулы (12.7) соответствует силам межмолекулярного
цнггяження, которые часто называют ван-дер-ваальсовыми силами по имени нидер-
ландского физика Я. Д. Ван-дер-Ваальса, который впервые начал учитывать меж-
молекулярное взаимодействие в газах. Различают три типа сил межмолекулярного
притяжения: ориентационные, индукционные и дисперсионные. Все они имеют элект-
рическую природу и зависят от расстояния г между молекулами по закону const/г1.
Ориентационные силы притяжения действуют между полярными молекулами, индук-
ционные — между полярной и неполярной молекулами, а дисперсионные — между
неполярными молекулами, а также между любыми другими парами молекул.
Второй член в правой части формулы (12.7) соответствует салям взаимного оттал-
ийаная молекул. Эти силы обратно пропорциональнцг13, т. е. играют определяющую
роль на малых расстояниях, соответствующих перекрытию электронных оболочек
молекул. Существование сил взаимного отталкивания молекул при их очень сильном
сближении удалось объяснить только в квантовой механике/основываясь на квантовом
принципе запрета Паули.
169
§ 12.2.	Уравнение Ван-дер-Ваальсе
1.	Из сказанного в § 12.1 ясно, что в первом приближении молекулы реального газа
можно уподобить абсолютно твердым шарикам с диаметром а, между которыми
действуют только силы взаимного притяжения. Учитывая конечные размеры молекул,
мы приближенно принимаем во внимание действие сил взаимного отталкивания между
ними. Такая модель газа, принятая Ван-дер-Ваальсом, позволила ему получить уравне-
ние состояния реального газа более совершенное, чем уравнение Клапейрона —
Менделеева.
2.	Каждая молекула реального газа имеет объем i=i/flKd3. Поэтому молекулы газа
движутся в сосуде менее свободно, чем «точечные» молекулы идеального газа. Ван-дер-
Ваальс учел собственный объем молекул газа путем замены в уравнении Клапей-
рона — Менделеева pVa>=RTполного объема сосуда, занимаемого молем газа, на
«свободный» объем:
и:=ит-ь,
(12.8)
где Ь — поправка Ван-дер-Ваальса, зависящая от собственного объема v молекулы.
Докажем, что поправка b в четыре раза больще собственного объема всех -Va моле-
кул одного моля газа:
b=4NAv.
(12-9)
Для доказательства рассмотрим сферу радиуса d, центр которой совпадает с цент-
ром произвольной молекулы. Внутри этой сферы не могут находиться центры других
молекул. Объем этой сферы является «запрещенным» объемом v, для центров всех
молекул, соударяющихся с данной. Он в восемь раз больше собственного объема
молекулы:
Вероятность одновременного соударения трех и большего числа молекул при
обычных плотностях газа очень мала. Поэтому можно ограничиться случаями соударе-
ния только двух молекул. Объем v, дважды учитывает каждую молекулу: один
раз — как ударяющую, другой раз — как ударяемую. В пересчете на одну молекулу
«запрещенный» объем равен */1и1“4й.
Поправка Ван-дер-Ваальса b представляет собой «запрещенный» объем, приходя-
щийся на все молекул, т. е. 4=4йЛГА, что и требовалось доказать. Из (12.9) следует,
что значение b зависит от эффективного диаметра молекул, т. е. от химической
природы газа.
3.	Несколько сложнее учесть влияние сил взаимного притяжения молекул. Эти силы
очень быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами. Поэтому можно
считать, что каждая молекула взаимодействует лишь с теми молекулами, которые
находятся от нее на расстояниях Ям, где RM — радауе молскулярвого действия,
имеющий значение поряди 109 м. Сферу радиуса R„, построенную вокруг молекулы,
называют сферой ее молекулярного действия. Если молекула находится вдали от стенок
сосуда, то вся сфера ее молекулярного действия заполнена другими молекулами, так
что результирующая сила притяжения для рассматриваемой молекулы равна нулю.
Иначе обстоит дело с молекулами, находящимися вблизи стенки MN сосуда (рис. 12.3).
У них сферы молекулярного действия только частично находятся внутри газа (области,
закрашенные на рис. 12.3).
Рис. 12.3
N
Я,
Найдем равнодействующую сил притяже-
ния, приложенных к произвольной молекуле
К, находящейся в слое газа, пограничном со
стенкой. Для этого разобьем сферу молеку-
лярного действия молекулы К на четыре об-
ласти: а, б, г, д (рис. 12.4). Плоскости ЛЯ и CD
проведены параллельно поверхности стенкя
MN, причем плоскость CD симметрична пове-
170
рхиости стенки относительно диаметральной плоско-
сти АВ. Области б, г, д в отличие от области а запол-
нены молекулами газа.
Силы, действующие на молекулу К со стороны
молекул, находящихся в шаровых слоях б, г, взаимно
уравновешиваются. Притяжение же молекулы К ча-
стицами, находящимися в шаровом сегменте д, ни-
чем не компенсируется, так как в сегменте а молекул
газа нет*. Очевидно, что результирующая сила
F* должна быть направлена перпендикулярно стенке
внутрь газа (рис. 12.4). Для данного газа и фик-	Рис 12а
сированного положения молекулы К относительно
стенки сила F* будет тем больше, чем больше молекул заключено в сегменте д. Иными-
словами, эта сила пропорциональна концентрации молекул газа:

(12.10)
где коэффициент а* зависит от химической природы газа и расстояния 1к от центра
молекулы К до стенки сосуда.
Если Лм, то области а, д исчезают и F*=0. Таким образом, молекулы, отсто-
ящие от стенок сосуда на расстояниях R* и бблыпих, уже можно считать «внутрен-
ними».
4.	Действие сил F* приводит к тому, что в пограничном со стенкой слое газа молекулы
движутся по направлению к стенке замедленно. Они ведут себя подобно шарам,
которые прикреплены к пружинам и растягивают их в процессе движения за счет убыли
своей кинетической энергии. Поэтому удары молекул о стенки сосуда несколько
смягчены. Давление р, производимое на стенки реальным газом, меньше, чем в случае
идеального газа ржд, имеющего ту же температуру Т и ту же концентрацию:
или
р=Лд-рж,
Ри^Р+Рщ,
(12.11)
(12.1 Г)
где р„ — давйение, обусловленное действием сил взаимного притяжения молекул
(внутреннее давление).
Внутри газа силы взаимного притяжения молекул не влияют на их движение,
и давление газа равно р^д. У стенок оно меньше этого давления и равно р. Добавочное
давление р„' производит на газ слой его молекул, граничащих со стенками. Оно
вызвано силами F* и равно
Р-Ц f ft.	(12.12)
* t-i
где сумма сил F* распространена на все л молекул пограничного слоя газа, S — пло-
щадь стенок сосуда. Заменив Ft по формуле (12.10), получим
или
Аж-лол<п>/5,	(12.13)
1 "
где У о* — среднее значение коэффициента а* для всех молекул пограничного
л к- :।	л
слоя, зависящее только от химической природы га^й/ Число молекул, заключенных
в пограничном слое, n—SR^. Подставив это выражение в (12.13), получим
'Влиянием частиц стенок сосуда пренебрегаем.
171
где d — <a> R*. Концентрация молекул
p M 1
«0=—=— ,7-
mo mo
Из уравнений (12.14) и (12.15)£меем
, ‘	А
Р“~ ml VT У»'
(12.14)
(12.15)
(12.16)
Коэффициент Ван-дер-Ваальс?. d=dM1lml зависит только ст химической природы
'газа. Из (12.16) и (12.11') получим выражение для давления внутри газа:
Рвд=Р+Д.	(12.17)
' и
где р — давление газа на стеши сосуда.
5.	Подставив в уравнение Клапейрона — Менделеева (Ит—Ь) вместо Fm и рьд вместо
р, получим уравнение состояния реальных газов, которое было выведено нидерладским
физиком Я. Д. Ван-дер-Ваальсом (1873) и названо его именем:
fp+^)(Km-6)=/?T.	(12-18)
Умножив (12.18) на число молей газа mjM и заменив тУщ]М через V, получим
(12.18Э
— уравнение Ван-дер-Ваальса pjtx произвольной массы т газа.
§ 12.3.	Изотермы реальных газов.
Понятие о фазовых переходах I и П рода
1.	Английский физик Т. Эндрюс (1866) экспериментально исследовал зависимость
молярного объема углекисдогб газа от давления при изотермическом сжатии. Резуль-
таты этих опытов представлены на рис. 12.5 (7’1<Г<72<Гжр<Тз<Г4). При тем-
пературах Т, меныпих Уж?=340 К, на каждой изотерме имеется горизонтальный
участок ВС, вдоль которого постоянна не только температура, ио и давление р=рв,
а молярный объем может принимать любые значения от У в до Ус- Разность Ус— У в
объемов в конечных точках горизонтальных участков изотерм возрастает с понижени-
ем температуры Т. Из рис. 12 5 видно, что эта разность объемов стремится к нулю при
приближении к температуре Т^, кбторую называют критической температурой.
На изотерме, соответствующей температуре Т=Т^ (ее называют критической
изотермой), точки В и С сливаются в одну точку К, называемую критической точкой.
Соответствующие ей значения давления р^ и молярного объема Угр называют крити-
ческими. Критическая точка совпадает с точкой перегиба изотермы Т=Тхр, причем
касательная к изотерме в дтой точке параллельна оси Уш.
2.	Любую докритическую изотерму (Т<Тср) можно разбить на три характерных
участка: ТС, СВ и ВА. Вдоль первого и третьего участков давление монотонно
возрастает при уменьшении молярного объема. На участке СВ сжатие углекислоты не
сопровождается изменением ее давления. Это своеобразие догритических изотерм
связано с тем, что они охватывают различные агрегатные состояния СО}. Опыты
показали, что на участке ТС углекислота находится в газообразном состоянии, а на
172
Рис. 12 5
Рис. 12.6
участке ВА в жидком. Малая сжимаемость жидкостей приводит к тому, что участок
изотермы В А представляет собой почти вертикальную прямую.
На участке СВ углекислота одновременно находится в двух агрегатных состояниях:
жидком и газообразном. Точка С соответствует началу конденсации СО2 При изотер-
мическом сжатии, а точка В - концу конденсации. Наоборот, при изотермическом
расширении жидкой углекислоты точка В соответствует началу кипения, а точка
С его концу. Следовательно, точка В соответствует состоянию калящей жидкости,
а точка С состоянию сухого насыщенного пара. В произвольном состоянии М об-
ласти ВС СОг представляет собой смесь кипящей жидкости и сухого насыщенного пара.
Такую смесь называют влажным паром.
Для анализа состояния неоднородных систем, подобных влажному пару, в термо-
динамике вводится понятие фазы. Фазой называют совокупность всех частей системы,
обладающих одинаковым химическим составом, находящихся в одинаковом состоянии
и ограниченных поверхностями раздела. Таким образом, влажный пар представляет
собой двухфазную систему, одна фаза которой кипящая жидкость, а другая - сухой
насыщенный пар.
3.	Если нанести на диаграмму р Vm точки В и С при различных температурах Т, то
получим две пограничные кривые ЪК и сК, смыкающиеся в критической точке К (рис.
12.6). Пограничная кривая кипения ЬК отделяет однофазную область I жидкого состоя-
ния вещества от двухфазной области II его влажного пара. Она является кривой начала
фазового переходя из жидкого состояния в газообразное и конца обратного фазового
перехода из газообразного состояния в жидкое. Пограничная кривая конденсации сК
отделяет двухфазную область II от однофазиой области III газообразного состояния
вещества.
При давлениях, больших критического, отсутствует область двухфазного состоя-
ния. Вещество находится либо в жидком, либо в газообразном состоянии. Границей
между ними служит критическая изотерма. Следовательно, газ, температура которого
выше критической, нельзя перевести в жидкое состояние путем изотермического сжа-
тия. В свое время потерпели неудачу первые попытки сжижения некоторых газов,
критические температуры которых очень низки: у гелия гжр= — 268 °C, у водорода
1^= —240 °C, у неона t^— —228 °C и др. Это произошло из-за того, что не были
известны их критические температуры и их пытались сжижать, изотермически сжимая
ПрИ
4.	Критическая точка замечательна тем, что при приближении к ней стирается раз-
личие между жидким и газообразным состояниями вещества. В критическом состоянии
обращаются в иуль разность молярных объемов кипящей жидкости и сухого насыщен-
ного пара, удельная теплота парообразования и поверхностное натяжение жидкости.
Исчезновение различия между жидким и газообразным состояниями вещества
173
в критической точке можно продемонстрировать на следующем опыте. В запаянную
стеклянную ампулу помещен жидкий эфир (^=194 °C). Между жидкой и газообразной
фазами эфира в ампуле имеется резкая граница раздела (вогнутый мениск). Нагревание
ампулы приводит к возрастанию температуры и давления паров эфира, к уменьшению
сил поверхностного натяжения и исчезновению кривизны мениска. При достижении
критического состояния исчезает граница между жидкостью и паром Если нагреть
эфир в ампуле до температуры более высокой, чем критическая, а затем охлаждать, то
в момент прота-жденни через критическую температуру возникает внезапное помутне-
ние всего содержимого ампулы (вследствие флуктуаций плотности) После этого вновь
появляется резкая граница раздела между жидкостью и паром
Впервые вывод о необходимости существования для каждого вещества такой
температуры, при которой исчезает различие между жидкой и газообразной фазами,
находящимися в равновесия, был сделай Д И Менделеевым Он исследовал зависи-
мость поверхностного ня1 жжения жидкостей от температуры и пришел к выводу, что
при некоторой температуре коэффициент поверхностного натяжения становится рав-
ным нулю Менделеев назвал эту температуру «температурой абсолютного кипения».
В дальнейшем критические температуры различных веществ были подробно исследова-
ны профессором Киевского университета М П Авенариусом и его учениками
S.	Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно правильно описывает некоторые особен-
ности процесса сжижения газов. Эго уравнение можно записать в такой форме
pF’-(pi+«T) Ц+аИв-вЛ=0.	(12-19)
Мы получили уравнение третьей степени относительно молярного объема Иш. Коэф-
фициенты уравнения зависят от давления, температуры и химической природы газа.
В зависимости от числовых значений р и Т для данного газа это уравнение может иметь
либо один, либо три действительных корня. Изотермы газа, подчиняющегося уравне-
нию Ван-дер-Ваальса (12.19), имеют вид, представленный на рис 12.7, где
Г, < Т2 < Т< 7j < Tff < Т$ <
При температурах T<T*f имеется область состояний, где каждому значению
давления соответствуют три точки изотермы, т. е три различных изотермических
состояния По мере повышения температуры эти три точки сближаются и при Г»
сливаются в одну точку А, которая является точкой перегиба изотермы
Касательная к изотерме в точке К параллель» оси абсцисс. При температурах Т» Т„
изотермы Ван-дер-Ваальса близки к равнобочным гиперболам — изотермам идеаль-
ного газа	,
6. Сравнение изотерм Ван-дер-Ваальса (рис 12 7) с экспериментальными изотермами
реальных веществ (например, с рис 12 5) показывает, что изотермы Ван-дер-Ваальса
охватывают не только область газообразного состояния вещее 1ва, во также области
двухфазного и жидкого состояний. Жидкому сосгоя-
Рис 12.7
нию соответствуют круто уходящие вверх левые
участки изотерм. Однако в этой области имеется
лишь качественное согласие с результатами экспери-
ментов	\
Волнообразные участки BDEFC изотерм Ваи-
дер-Ваальса (рис. 12.7), относящиеся к двухфазному
состоянию вещества, сильно отличаютед от соответ-
ствующих горизонтальных участков эксперимен-
тальных изотерм (штриховые прямые ВС) На ос-
новании второго закона термодинамики можно по-
казать, что прямые рассекают участки изотерм
BDEFC так, что площади BDEB и EFCE равны друг
Тфугу (правило Максвелла)
7. Опыты показывают, что некоторые состояния,
соответствующие участкам BDEFC изотерм Ван-
дер-Ваальса, практически осуществимы. Например,
можно задержать кипение ящдкосги, тщательно
удалив из нее механические примеси и произвол!
нагревание в сосуде с гладкими стенками. При этом
174
получают перегретую жндасостъ, различным состояниям которой соответствуют точки
кривой BD. Аналогично, при медленном изотермическом ежа i им газа, не содерхсащего
пылинок, ионов и других центров конденсации, можно получить иереа^яяпшй пар,
соответствующий участку изотермы CF. При введении в пресыщенный пар пылинок
или ионов происходит быстрая конденсация пара Это явление используют в камере
Вильсона для наблюдения траекторий движения заряженных частиц. Участок изотер-
мы DEF практически неосуществим
Изотерма Т= Tip является критической, а точка К перегиба этой изотермы — кри-
тической точкой. Значения критических параметров состояния р^, и молярного
объема И.р для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, можно выразить
через универсальную тазовую постоянную R и коэффициенты а и b
1 а	_	8 а
^“27^’ Ич, = 3*’ Тч,“27Й-
(1220)
8. Различают два типа превращений вещества из одной фазы в другую при вменении
внешних условий, фазовые переходы первого (I) и второго (II) рода. При фазовом
переходе I рода скачкообразно изменяются такие характеристики вещества, как плот-
ность, удельный и молярный объемы, концентрации компонентов, и, что особенно
характерно, выделяется или поглощается теплота, называемая теплотой фяэомго пере-
ходя Примерами фазовых переходов I рода могут служить превращения вещее тва из
одного агрегатного состояния в другое (испарение и конденсация, плавление и кристал-
лизация, сублимация и обратный ей процесс конденсации вещества из газовой фазы
в твердую), фазовые превращения твердых тел из одной кристаллической модификации
в другую, переход вещества из сверхпроводящего состояния в нормальное под действи-
ем сильного магнитного поля
При фазовом переходе П рода теплота не поглощается и не выделяется (теплота
фазового перехода II рода равна нулю), плотность изменяется непрерывно, а скачкооб-
разно изменяются такие характеристики вещества, как молярная теплоемкость, коэф-
фициент теплового расширении, удельная электрическая проводимость, вязкость и др.
Примерами фазовых переходов П рода могут служить переход некоторых металлов
и сплавов при низких температурах из нормального состояния в сверхпроводящее,
переход жидкого гелия из одной модификации — Не-I в другую — Не-ll, ооладакхцмй
свойством сверхтекучести (см § 12.4), переход магнитного вещества из ферромагнит-
ного состояния в парамагнитное, происходящий при нагреве до определенной тем-
жратуры, называемой точкой Кюри
§ 12.4.	Сверхтекучесть гелия
1.	П Л. Капица открыл (1938) явление сверх зенучеия гелия, которое состоит в спосо-
бности жидкого Но-Il протекать без трения через узкие щели и капилляры. Гелий —
вещество с самой низкой критической температурой (Tip =5,2 К, рф=>0ДЗ МПа).
Он может быть переведен в твердое состояние только при давлениях, дфснышающих
2,5 МПа. Диаграмма состояния Т — р .приведена на ряс. 12.8. В зависимости от
давления температура Ti перехода Не-I в Не-П, называемого 2-точкой, изменяется от
2,17 К при давлении насыщенного пара, равном 5,1 кПа, до 1,78 К при давлении,
равном 3,04 МПа
Гелий-1 ведет себя приблизительно так же, как другие сжиженные газы при низких
температурах (например, водород, иеои и др.). Его теплопроводность вевелика
(~4 мДж/(К м с)], а вязкость хотя и мала, но отлична от нуля. Теплопроводность
Не-П необычайно велика Она превосходит теплопроводность Не-I во много милли-
онов раз Вязкостные свойства Не-П весьма своеобразны. С одной стороны, он
обладает свойством сверхтекучести, т е. движется через узкие щели и капилляры как
жидкость, вязкость которой равна нулю. С другой стороны, как показывают опыты, он
имеет отличную от нуля вязкость при температурах, близких к Тд, свободные крутиль-
ные колебания диска затухают практически одинаково независимо ст того, находится
ли этот диск в Не-I или ои находится в Не-П
175
р,МПа
Рис 12 В
2.	Л. Д. Ландау разработал (1941) теорию
сверхтекучести, согласно которой Не-П пред-
ставляет собой совокупность двух взаимопро-
никающих жидкостей: нормальной и сверхтеку-
чей. Сверхтекучая компонента не участвует'
в переносе энергии и движется без трения, сво-
бодно проникая через узкие щели и капилляры.
Нормальный компонент Не-П обладает вязко-
стью и участвует в переносе энергии. Соотно-
шение между нормальной и сверхтекучей ком-
понентами зависит от температуры: при Т=0
К весь Не-П состоит только из сверхтекучей
компоненты, а при 7= 7i —только из нор-
мальной. При T<Ti есть обе компоненты
Не-П, которые движутся независимо друг от
друга.
Теория Ландау позволила объяснить мно-
гие особенности свойств Не-П. Его сверхтеку-
честь связана с тем, что через узкие щели и капилляры перетекает лишь сверхтекучая
компонента, движущаяся без трения, а нормальная в силу своей вязкости практически
через них не течет. В то же время прй свободных крутильных колебаниях диска
в жидком Не-П эти колебания затухают за счет внутреннего трения я нормальной
компоненте Не-П.
Огромная теплопроводность Не-П обусловлена одновременным существованием
в нем двух компенсирующих друг друга потоков — потоков нормальной и сверх-
текучей компонент. Нормальная компонента движется в направлении убивания тем-
пературы, а сверхтекучая — в противоположном направлении. При перетекании Не-П
по капиллярной трубке из сосуда А в сосуд В наблюдается мехавокялорпеапй эффект,
состоящий в том, что температура в сосуде А повышается, а в сосуде В понижается.
Причина этого явления в том, что по капилляру перетекает из А в В сверхтекучая
компонента Не-П, не переносящая энергию. Поэтому вся внутренняя энергия гелия,
остающегося в сосуде А, распределяется на меньшую массу, что приводит к повыше-
нию температуры в этом сосуде. Наоборот, в сосуде В масса гелия увеличивается,
а температура соответственно понижается.
Теория Ландау позволила предсказать существование в Не-П второго звука, экс-
периментально обнаруженного В. П. Пешковым (1944)- В отличие от обычных звуко-
вых волн — распространяющихся в среде колебаний плотности и давления — второй
звук представляет собой распространяющиеся в Не-П колебания плотности нормаль-
ной компоненты Не-П и соответственно его температуры.
3.	Рассмотрим некоторые основы современных представлений о сверхтекучести Не-П.
Прежде всего следует сказать, что только квантовая теория объяснила, почему именно
гелий является единственной незамерзающей жидкостью при очень низких температу-
рах и нормальном давлении. Квантовая теория показывает, что в отличие от классичес-
ких представлений при любой как угодно низкой температуре вещества (в том числе
и при 7=0 К) существуют «нулевые» колебания атомов и молекул. Им соответствует
некоторая «нулевая энергия», которую невозможно отнять у вещества. Ответ на вопрос
о том, остается ли вещество вблизи 0 К жидким или твердым, зависит от того, что
играет определяющую роль — межмолекулярное притяжение, вызывающее образова-
ние кристаллической решетки, или «нулевые колебания», препятствующие этому об-
разованию.
В гелии силы взаимодействия между атомами весьма слабы, а «нулевые колебания»
вследствие легкости гелиевых атомов весьма интенсивны. Поэтому при обычных
давлениях кристаллическая решетка в гелии не образуется и он не замерзает. При
очень низких температурах тепловое движение в гелии рассматривается как со-
вокупность некоторых элементарных «тепловых возбуждений». В квантовой теории
доказано, что энергия тепловых возбуждений может изменяться лишь порциями —
квантами.
176
Нагревание Не-П от 7=0 К до некоторой малой температуры должно привести
к появлению в нем «элементарных возбуждений». С появлением этих возбуждений
связаны запас внутренней энергии в жидкости и существование в ней трения.
Нормальная часть жидкого Не-П представляет собой ту часть жидкости, в которой
возникают элементарные тепловые возбуждения. Однако из детального рассмотрения
элементарных возбуждений в гелии, основанного на законах сохранения энергии и им-
пульса, следует, что возможны состояния Не-П, в которых «элементарные возбужде-
ния» не возникают. Этим состояниям соответствует сверхтекучая часть гелия. Выяс-
нилось, что частицы сверхтекучей части Не-П весьма сильно взаимодействуют друг
с другом и образуют связанный коллектив, называемый иногда конденсатом. Благо-
даря сильному взаимодействию частиц в сверхтекучей части Не-П не возникают
тепловые «возбуждения» и эта часть гелия не обладает запасом внутренней энергии.
При 0 К, когда «элементарных возбуждений» нет, весь Не-П является сверхтекучим
и нормальная часть его отсутствует. С ростом температуры растет число «возбужде-
ний» и увеличивается доля нормальной части Не-П. Однако вплоть до температуры
A-точки в Не-П сохраняется сверхтекучая часть со всеми ее особыми свойствами.
§12.5. Внутренняя энергия реального газа.
Эффект Джоуля — Томсона
1. Внутренняя энергия U реального газа равна сумме кинетической энергии WK ха-
отического движения молекул и их взаимной потенциальной энергии FFa:
U= №в.	(12.21)
Мы отмечали, что силы взаимного притяжения влияют на движение сравнительно
небольшого числа молекул, находящихся в пограничном со стенками слое газа. Поэто-
му с достаточной степенью точности можно считать, что WB для моля реального газа
совпадает с для моля соответствующего идеального газа, находящегося при той же
температуре. Внутренняя энергия идеального газа представляет собой только
кинетическую энергию хаотического движения молекул, поэтому
т
•	| CydT,	(12.22)
где Су — молярная теплоемкость газа в изохорном процессе.
Пренебрегая зависимостью Су от температуры, получаем*
Wt=CyT.	(12.22')
Таким образом, внутренняя энергия моля реального газа
Un-CrT+W„	(12.23)
Взаимная потенциальная энергия Wa обусловлена силами межмолекулярного вза-
имодействия, зависящими от расстояния между молекулами. Каждая молекула газа
взаимодействует с большим числом других молекул. Поэтому для данного газа
энергия Wa должна зависеть от среднего расстояния между молекулами, которое,
в свою очередь, однозначно определяется молярным объемом Vm. Следовательно,
в изохорном процессе WB=const и, как видно из (12.23), изменение внутренней энергии
dl7m реального газа выражается так же, как для идеального газа:
dl/m=CydT(Va=const).
•В общем случае вместо (12.22') нужно было бы писать W^fCy^T, где <С0=
т
1 f
= I CydT — средняя молярная теплоемкость газа в интервале температуры от 0 К до Т.
177
2.	Английоие фязнки Д. Джо-
уль и У. Томсон (1853 — 1854)
экспериментально обнаружи-
ли, что при адиабатном расши-
рении газа без совершения по-
лезной работы температура га-
за изменяется. Процесс такого
необратимого расширения на-
зывается яднябятвш дроссели-
рмвмем, а явление изменения
температуры в этом процес-
се — эффектом Джоуля — То-
мат.
Принциттия пькая схема опытов Джоуля и Томсона приведена на рис. 12.9. В хоро-
шо теплоизолированную трубу В вставлена пористая пробка С (дроссель). С помощью
подвижных поршней Е и D давления исследуемого газа слева и справа от пробки
поддерживаются постоянными и соответственно равными pt и р2 (pi>pj)- Под
действием перепада давления Ар=*р\ —р? газ продавливается через пробку и при этом
расширяется от давления р\ до давления р2. Совершаемая газом работа расширения
практически целиком расходуется на преодоление трения газа в пробке, а выделяющая-
ся при трении теплота Qrp—Аур идет на нагревание газа.
По первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии газа при прохо-
ждении через дроссель равно
MJ=Q+A'.
3.	Сообщаемая газу теплота Q из-за отсутствия теплообмена между газом и внешними
телами равна 0^,. Работа Л', совершаемая над газом внешними силами, равна алгебра-
ической сумме работ, совершаемых подвижными поршнями Е (работа Л'|) и D (работа
А']), и работы сил трения
A' = At -f-Aj-f-A-rp.
Учитывая, что работа, совершаемая газом против сил трения,
Атр= Лтр = Сп>.	*
получаем
AU=A'i+A'2.	(12.24)
Работа изобарного вытеснения поршнем Е всего газа массой m и объемом Vt равна
к
Л’,= Г р.бГ-р.Г,.	(12.25)
Аналогично получим, что
Ai=-p2Vi.	(1226)
В этих формулах У2 и V2 объемы, занимаемые данной массой газа перед
дросселем, т. е. при давлении pi, и после дросселя, т. е. при давлении рг. Знак минус
в формуле (12.26) показывает, что поршень D противодействует перетеканию газа через
дроссель. Из предыдущих формул получим
™ СгД7’+ДИ'и=-Д(/>И.
м
где A(pV)=piy2-piVb
Таким образом, изменение температуры реального газа при адиабатном дрос-
селировании равно
MhWn+A(pV)
д/ — —	--
ш Су
(12.27)
178
Формула (12.27) выражает итгралымй эффект Дроуля — Тонема, наблюдаемый
при конечном перепаде давления в дросселе. ’J а
4.	Опыты показали, что для каждого газа в зависни*™ ст его состояния перед
дросселем (рь Tt) и перепада давления в дросселе pt—pj изменение температуры
ЬТ=Тг— Т1 может быть больше нуля — отрккатель*!* эффект Джоуля — Tnrironr
меньше нуля — положительный эффект Джоуля — Томсока и равно нулю — нулевой
эффект Джоуля — Томсона.
Заметим, что в случае идеального газа ^«=0, и из (1227) имеем
М Д(рР)= A(RT) __R дг
Ж Су Су Су ’
откуда
дт=о.
Скобка отлична от нуля, поэтому ДТ=0 К. Следовательно, у идеальных газов эффект
Джоуля — Томсона отсутствует.
5.	Изменение температуры газа при бесконечно малом адиабатном дросселировании,
т. с. при изменении давления газа в дросселе на малую величину dp<0, называют
даффгрпярвт шип эффектом Джоуля — Томсовя. Можно показать, что для газа,
подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, изменение температуры
1 2а(Уа-ЬУМТУ$-Ь .
C,l-b(Va-bYl(RTVb
(12.28)
где С, — молярная теплоемкость газа в изобарном процессе. В частности, для идеаль-
ного газа а=4=0 и dT/dp=0, т. е. эффект Джоуля — Томсона отсутствует.
Знак дифференциального эффекта Джоуля — Томсона, т. е. знак производной
dT/dp, зависит для данного газа от значений давления р и температуры Т газа перед
дросселем. Температуру Т, при которой дифференциальный эффект Джоуля — Том-
сона равен нулю (dT/dp=0), называют температурой шрги. Из формулы (1228)
следует, что для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, температуру ин-
версии Ти можно определить из уравнения
lbRT„ 2	/1 b3
V	9~ЗаР
(12.29)
Из (12.29) видно, что инверсия возможна лишь в пределах изменения давления от
1 в	8 а
нуля до pMte=- тч = 9ржр (Ргр -критическое давление). При p’=pt^T„=-— = 3Ttp.
5 tr	У оК
Максимальное и минимальное значения температуры инверсии достигаются при р=(У.
(7и)мк“м’ 4 Гч”
, 2д 3
(T„)m„-9—= - Т,р.
179
Вопросы:
1.	Докажите, что поправка на объем газа в уравнении Ван-дер-Ваальса в четыре раза превос-
ходит объем всех молекул в моле газа.
2.	Докажите, что площади участков BDEB и EFCE на кривой, показанной на рис. 12.7, равны
ДРУГ другу.
3.	Чем отличаются друг от друга сверхтекучая и нормальная фазы жидкого гелия?
4.	Чем отличаются друг от друга фазовые переходы I и П рода?
5.	Вычислите изменение энтропии реального газа Ван-дер-Ваальса.
Глава 73
Электростатическое поле
и его характеристики
Глава 14
Творена
Остроградского — Гаусса
для электростатического
поля в вакууме
Глева 15
Электростатическое поле
в диэлектрической среде
Глава 16
Проводники
в электростатическом поле
Глане 17
Энергия
электрического поля
Глава 18
Классическая
электронная теория
электропроводности
металлов
Часть
Электродинамика
Глава 19
Законы постоянного тока
Глава 20
Электрический ток
в жидкостях, газах
и плазме
Глава 21
Действие магнитного поля
на движущиеся заряды
и на проводники с током
Глава 22
Магнитное поле
постоянного электрического
тока а вакууме
Глава 23
Движение заряженных частиц
в электрическом и магнитном
полях
Глава 24
Магнитное поле а веществе
Глава 25
Электромагнитная индукция
Глава 26
Основы теории Максвелла
для электромагнитного поля
Глава 13
Электростатическое поле
и его характеристики
§13.1	. Закон сохранения электрического заряда
1.	Взаимодействие между электрически эаряжеными частицами или телами, движущи-
мися произвольным образом относительно инерциальной системы отсчета, осуществ-
ляется посредством злвстромягттвого поля, которое представляет собой совокупность
двух взаимосвязанных полей: элииревеского и машиною.
Характерная особенность электрического поля, отличающая его от других физичес-
ких полей (см. § 2.2), состоит в том, что оно действует на электрический заряд
(заряженную частицу или тело) с силой, которая не зависит от скорости движения
заряда. Характерная особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует на
движущиеся электрические заряды с силами, пропорциональными скоростям зарядов
и направленными перпендикулярно этим скоростям. Поэтому обнаружить электричес-
кое поле удобно по его силовому действию на помещенный в поле неподвижный
электрический заряд.
Электрическое поле неподвижных электрических зарядов, осуществляющее взаимо-
действие между ними, называется элелростатлеским полем. Силы, действующие на
заряды (заряженные частицы) со стороны электростатического поля, называются элеж-
тростжпчесхими салями.
Электродинамикой называется раздел классической физики, в котором изучаются
законы электромагнитного поля. Соответственно теория электростатического поля
неподвижных электрических зарядов рассматривается в разделе электродинамики,
называемом электростатикой.
2.	В природе существуют два рода электрических зарядов: положжгельше и отрл>-
тельные. Положительный заряд возникает, например, на стекле, натертом кожей,
а отрицательный — на эбоните или янтаре, натертом шерстью. Разноименно заряжен-
ные тела пришиваются, а одноименно заряженные отталкиваются друг от друга.
Точечным электрическим зарядом называется заряженное тело, форма и размеры
которого несущественны в данной задаче. Например, рассматривая электростатическое
взаимодействие двух тел, их можно считать точечными электрическими зарядами, если
размеры этих тел малы по сравнению с расстоянием между ними.
Электрический заряд любой системы тел состоит из целого числа элементариах
зарядов, приближенно равных 1,6 10"19 Кл. Наименьшей по массе частицей, имеющей
отрицательный элементарный заряд, является электрон. Масса электрона приближенно
равна 9,1 10-31 кг. Наименьшая по массе устойчивая частица с положительным
элементарным зарядом — протон, представляющий собой ядро атома наиболее рас-
пространенного в природе изотопа водорода. Масса протона приближенно равна
1,67 10“27 кг. Электроны н протоны входят в состав всех атомов и молекул.
Наименьшая по массе античастица, имеющая элементарный положительный за-
ряд,— позитрон — является античастицей электрона и имеет равную с ним массу.
Система тел или частиц называется элааричесжя гюттир пинтой системой, если
между ией и внешними телами нет обмена электрическими зарядами (электрически
заряженными частицами).
3.	Опыты показывают, что в результате соприкосновения при трении двух электричес-
ки нейтральных тел заряды переходят от одного тела к другому. В каждом из них
нарушается равенство сумм положительных и отрицательных зарядов — тела заряжа-
ются разноименно. При электризации тела через влияние в нем нарушается равномер-
ное распределение положительных и отрицательных зарядов. Они перераспределяются
182
так, что в одной части тела возникает избыток положительных зарядов, а в другой —
отрицательных. Однако в обоих случаях выполняется следующий фундаментальный
закон физики — закон сохранена злоггрпеогого зярядя:
алгебрамческая сунна алактричаскмх зарядов тел или частиц,
образующих электрически изолированную систоиу, но изме-
няется при любых процессах, происходящих в этой снетеме.
В системе могут образовываться новые электрически заряженные частицы, напри-
мер электроны вследствие ионизации атомов и молекул, ионы за счет явления иониза-
ции иди электролитической диссоциации и др. Однако при этом одновременно рожда-
ются частицы, заряды которых противоположны по знаку и в сумме равны нулю.
Например, при ионизации атома образуется пара частиц — свободный электрон и од-
нозарядный положительный ион.
§	13.2. Закон Кулона
1.	Силы взаимодействия неподвижных электрических зарядов подчиняются основ-
ному закону электростатического взаимодействия, который был экспериментально
установлен Ш. Кулоном (1785) с помощью крутильных весов. Поэтому силы электро-
статического взаимодействия часто называют куловоэскикю опия.
Заков Кулона утверждает, что
сила электростатического вэеимодойстяня двух точечных эле-
ктрических зарядов, находящихся  икууме, пряно пропорци-
ональна произведению этих зарядов, обратно пропорциональ-
на квадрату расстояния вюжду зарядами и направлена вдоль
соединяющей их прямой:
(13.1)
г* г
Здесь F(j — сила, действующая на заряд gi со стороны заряда Г12 — радиус-вектор,
соединяющий заряд д2 с зарядом од Г=1Г12| (рис. 13.1), к — коэффициент пропорци-
ональности (Jt>0); F2|—сила, действующая на заряд 92 со стороны заряда 9ь
гд“ — Г]2 — радиус-вектор, соединяющий заряд 91 с зарядом 92 (т рис. 13.1 показан
ш1 рилами).
2.	Коэффициент пропорциональности Jt в законе Кулона (13.1) зависит от выбора
системы единиц. В СИ принимается, что коэффициент Jt — величина размерная
и равная
Л=1/(4яео),	(132)	₽	п „
Та а	Дг>°
где £о — Аовый коэффициент пропорцио-	г«
наивности, подлежащий определению из
экспериментальных данных и называемый	р 13 .
183
электрической постоянной, а множитель 4л при eq введен для записи закона Кулона
в рационализованной форме:
п 9'92 ,
Ец=-Д-Г2|
Как показали эксперименты,
£0=8,85 -КГ12 Кл2/(Н м2),
к=1 /(4яео)=9 • 109 Н • м2/Кл2.
В дальнейшем мы будем писать все формулы электродинамики в СИ. Здесь же
лишь укажем, что при построении системы единиц СГС (гауссовой) для электродина-
мических величин йолагают коэффициент Jt в законе Кулона (13.1) безразмерным
и равным единице: к= 1. Соответственно закон Кулона записывают в форме
(13.39
3.	Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечных зарядов
аналогично тому, как в механике всякое тело можно считать совокупностью матери-
альных точек. Поэтому электростатическая сила, с которой одно заряженное тело
действует на другое, равна геометрической сумме сил, приложенных ко всем точечным
зарядам второго тела со стороны каждого точечного заряда первого тела.
Часто бывает значительно удобнее считать, что заряды распределены в заряженном
теле непрерывно — вдоль некоторой линии (например, в случае заряженного тонкого
стержня), поверхности (например, в случае заряженного проводника) или объема.
Соответственно пользуются понятиями линейной, поверхностной и объемной плот-
ностей зарядов.
Линейная плотность электрических зарядов
t=dq/dl,	(13.4)
где dq - заряд малого участка заряженной пинии длиной dl.
Поверхностная плотность электрических зарядов
tr=dq/dS,	(13.5)
где dq - заряд малого участка заряженной поверхности площадью dS.
Объемная плотность электрических зарядов
p-dg/dK	(13.6)
где dq — заряд малого элемента заряженного тела объемом dV.
**	Размеры элементов dl, dS и dV должны быть во много раз больше межатомных расстояний
в твердых телах, ио в то же время они должны быть настолько малы, чтобы в пределах этих
элементов неравномерностью в распределении электрических зарядов можно было пренебречь.
Расчеты показывают, что закон Кулона в форме (13.3) справедлив также для
электростатического взаимодействия заряженных тел шарообразной формы, если заря-
ды qi и qi распределены равномерно по всему объему или по всей поверхности этих тел.
При этом радиусы тел могут быть соизмеримы с расстоянием г между их центрами.
§ 13.3.	Напряженность электрического поля
1.	Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заря-
женные частицы и тела служит векторная величина Е — напряженность электрического
поля.
Напряженность злежтричеосого поля равна отношению силы F, действующей со
стороны поля на неподвижный точечный пробный электрический заряд, помещенный
в рассматриваемую точку поля, к этому заряду
184
E=F/g0.
(13.7)
Пробный электрической заряд должен быть столь малым, чтобы его внесение в поле
не вызывало изменения значений и перераспределения в пространстве электрических
зарядов, напряженность поля которых измеряется с его помощью.
2.	Электрическое поле однородно, если во всех его точках векторы напряженности
Е одинаковы, т. е. совпадают как по модулю, так и по направлению.
Сила, действующая со стороны электрического поля на помещенный в него произ-
вольный («непробный») точечный электрический заряд д, равна
F=gE.	(13.8)
Однако в отличие от (13.7) здесь Е — напряженность в месте нахождения заряда
q для поля, искаженного этим зарядом, т. е. в общем случае отличного от того поля,
которое было до внесения в него заряда д.
3.	Кулоновское взаимодействие между неподвижными электрически заряженными
частицами или телами осуществляется посредством их электростатического поля.
Электростатическое поле представляет собой стационарное (не изменяющееся с течени-
ем времени) электрическое поле. Напряженность электростатического ноля точечного
заряда ди вакууме можно найти из закона Кулона (13.3), положив в нем gi=g, gi=go
E=’ ’
4тио г1
(13-9)
Здесь г — радиус-вектор, проведенный в рассматриваемую точку поля из той точки О,
где находится заряд д. Таким образом, электростатическое поле точечного заряда
является примером центрального поля: во всех точках поля векторы напряженности
поля Е и силы F=?oE, действующей на положительный пробный заряд до, направлены
радиально от точки О, если д>0, и к ней, если д<0. Проекция вектора Е на
направление радиуса-вектора г равна
£г= —-•
4л£о г2
(13.10)
4.	Графическое изображение электростатического поля с помощью векторов напря-
женности Е в различных точках поля очень неудобно. Векторы напряженности при
этом накладываются друг на друга, и получается весьма запутанная картина. Более
нагляден предложенный М. Фарадеем метод изображения электростатических полей
с помощью силовых линий.
Линиями напряженности (силовыми линиями) называются линии, проведенные в поле
так, что касательные к ним в каждой точке совпадают по направлению с вектором
напряженности поля (рис. 13.2).
Линия напряженности считается направленной так же, как вектор Е поля в рассмат-
риваемой точке линии. Например, на рис. 13.2 линия напряженности направлена слева
направо. Линии напряженности не пересекаются, так как в каждой точке поля вектор
Е имеет только одно определенное направление. На рис. 13.3 изображены известные из
курса средней школы картины плоских сечений электростатических полей положитель-
ного и отрицательного точечных зарядов, а также двух одинаковых по модулю
одноименных и разноименных зарядов. В первых двух случаях поля обладают центра-
льной симметрией. В случае поля двух одинаковых одно-
именных зарядов д и д силовые линии искривлены. Одна-	g
ко вдали от зарядов эти линии асимптотически прибли-	V
каются к прямым, которые проходят через точку, нахо- .
дицуюся посередине между зарядами: вдали от зарядов	₽
их поле подобно полю точечного заряда 1д, находящего- Z7	3
ся посередине. Из приведенных рисунков видно, что ли-
нии напряженности начинаются на положительных заря-
дах и оканчиваются на отрицательных.	Рис. 13.2
185
Рис. 13.3
Линии напряженности не следу-
ет отождествлять с траекториями
движения в электростатическом по-
ле очень легких заряженных частиц.
Траектория частицы обладает тем
свойством, 'что в каждой ее точке
по касательной к ней направлена
скорость частицы. По касательной
же к линии напряженности напра-
влена сила, действующая со сторо-
ны поля на частицу, а также уско-
рение частицы.
5.	Рассмотрим электростатическое
поле произвольной системы непо-
движных точечных зарядов qh 92,...,
q„, находящихся в вакууме. Экспери-
ментально было показано, что ре-
зультирующая сила F, действующая
на пробный заряд q в любой точке
поля, равна геометрической сумме сил F,, приложенных к заряду q со стороны каждого
из зарядов qt:
F= i F,
/-I
(13.11)
Из (13.7) следует, что F— qE и F/=?E/, где E напряженность поля системы
зарядов, а Е< напряженность поля одного заряда qi. Подставив эти выражения
в (13.11) и сократив на q, получим
Е-£Е„	(13.12)
<-|
Уравнение (13.12) выражает npiw суперпозиция электрических полей (npiw
везавнсимости действия электрических полей); напряженность электрического поля
системы точечных зарядов равна сумме напряженностей полей каждого из этих
зарядов в отдельности.
Иными словами, результирующее поле можно рассматривать как простое наложе-
ние (суперпозицию) полей каждого иэ зарядов системы порознь. Согласно (13.9),
где г/ - радиус-вектор, проведенный от заряда в рассматриваемую точку поля.
Поэтому для электростатического поля в вакууме уравнение (13.12) можно переписать
в форме
е-1 £%
4тио 71 г?
(13.13)
Если заряды системы распределены в пространстве непрерывно, то напряженность
поля этой системы в вакууме, согласно принципу суперпозиции полей,
Е= Г г,	(13.14)
(С)
где г — радиус-вектор, проведенный в рассматриваемую точку поля из точки нахожде-
ния малого заряда dQ, а интегрирование проводится по всему заряду Q системы.
186
j 13.4. Потенциал алактростатечаского поля
I. Электростатическое поле точечного заряда qt — центральное и потому потенциаль-
ное (см. ( 3.3). На точечный заряд q в этом поле действует тела F(—9E* где Е,—
напряженность поля (13.9Э- Работа этой силы на любой замкнутой траектории L точки
сфнложенин силы равна нулю:
фдЕ(бг=О	(13.15)
W
или
<£е(6т=0.	(13.16)
(Ц
Интеграл, стоящий в левой части соотношения (13.16), называется теукул^рей
вектора Е/ вдоль увшецутого контура L. Итак, циркуляция вектора напряженности
электрического поля точечного заряда qi вдоль произвольного замкнутого контура,
проведенного в поле, равна нулю. Условие (13.16) является необходимым и достаточ-
ным для того, чтобы поле напряженностью Е, было потенциальным.
Наряжеиность Е электростатического поля произвольной системы точечных заря-
дов qt, 92..q„ связана с Е, соотношением (13.12), поэтому
Учитывая (13.16), получаем
(13.17)

Соотношение (13.17) свидетельствует о том, что любое электростатическое поле
потенциально.
1 Работа 6А, совершаемая силами электростатического поля при малом перемоцении
dr точечного заряда q в этом поле, равна убыли потенциальной энергии WB заряда
q в рассматриваемом поле:
6А = gEdr = — d fFB.
Для поля системы из л точечных зарядов
d»P.= -9 ^Е,«1г»-9 £Е,бг„-	(13.18)
где г — радиус-вектор заряда q; r(=r—R,; Rf — радиус-вектор точки, в которой нахо-
дится заряд 9< (рис. 13.4). Из (13.18) и (13.9Q имеем для заряда, находящегося в электро-
статическом поле в вакууме,
d^- ~ i * **<= -А £ S *'•
4«о , П	4л£0 , Г?
После интегрирования получим
Wn=~~i- + C,	(13.19)
4«0 I
где С — произвольная постоянная интегрирования. Ее
значение зависит от выбора начала отсчета потен-
187
циальной энергии заряда q в электростатическом поле. Для системы зарядов, имеющей
конечную протяженность в пространстве, обычно полагают потенциальную энергию
заряда q равной нулю в точке, бесконечно удаленной от всех зарядов qt системы, т. е.
принимают в (13.19) постоянную С^О:
^=9 i	(13.20)
Если заряды системы, поле которой рассматривается, распределены в пространстве
непрерывно, то для напряженности поля справедлива формула (13.14) н потенциальная
энергия заряда в поле равна
Wu=q | —+ С,	(13.19)
J 4w
(С)
где интегрирование проводится по всему заряду Q системы. Соответственно при
вышеуказанном выборе начала отсчета потенциальной энергии
Wu~q f^-.	(13.20')
J 4x«or
(И
Э. Из формул (13.20) и (13.20Q видно, что потенцйальная энергия точечного элект-
рического заряда в электростатическом поле пропорциональна этому заряду q, т. е. ие
может служить характеристикой самого поля. Энергетической характеристикой поля
служит его потенциал. Потендаалом электростатического поля называется физическая
величина, равная отношению потенциальной энергии пробного точечного электричес-
кого заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля, к этому заряду q:
V-WJq.	(13.21)
Из формулы (1320) следует, что потенциалы электростатического поля одного
точечного заряда и системы из л точечных зарядов в вакууме равны:
ф|=9|/(4яеоп),	(13.22)
(1323)
1-1 4«оП
Таким образом,
Ф=Ё Ф/,	(13-24)
т. е. при наложении электростатических ролей их потенциалы складываются алгебра-
ически.
** Предполагается при этом одинаковый для всех накладывающихся полей выбор точки, в кото-
рой потенциал считается равным нулю. Например, в формулах (13.22) — (13.24) <р и все q>t об-
ращаются в нуль в бесконечно удаленной точке.
Если заряды системы распределены в пространстве непрерывно, то потенциал ш
поля в вакууме при вышеуказанном выборе точки, в которой <р=0, равен
Ф= Г	(13.24-)
J 4w
(С)
где интегрирование проводится по всему заряду Q системы.
188
4. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении точечного
заряда q из точки 1 поля (потенциал <р() в точку 2 (потенциал <рз), равна
А 1-2=д(ф|-Фз).	(13.25)
В частности, если фг=О, то
Л|_2
Ф, = —.
Следовательно, потенциал в какой-либо точке электростатического поля численно
равен работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного
заряда из этой точки поля в ту точку, где потенциал поля принят равным нулю.
Выбор точки с нулевым потенциалом произволен и определяется только удобством
решения каждой конкретной задачи.
5. Сила, действующая со стороны- электростатического поля на внесенный в него
пробный точечный электрический заряд q, и потенциальная энергия этого заряда в поле
равны
F=gE, Wa=qcp.
С другой стороны, между потенциальной силой и потенциальной энергией суще-
ствует связь, выражаемая формулой (3.20):
F= -grad Wn.
Так как заряд q не зависит от координат точек поля, то
grad (gq>)=q grad <р.
Поэтому между Силовой характеристикой электростатического поля, напряженностью
Е, и его энергетической характеристикой, потенциалом <р, существует следующая связь:
Е= -grad ср.	(13.26)
В каждой точке поля проекции вектора Е на осн декартовой системы координат
связаны с частными производными от потенциала по этим координатам соотно-
шениями
£х=-^,	£=-?•	(13-26')
Вх у By	Вг
Элементарная работа сил электростатического поля на малом перемещении dr
пробного заряда q
6 А = дЕ dr=qE Al cos (E, dr)=qE/dl,
где d/=|dr|, Ei — проекция вектора E на направление перемещения dr.
С другой стороны, 6А= — dFFn= — qdep. Поэтому £/d/= — dip или
(13-27)
т. е. проекция вектора напряженности электростатического поля на произвольное
направление численно равна быстроте убывания потенциала поля на единицу длины
в этом направлнии. Вдоль линии напряженности Ei и |d<p/d/| достигают максимального
значения, равного |Е|.
8. Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потен-
циала одинаковы, называется эквкютевднальвой поверхностью.
189
Если вектор dr направлен'по касательной к эквипотенциальной поверхности, то
(d<p/d/)=O и £/=0, т. е. dr±E. Следовательно, эквипотенциальные поверхности ор-
тогонаЛьны линиям напряженности. Работа, совершаемая силами электростатического
поля при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной
поверхности, равна нулю.
Существуют два способа графического изображения электростатических полей —
при помощи линий напряженности или эквипотенциальных поверхностей. Эквипотен-
циальные поверхности обычно строят так, чтобы разности потенциалов между любы-
ми двумя соседними поверхностями были одинаковы. Зная расположение этих поверх-
ностей, можно построить силовые линии и найти значения напряженности поля.
§ 13.5. Электростатическое поле электрического диполя в вакууме
1. Электрическим дмолем называется система, состоящая из двух точечных элект-
рических зарядов ?>0 и — q, расстояние I между которыми мало по сравнению
с расстоянием г от этой системы до рассматриваемых точек ее поля.
Оказалось, что такая модель очень неплохо описывает электрические свойства
атомов и молекул, а также влияние на них внешнего электрического поля. Поэтому
в физике широко пользуются представлением атомов и молекул в виде электрических
диполей.
-q | pO Pe
Рис. 13.5
Е_ А Е Е+
Плечом дыюля называется вектор I,
направленный по оси диполя от отрица-
тельного заряда к положительному и по
модулю равный расстоянию между ними
(рис. 13.5). Произведение положительного
заряда q диполя на плечо I называется
электрическим моментом даюля р, (ди-
польным электрическим моментом):
p,=gl.	(1328)
Вектор р< совпадает по направлению
с плечом диполя.
2. В соответствии с принципом суперпозиции полей напряженность в произвольной
точке поля диполя Е=Е+ + Е_, где Е+ и Е_ —напряженности полей зарядов q и — д
в рассматриваемой точке.
Если точка А расположена на оси диполя (рис. 13.5), то векторы Е+ и Е_,
направлены также вдоль этой оси, но только во взаимно противоположные стороны.
По формуле (13.9),
Е+---— 4гь Е-=-------—Л
4явд П	4«0 Г а
где ri н n — радиусы-векторы, проведенные в точку А из точечных зарядов q и —д,
причем Г| = г—1/2 тг=т+1/2. Векторы т> и П совпадают по направлению с вектором I,
поэтому
„	1 q I
г =__________7____
* 4«о (г—//2)* 2 /’
„	1 q I
4явд (г+//2)2/’
1	2г?1
F___UI| 1__________1	_
4«о I [О— 1/2? (r+//2)2J 4jt£o(r2-W
Потенциал поля в точке А равен сумме потенциалов полей точечных зарядов q и -д:
_ 1 ( д у Х_ 1 qi
4тио 1г—1/2 r+1/lJ 4я«о г2—Р/4
190
Тах как для поля диполя и gl—р,, то напряженность и потенциал Поля
в точке А на осн диполя равны
Е=4—(1329)
4яео г* 4то г1
3.	Рассмотрим теперь точку В поля, которая находится на перпендикуляре, восстанов-
лвнном к оси диполя из его середины О (рис. 13.6). В этой точке
^-^=^0^14
Из рис. 13.6 видно, что
I- +Е_|—____________<L_,
4«ог2+/3/4 4«о (г»+/>/4),/2
причем вектор Е—Е+ + Е_ параллелен электрическому моменту р, диполя и направлен
в противоположную сторону. Следовательно, напряженность поля диполя в точке
В (г1»?)
Точка В равноудалена от зарядов q и — q диполя, поэтому потенциал поля в точке
В равен нулю:
<?>=-— [ . 9	—, 4	)=0.	(13.3ОЭ
4«o\V?+?/4 л/г1+/2/4/
4.	Расчет поля диполя в произвольной точке С с полярными координатами г и а (рис.
13.7) удобнее всего произвести с помощью следующего вспомогательного приема.
Опустим на прямую NC, соединяющую заряд — q диполя с точкой С, перпендикуляр
МК, проведенный из точки М, где находится заряд q дщголя. Поместим в точку К два
точечных заряда q и — q, которые полностью нейтрализуют друг друга и не искажают
поля диполя. Четыре заряда, находящиеся в точках М, N и К, можно рассматривать
как два диполя (NK и МК). Ввиду малости расстояния I по сравнению с г угол CNM»а.
Поэтому модули электрических моментов первого и второго диполей соответственно
равны
p,i=g/cosa=p,cosa,
рй=д/ыпа=р,ыпа.
191
Для первого диполя точка С лежит на его оси, а для второго — на перпендикуляре,
восстановленном в средней точке оси. По формулам (13.29) и (13.30), напряженности
Е| и Е2 полей каждого из диполей в точке С равны
Е,=
1
4мо г3
Е2----
1 Р«2
4яво г3 ’
(13.32)
Векторы ре) и Ре2, соответственно Е] и Ej, взаимно перпендикулярны, поэтому
модуль напряженности поля диполя MN в точке С
Е=у/Е{+Ё1=~ -3 у/ОыУ+ЬаГ.
I
Подставив сюда значения pti и ра из (13.31), получим
^/Зсов2а+1.	(13.33)
4яео г*
Потенциал поля диполя в точке С равен сумме потенциалов в этой точке для полей
двух диполей (NK и МК): <p=<pi+<P2, хде ср\ н срг находятся по формулам (13.29)
и (13.ЗОЭ- Таким образом,
1 pti 1 p,coea
4мо г3 4мо г3
(13.34)
г
5.	Из предыдущего видно, что расчет потенциала поля диполя (13.34) производится
с помощью принципа суперпозиции полей значительно проще, чем расчет напряжен-
ности того же поля (13.33). Это связано с тем, что потенциалы складываются алгебра-
ически, а напряженности — геометрически. Однако, зная выражение (13.34) для потен-
циала ф, можно найти напряженность поля диполя, пользуясь взаимосвязью между
потенциалом и напряженностью электростатического поля. Из (13.27) следует, что
проекции Ег и Еа вектора Е напряженности поля диполя на полярный радиус-вектор
г и на вектор, проведенный в рассматриваемой точке поля перпендикулярно г в сторону
возрастания полярного угла а, равны
йф 1 2p,coso
' Зг 4яео г3 ’
йф _ 1 р«ипа
“ г За 4яео г3
(13.35)
Отсюда следует, что для Е=-^Е?+Е£ справедлива формула (13.33).
Вопросы:
1.	При каких условиях силы взаимодействия двух заряженных тал можно найти по закону
Кулона?
2.	Как можно практически обнаружить существование электрического поля? Как можно об-
наружить существование магнитного поля?
3.	Всегда ли при наложении электростатических полей потенциал результирующего поля равен
алгебраической сумма потенциалов накладывающихся полей?
4.	От чего зависит работа, совершаемая силами Электростатического поля при переносе в ном
точечного заряда?
5.	Как связаны между собой силовая и внергетическая характеристики электростатического
поля — его напряженность и потенциал?
192
Глава 14 _____________________________________
Теорема Остроградского — Гаусса
для электростатического поля в вакууме
§14.1. Теорема Остроградского — Гаусса
1.	Потоком (элементарным нотоком) напряженности электрического поли сквозь малый
участок поверхности, проведенной в поле, называется величина
dW=£d£cos(E?n) = EdS.	(14.1)
Здесь Е — вектор напряженности электрического поля в точках малого участка поверх-
ности площадью d£; п — единичный вектор, нормальный к площадке d£, а вектор
dS=d£n.
** Малый участок поверхности выбирается так, чтобы в его пределах можно было пренебречь
неоднородностью поля и кривизной поверхности
4*4
Так как Е cos (Е, п)=£„ — проекция напряженности поля Е на направление нормали
в, a dScos (Е, n) = d£i — площадь проекции площадки d£ на плоскость, перпендикуляр-
ную вектору Е, то (14.1) можно также переписать в форме
dN=E„dS=EdSk
(14.2)
Поток напряженности N сквозь любую поверхность S равен алгебраической сумме
потоков напряженности сквозь все малые участки этой поверхности:
EdS=j £d£cos(E, n)= j E^d.S=J £dSj_.
(S)	(3)	(S)
(14.3)
При этом все векторы п нормалей к малым площадкам dS нужно направить в одну
и ту же сторону относительно поверхности S. Например, в случае замкнутой поверх-
ности S всюду в дальнейшем под п понимаются векторы внешних нормалей, т. е.
направленные вовне из области, ограниченной этой поверхностью.
2.	Найдем, чему равен поток напряженности электростатического поля сквозь произ-
вольную замкнутую поверхность, проведендую в этом поле. Рассмотрим электростати-
ческое поле системы точечных зарядов qt, qi, ..., q„. Согласно принципу суперпозиции
электрических полей (13.12),
W=^EdS=£ X
(S)	<*)
E,dS=£ J>E,dS=£
1 (3)
(14-4)
т. е. искомый поток N равен алгебраической сумме потоков через ту же замкнутую
поверхность S напряженностей полей каждого из зарядов системы. Таким образом,
наша задача сводится к расчету потока напряженности поля одного точечного заряда
qt. Возможны два случая: 1) замкнутая поверхность S охватывает заряд qt, т. е. он
находится внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью S, и 2) замкнутая
поверхность S не охватывает заряд q,.
193
Рис. 14.1
Рис. 14.2
3.	Рассмотрим сначала первым случай (рис. 14.1). Поток напряженности dJV сквозь
малый элемент d£ поверхности найдем по формулам (14.3) и (13.9'):
dM-fKdSxX- ‘ q‘(dSL)..	(14.5)
4лео г?
С точностью до малых высшего порядка малости можно считать, что (dSi),
совпадает с площадью (dS^), проекции элемента dS поверхности S на поверхность
сферы радиуса г, с центром в месте нахождения заряда q„ т. е.
dN,= Ч'	(14.5')
4л£о rf
Из школьного курса математики известно, что часть пространства, ограниченная
замкнутой конической поверхностью, называется телесным углом. Мерой телесного
угла о> служит отноц^еиие площади S^, вырезаемой конической поверхностью иа сфере
произвольного радиуса г с центром в вершине О конической поверхности (рис. 14.2),
к квадрату радиуса: п> = 5'сф/г2. Если 5^=г1, то ш=1 ср. Площадь поверхности всей
сферы равна 4 кг2, поэтому телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий
собой все пространство, равен 4я ср.
Из сказанного ясно, что отношение (dS^/r?, входящее в формулу (14.5'), есть не
что иное, как телесный угол da>, под которым элемент dS замкнутой поверхности
S виден из точечного заряда q,:
dM = ’* dcu,.
4л£о
(14.6)
(14.7)
Интегрируя это выражение по всей поверхности S, т. е. по от 0 до 4я, находим
поток напряженности электростатического поля точечного заряда д, сквозь замкнутую
поверхность S, охватывающую этот заряд:
f q, do), <?,
Л* । “~ I	“~
J Во 4я Ео
а
Прн выводе соотношений (14.’5')	(14.7) мы предполагали, что заряд qt>0 (см.
рис. 14.1). Однако все эти соотношения в равной мере справедливы и в том случае,
когда <0. Все отличие в вышеприведенном выводе состоит лишь в том, что при q,<0
соотношение (14.5) имеет вид
dy=-£(dSx),= 1	(d-M^O.
4яео rf
194
4.	Если замкнутая поверхность S не охватывает заряд qi (рис. 14.3), то касательная
к ней коническая поверхность с вершиной в точке О, где находится заряд ф, разбивает
поверхность S (ради простоты предполагается, что поверхность S всюду выпуклая) на
две части: Si и S2. Поток напряженности сквозь поверхность S равен алгебраической
сумме потоков Nn и Na соответственно сквозь поверхности и Sj: Ni=Nn+Na-
Поверхности Si и Si видны из точки О под одним и тем же телесным углом
Поэтому Nn и Na равны друг другу по абсолютному значению:
Ы
1^11=1№|=—ш/.
Однако если для всех элементов поверхности Si углы между векторами Е< и внеш-
ними нормалями п острые (при ф> 0), то для всех элементов поверхности Si эти углы
тупые. Следовательно,
£',соб(Е/, n)dS>0,
Na= j £/COs(E,?n)dS<0,	(14.8)
(5,)
N.=N,i + N,i=0.
Таким образом, поток напряженности электростатического поля точечного заряда
q, в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность S, не охватывающую этот
заряд, равеи нулю.
5.	Из (14.4), (14.7) и (14.8) следует, что
<₽EdS=—.	(14.9)
J	£0
(5)
Уравнение (14.9) выражает теорему Остроградского — Гаусса для электростатичес-
кого ноля в вакууме: поток напряженности электростатического поля в вакууме сквозь
произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы элект-
рических зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной eq.
Напомним, что при вычислении потока напряженности (14.9) векторы dS малых
участков замкнутой поверхности S нужно направлять по внешним нормалям. При
решении задач замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме Остроградско-
го - Гаусса, часто называют гауссовой поверхностью.
4. Теорема Остроградского — Гаусса (14.9) теснейшим образом связана с законом
Кулона, согласно которому сила F электростатического взаимодействия двух точечных
зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними. Именно поэто-
му напряженность Е< поля точечного заряда ф также обратно пропорциональна квад-
рату расстояния г, от заряда: Е, ~гГ1- Если бы зависимость F от г и Et от г/ была иной,
т. е. F~ra и Е,~г‘, где а# —2, то вместо (14.6) мы бы получили
dM=E/dS/=— r}d(ot= — dw,.
При а# —2 результат интегрирования этого выражения по замкнутой поверхности
S должен зависеть от формы и размеров поверхности S, т. е. в этом случае теорема
Остроградского - Гаусса не должна была бы выполняться. Следовательно, справед-
195
ливость теоремы Остроградского — Гаусса и всех следствий из нее служит надежным
подтверждением правильности закона Кулона.
7. С помощью теоремы Остроградского — Гаусса легко доказать одну из основных
теорем электростатики — теорему Ирншоу: система неподвижных точечных элект-
рических зарядов, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть
устойчивой.
Произвольный точечный заряд q системы находится в положении устойчивого
равновесия, если при любом малом смещении заряда q из этого положения на него
действует со стороны электростатического поля Е остальных зарядов сила F^r/E,
направленная к положению равновесия. Пусть S — замкнутая поверхность, охватыва-
ющая заряд q и соответствующая столь малым его смещениям из положения равнове-
сия во всевозможных направлениях, что все другие заряды системы находятся вне этой
поверхности. Тогда в случае устойчивого равновесия заряда q действующая на него
сила F образовала бы тупой угол с внешней нормалью к замкнутой поверхности S, так
что должно было бы выполняться условие
<J>FdS=g <j>EdS<0.
(S)	(Я
Однако это соотношение противоречит теореме Остроградского — Гаусса, соглас-
но которой
^EdS=0,
(Я
так как замкнутая поверхность S не охватывает ни один из точечных зарядов, участву-
ющих'в создании поля Е.
8. Теорема Ирншоу сыграла важную роль в развитии теории строения вещества, так
как она показала, что атомы и молекулы представляют собой не статические, а дина-
мические системы заряженных частиц. В электростатике для объяснения устойчивости
различных рассматриваемых систем зарядов пользуются формальным представлением
о добавочных силах иди связях неэлектростатического происхождения, обеспечива-
ющих эту устойчивость*. Так, в идеальном проводнике носители заряда могут свобод-
но перемещаться по всему объему и поверхности проводника. Однако на поверхности
проводника действуют неэлектростатические силы, которые препятствуют выходу
носителей заряда за пределы проводника. Например, электроны проводимости нахо-
дятся в металлическом проводнике в потенциальной яме. В идеальном диэлектрике
действуют такие неэлектростатические силы, которые обеспечивают полную неподвиж-
ность свободных зарядов, вносимых в диэлектрик.
§ 14.2. Применение теоремы Остроградского — Гаусса
к расчету электростатических полей в вакууме
1. Метод расчета электростатических полей, основанный на использовании принципа
суперпозиции полей, применим к расчету поля любой системы зарядов. Это универ-
сальный метод расчета электростатических полей. Однако, как правило, он связал
с более или менее трудоемкими математическими операциями суммирования или
интегрирования. В ряде случаев значительно более простым оказывается метод, ос-
нованный на использовании теоремы Остроградского — Гаусса (14.9). Этот метод
особенно удобен для расчета электростатических полей симметричных систем зарядов.
Поля таких систем зарядов обладают заранее известной симметрией, обусловленной
симметрией в конфигурации зарядов. Поэтому можно так выбрать гауссову поверх-
ность, проходящую через рассматриваемую точку поля, чтобы поток напряжённости
поля сквозь эту поверхность легко выражался через искомое значение вектора напря-
женности Е.
*См.: Тамм И. Е. Основы теория электричества М , 1966. С. 98.
196
2. Рассмотрим несколько примеров
расчета полей симметричных систем
зарядов.
Пример 1. Поле заряда q, равномер-
но распределенного по поверхности сфе-
ры радиуса R с поверхностной плотно-
стью a = ql(4nR2}.
Система зарядов и, следовательно,
само поле центрально-симметричны от-
носительно центра О сферы. Вектор на-
пряженности поля имеет только ради-
альную составляющую: Е = £гг/г, где	Рис. 14.4
г радиус-вектор, проведенный из цен-
тра О сферы в рассматриваемую точку поля; Е, проекция вектора Е на радиус-вектор I,
одинаковая во всех точках, равноудаленных от центра О. Поэтому та гауссов} поверхность
5 следует взять сферу радиуса г с центром о точке О. Гог да
ф EdS= ф ErdS = Er f dS=Er4nr2.
(S) (Я	о
Если r^R, то доы = д и, по теореме Остроградского Гаусса (14 9),
q vR2
4iu.hr2 елг2'
(14.10)
Если r<R, то ?ul» = 0 и £)=0, т. е. внутри заряженной сферы поля пет.
Потенциал поля д> найдем из формулы (13.27) связи между потенциалом и напряженностью
поля: Er = -dqii'dr. Полагая lim <р = 0, получаем, что потенциал поля вне сферы равен
f <? dr = q
J 4л£о г2 4Л£оТ
(14.10')
Из (14.10) и (14.10') видно, что вне заряженной сферы радиуса R поле такое же, как поле
точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, так что
потенциал всюду одинаков н такой же, как на се поверхности:
q nR
q> =	—
4льпЯ 1.0
(14.10“)
График зависимостей Ег н д> от г для случая, когда ff>(), показаны на рис. 14.4.
Пример 2. Поле заряда q, равномерно распределенного в вакууме по объему шара радиуса
R с объемной плотностью р = 3?/(4лЯ3).
Центр ‘шара О является центром симметрии поля. Поэтому для гауссовой поверхности
5 в виде сферы радиуса г с центром в точке О
EdS = ЕгЛпг2,

где Ег проекции вектора Е на радиус-вектор г, проведенный из точки О в рассматриваемую
точку поля; Е=Ег=£гг/г. Связь потенциала q> с Е имеет вид Er=— d<p/dr.
Если r^R, то = д и
_ Ч	Ч
Ег= }, <Р =
4nt^r 4леог
(14.11)
197
В частности, при r=R
Е,(Ю- *
4п£оЯ3 Зео
У 4я£оЯ Зво
(14 ПЭ
Если г<Я, то Чт’**1л1и3Р**Я'*1К* и
£= *г_=.?г
' 4я«оЯэ Зео
(14.12)
Из связи между ф и £ следует, что для r<R
Ф-ф(Я)— I E,dr,
так что
Я*3 Р
Зво бво
(Я1-г3).
(14.12Э
Графики зависимостей Е, и ф от
г для случая, когда р>0, показаны на
рис. 14.5.
Пример 3. Поле заряда, равномерно
распределенного в вакууме с поверхност-
ной плотностью а по круговой цилинд-
рической поверхности, радиус R которой
во много раз меньше длины / образу-
ющей.
Вдали от концов заряженной поверх-
ности и на расстояниях г от ее оси Off,
малых по сравнению с (, поле можно
считать	— векторы
Е направлены перпендикулярно оси Off и радиально от нее (если <г>0) и к ней (если а<0). 3k
гауссову поверхность £ удобно взять поверхность кругового цилиндра радиуса г и высоты
ось которого совпадает с Off, а основания перпендикулярны оси. Тогда
EdS=£r2Tw//,
где Ег проекция вектора Е на радиус-вектор г, проведенный от оси Off в рассматриваемую
точку поля и направленный перпендикулярно Off. Потенциал поля зависят только от г и удовлет-
воряет соотношению Er= —dfp/dr.
Если r<R, то <7вж»и0 и £г"0, a p—conal (внутри цилиндра радиуса R поля нет). Удобно
принять эту константу равной нулю, т. е. принять ф-0 веточках оси Off.
Если r^R, то qou^a2nRH**tff, где т — о2яЯ — линейная плотность заряда. Поэтому
s& 2яеог
aR -г т , г
®=------Ш «•--------1п - .
И)	R	2л£о	R

(14.13)
198
Графики зависимостей Е, и от г для
случая, когда а>0, показаны на рис. 14.6.
Пример 4 Поле заряда, равномерно рас-
пределенного с объемной плотностью р по
объему кругового цилиндра, радиус R кото-
рого во много раз меньше длины I обязу-
ющей.
Вдали от конца заряженного цилиндра
к на расстояниях г«1 от его оси О О' ноле
можно считать осесимметричным — векто-
ры Е направлены перпендикулярно осп О(У
и радиально от нее (если р>0) или к ней
(если р<0). Выбирая гауссову поверхность
S так же, как в предыдущем примере, полу-
чим, что в области поля, где г<Я,
Чав^Р^Н, так ЧТО
Рис. 14.6
с рг	рг*
Е,™ - , а=-------.
2во	4«о
В частности, при r=R
Ф(Я)«-^-.
4ч>
(14.14)
(14 14')
В области поля, где г>Я, qm=pnR1H и
(14.15)
Потенциал поля
(14-159

Графики зависимостей Ег и <р от г для случая, когда />>0, проказаны на рис 14.7.
Прчрр 5. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью
0 по плоскости.
Эта плоскость (х»0) является плоскостью симметрии поля, векторы напряженности Е кото-
рого направлены перпендикулярно плоскости от нее (если а>0) или к ней (если а<0). За гауссову
поверхность 5 удобно принять поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны
плоскости, а основания площадью AS параллельны ей и лепт по разные стороны ст нее на
одинаковых расстояниях. Так как векторы Е направлены вдоль оси OX {E.=EJfy
и£ж(х)“ —Ея(—х), то
^EdS-2ExAS, 9ш»сА£,
СТ
где Ех — проекция вектора Е на ось ОХ в точках с координатами х>0. Таким образом.
а
Ех<“—. если х>0,
2ео
Еж” —если х<0.
2ха
Общая Формула д ля напряжаности в любой точке поля имеет вид
(14.16)
2*о W
199
Таким образом, поле заряженной плоскости всюду слева от нее однородное и всюду справа от
нее тоже однородное. Однако при переходе через эту плоскость из одной области поля в другую
вектор напряженности Е изменяет скачком свое направление на противоположное.
Так как Ех= — ё<р/ёх, то, полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной
плоскости х=0, получаем:
ё<р
а)--
ёх
<Р = -~х (х>0);
2ео

„ dv	с	с
б) - - = ф = —
ёх 2ео	2ао
Общая формула, справедливая при любых значениях х, имеет вид
(14.16-)
Графики зависимостей Ех и <р от х для случая, когда а>0, пруязявы на рис. 14.8.
Пример 6. Поле днух пярядттяпытых плоскостей, заряженных разноименно С ря иными по
абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов о О и —а (рис. 14.9).
Из примера 5 ясно, что векторы Ei и Е; напряженностей полей первой и второй плоскостей
равны по модулю [Е\ =Ег=’с/(2£д)] и всюду направлены параллельно оср ОХ, пртпгпня тгьной
заряженным плоскостям. При этом векторы Ei (показаны сплошными стрелками) направлены от
положительно заряженной первой плоскости, а векторы Ej (показаны штриховыми стрелками) —
к отрицательно заряженной второй плоскости. По принципу суперпозиции полей напряженность
поля двух плоскостей Е=Е| + Ej- Таким образом, слева от плоскости 1 и справа от плоскости 2,
т. е. в областях х^О их>ё, Е=0. В области между плоскостями Ез=Е1 и Е»2Е]. Следовательно,
Ez=0, если х<0 и х>ё, а в области О^х^ё
Ex=2Eix=al€o.
(14.17)
Поле между плоскостями однородное. Зависимость ф(х) найдем, интегрируя уравнение
Ех= — ёф/dx и полагая потенциал плоскости 1 равным «рь
а)уР=0, <р = ф(0)=ф| (х<0);
ОХ
dtp	а	g
б)--------, Ф = Ф1--х (О^х^ё).
dx	Eq	Eq
(14-17)
В частности, при х=ё, ч>2=ф| — adj eq, т. е. разность потенциалов плоскостей равна
а
Ч>1~ЧП=— ё;
«о
в) — =0, <о = ф(ё) = ф2 (х>ё).
ёх
(14.18)
200
Рис. 14.S
Рис. 14.10
Графики зависимостей Ех и <р от х показаны на рис. 14.10.
3. На основании рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы от-
носительно зависимостей напряженности и потенциала электростатического поля в ва-
кууме от координат точек в этом поле:
1)	напряженность электростатического поля в вакууме изменяется скачком при перехо-
де через заряженную поверхность;
2)	при переходе через границу области объемного заряда напряженность поля в ваку-
уме изменяется непрерывно;
3)	потенциал поля всегда является непрерывнрй функцией координат (скачкообразное
изменение потенциала поля означало бы возможность совершения в этом поле конеч-
ной по величине работы над электрическим зарядом при его перемещении, равном
нулю).
Вопросы:
1.	Чему равен поток напряженности электростатического поля в вакууме через замкнутую
поверхность? Как зависит результат от выбора направления нормалей к малым участкам
этой поверхности?
2.	Расчет каких электростатических полей удобно производить на основе теоремы Остроградс-
кого — Гаусса? Как при этом нужно выбирать замкнутую поверхность?
3.	Почему при переходе через заряженную поверхность напряженность электростатического
попя в вакууме изменяется скачком, а при переходе через границу области объемного
заряда — изменяется непрерывно?
4.	Почему потенциал электростатического поля всегда является непрерывной функцией коор-
динат?
S.	Каким образом теорема Остроградского — Гаусса и следствия из нее могут служить косвен-
ным подтверждением справедливости закона Кулона?
Глава 15
Электростатическое поле в диэлектрической
среде
§ 15.1.	Дипольные моменты молекул диэлектрика
1.	Диэлектриками называются вещества, которые при обычных условиях практически
не проводят электрический ток.
Согласно представлениям классической физики, в диэлектриках в отличие от про-
водников нет свободных носителей заряда — заряженных частиц, которые могли бы
прийти под действием электрического поля в упорядоченное движение и образовать
электрический ток проводимости. К диэлектрикам относятся все газы, если они не
подвергаются ионизации, некоторые жидкости (дистиллированная вода, бензол, нефтя-
ные, синтетические и растительные масла и др.) н твердые тела (стекло, фарфор, слюда,
поливинилхлорид и др.). Удельное электрическое сопротивление диэлектриков
106 —10” Ом м, тогда как у металлов р~10'в —10'6 Ом м.
Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны: суммарный заряд электронов
н атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. Тем не менее молекулы
обладают электрическими свойствами. В первом приближении молекулу можно рас-
сматривать как электрический диполь с электрическим моментом ре=gl. Здесь q —
суммарный положительный заряд всех атомных ядер в молекуле, 1 — вектор, прове-
денный из «центра тяжести» электронов в молекуле в «центр тяжести» положительных
зарядов атомных ядер.
2.	Диэлектрик называется яеяолвршм (диэлектриком с иеподярными молекулами),
если в отсутствие внешнего электрического поля «центры тяжести» положительных
и отрицательных зарядов в молекулах этого диэлектрика совпадают (1=0) и дипольные
моменты молекул равны нулю.
Таковы, например, молекулы Нт, Nj, От, СС14 и др. Во внешнем электрическом поле
происходит деформация электронных оболочек атомов н молекул. «Центры тяжести»
положительных н отрицательных зарядов смещаются друг относительно друга (1^0).
Соответственно неполярная молекула диэлектрику приобретает во внешнем элект-
рическом поле иидуцировяшый (наведенный) дипольный электрический момент р„ про-
порциональный напряженности Е внешнего поля.
Покажем это на модели атома, изображенной на рис. 15.1, а. Положительно
заряженное ядро атома точечный заряд q - находится в центре О облака электро-
нов, имеющего форму шара, радиус R которого равен размеру атома (Я~1О-10 м).
Рис 151
202
Если атом многоэлектронный, то прибли-
женно можно считать, что отрицательный
заряд электронов равномерно «размазан»
по всему объему атома-шара с постоянной
объемной плотностью р= — Зд/(4яЯ3). Во
внешнем электрическом поле напряженно-
стью Е на ядро атома действует сила оЕ,
а на объемный заряд — сила — qE. При
этом центр О объемного заряда смещается
относительно ядра атома на такое расстоя-
ние I в сторону, противоположную напри-
лению вектора Е, при которой сила дЕь
действующая на ядро со стор'оны объем-
ного заряда, уравновешивает силу qE, дей-
ствующую на ядро со стороны внешнего поля (рис. 14.1, б): gE+gEj^O, откуда Е1 = — Е
В Ei=E.
Напряженность поля объемного заряда при 1<R можно найти по формуле (14.12),
положив в ней т— I:
f -
’ Зво 4«оЯ*'
Так как Et =Е, то индуцированный дипольный электрический момент атома
Рг“д/=4я£оЛ3Е.	(15.1)
Вектор р„ как видно из рис. 15.1, б, совпадает по направлению с вектором Е.
Поэтому
р,= осеоЕ,	(15.2)
где а=4яЯ3 — поляризуемость атома (молекулы), зависящая только от объема атома
(молекулы). Исходя из формулы (15.1), легко показать, что l«R при всех возможных
значениях напряженности внешнего поля вплоть до 10' — 10* В/м (при таких значени-
ях Е происходит электрический пробой электроизоляционных материалов):
, 4яеоЯэ „	10 ’o10*	1Л_„
/=-------ТТё » ,»-19 м~ 10 м
q 9-10’ 2 10 19
Неполярная молекула подобна упругому диполю, длина плеча которого пропорци-
ональна растягивающей его силе, т. е. пропорциональна напряженности внешнего
электрического поля. Тепловое движение неполярных молекул никак не влияет на
возникновение у них индуцированных электрических моментов: векторы р, всегда
совпадают по направлению с вектором Е, а поляризуемость а не зависит от тем-
пературы. Это связано с очень малой инертностью электронов, которые смещаются
в молекуле Всегда в направлении силы — еЕ, действующей на них со стороны внешнего
электрического поля.
3.	Полярным дюлсктраком (диэлектриком с полярными молекулами) называется такой
диэлектрик, молекулы (атомы) которого имеют электроны, расположенные несиммет-
рично относительно атомных ядер (HjO, спирты, поливинилхлорид и др.). В таких
молекулах «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают
даже в отсутствие внешнего электрического поля.
Во внешнем электрическом поле полярная молекула,
так же ках и неполярная, деформируется. Однако эта	-
деформация столь мала, что ею можно в первом прибли-	™
женин пренебречь, т. с. считать, что полярная молекула по	/.z J)»	> qjr
своим электрическим свойствам подобна жесткому даю-	/ /у
лю, у которого имеется постоянный по модулю элект- «л /
рический момент (р<=const).	у,-
В однородном внешнем электрическом поле на жест- -фЕ ’
кий диполь действует пара сил дЕ и — дЕ (рис. 15.2),
модуль момента которой	Рис 152
iM^qElane^ptEane.	(15.3)
ил
М=[р,Е].	(15.4)
лярно плоскости векторов р, и Е так, что из конца
_ к Е по кратчайшему пути видно происходящим против
часовой стрелки. В случае, показанном на рис. 15.2, вектор М направлен за чертеж.
Внешнее поле стремится развернуть диполь так, чтобы его электрический момент
203
р, совпадал по направлению с напряженностью поля Е. Такая ориентация диполя
соответствует состоянию его устойчивого равновесия в однородном электростатичес-
ком поле.
Жесткий диполь, находящийся в электростатическом поле, обладает потенциаль-
ной энергией lHn. При повороте диполя на малый угол d0 силы поля совершают работу
SA за счет соответствующего уменьшения потенциальной энергии диполя:
&4 = Md0 = —/>,Esm0d0= — dlHn.
Интегрируя это выражение для dlHn по углу 6 в пределах от в до л/2 и полагая
1Ип=0 при 0=л/2, получаем
О	я/2	п/2
J dFHn= J p,Esin 0d0= — ptE J dcos0
Frn	e	в
или
Wa= — p,E cos 6= — p,E.	(15.5)
В положении устойчивого равновесия (0=0) потенциальная энергия диполя имеет
минимальное значение, равное —PtE.
Если диполь находится в неоднородном поле, напряженность Е которого изменяет-
ся на длине I диполя, то на него действует не только вращающий момент М=[ргЕ], но
также еще н результирующая сила
• ЗЕ ЗЕ
F=9E+-9E_=9/-=A
01	01
где Е+ и Е- — напряженности поля в точках, где находятся заряды q и — q диполя,
а oEfol - производная вектора Е по длине в направлении оси диполя, т. е. в направле-
нии вектора р,- В векторном анализе доказывается, что
„ ЗЕ ЗЕ ЗЕ
F=P« у +Pv у +Р« у>	(15.6)
ОХ оу 02
где р„, Реу и ра — проекции р, на оси декартовой системы координат.
С другой стороны, из выражения (15.5) для потенциальной энергии диполя в элект-
ростатическом поле н формулы (3.20) следует, что силу, действующую на диполь
в этом поле, можно также представить в форме
F=grad(pxE).	(15.7)
Под действием этой силы диполь, электрический момент которого образует острый
угол с вектором Е напряженности поля, втягивается в область более сильного поля.
§ 15.2.	Поляризация диэлектриков
1.	Если полярный диэлектрик не находится во внешнем электрическом поле, то
в результате теплового движения молекул векторы их дипольных электрических моме-
нтов ориентир овайд беспорядочно. Поэтому сумма дипольных моментов всех моле-
кул, содержащихся в любом макроскопически малом объеме* ДИ диэлектрика, равна
нулю. В неполярном диэлектрике в отсутствие внешнего электрического поля равны
нулю дипольные моменты каждой отдельной молекулы.
’Предполагается, что ДИ во много раз больше объема одной молекулы, так что в объеме
ДИ содержится еще столь большое число молекул, что к ним применим статистический метод.
204
При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит поляризация
диэлектрика, состоящая в том, что в любом макроскопическом Малом его объеме ДИ
возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул.
Диэлектрик, находящийся в таком состоянии, называется поляризованным.
В зависимости от строения молекул (атомов) диэлектрика различают зри типа
поляризации: ориентационную, электронную и ионную.
Ориентационная поляризация наблюдается у полярных диэлектриков. Внешнее элек-
трическое поле стремится ориентировать дипольные моменты полярных молекул
жестких диполей по направлению вектора напряженности поля. Этому препятству-
ет хаотическое тепловое движение молекул, вызывающее беспорядочный разброс
диполей. В итоге совместного действия поля и теплового движения возникает преиму-
щественная ориентация дипольных электрических моментов вдоль поля, возрастающая
с увеличением напряженности электрического поля и с уменьшением температуры.
Электронная (деформационная) поляризация осуществляется у неполярных диэлект-
риков. Под действием внешнего электрического поля у молекул диэлектриков этого
типа возникают индуцированные дипольные моменты (15.2), направленные вдоль
поля, т. е. по направлению вектора Е. Тепловое движение молекул, как было отмечено
выше, не влияет на электронную поляризацию. В газообразных и жидких полярных
диэлектриках электронная поляризация происходит одновременно с ориентационной.
Иопная поляризация происходит в твердых диэлектриках, имеющих ионную кри-
сталлическую решетку. Внешнее электрическое поле вызывает в таких диэлектриках
смещение всех положительных ионов в направлении напряженности Е поля, а всех
отрицательных ионов в противоположную сторону.
2.	Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор Р, называемый
полярязовапностью (вектором поляризации) и равный отношению электрического ди-
польного момента малого объема диэлектрика к этому объему Д И:
Р-Д'г £ ft..	(15.8)
где р„ электрический дипольный момент г-й молекулы; л общее число молекул
в объеме Д V. Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его пределах электричес-
кое поле можно было считать однородным. В то же время число л молекул в объеме
ДИ.должно быть достаточно велико, чтобы к ним можно было применять статистичес-
кие закономерности (п» I).
В пределах малого объема ДИ все молекулы неполярного диэлектрика приобрета-
ют в электрическом поле одинаковые индуцированные электрические моменты ре.
Поэтому поляризованность неполярного диэлектрика в электрическом поле напряжен-
ности Е равна
Р=ИоР«	(15.8')
где лр концентрация молекул (лр=л/ДИ). Используя для ре формулу (15.2), получаем
P=noa£oE=XEflE,	(15.9)
где у=алп бе «размерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью
неполярного диэлектрика (у>0). Из механизма поляризации неполярного диэлектрика
и выражения (15.9) видно, что диэлектрическая восприимчивость такого диэлектрика не
зависит явно от его температуры. Температура может влиять на значения у лишь
•косвенно через концентрацию молекул.
3.	Поляризованность полярного диэлектрика
Р=д1рХ1Р«=дЯГ<₽'> = По<₽'>’
1де (р,) среднее значение вектора дипольного момента для всех л молекул, содер-
жащихся в малом объеме ДИ диэлектрика. Векторы pd молекул жестких диполей
205
одинаковы по модулю и различаются только ориентациями в поле. Можно показать
что при поляризации полярных диэлектриков в слабых электрических полях, напряжен-
ность Е которых удовлетворяет условию Е«кТ!рг,
<1510]
Следовательно, поляризованностъ поляриого диэлектрика в слабых полях можне
найти по формуле (15.9), полагая жэлоггричеосую восприимчпость у полярного диэлас-
тряси равной
Эта формула для у называется формулой Дебая — Лявжевена.
4. Выражение (15.10) и вытекающую из него формулу Дебая — Ланжевена (15.11) можно полу-
чить, основываясь на законе Больцмана для распределения молекул по их потенциальным
энергиям:
<1л«С.ехр(
где dn число модекул и единице объема диэлектрика, потенциальная энергия которых находит-
ся в пределах от >ГЯ до FTD +d Wo, а С — постоянный коэффициент пропорциональности Соглас-
но (15.5),
Жв« — ptEcmO, dWB^p,EmOA9,
поэтому
/ptEco»0\
dn—Сехр I ——— I pcEsnOdO.
Если ptE«.kT,
exp
ptE со» 0
кТ '
PtE сое
АгГ
Коэффициент С находится из условия нормировки, общее число молекул, потенциальная
энергия которых заключена в пределах от FFU ми“ — реЕ (при 0—0) до JFn um—PtE (при 0“я),
равно по, т. е.
«о
р.Еах
kT
О
>'WT)
СкТ j (1-х)&г-2СДО,
где х= — Р'Еcos0/(fcT) Таким образом, С~гъ!(2ргЕ) и
ял / r*Ecos0\
dn —— I 1 +— — ) sin0d0.
2 V kT J
Tax как углы 0 и —0 равновероятны, то вклад в поляризованностъ Р дают только состав-
ляющие векторов электрических моментов молекул, параллельные напряженности Е злят-
ряческого поля Среднее значение проекция векторов р,/ на направление вектора Е равно
206
о
Ре С ( РеЕсо»
РеССПвбл^*— I COS0 I 1+-
О
Выполнив интегрирование, получим
<Р.к>-Р?£/(3*Т),
или
<А>-Р?Е/(3*Л
5. В очень сильном электрическом поле и при достаточно низкой температуре
(РеЕу> кТ) электрические моменты рм всех молекул располагаются практически парал-
лельно Е. При этом поляриэованносгь полярного диэлектрика достигает максималь-
ного значения

(15.12)
Таким образом, линейная зависимость поляризованносги диэлектрика с поляр-
ными молекулами от напряженности Е электрического поля наблюдается только
в слабых полях. В широком диапазоне значений эта зависимость нелинейная: чем
больше Е, тем меньше производная dP/dE.
Тепловое движение мешает выстраивать электрические моменты полярных моле-
кул по направлению Е. Поэтому диэлектрическая восприимчивость полярных диэлект-
риков зависит от температуры, убывая с ростом последней (в слабых полях у обратно
пропорциональна температуре).
8. В результате поляризации диэлектрика возникают в тонких слоях у ограничива-
ющих его поверхностей нескомпенсированные заряды, называемые поверхиоспалин
нолярюицюнныма зарядами. Поверхностную плотность в, поляризационных зарядов
проще всего найти на примере диэлек-
трика с неполярными молекулами. На
рис. 15.3 <15 — площадь малого участ-
ка поверхности диэлех i риал, внешняя
нормаль п к которому составляет угол
9 с направлением поляризованносги
Р диэлектрика. Электрические момен-
ты и оси всех молекул-диполей непо-
лярного диэлектрика ориентированы
одинаково — вдоль направления Р.
Если I — плечо диполя, то, как видно
из рис. 15.3, вклад в поляризационный
заряд соответствующий участку
Рис. 15.3
dS поверхности, дают только те дипо-
ли, которые находятся внутри объема
косого цилиндра с площадью основания dS и длиной I образующей, показанного на
рис. 15.3 штриховой линией. Число этих диполей dn<"HoZd5cot в, где ло — концент-
рация молекул, а поляризационный заряд
dg#=год/dS cos 8=P„dS,
где Ря=Рсозв — проекция вектора поляризованносги Р на внешнюю нормаль п к рас-
сматриваемому участку поверхности диэлектрика. Таким образом, поверхностная пло-
тность поляризационных зарядов
o>=d9^dS=P«.
(15.13)
7. В неоднородном электрическом поле поляризация диэлектрика тоже неоднородна
его поляриэованносгь Р зависят от координат. В этом случае кроме поверхностных
поляризационных зарядов могут возникать еще и объемные яолцмзяыюнше заряды.
207
Объемная плотность р, этих зарядов, кая будет показано в § 15.3, находится по
формуле
P;,= -divP,	(15.14)
, „ spz SPy врг
где divP=----1-—— Ч-----дивергенция поляризованности Р.
- 8х 8у 8z
** В теории поля и векторном анализе дивергенцией нектара а (обозначается div а) в какой-либо
точке М поля называется предел отношения потока вектора а сквозь замкнутую поверхность 5,
охватывающую точку М, к объему' V части поля, ограниченной поверхностью S, при неограничен-
ном уменьшении V’.
div а = Inn -®adS.	(15.15)
F-.0 V J
w
Можно показать, что
даг дау За,
diva=---f----f—".
8x By 8z
(15.159
8. Мы рассмотрели поляризацию электрически изотропных неполярных и полярных
диэлектриков, т. е. диэлектрических сред, электрические свойства которых не зависят от
направления напряженности поля Е. Диэлектрическая восприимчивость у изотропных
диэлектриков — величина скалярная, а вектор поляризованности совпадает с Е по
направлению.
Кристаллические диэлектрики могут быть электрически анизотропными. В этом
случае у — величина тензорная, а векторы Р и Е коллинеарны лишь для некоторых
определенных направлений поля в данном кристалле. В дальнейшем мы ограничимся
рассмотрением только изотропных сред.
§ 15.3.	Теорема Остроградского — Гаусса
для электростатического поля в среде
1.	При рассмотрении электрического поля в среде различают два типа электрических
зарядов: свободные и связанные.
Связанными зарядами называются заряды, которые входят в состав атомов и моле-
кул, а также заряды ионов в кристаллических диэлектриках с ионной решеткой. Заряды,
не связанные с перечисленными выше частицами вещества, называются свободными.
Свободными зарядами являются;
а)	заряды частиц, способных перемещаться под действием электрического поля на
макроскопические расстояния (электронов проводимости в металлах и полупровод-
никах, электронов в вакууме, ионов в электролитах и газах и т. п.);
б)	положительные заряды атомных остатков в металлах;
в)	избыточные заряды, сообщенные телу и нарушающие его электрическую нейтра-
льность (например, заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектрика).
2.	Электрическое поле в диэлектрической среде создастся как свободными, так и свя-
занными зарядами. Вектор напряженности Е характеризует результирующее поле.
Однако первичным источником электрического поля в диэлектрике являются свобод-
ные заряды, так как поле связанных зарядов возникает в результате поляризации
диэлектрика при помещении его в поле, созданное системой свободных электрических
зарядов. В свою очередь, поле связанных зарядов может вызвать перераспределение
свободных зарядов (например, если они находятся на проводниках) и соответственно
изменить поле этих зарядов. Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность
поля в среде равна геометрической сумме напряженностей полей свободных и связан-
ных зарядов;
Е=.£"*+£“.
Соответственно теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля
в вакууме (14.9) может быть распространена на электростатическое поле в среде, если
208
под 9ou понимать алгебраическую сумму всех свободных в связанных зарядов, охваты-
ваемых замкнутой гауссовой поверхностью S:
4>EdS=- (д~’ + <да	(15.16)
J ео
(Т)
3.	Использование соотношения (15.16) для расчета электростатического поля в среде,
соответствующего заданной системе свободных зарядов, осложняется тем, что заранее
не известно распределение связанных зарядов в поле.
Молекулы-диполи электрически нейтральны. Поэтому вклад в д“ дают только те
диполи, которые перерезаются гауссовой поверхностью S. Величину д™ легко найти
на примере поля в неполярном диэлектрике, электрические моменты молекул которого
коллинеарны Е. На рис. 15.4 показан малый участок dS гауссовой поверхности S.
Вектор Е в пределах площадки dS всюду одинаков и составляет угол а с внешней
нормалью и вектором dS. Площадка перерезает
только те dn диполей, центры которых находят-
ся внутри показанного на рис. 15.4 штриховой
линией косого цилиндра с основанием площа-
дью dS и образующей, равной длине I молеку-
лы-диполя: dn=noldScc>s а, где по — концентра-
ция молекул диэлектрика. Заряд, соответству-
ющий этим диполям, равен
dg?" = —gdn= —nop,dScosa= —PdS.
Таким образом,
g"o = —yPdS.	(15.17)
Отсюда, в частности, следует, что среднее значение объемной плотности связанных
(поляризационных) зарядов пределах объема V, ограниченного замкнутой поверх-
ностью S, равно
PdS.
(S)
Переходя к пределу при К-»0 и учитывая (15.15), получаем для Рр^р**1 соотноше-
ние (15.14).
4.	Подставим значение (15.17) для д“ в (15.16).
4
^EdS = - fg^-^Pds'j
(S)	'	(S}	'
или
e0EdS+^PdS=g~6.
W	(«1
(15.169
В обоих интегралах, стоящих слева, интегрирование проводится по одной и той же
замкнутой поверхности S. Поэтому уравнение (15.16') можно переписать в форме
^(eBE+P)dS=gSSe.	(15 16")
(S)
Вектор
D = £qE+P	(15.18)
209
называется электрпеекам смезцеввем (электрической индукцией). Пользуясь (15.18),
можно переписать уравнение (15.16"), выражающее теорему Осгроградосого — Гаусса
для электростятячесзсого поля в среде, в форме
DdS-?^.	(15.19)
(Ч
Согласно этой теореме, поток электрического смещения (поток смещения) элект-
ростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в поле,
равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью.
5.	В изотропной диэлектрической среде вектор Р пропорционален Е [см. (15.19)]*,
поэтому
D=£oE+Z£oE = ££оЕ,	(15.20)
где
е=1+/	(15.21)
— отвооггельвая диэлектрическая проницаемость среды. Как и /, £ величина безраз-
мерная. Для вакуума z=0 н е= 1.
Относительная диэлектрическая проницаемость е неполярных диэлектриков не
зависит от температуры (при постоянстве концентрации молекул), а полярных — уме-
ньшается с ростом температуры в соответствии с формулой Дебая — Ланжевсна
(15.11).
§ 15.4.	Условия для электростатического поля на границе раздела
двух изотропных диэлектрических сред
1.	Найдем соотношение между значениями напряженности Е и электрического смеще-
ния D электростатического nojju в двух диэлектрических средах /(Е|, Dt) и 2(Е2, Dj)
в произвольной точке А, лежащей на поверхности раздела этих сред. Проведем в точке
А единичные векторы, направленные по касательной к поверхности (т) раздела сред
и по нормали (п) к ией, проведенной из первой среды во вторую. Построим вбйизи
точки А замкнутый контур L, имеющий форму прямоугольника, две стороны которого
параллельны границе раздела сред и равны d/, а две другие равны ДА (рис. 15.5). Из
условия потенциальности электростатического поля (13.17) следует, что циркуляция
вектора Е напряженности поля вдоль прямоугольного контура L равна иулю:
Edl=0,
(«
причем это равенство должно выполняться при любом значении ДА. Перейдем к пре-
делу при ДА-»0, тогда
lim
ДА-0
Edl=0.
(1522)
В пределе при ДА-»0 длины боковых сторон прямоугольного контура L и значения
линейного интеграла J Е dl вдоль этих сторон стремятся тоже к 0, а верхняя и нижияя
стороны контура неограниченно приближаются к поверхности раздела сред. Поэтому
при обходе контура L против часовой стрелки
lim
ла-о
(15.229
(Ц
•Напомним, Что для полярного диэлектрика соотношения (15.9) р (15.11) справедливы
только в случае слабых полей.
210
Рис 15.5
Рис. 15.0
Из (15.22) и (15.22') следует первое условие для вяпрвжепостя пола:
(15.23)
Итак, касательная к поверхности раздела двух сред составляющая напряженности
поля не изменяется при переходе через эту поверхность из одной среды в другую.
Первое условие для электрического смещеап, согласно (15.20) и (15.23), имеет вид
Ar-(«j/ei)A«	(15-24)
где £] и £2 — относительные диэлектрические проницаемости первой и второй сред.
2.	Для получения Второй пары условий выберем вокруг точки А небольшой участок
поверхности раздела сред площадью dS. ПостроивГэамкнутую поверхность S, охваты-
вающую этот участок границы раздела сред 1 и 2 и имеющую вид поверхности
прямого цилиндра, образующие которого длиной АЛ параллельны вектору и нормали
к поверхности раздела, а основания цилиндра перпендикулярны в (рис. 15.6). Согласно
теореме Остроградского Гаусса (15.19),
£ DdS=g^,
СТ
где — суммарный свободный заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности
S, т. с. в объеме цилиндра. Перейдем к пределу при ДЛ-»0, т. е. устремим к нулю объем
цилиндра:
lim ф DdS = hm
ДА—0 д	ЛЛ-.0
СТ
Если на поверхности раздела сред нет поверхностных свободных зарядов, то
lim ?й? = 0,
дл-»о
hm ф DdS=(Z)b,-Z)|,)d5.
ЛЛ-0 J
СТ
Следовательно, второе условие для вектора D имеет вид
Db,=Dt„,	(15.25)
т. е при переходе через границу раздела двух сред, на которой нет поверхностных
«свободных зарядов, нормальная составляющая электрического смещения не изменяется.
211
Соответственно второе условве для нвпрожеявосгв поля имеет вид
E2»=(ei/e2)E'i„.	(15.26)
В частности, если первая среда — вакуум, то £j = l и Ещ^Е^Вз. Таким образом,
относительная диэлектрическая проницаемость среды имеет следующий смысл: она
показывает, во сколько раз уменьшается нормальная составляющая напряженности
электростатического поля при Переходе из вакуума в данную среду.
3.	При переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии напряжен-
ности электростатического поля преломляются (рис. 15.7). Углы 04 и а2, образуемые
линиями напряженности с перпендикуляром к поверхности раздела сред в точке А,
удовлетворяют условиям
tgtz,=EU/Ein
Поэтому из граничных условий (15-23)и (15.26) следует, что закон преломления линий
напряженности электростатического поля на поверхности раздела двух диэлектрических
сред при условии отсутствия на этой поверхности свободных зарядов имеет вид
tg a2/tg а1 = Е1п1Е2я^€}/Е1,
или
tg«j“(«j/ei)tgei.	(15.27)
4.	Вектор напряженности поля не изменяется при переходе из одной диэлектрической
среды в другую в тех точках поверхности раздела сред, где она касается линий
напряженности поля, так что Ej»=EiT, Е^Е^, Е2=Ер Соответственно для вектора
электрического смещения в этих точках выполняется соотношение 1Ъ—(^i)Di.
Если поверхность раздела двух сред совпадает с эквипотенциальной поверхностью
электростатического поля, то векторы напряженности поля и электрического смещения
ортогональны этой поверхности, т. е. Е^Е^, Е2=Е2я, Di=D]n,	Поэтому при
переходе через такую границу вектор электрического смещения не изменяется* Dj^Di,
a Ej=(ei/e2)Ei.
5.	Рассмотрим примеры электростатических полей в диэлектрических средах.
Пример 1. Поле равномерно заряженной сферы радиуса R, окруженной концентрическими
слоями двух разных диэлектрических сред. Наружный радиус первой среды с относительной
диэлектрической проницаемостью «1 равен Е|, а второй среды («“«з) равен Л2 (рис. 15.8). За
пределами слоя второй среды — вакуум (е*>1). Поверхностная плотность свободных
зарядов на сфере радиуса R равна о.
Центр О заряженной сферы и концентрических слоев дихтектрихов является центром симмет-
рии поля Поэтому, в любой точке М поля векторы Е и D направлены радиально от центра О, если
е>0, или к центру О, если е<0, т. е. Е™Е, и D«Dr Выберем в качестве гауссовой поверхности
S сферу с центром в точке О и радиуса г. Во всех точках этой поверхности DdS—DrdS, где
Рис. 15.7
Рис. 15.8
212
D, проекция вектора D на радиус-вектор г, проведенный из центра О в рассматриваемую точку
поля на поверхности 5. Из симметрии поля ясно, что во всех точках поверхнети 5 значения
D, одинаковы.
Поэтому поток смещения через поверхность 5 равен
DdS=4nr2Dr.
(У)
С другой стороны, по теореме Остроградского Гаусса (15.19), зтбт поток равен Таким
образом:
а)	если r<R, то <7^ = 0, Ог — 0;
б)	если R, то = <7=4rrR2er;
D, = <7/(4nr’) = tf/?2/(r2).
Напряженность поля связана с электрическим смешением соотношением (15.20), поэтому
£r=0 (г s	г я),
<7	Е“' £г=	,= 4га:|Е(У г..	(R^r^R,),
<7	£!“ Ег=	,= 4лЕ2е0г* е1	(Ri^r^Rj),
Ег- 4 , = £“* 4пеог	(r>R2).
Здесь Е>и напряженность поля той же заряженной сферы в той же точке поля,- но только
в отсутствие диэлектриков, т. е. в вакууме, £"“ находится по формуле (14.10).
График зависимости Ег(г) для с > 0 и t.2 < ej показан нд рис. 15.9. Там же штриховой линией
дана зависимость £“’(г).
Пример 2. Поле двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с поверхностными
плотностями зарядов а и —о. Пространство между плоскостями заполнено двумя слоями
диэлектриков, относительные диэлектрические проницаемости и толщины которых соответствен-
но равны	и £2. d2 = d—dy, где d расстояние между заряженными плоскостями (рис. 15.10).
Из симметрии в распределении свободных зарядов на плоскостях и в расположении слоев
диэлектрических сред ясно, что всюду векторы Е и D должны быть параллельны оси ОХ, т. е.
Е=Е„ и D = DT. В каждом из слоев диэлектрика поле однородно и соответственно поляризованы
эти слои тоже однородно. Поэтому в них имеются только поверхностные поляризационные
заряды, плотности которых на двух плоских поверхностях каждого слоя отличаются только
знаком. Напряженность поля таких поляризационных зарядов отлична от нуля только внутри
самого слоя диэлектрика. Следовательно, результирующие значения Е>н D^eqE в областях х^О
их>d равны нулю. Для нахождения значений Dz и Ez в пространстве между пластинами (O^xi^d)
воспользуемся теоремой Остроградского Гаусса (15.19). Выберем за гауссову поверхность S,
Рис. 15.9
213
показанную нд рис. 15.10 штриховой линией, поверхность цилиндре, образующие которого
параллельны осн ОХ, а основания площадью AS каждое паралжльны зараженным плоаосгям,
причем левое основание находится в области х<0, где D-О, а правое проходит через рассмат-
риваемую точку пола с координатой 0<x<d. Поток Смещения через поверхность цилиндра равен
потоку смещения только через правое его основание:
^DdS~DzA5.
(3)
Гауссова поверхность S охватывает свободный заряд, находящийся на участке левой плоскости,
площадь которого равна площади основания цилиндра Д5 q^—oAS. Таким образом, в области
0<х<</ и
(0<x<cf|),
«1во «1
о E*“
£z-—— (4<х<4>
•2*0	«2
где £“ определяем по формуле (14.17) для поля тех же разноименно заряженных параллельных
плоскостей, находящихся в вакууме.
6.	Рассмотренные примеры подтверждают справедливость следующего общего утвер-
ждения: если однородный изотропный диэлектрик с относительной диэлектрической
проницаемостью е, не зависящей от напряженности поля, заполняет весь объем электро-
статического поля или часть его, ограниченную эквипотенциальными поверхностями,
то напряженность поля Е в диэлектрике в е раз меньше, чем напряженность Е*“ в той
же точке поля, создаваемого mfflV же свободными зарядами в вакууме:
Е=Е“/с.	(15.28)
Соответственно
P=ee0E=e0E“=D’“.	(15.29)
В частности, напряженность и потенциал поля точечного заряда q, находящегося
в однородном изотропном диэлектрике, заполняющем все доле, равны
Е-»9г/(4яео£г3), Ф=9/(4я£оег)-	(15.30)
7.	Если граница раздела диэлектрических сред вс эквипотенциальна, то D^Dn, Е^Ея
и D#D“, E# Е"“/е. В этом можно убедиться на примере поля двух параллельных
пластин, заряженных разноименно одинаковыми по модулю зарядами. Если между
пластинами вакуум (рис. 15.11, д), то поверхностные
Рис 1511
цлотнос 1 и зарядов пластин равны д и —а, а напря-
женность поля между пластинами E***=aft^ Запол-
ним теперь пространство между пластинами поровну
двумя диэлектрическими средами, граница между ко-
торыми перпендикулярна пластинам (рис. 15.11, б).
Граница раздела параллельна пиниям напряженности
поля, так что напряженности поля в первой и второй
средах Ei=*E|T, Е^=Е2т и в соответствии с граничным
условием (15.23) Ег=Е1. Следовательно, при заполне-
нии поля диэлектриками происходит перераспредели
нис свободных зарядов на пластинах. Так как
£|=<71/(eiCo),	ТО Cl/ci = <72/«2-
214
С другой стороны, по закону сохранения электрического заряда, общий заря/
каждой из пластин не изменяется, т. е. с5г=(<7| + <72)5/2, где 5 — площадь пластины
или щ + Таким образом,
2fi	2сг
=-----ff, 0*2 =----
+Cj	Б1
2ff 2ЕЖ
Et=E2=—- —.
(ei+«2)«0 «1+^2
genu gfto#	grfM
—r Z -4-ю—t =t____________>.
А	В
Рис 15 12
8.	Заполнение части электростатического поля диэлектриком не всюду приводит
к уменьшению напряженности поля. Например, если в однородное поле напряжен-
ностью Е”0® поместить длинный стер-
жень из диэлектрика (рис. 15.12), то
этот стержень поляризуется: иа его ле-
вом конце возникают отрицательные
связанные заряды, а на правом — по-
ложительные. Внутри стержня напря-
женность Е13*3 поля связанных зарядов
противоположна по направлению ЕГ”6, так что E=|E“o6+EaD|<Ee"°e. Однако в точках
А и В вне стержня векторы Е“°® и Е“я совпадают по направлению. Следовательно,
в точках А и В напряженность поля усиливается при внесении стержня.
§ 15.5. Сегнетоэлектрики
1.	Сегнетоэлектриками называется группа кристаллических диэлектриков, обладаю-
щих в определенном интервале температур самопроизвольной (спонтанной) поляриза-
цией, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий — электричес-
кого поля, деформации, изменения температуры.
Примерами сегнетоэлектриков могут служить сегнетова соль NaKC4H4O6 4НгО,
титанат бария BaTiO^. Сегнетоэлектрики иногда называют ферроэлек i рикями, так как
их электрические свойства подобны магнитным свойствам ферромагнетиков.
В отсутствие внешнего электрического поля весь объем сегнетоэлектрика самопро-
извольно разбит иа небольшие области, которые поляризованы до насыщения и назы-
ваются доменами. Возможные направления электрических моментов доменов опреде-
ляются симметрией кристалла. Поляризация сегнетоэлектрического образца во вне-
шнем электрическом поле состоит, во-первых, в смещении границ доменов и росте
размеров тех доменов, векторы электрических моментов которых близки по направле-
нию к напряженности Е поля, и, во-вторых, в повороте электрических моментов
доменов по полю. В достаточно сильном поле достигается состояние насыпкяп, когда
весь образец однородно поляризован по полю и его поляриэованносгь Р не изменяется
при дальнейшем увеличении Е.
2.	Для сегнетоэлектриков характерно явление
диэлектрического гистерезиса (запаздывания), со-
стоящее в различии значений поляризованносги
сегнетоэлектрического образца при одной и той
же напряженности электрического поля в зависи-
мости от значения предварительной поляризо-
ванное™ этого образца (рис. 15.13).
С увеличением напряженности поля, направ-
ленного по оси ОХ (Е<°Еж), поляризоваиноегь
первоначально деполяризованного образца воз-
растает от Рх=0 при £х=0 до поляризовапвости
пасьпцепп Ps в точке а, соответствующей состоя-
нию насыщения. При дальнейшем уменьшении
Еж до нуля поляриэованносгь уменьшается до
215
значения PR, называемого остаточной полярпованностью. Поляризация образца исчеза-
ет полностью лишь под действием электрического поля противоположного направле-
ния, напряженность которого Ех= — Ес- Величина Ес называется коэрцитивной силой.
Периодическое изменение поляризации сегнетоэлектрика связано с затратой энер-
гии, которая в конечном счете идет на нагревание вещества. Площадь петли гистерези-
са, показанной на рис. 15.13, пропорциональна количеству теплоты, выделяющейся
в единице объема сегнетоэлектрика за один цикл изменения его поляризации.
3.	Диэлектрическая восприимчивость z и относительная диэлектрическая проница-
емость £ сегнетоэлектрика зависят не только от химической природы вещества, но
также от температуры, напряженности электрического поля и предварительной поляри-
зации. Обычно рассматривают зависимость g и е=1 + х от напряженности поля для
образца, не подвергавшегося предварительной поляризации, т. е. для образца, у кото-
рого при Е=0 поляризованность Р=0. Максимальные значения х н £, соответствующие
этой зависимости, достигают у сегнетоэлектриков очень больших значений (порядка
10э и больше).
У каждого сегнетоэлектрика есть такая температура Тс, называемая точкой Кюри
(температурой Кюри), выше которой это вещество теряет свои особые электрические
свойства и ведет себя как обычный полярный диэлектрик. Например, у титаната бария
7с=406 К (133 °C), а ниобата лития LiNbOj 7с=1483 К (1210 СС). Сегнетова соль
обладает сегнетоэлектрическими свойствами только в интервале температур между
нижней точкой Кюри Т^“=255 К (—18 °C) и верхней точкой Кюри =
= 297 К (24 °C). В точке Кюри происходит фазовое превращение вещества. Оно
переходит из спонтанно поляризованной фазы в неполяризованную либо, наоборот, из
неполяриэованной в спонтанно поляризованную.
Вопросы:
1.	Что общего и в чем различие в поляризации диэлектриков с неполярными и с полярными
молекулами?	л
2.	Какая физическая величина служ^ц количественной мерой поляризации диэлектрика и от
чего она зависит?
3.	Как можно найти поверхностную плотность поляризационных зарядов?
4.	Чему равен поток смещения через замкнутую поверхность, проведенную в электростатичес-
ком поле?
5.	Как диэлектрик влияет на напряженность электростатического поля? Каков физический
смысл относительной диэлектрической проницаемости среды?
6.	В чем состоят особенности диэлектрических свойств сегнетоэлектриков?
Глава 16______________________________________
Проводники в электростатическом поле
§ 16.1.	Распределение зарядов в проводнике
1.	В металлических проводниках имеются свободные носители заряда — электроны
проводимости (свободные электроны), которые могут под действием электрического
поля перемещаться по всему проводнику. Они возникают, когда металл переходит из
газообразного состояния в жидкое, а затем в твердое. При конденсации металла
происходит обобществление части валентных электронов, которые отделяются от
«своих» атомов и образуют электронный газ в металле.
Электрические свойства проводников в условиях электростатики определяются
поведением электронов проводимости во внешнем электростатическом поле. В отсут-
ствие внешнего поля электрические поля электронов проводимости н «атомных оста-
тков» — положительных ионов металла — взаимно компенсируются. Если металли-
ческий проводник внесен во внешнее электростатическое поле, то под действием этого
поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом,
чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов проводимости
и положительных ионов скомпенсировало внешнее поле.
Перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатичес-
кого поля называется явлением электростатическом индукции. Возникающие при этом
на проводнике заряды, численно равные друг другу, но противоположные по знакам,
называются индуцированными или наведенными зарядами. Индуцированные заряды
исчезают, как только проводник удаляется из электрического поля.
2.	Вектор Е напряженности поля у поверхности проводника направлен по нормали
к поверхности, так как касательная составляющая вектора Е вызывала бы перемещение
носителей тока по поверхности проводника, что противоречит условию равновесия
зарядов в проводнике, находящемся в электростатическом поле.
Итак, для проводника в электростатическом поле выполняются следующие усло-
вия:	.
а)	всюду внутри проводника напряженность поля Е=0, а у его поверхности Е=ЕЛ
(Et=0);
б)	весь объем проводника эквипотенциален, так как, согласно (13.27), в любой точке
внутри проводника
do
— — — Ei= —£cos(E, dl)=0;
в)	поверхность проводника эквипотенциальна, так как для любой линии на этой
поверхности
dp/d/= —£,=0;
г)	иескомпенсированные заряды располагаются в проводнике только на его поверх-
ности, так как, согласно теореме Остроградского — Гаусса (14.9), заряд q, охватыва-
емый произвольной замкнутой поверхностью S, проведенной внутри проводника,
равен нулю:
9=^£oEdS = 0,
СТ
217
поскольку во всех точках поверхности S, находящихся внутри проводника, напряжен-
ность поля Е=0.
3.	Напряженность Е и электрическое смещение D электростатического поля вблизи
поверхности проводника связайы с поверхностной плотностью о свободных зарядов на
проводнике. ЭИу связь можно найти с помощью теоремы Остроградского — Гаусса.
Выберем вблизи точки А на поверхности проводника малый участок площадью dS, на
котором находится свободный заряд о AS. Проведем внешнюю нормаль и к поверх-
ности проводника в точке А (рис. 16.1). Выберем в качестве замкнутой гауссовой
поверхности S поверхность цилиндра, основания которого равны до площади выделен-
ному участку поверхности проводника dS н лежат напротив него по обе его стороны на
расстояниях Ай/2 так, что образующие цилиндра параллельны нормали в. По теореме
Остроградского Гаусса (15.19), поток смещения сквозь поверхность S равен сумме
свободных зарядов, охватываемых згой поверхностью,
^DdS=g^.
W
Внутри металла поля нет, т. е. Е=0, Р=0, D=0. Поэтому поток смещения через
часть поверхности S, находящуюся внутри металла, равен нулю. Перейдем к пределу
при ДА-»0. Тогда
lim	DdS = £>„dS,
ДА-*О J
W
где Dn проекция вектора D электрического смещения поля вблизи точки А провод-
ника вне его на направление внешней нормали в. Таким образом,
Ля=сг, £^=<7/(ы0),	(16.1)
где с относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей провод-
ник.	,
4.	Согласно (13.27), Е„= — d<p/dn, Т. е. Е„ равно быстроте убывания потенциала элект-
ростатического поля на единицу длины в направлении внешней нормали к поверхности
проводника. Следовательно,
d<p
<г= —etc 	(16.2)
dn
На рис. 16.2 показан вид линий напряженности и эквипотенциальных" поверхностей
поля заряженного положительно металлического тела цилиндрической формы с кони-
ческим выступом на одном конце и конической впадиной на другом. Из рисунка видно,
что вблизи острия и выступов на проводнике эквипотенциальные поверхности наиболее
сильно сближены, так что |df>/dn| достигает наибольших значений. Соответственно
и поверхностная плотность свободных зарядов на остриях и выступах больше, чем на
других участках поверхности тела, имеющих меньшую кривизну. В области конической
впадины напряженность поля и поверхностная плотность зарядов минимальны.,
5. Большое значение напряженности поля вблизи острого выступа на заряженном
проводнике приводит к явлению, известному под названием «электрического ветра».
В достаточно сильном электрическом поле вблизи заряженного острия происходит
ионизация воздуха (ударная ионизация, см. § 20.3). Ионы, заряженные одноимённо
с острием, движутся от него. Они увлекают за собой частицы воздуха и вызывают
образование «электрического ветра», иаправленого от острия. Ионы, заряженные
разноименно с острием, движутся к нему. Однако их влияние на «электрический ветер»
218
Рис. 16 1
Рис. 16.2
несущественно, так как образование и разгон ионов происходят в непосредственной
близости от острия.
На рис 16.3 изображена схема опыта, демонстрирующего действие «электричеасого ветра» на
пламя свечи. Помещенное перед острием S, соединенным с положительным полюсом электроста-
тической машины, пламя сильно отклоняется от заряженного острия и даже может погаснуть.
Вследствие сильной ионизации воздуха около острия оно быстро теряет электрический заряд.
В. Если заряженный металлический шарик привести
в соприкосновение с внешней поверхностью другого про-
водника, то заряд перераспределяется между шариком
 проводником так, чтобы их потенциалы стали рав-
ными Иначе обстоит дело, еогш шарик привести в со-
прикосновение с внутренней поверхностью полого про-
водника. При этом также происходит выравнивание по-
тенциалов шарика и проводника, но так как внутри про-
водника не может быть избыточных зарядов, то весь
заряд шарика передается проводнику и распределяется
по внешней поверхности последнего.
Многократно повторяя передачу зарядов полому
проводнику, можно значительно повысить его потенциал
до предела, ограничиваемого явлением стекания зарядов
с проводника.
Этот принцип был использован в электростатическом геяераторе Ваи-де-Граафа, схема кото-
рого приведена на рис. 16.4. Бесконечная лента L, сделанная из шелка или прорезиненной ткани,
движется на двух шкивах А и В, расположенных друг над другом. Верхний шкив помешен внутри
полого, изолированного от земли шара С. Лента заряжается в результате стекания на нее
электрических зарядов с остриев D, соединенных с одним из полюсов электростатической машины
3 Через острия К этот заряд полностью передается шару С. Заряд и потенциал шара увеличива-
ются до тех пор, пока заряд, уходящий с наружной поверхности шара из-за возникновения
элотрического разряда в окружающем шар воздухе, не станет равным заряду, поступающему за
то же время через острия К. Имея два таких генератора с шарами диаметром в несколько метров
я заряжая эти шары разноименно, можно получить разность потенциалов между ними порядка
скольких мегавольт.	।
7. Между одноименными зарядами, находят цимис.я на поверхности заряженного про-
водника, действуют силы взаимного отталкивания. Заряд <rdS малого участка dS
поверхности проводника находится в электростатическом поле зарядов, распрсделсн-
кых по всей остальной поверхности проводника. Если Ei — напряженность этого поля,
то на заряд <rdS, т. е. на элемент поверхности d5 проводника, действует сила
dF=E|ffdS.
(16.3)
Найдем Е) и dF для заряженного проводника, находящегося в вакууме. НапряЖен-
вость Е поля вблизи элемента поверхности проводника равна сумме напряженности
219
Ei и напряженности Е2 поля заряда adS: Е=Е|+Ег. Вне
проводника у его поверхности векторы Ej и Е2 совпадают по
направлению — они оба направлены по внешней нормали
п к рассматриваемому элементу поверхности проводника,
если п>0, и в обратную сторону, если а<0. Внутри провод-
ника у его поверхности вектор Е\ такой же, как и вие провод-
ника: Е'1=Ej, так как переход через поверхность соответству-
ет малому смещению по отношению к зарядам — источ-
никам поля Ej. В то же время для поля Е2 переход извне
проводника внутрь него означает переход через заряженную
поверхность, создающую это поле. Поэтому Е2= —Е2. На-
пряженность поля внутри проводника E'=Ei+Ei=Ei — Е2=
=0. Таким образом,
Е,=Е2=1/2Е.	(16.4)
Векторы Е и п коллинеарны. Поэтому из (16.1) и (16.4)
следует, что для проводника, находящегося в вакууме,
Е^вДаяо).	(16.49
Подставив (16.4) в (16.3), получим
dF-ст2 dSn/(2£Q)=e0E2dS’n/2.
(16.5)
В. Силы, действующие на заряженные тела, по традиции называют поцдеромоторнымя
силами (от лат.— силы, движущие весомые тела). Обычно найти эти силы далеко не
просто. Их расчет сильно осложняется из-за того, что в электрическом поле диэлектри-
ки поляризуются, а на проводниках появляются индуцированные свободные заряды.
Кроме того, в электрическом поле возникают упругие деформации тел (диэлектриков
и проводников). Общий метод расчета пондеромоторных сил, не связанный с анализом
причин и метяничмя их появления, основан на использовании закона сохранения
и превращения энергии, т. с. на анализе возможных превращений энергии в рассмат-
риваемой системе заряженных тел. Пример такого расчета приведен ниже (см. § 17.3).
Из формулы (16.5) следует, что поверхностная плотность f^dF/dS1 пондеромоторных
сил, действующих иа заряженный проводник в вакууме, равна
f=ff2n/(2e0)=eoE2n/2.	(16.6),
§ 16.2.	Электрическая емкость уединенного проводника
1.	Уединенным проводником называется проводник, который находится столь далеко
от других тел, что влиянием их электрических полей можно пренебречь. Характер
распределения зарядов по поверхности заряженного уединенного проводника, находя-
щегося в однородной, изотропной диэлектрической среде, зависит только от формы
поверхности проводника. Каждая новая порция зарядов, сообщаемых проводнику,
распределяется по его поверхности подобно предыдущей. Поэтому поверхностная
плотность зарядов а в каждой точке Л поверхности проводника пропорциональна его
общему заряду q:
a=kq,	(16.7)
где к—к(х, у, z) — функция координат точки А, зависящая от формы и размеров
поверхности проводника. Значения к больше в тех точках поверхности, где больше ее
кривизна.
2.	Потенциал заряженного уединенного Проводника можно найти, пользуясь принци-
пом суперпозиции электростатических полей. Если потенция и бесконечно удаленной j
220
точки принять равным иулю, то потенциал заряженного проводника, находящегося
в однородном, изотропном диэлектрике с относительной диэлектрической проница-
емостью с, равен
к AS
(16.8)
1 Г с AS	q Г
<Р =	I “ I
4ЯС£о J Г 4я££() J
6?||ров)	Сборов)
Здесь г расстояние от малого элемента dS поверхности проводника до какой-либо
фиксированной точки на поверхности проводника, в которой определяется потенциал
<р (выбор этой точки совершенно произволен, так как поверхность проводника эк-
випотенциальна, как, впрочем, и весь его объем), а интегрирование проводится по всей
поверхности проводника <$||рс>. Интеграл зависит только от формы и размеров провод-
ника, так что потенциал д> уедииеннего проводника пропорционален его заряду д'.
д> = д)С.	(16.8')
Величина С, равная отношению заряда д уединенного проводника к его потенциалу
<р, называется электрической емкостью (электроемкостью или просто емкостью) этого
проводника*:
С=9/Ф.	(16.9)
3.	Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, причем
при прочих равных условиях электроемкости геометрически подобных проводников
пропорциональны их линейным размерам. Это связаио с тем, что на геометрически
подобных проводниках распределение зарядов тоже подобно, а расстояния от анало-
гичных участков поверхностей проводников до сходственных точек этих проводников
пропорциональны их линейным размерам. Поэтому потенциалы одинаково заряжен-
ных и геометрически подобных проводников обратно пропорциональны их линейным
размерам, а электроемкости этих проводников прямо пропорциональны им.
Электроемкость уединенного проводника зависит также от диэлектрических
свойств окружающей его среды. Если среда одонородна и изотропна, то, как видно из
(16.8), электроемкость проводника пропорциональна относительной диэлектрической
проницаемости среды.
Ни от материала проводника, ни от формы и размеров возможных полостей внутри
проводника его электроемкость не зависит, так как свободные заряды находятся
только иа внешней поверхности проводника. Следует заметить, что С не зависит также
ни от заряда проводника, ни от его потенциала, если окружающая среда не обладает
сегнетоэлектрическими свойствами. Это совершенно не противоречит соотношению
(16.9), так как оно эквивалентно (16.8') и, подобно ему, показывает, что потенциал
уединенного проводника пропорционален его заряду и обратно пропорционален элект-
роемкости.
4.	В качестве примера найдем электроемкость уединенного проводящего шара (или
зферы) радиуса R, находящегося в однородной, изотропной среде с относительной
^электрической проницаемостью £. Если заряд шара равен д, то напряженность его
поля вне шара, т. е. на расстояниях от его центра R, как показано в § 15.4 (пример 1),
E,= g/(4H££ftr2). Соответственно потенциал шара
я
гл е>.
q>= — I Егаг=
J 4я££0Я
Таким образом, электроемкость шара
С=4лр:0Л.
(16.10)
‘Предполагается, что <р=0 в бесконечно удаленной точке.
221
5.	Выясним, как должна изменяться элект-
роемкость проводника при нарушении усло-
вия его уединенности, т. е. при приближении
к иему другого, незаряженного, проводника.
Будем ради простоты считать, что проводник
имеет форму шара. Если этот шар А уединен-
ный, то его заряд q равиомерио распределен
□о поверхности (рис. 16.5, а) и напряженность
поля в точке М равна Ег=д/(4яее(/3)- Поме-
стим теперь справа от шара А незаряженный
проводник В. Под действием поля шара
А в проводнике В произойдет перераспреде-
ление свободных носителей заряда: на ближ-
Рис 16 5	нем к шару А конце проводника В индуциру-
ется поверхностный заряд противоположно-
го q знака (рис. 16.5, 6), а на дальнем конце — одноименного с q знака. Перерасп-
ределяется по поверхности шара А и заряд q так, чтобы скомпенсировать внутри шара
А поЛе зарядов, индуцированных на теле В. В результате перераспределения зарядов
в проводниках А а В напряженность поля в точке М уменьшается: E'r<Er= q^iety1).
Это соотношение справедливо для всех точек, лежащих на прямой ОМ слева от шара
А. Поэтому потенциал неуединенного шара
,	f	Г'А	f	4	4
<р - I Егаг< I------- =>--- =- = ф.
J	J Аяеедг2	4я«оЛ	С
я	я
Здесь ф и С потенциал и электроемкость уединенного шара. Так как <p'*=q!C', где
С электроемкость неуедииеиного шара, то
ОС.	(16.11)
Этот результат проявление общего правила: электроемкость неуединенного про-
водника всегда больше электроемкости того же проводника, когда он уединен.
§ 16.3.	Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы
1.	Рассмотрим систему, состоящую из двух проводников, заряды которых численно
равны, но про 1 ивоположны по знаку. Обозначим разность потенциалов проводников
Ф1~ Ф2> а абсолютное значение их зарядов q. Если проводники находятся вдали от
каких бы то ни было заряженных тел и иных проводников, то, как показывают и теория
и эксперименты, разность потенциалов <pi~q>2 пропорциональна заряду q, т. е.
Ф1—ф2=д/С.
(16-12)
Скалярная величина С, равняя абсолютному значению отношения электрического
заряда одного проводника к разности электрических потенциалов двух проводников
при условии, что эти проводники имеют одинаковые по модулю, ио противоположные
по знаку заряды и что все другие проводники бесконечно удалены, называется взаимной
электрической емкостью двух проводивши (электрической емкостью между двумя про-
водниками):
Я
Ч>1~Ч>2
(16.129
Взаимна» электроемкость С двух проводников зависит от их формы, размеров,
взаимного расположения, а также от диэлектрических свойств окружающей среды.
Если среда однородна, изотропна и заполняет все поле, то С прямо пропорциональна
222
относительной диэлектрической проницаемости среды. При удалении одного из про-
водников в бесконечность разность потенциалов проводников возрастает, а их
взаимная электроемкость уменьшается, стремясь в пределе к емкости оставшегося
уединенного проводника. В этом мы убедимся дальше на примере сферического
конденсатора
2.	Особый практический интерес представляет система из двух проводников, форма
и взаимное расположение которых таковы, что электростатическое поле этих провод-
ников при сообщении нм равных по абсолютному значению и противоположных по
знаку электрических Зарядов полностью или почти полностью локализовано в ограни-
ченной области пространства. Такая система двух проводников называется конден-
сатором, а сами проводники — обкладками конденсатора. Электрическая емкость кон-
денсатора предотавляет собой взаимную электрическую емкость его обкладок. Найдем
электрические емкости конденсаторов простейших типов — плоского, сферического
и цилиндрического.
3.	ПлооцА конденсатор состоит из двух параллельных металлических пластин площа-
дью S каждая, расположенных на близком расстоянии d одна от другой. Заряды
пластин 4>0 и —д. Если линейные размеры пластин велики по сравнению с d, то
электростатическое поле между пластинами можно считать таким же, как поде между
двумя плоскостями, заряженными разноименно с поверхностными плотностями заря-
дов a=q}S и — а. Из примера 2, рассмотренного в § 15.4, видно, что поле плоского
конденсатора локализовано в пространстве между сто обкладками. Если ось ОХ
проведена перпендикулярно пластинам конденсатора в направлении от положительно
заряженной пластины I (xi=0) к отрицательно заряженной пластине 2 (x2=d), то
напряженность поля конденсатора между пластинами
Е,=— (0<x<d),
««о
где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конден-
сатор. Так как
<U>	_ а
—™ — £х= ,
ах	Од
то разность потенциалов пластин
о f	ad	qd
Ф2~Ф1“------dx=-------«------.
«0 J	uq	mqS
0
Таким образом, электрическая емкость плоского конденсатора
Я apS
9i~91	d
(16.13)
Формула (16.13) справедлива только при малых значениях расстояния d между
ттасп'й'яям'и (d«. -JS), когда можно пренебречь нарушением однородности электроста-
тического поля у храев пластин.
4.	Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металлических обкладок
/ и 2 сферической формы, радиусы которых соотвегстасно равны R\ и Я2>Я1. Пусть
5>0 — заряд обкладки 1, а —д — заряд обкладки 2. В примере 1 § 15.4 показано, что
равномерно заряженная сфера создает электростатическое поле только в области
пространства вне этой сферы. Вне наружной обкладки поля разноименно заряженных
обкладок взаимно уничтожаются, а поле внутри конденсатора, т. е. между обкладками,
создается только зарядом д внутренней обкладки. Напряженность поля в конденсаторе
ваправйена радиально: Е^Ег, причем
223
Алегог2
где с — относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конден-
сатор. Так как
dg»	д
—— ~£г=-----------.
dr	4ле^г2
то разность потенциалов обкладок
Л»
д Г dr д /1	1 \
92—9t—~~—	—Тг
4n££o j г 4льЕа \Ai Л1/
Электрическая емкость .сферического конденсатора
0	4»6«0	4П££()Я1Я2
С~ =----------------= ------(16.14)
ф|—92 1/Л1 —l/Яг R2—Ri
При R2-*ao конденсатор превращается в уединенную сферу радиуса Ri, а элект-
рическая емкость конденсатора приближается по значению к электрической емкости
уединенной внутренней обкладки С, =4я££оЯ|. При любом конечном значении R2 элект-
рическая емкость сферического конденсатора больше электрической емкости одной
уединенной его внутренней обкладки. Если R2—Ri=d<c:Ri, то из формулы (16.14)
следует, что С &&&$№, где S=*4nR J — площадь внутренней обкладки.
5.	Цнляндрмчесюн конденсатор состоит из двух соосных тонкостенных металлических
цилиндров высотой Л и радиусов Rt и Л2>Я1, вставленных друг в друга. Пусть заряд
внутренней обкладки радиуса Rt д>0, а внешней — д. Если h»(Ri и Kj), то, пренеб-
регая искажениями поля вблизи краев конденсатора, можно приближенно считать, что
поле конденсатора такое же, как поле двух соосных ципундроа бесконечной длины,
заряженных с линейными плотностями зарядов х—g/h и — т. Внутри конденсатора поле
создается только внутренней обкладкой. Из (15.23) и (14.13), где <т=т/(2яЛ1)=д/(2лА1Л),
следует, что напряженность поля в диэлектрике с относительной диэлектрической
проницаемостью £, заполняющем поле между обкладками конденсатора (Ri^r^R^),
равна Ег= д/(2юе^1г). Так как
' dtp	<7	1
то разность потенциалов обкладок конденсатора
я,
Ч f dr д R2
92~9i~--------1 —='--------—	“
2лмоА J г 2л££оЛ Ri
Электрическая емкость цилиндрического- конденсатора
q 2rt£eo^
91-92 1п(Я2/Я1)
(16.1
224
Если зазор между обкладками конденсатора d=‘(R2—Ri)<cR1, то Ш №/*»)=
=ln (1 +dlRi)fstti/Ri и Ckz£qSI<1, где S^2xR{h — площадь внутренней обкладки.
6.	Из формул (16.13) — (16.15) видно, что электроемкость конденсатора, заполнен-
ного однородным диэлектриком, пропорциональна относительной диэлектрической
проницаемости с этого диэлектрика.
Конденсаторы характеризуются нс только их электрической емкостью, но также
еще пробивным напряжением (шпрптнирн пробоя) — такой мнил мяльной разностью
потенциалов обкладок, при которой происходит электрический разряд через слой
диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы и размеров
обкладок и от свойств диэлектрика.
7.	Для получения батареи конденсаторов, имеющей большую электрическую емкость,
конденсаторы соединяют в батарею параллельно (рис. 16.6). Все конденсаторы такой
батареи заряжаются до одной и той же разности потенциалов Дф клемм батареи. Если
Ct — электрическая емкость i-ro конденсатора, ап — общее число конденсаторов
в батарее, то заряд Аго конденсатора qi=QAq>, а заряд всей
батареи равен сумме зарядов всех конденсаторов:	_
____|р
X с»Дф = Дф £ С-	'	|
С другой стороны, д(ф=С1цДф, где — общая электроем-	2
кость всей батареи. Таким образом,	ц
c^ic-	Рис J
, .	гИС. 10.0
i" 1
При параллельном соединении конденсаторов их общая электрическая емкость
равна сумме электрических емкостей всех конденсаторов, входящих в бдтарею.
Пробивное напряжение такой батареи равно пробивному напряжению того из
конденсаторов в батарее, у которого оно наименьшее.
В.	При последовательном соединении конденсаторов в батарею (рис. 16.7) заряды всех
конденсаторов одинаковы и равны заряду q батареи. Разность потенциалов Дф клемм
батареи равна сумме разностей потенциалов на каждом из конденсаторов порознь:
Дф=£ (Дф)(=£ ~^=q £1.
i—1	*	/! ''i
С другой стороны, tup-qlC^, где Сж — электрическая емкость батареи. Таким
। образом,
(16.17)
При последовательном соединении конденсаторов величина, обратная электричес-
ки емкости батареи, равна сумме величин, обратных электрическим емкостям всех
юнденсаторов, которые входят в батарею.
Электрическая емкость такой батареи меньше наименьшей из электроемкостей Ct.
Преимущество последовательного соединения состоит в том, что на каждый конден-
сатор приходится лишь часть разности потенциалов Дф клемм батареи, чем уменьша-
йся возможность пробоя конденсаторов.
| Если п одинаковых конденсаторов электроемкостью С каждый соединить парал-
кльно (рис. 16.8, с) и зарядить до разности потенциалов Дф, а затем в заряженном
хстоянии соединить их последовательно (рис. 16.8, 6), то на зажимах батареи появится
1
225
r----1
1 i t ।	•	*
Ml-ЧНЧН-ЧН
С/ Cg Cj cn
Рис. 16.8
Рис 16.7
разность потенциалов п А<р. На этом принципе основан высоковольтный импульсный
генератор, позволяющий Получить разности потенциалов порядка нескольких мега-
вольт. Импульсные генераторы Применяются, например, в электротехнике при изуче-
нии кратковременных перенапряжений, возникающих в различных установках под
влиянием грозовых разрядов и других причин.
Вопросы:
1.	Что можно сказать о напряженности и потенциале электростатического поля внутри и у по-
верхности проводника?
2.	Поясните механизм «стекания» зарядов с острия.
3.	Как найти поверхностную плотность пондеромоторных сил. действующих на заряженный
проводник в вакууме?
4.	От чего зависит электрическая емкость уединенного проводника? Как влияет на электроем-
кость проводника приближение к нему другого, незаряженного, проводника?
5.	Объясните принцип действия электростатического генератора.
Глава 17________________________________________
Энергия электрического поля
§17.1. Энергия заряженных проводников и электростатического поля
1. В этой главе мы будем вводу предполагать, что среда, в которой находится
заряженные тела и создано рассматриваемое электростатическое поле, электрически
изотропна и не обладает сегнетоэлектрическими свойствами.
Сообщение проводнику электричестого заряда связано с дп^утенмем работы по
преодолению кулоновских сил отталкивания между одноименными зарядами Эта
работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника. Элемен-
тарная работа SA', совершаемая внешними силами при перенесении малого заряда dq
из бесконечности на уединенный проводник, равна
SA'и р dfl Ср <1ф,
07.1)
где С и ф — электроемкость проводника и его потенциал, начало отсчета которого
выбрано в бесконечно удаленной точке.
Работа, совершаемая при увеличении потенциала проводника от 0 до т. е. при
сообщении проводнику заряда q » Ср, равна
Сф’
Сфбф=—
(17 2)
О
2 =2С~ 2 ‘
(17 3)
2. Аналогично можно найти энергию заряженного конденсатора. Если q — заряд
конденсатора, а Ду>=ф1—рг — разность потенциалов положительно и отрицательно
заряженных его обкладок Z и 2, то для переноса малого заряда dq с обкладки 2 на
обкладку / внешние силы должны совершить работу
SA’^pi-p^dq
(17.1Э
где С — электроемкость конденсатора. Работа внешних сил при увеличении заряда
конденсатора от 0 до q равна
9
(17-2-)
Соответственно электрическая энергия зярнипмпго кяцдокатора
W q* C<Pi-P2)2 у(Ф1-Фа)
'=2С=	2	=	2
(17 4)
227
Учитывал, что конденсатор — это система из двух проводников I и 2, заряды
которых 91 = 9 и д2= ~ 9. перепишем формулу (17.4) в виде
^'*=1/1(91Ф|+929’з)-	(17.4')
В исходной формуле (17.4) фигурирует разность потенциалов <pi — <р2, которая не
зависит от выбора начала отсчета <р. Поэтому будем считать, что начало отсчета
9>i и 9>j в формуле (17.4') находится в бесконечно удаленной точке.
3.	Можно показать, что элопричеасая энергия системы нз л неподвижных заряженных
проводиакав равна
(175)
2 i-i
где 91 — заряд i-ro проводника, a g>t — его потенциал (относительно бесконечно уда-
ленной точки) в электростатическом поле всей системы из л проводников.
В проводнике избыточные заряды распределены по его внешней поверхности,
так что
9i= j" ojdS,
где <rt — поверхностная плотность свободных зарядов на малом элементе поверхности
i-ro проводника площадью dS, а интегрирование проводится по всей эквипотенциаль-
ной внешней поверхности проводника площадью $/. Таким образом, формулу (17.5)
можно переписать в виде
2 1-1 «I
(Si
4.	Электрачеосую энергию любой системы заряженных всподвмжиых тел — провод-
ников и непроводников — можно найти по формуле, являющейся обобщением формул
(17.5) и (17.59-
| 9»dS+^ J <ppdK	(17.6)
(^Мряж)	(И-адрн»}
Здесь аир — поверхностная и объемная плотности свободных зарядов; <р — потенциал
результирующего поля всех свободных и связанных зарядов в точках малых элементов
ДУ и d V заряженных поверхностей и объемов. Интегрирование проводится по всем
заряженным поверхностям тел системы (У-;—.) и по всему заряженному объему (У-,—)
тел системы, изготовленных из диэлектриков.
Основываясь на формулах (17.5) и (17.6), можно трактовать энергию Wt как
потенция льнут энергию системы заряженных тел, обусловленную кулоновскими сила-
ми их взаимодействия. Влияние на энергию системы Wt среды, в которой находятся
тела системы, сказывается в том, что дя»" при неизменном распределении свободных
чярядов значения <Р В разных ДИ1* п^гтритях различны. Например, в однородном,
изотропном диэлектрике, заполняющем все поле, ср меньше, чем в вакууме, в е раз.
Легко видеть, что-из формулы (17.6), в частности, следуют формулы (17.3) и (17.4х).
В самом деле, для уединенного заряженного проводника р=0 и потенциал <р во всех
точках поверхности проводника одинаков, поэтому
22В
I
и;=
2
(£ирвж)	(-SupaiJ
J o’dS=,/i?<P-

Для конденсатора p=0 и
1 Г
1Г,=
2 J
(£цфЯж)
1
tptrdS=^
tfjdS h=7j(9iVi+f2<P2).
где Si и S2 площади обкладок конденсатора.
5.	В качестве примера 'вычислим энергию заряженного плоского конденсатора. Электроемкость
такого конденсатора С “ eeoSfd, а разность потенциалов обкладок tpi—“ Ed, где Е напряжен-
ность однородного поля в конденсаторе. Подставив в (17.4) эти выражения для С и <?>i —<рг,
получим
И;-‘/г«:о£2К	(17 7)
где V=Sd объем поля конденсатора.
Формула (17.7) связывает энергию, затраченную на зарядку конденсатора, с основной харак-
теристикой его электрического поля напряженностью Е. Формулы (17.4) и (17.7) позволяют
дать две различные трактовки энергии Wt. Исходя из (17.4) можно утверждать, что Wt - энергия
системы зарядов на обкладках конденсатора, т. е. что носителями электрической энергии являют-
ся сами заряды. С другой стороны, основываясь на (17.7), можно утверждать, что Й7, энергия
центрического поля конденсатора, т. е. что она распределена по всему объему поля, которое
является ее носителем. Электростатическое поле неотделимо от его источников - неподвижных
электрических зарядов. Поэтому, оставаясь в рамках электростатики, нельзя отдать предпочтение
какому-либо из двух вышеприведенных утверждений относительно локализации энергии Wt
Изучение переменных электромагнитных полей показало, что они могут существовать отдель-
но от породивших их систем электрических зарядов и токов, а их распространение в пространстве
в виде электромагнитных волн связано с переносом энергии. Так было доказано, что электромаг-
нитное поле обладает энергией. Соответственно и электростатическое поле обладает энергией,
которая распределена в поле с объемной плотностью wt. В однородном поле плоского конден-
сатора его энергия Wt должна быть распределена равномерно пО' 'всему объему поля И—Sd.
Поэтому из (17.Т) следует, что объемная плотность энергии электростатического поля плоского
конденсатора
wt^Wtlv^l[j£EoEi^^2ED,	(17.8)
где D=c£qE электрическое смешение.
6.	Выражение (17.8) для объемной плотности энергии электростатического поля справед-
ливо также и для неоднородных полей:
wt=d»;/dr= 4ie£0E1= 42ED.
(17.9)
где dWe энергия малого элемента dR объема поля, в пределах которого величину
и1, можно считать всюду одинаковой.
Докажем это на примере энергии неоднородного поля заряженной проводящей
сферы радиуса R, окруженной однородным, изотропным диэлектриком с относитель-
ной диэлектрической проницаемостью е. Электроемкость проводящей сферы равна
электроемкости проводящего шара того же радиуса и может быть найдена по формуле
(16.10): C=4c£qA. Если заряд сферы равен д, то ее электрическая энергия, согласно
(17.3), равна

(17.10)
229
Напряженность поля заряженной сферы, как показано в § 15.4 (пример 1), равна
нулю внутри сферы, а вне ее, т. е. на расстояния от ее центра r^R направлена
радиально, причем E^qK^xu^1). Объемная плотность энергии поля сферы
'еаоЕ2	q1
W‘~~ 2 = 2 -З2я3ио/’
Из этого выражения видно, что объемную плотность энергии поля можно считать
одинаковой в пределах тонкого шарового слоя, концентричного заряженной сфере
и ограниченного сферическими поверхностями, радиусы которых равны г и г+ог.
Объем этого слйя бИ=4яга<1г, а энергия электростатического поля в нем
a1 dr
d»;=w,	—-----.	(17.11)
8Л££о Г3
Энергию всего поля заряженной сферы найдем путем интегрирования выражения
(17.11) по г от Л до со:
f q1 dr q2
Wt= I--------=
J 8*£co г3 впио-R
я
Это значение энергии совпадает с (17.10), что может служить подтверждением
применимости выражения (17.9) для расчета энергии как однородного, так и неод-
нородного электростатического роля:
f и^Е1 f DE
Wt= | — dP= — dK	(17.12)
(Июм)	(Июл)
7.	В заключение заметим, что формулы (17.5) и (17.6) пригодны только для потенци-
альных электростатичсскйх полей неподвижных заряженных тел. Для переменных
непотенциальных электрических -полей понятие потенциала <р и построенные на его
основе выражения (17.3) — (17.6) для энергии лишены смысла. Между тем эти поля
обладают энергией, которую можно найти, пользуясь универсальной формулой (17.12).
§ 17.2.	Энергия поляризованного диэлектрика
1.	Процесс поляризации диэлектрика в электрическом поле связан с затратой энергии.
При электронной поляризации силы поля совершают работу растяжения молекул —
упругих диполей, а при ориентационной поляризации силы поля совершают работу по
повороту в поле электрических моментов молекул — жестких диполей. Поэтому ясно,
что поляризованный диэлектрик обладает энергией, которая распределена по его
объему с некоторой объемной плотностью Из формулы (17.9) следует, что
объемная плотность энергии электростатического поля в вакууме (е= 1)
(17.13)
При той же напряженности Е поля в диэлектрической среде объемная плотность
энергии поля в е раз больше, чем в вакууме:
w^'/tenoEl	(17.14)
)
Поэтому	плотность энерпш поляризованного днэлектрмса
*»<«.«)= 71 (£- 1)во£а = х11Х£оЕг= Х!1РЕ,
(17.15)
230
гдЬ р*деоЕ — поляриэованносгь диэдектрика, а х—е-*-1 — его диэлектрическая восп-
ришливость
2.	Докажем справедливость формулы (1715) на примере электронной поляризации
диэлектрика с неполярными молекулами — упругими диполями Связь между элект-
рическим моментом р, упругого динода, индуцированным полем, и напряженностью
Е выражается формулой (15.2) р,—исоЕ, где а — поляризуемость молекулы Тах как
р,—gl, где 1 — плечо диполя, a q> 0 — его положительный Заряд, то
1-авоЕ/д.	(1716)
При увеличении плеча диполя на dl сила F»gE, действующая со стороны поля на
заряд g диполя, совершает элементарную работу iA^qtdL Из (17 16) видно, что
dl»(a£0/g)dE Поэтому
&A—q — EdE^oe^EdE
Я
Интегрируя это'выражеяие по Е от 0 до Е, найдем работу сил поля при деформации
одного упругого диполя.
Итжомая объемная плотность энергии равна сумме работ по деформации всех
во молекул, содержащихся в единице объема диэлектрика:
“ Ч&Р&- 'КЕЕ,
так как полярмзованность дд^пудтриж» с неполярными молекулами Р>ж>вд.
§ 17.3	. Закон сохранения энергии для электрического поля
1.	Энергия W, электрического поля какой-либо системы заряженных тел (проводников
и диэлектриков) изменится, если теш системы	в также если изменяют-
ся их заряды. При этом совершают работу внешние силы, приложенные к телам
Системы, и источники злехтркчехжой энергии (аккумуляторные батарея, генераторы
тока н т. п.), подключенные к проводникам системы. Возможен также теплообмен
между системой и внешней средой. Выделяя энергию мы представим полную
энергию рассматриваемой системы в виде Ж» Wt+ W,+ U, где Wt — кинетическая
энергия механического движения тел системы, в U — та часть внутренней энергии
системы, которая не связана с злсктричесхим полем осстемы Энергия U включает
в себя энергию теплового движения молекул, энергию их взаимодействия и т п
Для малого тигажид состояния шетемы заряженных теп имеем, согласно закону
сохранения и превращения энергии,
dlP,+dlPB+dl/-6A'+&4)u*>+«fi.
(1717)
Здесь &А' — работа внешних сил, действующих на тела системы; ДА... — работа
источников электрической энергии в системе; 6Q — количество теплоты, сообщаемое
системе извне.
X Будем считать, как это обычно бывает, что в рассматриваемых процессах тем-
пература системы поддерживается постоянной, a «ww™» плотности диэлектриков
и теплота, шлу-птпудиед или поглощающаяся в них дои изменении их поляризован-
ное™, пренебрежимо малы. В таком случае можно считать, что dl/»O и 6Q“ — 6Qa_n,
т е. что от системы отводится только теплота Джоуля — Ленца, которая выделяется
электрическими токами, связанными с перераспределением зарядов в проводниках
231
системы. Подставив эти значения d(7 и 3Q в уравнение (17.17), получим следующее
выражение mvpAgm энергии:
<1И^+<1И^+5Дд_л=ЙЛ/+ЙЛн.эЭ.	(17.18)
3.	Если перемещение тел системы производится квазистатически, т. е. очень медленно,
то можно, во-первых, пренебречь изменением кинетической энергии системы (d!F,=0)
и, во-вторых, считать работу внешних сил ЗА равной и противоположной по знаку
работе ЗА, совершаемой силами, которые действуют на тела системы в электрическом
поле и, как уже говорилось выше, называются пондеромоторными силами. В таких
случаях закон сохранения энергии (17.18) можно переписать в форме
ЛЛилл.=<1И;+<5Л+<5ед_л.	(17.19)
Работа источников электрической энергии за малый промежуток времени dr равна
к	к
<5ЯИ^ - £	bJidt,
t-i	t-i
где к — общее число источников электрической энергии в системе; 3, — эщ.с. i-ro
источника; dg( — заряд, проходящий через этот источник за время dr; It=dqjdt — сила
тока в источнике. Работа £j/,dr>0, если ток Ц идет внутри источника от катода
к аноду.
Выражение закона сохранения энергии для квазистатического изменения состояния
системы тел, в которой заряд каждого из проводников ие изменяется и ие перерасп-
ределяется, так что 6ЛИАЭ.=О И ЗСд_л=О:
dWt+3A=0.	(17.20)
Это соотношение можно использовать для отыскания пондеромоторных сил на основе
расчета изменения энергии электрического поля системы.
4.	Рассмотрим в качестве примера расчет сил, действующих на пластины заряженного
плоского конденсатора, расстояние между пластинами которого	тле S — пло-
щадь пластины.
Конденсатор заряжен и отключен от источника электрической энергии, так что
заряд конденсатора q-cSa const, где <г — поверхностная плотность зарядов. При
увеличении расстояния,между пластинами на dx поцдеромоторная сила F, приложен-
ная к перемещающейся Пластине, совершает работу ЗА— —Fix. Изменение энергии
электростатического поля в конденсаторе dB/,=H,,5'dx, где we — объемная плотность
энергии поля в прилегающем к пластине слое толщиной dx. Таким образом, из закона
сохранения энергии (1720) следует, что пондеромоторная сила равна
F~w,S.	(1721)
Возможны два случая:
1)	между пластинами конденсатора находится газообразный или жидкий диэлект-
рик;
2)	между пластинами конденсатора находится твердый диэлектрик.
В первом случае все пространство между пластинами конденсатора независимо от
расстояния между ними заполнено одним и тем же диэлектриком с относительной
диэлектрической проницаемостью е. Следовательно,
(17.22)
/’-<та5Г/(2м0)=/’“/£,
232
где F — сила, действующая на пластину этого же конденсатора при том же значении
а, но только в отсутствие диэлектрика, т. е. в вакууме.
Во втором случае в слое толщиной dx, образовавшемся в результате отодвигания
пластины конденсатора, находится воздух, относительная диэлед i рическая проница-
емость которого равна единице. Поэтому
ео(Е’“)3/2=(г2/(ад,
F=<r* iS/(2e0) = FB“
(17.229
5.	Независимость сил взаимного при 1 мления пластин заряженного плоского конден-
сатора с твердым диэлектриком от диэлектрической проницаемости е последнего
понятна: напряженность поля плас 1 ин зависит от е (уменьшается в е раз по сравнению
с напряженностью Е*" поля в вакууме) только внутри диэлектрика, а пластины
конденсатора находятся вне диэлектрика, где напряженность поля равна Однако
эти рассуждения в равной мере применимы и к конденсатору с жидким или газообраз-
ным диэлектриком. Поэтому специального обсуждения требует соотношение (17.22),
получающееся в этом случае из закона сохранения энергии. Нужно понять механизм
уменьшения силы взаимного притяжения пластин конденсатора при заполнении его
жидким или газообразным диэлед 1 раком.
У краев плоского конденсатора его электростатическое поле неоднородно: его
напряженность быстро уменьшается по мере удаления от края пластин конденсатора
вовне. На молекулы-диполи жидкого или газообразного диэлектрика, находящиеся
в таком сильно неоднородном поле, действуют сиды, которые втягивают эти диполи
в область более сильного поля, т. е. внутрь конденсатора. Поэтому в согласии
с законом Паскаля давление р диэлектрика внутри заряженного конденсатора больше,
чем атмосферное давление ро вне конденсатора. Следовательно, результирующая сила
_	_В«Ж	___ ___________________
F притяжения пластин меньше силы F их кулоновского притяжения на величину
гидростатической силы (р — p0)S:
F=FB“-(p-po)S.
Закон сохранения энергии позволил найти силу F, а следовательно, и (р—ро), нс
вникая во внутренний механизм влияния диэлектрика на F.
Вопросы:
1. Как найти электрическую энергию системы заряженных тел (проводников и непроводников)?
Где локализована эта энергия?
L Выведете выражение для объемной плотности энергии электрического поля.
3. Дайте качественное объяснение уменьшения силы взаимного притяжения пластин заряжен-
ного плоского конденсатора при погружении его в жидкий диэлектрик.
Глава 18_____________________________________,
Классическая электронная теория
электропроводности металлов
§ 18.1.	Электрический ток и его характеристики
1.	Электра женим томим называется упорядоченное движение заряженных частиц или
заряженных макроскопических тел.
Различат два вида электрических токов: токи проводимости и конвекционные токи.
Электрнческкм током проиодаиостя называется упорядоченное движение в веществе
или вакууме свободных заряженных частиц - носителей тока. Примерами таких токов
могут служить электрические токи в металлах, электролитах, ионизованных газах,
плазме, полупроводниках, пучки электронов или ионов в вакууме.
Конвекционным электрическим током (электрическим током переноса) называется
электрический ток, осуществляемый движением в пространстве заряженного макроско-
пического тела. Например, движущаяся заряженная лента электростатического генера-
тора, изготовленная из диэлектрического материала (см- 5 16.1), образует конвекцион-
ный ток.
За направление электрического тока условились принимать направление движения
положительных зарядов, образующих этот ток. Если в действительности Движутся не
положительные, а отрицательные заряды (например, электроны проводимости, об-*
ратующие электрический ток в металлическом проводнике), то направление элект-
рического тока считается противоположным направлению движения отрицательных
зарядов.
2.	Ток проводимости возникает под действием электрического поля. При этом равно-
весное (электростатическое) распределение зарядов в проводнике нарушается, а его
поверхность и объем перестают быть эквипотенциальными. Внутри проводника появ-
ляется электрическое поле, а касательная составляющая напряженности электрического
поля у поверхности проводника Электрический ток в проводнике продолжается
до тех пор, пока все точки проводника не станут эквипотенциальными.
Из сказанного ясно, что для осуществления в среде тока проводимости необходимо
выполнение следующих двух условий: по-первых, в среде должны быть носители тока
и, во-вторых, в ней должно существовать электрическое поле.
Носителями тока в металлах являются электроны проводимости, в электроли-
тах положительные и отрицательные ионы, в газах и плазме — ноны и электроны,
в полупроводниках электроны проводимости и дырки.
Для поддержания тока необходим источник электрической энергии — устройство,
в котором осуществляется преобразование какого-либо вида энергии в энергию элект-
рического тока.
3.	Силой тока (или просто током) называется скалярная физическая величина /, равная
отношению заряда dq, переносимого при электрическом токе сквозь рассматриваемую
поверхность S за малый промежуток времени, к длительности dr этого промежутка:
/=dg/dr.	(18.1)
В случае тока проводимости в какой-либо электрической цепи под поверхностью
S понимают поперечное сечение проводника.
Электрический ток называется mu I ням ни, если его направление и сила тока не
изменяются с течением времени. Для постоянного тока
/=<?//,	(18.13
234
где q — заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность за конечный проме-
жуток времени г.
Для постоянства электрического тока проводимости необходимо, чтобы напряжен-
ность электрического поля во всех точках проводника, по которому идет этот ток,
сохранялась неизменной. Поэтому заряды нс должны накапливаться или убывать
где-либо в проводнике, по которому идет постоянный электрический ток. В противном
случае изменялось бы электрическое поле этих зарядов. Указанное условие означает,
что цепь постоянного тока должна быть замкнутой, а сила тока — одинаковой вд'всех
ЛЮИСрСЧШ>йл. ССЧОЪЛМХ ЦС£111*
4.	Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменным
электрическим током. Электрический ток называется периода чесжям, если его значения
повторяются через равные промежутки времени.
Наименьший промежуток времени Т, по истечении которого происходит это повто-
рение, называется периодом элаприческсго тока. В электротехнике получил очень
широкое распространение синусоидальный электрический Ток — периодический пере-
менный электрический ток, являющийся синусоидальной функцией времени. Мгновен-
ное энпеняе силы синусоидального тока, т. е. ее значение в момент времени г равно
I— /0 sin (tot+<ра).	08.2)
Здесь /0 — максимальное возможное значение /, называемое амплитудой тока (силы
тока); а>=2п/Т— круговая (угловая) частота тока; шг+ф0 — фаза тока; --ВАЧАЛЬ*
вм фаза (фаза в начальный момент времени /=0). Половину периода синусоидальный
ток вдет в одном направлении (/> 0), а другую половину периода — в обратном
направлении (/< 0).
Периодический переменный электрический ток, направление которого не изменяет-
ся, называется пульсирующим. Такой ток получается, например, при выпрямлении
синусоидального тока с помощью лампового или полупроводникового выпрямителя.
S. Для характеристики направления электрического тока в разных точках рассмат-
риваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхности вводится вектор
плотности тока.
Плотностью элмири ческою токи проводимости называется вектор J, совпадающий
с направлением электрического тока в рассматриваемой точке и численно равный
отношению силы тока d/ сквозь малый элемент поверхности, ортогональной направле-
нию тока, к площади dSj. этого элемента*
j=d//dS±.	(18.3)
Если малый элемент поверхности площадью dS расположен так, что нормаль
в к этому элементу составляет с вектором плотности тока угол а, то сила тока сквозь
участок поверхности dS равна
d/=jdSx=jdScosa=JndS=JdS,	(18.4)
где dS=ndS — вектор малого элемента поверхности; п — единичный вектор нормали.
Из (18.4) следует, что сила электрического тока через произвольную поверхность
S равна потоку через эту поверхность вектора плотности тока:
1= j jdS=p„dS,	(18.5)
(S)	(J)
где j„ - проекция плотности тока на нормаль п.
Опыты показали, что плотность постоянного электрического тока одинакова по
сему поперечному сечению S однородного проводника. Поэтому для постоянного
той в однородном проводнике с поперечным сечением S сила тока
(18.5')
233
Из (18.S') н постоянства значения / во всех участках цепи постоянного тока следует,
что плот нос 1 и постоянного топ в различных поперечных сечениях 1 и 2 цепи обратно
пропорциональны площадям Si и л? этих сечений".
h’Ji=Si :S2.
Пусть S — замкнутая Поверхность, а векторы dS всюду 'проведены по внешним
нормалям п. Тогда поток вектора j сквозь эту поверхность S равен электрическому току
/, идущему вовне из области, ограниченной замкнутой поверхностью S. Следователь-
но, в согласии с законом сохранения электрического заряда суммарный электрический
заряд д, охватываемый поверхностью S, изменяется за время dr на dg= —/dr, т. е.
dr'
(18.6)
(S)
Уравнение (18.6) называется уравнением неразрывности. В случае постоянного тока
заряд д = const н
<£jdS=O.	(18.6')
(S)
§ 1В.2. Опытные доказательства электронной проводимости металлов
1.	Рассматривая металлические проводники, мы считали, что их электропроводность
объясняется тем, что в них имеются свободные электроны — электроны проводимо-
сти. Эго предположение было экспериментально подтверждено в опыте К. Рикке.
Опыт. Через цепь, состоящую из трех последовательно расположенных цилиндров: медного,
алюминиевого я снова медного,— пропускался элекгрический ток в течение очень долгого
времени (порядка года). В общей сложное!и через цилиндры прошел заряд 3,5 МКл. Однако
никаких следов переноса вещества (меди или алюминия) не было обнаружено. Отсюда следовало,
что электропроводность металлов обусловлена шремыцышем таких заряженных частиц — сво-
бодных носителей заряда, которые являются общими для всех металлов и не связаны с различием
ил физических я х^зз^н^^есжИл сво^йст^в.
2.	Для изучения природы свободных носителей заряда в металле можно осуществить
следующий опыт.
Опыт. Металлический стержень С длиной I движется поступательно со скоростью vg (рис
18.1, а). В результате взаимодействия с кристаллической решеткой носители заряда в проводнике
также движутся со скоростью т0. Предположим тетерь, что стержень резко тормозится и при
торможении замыкается с помощью неподвижного проводника В на гальванометр G (рис. 18 1, б)
Носители заряда, не связанные жестко с кристаллической решеткой стержня С, продолжают
двигаться в прежнем направлении до тех пор, пока вся энергия их упорядоченного движения не
израсходуется на выделение в цепи теплоты Джоуля — Ленца. Поэтому в цепи пойдет кратко-
временный ток, который можно обнаружить с помощью гальванометра G. По направ/жнию этого
тока можно судить о знаке заряда носителей тока в металлическом стержне С.
Этот опыт позволяет также найти очень важную характеристику носителя тока —
его удельный заряд q/m, где д — заряд носителя тока, ат — его масса. В самом деле,
по закону Джоуля — Ленца, работа, со-
вершаемая током / за время dr в цепи
q Vo_	р _ с сопротивлением Я,
гЛ=Гяаг. (18.7)
1-	I-----(Т)-------1
х.	Эта работа совершается вследствие
а)	убыли кинетической энергии упорядо-
ченного движения носителей тока в сте-
Рис. 18.1	ржие С:
236
<54=-Xd
= — nolSmv de,
(18.79
где N число носителей тока в стержне; е скорость их упорядоченного движения
в момент времени г; S площадь поперечного сечения стержня; л0 концентрация
носителей тока в стержне. Плотность тока в стержне равна
J=l9|no®,
поэтому сила тока в стержне и во всей остальной части цепи /= |?| novS. Подставив это
выражение в (18.7), получим
<5 А = |?| n0vS/J/dr=|9| novSRdQ,	(18.7")
где dQ = fdr	заряд, проходящий через гальванометр за время dr. Приравнивая
правые части уравнений (18.79 и (18.7") и сокращая общие множители, находим
|д| RdQ = —mldv.
Интегрируя это уравнение по v от t>0 до 0, получим общий заряд Q, проходящий через
гальванометр при торможении стержня:
mho
Q~\4\R'
откуда
Id _ fon
т RQ
(18.8)
Удельный заряд является важной характеристикой элементарных частиц, так как по его
величине легко отличить друг от друга разные частицы, имеющие одинаковые заряды
(например, электроны от отрицательно заряженных мюона, пиона и др.).
3.	Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси провели (1913) следующий опыт.
Опыт. Концы провода, намотанного на катушку, были подключены к неподвижной телефон-
ной трубке. При быстрых крутильных колебаниях катушки вокруг ее оси В цепи появлялся
переменный ток, вызывавший треск в телефонной трубке. Знак и значение заряда носителей тока
в проводе в этом опыте не определялись.
Т. Стюарт и Р. Толмен усовершенствовали (1916) схему опыта, заменив телефон
чувствительным гальванометром. Было показано, что носители тока в металле заряже-
ны отрицательно. Удельный заряд этих частиц оказался приблизительно одинаковым
для всех исследованных металлов и близким к удельному заряду электрона, равно-
му 1,76 10” Кл/кг. Таким образом было экспериментально доказано, что носи-
телями тока в металлах действительно являются электроны.
§ 1В.З.	Основы классической электронной теории
электропроводности металлов
1.	Высокая электрическая проводимость металлов в жидком и твердом состояниях (в
газообразном состоянии металлы не проводят электрический ток, если только газ не
ионизован) обусловлена огромной концентрацией в них носителей тока 'электронов
проводимости. В классической теория IL Друдс — X. Лоренца электроны проводимости
рассматриваются как электронный газ, обладающий свойствами одноатомного иде-
ального газа. Концентрация электронов проводимости в одновалентном металле
порядка числа атомов в единице объема:
237
где Хд постоянная Авогадро; А — атомная масса металла; D — его плотность. По
порядку величины по» 10й —102’ м~3.
В отсутствие электрического поля электроны проводимости хаотически движутся
и сталкиваются с ионами металла, которые, в свою очередь, совершают беспорядочные
тепловые колебания около положений равновесия — узлов кристаллической решетки.
Считается, что средняя длина свободного пробега электронов должп быть поряд-
ка расстояния между узлами решетки металла, т. е. <А)~10"’° м.
Средняя кине 1 и чесдая энергия теплового движения электронов
где т — масса; v„ средняя квадратичная скорость электронов. При температуре
Т=273 К	м/с. Средняя арифметическая скорость <и) теплового движения
электронов имеет значение такого же порядка.
2.	Электрический ток в металле возникает под действием электрического поля, кото-
рое вызывает упорядоченное движение электронов проводимости — их дрейф в напра-
влении, противоположном направлению вектора Е напряженности поля. Плотность
тока
]=-л^<т>,	(18.9)
где пв - концентрация электронов проводимости; — е — заряд электрона; — сред-
няя скорость дрейфа электронов. При самых больших значениях плошоои тока
в проводах, допускаемых правилами техники безопасности, скорость (у) имеет по
формуле (18.9) величину порядка 10" 3 м/с. Таким образом, скорость дрейфа электро-
нов в металлах ничтожно мала по сравнению со средней скоростью (и) их теплового
движения. Это объясняется Малостью средней длины свободного пробега электронов
между двумя последовательными столкновениями с ионами металла.
3.	В классической электронной теории предполагается, что при соударениях с ионами
электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения. Уравнение движе-
ния электрона в процессе свободного пробега имеет вид
<Ь
т —^еЕ,
At
где Е напряженность электрического поля в проводнике. В процессе свободного
пробега электроны движутся равноускоренно. Поэтому средняя скорость их упорядо-
ченного движения	где — средняя скорость электрона, приобрета-
емая под действием электрического поля на длине свободного пробега. Интегрируя это
уравнение движения электрона по времени от 0 до <т) (средняя продолжительность
свободного пробега электрона), получаем
<•«>“*£<*>/"»
(1В.10)
<я>-еЕ<т>/(2л1).
Электроны одновременно участвуют также в тепловом движении. Пренебрегая, как это
делал Друде, стат нш ичесжим распределением электронов проводимости по скоростям
их теплового движения, будем считать, что модули скоростей всех электронов в этом
движении одинаковы и равны <и>. Тогда, учитывая, что (я)«к (и), можно определить
Среднее время свободного пробега электронов по формуле
<т> = <2>/<и>,
238
где (Л) — средняя длина свободного пробега электронов. Подставим это выражение
в формулу (18.10) для <»>:
<t->=e<2>E/(2m<u>).	(18.1(У)
Из (18.9) и (18.10') следует, что плотность тока проводимости в металле
^п^^ЕКЪп^иУ).
Величину
у=Пое*<Л>/(2т<ы»	(18.11)
называют удельной элкнгрвчилий проводимостью, а обратную ей величину р=\!у —
удельным электрическим conpoiявлением проводника. Следовательно,
>у£=- Е
Р
или, учитывая, что векторы J и Е сонаправлены,
j=yE=- Е.	(18.12)
Р
Уравнение (18.12) выражает закон Ома для плотности тока:
плотность тока проводимости равна произведению удильной
электрической проводимости проводника не напряженность
электрического поля я проводнике.
Этот закон часто называю! также законом Ома в дифференциальной форме.
4.	Рассмотрим превращение энергии, происходящее при Соударениях электронов с ио-
нами кристаллической решетки. В конце свободного пробега каждый электрон теряет
скорость упорядоченного движения, приобретенную им под действием электрического
поля за время свободного пробега. При этом энергия упорядоченного движения
электронов преобразуется во внутреннюю энергию проводника, нагревающегося в про-
цессе прохождения по нему электрического тока. На длине свободного пробега элект-
рон увеличивает свою кинетическую энергию под действием злеятрического поля на
величину
Д И7,=’/лт (в+к^.)* — '1гтиг=т	+ '/,пн>?_.
где в — скорость теплового движения электрона во время свободного пробега,
а г.—- — скорость упорядоченного движения электрона перед ударом о ион. Из-за
беспорядочности теплового движения ((ятмаа))»0. Поэтому средняя энергия, сообща-
емая электрическим полем электрону и передаваемая им иону решетки при столкнове-
нии,
<ДИг>«’/2т<^>.
Пренебрегая различием между и (гМПс>2, будем считать, что
<AFHs> = ,/2m<®M«e>2-	(18.13)
В единице объема проводника имеется ло электронов проводимости, каждый из
которых испытывает ежесекундно в среднем столкновений с ионами металла.
Следовательно, энергия тока, преобразующаяся во внутреннюю энергию в единице
объема проводника за 1 с, равна
239
<u) m
W“n° э <®—> •	(18.14)
\Az •
Величину w называют объемно* плотностью тепловой мощности топ. Заменяя
<»мис> по формуле (18.10), где —	получаем
w^rtae1 Е2/(2т(и»	(18.15)
или
н’=»уЕ'2.	(18.16)
Это уравнение выражает засов Джоуля — Ленца для плотности тепловой мощности
тока (его часто называют законом Джоуля — Ленца в днфф| |» нцпп ш ной форме):
объемная плотность тепловой мощности тока в проводника
равна проиэведвпию его удельной электрической проводимо-
сти на квадрат напряженности влек|ричнекого поля я провод-
нике.
Закон Джоуля — Ленца можно также переписать в форме
w=JE=-f=pj2.	(18.169
7
5.	Немецкие физики Г. Видеман и Р. Франц на основе экспериментов установили
(зеков Видгмана — Франца) (1853), что
для веек яюталлов при одной и той же температуре отношение
теплопроводности JT к удельной электрической проводимости
у одинаково:
Wy)=c.
(18.17)
Дальнейшие исследования датского физика Л. Лоренца (1882) показали, что от-
ношение К/у для металлов пропорционально их термодинамической температуре Т:
т-с<г.
(18.179
Электронная теория металлов позволила получить этот закон н вычислить значе-
ние константы Ci, основываясь на предположении, что теплопроводность металлов
в основном осуществляется электронами проводимости, т. е. электронным газом. Как
показано в § 10.8, теплопроводность газа
K=’/3pcr<X><u>,
где р—тпа — плотность газа; су— его удельная теплоемкость при постоянном объ-
еме. Электронный газ в металле рассматривается как одноатомный идеальный газ,
«молекулы» которого имеют три степени свободы, а молярная масса ЛГ=тУд, где
т — масса электрона. Поэтому
3 R 3
рсу=тп$----=- rtfjk,
240
где к — постоянная Больцмана. Таким образом, теплопроводность электронного газа
X=7,noJt<A><u>.	(18.18)
Из формул (18.18) и (18.11) следует» что
(X/7-) = (k/e2><u>2.
В теории Друде <u) = t>„	поэтому
к &
- = 3—Т.	(18.19)
V ‘
Эта формула совпадает с (18.17'), если принять, что
С^Зк^/е1,	(18.20)
где С, =2,23 10"а Дж2/(Кл * К)2 [см. (18.20)]. Эта величина оказалась несколько меньше
значения С]( найденного из опытов.
§ 18.4.	Недостатки классической электронной теории
электропроводности металлов
1.	Электронная теория проводимости металлов, развитая Друде, была чрезмерно
упрощенной, так как в ней предполагалось, что все электроны имеют одинаковые по
модулю скорости теплового движения. Между тем в электронном газе, как и в обыч-
ном газе, состоящем из молекул, должно существовать какое-то распределение элект-
ронов по скоростям, электроны должны подчиняться какой-то статистике. X. Лоренц
усовершенствовал теорию Друде, применив к электронному газу классическую стати-
стику Максвелла — Больцмана. Он исходил из того, что в отсутствие электрического
поля электроны проводимости движутся в металлическом проводнике беспорядочно,
а их распределение по скоростям описывается законом Максвегии (см. § 10.3). Элект-
рический ток, возникающий под влиянием электрического поля, связан с отклонением
распределения электронов по скоростям от максвелловского. На беспорядочное тепло-
вое движение электронов накладывается движение, вызванное электрическим полем.
В теории Лоренца средняя скорость дрейфа электронов в поле, так же как и в теории
Друде, пропорциональна напряженности поля. Лоренц тоже получил закон Ома для
плотности тока в форме (18.12). Однако выражение для удельной электрической
проводимости имело несколько отличный от (18.11) вид, а именно
bo^W /1\
“з m
(18.21)
В этой формуле <1/и> — среднее значение величины, обратной тепловой скорости
v электронов, вычисленное с помощью статистического распределения электронов по
сиростям. Ничего существенно нового усовершенствованная теория Лоренца Не дала,
так как характер зависимости у от физических характеристик металла (температуры Т,
концентрации Яд электронов проводимости и средней длины их свободного пробега
(л)) по формулам (18.21) и (18.11) одинаков.
В теории Лоренца получилось меньшее значение коэффициента Сг в законе Видема-
на Франца, чем значение (18.20), полученное Друде*
С,=2Л7е2
(18.2OQ
Это значение С» хуже согласуется с опытными данными, чем (18.20). Таким образом,
мазалось, что уточненная классическая электронная теория, учитывающая статисги-
241
ческие закономерности электронного газа в металлах, хуже согласуется с опытными
данными, чем более грубая теория Друде.
2.	Теория Друде - Лоренца не смогла объяснить целый ряд экспериментально уста-
новленных закономерностей для металлов.
1.	Экспериментально установлено, что в довольно широком интервале температур
Т удельное электрическое сопротивление р пропорционально Т, А удельная электричес-
кая проводимость у обратно пропорциональна Т. Формулы (18.11) и (18.21) не позволя-
ют получить такую зависимость у от Т. В самом деле, из кинетической теории газов
известно, что средняя скорость (к) теплового движения молекул пропорциональна
у/Т (соответственно <1/и) ~ 1/^/7), а произведение от температуры не зависит.
Таким образом, согласно формулам (18.11) и (18.21),
У~\1у/Т и р=(1/у)~у/т.
2.	Возникли трудности при оценке средней длины свободного пробега электронов
в металле. Для того чтобы получить с помощью формул (18.11) или (18.21) значения
удельной электрической проводимости, близкие к найденным экспериментально, при-
ходится предположить, что электрон проходит без соударений с нонами решетки сотни
межузельных расстояний*. Однако это предположение непонятно в рамках классичес-
кой теории Друде Лоренца.
3.	Еще большие затруднения возникли с теплоемкостью металлов. Согласно клас-
сической электронной теории, молярная теплоемкость С металла складывается из
молярной теплоемкости кристаллической решетки Орт, и молярной теплоемкости
С,л электронного газа, обладающего свойствами одноатомного идеального газа:
С—Ср-^4-Ионы, образующие кристаллическую решетку металла, совершают теп-
ловые колебания около узлов решетки. Каждый иои имеет три колебательные степени
свободы, на которые в среднем приходится энергия, равная ЗкТ. Внутренняя энергия
моля ионов Urr^.=3N^kT»‘3RT. Следовательно,
dL'
—=зя.
₽вв ат
Согласно классической теории теплоемкостей идеальных газов, Сз.|=3/2Я. Таким
образом, молярная теплоемкость металлов C=9!2R.
Однако опыты показали, что молярная теплоемкость металлов мало отличается от
молярной теплоемкости кристаллических диэлектриков и при обычных температурах
близка к ЗЯ. Следовательно, основываясь на экспериментальных данных, нужно счи-
тать, что внутренняя энергия электронного газа в металле не изменяется при нагрева-
нии проводника. Классическая электронная теория металлов не может объяснить этот
результат.
3.	Худшее согласие значения (18.2(У) для коэффициента Ct в законе Видемана - Фран-
ца, полученное Лоренцем при уточнении классической электронной теории Друде,
свидетельствовало о том, что уточнять эту теорию не имеет смысла. Для лучшего
согласия теории с экспериментом и преодоления перечисленных выше трудностей
классической теории Друде - Лоренца требовалась качественно новая теория метал-
лов. Такой теорией явилась квантовая электронная теория металлов, разработаная А.
Зоммсрфельдом (1928). Зоммерфельд применил к электронному газу в металле не
классическую статистику Максвелла Больцмана, а квантовую статистику Ферми
Дирака. Ему удалось (см. § 41.6) получить правильное значение молярной теплоем-
кости электронного газа и объяснить малый вклад электронов проводимости v тепло-
емкость металлов. Было также уточнено значение коэффициента Ct в законе Видема-
на Франца, которое оказалось равным
концентрацию пд электронов проводимости мовлго определить экспериментально в*
основе эффекта Холла (см. $ 23.2).
242
Дальнейшее развитие квантовой теории металлов было доено нуго путем учета
влияния периодического электрического поля ионов, образующих кристаллическую
решетку, а такяге нарзл^кяий периода лвкл. । п этого доля вследствие тепловых коджбаний
ионов, наличия примесей и других дефектов кристалла.
18Л. Работа выхода электрона из металла,
"армоэлектроиная эмиссия
1.	Электроны проводимости металла, совершая беспорядочное тепловое движение,
могут вылетать за пределы металлического тела. Поэтому у поверхности металла
существует электронное облако, постоянно обменивающееся электронами с металлом,
так что электроны облака и металла находятся в динамическом равновески между
собой Заметная концентрация электронов в облаке наблюдается лишь на расстояниях
от поверхности металла порядка нескольких межатомных расстояний. На поверхности
металла имеется избыток положительных зарядов ионов. Эти заряды и электронное
облако образуют тонкий даойной злектрнеский слой, элск  ричесяое поле которого
препятствует вылету электронов из металла
Наименьшая работа, которую должен совершить электрон проводимости для
выхода из металла в вакуум, называется работой выхода А.
Работа выхода совершается электроном за счет уменьшения его кинетической
энергии Она включает в себя работу против сил поля двойного электрического слоя,
а также против сил «зеркального изображения», т. е против сил прн1яжения со
стороны положительного заряда на поверхности металлического проводника, индуци-
руемого вылетающим электроном (этот заряд экранирует внутри проводника элект-
рическое поле вылетающего электрона). Работа выхода зависит от химической приро-
ды металла н состояния его поверхности. Загрязнение поверхности, оксидная пленка
к другие изменения состояния поверхности заметно изменяют работу выхода У чис-
тых металлов работа выхода колеблется в пределах нескольких электрон-вольт.
2.	Испускание электронов твердыми или жидкими телами называется электровной
миссией, а тела, испускающие электроны, называются эмиттерами.
В зависимости от механизма приобретения электронами эмиттера энергии, до-
статочной для совершения работы выхода, различают следующие виды электронной
ЭМВССии
а)	термоэлектронная эмиссия — испускание электронов нагретыми телами,
б)	фотоэлектроннаа эмиссии, иль ииенннй	испусхнине электронов 1Юд
действием электромагнитного излучения (см § 36.2);
в)	вторичная электронаа эмиссии — испу-
скание вторичных электронов в результате
бомбардировки эмиттера первичными элек-
тронами,
г)	понно-электроинва эмиссия — испуска-
ние электронов в результате бомбардировки
эмиттера ионами;
д)	автоэлектронная эмиссии — испуска-
ние электронов проводящими твердыми
в жидкими телами под действием очень
сильного внешнего электрического поля у их
поверхности Автоэлектронная эмиссия -
пример квантово-механического явления,
взываемого туннельным эффектом (см
|37 8)
1 Термоэлектронную эмиссию можно на-
блюдать с помощью установки, схема кото-
рой показана на рис. 18.2. Стеклянная труб-
n М, в которую впаяны два электрода
243
катод К и анод А, откачана до глубокого вакуума для того, чтобы катод ие окислялся,
а электроны, эмиттируемые катодом, не сталкивались при своем движении в трубке
с молекулами воздуха. Металлический катод нагревается электрическим током от
батареи накала Бя. Сила тока в цепи накала регулируется переменным резистором
С помощью потенциометрической схемы, состоящей, из анодной батарея Бя и потенци-
ометра R, между анодом н катодом создается анодное напряжение (разность потенци-
алов) ия, измеряемое вольтметром V.. Переключатель Р служит для перемены знака
анодного напряжения Ut. В трубке М идет электрический ток, образованный упорядо-
ченно движущимися под действием электрического поля электронами, которые ис-
пускаются накаленным катоДом. Эти электроны называются термоэлектрона»», а об-
разованный ими ток — термоэлектронным током. Его сила Д измеряется микроампер-
метром дА.
4. На рис. 18.3 показана зависимость силы термоэлектронного тока Д от анодного
напряжения Ut при постоянной температуре катода. При небольших анодных напряже-
ниях сила тока Д вначале медленно растет с повышением напряжения. Это объясняется
тем, что при малых значениях ил не все электроны,
испускаемые катодом, достигают анода, так как этому
препятствует электронное облако (отрицательный про-
странственный заряд), существующее между катодом
и анодом. С увеличением Ut электронное облако посте-
пенно рассеивается и сила тока Д растет. При
дальнейший рост силы тока прекращается, так как вое
электроны, вылетающие из катода, достигают анода.
Максимальный термоэлектронный ток Д, возможный
при данной температуре катода, называется током иа-
сьпцеяжя.
И. Ленгмюр, С. А. Богуславский и другие теоретически показали, что при Д<сД,
когда существенное влияние на термоэлектронный ток оказывает отрицательный про-
странственный даряд, зависимость Д от 0 имеет вид
Ц=ви?\
(18.22)
где В — коэффициент пропорциональности, зависящий только от формы, размеров
и взаимного расположения электродов (от температуры катода и его материала В не
зависит).
Закон (18.22) часто называют законом трех вторых или формулой Ленгмюра. Он
получен в предположении, что начальная скорость термоэлектронов после выхода из
катода равна нулю. В действительности есть некоторое распределение термоэлект-
ронов по их начальным скоростям. Поэтому при СД=О и даже при небольших
отрицательных значениях ил существует очень небольшой, но все-таки отличный от
нуля термоэлектронный ток. Таким образом, закон трех вторых несколько занижает
значения тока Д при малых положительных значениях ил. Наоборот, в области
значений U„ близких к С7„, формула (18.22) завышает ток Д, так как при ее выводе
предполагается, что эмиссионная способность катода «ограничена. На самом деле
каждый катод в зависимости от его размеров, работы выхода А электрона и тем-
пературы Т ежесекундно эмиттирует конечное число термоэлектронов- Поэтому
термоэлектронный ток Д может расти с увеличением Ut лишь до значения топ
насыщения
Д=ет«.	(1823)
5. Опыты показали, что По„ и сила тока насыщения очень быстро возрастают с увели-
чением температуры катода. Теоретически было показано, что плотность тока насыще-
ния на катоде удовлетворяет формуле Ричардсона — Дэшмава:
Д=Л'Т2ехр[-Л/(Л7)],	(1824)
244
 де 120(I — Я) А/(см2 К2) и Я коэффициент отражения электронов проводимо-
сти от потенциального барьера на поверхности эмиттера. Так как А » кТ (например,
для вольфрамового катода Л =4,54 эВ и при 7'=2000 К Л/(Л7)=26,3), то определя-
ющую роль в зависимости /и от температуры по формуле (18.24) играет множитель
ехр[— А/(кТ)]. Например, при увеличении температуры вольфрамового катода с 2000
до 2500 К множитель Тг увеличивается в 1,56 раза, а ехр[—Л/(кТ)] в 193 раза! Для
снижения рабочей температуры и в то же время получения достаточно больших
значений' jH применяют термоэлектронные катоды с пониженной работой выхода
(например, оксидные катоды, состоящие из металлической тугоплавкой подложки,
поверхность которой покрыта пленкой оксидов щелочно-земельных металлов (ВаО
и SrO или ВаО, SrO и СаО) толщиной в десятки тысяч атомных слоев).
Явление термоэлектронной эмиссии нашло широкое практическое применение
в различных электровакуумных и газоразрядных приборах.
Вопросы:
1.	Чему равен поток вектора плотности тока проводимости через какую-либо поверхность?
Чему равен этот поток через замкнутую поверхность в случае постоянного тока?
2.	Какие эксперименты позволили выяснить природу носителей тока в металлах?
3.	Сформулируйте основные положения классической электронной теории проводимости ме-
таллов.
5. Объясните зависимость термоэлектронного тока от анодного напряжения.
Глава 19________________________________________
Законы постоянного тока
§ 19.1.	Обобщенный закон Ома для участка цепи
Силы кулоновского взаимодействия зарядов вызывают такое перераспределение
носителей тока (свободных носителей заряда) в проводнике, при котором потенциалы
во всех его точках выравниваются и электрическое поле в проводнике исчезает.
Для поддержания в цепи постоянного тока проводимости нужно, чтобы на носи-
тели тока действовали помимо кулоновских сил еще какие-то иные, неэлектростатичес-
кие, силы, называемые сторонними еялямя.
Если кулоновские силы вызывают соединение разноименных зарядов, выравнива-
ние потенциалов и исчезновение электрического поля в проводнике, то сторонние силы
вызывают разделение разноименных зарядов и поддерживают разность потенциалов
на концах проводника. Сторонние силы действуют на носители тока внутри источника
электрической энергии (гальванических элементов, аккумуляторов, электрических гене-
раторов и т. п.).
Источник сторонних сил так же необходим в цепи постоянного тока, как необходим
насос для создания постоянной циркуляции жидкости в любой замкнутой гидравличес-
кой системе. Роль насоса в электрической цепи играет источник электрической энергии.
Под действием сторонних сил носи i ел и тока движутся внутри источника электрической
энергии против сил электростатического поля, так что на концах внешней цепи
поддерживается постоянная разность потенциалов и в цепи идет постоянный ток.
Перемещая заряды, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затрачиваемой
в источнике электрической энергии. Так, например, в электромагнитном генераторе
работа сторонних сил производится за счет механической энергии, расходуемой на
вращение ротора генератора, а в аккумуляторах и гальванических элементах — за счет
энергии химических реакций на электродах^
2.	В общем случае иа носитель тока, имеющий заряд д, действует в проводнике сила
Г=Ржул+РСПф=д(Е1уЯ+Етр),	(19.1)
4
где Егр, - напряженность электростатического поля в проводнике, a EBroi,=FBTOp/g —
напряженность слоришиы сил, равная отношению сторонней силы к заряду носителя
тока, на который она действует. Из вывода закона Ома для плотности тока видно, что
под Е в формуле (18.12) в общем случае нужно понимать F/g, т. е. сумму Е^л+Е^^:
1=(Еж,л+^)/Р-	(19.2)
Умножим схалярно обе части равенства (19.2) на вектор <11, численно равный длине it
элемента проводника и направленный вдоль проводника в направлении тока, т е.
вдоль вектора J плотности тока:
Jdl-^dl+E^dl)//,.
Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов j и <11
равно произведению их модулей, то
p/d/= ЕгуП dl+Enep di,
или, согласно (18ЛЭ>
7pd//S=E„ndl+E^,dl.
246
Интегрируя по длине участка цепи 1 — 2 (между сечениями цепи 1 и 2) и учитывая,
что сила тока во всех сечениях цепи одинакова, получаем
2	1	2
f dZ Г	С
7 р -= 1^<В+ Е^Л.	(19.3)
1 о J	I
11	1
3.	Рассмотрим подробнее физический смысл всех членов, входящих в уравнение (19.3)
Первый интеграл, стоящий в правой части уравнения (19.3), численно равен работе,
совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заря-
да вдоль участка цепи 1 — 2. В электростатике было показало [см. (13.27)], что
Eayadl» — d?,	_
где <р — потенциал электростатического поля Таким образом,
2
(19.4)
где pi и ф2 — потенциалы в сечениях 7 и 2, р(—р? — нвдевк потеящпла вдоль участка
цепи 7 — 2.
ня погъвч м ы й ।ь и ней и й интеграл, содержа щи й вектор	называется эл^я^^ро^^ви*
жупкй силой (э.д.с ) £п, действующей на участке цепи 1 — 2.
1
£12“ J Ecrcpdl.	(19.5)
1
Электродвижущая сила £ ц численно равна работе, совершаемой сторонними
силами при перемещении по участку цепи 1 — 2 единичного положительного заряда.
Эту работу производит источим, электрической энергии. Поэтому можно
также называть электродвижущей силой источника электрической энериш, включен-
ного на участке цепи 7 — 2.
' Нявряжеяяем ив участке цени I — 2 называется физическая величина Un, численно
равная суммарной работе, совершаемой кулоновскими и сторонними силами при
перемещении по участку цепи 7 — 2 единичного положительного заряда*
а
^12“ J(EIyn + enop)dl,	(19.6)
«
япн
(712»(Р1— рг)+ £ п- ]	(19.7)
Вввсденное нами понятие напряжения не совпадает с тем, которым иногда пользу-
ются в электростатике для обозначения разности потенциалов, а является его обобще-
нны. Напряжение на участке цепи равно разности потенциалов только в том случае,
сели на этом участке не приложена эд.с, т. е. не действуют сторонние силы
Интеграл
2
Г dl
I Р - = Л12	(19.8)
1
247
называется электрическим сопротивлением участка цепи 1 — 2. Для однородного про-
водника постоянного сечения p=const, S=const и
«i2=pZi2/S,	(19.89
где /ц — длина проводника между сечениями 1 и 2.
4.	Из соотношений (19.3) — (19.8) следует, что
Ли/12 = (ф1 — ф1)+& и»	(19-9)
где /12-=/>0, если электрический ток идет по участку цепи от сечения 1 к сечению 2,
в противном случае Л 2= —/<0.
Уравнение (19.9) является математической записью обобщенного закона Ома для
участка цепи электрического тока:
произведении злактричесхого сопротивления участка цепи на
Силу токе в ном равно сумме падения электрического потен-
циале на этом участке и эд.с. всех источников электрической
энергии, включенных на рассматриваемом участки.
Обобщенный закон Ома, как видно из его вывода и смысла всех членов уравнения
(19.9), выражает закон сохранения и превращения энергии применительно к участку
цепи электрического тока. Он в равной мере справедлив как для участков электричес-
кой цепи, не содержащих источников электрической энергии и называемых пясеивнъиия
участками, так и для активных участков,
&п—& > 'Г < >т+—< 1г=У,-Р2+&	Тг^-Уг* a)	S)	содержащих указанные источники. Пользуясь обобщенным законом Ома (19.9), нужно соблюдать следу- ющее правило звяков для э.д.с. источ- ников, включенных на участке цепи 1 — 2: если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направлени- ем обхода участка (т. е. внутри источ-
Ряс. 18.1	ника обход связан с перемещением от катода к аноду), то при подсчете
э.д.с. этого источника нужно считать положительной, а в противном случае — от-
рицательной. Так, на рис. 19.1, a 6n= &>0, а на рис. 19. 1,6 212 = — & <0. Обобщен-
ный закон Ома можно также представить в форме*
^12^12 = Un-
(19.10)
5.	Во всех сечениях веразветвленной замкнутой электрической цепи сила тока оди-
накова. Такую цепь можно рассматривать как участок, концы которого (сечения 1 и 2)
совпадают, так что ф2=Ф111 Я|2=^ — сопротивление всей цепи. Поэтому закон Ома
для замкнутой цепи имеет вид
RJ=5,	(19.11)
где £ — алгебраическая сумма всех э.д.с., приложенных в этой цепи.
Пусть замкнутая цепь состоит из источника электрической энергии' с э.д.с. &
и внутренним сопротивлением г, а также внешней части цепи, имеющей сопротивление
•Этот закон был экспериментально установлен немецким физиком Г. Омом (1826) и им хе
теоретически обоснован (1827).
248
Рис. 19.2
Рис. 18.3
R (рис. 19.2). Силу тока в цепи найдем по закону Ома (19.11): 7=<5/(Я+г). Разность
потенциалов на электродах источника равна напряжению на внешней части цепи-
Ф,-ф2=Л/= t-Ir.	(19.10')
Если с помощью ключа К цепь разомкнуть, то ток в ней прекратится н, как видно
из (19.10'), разность потенциалов на клеммах источника будет равна его э.д.с.
Покажем, что вольтметр, подключенный параллельно какому-либо участку элект-
рической цепи постоянного тока, измеряет разность потенциалов на концах этого
участка (рис. 19.3). Напишем обобщенный закон Ома для'участка 1 — 2:
Ли7=ф1—фз+б 12-
Аналогично, по тому же закону, записанному для участка / — 2 цепи вольтметра,
на котором нет э.д.с.,
/V.=Ф1-Ф2.
где R, и /, - сопротивление вольтметра и ток в нем. Таким образом, ток в вольтметре,
определяющий отклонение подвижной системы этого прибора, пропорционален имен-
но разности потенциалов на участке 1 — 2 электрической цепи, а не напряжению
[7i2=ф| — <р2+ & и- В случае пассивного участка цепи £ |2=0, так что разность потенци-
алов и напряжение на таком участке равны друг другу.
§ 19.2. Закон Джоуля — Ленца для участка цели
1. Если постоянный электрический ток идет в цепи, состоящей из неподвижных
металлических проводников, то работа тока целиком расходуется на нагревание про-
водников. За малое время dr в объеме AV элемента проводника длиной dZ выделяется
количество теплоты
<5e=wdrdr=wSdZdr,	(19.12)
где S — площадь поперечного сечения проводника; w — объемная плотность тепловой
мощности тока. Согласно классической электронной теории проводимости металлов
[см. (18-16')], w—pj2, где р — удельное электрическое сопротивление проводника; j —
! плотность тока. Так как сила постоянного тока в проводнике I—jS, то формулу (19.12)
| можно переписать в форме
d/
<5e=p/SdZdr=Z2p - dr.	(19.13)
5
2. Количество теплоты Q, выделяющееся за конечный промежуток времени от 0 до
постоянным током / во всем объеме проводника, электрическое сопротивление
которого равно R, найдем, интегрируя выражение (19.13).
Q-PRt.	(19.14)
Формула (19.14) выражает закон Джоуля — Ленца для участка цени постоянао-
(го тока:
249
количество теплоты, выявляемое постоянным электрическим
током в участке цени, равно произведению квадрата силы
тока на арапа его провождения и электрическое сопротивле-
ние этого участка депи.
Этот закон был установлен экспериментально Д. Джоулем (1841) и незапнсимл от
него русским физиком Э. X. Ленцем (1842). По закону Ома [см. (19.10)], IR=U —
напряжение на рассматриваемом участке цепи, поэтому формулу (19.14) можно перепи-
сать в виде
Q=UIt=lPt!R.	(19.15)
§ 19.3. Правила Кирхгофа
1. На практике часто приходится рассчитывать сложные (разветвленные) цепи посто-
янного тока, например по заданным сопротивлениям участков цепи и приложенным
э.д.с. находить силу тока во всех участках. Решение этой задачи значительно облегчает-
ся, если пользоваться двумя правилами,сформулированными Г. Кирхгофом (1847).
Первое правило Кирхгофа выражает приведенное в § 18.1 условие постоянства тока
в цепи, состоящее в том, что в случае установившегося постоянного тока электрические
заряды не должны накапливаться ни на каком ю участков цепи.
Назовем узлом точку разветвления электрической цепи, т. е. точку цепи, в которой
сходится больше двух проводников. Тогда первое правило Кирхгофа можно сфор-
мулировать следующим образом: алгебраическая сумма токов,
Z, h/ сходяирисся в узле, равна нулю
i 4=0,	(19.16)
г ж.
Л
где я число проводников, сходящихся в узле; Ik сила тока
Рис. 18.4 в k-м проводите, причем токи, подходящие к узлу, считаются
положительными, а токи, отходящие от него, отрицатель-
ными. На рис. 19.4 в узле А сгодятся шесть проводников» направления токов в которых
показаны стрелками. Запишем первое правило Кирхгофа (19.16) для узла А:
h-b-h+b+b-k-o,
где все токи считаются уже положительными.
2. Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома (19.11) на разветвлен-
ные электрические цепи: • мобом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветв-
ленной электрической цепи, алгебраическая сумма напряжений на всех участках этого
контура равна алгебраической сумме э.д.с. всех источников электрической энергии,
включенных в контур:
X /Л» Z & ь	(19 17)
г-i	*-i
где Л| число участков, иа которые контур разбивается узлами; /*, Rk и £ k “JU
тока, сопротивление н э.д.с., соответствующие Ar-му участку. Формулу (19.17) легко
получить путем последовательного применения закона Ома (19.9) ко всем участкам
замкнутого контура.
Для составления уравнения (19.17) нужно условиться о направлении обхода контура
(по часовом стрелке млн против нес). Выбор этого направления совершенно произ-
волен. Все токи в участках, совпадающие с направлением обхода, следует считал
положительными. Положительными считаются э.д.с. тех источников электрической
250
энергии, которые вызывают ток, совпадающий по на-
правлению с обходом контура. Так, например, в случае
обхода по часовой стрелке замкнутого контура ABCDA
(рнс. 19.5) уравнение (19.17) имеет вид
/1Я1~/2Я2 + /эЯэ + /Л = в1~ 41+ £1!
где все токи и э.д.с. уже считаются положительными.
3. При решении задач рекомендуется следующий поря-
док расчета разветвленной цепи постоянного тока.
1. Произвольно выбрать и обозначить на схеме це-
пи направления токов во всех участках цепи.
2. Подсчитать число т узлов в цепи. Записать выра-
жения (19.16) для каждого из т—1 узлов [уравнение	Рнс- 195
(19.16) для оставшегося узла не дает ничего нового, так
как является простым следствием уже написанных уравнений для т— 1 узлов].
3. Выделить в разветвленной цепи всевозможные замкнутые контуры и, условив-
шись о направлении обхода, записать систему уравнений (19.17), но не для всех этих
контуров, а лишь для некоторых из них, так как уравнения (19.17) для части контуров
являются следствием таких же уравнений для остальных контуров. В разветвленной
цепи, 'состоящей из р участков и т узлов, число независимых уравнений (19.17) равно
р—(т— 1). При составлении этих уравнений контуры следует выбирать так, чтобы
каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входивший в уже
рассмотренные контуры.
4. Если в результате расчета получается отрицательное значение силы тока в ка-
ком-либо участке цепи, то это означает, что в данном участке цепи электрический тох
в действительности идет в направлении, противоположном тому, которое было выбра-
но в начале расчета (т. е. в и 1).
Вопросы:
1. Что понимают под сторонними силами и какова их роль в цели постоянного тока?
1 Поясните физический смысл электродвижущей силы, напряжения и разности потенциалов на
участке электрической цепи
1 Каковы правила знаков для силы тока и эдо. при записи обобщенного закона Ома для
участка цепи?
4. На чем основаны правила Кирхгофа?
S. Что показывает вольтметр, подключенный к участку цели?
Глава 20
Электрический ток в жидкостях, газах и плазме
§ 20.1.	Законы Фарадам для электролиза
1.	Неметаллические проводящие жидкости обладают ионной проводимостью, т е
носители тока в них — положительно и отрицательно заряженные ионы. Такие жцд-
кости называются электролитами, или minnii, дангти П рода. Типичными примерами
электролитов могут служить водные растворы солей, кислот и щелочей.
Упорядоченное движение ионов в проводящих жидкостях происходит в электричес-
ком поле, которое создается ими iponaw — проводниками, опущенными в электролит
и соединенными с полюсами источника электрической энергии. Положительный элект-
род называется анодам, отрицательный — катодом Положительные ионы (ионы водо-
рода и металлов) движутся к катоду и потому называются капанвми, а отрицательные
ионы (ионы кислотных остатков и гидроксильной группы) движутся к аноду и называ-
ются аиаоиаю. Электрический ток в электролитах сопровождается явлением электро-
дам — ны/упеннем на электродах составных частей растворенных веществ или других
веществ, являющихся результатом вторичных реакций на электродах.
2.	Основные законы электролиза были зкепгряментально установлены М Фарадеем
(1834)
Периьм замом Фарит г
масса т ш |дапни1иап>гя на элактрода вмцостм пропорци-
ональна алакгричоскому аараду Q, прпнидшаму чара» элокт»
роогл
m^kQ
(Ml)
Коэффициент пропорциональности к называется элги цм> i иммчеа— юта лептам
вещества Он численно равен массе вещества, выделяющегося при прохождении через
электролит единичного электрического заряда, и зависит от химической природы
вещества
Второй закон Фарадам
алактрскнмпчагяна апвнаалаиты различны! ашцаетв относят-
ся, как их яммичаскма акимваланты к*.
Й| ЙХ|
(202)
л
Хшанеоом эквивалентом вона называется отношение молярной массы М иона
к его валентности Z kx=MjZ Поэтому электрохимический эквивалент
1 М
к=.	,
F Z
(20J>,
252
где F универсальная постоянная, названная постоянной Фарадея. Подставим выра-
жение (20.3) в (20.1), получим
1 М
т= О.	(20.4)
I	* z
Формула (20.4) объединяет в себе оба закона Фарадея, т. е. является записью
объединенного закона Фарадея для электролиза.
Если через электролит пропускается в течение времени t постоянный электрический
ток I, то заряд Q=It и уравнение (20.4) можно записать в виде
1 М
т= It	(20.4')
F Z
Из объединенного закона Фарадея (20.4) легко понять физический смысл постоян-
ной Фарадея. Если т = M[Z, то заряд Q, прошедший через электролит, равен постоян-
ной Фарадея. Следовательно, постоянная Фарадея численно равна электрическому
заряду, при прохождении которого через электролит на электроде выделяется 1 моль
одновалентного вещества.
3.	Законы Фарадея впервые навели на мысль о том, что любой электрический заряд
состоит из целого числа «атомов электричества» элементарных зарядов. Дейст-
вительно, из (20.4) следует, что для выделения на электроде 1 моля любого Z-
валентного вещества требуется пропустить через электролит заряд Q = ZF. Этот заряд
переносится в электролите одним и тем же числом Z-валентных ионов, равным
постоянной Авогадро Ад. Возможны два различных истолкования такой закономер-
ности:
а)	заряды Z-валентных ионов различны, но в среднем равны ZF/N^, подобно тому,
как в газе молекулы обладают различной кинетической энергией поступательного
движения, но в среднем она равна 3/а47)
б)	каждый ион несет вполне определенный заряд q = ZFIN^, причем заряды иоиов
могут отличаться лишь на величины, кратные элементараому заряду одновалентного
иона е= F/N*.
С помощью специально поставленных опытов была доказана правильность второ-
го утверждения, а также экспериментально найдено значение элементарного заряда е.
4. Схема опытов, проведенных А. Ф. Иоффе (1912), показана на рис. 20.1.
Опыт. Отрицательно заряженная металлическая пылинка помещалась между обкладками
конденсатора, напряженность поля в котором подбиралась такой, чтобы пылинка находилась
в равновесии. Затем пылинка освещалась ультрафиолетовым светом малой интенсивности. Вслед-
ствие фотоэффекта отрицательный заряд пылинки время от времени уменьшался и для сохране-
ния равновесия пылинки приходилось так изменять напряженность электрического поля в конден-
саторе, чтобы электрическая сила qE не изменялась: qnE0=q[E[=q2E2 =... .
Опыты показали, что заряд пылинки может принимать лишь ряд дискретных значений.
5. Элементарный электрический заряд был измерен Р. Милликеном (1909	1914).
Опыт. Идея опытов Милликена состояла в определении заряда микроскопической масляной
капли сферической формы на основе Измерения скорости ее установившегося движения в однород-
ном электрическом поле плоского конденсатора Пластины конденсатора были расположены
горизонтально, как и в опытах А. Ф. Иоффе. В отсутствие электричес-
кого поля капля равномерно падала вертикально вниз под действием
трех взаимно уравновешивающихся сил: силы тяжести mg капли, архи-
медовой силы FMpi и силы сопротивления воздуха F«,llp. Как показал	I
Д. Стокс, сила сопоотивления. действующая на твеодый шар при его + + + | + + +
медленном поступательном движении со скоростью v в вяэкой жидкой	к
или газообразной среде, равна	g 4 Е I q
FQ,lin=-блцгт	(20.5)	mS *
где г радиус шара; q динамическая вязкость среды.	|
Пусть Vo скорость установившегося падения капли в отсутствие
центрического поля, тогда	рцС 20.1
253
(20.6)
где pt p, плотности масляной шаля и воздуха в конденсаторе. Измерив ео в зная плотности
р и р„ в также ч, можно было найти Из (20 6) радиус капли*
r-sV’jMZG’-pJg].
(20 63
Затем в конденсаторе создавалось электрическое поле напряженностью Е, под действием
которого та же масляная капля равномерно поднималась вертикально вверх со скоростью V]
В этом случае сида тяжести капли и сида сопротивления уравновешивались электрической силой
?Е и архимедовой силой:
ta|£“*/»G’-P»)wi«+6*rvi-	(20.7)
Из (20 7) и (20 63 следует, что заряд капли
Й1 (•»+ ®1) / ----------
£	\/ (Р-Р>)«
(20.8)
Зная направление Е, un^-ил fiuim определить и знак заряда капли Если при постоянном
значении напряженности поля Е слегка изменить заряд капли на Д^, то соответственно изменится
на Av j и скорость ее установившегося подъема вверх, причем, согласно (20.8),
9х»	/ 2fjvo
|Д^|-- I---------— |Д»1|
Е \1 (f-pJg
(20 9)
В опытах Милликена заряд капли можно было изменять путем слабой ионизации воздуха
рентгеновским излучением Опыты показа пи*, что и f, и Af кратны одному и тому же элементар-
ному заряду е Соответственно постоянная Фарадея равна F^eN^.
§ 20.2.	Закон Ома дня плотности тока в электролитах
Рис 20 2
1.	Опыты показали, что закон Джоуля —- Ленца (19.14) справедлив для электричес-
кого тока не только в металлических проводниках, но также и в электролитах. Отсюда
следует, что диссоциация молекул электролита на ноны не связана с прохождением
электрического тока и затратой на нее энергии тока. Дштоциппил молекулы соли,
кислоты или щелочи, состоящей из взаимосвязанных ионов, происходит в растворе при
ее столкновениях с другой молекулой растворенного вещества или растворителя,
имеющей достаточно большую кинетическую энергию те-
плового движения. Интенсивная диссоциация солей, кне-
лей- я (дедочей в водных растворах объясняется тем, что
молекулы воды обладают большим электрическим мо-
ментом, т. е. подобны сильно вытянутым диполям. Под
влиянием электрического поля полярной молекулы соли
(кислоты, щелочи) окружающие ее молекулы воды ориен-
тируются преимущественно так (рис. 20.2), что своим
электрическим полем существенно ослабляют связь меж-
ду ионами в молекуле растворенного вещества и тем
самым облегчают ее диссоциацию.
2.	Из-за хаотического теплового движения ионов в рас-
творе происходит и обратный процесс столкновения ио-,
нов противоположных знаков и воссоединения их в ней-
•Формула Стокса (20.5) справедпва ди шара, движущегося в газе, только при условии, что
радиус шара во много раз больше 'урдд'-а ддщы свободного пробега молекул газа. В опыта!
Милликена масляные капли были столь малы, что это условие не выполнялось. Поэтому пря
обработке своих опытных паяны. Милликен ввел необходимые поправки в формулы (20 5) —1
(20.9)
254
тральные молекулы. Этот процесс называется нимищий иди раоамбмаммй. Пусть
ло — концентрация молекул растворенного вещества, из которых анд диссоциированы
на ионы, где а — гтффицтиг дассоцмцв. Очевидно, что число молекул Дл^, которые
диссоциируют за единицу времени в единице объема раствора, тфоцорционадьно числу
нсдиссоциированных молекул в этом объеме*
где Р — коэффициент пропорциональности.
Число Алд нейтральных молекул, образующихся в единиц* объема раствора за
вдянипу времени в результате прпцесея рекомбинации, пропорционально как числу
положительных ионов, так и числу отрицательных ионов, содерхадщхся в единице
объема
AuJ=yaanJ,
где у — коэффициент пропорциональности.
В состоянии динамического равновесия Дл^» Дл£, т. е. Д(1 — вОлд^рх3^ или
(1-а)/а2-= coast ng.	(20.10)
Если л<)-»0, то а-*1, т. е. в слабых растворах почти все молекулы диссоциированы
(а« 1). По мерс увеличения концентрации лд раствора коэффициент диссоциации а убы-
вает. В сильно концентрированных растворах а~ 1/V^o-
3.	Плотность j электрического тока в электролите равна геометрической сумме плот-
ностей тока положительных и отрицательных ионов- j= j+ +j_, причем
j+=g+Ho+<T+>, j_=g_Ho_ <▼_>,	(20.11)
где q+ и q_, лд+ и лд_, <т+> м <▼_> —заряды, концентрации и средние скорости
упорядоченного движения (дрейфа) положительных и отрицательных ионов в элект-
рическом поле Аналогично тому, как скорость дрейфа электронов проводимости
в металле пропорциональна натяженности Е электрического поля, сторости дрейфа
ионов также пропорциональны Е:
<т+>-д+Е» <▼_>=—д_Е,	(20.12)
где д+ и — положительные величины, называемые подвижное ним жожов. Как
покатывают опыты, подвижность нова зависит от его природы, а также от тем-
пературы, вязкости и других характеристик электролита. Существенно, что подви-
жность ионов в электролитах не зависит от напряженности Е электрического поля.
Соотношения (20.12) можно получить, рассматривая дрейф ионов как их установив-
шееся движение в вязкой среде — электролите с постоянными скоростями <▼+) и <▼_>.
При этом для каждого иона злектричеежая сила уравновешивается оклой вязкостного
сопротивления электролита, которая пропорциональна скорости дрейфа иона. Напри-
мер, для положительного иона д+Е+*+-=0, где сила сопротивления F+— — с+ (▼+),
а с+ — положительный коэффициент пропорциональности, так что <т+>=д+Е, где
д+ = д+/с+
4.	С помощью выражений (20.12) плотность тока в электролите можно представить
в форме
Хд+Ио+д+-д_ло_д_)Е.	(20.13)
В электролитах, так же как в металлических проводника*, нет объемных зарядов
Поэтому q+no++q_nn-’a=O н
|-У4.ло+ (д+ +Д-)Е.
(20.13')
255
Образование ионов в электролите не сказано с прохождением электрического тока.
Поэтому их концентрации Ло+ и ц>_, подобно подвижностям ц+ и р_, ие зависят от
напряженности электрического поля. Таким образом, формулы (20 13) и (20. ГУ) пока-
зывают, что для плотности тока в электролитах выполняется заняв Ома.
меткость тока в аивктроитв пропорциевалыш манржммм-
сти алантрнчасмаго шил и совпадает с кай во иааравлалим.
5.	Заряд положительного иона равен произведению элементарного заряда е на валент-
ность иона Z+ g+=eZ+. Поэтому закон Ома (20 133 М1 плотности тока в электроли-
тах можно записать в виде
j=eZ+no+ (д+ +д_)Е=Е/р.	(20.14)
Удельное электрическое сопротивление электролита
p=[*Z+rt0+(M++д_)Г‘.	(20.15)
Концентрация положительных ионов зависит от концентрации ло молекул электро-
лита, коэффициента диссоциации а и числа к+ положительных ионов, образующихся
при диссоциации одной молекулы Пд+-^к+ало. Следовательно,
p=[eZ+fc+ooio(M++д_)]"1	(20 15')
или
р-[Г«С(д++д_)Г‘,	(20.16)
где C^k+Z+ng]NK — жяшалевпая пмиежгращв мяпрошта.
С повыше наем температуры раствора электролита его удельное электрическое
сопротивление р уменьшается, так как, во-первых, увеличивается коэффициент дис-
социации а, во-вторых, уменьшается вязкость раствора и соответственно возрастают
подвижности ионов и д_. Зависимость р от концентрации растворе имеет сложный
характер, так как при изменении концентрации изменяются также коэффициент дис-
социации и подвижности ионов При малых концентрациях а и (р++р_) изменяются
мало, так что р убывает обратно пропорционально С. При дальнейшем увеличении
концентрации р достигает минимума, а затем возрастает вследствие убывания как
коэффициента диссоциации а, так и подвижностей ионов
Как показывают опыты, ионной проводимостью обладают не только водные
растворы солей, кклот и щелочей, но и, например, расплавленные соли. Это явление
широко используется в электрометаллургии для получения алюминия, магния и рада
других металлов.
§ 20.3.	Электропроводность газов
1.	Газы в отличие от металлов и электролитов состоят из электрически нейтральных
атомов и молекул, т е не содержат свободных заряженных частиц — носителей тока, I
способных приходить в упорядоченное движение под действием электрического поля.
Следовательно, при обытяых условиях газы не проводят электрический ток. Газ
становится проводником, если часть его молекул ионизировать, т. е. расцепить на
свободные электроны и положительные ноны. В газе могут образовываться и от-
рицательные ионы вследствие присоединения части освободившихся Электронов к всй-|
тральным молекулам газа.	|
Атомы и молекулы — устойчивые системы заряженных частиц. Поэтому для ионич
зации атома (или молекулы) газа необходимо совершить работу вожмивв Лж. Работы
256
ионизации зависит от химической природы газа и энергетического состояния вырыва-
емого электрона в ионизируемом атоме или молекуле. Наиболее слабо связаны в атоме
внешние (валентные) электроны. Поэтому для удаления из атома валентного электрона
нужно затратить меньшую работу, чем для вырывания любого другого электрона
атома. После удаления из атома валентного электрона и образования таким образом
положительного иона прочность связи остальных электронов возрастает. Следователь-
но, для удаления из однократно ионизированного атома (одновалентного иона) еще
одного электрона нужно совершить работу, которая значительно больше работы
отрыва первого ьэлектрона. Так, например, работа ионизации атома азота (N) равна
14,5 эВ, а его одновалентного иона (N+) — 29,6 эВ, двухвалентного иона (N+ *) — 47,4
эВ и т. д.
2.	Работу ионизации можно характеризовать с помощью потенциала ионизации.
Потенциалом ионизации <ря называется разность потенциалов, которую должен
пройти электрон в ускоряющем электрическом поле, чтобы увеличение его энергии
было равно работе ионизации.
Из (13.25) следует, что
<Pn=A„/e.	(20.17)
Значения потенциалов ионизации некоторых атомов и молекул приведены в табл. 20.1.
Таблица 20.1
Атомы	н	Не	О	N	Ne	а	Na	Hg	К	Ar
Фи. В	13,6	24,6	13,6	14,5	21,6	13,0	5,14	10,4	4,34	15,8
Молекулы	н2	о2	Н2О	n2	no2	Cl2	CO2	CO	HC1	NO
Фи. В	15,4	12,2	12,6	15,6	12,3	11,3	13,8	14,0	12,6	9,2
3.	Ионизация газа может происходить под влиянием различных внешних воздейст-
вий — сильного нагрева газа, рентгеновского излучения, гамма-излучения, бомбар-
дировки молекул газа быстро движущимися электронами, ионами, нейтронами и дру-
гими частицами. Количественной характеристикой процесса ионизации служит интен-
сивность ионизации, равная числу пар противоположных по знаку заряженных частиц,
возникающих в единице объема газа за единицу времени.
В обычных условиях газ подвергается действию космического н радиоактивного
излучений. Поэтому, строго говори, проводимость газа никогда не равна нулю- в нем
всегда имеются свободные заряженные частицы, если только не приняты специальные
меры защиты газа от действия всех естественных внешних ионизаторов. Однако
интенсивность ионизации под влиянием космических лучей и распада рассеянных
в земной коре радиоактивных элементов очень мала. Поэтому проводимость газов
в естественных условиях хотя и не равна нулю, но очень мала. В дальнейшем показано,
что присутствие в газах даже малого количества свободных электронов и ионов играет
существенную роль в возникновении заметной проводимости газов в достаточно
сильных электрических полях.
4.	Рассмотрим подробнее процесс ионизации газа под действием быстро движущихся
электронов, ионов и других частиц, получивший название ударной нонвзаци. Для
простоты будем считать, что газ — одноатомный. При столкновении частицы с ней-
тральным атомом газа она передает ему часть своей энергии. Если кинетическая
энергия частицы сравнительно мала, то, как показывают опыты, ее соударение
: атомом является упругим. Энергия, сообщаемая атому в этом случае, недостаточна
тля его ионизации. Бомбардировка атомов газа такими частицами вызывает лишь
агревание газа.
Совершенно иначе происходят соударения с атомами газа частиц, кинетическая
нергия которых достаточно велика. В этом случае, как показывают опыты, соударения
Курс физики
257
становятся неупругими и вызывают возбуждение атомов газа, т. е. перевод атома из
нормального энергетического состояния в состояние с повышенной энергией, или даже
ионизацию атома. Оценим  минимальное значение кинетической энергии, которой
должна обладать частица для того, чтобы вызвать ударную ионизацию атома газа.
Скорость теплового движения молекул во много раз меньше скорости ионизирующей
частицы. Поэтому можно считать, что до удара атом неподвижен. Полагая, что
скорость v ионизирующей" частицы во много раз меньше скорости света в вакууме,
а масса частицы равна т и применяя закон сохранения импульса при неупругом ударе
(5.2) к столкновению частицы с атомом, получим
гт = (т+М}и,	(20.18)
где М масса атома; а — скорость частицы и атома после удара. При этом прибли-
женно считается, что скорость электрона, выбитого из атома, тоже равна а. Начальная
кинетическая энергия частицы расходуется при ударе на работу ионизации А„ и сообще-
ние атому и частице кинетической энергии, соответствующей их скорости а после
удара:
i/1mvi = An+i/1(m+M)u1.	(20.19)
Подставив в (20.19) и из (20.18), получим
т1	т+М	/ т\
— = Л„-	= Л„ 1+-
2	М	\ MJ
(20.20)
Таким образом, минимальная кинетическая энергия, которой должна обладать
частица для осуществления ударной ионизации атома газа, не может быть меньше
работы ионизации А* и будет тем ближе к Ая, чем меньше масса частицы по сравнению
с массой атома. Для электрона эта энергия меньше, чем для любого иона. В одном
и том же ускоряющем электрическом поле электрон и одновалентный ион приобрета-
ют одинаковую кинетическую энергию е Д<^. Поэтому для осуществления ударной
ионизации ионы должны пройти в ускоряющем электрическом поле бблыпую разность
потенциалов, чем электроны. Работа, необходимая для возбуждения атома, меньше
работы ионизации. Следовательно, иеупругие столкновения частиц с атомами газа
возможны и при энергии частиц, меньшей значения, получаемого по формуле (20.20).
Процесс столкновения частицы с молекулой, состоящей из двух,или большего числа
атомов, качественно подобен рассмотренному для одноатомного газа. Однако следует
иметь в виду, что возбуждение двухатомной и более сложной молекулы может
состоять в увеличении энергии не только ее электронов, но также вращательного
и колебательного движений молекулы.
5.	Одновременно с ионизацией газа в его объеме происходит и обратный процесс
рекомбинации ионов и электронов в нейтральные ча-
стицы — атомы и молекулы.
Рассмотрим опыт, иллюстрирующий процесс рекомбина-
ции (рис. 20.3).
Опыт. В стеклянный сосуд А, расширяющийся вниз, впа-
яны электроды В, С и D, соединенные с одинаковыми элект-
роскопами. Электроскопы заряжают так, чтобы их листочки
разошлись на одинаковые углы (рис. 20.3, а). Затем под
цилиндр А подводится газовая горелка, в пламени которой
воздух ионизируется. Струя горячего ионизированного воз-
духа поднимается в цилиндре А вверх. При этом листочки
электроскопа Ь быстро спадают, листочки электроскопа с спа-
дают значительно медленнее, а отклонение листочков элект-
роскопа d вообще не изменяется (рис. 20.3, б). Из опыта
следует, что и течение времени, необходимого для подъема
ионов до уровня электродов до С и £>, Происходит постепен-
ное уменьшение электропроводности нагретого воздуха, обу-
словленное процессом рекомбинации.
258
§ 20.4.	Несамостоятельный газовый разряд
1.	Прохождение электрического тока через газ называется электрическим разрядом
в газе или газовым разрядом.
Если электропроводность газа создается и поддержшается за счет действия вне-
шнего источника ионизации, то происходящий при этом электрический разряд в газе
называется несамостоятельшм газовым разрядом. Несамостоятельный газовый разряд
прекращается, как только прекращается действие внешнего ионизатора.
На рис. 20.4 показана схема установки для изучения вольт-амперной характеристи-
ки (ВАХ) несамостоятельного газового разряда в заполненной газом стеклянной
трубке М, т. е. зависимости силы тока / от напряжения (разности потенциалов)
U между электродами А и К, впаянными в трубку. Напряжение регулируется потенци-
ометром Р и измеряется вольтметром V. Для измерения силы тока I служит чувст-
вительный гальванометр G. Газ ионизируется рентгеновским излучением, испускаемым
рентгеновской трубкой R (электрическая цепь питания этой трубки на рисунке не
показана). Интенсивность ионизации газа в трубке М не изменяется во время опыта
2. Результаты измерений представлены на графике, изображенном на рис. 20.5. При
небольших значениях напряжения (7 сила тока I пропорциональна U (область /). Это
легко понять, если учесть, что несамостоятельный газовый разряд подобен току
в электролитах: оба они осуществляются упорядоченно движущимися ионами (свобод-
ные электроны в ионизованном газе можно рассматривать как простейшие отрицатель-
ные ионы). Следовательно, в данном случае для, плотности тока j в разряде можно
воспользоваться выражением (20.13'). При ионизации газа обычно образуются электро-
ны и одновалентные положительные ионы. Поэтому можно принять, что д+=е
н «о+ = по, где ло — число пар ионов в единице объема газа. Тогда, согласно (20.13'),
)=ело(д++д_)Е.	(20.21)
Как показывает опыт, подвижности газовых ионов в широком интервале давлений
обратно пропорциональны давлению и при не слишком больших значениях напряжен-
ности поля Е ие зависят от Е. Таким образом, при небольших значениях Е несамосто-
ятельный разряд в газе подчиняется закону Ома.
3.	При дальнейшем увеличении напряжения U между электродами линейная зависи-
мость силы тока I от U нарушается (область 2) — сила тока растет медленнее, чем U.
Эта закономерность связана со следующим существенным отличием несамостоятель-
ного газового разряда от тока в электролитах — убыль ионов, участвующих в прово-
дкмости электролита и нейтрализующихся у электродов, непрерывно пополняется
 объеме электролита за счет диссоциации новых молекул. Поэтому число лд пар иоиов
к единице объема электролита в первом приближении не зависит от плотности тока
к остается постоянным. В несамостоятельном газовом разряде пополнение ионов
259
в газе целиком зависит от мощности внешнего источника ионизации. Поэтому можно
считать, что по—const и J пропорционально Е (соответственно / пропорционально U)
только при малых значениях плотности н силы тока, т. е. при малых значениях Ей U.
При дальнейшем увеличении Е концентрация иоиов убывает, что приводит к наруше-
нию закона Ома в области 2.
4.	Начиная с некоторого значения напряжения UB сила тока при несамостоятельном
разряде остается неизменной, несмотря на дальнейшее увеличение напряжения (об-
ласть J). Это явление объясняется тем, что все ионы, возникающие в газе, ие успевают
на пути к электродам воссоединяться в нейтральные молекулы: все они доходят до
электродов. Сила тока газового разряда достигает наибольшего значения, возможного
при данной интенсивности ионизации, определяющейся внешним ее источником. Этот
ток называется током насыщения /н. Если пш — число пар одновалентных иоиов,
образующихся в газе эа I с под действием внешнего ионизатора, то ток насыщения
равен
/н=епот.	(20.22)
При дальнейшем увеличении напряжения между электродами сила тока начинает
резко возрастать (область 4). Это явление, обусловленное возникновением ударной
ионизации газа и резким возрастанием числа свободных носителей заряда, рассмат-
ривается в § 20.5.
§ 20.5.	Самостоятельный газовый разряд
1.	Электрический разряд в газе, сохраняющийся после прекращения действия внешне-
го ионизатора, называется самостоятельным газовым разрядом.
Для его осуществления необходимо, чтобы в результате самого разряда в газе
непрерывно образовывались носители тока. Основным источником их возникновения
является ударная ионизация молекул газа.
Рассмотрим влияние напряжения U между электродами газоразрядной трубки
М (рис. 20.4) на проводимость газа и процессы, происходящие в нем при разряде. Если
напряжение U достаточно велико, то электроны, возникающие в газе под действием
внешнего ионизатора R, настолько сильно ускоряются электрическим полем, что при
столкновениях с молекулами газа ионизируют их. При этом образуются вторичные
электроны и ионы. Вторичные электроны тоже ускоряются электрическим полем
и в свою очередь ионизируют новые молекулы газа. Таким образом, число носителей
тока в газе и его проводимость сильно возрастают. В этом и состоит причина резкого
увеличения тока в начале области 4. Однако ударная ионизация, производимая одними
только электронами, недостаточна для поддержания разряда после удаления внешнего
ионизатора, т. с. для осуществления самостоятельного разряда. В самом деле, каждый
электрон движется в электрическом поле газоразрядной трубки в направлении от'
катода к аноду. Поэтому он может ионизировать только те молекулы газа, которые j
лежат ближе к аноду по сравнению с местом его собственного возникновения. Иными
словами, если энергия положительных ионов недостаточна для ударной ионизации
молекул газа или для выбивания электронов из металлического катода газоразрядной
трубки, то вблизи последнего свободные электроны могут возникать только благодаря
действию внешнего ионизатора. В случае внезапного прекращения его действия область
ударной ионизации газа электронами будет сокращаться, стягиваясь к аноду по мере
движения к нему электронов, так что вскоре ударная ионизация газа и электрический
разряд в нем прекратятся совсем.
2.	Совершенно иная картина наблюдается, если напряжение U столь велико, что
положительные ионы также приобретают способность порождать вторичные электро-
ны*. В этом случае образуется двухсторонняя лавина электронов и положительных
•Опыты показывают, что в большинстве случаев для , выбивания электрона из катод
положительный ион должен совершать меньшую работу, чем для ударной ионизации молеку:
газа. Поэтому основной причиной появления вторичных электронов под действием положитель
ных ионов является процесс выбивания электронов из катода газоразрядной трубки.
260
ионов, возникающих во всех частях объема газа. Теперь внешний ионизатор уже не
играет практически никакой роли в осуществлении газового разряда, так как число
Создаваемых им первичных электронов и ионов ничтожно мало по сравнению с числом
вторичных электронов и ионов, образующихся благодаря указанным выше процессам.
Поэтому прекращение действия внешнего ионизатора никак не отражается на даль-
нейшем протекании газового разряда. Таким образом, при достаточно большом
напряжении на электродах газоразрядной трубки несамостоятельный газовый разряд
может перейти в самостоятельный. Этот переход называется электрическим пробоем
газа, а соответствующее ему напряжение U, напряжением зажигания, или напряжени-
ем пробоя.
Из сказанного ясно, что для возникновения электрического пробоя газа необ-
ходимо, чтобы в газе имелось хотя бы небольшое начальное число свободных носи-
телей заряда, способных сыграть роль «запала». Однако для этого не требуется
применения специальных внешних ионизаторов (например, рентгеновского излучения),
так как в естественных условиях газ всегда подвергается действию космических лучей
и радиоактивного излучения Земли, вызывающих ионизацию небольшой части моле-
кул газа.
3.	Мы рассмотрели упрощенную картину возникновения и протекания самостоятель-
ного газового разряда, в которой не учитывается ряд процессов, играющих в разряде
более или менее существенную роль. Укажем на некоторые из них. Сталкиваясь
с молекулами газа, электроны и ионы, обладающие недостаточной энергией для
ионизации молекул, могут переводить их в возбужденные состояния. Возвращаясь
в нормальное состояние, возбужденные молекулы излучают свет. Испускание света
происходит также при рекомбинации положительных ионов с электронами (реком-
бинационное свечение). Свет, падая на катод газоразрядной трубки, может вызвать
фотоэлектронную эмиссию. Кроме того, при интенсивной бомбардировке катода
положительными ионами возможно столь сильное нагревание катода, что существен-
ную роль начинает играть-термоэлектронная эмиссия из катода (например, именно так
обстоит дело в дуговом разряде).
4.	Опыты показывают, что напряжение зажигания U3 6 газоразрядной трубке с плос-
кими электродами, параллельными друг другу, зависит от химической природы газа,
материала катода и произведения давления р газа на расстояние d между электродами
трубки. Чем меньше потенциал ионизации молекул газа и чем меньше работа выхода
электрона из катода, тем при прочих равных условиях меньше напряжение зажигания.
Более сложный вид имеет зависимость U3, представленная на рис. 20.6- Ее можно
пояснить следующим образом. Зависимость напряжения зажигания от давления газа
и расстояния между электродами определяется двумя условиями возникновения само-
стоятельного газового разряда: во-первых, необходимо, чтобы энергия, приобретаемая
электронами под действием электрического поля, была достаточна для ударной иони-
зации молекул газа, а энергия, приобретаемая положительными ионами, была до-
статочна для выбивания электронов из катода; во-вторых, необходимо, чтобы вероят-
ность неупругих столкновений электронов с молекулами газа была сравнительно
велика, так как в противном случае число носителей тока в газе и его проводимость
будут малы. Электроны и положительные ионы ускоряются электрическим полем
в процессе их свободного пробега между двумя по-
следовательными столкновениями с молекулами га-
за. С увеличением давления газа средние длины сво-
бодного пробега электронов и ионов уменьшаются.
Поэтому для сообщения им необходимой энергии
нужно увеличивать напряженность электрического
поля, т. е. при постоянном d увеличивать напряжение
между электродами газоразрядной трубки. Этим
объясняется возрастание напряжения зажигания
с увеличением pd при pd> (pd)n (рис. 20.6). В области
малых значений pd<(pd)a решающую роль играет
второе условие. При малых р или d вероятность
столкновения электронов с молекулами газа значите-
। льно меньше, чем при большом значении pd. Поэто-
261
му нужно, чтобы возможно большее число этих столкновений было неупругим. Иными
словами, в области малых значений pd с уменьшением давления газа нужно увеличи-
вать напряженость электрического поля. Этим объясняется возрастание 17, с уменьше-
нием pd при pd<(pd)0. Напряжение зажигания в значительной степени зависит от
содержания в газе примесей.
5.	Существует несколько различных видов самостоятельного разряда в газах, которые
отливаются друг от друга как по внешнему виду, так и по характеру физических
процессов, обусловливающих их возникновение и протекание. К ним относятся тле-
ющий, коронный, искровой, Дуговой и другие разряды.
§ 20.6.	Тлеющий разряд
1.	Тлеющий рвзряд представляет собой один из видов стационарного самостоятель-
ного разряда в газах, обычно наблюдающегося при низких давлениях газа порядка
нескольких килопаскалей и меньше. Он происходит в разрядных трубках с холодным
катодом и отличается малой плотностью тока на катоде и большим падением потенци-
ала (порядка сотен вольт) в области разряда около катода. На рис. 20.7 изображена
трубка с тлеющим разрядом и показано распределение потенциала <р вдоль се оси.
Основными частями тлеющего разряда являются: катодное темвое пространство (об-
ласть I), резко отделенное от Него отрмятельвое, или тлеющее, свечение (область II),
которое постепенно переходит в область фарадеевв темного пространстве (область III).
Эти три области образуют катодаую часть разряде, за которой следует основная
светящаяся часть разряда, определяющая его оптические свойства и называемая поло-
жительшм столбом (область IV).
2.	Основную роль в поддержании тлеющего разряда играют первые две области его
катодной части. Резкое падение потенциала вблизи катода связано с большой концент-
рацией положительных ионйв иа границе областей I и II, обусловленной сравнительно
малой скоростью движения ионов к катоду. В катодном темном пространстве проис-
ходит сильное ускорение электронов и положительных ионов, выбивающих электроны
из катода. В области тлеющеТб свечения электроны производят интенсивную ударную
ионизацию молекул газа и теряют свою энергию. Здесь образуются положительные
ионы, необходимые для поддержания разряда. Напряженность электрического поля
в этой области мала. Тлеющее свечение в основном вызывается рекомбинацией элект-
ронов и иоиов. Протяженность катодного темного пространства определяется свойст-
вами газа и материала катода. '
В области положительного столба концентрация электронов и иоиов приблизитель-
но одинакова и очень велика, что обусловливает высокую электропроводность положи-
тельного столба и незначительной' падение в ием потенциала. Свечение положитель-
ного столба определяется свечением возбужденных молекул газа. Вблизи аиода виовь
наблюдается сравнительно резкое (вменение потенциала, связанное с процессом гене-
рации положительных ионов. Ъ ряде случаев положительный столб распадается иа
отдельные светящиеся участки —
страты, разделенные темными про-
межутками. Положительный столб
ие играет существенной роли в под-
держании тлеющего разряда. Поэто-
му при уменьшении расстояния меж-
ду электродами трубки длина поло-,
жительного столба сокращается и он",
может исчезнуть совсем.	.
Иначе обстоит дело с длиной ка-1
годного темного пространства, кото-4
рая при сближении электродов не из-4
меняется. Если электроды сблизить!
настолько, что расстояние между ни-4
ми станет меныйе' длины катодногм
темного пространства, то тлеющим
разряд в газе прекратится. Опыты!
262
показали, что при прочих равных условиях длина катодного темного пространства
обратно пропорциональна давлению газа. Следовательно, при достаточно низких
давлениях электроны, выбиваемые из катода положительными нонами, проходят через
газ почти без столкновений с его молекулами, образуя жятщ^ые лучв.
3.	Тлеющий разряд используется в газосветных трубках, дампах дневного света,
стабилизаторах напряжения, для получения электронных и ионных пучков. Если в като-
де трубки тлеющего разряда сделать щель, то сквозь нее в пространство за катодом
проходит пучок ионов, часто называемый кяшловыми лучами.
В лабораторной практике используется явление катодного раоиаламя — разруше-
ние поверхности катода разрядной трубки в результате ударов положительных ионов.
Ультрамикроскопические осколки материала катода летят во все стороны и покрыва-
ют тонким слоем поверхность тела, помещенного в трубку. Таким способом наносят,
тонкий слой металла на поверхность твердого тела, сделанного из стекла, слюды,
других металлов и т. д.
§ 20.7.	Самостоятельный разряд при нормальном и большим давлениям
1.	Различают несколько форм самостоятельного разряда при нормальном и больших
давлениях: коронный,4 кистевой, искровой и дуговой разряды.
КоромшЙ разряд возникает при нормальном давлении в газе, находящемся в силь-
но неоднородном электрическом поле (например, Около остриев или проводов линий
высокого напряжения). При коронном разряде ионизация газа и его свечение проис-
ходят питт. вблизи коронирующнх электродов. В случае коронирования катода (от-
рицательная корона) электроны, вызывающие ударную ионизацию молекул газа, выби-
ваются из катода при бомбардировке его положительными ионами. Если коронирует
анод (ноложкгельная корона), то рождение электронов происходит вследствие фотоио-
низации газа вблизи анода. В линиях высокого напряжения коронный разряд — вред-
ное явление, сопровождающееся утечкой тока и потерей электрической энергии. Для
уменьшения коронирования увеличивают радиус кривизны проводников, а их поверх-
ность делают возможно более гладкой. Коронный разряд находит полезное примене-
ние в установках для электрогазоочистки и других устройств электронно-ионной
технологии.
При повышенном напряжении коронный разряд на острие приобретает вид ис-
ходящих из острия и перемежающихся во времени светящихся линий. Эти линии имеют
рад изломов н изгибов и образуют подобие кисти, вследствие чего такой разряд
называется кистевым.
2.	Если напряжение U менаду электродами увеличивать, то при достаточно большом
значении U коронный разряд переходит в искровой. Иосроаой разряд представляет
собой нестационарный самостоятельный разряд в газе, имеющий вид ярких зигзагооб-
разных нитей-каналов (рис. 20.8), которые пронизывают разрядный промежуток между
электродами и исчезают, сменяясь новыми. Исследования показали, что каналы ис-
крового разряда начинают расти иногда от положительного электрода, иногда от
отрицательного, а иногда и от какой-либо точки между электродами. Эго объясняется
тем, что ионизация ударом в случае искрового разряда происходит не по всему объему
газа, а по отдельным каналам, проходящим в тех местах, в которых концентрация
юнов случайно оказалась наибольшей. Искровой разряд сопровождается выделением
большого количества теплоты, ярким свечением газа, треском и громом. Все эти
авления вызываются электронными и ионными лавинами, которые возникают в ис-
кровых каналах и приводят к увеличению давления и температуры. Примером гигантс-
юго искрового разряда в атмосфере между заряженными облаками или между обла-
юм и Землей является ноли. Сила тока
I главном разряде молнии достигает десят-	1
юв и сотен тысяч ампер.
Искровой разряд широко используется
I технике. Он лежит в основе электроиск-
ровой обработки металлов и сплавов, при-
меняется для воспламенения горючей смо-
га в карбюраторных двигателях внутрен-	Рис. 20.8
263
него сгорания, для защиты электрических цепей от перенапряжений и т. д Искровой
разряд используется в спектроскопии, а также для измерения больших разностей
потенциалов с помощью шарового разрядника, электродами которого служат два
полированных металлических шара. Шары раздвигают и на них подается измеряемая
разность потенциалов. Затем шары сближают до тех пор, пока между ними не
проскочит искра. Зная диаметр шаров, расстояние между ними, давление, температуру
н влажность воздуха, находят разность потенциалов шаров с помощью специальных
таблиц. Этим методом можно измерять с точностью до нескольких процентов раз-
ности потенциалов порядка десятков киловольт.
3.	Дуговой разряд был открыт В. В. Петровым (1802). Этот газовый разряд осуществ-
ляется при большой плотности тока и сравнительно небольшом напряжении между
электродами (порядка нескольких десятков вольт). Основной причиной дугового раз-
ряда является интенсивное испускание термоэлектронов раскаленным катодом. Эти
электроны ускоряются электрическим полем и производят ударную ионизацию моле-
кул газа, благодаря чему электрическое сопротивление газового промежутка между
электродами сравнительно мало. Если, уменьшая сопротивление внешней цепи, увели-
чить силу тока дугового разряда, то проводимость газового промежутка столь сильно
возрастает, что напряжение между электродами уменьшается. Поэтому говорят, что
дуговой разряд имеет падающую вольт-амперную характеристику. При атмосферном
давлении температура катода достигает 3000 °C. Электроны, бомбардируя анод, созда-
ют в нем углубление (кратер) и нагревают его. Температура кратера около 4000 °C,
а при больших давлениях воздуха достигает 6000 — 7000 °C. Температура газа в кана-
ле дугового разряда достигает 5000 — 6000 °C, поэтому в нем происходит интенсивная
термоионизация. В ряде случаев дуговой разряд осуществляется и при сравнительно
низкой температуре катода (например, в ртутной дуговой лампе).
4.	Впервые дуговой разряд был использован в качестве источника света П. Н. Яблоч-
ковым (1876). В «свече Яблочкова» угольные электроды были расположены параллель-
но и разделены изолирующей прослойкой, а их концы соединены проводящим «запаль-
ным мостиком». При включении тока запальный мостик сгорал и между углями
образовывалась электрическая дуга. По мере сгорания углей изолирующая прослойка
испаряется. Дуговой разряд применяется как источник света и в наши дни, например
в прожекторах и проекционных аппаратах.
Высокая температура дугового разряда позволяет использовать его для устройства
дуговой пеня. В настоящее время дуговые печи, питаемые током очень большой силы,
применяются в ряде областей промышленности — для выплавки стали, чугуна, фер-
росплавов, бронзы, получения карбида кальция, оксида азота и т. д.
Н. Н. Бенардос (1882) впервые использовал дуговой разряд для резки и сварки
металла. Для нагрева места соединения двух свариваемых металлических листов или
пластин Бенардос применил дуговой разряд между неподвижным угольным электро-
дом и металлом. Тот же метод Бенардос применил для резки металлических пластин
и получения в них отверстий. Н. Г. Славянов (1888) усовершенствовал этот метод
сварки, заменив угольный электрод металлическим.
Дуговой разряд нашел также применение в ртутном выпрямителе, преобразующем
переменный электрический ток в ток постоянного направления.
§ 20.8.	Границы применимости закона Ома
1.	Закон Ома утверждает, что плотность электрического тока проводимости j пропор-,
циональна напряженности Е электрического поля в проводящей среде:	j
j = yE,	(20.23),'
где у — удельная электрическая проводимость среды, не зависящая от напряженности^
поля.
Для того чтобы выяснить границы применимости закона Ома, нужно проанализи-
ровать те допущения, которые были сделаны при выводе этого закона в классической
электронной теории электропроводности. Согласно соотношениям (18.9) и (18.10) этой
теории для металлов,	'
264
j = noe2<t> E/(2m),
(20.24)
Где — средняя продолжительность свободного пробега электронов в металле.
Аналогично, для плотности электрического тока проводимости в электролитах
и газах
"о+9+О+> "о-92_<т_>
।-----------------------
2лг+	2лт_
(20.24')
где Ло+ и Ло_, д+ и д_, т+ и пт_, <т+> и — концентрации, заряды, массы и средние
продолжительности свободного пробега положительных и отрицательных ионов, явля-
ющихся носителями тока в электролитах н газах.
2.	Из (20.24) и (20.243 видно, что для выполнения закона Ома необходимо соблюдение
следующих двух условий:
а)	независимость средних продолжительностей свободного пробега носителей тока
(электронов и ионов) от напряженности Е электрического поля;
б)	независимость концентраций носителей от Е.
Из первого условия следует, что средняя скорость упорядоченного движения
(дрейфа) носителей тока должна быть значительно меньше средней скорости (и) их
теплового движения, т. е.
(20.25)
так как только в этом случае можно считать, что <т> не зависит от скоростей дрейфа
носителей тока, а следовательно, и от Е:
<т> = <Л>/<|и+у|>«<Л>/<н>.
Очевидно, что условие (20.25) соблюдается, если работа, совершаемая силами поля
над носителем тока на средней длине его свободного пробега <Л>, мала по сравнению
со средней энергией теплового движения носителя:
МЕ<Л>«£7.
(20.25')
Так как \g\ = Ze, где Z— валентность иона, то |?| того же порядка, что е. Поэтому
первое условие выполнения закона Ома имеет вид
Е«£Т/(е<Л».
(20.26)
3.	Рассмотрим некоторые частные случаи.
1.	Металлы. Средняя длина свободного пробега электронов проводимости
(Л>~10 в м и при 7-300 К
кТ 1,4 10"23-300 В
£о=----------------------3 МВ/м.
е<Л> 1,6 КГ1* 10"’ м
1,4 10-23-300 В
Напряженность электрического поля в металлических проводниках никогда не
бывает столь большой. Например, даже при огромной плотности тока /—100 А/мм2
в проводе, изготовленном из нихрома, который имеет сравнительно большое удельное
электрическое сопротивление р = 10“6 Ом м, напряженность поля E=pj~ 102 В/м.
Таким образом, для электрического тока в металлических проводниках условие
(20.26) всегда выполняется. То же самое можно сказать и об электрическом токе
В электролитах.
2.	Газы. Будем приближенно считать, что средняя длина свободного пробега ионов
'^ало отличается от средней длины свободного пробега молекул газа:
<Л> х
265
где d эффективный диаметр молекул газа; р — давление газа. Следовательно,
kT Jlr.d'p
Ьо=——®----------Зр,
е<Л> е
так как d2~ 10“19 м2.
При нормальных условиях значение Eq достаточно велико: £^~3' 10’ В/м, так что
в слабых полях условие (20.26) выполняется. Однако в разреженном газе Eq мало
и условие (20.26) нарушается. Например, при р=10 Па (около 0,1 мм рт. ст.) Ео~
~ 30 В/м. Поэтому закои Ома неприменим к электрическому току в разреженных газах
(например, к тлеющему разряду).
4.	Рассмотрим теперь второе условие справедливости закона Ома. В металлах и элект-
ролитах оио выполняется всегда, так как в них концентрации носителей тока чре-
звычайно велики и совершенно не зависят ни от плотности тока, ни от напряженности
электрического поля. Иначе обстоит дело с электрическим током в газах. Например,
при несамостоятельном разряде в газе пополнение носителей тока целиком зависит от
мощности внешнего источника ионизации, а их убыль из-за ухода иа электроды
возрастает с ростом напряженности поля. Соответственно по мере увеличения напря-
женности поля рост плотности разрядного тока все сильнее замедляется (см. рис. 20.5),
пока, наконец, не прекращается совсем. Такое же явление насыщения наблюдается
в случае термоэлектронного тока в вакууме (см. рис. 18.4), который тоже ие подчиняет-
ся закону Ома.
При самостоятельном разряде прохождение тока через газ сопровождается и под-
держивается процессами интенсивной генерации носителей тока. К самостоятельному
разряду закои Ома неприменим. Наглядным свидетельством этого может служить
дуговой разряд, который имеет падающую вольт-ампериую характеристику.
5.	В заключение заметим, что закои Ома для плотности тока может выполняться ие
только в случае стационарного электрического поля и соответственно постоянного
электрического тока. Он справедлив и для переменного тока проводимости, если
только помимо двух вышеприведенных условий выполняется еще одно условие:
Т» (т), где Т период изменеиия электрического поля, (т) среднее время свобод-
ного пробега носителей тока (для электронов проводимости в металлах 10“13 с).
§ 20.9.	Плазма
1.	Плазмой называется квазинейтральный ионизованный газ, т. е. такой ионизованный
газ, в котором объемные плотности положительных (р+) и отрицательных (р_) зарядов
практически одинаковы по абсолютному значению:
р+=|0-1 или р++р_=0.	(20.27)
Из-за теплового движения иоиов мгновенные значеиия р+ и р_ совершают бес-
порядочные колебания (тепловые флуктуации) около средних значений, так что равен-
ства (20.27) непрерывно нарушаются в той или ииой степени. Поэтому определение
квазииейтральиости плазмы нуждается в следующем уточнении: ионизованный газ
можно считать плазмой, если его объем V во много раз больше объемов областей газа,
в пределах которых возможны заметные случайные отклонения от нуля суммы поло-
жительных и отрицательных зарядов, обусловленные тепловым движением ионов
и электронов, т. е.
Г»£>3,	(20.28)
где D характерный размер, называемый дебаевским радиусом экранирования.
2.	Для выяснения характера зависимости дебаевского радиуса экранирования от
параметров плазмы рассмотрим простейшую плазму, состоящую из свободных элект-
ронов и однозарядных положительных ионов. Из-за квазииейтральиости плазмы рав- j
новесные концентрации электронов и иоиов одинаковы и равиы ло. Выделим мысленно I
часть плазмы, ограниченную сферой достаточно большого радиуса R (R»D). Пред-1
266
положим, что вследствие тепловых флуктуаций положительные ионы расширились
и заняли объем сферы радиуса R+D, то изменением концентрации положительных
ионов можно пренебречь и считать, что число ионов, перешедших в шаровой слой
толщиной D, равно N=47tK2.Dno, а их общий заряд 4+ = Ne= 4nR2Dnae. Соответственно
избыточный отрицательный заряд внутри сферы радиуса R равен <?_= — q+. Эту
систему зарядов можно приближенно 'рассматривать как заряженный сферический
конденсатор, энергия электрического поля которого Wt-=q\/(2C), где С — электроем-
кость конденсатора. По формуле (16.14), где R2—R[=D, a RtR2RtR2, имеем
C=4ne.0R2ID, так что
W,=(2nfa)R2n2e2D\	(20.29)
По закону сохранения и превращения энергии, Wt= W„ где — кинетическая
энергия теплового движения N положительных ионов до их перехода в шаровой слой.
Полагая среднюю кинетическую энергию одного иона равной */2кТ, получаем
(2n/£0)R2n2e1Di= 6nR2DnJcT
D^y/’iEjcT^noe2).
Это приближенное выражение отличается от точного зиачеиия D только коэффици-
ентом:
D=->/e^cT/(2noe2).	(20.30)
3.	Если бы заряженная частица М плазмы (положительный ион Или Электрой) находи-
лась в вакууме, то потенциал <р0 се электростатического поля был бы равеи
Фо = 9/(4яеог),
(20.31)
где q заряд частицы М\ т — расстояние от нее до рассматриваемой точки ее поля.
В плазме частица М окружена другими заряженными частицами. Благодаря куло-
новскому притяжению вблизи М преобладают частицы плазмы, заряды которых
противоположны по зиаку заряду q. Они ослабляют (экранируют) поле частицы
М в плазме. Как показывают расчеты, потенциал <р поля заряда q В плазме убывает
с расстоянием г значительно быстрее, чем в вакууме:
4 -r/D
<р—------е ,
4я£оГ
(20.32)
где D определяется по формуле (20.30).
Таким образом, приближенно можно считать, что иа расстояниях r>D электроста-
тическое поле иоиа или электрона в плазме практически полностью экранируется. Вот
почему размер D, являющийся одной из важнейших характеристик плазмы, называется
дебаевским радиусом экранирования.
4.	Плазма называется идеальной, или газовой, если потенциальная энергия кулоновс-
кого взаимодействия двух частиц плазмы, находящихся на среднем расстоянии друг от
друга, равном (г) = п0‘|/3, мала по сравнению с их кинетической энергией теплового
движения:
—e~™D«kT.	(20.33)
Условие (20.33) выполняется, если в плазме число Np частиц одного знака, находя-
щихся внутри сферы радиуса D, достаточно велико:
267
Л'р = */э’г^,’лО>> 1-
Термодинамические свойства идеальной плазмы с хорошей степенью точности
описываются уравнением состояния идеального газа р=покТ.
5.	Степенью ионизации плазмы а называется отношение числа ионизованных атомов
к их общему числу в плазме. В зависимости от величины а различают слабо ионизован-
ную плазму (и порядка долей процента), умеренно ионизованную плазму и полностью
ионизованную плазму (а близка к 100%).
Ионизация газа и образование плазмы может вызываться рядом процессов. К иим
относятся:
а)	термическая ионизация — в результате столкновений атомов достаточно сильно
нагретых газов (например, для водорода при 7=10* К и® 10%, а при 7=2 10* К
а® 98%);
б)	ударная ионизация заряженными частицами (например, при электрическом
разряде в газе);
в)	фотоионизация — ионизация газа за счет энергии падающего на газ электромаг-
нитного излучения.
в. В общем случае средние энергии теплового движения электронов, иоиов и нейтраль-
ных атомов в плазме могут быть разными. Такую термодинамически неравновесную
плазму называют неизотермической, так как ее нельзя охарактеризовать с помощью
одного какого-либо значения температуры. Из законов сохранения импульса и энергии
следует, что при упругих столкновениях очень легких электронов с массивными ионами
и атомами они почти не обмениваются энергией. Поэтому приближенно считают, что
в неизотермической плазме каждый сорт частиц находится в квазиравцовесиом состоя-
нии со своим значением температуры. Соответственно говорят об электронной (7,)
и ионной (7„) температурах. Так, например, в газоразрядной плазме тлеющего разряда,
заполняющей положительный столб разряда, электронная температура может до-
стигать 5 10* К, превосходя при этом ионную температуру во много десятков раз.
Существование такой неравновесной плазмы поддерживается за счет энергии разряд-
ного тока.
7. Расчеты показывают, что для неизотермической плазмы с однозарядными ионами
дебаевский радиус экранирования равен
D =	(Т3+ 7н)] = 7^7и/[иое2 (I + 7^7,)].	(20.34)
Если 7„« 7Э, то дебаевская длина D определяется ионной температурой плазмы.
В случае равновесной (изотермической) плазмы 7В = 7Э = 7 и значения D по формулам
(20.34) и (20.30) совпадают. В зависимости от значения ионной температуры различают
низкотемпературную плазму (7В< 10s К) и высокотемпературную плазму (7В> 107 К).
8. Взаимодействие заряженных частиц плазмы посредством дальнодействующих ку-
лоновских сил обусловливает качественное своеобразие свойств плазмы по сравнению
с обычными нейтральными газами. Поэтому плазму часто рассматривают как особое,
четвертое, состояние вещества. Плазму отличает сильное взаимодействие с внешними
электрическими и магнитными полями, обусловленное высокой электропроводностью
плазмы. Вторая особенность плазмы состоит в том, что между заряженными части-
цами плазмы существует не парное, а коллективное взаимодействие, осуществляющее-
ся через усредненные электрические и магнитные поля, которые создают сами эти
частицы. Благодаря этим коллективным взаимодействиям плазма ведет себя как
своеобразная упругая среда, в которой легко возбуждаются и распространяются
различного рода колебания и волиы. В частности, для плазмы характерны продольные
колебания объемного заряда, называемые ленгмюровскими колебаниями плазмы (см.
§ 27.2). Во внешнем магнитном поле плазма ведет себя как диамагнитная среда (см.
§ 24.3). Удельная электрическая проводимость полностью ионизованной плазмы не
зависит от плотности плазмы и увеличивается с ростом температуры 7 пропорци-
J/2
онально Т
268
9. Плазма наиболее распространеннбе состояние вещества во Вселенной. Солнце
и другие звезды состоят из полностью ионизованной высокотемпературной плазмы.
Основной источник энергии излучения звезд термоядерные реакции синтеза, проте-
кающие в недрах звезд при огромных температурах порядка 107	109 К. Холодные
туманности и межзвездная среда также находятся в плазменном состоянии. Они
представляют собой низкотемпературную плазму, ионизация которой происходит
главным образом путем фотоионизации под действием ультрафиолетового излучения
звезд. В околоземном пространстве слабоионизованная плазма находится в радиацион-
ных поясах и ионосфере Земли. С процессами, происходящими в этой плазме, связаны
такие явления, как магнитные бури, нарушения дальней радиосвязи и полярные сияния.
Низкотемпературная газоразрядная плазма, образующаяся при тлеющем, искро-
вом, дуговом и других разрядах в газах, широко используется в различных источниках
света, в газовых лазерах, для сварки, резки, плавки и других видов обработки метал-
лов. Плдзма служит в качестве рабочего тела в плазменных ракетных двигателях
и магнитогидродинамических генераторах (см. § 23.5). Особенно большие надежды
связываются с возможностью осуществления в будущем управляемой термоядерной
реакции синтеза в высокотемпературной плазме. Решение этой сложнейшей задачи
позволило бы человечеству получить практически неисчерпаемый источник энергии.
Вопросы:
1.	Каков физический смысл постоянной Фарадея?
2.	Опишите опыты по определению элементарного заряда.
3.	Подчиняется ли электрический ток в электролитах закону Ома?
4.	От каких характеристик электролита зависят его коэффициент диссоциации и удельное
электрическое сопротивление, а также подвижность ионоа?
5,	Почему для осуществления ударной ионизации газа ионы- должны иметь значительно боль-
шую кинетическую энергию, чем электроны?
S, Как объяснить существование тока насыщения при несамостоятельном газовом разряде?
Почему этот разряд не подчиняется закону Ома?
7, При каком условии несамостоятельный разряд в газе переходит в самостоятельный?
S. Обсудите границы применимости закона Ома
S. От каких параметров плазмы зависит ее дебаевский радиус экранирования?
10. В чем состоит качественное своеобразие свойств плазмы?
Глава 21_______________________________________
Действие магнитного поля
на движущиеся заряды и на проводники с током
§ 21.1.	Магнитное пола
1.	Занимаясь изучением электропроводности твердых, жидких и газообразных тел
и основных законов постоянного, тока, мы ограничивались рассмотрением процессов,
происходящих внутри проводников с токами. Однако этим ие исчерпываются все
явления, связанные с прохождением электрического тока. Опыты показали, что вокруг
проводников с током и постоянных магнитов существует магнитное поле, которое
легко обнаружить по его силовому действию на движущиеся электрические заряды,
другие проводники с током и постоянные магниты.
2.	Из курса физики средней школы известны элементарные сведения о магнетизме,
а именно, что все постоянные магниты (полосовые, подковообразные и магнитные
стрелки) обладают двумя разноименными полюсами: северным и южным. Одноимен-
ные полюсы взаимно отталкиваются, Я разноименные — взаимно притягиваются.
В связи с этим постоянные магниты оказывают ориентирующее действие иа магнит-
ную стрелку, помещенную вблизи от них таким образом, что она может свободно
вращаться вокруг своего центра тяжести. Исследования поведения таких магнитных
стрелок в различных точках земного шара привели к выводу о существовании магнит-
ного поля Земли. Это поле в основном обусловлено процессами, протекающими
в жидком металлическом ядре Земли. Магнитные полюсы Земли не совпадают с ее
географическими полюсами: вблизи северного географического полюса Земли находит-
ся ее южный магнитный полюс, причем угол между осью вращения Земли и линией,
соединяющей ее магнитные полюсы, составляет 11,5°.
3.	Опыты показали, что постоянное магнитное поле ие действует иа неподвижные
электрически заряженные частицы и тела. В свою очередь, эти частицы и тела не
действуют на помещенную вблизи них магнитную стрелку, т. е. ие Создают магнитное
поле.
Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского
физика X. Эрстеда (1820).
При пропускании по прямолинейному горизонтальному проводнику постоянного тока / нахо-
дящаяся под ним магнитная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси, стремясь
расположиться перпендикулярно проводнику с током (ряс. 21.1) Ось стрелки теу точнее совпада-
ет с этим направлением, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля Земля
Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием элект
рического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике.
В дальнейшем экспериментально исследовалось действие на магнитную стрелху
электрического тока, протекающего по проводникам самой различной формы. Во всех
случаях проводники с током оказывали ориентирующее действие на магнитную стрел-
ку Таким образом, можно сделать следующий вывод при прохождении по проводнику
электрического тока вокруг проводника возникает магнитное поле, действующее на
помещенную в эго поле магнитную стрелку.
4.	Ток в проводнике представляет собой упорядоченное движение электрических
зарядов. Поэтому на основании приведенных выше опытов естественно предположить,
что вокруг всякого движущегося заряда должно существовать магнитное поле.
При этом материал проводника и характер его проводимости (электронный или
ионный), а также происходящие в нем процессы (например, нагревание, электролиз
и т. д.) никакой роли не играют. Действительно, используя в опыте Эрстеда провод-
270
Рис. 21.1
Рис. 21.2
ники одинаковой формы и размеров, изготовленные из разных металлов, а также из
разных твердых и жидких электролитов, мы не обнаружим никаких различий в от-
клонении магнитной стрелки, если только сила тока в проводниках во всех случаях
будет одинаковой.
3. Непосредственное измерение действия магнитного поля движущихся электронов на
магнитную стрелку было произведено А. Ф. Иоффе (1911). Принципиальная схема его
установки приведена на рис. 21.2.
Внутри стеклянной трубки М был создан высокий вакуум. Электроны, вылетавшие из катода
К, который нагревался током от батареи нахала Б*, ускорялись злшзри веским полем, созданным
между катодом К и анодом А батареей Ка. В центре О анода трубки имелось небольшое
отверстие, через которое проходила часть электронов. Узкий пучок электронов в пространстве за
анодом попадал в цилиндр Фарадея F, соединенный через гальванометр G с положительным
полюсом батареи Бл. В средней части трубки по обе стороны электронного пучка располагались
две одинаковые легкие магнитные стрелки N — S, аитицаралдельные друг другу. Стрелки были
скреплены между собой легким кольцом, свободно охватывающим трубку. Вся эта система была
подвешена на упругой нити. Применение двух параллельных и противоположно направленных
магнитных стрелок (такая система называется aciaimtcxo#) позволило исключить влияние маг-
нитного поля Земли, так как его действия на стрелки взаимно уравновешиваются.
При движении в трубке пучка электронов возникало магнитное поле, действовавшее на
каждую стрелку так, как показано на рис. 21 2. Угол закручивания нити D, регистрировавшийся по
смещению светового зайчика, отраженного от зеркальца 3, позволил судить о силе, с которой
магнитное поле электронного пучка действовало на магнитные стрелки. Сила тока в трубке
измерялась гальванометром G. Заменив катодную трубку Л/ прямолинейным проводником, по
которому шел ток такой же силы, как и в трубке, Иоффе установил, что угол закручивания нити не
изменился. Таким образом, было доказано, что свободные электронные пучки по своему магнит-
ному действию эквивалентны токам в проводниках.
В. Рядом исследований, в числе которых необходимо отметить опыты А. А. Эйхен-
вальда (1901), было доказано, что магнитное действие
конвекционных токов, образованных движением в про-
странстве заряженных тел и поляризованных диэлектри-
ков, также подобно магнитному действию токов проводи-
мости.
Упрощенная схема прибора Эйхенвальда приведена На рис.
21.3. Внутри металлического корпуса F находился диск А, кото-
рый мог вращаться вокруг оси 00\. Диск был изготовлен иэ
материала, обладающего высокими диэлектрическими свойства-
ми. На этот диск по внешней его окружности наклеивался стани-
олевый ободок В, представляющий собой незамкнутое кольцо.
Корпус прибора F н станиолевый ободок В играли роль двух
обкладок конденсатора, емкость С которого была предваритель-
но измерена. Конденсатор заряжался от электростатической ма-
шины до разности потенциалов Д<р между обкладками. При этом
заряд обкладки В был равен
271
Диск Л приводился в быстрое вращение вокруг оси ОО\. Сила возникающего при этом
конвекционного тока равна
/ж=ул=СДрл,
где л — частота вращения диска.
О магнитном поле конвекционного тока можно было судить по его действию на легкую
магнитную стрелку М, Подвешенную на упругой нити L внутри защитного металлического кожуха
Е со стеклянным окошечком N. Угол поворота стрелки определялся по смещению отраженного от
зеркальца 3 светового луча, который падал на шкалу, не изображенную на рисунке.
Затем диск Л устанавливался неподвижно и через отверстие D в корпусе прибора к концам
станиолевого ободка В подводился ток от внешнего источника. Ток проводимости I в ободке
подирался таким, чтобы отклонение магнитной стрелки было равно ее отклонению при конвекци-
онном токе Zx. Опыты показали, что Z=ZX. Этим было доказано, что конвекционные токи по
своему магнитному действию подобны токам проводимости.
7. Рассмотренные опыты показывают, что вокруг всякого движущегося заряда, будь
то электрон, ион или заряженное тело, помимо электрического поля существует также
и магнитное поле. Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на
движущиеся электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит
в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды.
Следовательно, между двумя движущимися друг относительно друга заряженными
частицами существуют и электрическое, и магнитное взаимодействия.
§ 21.2.	Магнитная индукция. Сила Лоренца
1.	Опыты показывают, что сила FMI действующая со стороны магнитного поля на
движущуюся в этом поле заряженную частицу, подчиняется следующим закономер-
ностям:
а)	сила FM всегда перпендикулярна вектору скорости v частицы;
б)	отношение FM/(|g| f) не зависит ни от заряда q частицы, ни от модуля ее скорости;
в)	при изменении направления скорости Частицы в точке А поля модуль силы FM изме-
няется от 0 до максимального значения	которое зависит не только от |^( и, но
также от значения в точке А силовой характеристики магнитного поля — вектора В,
называемого магнитной индукцией поля.
По определению, модуль вектора В равен
В= (ГикаЛ! «О-
(21.1)
Итак, магнитная индукция В численно равна отношению силы, действующей на
заряженную частицу со стороны магнитного поля, к произведению абсолютного
значения заряда и скорости частицы, если направление скорости частицы таково, что
эта сила максимальна. Вектор В направлен перпендикулярно вектору силы (РмХш,
действующей на положительно заряженную частицу (q>0), и вектору скорости v части-
цы так, что из конца вектора В вращение по кратчайшему расстоянию от направления
силы (Fm)muC к направлению скорости v видно происходящим против часовой стрелки.
Иначе говоря, векторы (Fh)*^, v и В образуют правую тройку (рис. 21.4).
Магнитное поле называется однородным, если во всех его точках
векторы магнитной индукции одинаковы как по модулю, так и по
направлению. В противном случае магнитное поле называется неод-
нородным.
2- Для графического изображения стационарного, т. е. не иэменя-
- V ющегося со временем, магнитного поля пользуются методом линий
гй	магнитной индукции.
mlP	Линиями магнитной индукции (силовыми линиями магнитного
х	поля) называются линии, проведенные в магнитном поле так, что
н>мпкс в каждой точке поля касательная к линии магнитной индукции
Рис. 21 4 совпадает с направлением вектора В в этой точке поля.
272
Линии магнитной индукции проще всего наблюдать с помощью мелких игольчатых
железных опилок, которые намагничиваются в исследуемом поле и ведут себя подобно
маленьким магнитным стрелкам (свободная магнитная стрелка разворачивается в маг-
нитном поле так, чтобы ось стрелки, соединяющая ее южный полюс с северным,
совпадала с направлением В).
3.	Вид пиний магцитной индукции простейших магнитных полей показан на рис. 21.5.
Из рис. 21.5, 6 — г видно, что эти линии охватывают проводник с током, создающий
поле. Вблизи проводника они лежат в плоскостях, перпендикулярных проводнику.
Направление линий индукции рпределяется по правилу буравчика; если ввинчивать
буравчик по направлению вектора
плотности тока в проводйике, то на-
правление движения рукоятки бу-
равчика укажет направление линий
магнитной индукции.
Линии индукции магнитного по-
ля тока ни в каких точках не могут
обрываться, т. е. ни начинаться, ни
кончаться: они либо замкнуты (рис.'
21.5, б, в, г), либо бесконечно нави-
ваются на некоторую поверхность,
всюду плотно заполняя ее, но никог-
да не возвращаясь вторично в лю-
бую точку поверхности.
Для сравнения магнитного поля
с электростатическим полезно напо-
мнить, что линии напряженности
электростатического поля разо-
Рис. 21.5
мкнуты. Они начинаются на положительных зарядах, оканчиваются иа отрицательных
и вблизи от заряженного проводника направлены перпендикулярно его поверхности.
Из сопоставления рис. 21.5, а и 21.5, г видно, что магнитное поле вне соленоида,
г. е. длинной катушки с током, подобно магнитному полю полосового магнита.
Северный полюс магнита совпадает с тем концом соленоида, из которого ток в витках
виден идущим против часовой стрелки. Линии магнитной индукции постоянного
магнита выходят из его северного полюса и входят в южный. На первый взгляд
кажется, что здесь имеется полная аналогия с линиями напряженности электростати-
ческого поля, причем полюсы магнита играют роль магнитных «зарядов» (магнитных
масс), создающих магнитное поле. Однако опыты показали, что, разрезая постоянный
магнит на части, нельзя разделить его полюсы, т. е. нельзя получить магнит либо
с одним северным, либо с одним южным полюсом. Каждая сколь угодно малая часть
постоянного магнита всегда имеет оба полюса. Следовательно, в отличие от элект-
рических зарядов свободных магнитных «зарядов» в природе не существует. Нет их
и в полюсах постоянных магнитов. Поэтому линии магнитной индукции не могут
обрываться на полюсах.
Полная аналогия между магнитными полями полосовых магнитов н соленоидов
позволила французскому физику А. Амперу высказать (1821	1822) гипотезу о том,
что магнитные свойства постоянных магнитов обусловлены существующими в них
микротоками. О природе и характере этих микротоков Ампер ничего не мог сказать,
так как в то время учение о строении вещества находилось еще в начальной стадии.
Лишь после открытия электрона и выяснения строения атомов и молекул, т. е. спустя
почти 100 лет, гипотеза Ампера была блестяще подтверждена и легла в основу
современных представлений о магнитных свойствах вещества. Гипотетические микро-
токи Ампера получили простое и наглядное истолкование: они связаны с движением
электронов в атомах, молекулах и ионах.
4.	По формуле (21.1) можно найти силу, действующую со стороны магнитного поля
на движущуюся в нем заряженную частицу, только если скорость частицы v перпен-
дикулярна вектору В. В общем случае эта сила равна
FM = g[vB],
(21-2)
273
На рис. 21.6 показаны взаимные рас-
положения векторов v, В и FM для положи-
тельного и отрицательного зарядов части-
цы. Модуль силы равен
FM = kl vB яп а,	(21.3)
где а — угол между векторами г и В.
Сила F„ направлена перпендикулярно
Р*10- 21 6	скорости v заряженной частицы и сообщает
частице только нормальное ускорение.
Иными словами, сила FM не совершает работы и вызывает лишь искривление траек-
тории частицы. Поэтому при движении свободной заряженной частицы в магнитном
поле ее кинетическая 'Энергия не изменяется.
5.	Если на движущуюся частицу с электрическим зарядом д одновременно действуют
и магнитное, и электрическое поля, то результирующая сила F, называемая силой
Лоренца, равна сумме двух составляющих — электрической и магнитной:
Р=дЕ+д[тВ],
(21-4)
где Е - напряженность электрического поля. Иногда под силой Лоренца понимают
только магнитную составляющую силы F.
Разделение силы Лоренца F на электрическую и магнитную составляющие от-
носительно, т. е. эти составляющие зависят от выбора инерциальной системы отсчета.
Дело в том, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой
изменяются не только скорость ч заряженной частицы, но также и силовые харак-
теристики Е и В полей. Соответственно разделение электромагнитного поля на элект-
рическое и магнитное поля тоже относительно. На этом важном вопросе мы остано-
вимся подробнее в § 23.5, 26.5.
§ 21.3. Закон Ампера
1.	На проводники с электрическим током, находящиеся в магнитном поле, действуют
евлы Ампер*. Сила Ампера dF, приложенная к малому элементу проводнику с током 7,
равна геометрической сумме сил, которые действуют со стороны магнитного поля на
движущиеся в проводнике носители тока.
Элемент проводника длиной d/ и площадью поперечного сечения S выберем так,
чтобы он был физически малым, т. е. чтобы в его пределах магнитное поле можно
было считать однородным, а число бя носителей тока в нем еше столь большим, чтобы
к ним был применим статистический подход.
Предположим ради простоты, что в проводнике имеются носители тока одного
сорта с зарядами д, а их концентрация равна Пд. Тогда dn = «oSd/. Если V, скорость
i-ro носителя тока, то сила, действующая на него со стороны магнитного поля
с индукцией В, равна
F.= 9tv,B)=9[v3]+gI>31.
где v, и а, скорости упорядоченного и теплового движения i-ro носителя. Искомая
сила Ампера равна сумме сил F, для всех dn носителей:
dF = q d п [<т>В] + д йп [<н>В],
где (v) средняя скорость упорядоченного движения носителей тока, а вектор сред-
ней скорости теплового движения <в)=0 из-за беспорядочности этого движения.
Таким образом,
dF = 9noSd/[<T>B].
274
Тах как дп$ <▼> = j — плотность электрического тока в элементе проводника,
j5'd/=7dl, где I=JS — сила тока, dl—вектор элемента проводника, проведенный
в направлении электрического тока, то сила Ампера
dF=7[dlB],
(21-5)
Формула (21.5) выражает закон Алнжрв:
сила, двАствующаи на элаамит проводники с токош в Мпягг-
иом пола, равна произведению силы тока на векторное произ-
ведение элемента длины проводника на магнитную ицдутрно
пола.
2.	Из закона Ампера (21.5) следует, что сила dF максимальна, если элемент провод-
ника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции:

откуда
1 fdF\
(—)
/ \Л//м*же
(21.6)
Таким образом, магнитная индукция численно равна отношению силы, дейст-
вующей со стороны магнитного поля на малый элемент проводника с электрическим
током, к произведению силы тока на длину этого элемента, если он так расположен
в поле, что указанное отношение имеет наибольшее значение. Векторы dF.„»,. dl
и В образуют правую тройку.
3.	Сила Ампера, действующая в магнитном поле на проводник конечной длины
I с током 7, равна геометрической сумме сил Ампера, действующих на все малые
элементы этого проводника:
F=7 [dlB].
(21.7)

В частности, если магнитное поле однородно, а про-
водник прямолинейный, то
F=7/Bsina,	(21.8)
где а- угол между током (вектором плотности тока)
в проводнике и вектором В. Направление силы F для
двух направлений тока в случае а=п/2 показано на рис.
21.7, а, б. Его можно найти по правилу левой руки: если	Рис. 21 7
Рсцоложить ладонь левой руки так, чтобы вектор
входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца совпадали с направлением электричес-
кого тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы
Ампера, действующей на проводник в магнитном поле.
4.	Магнитное поле оказывает ориентирующее действие на замкнутый проводящий
контур, по которому идет постоянный электрический ток. На рис. 21.8 показана
прямоугольная рамка А, помещенная в однородное магнитное поле. Рамка свободно
подвешена на неупругой нити Сив отсутствие тока находится в положении равновесия
(сплошная линия). При пропускании постоянного тока через рамку она поворачивается
под действием сил Ампера так, что ее плоскость располагается перпендикулярно
275
Рис. 21.9
6)
вектору В, причем из конца вектора В ток в рамке виден идущим против часовой
стрелки. Это положение рамки с током показано штриховой линией.
Найдем выражение для момента сил, действующих в однородном магнитном поле
на прямоугольную рамку 1 — 2 — 3 — 4 с током I (рис. 21.9, я). Считаем, что стороны
рамки 2 — 3 и 1 — 4 лежат в плоскостях, параллельных В, а стороны 1 — 2 и 3 — 4
перпендикулярны В. Это предположение не влияет на конечный результат, но несколь-
ко упрощает его получение. Силы F] и Fj, действующие на прямолинейные проводники
7 — 2 и 3 — 4, направлены перпендикулярно плоскости рис. 21.9, а в противоположные
стороны (на рис. 21.9, б показан вид рамки сверху) и по формуле (21.8) численно равны
Fi = F3 = IaB.	(21.9)
Силы 1?2 и F<i, приложенные к проводникам 2 — 3 н4 — 1, численно равны
= F«=IbB sin (n/2—P)— IbB cos P
и направлены вдоль вертикальной оси рамки в противоположные стороны, поэтому
они полностью уравновешивают друг друга. Результирующий вращающий момент М,
действующий на рамку, равен моменту пары сил Fj и F3= —Fi. Модуль этого вектора
M=Ftl, где 1=Ьмпр. Заменив Ft по формуле (21.9), получим
М = labB sin р=ISB sin р.
(21.10)
где S=ab — площадь рамки.
5.	Формулу (21.10) можно преобразовать, воспользовавшись понятием магнитного
момента рамки с током.
Магнитным моментом плоского замкнутого контура с током I называется вектор
pm=/S=7Sh,
(21.11)
где S’ площадь поверхности, ограниченной контуром (мы ее будем называть просто
поверхностью контура или поверхностью, натянутой на контур), п — единичный век-
тор нормали к плоскости контура, a S = Sa — вектор площадки S. Векторы n, S и Pm на-
правлены перпендикулярно плоскости контура так, что из их концов ток в контуре
виден идущим против часовой стрелки (рис. 21.10).
** Если контур с током Z не плоский, то натянутую на него поверхность площадью S разбивают
на столь малые участки площадью <15, что каждый из них можно считать плоским. Поэтому
магнитный момент любого (плоского или неплоского) контура с током Z равен
рш= ZdS=Z dS.
(21.12)
W СТ
276
-F
Рис
21.11
Рис 21 10
Из (21.10) и (21.11) видно, что
M=pmBsmP,
(21.13)
где Р угол Между векторами рп, и В.
Вращение рамки под действием пары сил F1 и F3 происходит вокруг вертикальной
оси, перпендикулярной как В, так и рт. Вектор вращающего момента М откладывается
вдоль оси вращения так, чтобы из его конца вращение рамки под действием пары сил
F] и F3 было видно происходящим против часовой стрелки. На рис. 21.9, б вектор
М направлен из-за чертежа перпендикулярно его плоскости.
Из (21.10) следует, что вращающий момент, действующий на рамку с током
в магнитном поле, равен
М=[ргаВ].
(21-14)
Можно доказать, что формула (21.14) справедлива для контура с током, находяще-
гося в однородном магнитном поле, независимо от формы этого контура [магнитный
момент контура нужно находить по формуле (21.12)].
В. Из (21.13) следует, что вращающий момент, действующий на рамку с током
в магнитном поле, равен нулю и рамка находится в равновесии в однородном поле
в двух случаях: если вектор рт сонаправлен вектору В (Р=0) или если Pm и В направ-
лены во взаимно противоположные стороны (/?—л). В первом случае, соответст-
вующем устойчивому равновесию рамки (рис. 21.11, а), при отклонении рамки из
положения Р = 0 возникает момент М сил Ампера, возвращающий рамку в положение
равновесия. Во втором случае рамка находится в неустойчивом равновесии (рис. 21.11,
б)- при любом малом отклонении ее от этого положения возникает момент М, сил
Ампера, который вызывает дальнейшее отклонение рамки от положения Р—п.
Действие магнитного поля на помещенный в него небольшой виток с током (в
пределах достаточно малого витка магнитное поле можно считать однородным) часто
используют в качестве основы для определения силовой характеристики магнитного
Поля вектора В.
Магнитная индукция численно равна отношению вращающего момента, дейст-
вующего в магнитном поле на небольшую рамку с током, к магнитному моменту
рамки при такой ее ориентации в поле, когда это отношение достигает максимального
значения; по направлению вектор В совпадает с вектором магнитного момента рамки,
находящейся в положении устойчивого равновесия в рассматриваемой точке поля.
Силы Ампера, действующие на замкнутый проводник с током со стороны магнит-
ного поля (внешнего и собственного ноля тока в проводнике), вызывают деформацию
проводника. Поэтому в проводниках, по которым идут очень большие токи и которые
находятся в очень сильных магнитных полях, возникают столь значительные внутрен-
ние напряжения, что они могут угрожать прочности проводников.
7. Если контур с током находится в неоднородном магнитном поле, то действие сил
Ампера на контур не сводится только к результирующему моменту (21.14). В этом
случае на контур действует еще и результирующая сила
277
F=7j)[dlB],	(21.15)
(t)
где интегрирование проводится по всем участкам замкнутого контура L с током 7;
В магнитная индукция внешнего магнитного поля, так как для собственного магнит-
ного поля контура F=0. Если внешнее поле однородно, то
F=7 <j>dlB =0,
X	(t)
так как Ф dl — 0.
W
Можно показать, что для силы F также справедлива формула
„ _ йв ав ав
F=(PmV)B=pnur— +pmJ— +Pm— •	(21.16)
8х 8y 8z
Здесь
a	a	a
V= i+- j+ k
8x	8y	8z
оператор наблв. .
В частности, если проводники с током, создающие неоднородное магнитное поле,
в котором находится контур с током, не пересекают поверхность, натянутую на этот
контур, то формула (21.16) приводится к виду
F-grad^B).	(21.17)
По своему виду формулы (21.14) и (21.16) для контура с током в магнитном поле
аналогичны соответствующим формулам (15.4) и (15.6) для электрического диполя
в электрическом поле. На этом основании часто говорят, что контур с током подобен
магнитному диполю, имеющему равный с контуром магнитный момент.
В. Под действием силы F незакрепленный контур с током втягивается в область более
сильного магнитного поля, если угол fl между векторами Рш и В острый (fl<n/2). Если
же угол fl тупой (fl> п/2), то контур с током выталкивается в область более слабого
поля, поворачивается под действием момента сил Ампера, так что угол fl становится
острым, и затем втягивается в область более сильного поля. Возникновение резуль-
тирующей силы F в результате сложения элементарных сил Ампера dF и направление
силы F пояснено на рис. 21.12 для двух случаев ориентации контура [Д=0 (рис. 21.12, а)
и fl=n (рис. 21.12, б)].
Рис. 21.13
278
Поведение контура с током в неоднородном магнитном поле можно наблюдать на
опыте, схема которого показана на рис. 21.13. Короткая катушка А, состоящая из
нескольких витков провода из немагнитного материала (например, из меди), подвеше-
на на длинной нити вблизи одного из полюсов полосового магнита. Если в катушке нет
электрического тока, то ее магнитный момент равен нулю и поле магнита не действует
на катушку (положение /). При пропускании тока I через катушку она поворачивается
вокруг вертикальной оси так, чтобы се магнитный момент Ри был сонаправлен вектору
В поля магнита, и притягивается к магниту, занимая положение 2. Соответствующее
направление тока в катушке показано стрелкой.
Вопросы:
1.	Как вводится силовая характеристика магнитного поля — вектор магнитной индукции?
2.	В чвм состоит принципиальное отличив линий магнитной индукции стационарных магнитных
полай от силовых линий электростатических полей?
3.	Чему равны и как направлены электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца?
4.	Как найти силу, действующую в магнитном поле на малый элемент проводника с током и на
участок проводника конечной длины?
5.	Как действует магнитное поле на помещенный в него замкнутый проводник с током?
Глава 22
Магнитное поле постоянного электрического тока
в вакууме
§ 22.1.	Закон Био — Савара — Лапласа
1.	После опытов Г. Эрстеда началось интенсивное изучение магнитного поля постоян-
ного электрического тока. Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар исследовали (1820)
магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током,
катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли к выводу,
что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока, зависит
от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки
поля по отношению к проводнику.
Так, например, в случае длинного прямолинейного проводника с током 7 магнитная
индукция В~11г$, где гс — расстояние от точки поля до проводника. В центре кругово-
го витка с током B~I/R, где R — радиус витка.
2.	Био и Савар пытались получить общий закон, который позволял бы вычислять
магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого током, текущим по провод-
нику любой формы. Однако сделать это им не удалось. По их просьбе этой задачей
занялся французский математик, астроном и физик П. Лаплас. Он учел векторный
характер магнитной индукции и высказал важную гипотезу о том, что при наложении
магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т. е. принцип независимого
действия полей (см. § 13.3):
B=JdB,	(22.1)
0
где dB — магнитная индукция магнитного поля малого элемента dZ проводника с то-
ком, а интегрирование проводится по всей длине I проводника.
Магнитная индукция поля постоянного электрического тока 7 в Вакууме удовлет-
воряет закону Био — Савара — Лапласа:
dB=fc— [dlr].	(22.2)
г3
Здесь dl=dZj/J; j — плотность тока в элементе dZ проводника; г — радиус-вектор,
проведенный из этого элемента проводника в рассматриваемую точку С поля (рис.
22.1); к — коэффициент пропорциональности.
Рис. 22.1
280
Вектор dB направлен в точке С перпендикулярно
плоскости векторов dl и г по правилу буравчика (см.
§ 21.2).
3.	Коэффициент пропорциональности к в законе Био —
Савара — Лапласа (22.2) зависит от выбора системы еди-
ниц. В СИ это размерная величина, равная
£=до/(4я),
(22.3)
где до=4л • 10 7 Г н/м — магнитная постоянная. Таким об-
разом, в СИ закон Био — Савара — Лапласа имеет вид
(22.4)
W) /
dB = —- [dlr].
Anr3
Так как |[dlr]| = dZrsina = r2da, где da — угол,' под которым виден элемент dZ
проводника из точки С поля, то
|dB|=po7da/(4™-).	(22.5)
Из (22.1) и (22.4) следует, что магнитная индукция поля, создаваемого в вакууме
током 1, идущим по проводу конечной длины н любой формы, равна
(Г)
4.	Из законов Ампера (21.5) и Био — Савара Лапласа (22.4) следует, что между
двумя элементами dlj и dl2 проводников, токи в которых соответственно равны
/1 и 12 (рнс. 22.2), должно существовать магнитное взаимодействие. Сила, действующая
на элемент dl2 со стороны магнитного поля элемента dlb равна
До АА
dF21=-— [dlHdhM,	(22.7)
4п г
где г= |г21|. Соответственно сила, действующая на элемент dlj со стороны магнитного
поля элемента dl2, равна
Ро АЛ
dF12 = r— [dl,[dl2r12D,	(22.7')
4n rJ
где Г]2=— г2ь Как видно из рис. 22.2, силы dF21 и dF12 магнитного взаимодействия
элементов проводников с постоянными токами не удовлетворяют третьему закону
Ньютона. Однако результирующие силы F21 и Fi2 взаимодействия двух замкнутых
контуров с постоянными токами этому закону удовлетворяют:
F2i= — F12.
5.	Магнитное поле проводника с током является результатом наложения магнитных
полей всех движущихся в проводнике электрически заряженных частиц — носителей
тока. Найдем выражение для магнитной индукции поля движущегося заряда, восполь-
зовавшись законом Био — Савара — Лапласа (22.4). Сила постоянного тока в одно-
родном проводнике 1=JS (j — плотность тока, S — площадь поперечного сечения
проводника), прэтому /dl =J5dl=jdV (dV=Sdl— объем элемента проводника дли-
ной dZ).
Предположим ради простоты, что ток в проводнике связан с упорядоченным
движением одинаковых частиц — носителей тока (например, электронов проводимо-
сти). Пусть q — заряд одной частицы. По — их концентрация в проводнике, v — оди-
наковая для всех частиц скорость их упорядоченного движения. В таком случае вектор
плотности тока j=<?nov н
/dl = ^vdF'=9vdn,	(22.8)
281
Рис. 22.2	Рис. 22.3
где dn = nodF число носителей тока в элементе проводника. Подставим (22.8)
в (22.4):
Ua qdn
41» = /’ -[УГ].
4я г3
Все dn зарядов упорядоченно движутся в одном направлении и с одинаковой
скоростью. Поэтому магнитная индукция В? поля каждого из этих зарядов в отдель-
ности меньше dB в dn раз:
dB до 9
В,= , =Г ’з!”]-
dn 4л г3
(22.9)
в. Выражение (22.9) было получено исходя нз рассмотрения частного случая движения
заряженных частиц упорядоченного движения носителей тока в проводнике. Именно
поэтому в (22.9) v скорость упорядоченного движения носителя тока. Однако, изучая
движение отдельной заряженной частицы, бессмысленно говорить о том, какое это
движение упорядоченное или беспорядочное. Указанные понятия имеют смысл
лишь для систем частиц, тогда как каждая отдельная частица просто движется.
Формула (22.9) справедлива для магнитной индукции поля заряженной частицы, дви-
жущейся произвольно со скоростью v, малой по сравнению со скоростью света
в вакууме (и «с). Можно доказать, что магнитная индукция результирующего поля
множества носителей тока в проводнике, участвующих только в тепловом движении,
равна нулю.
Вектор направлен перпендикулярно плоскости векторов v и г (рис. 22.3, а, б).
Магнитное поле отдельного движущегося заряда переменно, так как даже при v=const
радиус-вектор г, проведенный от заряда в какую-либо точку А поля, изменяется
с течением времени н по направлению, и по модулю. Однако результирующее поле
огромного множества носителей тока в проводнике, по которому идет постоянный
электрический ток, стационарно.
Магнитное поле движущегося точечного заряда, в отличие от электростатического
поля неподвижного точечного заряда (13.9), не является
сфернчески-симметричным. Вектор В? этого поля зависит от
угла а между векторами v и г. При одном и том же расстоя-
нии г значение Вч максимально в точках плоскости, прове-
денной через движущуюся заряженную частицу перпендику-
лярно ее скорости v (а = п/2). В точках прямой, вдоль кото-
рой движется заряд (а = 0, л), »4 = 0, а поле зеркально-сим-
метрично относительно этой прямой.
7. Сила (F2i)h, действующая иа движущийся точечный элек-
трический заряд <?2 1X5 стороны магнитного поля другого
движущегося точечного заряда qit называется силой
магигпюго взаимодействия зарядов q2 и qt. Из формул (21.2)
и (22.9) имеем (предполагается, что гд «с и и2«с)
(Ъ)|

- V
Or
V
Рис 22 4
282
(22.10)
(F21)m = 92
Г *° 91 г 1
*2 — - [V1F2J
|_ 4л г3
где г2| - радиус-вектор, соединяющий заряд 41 с зарядом д2, а г*=|г2)|. В частности,
если Vi =v2=v и r2)±v, т. е. заряды движутся с одинаковыми скоростями по параллель-
ным прямым, оставаясь напротив друг друга (рис. 22.4), то
До 414т"1
Сила магнитного отталкивания разноименных зарядов qt и g2 (gig2<0)
^ = |(Г21к|=^^Л	(22.11)
4л г3
Сила электростатического (кулоновского) взаимодействия тех же зарядов qt и д2
1 914?
Разноименные заряды gi и д2 притягиваются с электрическими силами
1 141421
FM=|(F2ikJ=------—.	(22.12)'
4лго Г*
Из (22.11) и (22.12) следует, что
или FJFn^flc1,
так ках £оДо= 1/с1-
Таким образом, в случае малых скоростей движения заряженных частиц (и «.с)
магнитное взаимодействие этих частиц ничтожно мало по сравнению с их электроста-
тическим взаимодействием. Однако, если заряженные частицы движутся в проводнике,
который в целом электрически нейтрален, электрические силы оказываются скомпен-
сированными, так что остается только магнитное взаимодействие. Хотя сила магнит-
вого взаимодействия каждой пары электронов в двух параллельных металлических
проводниках с токами мала, число этих пар столь велико, что результирующая сила
магнитного взаимодействия проводников оказывается заметной величиной.
§ 22.2.	Примеры простейших магнитных полей проводников с Током
1.	Магнитное поле прямолинейного проводника с током.
По закону Био Савара — Лапласа (22 5), модуль вектора магнитной индукцп в точке
А поля элемента d/ прямолинейного проводника MN (рис. 22.5) с током / равен
|dB| — до/ da/(4nr),
где г= го/sin а; гп расстояние от провода до точки А. Векторы dB полей всех малых элементов
провода MN направлены в точке А одинаково ~ из-за чертежа перпендикулярно его плоскости.
Это упрощает расчет В результирующего поля проводника MN. Вектор В направлен также из-за
чертежа перпендикулярно его плоскости, а его модуль равен сумме модулей векторов dB:
Г До /	<
В« I — sin a da.
J 4л г0
«1
233
Рис. 22.5
Таким образом,
/'п /
В=------(сокв|—COSOj).
4л г0
Если проводник бесконечно длинный, то at =0, a aj=n и
Яо 2/
В=------.
4л го
(22.13)
(22.14)
2. Рассмотрим два длинных прямолинейных проводника, расположен-
ных параллельно друг другу на расстоянии а. Опыт показывает, что
при пропускании по проводникам тока между ними возникают силы
взаимодействия. Если токи 4 и 4 в обоих проводниках направлены
в одну сторону (рис. 22.6, а), то проводники притягиваются друг
к другу, а если направления токов взаимно противоположны, то про-
водники отталкиваются друг от друга (рис. 22.6, б).
По закону Ампера (21.5), на элемент dlj второго проводника
с током 4 действует сила
dF2*4[<112Bil
где Bi - магнитная индукция поля первого проводника с током 4.
Если длина проводников во много раз больше расстояния а между ними, то при определении
В, можно считать первый проводник бесконечно длинным. Тогда
Яо 244
d42=|dF2|=4Bi d4=-------d/з.
4л а
Соответственно на участок dl] первого проводника с током 4 действует сила dF( = 4 [dljlb],
Яо 244
модуль которой d4i=4B2d/| =------d/(. Таким образом, для модулей сил dF] и dFj можно
_	4л а
написать общую формулу:
dF=
Яо 2/14
-------d/.
4л а
(22 15)
Эта формула была использована при установлении четвертой основной единицы СИ — ам-
пера.
3.	Магнитное поле в центре прямоугольного контура с током.
Применим полученные формулы к расчету магнитного поля в центре О прямоугольного витка
ACDEA с током / (рис. 22.7). Виток лежит в плоскости чертежа. Легко видеть, что в точке
О векторы В|, Вз, Вд и В4 магнитных полей соответственно проводников ЕА, AC, CD и DE с током
/ имеют одинаковое направление — перпендикулярно плоскости витка (за чертеж). Поэтому
индукция результирующего магнитного поля в точке О
284
В — В\ -t-в2-t- в$-t- в$.
Стороны ЕА и CD прямоугольника равны а, а АС и DE h. Заменим Bit В2, В-] и В4 по
формуле (22.13) и введем второй индекс углов а для обозначения номера стороны прямоуголь-
ника:
В= [до/(4л)]/[2 (cos ot11  cos а2) )//> + 2 (cos а12 -г cos а22)/<з + 2 (cos oq 3—cos а2з)/Л + 2 (cos а14 - cos а24)/а].
Из рис. 22.6 видно, что
cosaH =cosa|j =я/у/<з2 + 62;
cos aj 2 — cos а14 — hi у/а1 + А2;
cosa21=cosa23=-sina(2= -al-JcP+h1-,
cos a22=cos a24 = — sin ai (= - hl^Ja1+b1.
Подставив эти значения в предыдущую формулу и произведя преобразования, получим
следующее выражение для индукции поля в центре прямоугольного витка с током:
Ро Bly/^+h1
4л ah
(22.16)
4.	Магнитное поле кругового витка с током. В центре О кругового витка радиуса R с электричес-
ким током / (рис. 22.8) векторы dB магнитных полей всех малых элементов витка направлены
одинаково перпендикулярно плоскости витка (за чертеж). Так же направлен и вектор В резуль-
тирующего поля всего витка. По закону Био Савара Лапласа (22.5),
dB=ро/ёа/(4лЯ),
где da=dl/R угол, под которым из точки О виден элемент dl витка. Интегрируя это выражение
по всем элементам витка, т. е. по I от 0 до 2лЯ или по а от 0 до 2л, получаем
В=М//(2Я).
(22.17)
Определим теперь магнитную индукцию поля витка с током в произвольной .точке на оси
витка, т. е. на прямой ОО', проходящей через центр витка перпендикулярно его плоскости. На рис.
22.9 показан круговой виток радиуса R, плоскость которого перпендикулярна плоскости чертежа,
а ось ОО' лежит в этой плоскости. В точке С на оси ОО' векторы
До I
dB = [dlr]
4л г3
Рис. 22.9
285
для полей различных малых элементов dl витка с током / не совпадают по направлению. Векторы
dBi и dBj для полей двух диаметрально противоположных элементов витка dli и dl2, имеюпщх
одинаковую длину (d/j ~й1г=*й1), равны по модулю: |dB|| — |dBj| =
Результирующий вектор dBt +dB2 направлен в точке С по оси ОСУ витка, причем
|dB| 4-dBj| =2dB1 sin Д=д<)2/ЯЛ//(4яг’).
(22.18)
Вектор В индукции в точке С для магнитного поля всего витка направлен также вдоль оси
ОСУ, а его модуль
яЯ
Г До 2IR до 2/лЯ2
В=	d/=—	------
J 4л г3 4л
о
Если воспользоваться понятием вектора р™ магнитного момента витка с током /[см. (21.12)],
то выражение (22.18) можно переписать в форме
До 2pm До 2pm
B=----
4л r
(22.18')
4я(Я2+А2)3/2’
ft) 2pm
B=-------
4 л r3
Формула (22.19) по виду подобна формуле (13.29) для напряженности электростатического
поля электрического диполя на его оси.
5.	Магнитное поле соленоида. Соленоидом называется цилиндрическая катушка с током, состо-
ящая из большого числа витков проволоки, которые образуют винтовую линию. Если витки
расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно рассматривать как
систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью. На
рис. 22.10 показано сечение соленоида радиуса
R и длины L с током I. Кружки с точками изоб-
ражают сечения витков, в которых электрический
ток направлен из-за чертежа к нам, а кружки с ко-
сыми крестами — сечения витков, в которых ток
направлен за чертеж. Пусть л — число витков,
приходящихся на единицу длины соленоида.
Магнитная индукция В поля соленоида равна
геометрической сумме магнитных индукций В, по-
лей всех витков этого соленоида. В произвольной
точке А, лежащей на оси соленоида О[О2, все век-
торы В, и результирующий вектор В направлены по оси О] О2 в ту сторону, куда перемещается
буравчик с правой резьбой при вращении его рукоятки в направлении электрического тока
в витках соленоида. На малый участок соленоида длиной dl вдоль оси приходится л dl витков.
Если I расстояние вдоль оси от этих витков до точки А, то, согласно (22.18'), магнитная
индукция поля этих витков
(22.19)
dB=до2/лЯ2л d/^nr3).
Так как
г=Я/sin а и /= Я/tga, то d/= — fida/sin2a и dB= — (/4j/2)a/sinada=(Ho/2)n/d(cosa).
В пределах соленоида угол а изменяется от ai до п2, поэтому
Я™ */2дол/(со5 а2—cos а]),	(22.20)
где
cosa^-Zi/V^+Zj, cosa2=(L-/1)/s/B2+(L-/1)2.	(22.21)
\
Из (22.20) и (22.21) видно, что магнитная индукция поля соленоида в точке А зависит от силы
тока /, густоты намотки витков л, радиуса Я витков и длины L соленоида, а также от положения
286
точки А относительно концов соленоида. Легко доказать, что В максимально, если l\ ™Lj2, так
что cosa2« —cose] = 1/V1+(ZR/L)2 и
(22.22)
Если L»R, то соленоид можно приближенно считать бесконечно длинным. Для точки А,
лежащей вдали от концов такого соленоида, aj^O, a ецмл, так что, по формуле (22.20),
B=4i0il.	(2223)
В точке А, находящейся в центре одного нэ оснований бесконечно длинного соленоида (at =я
в «2=л/2, либо а( —я/2 и «2=0),
(22.23')
I. Магнитный момент соленоида равен геометрической сумме магнитных моментов всех его
N-nL витков:
b^NIS-nlLS,	(22.24)
где 8=лЯ2в, а и — единичный вектор, направленный по оси соленоида в ту же сторону, что
и вектор В. Модуль магнитного момента соленоида
ра=п!У,	(22.24')
где V=LS — объем соленоида.
§ 22.3. Закон полного тока для магнитного поля а вакууме
1.	Магнитное поле в отличие от электростатического не потенциальное поле: цир-
куляция вектора В вдоль замкнутого контура, вообще говоря, не равна нулю и зависит
от выбора контура.
Рассмотрим в качестве примера магнитное поле бесконечного прямолинейного
проводника с током 7, находящегося в вакууме (рис. 22.11). Линии магнитной индукции
этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны
проводнику, а центры лежат на его оси. На рисунке они изображены черными штрихо-
выми линиями. Найдем циркуляцию вектора В вдоль произвольной линии магнитной
индукции — окружности радиуса г:
J Bdl = y BdZcos(B?dl).
(Ц (i)
Во всех точках линии индукции вектор В равен по модулю
до 27
4л г
(22.26)
и направлен по касательной к этой линии, так что
Л
cos (В, dl) = 1. Следовательно,
2яг
До I f
Bdl=—- dZ=po7-	(22.27)
2л г J
(Ц	о
(22.25)
Рис. 22.11
Из (22.27) можно сделать два вывода:
287
Рис. 22.12
Рис. 22.13
а)	магнитное поле прямолинейного тока - - вихревое, так как в нем циркуляци®
вектора В вдоль пинии магнитной индукции не равна нулю;
б)	циркуляция вектора В поля прямолинейного тока в вакууме одинакова вдоль
всех линий магнитной индукции н равна произведению магнитной постоянной на силу
тока.
2.	Покажем, что формула (22.27) справедлива для замкнутого контура L произволь-
ной формы, охватывающего бесконечно длинный прямолинейный проводник с током
I (рис. 22.12). В точке А контура L вектор В перпендикулярен радиусу-вектору г.
Поэтому можно считать, что проекция dl на направление В, равная dZi=dZcos(B,dl),
совпадает с малой дугой окружности радиуса г, т. е.
dZ1=dZco8(B/ll)=rd<p,	(2228)
где dtp — центральный угол, под которым виден элемент dZ контура L из центра
окружности. Из (22.27) и (22.28) следует, что
Цо 21
В dl cos (B,dl) =-- rd<p=-— d<p.
4я г 2n
(2229)
Интегрируя вдоль всего замкнутого контура L и учитывая, что при этом угол
Ф изменяется от нуля до 2п, находим
2я
ф В dl=В dZcos (B?dl) = у j d<?=М
(Ц И	о
Таким образом, нами доказано, что формула (2227) справедлива для любого
замкнутого контура, охватывающего проводник, независимо от формы этого контура
3. В предыдущих выводах предполагалось, что направление обхода контура L при
вычислении циркуляции вектора В согласовано с направлением тока в проводнике по
правилу буравчика. Эго значит, что для наблюдателя, смотрящего навстречу вектору
j плотности тока в проводнике, обход контура L виден происходящим против часовой
стрелки (рис. 22.12). При противоположном направлении обхода контура L изменяется
только знак циркуляции вектора В. Этот результат можно получить из формулы
(22.27), считая в ней силу тока I величиной алгебраической: 1> 0, если направление тока
в проводнике согласуется с направлением обхода контура по правилу буравчика, и 7<С
в противном случае.
4. Предположим теперь, что замкнутый контур L\ не охватывает проводник с токои
(рис. 22.13). Тогда	|
j) Bdl= J Bdl + j Bdl,
(Ll)	l-a-2	2-b-l
288
где / — а — 2 и 2 — b — I — участки контура L\. Заменив подынтегральные выраже-
ния по формуле (22.29), получим
(22.30)
Итак, циркуляция вектора магнитной индукции поля прямолинейного проводника
с током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю.
Можно доказать, что соотношения (22.27) и (22.30) для магнитного поля в вакууме
универсальны. Они справедливы для магнитного поля проводника с током любой
формы и размеров, а не только для поля бесконечного прямолинейного проводника
с током.
5. В общем случае магнитное поле может создавать целая система из п' проводников
с токами /ь 12./л'-	Обозначим В( индукцию магнитного поля в вакууме одного i-ro
проводника с током I,. Индукция результирующего магнитного поля, согласно принци-
пу суперпозиции,
в=Х в(.
I- 1
Циркуляция вектора В вдоль произвольного замкнутого контура L, проведенного
в поле, равна
$Bdi=$(£ B,)di=$ X (B,di)=f $B,di.
(£)	(£)	(I)'-1	'"*(£)
В соответствии с (22.27) и (22.30) получим
rHoIt (L охватывает ток Jt),
B,dl = <
(0 (L не охватывает ток /().
Следовательно,
Bdl=/4> X 4=Ро4и,
(22.31)
где п — число проводников с током, охватываемых контуром L (и < и'), а индекс
суммирования i заменен иа к для того, чтобы показать, что в сумму, стоящую в (22.31),
входят только те токи, которые охватываются контуром L. Уравнение (22.31) является
математическим выражением закона полного тока для магнитного поля в вакууме:
циркуляция магнитной индукции поля а вакууме вдоль произ-
вольного замкнутого контура L равна произведению магнит-
ной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватыва-
емых этим контуром (т. е. на электрический ток через поверх-
ность 5, натяцутую на этот контур).
Закон полного тока (22.31) можно также записать в форме
И
Bdl=/io
(22.32)
289
где j плотность тока в пределах малого элемента dS поверхности S, натянутой иа
контур L, а вектор dS направлен по нормали к площадке dS1 так, что из его конца обход
коитура L виден происходящим против часовой стрелки.
6. С помощью закона полного тока можно найти индукцию магнитного поля торо-
ида. Тороццом называется кольцевая катушка с током, витки которой намотаны на
сердечник, имеющий форму тора (рнс. 22.14). Если витки расположены вплотную или
очень близко друг к другу, то тороид можио приближенно рассматривать как систему
большого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса,
центры которых лежат иа средней линии тороида, а плоскости ортогональны ей. Легко
видеть, что линии магнитной индукции поля тороида имеют
_ с у вид концентрических окружностей радиуса г, центры кото-
S Рых лехат на оси тороида. Во всех точках замкнутого
контура L, совпадающего с какой-либо из линий магнитной
'к-'Я индукции поля тороида, модуль вектора В одинаков, так что
г!	$ва1.2я,«.
Если r> R\ или г< Яг, то /ои = 0 и В=0, т. е. магнитное поле
Рис 2214	локализовано внутри тороида. Для контура L радиуса
R2 < г < R । ток /о„ = NI, I де N - число витков обмотки торо-
ида, а / сила тока в ней. Поэтому внутри тороида с немагнитным сердечникам,
близким по своим магнитным свойствам к вакууму,
В=ц^1!(2.пг).
(22.33)
В случае тонкого тороида диаметр витков d= Rt — R2 мал по сравнению с радиусом
средней линии Rcp={Rl + R2)/2 и в пределах площади витка магнитное поле тороида
можио приближенно считать однородным:
В»Вер = д0У//(2яЯср)=д0п/,	(22.34)
где п число витков обмотки тороида, приходящихся на единицу длины его средней
линии.
Если неограниченно увеличивать Rep, сохраняя неизменными диаметр d витков
и плотность п их навивки, то в пределе получится бесконечно длинный соленоид. Поле
внутри такого соленоида однородно, так как всюду векторы В одинаково направлены
и равны по модулю: B^p^nl. Это соотношение уже было получено нами [см. (22.23)]
значительно более сложным путем, основанным на использовании принципа суперпо-
зиции полей.
§ 22.4.	Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля в вакууме
1.	Магнитным потоком (потоком вектора В магнитной индукции) сквозь малую поверх-
ность площадью dS называется физическая величина
dOm-BdS B„d.V-Bd.S'cos(B?n).	(22.35)
где dS = ndS; п единичный вектор нормали к площадке dS; В„ проекция вектора
В на направление нормали. Малая площадка dS выбирается так, чтобы ее можно было
считать плоской, а магнитное поле в ее пределах однородным.
Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S
Фт= BdS= B„dS.
СТ ст
290
При вычислении этого интеграла векторы п нормалей к площадкам d5 нужно
направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности 5. Например, если
поверхность S замкнутая, то векторы п должны быть либо все внешними нормалями,
либо вСс внутренними нормалями.
Если магнитное поле однородно, а поверхность S плоская, то
Фш=BtS=BScos (B,n).
2.	Теорем* Острогрядского — Гаусс* для магнитного поля:
магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверх-
ность равен нулю*:
<|>BdS=0.	(22.36)
W
Этот результат является математическим выражением того, что в природе нет
магнитных «зарядов» (магнитных масс) — и ст он них о в магнитного поля, иа которых
начина лист, бы или заканчивались линии магнитной индукции.
Согласно терминологии, принятой в векторном анализе, теорема Остроградско-
го — Гаусса (22.36) свидетельствует о том, что магнитное поле представляет собой
поле, называемое солсяоидальшм.
3.	Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называ-
ется потокосцеплением этого контур*.
Например, потокосцепление рамки или катушки, состоящей из N витков, магнит-
ные потоки через которые одинаковы и равны Фш, *Р=АФт.
Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом
контуре, называется потокосцеплеюкм сяыоаядушвю.
Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в дру-
гом контуре, называется оотокосцеплежяем взаимной пп цию* этих двух контуров.
В качестве примера найдем потокосцепление самоиндукции тонкого тороида. Пола-
tax магнитное поле тороида Однородным в пределах каждого из N его витков н пользу-
ясь выражением (22.34), получаем
4c = NBS=fi0NaSI/(2nRcp) = iw2VI,	(22.37)
где S=nd2/4 — площадь витка, л=А/(2яЛср), a V=S 2x1^ — объем тороида, в кото-
ром локализовано его магнитное поле.
Формула (22.37) справедлива также и для длинного соленоида,' когда можно
пренебречь влиянием ослабления поля вблизи концов соленоида.
§ 22.5.	Работа перемещения проводника с током
 постоянном магнитном поле
1.	На проводник с током в магнитном поле действуют силы Ампера, подчиняющиеся
закону (21.5). Элементарная работа &А, совершаемая силой Ампера dF при малом
перемещении dr в постоянном магнитном поле малого элемента dl проводника с током
/, равна
дА=dF dr=7dr [dl В]=ZB dS= ZdOm,
'Доказательство этой теоремы выходит за рамки втузовского курса физики.
291
где dS = [drdl] — вектор малой площадки, прочерчиваемой элементом dl проводника
при его малом перемещении dr (рис. 22.15), a dO,n BdS — магнитный поток сквозь эту
площадку.
2.	При малом перемещении в магнитном поле проводника конечной длины I с током
I силы Ампера совершают работу
^-ZdOm,	(22.38)
где dOm — магнитный поток сквозь поверхность, которую прочерчивает весь провод-
ник при его малом перемещении, т. е.
dOm=| B[drdlJ.
ю
Если проводник, сила тока I в котором поддерживается постоянной, совершает
конечное перемещение в магнитном поле из положения 1 в положение 2, то работа
амперовых сил на этом перемещении
2
Л;_2=^Л1Ф,П-7Ф„,	(22.39)
1
где Фш — магнитный поток сквозь поверхность, прочерченную проводником, при
рассматриваемом перемещении.
3.	Найдем работу сил Ампера при перемещении в магнитном поле замкнутого
контура с током I. Пусть в результате малого перемещения контур перешел из
положения С в положение., С (рис. 22.16). При этом малый элемент dl контура
совершил перемещение dr и прочертил малую площадку d5.
Искомая работа сил Ампера 6А при малом перемещении контура выражается
формулой (22.38), где dOm — магнитный поток через поверхность, прочерченную кон-
туром. Однако этот магнитный поток можно выразить через изменение потокосцепле-
ния контура при его перемещении из положения С (потокосцепление равно Ч*) в поло-
жение С' (потокосцепление T-l-dO). При вычислении Т и S'+dT используют единич-
ные векторы нормалей, соответственно в и в', связанные с направлением тока в контуре
по правилу буравчика (из конца вектора нормали ток в контуре виден идущим против
часовой стрелки). Поверхности, натянутые на контур в его положениях С и С вместе
с поверхностью, прочерченной контуром при переходе из С в С', образуют замкнутую
поверхность. По теореме Остроградского — Гаусса (22.36), магнитный поток сквозь
эту замкнутую поверхность равен нулю:
T+dOm-(4'4-d4')=0.
Здесь учтено, *гго нормали, использованные при вычислении Ч* и d<t>m, являются
внешними для рассматриваемой замкнутой поверхности, а нормаль п' внутренняя.
Таким образом, dOm=d>P и
292
ёА -/d'p,
(22.40)
1дс ёЧ7 изменение потокосцепления контура при его малом перемещении.
Интегрируя выражение (22.40), найдем работу сил Ампера при конечном перемеще-
нии контура с током из положения I в положение 2?
2
j /dT.	(22.41)
i
Если в процессе перемещения контура /—const, то,
Л|_2-/Д'Р|_2-/('Р2-'Р|).
(22.4Г)
Таким образом, работа сил Ампера при перемещении в постоянном магнитном
поле замкнутого контура, электрический ток в котором'Поддерживается постоянным,
равна произведению силы тока в контуре на изменениеJer6 потокосцепления.
§ 22.6.	Понятие о магнитоэлектрических и электродинамических
измерительных приборах
1.	Действие маши гною поля иа рамку с током широко рсподьзуется в различных электроиз-
мерительных приборах. В зависимости от тою, как в приборах создается магнитное поле,
различают ма1иигоэлектрические н электродинамические приборы*.
В магнитоэлектрических приборах рамка с током помещается в магнитном поле подковооб-
разного магнита. Принципиальная схема магнитоэлектрического гальванометра показана на рис.
22.17. Рамка D, состоящая из нескольких витков тонкой Прооолоки и подвешенная на упругой
нити Е, помещена в цилиндрический зазор между полюсными наконечниками магнита А н сплош-
ным железным цилиндром С, укрепленными в корпусе прибора. Благодаря
цилиндра С линии магнитной индукции в зазоре направлены ради-
ально, а модуль В постоянен. При пропускании через рамку измеря-
емого тока / на нее действует вращающий момент
влиянию железного
M=ISNB,
где N число витков провода в рамке, X площадь рамки.
’’ Под действием момента М рамка поворачивается, закруЧйвЛЯ
нить Е на угол ч>. В пределах упругой деформации yi ол'кру&нйй
р пропорционален моменту М:
Ф=аМ,	(22.42)
где а. коэффициент, зависящий от упругих свойств материала
нити и ее размеров. Таким образом, угол кручения нити пропорци-
онален току в рамке:
Рис. 22.17
tp = aSNBI = pi,
(22.43)
где p = a.SNB постоянная прибора, определяемая при его градуировке путем пропускания через
прибор тока, сила которого известна. Угол кручения tp регистрируется по смещению светового
луча, отраженно! о от зеркальца 3, жестко связанного с нитью Е.
Рамка поворачивается в противоположную сторону, если изменить направление тока в рамке.
Поэтому приборы тако! о типа пригодны только для измерения постоянных токов. Для измерения
силы тока прибор следует включить в цепь последовательно, а для измерения разности потенци-
алов иа участке цепи параллельно этому участку.
2.	Магнитоэлектрический (альваиометр можно использовать для измерения электрического
заряда q, проходящего через поперечное сечение цепи при кратковременном токе (например, при
разрядке конденсатора). Такой [альванометр называется баллисгнческяи.. В нем искусственно
увеличен момент инерции Jo подвижной системы Благодаря этому период То свободных колеба-
ний рамки । альванометра сравнительно велик. Пусть г малое время Прохождения тока череэ
•Существуют также и другое типы электроизмерительных приборов.
293
гальванометр (т « То). Импульс момента сил, действующих на рамку при прохождении кратков-
ременного тока /, равен
t	т	г
|Mdt=| ISNBdt = SNB |/dr.
о о	о
Так как /dr=d<?, то
т
| Mdt = SNBq,
о
где q искомый электрический заряд, прошедший через рамку гальванометра.
Так как т« Тр, то можно считать, что за время т рамка практически не успевает выйти из
положения равновесия, а лишь приобретает начальный момент импульса /р<вр. Из (4.29) имеем
т
/рШо = J Mdt = SNBq,	(2244)
о
где шр угловая скорость, приобретенная подвижной системой гальванометра за время т.
Начальная кинетическая эиергия,приобретенная подвижной системой гальванометра в резуль-
тате прохождения заряда q через рамку, равна
»rt=^2=(SW<?2/(2Jn).	(22.45)
В дальнейшем при движении рамки происходит закручивание нити Е (рис. 22.17), сопровожда-
ющееся переходом кинетической энергии подвижной системы в потенциальную энергию упруго
деформированной нити, равную JTn=J A/d<j>. Учитывая (22.42), получаем
о
v
f q>dq> tp1
Ип -------=—,	(22.46)
J а 2a
о
т. е. энергия Wu пропорциональна квадрату деформации q>.
При максимальном угле од отклонения подвижной системы вся ее начальная кинетическая
энергия переходит в потенциальную, поэтому
(SNBfq4(2Jo)^q>l/Qa),
откуда
<7 = Соод,	(22 47)
1	/Л>
где Сл=- — I постоянная прибора.
SNByl а
Формула (22.47) показывает, что заряд, прошедший через баллистический гальванометр,
пропорционален максимальному углу отклонения од подвижной системы гальванометра из
положения равновесия
3.	В электродииаяипеасп приборах магнитное поле, действующее на рамку с током, создается
соленоидом. Ось вращения рамки с током, помещенной внутри соленоида, перпендикулярна его
оси. В отсутствие тока плоскость рамки параллельна оси соленоида. Соленоид и рамка включают-
294
ci последовательно, так что по ним проходит один и тот же измеряемый ток /. Вращающий
момент М, действующий на рамку, можно определить по формуле (21.13):
A/=/S1^BjanP=/SiNiB2cos Ф,
(22 48)
где Ni — число витков провода в рамке; S] — площадь витка; /1=(я/2)— tp — угол между осью
соленоида и нормалью к плоскости рамки; ф — угол поворота рамки из положения равновесия;
Bjn да2/ — магнитная индукция поля соленоида, содержащего nj витков на единицу длины.
Из (22.42) и (22.48) следует, что угол поворота подвижной системы равен
p=eSiN02Cos фдо/3-
Так как обычно угол ф небольшой, то соа ф »1 и
(22.49)
где у—aSiN^n^io — постоянная прибора.
Электродинамический гальванометр неудобен тем, что вследствие квадратичной зависимости
(22.49) его шкалу нельзя сделать равномерной. Зато гальванометр такого типа универсален — он
пригоден для измерения как постоянных, так и переменных токов. Действительно, при изменении
направления тока в рамке одновременно изменяется на противоположное и направление магнит-
ного поля соленоида. Поэтому направление отклонения рамки в магнитном поле соленоида
сохраняется.
4.	Электродинамический гальванометр можно использовать Для измерения мощности, развива-
емой электрическим током на пассивном участке цепи. Для этого обмотку соленоида следует
включить параллельно участку цепи, а обмотку рамки — последовательно. Тогда ток 1г в солено-
иде и индукция Bi его магнитного поля пропорциональны не силе тока I в цепи, а напряжению
U на рассматриваемом участке:

где Ri — сопротивление цепи соленоида.
Следовательно,
Ф=уИ/Я2=/1//,
(22.50)
где UI — измеряемая мощность тока.
Вопросы:
1, Как рассчитать магнитную индукцию поля постоянного тока? Покажите, что магнитное
взаимодействие двух малых элементов проводников с током не удовлетворяет третьему
закону Ньютона.
L Охарактеризуйте магнитное поле заряженной частицы, движущейся со скоростью г «г.
3. Чему равны циркуляция магнитной индукции и магнитный поток, соответственно вдоль
замкнутого контура и через замкнутую поверхность, проведенные в магнитном поле?
*, В каких случаях магнитную индукцию удобно находить, основываясь на законе полного тока?
Приведите примеры.
5. За счет какого источника энергии совершают работу амперовы силы при перемещении
в магнитном поле проводника или замкнутого контура с током?
Глава 23
Движение заряженных частиц
в электрическом и магнитном полях
§ 23.1. Движение заряженных частиц в постоянном магнитном поле
1. Выражение (21.4) для силы Лоренца позволяет установить ряд закономерностей
движения заряженных частиц в, магнитном поле, лежащих в основе устройства элект-
ронного микроскопа, гЛасс-сдертррграфа н ускорителей заряженных частиц.
Рассмотрим сначала движение, заряженных частиц в однородном магнитном поле.
При этом будем считать, что ца частицы не действуют никакие электрические поля, так
что сила Лоренца имеет только Магнитную составляющую:
F« = g[vB].	(23.1)
Если частица Влетает в однородное магнитное поле так, что ее скорость направлена
вдоль линии магнитной индукции (угол а между v н В равен 0 или я), то FM=0. Частица
будет продолжать двигаться в магнитном поле равномерно н прямолинейно.
Если же угол а=п/2, т. е. частица влетает в магнитное поле в направлении,
перпендикулярном линиям магнитной индукции, то на нее действует сила Лоренца F^,
модуль которой
(23.2)
Под действием этой ейлы^раектория частицы искривляется — частица равномерно
движется в однородном поле йб дуге окружности, плоскость которой перпендикулярна
линиям индукции. Радиус окружности г легко найти из условия, что сила Лоренца
играет роль центростремительной силы, сообщающей частице нормальное ускорение.
Согласно соотношению (7.27) релятивистской динамики
г т
(23.3)
где т — масса частицы, a q/m — ее удельный заряд.
Если скорость частицы и «с, то радиус окружности
зависит от v линейно:
r=wiu/(|g|B).	(23.39
2. Направления силы Лоренца (23.1) и вызываемого сю
•отклонения заряженной частицы в магнитном поле за-
висят не только от направления скорости v частицы, но
и от знака ее заряда q. Если частица движется в плоско-
сти чертежа (рис. 23.1) слева направо, а магнитное поле
(вектор В) направлено из-за чертежа перпендикулярно
его плоскости, то положительно заряженная частица
Рис. 23.1
296
отклоняется вниз, а отрицательно заряженная — вверх. Таким образом, по характеру
отклонения частицы в поле можно сразу же судить о знаке заряда частицы. Этим
широко пользуются в экспериментах с элементарными частицами.
Частица движется по окружности радиуса г равномерно. Поэтому период обраще-
ния частицы T=2nr/v. Как видно из (23.3),
Т=--
1«1Д	Itfl^c2’
(23.4)
где W полная энергия частицы (7.29). В частности, для частицы, движущейся с нере-
лятивистской скоростью (и « с), период обращения не зависит от скорости:
Т=2тти/(|д|В).
(23.4')
3. Рассмотрим общий случай движения заряженной частицы в однородном магнитном
поле, когда ее скорость v направлена под произвольном острым углом а к вектору
магнитной индукции В поля (рис. 23.2). Разложим' вектбр v на две составляющие:
параллельную вектору B(v8) н перпендикулярную ему
u8=ucosa, u±=usina.
(23.5)
Скорость vB в магнитном поле не изменяется. Частица одновременно участвует
в двух движениях: она равномерно вращается со скоростью v± по окружности радиуса
тип sin а
(23.6)
и движется поступательно с постоянной скоростью v8 в направлении, перпендикуляр-
ном плоскости вращения. Поэтому траектория заряженной частицы представляет
собой винтовую линию, ось которой совпадает с линией' индукции магнитного поля
(рис. 23.3). Радиус г витков выражается формулой (23.б)Ла расстояние между соседними
витками (шаг винтовой линии) равно h=vlT.
Заменив Т по формуле (23.4), а и8 по (23.5), получим
2nmvcasa
й=------=^=.
|9|в71-«2/с2
(23.7)
4. Если заряженная частица движется в неоднородном магнитном поле, индукция
которого возрастает в направлении движения частицы, то по мере перемещения
частицы значения г и h уменьшаются. Следовательно, частица движется по скручива-
ющейся спирали, которая навивается на линию магнитной индукции поля. На этом
принципе основана магнитная фокусировка пучков -заряженных частиц (например,
в электронной оптике).
Рис. 23.3
Рис. 23.2

297
§ 23.2. Эффект Холла
1. Американский физик Э. Холл провел эксперимент (1879), в котором пропускал
постоянный ток I через пластинку М (рис. 23.4), изготовленную из золота, и измерял
разность потенциалов Д<р между противолежащими точками А й С на верхней
н нижней гранях. Эти точки лежат в одном и том же поперечном сечении проводника
М. Поэтому, как и следовало ожидать, оказалось, что Дф=0. Когда пластина
с током была помещена в однородное магнитное поле, перпендикулярное ее боковым
граням, то потенциалы точек А и С стали разными. Это явление получило название
эффекта Холла. Было установлено, что разность потенциалов Д<р между точками
А н С пропорциональна силе тока I, индукции
В и обратно пропорциональна ширине b пла-
стинки, т. е.
Д<Р = <Рл - <Рс= RIBjb,
(23.8)
где R - постоянная Холла.
Дальнейшие исследования показали, что эф-
фект Холла наблюдается во всех проводниках
Рис 23 4	и полупроводниках независимо от их материала.
Изменение направления тока или вектора В на
противоположное вызывает изменение знака разности потенциалов <рА <рс. Числовое
значение постоянной Холл! R зависит от материала пластинки М, причем этот
коэффициент для одних веществ положителен, а для других — отрицателен.
2. Эффект Холла можно объяснить следующим образом. Пусть ток I в пластинке
М обусловлен упорядоченным движением частиц носителей зарядов q. Если их
концентрация л0, а средняя скорость их упорядоченного движения v, то сила тока
1= qv^oS = qvxnoah,
(23.9)
где S—ah площадь поперечного сечения пластинки, a vx проекция вектора v на ось
ОХ, проведенную в направлении вектора j плотности тока. Если заряд частиц, образу-
ющих ток, q> 0, то их скорость » совпадает с направлением тока и »>х = и. Если же заряд
q<0, то скорость v противоположна по направлению вектору j н их=—и<0, но
9uI = l9|v>0.
На частицу, движущуюся в магнитном поле с индукцией В, действует магнитная
составляющая силы Лоренца FM = g[vB]. Прн указанных на рис. 23.4 направлениях тока
в пластинке М и вектора В сила FM направлена вверх (вдоль положительного направле-
ния осн OZ). Под действием рилы FM частицы должны отклоняться к верхней грани
пластинки, так что на верхней грани будет избыток зарядов того же знака, что и q, а на
нижней избыток зарядов противоположного знака. В результате этого в пластинке
возникнет поперечное электрическое поле, направленное сверху вниз, если заряды
q положительны, и снизу вверх, если они отрицательны. Пусть напряженность об-
разовавшегося кулоновского поля будет Е. Сила <?Е, действующая со стороны попереч-
ного элект рического поля на заряд q, направлена в сторону, противоположную силе FM.
В случае установившеюся состояния сила Лоренца (21.4), действующая на носитель
заряда q, равна нулю:
gE + g[vB] = 0,
о I куда напряженность установившегося поперечного электрического поля (поля Холла)
Е=-[»В].	(23.10)
Вектор Е направлен вдоль оси OZ, а его проекция на эту ось равна
E-——v„B.	(23.10')
Соответственно разность потенциалов между точками А и С равна
298
<Рл~<Рс= — I E^z^vjia.
о
Подставив сюда выражение для vx из (23.9), окончательно найдем
^л-^с=/Я/(рто4')-	(23.11)
Таким образом, полученный результат совпадает с экспериментальной формулой
(23.8).
3. Из сравнения (23.11) и (23.8) следует, что постоянная Холла
/г=1/(д«0).	(23.12)
Отсюда видно, что знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда q частиц,
обусловливающих проводимость данного материала. Поэтому на основании измере-
ния постоянной Холла для полупроводника можно судить о природе его проводимо-
сти: если R <0, то проводимость электронная, если R>0, то дырочная. Если в полупро-
воднике одновременно осуществляются оба типа проводимости, то по знаку постоян-
ной Холла можно судить о том, какой из них является преобладающим.
С помощью постоянной Холла можно также определить концентрацию носителей
заряда, если характер проводимости и их заряд известны (например, для металлов):
по=1/(9Л).	. (23.13)
Так, для одновалентных металлов оказалось, что концентрация электронов прово-
димости совпадает с концентрацией атомов.
Зная постоянную Холла для электронного проводника, можно оценить значение
(А) средней длины свободного пробега электронов. Из (18.11) и (23.12) следует, что
<А> = 2т <м> y/(noe2)=2w <м> y\R\/e,	(23.14)
где е и т — абсолютное значение заряда электрона и его масса; (м) — средняя
скорость теплового движения электронов в проводнике; у — удельная электрическая
проводимость. Оказалось, что средняя длина свободного’Пробега электронов в метал-
лах достигает сотен межузельных расстояний:	10’* м.
§ 23.3.	Экспериментальное определение удельного заряда частиц
1.	Закономерности движения заряженных частиц в магните ом поле позволили разработать
весьма точные экспериментальные методы определения удельного заряда частиц. Мы ограничим-
ся рассмотрением простейших из этих методов.
На рис. 23 5 показана упрощенная схема установки для измерения удельного заряда электро-
на. Металлический катод К вакуумной трубки М нагревается током от батареи Ба. Электроны,
вылетающие нз катода, вследствие термоэлектронной эмиссии, ускоряются сильным электричес-
ким полем, созданным между катодом в анодом А трубки высоковольтной батареей Бх. Через
узкое отверстие О в пространство за анод проникает только тонкий пучок электронов, распрост-
раняющихся вдоль оси трубки и улавливаемых цилиндром Фарадея D, который включен в цепь
батареи Бл через гальванометр G. Кроме того, в трубку впаян небольшой боковой электрод С,
включенный в цепь через гальванометр G|. В пространстве за анодом с помощью сильного
электромагнита, полюсы которого условно показаны штриховой окружностью, создают перпен-
дикулярное плоскости чертежа однородное магнитное поле. При указанном на рисунке направле-
нии вектора В (нз-за чертежа) электронный пучок отклоняется вверх. Значение В подбирается так,
чтобы отклоненный пучок попадал на боковой электрод С. Траяторик ОС электронов в магнит-
ном поле представляет собой дугу окружности, касающейся в точке О горизонтальной оси трубки.
Зная расстояния между точками О и С по оси трубки (/[) и по вертикали (/;), можно определить
радиус г траектории электронов в магнитном поле (рнс. 23.6). Из подобий треугольника СЕО
н CEN имеем
299
Il/I2=(2r-I1')/Iu
откуда
/=(/?+^)/(2/2)	(23.15)
Скорость v электронов в пространстве за анодом можно найти, измерив с помощью вольт-
метра V напряжение U между анодоь! и катодом трубки*: mu2 = 2eU, откуда
v=y/eU!m.	(23.16)
Подставив выражения (23.16) и (23.15) в (23.3) и положив |д| = е, получим следу-
ющую расчетную формулу для абсолютного значения удельного заряда электрона:
е/т=8С7/2/[В2(/2 + /2)2].	(23.17)
** Датой открытия первой элементарной частицы - электрона принято считать 1897 г., а его
первооткрывателем — английского физика Дж. Дж. Томсона. На основе анализа результатов
опытов с катодными лучами (по их отклонению в электрическом и магнитном полях, а также по
их сравнительно малому ослаблению при прохождении через газы) Томсон пришел к выводу, что
катодные лучи не зависят от, материала катода и представляют собой поток одних и тех же
заряженных отрицательно час^иц^прцчем их размер во много раз меньше размеров атомов. Этот
вывод подтверждался тем, что значения удельного заряда частиц катодных лучей, измеренные
Томсоном и др. исследователями, оказались довольно близкими. Вскоре выяснилось, что таков же
удельный заряд частиц, испуёкаёмых при ^-радиоактивности, фото- и термоэмиссии.
2.	Удельный заряд положительных ионов и их массу можно найти, измеряя отклоне-
ние каналовых лучей в магнитном поле. Однако эта задача оказалась более сложной,
чем определение удельного заряда электрона. Положительные ионы образуются в газо-
разрядной трубке не в каком-то одном месте, а по всему се объему. Различные ионы
проходят в ускоряющем электрическом поле трубки неодинаковые пути, и их скорости
колеблются в весьма широких пределах. Попадая в поперечное магнитное поле, ионы
движутся по окружностям самых различных радиусов. Поэтому установка, подобная
изображенной ца рис. 23.5, непригодна для измерения удельного заряда положитель-
ных ионов.
3.	Впервыё измерение удельных зарядов положительных ионов было произведено
Дж. Дж. Томсоном.
Каналовые лучи пропускались через плоский конденсатор, помещенный между полюсами
электромагнита так, что направления векторов Е и В совпадали или были противоположны друг
другу (рнс. 23.7). В результате совместного действия электрического и магнитного полей положи-
тельные ионы, образующие каналовые лучи, отклонялись как в вертикальном, так и в поперечном
направлениях. Можно показать, что в плоскости Q, перпендикулярной первоначальному направ-
Рис 23.5
Рис 23.6
•Начальной кинетической энергией электронов, вылетающих из катода, можно пренебречь,
если напряжение достаточно велико.
300
лснию каналовых лучей, положительные ионы должны распределяться по ветви параболы АО, ось
которой параллельна векторам Е и В. Различным точкам параболы соответствуют иоиы, об-
ладающие разными скоростями. Чем больше скорость иона, тем слабее он отклоняется в элект-
рическом и мат нитном полях. Поэтому соответствующая ему точка параболы должна лежать
ближе к вершине О. Вторая ветвь OD параболы получается при изменении направления В на
противоположное. Ионам с различными удельными зарядами соответствуют разные параболы.
‘Гак, например, если ионам с удельным зарядом qjm соответствует парабола AOD, то ионам
с удельным зарядом (qilmi)>(qim) соответствует парабола СОЕ с большим фокальным парамет-
ром. Для ре1истрации отклонения ионов в электрическом и магнитном полях в плоскости
Q помещалась фото! рафическая пластинка. В местах попадания ионов иа ее светочувствительный
слой происходила фотохимическая реакция разложения бромистого серебра. Поэтому после
проявления пластинки на ней получалось изображение распределения ионов в плоскости Q.
4.	Проводя опыты с пучками одновалентных ионов неона, Томсон (1912) обнаружил
на фотопластинке изображения ветвей двух разных парабол, соответствующих неско-
лько отличным одно от другого значениям удельного заряда. Этот результат свиде-
тельствовал о том, что существуют два типа ионов неона, различающихся своими
массами. Масса одновалентного иона отличается от массы атома на ничтожно малую
величину, равную массе электрона. Поэтому опыты Томсона явились первым экс-
периментальным доказательством существования различных по своей массе атомов
одного и того же элемента. В дальнейшем разновидности атомов химического элемен-
та, отличающиеся только массой, получили название изотопов.
Метод определения удельного заряда положительных ионов, предложенный Том-
соном, по ряду причин, на которых мы не будем останавливаться, оказался недостаточ-
но точным.
5.	В дальнейшем были разработаны специальные приборы масс-спектрографы
и масс-спектрометры, позволяющие измерять удельные заряды ионов и соответственно
их массы с весьма высокой степенью точности. На рис. 23.8 показана принципиальная
схема простейшего масс-спектрографа, сконструированного Ф. Астоном (1919).
' Пучок А исследуемых ионов проходит через две диафрагрмы и Pj с узкими щелями,
перпендикулярными плоскости чертежа. В однородном электрическом поле плоского конден-
сатора С ионы отклоняются в направлении напряженности Е поля тем сильнее, чем меньше их
скорость и больше удельный заряд. Затем ионы попадают в однородное магнитное поле, вектор
В которою направлен за чертеж, и движутся в нем по дугам окружностей. Радиусы этих
окружностей тем больше, чем больше скорость ионов и меньше их удельный заряд [см. (23.3')].
Поэтому в магнитном ноле пучок ионов расщепляется па несколько пучков, каждый из которых
соответствует определенному значению удельно! о заряда ионов На рис. 23.8 показаны два таких
пучка. В каждом пучке радиус верхней границы его больше радиуса нижней границы, так Как
вдоль верхней окружности движутся наиболее бышрые ионы, а вдоль нижией наиболее медлен-
ные. Следовательно, ма|нитнос поле фокусирует ионы, обладающие одинаковым удельным
зарядом и различными скоростями. Mai нитную индукцию В можно подобрать такой, чтобы ионы
фокусирова.шсь на фотопластинке Л/Л', расположенной перпендикулярно плоскости чертежа.
Тоща на .пластинке получается ряд узких параллельных линий, соответствующих различным
значениям fдельных зарядов ионов. В случае, изображенном на рис. 23.8, линия At соответствует
ионам с большим удельным зарядом, а .шния А2 ионам с меньшим удельным зарядом. Зная
удельный заряд ионов, дающих линию Аь расстояние между линиями At и А2, а также параметры
установки, можно определить удельный заряд ионов, соответствующих линии А2.
301
в. Масс-спектрограф Астона имел существенный недостаток. В нем получалась до-
статочно четкая фокусировка ионов на фотопластинке только в том случае, когда
векторы скоростей ионов в пучке, входящем в прибор, были строго параллельны друг
другу. Если это условие не выполнялось, то на фотопластинке получались не четкие
линии, а размытые полосы и точность измерения удельного заряда ионов резко
снижалась. Иными словами, масс-спектрограф Астона не давал фокусировки ионов по
направлению. Поэтому гфиходнлось пользоваться диафрагмами и Л2 с очень
узкими щелями. Это, в свою очередь, приводило к тому, что сквозь них проходило
сравнительно небольшое число ионов, а поэтому интенсивность линий на фотопластин-
ке была мала.
Более чувствительными являются иасс-сяекгрометры — приборы с электрической
регистрацией ионных токов. По принципу действия они делятся на статические и дина-
мические. В статических массчлектроиетрах ноны движутся в постоянных во времени
электрических и магнитных полях. В двваюткаях масс-спектрометрах удельные заря-
ды нонов определяются различными способами: по времени их пролета от источника
до коллектора, по периоду колебаний в переменных электрическом или магнитном
полях, по резонансным частотам и т. д. Масс-спектрометры и масс-спектрографы
нашли широкое и разнообразное применение в различных областях физики, химии,
геологии, ядерной техники и т. д. Например, они используются для быстрого анализа
состава газовых смесей и непрерывного контроля и регулирования процессов в хи-
мической промышленности, ди изучения состава атмосферы Земли и планет, для
определения возраста минералов (путем измерения количеств радиоактивных изотопов
н продуктов их распада), ди исследования кинетики химических реакций (в частности,
для измерения концентрации свободных радикалов) и т. д.
§ 23.4.	Ускорители заряженных частиц
1.	В связи с развитием экспериментальной ядерной физики возникла потребность
в специальных установках, с помощью которых можно было бы получать в лаборатор-
ных условиях направленные пучки заряженных частиц (электронов, протонов, атомных
ядер и нонов легких элементов), обладающих весьма большой кинетической энергией.
Такие установки получили название ускорителей зяряжеяшх чаепц.
Первые ускорители, которые позволили сообщать электронам и положительным
ионам водорода (протонам) энергию порядка нескольких миллионов электрон-вольт
(МэВ), были созданы в начале ЗО-Х годов. В последующие десятилетия ускорительная
техника развивалась бурными темпами. Были построены ускорители различных типов,
а максимальная энергия, сообщаемая в них заряженным частицам, достигла 500 млрд.
эВ (500 ГэВ)*.
По форме траектории ускоряемых частиц все ускорители можно разделить на две
основные группы: лвмйше ускорители и цяи ни к i и,bi ускорители. В первых траектории
частиц близки к прямым линиям, а во вторых — к окружностям или раскручивающим-
ся спиралям. Энергия ускоряемых частиц увеличивается при их движении в электричес-
ком поле ускорителя. Это поле может быть в зависимости от типа ускорителя электро-
статическим, индуктированным (см, § 26.2) или переменным высокочастотным полем.
2. В электрос i bi вчеехим ливейвом уосоржтеле заряжении частица проходит через
ускоряющее электрическое поле однократно. Если д — заряд частицы, а и >рг —
потенциалы пои в начальной п конечной точках траектории частицы в поле, то
энергия, приобретаемая частицей в ускорителе, равна Ил=д(<р1—g>j).
Чем больше разность потенциалов (^>1—<р2), тем больше и энергия частицы. Поэто-
му поле в ускорителях этого типа создается либо высоковольтным генератором
Ван-де-Граафа (см. § 16.1), либо высоковольтным импульсным генератором (см.
§ 16.3) Однако таким образом удается получить значения («Pi—фз), не превышающие
15 МВ.
Значительно большие энергии можно сообщать заряженным частицам в лаеЪых
резонансных ускорителях. В этих ускорителях энергия частиц увеличивается под влш-
*Проектируются ускорители на еще бдлыпую энергию частиц.
302
наем переменного электрического поля сверхвысокой частоты. Это поле изменяется
синхронно (в резонанс) с движением ускоряемых частиц. В США действует линейный
резонансный ускоритель электронов, который на пути 3 км сообщает им энергию
22 ГэВ. При столь больших энергиях электронов линейные резонансные ускорители
оказываются более перспективными, чем циклические. Иначе обстоит дело в отноше-
нии ускорителей протонов и других, более тяжелых частиц.
3. Наиболее мощные современные ускорители протонов и,других положительно
заряженных частиц построены по циклическому типу. В этих ускорителях заряженная
частица многократно проходит через электрическое поле, каждый раз увеличивая свою
энергию от нескольких тысяч до нескольких сотен тысяч электрон-вольт. Для управле-
ния движением частиц и периодического возвращения их в область ускоряющего
электрического поля применяется сильное поперечное магнитное поле. Поясним подро-
бнее принцип действия циклических ускорителей
построенного Э. Лоуренсом (1931).
Циклотрон состоит из двух металлических
дуантов М и N (рис. 23.9), представляющих
собой две половины невысокой тонкостенной
цилиндрической коробки, разделенные узкой
щелью. Дуайты заключены в плоскую замкну-
тую камеру А, помещенную между полюсами
сильного электромагнита. Магнитная индукция
В направлена перпендикулярно плоскости чер-
тежа. Дуанты с помощью электродов т и л при-
соединены к полюсам электрического генерато-
ра, создающего в щели между ними переменное
электрическое поле. Если ввести в точку С поло-
жительный ион в тот момент, когда электричес-
кое поле между дуантами максимально и надра-
на примере циклотрона, впервые
влено снизу вверх, то под действием электричес-
кого поля ион начнет равноускоренно переме-	Рис. 23.9
щаться в плоскости чертежа снизу вверх. Как
только он войдет в дуант М, ускоряющее действие электрического поля прекратится,
так как металлические стенки дуанта экранируют его внутреннюю полость от элект-
рического поля в зазоре. Внутри дуанта М ион под действием магнитного поля опишет
полуокружность, радиус которой можно определить по формуле (23.3). К тому момен-
ту времени, когда иои, двигаясь в дуанте М, будет подходить я зазору между дуантами,
направление вектора Е электрического поля изменится на противоположное первона-
чальному и поле снова будет ускорять движение иона. Затем внутри дуанта N ион
опишет полуокружность, но уже несколько большего радиуса, соответствующего воз-
росшей скорости. К моменту вылета иона в зазор электрическое поле снова изменит
свое направление и будет ускорять движение иона. В результате многократного
ускорения иона электрическим полем его кинетическая энергия может стать очень
большой. Для уменьшения вероятности торможения ионов из-за столкновения с моле-
кулами воздуха в камере А создается высокий вакуум.
4. Описанный процесс непрерывного ускорения ионов возможен только в том случае,
если движение иона и изменение электрического поля в зазоре будут происходить
строго синхронно. В противном случае ион при прохождении через зазор будет то
ускоряться, то замедляться. Таким образом, для нормальной работы циклотрона
необходимо, чтобы периоды колебаний электрического поля (То) и обращения иона (7)
были равны:
Т=Г0,
(23.18)
или, по формуле (23.4),
То=2птЦВц у/х—«?/с2),
(23.18')
где q/m удельный заряд нона, В — магнитная индукция поля в дуантах.
303
В циклотроне магнитное поле постоянно, а на-
пряженность Е электрического поля изменяется
во времени по гармоническому закону Ех=
= E0sia(2n/T0)t с постоянным периодом То (рис.
23.10).
При малых скоростях v ионов (и <К с) его пери-
од обращения Т в циклотроне не изменяется по
мере увеличения скорости и энергии иона. Условие
синхронности (23.18) легко осуществить соответст-
вующим выбором То или В.
Рис. 23.10	Однако при возрастании скорости иона до зна-
чений, соизмеримых со скоростью света, начинает
сказываться зависимость Т от и. Период обращения Т возрастает и перестает быть
равным То- Условие синхронности нарушается.
5. Рассмотрим подробнее процессы ускорения иона в циклотроне при Т= Тв и Т> Тв.
Пусть в начальный момент t=tl ион движется через зазор между дуантами, а напря-
женность ускоряющего электрического поля максимальна и равна Ев (рис. 23.10). Если
Т=ТВ, то н во все последующие моменты времени t2 = ti+To/2, ?з=^+7о/2 и т. д.,
соответствующие прохождению нона между дуантами, напряженность электрического
поля максимальна н совпадает с направлением движения иона. Поэтому энергия иона
будет непрерывно возрастать.
Если Т> То, то ион в своем движении отстает от изменения электрического поля. Он
проходит через зазор в моменты времени t'2 = 11 + Т/2, /3= 4+Т?2 нт. д., соответст-
вующие все более и более малым значениям напряженности электрического поля.
Поэтому ускорение иона в циклотроне постепенно замедляется. Наконец, начиная
с некоторого момента ион попадает в зазоре не в ускоряющее, а в тормозящее поле.
В процессе дальнейшего движения иона его скорость и кинетическая энергия постепен-
но уменьшаются. Период обращения Т также уменьшается, приближаясь к То.
Теоретически показано, что предельная энергия, которую может иметь ион в конце
процесса ускорения (перед началом торможения),
^пред=4 ^Jmt^qUoln,
(23.19)
где UD — амплитуда напряжения между дуантами. Таким образом, предельная энергия
иона пропорциональна
Из формулы (23.19) видно, что предельная энергия, приобретаемая заряженной
частицей в циклотроне, тем больше, чем больше ее масса и заряд- Так, например, при
(7о= 100 кВ для протона Wnpca=21,9 МэВ, а для электрона И/пред=0,51 МэВ. Поэтому
циклотрон мало пригоден для ускорения электронов.
Указанные выше теоретические значения предельной энергии ионов в действитель-
ности получить не удается. Оказалось, что при соблюдении строгой однородности
магнитного поля движение ионов в циклотроне неустойчиво. При случайных отклоне-
ниях ионов от спиральной орбиты они не возвращаются на нее, а ударяются о стенки
дуантов и тормозятся. Для обеспечения устойчивости ионов на орбите необходимо, как
показали расчеты, чтобы индукция В магнитного поля слегка уменьшалась от центра
к краям дуантов. Поэтому возрастание периода обращения иона в процессе ускорения
в циклотроне происходит не только из-за увеличения его скорости, но н из-за ослабле-
ния магнитного поля. В результате совместного действия обеих причин дальнейшее
ускорение иона прекращается при его энергии, меньшей И^д.
Максимальную энергию ионов, ускоряемых в циклотроне, можно было бы значите-
льно повысить, если по мере их разгона и удаления от центра дуантов период
То изменения электрического поля постепенно увеличивать. Однако следует иметь
в виду, что в циклотрон непрерывно поступают (впрыскиваются) ускоряемые частицы.
Проследить за одной частицей в циклотроне и изменять То в соответствии с измеиени-
304
ем периода ее обращения практически невозможно. Тем более нельзя осуществить
необходимое изменение периода То в случае множества ускоряемых ионов.
6. Возможность ускорения заряженных ‘ частиц, движущихся в циклических ускори-
телях с релятивистскими скоростями (у~с), вытекает нз установленного советским
физиком В. И. Векслером (1944) принципа автофазвровки*: всякое отклонение периода
обращения Т релятивистской частицы в магнитном поле ускорителя от резонансного
значения То, равного периоду изменения электрического поля ускорителя, приводит
к такому изменению энергии W частицы, что Т колеблется около Тй, оставаясь
в среднем равным То, т. е. согласно (23.4)
^T) = 2n^W)/{B\Q\c2)=T0.	(23.20)
Поясним принцип автофазировки на примере движения в циклотроне положитель-
ных ионов, начальная энергия которых такова, что зависимость их периода от
скорости играет существенную роль. Пусть период То переменного электрического
поля циклотрона равен периоду обращения Т\ в магнитном поле иона с энергией lEi:
7’о=7’1 = 2и1Г1/(В<7с2).
(23.21)
Зависимость напряженности Е = ЕХ электрического поля в циклотроне от времени
t представлена на'рис. 23.11, где по оси абсцисс отложена фаза напряженности
Ф = 2nt/Ta. Если ионы попадают в зазор между дуантами в те моменты времени г, когда
Ф=л, Зя, 5я и т. д., то Ег = 0 и поле не оказывает никакого влияния на движение этих
ионов. Они будут равномерно вращаться с периодом То по устойчивой круговой
орбите, соответствующей их энергии №]. Ионы, попадающие в зазор несколько раньше
(например, при Ф = Ф1), ускоряются электрическим полем. Их энергия W и период
обращения Т несколько увеличиваются. Поэтому они в своем движении постепенно
отстают от изменения поля. Моменты последовательных прохождений этих ионов
через зазор из одного и того же дуанта в другой обозначены на рнс. 23,11 точками а, Ь,
end. Так как точка d соответствует движению ионов уже в тормозящем поле, то
скорость ионов, а также их период обраще-
ния в дальнейшем постепенно уменьшают-
ся. Когда Т станет меньше Тй, ионы в своем
движении будут опережать изменения поля,
они в конце концов опять будут попадать
в зазоре в ускоряющее поле и вновь будет
происходить процесс увеличения их скоро-
сти и периода обращения. Аналогичный ко-
лебательный процесс, но только в обратной
последовательности, происходит с ионами,
которые попадают в циклотрон при Ф2 > я.
Из принципа автофазировки следует, что при достаточно медленном увеличении
периода То изменения электрического поля должно соответственно возрастать и сред-
нее значение <Т) периода обращения релятивистской частицы в магнитном поле
циклического ускорителя. При этом будет возрастать также среднее значение (И7)
Энергии частицы, так как, согласно (23.20), при B=const возрастание (Т) возможно
лишь за счет увеличения энергии частицы.
Основанный на этом принципе циклический ускоритель ионов получил название
фазотрона. В фазотроне магнитное поле постоянно, а частота vQ= 1/То переменного
электрического поля медленно изменяется с периодом г» Тс. Ускоряемые ионы
вводятся в фазотрон в тот момент, когда частота vn максимальна и равна частоте
их обращения в магнитном поле фазотрона. При минимальном значении v0 энергия
ионов становится наибольшей и они с помощью специальных устройств выводятся из
О
ЛХя- /V Г\ 7\ 2nt
5л\/ Me го
Рис. 23.11
•Этот принцип был независимо от Векслера установлен американским физиком Э. Мак-
Милланом.
305
фазотрона. Таким образом, фазотрон позволяет получить пульсирующий пучок ионот
большой энергии.
По мере ускорения ионов в фазотроне радиус ид орбиты возрастает, поэтом}
предельное значение энергии ионов определяется магнитной индукцией В н диаметром
полюсных наконечников электромагнита. Чтобы представить себе размеры электрома-
гнита действующего фазотрона, ускоряющего протоны до энергии 680 МэВ, укажем,
что его масса 7 * 10е кг, а диаметр полюсов 6 м.
Фазотрон мало пригоден для ускорения электронов, так как уже при энергии
электрона порядка нескольких мегаэлектронвольт (МэВ) его скорость отличается от
скорости света примерно на 1%. Поэтому его радиус орбиты н период обращения
очень быстро возрастают при ускорении.
7. Для получения пучков электронов большой энергии применяют два других типа
циклических ускорителей: бетатрон и синхротрон. Принцип работы бетатрона основан
на явлении электромагнитной индукции (см. § 26.2).
В синхротроне частота v0 ускоряющего электрического поля постоянна, а индукция
В магнитного поля меняется во времени. ‘Период обращения электрона в магнитном
поле синхротрона
T=2nW/(ec2B).	(23.22)
Из принципа автофазнровки (23.20) следует, что при Го=const энергия ускоряемого
электрона растет пропорционально магнитной индукции В поля синхротрона:
< И') /В=ес1 /(2я v0)=const.
Скорость электрона очень близка к с и практически не меняется в процессе разгона.
Соответственно электроны движутся в синхротроне, как видно из (23.3), по орбитам,
близким к окружности радиуса
1 <И/> ИМ<1С
г0=	=------,
ее В есВыалс
где 2?.,— и И'мис магнитная индукция и энергия электрона в конце цикла ускорения
в синхротроне. Поэтому в синхротронах применяют кольцевые электромагниты, со-
здающие магнитное поле в сравнительно узкой области вблизи круговой орбиты
радиуса г0.
В электродинамике доказывается, что всякая заряженная частица, движущаяся
с ускорением, должна излучать электромагнитные волны, расходуя на это свою
энергию. В магнитном поле заряженная частица приобретает нормальное ускорение и,
следовательно, должна излучать.
Излучение электромагнитных волн заряженными частицами, движущимися в одно-
родном магнитном поле с релятивистскими скоростями, называется синхротронным
излучением или магвитотормозшм излучением*.
Энергия FFMX1, расходуемая электроном за один оборот в синхротроне на излучение,
пропорциональна отношению четвертой степени энергии W электрона к радиусу г0 его
орбиты:
И'тл=const В*/г0-
Если эта энергия будет равиа энергии, сообщаемой электрону электрическим полем
за один оборот, то дальнейшее ускорение электрона станет невозможным.
Наиболее мощным циклическим ускорителем протонов является синхрофазотрон.
В нем комбинируются принципы, положенные в основу работы синхротрона и фазо-
трона. В синхрофазотроне одиовременио изменяются и период То ускоряющего элект-
*Излучение электромагнитных волн заряженными частицами, движущимися в магнитном
поле с нерелятивистскими скоростями, называется циклотронным излучением.
306
рического поля, в индукция В магнитного поля. Расчеты показывают, что Ври со-
гласованном уменьшении Тв и увеличении В можно добиться такого состояния, при
котором ускоряемые протоны будут двигаться по круговой орбите носгояитого ради-
уса Поэтому в синхрофазотроне применяется кольцевой электромагнит, подобный
магниту синхротрона.
8. Для нормальной работы синхротрона и синхрофазотрона необходимо, Чтобы дви-
жение ускоряемых в них частиц было устойчивым. Это значит, что ери случайных
отклонениях частицы от расчетной круговой орбиты как в радиальном» ,таж И в вер-
тикальном направлениях на частицу должна действовать сила, возвращяКЩЙЯ ее на
расчетную орбиту. Оказалось, что длк обеспечения вертикальной устойчивости нужно,
чтобы вблизи расчетной орбиты индукция магнитного поля изменяла» с увеличением
расстояния г от центра орбиты по закону
B=con8t/r",
(23.23)
где п>0. В свою очередь, радиальная устойчивость обеспечивается, если л<1. Таким
образом, условия одновременного осуществления вертикальной (акогальной) я ради-
альной устойчивости имеют вид
0<и< 1.
(23.239
Циклические ускорители, удовлетворяющие указанным условиям, называют уого-
рпгелямн с «мягкой фокусировкой». Расчеты показывают, что с увеличенном энергии
(Рщс приобретаемой частицами в таком ускорителе, очень быстро впэрастати масса
электромагнита (приблизительно пропорционально УР£._) и стоимость ускорителя.
Например, сооружение такого синхротрона на энергию электронов > l-t-1.5 ГэВ
оказывается экономически неоправданным.
Дальнейшее увеличение энергии Ж-». частиц, ускоряемых в синхро iponx в син-
хрофазотронах, было достигнуто путем замены «мягкой фокусировки» иа так называ-
емую «жесткую фокусировку». В ускорителях с жесткой фокусировкой частица движет-
ся по орбите, близкой к круговой, вдоль которой попеременно расположены магнитные
секции двух типов. Одни создают магнитное поле вида (23.23), где Я-«О (например,
л= —100), а другие — поле вида (23.23), где п» 1. Секции первого типа обесценивают
очень сильную радиальную фокусировку пучка ускоряемых частиц при одновременном
размытии в вертикальном направлении. Секции второго типа обеспечивают очень
сильную вертикальную фокусировку при одновременном размытии пучка в радиаль-
ном направлении В результате совместного действия на ускоряемые частицы магнит-
ных полей обоих типов размах радиальных и вертикальных колебаний частиц около
расчетной орбиты радиуса го оказывается значительно меньшим, чем в ускорителе
с мягкой фокусировкой. Соответственно можио существенно уменьшить поперечное
сечение вакуумной камеры ускорителя, массу электромагнита и стоимость всей уста-
новки.
Во всех наиболее мощных современных синхротронах и синхрофазотронах исполь-
зован метод жесткой фокусировки. В настоящее время действуют синхротроны С жест-
кой фокусировкой, сообщающие электронам энергию tFL—=12.2 ГэВ. ПеряаЛ такой
синхрофазотрон, ускоряющий протоны до Ж..„.=28 ГэВ, был запущен (19999 в
ропейском центре ядерных исследований (ЦЕРН) вблизи Женевы (Швейцарии). Масса
его электромагнита составляет 3 10э т, тогда как для сооружения слабвфокусярующе-
го ускорителя иа ту же энергию протонов понадобился бы электромагнит массой в
106 т’ В 1967 г был введен в строй синхрофазотрон Института физики высоких энергий
под Серпуховом Этот ускоритель с жесткой фокусировкой сообщает протомкм энер-
гию жшк=76 ГэВ. В 1972 г. в Батейвии (близ Чикаго, США) начал действовать
синхрофазотрон, дающий пучок протонов с энергией Ж..—=500 ГэВ.
Наибольшие значения магнитной индукции, осуществимые поп в савофофазот-
ронах, не превосходят 1,5 — 2 Тл. Поэтому радиусы г0 орбит протонов И размеры этих
гигантских ускорителей весьма велики. Например, у синхрофазотрона й Бачвйвии
г0«1 км!
307
9. Бомбардируя частицами высокой энергии неподвижную мишень, нельзя использо-
вать всю кинетическую энергию этих частиц для осуществления исследуемых ядерных
реакций. Часть энергии налетающей частицы расходуется на сообщение кинетической
энергии частицам, являющимся продуктами реакции. Это связано с тем, что при
столкновении должен выполняться не только закон сохранения энергии, ио и закон
сохранения импульса. Расчеты показывают, что доля кинетической энергии WT налета-
ющей частицы, полезно используемая для осуществления ядериой реакции, убывает по
мере увеличения 1ГЖ. Поэтому наряду с созданием сверхмощных ускорителей заряжен-
ных частиц разрабатываются установки, в которых используется метод встречных
пучков. Например, в ЦЕРНе построен ускоритель со встречными протои-протонными
пучками, в каждом из которых кинетическая энергия протонов равна 30,5 ГэВ. Суммар-
ный импульс двух протонов, движущихся до столкновения навстречу друг другу
с численно одинаковыми скоростями, равен нулю. Поэтому энергия столкновения этих
двух частиц достигает 61 ГэВ. Такую же энергию столкновения можно получить,
бомбардируя пучком протонов неподвижную водородную мишень, лишь при энергии
налетающих протонов порядка 2 103 ГэВ!
§ 23.5. Релятивистское истолкование магнитного взаимодействия
движущегося заряда и прямолинейного проводника с током
1. Пусть в инерциальной системе отсчета К длинный тонкий прямолинейный провод-
ник с током I неподвижен, а положительно заряженная частица — точечный элект-
рический заряд q - движется со скоростью V, направленной параллельно проводу
(рис. 23.12)* **. Расстояние от частицы до провода равно а. Будем ради простоты считать,
что электрическое сопротивление проводника пренебрежимо мало. В таком случае
проводник с током создает в системе отсчета
К только магнитное поле. Для наблюдателя, на-
ходящегося в системе отсчета К, на движущуюся
заряженную частицу действует лишь магнитная
составляющая силы Лоренца
F=FM=g[V4.
Вектор В магнитной индукции поля Прямоли-
нейного проводника с током / в месте нахождения
заряженной частицы направлен эа чертеж перпен-
дикулярно его плоскости и численно равен
В=Яо2//(4ла).
Модуль силы F притяжения движущегося заряда q к проводнику с током равен
К 2qIV
4л а
(23.24)
2.	В инерциальной системе отсчета К положительные ионы, образующие кристал-
лическую решетку проводника, неподвижны (их скорости v+ =0), а электроны проводи-
мости движутся со скоростями дрейфа v_=v в сторону, противоположную направле-
нию электрического тока в проводнике**. Плотность электрического тока в провод-
нике
}=1!5=еп$>,
(23.25)
*На рис. 23.12 и 23.13 умышленно завышен поперечный размер проводника.
**Для упрощения расчетов мы отвлекаемся от статистического распределения электроне»,
проводимости по скоростям их дрейфа в проводнике и считаем, что все они движутся с одина-
ковыми скоростями V..
308
где 5 площадь поперечного сечения проводника, п0 концентрация электронов
проводимости.
В системе отсчета К проводник не создает электрического поля, т. е. этот проводник
элсктронейтрален: линейные плотности зарядов ионов (т+) и электронов проводимости
,(т_) равны по абсолютному значению и противоположны по знаку:
т+=т0 и т_——т0.
Величину тп легко найти из (23.25):
т _ - - — еио5 = — //г>, То = //г>.
(23.26)
3.	Рассмотрим теперь взаимодействие заряда q с проводником с позиции наблюда-
теля, находящегося в инерциальной системе отсчета К', которая движется относитель-
но системы отсчета К поступательно вдоль оси
ОХ вместе с зарядом q, т. е. со скоростью V (рис.
23.13	). В системе отсчета К' заряд q неподвижен
и потому магнитное поле проводника с током на
нею не действует. Между тем и в этой системе
отсчета заряд q притягивается к проводнику, кото-
рый в К' уже не электронейтрален, а заряжен
отрицательно с линейной плотностью заряда
т'<0.
Электроны проводимости движутся относите-
льно системы отсчета К влево со скоростью v'
а положительные ионы
Из формул (7.17)
влево со скоростью v'+.
1 - Рбч )х/с
-Г,
так как (г + )х = 0, и
(„_),-P ,,+ V
(<)y =
1 - Р(ч-)x/c2 l+i)P/c:
так как (v )x=—i>. Таким образом
- у, < -
1 +»V/c-
Легко видеть, что v' >г>'
»0-V2/c
V_ —!>'. =
1 +vV/r:
0.
(23.27)
4.	Вследствие лоренцева сокращения (7.12) длины провода, движущегося относитель-
но системы отсчета К со скоростью v'+, линейная плотность положительных зарядов
в проводе, регистрируемая в К, отлична от т0 и равна
т0	ТС
т'+ =	=	(23.28)
71-«/с)2 v/l-r’/c2
** Нужно отметить, что электрические заряды частиц и тел, как показывают эксперименты, не
зависят оз скоростей движения этих частиц и тел и одинаковы во всех системах отсчета.
Впрозивном случае нарушался бы закон сохранения электрического заряда. Так, например, заряд
металлического тела должен был бы очень сильно изменяться при нагревании тела, так как при
309
любой температуре скорость теплового движения электронов проводимости значительно болып?
скорости теплового движения ионов.	'
Соответственно линейная плотность электронов проводимости в проводнике, реги-
стрируемая в К,
i
Т-= •—(23.29)
где т* линейная плотность заряда электронов проводимости в инерциальцой систе-
ме отсчета X*, относительно которой они покоятся. В системе отсчета К электроны
движутся со скоростью V, а линейная плотность их заряда в проводе т_ = — т0. Поэтому
т- = -T0y/l-v2lc2.
(23.30)
Из соотношений (23.27)	(23.30) следует, что линейная плотность электрического
заряда проводника в системе К
yf\-v2lc2
(v+Vf/c2
(\+vV/c2)2
(23.31)
Можно показать, что т'<0 и на заряд q действует электрическая сила притяжения
к проводнику, которая, согласно (14.13), равна
k'l
F'-qE'-q ---.	(23.32)
,2л£Па
5.	Скорость электронов проводимости в системе отсчета К Если же и заряд
q движется с нерелятивистской скоростью V (К«с), то, пользуясь разложением т'+, т*
и т'_ в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами, получаем:
/ 1 ИХ
т'+ »т0 1 +- — L
\ 2е/
( »«Л Г
-’”(’-2 й)
2
-to
V2 vV
1
2
и, согласно (23.26),
-rovV/c2= -IV/c2.
Так как с2 = 1 /(«оДо), то
До 2qiv
4тг а
(23.3Г)
(23.32)
Следует отметить, что совпадение значений F' и F силы, действующей на заряД
q в системах отсчета К' и К, является приближенным. Этот результат справедлив лишь'
при сделанном выше предположении, что скорость заряда с.
в. Рассмотренная нами задача весьма поучительна. Во-Первых, она показывает, яда;
релятивистские эффекты могут оказываться существенными не только при очень
больших (релятивистских) скоростях движения. Так, например, в вышеприведенной
задаче скорость дрейфа электронов проводимости очень мала. Однако релятивистский'
310
эффект, с вею связанный, отнюдь не мал, тал как концентрация электронов проводимо-
сти в проводе очень велика.
Во-вторых, эта задача позволяет сделать общий вывод о том, что электрическое
и магнитное взаимодействия составляют части единого электромагнитного взам^одей-
ствия заряженных частиц. Существует единое электромагнитное поле, разделение
которого на электрическое и магнитное поля, характеризуемые векторами Е и В,
относительно, так как зависит от выбора инерциальной системы отсчета.
Если одноименные оси декартовых координат инерциальных систем отсчета К и К'
попарно параллельны и система К' движется относительно К с постоянной Орростъю
V вдоль положительного направления оси ОХ, то проекции векторов Е н В на оси
координат систем отсчета Ли К' свюашл следующими правилами преобразования:
Е^-Е,,
В*=Вп
Еу—УВ.
Е'„ = ’- =
Ву+ VEJc1
2Г/” 71-F1//
(23.33)
№ В,-УЕу/г
* yjx-v1^
7. В заключение найдем с помощью соотношений (23.33) точное значение напряжен-
ности Е' электрического поля в системе отсчета К' в месте нахождения заряда f. Из рис.
23.12 видно, что в системе отсчета К значения проекций векторов Е и В в месте
нахождения заряда д равны (ось OZ идет из-за чертежа):
Ех=Еу—Ег=О, Вх=Ву= 0, Вг = — До//(2яп).
Поэтому, согласно преобразованиям (23.33),
;	Р^У
Е'^Е'^0, £>---------
ZnayjX — 2!^
Соответственно точное значение силы электрического притяжения заряда д к провод-
нику равио
Ег+VBy
Ti-W*
F=gE'=------ .
2пау]\-УЧг
т. е. отличается от полученного ранее приближенного значения (23.32Э релятивистским
множителем 1/^/1 — И2/с2.
(23.34)
Вопросы:
1. Как движется заряженная частица а однородном и неоднородном магнитных полях, если
других полей нет?	*
2 Какие данные о проводниках и полупроводниках можно получить на основе эксперименталь-
ного изучения эффекта Холла в них?
1 Какую роль играет магнитное поле а циклотроне?
4. В чем состоит принцип автофаэировки и как он реализуется в фазотроне, синхротроне
и синхрофазотроне?
4 Что такое метод встречных пучкоа и каковы его преимущества?
11 Поясните идею релятивистского истолкования магнитного взаимодействия движущегося за-
। ряда и проводника с током.
т. Проиллюстрируйте примерами утверждение об относительности разделения алектромагнит-
ного поля на электрическое и магнитное поля.
311
Глава 24______________________________________
Магнитное поле в веществе
§ 24.1.	Магнитные моменты атомов
1.	Согласно представлениям классической физики электроны в атоме движутся по
замкнутым траекториям — орбитам, образуя систему замкнутых орбитальных токов.
Если электрон движется со скоростью v по круговой орбите радиуса г (рис. 24.1), то
сила орбитального тока
I=ev=evl(2nr),	(24.1)
где е элементарный заряд; v частота обращения электрона по орбите. Направле-
ние орбитального тока показано на рис. 24.1 стрелкой.
Орбитальному току соответствует магнитный момент рщ, называемый орбиталь-
ным магнитным моментом электрона.
Вектор Рш направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона (рис. 24.1),
а его модуль
pm=7S=’/^r,	(24.2)
где S=nr2 - площадь орбиты.
2.	Момент импульса L, электрона, движущегося по орбите, относительно ее центра
О называется орбитальным Моментом импульса электрона:
L,=w[rv], Lt—mvr,	(24.3)
где т масса электрона; г — его радиус-вектор, проведенный из центра О орбиты.
Вектор L, противоположен по направлению вектору р^,:
Pm = ?L„	(24.4)
где у= — е/(2т) гиромагнитное (магнитомеханическое) отношение орбитальных момен-
тов электрона.
3.	Орбитальным магнитным моментом атома называется вектор Рт, равный геомет-
рической сумме орбитальных магнитных моментов всех электронов атома:
z
pm= Z Р™,	(24-5)
1= 1
\	где Z — число электронов в атоме, равное порядковому
"ги \	номеру элемента в системе Менделеева.
\f'	\	Орбитальный момент импульса атома L равен геомет-
г j -е рической сумме орбитальных моментов всех электронов
f	этого атома:
L= i L"	(24.6)
\	Из (24.4)	(24.6) следует, что
Рис. 24.1	Pm=?L.	(24.4')
312
4.	В этой главе мы не будем учитывать влияние, которое оказывают на магнитные
свойства вещества магнитные моменты атомных ядер. Дело в том, что эти магнитные
моменты примерно в тысячу раз меньше орбитальных магнитных моментов электро-
нов. Поэтому в первом приближении магнитными моментами атомных ядер можно
пренебречь по сравнению с магнитными моментами электронных оболочек атомов.
§ 24.2.	Атом в магнитном поле
1.	Рассмотрим влияние магнитного поля на движение электронов в атомах вещества.
При внесении атома в магнитное поле на электрон, движущийся по орбите и об-
разующий замкнутый орбитальный ток, действует вращающий момент (21.14):
М-^В].	(24.7)
Из (24.4) видно, что вращающий момент (24.7) можно представить в форме
M=[yLJB]=[-yBLJ.	(24.79
Из закона изменения момента импульса (4.20) следует, что
(24.8)
dl*
f^-yBLJ
dt
и соответственно
dPm
—=[-yBpj.
elf
Вектор —уВ=еВ/(2ж) совпадает по направлению с вектором В-
2.	В § 4.1 было показано, что скорость произвольной точки тела, вращающегося
вокруг неподвижной то^ки О, может быть найдена по формуле (4.69:
dr ->
v=—=[саг].
Из сопоставления этого выражения с (24.8) и (24.89, видно, что под влиянием
внешнего магнитного поля векторы L, и Рщ орбитальных моментов электрона в атоме
вращаются с угловой скоростью '
со£= -уВ=4?В/(2т). (24.9)
При этом векторы L, и Рщ опи-
сывают соосные круговые коничес-
кие поверхности с общей вершиной
в центре О орбиты и осью, парал-
лельной вектору В (рис. 24.2, о). Та-
кое движение векторов L, и рщ и со-
ответствующей им орбиты электро-
на в атоме называется прецессией
Лармора. Из формулы (24.9) видно,
что угловая скорость прецессп Лар-
мора зависит только от магнитной
индукции поля и совпадает с ней по
направлению.
Таким образом, мы доказали
следующую теорему Лармора (1895):
.А
В
Прецессионное дви-
жение электрона и
его орбитального маг
нитноео момента
Дополнительное
Рис. 24.2
313
щрмстаанным результатом влияния магнитного яоля на ор-
биту влоктроиа  атоме является прецессия орбиты и еекторн
Уш о угловой скоростью о) £ вокруг оси, проходящей через ядро
атома и параллельной вектору В индукции мапмтного поля.
3.	Вследствие прецессии Лармора появляетск дополнительный орбитальный ток
ААфб—ео>£/(2я)=е2В/(4ят),
(24.10)
направление которого показано на рис. 24.2, б. Этому току соответствует яаведеятаа
врИташи1 ааяпюпый мопс и г электрона Лрп,, модуль которого
Лрш=MopeSх=e2SLB/(4mi),
где Si площадь проекции прецессирующей орбиты электрона на плоскость, перпен-
дикулярную вектору В. Из рис. 24.2, б видно, что вектор Ар^, противоположен вектору
В по направлению. Поэтому
APm= -e2SjB/(4nm).
(24.11)
Общий наведенный орбитальный магнитный момент атома, электронная оболочка
которого состоит из Z электронов, равен
АРш=-е22<5г>В/(4юи),
(24.12)
где <Si> - среднее значение площади для орбит всех электронов атома.
§ 24J, Диамагнетики и парамагнетики в магнитном поле
1. Все вещества при рассмотрении их магнитных свойств принято называть магиегв-
кама. По своим магнитным свойствам магнетики подразделяются на три основные
группы: диамагнетики, парамагнетики н ферромагнетики. Всякая среда при внесении ее
во внешнее магнитное поле намагничивается в той или иной степени, т. е. создает свое
собственное магнитное поле, накладывающееся иа внешнее поле.
Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит век-
торная величина - иамшничеииостъ J, равная отношению магнитного момента мак-
роскопически малого объема вещества к этому объему А К
где Pmi магнитный момент <-го атома (молекулы) из общего числа п атомов (моле-
кул), содержащихся в объеме А И. Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его
пределах магнитное поле можно было считать однородным. В то же время в нем
должно содержаться еще столь большое число атомов (л> 1), чтобы к ним можио
было применять статистические методы.
2. ыт-итигаки называются вещества, которые намагничиваются во внешнем
магнитном поле в направлении, противоположном направлению вектора магнитно!
индукции поля.
К диамагнетикам относятся вещества, магнитные моменты атомов, молекул или
ионов которых в отсутствие внешнего магнитного поля равны нулю. Диамагнетикам!
являются инертные газы, молекулярные водород н азот, висмут, цинк, медь, золото,
серебро, кремний, германий, вода (жидкая), ацетон, глицерин, нафталин и многие
другие органические и неорганические соединения.
314
При внесении диамагнитного вещества во внешнее магнитное поле атомы (молеку-
лы) вещества приобретают, согласно теореме Лармора, наведенные магнитные момен-
ты ДРШ. В пределах малого объема ДУ изотропного диамагнетика векторы ДРШ всех
п атомов (молекул) одинаковы. Они, как видно из (24.12), пропорциональны вектору
В и противоположны ему по направлению. Поэтому намагниченность диамагнетика
Л=пДР^У=л0ДРш=Л'В/до,	(24.13)
где по — концентрация атомов (молекул);-^ ' — безразмерный коэффициент пропорци-
ональности, зависящий от природы вещества (у всех диамагнетиковае ' < 0). Из (24.12)
следует, что для атомарного диамагнетика
эе '= -ntf2Z <$!> fio/(4nm).
По исторически сложившейся традиции в качестве характеристики магнитных
свойств среды пользуются магнитной восприимчивостью среды аг, связанной саг' соот-
ношением
1	ж'
1 + аг=---- или аг =------.	(24.14)
1 -х'	1 -аг'
У диамагнетиков |*'|~10-6-5-10-s, т. е. |ае'|«1 и магнитная восприимчивость
и практически равнаае
'	Ж = -n0e2Z(S1')	(24.15)
Л. Д. Ландау предсказал (1930) существование диамагнетизма свободных электро-
нов во внешнем магнитном поле. Это явление получило название диамагнетизма
Ландау. Оно обусловлено тем, что внешнее магнитное поле вызывает искривление
траекторий электронов, так что в проекции на плоскость, перпендикулярную вектору В,
электроны движутся по замкнутым орбитам. Соответствующие орбитальные магнит-
ные моменты электронов направлены в сторону, противоположную направлению IL>'
3. Поведение диамагнетиков в магнитном поле существенно отличается от поведения
диэлектриков с неполярными молекулами в электрическое поле. Диэлектрик поляризу-
ется в направлении вектора Напряженности Е электрического поля. Поэтому легкий
стержень, изготовленный из диэлектрика и свободно подвешенный в однородном
электрическом поле, устанавливается так, чтобы его ось была направлена параллельно
Е. В неоднородном электрическом поле стержень из диэлектрика втягивается в область
более сильного поля. Стержень из диамагнитного материала (например, из висмута)
намагничивается в направлении, противоположном вектору магнитной индукции вне-
шнего поля. Поэтому в неоднородном магнитном поле диамагнитный стержень вытал-
кивается в область более слабого поля и устанавливается так, чтобы его ось была
перпендикулярна В (рнс. 24.3). Газы, входящие в состав продуктов сгорания, обладают
диамагнитными свойствами. Поэтому пламя свечи отклоняется в неоднородном маг-
нитном поле в сторону более слабого поля (рис. 24.4).
Рис. 24.3
Рис. 24.4
315
4. Парамагнетиками называются вещества, которые намагничиваются во внешнем
магнитном поле в направлении вектора В.
Атомы (молекулы или ионы) парамагнетика обладают собственным магнитным
моментом Рт. К парамагнетикам относятся многие металлы (щелочные и щелочно-
земельные металлы, некоторые переходные металлы, а также сплавы этих металлов),
кислород О2, оксид азота NO, оксид марганца МпО, хлорное железо FeCl2 и др.
В отсутствие внешнею магнитного поля парамагнетик не намагничен, так как из-за
теплового движения собственные магнитные моменты атомов ориентированы совер-
шенно беспорядочно (J—0). При внесении парамагнитного вещества в магнитное поле
магнитные моменты атомов (молекул) прецессируют вокруг направления В с угловой
скоростью прецессии Лармора. В то же время совместное действие на атомы
(молекулы) парамагнетика магнитного поля и столкновений их друг с другом вследст-
вие теплового движения приводит к преимущественной ориентации собственных маг-
нитных моментов атомов по направлению вектора В. В результате парамагнетик
намагничивается «по полю», т. е. в направлении В
Классическая теория парамагнетизма была разработана П. Ланжевеном (1905). Он
рассмотрел статистическую задачу о поведении молекулярных токов и соответству-
ющих им магнитных моментов в однородном магнитном
поле с индукцией В. Оказалось, что намагниченность J пара-
магнетика в поле зависит от параметра а—Р^ВЦкТ), где
к постоянная Больцмана, Т термодинамическая тем-
пература;
Рис 24 5
J-naPmL(d),
(24.16)
где пп концентрация атомов (молекул) парамагнетика.
Функция L(a) называется классической функцией Ланжевена
и имеет вид
L(a) = cth а— 1/а,
(24.17)
где cth а — [ехр а + ехр ( — а)]/[ехр а — ехр ( — а)]	гиперболический котангенс а.
График функции L(a) приведен на рис. 24.5. При а~> 1 7(а)к1' магнитные моменты
всех атомов «выстроены» по полю, и намагниченность J парамагнетика практически не
увеличивается при дальнейшем росте В. Эго состояние называется состоянием магнит-
ного насыщенна парамагнетика. Оно может осуществляться только в очень сильных
магнитных полях и при достаточно низких температурах (например, при Г=300
К а^-1, если 100 Тл).
Обычно а«1 и £(а)йа/3. Таким образом, в слабом магнитном поле намагничен-
ность изотропного парамагнетика пропорциональна магнитной индукции поля;
J = nnP’B/(3fcr)-^'B//r(),
(24.18)
। де
' = поР1воЮкТ).
Величина ' для парамагнетиков положительна и очень мала (от 10-5 до
10 3). Поэтому магнитная восприимчивость Л? парамагнетиков практически не от-
личается от «и
эе. =поР&о/(ЗкТ).
(24.19)
Это соотношение выражает закон Кюри (1895):
мегнитнея восприимчивость перемагнетике обретно пропорци-
онельне его термодинемической температуре.
316
Можно показать на опыте, что намагничи-
вание парамагнетика действительно происхо-
дит в направлении, совпадающем с вектором В.
При внесении парамагнитного стержня в маг-
нитное поле, созданное между полюсами элект-
ромагнита, он устанавливается вдоль линий
индукции этого поля (рис. 24.6) и притягивается
к ближайшему полюсу.^
5. Как уже указывалось выше, процесс намаг-
ничивания парамагнетика состоит в упорядоче-
нии расположения магнитных моментов его	р^с g
атомов (или молекул) по отношению к направ-
лению вектора В. Механический момент импульса атома связан с его магнитным
моментом соотношением (24.4’). Поэтому намаг иичивание парамагнетика сопровожда-
ется также преимущественной ориентацией векторов L, моментов импульса его атомов:
Л	1 л
ХР.
,=|	7,-1
где л число атомов, содержащихся в объеме V парамагнетика. Пренебрегая неод-
нородностью магнитною поля в пределах этою объема, на основании (20.13) и (20.18)
получим
л
ZL,=
1
у
3f'V в
К1=-
У До
Таким образом, суммарный момент импульса всех атомов парамагнетика пропор-
ционален индукции магнитного поля и равен нулю в отсутствие поля. Поворот атомов
парамагнетика в маг нитном поле происходит в результате их соударений при тепловом
движении, т. е. под влиянием внутренних снл. Поэтому момент импульса парамагнит-
ного тела при ею намагничивании не должен изменяться. Следовательно, одновремен-
но с упорядочением направления векторов магнитных моментов и моментов импульса
атомов парамагнитного тела в однородном маг нитном поле это тело должно начать
вращаться вокруг оси, параллельной вектору В. Это явление называется магнитомеха-
\вческмм эффектом. Угловая скорость ш вращения тела должна быть такой, чтобы
соответствующий ей момент импульса тела был равен
VI-
Jqco— — / L,—	j
УРО
(24.20)
где Jq момент инерции тела. Зная JD, К и эе' и измеряя
опытным путем Аиш, можно по формуле (24.20) опреде-
лить гиромагнитное отношение у.
Магнитомеханический эффект впервые был обнару-
жен экспериментально А. Эйнштейном и В. де Гаазом
(1915) и поэтому называется также эффектом Эйнштей-
на — де Гааза.
Железный стержень, подвешенный на тонкой кварцевой
нити, помещался внутри вертикального соленоида вдоль его
оси (рис. 24.7). При пропускании тока через соленоид стержень
намагничивался и приобретал соответствующий вращательный
импульс, под действием которого ои поворачивался на некото-
рый угол а, закручивая кварцевую нить. Угол а регистрировался
с помощью зеркального отсчета — по смещению светового лу-
ча, отражавшегося от закрепленного на нити зеркала 3. Угол
поворота стержня был очень мал. Поэтому через соленоид
317
пропуск» тж~я гирсшипиД ток, частота которого соответствовала резонансным крутильным коле-
бшиимскржня.
С. Барнетт обнаружил (1909) обратный эффект — эффект Барнетта, который состо-
ит в намагничивании быстро вращающегося железного стержня в отсутствие внешнего
магнитного поля. Вектор магнитного момента противоположен по направлению век-
тору угловой скорости вращения стержня. Это связано с тем, что векторы механичес-
ких и магнитных моментов электронов направлены в противоположные стороны,
в. Опыты Эйнштейна и де Гааза, проведенные с железными стержнями, привели
к иго-жид а ними результатам. Найденное ими гиромагнитное отношение у, оказалось
отличным от орбитального гиромагнитного отношения у:
уг=2у= —е/т.	(24.21)
Этот результат имел огромное значение не только для изучения магнитных свойств
железа, но и для всего дальнейшего развития физики. Для его объяснения пришлось
предположить, что электрон помимо орбитальных моментов L, и Pm обладает еще
собствмтш мвмеяггм» юанульса который был назван гняипн электрона, и соответ-
ствующим ему сейспенмым мягнипным моментом
рви=7Лв=‘— eLJm.	(24 22)
Вначале элементарное представление о спине связывалось с вращением электрона
вокруг собственной оси. Однако в дальнейшем выяснилось, что такай классическая
модель спина, роипмипяж иа представлениях механики макроскопических объектов,
неверна. Спин имеет не классическую, а квантовую природу и не связан с движением
электрона как целого. Спин электрона (или какой-либо другой элементарной частицы)
является такой же неотъемлемой характеристикой электрона (или частицы), как элект-
рический заряд и масса.
Со' спином электрона сикчяны, ках мы увидим в дальнейшем, многие важные
закономерности (например, распределение электронов в атоме по оболочкам, элект-
рические свойства кристаллов н их деление на проводники, диэлектрики и полупровод-
ники).	4
Было установлено, что модуль аяша электрона
La=й =* э/3,	С24*23)
где й^й/(2х); й — постоянная Планка; s= 1/1 — спиновое квантовое число электрона.
Из (24.22) и (24.23) следует, что модуль собстведвого (ажвового) магнитного момагга
электрона
рви=ehy/l/(2m) =	(24.24)
где дБ»е)У(2т) — магнетон Бора.
Важнейшая особенность спина электрона состоит в том, что в магнитном поле*
спин может быть ориентирован только двумя способами* его проекция на направление
вектора В может быть равна либо +h/2, либо —ty2. Соответственно проекции спино-
вых магнитных моментов равны —дБ или + дБ. В первом случае принято говорить, что
спиц параллелен вектору В, а во втором — антипараллслен ему. Указанную особен-
ность спина подтверждают все эксперименты, в которых проявляется влияние спив»
электрона. Прямым экспериментальным доказательством наличия только двух ориен-
таций Спина являются опыты О. Штерна и В. Герлаха (см. § 39.4).
*ПрМииЫ возникновения этого поля не играют никакой роли Оно может порождаться ках
токами проводимости («внешнее поле»), так и орбитальным движением электронов и магнитным»
моментами ядер атомов («внутреннее поле»).
Ч1Я
7. Многие парамагнитные металлы (например, щелочные  щелочно-земельные металлы) не
подчиняются закону Кюри (24 19) их магнитная восприимчивость не зависит от температуры
Это явление удалось объяснить лишь в квантовой теории Магнитные свойства металлов опреде-
ляются магнитными моядеитамй электронных оболочек ионов, образующих красталлнчвскую
решетку металла, и спиновыми магнитными моментами электронов проводимости Если магнит-
ные моменты ионов равны нулю, то парамагнитные свойства металла обусловлены только
электронами проводимости
В отсутствие п мп него магнитного поля электроны проводимости металла распределяются
по возможным энергетическим состояниям (уровням) попарно так, что их спины направлены
 противоположные стороны* Спиновые магнитные моменты таких пар алопроцов взаимно
компенсируются. Во внешнем магнитном поле энергетическая эквивалентность обоих тправпе-
ний спиновых магнитных моментов эдектронов нарушается. Электрон, спиновый магнитный
момент которого параллелен внешнему магнитному полю, обладает меньшей энергией, чем
электрон с противоположно направленным спиновым магнитным моментом Таким образом^
первый электрон находится в энергетичеош более выгодном (устойчивом) состоянии, час второй.
Здесь имеется аналогия с двумя ориентациями плоского контура тока в магнитном поле,
соответствующими параллельности векторов Рщ и В и их антипараллельности. В металле не все
энергетические уровни заняты электронами проводимости Поэтому в результате действия на
металл внешнего магнитного поля должен происходить «поворот» аитипарелдельных В шиповых
магнитных моментов у тех электронов, которые оказались на эиергетичеяих уровнях более
высоких, чем свободные уровни, соответствующие электронам, спиновые магнитные моменты
которых параллельны В Это явление называется пврамягвпжпяоы электронов еровадшветн
в металлах, или парамлгнетжшом Паули. Электроны проводимости подчиняются не классической,
а квантовой статистике Ферми — Дира г» (J 41.2) Пока лишь заметим, что соглвшо этой
статистике парамагнетизм электронов проводимости в металлах практически не зависит от
температуры
При внесении металла во вяешдее магнитное поле одновременно с парамагнетизмом эдектро-
нов проводимости проявляется и их диамагнетизм Ландау Однако первый эффект оказывается
втрое сильнее второго, так что результирующая магнитная восприимчивость электроне» прово-
димости в металлах положительна
8 В заключение необходимо отметить, что ни диамагнетизм, ни парамагнетизм, по
существу, не могут быть последовательно объяснены в рамках классической физики,
т е без привлечения квантовых представлений Об этом говорит теорема Н. Бора
(1911) — И. Ван Лёвен (1919), которая утверждает, что
согласно классической ствтмстичоской физика намагничен-
ность системы электронов в постоянном внешнем магнитном
поло в состоянии термодинамического ревновесия равна
нулю.
Прежде всего идея о незатухающих внутримолекулярных амперовых токах проти-
воречит классической эпегтродинямиже, согласно которой электроны, движущиеся
в атомах с огромными нормальными ускорениями, должны интенсивно изучать элект-
ромагнитные волны, расходуя на это энергию (см § 30.3). Поэтому молекулярные токи
должны затухать, а электроны — падать на ядра атомов. Рассмотренная выше теория
два- и парамагнетизма удовлетворительно согласуется с опытом, если радиусам
электронных орбит в атомах и молекулах приписать значения порядка 10"м,
вытекающие из квантовой теории. Так, например, радиус круговой орбиты электрона
в атоме водорода, по теории Бора, равен
г1^еьЛ2/(ятеа)=0,53 10"1Ом.
♦Это связано с тем, что согласно квантовому принципу запрета Паули на каждом уровне
может находиться не более двух электронов с янтяпяря яттпыплми ашнвми
319
§ 24.4.	Закон полного тока для магнитного поля в веществе
1.	При изучении магнитного поля в веществе (магнетике) различают два типа токов:
макротоки и микротоки. Под макротоками понимают электрические токи проводимо-
сти, а также конвекционные токи, связанные с движением заряженных макроскопичес-
ких тел. Микротоками, или молекулярными токами, называют токи, обусловленные
движением электронов в атомах, ионах и молекулах.
В веществу на магнитное поле макротоков (его часто называет внешним) наклады-
вается дополнительное магнитное поле микротоков (его соответственно называют
внутренним). Вектор В характеризует результирующее магнитное поле в веществе, т. е.
он равен геометрической сумме магнитных индукций внешнего (Во) и внутреннего
(Ввиутр) полей:
В = Во+Ввнугр	(24.25)
Из сказанного ясно, что вектор В должен зависеть от магнитный свойств магнети-
ка. Магнитное поле микротоков возникает в результате намагничивания магнетика при
его помещении во внешнее магнитное поле. Поэтому первичным источником магнит-
ного поля в веществе являются макротоки.
2.	Закон полного тока (22.31) для магнитного поля в вакууме легко обобщить на
магнитное поле в веществе. В вакууме поле создают только макротоки, а в веществе
макротоки и микротоки. Следовательно, для поля в веществе
В dl Pq (/MUpo 4“ /микро)»
(24.26)
(Г)
где ^мвжГо и ^ми.ро алгебраические суммы соответственно макро- и микротоков,
охватываемых замкнутым контуром L, т. е. результирующие макро- и микротоки
сквозь поверхность, натянутую на контур L.
Величину 7миЖрО можно подсчитать, основываясь на предположении, что молекула
с магнитным моментом Рт эквивалентна замкнутому «витку» молекулярного тока
где 54OJ1 площадь «вйтка» (рис. 24.8). В случае парамагнитной среды Рт собствен-
ный магнитный момент молекулы, а в случае диамагнитной среды наведенный
магнитный момент АРт./Вклад в I^tpo дают только те молекулярные токи, «витки»
которых «нанизаны» на контур L, как бусы на нитку. В самом деле, молекулярные
токи, не удовлетворяющие этому условию, либо вообще не пересекают поверхность,
натянутую на контур L и закрашенную на рис. 24.9 («виток» а), либо пересекают ее
дважды («виток» Ь) во взаимно противоположных направлениях.
3.	Для нахождения 7мижро рассмотрим магнитное поле в диамагнитном веществе. Во
внешнем магнитном поле молекулы этого вещества имеют наведенные магнитные
320
моменты ДРщ, направленные строго упорядоченно —
в сторону, противоположную вектору В. Пусть ос —
угол между вектором dl малого элемента dl замкнуто-
го контура L и вектором ДРВ. На элемент dl контура
дпятггаяъг» молекулярные токи всех йл молекул, нахо-
дящихся в объеме косого цилиндра (рис. 24.10) с об-
разующей dl и основанием, равным нормаль к ко-
торому составляет угол я с образующей цилиндра:
Рис. 2410
ЙЛ = Ло^мол d/ COS Я,
где по — концентрация молекул.
Таким образом, малому элементу й/ контура L соответствует охватываемый этим
контуром микроток
й/ми1ро=АимЛо^мвл dZ cos я “	„ d/cos dl,
где J=ЛоДРщ — намагниченность. Интегрируя это выражение по всему замкнутому
контуру L, находим
Aeipo’^Jdl.	(2427)
(t)
Для парамагнитной среды расчет более сложен, так как из-за теплового
движения магнитные моменты молекул ориентированы по-разному. Однако можно
доказать, что и в этом случае для 7^-^» справедливо выражение (2427). Итак,
сумма микротоков, охватываемых замкнутым контуром, равна циркуляции вдоль
этого контура вектора намагниченности.
4.	Разделим обе части уравнения (2426) на ро и подставим в него выражение
1шро в форме (2427):
£ - dl=7MUpo+ £ Jdl.
(П	(£)
После несложных преобразований получим
f (В/до-J) dl=7^.	(24.28)
Вектор
Н=В/до—J	(24.29)
называется напряженностью магнитного поля. Поэтому (24.28) можно переписать в виде
^Нй!^/^.	(24.30)
W
Это уравнение является обобщением на магнитное поле в веществе соотношения
(22 31), полученного для магнитного поля в вакууме. Оно выражает закон полого тока
для мат ни 1 во! о поля в среде:
циркуляция вокторв напряжвнносги магнитного поля Вдоль
произвольного замкнутого контура равна роаультирувхдему
макротоку сквозь поаоршоотъ, натшутую иа этот контур.
321
5.	В случае изотропной среды связь между векторами магнитной индукции
и намагниченности имеет вид [см. (24.13) и (24.18)]
Л=*'В/до.
Поэтому из (24.29) следует, что напряженность и магнитная индукция поля в изо-
тропной среде связаны соотношением
Н-(1-^ЭВ/до
или иа основании (24.14)
Н-ВЛдио),	(24 31)
где
д-1 +	(24.32)
— относжгельиая магнитная прении ипг гь среды, эе — магнитная восприимчивость
среды.
Для диамагнитных веществ Ж<0 и д < 1. Для парамагнитных веществ Ж > 0 и д > 1.
Относительная магнитная проницаемость этих веществ не зависит от напряженности
магнитного поля, в котором они находятся
Из данных для М., которые были приведены ранее, следует, что ц пара- и диамаг-
нитных веществ незначительно отличается от единицы (д» 1). Это связано с тем, что
внутренние магнитные поля в таких веществах намного слабее тех внешних полей,
которые вызывают намагничивание вещества.
Из (24.29), (24.31) и (24.32) видно, что намагниченность магнетика прямо пропорци-
ональна напряженности магнитного поля:
(24.319
§ 24.5.	Ферромагнетики
1.	Ферроыагиегякаха называются твердые вещества, обладающие при не слишком
высоких температурах самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью, которая
сильно изменяется под влиянием инептния воздействий — магнитного поля, дефор-
мации, изменения температуры.
Ферромагнетики в отличие от слабомагнитных дна- и парамагнетиков являются
сильномагнитными срецямп- внутреннее магнитное поле в них может в сотни и тысячи
раз превосходить внешнее поле. Такими свойствами обладают кристаллы переходных
металлов (железо, кобальт, никель), некоторых редкоземельных элементов и ряда
сплавов, ферриты, а также некоторые металлические стекла.
2.	Большой вклад в экспериментальное изучение свойств ферромагнетиков внес А. Г.
Столетов. В своей докторской диссертации (1872) он исследовал зависимость намаг-
ниченности мягкого железа от напряженности магнитного поля. Предложенный им
экспериментальный метод заключался в измерении магнитного потока Фш в ферромаг-
нитных кольцах при помощи баллистического гальванометра.
Тороид, первичная обмотка которого состояла из Ni витков, имел сердечник из
исследуемого материала (например, отожженного железа). Вторичная обмотка из
2V2 витков была замкнута на баллистический гальванометр G (рис. 24.11). Обмотка
Ni включалась в цепь аккумуляторной батареи Б. Напряжение, приложенное к этой
обмотке, а следовательно, и силу тока Ц в ней можно было изменять с помощью
потенциометра Яр Направление тока изменялось посредством коммутатора К.
При изменении направления тока в обмотке Ni на противоположное в цепи
обмотки Nj возникал кратковременный индукционный ток ц через баллистический
гальванометр проходил электрический заряд д, который, как показано в § 25.1, равен
отношению взятого с обратным знаком изменения потокосцепления вторичной обмот-
322
Рис 24 11
хи к электрическому сопротивлению Я цепи гальванометра: g=2N2®m//{. Если сердеч-
ник тонкий, а площадь его поперечного Течения равна S, то магнитная индукция поля
в сердечнике
В=Фт/Я=дЯ/(2^5).
Напряженность магнитного поля в сердечнике вычисляется по формуле (24.30):
Я=Лг1/1//ср, где /ср длина средней линии сердечника. Зная В и Н, можно найти
намагниченность J = В/до — Н.
1 Результаты экспериментального изучения свойств ферромагнетиков приведены на
рис. 24.12	24.14. На рис. 24.12 показана зависимость намагниченности от напряжен-
ности магнитного поля. Начиная с некоторого значения Н, модуль вектора намаг-
ниченности остается постоянным и равным /,. Это явление называется магшггным
ваопцешем. График зависимости В от Н (рис. 24.13) отличается от графика J=*f(H)
отсутствием горизонтальной части: как только наступает насыщение, магнитная индук-
ция В=До/(Н + J) растет по линейному закону в зависимости от напряженности магнит-
ного поля. Существенной особенностью ферромагнетиков является зависимость д от
Я. Относительная магнитная проницаемость д ферромагнетика вначале быстро растет
с возрастанием Н, достигает максимума, а затем убывает, стремясь к единице в очень
сильных намагничивающих полях (рис. 24.14). Последнее объясняется тем, что при
очень больших значениях Н в формуле В —ДоН+доЛ можно пренебречь ДоЛ^ДоЛ, по
сравнению с ДоН. Тогда В=р.ръНкрцН и д«1. Максимальные значения ц для фер-
ромагнетиков очень велики: дмжге~ 103 —10б.
4.	Опыты показали, что зависимость намагниченности J ферромагнитного образца от
напряженности Н Существенно зависит от того, каким предварительным воздействиям
подвергался этот образец. Графики, показанные на рис. 24.12 - 24.14, соответствуют
намагничиванию образца, который предварительно был полностью размагничен.
Дело в том, что ферромагнетики имеют способность частично сохранять намаг-
ниченность после их удаления из внешнего магнитного поля. Это связано с наблюда-
ющимся у ферромагнетиков явлением мшимтного гистерезиса (рис. 24.15). Пусть фер-
ромагнитный образец предварительно полностью размагничен. Тогда во внешнем
магнитном поле, напряженность которого направлена по осн ОХ: Н—Н,—НА, намаг-
ниченность образца возрастает по начальной кривой намаги'оаапя Оа ат Jx-=0 при
Я,=0 до Л=Л при НХ = Н, в точке а, соотвегствуюцдей состоянию ьагнитного
насыщения. Ёсли затем уменьшать напряженность Нх магнитного поля, то намагничен-
ность Jx изменяется по кривой, лежащей выше Оа. При Нх=0 намагниченность
323
Рис 24 15
Рис. 24.16
Jx=Jr>0 и обращается в нуль только в размагничивающем магнитном поле, напря-
женность которого Нх= —Нс<0.. Дальнейший ход зависимости Jx от Нх при перемаг-
ничивании образца показан на рис. 24.15, изображающем предельную петлю магнитного
гистерезиса. Величины Jr и Не называются остаточной намагниченностью и коэрцитивной
силон. Коэрцитивная сила характеризует способность ферромагнитного материала
сохранять намагниченное состояние.
Аналогичная предельная петля магнитного гистерезиса для зависимости Вх от
Нх представлена на рис. 24.16. Величина Вг называется остаточной индукцией. Можно
показать, что площадь петли гистерезиса на рис. 24.16 пропорциональна количеству
теплоты, выделяющемуся в единице объема ферромагнетика за один цикл перемаг-
ничивания.
В зависимости от значения коэрцитивной силы различают мягнятно-мштак и маг-
нитно-гвердые материалы. Первые отличаются малым значением коэрцитивной силы
(Яс~0,8 — 8 А/м) и очень малыми потерями энергии при перемагничивании Эти
материалы используют при изготовлении трансформаторов, электрических машин
и т. п. Магнитно-твердые материалы намагничиваются до насыщения и перемагничи-
ваются в сравнительно сильных магнитных полях. Они характеризуются высокими
значениями коэрцитивной силы 10*— 10s А/м) и остаточной индукции 1 Тл).
Эти материалы используют для Изготовления постоянных магнитов.
5.	Остаточная намагниченность ферромагнитного образца может быть нарушена при
его сотрясении. Поэтому постоянные магниты следует предохранять от ударов. Анало-
гично действует нагревание ферромагнитного тела. С повышением температуры оста-
точная намагниченность ферромагнетика уменьшается. При достаточно высокой тем-
пературе, называемой точкой Кюря, она исчезает полностью. При температурах выше
точки Кюри ферромагнетик ведет себя во внешнем магнитном поле как парамагнитное
вещество. Он не только теряет свои ферромагнитные свойства, но у него изменяются
теплоемкость, электропроводимость и некоторые другие физические характеристики.
Переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, происходящий
в точке Кюри, не сопровождается выделением или поглощением теплоты. Поэтому он
является примером фазового перехода второго рода (см. § 12.4). Точка Кюри у железа
равна 1043 К, у кобальта 1403 К н у никеля 631 К.
6.	В середине XIX в. были открыты два магшггомехашчеекях эффекта:
явление магнитострикции, состоящее в изменении формы и размеров ферромагнит-
ного образца при его намагничивании (Д. Джоуль, 1842);
эффект Вилларе, состоящий в изменении намагниченности ферромагнитного образ-
ца при его механической деформации (Э. Виллари, 1865).	।
Эти явления применяются в магнитострикционных датчиках и реле. Механические
колебания, возникающие в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически
324
изменяющемся магнитном поле, используются в магнитострикционных излучателях
ультразвука.
7.	Классическая теория ферромагнетизма была разработана французским физиком П.
Вейсом (1907). Согласно этой теории, весь объем ферромагнитного образца, находяще-
гося при температуре ниже точки Кюри, разбит на небольшие области — домены,
которые самопроизвольно (спонтанно) намагничены до насыщения. Линейные размеры
доменов порядка 10-3-е-10-2 см. В размагниченном образце в отсутствие внешнего
магнитного поля магнитные моменты доменов ориентированы .так, что результиру-
ющая намагниченность образца в целом равна нулю. Показанное на рис. 24.12 намаг-
ничивание такого образца в магнитном поле, напряженность которого медленно
и монотонно увеличивается, происходит за счет двух процессов: смещения границ
доменов и вращения магнитных моментов доменов. Процесс смещения границ между
доменами приводит к росту размеров тех доменов, которые самопроизвольно намаг-
ничены в направлениях, близких к направлению вектора Н. Процесс вращения магнит-
ных моментов доменов но направлению Н играет основную роль только в области,
близкой к насыщению (т. е. при Н, близких к Н,).
В области средних значений Н, соответствующей наиболее крутой зависимости J от
Н, наблюдается эффект Г. Баркгаузеня (1919), который состоит в скачкообразном
изменении J при монотонном изменении Н. Эффект Баркгаузена обусловлен тем, что
имеющиеся в образце инородные включения и другие дефекты мешают плавному
перемещению границ доменов при увеличении напряженности поля.
8.	Измерения гиромагнитного отношения для ферромагнетиков на основе эффектов
Эйнштейна — де Гааза и Барнетта показали, что ферромагнетизм имеет спиновую
природу, т. е. обусловлен спиновыми магнитными моментами электронов атомов
ферромагнетика. В атоме электроны распределяются по слоям, в каждом из которых
в соответствии с квантовым принципом запрета Паули может находиться не более
определенного числа электронов. Все слои атома, кроме первого (ближайшего к ядру
атома), подразделяются на оболочки, число которых тем больше, чем больше номер
слоя. Электроны распределяются по слоям и по оболочкам в них так, чтобы энергия
атома была наименьшей. Результирующие спиновые и орбитальные магнитные момен-
ты всех электронов, находящихся в целиком заполненной ими оболочке или слое
атома, равны нулю. Атомы элементов, обладающих ферромагнитными свойствами
(Fe, Со, Ni), принадлежат к числу переходных атомов периодической системы Д. И.
Менделеева. В этих атомах нарушается последовательность заполнения электронами
мест в слоях и оболочках. Прежде чем полностью «застроится» нижний слой, начинает-
ся заполнение выше расположенного слоя. Поэтому в переходном атоме имеются не
полностью занятые электронами внутренние слои и оболочки. Например, в атоме
железа 26 его электронов распределены по четырем слоям. Первый и второй слои
целиком заполнены и содержат соответственно 2 и 8 электронов. Третий и четвертый
слои не достроены: в третьем слое находится 14 электронов (вместо 18), а в четвер-
том - 2 (вместо 32). 14 электронов третьего слоя распределены по оболочкам следу-
ющим образом: в первой оболочке — 2, а во второй и третьей — по 6 электронов.
Спины электронов, принадлежащих к каждой оболочке, могут быть ориентированы
в двух противоположных направлениях. В застроенных первых двух слоях атрма
железа магнитные спиновые моменты электронов взаимно, компенсируют друг друга.
В третьем слое первые две оболочки также характерны тем, что спиновые магнитные
моменты электронов на этих оболочках компенсируют фуг друга. Что же касается
третьей оболочки, то из шести находящихся на ней электронов пять имеют спины,
ориентированные в одном направлении*, и лишь один электрон имеет спин, ориен-
тированный противоположно. Итак, в атоме железа спины четырех электронов
в третьем слое остаются некомпенсированными. Что касается наружных валентных
электронов атрма железа, то их спины, вообще говоря, тоже могут быть некомпен-
сированы. Однако, как показывает опыт, на магнитные свойства атома Железа валент-
ные электроны, слабо связанные с атомом, существенного влияния не оказывают.
В изолированном атоме железа орбитальные движения электронов дают некото-
рый орбитальный магнитный момент. Однако при образовании кристалла железа
*Это не противоречит принципу Паули, так как состояния этих электронов различны
325
происходит своеобразное «замораживание» электронных орбит, приводящее к тому,
что орбитальные магнитные моменты электронов практически не участвуют в созда-
нии магнитных моментов атомов. Причины такого «замораживания» еще не вполне
выяснены. Вместе с тем измерения гиромагнитного отношения ясно показывают, что
магнитные свойства ферромагнитных веществ связаны с некомпенсиронацными спино-
выми магнитными моментами небольшого числа электронов атома. Таким образом,
ферромагнитными свойствами могут обладать только такие вещества, в атомах кото-
рых имеются недостроенные внутренние электронные оболочки. Однако это условие
является необходимым, но не достаточным. Например, ряд атомов элементов переход-
ной группы (Ст, Мп, Pt и др.) и редкоземельных элементов имеют недостроенные
внутренние; оболочки, но эти вещества являются парамагнетиками.
В. Для объяснения самопроизвольной намагниченности феромагнетиков необходимо
предположить, что в них между носителями магнетизма — спинами электронов — су-
ществует взаимодействие, способное при температурах более низких, чем точка Кюри,
обеспечить спонтанную намагниченность доменов. Естественно предположить, что
между спиновыми магнитными моментами существует обыкновенное магнитное вза-
имодействие, подобное взаимодействию двух проводников с током или двух солено-
идов. Однако расчеты показывают, что энергия этого взаимодействия оказывается
весьма малой величиной порядка 10-23 Дж, так что даже прн температуре жидкого
воздуха средняя энергия теплового движения атомов превосходит энергию их магнит-
ного взаимодействия. Поэтому за счет магнитного взаимодействия невозможно об-
разование самопроизвольной намагниченности.
Я. И. Френкель и В. Гейзенберг (1928) показали, что самопроизвольная намагничен-
ность может быть следствием электрического взаимодействия электронов. Возникнове-
ние самопроизвольной намагниченности за счет электрических сил нельзя объяснить
С точки зрения классической физики. Само существование спина у электрона является
«неклассическим», т. е. чуждым классической физике явлением. Не удивительно поэто-
му, что и электрическое взаимодействие электронов, приводящее к состоянию самопро-
извольной намагниченности ферромагнетиков, также является особым квантовым
взаимодействием, называемым обменным взаимодействием.
§ 24.6.	Условия для магнитного поля на границе раздела
двух изотропных сред
1.	Найдем соотношения между магнитной индукцией и напряженностью магнитного
поля в двух изотропных средах 1 (Bi, Ht) н 2 (В?, Н2) в произвольной точке А, лежащей
на поверхности раздела сред. Для этого воспользуемся законом полного тока (24.30)
н теоремой Остроградского — Гаусса (22.36). Предположим, что махротоки не идут по
поверхности раздела сред вблизи точки А. Тогда с помощью математических операций,
которые мы применили в § 15.4, получим следующие граничные условия для магнит-
ного поля:
Н^Ни,
<z4.33)
Д2г=(Д2/Я1)-В1т» В> = Л|»|.
Здесь Нл и ВТ — проекции векторов Н и В на плоскость, касательную к поверхности
раздела сред в точке А\ Н„и В„ — проекции Н и В на направление нормали к границе
раздела сред в точке А; и д2 — относительные магнитные проницаемости сред.
2.	Из граничных условий (24.33) можно сделать следующие выводы:
1.	Если тряпица раздела сред ортогональна линиям магнитной индукции, т. е.
Bi=B|„ то B2=Bi, и вектор магнитной индукции не изменяется при переходе через
границу раздела сред:
B2=BI,	(2434)
2.	Если граница раздела сред касается линий магнитной индукции, т. е. Bj “Bi,
и И, — Н|Т, то Н2=Н2т н напряженность магнитного поля не изменяется при переходе
через границу раздела сред.
326
Н2=Н„
(24.35)
3.	Если первая среда — вахуум, то /ц = 1 и из (24.33) следует, что Bj,=д2В1т.
Таким образом, относительная магнитная проницаемость среды имеет следующий
физический смысл: она показывает, во сколько раз увеличивается касательная состав-
ляющая магнитной индукции поля при переходе из вакуума в данную среду.
3.	Рассмотрим два примера магнитных полей в веществе.
Пример 1. Поле тороида (аг. рис. 22.14) с сердечником из однородного и изотропного
вещества с относительной магнитной проницаемостью д (если вещество — ферромагнетик, то
предполагается, что тороид тонкий, так что неоднородностью магнитного поля по сечению
сердечника можно пренебречь).
Магнитное поле локализовано в сердечнике тороида, причем линии магнитной индукции
имеют вид концентрических окружностей, центры которых лежат на оси тороида, а плоскости
перпендикулярны ей. Циркуляция вектора Н вдоль линии магнитной индукции — окружности
L радиуса г — равна
Нд1=2лгЯ.
(Ц
Сумма макротоков сквозь поверхность, натянутую на контур L радиуса г (Я|<г<Я2), равна
где N — число витков обмотки тороида, I— сила тока в ней. По закону полного тока
(24.30), напряженность и магнитная индукция поля в сердечнике тороида равны
NI	NI
Г-—, В=~ —,
2яг 2л г
(24.36)
(24.36')
или
где n=N/(2rtr) — число витков, приходящихся на единицу длины линии магнитной индукции.
Пример 2. Поле длинного солдаоида с сердечником из однородного изотропного вещества
с относительной магнитной проницаемостью д.
Вдали от концов соленоида магнитное поле в сердечнике соленоида можно считать однород-
ным. Напряженность и магнитная индукция этого поля находятся по формулам (24.36'), где
л — число витков соленоида, приходящихся на единицу его длины.
Вопросы:
1.	Можно ли провести аналогию между намагничением парамагнетика и поляризацией диэлект-
рика с полярными молекулами?
2.	Есть ли аналогия между намагничением диамагнетика и поляризацией диэлектрика с непо-
лярными молекулами?
3.	Какая величина служит количественной характеристикой намагниченного состояния ве-
щества?
4.	Поясните качественно сущность магнитомеханического эффекта у парамагнетиков
5.	Как связаны между собой векторы напряженности магнитного поля, магнитной индукции
и намагниченности?
В. Чему равна циркуляция напряженности магнитного поля пр замкнутому контуру, проведен-
ному в поле?
Т.	Каковы особенности магнитных свойств ферромагнетиков?
В. В чем состоял опыт Эйнштейна и де Гааза и каково его значение для выяснения природы
ферромагнетизма?
В. Как изменяются магнитная индукция и напряженность магнитного поля при переходе через
границу раздела двух сред?
10. Могут ли векторы В и Н быть направлены во взаимно противоположные стороны в какой-
либо точке среды?
327
Глава 25
Электромагнитная индукция
§ 25.1. Основной закон электромагнитной индукции
1. Французский физик Д. Араго обнаружил (1824), что колебания свободно подвешен-
ной магнитной стрелки затухают значительно быстрее, если над этой стрелкой или под
ней находится медная пластинка. Видоизменив этот опыт (1825), он обнаружил еще
более поразительное явление: при быстром вращении медной пластинки расположен-
ная под ней магнитная стрелка начинает вращаться в том же направлении.
Правильное объяснение опытов Араго было дано спустя несколько лет английским
физиком М. Фарадеем, открывшим явление электромагнитной индукции, фарадей был
сторонником теории Ампера. Он считал, что между электрическими н магнитными
явлениями существует тесная взаимосвязь. Ампер, Био и другие выяснили лишь одну
сторону этой взаимосвязи, а именно магнитное действие тока. Фарадей считал необ-
ходимым исследовать электрическое действие магнитного поля. При этом он исходил
из следующего: если электрические и магнитные явления взаимосвязаны н если вокруг
проводника с током возникает магнитное поле, то естественно ожидать, что должно
иметь место и обратное явление возникновение электрического тока в замкнутом
проводнике под действием магнитного поля. Однако первые опыты с проводником,
помещенным в магнитное поле постоянного тока, не далн положительных результатов.
2. Только в 1831 г., после десяти лет упорных поисков, Фарадею удалось наконец
решить задачу, которую он поставил перед собой, и осуществить опыт, имевший
огромное значение для дальнейшего развития физики и техники. Принципиальная
схема' установки Фарадея приведена на рис 25.1. На немагнитный стержень М намота-
ны два длинных куска изолированного меди or о провода. Концы одного (/) из них через
ключ К присоединены к батарее гальванических элементов Б, а концы другого к
гальванометру G. При неизменной силе тока в первой цепи гальванометр показывал
отсутствие тока во второй. Однако при замыкании н размыкании ключа К стрелка
1 альванометра слегка отклонялась н затем быстро возвращалась в положение равнове-
сия, что свидетельствовало о возникновении в проводнике 2 кратковременного тока,
названного Фарадеем индукционным током. Направления индукционных токов при
328
Рис. 25.3
замыкании и размыкании ключа К были прямо противоположными. Заменив ключ
К реостатом, Фарадей заметил, что при изменении силы тока Д в первом проводнике
во втором по-прежнему наводится индукционный ток, направление которого зависит
от того, уменьшается Ц или увеличивается.
Изменение силы тока Д сопровождалось одновременным изменением его магнит-
ного поля. Поэтому неясно было, что же является причиной возникновения индукцион-
ного тока: изменение тока Д или его магнитного поля в той части пространства, где
находится второй проводник? Ответ на этот вопрос был получен Фарадеем с помощью
следующих опытов. Надо взять две катушки (рис. 25.2), одна из которых (К]) замыкает-
ся на батарею Б; по этой катушке идет постоянный ток Д.
Катушка Кг замкнута на гальванометр. Если катушку К\ при-
ближать к К2, в последней возникает индукционный
ток 12. При удалеши катушки Kt от К2 ток 12 также возникает,
но имеет противоположное направление. Аналогичная картина
наблюдается при удалении или приближении катушки К2 к не-
подвижной катушке Kt. Наконец, ток h отсутствует, когда
взаимное расположение катушек не изменяется.
Опыты Фарадея ясно показали, что причиной возникнове-
ния индукционного тока /2 является изменение магнитного
поля, пронизывающего катушку К2. Чтобы окончательно убе-
диться в этом, Фарадей провел еще один опыт. Катушка
Ki была заменена длинным полосовым магнитом (рис. 25.3).
При перемещении магнита вдоль оси катушки К2 было об-
наружено возникновение в ней индукционного тока, направление которого зависело от
того, каким полюсом-был обращен к катушке магнит и удалялся он от нес или
приближался к ней. Результаты опыта полностью подтвердили сделанный выше вывод
о причине возникновения индукционного тока.
3.	Открытое Фарадеем явление получило название элекгроматтной квдукции. Оно
наряду с обнаруженным им же (1821) явлением вращения прямолинейного проводника
с током вокруг полосового магнита явилось той основой, на базе которой в последу-
ющие годы были созданы электрические двигатели, генераторы и трансформаторы.
Поэтому Фарадей заслуженно считается одним из основателей электротехники.
Индукционный ток проводимости в замкнутой цепи может возникнуть только под
действием сторонних сил. Соответствующая им э.д.с. называется электродвижущей
силой электромагнитной индукции 6^.
Дальнейшие исследования индукционного тока в проводящих контурах различной
формы и размеров показали справедливость следующего закона Фарадея:
э.д.с. электромагнитной индукции в контуре пропорциональна
скорости иэменания магнитного потока Фт сквозь поверх-
ность, натянутую на этот контур:
ёфр,
£ ИЯД —
dt
(25.1)
где к коэффициент пропорциональности. Э.д.с. электромагнитной индукции не зави-
сит от того, чем именно вызвано изменение магнитного потока — деформацией кон-
тура, его перемещением в магнитном поле или изменением/самого поля.
4.	Профессор Петербургского университета Э. X. Ленц исследовал связь между напра-
влением индукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного
потока. Он установил (1833) следующий закон — правило Ленца:
329
при всяком мямвввтш мюнипюго потока сквозь поверхность,
натянутую на замкнутый проводящий контур, в последнем
возникает индукционный ток такого направления, что его
магнитное поло противодействует изменению магнитного по-
тока.
Так, например, при приближении полосового магнита к замкнутой на гальванометр
катушке (рис. 25.3) в ней наводится индукционный ток, который своим магнитным
действием препятствует приближению магнита и связанному с этим возрастанию
магнитного потока сквозь витки катушки. При удалении магнита от катушки в ней
наводится ток противоположного направления, который своим магнитным действием
также препятствует движению магнита. Легко проверить, что внутри катушки векторы
магнитной индукции поля магнита и поля индукционного тока в цервом случае
направлены в противоположные стороны, а во втором — в одну и ту же сторону.
Интересной иллюстрацией правила Ленца служит следующий опыт. На расположенный
горизонтально железный сердечник катушки е большим числом витков провода свободно надето
алюминиевое кольцо А (рис 25.4). Катушку можно включить в цепь аккумуляторной батареи
Б с помощью ключа К. При замыкании ключа кольцо А перемешается по сердечнику вправо,
а при размыкании — влево. Такое поведение кольца объясняется возникновением в нем индукци-
онного тока. Если Сердечник сделан из магнитно-мягкого ферромагнетика, то в отсутствие тока
в катушке магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на кольцо, т. е. сцепленный с кольцом,
равен нулю. При замыкании цепи катушки магнитный поток, сцепленный с кольцом, возрастает
В кольце возникает индукционный ток, который, согласно правилу Ленца, направлен проти-
воположно току в витках катушки. Между такими токами действует сила взаимного отталкива-
ния, и кольцо смещается вправо. При размыкании цепи катушкй магнитный поток, сцепленный
с кольцом, уменьшается Теперь в кольце возникает индукционный ток, совпадающий по направ-
лению с током в катушке Поэтому кольцо притягивается к ней
5.	В физике и электротехнике принята правая система координат. Поэтому направле-
ние обхода контура при вычислении и направлении нормали и при вычислении
магнитного потока Фш, сцепленного с контуром, должны быть согласованы по правилу
правого винта: из коица вектора о обход контура должен быть виден происходящим
против часовой стрелки (рис. 25.5). Если б «яд и Фщ в формуле (25.1) выражать
в единицах СИ, то коэффициент пропорциональности к= — 1 и
йФт
	(25.2)
dt
Знак минус в правой части уравнения (25.2) соответствует правилу Ленца.
Формула (25.2), объединяющая в себе закон Фарадея и правило Ленца, является
математическим выражением основного закона электромагнитной индукща:

Рис. 25.4
Рис. 25.5
330
электродвижущая сила электромагнитной индукции  замкну*
том проводящем контуре численно равна и противоположна
по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь повер-
хность, натянутую на контур.
Для замкнутого контура магнитный поток Фт в уравнении (25.2) есть не что иное,
как потокосцепление этого контура. Поэтому основной закон электромагнитной
индукции для замкнутого проводящего контура мы будем записывать в форме, приня-
той в электротехнике:
d’p
(25.3)
dt
Закон электромагнитной индукции (25.3) для замкнутого проводника, перемеща-
ющегося в магнитном поле, можно получить на основе закона сохранения энергии. За
малое время dr внешние силы, приложенные к проводнику и вызывающие его переме-
щение в магнитном поле, совершают работу 6А", равную работе индукционного тока
в замкнутом проводнике: 6 А' — <f	dr. С другой стороны, работа t>A' равна взятой
с обратным знаком работе 6А, совершаемой силами Ампера (22.40): 6А‘ = — JHnfld‘P,
поэтому £ |1ид= —d*P/dr.
Э.д.с. электромагнитной индукции возникает в каждом отрезке проводника, пересе-
кающем при своем движении лйнии магнитной индукции поля. Это явление объясняет-
ся силовым действием магнитного поля иа упорядоченно движущиеся в нем носители
тока, имеющиеся в проводнике. ’Пусть, ради определенности, носители тока в провод-
нике электроны проводимости, а V скорость их упорядоченного движения. Если
проводник не замкнут, то V-~v скорость перемещения в магнитном поле рассмат-
риваемого участка проводника. В общем случае ¥=»+»!, где скорость упорядо-
ченного движения электронов по проводнику (если проводник замкнут и по нему идет
индукционный ток). Со стороны магнитного поля на электрон действует сила
F4— - e[VB] = - e[vB]-e[v,B].
Эта сила является сторонней, и ей соответствует стороннее поле, напряженность
которого
Eu=~- -IvBJ + tv.B}.
е
Так как вектор dl малого участка проводника длиной d/ и вектор v( коллинеарны, то
dl[v1B] = O и
Еп dl = dl |vB|.
Скорость перемещения малого участка dl проводника v=dr/dt, где г радиус-
вектор этого участка. Поэтому, пользуясь правилом переста-
новки сомножителей в смешанном произведении трех векто-
ров, получим
Ея dl—dl
dr
- В
dt
dS
= —В—.
dt
где dS = [drdl] вектор малой площадки, прочерчиваемой
элементом проводника за малое время dr (рис. 25.6).
Э.д.с. индукции в участке проводника конечной длины
I между сечениями I и 2 равна
331
(25.4)
<2
2
где dOm магнитный поток через поверхность, прочерчиваемую за время d/ всем
проводником длины 1. Формула (25.4) тождественна по виду с (25.2). Однако в (25.2)
dOm имеет другой смысл это изменение магнитного потока через поверхность,
натянутую на замкнутый контур.
Очевидно, что магнитный поток d®m в (25.4) отличен от нуля только в тех случаях,
когда проводник пересекает линии магнитной индукции поля, поэтому dd>m/dz часто
называют скоростью пересечения проводником линий магнитной индукции.
Например, в случае прямолинейного проводника длиной I, который движется
в Однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис.
25.7), э.д.с. индукции в проводнике
СФт
= -ВЛ sin в,	(25.5)
dt
где а угол между проводником и направлением его скорости v.
Разность потенциалов на концах проводника tpt — можно найти, воспользовав-
шись обобщенным законом Ома (19.9). Так как электрического тока в проводнике нет
(/=0), то
V1 <?2 = — 12 — ВЛ sin a.	(25.5')
6.	На явлении электромагнитной индукции основано действие магтггошдродинами-
ческого генератора (МГД-генератора), служащего для непосредственного преобразова-
ния внутренней энергии в электрическую. При этом роль проводника, движущегося
в поперечном магнитном поле, играет плазма или проводящая жидкость. Принципи-
альная схема плазменного МГД-генератора постоянного тока показана на рис. 25.8.
Сильно ионизованный газ, образующийся в результате сгорания топлива и обогащения
продуктов сгорания парами щелочных металлов, которые способствуют повышению
Степени ионизации газа, проходит через сопло и расширяется в нем. При этом часть
внутренней энергии газа преобразуется в кинетическую энергию струи газа. В попереч-
ном магнитном поле (на рис. 25.8 вектор В направлен за чертеж) положительные ионы
отклоняются вверх к электроду А, а свободные электроны вниз к электроду К. При
замыкании электродов на внешнюю нагрузку R в ней идет электрический ток / от анода
А генератора к его катоду К. Электрический ток совершает работу за счет соответст-
вующего уменьшения кинетической энергии струи плазмы.
7.	Возникновение э.д.с. электромагнитной индукции и индукционного тока в непо-
движном проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле, нельзя
332
объяснить действием на носители тока магнитной составляющей FM силы Лоренца, так
как на неподвижные заряды эта сила не действует. Поэтому для истолкования явления
электромагнитной индукции в неподвижных проводниках необходимо считать, что
переменное магнитное поле вызывает появление непотенциального (т. е. неэлектроста-
тического) электрического поля, под действием которого и возникает индукционный
ток в замкнутом проводнике. Если Е — напряженность этого индуктированного элект-
рического поля, то э.д.с. индукции в замкнутом проводящем контуре L
£ Edl.	(25.6)
т
Фигурирующий в основном законе электромагнитной индукции (25.2) магнитный
поток Фт сквозь поверхность, натянутую на контур, может изменяться по ряду
причин — благодаря изменению формы контура и его расположения в магнитном
поле, а также вследствие переменности самого магнитного поля. Полная производная
d®m/dr учитывает все эти причины. В случае неподвижного контура Фт может изменять-
ся только вследствие непостоянства магнитного поля, т. е. вследствие того, что
в точках неподвижной поверхности S', натянутой на контур L, магнитная индукция
В изменяется с течением времени. В таких случаях закон (25.2) записывают в форме
ЗФЮ

3t ‘
(25.2')
Так как Фт= I BdS,
зфю г
Гав „
BdS= dS,
J 3t
(5)
(S)
(S)
SB
- dS.
3t
(25.7)
Из (25.6) н (25.7) следует, что циркуляция напряженности Е индуктированного поля
вдоль замкнутого проводящего контура L равна
$Edl=- — dS.
J	J аг
<4	(.<0
(25.8)
8. При изменении потокосцепления T замкнутого проводящего контура в контуре
наводится э.д.с. электромагнитной индукции i вд и возникает индукционный ток 1тд.
Если электрическое сопротивление контура равно R, то, по основному закону электро-
магнитной индукции (25.3),
<5 ЯЯД	1 d'p
'тп = ~~~	, •
R	R dt
(25.9)
Заряд, проходящий за время dr при токе через поперечное сеченне цепи, равен
dq = Imadt= —d'f/R.
(25.10)
За время, в течение которого потокосцепление контура изменяется с 4х। до Tj,
переносится заряд
333

9 = (*1-*2)/Л
(25.10')
9. Индукционные токи возникают не только в замкнутых проводниках, поперечные
размеры которых малы по сравнению с их длиной, но н в массивных проводниках. Для
возникновения этих токов в массивных проводниках последние не нужно включать
в замкнутую электрическую цепь. Замкнутая цепь индукционного тока образуется
в толще самого проводника.
Индукционные токи, возникающие в массивных проводниках при их движении
в магнитном поле или под влиянием переменного магнитного поля, называются
вихревыми токами, иж ток»»и Фуко.
Сила вихревого тока удовлетворяет соотношению (25.9), где Т — потокосцепление
замкнутого контура вихревого тока, R — электрическое сопротивление цепи этого
тока. Подсчитать сопротивление R очень сложно. Однако совершенно очевидно, что
оно тем меньше, чем больше удельная проводимость материала проводника и чем
больше его размеры. В массивных проводниках R мало и вихревые токи могут
достигать большой силы даже в не очень быстро меняющихся магнитных полях
(например, в магнитном поле, создаваемом обычным переменным током, частота
которого 50 Гц).
Вихревые токи вызывают сильное нагревание проводников. Из закона Джоуля —
Ленца и формулы (25.9) следует, что количество теплоты, выделяемое в единицу
времени вихревым током, пропорционально'квадрату частоты изменения магнитного
поля. Поэтому в индукционных печах, служащих для плавки металлов при помощи
вихревых токов, магнитное поле создается переменным током высокой частоты.
В электрических машинах и трансформаторах вихревые токи приводят к значительным
потерям энергии. Ввиду этого магнитные цепи электрических машин и сердечники трансфор-
маторов делают не сплошными, а собирают из отдельных тонких листов железа, изолированных
друг от друга специальным лаком или окалиной. Вихревые токи образуются в плоскостях,
перпендикулярных линиям магнитной индукции (токи «охватывают» линии индукции). Поэтому
плоскости пластин, из которых собирают магнитные цепи, следует располагать параллельно
линиям магнитной индукции.
Сердечники катушек индуктивности, дросселей и других радиотехнических устройств, работа-
ющих при частотах 10* — 10* Гц изготовляют из маппггодвэлектрмсов. Это ферромагнитные
порошки, смешанные с диэлектриком (бакелитом, резиной и др.) и спрессованные под большим
давлением при высокой температуре в монолитную массу. Магнитодиэлектрики имеют большое
удельное электрическое сопротивление
Широкое применение в радиотехнике, радиоэлектронике, вычислительной технике получили
феррипи — полупроводниковые или диэлектрические ферромагнитные материалы, представля-
ющие собой химические Соединения оксида железа Fe2O3 с оксидами других металлов. Например,
ферриты-пшинели имеют общую формулу вида MeOFejOj, где Me — двухвалентный металл (Mg,
Ni, Со, Мп, Си, Zn и др.). Ферритовые изделия производят методом керамики, т. е. путем
прессования порошкообразной смеси оксидов и последующего спекания при температурах свыше
1000 “С.
На вихревые токи, возникающие в массивных
проводниках при их движении в магнитном поле,
действуют амперовы силы. В согласии с правилом
Ленца вихревые токи имеют такое направление, что
действующие на них амперовы силы должны тор-
мозить движение проводника. В качестве иллюст-
рации рассмотрим следующий опыт.
Между полюсами сильного электромагнита качается
масопный алюминиевый маятник (рис. 25.9, а). Если ток
в обмотке электромагнита отсутствует, то маятник совер-
шает слабоэатухающне колебания. При включения тока
затухание колебаний резко возрастает. Если магнитное по-
ле достаточно сильное, то колебания маятника становятся
апериодическими —- отклоненный маятник медленно воз-
вращается в положение равновесия- Это явление широко
используется для гашения колебаний подвижных систем
электроизмерительных приборов.
Рис 25 9
334
Затухание колебаний маятника в магнитном поле уменьшится, если увеличить электрическое
сопротивление маятника для индукционных токов. Это можно осуществить, сделав в маятнике
большое число узких поперечных вырезов (рис. 25.9, б).
Вихревые токи действуют на источники индуктирующего их магнитного поля.
Наглядным примером этого являются опыты Араго, рассмотренные в начале параг-
рафа. Вихревые токи, возникающие в медной пластинке при колебаниях расположен-
ной вблизи нее магнитной стрелки, по правилу Ленца тормозят движение стрелки.
Наоборот, если стрелка неподвижна, а находящаяся над стрелкой параллельная ей
пластинка приводится в быстрое вращение, то в этой пластинке также возникают
вихревые токи. Причина появления этих токов заключается в движении пластинки
в магнитном поле стрелки. По правилу Ленца, индукционные токи Фуко в пластинке
противодействуют причине, вызвавшей их возникновение. Поэтому вращающаяся
пластина увлекает за собой магнитную стрелку.
§ 25.2.	Явление самоиндукции
1.	Самоиндукцией называется возникновение э.д.с. электромагнитной индукции в элек-
трической цепи вследствие изменения в ней электрического тока. Эта э.д.с. & с называ-
ется электродвижущей силой самоиндукции.
Самоиндукция — частный случай электромагнитной и	При изменении
в цепи электрического тока изменяется потокосцепление сак дни Ч'с этой цепи,
т. е. потокосцепление, обусловленное собственным магнитным. тока в этой цепи.
По основному закону электромагнитной индукции (25.3), эщ.с. самоиндукции
, d*Pe
£<==-—.	(25.11)
' dr
2.	Индуктивностью (собственной индуктивностью) замкнутого проводящего контура
называется скалярная величина L, равная отношению потокосцепления самоиндукции
контура Тс к силе тока 7 в этом контуре:
L=yc.	(25.12)
Из закона Био — Савара — Лапласа (22.6) следует, что магнитная индукция в ка-
кой-либо точке поля замкнутого контура с током, находящегося в вакууме, пропорци-
ональна силе тока I в контуре. Следовательно, % также пропорционально I, так что
индуктивность контура, находящегося в вакууме, зависит только от его формы и раз-
меров. Если контур с током находится в однородной, изотропной и неферромагнитной
среде, заполняющей все магнитное поле, то индуктивность контура пропорциональна
относительной магнитной проницаемости д среды. Покажем это на примере тонкого
тороида с сердечником. Потокосцепление самоиндукции такого тороида '¥C=NBS, где
N -- число витков обмотки, S — площадь витка, а В — магнитная индукция поля,
выражаемая формулой (24.36). Следовательно,
где Гер — радиус средней линии тороида. Таким образом, индуктивность тонкого
тороида (гср»я/3)
Л=ддол1К,
(25.13)
где л=У/(2яГер) — число витков на единицу длины средней линии тороида, V=
= 2ягер5 — объем тороида. Формула (25.13) справедлива также для индуктивности
335
длинного соленоида, магнитное поле которого практически можно считать однород-
ным. В этом случае V^IS, где / длина соленоида
Если сердечник тонкого тороида или длинного соленоида сделан из ферромагнит-
ного материала,' то формула (25.13) сохраняет свою силу. Однако в этом ^случае
д зависит не только от материала сердечника, но также и от напряженности Н магнит-
ного поля, т. е. и от силы тока / в обмотке, так как Н= nl.
Э.	Выразим э.д.с. самоиндукции через индуктивность контура и силу тока в нем:
6с-~ (U).	(25.14)
dt
Если среда, заполняющая магнитное поле контура, неферромагнигна, а контур не
деформируется, то его индуктивность остается постоянной при изменении силы тока
с течением времени. Индуктивность такого контура можно вывести в (25.14) из-под
знака производной:
dl
-	(25.15)
dr
По правилу Ленца, э.д.с. самоиндукции противодействует изменению электричес-
кого тока в контуре, т. е. замедляет его возрастание или убывание. По формуле (25.15),
э.д.с. самоиндукции, а следовательно, и индукционный ток при прочих равных условиях
пропорциональны индуктивности контура. Таким образом, индуктивность контура
является мерой его инертности по отношению к изменению силы тока.
Относительная магнитная проницаемость д ферромагнетиков сильно зависит от
напряженности магнитного поля, поэтому при изменении тока в контуре, помещенном
в ферромагнитную среду, индуктивность L контура изменяется. Однако и в этом случае
э.д.с. самоиндукции можно записать в форме, аналогичной (25.15):
, й1
V $.= -!».,	(25.15')
d'
где =	динамическая индуктивность контура.
4.	Найдем закон изменения силы тока в цепи при ее замыкании и размыкании, т. е. при
неустановившемся режиме в цепи. Пусть индуктивность цепи L, а ее электрическое
сопротивление R. По закону Ома для замкнутой цепи с общим сопротивлением Я, сила
тока в цепи
'-(£ + SJ/R,
где 6 алгебраическая сумма э.д.с. источников электрической энергии, включенных
в цепь; £ ин4 э.д.с. индукции. Если внешнее магнитное поле постоянно, то индукци-
онные явления в неподвижной цепи обусловлены только изменением силы тока,
поэтому при L =const
г,.ид= £< = -£(d//dr),
й—L(d//dr)
R
Для нахождения зависимости силы тока от времени разделим переменные в этом
дифференциальном уравнении:
dl &-IR dl	1
„	- dr.
dr L	6-IR L
Полагая t>, R и L постоянными и интегрируя это уравнение, получаем
In (6 — IR)--= — Rt/L + \n С,
336
где С — произвольная постоянная интегрирования. Следовательно,
£-IR~Ce*',L	(25.16)
Пусть в начальный момент (Г=0) сила тока равна 70. Тогда 6 —I^R-C. Подставим
это выражение в (25.16):
—7Я=(£—70fl)e_*'/t
После преобразований получим
7=7ое-Л/1+- (1 -е-Л/Г).	(25.17)
R
Формула (25.17) позволяет найти законы изменения силы тока в замкнутой цепи,
обладающей постоянными сопротивлением R и индуктивностью L, при включении
в эту цепь и выключении из нее источника постоянной э.д.с.
5.	В случае включения в цепь источника э.д.с. начальный ток 70—0 и формула (25.17)
имеет вид
7-4 (1 -е^'/Л).	(25.18)
и
Сила тока в цепи Постепенно увеличивается от нуля до значения &fR, соответст-
вующего силе постоянного тога (рис. 25.10). Нарастание аалы тога происходит тем
быстрее, чем больше отношение А/L, т. е. чем меньше индуктивность цепи и больше ее
сопротивление. Это явление можно наблюдать на опыте, схема которого'приведена на
рис 25.11.
Две одинаковые лампы накаливания А я В включены параллельно в цепь аккумуляторной
батареи Б. Последовательно с лампой А включен соленоид с железным сердечником, индуктив-
ность которого L], а сопротивление Rt. Последовательно с лампой В включен резистор сопротив-
лением R2 = Яр При замыкании ключа К ток в лампе В устанавливается практически мгновенно,
а в лампе А он постепенно возрастает до равновесного значения. Поэтому нить лампы А накали-
вается значительно медленнее, чем нить лампы В. После установления в лампе А равновесного
постоянного тока она светятся так же, как и лампа В.
6.	При выключении источника э.д.с. £ — 0 и формула (25.17) имеет вид
(25.19)
Сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения 7о до нуля (рис.
25.12), причем тем быстрее, чем больше сопротивление цепи и чем меньше ее индуктив-
ность.
Существование индукционного тока при выключении источника э.д.с. можно проде-
монстрировать на опыте А. А. Эйхенвалъда (рис. 25.13).
Магнитоэлектрический гальванометр (см. $ 22.6) и катушка L, обладающая большой индук-
тивностью, включены параллельно в Цепь аккумуляторной батареи Б. При замкнутом ключе
К ток в гальванометре и катушке направлен слева направо, при этом стрелка гальванометра
Рис. 2511
337
Рис. 25.12
отклоняется вправо. Если на шкале прибора вблизи нейтрального положении стрелки установит!
стопор, препятствующий отклояеяию стрелял вправо, то при замкнутом ключе К она будеп
оставаться в нейтральном положении А. При размыта нив ключа К индукционный ток, воз
пикающий в катушке, будет совпадать по направлению с основным током. Проходя чере:
гальванометр справа налево, этот ток вызовет заметное отклонение стрелки влево.
7.	Произведем приближенную оценку значения э.д.с самоиндукции, возникающей
при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от Яо до R
Пусть d алгебраическая сумма эд.с. всех источников, возбуждающих в цепи посто-
янный ток /о= £/Д>. После мгновенного увеличения сопротивления сила тока I в цепи
изменяется по формуле (25.17). Подставим в нее выражение для /0:
а
Яо R
Дифференцируя это выражение по г и умножая на — L, получаем
откуда
-Л/L г -K1/L
е -Се
-R1/L
d с Я—Яо
(25.20)
Из формулы (25.30) следует, что при значительном увеличении сопротивления цепи
(Л» До), обладающей боЛьшой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много
Рис. 25.14
раз превышать d.
Большая э.д.с самоиндукции, возникающая при бы-
стром размыкании электрической цепи, может вызвать
пробой воздушного зазора между контактами выключа-
теля (проскакивает искра или даже возникает дуговой
разряд). Электрическая дуга расплавляет контакты вы-
ключателя и выводит его из строя. Для предотвращения
искрения контактов выключателя цепи низкого напряже-
ния параллельно контактам включают конденсатор.
В момент размыкания цепи конденсатор заряжается, а за-
тем разряжается через цепь. В электрических цепях высо-
кого напряжения применяются выключатели специальной
конструкции (масляные и др.), обеспечивающие быстрое
гашение дугового разряда.
8. При прохождении по проводнику переменного тока
магнитное поле внутри проводника изменяется и в нем
возникают вихревые токи самоиндукции. В случае круг-
лого цилиндрического проводника плоскости вихревых
338
гоков проходят через его ось. Направление этих токов можно определить с поинктю
травила Ленца. На рис. 25.14, а показано направление вихревых токов при возрастании
хновного тока / в проводнике, а на рис. 25.14, б — при его убывании. В обоих случаях
зихрвые токи направлены так, что противодействуют изменению основного тока
внутри проводника и способствуют его изменению вблизи поверхности. Следователь-
но, для переменного токА сопротивление внутренних частей проводника оказывается
зольше внешних. Поэтому плотность переменного тока неодинакова по сечению. Она
максимальна на поверхности проводника и минимальна на его оси. Это явление
получило название поверхностного эффекта или скин-эффекта [ekin (англ.) — кожа,
оболочка].
Переменные токи высокой частоты проходят только по очень тонкому поверхнос!-
ному слою проводника. Для таких токов применяются проводники i руб чаюй формы.
Их внешняя поверхность не должна иметь трещин, коррозии и других повреждений,
гак 1Мк это сильно влияет на сопротивление. Поэтому поверхность гфоводвиков,
предназначенных для токов высокой частоты, часто покрывают тонким споем серебра.
При нагреве сплошных проводников токами высокой частоты в результате скин-
эффекта почти вся теплота выделяется в поверхностном слое. На этой основе
В П. Вологдин и другие разработали методы поверхностной закалки металлов,
широко применяемые при изготовлении шестерен, коленчатых валов и других деталей
машин, подвергающихся ударным нагрузкам.
§ 25.3.	Явление взаимной индукции
1.	Явление взаимной индукция заключается-в наведении э.дх. индукции во всех провод-
никах, находящихся вблизи цепи переменного тока.
Впервые это явление наблюдал Фарадей на опыте, изображенном иа рве. 25.1. При
изменении силы тока 7, в первой цепи с помощью ключа или реостата во второй
наводится э.д.с. взаимной ивдукцш rf2i и возникает индукционный ток. Из основного
закона электромагнитной индукции (25.3) следует, что
*2.= —А	7 (25^1)
dr
где *21 потокосцепление второго контура, обусловленное магнитным полем тока
/, в первом контуре (потокосцепление взаимной индукции второго и первого контуров).
2.	Взаимной индуктивностью второго и первого контуров называется скалярная вели-
чина Мц, равная отношению потокосцепления взаимной нндукши второго нои тура
I силе тока А в первом контуре, обусловливающем это потокосцетлеине:
*21

А
(2522)
Из закона Био — Савара — Лапласа видно, что взаимная индуктивность Мп двух
контуров, находящихся в вакууме, зависит от формы и размеров контуров я их
взаимного расположения. Если контуры находятся в однородной, кмирошм* и иефер-
ромагнитной среде, заполняющей все магнитное поле, то Мп злкяап также от
относительной магнитной проницаемости д среды. Можно показать, что в этом случае
(2523)
Именно поэтому величины М21 и М12 назвали взаимной индуктивностью двух
контуров.
Если среда ферромагнитна, то Л/л и Л/12 зависят не только от геометрической
формы, размеров и взаимного расположения контуров, но и от силы токов в них.
В этом случае равенство (25.23) не соблюдается.
ЗЭ9
3.	Рассмотрим в качестве примера взаимную индуктивность двух обмоток тонкого
тороида, состоящих из ЛГ] и У2 витков провода. Если по первой обмотке идет ток 7Ь то
магнитную индукцию Bt поля этого тока в сердечнике тороида можио найти по
формуле (24.36):
’ '	(25.24)
где I рдНна. средней линий тороида; /г — относительная магнитная проницаемость
сердечника. Потокосцепление взаимной индукции второй обмотки
(25.25)
где S площадь витков, равная площади поперечного сечения сердечника (пред-
полагается, что обмотка сделана из тонкого провода, прилегающего вплотную к сер-
дечнику).
Из (25.25) получаем, что взаимная индуктивность двух обмоток тонкого тороида
равна
M2t=^NlN2S/l	(25.26)
Если сердечник сделан из дна- или парамагнетика, то ц не зависит от силы тока
71 н Л/л = const.
4.	• Окончательное выражение для э.д.с, взаимной индукции, возникающей во втором
контуре при изменении в первом тока 7j, можно найти, заменив в (25.21) Т21 его
выражением по формуле (25.22):
d
«21=-, (WiJ,).	(25.27)
dr
Если форма, размеры и взаимное расположение контуров, а также относительная
магнитная проницаемость среды постоянны, то Л72! = const н формулу (25.27) можно
записать в виде
d/i
«2i=- М21 -.	(25.28)
dr
Если контуры / и 2 находятся в ферромагнитной среде, то M2j зависит от силы тока
7]. Однако и в этом случае для э.д.с. Й2| можно пользоваться формулой, аналогичной
(25.28):
d'tbi	d7i
2, =	Л/21—,	(25.28')
dr	dr
где M2lIum=d'V2ild[i динамическая взаимная индуктивность второго  первого кон-
туров.
На явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов, служащих
для повышения или понижения напряжения переменного тока.
§ 25.4.	Энергия магнитного поля
 неферромвгнитной изотропной среде
1.	При возрастании электрического тока в замкнутом проводящем контуре возникает
э.дс. самоиндукции, противодействующая увеличению тоКа. По закону Ома, сила тока
в контуре с сопротивлением R и индуктивностью L равна
/=(*+ W,
!
где « э.д.с. источника электрической энергии; t> f — э.д.с. самоиндукции, которая
по формуле (25.15) равна « с= — Z.(d//dr). Таким образом,
340
Работа, совершаемая источником электричесхой энергии за время dr,
8 7dr=72/?dt+7,7d7.	(2529)
Первое слагаемое в уравнении (25.29) представляет обычную лвяц-джоулеву рабо-
ту, расходуемую на нагревание проводника, второе — дополнительную работу, обус-
ловленную индукционными явлениями. Дополнительная работа, затрачиваемая на
увеличение силы тока в контуре от нуля до 7, равна (предполагается, что L=const)
Г	U2
Л~ LIdI=—,
J	2
I
(25.30)
где LI2/2 — собственная энергии тока 7  контуре с индуктивностью L.
2.	Увеличение силы тока в проводнике вызывает соответствующее усиление его
магнитного поля, которое, подобно электрическому полю, обладает энергией. Найден-
ная нами собственная энергия тока в контуре есть не что иное, как энергия Wa магнит-
ного поля этого контура с током.
В качестве примера рассмотрим однородное магнитное поле длинного соленоида
с неферромагнитным сердечником. Индуктивность соленоида
L=fi/^2V,
где п —- число витков обмотки, приходящихся на единицу длины соленоида; V —- объ-
ем однородного поля внутри соленоида. Магнитная индукция этого поля [см. (24,367]
В=цроп!, откуда
I=B/(jipon).
Подставив выражения для £ и 7 в (25.30), найдем энергию магнитного поля
длинного соленоида:
LI2 В2	.
V.	(2<31)
2 2ддо
Поскольку поле однородно, его энергия Wa распределена равномерно по всему
объему V поля с объемной плотностью
Тах как индукция и напряженность магнитного поля связаны соотношением
то выражение для объемной плотности энергии магнитного поля можно записать в следу-
ющих трех эквивалентных формах:
В2 ВН щщН2
— - ' ,
2ддо 2	2
(25.32)
3.	В случае неоднородного магнитного поля тока 7, проходящего по контуру произ-
вольной формы, энергия распределена в Поле неравномерно. Энергия малого участка
магнитного поля объемом dr, выбранного так, что в его пределах объемную плот-
ность энергии (25.32) можно считать всюду одинаковой, равна
d7Fe=WlBdy=y dK	(25.33)
341
Соответственно энергия, локализованная во всем поле, равна
Г ВН
Wa = у dr,	(2534)
(Hi)
где интегрирование проводится по всему объему поля Va. С другой стороны,
Wa~LPf2.	(2535)
Таким образом, можно дать следующее энергетическое определение пдуктностн:
индуктивность контура численно равна удвоенной энергии магнитного поля, создава-
емого проходящим по контуру током единичной силы.
Поскольку LI—- потокосцепление самоиндукции контура, выражение для энер-
гии магнитного поля контура с током можно переписать еще в одной форме:
^=4^/2.	(2536)
4.	В общем случае магнитное поле создается произвольной системой из п контуров
с различными токами /(, /2> — > Дг Энергия такого поля выражается универсальной
формулой (25.34). Однако, как показывают расчеты, эту энергию можно также пред-
ставить в форме, аналогичной (2536):
"	(2537)
Здесь	—- потокосцепление к-то контура. При его вычислении нормаль о* к поверх-
ности, натянутой на к-й контур, проводится так, чтобы из конца вектора п* ток
в контуре был виден идущим против ча-
совой стрелки (рис. 25.15).
Потокосцепление равно сумме по-
токосцепления самоиндукции этого кон-
тура (Т*)с и его потокосцепления взаим-
ной индукции (Т*)„: Ч'*=('Р*)С+('Р*)Ю.
Так как (Т*)е=Ц1к н СР*)Ю = £ то
/-1
('•»*)
Т*=ЛЛ+ £ M»Ih (2538)
РиайИВ	',-Д
где Lk —- индуктивность fc-ro контура; Ми — взаимная индуктивность к-то н Z-ro
контуров.
Таким образом, энергию (2537) можно представить в виде
Z i 1 Mulklt.	(2539)
2*Ti	2*t,
Первая сумма в правой части этого выражения представляет собой сумму собствен-
ных энергий всех токов, а вторая — взаимную энергию токов:
Z Z М*Ы-	(25.40)
2*-i i-i
нт
342
Следует заметить, что в соответствии с указанным выше правилом выбор* направ-
ления вектора нормали п* при вычислении потокосцепления ‘Р* взаимные виду» ив-
кости Ми к-гс и /-го контуров могут быть как положительными (рис. 25.15, 0), так
и отрицательными (рис. 25.15, а).
§ 25.5.	Закон сохранения энергии для магнитного поля
в неферромагнитной среде
1.	Энергия магнитного поля, создаваемого какой-либо системой тел (проводящих
контуров с токами и среды), изменяется, если контуры с токами перемещаются или
изменяются токи в них. Прн этом совершают работу внешние силы, приложенные
к телам системы, н источники электрической энергии, включенные в цепи токов.
В тех случаях, когда температура системы поддерживается постоянной, а измене-
ния плотности среды н ее относительной магнитной проницаемости пренебрежимо
малы, закон сохранения энергии при малом изменении состоянии системы можно
выразить в форме
бЛЧ0ЛЯАЭ.=ёИ'т+(1И',+аед_л.	(25.41)
Здесь 6 А' — работа внешних сил; &4ИЭЭ -- работа источников электрической энергии;
- изменение энергии магнитного поля; — изменение кинетической энергии
тел системы; <5£?д-л — теплота Джоуля — Ленца.
** Предполагается, что энергией Wc электрического поля системы можно пренебречь ввиду
малости электроемкостей проводников, входящих в систему. В противном случае в правую часть
уравнения (25.41) нужно добавить член <ЛКе.
2.	Если тела системы перемещаются очень медленно (квазистатичесхя), то можно
пренебречь изменением кинетической энергии системы (nlFt=O). Кроме того, можно
считать, что 6А'= — 6 А, где 6 А — работа сил, действующих на тела системы в магнит-
ном поле и называемых поидеромотормлин силами. Соответственно закон сохранения
энергии (25.41) примет вид
SAn, s = d Wa + SA + аед_л.	(25.42)
В системе, содержащей л проводящих контуров с токами, работа нс iочников
электрической энергии эа малый промежуток времени dr равна
sa^kikdt,
k-l
где 6 k — алгебраическая сумма э.д.с. всех источников электрической энергии, вклю-
ченных в к-й контур; 4 — сила тока в этом контуре. Теплота Джоуля — Ленца,
выделяющаяся в системе эа то же время dr, равна
гед_л= х I2kRkdt,
где Rk электрическое сопротивление всей цепи к-та контура.
3.	Рассмотрим несколько примеров
Пример 1. Неподвижный контур с током.
1.	Ток в контуре постоянен. В этом случае энергия магнитного поля не изменяется (dWm—0),
а пондеромсторные силы работы не совершают (<5Л =0), так что
=<5Сд-л-
343
Вся работа источника электрической энергии полностью преобразуется в контуре в теплоту
Джоуля Ленца.
2.	Сила тока в контуре нарастает от 0 до установившегося значения Iq— б/Я.'Работа
Пондеромоторных сил равна нулю. Работа источника электрической энергии в контуре расходует-
ся на изменение энергии Магнитного поля и на выделение теплоты Джоуля - Ленца:
или
6ldt~LIdI+I2Rdt,
где £ э.д.с. источника; Я и L электрическое сопротивление и индуктивность контура;
/ сила тока в нем.
За промежуток времени т, в течение которого сила тока в контуре возрастает от 0 до
е ), источник совершает работу
4» = -LIoI-
За это же время в контуре выделяется теплота Джоуля Ленца	v
. , 1
ед_л-4/от-^о/- и1.
2
Пример 2. Работа пондеромоторных сил при очень медленной деформации контура с током.
Из закона сохранения энергии (25.42) имеем

Сила тока в контуре изменяется под влиянием э.д с. самоиндукции:'
1 e d
1= Ь- (LT)
Я dr
где & =const э.д.с. источника постоянного тока в контуре; Я и L электрическое сопротивле-
ние и Индуктивность контура. Следовательно,
<МН1, =6/dr>= dr-^d(ZJ).
Я Я
При очень медленной деформации контура э.д.с. самоиндукции мала по сравнению с £ . По-
этому, пренебрегая малыми второго порядка малости, получаем
к2	Л
6Qn^ji=I2Rdt = dr-2 d(LI),
Я	Я
, [LI2\	I1-	&	&2
dHm = d	=/d(ZJ)- dL= d(ZJ)- dL.
\ 2 /	2	Я	2R2
Таким образом, работа пондеромоторных сил
Li
£,
где t^L = Li I, изменение индуктивности контура при его деформации; /п = & /R	постоян-
ный ток в контуре до и после его деформации.
344
Вопросы:
1.	Какова связь между законом электромагнитной индукции и законом сохранения энергии?
2.	Как объяснить совершение работы индукционным током в замкнутом проводнике, перемеща-
ющемся в магнитном поле, если известно,' что силы, действующие со стороны магнитного
поля на носители тока, работу Не совершают?
3.	Объясните существование электрического тока в замкнутом проводнике, находящемся в пе-
ременном магнитном поле. Какой вид имввт выражение для э.д.с. индукции в этом провод-
нике?
4.	Каков физический смысл индуктивности проводящего контура и взаимной индуктивности
двух контуров? От чего они зависят и могут ли быть отрицательными?
5,	Почему при расчете энергии магнитного поля g ферромагнетике нельзя пользоваться форму-
лами (25.32) для объемной плотности энергии поля?
Глава 26______________________________________
Основы теории Максвелла
для электромагнитного поля
§ МЛ. Общая характеристика теории Максвелла
1.	В 60-х годах прошлого столетия Д. К. Максвелл, основываясь на идеях Фарадея об
электрическом и магнитном полях, обобщил законы, установленные эксперименталь-
ным путем, н разработал законченную теорию единого электромагнитного поли. Те-
ория Максвелла была обобщением таких важнейших законов электростатики и элект-
ромагнетизма, как теорема Остроградского — Гаусса (§ 141, 15.3 и 22.4), закон
полного тока (5 223, 24.4) и основной закон электромагнитной индукции (§ 25.1).
В теории Максвелла роняется основная задача электродашмнкл: найти характеристики
электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов.
Теория Максвелла явилась величайшим вкладом в развитие классической физики
Она позволила с единой точки зрения охватить огромный круг явлений, начиная от
электростатического поля неподвижных зарядов и кончая электромагнитной природой
света. В этой главе мы кратко остановимся на существе идей Максвелла и содержании
его теории.
2.	Теория Максвелла представляет собой феноменологическую теорию электромаг-
нитного поля. Эго означает, что в ней не рассматриваются молекулярное строение
среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном
поле. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются тремя величинами
отноежтельной диэлектрическом проницаемостью е, относительной магнитной прони-
цаемостью ц н удельной электрической проводимостью у Предполагается, что эти
ияра медиа СрСДЫ НЗВвСТНЫ ИЗ ОПЫТЯ
Теория Максвелла — макроскопическая. В ней рассматриваются макроскопические
электромагнитные поля макроскопических зарядов и токов, т. е. таких систем поко-
ящихся и движущихся зарядов, пространственная протяженность которых неизмеримо
больше размеров отдельных атомов и молекул
3.	Математическим выражением теории Максвелла служат четыре уравнения Макс-
велла, которые принято записывать в двух формах интегральной и дифференциальной.
Уравнения Максвелла в интегральной форме выражают соотношения, справедливые
для мысленно проведенных в электромагнитном поле неподвижных замкнутых кон-
туров и поверхностей. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают,
как связаны между собой характеристики электромагнитного поля и плотности элект-
рических зарядов и токов в каждой точке этого поля Дифференциальные уравнения
Максвелла получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа:
теоремы Гаусса и теоремы Стокса.
4.	Теорема Гаусса утверждает*
отек вектора а, характеризующего какое-либо поло, через
«роизвомьмую замкнутую поверхность 5, мысленно прове-
даммую в этом поле, равен интегралу от дивергенции векторе
а, взжтому по объёму V, ограниченному замкнутой лоаер-
имавтыа f
346
(П
divadV.
(26.1)
Coinaciio (15.15'),
йах Hav Ha.
diva— +	+ ",
Hx By Hz
(26.2)
где a„ av, а- проекции вектора а на оси прямоугольной декартовой системы коор-
динат.
Теорема Стокса утверждает:
циркуляция вектора а, иарактвризуимцаго какое-либо пола,
вдоль произвольного замкнутого контура L, мысленно ирона
денного в этом пола, равно потоку векторе rot а через ноеерк-
ность 5, нетянутую на контур L:
W (5)
(26.3)
Здесь rot а — ротор вектора а, который выражается в декартовых координатах следу-
ющим образом:
• j к
fl	fl	fl	/ На.	На.\	/ На,	да.\	/ 8а„	да.\
rota = ,	,	=( ’— |i + l —	)j + l	— ,|k.	(26.4)
dx	fly	flz	\By	Hz )	\ Hz	Их/	\ Hx	By /
ax a? a.
Мы будем пользоваться зтими теоремами, оставляя их доказательство курсу высшей
математики.
§ 26.2. Первое уравнение Максвелла
1. Максвелл обобщил закои электромагнитной индукции (25.8) для замкнутого прово-
дящего контура, находящегося неподвижно в переменном магнитном поле. Из (25.8)
видно, что материал проводника никак не влияет на индуктируемое в нем электричес-
кое поле. Поэтому Максвелл предположил, что закон (25.8) Справедлив не только для
проводящего контура, ио для любого joirrypa, мысленно проведенного в переменном
магнитном поле. Иными словами, с переменным магнитным полем неразрывно связано
вихревое индуктированное электрическое поле, которое не зависит от того, находятся
в нем проводники или нет.
Характерная особенность вихревого электрического поля состоит в том, что цир-
куляция вектора Е его напряженности вдоль замкнутого контура зависит о^ выбора
этою контура, т. е., в отличие от потенциального кулоновского поля, не равна
тождественно нулю.
Первое ураввеик Максвелла в тгральвой форме:
£	Г ав
®Edl=- dS.
J	J Bl
w	(5)
(26.5)
347
Здесь dS=dS и; n - единичный вектор нормали к малому элементу d5 поверх-
ности S, натянутой на замкнутый контур L (из конца вектора п обход контура L виден
цррисходящим против часовой стрелки).
Первое ураяпеше Максвелла показывает, что
циркуляция вяктора Е малряжянности электрического поля по
произвольному неподвижному замкнутому контуру, мысленно
проведенному  электромагнитном поле, равна взятой с об-
ратным знаком скорости изменения магнитного потокв через
поверхность 5, натянутую на этот контур (или, что то же самое,
равна взятому с обратным знаком потоку вектора BB/Sl через
вышеуказанную поверхность S).
2. Согласно теореме Стокса (26.3),
(26.6)
Из сопоставления (26.5) и (26.6) видно, что
rotE=
ЭВ
Т"--.
(26.7)
Это н есть первое уравненве Максвелла в дифференциальной форме.
3. Вихревое индуктированное электрическое поле используется в индукционных уско-
рителях заряженных частиц. На рцс. 26.1 изображена упрощенная схема циклического
индукционного ускорителя электронов — бетатрона (А и С — конические полюсные
наконечники электромагнита, D — кольцевая вакуум-
ная ускорительная камера). Лицин напряженности вих-
ревого индуктированного электрического поля лежат
в плоскостях, перпендикулярных оси 00 симметрии
полюсных наконечников, и имеют вид окружностей
с центрами на оси 00'. Во всех точках каждой из таких
окружностей векторы напряженности Е равны по моду-
лю и направлены по касательным к окружности. Элект-
роны движутся в ускорительной камере по круговым
траекториям. Модуль напряженности вихревого элект-
рического поля бетатрона в точках круговой орбиты
электрона радиуса г равен
Рис 261
где (В) среднее значение в Момент времени t индукции магнитного доля в пределах
площади орбиты электрона.
В бетатроне, в отличие от резонансных циклических ускорителей, не существует
проблемы синхронизации. ДНя ускорения электрона Необходимо только, чтобы он все
время Двигался вдоль одной и той же круговой орбиты. Магнитная составляющая
силы Доренца обеспечивает движенце электрона в бетатроне по круговой орбите
радиуса г, если выполнено условие В=-= (В)/2, где В — магнитная индух^ция в точках
орбиты.
348
§28,3. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла
1.	Максвелл обобщил закон полного тока (24.30), Предположив, что переменное
электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного
поля. Для количественной характеристики «магнитного действия» переменного элект-
рического поля Максвелл ввел понятие тока смещения. По теореме Остроградского —
Гаусса (15.19), поток, смещения сквозь замкнутую поверхность S
Ф„= ф DdS=g,
(Я
где д — алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, охватываемых за-
мкнутой поверхностью 5. Продифференцируем это выражение по времени:
dq d®c d Г
—=—=- $DdS
dl dr di *
(26.8)
(S)
Если поверхность S неподвижная и не деформируется, то изменение во времени
потока смещения сквозь поверхность S вызывается только изменением электрического
смещения D с течением времени. Поэтому полную производную, стоящую в правой
части уравнения (26.8), можно заменить частной производной по времени и дифферен-
цирование внести под знак интеграла:
dS.
(26.8)
(3)
Правая часть этой формулы имеет размерность силы тока. Из сравнения (26.8*)
с формулой (18.5), связывающей силу тока I и плотность j тока проводимости, следует,
что dD/dl имеет размерность плотности тока. Максвелл предложил назвать dD/dt
плотностью тока смещения:
3D
h
(26.9)
Плотность тока смещения в данной точке пространства равна скорости изменения
вектора электрического смоцения в этой точке.
Током смещения сквозь произвольную поверхность 5 называется физическая вели-
чина, разная потоку вектора платности тока смещения сквозь эту поверхность:
(S) (я
5D
— dS.
3t
(26,10)
2.	Введя представление о токе смещения, Максвелл по-новому подошел к рассмотре-
ние замкнутости цепей электрического тока. Как известно, цепи постоянного тока
должны быть замкнутыми. Однако для цепей переменного тока это условие не обязате-
льно. Например, при зарядке и разрядке конденсатора электрический ток протекает по
проводнику, соединяющему обкладки, и не проходит через диэлектрик, находящийся
между обкладками, т. е. цепь не замкнута. С точки зрения Максвелла, цепи любых
^постоянных токов тоже замкнуты. Замкнутость таких цепей обеспечивается токами
смещения, которые «протекают» в тех участках, где нет проводников, Например между
обкладками конденсатора в процессе его зарядки или разрядки.
349
Ряс. 2S.2
На рис 26.2 изображены векторы плотностей токов
смещения и линии магнитной индукции их полей: а —
при зарядке конденсатора (усиление электрического по-
ля); 6 — при разрядке конденсатора (ослабление элект-
рического поля).
Э.	Согласно Максвеллу, ток смещения, подобно обыч-
ным токам проводимости, является источником вих-
ревого магнитного поля, т. е. такого поля, циркуляция
напряженности Н которого по замкнутому контуру не
равна нулю.
В диэлектрике вектор электрического смещения D,
как известно, состоит из двух слагаемых:
D=£oE-FP.
Второе слагаемое — поляризованность Р — характери-
зует действительное смещение электрических зарядов
в неполярных молекулах и поворот полярных молекул,
находящихся в единице объема диэлектрика.
Плотность тока смещения в диэлектрике, согласно (26.9), состоит из двух слага-
емых:
St дР
St dt
(26.11)
Первое слагаемое называется плотностью тока смещения в вакууме, а второе —
мптп mi тока —перст пе— (плотностью поляризаций—ого тока)
e_ dt	ЭР
=	jn<ui=—.
St	St
где — плотность тока, обусловленного упорядоченным перемещением связанных
зарядов в диэлектрике при изменении его поляризации.
Ток смещения, в отличие от тока проводимости, не сопровождается выделением
теплоты Джоуля — Ленца. Правда, в случае изменения поляризации полярных диэлек-
триков (т. с. при возникновении в них поляризационного тока) происходит поглощение
или выделение теплоты. Однако закономерности этих тепловых эффектов не подчиня-
ются закону Джоуля — Ленца.
4.	В общем случае токи проводимости и ток смещения не разделены в пространстве,
как в кондаваторе с переменным напряжением на обкладках. Все типы токов суще-
ствуют в одном и том же объеме, и можно говорить о полном токе, равном сумме
токов проводимости и конвекционных, а также тока смещения.
Marram обобщил закон полного тока, добавив в правую часть уравнения (24.30)
ток смещения сквозь поверхность 5, натянутую на замкнутый контур L:
^Hdl^A^+7^.	(26.12)
(«
Это равенство называется вторым уравве—ем Максвелла в —теграшюй форме.
Оно показывает, что
Ч—куяяфм —кто— Н напряженности магнитного поля по
ярем—алы Ki му неподвижному замкнутому контуру L, мыслен-
но вреаедеммо— в алоктромагмитном поло, ревмя аяжб—-
мео—i сумме мекротокое и токе смей—«я сквозь поверх-
ность, мвттМтутую Мя зтот кошур.
350
Макроток, входящий в правую часть выражения (26.12),
А-жро=
(Я
где j — вектор плотности макротока. Используя это соотношение  (26.10), можно
переписать второе уравнение Максвелла (26.12) в форме
Hdl= J j^dS.	(26.13)
(П (я
Здесь bo™ — плотность полного тока, равная геометрической сумме плотностей мак-
ротока и тока смещения:
3D
1юл1=|+~ -	(26.14)
St
5.	Экспериментальным обоснованием второго уравнения Максвелла служат опыты, в которых
обнаруживается магнитное поле тока смещения. Рассмотрим одни из них — wrr А. А. Эйхси-
вальда, изучавшего магнитное поле тока поляризации, представдяюпю'о собой часть тока смеще-
ния Диск 5 из диэлектрика помещен между двумя обкладками плоского конденсатора и вращает-
ся вокруг оси О О' (рис. 26.3). Каждая обкладка конденсатора разделяй иа две пластины (а, b и с,
d), соединенные между собой, как показано на рисунке. Вследствие этого обе половины диэлектри-
ка, помешенного между обкладками, поляризованы в противоположных направлениях. Во время
вращения диэлектрика направление вектора поляризации в каждой из его частей изменяется на
противоположное при переходе от пары пластин о, с к паре пластик b, d. Поэтому при вращении
диэлектрика в нем возникает ток поляризации, направленный параллельно оси вращения. Магнит-
ное поле этого тока обнаруживается по его действию на магнитную стрелку, до мстит иную вблизи
диска (на рис. 26.3 не показана).
8.	Согласно теореме Стокса (26.3),
<j>Hdl= | rotHdS.	(26.15)
(П (fl
Из (26.13)	(26.15) получаем второе уравнение Максвелла в пнффi (М ицнвл» вой
форме:
3D
rotH=j-l—.	(26.16)
Эг
Для областей поля, где нет макротоков G=0), первое  второе уравнении Максвел-
ла в дифференциальной форме имеют симметричный вид с точностью до знаков
в правых частях этих уравнений:
rotE = —
ав
Tt’
rotH
<?D
It’
(26.17)
Это различие в знаках свидетельствует о том, что направления векторов dD/dr
и Н соответствуют правовинтовой системе (рис. 26.4, а), а направления векторов
SBfdt и Е левовинтовой системе (рис. 26.4, о). Напомним, что знак минус в правой
части первого уравнения Максвелла связан с правилом Ленца и вытекает из закона
сохранения энергии. В случае одинаковых знаков при BttfBt и BDfBt бесконечно
малое усиление одного из полей (электрического или магнитного) вызывало бы
351
РИС. 2В 3
Рис. 26 4
неограниченное усиление обоих полей, а бесконечно малое ослабление одного из полей
влекло бы эа собой полное исчезновение этих полей.
Из уравнений Максвелла (27.17) следует чрезвычайно парный вывод о том, что
'переменные электрическое и магнитное поля неразрывно
связаны друг о другом, образуя единое электромагнитное
поло.
§ 2ВЛ. Третье и четвертое уравнения Максвелла
1.	Максвелл обобщил теорему Остроградского — Гаусса для электростатического
поля (15.19). Он предположил, что она итоаведлива для любого электрического поля,
как стационарного, так и переменного. Соответственно третье уравнение Максвелла
 интегральной форме имеет йид
£ DdS=9^	(26.18)
(Я
или
(26.18')
Здесь р объемная плотность свободных зарядов, а интегрирование в правой части
уравнения (26.18') проводится по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S.
Третье уравнение Максвелла показывает, что
поток смещения через произвольную неподвижную замкну-
тую повархиость, мыелешо проведанную в электромагнитном
поле, равен суммарному свободному заряду, который нахо-
дится внутри области, ограниченной этой поверхностью.
2.	Максвелл предположил также, что всякое магнитное поле (в вакууме или в среде,
стационарное или переменное) всегда соленоидально. Инымисловами, он обобщил
теорему Остроградского Гаусса (22.36) на любое магнитное поле. Соответственно
четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид
352
BdS=O.
(26.19)
Оно показывает, что
магнитный поток через произвольную неподвижную замкну-
тую поверхность, мысленно проведенную в злектромагнитном
поле, равен нулю.
3.	С помощью теоремы Гаусса (26.1) можно перейти от интегральных уравнений
Максвелла (26.18) н (26.19) к дифференциальным. Третье уравнение Максвелла в диф-
ференциальной форме выглядит следующим образом:
divD=p.	(26.20)
Четвертое уравнение Максвелла в дифференциальной форме имеет вид
divB=0.	(26.21)
§ 26.5.	Полная система уравнений Максвелла
для электромагнитного поля
1.	Полная система уравнений Максвелла (в дифференциальной форме) включает четы-
ре уравнения: (26.7), (26.16), (26.20) и (26.21). Запишем их вместе:
ЗВ
rotE =-----, divD = p,
3r
3D
rotH = id-, divB=0.
dt
(26.22)
Эту систему необходимо дополнить материальными уравнениями, характеризующими
электрические и магнитные свойства среды.
В случае изотропных несегнетоэлектрических н неферромагнитных сред и мак-
ротоков, подчиняющихся закону Ома, эти уравнения имеют вид
D = MoE, В=ддоН, j=yE.
(26.23)
Здесь £о н до электрическая и магнитная постоянные; £ н д — относительные диэлек-
трическая и магнитная проницаемости среды в рассматриваемой точке поля; у —
удельная электрическая проводимость среды.
2.	На границе раздела сред должны выполняться определенные граничные условия,
вытекающие из уравнений Максвелла. С помощью математических приемов, рассмот-
ренных в § 15.4, можно показать, что граничные условия для электромагнитного поля
имеют вид
Ощ—D[„=e, E2t=Ei„
Въ< = В\п,
(26.24)
Здесь а — поверхностная плотность свободных заря-
дов в точке М на поверхности раздела сред; н — еди-
ничный вектор нормали к поверхности раздела, прове-
денный из среды 1 в среду 2 (рис. 26.5); т — единичный
12 K.VDC AllJUkll
Рис 26.5
353
вектор, касательный к поверхности раздела сред; N—(пт ] - единичный вектор, каса-
тельный к поверхности раздела сред и ортогональный т;	— вектор линейной
плотности поверхностного тока проводимости. Вектор j10* направлен вдоль поверх-
ности по направлению тока в ней и численно равен j = al /al, где al — сила тока
проводимости, проходящего через малый участок длиной dl сечения поверхности,
проведенного перпендикулярно направлению поверхностного тока.
При Заданных граничных и начальных условиях, т. е. известных значениях
Е и Н в начальный момент времени t=0, система уравнений Максвелла имеет
единственное решение.
3D ЗВ
3.	Если электрическое и магнитное поля стационарны, т. е. —=—=0, то, как видно из
di 3t
уравнений Максвелла (26.22), эти поля существуют независимо друг от друга. В этом
случае электрическое поле описывается двумя уравнениями эдапростатикя:
rotE=0,	divD=p.	(2625)
Соответственно магнитное поле описывается двумя уравнениями иагвигосгятасв:
rotH=j,	divB=0.	(26.26)
Электрическое смещение D=££gE. Поэтому в случае электростатического поля,
учитывая связь между напряженностью Е и потенциалом <р поля (13.26), второе
уравнение электростатики можно записать в форме
drv(—£grad<p)=p/«o-	(2627)
Если диэлектрик однородный, то е не зависит от координат и
div grad <р= -р/(еа0).
Так как
<Р<р <Р<р	,
div grad <р=—;+—г-1—. -V<p,
Зх1 ду2 Зг*
, з1 з1 г?
где V —----1--—ч—-=А — оператор Лапласа, то уравнение (26.27) имеет вид
Эх2 ду1 дг
V2?----р/(е£о),	(26.28)
иди, в частности, для электростатического поля в вакууме
V2<p=-p/e0.	(26.28*)
Дифференциальное уравнение (26.28) называется ураввешем Пуассона. Если в рас-
сматриваемой области электростатического поля в однородной среде нет свободных
зарядов, то потенциал поля удовлетворяет дифференциальному ypaain imiiii Лапласа:
V2<p=0.	(2629)
4.	Дальнейшим развитием теории электромагнитного поля Максвелла явилась клас-
сическая электронная теория Лоренца. Эта теория исходила из определенных модельных
представлений о строении вещества: считалось, что атомы состоят из отрицательно
и положительно заряженных частиц и все многообразие электрических и магнитных
явлений объясняется страде пенным расположением, движением, взаимодействием за-
рядов и микротоков. В любой точке пространства существует электромагнитное
микрополе, которое представляет собой результат совокупного действия всех зарядов
и микротоков. Микрополе подчиняется системе уравнений, аналогичных уравнениям
354
Максвелла. Усреднение уравнений электронной теории позволяет перейти к уравнени-
ям Максвелла для макроскопического электромагнитного полк. Это усреднение произ-
водится по интервалам времени, значительно большим, чем периоды внутриатомных
и внутримолекулярных процессов (периодов обращения электронов, периодов враще-
ния и колебаний молекул), и по объемам поля, во много раз превосходящим объемы
атомов и молекул.
5.	Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца (см.
§ 7.3). Электрические заряды частиц и тел также не зависят от выбора инерциальной
системы отсчета. Формулы преобразований Лоренца для электромагнитного поля в ваку-
уме прн переходе от неподвижной инерциальной системы отсчета К к другой инерци-
альной системе отсчета К', движущейся относительно К равномерно и прямолинейно
вдоль положительного направления оси ОХ со скоростью V, имеют следующий вид
[частично мы их уже писали раньше см. (23.33)]*:
у v/l-p’/c2’ f v/l-r’/c1’
Ъ=в„
s Jiy+VEJc1	Щс1
У	Jl-V’lc1’ ‘ y/l — V1lc2’
(26.30)
D'^ — DT,
D-VHJc2 D.+ VHJc2
D = *	, £>;= ----
v/1 -J V2/c2	v/1 - V2/c2
H+VD,	HT VD,
H',-	’ , Н,-
v/1 - V2/c2	y/\ - V2/c2
Обратные преобразования от К' к К получаются нз написанных выше путем замены
всех нештрихованных величин на штрихованные и всех штрихованных величин на
нештрихованные, а также замены всюду величины V на — V.
8.	Из преобразований Лоренца для электромагнитного поля видно, что одно и то же
электромагнитное поле по-разиому проявляется в инерциальных системах отсчета,
движущихся друг относительно друга. В частности, если в системе отсчета К есть
только электрическое поле E = £>j> а В=0, то в системе отсчета К' будут наблюдаться
и электрическое и магнитное поля, векторы Е' и В' которых взаимно перпендикулярны:
- Г’/с1
(26.31)
VEJc2
В'^Ву-0, В'<=---^=
•Предполагается, что сходственные оси координат остш отсчета К и К* попарно парал-
лельны.
355
Наоборот, если в К нет электрического поля, а есть только магнитное поле В=.Л2к,
то в К' опять-таки будут наблюдаться и магнитное и электрическое поля, векторы В'
и Е' которых взаимно перпендикулярны:
Vi	- У2/с2
(26.32)
(26.33)
7.	Исходя из преобразований Лоренца для электромагнитного поля (26.30), можно
доказать, что скалярные произведения Е' н В', а также Н' и D' инвариантны по
отношению к выбору инерциальной системы отсчета К', т. е.
Е'В' = ЕВ, H'D'=HD.
Точно так же инвариантны следующие выражения:
Е'2-с1В'1 = Е1-с1Вг,
£?2 -H'2!cl = D2
(26.34)
Вопросы:
1. Обобщением каких законов электростатики и электромагнетизма является теория Максвелла
для электромагнитного поля?
2. В чем состоят эти обобщения и как они отражены в уравнениях Максвелла?
3. Поясните принцип действия бетатрона. Почему при ускорении электронов в бетатроне нет
проблемы синхронизации?
4. Удовлетворяет ли ток смещения закону Джоуля — Ленца?
5. Какой основной вывод относительно электрических и магнитных попей вытекает из уравне-
ний Максвелла?
Часть
Колебательные
и волновые
процессы
Глава 27
Свободные гармонические
колебания
Глава 28
Затухающие и вынужденные
колебания
Глава 29
Волны в упругой среде
Глава 30
Электромагнитные волны
Глава 31
Интерференция света
Глава 32
Дифракция света
Глава 33
Распространение света
а веществе
Глава 34
Поляризация света
Глава 27______________________________________________
Свободные гармонические колебания
§ 27.1. Гармонические колебания
1. Колебаниями начинаются процессы (движения или изменения состояния), в той или
иной степени повторяющиеся во времени.
В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его
возбуждения различают, мехямчеоае колебания (колебания маятников, струн, частей
машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений, давления воздуха при
распространении в нем звука, качка-корабля, волнение моря и т. п.), элопромагкпые
(колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов Е и В элект-
рической напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитного поля
и т д.), электромеханические (колебания мембраны телефона, диффузора электродина-
мического громкоговорителя и т. п.) и др
Система, совершающая колебания, называется колебательной
Свободным! (Собственными)	называются колебания, которые проис-
ходят в отсутствие переменных вншших воздействий на колебательную систему и воз-
никают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее
устойчивого равновесия.
Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо
системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
Примерами вынужденных колебаний могут служить колебания силы тока в элект-
рической цепи, вызываемые переменной э.дс., колебания маятника, вызываемые пере-
менной внешней силой.
2. Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин,
характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повто-
ряются через равные промежутки времени.
Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называет-
ся периодом колебав^ За период колебаний Т система совершает одно полное колеба-
ние. Частотой периодических колебаний называется величина v=l/T, равная числу
полных колебаний, совершающихся за единицу времени. Циклической (круговой) часто-
той периодических колебаний называется величина ш=2яу=2я/Т, равная числу полных
колебаний, совершающихся на 2я единиц времени. В электротехнике co«=2hv называют
угловой частотой.
3. При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины з от временя
t удовлетворяет условию з (г + 7}=з(Т)
Периодические колебания величины з(г) называются гармоническими, если
я (t)=A an (cot+фо),
(27.1)
где a=2nv=(2x/T)=const — цжличеош (круговая) частота гармонических колебав
А=з____=const>0 — максимальное значение колеблющейся величины з, называемое
амплитудой колебаний, фо — постоянная величина. Значение з в произвольный момент
времени t определяется значением фазы колебание Ф^^шг+фд. Величина фо представ-
ляет собой начальную фазу колебший, т. е. значение Ф(г) в момент t=0 начала отсел
времени фо=Ф(О).
Выражение для гармонически колеблющейся величины з(/) можио также пред*
ставить в следующей форме, эквивалентной (27.1)
где ф1 = фо-я/2.
358
5(0»ЛсО8(<иГ+ф]),
(27.13
4. Из (27.1) видно, что первая и вторая производные по времени от гармонически
колеблющейся величины я (г) также совершают гармонические колебания той же
частоты:
dr
—=Ла) сое (шг+ фо)=Аш ein (сог+ Фо+я/2),
d<
(27-2)
dAj
— = — Яш2ИП (ш/ + ф0)‘=Лш2ИП(шГ + ф0 + я),
причем амплитуды dsfdt и d2sfdt2 соответственно равны Аа и Лео3. Начальная фаза
ds/dt равна (фо+я/2), т. е. разность фаз колебаний dj/dr и з постоянна и равна я/2
(величина dj/dr опережает з по фазе на я/2). Начальная фаза d23/dt2 равна (фо+fc), т. е.
разность фаз колебаний d2s/dt2 и я постоянна
и равна я (d3j/dr3 опережает з по фазе на я).
Графики зависимости От времени t величин з,
Лз/dt и d3j/dra ти гармонических колебаниях
для случая фо“О показаны на рис. 27.1.
5. Из второго соотношения (27.2) видно, что
гармонически колеблющаяся величина з удов-
летворяет дифференциальному уравнению
^+w2j=0.	(27.3)
d/3
Общее решение этого уравнения:
5‘=Л|вшшг+Л1соашГ, (27.4)	Рис. 27.1
где Л1 и Аг — произвольные постоянные интегрирования. Значения At и А2 можно
найти из начальных условий, т. е. зная значения з и ds/dt в начальный момент времени
(f»0):
Л2=5(0).
Общее решение (27.4) можно привести к виду (27.1):
я<= А аш (пи+фо),
где Л=ч/Л?+Л5, <p0=aidtg(A2/A^.
Таким образом, з совершает гармонические колебания в том и только в том случае,
если она удовлетворяет уравнению (27.3), называемому дифферафальным уравнением
гарнгпичг пги г колебашн.
в. Гармонические колебания можно изобразить графически
с помощью вращающегося вектора на плоскости. Для этого
из начала координат О на плоскости проводят вектор А (рис.
27.2), модуль которого равен амплитуде А колебаний и со-
ставляет с осью координат ОХ угол ф"=шг+фо, равный фазе
колебаний в данный момент времени t. С течением времени
угол ф увеличивается так, что вектор А равномерно враща-
ется вокруг точки О с угловой скоростью, равной цикличес-
кой частоте колебаний со. Соответственно проекция вектора
А на вертикальную ось OY совершает гармонические коле-
бания по закону
359
Ay=s—A sin (cd t+<po) 
Графическое изображение гармонических колебаний посредством вращающегося
вектора амплитуды называется методом векторных диаграмм. Им широко пользуются,
например, при сложении одинаково направленных гармонических колебаний (см. §
27.4).
7. Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел,
е = со8ф + г'5Шф,	(27.5)
где г=^/— 1 — мнимая единица. Поэтому гармонические колебания
5=Л sin (tat+ф0)= A cos (tot + <pi),
где tpi — tpQ — nll, можно записать в экспоненциальной форме:
s=Ac — As ,	(27.6)
i де A — Ле'”1 - комплексная амплитуда. Физический смысл имеет только действитель-
ная часть комплексной функции 3, обозначаемая Re s:
Res—s— /1 cos (tot + <pi)—A sin (cot4-ф0),
где <р0=ф1 + я/2.
§ 27.2. Механические гармонические колебания
1. Есди материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания
вдоль оси координат ОХ около положения равновесия, принятого за начало координат,
то зависимость координаты х точки от времени t имеет вид (27.1), где s=x-.
Х—А 5Ш(йЛ + ф0).	(27.1*)
Проекции скорости v и ускорения а точки на ось ОХ равны
dx
- = d0cos (шг+ фо),
dr
лг	(27.7)
d х .
аж — — = — Oosin (шг + фо),
dr2
где D0= Асо	амплитуда скорости; Oq— Ato1 —— амплитуда ускоренна.
Сила, действующая на материальную точку,
F=/wa, Fx= — mto2x,	(Z1X)
где m масса материальной точки. Следовательно, сила F пропорциональна смеще-
нию материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную
сторону:
F=—гиш2лз,	(27.9)
где i орт оси ОХ.
Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы (3.33). Поэтому
силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называ-
ются квазнупругнмн.
2. Кинетическая энергии материальной точки, совершающей прямолинейные гармони-
ческие колебания, равна
360
1УЖ= 1/2то1=113гт>оая1 (a>t+<po)=l/2maj2A2co62 (о>/+ф0)	(27.10)
или
1^ж= l/4moj2A2 [14-сое (2аЯ+2<р0)].
(27.1 О')
Кинетическая энергия материальной точки периодически изменяется от О до
то2А2Р^ совершая гармонические колебания с циклической частотой 2ш и амплитудой
то2А2/4 около среднего значения, равного гтгА2/4.
Потенциальная энергия мате-
риальной точки, гармонически колеб-
лющейся под действием квазиупру-
гой силы, равна
X
WB= - J F„dx= Ч2гто2хя =
о
= ,/1^ищ1Л28ш(ш/+ф0) (27.11)
Рис. 27.3
или
IFn= Ч^таРА2 [1 —cos (2йД+2<р0)] = 214ти>2А2 [1 +сов(2оЛ+2$>0+я)]. (27.11Э
Потенциальная энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до
1/2пко2А2, совершая гармонические колебания с циклической частотой 2со и ам-
плитудой Ч4тсо2А2 около среднего значения, равного Ч4тш2А2. Колебания поте-
нциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на я, так
что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при гармо-
нических колебаниях:
W= IF,+ IFn= Ч2тсо2А2 = const.	(27.12)
Графики зависимостей IFK, Wx и IFot времени t для случая ро=0 показаны на рис.
27.3.
3. Рассмотрим примеры систем, совершающих свободные гармонические колебания.
Пример 1. Лжвейвяй гармоничеосяй осциллятор — материальная точка массы т, совершающая
прямолинейные гармонические'колебания под действием упругой <ялы Fynp3* — kxi (3.33). Приме-
ром такой системы может служить пружинной маятник — груз массы т, подвешенный на аб-
солютно упругой пружине (к — коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины). По
второму закону Ньютона, та “Гущ,,
где ••=---1 — ускорение материальной точки. Таким об-
dl2
разом» уравнение движения осциллятора — пружинного м&итника — имеет вид
d2x	d2x к .
т—кх или --------ч—х—0.
dl1	dl2 m
(27.13)
Так как коэффициент к/т положителен, то уравнение (27.13) является дифференциальным
уравнением гармонических колебаний. Из сравнения (27.13) с (27.3) следует, что осциллятор
(пружинный маятник) совершает гармонические колебания по закону х~А sm(oH4-f>o) с цикличес-
кой частотой со и периодом Т, равными
T^lnyjmlk.
(27.14)
Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора
(27.15)
Пример 2. Фтячеаай маяпжк — твердое тело, которое может вращаться под действием
своей силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр

361
тяжести тела (рис 27.4) и называемо! осмо качания мвитшса.
Центр тяжести малинка совпадает с от» мифом масс С. Точка
О пересечения оси качании маятника с вертикальной плоскостью,
проходящей через центр тяжести малинка и перпендикулярной
оси качания, называется темой вомеса маятшеа.
Вши силами трении в подвесе малинка можно пренебречь,
то момент относительно оси качании малинка создает только
сто сила тяжести mg. При отклонении малика на угол а эта
сила создает момент, численно равный npfaina и стремящийся
возвратить мигал в положение равновесии (а—0). Поэтому
в соответствии с основным законом (426) динамики тела, враща-
ющегося вокруг неподвижной оси, уравнение движении физичес-
кого малинка имеет вид
dJe
J—--mgdma,
dt1
где a — угол поворота маятника вокруг оси качания из положе-
Рис. 27 4	ник равновесии. d—|OC| — расстояние от центра масс малинка
до оси качании; J — момент инерции маятника относительно
той же оси; m — масса малинка, g —ускорение свободного падения. При малых колебаниях
маятника атама и можно считать, что уравнение движения маятника имеет вцд
dJa mgd
dP+ J
a—О,
(2716)
т e угол a удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний (27 3) Таким
образом, в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими:
а-<Ц)вт(тг+фо),
где ао — амплитуда колебаний угла а, а
CD^yJmgdjJ, Т^Злу/JKmgd)
(2717)
— циклическая частота и период малых колебаний физического маятника.
Пример 3. Математически миятжк — материальная точка, подвешенная на невесомой нера-
стяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы
тяжести Математический маятник представляет собой предельный олгчай фнзячестого маятника,
вся масса которого сосредоточена в его центре масс, так что d—l—вдт. математического
маятника, а J^ml* Соответственно циклическая частота и период малых колебаний математичес-
кого мвятвнкв р&вны
<D~yfgil. T-2xJl/g	ф 18)
Малые колебания фнзпчеосого и математического маятника являются примерами нпциин
колебаний, т е. колебаний, частоты и периоды которых не зависят от амплитуд.
В общем случае период колебаний физического маятника зависят от его амплитуды а$
Изменение значения Т при увеличении ад до 15* не превосходит 0,5%.
Длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный
физический маятник, называется фшеджей дшмй этого физического маятшеа.
Из (27 17) и (2718) следует, что
J	Jc
lJ9-—-d+—>d,	(27.19)
md	md
где Jc момент инерции физического маятника отиоежтельио оси, проходящей через центр шее
С маятника и параллельной его ощ качания. Точка Oi, лежащая на прямой ОС на расстошщ
362
от точки подвеса маятника О (рис. 27.4), называется ветром
~к1чаеа фяэпеосо'о минам. Центр качания 0[ и точка подвеса
О обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так,
чтобы его ось качаний проходила через точку 0it то точка О будет
совпадать с новым положением центра качания маятника, т. е.
приведенная длина и период колебаний маятника останутся пре-
жними.
Прнмер 4. Мальв свободные колебпвя электронов в плазме Эти
колебания, называемые лемэнороасжимв колебаниями плазмы, вы-
зываются силами электрического поля, которое возникает в элект-
ронейтральной плазме при каком-либо случайном отклонении про-
странственного распределения электронов от равновесного. Напри-
мер, если в плоском слое плазмы толщиной / (рис. 27.5) электроны
Рис 27.5
смещаются на малое расстояние з вдоль положительного направления оси ОХ, то в левой части
слоя возникает избыточный положительный заркп, а в правой — отрицательный. Соответственно
возникает электрическое поле, подобное полю плоского конденсатора (14.17), поверхностная
плотность зарядов которого а^п^ез, где hq — концентрация электронов в плазме, е — абсолют-
ное значение заряда электрона. Напряженность Е поля направлена по оси ОХ, а проекция Е на эту
ось Е^поез/tQ. По второму закону Ньютона, уравнение движения электронов плазмы в этом
электричесжом поле имеет вид
dJs
е2по1
----- или
ЕО
d2s е «о
— +------з*0,
dl1 тео
(27.20)
где т — масса электрона. Таким образом, электроны плазмы совершают свободные гармоничес-
кие колебания с циклической частотой
cu=e-y/no/(n«o),
(27.21)
называемой плазменной (леигмюровасой) частотой.
§ 27.3.	Свободные гармонические колебания
в электрическом колебательном контуре
1.	Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электри-
ческие колебания, служит простейший колебательный коетур (рис. 27.6), состоящий из
конденсатора электроемкостью С и соединенной с ним последовательно катушки
индуктивностью L. При замыкании на катушку предварительно заряженного конден-
сатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора
и тока в катушке. Переменное электромагнитное поде распространяется в пространстве
со скоростью, равной скорости света. Поэтому если линейные размеры I контура не
слишком велики (/«Kc/v, где с=3 10е м/с — скорость света в вакууме, v — частота
колебаний в контуре), то можно считать, что в каждый момент времени t сила тока I во
всех частях контура одинакова. Такой переменный ток называется кввзисгациоияршм.
По закону Ома (19.9) для участка цепи I — L — 2 (рис. 27.6),
7Л=Ф1-<р2+ £с, или
IR*
/>0
q dl
--L-.
С dt
Здесь q и (Pj—<Pi= — д/С— заряд конденсатора и разность
потенциалов его обкладок в произвольный момент времени г,
R — электрическое сопротивление колебательного хонтура,
т. е. участка цепи I— L — 2; £с= — L(dl/df) — э.д.с. самоин-
Рис. 27.6
363
дукции в катушке. Из закона сохранения электрического заряда следует, что сила
квазистационарного тока в контуре I=dqldt. Поэтому дифференциальное уравнение
колебаний заряда q имеет вид
d3? R de q
— +----+—
dt2 L di LC
(27.22)
2.	Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармони-
ческими, если его электрическое сопротивление Л=0:
d2$	1
—+—g=0.	(27.23)
dl2 LC
Циклическая частота а> и период Т этих колебаний удовлетворяют формуле Том-
сона:
w=l/v/£c, T=2njLC.	(27.24)
Заряд q конденсатора и сила тока / в контуре изменяются по законам
<7=?esin (йЛ+фп),
1= Io cos (tut+фо)=Io sin (cut + фо+я/2),	(27.25)
где q0 — амплитуда заряда конденсатора; Io=coq0=qB/-^/LC— амплитуда силы тока;
Фо — начальная фаза колебаний заряда конденсатора. Ток в контуре опережает по фазе
заряд конденсатора на л/2. Разность потенциалов обкладок конденсатора к=ф2—ф(
также изменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом q:
и=Цояп(йИ + фо),	(2726)
где U0=qrJC — амплитуда разности потенциалов. Амплитуда тока
90 UD
у/LC y/LjC
(2727)
Соотношение (27.27) между /0 и Uo по форме подобйо закону Ома (19.9) для
пассивного участка цепи постоянного тока, поэтому величину -\jLjC называют волно-
вым сопротивлением колебательного контура.
3.	При свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре происходит
периодическое преобразование энергии Wt электрического поля конденсатора в энер-
гию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот:
яп2((Л+ф0),
2С 2С
t ,	(27.28)
Lt2 U2
Я'т=—=—? со81(со/ + фо).
2	2
Колебания, происходящие в электрическом колебательном контуре, часто называ-
ют электромагнитными колебаниями в контуре.
Значения Wt и изменяются при гармонических электромагнитных колебаниях
в пределах от 0 до максимальных значений, соответственно равных qg/(2C) и LI^/2,
причем, как видно из (27.27), 9g/(2Q«£/J/2. Колебания WK и FFm сдвинуты по фазе:
364
в те моменты времени, когда IFe=0, W^=(W„\.„.=Lr$f2 и, наоборот, когда Wa=0, то
W.=(WXm-=<i 11(20. Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не
изменяется с течением времени:
д 2 TJtl
W= JV'+ Wa	=—5=const.	(27.29)
2C 2
$ 27.4. Сложение гармонических колебаний
1.	Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колеба-
ний системы в тех случаях, когда зга система одновременно участвует в нескольких
колебательных процессах. Различают два предельных случая: сложение колебаний
одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Первый
случай соответствует, например, колебаниям грузика 1 (рис. 27.7), который колеблется
относительно грузика 2 на пружине а и вместе с ним на пружине Ь. Этот же случай
реализуется при наложении колебаний скалярных физических характеристик колеба-
тельной системы (давления, температуры, плотности, тока и т. п.).
2.	Сложение двух одияково направленных гармонических колебашй
.ri=>4ism((»it+<pi), 5i=42sin(o2t+fl>2)
можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм. На рис. 27.8
показаны векторы А] (/) и А2 (0 амплитуд первого и второго колебаний в произвольный
момент времени t, когда фазы этих колебаний равны Ф1 (T)=t»]t -4-<pi и Ф(/)=со2/+<р2.
Результирующим колебаниям x=.fi+x2 соответствует вектор A(t)=A[ (г)+А2(/), проек-
ция которого на ось OY
х= А (0 sin® (0-	(27.30)
По теореме косинусов,
Mfor-Aj+Aj+ZX^cos^a)-®^/)],
(27.303
A, KinCi (г)+Л2йпФ2(0
tg Ф (t)=-----------------.
Ay COS®! (0 + Л2СО8®2(/)
3.	Два колебательных процебо. называются когерентными колебаниями, если они
согласованно протекают во времени, так что разность их фаз остается постоянной.
Разность фаз двух гармонических колебаний лз и х2 равна
®2 (0 - ®i (0=(®2 -	+(<Р2 - Ф|)‘
Рис. 27.7
Ум
Рис. 27.8
365
Следовательно, два гармонических колебания когерентны, если их циклические
частоты одинаковы, т. е. o)i«(Ui-»ra. В любой момент времени разность фаз когерент-
ных гармонических колебаний равна разности их начальных фаз: Фз(г)—Ф] (0=Фз—<Pi-
Соответственно результирующие колебания — гармонические с той же циклической
частотой си, т. е.
= Л 8Ш(ш/ + ф0),	(2731)
где
А1—А* + А*+2Л1Л2 cos (ф2—Ф1)»
(27.31Э
Л] ВШ<Р1 +Л2 81Пф>2
tg Фо“;-------------•
А\ COS ф] +Л2СХИФ2
В зависимости от разности начальных фаз складываемых колебаний амплитуда
А результирующих колебаний изменяется в пределах
отЛ=|Л1—XJ при <р2—pi«*±(2m+l)x
доЛ—Л^Лз при Ф2_Ф1 = ±2/ия,
где щ=0, 1, 2, ...— любое целое неотрицательное число. Если ф2—ф,<я>±2тк, то
колебания синфазны (находятся в одвей фазе), а если ф2—ф( = ±(2/п+1)я, то находятся
в протвофаэе.
4.	Гармонические колебания, частоты которых различны (o^^tui), ммиригпи, так
как разность их фаз (taj—й)1)г+(ф2—<Pi) непрерывно изменяется с течением времени.
При наложении таких колебаний получаются негармонические результирующие коле-
бания. Векторы амплитуд А] и А2 складываемых колебаний (рис. 27.8) вращаются
с разными угловыми скоростями, так что построенный на них параллелограмм непре-
рывно деформируется, а его диагональ — вектор А результирующих колебаний — из-
меняется по длине и вращается с переменной угловой скоростью.
Два гармонических колебания с различными циклическими частотами од и o>j мож-
но приближенно считать когерентными лишь в течение Промежутка времени Дт, за
который разность фаз этих колебаний изменяется незначительно:
|ОД — ОД|АТ<С2я ИЛИ ДТ<КТ„,
где
Twr=2K/|<»i-a)i|	(27.32)
— время когерентности колебаний.
5.	Негармонические колебания, получающиеся в результате наложения двух оди-
наково направленных гармонических колебаний с близкими частотами Дод—сО1|«од),
называются бвениями.
В этом случае за начало отсчета времени г целесообразно принять тот момент,
когда фазы обоих колебаний и sj совпадают и равны фо- Тогда (
^«XionCoM+po),
я2» Л2 sia (o»jr+<= Л 2 sin [Щ| т+фо+Ф (01>
где ф(/)=(од—од)г. Результирующее колебания х=.т(+х2 удовлетворяют соотношению
х=Л (Г)8ш[и>1Т+фо+^(Г)],	(27-33)
366
гае
[A (Of-Aj+А*+2Л lA cos <р (О,
(27.33')
х , zx Л2втр(г)
tg^(o--—-—
Ai +Л2со»ф(г)
В частности, если Л1=Л2=Ло, то
так что
Л(г)=2Л0со5
*(')-----— '
(а>2—ai \ '/ati—tDi
--------11 sin I-----—
2	/	\ 2
(27.34)
Величина A(r), характеризующая размах колебаний при биениях, изменяется
в пределах от |Ai—AJ до At + A2 с циклической частотой П»|а>2—о>1|, называемой
ввели яхкой частотой биений. Постольку частота биений во много раз меньше частоты
колебаний (О<к<У|), переменную величину |Л (01 условно называют амплитудой бяеиий.
Период биений н частота биений равны
2п 2я Т'|Т2
Тв=—=-------------=--------—,
П а>(| |Ti — Т2|
(27.35)
1
ve-—=|V2-Vi|,
2e
где Т\, Vi и Т2, v2 — периоды и частоты
складываемых колебаний. Характер за-
висимости s от времени t при биениях показан на рис. 27.9 (для случая Л[=Л2=Л0).
8. В результате сложения гармонических колебаний, совпадающих по направлению
и имеющих кратные цикличестие частоты со, 2ш, Зсо и т. д., получаются периодические
негармонические колебания с периодом Т=2я/со. В свою очередь, любое сложное
периодическое колебание s=f(t) можно представить в виде суммы простых гармоничес-
ких колебаний с циклическими частотами, кратными основной щвслической частоте
ш=2л/Т, где Т — период колебания:
Oq щ	Oq
s=/(t)“—+У, (Ряcosncot+b„sinncot)=—I- £ ARan(nco/+g>J.
2		2	.
(27.36)
Такое представление периодической функции /(/) называется разложением ее в ряд
Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания. Члены ряда
Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами со, 2со,
Зсо и т. д., называются пе^жой (или основной), второй, третьей и т. д. гарвкнвпсамя
сложного периодического колебания s=f(f). Совокупность этих гармоник образует
спектр колебаяк .т=/(т). Состав спектра зависит от вида периодической функции /(/).
В простейших случаях спектр может состоять из небольшого числа гармоник.
Часто под спектром колебания понимают спектр его частот, т. е. совокупность
частот простых гармонических колебаний, в результате сложения которых может быть
367

получено сложное колебание. Периодические колебания имеют дискретные (линей-
чатые) спектры частот.
Непериодические колебания, как правило, имеют непрерывный (сплошной) спектр
частот, т. е. их можно представить как результат наложения множества гармонических
колебаний, частоты которых принимают всевозможные значения в некотором ин-
тервале (в общем случае от 0 до оо).
7. Изменение по определенному закону какого-либо из параметров периодических
колебаний (например, амплитуды или частоты), осуществляемое за время, значительно
большее, чем период колебаний, называется модуляцией колебаний.
Например, при амплитудной модуляции гармонических колебаний j=А0 sin (сод/+<ро)
модулированные колебания имеют вид
j= А о [1 + b (г)] sin (coq/ + (Оо),	(27.37)
где |Л(/)| < 1.
Если амплитудная модуляция осуществляется по гармоническому закону Л (/)cos fit, где
Ь0 = const И П«4О(), то
л=Л0(1+/>0со5<1051п(4оо/+фо)-	(27.38)
Это модулированное колебание имеет линейчатый спектр частот, так как может быть
представлено в виде суммы трех гармонических колебаний с циклическими частотами cuq, cug—П,
ио+Пи амплитудами, равными Ag, АоЬц/2 и Agbgp.'.
Ag (1 + b0 cos fit) sin (cu0/ + Фо) “ Ao sin (coot+Фо) +1/а Agbg {sih [(o>o+Q)t+фД+
+ 8т[(а>о-П)/+фс]}.	(27.39)
Модуляция колебаний широко используется, например, в радиосвязи и телевидении.
В. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.
Пусть точка М одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОУ по законам
х=Л| (со/+ <0|),
(27.40)
у=Л2 sin (со/+(о2)>
где х и у — декартовы координаты точки М. Уравнение траектории результирующего
движения точки в плоскости ХО Y можно найти, исключив из выражений для х и у пара-
метр /. Из (27.40) имеем
xjA 1 = sin (со/ + (0t) = sin со/ cos <pi + cos со/sin pi,
yfA2 = sin (co/ + (o2) = s>n co/ cos (o2 + cos co/ sin tp2,
откуда
(*/Л ,) sin фг - (у/Л 2) sin ф ।
sin co/= —-------------------,
cosф| sin Ф2— cos Ф2 sin Ф1
(х/Л|)С05ф2-(у/Л2)СО5 ф,
COS CO/=-----------------------
СО8ф251Пф1 — СО5ф1 Б1Пф2
Тогда
y  T
Sin Ф2 —	ЯП(0|
^2
У
COS<?2— COSQJj
“ 2
= (cos <pi sin (p2 — cos <p2 sin (01)2.
368
После несложных преобразований получаем уравнение траектории:
2ху
Л1Л1
СО«(<р2-ф|) = ЯП2(ф2-ф1).
(27.41)
Траектория имеет форму эллипса (ряс. 27.10), причем точка М описывает этот
эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний	Поэтому резуль-
тирующее движение точки М называют зллвшическя
поляризованными нолебамшн.
Ориентация в плоскости XOY эллипса, а также его
размеры зависят от амплитуд At и Л2 складываемых
колебаний и разности их начальных фаз q>2—<Pi- Если
ф2—Ф1 = (2т+1)я/2, где »1=0, ±1, ±2,..., то оси эллип-
са совпадают с осями координат ОХ и OY, а размеры
его полуосей равны амплитудам At и Л2:
(27.42)
Рис 27.1D
Если, кроме того, Xi = j42, то траектория точки М представляет собой Окружность.
Такое результирующее движение точки М называют циркулярно поляризованными
колебаниями или нолебянпш, веляризованными по кругу.
В тех случаях, когда фг—ф(=пгя (m»0, ± 1, ±2,...), эллипс вырождается в отрезок
прямой:
У= ±(Л2/Л,)х.
(27.42')
Знак плюс соответствует четным значениям т, т. е. сложению синфазных колебаний
(рис. 27.11, а), а знак минус — нечетным значениям т, т. е. сложению колебаний,
происходящих в противофазе (ряс. 27.11, 6). В этих случаях точка М совершает линейно
поляризованные колебания. Она гармонически колеблется с частотой складываемых
колебаний и амплитудой Авдоль прямой линии, составляющей с осью ОХ
угол
а=anAglfAj/A cos тя].
9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими частотами pto
и gw, где р и q — целые числа:
х=Л1яп(рол+ф1), у=Л2 яп^ал+фг).
(27.43)
Значения координат х и у колеблющейся точки М одновременно повторяются через
одинаковые промежутки времени То, равные общему наименьшему кратному
Рис. 27.12
369
Tt=2n/(pto) и Т2<=2к/(да>)— периодов колебаний вдоль осей ОХ и OY. Поэтому
траектория точки М — замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения
амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траек-
тории точки М, одновременно совершающей гармонические колебания в двух взаимно
перпендикулярных направлениях, называются фш дмми Лнесажу. Фигуры Лиссажу
вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а сто-
роны параллельны осям координат ОХ и OY и расположены по обе стороны от них на
расстояниях, соответственно равных Л2 и Aj. Отношение частот ра> и да> сжпядмияеммт
колебаний равно отношению числа касаний соответствующей нм фигуры Лиссажу со
стороной прямоугольника, параллельной оси OY, и со стороной, параллельной оси ОХ.
На рис 27.12 показан вид фигур Лиссажу при трех различных значениях от ношения д/р
(2:1, 3-2, 4*3) и разности начальных фаз Дф=ф) —<р2<=п/2.
Вопросы:
1.	Что изменится в уравнении гармонических колебаний, если в векторной диаграмме вращать
вектор амплитуды по направлению часовой стрелки?
2.	От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?
3.	Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково
направленных гармонических колебаний одной частоты?
4.	Как получить эллиптически поляризованные колебания?
5.	Как по виду фигуры Лиссажу найти отношение частот складываемых колебаний? В каких
случаях это можно сделать?
В. Что понимают под спектром колебаний?
Глава 28
Затухающие и вынужденные колебания
§ 2ВЛ. Затухающие колебания
1.	Затухяпием колсбпй называется постепенное ослабление колебаний с течением
времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных
механических колебаний вызывается главным образом трением, сопротивлением окру-
жающей среды и возбуждением в ней упругих волн Затухание в электрических колеба-
тельных системах вызывается тепловыми потерями в проводниках, образующих систе-
му или находящихся в ее переменном электрическом поле, потерями энергии на
излучение электромагнитных волн, * также тепловыми потерями в диэлектриках
и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.
Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.
Система называется линЛиой, если параметры, характеризующие существенные
в рассматриваемом процессе физические свойства системы, ие изменяются в ходе
процесса
Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.
Например, пружинный маятник, движущийся в вязкой, среде, представляет собой
линейную систему, если коэффициент сопротивления среды и упругость пружины не
зависят от скорости и смещения маятника. Электрический колебательный контур
можно считать линейной системой, если его электрическое сопротивление R, электро-
емкость С и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от сопряжении.
В большинстве случаев реальные колебательные системы достаточно близки по своим
свойствам к линейным.
2.	Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие коле-
бания линейной системы. Для этого рассмотрим два примера линейных систем —
механической и электрической, колебания которых сопровождаются диссипацией энер-
гии
Пример 1. Свободные затухающие кплебаияя вруияяяог» «мятная* массы т, движущегося
в вязкой среде вдоль оси ОХ На маятник действуют две силы свла упругости пружты
Fynp и сила сопротивления среды Fc, которую, как повязывает опьгг, можно считать в пераоы
приближении пропорциональной скорости маятника т и направленной в upo i и воио ложную т сто-
рону Fe= — In. где о - постоянный положительный коэффициент пропорциональности, называ-
емый коэфф^китом смроттжжя. По второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение
ДВИХеВЛЯ	ВПЬвССТ
d3x	dx
т —“ —b---кх,
dr*	dr
или
d*x dx
dr*+2^ dr+0,“X”°’
где p^b/Om},
Прниер 2. Смбоные затухаютюе anarffa— в элвегрнчваом колебательном контуре Элект-
рическое сопротивление реального контур* Ят*О, и, согласно (27.22), колебания заряда конден-
сатора описываются уравнением
d*< dq
—(2вД)
__	dr* dr
где P-Я/(2£), IhJlJC
371
Уравнения (28.1)  (28.2) тождественны по форме. Поэтому можно утверждать, что
общее дифференциальное уравнение свободных затухающих колебяняй рассмотренных
линейных систем имеет вид
dJj <1г
—+2Д-+<о$я=0.	(28.3)
Здесь j — изменяющаяся при колебаниях физическая характерно!ика системы;
/1=const>0 — коэффициент затухания; «во — циклическая частота свободных незатуха-
ющих колебаний той же системы, т. е. в отсутствие потерь энергия (стой 0=0).
3.	В курсе математического анализа доказывается, что решение дифференциального
уравнения (28.3) следует искать в форме
з=е‘,	(28.4)
а его общее решение
(28.5)
Здесь Q и С2 — постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий; А, и Л2 —
корни характеристического уравнения, которое получается из (28.33) после подстановки
в него выражения (28.4) для искомой функции j(t):
Л*+2ДЛ+ш* = 0.	(28.6)
Если 0<шо, то корни квадратного уравнения (28.6) комплексно-сопряженные:
/i,2= -P±y/P2-ul= -P±ia>,	(28.7)
где
ш=^/а^-р2,	(28.8)
— мнимая единица. Общее решение (28.5) имеет вид
— fof — — fcDf.
j=e [С(е -FCjC ],
или на основании формулы Эйлера (27.5)
е	[(С[ + С2) cos tot + i (С[ — С2) sin cot).
Вводя вместо С{ и С2 новые две постоянные Ао и (До, связанные с Q и С2 соотношение-
ями C| + C2=j4osin^o. /(Cj —С2)=ЛоС08фо. окончательно получаем
j=Лое ~Р> sin (cot+ф0).
(28.9)
Постоянные величины Ао и фо зависят
от начальных условий, т. е. от значений
5 и ds/dt в начальный момент времени.
График зависимости s(t) при затухающих
колебаниях (28.9) изображен на рис. 28.1.
4. Затухающие колебания (28.9) не явля-
ются периодическими, так как максималь-
ное значение колеблющейся величины з,
достигаемое в некоторый момент времени
/|, в последующем (при t>tt) никогда не
повторяется. Однако при затухающих ко-
лебаниях величина 5 обращается в нуль,
372
изменяясь в одну и ту же сторону (например, убывая), а также достигает максимальных
в минимальных значений через равные промежутки времени:
Т-гя/ш-Тя/^/шЗ-^2-	(28.10)
Величины Т и to поэтому обычно называют периодом (условным периодом) и цик-
лической частотой (услоиной цна пн негой частотой) затухающих колебаний. Величина
Л-Лое"*	(28.11)
называется амплитудой затухающих колебаний, соответственно Ад — начальной амп-
литудой. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени и тем
быстрее, чем больше коэффициент затухания р.
Промежуток времени т, в течение которого амплитуда затухающих колебаний
уменьшается в е раз, называется временем реляксацп:
т-1//».
Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих
колебаний пользуются понятием логарифмического декремента затухания.
Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина S,
равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колеба-
ний в моменты времени г и t+T(T — условный период колебаний):
A(f)	Т 1
<5=1п —-/JT=-=-,	(28.12)
Л(Г+7)	т N
где N — число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.
Найдем связь между циклической частотой to затухающих колебаний системы
и логарифмическим декрементом затухания 6. Так как	о/ и Т=2я/ш, то
5=(tog/to)3—1 н
а>о
ш=-==.	(28.13)
Vl+0/(2<
5. Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная
произведению 2я на отношение энергии ?И(г) колебаний системы в произвольный
момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до г+ Т, т. е. за
один условный период затухающих колебаний:
1Г(1)
С = 2я-----------.	(28.14)
Так как энергия FF(r) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний А (г), то
Л’(г)	2я 2я
2я——v-------------------------—•	(28.15)
Л’(г)-Л»(г+7) l_e-VT !_e-M
При малых значениях логарифмического декремента затухания (<5«: 1) 1 — е м«25
и добротность колебательной сястемы
Сия/Й.	(28.159
При этом условии, как видно из (28.13), toxtog, т. е. условный период Тзатухающих
колебаний практически равен периоду То свободных незатухающих колебаний, так что
373
Я Я <Ug
О «-и------»—.
i (ITq 2fi
(28.16)
Например, добротность (28.10 электрического колебательного контура [соо-«
\jy/LC н Р—Л/(2£)] равна отношению волнового сопротивления контура к его элект-
рическому сопротивлению.
Л
1

(28 163
Добротность пружинного маятника [ао3* <&/">, /J=b/(2m)]
Q-- Jkm.	(геле*)
а
в. При увеличении коэффициента затухания fl условный период затухающих колеба-
ний возрастает и обращается в бесконечность при fl=си». Если fl> <ч>*> то дифференци-
альное уравнение движения системы (28.3)’Имеет следующее решение*
Рис. 28.2
5°С1е~а,‘+С2е/*’',	(28.17)
где ai^fl-^/fi1-^ и а2=Р+-^Р2-^,
а С, и Q — постоянные коэффициенты, завися-
щие от начальных условий. Если начальные зна-
чения (в момент времени t=0) равны х(О)=Ло
dr
и — (О)»«о, то, как легко проверить,
оэд+ц) «i*o+r>
Ci=-------, Cj=--------.
8j—(Xj	8j —8j
Такое движение системы не имеет колебательного характера и называется япери-
одичеош дважемм. В завшямостн от начальных условий возможны два случая
апериодического возвращения системы в состояние равновесия (рис. 28.2). Движение
типа а осуществляется, если хо>О, а ®о<0, причем |ц)|><ВД). Во всех потальных случаях
происходит апериодическое движение типа б.
§ 28.2.	Вынужденные механические колебания
1.	Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные
механические колебания, называется аьвуждяиицей или возмущямщей
Дифферешральное уравасве вьмуждамых колебапй простейшей линейной систе-
мы — иружжшиго маятника, происходящих вдоль оси ОХ под влиянием перемеяной
внешней силы F(f), отличается от (28.1) только правой частью, равной отноцкниш
F,(f) к массе маятника т.
•Например д и колебательного контура, злектрн^ское и волновое сопротивления которого
удовлетворяют шмлнишеншо ЛЯу/ЦС.
374
d2x	dx	,	1
—+2Д-+<4х=-Г,(г).	(28.18)
d/a	dr m
Если F,(r) — периодическая функция времени, то после приложения этой силы
к маятнику вначале возникает переходный режим вынуждижик иппгАяи^, при котором
мытник одновременно участвует в двух колебаниях:	*
Первый член соответствует свободным затухающим колебаниям маятника (28.9)*:
X, (т)-Иде-* tin fyot+t^
где
Второй член соответствует незатухающим периодическим колебаниям маятника
с частотой, равной частоте возмущающей силы Лг(0-
Амплитудное значение xj (г), равное А& **, более или менее быстро уменьшается
после начала вынужденных колебаний: за время т0=4,6/Д амплитуда х, (?) уменьшается
 100 раз. Следовательно, через некоторое время т после начала колебаний (т~тд)
свободные колебания маятника практически прекращаются: х(г)«х2(г). Маятник пере-
ходит в состояние устяиомвппхся вьщуждешых колебяяжй, совершающихся с частотой
возмущающей шлы.
2.	Рассмотрим вынужденные колебания пружинного шятннка, происходящие под
действием возмущающей силы, которая изменяется по гармоническому закону с цик-
лической частотой С1
Fx=F9anQt,	(2820)
где Fo — амплитуда возмущающей силы.
Покажем, что установившиеся вынужденные колебания маятника будут тоже гар-
моническими с той же частотой, т. е. найдем такие значения Л и фо, чтобы выражение
х=Лсоа(О/+фп)	(2821)
обращало уравнение (28.18) в тождество. Из (28.21) следует, что
dx/df= —ЛЛ8т(Ог+фо)«ЛПсов(Пг+фо+я/2),
d2x/dr2= —ЛП2со8(0/+ф0)=Л01сов(Ог+фо+я).	(2822)
Подставим (28.21) и (2822) в (28.18)-
А, со8(П/+фо+я)+Л2со8(ЙГ+фо+я/2)-МзСОв(Пг+фо)”-ВсовПг.	(2823)
Здесь использованы следующие сокращенные обозначения:
Ai=О2Л, А2=20ПА, А2=а^А, B=FJm.	(2824)
Уравнение (2823) показывает, что сумма трех одинаково направленных гармонических
колебаний с амплитудами Ai, А2, Aj, одинаковой циклической частотой Q и раз-
личными начальными фазами (фо+п), (фо+л/2) и Фо должна совпадать с гармо-
'Предполагается, как это обычно и бывает, что В проi явном случае свободаое
двихснис маятника будет апертодичеаим.
37S
ническим колебанием, происходящим по закону
-Scosfiz. Для сложения этих трех колебаний мы вос-
пользуемся методом векторных диаграмм. На рис.
28.3 изображены векторы амплитуд всех четырех
колебаний в начальный момент времени А,(0),
А2(0), А3(0) и В(0). Эти векторы должны удовлет-
ворять условию (28.23), т. е.
А,(0)+А2(0)+А3(0)=В(0).	(28.24Э
Из рис. 28.3 и формул (28.24) следует, что амп-
литуда А установившихся вынужденных колебаний
и сдвиг фаз фо между смещением маятника из поло-
жения равновесия и вынуждающей силой зависят от соотношения между циклическими
частотами вынужденных колебаний Л и свободных незатухающих колебаний соо,
а также от коэффициента затухания Д:
т 7К-П1)2+4Д2П1’
tg?0=-2ДП/(ш2-Я2).
(28.25)
При П=0 получим фо(О)=О и Л (0)=Л0=Го/(/яш2)=Го//:— статическое смещение
маятника из положения равновесия под действием постоянной силы Fz=Fo. При П-*оо
амплитуда Л(П)-+0 и tg<po-»O, а ф0-» — я. Графики зависимости Л (О) и Фо(^) при
различных значениях коэффициента затухания Д доказаны на рис. 28.4 и 28.5.
3.	Найдем частоту установившихся вынужденных колебаний Пр, при которой амп-
литуда смещения А достигает наибольшего значения. Из (28.25) видно, что при П=Ц,
должно быть минимальным подкоренное выражение, стоящее в знаменателе выраже-
ния для А, т. е. при П=Пр
а-[(т2-п2)Ч4Д2п2ъ.0р-о.
Выполняя дифференцирование, получаем
-4Пр(щ2-Пр2)+8Д2Пр = 0,
откуда
Пр=у/и20 - 2Д2 =	- Д2,	(28.26)
376
где а) — циклическая частота свободных затухающих колебаний маятника (28.8); Ц, —
резонансная циклическая частота.
Из (28.25) и (28.26) следует, что максимальная амплитуда
Лмжв=Л(Пр)=Г0/(2т^)=яГ0/(Ысо2),	(28227)
где &=рТ =2я/?/си — логарифмический декремент затухания.
Если fl<cw0, то Ц, и сажено и, как видно из (2825) и (28.27),
ф0 (Ор) и - я/2, А .ж » QA0,	(2827')
где Qtsnld — добротность маятника (28.16); А^=F^mai^) — статическое смещение
Резкое возрастание амплитуды вынужденных механических колебаний при прибли-
жении циклической частоты возмущающей силы к значению Ц, называется явлением
механического резонанса. Соответственно графики зависимости А от П, изображенные
ва рис. 28.4, называются резонансными кривыми.
По мере увеличения коэффициента затухания fl пики на резонансных кривых быстро
сглаживаются (при малых р амплитуда Л...~ ~ 1/Д), а резонансная частота Ц, медленно
уменьшается.
4.	Скорость маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях
dx
vx—— = —Л05ш(П/+фо)=Хсо8(П/+а).	(28.28)
dr
Здесь Л^=АС1 и а=<ра+я/2— амплитуда скорости и сдвиг фаз между скоростью
и возмущающей силой, причем
/ЬП	Fo
(2829)
tga- -ctg<po=(mj-n2)/(2^n).
(28.29')
Из (28.29) видно, что амплитуда скорости максимальна при П=а>о и равна
(A^=A^=FDl(2mP).	(28.30)
В этом случае а=0, т. е. скорость маятника колеблется в одной фазе с воз-
мущающей силой. При £1-»оо амплитуда Л,-»0 н а-*—я/2, а при П-»0 амплитуда Д,-*0
и а-»я/2.
5.	Ускорение маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях
d2x
ах—— — — ЛП2соб(П/+фо)=Лдсо8(Я/+у).	(28.31)
dr2
Здесь Лв=ЛП2 и у—фо+я — амплитуда ускорения и сдвиг фаз между ускорением
в возмущающей силой, причем
Fffl2	Fa
m v/“l-n2)J+4/’1Oa ™v4(aW-l]2+(W
(28.32)
Можно показать, что амплитуда ускорения максимальна при
<uq
О = —;	- - «О)
Vl-ZWtuo)3
377
При Й=0 амплитуда Л«“0, а при П-»оо амплитуда ускорения стремится
ж ЛЛ(со)=/’0/л»
Я. Покажем, что при установившихся вынужденных колебаниях потери энергии коле-
бательной системы, обусловленные диссипативными силами, полностью компенсиру-
ются за счет работы, совершаемой над системой возмущаюпжй силой Элементарная
работа, совершаемая силой сопротивления F,= — Ьч на малом перемещении маятника,
раина
ЛЛд— —Zx>,dx~ —6u2dr= —2m/h£dT
Подставим выражение v. по формуле (28 28>
Работа, совершаемая силой сопротивления за одно полное колебание маятника,
г
Л= -ЗлфАЧИ11ап2 (П/+^о)Ш- -mflA2ft2T
о
Работа, совершаемая за то же время возмущающей силой,
Лв«> Jr0«xco»Q/df“ — AC1FO J ып(О/+фй)со5О/с1/
о	о
Так как ^n(Qz+<ptO=smQ/coe^e+co»Q/an<j>t>, то
Л»= — ЧзАПЕоТ вш фо-
Из рис 28.3 видно, ото
яшфф» —AijB= -ImfKlA/Fo,
поэтому
A^mflA^T^-A^
У. Если возмущающая сила, действующая на пружинный маятник, изменяется пери-
одически, но не do гармоническому закону, то ее можно разложить в ряд Фурье, т е.
представить в виде суммы гармоник этой силы Гармоники имеют различные амп-
литуды, начальные фазы и циклические частоты, кратные О—2я/Т, где Т —период
изменения возмущающей силы. Так как маятник является линейной колебательной
системой, то каждая гармоника возмущающей силы действует на него так, как если бы
других гармоник не было Поэтому установившиеся вынужденные колебания маят-
ника, вызываемые произвольной периодической возмущающей силой, можно рассмат-
ривать как результат наложения установившихся вынужденных колебаний этого маят-
ника под действием каждой из гармоник возмущающей силы порочит. «Вклада различ-
ных гармоник силы в результирующие юниАтик зависит от их частот и амплитуд.
Благодаря явлению резонанса существенную роль играют лишь те гармоники воз-
мущающей сиды, циклические частоты которых близки к резонансной частоте маят-
ника Если коэффициент затухания маятника fl мал (соответственно ведши доброт-
ность маятника), то маятник может совершать установившиеся вынужденные кожба-
ния, близкие к гармоническим, дд»* в тех случаях, когда вынуждающая п*™ да пт от
гармонической. Примером таких вынужденных колебаний могут служить копебанвя
маятника, который периодически подвергается кратковременным внешним воздействи-
ям в виде толчков, налравленйых в одну и ту же сторону и повторяющихся через
одинаковые промежутки времени, равные периоду свободных колебаний маятника.
378
В. Явление механического резонанса используется в акустике для анализа звуков и их
усиления. Однако в различных сооружениях и машинах, подвергающихся периодически
изменяющимся нагрузкам, резонанс весьма опасен. Он может вызвать их разрушение
вследствие значительного возрастания амплитуды колебаний. Так, например, шатуны
двигателя внутреннего сгорания действуют на коленчатый вал с периодически изменя-
ющимися силами. Период их изменения связан с угловой скоростью вращения вала.
Эти силы вызывают колебания коленчатого вала н при скорости вращения, соответст-
вующей резонансу, могут привести к поломке вала. Вращающиеся части машин, диски
и валы турбин, винты самолетов не могут быть абсолютно точно уравновешены, т. е.
их центры масс всегда слегка смещены по отношению к осям вращения. Следователь-
но, они также испытывают переменную нагрузку и совершают вынужденные колеба-
ния. При проектировании современных машин и других сооружений, подвергающихся
переменным нагрузкам, производят специальные расчеты и принимают меры для
исключения возможности возникновения резонанса.
§ 28.3.	Вынужденные электрические колебания
1.	Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном кои-
туре (см. § 27.3) в него нужно включил» источник электрической энергии, э.д.с.£
которого изменяется с течением времени (рис. 28.6). В электротехнике источник элект-
рической энергии, характеризующийся э.дс. и внутренним электрическим сопротивле-
нием, называется источником э.дс. (источником напряжения). По закону Ома для
участка 1 — R — L — 2 цепи квазмстационарного электрического тока в контуре при
вынужденных колебаниях
IR = <pt --L - + & (Г).	(28.33)
dr
Здесь (pi—(pi = q/C разность потенциалов обкладок конденсатора, q— его заряд,
а внутреннее электрическое сопротивление источника э.дх. считается пренебрежимо
малым по сравнению с R — такой источник э.д.с. называется идеальным. Из закона
сохранения электрического заряда следует, что I=dqjdt. Поэтому дифференциальное
уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре можио представить
в форме, аналогичной уравнению вынужденных механических колебаний (28.18):
d2e	de	1
у+ соЗ«-- 6W-	(28.34)
dr3	dr	L
Здесь p=Rj{2L) -коэффициент затухания свободных колебаний в контуре,
a iiiQ—Xly/LC — циклическая частота свободных незатухающих колебаний (т. е. при
Я=0).	g
2.	Если вынуждающая э.д.с. & (г) изменяется по гармоническому закону:
<5 (t)= ftocosQt, то при установившихся вынужденных колебаниях заряд конденсатора
колеблется гармонически с той же циклической частотой Q:
д=д0со8(Пг+ф0).
Амплитуда Л и начальная фаза фо находятся по фор-
мулам, аналогичным (28.25):
<5о
9о=“	..... .
L ^/(ш’-П2)2 +4/12П2
гра
»вФо=----а-.
(28.35)
Рис. 28.6
379
Учитывая, что roJ = l/(LC) и /?=Я/(2Ь), получаем
& о
9о-----;   	=,
П v/je+pii-l/cnc)]2
д	(28.36)
1ЕФо“----------•
ОД- 1/(ОД
При Я=^0 фаза фо(0)=0 и дв(0) — &— заряд конденсатора при достоянной
разности потенциалов между обкладками, равной & о- При П-*аз амплитуда 9о~+О,
а ф0-> — я. Графики зависимости до (Я) и Фо (Я) показаны на рис. 28.4 и 28.5, где
>4=90» Ло=9о(О) = § оС.
3.	Силу тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре найдем из
(28.35):
do
2= =—<?оЯ8т(Яг+фо)—/0со£(Яг—ф).	(28.37)
dr
Амплитуду тока 1в=д<£1 и начальную фазу —Ф=фо+я/2 найдем с помощью
формул (28.36)’
(28.38)
1/(ЯС)
R
y/tf+UflL- 1/(ПС)]2’
ЯЛ-
tg<p=ctgpo=-----
Графики зависимости 4> (Я) при различных R называются реэонавсшш кривыми
колебательного контура (рис. 28.7). Графики зависимости ф(Я) покачаны На рис. 28.8.
Резонансная циклическая частота Я^, соответствующая максимуму амплитуды тока
в контуре при вынужденных колебаниях, не зависит от R:
Пр —“tuo= 1/-^/АС.	(28.39)
Амплитуда силы тока при резонансе Л>(Яр)= 5о/Л, а сдвиг фаз между силой тока
и э.д.с. ф(Пр)=0. Если Я<шо, то ф<0, т. е. сила тока опережает э.д.с. по фазе и тем
380
сильнее, чем меньше Я (ф= —я/2 при Я=0). Если Я>ш0> то р>0, т. е. сила тока отстает
по фазе от э.дс. и тем сильнее, чем больше Я (<р-»я/2 при Я-юо).
4.	Разность потенциалов клемм идеального источника гармонической э.д.с. (рис. 28.6)
равна его э.д.с.
и=&о cos Я/.	(28.40)
Падение потенциала на отдельных участках показанной на рис. 28.6 цепи перемен-
ного синусоидального тока 7=/0со8(Яг—р) — конденсаторе емкостью С, резисторе
сопротивлением R и катушке индуктивностью L — найдем из формул (28.35) и (28.37):
?	я\
ис=ф2—ф|=—= t7ccos I Qt—q>—- I,
ия=1Я=иясо&(01— <р),	(28.41)
<Н	/	л\
ut=L —= C7rcos I Clt— q>+- I.
dz	\	2/
Колебания ик происходят в одной фазе с колебаниями тока в цепи; uL опережает ток
по фазе на я/2, a Uc отстает от него по фазе на я/2, причем, по закону Ома (28.33) для
участка цепи I — R — L — 2 (рис. 28.6),
Uc+ ^х +	о cos О/.	(28.42)
Амплитудные значения uc. их и састетстъсша равны:
U^IqR, UL=nLIa	(28.43)
С ПС
иди
Uc=Xch, Uj^RIo,	(28.43Q
i
где Хс=1/(ПС) — емкостное сопротивление, Xt=QL— индуктивное сопротивлщве,
а А — активное электрическое сопротивление. Величины
Х= XL-Хс=пь- 1/(ЯС),
,---------------------------- (28.44)
Z=V А2 + X2=+(Ш. - 1 /ЯС)2
чаянияитгея соответственно реактивным и полным сопротивлениями цепи. Пользуясь
этими понятиями, можно переписать формулы (28.38) для амплитуды синусоида пкплгл
электрического тока в цепи и его начальной фазе в виде
/о= £q/Z, tgp^Y/A,	(28.44')
причем
cosp=A/Z, sin <p=Y/Z.	(28.44')
При резонансе Я=1\/7.С и Х^=*Хс, так что реактивное сопротивление цепи
обращается в нуль, а полное сопротивление цепи достигает минимального значения,
равного ее активному сопротивлению R.	’
Г(Яр)-0, Z(Qp)-ZMm=A.
381
В этом случае
и Uc=Ul“^ /- •
Л у С*
В. Действуюпдм или эффекгввшм Tnmriwii периодического тока (соответственно
эщ.с., напряжения и т. п.) называется среднее квадратичное значение силы тока за
период Т его изменения
(28.45)
Для синусоида пи пт тока /= /есое(Пг—ф) и синусоидальной э.д.с 5 =>£0созП/
действующие значения равны
А*“/о/Т2,
£o/v^2.
(28.46)
Элементарная работа, совершаемая синусоидальным током за малое время &
в цепи, изображенной на рис. 28.6, равна работе источника эщ.с. за то же время:
SA = Itdt=I0£oCOt((li—ф)совПг<Ь.	(28.47;
Мгновенная моннюсть тока в цепа
ЛА
&=—=~I6 *"Zo£oCOs(ftf—ф)сояПг.	(28.48)
d/
Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью
Р тока в электрической цепи:
°СО8Ф“Дфй^совф.	(28.49)
о
Множитель соеф называется ипзффицигпгом мощности. Так как ^JZ, cos<р»
~RJZ.ro
P^R&^/Z2.	(28.50)
При резонансе Z имеет минимальное значение, равное R, и активная мощность
максимальна*
P-t^R-6 l/(2R).	(28.50)
в. Если вынуждающая эщ.с. & предетавляст собой сумму гармонических э.д.с. с раз-
в
пячньша циклическими частотами О* т. е. & =£ ^ucosCV> то результирующий
i-i
электрический ток I в колебательном контуре также будет представлять сумму синусо-
идальных токов с циклическими частотами Clt в начальными фазами — ф«:
382
!•* X 4iCoe(tV—фЭ-
/ч1
2£fiS!<£.
V2
Однако вследствие явления электрического ре-
зонанса контур сильнее всего реагирует на ту
составляющую э.д.с., частота П, которой равна	/ I 1\
или наиболее близка к резонансной частоте сод	/ И । \
контура. Поэтому сила тока в контуре в основном	/ I I I X.
определяется этой составляющей э.д.с. На описан-	0*^—~-==ж*-
ном яд пении основаны все радиоприемные	sr,)o ие	я
устройства, неотъемлемой частью которых явля-	Рис ^д
ется колебательный контур, резонансная частота
которого может изменяться путем изменения его емкости или индуктивности.
Легко видеть, что влияние на колебательный контур вынуждающих э.д.с., частоты
которых отличны от coq, будет тем слабее, чем «острее» резонансная кривая дня
контура, т. е. чем резче зависимость /0 от П вблизи значения П=шо. «Остроту»
резонансной кривой можно охарактеризовать с помощью относительной пшрт этой
кривой, равной ДН/соо» где АЛ — разность значений Qj и циклических частот,
соответствующих h-^y/2 (рис. 28.9).
Полагая в формуле (28.38)	б of(Ry/ty, получаем
или
aw 1 Y 1
Я2 I ~n1LCj “
Заменив (R2/L2)=4/l2 и 1/(LC)=(Uq, получим следующее уравнение, которому удов-
летворяют искомые значения П1 и Пг циклической частоты:
(toj-n2)1=4^2n2.
Это биквадратное уравнение эквивалентно следующим двум квадратным уравнени-
ям: toj—П2 = 2/Ю и toj—£12 = —20CL Решая их и отбрасывая отрицательные корни, так
как они не соответствуют физическому смыслу Я, находим
П1 = — fl2+coq, £1з=/1+02+cjJ, Afl=£12—Г2|“2Д
Относительная ширина резонансной кривой колебательного контура равна отноше-
нию активного сопротивления контура к его волновому сопротивлению:

(28.51)
Из (28.16') видно, что относительная ширина резонансной кривой колебательного
контура есть величина, обратная добротности Q контура:
АП/<ио=1/2-
(28.519
383
Вопросы:
1.	Как влияет коэффициент затухания на условный период затухающих колебаний системы?
Будет ли справедлива формула (28.10). если коэффициент затухания зависит от времени?
2.	Какова связь между добротностью колебательной системы и ее логарифмическим декремен-
том затухания?
3.	Почему в теории вынужденных колебаний уделяют такое большое внимание случаю, когда
внешнее воздействие на колебательную систему изменяется по гармоническому закону?
4.	Как влияют активное сопротивление, электроемкость и индуктивность колебательного кон-
тура на его резонансные характеристики?
5.	От чего зависит коэффициент мощности в цепи переменного тока?
Глава 29______________
Волны в упругой среде
§ 29.1.	Продольные и поперечные волны
1.	В предыдущих двух главах, рассматривая механические колебания, мы не ин-
тересовались теми процессами, которые происходят в среде, окружающей колебатель-
ную систему. Результирующее действие среды на систему учитывалось путем введения
в уравнение движения системы сиды сопротивления Эта сила отождествлялась с силой
 рения, так как ее действие приводит к уменьшению механичеедой энергии системы
и затуханию ее свободных колебаний. Однако такое толкование взаимодействия коле-
бательной системы со средой не полностью отражает истинную картину процессов,
происходящих в самой среде. Действительно, если бы это взаимодействие было
целиком аналогично трению, то оно должно было вызывать только нагревание окру-
жающей среды, т. е усиление теплового движения ее молекул. На самом деле вследст-
вие передачи энергии колебательной системой среде последняя не только нагревается,
но также приходит в механическое движение, совершая вынужденные колебания.
В этом легко убедиться, наблюдая образование волн на поверхности жидкости при
ударах о нее колеблющегося тела или даже при ее однократном возмущении в резуль-
тате падения камня Зритель в театре слышит речь н пенне актеров, звучание музыкаль-
ных инструментов благодаря доходящим до него колебаниям давления воздуха, со-
здаваемым этими источниками звука.
При изучении закономерностей распространения механических колебаний в газах,
жидкостях и твердых телах мы будем отвлекаться от молекулярного строения этих тел
и рассматривать их как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве.
Соответственно под частей среды, совершающей вынужденные колебания, будем
понимать малый элемент ее объема, размеры которого в то же время во много раз
больше межмолежулярных расстояний, так что в нем содержится очень большое число
молекул. Даже в наименее плотной среде — газе — межмолкулярные расстояния
столь малы (~ 10 е м при нормальных условиях), что частицы среды можно прибли-
женно считать точечными
2.	Тело называется упругим, а его деформации, нызымемые внешними воздействиями,
называются упругими деформациями, если они полностью исчезают после прекраще-
ния этих воздействий.
Согласно закону Гука, упругие деформации прямо пропорциональны вызывающим
их внешним воздействиям, т. е. зависят от них линейно. При достаточно малых
деформациях все тела практически можно считать упругими.
Упругие свойства тел зависят от характера теплового движении молекул н сил их
взаимодействия. Например, газообразное тело беспрепятственно изменяет свою форму
в соответствии с формой занимаемого им сосуда — газ не обладает упругостью формы.
В то же время газу присуща обьооая упругость, т. е. способность сопротивляться
изменению его объема. Эго свойство газа обусловлено тепловым движением его
молекул н проявляется в изменении давления р газа при изменении его объема V По
закону Гука для объемной деформацм, изменение dp давления газа при малом измене-
нии dr его объема прямо пропорционально относительной объемной деформации
dr
dp----К-,	(291)
где К — модуль объемной упругости газа Для идеального газа значение К зависит
от вада термодинамического процесса сжатия (расширения) газа. При очень «мед-
ленном изменении объема газа процесс можно считать изотермическим, а при очень
385
быстром адиабатным В первом случае pV= const, так что Vdp+pdK= 0 н К^т^р
Во втором случае pP*£>const, где^С — показатель адиабаты, так что K^^SCp
3.	Упругость кристаллического твердого тела обусловлена сглазе взаимного притя-
жения и отталкивания часпщ (ионов, атомов или молекул), образующих это тело
и совершающих беспорточные тепловые колебания около узлов его кристаллической
решетки. Силы взаимодействия частиц препятствуют деформациям кристаллической
решетки, связанным с изменением как объема тела, так и его формы. Поэтому твердые
тела помимо объемной упругости обладают упругостью формы, которая проявляется
В ИХ сопротивлении деформации сдвига.
Сдвдеша называется такая деформация твердого тела, при которой все его плоские
слои, параллельные некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью сдви-
га, не истринпияск и де изменяясь в размерах, смещаются параллельно прут пруту (рис
29 1).
Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС,
параллельной плоскости сдвига Грань AD, параллельная ВС, закреплена неподвижно.
При малом сдвиге уwtgy—|CC|/|CD|. Вели-
чина у, выраженная в радиана», называется
углом сдвжа. По закону Гука для сдвига,
касательное напряжение t^F/S (S— пло-
щадь поверхности грани ВС) пропорциональ-
но углу сдвига.
т-Gy,	(292)
где G —- модуль сдаага, который зависит от
материала тепа, его температуры, термооб-
работки и некоторых других факторов.
Упругость жидкостей также обусловлена
Рис jo 1	силами межмолекулярного взаимодействия.
Однако вследствие того, что средняя продол-
жительность т0 оседлого существования молекул жидкости очень мала, жидкости,
подобно газам, обладают только объемной упругостью. Они проявляют упругость
формы по отношению к переменным деформациям гзерхьысокой частоты, период
которых меньше или порядка т».
4.	В первом приближении все среды (за исключением разреженных газов) можно
считать абсолютно упругими, так как внутренние силы, возникающие в них при
Достаточно малых деформация», оказываются пропорциональными деформациями.
Тело, колеблющееся в упругой среде, периодически воздействует на прилегающие
к нему частицы среды, выводя их из положений равновесия и заставляя совершать
вынужденные колебания. При этом среда вблизи тела деформируется и в вей возника-
ют упругие силы Эти сипы действуют как на прилегающие к телу частицы, стремясь
возвратить их в положение равновесия, так и на более удаленные от тела частицы,
выводя их из положений равновесия. Последние взаимодействуют со следующими
частицами и т д. Таким образом, постепенно все более и более удаленные от колеб-
лющегося тела области среды вовлекаются в колебательное движение
Механичеоше возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среда,
называются упругими иди мехаимчесхими волнами Тела, которые, воздействуя на
упругую среду, «мчишют эти возмущения, называются и in iiwnini ущгугих войн.
звуковыми или акустически» воли называются упругие волны малой интенсив-
ности, т. е слабые механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.
Звуковые волны, воздействуя на органы слуха человека, способны вызывать звуко-
вые ощущения, если частоты v соответствующих им колебаний лежат в пределах от 16
Гц до 20 кГц —	« звуки. Упругие волны с частотами v<16 Гц называются
инфразвуком, а с частотами v>20 кГц — ультразвуком (часто упругие волны с v>l
ГГц называют пшерзвуком)
Отметим, что в отличие от других видов механического движения среды (например,
ее течения) распространение упругих волн в среде не связано с переносом вещества*.
•Некоторый перенос вещества может осуществляться при распространвввн в среде сильны!
возмущений (например, ударных волн, возникающих при взрыве), когда колебания частиц среды
становятся нелинейными.
386
5.	Упругая мим называется продольной, если частицы среды колеблются в направле-
нии распространения волны. Продольные волНы стланы с объемной деформацией
упругой среды н потому могут распространяться в любой среде — твердой, жидкой
и газообразной. Примером таких волн являются звуковые волны в воздухе
Упругая вода называется поаеречиой, если частицы среды колеблются, оставаясь
в плоскостях, перпендигупарны» направлению распространения волны Поперечные
волны связаны с деформацией сдвига упругой среды и, следовательно, могут об-
разовываться и распространяться только в средах, обладающих упругостью формы,
т е. в твердых телах Примером поперечных волн могут служить волны, распространя-
ющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.
Особое место занимают поаерхностшс волм — распространяющиеся вдоль сво-
бодной поверхности жидкости (или поверхности раздела двух несмешивающихся жид-
костей) возмущения этой поверхности, возникающие под влиянием внешних воздейст-
вий (падения тел, движения судов, ветра и т п.) В образовании и распространении этих
волн определяющую роль играют силы поверхностного натяжения и тяжести В повер-
хностных волнах частицы жидкости одновременно совершают поперечные и продоль-
ные колебания, описывая эллиптические или более сложные траектории
в. Среда называется одаородаой, если ее физические свойства, существенные в рас-
сматриваемых задачах, не изменяются от точки к точке Среда, однородная в отноше-
нии одних физических свойств, может быть неоднород ной в отношении Других. Напри-
мер, монокристаллическое тело однородно по своим упругим свойствам и в то же
время оптически неоднородно для рентгеновского излучения.
Среда называется нзотршной, если ее физические свойства, существенные в рассмат-
риваемых задачах, одинаковы во всех направлениях. Среда, изотропна а в отношении
одних физических свойств, может быть анизотропной в отношении других Например,
кристаллы кубической системы оптически изотропны, а в отношении упругих
свойств — анизотропны. Газы и жидкости в отсутствие метит полей изотропны
в отношении любых физических свойств
Среда называется линейной, если между величинами, характеризующими рассмат-
риваемое внешнее воздействие на среду и вызываемое им изменение состояния среды,
существует прямо пропорциональная связь Например, упругая среда, подчиняющаяся
закону Гука, линейна по своим механическим свойствам. Диэлектрик является линей-
ной средой по своим электрическим свойствам, если его диэлектрическая Ьроннца-
емоегь не зависит от напряженности электрического поля. Аналогично, магнетик —
дииейияи среда по своим магнитным свойствам, если его магнитная проницаемость не
заамогг от магнитной индукции поля.
§ 29Х Уравнение волны
1. Урмпс1ме» уиругой волны называется зависимость от координат и времени скаляр-
ных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении
в ней рассматриваемой волны. Например, для волн в твердой среде такой величиной
может служить вектор смещения частицы среды из положения равновесия илН три его
проекции на осы координат. Для характеристики продольных волн в газе или жидкости
обычно пользуются избыточным давлением колеблющейся среды, равным разности
между ее переменным и равновесным давлениями.
Распространение в упругой среде механических возмущений, возбуждаемых источ-
ником волн, связано с переносом войнами энергии. Петому такие волны в отличие от
стоячих волн (см $ 29.6) называют бегущими волнами
Линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением рас-
пространения водны, т. с. с направлением переноса энергии волной, называется лучом
В однородной среде лучи имеют вид прямых линий.
3. Упругая ----- называется	или гармони некой, если соответству-
ющие ей колебания частиц среды яйляются гармоническими Частота этих колебаний
называется частотой вами
Колебания даапемыа в газообразной или жидкой среде щш распространении в ней
Юшусомддльной волны также совершаются по гармоническому закону с частотой,
387
равной частоте волны. В поперечной синусоидальной волне частицы среды могут
одновременно гармонически колебаться с частотой волны вдоль двух взаимно перпен-
дикулярных направлений, каждое из которых перпендикулярно направлению распрост-
ранения волны. В зависимости от характера поляризации результирующих колебаний
(см. § 27.4) различают следующие типы поляризации noDepewbix синусоидальных волн:
эллиптическую, циркулярную (или круговую), линейную (или плоскую).
3.	Механические возмущения (деформации) распространяются в упругой среде с ко-
нечной скоростью V. Поэтому возмущение, вызываемое источником волн в момент
времени 4, достигает произвольной точки М среды в момент времени t> t0. Разность
t—t0=llv тем больше, чем больший путь I проходит волна от источника до точки ‘М.
Соответственно колебания в точке М отстают по фазе от колебаний источника волн.
Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же
значение, называется волновой поверхностью или фронтом волны.
Для всех точек одной волновой поверхности разность t—to одинакова. Через
каждую точку среды, охваченной волновым движением, можно провести одну волно-
вую поверхность, соответствующую значению фазы колебаний в этой точке в рассмат-
риваемый момент времени. Множеству различных значений фазы колебаний соответ-
ствует семейство волновых поверхностей. В однородной изотропной среде волновые
поверхности ортогональны лучам.
4.	Волна называется плоской, если се волновые поверхности представляют совокуп-
ность плоскостей, параллельных друг другу.
В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ОХ, все величины s, харак-
теризующие колебательное движение среды, зависят только от времени г и координаты
х точки М среды. Если нет поглощения волн в среде, то колебания в точке М отличают-
ся от колебаний в начале координат О, происходящих по закону s=f(t), только тем, что
они сдвинуты по Времени на x/v, где v — скорость волны. Поэтому в плоской волне,
распространяющейся вдоль положительного направления оси OX, s является функцией
разности (г—x/v), так что уравнение такой плоской волны имеет вид
a=/(r-x/v).	(29.3)
Соответственно уравнение плоской волны, распространяющейся в противополож-
ном направлении,
j-/(r+x/v).	(29.3')
5.	Уравнение плоосой овусоцдальиой волны, распространяющейся в непоглощающей
среде вдоль положительного направления оси ОХ,
s=A sin [ш (/—x/v)+фо]=А аш (cut—tox/v+фо),	(29.4)
иди
s=A sin [2nt/T— 2nx/(Tv} + фо],	(29.4')
где Л=const — амплитуда колебаний, называемая амплитудой волют, ш=2я/Г— цик-
лическая (круговая) частота волш; Т— период колебаний; фо — начальная фаза коле-
баний в точках координатной плоскости х=0. Величина Ф=<ог—tox/v+фо, равная фазе
колебаний в произвольной точке с координатой х, называется фазой плоской волны.
Расстояние A=vT, на которое распространяется синусоидальная волна за время,
равное периоду колебаний, называется длиной волны.
Длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, в кото-
рых разность фаз колебаний равна 2я.
6.	Наряду с длиной волны используется другая характеристика синусоидальной вол-
ны — волновое число*, которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрез-
ке длиной 2я:
Jt=2n/A=2n/(v7)-fl>/v.	(29.5)
___________ I
•В физической оптике волновым числом часто называют величину 1/Д, где Л — длина волны
излучения в вакуума (ГОСТ 7601 — 78).	/
388
Следовательно, уравнение плоской сипуслидя пхипй волны (29.4) можно также
представить в виде
2ях/А+фо)=Л ап (он—£х+<р0).	(29.6)
Соответственно фаза этой плоской волны fcc+фо.
Волновым вектором называется вектор к, по модулю равный волновому числу
к и направленный вдоль луча в рассматриваемой точке М среды.
Волновой вектор плоской синусоидальной волны не зависит от выбора точки М.
Для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ,
k«JH 0 — орт оси ОХ), поэтому kx»kr, где г — радиус-вектор точки М, и уравнение
плоской волны (29.6) можно записать в форме
s=A an (ait—кг+фо).
(29.7)
Основываясь на формуле (27.5), уравнение волны (29.7)можно записать в экспонен-
циальной форме, удобной для дифференцирования:

(29.7')
где i=y/— 1 и 5=<ро—я/2. Физический смысл имеет только действительная часть
комплексной величины S, т. с. величина r=Re S. Пользуясь 3 для нахождения какой-
либо характеристики волны, нужно после выполнения всех математических операций
отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения.
7.	Волна называется сфера негой, если ее волновые поверхности имеют вид концент-
рических сфер. Центр этих сфер называется центром волны.
Такого рода волны возбуждаются в однородной изотропной среде уединенным
точечным источником. Уравнение расходящейся сферчнттй водны
s=<p(r)f(t-r/v),
(29.8)
где г — расстояние от центра волны до точки М среды; v — скорость волны.
В случае ощусондальим сферической волны
j=.4(r)sin(aH—fcr+фц),	(29.9)
где А (г) — амплитуда волны; фо— начальная фаза колебаний в центре волны;
Ф==сог—kr+фо — фаза сферической волны. В § 29.4 будет показано, что при распрост-
ранении сферической волны в непоглощающей среде амплитуда волны удовлетворяет
соотношению (2933), т. е. обратно пропорциональна г.
В экспоненциальной форме записи уравнение синусоидальной сферической волны
3=A(r)e(a'~kr+i),	(29.9J
где 5=ф0—л/2; г — радиус-вектор, проведенный из центра волны в точку М, а волно-
вой вектор к направлен в точке М радиально от центра волны.
Реальные источники волн всегда имеют конечные размеры. Однако их можно
считать точечными, а волны, возбуждаемые ими в однородной изотропной среде,—
сферическими, если расстояние г от источника до рассматриваемых точек среды
значительно больше размера источника. Когда г очень велико, то любые малые
участки волновых поверхностей практически можно считать плоскими.
8.	Волны в линейной однородной, изотропной, непоглощающеЙ среде описываются
дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым
уравяаием и имеет вид
1 Рз
V2r—- —=0,	(29.10)
v2 St2	*
389
где j — физическая величина, которая характеризует возмущение, распространяющее-
д2 д2 д2
ся в среде со скоростью «; v «=—-ч—-ч—-=Д — оператор Лапласа.
Эх2 Эу2 дг
Покажем, что плоская волна (29.3) удовлетворяет волновому уравнению
д»
д*
1 Fs
^v2 dr2*
Путем более громоздких расчетов можно показать, что сферическая волна (29.8),
где <р (г) »1/г, также удовлетворяет волновому уравнению (29.10).
Если волна синусоидальная, то	—to2s и
V’x+F.i-O.
(29.11)
Скорость v распространения ошусондалъной волны называется фазовой скоростью.
Она равна скорости перемещения в щюстранстве точек поверхности, соответствующей
любому фиксированному значению фазы диусл идя jn.ant волны.
Например, в случае плоской синусоидальной волны (29.6) из условия
dx to
a>t—/сх Ч-©=const следует, что —=——с. Соответственно в случае сферической синусо-
dr к
dr to
идапкиой волны (29.9) из условия ои—кгч-Фо "const следует, что —=—=».
§ 29.3.	Фазовая скорость волны
1.	Найдем выражение для скорости и продольной водны в однородной газообразной
среде. Пусть газ находится в длинном горизонтальном цилиндрическом сосуде с подви-
жным поршнем площадью •£. Первоначально поршень находился в покое, а в момент
времени t пришгш в движение и за малый промежуток времени dr приобрел скорость
dvb сместившись при этом на расстояние dvidr/2 Возмущающее действие поршня за
время dr распространится в газе на расстояние vdr н охватит область среды объемом
&>dt, относительная объемная деформация которой
Sdv|dr	d«i
di—-------- ----.
2Sedt	2ш
(29.12)
Добавочное давление dp, производимое на газ движущимся поршнол, можно найти
из закона Гука (29.1), где {а₽7г)=<1к
dvi
dp=K—.
(29.13)
Под действием силы dF^Sdp возмущенный поршнем газ приобретает за время dr
импульс, равный dmdvi/2, где dm=pSvdt, р — плотность газа. По второму закону
Ньютона,
- pSvdtdei—Sdpdt=*KS — dr,
2	2»
390
спуда искомая скорость продольной волны в газе
—у[кГр	(29.14)
Заметим, что при выводе формулы (29.14) предполагалось, что плотность газа
р—const В газах это условие соблюдается, еелн избыточное давление, дданное
с распространением водны, во много раз меньше равновесного пампе имя невозмущен-
мого газа.
Формула (29.14) справедлива также для продольных волн в жидкостях.
2.	Можно показать, что скорость поперечных упругих воли в неограниченной изотроп-
ной твердой среде
—jGip,	(29.15)
где G — модуль сдвига среды, р — ее плотность
Распространение продольных волн в достаточно тонком стержне связано с его
продольным растяжением и сжатием Закон Гука для такой деформации
А/
а-Е-,	(29.16)
где e=F/S — нормальное напряжение, возникающее под действием растягивающей
силы F в стержне с площадью поперечного сечения А; Ы/1 т— относительное удлинение
стержня, равновесная длина которого ЦЕ — модуль Юнга для материала стержня.
Скорость продольных волн в тонком стержне
(29.17)
Скорость поперечных волн в струне, т. е в натянутой тонкой нити, зависит от
натяжения струны:
v-y/FftpS),	(29.18)
где F— сила натяжения струны; р н S — плотность материала струны и площадь ее
Поперечного сечения.
3.	Упругие свойства и плотность твердых тел и жидкостей зависит от их химического
состава и мало изменяются при различных давлениях и температурах Следовательно,
• первом приближении можно считать, что скорость упругих волн в каждой из этих
сред постоянна.
Иная картина наблюдается в газах Рассмотрим в качестве примера идеальный газ
Его плотность р**рМЦЙТ) Модуль объемной упругости К газа зависят От вида
термодинамического процесса его объемной деформации (см. $ 29.1)
и Кчг*Х-р, поэтому скорость упругих волн в идеальном газе зависит от их частоты Это
явление называется дасшрсией волк Возможны следующие два предельных случая.
При очень малой частоте процесс деформации газа близок к изотермичеаому ц ско-
рость водны
(2919)
а при большой частоте он близок к адиабатному и скорость волны
—v^jK^Jp-JocRTIM.	(2920)
Опыты показывают, что скорость звука, т. е слышимых звуковых волн, в газах
фактически не зависит от частоты и соответствует формуле (29 20)
391
§ 29.4.	Энергия волны
1.	Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как
кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энерги-
ей, обусловленной деформацией. Если vt — скорость колебаний частиц среды, то
объемная плотность квиетической энергии среды
^=— = 7^,	(2921)
dr
где р — плотность среды;	— кинетическая энергия всех частиц в малом объеме d V
среды, выбранном таким образом, что в его пределах скорость v, всюду одинакова.
Можно доказать, что объемная плотность потещнальвой энергии упруго дефор-
МЦЮВвВВОЙ
dFPB
W.= — = 72puV,	(29.22)
где ёИ^ — потенциальная энергия однородно деформированного малого участка сре-
ды объемом ёИ; v — фазовая скорость волны в среде; е -г относительная деформация.
Покажем справедливость формулы (29.22) на примере продольной волны в газе.
Элементарная работа, совершаемая внешними силами давления при объемной дефор-
мации, 6А’= —pdV. По закону Гука (29.1),
6А'=—рйУ-(У/К)рйр.
Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии упруго деформированной
среды:
dWB=6A'=(V/K)pdp.
Соответственно при конечной относительной деформации среды е=ДУ/У
г
Су	Ур1 1	,
1ИВ= \- pdp=--=- KfV,
J К	К 2 2
•о
где в соответствии с законом Гука (29.1) р= —Кг. Следовательно, объемная плотность
потенциальной энергии среды
dWB Кг2
Если учесть, что, согласно (29.12), K=pv\ то это выражение можно переписать
в форме (29.22).
Под объемной плотностью энергия упругих волн понимают объемную плотность
и> механической энергии среды, обусловленную распространением этих волн и равную
сумме h>i н w0:
*«**, + *„= 7iP(‘’i+*’2*2)-	(2923)
2.	Если в среде распространяется продольная плоская волна (29.3), то v( — dsfdt, где
з — смещение частиц, и
Ss vi
£----------,	(29.24)
8х v
392
таг что н'п=н'ж и
M'=/»i = p(as/ar)2.	(29.249
В каждой точке среды, охваченной волновым движением, м>х и и>в являются оди-
наковыми функциями времени. Соответственно и н> изменяется с течением времени.
Эта закономерность справедлива ди» любых бегущих волн в упругой среде независимо
ни от формы их волновых поверхностей, ни от типа деформации среды. Она вытекает
из закона сохранения энергии применительно к процессу распространения колебаний
в упругой среде. Для вовлечения в колебательное движение все более и более удален-
ных от источника волн областей среды необходимо затрачивать энергию, сообщаемую
среде источником. Следовательно, распространение упругих, волн неразрывно связано
с передачей энергии от одних участков среды к Другим. Именно поэтому объемная
плотность w энергии волн зависит ках от координат, так и от времени.
Для плоской бегущей синусоидальной волны (29.6)
w=рА 2ш* cos1 (a>t—kx+ фо) =1 /ipA1^1 [1 +cos 2 (a>t—kx+<p0).	(2925)
В случае расходящейся сферической синусоидальной волны (29.9)
н’=рЛ1ш2сов1(шГ—fcr+фо),	(2926)
где А=А (г) — амплитуда волны.
, Таким образом, объемная плотность энергии w синусоидальной волны периодичес-
ки изменяется с периодом я/ш в пределах от ^^-=0 до w^m,=pA2<o2. Среднее за
период значение м> равно
W-'lipA2^	(29.269
3.	Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в пространстве
поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности энер-
гии волны. Для синусоидальных волн эта скорость равна фазовой скорости о.
Потоком энергии йф„ сквозь малую площадку d5 называется отношение энергии
&W, передаваемой через эту площадку за малый промежуток времени, к его длитель-
ности оГ
d®„=d»7dr.	(2927)
Если v — вектор скорости переноса энергии волной, то AW равно энергии, заклю-
ченной внутри показанного на рис. 29.2 косого цилиндра с основанием площадью d5
и образующей длиной tdr
d W= w v d t dS cos a=w (v dS) dr,
(2928)
d®w=w(vdS)=(UdS),	4	'
где w — объемная плотность энергии волны; dS=nd5 — вектор площадки d5; n —
единичный вектор нормали к площадке; а — угол между v и dS.
Вектор плотности потока энергии

(29.29)
называется вектором Умова, так как впервые был введен
Н. А. Умовым (1874). Вектор направлен в сторону переноса
энергии волной, а по модулю равен отношению потока энер-
гии d®„ сквозь малую площадку dS к площади dS±=d5cosa
проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную
направлению переноса энергии*
Lr—d®„/d5±.	(29.299
393
Поток энергии через произвольную поверхность S, мысленно проведенную в среде,
охваченной волновым движением, рава потоку вектора Умова через эту поверхность’
Ф„= j UdS.	(2930)
СТ
4.	Скалярная величина /, равная модулю среднего значения вектора Умова, называет-
ся пенсвностыо вожа.
/=1<Ц>|.	(2931)
Интенсивность волны численно равна энергии, переносимой волной за цниницу
времени с^^возь еднни^^^ пп^ицядв поверхнос! и, норвдазп*ной к нал^равле^^^по распрост-
ранения волны. Интенсивность синусоидальной волны пропорциональна квадрату ее
амплитуды. Для плоской и сферической синусоидальных бегущих волн
/-|<Ц>|-.<ж>-1/арм»2Ла	(2932)
Если сферическая волна распространяется в иепотлощающей среде, то за единицу
времени через любую сферическую поверхность радиуса г, цетр которой находится
в центре волны, передается одна и та же энергия, равная энергии, расходуемой за такое
же время источником волны* / 4кг2™const Таким образом, иш внешность и амп-
литуда сферической волны убывают по мере удаления от центра волны по законам
/0=4№, ACr^atJr,	(2933)
где 4 и од — физические величины, численно равные интенсивности и амплитуде волны
на расстоянии r= I м от центра волны Такая зависимость 1(г) и А (г) связана с тем, что
по мере удаления фронта волны от иеючшша за равные промежутки времени вовлека-
ются в колебательное движение все бблыпие объемы среды
При распространении плоской волны за равные промежутки времени в колебатель-
ное движение вовлекаются равные объемы среды. Поэтому интенсивность и амплитуда
плоской волны не изменяются по мере ее распространения, если только в среде не
происходит рассеяние энергии, т е. преобразование энергии колебаний в другие виды
энергии.
6. Преобразование энергии волн в друж виды энергии, происходящее при распрост-
ранении волн в среде, называется иеглощегаем волн
В однородной среде поглощение упру i их волн обусловлено главным образом
процессами внутреннего трения и теплопроводности Амплитуда А и интенсивность
/ плоской волны, распространяющейся в поглощающей среде вдоль положительного
направления оси ОХ, изменяются по экспонощиальному закону*
A(x)^Affi~”, /(х)=/ое_2в	(2934)
Здесь Ао и /0 — амплитуда и интенсивность волны в точках х«=0, а — jnoeftadl
коэффедвеит поглощении упругих вага, зависящий от свойств среды и частоты волны
§ 29.5. Принцип суперпозиции воли
1. В линейной среде скорость волны не зависит от ее интсшявности, поэтому в такой
среде волны распространяются независимо друг от друга, так что выполняется врищм
суперпозиция (валожегая) волк
среды при одноорояммюв1 росоростроныат в мой ноеНшмия
вот равно суяжм емиущонЩ, соотвотстоунящн ккждей га
ЗИЛ ВОЛ** ПОрОЭФШь
394
Например, если в линейной среде одновременно распространяется л различных
механических волн, то результирующее смещение я, скорость v и ускорение в частиц
среды в произвольный момент времени г.
Я	Я	Я
s=5>,	 =£«/•	(29.35)
<-i	t-i	f.i
Здесь Я/, т( и а, — значения смещения, скорости и ускорения, которые имели бы
рассматриваемые частицы в тот же момент времени t, если бы в среде распрост-
ранялась одна только i-я волна.
2. Основываясь на принципе суперпозиции волн, можно заменить любую иесинусо-
вдальную волну в линейной среде эквивалентной ей системой синусоидальных волн,
т. е. представить в виде грунта волн, или волнового пакета. Совокупность значений
частот этих синусоидальных волн называется спистром частот (или просто спектром)
рассматриваемой несинусоцдальвой волны. В зависимости от характера колебаний,
возбуждаемых волной, спектр частот последней может быть дискретным или непре-
рывным.
Закономерность распространения в линейной среде произвольного возмущения
(сигнала), представляющего собой несинусоидальную волну, проста только при усло-
вии, что среда недиспергирующая, т. е. фазовая ско-
рость волн не зависит от их частоты. В этом случае
сигнал перемещается в среде, не изменяя своей
«формы», так как все синусоидальные волны, об-
разующие эту группу, имеют одинаковые фазовые
скорости, равные скорости сигнала.
В диспергирующей среде синусоидальные состав-
ляющие группы волн распространяются с разными
скоростями. Поэтому группа волн по мере распрост-
ранения «расплывается», так что «форма» сигнала
изменяется. Например, если в момент времени Т| сигнал, распространяющийся в дис-
пергирующей среде вдоль осн ОХ, имел «форму», Показанную на рис. 29.3 штриховой
линией, то в момент времени t2>tx он имеет уже иную «форму», изображенную
сплошной линией.
3. Простейшей группой волн является квазисянусоядяльвм плоская волна, получа-
ющаяся в результате наложения двух распространяющихся вдоль оси ОХ плоских волй
с одинаковыми амплитудами и близкими по значению частотами и волновыми чис-
лами:
s =-= А о яп (cut—кх)+А о sin [(w+dw)/—(k+dx)x]=
=1А о cos [(т dw—х dJt)/2] яп (cut—кх).
(29.36)
Зависимость з(х) в некоторый фиксированный момент времени t показана на рис.
29.4. Эта волна отличается от синусоидальной тем, что ее амплитуда
А=2А о |сов [(/ dw—х dk)/2]
(29.37)
S.
Рис 29.4
— медленно изменяющаяся функция коорди-
наты х и времени г.
За скорость распространения этой иесииу-
соидальной волцы принимают скорость и пе-
ремещения точки М, в которой амплитуда
А имеет какое-либо фиксированное значение
(например, А=0 иди Л=>2Л0)- Следовательно,
точка М движется по закону /dw—xdJt=
==const, откуда
dx
и = — =
dt
dm
dk
(29.38)
395
Величина и называется групповой асоростъю. Она равна скорости переноса энергии
квазисинусондальной волной. Групповая скорость u=dto/dk пригодна для описания
переноса энергии (передачи сигнала) посредством несинусоцдальных волн, имеющих
иной спектр частот, при условии, что спектр не очень широк, а дисперсия волн в среде
для этих частот мала.
Найдем связь между групповой и фазовой скоростями волны. Так как ш=ек, а к=
=2л/А и dfc= —2яйА/Л1, где А — длина волны, то
dm de de
u=-—=e+fc —=t>—Л —.
dk dk dJL
(29.39)
§ 29.6	Интерференция волн. Стоячие волны
1.	Две волны называются когеренпымн, если разность их фаз не зависит от времени.
Когерентным волнам соответствуют когерентные колебания (см. § 27.4). Источники
когерентных волн называются когеренпымн источника»».
Синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когеретны всегда. Волны,
частоты которых различны, когерентны только в течение времени когерентности
возбуждаемых ими колебаний [см. (27.32)].
Рассмотрим наложение двух синусоидальных волн, возбуждаемых в однородной
и изотропной среде точечными источниками и S2 (Р00- 29.5), циклические частоты
рисунка следует, что
гармонических колебаний которых равны coi и Oj, а на-
чальные фазы — соответственно и а2. Пусть вызыва-
емые ими колебания в произвольной точке М одинаково
направлены и удовлетворяют уравнению (29.9):
Ji = Л| ап (Ю|Г—+а1)=Л1 ап Ф,,
si=Л2 an (o>it—кггг+aj=А 2 ап Фз-
По принципу суперпозиции, результирующие колеба-
ния в точке М описываются формулой	Л япф.
Для нахождения А и Ф воспользуемся методом векторных диаграмм (рис. 27.8). Из
Л2-Л?+Л]+2Л1Л2со$(Ф2-Ф1),
(29.40)
Л1КП1Ф1+Л2вП1Ф2
tg®-=---------------.
А ] соеФ| +A2coe®2
Так как к= to/v, где я — фазовая скорость волны, то
Ф2-Ф1 = (с»2-®1)^-(«О2'’2/«2-<»1'’1/в|) + (“2-П|)-	(29.41)
2.	Из формулы (29.40) видно, что при наложении некогерентных синусоидальных волн
(ci^/Oi) амплитуда А результирующих колебаний в произвольной точке М среды
зависит от времени, т. е. результирующие колебания негармонические. Амплитуда
А изменяется в пределах от —AJ до А ।+Аг, причем циклическая частота колебаний
амплитуды А совпадает с циклической частотой изменения Фз—Ф] и равна си2|.
Если эта частота достаточно велика, то любой регистрирующий прибор не будет
успевать реагировать на изменения величины А и будет показывать лишь некоторое ее
среднее значение.
Найдем среднее значение (Л2> квадрата амплитуды за время, равное периоду т ее
изменения:
396
<Ла>-- f A2dt=- f
T J	T J
о	о
T
_	-	- 2Л|/<2 f	/
<Л2>=Л?+Л5 + —— cos^-OOdL
t J
о
t
Так как за время т разность Ф2—Ф1 изменяется на 2п, то Jcoe(®2—Wi)dr=O и
<A2>-At+A}.	°	(29.42)
Таким образом, при наложении некогерентных синусоидальных волн среднее значе-
ние квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме квадратов амплитуд
исходных волн.
3.	Иначе обстоит дело при наложении когерентных волн. Полагая в формуле (29.41)
со|=а>2=со и учитывая, что при этом в однородной и изотропной среде
получаем
ф2 - ф, = - о (П - n)lv+ (<х2 - а,) = -к (г2-г,) + (а2+а,).
Поэтому формулу (29.40) для А2 можно переписать так:
Л1 = Л?+Л5+2Л1Л2сов[ЛД-(а2-а1)].	(29.40Э
Величина Д=г2—г\ называется геометрической резвостью хода волн от их источ-
ников Sj и S] до рассматриваемой точки М.
Так ках а2—а|=const и fc=const, то амплитуда А не зависит от времени. Косинус
в правой части формулы (29.40') равен единице и амплитуда результирующего колеба-
ния максимальна (А=А1+Аг) во всех точках М, для которых аргумент косинуса равен
четному числу тг
ЛД+И| — а2 = ±2тя (т=0, 1, 2,...),	(29.43)
или, заменив к на 2я/А, получим
«2-«1
Д = ± wA+-----А.	(29.43Э
2л
Если а2—в1 = 0, то
Д=±тА.	(29.43*)
Очевидно, что амплитуда результирующего колебания минимальна (A.—[Ai—A2f) во
всех точках М, для которых
ЛД + cti — а2= ±(2т—1)я (т»1, 2,...),	(29.44)
или
А «2—«1
Д= ±(2т—1)-+--------А.	(29.443
2 2л
Если а2—<Х|=0, то условие минимума амплитуды
Д=±(2т-1)^.	(29.44*)
397
При наложении когерентных волн квадрат амплитуды и энергия результирующей
волны, вообще говори, отличны от суммы соответственно квадратов амплитуд и энер-
гий исходных волн. В самом деле, в точках М, удовлетворяющих условию (29.43),
Л2-(41+Л2)1>(Л2+Л2),
а в точках М, удовлетворяющих условию (29.44),
Л2-(Л-^а)2<М?+^
4.	Явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их
взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости
от соотношения между фазами этих волн, называется ишщфереирей вогш.
Из предыдущего ясно, что ин 1 ерферировать могут только когерентные волны, если
им соответствуют колебания, совершающиеся вдоль одного и того в№ или близких
направлений.
Соотношения (29 43) — (29.43") выражают условия жгерферащмвных мжкямумов,
а входящее в них целое неотрицательное число т называется ворядош кщрфереиаров-
ного максимума. Соотношения (29.44) — (29.44") выражают условия щгтерферащншых
минимумов, а целое положительное число т, входящее в эти условия, называется
норяжом икифцринюишмо мммума.
На прямой ab, проходящей параллельно линии источников SfSj на расстоянии L от
нее (рис 29.5), центральный максимум нулевого порядка находится при aj—aj в точке
О, равноудаленной от Si и Sj. Если расстояние между источниками l*tcL, то дня точки
М на прямой ab, отстоящей от О на расстоянии z<kL, разность хода волн
Максимумам т-ro и (т+1)-го порядков соогвелсгвуют значения
mAL («+1Щ,
~ • Z"+l“ "j »
так что расстояние между соседаппя максимумами
Az-zm+1-zm=AL/L	(29.46)
S.	Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны.
Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух
бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и име-
ют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую
поляризацию (§ 29.2)
Поперечная стоячая волна образуется, например, на Натянутой упругой нити, один
конец которой закреплен, а другой приводится в колебательное движение.
При наложении двух когерентных бегущих плоских волн вида
з|“Лип(с»/—кх), д2—Ляд (сог+кх+а),
где а — разность фаз волн в точках плоское! и х—О, образуется плоская аигутоидалымя
стоячая волна, описываемая уравнением
j—Ji+zj—2Лсов(кх+а/2)яп(сйГ+а/2)	(29.47)
Ажшитуда стоячей во» Хг в отличие от амплитуды А бегущих волн является
периодической функцией координаты х*
Х|-2Л|оя(кх+в/2)|.	(29.4в)
Точки, в которых амплитуда стоячей волны Хг=0. называются узляма етапей
волш, а точки, в которых амплитуда Хт максимальна (Хг**24)> называются яр-
иоегями стоячей во™.
398
Положение узлов и пучностей находится из условий
£х+я/2««(2т+1)я/2 (узлы), Ах+я/2—тя (пучности), (29.49)
-------*1
г-4, о
где m=0, 1, 2, .. . Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя
соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны Л бегущих волн Эту
величину называют длиной стоячей волы: Ля-=2/2- Расстояние между соседними узлом
и пучностью стоячей волны равно 2^/2.
в. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки.
В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амп-
литудами, но с одинаковыми фазами (син-
фазно), так ках аргумент синуса в уравне-
нии стоячей волны (29.47) не зависит от
координаты х. При переходе через узел
фаза колебаний изменяется скачком на я,
так как при этом cos(fct+a/2) изменяет
свой знак на противоположный.
На рнс. 29.6 показан характер движе-
ния различных точек натянутой упругой
инти длиной I при установившейся в ней
поперечной стоячей волне. Левый конец
инти О приводится в гармонические коле-
бания, а правый У закреплен неподвижно.
В •jl ОЬЛ	ПрИ АТрЯ^ГЕТаим
места закрепления ее фаза изменяется на я,
так что в месте закрепления нити образует-
ся узел стоячей волны. В точке О (х=0)
разность фаз отраженной и падающей
волн я= —(ЭД+я). Крупами на рис. 29.6
обозначены узлы стоячей волны, а момент
времени То выбран так, что

X


s
t-ta+JT/4 О
AAA7
l——
Г-Ь*
яш(о>Го+а/2)—0.
Рис. 29 в
7. В стоячей волне (29.47) скорость колебательного движения частиц среды
vt — ёз/дг=° 2Лш cos (fcc+я/2) сов(шг+а/2),	(29.50)
а относительная деформация среды
е^Зз/дх— — 2Ак мп (fcc+я/2) мп(<п/+а/2)~
=2ЛЛат(Ах+я/2)сов(шг+я/2+л/2).	(29.51)
Таким образом, в отличие от бегущей волны, для которой справедливо соотноше-
ние (29.24), в стоячей волне в опережает ®i по фазе на я/2, так что в те моменты времени,
когда е, достигает амплитудного значения, в обращается в нуль, и наоборот. Кроме
того, амплитуды и е зависят от координаты х и притом различным образом:
в пучностях стоячей волны располагаются пучности скорости частиц и узлы дефор-
мации среды, а в узлах стоячей волны — пучности деформации и узлы скорости.
В упругой стоячей волне энергия периодически преобразуется из потенциальной
дернив, локализованной в основном вблизи пучностей деформации, в кинетическую,
локализованную в основном вблизи пучностей скорости, и обратно Поэтому энергия
периодически мигрирует err узлов стоячей волны к ее пучностям и обратно. Однако
в самих уздах и пучностях плотность потока энергии тождественно равна нулю
Среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке
стоячей волны, так как две бегущиеволны, образующие стоячую, тжреяосят за период
равную энергию в прямо противоположных направлениях. Именно поэтому стоячие
волны и получили свое название.
399
В. В случае свободных колебаний струн, стержней н столбов газа в них устанавлива-
ются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т. е.
могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собствен-
ными частотами колебаний соответствующей колебательной системы. На жестко закре-
пленных концах струн или стержней располагаются узлы смещения (пучности дефор-
мации), а на свободных концах стержней — пучности смещения (узлы деформации).
При колебаниях цилиндрического столба газа в трубе у закрытого конца трубы
располагается пучность давления, а у открытого — узел давления.
Если / - длина струны, стержня или столба газа, v — фазовая скорость волны,
а Л — ее длина, то для струн или стержней, закрепленных на обоих концах, и столбов
газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине / укладывается целое
число длин стоячей волны Лст=Л/2:
/~тЛ„=тА/2 (m~l, 2, 3,...).	(29.52)
Собственные частоты колебаний таких систем
v = mv/(2i).	(29.529
Из (29.529 и (29.18) следует, что частота vb соответствующая основному тону
(m = 1) натянутой струны музыкального инструмента, равна
21 Sp
Ее можно изменить путем увеличения или уменьшения натяжения струны, что и дела-
ют прн настройке музыкального инструмента.
Для стержней, один конец которых закреплен, а другой свободен, и для труб,
закрытых с одного конца н открытых с другого,
/=(2т-1)Лет/2 = (2щ-1)Л/4	(29.53)
н собственные частоты колебаний
v=(2w-l)t/(4/).	(29.539
§ 29.7. Эффект Доплера в акустике
1. Эффектом Доплера называется изменение частоты волн, регистрируемой приемни-
ком, которое происходит вследствие движения источника этих волн и приемника.
Например, при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося
поезда той звукового сигнала последнего выше, а при удалении поезда - ниже тона
сигнала, подаваемого тем же поездом, когда он стоит на станции.
Пусть приемник П звуковых волн в газообразной (или жидкой) среде неподвижен
относительно нес, а источник И удаляется от приемника со скоростью *1 вдоль
соединяющей их прямой (рис. 29.7, д). Источник смещается в среде за время, равное
периоду Го его колебаний, на расстояние е|Г0=е1/у0, где v0 - частота колебаний
источника. Поэтому при движении источника длина волны в среде Л отлична от ее
значения Л) при неподвижном источнике:
Л=^о+®1Го= («+и|)Го=(|?+«ц)/уо.
где v фазовая скорость волны в среде. Частота волны, регистрируемая приемником,
О V0
v= =	—.	(29.54)
Л 1 +vi/v
Если вектор vt скорости источника направлен под произвольным углом if i к ради-
усу-вектору R, соединяющему неподвижный приемник с источником (рис. 29.7, б), то
400
*0
l+(«l/r)coe^l*
(29.543
2. Если источник неподвижен, а приемник при-
ближается к нему со скоростью ▼] вдоль соединя-
ющей их прямой (рис. 29.7, в), то длина волны
в среде 2=Ao=c/vq. Однако скорость распрост-
ранения волны относительно приемника равна
t>+«2, так что частота волны, регистрируемая
приемником
v=(«+®2)/^o=*oU+b3/b)-	(29.55)
В том случае, когда скорость направлена
под произвольным углом V j к радиусу-векто-
ру R, соединяющему движущийся приемник с не-
подвижным источником (рис. 29.7, г),
v=vo[l + («I/«)cos»‘2].	(29.55')
3. В самом общем случае, когда и приемник и ис-
точник звуковых воли движутся относительно сре-
ды с произвольными скоростями (рис. 29.7, д).
Рис. 29.7
1 +(»2/’)CO»^J
(29.56)
Эту формулу можно также представить в виде*
V= Vo
(29.57)
где V=—*2 — скорость источника волны относительно приемника, а ” — угол меж-
ду векторами V и R. Величина Усов , равная прооции V на направление R, называет-
ся лучевой скоростью нсточнка. Если «1 «t>, то
v»VoD —(У/«)сов^].
(29.573
Вопросы:
t. Возможно ли образование сходящейся сферической волны?
2. Что понимается под уравнением волны и под волновым уравнением?
1 От чего зависит фазовая скорость волн в упругой среде?
4. Каковы должны быть свойства среды, чтобы для механических волн в этой среде выполнял-
ся принцип суперпозиции?
S. Как связаны между собой амплитуда синусоидальной волны в упругой среде и объемная
плотность энергии этой волны?
в. Каков физический смысл групповой скорости?
7. Чем принципиально отличается бегущая волна от стоячей? Чему равен вектор Умова в узлах
и пучностях стоячей волны? Чему равна интенсивность стоячей волны?
*Для этого нужно использовать разложение функции [l+(’i/v) со* J ’в ряд Тейлора:
[1+(«1М cosl\r'-l -(п/А co»Z> |+[(щ/*) cosrj’-Rv,/») co»Z?,]’+... и учесть, что
401
Глава 30
Электромагнитные волны
§ 30.1. Свойстве электромагнитных волн
1. Электромапвпвлт волям называются возмущения электромагнитного поля
(т. с. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве.
Покажем, что утверждение о существовании электромагнитных волн является
непосредственным следствием уравнений Максвелла (26.22). Для области электромаг-
нитного поля, не содержащей свободных электрических зарядов и макроскопических
токов, эти уравнения имеют следующий вид:
ав ап
rotE= ——, rotH=—, divD—0, divB=0.	(30.1)
Если среди — однородный и изотропный диэлектрик, не обладающий сегнетоэлект-
рическими или ферромагнитными свойствами, то D—MqE и В=дд<)Н, где е и д—
постоянные скалярные величины, не зависящие ни от координат, ни от времени. В этом
случае уравнения Максвелла (30.1) можно переписать в форме
rotE= — ддо—, rotH=££o—, divE=0, divH=0,	(30.2)
Bt	Bt
или в проекциях на оси декартовых координат:
BE, BE, ВН,
-—
By	Bt	Bt
BE,	BEz	ВН,
Bi	Bx	Bt
BE,	BE,	ВН,
-—— “-m—,
Bx	By	Bt
BEz	BE,	BEz
— +—+—~0,
Bx	By	Bt
ВН, BH, BEz
By ~ Bi =“° dt ‘
BH, BH, BE,
--------eeo —,
Bt Bx Bt
8H, BHX BEz
-------— «0--,
Bx By Bl
BH, BH, BH,
—=0.
8x By 81
402
(303)
Из (30.3) следует, что
в*ех в гаяж а«/|
480 St* Bt I By Bz J
1 p’f, B*E>
Доо |_ By* Bz1
ггЕж ггЕж b*e,
. aP + By* + Bz1
Таким образом, Еж удовлетворяет волновому уравнению (29.10):
,	В*ЕЖ
aj «0.	(30.4)
Br
Аналогично можно показать, что
/7=0, V1£I-ea(M«R> /;'-0,
St1	Bl*
,	В*НЖ ,	S*H, ,	в*нг
= 0, V1H,-«0pp0 --О,	=0,
Bi*	Bl*	Bl*
t. e.
V2E-«wi^o , =0,
Bt*
,	(30.5)
,	B*H
V’H-еевддо “°-
Таким образом, переменное электромагнитное поле действительно распространяет-
ся в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых
*=вс1у/ц1.,	(30.6)
где с—1/у/еоДо- скорость электромагнитных воля в вакууме. Оказалось, что с=
*=3 10я м/с, т. е. совпадает со скоростью света в вакууме. Поэтому Максвелл еще
задолго до экспериментального подтверждения существования электромагнитных
волн* высказал гипотезу о том, что свет это электромагнитные волны.
2. Электромагнитные волны поперечные волны, векторы Е и Н поля волны лежат
в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т. е. вектору ее
скорости ▼ в рассматриваемой точке поля. В этом проще всего убедиться на примере
плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ
(29-3):
Е=Г(Т—х/я), Н=Ф(Т-х/е).	(30.7)
Векторы Е и Н поля волны (30.7) и ня проекции на оси координат не зависят от у н г.
BE, ВЕЖ	BE.	BE,	BE,	BE.	ВНЖ	ВНЖ	BH, BH,	BH.	ВНЖ
— - — - '= '-	=	=(),	—-	-0.
By Bz	By	Bz	By	Bz	By	Bt	By Bz	By	Bz
Из уравнений Максвелта (30.3) следует, что для поля плоской волны (30.7)
ВЕЖ ВЕЖ	ВНЖ ВНЖ
=—=0, —™—“О,
Вх	Bt	Вх Bt
•Впервые экспериментально доказал существование электромагнитны* волн Г. Герц в
1888 г., спустя 9 лет после смерти Максвелла.
40Э
т. е. Ех и Нх не зависят ни от координат, ни от времени. Тогда дня переменного поля
плоской волны Ех = Нх = 0 и векторы Е и Н перпендикулярны направлению распрост-
ранения волны:
E = E)j+£zk, Н = Я^ + Я2к,
(30.8)
где j и к орты осей координат.
3. Векторы Е и Н поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны, так что
вектор скорости волны v и векторы Е и Н образуют правую тройку (рис. 30.1).
Докажем это опять-таки на примере плоской волны (30.8), для которой
Ey=fi(t-x/v), Hy=Qi(t-xh>),
E2=f2(t-x/v), H2=<b2(t—x/v).
Обозначим t—x/v—^, тогда
дЕ? ЛЕу
аГ df ’
(30.9)
ЗЕу
ах
1 dEy .---dEy
" —=-<“оДРо— •
v d£	d£
Аналогичные соотношения получаются для Е2, Ну и Н2, поэтому из уравнений Максвел-
ла (30.3) получаем
dH2
dl'
f- dE2
“о - =-<ДДо
dHy
d?
/ ^Еу , -
Интегрируя эти два уравнения и отбрасывая постоянные интегрирования, не зави-
сящие от £ = r — x/v и потому не имеющие никакого отношения к переменному электро-
магнитному полю плоской волны, получаем
Ну~ -л/££о/(ДА<о)
--------	(30.10)
Я1 = <££0/(дро) Еу.
Скалярное произведение векторов Е и Н равно нулю:
ЕН = ЕуНу+Е2Н2=^/^/(дРо) (—ЕуЕг+ЕУЕ2)=0.
Таким образом, векторы Е и Н взаимно перпендикулярны, а из (30.10) ввдно, что
вектор к, направленный по оси ОХ, и векторы Е и Н действительно образуют правую
тройку. Иными словами, вектор v совпадает по направлению с векторным произведе-
нием [ЕН]:
т=» [ЕН]/(£Я).	<30.11)
Найдем связь между модулями векторов Е и Н:
Я= ^/Я? + Я? =	^ + £? = 7“о/(ддо) Е.	(30.12)
Взаимно перпендикулярные ректоры Е и Н напряженностей поля электромагнитной
волны колеблются в одной фазе — они одновременно обращаются в нуль и одновре-
404
мрино достигают максимальных значений. Модули их связаны соотношешем (30.12),
которое справедливо для любой бегущей электромагнитной волны независимо от
формы ее волновых поверхностей.
4. Синусоидальная электромагнитная волна называется монохромктвчеогой волной.
В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции век-
торов Е и Н на оси координат инерциальной системы отсчета совершают гармоничес-
кие колебания одинаковой частоты v, называемой частотой bow.
Так, например, в поле плоской монохроматической йолш, распространяющейся
вдоль положительного направления оси ОХ,
кх), Н,=*	Elt
кх+<р), Hi’-y/eetJlMb) Е^,
(30.13)
где cu=2nv— циклическая (круговая) частота волны; k^w/v— волновое число,
At и Л2 — амплитуды Е, и E,; <р — разность фаз колебаний Е, и Ег
При произвольном значении ф плоская монохроматическая волна эллюпическя
поляризована, т. е. в каждой точке поля волны векторы Е и Н, оставаясь взаимно
перпендикулярными, изменяются с течением времени так, что их концы ошкываЬт
эллипсы, лежащие в плоскости, первецднкулярной направлению распространения вол-
ны [см. (27.41)]:
Е} Е} lEjEt
Л? А*~ АгЛг
СОВф = ЯП3 ф,
(30.14)
—г+----1------С08ф»>---ЯПф.
А\ А} АхАг /Фо
В частности, если Ai —Аг и ф= ±(2т+ 1)я/2 (m«=0, 1, 2, ...), то эллипсы превраща-
ются в окружности.
е;+е*-а*,
Hj+Hj-^/^).
(30.14Э
Такая волна называется Юфтсулярто поляркюв^мой (вп пари нв—й но кругу).
Если ф= ±rm (m»0, 1, 2,...), то эллипсы вырождаются в прямые*.
Е,1 Xi ±EJA2-Q,
Hr/A^HJAi-O.
(30.15)
Такая волна называется лшейно тюлярт-
эовкпой (шюскополяризоваиой). На рте.
302 показаны векторы Е и Н поля плоской
линейно поляризованной монохроматичес-
кой волны в различных точках луча (оси ОХ)
в один и тот же момент времени. Оси OY
и OZ проведены в направлениях колебаний
векторов Е нН, так что Е,= Я,™0. Плос-
кость, проходящая через электрический век-
тор Е и луч, называется плоскостью волярв-
зартв лякйо ноляржюиашоЙ воявк*.
Рас. 302
•До недавнего временя эту плоскость называли пвмчтгтти выаварт1 волны, а под
плоскостью полхрюацп понимала плоскость, проходжщую через вектор Н и луч.
405
5. Произвольную плоскую монохроматическую волну можно представить в виде
совокупности двух одновременно распространяющихся в том же направлении плоских
монохроматических волн той яге частоты, которые линейно поляризованы во взаимно
перпендикулярных плоскостях. Например, монохроматическую плоскую волну, рас-
пространяющуюся вдоль оси ОХ (30.13), можно рассматривать как результат суперпо-
зиции у-волны (Е]—Е^) и z-волны (Ej—E,).
§ 30.2.	Энергия электромагнитных волн
1.	Объемная плотность энергии электромагнитного поля и> равна сумме объемных
плотностей энергии электрического (wj и магнитного (wj полей.
Для поля в линейной изотропной среде, не обладающей сегнетоэлектрическими
и ферромагнитными свойствами, w, можно найти по формуле (17.9), a wn — по
формуле (25.32), поэтому
(30.16)
где £ и я — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Из
соотношения (30.12) между модулями векторов Е н Н поля электромагнитной волны
следует, что объемная плотность эиертяв элаттромя! пятой волны
ш—ево£а=дЯ)Яа“х/“<!/^£#=£#/®>	(30.17)
где « — скорость электромагнитной волны в среде (30.6).
2.	В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распрост-
раняющейся вдоль положительного направления оси ОХ, напряженность поля
Е^А ян (cuf—Jtx). Соответственно объемная плотность энергии этой волны
w=eeoXaeina(cDt—кх).	(30.18)
Значение w в каждой точке поля периодически колеблется с частотой ш/я в пределах
от 0 до w__—илА2. Среднее за период значение w пропорционально квадрату амп-
литуды напряженности тюля:
(w)=— Г wdf=- ez&42.	(30.183
я J 2
о
Если плоская монохроматическая волна имеет произвольную (эллиптическую)
поляризацию, то E2=Ej+E2 и в соответствии с (30.13)
w-£8o[i4a Bin2 (mt—кх)+A, am2 (mt—кх+ <?)],
3.	Вектор П плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором
Умова — Пойигмгв (воппром Пойиви).
Скорость переноса энергии бегущей монохроматической волной равна фазовой
скорости этой волны. Согласно формулам (30.17) и (30.11), вектор Умова — Пойнтин-
га равен
П~вт~[ЕН].	(3020)
В случае плоской бегущей монохроматической волны, которая эллиптически поля-
ризована, объемная плен нос 1ь анергии и> выражается формулой (30.19) и модуль
вектора П равен
n=-^uo/(fifi^ [Лавш2(шг—Jtx+Лjein2(cut—fcx+n>)].	(3021)
406
ECJ^Kj В	ВОЛНЖ	ПОЛН^НВОВВИВу TO
n^Ja^Kmt^A2 m2 (of—kx).
(30219
4.	Ilmtuc—woCTb монохроматической бегущей элшцюмж витой волва
/=|<П>|=<и->..
(3022)
Согласно (30.189, интенсивность плоской линейно поляризованной монохромати-
ческой бегущей волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды А колебаний
век юра Е поля волны
(30229
Если плоская монохроматическая волна эллиптически поляризовала, то ее интен-
сивность равна сумме интенсивностей у- и z-волн, образующих рассматриваемую
волну (см. § 30.1, п. 5):
(Л2+Л*).
(3022е)
** Под яигенсявиостыо свеп, т е. рассмтрвваемых в оптике электромагнитных волн, часто
понимают просто квадрат амплитуды колебаний наириеиносп! Е полк световой ноты
Интенсивность I сферической линейно поляризованной монохроматической волям
связана с амплитудой А колебаний век юра Е также формулой (30229 Однако в отсут-
ствие поглощения / и А убывают с увеличением расстояния г от центра волны
в соответствии с формулами (29 33)
5.	Максвелл теоретически показал (1823), что электромагнитные волны должны про-
изводить давление на встречающиеся на их пути тела. По его расчетам, давление
р плоской волны пропорционально среднему значению (w) объемной плотности энер-
гии электромагнитного Доля волны
p=<w> (1 +Л)соя1/,
(3023)
где R — коэффициент отряжения, т. е. отношение ин гене ив-
ности волны, отражаемой телом, к интенсивности падающей
волны, / угол алеящу иаг^равле^^нева раод^р^к* i ранения втадй—
ющей волны и внутренней нормалью к поверхности тела
(угол падения).
Существование этого давления проще всего пояснить для
случая нормального падения (МО) плоскополярнэоваиной во-
лны на плоскую поверхность металла (рис 30.3). Под дейст-
вием электрического поля волны электроны в металле переме-
щаются в сторону, противоположную вектору Е (значительно
более массивные положительные ионы практически не ре-
агируют на поле волны, изменяющееся с большой частотой).
Со стороны магнитного поля на каждый электрон, движущий-
ся со скоростью дейшвуе! сила FM=—е[т,Н]. Эта сила
направлена внутрь металла перпендикулярно его поверхно-
сти Таким образом, электромагнитная волна действительно
должна производить давление иа поверхность металла.
Рис. ЗОЭ
§ 30.3.	Излучение электрического диполя
1.	Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в окружающем
пространстве называется излучением этих волн, а сама система называется излучающей
системой. Поле электромагнитных волн называется полем излучит.
Согласно представлениям классической электродинамики электромагнитные волны
возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с ускорением (в частности,
электрической цепью, ток в которой изменяется). В веществе возможно также излуче-
ние Вавилова — Черенкова, которое мы рассмотрим позже (см. § 33.6).
Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент ре
которого изменяется с течением времени. Такой «колеблющийся» диполь называется
осциллятором, или элементарным вибратором. Осцилляторами широко пользуются
в физике для моделирования и расчета полей излучения реальных систем. Если
излучающая система электронейтральна, а ее размеры малы по сравнению с длиной
Л излучаемых волн, то в волновой зоне системы, т. е. в точках, отстоящих от системы на
расстояниях г»)., поле излучения близко к полю излучения осциллятора, имеющего
такой же электрический момент, как и вся излучающая система.
2.	Рассмотрим некоторые закономерности излучения линейного гармонически! о осцил-
лятора — электрического диполя, электрический момент ре которого изменяется во
времени по гармоническому закону:
pe=Pt)Sinco/,	(30.24)
где Ро — амплитудное значение р^.
Электрический момент диполя ре=gl, где 1 — вектор, соединяющий отрицательный
и положительный заряды диполя (плечо диполя), a q — абсолютное значение этих
зарядов. Изменение р, во времени может быть обусловлено тем, что либо q, либо
1 является функцией времени.
Мгновенная мощность излучения диполя, как показывает теория, равна

Ро d2p,2
бяс d/2
Для линейного гармонического осциллятора
d2p,/d/2 = — ш2р,= —a/posmctH,
N = яп2 со//(блс).
(30.25)
(30.26)
Средняя мощность излучения диполя за промежуток времени, равный периоду
Тколебаний,

A’dz=
№»*Ро
12яе
(30.27)
о
Диполь излучает не одинаково
в различных направлениях. Интенсив-
ность излучения диполя в волновой
зоне
7~яп2^/г2,
где — угол между осью диполя и на-
правлением излучения. Зависимость
при фиксированном г (рис. 30.4)
называют полярной диаграммой напра-
вленности излучепя дщюля. Из этой
408
диаграммы видно, что диполь всего сильнее излучает в направлениях V" =я/2, т. е.
в плоскости, проходящей через середину диполя перпендикулярно его оси. Вдоль своей
оси (р = 0; я) диполь не излучает совсем.
3.	Формула (39.25) справедлива такие для излучения произвольной системы точечных
электрических зарядов q2, .... qm движущихся с малыми скоростями (ц«Кс). Если
положение i-ro заряда определяется радиусом-вектором г(, то электрический (диполь-
ный) момент системы зарядов
Р«= L	,7= L 9А»
<-i	™	<-1
где ;=d2r</d/1 — ускорение /-го заряда.
В частности, для одного заряда q мощность излучения пропорциональна произведе-
нию квадрата модуля его ускорения а на q2:
(30.28)
4.	Рассмотренные выше результаты были использованы в приближенной классической
теории излучения атомов, согласно которой это излучение обусловлено колебаниями
электронов около их положений равновесия в атомах. Если электрон колеблется
с циклической частотой си и амплитудой Iq, то, по формуле (30.27), средняя мощность
излучения атома
<ЛС>=ДоШ*г/2/(12яс),	(30.27*)
где е — абсолютное значение заряда электрона.
В действительности свободные колебания электрона являются не гармоническими,
а затухающими, так как энергия колебаний расходуется на излучение. За время dr
энергия электрона уменьшается на
-d^=</V>dr=potu*ea/o^/(12TC).	(30.29)
Механическая энергия электрона, масса которого т,, W',= 1/aTn<w2/J, причем амп-
литуда затухающих колебаний по формуле (28.11) равна
4-/Me_/U=4oe’rf/r.
где — амплитуда в начальный момент времени /=0; fl — коэффициент затухания;
d=flT=2afl/tD — логарифмический декремент затухания. Таким образом,
W=1l1mtio2ll0c 2?‘,
dW--flmrfll'fT™ dr= -2flWdt= -(tD&/n)Wdi.
Подставляя это выражение для сПРв (30.29), находим коэффициент и логарифмический
декремент затухания:
до	До е2а2
"=!2яс 2W -12лс т, '
(30.30)
Дое’ш
о=------.
6с те
409
Промежуток пргмгни т, эа который амплитуда колебаний электрона уменьшается
в с раз, равен
т— 1/^— \2xanJ(ji^iiaP}
За это время электрон оптрпмет л полных колебаний, причем
л—1/й—ecmJip^oe2)
Для электромагнитного излучения с длиной волны в вакууме 5 10-7 м, соотвегст
вуинцей зеленому свету (ш—3,77 101 s с~ ’),
12 3,14 1 10* 9,1 10 ”
г------------------------------=2,23 10“ 8 с,
4 3,14 МГТ 3,77’ 10м 1,6» ]0’м
• 3 10» 9.1 IO’”
л—---------------------------——1,35 107
4 3,14 МГТ 3,77 101’ 1Д» 10-”
В классической теории иэяучения время х иногда иа-идают срщ
мучающего атама, а также временем вное^ванин.
временем wniM
§ МЛ. Опыты Лвбвдввв Шкжм элактроыагнитных волн
1.	Мы уже говорили о гипотезе Максвелла относительно электромагнитной природы
света. Важную роль в признании справедливости этой гипотезы сыграли опыты
П. Н. Лебедева Лебедев впервые засперимяггально обнаружил и измерил давление
света на твердые теки (1900) и газы (1907 — 1910), показав, что оно согласуется
с формулой Q0 J3) теории Максвелла для электромагнитных веши.
Прибор Лебедева гфедставшл собой весьма чувствительные крутильные весы,
подвижная система которых состояла да легкого каркаса с укрепленными на нем
тонкими кружками («крылышками»), расположенными гнзпмтрично относительно оси
подвеса. Одна из конструкций подвижной системы показана на рис 30 5 Некоторые
крылышки б*-1"” зачернены, а поверхность друГИ1 была зеркальной. Вся эта система
подвяливалась на тонкой упругой инти внутри закрытого стеклянного баллона, воздух
из которого был откачан, Крми™™»	светом от вольтовой дуги, на правая
еыым на них с помог пью специальной системы линз и зеркал.
Рис. 305
Световое давление на крылышки определялось по углу закручива-
ния нити подвеса, регистрировавшемуся с помощью зеркального
отсчета.
д_ Димине сзстя столь ШЛО) что ди его надежного юысрсши
необходимо было исключить влияние на крыпы^пки всех друга*
факторов Дднянис конвекционных токов ^^и^у*** было ^р**!™*»—^**
Лебедевым путем создания в баллоне достаточно глубокого ваку-
ума. Однако и в этом случае оставался «устраненным ралюмст*
pracndl эффект. Причина сто состоит в том, что зачерненное
крылшнкО нагревается в результате поглощеяия падающего на
и зависит от толщины и материала крылышек. Молекулы раэ-
и отражая^ от них, г^дя^ут да»™™ на крылышко При ударе
о более нагретую светом переднюю поверхность крылышка моле-
кулы уведм*наают свою энергию и отскакивают с большими ско
410
ростами, чем молекулы, отражающиеся от задней поверхности. Поэтому молекулы
воздуха создают результирующее давление на зачерненную поверхность крылышка,
складывающееся с давлением света. Радиометрический эффект может привести к тому,
что в опыте давление на зачерненное крылышко окажется больше давления на зеркаль-
ное крылышко тех же размеров. Лебедев исключил влияние рядипметртмогогл эффек-
та, использовав в своих опытах очень тонкие крылышки различной толщины ст 0,01 до
0,1 мм. Давление света на зеркальное крылышко (с коэффициентом отражения R= 1)
оказалось вдвое большим, чем давление на зачерненное крылышко (Я=0), что соответ-
ствует теоретической формуле Максвелла (30.23).
Опыты Лебедева завоевали ему мировую известность в вошли в историю физики
как классический пример тончайшего физического эксперимента.
3.	В зависимости от частоты v (или длины волны в вакууме A»c/v), а также способа
излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн радиово-
лны, оптическое излучение, рентгеновское излучение и гамма-излучение
Радиоволнами называются электромагнитные волны, длина X которых в вакууме
больше 5 10"’m(v<6 1012 Гц).
В связи с особенностями распространения и генерации весь диапазон радиоволн
принято делить на 9 поддиапазонов (табл. 30.1).
Таблица 30 1
Нейва впм> ООД ЩШШЭОв* редком лв	ДАВИД ВОЛНЫ, М	Частота, Гц
Сверхдлинные	Более 10*	Менее 3 10*
Дливший	1р*—10»	3 10*—3 10’
Средние	10» -102	3 10’ —3 10е
Короткие	101—10	3 10’—3 10т
Метровые	10—1	3 10т—3 10’
Дециметровые	1—0,1	3 10е—3 10*
Сантиметровые	0,1 —0,01	3 10” 3 10’°
Миллиметровые	10-2—10-*	3 Ю1®—3 10"
Субмилдимстровые	1Р’1—3 10-’	3 10"—6 10й
4.	Онпнеоош излучением или светом называются электромагнитные волны (электро-
магнитное излучение), длины которых в вакууме лежат в диапазоне от 10 нм до 1 мм
(границы условны).
К оптическому излучению относят инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое
излучение.
Инфракрасшм излучении (ИК) называется электромагнитное излучение, испуска-
емое нагретыми телами, длины волн которого в вакууме лежат в пределах от 1 мм до
770 нм (1 нм= 10“* м)
Видимым излучеввем, или иидемым светом, называется электромагнитное излучение
с длинами волн в вакууме от 770 до 380 нм, которое способно непосредственно
вызывать зрительное ощущение в человеческом глазе.
Ультрафиолетовым жалучеивем (УФ) называется электромагнитное излучение с дли-
нами волн в вакууме от 380 до 10 нм.
5.	Реятгеяовсмим взлучемем, или рентгеновскими лучами, называется электромагнит-
ное излучение, которое возникает при взаимодействии заряженных частиц и фотонов
с атомами вещества и характеризуется длинами волн в вакууме, лежащими в широком
диапазоне с условными тряпицами от 10 — 100 нм до 0,01 —> 1 пм.
Гамма-взлучеввем, или гамма-лучами, называется электромагнитное излучение
с длинами волн в вакууме менее 0,1 нм, которое испускается возбужденными атом-
ными ядрами при радиоактивных превращениях в ядерных реакциях, а также возникает
при распаде частиц, аннигиляции пар «частица — античастица» и других процессах.
/
411
§ 30.5.	Отражение и преломление электромагнитных волн
на граница раздала двух диэлектрических сред
1.	Показателем флвмлоню (абсолютным показателем преломления) среды называет-
ся величина п, равная отношению скорости с электромагнитных волн в вакууме к их
фазовой скорости v в среде:
(30.31)
где е и д — относктелыше диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Для
среды, не обладающей ферромагнитными свойствами, д»1 и практически можно
считать, что
в-<4.	(30.319
Относит» итм вешателем иреаамлмм двух сред (второй среды ио отношению
к первой) называется величина e»2j, равная отношению показателей преломления этих
сред

(30.32)
Для неферромагнитных сред___
"л “ л/вг/вь	(30 329
2.	Электромагнитная волна, падая на границу раз-
дела двух сред, частично отражается от поверхности
раздела, а частично преломляется, переходя во вторую
среду. На рис. 30 6 линия АВ — плоская граница раз-
дела сред. Лучи I, Г и 2 характеризуют направления
распространения падающей, отраженной и преломлен-
ной плоских волн. Они называются соответственно
яадаюииш лучом, отраииммш лучом и пре впм денным
лучом, а углы между ними и перпендикуляром ab к поверхности раздела сред, прове-
денным в точке падения О, называются. < — угол нпденнп, f — угол отряигмв иг —
угол прт ломвгннн
Плоскостью вадевя нвэываггея плоскость, проходящая через падающий луч и пер-
пендикуляр к поверхности раздела сред в точке падения.
3.	Закономерности отражения и преломления электромагнитных волн на поверхности
раздела двух диэлектрических сред можно получить, исходя из граничных условий для
электромагнитного поля (26.24), где с-*0 и При этом нужно иметь в виду, что
в первой среде на поле падающей волны (Е°, Н^) накладывается поле отраженной
волны (Е0*1*, Н°п‘), а во второй среде имеется поле только преломленной (проходящей
Рис. 90.8
Рва 307
412
в эту среду) волны (Е41, Н4*). Следовательно, граничные условия имеют следующий вид
(предполагается, что Дг—Д1-=1):
£° + £«Р=£Ч>>
Н°+Н^=Н^,
e1(£j+Erp)=ejb?’. Н^+Н^=Н^.
(30.33)
Здесь Е„ Нх я Е„, Н„ — проекции векторов Е и Н соответственно на касательную
плоскость и нормаль к границе раздела сред. Из этих соотношений вытекает, что при
падении на гладкую плоскую поверхность раздела сред плоской монохроматической
волны выполняются (независимл от характера поляризации этой волны) следующие
законы отражения'W преломления электромагнитных волн:
в) отраженная и преломленная волны также является моно-
хроматическими волнами той же частоты, что и падающая;
б) закон отражения — отраженный луч лежит в плоскости
падения, причем угол отражения равен углу падения (:'=/);
в) закон проломления (закон Сиеллиуса) — преломленный
луч лежит в плоскости падения, в угол преломления связан
с углом падения соотношением:
aai/sinr^nj/nj =п2].
(30.34)
4. С помощью граничных условий (30.33) можно также найти соотношения между
фазами, амплитудами в интенсивностями падающей, отраженной и преломпдттплй
монохроматических волн. Для этого достаточно знать укачанные соотношения для
линейно поляризованных волн двух типов (см. § 30.1, п. 5): p-волны, вектор Е=Е,
которой лежит в плоскости падения, а вектор Н=НР перпендикулярен ей (рис. 30.7),
и 5-волны, вектор Е=ЕХ которой перпендикулярен плоскости падения, а вектор Н=Н,
лежит в ней (рис. 30.8).
Связь между амплитудами колебаний вектора Е в падающей (Л°), отраженной
(4°”) и преломленной (Л4*) волнах в случае р- и j-волн выражается форздоимв
Френеля*:
' tg(:+r)
„ 2cosismr
= -----------------,
sin (i 4-r) cos (i—r)
o sin(:—r)	(30.35)
A^= -A° —--------
sin(:+r)
_ 2cosisinr
A?=A°,-----------.
sin (i'+r)
* Аналогичные формулы для амплитуд и фаз отраженных и преломленных световых волн
первые получил французский физик О. Ж Френель (1823) на основе представлений о свете как об
упругих поперечных колебаниях эфира.
413
В частности, щж норма пьипм падении воин на поверхность рачуупа сред (/»г=«0)
*21+1	* «11 + 1
(3036)
А^--А* ^1, л*-л; ——.
«11+1	Н11 + 1
В формулах Френеля Л® н Л" — веяичины положительные, а Л* и Л* при любых
возможных значениях угла паууяия и угла преломления также положительны, что
свидетельствует о совпадении фаз преломленной и падающей воли. Величины
и Л Ту могут быть хак отршмтюышми, так и положительными В первом случае
(рнс. 30.7 и ЗОЛ) фаза колебаний вектора К изменяется ври отражении на к (фаза
пиебаний вектора Н при этом сохраняется). Во втором случае отражение происходит
без изменении фазы колебаний вектора Е (соответственно фаза колебаний вектора
Н изменяется на я).
В. Значения сдвига фаз колебаний вектора Е при отражении электромагнитных волн р~
м я-пша в зависимости от угла падших i и относительного показателя преломления
сред я» приведены в табл. 30Л.
Угол падения при котором отраженный и преломленный лучи взаимно перпен-
дикулярны, называется углам Брюстера. Если	то <+г— я/2 и из закона преломле-
ния (30.34) следует, что
<в4₽”Ла-
(3037)
Таблица 303
Тнм воявы	(/+г)<я/2 (|<4р)		(1+г)>яД (l>/sp)	
	Цц>1	«11 <1 (Кг)	Л11>1 (/>»)	«и <1 (Кг)
> вп W	я	0	0	к
я-впяНа	я	0	я	0
Из формул Френеля видно, что гфи XJ”—0, т. е. рвлтгна не отражается от
поверхности раздела дрдц, а полностью проходит из первой среды во вторую.
•. Квэфф^шжтчм «граааиан Я электромагнитной волны от повертности раздела двух
фед называется отношение интенсивностей отраженной и падающей волн:
Л-/^/Г-(Л”’/Лв)1.	(3038)
Коэффициенты отражения р- и я-волн находятся из формул Френеля (3035)*
/^-tg’a-wa+r).
><,-ыл2(/-г)/кш2(|+г).	(3039)
В частности, при нормальном падении воли на поверхность раздела сред (i—r—0)
^-^-[(«a-D/^t+l»2.	(30.399
Если падающая водна поляризована произвольным образом, то коэффициент
отражения
414
R^+R^
(30.39я)
где 1% и /J* — интенсивности p- и «доставляющих падающей волны, интенсивность
которой 7°=7^+7?.
7. Козффици11по1« пропускная Т называется отношение интенсивностей проходящей
(преломленной) и падающей волн.
Из (30223 видно, что
(30.40)
Коэффициент пропускания для р- и «-волн также можно найти нэ формул Френеля
(30.35) и (30223:
Т,** 4 cos2 fan fain r/[an2 (f+r)cos2 (/—г)],
(30.403
7)=4 сое2 isin isin r/sin2 (f+r).
В частности, при нормальном падении волн на поверхность ралдепа сред
Т,-Т1-4л21/(л21+1)2.	(30.40*)
8. Если Л21~('<2/л1)<1> то угол преломления больше угла падения: sinгз-яш^лл иг>/.
Угол падения, при котором угол преплмпения равен х/2, называется предедыиам углом
«щ, (или критичесжва углом). Угол 1^,—arcsm л21. Если	то интенсивности отражен-
ной и падающей волн одинаковы, т. е. волна полностью отражается от поверхности
раздела сред (Я“1). Это явление называется полним виутре^ма отраигпип!
§ 30.6.	Эффект Доплера
1.	При движении источника и приемника электромагнитных волн относительно друг
друга наблюдается эффект Доншера, т. е. изменение частоты водны, регистрируемой
приемником. В отличие от эффекта доплера в акустике (см. § 29,7) закономерности
этого явления для электромагнитных волн можно установить только на основе специ-
альной теории относительности. Пусть приемник П неподвижен относительно инерци-
альной системы отсчета К, а источник И движется относительно К вдоль положитель-
ного направления оси ОХ со скоростью V (рис. 30.9). Источник И неподвижен в системе
отсчета К' и находится в ее начале координат. Оси координат систем 7Г и К попарно
параллельны (ось О'Х' совпадает с ОХ, а оси OY и O'Y проведены так, что приемник
находится в плоскости XOY). На рис. 30.9 показано положение источника И в момент
времени t — t'—0, когда источник проходит через начало координат оютемы отсчета К.
Согласно принципу относительности Эйнштейна (см. § 72), уравнения сферической
монохроматической волны (29.93, посылаемой источником
в этот момент времени в направлении приемника П, в систе-
мах отсчета К и К имеют тождественный вид*
(30.41)
(ЗМП
Здесь и to — циклические частоты волны в системах
отсчета источника и приемника; k^tojc и k'^to'jd— вол-
новые числа (предполагается, что волна распространяется
415
в вакууме); V и V' — углы между направлением наблюдения и скоростью V (осью ОХ),
измеренные в тех же оюгсмах отсчета.
2.	Фаза волны характеризует некоторое событие, например прохождение через нуле-
вое значение напряженностей Е в Н электромагнитного пола волны в некоторой точке
М пространства в некоторый момент времени. Если рассмотреть ту же волну в другой
инерция Ю.НОЙ системе отсчета, то координаты точки М и время, соответствующее
событию, будут иметь другие значения [в соответствии с преобразованиями Лоренца
(7.5)], но само событие измениться при этом не может. Иными словами, фаза волны
должна быть инвариантна по отношению к выбору инерцияпкипй системы отсчета.
Это легко понять, если представить себе, что электрическое поле измеряют с помощью
какого-либо безынерционного прибора. Такие два прибора, совмещенные в некоторый
момент времени в одной и тон же точке пространства, но имеющие относительную
скорость движения, оба должны показать одно и то же (например, нулевое) значение
напряженности поля. В противном случае та система отсчета, в которой Е—0, будет
выделенной по отношению к остальным.
Таким образом, выражешк для фазы волны (30.41') должно получаться из выраже-
ния фазы волны (30.41) путем замены х, у и / на У, У и /' в соответствии с преобразова-
ниями Лоренца (7.5):
.	„	t'+VXjc* X+Vt'
cu'r'+fc'x'coe# '+й'У или	 + fc •—= cost/ +ку sinI/ +й
Vl-^V '/1-И/с*
Приравнивая коэффициенты при t', X и У в левой и правой частях этого тождества,
получаем:
,	<° Л v „Х
cu =—	-  I 1 -I— cost/ 1,
- v1!^ \ C /
fc'cosZ?	——-=. I cos & +- ),
71 - v1!? \ e/
fc'sm^'«fcsinl\ S'=6
Таким образом, соотношения, описывающий эффект Доплера для электромагнит-
ных вол в вакууме, имеют вид
шо71 -
1+(К/е) coitA
__________	(30 42)
4)71
1+(И/с)с<и1^
Из рис. 30.9 видно, что I? —угол между вектором В, соединяющим приемник
с источником волны, и вектором V скорости источника, причем этот угол измеряется
в системе отсчета К, связанной с приемником
При небольших скоростях движения источника волн относительно приемника
и [1 + (Г/с)со8Р]-‘м1-(Г/с)со8^,
так что релятивистская формула эффекта Доплера (30.42) совпадает с классической
формулой (29.57Э:
-(И/с)сов^ ].	(30.42*)
416
Если источник движется относительно приемника вдоль соединяющей их прямой
(1^=0, я), то наблюдается продольный эффект Доплера. В случае сближения источника
и приемника (2^=п)
/1 + И/с
V = Vfl /---->Vn,
а в случае их взаимного удаления (2^=0)
ll-VIc
v = vo /-----<vo-
Vl + r/c
(30.43)
(30.43')
3.	Из релятивистской теории эффекта Доплера следует существование иоиеречвого
эффекта Доплера, наблюдающегося при V = я/2 и V =Зя/2, т. е. в тех случаях, когда
источник движется перпендикулярно линии наблюдения:
v=v0 y/\ — V2/c2 <v0.
(30.44)
Поперечный эффект Доплера необъясним в классической нерелятивистской физике.
Он представляет чисто релятивистский эффект, так ках связан с замедлением хода
времени в движущейся системе отсчета. Периоды Т'=То и Тколебаний электромагнит-
ного поля соответственно в Системе отсчета К’, где источник покоится, и в системе
отсчета К связаны соотношением (7.13): T=7’q/x/T—И^с2. При этом частоты волн
v= 1/Ти v0= 1/7о связаны соотношением (30.44).
Поперечный эффект Доплера, в отличие от продольного,— квадратичный относи-
тельно V/c. Обычно И«с и, согласно (30.44),
v	/	ГЛ1'1
= | 1----)
*0	\	с1 /
2 г
Следовательно, поперечный эффект Доплера значительно слабее продольного,
зависящего от V/c в первой степени. Трудность экспериментального обнаружения
поперечного эффекта Доплера связана с тем, что даже при небольших отличиях 2/ от
значений + п/2 этот эффект может полностью маскироваться за счет влияния второго
слагаемого в энаменателе общей формулы (30.42) эффекта Доплера.
Впервые экспериментальная проверка существования поперечного эффекта Доплера и прави-
льности релятивистской формулы (30.42) была осуществлена американскими физиками Г. Айвсом
и Д. Стилуэллом (1938	1941). Они исследовали с помощью спектрографа длины волн 2 излуче-
ния п>чка атомов водорода, двигавшихся с одинаковыми скоростями V порядка 2 10* м/с.
Измерения производились одновременно для двух взаимно противоположных направлений на-
блюдения* вдоль скорости пучка (V |=0) и навстречу ей (V 2 =л).
Из формулы (30 42) следует, что теоретические значения 2j и 22 должны быть связаны
с длиной волны света, излучаемого неподвижными атомами, следующими соотношениями
(0=Г/с):
с с 1+0	1+0
21- =	=2о	-
*1 VO^/1-0’	,/1-0
1-0
22=2q ,
так что среднее значение
2^ = (2i + 23)/2=Цу/} - 01« 2Ю (1 + 0я/2).
417
Легко видеть, что отличие 2^ от Jo, так же как и поперечный эффект Доплера,
обусловлено членом ^/1—Д1 в релятивистской формуле (30.42). Измерения, выполнен-
ные Айвсом и Стилуэллом для зеленой линии видимого спектра водорода (2о=486,1
нм), показали, что при различных значениях Д величины Д2=2^—2о, найденные из
опыта, согласуются с теоретическими, равными Так была экспериментально
подтверждена справедливость формулы (30.42) и доказано существование поперечного
эффекта Доплера. i
4.	Эффект Доплера напшлчпироиое применение в науке и технике. Особенно большую
роль это явление играет в астрофизике. На основании доплеровского смещения линий
поглощения в спектрахаййд>^',^уманностей можно определять лучевые скорости
КсоаЙ этих объектов поотцоще^ию к Земле, при V«c по формуле (30.42)
Кооа^ «(1— v/vok-	(3045)
Американский астроном Э. Хаббл обнаружил (1929) явление, получившее название
космологического краевого сметами и состоящее в том, что линии в спектрах излуче-
ния внегалактических объектов смещены в сторону меньших частот (бблыпих длин
волн). Оказалось, что для каждого объекта относительное смещение частоты
z=(v0—v)/v0 (у0 — частота линии в спектре неподвижного источника, v — наблюдаемая
частота) совершенно одинаково по всем частотам Космологическое красное смещение
есть не что иное, как эффект Доплера. Оно свидетельствует о том, что Метагалактика*
расширяется, так что внегалактические объекты удаляются от нашей Галактики.
Существование этого явжния было теоретически предсказано еще в 1922 г. советским
ученым А А. Фридманом на основе развития общей теории относительности
Хаббл установил закон, согласно которому
относительное красное смещение г галактик растет пропорци-
онально расстоянию г до них.
При скоростях галактик У<сс, как видно из (30.42'),
z=l — v/vo»Vcosl/ jc
и закон Хаббла можно записать в форме
PcosZ^ юсг=Нг,
(30.46)
где Н — nor i намяв Хаббла. По современным оценкам, Я—50—100 км/(с Мпк)**.
Вращение источника света вызывает деилеромжое уширение спектральных лшой,
так как разные точки такого источника обладают разными лучевыми скоростями.
Следовательно, с помощью эффекта Доплера можно исследовать вращение небесных
тел.
На эффекте Доплера основаны радиолокационные лазерные методы измерения
скоростей различных объектов на Земле (например, автомобиля, самолета в др.).
Лазерная анемометрия является незаменимым методом изучения потока жидкости или
газа. Хаотическое тепловое движение атомов светящегося тела также вызывает ушире-
ние линий в его спек 1 ре, которое возрастает с увеличением скорости теплового
движения, т. е. с повышением температуры газа. Это явление можно использовать для
определения температуры раскаленных газов.
•Под Метагалактикой понимают совокупность всех звездных систем. В современные
телескопы можно наблюдать часть Метагалактики, состоящую примерно из 10* галактик.
**1 пк (парсос) — расстояние, которое свет проходит в вакууме за ЗД7 лет (1 пкяЗ,09-101* м).
418
Вопросы:
1. Покажите, что теория Максвелла приводит к выводу о существовании электромагнитных
волн.
2. Какие свойства электромагнитных волн вам известны?
3. Докажите, что в общем случае монохроматическая электромагнитная волна эллиптически
поляризована. При каком условии эта волна линейно поляризована?
4. Какова связь между интенсивностью бегущей зпектромвфвгной волны и вектором Умова —
Пойнтинга?	Енфопто£ е
*. Как, исходя из поперечности электромагнитных водн.^ошдоь, что колеблющийся элект-
рический диполь не может излучать вдоль своей оси? \
•, Напишите условия для поля электромагнитной волны Йегранице раздела двух диэлектричес-
ких сред.
7. О чем свидетельствует космологическое красное смещение и как оно было установлено?
Глава 31 ____..
Интерференция Света
--------------------------:----------------------------------------1--------
..н ошлрлл
ШЭ MN ЭНИЭ1
§ 31.1.	Монохроыатичяоетьгяваременная когерентность света
, .	а НМЯМОТЕ
1.	- Раздел .физики, занимайицийс* изучением природы света, закономерностей его
испускания, распространения и взаимодействия с веществом, называется оптикой.
В волновой оптике рассматриваются оптические явления, в которых проявляется
волновая природа света (например-, явления интерференции, дифракции, поляризации
и дисперсии света). Так как .свет представляет собой электромагнитные волны, то
в.основе волновой оптики лежат уравнения Максвелла и вытекающие из них соотноше-
ния для электромагнитных волн. В классической волновой оптике рассматриваются
среды, линейные по своим оптическим свойствам, т. е. такие, диэлектрическая и маг-
шгтная проницаемости которых не. зависят от интенсивности света. Поэтому в волно-
вой оптике, справедлив принцип суперпозиции волн.
Явления, наблюдающиеся при распространении света в оптически нелинейных
средах, исследуются в нелшейнойоппосе. Нелинейные оптические эффекты становятся
существенными при очень больших интенсивностях света, излучаемого мощными
лазерами.
2.	Экспериментально установлено, что действие света иа фотоэлемент, фотопленку,
флуоресцирующий экран и другие устройства для его регистрации определяется век-
тором электрической напряженности Е электромагнитного поля световой волны, кото-
рый поэтому иногда называют световым вектором. К такому же выводу приводит
и классическая электронная теория, согласно которой процессы, вызываемые светом
в веществе, связаны с действием поля световой волны иа заряженные частицы вещест-
ва электроны и ионы. Частота видимого и более коротковолнового света столь
велика (v> Ю15 Гц), что сколько-нибудь значительные по амплитуде вынужденные
колебания могут совершать только электроны. Сила, действующая на электрон со
стороны электромагнитного поля,
-e!E+|vlBB= -efE+ppofoH]].
Здесь vi скорость электрона, В=д/ХпН магнитная индукция. Из (30.12) следует,
что магнитная составляющая силы F значительно меньше ее электрической состав-
ляющей:
ДДо1[*|Н]|<ддо«’1 Я-(vlE/v)«E и Fas-eE,
так как скорость электромагнитных волн v~ 10е м/с, а скорость элехтрона в атоме при
вынужденных колебаниях с амплитудой, А~ 10“10 м, равной размеру атома, под
действием света частоты v~10” Гц1)1 = Л ’2лу~106 м/с.
3.	Явление интерференции света Состоит в отсутствии суммирования интенсивностей
световых воли при их наложении, т. е. во взаимном усилении этих волн в одних точках
пространства и ослаблении в других. Необходимым условием интерференции волн
является их когерентность. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны
одинаковой частоты. Однако иЗ-эа поперечности электромагнитных волн условие их
когерентности еще недостаточно для получения интерференционной картины. Необ-
ходимо, кроме того, чтобы колебания векторов Е электромагнитных полей интерфери-
рующих волн совершались вдоль одного и того же или близких направлений.
Иэ повседневного опыта известно, что при наложении света от двух независимых
источников (например, двух электрических ламп накаливания) никогда не удается
наблюдать явление интерференции. Увеличение числа горящих в комнате ламп всегда
420
приводит к возрастанию освещенности во всех точках комнаты. Применение оди-
наковых светофильтров для «мрнохроматизации» излучения ламп также не приводит
к появлению интерференции. Таким образом, волны, излучаемые независимыми источ-
никами света, всегда некохеренхны.
Причины указанной закономерности заключены в самом механизме испускания
света атомами (молекулами, ионами) источника. В § 30.3 показано, что продолжитель-
ность процесса излучения света атомом т~10-8 с. За этот промежуток времени
возбужденный атом, растратив свою избыточную энергию на излучение, возвращается
в нормальное (невозбужденное) состояние и излучение им света прекращается. Затем,
спустя некоторый промежуток времени, атом цвиеыввовь возбудиться и Начать
излучать свет. Такое прерывистое излучение света атомами в виде отдельных кратков-
ременных импульсов — цугов волн — характерно для любого источника света незави-
симо от специфических особенностей тех процессов, которые происходят в источнике
и вызывают возбуждение его атомов.
Каждый цуг волн имеет ограниченную протяженность в пространстве, связанную
с конечной длительностью т его излучения. Например, протяженность цуга волн,
распространяющегося в вакууме вдоль оси ОХ, равна Дх*ст, т. е. составляет 1 — 10 м.
Вследствие этого, а также уменьшения амплитуды из-за затухания колебаний
электрона в излучающем атоме цуг волн отличен от монохроматической волны,
которая, по определению, имеет неизменную амплитуду и не ограничена в пространст-
ве. С помощью методов спектрального анализа цуг волн можно представить в ваде
волнового пакета со сплошным спектром частот: циклические частоты входящих в его
состав монохроматических волн образуют непрерывную последовательность значений
от со—Дсо/2 до iw+Дш/2, где со — циклическая частота колебаний источника рассмат-
риваемого цуга волн. Величина Дсо, характеризующая ширину спектра, зависит от
протяженности Дх цуга и его «формы», т. е. характера изменения амплитуды волны по
длине цуга. Можно показать, что
Дса>1/т или ДхДох>с.	(31.1)
Так как волновое число к=*а>!с, то Дш=сДА и неравенство (31.1) можно переписать
в виде
ДхДЛ>1.	(312)
Из (31.1) и (31.2) следует, что цуг волн тем ближе по своим свойствам к монохрома-
тической волне с циклической частотой to и волновым числом k^to/c (в вакууме), чем
больше длительность т его излучения:
lim Дц>= lim Дш=0.
Д_г-»со
Для видимого света ш~10” с-1 и отношение Дш/ш мало:
Лги с 1
— —--=-~10-7.
а Лхсо tco
Однако из-за инерционности измерительных приборов, а также органов зрения
продолжительность регистрации света всегда во много раз больше длительности
т излучения одного цуга. Кроме того, в каждый момент времени излучение света
осуществляется не одним, а весьма большим числом атомов светящегося тела. Поэто-
му достаточно высокая степень монохроматичности каждого цуга порознь вовсе еще не
означает когерентности различных цугов между собой и связанной с этим монохрома-
тичности совокупного излучения источника света.
4.	Атомы обычных источников света (ламп накаливания и газоразрядных, электричес-
кой дуги и т. п.), основанных на явлении спонтанного (самопроизвольного) излучения
(см § 40.1), излучают независимо друг от друга. Следовательно, начальные фазы
соответствующих им цугов волн никак не связаны между собой. Больше того, даже для
одного и того же атома значения начальных фаз разных цугов хаотически изменяются
421
от одного акта излучения этого атома к другому. Из всего сказанного ясно, что свет,
испускаемый макроскопическим источником, немонохроматичен, так как состоит из
множества быстро сменяющих друг друга цугов, начальные фазы которых изменяются
совершенно хаотично. Кроме того, значения циклических частот cd для этих цугов
также могут быть различными. Каждый цуг плосхополярнзован. Однако для различ-
ных цугов плоскости поляризации могут быть ориентированы по-разному. Поэтому
свет, излучаемый источником, представляет собой набор плоскополярнзованных волн
со всевозможными направлениями векторов Е, удовлетворяющими только условию их
перпендикулярности лучу. Если все указанные направления совершенно равноправны,
т. е. ни одно из них не яйфстся преимущественным, то свет называют естествемым,
или неиолярнкмаии ш. В сдгественном свете результирующая напряженность Е в каж-
дой точке поля волны совершает колебания, направление которых быстро и бес-
порядочно изменяется, оставаясь в плоскости, перпендикулярной лучу.
Если имеется некоторое преимущественное направление колебаний вектора Е, то
свет называют чинно nniiniHiriBaiMiii в плоскости, проходящей через это направле-
ние и луч.
Иначе обстоит дело в случае вынужденного излучения, возникающего в неравновес-
ной активной среде под действием переменного электромагнитного поля (см. § 40.1).
Вынужденное излучение всех частиц системы когерентно с возбуждающим его моно-
хроматическим излучением, имеет ту же частоту, поляризацию и направление рас-
пространения. Эти особенности вынужденного излучения используются в квантовых
генераторах — лазерах и мазерах (см. § 402).
5.	Реальная волна, излучаемая в течение ограниченного промежутка времени и охва-
тывающая ограниченную область пространства, не является монохроматической
Спектр ее циклических частот имеет конечную ширину Дш, т. е. включает циклические
частоты от cd—Дш/2 до cd+Acd/2.
Промежуток времени в течение которого разность фаз колебаний, соответству-
ющих волнам с циклическими частотами cd+Acd/2 и cd— Acd/2, изменяется на 2л,
называется временем когерентности немонохроматической волны:
Тжпг=2я/Аш.	(31.3)
Это название связано с тем, что немонохроматическую волну можно приближенно
считать монохроматической с циклической частотой cd в течение промежутка времени
Дг-ект^.
Расстояние /т, на которое распространяется за время когерентности Тщ. волна
с циклической частотой cd и фазовой скоростью ю, называется довой когерентности или
длиной гармонического цуга, соответствующего рассматриваемой немонохроматичес-
кой волне:
4or==vT«or=2’tt)/AcD.	(31.4)
Чем данная волна ближе к монохроматической, тем меньше ширина Дсо спектра ее
частот и тем больше се время и длина когерентности. Например, для видимого
солнечного света, имеющего сплошной спектр частот от 4 10'* до 8 14'* Гц,
тюг~ 10“ '* си /OT~ 10-6 м. Время когерентности вынужденного излучения значительно
больше времени высвечивания атома. Например, для лазеров непрерывного действия
тжог достигает 10"5 с, а /жог'-103 м
§ 31.2.	Интерференция сыта. Пространственная когерентность
1.	Для получения когерентных световых волн с помощью обычных (нелаэерных)
источников применяют метод разделения света от одного источника на две или
несколько систем волн. В каждой из них представлена излучение одних и тех же атомов
источника, так что из-за общности происхождения эти системы волн когерентны между
собой и интерферируют при наложении. Разделение света на когерентные системы волн
можно осуществить, например, путем его отражения или преломления
422
На рис. 31.1 показана в качестве примера схе-
ма, называемая бкзеркалом Фреяеля. Свет от то-
чечного источника S падает на два плоских зер-
кала AtO и АгО, расположенных перпевдикулярио
плоскости рисунка и соединенных по линии О.
Угол а между плоскостями зеркал оЧень мал
Свет от источника S распространяется после от-
ражения от зеркал в виде двух пучков с центрами
в точках Si и S2, являющихся мнимыми нзображе- 5ЭИ
ниямн источника S в зеркалах. Эти пучки когереи- Ч11 кэтэ
тны и при наложении дают на экране Э иктерфе- ’нэнтээд^э j /
ренцнониую картину (область ВС, называемая но-
лем интерферонам). Результат интерференции
в некоторой точке М экрана зависит от длины
волны света А и разности хода волн от когерент-
ных МНИМЫХ источников Si и S2 до точки М.
U I JI
НП.0Ч
D
Рис 31.1
A-n-n-IMSjI-IMSd.
Начальные фазы колебаний источников St и S2 одинаковы Поэтому условия ин-
терференционных максимумов и минимумов (29.43') и (29.44') имеют вид
г2—л - ±мА [максимум m-го порядка (m-0,1, 2,...)],	«
г2—л — ±(2т—1)2/2 [минимум т-го порядка (т— 1, 2,...)].
Угол 2fl при вершине S между двумя лучами света, которые после отражения от
зеркал AtO и А3О сходятся в точке М интерференционной картины, называется
pijpni кгерфвра^и. Этот угол обычно мало меняется при изменении положения
точки М в пределах интерференционного поля
2.	Схемы наблюдения интерференции света с помощью бшфквш фраидл (рис. 31.2)
и бнашпы Бийё (рис. 31.3) подобны схеме с бизеркалом. Бипризма состоит из двух
одинаковых трехгранных призм, сложенных основаниями и изготовленных как одно
целое. Преломляющие углы к при верхней и нижней вершинах бипризмы очень малы
(порядка далей градуса). Свет от источника S преломляется в бипризме и распрост-
раняется за ней в виде двух систем волн, соответствующих когерентным мнимым
источникам света St и S2. Интерференция этих волн наблюдается в области их
перекрытия иа экране Э.
Билинза представляет собой две половины Л\ и Л3 собирающей линзы, разрезанной
по диаметру. Обе половины слегка разведены, благодаря чему они дают два не
совпадающих между собой действительных изображения Si и S2 точечного источника
света S. Интерференция света от этих когерентных вторичных источников наблюдается
на экране Э. Промежуток между частями Л3 и Л2 билинзы закрыт непрозрачным
жраном А.
423
На рис. 31.2 и 31.3 показаны значения апертуры интерференции 2fi для центральной
точки Мо интерференционной картины, получаемой с помощью бипризмы и билинзы.
3. Шириной итерферевцмодаой волосы называется расстояние между двумя соседними
интерференционными максимумами (или минимумами).
В случае бизеркала Фрснёля и аналогичных ему схем осуществления интерференции
(бипризма, билинза и т. п.) ширинй интерференционной полосы находится по формуле
(29.46): Д/=XL/I. Здесь I —расстояние между источниками и S2, a L — расстояние от
них до экрана Э. Длина йЬлшУйшшмого света очень мала (А~5 10“7 м). Поэтому для
получения интерферснц1фжзд^1£одрс такой ширины, чтобы их можно было различать
глазом, должно выполнял-ря устмуще l«L. Соответственно угол а в бизеркале и пре-
ломляющие углы а у битзит$ц должны быть очень малы.
Возможность наблюдаЩЯ интерференционных полос зависит также от их контраст-
ноетж, т. е. от степени рйличия освещенностей экрана в максимумах и минимумах.
Освещенность пропорциональна интенсивности I падающего света. Количественной
характеристикой контрастности интерференционной картины служит безразмерная
величина видимость ноль.
И=(/««-/юи)/(/>шс+/юи),	(31.6)
где /ма1С и /„о, интенсивности света в интерференционных максимумах и минимумах
на экране. Глаз уверенно различает полосы, если их видимость И>0,1, т. с. если
А«и< < 0,82/^д^.
При наложении двух одинаково поляризованных когерентных монохроматических
волн, амплитуды и интенсивности которых равны A i, /| и Аг, /2, видимость интерферен-
ционных полос можно найти, пользуясь формулой (29.40) и полагая в ней
cos(C>2-Ф,)=1 для	и
cos(®2—Ф1)=-1 для /ШИ=Л^И:
7i+/2
(31.6')
Видимость полос максимальна (И— 1), если j4[=X2.
4. В интерференционной схеме типа бизеркала Френеля, освещаемого точечным ис-
точником S (см. рис. 31.1), накладывающиеся волны в действительности никогда не
бывают идеально монохроматическими. Соответственно эти волны только частично
когерентны. Они способны интерферировать лишь при условии, что колебания, воз-
буждаемые ими в точке М экрана, соответствуют одному и тому же гармоническому
цугу излучения источника S, т. е. если
ИЛИ |г2“Г||</жог
Здесь г2 — rt разность хода накладывающихся волн; v их скорость; тЖ01 и /жог —
время и длина когерентности света источника S. В точке М осуществляется сложение
частично когерентных колебашй, возбуждаемых одним и тем же источником S в различ-
ные моменты времени t и г+г, где т=|г2 — Г||/п. Поэтому видимость интерференционной
катины в такого рода установках существенно зависит от временной когерентности
колебаний, которая ограничивается степенью монохроматичности светаисточника S,
т. е. временем его когерентности тжш, При т«тжог складываемые колебания практичес-
ки полностью когерентны и видимость интерференционных полос при равной интен-
сивности накладывающихся волн И«1. Если же т>тжя., то складываемые колебания
некогерентны и ие интерферируют (И=0).
Таким образом, для наблюдения интерференции света при больших разностях хода
гг—ri (соответственно при больших значениях т) необходимо, чтобы свет обладал
424
достаточно большим временем когерентности, т. е. чтобы ои имел достаточно высо-
кую степень монохроматичности,
3.	Из (31.5) видно, что положения на экране всех интерференционных максимумов,
кроме максимума нулевого порядка, зависят от длины волны света. Для двух длин
волн Л| и Л2 максимумы т-го порядка смещены друг относительно друга тем сильнее,
чем больше т. Поэтому с ростом т ухудшается видимость интерференционных полос,
получающихся при освещении бизеркала Френеля немоцохроматическим светом: поло-
сы, соответствующие свету с разными значениями	друг на друга,
и интерференционная картина смазывается.
Пусть длины волн света заключены в пределах W^Jf—S^rho Л+ДА/2, а циклические
частоты от со+Дсо/2 до ш—Аш/2, где Дш=2я1)ДЛ/^пТ1&^г5<огласио критерию Рэлея,
интерференционная картина остается еще различЩ«гоидр([^^ксимума порядка /По для
света с длиной волны 1+ДА/2 (Д1> 0), который накладывается на экране на ближайший
к нему интерференционный минимум для света,с ддинрй волны А: то(1+ДА/2)=
=(2/Ио+1)1/2, откуда
/Яо=1/Д1.	(31.7)
Таким образом, согласно (31.5) и (31.7), интерференцию можно наблюдать при
разностях хода волн, удовлетворяющих условию
Iя 2ло
|Г2 - п|<—=—= «Тжог-
АЛ Аси
(31.7Э
Этот результат согласуется с оценкой, произведенной в п. 4 на основе представле-
ний о временной когерентности колебаний.
в. Частично когерентный свет, общая интенсивность которого равна /, можно рас-
сматривать как совокупность двух составляющих: когерентной с интенсивностью у/,
где у — степень когерентности света, и некогерентной с Интенсивностью (1 —у)/. При
наложении частично когерентных волн интерферируют только их когерентные состав-
ляющие. Некогерентные составляющие создают равномерно освоценный фон интерфе-
ренционной картины, поэтому
Aoie=у^+ЛгГ+а-у)/,
так как 1= А * + А 2, то
4^1^27 tyy/l\h
2(Л|+ЛЯ)“ Л+/2 ‘
(31.7я)
Следовательно, по мере уменьшения степени когерентности света видимость ин-
терференционных полос V тоже уменьшается. Если интенсивности частично когерент-
ных волн одинаковы, то V=y.
7. Обычно в интерференционной установке с бизеркалом (или бипризмой) используют
не точечный источник света S, а ярко освещенную узкую щель, параллельную ребру
О бизеркала. В этом случае интерференционные картины, получающиеся иа экране от
разных участков по длине щели, сдвинуты друг относительно друга вдоль направления
щели S. Соответственно на экране наблюдается система интерференционных полос,
параллельных ребру О бизеркала.
Видимость 'интерференционных полос уменьшается по мере увеличения ширины
щели S. Это связано с тем, что интерференционные полосы, получающиеся на экране
от различных узких щелей, на которые можно мысленно разбить щель S, смещены друг
относительно друга. Интерференционная картина в монохроматическом свете с длиной
волны Л получается отчетливой, если выполняется приближенное условие
feem/?<A/4,	(31.8)
где b — ширина щели; 2Д — апертура интерференции.
425
8, На рве. 31.4 показана принципиальная схе-
щ -r.HEoe Ki
Рис. 31 4
степенью согласованности протекания
иа осуществления интерференции света по ме-
тоду Юнга. Источником свет* служит ярко
освещенная узкая щель S и экране А. Свет от
нее падает на второй непрозрачный экран А2,
в котором имеются две одинаковые улие ще-
ли Sj и $2, параллельные S. В пространстве за
экраном Аг распространяются две системы
цилиндрических волн, интерференция кото-
рых наблюдается на экране Э. Ввдимость ин-
терференционных полос при небольших раз-
ностях хода определяется главным образом
колебаний в точках щелей S] и Яг, которые
можно рассматривать в качестве «источников» интерферирующих на экране волн.
Когерентность колебаний, которые совершаются в один и тот же момент времени
в разных точках плоскости Q, перпендикулярной направлению расирошранения волны,
называют щххггрвветвеввой пгерекпостыо (в отличие от времеянбй когерентности
колебаний, совершающихся в одной и той же точке, но в разные моменты времени).
Пространственная когерентность зависит от условий излучения и формирования
световых волн. Например, световая волна, излучаемая точечным источником, обладает
полной пространственной когерентностью. В случае идеальной плоской волны амп-
литуда и фаза колебаний во всех точках плоскости Q одинаковы, т. е. также имеется
полная пространственная когерентность. Пространственная когерентность сохраняется
также по всему поперечному сечению пучка света, излучаемого лазером
В реальной волне, излучаемой множеством независимых атомов протяженного
велазерного источника света, разность фаз колебаний в двух точках Kt и К2 плоскости
Q — случайная функция времени. Случайные изменения этой разности фаз возрастают
с увеличением расстояния между точками
Расстояние 4 между точками Кi и К2 плоскости Q, случайные изменения разности
фаз в которых достигают значения, равного я, называется дпиний простракпомой
когерентности
Если в схеме Юнга расстояние между щелями Sj и Я2 />4> то ввдимость ин-
терференционных полос К*0. Для обеспечения пространственной когерентности осве-
щения щелей Si и Я2 ширина Ъ входной щели S должна быть достаточно малой Можно
показать, что
4=^/Ь=Л/0,
где d— расстояние между экранами At и A2, Q^b/d—угловой размер источника
света — щели S Длина пространственной котереншости /ж“Л/в увеличивается по
мере удаления от источника света. Например, для звезды диаметра D, находящейся на
расстоянии г, Q^D/r и l^XrjD.
Площадь круга радиуса 4 называется размером простринспемой юн tpta гвоств,
а объем прямого цилиндра с таким же основанием и образующей, равной длине
гармонического цуга (31.4)	называется объемом кмерынвоств.
§ 31.3. Интерференция света в тонких пленках
1. Не следует думать, что интерференцию света можно наблюдать только в лабора-
торных условиях, применяя для этого специальные оптические устройства (например,
бизеркало). Примером интерференции света, наблюдающейся в естественных условиях,
может служить радужная окраска тонких пленок (мыльных пузырей, пленок нефти или
масла на поверхности воды, прозрачных пленок оксидов на поверхностях закаленных
металлических деталей — цвета побежалости — и т п.) Образование частично коге-
рентных воли, интерферирующих при наложении, происходит в этом случае вследствие
отражения падающего на пленку света от ее верхней и нижней поверхностей. Результат
426
I, достигнув нижней поверх-
Рис. 31.5
интерференции зависит от сдвига фаз, приобретаемого накладывающимися волнами
в пленке.
2. Для установления общих закономерностей интерференции света в тонких пленках
рассмотрим плоскопараллельную прозрачную пленку толщиной d, на которую падает
под углом i плоская монохроматическая волна (луч / на рис. 31.5). Будем пред-
полагать, что по обе стороны от пленки находится одна и та хе среда (например,
воздух). Абсолютные показатели преломления среды и пленки обозначим Hi и я2,
причем для определенности будем считать, что п2^Л|.
Падающая волна частично отражается от верхней поверхности пленки (луч /),
а частично преломляется (луч AD). Преломленная воде
ности пленки, также частично отражается (луч
DC), а частично преломляется (луч 2). То же самое
вновь происходит на верхней поверхности пленки
с волной, распространяющейся вдоль луча DCti
причем преломленная волна (луч Г) накладывает-
ся на волну, непосредственно отраженную от верх- 1
ней поверхности (луч Г). Эти две волны когерент-	d]
ны, если только разность их хода мала по сравне-	J
нию с длиной их когерентности. Результат их ин-
терференции зависит от разности фаз АФ колеба-
ний, возбуждаемых этими волнами соответственно
в точках С и В плоскости ВС, проведенной перпен-
дикулярно лучам Г и Колебания, вызываемые
в точке С волной, отраженной от пившей поверхности
колебаний в точке А на величину AOt=2n (|ЯЛ|+|РС|)/Л2, где А2 — длина волны света
во второй среде*. Аналогично этому, отставание по фазе колебаний в точке В,
вызываемых волной, которая отражается от верхней поверхности пленки, равно
АФ2=2я|ЛВ|/А1 + я, где —длина волны света в первой среде. Добавочный член
я учитывает сдвиг фаз, возникающий при отражении света от оптически более плотной
среды (мы полагали, что я2>п1; если бы п2 было меньше Ht, то добавочный член
я нужно было бы ввести в выражение для ДФ1, а не для АФ:**). Сдвиг по фазе на я при
отражении эквивалентен дополнительному пути света в первой среде, равному Ai/2.
Таким образом, искомая разность фаз интерферирующих волн
пленки, отстают по фазе от
АФ= АФ! - ДФ2= (2я//2) (| A D| + |Z>C]) — (2тГ/Л1) (|ЛВ| + Aj/2).
Длины волн Л2 и связаны с длиной волны Л света той же частоты v, распространя-
ющегося в вакууме, следующими соотношениями:
Л2= »2/v = С1(УЪ) = х/л2,
Л1 =vi/v=А/нь
где «1 и v2 — фазовые скорости света в обеих средах. Таким образом,
АФ=(2я/А) [л2(|Я D]+|DQ) - щ (| ЛЛ| + Aj/2)],
или
АФ=(2я/Л)(н2/2-н1/1),	(31.9)
где /2=|XD|+ |DC| и /1 = |ЛЯ|+А|/2— геометрические длины путей, пройденных
интерферирующими волнами во второй и первой средах (с учетом возможных потерь
полуволны при отражении).
«Напомним, что при прохождении волной расстояния, равного 2, се фаза изменяется иа 2я.
••Предполагается, что i меньше угла Брюстера iEp (см. табл. 30.2).
427
Произведение геометрической длины нуги I световой волны в среде на абсолютный
показатель преломления я последней называется отческой длмой пути г s*=nl.
Из формулы (31.9) следует, что
АФ=2лй/2,	(31.9Э
где 6~s2—3i^nih—Я1/1 —онтичесжжя разность ходя интерферирующих волн.
Интерференционные максимумы и минимумы удовлетворяют следующим услови-
ям, вытекающим из (29.4ф-онак-1Л
.ьмдон та^_махсимум>
ЯянраяйнЕ	(31.Ю)
((2ли— 1) 2/2 — минимум,
где т — целое число. <
3. Для плоскопараллельной пленки |ZD|»|DC| и, как видно из рис. 31.5, |AD|=d/cosr
и |ЛВ|=|ЛС] sin t=2Jtg г sin i. При этом оптическая разность хода 6=2^d/cosr—
— 2Ridsmrsin//cosr—Л1А1/2. По закону преломления света, Hismr=H2sinr; следова-
тельно,
5—2n2d(l~sihIr)/cosr-2/2=2n2dcosr—2/2	(31.11)
или
6=2d^-n^mn1i-i/2.	(31.113
Результат интерференции в отраженном от пленки свете, как видно из (31.10)
и (31.11), зависит от числовых значений d, г, я2 и 2:
2nadcosr=(2m+1)2/2 — максимум,
(31.12)
2nzdcosr=>m2 — минимум,
где т=»0, 1, 2,... .
При освещении пленки белым светом для некоторых длин волн выполняется
условие максимума отражения, * для некоторых других — минимума, поэтому в от-
раженном свете пленка кажется окрашенной.
Интерференция наблюдается не только в отраженном, но и в проходящем сквозь
пленку свете. Легко показать, что оптическая разность хода для проходящего света
отличается от 6 для отраженного света на 2/2. Следовательно, максимумам интерфере-
нции В отраженном свете соответствуют минимумы интерференции в проходящем
свете, и наоборот. Поэтому при освещении пленки белым светом ее окраска в отражен-
ном и проходящем свете оказывается взаимно дополнительной.
В расчетах оптической разности хода интерферирующих волн в пленке принима-
лись во внимание только две волны, соответствовавшие первому отражению от
верхней и от нижней поверхностей пленки, т. е. не учитывалась возможность много-
кратного отражения света. Такое упрощение правомерно только при условии, что
интенсивность h волны, соответствующей второму отражению от ю жней поверхности
пленки, значительно меньше интенсивности А волны, возникают Л при первом от-
ражении. Если Л — коэффициент отражения света от верхней и нюлней поверхностей
пленки, то /2=Л2 /р Обычно R2« 1. Например, для границы воздух — стекло (п2] = 1,5)
при углах пядени* света i< 50е коэффициент отражения Л <0,05. В некоторых специаль-
ных случаях, когда /2 соизмеримо с Л, необходимо рассматривать интерференцию
многих волн (см. § 31.4).	'
4. Возможность ослабления отраженного света вследствие интерференции в тонких
пленках широко используемся в современных оптических приборах (фотоаппаратах,
биноклях, перископах и др.). Для этого на передние поверхности имеющихся в них линз
и призм наносят тонкие прозрачные пленки, абсолютный показатель преломления
которых л, меньше абсолютного показателя преломления лд материала линзы или
призмы. Толщина пленки подбирается так, чтобы осуществлялся интерференционный
428
минимум отражения для света с длиной волны Л«5,5 10^7 м, соответствующей
наибольшей чувствительности человеческого глаза (зеленый свет). Такая оптика полу-
чила название просветленной оптика. В отраженном свете просветленные линзы и при-
змы кажутся окрашенными в фиолетовый цвет, так как они заметно отражают только
красный и сине-фиолетовый свет.
Наиболее полное взаимное гашение световых волн, отраженных от верхней и ниж-
ней поверхностей пленки на просветленной линзе или лризме, происходит в случае
равенства интенсивностей этих волн, т. е. приблизительно ^фи равенстве коэффициент
тов отражения от обеих поверхностей: /^=ЛП- Пр? нормальном падении света из
воздуха на пленку и из пленки на линзу или призму зн 1чсдия и Лп можно определить
по формуле (30.39Э:	£)
*1=
\лп/п1+1
лп/в1-1\2 /Лп-1Х2	/яь/ла-1\2
, Яп=| • - —	,
\"Ь/л»+1/
так как абсолютный показатель преломления воздуха л» а; 1.
Приравнивая друг другу эти выражения для Ri И Rn, найдем оптимальное значение
абсолютного показателя преломления материала пленки*
5. Рассматривая интерференцию света в тонких пленках, различают интерференцион-
ные полосы равного наклона и равной толщины. Полосы равного наклона наблюдают-
ся в тех случаях, когда на плоскопараллельную тонкую пленку падает под разными
углами I расходящийся (или сходящийся) пучок света. Таковы, например, условия
освещения пленки протяженным источником или рассеянным солнечным светом. Ин-
терференционная картина наблюдается на экране Э, установленном в фокальной
плоскости собирающей линзы Л (рис. 31.6).
Всякая линза обладает тем свойством, что она не создает дополнительной разности
фаз между лучами, собираемыми линзой в одной и той же точке изображения. Иными
словами, оптические длины пути для этих лучей одинаковы,тали, как принято говорить,
таутохронны. Если бы указанное правило не соблюдалось, То с помощью линз нельзя
было бы получать изображения предметов
(источников света), подобные этим предме-'
там: изображения всегда Вмели бы вид чере-
дующихся интерференционных максимумов
и минимумов освещенности.	2
Таким образом, при освещении плоскопа-	\
раллельной пленки монохроматическим све-	\ •
том результаты интерференции отраженного <	• . у
света в различных точках экрана Э зависят	'
только от углов i падения на пленку или
равных им углов отражения для лучей, соби- Л
рающихся в Этих точках экрана. Интерферон- <
двойная картина имеет вид чередующихся
криволинейных темных и светлых полос. Ка-	рис
ждой из этих полос соответствует определен-
ное значение угла i, поэтому они и называются полосами равного наклона. При
освещении пленки белым светом на экране наблюдается система разноцветных полос
равного наклона. В отсутствие лянзы интерференционную картину можно было бы
наблюдать только на бесконечности — в месте пересечения пар параллельных лучей
ГГ, 72" и т. Д., поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бес-
конечности. Для цх визуального наблюдения нужно аккомодировать глаз иа бесконеч-
ность.	л
8. Полосы равной толщин наблюдаются при отражении параллельного или почти
параллельного пучка лучей света (/= const) от тонкой дррзрачной пленки, толщина
d которой не одинакова в разных местах. Оптическая разность хода интерферирующих
429
31.8
воли изменяется при переходе от одних точек на поверхности пленки к другим
в соответствии с изменением толщины d, так что условий интерференции одинаковы
в точках, соответствующих одинаковым значениям d Поэтому рассматриваемая ин*
терференцнонная картина и называется полосами равной толщины. Полосы равной
толщины локализованы вблизи поверхности пленки, т е для их наблюдения нухво
аккомодировать глаз практически на поверхность самой пленки.
Если свет интерферирует в тонком прозрачном клине с малым углом а при
вершине, то полосы райяайжожпины пвраллелыы ребру клина. При гг-аацемии к пипа
монохроматическим светомэеодлнной волны в вакууме А, падающим нормально на
поверхность клина (МО^сшигмии«интерференционных полос равна А/(2ля), где л —
абсолютный проказатель Црсяпипния клина.
7. Частным случаем понос ранкой толщины являются кольца Hi нитни, которые
наблюдаются в схеме, изображенной на рве. 31.7. Плосковыпуклая линза Л с Копытам
радиусом R кривизны выпуклой поверхности обращена этой поверхностью к плоской
пластине А и соприкасается с ней в точке О Параллельный пучок света падает
нормально на плоскую поверхность ВС линзы и частично отражается от верхней
и нитгией поверхностей воэдупаого промежутка между линзой и пластиной. При
наложении отраженных волн возникают нтерфереиiтонные кольца равной толщины
Вид этих колец в случае монохроматического света показан на том же рис. 31.7 внизу.
В центре находится темное пятно (минимум нулевого порядка). Оно окружено систе-
мой чередующихся светлых и темных колец, ширина и интенсивность которых посте-
пенно убывают по мере удаления от центрального пятна. В проходящем свете наблю-
дается дополнительная картина: центральное пятно — светлое, следующее кольцо —
темное и т. д.
Оптическая разность хода между лучами, отраженными от верхней и вяжвей
поверхностей воздушного зазора на произвольном расстоянии r=|DE] от точки О,
равна
Д=2|£Р|+А/2,
где показатель преломления воздуха принят равным единице, а член А/2 обусловлен
сдвигом по фазе на я при отражении света от поверхности пластины. Из подобия
прямоугольных треугольников EOD и EDM следует, что |2Х>|: |ЛЕ] “ |ЛЕ] • |DAfJ, где
\DO\«|Ef|, |DE|—г и |ДМ|««2А—|Я₽| «2Я, так как |E’f]««(i/2—А/4)-*:Я. Таким образом,
|£₽|-г/(2Я), ««Р/Я+ЛД.
Рие. 31 7
Из соотношения для <5 и условий (31.10) следует, что
радиусы m-х светлого (г^) и темного (г«) колец Ньютона
в отраженном свете равны:
(м-1, 2, 3, ...),
---	(31.13)
Гя^-у/тЯХ (/я=0, 1, 2, ...).
Очевидно, что в проходящем свете
(m=0, 1, 2, ),
----------------	(31.139
r„,=V(2m-l)JU/2 (m-1, 2, 3, ...).
Если на линзу падает белый свет, то в отраженном
свете наблюдается центральное темное пятно, окруженное
системой цветных колец, соответствующих интерференци-
онным максимумам отражения света с различными значе-
ниями X.
430
Правильная форма колец Ньютона легко искажается при всиих, даже впачпыъ-
иых, дефектах в обработке выпуклой поверхности линзы и верхней поверхности
пластины. Наблюдение формы колец Ньютона позволяет осуществлять быстрый и ве-
сьма точный контроль качества шлифовки плоских пластин и линз, а также близость
поверхностей последних к сферической форме.
В заключение следует заметить, что в приведенных выше расчетах для колец
Ньютона мы не случайно пренебрегли влиянием света, отражающегося от верхней
(плоской) поверхности линзы и нижней поверхношжонлвспны. Дело в том, что
толщины вентральной части линзы и пластинки нышогемнзрядкоо больше толщины
воздушного зазора вблизи точки О. Поэтому разжнжрщоШ между световыми вол-
нами, отражающимися от верхней и нижней повервносвсй линзы н пластинки, столь
велики, что они намного превосходят длину когережтяеспснелнэерного света.
§ 31.4.	Интерференция многих волн
1.	Для осуществления интерференции многих световых волн с близкими или ранными
амплитудами применяют специальные интерференционные приборы — дифракцион-
ную решетку, эталон Фабри — Перо и др. Амплитуду А результирующих колебаний
и их интенсивность Z= А1 в произвольной точке М интерференционной картины можно
найти, воспользовавшись методом векторных диаграмм для сложения одинаково
направленных колебаний (см. § 27.4).
На рнс. 31.8 показана векторная диаграмма сложения колебаний при интерферен-
ции А волн, возбуждающих в точке М одинаково направленные когерентные колебания
с равными амплитудами At=--4] и не зависящим от i сдвигом фаз между (<+ 1)-м и f-м
колебаниями Ф<+1(г)—Ф((г)=Афо Амплиту-
да результирующих колебаний
A- 2|OOi|sin(«/2),
Ai
де а-2я—А Дф0. 1°О11 =—- ~ no-
lien (Лфо/2)|
дому
ип(АДфо/2)
А ™ At ----------,
нп(Дфо/2)
(31.14)
7_7 втд(АДфр/2)
“ * мп^Л^г) ’
где 11=Л? — интенсивность колебаний, воз-
буждаемых в точке М каждой из А интерфе-
Рис 318
рирующих волн порознь.
2.	Главные максимумы ыггерферен^ А волн наблюдаются в тех точках М, для
которых углы Д<ро либо равны О, либо кратны 2л, так что вехторнжя диаграмма
сложения колебаний имеет вид, показанный на рис 31.9. Таким образом, условие для
гллвн мшх пумой имеет вид
Дфо= ±2ля,
(31.15)
A, Af
A-/VA,
Рис 319
где п=0, 1,2, ...— порядок главного иыгги1умв.
Амплитуда и интенсивность колебаний в главных
максимумах равны
Am-NAi,	(31.153
Инпрференяивынк менниумы (4—0) удовле-
творяют условию
431
\ Дфо=±2цр/Лг,
(31.16)
где р принимает любые целые положительные значения, кроме кратных N. Между
каждой рарой соседних интерференционных минимумов находится один максимум —
либо главный, либо побочный. При большом числе N интерферирующих волн интен-
сивности побочных максимумов пренебрежимо малы по сравнению с интенсивностями
главных максимумов.
Двум минимумам, ограничивающим главный максимум л-го порядка, соответству-
ют значения Д<ро= ±(2ял±2л/М; поэтому «ширина» главного максимума, равная
4n/N, обратно пропорционадЙЙ^чЙслу N интерферирующих волн, а его интенсивность
пропорциональна N*. Такой характер изменения интерференционной картины при
изменении N полностью согласуется с законом сохранения энергии: общая энергия
колебаний во всех точках экрана, на котором наблюдается интерференционная кар-
тина, пропорциональна N. Характер зависимости I/It от Дфо по формуле (31.14)
показан на рис. 31.10.
3.	Если число N интерферирующих волн неограниченно увеличивать, а их амплитуды
Л] и сдвиги фаз А<Ро соответственно уменьшать так, чтобы и Nb<pB оставались
конечными величинами, равными Ав и Д<р, то в пределе векторная диаграмма (рис.
31.8) примет вид, показанный на рис. 31.11. Вектор А амплитуды результирующих
колебаний замыкает дугу ВС окружности. Длина этой дуги равна Ав, а соответст-
вующий ей центральный угол 1_ВОС=Ь<р. Поэтому радиус окружности |ОВ|=АВ/Ь<р,
а амплитуда А и интенсивность I результирующих колебаний равны
А-Ав
sin (Дф/2)
Дф/2
sin2(A<p/2)
/=/q	’ - I
(Дф/2)1
(31.17)
где 1В=Ав. Из 31.17 видно, что интерференционные минимумы я максимумы находятся
в точках интерференционной картины, для которых выполняются соответственно
следующие условия:
Д<р= ±2тп (т=1, 2, 3, ...),	(31.18)
tg (Д<р/2) = Д<р/2.	(31.19)
1
Корни трансцендентного уравнения (31.19) можно представить в форме
(Д<р)т= +2к„п,
(31.197
те 1,2, ... порядок максимума. Для центрального максимума нулевого поряд-
ка коэффициент кп=0 и (Д<р)п=О. Амплитуда и интенсивность колебаний в максимуме
нулевого порядка равны Ав и 1В. Для всех остальных максимумов (m> 1) приближенно
Рис 31 11
432
можно считать, что
*я=(2т+1)/2, (Л<р)„~ ±(2т+ 1)я. (31.20)
При выполнении условия (31.20) вектор
А=а4, на диаграмме рис. 31.11 направлен
вертикально, а сама диаграмма состоит из
2m+1 полуокружностей, диаметру которых
и равен модуль вектора А„:
Ли=2ЛоД(2/п+1)я].
Соответственно отношение интенсивно*
стей максимумов m-го и нулевого порядков
ЛЛ)=4/Д2т+ l)¥j.	(31.21)
Рис 31.12
Это отношение быстро убывает с ростом т (табл. 31.1). Характер зависимости /от Л<р
показан на рис. 31.12.
Таблица 31.1
Порядок максимума	0	1	2	3	4
V/O	1	0,045	0,016	0,008	0,005
§ 31.5.	Интерферометры
1.	Явление интерференции света используется в ряде весьма точных измерительных
приборов, получивших название ин герферомсз ров. На рис. 31.13 изображена принципи-
альная схема интерферометра Жямсп, применяемого для точных шмерений показа-
телей преломления газов и их зависимости от температуры, давлния и влажности. Две
совершенно одинаковые толстые плоскопараллельные стеклянные пластины
А и В установлены почти параллельно друг другу. Монохроматический свет, испуска-
емый источником S, падает на поверхность пластины А под различными углами i,
близкими к 45° (на рис. 31.13 показан только один падающий луч). В результате
отражения света от обеих поверхностей пластины образуются две когерешные волны
(лучи / и 2). Пройдя сквозь две совершенно одинаковые закрытые стеклянные кюветы
Ki и К3, эти волны после отражения от второй пластины В собир* линзой
Л и интерферируют. Интерференционные полосы равного наклона pai аются
с помощью окуляра, который на ррсунке не показан. Если одну к л (Ki)
заполнить газом, имеющим известный абсолютный показатель преломленья П], а вто-
рую газом, показатель преломления п3 которого измеряется, то между интерфериру-
ющими волнами возникнет дополнительная оптическая разность хода, равная (п3—п\)к
Соответственно произойдет смещение интерференционной картины на Am полос, при-
чем Дт=(л2—Л|)//А, так что
л2=л1+ЛАт/1.
Например, при 1=5 см и 2=500 нм смещению полос на 0,1 их ширины, которое еще
можно достаточно надежно зарегистрировать, соответствует ничтожно малая разность
0,1 5 !0-7-
Л2 —П| =-------= 10 6.
5 КГ»
2.	На рис. 31.14 показана упрощенная схема интерферометра Майкельсова. Верти-
кальный пучок монохроматического света от источника 5 падает под углом 45°
433
Рис. 3113
Рис 3114
на плоскопараллельную стеклянную пластинку А, задняя поверхность которой покры-
та тонким полупрозрачным слоем серебра. Часть света отражается от этого слоя
(горизонтальный луч Г), а часть — проходит сквозь него (вертикальный луч 2). Луч
/ отражается ст вертикального плоского зеркала 3, и частично проходит сквозь
пластинку А (луч Г). Луч 2 отражается ст горизонтального плоского зеркала
32 и возвращается к пластинке А, дважды проходя сквозь стеклянную пластинку В,
которая параллельна А и отличается от нее только тем, что не покрыта слоем серебра
Этот луч частично отражается от посеребренной поверхности пластинки А (луч Z).
Волны, соответствующие лучам /' и 2, котерешны. Результат их интерференции
зависит от оптической разности хода луча / от точки О до зеркала 3t и луча 2 от точки
О до зеркала 32. Благодаря пластинке В их пути в стекле одинаковы, поэтому
В называют ковикксятором. Таким образом, оптическая разность хода лучей Г и 2
<5«=2л| (/,—/j), где Л| — абсолютный показатель преломления воздуха, а /| и /2 — рас-
стояния от точки О до зеркал 3j и Если то наблюдается интерференционный
максимум. Смещение одного из зеркал иа расстояние А/4 приводит к возникновению
интерференционного минимума. Таким образом, по изменению интерференционной
картины можно судить о малых перемещениях
одного из зеркал и использовать интерферо-
метр Майкельсона для точных измерений дли-
ны. Чувствительность этого прибора можно
значительно повысить, если пластинку А осве-
й(ать параллельным пучком света, а зеркала
31 и З2 расположить под двугранным углом,
меньшим или большим я/2 на малую величину
я. В этом случае интерференционная картина
будет иметь вид прямолинейных полос равной
толщины, соответствующих воздушному клину
между зеркалом 31 и мнимым изображением
зеркала З2 в «полуэеркальном» слое серебра на
поверхности пластинки А. Очевидно, что прело-
мляющий угол такого клина равен а.
Погрешности при измерении длины с помо-
щью интерферометра Майкельсона весьма ма-
лы (порядка Ю-7 м). Этот интерферометр, так
же как и интерферометр Жамена, используется
для точных измерений показателей преломле-
ния, т. е. в качестве мирферьящоного рефрак-
434
тометра. Его применяют для спектрального анализа света (м i Lpfipewramril спектро-
метр), т. е. для измерения распределения энергии излучения по частотам.
3.	В. П. Линник использовал принцип действия интерферометра Майкельсона для
создания мжротперферометра высокочувствительного прибора, служащего для ко-
нтроля чистоты обработки поверхностей металлических изделий. Основным элемен-
том микроинтерферометра Лииника является стеклянный кубик А (рнс. 31.15), состо-
ящий из двух половин, склеенных до диагональной плоскости. Одна из склеиваемых
поверхностей полу посеребрена. Ход лучей в интерферометре показан на рнс. 31.15, где
ВС исследуемая плоская поверхность, а 3 плоское зеркало. Двугранный угол
между зеркалом и поверхностью ВС отличается от я/2 на малую величину я. На рис.
31.15 штриховая длина DE мнимое изображение отражающей поверхности зеркала
? в полупосеребренной диагональной плоскости кубика А. Интерференционные полосы
равной толщины для воздушного клина DE ВС наблюдаются с помощью микроско-
па М. В тех местах поверхности ВС, где имеются выступы или углубления, видны
искривления интерференционных полос. С помощью этого прибора можно обнаружить
штрихи на поверхности детали, глубина которых порядка 10'7 м.
Интерференционные методы широко используются для сравнения и проверки
точности изготовления технических эталонов длины, для точных измерений коэффици-
ентов линейного расширения и проверки качества линз, для исследования ударных волн
в газах и т. д.
Вопросы:
1.	Что понимается под временем когерентности немонохроматической волны? Что называется
длиной когерентности?
2.	Что понимается под пространственной когерентностью? Что такое длина пространственной
когерентности?
3.	Выведите условия для интерференционных максимумов и минимумов о отраженном и прохо-
дящем свете при интерференции в тонких пленках.
4.	Что называют полосами равного наклона и равной толщины?
5.	От чего зависит интенсивность главных максимумов при интерференции многих волн?
Глава 32______________________________________
Дифракция света
§ 32.1.	Принцип Гюйгенса — Френеля
1.	В геометрической оптике широко пользуются понятием светового луча, т. е. узкого
пучка света, распространяющегося прямолинейно. Прямолинейность распространения
света в однородной среде настолько привычна, что кажется очевидной. Убедительным
подтверждением этого закона может служить образование тени позади непрозрачного
препятствия, находящегося на пути света, излучаемого точечным источником. Границы
тени определяются лучами света, которые проходят мимо препятствия, касаясь erd
поверхности.
Прямолинейность распространения света легко объяснялась теорией И. Ньютона
(1704), господствовавшей в физике XV11I в. Согласно этой теории, свет представляет
собой поток особых частиц (световых корпускул), которые в однородной среде движут-
ся равномерно и -прямолинейно. В то же время прямолинейность распространения
света не была столь очевидна с позиций волновой теории. Ведь по принципу Гюйгенса
каждую точку поля волны можно рассматривать как источник вторичных волн,
распространяющихся вперед по всем направлениям, в том числе и в область геомет-
рической тени препятствия. Иначе говоря, волны должны огибать препятствия. Таким
образом, неясно, как вообще может возникать сколько-нибудь четкая тень, если свет
имеет волновую природу. Первоначальная волновая теория света, предложенная Гюй-
генсом (1690), не могла дать ответа иа этот вопрос. Однако серьезные трудности
имелись и у приверженцев корпускулярной теории света, например в объяснении
явления интерференции. Кроме того, опыты показали, что закои прямолинейного
распространения света не является универсальным. Он особенно заметно нарушается
при прохождении света сквозь достаточно узкие щели и отверстия, а также при
освещении небольших непрозрачных препятствий. В этих случаях на экране, установ-
ленном за отверстием или препятствием, вместо четко разграниченных областей света
и тени наблюдается система интерференционных максимумов и минимумов освещен-
ности. Например, если на небольшой непрозрачный диск падает свет от точечного
источника S, расположенного напротив центра О диска, то на экране, установленном за
диском, наблюдается система концентрических темных и. светлых колец. Самым пара-
доксальным является то, что в центре колец, находящемся в точке пересечения прямой
SO с экраном, наблюдается светлое пятно! По мере увеличения радиуса диска интен-
сивности этого пятна и других светлых колец постепенно уменьшаются и за диском
образуется область геометрической тени. Однако даже для препятствий и отверстий,
имеющих большие размеры, строго говоря, нет резкого перехода от тени к свету.
Всегда существует некоторая переходная область, в которой можно обнаружить сла-
бые интерференционные максимумы и минимумы.
Совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюда-
ются при его распространении в среде с резко выраженной оптической неоднород-
ностью (например, при прохождении через отверстия в экранах, вблизи границ непроз-
рачных тел и т. п.), называется двфракцвей света.
В более узком смысле под дифракцией света понимают огибание светом встречных
препятствий, т. е. отклонение от законов геометрической оптики.
Решающую роль в утверждении в начале XIX в. волновой теории света и ее
дальнейшем развитии, позволившем, в частности, объяснить дифракцию света и дать
методы ее количественного расчета, сыграл О. Френель. Ему удалось также показать,
что закон прямолинейного распространения света является приближенным. Оказалось,
что этот закон, а также и вся геометрическая оптика абсолютно точны липп. в пре-
деле — при длине волны света А-»0.
436
2.	X. Гюйгенс сформулировал правило, называемое првлщом Гюйгеяса (1678), кото-
рое позволяет тЙти положение фронта волны в момент времени Г+А/, зная его
положение в предыдущий момент времени t и скорость волны с. Согласно этому
принципу, все точки поверхности S(t), через которые проходит фронт волны в момент
времени t, следует рассматривать как источники вторичных волн, а искомое положение
S(r+Ar) фронта в момент времени г+Аг совпадает с поверхностью, огибающей все
вторичные волны. При этом считается, что в однородной среде вторичные волны
излучаются только вперед, т. е. в направлениях, составляющих острые углы с внешней
нормалью к фронту волн. В однородной изотропной среде вторичные волны — сфери-
ческие (рис. 32.1).
Принцип Гюйгенса является чисто геометрическим способом построения волновых
поверхностей. Он никак не связан с физической природой волн и в равной мере
применим как к упругим, так я к электромагнитным волнам.
С помощью принципа Гюйгенса можно вывести законы отражения я преломления
света на границе раздела двух сред. На рис. 32.2 MN — плоская поверхность раздела
двух сред, скорость света в которых равна я »2. На эту поверхность падает под углом
i плоская волна (лучи 1 и 2). В момент времени t фронт волны (плоскость АВ) достиг
поверхности раздела в точке А. Поэтому точка А начинает излучать вторичные волны,
распространяющиеся как в первой среде (отраженная волна), так я во второй (проходя-
щая волна). За время Аг прохождения падающей волной расстояния ВС (£tf=\BC[/vt)
фронт вторичной волны, излучаемой точкой А, достигнет в первой среде точек полу-
сферы радиуса Я|=«1Аг=|ВС], а во второй среде — точек полусферы радиуса
R2a=v2^t=(v2Jvt) |ВС]. Фронт отраженной волны (лучи Г я 7), распространяющейся под
углом отражения Г, — плоскость DC, касающаяся сферы радиуса Я1 с центром в точке
А. Соответственно фронт проходящей (преломленной) волны (лучи Iя и 2я), распрост-
раняющейся под углом преломления г,— плоскость СЕ, жаающн&я сферы радиуса
Ri с центром в точке А. Из равенства &ACD и ДЛСВ сл*уег закон отражения света:
t=i. Из прямоугольных треугольников АСВ я АСЕ, имеющих общую гипотейузу,
следует закон прелоилевя света:
йп/ |ДС] я
---=---=—=n2j,
sin Г \АЁ{ V2
где n2i — относительный показатель преломления второй и первой сред.
3.	Принцип Гюйгенса не указывает способа расчета амплитуды волны, огибающей
вторичные волны. Поэтому принцип Гюйгенса недостаточен для расчета закономерностей
Рис. 32.1	Рис. 32.2
437
распространения световых волн Приближенный метод решения этой задачи, явля-
ющийся развитием принципа Гюйггаса на основе предложенной Френелем идеи о коге-
рентности вторичных волн и их интерференции при наложении, называется ирмщинвм
Гюйтам — Фрежеля (1815). Этот принцип можно выразить в виде следующего ряда
положений.
а)	при расчете амплитуды световых колебаний, возбуждаемых источником Sb в про-
извольной точке М, источник So можно заменить эквивалентной ему системой вторич-
ных источников — малых участков dr любой замкнутой вспомогательной поверхности
S, проведенной так, чтобы она охватывала источник Sb и не охватывала рассматрива-
емую точку М;
б)	вторичные источники когерентны So и между собой, поэтому побуждаемые ими
вторичные волны интерферируют при наложении; расчет интерференции наиболее
прост, если S — волновая поверхность для источника света So, так как при этом фазы
колебаний всех вторичных источников одинаковы,
в)	амплитуда аЛ колебаний, возбуждаемых в точке М вторичным источником,
пропорциональна отношению пшидадя dr соответствующего участка волновой поверх-
ности S к расстоянию г ст вето до точки М я зависит от угла а между внешней
нормалью к волновой поверхности и направлением от элемента dr в точку М:
ads
где а — величина, пропорциональная амплитуда первичной волны в точках элемента
dr, /(а) монотонно убывает от 1 при а=0 до 0 при а>я/2 (вторичные источники не
излучают назад)*,
г)	если часть поверхности S занята непрозрачными экранами, то соответствующие
(закрытые экранами) вторичные источники не излучают, а остальные излучают так же,
как и в отсутствие экранов
4.	С помощью принципа Гюйгенса — Френеля можно обосновать с волновой точки
зрения закон прямолмайяого распространения света  одаородво* среде. Пусть So —
точечный источник монохроматического света (рис. 32.3), а М — точка наблюдения.
В качестве вспомогательной поверхности S возьмем волновую поверхность радиуса R,
который выберем так, чтобы расстояние L от точки М до этой сферы (L=|ОЛ/|) было
порядка R. Разрбьем поверхность S на небольшие по площади кольцевые участки —
эмы Френеля, как показано на рис. 32.3, где А — длина волны света.
Рис 323
•Как показал Кирхгоф, f (i)—(1 +cos а)/2, т е обращается в нуль только при а—я, однако
при малых углах дифракции а это уточнение несущественно
438
Колебания, возбуждаемые в точке М двумя соседними зонами, противоположны по
фазе, так как разность хода от сходственных точек этих зон до точки М равна 2/2.
Следовательно, амплитуда результирующих колебаний в точке М равна
A^At-A2+A3-A4+...,	(32.1)
где At — амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке М вторичными мл очниками,
находящимися в пределах одной Ай зоны.
Величина At зависит от площади tr, i-й зоны и угла а, между внешней нор-
малью к поверхности зоны в какой-либо ее точке и прямой, направленно*
из этой точки в точку М. На рис. 32.4 точки В и Я соответствуют внешней
границе Ай зоны;	— внептний радиус Ай зоны, а |СО|«й(— высота
шарового сегмента ВОН. Из прямоугольных треугольников SqBC и МВС следует,
что г/=А2 —(A—AJ2=(£+iZ/2)2 —(£+AJ2, откуда после несложных преобразований
найдем
гся+ил^йг-ци/г)2.
Так как 2<к£, то при не очень больших i вторым членом в правой части уравнения
можно пренебречь по сравнению с первым, так что
А(-т2£Д2(А+£)],
г, - y/lRhi - <JttRL/(R+L).
Боковая поверхность шарового сегмента ВОВ, представляющая сумму площадей
всех t зон, начиная с первой, равна
<71 +<72+...+<7(«2itAA(=7tAbU/(A+£).
Полагая r= 1, 2, 3 и т. д., найдем, что все зоны Френеля равновелики по площади:
<71 «= <т2=...=trt=kRLX/(R+£).
В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол а< и в соответствии
с принципом Гюйгенса — Френеля уменьшается интенсивность излучения зоны в на-
правлении точки М, т. е. уменьшается амплитуда А* Она уменьшается с ростом i также
и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Таким образом,
At>А2> А3> ...> At>... . Общее число N зон Френеля, умещающихся на части сферы,
обращенной к точке М, очень велико:
L+Ю./2=y/(L+А)2—А2, Лг‘=2[л/£2+2£А—£]/А.
Если R=L= 10 см и 2=5 10-s см, то N»3'10s.
Поэтому можно считать, что в пределах не слишком больших изменений i зависи-
мость А/ от i является линейной, т. е.
Л=‘/2(Л-1+Л+1)-	(322)
Перепишем теперь (32.1) в виде
л = 72Л+(7аЛ -л2+1Мз)+(‘Мз-^+*Мз)+~- ’Mi.	(323)
так как по (32.2) все выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Формула (32.3)
показывает, что результирующее действие в точке М полностью открытого фронта
световой волны, возбуждаемой источником So, равно половине действия одной только
^игральной зоны Френеля, радиус и которой сравнительно мал (при А»£=10 см
4»
и 2=5' 10 5 см, п »0,016 см). Следовательно, с достаточно большой точностью можно
считать, что в свободном пространстве свет от источника So в точку М распространяет-
ся прямолинейно.
§ 32.2.	Дифракция Френеля
1.	Различают два случая дифракции света: дифракцию Френели, или дифракцию
в сходящихся лучах, и дифракцию Фраунгофера, или дифракцию в параллельных
лучах. В первом случае на препятствие падает сферическая или плоская волна,
а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся за препятствием
на конечном расстоянии от него. Во втором случае на препятствие падает плоская
волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фо-
кальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через
препятствие света. При дифракции Френеля на экране получается «дифракционное
изображение» препятствия, а прн дифракции Фраунгофера — «дифракционное из-
ображение» удаленного источника света.
В простейших задачах дифракции Френеля вид дифракционной картины можно
выяснить, пользуясь методом зон Френеля.
2.	Дифракция Френеля па небольшом круглом отверстии ВС в непрозрачном экране
(рис. 32.5).
Дифракционная картина наблюдается на экране Э, параллельном плоскости отвер-
стия и находящемся от него иа расстоянии L. Вопрос о том, что будет наблюдаться
в точке М, лежащей против центра отверстия, легко разрешается путем построения иа
открытой части ВС фронта волны 5 зон Френеля, соответствующих точке М. Если
в отверстии ВС укладывается т зон Френеля, то в соответствии с формулами (32.1)
и (32.2) амплитуда А результирующих колебаний в точке М зависит от четности или
нечетности т:
А = А1-А1 + А3-... + (-1)"'~1Ат, т. е.
(1 /2 (А 1 +	(т — нечетное),
Л =	(32.4)
( /i(Ai —А„) (т — четное).
В первом случае (т — нечетное) в точке М наблюдается интерференционный
максимум, во втором — минимум. Очевидно, чтб максимум и минимум будут тем
сильнее отличаться друг от друга, чем ближе значение Ат к А\. При неизменном
положении источника света число зон т зависит от диаметра отверстия и расстояния L.
Следовательно, при изменении диаметра отверстия либо при удалении от него или
приближении к нему экрана Э результат интерференции света в точке М должен
изменяться. Если диаметр отверстия велик, так что А„<с А\, то никакой интерференци-
онной картины иа экране ие будет — свет в этом случае распространяется практически
так же, как и в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием, т. е. прямолинейно.
Расчет амплитуды результирующих колебаний в других точках экрана 3 значитель-
но более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля оказываются частично
закрытыми непрозрачным экраном. Из симметрии системы и закона сохранения
энергии очевидно, что интерференционная картина вблизи точки М экрана 3 должна
иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в тоуке М. По мере
удаления от М интенсивность максимумов света убывает.
Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца
имеют многоцветную (радужную) окраску, так как число зон Френеля, укладывающих-
ся в отверстии, зависит от длины волны света.
3.	Из теории Френеля следует, что в том случае, когда в отверстии укладываете^
только одна зона Френеля, амплитуда колебаний в точке М (рис. 32.5) А = Аь т. е. вдвое
больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием (соответственно интен-
сивность света в точке М 1=А2 = А2). Амплитуду А можно значительно увеличить
с помощью зонной пластпнкн — стеклянной пластинки, на поверхность которой так
440
нанесено непрозрачное покрытие, что оно закрывает все четные зоны Френеля и оста-
вляет открытыми все нечетные зоны (либо, наоборот, закрывает все нечетные зоны
и оставляет открытыми все четные зоны). Если общее число зон, умещающихся на
пластинке, равно 2Хс, то А— Л1+Л3+...+ Если 2к не слишком велико, то
н АхкАу т. е. освещенность Экрана в точке М в /с2 раз больше, чем при
беспрепятственном распространении света от источника в точку М. Зонная пластинка
действует на свет подобно собирающей линзе.
4.	Дифракция Френеля на небольшом диске (непрозрачном круглом экране). Способ
построения зон Френеля на открытой части волновой поверхности S падающей моно-
хроматической сферической волны показан на рис. 32.6. Интерференционная картина
на экране Э имеет вид концентрических темных н светлых колец с центром в точке М,
где всегда находится интерференционный максимум (пятно Пуассона). Амплитуда
света в точке М равна половине амплитуды At, соответствующей действию в этой
точке одной только первой открытой зоны Френеля: А=А\Р„ При освещении диска
белым светом в центре экрана Э наблюдается белое пятно, окруженное системой
концентрических цветных колец.
По мере увеличения отношения диаметра диска d к расстоянию L от диска до
экрана 3 яркость пятна Пуассона постепенно уменьшается, а следующее за ним темное
кольцо расширяется, образуя область тени за диском.
5.	Из рассмотренных примеров видна плодотворность принципа Гюйгенса — Френе-
ля и основанного на нем метода зон, позволяющих сравнительно просто рассчитывать
интенсивность света для различных случаев дифракции. Однако, пользуясь этим при-
нципом, нужно всегда иметь в виду, что он является липп. приближенным расчетным
приемом, заменяющим строгое решение задачи о распространении света. Точное
решение волнового уравнения при заданных граничных условиях сопряжено с боль-
шими математическими трудностями и пока найдено лишь для некоторых простейших
случаев дифракции.
В теории Френеля предполагается, что амплитуд^ и начальные фазы колебаний
в точках поверхности S, не закрытых непрозрачными экранами, такие же, как и в отсут-
ствие последних. На самом деле это предположение неправильно, так как граничные
условия в точках поверхности экрана зависят от его материала. Например, в случае
металлического экрана с очень высокой электрической проводимостью вектор Е иа
внешних границах экрана или иа границах отверстий в нем должен быть направлен по
нормали к соответствующему участку поверхности экрана. Однако влияние материала
экрана на поле электромагнитной волны сказывается лишь иа малых расстояниях от
экрана, имеющих величину порядка длины волны А. Поэтому теория Френеля хорошо
согласуется с опытом для дифракции света на отверстиях и экранах, размеры которых
значительно больше Л.
Второй недостаток теории Френеля состоит в том, что она дает неправильные
значения фазы результирующей волны. Так, например, при графическом сложении
векторов амплитуд колебаний, возбуждаемых в точке М всеми малыми элементами
полностью открытого фронта волны, оказывается, что фаза результирующего вектора
441
А меньше ш я/2, чем фаза колебаний в точке М, происходящих в действительности
Для устранения этой ошибки в фазе нужно считать, что колебания всех вторичных
источников, расположенных вдоль некоторой поверхности S, совершаются с опереже-
нной по фазе на я/2 по сравнению с колебаниями в соответствующих точках поверх-
ности S, вызываемых первичной волной.
§ 32.3.	Дифракция Фраунгофера иа щели и круглом отверстии
1.	Дифракция в параллельных лучах впервые была рассмотрена И Фраунгофером
(1821 — 1822) Для получения пучка параллельных лучей света, падающих на препятст-
вие (ел верст ие или непрозрачный экран), обычно пользуются небольшим источником
света, который помещается в фокусе собирающей линзы Распределение по различным
управлениям интенсивности света за препятствием исследуется с помощью второй
собирающей линзы и экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы При
визуальном наблюдении вместо линзы и экрана пользуются зрительной трубой, на-
строенной на бесконечность. Наибольший практический интерес представляют случаи
дифракции, наблюдающиеся при прохождении плоской волны сквозь узкую щель или
круглое отверстие в непрозрачном экране и дифракционную решетку
2.	Пусть параллельный пучок монохроматического света падает нормально на непро-
зрачный экран Е (рис 32 7), в котором прорезана узкая щель ВС, имеющая постоянную
ширину Л=|ВС| и длину 1»Ь. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля точки
щеЛИ ЯВЛЯЮТСЯ ВТОРИЧНЫМИ ИСТОЧНИКаМИ воин, калеблЮЩИМИСЯ В ОДНОЙ фазе, та» тяг
плоскость щели совпадает с фронтом падающей волны Если бы при прохождении
света через щель сооблюдался закон прямолинейного распространения света, то на
экране Э, установленном в фоташ-доД плоскости собирающей линзы Л, получилось бы
изображение источника света. Вследетвне дифракции на узкой щели картина коренным
образом изменяется: на экране наблюдается система интерференционных максиму-
мов — размытых изображений источника света, разделенных темными промежутками
интерференционных минимумов.
В побочном фокусе F* ляяэц собираются все параллельные лучи, падающие на
линзу под углом ф к ее оптической оси ОГ0, перпендикулярной фронту падающей
волны. Оптическая разность хода между крайними лучами CN и ВАГ, идущими от щели
в этом направлении, равна А—|CD|—Аяш^г, где D — основание перпендикуляра, опу-
щенного из точки В на луч CN, а абсолютный показатель преломления воздуха
считается равным единице
Разобьем щель ВС на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру
В щели Ширит зоны равна 2/(2мп\|г), так что оптическая разность хода лучей,
проведенных из краев зоны параллельно ВМ, равна 2/2. Все зоны в заданном направле-
нии излучают свет совершенно одинаково При
Рис. 32.7
амплитуда результирующих колебаний равна ну-
лю, так как эти зоны вызывают колебания с ода-
света в точке F* определяется тем, сколько зон
Френеля укладывается в щели. Если число зон
четное, т е
Лят^-±2т2/2 (т-1,2, ),	(32 5)
темнота) Знак минус в правой части формулы
(32 5) соответствует лучам света, распространяю-
щимся от щели под углом — ф и собирающимся
в побочном фокусе линзы Л, симметричном
с F* отноаггельно главного фокуса F&
Если число эон нечетное, т. е
6sm^-±(2m+1)2/2 (м-1,2,...), (32.6)
442
то наблюдается даафракщюмвый максимум, соответствующий действию одной зоны
Френеля. Величина т называется порядком днфрикщкмщого максзшумд.
В направлении ф=0 наблюдается самый интенсивный центральный максимум нуле-
вого порядка: колебания, вызываемые в точке Fo всеми участками щели, совершаются
в одной фазе.
3.	Расчет дифракционной картины, основанный на использовании метода зон Френеля, является
приближенным. Точное решение этой задачи осуществляется путем разбиения щели на бесконеч-
ное число одинаковых бесконечно узких полос, параллельных ребру В. Вторичные волны, излуча-
емые этими малыми элементами щели в направлении луча ВЫ, имеют одинаковые бесконечно
малые амплитуды, а их начальные фазы заключены в интервале шириной &tp=*2itb яп ^/Л.
Результат интерференции этих волн дается формулой (31.17):
sin (пЬ sin ^/2)
пЬяп ^/2
(32.7)
где Ао амплитуда колебаний в дифракционном максимуме нулевого порядка, т. е. при ^*"0;
А* амплитуда результирующих колебаний, соответствующих произвольному углу ‘дифрак-
ции ф.
Из формулы (32.7) следует условие дцфракдежх вимвиумов дм щели
яЛыпф/Л" ±2rm/2 (m= 1, 2, .),
(32.5')
которое тождественно соотношению (32.5), полученному с помощью приближенного метода зон
Френеля.
Точное условие дифракционных максимумов несколько отличается от (32.6). В согласии
sin(Ac>/2)
с формулой (32.7) оно соответствует максимумам функции---------, в то время как условие (32.6)
. А«р/2
соответствует максимумам только мп(Аф/2). Точим условие миисмдлиов
tg(A<p/2)-Ap/2
или
tg (r.b sin ^/2)—nb sin ^/2.
(32.8)
Значения K^—ilsin^^l для максимумов нескольких порядков, вычисленные по формулам (32.8)
и (32.6), приведены в табл. 32.1.
Из таблицы видно, что различия между значениями Кт, определенными по формулам (32.8)
в (32.6), очень невелики, поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться более простой формулой
(326).
Интенсивности света в различных точ-
ках экрана 3 (рис. 32.7) пропорциональны
квадратам амплитуды А*. Из формулы (32.7)
следует, что
sin1 (яб sin ф/2)
“ /п----------------,
(я2> sin ф/2)1
(32.9)
где /0 интенсивность центрального макси-
мума, соответствующего ^»0. Зависимость
I* от b sin ф/2 показана на рис. 32.8. Основная
«часть света приходится на центральную Об-
\ластъ экрана, ограниченную двумя миниму-
мами первого порядка (6 sin ф» ±2). Из
формул (32.9) и (32.6) можно найти относи-
тельные интенсивности остальных максиму-
мов:
443

(32.10)
где /я— 1, 2, 3,...— порядок максимума Злаченая 1^10 даны в табл. 32.1.
Таблица 32.1
Порядок мяжгчгмума ви	Значение вычисленные по формуле		Ы1о
	(32 Л)	(326)	
0	0	0	1
1	1,43	1.50	0,045
2	2,46	2,50	0,016
3	3,47	3,50	0,008
4	4,48	4,50	0,005
4.	Дифракционная картина на экране Э (см. рис. 32.7) зависит от отношения ширины
b щели к длине волны 2 света. В самом деле, если Ь=тХ, где т — целое число, то, как
видно из соотношения (32.5), угол ф, соответствующий минимуму m-го порядка, равен
я/2. Следовательно, сколь бы ни были велики размеры линзы Л и экрана Э, на экране
нельзя наблюдать дифракционные максимумы, порядок которых больше т—1.
Шириной дифракцннввого максимума на экране называется расстояние между двумя
ограничивающими его дифракционными минимумами.
Например, ширина максимума нулевого порядка равна расстоянию между двумя
минимумами первого порядка. Если Ь/l невелико, т. е. щель очень узка, то все
наблюдающиеся ц^^^цуцц очень широки и дифракционная картина малоконтрастна.
Кроме того, поток энергии через узкую щель крайне невелик, так что интенсивность
даже нулевого максимума очень мала. Наоборот, если b/Х велико (широкая щель), то
центральный максимум очень узкий и яркий. Он представляет собой не что иное, как
изображение источника света, образуемое на экране линзой Л в соответствии с закона-
ми геометрической оптики.
До сих пор предполагалось, что щель освещается монохроматическим светом.
Положения дифракционных минимумов и максимумов всех порядков начиная с перво-
го зависят от длины волны света 2, поэтому при освещении щели белым остом
центральный максимум имеет радужную окраску по краям. Полное гашение света не
происходит ни в одной точке экрана, так как максимумы и минимумы света с разными
2 перекрываются.
5.	Большой практический интерес представляет дифракция плоской волны при прохо-
ждении через круглое отверстие. С этим типом дифракции приходится иметь дело
в различных оптических приборах, в которых роль отверстия играют оправы объек-
тивов. Если падающий пучок монохроматического света нормалей к плоскости отвер-
стия, то, как показывают расчеты, которые мы не приводим ввиду их математической
сложности, дифракционная картина в фокальной плоскости линзы имеет вид централь-
ного светлого пятна, расположенного в главном фокусе линзы и окруженного системой
чередующихся темных и светлых колец*. Интенсивности светлых колец очень малы по
сравнению с интенсивностью центрального максимума (например, Ц = 0,0184) и быст-
ро убывают с увеличением порядка максимума. Угол i^i, соответствующий первому
темному кольцу, определяется из условия
sin = 1,222/D,	(32.11)
где D — диаметр отверстия.
Если свет падает на отверстие под небольшим углом я, то характер дифракционной
картины не изменяется, но ее фнтр перемещается в побочный фокус линзы, соответст-
вующий углу я.
♦Предполагается, что источник света точечный.
444
§ 32Л. Дифракционная решетка
1.	Простейшая одвомервая дифракционная решетка представляет собой систему из
большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих
в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине.
На рис. 32.9 показаны только две соседние щели ВС и DE. Ширину щелей обозначим Ь,
а ширину непрозрачных промежутков — а. Величина d=a+b называется периодом, или
постоянной дифракционной решетки.
При освещении решетки монохроматическим светом дифракционная картина на
экране значительно сложнее, чем в случае одной щели, так как свет от разных щелей
также интерферирует.
2.	Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, падающей нормально
на поверхность решетки. Колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, так
как эти точки находятся на одной и той же волновой поверхности. Найдем резуль-
тирующую амплитуду А колебаний в точке F* экрана Э, в которой собираются лучи от
всех щелей решетки, падающие на линзу Л под углом к ее оптической оси О/о-
Воспользуемся для этой цели векторной диаграммой сложения амплитуд (см. рис.
31.8);
N
А=£ А,
/-1
где А, — вектор амплитуды колебаний, «фкгмгмш действием одной i-й щели; N —
число щелей в решетке. В одном и том же направлении все щели решетки излучают
свет совершенно одинаково, поэтому все векторы А/ равны по модулю: |AJ=А*. Сдвиг
фаз Лфо между А/ и A+i определяется оптической разностью хода b от сходственных
точек двух соседних щелей до точки F*. Например, для щелей ВС и DE на рис. 32.9
сходственными являются точки В и D, С и Е и т. д. Тогда
6=ЦИС]=d sin tfr,
A<Po=2a<5/A=2ndsin^/A,	(32.12)
где К — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на луч DN\ Z — длина
волны света (абсолютный показатель преломления воздуха принят равным единице).
Теперь можно воспользоваться результатами, полученными в § 31.4. Из формулы
(31.14), где Ai=A*, и выражения (32.12) следует, что
А=А*
яп(пШапф/Х)
sin (ти/sin ф/X)
(32.13)
Из (32.13) и (32.7) следует, что для амплитуды
А и интенсивности I колебаний в произвольной
точке F* экрана справедливы формулы
sin (яА sin X) sin (тгМ/йп ф/Х)
А = Aq •----------------------------,
яЬшоф/Л sin (itc/sin ф/Х)
(3214)
sin2 (яА sin ф/Х) sin2 (nNdtia ф/Х)
° (яЬшаф/Х)1	sin2(ж/sinф/Х) ’
гдё А$ я 4 — соответственно амплитуда и интен-
сквность колебаний в точке Fq (соответствующей
углу ф=0), обусловленные действием одной щели.
Рис. 32.8
445
3.	Из формул (31.15) к (3212) вытекает следующее условие дна главных naiirnjw
^яш^=»±л2,	(3215)
где я—О, 1, 2,...— оорадок гдавиаго шмеамума.
Главные минимумы соответствуют таким углам &, для которых Л^=0, т. е. акт от
5иных частей каждой щели водностью погашается в результате интер^^еренцюА.
словие глтг шамиумоа выражается соотношением (32.5).
Ьйпф— ±ml (jn-* 1, 2,...).
Из соотнопвний (31.159» (329) в (32.15) следует, что интенсивность колебаний
в главных максимумах равна
А=/о№
йаа(пЬ/4) / Nd\2
--------z~=Jo I — I sin
(luibldf
(32.16)
4.	Кроме главных максимумов имеется, как показано в § 31.4, большое число очень
слабых побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами. Послед-
ние определяются условием (31.16), которое с помощью формулы (32.12) представим
в виде
</яп ф “ ±рЦК,	(32.17)
где р прштпыяет любые целые положительные значения, хроме N, 2N, 3N и т. д.
Из (32.17) и (32.15) легко найти угловую ширину главного	л-го порядка,
т. с. разность Афа<"ф.—углов ф, соответствующих двум ближайшим к нему допол-
ннтедьным минимумам:
sin(Ля+!)*/(№)» шф>(АГя-1)Д/(ОД ааф^гй/d,
трр — угол ф, сошвепдвукяций главному максимуму. Поэтому
sm^-sm^=2l/(AM).	(3218)
Из тригонометрии известно, что
on -sin tf>2coa[WC+№] шпК^-^/2].
При больших разность	очень мала, так что
и sm[(,f£—^^)/2]«Л^я/2, поэтому
W'KlXKNdcotW).	(32.19)
Дця главных максимума» не слишком высоких порядков углы невелики
и cos 1, так что угловая ширина этих максимумов обратно пропорциональна длине
решетки Nd Например, при Nd= 1 см и 2—550 нм А^аи10“* радяв21*.
Таким образом, в монохроматическом свете дифракционная картина на экране
Э (рис. 32.9) имеет при больших Nd вид узких и ярких главных максимумов, разделен-
ных широкими темными промежутками.
При псяеттутш решетки белым светом на экране наблюдается неокрашенный
центральный максимум нулевого порядка, а по обе стороны от него — дафракдамше
спектры 1-го, 2-го и т. д. порядков, в которых наблюдается непрерывный переход от
окраски сине-фиолетового цвета у внутреннего края спектра к красной у внешнего жран
В. При наклонном падении света на дифракционную решетку разность хода двух
сходственных лучей, показанных на рис. 32.10, равна t5=t/(sm^—жп/), где i — угол
падения света на поверхность решетки. Обычно удобнее характеризовать направления
446
падающего ш решетку и дифрагировавшего на Ьей
оста посредством углов во и а, которые составляют
эти направления с осью ОХ, проведенной в плоскости
решетки перпендикулярно Тогда б—d(cosa—
-cosoq) и условие дди гневитт максимумов имеет вид
d(cota—сое во) — ±л2,	(3220)
где п°0, 1, 2, — порядок главного максимума
В. Два экрана называются дмммплван, если от*
верстиям в одном из них соответствуют точно такие
же по форме, размерам и взаимному расположению
непрозрачные участки другого, я наоборот Таковы,
например, непрозрачный экран в виде круга радиуса
R и непрозрачный экран с отверстием того же радиуса	sjjq
R. Исходя из принципа Гюйгенса — Френеля можно
доказать теорему Бабия (праипи Бабйе) при фаунгоферовой дифракции на каком-
либо экране интенсивность дифрагированного света в любом направлении, кроме
направления распространения падающей иа экран плоской волны, дг»™™ быть такой
же, как и при дифракции на дополнительном экране
§ 32Л. Дифракция иа пространственной решетка
1. Простраястмжой, иди трехмерной, дафражедоиивй ракетной называется такал оп-
тически неоднородная среда, неоднородности которой периодически повторяются при
изменении всех трех пространственных координат.
Примером пространственной дифракционной решетки может служить кристал-
лическая решетка твердого тела. Частщы, образующие эту решетку (атомы, молекулы
иди ионы), играют роль упорядоченно расположенных центров, когерентно расоенва-
ющнх падающий иа них свет. Пусть db th, th — периоды решетки по трем осям
координат С if, (, которые проведаны вдоль трех ребер решетки, пересекающихся
в каком-либо из ее узлов Тогда при дифракции Фраунгофера главные максимумы
удовлетворяют трем соотношениям, которые вытекают из условия (3220) для дифрак-
ционных максимумов при наклонном падении света на одномерную дифракционную
решетку Эти соотношения, называемые услоикми Лауз, имеют вид
4 (соаа—cosoo)— ±лД
<h(fxn fl-cot ftj-±nji,
4(соау-совуа)=*= ±л»у
(3221)
Здесь во, flo, Уо и я, fl, у — углы апщу осями координат {, iy, ( и направлениями
распространения соответственно падающего и дифрагировавшего света, я(, nj и Я) —
делые числа, определяющие порядок максимума; 2 — длина волны света.
1 Из трех углов я, fl и у (соответственно во, flo и Уо) независимыми являются только
дав угла, так как они должны удовлетворять одному геометрическому соотношению,
конкретный вид которого зависит от углов между осями координат {, г/, С Например,
если оси координат взаимно перпендикулярны, т е если решетки ортогональна, то
геометрическое соотношение между я, fl и у имеет вид
соаая+сов1Д+сов1у-1.	(3222)
т
При произвольно заданном направлении падения монохроматического света с за-
данной длиной волны 2 на пространственную дифракционную решетку, вообще
говоря, ггльзя найти значении я, fl и у, которые бы одновременно удовлетворяли
а геометрическому соотношению, и треи условиям Лауз. Единственное исключение
447
представляет максимум нулевого порядка (щ =Л1=л3“=0), для которого а^осо, Paflo
И 7=70
Для наблюдения дифракционного максимума порядка (л*, Дъ л3) при заданных
^значениях углов ао, fio и у0 необходимо, чтобы длина волны падающего света имела
вполне определенное значение. Например, в случае ортогональной решетки из (32.21)
и (32 22) следует, что длина волны должна быть равна
*»1	"2	*Ц
- СОЯ«о+—СОЯД)+—СОЯ1Ц)
<4	ч	ч
2= -2-------------------------.
(32 23)
Если длина волны падающего света фиксирована, то условия Лауз и геометричес-
кое соотношение между углами a, fl и у можно одновременно удовлетворить путем
соответствующего выбора направления падейия света на дифракционную решетку, т. е.
углов ад, flo и уо~
3.	Из (32 21) следует, что при 2»2dL— где 4» — наибольшее из значений dlt d2 и <f3,
должны отсутствовать все дифракционные максимумы, кроме нулевого Oh=п2=п3=0).
Свет с такими длинами волн распространяется в среде, «не замечая» ее неоднород-
ности, т. е. не испытывая дифракции. Поэтому условие 2з»2г4ижв называют уединим
оптической однородности среды.
Постоянныс кристаллических решеток твердых тел значительно меньше длин волн
видимого света (dt~5 10“10 м, 2~5 10-7 м), поэтому для видимого света кристаллы
являются оптически однородной средой*. В то же время для значительно более
коротковолнового рентгеновского излучения кристаллы представляют естественные
цифра iniwnHHuf решетки.
4.	Русский физик Г. В. Вульф и английский У. Л. Брэгг независимо друг от друга
предложили (1913) простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения в кри-
сталлах. Они исходили из предположения о том, что дифракцию рентгеновского
излучения можно рассматривать как результат его отражения от системы параллель-
ных сетчатых плоскостей кристалла, т. е. плоскостей, в которых лежат узлы кристал-
лической решетки. Это отражение, в отличие от обычного, осуществляется лишь при
таких условиях падения лучей на кристалл, которые Соответствуют интерференцион-
ным максимумам для лучей,‘отряжейиык от разных плоскостей. Нарке. 32.11 показаны
две соседние сетчатые плоскости кристалла АА' и ВВ. Абсолютный показатель Прело-
мления всех сред для рентгеновскогоизлучения близок к единице. Поэтому оптическая
разность хода между двумя лучами Г и 2, ^тгря-жаютцимне.» от плоскостей АА' и ВВ,
равна 6 - |D£]+=2z/sin V, где d — межплоскостное расстояние, а V — угол между
падающими и отраженными лучами и плоскостью АА' (угол скольжения). Если длина
волны рентгеновского излучения равна 2, то интерференционные максимумы отраже-
нии удовлетворяют следующему условию, называемому условием Брэгга — Вульфа:
2daaU =л2,	(3224)
где п= 1, 2, ...— порядок дифракционного максимума. Можно показать, что условие
Брэгга - Вульфа вытекает как следствие из общих соотношений (32.21). На рис. 32.11
видно, что угол дифракции ф, т. е. угол между отраженным и падающим лучами,
равен 2
5.	Из формулы (32.24) следует, что наблюдение дифракционных максимумов возмож-
но только при определенных соотношениях между длиной волны 2 и углом 2Г или
дополнительным ему углом падения *=»я/2—
2/яп 1Л = 2/cos i=2d(n.	(32.243
•Следует заметать, что в кристаллах возможно молекулярное рассеяние видимого светя
(см 5 33 3)	।
448
Рис. 32,12
Рис 3211
Этот результат лежит в основе различных методов акктральвого анализа реят-
геиовасого излучения, т. е. определения значений А по известным d или измеренным
в опыте значениям V для дифракционных максимумов. Наиболее распространен метод
—чающегося (или вращающегося) кристалла. Узкий пучок исследуемого рентгеновс-
кого излучения, прошедший через отверстия в диафрагмах Dj и (рис. 32.12),
направляется на кристалл К, постоянные d которого известны*. В процессе покачива-
ния (или вращения) кристалла вокруг оси О, перпендикулярной плоскости чертежа,
изменяется угол V, благодаря чему обеспечивается выполнение условия (32.24) для
всех длин волн 2, содержащихся в спектре анализируемого рентгеновского излучения.
В качестве регистрирующего устройства используется фотопластинка Ф. После прояв-
ления фотопластинки на ней наблюдается система дифракционных максимумов, име-
ющих вид темных пятен. По положению этих пятен мовшо найти соответствующие им
значения углов V, а из формулы (32.24) — значения А.
в. С помощью дифракции рентгеновского излучения на кристаллах можно осуществ-
лять их реятгеяоструктурвый анализ, т. е. исследовать строение кристаллических реше-
ток и определить межплоскостные расстояния. Эта идея, впервые высказанная немец-
ким физиком М. Лауэ (1912), явилась существенным вкладом в развитие физики
твердого тела. Изображение монокристалла, получаемое на фотопластинке в резуль-
тате дифракции узкого пучка «белого» рентгеновского излучения (с непрерывным
спектром) на неподвижном кристалле, называется лаузграммой.
В рентгеноструктуриом анализе широко применяется метод исследования поли-
кристаллических образцов, предложенный П. Дебаем и П. Шеррером (1916). В методе
Деб— — Шеррера узкий пучок монохроматического рентгеновского излучен— R пада-
ет на небольшой образец О (рис. 32.13), состоящий из множества мелких кристалликов,
которые по-разному ориентированы относительно
падающего пучка. В качестве образца можно, напри-
мер, использовать мелкий кристаллический порошок.
Рентгенограмма образца, полученная на фотопла-
стинке Ф по методу Деб— — Шерера, называется
дебаеграммой. О— представляет собой систему кон-
центрических интерференционных колец, центры ко-
торых лежат в точке пересечен— падающего пуч-
ка с плоскостью фотопластинки. На рис. 32.13 пока-
заны два луча, соответствующих дифракционному
максимуму л-го порядка по формуле (32.24) условия
Брэгга — Вульфа. Радиус этого кольца
Рис 32.13
r„=Hg2^.= /tg{2arean[nJ/(2d)]},	(32.25)
где I — расстояние от образца до фотопластинки.
*В каждом монокристалле можно провести через узлы решетки несколько систем парал-
лвльных между собой сетчатых плоскостей с различными значениями параметра d
449
§ 32.8. Голография
1. Обычный фотографический метод получения изображений объектов основан на
регистрации с помощью фотопластинки (или фотонпрптп) различий в интенсивности
стета, рассеиваемого разными мп ними элементами поверхности объекта. Дня этого
при фотосъемке действительное изображение объекта в фотоаппарате проецируется на
светочувствительную поверхность фотопластинки. Полученный негатив и отпечатан*
ная с него позитивная фотография объекта — лишь приближенные, двумерные образы
трехмерного объекта Об объемности объекта можно судить только по светотеням,
имеющимся на его фотографичестом изображении. Более совершенным является сте-
реоскопический фотоснимок. Однако и в этом случае ве удается получить такого же
полного ощущения объемности, как при непосредственном наблюдении самого
объекта Дело в том, что, разглядывая стереоскопический фотоснимок с помощью
стереоскопа, мы ве можем, например, изменить положение точки наблюдения и уви-
деть то, что было закрыто во время съемки предметом, находящимся на переднем
плане,— не можем «заглянуть за этот предмет».
2. Английский физик Д Габор (1948) высказал идею принципиально нового метода
получения объемных изображений объектов. Он предложил регистрировать с помо-
щью фотопластинки не только амплитуды (или их квадраты, т. е. интенсивности, как
при обычном фотографировании), но и фазы рассеянных объектом волн, воспользовав-
шись для этого явлением интерференции волн. Таким способом можно получить
и зарегистрировать на фотопластинке значительно более полную информацию об
объекте, нежели путем обычного фотографирования Свой метод Габор назвал голог-
рафией *.
Рис 3214
Суть этого метода пояснена на рис
32 14. С помощью фотопластинки Ф (рис
32 14, а) регистрируется интерференцион-
ная картина, возникающая при наложе-
нии волны 7, рассеянной объектом
А и называемой оогиадмой волной, или
предметам пучком, и когерентной ей во-
лны 2, имеющей фиксированные значе-
ния амплитуды и фазы. Волна 2, называ-
емая опорной ВОЛНОЙ, ИЛИ OHQJBB1M пуч-
ком, испускается тем же источником све-
та, который освещает объект, и после
отражения от зеркала В падает непосред-
ственно на фотопластинку Ф Интерфе-
ренционную картину, зафиксированную
на фотопластинке после ее проявления,
называют голограммой объекта Голограмма, в отличие от фотографического негатива
объекта, не имеет внешнего сходства с объектом Она представляет собой очень мелкий
и замысловатый узор из чередующихся малых областей различного почернения эмуль-
син.
Получение голограммы связано с осуществлением интерференции света при боль-
ших разностях хода, т. е. требует весьма высокой степени когерентности света Прак-
тическое осуществление идеи Габора стало возможным лишь в начале 60-х годов после
создания лазеров Они являются незаменимыми источниками стета в голографии
3. Восстановление изображения объекта по его голограмме показано на рис 32.14, б.
Голограмму С просвечивают как диапозитив той же опорной волной 2, которая
использовалась при получении голограммы, причем ориентация голограммы по от-
ношению к опорной волне также должна быть сохранена Эта световая волна диф-
рагирует на голограмме В результате дифракции наблюдаются два объемных изоб-
ражения объекта мнимое и действительное Мнимое изображение А' находится в том
же месте по отношению к голограмме, где помещался объект А при съемке голограм-
мы. Это изображение видно при наблюдении сквозь голограмму ках через окно
•Hdloa [греч) — весь, полный и grtpho (греч) — пишу, рисую.
450
Действительное изображение А" расположено по другую сторону голограммы Оно как
бы висит в воздухе перед голограммой и является зеркальным изображением объекта,
что представляет определенные неудобства.
Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зритель-
ному восприятию тождественно самому объекту. Оно шляется объемным, а его
перспектива изменяется в зависимости от положения глаз наблюдателя по отношению
к голограмме. Например, перемещая голову вдоль голограммы, наблюдатель может
«заглянуть за предмет», находящийся на переднем плане голографического изображе-
ния. Точно такой же эффект получается при изменении положения точки визуального
наблюдения непосредственно самого объекта.
4. Интерференционная картина в каждой точке голограммы определяется светом,
рассеянным всеми точками объекта. Поэтому каждый участок голограммы содержит
информацию обо всем объекте. Следовательно, если голограмма случайно разбилась,
то с помощью даже малого сохранившегося ее осколка можно восстановить изображе-
ние всего объекта. Разница состоит лишь в том, что чем меньше размеры оставшейся
части голограммы, тем меньше ее разрешающая способность и тем меньше света на
ней дифрагирует на стадии восстановления изображения, соответственно тем менее
четким и ярким будет восстановленное с ее помощью изображение. Между тем каждый
элемент поверхности обычного фотоиегатива содержит информацию только о той
части объекта, изображением которой он является. Частичное повреждение фотонега-
тива неизбежно сопровождается потерей некоторой части информации об изображен-
ном на нем объекте. Таким образом, с точки зрения надежности хранения записанной
на ией информации голограмма значительно превосходит обычный фотонегатив.
Наконец, на одну и ту же фотопластинку можно последовательно записать несколько
различных голограмм, изменяя каждый раз, например, угол падения опорной волны.
5. Можно получить цветное голографическое изображение объекта. Для этого при
изготовлении голограммы пользуются монохроматическим светом трех основных
цветов (например, красным, зеленым и синим), испускаемым тремя разными лазерами.
На стадии восстановления изображения иа голограмму нужно одновременно напра-
вить три опорных пучка света от тех же трех лазеров.
Ю. Н. Денисюк впервые получил (1962) объемам голограмма, используя для этого
толстослойные фотоэмульсии. Такие голограммы ведут себя подобно пространствен-
ным дифракционным решеткам. Они способны выделять из белого иста свет той
длины волны или тех нескольких длин волн, который был использован при получении
голограммы. Для восстановления изображения, записанного в виде объемной голо-
граммы, последнюю достаточно осветить белым светом. Если при изготовлении
объемной голограммы был использован свет трех основных цветов, то при освещении
этой голограммы белым светом наблюдается цветное изображение объекта.
Применение голографии открывает принципиальную возможность создания систем
стереоскопического цветного голографического кино и телевидения. Очень перспектив-
но использование голографических методов для создания новых, весьма надежных
н очень емких систем памяти вычислительных машин, систем поиска заданной инфор-
мации и ряппознянямия образов, а также для кодирования информации.
§ 32.7.	Разрешающая способность оптических приборов
1.	Изображение объекта в любом оптическом приборе (телескопе, микроскопе, фото-
аппарате и т. п.) получается с помощью ограниченного пучка света, пропускаемого
в прибор иертураой даафрагмой. Роль такой диафрагмы играет, например, диафрагма
фотоаппарата, оправа объектива телескопа и т. д. Уменьшение диаметра апертурной
диафрагмы способствует ослаблению различных искажений изображения, обусловлен-
ных использованием широких пучков света и называемых remit цм кг» вив аберрациями
оптической гттгмы Однако вследствие дифракции света в оптическом приборе изоб-
ражение светящейся точки имеет вид ие точки, а светлого пятна, окруженного системой
концентрических интерференционных колец (темных и светлых в случае монохромати-
ческого света и радужных в случае белого света). Это явление ограничивает раз-
решающую способвость ошического прибора, т. е его способность давать раздельные
изображения двух близких друг к другу точек объекта
451
2.	Согласно крггерню Рэлея, изображения двух одинаковых точечных источников
света еще можно видеть раздельно, если центральный максимум дифракционной
картины от одного источника совпадает с первым минимумом дифракционной кар-
тины от другого. Из (32.11) следует, что в соответствии с критерием Рэлея две близкие
звезды, наблюдаемые в телескоп в монохроматическом свете с длиной волны Л, видны
раздельно, если угловое расстояние между ними
Дф>1,22Л/Д	(32.26)
где D — диаметр объектива. Величина (Дф)0=1Д2Л//> называется угловым пределом
разрешения телескопа, а обратная величина 1/(Д<р)0 — разрешающей силой телескопа.
Разрешающая сила телескопа растет пропорционально диаметру его объектива. Усло-
вие разрешения для зрительной трубы и фотоаппарата при рассматривании и фотогра-
фировании удаленных предметов совпадает с условием разрешения для телескопа.
Угловой предел разрешения глаза определяется дифракцией света на зрачке (Z>~2
мм) и зернистой структурой сетчатки глаза. Он составляет около Г.
3.	Разрешающая способность микроскопа характеризуется величиной (Д/)о минималь-
ного рагаттляпия между двумя тостами предмета, видимыми на изображении раздель-
но. В случае самосветящегося предмета, все точки которого можно считать некогерент-
ными источниками,
(Д/)о=О,61Л<1/Л,
где Л) — длина волны света в вакууме; Л=лаши — числовая апертура объектива;
л — показатель преломления среды, находящейся между предметом и объективом;
и — половина угла раствора пучка света, исходящего из точки предмета и попадающе-
го в объектив микроскопа. Для несамосветящихся Предметов Значение (Д/)о зависит от
условий освещения. Однако и в этом случае (Д/)о>Л>/Я.
Увеличение разрешающей способности микроскопа можно осуществить либо за
счет уменьшения длины волны Ад, либо за счет увеличения числовой апертуры А.
Первый способ реализуется в ультрафиолетовой микроскопии и в электронной микро-
скопии, а второй — в вммерсяОнвом микроскопе, в котором пространство между
предметом и объективом заполняется прозрачной жидкостью с показателем преломле-
ния л> 1.
Вопросы:
1.	Чем принцип Гюйгенса — Френеля отличается от принципа Гюйгенса?
2.	В чем состоит метод эон Френеля? Поясните принцип действия зонной пластинки.
3.	В каких случаях при дифракции Френеля на небольшом круглом отверстии в непрозрачном
экране в центре дифракционной картины получается светлое пятно, а в каких — темное?
4.	В чем различие между дифракцией Френеля и дифракцией Фраунгофера?
5.	Как влияют период дифракционной решетки и ее размер на дифракционную картину?
в. Каковы особенности дифракции на пространственной решетке?
7. Поясните сущность голографического метода регистрации и воспроизведения объемных
изображений предметов.
в. Что понимают под разрешающей способностью оптического прибора и от чего она зависит?
Глава 33________________________________________
Распространение света в веществе
§ 33.1. Взаимодействие света с веществом
1. Согласно представлениям классической электронной теории, переменное электро-
магнитное поле световой волны, распространяющейся в диэлектрической среде, вызы-
вает вынужденные колебания связанных зарядов (электронов и иоиов), входящих
в состав молекул среды. Соответственно каждую молекулу среды можно рассматри-
вать как систему осцилляторов с различными циклическими частотами собственных
колебаний. Ионы значительно массивнее электронов и совершают заметные колебания
только под действием низкочастотного (инфракрасного) излучения. В области частот
видимого и ультрафиолетового излучения определяющую роль играют вынужденные
колебания внешних, наиболее слабо спячячиых электронов атомов и молекул, называ-
емых оптическими электронами
2. В процессе вынужденных колебаний электронов с частотой v падающего на вещест-
во света периодически изменяются дипольные электрические моменты молекул. Следо-
вательно, как было показано в § 30.3, молекулы излучают вторичные электромагнит-
ные волны, частота которых также равна v. Средние расстояния между частицами
вещества во много раз меньше длины когерентности света, поэтому вторичные волны,
излучаемые весьма большим числом соседних молекул среды, когерентны как между
собой, так и с первичной волной. При наложении они интерферируют, причем резуль-
тат интерференции зависит от соотношения их амплитуд и начальных фаз.
Расчеты показывают, что в однородном изотропном веществе в результате ин-
терференции образуется проходящая волна, направление распространения которой
совпадает с направлением первичной волны, а фазовая скорость зависит от частоты.
В оптически неоднородной среде в результате наложения первичной и вторичных волн
возникает рассеяние света. Наконец, при падении света на границу раздела двух
различных сред в результате интерференции возникает не только проходящая, но
и отряженная волна. Таким образом, отражение света происходит не от геометричес-
кой поверхности раздела сред, а от более или менее значительного слоя частиц среды,
прилегающих к границе раздела.
1. В связи с вопросом о поведении света на границе раздала двух сред особый интерес представ-
ляет явление полного внутреннего отражения света от оптически менее плотной среды
Теоретический анализ, проведанный А. А ЭЙхенвальдом (1908), показал, что при полном
внутренне* отражении электромагнитное поле световой вотшы не обрывается на границе раздала,
а частично проникает и во вторую (оптически менее плотную) среду. Однако амплитуды
Eq и Но ияпрджмпкугтиВ поля очень быстро умень-
шаются по мере углубления во вторую среду:
(2ят /ат1 i
JГ--1
^2 V И21
где z — расстояние от границы раздела; Л] — дли-
на волны света во второй среда, i — угол падения
(/> tp), пл — относительный показатель преломле-
ния второй среды (Л]1 < 1) Глубина проникновения
поля во вторую среду соизмерима с длиной волны
JL Это явдание можно обнаружить на опыте Так,
в опыте Г Квинке, схема которого показана на рис
33 1, плоатопараллвльный слой воздуха толщиной
d находился между стеклянным плпуцяшгяпром
453
А и стеыявной причылй В При d»- Л (Л — длит световых води в воздухе) и углах падении />
ост в призму В не проходил. При малых толщинах d (порядка Л и меньше) энергии поля в воздухе
на транш* с призмой В была еще достаточно велижа и через призму проходил свет
Если оппнесжи менее плотная среда способна под действием света флуоресцировать, то
□ронияновеяие в ное электромагнитного поля при />^ можно обнаружить по флуоресцентному
свечению тонкого слоя среды, прилегающего к границе раздела. Этот метод был предложен
Л. И Мандельштамом и П Зелени
§ 33.2.	Поглощении света
1.	Из опытов известно, что по мере распространения плоской световой волны в веще-
стве ее интенсивность постепенно уменьшается
Явление уменьшения энергии световой волны при ее распространении в веществе,
происходящее вследствие преобразования энергии электромагнитного поля волны во
внутреннюю энергию вещества или в энергию вторичного (фотолюминесцеитного, см
{ 39.12) излучения, имеющего другой спектральный состав и иные направления рас-
пространения, называется воглоищвям пета
Поглощение света может вызывать нагревание вещества, возбуждение и ионизацию
атомов жди молекул, фотохимические реакции и другие процессы в веществе.
Еще в XVIII в. П Бугер (1729) экспериментально, а И Ламберт (1760) теоретически
установили закон ноглощежв свеп, называемый закоаом Бугера — Ламберта.
шпигнвнигпи плоской полам кюнохроматачоошго саатн ума-
ш шнотгн но моря прохождения через поглощающую среду по
мвпоиешвшьмому закону:
7=7ое
(33.1)
Здесь /0 и J—интенсивности света на входе и выходе из слоя среды толщиной х;
д' — сттраи&жгй вокяокпшь ногдощкмя среда, который зависит от химической при-
роды я состояния поглощающей среды и от длины волны света Л Показатель поглоще-
ния d —- величина, обратная расстоянию, на котором интенсивность плоской монохро-
матической волны уменьшается в е»2,718 раза
Для разбавленного раствора поглощающего вещества в непоглощающем раствори-
теле выполняется зякоа Берг </=Ьс, где с — концентрация раствора, а b — коэффици-
ент пропорциональности, не чавимпуД от с В концентрированных растворах закон
Бера нарушается из-за влияния взаимодействия между близко расположенными моле-
кулами поглощающего вещества.
2.	В согласии с законом Бугера — Ламберта уравнение плоской пинеД но поляризован-
ной монохроматической световой волны, распространяющейся в поглощающей среде
вдоль положительного направления оси ОХ, имеет вид
E-Eoe'^cosCcur-Jtx)	(33.2)
Здесь £ — напряженность электрического поля волны в точках с координатой х;
Ео — амплитуда Е в точках плоскости х-0. В экспоненциальной форме (29.79 уравне-
ние этой волны имеет вид
Е^Е^-'жГ2^-к1)^ая-Яаа1е\	(33 3)
Я-п-тЛ	(334)
— компдассш* показатель преломлена поглощающей средет, а
«=о'с/(2ш) - а'А0/(4я)	(33 5)
454
— глмвй ожштш воглощвдея среды, характеризующий убывание интенсивности
и амплитуды плоской волны по мере ее распространенна в среде; — длина
волны света в вакууме.
3.	Зависимость натурального показателя поглощения диэлектрика d от длины волны
света До, характеризующая соастр поглощена оетв в этой среда, связана с явлением
резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах
диэлектрика Диэлектрики поглощают свет более или менее селективно поглощение
велико лишь в областях частот, близких к частотам собственных колебаний электронов
дотомах и атомов в молекулах. Наиболее четко это явление рпливтного поглощемви
света обнаруживается у разреженных одноатомных газов (например, у паров большин-
ства металлов), для которых характерен лнейчатый спектр поглощения света. Дискрет-
ные частоты интенсивного поглощения света совпадают с частотами собственного
излучения возбужденных атомов этих газов
У газов с многоатомными молекулами наблюдаются системы тесно расположен-
ных линий, образующих полосы погяощешя Структура полос поглощения определяет-
ся составом и строением молекул Жидкие и твердые диэлектрики имеют сплошные
спектры вогдощежя, состоящие из сравнительно широких полос поглощения, в пре-
делах которых яя туря пылай показатель поглощения d лвенвпел значительной вели-
чины и плавно изменяется в зависимости от длины волны Л& Такой ход зависимости d
от До у конденсированных сред объясняется сильным взаимодействием между части-
цами среды, приводящим к появлению множества дополнительных резонансных ча-
стот
4 С И Вавилов в В Л ЛЕвшин (1926) в экспериментах по поглощению света
в урановом стекле обнаружили первый нелинейный аффект в оптике оказалось, что
показатель поглощения а уранового стекла зависит от интенсивности / света, уменьша-
ясь с увеличением I Такой характер зависимости d от I легко истолковывается
в квантовой теории взаимодействия света с веществом. При поглощении света часть
молекул среды переходит в возбужденное состояние Эти молекулы не могут уча-
ствовать в дальнейшем поглощении света до тех пор, пока они не вернутся, растратив
свою избыточную энергию, в невозбужденное («нормальное») состояние Доля возбуж-
денных молекул среды тем больше, чем больше интенсивность света в чем больше
среднее время <т> жизни молекулы в возбужденном состоянии. Если деля этих молекул
незначительна, то поглощение света происходит в соответствии с законом Бугера —
Ламберта В противном случае d у^ттятя с ростом интенсивности света. Обычно
с, а для уранового стекла в опытах Вавилова — Лёвшина оно было на
четыре порядка больше- <т>~3 10~* с.
В А. Фабрикант показал (1940), что можно осуществить такое неравновесное
состояние вещества, при котором доля возбужденных молекул будет столь велика, что
коэффициент поглощения вещества станет отрицательным. Это возможно, когда число
актов поглощения света, пропорциональное числу невозбужденных молекул, меньше
числа актов вынужденного излучения света возбужденными молекулами, пропорци-
онального числу последних. Среды с отрицательными коэффициентами поглощения
используются для стдяныя квантовых генераторов радиоволн и видимого света,
называемых соответственно мазерами в лазерами (см гл. 40)
5 В заключение рассмотрим вопрос об отражении и поглощении света металлами
В газообразном состоянии металлы являются диэлектриками и не обнаруживают
каких-либо аномальных оптических свойств В конденсированном состоянии металлы
содержат огромное количество электронов проводимости и потому обладают высокой
электрической проводимостью Под действием света электроны проводимости совер-
шают переменное движение и излучают вторичные волны. В результате наложения
первичной волны, падающей на поверхность металла, и вторичных волн образуются
интенсивная отраженная волна и сравнительно слабая волна, проходящая в металл
Коэффициент отражения может достигать 0,95 и более Он зависит от чистоты поверх-
ности металла, его электрической проводимости и частоты света Преломленная волна
очень быстро поглощается в металле Ее энергия расходуется на джоулеву теплоту,
выделяемую токами проводимости, возникающими под действием света в тонком слое
металла у его поверхности В области частот инфракрасного излучения оптические
свойства металлов определяются главным образом электронами проводимости Одна-
455
ко в области видимого света и особенно ультрафиолетового излучения заметную роль
начинают играть связанные электроны, находящиеся в ионах металла. Это приводит
к уменьшению коэффициента отражения и заметной 1 его зависимости от частоты.
Например, коэффициент отражения от чистой поверхности серебра изменяется от 0,95
при Ло=7ОО нм до 0,042 при 2о=316 нм. Соответственно возрастает и прозрачность
тонкой пленки серебра. Аналогичные закономерности обнаруживаются у щелочных
металлов.
§ 33.3.	Рассеянна свата
1.	Рассеянием света называется явление преобразования света веществом, сопровож-
дающееся изменением направления распространения света и проявляющееся как несоб-
ственное свечение вещества.
Это свечение обусловлено вынужденными колебаниями электронов в атомах, моле-
кулах или ионах рассеивающей среды под действием падающего цвета. Как показал
Л. И. Мандельштам (1907), рассеяние света может возникать только в оптически
неоднородной среде, показатель преломления которой нерегулярно изменяется от
точки к точке. Примерами таких сред могут служить мутные среды — аэрозоли (дым,
туман), эмульсии, коллоидные растворы, матовые стекла и т. п., содержащие мелкие
частицы, показатель преломления которых отличается от показателя преломления
окружающей среды.
В случае оптически однородной среды ее одинаковые малые (по сравнению с кубом
длины волны света) объемы, содержащие равное и притом достаточно большое число
молекул, можно рассматривать как фиксированные в пространстве когерентные источ-
ники вторичных волн. Следовательно, можно отвлечься от теплового движения фак-
тических источников вторичных волн — атомов и молекул среды, если только это
движение не нарушает оптической однородности среды. В такой среде рассеяние света
должно отсутствовать, так как для всех направлений, отличных от направления
первичного пучка света, вторичные волны взаимно гасятся из-за интерференции.
Иначе обстоит дело в случае оптически неоднородной среды. Если расстояние
между малыми по размеру неоднородностями среды (например, между инородными
частицами мутной среды) значительно больше длины волны света, то эти неоднород-
ности ведут себя как независимые вторичные источники света. Излучаемые ими волны
не когерентны между собой и при наложении не могут интерферировать, поэтому
оптически неоднородная среда рассеивает свет по всем направлениям.
2.	Рассеяние света в мутных средах на частицах, размеры которых малы по сравнению
с длиной волны света 2, называется явлешем Тяццвля. Его можно наблюдать, напри-
мер, при прохождении яркого пучка света через слой воздуха, заполненный мелкими
частичками дыма, или через сосуд с водой, в которую добавлено немного молока,
содержащего небольшие капельки жира. Если мутная среда освещается пучком белого
света, то при наблюдении сбоку, т. е. в рассеянном свете, она кажется голубоватой.
В свете, прошедшем сквозь достаточно толстый слой мутной среды, обнаруживается
преобладание длинноволнового света, так что в проходящем свете среда кажется
красноватой. Система электронов, совершающих вынужденные колебания в атомах
электрически изотропной частицы малого размера го~(О,1 — 0,2)2, эквивалентна одно-
му колеблющемуся электрическому диполю (линейному гармоническому осциллято-
ру). Этот диполь колеблется с частотой падающего на него света, а согласно (30.26)
интенсивность излучаемого им света пропорциональна ш*. Для рассеянного света
справедлив закон Рэлея (1899):
-	~ т~ ~
интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна
четвертой степени длины аолны:
7~2 ♦.
В случае рассеяния естественного света зависимость интенсивности 1в рассеянного
света от угла рассеяния в тлеет вид
456
h=4д0 + “в2 fl),
где Цр — интенсивность света, рассеиваемого под утлом fl=n/2, т. е. перпендикулярно
направлению первичного пучка. Если молекулы рассеивающего вещества электрически
изотропны (неполярные молекулы), то свет,'рассеиваемый под утлом б=л/2, полно-
стью поляризован: вектор Е перпендикулярен плоскости, проходящей через падающий
и рассеянный лучи.
Явление Тиндаля используется в ультрамикроскопе для обнаружения мельчайших
коллоидных частиц размером до 10“’ м и наблюдения за их движением Ось трубы
ультрамикроскопа установлена перпендикулярно направлению пучка света от освети-
теля. В глаз наблюдателя попадает только свет, рассеянный коллоидными частицами,
которые имеют вид блестящих звездочек, выделяющихся на общем черном фоне поля
зрения.
По мере увеличения размеров г0 неоднородностей в мутной среде указанные выше
закономерности рассеяния света постепенно искажаются. При го>А зависимость 1д(в)
имеет сложную форму, причем интенсивность рассеяния вперед, т. е. в направлениях
6<п/2, больше, чем назад. Это явление называется эффектом Ми. Свет, рассеиваемый
под углом 0=л/2, поляризован лишь частично. Закон Рэлея также нарушается. При
Го» А спектральный состав рассеянного света практически совпадаст'со спектральным
составом падающего света. Этим объясняется, например, белый цвет облаков.
3.	Рассеяние света наблюдается также в чистых средах, не содержащих каких-либо
частиц примесей (например, в чистых газах и жидкостях, истинных растворах). Оно
называется молекулярным ряссоошем света и обусловлено, ках впервые предположил
М. Смолуховский (1908), флуктуациями плотности, возникающими в процессе ха-
отического теплового движения молекул среды. Дополнительными причинами возник-
новения оптической неоднородности в чистых средах с анизотропными (полярными)
молекулами являются флуктуации ориентаций молекул (флуктуации анизотропии),
а в истинных растворах, кроме того, флуктуации концентрации. А. Эйнштейн, ос-
новываясь на идее М. Смолуховского, создал теорию молекулярного рассеяния света
(1910). Как показывают расчеты, размеры участков среды, соответствующих более или
меиее значительным флуктуациям, при обычных условиях значительно меньше длин
волн видимого света. Теория Эйнштейна привела к тем же результатам в отношении
зависимости интенсивности рассеянного света от Л и fl, а также характера поляризации
рассеянного света, что и теория Рэлея.
Молекулярным рассеянием в атмосфере коротковолновой части видимого солнеч-
ного света объясняется голубой цвет неба. По тем же причинам при восходе и закате
прямой солнечный свет, прошедший сквозь значительную толщу атмосферы, должен
быть красно-оранжевым. Флуктуации плотности и интенсивность рассеяния света
возрастают с увеличением температуры. Этим объясняется более насыщенный цвет
неба в ясный летний день по сравнению с таким же зимним днем.
Наиболее значительные флуктуации плотности в газах возникают в критическом
состоянии, т. е. в состоянии, когда газ по своим свойствам становится тождественным
жидкости. При этом наблюдается столь интенсивное рассеяние света, называемое
критической опалесценцией, что даже сравнительно тонкий слой вещества полностью
рассеивает весь падающий на него свет. Аналогичное явление наблюдается в растворах
при критической температуре смешения, соответствующей максимальной или мини-
мальной температуре расслоения раствора на две несмешивающнеся жидкости.
Рассеяние света на флуктуациях анизотропии значительно слабее рассеяния иа
флуктуациях плотности. Однако оно представляет большой научный интерес, так как
из анализа спектрального состава и поляризации рассеянного света можно получить
ценные сведения относительно электрических свойств и строения анизотропных моле-
кул.
4.	Молекулярное рассеяние света происходит также и в кристаллических твердых телах Это
явление, значительно более слабое, чем рассеяние в жидкостях, впервые было обнаружено
экспериментально Г С. Ландсбергом (1926). Теория молекулярного рассеяния света в кристаллах
была разработана Л И. Мандельштамом и его школой (Г. С Ландсберг, М. А Леонтович и др.)
Благодаря сильному взаимодействию между частицами в кристаллах флуктуации плотности,
457
обусловливающие р&ссехихе светж, тесно связаны с упругими свойствам! всего жрнсталда. Слу-
чайно возникшие флуктуации дхв.текиж и свеянные с ними флуктуации плотности должны
распространяться в жрясталле в вядв упругих тепловых волн*. Исходя из этой основной идеи,
Мандельштам пришел к выводу, что рассеяние света в кристаллах можно рассматривать как
результат дифракции падающего оста на уирутих тепловых волнах гиперзвуковых частот (~ 101®
Ги)
Теории Мандельштаме оказалась применимой не только к кристаллам, но н к аморфным
твердым телам ж жидкостям. Из нее следовал важный вывод о том, что при молежулжрвоы
рассеянии света в указанных средах должна существовать товТпв струн тура сонара рвссеяавмго
свеп, обусловливая модуляцией свеп гипврзауковыми упругими волнами Оказалось, что
в свете, рассеянном под углом В, помимо несмещенной компоненты с частотой v первичного света
должны наблюдаться «олщепные» компоненты с частотами v+Av н v—Av, прячем
tf	в
Av—2 — vein
v	2
где •' и т>	гнперм^ка и^саета в рассеивающей среде Это явление получило дачмиа
В жидкостях возможны только продольные упругие волны, поэтому наблюдаются дм
«смещенные» компоненты В аморфном твердом теле возможны как продольные, так и попереч-
ные упругие волны, имеющие различные скорости и v'3 Соответственно наблюдаются четыре
«смещенные» компоненты рассеянною света. В анизотропных кристаллах на опыте наблюдаются
шесть «смещенных» компонент
§ 33.4. Дисперсия cam
1.	Дисперсией пета называется зависимость фазовой скорости света в среде от его
частоты V.
Согласно (30.31), v—cfn, где с — скорость света в вакууме, а п — показатель
преломления среды. Так как с — универсальная постоянная, одинаковая для электро-
магнитных волн любой частоты, то существование дисперсии света в среде обуслов-
лено тем, что показатель преломления среды зависит от частоты v. Эта зависимость
легко обнаруживается, например, при прохождении пучка белого света через призму,
изготовленную из какой-либо прозрачной среды. На экране, установленном за при-
змой, наблюдается радужная полоска (рис 33.2), которая называется призматическим
(или лвсперсяоншм) иширом
2.	Зависимость показателя преломления среды п от частоты v света нелинейная
и немонотонная. Области значений v, в которых (дл/dv) >0, т. е с ростом v увели-
чивается также и л, соответствуют нормалвой дасперсм снега Нормальная дисперсия
наблюдается у веществ, прозрачных для света Например, обычное стекло прозрачно
для видимого света и в этой области частот наблюдается нормальная дисперсия света
Рис 33 2
Согласно (29 38), групповая скорост
волновым числом к соотношением и
в стекле (рис 33.2).
Дисперсия света называется ввомяльяой, ес-
ли (dn/dv)<0, т. е. с ростом v показатель прело-
мления среды уменьшается. Аномальная диспе-
рсия наблюдается в областях частот, соответст-
вующих полосам интенсивного поглощения све-
та в данной среде. Например, у обычного стекла
эти полосы находятся в инфракрасной и ультра-
фиолетовой частях спектра.
3.	В зависимости от характера дисперсии груп-
повая скорость и света в веществе может быть
как больше, так и меньше фазовой скорости в
связана с циклической частотой ш волны и ее
dw/dJt. Так как ш—2kv, a Jt—2я/2=2япу/с, то, как
легко видеть,
*Понитие об этих волнах впервые было введено П Дебаем (1912) для объявших тепловых
свойств кристаллических твердых тел.
458
С	V
л+v (d л/dv) 1 + (v/л) (d л/dv)
При нормальной дисперсии групповая скорость меньше фазовой (и<е). В случае
dn
аномальной дисперсии к> v, и, в частности, если n+v — < 1, то и> с. Этот результат не
। dv
противоречит утверждению специальной теории относительности о том, что скорость
передачи любого сигнала (в том числе и светового) не может превосходить с. Понятие
групповой скорости правильно описывает распространение только такого сигнала,
«форма» которого, т. е. распределение амплитуды и энергии по его «длине», не
изменяется при перемещении сигнала в среде. Однако для света это условие выполняет-
ся лишь приближенно и тем точнее, чем уже спектр частот сигнала и чем меньше
дисперсия света в среде. В областях частот, соответствующих аномальной дисперсии,
групповая скорость не совпадает со скоростью сигнала, так как вследствие значитель-
ной дисперсии света «форма» сигнала быстро изменяется по мере его распространения
в среде.
§ 33.5.	Классическая электронная теория дисперсии света
1.	Оптически прозрачные среды немагнитны (д«1), так что для их показателей
преломления справедлива формула (30.31'), из которой следует, что
п2=£=1 + х,	(33.6)
где £ и у — относительная диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая воспри-
имчивость среды. Таким образрм, дисперсию света можно рассматривать как следст-
вие зависимости £ и % от частоты v переменного электромагнитного поля света,
вызывающего поляризацию среды. Для частот видимого света поляризация среды
происходит только вследствие смещения оптических электронов атомов и молекул.
Таким образом, поляризованность с)>еды можно найти по формуле (15.8'):
Р = ЛоР»,
где по — концентрация атомов (молекул) среды; р, — наведенный полем электрический
момент атома, обусловленный смещением оптических электронов.
Если каждый атом содержит только один оптический электрон, то р,= — ет, где
г — смещение электрона из положения равновесия, и поляризованность среды
Р= -лоег.	(33.7)
С другой стороны, по формуле (15.9),
P=Z£oE,	(33.8)
где Е — напряженность электрического поля световой волны.
Из (33.6) — (33.8) видно, что для отыскания вида зависимости показателя прелом-
ления среды от частоты света нужно найти связь между смещением г оптического
электрона и напряженностью Е поля.
2.	Оптический электрон совершает вынужденные колебания в поле световой волны
под действием следующих Сил:
а)	возвращающей квазиупругой силы F,= — met^r, где Ai и шо — масса электрона
и циклическая частота его свободных незатухающих колебаний;
dr
б)	силы сопротивления, пропорциональной скорости электрона: Fc= — 2mf! —, где
fl — коэффициент затухания свободных колебаний электрона;
в)	вынуждающей силы F= — еЕ, действующей на электрон со стороны переменного
поля напряженности Е.
Уравнение вынужденных колебаний
459
dnr	dr	_ e
—+2/J-+w2r= — E.	(33.9)
dra	dr	m
В случае линейно поляризованного монохроматического света с циклической часто-
той to напряженность поля E=E^coswr, где Е^=const — вектор амплитуды. Если,
кроме того, среда не поглощает свет, то 0=0 и установившиеся вынужденные колеба-
ния оптического электрона, как легко проверить, совершаются по закону
г = — еЕДти (wj—w2)].	(33.10)
В этом случае поляриэованносгь среды
Р=Лое2ЕДт (wj - w2)],
X=noe2/[£om(w2-w2)],
так что зависимость показателя преломления среды от со имеет вид
л2 = 1+noe2/[£</n(wQ-w2)].	(33.11)
Таким образом, по мере увеличения
ния среды монотонно возрастает
п (0) = -,/1 + п0е2/(т£ссо2) до +оо. При а
Ч-оо до —со, а по мере дальнейшего
со от 0 до шо абсолютный показатель преломле-
от статического показателя преломления
=со0 значение п скачкообразно изменяется от
увеличения со от со0 до оо значение п вновь
монотонно возрастает от —оо до 1. График
зависимости n(w) по формуле (33.11) показан
на рнс. 33.3.
3. Неограниченное возрастание /ил при
w-»wo физически бессмысленно и практичес-
ки неосуществимо. При значениях со, близких
к Wo, нельзя пренебрегать поглощением
света в среде и считать /1=0. В поглощающей
среде (т. е. при /1#0) колебания оптического
электрона и поляризованносги Р сдвинуты
по фазе относительно колебаний напряжен-
ности Е поля:
Рис 33.3	r=Acos(wr+<p0). (33.12)
Амплитуду А и сдвиг фаз <р0 можно найти по формулам (28.25), заменив в них П на
со и Го на —
А= — еЕо/[л! ^/(wj—w2)2 +4/l2w2],
tg<?o= -20w/(w£-w2).
Соответственно
лос^Ео cos (шг+Фо)
Р=------------—-----
Л> у/(<uj—ш2)2 +4/Ра?
(33.12')
(33.13)
Можно показать, что из (33.13) следует такая зависимость n(w), которая отличается
от (33.11) только в области значений со, близких к coq. График этой зависимости вблизи
wq изображен на рис. 33.3 штриховой линией.
Для описания свойств поглощающей свет среды вводят наряду с комплексным показателем
преломления (33.4) Я» л—ije комплексную даэлектрнческую воспржчивпг п. / и комплексную
даэжктрнческую проницаемость I:
460
X-PlfaE), г=1 +z, A2=i+i.
(33.14)
Здесь ? и E — комплексные значения поляризованности и напряженности поля:
лое2^о ехр [£ (ш/+фо)1
г=-----	, £»£Ьехр(шг),	(33.15)
т у/(mJ—ш2)2 +4Д2ш2
гаг что
лое2 ехр (£фо)
(л- /Эе)2 = 1+----    = -.	(33.16)
е&Пу/((о2—ш2)2 +4Д2ш2
Так как ехр(£ф(1)=со5фо + 1‘Б1пфо1 то, сравнивая действительные и мнимые члены в обеих
частях уравнения (33.16), а также учитывая, что
сое фо=(mJ—w2)/A/(fflJ-w3)2 +4Д2ш2,
яп Фо— — 20OJ/V(mJ—ш2)2 + 4Д2ш2,
л2-тД?2=1 +noe2(mJ-m2)/{e0m[(mJ-m2)2+4P2m2l},	(33.17)
2л^б=2лое2Дт/{еот[(ш2—т2)2 +4Д2т2]}-	(33.18)
Из формулы (30.30) и расчетов т= 1/Д, приведенных в § 30.3, видно, что Д«кш, поэтому
влияние затухания на зависимость л (го) существенно лишь в области частот т, очень близких к cdq.
За пределами этой области 4^2m2«K(mJ—ш2!2 ъ9С 2«кл2, так что формула (33.17) практически
сопадает с (33.11). График зависимости л(т) по формуле (33.17) вблизи т=т0 имеет вид,
показанный на рис. 33.3 штриховой линией.
4. До сих пор мы основывались на предположении о том, что у каждого вещества
имеется только одна характерная для него циклическая частота од свободных колеба-
ний оптических электронов. В действительности, как показывают опыты, при прохож-
дении света сквозь любое газообразное вещество наблюдается целый ряд характерных
для этого вещества линий поглощения. Следовательно, каждое вещество характеризу-
ется определенным набором различных циклических частот city, В классической теории
дисперсии света вводится предположение о том, что каждый атом (или молекулу)
вещества можно рассматривать как систему из I гармонических осцилляторов — заря-
женных частиц с различными эффективными зарядами % и массами mj, совершающих
свободные незатухающие колебания с циклическими частотами од^. Под действием
электрического поля световой волны все эти осцилляторы совершают вынужденные
колебания и вносят свой вклад в поляризацию вещества, а следовательно, и в выраже-
ние для его показателя преломления.
Если коэффициент затухания для осциллятора J-ro сорта, соответствующего циклической
частоте city, равен fy, то
юп j-i (а^-аУу+4^аУ
(33.19)
Ф* £ (m2-m2)24-4/?;m2'
(33.20)
Безразмерный коэффициент

461
называется силой у-го оскллятора. Он характеризует вклад этого осциллятора в диспер-
сию и поглощение света. В классической теории дисперсии значения а>у и f} предполага-
ются известными из опыта
У газовЭС «1, а п мало отличался от 1, так что я1—1 = (п+1)(п—1)»2(п—1).
Поэтому зависимость я (ш) имеет вид
! ( яре* у (а>2-а>2)/;
2*оя»у_1 (а2-т2У+4А}т2'
(33.19')
Вблизи каждой из частот aty наблюдается аномальная дисперсия
§ ЗЗ.б.	Излучение Вавилове — Черенкова
1.	П. А Черенков, изучая люминесценцию прозрачных жидкостей под действием
у-нзлучения, обнаружил (1934), что у-иэлучение вызывает очень слабое голубоватое
свечение прозрачных жидкостей. Анализ свойств этого излучения показал, что оно не
имеет ничего общего с люминесценцией Так, например, оно наблюдалось во всех
чистых жидкостях независимо от их химического состава, причем его интенсивность
практически не зависела ни от температуры жидкости, ни от содержания в вей
примесей, которые должны были Сы вызывать резкое ослабление («тушение») свечения,
если бы оно являлось люминесцентным.
С. И. Вавилов высказал основополагающее предположение о том, что обнаружен-
ное Черенковым свечение связано с движением в веществе свободных электронов,
образующихся под действием у-язлучения Однако попытка объяснить это излучение
торможением электронов в жидкостях оказалась неудачной. Расчеты показали, что для
всех жидкостей, исследованных Черенковым, интенсивность излучения, наблюдавшего-
ся в опытах, хотя и была очень невелика, но все же во много раз превосходила
возможные значения интенсивности тормозного излучения электронов в видимой части
спектра Объяснение природы этого нового типа излучения свободных электрически
заряженных частиц при движении их в веществе, названного излучением (эффектом)
Вавилова — Черкасова, было дано советскими физиками И. Е. Таммом и
И М. Франком (1937).
2.	В § 303 говорилось о том, что заряженная частица (например, электрон) излучает
электромагнитные волны только тогда, когда она движется с ускорением. Однако, ках
впервые показали Тамм и Франк, доказательство этого утверждения основывается на
предположении, что никакая заряженная частица не может двигаться со скоростью,
превосходящей скорость света. Между тем теория относительности позволяет лишь
утверждать, что скорость V любой заряженной частицы всегда меньше скорости с света
в вакууме' V<c. Заряд, движущийся равномерно и прямолинейно в вакууме, дейст-
вительно не излучает электромагнитных волн. В прозрачном веществе фазовая ско-
рость видимого света меньше с. Она равна с/n, где л>1 —абсолютный показатель
преломления вещества. Следовательно, в веществе заряд может двигаться со «сверх-
световой» скоростью: (с/л)< V<c. Тамм и Франк показали, что заряженная частица,
движущаяся в веществе со сверхсветовой скоростью, должна излучать электромагнит-
ные волны. Таким образом, окна объяснена природа эффекта Вавилова — Черенкова
и указаны условия его возникновения.
Следует заметить, что в процессе излучения Вавилова — Черенкова энергия и ско-
рость излучающей свободной частицы, конечно, уменьшаются, т. е частица тормозит-
ся. Однако весьма существенно, что в отличие от тормозного излучения, являющегося
следствием изменения скорости частицы, уменьшение скорости частицы при эффекте
Вавилова — Черенкова само является следствием излучения Иными словами, если бы
убыль энергии частицы на излучение Вавилова — Черенкова каким-либо образом
восполнялась и частица двигалась бы с постоянной сверхсветовой скоростью, то
излучение Вавилова — Черенкова все равно имело бы место, тогда как никакого
тормозного излучения частицы не было бы.
3.	Рассмотрим подробнее вопрос об излучении электромагнитных волн заряженной
частицей, движущейся в вехдестве вдоль оси ОХ с постоянной скоростью V (рис. 33.4)
462
Рис. 33.4
Заряженная частица вызывает кратковремен-
ную поляризацию вещества в окрестностях тех
точек, через которые она проходит при своем
движении. Поэтому молекулы среды, лежащие
иа пути частицы, становятся кратковременно
действующими когерентными источниками
элементарных электромагнитных волн, интер-
ферирующих при наложении.
Если V<v=c/n, то элементарные волны га-
сят друг друга. Пусть заряженная частица
в моменты времени t и /+Дг находится соот-
ветственно в точках А и В, расстояние между которыми /=РДА Разность хода
элементарных волн, которые излучаются из точек А и В в произвольном направлении
в, составляющем угол а с вектором V,
Д=|D/| = (» — Fcoe я)Д/=/(»/ F—cos а).
Для каждого значения А длины волны излучения можно найти такое значение 1=1^,
при котором Д—А/2, так что элементарные волны гасят друг друга:
1

/<u-------------.
2(е/У—сова)
(3321)
При 1=1,1 излучение в направлении и из любой точки М отрезка. АВ траектории
заряженной частицы гасится при интерференции излучением в том же направлении из
сходственной ей точки N соседнего участка ВС (Ц?С| = |ЛЛ| — 4J, отстоящей от М на
расстоянии — Следовательно, при равномерном прямолинейном движении
заряженной частицы в веществе с «досветовой» скоростью частица не излучает.
4. Если частица движется в воцестве со «сверхсветовой» скоростью y>v=c/n, то
значение удовлетворяющее условию гашения элементарных волн:
Л
/<ц-----------.
2 Ы V- cos а|
можно найти для всех а, кроме значения
ZA ~arcco8(v/P)~arcco8[c/(nP)],	(3322)
Для направления a = разность хода элементарных волн, излучаемых из любых
двух точек А и В траектории заряженной частицы (рис. 33.4), равна нулю*
Д=Ц)/]=(е-Fcoe^)Az=0.
Следовательно, в указанном направлении должно происходить взаимное усиление
этих элементарных волн при их интерференции, т. е. должно наблюдаться резуль-
тирующее излучение заряженной частицы — излученве
Вавилова — Черенкова. Из сказанного видно, что харак-
терная особенность излучения Вавилова — Черенкова
состоит в его направленности.
Свет, возникающий на каждом малом участке траек-
тории заряженной частицы, распространяется вдоль об-
разующих конуса, вершина О которого (рис. 33.5) рас-
положена на этом участке, ось совпадает с траекторией
частицы, а образующие составляют с осью угол
ZA=arccos[c/(nV)]. Свет Поляризован так, что вектор
Е направлен по нормали к поверхности конуса, а вектор
Н — по касательной к ней.
(3321Q
443
Эффект Вавилова — Черенкова нашел широкое практическое применение в со-
временной экспериментальной физике. На его основе созданы черепковские счетчики
заряженных частиц, с помощью которых можно не только регистрировать эти
частицы, но и определять модуль и направление скорости частицы.
Вопросы:
1.	Почему во взаимодействии видимого света с веществом участвуют только электроны?
2.	Как выглядит уравнение плоской линейно поляризованной монохроматической волны, рас-
пространяющейся в поглощающей среде?
3.	В чем заключается закон Рэлея для рассеяния света? Какие атмосферные явления с ним
связаны?
4.	Как доказать на основе классической электронной теории, что скорость рентгеновского
излучения во всех средах практически равнв скорости света в вакууме?
5.	Поясните, почему излучение Вавилова — Черенкова имеет вполне определенную направлен-
ность.
Глава 34_______________________________________________
Поляризация света
§ 34.1. Поляриэация-спэта при отражении и преломлении
на границе раздела двух диэлектрических сред
1. Поляризацией света называется выделение линейно поляризованного света из есте-
ственного или частично поляризованного.
Для этой цели используют специальные устройства, называемые поляризаторами.
Их действие основывается на поляризации света при его отражении и преломлении на
границе раздела двух диэлектрических сред, а также на явлениях двойного лучепрелом-
ления и дихроизма (см. § 34.2). Те же устройства можно использовать и в качестве
анализаторов, т. е. для определения характера и степени поляризации света.
Пусть на анализатор падает перпендикулярно плоскости ряс. 34.1 линейно поляри-
зованный свет, электрический вектор Е, которого направлен вдоль линии р — р
и колеблется с амплитудой А,. Пусть электрический вектор Е, света, пропускаемого
анализатором, направлен вдоль линии a — а, составляющей ср — ругол а Падающий
свет можно представить в виде двух волн, линейно поляризованных во взаимно
перпендикулярных плоскостях. Волна, электрический вектор Ei которой колеблется
вдоль направления, перпендикулярного a — а, с амплитудой А[ (А(—Л, sin а), не может
пройти через анализатор. Зато вторая волна, электрический вектор Ej которой колеб-
лется вдоль направления a — а, с амплитудой At (Aj—A^cosa), полностью проходит
через анализатор. Следовательно, амплитуда света, выходящего вз анализатора,
А,—А2—A, cos в	(34.1)
Соответственно интенсивности 1а и I, линейно поляризованного света, пропущен-
ного анализатором и падающего на него, связаны законом Мвлюся:
Za">Z,co82a.	(34.2)
Главной плоскостью поляризатора (или анализатора) называется плоскость поляри-
зации света, пропускаемого поляризатором (или анализатором).
2. При изучении закономерностей поляризации света
в результате отражения и преломления естественного
света последний удобно рассматривать как совокупность
одинаковых по интенсивности линейно поляризованных
волн двух типов: з- и p-волн. Из формул (30.39) видно,
что для всех углов падения света, кроме i=0, коэффици-
ент отражения j-волны (Ял) больше коэффициента от-
ражения p-волны (Я,). Поэтому в отличие от падающего
естественного света отраженный и проходящий (прелом-
ленный) свет частично поляризован. В отраженном свете
преобладают колебания вектора Е напряженности элект-
рического поля я-типа (перпендикулярно плоскости паде-
ния), а в проходящем — колебания p-типа (в плоскости
падения).
В § 30.5 было доказано, что отраженный свет полно-
стью линейно поляризован в плоскости, перпендикуляр-
ной плоскости падения при угле падения Брюстера, кото-
рый удовлетворяет условию (30.37):
465

(343)
Этот закон называется законом Брюстера Если то отражается только
j-волна Однако при /=/ер коэффициент отражения j-волны Д, значительно меньше
1 (около 0,15 для стекла). Таким образом, проходящий свет поляризован лишь
частично.
Степень поляризации проходящего света можно повышать, подвергая его ряду
последовательных отражений и преломлений Эго осуществляется в стопе, состоящей
из нескольких одинаковых и параллельных друг другу пластин из прозрачного диэлект-
рика (например, стекла), установленных под углом Брюстера к падающему пучку света
Если число пластин в стопе достаточно велико, то проходящий через нее свет оказыва-
ется тоже практически полностью линейно поляризованным (p-типа). В отсутствие
поглощения света в стоне интенсивности I, н 1Г отраженного и проходящего линейно
поляризованного света одинаковы и равны половине интенсивности /о падающего
естественного света*
W,= */a/o
3. Закон Брюстера можно пояснить, основыва-
ясь на полярной диаграмме направленности из-
лучения диполя (см рис 304) Согласно пред-
ставлениям классической электронной теории об-
разование отраженной волны обусловлено вто-
ричными волнами, которые излучают молеку-
лы — осцилляторы отражающей свет среды. Во-
лне 5-типа соответствуют осцилляторы (колеб-
лющиеся электрические диполи), оси которых пе-
рпендикулярны плоскости падения Эти осцил-
ляторы показаны на рис. 34 2 точками, нанесен-
ными на преломленный луч Из полярной диа-
граммы направленности излучения диполя (см.
рис 30.4) видно, что такие осцилляторы должны
интенсивно излучать во всех направлениях, лежа-
щих в плоскости падения, т е участвовать в об-
разовании как отраженной, так и преломленной
5- волн
Волне p-типа соответствуют осцилляторы, оси которых лежат в плоскости падения
и перпендикулярны преломленному лучу (показаны на рис. 34.2 в виде поперечных
черточек). Осцилляторы вдоль своей оси не излучают, а при отраженный луч
перпендикулярен преломленному и, следовательно, параллелен осям этих осциллято-
ров. При <Бр указанные осцилляторы не излучают в направлении отраженного луча
и вклада в отраженную волну не дают. Соответственно отраженный свет полностью
линейно поляризован (волна з-типа)
§ 34.2. Двойное лучепреломлении
1. В предыдущих главах, рассматривая закономерности распространения света в раз-
личных средах, мы предполагали, что среда оптически изотропна, т. е скорость света
в каждой точке среды не зависит ни от направления распространения световой волны,
ни от характера поляризации волны. Исследования показали, что при обычных услови-
ях газообразные, жидкие и аморфные твердые диэлектрики оптически изотропны. В то
же время почти все кристалднчесгпг диэлектрики оптически анизотропны Оказалось
также, что под ппияиием внешних воздействий среда, бывшая оптически изотропной,
может стать оптически анизотропной Эго явление называется искусетвешюй uuihu-
кой ямяэотропвей.
Закономерности распространения света в любой среде (изотропной иди анизотроп-
ной) в конечном счете определяются интерференцией первичной волны и вторичных
446
волн, излучаемых молекулами, атомами или ионами среды вследствие их электронной
поляризации под действием электрического поля Е световой волны. Поэтому оптичес-
кие свойства среды полностью обусловлены электрическими свойствами этих элемен-
тарных излучателей, их взаимным расположением и взаимодействием друг с другом.
Молекулы или атомы среды в зависимости от их строения могут быть электрически
изотропными или анизотропными. В первом случае их поляризуемость не зависит от
направления, во втором — зависит. Однако электрические свойства отдельных атомов
или молекул среды еще не определяют полностью оптические свойства этой среды.
Так, например, как мы уже указывали выше, все газы, жидкости и аморфные твердые
тела при обычных условиях оптически изотропны, хотя молекулы многих иэ них
электрически анизотропны. Причина этого заключается в полной хаотичности ориен-
таций молекул в газах, жидкостях и аморфных телах. Всякое упорядочение ориентаций
анизотропных молекул в этих средах под влиянием внешних воздействий приводит
к возникновению оптической анизотропии.
Если среда находится в кристаллическом состоянии, то ее частицы (атомы, молеку-
лы или ионы) располагаются в строгом порядке, образуя кристаллическую решетку.
Каждая частица находится в сильном взаимодействии с ближайшими соседями в ре-
шетке, так что излучение вторичных волн частицами кристаллической среды зависит не
только от электрических свойств самих частиц, но и от силового воздействия со
стороны других частиц. Из сказанного ясно, что оптическая анизотропия кристалла
может быть обусловлена как электрической анизотропией образующих его частиц, так
и анизотропией поля сил взаимодействия между частицами. Характер этого поля, т. е.
его изотропность или анизотропность, зависит от степени симметрии решетки кристал-
ла. Только кристаллы кубической системы (например, каменная соль NaCl), облада-
ющие весьма высокой степенью симметрии решетки, оптически изотропны. Все оста-
льные кристаллы независимо от электрических свойств образующих их частиц оптичес-
ки анизотропны.
2. Расчет интерференции вторичных волн в анизотропных кристаллах весьма сложен
Более простой метод изучения закономерностей распространения света в таких средах
основывается на применении к ним теории Максвелла для переменного электромагнит-
ного поля. При этом кристалл рассматривается
как однородная среда, диэлектрическая воспри-
имчивость х и относительная диэлектрическая
проницаемость г- 1+х которой не одинаковы
в различных направлениях*. Таким образом,
считается, что оптическая анизотропия немаг-
нитных кристаллов является следствием анизот-
ропии его относительной диэлектрической про-
м0
ницаемости.	х No
В оптически анизотропных кристаллах на-
блюдается явление двойного лучшреломлепя,
которое состоит в том, что луч света, падающий на поверхность кристалла, раздваива-
ется в нем на два преломленных луча. На рис. 34.3 показано двойное лучепреломление
света в кристалле исландского шпата.
3. Оптической осью кристалла называется направление в оптически анизотропном
кристалле, вдоль которого свет распространяется, не испытывая двойного лучепрелом-
ления. Важно отметить, что оптическая ось кристалла не Является какой-то одной
особой прямой линией в нем, подобной, например, оси симметрии тела Она харак-
теризует лишь избранное направление в кристалле и может быть проведена через
любую точку кристалла.
Оптически анизотропные кристаллы бывают, в зависимости от типа их симметрии,
однеоемми либо дв)ш шт т е. имеют одну или две оптические осн. Примером
одноосного кристалла является исландский шпат, отеческая ось которого совпадает
по направлению с диагональю M0N0 кристалла (ряс. 34.3), а также кварц, турмалин,
•Предполагается, что кристалл немагнитен, т е его относительная магнитная проница-
емость д—1
467
.	апатит, каломель и др. Двуосными кристаллами являют-
/	ся, например, гипс, слюда, топаз, ромбическая сера и др.
Главной плоскостью, или главным сечением, одноос-
, г вого кристалла для какого-либо луча называется плос-
е косгь> проходящая через этот луч и пересекающую его
—*----• • •—►	оптическую ось.
^/^,1	° В одноосном кристалле один из лучей, образующихся
j у / г	при двойном лучепреломлении, подчиняется законам пре-
ломления света: он лежит в плоскости падения и удовлет-
воряет закону Снеллиуса (30.34), поэтому его называют
™	обыкновенным лучом и обозначают буквой о. Второй луч
обозначают буквой е и называют неооыквовсншм лучом,
Рис. 34 4	так ках он> вообще говоря, не лежит в плоскости падения
и не подчиняется закону Снеллиуса. Например, даже
в случае нормального падения света на поверхность пластинки, вырезанной из одноос-
ного кристалла, необыкновенный луч преломляется (рис. 34.4). Угол его преломления
ге зависит от того, как ориентирована поверхность пластинки по отношению к оптичес-
кой оси кристалла. Он равен нулю только в двух случаях: а) если поверхность
пластинки перпендикулярна оптической оси (свет распространяется в пластинке вдоль
оптической оси, не испытывая двойного лучепреломления); б) если поверхность пла-
стинки параллельна оптической оси (свет распространяется в пластинке перпендикуляр-
но оптической оси).
В двуосном кристалле оба преломленных луча ведут себя как необыкновенные.
4. Двойное лучепреломление свидетельствует о том, что падающая на оптически
анизотропный кристалл световая волна возбуждает две волны, распространяющиеся
в кристалле, вообще говоря, по различным направлениям. В одноосном кристалле эти
волны называются обыкновенной и необыкновенной волнам*. Обыкновенный я необык-
новенный лучи показывают направления векторов Умова — Пойнтинга соответству-
ющих волн в кристалле, т. е. направления переноса энергии этими волнами.
Обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы*. В обыкновенной
волне вектор Ео направлен перпендикулярно главной плоскости кристалла для обык-
новенного луча. Электрический вектор Е, необыкновенной волны лежит в главной
плоскости кристалла для необыкновенного луча. Направления векторов Е в обыкновен-
ной и необыкновенной волнах условно показаны (рис. 34.4) точками на обыкновенном
луче и поперечными черточками на необыкновенном луче (предполагается, что оба
луча и пересекающая их оптическая ось MN кристалла лежат в плоскости чертежа).
5. Лучевой скоростью волны или скоростью луча в оптически анизотропном кристалле
называется скорость v переноса энергии волной.
В одноосном кристалле скорость обыкновенного луча v0 численно одинакова по всем
направлениям юв=с/по, где п0=const — показатель преломлена крастнлла для обык-
новенного луча. Соответственно скорость веобыквовеивого луча численно равна ve=cln„
где пе — показатель преломлено крпсталла для необыкновенного луча. Значения
л, и ve зависят от направления необыкновенного луча по отношению к оптической оси
кристалла. Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси, пе=п„ vr=vn. Значе-
ние пе наиболее сильно отличается от ng pjn направления, перпендикулярного оптичес-
кой оси: пе= пл.
6.	Лучевой поверхностью волны в кристалле называется геометрическое место концов
векторов v лучевой скорости волны, проведенных из некоторой точки О кристалла во
всевозможных направлениях.
В одноосном кристалле лучевая поверхность обыкновенной волны имеет вид
сферы, а лучевая поверхность необыкновенной волны — эллипсоида вращения вокруг
оптической оси MN, проведенной через точку О. Эллипсоид и сфера касаются друг
друга в точках их пересечения с оптической осью MN. Если л,> п0, то эллипсоид вписан
•Часто говорят о линейной поляризации обыкновенного в необыкновенного лучей, пони-
мая под этим поляризацию соответствующих нм волн.
468
Рис. 34.5
Рис. 34.6
в сферу (рис. 34.5, а), а если пг^пв, то эллипсоид описан вокруг сферы (рис. 34.5, б).
В первом случае одноосный кристалл называется оптически положительным (например,
кварц, каломель, киноварь и др.), во втором — оптически отрицательным (например,
исландский шпат, турмалин, апатит и др.).
7.	Для объяснения двойного лучепреломления в одноосном кристалле и нахождения
направлений обыкновенного и необыкновенного лучей можно воспользоваться графи-
ческим методом Гюйгенса. Пусть на плоскую поверхность ah одноосного оптически
отрицательного кристалла (или вырезанной из него пластинки) падает под углом
i плоская неполяризованная световая волна (рис. 34.6). Оптическая ось кристалла MN,
проведенная в точке А поверхности ah, лежит в плоскости чертежа и составляет с ab
угол у. В момент времени t фронт AD падающей волны достиг точки А поверхности
кристалла, и она становится источником двух линейно поляризованных элементарных
вторичных волн в кристалле — обыкновенной и необыкновенной. К моменту времени
Г+Аг, где Дг — время прохождения падающим светом расстояния DK, возмущение,
распространяющееся из точки А в виде обыкновенной элементарной волны, достигает
точек сферы радиуса и„Дг с центром в А. Возмущение, распространяющееся из точки
А в виде необыкновенной элементарной волны, достигает к этому же времени точек
поверхности эллипсоида, касающегося сферы радиуса и„Дг в точке L ее пересечения
с оптической осью Л/ДГ. Этот эллипсоид геометрически подобен лучевой поверхности
необыкновенной волны в кристалле.
Плоскости КСВ и КСе, перпендикулярные плоскости чертежа и касательные соответ-
ственно к сфере и к эллипсоиду, указывают, согласно принципу Гюйгенса, положения
в момент времени t + Дг фронтов обыкновенной и необыкновенной волн, действительно
распространяющихся в одноосном кристалле. Прямые, проведенные из точки А в точки
касания В и Г, показывают направления обыкновенного и необыкновенного лучей. Оба
луча лежат в плоскости падения, но необыкновенный луч не ортогонален волновой
поверхности КСГ. Обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы во
взаимно перпендикулярных плоскостях. Направления электрических векторов
Е. и Е, в обыкновенной и необыкновенной волнах показаны на рис. 34.6 точками
и поперечными черточками, нанесенными на соответствующие лучи.
** Если оптическая ось MN кристалла не лежит в плоскости падения света, то необыкновенный
луч, вообще говоря, тоже не лежит в плоскости падения. Соответственно угол между плоскостями
поляризации обыкновенной и необыкновенной волн слегка отличен от прямого.
В.	Построение обыкновенного и необыкновенного лучей в случае нормального паде-
ния света на поверхность оптически отрицательного одноосного кристалла показано на
рис. 34.7. Здесь ah — положение фронта падающей волны в момент времени V, СОС'В
и С'С'В — положения в момент времени г+Дг фронтов обыкновенной и необыкновен-
ной волн в кристалле.
469
Предполагается, что оптическая ось MN ле-
жит в плоскости падения и образует с прелом-
ляющей поверхностью ab угол у, отличный от
О и л/2. Из рис. 34.7 видно, что обыкновенный
луч является продолжением падающего, а не-
обыкновенный преломляется на угол
На рис. 34.8 рассмотрен случай, когда свет
падает нормально на плоскую поверхность ah
оптически отрицательного одноосного кристал-
ла, оптическая ось MN которого параллельна ah.
Рис. 34.7	Плоскость чертежа выбрана так, что оптическая
ось MN лежит в ней. В этом случае, как видно из
построения, необыкновенный луч не преломляется на поверхности ah и совпадает по
направлению с обыкновенным и падающим лучами. Однако скорости обыкновенного
и необыкновенного лучей в кристалле в этом направлении различны и соответственно
равны v0=c/noavt^ с/п^- При прохождении обоими лучами (волнами) одного и того же
расстояния d в кристалле между ними возникает оптическая разность хода
6=d(n0-nM).
(34.4)
На рис. 34.9 показан ход лучей в поляризационной призме. Она вырезана из кристал-
ла исландского пшата так, что ее грани АВ и CD параллельны оптической оси MN.
Призма разрезана по диагональной плоскости АС и склеена по этой поверхности
тонким слоем оптически изотропного прозрачного вещества, называемого канадским
бальзамом. Кристалл исландского шпата — одноосный, оптически отрицательный;
значения его показателей преломления: п0= 1,658 и n*o= 1,486. Показатель преломления
канадского бальзама л1б1,550, т. е. канадский бальзам — среда оптически менее
плотная, чем материал призмы для обыкновенного луча, и среда оптически более
плотная для необыкновенного луча. Свет падает на призму нормально к ее грани АВ
(луч S на рис. 34.9). Обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются в при-
зме, не преломляясь, вплоть до слоя канадского бальзама АС. Размеры призмы
подобраны таким образом, чтобы угол падения i обыкновенного луча на поверхность
АС был больше предельного угла полного внутреннего отражения. Поэтому обык-
новенная волна полностью отражается от слоя канадского бальзама (луч о на рис.
34.9). Необыкновенная волна свободно проходит через слой канадского бальзама
и вторую половину поляризационной призмы. Таким образом, поляризационная приз-
ма может быть использована как поляризатор.
9.	Все двоякопреломляющие кристаллы в той или иной степени поглощают свет. Это
поглощение анизотропно: показатель поглощения среды o' зависит от ориентации
электрического вектора световой волны и от направления распространения света
в кристалле, а также от длины волны. Это явление называется дихроизмом или
плеохроизмом, так как проявляется в различной окраске кристаллов по разным направ-
лениям. Примером сильно дихроичного кристалла является турмалин — одноосный
кристалл, в котором обыкновенный луч поглощается во много раз сильнее необык-
Рис. 34.8
Рис. З4.а
470
новенного. Еще более ярко выраженным дихроизмом обладают кристаллы герапатита,
которые используют для изготовления тонких пленок, преобразующих естественный
свет в линейно поляризованный и называемых поляроидами.
§ 34.3.	Интерференция поляризованного света
1.	Цуги волн со всевозможными ориентациями плоскостей их поляризации, входящие
в состав естественного света, некогерентны, так как соответствуют излучению различ-
ных независимых атомов источника света. Эти цуги участвуют в образовании обык-
новенной и необыкновенной волн, распространяющихся в одноосном кристалле при
падении на него естественного света. Однако вклад каждого отдельного цуга в эти две
волны, вообще говоря, неодинаков. Он больше в ту волну, плоскость поляризации
которой составляет меньший угол а с плоскостью поляризации цуга. Иными словами,
обыкновенная и необыкновенная волны в основном порождаются разными цугами,
входящими в состав естественного света. Следовательно, обыкновенная и необык-
новенная волны, распространяющиеся в одноосном кристалле при падении на него
естественного света, некогерентны.
2.	Обыкновенная и необыкновенная волны, распространяющиеся в одноосном кри-
сталле при падении на него линейно поляризованного света (полученного из естествен-
ного, например, с помощью поляризационной призмы или какого-либо другого поля-
ризатора), когерентны между собой. Эго связано с тем, что у всех цугов, входящих
состав падающего света, плоскости поляризации ориентированы одинаково. Пусть,
например, параллельный пучок света, прошедшего через поляризатор П (рис. 34.10),
падает нормально на поверхность аЬ плоскопараллельной пластинки В, вырезанной из
одноосного кристалла так, что плоскость ab параллельна оптической оси MN. На рис.
34.11 показан вектор At амплитуды i-ro цуга, который отложен вдоль линии р—р,
соответствующей направлению колебаний электрического вектора в свете, выходящем
из поляризатора. Вклады i-ro цуга в обыкновенную и необыкновенную волны харак-
теризуются амплитудами Аи (А1е=Л, sin а) и А^ (Л^Л/COsa), отношение модулей
которых (AiB/Aie) = tga одинаково для всех цугов. В частности, если а=я/4, то АЮ=АК,
так что попарно когерентные цуги, поляризованные во взаимно перпендикулярных
плоскостях, имеют одинаковые интенсивности.
3.	На входе в кристаллическую пластинку В (рис. 34.10) векторы Еа и Ее обыкновенной
и необыкновенной волн колеблются в* одной фазе, а их геометрическая сумма равна
электрическому вектору Ер линейно поляризованного монохроматического падающего
света: ЕР = ЕО+Ее. В пластинке обыкновенная и необыкновенная волны распространя-
ются с разными скоростями. Поэтому на выходе из пластинки толщиной d взаимно
перпендикулярные векторы Е„ и Е^ колеблются со сдвигом по фазе, равным
Рис 34.10
Рис. 34.11
471
2п5 2nd(nB-nA)
=,	(34.5)
*0	Хо
где 6 — оптическая разность хода этих волн (34.4), Л) — длина волны света в вакууме.
Следовательно, в результате прохождения через пластинку свет* становится, в общем
случае эллиптически поляризованным: конец вектора Е'=Е^+Е^ описывает эллипс,
лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу. Если а — угол между направлением
колебаний вектора Ер и оптической осью MN пластинки, то модули амплитуд
До и А, векторов Ео и Ее равны А„ = АР sin а и Al=Apcosa, где Ар — амплитуда вектора
Ер. В отсутствие поглощения света в пластинке модули амплитуд векторов Е^ и Е^ так-
же равны Ао и А'.
4.	В зависимости от толщины d пластинки возможно несколько частных случаев.
1.	Пластинка в четверть волны, толщина которой удовлетворяет соотношению
d(no—п,о)= ±(лп+ */4)^), где т = 0, 1, 2, ..., знак плюс соответствует оптически от-
рицательному кристаллу, а знак минус — оптически положительному. На выходе из
такой пластинки колебания векторов Ё'„ и Е^ сдвинуты по фазе на п/2. Если, кроме того,
а = тг/4, то свет, выходящий из пластинки, циркулярно поляризован.
2.	Пластинка в полволны: d(nQ — пЛ)= ±(лп+На выходе из такой пластинки
колебания векторов EJ, и Е' сдвинуты по фазе на л. Свет, выходящий из пластинки,
остается линейно поляризованным. Однако направления колебаний векторов Ер и Е
падающего и проходящего света симметричны относительно главной плоскости пла-
стинки (рис. 34.12).
3.	Пластинка в целую волну: d(n„ — пл) = ±тЛс. В результате прохождения через
пластинку свет остается линейно поляризованным в той же плоскости, что и падающий
свет.
5.	Когерентные волны, выходящие из кристаллической пластинки В (рис. 34.10), не
могут интерферировать, так как они поляризованы во взаимно перпендикулярных
плоскостях. Поэтому за пластинкой В устанавливается еще одна поляризационная
призма—анализатор А (рис. 34.13). Анализатор выделяет из падающих на него
когерентных волн составляющие, поляризованные в одной плоскости, и таким образом
создает условия, необходимые для осуществления интерференции этих волн. Результат
интерференции зависит от разности фаз Дф, приобретенной обыкновенной и необык-
новенной волнами в пластинке, от соотношения амплитуд этих волн и угла fl между
главными плоскостями анализатора и поляризатора.
Например, если угол между главной плоскостью поляризатора и оптической осью
MN пластинки а=л/4, то амплитуды и интенсивности обыкновенной и необыкновенной
волн одинаковы. Пусть при этом на пластинку падает монохроматический свет с дли-
ной волны в вакууме До- Возможны два предельных случая (т—0, 1, 2, ...):
2nd	(±2тп,
До	[±(2/и+1)л.
Рис. 34 12
472
В первом случае, соответствующем пластинке в целую волну, на анализатор падает
свет, линейно поляризованный в главной плоскости поляризатора. Поэтому при [1=0
(анализатор установлен параллельно поляризатору) интенсивность 1а света, проходя-
щего через анализатор, максимальна, а при Р—п/2 (анализатор скрещен с поляризато-
ром) /а=0, т. е. при Д=0 наблюдается интерференционный максимум, а при Д = л/2 —
минимум.
Во втором случае, соответствующем пластинке в полволны, на анализатор падает
свет, линейно поляризованный в плоскости, составляющей с главной плоскостью
поляризатора угол 2а=тг/2. Поэтому при fi—О наблюдается интерференционный мини-
мум, а при Р — п/2 — максимум.
Если на пластинку В (рис. 34.13) падает линейно поляризованный белый свет, то
при наблюдении через анализатор пластинка видна окрашенной. При вря прении анали-
затора вокруг луча, т. е. при изменении угла Р, окраска изменяется. Это связано с тем,
что значение сдвига фаз А<р, определяющее результат интерференции, зависит от длины
волны света. При изменении Р на п/2 окраска пластинки меняется на дополнительную
(например, если при Р=0 пластинка видна окрашенной в красный цвет, то при Р=п/2
она приобретает сине-зеленую окраску).
Кристаллическая пластинка, толщина d которой в разных местах не одинакова,
видна в белом свете причудливо окрашенной, причем каждая цветная интерференцион-
ная линия (изохромата) проходит через точки равной толщины d. Аналогичная картина
наблюдается в пластинке, толщина которой всюду одинакова, но зато различны
значения разности (л„—па). В этом случае каждая изохромата проходит через точки
пластинки, соответствующие одинаковым значениям (п„—п^)-
§ 34.4.	Искусственная оптическая анизотропия
1.	Еще в начале прошлого столетия Т. Зеебек (1813) и Д. Брюстер (1816) обнаружили
явление фотоупругости, состоящее в том, что оптически изотропное твердое тело под
влиянием механической деформации становится оптически анизотропным. Например,
при одностороннем сжатии или растяжении стеклянной пластинки она приобретает
свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением
сжатия или растяжения. Разность показателей преломления обыкновенного и необык-
новенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси, пропорциональна
нормальному напряжению <т:
п„-пм=каг,	(34.6)
где к — коэффициент, зависящий от свойств вещества. Таким образом, поместив
деформированную стеклянную пластинку между поляризатором и анализатором вме-
сто кристаллической пластинки В (рис. 34.13), можно наблюдать интерференционную
картину, аналогичную той, которая была рассмотрена в § 34.3. По виду нзохромат
можно судить о распределении внутренних напряжений в стеклянной пластинке, так
как каждая изохромата проходит через точки, в которых а одинаковы.
Явление искусственной оптической анизотропии при деформациях используется
для обнаружения остаточных внутренних напряжений, которые могут возникать в изде-
лиях из стекла и других прозрачных изотропных материалов вследствие несоблюдения
технологии их изготовления. Оптический метод изучения на прозрачных моделях
распределения внутренних напряжений в различных непрозрачных частях машин и со-
оружений широко применяется в современной технике.
2.	Дж. Керр обнаружил (1875), что
жидкий или твердый изотропный ди-
электрик, помещенный в достаточно
сильное однородное электрическое
поле, становится оптически анизот-
ропным.
Это явление получило название
эффекта Керра. Принципиальная схе-
ма его наблюдения в жидкостях изоб-
ражена на рис. 34.14, где П и А — по-
Рис 34 14
473
ляризатрр и скрещенный с ним анализатор, Кл — ячейка Кема, (кювета с жидкостью,
в которую погружены обкладки плоского конденсатора). Опыты показали, что под
действием однородного элсктричажого поля в плоском конденсаторе жидкость поля-
ризуется и приобретает свойства одноосного двоякопрслоыляющето кристалла, оп-
тическая ось которого совпадает с направлением вектора напряженности поля
конденсатора Разность показателей преломления поляризованной жидкости для не-
обыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света в направлении,
перпендикулярном вектору Е^, пропорциональна Е^.

(347)
где Jtq — длина волны света в вакууме; В — шастали Керра Константа Керра зависит
от природы вещества, длины волны До и температуры, как правило, быстро уменьшаясь
с ее увеличением Часто пользуются другой константой Керра К, связанной с В соот-
ношением К*Юо/л, где л — абсолютный показатель преломления вещества в отсутст-
вие электрического поля. К определяет относительную разность показателей преломле-
ния в поде единичной напряженности. Для большинства веществ константа В>0, т е
эти вещества по своим оптическим свойствам в однородном электрическом поле
подобны оптически положительным одноосным кристаллам.
Было обнаружено существование эффекта Керра и в газах (1930) Трудность
наблюдения этого явления связана с тем, что значения В для газов на несколько
порядков меньше, чем для жидкостей.
3.	Ячейка Керра, находящаяся между скрещенными поляризатором и анализатором,
действует на свет так же, как рассмотренная в § 34 3 плоскопараллельная кристалличес-
кая пластинка Ряд создает между необыкновенным и обыкновенным лучами едвнг фаз
Дф-2ш/(л.-0/До- -2xJdEi--licBdU^a1,	(34.8)
где d—ддша. ячейки, равняя длине пластин конденсатора, U^E„a— напряжение,
подаваемое на конденсатор, а — расстояние между пластинами. При 1/“0 ячейка
вполне изотропна (Др—0) и не изменяет характера поляризации падающего на нее
света. Поэтому свет сквозь анализатор не проходит По мере увеличения U возрастает
Др При этом увеличивается интенсивность света, проходящего через анализатор,
достигая максимума при U^-a^lBd, соответствующем Дф«= —я
Эффект Керра практически безынерционен: длительность процессов перехода веще-
ства в электрическом поде из изотропного состояния в анизотропное и обратного
перехода после исчезновения поля не превосходит 0,1 — 1 нс Подавая на пластины
конденсатора ячейки Керра переменное напряжение U, можно модулировать интенсив-
ность света, проходящего через анализатор,
в соответствии с колебаниями U Этот прин-
цип был использован П. Г Тагером в первой
системе советского звукового кино для записи
звука на кинопленке Ячейка Керра в сочета-
нии со скрещенными поляризатором и анали-
затором применяется в скоростной фотосъем-
ке быстро протекающих процессов в качестве
быстродействующего светового затвора. Для
этого на конденсатор ячейки Керра подаются периодически повторяющиеся с частотой
киносъемки v»1/(to+ti) прямоугольные импульсы напряжения (рис 34 15) Длитель-
ность То каждого импульса равна продолжительности экспозиции при съемке, которая
может составлять до 10 нс
<4
<4
О
Го

«о
4.	Классическая теория эффекта Керре для веществ с неполярными анизотропными молекуладе
была разработана П. Лащяовеном (1910) я развита для веществ с полярными молскулиа
М Борном (1918). Нополяриде молекулы пояярвуются во вигипим электрическом деве Е^. У ав-
эСтропной молекулы ее поляризуемость не одеиакова в разных натфввленнях. Поэтому в резуль-
тате совместного влияния ормитируижцего действия электрического поля ла наведанные им
474
электрические моменты молекул и соударений между молекулами в вацестве должвв нарушаться
полная хаотичность во взаимной ориентации частиц. Молекулы стршятся ориентироваться тая,
чтобы направленна их максимальной поляризуемости совпадала с направлением Е^. В аязв
с этим в электрическом поле относительная диэлектрическая проницаемость к и показатель
преломления л среды должны зависеть от направления, т е среда должна быть он [вчески
анизотропной В обыкновенном и необыкновенном лучах, распространяющихся перпендвхулярво
Ев, векторы напряженности электрического поля волны колеблются соответственно перпен-
дикулярно Ев н вдоль него В первом направлении а и я имеют минимальные значения, во
втором — максимальные Следовательно, >v><'M) и константа Керра В—Ом—>ъУ(ЛеЕ^)>0 При
увеличении температуры усиливается хаотичесжое тепловое двнжвиве молекул, препятствующее
упорядочению их ориентаций во внешнем электрическом поле Возрастание температуры щж
неизменном значении Ев сопровождается уменьшением степени анизотропии вещества, т е
уменьшением разности *м—Ло н константы Керра В
Если вещество состоит нз полярных молекул, обладвюпна постояннши электриюсхими
моментами, то во внешнем электрическом поле возникает 1пкимуывстжишя ориентация век-
торов электрических моментов молекул по направлению Ев Направление макамальной потяря.
эуемости полярной молекулы может не совпадать с направлением вектора ее постоянного
дипольного момента. Пусть угол между этими ваправлеаиями равен у Тогда при у—0 картина
аналогична рассмотренной выше для веществ с неполярными молекулами константа Керра В>0
Если у—я/2, то значения е и я вещества должш быть минимальными в направлета1 вектора
Ев и максимальными в перпендикулярном направлении, т е л<о<я( и В<0. Таким образом
удалось связать величину и знак константы Керра вещества со свойствами н строением его
молекул
5.	Эффектом Коттом — Мутом называется возникновение оптической анизотропии
у некоторых изотропных веществ (жидкостей, стекол, коллоидов) при помещении их
в сильное внешнее магнитное поле
В однородном магнитном поле вещество приобретает оптические свойства одноос-
ного кристалла, оптическая ось которого совпадает по направлению с вектором
Н напряженности поля. Разность показателей преломления вещества дм необыкновен-
ного н обыкновенного лучей монохроматического света при его распространении
в направлении, перпендикулярном вектору Н, пропорциональна №'
n^-n^CJioH1,	(34.9)
где С — ностояшая Коттом — Мутона, — длина волны света в вакууме Значение
С зависит от природы вещества, длины волны Л) и температуры.
§ 34.5.	Вращение плоскости поляризации
1.	Прн прохождении линейно поляризованного света через некоторые вещества, назы-
ваемые оптачеекя акпааымн, плоскость поляризации света поворачивается вокруг
направления луча
Оптически активны некоторые кристаллы (например, кварц, киноварь и др.), чистые
жидкости н растворы (например, скипидар, раствор сахара в воде и др.). Все вещества,
активные в жидком состоянии, обладают тем же свойством и в кристаллическом
состоянии Однако некоторые вещества, оптически активные в кристаллическом состо-
янии, неактивны в видком. Следовательно, оптическая активность может обуслов-
ливаться как строением самих молекул вещества, так и расположением частиц в кри-
сталлической решетке
2.	В оптически активных кристаллах и чистых жидкостях угол <р поворота плоскости
поляризации света пропорционален толщине / слоя вещества, через который проходит
свет: ф«»а7 Коэффициент пропорциональности а называется удельным вращавши или
1ЮШ)вии1й вращейи. Удельное вращение зависит от природы вещества, температуры
и длины волны Л) света в вакууме. Зависимость а(Ао) называется вращятельвой дщешр-
ежей Вдали от полос поглощения света веществом вращательная дисперсия подчиняет-
ся закону Бво
3.	Большинство оптически активных кристаллов существует в двух модификациях
При прохождении света через кристалл одной модификации, называемой арввоврвща-
ищей, или nonoaumiMoft, плоскость поляризации поворачивается вправо, т. е. по
часовой стрелке (для наблюдателя, смотрящего навстречу лучу) При прохождении
475
света через кристалл другой модификации, называемой лаовращающей или отрица-
тельной, плоскость поляризации поворачивается влево (протия часовой стрелки). Значе-
ния удельного иратцеипа для обеих модификаций одного ц того же оптически актив-
ного кристалла отличаются только знаком.
4.	Угол поворота плоскости поляризации света при прохождении им пути I в оптичес-
ки активном растворе равен
ф—[а]с/=[а]2МП.
Здесь с — объемно-массовая концентрация оптически активного вещества в рас-
творе (кг/м3); D — плотность раствора; K^cjD — долевая концентрация по массе, т. е.
отношение массы оптически активного вещества к массе всего раствора. Коэффициент
пропорциональности [а] называется удельным вращеяеем или постоянной вращепя
раствора. Значение [а] зависит от природы оптически активного вещества и раствори-
теля, длины волны света и температуры.
5.	Френель предложил (1823) следующее качественное объяснение вращения плоскости
поляризации света. Динсйно поляризованную плоскую монохроматическую волну
Е*»Аш(сог—кх)
можно представить в виде комбинации двух одновременно распространяющихся цир-
кулярно пп пяричтиачимт плоских монохроматических волн той же частоты, векторы
напряженностей Е] и Ej которых равны по модулю Л/2 и вращаются во взаимно
противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью со. В оптически
активной среде волны Ei и Ej распространяются с разными фазовыми скоростями.
Поэтому после прохождения этими волнами в среде пути / между ними возникает сдвиг
по фазе Дф, пропорциональный /. Соответственно в результате наложения этих волн на
выходе из слоя толщиной I образуется плоская монохроматическая волна
E*™Ej +Ej,
плоскость поляризации которой повернута относительно плоскости поляризации пада-
ющей волны на угол Др/2, пропорциона пьный /.
в. М. Фарадей (1845) экспериментально установил, что оптически неактивная среда
приобретает под действием внешнего магнитного поля способность вращать плоскость
поляризации света, распрпс-фяндюпутс» вдоль направления поля. Это явление
называется эффектом Фарадея, или магип&и вращением плоскости ооляркзацвя
света. Угол поворота д> плосжости поляризации пропорционален длине пути света
в веществе и напряженности Н магнитного поля: q>=VHL Коэффициент пропор-
циональности V называется ностонпой Верде. Он зависит от природы вещества
и длины волны света
Направление магнитного вращения плоскости поляризации (для наблюдателя смо-
трящего вдоль магнитного поля) одинаково при распространении света как по направ-
лению вектора Н, так и в обратную сторону. В этом отношении эффект Фарадея
отличается от вращения плоскости поляризации света в естественных оптически актив-
ных средах.
Вопросы:
1.	Как объяснить закон Брюстера, основываясь на полярной диаграмма излучения диполя?
2.	Какие способы получения поляризованного света вам известны?
3.	Нарисуйте лучевые поверхности для оптически положительного и для оптически отрицатель-
ного одноосного кристалла.
4.	Почему для наблюдения интерференции света в анизотропной кристаллической пластинке
необходимо использовать не только анализатор (не выходе из пластинки), но также и поляри-
затор (на входе в пластинку)?
S.	Каковы отличия в интерференционных картинах при прохождении света через пластинки
е четверть волны, е попвопны и в целую волну?
в. В чем состоят явления фотоупругости и Керра и каковы их применения?
476
5
Часть
Квантовые
свойства
излучения
Глввв 35
Тепловое излучение
Глава Зв
Основы квантовой оптики
Глава 35__________________________________________
Тепловое излучение
§ 35.1. Тепловое излучение
1. Тела, нагретые до достаточно высокой температуры, приобретают способность
светиться Например, раскаленные жидкие или твердые тела испускают белый свет,
обладающий сплошным спектром частот По мере понижении температуры тела не
только уменьшается интенсивность его излучения, но и изменяется спектра тлый
состав излучения В нем все сильнее обнаруживается преобладание длинных вопи
(красных и инфракрасных). При дальнейшем охлаждении тела излучение им видимого
света вообще прекращается — тело испускает лишь не видимые глазом инфракрасньк
лучи
Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающе-
го тела и зависящее только от температуры и оптических свойств этого тела, называет-
ся теиновым взлучеакм
Если энергия, расходуемая телом на тепловое излучение, не восполняется за счет
соответствующего количества теплоты, подведенного к телу, то его температура
постепенно понижайся, а тепловое излучение уменьшается
Тепловое излучение — единственное излучение, способное находиться в термодина-
мическом равновесии с веществом Такое излучение, называемое равновесным, устанав-
ливается в адиабатно замкнутой (теплоизолированной) системе, все тепа которой
находятся при одной и той же температуре
При динамическом равновесии энергия, расходуемая каждым из тел системы на
тепловое излучение, компенсируется вследствие поглощения этим телом такого же
количества энергии падающего нд вето излучения.
2. Спектральной характеристикой тяСювото излучения тела служит аиктральиая
лотаость зпцнывиежой ibi immh ib (иепуасательшя соособпость), равная
—>
dv
где dJFsu — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени
с единицы площади поверхности тела в интервале частот от v до v+dv Спектрапиная
плотность энер> ei и ческой светимости численно равна мощности излучения с единицы
площади поверхности этого тела в интервале частот единичной ширимы
Спектральной характеристикой поглощения электромагнитных волн телом служит
моаохроматвческвй коэффициент поглощения (ноглощительиая способность)
dHk™
dl?
Он показывает, какая доля энергии d W падающего на поверхность тела электромагнит-
ного излучения с частотами от v до v+dv поглощается телом. Очевидно, что а, —
величина безразмерная.
Опыты покатым ют, что спектральная плотность энергетической светимости и ко-
эффициент поглощения зависят от частоты v соответственно юлучаемых и поглоща-
емых волн, температуры тела, его химического состава и состояния поверхности
3. Тело называется черным (абсолютно черным), если оно при любой температуре
полностью поглощает всю энергию падающих на него злопромагнитных волн незави-
симо от их частоты, попяричадпи и направления распространения. Следовательно,
478
коэффициент поглощения черного тела тождественно равен едн- ---------
ннце Спектральную плотность энергетической светимости чер- S ч >
ного тела обозначим г®. Она зависит только от частоты v излуче- f	\
ния в термодинамической температуры Т тела	В / N Уй
Все реальные тела не являются абсолютно черными Однако	| У К D
некоторые из них в определенных интервалах частот близки по	V—---тХ -^S
своим свойствам к ним Например, в области частот видимого / J'
света коэффициенты поглощения сажи, платиновой черни и чер-	ъ
ного бархата мало отличаются от единицы. Наиболее совершен-
ной моделью черного тела может служить небольшое отверстие
О в непрозрачной стенке замкнутой полости (рис 35.1) Луч
света, попадающий внутрь полости через отверстие О, претерпе- р „ 1
вает многократные отражения от стенок полости, прежде чем он
выйдет из полости обратно При каждом отражении происходит частичное поглощение
энергии света стенками Поэтому независимо от материала стенок интенсивность
света, выходящего из полости через ог версте О, во много раз меньше интенсивности
падающего извне первичного излучения Очевидно, что эта модель тем ближе по
характеристикам к черному телу, Чем больше отношение площади поверхности поло-
сти к йлощади отверстия.
Рассмотренная модель черного тела позволяет легко понять, почему узкий вход
в пещеру или открытые окна домов снаружи кажутся черными, хотя внутри дюцеры
около входа или в комнатах дома достаточно светло из-за отражения дневного света от
стен. Шероховатые ткани с большим ворсом обладают ббдьшим коэффициентом
поглощения, чем гладкие.
4. Испуская электромагнитные волны, а также частично поглощая падающие иа них
водны, тела способны обмениваться энергией Самопроизвольный процесс передачи
энергии в форме теплоты от более нагретого тела к менее нагретому путем излучения
и поглощения электромагнитных волн называется теолообмеяом тлдчгввш иди ра*>
рп—мм тешюобмеяом. Теплообмен излучением в отличие от теплообмена при кон-
векции и теплопроводности может осуществляться между тепами, находящимися не
только в какой-либо среде, ио и в вакууме.
Рассмотрим теплоизолированную систему тел, находящихся в состоянии термоди-
намического равновесия Температуры всех тел такой системы одинаковы и не изменя-
ются с течением времени,, а их излучение — равновесное. Следовательно, ддя любого
тела энергия излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности,
должна быть равна энергии И'вогд, поглощаемой за то ке время этим участком
поверхности тела за счет падающего на него излучения.
И'™»»'»™	(35.3)
Нарушение условия (35 3) противоречит второму закону термодинамика. В самом деле, если,
например, Илжш> И^гл, то тело охлаждается, а вследствие этого какие-то другие тела системы
нагреваются Поскольку вначале температуры всех тел системы были одинаковы, температура
охлаждающегося тела должна стать Меньше температуры нагревающихся тел системы. При
< Ипогл соотношение температур будет обратным Таким образом, при	/('„я удалось
бы осуществить процесс (теплообмен излучением), единственным результатом которого была бы
передача энергии в форме теплоты от холодного тела к более нагретому Второй закон термоди-
намики исключает возможность такого продажа
Из (35.3) следует, что при равновесном излучении выполняется правило Прево
•ели два тала поглощают разные анергии, то и излучение,
иелускаамоа этими талами, тоже должно быть раапиным.
I	________________________________________________________
В уравнении (35 3)	характеризуют интегральное излучение и погло-
щение, происходящее с единицы площади поверхности тела, т. е осуществляемое
479
в области всех возможных значений частот электромагнитных волн от 0 до оо.
Окружим рассматриваемый элемент поверхности тела фильтром, который абсолютно
прозрачен для волн с частотами от v д о v+dv и полностью отражает волны с частота-
ми, меньшими v и большими v+dv. Тогда с помощью рассуждений, аналогичных
приведенным выше, мы получим следующее дифференциальное соотношение для
теплового излучения:
dJF^-dJF^	(35.4)
где dlFsu и d IFnar, — энергия, соответственно излучаемая и поглощаемая единицей
площади поверхности тела в единицу времени в интервале частот от v до v+dv.
Примером равновесного излучения является излучение замкнутой оболочки, окру-
женной снаружи теплонепроницаемой изоляцией. Электромагнитное поле излучения
оболочки полностью локализовано в объеме полости. Между оболочкой и полем ее
излучения устанавливается термодинамическое равновесие: энергия, излучаемая каж-
дым элементом поверхности оболочки в единицу времени, равна энергии, передава-
емой излучением этому элементу за то же время. Основываясь на втором законе
термодинамики, можно показать, что объемная плотность энергии излучения w оди-
накова во всех точках полости и полностью определяется температурой оболочки.
Иначе говоря, при одной и той же температуре значения w для замкнутых полостей
с любыми оболочками и для полости С черной оболочкой должны быть одинаковыми.
Поэтому равновесное излучение в замкнутой полости называют чероьш излучением.
Спектральная плотность энергетической светимости г? черного тела и его объемная
плотность энергии излучения dw связаны соотношением
„ с div с
(35.19
4 dv 4
где p(v, 7)=dw/dv — функция частоты и температуры, характеризующая распределе-
ние энергии излучения по частотам и называемая спектральной плотностью объемной
плотности энергии излучения.
5. Испускательная и поглощательная способности непрозрачного тела взаимосвяза-
ны. Для отыскания этой связи рассмотрим теплоизолированную систему, состоящую
из двух бесконечно длинных пластин а и b (рис. 35.2), которые могут обмениваться
энергией в форме теплоты только Друг с другом, так как их внешние поверхности
покрыты идеальной тепловой изоляцией. Пусть внутренняя поверхность пластины
а черная, а энергетическая светимость и коэффициент поглощения внутренней поверх-
ности пластины Ь равны г, и о,. Если в этой системе установилось термодинамическое
равновесие, то температуры обеих пластин одинаковы и равны Т, а излучение пла-
стин — равновесное. Поэтому можно воспользоваться соотношением (35.4), записан-
ным для единицы площади поверхности пластины Ь. Из (35.1) и (35.2) следует, что
dlFeui=r,dv, dJF^-a.dJF.
(35.5)
Очевидно, что энергия dW электромагнитного излучения в ин-
тервале частот от v до v+dv, падающего в единицу времени на
единицу площади пластины Ь, равна энергии, излучаемой за то же
время и в том же интервале частот единицей площади черной
поверхности пластины а. Собственное излучение пластины b в dW
учитывать не нужно, так как оно может вновь возвратиться к пла-
стине Ь только после отражения от пластины а. Однако черная
поверхность а полностью поглощает падающее на нее излучение.
Таким образом,
d W~ dv, d Wmil=a^ dv,	(35.6)
Подставив (35.5) и (35.6) в (35.4), получим
r,dv=a^°dv, или r,ia,=r°.	(35.7)
480
Таким образом,
отношения спектральной плотности энергетической сеотимо-
сти тела к его монохроматическому коэффшдоиту поглоще-
ния но зависит от материала тела и равно спектральной
плотности энергетической светимости черного тола, являю-
щейся функцией только температуры и частоты.
Этот закон теплового излучения впервые был установлен Г. Кирхгофом (1859)
и назван законом Кирхгофа в дафферевдна.льной форме, а зависимость (v, Т) — фуас-
*ей Кирхгофа.
Из закона Кирхгофа следует, что тело, которое при данной температуре Т не
поглощает излучения в каком-либо интервале частот от v до v+dv (а,=0), не может при
температуре Т и излучать в этом интервале частот (г,=а,г°=0). В то же время если
коэффициент поглощения о, тела близок к 1, то это еще не означает, что энергетическая
светимость г¥ тела велика. Например, прн комнатной температуре тело, покрытое
слоем красной краски, сильно поглощает зеленый свет. Однако оно не излучает этот
свет, так как при комнатной температуре черное тело тоже практически не излучает
свет:
г°«0, г,=о/»»0.
Отметим, что коэффициент поглощения тела не может быть больше единицы
Поэтому энергетическая светимость г, любого тела не может превосходить энер-
гетическую светимость rf черного тела при тех же значениях температуры Т и часто-
ты V.
В теории теплового излучения наряду с понятием черного тела часто пользуются
другой идеализированной моделью реальных тел — серым телом.
Тело называется серым, если его коэффициент поглощения одинаков для всех
частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности:
о;=ве.
в. Во многих случаях необходимо знать полную мощность теплового излучения
с единицы площади поверхности тела во всем интервале частот от 0 до оо. Эта
величина Я,, называемая энергетической светимостью, связана с г, соотношением
R3= I r»dv,
(35.8)
или на основании закона Кирхгофа (35.7)
R3= I o^dv.
(35-9)
Для серого тела
R3=tf r?dv=acA3°,
(35.10)
481
где
rfdv
(35 11)
о
— энергетическая светимость черного тела, зависящая только от температуры Т
Уравнение (35.10) выражает закон Кирхгофа в втегралной форме для серых тел
Из него следует, что
при данной теятеретурт отыми излучают та серый тола,
которые обладают бблыянм коеффициоктом ти-ло«цения.
7. Реальное тело может быть близко по своим свойствам к серому телу пипп.
в сравнительно небольших интервалах частот излучения Однако и в этом случае
Энергетическую светимость часто записывают в форме, аналогичной (35 10)
Л,=аД°,	(3512)
где а — «‘•"tt-T""*1 ниучяим тешового излучателя (коэффпммиг черноты).
В соответствии с формулами (3551) и (35 11)
« \	со
a—J<v?dv/Jr°dv	(35 13)
о о
и зависит от температуры тела, его материала и состояния поверхности Коэффициент
поглощения о, тела может изменяться в пределах от 0 до 1, Поэтрму а, как видно из
85 13), не может быть меньше дудя и больше единицы Для черного тела й=* 1
епрозрачные тела, у которых a-и, не излучают И не поглощают электромагнитных
волн, они полностью отражают падающее на них излучение Если при этом отражение
происходит по законам геометрической оптики, то тело называется зерти выдам.
б 352 Законы ташюаого излучения черного тола
1.	После установления закона Кирхгофа (35 7) стало очевидным, что первоочередная
задача теории теплового излучения состоит в нахождении вида функции Кирхгофа, т е
о выяснении вида завтимости энергетической светимости г° черного тела от тем-
пературы Т и частоты излучения v. Однако сначала удалось решить более простую
задачу — найти зависимость энергетической светимости Я? черного тела от его тем-
пературы. Л Больцман, применив термодинамический метод к исследованию черного
излучения, теоретически показал (1884), что
энергетическая еввпиамть черного тмя пролордаоиалы1е че-
твертой степени его термодинамической температуры.
^ = <тТ*,
(35 14)
где а — исюшшкя Стефама — Бопцивпа.
Этот закон получил название заисоиа Стефана — Больцмана, так как еще Д. Стефан
на основе анализа экспериментальных данных пришел (1879) к аналогичному выводу.
482
Однако Стефан ошибочно считал, что
энергетическая светимость любого тела
также пропорциональна четвертой сте-
пени его термодинамической темпера-
туры
2.	Значительно более сложной оказа-
лась задача отыскания вида функции
Кирхгофа г°, т. е выяснение спектраль-
ного состава излучения черного тела.
Решение этой задачи вышло далеко за
рамки теории теплового излучения
и сыграло огромную роль во всем
дальнейшем развитии физики, так как
привело к установлению квантового
характера излучения и поглощения эве-
Рмс.35.3
ргии атомами и молекулами.
Эксперименты показали, что зависимость r?(v) при разных температурах Т черного
тела имеет вид, изображенный на рис. 353 При --°—™ частотах ^~гТ, а в области
больших частот (правые ветви кривых вдали от максимумов) зависимость г? от
частоты имеет вид
r°~vse'<,’/r,
(35.15)
где а, — постоянная величина. Существование на каждой кривой более или менее ярко
выраженного максимума свидетельствует о том, что энергия излучения черного тела
распределена по его спектру неравномерно черное тело почти не излучает энергии
в области очень малых и очень больших частот. По мете повышения температуры тела
максимум г? смещается в область бблыпих частот. Площадь, ограниченная кривой
rf (v) и осью абсцисс, пропорциональна Aj Поэтому в соответствии с законом Стефа-
на - Больцмана она возрастает пропорционально г‘.
3.	Первое теоретическое исследование вида фуикцш Кирхгофа было предпринято
русским физиком В. А. Михельсоном (1887). В. Вии рассмотрел (1893) задачу об
адиабатном сжатии черного излучения в цилиндрическом сосуде с подвижным зеркаль-
ным поршнем и зеркальными стенками. Приняв во внимашк, что вследствие эффекта
Доплера частота излучения изменяется при отражении рт движущегося поршня, он
получил следующее выражение д ля функции Кирхгофа:
rf=vy(v/7),
(35.15*)
где /(v/7) — функция отношения частоты излучения черного тепа к его температуре
Хотя Вину не удалось теоретически установить вид функции ftyIT), формула Виа
(3515Э позволила получить ряд очень важных результатов. Например, из (35.15*)
вытекает закон Стефана — Больцмана.
v’/(v/7)dv»»T* j (v/W(v/7)d(v/7><rT*.
о	о
CD
Здесь а= I х’Дх) dx — постоянный коэффициент, где x^vjT.
о
Из формулы Вина можно найти зависимость от температуры частоты vM, соответ-
ствующей максимальному значению rj. При у=уя частная производная
483
должна быть равна нулю:
VJ /	/ Vjn\
— ]+—/'I —1=0 или 3/1 —)=-—/’1 — 1.
Т j Т \Tj	* \ Т/ Т \Т J
Из (35.16) следует*, что
vm/T=61,
(35.16)
(35.17)
где hi — постоянная величина, являющаяся корнем уравнения (35.16) и зависящая от
вида функции Уравнение (35.17) выражает закои смещения Виня:
частота, соответствующая максимальному значению спект-
ральной плотности энергетической светимости черного тела,
прямо пропорциональна его термодинамической температуре.
Значения частот vm|, vmj, v^, соответствующие четырем различным температу-
рам Т|, Тг, Tj, Т4, показаны на рис. 35.3.
Обычно закон смещения Вина записывают в несколько иной форме: для максимума
спектральной плотности энергетической светимости черного тела rj, отнесенной к ин-
тервалу <U длин волн (в вакууме),
rQ_d^
1 dA ’
(35.18)
где dFFxm — энергия электромагнитного излучения за единицу времени с единицы
площади поверхности черного тела в интервале длин волн от Л до A+dz. Так как, по
определению, г? и г? не могут быть отрицательными, то из (35.18) и (35.1) следует, что
Так как v=c/A в dv/<U= —cji.1, то
Подставляя (35.1 S') в (35.19), получаем
(35.19)
(3520)
Пользуясь выражением (35.20) для функции г?, легко показать, что
длина волны Ля соответствующая максимальному значению
спектральной плотности энергетической светимости rf черно-
го тола, обратно пропорщганалыш ого тормодинзмичагкой
темларатуре:
•Соотношение (35.16) выполняется также при любых значениях v/Г, если /(v/T)“(v/T)-3.
Однако в этом случае z^—v1(v/7)~3m74, т. е. не зависит от частоты v, что противоречит данным
опытов.
484
(35.179
где b — постоянная Вкня. По современным данным Ь=* 2,898 -10-3 м  К.
Это другая форма выражения закона смещешн Ваш, который полностью согласу-
ется с результатами экспериментов. Из закона Вина (35.179 видно, что при понижении
температуры черного тела максимум энергии его излучения смещается в область
бблыпих длин волн. Становится понятным, почему при понижении температуры
светящихся тел в их спектре все сильнее преобладает Длинноволновое излучение -
белое каление переходит в красное, а затем вообще не воспринимается глазом.
Из формул (35.20) и (35.179 следует, что максимальная спектральная плотность
энергетической светимости г® черного тела пропорциональна пятой степени сто термо-
динамической температуры:
(r?)-oc=^rQ Г’.	(3521)
Заметим, что г? и г®, связанные соотношением (35.19), не пропорциональны друг
другу. Поэтому их максимумы лежат в разных частях спектра, а соответствующие им
значения и vm не связаны соотношением
4.	Дальнейшее исследование вида функции Кирхгофа методами классической стати-
стической физики предпринималось рядом ученых. Мы остановимся только на резуль-
татах исследования Д. Рэлея и Д. Джинса.
Рэлей подошел (1900) к изучению спектральных закономерностей черного излуче-
ния с позиций статистическойфизики, а не термодиамики, как это делали сто предшест-
венники. Он рассмотрел равновесное (черное) излучение в замкнутой полости с зер-
кальными стенками как совокупность пространственных стоячих электромагнитных
волн. Частоты этих волн должны удовлетворять определенным условиям, подобным
условиям для частот стоячих упругих волн в стержнях. Рэлей Показал, что число dn
таких собственных частот, находящихся в интервале от v до v+dv, пропорционально
объему полости V, квадрату частоты v и ширине интервала dv: dn~ Pv2dv.
Колебания с разными собственными частотами совершаются независимо друг от
друга. Каждой собственной частоте соответствует своя колебательная степень свободы
черного излучения. Применив закон классической статистической физики о равном
распределении энергии по всем степеням свободы равновесной системы, Рэлей показал,
что энергия dWизлучения в полости, соответствующая интервалу частот от v до v+dv,
dW~ Vv1kTdv,
_ 1 dW ,
p(y, Т>=1,~Г~ч кТ'
V dv
где kT — средняя энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы [см.
(11.38)]. Таким образом, Рэлей получил, что
r®=^p(v, T)~v2T.
В дальнейшем Рэлей и Джинс уточнили эту формулу, вычислив значение коэффици-
ента пропорциональности:
_ 2nv2
г?=-~ кТ.	(3522)
с1
485
Формула Рэдая — Диомса (3522) хорошо согласовалась с данными опытов только
в области малых частот излучения (кривая 1, рис 35 4) Для больших частот она была
.	явно неверна (кривая 2) Формула Рэлея — Джинса
си в бесконечность
2ЛТ С
— v’dv-co (3522Э
о	о
Работы Рэлея и Дживса показали, что последо-
вательное применение классической физики к исспе-
щиеся в противоречии с законом сохранения энергии.
Невозможность отмсти ним методами классической теоретической физики такого
выражения дал функции Кирхгофа, которое согласовывалось бы с данными экспериме-
нтов во всем интервала частот от 0 до оо, получило образное название «ультрифи-
олетежой ил а, цшфыа*.
В. Найти правильное вырчтммг для функции Кирхгофа и дать теоретическое обосно-
вание спектральным закономерностям черного излучения впервые удалось немецкому
физику М. Планку. Выавв уже отмечалось, что объемная плотность энергии равновес-
ного излучения в замкнутой полости и распределение энергии этого излучения по
частотам зависит только от температуры стенок полости. Материал стенок, т с.
конкретные свойства системы, с которой связано разновесное излучение, не играет
никакой роли В свои расистах Планк выбрал наиболее простую модель излучающей
системы (стенок полости) в виде совокупности линейных гармонически осцилляторов
(электрических	со всевозможными собственными частотами v Исхода из
того, что в состоянии термодинамического равновесия расход энергии на излучение
осцилляторов с собственной частотой в дЬлжея полностью компенсироваться в резуль-
тате поглощения этими осцилляторами энергии падающего на ша излучения, Планк
показал (1899), что
8m1
р(*. Т)~— <*,),
(3523)
где <и>,> — средняя змф| ня осциллятора с собственной частотой v Если бы для ее
определения Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической статисти-
ческой физики о равном распределении энергии по всем степеням свободы равновесной
системы, то он получил бы, что <w,>—кт При этом его формула (35 23) совпала бы
с (3522). Однако Планк пытался найти выражение для <»,>, исхода из термодинами-
ческих соотношений Он был убежден, что между энтропией S осциллятора и его
средней энергией додж* существовать сравнительно простая связь
В октябре 1900 г Планку удалось подобрать такой вид зависимости S от <»,), при
котором
<*.>-

(3524)
-1
где ni н Oj — постоянные коэффициенты.
*СМысл ня звания закжочмгся в том, что нарушение закона сохранения энергии происходят
дел подстаиовах в интеграл (3522") бескоипиостя в качестве верхшго «ультрафиолетового»
предана частот.
486
Оказалось, что формула (3524) хорошо согласуется с результатами экспериментов
при всех частотах и температурах. Поэтому спедртоцрй освоввой этап исследования,
завершенный Плавком в декабре 1900 г., состоял в выяснении фкшческото смысла
и теоретическом обосновании столь удачно угаданного вм ооотиошевия между энт-
ропией и средней энергией осциллятора. Применив статистический метод Больцмана,
Планк вывел искомое соотношение. Однако для этого ему пришлось ввести квантовую
гипотезу, согласно которой энергия атомов-осцилляторов можая иэмвнятжя дискрет-
но, порциями, пропорциональными некоторой элементарной порции — кванту энергии
где л-0, 1, 2,....
Если считать, что распределевие осцилляторов по возможным дискретным энер-
гетическим состояниям описывается законам Больцмана, то версии иисть нахождения
осцилляторов в состоянии с энергией л»,, при термодинамической температуре Травна
Здесь с — постоянный коэффициент, определяемый из условия нормировки £ р,— 1,
т. е	-»
1
с----------------.
£ еЧ>[-я»^(4ТЯ
»•
Средняя энергия осциллятора
<*»>“ £ ЛЛ*Ч-»*Ч ----.
•° Е
•—о
откуда
(4М4) Ё <ч>(-«0 d ю
<w,>- -	—5=6-----------“”*’•* ы Е «р(-*л
Ё «р(-о	-°
где	так как
£ exp(-nf)“,-----Ц—, то -to £ exp(-nfr-to(l-ep(-C)).
я-о	l-cxp(-f)	,_0
Таким образом,
«₽(-{)
<» ,>=», --------—---3—.
•1-ежр(-{) оф{-1
или
(35Л4Э
Поэтому согласно (35.23)
(35.25)
497
Из сопоставления (35.25) с формулой Вина (35.15*)
следует, что квант энергии пропорционален частоте v:
<*V> ‘
%, “Av,
(3526)
где Л — универсальная постпянияя*, получившая на-
звание постоянной Планка.
Таким образом, средняя энергия осциллятора
е —1
Эта зависимость от v показана на рис. 35.5. Окончательное выражение
формулы Плавал
2xv2 Av
с2 WT) .
е —1
(3527)
Из изложенного видно, что часто встречающееся в учебной литературе утвержде-
ние, что формула (3526) была предположением Планка, не соответствует действитель-
ности.
В области малых частот, т. е. при условии, что квант энергии Av во много раз
меньше средней энергии осциллятора, формула Планка совпадает с формулой Рэлея —
п	гг	**/<*73
Джинса. Для доказательства этого разложим е в ряд:
, Л» 1 /Av V 1 / Av у
е — 1Ч-------1— I — I Ч— I — I
кТ 21 \АГ J 3! \kTJ
Если hv«kT, то е*’/<*7^—l«Av/(/c7) и из формулы Планка (3527) следует формула
Рэлея — Джинса (35.22):
„ 2kv2 kv Злу1
г°»—------------------кТ.
с2 hv/(kT) с2
В области больших частот Av» кТ и единицей в знаменателе формулы (35.27) можно
пренебречь по сравнению с е . Тогда получим формулу
^2nAv3 е-*,/(*т)
которая совпадает с выражением (35.15), причем ai = hjk.
§ 35.3.	Понятие об оптической пирометрии
1.	Оптической пирометрией называется совокупность оптических методов измерения
высоких температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, применя-
емые для этого, называются Пфометрамв.
В радиационных пирометрах регистрируется интегральное (полное) излучение ис-
следуемого нагретого тела, а в оптических пирометрах — излучение тела в каком-либо
одном или двух узких участках спектра.
•Универсальность постоянной А следует из того, что функция Вина ftyIT) в выражении
(35.15') не зависит от материала, из которого изготовлено черное тело.
488
Потоком излучения Фэ называется средняя мощность оптического излучения за
время, значительно большее периода колебаний электромагнитного поля света.
Энергетическая освещепость £,, т. е. поверхностная плотность потока излучения,
падающего на данную поверхность, определяется по формуле
Энергетическая сила света /, — величина, равная отношению потока излучения
источника к телесному углу ft, в пределах которого распространяется это излучение:
/,=dOw/dn.
2.	Энергетическая яркость В3 — величина, равная отношению энергетической силы
света элемента излучающей поверхности площадью dS1 к площади проекции этого
элемента на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения:
в.-*-.
<15 cos ф
где q> — угол между направлением излучения и нормалью ж площадке dS.
Спектральная плотность энергетической яркости — величина, равная отношению
энергетической яркости, соответствующей узкому участку оптического спектра, к ши-
рине этого участка:
dB,	dLB,
Ь.= , D1 — .
dv	<Ц
Источник оптического излучения называется косинусным, или подчиняющимся
закону Ламберта, если его энергетическая яркость В3, а также ее спектральные плот-
ности Ь, и одинаковы для всех направлений, т. е. не зависят от угла tp. Черное тело
является косинусным излучателем.
Энергетическая яркость косинусного излучателя и ее спектральные плотности
связаны с его энергетической светимостью и ее спектральными плотностями соотноше-
НИЯМИ
B3=RJn, b,=rjn. bi=rjjn.
3.	В оптической пирометрии различают радиационную, яркостную и цветовую тем-
пературы тела.
Радиационной температурой Гр тела называется температура черного тела, при
которой его энергетическая яркость В° равна энергетической яркости В3 данного тела.
Если исследуемое тело — косинусный излучатель, коэффициент излучения которо-
го а, то из условия В3 (7)—В°(Тр), где Т— истинная термодинамическая температура
тела, следует, что
а^(Т)=Я?(Гр), Г=ГР/\А>ГР.
Яркостной температурой Гя тела называется температура черного тела, при которой
его спектральная плотность энергетической яркости Ь° для какой-либо определенной
длины волны Ао равна спектральной плотности энерг е i и ческой яркости bi данного тела
для той же длины волны:
Г)=Л?(Л>, ГД
Обычно Aq=660 нм (красный свет).
489
Для косинусного язлучатедя, коэффициент поглощения которого дня сапа с дли-
ной волны Л> яра температуре Т теж равен аДДо, Т), вз закона Кирхгофа и формулы
Плавка следует, что
*>?йь ГД
«АП
где aj—hc/k. Так как аДДо, то 7>Гд.
Цветовой теванретурой 7*а теп называется такая температура черного тела, при
которой относительные респредежввя спектральной плотности яркости Ь° этого тела
в рассматриваемого теп Ьд максимально близки в видимой области спектра
ЫЪ.	Тд)
bdh. ту'
Для косинусного излучателя
п(Д». П Тд)
Н(Д«. Т) rf(Ab Гд)‘
Обычно Л]>"655 нм (красный <зет) в Аз“470 нм (зеленый свет). Цветовая температура
серого теп совпадает с ето встивой температурой в может быть найдена из закона
шещенвя Вина.
Вопросы:
1.	Почему винчения ъ* на кривых ряс. Э&З не соответствуют значениям Дд на кривых rf-/(A),
которые рекомендуется построить?
2.	Могут ля кривые, повременные не рис. 35Д пересекаться?
3.	Согласуется ли формула Рэлея — Джинса с формулой Вина?
4.	В чем состоит принципиальная непоследовательность вывода формулы Планка изложенного
а| ЭбЛ?
S.	Что понимают е оптической пирометрии под радиационной, яркостной и цветовой тем-
пературами?
Глава 36________________;_______________________
Основы квантовой оптики
§ 36.1. Фотоэлектрический эффект
1. В гл 35 было показано, что последовательное решение проблемы теплового
излучения черного тела оказалось возможным лишь после того, как М. Планк отказал*
ся от классических представлений о непрерывном процессе излучения энергии атомом*
осциллятором. Квантовая гипотеза Планка привела в дальнейшем к представлению
о том, что свет испускается и поглощается Отдельными порциями — квантами, и на-
шла свое подтверждение и дальнейшее развитие в ряде других кипений: фотоэлект-
рическом эффекте, химическом действии света, эффекте Комптона и т. д.
Г. Герц обнаружил (1887), что при освещении отрицательного электрода искрового
разрядника ультрафиолетовым излучением разряд происходит при меньшем напряже-
нии между электродами, чем в отсутствие такого освещения. Это явление, как показали
опыты В. Гальвахса (1888) и А Г. Столетова (1888 — 1890), обусловлено выбиванием
под действием света отрицательных зарядов из металлического катода разрядника.
Схема опытов Столетова представлена на рис. 36.1.
Плоский конденсатор, одной из обкладок которого служила медаая сетка С, а в качестве
агорой — цинковая платит D, был включен через гальванометр G в цепь аккумуляторной
батареи Б При освещения отрицательно заряженной пластины D светом от источника 5 в цепи
возникал электрический ток, называемый фототекой. Сала фототока была пропорциональна
освещенности пластины D Освещение положительно заряженной обкладки С конденсатора ие
приводило к возникновению фототока. Так было экспериментально доказало, что под действием
света металл теряет отрицательно заряженные частицы Измереетя удельного заряда этих частиц
по их отклонению в магнитном поле показали, что они представляют собой электроны
(?/«--1,759 10*1 Кл/кг).
Явление вырывания электронов из твердых и жидких веществ под действием света
получило название внешнего фотозлвпржчесжого эффекта (внешнего фотоэффекта).
Ионизация атомов или молекул газа под действием света называется фотокоижзашж*.
2. Экспериментальные исследования внешнего фотоэффекта умсталлов показали, что
это явление зависит ие только от химической природы металла, во и от состояния его
поверхности. Даже ничтожные загрязнения поверхности металла существенно влияют
на эмиссию электронов под действием света. Поэтому для изучения фотоэффекта
пользуются вакуумной трубкой (рис. 36 2). Катод К, вокрыпФ исследуемым метал-
Рис Зв 2
491
Рис 36.3
лом, освещается монохроматическим светом, про-
ходящим в трубку через окно D. Напряжение
U между анодом и катодом регулируется потенци-
ометром R и измеряется вольтметром V. Две акку-
муляторные батареи Б\ и включенные «на-
встречу друг другу», позволяют с помощью потен-
циометра изменять значение и знак напряжения U.
Сила фототока измеряется гальванометром G. На
рис. 36.3 изображены кривые зависимости силы
фототока / от напряжения U, соответствующие
двум различным энергетическим освещенностям
катода: Ei (кривая а) и E2>Ei (кривая £>). Частота света в обоих случаях одинакова.
Существование фототока в области отрицательных напряжений от 0 до — Uo объясня-
ется тем, что фотоэлектроны, выбитые светом из катода, обладают отличной от нуля
начальной кинетической энергией. За счет уменьшения этой энергии электроны могут
совершать работу против сил задерживающего электрического поля в трубке и до-
стигать анода. Очевидно, что максимальная начальная скорость фотоэлектронов
связана с Uo соотношением

(36.1)
где е и т — абсолютное значение заряда и масса электрона. При t7< — Uo фототок
1=0. По мере увеличения U фототок / постепенно возрастает, так как все большее
число фотоэлектронов достигает анода. Максимальное значение силы тока /в называет-
ся фототоком насыщения и соответствует таким значениям U, при которых все электро-
ны, выбиваемые из катода, достигают анода:
7ж=ел,
где и — число фотоэлектронов, вылетающих из катода за 1 с.
§ 36.2. Законы и квантовая теория внешнего фотоэффекта
1. Опытным путем установлены следующие основные законы внешнего фотоэффекта:
1.	Максимальная начальная скорость фотозлэктроное опре-
деляется частотой света и не зависит от ого интенсивности.
2.	Для каждого вещества существует красная граница фото-
эффекта, т. а. миюпоальная частота vq света, при которой еще
возможен внешний фотоэффект [v0 зависит от химической
природы вещества и состояния ого поверхности].
3.	Число фотоэлектронов л, вырываемых из катода за еди-
ницу вромани, пропорционально интенсивности оеота, т. а.
фототок насыщения пропорционален энергетической осве-
щенности Е катода (закон Столетова}.
Опыты показывают, что фотоэффект практически беэынероовев.
При объяснении первого и второго законов встретились серьезные трудности.
В самом деле, согласно электромагнитной теории, вырывание свободных электронов
из металла должно являться результатом их «ряскячинания» в электрическом поле
световой волны. Однако в таком случае совершенно непонятно, почему максимальная
начальная скорость и кинетическая энергия вылетающих фотоэлектронов зависят от
частоты света, а не от амплитуды колебаний вектора напряженности Е электрического
поля волны и связанной с ней интенсивности волны. Трудности в истолковании первого
и второго законов фотоэффекта вызвали сомнения в универсальной применимости
волновой теории света.
492
2.	А Эйнштейн обратился (1905) к проблеме возникновения и превращения света,
исходя не из законов фотоэффекта. Анализируя флуктуации энергии излучения черного
тела, он показал, что если в объеме Уо находится такое излучение, то, исходя
из экспериментально подобранной функции (35.24) для г®, можно найти вероятность
того, что вся энергия излучения W соберется в малом объеме V< Vq. Эта вероятность
имеет вид
Wi=(W)’rA*’’-
Эйнштейн сравнил ее с им же найденной вероятностью Wj того, что N молекул газа
в объеме Vo соберутся в малом объеме V< VQ:
^(V/Vq?.
Из сопоставления этих двух выражений Эйнштейн сделал вывод о том, что излучение
ведет себя так, как если бы оно состояло из л= W/(hv) независимых квантов энергии
величиной Av каждый- По Эйнш хейну, при распространении св$та, вышедшего из
какой-либо точки, энергия распределяете^ не непрерывно во все более возрастающем
пространстве. Энергия состоит из конечного числа локализованных в пространстве
квантов энергии. Эти кванты движутся, не делясь на части; они могут поглощаться
и испускаться только как целое. Только в одном параграфе своей большой работы
Эйнштейн обращается к фотоэффекту и его законам как к подтверждению своих идей.
Помимо фотоэффекта свои квантовые идеи Эйнштейн применил и к другим оптичес-
ким	потребовавшим для своего объяснения ы*ан'1 овыл представлений.
3.	Рассмотрим с Квантовой точки зрения внешний фотоэффект в металлах. Известно,
что для выхода из металла электрон должен совершить работу выхода А. В результате
поглощения фотебна электрон приобретает энергию Av. Если Av> А, то электрон может
совершить работу выхода и вырваться из металла. В соответствии с законом сохране-
ния энергии максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона
(36.2)
Это уравнение впервые было предложено Эйнштейном и называется урявнавем
Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Как видно из предыдущего, уравнение (36.2)
получено в предположении, что электроны в металле движутся независимо друг от
друга, т. е. между ними отсутствуют силы взаимодействия. Поэтому передача фотоном
энергии одному из электронов не изменяет энергии всех остальных электронов. Теория
фотоэффекта, основанная на этом предположении, называется одноэлектропо*.
При весьма большой интенсивности света, вызывающего фотоэффект, например
при освещении металла излучением, полученным в генераторах когерентного света,
законы внешнего фотоэффекта теряют силу. Предположим, что на электрон в металле
падают одновременно два совершенно одинаковых фотона с энергией Av каждый
Происходит многофотонный фотоэффект. Тогда суммарная энергия, переданная элект-
рону, равна 2Av»A(2v), т. е. будет такой же, как если бы падал один фотон, но
с удвоенной частотой. Очевидно, что закон красной границы фотоэффекта будет
нарушен. В нелинейной оптике изучаются процессы взаимодействия света высоких
интенсивностей с веществом и выясняются многие необычные особенности этого
взаимодействия.
4.	Уравнение (36.2) позволяет легко объяснить все основные законы внешнего фотоэф-
фекта для металлов. В самом деле, из (36.2) следует, что максимальная кинетическая
энергия фотоэлектрона зависит не от интенсивности, а от частоты света и работы
выхода А. Внешний фотоэффект возможен только в случае, когда энергии Av фотона
больше или, в крайнем случае, равна А. Следовательно, соответствующая красной
границе фотоэффекта частота равна
у0=Л/А.
(36.3)
493
Ом заяжжт только ст работы выхода электрона, т е. от химической природы металла
 состояния део поверхности.
Наконец, из явдеяак ввшпкго фотоэффекта ясно, что общее число п фотоэлект
ронов, вылетающих эа единицу времени, пропорционально числу фотонов л*, пада-
ющих за то же время на поверддисть катода. Для плоского катода, равномерно
освещаемого монохроматическим светом с частотой т,	где Е — энергетичес-
кая ослепif.imocib, процорцяоод тп иа а мщежлвности одета. Таким образом, в соответ
стиии с третьим законом фотоэффекта число фотоэлектронов, вылетающих из катода
в единицу времени, пропорцнонилыю интенсивности одета.
На основе соотношений (36.1) и (363) уравнение Эйнштейна можно переписать
•£7e-A(v-»h)
(36.4)
В. Уравнение Эйнштейна дни ааншвего фотоэффекта в форме (36 4) неоднократно
подвергалось экспериментальной проверке. На рве. 36 4 побрвжены результаты изме-
рения шднпдяьной кндетдецжой энергии фотоэлектронов как функции частоты об-
лучающего металл света для алюминия, цинка
и никеля. Существенно, что в согласии с урав-
нением (36.4) все прямые параллельны друг
d
другу, причем производная — (еС0) не зависит
dv
от материала катоде и численно равна посто-
янной Планки Л Точки пересечения прямых
с осью абцисс указывают также на существом
ине граничной частоты фотоэффекта для
данного металла. Отрезки, отсекаемы прямы
мн * оси ординат (рис. 36 4), численно равны
работе А выхода электронов из соответству
ющнх металлов
Среднее значение Л, полученное из опытов,
оказалось равным 6,543 10"** Дж с Точность
отлов составляла 0,1 — ОДУ» Совпадение значения Л, полученного в опытах по
фотоэффекту, с результатами гфугнх методов определения подтвердило правильность
уравнения (362) дня фотоэффекта и вместе с тем идеи Эйнштейна о квантовом
характере нзашодейспая свеп с электронами при фотозффодте
Й. Безынерцнояность фотоэффекта является доказательством квантовой природы вза
имодействяя свеп с веществом. Если расшяттнпать это взаимодействие исходя из
волновой теории, то можно попаять, что потребуется конечное и довольно значитель-
ное время для того, чтобы при дедаипой ингеисивяосги света электромагнитная волна
передала электрону энергию, деобходимун1) для совершенна нм работы выхода Кван-
товые свойства излучения, т. & сосредоточение энергии излучили в отдельных части
цех — фотонах, пляышажтт данность энергия излучения. Сравним, например, энергию
фотона водимого свеп (тм 10” П0 со средней кинетической энергией приходя-
щейся на одну степень свободы ыодекуяы газа. <ЖЛ>- 1/^кТ Из уравнеодя
следует, что молекула пал имеет такую же энергию, как и фотон водимого света, при
температуре порядка 10* К.
Из всего изложенного выше вено, что корпускулярные свойства свеп должны
с особой отчетливостью сназывапся на всех явлениях, где происходит взаимодействие
коротковолнового излучения с веществом.
$ ЭЙЛ. ДруГМН ЯК8ПВрПМВ1П'ЯЛЫу__
подтвщицдтмя квмгтовыя сиийсти синти
1. Распространи* свеп в виде потока отдельных фотонов и квантовый характер
взаимодействия свеп с веществом были экспериментально подтверждены в опыте,
иосгаавеяяом А. Ф Иоффе и Н. И. Добронравовым (1922).
Мжкроскоаичвсжвя эврвжеми вылома вз висмута радиусом 3 10~* см была взвалена
а зимктрическем пом нявовго дециметра. Одев лэ пласе* койдедеаторв, быв сделана из
494
алюминвсвой фенол толщине! 5 10 1 мм  играл роль антжнтода «тшалоржой |miiihum>
кой трубки. Антикатод бомбардировался алектровазм, которые мфымлвь ж> потопа трубки —
острия тонкой алюмввясвсй проаояра— под жлижжм огасщеппл его удьтряфвплгговым
тлучшшм Напряжете между злвтродат труба аютаыяжф U «В. Оашнишють китола
была столь малой, что ежесжукдно из ото вырывалось лишь окои» 1000 фотезяйпровов
Поэтому ренггаювекое излучение антикатода состояло из отдаяьшп импульсов, кяждатЙ из
которых соответствовал удару одного фотоэлектрона об антикатод Гинн айовское излучение
свободно проникало сквозь тонкую алюминиевую фольгу в полость кожнвшжтора. В опыте
исследовалось действие этого излучении на пылинку, находившуюся m расстоянии 4"0Д мм от
аяпжатода, который принимался за точечный вс i очник pun i еновсаш о излучения.
2. В среднем через каждые 30 мин уравновешенная пылинка азфаТнйа*» и теряла раивмеше.
Эго происходило благодаря тому, что рентгеновское пзлучвив, попадая иа пылинку, освобож-
дело из нее фотоэлектроны я изменяло ее заряд Пылинка представляла собой для режтгвяожиях
фотонов мишень площадью ят*—я(3 10“’)3—9я 10 10 см3 Если считать, что ренттееюваав
фотоны вылетали из точечного источника по аса< направлениям одашково, то они раваюмерно
распределялись по сфере поверхностью 4xrf* -4я(0,02)* о<*«>1бя 10г* см*
Таким образом, вероятность попадшпи фотона в «цель» еосгамяжа 9я 10“,о/(16я 10“*) —
- 1O_*/IJB Это означало, что в среднем один нз 1800000 фотонов жевали на пыжику Если
учесть, что в 1 е испускалось всего 1000 фотонов, то итид»»» фотвт в пылинку црояоодя
ло весьма редко В согласии с результатами опыта один фотонпопадал в 0₽ль в средаеы важные
30 мин.
Таким образом, с квантовой точки зрения опыт получше простое объяснение
Между тем его истолкование с волновой точки зрении оказывалось невозможным
Если считать, что рентгеновское излучение распространяется в виде сферических
волн, а не отдельных фотонов, то каждый рентгеновский импульс передавал бы
пылинке очень малую энергию Эта энергия, кроме того, д»"”" была бы респреда-
ляться между огромным числам электронов, содержащихся в пылинке. Поэтому
практически невероятно, чтобы одни из электронов мог накбпжгь энергию, достаточ-
ную для совершения работы выхода нз пылинки, не только за 30 мин, но и за
существенно больший срок облучения.
1 Из представлений о свете как о потоке дискретных фстоваж, взаимодействующих
с регистрирующим прибором (глазом, фотоэлементом и т и.) независимо друг от
друга, следует, что при регистрации очень слабых световых потоков должны об-
наруживаться заметные флуктуации их иитенсивносгей. Эти флуктуации обусловлива-
ются случайными отклонениями числа фотонов N, потадакхдех в прибор за 1 с, от
некоторого среднего значения Из теории флуктуаций (см. б 118) следует, дто от-
носительная флуктуация интенсивности света обратно пропорциональна В обыч-
ных световых потоках N столь велико, что обнаружить ничтожно малые относитель-
ные флуктуации их интенсивности практически невозможно.
Опыты по обнаружению флуктуаций слабых потоков видимого света впервые были
осуществлены С И Вавиловым и его сотрудниками. Наблюдения проводились визу-
ально и были основаны на том, что после достаточно двигелыюго пребывания
в темноте человеческий глаз обладает резким ворогом цшпинии и ощутащя, т. е.
зрительно воспринимает свет, интенсивность которого не веяние некоторого опредс-
данного значения Для света с длиной волны 525 нм ворог зригельиого ощущения
у разных наблюдателей соответствует падению на глаз за 1 с от 200 до 400 фотонов
В опытах Вавилова наблюдались периодически повторяющиеся вспышки слабого
источника, средняя интенсивность света которого совпадала с порогом зрительного
ощущения наблюдателя. Вследствие флуктуаций шиешикости света, соответст-
вующего различным вспышкам, наблюдатель часть вспьнвек видел, а чцетъ не видел.
Эти опыты явились убедительным доказательством наличия у света пантовых
свойств
4 Действие света на поглощающие его вещества может вызвать химические превра-
щения веществ, называемые фопшввческшда реяжцмм. Нацржмер, при освещении
паров брома молекулы Вг2 диссоциируют на два атома, молекула бромистого серебра
AgBr под действием света разлагается иа атомы серебре и брома. В некоторых случаях
освещение вызывает образование сложных молекул из более простых.
495
Если при фотохимической реакции не происходит ишеягих вторичных процессов,
связанных с химической активностью веществ, которые возникают в результате фото-
химической реакции, то справедлив следующий экспериментально установленный ос-
новной закон фогохимп (закон Бунзена — Роско):
месса т фотохимически прореагировавшего вещества пропор-
циональна энергии W поглощенного света:
m=kW.	(36.5)
Коэффициент пропорциональности к зависит от рода реакции и частоты v света.
Зависимость к (у), а также существование для каждой фотохимической реакции красной
гратцы, т. е. некоторой минимальной частоты v0 химически активного света, было
объяснено Эйнштейном на основе квантового характера поглощения света веществом.
Для фотохимического превращения одной молекулы вещества необходима некоторая
энергия Wa, называемая энергией активации этого превращения. Следовательно, фотон
способен вызвать это превращение только в том случае, когда энергия фотона Av> W3.
Минимальная частота химически активного света
v0=WJh.	(36.6)
Эйнштейн высказал также предположение о том, что каждый фотон, поглощенный
веществом, может вызвать фотохимическое превращение только одной поглотившей
его молекулы (фотохимическое соотношение Эйнштейна). Поэтому число N молекул
вещества, претерпевающих фотохимическое превращение при поглощении одной н той
же энергии W, обратно пропорционально энергии Av одного фотона (при v> v0):
1 Л
(36.7)
Av пс
где к=ф —длина волны света. Масса прореагировавшего вещества m=NM/NA, где
М — молярная масса. Из формулы (36.5) следует, что т=к при FF= 1. Следовательно,
k~M/(hv).
Фотохимическое соотношение Эйнштейна весьма часто нарушается. Иногда на
один поглощенный фотон приходится множество молекул, участвующих в химических
превращениях. Примером может служить цепная реакция образования на свету НС1 из
Н2 и Cl2i происходящая со взрывом. Освещение служит при этом толчком к началу
химического процесса, который затем развивается самостоятельно.
Необходимым условием протекания фотохимической реакции является поглощение
света веществом. Если для данной частоты v света вещество прозрачно, то не будет ни
поглощения, ни фотохимического процесса. Однако в этом случае можно осуществить
фотохимическую реакцию, если добавить к исследуемому веществу другое, которое
поглощает свет частоты V. Молекулы второго вещества, называемого сенсабшшзато-
ром, поглощают фотоны Av н полученную энергию передают при столкновениях
молекулам исследуемого вещества. Очевидно, что такие сенсибилизированные фотохи-
мические реакции могут происходить при достаточно частых соударениях между моле-
кулами сенсибилизатора и изучаемого вещества, т. е. в твердых и жидких средах.
В противном случае молекула сенсибилизатора «высветится» — потеряет полученную
ею энергию — раньше, чем она успеет передать ее молекуле, которая должна подверг-
нуться фотохимическому превращению.
496
§ 36.4.	Импульс фотона
1.	Согласно представлениям квантовой электродинамики электромагнитное взаимо-
действие между заряженными частицами имеет обменный характер, причем перенос-
чиками этого взаимодействия служат фотоны — кванты электромагнитного излуче-
ния. На этом вопросе мы остановимся позднее в главе, посвященной элементарным
частицам (см. §§'46.1 и 46.8).
Фотон* существенно отличается от всех других элементарных частиц (кроме, воз-
можно, нейтрино — см. § 46.5) тем, что его масса н энергия покоя равны нулю (m$=0,
Щх|)=0). Так как энергия фотона не равна нулю, то согласно соотношению
(7.29) теории относительности фотон является ультрарелятивистской частицей, ско-
рость которой относительно любой системы отсчета равна скорости с света в вакууме
(см. также соотношение (7.18)). Такое своеобразие поведения фотонов вовсе не проти-
воречит тому опытному факту, что скорость света в среде всегда меньше с. v—ejn, где
л>1 — абсолютный показатель преломления среды. Объяснение этого кажущегося
противоречия состоит в том, что согласно квантовой электродинамике распростране-
ние света в среде сопровождается процессами «переизлучения» — фотоны поглощают-
ся и вновь испускаются частицами среды.
Из сказанного видно, что современные квантовые представления о свойствах света
существенно отличаются от ньютоновской корпускулярной теории света. Световые
корпускулы рассматривались НьютонЬм как обычные механические частицы (с со-
временной точки зрения, частицы должны были бы иметь массу гн#О). Интересно
отметить, что эту трудность корпускулярной теории понимал М. В. Ломоносов.
Критикуя корпускулярную теорию света, Ломоносов говорил, что в случае ее справед-
ливости должны были бы обнаруживаться соударения световых корпускул: при пересе-
чении световых пучков происходило бы «в лучах замешательство». При этом речь шла
об обычном механическом ударе, подобном соударению шаров.
2.	Импульс фотона рф и его энергия в соответствии с общей формулой (7.30)
теории относительности связаны соотношением
Jt'4,= Cy/^+m2c1.
Для фотона т=0 и
Pb=W$]c=hvlc.	(36.8)
Если ввести волновое число А=2п/2., то выражение (36.9) можно переписать в форме
v Л Л
Рф=Л =-=Tk=hk’	<36-9)
с Л 2л
где Л=Л/(2я) = 1,05 10"34 Дж с.
Направление импульса совпадает с направлением распространения света, харак-
теризуемым волновым вектором к, численно равным волновому числу. Следовательно,
। рф=йк.	(36.9')
Таким образом, фотон, подобно любой движущейся частице или телу, обладает
энергией и импульсом. Обе эти корпускулярные характеристики фотона связаны с вол-
новой характеристикой света — его частотой v.
3.	Одним из экспериментальных подтверждений наличия у фотонов импульса являет-
ся существование светового давления. С квантовой точки зрения давление света на
поверхность какого-либо тела обусловлено тем, что при соударении с этой поверх-
ностью каждый фотон передает ей свой импульс. Фотон может двигаться только со
скоростью света в вакууме. Поэтому отражение света от поверхности тела, строго
говоря, следует рассматривать как сложный процесс «переизлучения» фотонов — пада-
*Термин «фотон» был введен Г. Н. Льюисом (1929).
497
ющий фотон поглощается поверхностью, а затем вновь излучается ею с измгаишпиМся
направлением импульса. Однако совершенно очевидно, что при этом давление света ня
отражающую поверхность должно быть таким же, каким оно было бы в том случае,
если бы фотоны зеркально отражались от поверхности подобно абсолютно упругим
шарикам. В дальнейшем мы будем широко пользоваться этим формальным приемом,
условно рассматривая процессы отражения и рассеяния света как процессы отражения
и рассеяния фотонов
4.	Найдем давление, производимое на идеально отражающие стенки замкнутой поло-
сти изотропным монохроматическим излучением, заключенным в згой полости. Для
простоты предположим, что полость имеет форму куба с ребром, равным L Ввиду
изотропности излучения можно считать, что все направления днижени» фотонов равно-
вероятны Поэтому будем считать, что вдоль оси, перпендикулярной к стенке куба,
движется 1/3 часть всех фотонов, концентрация которых в кубе равна п^. Половина из
них движется к стенке и передает ей при отражении удвоенный свой импульс Поэтому
давление на стенку равно удвоенному импульсу всех Им фотонов, падающих за 1 с на
единицу площади стенки (ла=пос/б):
Л»	1	и»
р=2 — «„=- Avbo«-.	(36.10)
с	3	3
Здесь w - объемная плотйостъ энергии излучения.
5.	Найдем световое давление, которое оказывает на поверхность тела поток монохро-
матического излучения, падающего перпендикулярно поверхности. Существенное от-
личие этого примера от разобранного в п. 4 заключается в неизотронности падающего
излучения — все фотоны летяг в одном направлении.
Пусть в единицу времени на единицу площади поверхности тела падает л фотонов.
Если коэффициент отражения света от поверхности тела равен R, то Л» фотонов
отражается, а (1—К)п поглощается. Каждый отраженный фотон передает стенке им-
пульс 2pt=2hvfc (при отражении импульс фотона изменяется с Рф на — ₽ф). Каждый
поглощенный фотон передаст стенке свой импульс p^hv/c. Таким образом, давление
света иа поверхность, равное импульсу, который передают поверхности за 1 с все
л фотонов, выражается формулой
Ял+— (1 — R)n,
с с
или
(1 + Я)~-(1+Я)=н>(1+Я),	(36.11)
с	с
где I=*nhv — интенсивность сзета, w»//c — объемная плотность энергии падающего
излучения Формула (36.11) подтверждается экспериментальными результатами
П. Н. Лебедева по измерению светового давления.
Заметим, что давление света одинаково успешно объясняется как волновой, так
н квантовой теорией света. Отсюда следует, что световое давление не может считаться
убедительным доказательством справедливости существования квантовых свойств из-
лучения.
§ 36.5.	Эффект Комптона
1.	Квантовые свойства света проявляются в эффекте, который обнаружил А. Комптон
(1922), наблюдая рассеяние монохроматического рентгеновского излучения «легкими»
веществами (графит, парафин и др.). Далее мы подробно остановимся на происхожде-
нии и свойствах рентгеновского излучения, которое представляет собой электромагнит-
ные волны с меньшей длиной волны, чем ультрафиолетовое излучение. Схема опыта
Комптона изображена на рис. 36.5.
498
Узкий диафрагмированный пучок моно-
хроматичешго рсатгшомхого излучшия па-
дает на «лахое» рассеивающее вещество
К и после рассеянна на угол попадает
в приемник — рентгеновский спектрограф 2),
где измеряется длина волны рассеянного из-
лучали. Опыты Комптона показали, что
длина волны X рассеянного излучения бо-
льше длины волны 1 падающего излучения,
цричем разность X—1 зависит только от
угла рассеяния Р:
дл-г-д-г^ип’^/гх (зв 12)
где Лк — коыптововоая длина волны Это	Рис 3&S
явление получило название эффекта Компом
2.	Классическая волновая теория ряг^иния света оказалась бессильной в объяснении
эффекта Комптона. Согласно этой теории, рассеяние света связано с возникновением
в веществе под действием падающего света вторичных электромагнитных волн той же
частоты (длины волны).
С квантовой точки зрения рассеяние света, как и фотоэффект, является результатом
взаимодействия фотонов падающего на вещество излучения с электронами этого
вещества. При этом взаимодействии должны выполняться законы сохранения энергии
и импульса в системе вещество — излучение, которую можно считать изолированной.
Если предположить, что фотон падает на покоящийся* свободный электрон вещей ва
и поглощается им, то одновременно выполняются следующие два условия
JPB=Av и p=“hv/e,
(М.13)
где W* и р — кинетическая энергия и импульс, приобретенные электроном в результате
поглощения фотона с энергией Av. В общем случае для и р нужно воспользоваться
релятивистскими формулами (7.25) и (7.20). Поэтому условия (36.13) примут вид:
тс1 (—	- — 1	Av,
Wl-y’/e1 /
(36.139
Легко видеть, что эти два равенства не могут выполняться одновременно при произ-
вольных значениях у, отличных от 0 и оо. Таким образом, фотоэлектрическое поглоще-
ние света свободными электронами невозможно: оно противоречит законам сохране-
ния энергии и импульса.
Фотоэффект может происходить только на «связанных» электронах, находящихся,
например, в атоме газа, в твердом теле и т. д. В ютом случае уравнения (36.13')
Прмнимяшу ВВД
hv^mc1 (—- —  — 11+ W
Wl-v2/^	/
т
ЛЬ—.-----=+Р.
Vl-H/e»
(36.13")
где W — энергия связи электрона с системой, в которой он находятся; р — импульс,
передаваемый этой системе при фотоэффекте. Легко видеть, что при Av— W, малых во
сравнению с тс1, в«с,
•Допущение, что электрон покоится, ив ограничивает общеиегя вывода
т. е. первое уравнение (36.13") совпадает с уравнением Эйнштейна (362) для внешнего
фотоэффекта.
3.	Для рассеяния света на электронах вещества условие «связанности» электронов не
является обязательным, рассеяние света может происходить и на свободных электро-
нах. Комптон впервые показал, что квантовый подход к за-
даче рассеяния рентгеновских лучей на «почти» свободных
электронах легких веществ приводит к результатам, суще-
х	ствснно отличающимся от классических. Рассмотрим снова
взаимодействие падающего фотона, обладающего импуль-
‘	Рф сом p^=hco/c=hk и энергией Т¥ф—hco (со=2тп— цикли-
х.	' ческая частота света), со свободным покоящимся электро-
ном, имеющим энергию покоя %=тс2. Предположим, что
Ре	происходит рассеяние фотона на электроне, в результате
которого импульс н энергия фотона становятся равными
Рис. 36.6	и 1Рф=срф. Электрон при этом приобретает импульс
ре и энергию	Векторная диаграмма импульсов при рассеянии изоб-
ражена на рис. 36.6. Запишем выражения для законов сохранения энергии и импульса:
Иго+И'ф=И'+И"*
Рф=Р«+Рф-
Выражение (36.14) подробнее записывается так:
тс2+срф=с
(36.14)
(36.14')
(36.14")
Из (36.149 и (36.14") найдем связь между рф и рф. При этом нужно учесть, что
Л1=(Рф-р'*)2-Р*-2рфР;со8	+р;2.
Простые вычисления приводят к результату
тс
тс +Рф(1 —cosV")
Так ках рф=Аш/с и Рф=Аш'/с> то
тс*
ш'я=ш —--------------
те2 + Ла> (1 —cost/)
(36.15)
Из формулы (36.15) видно, что циклическая частота рассеянного света со' отлична от
циклической частоты со падающего света. Они совпадают лишь в двух случаях.
Во-первых, при 1^=0, что соответствует отсутствию рассеяния, во-вторых, когда
падающее излучение имеет настолько малую частоту, что Лео «тс2. -В этом случае
очень мягкого рентгеновского излучения вторым слагаемым в знаменателе формулы
(36.15) можно пренебречь и ш'=со. Из формулы (36.15) найдем изменение длины волны,
происходящее при комптоновском рассеянии. Заменяя со по формуле ш=2лс/Л, после
несложных преобразований получаем
ДЛ-Л'-Л=2 — ап2 —.	(36.16)
тс 2
Из этой формулы следует в согласии с опытом, что увеличение длины волны при
эффекте Комптона зависит только от угла рассеяния V. Наибольшее увеличение длины
волны происходит при (Л = я, т. е. в случае, когда фотон рассеивается в сторону,
500
противоположную первоначальному направлению его движения. Существенно, что ДЛ
не зависит от длины волны падающего света и свойств рассеивающего вещества. Из
сопоставления формул (36.12) и (36.16) следует, что комптоновская длина волны
Ак = Л/(шс)=2,42631 10~12 м.
Иногда применяется также величина Ак/(2л)=^(тс).
4.	Электрон, который в эффекте Комптона приобретает импульс ре и энергию W, называется
Электроном отдачи. Найдем кинетическую энергию которую приобретает электрон отдачи.
Так как И/ж= W— Ир, то закон сохранения энергии (36.14) можно написать в форме Л<о=Лш' + И7,
или 1 =а>'!а>+	Используя (36.15), после несложных преобразований получаем
25 sin1 (1^/2)
И7.-Леи--------
l+25sin2(P/2)
(36.17)
где 5=Лш/(тс2).	.
Наибольшую кинетическую Энергию электрон отдачи приобретает при (/ =я, т е. при
рассеянии, фотона «назад»:
1РЖ=Леи 25/(1+25).	(36.179
§ 36.6.	Корпускулярно-волновая двойственность свойств свата
1.	Все изложенное ранее в этой главе служит, казалось бы, убедительным доказатель-
ством справедливости квантовых (корпускулярных) представлений о свойствах света.
Однако большая группа оптических явлений неопровержимо свидетельствует о волно-
вых свойствах света.
Д. Рэлей утверждал, что в «области интерференции волновая теория одержала
величайшие победы». В связи с этим возникает вопрос: что же такое свет! «Неужели мы
должны считать свет состоящим из корпускул в понедельник, вторник и среду, пока мы
проводим опыты с фотоэффектом и эффектом Комптона, и представлять себе его
волнами в четверг, пятницу и субботу, когда мы работаем с явлениями дифракции
н интерференции?» Этот вопрос, поставленный в такой форме У. Брэггом, можно
сформулировать иначе: что представляет собой свет — непрерывные электромагнит-
ные волны, излучаемые источником, или поток дискретных фотонов, беспорядочно
испускаемых источником? Необходимость приписывать свету, с одной стороны, кван-
товые, корпускулярные свойства, а с другой стороны, волновые — может создать
впечатление несовершенства наших знаний о свойствах света. Необходимость пользо-
ваться при объяснении экспериментальных фактов различными и как будто бы ис-
ключающими друг друга представлениями кажется искусственной. Хочется думать, что
все многообразие оптических явлений можно объяснить на основе одной из двух точек
зрения на свойства света.
2.	Одним из наиболее значительных достижений физики нашего века служит постепен-
ное убеждение в ошибочности попытки противопоставить друг другу волновые и кван-
товые свойства света. Свойства непрерывности, характерные для электромагнитного
поля световой волны, не исключают свойств дискретности, характерных для световых
квантов — фотонов. Свет одвоцреиеаю обладает свойствами непрерывных электрома-
гнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Он представляет собой диалектичес-
кое единство этих противоположных свойств. Однако в проявлении этих противопо-
ложных свойств света имеется вполне определенная закономерность. С уменьшением
длины волны (увеличением частоты) все более отчетливо сказываются квантовые
свойства света. С этим связано, например, существование красной границы фотоэффек-
та и фотохимических реакций. Вместе с тем волновые свойства коротковолнового
излучения (например, рентгеновского) выражаются весьма слабо. Мы убедились
в этом, в частности, при изучении дифракции рентгеновского излучения. Лишь после
того, как в качестве дифракционной решетки была использована кристаллическая
решетка твердых тел, удалось обнаружить волновые свойства (дифракцию) рентгеновс-
кого излучения. Еще в большей степени это справедливо для у-излучения. Наоборот,
501
у длинноволнового излучения квантовые свойства видны в малой степени и основную
роль играют его волновые свойства Именно поэтому большая группа ошнчесжих
явлений (интерференция, дифракция, поляризация и др.) получает свое исчерпывающее
объяснение в волновой оптике. Таким образом, если «перемещаться» по шкале элект-
ромагнитных волн слева направо, от длинных волн в сторону более коротких, то
волновые свойства электромагнитного излучения будут постепенно уступать место
квантовым свойствам
3.	Одновременное существование у света волновых и квантовых свойств, естественно,
ставит вопрос об их сожтании и взаимозависимости. Взаимосвязь между двойствен-
ными корпускулярно-волновыми свойствами света находит простое истолкование при
статистическом подходе к рассмотрению вопроса о распространении света. В самом
деле, все квантово-оптические явления убеждают нас в том, что свет — это поток
дискретных частиц-фотонов, в которых локализованы энергия и импульс излучения.
Взаимодействие фотонов с веществом при прохождении света через какую-нибудь
оптическую систему (например, дифракционную решетку) приводит к перераспределе-
нию фотонов в пространстве и возникновению дифракционной картины на экране,
расположенном на пути света, прошедшего сквозь систему. Очевидно, что освещен-
ность Е экрана в различных точках прямо пропорциональна суммарным энергиям
фотонов, попадающих в эти точки эа единицу времени. Для монохроматического света
£~dn/dS, где dn/dS^no—-число фотонов, падающих на единичную площадку dS
поверхности экрана за единицу времени Величина Е пропорциональна плотности
вероятности попадания фотонов в рассматриваемую точку экрана. С другой стороны,
решение этой дифракционной задачи на основе волновых представлений о свойствах
света показывает, что освещедность Е пропорциональна интенсивности / в данной
точке экрана Так как 1~А\ где А — амплитуда световой волны, то Е~А2
Из сопоставления двух выражений для Е, полученных выше, можно сделать следу-
ющий вывод квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства
является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку.
Таким образом, корпускулярные и волновые свойства света не исключают, а,
наоборот, взаимно дополняют друг друга. Они отражают две различные, ио в то же
время тесно взаимосвязанные закономерности распространения электромагнитного
излучения и его взаимодействия с веществом. Корпускулярные свойства обусловлены
тем, что энергия и импульс излучения локализованы в дискретных «частицах» — фото-
нах, волновые — статистическими закономерностями распределения фотонов в про-
странстве, т. е закономерностями, определяющими плотность вероятности попадания
фотонов в различные точки пространства
Из опытов по дифракции света известно, что при изменении интенсивности пада-
ющего светового потока характер дифракционной картины, возникающей от данного
препятствия, Т е спотягитятае между тпггеяснаплсттми п пдявпг и тек we точках чтряиа,
не изменяется Это позволяет считать, что волновые свойства присущи не только
совокупности большого числа одновременно движущихся фотонов, но также каждому
отдельному фотону Волновые свойства фотона проявляются в том, что ди него
нельзя указать точно, в какую именно точку экрана он попадет после прохождения
через оптическую систему. Можно говорить лишь о плотности вероятности попадания
фотона в различные точки экрана. Таким образом, фотоны качественно отличаются от
световых корпускул Ньютона, движение которых, ках считал Ньютон, подобно движе-
нию макроскопическая тел однозначно определяется вторым законом дана миги Нью-
тона и начальными условиями. Из осязанного ясно, что создание квантовой теории
света отнюдь не означало возврата к механической корпускулярной теории Ньютона.
Вопросы:
1.	Как Эйнштейн обосновал квантовые свойства света?
2.	В чем состоит невозможность обменения законов внешнего фотоэффекта е волновой
оптика?
3	Можно ли в волновой оптике объяснить закономерности фотохимических реакций?
4.	Как объяснить явление интерференции света с квантовой точки зрения?
5.	в чем состоит корпускулярно-волновой дуализм свойств света?
502
Часть
6
Элементы
квантовой
механики
и атомной физики
Глава 37
Элементы квантовой
механики
Глава 38
Строение
и линейчатые спектры
водородоподобных систем
Глава 39
Современные
представления о строении
и оптических свойствах
атомов
Глава 40
Основы физики лазеров
Глава 37
Элементы квантовой механики
§ 37.1.	Корпускулярно-волновая двойственность
свойств частиц вещества
L
1.	Французский физик Луи де Бройль пришел к выводу (1924), что корпускулярно-
волновая двойственность свойств характерна не только для света. Если по мере
возрастания частоты света его волновые свойства все труднее обнаружить, то можно
предположить существование еще более коротких волн, чем у у-излучения, связанных
каким-то образом с частицами вещества — электронами, нейтронами, атомами, моле-
кулами и т. д.
Оставим пока в стороне вопрос о природе этих волн, хотя сразу же подчеркнем, что
волны эти, как будет показано, не электромагнитные. Они имеют специфическую
природу, для которой нельзя найти аналогии в классичеосой физике.
2.	Де Бройль обобщил соотношение p$=hlk [см. (36.9)], предположив, что оно имеет
универсальный характер для любых волновых процессов, связанных с частицами,
обладающими импульсом р:
А=Л/р.	(37.1)
Формула (37.1) называется формулой де Бройля и является одним из соотношений,
лежащих в основе современной физики. Для частицы с массой т, движущейся со
скоростью «<сс,
А=Л/(т«).	(37.2)
Если частица имеет кинетическую энергию W, то, учитывая, что p=yjlmW, можно
записать (37.2) в виде
(37.29
В частности, для электрона, ускоряющегося в электрическом поле с разностью
потенциалов А<р, имеем W= 1/2rm2=e^q>, где е заряд электрона. Подставив в (37.23
выражение для W и значения всех постоянных, получим формулу, обычно применя-
емую в практических расчетах (Д<рЗ;Л,10“’° м):
А=12^5/Уа<р.	(37.3)
3.	Формула де Бройля экспериментально подтвердилась в опытах К. Дэвиссона и JI.
Джермера (1927), наблюдавших рассеяние электронов монокристаллом никеля. Схема
опыта изображена на рис. 37.1.
Нить накала электронной пушки, нагреваемая током от источника напряжении накала Ув,
нагревает катод X, который испускает электроны. Последние разгоняются ускоряющим напряже-
ние и выходят из отверстия в аноде, приобретая определенную скорость. С помощью
делителя напряжения (потенциометра) можно изменять ускоряющее напряжение н сообщать
различные скорости выходящим из пушки электронам Они падают на поверхность кристалла и,
вообще говоря, отражаются от него. Отраженные электроны улавливаются цилиндром Фарадея
(металлической полостью). Об интенсивности отраженного электронного луча можно судить по
силе тока /, созданного отраженными электронами н измеряемого гальванометром G. Элект-
ронная пушка, кристалл н цилиндр Фарадея находятся в вакууме
При неизменном фиксированном угле падения электронного луча на кристалл непрерывно
изменялось ускоряющее напряжение н при этом регистрировались показания гальванометра.
504	1


Рис. 37.1	Рис 37.2
Результаты опытов представлены на рис. 37.2 Кривая Зависимости / от имеет
внходько максимумов, равноотстоящих друг от друга.
4.	Результаты опытов Дэвиссона и Джермера можно объяснить, если привлечь идею
де Бройля о волновых свойствах алейронов и формулу (36.9).
Выразим скорость электрона через ускоряющее напряжение по формуле
^у/2(е/т)и^.
Теперь можно найти импульс и вычислить дебройлевсхую длину волны:
h	h Л
л*	y/lemV^
Если пучок электронов обладает волновыми свойствами, то он должен отражаться
от кристалла так же, как и рентгеновское излучение, т. е. в соответствии с условием
Брэгга — Вульфа (32.24):
2Л8ш1Л=пЛ (л= 1, 2, ...).	(37.4)
Учитывая выражение для длины волны де Бройля, получаем
где Z>=ft/(2^sml^v/em) — величина, являющаяся постоянной в условиях опыта. Входя-
щее в это соотношение ускоряющее напряжение соответствует максимумам отражения,
так ках именно к этим случаям относится условие Брэгга - Вульфа. Как видим,
значения y/Uya, соответствующие соседним максимумам отражения, отстоят друг от
друга на одинаковое расстояние D в соответствии с опытом. Больще того, подстановка
реальных числовых данных, соответствующих условиям опыта (значения d и V~),
в полученную формулу для D дало прекрасное согласие с результатами опытов
Дэвиссона и Джермера.
Таким образом, идея де Бройля о волновых свойствах частиц и количественное
выражение этой идеи — формула де Бройля (37.1) — получили блестящее опытное
подтверждение.
в. Вскоре после опытов Дэвиссона и Джермера волновые свойства электронов были
обнаружены в экспериментальных исследованиях П. С. Тартаковского в Ленинградс-
ком и Дж. П. Томсона в Абердинском университетах. Опыты эти состояли в прохожде-
нии пучков электронов сквозь тонкие пленки (толщиной порядка 10“7 м) поликрисгал-
505
лической структуры. По своей постанов-
ке эти опыты были аналогичны осущест-
влению дифракции рентгеновского излу-
чения по методу Дебая Шеррера.
На рис. 37.3 представлены фотогра-
фии дифракционных картин, полученных
при рассеянии рентгеновского излучения
Рис 37 3	пластинкой алюминия и пучка электро-
нов, прошедших сквозь тонкие пленки
золота и меди. Пользуясь подобными фотографиями, Дж. П. Томсон проверил фор-
мулу де Бройля (37.1) и определил по полученным значениям и формуле (37.4) период
кристаллической решетки металла, через который проходили электроны. Результаты
совпали с известными ранее данными рентгеносгруктурного анализа.
В методе Дебая — Шеррера диаметр D дифракционного кольца данного порядка
прямо пропорционален длине волны, поэтому отношение D/Х для данного материала
при неизменном расстоянии от образца до фотопластинки должно оставаться постоян-
ным. Аналогичные результаты были получены при дифракции электронов.
в. В Москве Л. М. Биберманом, Н. Г. Сушкиным и В. А. Фабрикантом были
осуществлены (1949) опыты по дифракции одиночных, поочередно летящих электро-
нов. Интенсивность электронного пучка в этих опытах была столь малой, что на
тонкую пленку вещества одновременно попадал только один электрон.
В § 36.5 мы видели, каковы были бы результаты опыта, состоящего в последова-
тельном «обстреле» фотонами некоторого препятствия. Оказалось, что результаты
наблюдения после многократного «обстрела» соответствовали бы дифракционной
картине на данном препятствии при облучении его световым потоком, состоящим из
большого числа фотонов. Аналогичный результат был и в опытах по дифракции
поочередно летящих электронов. На рис. 37.4 изображена фотография типичной диф-
ракционной картины от поочередно летящих электронов в результате многократного
«обстрела» вещества электронами. Она не отличается от
дифракционных картин, получаемых сразу при обычных
интенсивностях электронных пучков.
Для исследования структуры вещества наряду с рент-
геноструктурным анализом в настоящее время широко
используется метод электронографии. Он основан на
том, что дифракционные эффекты для электронов на-
блюдаются лишь при условии, что длина волны, связан-
ной с электронами, имеет порядок величины межатом-
ного расстояния в веществе. В связи с тем что электроны	рис 37 4
имеют значительно меньшую проникающую способ-
ность, чем рентгеновское излучение, электронография чаще применяется для исследо-
вания структуры поверхностей твердых тел, например при изучении коррозии и катали-
за. Для молекул газов, адсорбированных на поверхности твердого тела, с помощью
дифракции электронов могут быть найдены межатомные расстояния и получены
другие сведения, характеризующие структуру молекул.
7. В формуле де Бройля нет ничего специфического для электрона как определенной
частицы. Волновые свойства должны быть присущи любой частице вещества, имеющей
массу т и скорость и. Опытами О. Штерна и И. Эстермана была доказана (1929)
применимость формулы де Бройля (37.2) к пучкам атомов и молекул. Приняв, что
скорость частицы в пучке равна наивероятной скорости молекулы при температуре Т:
u,=y/2RT!M,
и вычислив массу молекулы по формуле	можно переписать соотношение
(37.2) в виде
k=hN/Jyf2MRT.
(37.5)
Подставив в (37.5) значения Л, Лд и R, получим
506
А=0,978/ч/Л/Г,
(37.5')
где А в A (1O“10 м).
При температуре T=300 К это дает для водорода (Л/=0,002 кг/моль) А=0,13 нм
и для гелия (Л/=0,004 кг/моль) А «0,09 нм, т. е. величины А, соизмеримые с периодами
кристаллических решеток твердых тел. При отражении пучков атомов и молекул от
поверхности твердых тел должны наблюдаться дифракционные явления, описываемые
теми же соотношениями, которые справедливы для плоской (двумерной) дифракцион-
ной решетки. В опытах Штерна измерялась интенсивность пучков атомов гелия и моле-
кул водорода, рассеянных под различными углами поверхностями кристаллов щелоч-
но-галоидных солей Наблюдались пучки, падающие и рассеянные в определенной
плоскости. Результаты опытов показали, что помимо частиц, рассеянных под углом,
равным углу падения, наблюдаются максимумы числа отряженных частиц под други-
ми углами, определяемыми формулами двумерной дифракционной решетки. Если
длину волны, связанную с движущимися атомами (или молекулами), вычислить по
формуле (37.53, то дифракционные соотношения, определяющие направления интерфе-
ренционного уся пения на двумерной решетке, точно выполняются.
Опыты с атомными и молекулярными пучками крайне затруднительны из-за малой
интенсивности применяемых пучков. Они ценны тем, что подтвердили справедливость
формулы де Бройля в виде (37.5) и (37.53 Д™ нейтральных атомов и молекул.
В. Справедливость формулы де Бройля и наличие волновых свойств у частиц убедите-
льно (мяли доказаны в опытах по дифракции нейтронов на кристаллах. Опыты показы-
вают, что отражение нейтронов от кристаллов твердых тел и их рассеяние в вацестве
происходят в соответствии с условием Брэгга — Вульфа. Скорость нейтронов в этих
опытах определялась независимо из максвелловского распредедения нейтронов по
скоростям при данной температуре.
В ряде случаев с помощью дифракции нейтронов можно успешнее, чем с помощью
рентгеновского излучения или электронов, исследовать строение веществ. Этот метод
назван апроиогрпфдей Нейтроны не обладают электрическим зарядом и не испыты-
вают электрических сил взаимодействия с электронами и ядрами. Рентгеновское же
излучение рассеивается на атомных электронах, а пучки электронов, падающих на
вещество, взаимодействуют как с атомными электронами, так и с ядрами. Поэтому для
исследования структуры вещества, состоящего из легких атомов, рентгеновское излуче-
ние в электроны оказываются малопригодными. Так, для веществ, содержащих водо-
род (например, органических кристаллов), дифракция рентгеновского излучения и элек-
тронов не позволяет обнаружить расположение атомов водорода, так как на них
рассеяние рентгеновского излучения и электронов незначительно. Наоборот, нейтроны
весьма сильно взаимодействуют с ядрами атомов водорода посредством ядерных сил
и благодаря наличию у нейтрона и ядра водорода магнитных моментов. Это приводит
к сильному рассеянию нейтронов на водороде, и дифракция нейтронов позволяет
«следовать структуру веществ, включающих водород
8. Итак, наличие волновых свойств у движущихся частиц представляет собой уни-
версальное явление, не связанное с какой-либо спецификой частицы. Естественно,
возникает вопрос о тем, почему волновые свойства не обнаруживаются у мак-
роскопических тел, например у летящей пули. Ответ на этот вопрос связан с осо-
бенностью формулы де Бройля и всех других формул квантовой физики, содержащих
постоянную Планка. Если в формулах квантовой физики Нельзя пренебречь по-
стоянной А “6,62 10“ 34 Дж с, мы всегда будем получать неклассические результаты.
Наоборот, если в формулах можно считать, что А-»0, то результаты квантовой
физики совпадают с классическими. В частности, для тел, масса которых несоизмеримо
велика по сравнению с массой атомов и молекул, принято, что А-»0 и никаких
волновых свойств у таких тел не обнаружится (А-»0). Например, в случае с пулей
Массой т= 10“ 3 кг при скорости о=1О2 м/с
h 6,62 10“ 34
А=—=----------
то 10~* 1(И
м=6,62 10”
м.
507
Легко сообразить, что такая длина волны никаким дифракционным опытом не может
быть обнаружена. Поэтому можно считать, что волновые свойства у макроскопических
тел практически отсутствуют.
Вторым независимым от формулы де Бройля соотношением, углубляющим пред-
ставления о корпускулярно-волновой двойственности свойств частиц вещества, являет-
ся перенесенная на эти частицы связь между энергией W свободной частицы* и часто-
той v волн де Бройля:
FF=Av=Aoj,	(37.6)
где й=Л/(2я), (о — циклическая частота. Она заимствуется из оптики, где в аналогич-
ной форме связаны энергия фотона и частота света. Таким образом, соотношение
между частотой и энергией фотона приобретает в современной физике характер
универсального соотношения, справедливого для любых объектов, изучаемых в кван-
товой или волновой механике — разделе современной физики, в котором изучаются
законы движения частиц в области микромира (в линейных масштабах 10“9 — 10“13
м). Объектами изучения квантовой механики являются атомы, молекулы, кристаллы,
а также атомные ядра и «элементарные» частицы. Мы рассмотрим лишь некоторые
основы верелятивистасой квантовой механики, в которой изучаются движения частиц со
скоростями »«с. При скоростях, сравнимых со скоростью света в вакууме, эта
механика заменяется релятивистской квантовой механикой, изложение которой не
входит в данный курс.
Соотношение (37.6) в отличие от формулы де Бройля не являлось объектом
экспериментальной проверки. Его справедливость вытекает из согласия с опытом тех
теоретических результатов, которые были получены с его помощью в квантовой
механике, атомной и ядерной физике. Все дальнейшее изложение курса будет служить
убедительным подтверждением этого.
§ 37.2. Некоторые свойстве волн дв Бройля
1. Рассмотрим движение свободного электрона, которому, согласно формуле де Брой-
ля, соответствует волна с длиной волны
7.—hl(jrtv)=hlp.
Для краткости назовем ее электронной волной. Введем волновой вектор к (к—2я/А)
и запишем формулу де Бройля в виде
р=Лк.	(37.7)
Мы видели, что при дисперсии следует различать две скорости волн: фазовую
«фи и групповую и, связанные между собой соотношением (29.39).
2. Длина волны А и частота v связаны соотношением А=Сф.,/у. где Сфю — фазовая
скорость распространения волны. Очевидно, что фазовая и групповая скорости волны
для частицы, свободно движущейся со скоростью о, как-то зависят от v. Для вычисле-
ния фазовой и групповой скоростей волн недостаточно формулы k=hfp. Нужно
использовать и соотношение (37.6), связывающее корпускулярную характеристику
электрона — его энергию W — с частотой v электронной волны. Найдем фазовую
скорость волн де Бройля, используя формулу v^IS=a)lk. Умножая числитель, и знамена-
тель правой части на Ли используя формулы (37.6), (37.7) и (37.2), получаем следу-
ющую формулу для фазовой скорости волн де Бройля для свободного электрона или
другой частицы, движущейся с нерелятивистской скоростью v«c.
О) И' О
Здесь использовано очевидное соотношение для свободной нерелятивистской ча-
стицы: W=p2/(2m).
•Под свободной понимается частица, движущаяся по инерции в отсутствие внешнего
силового поля
508
Электронные волны (и вообще волны де Бройля) должны испытывать большую
дисперсно. Это следует из того, что скорость волн де Бройля оказывается
зависящей от длины волны «фи~1/Л-
3. Групповая скорость волн де Бройля
do d(Ao>) dtp
U“dk d(AA) dp
(37.8).
Для свободной нерелятивистской частицы
dJF d (р*\ p
dp dp \2да/ m
dW
** Можно показать, что и для реляпиистстой частицы (7.30) —-—в, где W—c у/^+пРс1
dp
Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы
da)
(37.9)
Этот результат имеет существенное значение и сыграл в свое время важную роль
в развитии принципиальных основ квантовой механики. После обнаружения волновых
свойств у частиц вещества и установления корпускулярно-волновой двойственности
свойств частиц была сделана попытка рассматривать частицы как волновые пакеты
сколь угодно малой протяженности и таким образом «освободиться» от двойствен-
ности свойств частиц. Это как будто соответствовало тому, что частица локализована
в данный момент времени в определенной малой области пространства. С другой
стороны, зга гипотеза подтверждалась тем, что групповая скорость распространения
максимума амплитуды «узкого» пакета совпадает со скоростью частицы. Однако она
оказалась ошибочной, так как все составляющие пакет синусоидальные нопны рас-
пространяются независимо друг от друга. При большой дисперсии, свойственной
электронным волнам (или волнам, связанным с другими частицами вещества), фазовые
скорости распространения отдельных составляющих волнового пакета различны и вол-
новой пакет «расплывается». Для частиц с массой порядка массы электрона время
расплывания пакета оказывается ничтожно малым (порядка 10"26 cl). Таким образом,
попытка «избавиться» от корпускулярно-волновой двойственности свойств частиц
вещества рассмотрением их как волновые пакеты не удалась. Причина этого весьма
глубокая: двойственность свойств частиц — это объективная закономерность, которая
сказывается в многочисленных явлениях, изучаемых физикой.
Связь между корпускулярными и волновыми свойствами свободных частиц, об-
ладающих массой т и скоростью «, представлена в табл. 37.1.
Таблица 37.1
Корпускулярные
свойства
Волновые свойства
Скорость»
Длина волны де КроДд»
Импульс р
Энергия свободной
частицы IT««jr/(2m)
Частота волны да Бройля
V-W7A
Групповая скорость волн да Бройля
Фазовая скорости волн да Бройля
«фв-«/2

509
j >7.3. Вероятностный смысл волн де Бройля
1. Мы нс касались до сих пот вопроса о фшическом смысле волн де Бройля. Было
лишь отмечено, что волны де Бройля нс электромагнитные В самом деле, электромаг-
нитные волны представляют собой распространяющееся в пространстве переменное
электромагнитное поле Распространение же волн де Бройля не связано с распространс-
шгем в пространстве какого-либо электромагнитного поля Можно было бы думать,
что с движущимися в пространстве заряженными частицами (электронами, протонами,
вонами), а также с нейтральными молекулами, обладающими дипольными и мулъ-
типплытимн электрическими моментами, связан дополнительный особый волновой
электромагнитный процесс Однако это противоречит экспериментам Равномерно
 прямолинейно движущиеся заряженные частицы, как известно, не излучают электро-
магнитных волн (исключение составляет излучение Вавилова — Черенкова) Волновые
же оойства электронов наблюдаются и в случае их равномерного движения. Таким
образом, электромагнитная приррда волн де Бройля исключается Можно показать
также, что исключается природа любых других волн, известных в классической физике
Волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую анало-
гии с волнами в классической физике.
1. Для понимания физического смысла волн де Бройля существенную помощь может
оказать рассмотренное в § 36.6 взаимоотношение между корпускулярными и волновы-
ми свойствами света Вопрос о природе волн можно сформулировать как вопрос
о физическом смысле амплитуды этих волн Вместо амплитуды А удобнее выбрать
интенсивность волны, пропорциональную квадрату модуля амплитуды |Л|2.
Амплитуда волны может быть комплексной величиной, но ее квадрат, связанный
С энергией, должен быть действительной величиной Поэтому берется |Л|2.
Из опытов по дифракции электронов следует, что в этих экспериментах обнаружи-
вается неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных или рассеянных по
различным направлениям: в некоторых направлениях наблюдается большее число
электронов, чем во всех других. С волновой точки зрения наличие максимумов числа
электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют
наибольшей интенсивности волн де Бройля. Другими словами, интенсивность волн
в данной точке пространства определяет тщетность вероятности попадания электронов
в эту точку Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероят-
ностного истолкования волн де Бройля.
Квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой
пжотности вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке.
Это указывает на аналогичную, по существу, интерпретацию взаимоотношения
между корпускулярными и волновыми свойствами света
1. Для того чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный
момент времени в некоторой точке пространства, введем функцию W (х, у, z, t),
взываемую волновой фушоре* (или псяфункцией) Определим ее так, чтобы вероят-
ность dw того, что частица находится в элементе объема dF, равнялась произведению
и элемента объема dF.
dw=|T|2dF=|Y|adxdydz.	(3710)
Физический смысл имеет не сама функция Т, а квадрат ее модуля. |Т]а»Ч'Ч'*, где
Y* — функция, комплексно сопряженная с Т Величина р₽|а имеет смысл плотности
вероятности
dw ,
(37 КУ)
т. е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства. Иными
словами, величиной IT)2 определяется интенсивность волн де Бройля Такая интерпре-
тация волновой функции Ф объясняет, почему волны де Бройля иногда называют
«волнами вероятности» Из определения волновой функции следует, что она должна
удовлетворять условию ворафовжв вероятностей
310
ITpdxdydz-l,
(37.11)
где тройной интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по
координатам х, у и z от — оо до оо. Это означает, что пребывание частицы где-либо
в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна
единице. На других важных условиях, которым должна удовлетворять -функция, мы
остановимся в § 37.5.
4. Волновая функция Т является основной хараиершайкой состояния микрообъектов
(элементарных частиц, атомов, молекул). С ее помощью в квантовой механике могут
быть вычислены средние значения физических величин, которые характеризуют данный
объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией Т. Вычислим,
например, среднее расстояния (г) от электрона до ядра в атоме. Вероятность об-
наружить электрон в элементе объема dV атома, согласно (37.10), равна |T|2dK
CD Ш CD
Величина S= J J J rfYpdxdydz, очевидно, представляет собой суммы произ-
— CD “ CD — 40
ведений всевозможных расстояний г от электрона до ядра на вероятность этих расстоя-
ний. Среднее значение (г) расстояния электрона от ядра выражает отношение вели-
чины S к полной вероятности обнаружить электрон в какой-либо точке пространства:
J f f rpPI’dxdydz
<г>аа^л=------------.
f j j m’dxdydz
Знаменатель этой дроби, как видно из (37.11), равен единице, поэтому
rT’P’dxdydz,
(37.119
так как |'Р|2 = Ч'Ч'*. Аналогичная формула получается для среднего значения квадрата
расстояния-
r^Tpdxdydz.
(37.11")
§ 37.4.	Соотношения неопределенностей Гейзенберге
1.	Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой
механике, и статистический смысл Т-функции, заданием которой определяется состоя-
ние частицы в пространстве, приводят к весьма важному вопросу о границе применимо-
сти понятий классической 4®зиги в микромире. Сама по себе постановка этого
вопроса не должна вызывать удин пения И в классическом физике некоторые привыч-
ные понятия в определенных случаях имеют границы применимости. Например, поня-
тие температуры неприменимо к одной молекуле, понятие о точечной плжя шпации (о
пребывании в определенной точке) неприменимо к определению положения в простран-
стве электромагнитной волны. Таких примеров можно было бы привести достаточно
511
много. Подобно этому в квантовой механике нельзя одновременно характеризовать
объект микромира его координатами (положением в пространстве) и импульсом (в
классическом смысле этих понятий).
2.	Раньше ухе обсуждался вопрос о том, что ограниченная пространственная протя-
женность Дх некоторого цуга волн связана с его принципиальной немонохроматич-
ностью — неизбежным наличием у такого цуга определенного йнтервала Дш возмож-
ных частот или интервала ДА: волновых чисел монохроматических волн, составляющих
этот цуг. Ках было указано [см. (3U)], между Дх и А£ существует сНязь
ДхД£>1.
Это соотношение справедливо для любых волновых процессов. Для волны де Бройля,
частицы, движущейся вдоль оси X с импульсом рх=р* (рх=А:Л), имеем bk=&pjK
Тогда
ДхДрх>Л.	(37.12)
Рассматривая движения частицы вдоль осей Y и Z с проекциями импульсов ру и рх, мы
получили бы аналогичные соотношения:
ДуДр^^Л,	(37.13)
Дгрх>Л.	(37.14)
Соотношения (37.12) — (37.14) часто используют в другой записи. В правую часть
неравенств вместо Л вводят Л=2яД тогда
ДхДрх>Л, ДуЛр^Л, ДгДрх>Л,	(37.143
где Дх, Ду, Дг — интервалы координат, в которых локализована частица, описываемая
волной де Бройля; Дрх, Ьру, &pz — интервалы, в которых заключены проекции импуль-
са частицы по осям X, Y и Z.
3.	Формулы (37.12) — (37.14) называют соотношениями неопределенностей Гейзенбер-
га**. Они показывают, что координаты х, у, z частицы и проекции рх, р^, рх ее импульса
на соответствующие оси не имеют одновременно значений, равных хирж,уиру,ги pz.
Их значения определены лишь с некоторой степенью точности. Значения Дх и Дрх, Ду
и Лру, Ьх и Др,, связанные гтютнотенииуи (37.12) — (37.14), одновременно не равны
нулю. Другими словами, классические понятия координаты и импульса применимы
к микрочастицам лишь в пределах, устанавливаемых соотношениями Гейзенберга.
Например, если электрон локализован в интервале Дх оси X, то он не может быть
Описан бесконечно протяженной плоской монохроматической волной де Бройля. Лока-
лизация электрона в области Дх означает, что квадрат модуля волновой функции
вне интервала Дх тождественно равен нулю.
Для локализации электрона в области Дх его необходимо описать в квантовой
механике системой плоских монохроматических волн де Бройля, обеспечивающих
выполнение условия р₽|2 = 0 везде, кроме интервала Дх на оси X. У такой системы волг
уже нет определенной частоты (или волнового числа), а у электрона — строго фик-
сированного импульса рх. Импульс электрона находится лишь с точностью до вели-
чины Дрх, определяемой соотношением (37.12). Наоборот, если импульс рх электрона
задан в интервале Дрх импульсов, то электрон может быть обнаружен с вероятностью,
Л
равной единице, в области Дх, удовлетворяющей неравенству Дх>—.
Арх
•В данном случае рж**р, так как других проекций импульса нет* р^д-О.
••Запись соотношений неопределенностей в форме (37.14'), где вместо Л введено Л=2М
используется в квантовых статистиках (§ 41.1).
512
4.	Соотношения (3712) — (37.14) показывают, что с увеличением массы т частицы
СЛГр&ННЧСНМЯ^ ВВО^ЦМЫС В ВОЗМОЖНОСТЬ пршиве идя и и КЛЗСОПС^ИХ ПОНЯТИЙ ялордиттяты
и скорости, уменьшаются. В самом д еле, из-за малости Л неопределенности в значениях
координаты и скорости, вытекающие из формулы
AxA*x^Jym,
становятся пренебрежимо малыми у тел с массой ж, во много раз большей масс частиц,
находящихся в атоме (электронов, протонов, нейтронов) Например, для пылинки
массой 10 15 кг и линейным размером 10 6 м. координата которой «мудеютя
с точностью до 1/100 ее размеров (т е. Ах~10“* м), неопределенность в проекции
скорости составит 10~1Э м/с Эта неопределенность практически не сказывается
при всех скоростях, с которыми движется такая частица. Для макроскопических тел
соотношения неопределенностей не вносят ограничения в возможность применения
понятий координаты и скорости. Для таких тел постоянную Планка в формулах
(37 12) — (37.14) считают пренебрежимо малой (Л-*0) В этих случаях говорят о точных
значениях координаты и скорости и рассматривают движение тела по траектории
в соси вею вин с законами классической механики. Условие Л-*0 приводит к тому, что
квантовые свойства изучаемых объектов оказываются несущественными и возможен
дереход к классическому описанию изучаемых объектов (см § 37.9).
5.	Соотношения (37 12) — (37.14) Существуют не только для координат и импульсов
Можно доказать, например, что если частица находится в нестационарном (например,
возбужденном) состоянии в течение времени Ах и обладает некоторой энергией W, то
энергия определяется с ограниченной степенью точности. Если обозначить A IF неоп-
ределенность в задании W, то
AIFA/>ft или AIFA/>4	(3715)
Нетрудно видеть, что они являются записью общего соотношения для волн де
Бройля, устанавливающего принципиальную «монохроматичность ограниченного цу-
га волн В самом деле, подставив IF в (37 15), из выражения (37.6) получаем Аш Ат> 1,
т е формулу, использованную в теории волн
Соотношение (37.15) играет большую роль в атомной и ддерной физике
8. Соотношения неопределенностей Гейзенберга иногда неверно связывают с совре-
менным уровнем развития квантовой теории. Встречаются утверждения о том, что эти
соотношения не ограничивают область применения классических понятий о коор-
динатах и импульсах к частицам микромира, а только ограничивают ту степень
точности, с которой на данном уровне развития физического эксперимента и теории
могут быть одновременно измерены координаты и импульсы Это означает, что при
дальнейшем развитии квантовой фичи* и возникнет	более точного одно-
временного определения координат и импульсов Подобные утверждения ошибочны
Соотношения неопределенностей являются следствием объективно существующей
двойственности частиц ыяхромнра — наличия у них корпускулярных и волновых
свойств Эти соотношения свидетельствуют об объективности существующих ограни-
чений в возможности описания поведения микрообъектов с помощью классических
понятий координат и импульсов В ряде случаев описывать д вижение микрообъекта. так,
ках это делается в классической механике — с помощью задания в каждый момент
времени его координат и импульса, нс имеет смысла, так хак сами зги понятия не
могут быть одновременно применимы к микрообъекгу.
7. В связи с соотношениями неопределенностей возникает такие вопрос о том, почему
нужно Аппплит. поведение микрообъекгов с помощью классических понятий, таких,
как иопрдипятя, импульс и др, если далеко не дгжгдя они могут быть применимы
Всякий эксперимент, дающий некоторую информацию о поведении и свойствах микро-
объектов, является макроскопическим (отклонение стрелки приборов, положение пятна
на экране осциллографа, фотография трека частицы и т. д.) Действия любых приборов,
с помощью которых изучается поведение микрочастиц в пространстве и во времени,
подчиняются классической механике и электродинамике, и даваемая ими информация
имеет макроскопический характер, т е она должна истолковываться в понятиях
классической физики При этом мы неизбежно описываем микрообъекты хотя бы
513
частично с помощью класедческих понятий. Поскольку эти понятия применимы
к объектам, подчиняющимся квантовой механике, лишь в ограниченном степени,
существуют пределы применимости классических понятий, устанавливаемые соотно-
шениями неопределенностей Гейзенберга.
Процесс взаимодействия прибора с изучаемым объектом называется ищи им и
Этот процесс протает в пространстве и во времени и является объективным. Суще-
ствует, однако, важное различие между взаимодействием прибора с макро- и микро-
объектами. Взаимодействие прибора с макрообъектом есть взаимодействие двух мак-
рообъектов, описываемое с достаточной степенью точности законами классической
физики. При этом можно считать, что прибор не оказывает на измеряемый объект
такого влияния, которое ае могло бы быть точно учтено в терминах (понятиях)
классической физики либо сделано как угодно малым При взаимодействии прибора
с михрообъектами возникает иная ситуация Вследствие объективно существукидей
двойственности свойств микрообъектов процесс измерения, например фптсация поло-
жения микрочастицы, вносит в се импульс изменение, которое не может быть ранным
Л
нулю и определяется титл, в рамках соотношения неопределенностей Дрх>— Поэто-
Дх
му воздействие прибора на микрочастицу нельзя считать малым и несущественным,
прибор изменяет состояние микрообьскта Изменение это таково, что в результате
измерения классические характеристики частицы, например ее импульс, ояалынантггя
известными лишь в рамках, ограниченных соотношениям! неопределенностей
Результаты процесса измерения воспринимаются наблюдателем Эта ситуация
дала повод к тому, что некоторые физики (в том числе, и в первую очередь, сам
В Гейзенберг) стали приписывать наблюдателю особую роль в квантовой механике.
В философском смысле эти концепция является выражением субъективного идеализма.
Гейзенберг писал, что в то время, ках предмет классической физики составляли
объективные события в пространстве и во времени, для существования которых их
наблюдения не имеют значения, квантовая теория рассматривает такие процессы,
которые, так сказать, вспыхивают в момент наблюдения и о которых бессмысленны
наглядные физические высказывания для интервала между наблюдениями. Для таких
и подобных этим идеалистических выводов, отрицающих объективное протекание
процессов в микромире, соотношения неопределенностей не дают никаких оснований
На свойства и состояние микрообъекта, изучаемые в процессе измерения, проис-
ходящего в пространстве И во времени, наблюдатель не оказывает никакого влияния.
I. Одним из идеалистических выводов из соотношений неопределенностей является
утверждение о том, что из этих соотношений вытекает неприменимость к явлениям,
протекающим в микромире, 1финципа причинности На первый взгляд кажется, что это
утверждение имеет основания. Действительно, принцип причинности означает возмож-
ность на основании известного в некоторый момент времени состояния системы точно
предсказать ее состояние в любой следующий момент времени. Классическая механика
Ньютона позволяет по известным в момент времени to координатам хь, уо, z0 и проек-
циям скорости о*',	"i, любой материальной точки определить (с помощью радения
уравнений ее движения) координаты и скорость точки в момент времени t Это
положение называется механическим детерминизмом Поскольку координаты и скоро-
сти микрообъектов одновременно могут бЬпъ найдены лишь в рамках соотношений
неопределенностей, то и в начальный момент времени to состояние системы нс может
быть точно определено, а поэтому И последующие состояния системы непредсказуемы,
т е нарушается принцип причинности В действительности дало обстоит иначе
В квантовой механике само понятие о состоянии системы приобретает иной ошел, чем
в классической физике. Для опредедения этого состояния нужен иной подход. Мак-
симально ТОЧНЫМ ta na РИТМ СОСТОЯНИЯ МИКрООбъеКТЯ в квантовой механике «п>пя>тея
задание его Ч'-функцки, которая (см. § 37.5) удовлетворяет некоторому дифференциаль-
ному уравнению, содержащему первую производную функции Ч* по	Это
значит, что задание Ч'-функции для момента времени t0 определяет ее значение для
момента t> t0 Другими словами, в квантовой механике в соответствии с требованием
принципа причинности состояние микрообъекта в некоторый момент времени to одно-
значно предопределяет его дальнейшие состояния. К микрообъектам нельзя применять
514
принцип причинности в форме, заимствованной из классической механики и основан-
ной на применении понятий координат и импульсов, так как особая природа микро-
объектов этого не допускает.
§ 37.5. Уравнение Шредингера
1. В квантовой механике возникает важнейшая проблема отыскания такого уравнения,
которое являлось бы тем же, чем являются уравнения движения Ньютона для клас-
сической механики. Как известно, уравнения Ньютона позволяют для макроскопичес-
ких тел решать основную задачу механики — по заданным силам, действующим на
тело (или систему тел), и начальным условиям (начальным значениям координат
и скорости тела) найти для любого момента времени координаты тела и его скорость,
т. е. описать движение тела в пространстве и во времени. При постановке аналогичной
задачи в квантовой механике нужно сразу же учесть, что для частиц микромира
характерна двойственность свойств, которая ограничивает возможность применения
к таким частицам классических понятий о координате и скорости (или импульсе).
Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношения неоп-
ределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть
таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства
частиц. Поскольку состояние частицы в пространстве в данный момент времени
в квантовой механике задается волновой функцией (х, у, z, г), основное уравнение
квантовой механики является уравнением относительно функции Ч'(х, у, z, г). Это
уравнение будет почтами. так как из него получают свое объяснение эксперименты по
дифракции микрочастиц, указывающие на их волновые свойства.
2. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было получено Э. Шре-
дингером (1926). Как и уравнения движения Ньютона, лежащие в основе классической
механики и поэтому невыводимые, уравнение Шредингера постулируется. Справед-
ливость уравнения Шредингера доказывается тем, что выводы .квантовой механики,
полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся
в хорошем согласии с опытом. Уравнение Шредингера имеет вид
Л2
-----------M+U(x,y, z, Г)Ч*.	(37.16)
i 8t 2т
Здесь т - масса частицы; U (х, у, г, t) потенциальная энергия частицы в силовом
а2 а2 а2
поле, где частица движется, Д=-Ч—-Ч------оператор Лапласа; кР=кР(х, у, z, Г)
•	ах2 By2 Зг2
- искомая волновая функция частицы; i=-J — 1 — мнимая единица.
Уравнение (37.16) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью*
v«c. Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладыва-
ются на функцию Т—Ч*(х, у, z, /). Этих условий три:
1)	функция Т должна быть конечной, непрерывной и однозначной;
ат ач гч ач	z
2)	производные —, —, —, — должны быть непрерывны;	(37.17)
8х 8у 8z 8t
3)	функция |*Р|2 должна быть интегрируема, т. е. интеграл
со ш со
J J J I'Ppdxdydz
— со “СО “ <о
должен быть конечным.
В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки вероят-
ностей (37.11). Первые два из указанных условий нс представляют собой чего-нибудь
*В релятивистской области (ийс) уравнение Шредингера заменяется более сложным реляти-
вистским уравнением Дирака
515
особенного- Это обычные требования, накладываемые на искомое ранение дифферен-
циального уравнения. Третье условие стлано с тем, что физический смысл имеет, как
уже отмечалось, не сама функция S', а квадрат ее модуля Prl1. Важность условий (37.17)
заключается в том, что как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения
Шредингера, а лишь исследуя возможные его решения, можно высказать ряд очень
существенных заключений об энергии исследуемой частицы и других физических
величинах, ее характеризующих.
3.	Уравнение (37.16) часто называют временным уравнением Шредингера, так как оно
содержит прпизводнуш от функции т ио времени. Однако для большого числа
физических явлений, происходящих в микромире, например для описания поведения
электрона в атоме, важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредин-
гера, не содержащие времени. Дан решения этой задачи нужно получить стационарное
уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость от времени. Оно имеет
смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени*
17— U (к, у, z). Будем искать решение уравнения (37.16) в виде произведения
* (к, у, г,1)=ф (х, у, г) (р (/),
(37.18)
в котором разделены переменные* ф является функцией координат, <р — функцией
времени. Подставляя (37.18) в (37,16) и производя дифференцирование, получаем
Л dtp	№
— ф^=	Ч>Ьф+U (х, у, г)ф(р.
I	Л	2т
Разделим правую и левую части уравнения на <рф:
Л2 1	Л 1 dtp
- 2- Дф- U(x, у, z)-1	(37.19)
2m ф	itpdt
Поскольку девая часть уравнения Сеть функция координат, а правая — функция време-
ни, уравнение (37.19) удовлетворяется при единственном условии — обе части равны
постоянной величине. Обозначим ее — fr-
it 1 dtp
Л=_|Г,	(3720)
i tp dt
~ Лф-и(х,у,2)-------W.	(3721)
2m ф
Уравнение (3721) обычно записывают в форме
Дф+^(Ж-0ф-О	(3722)
и называют ernwaf ш у^авнгщ|н| Шрццинера.
Уравнение (3722) является «р^деНтны спатилшеннем нерелятивистской квантовой
механики, щрающим основную роль в атомной физике. Функции ф, удовлетворяющие
уравнению Шредингера при данном U, называются собственными фушажшк. Значения
1г, при которых существуют решения уравнения Шредингера (3722), называются
собственными ЗВПЧГ1ШЯМЦ. .Примеры отыскания собственных функций и собственных
значений приведены в следуюйцц параграфах.
Уравнение (3720) можно проинтегрировать:
in <р— (~-ДО)Я7+1п фо-
Перейдем от логарифмов к самим функциям:
Ф=ФОе-,Ж'/*,	(3723)
где фо=ф(О) — значение <р(Г) в начальный момент времени 0.'
516
4.	Дня того чтобы выяснить смысл W в стационарном уравнении Шредингер» и ука-
зать путь, который может привести к стационарному уравнению Шредингера, сравним
(37.22) с волновым уравнением (29.10)
1 PS
AS-----=0.
Для синусоидальной сферической волны вида
S- А (г) cap [Qhv (t - г/«фЛ,
(37.233
где v — частота волны, А (г) — комплексный вектор амплитуды волны, легко показать,
дифференцируя (3723Э дважды no t, что
4«VS
Bt1
Поэтому волновое уравнение можно записать в форме
AS+4n2v2S/eJM=0.
Идея Шредингера состояла в том, что к волнам де Бройля можно применить
уравнение (3724). Из формулы да Бройля i.—h/(mv) следует, что
(3724)
XlX^vIv^^mvjh,
Д|Д+4я2т2«’|Д/Л 2=Q.
(3724')
Кинетическая энергия частицы */^т>2=* W— U, где Ж— ее полная энергия в нереля-
тивисгской теории. Коэффициент при в уравнении (37.243 можно переписать иначе:
4я2/п2иа 8яЪг> тиг 2т
------------------	—=— (W-U).
h2--------h2 2	*	1
Таким образом,
A^+V(W,~^=0-
п
Следовательно, уравнение (3724) тождественно со стационарным уравнением Шре-
дингера (37 79)t ССЛИ IV — ЦОЛНаЯ энергия частицы, ДВИЖуЩеЙСЯ в дачи»»* потенция пк-
ном поле и обладающей потенциальной энергией U.
Такой подход к истолкованию уравнения Шредингера (3722) отнюдь не должен
рассматриваться как его вывод, а лишь указывает на вдгшоаой характер этого уравне-
ния. Отметим еще раз (см. п. 2), что уравнение Шредингера не выводится. Более того,
возможность представления полной энергии W частицы в вида суммы кинетической
и потенция пьнпй энергий имеет в квантовой механике ограниченный характер.
5.	Из вида решения (3723) д ля временнбй части волновод функции (37.18) следует, что
уравнение Шредишера (37.16) находится в согласии с предположением о связи полной
энергии W частицы с частотой водны да Бройля v=cd/(2x) в форме (37.6).
В самом деле, если подставить (37.23) в (37.18), то решение уравнения Шредингера
приобретает вид*
* (к, у, z, ()~-ф (х, у, z)	(37.18Q
«Постоянный множитель ф0 включен в функцию ф (х, у, г), ибо она определяется из
линейного дифференциального уравнения (37.24) с точностью до произвольного постоянного
множителя
517
Таким образом, состояние частицы в данный момент времени описывается пери-
одической функцией времени с циклической частотой со=И74 определяемой полной
энергией частицы. Как уже указывалось, эта связь энергии частицы W с частотой волны
де Бройля является важнейшей основой квантовой механики.
§ 37.6.	Движении свободной частицы
1.	При свободном движении частицы ее полная энергия совпадает с кинетической,
а скорость v=conat. Направим ось X вдоль вектора v. Тогда стационарное уравнение
Шредингера (37.22) можно записать в виде
d^|ra 2m
-^+- »^=0	(37.25)
ОДГ ЛГ
Уравнение (3725) имеет решение
(Д=Лехр
где А в В — некоторые постоянные. Тогда решение полного уравнения Шредингера
(37.16) получится в форме (37.183-
*Р(х, у, г, f)=Aexp
(W yJhnW
Л Л
+Вехр
(W JhnW VI ‘
-/(— Г-Н-----х) (3726)
\ Л Л j
Решение (37.26) представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматичес-
ких волн одинаковой частоты ш= JF/Д распространяющихся одна в положительном
направлении оси X с ямппвтудпй л, другая — в противоположном направлении с амп-
литудой В. Сравнивая подученные решения с обпрш выражением плоской монохрома-
тической волны
/=А ехр [—। (сиг ± кх)],
видим, что для свободной частицы волновое число
к=>у/2тН7Л.
Подобно тому, как в уравнении плоской монохроматической волны можно выде-
лить фазу (ш1±кх), волновая функция &(х, г) имеет фазу (1Р//Л ±-ч/2шИгд/Л).
2.	Таким образом, свободная частица в квантовой метяиит» описывается плоской
монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует одинаковая плотность
вероятности обнаружить частицу в разных точках пространства. Действительно, выби-
рая для простоты лишь одну из волн (37.26), например первую, распространяющуюся
в положительном направлении оси X, имеем
М2=^*“И12.
§ 37.7.	Электрой в потенциальном «ящике»
1.	Рассмотрим электрон, движущийся в потенциальном поле (рис. 37.5). Потенциаль-
ная энергия электрона вне и внутри потенциального «ящика* имеет следующие значе-
НИЙ
17=0 (OCxCL),
L7=oo (х<0, x^L).
Примером движения электрона в потенциальном «ящике» является движение кол-
лективизированных электронов внутри металла. Как известно, в классической элект-
ронной теории считалось, что вне металла потенциальная энергия электрона равна
318
нулю, а внутри металла она отрицательна и численно
равна работе выхода электрона из металла. Иными
словами, движение электронов ограничено потенци-
альным барьером прямоугольной формы с плоским
дном. Рассматриваемый нами потенция пьний «ящик»
с бесконечно высоким барьером на границах более
прост, чем «ящик» для электрона в металле.
2.	Применим к электрону, движущемуся в потенци-
альном поле, уравнение Шредингера в форме (3722)
и учтем, что для одномерной задачи А=—:
I
I
I
I
Т
О
4 + ~(^-CW=0.	(37.28)
шг fr
Рис. 37.5
Уравнение (37.28) при условии (37.27) может иметь решение, удовлетворяющее требо-
ваниям (37.17) пили, в том случае, если войновая функция ^(х) обращается в нуль на
стенках «ящика»:
tf((W(£)-0.
В самом деле, обозначив й1ф/йх1=фя, перепишем (37.28):
(К 2m
ф	#
(3729)
(37.289
В области 0<х<L получаем 17=0 и отношение ф”/ф имеет конечное значение. При
х-»0 и х-»£ потенциальная энергия стремится к бесконечиосги.Условия (37.17) не будут
нарушены, если ф(х)->0 при х-»0 и х-»£. Таким образом, для электрона в потенциаль-
ном «ящике» с бесконечно высокими стенками решение уравнения Шредингера должно
быть таким, чтобы
ф =0, М2=0 (вне области 0<х<£).
(37.30)
Другими словами, вероятность найти электрон вне «ящика» равна нулю.
3.	Задача о движении электрона в прямоугольном потенциальном «ящике» с бесконеч-
но высокими стенками сводится к репинию уравнения
&ф 2m
Hty=0
(37.31)
при краевых условиях (3729)' ф(О)=ф(Ь)**О. Обозначим 2mH7A2»fc2, где к — волно-
вое число волны де Бройля для электрона, находящегося внутри потенциального
«ящика», и запишем периодическое решение уравнения (3751) в виде
ф(х)=А соькх+Валкх,	(37.32)
где Я и В — постоянные. Используя первое из краевых условий (37.29), получим, что
А=0. Из второго условия имеем
^(£)=ДапЛ£=0.	(37.329
Таким образом,
Я/0, А=0, sin kL~0.	(37.32*9
Из (37.32*) следует, что число к принимает лишь определенные дискретные значения к„
удовлетворяющие условию k„L=nn, где 1, 2....Отсюда
k„=mlL
(37.33)
519
4.	Условие (37.33) имеет простой физический смысл Так ках к,—2я/Л,, где Л. — длинк
волны де Бройля для электрона в «ящике», то условие (37.33) означает, что
2я/Л,=nx]L или Л.=21/л,
т е. иа длине потенциальногб «ящика» должно укладываться целое число полуволн де
Бройля.
Аналогичную картину мы имели при распространении упругих волн вдоль струны,
закрепленной на концах. В этом случае образуются стоячие волны, причем возможные
длины волн Л» принимают дискретный ряд значений: осуществляются при sink>L=0
лишь Те значения Л— которые соответствуют целому числу длин волн, укладывающих
ня длине струн tj
5.	Условие (37.33) приводит* очень важному результату
fP^nW/CTmL2),
(3734)
т. с. энергия W электрона* потенциальном «ящике» не произвольна. Она приниклагт
лишь ряд дискретных собЪтОенных'значений W,
Другие значения W энергии электрона невозможны, вероятность обнаружить внут-
ри «ящика» электрон с энергией, отличной от равна нулю.
Физические величины, принимающие пили, определенные дискретные значения,
называются квантованными.
Таким образом, энергия электрона, находящегося в потенциальном «ящике», явля-
ется квантованной Рассштрнвая идеи Планка, позволившие разрешить трудности
в проблеме излучения черного тела, мы видели, что основу для его рассуждений
составляло предположение отом, что энергия атомного осциллятора имеет определен-
ные, квантованные значення? Это предположение было совершенно чуждо классической
физике, где процессы излу^ейня предполагались протекающими непрерывно, а физи-
ческие величины, характеризующие излучение, могли принимать Произвольные значе-
ния
в. Квантованные значения называются уровнями энергии, а числа л, определя-
ющие энергетические уровни электрона,— квантовыми числами
Таким образом, электрод, дпотенциальном «ящике» может находиться на опреде-
ленном энергетическом уровне W*. Иногда говорят, что он находится в определенном
квантовом состоянии л. (
Для потенциального «ящика» с размерами, соизмеримыми с размерами атома
L=10-9 м, собственные значения энергии электрона образуют последовательность
энергетических уровней, «расстояние» между которыми
ДВ'-хИ'я+1^Н>»(2г<+1) 5,4 10-ао Дж-0,34 (2л+1) эВ
к <
В потенциальном «ящике»' макроскопических размеров L«10-1 м соседние энер-
гетические уровни Ita+i в отличаются друг от друга на
ДИ'=(2л+1) $.4 10-** Дж=(2л + Г)-3,4 1O“1S3B.
Энергетические уровни.в ^том случае расположены столь тесно, что можно нх
считать как бы квазииеодцшввемж Для такого потенциального «ящика» квантование
энергии дает результаты, це столь существенно отличающиеся от результатов клас-
сической физики, как в случае «ящика» атомного размера Заметим, что при L-»oo
AFF=0, т. е энергетический спектр непрерывен
7. Рдгемптрим влияние квантового числа л на характер расположения энергетических
уровней электрона в потенциальном «ящике». Дня этого сопоставим
„	я1*
Д^=^+1-^.=(2л+1)-71	(37.35)
520
с знерхией W„ электрона, находящегося на уровне п. Найдем отношение AJF/FFm
используя формулу (37.34)	>
АИ7И'я-(2л-|-1)/п* 1	(3736)
Из (37 36) видно, что при увеличении квантового числа п, когда
2л+1«2я, АЖ/Жя«2/д,	(3737)
АЖ становится малой по сравнению с Wm т. е происходит относительное сближение
энергетических уровней При больших квантовых числах я квантование зиерхии дает
результаты, близкие к результатам классического рассмотрения. В этом находит свое
выражение важный правдах соохветспня, наиболее лодно сформулированный Бором
при бодевяа квинтовых wiciiax выводы и роаультвты кван-
товой итвиики должны ооствотопковвр» ххлдавмчоекиж да-
яультвтвж.
В более общей формулировке принцип соохвехихвня требует, чтобы между любой
теорией, которая является развитием классический, ji дарвоначалхлоЙ классической
теорией существовала закономерная связь — в определенных предельных случаях но-
вая теория должна переходить в старую. В предыдущих ,гяавах мы убедились в справе-
дливости этого принципа. Например, формулы	и динамики теории от-
носительности переходят в формулы классической механики Ньютона при таких
скоростях, что tr/<r-»O Между квантовой и классической механикой предельный
переход связан с возможностью пренебречь конечнортыо величины й и считать й-*0
§ 37.8. Прохождение частицы сквозь потемцийльный барьер
1. Мы считали, что на границах «ящика» волновая функция становится равной нулю
В действительности дало обстоит сложнее Движение электрона с постоянной старо-
стью внутри «ящика» описывается плоской волной де Бройля. На границе (ряс. 37 5),
где происходегг скачкообразное изменение потенциала; эта волна должна вести себя
аналогично электромагнитной волне на границе двух сред с различными показателями
преломления Как известно, такая волна на границе частично отражается, а частично
проходит через границу Даже в случае полного внутреннего охранения наблюдается
частичное проникновение света во вторую среду Волна де Бройля да границе «ящика»
также испытывает отражение, но частично проходит в область вне «ящика» Другими
словами, имеется определенная вероятность обнаружить Ьлезстрон за хфеделвмн потен-
циального «ящика»
2 Этот результат существенно отличается от выводов классической физики Частица,
подчиняющаяся законам классичестой физики, может выйти из потетрхального «ящи-
ка» при условии, что се полная энергия превышает «глубину» потенциального «ящика»
С классической точки зрения частица, находящаяся внутри хютенциального «ящика»,
«заперта» в нем Стенки потенциального «ящика» представляют для нее потенциаль-
ный барьер, который частица преодолеть не может ДЛЯ того чтобы частица могла
выйти из потенциального «ящик»» жди проникнуть в него, согласно классической
физике ей нужно сообщить энергию, равную или большую разности высоты барьера
и ее co6vi оенной Энергии
3. Квантовая механика приводит к принципиально новому выводу о возможности
прохождения («просачивания») частщ сквозь потешхЯаяьиые барьеры Это явление
называется туняелыилм эффектом Для его описания вводится понятие прозричхости
(коэффициент прозрачности) D потенциального барьера Если по аналогии с оптикой
ди волн де Бройля подсчитать интенсивность 4м падающей иа барьер волны и инзен-
521
Рис. 37 8
Рис. 37 7
сивностъ /щкк волны, прошедшей сквозь барьер, то, по определению, прозрачностью
потенциального барьера шшоается величина
^-/врож/Дм	\ (37 38)
Ес можно рассматривать как вероятность прохождения волн де Бройля сквозь потен-
циальный барьер, или, что то хе самое, как вероятность просачивания частицы,
описываемой волной де Бройля, сквозь потенциальный барьер. По аналогии с оптикой
моио ввести также коэффициентотражения R, так что D=1 — Л
Расчеты показывают, что прозрачность барьера зависит от «формы» потенциаль-
ного барьера и его высоты.
В случае прямоугольного потенциального барьера высотой С/о и шириной L (рве.
37.6) прозрачность барьера
D^Doexp
(37 39)
где т — масса частицы, W — ее энергия. Если потенция пьный барьер имеет сложную
форму, то прозрачность барьера
D**Dotxp
2m[U(x)-!F]dx
(37.39Э
где xj и Xi — координаты начала я конца потенциального барьера С/(х) для данного
значения полной энергии W(рис. 3/7). В этих формулах Do — постоянный коэффици-
ент, близкий к единице.
4. Туннельный эффект может играть заметную роль в тех случаях, когда прозрачность
барьера не слишком мала. Это условие осуществляется только в тех случаях, когда
нинейиые размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными размерами.
Например, при U— IPfe 10 эВ для электрона/ига 10“30 кт, при Лга 10“10 м Л«р-3,4. При
тех же условиях для £«10-2 м, т. е. в макроскопической области, имеем Лгае-3,4 **
С увеличением массы частицы и разности Цд — FF прозрачность барьера уменьшается.
5. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер приводит к возможности
обнаружить ее в области, запрещенной с точки зрения классической механики. В самом
деле, если полная энергия W чарпшц меньше высоты барьера Uo, то в области, где
(7(х)> W, квиетическая энергия частицы р*/(2т) отрицательна, так как
W~— + U(x), — <0,
2m	2m
522
если U(х)> W. С классической точки зрения эта область недопустима для частицы, так
как бессмысленно говорить о мнимом импульсе р частицы. Квантовая механика
приводит к возможности обнаружить частицу в этой запрещенной области (парадокс
туннельного эффекта). Однако здесь нет парадокса и предыдущие рассуждения о мни-
мом импульсе частицы неверны. Туннельный эффект есть чисто квантовое явление.
Если попытаться перейти к классической теории, положив Л-»0, то, согласно (37.39),
D-*0 и о прозрачности барьера не имеет смысла говорить.
Описывая же туннельный эффект в квантовой механике, мы встречаемся с неожи-
данной с точки зрения классической физики трудностью, связанной с самой возмож-
ностью представления полной энергии W частицы в виде суммы ее кинетической
р1/(2т) и потенциальной U(х) энергий: W=p2/(2m) + U(x). В классической физике такое
представление не вызывает сомнения, и оно предполагает, что одновременно известны
с любой степенью точности и кинетическая энергия р*/(2т), и потенциальная энергия
V(х) частицы. Иными словами, частице с любой степенью точности одновременно
приписываются определенные значения координаты х и импульса р. Но, как известно,
соотношение неопределенностей Гейзенберга исключает такую возможность в кван-
товой механике^само представление полной энергии в виде суммы точно определенных
частей — кинетической и потенциальной энергии -- неправомерно. Поэтому и парадо-
кса, основанного на представлении W в виде суммы р*/(2т)+ U(x), в квантовой
механике не существует. Если мы фиксируем частицу в определенной области* Дх,
измеряя ее координату, т. е. определяем с достаточной точностью ее потенциальную
энергию С7(х), то при этом вносим неопределенность tip в ее импульс dpathfEx и,
следовательно, нельзя говорить о точном значении кинетической энергии jrtfZm).
Согласно (37.15) нельзя также утверждать, что после того, как частица углубится
внутрь барьера, ее полная энергия по-прежнему равна W.
Найдем изменение ДИ^ кинетической энергии частицы, вызванное фиксированием
ее в области Дх внутри барьера. Из формулы (37.39) видно, что глубина проникновения
частицы в классически запрещенную область внутри потенциального барьера порядка
Лх=^ь/2т7с7о—FF). Соответствующее изменение импульса частицы
(Uo— W). Изменение кинетической энергии
Дх
др1
>U0-W.
2m
Другими словами, Д превышает ту энергию, которой недостает частице, находящей-
ся внутри потенциальной ямы, для того чтобы она могла «классическим способом»
пройти над барьером.
В. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер получило экспериментальное
доказательство в явлении автоэлектронной эмиссия электронов из металлов. Вырыва-
ние электронов из металлов электрическими полями происходит при напряженностях
электрического поля, в сотни раз мейыпих, чем те, которые необходимы для того,
чтобы электрон в металле под действием внешнего электрического поля преодолел
поверхностный скачок потенциала иа границе металл — вакуум и покинул металл.
Объяснение этого было дано в квантовой механике. Действие электрического поля
с напряженностью Е приводит к тому, что потенциальный барьер для электронов на
границе металл — вакуум будет узким и электрон, обладающий энергией W, по
абсолютному значению меныией высоты барьера U& может выйти из металла сквозь
барьер с помощью туннельного эффекта. Это приводит к уменьшению, по сравнению
с классическими оценками, напряженностей полей, необходимых для возникновения
автоэлектронной эмиссии.
7. Электрическое поле вырывает электроны из отдельных атомов и молекул благо-
даря туннельному эффекту. Это явление автоиомзацяя также происходит при меньших
напряженностях поля, чем это следует из классической физики Автоионизация получи-
•Речь все время идет об одномерной задаче
523
ла свое объяснение в квантовой теории с учетом прохождения электронов сквозь
потенциальный барьер. Туннельный эффект играет основную роль в явлениях радиоак-
тивного а-распада.
§ 37.9.	Линейный гармонический осциллятор
1.	Линейным гармоническим оа^ллггором называется частица с массой тп, которая
движется вдоль некоторой оси под действием квазиупругой силы F, пропорциональной
отклонению х частицы от положения равновесия:
F=-kx.
Рис 37 8
Здесь к — коэффициент’квазиупругой силы, связанный с массой т частицы и со-
бственной циклической частотой п>о ее колебаний формулой fc—пко%.
Потенциальная энергия гармонического осциллятора Uffi^lJcx1 изображена на
рис. 37.8. Модель гармонического осциллятора имеет большое значение в физике
Например, при объяснении механизма дисперсии света и изучении законов теплового
излучения чериОго тела мы уже пользовались моде-
' Нью гармонического осциллятора. Эта модель может
применяться в тех случаях, Когда амплитуда колеба-
ний частицы невелика. Во всех реальных физических
Задачах с ростом амплитуды колебаний возникают
отклонения от гармоничности колебаний и кривая на
рис. 37.8 теряет физический смысл. Модель гармони-
ческого осциллятора часто применяется в приложе-
ниях потому, что с помощью надлежащим образом
выбранных координат, называемых нормальными ко-
ординатами, малые колебания произвольной систе-
J - мк частиц могут быть представлены ках колебания
совокупности гармонических осцилляторов.
2.	С классической точки ЗренНя амплитуда малых колебаний гармонического осцил-
лятора определяется запасом его полной энергии W. В точках Ав В кинетическая
энергия осциллятора равна? нулю и вся энергия переходит в потенциальную энергию
осциллятора. Этим точкам соответствуют значения координат х= ±а, где а — амп-
литуда колебаний классического осциллятора. За пределы области (—а, +а) классичес-
кий осциллятор выйти не может. Вероятность p^fxjdx того, что Осциллятор в течение
времени dr находится на отрезке от х до x+dx, по классической механике выразится
отношением
dl
где Т=2я/<ио — период колебаний осциллятора. Можио записать, что
,	2 dr шр dx
^(x)dx_ ______
Здесь в —скорость частицы, совершающей гармонические колебания, например по
закону х— a sin oV- Тогда
'dx	/	e\lfl
0= — = ОШоС06(0^ = а(йо I 1 —- I
dr	\	a2/
если выразить cos cool через x. Окончательно при — о<х<п имеем

dx
(l-x2/^)172
Рис 37.8
Из рис. 37.9 видно, что плотность вероятности Р»„(х) неограниченно возрастает
при приближении х к предельным точкам ±а, ограничивающим область, в которой
может ^ыть классический осциллятор.
3.	В квантовой механике задача о колебаниях линейного гармонического осцилдя i ора
решается с помощью уравнения Шредингера (37.22). Для линейного гармоническою
осциллятора оно имеет вид
2т ( mail
-^+—IlF------5х1 М.	(37.40)
d? I? \	2	;	4
Решение этого уравнения проводится в квантовой механике.
Чтобы вычислить квантованные значения энергии осциллятора, мы используем
приближенный метод, основанный на том, что на каждом уровне Энергии в зависимо-
сти от формы потенциальной кривой должно уложиться некоторое число полуволн де
Бройля.
Вначале оценим амплитуду а колебаний гармрйичвского осциллятора. Точкам
Л и В на графике U(x) соответствуют в классической механике наибольшие отклонения
частицы от положения равновесия, когда скорость частицы обращается в нуль, и ее
полная энергия W равна потенциальной U(x):
W- U{x) - ‘/jfaP -
(37.409
Амплитуда а колебаний осциллятора определяется запасом его полной энергии W-.
а»- р.
т
4.	При переходе к рассмотрению квантового гармонического осциллятора необходи-
мо учесть волновые свойства частицы, «запертой» внутри потенциальной ловушки,
имеющей форму параболы (рис. 37.10). Соотношения неопределенностей приводят
ж принципиально новому результату: полная энергия квантового осциллятора и амп-
литуда его колебаний не могут быть равны нулю.
В самом деле, если частица «заперта» в области Ахжа, то, согласно (37.12),
&px=h/a и импульс р не может быть равен нулю: р>Дрх«^а. При этом энергия
W удовлеюоряех соотношению
2т 2та*
Исключим амплитуду а из соотношений (37.40Q и (37.40*):
или
(37.40'9
525
Существует минимальное значение полной энергии гармонического осциллятора
FFo-’/zfa’o^’Mvo,
(37 41)
называемой нулевой энергией ёсщииштора Нулевая энергия осциллятора является
наименьшей его энергией, совместимой с соотношениями неопределенностей
В. Нулевая энергия осциллятора определяется только его собственной частотой Уо Ее
невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы и при
температуре О К. Нулевой энергии соответствуют нулевые юлебапя квантового
осциллятора.
Существование нулевой энергии подтверждено экспериментально в явлении рассея-
ния света кристаллами при сверхнизких температурах Рассеяние света в кристаллах
происходит на тепловых колебаниях, которые совершают атомы, молекулы или ионы,
расположенные в узлах кристаллической решетки. С классической точки зрения интен-
сивность рассеянного света должна убывать до нуля с уменьшением температуры до
О К, так мх должны прекратиться тепловые колебания узлов решетки, на которых
происходит рассеяние света. Опыты показали, что прн уменьшении температуры
интенсивность света, рассеянного кристаллами, стремится к некоторому предельному
значению, не убывающему при дальнейшем охлаждении кристалла Результаты опытов
показали, что при Т-»0 К у частиц, расположенных в узлах решети, сохраняются
нулевые колебания, на которых и происходит рассеяние света. Нулевым колебаниям
соответствует нулевая энергия атомных осцилляторов
Нулевая энергия является характерным признаком любой системы частиц, рассмат-
риваемой в квантовой механике. При температурах, близких к О К, любое вещество
находится в кристаллическом состоянии и его атомы (молекулы, атомы и ионы) ведут
себя как колеблющиеся осциллятора.
Исключение составляет гелий, который остается квантовой жидкостью вплоть до
О К, если давление не превышает 2,53 МПа. Эго объясняется, во-первых, гем, что
у гелия частота колебаний атомов достаточно велика, так как мала масса атома
(vo~\/V»>). Поэтому у гелия нулевая энергия l/1hv0 тлеет сравнительно большую
величину. С другой стороны, силы взаимодействия между атомами гелия малы, так как
у них электронные оболочки с двумя электронами полностью «застроены». В итоге
атомы гелия прн Т-»0 К находятся в интенсивном движении и гелий при относительно
небольших давлениях остается жидким и при Т-»0 К. Поскольку причиной этого
является квантовый эффект -•-существование нулевой энергии, жидкий гений называ-
ется квантовой жидкостью
8. Найдем теперь все возможные значения полной энергии квантового гармоничес-
кого осциллятора. Движение частицы в этом случае ограничено потенциальной кривой
параболического типа 17— ^(нко^х2 (рис. 37 10) Как и в случае частицы, «запертой»
в прямоугольном ящике, Наличие потенциальной ловушки параболического типа при-
водит к дискретному набору ЭперниЙ частицы Квантованные значения энер1 ни осцил-
лятора определяются тем, *то на эффегпяной длине ед', Ы/, cd, ... укладывается
нечетное число полуволн де Бройля.
Введем эффективную длину волны де Бройля
JU-A/Лф-гяД/р^
(3742)
где р-^ — эффективный импульс, связанный с энергией так, как будто потенциальная
ловушка отсутствует и движение частицы совершенно свободно. Тогда и длину волны
де Бройля следует считать эффективной длиной волны Энергия частицы
А 4*1»
2т“ 2тпХ2'
(3743)
526
к
Рис. 37.12
Рис. 37.11
Из рис. 37.10 видно, что на эффективной амплитуде укладывается нечетное число
четвертей эффективных длин волн де Бройля:
х~а*=(2п+\)^/4.	(37.44)
На границе с потенциальной кривей
moil , mail ,
W=	(2л +1)1 X	(37.443
Перемножив выражения (37.43) и (37.44'), получим
, 4я’Л? тш! . 1L а!**#	,
IF1-—- —? (2л+1)1	V" (2л+‘	<ЗТЛ5>
2	16	16
Извлекая квадратный корень, имеем
(2л+1)Лшоя я/	1\	я/	1\
»;=----------=-1л+- )Лшо=- я+ jfrvo.	(37.46)
4	2 \	2/	2 \	2/
В квантовой механике прн строгом подходе, основанном на решении уравнения
Шредингера, получается выражение для возможных энергий осциллятора
W„=(п+- ] Лу0 (л=0, 1, 2, 3,...),	(37.463
\	2/
отличающееся от полученного нами числовым множителем.
Из (37.46) видно, что энергические уровни гармонического осциллятора представ-
ляют собой систему равноотстоящих друг от фуга значений энергии (рис. 37.11).
Грубый расчет дал правильную зависимость энергии линейного гармонического осцил-
лятора от его частоты v0 и правильный характер зависимости
6. Строгое квантово-механическое решение задачи о гармоническом осцилляторе
приводит еще к одному существенному отличию от классического рассмотрения.
Оказывается, можно обнаружить частицу за пределами дозволенной области W<a,
т. е. за точками А и В (см. рис. 37.8). Выяснено, что это означает пребывание частицы
там, где ее полная энергия W меньше потенциальной энергии. Однако благодаря
волновым свойствам частиц и принципу неопределенностей обнаружение частицы за
пределами классически дозволенной области оказывается возможным вследствие тун-
нельного эффекта.
7. Вероятность обнаружить линейный гармонический осциллятор на участке с коор-
динатами от х до x+dx в квантовой механике равна
pWkl(x)dx=|^(x)|1dx.
527
На рис. 37.12 изображены пантовая
плотное! ь вероятности р^ для состояния
п=10 и для сравнения — классическая
плотность вероятности р^. Наиболее су-
щественным отличием р^ от р^ является
возможность обнаружить частицу за пре-
делами классически дозволенной области
|х| <а, т. е. за точками Ал В (см. рнс. 37.8).
Это связано с тем, что благодаря волно-
вым свойствам область за пределами
|х|Са, где полная энергия IF меньше поте-
нциальной, не запрещена.
По мере увеличения квантового числа
п кривая распределения вероятностей
(рнс. 37.13 для л»10) все больше становит-
ся похожей на классическую кривую (см.
рис. 37.9). В этом находит свое выражение
принцип соответствия Бора.
Вопросы:
1.	Получите формулу для длины волны де Бройля, используя значение радиуса «то светового
кольца в опытах Тартаковского и Томсона по дифракции электронов.
2.	Можно ли, пользуясь соотношениями неопределенностей, по известному импульсу фотона
определить область его локализации?
3.	Покажите, что при больших квантовых числах энергетические уровни электрона в потенци-
альном ящике с плоским дном и бесконечно высокими стенками становятся квазинепрерыв-
ными.
4.	Докажите, что для свободного электрона вероятность обнаружить его е любой точке оси ОХ
одинакова.
5.	Докажите, что туннельный эффект не противоречит закону сохранения энергии.
Глайа 38
Строение и линейчатые спектры
водородоподобных систем
§ 38.1.	Опыты Резерфорде по рессеяммю а-частиц aoiqecTMMi
1	. Э Резерфорд исследовал рассеяние а частиц при прохождении их через тонкую
металлическую фольгу (1$>11) Альфа-излучение образуется при ecitci венном радиоак-
тивном распаде атомов некоторых тяжелых элементов и представляет собой положите-
льно заряженные частицы с зарядом 2е и массой, приблизительно в четыре раза
большей, чем масса атома водорода.
ЭнерА нН а—чаегшц, нсПускаеммл раззпк^^ио^и ^ддной^^нявымв элем^^^тавли, ^пгеют
порядок 106 — 107 зВ (от 4,05 10® эВ для урана до 8,78 10е эВ для тория С)
С помощью таких частиц, обладающих достаточно большими энергиями, Резерфорд
со своими сотрудниками X. Гейгером и Э Марсденом
зондировал вещество — «простреливал» металлическую
фольгу Установка для изучения рассеяния а-частиц изоб-
ражена на рис 38 1
Металлическая камера А, сверху закрытая стеклянной пластин-
кой Р, прикреплялась к подставке Д, на окружности которой бан
нанесены градусные деления. Вот подставка вместе с камерой могла
вращаться на ^пявфе С Сбоку в камеру Л была двяш микроскоп М,
перед объективом которого укреплялся экран, покрытый сернис-
тым цинком Источник а частиц помещался в смицивим футляре F,
имеющем диафрагму D На пути пучка я-частиц помещалась расое-
ивагощая металлическая фольга £ тешимой 10	м. Источ-
ник и фольга укрепились яввмвпяо ка трубка Г, проходящей
через основание прибора, Чер« эту трубку из камеры А откашвая-
са воздух, чтобы не вройсидио раомжия к частиц ца молекулах
воздуха. Попадание каждой а-частнцы на экран S вызывало вспыш-
ку — сцянтиллящпо, обусловленную флуорещепщей экраш. При
повороте камеры на разжчиые угш ш экран попадали s-частяцы, раооммые под соответст
вукнцимн углами. С помощью такой установки можно было ваблэдт я частицы, рассеянные
под углями до 130°
2	Опыты, проведенные в лаборатории Резерфорда, показали, что наряду с подав-
ляющим большинством а-частиц, отклоняющихся весьма незначительно от своего
первоначального направления, имелись а-частицы, которые при прохождении через
тонкие листы фольги резко отклонялись на весьма большие углы, порядка 135 — 150е
Объяснять эти рейне отклонения накоплением малых отклонений г—чапод. невоз-
можным
Опыты Резерфорда явались Экспериментальным подтверждепем высказанной им
идеи о том, что весь положительны! заряд атома сосредоточен в его ядя — области,
занимающей весьма малый объем по сравнению со всем объемом атома. Рассеяние
а-частицы на таком малом объекте маловероятно, поэтому большинство а-частиц
испытывает незначительное рассеяние, а-частицы, проходяцие вблизи от этой малой
области, испытывают резкие отклонения, так как на малых расстояниях оиты оттал-
кивания между положительно заряженными а-часгицей и ядром должны быть очень
велики Вероятность попаданий а-частиц в ядро и их отклонений на большие углы
сравнительно мала, но не равна нулю
3	Резерфорд теоретически рассмотрел задачу о рассеяния а-частиц в кулоновском
электрическом поле ядра, содержащего Р положительно заряженных частиц. Аналогич-
ная задача рассматривается при юучении рассеяния частиц на неподвижном рассе-
529
Рис 38.2
ивающем центре в предположении, что
взаимодействие падающей частицы и цен-
тра происходит по загону центральных
сил с потенциальной мершей взаимодей-
ствия вада IFn—/?/r, где fi — постоянная
величина, г — расстояние ст центра до ча-
стицы. Потенциальная энергия взаимодей-
ствия а-частицы с ядром FT,»2еРе/(4явог),
где е — элементарный электрический за-
ряд, 2е и Ре — заряды а-частицы и ядра,
тая что fi~2e Ре/(4т^.
Обозначим: п — плотность погожа а-
частиц, налетающих на ядро, т. е. число
частиц, падающих на единицу цдотдедн за единицу времени ( м-а с-1), a d.V — число
~	dN ,
а-частиц, рассеянных в единицу времени внутрь телесного угла <Ю. Отношение ——de
называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния а-частиц в кулоновс-
ком поле ядра атома. Согласно формуле Резерфорда,
Л (А У <“>
dff—I — I —---------,
\4W/ ип*(?/2)
где tp-n—2<?о — угол рассеяния а-частицы (рис. 38.2), FP—ее энергия; d<r имеет
размерность площади.
Из формулы Резерфорда следует, что число а-частиц, рассеянных ЗЯ единицу
времени внутрь единичного телесного угла, равно
dV	/ 2еРе у 1
<Ш	\4n«o4FK/ яп4(ф/2)
(38.1)
Формула (38.1) показывает, что для данного рассеивающего вещества при опреде-
dN . <р
ленной энергии IF а-частиц и заданной плотности их потока произведение — am -
dfl 2
должно оставаться постоянным. Эго было экспериментально подтверждено в опытах
Гейгера я Марсдена (углы рассеяния <р менялись в широких пределах от 15 до 150°).
dN . <р
Небольшой разброс в значениях — sin - объяснялся экспериментальными трудностя-
dfl 2
мн при создании моноэнерт стнческих пучхов а-частиц постоянной плотности л.
4	. Формула (38.1) позволяет по измеренному числу частиц, рассеянных под некоторым
углом <р, определить число Р эмитпарша. положительных зарядов, содержащихся
в ядре атомов данной рассеивающей фольги. Опыты показали, что число Р равно
порядковому номеру Z элемента в периодической системе Менделеева, т. с. P-Z
Таким образом, идея Резерфорда о сосредоточении положительного заряда атома
в его ядре не только получила блестящее экспериментальное подтверждение, но
и позволила установить фазический смысл порядкового номера в периодической
системе элементов.	' г
Очевидно, в нейтральном aroite''должно содержаться также Z электронов. Поэтому
проверкой справедливости ядейнйй модели атома послувснло изучение тех явлений,
в которых независимым путеко^гло быть определено число электронов в атоме. Три
труппы явлений особенно тфйЬЙйЫ для этой цели, прежде всего измерение интенсив-
ности рассеянного света в различных участках спектра Как известно, рассеяние света
происходит на электронах атомов и имеет резонансный характер — оно наиболее
интенсивно при совпадении часгот>рассеиваемого света и собственной частоты колеба-
ний электронов. Опыты показали, что в атомах есть «столько групп электронов,
«резонирующих» на различные частоты падающего света.
530
Теория явления рассеяния света позволяет по известной интенсивности рассеянного
света в данной области частот найти число электронов, участвующих в рассеянии.
Таким образом, измеряя интенсивность рассеянного света в широком диапазоне ча-
стот, можно вычислить полное число электронов в атоме.
Другим независимым методом определения числа электронов в атомах является
изучение потерь эверит а- и Д-частиц при прохождении их сквозь слой вещества
некоторой толщины. Оказывается, что потери энергии а- и ^-частицами в веществе
связаны с числом электронов в атоме, которое может быть рассчитано по этим
потерям. Наконец, измерение коэффициента рассеяния рентгеновского излучения дан-
ным атомом также позволяет найти общее число Z его электронов. Существенно, что
число электронов в атоме, определенное различными методами, совпало с числом
элементарных положительных зарядов в ядре, измеренным по рассеянию а-частиц.
5. По известному заряду ядра Ze можно установить верхний предел размера ядра.
При рассеянии а-частицы ядром не происходит их столкновения в механическом
смысле этого слова, так как в случае такого сюлкновеяия закон взаимодействия
Wn=fllr и вытекающая из него формула Резерфорда не были бы справедливы. Сумма
радиусов ядра и а-частицы* меньше того минимального расстояния го, на которое
сближаются их центры при столкновении (рис. 382).
Для оценки го рассмотрим центральный удар а-чЯстнцы о Яфо, соответствующий
углу рассеяния (9= 180®. Из закона сохранения энергии следует, что в момент наиболь-
шего сближения а-частицы с ядром et кинетическая энергия ’/э”*1 полностью перейдет
в потенциальную энергию их взаимодействия:
mo’/Z-Ze 2е/(4яеоГо).	(382)
Здесь т — масса а-частицы, я — се начальная скорость вдали от ядра.
Для а-частиц, испускаемых RaC, «=1,9 107 м/с. Оценим гъ для золота (Z«79).
Подставив е« 1,6 10 Кл и т=6,5 10-17 кг в (38.2),получим
Л»=----—«3,1 10 ’* м
Таким образом, размеры ядра атома золота меньше этой величины. Если пред-
положить, что форма электрона сферическая, то его «классический радиус» должен
иметь такой же порядок величины. Это наряду с другими важными обстоятельствами
привело к выводу, что электроны не могут находиться в ядре, так как его размеры
иорядка 10“’5 м.
§ 38.2.	Ядерная модель атома Резерфорда
1.	На основании результатов опытов по рассеянию а-частиц тонкими металлическими
фольгами и следствий, к которым привели эти опыты, Резерфордом была предложена
дцерная модель атома. Согласно этой модели, в ядре атома — малой по сравнению
с объемом всего атома области с линейными размерами 10*11 — 10“ '* м — со-
средоточен весь его положительный заряд и практически вся масса атома. Вокруг ядра
в области с линейными размерами ~1О-10 м движутся электроны, масса которых
составляет лишь весьма малую долю массы ядра**.
Статическая ядерная модель атома, в которой электроны были бы неподвижны,
физически бессмысленна. В результате действия ку^ювцких сил притяжения электро-
ны сразу же упали бы на ядро. Чтобы этого «^произошло, электроны должны
двигаться около ядра по орбитам, зависящим от энеррим электронов. Ядерная модель
атомов Резерфорда внешне очень напоминает Солцршущ систему: в центре системы
находится «солнце» — ядро, а вокруг него по орбита^ дадутся «пнаИеты» — электро-
	<4/1 S Хг
•Если считать, что оба они имеют сферическую форй£г
••Напомним, что масса электрона в 1836,5 раза меньше маош давтоиа — ядра атома
водорода
531
ны. Поэтому данную модель часто называют планетарной. Орбиты электронов в атоме
стационарны; атому свойственна исключительная устойчивость, о чем, в частности,
свидетельствуют оптические линейчатые спектры атомов, отличающиеся определен-
ным для всех атомов данного элемента расположением пиний
2.	Устойчивость атома не может быть согласована с классическим истолкованием
ядерной модели. Рассмотрим, например, ядерную модель простейшего атома — атома
водорода, содержащего один электрон и ядро — протон. Предположим ради просто-
ты, что электрон движется вокруг протона по круговой орбите. Классическое представ-
ление об орбите как о траектории движения электрона в атоме не выдерживает критики
с квантово-механической точки зрения. Однако имеет смысл говорить о геометричес-
ком месте точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен
электрон в атоме водорода. Это геометрическое место заменяет в квантовой механике
классическое представление об орбите электрона. В дальнейшем, используя термин
«орбита» электрона, мы будем иметь в виду этот его смысл. Скорость электрона на
круговой орбите с радиусом г«40-10 м должна быть порядка е=10в м/с (это сразу
следует из формулы т^2/г=е2/(4яе0г2), а центростремительное ускорение а=«2/г —
порядка 1022 м/с2*. Такой ускоренно движущийся электрон ведет себя как вибратор,
колеблющийся с большой частотой; он излучает электромагнитные волны.
Можно рассчитать мощность излучения электрона, ускоренно движущегося в ато-
ме. Согласно классическим представлениям, это излучение (и связанная с ним потеря
электроном энергии) происходит непрерывно. Поэтому электрон не удерживается на
круговой орбите — он по спирали приближается к ядру, и частота его обращения
вокруг ядра (а следовательно, и частота излучаемых им электромагнитных волн)
непрерывно изменяется. Иными словами, электромагнитное излучение атома имеет
непрерывный, а не линейчатый спектр. Можно было бы избежать трудности с потерей
электроном энергии на излучение, если допустить, что он движется с малыми скоростя-
ми и ускорениями, т. е. считать, что его излучение пренебрежимо мало. Однако в этом
случае также неизбежно падение электрона на ядро, потому что при малых скоростях
электрон не сможет удержаться на орбите такого радиуса, который соответствует
реальным размерам атома.
3.	Таким образом, применение классической электродинамики к ядерной модели
атома привело к полному противоречию с экспериментальными фактами. Согласно
классической теории, должны иметь место:
а)	непрерывная потеря электроном энергии в виде излучения электромагнитных
волн и неустойчивость атома;
б)	существование только непрерывного спектра, спектралыоп линий не должно
быть.
В действительности оказывается, что:
а)	атом является устойчивой системой;
б)	атом излучает энергию лишь при определенных условиях;
в)	излучение атома имеет линейчатый спектр, связанный со строением и свойствами
его электронной оболочки.
Эти выводы относятся не только к атому водорода, но и к другим атомам.
§ 38.3. Линейчатый спектр атома водорода
1.	Светящиеся газы дают линейчатые спектры испускания. В соответствии с законом
Кирхгофа спектры поглощения газов также имеют линейчатую структуру. Изучая
линейчатый спектр водорода, швейцарский ученый И. Бальмер установил (1885), что
длины волн известных в то время девяти линий спектра удовлетворяют формуле
I	/11
>qxEt!'- = J?r I —--
Л	\22 л3
(38-3)
где R/ = 10973731,77 м ’; n=i3, 4; 5, ... Константа R' была определена Й. Ридбергом
и называется постоянной Ридберга. Формула Бальмера, впервые указавшая на особое
•Поскольку речь идет о классической модели атома, такие классические оцени могут быть
сделаны.
532
значение целых чисел в спектральных закономерностях, сыграла выдающуюся роль
в развитии учения о строения атомов.
В настоящее время известно большое число линий в cuexipe водорода, длины волн
которых укладываются в формулу Бальмера. Если учесть большую тотеость спектро-
скопических измерений, то следует признать, что формула Бальмере принадлежит
к числу наиболее точных закономерностей в физике. Формулу (38.3) переписывают
нередко для частот г соответствующих линий. Так как то формула (38.3) для
частот имеет вид
(38.4)
Произведение R— R'e~ 3,2931193 10’9 с“1 также называется постоянной Ридберга*.
Из формулы (38 4) видно, что все линии, отличающиеся различными значениями п,
образуют группу, или серию, линий, называемую верней Бадамера. С увеличением
п линии серии сближаются друг с другом. Значение л—со определяет границу серии
Бальмера. Ей соответствует длина волны 3645,068 10~1Ом.
2.	Ридберг показал, что в линейчатых спектрах ее только водорода, но и других
элементов' наблюдаются спектральные серии, причем частоты v всех линий данной
серии удовлетворяют соотношению
v-TW-Tfa),	(38.4Э
где Л] и п2 — некоторые целые числа. Функции Т(лг) и Т(пЦ называются евектршшмн
термами Для данной серии п2 имеет постоянное значение. Изменение числа п} дает все
линии данной серии. Например, для серин Бальмера из (38.4) следует, что T(nj)—Я/22,
Tfn^^RJnl При неограниченном возрастании T(hj)-»O и частоты линий серии
Бальмера стремятся к пределу, которым является терм T(nj), представляющий собой
частоту границы серии.
В Ритц установил (1908) справедливость положения, называемого жомбввацяоняым
прикриом Р11Ц1К
частоты спыпрегъмых линяй иалучения любого огоне вянут
быть представлены  виде ревности двух тврюов; воспитан
рашвеаюле яои1бинв1рп9 термов* можио найти ное юяижиыа
частоты споктре1юнм1 мтнмй итого атоме.
Из комбинационного принципа Ритца следует, что в спектре водорода кроме
бальмеровской серии должны существовать другие серии, которъге’могут быть получе-
“ „,-К (1-1)
родной линии H/j частоту *h«“ R I ——- I линии Нп получаем
/1 1
у-Я|-—-
Аналогично можно найти и другие линии в инфракрасной части спектре водорода,
называемой сершй Паппа:
v-Я
•Обычно в литературе оба значения постоянной Ридберга обоэиачяются одной буквой
R и лишь указывается, в каких единицах она выражена, с-1 или м-1.
533
3.	Тщательные исследования спегтра водорода показали, что в нем наблюдаются еще
четыре серии спектральных линии. В далекой ультрафиолетовой области спегтра
обнаружена серии Лаймана
/I
v-Kl-—-) (n=2, 3, 4,...).
В далекой инфракрасной области обнаружены.
серии Брэкета
\4Я »г/
серии Пфуида
v-Л I-----) (л=6, 7, ...),
\5« л1/
серпа Хэмфри
< /1 1\
*’ЛЬ“3)(П“7’8’ )
" /
Таким образом, все сериальные формулы спектра водорода могут быть выражены
едиными формулами*
(38.5)
(38.5Э
где тип — целые числа, причем для данной серии n=m+1, т+2, т+3 и т. д. Для
серии Лаймана m=1, для серии Бальмера т=2, для серии Пашева ш=3 и т. д.
При неограниченном возрастании п частоты всех серий водородного спектра
сходятся к соответствующим границам. Граничные частоты водородного спектра Т(т)
равны R]m\ Огромную роль олрала возможность, комбинируя термы Т(л) одной
серии, получить линии другой серии, Это было предвосхищением того, что терм
пропорционален энергии атома Жя в состоянии с квантовым числом п.
Из формул (38.5), подтвержденных на опыте с огромной, «спектроскопической»,
точностью, ярко выступает особое значение целых чисел в спектроскопических законо-
мерностях Мы вцдели, что квантово-механическое решение некоторых задач об энер-
гии (например, у осциллятора, электрона в «ящике» и др.) также приводит к особой
роли целых чисел — квантовых чисел, огоеделяющих дискретные значения энергии.
Забегая вперед, укажем, что числа т и п в формулах (38.5) также являются квантовыми
числами, определяющими энергетические уровни атома водорода. Однако от открытия
сериальных закономерностей в атоме водорода до квантово-механического решения
задачи об атоме водорода физика прошла огромный путь, исторически очень корот-
кий, но полный драматизма и выдающихся открытий. Этот путь, как и вся физика
первой половины нашего века, всегда будет связан с именем великого физика — дат-
чанина Нитться Бора.
§ 38А Теория Бора Для водородоподобных систем
1.	В § 38.3 было показаво/тчто дискретный линейчатый спектр атома водорода
и закономерности (38.5) или (М9У) находятся в прямом противоречии с классическим
истолкованием модели атома Резерфорда.
Первая попытка построения неклассической теории атома была предпринята Бо-
ром (1913) и составила важный этап в развитии современной физики. В основе этой
теории лежала идея связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых
534
сне*, i ров, вдернуто модель атомов Резерфорда и квантовый характер излучения и по-
глощения света, подтвержденные обширным экспериментальным материалом В те-
ории Бора не содержалось принципиального отказа ст описания неведения электрона
в атоме при помощи законов классической фпнки. Такое описание сохранялось
Однако для достижения тех целей, которые поставил перед собой Бор, ему пришлось
дополнить классическое описание некоторыми ограничениями, пакт»дыняемммя на
возможные состояния электронов в атоме Эти ограничения были сформулированы
в виде постулатов, физический смысл которых не только не мог быть объяснен
в рамках теории, но, более того, противоречил сохраняющемуся в теории классичес-
кому описанию движения электрона в атоме Тем не менее такой принципиально
непоследовательный путь привел к правильным результатам в некоторых вопросах,
в частности к объяснению спектральных закономерностей атома водорода. Причина
этого заключается в том, что в боровоой теории, которую часто называют «шарой»
квантовой теорией, были правильно указаны некоторые свойства атомных систем Ках
мы увидим, эти правильные результаты могут быть получены в квантовой механике из
гораздо более строгих и общих положений, не требующих постулатов
Теория Бора применима не только к атому водорода, но и к водородоводобной
системе, состоящей из ядра с зарядом Ze и одного электрона, вращающегося вокруг
ядра. Такую систему называют нэоэлектропой водороду Примерами таких систем
являются ионы Не*, Li** и др
2	ПервьА постулат Бора (постулат сто^омарных гаг i паяй!) заключается в следу-
ющем
существуют сттрюнармыо состояния стома, находясь в кото-
рых он но мэлучмгт энергию.
Этим стационарным состояниям соответствуют вполне определенные (стационар-
ные) орбиты, по которым движутся электроны. При движении по стационарным
орбитам электроны, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают электромагнит-
ных волн
Правило квантования орбит Боря утверждает, что
В СТМ|ИОИОрИОв СОСТОЯНИИ ОТОМЯ	ДВ1№МСЬ НО
MwnyibcSp удовлотворяющио условию
Д,—т^вг^гЛ (и-1,2,3,..)	(38 6)
Здесь т, — масса электрона, о — скорость электрона, г — радиус его орбиты
Целое число п равно числу длин волн де Бройля для электрона, укладывающихся на
длине круговой орбиты. В самом деле, учитывая формулу де Бройля, найдем отноше-
ние длины окружности к длине волны де Бройля
2лг/2 Znmicv/A » л.
Второй постулат (претило частот) устанавливает, что
ОДО
при переходе атоме из одного стационарного состояния о дрр-
ГОИ ИСПуСКМТСЯ HJW потмц^в^ся одой* фотюь
,____^мо
«я )< л
Излучение происходит при переходе атома из состояния с большей энергией
в состояние с меньшей энергией (при переходе электрона е орбиты более удаленной ст
533
ядра на ближнюю к ядру орбиту). Поглощение фотона сопровождается переходом
атома в состояние с большей энергией Этому соответствует переход электрона На
более удаленную от ядра орбиту. Изменение энергии атома, связанное с излучением
или поглощением фотона, пропорционально частоте v. Если AFT — изменение энергии
атома в результате этих процессов, то
А ИК-Av.
(38.7)
Правило частот Бора (38.7) может быть записано иначе. Если We и — энергия
атома в двух стационарных состояниях, то
FF,->Fm=Av„	(38.7Э
При Wm < Wa происходит излучение фотона, при Wm>Wn — его поглощение.
3.	Анализируя содержание постулатов Бора, нельзя не заметить, что первый и второй
постулаты связаны с ^возможностью классического обоснования ядерной модели
атома, а также со спектральными закономерностями (38.5) в атоме водорода и кван-
товой структурой излучения. В самом деле, сопоставление формул (38.7"), (38.53
и (38.4Э позволяет сделать заключение о том, что энергия атома в некотором стаци-
онарном состоянии
W„~ —Rh/rr1 (л-1, 2, ...).	(38.8)
WjB
13,
13
tt
10,15
10
3
В
Постоянная Ридберга была вычислена из
принципа соответствия Бора. Спектральный
терм связан с энергией атома формулой
rw-iw-я/"1.	<38.вэ
01- 1
Рис 383
Таким образом, целые числа, входящие
в сериальные формулы (38.5) и (38ЛЭ> опре-
деляют квантованные значения энергии ато-

да)*. Целое число и, определяющее энерге-
тические уровни водородного атома по
формуле (38.8), называется главным квин-
товым числом.
Из формулы (38.8) следует, что энерге-
тические состояния атома водорода образу-
ют последовательность энергетических
овней, изменяющихся в зависимости от л.
(ертегическое состояние, соответствующее
 1, называется основным или нормвлшм
(невозбуждевным) состоянием. Все сосгоя-
При возрастании л энергегичееяле уров-
ни сближаются к границе, соответствующей
л—оо. При этом л >Fe—0. Знак минус
в формуле (38.8) показывает, что электрон
связан в атоме силой притяжения к ядру. Поэтому абсолютное значение W„ в формуле
л=со соответствует	атома, т. е. отрыву от него электрона. Энергия цоннза-
ции из данного состояния равна энергии связи электрона в атоме в этом состоянии.
Энергия ионизации Wm связана с потенциалом ионизации q>:	ер. Таким об-
разом,	’ 1 ” 01
'"л—
•Мы считаем, что ядро атома неподвижно и анергия одноэлппронной свстыяы равна
энергии движущегося электрона. В тех случаях, когда необходимо учитывать движение яцт,
будут сделаны специальные оговорки. 
536
Подставив в это соотношение значения всех постоянных*, получим для потенциала
ионизации атома водорода из иорыятп.илгп состояния (п= 1) ф= 13,60 В. На рис. 38.3
приведена схема энергетических уровней атома водорода (W= Wu — WX Стрелками
указаны переходы, coo merci дующие излучению различных серий линий (2 в нм).
4.	Правило частот не могло быть навеяно никакими эмпирическими формулами
и явилось гениальной догадкой Бора. Это правило (38.6) в соединении с формулой
(38.73 позволили Бору рассчитать спектр атома водорода и других изоалектронных
водороду систем, а также теоретически вычислить соответствующие им значения
постоянной Ридберга, находящиеся в хорошем согласии с опытом. Бор считал, что
движение электрона в водородоподобной системе происходит по круговой орбите
радиуса г под действием кулоновской силы притяжения электрона к ядру, обуслов-
ливающей центростремительное ускорение, т. е. можно записать ти2/г™2е2/(4яе0г1)
иян, так как v=a>r, где а — угловая скорость вращения,
P=Ze2/(4seoffW02)-	(38.9)
Из (38.6) и (38.9) получим
г.-тЛР 4j«o/(w«Ze2) (л= 1, 2,...).	(38.93
При п=* 1 для водорода (Z— 1) имеем
П-Оо-Й1 4лец/(/и^1)» 0,529 10-*°м.	(38.9*)
Эту величину называют радиусом первой орбиты электрона в атоме водорода
(первым боровским радиусом).
Из формулы (38.93 видно, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам
целых чисел. Энергия электрона в водородоподобной системе равна сумме его кинети-
ческой Wx и потенциальной Wa энергий в электростатическом поле ядра:
Wt+ Wn=~-----------------.
2 4itv 2 4одг
Подставив г в (38.9"3 из (38.93, получим
о,
Для атома водорода (Z= 1)
me4 1
" 8Aas о п2
Из сравнения формул (38.103 и (38.8) следует, что постоянная Ридберга
ДцД *
8Л’б20’
(38.9"3
(38.10)
(38.103
(38.11)
Соответственно формулу (38.10) для энергетических уровней водородоподобной си-
стемы можно переписать в виде:	.
(38.10'3
Учет движения ядра сводится к тому, что вместомассы т, электрона в формулу
(38.11) следует ввести приведенную массу двух частиц электрона и ядра, движу-
щихся относительно центра масс системы ядро — электрон:	+Л/), где
М — масса ядра атома.
*3вачсаве Я должно быть взято с учетом движения ядре (см. п. 4).
537
S.	Бор чувствовал, что его правило квантования орбит, относящееся к круговым
орбитам, не шляется правильным. Поэтому он предложил более общий подход для
вычисления постоянной Рмдберга.
Для вычисления постоянной Радберга можно воспользоваться принципом соответ-
ствия Бора, сформулированным в f 37.7. Классическое выражение для радиуса орбиты
электрона в водороноподобной системе, согласно (38 9), имеет вид
г-[2е’Д4|«о'Пг)]1/Э«и_2/Э
Эта формула приводит к	для энергии электрона в атоме водорода по
(38 9"Э
1 (И
Рассмотрим теперь переход электрона между двумя соседними энергетическими
уровнями и и л—1 при 1. По пршщипу соответствия результаты квантово-механи-
ческого и классического рассмотрения должны при этом совпадать Частота, соответ-
ствующая этому переходу,
[1	11 2л-1 1R
(я—I)1 h’J я1 (л—I)3 п*
Таким образом, л* “> 2Я/уя л—(4<А),^<а *^. Энергия электрона по формуле (38.8) равна
-ЛЬ/ла= -*,%>V7(4k)W
Приравнивая по принципу соответствия классическое и квантовое выражения ди
энергии, после возведения в куб, подучаем
A-«Z/(8*’4)
Этот результат совпадает с формулой (38 11)
§ 3&5. Экспериментальное подтверждение постулатов Бора
1.	Постулат Бора о существовании стационарных состояний атомов и правило частот
нашли свое экспериментальное подтверждение в опытах Д. Франка и Густава Герца
(1913) В опытах изучались стоикновення электронов с атомами газов методом задер-
живающего потенциала. Идея опытов заключалась в том, что пучок электронов,
ускоряемых в электрическом поле, проходил через газ и электроны испытывали соуда-
рения с атомами газа. Первые опыты были поставлены на ртути Схема опытов
изображена йа рос 38 4 Накаленный катод К, испускающий
электроны, сетчатый электрод S' и анод А, соединенный
с им я ци нипром или гальванометром G, помещались в сгек-
5. д	лянный,росуд, в котором находились ртутные пары пра
к	о,соло 0>1 мм Рт а Между катодом и сеткой
----j । л.	ускоряющее эдоирическос поле с разностью
-----------------------5 ! -------------------потеяшалов а между сеткой и анодом — слабое замед-
-----------------------г ]-поле с разностью потенциалов не превышающей
[--------------------------В. Электроны, встречающие на своем пути атомы ртути,
’ й	с ними Соударения двоякого рода. Пср-
*4"	Bijji цщгроудареним— упругие апомошаяшя, в результате
которых энергия электронов нс изменяется, а изменяются
Рис 3S.4 дашь направления скоростей электронов. Такие упругие сто-
538
ЛКНОВСНИЯ, ХОТЯ М затрудняют псшаданиг электронов
на анод, не могут быть причиной практически полно-
го отсутствия анодного тока в трубке, который до-
лжен возрастать с увеличением разности потенци-
алов Ф1- Второй тип возможных соударений электро-
нов с атомами — неупругие столкновения — связан
с потерей электронами их энергии и передачей этой
энергии атомам ртути. В соответствии с постулатами
Бора каждый из атомов ртути не может принять
энергию в любом количестве. Атом может воспри-
нять лишь определенную энергию и перейти при
этом в одно из возбужденных энергетических состоя-
ний.
К нижайшее к нормальному состоянию атома
ртути возбужденное состояние отстоит от основного
по шкале энергий на 4,86 эВ. До тех пор, пока элект-
роны, ускоряемые полем, не приобретут энергию
«91^4,86 эВ, они испыты-
вают лишь упругие столкновения и анодный ток возрастает с ростом фр Как только
кинетическая энергия электронов достигает 4,86 эВ, начинают происходить неупругие
столкновения. Электрон с таким значением энергии полностью отдает ее атому ртути,
возбуждая переход одного из электронов атома ртути из нормального энергетического
состояния на возбужденный энергетический уровень. Ясно, что такой электрон, потеря-
вший свою кинетическую энергию, не сможет преодолеть задерживающее его поле и не
достигнет анода Таким образом, при разности потенциалов между катодом и сеткой,
равной 4,86 зВ, ^должно происходить резкое падение анодного тока. Аналогичное
явление будет при еф1=2 4,86 зВ, 3 4,86 зВ, вообще говоря, при еф1=п 4,86 эВ, когда
электроны могут испытать два, три и т. д неупругих соударения с атомами ртути,
потерять при этом полностью свою энергию и не достигнуть анода. На рис. 38.5
приведена характерная кривая зависимости силы анодного тока от разности потенци-
алов между катодом и сеткой в опытах франка и Герца, подтверждающая справед-
ливость первого постулата Бора.
2.	Правило частот Бора также экспериментально подтвердилось в опытах франка
и Герца. Ртутные пары, возбужденные электронным ударом, оказались источником
ультрафиолетового излучения с длиной волны 2537 А(псрвая резонансная линия ртути).
Эго излучение происходит в тот момент, когда атом ртути, возбужденный элект-
ронным ударом на уровень с энергией возвращается в основное нормальное
энергетическое состояние с энергией W\. Согласно правилу частот Бора, W2— W^hv,
где W2—Wl=‘^W. По известному значению Д1Р— 4,86 эВ можно вычислить длину
врлны излучения. Л=Лс/А1Р"= 2,537 10-7 м. Этот результат Полностью согласуется
с экспериментом.
3.	Серьезным успехом теории Бора явились теоретическое вычисление постоянной
Ридберга для водородоподобных систем и объяснение структуры их линейчатых спек-
тров. В частности, Бору удалось правильно объяснить серии спектральных линий
ионизированного гелия, до этого приписываемые водороду (серии Пикеринга и Фаулера
для Не*). По значениям постоянной Ридберга R для Н и Не* можно теоретически
вычислить отношение массы протона к массе электрона т^т, и значение Иц при
неподвижном ядре. Вычисления привели к значению т^т^ 1847, находящемуся в со-
гласии с известным из опыта. Это было очень важйым подтверждением правильности
основных идей, содержавшихся в теории Бора. Не мёЙСЬ важным оказалось нахождение
удельного заряда электрона e/mt из спектроскопичеавЁ£^данных. Значение e/mt опреде-
ляется по известным постоянным Ридберга для дв^различных атомов, например
водорода и дейтерия (тяжелого водорода).	_
Теория Бора объяснила физическую природу характеристических рентгеновских
спектров, расщепление спектральных линий в сильном ъшнитном поле (нормальный
эффект Зеемана) и другие явления. Дальнейшее обЬбЩгнйе'правнл квантования орбит
ва системы со многими степенями свободы позволило установить, что состояние
электрона в водородоподобной системе не может быть описано одним квантовым
539
ЧИСЛОМ Квантовых чисел ДОЛЖНО быть СТОЛЬКО же, каково ЧИСЛО П^пеинй свобода,
например доя эллиптической орбиты Электрона их должно быть два
4.	Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физиуи в период ее
развития (1913 — 1925) были сделаны важные открытия, навсегда вошедшие в со-
кровищницу фнЗИЧеСКОЙ науки.
Особенно н^пнуа ее роль в развитии атомной, а также частично и молекулярной
спектроскопии, где огромный экспериментальный материал с помощью теории Бора
был систематизирован и сведен к определенным полуэмпирнческнм закономерностям.
Однако наряду с определенными успехами в теории Бора с самого начала об-
наружились существенные недостатки. Главнейшим из них была внутренняя проти-
воречивость теории. Основываясь на механическом соединении классической финт,
с квантовыми постулатами, теория Бора в ряде проблем привела к существенным
трудностям Сюда прежде всего относится вопрос об интенсивностях спектральных
линий Для их вычисления в теории Бора приходилось применять принцип соответст-
вия не только для больших квантовых чисел, но и для малых, т. е, по существу,
использовать для расчета интенсивностей классические представления. Наиболее се-
рьезной неудачей в теории Бора явилась абсолютная невозможность с ее помощью
создать теорию атома гелия, содержащего помимо ядра два электрона. Постепенно
становилось десшурдам, что теория Бора, правильно объяснившая одни факты и не
способная истолковывать целый ряд других, предетавляст собой лишь переходный
этап на пути создания последовательной теории атомных и ядерных яв пений Такой
последовательной теорией	квантовая (волновая) ммдиитд Применение ее
к атомным процессам позволило не только объяснить огромное многообразие
атомной и ядврной физики, но и вскрыть физическое содержание самих постулатов
Бора.
Вопросы:
1.	В чем состояла невозможность классического истолкования одерной модели атома во-
2.	В чем заключаются постулаты Бора и как онй обосновывают линейчатый спектр водорода?
3.	Чем должны отличаться частоты линий иона гелия и атома водорода при одинаковых
квантовых числах исходного и конечного состояний?
4.	Как выводится формула для постоянной Ридберга с помощью принципа соответствия?
В. Как доказывается экспериментально правило частот Бора в опытах Франка и Герца?
Глава 39
Современные представления о строении
и оптических свойствах атомов
§ 39.1. Водородоподобная Ристома в квантовой механике
1. Результаты, достигнутые теорией Бора в решении задачи об энергетических уров-
нях электрона в водородоподобной системе, получены в квантовой механике без
привлечения постулатов Бора.
Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра Ze, т. е. задачу об
электроне, обладающем потенциальной энергией U (г)= -*Zea/(4iuy), где г расстоя-
ние между электроном и ядром. Состояние электрона в водородоподобном ионе
описывается некоторой волновой функцией ф, удовлетворяющей стационарному урав-
нению Шредингера:
+(Imjh)	0.	(39.1)
Здесь W — значения полной энергии электрона в ионе, которые требуется отыскать при
условии, что ф удовлетворяет требованиям конечности, однозначности и непрерыв-
ности. Центрально-симметричный характер силового поля, в котором движется элект-
рон, естественно, требует использования сферических координат при решении уравне-
ния (39.1).
2. Решение уряпиемии Шредингера для водородоподобной системы в сферических
координатах позволяет получить «жиме результаты. Оказывается, что момент импуль-
са электрона в ионе квантуется по формуле
(39.2)
где Z—0; 1, 2,...; (л— 1) — орбитальное квантовое число*.
Из уряпиемия (39.1) следует, что при W<0, т. е. в условиях, когда электрон «связан»
в атоме, его движения должны быть периодическими, а значения W— полной энер-
гии — ипяптлпяиными Энергия, которой может обладать электрон в ионе,
W--ZhnSMh^ (n,+l+1)1],	(39.3)
где п, — рядия1п.ппе квантовое число. Если ввести обозначение
n~nr+l+1,	(39.4)
то выражение (39.3) для энергетических уровней электрона в водородоподобной систе-
ме можно записать в форме, аналогичной выражению (38.10) в теории Бора:
W„--ZPmSKnWffa: -Z^Rh/n1.	(39.4Q
Таким образом, последовательное ранение уравнения Шредингера для электрона
в водородоподобной системе приводит к энергетическим уровням типа Бальмера —
Ридберга без использования каких-либо постулатов. Квантовое число л, определенное
по формуле (39.4), совпадает с главным квантовым числом, вводимым в теории Бора.
Энергетические уровни электрона для водородоподобной системы зависят только от
•Пределы,  которых изменяется число /, рассмотрены в конце параграфа.
541
главного квантового числа. Из формулы (39 4) следует, что наибольшему значению
L при данном л соответствует «г“0, т. е. I =л— 1 Следовательно, при заданном
л орбитальное квантовое число может принимать следующие значения:
Z—0, 1,2,..., (л-1)
(39.5)
§ 38.2.	Основное состоянио атома водорода
1.	Состояние электрона, обладаиидаго различными значениями орбитального кван-
тового числа, в атомной физике принято аблэпячап. и называть следующим образом
7=0 — /-состояние,
7=1 — р-состояние,
7=2 — d-состояиие,
7=3 — /состояние и т. д. в порядке следования букв латинского алфавита.
Рассмотрим более подробно /-состояние электрона в атоме водорода при л= 1.
Такое состояние электрона н атома называется основным. Волновая функция электрона
в этом состоянии является функцией только г ^=^(г), т. е /-состояние электрона
в атоме сферически-симметрично, плотность вероятности обнаружить электрон в дан-
ной точке атома будет зависеть только от г. Уравнение Шредингера для основного
состояния водород ного атома имеет вид
d> 2d* 2ж,/	г \
-4+-—+—I И^Ч--------к-0.
dr2 г de А? \	Диу/
(39.6)
Будем искать г**'"™* этого уравнения в форме
^=се
(39.7)
где По имеет размерность длины; с — некоторая постоянная, определяемая из условия
нормировки вероятности.
Дифференцируя ф и подставляя Аф/Аг н dbfrfdr1 в (39.6), получим после сокращения
на се
—=^i-
Последнее урядиаим удовлетворяется дли любых значений г при выполнении двух
условий.
»Fi-----
^2
2/ляао 4я<о
(39.8)
Из последнего условия следует, что
ф-A? 4Ke,/(mZ)-	(39.9)
Из сравнения (39.9) с (38.9*) вц&^ *по выражение (39.9) совпадает с первым боровским
радиусом по для атома водорода. Подставив (39.9) в (38.8), найдем
qoc	(39.10)
” «ннэтс
Сравнение (39.10)  (39.3) показывает, что мы получили значение энергии основного
состояния атома водорода, соответствующее л= 1.
542
2.	Найдем вероятность того, что элекфон в основ-
ном состоянии атома водорода находится на рас-
стоянии г от ядра, точнее — в интервале расстояний
от г до r+dr, т. е. * в шаровом слое объемом
dK—AjrPdr.
Вероятность обнаружить электрон в элементе
объема dV имеет вид
dH’=h/r|2dK>=[^|2 4nr2dr.
Подставим в эту формулу выражение (39.7) для
волновой функции основного состояния
dw=c2e~1',at 4кг3 dr.	(39.11)
Вычислим теперь те расстояния г— от ядра атома,	jjj
на которых с наибольшей вероятностью может ‘
быть обнаружен электрон. Для этого исследуем выражение dm/dr на максимум. Диф-
ференцируя функцию у3 е 1г1а* и приравнивая производную нулю, получаем г.—= До-
Этот результат является частным случаем более общего вывода:
бороаспю орбиты элокгроиа представляют собой гоометри-
чвекм место точек,  который с наибольшей вероятностью
может быть обнаружен алектрон.
По теории Бора, вероятность обнаружить электрон в состоянии с л= 1 отлична от
нуля для г=0о. Согласно же квантовой механике, эта вероятность лишь достигает
максимума при г*=По, но она отлична от нуля во всем пространстве. На рис. 39.1
сопоставлены вероятности обнаружить электрон на различных расстояниях от ядра по
теории Бора и по квантовой механике.
Э.	Из формулы (39.2) следует, что электрон, находящийся в атоме водорода в з-
сосгоянии, т. е. в состоянии с 1=0, имеет момент импульса, ранний нулю* £о*°0.
В теории Бора такое состояние соответствовало бы «маятнихообразной» орбите,
проходящей через ядро атома Квантовая механике приводит к возможности сущест-
вования Таких состояний электрона, в которых он не имеет момента импульса,
связанного с движением по орбите. Этот вывод относится к х-электрону в шобом
атоме.
§ 39.3. Приближенный метод квантования энергии электрона
а атоме водорода
1. Для произвольного состояния электрона, обладающего потенциальной энергией
1/(г)= —е2/(4я£</) в поле ядра атома водорода, решение уравнения Шредингера пред-
ставляет большие трудности. Вместе с тем очень важно получить энергетические
уровни W„ электрона в атоме водорода в форме (38.10).
Попытаемся качественно получить формулу (38.1(^до;методу, аналогичному тому,
который применен для гармонического осциллятора*. |уудам исходить из того, что на
эффективной длине в области, дозволенной «потенциальной ловушкой» (отрезки ab,
db', d'b" н т. д. на рис. 39.2), должно укладываться целое число полуволн де Бройля*.
Поскольку эффективная длина I зависит от энергии W, форма потенциальной кривой
определит квантование энергии. Из равенства потенциальной энергии на «стенках»
♦Выбор эффективной длины диктуется теми же соображшиями, что и в 9 37.9, н. 6.
543
потенциального ящика (потенциальной ловушки), т. е. в точках а, d, <f, b, Ь', Ъ" И т. д,
энергии W имеем
Ж.-=--------, или /,=------------
4я«о4	4iuq1F,
(39.12)
Эффективную длину волны де Бройля 2^ введем аналогично формуле (37.43):

(39.12Э
Для определения имеем соотношение
А1/(2жг>ф-Н'-<10
(39.13)
или
(39.14)
сводится к отысканию <{/>,
Задача
нельзя провести элементарными методами. Ес-
ли сделать упрощающе» предположение о том,
что электрон может с равной вероятностью
находиться в любом месте внутри «потенци-
альной ловушки», можно,сравнительно просто
(но не элементарным путем) подсчитать, что
<ю-э/зи;-
Предположим, что заряд электрона равномерно распределен внутри «потенциаль-
ной ловушки». Бесконечно малый заряд внутри сферического слоя радиусом г н толщи-
ной dr равен
которое
—edF — t 4т.ггАг — Зет4 dr
7гЧ* •/. Ч*

Потенциальная энергия этого слоя в доле ядра, заряд которого е, равна
dt7=d<? Ф=“ -
Зе’гйг
4моГ
Среднее значение потенциальной энергии
4.
<о
d(7=-	- I
J
о
Зе1 /а 3 «а
rdr= —	- = —	—
4ЯЮ/.1 2	2 4по/, 2
3
И'..
о
Теперь формула (39.13) принимает вид
(39.13')
С другой стороны,
-Ae^nAKtoW,),
Подставив в (39,13'), получим после сокращения
1
-
яаЛ’еа в3
(39.4")
544
2. Сравним эту формулу с выражением (39.4')- Как видно, зависимость энергии от
главного квантового числа и универсальных постоянных т, е, h получилась правиль-
ной. Единственное отличие от точной формулы состоит в том, что вместо восьмерки
в знаменателе стоит я1=9,98. Разумеется, приведенные рассуждения не следует считать
выводом выражения для энергии водородного атома. Их дель — иллюстрировать
зависимость энергий W„ от формы потенциальной кривой и показать, что электрон,
обладающий волновыми свойствами и движущийся в кулоновском поле ядра в атоме
водорода, имеет квантованные значения энергии !¥„, обратно пропорциональные квад-
рату главного квантового числа л1.
§ 39.4. Пространственное квантование.
Спин электрона
1.	Известно, что орбитальный момент импульса электрона L/ и пропорциональный
ему магнитный момент Рш ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты элект-
рона и направлены в противоположные стороны. Между векторами Рш и L/ существует
связь (§ 24.1)
Pm=yL,= -eL;/(2mr),	(39.15)
где у=—e/(2mr) — орбитальное гиромагнитное отношение; тс — масса электрона. На-
помним, что аналогичная связь существует между магнитным моментом и механичес-
ким моментом импульса атома в целом. Указанная связь векторов Рш и L/ выводится
в классической физике и сохраняется в теории Бора. В квантовой механике, естествен-
но, не может быть указана ориентация векторов L/ и рш относительно плоскости
электронной орбиты. Для указания ориентации векторов L; и Рш должно быть выбрано
некоторое направление в пространстве, и расположение вектора L/ фиксируется углом
между вектором L; и направление^, за которое выбирается направление любого
внешнего магнитного поля, в котором находится атом и его электроны, либо внутрен-
него магнитного поля, созданного всеми электрокамин (кроме рассматриваемого)
и ядром атома. В классической физике предполагалось само собой разумеющимся, что
вектор L/ (или Рш) может быть ориентирован относительно Избранного направления
магнитного поля произвольным образом. На этом естественном предположении ос-
новывалась классическая теория парамагнетизма П. Ланжевена.
2.	На языке теории Бора возможность любых ориентаций вектора означает, что
плоскость орбиты электрона может быть ориентирована произвольно по отношению
к внешнему магнитному полю. Однако такое предположение было ошибочным. Оказа-
лось, что существует так называемое пространственное квантование:
момент импульса электрона может иметь лишь такие ориен-
тации в пространства, при которых проекция L& вектора L/ на
направление Z внешнего поля принимает квантованные зна-
чения, кратные Я.
Этот результат впервые был получен как следствие обобщенных А. Зоммерфельдом
правил квантования Боровских орбит. В квантовой механике строго доказано, что
проекция Lb вектора L/ орбитального момента импульса электрона на направление
Z внешнего магнитного поля принимает лишь целочисленные значения h
Lb=mh,	(39.16)
где m=0, ± 1, ±2, ± 3.± I — магнитное квантовое число (/ — орбитальное квантовое
число, определяющее модуль вектора L;). Таким 'образом, вектор L; может принимать
545
Рис 38 3	Рис 39 4
21+1 ориентаций в пространстве. На рис. 39 3 приведены возможные ориентации
векторов L/ для электронов в р- и «/-состояниях (/= 1 и /=2).
3.	О. Штерном и В. Герлахом были поставлены опыты (1922), целью которых яв-
лялось измерение магнитных моментов рщ атомов различных химических элементов.
Для определения моментов L; и рщ одного электрона опыты должны быть поставлены
с атомами, у которых орбитальные механические (и магнитные) моменты всех электро-
нов, кроме одного, взаимно компенсируют друг друга. Такими атомами являются
атомы химических элементов, образующие первую группу периодической системы
Менделеева и имеющие один валентный электрон на внешней оболочке.
Идея опытов Штерна и Герлаха заключалась в измерении силы, действующей на
атом в неоднородном магнитном поле. В таком магнитном поле на атом должна
действовать сила
dB
(39.17)
dr
Здесь В — индукция магнитного поля (направленная вдоль оси Z), неоднородного
только вдоль этой же оси.
Опыты Штерна и Герлаха обнаружили ошибочность классического предположения
о том, что магнитный момент рщ и механический момент импульса L, атома произ-
вольно ориентируются относительно направления внешнего поля, и подтвердили нали-
чие пространственного квантования. Схема первых опытов Штерна и Герлаха изоб-
ражена иа рис. 39.4.
В трубке, где был создан вакуум порядка 10"’ мм рт. см, помещался источник пучка
атомов — нагреваемый до высокой температуры серебряный шарик К. Атомы серебра вылетали
с его поверхности со средней тепловой скоростью порядка 100 м/с, соответствующей температуре
испарения серебра. Из этих атомов прн помощи щелевых диафрагм В вырезался узкий пучок,
проходящий через сильное и неоднородное магнитное поле, направленное перпендикулярно пучку
Основная трудность опыта состояла в том, чтобы достигнуть такой большой неоднородности
магнитного поля, которая сказывала га» бы на расстояниях порядка размеров атома Прн такой
величине неоднородности поля, как показывает формула (39 17), можно было рассчитывать
получить значительную отклоняющую силу F, действующую на атом в магнитном поле Необ-
ходимая неоднородность поля была достигнута в результате применения сильного электромаг-
нита SN с полюсными наконечниками специальной формы Приемни-
ком атомов серебра служила фотопластинка А.
4.	Если бы момент импульса L, атома (и его магнитный
момснт Pm) МОГ принимать произвольные ориентации в маг-
’’нитном поле, то можно было бы ожидать непрерывного рас-
предсления попаданий атомов на ппастилку с большей пдот-
ностью попаданий в середине пластинки и меньшей плотно-
ЗкжН стью к ее краям. Опыты, проведенные с серебром и атомами
других элементов периодической системы, Ьривели к совер-
Рис 39.5 шенно другому результату. На рис. 39.5 показана фотография
546
результата опыта Штерна и Герлаха с литием. Из рисунка видно, что на фотопластинке
получились две резкие полосы все атомы отклонялись в магнитном поле двояко, что
соответствовало лишь двум возможным ориентациям магнитного момента во вне-
шнем поле. Момент импульса атома (и его магнитный момент) равен суммарным
моментам электронов, поскольку магнитные моменты ядер значительно меньше по
модулю, чем магнитные моменты электронов. Последние совпадают с суммарными
моментами валентных электронов, так как моменты электронов заполненных оболочек
компенсируются.
У лития и других атомов первой группы периодической системы имеется один
валентный оптический электрон. Таким образом, моменты импульса и магнитные
моменты таких атомов совпадают с моментами электрона.
5.	Если подставить выражение (39.2) в (39.15), то связь величин рт и Lt можно записать
в виде
Ап = / L;=v//(/+l) *А=Дб^('+П.	(39-18)
2/пе	2mt
где	= ety(2nt,)=9,274 10"24 Дж/Тл магнетон Бора.'Таким образом, магнитный
момент может содержать некоторое число ^//(/+1) магнетонов Бора.
По известной величине dB/dz неоднородности магнитного поля, направленного по
оси Z, и по определенной из отклонения атомов в магнитном поле силе F, действующей
на атом, можно, пользуясь формулой (39.17), найти р„и- Для серебра Штерн и Герлах
получили, что проекция магнитного момента атома на Направление поля численно
равна магнетону Бора. По оценкам исследователей, относительная погрешность в опре-
делении магнитного момента не превышала 10%. Результаты этих опытов, впоследст-
вии проверенные на других атомах элементов первой группы периодической системы,
не вызывают ни малейшего сомнения. Таким образом, опыты Штерна и Герлаха не
только подтвердили пространственное квантование моментов импульса в магнитном
поле, но, кроме того, экспериментально подтвердили вывод о том, что магнитные
моменты электронов и атомов состоят из некоторого числа «элементарных моментов»,
т. е. имеют дискретную природу, связанную с квантованием момента импульса.
Магнитные моменты электронов и атомов выражаются в магнетонах Бора.
6.	Важной особенностью атомов первой группы элементов таблицы Менделеева,
с которыми ставились вначале опыты Штерна и Герлаха, является то, что валентный
электрон в основном состоянии атома имеет орбитальное квантовое число, равное
нулю, т. е. электрон находится в ^-состоянии. Атомный пучок в опытах содержал
атомы, находящиеся в основном состоянии. Однако в состоянии с /=0 электрон не
имеет момента импульса, как это следует из формулы (39.2)*. Поэтому возникает
серьезный вопрос об истолковании результатов опытов Штерна и Герлаха. Простран-
ственное квантование какого момента импульса обнаружилось в этих опытах и проек-
ция какого магнитного момента равна одному магнетону Бора? Ранее Эйнштейн и де
Гааз обнаружили аномальное значение гиромагнитного отношения для ферромаг-
нетиков. Для объяснения этих результатов нужно предположить, что у электрона
помимо орбитального момента импульса L/ и соответствующего ему магнитного
момента рщ имеются собственный механический момент импульса L,, называемый
сипом электрона, и соответствующий ему собственный магнитный момент Рпи- Пред-
положение о существовании спина было высказано (1925) С. Гаудсмитом и Дж.
Уленбеком в связи с целым рядом трудиостей в атомной физике, накопившихся к тому
времени. Одной из них, и притом очень важной, явилась трудность с истолкованием
результатов опытов Штерна и Герлаха.
7.	Уленбек и Гаудсмит дали спину электрона наглядное модельное истолкование,
заключающееся в том, что спин рассматривается как момент импульса, связанный
с вращением электрона - заряженного шарика — вокруг своей оси. Однако можно
*Если даже предположить, что при нагревании источника пучка атомов последние перехо-
дили в возбужденные состояния, то следует учесть, что в возбужденном состоянии атомы
находятся в среднем 10~* с, а затем переходят в нормальное состояние.
547
показать, что такое представление о спине приводит к противоречию с, теорией
относительности. Оказывается, что для того, чтобы вращающийся вокруг своей оси
электрон-шарик приобрел магнитный момент, равный одному магнетону Бора, уг-
ловая скорость вращения должна быть такой, чтобы линейная скорость на поверхности
сферы в 200 раз превосходила скорость света в вакууме.
В самом деле, предположим, что электрон представляет собой шарик с некоторым
радиусом г. Величину этого «классического» радиуса электрона мозкно Оценить, прира-
вняв потенциальную энергию заряженного шарика его собственной энергии
е2/(4леог)=тгс2. Отсюда следует, что классический радиус электрона
г=е2/(4я£от<с1)=2,81 10-15 м.
Если шарик радиусом г с моментом инерции J= г)5т^г1 вращается с угловой скоростью
CD=v/r, то, приравнивая момент импульса Ju спину электрона, получим
2/smevr= */2Л.
где v линейная скорость на экваторе шарика. Простая оценка показывает, что при
этом
« = 5^(4?иег)»200 с,
а это находится в очевидном противоречии с теорией относительности. Модельное
представление о спине при всей его наглядности не выдерживает критики и к нему не
следует привыкать.
Спин электрона и других элементарных частиц рассматривают как некоторое
особое свойство этих частиц: подобно тому как частицы имеют массу, а заряженные
частицы — заряд, они имеют еще и спин. Заметим, что в дальнейшем развитии
квантовой механики Дираку удалось показать, что существование спина вытекает из
полученного им релятивистского волнового уравнения.
8.	Если приписать электрону собственный момент импульса L, (сокращенно — спино-
вый момент, или просто спин), то с ним оказывается связанным некоторый собствен-
ный магнитный момент Рпи электрона. Из общих выводов квантовой механики следует,
что спин должен быть квантован по закону
(39.19)
где л — квантовое число, называемое спиновым квантовым числом. Проекция La спина
на ось Z, совпадающую с направлением внешнего магнитного поля, должна быть
квантована и вектор L, может иметь 2s+1 различных ориентаций в магнитном поле.
Из опытов Штерна и Герлаха следует, что для спина электрона таких ориентаций
существует всего 2, так что 2г+ 1 = 2, т. е. г= */2.
Для атомов первой группы пджодической системы, валентный электрон которых
находится в состоянии с 1=0, момент импульса всего атома равен спину валентного
электрона. Поэтому обнаруженное для таких атомов пространственное квантование
момента импульса атома в магнитном поле явилось доказательством наличия у спина
лишь двух ориентаций во внешнем поле*.
Спиновое квантовое число в отличие от введенных ранее трех квантовых чисел —
главного rt, орбитального I и магнитного т — не является целым числом. Числовое
значение спина электрона найдем по формуле
L--7iG+,W‘	°’-20’
♦Дальнейшие опыты, проведенные с атомами, содержащими электроны в р- и более
высоких энергетических состояниях, подтвердили существование пространственного квантования
орбитальных моментов импульса.
548
По аналогии’ с пространственным квантованием орбитального момента импульса
электрона L/, проекция La вектора L, на направление внешнего поля должна быть
квантованной величиной и определяться по формуле, аналогичной (39.16):
£в=щЛ	(39.21)
где число т, может иметь всего два значения*: mJ=±i/2. Таким образом, проекция
спинового механического момента импульса на направление поля может принимать
два значения:
LB=±1/2h	(39.22)
Часто полагают, что спин электрона может быть ориентирован либо Вдоль направле-
ния напряженности магнитного поля, либо противоположно вектору Н. Такое обще-
принятое словоупотребление неточно: говоря о направлении спина, при этом в дейст-
вительности имеют в виду направление его составляющей Le.
В. Из опытов Штерна и Герлаха следует, что проекция собственного магнитного
момента электрона равна плюс или минус магнетон Бора
Рш» = ± Дб = ± efftlmj.	(39.23)
Часто считают, что собственный магнитный момент электрона равен магнетону Бора.
Это тоже неточность: говоря о магнитном моменте, при этом в действительности
имеют в виду абсолютное значение его проекции на направление магнитного поля.
Из формул (39.22) и (39.23) видно, что
PnjtILs = -	~ Ь-	(39.24)
Очевидно, что отношение числовых значений проекций векторов, направленных во
взаимно противоположные стороны, равно отношению числовых значений самих
векторов:
PmJL,=elme=yn	(39.25)
или в векторной записи
Рт>=	(39.25')
где y,=e/mt— спиновое гиромагнитное отношение, у, вдвое превышает орбитальное
гиромагнитное отношение у, (однозначно установлено при определении у,). Это позво-
лило выяснить спиновую природу магнитных свойств ферромагнетиков и создать
современную теорию ферромагнетизма.
§ 39.5. Принцип Паули
1. В. Паули установил (1925) квантово-механический закон, называемый принципом
Паули или принципом исключения. В своей простейшей формулировке он гласит:
в любом атома на может быть двух мектроиоа, находящихся
в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых
набором четырех квантовых чисел: главного л, орбитального I,
магнитного т и спинового т,
♦Число та по аналогии с т можно было бы назвать магнггным епмоаым числом. Однако
такое название обычно редко применяется. Число т, отличается от j только тем, что может
принимать два значения: не только +1/j, но и — 1/2. Гораздо чаще, говоря о спиновом квантовом
числе, понимают под ним число та, т. е. приписывают опиновому квантовому числу значения
+ */2. Следует, однако, помнить, что число j имеет только одно значение: т=1/2.
549
Применительно к системе электронов в атоме принцип Паули можно записать
следующим образом:
Z| (л, I, т, т,)=0 или 1,	(39.26)
где Z| (л, I, т, т,) — число электронов, находящихся в состоянии, описываемом набо-
ром квантовых чисел я, /, т и тг Пользуясь принципом Паули, можно найти ьвк-
симальное число электроне» в атоме, имеющих заданные значения трех (л, I, т), двух
(л, /) и одного (л) квантовых чисел. Найдем максимальное число 7^ (л, I, т) электронов,
находящихся в состояниях, определяемых набором трех квантовых чисел (л, /, т), т. е.
отличающихся лишь ориентацией спинов электронов. Так как число т, может прини-
мать лишь два значения, т. е. + */, и — ’/i. то, очевидно, имеем
Z2(h, 1,т)=2.	(39.269
Вычислим далее максимальное число электронов Z3(h, /), находящихся в состояни-
ях, определяемых двумя квантовыми числами, л и /. Так как при заданном числовом
значении Li вектор момента импульса L* может иметь 21+1 различных ориентаций
в пространстве, то число электронов равно
Z3(B,Z)=2(2/+1).	(39.27)
Значения Z3(n, Z) для разных I приведены в табл. 39.1.
Таблица 391
Значение орбитального квантового числа /	0	1	2	3	4
Символ соответствующего	5	Р	d	/	g
состояния электрона					
Максимальное число	2	6	10	14	18
электронов Z3 (л, 1)					
Наконец, найдем, пользуясь принципом Паули, мягчима тп.пле число Z(h) электро-
нов, находящихся в состояниях, определяемых значением л главного квантового числа.
Гак как I при заданном л изменяется от 0 до л—1, то, суммируя Z3 (л, /) по /от О до л— 1,
получим
/Я“1
Z(n> £ 2(2/+1)=[2(л—1)+2]л=2л2.	(39.28)
1-0
В табл. 39.2, Составленной на основе предыдущих формул, приведены максималь-
ные числа электронов, обладающих в атоме заданными значениями квантовых чисел.
Таблица 39.2
Заданные квантовые л,1,т,т, п, 1,т	п,1 п
числа
Макошальное число 1	2	2(22+1)	2л5
электронов
550
В табл. 39.3 приведены максимальные числа электронов, находящихся в состояниях,
характеризуемых данными значениями главного л и орбитального I квантовых чисел.
Таблица 39.3
Слой	Число электронов в состояниях				Макси- мдлыюе чвсло электро- нов
	(/-0)	Р (/-1)	а Ц-2)	f	g (Z-3)	(Z-4)	
К	2	—	—	— —	2
L	2	6	—	— —	8
М	2	6	10	— —	18
N	2	6	10	14	—	32
О	2	6	10	14	18	50
Принцип Паули сыграл выдающуюся роль в развитии современной атомной
и ядерной физики. Так, например, удалось теоретически обосновать периодическую
систему элементов Менделеева. Без принципа Паули невозможно было бы создать
квантовые статистики и современную теорию твердых тел.
§ 39.6. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева
1. В 1869 г. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физичес-
ких свойств элементов в зависимости от их атомных масс. Если расположить химичес-
кие элементы в порядке возрастания их атомных масс, то периодически, через правиль-
ные промежутки, называемые вераодямн, элементы, оказавшиеся в таблице Менделеева
в одном вертикальном ряду (грушк элементов), обнаруживают сходые физико-хи-
мические свойства. Однако сам Менделеев, расположив известные в его время 64
химических элемента в таблицу, отражающую периодическое изменение химических
свойств элементов, был в ряде случаев вынужден отступить от принципа возрастания
атомных масс. Менделеев ввел понятие о порядковом номере элемента, и, расположив
химические элементы в порядке возрастания их номера, получил полную периодич-
ность в изменении химических свойств элементов. При этом часть клеток периодичес-
кой таблицы осталась свободной, так как соответствующие им элементы тогда еще не
были известны. Таким образом, Менделееву удалось на основании открытого им
закона предсказать ряд новых химических элементов (галлий, скандий, германий и др.)
и описать их химические свойства. В дальнейшем все эти элементы были открыты,
и предсказания Менделеева полностью подтвердились. Менделееву удалось также
внести уточнения в значения атомных масс и некоторые свойства ряда элементов.
Атомные массы бериллия, титана, церия и урана, вычисленные на основе закона
Менделеева, оказались правильными, а экспериментальные данные о них, полученные
до этого, — ошибочными. Это явилось подлинным триумфом закона Менделеева.
Являясь одним из важнейших законов природы, периодический закон Менделеева
составляет основу современной химии, атомной и ядерной физики.
2. Физический смысл порядкового номера Z элемента в периодической системе эле-
ментов был установлен в ядерной модели атома Резерфорда: Z совпадает с числом
положительных элементарных зарядов в ядре, закономерно возрастающих на единицу
при переходе от предыдущего элемента к последующему. Химические свойства элемен-
тов и ряд их физических свойств объясняются поведением внешних, валентных, элект-
ронов их атомов. Поэтому периодичность свойств химических элементов должна быть
связана с определенной периодичностью в расположении электронов в атомах различ-
ных элементов. Важнейшей задачей физики явилось теоретическое истолкование пери-
одического закона Менделеева и объяснение строения,периодической системы. Основы
теории периодической системы были разработаны в квантовой теории еще до появле-
ния современной квантовой механики. Теория периодической системы основывается на
следующих положениях:
551
в) порядковый номер химического элементе равви общему
числу электронов в атома данного элементе;
б) состояние электронов е атоме определяется набором их
квантовых чисел n,L, т и тг Распределение электронов в ато-
ме по энергетическим состояниям должно удовлетворять при-
нципу минимума энергии стоив: с возрастающем «ела элект-
ронов каждый следующий электрон должен занять возмож-
ное энергетическое состояние с наименьшей энергией;
в) заполнение электронами энергетических состояний  атоме
должно происходить в соответствии с принципом Паули.
3.	Электроны в атоме, занимающие совокупность состояний с одинаковым значением
главного квантового числа л, образуют электронный слой. В зависимости от значений
л различают следующие слои: К при л=1, L при п=2, М при л=3, N при п=4, О при
л=5 и т. д.
Из формулы (39.28) определяют максимальное число электронов, которые могут
находиться в слоях: в JC-слое — 2 электрона, в слоях L, М, N и О — соответственно 8,
18, 32 и 50 электронов (см. табл. 393).
В каждом из слоев электроны распределяются по оболочкам, каждая из которых
соответствует определенному значению орбитального квантового числа I. Максималь-
ное число электронов, находящихся b состоянии, определяемом значением I орбиталь-
ного квантового числа, дается формулой (39.27) и приведено в табл. 39.1.
В атомной физике принято обозначать электронное состояние в атоме символом л,
I, указывающим значения двух квантовых чисел. Электроны, находящиеся в состояни-
ях, характеризуемых одинаковыми квантовыми числами пи/, называются эквввалагг-
нымв. Число г эквивалентных электронов указывается показателем степени в символе
п/ . Если электроны находятся в некоторых состояниях с определенными значениями
квантовых чисел л и /, то считается заданной электронная конфигурация. Например,
основное состояние атома кислорода можно выразить следующей символической
формулой*:
1л2, 2s2, 2р*.
Она показывает, что два электрона находятся в состояниях с и=1 и 1—0, два
электрона имеют квантовые числа п= 2 и 1=0 и четыре электрона занимают состояния
с и«2 и 1= 1.
4.	Изложенных выше сведений достаточно для обоснования строения периодической
системы элементов Менделеева. Однако для полного описания состояния атома этих
сведений недостаточно. Порядок заполнения электронных состояний в слоях атомов,
а в пределах одного слоя в оболочках должен соответствовать последовательности
расположения энергетических уровней с данными пн/. Сначала заполняются состояния
с наименьшей возможной энергией, а затем состояния со все более высокой энергией.
Для легких атомов этот порядок соответствует тому, что сначала заполняется слой
с меньшим п и лишь затем должен заполняться электронами следующий слой. В пре-
делах одного слоя сначала заполняются состояния с 1=0, а затем состояния с бдльшим
/, вплоть до /=п — 1. Подобная идеальная система элементов должна была бы иметь
строение и длины периодоц (т. е. число элементов в одном периоде), соответствующие
табл. 39.3. Реальная периодическая система элементов Менделеева отличается от
идеальной системы.
5.	Для того чтобы понять различия между табл. 39.3 и реальной периодической
системой элементов, следует учесть, что каждый электрон находится в поле ядра
и в поле всех остальных электронов, взаимодействующих между собой. Задача об
энергетическом состоянии электрона, движущегося в столь сложном поле, является
очень трудной в квантовой механике.
•Обоснование такого заполнения электронами состояний в нормальном (невозбужденяом)
атоме кислорода см. в п. 4 — 6.
552
Для решения задачи о распределении электронов в атомах химических элементов
по состояниям атом каждого последующего элемента можно приближенно представ-
лять себе образованным из атома предыдущего путем прибавления к ядру одного
протона (и необходимого числа нейтронов) и одного электрона, находящегося на
периферии атома. При этом, согласно Бору, распределение электронов по состояниям,
имеющееся в атоме данного элемента^ должно соблюдаться и в атоме следующего
элемента (в этом состоит важнейшая идея принципа построения системы, предложен-
ного Бором еще до появления принципа Паули). Однако учет взаимодействия между
электронами приводит к нарушению этдго положения. Взаимодействие между электро-
нами приводит к тому, что для достаточно больших главных квантовых чисел л состоя-
ния с большим и и малым I могут иметь метшую энергию, т. е. быть энергетически
более выгодными, чем состояния с меньшим л, но с большим I. В этом состоит причина
отступления в заполнении состояний в реальной периодической системе элементов от
заполнения, соответствующего табл. 39.3.
8.	Рассмотрим кратко последовательность заполнения электронами состояний в атомах некото-
рых химических элементов, находящихся в основном состоянии, В атоме водорода единственный
электрон находится в состоянии 1s, характеризуемом квантовыми числами л=1, /«»0, т»0. При
этом проекция его спина на направление внешно'о поля характеризуется спиновыми числами
тг= ± 7,. В атоме гелия имеется два электрона. Второй электрон этого атома также может
находиться в состоянии 1s, т. е. при л=1, /=0, т=0, но спин второго электрона должен быть
ориентирован противоположно спину первого (для одного из них т, — ’/з. для другого да,= —1/^)
Группа состояний с л» 1, М, m»0 и т,— ± ’/з образует Заполненный К-слой атома, соответст-
вующий завершению первого периода периодической системы Менделеева.
Следующий по порядку атом лития содержит три электрона. Но, по принципу Паули, третий
электрон атома лития уже не может разместиться в целиком заполненном К-слое и занимает
наинизшее энертетическое состояние в слое с л—2 (L-слой). Таким состоянием является состояние
2s (л=2, М, м”0). Литием начинается второй период периодической системы.
Четвертый электрон бериллия (Z—4) занимает также состояние 2s, а пятый электрон бора
(Z=5) должен уже занять энергетически более высокое состояние 2р (л—2,1= 1).
Электроны всех атомов вплоть до неона (Z=10) размещаются в оболочке с 1= 1 и л=2.
У неона таких электронов 6, т. е. число, максимально возможное для такого состояния. Таким
образом, L-слой неона оказывается полностью застроенным, и на этом элементе завершается
второй период периодической системы Менделеева.
11-й электрон натрия (Z= 11) размоцается уже в M-слое (л=3), занимая низшее состояние 3s.
Далее, вплоть до аргона (Z=18), идет последовательная застройка M-слоя. Она заканчивается
заполнением всех состояний оболочки Зр у аргона, завершающего третий период периодической
системы.
7.	19-Й электрон калия (Z= 19) должен был бы занять состояние 3d в АГ-слое. Однако химические
и оптические свойства калия, как показывает опыт, аналогичны свойствам Li и Na, у которых
валентный электрон находится в з-сосгоянии. Поэтому и у К его 19-й валентный электрон должен
находиться в s-состоянин. Но это может быть только ^-состояние уже в следующем N слое
(л=4) — состояние 4s. Таким образом, начиная с калия при незаполненной ЗгЛоболочке М-слоя
начинается застройка N-слоя. Это означает, что вследствие взаимодействия между электронами
энергия И-д о электрона в состояли 4s меньше, чем энергия W-ц, которую он имел бы в состоянии
3d Спектроскопические и химические свойства кальция (Z=20) показывают, что его 20-й электрон
также размещается в состоянии 4s N-слоя. Начиная со схаддия (Z*»21) возобновляется нормаль-
ное заполнение оболочки 3d, которое заканчивается у меди (Z">29). Далее, до Криптона (Z—36)
происходит нормальное заполнение N-слоя. Криптон завершает четвертый период периодической
системы элементов. Элемент рубидий (Z=37), следующий за криптоном, по своим свойствам
аналогичен атомам щелочных металлов Na и К. Поэтому его валентный 37-й электрон размеща-
ется не в N-слое, который еще не достроен, а в следующем О-слое (л—5), т. е находится
в состоянии 5s. У атома стронция (Z=38), который по своим свойствам аналогичен кальцию,
электрон также занимает состояние 5s. Начиная с иттрия (Z ~ 39) и до палладия (Z=46) заполняет-
ся оболочка 4d, при этом изменяется число электронов в состоянии 5s от двух у иттрия до
0 у палладия. У серебра (Z=47) и кадмия (Za>48) вновь застраивается оболочка 5s. Начиная
с индия (Z=49) и до ксенона (Z—54), завершающего пятый период, происходит застройка
оболочки 5р. С цезия (Z=55) начинается заполнение P-слоя (л»6).
8.	У группы редкоземельных элементов [от лантана (Z=57) до лютеция (Z=71)], называемых
лаигвядамл, обнаруживается сходство химических и ряда физических свойств Эго связано
с особенностью порядка заполнения состояний электронами атомов этих элементов. У лантана
оболочки 5s, 5р и рз целиком заполнены и 57-й электрон лантана находится в состоянии 5d, в то
время кал глубокая оболочка 4/не заполнена электронами. У атомов элементов от церия (Z—58)
553
яр лютеции (Z—71) цюнсходп мпоажям это* оболочки, а ваших оболочка би остастсж без
амаигми. Эгш  обияавтсж таждествепостъ химических саобств лажтаидов.
Начхай с гафеля. (2—72) происходят застройка оболочка Sd,	у одновалент-
ного золота (2-79) У ртути (Z—80) заканчивается за по шмале оболочка 64, а начини с гили
(Z—81) в до радова (Z—86), заввргазощаго шестой период периоедчвсжой системы змысжтов,
□роисходит заполнение оболочка fy У фракцжх (Z—87) и ради (Z—88) заполняется оболочка 7л
С-ало ж.
й. Второй группой редкоземельных элементов янлнютея акпшш. Эта груши элементов, начи-
няющаяся с актинах (Z—89), простирается до элемента с атомным номером 103 а содержат
заурановые элементы: нептуний (Z—93), плутоний (2—94), аыершщй (Z—95), парий (Z—96) и Др
В честь двух велгайших физике» вашего столети два злпеента этой группы названы эйнштейний
(2—99) а фермий (Z—100) 101-й элаеет был назван менделевием в честь создателе шрподичес-
кой системы элммигов Д. И. Менделеева. Элементы 102-й а 103-й назваш соответственно
нобелием а лоуршжм По поводу —ч—д* элементов со 104-го по 109-й окончательного
международного соглашени пси нет. Все актиниды отличаются заполнением оболочки 5/,
а Миши— кх электроны находятся в состокихх, аналогичном состояниям лантанидов
Из всех» изложенного выше следует, что гжриодячноегь хнмишехих свойств злшентов
объясняется повторааеостыо эцеатионных конфигураций во инишми! электронных оболочки
у атомов родственных элементов, теоретическое обьяснсяше периодического закона Мсцдеж-
ева — одного нз нежнейших законов естествознаии — явилось величайшим достижением со-
временной физики
§ 39.7. Излучение и norneiqemw свете
1.	Мы рассмотрели на основе постулатов Бора вопрос об излучении спектральных
линий атомом, находящимся в возбужденном состоянии, а также поглощение залуче-
нии, которое падает на атом. Квантован механика позволила объяснить эти процессы
в полном согласии с опытом и вагрыла смысл постулатов Бора.
Предположим, что электрон в водородоподобиой системе* находится в некотором
энергетическом состоянии, характеризуемом главным квантовым числом п Волновая
функция электрона в этом состоянии, согласно формулам (37 18) и (37-23), имеет вцд
Т,(х, у, z,	у, z)e 'ww*.
(3929)
Вероятность нахождения электрона в элементе объема dK внутри атома
Если учесть (3929), то она будет равна |^„(х, у, z)|1dK Таким образом, в квантовом
состоянии, характеризуемом квантовым числом п, вероятность местоположения элект-
рона в атоме не зависит от времени и не изменяется с течением времени Электрон
в таком состоянии с классической точки зрения не совершает колебаний и не излучает
энергию Его энергия W„ не изменяется. Энергетическое состояние электрона, харак-
теризуемое определенной энергией WK является стяедоняриым. Находясь в этом состо-
янии, электрон не излучает энергии Это есть не что иное, как первый постулат Бора
о наличии у атома стационарных состояний, находясь в которых электроны атома не
излучают.
2.	С точки зрения квантовой механики стационарное состояние атома должно со-
храняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии
атома. Однако опыт показывает, что атом, находящийся в возбужденном энергетичес-
ком состоянии, сам собой переходит в нормальное, невозбуждениое состояние, излучая
слет.
Излучение, происходящее в отсутствие внешних причин, изменяющих энергию
атома, называется гпмгифсмпво in мм или снипишакм кзлучешем.
Для строгого объяснения спонтанных переходов атома из высших энергетических
состояний в низшее недостаточно одних законов квантовой механики и приходится
прибегать к квантовой электродинамике, в которой рассматриваются с общей точки
зрения законы возникновения и исчезновения электромагнитного поля.
•Ограничение водородоподобной системой не уменьшит общности тех результатов, о кото-
рых идет речь в параграфе, и приводится лишь ди простоты и сопоставлена С теорий Бора.
554
Однако задолго до создания квантовой электродинамики* Эйнштейн создал (1916)
теорию излучения, базирующуюся на законах сохранения энергии и импульса при
взаимодействии квантовых систем с электромагнитным полем. Рассмотрим, согласно
Эйнштейну, спонтанное излучение атома. Если атом в некоторый момент времени
t находится в квантовом состоянии л и обладает энергией W„, то под действием
внутренних воздействий, механизм которых невозможно детально проследить, атом
может самопроизвольно перейти в некоторое состояние т, характеризуемое меньшей
энергией IFm**. Введем вероятность Ат того, что в течение 1 с осуществляется
спонтанный переход атома из состояния л в состояние т. Величина Ат называется
козффмч и ши Эйнштейна для сповтапого плучешш. Введение ее обусловлено тем,
что самопроизвольный переход из состояния л в состояние т может и не произойти,
так как в соответствии с выводами квантовой механики атом может оставаться еще
некоторое время в состоянии л. Если N„ есть число атомов, находящихся на энер-
гетическом уровне в момент времени /, то число —dA', атомов, перешедших за
промежуток времени от t до l+dl в состояние т, пропорционально вероятности
Ат спонтанного перехода, числу атомов N, и промежутку времени d£
-dN„=AmN„dt.
Знак минус указывает на убыль числа атомов на уровне л.
После интегрирования получим
N„=Nltp-Am‘,	" (39.30)
где — число атомов на уровне л в начальный момент времени 1=0.
Каждый переход из состояния л в состояние т сопровождается излучением кванта
света (фотона) с циклической частотой си^,, определяемой правилом частот Бора:
Энергия, испускаемая за время dl,
dH^=fia)m IdN^hu^A^N.dt.
Интенсивность излучения, т. е. энергия, испускаемая в единицу времени,
ZdH	(39.31)
dl
где /о=^итАшял|Уяо — начальная интенсивность излучения (при /=0).
Назовем средней продолжительностью жизни т„ атома в возбужденном состоянии
время, в течение которого число атомов NM, первоначально находившихся на возбуж-
денном уровне л, уменьшается в е раз:
Nn-N^/c.
Из формулы (39.30) видно, что Af„o/e=2VM)e После сокращения на получим
Аття= 1, т. е.
г.=1/4г	(39.32)
•Последовательная теория излучения и поглощения света была развита впервые П. Дира-
ком (1927).
••Спонтанный переход, как правило, совершается в нормальное, невозбужденное состояние,
в котором атом имеет наименьшую энергию.
555
Таким образом, коэффжцми- Эйштйня Ат имеет ясный физический смысл: это
величина, обратная среднему времени жизни атома в возбужденном состоянии.
С учетом (39.32) формулу (39.31) можно переписать:
/=10е~‘1,я.	(39.33)
Проверка экспоненциального закона (39.33) убывания интенсивности излучения
и измерение величины г„ были осуществлены Вином в опытах со свечением каналовых
лучей. Вин изучил свечение пучка каналовых лучей, распространяющихся в пространст-
ве со столь высоким вакуумом, что соударений между частицами ж происходило
и возбужденные частицы Высвечивались только за счет конечности времени жизни
возбужденного состояния. Вин измерял для отдельной спектральной линии убывание
интенсивности вдоль пучка лучей, прошедших со скоростью v некоторый путь х, так
что t=xjv. Величина т„ определялась из формулы (39.33) по известным значениям
интенсивностей /0 и I-
Для линии водорода На (2=6562 А) получилось, что тя=1,5*10~8 с; для линии
ртути Hg (2=2537 А) т„=9,8 10-8 с. Порядок величины т„«10~в с является характер-
ным для времени нахождения атомов в возбужденном состоянии, после чего они
спонтанно переходят в нижераснодоженные энергетические состояния. Конечность
времени жизни т„ атома в возбужденном состоянии приводит к тому, что энергия
W„ атома в возбужденном состоянии может быть найдена лишь с некоторой неоп-
ределенностью ЛИ''„, вытекающей из соотношения неопределенностей Гейзенберга:
Величина ДИ/„=ГЯ называется естественной ппцнпой энергетического уровня W„. Значе-
ние Ы¥„ или т„ определяет естеспепую ширину tnvm спектральной линии при переходе
с уровня п на уровень т; по правилу частот Бора,
что соответствует Д2~ 1б“*А
Помимо естественной ширины спектральных линий существуют другие причины,
приводящие к уширению спектральных линий. Например, ударное уширение связано
с тем, что в результате соударений возбужденных атомов уменьшается время жизни
атома в возбужденном состоянии и спектральная линия уширяется. Второй причиной
дополнительного уширения является эффект Доплера. Вследствие того, что излуча-
ющие возбужденные атомы движутся в различных направлениях и с различными
скоростями, возникает доплеровское уширение спектральной линии.
3.	Если атом находится в пространстве, где имеется электромагнитное поле, то,
согласно Эйнштейну, между атомом и полем происходит взаимодействие, определя-
емое законами сохранения энергии и импульса. В классической электродинамике
доказывается, что диполь, находящийся в электромагнитном поле падающей на него
волны, может в зависимости от соотношения фаз между собственными колебаниями
диполя и колебаниями поля в волне либо поглощать энергию из поля, либо отдавать ее
полю в виде вынужденного излучения. В пошкднем случае говорят об отрицательной
абсорбция света в отличие от обычного поглощения (положительная абсорбция). Эйнш-
тейн показал, что атом, находящийся в электромагнитном поле, обладает свойствами,
аналогичными свойствам классического диполя: в присутствии поля должно проис-
ходить вынужденное излучение атома. Это означает, что атом, находящийся на некото-
ром возбужденном энергетическом уровне и, может с некоторой вероятностью перейти
под действием поля в низшее состояние т. Поле как бы «сваливает» атом с возбужден-
ного уровня вниз.
556
Явление вынужденного излучения нашло свое экспериментальное подтверждение
в принципиально новых квантовых источниках и усилителях света, созданных в середи-
не XX в. Вероятность вынужденного испускания под действием поля пропорциональна
спектральной плотности энергии поля* и некоторому коэффициенту В„,, который
называется i o |ффяци1 iiinii Эйнштейна для вьшуждеяного (яцдутовямого) излучения.
Эту вероятность, следуя Эйнштейну, записывают в форме В„,р(у).
Полная вероятность того, что возбужденный атом с уровня п в единицу времени
перейдет на низший уровень т с испусканием фотона Av спонтанно или вынужденно,
выразится суммой	Число dN„ атомов, которые из общего числа
N„ атомов на уровне п перейдут в состояние т за время dr,
d^=H„+B„,p(v)]^dr.
4.	Взаимодействие с электромагнитным полем атомов, находящихся на уровне т,
монет привести к тому, что атом, поглощая фотон с энергий Av~ W„— перейдет
в более высокое энергстическое состояние л. Вероятность того, что за 1 с произойдет
акт поглощения, по аналогии с предыдущим можно записать так: B^/)(v), здесь
Вт — коэффициент ЭЬшисйия для поглощения света. Число актов возбуждения
атомов за время dr равно
AN'^B^^Nndt,
где Nm — число атомов на уровне т в момент времени г. В состоянии термодинамичес-
кого равновесия вещества и электромагнитного поля должно быть равновесие между
процессами испускания и поглощения света, т. е. равенство полного числа актов
испускания и поглощения света.
Поскольку речь идет о переходах между двумя произвольно выбранными уровнями
п и т, говорят, что существует прщм детального равновесия:
для двух произвольно выбранных уровняй в системе, находя-
щейся в термодинавв1Чоском равновесии, должно быть равен-
ство между процессами испускания и поглоя|ыыя света.
Этот принцип выражен уравнением

(39.34)
Такое равновесие устанавливается в замкнутой полости, температура Т стенок
которой поддерживается постоянной. Равновесие, возникающее в результате излучения
и поглощения электромагнитных волн атомами стенки, приводит в этом случае, как
показал Эйнштейн, к формуле Планка.
5.	Воспользуемся условием детального равновесия (39.34) для вывода, по Эйнштейну,
формулы Планка (35.27). Для этого учтем, что число атомов, находящихся в различных
энергетических состояниях, описывается статистической формулой Больцмана
•Полная объемная плотность эверсии н> поля связана со астральной плотностью p(v)
соотношением w= I р (v) dv. Здесь  дальше в этом параграфе под v понимается частота v^,
о
соответствующая переходу из состояния я в состояние т.
5S7
где No — число атомов ин некотором энергетическом уровне, принятом за начало
отсчета энергии. Тогда, решая уравнение (39.34) относительно p(v), имеем

Р<У)

Из формулы видно, что спектральная плотность ply) объемной плотности энергии
излучения зависит кроме частоты перехода между уровнями лит еще от температуры.
Поэтому ее часто записывают в виде р(у, Т) или р,тт-
Из условия Т-» 4- со, р(у,7)-»со имеем
B„-B~	(39.35)
т. е. равенство коэффициентов Эйнштейна для вынужденного (индуцированного)
излучения и поглощения света. Тогда, если принять во внимание, что W*—W„=hv,
получаем
е —1
Воспользуемся формулой Вина (35.153 для излучения черного тела, согласно кото-
рой p(y,T)=v3<p(y/T), где	— универсальная функция отношения v/T. Из
сопоставления предыдущей формулы с законом Вина следует, что A^JB^^av3, где
а — постоянная, не зависящая ни от v, ни от Т. Таким образом,
«V1
е -1
При малых частотах v, таких, что hv«kT, е Л = l+Av/(Jt7) и поэтому р(у,Т)^
=av1kTlh. В этом случае спектральная плотность энергии излучения черного тела
йяу1
должна удовлетворять закону Рэлея — Джинса: p(v,T)=_ кТ. Следовательно,
8яЛ А^^ 8яЛ _
--, -—=— V .
? JL
(39.36)
Окончательно формулу Плавка можно записать в виде
_ вяу3 кт
р (v, Т)=—-----------------------------------.
с1	.
С	1
Однако чаще формулу Планка записывают ие для спектральной плотности излуче-
ния, а для испускательной способности абсолютно черного тела г°, которая связана
с p(v,7) соотношением
р(у,Т).
4
Тогда формулу Планка получим в привычном виде
_ 2xv* Л»
г?=—----------------------------------------
с?
е —1
558
§ 39.В.	Квантово-механический смысл постулатов Бора
1.	В квантовой механике переход атома из одного состояния в другое, связанный
с излучением или поглощением фотона Ло>, должен описываться с помощью общего
уравнения Шредингера, в котором волновая функция электрона зависит не только от
координат, ио и от временД '?-=Ч'(х, у, z, г). Пусть оптические свойства атома
определяются поведением одного оптического электрона. Переход такого атома из
одного состояния в другое означает переход между этими состояниями сто оптического
электрона, описываемого волновой функцией 'F.
Последовательное рассмотрение пробзжмы излучения выходит за рамки нашего
курса. Мы ограничимся лишь основными положениями, оставляя в стороне подробные
вычисления. Переход электрона из энергетического состояния л в состояние т означает,
что состояние электрона не может быть стационарным, т. е. вероятность pP|2dK
обнаружить электрон в элементе объема dV должна зависеть от времени. Если состоя-
ние электрона описывается волновой функцией типа 'FB=0'B(x, у, z)e	то ITpdKне
зависит от времени. Состояние электрона будет стационарным. Рассмотрим переход
электрона из состояния л в состояние т под действием электромагнитного поля. Если
в некоторый момент времени t на него начинает действовать поле и электрон соверша-
ет переход из одного состояния в другое, то с этого момента он может быть
н в состоянии л, и в состоянии т — имеется как бы «смесь» обоих состояний,
существует определенная вероятность обнаружить электрон как в одном, так и в дру-
гом состоянии. Выберем волновую функцию Т такого «смапанного» состояния следу-
ющим образом:
’F-c,’F„+c2’Fm,
где и	— волновые функции электрона указа иного выше типа в состояниях л и т,
а коэффициенты а и с2 зависят от времени. В момент /=0, когда поле было только
создано, электрон находился в состоянии л, так что с2 (0)= 1 и с2(0)=0. В некоторый
момент I’, когда переход закончился и электрон перешел в состояние т, C|(rQ°*O
и cj(t')= 1. Прн таком выборе pP|2dK будет зависеть от времени. В самом деле,
|Т|а=(qT.+Q’FJ (c.'F •+c2V£)-
Подставляя Тя=^„(х, у9 z)e и	у> z)e и полагая, что у* ^ж=
получаем:
2.	В классической теории мощность излучения электрона, колеблющегося с цикличес-
кой частотой ш.
где IW — модуль вектора второй производной по времени от дипольного момента
колеблющегося заряда. Если г — расстояние электрона до ядра атома, то р,= — ег, где
е — абсолютное значение заряда электрона; тогда мопфгоегь излучения
ОЯС
Если г=Гое , то г= —су г и
/¥«=----------------------------------------
бкс
|г|.
559
Пользуясь принципом соответствия, можно показать, что в квантовой механике
формула мощности излучения отличается от классической только заменой |г| на
|Г(О|П. м« = С1С2 ) 2 cos
(39.37)
h

Результат (39.37) имеет большое значение. Он показывает, что происходят колебания
среднего значения расстояния электрона от ядра — это расстояние является пери-
одической функцией времени с частотой	W^/h, соответствующей правилу
частот Бора. С классической точки зрения, которая сохраняется в данном случае
и в квантовой механике, такие колебания приводят к излучению и поглощению света.
Итак, возникновение линейчатых спектров и постулат Бора о связи частоты излуче-
ния с разностью энергии уровней, между которыми происходит переход, получают
в квантовой механике свое обоснование:
излучения и п огл ощени в квантов света происходят лишь о ча-
стотами, удовлетворяющими правилу частот Бора.
3.	Результат (39.37) указывает, что средняя мощность должна быть пропорциональна
кшп|2 = If dP|2.
Выражение
r«n=f^:<lF	(39.37')
может обращаться в нуль, и тогда соответствующий переход из состояния л в состоя-
ние т оказывается «запрещенным» — спектральные линии, соответствующие этому
переходу, не наблюдаются. Так, в квантовой механике возникают особые правила
отбора, ограничивающие число возможных переходов электрона в атоме, связанных
с испусканием и поглощением света. Если бы таких правил отбора не существовало, то
число линий в спектрах излучения и поглощения атома было бы произвольно велико.
Оказывается, например, что в атомах, где существует две системы энергетических
уровней — одиночные (синглетные) и тройные (триплетные) (гелий, ртуть),— прак-
тически не наблюдается переходов между синглетными и триплетными уровнями.
Далее, как показывает опыт, оптический электрон не переходит с уровня х(/=0) на
уровень d(l=2), но может переходить с уровня s на уровень р(1=1) (или наоборот).
В спектроскопии эти правила отбора были установлены эмпирически еще до развития
квантовой механики. В квантовой механике правила отбора являются следствием
выражения (39.37'). Возможны лишь такие переходы, для которых гт не обращается
в нуль. Состояние электрона в атоме определяется набором квантовых чисел л, I,
т и т,. Волновые функции ф„(х, у, z) и ф*(х, у, z) зависят от этих чисел. Расчеты
показывают, что для электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра
(случай водородоподобных систем), выражение (39.37') отлично от нуля лишь в том
случае, если осуществляется переход между состояниями, для которых изменение
орбитального квантового числа А/ удовлетворяет условию Д/= ± 1. Это означает, что
электрон может переходить из состояния s в р (или наоборот), из р- в J-состоянне (или
наоборот), т. е. всегда так, чтобы орбитальное квантовое число увеличивалось или
уменьшалось на единицу. Помимо правила отбора по орбитальному квантовому числу
существуют другие правила отбора, например по магнитному квантовому числу т:
возможные оптические переходы должны удовлетворять условиям Д/и=0, ± 1. Мы не
будем подробно останавливаться на этих правилах. Отметим в заключение, что
в отличие от теории Бора, которая не позволила вычислить интенсивности спектраль-
560
ных линий, квантово-механическое рассмотрение проблемы излучения дало возмож-
ность в согласии с опытом решить задачу об отыскании частот спектральных линий
атомов н об их интенсивностях.
§ 38.8.	Эффект Зеемана
1.	П. Зееман обнаружил (1896), что если поместить источник света между полюсами
электромагнита, то спектральные линии источника расщепляются на несколько ком-
понент. В настоящее время эффектом Зеемана называется расщепление спектральных
линий и уровней энер! им во внешнем магнитном поле.
В свое время, в особенности в период создания теории Бора, изучение эффекта
Зеемана на спектральных линиях атомов в видимой и ультрафиолетовой областях
сыграло существенную роль в развитии учения о строении атома. Однако и до сих пор
эффект Зеемана является одним из методов изучения энергетических уровней электро-
нов в атомах и облегчает истолкование спектров сложных атомов.
В простейшем случае эффект Зеемана заключается в том, что при помещении
источника света в достаточно сильное магнитное поле спектральная линия с частотой
vo расщепляется на три или две компоненты. При наблюдении излучения, распространя-
ющегося перпендикулярно направлению напряженности Н магнитного поля, линия
v0 симметрично расщепляется на луш компоненты с частотами v+1, v0 и v_j. При этом
все три компоненты линейно поляризованы. У средней компоненты vo, называемой
л-компонентой, колебания электрического вектора Е направлены вдоль Н. У крайних
компонент v+i н v_i (о-компонент) колебания электрического вектора Е перпендикуляр-
ны направлению Н.
При наблюдении излучения, распространяющегося вдоль направления напряжен-
ности Н магнитного поля, линия v0 исчезает, а крайние линии v+i и v_j оказываются
поляризованными по кругу с противоположными направлениями вращения (рис. 39.6).
Укачанный тип расщепления спектральных линий называется аормавдым или простым
эффектом Зеемана В этом эффекте расстояние между средней н крайними линиями
нормального триплета Av0= v+i —v0=v0—v_1 оказывается равным
Av0=ptfHI(4KmJ=poPiHlh,
где дБ=Ле/(2те) — магнетон Бора.
Нормальный эффект Зеемана относительно легко наблюдается в спектрах щелочно-
земельных элементов, а также в спектрах Zn, Cd и Hg.
2.	Нормальный эффект Зеемана был Объяснен еще X. Лоренцем (1897) на основе
классической электронной теории. Рассмотрим атом с одним валентным излучающим
электроном. С классической точки зрения, излучение атомом электромагнитных волн
с частотой v0 является результатом гармонических колебаний электрона с такой же
частотой. Если атом находится в магнитном поле, то произвольное линейно-поляризо-
ванное колебание электрона я может быть разложено на два колебания: одно (а()
происходит вдоль вектора Н, а другое ($j) — в плоскости, перпендикулярной вектору
б	jf	б
i	J	6
Рис. 39 6
561
Н (рис. 39.7). В свою очередь, это последнее можно разложить на два колебания я3 н и4,
поляризованные по кругу с противоположными направлениями вращения На это
вращение накладывается прецессия Лармора с частотой яд=р0еЯ’/(4кт(). Для кругово-
го колебания с направлением вращения, совпадающим с направлением прецессии,
частота колебаний электрона vQ+vL, а для колебания с противоположным направлени-
ем вращения получится частота v0—vL. Вдоль напряженности магнитного поля линейно
поляризованное колебание электрона 8] не дает излучения, так как линейный осцил-
лятор вдоль своей осн не излучает. Поэтому в продольном эффекте Зеемана наблюда-
ются два колебания, смещенные относительно первоначальной частоты v0 на
Avo= ±*г= ±-------
4 тип.
При наблюдении излучения в направлении, перпендикулярном вектору Н (попереч-
ный эффект Зеемана), все три колебания et, в3 и я4 дадут линейно поляризованные
излучения с частотами vo и vo± яь=яо±до£/(/(4я?п<). Изложенные рассуждения находят-
ся в полном согласии с опытом.
3.	В слабом магнитном поле наблюдается аномальный или сложный эффект Зеемана.
В этом случае происходит расщепление спектральных линий на множество компонент,
которые относятся по своей поляризованности либо к л-компоненгам, либо к а-
компонентам. Аномальный эффект Зеемана получил свое истолкование после об-
наружения спина электрона н создания векторной модели атома. При объяснении
нормального эффекта Зеемана принимается во внимание лишь орбитальный магнит-
ный момент электрона. Наличие у электрона спина и соответствующего ему магнит-
ного момента усложняет картину расщепления энергетических уровней н спектральных
линий в магнитном поле.
Прн увеличении напряженности магнитного поля взаимодействие между орбиталь-
ными н спиновыми моментами становится все менее существенным по сравнению
с взаимодействием каждого из них порознь с внешним полем. Расщепление спектраль-
ных линий прн этом растет и постепенно начинают сливаться компоненты мультип-
летов соседних спектральных линий. В сильном магнитном поле из всех компонент
мультиплетов остаются три линии (для поперечного) или две линии (для продольного)
нормального эффекта Зеемана.
Переход от аномального к нормальному эффекту Зеемана при увеличении напря-
женности внешних магнитных полей называется эффектом Пашева — Бака.
§ 39.10.	Понятие о явлениях мегнитного резонанса
1.	С расщеплением энергетических уровней в магнитном поле, обусловленным наличием у элект-
ронов, а также у ядерных частиц магнитных моментов, связано чтение магнитного резонанса,
играющего большую роль в современных методах исследования строения и свойств вещества.
Mtrwmx резонансом называется избирательное поглощение энергии переменного электро-
магнитного поля веществом, находящимся в постоянном магнитном поле.
Это явление связано с вынужденными переходами между подуровнями одного и того же
зеемановского мультиплета, возникающего в результате действия постоянного магнитного поля.
Опыт и теоретические расчеты показывают, что спонтанные переходы между такими подуров-
нями не происходят, так хак они очень маловероятны Эти переходы соответствовали бы для
практически достижимых напряженностей магнитного поля излучению с частотами, лежащими
в радиодиапазоне. Например, расщеплению, связанному с электронным магнитным моментом,
соответствует излучение в области сантиметровых волн. Однако кроме спонтанных переходов
возможны вынужденные переходы между подуровнями Wh W+AWзеемановского расщепления,
вызванные наложением на вещество дополнительного переменного магнитного поля с частотой
v—AlK/A, совпадающей с частотой перехода между данными двумя подуровнями. Эти вынужден-
ные переходы обусловливают явление магнитного резонанса.
2.	Магнитный резонанс, связанный с наличием у электронов магнитных моментов, называется
электронным »1Я1ии1»111 резонансом. Как известно, в постоянном магнитном поле Н вектор
Рш магнитного момента электрона совершает прецессионное движение вокруг направления лек-
тора Н внешнего поля с некоторой частотой прецессии vq (рнс. 39.8, в).
Предположим, что кроме постоянного магнитного поля действует еще переменное магнитное
поле, направление Н' которого перпендикулярно направлению Н, а частота меняется Переменное
562
магнитное поле с индукцией В' создает враща-
ющий момент М, действующий на магнитный
момент рт:
М=[РтВТ
Под действием этого момента сил вектор
рт должен прецессировать вокруг направления
В' переменного магнитного поля, имеющего
напряженность Н'=В'/(ДоД), так что ориента-
ция вектора рт относительно Н должия изме-
няться (рис. 39.8, 6). Это означает, что изме-
нится проекция ртн вектора рт на направление
Н. Если частота переменного поля совпадает
с частотой прецессии vq (магнитный резонанс), то изменение ориентации вектора рш и его
проекции ртН на направление Н будет очень сильным. Это приведет к изменению энергии
магнитного момента Рщ в поле Н, т. е. вызовет энергетические переходы между подуровнями
зеемановского расщепления.
Магнитный резонанс может быть использован для определения частоты v0 прецессии. По
известной частоте v0 можно определить магнитные моменты электронов.
3.	Существует два различных метода наблюдения магнитного резонанса: измерение воздействия
переменного радиочастотного магнитного поля на молекулярный или атомный пучок (метод И.
Раби) н измерение поглощения веществом электромагнитных волн соответствующей частоты.
В первом методе пучок частиц, обладающих магнитным моментом, отклоняется в постоян-
ном неоднородном магнитном поле и приемник фиксирует число частиц, испытавших в постоянном
магнитном поле некоторое определенное отклонение. Если этот пучок одновременно подвергнуть
действию переменного радиочастотного магнитного поля, направленного перпендикулярно на-
правлению постоянного магнитного поля, то оно вызовет переходы между подуровнями зе-
емановского расщепления. Когда частота v переменного поля не совпадает с частотой переходов
(другими словами, с частотой vq прецессии вокруг постоянного поля), в приемник попадает то же
число частиц, что и в отсутствие переменного поля. При совпадении частоты переменного поля
с частотой переходов (с частотой прецессии) все частицы, для которых проекция магнитного
момента на направление Н постоянного поля изменилась, будут иначе отклоняться в неоднород-
ном поле и не попадут в приемник. Экспериментально этот метод может быть реализован в двух
вариантах. Задавая определенное значение напряженности постоянного магнитного поля, исследу-
ют зависимость интенсивности молекулярного (или атомного) пучка, попавшего в приемник, от
частоты v переменного магнитного поля и находят такую частоту при которой интенсив-
ность пучка оказывается наименьшей («резонансный минимум»). Эта частота совпадает с уд
Можно, наоборот, фиксировать частоту радиочастотного магнитного поля н изменять напряжен-
ность постоянного поля, т. е. изменять частоту v0, добиваясь ее совпадения с частотой v.
Резонансные минимумы, полученные таким образом, имеют исключительную остроту н позволя-
ют определять магнитные моменты с относительной точностью 10“* — 10“’. Важной особен-
ностью магнитного резонанса в молекулярных и атомных пучках является то, что он позволяет
изучать действие радиочастотного поля на свободные молекулы или атомы, не взаимодейст-
вующие между собой. Вместе с тем экспериментальные трудности работы с молекулярными
пучками, необходимость специальной вакуумной техники очень усложняют измерения.
4.	Вторым методом изучения магнитного резонанса, практически более удобным, является
исследование резонансного поглощення электромагнитных волн веществом, помещенным в по-
стоянное однородное магнитное поле. Если частота переменного магнитного поля совпадает
с частотами, соответствующими переходам между подуровнями зеемановского расщепления, то
происходит интенсивное поглощение радиоволн веществом. Благодаря высокой чувствительности
современных радиотехнических методов можно наблюдать поглощение волн, частоты которых
соответствуют переходам между ближайшими подуровнями. Изучение поглощения в радиоча-
стотной области в принципе не отличается от изучения поглощения воли в области оптических
частот. Вся экспериментальная методика исследования магнитного резонанса методом резонанс-
ного поглощения более проста, чем в методе молекулярных пучков. Вместе с тем точность этого
метода также очень высока.
Исследование поглощення веществом электромагнитного излучения радиоднапазона состав-
ляет содержание радиосиектросиотп, которая позволяет раскрыть многие тонкие особенности
строения вещества. Принципиальная схема радиоспектроскопических исследований состоит в сле-
дующем. От «генератора электромагнитных волн излучение поступает в волновод, частично
заполненный исследуемым веществом. Волновод представляет собой канал для передачи энергии
электромагнитного поля, ограниченный боковой поверхностью (или поверхностями) определен-
ной формы. В простейшем случае волновод имеет вид металлической трубки круглого или
563
прямоугольного сечения. После прохождения сквозь поглощающую среду излучение поступает
в детектор, вырабатывающий электрический сигнал, пропорциональный мощности электромаг-
нитного излучения, падающего на детектор. После усиления этот сигнал наблюдается на экране
осциллографа или регистрируется измерительным прибором. Для радиоспектроскопических мето-
дов характерна весьма высокая разрешающий способность, в сотни тысяч раз превышающая
разрешающую способность оптических методов. Методом поглощения исследуются вещества
в газообразном и конденсированных (твердом или жидком) состояниях. При исследованиях
поглощения в газах генератор должен давать излучение в диапазоне миллиметровых и сантимет-
ровых волн, соответствующее избирательному поглощению газов при низких давлениях. В кон-
денсированных средах метод радиоспектроскопии широко применяется для определения харак-
тера химических связей. При 3toiU, однако, приходится учитывать, что определенные таким
методом магнитные моменты взаимодействующих друг с другом частиц вещества могут сущест-
венно отличаться от магнитнцх моментов для свободных частиц. Это сильно затрудняет ин-
терпретацию резонансных пиков поглощения в конденсированных средах
5.	Важным случаем резонансного поглощения является электротый пярамагяигжяй резонанс
(э.п.р.), открытый Е. К. Завойским (1944) и часто называемый просто парамагнитным резонансом.
Явление электронного парамагнитного резонанса состоит в поглощении парамагнитным
веществом микроволнового радиоизлучения за счет переходов между подуровнями зеемановского
расщепления.
Расщепление энергетических уровней обусловлено действием постоянного магнитного поля на
магнитные моменты частиц вещества, определяющие его парамагнитные свойства. Во внешнем
постоянном магнитном ноле магнитные моменты атомов* стремятся ориентироваться вдоль
вектора Н. Одновременно с этим происходит зеемановское расщепление энергетических уровней
и перераспределение по этим уровням атОмов. Заселенность атомами подуровней зеемановского
расщепления оказывается неодинаковой.
В состоянии термодинамического равновесия среднее число атомов, находящихся ца данном
подуровне, выразится формулой Больцмана
<л>=лоехр [--ЛИ^ЦкТ)],
где энергия ДИ7,, пропорциональна mH. На подуровнях с меньшим Означением магнитного
квантового числа т находится большее число атомов, чем на других подуровнях ся'>я, так как
состояния с меньшей потенциальной энергией энергетически более выгодны. Иными словами,
должна существовать преимущественная ориентация магнитных моментов атомов вдоль направ-
ления вектора Н, соответствующая намагниченному состоянию парамагнитного вещества. При
наложении на вещество переменного магнитного поля с частотами, совпадающими с частотой
перехода между подуровнями зеемановского расщепления или кратными ей, будет происходить
резонансное поглощение электромагнитных волн. Оно обусловлено преобладанием числа перехо-
дов, связанных с увеличением магнитного квантового числа на единицу (пфеходы типа m-»m+1),
над числом противоположных переходов (типа m+l-»m). Другими словами, в результате резо-
нансного поглощения энергии переменного магнитного ноля атомы будут переходить с более
заселенных нижних энергетических уровней на менее заселенные верхние уровни. Поглощение
пропорционально чнелу поглощающих атомов в единице объема вещества. Чувствительные
установки для изучения э.п.р. позволяют обнаруживать поглощение в образцах, имеющих концен-
трации поглощающих атомов порядка 1011 см-3. Особенно эффективен э.п.р. в тех случаях, когда
вещество состоит из атомов с "одним внешним электроном в г-состоянин, которые обладают
суммарным магнитным моментом, равным спиновому магнитному моменту г-электрона. Хи-
мически устойчивые молекулы, как правило, имеют четное число электронов, образующих
заполненные оболочки, так что полный механический и магнитный моменты молекулы равны
нулю. При химических реакциях тактах молекул в качестве промежуточных продуктов могут
образовываться свободные, химически неустойчивые радикалы, обладающие одним электроном
с некомпенсированным спином. Метод парамагнитного резонанса позволяет обнаружить эти
радикалы и по протеканию химических реакций сделать определенные выводы о характере
химических связей.
в. Особым случаем парамагнитного резонанса является резонансное поглощение электромагнит-
ных волн электронами проводимости в металлах, связанное со спином электронов и спиновым
парамагнетизмом электронного газа в металлах. В ферромагнитных веществах наблюдается
ферромагнитный резонанс, связанный с изменением ориентации электронных моментов внутри
доменов или между доменами ферромагнетиков. Этот случай резонанса связан с особым спин<>
вым взаимодействием электронов в ферромагнетиках н используется для изучения этих взаимо-
действий.
♦Ради простоты мы по-прежиему будем считать, что речь идет об атомах с одним
оптическим валентным электроном.
564
§ 39.11.	Комбинационное рассеяние света
1.	При рассеянии света, происходящего либо на посторонних включениях в веществе,
через которое проходит свет (рассеяние в мутной среде), либо на флуктуациях плот-
ности, связанных с тепловым движением молекул среды, частота v света, испытыва-
ющего рассеяние, не изменяется.
При рассеянии света атомами вещества переменное электрическое поле Е электро-
магнитной волны наводит в атомах электрический дипольный момент р,=£оаЕ, где
а — поляризуемость атома. Поскольку напряженность Е электрического поля волны
меняется с частотой v0 падающего света: E=EoCos2nv0f, индуцированный дипольный
момент ре также изменяется с этой же частотой. Црэтому излучение атомов под
действием падающего света имеет частоту vq и рассеяние когерентно.
2.	Существуют, однако, причины, которые могут вызвать изменение частоты моно-
хроматического света, рассеиваемого веществом. Представим себе, что рассеивающей
свет частицей является колеблющаяся молекула. Ее поляризуемость а состоит из двух
частей: ао — постоянной поляризуемости, не зависящей от колебаний молекулы,
и a,cos2xv/ — поляризуемости, периодически меняющейся с частотой, равной частоте
v колебаний молекулы:
a=ao+a,cos2xv/.	(39.38)
Тогда дипольный момент р(=соаЕ такой частицы будет равен
р,=ео [oqEo cos 2nv0r+OyEo cos 2nvt cos 2nv0/].	(39.39)
Второй член (39.39) представляет собой периодически меняющийся с частотой v0 ди-
польный момент, амплитуда которого изменяется с частотой v. Мы имеем здесь случай
амплитудной модуляции дипольного момента. Колебания дипольного момента под
действием падающего света частоты Vo модулированы собственными колебаниями
молекулы, происходящими с частотой v«vq, ибо собственные частоты колебаний
молекул соответствуют инфракрасной области спектра.
Произведение cos 2mt cos 2nv0t можно представить следующим образом:
cos 2яу/ ‘ cos 2nv0t=1/2cos 2я (vo—v)/ + 1/2со» 2я (v0+v)t
Поэтому индуцированный дипольный момент молекулы
ре=ЕоЛоЕо cos 2nv0f + 1/2е0а^Е cos 2я (vo—v)t + 1/2е0а^с cos 2я (v0+v)f.	(39.39Q
Наряду с членом рг ,0, изменяющимся с частотой v0 и обусловливающим когерентное
рассеяние с неизменной частотой v0, дипольный момент содержит р(, ,о_, и р,. ,о+„
обусловливающие некогерентное рассеяние с частотами v0—v и v0+v — комбпвациов-
вое рассеяние света. Если имеется ряд собственных частот vlt v2, v3 колебаний молекул,
то в спектре рассеянного света должны появиться все «комбинационные» частоты:
Vo±Vb v0±*2> vD±v3 и т. д.
Комбинационное рассеяние света обнаружили (1928) Л. И. Мандельштам и
Г. С. Ландсберг при исследовании спектрального состава излучения, рассеянного
кристаллами кварца. Одновременно такое же явление было обнаружено Ч. В. Раманом
и К. С. Кришнаном при рассеянии света жидкостями. Публикация об открытии
Раманом была сделана в журнале «Nature» несколько раньше, и поэтому спектры
комбинационного рассеяния иногда называют раман-спектрами.
3.	Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами vq—v3 и т. д, меньшими
частоты падающего света, называются красными (или	lujihumi (сател-
литами); линии с частотами vo+vb vq+v2, ..., большими v0 — фиолетовыми (или анти-
стоксовыми) спутпкаяы (сятеллитямв), причем все частоты vb v2, v3, ... характерны для
данного кристалла (или жидкости) и не зависят от частоты vq падающего света.
565
Экспериментальное изучение комбинационного рассеяния показало, что интенсивность
фиолетовых спутников меньше интенсивности красных и с повышением температуры
возрастает, в то время как у красных она практически не зависит от температуры.
4.	Полное объяснение явления комбинационного рассеяния света, в частности соот-
ношения интенсивностей красных и фиолетовых спутников, было дано на основе
квантовых представлений. Пусть фотон Avq падает на вещество, молекулы которых
могут находиться в различных колебательных энергетических состояниях (ИС„)1.
и т. д. Помимо упругого, когерентного рассеяния фотона (состоящего в погло-
щении и последующем испускании фотона молекулой, при котором частота Vq фотона
не изменяется) возможно такое взаимодействие фотона с молекулой, в результате
которого молекула перейдет из нормального колебательного состояния с энергией
(^юл)1 в более высокое энергетическое состояние с энергией (Ж„„)т. так что
(И/КПЛ)2>(И/ЖОЛ)1. Необходимая для этого перехода энергия АИ/=(И/КПЛ)2—заим-
ствуется у фотона, энергия которого уменьшится на ДИ7 и станет равной*
hv=hv0-AW.
Таким образом, в рассеянном свете частота v=vo—AW/h соответствует красному
спутнику. Переход молекулы в различные возбужденные колебательные состояния
приведет к появлению всей совокупнбсти красных спутников. Появление фиолетовых
спутников с квантовой точки зрения объясняется возможностью того, что молекула,
находящаяся в одном из возбужденных колебательных состояний с энергией
под действием фотона с энергией (па перейдет в нормальное состояние с меньшей
энергией	Тогда первоначальная энергия hv0 фотона увеличится на
ДИ'=(И''ЖОЛ)2—(Ижпл)1 и станет равной hv=hv0+&W. Это будет соответствовать
в рассеянном свете фиолетовому спутнику с частотой
v=vo+A^7^-
В обоих случаях сдвиг частоты vo падающего света равен v=&W/h, т. е. частоте
перехода между колебательными уровнями молекулы. Поскольку число молекул,
находящихся в возбужденных энергетических состояниях, обычно меньше, чем число
молекул в нормальном колебательном состоянии, очевидно, что вероятность рассеяния
кванта hva с увеличением частоты vj меньше, чем вероятность обратного перехода из
нормального состояния в возбужденное. Поэтому интенсивность фиолетовых спут-
ников должна быть меньше, чем красных. С повышением температуры заселенность
молекулами возбужденных энергетических состояний возрастает. Поэтому возрастает
и вероятность рассеяния фотона с переходом молекулы из возбужденного состояния
в нормальное. Другими словами, с повышением температуры возрастает интенсив-
ность фиолетовых спутников. Число же молекул, находящихся в нормальном колеба-
тельном энергетическом состоянии, мало меняется с повышением температуры. Поэто-
му интенсивность красных спутников практически мало меняется при нагревании.
5.	Из сказанного выше следует, что сдвиг частот в спутниках при комбинационном
рассеянии совпадет с частотами колебаний молекулы, лежащими в инфракрасной
области спектра. Однако это совпадение наблюдается не всегда. В ряде случаев сдвиг
частот, наблюдаемых при комбинационном рассеянии, не совпадает с частотами
в инфракрасном спектре молекул. Возможен и такой случай, когда частоты поглоще-
ния, наблюдаемые в инфракрасном спектре молекулы, не проявляются в спектрах
комбинационного рассеяния. Дело здесь в том, что для излучения (и поглощения)
молекулой электромагнитных волн необходимо, чтобы молекула, ведущая себя в этом
случае как диполь, изменяла дипольный момент р,. Для комбинационного ряглечшу
света, связанного с модулированием падающей волны, это условие не обязательно.
Необходимо лишь, чтобы в молекуле изменялось взаимное расположение ее частей
•Это не означает, что фотон А»о «уменьшает» свою энергию н становится фотоном Лк
В действительности происходит уничтожение фотона Av0 н возникновение фотона Ак
566
и изменялись ее поляризуемость. В некоторых случаях различие условий, необходимых
для появления инфракрасных частот и частот комбинационного рассеяния, приводит
к тому, что наблюдаются одни из них и не наблюдаются другие.
Комбинационное рассеяние света позволяет отыскивать собственные частоты коле-
баний сложных многоатомных молекул и сделать заключения о составе и строении
таких молекул. С помощью спектров комбинационного рассеяния проводят, например,
количественный спектральный анализ состава сложных органических смесей.
§ 39.12.	Люминесценция
1.	Люмипг г цгнцш й называется оптическое излучение (от ИК до ближнего УФ), избы-
точное над тепловым и продолжающееся после прекращения вызвавшего его внешнего
воздействия в течение времени, значительно превышающем период световых колеба-
ний.
Люминесценция может быть вызвана бомбардировкой тел электронами и другими заряжен-
ными частицами, пропусканием через вещество электрического тока или действием электричес-
кого поля,* освещением видимым, УФ, рентгеновским и гамма-излучением, а также некоторыми
химическими реакциями в веществе. В зависимости от способов возбуждения люминесцентного
свечения различают катмалкнамесвс^но, элекгролшвовесдеа^о, фотопоммесцеа^о, хемилм»-
хжесце^^о нт. д.
Я. В отличие от теплового излучения, люминесцентное излучение не имеет равновесного харак-
тера Оно вызывается сравнительно небольшим числом атомов, молекул или ионов (образующих
центры люминесценции), переходящих под действием какого-либо источника энергии в возбуж-
денное состояние Центрами яоаавесценцн в твердом теле могут служить ионы, атомы или
группы ионов, находящихся около того места кристаллической ранетки, где правильность ее
структуры нарушена включением активатора — атома постороннего вещества — или вакансией.
Последующее возвращение возбужденного центра люминесценции в нормальное или менее
возбужденное состояние сопровождается испусканием люминесцентного излучения. Длительность
свечения обусловлена длительностью возбужденного состояния, которое помимо свойств самих
излучающих атомов, молекул или ионов зависит от окружающей их среды. Если возбужденное
состояние метастабильно, то время пребывания в нем частиц может достигать 10~* с (вместо
обычного времени пребывания в возбужденном состоянии 10 * с). Соответственно увеличивается
в длительность люминесценции. Люминесценцию с временем затухания ~10в—10’с называют
обычно флуоресцевшей. Такое время затухания характерно, например, для фотолюминесценции
многих веществ, главным образом жидкостей н газов. Люминесценция, которая сохраняется
длительное время после прекращения действия возбудителя свечения, называется фосфоресце^щ-
«й Такое длительное высвечивание наблюдается у твердых тел, способных люминеащроватъ.
Строго говоря, разделение люминесценции на флуоресценцию и фосфоресценцию условно, так как
установить точную временную границу между ними иногда бывает затруднительно.
3. При возбуждении люминесценции электронным (катодным) пучком кинетическая энергия
бомбардирующих электронов передается электронам атомов (или молекул, ионов) н переводит их
в возбужденное состояние. Передача энергии возможна лишь при условии
где И7, — кинетическая энергия бомбардирующего электрона; И7, н Жи — энергия атома (или
ивой люминесцирующей частицы) соответственно в возбужденном и нормальном состояниях*.
При достаточной энергии возбуждения возвращение атома (молекулы или нона) в нор-
мальное состояние может происходить в несколько этапов через все менее возбужденные состоя-
ния. Этому соответствует испускание нескольких фотонов люминесцентного излучения различных
частот, причем суммарная их энергия равна энергии начального возбуждения
Электролюминесценция в газах вызывается электрическим разрядом. Энергия возбуждения
в этом случае сообщается молекулам газа с помощью электронного удара пли удара ионов.
Хемилюминесценция вызывается экзотермическими химическими процессами в веществе, т. е
процессами, протекающими с выделением энергии. Люминесцентное излучение уносит избыток
энергии, что приводит к образованию химических соединений с более устойчивой в данном
•Обычно преобладает механизм непрямой передачи энергии центрам люминесценции (через
посредство других атомов, которым электроны непосредственно передают свою энергию) На
долю прямого возбуждения приходится не более 1 % всего свечения
567
окружении и при данных условиях электронной конфигурацией. Хемилюминесценция часто
сопровождает, например, процессы окисления с образованием более устойчивых продуктов
сгорания. Яркость хемилюминесценции может на несколько порядков превышать яркость тепло-
вого излучения люминесцируюшего вещества при температуре опыта. Частным случаем хемилю-
минесценции является бяолюмиин ibkiri (например, свечение гнилых деревьев и светлячков).
4. Фотолюминесценция возбуждается электромагнитным излучением видимого и ультрафиоле-
тового диапазона. Фотолюминесценцию изучал еще Д. Стокс, который установил:
фотолюмиивсцирующвв вещество излучает, кик правило,
свет, имеющий большую длину волны, чем то излучение,
которое вызывает люминесценцию.
Это правело Стокса получает свое естественное обоснование в квантовой оптике.
В самом деле, фотон возбуждающего фотолюминесцентЬого света имеет энергию hv, которая,
по закону сохранения энергии, частично расходуется на создание фотона с энергией hv„ люминес-
центного излучения, а в остальном будет израсходована на различные неоптические процессы:
Av=av„+h;
где W— энергия, идущая на различные процессы, кроме фотолюминесценции. Обычно И’>0
и v> Уп, т- е. /„>)., что соответствует правилу Стокса.
В некоторых случаях фотолюмииесцентное излучение имеет длину волны, меньшую длины
волны возбуждающего света (антистоксово излучение). Это явление объясняется тем, что к энер-
гии Av фотона возбуждающего излучение добавляется энергия теплового движения атомов
(молекул или ионов) люминесцируюшего вещества
Avn=Av+aJtr,
где а — коэффициент, зависящий от природы люминесцирующего вещества. Антистоксово излу-
чение проявляется все отчетливее по мере повышения температуры.
Б. Отношение энергии, излучаемой при фотолюминесценции, к поглощаемой энергии возбуж-
дающего ее света называется энгргегйчесхим выходом фотолюмииесцешщя т)3. Соответственно,
отношение числа фотонов люминесцентного излучения к числу фотонов монохроматического
возбуждающего света называется квинтовым выходом фотолюмивесценша ij„. С. И. Вавилов
(1924) установил следующий закон:
квентояый выход фотолюминесценции постоянен в широкой
области длин волн возбуждающего света (стоксова область)
и резко падает при длинах волн возбуждающего света, превы-
шающих длину волны фотолюммнесцентного излучения (анти-
стоксова область).
Из закона Вавилова следует, что энергетический выход фотолюминесценции в стоксовой
области растет пропорционально А, а в антистоксовой быстро уменьшает» до нуля при даль-
нейшем увеличении А. В самом деле, если vn и Ал частота и длина волны фотолюминесцентното
излучения, то
Ah,	А
Пэ — , Пи — , Пи
Av	Ал
Так как Ал не зависит от А, то в стоксовой области const) ^Э~А. В антистоксовой области
Пэ и Пи быстро убывают с увеличением А, поскольку фотоны света с такой длиной волны де
в состоянии возбудить электроны атомов (молекул или ионов) люминесцируюшего вещества.
Величина энергетического выхода люминесценции в сильной степени зависит от возможности
в веществе безызлучательных переходов молекул из возбужденного состояния в нормальное. Если
вероятность таких переходов велика, происходит тушение люмпмсцеяцм. Обычно причиной
тушения люминесценции являются либо безызлучательные переходы в самих люминесцирующих
568
молекулах, либо процесс передачи энергии молекулы присутствующим молекулам примеси.
Основную роль в последнем случае играют удары второго рода — столкновения, в результате
которых энергия возбуждения переходит в энергию теплового движения молекул. При чрезмерно
большой концентрации люминесцирующего вещества также наблюдается резкое уменьшение
интенсивности флуоресценции. Оно называется коицеятряцшшиым тушепем или самотушеннем
и объясняется тем, что в результате усиления связи между молекулами происходит их ассоциация
в нелюмннесцирующие димеры (сдвоенные молекулы).
Фотолюминесценция ряда жидкостей (растворы некоторых красок, растворы хинина и др.)
легко наблюдается визуально прн пропускании через растворы таких жидкостей видимого света.
Прн этом правило Стокса проявляется непосредственно: видно, что свечение флуоресценции более
длинноволновое, чем падающий свет.
в. Явление флуоресценции связано с переходами атомов, молекул или ионов из обычных
возбужденных состояний, длительность существования которых 10“г с, в нормальное. Фосфорес-
ценция, дающая длительное свечение, обусловлена достаточно продолжительным нахождением
атомов в возбужденных состояниях. Возможной причиной этого может быть наличие метаста-
бильных возбужденных состояний, переход из которых в нормальное состояние по тем или иным
причинам затруднен. В кристаллических фосфоресцирующих веществах, например полупровод-
никового типа, это связано с оседанием возбужденных электронов на акцепторных примесных
уровнях.
7. На явлении люминесценции основан люминесцпгтшй. анализ, принцип которого заключается
в следующем. Вещество, состав которого необходимо исследовать, освещается ультрафиолето-
вым излучением. Вещество либо само по себе, либо после обработки соответствующими реак-
тивами дает люминесцентное свечение, по характеру которого можно, определяя интенсивности
линий в спектре, определить не только качественное, но и количественное содержание исследу-
емого вещества. Люминесцентный анализ в отличие от обычного озектрального анализа не
сопровождается разложением на элементы исследуемого вещества и применяется прн весьма
малых количествах изучаемого вещества. С другой стороны, чрезвычайно высокая чувствитель-
ность люминесцентного анализа позволяет обнаружить наличие ничтожных прямот^ порядка
10“11 г в 1 г исследуемого вещества. Люминесцентный анализ применяется в различных отраслях
промышленности, в биологии, медицине, агротехнике.
8. Явление люминесценции позволяет создать историки света, которые обладают значитель-
ными преимуществами перед лампами накаливания, излучающими в диапазоне видимого участка
спектра лишь около 3 — 5% расходуемой энергии и имеющими малую светоотдачу. Люминес-
центные источники света не требуют нагрева, дают излучение в сравнительно узкой спектральной
области и являются весьма экономичными, например натриевые ламш, в которых пары натрия
светятся под действием электрического разряда. Натриевые лампы дают излучение, почти полно-
стью сосредоточенное в области около желтой линии натрия с длиной волны 589 нм, что близко
к длине волны, соответствующей максимуму чувствительности глаза. Однако натриевая лампа
придает всем освещаемым объектам неприятную желтую окраску.
Люминесцентными источниками света являются также ртутйые ламш, весьма разнообразные
по своему устройству. В области видимого света излучение этих ламп сосредоточено в основном
в желтом, зеленом, синем и фиолетовом участках спектра.
Помимо этого, спектр паров ртути значительно простирается в область ультрафиолета.
Интенсивное излучение в ультрафиолетовой области ртутных ламп'среднего и низкого давления
обеспечивает им широкое применение как бактерицидных источников излучения.
Для получения ламп с излучением, близким по составу к дневному свету, применяются
ртутные лампы низкого давления в форме трубок, внутренняя поверхность которых покрывается
смесью люминесцирующих веществ. Поглощая ультрафиолетовое излучение ртутных паров, эти
вещества дают люминесцентное излучение в видимой области, близкое по составу к дневному
свету. Такне ламш дневного слета широко распространены для освещения в промышленности
и быту.
Вопросы:
1.	Как обосновывается в квантовой механике существование первой стационарной воровской
орбиты и числовое значение ее радиуса?
2.	Как доказываются в квантовой теории первый постулат Бора и правило частот?
3.	В чем состоит ошибочность истолкования спина как результата вращения электрона-шарика
вокруг своей оси?
4.	Как доказывается в квантовой теории второй постулат Бора?
5.	В чем состоит физический смысл явления магнитного резонанса?
569
Глава 40______________
Основы физики лазеров
§ 40.1.	Отрицательное поглощение света
1.	В заключение этой части курса рассмотрим вопрос о принципиально новых источ-
никах излучения, обладающих необычными свойствами. В СССР в 1954 г. появились
работы Н. Г. Басова н А. М. Прохорова, в которых был описан квантовый генератор
ультракоротких радиоволн в сантиметровом диапазоне, называемый мазером. Термин
«мазер» (maser) составлен из первых букв английского названия этого устройства'
microwave amplification by stimulated emission of radiation — усиление микроволн с по-
мощью стимулированного излучения. Генераторы н усилители света в видимой
н ближней инфракрасной областях, появившиеся в I960 г., называются оптическими
квантовыми гевератора^м (ОКГ). Иначе эти устройства называют генераторами коге-
рентного света (ГКС). В настоящее время их сокращенно называют лазерами. Термин
«лазёр» имеет такое же происхождение, как н термин «мазер». Оба типа устройств
работают на основе эффекта вынужденного (индуцированного или стимулированного)
излучения. Этот эффект есть результат взаимодействия электромагнитной волны с ато-
мами вещества, через которое проходит волна. Так как поведение атомов описывается
квантовыми законами, то в названиях обоих устройств имеется слово «квантовый»:
«квантовый генератор», «квантовый усилитель».
2.	Индуцированное (стимулированное) излучение может приводить к отрицательному
поглощению света. Так как оно лежит в основе ОКГ, рассмотрим его несколько
подробнее. Актвиой (y»--fназывается такая среда, в которой интенсивность
проходящего света возрастает. Возможность существования такой среды вытекает из
явления вынужденного излучения, рассмотренного Эйнштейном.
Эйнштейн показал, что вынужденное излучение должно быти по своим харак-
теристикам совершенно тождественно с тем излучением, которое, проходя через веще-
ство, вызывает индуцированное излучение. Новый фотон, образовавшийся в результате
того, что атом (или молекула) вещества переходит с высшего энергетического состоя-
ния на низшее под действием света, имеет ту же энергию н летит строго в том же
направлении, что н фотон, стимулировавший появление первого. На волновом языке
эффект вынужденного излучения сводится к увеличению амплитуды проходящей волны
без изменения ее частоты, направления распространения, фазы н поляризации. Други-
ми словами, вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением.
До взаимоЗеистбия После взаимодействия
----- ----------------------------0-------
ffl --------
--------9------и/, -------------------
-------9-------*2 -------------
б) -------►	~
---------------w, ----------9
Рис 40.1
3.	Новый фотон, возникший в результате
индуцированного излучения, усиливает свет,
проходящий через среду. Однако следует
иметь в виду, что кроме индуцированного
излучения происходит процесс поглощения
света. В результате поглощения фотона
атомом, находящимся на энергетическом
уровне W\, фотон исчезнет и атом перейдет
на энергетический уровень W2 (рис. 40.1, а).
При этом уменьшается мощность света,
проходящего через среду. Таким образом,
имеются два конкурирующих друг с другом
процесса. В результате актов вынужденного
излучения фотон с энергией Av «сваливает»
электрон с уровня W2 на уровень Wi и вме-
сто одного фотона дальше летят два фотона
570
(рис. 40.1, б). Акты же поглощения уменьшают число фотонов, проходящих сквозь
среду. Усиливающее действие среды определяется тем, какой из двух процессов преоб-
ладает. Если преобладают акты поглощения фотонов, то среда будет не усиливающей,
а ослабляющей свет, который через нее проходит Если главную роль играют акты
вынужденного излучения, то среда усиливает свет.
4.	Поглощение света в веществе подчиняется закону Бугера Ламберта:
/=/ое“‘/х,	(40.1)
где а' положительный натуральный показатель поглощения; х толщина поглоща-
ющего слоя; /0 интенсивность света, входящего в среду; / интенсивность света,
прошедшего слой толщиной x.t
В. А. Фабрикантом впервые были рассмотрены особенности среды с отрицатель-
ным noi лощением света. Им было показано, что для такой среды закон (40.1) имеет
другой вид (закон Бугера — Ламберта — Фабрнквнти):
/=/ZlM	(40. Г)
Здесь |а'| положительная величина, что соответствует не ослаблению, а усилению
света по мере прохождения его через вещество. Иначе говоря, в усиливающей среде
показатель поглощения среды становится отрицательным. Этим объясняется то, что
подобную среду иногда называют средой с отрицательным показателем поглощения.
Формула (40. Г) указывает на крутое возрастание интенсивности света с увеличением
толщины слоя усиливающей среды (рис. 40.2). Это означает, что в такой среде из-за
преобладания актов вынужденного излучения лавинообразно нарастает число фотонов.
Два фотона, образовавшихся в одном акте индуцированного излучения, при встрече
с двумя атомами, находящимися на возбужденном уровне, «свалят» атомы вниз
и после этого будут лететь уже четыре одинаковых фотона и т. д. (рис. 40.3).
С волновой точки зрения, амплитуда электромагнитной волны и ее квадрат, пропорци-
ональный интенсивности света, будут нарастать за счет энергии, получаемой от
возбужденных атомов.
Лавинообразное нарастание интенсивности света в усиливающей (активной) среде
означает, что такая среда действует как усилитель электромагнитных волн. Принцип
подобного усиления был сформулирован В. А. Фабрикантом, М. М. Вудынским и
Ф. А. Бутаевой (1951).
5.	Оценим натуральный показатель поглощения а' некоторой среды, не предполагая
специально, что она является усиливающей. Натуральный показатель поглощения а'
в условиях, когда спонтанное излучение несущественно, должен определяться, вообще
говоря, двумя противоположными процессами, поглощением и индуцированным излу-
чением.
Рассмотрим два энергетических уровня W{ и атомов (илн молекул) среды,
Рис. 40 3
571
Рис. 40.4
между которыми, согласно Эйнштейну, воз-
можны три типа оптических процессов: спон-
танное излучение, поглощение и вынужденное
(стимулированное) излучение (рис. 40.4).
Предположим для простоты, что процессами
спонтанного излучения, при которых возбуж-
денные атомы самопроизвольно переходят
в нормальное состояние, можно пренебречь.
Ниже мы выясним, при каких условиях это
возможно. Число фотонов, поглощенных ато-
мами, находящимися на нижнем энергетичес-
ком уровне, пропорционально концентрации атомов М, которые имеют энергию W\.
Число актов вынужденного (стимулированного) излучения пропорционально концент-
рации атомов N2 на верхнем энергетическом уровне W2. Можно доказать, что коэф-
фициент пропорциональности в обоих процессах одинаков. Показатель поглощения д'
в законе Бугера — Ламберта — Фабриканта (40.19, в свою очередь, пропорционален
разности между числом актов поглощения н вынужденого излучения:
Wz

d=k{Ni-N2},	(40.2)
где к>0 — коэффициент пропорциональности.
в. В состоянии термодинамического равновесия системы число атомов N2 на возбуж-
денном уровне W2 меньше числа атомов М на более низком уровне Wi, т. е. N2JNt< 1.
Поэтому в состоянии равновесия в'>0. Это значит, что число актов обычного (положи-
тельного) поглощения превышает число переходов, сопровождающихся отрицатель-
ным поглощением, т. е. индуцированным излучением. Однако из (40.2) следует, что
могут существовать такие среды, в которых натуральный показатель поглощения д'
будет отрицательным (а'<0). Для получения среды с отрицательным поглощением
необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов N2 на
возбужденном уровне было бы больше, чем число атомов в нормальном состоянии,
т. е. N^Ni > 1. Такие состояния принято называть ниерснымн (обращенными) состояни-
ями. Слово «инверсия» означает переворачивание (от лат. inversio). Смысл термина
состоит в том, что в таком неравновесном состоянии имеется «обращенное» рас-
пределение атомов по энергетическим состояниям — на верхнем уровне концентрация
атомов больше, чем на нижнем.
7. Процесс перевода среды в инверсное состояние называется накачкой усиливающей
среды. Наиболее естественной представляется оптическая накачка среды, при которой
атомы переводятся с нижнего уровня W\ на верхний возбужденный уровень W2 облуче-
нием светом такой частоты v, что hv=W2 — Если усиливающая среда является
газообразной, то перевод атомов на верхний энергетический уровень возможен при
неупругих столкновениях атомов с электронами в газовом разряде (электрическая
накачка). Однако такие методы перевода атомов с нижнего уровня на верхний не
приводят к инверсной заселенности атомов по уровням. Вследствие спонтанного
излучения атомов, находящихся на возбужденных уровнях весьма малое время, а также
в результате столкновения атомов с электронами, прн которых возбужденные атомы
отдают электронам свою энергию и переходят на нижние уровни, заселенность атома-
ми верхних уровней будет меньше, чем нижних. Этот общий результат показывает, что
использование двух уровней W\ и W2 не эффективно для получения инверсной заселен-
ности.
Существо метода, предложенного В. А. Фабрикантом, состояло в том, чтобы
с помощью специальных молекулярных примесей избирательно разрушить некоторые
нижние энергетические уровни и таким образом осуществить более высокую заселен-
ность атомами верхних энергетических уровней по сравнению с нижними. В мазере,
созданном Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым и независимо от них Ч. Таунсом,
молекулы, находящиеся на нижнем энергетическом уровне, удалялись с помощью
572
специально созданного-неоднородного электрического поля. Другим методом получе-
ния инверсной заселенности является применение вспомогательного излучения, кото-
рое создает избыточную по сравнению с равновесной концентрацию атомов (или
других частиц) на верхних энергетических уровнях.
§ 40.2.	Оптические квантовые генераторы
1.	Практическое осуществление инверсной заселенности уровней в оптических кван-
товых генераторах производится по трехуровневой схеме, 'предложенной Н. Г. Басо-
вым и А. М. Прохоровым (1955).
Один из первых генераторов когерентного света, работающих по схеме трех
уровней с твердым телом в качестве активной, усиливающей среды, был создан в I960 гг
Усиливающей средой в нем был кристалл рубина, представляющий собой по химичес-
кому составу оксид алюминид A12Oj с примесью оксида хрома Сг2Оз в количе-
стве от -0,03 до 0,05%. При этом в кристаллической решетке оксида алюминия
определенная часть атомов А1 заменена ионами Ст3 +. Активным веществом, в которой
осуществляются вынужденные переходы, являются в рубине ионы хрома Сг3+. Энер-
гетическая схема уровней Сг3+ содержит ближайшие к основному уровню С две
широкие энергетические полосы А и двойной метастабильный уровень В, переходы
с которого на основной уровень С соответствуют длинам волн красного света 692,7
и 694,3 нм (рис. 40.5). Существенно наличие трех уровней: А, В и С.
При интенсивном облучении рубина зеленым светом мощной импульсной лампы,
наполненной неоном и криптоном (лампы накачки), наблюдается переход ионов хрома
на уровни широкой полосы А, откуда наиболее вероятным является безызлучательный
переход ионов на двойной уровень В с передачей избытка энергии кристаллической
решетке рубина. Таким образом можно создать условия, при которых населенность
ионами двойного уровня В будет превышать населенность основного уровня С. Кон-
центрация ионов на уровне А меньше, чем на уровне С. Но это неважно. Важно то, что
уровни Ви С будут заселены инверсно. Эго позволяет получить оптический генератор
на линиях 692,7 и 694,3 нм. Возникновению инверсии уровней Ви С способствует малая
вероятность спонтанных переходов нонов хрома с уровня В на уровень С.
В одном из газовых оптических квантовых генераторов усиливающей средой
служит плазма высокочастотного газового разряда, полученная в смеси гелия с не-
оном. Вследствие соударений с электронами атомы гелия переходят в возбужденное
состояние При столкновениях возбужденных атомов гелия с атомами неона
последние также возбуждаются и переходят на один из верхних уровней неона, близко
расположенных к соответствующему уровню гелия. При переходе атомов неона с этого
уровня на один из нижних уровней W2 осуществляется излучение лазера. На рис. 40.6
изображена упрощенная трехуровневая энергетическая диаграмма такого лазера.
2.	Эффект усиления света, основанный на индуцированных переходах, можно увели-
чить путем многократного прохождения усиливаемого света через один и тот же слой
активной среды. Например, это может быть достигнуто путем помещения слоя среды
с отрицательным поглощением (кювета с газом или кристалл) между двумя достаточно
плоскими зеркалами, установленными параллельно друг другу. Чаще зеркала делают
вогнутыми. Принципиальная схема ОКГ изображена на рис. 40.7, где / — активная
Рис. 40.5
Рис. 40.6
573
среда, 2 и 3 — сплошное и полупрозрач-
ное зеркала. Любой фотон, возникший
в активной среде за счет спонтанного
испускания возбужденных накачкой
атомов среды, является «затравкой»
процесса генерации света.
Рассмотрим фотон, который дви-
жется параллельно оси кюветы или кри-
сталла. <Он рождает лавину фотонов, ле-
тящих в том же направлении (рис. 40.7,
а). Часть этой лавины частично пройдет
через полупрозрачное зеркало 3 наружу,
а часть отразится и будет нарастать
в активной среде (рис. 40.7, б). Когда
лавина фотонов дойдет до сплошного
зеркала 2, она частично поглотится, но
после отражения от зеркала 2 усилен-
ный поток фотонов вновь будет дви-
гаться так же, как и первоначальный,
«затравочный» фотон (рис. 40.7, в). Таким образом, с помощью зеркал в ОКГ реализу-
ется положительная обратная связь, необходимая во всяком генераторе для того,
чтобы был обеспечен режим генерации. Поток фотонов, многократно усиленный
и вышедший из генератора сквозь полупрозрачное зеркало, создаст строго направлен-
ный пучок лучей света огромной яркости.
3.	Лавина фотонов будет нарастать (самовозбуждение генератора), если усиление,
создаваемое на пути фотонов между двумя последовательными отражениями от
зеркала 2, по крайней мере компенсирует потери фотонов при отражении от зеркал
Количественной мерой усиления света в ОКГ на пути фотонов длиной L может быть
выбрана величина, равная k=lflo—t по формуле (40.1). Здесь L — длина активной
среды между зеркалами. Между двумя отражениями фотоны проходят путь 24,
____________________________________ „ -2вТ, „
поэтому усиление определяется величиной е . Для того чтобы учесть потери фото-
нов в зеркалах, обозначим через Rj и Rj коэффициенты отражения света от зеркал
2 а 3 (рнс. 40.7). С учетом потерь в зеркалах усиление ОКГ можно записать в более
общем виде:
, -ml n „
/с=е RzR}-
(40.3)
Из формулы (40.3) можно найти условие, при котором потерн в зеркалах компенсиру-
ются усилением среды, т. е. fc=l:
е "‘Л2Я3=1.
(40.3')
Логарифмируя условие (40.3'), получаем показатель отрицательного поглощения o'
в лазере:
п'=-!-1п(Л2К3).	(40.4)
£Li
Формула (40.4) используется для определения минимальной (пороговой) мощности
накачки, которая необходима для усиления света в генераторе. Очевидно, что если
увеличить мощность накачки так, чтобы процессы генерации света превышали потери
в зеркалах, то в ОКГ будет нарастать лавина фотонов н яркость луча, вышедшего из
генератора, будет увеличиваться. Однако в ОКГ невозможно беспредельное возраста-
ние усиления света. По мере роста усиления возрастают процессы спонтанного излуче-
ния атомов, находящихся на верхних «рабочих энергетических уровнях генератора».
Это приводит к уменьшению инверсии в заселении верхних энергетических уровней
н уменьшению индуцированных переходов — усиление уменьшается н замедляется
574
нарастание лавнны фотонов. Описанное явление называется	в оптическом
квантовом генераторе.
4.	До сих пор при анализе условий усиления света в ОКГ мы не учитывали, что
индуцированное излучение в генераторе является когерентным первоначальному, «за-
травочному» излучению. Волновые свойства света приводят к некоторым дополни-
тельным условиям, прн которых осуществляется режим генерации. На волновом языке
процесс усиления света в ОКГ означает непрерывное и значительное возрастание
амплитуды световой волны. Но для этого необходимо, чтобы волна, возвратившаяся
в некоторую точку активной среды после отражения от зеркал, имела в этой точке
фазу, совпадающую с фазой первичной волны при любом числе отражений от зеркал.
Это накладывает определенное условие на зависимость между длиной волны А и дли-
ной L активной среды. Длина пути, который проходит волна между двумя отражени-
ями, должна составлять целое число длин волн:
2£=пА или L=nA/2 (п=1,2, ...).	(40.5)
Тогда при сложении амплитуд первичной н всех вторичных волн будет резко воз-
растать амплитуда результирующей волны. Если выполнено условие (40.5), то волны,
которые прн каждом отражении выходят из генератора через зеркало 3 (см. рис. 40.3),
когерентны между собой. Разность фаз двух последовательно вышедших волн состав-
ляет ДФ=2я2£/А и определяется разностью оптического хода 2L. Лучи, которые
вырываются из ОКГ, являются результатом интерференции многих когерентных волн,
имеющих разность фаз, кратную 2я. Эго обеспечивает наибольшую результирующую
амплитуду н интенсивность света, полученного в лазере. Как известно, прн интерферен-
ции многих когерентных волн интерференционные максимумы интенсивности получа-
ются очень узкими, резкими. Если условие (40.5) нарушено, то амплитуды волн не
будут усиливаться.
5.	Уравнение (40.5) является фазовым условием, выполнение которого так же необ-
ходимо для процесса генерации света в ОКГ, как и условие компенсации потерь (40.3').
Из уравнения (40.5) следует, что если рассматривать пространство между двумя
зеркалами в ОКГ как некоторый зеркальный резонатор, то на его длине L должно
укладываться целое число л стоячих волн. Таким образом, уравнение (40.5) есть
одновременно условие резонанса между электромагнитной волной и зеркальным резо-
натором. Из уравнения (40.5) можно найти частоты, генерируемые в ОКГ. Используя
связь частоты с длиной волны A=t>/v и уравнение (40.5), получаем
уя=ш/(2£).	(40.6)
Каждому значению л соответствует определенная частота. Кроме того, частоты,
генерируемые в ОКГ, должны одновременно удовлетворять правилу Бора, связыва-
ющему частоту с разностью энергетических уровней атомов активной среды генерато-
ра. Необходимость одновременного выполнения уравнения (40.6) и условия частот
Бора на первый взгляд очень усложняет практическое создание ОКГ. Это предъявляет
очень высокие требования к точности, с которой должно быть задано расстояние L,
чтобы сохранялась когерентность интерферирующих волн. Однако в действительности
ситуация оказывается ие такой безнадежной. Выручает то, что правило частот Бора
выполняется с точностью до конечной ширины энергетических уровней атома, а также
то, что существует ряд причин уширения спектральных линий, в первую очередь за счет
эффекта Доплера.
В. Мы не можем входить в детальное обсуждение вопроса о ширине спектральных
линий излучения ОКГ. Можно показать, что спектр излучения ОКГ состоит из ряда
очень узких линий, частоты которых, как это видно нз (40.6), отстоят друг от друга на
Av=»/(2L).
Создание лазеров позволило значительно Продвинуться вперед в решении задач
а получении строго монохроматического света. Высокая степень монохроматичности
света, получаемого в лазерах, означает, что имеется значительно большая (на несколь-
ко порядков), чем обычно в оптике, длительность непрерывного цуга волн, испуска-
емых ОКГ. Следовательно, пространственная протяженность (длина непрерывного
цуга волн, испускаемых лазером) также значительно превосходит длину цуга в обыч-
575
ной оптике. Последнее обстоятельство снимает то ограничение, которое накладывается
обычно в оптике на проведение опытов по интерференции: требование малой разности
оптического хода лучей. С лучом лазера можно проводить опыты по интерференции
прн громадных разностях хода — порядка десятков метров н более.
7. Одной из замечательных особенностей лучей, получаемых в ОКГ, является их
острая направленность, малое расхождение пучка лучей по углам. Это связано с меха-
низмом процессов индуцированного излучения, лежащих в основе действия лазеров.
«Затравочный» фотон, необходимый для генерации света в лазере, должен лететь
параллельно оси резонатора. Фотон, летящий «вбок», под углом к оси резонатора,
создаст лавину фотонов, которая после небольшого числа отражений выйдет из
активной среды и не будет участвовать в процессе усиления (рис. 40.7, а). В генерации
н усилении света участвуют только фотоны, летящие параллельно оси резонатора.
Поэтому луч, вышедший из генератора, имеет острую направленность. Однако волно-
вые свойства света не позволяют получить угол расхождения лучей, равный нулю.
Явление дифракции света определяет нижний угловой предел 8т для расхождения
лучей ОКГ. Угол расхождения лучей не может быть меньше угла дифракции на
круглом отверстии (см. (32.11)):
е^Щ),	(40.7)
где D — диаметр зеркала в оптическом квантовом генераторе, имеет порядок
10 — 10 ~6 рад. В газовых лазерах угловое расхождение лучей достигает такой
величины.
8. Из-за высокой когерентности н острой направленности лучей ОКГ они могут быть
с большой эффективностью использованы для связи, локации, получения очень высо-
ких температур в малых объемах и т. д. С помощью современных ОКГ можно
осуществить связь на громадных расстояниях астрономического порядка. Излучением
ОКГ можно пробивать мельчайшие отверстия в самых твердых веществах, например
в алмазе, осуществлять сварку микродеталей. Лучи лазеров нашли применение в хирур-
гии прн лечении отслаивания сетчатки Глаза. Луч лазера как бы «приваривает» отсло-
ившуюся сетчатку к тканям глазного дна.
Характеристики современных ОКГ пока еще далеки от принципиально возможных.
Например, возможно получение световых пучков такой мощности, которой будут
соответствовать световые давления порядка миллионов атмосфер. Все это' создает
необозримые перспективы для применения квантовых усилителей и генераторов коге-
рентного света.	*
Вопросы:
1.	В каком случае показатель поглощения среды может быть отрицательным?
2.	Объясните, почему в ОКГ используется трехуровневая схема?
3.	Как действует ОКГ на рубине?
4.	Каково назначение зеркального резонатора ОКГ?
5.	В чем состоит фазовое условие генерации света в ОКГ?
в. Почему излучение ОКГ отличается острой направленностью?
Часть
Элементы
квантовых
статистик
и квантовой физики
твердого тела
Глава 41
Квантовые статистики
и некоторые ик применения
Главе 42
Элементы квантовой
теории металлов
Глава 43
Зонная теория твердых тел
Глава 44
Контактные явления
Глава 41
Квантовые статистики
и некоторые их применения
§41.1.	Общие сведения о квантовый статистиках
1.	В § 10.1 мы оста на впивались на некоторых общих вопросах, связанных с клас-
сической статистической физикой. Статистическая физика изучает свойства систем,
состоящих из большого числа частиц (атомов, молекул, электронов, фотонов и др.).
В зависимости от условий частицы системы подчиняются законам либо классической,
либо квантовой механики. Соответственно различаются классическая и квантовая
статистики
В статистической физике движение огромного числа частиц и их взаимодействия
невозможно практически рассчитать, даже если частицы можио рассматривать как
материальные точки, движущиеся по Траекториям. В квантовой механике, как н в ста-
тистической физике, закономерности имеют статистический, вероятностный характер.
Однако существует принципиальное отличие квантовой механики в этом смысле:
в квантовой механике (и, соответственно, в квантовой статистике) необходимость
статистического описания является следствием корпускулярно-волновой двойствен-
ности свойств частиц вещества.
2.	В квантовой механике существует важное положение о неразличимости тождествен-
ных частиц с вытекающими из него следствиями
Состояние системы, состоящей из п тождественных частиц, характеризуется в кван-
товой механике некоторой полной волновой функцией, зависящей как от координат
всех частиц системы (координатные волновые функции), так и от ориентаций их спинов
(глитюние волновые функции). Из принципа неразличимости тождественных частиц
вытекает, что существует днд типа полных волновых функций, описывающих состояние
системы тождественных частиц* емнм цм ни и и ангиевмметричше волновые функции.
Различие симметричных и антисимметричных волновых функций состоит в том,
что первые не изменяют своего знака при перестановке любой пары а и b частиц
системы (т. е. при переходе к состоянию системы, в котором частица а находится
в прежнем квантовом состоянии частицы Ъ, а частица b — в прежнем квантовом
состоянии частицы а), тогда как вторые изменяют при этом свой знак на проти-
воположный. В квантовой механике доказывается, что тип полной волновой функции
системы тождественных частиц (ее симметричность или антисимметричность) зависит
от проекции L„ спинов этих частиц на направление вектора Н внешнего магнитного
поля и не изменяется при любых внешних воздействиях на систему частиц.
Электроны и другие частицы, у которых LB равно нечетному числу ±^2, называ-
ются фермвонями или частжцамн с нолуцешм спином.
Система тождественных фермионов описывается антисимметричной полной волно-
вой функцией.
Частицы, у которых LB равно нулю или четному числу ±^2, называются бозонами
или чисгицями с целым свивом»
Система тождественных бозонов описывается симметричной полной волновой
функцией.
Принцип Паули выражает особенность поведения системы тождественных ферми-
онов*
в данной системе тождественных фермионов любые два иа
них но могут одновременно находиться в одном и том же
состоянии.
578
Из этой общей формулировки принципа Паули вытекает как частный случай его
простейшая формулировка, приведенная в § 39.5.
3.	Основная задача статистической физики в квантовых статистиках состоит в нахож-
дении функций распределения частиц системы по тем или другим параметрам коор-
динатам, импульсам, энергиям и т. и., а также отыскании средних значений этих
параметров, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц. Для
систем фермионов и бозонов эти задачи решаются единообразно, но несколько различ-
но в связи с тем, что бозоны не подчиняются принципу Паули. В соответствии с этим
различаются две квантовые статистики: Ферми Дирака и Бозе Эйнштейна.
4.	Для описания состояния системы частиц вводится пространство шести измере-
ний фазовое пространство, называемое также д-пространством: х, у, z, рх, ру, р,.
Первые три измерения являются координатами частицы, три последних проек-
циями ее импульса р по осям координат. Состояние частицы (ее координаты и импульс)
изображается точкой в д-пространстве. Состояние системы определяется тем, как
распределены в д-пространстве изображающие точки всех частиц системы. Но прн
этом нужно учесть корпускулярно-волновую двойственность свойств частиц.
Основываясь на соотношениях неопределенностей Гейзенберга в форме (37.14')
естественно считать, что данному состоянию частицы в д-пространстве соответствует
не точка, а ячейке фазового объема размером A<D = AxAyAzApJtApJAp2 = /i3. При раз-
мещении частиц (точнее их изображающих точек) по ячейкам с объемом h3 каждая
в соответствии с принципом неразличимости тождественных частиц ставится вопрос
о наиболее вероятном распределении частиц системы по ячейкам. При этом существен-
но число частиц в данной ячейке, но не то, какие именно частицы данного сорта
находятся в ячейке. Состояние системы тождественных частиц не изменяется от
перестановки частиц как внутри данной ячейки, так и между ячейками. Для системы
фермионов при этом должен быть учтен принцип Паули.
§ 41.2.	Функция распределения Ферми — Дирака
1.	Рассмотрим систему, состоящую из п невзаимодействующих тождественных фермионов,
например электронов, со спином h/2. Такая система называется ндеалышм Ферми-газом. В соот-
ветствии с принципом Паули в каждой ячейке (в каждом квантовом состоянии) не может быть
более двух частиц, причем непременно с антипараллельными спинами.
Пусть энергии И', соответствует д,.ячеек. Для упрощения расчетов можно считать, что в ячейке
размером Дш/2 может либо находиться одна частица, либо ячейка будет пустой.
Если п, число частиц с энергией И',, получающейся из решения уравнения Шредингера, то
энергия системы И' и полное число частиц в системе п удовлетворяют условиям:
1>, = h, £л,И-,= Ц-.	(41.1)
Найдем число различных способов размещения л, частиц по g, ячейкам объемом Дш/2. Число
различных перестановок всех 0 и 1 равно g,1 Число перестановок всех 1 будет л,!. Число
перестановок всех 0 будет (#,—л,)!. Тогда число различных способов указанного размещения
Общее число различных способов размещения частиц по микросостояниям, соответствующее
данному макросостоянию, т. е. термодинамическому состоянию системы, равно произведению
всех выражений (41.2):
Формула (41 3) определяет термодивамаческую вероятность данного макросостояяия.
2.	Из-за хаотического теплового движения частиц все микросостояния, соответствующие дан-
ному макросостоянию, равновероятны, т- е. одинаково часто реализуются в течение достаточно
длительного промежутка времени. Поэтому состоянию термодинамического равновесия соответ-
579
ствует максимум Р при выполнении ^дополнительных условий (41.1). о^яипчугса |}ТО ирд
достаточно большом числе частиц этот максимум очень острый, т. е. сколько-нибудь значитель-
ные отклонения системы от этого равновесного состояния весьма, маловероятны — возможны
лишь, Малые колебания (флуктуации) около равновесного состояния.
3.	Для отыскания условного максимума функции Р удобнее взять функцию In Р и воспользовать-
ся методом неопределенных множителей Лагранжа. Вспомогательная функция имеет вид
in/1— в I п,—п I—/Н £ и,IF,— IV j,
(41.4)
где а и Д постоянные коэффициенты — неопределенные множители Лагранжа. Условный мак-
симум функций In Р (и Р) соответствует безусловному максимуму функции <р.
Из формулы (41.3) следует, что
1пР=£ Ing,!—£ 1пл,1—У' ln(g,-nj!.	(41-5)
I '	।
Воспользуемся приближенной формулой Стирлинга, справедливой прн достаточно больших Ь:
1пЛ!-=Л1пЛ-Л.	(41.5')
Тогда	'
1П Р= £ [g, !П g,-g- Л, 1П И, + Л,— (gl~ П,) 1П (g(- Hj) + (gt-л,)].
I
После простых преобразований выражения для InP функция <р, согласно (41.4), принимает вид
Ф=Х [g,lng,- л. In л,-(g,-n,)ln(g,~л,)-ал,-fin.W^+an+flH'.
Дифференцируя эту функцию по л, и приравнивая производную нулю, получаем
В<р
= *~1пл,— 1 +ln(g/—л,-)+ 1 — a—pWi^Q.
8п,
Введем обозначение	•	,,
11=-а]р	(41.5 .
и перейдем от логарифмов к числам (g,—Л()/л,=е	, или окончательно
g-
л,=---------•
е +1
(41.6)
Формула (41.6) называется распределением Ферми—Дирака, функция распределения Ферми —
Дирака (функция заполнения ячеек), или средняя заселенность фермионами состояний с данной
энергией Й'„ равна
I_______
'=g,	.
61 е +1
(41.6')
§ 41.3.	Функция распределения Бозе — Эйнштейна
1.	Аналогичная задача возникает для системы из л невзаимодействующих бозонов с энергией
И' (идеальный Бозе-газ). Спии бозонов равен нулю или целому числу h, и они не подчиняются
принципу Паули. В одной ячейке может находиться произвольное,число частиц. Требуется найти
число отличных друг от друга размещений частиц по ячейкам р-пространства, а затем найти
наиболее вероятное распределение. Учтем, что энергии И7, соответствуют gt ячеек к Hi частиц, т. е.
(g,+л,) элементов. Обозначим ячейки через zit zj, ..., zgi, а частицы через уь уъ —> Уя,- Выпишем
формально последовательность элементов z и у в произвольном порядке:
гь У1, У2, гз, уз, z3, У4, у5, ye, z4, z5, У7, ... .
580
Будем считать, что частицы, попавшие между парой элементов z, находятся в той ячейке,
которая стоит слева от них. В выпита иной последовательности частицы уп  >2 наход ятся в ячейке
11, частица уу — в ячейке zj, частицы уч.'уз и у& — в ячейке zj, в четвертой ячейке z« нет частиц и
т. д. Ясно, что первой буквой такого ряда должна быть буква z, а не у. Эго можно сделать
gi способами, а оставшиеся (gi— 1 +*) элементы последовательности можно расположить произ-
вольно (gi+л;—1)! сзюсобами. Полное число различных последовательностей	1)!.
Однако все последовательности, которые можно получить друг из друга перестановкой ячеек
или частиц, соответствуют но различным, а одному и тому же состоянию системы. Число таких
перестановок gj! лД Таким образом, число различных способов размещения Л/ частиц по gi ячейкам
в статистике Бозе — Эйнштейна имеет вид
(й+л,-1)1
Oj”-----------»----------.
(41-7)
2.	Далее поступим аналогично тому, ках в 5 41.2. Термодинамическая вероятность состояния
Y ta-DM
(41.8)
Поскольку gt» 1, формула (41.8) упрощается:
т’-П
(gi+nj)l
giW
(41.89
Отыскивать	максимум будем, как  равьше, для In Р.
InT»-£ [(ii+Hjlntgi+Hi)—gjbgi—л^ЬлЛ.
(41-9)
При получении формулы (41.9) использована формула Стирлинга (41 .S'). Далее вновь применим
метод неопределенных множителей Лагранжа:
Ф—ERgi+H^lnto+Hj—g(lng/—л,1пл1-aiii-fi/iiU^+an+fiiy,
Вт
—-Ih^+hJ—la л,—e—/HFi—O.
Зя;
Отсюда In------“/KW'i—р). где по-прежнему р— — e/Д Следовательно,
nt
gi
nf—----------
(41.10)
Формула (41.10) даст распределение Бозе — Эйнштейна.
Объединяя (41.6) и (41.10), можно для идеальных Ферми- и Бозе- газов записать
распределения в единой формуле:
St
rti^-------
W-rt,,
е ±1
(41.П)
функция заполнения ячеек f/=njgl также записывается в единой формуле:
/W-rt±1
I
1
(41.11')
581
3.	Для выяснения физического смысла величин fi и р нам придется использовать
первый и второй законы термодинамики в несколько более общей форме, чем это
сделано во второй части. Изменение внутренней энергии системы может происходить,
помимо сообщения сщтеплоты и совершения над ней работы, еще в процессе массооб-
мена. В более общей записи первый закон термоди намики имеет вид
dU~6Q+6A'+p*dn,
где д* <1л — изменение энергии системы за счет массообмена системы с внешней
средой.
Вспоминая определение энтропии и выражение BQ~TdS и заменяя работу 6А' над
системой работой самой системы 6А’~ —6А~ -~pdV, запишем первый закон в виде
dU~TdS-pdV+p*dn,	(41.12)
откуда следует, что
4 (41.129
Х8”/?, S
Величина р* называется хшичеоош вотаиралом и представляет собой изменений
энергии системы при изменении на единицу числа частиц системы при изохорно-
изоэнтропийном процессе. Как мы увидим, р* связан с р в квантовых статистических
распределениях.
4.	Выясним смысл В и р на примере идеального Ферми-газа, где п,=---,
-U~Yn‘W‘ и dtMEHfdB'l+E
i	i	i
Рассмотрим случай, когда изменение возможно только за счет изменения объема
газа (например, для электронов в потенциальном «ящике», где H/,~n2/i2n2/(2mL2),
L — ширина потент^иа пьнлгл «ящика»). Таким образом, в равновесном процессе при
V= const и и=const
dU~TdS~6Q~Y Widnh
i
причем Wt и gt являются постоянными. В этом случае
i
dinP-£ in — dfii~Y.fi^-pydn^fi Y Widni=fidU=fiSQ.
Таким образом,
dinP°/9<^.	(41.13)
1 '
Вспомним, что 6Q -=dS, т. e. 1/T — интегрирующий множитель, который превра-
Т
щает 6Q в полный дифференциал энтропии. Из (41.13) видно, что fi~\/T и при
надлежащей нормировке на энергию fi превращает 6Q в полный дифференциал функ-
ции 1пР. Полагая fi~ l/(fc7)= 1/0, где к — постоянная Больцмана, а 9~кТ — mm-
стнчеосая темература (в Дж), мы получаем
dS>°fcdinP, или S=k]nP+So.
582
Этот результат уже использовался во второй части. Он Выражает статистический
смысл второго закона термодинамики Постоянная So представляет собой энтропию
наиболее вероятного состояния, для которого Р=1, т. е. состояния с наименьшей
энергией.
5.	Осталось выяснить смысл д. Рассмотрим равновесный процесс, который проис-
ходит так, что V=const, а л#const. Тогда
Wt=const, dU= J Wtdint.
Для такого процесса соотношение (41.12) принимает вид
dU=TdS+n*dn.	(41.14)
С другой стороны,
dlnP=/5 J^dn.-^dn = fl[d<7—pdn],
L i
t.	e.
dU=Q/fi)dlnP+ndn=TdS+ndn.	(41.14')
Сравнивая (41.14) и (41.14'), видим, что
p=p*.	(41.15)
Постоянная д в квантовых статистических распределениях представляет собой хими-
ческий потенциал.
§ 41.4.	Вырождение системы частиц,
описываемых квантовыми статистиками
1.	В макроскопической системе уровни энергии Wt частиц квази непрерывны. Поэтому
индекс i у можно опустить. Под функцией заполнения ячеек д-пространства вместо
fi=nJgi следует понимать
f^dnjdg,
(41-16)
где dn - - число частиц в ячейках dg, соответствующих интервалу энергии частиц от
dn dn dlF
И'до H/4-dH/. функцию заполнения ячеек (41.16) можно переписать так: /=— =-,
так что	4g dlF dg
dn dg
dW~' dJP
(41.17)
Эта формула (41.17) устанавливает распределение частиц по энергиям.
Функция заполнения ячеек для квантовых статистик имеет вид
1
(W-MkT)
е
(41.18)
±1
Для Ферми-газа 0</^ 1. Для Бозе-газа />0.
2.	Для отыскания числа частиц dn, приходящихся на единичный интервал энергии, т. е.
величину dn/dW по формуле (41.17), необходимо знать ц в функции /[см. (41.18)].
р2
В отсутствие внешнего силового поля вся энергия W только кинетическая: W= —>0.
2m
583
Поэтому для Бозе-газа р<0, иначе при FF=O будет /<0, а это противоречит смыслу
функции заполнения ячеек.
Химический потенциал определяется из условия, что общее число частиц равно л.
Это условие, согласно (41.17), выразится так:
Г dg
/— dFP=n.
J dFF
о
dg
Вычисление интеграла требует знания величины —. Вычисление dFP проводится
pdp
элементарно: dW/=---. Число ячеек dg=dr/Acu *, где Деи* — размер ячейки, a dr —
т
объем части фазового пространства, соответствующей заданному интервалу энергии
частицы от W до FF+aFF. Так как энергия частицы зависит только от модуля ее
импульса и не зависит ни от направления вектора импульса, ни от координат частицы,
то dr=4Ttp2dp V, где 4лр2бр — объем шарового слоя радиуса р и толщины dp
в импульсном подпространстве (рис. 41.1), а V объем газа (системы частиц) в коор-
динатном пространстве. Таким образом	'
Вычислим
Окончательно получаем
4пр2dp V
dg 4nV2mW dp
dll'~ Дш* dll'
dp m m
dWz p JijnW
dg 4 л F , -	,
= — Jim3 Jw.
dll' Дш*
(41-19)
(41.20)
(41.20')
и
На рис. 41.2 изображен график зависимости -от W.
3.	Газ называется вырожденным, если его свойства отличаются от свойств классичес-
кого идеального газа.
584
В вырожденном газе происходит взаимное квантово-механическое влияние частиц
газа, обусловленное неразличимостью тождественных частиц. Поведение фермионов
и бозонов различно при вырождении.
Для характеристики степени вырождения газа вводится параметр вырождения А:
A = eW‘T>.	(41-21)
Функция распределения f с помощью параметра вырождения для обеих квантовых
статистик запишется так:
г	д
(41.22)
е
Если параметр вырождения мал А « 1, то —-—»1 и функция распределения (41.22)
превращается в функцию распределении Максвелла — Больцмана, лежащую в основе
классической статистики невырожденного газа:
/=Ле-^.
В общем случае, когда газ находится во внешнем силовом поле,
-	W=p2/(2m)+U(x, у, z),
где U(х, у, z) — потенциальная энергия частицы в этом поле.
4.	Сравнительно легко можно грубо оценить температурный критерий вырождения
газа. Дело в том, что вырождение обычных газов сказывается при низких температу-
рах. Для фотонного и электронного газа в металлах это не справедливо. На осн
термодинамических температур (рис. 41.3) существует некоторая температура вырожде-
ния Т„ которая разделяет две области: вырожденного и невырожденного (клас-
сического) газа. Для грубой оценки Т, используем формулу (37.40*) энергии квантовой
Л2
частицы, локализованной в некоторой области на длине а\ -. Вместо длины
2ПЙ3
а удобнее ввести концентрацию по частиц. Из очевидного соотношения аэпо= 1 следует,
что а=л^1/3, и поэтому
W>—(41.23)
2m
Минимальной энергии вырожденной частицы, расположенной слева на оси (рис. 41.3),
соответствует знак равенства в формуле (41.23). Справа от температуры вырождения
на рис. 41.3 расположена область классического невырожденного газа, у которого
энергия частиц равна 3/2кТ. На границе двух областей (рис. 41.3).
3.
—5-=- кТ..
2m 2
(41.24)
Из формулы (41.24) вычислим темпе-
ратуру вырождения:
T,=A1^/3/(3mJt).	(41.24')
Полученная формула отличается чис-
ловым коэффициентом от строгой
формулы, вытекающей из анализа по-
ведения параметра вырождения.
В строгой формуле вместо коэффици-
ента ’/3 стоят коэффициенты, различ-
ные для Бозе- и Ферми-газов.
о тв	т
Рис. 41.3
585
5.	Однако эти коэффициенты не влияют на порядок значения температуры вырожде-
ния различных газов. Приведем несколько примеров вырождения газов. Для элект-
ронного газа в металлах по~Ю29 м“э и m=9,l'10“31 кг. Формула (4U4Q дает
Тв®2 10* К. Электронный газ в металлах практически всегда вырожден. Только при
температурах выше нескольких десятков тысяч градусов электроны металла подчиня-
лись бы классической статистике Максвелла — Больцмана. Но существование метал-
лов в конденсированном состоянии прн таких температурах невозможно. Поэтому, как
отмечалось, классическое описание поведения электронов в металлах приводит в элект-
родинамике в ряде случаев к законам, резко противоречащим опыту. В полупровод-
никах концентрация электронного газа много меньше, чем в металлах, и составляет
~ 1018 м~э. В этих условиях Г,® 10~* К и электронный газ в полупроводниках является
невырожденным и подчиняется классической статистике. Примером вырожденного
газа служит фотонный газ. Тах как масса фотона равна нулю (т=0), то Тв=со.
Фотонный газ при любой температуре является вырожденным. Атомные и молекуляр-
ные газы имеют весьма малые температуры вырождения. Например, для водорода при
нормальных условиях (Т-=300 К и По»3‘ 102’ м“э) Тв® 1 К. Для всех остальных газов,
более тяжелых, чем водород, Тв еще меньше. Газы прн нормальных условиях не
бывают вырождены. Вырождение, связанное с квантовыми свойствами газов, проявля-
ется значительно меньше, чем отклонение газов от идеальности, вызванное меж-
молекулярными взаимодействиями.
6.	Отличие свойств вырожденного электронного газа от свойств обычных классичес-
ких газов можно иллюстрировать одним весьма поучительным примером. В основе
понятия об идеальном газе лежит возможность пренебречь взаимодействием между
молекулами и считать, что молекулы движутся свободно, лишь сталкиваясь друг
с другом. Обычный газ тем идеальнее, чем меньше потенциальная энергия взаимодей-
ствия его молекул по сравнению с их кинетической энергией. Чем более разрежен газ,
чем меньше его плотность, тем более его свойства приближаются к свойствам идеаль-
ного газа. Для вырожденного электронного газа в металлах справедливо обратное: он
тем ближе по свойствам к идеальному газу, чем больше его плотность, т. е. чем меньше
расстояние между электронами. В самом деле, потенциальная энергия U взаимодейст-
вия электронов пропорциональна е’/в, где е — заряд электрона, а — среднее расстоя-
ние между электронами, которое, как мы виделй, связано с концентрацией электронов:
а=п^1р. Таким образом, 17® tariff. Кинетическая энергия W электрона по формуле
(41.23) пропорциональна л^3. Следовательно, с ростом плотности и концентрации
по электронов их кинетическая энергия растет быстрее, чем потенциальная энергия их
взаимодействия. А это условие определяет большую близость газа к идеальному.
§ 41.5.	Распределение Ферми —Дирака для вырожденного
электронного газа в металлах
1.	Рассмотрим такой газ на простейшей модели. В первом приближении электроны
проводимости в металле можно рассматривать как идеальный Ферми-газ в потенци-
альном «ящике» с плоским дном. Рассмотрим прежде всего поведение электронного
газа в металле при 0 К. Если д (0) — химический поiснимал при Т= 0 К, то функция
распределения (41.18) для Ферми-газа прн Т=0 К
имеет вид, показанный на рис. 41.4:
И прн >Р<д(0),
(О при 1Р>д(0).
Рис 41.4
Смысл графика 41.4 прост: прн Т=0 К все
энергетические состояния заполнены по одному
электрону в каждой фазовой ячейке размером й3/2
вплоть до максиьгальной энергии Wr=ц (0), кото-
рая называется ля.pixel Ферми.
586
dn
dtV
Рис 41.5
f
Рис. 41.6
W
Энергия Ферми Wr представляет собой максимальную энергию, которую могут
иметь электроны в металле при 7’= О К.
Распределение электронов по энергиям устанавливается формулой (41.17), которая
с учетом (41.20) приобретает вид
dn dg	, 8 л И / — /—
dir=/d^=[Mp[(,r_p)/(A7)1+11 V	(4125)
При Т=0 К, когда 1, эта функция изображена на рис. 41.5.
2.	Зная энергию Ферми FPp, можно найти импульс Pf электрона, находящегося на
уровне Ферми: рг = у/1тР^. Этот импульс определяет верхнюю занятую ячейку. Все
ячейки фазового пространства с р<р? заняты, а ячейки с р>рг свободны и в них нет
электронов. Ячейке с импульсом р=рг соответствует энергия W=
Импульсная сфера иа рис. 41.1 при Г=0 К имеет радиус р? н объем *!ъпру. Весь
фазовый объем, заполненный электронами, равен */2яр£И. Разделив его на элементар-
ный объем ’/jA3 * * * * * *, получим общее число п электронов в металле объемом V:
откуда
4/1Пр’Р
-------— п.
‘ДА1
А
(41.26)
(41.27)
8т \ я /
Здесь ло = л/К концентрация электронов проводимости. В металле ло~1О19 м
И'Р~ 10 18 Дж~6 эВ. Для сравнения укажем, что при комнатной температуре средняя
энергия частицы кТ составляет 4 • 10 11 * * * * Дж~0,03 эВ, т. е. (kTjWr) «к 1.
3. Квантовое распределение Ферми — Дирака
крайне нечувствительно к температуре. Функция
распределения (функция заполнения ячеек) f при
Г/0К искажается только вблизи «хвоста распре-
деления» (рис. 41.6). Вместо вертикального сниже-
ния при Т=0 (см. рис. 41.4) происходит снижение
на интервале шириной кТ, так что /(д)= */2.
Кривая распределения электронов по энергиям
dn
— при Т^О К также искажается только вблизи
dW
верхней гарницы (рис. 41.7). Искажение происхо-
дит на интервале энергий шириной кТ.
587
4. Значение химического потенциала ц при температуре Т, д(Т), можно най-
ти нз условия сохранения полного числа частиц:
4яГ f JWdW
noV^— (2m)12 --------------------------.
P	J ехр[(И' -p)/(k7)]+l
о
(41.28)
Этот интеграл можно вычислить только приближенно. Зависимость д ст температуры
имеет вид
Г я2 /fcTYI
'•-"'’L'-nUj}	(41-2Г)
Прн всех температурах, соответствующих твердому или жидкому состоянию металла,
кТ« Wf, поэтому д(7) мало отличается от Wf н параметр вырождения электронного
(я \
— I» 1. Электронный газ в металле всегда сильно вырожден. Об
кТ/
этом говорит н оценка температуры вырождения (см. £ 41.4):	10* К.
§ 41.6.	Некоторые свойства вырожденного электронного газа в металлах
1.	Подсчитаем среднюю энергия электрона проводимости в металле. Для этого
dg
воспользуемся формулой (41.17), записываемой в виде dn=f — dW.
Средняя энергия электрона проводимости
1 Г	If	dg
<FF>=— Wdn=- Wf— dW= const
nJ	nJ	dW
о	о
о
При этом использовано выражение (41.20') для —=const yjw. Для п справедлива
формула
Г dg
n= I f — dW**const
J dW
о
Средняя энергия электрона	ш
---------
Вычисления приводят к результату:
(41.29)
3
<FP>-
(4130)
Учитывая малость второго члена в скобках, приближенно можно считать (W)n>3/3WF.
2.	Вычислим внутреннюю энергию электронного газа. Если <FF> —средняя энергия
одного электрона, то энергия моля электронного газа U„=< W), где X выражает-
ся формулой (41.30).
588
Рис. 41.8
Рис. 41.8
Зная внутреннюю энергию моля электронного газа, можно рассчитать молярную
теплоемкость электронного газа: Cy={8U^l8T)y. При V= const, «о=const и Wr=const.
Тогда
3	5
Cv=-NKWy-
5	D
Wr)
n2R kT
2 Wf
(41-31)
3.	Сравним теперь эту теплоемкость с молярной теплоемкостью классического одно-
атомного газа С"= Э/2Я (прн комнатных температурах):
Су
С?
л1 кТ
3 WP
0,015.
Физически малая теплоемкость вырожденного электронного газа объясняется харак-
тером заполнения квантовых состояний электронами. Из кривой на рнс. 41.6 следует,
что все состояния, кроме тех, которые расположены на «хвосте» функции распределе-
ния в инхервале шириной кТ, заняты. Электроны, находящиеся в глубинных ячейках, не
могут принимать теплоту прн нагревании — им нельзя перейти в более высокие
эдерхехические состояния — все эти состояния заняты. Поэтому в теплоемкости могут
участвовать только те электроны, которые расположены на «хвосте» функции f запол-
нения ячеек. Вблизи от этих заполненных ячеек имеются свободные, куда электроны
прн нагревании могут перейхи.
В заключение поясним графически зависимость от температуры внутренней энергии
и молярной теплоемкости вырожденного электронного газа (рнс. 41.8, 41.9).
§ 41.7.	Фотонный газ в замкнутой полости
1.	В гл. 35 была выведена формула Планка (35.27) для теплового излучения черного
тела. С квантовой точки зрения тепловое излучение может быть рассмотрено как
фотонный газ, заключенный в замкнутой полости. Фотонный газ является идеальным,
так как в соответствии с принципом суперпозиции волн фотоны не взаимодействуют
друг с другом. Фотон имеет целый спин h, и поэтому фотонный газ подчиняется
статистике Бозе — Эйнштейна. Последовательное применение этой статистики должно
привести к формуле Планка.
Число фотонов в полости не сохраняется постоянным, а зависит от температуры.
Равновесность излучения досхигаехея за счет излучения н поглощения фотонов стен-
ками полости. Следовательно, прн выводе распределения Бозе — Эйнштейна первое из
дополнительных условий (41.1) rt=£n;=const отсутствует н прн выводе максимума
i
вероятнее хи неопределенный множитель Лагранжа а=0, а следовательно, по формуле
(41.5"), д=*0 — химический потенциал фотонного газа равен нулю.
589
2.	Функция распределения фотонного Бозе-газа может быть представлена так
r dn 1
^=dg~ »7(*Л
в е
или
dn =
dg
"7(кТ)
е 1
(41.32)
Параметр вырождения Л ^е^*7^ 1, так что фотонный газ всегда вырожден. Об этом
же говорит н температура вырожденного фотонного газа, которая равна бесконечности
(Г.= а>).
Для фотонного газа энергия частицы W=hv, а импульс p=hvlc=* W/c. Число
фазовых ячеек размером Л3 в интервале энергий dW
AnjPdpV 4яГ _
л ст
А2
ИЛИ
4пГ _
dg=—— irdv.
3. Распределение фотонов по энергиям:
dn	dg 8лЮГ2 1
—=2/—=-----------------
dW	dW	№ ^ккТ)
e —1
Коэффициент 2 появляется в соответствии с двумя независимыми поляризациями
излучения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. От выражения (41.34) легко
перейти к распределению фотонов по частотам:
dn вяГу2 1
dv = е2 М*Т) ,
е —1
Теперь можно перейти к Спектральной плотности объемной плотности энергии
излучения р (у, 7):
(41.33)
(41.34)
(41.34')
dn Bnv2 Avdv
p(v, 7jdv=ftv—=---------
4	Ге2	.
е —1
Спектральная плотность объемной плотности энергии излучения черного тела
p(v, Т) связана с исцускательной способностью соотношением (35.1Q:
r?=-p(v, Т).
(41.35)
Это позволяет записать формулу Планка в таком же виде, как и в (35.27):
„ Злу2 Av
i —1
с2
§ 41.8. Теплоемкость твердых тел
1. Для твердых тел не различаются теплоемкости Су и Сг Основной вклад в теплоем-
кость неметаллических твердых тел вносит энергия тепловых колебаний частиц, нахо-
дящихся в узлах кристаллических решеток. Для металлов незначительный вклад в теп-
лоемкость вносит вырожденный электронный газ.
590
В основе классической теории теплоем-
кости твердых тел лежит закон равномер-
ного распределения энергии по степеням
свободы. Однородное твердое тело рас-
сматривается как система независимых
друг от друга частиц, имеющих три степе-
ни свободы н совершающих тепловые ко-
лебания с одинаковой частотой. Средняя
энергия, приходящаяся на одну степень
свободы, {Wy=kT. Внутренняя энергия
моля твердого тела {/=3jVa
= 3NAkT= 3RT, R=kNi — универсальная
газовая постоянная.
Молярная теплоемкость твердого тела
с атомной кристаллической решеткой
Рис 41.10
Су=—— 37?=25 Дж/(моль-К)=5,97 кал/(моль К).
Правило Дюлоаи и Птв:
молярная теплоемкость всех кимичосям простых кристалли-
ческих твердых тел приблизительно равна 2S ДжДмоль - К).
Согласно этому правилу молярная теплоемкость твердых тел не должна зависеть
ни от температуры, ни от каких-либо характеристик кристаллов. Опыты опровергают
это и указывают на зависимость теплоемкости от температуры, в особенности в об-
ласти низких температур (рис. 41.10). Причины расхождения с опытом классической
теории теплоемкости твердых тел состоят в ограниченности используемого Закона
равномерного распределения энергии по степеням свободы и непригодности его в об-
ласти низких температур, где среднюю энергию колеблющихся частиц в кристалличес-
кой решетке необходимо вычислять по законам квантовой механики.
2.	В первоначальной квантовой теории теплоемкости твердых тел, разработанной
Эйнштейном, кристалл рассматривается как система N атомов, каждый из которых
является квантовым гармоническим осциллятором. Колебания всех атомов происходят
независимо друг от друга с одинаковой частотой ш. Средняя энергия приходяща-
яся на одну степень свободы атома — квантового гармонического осциллятора, равна,
согласно (35.26'),
Аш Av
< wy-------------------.
е —1 е —1
Внутренняя энергия моля твердого тела
hv
U= ЗЬ\ < FF>=32V\	-,	(41.36)
е —1
откуда находится молярная теплоемкость твердого тела:
(	.	*-/(4П
AvV е
— I ----------
АТ, (МИ)_1)3
(41.37)
591
Если ввести хврактернстнческую температуру T^^hv/k, то
Cy=3R —
\ Т
W
е
(еГв/Г-1)’’
(41-^Э
Этот результат качественно описывает зависимость теплоемкости твердых тел от
температуры (рис. 41.10).
При высоких температурах (Av«Jt7) <FP>=fcTe соответствии с законом о равно-
мерном распределении энергии по степеням свободы и Cy-*3R.
При низких температурах (ftv5s>fc7)
С	1 С j
(41.38)
,Cr-3RpYe-re'T
\ Т J
При ^Г-»0 К имеем: Тв/Г-»оо н е~Тв!Т-*0 быстрее, чем возрастает (7е/7)2. Поэтому
при Г-»0 К темплоемкость Су-»0, что качественно согласуется с опытом. Однако
количественное поведение теплоемкости твердых тел вблизи 0 К простейшая квантовая
теория не описывает.
3.	Предположение о том, что все атомы твердого тела совершают тепловые колеба-
ния независимо друг от друга с одинаковой частотой, чрезмерно упрощает подлинную
картину колебаний частиц в кристаллической решетке. Ме^гду атомами (или другими
частицами) твердого тела имеются настолько сильные взаимодействия, что все N ча-
стиц тела образуют связанную систему, обладающую 3N степенями свободы, 1фичем
колебания всех атомов могут происходить с различными частотами. Весьма сложная
задача о распределении частот колебаний атомов в твердом теле явилась в свое время
основой уточненной теории теплоемкости твердых тел. Твердое тело обладает широ-
ким спектром частот колебаний. Имеются колебания с достаточно низкими и более
высокими частотами. Низким частотам соответствуют упругие колебания кристалла
звукового (или инфразвукового) диапазона. Связь между частицами в кристаллической
решетке приводит к тому, что в кристалле распространяются упругие звуковые волны.
Физическая идея, позволившая уточнить теорию, рассмотренную « п. 2, была
предложена П. Дебаем и состояла в том, что основной вклад в энергию тепловых
колебаний кристалла вносят колебания низких частот, соответствующих упругим
волнам с длинами волн, превышающими период кристаллической решетки. Это следу-
ет, в частности, из рис. 35.5, показывающего, что наибольший вклад в среднюю
энергию квантового осциллятора вносят колебания с малыми частотами. Распрост-
раняющиеся упругие волны ведут себя так, как если бы они распространялись в сплош-
ной среде. Атомная структура кристалла не оказывает влияния на распространение
в нем упругих волн с длинами волн, превосходящими Лм^=я/уМ1Г~ где я — скорость
соответствующей упругой волны, »м1п — ее частота. Длина волны должна быть
соизмерима с периодом решетки, т. е.	где N— число частиц (узлов
кристаллической решетки) в кристалле объемом V.
4.	Упругие волны в кристалле имеют квантовые свойства, проявляющиеся в том, что
существует наименьшая порция — квант энергии волны с данной частотой v. Это
позволяет сопоставить волне с частотой v квазнчвстнцы — фононы, распространению
которых со скоростью звука я соответствует звуковая волна.
Фонон обладает энергией W=hv и квазиимпульсом p^hv/v. Квазиимпульс фонона
р имеет направление, совпадающее с направлением распространения звуковой волны.
Наиболее существенное отличие квазиимпульса от импульса состоит в том, что прн
592
столкновении фононов в кристаллах квазиимпульс может дискретными порциями
передаваться кристаллической решетке — он при этом не сохраняется.
5.	Короче говоря, подобно тому, как квантование электромагнитного поля приводит
к фотонам, квантование звукового поля приводит к фононам.
Спин фононов равен нулю, поэтому они подчиняются статистике Бозе — Эйнштей-
на. Фононы могут испускаться и поглощаться, но число их не сохраняется постоянным,
поэтому химический потенциал для фононного газа равен нулю (д—0).
Энергия кристалла может рассматриваться как энергия фононного газа. Число dn
фононов с частотами в интервале от v до v+dv, согласно (41.32),
е —1
где
А’ "	«7»
(41.39)
где ® — скорость звука в кристалле. Коэффициент 3 учитывает, что в твердом теле
могут распространяться продольные и поперечные волны с двумя взаимно перпен-
дикулярными поляризациями*.
Таким образом.
dn—----------.
.’(еМИ1-1)
(41.40)
Внутренняя энергия U кристалла (с точностью до нулевой энергии)
*мос	'шв
. f ,	Г	v’dv
17= I Avdn=--------- I ----------
I ЬЦкТ)
* С	1
о
о
. /ЗЛЛ’Л
где к——t I —, I —верхняя граница частот фононов, предложенная П. Дебаем.
\4яг/
В п. 3 приведена оценка X». по порядку величины.
Прн вычислении U вводится характеристическая температура Дебае Тр=hv^Jk
и рассматриваются два предельных случая:
а) высокие температуры Тр. При этом
ЫЛТ) to 12kV Г , 12лИЬГ^_
e' -lft-, С7---------kT v’dv»----------- -ЗМГ.
г* J	3
о
Для одного моля кристалла 7У=Л7А молярная теплоемкость Су соответствует
правилу Дюлонга и Птн:
ли
CF=- = ЗЛА£=3/?;
♦Мы не учитываем различия скороеiefl продольных и поперечных волн и просто увеличива-
ем втрое число квантовых сосюИний фононов.
593
б) низкие температуры Т«. Тц. При вычислении интеграла
Vs dv
-------- вводится
е —1
новая переменная £=ftv/(fc7) и верхний предел заменяется на со:
12яРЛ Г v*dv 12яП/иу f^df Лп*к*У т*
г J	\Л/ J 4 “ 5AV
о	о
(41.41)
Молярная теплоемкость Су пропорциональна кубу термодинамической температу-
ры и подчиняется закояу Дебая:
AV
Су=--’
ат
16п3к*УТ3
5h\3
=const Т3.
(41.42)
Вопросы:
1.	Чем принципиально отличаются квантовые статистики от классической статистики?
2.	В чем состоят различия квантовых статистик Ферми — Дирека и Бозе — Эйнштейна?
3.	Какой вывод формулы Планка, основанный на статистике Бозе — Эйнштейна или приведен-
ный а § 35.2, является более правильным?
4.	Перечислите свойства вырожденного электронного газа в металлах.
& Чем объясняется малая теплоемкость электронного газа в металлах?
Глава 42
Элементы квантовой теории металлов
§ 42.1.	Понятие о квантовой теории электропроводности металлов
1.	Развитие физики привело к созданию квантовой теории твердого тела, позволи-
вшей более глубоко и с единой точки зрения объяснить электрические, тепловые
и другие свойства металлов, кристаллических диэлектриков и полупроводников. Благо-
даря этому открылась возможность широкого и многообещающего применения полу-
проводников в самых различных отраслях техники. В этой главе кратко изложены
основные идеи современной теории электропроводности металлов.
В первоначальной квантовой теории металлов, так же как в классической теории
Друде - Лоренца, использовалось понятие об электронном газе. Считалось, что ва-
лентные электроны свободны и движутся внутри металла так, как будто положитель-
ные ионы решетки не создают никакого электрического поля. Поэтому движение
электронов в металле можно было описать с помощью модели, называемой потенци-
альным «ящиком».
Если принять, что вне металла потенциальная энергия электронов равна нулю, то
внутри металла она равна —А, где А положительная работа выхода электрона из
металла. Иными словами, можно считать, что свободные электроны металла находят-
ся внутри потенциальной «ямы» (потенциального «ящика») с вертикальными стенками
и глубиной, равной А (рис. 42.1). Плоское «дно» потенциального ящика свидетельству-
ет о том, что никакого электрического поля внутри металла нет н весь его объем
эквипотенциален. Движение электронов внутри ящика ограничено только тем, что они
не могут выйти за его пределы, так как для этого они должны преодолеть потенциаль-
ный барьер высотой А.
Однако для описания движения свободных электронов в потенциальном «ящике»
вместо классической статистики Максвелла Больцмана была применена статистика
Ферми — Дирака.
2.	Все электроны стремятся занять наиболее низкие энергетические уровни, как самые
устойчивые. Поэтому они заполняют дозволенные энергетические уровни начиная от
дна потенциальной ямы. На рис. 42.2 занятые электронами уровни окрашены. Из
рисунка видно, что работу А выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от
«дна» потенциального «ящика», как в классической теории, а от верхнего кз занятых
электронами энергетических уровней — уровня Ферми.
Электрический ток проводимости в металлах представляет упорядоченное движе-
ние электронов. Эго движение накладывается на нх хаотическое тепловое движение
и возникает под действием электрического поля, создаваемого в металле. Следователь-
но, для того чтобы электроны металла начали упорядоченно двигаться под действием
внешнего электрического поля, они должны увеличить свою энергию. При обычных
напряжениях в цепи электроны принимают весьма малую энергию. В том случае, если
Рис. 42 1
595
существуют близкие не занятые другими электронами энергегичеоше уровни, осущест-
вляется переход электронов на эти свободные уровни, и возникает электрический ток
в направлении внешнего электрического поля.	’
§ 42.2.	Закон Ома в квантовой теории электропроводности металлов
1.	Строгий вывод закона Ома для металлов с использованием квантовой статистики
Ферми — Дирака представляет значительные трудности н не может быть проведен
в нашем курсе. Однако общие идеи вывода и его результаты могут быть обсуждены.
Каждый электрон с импульсом р, упорядоченно движущийся со скоростью в под
действием электрического поля в металле, вносит вклад в плотность тока. Плотность
электрического тока
2 Г
J=— -eufdpxdpydp,.
Л J
(42.1)
Здесь f — функция распределения носителей тока для неравновесных процессов при
одновременном действии ускоряющего электроны поля с напряженностью Е и тор-
мозящих процессов столкновений. Коэффициент 2 учитывает принцип Паули. Для
стационарного неравновесного процесса проводимости, характеризующего постоян-
ный ток, изменение функции распределения под действием электрического поля должно
быть равно изменению функции распределения в результате столкновений, которые
испытывают носители тока в металле, ускоряемые полем:
(422)
Раскроем подробнее условие (42.2):
Но dpldt=F=eE', следовательно,
8р	стояка
(42.3)
Если f0 — равновесная функция Ферми, то для малых отклонений от положения
равновесия
(42-4)
где т имеет смысл времени, в течение которого распределение, возмущенное элект-
рическим полем, стремится к равновесному распределению fo в результате столкнове-
ний. Если /1 — возмущение функции распределения под действием поля, то

(42.5)
При малых напряженностях полей f\~E. Подставив (42,5), (42.4) н (423) в (42.2),
получим
S(fo+/1) _ /1
------еЕ=.
8р	т
596
При малых полях импульс р(Е) электрона под действием поля во много раз меньше
импульса теплового движения; т. е. р (л) «a™, и/, не зависит от р. Поэтому 8fi/dp**O.
Тогда
% _ /| , %
— еЕ—~, или f ——еЕк.	(42.6)
Ър t	8р
2.	Неравновесная функция распределения имеет вид
/-/о+— е£т.	(42.7)
др
Возмущение равновесной функции Те вызвано электрическим полем. Теперь подставим
функцию (42.7) в интеграл (42.1):
Lms f	(	/й	\
— I —ев I /о4— е£т I duxdw.dM».
Л3 J	V	8p	J	7
(42.1)
a/oduxdujdu.—О ввиду симметричности функции _/о относительно и,
Uy н и, и нечетности подынтегральной функции. Поэтому
а/о
и — durdu^du;.
Обозначив
2m1 А Г
I и —auxdu^du,,
(42.8)
получим закон Ома в дифференциальной форме
J-yE
(42.9)
такой же, как в классической электронной теории металлов. Вычисление удельной
электрической проводимости в квантовой теории металлов по формуле (42.8) привело
А. Зоммерфельда к следующему результату:
»^<А(я)>
т«(д)
(42.10)
где п — концентрация электронов, а и(д) н (А (д)> — скорость и средняя длина свобод-
ного пробега электрона, энергия которого равна химическому потенциалу р(Т).
Внешний вид формулы (42.10) напоминает классическую формулу для у, но физи-
ческий смысл величин в формулах совершенно разный. В классической формуле <и>
является средней скоростью теплового движения свободных электронов, пропорци-
ональной уТ. В формуле (42.10) и(д), по существу, не зависит от температуры, так как
[см. (4128)] химический потенциал электронного газа в металлах практически не
зависит от Т и поэтому р (7) мало отличается от энергии Ферми W? при 0 К.
3.	Основные различия формул (18.11) и (42.10) состоят в истолковании величин (А)
и <А(д)>. В (18.11), согласно классической электронной теории, (А) — средняя длина
597
свободного пробега электрона. Считается, что электроны сталкиваются с узлами
кристаллической реикки и электрон свободно проходит расстояние, равное периоду
кристаллической решетки. В квантовой теории металлов движение электронов прово-
димости сквозь металл рассматривается как процесс распространения электронных
волн де Бройля. Для понимания механизма этого распространения полезно напомнить
об аналогичной задаче в оптике. Если пучок света распространяется сквозь мутную
среду (туман, коллоидные растворы н пр.), то часть его рассеивается и интенсивность
пучка уменьшается. Чтобы возникло рассеяние света, нужно, чтобы частицы в среде —
центры рассеяния — были расположены друг от друга на расстояниях d, по порядку
величины не меньших длины световой волны Если же d«X, то рассеяния не
происходит и среда является оптически однородной.
4.	Аналогичное явление происходит при распространении электронных волн сквозь
металл. Идеально правильная кристаллическая решетка, в узлах которой находятся
неподвижные ионы, не должна рассеивать электронные волны. Электроны проводимо-
сти должны были бы проходить сквозь такую решетку свободно, без рассеяния на
узлах. Такая решетка не оказывает сопротивления электрическому току Рассеяние
электронных волн и связанное с ним сопротивление проводника возникают, если
в кристаллической решетке существуют центры рассеяния — искажения правильности
решетки, размеры d которых тгоевосходят длину X волны де Бройля (</>2). Центрами
рассеяния являются главным образом флуктуации плотности, возникающие в резуль-
тате тепловых колебаний узлов решетки. Рассеяние волн до Бройля на флуктуациях
плотности является причиной элек т рйчесюго сопротивления абсолютно чистых метал-
лов*
5.	Способность металла рассеивать электронные волны, обусловленная флуктуациями
плотности, оценивается коэффициентом рассеяния а, который вводится аналогично
тому, как это делается в оптике при рассмотрении рассеяния света мутной средой.
Расчеты показывают, что для свободных электронов величина, обратная коэффициенту
рассеяния а, равна <А(я)>-
«=1/<А(д)>.	(4211)
Одновременно коэффициент рассеяния а можно выразить через характеристики
кристаллической решетки, упругие постоянные и термодинамическую температуру Т:
a~imkT/(Ed),	(42.1 Iх)
где п — концентрация атомов, Е — модуль Юнга; d — период кристаллической решет-
ки. Из (42 11) и (42 1 IQ имеем
<А (д)>=EdfankT).	(42.12)
Формула (42.12) в соответствии с опытом дает значения средней длины свободного
пробега электрона, на два порядка превышающие период кристаллической решетки.
Если подставить (42.12) в (42.10), то получим
e*Ed
ти(у)якТ
(42 13)
Видно, что у обратно пропорциональна термодинамической температуре, а удельное
сопротивление р = 1/у прямо пропорционально Т Это находится в хорошем согласии
с опытом при комнатных температурах и не могло быть объяснено в классической
теории электропроводности металлов. Например, для серебра при Е=107 Па,
d=3 1О~10 м, тя«9 10-31 кг, £7=4,2 10-21 Дж (при комнатной температуре)
и и(д) = 1,4 106 м/с формула (42.13) дает у=5 107 Ом1 м-1. Из сипла получается
близкое значение 7=6,3 107 Ом-1 -м-1.
При низких температурах формулы (42.12) и (42.13) не справедливы
♦Роль njMMBcdl в электрическом сопротивлении металлов мы не обсуждаем
598
§ 42.3.	Сверхпроводимость
1.	Прямая пропорциональность удельного электрического сопрошвжмм чистых ме-
таллов их термодинамической температуре, как показывают опыты, справедлива лишь
при средних температурах. При достаточно низких температурах удельное сопротивле-
ние металлов стремится к некоторому пределу, называемому Diiiwni ГТ1"---
сопротивлеяем Характер зависимости удельного сопротивления р металлическою
проводника от его температуры Т показан на рис 42 3, где р$ — удельное сопротивле-
ние этого же проводника при О °C. На рис 42 4 приведены температурные зависимости
удельного сопротивления различных образцов золота Кривые на рис. 42 4 отличаются
друг от друга лишь величинами остаточного сопротивления и могут быть переведены
одна в другую параллельным ткреносом вдоль оси координат. Чем химически чаде
металл н чем меньше в нем различных неоднородностей, обусловленных внутренними
напряжениями, тем меньше его остаточное сопротивление
а. При очень низких температурах крайне сложно измерять электрическое сопротивле-
ние Трудность состоит прежде всего в получении сверхнизких температур. Термодина-
мическая температура до 0,7 К была получена испарением жидкого гелия прн понижен-
ном давлении Более низкие температуры получаются адиабатным размагничиванием
парамагнитных солей Этим методом достигнута температура 0,003 К.
Голландский ученый X. Камерлинг-Оннес провел (1911) эксперямеягальаое ис-
следование удельного сопротивления чистой ртути при низких температурах.
Замкнутый проводник из твердой ртути помещался между полюсами электромагнита. При
выключении тока в обмотке электромагнита в проводнике возникал индукцвокшй ток, который
при обычных условиях весьма быстро затухал. Однако при охлаждения ртути жидким гезмвя до
температуры ниже 4,21 К сопротивление ртути резко уменьшалось и индукцвокшй ток щюлпи-
жал идти по проводнику в ичыше многих часов без сколь-
ко-нибудь заметного ослабления.
По уточненным данным, резкое падение сопротивления
ртути наступает при Г-4,15 К Это явление получило
название сиерхпровпгчогти, а вопества, обладающие та-
ким свойством, были названы сасрхировожкевам Явление
сверхпроводимости было обнаружено еще у 22 металлов
(свинца, цинка, алюминия и др) Известно также большое
число сверхпроводящих сплавов (сплав висмута в золота,
карбиды молибдена и вольфрама, нятрвд ниобия и др )
3.	Температурная зависимость сопротивления све-
рхпроводников изображена на рис 42.5. Тем-
пературный интервал, coui bcivi вутощий переходной
области АВ возникновения сверхпроводимости,
599
зависит от неоднородности металла и в первую очередь от наличия примесей н внут-
ренних напряжений. Для химически чистых образцов он не превышает тысячных долей
градуса. Поэтому можно говорить о вполне определенном значении темиертуры
перехода в сверхпроводящее состояние Т^, которую часто называют также критической
температурой. При заметной ширине области АВ под 7^ обычно понимают тем-
пературу, прн которой сопротивление равно половине сопротивления, соответст-
вующего точке А.
Не осталось сомнений, писал Камерлинг-Оннес, в существовании нового состояния
pi ути, в котором сопротивление фактически исчезает... Ртуть перешла в новое состоя-
ние, которое в соответствии с его необыкновенными электрическими свойствами
можно назвать сверхпроводящим состоянием. Сверхпроводимость уже почти столетие
интенсивно изучается и является одним из важнейших направлений современной
физики твердого тела.
4.	Естественно, что самые чувствительные приборы обладают погрешностью н могут
определить только верхний предел сопротивления сверхпроводника. По последним
данным, удельное сопротивление сверхпроводника меньше 10-2э Ом-см. Если срав-
нить это значение с удельным сопротивлением меди, которое составляет 10"9 Ом-см,
то очевидно, что для сверхпроводника можно говорить о практическом равенстве нулю
удельного электрического сопротивления.
Если в кольце, изготовленном из сверхпроводника, создать ток, то отсутствие
удельного сопротивления приведет к тому, что электрический ток в кольце не будет
затухать. Подобный эксперимент был проведен в 1959 г. Через двй с половиной года
после начала опыта не было обнаружено никакого уменьшения тока, протекающего по
кольцу.
Отсутствие удельного сопротивления является важнейшим, но не единственным
отличием сверхпроводников. У них наблюдаются особые магнитные н другие свойства.
Поэтому следует говорить не только о сверхпроводимости, а об Особом состоянии
вещества, наблюдаемом при низких температурах.
5.	Открытие сверхпроводимости вызвало огромный интерес. Многие выдающиеся
физики пытались объяснить особенности сверхпроводящего состояния. Средн них был
Эйнштейн, который отметил (1920) аналогию сверхпроводимости н ферромагнетизма.
В ферромагнетиках коллективное взаимодействие электронов приводит к спонтан-
ной намагниченности, устойчивой по отношению к тепловому движению. В сверх-
проводниках, как думал Эйнштейн, особые взаимодействия электронов приводят
к появлению особых коллективных образований — «туч», которые движутся в металле
без трения, т. е. прн отсутствии электрического сопротивления. Однако прошло почти
полвека, пока накопление сведений о различных свойствах сверхпроводников н созда-
ние первоначальных термодинамических теорий позволили разработать (1957) со-
временную теорию сверхпроводимости, не только объяснившую многочисленные экс-
периментальные факты, но и позволившую по-новому подойти к решению некоторых
принципиальных вопросов квантовой теории, в том числе н к проблеме квантования
физических величин.
§ 42.4.	Некоторые магнитные свойства сверхпроводников
1.	Сверхпроводниками является ряд химических элементов, переходящих в сверхп-
роводящее состояние с понижением температуры.
Самой высокой критической температурой среди химических элементов обладает
ниобий (7^ = 9,22 К), а наиболее низкой — иридий (7^=0,140 К). Оказалось, что
сверхпроводимость — это свойство не отдельных атомов, а коллективный эффект,
связанный со структурой всего образца. Об этом свидетельствует целый ряд фактов.
Например, серое олово - - полупроводник, а белое олово — металл, переходящий
в сверхпроводящее состояние при температуре 3,72 К. Две кристаллические модифика-
ции лантана (a-La и 0-La) имеют разные критические температуры перехода в сверх-
проводящее состояния (для а-La 7^ = 4,8 К, для 0-La 7^ = 5,95 К).
2.	Большую часть сверхпроводников составляют не чистые химические элементы,
а сплавы и соединения. Существуют сверхпроводящие сплавы (например, CuS, AujBi),
600
компоненты которых порознь не обнаруживают свойств сверхпроводимости. Харак-
терны в этом смысле медь и золото, которые в обычных условиях являются хорошими
проводниками с малым удельным сопротивлением. В сплавах, как и в чистых химичес-
ких элементах, критическая температура зависит от кристаллической модификации,
и это подчеркивает коллективный характер сверхпроводимости. Я. Г. Дорфман и И. К.
Кикоин в книге «Физика металлов» писали (1933). «То обстоятельство, что ни Ag, ни
Си, ни другие наилучшие проводники не переходят в сверхпроводящее состояние, но
наоборот... плохие проводники... обладают этой удивительной способностью, свиде-
тельствует о том, что механизм сверхпроводимости совершенно отличен от механизма
обычной проводимости». Наиболее высокие температуры перехода в сверхпроводящее
состояние наблюдаются у сплавов. Сравнительно недавно (1973) у пленки, изготовлен-
ной из соединения Nb3Ge, обнаружена наиболее высокая критическая температура
перехода, равная 23,2 К. В настоящее время ведутся интенсивные поиски сверхпровод-
ников с температурами, бодес высокими (возможно даже комнатными). Весьма перс-
пективны В ЭТОМ отношении полимерные сверхпроводники.
В конце 1986 г. было опубликовано сообщение К. Мюллера и Дж. Беднореца из
Швейцарии об открытии сверхпроводимости керамики лантан — барий — медь — ки-
слород при температуре, превышающей 30 К. Вскоре пришли сообщения из Японии
и США о сверхпроводимости керамики лантан — стронций — медь — кислород при
температурах 40 — 50 К. В СССР в лаборатории А. Головапткина в Физическом
институте АН СССР обнаружено, что в керамике на основе итрия сверхпроводимость
начинается при температуре 102 К. В настоящее время проводятся интенсивные
исследования, которые привели к открытию обширного класса материалов, переходя-
щих в сверхпроводящее состояние при азотных температурах.
3,	Для создания современной теории сверхпроводимости и применения этого явления
в науке и технике большую роль сыграло изучение магнитных свойств сверхпровод-
ников. В 1933 г. был открыт эффект Мейснера. Он заключается в том, что магнитное
поле нс проникает внутрь сверхпроводнику.
При температурах более высоких, чем критическая температура перехода в сверх-
проводящее состояние, в образце, помещенном во внешнее магнитное поле, как и во
всяком металле, индукция магнитного поля внутри будет отлична от нуля. Если, не
выключая внешнего магнитного поля, постепенно снижать температуру, то в момент
перехода в сверхпроводящее состояние магнитное поле вытолкнется из образца и ин-
дукция магнитного поля внутри станет равной нулю (В=0). Именно в этом состоит
эффект Мейснера.
Эффект Мейснера возникает следующим образом. Если сверхпроводящий образец
поместить во внешнее магнитное поле, то в поверхностном слое металла появляется
стационарный электрический ток, собственное магнитное поле которого имеет направ-
ление, прямо противоположное внешнему приложенному полю. В результате внутри
сверхпроводника магнитное поле отсутствует.
Впечатляющие опыты иллюстрируют существование стационарных сверхпроводя-
щих токов. Если над металлическим кольцом, в котором проходит такой ток, поме-
стить сверхпроводящую сферу, то на ее поверхности индуцируется сверхпроводящий
ток. Его возникновение приведет к появлению сил отталкивания между кольцом
и сферой, которая оказывается висящей над кольцом на высоте, которая определяется
равенством силы отталкивания и силы тяжести сферы. Такой же эффект отталкивания
наблюдается в опыте, который получил название «гроб Магомета». По преданию, гроб
Магомета висел в пространстве без всякой поддержки. Если над сверхпроводящим
кольцом поместить постоянный магнит, то он будет висеть над кольцом без видимой
поддержки. В кольце магнит индуцирует незатухающие сверхпроводящие токи, маг-
нитное поле которых отталкивает магнит.
4.	Не проникая в глубь сверхпроводника, магнитное поле может существовать в его
поверхностном слое. В этом слое индукция магнитного поля отлична от нуля. В слое
протекают незатухающие токи, экранирующие от внешнего поля области сверхпровод-
ника, удаленные от поверхности. Глубина проникновения магнитного поля в сверх-
проводниках (толщина слоя, в котором индукция поля отлична от нуля) является
одной из основных характеристик сверхпроводника. Обычно она составляет несколько
сотен ангстрем. Другими словами, магнитное поле проникает в глубь Сверхпроводника
601
ш расстояние, равное нескольким сотням межатомных расстояний С увеличением
индукции внешнего магнитного ноля, где находится сверхпроводник, имеющий форму
бесконечного сплошного цилиндра (с осью, наприллемной по полю), до некоторого
значения, называемого ирипчеосш, сверхпроводимость разрушается, н образец пере-
ходит в нормальное состояние. Критическое поле зависит от температуры С прибли-
жением к критической температуре уменьшается индукция магнитного поля, раз-
рушающего сверхпроводимость При О К сверхпроводящее состояние наиболее устой-
чиво и индукция критического магнитного поля максимальна При 7’=7’жр индукция
критического магнитного поля обращается в нуль
§ 42Л. Понятие о теории сверхпроводимости
1.	Для создания современной теории оерхпроводимости большое значение имело
открытие изатомвческого эффекта (1950) Исследование нескольких сверхпроводящих
юотош» ртути показало, что существует связь между критической температурой
дерехода в сверхпроводящее состояние и массой изотопов (массовым числом М) Для
данного сверхпроводящего химического элемента была установлена формула, опра-
вдывающаяся с достаточной точностью
const
(42.14)
Масса изотопа является характеристикой кристаллической решетки, так как в нее
основной вклад вносят ионы металла. Масса определяет многие свойства решетки.
Известно, например, что частота си колебаний решетки связана с массой. со~ 1/vfc
С /фугой стороны, многочисленные экспериментальные факты говорят о том, что
сверхпроводимость — свойство электронной системы сверхпроводника. Отсюда воз-
никла идея, которая привела к созданию теории сверхпроводимости В основе ее
лежала мысль о том, что возникновение сверхпроводимости обусловлено взаимодейст-
вием электронов с решеткой кристалла. Однако электрическое сопроттнемие также
связано со взаимодействием электронов с решеткой Следовательно, речь идет о таком
взанмодейстии электронов с решеткой, которое должно приводить к отсутствию
электрического сопротивления. Интересно, что ртуть была тем объектом, на котором
была обнаружена сверхпроводимость (1911) и изучен изотопический эффект (1950),
приведший к созданию теория сверхпроводимости.
2.	Дж Бардин, Л. Купер и Дж Шрнффер создали (1957) последовательную квантово-
механическую теорию сверхпроводимости (теория БКШ) Академик Н Н Боголюбов
развил новый метод, отличный от примененного в теории БКШ Была, наконец, решена
проблема, которая в течение 46 лет мучила физиков и инженеров. Выяснились не
только физический смысл сверхпроводимости, но и основные ее особенности Изо-
топический эффект указывал иа то, что сверхпроводимость связана с особым, эффек-
тивным взаимодействием между электронами, которое происходит с участием кристал-
лической решетки и приводит к исчезновению удельного электрического сопротивле-
ния.
Рассмотрим подробнее характер этого взаимодействия. Электрон, движущийся
в металле прн низких температурах, может электрическими силами деформировать —
поляризовать кристаллическую решетку Наблюдается некоторое смацтие положите-
льно заряженных ионов из их положений равновесия и некоторое изменение периодич-
ности структуры решетки Это существенно изменяет состояние электрона в такой
решетке Электрон оказывается окруженным «облаком» положительного заряда, при-
тягивающегося к электрону Величина этого положительного заряда превышает элект-
ронный заряд. Тахой электрон вместе с окружающим его «облаком» имеет положи-
тельный заряд и будет притягиваться к другому электрону При высоких температурах
ничего этого происходить не может Интенсивное тепловое движение разбрасывает
частицы, ликвидирует деформацию и поляризацию решетки, размывает «облако»
положительного заряда и эффект межзлектронного притяжения прекращается
3.	Заметим, что притяжение электронов друг к другу в веществе не противоречит
законам физики Закон Кулона описывает взаимодействие зарядов в веществе форму-
лой Fr*9t92/(4*coer1) Если среда допускает, чтобы относительная диэлектрическая
602
проницаемость была отрицательной (с<0), то одноименные заряды будут притяги-
ваться. Кристаллическая решетка сверхпроводника является средой, в которой от-
носительная диэлектрическая проницаемость становится отрицательной и тем самым
одноименные заряды притягиваются.
4.	Межэлектронное притяжение в сверхпроводнике может быть качественно описало в понятиях
и терминах квантовой теории. Для простоты рассмотрим металл при О К. Движение электронов
в кристалле, их столкновения с ионами решетки нарушают нулевые колебания частиц решетки
и переводят решетку в возбужденное состояние. Обратный переход решетки сопровождается
излучением энергии, которая поглощается электронами. Возбужденному состоянию кристал-
лической решетки соответствуют, как мы знаем, кванты энергии звуковых частот - фононы.
Поэтому процесс обмена энергией, о котором шла речь, рассматривается в квантовой теории как
излучение фонона одним электроном, движущимся в решетке, и поглощение этого фонона другим
электроном. Обмен электронов фононами приводит при определенных условиях к притяжению
между электронами. При низких температурах это притяжение у сверхпроводников преобладает
над отталкиванием электронов. Вся система электронов превращается в единый свячяяяый
кохтектив. Энергетический спектр такой хтектрониой системы уже не будет непрерывным. Воз-
бужденное состояние отделено от основного состояния некоторым интервалом энергии, некото-
рой энергетической «щелью». Квантовые переходы электронной системы не происходят при
малых возбуждениях, меньших ширины энергетической щели. А это значит, что вся электронная
система движется без трения. Это и означает отсутствие электрического сопротивления. Если же
возбуждение электронной системы значительно, например по сверхпроводнику пропущен ток,
превышающий критический, то сверхпроводящее состояние разрушается. Теория сверхпроводи-
мости объяснила, почему хорошие проводники типа меди, серебря и т. д. не переходят в сверхп-
роводящее состояние при самых низких температурах
5.	Хорошая проводимость, связанная с малым удельным сопротивлением, является результатом
слабого взаимодействия электронов с решеткой Такое слабое взаимодействие не может вблизи
О К создать условия дтя возникновения межхтектронного притяжения, преодолевающего куло-
новское отталкивание электронов. Поэтому сверхпроводящее состояние не возникает. Межэлегг-
ронное притяжение, которое приводит к сверхпроводимости, подчиняется определенным законо-
мерностям Важнейшей из них является то, что данный электрон неодинаково притягивается ко
всем остальным, причем близость расположения не играет никакой роли. Данным хтектроном
будет выбран в качестве «партнера» в паре другой электрон, имеющий противоположный спин
Этот второй электрон может быть расположен от первого на расстоянии порядка 10"* см, т. е.
электроны в паре находятся друг от друга на расстоянии 10* периодов решети. И тем не менее
взаимодействие этой пары наиболее сильное. Поэтому весь сверхпроводник представляет собой
единый связанный кохтектив, который не отдает энергию малыми порциями и движется без
электрического сопротивления. В сверхпроводниках наблюдается редчайший в физике пример
дальней связи. Электронная система в сверхпроводнике представляется состоящей из си ням П
нар, которые называются куиеровосимя (по имени Купера, доказавшего, что слабое притяжение
между хтектронами в метахте приводит к их связанному состоянию). Возбуждение электронной
системы сверхпроводника, переводящее сверхпроводник в обычный проводник, является результа-
том разрыва куперовских пяр Состояние электронов в металле непрерывно изменяет» и постоян-
но меняются наборы пар.
§ 42.6.	Понятие об эффектах Джозефсона
1.	Б. Джозефсоном была предсказана (1962) возможность обнаружения двух необыч-
ных эффектов, которые вскоре были экспериментально обнаружены, и их изучение
активно продолжается в настоящее время. Различают гтпциппярт ifl  вести 1Жми1рпчй
эффекты Джозефсона, которые наблюдаются при включении в цепь источника постоян-
ной э.д.с. контакта Джозефсона, образованного двумя сверхпроводниками, которые
разделены тонким слоем (~10 ’м) диэлектрика. Электроны проводимости проходят
через контакт благодаря туннельному эффекту. Если электрический ток через контакт
Джозефсона нс превышает некоторого значения 7^,, называемого критическим током
контакта, то падение напряжения на контакте равно нулю (стационарный эффект
Джозефсона).
Нестационарный эффект Джозефсона наблюдается при пропускании через контакт
Джозефсона тока /> /,р. В этом случае на контакте возникает падение напряжения U,
и контакт излучает электромагнитные волны.
2.	Излучение электромагнитных волн возможно только переменным током. Следова-
тельно, через контакт Джозефсона при постоянном падении напряжения протекает
603
переменный ток. В этом состоит физическое своеобразие нестационарного эффекта
Джозефсона Частота излучения v связана с пяту пням напряжения U соотношением
v^TjeUjh, где — е — заряд электрона. Причина излучения состоит в следующем. Объ-
единенные в пары электроны, создающие сверхпроводящий ток, при переходе через
контакт приобретают дополнительную по отношению к основному состоянию сверхп-
роводника энергию 2eU. Единственная возможность для пары электронов вернуться
в основное состояние сверхпроводника — это излучить фотон с энергией Av—2eU,
откуда v^leUfh.	,
3.	Нестационарный эффект Джозефсона является экспериментальным доказатель-
ством существования электронных пар в спарж прлплдиияя т Об этом говорит удвоен-
ный заряд электрона в выражении для частоты v излучения. Однако эффекты Джозеф-
сона имеют и общефизическое значение для всей квантовой физики. В этих эффектах
индипмдуя пкная квантово-механическая характеристика электрона — свойство его
волновой функции — проявляется в макроскопических эффектах — токе и излучении
В квантовой механике доказывается, что плотность тока J пропорциональна градиенту
фазы волновой функции*. В обычных металлах при отсутствии в них электрического
поля макроскопического тока нет. В металлах при случайных изменениях разностей
фаз волновых функций среднее значение плотности тока равно нулю. Аналогичная
ситуацию наблюдается в оптике, где при случайных изменениях разности фаз води
отсутствует интерференция.
В эффекте Джозефсона впервые в истории физики экспериментально обнаружено,
что макроскопическое явление — электрический ток —- определяется микроскопичес-
кой характеристикой — фазой волновой функции и квантуется, принимая лишь диск-
ретные значения. При этом «размываются» границы между макро- н микрофизикой.
§ 42.7.	Квантование магнитного потока
[макроскопический квантовый эффект]
1.	Одно из важнейших положений квантовой физики состоит в квантовании ряда
физических величин (энергии, импульса и др ) Однако до недавнего времени пред-
полагалось, что квантование происходит только в микромире и свойственно процессам
в атомах, молекулах, атомных ядрах и т. п. Считалось, что в макроскопических
объектах, состоящих из колоссального числа частиц, квантовые свойства отдельных
частиц не проявляются из-за их хаотического теплового движения, которое «смазыва-
ет» квантовые закономерности.
2.	Изучение явлений, происходящих при температурах, близких к О К, показало, что
возможно imrpnrunTMori кваитовапе, т. е квантование величин, характеризующих
макроскопические тела, размеры которых в 10s раз больше атомных размеров Вблизи
0 К оказывается возможным непосредственное наблюдение квантовых закономер-
ностей
Рассмотрим этот вопрос на примере электрического тока, протекающего по сверх-
проводящему металлическому кольцу. Опыт показывает, что ток становится незатуха-
ющим вследствие того, что ток в сверхпроводнике течет без сопротивления и потери на
джоулеву теплоту отсутствуют. Однако с точки зрения классической физики отсутствие
затухания тока в кольце остается необъяснимым. Движение, электронов в кольце
криволинейное, и элаггроны должны терять энергию на излучение. Из-за этого ток
даже в сверхпроводящем кольце должен затухнуть**.
3.	Вспомним, что в атоме водорода в аналогичной ситуации Бор ввел квантовые
постулаты и это было началом развития квантовой физики атома. Оказывается,
сверхпроводимость дает вам пример квантования макроскопической величины — силы
тока Сверхпроводящее кольцо позволяет наблюдал. гигантский по масштабам кван-
товый эффект. Сила тока в сверхпроводящем кольце не принимает любые числовые
значения и не изменяется непрерывно. Для всех электронов, движущихся в кольце,
возникает гигантская воровская орбита и все квантовые закономерности, харакгеризу-
'Напоыним, что понятие о фазе волновой функции введено в J 37 6
••Предположение о том, что излучения отдельных электронов гасят друг друга, не оправды
вается
604
ющие ее в атоме водорода, как бы переносятся на электроны в сверхпроводящем
кольце.	_____
4.	Сверхпроводящий ток, как и всякий ток, связан с магнитным полем. Поэтому
квантование тока означает, что и индукция магнитного поля также квантуется и может
принимать только ряд дискретных Значений. Следовательно, будет квантоваться и маг-
нитный поток Ф сквозь площадь № кольца*. Другими словами, Ф=ЛГ4^, где N —
целое число, Фо — некоторая минимальная порция — квант магнитного потока. Маг-
нитный поток — макроскопическая величина, и возможность его квантования означает
переход к гигантским по сравнению с атомными масштабам квантования.
5.	Вычислим величину кванта магнитного потока. Для этого применим условие
квантования Бора к электронам, движущимся в кольце:
mvr=Nh,
где г — радиус кольца, в котором циркулирует сверхпроводящий ток. Так как радиус
г кольца задан, то написанное условие нужно рассматривать как условие квантования
импульса p=mv. Квантование импульса означает, что скорость, ток, а следовательно,
и магнитный поток квантуются. Найдем связь р и Ф. Энергия тока, текущего по
контуру с индуктивностью L, равна	а магнитный поток Ф=£7. Следовате-
льно, W^/2№.
Сила тока, создаваемая в кольце л электронами, движущимися со скоростью я,
равна Z=nei)/(2w). Таким образом,
1Р=Флл/(2яг 2).
С другой стороны, энергия л электронов, движущихся по кольцу со скоростью v,
равна
W= 1/2nmv2=1l2npv.
Из двух последних формул находим, что импульс электрона в сверхпроводящем кольце
p=<bel(1nr).
В сверхпроводнике электроны разбиваются на пары, поэтому импульс электронной
пары р=Фе/(яг). Тогда
Фе/я=-АЛ/(2я),
откуда Ф=АФо, где ЛГ—1, 2, 3..Фо=А/(2я)=2,06785 10“15 Вб — квант магнитного
потока.
Если радиус кольца г~10-э см, то при магнитном потоке Ф=Ф0 магнитная
андукция поля составляет порядка 1% от индукции магнитного поля Земли, т. е. квант
магнитного потока соответствует макроскопическому значению магнитной индукции.
Экспериментально квант магнитного потока определен с весьма высокой степенью
точности на основе эффекта Джозефсона.
§ 42.8.	О некоторых применениях сверхпроводимости в науке и технике
1.	В последние годы, особенно после создания теории сверхпроводимости, интенсивно
развивается техническая сверхпроводимость.
Явление сверхпроводимости используется для получения сильных магнитных по-
лей, поскольку при прохождении по сверхпроводнику сильных токов, создающих
сильные магнитные поля, отсутствуют тепловые потери. Однако в связи с тем, что
магнитное поле разрушает состояние сверхпроводимости, для получения сильных
магнитных полей применяются особые сверхпроводники Ц родя, предсказанные А. А.
Абрикосовым. Это некоторые сплавы, тонкие сверхпроводящие пленки. В такие сверх-
♦Мы пренебрегаем неоднородностью поля по сечению кольца.
605
проводники магнитные поля, превышающие критические, проникают в вещество в виде
нитей, пронизывающих образец Вещество между нитями оказывается сверхпроводя-
щим, и сильные токи могут привести к созданию сверхсильных Магнитных полей
Широкое распространение имеют магниты, основанные на сверхпроводящих солено-
идах
В настоящее время космонавты часто оказываются в зоне повышенной радиации
Для защиты от нее необходимо магнитное поле, искривляющее траекторию заряжен-
ных частиц и «уводящее» радиацию. С этой целью на космическом корабле должна
находиться установка, создающая магнитную защиту с помощью сверхпроводящих
соленоидов.
2.	Сверхпроводники применяются при создании вычислительных маптпи Сверхпрово-
дящий ток является незатухающим Поэтому его можно использовать в качестве
прекрасного запоминающего устройства, хранящего большие и легко считываемые
запасы информации Скорость « дгтшмипяпия» сверхпроводящих устройств весьма
велики Они в состоянии за 10~а с выбрать нужную информацию из 10” ее единил
В вычислительной технике используется двоичная система Пребывание сверх-
проводников в двух состояниях — нормальном или сверхпроводящем — и быстрота
их перехода из одного состояния в другое под действием изменения температуры или
магнитного поля позволяют использовать сверхпроводники в качестве элементов
вычислительных мял»™ Сверхпроводники используются в качестве переключающих
устройств, работающих с высокой скоростью прн малых затратах мощности В подо-
бных устройствах — криотронах — скорость переключения достигает 2 нс Высокая
скорость и простота устройства лежат в основе использования сверхпроводящих
криотронов в вычислительной технике
3.	Сверхпроводники, в толщу которых не проникает магнитное поле, характеризуются
механическим отталкиванием (вспомните «гроб Магомета»), и им пользуются для
сверхпроводящих подвесов. Такие подвесы применяются в гироскопах, двигателях
и других устройствах Принцип механического отталкивания положен в основу созда-
ния электрических машин, к.пд которых благодаря свойствам сверхпроводников
близок к 100% В этих машинах вращающаяся часть — ротор — выполнена в виде
шестиугольного сверхпроводящего стаканчика Дна магнитика, вращающиеся по окру-
жности статора, отталкивают от себя сверхпроводящий ротор, приходящий во враще-
ние, угловая скорость которого доходит до 20000 об/мин и может быть аде большей.
Вопросы:
1. Чем отличается квантовая творю электропроводности металлов от классической теории?
2. Как в квантовой теории электропроводности
электропроводности от температуры?
*. В чем состоит явление сверхпроводимости
явления?
4. Расскажите о квантовании магнитного потока
•. Расскажите о эффектах Джозефсона.
металлов объясняется зависимость удельной
и каковы физические основы теории этого
Глава 43
Зонная теория твердых тел
§ 43.1.	Исходные представления зонной теории твердых тел
1.	В гл. 42, рассматривая квантовую теорию электропроводности металлов, мы
исходили из модели металла в форме потенциального «япрдя» с плоским «дном».
К электронам проводимости применялась квантовая статистика Ферми — Дирака, но
совершенно не учитывалось, что положительные ионы кристаллическое решетки созда-
ют в металле электрическое поле. Кроме того, не обсуждался вопрос о том, как
в квантовой теории металлов следует понимать возникновение электронов проводимо-
сти. Почему в кристаллах металлов свободные электроны существуют, а в кристаллах
диэлектриков их нет, хотя в газообразном состоянии все вещества являются диэлектри-
ками. Квантовая теория твердых тел должна была объяснить, почему щелочные
металлы, например натрий, атомы которого имеют всего лишь по одному валентному
электрону,— проводники, а алмаз — диэлектрик, хотя атом углерода имеет четыре
валентных электрона. Наконец, теория должна была объяснить, почему существует
большой класс веществ — полупроводмен, удельная электрическая проводимость ко-
торых изменяется в широких пределах и резко по зитпонендия пьному закону растет
с увеличением температуры.
2.	На все эти и ь^ногие другие вопросы ответы были получены в эонов теорм твздшх
тел В этой теории твердое кристаллическое тело рассматривается как строго пери-
одическая структура, в которой ионы создают электрическое поле. Задача состоит
в описании поведения электронов в этом поле. Точное решение уравнения Шредингера
для такой системы множества частиц невозможно. Существуют два, казалось бы,
диаметрально противоположных метода решения задачи, которые, однако, приводят
практически к одинаковым результатам. Первый метод — приближение, исходящее из
связанных электронов (приближпае сильной связи). В этом методе принимается, что
имеется совокупность большого числа изолированных атомов, у каждого из которых
электроны имеют свою систему дискретных энергетических уровней. Считается, что
энергия связи электронов со «своими» атомами значительно больше, чем их кинетичес-
кая энергия перемещения в кристаллической решетке. Рассматривается, что происходит
с энергетическими уровнями по мере сближения изолированных атомов и образования
из них кристалла. Связь электронов со своими атомами так сильна, что лишь валент-
ные электроны прн сближении атомов на расстояния, сравнимые с размерами атомов,
переходят от одного атома к другому.
3.	Второй метод исходит из приближения свободных электронов (иряблкж^ме слабой
связи). Этот метод развивается на основе предположения о том, что энергия взаимо-
действия электронов с решеткой много меньше их кинетической энергии. Это позволя-
ет трактовать электрон как свободный и пользоваться уравнением Шредингера для
свободных электронов, учитывая, однайо, что электроны движутся в периодическом
поле кристаллической решетки.
§ 43.2.	Энергетические зоны в кристаллах
в приближении сильной связи
1.	В изолированном атоме имеются дискретные энергетические уровни энергии И7,
Считается, что они зависят от главного п и орбитального I квантовых чисел. Считается
также, что энергетические уровни, соответствующие различным значениям магнитного
т и спинового т, квантовых чисел, совпадают. Как обычно говорят, энергетические
уровни вырождены по квантовым числам т и mt.
607
Рис 43.1
Рис. 43.2
Энергетические уровни электронов в атомах, находящихся в возбужденных состоя-
ниях, имеют конечную ширину ДИ^ ь связанную с соотношением не о пр еде пен и лети
для энергии н времени. Согласно второй из формул (37.15) имеем
ДИл
Время жизни атома в возбужденном состоянии т„ совпадает с временем жизни электро-
на в этом состоянии, ч„х 10"8 с. В § 39.7 обсуждался вопрос о значении т» и естествен-
ной ширине энергетического уровня ДИ^
,~Л/тя«10-25 ДжиЮ-6 эВ.
Как видно, эта ширина гораздо меньше, чем расстояние между уровнями, имеющее
порядок величины ~ 1 эВ.
2.	В газе (рис. 43.1) соседние атомы А а В удалены друг от друга на расстояние L» d,
где d - диаметр атома. Потенция пт-кий барьер для валентных электронов а и b в со-
седних атомах слишком широк, так что вероятность просачивания электронов сквозь
него практически равна нулю. Электроны «принята ны» к своим атомам, так что в газе
нет свободных электронов — носителей тока. Поэтому все вещества в газообразном
состоянии ведут себя как диэлектрические среды до тех пор, пока внешние воздействия
не вызовут их ионизацию.
Иначе обстоит дело при переходе вещества в конденсированное состояние. В кри-
сталлах расстояния между атомами столь мало (L~d~10-10 м), что происходит
перекрытие их электрических полей. Потенциальные кривые, разграничивающие сосед-
ние атомы, частично накладываются друг на друга и дают потенциальные кривые для
электронов типа 12 (рис. 43.2). Из рисунка видно, что происходит понижение
и сужение потенциального барьера для валентных электронов атомов. В этих условиях
существенную роль играет туннельный эффект, с помощью которого электрон «ухо-
дит» от своего атома и переходит к соседнему.
3.	Будем для упрощения вычислений считать, что потенциальный барьер прямоуголь-
ный. Тогда прозрачность барьера можно вычислить по формуле (37.39):
П~ехр------y/2m(U0—JV) I.
Л	I
Для нашего случая толщина потенциального барьера d~ 10 10 м. Тогда при Uo— Wa
эВ~ 10-18 Дж расчет прозрачности барьера приводит к результату £>«0,05.
Найдем частоту v просачивания валентного электрона сквозь потенциальный ба-
рьер. Число ударов электрона о стенки барьера за единицу времени n=v/a, где
и скорость движения электрона в атоме (t~106 м/с), а а~10-10 м ширина
потенциальной «ямы», в которой находится электрон (рнс. 43.3). Частота просачивания
электрона сквозь потенциальный барьер равна
608
v=Dnx-cxp-----^2m(U0— W) I. (43.1)
а Я	I
Подставив числовые значения всех величин,
получим v~5_ 101* с-1. Среднее время жизни
т валентного электрона в данном атоме есть
величина, обратная частоте v: т= l/v~2‘ 10“15 с.
Как видим, т в этом случае на семь порядков
уменьшается по сравнению с временем жизни	Р|ЧС 43 3
валентного электрона в возбужденном состоя-
нии изолированного атома. При таких значениях т не имеет смысла говорить о принад-
лежности валентных электронов к определенным атомам. Они становятся «обобществ-
ленными», упп петтпвичирлйя иными и образуют квантовый электронный газ. Эти
электроны могут перемещаться по всему кристаллу.
4.	Найдем расширение энергетического уровня &W электрона, связанное с резким
уменьшением времени жизни в результате взаимодействия атомов в кристалле. По
соотношению неопределенностей,
ДИ^Л/таЗЮ1’ Дж x 2 эВ.
Узкий энергетический уровень валентного электрона в изолированном атоме расширя-
ется в кристалле в широкую полосу — зону разрешешых значений энергии электронов
шириной порядка единиц электрон-вольт (рис. 43.4). Разрешенные энергетические зоны
1 отделены друг от друга зонами 2 запрещенных значений энергии электронов (рис.
43.5). Разрешенная зона тем шире, чем больше энергия W„ t электрона на соответст-
вующем уровне в изолированном атоме. Возможные значения энергий электронов
в пределах разрешенной энергетической зоны квантованы, т. е. дискретны, а общее
число их конечно. В кристалле, состоящем из N атомов, уровню энергии j изо-
лированного атома соответствует зона, состоящая из (21+ 1)N дискретных уровней, на
каждом из которых может находиться не более двух электронов с антипараллельными
спинами.
5.	Для электронов' внутренних оболочек атомов вероятность туннельного перехода
электрона от одного атома к другому оказывается очень малой. Это связано с умень-
шением прозрачности потенциального барьера, в результате чего частота v просачива-
ния электрона сквозь потенциальный барьер становится ничтожно малой. Например,
609
для электрона атома Na в основном состоянии 10 а7 с-1 н соответственно среднее
время жизни такого электрона у данного атома т» 1О20 лет. Следовательно, электроны
внутренних оболочек атомов в кристаллах также прочно связаны со «своими» атома-
ми, как и в изолированных атомах. Энергетические уровни этих электронов в кристалле
такие же узкие, как и в отдельно взятом атоме.
§ 43.3.	Металлы, диэлектрики и полупроводники
1.	В зонной теории различные типы твердых тел по электрическим свойствам отлича-
ются характером расположения разрешенных н запрещенных зон энергий, а также
различным заполнением зон электронами. Заметим, что ширина разрешенных зон
энергии возрастает с ростом энергии Wn , электрона в изолированном атоме, а ширина
запрещенных зон при этом уменьшается. Для достаточно высоких уровней энергии
электронов изолированных атомов образовавшиеся из них энергетические зоны иногда
перекрывают друг друга.
В зонной теории твердого тела различия в электрических свойствах разных типов
твердых тел объясняются шириной запрещенных энергетических зон и различным
заполнением разрешенных энергетических зон. Запрещенные зоны могут разделять
разрешенные или вообще отсутствовать, если разрешенные зоны перекрывают друг
друга. На рис. 43.6 нижняя разрешенная зона перекрывается верхней разрешенной
зоной. Образуется гибридная зона.
2.	В изолированном атоме дозволенные квантованные энергетические уровни могут
быть заняты электронами или быть свободными. Соответственно в твердом теле
энергетические эоны могут иметь различное заполнение электронами.
Подобно тому, как в отдельном атоме электроны могут переходить с одного
энергетического уровня на другой, Электроны в кристаллах могут переходить из одной
разрешенной зоны в другую, а также совершать переходы внутри одной и той же зоны.
Для перехода электрона из нижней Энергетической зоны в соседнюю верхнюю раз-
решенную зону необходима энергия,- равная ширине запрещенной зоны, лежащей
между ними, т. е. энергия порядка нескольких электрон-вольт.
3.	Определим изменение энергии электрона, находящегося на некотором уровне
в разрешенной зоне, под действием внешнего электрического поля с напряженностью
Е. Энергия, приобретаемая электроном на длине свободного пробега, ДИл~е£'(А>.
Средняя длина свободного пррбера электрона в кристалле 102</~ 10-8 м, где
d — период кристаллической решетки,(</~ 10-10 м). Даже в'очень сильном электричес-
ком поле с напряженностью	В/м AFK-—10“3 эВ. сУто, значительно меньше
ширины запрещенной зоны, разделяющей соседние разрешенные эоны. Таким образом,
под действием электрического поля электроны могут совершать только внутризонные
переходы. Повышение температуры приводит к передаче электрону энергии, достаточ-
ной для его перехода в расположенную выше разрешенную зону. Вместе с тем тепловой
механизм возбуждения приводит к внутризонным переходам электронов.
4.	Необходимым условием электрической проводимости твердого тела является
наличие в разрешенной зоне свободных энергетических уровней, на которые внешнее
электрическое поле могло бы перевести электроны.
Рис. 43.7
610
Зона, заполнения электронами частично или пустая (при Т=0 К), называется зоной
проводимости. Самая верхняя зона, целиком заполненная электронами (прн Т=0 К),
называется валентной зоной.
Если зона проводимости заполнена частично и содержит свободные верхние, не
занятые электронами уровни, твердое тело будет проводником. Например, в метал-
лическом натрин зона проводимости заполнена наполовину (рис. 43.7), этому соответ-
ci пует наполовину занятый верхний стационарный энергетический уровень валентного
одиннадцатого электрона в изолированном атоме Na. Проводником твердое тело
будет также в том случае, если имеется перекрытие зон и образование гибридной зоны,
причем нижняя зона заполнена; а верхняя пуста, но перекрывается нижней (рис. 43.6).
Примером таких проводников являются щелочно-земельные металлы.
5.	Зонная теория позволила объяснить, почему увеличение валентности металла, т. е.
увеличение числа «свободных» электронов, приходящихся на один атом, не вызывает
соответствующего возрастания электропроводности. Так, например, удельная элект-
рическая проводимость трехвалентного алюминия почти вдвое меньше, чем удельная
проводимость одновалентной меди. Оказалось, что электро-
проводимость твердого тела зависит не от числа валентных
электронов, а от отношения числа электронов в эоне прово- № 
дпмости к общему числу энергетических уровней в этой зоне.
У твердых днэлектрмсов энергетические эоны не перекры-
ваются, причем валентная эона отделена от зоны проводи-
мости интервалом энергии условно более 2 эВ. Примером
такого тела является кристаллическая поваренная соль
NaC. В молекуле NaCl внешний (валентный) электрон ато-
ма Na переходит на внешнюю оболочку С1. В результате
этого образуются иоиы Na+ и Cl с полностью застроен-,
дыми электронными оболочками. Поэтому в кристалле	р _
NaCl валентная зона хлора и лежащая выше зона проводи-	ис
мости иона натрия (рис. 43.8)* так расположены, что «расстояние» между этими
зонами Na+ и С1 равно 6 эВ- Следовательно, внешнее электрическое поле не может
перевести электроны из целиком заполненной зоны С1~ в свободную зону проводимо-
С1и Na +
6. В твердых диэлектриках электроны могут перемещаться по кристаллу с тепловыми
скоростями. Однако это движение хаотично и не создает направленного электронного
«дрейфа» электрического тока. Поэтому электроны в кристаллах диэлектриков сле-
дует считать в некотором смысле более свободными, чем в металлах; внешнее элект-
рическое поле не может заставить их двигаться в определенном направлении и создать
электрический ток. Таким образом, современные представления о строении диэлект-
риков совершенно отличаются от представлений о связанных зарядах, лежащие в ос-
нове классической теории диэлектриков.
§ 43.4.	Собственная проводимость полупроводников
I
1.	Между металлами с удельным сопротивлением 10~6' 10 в Омм и диэлектри-
ками с удельным сопротивлением 10”	1013 Ом-м находится много материалов,
относящихся к полупроводникам , удельное сопротивление которых изменяется в широ-
ком интервале от 10 5 до 10е Ом м. Почти вся окружающая иас природа состоит из
полупроводящих веществ. Оксиды металлов, сульфиды, теллуриды и селениды многих
металлов имеют полупроводниковые свойства. В периодической системе Д. И. Мен-
делеева полупроводники образуют компактную группу элементов, показанную на рис.
43.9. Слева и снизу от полупроводниковых элементов находятся металлы, справа
и сверху расположены элементы, которые в твердом состоянии являются диэлектри-
ками. К типичным представителям полупроводников относятся германий, кремний
и теллур. Германий один из наиболее широко применяемых полупроводниковых
элементов. Он расположен в IV группе и IV периоде периодической системы элементов.
32 электрона его атома распределены так, что на внешней оболочке имеется четыре
валентных электрона. Д кристалле германия' электроны соседних атомов вступают
*На этом и последующих рисунках валентная зона окрашена темно-серым цветом, а зона
проводимости светло-серым.
611
С 5,2
УГЛЕРОД
Si ”
КРЕМНИИ
’’Се®5
ГЕРМАНИЙ
5‘Snff-r
ОЛОВО
1Б-Ч
S 2*
СЕРА
ФОСФОР
мышьяк СЕЛЕН
Sb«?
СУРЬМА
Рис. 43.9
’’re»
ТЕЛЛУР
55
КОД
в химические, или ковалентные, связи (рис. 43.10), так что «свободных» электронов при
7=0 К в чистом германии нет.,-Поэтому он должен быть хорошим изолятором.
Германий весьма рассеян в природе и является дорогостоящим элементом.
Большое значение в современной полупроводниковой технике имеет кремний. 14
электронов его атома распределены так, что четыре из них, как и у германия, находятся
на внешней оболочке. Они также вступают в химические связи с электронами соседних
атомов.
2. Полупроводник называется беспримесным, если он йдеально химически чист и име-
ет идеально правильную кристаллическую решетку. Его проводимость называется
собственной проводимостью полупроводника.
Для возникновения собственной проводимости
полупроводника необходимо, чтобы в нем появились
носители тока, способные под действием внешнего
электрического поля увеличить свою энергию
и прийти в упорядоченное движение (дрейф). Это
условие выполняется, если часть электронов «пере-
брасывается» из валентной зоны в эону проводимо-
сти эа счет сообщения каждому из них энергии, не
меньшей ширины ДИц запрещенной зоды. Величина
ДНо называется энергией активации собственной про-
Рис. 43.11	воднмости. Она, как будет видно из дальнейшего,
является важнейшей характеристикой электрических
свойств полупроводника. Значения энергии активации ДЙо (в эВ) полупроводниковых
элементов указаны на рис. 43.9 цифрами в кружках. Рис. 43.11 иллюстрируют различие
в величинах энергии активацИи у диэлектриков (рис. 43.11, a AFP0>2 эВ) и полупровод-
ников (рис. 43.11, б Д1Го<2эВ).
3. Замечательная особенность электрических свойств полупроводников, используемая
в ряде высокочувствительных приборов, состоит в том, что при обычных температурах
их удельное электрическое сопротивление р быстро уменьшается с повышением тем-
пературы Т по закону: p~exp(a/fc7)> W а — постоянная для данного полупроводника
величина, а к — постоянная Больцмана. В этом отношении полупроводники ведут себя
противоположно металлам, удельное электрическое сопротивление которых растет
с увеличением температуры по линейному закону (§ 18.4).
4. Зонная теория позволила объяснить существование таких свойств у кристалличес-
ких тел со сравнительно небольшим значением энергии активации собственной прово-
димости ДИ^, т. е. у полупроводников. Полупроводник не проводит электрический ток,
т. е. ведет себя как диэлектрик лишь прн сравнительно низкой температуре, когда его
валентная зона целиком заполнена электронами, а вышележащая зона проводимости
пуста. Однако с повышением температуры возрастает вероятность переброса электро-
нов из валентной зоны в зону проводимости в результате теплового возбуждения (рис.
612
43.12). При этом вблизи «потолка» валентной зоны образуются вакантные (не занятые
электронами) энергетические уровни. Поэтому собственная проводимость полупровод-
ника обусловлена как электронами, перешедшими в зону проводимости и называ-
емыми электронами проводимости, так и электронами, оставшимися в валентной зоне.
Концентрация электронов проводимости и вакантных мест в валентной зоне быстро
увеличивается с ростом температуры. Соответственно, быстро увеличивается удельная
электрическая проводимость полупроводника и уменьшается его удельное электричес-
кое сопротивление.
5. Таким образом, переброс электронов из валентной зоны (вблизи ее «потолка»)
в зону проводимости (рис. 43.12) и возникновение вакантных уровней в валентной зоне
создают предпосылки для электрической проводимости полупроводника. При наличии
внешнего электрического поля эти предпосылки реализуются. В кристалле на носители
заряда (электроны) действует ие только внешнее электрическое поле, но также еще
и периодическое внутреннее электрическое поле кристалла. Действие поля кристалла
можно учесть введением понятия об эффективной массе элаетроиа т*. Эта масса
вводится так, чтобы в ней учитывалось действие на электрон внутреннего поля
кристалла и чтобы можно было считать, что электрон с эффективной массой т*
движется только под влиянием одного внешнего поля.
в. Понятие эффективной массы т* электрона можно пояснить на механической анало-
гии. Представим себе, что в сосуде с жидкостью плотностью До П°Д действием силы
тяжести P=mg движется шарик, плотность которого р (рис. 43.13). Кроме силы
тяжести на шарик действует архимедова сила, которая играет роль «внутренней» силы.
Ilq второму закону Ньютона,
ma=P+FBjn=njg-mpog/p=mg(l —ptJpY
Можно ввести эффективную массу т*=---------так, чтобы движение рассматривалось
(1-Ро/р)
происходящим только под действием силы тяжести:

Видно, что эффективная масса т* может быть положительной или отрицательной
в зависимости от соотношения плотностей р0 и р. Удобство введения эффективной
массы т* электрона зависит от Того, постоянна ли она при изменении энергетического
состояния электрона. Оказалось, что m* «const для электронов, находящихся на «дне»
зоны проводимости (т*>0) и у «потолка» валентной зоны (т*<0).
Движение огромного числа электронов в валентной зоне полупровбдника под
действием электрического поля удобно описывать с помощью квазичастиц — дырок.
Вакантные состояния в валентной зоне можно рассматривать как совокупность двух
Рис. 43.12
Рис 43.13
613
частиц — электрона и дырки, обладающих численно равными
н противоположными по знаку электрическими зарядами, эффек-
тивными массами, спинами и другими характеристиками:
9э+9д=0; "1*э+/и*д=0, т. е. дэ=е>0, т\= -т*э>0.
Введение на вес вакантные места валентной зоны электронов пре-
вращает эту зону в нацело заполненную электронами, так что
проводимость можно считать обусловленной только электронами
в зоне проводимости и дырками в валентной зоне. Во внешнем
электрическом поле электроны зоны проводимости движутся про-
тив направления вектора Е, а дырки в валентной зоне — по направ-
лению вектора Е.
В дальнейшем будем отсчитывать энергию электронов W3 от
«дна» зоны проводимости, а энергию дырок Wa — от «потолка» валентной зоны (рис.
43.14). Росту энергии дырки соответствует се опускание в валентной зоне, т. е. опуска-
ние вакантного места.
7. Плотность тока j при собственной проводимости полупроводника складывается из
плотности тока электронов и дырок:
]=1э+]д-	(43.1')
Обозначим равные друг дфугу концентрации электронов н дырок п<ь=под=по
и средние скорости упорядоченного движения электронов и дырок и <*д). Тогда
j»= - eno, <v,>, )д= еяод <*д>-
Если ввести подвижности электронов и дырок и, и иа
<v»>=-uE, <*д>=идЕ,
то найдем
j=en0(us+uA)E.	(43.2)
Мы получили закон Ома в дифференциальной форме для собственной проводимо-
сти полупроводника. Удельная электрическая проводимость
у=ел0(иэ+ид).	(43.3)
Найдем концентрацию По носителей заряда при собственной проводимости полу-
проводника. При комнатных температурах по невелика, так как энергия активации
собственной проводимости &W0» кТ. Поэтому электроны в зоне проводимости и дыр-
ки в валентной зоне являются невырожденными газами и параметр вырождения для
них по формуле (41.21) мал: е «1 и е «1. Здесь д, и дд— химические
потенциалы электронов и дырок, функции распределения Ферми — Дирака для элект-
ронов и дырок, по формуле (41.18),
, 1 ______________
7д —	С	,
_ 1___________
Д=е(»'д-яд)/(*П + 1~
Перейдем к вычислению концентрации электронов в зоне проводимости. Число
электронов йлоз в зоне проводимости, соответствующих интервалу энергий от W, до
W3 + dW'3, согласно формулам (41.25) и (41.20), равно
1 Фг
614
Поэтому
dnft,=-
<jg 4яУ
«ЛЕ,” Л3
w3-^
— dw,.
кТ J
(43.4)
Интегрируя (43.4) в зоне проводимости, а точнее по РГ, от 0 до со, находим
2 /-»
поз= - (2пт*кТ) е
h
Аналогично получается выражение для концентрации дырок в валентной зоне:

(43.5)
(43.6)
Для того чтобы выразить концентрацию носителей заряда через энергию активации
А Ир собственной проводимости, надо связать с ней химические потенциалы электро-
нов и дырок.
В. В валентной зоне
,	(И'э-^П
1	е
е	+1 е	+1 е
1
Равенство fR+f3= 1 вытекает из смысла функции f заполнения состояний. В каждом
энергетическом состоянии находится либо электрон, либо свободная вакансия — дыр-
ка, откуда и вытекает написанное равенство. Иначе, по (41.18)
^Д~е(»'д-Ид)/(*П+1’
Следовательно, И-'д—цд= — (Ж,—д,). Кроме того, в валентной зоне Ж„= — W3—АИо,
т. е. JVa+ Ж3= —ДЖС и дд= — (д,+ДЖ0). Формулу (43.6) можно переписать так:
лод=(2/Лэ)(2гап;АТ) е 0/1 'е w	(43.6')
Используем равенство лОэ=лОд=по. Тогда
(2/А3) (2яАТ%/^*)’/1 е“А’МаП.	(43.7)
8. Определим химический потенциал д, электронов в собственном полупроводнике и,
следовательно, положение уровня Ферми. Из равенства
(m*) е =("£) е е
можно получить
ДИ'о 3	т*
р,-------+-fcTln-A	(43.8)
2	4	m*
615
Из формулы (43.8) следует, что при Т=0 К
/i,(0)=-AW2.	(43.8’)
Уровень Ферми расположен посередине запрещен-
ной зоны (рис. 43.15). Если	то при любой
температуре
Мэ(Г)=Мэ(0)= - A»V2=const. (43.8”)
Обычно	(чаще mj>m*) и уровень Ферми
с повышением температуры несколько смещается
Рис. 43.15	вверх при т*>т*, но это смещение невелико, при-
мерно порядка кТ.
Из формулы (43.7) легко установить зависимость удельной электрической проводи-
мости собственного полупроводника от различных факторов:
У=ело(иэ+Цд).
ло-КХГ^е-4™	(43.9)
Подвижность носителей заряда определяется их рассеянием на тепловых колебаниях
решетки, т. е. на фононах, причем можно показать, что	1
и~Г-3/2(т*)-5/2	(43.9)
Если полупроводник не идеально чистый н в нем есть дефекты и примеси, то при
низких температурах основную роль играет рассеяние на ионизированных примесях.
Однако при обычных и высоких температурах подвижность носителей зависит от их
рассеяния на фононах. Из (43.9') и (43.9) следует, что удельная электрическая проводи-
мость собственного полупроводника зависит от температуры по экспоненциальному
закону
y = const(m*mj) [(л£)	+(ш*) ]е	(43.10)
Вклад в у электронов и дырок различен и зто связано с различием их эффективных
масс. В табл. 43.1 указаны подвижности электронов и дырок при 7"= 300 К для
важнейших собственных полупроводников.
Таблица 43.1
Подвижность, м2/(В с)	Полупроводник		
	Si	Ge	InSb
	0,135	0,380	7,700
“д	0,040	0,180	0,130
§ 43.5. Примесная проводимость полупроводников
1. Введение в полупроводник примесей сильно влияет на его электрические свойства.
Под примесями подразумевают как атомы или ионы посторонних элементов, так
и различного рода дефекты и искажения в кристаллической решетке: пустые узлы,
сдвиги, возникающие при деформациях кристалла, трещины и т. п. Все эти примеси
и включения вносят дополнительные изменения в периодическое поле кристалла и вли-
яют на поведение электронов и их энергетические состояния.
Если в основную кристаллическую решетку полупроводника вводятся примесные
атомы, то независимо от того, где эти атомы располагаются в кристалле, возникают
616
дополнительные энергетические уровни, располо-
женные в запрещенной зоне и называемые примес-
ными, локальными энергетическими уровнями.
2. Примеси играют двоякую роль. Они могут слу-
жить, с одной стороны, дополнительными постав-
щиками электронов в кристалл, с другой — цент-
рами покапизятрги имеющихся в кристалле электро-
нов. Рассмотрим, напрймер, что произойдет, если
в решетке германия один его атом замещен атомом
примеси, обладающим пятью валентными электро-
нами (фосфор, мышьяк, сурьма). Четыре электрона
примесного атома будут находиться в химической
связи с соседними атомами германия, а пятый элек-
трон не может образовать валентную связь. Этот
«лишний» электрон слабее связан с атомом, и его
сравнительно легко перевести в зону проводимости
полупроводника.
Рис. 43.16
Энергия «лишних» примесных электронов несколько меньше, чем энергия, соответ-
ствующая низшей границе зоны проводимости полупроводника. Поэтому энергетичес-
кие уровни примесных электронов располагаются вблизи дна зоны проводимости. Эти
уровни заполнены некоторым числом электронов и называются донорными, а атомы
примесей, поставляющие «лишние» * электроны в решетку, называются атомами-до-
норами. Для перевода электронов с донорного уровня в зону проводимости нужна
незначительная энергия ДИ7, активации электронной проводимости, которую он может
получить при тепловом возбуждении.
В результате переброса электронов с донорных уровней в зону проводимости
в полупроводнике возникает электронная примесная проводимость (проводимость п-
типа).
Полупроводники такого типа называются электронными (или полупроводниками
л-типа). На рис. 43.16 показана схема энергетических уровней полупроводника л-типа.
В табл. 43.2 приведены значения ширины запрещенной зоны ДИ^ и энергии активации
проводимости л-типа некоторых полупроводников.
Таблица 43.2
Полу- проводник	Энергия, эВ			
	ДИ'О	ДИ'П		
		Р	As	Sb
Si	1,Ю	0,045	0,050	0,039
Ge	0,72	0,012	0,013	0,010
3.	Предположим, что в решетку германия введен примесный атом с тремя валент-
ными электронами (бор, алюминий, индий). Такой атом не может сформировать
полного комплекта необходимых связей в решетке германия (см. рис. 43.10), так как
у него для этого не хватает одного электрона. Однако он сможет насытить все связи,
если позаимствует электрон у ближайшего атома германия. Тогда на месте электрона,
ушедшего из атома германия, образуется «положительная дырка», которая будет
заполняться электроном из соседнего атома германия. Процесс последовательного
заполнения свободной связи эквивалентен движению «дырки» в полупроводнике.
Трехвалентные примеси приводят к появлению в запрещенной энергетической зоне
примесных энергетических уровней, не занятых электронами. Они называются акцеп-
торными уровнями.
Атомы примесей в этом случае называют атомами-акцепторами. Акцепторные
уровни располагаются несколько выше верхнего края валентной зоны основного кри-
сталла на величину hWf. Эта энергия значительно меньше общей ширины запрещенной
зоны. Поэтому вследствие теплового возбуждения электроны достаточно легко могут
617
переходить из валентной зовы на локальные акцепторные уровни и там закрепляться.
В результате этого освобождаются вблизи «потолка» валентной зоны некоторые
энергетические уровни, прежде занятые электронами. Электроны, оставшиеся в валент-
ной зоне, могут теперь участвовать в проводимости полупроводника, которую, как мы
ухе говорили, удобно рассматривать как дырочную примесную проводимость. Описан-
ный тип примесной проводимости называют также проводимостью р-типя, а полупро-
водники с таким типом проводимости — дырочным полупроводжками, или полупро-
водаиками р-типя.
На рис. 43.17 показана схема энергетических уровней полупроводника р-типа.
В табл. 43.3 для некоторых полупроводников p-типа приведены значения энергии
активации Ъ№р дырочной проводимости.
Таблица 43.3
Полу- ироводяик	Энергия, эВ			
	Д»Гв	ДИ>		
		в	А1	Id
Si	1,10	0,045	0,060	0,070
Ge	0,72	0,010	0,010	0,011
Для выяснения типа проводимости полупроводника (л- или p-тип) или установле-
ния преобладающего типа носителей заряда при смешанной проводимости использует-
ся эффект Холла.
Для полупроводников постоянная Холла R является функцией концентраций и по-
движностей электронов и дырок. Знак постоянной Холла зависит от типа примесной
проводимости. Для л-типа проводимости R<0, для p-типа R>0. Поэтому измерение
постоянной Холла позволяет установить характер примесной проводимости полупро-
водника.
4.	Уровень Ферми при Т—0 К в примесных полупроводниках зависит от типа примес-
ной проводимости.
У л-типа полупроводников Д,(0)= — Основными носителями заряда являют-
ся электроны в зоне проводимости (Электроны проводимости). Неосновными носи-
телями являются дырки в валентной зоне.
У p-типа полупроводников д, (0) = —ДИо+ДИ^/2.
Основными носителями тока* являются дырки в валентной зоне, неосновными —
электроны в зоне проводимости.
Влияние температуры на положение уровня Ферми имеет сложный характер раз-
личный для л- и p-типов примесных полупроводников (рис. 43.18).
♦Термин «носители тока» часто применяется в том же смысле, что и «носители зарядов».
618
Для n-типа полупроводников ц„ сначала растет с повышением термодинамической
температуры, затем убывает, стремясь к —ДИИп/2, когда осуществляется переход
к собственной проводимости полупроводника при достаточно высокой температуре.
Для p-типа примесной проводимости цр сначала убывает с ростом Т, а затем
растет, стремясь к — AHo/2 с аналогичным переходом; ках и для л-типа, к собственной
проводимости при высокой температуре.
5.	Концентрация л0 носителей тока складывается из концентрации носителей при
собственной л“6 и примесной л^ проводимостях:
по—Но +лор.
Каждая из этих концентраций растет с повышением температуры по экспоненциаль-
ному закону
п^~схр[-ДИ/Ф/(2А:7)],
n^-expf-ДИдаТ)].
В первой из этих формул под AH'141 нужно понимать либо ДИ^, либо Д Wp.
При низких температурах основной вклад в концентрацию л0 носителей тока вносит
примесная концентрация ло»л^. При высоких температурах, наоборот, главную роль
играет концентрация носителей собственной проводимости n^Krff.
Когда все донорные и акцепторные примеси в полупроводнике оказываются ис-
пользованными, наступает насыщение примесной концентрации носителей тока. При
этом
<^{лГ или нН,
где п£°“ и nJ" концентрации самих примесей, т. е. донорных и акцепторных атомов.
Удельная электрическая проводимость
y=e[n(huJ-|-noauJ.
§ 43.6.	Фотопроводимость полупроводников
1.	Электрическая проводимость полупроводников, возбужденная электромагнитным
излучением, называется фотопроводимостью.
Фотопроводимость обусловлена внутренним фотоэффектом. В полупроводнике
(или диэлектрике) под влиянием света образуются дополнительные неравновесные
носители тока. Общая удельная электрическая проводимость полупроводника
7 = 7о+7ф,	(43.11)
где yD темновая удельная электрическая проводимость; Уф удельная электрическая
фотопроводимость.
На рнс. 43.19, а показана схема образования электрона фотопроводимости н дырки
у собственного беспримесного полупроводника.
Фотон с энергией hv, равной или большей ширины запрещенной зоны
ДИо(/1У>Д И^о), переводит электрон нз валентной зоны в зону проводимости. При этом
образуется пара электрон в зоне проводимости и дырка в валентной зоне. Они
участвуют в создании собственной фотопроводимости полупроводника. Удельная элект-
рическая проводимость
Уф = епОс{и,<тэ>4-ид<тд>].	(43.12)
Здесь Пос число пар неравновесных носителей — электронов и дырок, генерируемых
светом в единице объема полупроводника за 1 с; <тэ) и (тд) — средние времена жизни
этих носителей.
619
Рис. 43.19
Рис. 43.20
На рнс. 43.19, б, в показано, как создаются носители тока под действием света
в примесных донорных (б) и акцепторных (в) полупроводниках.
В этих случаях фотон с энергией hv, не меньшей энергии активации примесной
проводимости, либо переводит Электрон с донорного уровня в зону проводимости,
либо из валентной зоны Переводит электрон на акцепторный вакантный примесный
уровень.
2.	Требование к энергии фотона	где ЛИ7—эВергия активации соответст-
вующей проводимости, означает, что существует краевая гракяця внутреннего фотоэф-
фекта, которая определяется из условия Лтжр=AFF. Переходя от частоты к длине волны,
получим
A,p=Ac/AFF.	(43.13)
Для собственной фотопроводимости полупроводника при AFF=2 эВ ^=600 нм.
Это соответствует желтому свету. Видимый и ультрафиолетовый свет может вызвать
фотопроводимость не только полупроводников, но и диэлектриков, у которых
А»Р>2эВ.
У примесных полупроводников энергия активации проводимости AFF~0,01 4-0,1 эВ
и Л1р~ 10 ’ ч-10“* м, что соответствует инфракрасной области спектра.
3.	Зависимость фотопроводимости полупроводников от освещенности используется
в фоторезвегорах (фотосопротивлеяиях). На рнс. 43.20 показана схема одного из типов
фотосопротивления. Тонкий полупроводниковый слой 2 наносится на изолирующую
подложку 1. С помощью металлических электродов 3 фотосопротивление включается
в цепь. Защитное лаковое перекрытие 4 предохраняет прибор от внешних воздействий.
Характеристикой фотосопротивления является его световая чувствительность dJ/dO
(мА/лм) — изменение силы тока при изменении светового потока на 1 лм. У фотосоп-
ротивлений световая чувствительность выше, чем у вакуумных фотоэлементов, ос-
нованных на внешнем фотоэффекте. Например, у фоторезистора CdSc световая чувст-
вительность ~ 1200 мА/лм; она в 105 раз больше, чем у вакуумных фотоэлементов.
Вопросы:
1.	Как образуются энергетические зоны в кристаллах твердых тел?
2.	Как в зонной теории рассматриваются различия металлов, диэлектриков и полупроводников?
3.	Чем отличаются друг от друга температурные зависимости электропроводимости полупровод-
ников и металлов?
4.	В каких условиях диэлектрик, с точки зрения зонной теории, становится проводником
электрического тока?
5.	Перечислите и дайте характеристики известных вам типов полупроводников.
Глава 44
Контактные явления
§ 44.1.	Контакт двух металлов
1.	В § 41.5 мы уже говорили о том, что электроны проводимости в металле* можно
рассматривать как вырожденный идеальный Ферми-Газ, находящийся в потенциальном
«ящике» с плоским дном. Если принять, что вне незаряженного проводника потенциал
электрического поля <р'=0, то внутри металла <р>0, а «глубина» потенциального
«ящика» равна еср (рис. 44.1). Электроны проводимости заполняют энергетические
уровни, начиная с Дна «ящика» (1F= — е<р) н до уровня Ферми W- — е<р+ц, где
д — химический потенциал электронов в металле. Величину ц—е<р называют электро-
химическим потенциалом электронов в металле. Соответственно уровень Ферми часто
называют уровнем электрохимического потенциала. Работа выхода А электрона из
металла отсчитывается от уровня Ферми: А<=е<р—ц.
Рис. 44.1
Рис. 44.2
2.	Рассмотрим два разнородных металла, 1 и 2, отличающиеся работами выхода
Л] и Л2н Химическими Потенциалами. Пусть А2<АХ (рис. 44.2). Во втором металле
электронами заполнены более высокие энергетические уровни, чем в первом. Вначале
металлы разведены на расстояние, во много раз большее периодов кристаллических
решеток. Если привести металлы в соприкосновение, то Электроны проводимости
частично переходят из второго металла в первый. При этом выравниваются их
электрохимические потенциалы: металл 1 заряжается отрицательно, а металл 2 — по-
ложительно (рис. 44.3). Одновременно происходит относительное смещение энергети-
ческих уровней электронов в кбнтактирующих металлах. В металле, заряжающемся
отрицательно, все уровни смещаются вверх,
а в металле, заряжающемся положительно,
вниз (рис. 44.3). В состоянии равновесия элект-
рохимические потенциалы выравниваются:
Рис. 44.3
-е2ф2+д2-	(44.1)
Разность потенциалов — <р2 контактирующих металлов называется внутренней кон-
тактной разностью потенциалов:
Ф1-ф2=(д,-Д2)/е.	(44.2)
•Здесь и далее под словом «металл» понимается, конечно, тело — металлический про-
водник.
621
Рис. 44.4
Рис. 44.5
3.	Изменение потенциалов от до до до происходит внутри очень тонкого контактного
слоя толщиной 3 (рис. 44.5). Рассмотрим контактный слой как плоский конденсатор
толщиной 6 и оценим возможное изменение концентрации носителей тока в контакт-
ном слое по сравнению с остальными объемами металлов. Воспользуемся формулой
разности потенциалов между обкладками плоского конденсатора:
в vS aS _ я
До=—=—=— 6=— 6.
С С cgS «о
(44.3)
Здесь использованы формула связи заряда q с поверхностной плотностью а н пло-
щадью 5 обкладок н формула емкости С для плоского конденсатора. Из (44.3) имеем
а=Е(Д<р/6. Прн <5~3'10-10 м н Др~ 1 В с—0,03 Кл/м2. Для получения такой плотности
заряда необходимо, чтобы из одного металла в другой перешло через единицу площади
контакта число электронов Дл=(с/е)~2 1017 м“2. Между тем прн концентрации
электронов проводимости в металле ?1о~1О29 м-3 в контактном слое единичной
площади находится п=ло^~3 1019 м-2. Таким образом, Дл/л= 1/150. Это означает,
что прн контакте двух металлов в очень тонком контактном слое происходит весьма
незначительное изменение концентрации Ло электронов по сравнению с остальными
объемами металлов. Следовательно, удельная электрическая проводимость у контакта
двух металлов н удельное сопротивление р контакта не отличаются от этих харак-
тсрнстнк саммл .аастзллов*
4.	Все изложенное до сих пор относилось к температуре Т~ 0 К. Как нам известно, для
электронного газа в металлах Химический потенциал зависит от температуры д=д(7).
Эго* значит в соответствии с формулой (44.2), что и до — до зависит от температуры. Но
зависимость очень Слабая. Уровень Ферми прн нагревании металла смещается
очень незначительно по формуле
д(7)=д(0)
Следовательно, внутренняя контактная разность потенциалов при нагревании контакта
изменяется незначительно.
5.	Из рнс. 44.4 видно, что потенциал электрического поля вблизи поверхностей
контактирующих металлов вне их (^, и <р'2) неодинаковы. Таким образом, кроме
внутренней контактной разности потенциалов существует внешняя контактная разность
потеяфалоа, обусловленная разностью работ выхода электронов из металлов 1 н 2:
ф'1-4>'а=-(Л-^2)/е.
(44.4)
Эта разность потенциалов для разных пар металлов колеблется от десятых долей до
единиц вольт н сильно зависит от чистоты и состояния поверхности.
622
§ 44.2.	Контакт металла с полупроводником
1.	Рассмотрим теперь контакт металла с полупроводником. Для определенности
выберем полупроводник л-типа. Сделаем важное для дальнейшего предположение, что
работа выхода Ах электрона из металла больше, чем его работа выхода А„ из
n-полупроводника (см. рис. 44.6, соответствующий положению уровней Ферми в метал-
ле н полупроводнике до контакта). При контакте металла с полупроводником часть
электронов будет переходить из полупроводника в металл до тех пор, пока их уровни
Ферми не выровняются. Приконтактный слой n-полупроводника обеднится электрона-
ми н зарядится положительно, а металл получит отрицательный заряд. Между метал-
лом и полупроводником образуется двойной электрический слой. Однако условия для
создания этого слоя существенно иные, чем при контакте двух металлов. Это связано
со значительно меньшей концентрацией электронов проводимости в л-полупроводнике
по сравнению с металлом (1022 м-3 вместо 1029 м-3). Поэтому толщина контактного
слоя в n-полупроводнике превосходит толщину этого слоя й металле в 10* и более раз.
2. В контактном слое л-полупроводника почти
нет электронов проводимости, и его удельное элек-
трическое сопротивление значительно больше, чем
в остальной части полупроводника. Такой слой
называется «запирающим». С ним связано выпря-
мляющее («вентильное») действие контакта метал-
ла с полупроводником на переменный ток.
Рассмотрим подробнее влияние напряженности
внешнего электрического поля на размеры н со-
противление контактного слоя. Если вектор Е на-
правлен от металла к полупроводнику (металл
соединен с положительным полюсом источнику
тока, а полупроводник — с отрицательным), то
электроны втягиваются из объема полупроводни-	Рис. 44.6
ка в контактный слой, что приводит к уменьшению
его толщины 6 н увеличению проводимости. В этом направлении, называемом пропуск-
ным, электрический ток может проходить через контакт металла с полупроводником.
Если же вектор Е направлен от полупроводника к металлу, тр электроны вытесняются
из двойного слоя в глубь полупроводника, увеличивая толщину запирающего слоя
н его сопротивление, В этом направлении ток не проходит через контакт. Таким
образом, контакт металла с полупроводником обладает односторонней проводимо-
стью и выпрямляет переменные токи.
Кроме случая, когда работа выхода электрона из металла больше работы выхода
электрона из л-полупроводника, возможен случай, когда ^-Полупроводник имеет боль-
шую работу выхода, чем металл (А„>А}). Прн этом электроны переходят из металла
в полупроводник н удельное сопротивление контактного слоя будет меньше, чем
в остальном объеме полупроводника. Контакт металла с таким полупроводником не
образует запирающего слоя н не оказывает выпрямляющего действия на переменные
токи.
§ 4.3.	Контакт электронного и дырочного полупроводников (р-л-переход)
1.	Во многих областях современной электроники большую роль играет контакт двух
полупроводников с различными л- н p-типами проводимости. Такой контакт называет-
ся электронно-дырочным переходом илн р-л-переходом.
Такие переходы используются не только для выпрямления переменных токов, но
также н для генерирования и усиления высокочастотных токов. Практически р-л-
переход осуществляется в виде области объема полупроводника, где один тип проводи-
мости переходит в другой.
Рассмотрим контакт примесных полупроводников л- и р-типа, полученных из
одного и того же собственного полупроводника с энергией активации ДИо,
например, за счет введения донорных и акцепторных примесей. На рис. 44-7 показаны
623
энергетические зоны и уровни Ферми згил полупроводников до приведения их в кон-
такт, а также работы выхода электронов А„ и Ар> Ая, равные расстояниям от уровней
Ферми до общего нулевого уровня энергии электронов. Уровни Ферми находятся ниже
«дна» зоны проводимости на расстояниях — и — цр (р,<0 и /^<0).
При контакте полупроводников происходит переход электронов из л-полупровод-
ниха в р-полупроводник, а дырок — в обратном направлении. Этот процесс заканчива-
ется, когда уровни Ферми в обоих полупроводниках выравниваются и система стано-
вится термодинамически равновесной.	,
2.	В контактном слое л-полупроводвдка толщиной <5] образуется положительный
объемный заряд, а в контактном слое р-подупроводниха толщиной Ъ создается
отрицательный объемный заряд (рис. 44.8). Между полупроводниками возникает внут-
ренняя контактная разность оотяшлов	<рр. Переход электрона из л- в р-
полупроводних через задерживающее его электрическое поле контактного слоя приво-
дит к увеличению потенциальной энергии электрона на величину, равную
—е (фр—Фя)=вфж. В состоянии термодинамического равновесия, изображенном на рис.
44.8, Фх=[(дп—Рр)/е]>0. Соответственно за пределами контактного Слоя толщиной
<5=<51+<52 «дно» эоны проводимости н «потолок» валентной зоны в р-полупроводнике
располагаюся выше, чем в л-полупроводнике, на величину ефх.
3.	В каждом нз контактирующих полупроводников имеются носители тока обоих
знаков — электроны проводимости и дырки. Они подразделяются на основные и неос-
новные. Основные носители образуются за счет донорных или акцепторных примесей,
а неосновные носители образуются эа счет переброса путем теплового возбуждения
небольшого числа электронов из валентной зоны примесного полупроводника в зону
проводимости. При обычной температуре кТ«. ДИ^ и концентрация неосновных носи-
телей во 'много раз меньше, чем основных (поэтому они и получили такие названия).
В л-полупроводнике основные носители — электроны проводимости, а неосновные —
дырки в валентной зоне. В р-полупроводнике основные носители — дырки в валент-
ной зоне, а неосновные — электроны проводимости.
4.	Переход электронов из л- в р-полупроводник связан с их «подъемом» с уровня
Ферми до «дна» зоны проводимости р-полупроводниха, т. е. с преодолением потенци-
ального барьера высотой, равной Поэтому, как можно показать, соответст-
вующая сила электрического тока через контакт
4.^-Сехр[-(ефж-й|)/(ЛТ)1	(44.5)
где С — постоянная, зависящая от температуры. Сила тока за счет движения электро-
нов из р- в л-полупроводннх
Рис. 44.7
+ п + + +	ч 1 11 1
Рис. 44.8
624
Сехр[цр/(кТ)]
(44.5Э
В состоянии термодинамического равновесия	цр и
(44-6)
То же самое получается и для электрического тока через р-л-переход, осуществля-
ющегося за счет движения дырок:
(44-6Э
Электрические токи через р-л-персход за счет движения основных и неосновных
носителей тока равны:
Дит = Ап-.ж4" /цр_»я,
(44.7)
^ИГГ — Ар-»П 4- Igp-tp.
Эти электрические токи направлены во взаимно противоположные стороны. В состоя-
нии термодинамического равновесия онн равны по абсолютной величине (/^,=7^,),
так что результирующий ток через р-л-переход равен нулю:
А.=^-/^=0.
§ 44.4.	Вольт-амперная характеристика р-л-перехода
1.	Рассмотрим влияние внешнего электрического поля на электрический ток через
р-л-переход. Удельное электрическое сопротивление контактного слоя, сильно обеднен-
ного носителями тока, Во много раз больше, чем в остальной части л- и р-полупровод-
ников. Поэтому можно считать, что приложенное внешнее напряжение U практически
полностью приходится на контактный слой. Будем считать U<0, если л-полупровод-
ник подключен к аноду источника тока, а р-полупроводних — к катоду. В этом случае,
как видно из рис. 44.9, высота потенциального барьера для перехода через контакт
основных носителей тока (электронов из л- в р-полупроводник и дырок из р- в п-
полупроводник) увеличивается на — eU>0 по сравнению с равновесным состоянием,
изображенным на рис. 44.8. Поэтому ток основных носителей меньше, чем в состоянии
равновесия:
Im =	exp [eU/(kT)] < 7О°„.	(44.8)
Рис 44.9
625
В то же время напряжение U никак не отражается на силе тока неосновных
носителей, так как она определяется концентрациями этих носителей, не зависящими от
U. Например, концентрация электронов проводимости в р-полупроводиике пропорци-
ональна expJp^kT)], а концентрация дырок в л-полупроводнике пропорциональна
ехр[—(ДИо+д,)/(к7)]. Таким образом,	и через контакт идет очень небо-
льшой результирующий электрический ток в направлении от л- к р-полупроводнику.
В соответствии с принятым выше правилом знаков для U этот ток следует считать
отрицательным и равным:
/=/<Ят-4Ит=/^[ехр (eC7/(fcT))-1]<0.	(44.9)
Это направление тока через р-л-переход называется залоршм. В рассматриваемом
случае толщина <5_ контактного слоя больше его толщины 3 в равновесном состоянии,
т. е. при [7=0. Предельное значение тока при U<0 равно —1^.
2.	Пусть теперь [7>0, т. е. анод источника тока подсоединен к р-полупроводнику,
а катод — к л-полупроводнику (рис. 44.1Q). В этом слу-
чае высота потенциального барьера для основных носи-
телей тока понижается по сравнению с равновесной на
eV. Соответственно возрастает ток основных носителей:
/«T=/o°„exp[eC7/(k7)]>/o°„.	(44.89
Ток неосновных носителей по-прежнему равен
Результирующий электрический ток через р-л-переход
идет в так называемом пропускной направлении из р- в л-
полупроводник и равен:
/-/°т[ехр(е[//(^)-1]>0.
(44.10)
Легко видеть, что формулы (44.9) и (44.10) тождест-
венны. Они описывают вольт-амперную характеристику
р-л-перехода, т. е. зависимость I от U, изображенную иа
рис. 44.11.
3.	Электрический ток через р-л-переход при U<0 очень невелик. Поэтому р-л-переход
можно использовать для выпрямления переменного тока. В современной радиотехнике
и полупроводниковой электронике широко используют различные полупроводниковые
приборы и устройства, которые служат для генерирования, усиления и преобразования
электрических колебаний. К ним, в частности, относятся полупроводниковые диоды,
основанные на свойстве односторонней проводимости р-л-перехода. Кристаллические
полупроводниковые диоды выгодно отличаются от ламповых механической прочно-
стью, дешевизной, малыми размерами, большим сроком службы и другими ценными
качествами.	/
Вопросы:
1.	Что такое внешняя и внутренняя контактные разности потенциалов двух металлических
проводников? Чему они равны?
2.	Поясните механизм выпрямляющего действия на переменный ток контакта металла и п-
полупроводника.
3.	Объясните вольт-амперную характеристику р-л-перехода
Часть
8
Основы
физики ядра
и элементарных
частиц
Главе 45
Строение и важнейшие
свойства ядер
Глеве 48
Элеиентерные частицы
Глава 45
Строение и важнейшие свойства ядер
§ 45.1.	Основные свойства и строение ядра
1.	Ядром называется центральная часть атома, в которой сосредоточены практически
вся масса атома и его положительный электрический заряд.
Все атомные ядра состоят из элементарных частиц — протонов и нейтронов, кото-
рые считаются двумя зарядовыми состояниями одной частицы — нуклона. Прогой
имеет положительный электрический заряд, равный по абсолютной величине заряду
электрона. Нейтрон не имеет электрического заряда. Ядро атома характеризуется
зарядом.
Заряд ядра равен величине Ze, где е — заряд протона, Z — порядковый номер
химического элемента в периодической системе Менделеева, равный числу протонов
в ядре. В настоящее время известны ядра с 2 от Z= 1 до 2= 112. Для всех ядер, кроме
}Н, |Не и некоторых других нейтронно-дефицитных ядер N^Z, где N — число нейтро-
нов в ядре. Для легких ядер NfZx\-, для ядер химических элементов, расположенных
в конце периодической системы, NjZ ж 1,6.
Число нуклонов в ядре A=N+Z называется массовым числом. Нуклонам (протону
и нейтрону) приписывается массовое число, равное единице, электрону — нулевое
значение А.
Ядра с одинаковыми Z, но различными А называются изотопами. Ядра, которые
при одинаковом А имеют различные 2, называются изобарами. Ядро химического
элемента X обозначается ?Х, где X — символ химического элемента.
Всего известно около 300 устойчивых изотопов химических элементов и более 2000
естественных и искусственно полученных радиоактивных изотопов.
Размер ядра характеризуется радиусом ядра, имеющим условный смысл ввиду
размытости границы ядра. Эмпирическая формула для радиуса ядра R=R^Alf3, где
Яо=(1,3 —1,5)’ 10-15 м, может быть истолкована как пропорциональность объема ядра
числу нуклонов в нем. Действительно, если считать ядро сферой радиуса Я, состоящей
из А нуклонов — шариков радиуса Яо, то, очевидно, */ЗяЯ3=А  4/эп^о> откуда следует
ияписанное равенство.
Плотность ядерного вещества составляет по порядку величины 1017 кг/м3 и посто-
янна для всех ядер. Она значительно превосходит плотности самых плотных обычных
веществ*.
2.	Нуклоны в атомных ядрах являются фермионами и имеют ешш h/2. Ядро атома
имеет собственный момент импульса — спин ядра, равный
где I — внутреннее (полное) шповое квантовое число.
Число I принимает целочисленные или полуцелые значения 0,1/2, 1, 3/2 и т. д. Ядра
с четными А имеют целочисленный спин (в единицах ft) и подчиняются статистике
Бозе — Эйнштейна. Ядра с нечетными А имеют полуцслый ешш (в единицах Л)
и подчиняются статистике Ферми — Дирака.
3.	Ядерные частицы имеют собственные магнитные моменты, которыми определяется
магнитный момент ядра Рт ж в целом. Единицей магнитных моментов ядер служит
ядерный магнетон дя:
♦В этой части курса рассмотрены краткие сведения о физике ядра и элементарных частиц,
которыми ограничивается курс физики в высших технических учебных заведениях.
628
li,=ehl(2mp),
(45.1)
где е — абсолютное значение заряда электрона, тр — масса протона. Ядерный маг-
нетон в тР1те= 1836,5 раза меньше магнетона Бора, откуда следует, что магнитные
свойства атомов определяются магнитными свойствами его электронов.
Между спином ядра L,, выраженным в Л, и его магнитным моментом имеется
соотношение
Рт «=?«£«.	(45.2)
где У я — ядерное гиромагнитное отношение.
Магнитный момент нейтрона равен —1,91 дж. Знак минус показывает, что направле-
ния спина нейтрона и его магнитного момента противоположны. Магнитный момент
протона положителен и равен 2,79дж. Его направление совпадает с направлением спина
протона.
4.	Распределение электрического заряда протонов по ядру в общем случае несиммет-
рично. Мерой отклонения этого распределения от сферически-симметричного является
квадрупольньш электрический момент Q ядра. Если плотность заряда считается везде
одинаковой, то Q определяется только формой ядра. Так, для ядра, имеющего форму
эллипсоида вращения,
6 = 2/jZe(fe2—а2),
где Ь — полуось эллипсоида вдоль направления спина; а — полуось в перпендикуляр-
ном направлении. Для ядра, вытянутого вдоль направления спина, Ь>а и Q>0. Для
ядра, сплющенного в этом направлении, Ь<а и Q<0. Для сферического распределения
заряда в ядре Ь=а и Q=0. Это справедливо для ядер со спином, равным 0 или h/2.
§ 45.2.	Энергия связи ядер
1.	Нуклоны в ядрах находятся в состояниях, существенно отличающихся от их свобод-
ных состояний. За исключением ядра обычного водорода, во всех ядрах имеется не
менее двух нуклонов, между которыми существует особое ядерное (сильное) взаимо-
действие — притяжение, обеспечивающее устойчивость ядер, несмотря на отталкива-
ние одноименно заряженных протонов.
Энергией связи нуклона в ядре называется физическая величина, равная той работе,
которую нужно совершить для удаления нуклона из ядра^не сообщая ему кинетической
энергии.
Энергия связи ядра определяется той работой, которую нужно совершить, чтобы
расщепить ядро на составляющие его нуклоны, не сообщая им кинетической энергии.
Из закона сохранения энергии следует, что прн образовании ядра должна выделять-
ся такая же энергия, какую нужно затратить при расщеплении ядра на составляющие
его нуклоны. Энергия связи ядра является разностью между энергией всех свободных
нуклонов, составляющих ядро, и их энергией в ядре.
2.	При образовании ядра происходит уменьшение его массы: масса ядра меньше, чем
сумма масс составляющих его нуклонов. Уменьшение массы ядра прн его образовании
объясняется выделением энергии связи. Если — энергия, выделяющаяся при об-
разовании ядра, то соответствующая ей масса
Дт= W^/c1	(45.3)
называется дефектом массы и характеризует уменьшение суммарной массы при об-
разовании ядра из составляющих его нуклонов. Если ядро с массой Мя образовано из
Z протонов с массой тр и из (A—Z) нейтронов с массой т„, то
&m = Zmp + (A — Z)m„—Mt.	(45.3')
629
Вместо массы ядра величину Am можно выразить через атомную массу ЛГЖ:
Ат—Zmjj + (А — Z)mH—Ми
(45.3”)
где тл — масса водородного атома. При практическом вычислении Ат массы всех
частиц и атомов выражаются в атомных единицах массы.
Дефект массы служит мерой энергии связи ядра:
Wa=Amc2 = [Zmp+(A—Z)m„—M^c1.	(45.4)
Одной атомной единице массы соответствует атомная единица энергии (а.е.э.).
3. Удельной энергией связи ядра wa называется энергия связи, приходящаяся на один
нуклон: wa=Wa/A. Величина и>св составляет в среднем 8 МэВ/нуклон. На рис. 45.1
приведена кривая зависимости удельной энергии связи от массового числа А, харак-
теризующая различную прочность связей нук-
лонов в ядрах разных химических элементов.
Ядра элементов в средней части периодичес-
кой системы (28 < Л < 138), т. е. от 25Si
т.
до }«8Ва, наиболее прочны. В этих ядрах
близка к 8,7 МэВ/нуклон. По мере увели-
чения числа нуклонов в ядре удельная энергия
связи убывает. Ядра атомов химических эле-
ментов, расположенных в конце периодичес-
кой системы (например, ядро урана), имеют
wa®7,6 МэВ/нуклон. Это объясняет возмож-
ность выделения энергии при делении тяже-
лых ядер. В области малых массовых чисел
имеются острые «пики» удельной энергии свя-
зи. Максимумы характерны для ядер с чет-
ными числами протонов и нейтронов (jHe, J2C, g6O). Минимумы характерны для ядер
с нечетными количествами протонов и нейтронов (®Li, J°B, ,*N).
Если ядро имеет наименьшую возможную энергию Wm=- — Wa, то оио находится
в основном энергетическом состоянии. Если ядро имеет энергию FPL,,, то оно
находится в возбужденном энергетическом состоянии. Случай W=0 соответствует
'расщеплению ядра на составляющие его нуклоны. В отличие от энергетических уровней
атома, раздвинутых на единицы электрон-вольт, энергетические уровни ядра отстоят
друг от друга на мегаэлектрои-вольты. Этим объясняются происхождение и свойства
гамма-излучения.
4. Данные об энергии связи ядер позволили установить некоторые закономерности
в строении ядер.
Критерием устойчивости атомных ядер является соотношение между числом про-
тонов и нейтронов в устойчивом ядре для данных изобаров (А=const).
Условие минимума энергии ядра приводит к соотношению между Z^ и А:
1,98+0,015Л2Л
(45.5)
Берется целое число Zya, ближайшее к тому, которое получается по этой формуле.
При малых и средних значениях А число нейтронов и протонов в устойчивых ядрах
примерно одинаковы: ZfttA—Z.
С ростом Z силы кулоновского отталкивания протонов растут пропорционально
Z(Z—1)~Z2 (в результате парного взаимодействия протонов) и для компенсации
этого отталкивания ядерным притяжением число нейтронов должно возрастать быст-
рее числа протонов.
630
А
§ 45.Э.	Ядерные силы
1.	Ядерное взаимодействие свидетельствует о том, что в ядрах существуют особые
ядерные силы, не сводящиеся ни к одному из типов сил, известных в классическое
физике (гравитационных и электромагнитных).
Ядерные силы являются короткодействующими силами. Они проявляются лишь на
весьма малых расстояниях между нуклонами в ядре порядка 10"15 м. Длина (1,5 —
2,2) * 10-15 м называется радиусом действия ядерных сил.
Ядерные силы обнаруживают зарядовую независимость: притяжение между двумя
нуклонами одинаково независимо от зарядового состояния нуклонов (протонного или
нейтронного). Зарядовая независимость ядерных сил, равенство сил между протонами
и между нейтронами подтверждаются сравнением энергий связи зеркальных ядер. Так
называются ядра, в которых одинаково общее число нуклонов, но число протонов
в одном равно числу нейтронов в другом, например ядра |Не и тяжелого водорода —
трития ?Т. Энергия связи в этих ядрах составляет 7,72 и 8,49 МэВ. Разность энергий
связи ядер, равная 0,77 МэВ, соответствует энергии кулоновского отталкивания двух
протонов в ядре ’Не. Полагая эту величину равной е2/(4я^г), можно найти, что среднее
расстояние между протонами в ядре ^Не равно 1,9 10“15 м, что согласуется со
значением радиуса действия ядерных сил.
2.	Ядерные силы обладают насыщенностью, которая проявляется в том, что нуклон
в ядре взаимодействует лишь с ограниченным числом ближайших к нему соседних
нуклонов. Свойством насыщения можно объяснить линейную зависимость энергии
связи ядер от массового числа А. Если бы каждый нуклон взаимодействовал одновре-
менно со всеми (А — 1) нуклонами ядра, то энергия связн ядра была бы пропорциональ-
на возможному числу взаимодействующих пар нуклонов в ядре, т. е. числу сочетаний
из Л по два: */2А (А — 1) (в предположении, что ядерное взаимодействие парное).
Зависимость энергии связи от А была бы в этом случае не линейной, а квадратичной,
что противоречит экспериментальным данным. Практически полное насыщение ядер-
ных сил достигается у а-частицы, которая является очень устойчивым образованием.
3.	Ядерные силы зависят от ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. Это
подтверждается различным характером рассеяния нейтронов молекулами орто- н пара-
водорода. В молекуле ортоводорода спины обоих протонов параллельны друг другу,
а в молекуле параводорода они антипараллельны. Если бы взаимодействие нейтрона
с протоном не зависело от взаимной ориентации их спинов, то рассеяние нейтронов на
молекулах орто- и параводорода происходило бы одинаково. Опыты показали, что
рассеяние нейтронов на параводороде в 30 раз превышает рассеяние на ортоводорода.
Это доказывает зависимость ядерных сил от ориентации спинов взаимодействующих
нуклонов. Ядерные силы не являются центральными силами.
§ 45.4.	Радиоактивность
1.	Под радиоактивностью понимается превращение неустойчивых изотопов одного
химического элемента в изотопы другого элемента, сопровождающееся испусканием
некоторых частиц. Различаются естественная и искусственная радиоактивности. Есте-
ственной радиоактивностью называется радиоактивность, наблюдающаяся у существу-
ющих в природе неустойчивых изотопов. Искусственной радиоактивностью называется
радиоактивность изотопов, полученных в результате ядерных реакций.
В табл. 45.1 приведены основные типы радиоактивности.
Обычно все типы радиоактивности сопровождаются испусканием жесткого, корот-
коволнового электромагнитного гамма-излучения. Гамма-излучение — основная
форма уменьшения энергии возбужденных продуктов радиоактивных превращений.
Ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнском; возникающее
дочернее ядро, как правило, оказывается возбужденным, и его переход в основное
состояние сопровождается испусканием у-фотона.
2.	Самопроизвольный распад атомных ядер подчиняется закону радиоактивного рас-
пада:
N=N(fi~11,	(45.6)
631
где Nq число ядер в данном объеме вещества в начальный момент времени г=0;
N — число ядер в том же объеме к моменту времени t; А — постоянная распада,
имеющая смысл вероятности распада ядра за 1 с и равная доле ядер, распадающихся
в единицу времени.
Таблица 45.1
Тип радиоахтиввости	Изменение заряда ядра	Изменение массового числа А	Характер процесса
Альфа-распад Бета-распад	N N 1+ 1 — SJ	Л-4 л	Вылет а-частицы — системы двух протонов и двух нейтронов, соединенных воедино Взаимные превращения в ядре нейтрона (£л) и протона (}р)
/L-распад	Z+1	л	
-распад	Z-1	л	Ь-’л+Uje+fc) Jp+ _»+(£><);
Электронный захват (е- или Х-захват) Спонтанное деление	Z-1 z-VjZ	л А-'!2л	JJv, и gVt—(электронное нейтрино и анти- нейтрино. В скобках указаны частицы, вылетающие из ядра Деление ядра обычно на два осколка, име- ющие приблизительно равные массы и заряды
Закон самопроизвольного радиоактивного распада основывается на двух пред-
положениях: 1) постоянная распада не зависит от внешних условий; 2) число ядер,
распадающихся за время dr, пропорционально наличному числу ядер. Эти предположе-
ния означают, что радиоактивный распад статистический процесс, а распад данного
ядра случайное событие, имеющее определенную вероятность. Из предположений,
лежащих в основе закона радиоактивного распада, следует, что убыль — dN числа ядер
за время dr пропорциональна наличному числу ядер N и времени dr:
-dtf=AWdr.	(45.6')
dN
Разделяя переменные в (45.6'), запишем — = — 2dr; интегрируя полученное дифферен-
циальное уравнение, найдем закон радиоактивного распада (45.6).
Величина 1/А является средней продолжительностью жизни (среднее время жизни)
радиоактивного изотопа. Действительно, суммарная продолжительность жизни dN ядер
равна r|dN] = rANdr. Средняя продолжительность т жизни для все^ первоначально
существовавших ядер
ф	ф
1 Г	Г лг 1
т= -	ЛМд1 = л. е rdr= .	(45.7)
No J	J	A
о	о
3.	Характеристикой устойчивости ядер относительно распада является период полура-
спада Т1/2 время, в течение которого первоначальное количество ядер данного
радиоактивного вещества распадается наполовину.
Связь Л. и Т1/2:
1п2 0,693
7}„= -=------= 0,693т.
' А А
Естественная радиоактивность наблюдается у ядер атомов химических элементов,
расположенных за свинцом в периодической системе Менделеева. Естественная радио-
активность легких и средних ядер наблюдается лишь у ядер f°K, зтРЬ, ig5In, s78La,
‘fSm, ;?’Lu, *«7Re.
632
Заков сохранения электрических зарядов при радиоактивном распаде ядер
z^=X Zfi,
i
где Zge — заряд материнского ядра; Zfi — заряды ядра и частиц, возникших в ре-
зультате радиоактивного распада. Этот закон соблюдается также при всех ядерных
реакциях.
Правило сохранения массовых чисел в явлениях естественной радиоактивности
г
где А, — массовое число материнского ядра; At — массовое число ядра и частиц, полу-
чившихся в результате радиоактивного распада.
4.	Правила смещения (правила Фаянса и Соддн) прн радиоактивных а- и /7-распадах:
при а-распаде	У+1Не,
при /7-распаде гХ-»2+^У+ _°е.
Здесь $Х — материнское ядро; Y — символ дочернего ядра; *Не — ядро гелия;
_°е — символическое обозначение электрона, для которого А =0 и Z= — 1.
Если дочернее ядро оказывается также радиоактивным, то возникает цепочка
радиоактивных превращений. Естественно радиоактивные ядра образуют три радиоак-
тивных семейства, называемых семейством урана (g|8U), семейством тория (^Th)
и семейством актиния (g|’Ac). Свои названия они получили по «родоначальнику» —
долгоживущему изотопу с наибольшим периодом полураспада. Все семейства после
цепочки а- и /?_-распадов заканчиваются на устойчивых ядрах изотопов свинца: g°6Pb,
|°8РЬ и ™7РЬ. Семейство нептуния, начинающееся от трансуранового элемента непту-
ния ”7NP, получено искусственным путем и заканчивается на ga’Bi.
5.	Если происходит цепочка радиоактивных распадов и за время dr из общего числа
NM материнских ядер распадается ядер, а за это же время распадается A.BNrfdt
дочерних ядер, то общее изменение числа ядер дочернего вещества за единицу времени
dN„
~T = ^NM-XBNB.
dt
В случае подвижного равновесия между материнским и дочерним веществами
и выполняется условие радиоактивного равновесия
(45.9)
откуда
—=Ад=— 1
где Тм и Тв — периоды полураспадов материнского и дочернего ядер. Произведение
A=aN называется активностью данного радиоактивного вещества и представляет
собой число распадов за единицу времени. Активность, отнесенная к единице массы
вещества, называется удельной активностью. Она измеряется числом распадов в еди-
нице массы радиоактивного вещества в единицу времени (с-1 кг-1).
§ 45.5.	Альфа-распад
1.	Альфа-распад состоит в испускании ядрами атомов некоторых химических эле-
ментов а-частиц. Альфа-распад является свойством тяжелых ядер с массовыми чи-
слами А >200 и зарядовыми Z>82. Внутри таких ядер происходит образование
обособленных а-частиц, состоящих каждая из двух протонов и двух нейтронов. Этому
633
способствует насыщение ядерных сил. Образовавшаяся а-частица подвержена боль-
шему действию кулоновских сил отталкивания от протонов ядра, чем отдельные
протоны. Одновременно а-частица испытывает меньшее ядерное притяжение к нук-
лонам в ядре, чем отдельные нуклоны.
2.	Ядро является для а-частицы потенциальным барьером, высота U которого боль-
шем, чем W — энергия а-частицы в ядре. Альфа-распад происходит при просачивании
а-частицы сквозь потенциальный барьер с помощью туннельного эффекта. Формула
прозрачности D потенциального барьера (37.39') показывает, что незначительные
изменения энергии а-частицы в ядре приводят к сильному изменению величины
exp	J у/Ъпа. [U (х) — W]dx
Этим объясняются большие различия в периодах полураспадов а-излучателей — от
10’ лет до 10“ 7 с — при сравнительно небольшом возрастании энергии а-частиц — от
4 до 9 МэВ.
Постоянная распада А связана с прозрачностью D потенциального барьера для
а-частицы. В упрощенной модели прямоугольного потенциального барьера
A=Dn,
где п - число ударов а-частицы о стенку барьера эа единицу времени, равное л=е/(2£);
v=^j2W[ma скорость а-частицы в ядре. Величина L обычно принимается равной
радиусу R ядра (27? — ширина потенциального «ящика»).
Упрощенная формула для постоянной А а-радиоактивного распада имеет вид
1 Д»7
2R таС
(45.10)
3.	Связь между периодом полураспада Ti/2 н энергией W а-частицы приближенно
описывается экспериментально установленным законом Гейгера — Неттолла (1911):
В
1п^/2=-7= + С,
где В>0 и С>0 — постоянные величины, не зависящие от массового числа материн-
ского ядра н слабо зависящие от зарядового числа Z этого ядра. Так, например, для
Z=84 В= 128,8 МэВ1'1 и С= -50,2, а для Z=90 В= 133,4 МэВ1'1 и С= -51,9. Наиболее
хорошо закон Гейгера — Неттолла описывает переходы между основными состояни-
ями четно-четных ядер.
Экспериментально доказано, что у одного н того же а-радиоактивного элемента
имеется несколько групп а-частиц с различными дискретными значениями энергии W.
Это свидетельствует о существовании дискретных энергетических уровней атомных
ядер.
§ 45.6.	Бета-распад
1.	Термином «бета-распад» обозначают три типа ядерных превращений: электронный
(Д_) и позитронным (Д+) распады, а также электронный захват (е- или Е-захват). Первые
два типа превращений состоят в том, что ядро испускает электрон (позитрон) и элект-
ронное антинейтрино (электронное нейтрино). Этн процессы происходят при превраще-
нии одного вида нуклона в ядре в другой: нейтрона в протон или протона в нейтрон —
по схеме:
634
&->\р + JJ е+Jv, (fl _ -распад),
lp-»on++oie+°ve (^+-Распад).
(45.12)
Здесь „п и }р — символические обозначения нейтрона и протона; _°е и +°е — обозначе-
ния электрона н позитрона; £ve и — электронные нейтрино и антинейтрино.
В случае е-захвата превращение протона в нейтрон идет по схеме
lp+-°e-»£n + {}v,	(45.12')
и заключается в том, что исчезает один из электронов на ближайшем к ядру Х’-слое
атома. Протон, превращаясь в нейтрон, как бы «захватывает» электрон; отсюда
произошел термин «электронный захват» (или «е-захват»). Особенностью этого типа
бета-распада является вылет из ядра только одной частицы	Примером е-захвата
является превращение радиоактивного ядра бериллия jBe в устойчивое ядро лития jLi.
Электронный захват в отличие от fl±-распада сопровождается характеристическим
рентгеновским излучением, принадлежащим Х-серии соответствующего элемента.
2.	/L-Распад происходит у естественно-радиоактивных, а также искусственно-радио-
активных ядер; fl+-распад характерен только для явления искусственной радиоактив-
ности возникновения собственных радиоактивных излучений ядер под действием
а-частиц, нейтронов и других частиц. При этом нарушается условие устойчивости
атомного ядра. Например, искусственно-радиоактивный изотоп углерода £’С возника-
ет из стабильного ядра азота под действием нейтронов с выделением протонов:
и, испытывая бета-распад, вновь превращается в устойчивый изотоп |*N:
rc4‘N+_°e + fo.
Нарушение условия устойчивости введением в ядро избыточных протонов приводит
к искусственному fl+-распаду. Эго видно из следующего примера:
’“B + jHe-^^N-^N + Jn,
>3N->3C++“e+gv„
где +“е позитрон; °v4 — электронное нейтрино.
3.	Естественный -распад происходит так, что нейтрон самопроизвольно превра-
щается в протон. Энергия покоя нейтрона превышает энергию покоя атома водорода
(т. е. протона н электрона вместе взятых) на 782 кэВ. Поэтому превращение типа
£n-»lp4-_“e+fo
энергетически возможно н вне ядра. В потоках нейтронов большой интенсивности,
возникающих в ядерных реакторах, обнаружен радиоактивный распад свободных ней-
тронов с периодом полураспада около 620 с. В тяжелых ядрах, перегруженных нейтро-
нами, такое превращение приводит к /?_-естественной радиоактивности.
Превращение типа	+°e + ove возможно только в ядрах, где необходимая для
этого энергия заимствуется у соседних частиц. Эго превращение приводит к искусствен-
ному fl+-распаду.
Полуперноды бета-распадов изменяются для различных источников -радиоак-
тивного излучения в широком интервале времени от 10“2 с до 101я лет, несоизмеримо
больших по сравнению с ядерным временем 10-22 — 10-23 с.
4.	Решающим экспериментальным фактом для понимания механизма -распада
в создания его теории стало изучение энергетического спектра испускаемых электро-
нов. Этот спектр оказался непрерывным, простирающимся до W= (рис. 45.2).
/	635
Энергия И'ЫЛ1С называется верхней границей энер-
гии -спектра н является характеристикой ис-
точника /?_ -радиоактивного излучения. Для дан-
ного источника невозможны энергии электро-
нов, превышающие РРма1С.
Для того чтобы согласовать непрерывность
спектра энергии электронов с дискретностью
энергетических уровней ядер, необходимо счи-
тать, что вместе с электроном _°е из ядра ис-
пускается еще одна частица — электронное ан-
тинейтрино “у,. Полная энергия, теряемая ядром
при /?_ -распаде, равна но она различно
распределяется между электроном и электронным антинейтрино*. В частности, гранич-
ная точка на кривой рис. 45.2 означает, что вся энергия /L-распада уносится электро-
ном. Нулевое значение энергии электрона на кривой соответствовало бы тому, что вся
энергия уносится антинейтрино
Для fi _ -радиоактивности свободных нейтронов И'мис=782 кэВ, что полностью
соответствует изложенному выше. Прн бета-распаде не изменяются массовое число
А н спин ядра.
§ 45.7.	Гамма-излучение
1.	Гамма-излучение является жестким электромагнитным излучением, энергия кото-
рого испускается при переходах рщер нз возбужденных энергетических состояний
в основное или менее возбужденные состояния, а также прн ядерных реакциях.
В первом случае, согласно правилу частот Бора, энергия фотона ^-излучения равна
разности энергий конечного н начального энергетических уровней ядра:
hvlk=Wl-Wk^\Wlk,
где vlk частота фотона, соответствующего переходу ядра из состояния с энергией
Wt в состояние с энергией Wk. Величина Л1Р1к имеет порядок 0,1 МэВ н значительно
превышает разность энергий электронных уровней в атоме. Гамма-излучение - это
весьма коротковолновое электромагнитное излучение с длиной водны, не превыша-
ющей 0,1 нм. Дискретный линейчатый спектр ^-излучения является подтверждением
вышесказанного о дискретных энергетических уровнях ядер.
Гамма-излучение не самостоятельный тип радиоактивности. Оно сопровождает
процессы а- и /1-распадов и не вызывает изменения заряда и массового числа ядер.
Установлено, что ^-излучение испускается дочерним ядром, которое в момент своего
образования оказывается возбужденным. Снятие энергии возбужденного ядра осущест-
вляется за время (10“13 — 10-1*)с, значительно меньшее, чем время жизни возбужден-
ного атома (~ 10-8 с).
2.	Помимо гамма-излучения существует еще один способ передачи энергии возбуж-
денными атомными ядрами прн их переходе в менее возбужденные состояния. Энергия,
высвобождаемая прн таком переходе ядра (энергия перехода), может непосредственно
передаваться одному из электронов того же атома, в результате чего электрон вырыва-
ется из атома. Это явление получило название внутренней конверсп гамма-излучения,
а электроны, испускаемые атомами, называют конверсионными электронами. Конверси-
онные электроны могут выбиваться из различных внутренних слоев электронной
оболочки атома (К, L, М и т. д.). Поэтому внутренняя конверсия сопровождается
испусканием атомами характеристического рентгеновского излучения. Это происходит
за счет переходов электронов атома на освободившиеся места во внутренних слоях
электронной оболочки. Спектральный состав характеристического рентгеновского нз-
•Очевидно, что определяет развость & W,k энергий двух уровней ядра.
636
лучения свидетельствует о том, что конверсионные электроны и у-фотоны испускаются
возбужденными дочерними (а не материнскими!) атомными ядрами.
Мерой вероятности внутренней конверсии по сравнению с гамма-излучением слу-
жит коэффициент внутренней конверсии, который равен отношению числа конверсион-
ных электронов к числу у-фотонов, испускаемых за один и тот же промежуток времени
радиоактивным образцом. Этот коэффициент зависит от энергии перехода, заряда ядра
и др. характеристик. Если энергия перехода превышает удвоенную энергию покоя
электрона, равную 1,022 МэВ, то становится возможной внутренняя конверсия с об-
разованием пары электрон — позитрон. Это явление называют парной конверсией.
Вероятность парной конверсии растет с увеличением энергии перехода.
3.	Гамма-излучение оказывает сильное воздействие на вещество, в частности на
биологические объекты. Действие гамма- и других видов ионизирующих излучений
оценивается дозой излучения D — отношением энергии излучения к массе облучаемого
вещества*. Единицей дозы излучения служит 1 Дж/кг: доза излучения, при которой
массе 1 кг облученного вещества передается энергия излучения 1 Дж. Эта единица
называется грей (Гр). Применяется также внесистемная единица дозы излучения,
называемая рад: 1 рад= 10 ~ 2 Гр.
Мощностью N дозы излучения называется величина, равная отношению дозы
излучения D ко времени:
N=Djt.	(45.13)
Единицей мощности дозы служит ватт на килограмм (Вт/кг=Гр/с).
Энергетической характеристикой излучения, оцениваемой по ионизации сухого
атмосферного воздуха, служит экспозиционная доза излучения D3 — величина, равная
отношению суммы электрических зарядов ионов одного знака, созданных электрона-
ми, освободившимися в облученном воздухе при полном использовании ионизиру-
ющей способности электронов к массе этого воздуха. Единицей D3 служит 1 Кл/кг.
Внесистемная единица экспозиционной дозы излучения — рентген (Р);
1Р=2,58 10-4 Кл/кг.
Мощностью N3 экспозиционной дозы называется величина, равная отношению экс-
позиционной дозы излучения к интервалу времени, эа который получена эта доза:
N^DJt.
Доза излучения оценивается также по биологическому действию. Биологическим
эквивалентом рентгена (бэр) называется поглощенная энергия излучения, биологически
эквивалентная 1 Р:
1 бэр=10 2 Дж/кг.
§ 45.8.	Эффект Мёссбауэра
1.	Все возбужденные энергетические уровни ядра имеют значения энергии, найденные
с точностью до величины Д W, определяемой из соотношения неопределенностей:
Я
AITk,
Д/
где Д/ — время жизни ядра в возбужденном состоянии. Только для основного состоя-
ния стабильного ядра Дт=оо и Д1У—0, т. е. ядро имеет значение энергии, в точности
равное РК**. Например, ядро иридия ^’Чг за время Дг, которое можно принять равным
периоду полураспада Т1д=1О-10 с, переходит из возбужденного состояния с энергией
W= 129 кэВ в основное состояние, испуская у-фотон. Величина неопределенности
энергии оказывается равной Д1Р«5 10“6 эВ.
•Ввиду определенной специфики сведений о биологическом действии у-излучения соответст-
вующие единицы физических величин не вынесены в Приложения, а приводятся здесь.
••Это в равной мере относится к энергетическим уровням электронов в атомах.
637
Конечное время жизни возбужденных энергетических состояний ядра приводит
к немОнохроматичносги у-излучения, сопровождающего переход ядра из возбужден-
ного в нормальное состояние. Эта немонохроматичность называется естественной
ширпон лива у-излучения, а неопределенность A IF значения энергии возбужденного
состояния — естественной ширпон Г энергетического уровня ядра*.
2.	Резонансным поглощением у-излучения ядрами называется поглощение ядром у-
фотонов такой частоты v, что энергия hv фотона равна разности энергий одного из
возбужденных и основного энергетических состояний ядра.
Смысл названия в том, что такая же частота будет у пинии у-фотона, излученного
при переходе ядра из возбужденного состояния ядра в нормальное.
В актах излучения и поглощения ядром у-фотонов учитывается отдача ядра. При
переходе ядра из возбужденного состояния с энергией W в основное (энергия которого
принята равной нулю) у-фотон приобретает энергию
Wf= W- Wt< W,
где W. — энергия отдачи ядра.
При возбуждении ядра и переходе его из основного состояния в состояние с энерги-
ей W гамма-фотон должен обладать энергией
W',= hV1IoriI=W+W,>W.
Частоты в максимумах линий излучения уИ1Л и поглощения у„,гл сдвинуты друг
относительно друга на величину vnarjI—v^^Av такую, что AAv=2IF,.
Энергия Wt отдачи ядра определяется по импульсу р/ фотона, который в процессах
излучения и поглощения у-фотона равен по модулю импульсу ядра (р/=р^:
2М, 2Mt \сJ 2М,
(45.14)
где М, — масса ядра. Для ядра ,’Чг с энергией возбужденного состояния IF= 129 кэВ
вычисления дают IF,=0,05 эВ и максимумы линий излучения и поглощения сдвинуты
по частоте на hv=2WJh. При этом/iAv= 0,1 эВ, что значительно превышает естествен-
ную йшрину уровня Г.
Резкое Сокращение энергии отдачи ядер при испускании и погощении у-излучения
достигается при наблюдении этих процессов в ядрах, находящихся в кристаллической
решетке, т. е. в связанном состоянии. В этих условиях импульс и энергия отдачи
передаются не одному ядру, излучающему (или поглощающему) у-фотон, а всей
кристаллической решетке в целом. Масса кристалла несоизмеримо больше массы ядра,
н потерн энергии W, при излучении н поглощении у-излучения становятся весьма
малыми. В этом случае будет наблюдаться резонансное поглощение и излучение
у-фотона строго определенной частоты v, причем ширина линии будет сравнима
с естественной шириной.
Явление резонансного излучения (поглощения) у-излучения без отдачи называется
эффектом Мёссбауэра.
3.	В ядерной спектроскопии эффект Мёссбауэра используется для точных измерений
энергетических уровней атомных ядер. Так, например, для у-пврехода в ядрах
с энергией перехода W= 14,4 кэВ изменение энергии уровня определено с точностью до
величины AW/W=3 • 10-13. Для у-перехода в %oZn с энергией перехода IF=93 кэВ
величина &W/W оказалась равной 5’ 10-16.
Эффект Мёссбауэра использован для проверки вывода о смещении частоты спект-
ральных линий в гравитационном поле. Прн движении фотона в гравитационном поле
♦Эти определения справедливы также для переходов атома из возбужденного состояния
в нормальное. В этом случае говорят о еспствоиой шярнве спектральной и о естественной
ширвне эвсргетеосик урпевгй злектроеюв в атоме.
638
его энергия изменяется на АРК= — И'(</>2—<Pi)fc*=	где <Pi и ф2 — потен-
циалы гравитационного поля в точках 1 н 2. Знак минус указывает на то, что
увеличение энергии фотона в гравитационном поле происходит в результате уменьше-
ния его энергии W=hv.
h&v=> —hv&tp/c1.
Относительное изменение частоты при прохождении фотоном гравитационной раз-
ности потенциалов Д<р:
Av/v = —bxplc1.
Здесь Д<р >0, так как потенциал поля тяготения Солнца увеличивается по мере удале-
ния от него. На поверхности Земли он больше, чем иа поверхности Солнца. Следовате-
льно, Д v/v < 0 н все частоты линий Солнца н звезд, регистрируемые на Земле, сдвинуты
к красному участку спектра. Этот эффект называется грнвягащюниым «краевым смеще-
нием».
Эффект Мёссбауэра позволил обнаружить гравитационное смещение частоты у-
фотона прн движении его в поле тяготения Земли. При движении по вертикали от пола
до потолка лаборатории на высоту порядка 10 м относительное изменение частоты
равно
Av
v	с2 ~
где g — ускорение свободного падения. Для регистрации такого сдвига частоты необ-
ходимо осуществить резонансное поглощение у-фотонов так, чтобы источник н прием-
ник у-излучения имели относительную ширину пиний, меньшую или равную 1013.
Тогда поглощение будет отсутствовать, если частота у-фотона, падающего на ядро,
отличается от частоты фотона, который ядро может поглотить, на Av/v= 10-1S.
Опыт ставился с двумя одинаковыми кристаллическими источниками у-излучения,
которые располагались на 20 м один выше другого. Когда приемник у-излучения
находился на одной высоте с источником у-фотонов, происходило резонансное погло-
щение. При подъеме приемника на 20 м поглощение прекращалось вследствие гравита-
ционного смещения частоты. Для восстановления поглощения использовался эффект
Доплера. При определенной скорости сближения приемника с источником излучения
доплеровское увеличение частоты компенсировало ее гравитационное уменьшение,
н резонансное поглощение у-излучения восстанавливалось. Опыт явился подтверждени-
ем в лабораторных условиях гравитационного «красного смещения».
§ 45.9.	Ядерные реакции
1.	Ядернымв реакциями называются превращения атомных ядер, вызванные взаимо-
действием их друг с другом или с элементарными частицами.
Как правило, в ддерных реакциях участвуют два ядра и две частицы. Одна пара
ядро — частица является исходной, другая пара — конечной.
Символическая запись ядерной реакции:
А+а=В+Ь или А(а, Ь)В,	(45.15)
где А н В — исходное н конечное ядра, а а н Ь — исходная н конечная частицы
в реакции. В ряде случаев ядерная реакция может происходить неоднозначно и наряду
с предыдущей реакцией осуществляется по схеме А + а-*С+с, т. е. А (а, с)С, или по
другим схемам. Возможные схемы протекания ядерной реакции называются ее канала-
ми, а начальный этап реакции — входным каналом.
Ядерная реакция характеризуется энергией ядерной реакции Q, равной разност^
энергий конечной н исходной пар в реакции. Если £7<0, то реакция идет с поглощением
энергии н называется эндотермической, если Q>0, то рея гния идет с выделением
энергии и называется экзотермической. Эндотермическая ядерная реакция Оказывается
639
возможной прн некоторой наименьшей (пороговой) кинетической энергии вызы-
вающей реакцию ядер или частиц'
Мл + Ма
“ ICI,
МЛ
где Мл — масса неподвижного ядра-мишени; Ма — масса налетающей на ядро
частицы (или ядра).
В ядерных реакциях выполняются законы сохранения энергии, импульса, элект-
рического заряда и массовых чисел. Если кинетическая энергия вступающих в реакцию
частиц достаточна для рождения нуклон-ангинуклонной пары, то сумма массовых
чисел изменяется. Кроме того, в ядерной физике существуют особые законы сохране-
ния, которых нет в других областях физики.
Эффективность ядерной реакции определяется эффективны поперечный сечшем
а данной реакции. Величина в имеет размерность площади и характеризует «выход»
реакции на одну облучающую ядро частицу:
<Ь10
noNodx
(45.16)
В этом определении считается, Тто за единицу времени на единицу площади попереч-
ного сечения вещества, содержащего No ядер в единице объема, падает плоскопарал-
лельный поток, содержащий по частиц; dng — число этих части, вызвавших ядерную
реакцию в слое толщиной dx.
2.	В зависимости от характера взаимодействия частицы а с мишенью А различаются
прямые взаимодействия, когда ядерные реакции происходят по схеме (45.15), и ядерные
реакции, идущие в два этапа с образованием составного ядра (компаунд-ядро). На
первом этапе налетающая частица застревает в ядре-мишени и ее энергия передастся не
одному какому-либо нуклону, а равномерно распределяется между всеми частицами
составного ядра, так что ни одна из них не получает энергии, достаточной для вылета
из ядра*. Составное ядро рассматривается как возбужденная статистическая система
частиц, совершающих неупорядоченные движения, подобные движению частиц в капле
жидкости. Быстрое перераспределение энергии между частицами в ядре возможно
лишь при частых столкновениях Частиц, а это характерна для перераспределения
энергии между частицами в капле Жидкости. В результате случайных отклонений от
равномерного распределения энергии возбуждения между частицами составного ядра
на какой-либо одной из них концентрируется энергия, достаточная для вылета этой
частицы из ядра. Этот второй этап ядерной реакции происходит по истечении времени
(107 — 108)тя после первого этапа, где тя — характерное ядерное время (~10"2ic).
Схема ядерной реакции с образованием составного ядра:
^Х+а-^у-^зС+Ь,
(45.17)
где — исходное ядро-мишень; а — налетающая частица; — составное ядро;
z^C — ядро — продукт ядерной реакции; b — частица, вылетевшая из ядра в резуль-
тате реакции. Если а=Ь, то происходит рассеяние частицы ядром (упругое или неуп-
ругое в зависимости от того, одинаковы или различны энергии частицы до и после
рассеяния). Если 6# а, то Идет ядерная реакция в прямом смысле слова.
3.	Ядерные реакции классифицируются по различным признакам: по энергиям вызы-
вающих их частиц, по роду участвующих в них частиц, по характеру ядерных превра-
щений. Ядерные реакции при малых энергиях (порядка эВ) в основном осуществляются
под действием нейтронов. Реакции при средних энергиях (до нескольких МэВ) вызыва-
*3ахвачеиный ядром «снаряд», например а-частица или дейтрон, может состоять из не-
скольких частиц
640
кггся, кроме того, зараженными частицами (а-частицами, протонами, дейтронами,
адрами тяжелого водорода), а также у-фотонами. Заряженными частицами, вызыва-
ющими ядерные реакции, могут быть многозарядные ионы тяжелы» химических
элементов, а также заряженные частицы, ускоренные в ускорителях. Реакции при
высоких энергиях (сотни и тысячи МэВ) приводят к рождению отсутствующих в ао-
водном состоянии элементарных частиц (мезонов, гиперонов и др.).
Примеры ядерных реакций под действием а-частиц и дейтронов JD:
а) исторически первая ядерная реакция превращения азота в кислород
4*N+*He-(i'F)-J’O+ip,
иля СОКрЗЩСННО
;*N(e,p)i7O,
б)	ядерная реакция, в которой впервые были получены нейтроны,
’Be+*He->J2C+£n;
в)	ядерные реакции под действием дейтронов JD — ядер тяжелого водорода (дей-
терия) — могут приводить к синтезу тяжелых ядер — трития ’Н или легкого изотопа
гелия ’Не — с образованием протона или нейтрона*
fD+’D-*?H + lp*, fD+fD-*iHe+ia
4.	Под действием нейтронов Jb образуются искусственно-радиоактивные изотопы,
например радиоуглерод #*С с периодом полураспада свыше 5000 лет*
Последующий распад
**N+iH-44C+’p-
(45.18)
где -°е и оЪ — обозначения электрона и электронного антинейтрино. Большой период
полураспада 7*С лежит в основе радиоуглеродного метода датировки в археологии.
Определение относительного количества нераспавшегося радиоактивного углерода,
который перестал накапливаться в погибшем организме по р^ятции (45.18), позволяет
установить момент, когда организм перестал поглощать из атмосферы изотоп j*C,
образующийся в атмосфере из азота под действием космических нейтронов.
5.	Характер взаимодействия нейтронов с ядрами различен для быстрых и медленных
нейтронов. Нейтроны называются быстры», если их скорость v так велика, что
соответствующая длина волны де Бройля X^hlp меньше радиуса R ядра, т. е.
й/(та)<Л, или скорость нейтронов v>h/(mR). Энергии быстрых нейтронов заключены
в пределах от 0,1 до 50 МэВ. Если 2 >R, то нейтроны называются ш дш ив шв. Их
энергии не превышают 100 кэВ. Медленные нейтроны с энергиями от 0,005 до 0,5 эВ
называются	нейтронами. Прн энергиях, меньших 0,005 эВ, различают холод-
ше и ультрахолодше вейгрош.
Взаимодействие нейтронов с ядрами состоит главным образом либо в упругом
рассеянии нейфОиннтд, ядрах, либо в захвате нейтронов ядрами. В веществах, называ-
емых замедлителями (графит, тяжелая вода DjO, НПО, соединения бериллия), быстрые
нейтроны рассеиваются на ядрах и их энергия переходит в энергию теплового движения
атомов вещества-замедлителя. В результате нейтроны становятся тепловыми Их
энергии при комнатных температурах становятся равными примерно 0,025 эВ. При
совпадении энергии тепловых нейтронов с энергией составного ядра наблюдается
резонансное шглощенве (резонявсжЛ захват) нейтронов. Этот процесс лежит в основе
получения трансурановых (заурановых) химических элементов. Тах, трансурановый
элемент нептуний “’Np образуется при резонансном захвате нейтронов наиболее
распространенным изотопом урана по схеме
641
^*NP,
где указан период полураспада радиоактивного изотопа JJ’U, превращающегося
в Ja’Np. Затем ядро изотопа ^*Np превращается в плутоний JJ’Pu'
й’Нр-^-й’Ри.
Благодаря эффективному д елению под действием тепловых нейтронов плутоний играет
выдающуюся роль в получении ядерной энергии. Плутоний является а-радноактивным
с огромным периодом полураспада (24000 лет). Он превращается в устойчивый изотоп
урана g’U:
й*Ри---------«’И
24 10* лет
Ядерные реакции под действием ускоренных ядер химических элементов позволили
продвинуться в системе Менделеева да химического элемента с номером Z—109
Названия элементов со 104 по 109 пока не утверждены Прн облучении изотопа »J2Pu
ядрами неона “Ne получен химический элемент с Z=104 После захвата ядра
foNe плутонием образовалось составное ядро изотопа JoiX и в одном случае на
10 млрд составных ядер после испускания четырех нейтронов возникало ядро элемента
йаРи+ЙКе-»“»Х+4‘П
В самых мощных пучках ускоренных ядер неона одно ядро изотопа Z= 104 рождается
за несколько часов.
I. Тяжелое составное ядро, возбужденное при резонансном захвате нейтрона, может
разделиться на две приблизительно равные части (реаквня деления тяжелых ядер)
Образовавшиеся части называются оежолками деления Неустойчивости тяжелых ядер
относительно деления способствует большое количество в них протонов, испытыва-
ющих кулоновское отталкивание друг от друга.
Деление тяжелого ядра на два осколка сопровождается выделением огромной
энергии. Это вытекает из сравнения удельных энергий связи в ядрах химических
элементов, расположенных в конце и середине периодической системы Менделеева
В реакции деления выделяется энергия, пропорциональная разности удельных энергией
неустойчивого «рыхлого» ядра и двух «упакованных» устойчивых осколков деления
Эта разность составляет 0,9 МэВ ин один нуклон. Прн делении ядра урана Ji’U,
содержащего 238 нуклонов, выделяется энергия порядка 200 МэВ. Прн делетии ядер,
содержащихся в 1 г урана выделяется энергия 8 Ю10 Дж, или 22000 кВт ч
Тяжелые ядра способны к дележню, если для них выполняется условие &/А&17,
где Z’/Л — параметр делами. Это условие выполняется для всех ядер,начиная с сереб-
ра 1?8Ав, для которого Z3M«20. Ядра, с Z2/H >(г2/Л)жриг=49 (критически параметр
деления), совершенно неустойчивы относительно деления и не могут существовать. Для
изотопа Z=104 Z2/H«41.
Прн Z2/H < (Z’/HX^ возможно сампдеоизводеиое (сигпмое) де пгт ядер, проис-
ходящее аналогично я-ряспаду с помощью туннельного эффекта. Период полураспада
для самопроизвольного деления ядер составляет 10’6 — 10” лет.
7.	Осколки деления в момент своего образования обладают избытком нейтронов над
□ротонами. Избыточные нейтроны, испускаемые осколками, называются иейгремямн
дележи. Число их может быть различным, и процесс деления ядер сопровождается
размножением нейтронов, характеризуемым средним числом <v> возникших нейтро-
нов, приходящихся на один акт деления, Для ядер плутония и урана Ji’U,
которые делятся под действием тепловых нейтронов, <v> равно соответственно 3,0
и 2,5 Среди нейтронов деления имеются ьгвпвгши и (вторпчкк) и заюздаааюпре
642
всйтрош. Мгновенные нейтроны испускаются непосредственно при де питии ядра за
время порядка 10'14 с. Запаздывающие нейтроны испускаются продуктами деления
спустя некоторое время после деления
Каждый из мгновенных нейтронов, возникших в реакции деления, взаимодействуя
с соседними ядрами делящегося водества, вызывает в них реакцию деления Прн этом
идет лавинообразное нарастание числа актов деления — ценная реакца Делемя Усло-
вием возникновения цепной реакции является наличие размножающихся нейтронов.
Коэффмвкитом размножена нейтронов к называется отношение числа нейтронов,
возникающих в некотором звене реакции, к числу таких нейтронов в предшествующем
звене. Условие развития цепной реакции к> 1. Практическая возможность существова-
ния цепных реакций деления доказана развитием ядерной ицине — областью
техники, в которой созданы различные типы цдцче реакторов — устройств, где
реализованы управляемые цепные реакции,
8.	Рассмотрим реакции синтеза ядер трития и гелия из ядер дейтерия, являющиеся
вторым путем выделения внутриядерной энергии, помимо деления тяжелых ядер.
Удельные энергии связи в трех ядрах — jD, 3Н и jHe — относятся приблизительно как
13 6 Это означает, что ядерные реакции, рассмотренные в п 3, сопровождаются
выделением большой энергии в первой нз них выделяется энергия 4,04 МэВ, во
второй — энергия 3,27 МэВ
Еще большая энергия 17,58 МэВ выделяется в реакции
На один нуклон эта энергия равна — МэВ=3,5 МэВ, т. е примерно в четыре раза
больше, чем в реакции деления урана (см п 6) — МэВ=0,85 МэВ Еще более
эффективной в смысле удельного выделения энергии является реакция синтеза ядер
гелия 4Не из четырех протонов — 6,70 МэВ — на одну частицу.
Реакции синтеза легких ядер, связанные с преодолением их кулоновского оттал-
кивания, эффективно могут протекать при сверхвысоких температурах порядка 10* —
109 К, превышающих температуру центральных областей Солнца (Г= 1,3 10’К). Такие
реакции называются тсрмоядероым1 реякиияия емггеэа и происходят в веществе,
находящемся в плазменном состоянии. Термоядерные реакции являются, по-видимо-
му, источниками энергии звезд, компенсирующими их излучение. Солнце ежесекундно
излучает энергию 3,8 1026 Дж, что соотвехсхвует выделению энергии на единицу массы
в 1 с, всего 1,88 10~4 Дж/(с кг) Оно составляет лишь 1% от удельной энергии,
выдепяемой в живом организме в процессе обмена веществ.
Термоядерные реакции на Солнце, как считается, могут протекать в форме гермо-
ядершх едклои, в которых выделение энергии происходит за счет преяря тения Ядер
водорода в ядра гелия.
Один из вариантов протои-яротоового мосла начинается с соединения двух протонов
в дейтерий с испусканием позитрона и электронного нейтрино*
}p+iP-*iD+
Дальнейшее протекание цикла осуществляется по схеме
?D+lp-’He+y.
Вероятным продолжением цикла является реакция с выделением энергии:
гНе 44He-»4He+2ip,
fpt 4Не — символ а-частицы
г В углеродво-азолом цмше ядра углерода являются «катализаторами)» реакции
соединения ядер водорода в ядро гелия.
В начале цикла быстрый протон проникает в ядро углерода:
JaC+}p-»|3N+y.
643
В радиоактивном изотопе азота |3N с периодом полураспада 14 мин происходит
превращение	и образуется ядро изотопа углерода:
*3N-*3C++^+S*«-
Приблизительно через каждые 2,7 млн. лет ядро J,3C захватывает протон, образуя ядро
устойчивого изотопа азота j*N:
J3C+iP-*|*N+y.
Спустя в среднем 32 млн. лет ядро ’*N захватывает протон и превращается в ядро
кислорода JSO:
7*N + ip-»J3O+y.
Неустойчивое ядро JSO с периодом полураспада 3 мин испускает позитрон и нейтрино
и превращается в ядро J’N:
i3o-4’N->+»*+2v<r
Цикл завершается реакцией, происходящей приблизительно через 100 тыс. лет:
“N+Jp-i’C+lHe.
Результатом цикла является превращение четырех протонов в ядро гелия с появлением
двух позитронов и у-излучения. На одно ядро гелия выделяется энергия 26,8 МэВ, что
составляет в пересчете на моль гелия 700 тыс. кВт • ч энергии. Этой энергии достаточно
для компенсации излучения Солнца. Отдельно реакции цикла отдалены друг от друга
временем, непомерно большим по земцым масштабам. Однако этот цикл замкнут
и происходит непрерывно. Поэтому все стадии цикла происходят на Солнце одновре-
менно, начавшись в разные моменты времени.
9.	Условия, близкие к тем, какие реализуются в недрах Солнца, были осуществлены
в водородной бомбе, где идет самоподдерживающаяся термоядерная реакция взрывного
характера в смеси дейтерия и трития типа
?D+?H-$He + *n.	(45.19)
Высокая температура, необходимая для протекания термоядерной реакции, была
получена за счет взрыва «обычной» атомной бомбы, действующей на принципе быст-
рой цепной реакции деления тяжелых ядер.
Теоретической основой искусственных управляемых термоядерных реакций явля-
ются реакции типа
?D+3H-r*He+Jn или jD+fD-»jH + }p.	(4520)
Для осуществления этих реакций необходимо, чтобы плазма была достаточнд
сильно нагрета, а также чтобы концентрация и частиц в ней и время т их удержания
в плазме удовлетворяли определенному условию, называемому крнтернем Лоусона: для
реакции (45.19) пт> 101* с/см3 (Т> 10* К), для реакций (4520) пт> 1013 с/см3 (Г> 10’ К).
Вопросы:
1. Приведите аргументы, показывающие, что в составе ядра не может быть электронов.
2. Почему атомные ядра изотопов химических элементов, расположенных в середине пери-
одической системы Менделеева, не могут быть источниками ядерной энергии?
3. Как доказать зарядовую независимость ядерных сил?
4. Почему у-излучение не следует считать типом радиоактивности?
5. Почему энергия, выделяемая при термоядерной реакции, существенно больше энергии,
выделяемой при реакциях деления тяжелых ядер?
644
Глава -46____________________________________
Элементарные частицы
§ 46.1.	Уровень элементарных частиц
1.	Физические системы и процессы, в них протекающие, можно классифицировать по
разным прмппягам Один из них — характерные масштабы, т. е типичные размеры
исследуемых объектов и (или) типичные расстояния между ними. Окружающие нас
тела обладают «обычными» размерами и составляют макромир — предмет макроско-
пической физики. В том случае, когда характерные масштабы большие, порядка
миллионов световых лет, речь идет о мегамире, которыйизучают космология и аст-
рофизика. Если характерные масштабы не превышают 10“8 м, то физические системы
относят к области микромира, законы которого устанавливает квантовая физика.
2.	Главный предмет обсуждения в данной главе — самые нижние подуровни микро-
мира. Исходным пунктом обсуждения будет служить простая схема, представленная
в виде табл. 46.1. На схеме указаны
структурные уровни строения мате-
рии Наиболее подробно расшифро-
вана структура микромира, выделен-
ного волнистой линией. Именно
здесь расположен интересующий нас
уровень элементарных частиц.
В классической физике, описыва-
юпрй макромир, считается, что ма-
терия существует в двух видах: в ви-
де вещества и поля (прежде всего
имеется в виду электромагнитное по-
ле). Они выступают в качестве носи-
телей противоположных свойств —
дискретности и непрерывности. Но
нужно иметь в виду, что в современ-
ной физике грань между понятиями
вещества и поля практически полно-
стью стирается и взаимоотношения
между категориями дискретного
и непрерывного обретают характер
диалектического единства.
3.	В XIX в было окончательно установлено, что вещество состоит из молекул,
а молекулы — из атомов. В соответствии с этим выделяется первый микроскопический
уровень — атомно-молекулярный с характерными масштабами ЛиЮ-8 —10"10 м.
Опыты по рассеянию а-частиц позволили Э. Резерфорду в 1911 г. установить, что
в состав атома с порядковым номером Z входит массивное ядро с положительным
зарядом Ze (е — элементарный заряд). Атомные ядра, будучи относительно устой-
чивыми, обусловливают химическую индивидуальность элементов. Они составляют
ядерный уровень, для которого характерны масштабы Rx 10-1*-*-10“15 м В состав
атома входят также электроны, но они лежат на более глубоком уровне микромира.
Ядро атома с порядковым номером Z и массовым числом А содержит Z протонов
р H.A—Z нейтронов и — всего А частиц (Д. Д. Иваненко и Е. Н. Галон, В. Гейзенберг,
1932).
Протоны и нейтроны объединяются общим названием нуклоны. Они являются
типичными представителями целого класса микрообъектов — класса адронов
645
(терминология разъяшиется ниже). Для адронного уровня характерны масштабы
Л ж 10 13 м.
4.	Атомное ядро окружено сравнительно рыхлой и легко перестраиваемой оболочкой
из Z электроне» е . Именно электронные оболочки ответственны за химические
и многие физические (в частности, оптические) свойства вяцсства. Это связано с тем,
что электроны могут теряться атомом и присоединяться к нему, образуя положительно
н отрицательно заряженные ноны. Кроме того, они могут переходить с одного
энергетического уровня на другой, в результате чего атом будет испускать или погло-
щать кванты света. Электрон — родоначальник класса лентонов, который содержит
и другие частицы.
С квантовой точки зрения элементарные возбуждения электромагнитного поля
обладают всеми свойствами частиц. Они называются фотонами В классической физике
считается, что электромагнитное взаимодействие осуществляется посредством элект-
ромагнитного поля, в квантовой теории оно рассматривается как результат обмена
заряженных частиц фотонами. Но наряду с электромагнитным существуют и другие
фундаментальные взаимодействия. Фотон есть типичный представитель нового важ-
нейшего класса микрообъектов — переносчиков взаимодействий.
S.	Сравнительно недавно нуклоны, электроны и фотоны размещались на едином
уровне элементарных чаепщ и рассматривались как его равноправные члены Однако
постепенно выяснилось, что протон и нейтрон (и вообще все адроны) являются
составными микрообъектами Они построены из некоторых более «мелких» частиц,
которые обозначают символами и и Эти частицы принадлежат к классу кварков
Кварки, отличные от и и d, необходимы для построения других адронов, отличных от
протона и нейтрона.
Сейчас, по традиции, продолжают говорить об элементарных частицах. Так назы-
вают все субъядерные микрообъегты, отделенные в табл. 46 1 штриховой Прямой, хотя
многие из них и Нс являются элементарными в первоначальном смысле этого слова
Данный термин повторил историю слова «атом», которое в переводе с греческого
означает «неделимый».
I. Согласно современным воззрениям, единый ранее уровень элементарных частиц на
самом деле оказывается расщепленным на два уровня На верхнем из них — адрон-
ном — расположены составные частицы, в том числе протон р и нейтрон л Самый
нижний уровень — это уровень истинно элементарных частиц, часто называемых
фундаментальными частицами Именно на нем находятся электрон е~ (лептоны),
фотон у (переносчики взаимодействий), а также частицы и н d (кварки) В табл. 46 1
уровень фундамента пыплх частиц отделен от адронного цприхпунктиром
Существуют ли еще более глубокие уровни строения материи, в настоящее время
неизвестно, хотя такие возможности обсуждаются в научной литературе и даже строят-
ся конкретные модели (субкварки, преоны, ришоны и др.). Этот важнейший вопрос
может быть решен только экспериментально Из соотношения неопределенностей
АгДд~й следует, что для выявления деталей структуры с размерами порядка Аг нужны
зондирующие частицы с импульсами р, не меньшими ty~tl/ar Таким образом, для
изучения очень ядепких деталей нувены частицы с очень большими энергиями. Интен-
сивные пучки заряженных частиц с высокими энергиями, необходимые для постановки
соответствующих опытов, формируются ускорителями. Максимальные значения энер-
гии, достигнутые в ускорительных лабораториях, составляют по порядку величины
10э ГэВ (1 ГэВ—10’ эВ), чему отвечают минимальные расстояния 10~19 м На этих
расстояниях электрон яде не выявляет внутренней структуры. Но конструируются
и строятся новые, все более мощные ускорители заряженных частиц (электронов,
позитронов, протонов и др.), которые позволят проникнуть в глубь материи на еще
меньшие расстояния С их помощью надеются выяснить, в частности, столь ли уж
фундаментальны на самом деле фундаментальные частицы, т. е. обладает ли, напри-
мер, электрон какой-то структурой или не обладает.
§ 46.2. Общий свойства зломвитарных частиц
1. В настоящее время общее чкло твестных элементарных частИц (вместе с ан-
тичастицами) приближается к 400
Пока мы встречались только с электроном е~ (позитроном е+), протоном р,
нейтроном л, фотоном у и электронным (анти) нейтрино v, (<У Эти частицы стабильны
646
или квазистабнльиы, и они существуют в природе в свободном или слабосвязанном
состоянии Тах, квазистабильцые нейтроны входят в состав атомных ядер, многие из
которых являются абсолютно устойчивыми Почти все остальные элементарные части-
цы крайне нестабильны и образуются во вторичном космическом излучении или
получаются в лаборатории с помощью ускорителей, а затем быстро распадаются,
превращаясь в конечном итоге в стабильные частицы. Основные классы элементарных
частиц и их наиболее важные представители рассмотрены в 9 46.4 — 46.7
Для	свойств отдельных элементарных частиц ВВОДИТСЯ ЩЛЫЙ ряд физи-
ческих величин, значениями которых они и различаются. Наиболее известными среди
них являются масса, среднее время жизни, спин, элитрнческий заряд, магнитный
момент. О других хараыернсицмх частиц, в том числе о зарядах, отличных от
электрического, будем говорить по ходу изложения.
2. Масса m частицы выражена в энергетических единицах (МэВ или ГэВ) в соответст-
вии с соотношением Эйнштейна Wo“mc2.
Иными словами, в таблицах приводится фактически не масса т частиц, а их энергия
покоя IFo- Это удобно при составлении уравнений энергетического баланса для процес-
сов взаимопревращений элементарных частиц Укажем масок частиц, о которых уже
говорилось
тПупО, bi,=0*, m(±i0,51 МэВ,
m,ss938,3 МэВ, т,гя939,6 МэВ
Наиболее тяжелая из известных сейчас частиц (промежуточный бозон) почти в 100 раз
массивнее протона
Среднее время жизни т служит мерой стабильности частицы и выражается в секун-
дах**. Электрон, протон, фотон и нейтрино абсолютно стабильны (т“со), во всяком
случае их распады экспериментально не зарегистрированы
^“>2 1022 лет, т7">2 10” лет.
Нейтрон — квазистабильнаг частица, и последнее экспериментальное значение его
среднего времени жизни (1986) ти—(898±16)с Существуют группы частиц со средними
временами жизни порядка 10~б, 10“’, 1О~10, 10"13 с У наиболее короткоживущих
частиц, называемых резонансами, т~ 10~2*—10~2э с Для нестабильных частиц в табли-
цах наряду с временами жизни указываются также типы распадов (например, для
нейтронов п-*р+е~+?,).
Спин — это собственный момент импульса частицы, т. е. ее момент импульса
в системе отсчета покоя
Спин не имеет классического аналога, так ках элементарную частицу нельзя
представлять себе в виде вращающегося шарика Обычно спин J выражается в еди-
ницах й и принимает только целые и полуцелые значения. Частица со спином J имеет
27+1 спиновых состояний, различающихся значениями проекции J„ которая может
быть равна — J, — 7+1, ..,7—1,7 У электрона, протона, нейтрона и нейтрино 7— ’Л,
у фотона 7- 1*** Известны частицы со спинами от 0 (многие мезош) до 6 (мезонный
резонанс г, открытый на Серпуховском ускорителе в 1983 г). Спин элементарной
частицы — одна из важнейших ее характеристик В частности, для покоящейся частицы
только вектор спина задает выделенное направление в пространстве Поэтому любой
другой вектор А, характеризующий частицу в состоянии покоя (например, собственный
магнитный момент), должен быть коллинеарен вектору спина.
A=eJ.
(46.1)
•См 5 464
••В физике элементарных частиц тириод полураспада 7\п не употребляется; в качестве меры
нестабильности резонансов принимают ширину Г ~ Ту-с, выражаемую в эвертетичееккх едкнищх.
•••Из-за того, что масса фотона рвана нулю, у вето отсутствует состояние с 7,-0 и могут
быть только состояния с 7,^ + 1 В классической физике это соответствует поперечности электро-
магнвтаыХ воли.
647
Кроме того, значение спина однозначно определяет тип статистики, которой подчи-
няются данные частицы. Все частицы с целыми спинами являются бозонами (статисти-
ка Бозе — Эйнштейна), все частицы с полуцелыми спинами — фермионами (статисти-
ка Ферми — Дирака), для которых справедлив принцип Паули. Например, электро-
ны — это фермионы, а фотоны — бозоны.
Электрический заряд q характеризует способность частицы участвовать в электро-
магнитном взаимодействии и выражается в единицах элементарного заряда
КГ19 * Кл.
Для всех частиц, существующих в свободном состоянии, он принимает целочислен-
ные значения* — обычно Он ±1, для некоторых резонансов ±2. Это правило кван-
тования электрического заряда выполняется с огромной точностью: согласно послед-
ним измерениям,
\q'+qJ<lO-2ie, |9я|<10-21е.	(46.2)
Вектор собственного магнитного момента Рт характеризует взаимодействие поко-
ящейся частицы с внешним магнитным полем:
F=grad(pmB), M=[PmB], W-------(РшВ).	(46.3)
Из (46.1) следует, что векторы Рш н J параллельны:
Pm=yJ.	(46.4)
Если они направлены в одну сторону, то у>0, если в противоположные стороны, то
у <0. Ясно также, что магнитные моменты могут быть только у частиц с ненулевыми
значениями спина. Для проекции Ра,, вектора Рш на направление оси Z можно записать
(46.5)
Так как Jz квантуется, то квантуется н рт. Значение р^, отвечающее максимальному
значению называется просто собственным магнитным моментом частицы
н обозначается символом д. Таким образом,
p=yJ.	(46.6)
Из сказанного ясно, что магнитный момент д может быть положительным (векторы
Рш н J направлены в одну сторону), отрицательным (рш н J направлены в проти-
воположные стороны) или равным нулю (в частности, прн 7=0). Магнитные моменты
элементарных частиц обычно выражают в единицах соответствующих магнетонов
до=е/^(2т)- Если т=т„ то До — магнетон Бора дБ; если т—тр, то получаем ядерный
магнетон д,:
дв=е^(2т«), д,=е^(2т,).	(46.7)
У фотона н нейтрино д=0, а для электрона, протона н нейтрона
Д,«2,79д„ д„«-1,91д,.
Долгое время равенство д«=дб считалось точным, и лишь в 1947 г. было обнаружено
небольшое отклонение от него. Это отклонение полностью объяснила квантовая
электродинамика — современная квантовая теория электромагнитного взаимодейст-
вия. В первом приближении магнитный момент электрона равен
д,= дБ[1+а/(2тг)],	(46.8)ь
•Кварки, которым приписываются дробные значения электрического заряда, требуют
особого обсуждения, так как они, скорее всего, могут существовать только внутри адронов
(см. § 46.6).
648
где
а-е2/(4яеок)«1/137,О4	(46.9)
— постоянная тонкой структуры. Уже теоретическое значение ре (см. (46.8)], примерно
на 0,1 % отличающееся от хорошо согласуется с экспериментальным значением
Л/дб- 1,0011596567±35,	(46.10)
которое обращает на себя внимание точностью измерений (ошибка указана в единицах
последней значащей цифры). Согласие результатов уточненных теоретических расчетов
с результатами последних измерений является в данном пункте абсолютным, что
свидетельствует о совершенстве квантовой теории электромагнитного взаимодействия.
3. До сих пор мы говорили просто об элементарных частицах. Однако практически
у каждой частицы имеется яжпчасгвця, обычно обозначаемая тем же символом, но
с добавлением тильды над ним.
Существование античастиц предсказал (1930) П. Дирак. Из теории следует, что
массы, времена жизни и спины частицы и античастицы должны быть одинаковыми,
и это с огромной степенью точности подтверждается на опыте. Остальные харак-
теристики, в том числе электрический заряд и магнитный момент, у частицы и ан-
тичастицы равны по модулю, но противоположны по знаку. Примеры частиц и ан-
тичастиц: электрон е~ и позитрон e+sg~, протон р и антипротон Д нейтрон л и ан-
тинейтрон л, нейтрино v, и антинейтрино Первые две пары различаются, например,
знаками электрического заряда, л и Я — знаками магнитного момента (ио, главное,
знаками барионного заряда; см. § 46.5), о различиях между v( и сказано в § 46.4.
У некоторых частиц, называемых истинно нейтральными, все «заряды» равны нулю,
и они тождественны своим античастицам. К истинно нейтральным частицам относит-
ся, например, фотон у.
Первая античастица — позитрон е* — была зарегистрирована в 1932 г. в космичес-
ком излучении с помощью камеры Вильсона, внутри которой находилась свинцовая
пластинка в сильном магнитном поле (опыт описан в школьном учебнике физики).
Часто позитроны образуются совместно с электронами при соударении достаточно
энергичных фотонов (Er> Im^c1) с заряженными частицами X:
у+Х-^Х+е~+е+.	.(46.11)
Частица X (обычно атомное ядро) необходима для того, чтобы выполнялись законы
сохранения энергии и импульса. Ясно, что они запрещают самопроизвольный распад
одиночного свободного фотона на электрои-позитронную пару.
Встречаясь друг с другом, медленные электроны и позитроны ввигяляруют, поро-
ждая два (гораздо реже три) фотона:
е"+е+-»2у.	(46.12)
Термин «аннигиляция» переводится как «уничтожение», но, разумеется, его не следует
трактовать буквально. Никакого уничтожения материи в процессе (46.12), конечно, нет.
Один ее вид (электрон и позитрон) превращается в другой вид (фотоны). Безусловно
выполняется и закон сохранения энергии: один ее вид (энергия покоя электрона
и позитрона) превращается в другой (в энергию излучения). Кстати, при соударении
достаточно быстрых электронов и позитронов могут порождаться не только фотоны,
но самые разнообразные частицы, вплоть до наиболее тяжелых. Использование встреч-
ных электрои-познгронных пучков — один из самых эффективных методов генерации
и исследования новых частиц, и он пшроко применяется в современной физике.
В настоящее время практически для каждой известной частицы найдена соответст-
вующая ей античастица.
г Так, антипротон р был открыт (1955) в реакции
р+р-*р+р+р+р,	(46.13)
а антинейтрон Я (1956) — в реакции «перезарядки»
649
0+p->n+n.
(46.14)
Мало того, многие уравнения теории оказываются симметричными по отношению
к зарядовому сопряжению — я замене всех частиц на античастицы и наоборот. Отсюда
становится ясным, что понятия частицы и античастицы являются относительными, а не
абсолютными. Например, р мы называем протоном, а р— антипротоном только
потому, что объектов первого типа во Вселенной неизмеримо больше, чем объектов
второго типа.
4. Рассмотрим кратко основные типы элементарных частиц, открытых к настоящему
моменту. В 1932 г. были известны лишь электрон е~, фотон у, протон р и нейтрон п,
а кроме того, В. Паули высказал гипотезу о существовании нейтрино v. Но на первых
порах и этих немногих тастиц почти хватало для создания довольно стройной картины
строения материи. Вещество состоит из молекул, молекулы — из атомов, а всякий
атом представляет собой ядро, окруженное электронной оболочкой. В состав атомного
ядра входят протоны и нейтроны. Процессы перестройки электронной оболочки со-
провождаются испусканием и поглощением фотонов.— квантов электромагнитного
поля. В результате обмена фотонами осуществляется электромагнитное взаимодейст-
вие между электрически заряженными частицами* (см. § 46.7). Необходимость введе-
ния нейтрино диктовалась законом сохранения энергии в процессах /1-распада атомных
W-
Невыясненной оставалась лишь природа ядерных сил, связывающих протоны
и нейтроны. И. Е. Тамм и Д. Д. Иваненко предположили (1934), что механизм ядерного
взаимодействия является тахвее обменным** Вскоре «шпнегий физик X. Юкава пока-
зал, что частицы, в результате обмена между которыми возникают ядерные силы,
должны быть в 200 — 300 раз тяжелее электрона, а значит, примерно в 10 раз легче
протона и нейтрона. Поэтому они были названы мезонами [mesoa (греч.) — средний].
В 1937 г. в космическом излучении были зарегистрированы заряженные частицы
с массой тл»200шс, которые сначала и отождествлялись с юкавошми мезонами. Но
последующие исследования показали, что они чрезвычайно слабо взаимодействуют
с атомными дырами, из-за чего не могут быть переносчиками ядерного взаимодейст-
вия. На самом деле открытая частица оказалась по своим свойствам очень похожей на
электрон, являясь его тяжелым аналогом. Сейчас она обозначается символом р~
и называется мюоном. Существует и положительно заряженный мюон — антича-
стица по отношению к р~, представляющая собой аналог позитрона е*. Старое
название мюона — мю-мезон —• не соответствует современной классификации элемен-
тарных частиц (см. § 46.5), и его следует считать неправильным. Мюоны•— нестабиль-
ные частицы (среднее время жизни т~ 10~б с) — претерпевают распады
р~-»е~ +?t+Vp,	+ +	(46.15)
Здесь уд(яд) — мюонное нейтрино (антинейтрино), выступающее в качестве аналога
обычного электронного нейтрино vc (антинейтрино vj, образующегося при /1-распадах
атомных ядер. Существование нейтрино двух различных типов — электронного и мю-
онного — установлено в 1962 г. Заметим, что в 1975 г. с помощью элвктрои-позитрон-
ных пучков зарегистрирован сверхтяжелый аналог электрона (и мюона) — тяжелый
лептон, или таон с массой тюЗбООт,, а также его античастица т+. У него есть свои
нейтрино vr и антинейтрино 5, — таонные, или тау-нейтрино. Среднее время жизни
таона ~ 10“13 с.
5. Настоящие переносчики ядерного взаимодействия — пионы (пи-мезоны) я+, я0,
я- — были открыты в конце 40-х годов в космическом излучении. Пионы я+ и я~ —
частица и античастица по отношению друг к другу. Они распадаются со средним
временем жизни т~ 10" * с по схемам
•Примерно в то Же время сформировались взгляды на гравитационное взаимодействие как
взаимодействие, осуществляемое при обмене гравитонами — квантами гравитационного поля.
••Они считали, что нуклоны обмениваются элвктрон-нейтриннымн парами, но радиус
ядерных сил получался прн этом слишком большим
650
я+-»д+ + у,н я -»д“+5д.	(46.16)
Пион я0 — истинно нейтральная частица. Он гораздо менее стабилен, распадаясь за
время т~ 10“16 с на два фотона:’я°-»2у.
В 50-е годы в космических излучениях и на ускорителях зарегистрирована довольно
большая группа новых частиц (и их античастиц): каоны (ка-мезоны) К*, К?, ламбда-
гиперон Л , сигма-гипероны L+, Е°, ксн-гипероны (каскадные гипероны) Е°, Е“,
омега-гиперон О-*. Массы всех гиперонов [hyper (греч.) — сверх] больше массы прото-
на. Существование этих частиц было большой неожиданностью для физиков. К тому
же они обладали весьма необычным поведением, рождалиа» всегда парами и очень
быстро (за время ~1023 с), а распадались поодиночке и сравнительно медленно (со
средними временами жизни т~1О-10—10~* с). Поэтому ка-мезоны и все гипероны
получил общее название странные частицы.
в. 60-е годы ознаменовались открытием более сотни короткоживущих частиц со
средними временами жизни т~ 10“2*—10“23 с. Длина их пробега с момента рождения
до момента распада составляет около 10”15 м, и они не могут быть зарегистрированы
непосредственно с помощью детекторов типа пузырьковой камеры. Эти частицы
идентифицируются или по продуктам распадов, или по их проявлению в виде характер-
ных пиков на графиках зависимости сечений рассеяния от энергии, в связи с чем все они
называются резонансами. Следует отметить, что резонансы, несмотря на чрезвычайно
малые времена их жизни,— «настоящие» элементарные частицы, обладающие всеми
свойственными им характеристиками — массой, спином, электрическим зарядом и
т. д. Резонансы составляют самый многочисленный класс элементарных частиц.
7. В 1974 г. обнаружены массивные (втрое тяжелее протона), но относительно устой-
чивые (т~10-20 с) резонансы — джи-пси-меэоны J/ф. Они послужили родоначаль-
никами группы «очарованных» частиц (D*, ГР, F*, Л? и др.), предсказанной те-
оретически. В 1977 г. открыты ипенлои-мезоны с массами, более чем в 10 раз
превышающими массу протона. Они служат родоначальниками группы «прелестных»
частиц, включающей пока лишь мезоны В* и В0.
Наконец, в 1983 г. зарегистрированы промежуточные бозоны Ж*, Ж-, Z” — пере-
носчики слабого взаимодействия (см. § 46.7). Они имеют массы т^х81 ГэВ и mz»
х93 ГэВ и времена жизни т~ 10~2,с. Эго самые тяжелые и самые нестабильные из всех
известных в настоящее время элементарных частиц.
Предсказывается также существование целого ряда новых частиц — отдельных
представителей групп «очарованных» и «прелестных» частиц, совершенно нового се-
мейства «истинных» частиц, еще более экзотических объектов (например, монополей
Дирака, несущих магнитный заряд). Кроме того, в § 46.7, 46.8 мы встретимся с весьма
специфическими элементарными частицами — кварками и глюонами.
§ 46.3.	Взаимопревращения элементарны! частиц
1.	Основным экспериментальным и теоретическим методом исследования в физике
микромира является метод рассеяния. Достаточно вспомнить хотя бы опыты Резер-
форда, Франка — Герца, Штерна — Герлаха, Комптона. Всякий опыт по рассеянию
всегда ставится так, что весь процесс можно разделить на три основных этапа.
1.	Подходящие источники создают один или два параллельных пучка невзаимодей-
ствующих частиц с энергиями, примерно одинаковыми в каждом пучке. Раньше
использовался один пучок, который направлялся на неподвижную мишень. В последнее
время широко применяются встречные пучки — протон-протонные, протон-антипро-
тонные, элсктрон-элехтронные, электрои-позитронные.
2.	Частицы из разных пучков сближаются и вступают в область взаимодействия.
В результате они рассеиваются: изменяется состояние их движения или рождаются
новые частицы.
♦История открытая Л относится к более позднему период этот гиперок был предсказал
в 1962 г теоретиками и зарегистрирован экспериментально в 1964 г.
651
3.	Рассеянные частицы расходятся на большие (в масштабах микромира) расстоя-
ния и регистрируются детекторами, назначение которых — зафиксировать образовав-
шиеся частицы и измерить необходимые их характеристики (массу, энергию, импульс,
спин, электрический заряд и т. д.).
Основные задачи экспериментаторрв состоят в изготовлении источников и детек-
торов, в реальном проведении опыта по рассеянию и в регистрации рассеянных частиц
вместе с их характеристиками. Цель теоретиков — по заданному начальному состоя-
нию частиц до рассеяния и известному взаимодействию между ними предсказать
результат опыта, т. е. конечное состояние частиц. Но чаще всего приходится решать
обратную задачу: по заданному начальному состоянию и по экспериментальным
данным о конечных состояниях восстанавливать характеристики взаимодействия и де-
тали структуры частиц.
2.	Взаимодействия между частицами обусловливают самые разнообразные процессы.
Они делятся на три большие группы.
1.	При упругом рассеянии
a+b->a+b	(46.17)
(а и Ь — символы частиц) частицы не претерпевают превращений, а изменяют состоя-
ние своего движения.
Например, рассеяние а-частиц ядрами в опытах Резерфорда, комптоновское рассея-
ние фотонов свободными электронами.
2.	В неупругих процессах (реакциях)
а+6-*С1 + ... + <^	(46.18)
сталкивающиеся частицы превращаются в частицы других сортов.
Например, рождение электрон-позитронной пары (46.11), аннигиляция пары (46.12),
процесс образования антипротона (46.13), реакция «перезарядки» (46.14).
3.	Частицы, рождающиеся в процессах рассеяния, за редкими исключениями,
являются нестабильными и претерпевают распады:
а-с1 + ... + ся.	(46.19)
Например, /1-распад нейтрона, распады мюонов (46.15) и пионов (46.16).
3.	Не следует думать, что при заданных начальных частицах в конечных состояниях
всегда образуются строго определенные частицы. Напротив, в xctape процесса обычно
могут возникать с различными вероятностями различные группировки частиц При-
меры*
я +/>
—»я°+л
->К++1“
(63,5%)
(21,2%)
(5,6%)
(И.7%)
(4620)
Начальная совокупность частиц называется входным каналом, их конечные совокуп-
ности — выходными каналами данного процесса. В (46.20) в скобках укатаны относи-
тельные вероятности протекания процесса распада положительного каона по различ-
ным каналам.	т
4.	Все процессы рассеяния и распадов управляются законами сохранения, из которых
отметим законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и электрического
заряда (некоторые другие законы сохранения обсуждаются в последующих параг-
рафах). Важной характеристикой всякого превращения частиц является энергия процес-
652
ca Q. Она определяется как разность кинетических энергий конечных и начальных
частиц:
Q= i »?-(»?+ »t). или 2= f Wl	(46.21)
a—1	a-1
где первая из формул относится к процессам рассеяния, а вторая -— к распадным
процессам (в последнем случае частица а считается покоящейся). Записывая законы
сохранения полной релятивистской энергии
X или J^= £ J/	(4622)
a«l	e«l
и учитывая, что для каждой частицы Wскладывается из ее энергии покоя и кинетичес-
кой энергии (№=тс1 + И*), получаем простые формулы для вычисления энергии
процесса:
f	я	1
С =•{("’«+"*4)— Е т<‘(с3> ИЛИ
г . , Г* J	С46-23)
Q=<ma- £ щЛс3.
I а»1 J
Если массы выражены в энергетических единицах, то множитель с3 писать не нужно.
В любом упругом процессе (46.17) энергия не выделяется и не поглощается,
а потому для него всегда Q=0. Все прочие процессы подразделяются на экзотермичес-
кие (С>0), протекающие с выделением энергии, и эндотермические (О<0), протека-
ющие с поглощением энергии. Из этих определений и формул (46.23) следует,'что
в экзотермических процессах часть начальной энергии покоя превращается в кинетичес-
кую энергию, а в эндотермических процессах происходит превращение кинетической
энергии в энергию покоя образующихся частиц.
5.	Любой распад по самой своей сути является экзотермическим процессом. Из
неравенства Q>0 и второй формулы (46.23) приходим к необходимому условию
распада общего вида (46.19):
т„> £	(46-2*)
«"1
Пример: с одной стороны, свободный нейтрон претерпевает /?_-распад п-*р+е~ + ?«
с выделением энергии
б = {»»я— (тг+т,)}сгкО,7Ъ МэВ.
С другой стороны, щютон легче нейтрона, и в свободном состоянии он не будет
распадаться по схеме p-»n+e++v« Протон может испытывать -распад, но только
находясь в связанном состоянии внутри атомного ядра.	4
Неупругие процессы (реакции) типа (46.18) бывают как экзотермические (Q>0), так
и эндотермические (Q<0). Согласно первой формуле (4623), тип конкретной реакции
и ее энергия определяются значениями масс соответствующих частиц. Если реакция
эндотермическая, то она протекает не прн всех энергиях сталкивающихся частиц,
а только при энергиях, превышающих некоторую минимальную. Эта минимальная
кинетическая энергия начальных частиц, нанина я с которой реакция становится энер-
гетически возможной, называется пороговой энергией (или просто порогом) Импорт дан-
ной реакции.
6.	Если в начальном состоянии суммарный импульс частиц не равен нулю, то и пол-
ный импульс образующихся частиц отличен от нуля (закон сохранения импульса).
Поэтому в общем случае часть начальной кинетической энергии должна обязательно
653
затрачиваться на движение центра миге образующихся частиц. Иными словами, на-
чальная кинетическая энергии не только «порождает» массу (точнее, энергию покоя), но
и разгоняет ее. Отсюда ясно, что пороговая энергия не меньше поглощаемой энергии

(4625)
Совпадают эти величины лишь прн условии, что полный импульс системы частиц
равен нулю, т е когда реакция осуществляется на встречных пучках Поэтому н выгод-
но их использовать, если требуется генерировать частицы с как можно большими
массами в принципе в энергию покоя может превратиться вся энергия частиц из
вы речных пучков
Для вычисления поротой энергии существуют несложные формулы, но их вывод
увел бы нас в сторону, и мы ограничимся рассмотрением нескольких числовых
примеров Реакция аннигиляции эпектрон-позитронной пары (46.12) — экзотермичес-
кая с Q=1mtcif41,02 МэВ Реакция рождения элегтрон-поантронной пары (46.11)—
эндотермическая с Q= —2т/Р» —1,02 МэВ. Порог этой реакции в случае покоящегося
ядра X несколько больше |0, нр из-за существенного различия в массах электрона
и ядра это различие оказывается очень маленьким, составляя лишь сотые или даже
тысячные доли процента
Еще один пример реакция рождения антипротона (46 13) также эцдотермичесжая,
с Q=— Im/r1» —1,9 ГэВ. Если один из начальных протонов покоится, то
(Гкраг^бп^мЗ,? ГэВ, что уже втрое превышает |б1 Но если начальные протоны
принадлежит встречным пучкам, то И/ипюг=2л»/е2=|2|
7.	Выше мы убедились, что элементарные частицы обладают фундаментальным
н весьма удивительным свойством — способностью к взаимопревращениям Следует
отметить, что образующиеся частицы не содержатся в исходных частицах, а рождаются
непосредственно в процессах их соударений (рассеяния) или распадов Для пояснения
заметим, что фотон также не содержится в составе атома, а рождается непосредственно
прн переходе электрона с одного энергетического уровня на другой.
Именно в процессах взаимопревращений н открывают ранее неизвестные частицы
Для этого сталкивают друг с другом известные стабильные частицы с как можно более
высокими энергиями, а затем исследуют продукты протекающих реакций и те фрагмен-
ты, на которые рагаапись образовавшиеся частицы. Укажем в качестве примера две
реакции, в которых были открыты странные частицы (см § 462)
я" +р-*К*+Х“,
р+р-*К*+Л°+р
(4626)
До начала 50-х годов основным источником частиц с высокими энергиями служило
космическое излучение
Прн попадании космического протона в верхние слои атмосферы иногда порожда-
ется в общей сложности до миллиарда различного рода частиц — космический ливень
Достоинство космического излучения как источника частиц — чрезвычайная широта
энергетического дидт**™ средняя энергия примерно 10’° эВ, максимальная энергия
порядка 1030 эВ. Существенные сто недостатки — неконгролируемость опытов, ред-
кость нужных событий, большие экспериментальные трудности (прецизионную ап-
паратуру приходится поднимать на большую высоту).
В.	Оснрпными нс 1 очниками частиц, применяемыми в настоящее время, являются
ускорители.
и тяжелых иоиов) с высокими энергиями. Максимальная энергия электронов, достигну-
тая в лаборатории, сосгаилжт 35 ГэВ, максимальная энергия протонов — 10э Гэ£
Конструируются и строятся еще более мощные установки. Прн взаимодействии пер-
вичного пучка с мишенью получаются вторичные пучки элементарных частиц и атом-
ных ядер, не существующих в природе в естественном состоянии. Из продуктов рдела дя
вторичных частиц могут быть сформированы третичные пучки частиц нт. д. В частно-
сти, только таким способом могут быть получены достаточно интенсивные пучки
654
электронных В МЮОННЫХ нВЙТрИНО (антинейтрино) С ВЫСОКИМИ ЭНерГИЯМИ. Каждый из
пучкоу направляется иа свою мипгнь в исследуются соответствующие процессы
рассеяния. Это позволяет подучить богатый спектр самых разнообразных частиц,
а также изучить характеристики их взаимодействий и внутреннюю структуру.
В. Для генерации новых частиц особенно эффективны установки со встречными пуч-
ками (коллайдеры), в которых ста птидяжициаг.а частицы обладают равными по моду-
лю, но противоположно направленными импульсами. Прн этом один из пучков
формируется основным ускорителем, а другой — накопительным кольцом, в которое
инжектируются первичные или вторичные частицы от ускорителя. Накопительное
кольцо помещается в сильное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна его
плоскости, а внутри кольца поддерживается высочайший вакуум. Благодаря этому
заряженные частицы (электроны, позитроны, протоны или антипротоны) могут цир-
кулировать в накопительном кольце многие сутки без существенных потерь. Можно
показать, что энергия обычного ускорителя (с неподвижной мишенью), эквивалентного
ускорителю со встречными пучками с энергией Wa вычисляется по формуле
WwlW^Kmc2).
(4637)
Отсюда видно, что выигрыш в энергии действительно может быть колоссальным,
причем он пропорционален квадрату энергии сталкивающихся частиц и обратно пропо-
рционален их массе. По последней причине особенно эффективны электрон-злект-
ронные и электрон-поэитронные коллайдеры Встречные пучки впервые реализованы
в СССР (1967) В крупнейших современных установках сталкиваются протоны и анти-
протоны с энергиями IFo=270 ГэВ, электроны н позитроны с энергиями IFe=19 ГэВ.
С помощью формулы (46.27) сразу получим, что в последнем случае энергия эк-
вивалентного обычного ускорителя равна Was 1,5 10ls эВ, т. е. она гораздо больше
средней энергии частиц космического излучения
§ 46.4.	Фундаментальные взаимодействия
1.	Все процессы, в которых участвуют элементарные частицы, обусловлены взаимо-
действиями между ними.
В настоящее время различают четыре типа фундаментальных взаимодействий,
сильное, электромагнитное, Слабое и гравитационное.
Сильное взаимодействие свойственно частнцш, называемым адронами [hadros
(греч.) — сильный, массивный, крупный], к числу жлорых принадлежат, в частности,
протон р и нейтрон л (см табл. 46.1), Наиболее известное его проявление — ядерные
силы, обеспечивающие существование атомных ядер Примеры процессов, вызываемых
пятлтым взаимодействием,— реакции рождения антипротона (46.13) и антинейтрона
(46 14), первая совокупность процессов (46.20), реакции рождения странных частиц
(46.26)
В электромагнитном взаимодействии, наиболее известном н наиболее изученном,
непосредственно участвуют только электрически заряженные частицы и фотоны. Одно
из его проявлений — кулоновские силы, обусловливающие существование атомов.
Именно электромагнитное взаимодействие ответственно за подавляющее большинство
макроскопических свойств вещества. Оно же ответственно за процессы рождения
(46 11) и аннигиляции (46.12) электрон-позитронной пары, за распад нейтрального
пиона я°-»2у, за комптоноваое рассеяние, эа процессы упругого рассеяния электронов
на ядрах, протонах, на других электронах и т. д
Слабое взаимодействие присуще всем частицам, кроме фотонов. Наиболее извест-
ное его проявление — бега-превращения атомных ядер Оно же обеспечивает нестаби-
льность многих элементарных частиц, например нейтрона Примерами слабых процес-
сов служат также распады мюонов (46.15) и пионов (46 16), вторая совокупность
фоцессов в (46.20). В последние годы интенсивно изучаются слабые процессы рассея-
ния нейтрино и антинейтрино нв атомных ядрах, протонах и электронах Заметим, что
в этом отношении нейтрино — уникальные частицы, так ках они могут участвовать
только в слабом взаимодействии (если не считать гравитационного).
655
Гравитационное взаимодействие свойственно всем телам Вселенной, проявляясь
в виде сил всемирного тяготения. Эти силы обусловливают существование звезд,
планетных систем и т. п. Гравитационное взаимодействие предельно слабое (см. ниже)
и в мире элементарных частиц при обычных энергиях непосредственной роли не играет.
Здесь гравитация становится существенной лишь при энергиях ИЛ~10^* эВ, которые
соответствуют расстояниям R~ 10 эs м (I).
2.	Фундаментальные взаимодействия различаются интенсивностями ah радиусами
действия R/ и характерными временами т(.
Под отношением интенсивностей а, и взаимодействий inje грубом приближении
можно понимать отношение энергий этих взаимодействий для двух одинаковых частиц
(например, протонов*), разделенных достаточно малым расстоянием**: allaj=Wf3 * * * * * */Wji.
Такое определение весьма неточное, но зато оно обладает большим достоинством —
наглядностью. Сравним в качестве примера интенсивности гравитационного и эле-
ктромагнитного взаимодействий***, пользуясь общеизвестными формулами для их
энергий:
„„ Gm* е*	Gm*
ас:а£=И^э:	—Е:-—=4яво
г 4яеог е
Подставляя сюда числовые значения гравитационной постоянной G, массы протона т,,
элементарного заряда е и электрической постоянной «о, получим ав/аЕ~ 10“36. Таким
образом, гравитационное взаимодействие на 36 (!) порядков слабее электромагнитного,
почему оно непосредственно и не проявляется в мире элементарных частиц. В больших
же масштабах его ведущая роль обусловлена лишь тем, что массы («гравитационные
заряды») астрономических объектов колоссальны, и тем, что радиус гравитационного
взаимодействия бесконечен.
При строгом подходе интенсивность а, данного взаимодействия i характеризуется
некоторой безразмерной величиной (константой связи), построенной из соответст-
вующего «заряда» в/ и фундаментальных постоянных с и Л Для электромагнитного
взаимодействия такой величиной служит постоянная тонкой структуры agsa, задава-
емая формулой (46.9). Ее очевидным аналогом для гравитационного взаимодействия
будет константа связи ас=Ст*/(Ьс)~10~3'1. Присоединяя сюда константы as и ацр,
значения которых находятся из большой совокупности опытных данных, получаем, что
фундаментальные взаимодействия характеризуются следующими интенсивностями:
а5~1, о^ЮЛвг-Ю'10, ае-Ю-31.	(46.28)
Здесь нижние индексы — символы взаимодействий: S — сильное (strong), Е — элект-
ромагнитное (electromagnetic), W — слабое (weak), G — гравитационное (gravitational).
Таким образом, среди взаимодействий, которые существенны в мире элементарных
частиц, сильное — самое интенсивное, слабое — наименее интенсивное, откуда и их
названия.
3.	Радиус Rj взаимодействия i связывается с зависимостью энергии данного взаимо-
действия от расстояния между частицами. Для сильного и слабого взаимодействий
энергия убывает с расстоянием очень быстро — по экспоненциальному закону****.
Поэтому они сказываются лишь на малых расстояниях, т. е. обладают конечными
радиусами. Электромагнитные и гравитационные силы относятся к силам далекого
‘Которые в отличие, скажем, от электронов участвуют во всех четырех фундаментальных
взаимодействиях.
“Последняя оговорка существенна, так как радиусы сильного и слабого взаимодействий
очень малы (см. ниже).
♦“Только этот пример н может быть рассмотрев на достаточно элементарном уровне, так
как всякий анализ сильного н слабого взаимодействий требует обязательного привлечена!
представлений квантовой теории поля.
♦♦♦♦Здесь имеется в виду сильное взаимодействие адронов как целого, но не кварков внутри
адронов (см. § 46 6)
656
действия с бесконечным радиусом, так как с ростом расстояния они убывают медлен-
но — всего пипп. по степенному закону. Значения Jig в R& находятся из опытных
данных, и в итоге фундаментальные взаимодействия характеризуются следующими
радиусами:
Яс~10“15 м, Л£=оо,
Я^~1(Г1в м, Лс=оо.	(46.29)
В § 46.7 мы увидим, что радиусы взаимодействий связаны с массами переносящих их
частиц.
4.	Понятие характерного времени т( взаимодействия i условно. Эмпирически его
можно ввести как минимальное время жизни частиц, подверженных распадам в резуль-
тате данного взаимодействия. Например, характерное время ts сильного взаимодейст-
вия по порядку величины совпадает со средними временами жизни резонансов — са-
мых нестабильных частиц, подверженных сильным распадам (см. § 46.6). При такой
трактовке характерных времен фундаментальных взаимодействий их значения оказы-
ваются следующими:
т5~10“23 с, те~1О-20 с,
В качестве «эталонов» здесь выбраны резонансы, гиперон £° и тяжелый лептон т~,
распадающиеся соответственно вследствие взаимодействий S, Е и JF. Вопросительный
знак означает, что микроскопические проявления гравитационного взаимодействия
пока совершенно не изучены. Заметим, что время ts~10“23 с можно получить также
делением характерного расстояния (радиуса сильного взаимодействия Rg~ Ю 13 м) на
характерную скорость (скорость света с~ 10® м/с), так что оно имеет и более непосред-
ственный смысл времени, за которое совершается элементарный акт сильного взаимо-
действия. Интересно отметить н то, что отношения характерных времен разных
взаимодействий примерно совпадают с обратными отношениями их интенсивностей,
что видно из простого сравнения числовых значений (46.30) и (46.28). Таким образом,
в мире элементарных частиц сильное взаимодействие самое «быстрое», а слабое
взаимодействие — самое «медленное».
5.	Фундаментальные взаимодействия динамически различаются типами обменного
механизма, а также свойственными им законами сохранения. При этом чем более
интенсивно взаимодействие, тем больше ему отвечает законов сохранения. Эти важные
вопросы обсуждаются в последующих параграфах данной главы.
§ 46.5.	Лептоны
1.	Перейдем теперь к краткому обсуждению отдельных больших классов элементар-
ных частиц, указанных в нижней части табл. 46.1,— лептонов, адронов, кварков
и переносчиков взаимодействий. Всякая содержательная систематика элементарных
частиц основывается на их отношении к фундаментальным взаимодействиям. В после-
дующем изложении именно этот принцип является руководящим.
Лептонами называются элементарные частицы, не участвующие в сильном взаимо-
действии и имеющие спин J— */2, т. е. являющиеся фермионами.
Второй признак исключает из класса лептонов фотон (и гравитон), также не
участвующий в сильном взаимодействии. Все представители класса лептонов и их
основные характеристики приведены в табл. 46.2.
2.	Общее число лептонов невелико — их всего 6. Известно три заряженньЬ лептона,
участвующих в электромагнитном и слабом взаимодействиях: электрон е, мюон р~,
таон т~ Каждому из них соответствует нейтральная частица, участвующая только
в слабом взаимодействии: электронное нейтрино мюонное нейтрино vp, таонное
нейтрино vT. Иными словами, существует три семейства («поколения») лептонов — три
657
Таблица 46.2
Семейство лептоно!	Частнцк	Лептонный заряд			Спин, й	Масса, МэВ	Среднее время пзни, с
		А,	1 ь	ъ			
Электронный дублет Е	е"	+ 1	0	0	V,	0,511	00
	ve	+1	0	0	1/1	<46 -КГ*	00
Мюонный дублет М	д	0	+1	0	у.	105,66	2,2' 10_‘
		0	+ 1	0		<0,25	оо
Таонный дублет Г	Т~	0	0	+1	7,	1784	3,5 10'13
	VT	0	0	+1		<70	00
лептонных дублета: электронный дублет Е=(е~, ve), мюонный дублет М=(р , уД
таонный дублет Г=(т_, >т). Каждому из них соответствует- дублет антилептонов:
Е=(е+, V,), М=(д+, СД Т=(т+, vT). Члены данного дублета различаются значениями
электрического заряда, заряженные лептоны — значениями массы. Но главное, все
лептоны и антилептоны, в том числе три типа нейтрино, а также нейтрино и антинейт-
рино данного типа, различаются характером взаимопревращений. Так, например, из
реакций
v.+p-an+e*, vt+p-/»n+e+,
ve+n-+p+e~, ve+n-f*p+p~,	(46.31)
Уд+п-»р+д-, Уд+л-/»р+е_
те, которые записаны слева, разрешены, и все они реально протекают, а те, которые
записаны справа, запрещены и ин одна из них не наблюдалась.
3.	С помощью первой реакции было впервые экспериментально зарегистрировано
(анти)нейтрино (1953 - 1956). Реакция второго типа слева используется в настоящее
время для регистрация солнечных нейтрино. Изучение процессов (1962), представлен-
ных в последней строке (46.31), показало отличие мюонных нейтрино уд от элект-
ронных нейтрино В этих опытах первичный пучок прогонов от ускорителя направ-
лялся на мишень и генерировал вторичный пучок я+-мезонов. Они распадались по
схеме (46.16), и образующиеся в значительном количестве нейтрино падали на свою
мишень, хорошо защищенную от фона. Если бы мюонное нейтрино было тождествен-
но электронному, участвующему, например, в /L-превращениях ядер, то гораздо более
вероятным было бы образование в конечном состоянии электронов [реакция слева во
второй строке (46.31)1, так как они много легче мюонов. На самом деле ин одного
такого процесса не наблюдалось, а все они шли с образованием только мюона [реакция
слева в третьей строке (46.31)].
4.	Для того чтобы выделить класс лептонов из множества частиц и различить лептоны
и антилептоны, прежде всего нейтрино и антинейтрино, была введена новая физическая
величина - лептонный заряд L. По определению, для всех лептонов /.-4-1, для всех
ангилептоиов L= — 1, для остальных частиц L=0. Таким образом, можно сказать, что
антинейтрино отличается от нейтрино знаком лептонного заряда, подобно тому, как
позитрон и электрон различаются знаками электрического заряда (и лептонного тоже).
На первый взгляд может показаться, что такое различие является чисто формальным.
Но главное здесь в том, что лептонный заряд, как считается, сохраняется в любом
взаимодействии, и пока это предположение подтверждается всей совокупностью опыт-
ных данных. Именно поэтому, в частности, реакция слева в первой строке (46.31)
разрешена (L сохраняется). По этой же причине при обычном Я -распаде вместе
с электроном (L= +1) образуется именно антинейтрино (L= — 1), но не нейтрино
(L= + 1). В последнем случае лептонный заряд в начальном состоянии (нейтрон) был
бы равен нулю, а в конечном состоянии (протон, электрон и нейтрино) было бы L= +2.
5.	В дальнейшем для каждого лептонного дублета потребовалось ввести свой «заряд»:
электронный заряд L, (не путать с электрическим зарядом), мюонный заряд L* и таон-
658
ный заряд LT. Значения этих квантовых чисел приведены в табл. 46.2, а для антилеп-
тонов они имеют противоположные знаки. Полный лептонный заряд
L-Lt+L^Lt.	(46.32)
Считается, что во всех взаимодействиях сохраняется нс только L, но и каждый его
компонент Lt, L?, Lt по отдельности. Именно по этой причине реакция слева в третьей
строке (46.31) разрешена, а справа запрещена. В ней нарушались бы сразу два закона
сохранения: электронного заряда Lr и мюонного заряда (но не лептонного заряда
L в целом). По той же причине в природе отсутствует, по-видимому, наиболее
«естественный» распад мюона д~-»е'+у. Во всяком случае, настойчивые попытки
экспериментаторов обнаружить его не увенчались успехом.
6.	О массах заряженных лептонов уже говорилось в § 46.3, и их значения приведены
в табл. 46.2. Электрон самый легкий из заряженных лептонов, мюон примерно в 200
раз тяжелее, а у таона масса превышает массу электрона более чсуи в 3500 раз. Кстати,
масса таона почти вдвое больше массы протона. Отсюда ясно, сколь сильно изменился
первоначальный смысл слова «лептон» [leptos (греч.) — «легкий», «мелкий», вспомним
лепту - мелкую греческую монету, от которой и произошло выражение «внести свою
лепту»].
7.	До недавних пор практически никто не сомневался, что у всех нейтрино масса
в точности равна нулю (так же, как у фотона). Если это действительно так, то нейтрино
и антинейтрино можно приписать еще одну характеристику, значениями которой они
будут различаться. Соответствующая физическая величина гораздо более наглядна,
чем лептонный заряд, и называется спиральностью. Все дело в том, что у нейтрино спин
равен 1/1, и его проекция на направление импульса (направление движения) может
принимать лишь значения +1/2 и —1/2- Удвоенное значение этой проекции и есть
спиральность А, которая, таким образом, может
быть равна либо +1 (спин направлен по им-
пульсу), либо —1 (спин направлен против им-
пульса). Самое интересное в том, что при усло-
вии т„=0 все нейтрино должны иметь одно и то
же значение спиральности, а все антинейтри-
но ее противоположное значение (Л. Д. Лан-
дау, 1957). Дополнительные опыты показали,
что у нейтрино всегда 2 = — 1, у антинейтрино
всегда А — + 1 (рис. 46.1). Нейтрино является левовинтовой частицей, а антинейтрино —
правовинтовой. Названия связаны с тем, что спин есть собственный момент импульса
частицы и условно ему можно сопоставить некое вращение. Тогда частица с А= + 1
будет двигаться подобно винту с правой (обычной) резьбой, а частица с Л= — 1 —
подобно винту с левой резьбой.
8.	Однако в последние годы равенство нулю массы нейтрино подвергается серьезным
сомнениям.
Все. прямые опыты по определению значений т, основываются на измерении
энергий заряженных частиц, образующихся в процессах того или иного распада вместе
с соответствующими нейтрино. С этой точки зрения лучше всего изучено электронное
антинейтрино, масса которого определяется путем прецизионных измерений энер-
гетического спектра электронов, образующихся при /L-распаде атомных ядер. Форма
этого спектра зависит от т„. По разным причинам наиболее удобным объектом
исследования оказываются ядра трития, претерпевающие Д-распад по схеме
?Н-’Не + е +vr.	(46.33)
По мере совершенствования экспериментальной техники и процедуры обработки
результатов измерений верхние границы для масс нейтрино постепенно снижались и их
современные значения приведены в табл. 46.2. Из нее видно, что масса электронного
нейтрино не превышает'10-*тг, масса мюонного нейтрино может оказаться уже сопо-
ставимой с Массой электрона, а таонийе нейтрино в принципе может быть почти в 400
659
раз тяжелее электрона. Заметим, что здесь речь идет именно о верхних границах масс
нейтрино, и они не исключают равенств mv=0.
9.	В 1980 г. группа советских физиков под руководством В. А. Любимова сообщила,
что в результате изучения Р .-распада трития (46.33) ею установлен нижний предел на
массу электронного (анти) нейтрино: mv> 14 эВ. Однако из-за крайней сложности
измерений и обработки их результатов данный вывод пока не подтвержден другими
независимыми экспериментами и не может считаться абсолютно достоверный. А нали-
чие у нейтрино даже очень малой ненулевой массы привело бы к важным физическим
следствиям. Так, если а законы сохранения лептонных зарядов в какой-то
степени нарушаются, то возможны нейтринные осцилляции, т. е. самопроизвольные
взаимопревращения vt^ve, и т. п. Экспериментально наличие осцилляций должно
проявляться в виде ослабления первичного пучка нейтрино данного сорта (например,
ve), даже если он строго коллимирован и не взаимодействует с веществом. Кроме того,
в этом пучке будут возникать новые сорта нейтрино (например, уД Поставлено
несколько опытов по поиску нейтринных осцилляций, обнаружение которых подтвер-
дило бы, в частности, что Но и их результаты пока неоднозначны.
§ 46.6.	Адроны
1.	Адронами называются элементарные частицы, которые могут участвовать и реаль-
но участвуют в сильном взаимодействии.
Все они подвержены также электромагнитному, слабому и гравитационному вза-
имодействиям. Класс адронов самый многочисленный: он насчитывает более 300
частиц («ели считать и античастицы). Классификация адронов, основанная преимуще-
ственно на их отношении к разным фундаментальным взаимодействиям, представлена
в табл. 46.3. Следующая за ней табл. 46.4 служит как бы продолжением предыдущей,
и в ней даны основные характеристики адронов (последний столбец обсуждается
в § 46.7).
Различают стабильные (точнее, метастабильные) адроны со средними временами
жизни т» 10~23 с и резонавш, времена жизни которых т~ 10-2* — 10-23 с.
2.	К числу стабильных адронов относится, в частности, Е°-гиперон, который распада-
ется по схеме Е0-»Л°+у за время та5 10"20 с. Самой характерной особенностью
резонансов является то, что они распадаются в результате сильного взаимодействия,
тогда как распады «стабильных» адронов обусловлены гораздо менее интенсивными
взаимодействиями, главным образом слабым, иногда электромагнитным (как в только
что приведенном примере £°-гиперона). Данное свойство резонансов может служить
наиболее адекватным их определением.
3.	Дальнейшая классификация происходит по спину и типу статистики.
Адроны, обладающие целыми спинами, называют мезонами; адроны, имеющие
полуцелые спины, называют барионами. По типу статистики мезоны относятся к бозо-
нам, а барионы — к фермионам.
Таким образом, бывают стабильные мезоны и стабильные барионы, а также
мезонные резонансы и барионные резонансы. Для характеристики этого различия
вводят физическую величину, аналогичную лептонному заряду (см. § 46.4),— барион-
ный заряд В. По определению, у всех барионов В= +1, у всех антнбарионов В=* —1,
у всех прочих частиц (в том числе у мезонов) В=0. Пока считается, что барионный
заряд сохраняется во всех взаимодействиях. Этим обусловлена, в частности, абсолют-
ная стабильность протона (см., однако, § 46.7) — самого легкого бариона. Согласно
условию (46.24), он мог бы распадаться только на частицы с меньшими массами,
а у всех них В=0.
4.	Все мезоны и барионы подразделяются на «обычные», «странные», «очарованные»
и «прелестные».
Эти классы частиц мы расположили в порядке, отражающем ту хронологическую
последовательность, в которой они открывались (смысл названий прояснится чуть
ниже, а динамические основы подобной классификации обсуждаются в § 46,7). Заме-
тим, что «прелестные» барионы еще не зарегистрированы, хотя нет никаких сомнений
660
о □ч	<% ч		чч		-3 о	я о Н-	Час- тица
	о	О	о	о	О	О	Ч •нипэ
	U* U* N) N) i —	I U6I |	00 00 OS Os U) ю	493,67 497,7	548,8	139,57 134,96	Масса, МэВ
	I о 1	1 н-оьг 1	N) А R- »—• О о 1 1 ш ш	e-01-Z'Sl □1 —01 6 0J 8-01-Z*l	р о *	2,6 10“а 0,8 10"16	Среднее время жизни, с
	ub db	в,	cd ей	В? Е,	ий, dd, ss	$1	Кварковый состав
	> " +	D	(о m 1 о	МММ 1 о +	> о	а •«	Час- тица
	ы"*	ы"	ы““	ы~			Спин, h
	£	| 1672,5 |	1315 1321,3	1189,4 1192,5 1197,3	1115,6	938^8 939,57	Масса, МэВ
	£1-01 Z	О оо о о	Н- W os*se о о о о	o,-0lS‘l ot-Ol S ot-01-8'0	OS о D	>210за лег 898±16	Среднее времж жизни, с
	udc	й		m	&	uud udd	Кварковкй состав
Таблица 46.3
в том, что ош существуют. Кроме того, предсказывается новый класс «истинных»
частиц с весьма большими массами.
5.	Все адроны распределяются по небольшим семействам — нзопультвплетям.
Сильное взаимодействие отдельных их членов одинаково, а различаются они
только своим отношением к электромагнитному и слабому взаимодействиям. Если бы
два последних взаимодействия удалось «выключить», то члены одного изомультиплета
стали бы тождественными, неразличимыми частицами. Характерный внешний признак
принадлежности частиц к одному изомультиплету — приближенное равенство их масс
при разных значениях электрического заряда Считается, что небольшие различия
в массах возникают как раз вследствие электромагнитного взаимодействия. Самый
известный пример изомультиплета дает нуклонный изодублет N, содержащий протон
р и нейтрон л. Тождественность протона и нейтрона по отношению к сильному
взаимодействию находит свое конкретное выражение в свойстве зарядовой независи-
мости ддерных сил: они одинаковы для систем р —р, п — п,р — л.
6.	Математический аппарат, с помощью которого описываются разные изомуль-
типлеты и отдельные их члены, почти идентичен аппарату, созданному для описания
обычного спина и разных ашновых состояний данной частицы. Изомультиплету
в целом приписывается изоспин Т, который определяет число его членов по формуле
N=2T+1.	(46.34)
У частицы с обычным спином J имеется 27+1 спиновых состояний, различающихся
проекциями спина Jt. По аналогии с этим вводится проекция изоспина Т3, значениями
которой различаются отдельные члены изомультиплета (хотя здесь никакие наглядные
геометрические образы непригодны). Величина Т3 пробегает значения от — Г до Г через
единицу (ср. с обычным спином) в порядке возрастания электрического заряда. Приве-
дем два простых примера. Для нуклона N=2 (р, л), а поэтому Т—'/2, у нейтрона
Т3 = — */2, у протона Тэ= + 1/2. Для пиона JV=3 (я+, я0, я-), и поэтому Г=1; у я--
мезона 7j= — 1, у я°-мсзона Г3=0, у я+-мезона Г3 = + 1. В сильном взаимодействии
изоспин сохраняется, ио мы на этой проблеме не останавливаемся. Заметим только,
что свойство зарядовой независимости ядерных сил является частным следствием
закона сохранения изоспина. Электромагнитное взаимодействие делает члены данного
изомультиплета уже различными, и поэтому в процессах, им обусловленных, изоспин
не сохраняется. Не сохраняется он и в слабом взаимодействии.
7.	Первоначально из адронов были известны только частицы N и я Непосредст-
венной проверкой сразу убеждаемся, что электрические заряды этих «обычных» частиц
могут быть вычислены по формуле (в единицах е):
д=Т3 + 1/2В.	(46.35)
Но для «странных» частиц, открытых в 50-е годы, данная формула уже не справедлива.
Тах, у Х+-мезона q= +1, 7j=1/2, В=0, но +1 # +1/2. Всем этим частицам приписыва-
ется новое квантовое число •— странность S. Оно вводится так, чтобы для странных
частиц выполнялось соотвошеяк Гелл-Маша — Нвшиджямы
9=T3+'/2(B+S),
(46.36)
обобщающее формулу (46.35). По сути дела, соотношение (46.36) рассматривается
в настоящее время просто как определение странности, позволяющее находить ее
значения для конкретных частиц. Так, у «обычных» частиц 5=0, а из последнего
примера сразу ясно, что К* -мезону следует приписать странность 5= +1.
Считается, что странность сохраняется в сильном (и электромагнитном) взаимо-
действии, но не сохраняется в слабом взаимодействии. Этим сразу объясняется весьма
необычное свойство странных частиц, из-за которого они главным образом и получили
свое название: рождаются эти частицы всегда парами, причем быстро — за время
662
т~10-13 с, а распадаются поодиночке и медленно — за время т~10'°-!-10я с (см.
табл. 46.4). Дело в том, что в космическом излучении «странные» частицы генерируют-
ся при соударении «обычных» адронов ЛГняс5=0ив результате сильного взаимодей-
ствия (отсюда малые времена). Тах как в начальном состоянии 5=0, то и в конечном
состоянии полная странность равна нулю. А это значит, что если образовалась
какая-то одна частица с 5^0, то обязана образоваться и другая частица с проти-
воположным значением S. Распадаться же «странные» частицы за счет сильного
взаимодействия не могут, так как в конечном итоге они превращаются в «обычные»
частицы. Их распады обусловлены слабым взаимодействием, не сохраняющим стран-
ность, откуда относительно большие времена жизни.
8.	В 70-е годы были открыты очарованные частицы, для которых оказалось неспра-
ведливым й соотношение (46.36). Им приписали новое квантовое число — очарование
С [charm (англ.) — очарование], введение которого обобщает соотношение Гелл-Ман-
на   Нипти гргимы
9=7\+'/2(В+S+C).	(46.37)
Очарование подчиняется таким же законам сохранения, что и странность. После
открытия прелестных частиц возникла необходимость во введении прелести b [beauty
(англ.) — прелесть, красота]
q^Tj + 'litB+S+C-b)	(46.38)
(знак минус введен по причинам достаточно случайного характера). Для «истинных»
частиц, если их откроют, необходимо ввести еще одно квантовое число — истинность
(?) I [truth (англ.) — истина, правда].
Итак, мы видим, что для описания всего многообразия адронов приходится
использовать большое количество весьма необычных физических величин (причем мы
перечислили не все из них). Их глубокий смысл в том, что все эти величины подчиняют-
ся определенным законам сохранения, позволяющим устаяан пинать правила отбо'ра,
которые запрещают или разрешают протекание тех или иных превращений частиц. Из
сказанного ясно, что фундаментальные взаимодействия различаются, наряду с прочи-
ми характеристиками, также свойственными им законами сохранения.
Оказывается, что чем более интенсивно взаимодействие, тем оно более симметрич-
но. т. е. тем больше ему присуще законов сохранения.
Во всех взаимодействиях сохраняются безоговорочно только энергия и импульс,
момент импульса, электрический заряд. Пока считается, что этим свойством обладают
также лептонные заряды трех типов и барионный заряд. <Во всяком случае, нарушения
соответствующих законов сохранения экспериментально еще не наблюдались.
Сильное взаимодействие — самое симметричное. В обусловленных им процессах
сохраняются также изоспин и его проекция, странность, очарование и многие другие
физические величины. Электромагнитное взаимодействие почти столь же симметрично,
но оно уже не сохраняет изоспин. Слабое взаимодействие — наименее симметричное.
Ему свойственны только универсальные законы сохранения. Некоторые следствия
законов сохранения и нарушений ряда из них слабым взаимодействием обсуждались
выше.
§ 46.7. Кварки
1.	Совсем недавно уровень элементарных частиц считался единым, и все они трак-
товались на более или менее равной основе (см. § 46.1).
В настоящее время уровень элементарных частиц расщеплен на уровень адронов
и уровень фундаментальных частиц.
К числу последних относятся, в частности, лептоны.
Адроны, согласно современным воззрениям, являются Составными частицами.
Первым косвенным указанием на это может служить хотя бы то, что их очень
много — несколько сотен. Далее, большинство адронов являются резонансами —
663
крайне нестабильными частицами. Но, главное, у адронов была обнаружена внутрен-
няя структура. Уже из результатов опытов по упругому рассеянию электронов на
нуклонах, проведенных в 50 — 60-е годы, следовало, что радиусы протона и нейтрона*
отличны от нуля:
Лу»0,8 10-1ам.	(46.39)
Прн этом электрический заряд и магнитный момент распределены в них неравномерно:
они спадают от центра к периферии по экспоненциальному закону (у нейтрона рас-
пределение электрического заряда отсутствует). Так, плотность электрического заряда
протона хорошо описывается следующей экспериментально найденной формулой:
р (г)=е • 3,06 ехр (—4,25г).	(46.40)
Мало того, опыты по неупругому рассеянию электронов на нуклонах, выполненные
в 60	70-е годы, выявили зернистую («партонную») структуру протона и нейтрона.
2.	Практически доказано, что все адроны состоят из кварков — весьма необычных по
своим свойствам фундаментальных частиц, у которых имеются и античастицы — ан-
тикварки.
В частности, электрические заряды кварков и антикварков имеют дробные (в
единицах элементарного заряда е) значения, кратные */з- Гипотеза кварков сфор-
мулирована в 1964 г., когда были известны только «обычные» и странные адронЫ,
и для их построения хватало кварков (и антикварков) трех сортов, которые обозначают
символами u, d, s. Кварки и nd образуют изодублет с изоспином Т= ± '/з и проекциями
изоспина r3= + ,/i у кварка и и Т3=—1/2 у кварка d, откуда и их обозначения
(up «верхний», down - «нижний»). Кварк з [strange (англ.) — странный] является
изосинглетом с 7’=0, но зато у него есть странность 5= —1..Таким образом, теперь
можно сказать, что «обычные» частицы - - это такие, которые содержат в своем
составе только кварки и и d (й н d), а в состав странных частиц обязательно входит хотя
бы один кварк 5 (или антикварк з).
3.	Чуть позже был установлен принцип кварк-лептонной симметрии: каждому кварку
должен отвечать некоторый лептон, и наоборот. Но кварков сначала ввели три (u, d, s),
а лептонов было известно уже четыре (е~, vt, р~, уя). Чтобы не нарушалась
кварк-лептонная симметрия, пришлось постулировать существование еще и «очарован-
ного» (charm) кварка с, а вместе с ним существование и целого семейства «очарован-
ных» частиц, включающих этот кварк. Эти теоретически предсказанные частицы
действительно были зарегистрированы во второй половине 70-х годов. Их открытие
явилось триумфом всей кварковой схемы в целом, и после йтого она из теоретической
гипотезы превратилась практически в реальность.
4.	Но потом появились еще два лептона (т“, vT), которым должны соответствовать
два новых кварка; «прелестный» (beauty) b и «истинный» (truth) г**. Можно считать,
что вместе с последовавшим в 70 — 80-е годы открытием нескольких частиц, облада-
ющих прелестью, был открыт и кварк Ь. Что касается семейства «истинных» частиц
(шестого кварка t), то ни один из его членов пока не зарегистрирован***. Скорее всего
это связано с тем, что частицы, содержащие t-кварк, должны обладать очень большими
массами ~ 100 ГэВ и их не удается генерировать с помощью существующих ускори-
телей.
5.	Итак, в настоящее время считается, что имеются кварки шести типов, которые,
подобно лептонам, образуют три дублета, или поколения (и, d), (с, s), (г, Ь). Имеется
также три дублета антикварков, значения квантовых чисел которых (кроме, разумеется,
* Имеют в виду среднеквадратичные радиусы распределения электрического заряда и маг-
нитного момента в этих частицах.
♦♦Иногда символы Ь и t связывают со словами «bottom» - дно и «top» — верхушка, так как
в естественной схеме 6-кварк занимает самое нижнее место, а Ркдарк расположен над ним
(см табл. 46.5).
♦♦♦В 1984 г. появились сообщения об открытии f-кварка, но последующий детальный анализ
показал, что интерпретация зарегистрированных событий не является вполне однозначной.
664
спина и изоспина) противоположны по знаку значениям соответствующих квантовых
чисел Кварков. Характеристики кварков приведены в табл. 46.5.
Таблица 46.5
Кварк	Сим- вол	J. л	в	4	Т	Тз	с	я	t	ь
Верхний (up)	14	71	+7з	+ 7з	7,	+71	0	0	0	0
Нижний (down)	d	71	+7,	- /з	7,	-71	0	0	0	0
«Очарованный» (charm)	С	7,	+7,	+7з	0	0	+1	0	0	0
«Странный» (strange)	3	7х	+7э	-7з	0	0	0	-1	0	0
«Истинный» (truth)	t	7х	+7э	+7,	0	0	0	0	+ 1	0
«Прелестный» (beauty)	b	72	+7э	-7з	0	0	0	0	0	+1
Каждый мезон М строится из одного кварка q и одного антцкварка q, каждый
барион В — из трех кварков q-.
M-=qq, B=qqq.	(46.41)
Так как у реально регистрируемых барионов, по определению, барионный заряд равен
+1, то каждому кварку необходимо приписать его дробное значение + '/з (У антиквар-
ков В= — '/3). Любой данный адрон легко построить из кварков, зная его квантовые
числа и пользуясь «формулами» (46.41) и табл. 46.5. Кварковый состав всех известных
стабильных адронов указан в последнем столбце табл. 46.4.
в.' Обращает на себя внимание О “-гиперон со спином J=3/2 и странностью 5= — 3.
Очевидно, он должен состоять из трех s-кварков с параллельными спинами. Но тогда
три тождественных фермиона s будут находиться в одном и том же квантовом
состоянии, что противоречит принципу Паули. Для разрешения этой трудности квар-
кам было приписано дополнительное квантовое число, принимающее три значения.
Можно сказать также, что существует три сорта кварков каждого из шести типов.
Новое квантовое число назвали цветом, а три его значения обозначили символами
R (red — красный), G (green — зеленый), В (blue — голубой). Разумеется, к физиологии
зрения «цвет» никакого отношения не имеет, но принятая терминология весьма удобна
и наглядна. Обращаем внимание на то, что красный, зеленый и голубой цвет являются
основными и при смептиванни их в равной пропорции получается белый цвет. Анти-
кваркам приписываются «антицвета» Д G, В, которые можно рассматривать как
дополнительные к основным цветам. В этом контексте типы кварков и, d, обычно
называются ароматами. Таким образом, у кварков имеется шесть ароматов и три
цвета.
7. С учетом указанной модификации мезоны считают теперь составленными из одно-
го кварка и одного антикварка подходящих ароматов, которые представлены всеми
своими цветами. Например, в символической записи
л+ = Ufrdn-i-ucdc-i-ugdg'	(46.42)
Барионы же строятся из трех кварков разных цветов. Так, состав того же Q -гиперона
выглядит следующим образом:
n_=sJ(5CJB-	(46.43)
Отсюда сразу видно, что никакого противоречия с принципом Паули не возникает.
Д П~- гипероне три кварка s находятся в разных квантовых состояниях R, G, В. Можно
сказать и иначе: в одном квантовом состоянии находятся три разные частицы: sr, sg, sr.
665
Из сформулированных правил построения адронов следует, что все они являются
белыми, или бесцветными, частицами. Этим же свойством обладают и лептоны, только
у них в отличие от адронов нет даже «скрытого» цвета: лептоны — истинно элементар-
ные частицы, а цвет им вообще не приписывается.
6. Теперь возникает естественный вопрос, насколько реально существование самих
кварков. Экспериментаторы интенсивно искали их, причем самыми разными способа-
ми (например, с помощью счетчиков, трековых детекторов и опытов типа опыта
Милликена) и в самых различных источниках (на ускорителях, в космическом излуче-
нии, в морской воде, в земных породах, в метеоритах и т. п.). Однако все попытки
непосредственной регистрации кварков оказались безуспешными.
Сейчас общепринята точка зрения, согласно которой кварки, будучи цветными
объектами, в принципе не могут существовать в свободном состоянии, а могут нахо-
диться только внутри белых частиц — адронов.
В частности, нельзя непосредственно зарегистрировать не только сами кварки д, но
и дикварки qq, которые также должны нести некоторый цвет. Теоретическое обоснова-
ние конфЬйнмента цвета (его «удервгания», «пленения») внутри адронов находится пока
в стадии разработки. Решение проблемы кроется в весьма необычных свойствах сил,
действующих между кварками: оказывается, энергия взаимодействия кварков не убы-
вает с ростом расстояния между ними, как мы привыкли, а возрастает.
И тем не менее кварки вовсе не являются «вещью в себе». Только с их помощью
удается описать и объяснить все многообразие свойств и превращений адронов,
образующих чрезвычайно широкий класс. Мало того, опыты по рассеянию лептонов
высоких энергий на протонах и нейтронах позволили измерить экспериментально
основные характеристики кварков. Результаты этих опытов однозначно свидетельству-
ют о том, что кварки внутри адронов действительно есть, что их спин равен 1/3, что они
обладают дробными электрическими зарядами и существуют в трех цветовых раз-
новидностях.
9. Опыты по рассеянию электронов и позитронов из встречных пучков позволили
почти непосредственно «увидеть» кварки. При столкновении зги частицы превращают-
ся в фотон (виртуальный), который порождает кварк-антикварковую пару. Полный
импульс системы равен нулю, а потому кварк и антихварк разлетаются в проти-
воположные стороны. Они не могут существовать в свободном состоянии и «обес-
цвечиваются»: каждый генерирует большое количество мезонов, летящих преимущест-
венно в его первоначальном направлении. В итоге образуются две достаточно узкие
струи мезонов, которые и были зарегистрированы на опыте. Ни одна теоретическая
схема, кроме кварковой, не в состоянии объяснить сколько-нибудь естественным
способом двухструйную структуру событий и описать характеристики рождающихся
мезонов.
Таким образом, принципиальная правильность общих концепций теории кварков
сейчас не вызывает никаких сомнений. Кварки несоменно существуют, но только
в связанном состоянии. Поэтому сам термин «существование» обрел в физике микро-
мира несколько неожиданную трактовку, и он требует даже философского переосмыс-
ления. Развитие современной физики еще раз подтвердило истинность и глубину
одного из основных тезисов диалектического материализма о многообразии и неисчер-
паемости форм и свойств материи.
§ 46.8.	Переносчики фундаментальных взаимодействий
1.	О фундаментальных взаимодействиях — сильном S, электромагнитном Е, слабом
W и гравитационном G — уже говорилось в § 46.4. Там же были введены некоторые их
характеристики — интенсивность ад, радиус действия Rlt характерное время т(. В конце
§ 46.6 кратко обсуждены законы сохранения, свойственные разным типам фундамен-
тальных взаимодействий. В данном параграфе рассмотрены их механизмы. Основные
свойства фундаментальных взаимодействий сведены в табл. 46.6, вторая половина
которой комментируется ниже.
666
Таблица 46.6
Взаимо- действие		Яр м	Ъ. с	Законы сохра- нения	Участ- ники*	Перенос- ЧИП	Изменяется	
							цвет	аромат
S	~1	~10“”	-10-”	Все		(/-1	8)	+	—
Е	~10 1	00	~1О20	Все, кроме Т	<7(Н) 1* W*	У	•—	—
W		~10“,в		Р, Е, J, q. В, L	Ч(Н) 1	..Л 0	-	
G	~10“зе	00	?	•7	Все	G	7	?
* q кварки (Я адроны), / - лептоны.
Как уже подчеркивалось, крупнейшим достижением физики 70-х годов явилось
расщепление единого ранее уровня элементарных частиц на уровень адронов (состав-
ных частиц) и уровень фундаментальных частиц. Не менее крупное ее достижение —
установление единства механизмов фундаментальных взаимодействий: все фундамен-
тальные взаимодействия имеют обменный характер.
Разъясним, насколько это возможно на простом уровне и без привлечения матема-
тического аппарата, что же это означает.
Главное здесь в том, что в качестве элементарных актов каждого взаимодействия
выступают процессы испускания и поглощения данной частицей а некоторой частицы
X, как раз и определяющей тип данного взаимодействия. Сама частица а может
остаться неизменной, а может и превратиться в некоторую другую частицу Ь*:
а^Ь + Х.	(46.44)
Расположенная поблизости частица с также способна поглощать и испускать
частицу X:
X+c^id.	(46.45)
Если а испустит X, а с поглотит X или наоборот, то промежуточная частица X, сыграв
роль как бы «катализатора», исчезнет, а между a, h и с, d возникает взаимодействие,
которое приведет к превращению
a + c-»b + d
(46.46)
(если Ь = а и d—c, то это будет упругое
рассеяние). В этом смысле взаимодейст-
вие между частицами и имеет обменный
характер. Будем говорить, что частицы
а, Ь, с, d являются участниками данного
взаимодействия, а частица X - его пере-
носчиком. Указанные процессы удобно
изображать графически. Элементарные
акты (46.44) н (46.45) представляет рис.
46.2, а, б, а сам процесс взаимодействия,
т. е. превращение (46.46),— рис. 46.2, в.
Элементарные акты взаимодействия (46.44) и соответствующие ему простые графы на
рис. 46.2, а служат своего рода «кирпичиками», из которых по почти очевидным
правилам можно «построить» любой сколь угодно сложный процесс, обусловленный
*Говорят, что в первом случае взаимодействие обусловлено нейтральными токами, а во
втором случае - заряженными токами.
667
данным взаимодействием. Графический способ разложения произвольных процессов
на элементарные ввел в научный обиход Р. Фейнман, и все рисунки, подобные рис. 4ф-2,
называются фейнмановскими диграммами.
2.	Однако, несмотря на всю красоту описанной обменной схемы взаимодействий, на
первый взгляд может показаться, что она вообще не имеет права на существование.
Ведь элементарные процессы вида а£а+Х запрещены законом сохранения энергии.
И действительно, сами по себе они никогда реально не протекают: например, свобод-
ный электрон не может ни испустить, ни поглотить фотон. Тем не менее обменный
механизм взаимодействия оказывается правильным, и диаграмма, представленная на
рис. 46.2, в, является вполне осмысленной. Все дело в том, что в микромире действуют
не привычные нам законы классической физики, а законы квантовой механики, гораздо
менее наглядные.
В частности, согласно одному из положений квантовой механики, имеет место
соотношение неопределенностей энергия -- время
ДИЛД/~Л,	(46.47)
которое как бы разрешает закону сохранения энергии нарушаться на величину LW,
коль скоро процесс завершается в течение промежутка времени, не превышающего
На более строгом языке это означает следующее: если состояние системы
существует конечный промежуток времени Дг, то энергия в этом состоянии не может
иметь фиксированного значения, а определена лишь с точностью
В интересующем нас случае происходит подобная ситуация. Частица X испускается
частицей а и быстро поглощается частицей с, так что состояние системы в целом не
является стационарным. Такие процессы без образования частиц X, которые реально
могут наблюдаться, называются виртуальными. Промежуточные частицы X называют-
ся виртуальными. Их существование не противоречит закону сохранения энергии, хотя
сам термин «существование» В данном контексте имеет смысл еще более сложный, чем
в случае кварков.
Прн испускании частицей а частицы X, переносящей некоторое взаимодействие,
происходит «нарушение» закона сохранения энергии (в разъясненном выше смысле) на
Согласно соотношению неопределенностей (46.47), частица X может суще-
ствовать лишь в течение промежутка времени &t~h/&W~ty(mxc1), после чего она
должна поглотиться другой частицей. Радиус взаимодействия R есть максимальное
расстояние, на которое сможет отойти X от частицы а за время А/, т> е. <Я~сДг, где
с — скорость света. Учитывая, что Дг~Д/(т*е2), найдем связь между радиусом R дан-
ного взаимодействия и массой тх переносящих его частиц:
h	h
R~ илн тх~—	(46.48)
njjfC	Rc
Если во вторую формулу подставить известное из опыта значение радиуса ядерного
взаимодействия Л»(1ч-2) 10*1’ м, то для массы его переносчиков получим
ги«(200 — 300)тг. Примерно таким способом X. Юкава и предсказал существование
мезонов (см. § 46.2). Несмотря на то что в последнее время выяснилась ограниченность
мезонной теории ядерных сил (которая не учитывает кварковую структуру нуклонов),
она сыграла в физике выдающуюся роль. Именно в ее рамках окончательно сфор-
мировалась важнейшая концепция обменного механизма взаимодействий, которая
была рассмотрена выше. Обсудим теперь кратко с этой точки зрения отдельные
фундаментальные взаимодействия.
3.	Переносчики электромагнитного взаимодействия—нейтральные (9=0) «безмассо-
вые (т=0) фотоны у.
Вероятность испускания и поглощения фотона какой-то частицей определяется бе
электрическим зарядом, который служит мерой интенсивности электромагнитного
взаимодействия (см. § 46.4). Так как mt=0, то из первой формулы (46.48) следует, что
радиус электромагнитного взаимодействия бесконечно велик. В нем участвуют все
668
кварки (а значит, все адроны) н заряженные лептоны (а также переносчики слабого
взаимодействия И'* в W~\ см. ниже). Разумеется, в электромагнитном взаимодействии
участвуют и сами фотоны. Тах как они не несут ни аромата, ни цвета, то при
испускании н поглощении фотона фундаментальной частицей ее аромат и цвет не
изменяются. Все эти сведения в краткой форме представлены в соответствующей
строке табл. 46.6. Предсказания теории электромагнитного взаимодействия — кван-
товой электродинамики — совпадают с результатами измерений с точностью до 10 (!)
значащих цифр. Вспомним хотя бы формулу (46.10) и сопутствующее ей обсуждение.
4. Переносчиками сильного взаимодействия являются восемь электрически нейтраль-
ных (9=0) н без массовых (т—0) глюонов gt [glue (англ.) — клен].
Каждый глюон несет некоторые цвет и антицвет, но не несет аромат. Поэтому,
например, кварк и& может испустить глюон g=RG, превратившись в кварк uG того,же
аромата, но другого цвета, а рядом расположенный кварк цс может поглотить этот
глюон, превратившись в ид. В § 46.7 цвет был введен «кинематически», для того чтобы
не нарушался принцип Паули. Теперь мы видим, что он имеет и глубокий динамичес-
кий смысл: цвет для сильного взаимодействия играет роль, аналогичную роли элект-
рического заряда для электромагнитного взаимодействия. Именно поэтому в сильном
взаимодействии участвуют кварки, обладающие цветом, но не могут участвовать
лептоны, являющиеся бесцветными (белыми) частицами. Наблюдаемое сильное вза-
имодействие между белыми адронами, в частности ядерные силы, есть результат
наличия у них «скрытого» цвета, т. е. в конечном итоге их кварковой структуры.
В процессах, обусловленных сильным взаимодействием, ароматы кварков не меняют-
ся, чем сразу объясняется сохранение в них адронных квантовых чисел типа из оспина
и странности (см. конец § 46.6). Современной теорией сильного взаимодействия
является квантовая хромодинамика, основы которой заложены, но которая пока не
завершена. Последнее обстоятельство связано с тем, дто глюоны в отличие от элект-
рически нейтральных фотонов сами несут цвет, а потому взаимодействуют друг
с другом. К числу элементарных актов сильного взаимодействия относятся не только
процессы испускания и поглощения кварками глюонов, но и процессы «расщепления»
одного глюона на два и даже три глюона. Эго и делает схему квантовой хромодинами-
ки чрезвычайно сложной в математическом отношении, но зато очень богатой с физи-
ческой точки зрения. В частности, не исключено существование весьма экзотических
частиц — глюболов, представляющих собой сгустки глюонного поля без кварков.
Именно взаимодействием глюонов друг с другом объясняется, по-видимому, явление
конфайнмента цвета (см. § 46.7). Из-за него связь между радиусом сильного взаимодей-
ствия и массой его переносчиков оказывается гораздо более сложной, чем в других
случаях. Поэтому, несмотря на то что т(=0, из первой формулы (46.48) не следует, что
радиус сильного взаимодействия бесконечно велик.
5. Переносчиками слабого взаимодействия являются промежуточные бозоны W*, W~,
Z°, которые имеют электрический заряд (q= ± 1,0) н обладают большими массами:
m^«81 ГзВ, mzx93 ГэВ.	(46.49)
Промежуточные бозоны могут испускаться и поглощаться как кварками, так и леп-
тонами, а поэтому в слабом взаимодействии участвуют практически все частицы
(кроме фотона и гравитона). Сами они, конечно, участвуют в слабом взаимодействии
(и гравитационном), а частицы и W~ также в электромагнитном взаимодействии,
но сильному взаимодействию промежуточные бозоны не подвержены. Обмен ими не
изменяет цвета, но изменяет аромат фундаментальных частиц. Именно по этой причи-
не в процессах, обусловленных слабым взаимодействием, не сохраняются адронные
квантовые числа типа изоспина и странности. Адекватная теория слабого взаимодейст-
вия создана только в 70-е годы и большинство ее весьма неочевидных предсказаний уже
подтверждено на опыте. В частности, в 1983 г. было подтверждено ее главнейшее
предсказание — существование самих промежуточных бозонов трех типов. Они зареги-
стрированы во встречных протон-антипротонных пучках. В этих экспериментах изме-
рены и значения масс (46.49) промежуточных бозонов, которые также были пред-
сказаны теоретически. Их подстановка во вторую формулу (46.48) дает для радиуса
669
слабого взаимодействия значение 7?в/~10-1в м, как раз и приведенное
в табл. 46.6 (более непосредственным измерениям Rw пока не поддается).
в. Переносчики гравитационного взаимодействия — нейтральные (9=0) безмассовые
(лп=0) гравитоны G, имеющие спин J=2.
Это взаимодействие универсально в том смысле, что в нем участвуют все частицы.
Экспериментальная регистрация гравитонов откладывается на неопределенный срок,
так как пока не поддаются детектированию даже гравитационные волны. Квантовая
теория гравитации только начинает создаваться, и здесь имеется множество нерешен-
ных проблем, откуда, в частности, и обилие вопросительных знаков в соответствующей
строке табл. 46.6. Основные трудности здесь связаны с тем, что уже уравнения общей
теории относительности, описывающие классическое гравитационное поле, являются
существенно не линейными. В квантовой теории это приводит к наличию взаимодейст-
вия гравитонов друг с другом. Ситуация похожа на квантовую хромодинамику (см.
выше), но в квантовой гравидинамике она усугубляется еще целым рядом обсто-
ятельств.
7. Если вновь вернуться к табл. 46.1, и учесть все сказанное в данной главе, то мы
придем к следующей стройной картине строения материи. В конечном итоге состав-
ными элементами разных ее видов являются кварки шести ароматов (и трех цветов)
и лептоны также шести ароматов. Различные взаимодействия между этими фундамен-
тальными частицами возникают за счет обмена специфическими материальными
объектами — переносчиками взаимодействий: глюонами, фотонами, промежуточными
бозонами и гравитонами. Все они также относятся к числу фундаментальных частиц.
8. Выявление общности механизмов всех фундаментальных взаимодействий — их
обменного характера — вселило надежду на возможность построения единых теорий.
Практически уже завершенной можно считать единую теорию электромагнитного
и слабого взаимодействий, которые при низких энергиях выступают в качестве разных
проявлений одного электрослабого взаимодействия и разница между которыми стира-
ется по мере роста энергии частиц. Здесь уместно напомнить, что до работ Фарадея
и Максвелла считалось, что имеются электрическое и магнитное взаимодействия,
а в результате их исследований выяснилось, что эти два взаимодействия есть лишь
разные проявления одного электромагнитного взаимодействия.
Довольно успешными являются и многочисленные попытки «великого объедине-
ния» электрослабого и сильного взаимодействий в одно электроядерное взаимодейст-
вие. Начаты исследования также в направлении объединенного описания всех четырех
фундаментальных взаимодействий («расширенная супергравитация»).
8. Обратимся в этой связи к последнему столбцу табл. 46.6. Выше, по мере рассмотре-
ния конкретных типов фундаментальных взаимодействий, говорилось, что сильное
взаимодействие изменяет цвет, но не аромат фундаментальных частиц, электромагнит-
ное взаимодействие не изменяет ни их цвета, ни аромата, слабое взаимодействие
изменяет аромат, но не цвет. Возникает естественный вопрос: а нет ли в природе
взаимодействия, которое изменяло бы и цвет, и аромат элементарных частиц? Самое
интересное в том, что ответ на него может оказаться положительным. Все схемы
«великого объединения» как раз предсказывают, что такое взаимодействие дейст-
вительно должно существовать. Возникает оно за счет обмена частицами с колоссаль-
ными массами /п~1019 ГэВ, а потому проявляется в полной мере при столь же
колоссальных энергиях, но в чрезвычайно слабой степени эго взаимодействие может
сказаться и при обычных энергиях. Его переносчики обозначаются символами X и Y,
и за счет обмена ими кварки и лептоны могут превращаться друг в друга, так что
законы сохранения барионного заряда В и лептонного заряда L перестают быть
абсолютно строгими. Одним из самых интересных следствий всех этих положений
является крайне малая нестабильность протона. Теория предсказывает, что протоны
будут распадаться, например, по схеме р-»л°+е* со средним временем жизни
t^ap= 10 лет (!). В настоящее время установлен следующий экспериментальный
предел на время жизни протона:
т^>2 10” лет,
(46.50)
670
но поиски распадов протона, квалифицируемые как «эксперимент века», настойчиво
продолжаются. Соответствующие опыты проводятся в России, США, Японии, Запад-
ной Европе. Обнаружение нестабильности протона подтвердило бы правильность
основных направлений, по которым ведется сейчас создание единой картины строения
материи.
Вопросы:
1.	Как эволюционировало понятие элементарной частицы? Какой смысл вкладывается в этот
термин е настоящее время? Все ли «элементарные" частицы действительно элементарны?
Проследите историю открытия наиболее важных элементарных частиц.
2.	Совпадают пи гипероны £~ и 1+? мезоны Я~ и п+? Почему?
Э.	Доказать, что процессы у-*е~+е+ и е~+е+-*у запрещены законами сохранения энергии
и импульса. Как реально протекают процессы рождения и аннигиляции электрои-лозитрон-
ной пары?
4.	В чем преимущества ускорителей по сравнению с другими источниками заряженных частиц?
В чем преимущества установки со встречными пучками?
5.	Почему мюон не распадается по схеме ц~ -»е~ + у? Учитывая все законы сохранения,
запишите реальную реакцию распада мюона.
в. Чем объясняется неудача попыток обнаружить свободные кварки?
7. Сколько вы знаете фундаментальных взаимодействий? Каковы основные характеристики
и механизмы фундаментальных взаимодействий?
Заключение
1.	Современный курс физики в высшей технической школе охватывает все важнейшие
разделы классической и современной физики. Среди всех дисциплин во втузе нет таких,
которые могли бы сравниться с курсом физики по богатству и многообразию идей,
методов исследования и фундаментальности изучаемых в нем достижений науки
и техники. В наши дни существенно изменилось положение курса физики в системе
подготовки современного инженера. Если раньше курс физики был в основном базой,
фундаментом, на котором строилось здание инженерной подготовки, то теперь курс
физики, полностью сохранив это значение, стал одновременно составной частью
подготовки специалиста к конкретной инженерной деятельности. Ряд областей со-
временной техники, такие, например, как электронная техника (включая полупровод-
никовую), квантовая электроника, ядерная техника (включая реакторостроение) и др.,
настолько тесно переплетаются с физикой, что становятся неотделимыми от нее.
Вместе с тем в давно сложившихся «классических» отраслях техники применение новых
физических методов исследования приводит зачастую к принципиально новым ин-
женерным решениям ряда проблем.
Для нашего времени характерно резкое сокращение сроков между научными от-
крытиями, достижениями современной науки и их внедрением в повседневную ин-
женерную практику. Появление и развитие пограничных научных и инженерных дис-
циплин, находящихся на стыках нескольких наук и базирующихся на физике, сущест-
венно расширило возможности дальнейшего взаимного проникновения друг в друга
различных областей знания и повысило инженерный уровень, на котором могут
решаться в налги дни многие технические задачи.
Все это не могло не привести к резкому повышению требований, которые предъяв-
ляются к современному курсу физики во втузе. Эти требования находят свое выраже-
ние в повышении научно-теоретического уровня курса'
2.	В курсе рассмотрены все основные разделы классической и современной физики.
Начав с изучения основ физической механики и специальной теории относительности
(СТО), мы рассмотрели основы термодинамики и молекулярной физики, учение об
электричестве и магнетизме, колебательные и волновые процессы, включая учение об
электромагнитных волнах и оптику. Существенное место отведено основам квантовых
статистик, квантовой теории твердого тела, современной атомной физики, физики
атомного ядра и современным представлениям об элементарных частицах. Нетрудно
заметить, что все построение курса физики означало непрерывное углубление сведений
о явлениях природы и закономерностях, управляющих процессами в окружающем нас
мире. В самом деле, изучение механики происходило на макроскопическом уровне,
когда объектом изучения являлись макроскопические тела, движущиеся со скоростями,
много меньшими скорости света в вакууме, с массами, неизмеримо превышающими
массы атомов и молекул. В СТО рассматривалось учение о связи пространства —
времени с движущимися телами и частицами и на основе постулатов СТО изучались
кинематика и динамика движений со скоростями, близкими к скорости света в вакууме.
Следующий, молекулярный, уровень изучения явлений позволил выяснить особен-
ности поведения совокупностей атомов и молекул. Молекулярная физика с ее статисти-
ческими методами была первым шагом в микромир — область, в которой развитие
физики шло'особенно быстро и где достигнутые физикой результаты оказали столь
глубокое, революционизирующее влияние на всю науку н технику и на повседневную
жизнь человеческого общества. На молекулярном и внутримолекулярном уровне изуче-
ния курса нам пришлось отказаться в ряде случаев от методов, применяемых в мак-
рофизике, появилась необходимость использования новых, квантовых представлений
н новых закономерностей. Это сделано в объеме, допускаемом программой курса
физики во втузах. Переход к новым количественным масштабам с необходимостью
приводит, как учит нас диалектический материализм, к существенным качественным
672
изменениям. Поэтому не удивительно, что в микромире господствуют иные законы,
чем в макромире.
3.	Изучение строения и свойств атома, атомного ядра и твердых тел — достижения
физики нашего столетия. Оно стало возможным благодаря, во-первых, быстрому
расширению технических возможностей эксперимента — фактору, сыгравшему огром-
ную роль в развитии современной физики, и, во-вторых, двум теориям — теории
относительности н квантовой механике, которые произвели революцию в физике.
Возникшие в первой четверти нашего столетия, они привели физику к осознанию тех
особых законов, которыми управляется микромир. В настоящее время квантовая
механика н теория относительности —это не только теории, позволяющие проникать
в тайны строения атомного ядра н элементарных частиц. Теория относительности уже
достаточное время является основой для получения расчетных инженерных формул
ускорительной техники и исследования термоядерных реакций. Квантовая механика
в ее применениях к теории твердых тел, расчетам ядерных реакторов, электронных
приборов, квантовых генераторов н усилителей является дисциплиной, основы которой
вошли в инженерную практику.
4.	Многие основные идеи квантовой механики, а также н теории относительности
кажутся поначалу необычными, противоречащими тому складу мышления, к которому
привыкает человек благодаря длительному периоду обучения в школе н повседневной
практике. Невозможность свести дело к привычным представлениям, отсутствие в ряде
случаев аналогий, столь облегчающих «понимание» изучаемого предмета,— все это
действительно составляет известные трудности в начальный цернод изучения современ-
ной физики. Однако значительная часть их обусловлена тем, что недостаточно осозна-
ются логические связи между классической н современной физикой, между различными
аспектами рассмотрения физических явлений. На это требуется время н терпение —
два фактора, без которых немыслимо усвоение новых идей.
5.	Глубокие внутренние связи между классической и современной физикой находят
свое выражение в принципе соответствия, согласно которому между дальнейшим
развитием разделов физики н их предшествующим содержанием устанавливаются
определенные связи: в определенных предельных случаях новое физическое учение
переходит в старое. Установленные на определенном этапе развития физики закономе-
рности, правильно объясняющие экспериментальные данные, не отбрасываются с раз-
витием нового этапа учения, а включаются в него как предельный случай, справед-
ливый в определенных условиях.
в. Все здание классической н современной физики, несмотря на его сложную «архитек-
туру», прочно покоится на фундаменте законов сохранения. Все те законы сохранения,
которые были установлены в классической физике, применимы н в физике микроми-
ра — им подчиняются, как мы видели, элементарные процессы, происходящие с от-
дельными частицами вещества. Во всеобщности действия законов сохранения находят
свое доказательство глубокие связи между классической н современной физикой.
Правда, в физике элементарных частиц появились новые законы сохранения, не дейст-
вующие в области макромира, но в этом находит лишь свое подтверждение матери-
алистическое учение об абсолютной и относительной истине н о непрерывном переходе
в процессе познания от сущностей менее глубоких к сущностям более глубоким.
7. Современная физика принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся наук.
Ее динамический характер особенно сказывается в развитии таких разделов, как физика
атомного ядра н элементарных частиц, физика твердого тела н др., а также ряда
пограничных, соприкасающихся с физикой наук (биофизика н др.). Развитие новейшей
физики приводит к появлению многих новых дисциплин. Вряд ли можно было думать
несколько десятков лет тому назад, что возникнут механика плазмы, магнитная
гидродинамика, квантовая радиотехника н другие важнейшие разделы физики.
Из сказанного ясно, какое значение имеет для современного инженера изучение
физики. Именно поэтому время н усилия, потраченные на усвоение основ современной
физики, сторицей окупятся в дальнейшей учебе н работе инженера.
Приложения
§ П.1. Системы единиц физических величин
1.	Едвяжцей физической величины называется условно выбранная физическая величина, имеющая
тот же физический смысл, что и рассматриваемая. Системой единиц называется совокупность
единиц физических величии, относящаяся к некоторой системе величин и образованная в соответ-
ствии с принятыми правилами. Основными единицами данной системы называются единицы
нескольких разнородных физических величин, произвольно выбранные при построении этой
системы. Соответствующие физические величины называются основными величинами данной
системы. Система единиц называется абсолютной, если ее основными физическими величинами
являются длина, масса и время,
Произведшим единицами называются единицы, устанавливаемые через другие единицы дан-
ной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответст-
вующими физическими величинами.
2.	Размерностью физмеосо* величины называется выражение, характеризующее связь этой физи-
ческой величины с основными величинами данной системы единиц. Это выражение представляет
собой одночлен в виде произведения символов основных величин в соответствующих степенях
(целых или дробных, положительных или отрицательных). Физическая величина называется
безразмерной вели иной, если в выражение ее размерности все основные величины входят в нуле-
вой степени. Числовое значение безразмерной величины не зависит от выбора системы единиц.
3.	Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц:
Множи- тель	Приставка			Множи- тель	Приставка		
	ня им ено- ванне	обозначение			наимено- ванне	обозначение	
		руажое	междуна- родное			русское	междуна- родное
10*'	экса	э	Е	10-*	(деци)	Д	d
10”	пета	п	Р	10’2	(санти)	С	С
10”	тера	т	Т	1О’Э	МИЛЛИ	м	m
10’	гига	г	G	10’*	микро	МК	я
10*	мега	м	М	10’’	нано	н	п
10э	кило	к	к	10’”	ПИКО	п	р
ю2	(гекто)	г	h	10'”	фемто	ф	г
10*	(дека)	да	da	10 18	атто	а	а
** В скобках указаны приставки, которые допускается применять только  наименованиях кратных
и дольных единиц, уже получивших широкое распространение (например, гектар, декалитр, дециметр, сан-
тиметр).
4. Международная свстемв едмяц (СИ)
Велвина		Единица			
наименование	раз- мер- ность	наимено- вание	обозначение		определение
			рус- ское	меж- дуна- род- нос	
Длина Масса	L М	метр килограмм	Основ м кг	1ыс ед\ m kg	шицы Метр единица длины, равная расстоянию, проходимому в вакууме плоской электромаг- нитной волной за 1/299792458 доли секунды Килограмм — единица массы, равная массе международного прототипа килограмма
674
Продолжетве таблицы
Величава
виною мняс	ро мер- ность	вжямедо- мям	обоэяачеиве		опреж niiifi
			рус- ское	меж- дун» род иое	
Время	т	секунда	с	в	Секунда — едяиида времени, равная 9192631770 периодам кэлучения, соответст- вующего переходу между двумя сверхтонки- ми уровнями основного состояния атсны це- зия-133
Сила элеггрячесжо- го тока	I	ампер	А	А	Ашер — сила неиэ меняющегося тока, кото- рый, проходя по двум дараллельшм прмяо- линейным проводникам бесконечной длины н ничтожно малой площади кругового попе- речного сечения, распаложвивш як расстоя- нии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводнкаыи силу, равную 2 10~т Н на каждый метр длины
Термодинамичес кая температура	0	кельвин	К	К	Кедавив—единица термодинамической те- мпературы, равная 1/273,16 термодинамичес- кой температуры тройной точки воды
Количество веще- ства •	N	моль	МОЛЬ	mol	Мода — единица количества вещества, рав- ная количеству вещества г яппи i, в которой содержится столько же структурных элемен- тов (атомов, молекул, ионов, электронов и друзах частиц или спещефидафоваюшх групп частиц), скодако содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг
Сила света	J	кандела	кд	cd	Кандела — едаиица силы светя, равная силе света в данном аиираалеияи от источника, испускающего монохроматическое «лучение частоты 540 10’1 Гц (540 ТГц), сняв иаяуче- ния которого в этом напревленят составляет 1/683 Вт/ср
Дополнительные единицы
Плоский угол	—	радиан	рад	rad	Радван — угол между двумя радаусами
					окружности, длина дуги между которым равна радиусу
Телесный угол		стерадиан	ср	8Г	Стерадаяв— телесный угол е вершитой в центре сферы, вмрезмппый ив поверхдосто сферы площадь, равную п аспида квадавта со стороной, по длине равной радаусу этой сферы
5. Пронюодм и едяв*4 СИ
Валичива		Производим едквица			Пувмчвяве
наименование	размерность	важмсаованне	обоэвячжве		
			руажое	мнедуве- родаое	
	1 Единицы пространства и времени				
Площадь	I?	квадратный метр	м’	ш’	
Объем, вместимость	I?	кубический метр	м1	ш’	
675
Продолжение пиблицы
Величии*		Производя ЯЯ СДЩНВЦВ			Примечание
наименование	размерность	наименование	обозначение		
			румое	междуна- родное	
Скорость	LT’	метр в секунду	м/с	т/е	
Ускорение	LT2	метр на секунду в ква- драте	м/с2	m/s2	
Частота	т-‘	герц	Гц	Hz	
Частота вращения	Т~ 1	секунда в минус пер- вой степени	с-1	s’*	
Угловая скорость	Т-1	радиан в секунду	рад/с	rad/к	
Угловое ускорение	Т” 2	рндиАи на секунду ч квадрате	рад/с2	rad/a2	
2. Единицы механических величин					
Плотность	L-2M	килограмм на куби- ческии метр	кг/м2	kg/m2	
Момент инерции	L’M	kfjl ^грамм-метр в ква- щште	кг-м2	kgm2	
Импульс	LMT-2	килограмм-метр в се- кунду	кг м/с	kg-m/а	
Момент импульса	L2MT~‘	кчлогршмдеетр в ква- драте в секунду	кг м’/с	kgm2/e	KT M
Сила	LMT2	ньютон	Н	N	,H-*V
Момент силы	L*MT-2	ньютон-метр	Нм	N-m	
Импульс силы	LMT-1	ньютон-секунда	Нс	N-s	
Давление, напряже- ние (механическое), модуль упругости	L-‘MT-2	ПИ ГТ Я TTV	Па	Pa	1 Па-1 Н/м2
Поверхностное на- тяжение	MT-2	ньютон на метр	Н/ы	N/m	
Работа, энергия	L2MT-2	джоуль	Дж	J	1 Дж-1 Нм
Мощность	L2MT-2	ватт	Вт	W	1 Вт—1 Дж/с
Динамическая вяз- КОСТЬ	L-’MT-1	паскаль-секунда	Па-с	Pa e	
Кинематическая вязкость	i/t-*	квадратный метр на секунду	м2/с	m2/a	
3. Единицы тепловых величин
Количество тепло- ты, внутренняя эве-	L2MT-2	джоуль	Дж	J	1 Дж-1 Нм
Сдельное количе- ство теплоты	L3t"2	джоуль на килограмм	Дж/кг	J/kg	
Теплоемкость и эн- тропия системы	L2MT_2©_|	джоуль на кельвин	Дж/К	J/K	
Теплоемкость удаль- ИЯР	L*t*0-2	джоуль иа килограмм- кельвин	Дж/(кг К)	J/(kg-K)	
Теплоемкость мо- лярная	* п: 1 H ® Д 1 > ►«	джоуль на моль-кель- вин	Дж/(мольК)	J/(mol К)	
Теплопроводность	LMT’01	ватт на метр-кельвин	Вт/(м К)	W/(m К)	
676
Продолжение таблицы
Величина		Производная единила			Примечание
наименование	размерность	наименование	обозначали		
			руажое	междуна- родное	
I	4. Единица электрических и магнитных величин				
Плотность электри- ческого тока	L2I	ампер на квадратный метр	А/м2	А/т2	
Электрический за- ряд Плотность электри- ческого заряда:	TI	кулон	Кл	С	1 Кл-1 А-о
а) линейна я	L-1TI	кулон на метр	Кл/м	С/т	
б) поверхностная	L2TI	кулон на квадратный метр	Кл/м2	С/т2	
в) объемная	L’TI	кулон на кубический	Кл/м3	С/т1	
Поляризованность, электрическое сме- щение	L"2TI	метр кулон на квадратный метр	Кл/м2	С/т2	
Электрический мо- мент диполя	LTI	кулон-метр	Кл м	С т	
Поток смещения	TI	кулон	Кл	С	
Электрический по- тенциал, напряже- ние, э. д. с.	1?МТ3Г’	вольт	В	V	1 В=Дж/Кл
Напряженность эле- ктрического поля	LMT'3r’	вольт на метр	В/м	V/m	
Электрическая ем- кость	r’M'W	фарад	Ф	F	1 Ф=1 Кл/В
Электрическая по- стоянная	L-1M-1T*I2	фарад на метр	Ф/м	F/m	1 Ом=1 В/А
Электрическое со- противление	L2MT-1I-2	ОМ	Ом	а	
Удельное электри- ческое сопротивле- ние	L3MT 4 2 L-%c“r¥	ом-метр	Ом-м	От	
Электрическая про- водимость		сименс	См	S	1 См = 1 А/В
Удельная электричес- кая проводимость	L“*M-1T42	сименс на метр	См/м	S/m	
Магнитный поток	L2MT2r’	вебер	Вб	Wb	1 Вб-1 Вс
Магнитная индук- ция	MT-2!"1	тесла	Тл	Т	1 Тл = = 1 Н/(А м)
Магнитодвижущая сила	I	ампер'	А	А	
Напряженность ма- гнитного поля	L-1I	ампер на метр	А/м	А/т	1 Гн = 1 Вб/А
Индуктивность, вза- имная индуктив- ность	1?МТ"2Г2	генри	Гн	Н	
Магнитная постоян- ная	LMT 2I 2	генри на метр	Гн/м	Н/т	
Магнитный момент электрического то- ка	L2I	ампер-квадратный метр	А-м2	Ат2	
Намагниченность	L-i*I	ампер на метр	А/м	А/т	
Магнитное сопроти- вление		ампер на вебер	А/Вб	A/Wb	
677
Продолжение таблицы
Hgmrwww		Производная единица			Примечание
наименование	размерность	пим снование	обозначение		
			русаое	междуна- родное	
	5. Единицы световых величин и величин энергетической фотометрии				
Световой поток	J	люмен	лм	1m	1 лм=1 кд ср
Освещенность	L2J	люкс	лк	1х	1 лк=1 лм/м2
Светимость	L2J	люмен на квадратный метр	лм/м2	lm/m2	
Яркость	L2J	кандела на квадрат* ный метр	кд/м2	cd/m2	
Поток излучения	L2MT-1	ватт	Вт	W	
Энергетическая осве- щенность и свети- мость	мт-2	ватт на Квадратный метр	Вт/м2	W/m2	
Энергетическая яр- кость Спектральная пло- тность энергетичес- кой светимости:	MT-1	ватт на стерадиан- квадратный метр	ВтКср-м2)	W/(srm2)	
а) по длине волны	L-'MF1	ватт на метр в кубе	Вт/м1	W/m1	
б) по частоте	MT'2	джоуль на квадрат- ный метр	Дж/м2	J/m2	
** Производные единицы СИ злеиричеоих в магнитных величия образованы в соотнесший с рационали-
зованной формой запил уравнений элвтромагнитного пола.
в. В некоторых случаях (например, в научной литературе, по физике) допускается применение
системы единиц СГС. Различают три системы единиц электрических и магнитных величин,
построенные на основе системы СГС для механических величин: абсолютная электростапнеасая
система (СГСЭ), абсолютная электромагнитная система (СГСМ) и абсолютная гауссова система
едпмщ (СГС).
В системе СГСЭ коэффициент пропорциональности к в законе Кулона (13.1) полагается
безразмерным и равным 1. Соответственно закон Кулона и все другие соотношения электростати-
ки и электродинамики записываются в нерационализованной форме.
В системе СГСМ коэффициент пропорциональности к в законе Био — Савара — Лапласа
(22.2) полагается безразмерным и равным 1, так что этот закон и все другие соотношения
электромагнетизма записываются в нерацнонализованной форме Величина с, показывающая,
скольким единицам электрического заряда (или электрического тока) в системе СГСЭ эквивалент-
на одна единица электрического заряда (или электрического тока) в системе СГСМ, называется
электродииамичеосой тюсгоямой. Она равна скорости света в вакууме, выраженной в сантиметрах
на секунду.
В гауссовой системе единиц (СГС) единицы всех электрических величин такие же, как
в системе СГСЭ, а единицы всех магнитных величин такие же, как в системе СГСМ. Соответствен-
но в СГС коэффициент пропорциональности к в законе Кулона (13.1) полагается безразмерным
и равным 1, а коэффициент пропорциональности к в законе Био — Савара — Лапласа (22 2)
полагается равным к=\!с.
678
7.	Основные  доошжгельиые еияяи СГС
Величина		Единицу			Првмечяпк
наименование	размер- ность		обомачаяе		
			русяое	междуяь- родвое	
	Основные единицы				
Длина	L	сантиметр	см	ст	10’ м
Масса	М	грамм	г	8	1<Г* яг
Время	т	секунда	с	а	
Термодинамическая температура	е	кельвин	к	к	
Количество вещества	N	моль	моль	mol	
Сила света	j	кандела	кд	cd	
Дополнительные единицы					
Плоский угол	—	радиан	рад	nd	
Телесный угол	-	стерадиан	*		
8.	Проиэводше единим СГС
Величина		Производная ехйяицв			
наименование	размерность	наименование	обозначение		ягаве в еди- нит СИ
			русское	междуна- родное	
Плотность	1. Едини1 L3M	/ы механических вели грамм на кубнчес-	чин г/см’	8/оп’	10’ кг/м’
Момент инерции	l.’M	кий сантиметр грамм-сантиметр	г см1	8 ап’	10"7 кг м’
Импульс	LMT-1	в квадрате грамм-сантиметр	г -см/с	8 с®/’	10 s кг-м/с
Момент импульса	L’MT-1	в секунду грамм-сантиметр	г-см’/с	g-ап’/в	10-7кг-м’/с
Сила	LMT-’	квадрат в секунду дина	ДНИ	dyn	10-’Н
Момент силы	L’MT-’	дива-сантиметр	дин см	dyn-ап	10-7Н м .
Импульс силы	LMT-1	дина-секунда	ДИН с	dyn i	10 s Нс
Давление, напряжение (ме-	L-,MT-’	дина на сантиметр	дин/см2	dyn/cm’	10"1 Па
ханическое), модуль упру- гости Поверхностное натяжение	MT-’	в квадрате дина на сантиметр	ДИН/СМ	dyn/cm	10-’Н/м
Работа, энергия	L’MT-’	эрг	эрг	erg	10-7Дж
Мощность	L’MT-1	эрг в секунду	эрг/с	erg/в	10-7 Вт
Динамическая вязкость	L-1MT-1	пуаз	п	P	10-‘ Па-с
Кинематическая вязкость	L’T-1	СТОКС	Ст	St	10-* м’/с
2. Единицы электрических и магнитных величин
Сила электрического тока Плотность электрическо- го тока Электрический заряд Плотность электрическо-	L^’M^’T-’ L-1/’M1/2T-’ L^’M^’T-1	—	—	—	10/c A lO’/c А/м2 10/c Кл
го заряда: а) линейная	L'/’M'^T-1			—	Ю’/с Кл/м
679
Продолжение пийлицы
Вацлава		Производны единица			
иянмевованве	размерность"	вжкмеаоаше	оботи русогое	пене междунв- родаое	аягапе в еди- ницах СИ
б) поверхностная		—	—	—	Ю’/е Кд/м2
в) объемная	L-Wm^T'1	—	—	—	10’/с Кд/м1
Поляризованностъ	L-i/iM1'2!’-1	—	—	—	10s /с Кд/м2
Электрический момент ди- поля	Ls/aM1/JT“‘	—	—	—	1/(10с)Клм
Поток электрического сме-	L1/2M,/2T_I	—	—	—	10/(4яе) Кл
Электрическое смещение	L-,/2M1/2T-1	—	—	—	103/(4лс) Кд/м2
Элеи риноский потенциал, э. д. с., напряжение Напряженность зЯвахричео- кого поля	L,/2M1/2T-‘ L-^M1'2!-1	—	—	—	10*с В 10вс В/м
Электрическая емкость	L	сантиметр	см	ст	Ю’/е2 Ф
Электрическое сопротив- ление	L“*T	—	—	—	КГ’е2 Ом
Электрическое сопротив- ление удельное	T	—			Ом м
Электрическая проводи-	LT“*	—		—-*	Ю’/с2 См
Магнитныв поток	L’^M^T"1	максвелл	Мкс	Мх	10" "Вб
Магнитная индукция	L-^M^T"1	гаусс	Гс	Gi	10"* Тл
Магнитодвижущая сила	L,/2M1/2T“‘	гильберт	Гб	Gb	10/(4я) А
Напряженность магнитно- го поля	L_,/2M*/2T~*	эрстед	Э	Ое	1О’/(4л) А/м
Индуктивность, взаимная индуктивность	L	сантиметр	см	ст	10"’ Гн
Магнитный момент элек- трического тока	L5/2M1/2T’	—	—	—	10-1А м2
Намагниченность	L-W2M,/2T-1	—		—	10э А/м
Магнитное сопротивление	L“‘	—	—	—	1О’/(4я) А/Вб
9.	Цжеснстемше «дави
Внесистемные едадады, допускаемые к прюкнеиию в фнзвсе  астрономии
Внссвсгемвжя еднняцж
Наимвовиве величины	шмвомше	обозвсЧеое		значение в единиц»» СИ
		руажое	аддум- родное	
Длина Оптическая сила Масса Площадь Энергия Площадь (земельных участков) Объем, вместимость : Плоский угол	астрономическая единица световой год парсек диоптрия атомная единица массы барн электрон-вольт гектар литр градус цнну ia секунда	а. е. св, год ПК дптр а. е. м. 6 эВ га л о м	1 У- РС U b eV ha 1 О г я	1,49600 10" м 9,4605 1011 м 3,0857 - 10,в м 1 м-1 1,66057 Ю"27 кг 10" 2В м2 1,60219 Ю"1’ Дж 10* м2 10" 2 м2 я/180рад я/10800 рад я/648000 рад
680
Продолжение таблицы
Внвоютеывжя сдвикця
Навмыовавие величины	нжимеаовиш	обозначение		значение в единицах СИ
		русское	междуна- родное	
Время	минута	мин	mm	60с
	час	ч	h	3600 с
	сутки	сут	d	86400с
	неделя	нед	——	—
	месяц	мес	—	——
	год	год	—	—
Масса	тонна	т	t	102 кг
Температура Цельсия, разность температур	градус	”С	“С	Температу^а^Цвльаи
				Т—термодинамичес- кая температура. По размеру градус Цель- сия равен кельвину
§ П. 2. Фундаментальные физические константы
Величина	Обозиачаие	Звячевие	Отиоснтель- иая погреш- ность,
Атомная единица масал	а е.м.	1,6605655(86)'10 ~2Т кг	5,1
Заряд элементарный	е	1,6021892(46) 10"19 Кл	2,9
Заряд удельный электрона	-elm.	-1,7588047(49) 10пКл/кг	2,8
Комптоновская длина волны	2к, -Л/(««г)	1,3195909(22)' 10”12 м	1.7
нейтрона	Лк ./(2л)	2,1001941(35)-10" 1вм	1.7
Комптоновская длина водны	2к, ,==Л/(ж^с)	1,3214099(22) 1022 м	1,7
протона	2kj>/(2«)	2,1030892(36)  10-1вм	1,7
Комптоновская длина волны	2k, <-^'Ы	2,4263089(40) '10-u м	1,6
электрона	2к«/(2л)	3,8615905(64) 10-11 м«	1*
Магнетон Бора	рБ-еЛ/(2т,)	9,274078(36)- 10’2* Дж/Тд	3,9
Ядерный магнетон	Д^-жеЛ/^)	5,050824(20) 10’27 Дж/Гл	3,9
Магнитный момент нейтрона	Яя/Рвд	-1,91304184(88)	0,46
Магнитный момент протона		1,4106171(55) • IO’2* Дж/Тл	3,9
		1,521032209(16)-IO'2	0,011
		2,7928456(11)	0,38
Магнитный момент электрона	th	9,284832(36)-10-2* Дж/Тл	3,9
		658,2106880(66)	0,010
Масса нейтрона	т*	1,6749543(86) Ю’27 кг 1,008665012(37) а.е.м.	5,1 0,037
Масса протона	тг	1,6726485(86)-10-27 кг	5.1
		1,007276470(11) а.ем.	0,011
Масса'электронЯ		0,9109534(47)'10“ 30 кг 5,4858026(21)-10’* ке.м.	5,1 0,38
681
Продолжение таблицы
Ikawu	Обозавчшв	Зввчшве	Опосвтеоьвы погрешяость, ю-*
Молярный объем кдваашого га- гоЛшТЕл^ки з£п5“	Иа-ЯГ(^ро	0,02241383(70) м’/моль	31
Постоянная Авогадро		6,022045(31) 1031 моль1	5,1
Постоянна* БолыфАвд	*-U/Na	1,380662(44)' 10 ” Дж/К	32
Поставим газовая ункверсаль- Н8Л	R	8,31441(26) Дж/(моль К)	31
Постоашж туашо^^гд» -	G,1	6,6720(41) Ю-11 Н-м’/кг1	615
Постоши шгжгш	Яо	12Л«3706144 10-т Гн/м	
Поставки Плика	А	6,626176(36)" IO-14 Дж/Гц	5,4
	А-*/(2а)	1,0545887(57) 10'14 Дж/Гц	5,4
Квант ЫВПЛВОГО DOTOKB		2,0678506(54) 10"15 Вб	2,6
	*>	Дж 4,135701(11) 10-”	- ГцКд	2,6
Квант щркулацвк	*/(2mJ	Дж 3,6369455(60)  Ю-4 Гцкг	1,6
		Дж 7,273891(12)  IO’4 ——- Гцкг	1.6
Постоанни кэлуэснш оерви	ei-SaAc3	3,741832(20) 10-“ Вт м3	5,4
Постоаннм излучения вторая	ci^hc/k	0,01438786(45) м К	31
Постоаншя РвДберга	“ м»	1,097373177(83)" 107 м-1	0Д8
Постгжввая Стефам— Бельо-	я3** ^"бОА’с1 Д»а*	5,67032(71) 10-‘ ВгЛм3 К*) 0,0072973506(60)	125
Постоаннм тонкой cipyaiypu	в"	 2Л		0^82
	«-«	137,03604(11)	0,82
Постоакша Фарадиа	F-Nke	9,648456(27) 10* Кд/моль	2,8
Постоакша мактрнчесам	о-1/Gv*)	8.85418782(7) 10~13 Ф/м	0,08
Радкус бороосжкй	Нв-*/(4«Д»)	0,52917706(44)" 10’“ м	0,82
Радиус эпаггром кяассшоанй	Г,->А9С1/(4»«,)	2,8179380(70) 10“ “ м	2,5
Скорость* от » вакууме	с	299792458 м/с	—
Ускорение свободного нкденка сгаццвргное	g	9,80665 м/с3	
Энергия Новоа нейтром		939,5731(27) МэВ	2,8
Энергия покоя цротош		938Д79б(27) МэВ	2,8
Энфпи нокоа метром		0,5110034(14) МэВ	2,8
Эверли, соответствушнм 1 вяла		9313016(26) МэВ	2,8
682
§ П.Э. Погрешности при измерениях физических величин
1.	Измерение физической вели им i заключается  сравнении ее с однородной ей физической
величиной, принятой за единицу. Результат измерения физической величины А представляют
в виде
Я-{Я} [Л],
где {Л} — отвлеченное число, называемое числовым эаачежыы вежгмы А, а [Л] — единица
величины А.
Если единицу данной физической величины изменить  к раз ([Л]'~£[Л]), то числовое значение
{Л}' этой величины изменится в 1/к раз:
,,v А А {А}
<Л> "—«—=—.
[А]' к[А] к
Размерность физической величины А обозначают dim Л Тах как числовое значение {Л} —
величина безразмерная, то размерность физической величины Л совпадает с размерностью ее
е пинит ты*
dim Л “dun [Л].
Различают два типа измерений физических величин прямые и косвенные.
При прямом измерена значение искомой величины непосредственно определяется с помощью
прибора, измеряющего эту величину. Например, размеры тела можно непосредственно измерить
линейкой, штангенциркулем, микрометром; массу тела можно найти путем прямого измерения —
взвешивания на весах; продолжительность какого-либо процесса можно непосредственно изме-
рить секундомером, а силу электрического тока  цепи — амперметром.
При косвенном кпиеревж значение истомой физической величины находит, основываясь на
результатах прямых измерений других физических величин, с которыми эта величина связана
известной функциональной зависимостью. Например, среднюю плотность тела можно вычислить,
пользуясь результатами прямых измерений массы и объема этого тела, электрическое соиро пиле-
ние проводника можно найти из закона Ома, если известны результаты прямых измерений силы
тока в проводнике и напряжения на его концах
В зависимости от выбора метода измерений значения некоторых физических величин можно
определить путем как прямых, так и косвенных измерений. Например, силу постоянного тока
в электрической цепи можно непосредственно измерить амперметром, а можно косвенно — по
измеренному напряжению на образцовом сопротивлении, включоном в цепь последовательно.
Объем шарика можно найти путем прямого измерения, погружая этот шарик в жидкость,
Налитую в мерный цилиндр, а можно вычислить, измерив диаметр шарика.
Технические средства, используемые для выполнения экспериментальной части измерений,
называются средствами измерен^ К ним относятся измерительные приборы, меры и состоящие
из них измерительные системы и установки. Измерите л» и ши прибораяш называются средства
измерения, с помощью которых можно непосредственно отсчитывать значпжя измеряемых
величин Мерами называются средства измерения, служащие для воспроизведения физических
величин заданных (одного или нескольких) размеров Примерами мер являются наборы гирь,
нормальные элементы, образцовые сопротивления и катушки индуктивности, магазины оякостёй,
индуктивностей и сопротивлений, различные меры длины, вместимости и т. д.
2.	Из-за действия множества искажающих факторов результат каждого отдельного измерении
физической величины не совпадает с ее истинным значением. Разность между результатом
измерения и истинным значением измеряемой величины называется ю pi linn in измерений
(сшибкой измерен*).
Погрешности измерений могут быть связаны с техиичестими трудностями (несовершенство
измерительных приборов, ограниченные возможности органов зрения человека, с помощью
которых во многих случаях производится регистрация показаний приборов, и т. д.), а также
с целым рядом факторов, влияние которых трудно учесть (колебания температуры воздуха, его
движение вблизи измерительного прибора, малые вибрации элементов измерительной установки
и т п )
Различают три типа погрешностей измерений* грубые ошибки (промахи), систематические
и случайные погрешности Грубые пиибин, или щюмати, обычно бывают связаны с неисправ-
ностью измерительной аппаратуры, либо с ошибкой экспериментатора в отсчете или записи
показаний приборов, либо с резким изменением условий измерений. Результаты измерений,
соответствующих грубым ошибкам, нужно отбрасывать и взамен проводить новые измерения.
Система |ичци ими погрешностями измерений называются пограияости, которые при много-
кратном измерении одной и той же величины остаются постоянными либо изменяются по
683
определенному закону. Систематические погрешности включают в себя методические н инст-
рументальные (приборные) погрешности измерений.
Методические погрешности вызываются недостатками применяемого метода измерений, несо-
вершенством теории физического явления И неточностью расчетной формулы, используемой для
нахождения измеряемой величины. Например, при взвешивании тела на аналитических весах
будет допущена систематическая методическая погрешность, если не будет вноситься поправка на
различие выталкивающих сил, действующих со стороны воздуха на взвешиваемое тело и раз-
новесы. Методические погрешности можно уменьшать путем совершенствования метода измере-
ний, а также введения уточнений в расчетную формулу
Инструментальные (приборные) погрешности вызываются несовершенством конструкции и не-
точностью изготовления измерительных приборов (например, небольшое различие в длинах плеч
рычажных весов, несовпадение в стрелочном приборе центра шкалы с осью вращения стрелки,
изменение хода ручного секундомера прн изменении температуры и т. п.). Уменьшение инструмен-
тальной погрешности достигается применением более совершенных и точных приборов. Однако
полностью устранить приборную погрешность невозможно.
Э.	Случайный погрешностями измерешй называются погрешности, абсолютная величина и знак
которых изменяются при многократных измерениях одной и той. же физической величины.
Случайные погрешности вызываются многими факторами, не поддающимися учету. Йапример,
ия' пОяязйиия чувствительных аналитических рычажных весов могут повлиять пылинкц, оседа-
ющие во время взвешивания на чашки весов, удлинение одного из плеч коромысла весов,
нагревающихся от находящейся вблизи него руки экспериментатора, конвективные токи воздуха
вблизи чашек весов и Другие цричины.
Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно, но дх можно уменьшить
Путем Мнбгократногр повторения измерений. При этом происходит частичная компенсация
случайных отклонений результатов измерений в сторону завышения и в сторону занижения
Расчет случайных погрешностей производится методами теории вероятностей и Математической
статистики.
За наиболее достоверное значение Непосредственно измеряемой физической величины А при-
нимают среднее арифметаческое <А> из-всех л результатов ее измерений Аь Аг.At,..., А„’
1 д
<Л>=- X At.
ni-\
Окончательный результат измерения величины А представляют в форме
Л"<А>+АЛ,
где АЛ — положительная величина, называемая абсолютной погрешностью найденного
значения А.
Относительной погрешностью значения А называется отношение АЛ/А.
Надежностью результата жзмереявя физической величины А называется вероятность F того,
что истинное значение А действительно лежит в интервале от <Л>—АЛ до <А}+АЛ.
Если систематическими погрешностями можно пренебречь (см. п. 4), а случайные погреш-
ности подчиняются нормальному распределению (распределению Гаусса)*, то при числе измере-
ний л>5 с надежностью Ptslfi можно Принять, что абсолютная погрешность АЛ равна стандарт-
ной (среднеквадратичной) погрепносгн
/ я
/£ (А(-<А»2/л(л-1).
V (-1
Если необходимо повысить надежность Р результата, то значение ДА следует соответственно
увеличить, положив
АЛ “
где t — положительный коэффициент, зависящий от п и Р.
С увеличением л стандартная погрешность Sj уменьшается (при больших значениях л погреш-
ность	Поэтому точность результата измерений, лимитируемая случайными цогроп-
ностями, растет с увеличением числа измерений
*Это верно, например, когда результирующая погрешность измерения Является суммой
большого числа независимых случайных погрешностей, малых по сравнению с результирующей.
684
4.	В общая случае необходимо принимать во внимание как случайные, ш ж астематические
погрешности прямых измерений. При этом стандартная шгрспаость нзмережя нелишня А рас-
считывается по формуле*
SA-yfcJ+vrj.
где 8"л — стандартная случайная оогрепжктъ, S' — стандартная свстгиа гн истее оогрешвостъ.
При вычислении 5л не требуется высокая точность — вполне достаточно найти $4 с точ-
ностью до 15 — 20% Поттом’ если 5'л и отличаются в два раза или более, то практически
можно считать, что 5^ равна большей из них*
$4—max (5^, iS^)
Например, пусть S^“0,5S", тогда
Se-Vl.25
В этом случае для повышения точности результата измерений нет смысл* увеличивать число
измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической погрешности (например,
использовать более точные приборы).
Стандартная свстематидесжая погрешность оценивается на основе анализа метода измерения
и используемых средатв измерения. Все систематические погрешности, поддающиеся жхлючшию
(например, некоторые методические погрешности), должны быть уогряя^дц еще до начала
обработки экспериментальных данных путем введения к ним соответствующих поправок. Именно
эти исправленные значения Af и рассматриваются кая исходные экспериментальные данные при
отыасаини <Л> и Я'л. Инструментальная (приборная) погрешность определяется на основе тш>
портных данных прибора, его класса точности, точности нониуса и т. д.
Классом точиоетж средства жвяереяжя называется характеристика последнего, служащая пока-
зателем установленных для него государственным стандартом пределов погрешит, i ей и других
параметров, влияющих на точность
Многие показывающие приборы (мауютры. амперметры, вольтметры, ваттметры и др.)
нормируются по шяюедамой погрешности — погрешности, выраженной в процентах от верхнего
предела измерения (у многопредельных приборов — от верхнего предела на соответствующем
диапазоне) или от д лины шкалы. Применяются следующие классы точности таких приборов: 0,1,
ОД; 0,5,1,0; 1,5, 2,5; 4.0 Обозначение класса точности прибора записывается на его шкале в вида
соответствующих цифр (не заключенных в кружок) Общая формула для расчета максимальной
абсолютной погрешности имеет винд
К
шжс>
где К — класс точности прибора, А^.^ — верхний предел измерений прибора (либо данного
его диапазона) Например, для амперметра класса 0,5 на диапазоне А-.——2 А
0,5
Д/™в—2А-0.01 А
100
В качестве стандартной систематической погрешности этого амгврметра можно принять
половину т е. S"r —O.SAJppwt—0.005 А
Измерительные приборы могут также нормироваться по отвоежтельиой погрешности — погре-
шности, выраженной в процентах от действительного значения измсряаяой величины. Обозначе-
ние класса точности изображается на шкале такого прибора соответствующими цифрами, заклю-
ченными в кружок В этом случае
К
AjIwwwi — А
100
Если класс точности прибора не указан и в паспорте прибора нет данных относительно его
инструментальной погрешности, то обычно считают, что эта погрешность равна половине цены
•Здесь приведен упрощенный способ учета систематических погрешностей. Более сложный
точный метод обработки см. ГОСТ 8.207 — 76 «Прямые измерения с многократными наблюдени-
ями. Методы обработки результатов наблюдений».
685
наименьшего да пения пжалы прибора. В случае прибора, стрелка которого перемещается не
равномерно, а «скачками» (например, у ручного секундомера), приборную погрешность считают
равной цене деления шпалы.
С. При запиоя результата измерений в стандартной форме, показанной в п. 3, необходимо
соблюдать следующие правила:
1) погрепшость АЛ необходимо округлить до двух значащих цифр, если первая из них —
единица, и до одной знача леей цифры во всех остальных случаях;
2) при записи значаща (А) необходимо указывать все цифры вплоть до последнего десяти-
чного разряда, использованного для зашля погрешности.
Прюаер. Обработка результатов прямых измерений диаметра d шарика с помощью мик-
рометра
Значения </< Д™ пип измерений приведены во втором столбце таблицы.
Номер измерения	4* ММ	14-<</>|мм	мм’
1	5,27	0,02	0,0004
2	5,30	0,01	0,0001
3	5.28	0,01	0,0001
4	5,32	0,03	0,0009
5	5,28	0,01	0,0001
«Р010®—₽•—	3,27+5,30+5,28+5.32+5,28
(<0 —-------------—---------мм-5,29 мм,
/4+1 + 1+9+1
S' — I------------10~* мм—0,009 мм.
' V 5 4
Полагая стандартную инструментальную погрешность микрометра равной его точности
(S^—0,01 мм), найдем стандартную погрешность диаметра шарика*
S^—^/o,0091+0,012 мм—0,0134 мм«0,013 мм.
Правильная запись результата измерений:
</=(5,290+0,013) мм.
Примеры неправильной записи результата измерений:
1)	</=(5,29+0,01) мм— погрешность занижена больше чем на 15 — 20% из-за нарушения
правила 1;
2)	</—(5,29+0,013) мм — нарушено правило 2;
3)	</—(5,2900 ±0,0134) мм — не выполнено правило 1.
I
В. Правша расчета погрешностей при досягни nt измерениях.
Пусть для косвенных измерений физической величины А используется известная функциональ-
ная зависимость А от ряда других независимых величии В, С, D, Е, F, .... Q, заданная в форме
Л-ЛВ, С, В, Е, F, .... Q).
Среди переменных В, С,.... Q могут быть величины трех типов:
1)	величины, определяемые путем прямых измерений (например, величины Е, F, , Q),
которые после проведения этих измерении представляются в стандартной форме*
Е—<£)±5к, F—(Fy±Sf, Q~(Q)±$q',
2)	данные установки (например, величины В и С), т. е. характеристики экспериментальной
установки, известные из предыдущих (тарировочных) измерений; эти величины также должны
быть заданы в аналогичной форме**
В-<В>±5, и C-<C>±Sc;
♦В противном случае обычно считают, что заданное без указания погрешности значение
измерено с точностью до половины единицы последнего десятичного разряда в этом значении
(например, если В—11,3 мм, то SB=0,05 мм, а если В= 11 мм, то Sa= 0,5 мм)
686
г 3) табличные величины (например величина D) — величины, которые в данном опыте не
измеряются, а берутся из таблиц.
Табличная величина может быть константой (например, D—я). В этом случае ее нужно брать
из таблиц с такой точностью, чтобы относительная погрешность D была значительно меньше
относительных погрешностей всех остальных величин, входящих в функциональное выражение
для исхомой величины А. Если же D — заданная в табличной форме функция непосредственно
измеряемой величины Т, то ее также нужно представить в стандартной форме:
ЗЫ 3D
— Sr, а — определяется с помощью
зт
где (D) — табличное значение, соответствующее (7^>; $д
таблицы.
Наилучшим значением величины А при косвенном ее измерении будет
<Л> =/«$>, <Q, <Л>, <£>, <Г>. ... «2»,
а стандартная погрешность А принимается равной
SA~
'уу
.3D/
Окончательный результат также представляется в стандартной форме:
Л = <А>±$д.
|1/2
7. Формулы расчета погрешностей прн косвенных измерениях в некоторых простейших случаях:
В. Пример обработки результатов косвенных измерений.
Определить плотность р однородного тела на основании результатов прямых измерений его
массы /и=(25,4+0,5) 10-3 кг и объема К=(2,94 + 0,05) 10~* м1.
Наилучшее значение плотности тела
25,4 IO'*
<Р>= ~ , ,п-6 ^/М =8-639 Ю3 кг/**1-
2,94 10 6
Относительная стандартная погрешность плотности
Ю"а^3.87+2,89==2,6’ 10"’.
Стандартная погрешность плотности
$,=8,639 10» 2,6 КГ* кг/м1 =225 кг/м3.
Округляя значения Sp и запишем окончательный результат в виде
р=(8,6±0,2) 103 кг/м3.
687
Предметный
указатель
А
Аберрации оптических систем геометри-
ческие 451
Автоионизация 523
Адиабата 123
Адроны 655, 660
—, состав кварков 661
Аксиома об инвариантности длин 14
-------промежутков времени 14
^^тивность радиоактивного вещест-
ва 633
-------, удельная 633
Актиниды 554
Акцепторы 617
Альфа-распад 633
Ампер 675
Амплитуда биений 367
— Волны 388
----стоячей 398
— колебаний гармонических 358
-------комплексная 360
----затухающих 373
Анализ колебаний гармонический 367
— люминесцентный 569
— рентгеноспектральный 449
— рентгеноструктурный 449
Анализатор 465
Анизотропия оптическая естествен-
ная 466
----искусственная 466, 473
Анионы 252
Аннигиляция пары 649
Анод 252
Антинейтрино 632
Антинейтрон 649
Антипротон 649
Античастицы 649
Апертура интерференции 423
— числовая объектива микроскопа 452
Аромат кварка 665
Атом водорода, потенциал иониза-
ции 536
— —, состояние основное (нормаль-
ное) 536, 542
Атом водорода, состояние возбужден-
ное 536
----, спектр 532
----, термы спектральные 533
—, модель ядерная 531
Атомы акцепторы 617
— доноры 617
Б
Базис ортонормированный декартовой
системы координат 9
Барноны 660
—, состав кварков 661
Барн 680
Барьер потенциальный 63
Бета-распад 634
Бетатрон 348
Биения 366
—, амплитуда 367
—, период 367
—, частота 367
Бизеркало Френеля 423
—	-, апертура интерференции 423
----, условия интерференционные 423
Билинза Бийе 423
Биолюминесценция 568
Бипризма Френеля 423
Бозоны 578
— промежуточные 651, 669
Бомба водородная 644
Бэр 637
В
Вакуум 143
Ватт 676
Вебер 677
Вектор внешних сил главный 27
- волновой 389
—	главной нормали 11
—	касательной 11
—	перемещения 11
688
Вектор плотности потока энергии волны
упругой 393
—--	-------электромагнитной 406
—	световой 420
-	Умова 393
—	Умова-Пойнтинга (Пойнтинга) 406
— элементарного поворота твердого те-
ла 47
Векторы аксиальные (псевдовекторы) 47
—	полярные 47
Величина фтячестяя безразмерная 674
—	—, измерение 683
—	- —, основная 674
——, размерность 674
— —, числовое значение 683
Вероятность состояния термодинами-
ческая 163, 579, 581
Вещества (среды) оптически активные
475
Взаимодействие гравитационное 656,
670
— обменное 667
— проводников с токами 284
— сильное 655, 669
— слабое 655, 669
— электромагнитное 655, 668
—	электрослабое 670
—	элекгрояцсрное 670
Взаимодействия фундаментальные 655
—	—, время характерное 657
—, нН 1 енсивнос 1 ь 656
— —, механизм 657, 666
---, переносчики 669 и след.
— —, радиус действия 656
Вибратор элементарный 408
Видимость интерференционных полос
424
Волна бегущая 387
—, волновая поверхность 388
—	гармоническая 387
—	- квазисинусоидальная 395
—	монохроматическая 405
—	необыкновенная 468
—	обыкновенная 468
—	опорная (в голографии) 450
—	плоская 388
---, уравнение 388, 403
—	сигнальная (в голографии) 450
—	синусоидальная 387
—	стоячая 398
---, плоская синусоидальная 398
Волна стоячая плоская синусоидальная,
амплитуда 398
----------------  ,	длина попям 399
---—, пучности 398
------------------,	узлы 398
— сферическая 389	,
— упругая поперечная 387
----продольная 387
----стоячая, энергия 399
- , фронт 388
— электромагнитная, интекивность 407
— —, р-волна 413
-----, J-волна 413
Волны акустические 386
—	де Бройля 504
-------, длина волны 504
------ —, скорость групповая 509
-------—- фазовая 508
-------, частота 508
—	звуковые 386
—	когерентные 396
----частично 424
—	механические 386
—	поверхностные 387
—	упругие 386
- - электромагнитные 402
----, поляризация 405
----, попсречность 403
----, скорость фазовая 403
----, энергия 406
----, эффект Доцлера 415
Вольт 677
Восприимчивость диэлектрическая ком-
плексная 460
——- неполярного диэлектрика 205
----полярного д иэлектрика 206
— магнитная 315, 316
Вращение плоскости поляризации света
475
------ — — магнитное 476
— тела вокруг неподвижной оси 47
----------- точки 49
Время высвечивания атОма среднее 410
— жизни радиоактивного изотопа сред-
нее 632
— когерентности 366, 422
—	релаксации 373
-	- собственное объекта 93
—	характерное фундаментальных вза-
имодействий 657
23 Курс физики
689
Вязкость 140, 141
- д инамическая 140, 141
- кинематическая 140
Г
Газ вырожденный 584
— идеальный ПО
----Бозе 580
------ Ферми 579
------ фононный 592
------ фотонный 589
— разреженный 143
— реальный 167
----- Ван-дер-Ваальса 170
- электронный в металле 217
------ — — вырожденный 586
----------- —, внутренняя энергия 588
—-  —, теплоемкость 589
—-----, химический потенциал 588
-------  —, энергия Ферми 586
--------- —-электрона средняя 588
Гальванометр баллистический 293
магнитоэлектрический 293
- электродинамический 294
Гамма-излучение (гамма-лучи) 411, 636
Гармоники периодического колебания
367
Гаусс 680
Гектар 680
Гелий ягидкиИ, сверхтекучесть 175
Генератор импульсный высоковольтный
226
— когерентного света (ГКС) 570
— магнитогцдродинамический (МГД)
332
— оптический квантовый (ОКГ) 570
— электростатический Ван де Граафа
219
Генри 677
Германий 611
Герц 676
Гидродинамика 44
Гильберт 680
Гиперзвук 386
Гипероны 651, 661
Гипотеза квантовая Планка 487
Гироскоп 65
— уравновешенный 65
—, центр подвеса 65
Гистерезис диэлектрический 215
- магнитный 323
Глаз, угловой предел разрешения 452
Глюболы 669
Глюоны 669
Год 681
— световой 93, 680
Голограмма объекта 450
---объемная 451
Голография 450
Гравитон 670
Градиент ггя п яркой функции координат
40
Градус угловой 680
— Цельсия 681
Граница верхняя энергии бета-спектра
636
— красная внешнего фотоэффекта 493
Грей 637
Группа волн 395
д
Давление 108
- внутреннее 171
полное 46
света 410, 498
— статическое 46
— электромагнитных волн 407
Двигатель вечный второго рода 158
- ракетный ионный 73
— фотонный 73
---ядерный 73
— тепловой 151
Движение абсолютное 76
апериодическое 374
— броуновское 165
— заряженной частицы в магнитном по-
ле 296
- механическое 8
—	относительное 76
---, основное уравнение динамики точ-
ки 78
—	по инерции 19
— твердого тепа винтовое 50
-------вращательное 47, 49
----плоское (плоскопараллельное)
50
-------поступательное 17
-------Сферическое 49
— тела переменной массы 30
- тепловое 106
— точки замедленное 14
---криволинейное 10
690
Движение точки неравномерное 13
----плоское 10
----прямолинейное 10
----равиотамед пенное 16
----равномерное 13
----равнопеременное 16
----равноускоренное 16
----ускоренное 14
Двойственность корпускулярно-волно-
вая света 501
-------частиц вещества 504
Дебаеграмма 449
Декремент затухания логарифмический
373
Деления тяжелых ядер 642
-------, параметр деления 642
-------спонтанное (самопроизвольное)
642
Детерминизм механический 514
Дефект массы ядра атома 629
Деформации В
— упругие 385
Деформация объемная 385
— сдвига 386
Джоуль 676
Диаграмма направленности излучения
осциллятора (диполя) 408
— термодинамическая 117
----Т—S'154
Диаграммы Фейнмановские 668
Диамагнетизм Дяцдау Л J
Диамагнетики 314
Диаметр молекулы эффективный 120,
136, 169
Диафрагма апертурная 451
Дивергенция вектора 208
Дина 679
Динамика 8
— релятивистская 97
Диод полупроводниковый 626
Диоптрия 680
Диполь электрический 190
----жесткий 203
-------в электрическом поле 203
----упругий 203
Дисперсия волн 391
— света аномальная и норма ш.иая 458
------------, телрия классическая элек-
тронная 459
----вращательная 475
Диссипация энергии 44
Диссоциация молекул электролита 254
Дифракционная решетка одномерная
445
Дифракция рентгеновского излучения на
пространственной рапстхе 447
— оста 436
----Фраунгофера (в параллельных лу-
чах) 442 — 447
----Френеля (в сходяцихен лучах) 440
Диффузия 138
Дихроизм 470
Диэлектрик поляризованный точ
— электрически изотропный 208
Диэлектрики 202,611
— неполярные то?
— полярные 203
—, условия на границе раздела 211
Длина волны 388
----де Бройля 504
— когерентности (гармонического цуга)
422
----пространственной А36
— приведенная физического маятника
362
— пути оптическая 428
----точки 11
— свободного пробега молекул газа 136
— стоячей водны 399
Добротность колебательной шстсмы
373
Доза излучения 637
----, мощность 637
----экспозиционная ^17
-------, мощность 637
Домены 215, 325
Доноры 617
Дросселирование газа адиабатное 178
Дублет мюонный 65^
— та пиний 658
— электронный 658
Дырка 613
Единица астрономическая 680
— массы атомная 681
-------, энергия 682
— физической величины 674
-------основная 674
-------производная 674
23*
691
Емкость электрическая батареи конден-
саторов 225
----взаимная двух проводников ???-
----конденсатора 222, 223
----уединенного проводника 221
-------шара 221
Ж
Жидкость идеальная 44
— квантовая 526
— кипящая 173
— перегретая 175
3
Закон Авогадро 111
— Ампера 275
— Бера 454
— Био 475
— Био — Савара — Лапласа 280
— Больцмана 135
— Брюстера 466
— Бугера — Ламберта 454
— Бугера — Ламберта — Фабриканта
571
—Бунзена — Роско 496
— Вавилова 568
— взаимосвязи массы и энергии 100
— Видемана — Франца 240
— всемирного тяготения 41,80
— Гейгера — Неттолла 634
— Гука 42
----для д еформации объемной 385
---------растяжения (сжатия) 391
---------сдвига 386
— движения центра масс 29
— Дебая 594
— Джоуля — Ленца 249
-------в дифференциальной форме 240
— динамики материятткяпй тюти ОСНОВ-
НОЙ 24
----твердого тела, вращающегося вок-
руг неподвижной осн 53
---------, движущегося поступательно
28
— изменения импульса системы 28
----механической энергии системы 43
----момента импульса системы 52
— инерции 19
- Кеплера первый 70
----второй 68
Закон Калдера третий 70
— Кирхгофа 481, 482
— Кулона 183
— Кюри 316
— Ламберта 489
— Максвелла (распределение молекул
по скоростям) 129
— Малюса 465
— Менделеева 551
— Ньютона внутреннего трения 140
-----динамики первый 19
-------второй 24
-------третий 26
— Ома для замкнутой цепи 248
-------плотности тока 239, 264, 596
------------в электролитах 256
-----обобщенный 248
— отражения света 437
-----электромагнитных волн 413
— поглощения света 454
— полного тока в вакууме 289
-------в веществе 321
— преломления света 437
-----силовых линий электростатическо-
го поля 212
-----электромагнитных волн 413
— пр ямп ггииейн пт распространения
света 438
— радиоактивного распада 632
— распределения молекул идеального
газа по кинетическим энергиям 132
---------------скоростям 129, 131
— — свободных пробегов молекул
газа 137
-----энергии по степеням свободы мо-
лекул 146
— Рэлея 456
— сложения скоростей в кинематике
классической 14
------------релятивистской 96
— смещения Вина 484
— сохранения заряда барионного 660
-------лептонного 658, 659
-------электрического 183, 633
-----изоспина 662
-----импульса 59, 74, 100
-----момента импульса 65, 74
-----очарования 663
-----странности 662
-----энергии 64, 115, 231, 343
692
Закон сохранения энергии механической
61, 75
— Стефана — Больцмана 482
— Столетова 492	'
— термодинамики первый 115, 582
-------для идеального газа 120
----второй 159
—	трех вторых 244
—	Фарадея 329
—	Фика 139
—	фотохимии основной 496
—	Фурье 139, 140
—	Хаббла 418
—	электромагнитной индукции 330
Законы внешнего фотоэффекта 492
— Фарадея для электролиза 252
Замедление хода времени 93
Замедлители нейтронов 641
Заряд барионный 660
— лептонный 658
----мюонный 658
----таонный 659
----электронный 658
— магнитный 291
— электрический пробный 185
----точечный 182
----удельный 236, 299
----элементарный 182, 681
----ядра атома 628
Заряды индуцированные (наведенные)
217
—	поляризационные объемные 207
----поверхностные 207
—	свободные 208
—	связанные 208
Затухание колебаний 371
Захват нейтронов резонансный 641
— электронный (е-захват, Х-захват) 635
Звуки слышимые 386
Значения универсальных физических по-
стоянных 681 — 682
— энергии собственные 516
Зона волновая 408
— энергетическая 609
----валентная 611
----гибридная 610
----запрещенная 609
----проводимости 611
----разрешенная 609
Зоны Френеля 438
И
Излучатель косинусный 489
Излучение Вавилова — Черенкова 462
—	видимое 411
—	вынужденное (индуцированное) 556
—	гамма 411
—	инфракрасное 411
— оптическое 411
—	равновесное 478
---, спектральная плотность 480
—	рентгеновское 411
—	самопроизвольное (спонтанное) 554
—	синхротронное 306
—	тепловое 478
—	ультрафиолетовое 411
—	циклотронное 306
—	черное 480
— электромагнитных волн 408
Измерение физической величины 683
-------косвенное 683
----------, правила расчета погреш-
ностей 686
-------прямое 683
----------, расчет погрешностей 685
Изобары 628
Изомультиплеты адронов 662
Изоспин 662
—, проекция 662
Изотерма 121
— газа Ван-дер-Ваальса 174
---реального 172
-------критическая 172
Изотопы 628
Изотропность пространства 74
Импульс материальной точки 24
-------релятивистский 97, 101
— силы 25
— системы 27
---, закон изменения 28
-------сохранения 59, 74, 100
— фотона 497
Индуктивность взаимная 339
---динамическая 340
— контура 335, 342
---динамическая 336
— соленоида 335
—	тонкого тороида 335
Индукция магнитная 272, 277
—	электростатическая 217
Инертность тел 19
Интенсивность волны упругой 394
693
Интенсивность воины электромагнит-
ной 407
—	ИОНИЗАЦИИ 257
—	снега 407
Интервал тфостраяспекно-временной
94
----временноподобшй 94
----пространственвоякшобиый 94
Интерференция волн 398
—	многих воли 431
—	света 420
----в тонких пленках 426
—	— — — —, полосы равного
oarnftija 429
--------------равной толщины 429
—	поляризованного 471
Интерферометр Жамеяа 433
—	Линника (микроиитерферометр) 435
—	Майкельсона 433
Инфразвук 386
Ион 252
Ионизация газа 256
----, интенсивность 257
----ударная 257
Ионы водородоподобные 535
----, квантовал теория 541
Источник излучения косинусный 489
—	напряжения 379
—	э д-с. 379
----идеальный 379
—	электрической энергии 234
Источники воли 386
----когерентные 396
К
Кандела 675	j
Каоны (К-меэоны) 651, 661
Катастрофа ультрафиолетовая 486
Катионы 252
Катод 252
Квант магнитного потока 605,682
—	циркуляция 682
—	энергии 407, 408
Квантование макроскопическое 604
—	пространственное 545
Кварки 664
—	, ароматы 665
—	, три дублета (поколешя) 664
—	, цвет 665
Кельвин 675
Килограмм 675
— релятивистоая 95
Когерентность волн частичная 424
— колебаний временная 424
----пространственная 426
Колебания 358
—, время когерентности 366
— вынужденные 358
----пружинного маятника 374
----------, дифференциальное уравне-
ние 375
----------, переходный режим 375
----------установившиеся гармоничес-
кие 375
----электрические 379
--------, дифференциальное уравнение
379
--------установившиеся 379
— гармонические 358
----, дифференциальное уравнение 359
----, метод векторных диаграмм 360
----механические 360
----, сложение 365
----, экспоненциальная форма эапиа
360
—	затухающие 371
—	изохронные 362
—	когерентные 365
----частично, сложение 424
—	механические 358
— модулированные 368
— находящиеся в одной фазе (синфаз-
ные) 366
----в противофазе 366
— некогерентныс 366
— периодические 358, 367
----, гармоники 367
----, основная циклическая частота 367
----, спектр 367
— плазмы ленгмюровские 363
—	поляризованные линейно 369
----по кругу 369
----циркулярно 369
----эллиптически 369
—	свободные 358
----пружинного маятника 361, 371
----стержней, струя, столбов газа 400
----электромагнитные 364, 371
----электронов в плазме 363
—	, сложение 365
—	собственные 358
—	электромагнитные 358
694
Колебания электромеханические 358
Количество движения 24
—	теплоты — то же, что Теплота
Коллайдер 655
Кольца Ньютона 430
Конверсия внутренняя гамма-излучения
636
Конденсатор 223
—	плоский 223
—	сферический 223
— цилиндрический 224
Контакт металла и полупроводника 623
---------, пропускное направление 623
—	полупроводников п- и р-типа 623
Контрастность интерференционных по-
лос 424
Контур колебательный 363
-----, вынужденные колебания 379
-----, свободные колебания 363, 371
Контур с током в магнитном поле 277
Конфаннмент цвета 666
Конфигурация систем 38
-----нулевая 39
—	электронная атома 552
Концентрация электролита эквивалент-
ная 256
Коэффициент внутреннего трения 140,
141
- диссоциации 255
диффузии 139, 141
— затухания 372
-	излучения (черноты) теплового излу-
чателя 482
мощности 382
-	отражения света металлами 455
-----электромагнитной волны 407, 414
поглощения монохроматический 478
- - упругих воли линейный 394
прозрачности потенциального барье-
ра 521, 522
— пропускания электромагнитных воли
415
-	Пуассона (показатель ад иабаты) 123
размножения нейтронов 643
-	сопротивления 371
— теплопроводности 140, 141
холодильный 153
Эйнштейна для излучения вынужден-
ного 557
-	- спонтанного 555
- поглощения 557
Кремний 612
Кривая потенциальная 63
Кривые реэонаноыв 377, 380
---, относительная ширина 383
Кристалл ошлчесхн активный 475
---анизотропный 466
-------двуосный 467
-------одноосный 467
---------отрицательный 469
---------положительный 469
Критерий Лоусона 644
— Рэлея 425,452
— устойчивости атомных ядер 630
Кулон 677
Л
Лазер 570
—, трехуровневая схема 573
Лампы люминесцентные 569
Лантаниды 553
Л ауэграмма 449
Лептоны 657
—, семейства 658
Ливень космический 654
Линии магнитной индукции 272
— напряженности электростатического
поля 185
— силовые электростатического поля
185
— спектральные атомарного водорода
533
---, доплеровское уширение 418
Линия действия сиды 20
— тпка	44
—	удара 60
Литр 680
Луч 387
— необыкновенный 468
- обыкновенный 468
—	отраженный 412
—	пядяюприй 41Э
—	«у* пом питый 412
—	световой 436
Лучепреломление двойное 467
Лучи каиалоше 263
—	катодные 263
— космические 654
— реиттгнбвеп» 411
Люкс 678
Люмен 678
Люминесценция 567
695
Люминесценция, тушение 568
—, центры 567
М
Магнетики 314
—, условия на границе раздела 326
Магнетон Бора 318, 547, 681
—	ядерный 628, 681
Магнитодиэлектрики 334
Магнитострикция 324
Мазер 570
Макромир 645
Макротоки 320
Максвелл 680
Масса магнитная 291
—	молярная 111
—	покоя 98
—	релятивистская 98
—	системы приведения 71
— тела 23
----, аддитивность 23
— эффективная электронов и дырок
613, 614
Масс-спектрограф 301
Масс-спектрометр 302
Маятник математический 362
—	пружинный 361
----, колебания вынужденные 374
-------свободные 361, 371
—	физический 361
----, приведенная длина 362
МГД-генератор 332
Мегамир 645
Мезоны 650, 660
—	, состав кварков 661
Мера 683
Месяц 681
Метод встречных пучков 308
—	исследования статистический 107
----термодинамический 107
—	Эйлера (в гидродинамике) 44
—	Юнга (в интерференции света) 426
Метр 674
Механика 8
—	квантовая (волновая) 508
—	классическая (ньютоновская) 8
—	релятивистская 8, 92
Микромир 645
Микроскоп иммерсионный 452
—	, разрешающая способность 452
Микротоки 320
Минута 618
—	угловая 680
Модель атома парная 531
Модуль сдвига 386
—	упругости объемной 385
—	Юнга 391
Модуляция колебаний 368
Молекулы неполярные 202
—	полярные 203
Молизация 255
Моль 675
Момент главный янептних сил 51
— импульса атома орбитальный 312
----механической системы относитель-
но неподвижной осн 52,66
--------------точки 51
-----------------, закон изменения 52
-------------------сохранения 65, 74
------------центра масс 53, 65
— — электрона орбитальный 312,
541,545
-------собственный (спин) 318, 548
— инерции механической системы 54
---- тела 54
-------, теорема Гюйгенса — Штейнера
54
— магнитный атома орбитальный 312
----контура с током 276
----соленоида 287
----электрона орбитальный 312
---------наведенный 314
-------спиновый 318, 681
----ядра атома 628
— силы относительно неподвижной
оси 52
--------- точки 50
—	электрический диполя 190;
----молекулы индуцированный (наве-
денный) 202
----ядра атома квадрупольный 629
Мощность излучения заряда 409
----осциллятора (диполя) 408
—	силы 36
— тока переменного активная 382
-------мгновенная 382
Мюоны 650, 658
Н
Нагреватель (тештоотдачик) 152
Надежность результата измерения 684
Накачка усиливающей среды 572
696
Намагниченность 314
— насыщения 323
— остаточная 324
Напор скоростной 46
Напряжение механическое 386, 391
— трения 140
— электрическое 247
----зажигания 261
----переменное, действующее значение
382
----пробоя 225, 261
Напряженность поля гравитационного
80
----магнитного 321
----электрического 184
----электростатического заряженного
цилиндра 198, 199
---------шара 197
-------заряженной плоскости 199
-------сферы 197, 212
-------, связь с потенциалом поля 189
-------системы точечных зарядов 186
-------точечного заряда 185, 214
-------электрического диполя 190 —
192
— сторонних сил 246
Насыщение иш ное ферромАк це > ц ьа
323
— намагниченности парамагнетика 316
Начало термодинамики ткрвое 115
----второе 159
Невесомость 82
Нейтрино мюонное 650, 658 — 660
— таонное 650, 658 — 660
— электронное 632, 658 — 660
Нейтрон 628, 681, 682
Нейтронография 507
Нейтроны быстрые 641
— медленные 641
— тепловые 641
— холодные и ультрахолодные 641
Нормаль главная 11
Носители тока 234, 624
----, удельный заряд 236
Нуклон 628, 645
Ньютон 676
О
Обкладки конденсатора 223
Оболочки электронные в атоме 552
Обратимость механических процессов 75
Объем когерентности 426
—	молярный 111
—	удельный 108
—	фазовый, размер ячейки в квантовых
статистиках 579
Однородность времени 75
—	пространства 74
Окружность соприкасающаяся 11
Ом 677
Опалесценсця критическая 457
Оператор Лапласа 354
—	набла 278
Оптика волновая 420
— нелинейная 420, 493
-	просветленная 429
Опыт Айвса и Стилуэлла 417
—	Араго 328
—	Борна и Борман 137
—	Вина 556
—	Джоуля 120
— Иоффе 253, 271
—	Иоффе и Добронравова 494
—	Мандельштама и Папалекси 237
—	Милликена 253
—	Рикке 236
—	Стюарта и Толмена 237
—	Томсона 300
— Эйхенвадьда 271, 351
—	Эрстеда 270
Опыты Бибермана, Сушкина и Фабрика-
нта 506
—	Вавилова 495
—	Девиссона и Джермера 504
—	Ламмерта 132
—	Лебедева 410
—	Перрена 135
—	Резерфорда 529
—	Столетова 322
—	ТартаковсКого и Томсона 505
—	Фарадея 328
—	франка и Герда 538
—	Штерна и Герлаха 546
—	Штерна и Эстерман 506
Освещенность энергетическая 489
Осциллятор. 408
— линейный гармонический квантовый
524
---------, квантование энергии 527
---------нулевые колебания 526
-------классичстжий 361, 408
---------, излучение 408
697
Осциллятор, полярная диаграмма на-
правленности 408
Осцилляции нейтринные 660
Ось вращения тела 47
— - мгновенная 49
качания физического маятника 362
кристалла оптическая 467
Отдача атомного ядра 638
Относительность механического движе-
ния 10
Отношение гиромагнитное орбитальное
312
— спиновое 318, 549
---ядерное 629
Огралкяие света металлами 455
электромагнитных волн 413
----, коэффициент отражения 414
— полное внутреннее 415, 453
---------, угол 415
Очарование 663
Ошибка измерений грубая (промах) 683
П
Падение свободное 23, 81
Пакет волновой 395
Пар влажный 173
- пересыщенный 175
сухой насыщенный 173
Парадокс часов (времени) 93
Парамагнетизм Паули 319
Парамагнетики 316
Параметр вырождения 585
—	деления ядра 642
Параметры состояния системы термоди-
намические 108
-------— внешние 109
—	----- - внутренние 109
------интенсивные 108
---------экстеисжвяые 108
---критические газа Ван-дер-Ваальса
175
Парсек 418, 680
Пары куперовские 603
Паскаль 676
Переход фазовый 1-го рода 173, 175
---2-го рода 175
— электронно-дырочный (р-л-переход)
623
Переход р-п, вольт-амперная характери-
стика 625
Период вращения 48
— дифракционной ре тени 445
— колебаний 358
—	— затухающих (условный) 373
—	полураспада 632
Пионы (пи-мезоны) 650, 661
Пирометр оптический 488
радиационный 488
Пирометрия оптическая 488
Плазма 266
-	высокотемпературная 268
газовая (идеальная) 267
дебаевский радиус экранирования
266
-	неизотермическая 268
, свойства 268
-	, степень ионизации 268
Пластинка зонная 440
— кристаллическая в подволны 472
-------целую волну 472
-------четверть волны 472
Плеохроизм 470
Плечо диполя 190
силы 50
Плоскости кристалла сетчатые 448
Плоскость главная одноосного кристал-
ла 468
поляризатора (анализатора) 465
колебаний 405
-	падения 412
поляризации 405
-	сдвига 386
соприкасающаяся 11
Плотность вероятности 510
— зарядов 184
- потока молекул 139
----теплового 139
тепловой мощности тока объемная
240
— тока 235
— поляризации 350
----проводимости в газах 259
---------жидкостях 255
---------металлах 238
----смещения 349
-------в вакууме 350
— энергии равновесного излучения спек-
тральная 480, 590
----упругих волн 392
698
Плотность энергии электромагнитного
поля 406
Поверхность волновая 388
—	гауссова 195
—	лучевая волны в кристалле 468
—	эквипотенциальная 189
Поглощение воли 394
— резонансное гамма-излучение 638
----нейтронов 641
— света 454
----отрицательное 455, 571
----резонансное 455
Погрешности измерения инструменталь-
ные (приборные) 684, 685
----методические 684
----систематичсоие 683
----случайные 684
Погрешность абсолютная 684
—	грубая (промах) 683
—	относительная 684
—	приведенная 685
—	стандартная 684
----систематическая 685
----случайная 685
Подвижности иоиов 255
— электронов и дырок 614, 616
Позитрон 182, 649
Показатель адиабаты 123
— поглощения среды главный 454
-------натуральный 454
-------отрицательный 455, 571
— политропы 124
— преломления кристалла для необык-
новенного луча 468
----— — обыкновенного луча 468
----относителышй двух сред 412
----среды абсолютный 412
----— комплексный 454
Поле (физическое) 20
—	вихревое 347
—	гравитационное 40, 80
----, напряженность 80
—	излучения 408
—	интерференции 423
—	магнитное 182, 272
----, вихревой характер 288
— — в веществе 320
----движущегося заряда 282
------ критическое (в сверхпроводимо-
сти) 602
----кругового тока 284
Поле магнитное однородное 272
----прямого тока 283
----соленоида 286, 327
----тороида 290, 327
----, энергия 341
—	потенциальное 35
—	скоростей жидкости 44
—	соленовдальное 291
—	стационарное 20
—	Холла 298
—	центральных сил 40
— электрическое 182
----индуктированное 333
----однородное 185
— электромагнитное 182
----, граничные условия 353
----, теория Лоренца 354
-------Максвелла 346
----, энергия 406
— электростатическое 182
----, потенциальность 187
----, энергия 229
Полосы интерференционные 424
----равного наклона 429
----равной толщины 429
—	поглощения света 455
Полупроводники 607, 611
—	дырочные (р-типа) 618
— электронные (л-типа) 617
Полюс 50
Поляризатор 465
Поляризация днивырика 205
----деформационная (электронная) 205
----ионная 205
----ориентационная 205
----остаточная 216
----самопроизвольная доменов 215
— колебаний 369
— монохроматической волны линейная
(плоская) 405
-------циркулярная (по кругу) 405
-------эллиптическая 405
—	поперечных синусоида т.пмт волн 388
—	света 465
Поляризованностъ 205
—	насыщ ения 215
—	остаточная 216
Поляризуемость молекулы 203
Поляроиды 471
р-л-переход 623
Порог зрительного ощущения 495
699
Порядок интерференционного максиму-
ма 398	t ,
-----минимума 398
Постоянная Авогадро 111,682
— Больцмана 112, 682
— Верде 476
— Вина 485
— вращения 475
-----раствора 476
— газовая 111
-----удельная 111
-----универсальная 111, 682
— гравитационная 41, 682
— дифракционной решетки 445
— излучения первая 682
-----вторая 682
— Керра 474
— Коттона — Мутона 4751
— магнитная 280, 682
— Планка 488, 682
— Ридберга 532, 682
— Стефана — Больцмана 482, 682
— тонкой структуры 649,682
— Фарадея 253, 682
— Хаббла 418
— Холла 298
— электрическая 184, 682
— электродинамическая 678
Постулаты Бора 535, 559
— специальной теории относительности
86
Потенциал ионичацип 257
-----атома водорода 536
— химический 582
-----электронов в металле 558
-------— полупроводнике л-типа 618
------------------------р-типа 618
------------собственном 615
—	электростатического поля 188
-------заряженного цилиндра 198
-----------шара	197
-------заряженной плоскости 199
-------сферы	197
-----------------, связь с напряженностью 189
---------------------------------- — системы точечных зарядов 188
-----------------электрического диполя 192
— электрохимический 621
Поток излучения 489
—	магнитный 290
—	массы удельный 139
—	молекул, плотность 139
Поток напряженности электрического
поля 193
—	смещения 210
—	тепловой, плотность 139
—	энергии 393
—	—, вектор Умова 393
-------Умова — Пойнтинга 406
Потокосцепление 291
—	взаимной индукции 291
—	самоиндукции 291
Правила Кирхгофа расчета электричес-
ких цепей 250
—	отбора при излучении атома 560
— расчета погрешностей при косвенных
измерениях 686
—	смещения Фаянса и Содди 633
Правило винта (буравчика) 47, 273
—	Дюлонга и Пти 591
—	левой руки 275
—	Ленца 329
—	Максвелла 174
—	Прево 479
— Стокса 568
Прелесть 663
Преобразования Галилея 84
—	Лоренца 89
---для электромагнитного поля 355
Прецессия Лармора 313
---угловая скорость 313
Приближение сильной связи 607
—	слабой связи 607
Прибор измерительный 683
---, класс точности 685
— оптический, разрешающая способ-
ность 451
Призма поляризационная 470
Примеси в полупроводнике 616
-------акцепторные и донорные 617
Принцип автофазировки 305
—	(теорема) Бабине 447
—	Гюйгенса 437
—	Гюйгенса — Френеля 438
—	детального равновесия 557
—	инвариантное^ скорости света 86
—	независимости действия сил 25
—	неразличимости тождественных ча-
стиц 579
—	освобождаемости 22
—	относительности Галилея 85
---механический 85
---Эйнштейна 86
700
Принцип Паули 549, 578
—	причинности 25, 514
—	Ритца 533
—	соответствия Бора 521
—	суперпозиции волн 394
----подей магнитных 280
-------электрических 186, 188
— эквивалентности локальный 82
Проводимость полупроводника примес-
ная дырочная (р-типа) 618
-------электронная (л-типа) 617
----собственная 612
— электрическая удельная металлов
239, 598
-------полупроводников 619
Проводник уединенный 220
Проводники в электрос1 атическом поле
217
—	второго рода 252
Продолжительность жизни изотопа 632
Прозрачность потенциального барьера
521
Проницаемость среды диалект ричесжая
комплексная 460
-------относительная 210, 212
----магнитная относительная 322, 327
Пространство, свойства симметрии 74
—	скоростей молекул газа 129
— фазовое (//-пространство) 579
----, ячейка 579
Протон 182, 628, 681, 682
Процесс идеального газа адиабатный
122
-------изобарный 120
-------изотермический 121
-------изохорный 119
-------политропный 124
— термодинамический 110
----адиабатный 110
----изобарный 110
----изотермический 110	,
----изоэнтропийный 154 1
— -— квазис/этический 110
----компенсирующий 150
----круговой (цикл) 150
----необратимый 149
----обратимый 149
----равновесный НО
-------, графическое изображение 117
Процессы виртуальные 668
Псевдовекторы 47
Пси-функции 510
—, условия 515
Пуаз 679
Пучность стоячей волны 398
Пучок опорный 450
— предметный 450
Пятно Пуассона 441
Р
Работа в магнитном поле 291
— выхода электрона нз металла 243, 595
— ионизации 256
— расширения 116
-----, графическое изображение 117
— силы 33
Равновесие системы механическое 63
-------устойчивое 63
— термодинамическое 109, 537
Радиан 675
Радиоактивность 631
—, типы 632
Радиоволны 411
—, поддиапазоны 411
Радиоспектроскопия 563	.
Радиус боровский первый 537, 542, 682 *
— дествия ядерных сил 631
— кривизны траектории 11
— молекулярного действия 170
— экранирования дебаевский 266
— электрона классический 682
— ядра атома 628
Радиус-вектор точки 10
-----, компоненты 10
-----, проекции 10
-----, составляющие 10
Размер пространственной когерентности
426
Размерность физической величины 683
Размеры тела собственные 92
Разность потенциалов контактная р-п-
перехода 624
-------внешняя 622
-------внутренняя 621
—	хода волн геометрическая 397
	оптическая 428
Разряд газовый 259, 260
—	дуговой 264
—	искровой 263
—	кистевой 263
—	коронный 263
701
Разряд тлеющий 262
Рахета-носжтель 72
Распад радиоактивный альфа 633
----бета 634
----, типы 634
— свободного нейтрона 633
Распределение Бозе — Эйтептейиа 581
— Больцмана 135
— Махсведла 129
— Максвелл — Больцмана 585
— Ферми — Дирака 580
— частиц в потенциальном силовом по-
ле 135
— электронов в атомах по состояниям
552
Рассеяние света 456
— - в мутной среде 456
------------, явление Тиндаля 456
------------комбинационное 565
------------Мандельштама — Бриллюэна 458
— - молекулярное 457
- частиц 651
Расстояние межплоскостаое в кристалле
448
Расход жидкости массовый 43
----объемный 45
Реактор едерный 643
Реакции связей 22
— термоядерные 643
----, критерий Лоусона 644
----, цикл прстон-протониый 643
----углеродно-аэотныЙ 643
— ядерные 639
----, каналы 639
----. классификация 639 — 641
— эффективное осченве 640
Реакция деления ядер 642
-------, нейтроны /г——642
- —----запаздывающие 642
-------мгновенные 642
— - осколки деления 642
-------, параметр деления 642
-------самопроизвольная (спонтанная)
642
--цепная 643
-------, коэффициент размножения
нейтронов 643
Резонанс магнитный 562
— механический 377
Резонанс парамагнитный 564
— ферромагнитный 564
- электрический 380
Резонансы 647.651,660
—	барионные 660
—	мезонные 660
Рекомбинация 225
Рентген 637
Рефрактометр интерференционный 434
Решетка дифракционная 445
—	кристаллическая 447
Ротор вектора 347
Ряд Фурье 367
С
Самоиндукция 335
Сверхпроводимость 599
—	, изотопический эффект 602
—	, критическое магнитное поле 602
—	, куперовские пары 603
—	, температура перехода 600
—	, эффект Мейснера 601
Сверхпроводеики 599
—	2-го рода 605
Сверхтекучесть 175
Свет 411
—	видимый 411
—	естественный 422
—	линейно поляризованный 405
—	деполяризованный 422
—	поляризованный частично 422
Светимость эдершичюдя 481
---, спектральная плотность 478
Свечение рекомбинационное 261
Связи (в механике) 22
Сдвиг 386
Сегнетоэлектрики 215
Секунда 675
—	угловая 680
Семейства радиоактивные 633
Сенсибилизатор 496
Сечение одноосного кристалла главное
468
—	рассеяния эффективное 503
Сила 20
—	Ампера 274
—	вынуждающая (возмущающая) 374
—	движущая 33
—	инерции кориолисова 78
---переносная 78
---цеятробеяпая 79
702
Cam жтзаупрупя 524
— коэрцитивная 216, 324
—	Лоренца 224
—	магнитного взаммодайствш движу-
щихся зарядов 282
-------проводников с током 281, 284
—	осциллятора 462
—	потенциальная 34
— равнодействующи (результиру-
ющая) 21
—	peaaiявная 30
—	света энергетически 489
—	тока 234
—	тормозящая 33
-	тяжести 80
— центробежная 79
— электродвижущая 247
---взаимной индукции 340
---периодическая, действующее значе-
ние 382
---самоиндукции 336
---электромагнитной индукции 329
Силы активные 22
— Ван-дер-Ваальса 169
- внешние 27
—	внух ренине 27
—	гироскопические 35
—	диссипативные 35
—	квазиупругве 360
— кулоновские 183
— межмолекулярного взаимодействия
167
—,— отталкивания 167, 169
---притяжения 167, 169
— пондеромоторные 218, 232, 343
—	сторонние 246
—	тяготения тел к Земле 80
—	упругости 42
—	центральные 40
—	электростатические 182
—	ядерные 631
---, теория Юкавы 650
Сименс 677
Симметрия времени 75
—	к зарядовому сопряжению 650
—	кварк-лептонная 664
—	пространство 74
Синхронизация часов 88
Синхротрон 306
Синхрофазотрон 306
Система водородоподобная 535, 541
Система джхвшхивная 44
— едннкц 674
— - абсолютная 674
-------гауссова (СТС) 678 — 680
-------электромагнитная 0(СГСМ) 678
----электростатически (СГСЭ) 678
----Междувцюдная (Of) 674 — 678
----, приставки 674
—	замкнутая (в механике) 29
—	излучающая 408
—	изолированная электрически 182
—	колебательная 358
----, добротность 373
—	консервктяввия 61
—	координат правая 9
—	линейная 371
—	макроскопическая 8
—	материальных точек 8
—	механическая 8
— отсчета 9
----гелиоцентрически 20
----инерциальная 20
----лаборатории 9
— термодинамическая 108
----адиабатная 108
----закрытая 108
----замкнутая 108
----изолированная 108
----открытая 108
----простая ПО
—	центра касс 29
—	частиц вырожденная 583
— элементов Менделеева 551
Скамья Жуковаого 66
Скин-эффект 339
Скорости релятивнетскве 92
Скорость абсолютпя 76
—	волн групповая 396
----лучевая 401
----фазовая 390
—	дрейфа нонов 255
—	звука в идеальном газе 391
— космическая первая (круговая) 72
----вторая (параболически) 72
----третья 72
—	ЛарМОрОВОЙ npfгус-ыи 313
—	линейная 48
—	лучевая 468
— молекул газа наиболее вероятная 129
-------средняя арифметически 130
---------квадратичная 127
703
Скорость молекул относительная 131
—	необыкновенного луча 468'
—	обыкновенного луча 468
—	относительная 77
---двух частиц в релятивистской кине-
матике 96
—	переноса энергии волной 393
—	переносная 77
—	поперечных упругих волн 391
----------в струне 391
—	продольных волн 391
—	света в вакууме 682
----------, предельный характер 86
---групповая 459
—	точки 13
---радиальная 14
---секторная 15
---средняя 12
---трансверсальная 14
— угловая тела 47
— характеристическая ракеты 31
— центра масс 29, 59
— электромагнитных волн в вакууме 403
-------фазовая в среде 403
Сложение гармонических колебаний вза-
имно перпендикулярных 368
-------одного направления 365
Слой двойной электрический 243, 622
— контактный запирающий 623, 626
---равновесный 624
—	пограничный 44
—	электронный в атоме 552
Смерть Вселенной тепловая 164
Смещение красное гравитационное 639
---космологическое 418
—	маятника статическое 376
—	электрическое 210
Сокращение лоренцево 92
Соленоид 286
—	, индуктивность 335
Соотношение ГелЛ-Мана-Нишвджнмы
662
—	фотохимическое Эйнштейна 496
Соотношения неопределенностей Гейзе-
нберга 512
Сопротивление волновое колебательно-
го контура 364
—	участка электрической цепи 248
—	цепи переменного тока активное 381
----------емкостное 381
Сопротивление цепи индуктивное 381
— электричеаое удельное 239 * '<
— -----остаточное 599
-------электролита 256
Состояние механического равновесия 63
— равновесное (в термодинамике) 109
— системы инверсное 572
— электрона в атоме 552
Спектр атома водорода 532
—	волны 395
—	дисперсионный 458
—	дифракционный 446
—	колебания 367
—	молекулы комбинационный 565
— поглощения света 455
---— линейчатый 455
-------полосатый 455
-------сплошной 455
— частот колебаний 367
-------дискретный 368
-------непрерывный 368
Спектроскопия ядерная 638
Спин частицы 647
— электрона 318, 547
—	ядра атома 628
Спиральность нейтрино 659
Способность разрешающая оптического
прибора 451
---------, критерий Рэлея 452
Среда активная (усиливающая) 570
—	внешняя 108
—	диспергирующая 395
—	изотропная 387
—	линейная 387
—	несжимаемая 44
—	однородная 387
— сплошная 44, 385
---, частица среды 44, 385
Средства измерений 683
---, класс точности 685
Статистика квантовая 578 и след.
---Бозе — Эйнштейна 580
---Ферми — Дирака 579
— классическая Максвелла — Больцма-
на 585
Степень ионизации плазмы 268
—•- когерент ности света 425
Стерадиан 675
Стокс 679
Стопа 466
Странность 662
704
Струйка 44
Сутки 681
Сфера молекулярного действия 170
Таоны 650, 658
Таутохронность 429
Телескоп, разрешающая сила 452
—, угловой предел разрешения 452
Тело абсолютно неуиругое 9
--- твердое 9
--- упругое 9
---черное 478
—	внешнее 27
—	зеркальное 482
—	рабочее 150
—	свободное 22
—	серое 481
—	термометрическое 109
—	упругое 385
—	черное 478
Температура 109
—	вырождения 585
—	ионная 268
—	критическая 172
---смешения 457
— перехода в сверхпроводящее состоя-
ние 600
—	радиационная 489
—	статистическая 582
—	термодинамическая 109
---, абсолютный нуль 109
—	характеристическая 592
---Дебая 593
—	цветовая 490
—	, шкалы 109, 156
—	электронная 268
—	яркостная 489
Теорема (принцип) Бабине 447
—	Бора — Ван Лёвен 319
—	Гаусса 346
—	Гюйгенса — Штейнера 54
—	Ирншоу 196
—	Карно 156
—	Кёнига 38
—	Лармора 313
—	Остроградского — Гаусса для маг-
нитного поля 291
-----------электростатического поля
195, 210
Теорема Стокса 347
Теория Бора 534
— газов кинетическая 126
— квантовая электропроводности ме-
таллов 596
— классическая электронная металлов
(Друде — Лоренца) 237
— Максвелла электромагнитного поля
346 и след.
—	относительности специальная 85
	, постулаты 86
-------, преобразования Лоренци 89
-------для электромагнитного
поля 355
----------скоростей 96
----------ускорений 97
—	релятивистская 92
—	строения вещества молекулярно-кине-
тическая 106
—	твердых тел зонная 607
Теплоемкость 118
—	идеальных газов 124,146
—	металлов 242, 589
—	молярная 119
—	твердых тел 590
—	удельная 118
— электронного газа 589
Теплообмен 114
— излучением (радаационный) 114, 479
— конвективный 114
— теплопроводностью 114,138
Теплопроводность 138, 140
Теплота 114
—	фазового перехода 175
Термы спектральные 533
Термодинамика 107
Термоэлектроны 244
Тесла 677
Тождество термодинамическое 161
Ток индукционный 328
—	— при чя ммта www и размыкания
цепи 337
—	орбитальный в атоме 312
—	переменный квазистацнонарный 363
— периодический, действующее значе-
ние 382
—	смещения 349
— электрический 234
-----конвекционный 234
----, направление 234
-----переменный 235
705
Ток электрический переменный Периоди-
ческий 235
---------синусоидальный 235
------------, харажтсрнстнхи 235
----постоянный 234
----проводимости 234
-------, платность 235
----пульсирующий 235
----, сала 234
----термоэлектронный 244
Токи вихревые (Фуко) 334
Тороид 290
—, индуктивность 335
Точка критическая 172, 175
— Кюри 216, 324
—	материальная 8
—	подвеса маятника 362
Траектория точки 10
Трение внутреннее 138, 140
Труба зрительная, угловой предел раз-
решения 452
Трубка тока 44
У
Угол Брюстера 414
—	отражения 412
—	падения 412
— предельный полного внутреннего от-
ражения 415
преломления 412
— сдвига 386
—	скольжения 448
—	телесный 194
У	дар 60
— абсолютно неупругий 60
--------- прямой нейтральный 60
----упругий 61
-------косой центральный 61
-------прямой центральный 61
—	прямой 60
—	центральный f0
Узел стоячей волны 398
—	электрической цепи 250
Узлы кристаллической решетки 107
Ультразвук 386
Ультрамикроскоп 457
Упругость обьсмпя 385
—	формы 385
Уравнение Бернулли 46
—	Ван-дер-Ваальса 172
—	волновое 389
Уравнение волны 387
----плоской 388, 389
— сферической 389
— движения материальной точки 24
— динамики относительного движения
68
----------в системе отсчета, связанной
с Землей 80
----поступательного движения 28
----релятивистской основное 98
----тела, вращающегося вокруг непо-
движной осн S3
— кинетической теории газов для давле-
ния 127
— Клапейрона 111
—	 Клапейрона — Менделеева 112
—	Лапласа 354
—	Майера 121
—	Максвелла первое 347, 348
----второе 350, 351
----третье 352, 353
----четвертое 352, 353
—	Мещерского 30
—	неразрывности 45, 236
—	переноса 141
—	Пуассона 354
— состояния 110
----термическое 110
-------цдеашиого газа 111
— Шредингера 515
----стационарное 516
— Эйнштейна для внешнего фотоэффек-
та 493
Уравнения движения точки кинематичес-
кие 10
— магнитостатики 354
— Максвелла, граничные условия 353
— материальные в теории Максвелла
353
— электростатики 354
Уровень Ферми 595
— энергетический ядра, естественная
ширина 638
Уровни энергетические акцепторные 617
----донорные 617
----локальные 617
----примесные 617
Ускорение 15
—	абсолютное 77
—	в релятивистской механике 97, 99
—	вращательное 49
706
Ускорение касательное IS
—	кориолисово 7В
—	нормальное 15
— осестремитепьное 49
—	относительное 77
—	переносное 77
—	свободного падения 8J
-------, стандартное 81, 682
—	тангенциальное 1S
—	угловое 48
—	центростремительное 17
Ускорители заряженных частиц 302 —
307, 654, 655
Условие Брэгга — Вульфа 448
— нормировки вероятностей 510
— он 1 и ческой однородности среды 448
— радиоактивного равновесия 633
Условия интерференционных максиму-
мов и минимумов 398
—	Лауз 447
—	нормальные 1Ц, 682
----, объем моля идеального газа 682
Участок электрической цепи 248
Уширение доплеровское спектральных -
линий 418
Ф
Фаза (в термодинамике) 173
—	волны плоской 388
----сферичеаой 389
— колебаний 358
Фазотрон 305
фактор сжимаемости 167
Фарад 677
Фермионы 578
Ферриты 334
Ферромагнетики 322
Ферроэлеырнжд 21S
Фигуры Лиссажу 370
Физика молекулярная 106
— статистическая 107, 578
----квантовая 578 и след.
----классическая 126 и след.
—	твердого тела S86 и след.
—	элементарных частиц 64S и след.
—	ядерная 528 и след.
Флуктуации 164
Флуктуация абсолютная 16S
—	квадратичная (дисперсия) 164
—	относительная 16S
Флуоресценция 567
Фокусировка частиц в ускорителях 307
Фонон 592
—	, квазиимпульс S92
—	, энергия 592
Формула барометрическая 134
—	Больцмана 163
—	Вина 483
—	де Бройля 504
—	Дебая — Лаижевем 206
—	Ленарда-Джонса 169
—	Ленгмюра 244
—	Планка 488, SS8, 590
—	Резерфорда 530
—	Ричардсона — Джимам 244
—	Рэлея — Джинса 486
—	Стокса 253
—	Томсона 364
—	Циолковского 31
— Эйлера 360
— Эйнштейна для броуновского движе-
ния 166
Формулы Фреяеля 413
Фосфоресценция 567
Фотоионизация 491
Фотолюминесценция 567
—, антистоксово излучение 568
—, выход квантовый 568
----энергетический 568
-------, закон Вавилова 568
—, правило Стокса 568
Фотон 493, 497, 668
—, импульс 497
—, масса 497
—, энергия 493
Фотопроводимость 619
Фоторезистор (фотосооротивимм) 620
—, световая чувствительность 620
Фототок 491
— насыщения 492
Фотоупругость 473
Фотоэлектроны 492
Фотоэффект внешний 491
----, законы 492
----, красная граница 492
----, уравнение Эйнштейна 493
— внутренний 619
----, красная граница 620
— многофотонный 493
Фронт волны 388
Функция волновая систеьш тождествм-
ных частиц S78
ТО7
Функция волновая частицы 510
------, накладываемые условия 515
------собственная 516
— Кирхгофа 481
— Ланжевена классическая 316
— распределения Бозе — Эйнштейна
581, 583
---Максвелла — Больцмана 585
— — Ферми — Дирака 580, 583
X
Хемилюминесценция 567
Холодильник (теплопрнемник) 152
Хромодинамика квантовая 669
Хронометризация системы отсчета 88
ц
Цвет глюона 669
—	кварка 665
Центр волны 389
—	качания физического маятника 363
—	кривизны траектории 11
—	масс (инерции) системы 28
---------, закон движения 29
—	силы 40
—	тяжести тела 81
Центры люминесценции 567
Цикл в термодинамике 150 — 152, 157,
158
— Карно обратный 153
---прямой 151
------, термический к.п.д. 156
— термоядерный 643
---протон-протонный 643
---углеродно-азотный 643
Циклотрон 303
Цуг волн 421
Ч
Час 681
Частица в потенциальной яме 518
--------, квантование энергии 520
---------, принцип соответствия 521
— свободная (в квантовой механике) 518
— сплошной среды 385
Частицы резонансные 647, 651
— фундаментальные 646
---, кварки 664
Частицы фундаментальные, лептоны 657
----—, переносчики взаимодействий 666
— элементарные 646
----, взаимопревращаемость 651
----, время жизни 647
----, заряд электрический 648
----истинно нейтральные 649
----, классификация 663
----, масса 647
----, момент магнитный 648
----очарованные 651
----прелестные 651
----составные 663
----, спин 647
— — странные 651
----таблицы адронОв 661
-------кварков 665
-------лептонов 658
-------фундаментальных взаимодейст-
вий 667
Частота биений 367
—	волны 387
----циклическая (круговая) 388
—	вращения 48
— затухающих колебаний (условная) 373
— колебаний 358
----круговая 358
----угловая 358
----циклическая 358
-------- основная 367
— ленгмюровская 363
— плазменная 363
— резонансная 377, 380
Частоты колебаний стервеней, струн,
столбов газа 400
Число волновое 388
— квантовое главное 536
----магнитное 545
----орбитальное 541
-------, классификация состояний элек-
трона в атоме 542'
----спиновое 548
-------магнитное 549
-------ядра атома внутреннее (полное)
628
— массовое ядра атома 628
— соударений молекулы газа среднее
136
— степеней свободы молекулы 145
-------системы 22
-------тела 144
708
Ш
Ширина дифракционного максимума
444
— ccieciвенная спектральная линии 556
---энергетического уровня 556, 608
—	интерференционной полосы 424
Шкала температуры международная
стоградусная 109
---термодинамическая 109, 156
Э
Эквивалент рентгена биологический
(бэр) 637
—	химический 252
—	электрохимический 252
Экраны дополнительные 447
Электродинамика 182, 346
—	квантовая 669
Электролиз 252
Электролит 252
Электрой 182, 657, 681, 682
—	отдачи 501
Электрон-вольт 680
Электронография 506
Электроны атома внешние (важнтные)
551
—	коллективизированные 609
— конверсии 636
— оптические 453
— проводимости 217, 237
— распределение по энергегичеынм зо-
нам в твердом теле 610
— свободные 217
Электропроводность металлов, теория
квантовая 595
-------классическая 237
Электростатика 182
Элементы трансурановые 641
Эмиссия электронная 243
---автоэлектронная 243, 523
--вторичная 243
---ионно-электронная 243
---термоэлектронная 243 — 245
---фотоэлектронная 243
Энергия 33
— активации проводимости полупро-
водника 612
Энергия внутренняя 113
----газа идеального 113, 120, 146
-------реального 177
— Гельмгольца 161
—, закон сохранения и превращения 64
— заряженного конденсатора 227
----уединенного проводника 227
— кинетическая 37, 99
----вращающегося тела 57
----молекулы газа 128, 146
----свободного твердого тела 38, 57
—	механичеежая 43
----, закон изменения 43
-------сохранения 61, 75
—	покоя 100
—	полная 100
— поля магнитного 341
-------, объемная плотность 341
----электромагнитного, объемная пло-
тность 406
----электрост ат ичесжого 229
-------, объемная плотность 229
— поляризованного диэлектрика 230
— потенциальны 39
— — взаимная двух материя пиит
точек 42
---------молекул 168
----материальной точки в поле одно-
родном 40
--------------центральных шл 41
----упруго деформированной среды
392
—	> —упругого тела 42
—	процесса превращения частиц 652
---------пороговая 653
—	свободны 161
—	связанны 162
—	связи нуклона в ядре атома 629
—	— системы 104
—	— электрона в атоме 536
----ядра атома 629
---------удельны 630
—	системы заряженных проводников
228
-------тел 228
----контуров с токами 342
—	собственны частицы 100
—	термодинамической системы полны
113
—	тока в контуре собственная 341
—	токов взаимная 342
709
Энергия упругих воли, объемная плот-
ность 392
— Ферми (в метиле) 586
— частицы, собственные значения 516
— элшрома! нигных волн, объемная
плотность 406
— ддерной реакции 639
Энтропии 153
—	идеального газа 153
—	системы 154
—	, статистический смысл 163
Эрг 679
Эрстед 680
Эффект Баркпуэеяв 325
—	Барнет 318
—	Вавилова — Черенкова 462
—	Внларн 324
— Джозефсона, критический ток 603
----нестационарный 603
----стационарный 603
* - Джоули — Томсона 178 — 179
- Доплера в акустике 400
----дли электромагнитных волн 416
-----------*- поперечный 417
-----------продольный 417
— дробовой 165
—	Зеемана аномальный (сложный) 562
----нормальный (простой) 561
— изотопический в сверхпроводимости
602
—	Керра 473
—	Кнудсена 144
—	Комптона 499
—	Коттона — Мутона 475
—	Мсйсжра 601
- механокалоричеапй 176
—	Мёссбауэра 637
—	Ми 457
Эффект Пишет — Бака 562
—	радиометрический 410
—	туннельный 521
—	Фарадеи 476
—	Холла 298
	- Эйнштейна — де Гааза 317
Эффекты магнитомеханическле 317,324
—	релятивистские 92
----, замедление хода времени 93
----, лоренцево сокращение 92
Я
Явление взаимной индукции 339
—	Керра 473
—	самоиндукции 335
—	Тицдали 456
— электромагнитной индукции 329
— электростатической индукции 217
Явлении переноса 138
Ядра атомов зеркальные 631
Ядро атома 529, 628
----, дефект массы 629
----дочернее 631
----, заряд электрический 530, 628
----, магнитный момент 628
----материнское 631
----, радиус 531, 628
----составное (компаунд) 640
----, спин 628
----, энергетические уровни 634, 636
----, энергия связи 629
Яма потенциальная 64
Яркость энертетическая 489
Ячейка Керра 474
оглавление
Предисловие	3
Введение . .	4
Часть 1
Физические основы механики
Глава 1. Кииематмса матгриап во!	точки	в поступательного лонш твердогв та*	8
§ 1 1. Механическое движение	........................................... 8
§ 1.2 Скорость ............................................................. 12
§13. Ускорение ............................................................. 15
} 1.4 Поступательное движение	твердого	тела	17
Глава 2 Д^вмжт матервальвой точки в поступательного дважта твердого пл	19
§ 21. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета	.	.	19
$ 22 Сила	....	20
§ 2 3. Масса ............................................................... 23
§ 2.4. Основной закон дин»мт материальной точки ...	24
9 2.5.	Закон изменение импульса .................... ...	26
§ 2.6.	Центр масс и закон его движеник................. ...	28
} 2 7.	Движение тела переменной массы.................. . . .*	30
Глава 3. Работа в ши кто искав энергии	33
$ 3.1. Работа силы.......................................................... 33
§ 3.2 Кинетическая энергии ...	37
§ 3.3. Потенциальная энергии ....	38
§34 Закон изменении механической энергии	43
§ 3.5. Уравнении неразрывности и Бернулли	44
Глава 4. Кшемятика а лжакта аращатежжого движения	47
5 4.1. Кинематика вращательного движения твердого тела ...	47
§42 Закон изменения момента импульса	................ 50
9 4.3 Динамика твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси	53
Глава 5. Заком сохранив в ib iktii	. . .	39
9 5.1 Закон сохранения импульса. Абсолютно веупругпй удар ...................59
§5 2. Закон сохранения механической энеря ии. Абсолютно упругий удар.........61
9 5.3. Закон сохранении момента импульса................................... .65
§ 5 4 Движение в поле центральных сил....................................... 67
9 5.5	Космические скорости и проблема космнчесхнх полетов	71
§ 5	6. Связь между свойствами симметрии пространства в времени в закована сохране-
ния	    74
Глава 6.	Движет в игвицщнап bi и свтвох отсчета	76
§ 6.1.	Кинематика относительного движеник................................... 76
| б	2	Силы инерции	  78
§ 6.3	Относительное движение в системе отсчета,	связанной с Землей	80
§ 6.4	Принцип эквивалентности ............................................. 82
711
Глава 7. Основы еле—твой теор— отвоскплыюсп	84
§ 7.1.	Механический принцип отиооггельности Галилея...........................84
§ 7.2	Постулаты специальной теории относительности.......................... 85
§ 7.3.	Преобразовании Лоренца.................................................89
§ 7.4	Относительность длин и промежутков времени Интервал между двумя события-
ми ..........................................................................92
§ 7.5	Преобразование скоростей и устарений в релятивистской кинематике ....	95
§ 7.6	Понятие о релятивистской дниямил»..................................... 97
§ 7.7.	Закон взаимосвязи массы и энергии.................................... 100
Часть 2
Основы молекулярной физики и термодинамики
Глава 8- Иподвн помтия а «ифеделеми тер—дина—ш и молекуля!вой фнзаов	106
§ 8.1.	Введение. Тепловое движение........................................106
§ 8.2	Статистический и термодинамический методы исследования..............107
§ 8.3.	Термодинамические системы. Термодинамические параметры и процессы 108
$ 8.4 Уравнение состояния идеального газа	.............. .110
Глава 9. Первый закои термодинамики	113
§9 1	. Внутренняя энергия системы ...................................... 113
$ 9	2. Работа и теплота .................................. ....	114
} 9	3. Первый закон термодинамики....................................... 115
§94	Графическое изображение термодинамических процессов и работы........117
§9 5.	Теплоемкость вещества Применение первого начала термодинамики к нзопро-
цессам идеальных газов....................................................118
§96	Адиабатный и политропный процессы идеальных газов.................. 122
Глава 10. If— iaигиаи ты>|вя газов	126
§ 10	1 Некоторые сведения о классической статистической разике ...........126
§ 102.	Уравнение кинетической теории идеального газа......................126
§ 10.3	. Закон распределения молекул по скоростям и энергиям..............128
§ 10.4	Экспериментальная проверка закона распределения молекул по скоростям 132
§ 10 5 Барометрическая формула Закои Больцмана для распределения частиц во внеш-
нем потенциальном поле.....................................................133
§ 10.6	. Средняя длина свободного пробега молекул.........................136
§ 10	7 Явления переноса а термодинамически неравновесных системах.........137
§ 10.8	. Основные уравнения и коэффициенты явлений переноса...............139
§ 10	9. Некоторые следствия из теории явлений переноса в газах............141
§ 10	10. Понятие о свойствах разреженных газов............................143
§ 10	11. Закои равномерного распределения энергии по	степеням свободы	. .	144
§ 10.1	2. Классическая теория теплоемкостей идеальных	газов и ее трудности	146
Глава 11. Второй закон тер—диаз—си	149
§ 111.	Обратимые и необратимые процессы.................................. 149
§ 112	Круговые процессы Цикл Крано	....	150
§ 113	Энтропии	  153
§ 11	4.	Термодинамическая диаграмма	Т—S	а	ее	применения	154
$ 115	Второй закои термодинамики	....	158
§116	Статистическое истолкование второго закона термодинамики	162
§ 117.	Флуктуации ....................................................... 164
§ 118	Броуновское движение.............................................. 165
712
Глава 17 Реальные газы я пары
167
§ 12	1. Силы межмолвкулярного взаимодействия в газах ........................167
§ 127	Уравнение Ван-дер-Ваальса............................................  170
§ 12.3	. Изотермы реальных газов. Понятие о фазовых переходах 1 и П рода ... 172
§ 12	4. Сверхтекучесть гелия.................................................175
§ 12	S. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля — Томсона .... 177
Чисть 3
Электродинамика
Глава IX Электры iiihiim поле а его характеристики	182
§ 13.1	. Закон сохранения электрического заряда	182
$ 13.3	. Напряжшость электричегасго поля ....	184
§ 13.4	. Потенциал электростатического поля.................................. 187
§ 13	5 Электростатическое поле эдактричвекого диполя в вакууме	190
Глава 14. Творога Остроградосого — Гаусса для зжктростатпчиыпн о поля а вакууме	193
$ 141	Творога Осгроградского — Гаусса........................................ 193
§ 147	Применение теоремы Осгроградского — Гаусса к расчету электростатических
полей в вакууме................................................................196
Глава 15. Электросiатиши поле в диэлектрической среде	202
§ 15.1	. Дипольные моменты молекул диэлектрика	202
$ 157.	Поляризация дволсктриков .....	. . 204
§ 15.	3. Теорема Осгроградского — Гаусса для электростатического поля в среда 208
§ 154.	Условия для электростатического поля на границе раздела двух изотропных
диэлектрических сред.......................................................... 210
§ 15	5. Сегнетоэлектрики .............. ...	215
Глава 16. Приводив в а элактросгатичеошм поле	217
§161	Распределение зарядов в тфоводннке	...	217
§ 167.	Электрическая емкость уединенного проводника . .	220
§ 16	3 Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы	222
Глава 17. Эицкна злтмцыиккпш поли	227
§ 17	1. Энергия заряженных проводников и электростатического поля	227
§ 17.7	Эаерпи поляризлва иного диэлектрика	230
§ 17.3	. Закон сохранения энергии для электрического поля ....	231
Глава 18. Класпеогая элопропиая теория электропроводности металлов	234
§ 18.1	. Электрический ток я его характеристики............................. .	234
§ 18.7	Опытные доказательства электронной проводимости металлов . . .	236
§ 18.3	. Основы классической эжктронной теории злев ipoпроводносги металлов	237
§ 18	4. Недостатки классической зютроной теории электропроводности металлов 241
§ 18.5	Работа выхода электрона из металла Термоэлектронная эмиссия ...	. 243
Глава 19. Загонит оосгояипго тага	/	246
§ 19	1. Обобщенный закон Ома для участка цепи	. 246
§ 197	Закон Джоуля — Ленца для участия цепи	249
} 19	3. Правила Кирхгофа .......	. 250
713
Глава 20. Электрически ток а жидкостях, газах а плазме	,
§ 20 1 Законы Фарады для электролиза
§ 20 2 Закон Ома для плотности тока в электролитах
§ 20 3 Электропроводность газов	. .
§ 20 4 Несамостоятельный газовый разряд
§20 3 Самостоятельный газовый разряд	...
§ 20.6 Тлеющий разряд  •
§ 20 7 Самостоятельный разряд прн нормальном и больших давлениях
§ 20 в Границы прнмеяимости закона Ома
§ 20 9. Плазма ....	. . .
Глава 21. Дтйгтввг магкыого поля на *кжущвеся заряды И на прпвпдищи с током
§ 21 1. Магнитное поле
§212 Магнитная индукция Сила Лоренца
§ 213 Закон Ампера
Глава 22. Мапипиое поле постомого электрического тока а вакууме
§ 22 1 Закон Био — Савара — Лапласа
§ 22 2. Примеры простейших магнитных полей проводников с током
§ 22 3. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме	...
§ 22.4 Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля в вакууме
§ 22 5 Работа перемещения проводника с током в постоянном магнитном поле . .
§ 22 6 Понятие о магнитоэлектрических и электродинамических измерительных при-
борах	....
Глава 23. Дякинжс зарожжяых частиц а зимктрпчесхом а магнитном полях
§ 23 1 Движение заряженых частиц в постоянном магнитном поле
§ 23 2. Эффект Холла . .
§ 23 3 Экспериментальное определение удельного заряда частиц
§ 23 4 Ускорители заряженных частиц
§ 23 5 Релятивистское истолкование магнитного взаимодействия движущегося заряда
и прямолинейного проводника с током
Глава 24. Магнитное иоле а воцесгв*
§ 24.1 Магнитные моменты атомов	.............
§ 242. Кхам а магштном поле
§ 24 3 Диамагнетики и парамагнегвсн в магнитном поле
§ 24 4 Закон полного тока для магнитного поля в веществе
§ 24.S. Ферромагнетики
§ 24 6 Условна для магиттного пола на границе раздела двух изотропных сред
Глава 25. Электромагнитная мдутщия
§ 25 1 Основной закон электромагнитной индукции	. .
§ 252 Явление самоиндукции
§ 25 3. Явление взаимной индукции	...
§ 25 4 Энергия магнитного поля а неферромагнитной изотропной среде
§ 25 5 Закон сохравеша энергии для магнитного поля а неферромагнитной среде
Глава 26. Оежавы теории Мысвевва для электромагнитного ноля
§ 26.1 Общая характеристика теории Максвелла ........................
§ 26 2 Первое уравнение Максвелла	......................
§ 26 3 Ток смещения. Второе уравнение Максвелла...................
§ 26 4. Третье и четвертое уравнения Маяли1 зла ...
§ 26 5 Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля
авШ £ Шаё ё ёёёгсс s £ я s	£
714
Колебательные и волновые процессы
Глава 27. Саободме гармоичеоше калевана.................................ЗЯ
§ 27 1. Гармонически колебали...........................................
S 272. Механические гармонические колебаия..............................
273. Свободные гармонически колсбаии а злсктргакксы комбата тайпы контура
§ 27.4 -т гармовческих колеба^к.........................................
Глава 28. laij нашив а ввмужмимы калевана.....................
9 28 1. Затухамппк колебали............................................
§ 282. Вынужденные мехаянчеои колебали.................................
9 28.3. Вынуждашые электрически колебания..............................
Глава 29. Воч а умугой срам
9 29.1 Продольные и поперечные вожы.....................................
} 292. Уравнение волш ..................................................
} 29.3. Фазовая скорость волны..........................................
9 29.4. Энерги волш.....................................................
9 29 5. Принцип суперпозиции ваш...........'............................
9 29.6. Интерфереици волн. Стоячи волны.................................
9 29.7 Эффект Доп вера а акустике.......................................
Глава 30. Элмстрамагштил
MHI
6ШШ & ££666 8 £6 §888 S	£ 323 3 SSS»
9 301. Свойства электромагнитных вой.......................................
9 302. Энерги электромагнитных воле........................................
9 30 3 Излучение электрического шпала......................................
9 30.4. Опыты Лебедева. Шкала элехтромагштных воля.........................
9 30 5 Офкжеше и преломлекне электромагнитных водя на траля* раздела двух дл-
хжктричеашх ерем...........................................................
9 30 б. Эффект Дошкра	........................................
Глава 3L Нтрферечя снега
9 31 1. Монохроматямость и вревмийя когерентность опа................
9 312. Иитсрфсреяюя оега. Пространственная когерентность.............
9 31 3. Иятерферояцш снега в тонхвх пленках..........................
9 31.4. Иитерфершнп многих во*.......................................
9 31.5. Интерферометры ..............................................
Глава 32 Длфршовм снега	.............
9 321. Принцип'Гюйгенса—Фрейе па..................... ............
9 322. Дифракци Френеля .............?............................
9 32 3. Дифракци Фраунгофера и швдй и круглом оперепш.............
9 3X4. Двф*п0онви решети .........................................
9 325. Дифракци и пространсгвеиой решетке.........................
9 326. Голография ................................................
9 327. Разрешающая способность оптических приборов................
Глава 33. Рвшрестрансив снега а вешкгае...................................453
§ 33 1. Вчаимолпвств* снега с веществом............................453
9 332 Поглощен* света..............................................454
715
§ 33 3. Расселим оста ....	....	456
§ 33.4. Двдтярся» пит................................................. .	. 458
$ 33.5. Классическая электронная теория дисперсии света................. .	459
§ 33 6. Излучение Вавилова — Черенкова................................ ...	462
Глава 34. Поляршал» аета
§ 341. Поляризации света прн отражении и преломлении на границе раздала двух ди
элвктримсхих сред ....	465
§ 343. Двойное лучепреломление ...	...	... 466
§ 343. Интерференции поляризованного света................................471
§ 344 Искусствами оптическая анизотропия ................................ 473
§ 34.5. Вращенве шиххосгн поляризации	....	475
Чисть 5
Квантовые свойства излучения
Глава 35. Теысиое изцучеиве
§ 351. Тепловое излучение	...	478
§ 353. Законы тестового излучения черного тела	. . 482
§ 35 3 Понятие об о ш ячеек ой пирометрии	488
Глик 36. Оошы шиилжей бнтики
491
§ 361 Фотоэлектрический эффект ...	...	491
§ 363. Чаконы и квантовая теория няапнего фотоэффекта	492
§ 36.3 Другие хсперимвнталъные подтверждения квантовых свойств света	494
§ 36 4 Импульс фотона ....	....	497
§ 36Л. Эффшт Комптона................................................   498
§ 36 6 Корпуаулярио-волновая двойственность свойств света ...	.501
Часть 6
Элементы квантовой механики и атомной физики
Глава 37. Элементы ииапчмй мехяшиси
§ 37.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества	504
§ 37 2 Некоторые свойства воли де Бройля	....	508
§ 373 Вероятностный смысл, волн да Бройля	510
§ 37 4 Соотношения неопределенностей Гейзенберга......................... 511
§ 37 5. Урд-и™»» Шредингера	...	515
§ 37 6 Движение «ободной частицы	...	...	518
§ 37 7. Электрон в потенциальном «ящике»	............. .5,18
§ 37 8. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер	521
§ 37.9. Линейный гармоннмский осциллятор .	........... 524
Глава 38. Строеве и ливвйчатыв спектры водородошдаЬкк систем	529
§ 38 1 Опыты Резерфорда по рассеянию а-частиц веществом	529
§ 383. Ядерная модель атома Резерфорда ...	...	531
§ 38 3. Линейчатый спектр атома водорода	.532
§ 38 4. Теория Бора для водородоподобных систем ....	534
§ 38 5. Экспериментальное подтверждение постулатов Бора...................538
716
Глава 39.	Совремемае предстилеив о строена  опте неких	свойствах	атомов	341
§	39.1.	Водородоподобная система в квантовой механике.............. 541
§ 39.2. Основное состояние атома водорода............. ч. .	... 542
§	39 3	Приближенный метод квантования энергии электрона	в атоме	водорода	543
$	39 4	Пространственное квантование. Спин электрона	....	545
$	39 5	Принцип Паули	  549
$	39 б	Периодическая система элементов Д. И Менделеева	..............551
§	39 7	Излучение и поглощение света..................................... 554
§	39 8.	Квантово-механический смысл постулатов Бора	...............5^59
§ 39.9. Эффект Зеемана ........................ ...	.561
§ 39.10. Понятие о «mnemm магнитного резонанса	562
§ 39.11. Комбинационное рассеяние света ....	565
§ 39.12. Люминесценция	.......	...	567
Глава 40. Основы фвзлхи лазеров	570
§ 40.1 Отрицательное поглощение света	570
§ 402 Оптические квантовые гшераторы	. 573
Чисть 7
Элементы квантовых статистик и квантовой физики твердого тела
Глава 41. Квантовые егттапип и восоторые их "j"***”*—
§ 41.1. Общие сведдоия о квантовых статистиках...........................578
§412 функция раафедожния Ферми — Дирака..................................579
6 413. Функция распределения Бозе—Эйнштейна.............................. 580
§ 41.4 Вырождение системы частиц, описываемых квантовыми статистиками . . 583
§ 41 5. Распределение Ферми — Дирака для вырожденного электронного газа в метал-
лах ............................................................ .	586
6 41.6. Некоторые свойства вырожденного электронного газа в металлах . . . 588
§ 41.7 Фотонный газ в замкнутой полости...................................589
§ 41 8 Теплоемкость твердых тел.............................................590
Глава 42. Элементы квантовой теорм металлов
595
§ 42.1. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов	595
6 422 Закон Ома в квантовой теории электропроводности металлов	. . 596
§ 423 Сверхпроводимость..................................................... 599
§ 42 4. Некоторые магнитные свойства сверхпроводников	600
§ 42 5. Понятие о теории сверхпроводимости.................................. 602
в 42.6. Понятие об эффектах Джозефсона...................................... 603
§ 42 7. Квантование магнитного потока (макроскопический квантовый эффект)	604
§ 42.8. О некоторых применениях сверхпроводимости в науке и технике	605
Глввв 43. Зевная теории твершх тел	. ,	6ffJ
§ 43.1. Исходные представления зонной теории твердых тел.....................607
§ 432. Энергетические зоны в кристаллах в приближении сильной связи . .	607
§ 43.3. Металлы, диэлектрики и полупроводники................................610
§ 43 4 Собственная проводимость полупроводников ........................ .	. 611
§ 43.5. Примесная проводимость полупроводников	...	................616
§ 43.6 Фотопроводимость полупроводников ....	......................619
§44.1. Контакт двух металлов . .
§ 44 2. Контакт металла с полупроводником
621
623
621
717
§ 443. Контакт имцминин о я дырочного долупроводнжоа (рче-иереход)
§ 44.4. Вольт-амперная характеристика р-и-персхода...............
б»
Чаять 8
Основы физики ядра и элеиентарных частиц
Глава 45. Строеве и ваме1^же свойства ядар...........................Я1
§ 45.1. Основные свойства и строение ядра................................
§ 453. Энергия <зязя ядер................................................
§ 45.3 Ядерные сиды ....................................................
б 45.4. Радноактивиостъ .................................................
§ 45.5 Альфа-распад .....................................................
§ 45.6. Бета-распад .....................................................
б 45.7. Гемыа-кт пучение ................................................
б 453. Эффект МВссбауэра ................................................
g 45.9. Ядерные ртшщии ..................................................
Глава 46. Элементарше чисток
J 46.1. Уровень зиж1ыш1врных частиц.....................................
1 463. Общее свойства элементарных частиц...............................
463. Взаимоцревращданя элементарных частиц.............................
б 46 4. Фундамапйьиыв взаимодействия....................................
б 463. Лептоны .......................................................•
1 46 6. Адроны .........................................................
467. Кварки............................................................
б 46.8. Переносчики фундаментальных взаимодействий......................
Заключение..........................................................
Проложения ...........................................................
б П.1. Системы единиц фнэичестжх величин...............................
б ПЗ. Фундаментальные физические константы.............................
§ ПЗ. Погрешности ори измерениях физических величин....................
Предметны* указатель	.............................
в in 8 a mttnt a lamina
Учебное издание
ДЕТЛАФ Андрей Антонович
ЯВОРСКИЙ Борис Михайлович
КУРС
ФИЗИКИ
Зав. редакцией Т. А. Рыкова
Редакторы Г. Н. Чернышова, Ж. И. Яковлева
Оформление художника В. А. Дмшарыпа
ИудряяспекяЛ реяжгт Ю. Э. Иванова
Технические редакторы Л. А. Овшаааашва, И. & Выкала
Корректоры Л. В. Демешева, В. А. Жшаааш, Г. И. Покрова
Компьютерная верстка Н. С. Михайлова
Оператор В. И. Новоселова
Лицензия ИД № 06236 от 09.11.2001
Изд № ФМ — 181. Подл, в печать 24.01.2002. Формат 70x100 '/и. Бум.
газета. Гарнитуре литературная. Печать офсетная. Объем: 58,50 усл. печ. л.,
58,50 уса. кр.-отт., 55,34 уч -изд. л. Тираж 12000 экз. Заказ № 221
ФГУП «Издательство «Высшая школа»,
127994, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14
Тел. (095) 200-04-56
E-mail: info@v-shkola.ru http*//www.v-shkola.ni
Отдел продаж: (095) 200-07-69, 200-59-39, факс (095) 200-03-01
E-mail: sales@v-shkola.ni
Отдел «Книга-почтой»: (095) 200-33-36
E-mail: bookpoet@v-shkola.ni
Набрано на персональном компьютере издательства «Высшая школа»
Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»
-	432980, г Ульяновск, ул Гончарова. 14