Автор: Детлаф А.А.  

Теги: физика  

ISBN: 5-06-003556-5

Год: 2002

Текст
                    А.А.Детлаф Б. М.Яворский
КУРС
ФИЗИКИ

ААДетлаф Б.М.Яворский КУРС ФИЗИКИ ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качество учебного пособия для студентов втузов Москва «Высшая школа» 2002
УДК 53 ББК 22.3 Д 38 Детлаф А. А. Д 38 Курс физики: Учеб, пособие для втузов/А. А. Детлаф, Б. М. Явор- ский. — 4-е изд., яспр. —~ М.: Высш, шк., 2(Ю2.— 718 с.: ил. ISBN 5-06-003556-5 Учебное пособв* жаписажо соотзятсгааи с прогр&мой'курса фшоа во втузах. Кинга содероогг основы классапесжой ж емМмажЮй фжзихи. Зиачитшпаоа внимание уделено специальной тюрям относжтельвосгн, кийюпвжн*ж пантовым стжпспкам, «вахтою* теории твердого звав ж совржаи- вым представлениям об вямйпаржых частицах, а также ига пятно органической малмосшвн ж цресм- СТВенНОСТВ COBfMMflBHOft Ж ЮПООВЧМЕОЙ ф«мШРМ- Для апудаопо»лыеш1а яыоаамлааа аходлмиб, ииаяюяуишв и унтлрсшптов. уда Я БЫК 223 ISBN 5-06-003556-5 © ФГ^«№дапльсрю«Высшм лжола^20а2 Орягннал-макет данного издания является собственностью издательства «Вьющая пвюш», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запреща- ется.
Предисловие Физика принадлежит к числу фундаментальных наук, .составляющих основу те* еретической подготовки инженеров и играющих роль той базы, без которой невозмож-. на успешная деятельность инженера любой области современной техники. На протя- жении последних трех столетий развитие техники тесно переплеталось с развитием фичиям, которая предваряла и научно обосновывала пржнциптш-ио новые напра- вления в технике. В XX в. эта связь стала неразрывной. Бурное развитие научно- технической революции потребовало коренного пересмотра содержания курса физики во втузах. Современному инженеру требуются достаточно глубокие знания не только классической фичиги, ио также так называемой современной физики (теория от- носительности, квантовой механики, физики твердого тепа и др.). Авторы этой книги постарались реализовать в вей идею органического соединения во втузовском курсе_ физжки фундаментальных основ классической и современной физики. Эго потребовало пересмотра как содержания и объема отдельных разделов" курса, так и последовательности их изложения. Например, специальная теория относительности изложена в пособии сразу же после классической механики и использована в по- следующих разделах курса (в частности, bs электродинамике для релятивистского истолкования магнитного взаимодействия движущегося электрического заряда и про- водника с током). Достаточно подробно рассмотрены основы квантовых статистик Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна н их применял» рс вырожденному элект- ронному газу в металлах, к полупроводникам, к равновесному тепловому излучению и фононному газу в кристаллах. Должное внимание уделено сверхпроводимости и связанным С ней эффектам, основам физики плазмы, современному состоянию физики элементарных частиц. Рассмотрена связь законов сохранения в механике со свойствами симметрии пространства н времени В пособии обсуждаются трудности и ошибки, возникавшие на историческом пути развития физики, а также границы применимости тех или иных физических теорий и законов. В отборе материала и метод ике его изложения был использован многолет- ний преподавательский опыт авторе», которые стремились к возможной краткости и общности рассмотрения без ущерба дня выяснения физического смысла изучаемых явлений, понятий и законов. В книге приведены краткие описания основополагающих физических экспстиментов, а. также некоторых лекционных демонстраций. Сведения о размерностях физических величин и системах единиц вынесены в Гцмыожсымя. Там же приведены значения фундаментальных физических постоянных и яранга расчета погрешностей при прямых и косвенных измерениях физических величин. По математическому уровню «Курс физии» covnemeyer математической подго- товке студентов первых курсов втузов н лишь в нескольких местах даны небольшие математические дополнения. Для обозначения векторных величин на всех рисунках н в тексте использован полужирный шрифт, за исключением величин, обозначенных трсческими буквами, которые по техническим щшчинам набраны в тексте светлым шрифтом со стрелкой. главы 1 — 7, 13 — 34 и Приложения написаны А. А* Детлафом, главы 8 — 12, 35 — 45 — Б. М. Яворским, а глава 46 — А. И., Наумовым. Авторы выражают глубокую благодарность за целый ряд полезных советов и заме- чаний рецензентам первого издания книги — профессорам И. Г. Берзиной, И. К. Верещагину, Ф. П. Денисову, А. И. Елькину и Н. Л. Пахомовой, доцентам Н. П. Наровской, В. А. Селезневу, Е. А. Серову н В. Г. Хавруняку. При подготовке второго издания в книгу внесены некоторые изменяли и дополне- ния. в частности, в соответствии с современными представлениями было решено отказаться от использования устаревших понятий релятивистской массы частицы и ее массы покоя. К сожалению, вследствие длительной тяжелой болезни и уходу из жизни i !996 г. мой многолетний соавтор и незабвенный друг Борис Михайлович Яворский не смог цжнять активное участие в подготовке книги к переизданию. Одижхо всс измене- ния были им одобрены. Л. А. Детлаф
ядерные превращения. На этой основе развилась ядерная энергетика, а искусственная радиоактивность стала основой метода меченых атомов, широко применяемого в раз- личных областях производства, в геологии, биологии и медицине. Успехи физики полупроводников привели к подлинной революции в радиотехнике и электронике, а также в вычислительной технике. Даже простой перечень выдающихся достижений физики наших дней занял бы слишком много времени. Однако в этом нет необ- ходимости, тем. более что только систематическое изучение курса физики позволяет понять смысл и значение этих достижений. 4. Одна из важнейших задач курса физики состриг в формировании у студентов представлений о современной физической картине мира.' Окружающие нас тела образу- ют макромир. В классической физике, описывающей макройир, считается, что материя существует в двух формах — в виде вещества и поля. Вещество состоит из атомов и молекул. Атомы и молекулы столь малы, что принадлежат к числу наиболее крупных по размеру представителей микромира, объекты которого .имеют характерные раз- меры Ж 10~’ м. Следующие, более мелкие по размерам объекты микромира — со- ставные части атомов: электроны и. атомные ядра. В свою очередь, атомные ядра состоят из протонов и нейтронов. Электроны и нуклоны (протоны и нейтроны) принадлежат к числу частиц, которые, по традиции, называют элементарными части- цами. Электроны относятся к так называемым фундаментальным частицам, под которыми понимают несоставные, т. е. истинно «элементарные», частицы. Протоны и нейтроны — составные частицы. Они образованы из фундаментальных частиц, име- нуемых кварками. шйоЭо ,йэы В настоящее время известно несколько сотен Вцфнсдде^нестабильных элементар- ных частиц. Все процессы, в которых участвуют зтяйедтвдзд связаны с тремя типами взаимодействий, называемых фундаментальными взаимодействиями: сильным, элект- ромагнитным и слабым. Сильное взаимодействие осущвстэдястся между адронами — составными элементарными частицами, построенными из кварков (например, между нуклонами). Ядерные силы, обеспечивающие устойчивость атомных ядер, обусловлены сильным взаимодействием нуклонов в ядре. Электромагнитное взаимодействие харак- терно для всех электрически заряженных частиц (например, для электронов, протонов, ионов и др.). Оно наиболее известно из курса физики средней школы. Слабое взаимо- действие присуще всем элементарным частицам и обусловливает, например, нестабиль- ность многих из этих частиц. Четвертый тип фундаментальных взаимодействий — гравитационное взаимодействие, которое присуще всем частицам и телам. Для эле- ментарных частиц силы гравитационного притяжения столь малы, что ими пренеб- регают. В макромире гравитационное взаимодействие проявляется в силах всемирного тяготения и должно учитываться. Установлено, что все фундаментальные взаимодействия имеют обменный харак- тер: элементарные акты любого взаимодействия связаны с испусканием и поглощением взаимодействующими частицами некоторых частиц — переносчиков взаимодействия. Например, переносчиком электромагнитного взаимодействия является фотов. Пере- носчики взаимодействия рассматриваются как истинно элементарные, т. е. фундамен- тальные, частицы. 5. Известно, что развитие науки и техники определяется экономическими потреб- ностями общества. Технический уровень производства в значительной степени зависит от состояния науки. История развития физики и техники показывает, какое большое значение имели открытия в физике для создания и развития новых отраслей техники. Физика явилась научным фундаментом, на котором выросли такие новые области техники, как электро- и радиотехника, электронная и вычислительная техника, кос- мическая техника и приборостроение, ядерная энергетика и лазерная техника и т. д. На основе достижений физической науки разрабатываются принципиально новые и более совершенные методы производства, приборы и установки. В свою очередь, техника оказывает большое влияние на прогресс физики. Известно, что именно технические потребности общества привели в свое время к развитию механики, необходимой для строительства различных сооружений. Задача создания более экономичных тепловых двигателей вызвала быстрое развитие термодинамики. Эти примеры можно продолжить. Развитие техники оказывает огромное влияние на совершенствование экспериментальных методов физических исследований. Современ- 5
'вы техника дает экспериментаторам такие приборы в установки, как ускорители заряженных частиц, искусен иные спутники Земли и космические станции, щ теле- скопы, масс-спектрометры, лазеры, электронные вычислительные машины и др. Есин в прошлом между открытием нового физического явления и его п] п скнм использованием проходили многие десятилетия, то современное развитие физики и техники характеризуется резким сокращением этого промежутка времени. Так, например, в 1939 г. была открыта цепная реакция деления ядер урана под действием нейтронов, а уже в 1954 г. в Советском Союзе была пущена в эксплуатацию первая в мире промыли зная атомная электростанция (АЭС). Величайшим достижениям совместных усилий различных областей науки и техники явились полеты человека в космос, осуществленные впервые в нашей стране в 1961 г. й. В последние десятилетия мир переживает невиданную по своим масштабам и скоро- сти осуществлення научно-техническую революцию. С< ременная наука н техника развиваются необыкновенно быстрыми темпами. Регулярно совершенствуются и об- новляются методы и технология производства, используемое оборудование и, что особенно важно, качественно изменяются требования к инженерно-техническим и дру- гим специалистам. Совершенно очевидно, что быстро ориентироваться и успешно работать в современном мире могут только те выпускники вузов, которые получили в яроцосюе обучения достаточно широкую и глубокую фундаментальную подготовку, а также навыки самостоятельной исследовательской работы. Исходя из этого, можно следующим образом сформулировать роль и задачи курса физики во втузе: а) изучение физики игр гг важную роль в формировании фундаментальной подго- товки выпускников и выработке у них научного мировоззрения; б) ка является базовой дисциплиной для большого числа общеииженерных ж сосциядизируюпфх ДИСЦИПЛИН1) в) пути развития любой отрасли современного производства весьма тесно реши таются с физ ю поэтому инженер любого профиля должен владеть физикой в такой степени, чтобы быть в состоянии активно и со знанием дала применять достижения научно-технической революции в своей производственной деятельности.
Часть Физические основы механики Глава 1 Кинематика точки и поступательногодвижения твердого тела Глава 2 Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тепе Глава 3 Работа и механическая анергия Глава 4 Кинематика и динамике вращательного движения Глава S Законы сохранения в механике Глава в Движение в неинерциальных системах отсчета Глава 7 Основы специальной теории относительности тэы НН X эхтобь 1энд йо&ОЕБ ;ннппнх
Глава 1________-______________________________ Кинематика материальной точки и поступательного движения твердого тела . .. § 1.1. Механическое движений 1. Простейшей и в то же время наиболее часто встречающейся и привычной нам формой движения в природе является механеское дввжеаве, состоящее в изменении взаимного расположения тел или их частей. Раздел физики, занимающийся изучением закономерностей механического движе- ния и взаимодействия, тел, называется механикой. При этом под механическим действи- ем на тело понимают такое.воздействие со стороны других тел, которое приводит к изменению состояния ого движения- рассматриваемого тела или к его деформации, т. е. к изменйдаю рзамшюго расположения его частей. В общем случае оба эти проявления мехаиичсЖ>К деревня на тело сопутствуют друг другу. Механику тел, двнжтадаа; с^малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме с=3 • 10гм/с), называют классической механикой в отличие от реляти- вистской механики быстро движущихся тел. Основы классической механики были разработаны И. Ньютоном. Поэтому ее обычно называют нот ювекой механикой. Релятивистская механика Основывается на специальной теории относительности и рас- смотрена ниже (см. § 7.6). Решая ту или иную конкретную задачу механики, всегда приходится мысленно выделять из множества тел только те, которые играют в данной задаче существенную роль. Такая мысленно выделенная совокупность рассматриваемых тел называется механической системой. Мы ограничимся изучением двух основных разделов ньютоновской механики: кинематики и динамики. В к шмати* дается математическое описание механического движения тел безотносительно к причинам, обеспечивающим осуществление каждого конкретного вида движения. Основным разделом механики является дннамша,'занима- ющаяся исследованием влияния взаимодействия тел на их механическое движение. 2. Все окружающие нас тела состоят из огромного числа атомов или молекул, т. е. представляют собой макроскопические системы. Механические свойства тел определя- ются их химическим составом, внутренним строением и состоянием, изучение которых выходит за рамки механики, так как эти вопросы рассматриваются в других разделах физики. В механике для описания реальных тел пользуются в зависимости от условий конкретной задачи различными упрощенными моделями: материальная точка, аб- солютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело и т. п. Выбор той или иной модели нужно производить так, чтобы учесть все существенные особенности поведения реального тела в данной задаче и отбросить все второстепен- ные, неоправданно усложняющие решение этой задачи. Материальной точкой называется тело, форма и размеры которого несущественны в данной задаче. Одно и то же тело в одних задачах можно считать материальной точкой, а в дру- гих — нельзя. Например, рассматривая движение Земли и других планет по орбитам вокруг Солнца, их можно принять за материальные точки, так как размеры планет малы по сравнению с размерами их орбит. В то же время Землю нельзя считать материальной точкой во всех «земных» задачах механики. Любое протяженное тело или систему тел, образующих исследуемую механическую систему, можно рассматри- вать, как систему материальных точек. Для этого нужно мысленно разбить все тела 8
системы на столь большое число частей, чтобы размеры каждой части были пренеб- режимо малы по сравнению с разметами самих тел. - ' . । Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным. . . Эта модель пригодна в тех случаях, когда в рассматриваемой задаче деформации тела при его взаимодействии с другими телами, пренебрежимо малы. Абсолютно твердое тело можно представить в виде системы материальных точек, жестко связан- ных между собой. В дальнейшем там, где это не может вызвать недоразумений, мы будем для краткости говорить не «абсолютно твердое тело», а просто «твердое тело». Соответственно вместо слов «материальная точка, входящая в состав тела» мы будем говорить «точка тела». Абсолютно упругое тело и абсолютно неупругое тело — два предельных случая реальных тел, деформациями которых нельзя пренебрегать в изучаемых процессах (например, при соударении тел). Тело называется ^ерл^тяр^упругви, если его дефор- мации подчиняются закону Гуда, т. е. пропорциональны вызьгвающим их силам. После прекращения внешнего механического действия на такое тело оно полностью вос- станавливает свои первоначальные размеры и форму. Абсолютно неуиругим телом называется тело, которое после прекращения внешнего механического действия полно- стью сохраняет деформированное состояние, вызванное этим действием. 3. Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Понятия пространства и времени — основополагающие для всех естественных наук. Любое тело имеет объем, т. е. пространственную протяженность. Время выражает'порядок смены состояний, составляющих любой процесс, любое движение^(й^сйужит мерой длительности процесса. Таким образом, пространство и время наиболее общие формы существования материи. Ф. Энгельс писал: «...осчи@шк щ№мы всякого бытия суть пространство и время; бытие вне времени есть тадая^дамлжчайшая бессмыслица, как бытие вне пространства»*. ’ ' . Не имеет также никакого смысла говорить о положении и механическом движении какого-либо тела в пространстве «вообще», т. е.' безотносительно к другим телам. Всегда говорят о положении и движении этого' тела по отношению к какому-то другому конкретно выбранному телу (например, планеты относительно Солнца, само- лета относительно поверхности Земли и т. д.), Для однозначного определения положения исследуемого тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета. Системой отсчета называется система координат, снабженная часами и жестко связанная с абсолютно твердым телом, по отношениюк которому определяется положение других тел в различные моменты временив При этом под часами подразумевается лю- бое устройство, используемое для измерения времени или, точнее, промежутков времени меж- ду событиями, так как в силу однородности времени начало его отсчета можно выбирать произвольно. В ньютоновской механике пред- полагается, что свойства пространства описыва- ются геометрией Евклида, а ход времени оди- наков во всех системах отсчета. В дальнейшем мы будем называть земной, или лабораторной, систему отсчета, жестко связанную с Землей. 4. Наиболее часто пользуются правой прямо- угольной декартовой системой координат, изоб- раженной на рис. 1.1. Здесь i, j и к — единичные по модулю и взаимно перпендикулярные век- ... Рис. 1.1 торы — орты системы координат, образующие ее ортонормироважный базре. Система координат называется правой, так как-из конца третьего орта (вектора к) вращение от первого орта (1)ко второму 0) по кратчайшему расстоянию видно происходящим против часовой стрелки, т. е. взаимная ориентация •Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20. С. 55. 9
векторов i, j и к совпадает с взаимной ориентацией трех пальцев правой руки большого, указательного и среднего, когда они расположены взаимно перпенди- кулярно. Положение точки М атоатяыю этой системы координат можно задать двумя эквивалентными способами: либо указав значения всех координат х, у, z точки М, либо указав значение ее радиуса-гвектораг, т. е. вектора, проведенного jb точку М из начала координат 0. Из правила сложения векторов следует, что радиус-вектор точки М мож- но разложить по оазису 1, j, к следующим образом: r=xi+yj+zk. (1.1)' Координаты х, у, г точки М называются также координатами (компонентами) радиуса-вектора г относительно базиса, а векторы xi, yj и Л — состшлпоинпм вектора г по осям координат. В силу ортогональности этой системы координат величины х, у и г равны проекциям вектора гна оси декартовых координат: г,=прдГ=г cos а=х, ) rx=np/r=rcos^=y, z I (1.2) rI=npIt=rcosy=z, J где а, р и у углы, сост^^'^^^радиусом-вектором г с ортами осей координат. 5. При движении точки м ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени. Поэтому для здедш&Я&доа движения точки М нужно указать вид функци- ональных зависимостей ojr времени t либо всех трех ее координат ’ х=х(г),у=у(г), z=z(0, (13) либо ее радиуса-вектора r=r(r). (1.3') Три уравнения (1.3) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.3') называ- ются кинематическими уравнениями деиження точен. Траекторией точки называется линия, описываемая этой точкой при ее движении относительно выбранной системы отсчета. Кинематические уравнения движения точки (1.3) задают ее траекторию в парамет- рической форме. Параметром служит время t. Уравнение траектории точки в обычной форме, т. е. в виде двух уравнений, Связывающих между собой декартовы координаты точек траектории, можно получить решая уравнения (1.3) совместно и исключая из них параметр t. Например, пусть кинематические уравнения движения точки заданы в форме x=acoscot, y=bsntot, z=0, где ш=const. Уравнение траектории этой точки т. е. точка движется в плоскости z=*0 по эллиптической траектории с полуосями, равными а и Ь. В зависимости от формы траектории различают прямолжяе|Ьое и криволинейное движения точки. Если траектория точки плоская кривая, т. е. целиком лежит в одной плоскости, то движение точки называют плоским. Механическое движение тела относительно: его характер и, в частности, траек- тории точек этого тела зависят от выбора системы отсчета. Так, например, известно, что по отношению к системе отсчета, связанной с Солнцем, планеты Солнечной 10
системы движутся по эллиптическим орбитам. В то же время по отношению к земной системе отсчета они движутся по достаточно замысловатым траекториям. в. В общем случае траектория точки представляет собой пространственную кривую. Для описания произвольной траектории точки в кинематике пользуются такими поня- тиями, как соприкасающиеся плоскость и окружность, центр и радиус кривизны, главная нормаль й др. Сопрюсясающейся плоскостью в какой-либо точке М кривой называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки АГ, М и Р этой кривой, когда точки N и Р неограниченно приближаются к точке М. Сопрмсасяющейся окружностью в точке М кривой называется предельное положение окружности, проведенной через три точки N, Ми Р этой кривой, когда точки N и Рне- ограниченно приближаются к точке М. Соприкасающаяся окружность лежит в со- прикасающейся плоскости, а ее центр и радиус называются центром грж!вт i и ради- усом краяизпа кривой в точке М. Едини мый вектор главной мрмалв и в точке М траектории направляют из точки М к центру кривизны, а единичный вектор касательной т — по касательной к траектории в точке М в направлении движения. Векторы пит лежат в соприкасающейся плоскости и взаимно ортогональны. Если траектория точки — плоская кривая, то во всех точках соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит эта траектория. , Если же траектория — прямая линия, то для нее понятия соприкасающейся плоско- сти, соприкасающейся окружности, главной нормали, центра кривизны лишены смыс- ла. Рассматривая такую траекторию как предел все более спрямляющейся криволиней- ной траектории, можно считать, что радиус крийи®йй^г1¥рямолинейной траектории бесконечно велик. 100х ээ ™ 7. Длиной пути называется расстояние з, пройд£й$о&н>гЬВДой за рассматриваемый промежуток времени и измеряемое вдоль траектории’в направлении движения точки. Иначе говоря, длина пути точки равна сумме пройденных точкой за рассматриваемый промежу- ток времени. Из этого определения следует, что длина пути з не может быть отрицательной. Пусть точка движется по участку криволинейной траек- тории АВ (рис. 1.2) так, что в начальный момент времени (г=0) находится в точке А, радиус-вектор которой го=г(0), а в момент времени г >0 находит- ся в точке М, радиус-вектор которой г=г(г). Если в течение всего рассматриваемого нами промежут- ка времени от 0 до t точка движется в одном и том же направлении, то, как показано на рис. 1.2, путь точки за. это время j(/)= vAM. Однако точка может двигаться и более сложным образом. На- пример, в течение времени от 0 до < t она может длин всех участков траектории, Рис. 1.2 переместиться по траектории из точки А в точку В, а затем, возвращаясь по той же траектории назад, оказаться в момент времени t в точке М. В этом случае путь точки за промежуток времени от 0 до 13(t)=uAB+\jBM, т. е. я(/)>иАВ. 8. Вектором перемещения точки за промежуток времени от t=*=ti до называется приращение радиуса-вектора г этой точки за рассматриваемый промежуток времени: Г2-Г| = Г(/2)-г(Г1). Вектор перемещения направлен вдоль хорды, стягивающей соответствующий уча- сток траектории точки, из положения движущейся точки в момент времени Г| в ее положение в момент времени г2. Поэтому во всех случаях, кроме прямолинейного движения точки, модуль вектора перемещения меньше длины пути точки за тот же промежуток времени. На рис. 1.2 показан вектор перемещения точки г—г0 за промежу- ток времени от 0 до t. Из геометрии известно, что разность длин участка какой-либо кривой и стягива- ющей его хорды уменьшается по мере уменьшения длины этого участка. Следователь- но, рассматривая элемепароое перейеяленпе точен по траектории за достаточно малый 11
промежуток времени dr (от г дог+dr), мы можем пренебречь отличием между модулем вектора соответствующего перемещения точки dr « г (г+dt)—г (г) и длиной ее пути за то же время ds=s(t+dr)—s(t)r |dr|*> ds. Из сказанного ясно, что вектор dr направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, т. е. так же, как и единичный вектор касательной т. Таким образом, dr=|drlT=dj?. (1.4) Вектор перемещения материальной точки за любой конечный промежуток времени от г до г+Аг можно представить, основываясь на (1.1), в виде геометрической суммы перемещений точки вдоль трех осей координат: Ar=r (r+Ar)—r(t)=Axi+Ajj+Azk. (1.5) Здесь Ax=x(t+ Ar)-^x(r), Ay=y(r+Ar)—y(r), Az=z(f+At)—z(i) — приращения коор- динат материальной точки за рассматриваемый промежуток времени. 9. В заключение остановимся на вопросе о некотором различии в толковании в мате- матике и физике смысла обозначений dr, ds и др., широко используемых в физике. Согласно принятым в математике обозначениям для функций одного переменного (в нашем случае — времени г), dr и ds представляют собой дифференциалы соответству- ющих функций, т. е. линейные части приращений "этих функций при произвольном изменении аргумента от г до" t + At. По’ определению понятия дифференциала в матема- тике, df=Ar, <fr=r'dr=r'At, a ds»s'dr=s'Ar, где г'иг' — производные по г от функций г(г) и s(r). zb Очевидно, что при произвольных значениях - At приращения функций Ar=r(r+At)—r(f) и As=s(r+Ar)—s(r) могут существенно отличать- ся от дифференциалов. Рис. 1.3 иллюстрирует сказанное для изображенной на нем функции s(t). Так как s'=tga, где а — угол наклона каса- тельной к кривой зависимости s(t) в точке М, то ds=At-tga и заметно меньше приращения As функции х(г). В физике различают дифференциал аргумен- та dr и произвольное (конечное) приращение аргумента Аг. Под дифференциалом аргумента понимают столь малое его приращение («элеме- нтарное приращение»), чтобы можно было пренебречь разностью между соответст- вующими значениями приращения функции и линейной части ее приращения, т. е. чтобы эта разность была малой высшего порядка малости по сравнению с приращени- ем функции. Поэтому в физике, исцользуя предложенное Г. Лейбницем обозначение производной Рис. 1.3 dr ds Г=—, s'=—, dr dr трактуют эти выражения как отношения не математических дифференциалов функции и аргумента, а малых («элементарных») приращений функции и аргумента. § 1.2. Скорость 1. Для характеристика направления и быстроты движения точки в механике вводится векторная физическая величина, называемая скоростью. Средней скоростью точки в промежутке времени от t до Г+Лг называется вектор <▼>, равный отношению- приращения Аг радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его продол- жительности At: <’>=Ar (1.6) 12
Средняя скорость направлена так же, как вектор перемещения Дг, т. е. вдоль хорды, стягивающей соответствующий участок траектории точки*,. Так как |Дг|^Д.г, .где Ля длина пути точки за рассматриваемый промежуток времени, то 1<»>1<^- (1-7) Дг Знак равенства в соотношении (1.7) соответствует движению точки в течение времени от t до t+Л1 вдоль прямолинейной траектории в одноМи том же направлении. 2. Скоростью Точки в момент времени t называется вектор v, равный первой производ- ной по времени от радиуса-вектора этой точки: Лг dr v= lim — , (1.8) лг-.о Л» dt или v= lira <v>. (1.8') Л;-»0 Вектор скорости направлен по касательной к трае^ории точки в сторону ее движения. Из (1.4)-следует, что ь? £' ъ <1.5, dj У«= . т, «=М= . . О-9) dr dr т. е. модуль скорости точки равен первой производной по времени от пути этой точки. Вектор v можно разложить по базису i, j, 1с, т. е. на три составляющие по осям прямоугольной дехартовой системы координат: v=t)xi+tyj+t-k, (1.10) причем, согласно (1.1) и (1.8), dx «х= , dr dy dz dr (1П) t>,= > ' dt 3. Если направление вектора v скорости точки не изменяется, то траектория точки прямая линия. В случае криволинейного движения точки направление ее скорости непрерывно изменяется. При равномерном 'движении точки остается постоянным мо- дуль ее скорости и, а путь, пройденный точкой за промежуток времени от г дог+Дг, Дг=« Дг. В этом случае точка проходит за равные промежутки времени пути равной длины. Если точка движется равномерно и прямолинейно со скоростью v вдоль оси ОХ, то зависимость ее координаты х от времени имеет вид: х==х0+ехг, где х0 значе- ние х в начальный момент времени (г—0), а ех проекция скорости точки на ось ОХ. Если модуль вектора скорости точки изменяется с течением времени, то такое движение точки называется неравномерным. Путь Д.т, пройденный точкой в неравномер- ном движении за промежуток времени от г до r+Дг, равен Г + ЛГ Дг= J edr. (1.12) t ’Время в отличие от координат движущейся точки не может убывать. Поэтому длитель- ность любого перемещения точки Дг>0. 13
Неравномерное движение точки называется ускоренным, если в процессе движения модуль скорости точки увеличивается, т, е. (de/dr)>0. Если же (d»/dr)<0, то движение точки называется замедлемым. 4. В механике часто приходится, иметь дело с задачами, в которых осуществляется сложение двух или большего числа одновременно совершающихся движений, скорости которых заданы относительно разных систем отсчета, движущихся друг относительно друга. В качестве простейшего примера рассмотрим следующую задачу: теплоход идет вниз по течению реки со скоростью *] относительно воды; найти скорость теплохода относительно берега, если скорость течения реки равна т2. Ответ известен каждому школьнику — скорость теплохода относительно берега равна геометрической сумме скоростей ▼) и ч2: + т2. Однако, пользуясь этим привычным соотношением, многие не задумываются над тем, что оно является следствием не только векторного харак- тера скорости, но и тех представлений о свойствах пространства и времени, которые лежат в основе ньютоновской механики*. Из векторного характера скорости следует лишь, что для нахождения результирующей скорости v теплохода относительно берега нужно к вектору скорости т2 течения реки прибавить вектор скорости ч* движения теплохода относительно воды реки, измеренной из системы отсчета, связанной с бере- гом: ч=**-4-ч2. Таким образом, для обоснования вышеприведенного выражения для ч нужно доказать, что ч*=Ч]. В ньютоновской механике предполагается справедливость двух аксиом: об инвари- антности промежутков времени между двумя событиями и расстояний между двумя точками по отношению к выбору системы отсчета. Следовательно, за один и тот же промежуток времени drjrenjxjxofl проходит по воде одно и то же расстояние dr как в системе отсчета, связанной с беретом, так и в системе отсчета, движущейся вместе с водой реки. Поэтому 4|=(dr/dr)«4j. 5. Для описания плоского движения точки часто оказывается удобным пользоваться полярными координатами г и <?, где г — расстояние от полюса О до рассматриваемой точки М, а <р - полярный угол, отсчитываемый от полярной oat ОА в направлении против часовой стрелки (рис. 1.4]. Скорость ч томи М можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие — ряда- * яльиую скорость ч, и трансверсальную скорость чф: т=*г+*в И (1-13) м Для отыскаиия значений ч, и чф запишем выраже- у ____________ ние полярного радиуса-вектора г точки М в форме 0 1 А Рис. 14 Г = г(1СО8ф+]ЯПф),' где 1 орт полярной осн О A, a j - орт оси, составляющей с ОА угол ф=я/2 (рис. 1.4). Тогда скорость точки М dr dr d? =« (icosp4-jsm«>)+r—(—isn<p+jcosp). dr dr dt Здесь icos<p+jsin <p=r/r единичный вектор, совпадающий по направлению с ради- усом-вектором г точки М, а — 1вшф+]совф=>ен единичный вектор, ортогональный вектору г. Таким образом, dr r dr r dp e_. dr * (1.14) •Например, в релятивистской механике, как будет показано в гл. 7, скорость точки тоже величина векторная, но в задаче, аналогичной вышеприведенной, vrfv(+v2 (разумеется, при значениях »1 и t>2, близких к с). 14
Из этих формул видно, что радиальная скорость точки характеризует быстроту изменения расстояния от точки до полюса, а трансверсальная — быстроту изменения полярного угла <р, т. е. быстроту вращения полярного радиуса-вектора- г точки. За время dr полярный радиус-вектор г точки Мповорачивается вокруг полюса.О ка малый угол d<p и прочерчивает круговой сектор площадью dS« 1/агащр. Величина называется секторной скоростью точки М. § 1.3. Ускорение 1. При любом движении точки, кроме равномерного прямолинейного движения, ско- рость точки изменяется. Для характеристики быстроты изменения скорости v точки в механике вводится векторная физическая величина, называемая ускорением. Ускорением называется вектор а, равный первой производной по времени г от скорости v этой точки: dv <1“) На основании (1.8) ускорение точки равно также дторойзфоизводной по времени от радиуса-вектора г этой точки: ирЭ □ йонн. dir --(зЬ\зЬ)=г Я=-----. Я'-' /-з:.,. СП (1.169 dra Разложение ускорения точки по базису i, j, к, т. е. на составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат, имеет вид a^aJ+aJ+Ojk, (1.17) где d®x d2x de, d3y do, dax 'dr “dr3* flj'_dz=dza’ fl'^dt’dfJ' (1.179 Здесь vy и vz — компоненты скорости точки, а х, у и z — координаты этой точки в рассматриваемый момент времени. 2. Если траектория точки — плоская кривая, то ускорение а точки лежит в згой плоскости. В общем случае траектория точки — пространственная кривая, а ускорение в лежит в соприкасающейся плоскости. В соприкасающейся плоскости есть два избран- ных направления — касательной к траектории (орт т) и главной нормали (орт а). Поэтому вектор в удобно разложить на две составляющие вдоль этих направлений, т. е. по базису т, и: =•,+•«. (1.18) Составляющая а,=а,т называется касательным или тянгенмпльяым ускорением точек, а составляющая ая« aju — иормальаым ускоремем точа. Для нахождение значений а, и ая компонент вектора я воспользуемся выражением (1.9) для скорости точки: Следовательно, d dv-, dt а=—(«т)«—т+ю—. (1Д9) dr . dr dr 15
Здесь dr — риращение орта касательной к траектории, соответствующее элементар- ному туги ds=t>dr, проходимому точкой по траектории за малое время dr (рис. 1.5, а). Вводу малости этого участка траектории его можно считать совпадающим с соответст- вующим участком соприкасающейся окружности радиуса Я с центром в точке О, As v которому соответствует центральный угол da=———dr. Я R Соответственно можно считать, что при перемещении по траектории на малое расстояние ds единичный вектор касательной поворачивается на угол da (рис. 1.5, б). Из равнобедренного треугольника векторов т, r+dr и dr видно, что ввиду малости da (dt|=2|r|sin(da/2)=»da, а по направлению вектор dr совпадает с ортом главной нормали и. Таким образом, dr da « —n=-n df dr R (1.20) и выражение (1.19) для ускорения точки можно переписать в более удобной форме: dv_ v1 *=—т+-п. (1.21) dr R 3. Из (1.21) видно, что касательное ускорение точки dt;_ •sMtA •»-— t. (1.22) df Касательное ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля ее скоро- сти. При ускоренном движении (dn/dr)>0 и вектор а^ совпадает по направлению со скоростью точки к, а проекция ускорения а на направление к ar=(dt»/dr)>0. При замедленном движении a-=(di;/dr)<0 и вектор а, противоположен по направлению скорости V. Движение точки называется равнопеременным, если в этом движении coast, т. е. за равные промежутки времени модуль скорости точки изменяется на одинаковые величины. В случае равноускоренного движения а,—const >0, а в случае равнозамедлен- ного движения a,=const <0. При равномерном движении Ог»0. 4. Нормальное ускорение точки, как видно из (1.19) и (1.20), равно da v1 B„-V — n=—n. dr Я (123) Оно характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки. Нор- мальное ускорение направлено всегда к центру кривизны траектории, так что его проекция на главную нормаль п не может быть отрицательной: (1.239 Рис. 1.5 Рис. 1.6 16
По этой причине нормальное ускорение точки часто называют также центростремитель- ным ускорением. Нормальное ускорение точки равно нулю только в том случае, если точка движется прямолинейно При равномерном движении точки. по окружности a„=const, но вектор изменяется, так как направление векторов п в разных точках окружности разные. Модуль ускорения точки (U4) При криволинейном движении точки вектор ее ускорения всегда отклонен от касательной к траектории в сторону ее вогнутости. В показанном на рис. 1.6 случае ускоренного движения точки-по криволинейной траектории угол <р между векторами а и т острый. При замедленном движении точки угол тупой. § 1.4. Поступательной движение твердого тела 1. Простейшим видом механического движения протяженного твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки этого тела, перемещаясь вместе с телом, остается параллельной своему первоначальному направлению. Поступательно движутся относительно земной (лабораторной) системы отсчета, например, шарик, подвешенный на пружине и совершающий колебания вдоль вер- тикальной прямой, поршень в цилиндре стационарного двигателя, кабина шахтного подъемника, резец токарного станка и т. д. На рис. 1.7 показаны траектории двух вершин А и В поступательно движущегося куба, а также точки С на диагонали АВ. Положению куба в начальный момент времени соответствуют точки Ао, Во и~С0. Траектории В^В и С0С идентичны траектории А0А и могут быть полностью совмещены с ней путем параллельного переноса вдоль прямой Л0Яо на расстояния А^Ва и А0С0. Таким образом, за время dr радиусы-векторы всех точек поступательно движущегося тела изменяются на одну и ту же величину dr drx«drB—drc=dr, где tA, гЛ гс, г — радиусы-векторы точек А, В, С и произвольной точки М тела. Соответственно в каждый момент времени скорости всех точек тела, а также их ускорения должны быть одинаковы: ’ и ал=аЛ=яс«а. Из этих соотношений видно, что для кинематического описания поступательного движения твердого тела достаточно рассмотреть движение какой-либо одной его точки. 2. В заключение напомним известные из средней школы соотношения для равнопере- менного прямолинейного поступательного движения тела по оси ОХ'. а=ят=ах. Так как ax»=(d»x/dr)=const, то •«(1)-»ж(0)+<Ы. (1-26) Так как »x=dx/dr, то зависимость от времени коор- - динаты х какой-либо точки М тела имеет вид t f «хГ* x(r)=x(0)+ vx(/)dr=x(0)+vx(0)r+-y-. (1.27) о Здесь х(0) и ех(0) — значения х и »х в момент начала отсчета времени (г=*0). (125) Рис. 1.7 17
Вопросы: 1. На каких аксиомах о свойствах пространства и времени основывается ньютоновская меха- ника? ' 2. В каких случаях модуль перемещения точки равен длине пути, пройденного точкой за тот же промежуток времени? 3. Как движется точка, если скорость этой точки все время ортогональна ее ускорению? 4. Какова траектория плоского движения точки, если ее радиальная скорость равна нулю? 5. Что можно сказать о скорости и ускорении точки, если ее траектория — винтовая линия?
Глава 2________________________________________ Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела § 2.1. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета 1. В основе классической динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные в его сочинении «Математические начала натуральной философии», которое было впервые опубликовано в 1687 г. Эти законы явились результатом гениального обобще- ния тех частных опытных и теоретических закономерностей в области механики, которые была установлены Ньютоном и такими выдающимися его предшествен- никами и современниками, как И. Кеплер, Г. Галилей, X. Гюйгенс, Р. Гук и др. В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон, установленный еще Галилеем. Пгрч1Й заем Ньютона гласит: сякое тело сохраняет состояние покоя или реоноемрного пряжолмнвЛиого движения ДО ТОХ ROfkf now янонямо еездвй отвив но вестввит ого иэяммитъ это состояние. Первый закон Ньютона утверждает, что состояние покоя или равномерного прямо- линейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздейст- вий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое ямрпюстыо. Соответственно первый закон Ньютона называют также законом иверцяя, а движение тела, свободного от внешних воздействий,— даинингм но япермви. 2. В приведенной выше формулировке первого закона Ньютона неявно подразумевает- ся, во-первых, что тело не деформируется, т. е. абсолютно твердое, и, во-вторых, что движется оно в отсутствие внешних воздействий поступательно. Между тем, как показывает опыт, твердое тело может также еще и равномерно вращаться по инерции. Необходимость во всех этих оговорках отпадает, если в первом законе Ньютона говорить не о «теле», а о материальной точке, которая по самому ее-определению не может ни деформироваться, ни вращаться. Поэтому в дальнейшем мы будем пользо- ваться следующей формулировкой этого закона: материальная тачка сохраняет состояния покоя или равно торного прямолинейного движения до тая пор, пока яиошиоо воздействие ио выведет ее из этого состояния. 3. Мы уже говорили о том, что механическое движение относительно и его характер зависит от выбора системы отсчета. Поэтому возникают естественные вопросы: о ка- ком покое и равномерном прямолинейном движении говорится в первом законе Ньютона? Как нужно выбирать систему отсчета, чтобы этот закон соблюдался? Ответ можно получить только из опыта. Оказывается, первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие неподвижно на 19
гладком полу каюты на корабле, который идет равномерно и прямолинейно по спокойной воде, могут прийти в движение по полу без всякого воздействия на них со стороны других тел. Для этого достаточно, чтобы корабль начал изменять курс или скорость хода, т. е. начал двигаться с ускорением. Системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции, называют* ся инерциальными системами отсчета. Естественно, что если бы. такие системы отсчета нельзя было указать, то и сам первый закон Ньютона потерял бы всякий смысл. Следовательно, в первом законе Ньютона содержатся два утверждения: во-первых, всем телам присуще свойство инерт- ности, и, во-вторых, можно указать системы отсчета, являющиеся инерциальными. . Свободная от внешних воздействий материальная точка должна иметь равное нулю ускорение относительно всякой инерциальной системы отсчета. Поэтому любые две инерциальные системы отсчета либо взаимно неподвижны, либо движутся друг относительно друга поступательно и притом равномерно и прямолинейно. 4. Опыты показали, что с очень большой степенью точности можно считать инерци- альной гелиоцентрическую систему отсчет*. Начало координат этой системы находится в центре масс (см. § 2.6) Солнечной системы*, а оси проведены в направлениях трех удаленных звезд, выбранных, например, так, чтобы оси системы координат были взаимно перпендикулярны. Лабораторная (земная) система отсчета неинерциальна главным образом из-за суточного вращения Земли. Однако это вращение очень мед- ленное. Поэтому в большинстве практических задач эффекты, которые обусловлены суточным вращением Земли и будут рассмотрены в гл. 6, оказываются пренебрежимо малыми, так что лабораторную систему отсчета можно с достаточной степенью точности считать инерциальной. В специальной теории относительности показано, что инерциальные системы от- счета играют особую роль не только в механике, но также и во всех других разделах физики: математическая запись любого физического закона должна иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому в дальнейшем мы будем пользо- ваться только такими системами отсчета, не оговаривая это специально. Особенности описания движения материальной точки относительно неинерциальной системы от- счета рассмотрены в гл. 6. § 2.2. Сила 1. В качестве меры механического действия одного тела на другое в механике вводится векторная величина, называемая силой. Механическое взаимодействие может осуществ- ляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении тел друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами. Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и пере- дающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физичес- ким полем или просто полем. Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей (например, притяжение планет к Солнцу, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц и тел, проводников с током и т. п.). Пользуясь понятием силы, в механике обычно говорят о движении и деформации рассматриваемого тела под действием приложенных к нему сил. При этом, конечно, каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее с этой силой. Сила F полностью задана, если указаны ее модуль F, направление в пространстве и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называ- ется линией действия илы. Поле, действующее на материальную точку с силой F, называется стшщоняриым полем, если оно не изменяется с течением временя. Для стационарности поля необ- *Масса Солнца почти в 750 раз больше суммы масс всех остальных тел Солнечной системы. Следовательно, можно приближенно считать, что центр масс Солнечной системы практически совпадает с центром Солнца. 20
ходимо, чтобы создающие его тела покоились относительно инерциальной системы отсчёта, используемой в данной задаче. 2. Измерение силы, т. е. сравнение ее с силой, принятой за единицу силы, можно произвести, основываясь, например, на таком проявлении механического действия, как деформация упругого тела. На этом принципе основаны известные из курса средней школы пружинные динамометры. Одиако определение значения силы с помощью пружинного динамометра нуждается в некоторых пояснениях. При пользовании таким динамометром предполагается, что между модулем измеряемой силы F, действующей вдоль оси пружины динамометра, и соответствующим этой силе растяжением х (или сжатием) пружины существует линейная, зависимость F=/tx, (2.1) где к коэффициент пропорциональности, зависящий от упругих свойств пружины. Спрашивается: как же, не умея еще измерять силы, убедиться в правильности соот- ношения (2.1)? Для этого на динамометр поочередно действуют двумя разными по модулю, но одинаковыми по направлению силами Ft и Fj (например, подвешивая к динамометру два разных груза), а затем одновременно обеими силами Ft и F2, т. е. силой F3 = FI + F2. Соответствующие деформации пружины обозначим хьх2 и х3. Из (2.1) следует, что х'-к- к Согласие найденных из опыта значений хь хг и х3 с этой формулой является косвенной проверкой справедливости соотношения (2.1). Опыты показали, что при достаточно малых деформациях х, т. е. при действии на пружину не слишком больших сил, закон Гука (2.1) выполняется с большой степенью точности. 3. Опыты показали, что механическое действие на тело л сил Fb F2, ..., Fm которые одновременно приложены в одной и той же точке М тела, полностью эквивалентно действию одной силы F, равной их геометрической сумме: Я \ F=£F, i-i и приложенной в той же точке М тела. Заметим, что в тех (обычно реализующихся) случаях, когда силы Fb F2,..., F„ приложены в разных точках тела, их действие на тело нельзя заменить действием одной вышеуказанной силы F. Поэтому такое довольно распространенное название силы F, как «результирующая» или «равнодействующая» сила, следует понимать буквально лишь применительно к материальной точке. В абсолютно твердом теле точку приложения силы можно переносить вдоль линии действия этой силы, т. е. силу можно рассматривать как скользящий, а не закрепленный вектор. 4. Рассмотренный нами метод измерения сил с помощью пружинного динамометра принадлежит к числу статических методов, в которых измеряемая сила уравновешива- ется известной силой (например, действующей со стороны эталонной пружины динамо- метра). Между тем действие силы на тело может проявляться не только статически, но и динамически, т. е. в соответствующем изменении состояния механического движения тела. Поэтому возможен также динамический метод измерения сил путем сравнения изменений движения одного и того же эталонного тела, вызываемых измеряемой силой . и силой, принятой за единичную. Однако для практического применения этого метода необходимо предварительно знать закон изменения движения тел под действием сил. Таким законом для материальной точки Является второй закон Ньютона. Основываясь на нем, можно, конечно, производить измерение сил, как это обычно и делают на практике. Во многих случаях такой метод измерения сил вообще единственно возмож- ный (например, для измерения сил тяготения планет к Солнцу, сил, действующих на 21
электроны, протоны и другие заряженные частицы в электромагнитных полях). Однако при установлении самого второго закона Ньютона нужно было пользоваться не связанным с ним методом измерения сил. 5. Тело называется свободами, если на его перемещения не наложено никаких ограни- чений. Свободное тело может занимать всевозможные положения в пространстве и дви- гаться любым образом. Свободными телами являются, например, летящий космичес- кий корабль или самолет, плывущая в толще воды подводная лодка. В большинстве случаев тела нельзя считать свободными, так как на их возможные положения и движения наложены те или иные ограничения, которые называются в механике связями. Например, роторы турбин и электрических генераторов на элект- ростанциях могут только вращаться, а поршни компрессоров двигаться в цилиндрах только поступательно, трамвай и поезд могут перемещаться только вдоль рельсов, а остальной наземный транспорт — только по поверхности земли. Связи осуществля- ются посредством действия на несвободное тело других тел, которые скреплены или соприкасаются с ним (например, подшипников, стенок цилиндра, рельсов, дорожного покрытая и т. п.). При изучении поведения несвободных тел или их систем в мех анике пользуются принципом освобождяемостя: несвободное тело (или систему тел) можно рассматри- вать как свободное, заменив действие на него тел, осуществляющих связи, соответст- вующими силами. Эти силы называются реакциями связей, а все остальные силы, действующие на тело, называются активными силами. Так, задача о движении несвободного шарика, подвешенного на нерастяжимой нити и движущегося под действием силы тяжести, сводится с помощью принципа освобождаемости к задаче о движении свободного шарика, на который помимо силы тяжести действует еще реакция нита. Принцип освобождаемости непосредственно вытекает из самого определения силы как меры механического действия тел друг на друга. Ведь тела, осуществляющие связи, именно потому и ограничивают движение рассматриваемого тела, что действуют на него с соответствующими силами — реакциями связей. Отличие реакций связей от активных сил состоит лишь в том, что в задаче о движении несвободного тепа значения активных сил обычно бывают заранее извест- ны (заданы при постановке задачи), а значения реакций связей заранее не известны. Их нужно найти по ходу решения задачи. Таким образом, нет никаких принципиальных различий между этими силами. Найденные значения реакций связей должны быть такими, чтобы движение «освобожденного» тела под действием активных сил и реак- ций связей полностью согласовалось с ограничениями, наложенными на несвободное тело. Например, при соскальзывании тела по наклонной плоскости на него действуют две активные силы: сила тяжести и сила трения скольжения. Вводя в рассмотрение силу нормальной реакции плоскости, мы можем «освободить» тело. Однако под действием указанных сил тело должно двигаться параллельно «отброшенной» нами наклонной плоскости. В дальнейшем, рассматривая закономерности д ижения тел под действием сил, мы постоянно будем пользоваться принципом освобождаемости. Иными словами, мы всегда будем считать, не оговаривая это каждый раз, что рассматриваемое тело свободно или «освобождено». Соответственно всюду, где это необходимо, мы будем включать в число действующих на тело сил помимо активных сил также и реа щи связей, не делая между ними каких-либо различий в обозначениях. В. Свободная материальная точка может совершать три независимых между собой перемещения — вдоль трех осей координат: OX, OY и OZ. При соскальзывании по наклонной плоскости материальная точка может совершать уже только два независи- мых перемещения, так как ее координаты все время должны удовлетворять одному условию связи — уравнению наклонной плоскости. , Число независимых возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы. Итак, свободная материальная точка имеет три степени свободы, а материальная точка, безотрывно скользящая по наклонной плоскости или какой-либо другой поверх- ности, имеет две степени свободы. 22
§ 24. Масса 1. Основная задача динамики заключается в выяснении того, как изменяется механи- ческое движение тел под влиянием приложенных к ним сил. Опыты показали, что под действием силы F свободное твердое тело изменяет свою скорость т, приобретая ускорение а. Это ускорение пропорционально силе и совпадает с ней по направлению: (2.2) где ki — положительный коэффициент пропорциональности, постоянный для каждого конкретного тела*, но, вообще говоря, неодинаковый для разных тел и зависящий еще от выбора единиц силы и ускорения. Соотношение (2.2) служит убедительный'Подтверждением того, что тела обладают свойством инертности. Ведь именно благодаря инертности тело изменяет стою ско- рость не мгновенно, а постатейно, приобретая под действием силы конечное ускорение. 2. В качестве меры инертности тела в механике вводится положительная скалярная величина т — масса тела. Чем больше инертность тела, а следовательно, и его масса т, тем меньшее ускорение оно должно приобретать под действием одной и той же силы F. Поэтому, полагая в (2.2) kt ^к^т и учитывая, что во всех системах единиц физичес- ких величин коэффициент 1, получаем F , (23) т Из постоянства для данного тела коэффициента —1/т следует, что масса те- ла — величина постоянная, не зависящая ни от состояния движения тела, ни от его местоположения в пространстве, ни от того, действуют на него другие тела или нет**. Поэтому для сравнения масс тл и т2 двух тел достаточно сравнить ускорения at и а2, приобретаемые ими под действием одной и той же силы. Из (2.3) следует, что mj/mjooi/ai. 3. Как показывает опыт, масса — величина аддитивная: масса тела равна сумме масс всех частей этого тела. Соответственно масса произвольной механической системы равна сумме масс всех материальных точек, на которые эту систему можно мысленно разбить. Обычно массу тела определяют, сравнивая ее с массой эталонных тел (гирь) путем взвешивания на рычажных весах. Этот метод основывается на следующей эксперимен- тально установленной закономерности для свободного падения тел: в одной и той же точке земного шара все тела свободно падают с одинаковым ускорением g. Свободное падение вызывается действием на тело единственной силы — силы тяжести тела Р, так что, согласно (2.3), g-P/>n (2.4) и отношение масс двух тел 4. Инертность тел можно продемонстрировать с помощью ряда опытов. Рассмотрим два таких опыта. Опыт. Стеклянную колбу ставят на край листа бумаги, лежащей на горизонтальной поверх- ности стола. Затем, взявшись за другой край листа, медленно тянут его вдоль стола. При этом бумага вместе со стоящей на вей колбой перемещается по столу. Если же бумагу потянуть рымом, то она выдергивается из-под колбы, которая продолжает стоять на столе. Различное поведение ко лбы в этих двух случаях непосредственно связано с ее инертностью. Для приведения колбы в движение относительно стола к ней нужно приложить горизонтальную силу F»ma, где т — масса колбы, а — сообщаемое ей ускорение. Роль этой силы играет сила трения между 'Напомним, что в рассматриваемой нами задаче классической (ньютоновской) механики скорость тела «<<с, где с — скорость света в вакууме. "Заметим, что независимость массы тела от его скорости полностью согласовалась с пред- ставлениями Ньютона о том, что масса тела определяется количеством вещества («материи»), содержащегося в этом теле. 23
колбой и листом бумаги. Однако, как известно из школьного курса, ^fyng, где/ё — коэффици- ент трения. Поэтому если ускорение а,, сообщаемое листу бумаги, невелико (а[ <fog), то сила трения покоя достаточна для сообщения колбе такого же ускорения, так что колба движется вместе с бумагой. Если же ускорен s а, листа бумаги очень велико, то колба приобретает пой действием силы трения скольжения ускорение о-/о£«Я1- За очень малый промежуток времени, в течение которого происходит выдергивание бумаги из-под колбы, последняя практически не успевает сдвинуться с места. Опыт. Два кольца одинакового размера, вырезанные из чертежной бумаги, подвешивают на одном уровне на горизонтальные стержни, укрепленные в штативах. В вырезы колец вставляют Тонкую и длинную деревянную планку так, что она своими концами опирается на бумажные кольца и висит горизонтально. Затем медленно нажимают массивным металлическим стержнем на середину планки до тех пор, пока одно из колец не рвется и планка падает на пол. Вновь подвешивают планку на бумажные кольца и тем же металлическим стержнем резко ударяют по середине планки. При этом планка ломается, а кольца остаются целыми, так как из-за ш >тности планки ее концы не успевают за очень короткое время удара сместиться настолько, чтобы порвать кольца. ' § 2Д. Основной закон динамики материальной точки 1. Уравнение (2.3) описывает изменение движения протяженного тела под действием силы только при условии, что тело не деформируется и движется поступательно. В противном случае ускорения разных точек тела неодинаковы и изменение движения всего тела нельзя описать с помощью единого для всего тела ускорения а. Для материальной точки в отличие от протяженного тела уравнение (2.3) справедливо всегда. Поэтому его следует рассматривать как математическую запись основного засова динамики материальной томен: ускорение материальной точки пропорционально вызыва- ющей его сила, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки. 2. В ньютоновской механике масса материальной точки не зависит от времени I, а ускорение a=dv/df, где т — скорость точки. Поэтому уравнение (2.3) можно перепи- сать в форме d ^(wr)-F (2.5) или dp J-F. (2.6) Вектор р, равный произведению массы материальной точки на ее скорость, называ- ется импульсом материальной точки. В теоретической механике (а также раньше и в физике) вектор тт называется количеством движения. Импульс материальной точки — одна из важнейших ее динами- ческих характеристик. Основной закон динамики материальной точки, записанный в форме (2.5) или (2.6), утверждает, что скорость изменения импульса материальной точки равна дей- ствующей на нее сил». В этом утверждении и состоит, согласно современной терминологии, содержание второго закона Ньютона. У самого Ньютона второй закон динамики был сформулиро- 24
ван следующим образом (в перевода акад. А. Н. Крылова): «Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по напрянпе- нию той прямой, по которой эта сила действует». Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причинности в классической механике, так как устанавливает однозначную связь между изменением с течением времени состояния движения и положения в пространстве материальной точки и действующей на нее силой. Этот закон позволяет, зная начальное состояние материальной точки (ее координаты и скорость в какой-либо начальный момент времени) и действующую на нее силу, рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени. 3. На основании обобщения опытных фактов был сформулирован важный принцип ньютоновской механики, названный принципом независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то каждая из них сообща- ет материальной точке такое же ускорение, как если бы других сил не было. Таким образом, ускорение а, приобретаемое материальной точкой массы т под действием одновременно приложенных к ней сил Fb F2,.... Fn, равно " " F, 1 " F a= £ af= £ L F'=~ r-i i-i m m,-i w (2.7) И . . ' • где F= £ F, — результирующая сила. Эта сила, так же как ускорение а материальной точки, лежит в соприкасающейся плоскости и может быть разложена в этой плоскости на две составляющие — касательную к траектории (F,) и нормальную (F„): F=Ft+F„. Из (2.7) следует, что касательное и нормальное ускорения точки соответственно равны aI=>FT/m, an=Fn/w. (2.79 Нормальная сила Ря, так же как и ускорение ал, направлена к центру кривизны траектории. Из (1.23) видно, что Fn=/w2n//?, F„=mv2IR, (2.8) где R — радиус кривизны траектории материальной точки, a v — ее скорость. Согласно (1.22), dv _ т dr Ft=mal=m — т =-----v. (2.9) dr v dr , 4. Рассмотрим некоторые частные случаи: 1) вектор Ft совпадает пр направлению с v — точка движется ускоренно (dv/dr>0); 2) вектор F, противоположен по направлению v точка движется замедленно (d»/dr<0); 3) Fr=0 точка движется равномерно (dt>/dr=O); 4) F,=0, a F„=const точка движется равномерно (г=const) по траектории с постоянным радиусом кривизны (Я=const), т. е. в случае плоской траектории -- по окружности, а в случае пространственной траектории - по винтовой линии. 5. Перепишем- основной закон динамики материальной точки (2.6) в форме dp=Fdr. (2.10) Вектор Fdr называется элементарным импульсом силы F за малый промежуток времени dr ее действия. Таким образом, из основного закона динамики материальной 25
точки и принципа независимости действия сил следует, что изменение импульса материальной точки за малый промежутодйфбмени dr равно элементарному импульсу за тот же промежуток времени рсзудьпфующей всех сил, действующих на эту матери- альную точку. ” Изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени от г = до I—12— ti +Аг найдем, интегрируя уравнение (2.10): Р2-р,= | Fdr. (2.11) Интеграл, стоящий в правой части уравнения (2.11), есть импульс силы F за промежуток времени Аг=г2 —Г|. Если на материальную точку действует постоянная сила F, то Pi-ft-Ffe-rj). (2.11') В случае переменной силы P2-Pi = <F>(r2-r1), (2.11") где <F> среднее значение переменной силы F в промежутке времени от г( до г2, т. е. такая постоянная сила, импульс которой за рассматриваемый промежуток времени равен импульсу переменной силы F. § 2.5. Закон изменения импульса 1. Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие двух тел друг на друга всегда является их взаимодействием. Если тело 2 действует на тело /, то при этом обязательно тело /, в свою очередь, действует на тело 2. Так, например, на ведущие колеса электровоза действуют со стороны рельсов силы трения покоя, кото- рые направлены в сторону движения электровоза. Сумма этих сил и. есть сила тяги электровоза. В свою очередь, ведущие колеса действуют на рельсы с силами трения покоя, направленными в противоположную сторону. Количественное описание механического взаимодействия тел было дано Ньютоном в его третьем законе динамика:* «Действию всегда ость равное и противоположное противо- действие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга меж- ду собой рваны и направлены в противоположные стороны». F21 = -Fi2, (2.12) где F2| сила, действующая на второе тело со стороны первого, F,2 на первое со стороны второго. В дальнейшем мы будем пользоваться третьим законом Ньютона, сформулирован- ным применительно к двум материальным точкам: два материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противоположные стороны вдоль соединяющей эти точки прямой. *Перевод акад. А; Н. Крылова. 26
2. Третий закон Ньютона в соединении с сто первым в вторым законами позволил перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной меха- нической системы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из л материальны* точек. Для ьй материальной точки системы, согласно второму закону Ньютона (2.5), 7 (2.13) а/ Здесь лл( и т( — масса и скорость t-й точки, F( — сумма всех действующих на нее сил. Будем называть внешнимн телами все тела, не входящие в рассматриваемую механическую систему. Соответственно будем называть виепмив св вив силы, дейст- вующие на тела системы со стороны введших тел, а мутроиимв силами — силы взаимодействия частей самой системы. Тогда силу F( в уравнении (2.13) можно пред- ставить в виде суммы внешних и внутренних сил: >W7“+ 1 ₽иь (2.14) где F“ — результирующая всех внешних сил, действующих на i-ю точку системы; Рц — внутренняя сила, действующая на эту точку со стороны А-й. Подставим выраже- ние (2.14) в (2.13): 7 (W>F-»+ £ Ftt. (2.133 d' t-i Суммируя левые и правые части уравнений (2.133, записанных для всех п матери- альных точек системы, получаем ₽7"+Ё £f(*. <-i« i.i j-i *-i (2.15) По третьему закону Ньютона, силы взаимодействия r-й и к-й точек системы равны по модулю и противоположны по направлению: F*(= — F<*, так что F/*+F*(=O и сумма всех внутренних сил в системе t £ Fj*=O. (2.16) <-i *-i Геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, (2.17) называется главным вектором внешних сил. Импульсом (количеством движения) механической систеьш называется вектор р, равный сумме импульсов всех материальных точек этой системы: р= Е Е «Ль (2.18) <-| /-1 По известному правилу дифференцирования суммы, dp d " Д <1 7-- Е «Л= Е 7 (2.19) dr dr f_| , | dt Таким образом, из (2.15) — (2.19) следует 27
dp , внеш -=F . (220) di * 5. Это уравнение выражает зеков жпаяиш импульса механической системы: производим по вромоии от импульса механической системы равна главному вектору нмешмих сил, дойствуммцих на си- t стому. 3. Рассмотрим в качестве примера простейшую механическую систему — твердое тело, движущееся поступательно. Скорости всех материальных точек, на которые можно мысленно разбить тело, одинаковы и равны скорости т поступательного движения тела. Поэтому импульс тела р=шт, где т — масса тела. Уравнение (220) в этом случае можно рассматривать как основной закон динамики поступательного движении твердого тела: (221) ИЛИ 1 BWm a=-F , т (221') где а — ускорение тела в поступательном движении. § 2Л. Центр масс и закон его движения 1. В динамике широко используется понятие центра масс механической системы. - Центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется точка С, радиус-вектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных точек системы на их радиусы-векторы к массе всей системы: 1 ” гс~- £ т,гь (2.22) т (-1 Я где т, и т( — масса и радиус-вектор i-й материальной точки, п и — общее /-1 число этих точек в системе и ее суммарная масса. В частности, если радиусы-векторы проведены из центра масс С (обозначим их г?), то f л»,#=0. (2.22') . Таким образом, центр масс — это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиусы-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю. В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протя- женного тела) радиус-вектор центра масс системы (ж) 28
где г радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm, а интег- рирование проводится по всем элементам системы, т. е. по всей ее массе т. 2. Скорость центра масс механической системы равна отношению импульса этой системы к ее массе: drc 1 - dr; 1 " р *с= = Д = £ /n,v,= . ' dr т. . dr т т (2.23) Соответственно импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс: p=/nvc. Подставив это выражение для р в уравнение (2.20), получим закон движения центра масс: dr Из сравнения (2.24) с (2.5) видно, что центр масс механической системы движется как материаль- ная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору приложен- ных к системе внешних сил. Этот закон показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызывать изменения скоростей этих частей (например, при разрыве снаряда на несколько осколков), но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс. 3. Для иллюстрации сказанного рассмотрим пример, хорошо знакомый каждому. При переходе человека с носа на корму лодки, которая первоначально стояла непо- движно на спокойной воде озера, лодка перемещается относительно воды и берега в противоположном направлении. Если бы не было сопротивления воды движению лодки, то при переходе человека лодка должна была бы смещаться таким образом, чтобы центр масс системы человек лодка оставался в покое относительно берега. В действительности на лодку, движущуюся в воде, действует горизонтальная внешняя сила сопротивления воды F и перемещение лодки оказывается несколько меньшим. Поэтому при переходе человека по лодке центр масс системы смещается относительно берега в направлении силы F, т. е. в направлении перемещения человека. 4. Механическая система, на которую не действуют внешние силы, называется замкну- той системой. Строго говоря, замкнутых систем нет хотя бы уже потому. что на все тела действуют силы тяготения. Однако реальную систему тел можно приближенно считать замкнутой, если силы взаимодействия частей этой системы во много раз больше внешних сил. Например, внешние силы тяготения, действующие на тела Солнечной системы, пренебрежимо малы по сравнению с силами тяготения этих тел друг к другу. Поэтому с достаточно большой степенью точности можно считать ' Солнечную систему замкнутой. Из закона движения центра масс (2.24) следует, что скорость vc центра масс замкнутой механической системы не изменяется с течением времени. Иными словами, центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета. В качестве системы отсчета в механике часто пользуются системой центра масс - поступательно движущейся системой отсчета, относительно которой центр масс рас- сматриваемой механической системы неподвижен. Из сказанного выше ясно, что 29
система центра масс замкнутой механической системы инерциальна. Если же механичес- кая система не замкнута и главный вектор внешних сил f"” #0, то скорость центра масс vc# const и система центра масс такой механической сшстемы неишрци- альна. § 2.7. Движение тела переменной массы 1. В ньютоновской механике считается, что масса тела не зависит от его скорости. Однако это вовсе не означает, что всегда при движении тела его масса остается постоянной. Она может изменяться за счет обмена веществом между телом и внешней средой, т. е. вследствие изменения состава движущегося тела. Например, масса враща- ющейся катушки с кабелем увеличивается или уменьшается в зависимости от того, наматывается на нее кабель или сматывается. Типичным примером движения тела переменной массы может служить полет ракеты на активном участке ее траектории, т. е. в процессе работы установленного на ней двигателя. Продукты сгорания запасен- ного в ракете топлива выбрасываются через сопло двигателя, и масса ракеты постепен- но уменьшается. 2- Основное уравнение динамики материальной точки (а также поступательно движу- щегося тела) переменной массы впервые было получено И. В. Мещерским (1897). Изменение за малое время dr импульса р системы, состоящей из поступательно движущегося тела переменной массы и отделяющихся от него за это время (или присоединяющихся к нему) частиц, равно dp *=(m+dm) (v+dr)—rm—V|dm' Здесь m и v - масса и скорость тела в момент времени Г; dm и dr — их изменения за малый промежуток времени dr; v( — скорость отделяющихся частиц после отделения (их общая масса (—dm)> 0) или присоединяющихся частиц до присоединения (их общая масса dm>0). Выполнив преобразования и отбросив член dmdv, являющийся малым высшего порядка малости по сравнению с остальными, получим dp=mdv+(v—Vj)dm или dp=mdv—ndm, (2.25) где U=Т| — v скорость отделяющихся частиц после отделения (или присоединяющих- ся частиц до присоединения) по отношению к телу переменной массы, называемая относительной скоростью этих частиц. Подставив выражение (2.25) в закон изменения импульса (2.20), получим уравнение Мещерского: (2-26) 3- Векторная величина _ dm F»=« - (2-27) имеет размерность силы и называется реактивной силой. Она характеризует механичес- кое действие на тело отделяющихся от него или присоединяющихся к нему частиц (например, действие на ракету вытекающей из нее струи газов). Идея использования реактивной силы для создания летательных аппаратов выска- зывалась уже давно. Так, в 1881 г. революционер-народоволец Н. И. Кибальчич, находясь в тюрьме перед казнью за участие в убийстве царя Александра II, составил 30
проект реактивного летательного аппарата. Однако этот проект затерялся в тюремных архивах и впервые был опубликован только в 1918 г. Вся жизнь выдающегося ученого и изобретателя К. Э. Циолковского была посвящена вопросам ракетной техники и применению ракет, для межпланетных сообщений. Уже в 1903 г. он опубликовал статью, в которой были заложены основы теории движения ракеты и жидкостного ракетного двигателя (ЖРД). Теория воздушно-реактивного двигателя впервые была разработана и опубликована Б. С. Стечкиным (1929). 4. Циолковский впервые опубликовал (1903) формулу для расчета максимальной скорости, которую может развить ракета, двигаясь под действием одной только реактивной силы тяги ЖРД, т. е. в отсутствие сил тяготения и сопротивления воздуха. Полагая в уравнении Мещерского (2.26) F*"aa=0, получим следующее уравнение движения ракеты: dv dm т — = —. it dt (2.28) где и — скорость истечения продуктов сгорания из сопла ракеты, измеренная от- носительно ракеты. Если начальная скорость ракеты равна нулю, а траектория — прямая линия, то скорости т ' и н направлены во взаимно противоположные стороны. В проекции на направление д вижения ракеты получим из (2.28) , f dv dm т—=— и — dt dt или dm -и —. (2.28') m Если mq — стартовая масса ракеты, а ж*=»1о—— конечная масса ракеты после окончания работы двигателя вследствие выгорания всего топлива (т? — суммарная масса топлива и окислителя в полностью снаряженной ракете на старте), то мак- симальная скорость ракеты может быть найдена из (2.28Q путем интегрирования: или «м«с=“1п------. (2.29) Эта формула называется формулой Циолковского, а скорость — характеристи- ческой скоростью ракеты. В действительности из-за влияния тяготения Земли и аэроди- намического сопротивления атмосферы скорость ракеты в момент полного выгорания топлива и прекращения работы двигателя значительно меньше характеристической скорости (229). Из-за ряда технических трудностей широкое развитие реактивной и ракетной техники началось только в период второй мировой войны и особенно после ее окончания. Применение реактивных двигателей в авиации позволило во много раз увеличить скорости самолетов, дальность их полетов и грузоподъемность. Ракетная техника явилась той базой, на основе которой стали возможными запуски искусствен- ных спутников Земли, пилотируемых космических кораблей, орбитальных и меж- планетных станций. 31
Вопросы: 1. Какова логическая связь между тремя законами Ньютона? Нельзя ли рассматривать первый закон как следствие второго? — 2. На твердое тело действуют две силы Ft и Fa, приложенные в разных точках тела. Где нужно приложить силу F— Ff+Fa. чтобы она был эквивалентна по своему действию на тело силам Fi и Fj? 3. Зависит ли закон движения центра масс тала от того, твердое это тело или деформируемое? В каких случаях скорость центра масс остается постоянной? 4. В чем состоит закон изменения импульса механической системы и как на его основе получить уравнение Мещерского для тела переменной массы? 5. Что такое характеристическая скорость ракеты и как ее можно увеличить?
Глава 3 Работа и механическая энергия ветствующих эвергией. система т$л и Энергиа^к иней между § 3.1. Работа силы 1. В качестве единой кбяичественной меры различных форм движения материи и соот- I взаимодействий в физике вводится скалярная величина, называема» ' " лмлемое свойство материи. Поэтому любое тело, любая й^гт энергией, или, как часто говорят, запасом энергии. характеризует эту систему в отношении возможных я. Эти превращения происходят вследствие взаимодействия Й также между системой и внешней средой. Для различных .. тствующих им взаимодействий в физике вводят различные яцДЫ(д-^рмы) э -—механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную /ж 't'* В эт°й главе мы рассмотрим механическую энергию, являющуюся мерой мв*имкк0го движения рассматриваемой системы, а также механического взаимодей- тмсистемЬг друг с I ис внешними телами. йто< движения тела и, следовательно, его механической энер- ессемеханического действия на рассматриваемое тело со сторо- ' срой этого действия служат соответствующие силы. Поэтому в даль- I будем говорить рб изменении механической энергии'тела под влиянием к нему сил. Для количественного описания такого процесса изменения энергии тела вводят в механике понятие работы силы. У Элементарной работой ЙЛ силы F на малом перемещении dr точки М приложения силы называется скалярное произведение F на dr: &4=Fdr=Fvdt, (3.1) где г и v=dr/dr — радиус-вектор н скорость точки М\ dr -г- малый промежуток време- ни, в течение которого сила F совершает работу ЗА. Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то 5X=F|dr|cosa=Fdjcosa=FTdj, (3.2) где ds=|dr| — путь точки М за малое время dr; a — угол между силой F и элементар- ным перемещением dr (или скоростью т) точки М\ FT=Fcosa — проекция силы F на направление dr (или v). Из (3.1) и (3.2) видно,'что сила не совершает работы в двух случаях: а) точка приложения силы неподвижна (г—const, а dr=O); б) угол а=±я/2, т. е. сила F направлена по нормали к траектории точки ее приложения (F±v). Если Fx> 0, т. е. угол a — острый, то ЗА > 0. Такая сила называется движущей силой (например, сила тяги двигателя ракеты). Если же Ft<0, т. е. угол a — тупой, то ЗА <0. Такая сила называется тормозящей силой (например, сила трения скольжения). В прямоугольных декартовых координатах F=Fxi+FJ+Fzk и dr=dxi+dyj+dzk. Поэтому, согласно правилу скалярного умножения векторов, элементарная работа силы F равна 5X=Fzdx+F7dy+FId2. (3.3) 33 2 Курс физики
Здесь х, у, г - координаты точки приложения силы; F„ Fy, FT — проекции силы F на оси координат. 3. Сила F, действующая на материальную точку М, как правило, изменяется по мере перемещения точки М относительно системы отсчета. При этом сила F может зависеть как от координат х, у, г точки М (например, сила тяжести тела зависит от географичес- кой широты и высоты над уровнем моря места нахождения тёпа), так и от скорости v точки М (например,' аэродинамическая сила, действующая на летящий в воздухе самолет). Иными словами, сила F a общем случае — функция нескольких переменных. Поэтому, ках показывается в математике, элементарная работа (3.3) силы F не являет- ся, вообще говоря, полным дифференциалом какой-либо функции координат точки М. Поскольку в математике символ d/ -~ общепринятое обозначение полного дифференци- ала функции f многих переменных*, мы здесь и всюду в дальнейшем обозначаем элементарную работу силы символом 6 А, а не дА. 4. Работа At _2, совершаемая силой F на конечном перемещяйи точки ее приложения М из положения / в положение 2, равна сумме элементарных работ силы F на всех малых участках траектории точки М от 1 до 2. Эта сумма приводится к интегралу: Г ? Я,_2» ГFdr= ГF.dx, , (3.4) 1 '• -Jt где s дуговая координата точки М, отсчитываемая йЯ9ЯжйО|мЁктория; я» — значения s в точках I и 2; Лз“з2—з( длина дуги траектория меящу , / и 2, т. е. путь точки М от начального положения I В м^^агее зт^ интеграл называется криволинейным интегралом. Его ймчнг ir п1И>ь-..4^ТаН*Иаождс- нию определенного интеграла: для этого необходимю*аojteb зшисймость F, от дуговой координаты з. Если эта зависимость задана графвчесазя 4ряс. 3.1), то элементарная работа 6А силы F на малом участке траектории точкиж от з до з+dt измеряется площадью заштрихованного на рис. 3.1 узкого прямоугольника шириной dy«(3j-r3|) и высотой F, (з). Работа A^j силы F на всем участке 12 траектории измеряется площадью, ограниченной осью абсцисс, графиком зависимости F, от я и вертикаль- ными прямыми х-Xi и з«з2, т. с. площадью криволинейной трапеции 31 12х2. 5. Сила F, действующая на материальную точку М, называется потtнив а и пой, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положений точки М. Работа потенциальной силы не зависит ни от вида траектории точки М между ее начальным (1) и конечным (2) положениями, ни от закона движения точки М по траектории: Л1-в-1==Л|_*_2 = .4|_2, где Л|_«_2 и Л1_д_2 значения работы потенциальной силы при перемещении точки М из 1 в 2 по траекториям 1—а—2 и 1—Ь—2 (рис. 3.2). Изменение направления движения точки М вдоль малого участка траектории на противоположное вызывает изменение знака проекции F, потенциальной силы и знака •Если f (х, у, г) функция трех переменных х, у, г, то полным дифференциалом этой функции называется выражение ИГ Л Sf л ^л d/ь» dx+ dy+- dr, Bx By Bi г sf в/ в/ где , и — частные производные от функции f по соответствующим аргументам, вычис- дх By Bz лжемые в предположении, что все другие аргументы, кроме рассматриваемого, фиксированные параметры. 34
ее элементарной работы 6X=Fdr. Следовательно, Л2-ь~1«*—Л1-.»_2. Поэтому работа потенциальной силы вдоль замкнутой траектории I—d~2—b—1 равна нулю: Л1-<-2-»-1 = Л1_<_2+Л2-*_1=Л1_<_2—Л|-4_г—0. (3.5) Точки / и 2, а также участки замкнутой траектории 1—а—2 и 2—Ь—1 можно выбирать'совершенно произвольно. Таким образом, работа потенциальной силы на произвольной замкнутой траектории L точки ее приложения равна нулю: f f Fdr=O. (3.6) В этой формуле кружок на знаке интеграла показывает, что интегрирование прово- дится по замкнутому контуру L. Силы взаимодействия частей (материальных точек) системы потенциальны, если они зависят только от взаимного расположения всех частей системы. Примерами таких сил могут служить силы тяготения и силы электростатического взаимодействия заря- женныхтел. в. Не изменяющееся с течением времени (стационарное) поле, действующее на мате- риальную точку с силой F, называется иотемевальным молем, если сила F потенциальна, т. е. удовлетворяет усложню (3.6). Однако, как правило, внешние тела перемещаются относительно инерциальной системы отсчета, используемой для описания движения рассматриваемой материальной точки или системы точек. При этом поля, связанные с внешними телами, нестационарны. Сила F, действующая на материальную точку М со стороны нестационарного поля, изменяется с течением времени г даже если положение точки М относительно системы отсчета полностью сохраняется; В таких случаях говорят, что сила F зависит от времени явно. Иными словами, для нестаци- онарного поля dF/dz?H). Например, сила электрического притяжения или отталкива- ния, действующая на неподвижное заряженное тело со стороны движущегося заряжен- ного тела, увеличивается при приближении второго тела к первому. Нестационарное поле, так же как и стационарное, называется потенциальным, если для него выполняется условие (3.6), где значения силы F в разных точках контура L при вычислении интеграла нужно брать в один и тот же момент времени г, т. е. при выполнении интегрирования считать г фиксированным параметром. 7. Существуют силы, которые не принято называть потенциальными, хотя они и удов- летворяют соотношениям (3.5) и (3.6). Они зависят от скоростей материальных точек, на которые действуют, и направлены перпендикулярно этим скоростям. Работа таких сил, часто называемых пфоошинчеоонш силами, всегда равна нулю независимо от того, хак движутся материальные точки, к которым они приложены. Примером гироскопической силы может служить магнитная сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу. Типичным примером непстенциальных сил являются диссипативные силы. Двс- I нм называются силы, зависящие от скоростей точек механической системы и совершающие отрицательную суммарную работу при любых перемещениях этой 35 г
системы. Действие этих сил приводит к уменьшению механической энергии замкнутой системы. Таковы, например, силы трения скольжения и силы сопротивления движению тел в жидкостях и газах. Сила трения скольжения, действующая на движущееся тело со стороны неподвижного, всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, так что cosa=—1, a F<0. Поэтому работа такой силы вдоль любой замкнутой траектории точки ее приложения всегда отрицательна и никогда не равна нулю. 8. Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил Fb F2,..., Eh то за малое время dr они совершают общую работу ЗА, равную алгебраической сумме работ каждой из этих сил порознь: it ЗА= % F,dr=Fdr, (3.7) у—t / где dr — приращение радиуса-вектора точки за время dr, F= £ Fy. >-< Рассмотрим теперь произвольную механическую систему, состоящую из л матери- альных точек. Обозначим F( сумму'всех сил (внешних и внутренних), действующих на Г-ю точку системы, радиус-вектор которой за время dr изменяется на dr,. Общая элементарная работа ЗА, совершаемая за время dr всеми силами над системой, равна "л \ Fidri. * > г ЕЭТ. Покажем, что при движении твердого тела общая работа' Внутренних сй1г{»и&а нулю. Для этого достаточно доказать, что сумма работ 6АЛ и сил взаимодействия Fut и F*i двух произвольно выбранных точек этого тела (r-й и к-£) равна нулю. По третьему закону Ньютона, F^» —F,*. Поэтому &4ut+A4*l=Fttdr<+FjHdrjt=F<*(drl—бгл)=Р(*бГ|Ь где гЛ=Г/—г* — радиус-вектор, проведенный'из к-й точки в r-ю (рис. 3.3). Тах как расстояние между точками твердого тела не изменяется, то |r{«j =const и вектор drlt перпендикулярен вектору г,*, а также cam Fn, которая направлена вдоль прямой, соединяющей точки (на рис. 3.3 показаны в качестве примера силы Отталкивания, для которых Fa совпадает по направлению с вектором г,*). Таким образом, ЗА^+ЗАц= О и для твердого тела выражение (3.8) можно переписать в виде (3.8') (-1 Если твердое тело движется поступательно, то перемещения всех его точек за время dr одинаковы, т. е. dr(=drt=drc. Здесь гс — радиус-вектор центра масс тела. В этом случае Fr“drc=F“drc, (318") i-1 L» Hi—где F"“ — главный вектор внешних сил, действующих на \ тело, г\ Д™ характеристики работы, совершаемой силой за сди- . \/ шщу времени, в механике вводится понятие мощности. j - Mouwoctho N ежлы называется отношение элементарной работы ЗА, совершаемой этой силой F за малый промежуток Рис. 3.3 ' времени, к его длительности dr: 36
6А dr • . N~ = F- ,tr.f ' (3,9) -• . dt d/ где у скорость перемещения точки приложения сильь Итак, мощность силы равна скалярному произведению этой силы на скорость точки, с$ приложения. В заключение нужно подчеркнуть, что и работа, и мощность силы зависят от выбора системы отсчета. Это отчетливо видно из формулы (3.9), где скорость v различ- на по отношению к двум системам отсчета, движущцмсд друг относительно друга. § 3.2. Кинетическая энергия 1. В механике различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциаль- ную. Кинетической энергией механической системы называется энергия механического движения этой системы. Изменение; кинетической энергии материальной точки проис- ходит под действием приложенной к ней силы F и равно работе, совершаемой этой силой: d W*=F dr=Fv dz,.. ' 4 . (3.10) где v скорость материальной точки. Подставив значение Fdz из (2.6), получим . dW'I==vdp= * pdp, (3.11) т где р=к» импульс материальной точки, а т ее масса. Так как pdp= l/2d (рр) = */2d (/) =pdp, ‘ Н i Т/r й ТО V pdp 1 <№'=' = d(p2)., (3.11') т 2т Интегрируя (3.1Г) и полагая при р=0, получаем, следующее выражение для кинетической энергии материальной точки: р2 tnv2 1 ’ ' л. (3.12) 2т 2 . ........ . 2. Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы. Например, кинетическая энергия системы из л материальных точек равна " (3-13) i-1 2 где V; скорость i-й материальной точки, т, ее масса. В частности, кинетическую энергию твердого тела, движущегося поступательно со скоростью v, можно найти по формуле (3.12), где т масса всего тела. Кинетическая энергия системы полностью определяемся значениями масс и скоро- стей входящих в нее материальных точек. Она не зависит от «предыстории» системы, т. е. от того, каким образом части системы приобрели данные значения скоростей. Кратко это важное утверждение формулируют следующим образом: кинетическая энергия системы есть функция состояния ее механического движения. Заметим также, что в отличие от импульса кинетическая энергия системы не зависит от того, в каких направлениях движутся ее Чйстй: 37
3. При выводе формулы (3.12) мы использовали второй закон Ньютона (16), т. е. предполагали, не оговаривая это, что используется инерциальная система отсчета. Однако сама формула (3.12) для кинетической энергии материальной точки справедлива в любой системе отсчета независимо от того, инерцкальна она или нет. Значения скорости и кинетической энергии одной и той же материальной точки различны в двух системах отсчета, движущихся друг относительно Друга. Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему отсчета К и систему отсчета К', да гущуюся относительно К иосгуитль- но со скоростью V. Скорость V может быть как постоянной (тогда система отсчета К также инерцкальна), так и зависящей от времени (тогда К' — неинерциальная системе отсчета). Из рис. ЗЛ видно, что радиусы-векторы Ай материальной точки в системах отсчета К (гj) и К' (гр связаны соотношением ri^+ro', (3-14) где го- — рад иус-вектор в системе отсчета К точки <7 — *•* г начала координат системы JT. Отсюда следует, что меж- °' г ДУ скоростями i-й точки и vj—dr^dt имеется к' следующая связь: У» dro * —<+V, (ЗЛО о/ Рис. 3.4 ’ ^«T»-(T'J+V)a-T,*+2VT'I+V*-<»+2VTI'+Fi. Подставив это значение г’ в формулу (3.13) для кинетической энергии механической системы относительно системы отсчета К, получим " • И3 " я'.-Е —+v £ *<*;+— Е ", * /м] |ив| или и'ж-»;4-Ур'+'”Г. (3.15) 2 Здесь т масса всей системы (не зависит от выбора системы отсчета!); р'“ £ и Я7'« 1 " •» £ значения шпульеа и кинетической энергии рассматриваемой механической састе- 2 i-1 X мы, измеренные в системе отсчета К1. Импульс р'“тт<, где »J. - скорость центра масс системы в К'. Поэтому если в качестве К* взять систему центра масс рассматриваемой механической системы, то V»vc, v*c—0, р'«=0 и (3.16) Это равенство выражает теорему КЕваж кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергия той же системы в ее движении относительно системы центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью ее центра масс. Из теоремы Кёиига следует, что кинетическая энергия твердого тела равна сумме его кинетической энергия в поступательном движении со скоростью центра масс тела и кияепнеской энергии вращения этого тела вокруг центра масс. § 3.3. Потенциальная энергия 1. Работа Л1_2> совершаемая потенциальными силами при изменении мшфаурацви системы, т. е. расположения ее частей (материальных точек) относительно системы отсчета, не зависит от того, как конкретно осуществляется процесс перехода из начальной конфигурации сислмы (/) в конечную (2). Работа Л1-а полностью определя- ется начальной и конечной конфигурациями системы. Следовательно, ее можно пред- 38
ставить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы называемой потенциальной энергией сшлсшс Лм-Од)-»;®. (3.17) Соответственно элементарная работа потенциальных сил при малом изменении кон- фигурации системы <М=-аИ'ж. (3.179 Если внешние потенциальные аалы нестационарны, то потенциальная энергии системы зависит не только от конфигурации системы, но также и от времени t. Между тем работу эти силы совершают только при перемеи/аши системы. Поэтому соотноше- ние (3.179 справедливо лишь при условии стационарности внешних потенциальных сил. В общем случае Л4-- W, I dW,------ dr = dt J -dW,+— dr. 3r (3.18) aw, Член----dr показывает, как изменяется за малое время dr потенциальная энергия dt системы при условии, что конфигурация системы остается одной и той же., X Из соотношений (3.17) н (3.18) видно, что, измеряя работу потенциальных сил, приложенных к системе, можно найти только разность значений потенциальной энер- гии этой системы в двух ее состояниях: начальном и конечном. Иначе говоря, потенци- альную энергию системы можно найти только с точностью до произвольного постоян- ного слагаемого. В каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости потенциальной энергии рассматриваемой системы от ее конфигурации выбирают нуле- вую конфигурацию, в которой потенциальную энергию системы полагают равной нулю. Таким образом, ввтиедальавй энергией механической система называется вели- чина, равная работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные силы при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние, соответст- вующее ее нулевой конфигурации*. 3. Рассмотрим простейшую механическую системы, состоящую из одной материаль- ной точки, на которую действует потенциальная сила F. Из (3.18) следует, что [aw, aw, aw, 1 ---dx4 dy+-dr I dx dy------------dt-J или, согласно (3.9), [aw, aw, aw, ' ----dx+~- dy+-— dr dx--tty vS Так как координаты точки х, у, z — независимые переменные, то в последнем уравне- нии должны быть попарно равны слева и справа коэффициенты при dx, dy и dx. Таким образом, связь между потенциальной энергией материальной точки и соответствующей di потенциальной силой F имеет вид aw, aw, aw, dx r dy dx (3.19) •При вычислении работы нестационарных внешних потенциальных сил время t нужно считать фиксированным параметром (см. { 3.1, п. 6). 39
Сзжв аж, aw, 1 — +~Г" к- о-191) дх ay oz J Вектор, стоящий в (3.19') справа в квадратных скобках и построенный с помощью скалярной функции *Иа, называется градиентом функции W, и обозначается grad Wa. Итак, сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взя- тому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой точки в рассматрива- емом поле: F=-grad»FB. (3J2O) Часто эту формулу записывают также в ваде F=-VJFro (3.2£У) где V=—i+— jd— k — онеркторнабла. дх ду & 4. Рассмотрим несколько примеров расчета потенциальной энергии. Пример 1. Потенциальная энергия, материальной точки а однородном поле. Поле называется одаородяым,'если сила F, действующая на материальную точку со стороны поля, одинакова во всех точках поля. Пусть эта сила направлена вдоль оси OZ: F«=Fxk, где Fx не зависит от координат материальной точки. Прежде всего докажем, что однородное поле потенци- ально, т. е. удовлетворяет условию (3.6): Fdr—Fjdz, f Fdr- j F,dz-F, $ dz-0. W (Q (Ц Найдам потенциальную энергию материальной точки: или dlTa--^--Fxdr, Жв(я)—Fxzd-IFB(O). (3.21) Например, для тела массы т, находящегося в однородном поле силы тяжести у поверхности Земли, /х— —mg (ось OZ направлена вертикально вверх), g — ускорение свободного падения и (3.22) где h — высота подъема тела над поверхностью Земли, а начало Отсчета энергии Wa выбрано так, что у поверхности Земли Жв»0. Пример I Потенциальная'&цйрГия материальной точки в поле центральных сил. Силы, действующие на материальную точку, называются центральными, если они зависят только от расстояния между материальной точкой й некоторой неподвижной точкой — центром силы — и направлены всюду от центра сил либо всюду к центру сил. Если центр сил принять за начало координат, то центральная сила F-F,(r)-, (3.23) г 40
где г — радиус-вектор, проведявный из центра сил в рассматриваемую точку полк; г — расстоя- ние от точки до центра сил; Fr(r) — проекция силы F на радиус-вектор г. Для сял отталкивания Fr(r)>0, а для сил притяжения F,(r)<0. Докажем, что поле центральных сил потенциально: так как гг—г2, то rdr—rdr, <5/l«>Fdr« «Fr(r)rdr/r—F’r(r)dr и •; * ? j Fdr- f F,(r)dr=O. (Q Ю - . . i i ' ' Найдем потенциальную энергию материальной точки: ‘ ‘ * *’п iWB-~6A~-Fr(r)dr,’ Г Жв(г)-Жж(со)----j\(r)dr. (3.24) еб ”.; ‘ ’ Ъ * Обычно полагают WB (со)=0. Тогда Г • И/п(г)= - J Fr(r)ir- jFr(r)dr., - (3.24') СО г Примерами полей центральных сил, в которых проекция сиЛы обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра сил: . . ."' ' (3.25) где I"const, могут служить гравитационные поля материальной точки и однородного шара, а также электростатические поля точечного электрического заряда и равномерно заряженных сферы или шара. Для этих полей f/?dr р Щ.(г)= -Т=- ОМ) Jr* г По закону всемирного тяготения Ньютона, Мт Fr(r)~-G—-, (3.27) г- И где G6,67 10“11 Н м2/кг2 — гравитационная постоянная; М — масса материальной точки (или однородного шара), создающей гравитационное поле; т — масса материальной точки, находя- щейся в рассматриваемом поле. Таким образом, fi^—GMm и Мт WB(r)--G-----. (328) г v - ,> . По закону Кулона, « 1 Wo Ъ(г)-~— (329) 4я®о Г 1 - ' 1 •> 1 где ео«=8,85 10"12 Ф/м -г электрическая постоянная; q — точечный электрический заряд, в цент- ральном электростатическом поле которого находится точечедЙ электрический заряд зд. В этом ргуце p^qqo/fAitea) я г I Wo ^B(r)‘~------•.......................... (3.30) 4nso г 41
Пример 3. Потенциальная энергия системы, состоящей из двух материальных точек, которые взаимодействуют по закону центральных сил, т. е. притягиваются друг к другу или отталкиваются друг от друга с силами, завнсш ми только от расстояния между этими точками. На рис. 3.5 показаны" силы взаимного отталкивания FI2 и F2i — — Fjj, причем Р ' ' F21-F,(p)-, (3.31) Р где р «г2 —Г] радиус-вектор, проведенный из точки 1 в точку 2; Ffi(р) — проекция силы F2I на направление вектора р, зависящая только от расстояния р между точками Докажем, что силы F>2 и F21 потенциальны: ЯЛ -F12dr, +F2I dr2»F21 (dr2—dr|)=F2i d (r2—Г|), т. e. &4»F2tdp ~Fp(p)dp, £ Fp(p)dp»0. <t) Найдем потенциальную энергию системы: d»>-F,(p)dA р Wa(p)---Г F„(p)<Jp+lFB(oo). V о Рис. 3.5 Примером рассматриваемой системы могут служить две молекулы реального газа, которые взаимодействуют друг с другом посредством ван-дер-ваальсовых сил притяжения и сил взаим- ного отталкивания (см. $ 12.1). Пример 4. Потенциальная энергия упруго деформированного тела. При деформации упругого тела в гем возникают внутренние силы, препятствующие дефор- мации тела и называемые силам* упругости. При продольном растяжении или сжатии тела (например, пружины вдоль ее оси ОХ) сила упругости подчиняется закону Гука: И'п(р)= F,(p)dp. (3.32) F--*xi, (3.33) где к постоянный положительный коэффициент, характеризующий упругие свойства тела; xi вектор деформации (1 орт оси ОХ, координата х»0 соответствует недаформированному состоянию). Сила упругости (3.33) потенциальная сила, так как Fdr“^ Fxdx” — к £ xdx—0. (tj W О) Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела, полагая ее равной нулю у недеформированиого тела, т. е. при х»0: X Г кх2 dBzu»ixdx, I xdx= (3.34) J 2 i о 42
§ ЭЛ. Закон изменения механической энергии 1. Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из я материальных точек. Ее кинетическая энергия Wt выражается формулой (3.13), а изменение этой энергии при малом перемещении системы равно сумме работ, «миртяямых при этом всеми внешними и внутренними силами: AW^^BA,. (3.35) /-1 * Сумму элементарных работ ЗА, всех сил, приложенных к #-й материальной точке системы, удобно разбить на две части: Ы^МГ+ЗАГ*, где ЗА™ и 3AJ™ — суммы элементарных работ, совершаемых над ьй материальной точкой соответственно всеми потенциальными и всеми непотенциальными силами. Тогда dIF,- £ ЗАГ+ЗА-*, (3.36) Я где ЗА = £ ЗА?™ — результирующая работа всех непотенциальных сил, действу- <-| ющих на систему. 2. Из определения потенциальной энергии системы Wa следует, что, согласно (3.18), £ Wr=-dlFB+—df. t-i 6t Подставляя это выражение в (3.36), получаем d IFB+dlFB=ЗА +—5 At St или „ Жв AW—ЗА+— dr, (3.37) St где JF= (3.38) . Величина W, равная сумме кинетической и потенциальной энергий системы, назы- вается механической энерхией (полной механической энергией) свстевм. Уравнение (3.37) выражает закон изменена механической таиргии. ечэваве^вемвоешвхв 1Я4вяав1Ю4ес1ко^к ^жер^шв си^^темвл jnnho воя^е^1^в^ирво^^* кой сумма робот всея итотмкршнмыя сил, дайстеумнрм на систему, и ияяин4виия потеицналыюй анергии системы за рев* сматриваомый промежуток времени, овуопонпеимого иоепмр»* ОИЦИЮСТЫО ШМШКМХ ПОТ*И1|ИШ1ЬКЫХ смл. 3. Если система замкнута, то изменение ее механической энергии обусловлено только действием в ней непотенциальных сил: . AW-BA™. .. (339) 43
В частности, работа диссипативных сил (например, сил трения движения) всегда отрицательна. Поэтому действие ^замкнутой системе одних только диссипативных сил приводит к постепенному уменьшению механической энергии этой системы. Такой процесс называется диссапацк^энергп, а сама механическая система, в которой действуют диссипативные силы,“- диссипативной системой. При диссипации энергии происходит преобразование механической энергии системы в другие виды энергии (например, в энергию беспорядочного теплового движения молекул, образующих тела системы). । § 3.5. Уравнения неразрывности и Бернулли 1. Раздел механики, в котором изучаются законы движения жидкой среды и ее взаимодействия с /телами, обтекаемыми этой средой, называется гидродинамикой. Движение жидкости называют гейвннем, а саму движущуюся жидкость — потоком. В гидродинамике отвлекаются от молекулярного строения жидкости, рассматривая ее как сплошную среду, непрерывно распределенную в пределах потока. При этом под частицей среды понимают физически малый элемент объема среды, размеры которого во много раз больше межмолекулярных расстояний, но в то же время столь малы, что в пределах этого элемента все параметры потока (скорость течения, давление н др.) можно считать всюду одинаковыми. Межмолекулярные расстояния в жидкостях так малы (порядка 10 10 м), что частицы жидкой среды рассматриваются приближенно как точечные. Плотность жидкости практически не зависит от дав лени» Поэтому в гидро- динамике жидкость считается несжимаемой средой, плотность которой при одной и той же температуре одинакова во всех точках потока. В отличие от жидкостей газы, вообще говоря, нельзя считать несжимаемыми, так как при постоянной температуре плотность газа пропорциональна его д авлению. Однако, как показывают расчеты, сжимаемостью газа можно пренебречь при не слишком больших скоростях течения v (например, пренебрежение сжимаемостью воздуха при 100 м/с приводит к ошибке, не превыша- ющей 5%). Для кинематического описания течения жидкости обычно используется метод Эй- лера, который заключается в задании поля скоростей жидкости ▼, т. е. зависимости v от радиуса-вектора г рассматриваемой точки в потоке и от времени t: т=т(г, /). В случае уст вон пкгося (стационарною) течения скорость ▼ не зависит явно от времени, т. е. dv/8t=0. Линией тока называется мысленно проведенная в потоке линия, касательная к которой в любой ее точке совпадает по направлению с вектором ▼ скорости жидкости в этой точке. Поверхность, образованная линиями тока, которые проведены через все точки замкнутого контура, называется трубкой тока. Часть потока, ограниченная трубкой тОка, называется cipytaoit В случае установившегося движения жидкости трубки тока не изменяются С течением времени н представляют для частиц жидкости как бы непроницаемую сТенку, так что скорости частиц около этой поверхности направлены по касательной Г Ией. Поэтому при установившемс течении жидкости частицы движутся Тах, что каждая из них все время остается в пределах определенной СТруЙКИ. • ' • i1 л 1 2. В реальных жидкостях течение усложняется тем, что между отдельными слоями потока происходит внутреннее трение. Однако в ряде случаев влияние внутреннего трения невелико н им можно пренебречь. Жидкость, в которой отсутствует внутреннее трение, называется идеальной жидкостью. Опыт показывает, что при течении жид- ' костей в коротких и достаточно широк и трубах и каналах, а также при обтекании жидкостями твердых тел, имеющих удобообтекаемую форму (например, крыла само- лета), влияние внутреннего трения проявляется лишь в сравнитель э тонком ногравч- иом слое жидкости, который непосредственно прилегает к поверхности труб, каналов и обтекаемых тел. Вне пограничного слоя течение реальной жидкости ничем не отличается от течения идеальной жидкости. Поэтому, изучая движение идеальной жидкости, можно установить ряд закономерностей, которые с известным приближени- ем применимы к течению реальных жидкостей. Это приближение тем более точно, чем меньше вязкость жи дкости. Вязкость многих жидкостей (например, воды, спирта и др.) в обычных условиях сравнительно невелика, вязкость же газов вообще незначительна. 44
3. Рассмотрим участок элементарной струйки жидкости, ограниченный двумя произ- вольно выбранными поперечными сечениями I w 2, площади которых dS| и dS2 (рис. 3.6). Скорости жидкости в этих сечениях обозначим vt и v2 (на рис. 3.6 скорости не показаны). При установившемся течении масса жидкости на участке струйки между сечениями / и 2 не изменяется с течением времени. Следовательно, в соответствии с законом сохранения массы масса dw( — p»tdS| жидкости, поступающей, за 1 с в рас- сматриваемый участок струйки сквозь сечение /, равна массе dmr^pvidSi жидкости, вытекающей из этого участка за 1 с сквозь сечение 2: pvi dS| = p»2dS2. (3.40) ‘ Сечения / и 2 можно выбирать совершенно произ- вольно. Поэтому pvdS=dmca[=const, (3.41) где р и v плотность и скорость жидкости в произ- вольном поперечном сечении струйки площадью dS; d/Па, секундный массовый расход жидкости, посто- янный вдоль всей струйки. Соотношение (3.41) называется уравнением нераз- рывности. Оно справедливо не только для несжима- емых сплошных сред жидкостей, но также н для газов, плотность которых может изменяться вдоль струйки. Величина dP’lxr=i?dS' называется секундным объемным расходом. Секундные расходы dmni и dVm были определены нами для элементарной струйки с малым поперечным сечением dS. Для струи конечных размеров массовый и объемный расходы находятся путем интегрирования dmrei и dV„ по всей площади S поперечного сечения струи: s s J pvdS и = J vdS. о о (3-42) Если р и v одинаковы во всех точках поперечного сечения струи, то ma.t=pvS и F’CO[=i?S. 4. Найдем теперь выражение закона изменения механической энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Выделим мысленно часть жидкости, которая в момент времени t заполняет участок элементарной струйки, ограниченный поперечными сечениями I и 2 (рис. 3.6). К моменту времени f+df эта часть жидкости переместится вдоль струйки в направлении течения, показанном на рис. 3.6 стрелкой, и будет заключена между сечениями /' и 2'. На жидкость действуют только силы тяжести н давления. Поэтому по закону изменения механической энергии (3.37) имеем dWt+dW„^SA, (3-43) где 6 А работа сил давления; d и d W„ изменения кинетической и потенциальной энергий рассматриваемой части жидкости. Работа сил давления, приложенных к боко- вой поверхности Струйки, равна нулю, так как эти силы направлены перпендикулярно направлению течения жидкости. Поэтому работа дА равна разности работ, сил давле- ния dF] и dF2, действующих на поперечные сечения I и 2, площади которых равны соответственно dS( и dS2: дА =pi dS,»| df—p2dS2t>2dr=(/>| —р2>, dS,dt, (3.44) 45
где pi и pi — давления в сечениях 1 и 2; ®i и е2 — скорости течения жидкости в этих сечениях, причем, как следует из уравнения неразрывности (3.41), для несжимаемой жидкости t>i dS, ».vjdSj. Потех жидкости установившийся, поэтому можно утверждать, что в объеме струйки, заключенном между сечениями /' и Z, не произошло никаких изменений. Энергия этого участка жидкости осталась также прежней. Все свелось к тому, что часть жидкости массой dm, которая первоначально была заключена между сечениями 1 и Г, оказалась как бы перенесенной в новое положение между сечениями 2 и 2. Поэтому изменения кинетической и потенциальной энергий всей жидкости при ее перемещении из положения 1 — 2ъ новое положение Г — 2 равны <Ьи dW^«--- («’-и?), (3.45) dlPB=dmg(ft2—ЛО, где dm=p«| dS’id/^pejdSjdf; ft, и Л2 — вертикальные расстояния от некоторого услов- ного горизонтального уровня до Центров тяжести элементов объема жидкости, заклю- ченных в струйке между сечениями 7, Г и 2 и 2. Ввиду малости этих элементов можно считать, что й, и й2 — высоты центре» тяжести самих сечений 7 и 2 над условным уровнем. Подставив в уравнение (3.43) значения 6A, d*F( и d*FB из формул (3.44) и (3.45), получим 1/1(”>?~‘'1)<*я,+й(Л2-Л1)<1т»=(р| —рг)щ dS| dt, или после сокращения на «|dS| dr«dm/p и простых преобразований p»?/2+Pi+Pf*i«t»J/2+Pj+^*j- (3-46) Сечения 1 и 2 были выбраны совершенно произвольно. Следовательно, уравненде (3.46) можно записать в следующей форме: peJ/2+p+pgft=const. (3.47) Это уравнение называется уравнением Бертулля Оно, как видно из его вывода, является выражением закона из едения механической энергии применительно к уста- новившемуся течению идеальной несжимаемой жидкости. В случае горизонтальной струн (например, при течении жидкости в горизонтальной трубе) величина ft постоянна и уравнение Бернулли принимает более простой вид: . pea/2+p«const. (3.48) Величина р называется ептачмкям давлением, рта/2— скоростным мавором, р+рк1!! — подеымудяи uni. Статическое давление равно давлению жидкости на стенки трубы. Вопросы: 1. Как выражается работа силы на малом и конечном перемещениях? Покажите, что при движении твердого тала работа внутренних сил равна нулю. 2. Найдите связь между кинетической энергией системы и работой действующих на систему сил. 3. От чего зависит потенциальная энергия механической системы? Какова связь между потен- циальной силой, действующей на материальную точку, и потенциальной энергией этой материальной точки? 4. Выведите выражение для потенциальной энергии материальной точки в попе центральных сил. S. Выведите закон изменения механической энергии системы и получите с его помощью уравнение Бернулли. 46
Глава 4 ______________________________________ Кинематика и динамика вращательного движения § 4.1. Кинематика вращательного движения твердого тела 1. Движение твердого тела, при котором все точка прямой АВ, веско связанной с телом, остаются неподвижными, называется врящпмем тела вокруг веводояжвой осн АВ. Прямая АВ называется осью вращения тела. Пусть D — произвольная точка твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной осн АВ. Так как тело твердое (абсолютно твердое), то при его вращении расстоянии АВ, AD я BD остаются неизмен- ными. Следовательно, точка D тела движется по окружности, ценгр которой лежит на оси вращения, а плоскость перпендикулярна ей. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. Его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого условно выбранного начального положения этого тела. Чем дальше отстоят от оси вращения тела рассматрпаемые его точки, тем бблыпие цуги ds они проходят за один и тот як промежуток времени dr. Соответственно тем больше их скорости v«ds/dr. Поэтому для описания вращательного движения тела неудобно пользоваться такими понятиями кинематики точки, как перемещение, прой- денный путь, скорость и ускорение точки. В этом случае мерой перемещения всего тела за малый промежуток времени dr служит вектор dp элементного вовиропга тела. По модулю он равен углу dp поворота тела вокруг оси за время dr и направлен вдоль оси вращения по нрааиу цммго втга: из конца вектора dp поворот тела виден проис- ходящим против хода часовой стрелки. •• В случае использования ве правой, а левой системы координат вектор dp направляют вдоль оси вращения в противоположную сторону, т. е. так, что из Яго Нища поворот тела вялен происходящим по ходу часовой стрелки. В математике такие векторы, изменяющие свое направле- ние на противоположное при переходе от правой системы координат к лавой, называют иии- давотрым иди вигвам ывш векгарамв в отличие от обычных ветров, пазшаемых вкормаии вектора**, которые сохраняют свое направление при указашюы преобразовании координат. Примерами полярных векторов являются такие векторы, как радиус-вектор точки, ее скорость и ускорение, вектор силы и др. В то иге время векторное щхнпведвяие двух полярных векторов — псевдовектор. Кинематической характеристикой направления я быстроты вращения тела служит угловая скорость теля, равная отношению вектора элементарного поворота тела к продолжительности этого поворота: _ dp dp ш»— иля —. (4.1) dr - * dr Вращение тела вокруг неподвижной оси называется равиомцннаи врящемем, если модуль угловой скорости тела постоянен: dp о>«=—«“Const. (4.2) dr В этом случае угол поворота тела прямо пропорционален времени вращения г: jp-«r. (4.3) 47
Рис. 4.1 Найдем скорость v произвольной точки N тела, отсто- ящей на расстоянии р от неподвижной оси вращения О А (рис. 4-1). Примем точку О оси вращения за начало коор- динат, а центр окружности, по которой движется'точка N, обозначим О'. Тогда радиус-вектор точки N равен г=ОО'+р, (4.4) где р — вектор О 'N. Аксиальные векторы dip и со не имеют определенных точек приложения на оси вращения ОА. На рис. 4.1 они отложены из точки О. За малое время dr точка N, перемещаясь по дуге окру- жности, показанной штриховой линией, проходит путь ds=pd<p^ptodt. Поэтому модуль скорости точки N тела dj v=—=рсо. dt (4.5) Учитывая, что векторы р и to взаимно перпендикулярны, а вектор ▼ скорости точки N направлен перпендикулярно обоим этим векторам за плоскость рис. 4.1, можем написать dr ▼=—=[&> р]. dr Так как при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор ОО' постоянен, то из (4.4) следует, что в этом случае (4.6) dp (4.7) dt Векторы ОО' и to коллинеарны, поэтому из (4.4) следует, что формулу (4.6) можно переписать в виде dr dt (4.6Э В отличие от угловой скорости тела to скорость ▼ часто называют линейной скоростью точки N тела. Вектор ▼ направлен также по правилу правого винта: из конца вектора v поворот вектора to к г по кратчайшему расстоянию виден совершающимся против хода часовой стрелки,. Промежуток времени T^ln/to, в течение которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью со, совершает один оборот, т. е. поворачивается на угол <р=»2л, называется периодом вращении. Частота вращения показывает, сколько оборотов совершает за единицу времени тело, равномерно вращающееся с угловой скоростью а: 1 со п=-=—. Т 2п (4.8) 3. При неравномерном вращении тела вокруг неподвижной оси его угловая скорость изменяется. Вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости тела, называется угловым ускорением: dto е =»—. dr (4-9) 48
Если тело вращается вокруг неподвижной оси ускоренно, т. е. dco/dr>0, то вектор е направлен по оси вращения в ту же сторону, что и вектор со. При замедленном вращении dco/dt <0 и вектор е направлен в сторону, противоположную вектору со. Найдем ускорение а точки # тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Из (4.6), (4.7) и (4.9) имеем dv , в=—=[е р]+[со vj или а=[7 р]+[со[со рД. (4.10) Первый член в правой части формулы (4.10) представляет собой касательное ускорение я, точки N: аг=[е Р]=[е г]. (4.11) а второй член — нормальное ускорение а* точки N: »„~[to[wpfr=-a)2p. (4.12) 4. Движение твердого тела, при котором только одна его точка О остается все время неподвижной, называется движением (вращением) твердого тела вокруг веподн свой точки. В этом случае все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер, центры которых находятся в точке О. Поэтому такое движение твердого тела часто называют сферическим движением тела. В теоретической механике доказывается, что движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно рассматривать в каждый момент времени как вращение вокруг оси, проходящей через неподвижную точку тела и называемой мгновенной осью вращения. В общем случае положение мгновенной оси вращения изменяется с течением времени по отношению как к неподвижной инерциаль- ной системе отсчета, так и к системе отсчета, жестко связанной с движущимся телом. Векторы элементарного поворота d и угловой скорости а направлены вдоль мгно- венной оси вращения тела, а вектор е углового ускорения (4.9) направлен не по этой оси. Для скорости точки N тела v=dr/dr по-прежнему справедлива формула (4.6'), где г — радиус-вектор точки X проведенный из неподвижной точки О тела. Ускорение точки N dv d — — dr dr или a=[er] + [co [cor]], (4.Ю') Вектор a4,=[er] называется вращательным ускорением точки N тела, а вектор аос=[со[сог]] осестремительным ускорением точки N, так как эта составляющая век- тора а направлена перпендикулярно мгновенной оси вращения от точки N к этой оси. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О, имеет три степени свободы: оно может совершать независимые вращения вокруг Трех взаимно перпен- дикулярных неподвижных осей, проходящих через точку О. Для однозначного задания положения такого тела в пространстве необходимо задать значения трех независимых координат. Обычно для этого используют три угла, называемые углами Эйлера. Однако рассмотрение углов Эйлера выходит за рамки нашего курса. 5. Свободное твердое тело, например летящий в воздухе самолет, имеет шесть степеней свободы. Три из них соответствуют независимым поступательным движениям 49
вдоль трех осей координат, а три — вращениям вокруг этих осей. Поэтому говорят, что свободное твердое тело имеет три поступательные степени свободы и три враща- тельные. Любое движение твердого тела можно рассматривать как комбинацию двух одно- временно совершающихся движений: поступательного со скоростью тл какой-либо произвольно выбранной точки А тела, называемой полюсом, 'и вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс. При этом оказывается, что выбор полюса не влияет на значение угловой скорости о вращения тела вокруг полюса в каждый рассматриваемый момент времени (с течением времени ш, как правило, изменяется). Скорость произвольной точки N тела равна ¥=¥Л+[®('-«,л)]- (4.13) Здесь гл и ул=с1гл/с1/ - - радиус-вектор и скорость полюса А; г — радиус-вектор точ- ки N. В задачах динамики твердело тела часто удобнее всего выбирать в качестве полюса центр масс С тела. Тогда v=*Tc+&»Cr-rc)]- (4.139 При качении однородного кругового цилиндра по плоскости все его точки движутся в параллельных плоскостях. Такое движение твердого тела называется плоскопарал- лельным или плескам. Этот вид движения очень часто встречается в технике. Его совершают многие детали машин и механизмов (например, шатуны стационарных двигателей внутреннего сгорания, детали кулисных механизмов и др.). В случае плоско- го движения мгновенная ось вращения тела вокруг полюса А перемещается поступате- льно, т. е. не изменяя своего направления в пространстве, а векторы ш и тл взаимно перпендикулярны. Еще одним примером сложного движения твердого тела служит! матовое движение тела. Оно получается в результате одновременного участия тела во вращении вокруг некоторой оси и поступательного движения вдоль этой оси. Именно так движутся винты и болты при их завинчивании и отвинчивании. § 4Л. Закон изменения момента импульса 1. Моментом силы F отоосятельао неподвижной точки О называется векторное произ- ведение радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку IV, приложения силы F, на саму эту силу*: M=[rFJ- (4.14) Вектор М направлен перпендикулярно плоскости векторов г и F по правилу правого винта (рис. 4.2). Модуль момента силы M=Frsxaa—Fl, (4.15) / где а — угол между г и F; I— ran а — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы F. Величина I называется плечом ашш F. 2. Рассмотрим механическую систему, состоящую из л материальных точек (в частно- сти, это может быть и твердое тело, но мы пока такое ограничение накладывать не будем). Пусть т( и V] — масса и скорость г-й точки системы. Моментом юиульса L, материальной tovh относительно неподвижной точки О назы- •Здесь и в дальнейшем точка О принимается за начало координат инерциальной системы отсчета. 50
вается векторное произведение радиуса-вектора Г/ материальной точки, проведенного из точки О, на импульс этой материальной точки (рис- 4.3): Ь»-(Г|»ЧГ<|“[ВД]. ' (4.1(5) Соответственно, моментам ницулма мехвив ческой системы ппмиемо пгппдвкм во* точен О юаяпаека. вектор L, равный геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы: b-Lla-Efriri. (4.17) /-1 i-1 Продифференцируем во времени t выражение (4.17): Л 4 v г , V d г , £ Г [df; 1 — Л -[▼»pj-o. of J Из (2.13) и (2.14) следует, что dL " Д Г JL 1 Е W71+ Е Ь Е *4 (4.18) °* ь>1 <-1 L *-i J 3. Вектор, равный геометрической сумме моменте» огноситежно точки О всех внеш- них от, действующих на механическую систему, называется главным моментом впав- пах сил OTBOcnejMo венодаажве* точки &. i^“«E[r'Fm (4.19) /-1 Покажем, что вторая сумма в правой части уравнения (4.18), представляющая собой сумму моментов относительно точки О всех внутренних сил, равна нулю. В этой сумме фигурируют попарно моменты сил Ftt и Fki: Мд^ДОм) и Из третьего закона Ньютона следует, что Mft+Mjk^lrjFrtJ+lraFa^—Jr/Fjfc]—Ir*Frtj««[(r(—r*)FaJ. Из рис. 3.3 видно, что векторы (17—г*) и Ftt коллинеарны. Поэтому их векторное произведение равно нулю. Следовательно, Е Е МЛ-£Гг( Ё fJ-O, (4.193 tf-l ft.I i-i L *-i J о Я
dr Уравнение (4.20) выражает закон измнения момента импульса: (4.20) производная по времени от момента импульса механической системы относительно неподвижной точки равна главному моменту относительно той же точки всех iw «их сил, Дайс кующих на систему. 4. Моментом импульса механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси. Соответственно, моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно любой точки, выбранной на данной оси. Можно доказать, что выбор точки на оси влияет на значения моментов импульса L и силы М относительно этой точки, но в то же время никак не влияет на значения моментов импульса и силы относительно оси. Из уравнения (4.20) следует, что в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат с началом в точке О имеем: dLx dL. —=M^, —=M™. (4.21) dr ’ • dr r dr v ’ Уравнения (4.21) показывают, что производная по времени от момента импульса механической системы относительно неподвижной осн равна главному моменту от- носительно этой оси всех внешних сил, действующих на систему. 5. Уравнение (4.20) справедливо для моментов импульса системы L и внешних сил М”” относительно неподвижной точки О. Выясним теперь, какова связь между L и моментом импульса ЪА механической системы относительно точки А, движущейся произвольным образом. При расчете мы будем подставлять значения р( импульсов материальных точек системы, соответствующие их движению относительно неподвиж- ной инерциальной системы отсчета Кс началом координат в точке О (т. е. такие же, как и при вычислении L). Пусть тА — радиус-вектор точки А в системе отсчета К. Тогда радиус-вектор, проведенный в /-ю точку механической системы из точки А, равен г?=г,—гА. Поэтому Ьл= Е Wpil= Е [r«pJ- гл Е Рг или Ел=Ь-[глР], (4.22) где р — импульс системы относительно системы отсчета К. Дифференцируя это соот- ношение, получаем dL Г dpi —=-—[▼ар]- «л— dr dr L d/J Согласно (2.20), ^=₽”ИП, поэтому ; (4.23) а/ ш 52
Момент внешних сил относительно точки А МГ= £ Е foFri- г A £ F”” , 1—1 1*1 «_ 1*1 _ т. е. . МГ“ = М’тЧгХ,,Сга]. (4.23') Из (4.20), (4.23) и (4.23') следует, что „ =МГа-[УлР]. (4.24) Щ . ' • t " г. • . 'i I, В частности, если в качестве точки А взять центр масс С системы, то v^=vc, a [vcp]=0. Поэтому ?. dLc - =МГ“. (4.25) / Производная по времени от момента импульса механической системы относитель- но ее центра масс равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему. ♦* Легко показать, что при вычислении Lcс равным правом можно брать импульсы всех точек системы в их движении по отношению к системе отсчета либо неподвижной, либо движущейся относительно нее поступательно со скоростью »с центра масс. В самом деле, пользуясь обозначе- ниями rJ=r7=X;—Гс и v*=v, ~vc, которые были введены в § 2.6, получим Lc= Е FCpJ” Е («i«7(*r+vc)]“ Е [«7рГ1+/и1Ф'с]= Е [*?₽?!• 1—1 -1*1 1— 1 1*1 так как г£»0. § 4.3. Динамика твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 1. Напра!вим оси декартовых координат так, чтобы ось OZ совпадала с осью враще- ния тела, а ее орт к был сонаправлен с угловой скоростью со тела (рис. 4.4), При этом о = со2к, где <о, = со>0. - > Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ, имеет вид dL. - = AP““. <к г (4.26) Найдем связь между моментом импульса £2 вращающегося тела относительно оси вращения и угловой скоростью to. Из рис. 4.4 видно, что радиус-вектор материальной точки массы т„ входящей в состав тела, равен г,=ОО,+pit где О; — центр окружности радиуса р„ по которой движется рассматриваемая материальная точка. Момент импульса тела относительно на- чала координат О L= Е [г'лг* v'l= Е 1°°' т|У*1+ Е [Р'"’1*']- j-i «-1 i-i Рис. 4.4 53
Вектор [ОО/Ш/тД перпендикулярен оси OZ, а вектор piD=W’?°’’ направлен вдоль оси OZ. Таким образом, (4.27) i-i 2. Величина J, равная сумме произведений масс mt всех материальных точек, образу- ющих механическую систему, на квадраты их расстояний р, от данной оси, называется моментом ннерщю системы относительно этой осн: £ mrf. (4.28) i-i Таким образом, момент импульса тела относительно осн OZ равен L^Jtoz, (4.273 где J — момент инерции тела относительно оси вращения OZ. Соответственно уравне- ние (4.26) можно переписать в форме d -(JwI)=M7"’. (4.29) ш Если тело в процессе вращения не деформируется, то его момент инерции не изменяется и его можно вынести в (4-29) из-под знака производной. или (4.293 где — проекция вектора углового ускорения Г=ejc на ось вращения OZ. Из (4.29 ) видно, что ez обратно пропорционально моменту инерции J. Следователь- но, момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела в его вращении вокруг этой оси. 3. Строго говоря, тело нужно рассматривать как механическую систему, масса m ко- торой непрерывно распределена по объему V тела, так что момент инерции тела J= | р1 дт= j рг DdV. (4.30) («) (Ю Здесь D — плотность тела, a dzn==DdK — масса малого элемента тела объемом dV, отстоящего от оси вращения на расстоянии р. Момент инерции тела зависит от материала, формы и размеров тела, а также от расположения тела относительно оси. Подсчет момента инерции тела относительно оси облегчается, если воспользовать- ся теоремой Гюйгенса — Штейнера: момент инерции Ja тела относительно произволь- ной оси а равен сумме моментов инерции Jc тела относительно параллельной ей оси ас, проходящей через центр масс С тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния d между этими осями (рис. 4.5): Ja~Jc+md2. (4.31) 54
Докажем эту теорему. На рис. 4.6 оси а и ас направлены перпендикулярно плоскости чертежа, а расстояния от малого элемента тела массой dm да этих осей обозначены соответственно р и рс- По теореме косинусов, р2*=рс+сР+2(1рссобф и Ja= J p2dm«= J p£Am+md2+2d J x*dm, (") («) (*) где х*=рссО8ф — абсцисса элемента dm тела в системе координат с началом в центре масс тела и осью абсцисс, пересекающей оси ал ас я лежащей в перпендикулярной им плоскости. Из определения центра масс (2.22’) следует, что J x*dm=mxJ=O, (m) так как центр масс тела совпадает с началом координат х*. Таким образом, справед- ливость соотношения (4.31) доказана. 4. Рассмотрим настолько примеров расчета момент* инереди для тел простейшей формы. Правее? 1. Момент инерция тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиус* R от- носительно его осп. Все малые элементы такого цилиндре находятся на одном и том же расстоянии Я от его оси, доходящей через его центр масс С. Поэтому Jc- | Я2<Ьи-«Я2. (4.32) W Пушер 2. Момент инерции сплошного однородного кругового цклицпре массы т и радиуса Я относительно его оси. Разобьем мысленно цилиндр на очень большое число соосных тонкостенных цилиндров. Пусть г — радиус какого-либо из них, а толщина его стенки dr«r (рис. 4.7). Тогда, согласно (4.32), момент инерции этого элемент* сплошного цилиндра равен dJc-Hdm-H2jtrHDdr, (4.33) t пк Н— высота цилиндра; D — его плотность. Искомый момент иверцеы сплошного цилиндра находим, суммируя моменты инерции всех его малых элементов, т. е. интегрируя выражение (4.33) по г от 0 до Я: Рис. 4.5 Рис. 4.6 53
f . 1 mR1 Jc~2itHD J r’dr»- itR?HD=—. (4.34) о так как масса цилиндра m^DnR^H. Пример 3. Момент инерции однородного тонкого стержня массы т и длины I относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Разобьем мысленно стержень на малые отрезки. Пусть х — расстояние от одного из таких элементов стержня до оси, a dx — его длина. Тогда момент инерции этого элемента dJrc-*adm-x2Z>Sdx, (4.35) где 5— площадь поперечного сечения стеркня D — его плотность. Момент инерции одной половины стержня находим, интегрируя выраженне (4.35) по х от 0 до 7/2, а искомый момент инерции всего стержня вдвое больше: (Ч Г 2 (l\* ml1 JC~2DS I x2dx--PSM =—, (4.36) 0 так как масса стержня m*=DlS. В заключение приведем без вывода значение момента инерции однородного шара массы т и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр: /с-2/5«Л». (4.37) 5. При вращении тела вокруг неподвижной оси момент относительно этой оси создает только одна составляющая действующей на вето силы,- а именно касательная к траек- тории точки ее приложения. В самом деле, разложим, как показано на рис. 4.8, силу F, приложенную в точке N вращающегося тела, сначала на две составляющие: параллель- ную оси вращения 02 (F|) и перпендикулярную ей (Е±). Силу Fx, в свою очередь, разложим на две составляющие: Ft — касательную к окружности с центром в точке О', по которой движется точка N, и F„ — нормальную, направленную по радиусу ON, т. е. перпендикулярно осн вращения тела. Момент силы F относительно начала координат О равен M=[rF]=[r(F14-F.+FT)]. Так как г= ОО'+р, а векторы ОО' и F1,, р и F„ попарно коллинеарны, так что их векторные произведения равны нулю, то M=[p‘Fl]+[OO'FJ+[OO'Ft]+[pFJ. 56,
Первые три члена, стоящие в правой части этого равенства, представляют собой . векторы, направленные перпендикулярно оси вращения тела, а четвертый — вектор, направленный по этой оси. Следовательно, момент силы F относительно оси OZ равен (4.38) Здесь р — расстояние от точки N приложения силы до оси, a — проекция силы F на направление вектора т =»/«, где т — линейная скорость точки N вращающегося тела*. За малое время dr точка N совершает перемещение dr=Tdr=[ca р Jdr«=[d<p,p’], где d<p* — вектор элементарного поворота тела за время dr. При этом сила F, прило- женная к телу, совершает элементарную работу &4=Fdr=Ft|dr|. Так как векторы dtp и р взаимно ортогональны, то |dr|=pdtp и 6А=pFld9=AfIdy=Md^. (4.39) 8. Найдам выражение для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг непо- движной оси OZ. Кинетическая энергия dWt малого элемента тела, отстоящего на расстоянии р от оси вращения и имеющего массу dm, равна d JF, = */2t>2 dm =» 112о>2Р2 dm. Кинетическая энергия всего тела ш2 f , Ja>2 p2dm=—, (4.40) (m) где J — момент инерции тела относительно оси вращения. Можно показать (см. теорему Кёнига в § 3.2), что цри произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия W, равна сумме кинетической энергии поступа- тельного движения тела со скоростью гс его центра масс т — масса тела) и кинетической энергии вращения тела с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс (»7*“= */aJc<»2. Jc— момент инерции тела от- носительно мгновенной оси): -1 /2те2+1 hJtfa1- (4.41) Следует иметь в виду, что в общем случае положение по отношению к телу мгновенной оси вращения этого тела вокруг центра масс изменяется с течением времени; так что Jq const. Однако в ряде случаев (например, при качении по плоскости однородного цилиндра или шара) Jc=const. 7. Если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью а>, то его кинетическая энергия (4.42) ’Положительное направление оси OZ выбрано так, как указано в начале параграфа. 57
где L “ J [rv] dm — момент импульса тела относительно точки О, принятой за начало координат. W _ В самом деле, скорость малого элемента тела т—[ш г]. Поэтому его кинетическая энергия d)FB«-‘/Jvvdm—* 1/2dmv[car|«>‘/2cu (rrjdrn, так как смешанное произведение трех векторов не изменяется при циклической переста- новке всех сомножителей. Интегрируя это выражение, найдем кинетическую энергию всего тела: < ? ! ^жв*/а® J (rvJdm—’/a^L- Вопросы: 1. Как связаны кинематические характеристики вращательного движения твердого тала со скоростями и ускорениями точек «того тела? I. Как связаны между собой момент импульса механической системы относительно неподвиж- ной точки и момент относительно той же тонки всех сил, действующих на систему? 3. Как получить закон динамики твердого тепа в случае его вращения вокруг неподвижной оси? 4. От чего зависит момент инерции тела и какую роль он играет при вращении тела? б. Найдите кинетическую энергию катящегося без проскальзывания однородного шара массы т, если скорость его центра масс равна »с- Как изменится результат, если вместо шара катится однородный круговой цилиндр?
Глава 5 Законы сохранения в механике § 5.1. Закон сохранения импульса. Абсолютно неупругий удар 1. № замкнутую систему внешние силы не действуют. Поэтому из закона изменения импульса (2.20) вытекает следующий закон, называемый займом ппгряегпив импульса: импульс замкнутой сметаны на измоияатся о тачанном ара- Я dp/drcsO и ₽“ £ m(v(«*>const, (5.1) i-i где пи и т< — масса н скорость Ай материальной точки системы, состоящей из п точа.. Соответственно нс изменяются также и проекции импульса замкнутой системы на оси декартовых координат инерциальной системы отсчета: P>»conit, pz“const, pj—conirt. (5.1*) Импульс системы р^ттс, где m — масса всей системы, а ▼<? — скорость ее центра масс. Поэтому из закона сохранения импульса следует, что при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра масс не изменяется: Vc*contt Мы получили закон сохранения импульса, основываясь на зак Ньютона, так как именно с их помощью был выведен закон изменения импульса (2.20). Однако закон сохранения импульса в отличие от законов Ньютона справедлив не только в рамках классической механики Ньютона. Например, как показывают эксперименты, он в рав- ной мере справедлив как для макроскопических систем тел, так и для систем микроча- стиц, хотя поведение последних описывается не ньютоновской, а квантовой механикой. Выполняется этот закон и в релятивистской механике, т. е. независимо от того, велики или малы скорости тел или частиц, образующих систему. При этом нужно иметь в виду, что импульсом могут обладать не только частицы и тела, но также и поля. Наглядное тому подтверждение — давление электромагнитных волн и, в частности, света на отражающие или поглощающие их препятствия. Таким образом, закон сохранения импульса принадлежит к числу самых фундамен- тальных законов физики. На этом вопросе мы еще остановимся в § 5.6. 1 В некоторых процессах (например, при ударе, взрыве или выстреле) импульсы частей системы претерпевают большие изменения за сравнительно короткие промежут- ки времени. Это связано с возникновением в системе кратковременных, но весьма значительных по величине внутренних сил взаимодействия частей системы, по сравне- нию с которыми все постоянно действующие на систему внешние силы (например, сила тяжести) оказываются малыми. В таком процессе обычно можно пренебречь действием на систему внешних сил, т. е. можно приближенно считать, что импульс всей системы в целом не изменяется в рассматриваемом процессе. Если система не замкнута, но действующие на нее внешние силы таковы, что их главный вектор тождественно равен нулю (/*"“=О), то согласно закону (2.20) импульс системы не изменяется с течением времени: р=const. ' 59
Обычно /0 и р/const. Однако если проекция главного вектора внешних сш на какую-либо неподвижную ось тождественно равна нулю, то проекция на ту же ось вектора импульса системы не изменяется со временем. Так, рх=const при условии, чтс F“^0. Например, если на систему действуют внешние силы, которые направлены только вертикально, то горизонтальная составляющая импульса системы не изменяет- ся. В этом можно убедиться на следующем опыте. Опыт. Тяжелый маятник установлен на тележке, которая имеет возможность свободно перемещаться по горизонтальным рельсам практически без всякого трения (рис. 5.1). Если, придерживая тележку, отклонить маятник от положения равновесия, а затем одновременно отпустить маятник и тележку, то они. оба прихоДят в движение. Скорость тележки всегда противоположна но направлению горизонтальной составляющей ско- рости центра масс маятника. В те моменты времени, когда при колебаниях шар маятника проходит через положения наибольших отклонений и имеет нулевую скорость, тележка также лога начиняется 3. Рассмотрим применение закона сохранения импульса к расчету абсолютно неупругого пря- мого центрального удара двух тел. Ударом на- зывается явление изменения скоростей тел на конечные значения за очень короткий промежу- ток времени, происходящее при их столкновени- ях. В процессе удара возникают кратковремен- ные ударные силы взаимодействия.между стал- Рис. 5.1 кивающимися телами, причем эти силы во много раз превосходят все внешние силы, действующие на тела. Поэтому в процессе удара систему соударяющихся тел можно приближенно считать замкнутой* и применять к ней закон сохранения импульса. Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения называется линией удара. Удар называется прямым, если перед ударом скорости центров масс соударяющихся тел параллельны линии удара. Удар называется цент- ральным, если'центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара. Прямой центральный удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела д вижутся как одно целое, т. е. с одной и той же скоростью. Если скорости тел до удара равны ▼1 и ¥j, а их массы равны и m2, то в соответствии с законом сохранения импульса общая скорость поступательного движения этих тел после абсолютно неупругого прямого центрального удара равна «1*1 +'^2*2 , -9=-,-------- Ж1+Л12 (5.2) В случае абсолютно неупругого удара, не являющегося прямым центральным, формула (5.2) позволяет найти скорость центра масс соединившихся при ударе тел. Однако в результате такого удара может также возникнуть вращение системы вокруг ее центра масс, согласующееся с законам сохранения момента импульса, который мы рассмотрим в § 5.3. 4. При неупругом ударе происходят различного рода процессы в соударяющихся телах (их пластические деформации, трение и др.), в результате которых кинетическая энергия системы частично преобразуется в ее внутреннюю энергию, т. е. происходит диссипация механической энергии системы. Изменение кинетической энергии системы двух сталкивающихся тел при абсолютно неупругом прямом центральном ударе равно и 'Предполагается, что соударяющиеся тела либо свободны, либо наложенные на них емзи таковы, что ударные реакции связей не возникают. В противном случае систему соударяющихся тел нельзя считать замкнутой. 60
f«l+iri2 , wl . *”2 . W1ZH2 .L Jv-**)* 2 * * * *<0- (5.3) 2 2 2 2(ffi|+/H2) В частности, если второе тело до удара покоится (например, свая, забиваемая при помощи копра, или поковка, лежащая на наковальне), то относительное уменьшение кинетической энергии системы при абсолютно неупругом прямом центральном ударе ДИ’Ж 2ДИ7Ж т2 - = “ , = • " (5.3') 1Рж1 /щи, /П|+т2 В технике используют абсолютно неупругий прямой центральный удар либо для изменения формы тел (ковка, штамповка, клепка и т. п.), либо для перемещения тел в среде с большим сопротивлением (забивание гвоздей, свай и т. п). В первом случае целесообразно, чтобы отношение ДИЛЖ/ИЛЖ1 было возможно ближе к 1, т. е. необ- ходимо, чтобы т2»т( (масса отковываемого изделия и наковальни должна во много раз превосходить массу молота). Во втором случае, наоборот, нужно, чтобы потери кинетической энергии при ударе были возможно меньшими, т. е. чтобы mt »m2 (масса молотка должна во много раз превосходить массу забиваемого гвоздя). § 5.2. Закон сохранения механической энергии. Абсолютно упругий удар 1. Механическая система называется консервативной, если все действующие на нее внешние и внутренние непотенциальные силы не совершают работы (о А =0), а все внешние потенциальные силы стационарны. Потенциальная энергия консервативной системы может изменяться только при изменении конфигурации системы. Следовате- льно, частная производная по времени от потенциальной энергии консервативной системы, характеризующая быстроту изменения этой энергии с течением времени при условии постоянства конфигурации системы, тождественно равна нулю: dWJStsQ. Поэтому из (3.37) видно, что маханичвекая энергия консервативной системы не изменяет- ся с течением времени. Этот закон называется законом сохранения механической энергии. В частности, он справедлив для замкнутых консервативных систем: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние силы потенциальны либо не совершают работы. Например, силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают. Поэтому действие таких сил на систему не вызывает изменения ее механической энергии. 2. Рассмотрим применение закона сохранения механической энергии к расчету аб- солютно упругого прямого центрального удара двух тел. Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии. Пусть два абсолютно упругих ша- ра массами mt и /и2 движутся до удара поступательно со скоростями и v2, направленными вдоль оси ОХ, прохо- идей через центры шаров (на рис. 5.2, а скорости V| и v2 направлены в одну сторону, причем «|ж>о2ж>0). Нужно найти скорости и( и п2 шаров после соударения (рис. 5.2, 6). а) б) Рис. 5.2 61
В процессе удара систему соударяющихся упругих тел можно считать замкнутой и консервативной. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться законами сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, так что потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем mi»?+*»2t>2 (5.4) По закону сохранения импульса, »iVi+»«jv2=miHl+m2ii2. (5.5) Так как все скорости vt, v2, и, и ц направлены по оси ОХ, то из (5.5) следует, что ' - . ; »t|«ijr+»i2v2x=miuix+mju2x, (5.6) где «и, v^, и1х и и2х — проекции векторов vt, v2, Ht и hj на линию удара — ось ОХ. Так как ®1 и то из (5.4) й (5.6) имеем «1 («?,-«?»)"= -«2(ui-®i)» (5.7) *Р|(«и-»|Я)-'-л«2(На“ПЭ- (5.8) Совместное решение уравнений (5.7) и (5.8) дает И1х+®1х“«2х+«2х- (5.8') Из (5.8) и (5.8') окончательно получаем (mi -я»2>1х+2'”2«2х «1х=-----------------, - - ч- Ш1+Ж2 , , (*n-*«i>2x+2mi*ix «2х-=----------------• ... (5.9) Рассмотрю* два частных случая. v. 1. Массы шаров одшаковы (яц —mj—m). Тогда «1х-«2х «Jx“*lx. т. е. при ударе шары обмениваются скоростями. 2. Масса второго шера во много раз больше массы первого шара (т2 »/ni). Тогда »»1x*2s2x-»1x, UlxMVJx. Если при этом второй шар первоначально покоился («г —0), то И|х»-«1х и т. е. первый шар отека кивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону СО СКОРОСТЬЮ !->—V]. X В случае косого «витражного удара жух абсолютно упругих тел (иапримф, шаров) удобно рассматривать две составляющие скорости каждого из тел до н после удара: нора«алькую (направленную вдоль линии удара) п касательную (i лравлениую поравадиц цжо ликн удара). Если соударяющиеся тела гладаие, то можно пренебречь действием сан трения между им во время удара. Соответственно при ударе ж изменяются касательные составляющие скоростей тел: «it-Bit (510) 62
Нормальные составляющие изменяются так же, как при прямом ударе: «и—--------—•=---- mi+mi J ггг—т "Г? ? г ;••• •• «2»---------------• (5.11) «1+Ш2 В частности, при абсолютно упругом косом ударе гладкого п ра о неподвижную плоскую стенку щ— ч—0) «1я“ ~®1»> т. е. шар отскакивает от стенки по закону зеркальной отражения: угол отражения равен углу падения. Числовое значение скоросги.сохраняется (щ-«]). Вектор изменения импульса Api шара при ударе направлен перпендикулярно стенке и равен ’ Др|»м](н1-Т|)--2т1Т|„. Соответственно импульс ударной силы, действующей на стенку, равен 2mivla. 4. Закон сохранения механической энергии позволяет указать условия равновесия консервативных систем. Состоянием механической) равновесия называется такое состо- яние системы, из которого она может быть выведана только в результате внешнего силового воздействия. В этом состоянии все материальные точки системы находятся в покое, так что кинетическая энергия системы равна нулю. Состояние механического равновесия системы называется yr ml bmi hi, если малое внешнее «действие на систе- му вызывает малое изменение ее состояния. При этом в сисл (с возникают силы, стремящиеся возвратить ее в состояние равновесия. Состояние механического равнове- сия называется иеустой’вям ш, если система при сколь угодно малом внешнем воздейст- вии выходит из этого состояния и больше не возвращается в него. При этом возникают силы, вызывающие дальнейшее отклонение системы от состояния равновесия. Соглас- но закону сохранения механической энергии, в состояниях устойчивого равновесия потенциальная энергия системы имеет минимумы, а в состояниях неустойчивого равновесия — максимумы. На основе закона сохранения механической энергии молено выяснить, какова об- ласть возможных конфигураций консервативной системы. Кинетическая энергия систе- мы — величина неотрицательная (Жж>0). Поэтому при заданном значении W механи- чески энергии системы последняя может находиться только в таких состояниях, которые удовлетворяют условию IFB< W. Рис. 5.3 соответствует простейшему случаю, когда материальная точка совершает одномерное движение вдоль осн ОХ во вешнем стационарном потенциальном поле. Потенциальная энергия точки — функция Только одной координаты х, т. с. >Fa»JFs(x), График этой зависимости, показанный на рис. 5.3, называется пп пядавш вой кривой. При фиксированном значении W маазшяесг кой энергии материальной точки, показанном на рис. 5.3, точка может двигаться, оставаясь в одной из следующих трех област- ей: х<Х] (область Г), х2<х<хз (область Ш) и х>х« (область V). Эти три области отделены друг от друга областями II и IV так называемых иотеадашльных барьеров аеЪ и cgd, в пределах которых материальная точ- ка не может находиться. На границах потен- циальных барьеров (в точках а, Ь, с и d) материальная точка изменяет направление своего д сени на противоположное, т. е., как часто говорят, она «отражается от потен- циального барьера». В области I точка может Рис. 5.3 63
неограниченно удаляться влево от границы а барьера, а в области V — неограниченно удаляться вправо от границы d барьера. В области Ш материальная точка колеблется между точками 5 и с — она находится в потеццяальной яме efg. 5. В реальных механических системах действуют диссипативные силы сопротивления и трения, а внешние потенциальные силы, вообще говоря, нестационарны. Поэтому реальные механические системы неконсервативны и их механическая энергия не со- храняется. Однако в ряде случаев их можно приближенно считать консервативными и применять к ним закон сохранения механической энергий. Такой приближенный подход возможен, если в рассматриваемом процессе выполняются следующие два условия: а) работа А непотенциальных сил, действующих на систему, мала по сравнению с механической энергией W системы, т. е. б) изменение потенциальной энергии системы Wa вследствие нестационарности внешних потенциальных сил, действующих на систему, мало по сравнению с ее механической энергией W, т. е. где г2—<1 — продолжительность рассматриваемого процесса. в. В 40-х годах прошлого столетия Ю. Майер, Дж. Джоуль и Г. Гельмгольц впервые показали, что все процессы преобразования и обмена энергией подчиняются закону, названному законом сохранения цревращеаая энергия: энергия системы может переходить из одной формы в другую и перераспределяться между частями системы, но изменение полной энергии системы в любом процессе всегда равно энер- гии, полученной системой извне в этом процессе. Закон сохранения и превращения энергии является одним из важнейших законов природы. Существуют три возможных и качественно различных способа обмена энергией между рассматрваемой системой и внешними телами (пнелтей средой) — путем совер- шения работы, путем теплообмена и путем обмена веществом или, как часто говорят, путем массообмена. Об этом мы поговорим подробнее в связи с первым законом термодинамики, являющимся выражением закона сохранения и превращения энергии. Следует заметить, что в общем случае полную энергию системы можно лишь весьма условно рассматривать как сумму определенных значений различных видов ее энергии. Так', например, энергию электромагнитного поля в среде можно считать частью внутренней энергии системы, а можно выделить в самостоятельный вид энергии. Энергию упругой деформации тел системы можно считать частью потенциальной энергии системы, а можно — частью ее внутренней энергии. Закон сохранения и превращения энергии имеет глубокий философский смысл. Он блестяще подтверждает одно из основных положений диалектического материализма о том, что движение является неотъемлемым свойством материи, что оно несотворимо и неуничтожимо, а лишь преобразуется из одних форм в другие. 64
§ 5.3. Закон сохранения йомента импульса 1. Для замкнутой системы момент внешних сил М™™ всегда равен нулю, так как на нее внешние силы не действуют. Поэтому из закона изменения момента импульса (4.20) вытекает следующий закон, называемый законом сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы относительно неподвиж- ной точки не изменяется с точением времени: dL —=0 и L=const. (5.12) Соответственно из (4.25) следует, что момент импульса замкнутой системы от- носительно ее центра масс не изменяется с течением времени: Lc=const. (5.13) Из (5.12) видно, что момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси а также все время остается постоянным: LB= const. (5.12') Подобно законам сохранения импульса и энергии, закон сохранения момента импульса принадлежит к числу самых фундаментальных законов природы, которые далеко выходят за рамки классической ньютоновской механики. Моментом импульса обладают не только движущиеся макроскопические тела и системы, но также й отдель- ные атомы, атомные ядра и элементарные частицы, причем последние и построенные из них системы (например, атомные ядра) могут иметь моменты импульса, не связан- ные с движением этих частиц в пространствен называемые их спинами. 2. Если система незамкнутая, но главный момент относительно неподакжной точки О всех внешних сил, действующих на систему, тождественно равен нулю/ТЬ, как видно из (4.20), момент импульса системы относительно точки О остается постоянным: dL ялеш .. —=М =0 и L=const. (5.14) Рис. 5.4 В справедливости этого закона можно убедиться на опыте с уравновешенным гироскопом, имеющим три степени свободы. Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп имеет три степени свободы, если ои закреплен таким образом, что может совершать любой поворот вокруг некоторой неподвижной точки, называемой центром подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результирующий момент сил тяжести всех частей гиро- скопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп называется уравновешенным. На рис. 5.4 показан простейший уравновешенный гироскоп, имеющий три сте- пени свободы. Гироскоп G быстро вращается во внутрен- ней обойме А вокруг оси AtA2, которая совпадает с осью симметрии гироскопа и проходит через его центр тяжести С. Обойма А, в свою очередь, может свободно вращаться во внешней обойме В вокруг оси BiB2, перпендикулярной оси AtA2. Наконец, внешняя обойма В может свободно 3 Курс физики 65
вращаться в стойте D вокруг оси Dj-Dj. Все три оси пересекаются в центре подвеса, совпадающем с центром тяжести С гироскопа. На опыте с таким гироскопом легко убедиться в том, что при любых поворотах стойки D ось вращения гироскопа сохраняет неизменное направление по отноше- нию к лабораторной систЙМСЬтсчета. Объясняется это следующим образом. Момент относительно точки подвеса С всех внешних сил, прикладываемых к гироскопу через стойку D при ее поворотах, равен только моменту сил трения (момент силы тяжести равен нулю, так как гироскОпуравновешен). Обычно момент сил трения мал, так что за небольшой промежуток времени, в течение которого производится поворот стойки В, момент импульса гироскопа L относительно центра подвеса С практически не изменя- ется. Так как гироскоп симметричен и вращается вокруг своей оси симметрии, то его момент импульса L направлен вдоль оси вращения AfA3. Поэтому при всевозможных поворотах стойки D ориентация оси вращения гироскопа должна оставаться неизмен- ной. ' 3. Из уравнений (4.21) вытекает следующее условие сохранения момента и пульса незамкнутой системы опюсвтельяо оси: если момент относительно какой-либо непо- движной оси всех внешних сил, действующих на систему, тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течением времени. Например, если то L:~ const. (5.15) В частности, для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ, (5.15') если М 7“=О, где J — момент инерции тела относительно оси OZ. 4. Справедливость этого закона можно продемонстрировать на ряде опытов. Опыт. На рис. 5.5 изображена квадратная рамка ABCD, изготовленная из тонких стержней. На стержни AD и CD надеты одинаковые цилиндрические грузы К, имеющие возможность свободно скользить по этим стержням. Грузы К удерживаются в верхнем положении прикреплен- ной к ним ниткой N, перекинутой через крючки Е в рамке. Рамка подвешена на неупругой нити ОВ. Если рамку привести во вращение вокруг вертикальной оси ОВ с некоторой угловой скоростью од, а затем нитку N пережечь, то грузы К опустятся по стержням ADt CD Вниз, приближаясь к оси вращения, а угдовая скорость вращения рамки заметно возрастет (<dj>W|). Это связано с тем, что момент относительно неподвижной оси ОВ внешних сил — реакции нити ОВ и сил тяжести, приложенных к рамке и грузам,— равен нулю. Поэтому произведение момента инерции рамки с грузами относительно оси О В на угловую скорость рамки до и после пережига- ния нитки должно остаться неизменным: J\Ot\ Так как Jt >J2, то о^хщ. Аналогичное явление наблюдается в опыте со скамьей Жуковского- Опыт. Скамья Жуковского представляет собой горизонтальную площадку, имеющую форму круга и свободно вращающуюся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси OOt. Человек, стоящий на скамье (рис. 5.6), держит в вытянутых руках гимнастические ган- тели и вращается вместе со скамьей вокруг оси ОО\. Приближая гантели к груди, человек уменьшает момент инерции системы и уг- ловая скорость ее вращения возрастает. Поскольку момент внешних сил (сил тяжести и реакции подшипников скамьи) относительно оси OOi равен нулю, момент импульса системы относительно оси OOt в рассматриваемом процессе не изменяется, т. е. (Jo+2wrJ)a>i=(^o+2mrJ)<B2, (5.16) где Jo момент инерции человека и скамьи (изменением момента инерции чело l при изменении положения его рук мы пренебрегли); и 2mrj — моменты инерции гантелей в первом и втором положе- Рис. 5.5 66
Рис. 5.6 Рис. 5.7* вяях относительно оса OOti ж — масса одной гантели; и и rj — расстояния от гантелей до оси; О| и о>2 — угловые спорости вращения системы. В этом процессе изменяется также кинетическая энергия системы: АГЖ- Жж2- Гж1 -*ZaKJo+2«rJ)e4-(Jb+2mr>»l. Воспользовавшись значением atj из (5.16) и выполни несложные преобразования, найдем Л+2жг? /о+2жг; (5.17) Квиетическая энергия системы увеличивается за счет работы, совершаемо* человеком при перемещении гантелей. Изменение угловой скорости вращения человека путем изменения его момента инерции широко используется в балете, акробатике, фигурном катании. в. Рассмотрим еще одни опыт со скамьей Жуковского. Ояыт. Человек стоит на неподвижной скамье и держит в руках ось массивного колеса так, что она является продолжением оси OZ вращения скамьи (рис. 5.7). Вначале колесо не вращается, а затем человек раскручивает его до угловой скорости ш,- При этом он сам вместе со скамьей приходят во арап»™* в обратном направлении с угловой скоростью ш2> которая, как показывает опыт, наход ятся в полном согласи с законом сохранения момента импульса системы относитель- но неподвижно* оси OZ: , J1 Ш2-— Ш1, •h tat и J2 — моменты инерция колеса и скамьи с человеком- § 54. Движение в поле центральных сил 1. В 5 3.3 было показало, что доле центральных сил — потенциальное поле. Было также получено выражение (3.24) для потенциально* энергии материально* точки в этом поле. Выясним теперь особенности движения материальной точки в доле центральных сил и, в частности, закономерности движения планет Солнечной системы до и орбитам вокруг Солнца. В поле на материальную точку действует центральная сила (3.23) у 67
F-Fr(r)-, г где г — радиус-вектор материальной точки, проведенной из начала координат О, которое со- впадает с центром сил. Момент М центральной силы F относительно центра сил О тождественно равен нулю: Fr(r) M=[rF]~-----[rr]=0. г Следовательно, согласно (5.14), момент импульса материальной точки относительно центра сил не изменяется при движении точки: L»[rm]=const, (5.18) где тит — масса и скорость материальной точки. Вектор L всегда ортогонален плоскости векторов гит. Поэтому постоянство направления вектора L свидетельствует О том, что движение материальной точки в поле центральных сил — плоское. Скорость точки можно разложить на радиальную и трансверсальную составляющие, причем из (1.14) и (1.15) видно, что L—m [rvr]+m [rvJ=m [rvv], ' , dp L=mnf=mr (5.19) где г и <p — полярные координаты точки (см. рис. 1.4); а — ее секторная скорость. Итак, n—L/(2m)=const. (5.20) Отсюда следует, что при движении материальной точки в поле центральных сил секторная скорость точки остается постоянной. Этот закон впервые был ус новлен И. Кеплером (1609) применительно к движению планет в центральном поле тяготения Солнца. Его называют вторым законом Кеплера. 2. Материальная точка, движущаяся в поле центральных сил, представляет собой консерватив- ную систему, так как это внешнее поле потеши льно и стационарно. Поэтому при движении материальной точки сохраняется не только ее момент импульса L, но также и механическая энергия точки: W- И7,,» const. (5.21) Кинетическую энергию материальной точки можно представить, основываясь на соотношени- ях (1.13), (1.14) и (5.19), в виде Подставив это выражение И7, в уравнение (5.21) и разрешив его относительно dr/dt, получим 68
Из (5.19) следует, что d<»/d«=L/(»ir2). Таким образом, • . . Л/г2 —--- — : ; > Й/* it . y/bn(W-Wv)~(Llr)2 Г d(L/r) 9--- ---------- —=. (5.22) J V2m(lF-»y-(£/r)3 3. Для нахождения этого интеграла необходимо знать конкретный вид зависимости потенциаль- ной энергии FPn от г. Большой практический интерес представляет, как мы уже отмечали в § 3.3, случай движения материальной точки в центральном поле, для которого справедливы соотноше- ния (3,25) и (3.26): и Па-Р/ъ где Р=const. Подставим это выражение для FFn в (5-22): f d(L/r) f A(Llr+mfifL) ф — — I := ---- —— _ _ I — J j2mW-2mfilr-(L/rf J y/ilmW+fmP/L^-lL/r+mP/L]2 Последний интеграл сводится к табличному, если ввести обозначения L тР —I---- г L так что V ...... =агссоа,ггЬфи (5.22') где фо — постоянная интегрирования, которую можно обратить в нуль, выбрав начало отсчета угла ф так, чтобы ф»0 при ч»в. Подставив выражения для ч и а в (5229, получим уравнение траектории материальной точки: Ljr+mPfL - • ф—arccos —, . • y/TmW+^mPILY или L —mPIL+сов ф yJlmW + (mp/Lp (5.23) 4. Если материальная точка притягивается к центру сил, как это происходит, например, с плане- тами в центральном поле тяготения Солнца, то р<0 и уравнение (5-23) траектории точки можно переписать в форме г----------, ' (524) 1+есовф где L2 рж-----> /и|Д (5.25) 69
Траектория материальной точки представляет, собой кривую второго порядка, причем р — ее фокальный параметр, е — эксцентриситет. Возможны следующие типы траекторий материальной точки: а) эллиптическая орбита (е<1) при Ж<0; б) параболическая орбита (е»1) при W»0; в) гиперболическая орбита (е> 1) при W>0; г) прямолинейная траектория, проходящая через центр сил (р—0, е=1) г н L—0. В первых трех случаях центр сил совпадает с одним из фокусов орбиты. Для планет, движущихся в поле тяготения Солнца, W<0. Поэтому для них справедлив первый закон Kewicpi иси планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. В соответствии со вторым законом Кеплера секторная скорость в каждой из планет постоян- на. Следовательно, период Т обращения планеты по орбите равен отношению площади S, ограниченной орбитой, к секторной Скорости a: T^Sfa. Площадь эллипса S^nab, где а и Ь — его большая и малая полуоси. Учитывая, что Ь~ау/\ — е*, р=»с(1—е2),. а также используя соотношение (5.20), получаем -----а1; Ь3/(4ж2) Так как, по формуле (5.25), p“£2/(m|/J|), где Ifl^GmM, М — масса Солнца, то 4ла Г2-----о*. (5.26) GM Уравнение (5.26) выражает треп* закон Кеплера: квадраты периодов обрмцоиия планет вокруг Солнца прямо пропорциональны кубам больших полуосей их орбит. 5. В случае отталкивания материальной точки от центра сил (например, п] движении точечного электрического заряда ?| в электростатическом поле одноименного с ним неподвижного заряда 92) /?>0. Уравнение траектории материальной точки (5.23) также является уравнением кривой второ- го порядка: ' - г----, (5.27) — l+ecosp где рве определяются по формулам (5.25). Полная энергия материальной точки И,«(И,К+ И/в)>0, так как Wn>0. Поэтому е>1 и мате- риальная точка движется в центральном поле сил отталкивания (3.25) либо по гиперболической орбите, либо (при L-0) по прямой, пре эдяще через центр сил. б.. В заключение рассмотрим задачу о движении замкнутой системы, состоящей из двух частиц (материальных точек), которые взаимодействуют по закону центральных сил (3.31). Ее решение существенно упрощается, если в качестве системы отсчета выбрать не лабораторную систему, а систему центра масс. В § 2.6 было показано, что система центра масс замкнутой механической системы ннеровальна. Поэтому для описания движения обеих частиц в системе центра мясе можно воспользоваться вторым законом Ньютона: ' d2r* d2r* *«1 —2“F|2> mz F12, (5.28) ш at 70
где mt mt — млсал «спц, a if и if — раднусы-вектвры' в свспме центре масс. Так как радаус-вектор центра месс в этой системе отсчета равен нулю: 1И1+Ж2 ТО • ' mir|+mj|f-0. (539) Выразим if в if, пользуясь этим соотношением, через вектор р •if—if, соединяющий первую частицу со второй: ям ям *{----------' . (5.30) Яц+М} М|-НИ2 Следовательно, для решения вашей задачи достаточно найти зависимость от времени одного только вектора р. Из (5.28) в (5.30) следует, что лцжц &р ------ТТ“'2)- нц+яц dr2 Наконец, если подставить сюда выражение (3.31), то окончательно получим d’p р («» at р где /п—я«1Ж2/(/Я1+/пг) (5-32) — инведеаиви масса сяспаш. Уравнение (5.31) описывает движение материальной точки массы m в воле »уепря имени сил. Таким образом, задача о движении (столкновении) двух частиц, взаимодействующих по закону центральных сил, может быть сведена к рассмотренной вами ранние задаче о движении одной материальной точки в поле центральных сил. § 5.5. Космически* скорости и проблема космических полото* 1. Выдающимися достижениями советской науки и техники, положившими начало освоению человеком космического пространства, явились запуск в Советском Союзе 4 октября 1957 г. первого в истории человечества искусственного спутника Земли к полет 12 апреля 1961 г. на корабле-спутнике «Восток» первого в мире космонавта Ю. А. Гагарина. В последующие годы изучение и освоение космоса посредством автоматических и пилотируемых космических летательных аппаратов развивалось чрезвычайно быстрыми темпами. Достаточно сказать, что уже в июле 1969 г. впервые шла осуществлена с помощью американского пилотируемого корабля «Аполлон-11» высадка на поверхность Луны двух космонавтов — Н. Армстронга и Э. Оддри- на, а в 1970 г. советская автоматическая станция «Луна-16» выполнила мягкую посадку на Луну, произвела бурение грунта, забрала образцы лунной породы и до- ставала их на Землю. Ныне стали, уже привычными сообщения печати об иссле- дованиях планет Солнечной системы с помощью различных автоматических меж- планетных станций («Луна», «Венера», «Марс» и др.). Искусственные спутники Земли (ИСЗ) и стационарные обитаемые и автоматические орбитальные станции успешно используются для осуществления устойчивой дальней рядно- и телевизионной связи, проведения метеорологических исследований, изучения природных ресурсов Земли я особенностей протекания различных физико-химических процессов в условиях не- весомости и сверхглубокого вакуума, а также для проведения медико-биологических 71
и других исследований. Специально оборудованные ИСЗ используются в Международ- ной системе обнаружения и оповещения о терпящих бедствие морских судах. 2. Практическое осуществление космических исследований и проведение полетов в ко- смосе автоматических и пилотируемых космических аппаратов связано с решением очень широкого комплекса сложных научных и технических проблем. Эти проблемы далеко выходят за рамки не только механики, но и физики в целом. Поэтому в даль- нейшем мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых простейших вопросов меха- ники, связанных с проблемой космических полетов. Первой космической скоростью называется наименьшая скорость vu которую нужно сообщить телу, чтобы оно могло стать искусственным спутником Земли. Скорость V] называют также круговой скоростью, так как она равна скорости искусственного спутника, обращающегося вокруг Земли в отсутствие сопротивления атмосферы по круговой орбите под действием одной только силы тяготения к Земле. Если т — масса тела, г — радиус орбиты, а М3 — масса Земли, то по второму закону Ньютона s- ~тМз GM3 -—=G—— и »i= /-----------. (5.33) г г \1 г У поверхности Земли vi-^7,9 км/с. Второй космической скоростью называется наименьшая скорость v2, которую нужно сообщить телу, чтобы оно могло без воздействия каких-либо дополнительных сил преодолеть земное притяжение И Превратиться в искусственный спутник Солнца. Эту скорость называют также параболической скоростью, так как она соответствует параболической траектории тела в поле тяготения Земли (в отсутствие сопротивления атмосферы). Найдем скорость'«j/исходя из того, что при движении тела в поле тяготения Земли механическая энергия тела не изменяется: Wt+Wn= W= const. Если воспользоваться формулой (3<2&) для потенциальной энергии тела Wn и учесть, что при начальном значении скорости тела, равном »2, кинетическая энергия тела очень далеко от Земли обращается в нуль, так же как и потенциальная, то W— WK+ И/п=0. Следова- тельно, v':' * > 1' . f 1' ' ‘ тМ3 .. -----G-----=0, .2 г где г — расстояние от центра Земли до места запуска тела со скоростью bj. Таким образом, вторая космическая скорость в. у/1 раз больше первой космической скорости: (534) При запуске с поверхности Земли.«2= 11,2 км/с. Третьей космической скоростью в3 называется наименьшая скорость, которую нуж- но сообщить телу, чтобы он© могло удалиться за пределы Солнечной системы, т. е. преодолеть тяготение не только Земли, но и Солнца. Значение скорости в3 существенным образом зависит от того, в Каком направлении запускается тело по отношению к направлению скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца. Скорость в3 минимальна и равна 16,7 км/с, если вектор v3 сов- падает по направлению с vo?c. При этом тело уходит из Солнечной системы по параболе, касающейся орбиты 'Земли. 3. Для запуска искусственных спутников Земли и космических кораблей применяют ракеты-носители. На борту ракеты-носителя находятся топливо и окислитель, необ- 72
ходимые для работы жидкостного реактивного двигателя ракеты. Они составляют значительную часть стартовой массы ракеты т^. По мере работы двигателя масса ракеты уменьшается. Наибольшая скорость, которую может приобрести ракета в про- цессе работы двигателя, меньше характеристической скорости (2.29). Однако анализ этой формулы позволяет сделать ряд существенный выводов. Для увеличения харак- теристической скорости ракеты необходимо увеличивать относительную скорость и ис- течения продуктов сгорания и относительную массутоцлива и окислителя т^то. Максимальные значения и для реактивных двигателей, (работающих на жидких топ- ливах, ограничиваются свойствами этих топлив и ц.настоящее время не превосходят 5 км/с. Отношение , Тот / тх тв\ т, .... — = 1 1—:-----<1—^, тд \ т0 то) где т( — масса конструкции ракеты и ее двигателя; — масса полезной нагрузки (искусственного спутника или космического корабля). Уменьшение относительной массы конструкции mjmo лимитируется прочностью и плотностью имеющихся матери- алов. Поэтому, как показывают расчеты, на современном уровне развития техники ракета не может развить даже первую космическую скорость. Путь преодоления этой трудности был указан К. Э» Циолковским, который впервые научно обосновал возможность межпланетных сообщений-Д(ля достижения космичес- ких скоростей Циолковский предложил использовать це брычную (Одноступенчатую) ракету, а составную (многоступенчатую) ракету. Многоступенчатая ракета состоит из нескольких соединенных между собой ракет, каждая из которых имеет свой двигатель и несет в себе запас топлива и окислителя. Во вря старта включается Двигатель одной из этих ракет, называемой первой ступенью рставжй ракеты. После выгорания всего топлива, имеющегося в Первой ступени, происходит автоматическое включение двигателя второй ступени ракеты и отделение первой; Ступени от составной ракеты. После выгорания топлива во второй ступени она также отделяется и начинает работать двигатель третьей ступени. Так продолжается вплоть до последней ступени составной ракеты, несущей на себе полезный груз. ,. к 7 Увеличение характеристической скорости многоступенчатой ракеты по сравнению с одноступенчатой ракетой, имеющей ту же стартовую массу и тот же запас топлива и окислителя, связано с уменьшением массы конструкции по мере выгорания топлива. 4. В настоящее время проводятся интенсивные работы по созданию новых типов ракетных двигателей, которые принципиально отличаются от жидкостных реактивных двигателей, использующих химическую энергию топлива. В проектах ящерных ракет- ных двигателей рабочее вещество нагревается в ядерном реакторе и затем вытекает через сопло. Предполагается, что таким образом удастсд значительно повысить ско- рость истечения и. Еще более значительное увеличение скорости и предполагается осуществить в ионном ракетном двигателе. В этом двигателе реактивная сила тяги создается вследствие выбрасывания из двигателя заряженных частиц — ионов, кото- рые предварительно разгоняются в электрическом поле до скоростей порядка сотен и даже тысяч километров в секунду. Однако сила тяги ионного двигателя Fp=u|<bn/dr| не может быть сделана большой, так как секундный массовый расход Idm/dfj, численно равный массе всех ионов, образующихся в двигателе и выбрасываемых из него за 1 с, райне невелик. Для запуска ракеты с Земли требуется Двигатель, сила тяги которого больше силы тяжести ракеты на старте. Поэтому ионный’двигатель непригоден для осуществления старта ракеты с Земли. Зато он может с успехом применяться для ускорения ракеты и управления ее движением припблетев космическом пространстве вдали от небесных тел, т. с. когда результирующая сил притяжения ракеты этими телами мала. Незначительный расход массы при работе ионного двигателя позволяет увеличить массу полезной нагрузки и длительность работы ионного двигателя по сравнению с жидкостным реактивным двигателем. Теоретически наиболее совершенным следует считать фотонный ракетный двига- тель. Тяга этого двигателя создается за счет отдачи при испускании электромагнитного излучения, т. е. за счет испускания фотонов, скорость которых достигает максимально 73
возможного значения, равного скорости света в вакууме. Однако создание ракетных двигателей такого типа, по-видимому, дело не очень близкого будущего. Ввиду малой тяги фотонный двигатель может найти применение в будущем для дальних космичес- ких полетов в очень слабых гравитационных полях. § 5.8. Связь между свойствами симметрии пространства и времени и законами сохранения 1. В приведенных выше плодах законов сохранения импульса (см. § 5.1) и момента импульса (см. § 5.3) мы исходили из законов изменения импульса (2.20) и момента импульса (4.20), для получения которых были использованы как второй, так и третий законы Ньютона. На основании третьего закона Ньютона мы считали равными нулю сумму всех внутренних сил и сумму моментов этих сил. Однако эти соотношения, оказывается, можно получить, не прибегая к третьему закону Ньютона, а основываясь на таких свойствах симметрии пространства, как его однородность и изотропность. Иначе говоря, законы сохранения импульса и момента импульса можно вывести, опираясь иа один только основной закон динамики (второй закон Ньютона) и на указанные свойства симметрии пространства. Именно в этом смысле следует понимать утверждение о том, что закон сохранения импульса связан с однородностью простран- ства, а закон сохранения момента импульса — с изотропностью пространства. 2. Однородность пространства проявляется в том, что законы движения и физические свойства замкнутой системы ,ие зависят от выбора начала координат инерциальной системы отсчета. Иначе говоря, ежи не изменяются, если замкнутую систему переста- вить в пространстве как целое путем параллельного переноса, т. е. при полном сохранении взаимного расположения всех частей системы и тех условий, в которых они находились до переноса. В частности, при произвольном малом перемещении dr системы как целого должна быть равна нулю работа 6Л всех сил в системе. В замкну- той системе действуют только внутренние силы, так что ^-Ё(£₽Лбг)-Ё Ё^*-0. i«i \*-i / «-I k-1 Поскольку dr#O, должна быть равна нулю сумма всех внутренних сил: Я я X Е f»-o. i-l Jt—1 Из этого соотношения и уравнения (2.15), вытекающего из второго закона Ньюто- на, следует закон сохранения ммпульра замкнутой системы. 3. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы ие изменяются при ее повороте в пространстве как целого иа любой. угол, т. е. не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета. В частности, при произвольном малом повороте d<p замкнутой системы как целого вокруг неподвижной .точки О — начала координат — должна быть равна нулю работа 6А всех сил, действующих в системе. Если Mrt=[r,F,*] момент силы Fjt относительно точки О, а г, радиус-вектор, проведен- ный в /-ю точку системы из точки О, то, согласно (4.39), sA=i(iЁн*бф₽о. i-l x*-t . / i-l Jt-l Поскольку бф #0, должна быть равна нулю сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил: Е Е Мл- Е г< X F» =0. 74
(535) Из этого соотношения и уравнения (4.18), полученного на основании второго закона Ньютона, следует закон сохранения момента импульса замкнутой системы. 4. Покажем, что закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени: если в любые два Момента времени замкнутую систему поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов времени все процессы в системе будут протекать совершенно оди- наково. Из однородности времени следует, что потенциальная энергия замкнутой системы не может зависеть явно от времени, т. е. изменяться с течением времени при условии неизменности конфигурации системы: at Поэтому, если в системе не действуют непотенциальные силы или эти силы не совершают работы (ЙЛ^гО), то согласно уравнению (337), вытекающему из второго закона Ньютона, механическая энергия такой замкнутой системы (замкнутой консер- вативной системы) не изменяется с течением времени. Этот вывод легко распрост- ранить также на случай системы, находящейся в стационарном потенциальном вне- шнем поле, так как и в этом случае из однородности времени следует справедливость условия (535). 5. В заключение следует сказать о симметрии классической механики по отношению к направлению хода времени t — его возрастанию или убыванию. Формально это следует из инвариантности уравнений механики по отношению к замене переменной г на —t. В самом деле, исходное уравнение всей ньютоновской механики — уравнение вто- рого закона Ньютона (2.6): —=F. dr Оно полностью сохраняет свой вид, если произвести замену г на ?= — t и р на р'= — р, т. е. изменить направление хода времени, а также изменить на противополож- ное направление движения материальной, точки: м Эта симметрия уравнений классической механики свидетельствует об обратимостя механических процессов: если механическая система совершает какое-либо движение, то она может под действием тех же сил совершать и прямо противоположное движение, при котором эта система будет проходить через те же самые промежуточные кон- фигурации в обратном порядке. Вопросы: 1. При каких условиях сохраняется импульс механической системы? 1 При каких условиях сохраняется момент импульса механической системы? 3. При каких условиях сохраняется механическая энергия системы? (4. Объясните связь между законами сохранения импульса, момента импульса, механической энергии и свойствами симметрии пространства и времени. 8. Какой смысл вкладывается в утверждение о том, что механические процессы обратимы?
Глава 6__________________________________ Движение в неинерциальных системах отсчета § 6.1. Кинематика относительного движения 1. До сих пор мы всегда пользовались для описания механического движения тел инерциальными системами отсчета. Между тем во многих случаях необходимо изучать движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета. Так, например, движение тел на Земле естественно рассматривать в лабораторной системе отсчета, которая, строго говоря, не является инерциальной. В § 2.1 мы говорили, что в первом приближении можно пренебречь неинерциальностью этой системы отсчета. Однако возможность такого допущения требует специального обоснования, так как иначе неясна величина возникающих при этом погрешностей. Целый ряд явлений — «само- произвольный» поворот плоскости качаний маятника (опыт Фуко), отклонение свобод- но падающих тел к востоку, подмывание одного из берегов реками, текущими в мери- диональном направлении, и др.— вообще можно объяснить только неинерциально- стью земной системы отсчета. 2. В классической (ньютоновской) механике считается, что расстояния и промежутки времени не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой самым произвольным образом. Например, пусть К— инерци- альная система отсчета с началом координат в точке О*, a S — неинерциальная система отсчета с началом(коррдинат в точке О (рис. 6.1). В общем случае движение системы отсчета S относительно К можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью v0 точки О и вращения > вокруг этой точки с угловой скоростью Л. Значения г* и г радиуса-вектора произвольной материальной точки М, измеренные в системах отсчета К н S, связаны соот- , ношением г*=г*+г, (6.1) гдс гg — радиус-вектор точки О, измеренный в системе отсчета К, а г=х1+Я+гк, (6.2) Рис. 6.1 гдс х» У< 2 — декартовы координаты точки М; i, j и к — орты осей координат в системе отсчета S. Движение материальной точки М относительно инерциальной системы отсчета К, условно принимаемой за неподвижную, называется абоолютшм двяжеявем. Движение той же точки относительно неинерциальной системы отсчета S называется относитель- ным движением. 3. Абсолютная скорость точки М, т. е. ее скорость относительно системы отсчета А, равна dr* dr* dr va=—=—+— dr dr dr ИЛИ г.,. ’’* / di dj dk\ 1 x-+y -+г — )+vn (6.3) \ dr dr dr/ 76
где dx dy dz ▼r=—i+—j+—к df dt dt (6-4) — относителы я скорость точки М, т. е. ее скорость по отношению к системе отсчета 5, aTo^drJ/dt — абсолютная скорость точки О, т. е. скорость поступательного движения системы отсчета S относительно системы К. Орты i, j и к подвижной системы S могут изменяться в системе отсчета К только вследствие вращения системы S вокруг точки О с угловой скоростью О. Производные по времени от i, j и к равны линейным скоростям концов этих векторов при вращении системы £ Поэтому на основании формулы (4.6'),. где ¥=dr/dt, а под г можно поочередно принимать орты системы £ имеем: di - dj - dk - -=[Og, у=[ПЙ, -=Юк]. (6-5) dt dr dt Подставив эти выражения в (6.3) и выполнив несложные преобразования, получим Ve«¥r+¥ft (6.6) где Ъ=*о+[Пг] (6-7) — переносная скорость точки М. Она равна абсолютной скорости той точки подвижной системы S (т. е. жестко связанной с этой системой), через которую Проходит точка М в рассматриваемый момент времени. Из (6.6) видно, что абсолютная скорость точки М равна сумме ее относительной и переносной скоростей. 4. Относительное ускор ле я, точки М, т. е. ее ускорение в относительном движении, найдем дифференцируя относительную скорость точки ▼, в предположении постоянства векторов i, J и к. Из (6.4) получим d2x . d2y Лг dt2 + dt1 J ' dr2 d2: (6-8) Абсолютное ускорение aa точки M, т. е. ее ускорение относительно системы отсчета К, найдем из (6.6): dve dvr dre ae=-—-=—I—. dr dt dt Из выражений (6.4) — (6.7) следует, что ae=a,+a<+aK. (6.9) Здесь ; dvn Г<Ю 1 -» - ‘e7T+krr (6.10) dt I dt — переносное ускорение точки М, равное абсолютному ускорению той точки подви- жной системы отсчета £ через которую проходит точка М в рассматриваемый момент времени. Первый член в правой части формулы (6.10) представляет собой ускорение системы £ в поступательном движении, а второй и третий — вращательное и осе- стремительное ускорения, обусловленные вращением системы £ 77
Ускорение к~2[Пж,] (6.11) называется кориолисовым угцореиип точки М. Оно направлено перпендикулярно векторам Q и v, и максимально, если относительная скорость точки к, ортогональна угловой скорости О вращения подвижной системы отсчета. Кориолисово ускорение равно нулю, если угол между векторами е, и П равен 0 или я, либо если хотя бы одни из этих векторов равен нулю. Итак, согласно (6.9), абсолютное ускорение точки равно сумме ее относительного, переносного и кориолисова ускорений. 5. Если неинерциальная система отсчета S не вращается, а движется только поступате- льно, то Q =0 и *в=Ъ+»о, dv0 dr’ . dv* Ц,“йг+—• dr Наконец, если подвижная система отсчета S инерциальна, то 0=0 и т0=const, так что а,=а,=0 и Следовательно, ускорение точки не зависит от выбора инерциаль- ной системы отсчета (инвариантно по отношению к этому выбору). § 6.2. Силы инерции 1. В иеинерциальных системах отсчета законы Ньютона не выполняются. В частности, материальная точка может изменять состояние своего движения относительно неинер- циальной системы отсчета S без всякого воздействия на эту точку со стороны других тел. Например, шарик, подвешенный на нити к потолку вагона равномерно и прямоли- нейно движущегося поезда, отклоняется назад при ускорении движения поезда и впе- ред — при его замедлении, т. е. приходит в движение относительно неинерциальной системы отсчета, связанной с вагоном. Между тем никакие горизонтальные силы на шарик при этом не действуют. 2. Основной закон динамики материальной точки в неинерциальных системах отсчета можно получить исходя из второго закона Ньютона и связи между абсолютным и относительным ускорениями материальной точки. Из (6.9) следует, что произведение массы материальной точки на ее относительное ускорение равно тл,=тя—та,—так. Согласно второму закону Ньютона, записанному применительно к абсолютному движению материальной точки, т. е. к ее движению относительно инерциальной системы отсчета К, ma^V, где F — геометрическая сумма всех сил, действующих на материальную точку. Следо- вательно, основное уравнемг динамика относительного движения материалы i томя имеет вид ma,=F-ma,-maK. (6.12) Его можно привести к виду, аналогичному по форме основному закону динамики абсолютного движения точки: гяа,=Р+1,+1к. (6.13) Векторные величины 1,= —та, и !<=* —»**к имеют размерность силы и называются соответственно переносной оклюй иперыю и кориолисовой силой инерции. 78
dvo Г<Ю .= — m------m I — г dt 3. Из (6.10) следует, что в общем случае переносная сила инерции равна сумме трех членов: -т[П(Пг]]. (6.14) Последний член правой части этого выражения I* т[П[Пг]] (6.15) называется центробежной силой инерщж или просто центробежной силой, так как этот вектор перпендикулярен мгновенной оси вращения инерциальной системы отсчета S (т. е. вектору П) и направлен от указанной оси. Модуль центробежной силы /я6=1иП1р. (6.15Э где р — расстояние от материальной точки массы m до мгновенной оси вращения системы отсчета £ Переносная сила инерции совпадает с центробежной, если неинерциальная система отсчета движется поступательно с постоянной скоростью (r0—const) и вращается с постоянной угловой скоростью (П—const). Действие центробежной силы инерции широко используют в технике: в центробеж- ных насосах, сепараторах, центробежном регуляторе и т. д. При проектировании быстро вращающихся деталей машин — роторов турбин, компрессоров, электрических двигателей, двигателей внутреннего сгорания, винтов самолетов и вертолетов — при- нимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции. Напри- мер, в случае деталей, симметричных относительно оси вращения, производят их тщательную статическую и динамическую балансировку, так как малейшее смещение центра масс в сторону от оси вызывает при быстром вращении детали столь большие дополнительные нагрузки на ее подшцпники, что они быстро разрушаются. В случае несимметричных деталей, например, коленчатых валов, применяют специальные про- тивовесы. При расчете на прочность быстро вращающихся деталей машин учет центро- бежных сил инерции совершенно необходим, так как .эти силы во многих случаях играют определяющую роль. 4. Кориолисова сила инерции 1к-2т[тД1]. (6.16) Эта сила действует на материальную точку только тогда, когда неинерциальная система отсчета вращается, а материальная точка движется относительно нее. Так, например, на частицы воды в реках Северного полушария, текущих в меридиональном направлении, действуют кориолисовы силы инерции, которые направлены перпен- дикулярно скорости течения реки и вызывают подмывание правого по течению берега. Кориолисова сила инерции не совершает работы в относительном движении мате- риальной точки, так как эта сила направлена перпендикулярно скорости относитель- ного движения точки. Следовательно, кориолисова силе инерции служит примером гироскопических сил (ал; § 3.1). ( 3. Силы инерции реально действуют на материальную точку в неинерциальной систе- ме отсчета и могут быть в ней измерены, например с помощью пружинного динамоме- тра. Однако в отличие от обычных сил взаимодействия тел для сил инерции нельзя сказать, действие каких конкретно тел на рассматриваемую материальную точку они выражают. Следовательно, к этим силам неприменим, например, третий закон Ньюто- на. Эта особенность сил инерции связана с тем, что само появление векторных величин I, и 1К в основном уравнении динамики относительного движения обусловлено только неинерциальностью системы отсчета, используемой для описания относительного дви- жения точки. Добавление к силе F, характеризующей действие на материальную точку всех других тел, сия инерции L и 1к позволяет записать основное уравнение динамики 79
относительного движения в форме, похожей на запись второго закона Ньютона в инерциальной системе отсчета. В неинерциальных системах отсчета не может быть замкнутых систем тел, так как для тел системы силы инерции — внешние силы. Поэтому в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. 6. Различное объяснение одних и тех же явлений наблюдателем, находящимся в инер- циальной системе отсчета К и называемым неподвижным наблюдателем, и подвижным наблюдателем, находящимся в неинерциальной системе отсчета S, не дает никаких оснований для утверждений об отсутствии объективных закономерностей этих явлений и произвола в их истолковании в зависимости от «точки зрения» наблюдателя. Рассматривая движения тел относительно нсинерциальной системы отсчета с позиций механики Ньютона, подвижный наблюдатель, хочет он того или нет, должен вводить силы инерции. Необходимость использования сил инерции связана с тем объективным, т. е. нс зависящим от воли и сознания наблюдателя, фактом, что законы Ньютона неприменимы в неинерциальных системах отсчета. § 6.3. Относительное движение в системе отсчета, связанной с Землей 1. Система отсчета, связанная с Землей, неинерциальна по двум причинам: во-первых, вследствие суточного вращения Земли с постоянной угловой скоростью (2 (П=2л рад/сут=7,3 10 s рад/с) и, во-вторых, вследствие действия на Землю гравитационного поля Солнца, Луны, планет и других астрономических тел. Это гравитационное поле' практически однородно в пределах Земного шара и сообщает земной системе отсчета и всем движущимся относительно нее телам одно и то же ускорение поступательного движения a0=dv0/dz=gr, где gr — напряженность гравнгяцножюго поля, равная отноше- нию силы Frp, действующей со стороны поля на помещенную в него материальную точку, к массе т этой материальной точки: Напряженность однородного поля одинакова во всех его точках. Из (6.13) — (6.15) следует, что уравнение относительного движения материальной точки массы т в системе отсчета, связанной с Землей, имеет вид ma,=F+FMr+I4g+Ix, (6.18) где 1цб и 1к — центробежная и кориолисова силы инерции; FTjr — сила тяготения материальной точки к Земле; F — сумма всех остальных сил, действующих на матери- альную точку, кроме гравитационных. 2. Силой тяжести тела называется сила Р, приложенная к телу и равная геометричес- кой сумме силы FT<r тяготения тела к Земле и центробежной силы инерции, обусловлен- ной суточным вращением Земли (рис. 6.2): P=FT„+Ine. (6.19) ' В первом приближении можно считать, что Зем- ля — шар, плотность которого зависит только от рас- стояния до его центра. В этом случае из закона всемир- ного тяготения Ньютона следует, что сила тяготения к Земле тела массы т равна FT₽=-G-^r, (6.20) где G — гравитационная постоянная; Мз — масса Зем- ли; г — радиус-вектор, проведенный из центра Земли 80
в точку, где находится тело (размеры всех тел во много раз меньше г, так что тела можно считать точечными). Подставив в (6.19) выражения (6.20) и (6.15), получим Р=-С^г-т[П[Пг]], (6.21) где П — угловая скорость суточного вращения Земли. Сила тяжести вызывает падение на Землю незакрепленного тела. Она равна силе, с которой неподвижное относительно Земли тело давит на горизонтальную опору (или действует на вертикальный подвес) вследствие тяготения к Земле. Ее можно измерить в земной системе отсчета, например, с помощью пружинного динамометра. Точка приложения силы тяжести тела, т. е. точка приложения результирующей сил тяжести всех частиц тела, называется центром тяжести тела. Центр тяжести тела совпадает с его центром масс. 3. Сила тяжести тела не зависит от скорости его относительного движения. Она пропорциональна массе т тела и может быть представлена в виде P=mg, (622) где g — ускорение свободного падения. В данном месте Земли вектор g одинаков для всех тел и зависит от положения этого места. Сила тяжести тела совпадает с силой тяготения его к Земле там, где центробежная сила инерции 1цб=0, т. е. на полюсах. Наибольшее отличие силы тяжести от силы тяготения тела наблюдается на экваторе, так как там сила 1дб достигает максимального значения и направлена в сторону, противоположную направлению силы Однако даже на экваторе сила тяжести отличается от силы тяготения всего лишь на 0,35%. Во. всех точках земной поверхности, кроме полюсов и экватора, силы Р и F^. не совпадают также и по направлению фис. 6.2), но максимальный угол между ними не превосходит 6'. Сила тяжести уменьшается с подъемом на высоту. Вблизи поверхности Земли это уменьшение составляет приблизительно 0,034% на каждый километр подъема. Ускорение g вблизи поверхности Земли изменяется от значения 9,78 м/с1 на экваторе до значения 9,83 м/с2 на полюсах. Это связано, во-первых, с зависимостью центробежной силы инерции от географической широты места и, во-вторых, с нешаро- образностью Земли, которая слегка сплюснута вдоль оси вращения (полярный и эк- ваториальный радиусы Земли равны Rn,^ 6357 км и A„,=6378 км). Стандартное значение ускорения свободного падения, принятое при построении систем единиц и при барометрических расчетах, равно 9,80665 м/с2. 4. Свободным падением тела называется его движение, происходящее под действием только поля тяготения. Ускорение свободно падающего на Землю тела, регистрируг емое во вращающейся вместе с Землей неинерциальной системе отсчета, можно найти из уравнения движения (6.18), положив в нем F=0, FTr+Ia6=mg и Ц-по формуле (6.16): a,=“g+2[vrn]. Если v,=0, то ar=g. Следовательно, вектор g равен ускорению свободно падающе- го тела, измеренному относительно земной системы отсчета в тот момент, когда относительная скорость тела равна нулю. Поэтому вектор g и называют ускорением свободного падения. Если относительная скорость свободно падающего тела v,#0, то его ускорение относительно Земли не равно g: a,^g. Однако при скоростях «,<680 м/с значения g и а, различаются менее чем на 1%. Поэтому во многих случаях можно считать, что для наблюдателя, находящегося на Земле, свободное падение тела происходит с уско- рением g. Соответственно действие на свободно падающее тело кориолисовой силы инерции можно рассматривать как сравнительно малое возмущение. Так, например, под влиянием кориолисовой силы инерции свободно падающее тело отклоняется 81
к востоку от направления отвеса, т. е. от направления вектора Р—mg. Это отклонение для тела, свободно падающего без начальной скорости с высоты Л над поверхностью Земли, на широте <р равно Iй s— Qn /—cos®. 3 g Например, если й= 100 м и <р=45°, то з= 1,55 см. 5. При определенных условиях в ускоренно движущейся механической системе может осуществляться состояние невесомости. Невесомостью называется такое состояние механической системы, движущейся в гравитационном поле, при котором это поле не вызывает взаимного давления частей системы друг на друга и их деформации. Состояние невесомости реализуется, например, в лифте, который свободно падает в поле тяготения Земли, или в космическом корабле, движущемся с неработающим двигателем в гравитационном поле. Такое состояние характерно для искусственных спутников и орбитальных космических станций. При невесомости действие на механи- ческую систему гравитационного поля компенсируется силами инерции. § в.4. Принцип эквивалентности 1. Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорци- ональны массам этих тел и при прочих равных условиях сообщают им одинаковые относительные ускорения. Иными словами, все тела, свободные от внешних воздейст- вий, движутся в «поле сил инерции» (т. е. относительно неинерциальной системы отсчета) совершенно одинаково, если только начальные условия их движения тоже одинаковы. Аналогичная закономерность наблюдается при движении относительно инерциальных систем отсчета тел, находящихся под действием сил гравитационного поля. В каждой точке поля эти силы, подобно силам инерции, пропорциональны массам тел и сообщают всем телам одинаковые ускорения свободного падения, равные напряженности поля в рассматриваемой его точке. Например, в неинерциальной системе отсчета, связанной с лифтом, который дви- жется равноускоренно вертикально вверх с переносным ускорением %>=const, все свободные тела падают в отсутствие гравитационного поля с одинаковым относи- тельным ускорением л,= — Bq. Точно так же ведут себя свободные тела в том же лифте, движущемся равномерно в однородном гравитационном поле, напряженность которого g,.= —bq, т. е. направлена вертикально вниз. Таким образом, на основе экспериментов по свободному падению тел внутри наглухо закрытого лифта нельзя установить, движется ли лифт равиомерио в гравитационном поле напряженностью Ь=аг (в частности,. лифт может также покоиться в этом поле) или он движется в отсутствие гравитационного поля, но с постоянным переносным ускорением в*= — в,. Эйнштейн обобщил указанную закономерность на любые физические процессы, сформулировав следующий приицип эквивалентности: гравитационное поде в ограничен- ной области пространства физически эквивалентно «полю сил инерции» в соответст- вующим образом выбранной неинерциальной системе отсчета., Размеры этой области пространства должны быть достаточно малыми, чтобы в ее пределах гравитационное поле можно было считать однородным. Поэтому принцип эквивалентности Эйнштейна часто называют локальным принципом эквивалентности. 2. Принцип эквивалентности не следует понимать как утверждение о тождественности сил инерции и сил ньютоновского тяготения между телами. Действительно, напряжен- ность истинного гравитационного поля, создаваемого телами, убывает по мере удале- ния от этих тел и обращается в нуль на бесконечности. Гравитационные поля, «эк- вивалентные» силам инерции, не удовлетворяют этому условию. Например, напряжен- ность гравитационного поля, «эквивалентного» центробежным силам инерции во вращающейся системе отсчета, неограниченно возрастает по мере удаления от оси вращения этой системы. Напряженность поля, «эквивалентного» переносным силам инерции в поступательно движущейся неинерциальной системе отсчета, всюду оди- накова. 82
Истинное гравитационное поле в отличие от «эквивалентного» силам инерции существует как в неинерциальных, так и в инерциальных системах отсчета. Никаким выбором неинерциальной системы отсчета нельзя полностью исключить истинное гравитационное поле, т. е. скомпенсировать его во всем пространстве «полем сил инерции». Это следует хотя бы из различного поведения «полей сил инерции» и истин- ных гравитационных полей на бесконечности. Такое исключение гравитационного поля можно осуществить лишь локально, т. е. для малой области пространства, в пределах которой это поле можно считать однородным, и для промежутка времени, в течение которого поле можно считать постоянным. Соответствующая этой операции неинерци- альная система отсчета должна двигаться с переносным ускорением, равным ускоре- нию свободного падения тел в рассматриваемой области истинного гравитационного поля. Так, в космическом корабле, совершающем свободный полет с выключенным двигателем в гравитационном поле, силы тяготения компенсируются переносной силой инерции и не вызывают относительного движения тел на корабле. Вопросы: 1. Приведите примеры, показывающие неприменимость законов Ньютона в неинерциальных системах отсчета. 2. Зачем в неинерциальных системах отсчета нужно вводить силы инерции и чем они отличают- ся от обычных сил взаимодействуя между телами? 3. Почему в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения? 4. Дайте объяснения известных Вам явлений, обусловленных неинерциальностью земной систе- мы отсчета. 5. Сформулируйте и поясните принцип эквивалентности.
Глава 7 Основы специальной теории относительности § 7.1. Механический принцип относительности Галилея 1. В ньютоновской механике при переходе от одной инерциальной системы отсчета К(х, у, г, г) к другой К(Х, у', z1, f), движущейся относительно К поступательно с постоянной скоростью V, пользуются преобразованиями координат и времени, которые называются преобразавшямн Галилея. Они основаны на уже упоминавшихся нами в § 1.2 двух аксиомах об инвариантности промежутков времени и расстояний. Из первой аксиомы следует, что ход времени одинаков во всех системах отсчета, а из второй — что размеры тела не зависят от скорости его движения. Если сходственные оси декартовых координат инерциальных систем отсчета К и К проведены попарно параллельно друг другу и если в начальный момент времени (/=f=0) начала координат О и О' совпадают друг с другом (рис. 7.1), то преобразова- ния Галилея имеют вид x'=x-Vxt, y=y-v,t, z'=z-VIt и r’^t (7.1) где х, у, z и х', У, / — координаты точки М в системах отсчета К (в момент времени /) и К (в момент времени г = (); г и г1 — радиусы-векторы точки М в тех же системах отсчета, a V„ V, и Vz — проекции скорости V системы К на оси координат системы К. Обычно оси координат проводят так, чтобы система К двигалась вдоль положи- тельного направления оси ОХ (рис. 7.2). В этом случае преобразования Галилея имеют наиболее простой вид: х'=х-И, у=у, /=2, Г=г. (7.2) 2. Из преобразований Галилея (7.1) вытекает следующий закон преобразования скоро- сти произвольной точки М при переходе от одной инерциальной системы отсчета К (скорость точки v=dr/d/) к другой К (скорость той же точки v'=dr'/d?): v'-v-V. (7.3) Соответственно преобразуются и проекции скорости на сходственные оси коор- динат: V» vy=vr~vr> (7.39 84
В частности, при движении системы К вдоль положительного направления оси ОХ (рис. 7.2) 1>у=1>х—И, vy=vy, v'.—vz. (7.4) Ускорения точки М в системах отсчета A(a=dv/dr) и К' (a.'=dv'ldf) одинаковы: а'=а. Итак, ускорение материальной точки не зависит от выбора инерциальной систе- мы отсчета оно инвариантно относительно преобразований Галилея. 3. Силы взаимодействия материальных точек зависят только от их взаимного рас- положения и от скоростей движения друг относительно друга. Взаимное расположение каких-либо двух точек Z и 2 характеризуется вектором, равным разности радиусов- векторов этих точек, т. е. в системе отсчета К вектором r2i=r2-гь а в системе К -- вектором rj^rj—г'р Из преобразований Галилея следует, что г^=г21. Поэтому расстояния между точками / и 2 в системах Кн К' одинаковы: т. е. (*? - л', )2+(у'2-у\)2 + (z'2 - z',)2=(х2-х,)2 + (уг-у()2 + (z2 - zt)2. Скорость движения точки 2 относительно точки I равна разности скоростей этих точек: v2—V! (в системе К) и v'2—v, (в системе К'). Из преобразований Галилея следует, что v2—v, =v2—vb Итак, взаимное расположение и скорость относительного движения любых двух материальных точек не зависят от‘ выбора инерциальной системы отсчета — они инвариантны относительно преобразований Галилея. Соответственно инвариантны относительно преобразований Галилея и силы, действующие на материальную точку: F=F. 4. Уравнения, выражающие второй и третий законы Ньютона, инвариантны относите- льно преобразований Галилея, т. е. не изменяют свой вид при преобразовании коор- динат и времени от одной инерциальной системы отсчета К к другой К-. wia=F, Fb = — Fit (в системе X), m'a'=F, F^= — FJ* ( системе К), где т’=т — масса рассматриваемой материальной точки, одинаковая во всех систе- мах отсчета. Таким образом, в ньютоновской механике справедлив механический принцип от- носительности (принцип относительности Галилея): законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Это значит, что в разных инерциальных системах отсчета все механические процес- сы при одних и тех же условиях протекают одинаково. Следовательно, с помощью любых механических экспериментов, проведенных в замкнутой системе тел, нельзя установить, покоится эта система или движется равномерно н прямолинейно (от- носительно какой-либо инерциальной системы отсчета). Механический принцип от- носительности свидетельствует о том, что в механике все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. На основе законов механики нельзя выделить из множества инерциальных систем отсчета какую-то «главную» инерциальную систему отсчета, которая обладала бы какими-либо преимуществами перед другими, так что движение тел относительно нее можно было бы рассматривать как их «абсолютное движение», а покой — как «абсолютный покой». § 7.2. Постулаты специальной теории относительности 1. В связи с механическим принципом относительности естественно возникает вопрос: равноправны ли все инерциальные системы отсчета только в механике или также и в отношении других физических явлений и процессов? Нельзя ли выделить из множества инерциальных систем отсчета «главную», основываясь, например, на зако- нах распространения электромагнитных воли? Ответ на этот вопрос был дан в 1905 г. А. Эйнштейном в его работе «К электродинамике движущихся тел», в которой были 85
изложены основные положения специальной теории относительности*. В специальной теории относительности, так же как и в ньютоновской механике, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно. 2. В основу специальной теории относительности Эйнштейн положил два постула- та — два основных принципа, являющихся обобщением экспериментально установлен- ных закономерностей. Первый постулат обобщает механический принцип относительности Галилея на любые физические процессы. Этот постулат, называемый пряпцжюм отвосвтельвостп или релятивистским раин >м отшхжгельвости Эйвштейна, гласит: в любых инерциаль- ных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково. Иначе говоря, принцип относительности утверждает, что физические законы независимы (инвариантны) по отношению к выбору инерциальной системы отсчета: уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, на основе любых физических экспериментов, проведенных в за- мкнутой системе тел, нельзя установить, покоится эта система или движется равномер- но и прямолинейно (относительно какой-либо инерциальной системы отсчета). В физи- ке все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, из их множества нельзя выбрать какую-то главную («абсолютную») систему отсчета, обладающую какими-либо качественными отличиями от других инерциальных систем отсчета. Второй постулат выражает прав п иариаиттюстя скорости света: скорость света в вакууме не зависит от движения источника света. Она одинакова во всех направлени- ях и во всех инерциальных системах отсчета, являясь одной из важнейших физических постоянных. Опыты показывают, что скорость света с в вакууме — предельная ско- рость в природе: скорость любых тел и частиц, а также скорость распространения любых сигналов и взаимодействий не может превосходить с. Указанные специфические закономерности распространения света в вакууме позво- ляют использовать этот реальный физический процесс для установления процедуры хронометризации системы отсчета, т. е. для синхронизации часов, расположенных в разных точках пространства и перемещающихся вместе с рассматриваемой системой отсчета. 3. Постулаты теории относительности противоречат тем представлениям о свойствах пространства и времени, которые приняты в классической (ньютоновской) механике и отражены в преобразованиях Галилея (7.1). В частности, это относится к счита- ющемуся в механике Ньютона «само собой разумеющимся» утверждению об одина- ковости хода времени во всех инерциальных системах отсчета и, следовательно, об абсолютности промежутка времени между какими-либо двумя событиями. Например, если два события происходят одновременно по часам в одной инерциальной системе отсчета, то они, согласно классическим представлениям, совершаются также одновре- менно по часам в любой другой инерциальной системе отсчета. Указанное противоречие можно пояснить на следующем примере (рис. 7.3). Имеются две инер- циальные системы отсчета: неподвижная систем: К и система К’, движущаяся вдоль ост ОХ с посто- янной скоростью V. Пусть в момент начала от- счета времени в обеих системах К и К' (f=f=O), когда начала координат О и О совпадают, в точке О производится мгновенная световая вспышка. К моменту t > 0 свет, распространяясь в вакууме со скоростью с, достигнет в системе отсчета К точек поверхности сферы с центром в точке О и ради- усом ct. В системе К можно считать, что световая вспышка произошла в момент времени f=0 в точ- ке О'. Поэтому, согласно постулатам специальной теории относительности, к моменту свет в •Ее часто называют также частно! теорией относительности. I 86
системе отсчета К’ достигнет точек сферы того же радиуса ct, что и в системе отсчета К, но с центром в точке О', находящейся в это время не в точке О, а на расстоянии Кг от нее. Таким образом, соединение постулатов специальной теории относительности и классических представлений об абсолютном времени, идущем одинаково во всех системах отсчета, приводит к абсурду — свет вспышки должен одновременно достигать точек, принадлежащих двум разным сферам. 4. Основываясь на двух постулатах специальной теории относительности, Эйнштейн пересмотрел классические представления о свойствах пространства и времени, поло- женные в основу преобразований Галилея. Остановимся подробнее на этом вопросе. Основополагающими понятиями всей физики служат понятия длины и времени. Для того чтобы этими понятиями можно было пользоваться, необходимо указать способы однозначного измерения расстояний и промежутков времени. Измерение длины ка- кого-нибудь тела (например, стержня) производится путем ее сравнения с длиной эталонного тела, которая, по определению, считается равной одному метру (само собой разумеется, что при этом нужно точно оговорить внещние условия — температуру, давление и т. д.). В качестве эталонного тела можно использовать, например, масштаб- ную линейку, которая, таким образом, является необходимой принадлежностью всякой системы отсчета. Указанный способ измерения легко осуществить, прикладывая линей- ку к измеряемому стержню, если последний неподвижен относительно системы отсчета К и ее масштабной линейки. А как определить длину того же самого стержня, если он движется относительно линейки системы К вместе с системой JT (рис. 7.3)? Во-первых, длину этого стержня можно измерить указанным выше способом, пользуясь такой же масштабной линейкой, движущейся вместе с системой отсчета К' и являющейся эталоном длины в этой системе. Легко видеть, что при этом длина стержня Го должна получиться такой же, как и при измерении ее в первом случае (4), когда стержень покоился относительно системы отсчета К. В самом деле, пусть /о#4> например 1'0>Iq. Можем теперь принять, что стстема К' покоится, а система К движется относительно нее со скоростью —V. Тогда длина 4 стержня, неподвижного относитель- но движущейся системы отсчета К, должна была бы быть больше Ге, что противоречит сделанному допущению. Аналогично доказывается, что Го не может быть меньше 4- Следовательно, 4=4- Длину стержня, движущегося вместе с системой К', можно также измерить с помо- щью масштабной линейки, находящейся в неподвижной системе К. Предположим ради простоты, что стержень расположен вдоль осн (УХ’. Тогда для измерения его длины из системы отсчета К нужно измерить расстояние I между двумя точками осн ОХ, с которыми совпадают концы движущегося стержня в произвольный, но обязательно один и тот же момент времени. Обозначим координаты этих точек xt и Xj. Ясно, что искомая длина движущегося стержня /=|хг—xi|. В системе отсчета К' координаты концов стержня пусть равны У, и х^, а его длина |xj—хЦ=так как в системе отсчета Л' стержень неподвижен. Возникает вопрос: будут ли равны друг другу I и 4? Иначе говоря, будут ли совпадать результаты измерений длины одного и того же стержня, когда он покоится относительно масштабной линейки и когда он движется относительно нее? Согласно представлениям о свойствах пространства, положенных в основу преобразований Галилея и всей ньютоновской механики, считалось само собой разумеющимся, что /=4> Эйнштейн ответил на этот вопрос иначе —равны /и4 или нет, должен показать опыт, до опыта (a priori) ничего нельзя сказать по этому поводу. 5. Для измерения времени также необходим эталон, в качестве которого используется какой-либо реальный периодический процесс (например, движение Земли вокруг Со- лнца, тачания маятника, вращение стрелки часов и т. п.). Всякое измерение времени тесно связано с понятием одновременности двух событий (выше мы уже пользовались этим понятием, не уточняя его смысла, когда говорили об измерении длины движуще- гося стержня с помощью неподвижной масштабной линейки). Действительно, что означает, например, такое утверждение — самолет совершил посадку в аэропорту Домодедово в 12 ч? Оно означает, что посадка самолета и прохождение стрелки 87
эталонных часов через деление их шкалы, которое, по определению, соответствует 12 часам, происходят одновременно. Эйнштейн обратил внимание на то, что в классической физике еще со времен Ньютона господствует, убеждение о существовании некоего абсолютного юмени, которое, по выражению Ньютона, «течет одинаково, безотносительно к чему-либо внешнему». Поэтому такие понятия, как «одновременность двух событий», «раньше» и «позже», считались априорными, т. е. ясными сами собой безотносительно к какому- либо эксперименту. Эйнштейн отверг это заблуждение. Он показал, что понятие одновременности вовсе не самоочевидно и так же, как другие понятия, нуждается в четком определении, основанном на реальном физическом процессе, с помощью которого можно проверить одновременны или нет рассматриваемые события. Дейст- вительно, мы легко и однозначно можем установить одновременность двух событий по их совпадению, если они происходят в одном и том же месте. Однако, вообще говоря, совершенно не ясно, каким образом можно с помощью одних часов, находящихся а точке А, обнаружить одновременность или неодновременность двух событий, одно из которых происходит в точке А, а другое — в удаленной от нее точке В. , в. Важность решения этого вопроса для физики можно проиллюстрировать на следу- ющем примере. Для экспериментального определения скорости распространения неко- торого сигнала, посылаемого из точки А в точку В, необходимо знать промежуток времени А/ между моментами отправления и прихода этого сигнала. Измерение Аг можно произвести с помощью двух одинаковых часов, одни из которых находятся в точке А, а вторые после сверки синхронности их хода с ходом первых часов перевезены из точки А в точку В. Пусть сигнал отправляется из А в момент времени fl (по первым часам) и приходит в В в момент времени t2 (по вторым часам). Тогда, казалось бы, скорость сигнала *i)> где L — расстояние между точками А и В. Однако это было бы так на самом деде, если бы мы могли с уверенностью сказать, что после перевозки в точку В вторые часы продолжают идти синхронно с первыми часами, т. е. в момент отправления сигнала из точки А также показывают время Zi и идут одинаково быстро с часами в точке А. Одинаково ли быстро идут эти часы, можно проверить на опыте, например посылая из А сигналы через определенные равные промежутки времени по первым часам и регистрируя по вторым часам промежутки времени между моментами прихода сигналов в точку В. Проверить же одинаковость показаний часов можно только с помощью сигнала, который распространялся бы из А в В мгновенно. Однако таких сигналов в природе нет. Следовательно, вопрос о синхронизации часов в точках А и В, т. е. об одновременности прохождения стрелок этих часов через сходственные деления их шкал, можно решить только путем соглаше- ния (определения) о том, когда эти часы следует считать идущими синхронно. 7. За основу такого определения Эйнштейн берет процесс распространения света в вакууме. Пусть по часам в точке А световой сигнал отправлен в момент времени fj и после отражения в точке В возвратился в точку А в момент времени t2. Тогда, по определению, часы в точке В синхронны с часами в точке А, если они идут одинаково быстро и в момент прихода светового сигнал в точку В установленные в ней часы показывают время Гз >=(/)+h)/2. Выбор светового сигнала в вакууме в качестве физического процесса, служащего для синхронизации часов, сделан Эйнштейном не случайно. Во-первых, как показыва- ют опыты, скорость любого другого сигнала, т. е. какого-либо физического процесса, способного оказывать то или иное воздействие на встречающиеся препятствия, не может превосходить скорость с стета в вакууме. Во-вторых, согласно постулатам теории относительности, величина с одинакова во всех направлениях и во всех инерци- альных системах отсчета. Определение, данное Эйнштейном, устанавливает однозначный и практически осу- ществимый способ синхронизации часов, находящихся в разных точках системы от- счета. Тем самым осуществляется хронометржзадея снстемы отсчета, т. е. в-ней каждому событию соответствует вполне определенный момент времени t (с точностью до постоянного слагаемого, зависящего от выбора начала отсчета времени) независимо от места совершения этого события. 88
§ 73. Преобразования Лоренца 1. Из постулатов специальной теории относительности, а также из однородности и изотропности пространства и однородности времени следует, что соотношения между координатами и временем одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета выражаются преобразованиями Лоренца, а не преобразованиями Галилея (7.1), как это считается в ньютоновской механике. Преобразована Лоренца имеют простейший вид в том случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной (К) и движущейся (к') инерциальных систем попарно параллельны, причем система К' движется относительно К с постоянной скоростью V вдоль оси ОХ (см. рис. 7.2). Если, кроме того, в качестве начала отсчета времени в обеих системах (г—0 и f=0) выбран тот момент, когда начала координат О и О’ обеих систем совпадают, .то преобразования Лоренца имеют следующий вид: У х~п Vl-r’/c1’ У'=у. z'^z, , r-Fx/c2 x?+Vt‘ л/1-Га/с1’ У=У, z=zz, Г+ГУ/с2 (7.5) где с — скорость света в вакууме. 2. Формулы (7.5) можно получить, например, следующим образом. Пусть в началь- ный момент времени г=0 из точки О неподвижной системы отсчета К (рис. 7.3) испускается весьма короткий световой сигнал, распространяющийся в вакууме. В систе- ме отсчета К координаты точек, до которых дойдет сигнал к моменту времени t, удовлетворяют условию x2+y2+z2=c2r2. (7.6) В момент г=0 начало О' подвижной системы отсчета К’ совпадает с точкой О. Часы в системе К’ целесообразно установить так, чтобы в этот момент времени Г=0. Из постулатов теории относительности следует, что в системе отсчета К' закон распрост- ранения того же короткого светового сигнала имеет вид, аналогичный (7.6), т. е. к моменту времени f сигнал достигнет точек, координаты которых в системе отсчета JT удовлетворяют условию (х')2+(уЭ2+(И2=с2(О2- (7-6') Таким образом, согласно постулатам специальной теории относительности, коор- динаты и время в системах отсчета К и К' волхвы удовлетворять соотношению (V)2+(yf + (/)2-c2(O2=x2+y2+z2-c2?. (7.7) Преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной систе- мы отсчета к другой должны быть линейными, так как только такие соотношения не противоречат полному равноправию Любых двух инерциальных систем отсчета, каж- дую из которых с равным правом можно принять за неподвижную. Оси О'У и O'Z', а также попарно параллельные им. оси OY ц OZ лежат в плоско- стях, перпендикулярных вектору V скорости движения подвижной системы К', т. е. ориентированы по отношению к V совершенно одинаково. Поэтому связь между координатами У и у должна быть такой же, как между /иг. Иными словами, искомые' преобразования имеют следующий вид: x'=a1x+^it у'^азу+fitt, (7.8) z'=a2z+ftr, f—ajx+Pjt, 89
где аь Oj, <х3, Д, Д, Д — постоянные коэффициенты, значения которых ужно найти Координаты точки О в системах отсчета К' и К равны: х£,—я£,—О, .Mr—Ду—0. Подставив эти значения в (7.8), получим atPi+fltt~O; Д/-0, т. е. Д—«1Е Д-0. (7.9) Аналогично, координаты точки О в системах К и JT равны: хь-уь-аь-О,, xj- - Vf, yJ-xJ-O. Подотавив эти значения в (7.8), получим ~Кг’-А«и»'-Де,т.е. A--A/F-a,. (7J9 Таким образом, искомые преобразования (7.8) можно представить в более простом виде: х'-а1(х-И), У-«гУ, я'-вд /'—аук+сцг. П-Ю) Преобразования (7.10) должны обеспечивать тождества юе выполнение соотноше- ния (7.7): а? (х - Vtf+а^у3,+вфх2 - с2 (а>х+в!#)1 х2+у1+х* - с2?. Для этого должны быть попарно равны слева и справа коэффадвенты при я2, у2, я2, г2 aj-^aj-l, «а-b а?(с2-У2)-«>. Faj+c’eiaj—О. (7.11) Таким образом, искомые коэффициенты равны: , У У/е2 Подставив эти выражения в (7.10), получим формулы (7.5) цреобразоваиий Лоренца. •* Мы отбросила второе зинеаде <ч, удовлпворякщее соостппмиипг (7.11) и равное ai——1/V1 —У3/^2» так как деи ец<0 впцим1 гении! цммеяя t в свстмив отяга К оооппмтетвуп убывание аременв f в системе отсчета X*. Второе мачопе sj——1 *ш также отбрасываем, так ш цри этом У--у к /--я, т. е. орты гтедгтвиипг осей коорнпвт (УТ к ОТ, (УТ и 02 направлевы во взаимно цротивоиомопые е-торпны 3. Преобразования Лоренца показывают, что при переходе от одной ишрцвацы й системы отсчета к другой, движущейся отноентелы первой, ишсняются де только пространственные координаты рассматриваемых событий, ио и соответствукп в им моменты времени. Однако между пространственными коорд инатами У, / и я' события 90
и временем f его совершения в произвольнс янерцнально ст» отсчета К' существует определенна взаимосвязь. Согласно (7.7) величина (х')2+(У)3+(О2—(cf)2 не зависит от скорости V движения системы К', т. е. одинакова во всех инерция пыпдх- системах отсчета — инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца: (xQ2+(/)’+(z9a-(ce3a-inv. Координата х' и время t* не могут быть мнимыми. Поэтому из преобразований Лоренца следует, что скорость относительного движения любых двух инерциальных систем отсчета V<c. Преобразования Лоренца (7.5) переходят в преобразования Галилея (7.2) при У<£с или, точнее, в пределе при (У/с)-»О, т. е. при с-»со. Иными словами, преобразования Галилея и основанная на них классическая (ньютонов* и) механика построены на предположении о мгновенном распространении взаимодействий. Тахой приближенный подход допустим лишь при рассмотрении закономерностей механического движения тел со скоростями, во много раз меньшими скорости света в вакууме. 4. Из преобразований Лоренца видно, что в теории относительности можно говорить об определенном «моменте времени» лишь применительно к одной и той же инерци- альной системе отсчета, а также ко всем другим инерциальным системам отсчета, неподвижным относительно первой. Между тем одному «моменту времени» в системе отсчета К (одному определенному значению времени г в этой системе во всех точках пространства) соответствует множество различных значений времени f в движущейся системе отсчета К' в зависимости от значений координаты х различных точек прост- ранства: , t-Vx/c* f y/l-V2!^ Наоборот, одному «моменту времени» в системе К' соответствует множество значений ремени t в системе отсчета К в зависимости от значений координаты х': Г+Ух'/с2 Vi-w Из сказанного ясно, что промежуток времени между какими-либо двумя определен- ными событиями относителен: он изменяется при переходе от одной инерщвальвой системы отсчета к другой, движущейся относительно первой. В частности, отаосжгелым одмиремеяаость даух событий, нрпигтпдяяцвг в ратных точках пространства: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, вовсе не всегда одновременны в других инерциальных системах отсчета, движущихся относительно первой. Так, в приь ре, изображением на ] с. 7.3, достнжег е светом вспышки точек А (событие Г} я В (событие 2) — события, одновременные в неподвиж- ной системе отсчета К fr* G), но совершающиеся в разных точках (х>— — х^). В движу- щейся системе отсчета К' эти два события не одновременны: , . h-Vxe!^ ti-Ухл!^ 2Ухл t2—t\ — ------ -д —.......<Q. у/1-УЧс1 y/i-y2^ у/г-У2 В точку А, удаляющуюся от источника оютовой вспышки — точки СУ, свет попадет позже, чем в точку В, приближающуюся к СУ. 5. События, связанные причинно-следственной связью, не могут совершаться одно- временно ни в одной системе отсчета, так как всякое следствие обусловлено каким-то процессом, вызываемым причиной. Между тем любой процесс (физический, химичес- кий, биологический) не может протекать мгновенно. Поэтому относительность проме- жутка времени между двумя событиями ни в какой мере не противоречит принципу 91
причинности. В любой инерциальной системе отсчета событие-следствие совершается позже, чем событие, являющееся его причиной. 6. Специальную теорию относительности часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией,— релятивистскими эффектами. Как правило, релятивистские эффекты проявляются пр и скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме (с=3 10® м/с) н называемых релятивистскими скоростями. Релятивистской механикой называется механика движений с релятивистс- кими скоростями, основанная на специальной теории относительности. § 7.4. Относительность длин и промежутков времени. Интервал между двумя событиями 1. Из преобразований Лоренца (7.5) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения. Это изменение продольного размера тела при его движении называется лоревцевым с сращением. Пусть 4 — длина стержня, покоящегося в системе отсчета К'. Если стержень расположен вдоль оси (УХ' (рис. 7.4), то Iq=X2—xi, где Х2 и xi — координаты концов стержня. Длина I того же стержня в системе отсчета К, относительно которой он движется вдоль оси ОХ со скоростью V, равна разности значений координат концов стержня, измеренных в один и тот же момент времени t: (7.12) Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения н одинаковы во всех инерциальных системах отсчета: У2-У1 =У2-У1, Z2-Z)=4 -z;. (7.12') Итак, линейные размеры тела относительны. Они максимальны в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится. Эти размеры тела называются его собственными размерами. Лоренцево сокращение является кинематическим релятивистским эффектом. Оно не связано с действием на движущееся тело каких-либо продольных сил, сжимающих его вдоль направления движения. Это сокращение и____ о Рис. 7.4 процесса), т. е. зависимость этого заметно сказывается только при скоростях дви- жения, близких к скорости света в вакууме. Из формулы для лоренцева сокращения следует, что тела не могут двигаться со скоростями V^c, так как при V— с продольный размер тела становится равным нулю, а при V> с он должен был бы быть мнимым. 2. Еще одно важное следствие преобразований Лоренца — относительность промежутка време- ни между какими-либо двумя событиями (напри- мер, между началом и концом какого-нибудь промежутка времени от выбора инерциальной системы отсчета. Пусть в движущееся инерциальной системе отсчета К два рассмат- риваемых события 1 и 2 происходят в одной и той же неподвижной относительно К' точке Л(х'2=х'1) в моменты времени t\ и t2, так что промежуток времени между этими событиями т0=/'2—Тр Относительно неподвижной инерциальной системы отсчета К точка А движется с той же скоростью V, что и система К'. Поэтому в К события 1 и 2 совершаются в разных точках с координатами X] и х2, причем х2—X] — Vt, где т= t2—Л — промежуток времени между событиями 1 и 2 по часам в системе отсчета К. Из преобразований Лоренца следует, что (7.13) 92
Таким образом, промежуток времени между двумя событиями минимален в той инерциальной системе отсчета, относительно которой оба события совершаются в од- ной и той же точке. Время, измеряемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Рассмотренная нами зако- номерность свидетельствует о существовании релятивистского эффекта замедления хода времени: часы, движущиеся со скоростью V относительно данной инерциальной системы отсчета, вдут медленнее в 1/vl — F’/c2 раз, чем неподвижные. Соответственно в согласии с принципом относительности все физические процессы в движущейся системе отсчета протекают медленнее, чем в неподвижной. Эффект замедления хода времени становится заметным только при очень больших скоростях движения V, близких к скорости света в вакууме. Он подтверждается экспериментально, например в опытах с мюонами. Мюон — нестабильная элементар- ная частица. Среднее собственное время жизни мюона (по часам в той инерциальной системе отсчета, относительно которой он покоится) to=2,2 мкс. Мюоны рождаются в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лучей и движутся относительно Земли со скоростями V, близкими к с. Если бы релятивистского эффекта замедления хода времени не было, то по отношению к земному наблюдателю мюон мог бы пройти за время своей жизни путь к атмосфере, не превосходящий в среднем tqc=660 м. Иными словами, мюоны не могли бы достигать поверхности Земли. В действительности они регистрируются приборами, установленными на поверхности Земли, так как среднее время жизни движущегося мюона по часам земного наблюда- теля т = (Го/уЛ-^/с2) » То н путь, проходимый мюоном за это время, tF»660 м. 3. Релятивистский эффект замедления хода времени в космическом корабле, движу- щемся относительно Земли, открывает возможность осуществления сколь угодно дальних космических полетов я путешествий «в будущее». Согласно принципу от- носительности, все процессы на космическом корабле, включая и процесс старения космонавтов, идут по тем же законам, что и на Земле. Однако при этом время на корабле нужно измерять по часам, движущимся вместе с ним со скоростью V от- носительно Земли. Если V близко к с, то часы на корабле идут значительно медленнее, чем на космодроме, а именно в 1/y/l —F’/c2 раз. Например, при V/c=0,99999 ход часов на корабле и на Земле различается в 224 раза. Следовательно, на таком корабле за промежуток времени т0=10 лет по корабельным часам можно совершить, постарев всего на 10 лет, космический перелет, который по часам на Земле будет продолжаться т=2240 лет! При этом корабль удалится от Земли .на огромное расстояние /=Fr=/fcr=2239,98 св. лет (световым годом называется расстояние, проходимое све- том в вакууме за один год: 1 св. год=9,46’ 1O1S м). Чем ближе Fk с, тем больший путь / может пройти космический корабль относительно Земли за один и тот же промежуток т0 собственного времени на корабле, т. е. тем более дальний космический перелет могут совершить космонавты за свою жизнь. Если космонавт, совершив космический полет со скоростью F, близкой к с, возвратится на Землю, то он обнаружит, что люди на Земле (в частности, его брат-близнец, оставшийся на Земле) постарели за время полета больше, чем он. При достаточно малом отличии F от с, когда (1 —F’/c2)-1^» 1, космонавт может за время полета пережить всех своих сверстников на Земле и оказать- ся по возвращении на Землю среди представителей последующих поколений людей. 4. На первый взгляд кажется, что, основываясь на принципе относительности, можно прийти к прямо противоположным выводам: часы на Земле, движущейся со скоростью —V относительно космического корабля, должны отставать от часов на корабле. Поэтому длительность полета должна быть большей для космонавта, а не для жителей Земли. Соответственно за время полета должен сильнее постареть тот из двух близ- нецов, который летел на корабле. Таким образом получается, что разность показаний часов на космодроме и на корабле после приземления последнего должна быть, с одной стороны, положительной, а с другой — отрицательной. Этот абсурдный результат получил название парадокса часов, или парадокса времена. В действительности ника- кого парадокса здесь нет. Он возник вследствие неправильного применения принципа относительности; Этот принцип говорит о полном равноправии не любых систем отсчета, а только инерциальных. Между тем система отсчета, связанная с космическим 93
кораблем, в отличие ст земной или, точнее, солнечной системы отсчета не все время является инерциальной, так как во время набора скорости после старта, при облете далии торможении на участке спуска на Землю корабль движется с ускорением. Поэтому задача о ходе часов на космодроме, которые все время покоятся относитель- но одной и той же инерциальной системы отсчета, и часов на космическом корабле несимметрична, а соответствующие системы отсчета — неравноправны. Правильны рассуждения, изложенные вначале, поскольку они основаны на использовании инерци- альной (земной) системы отсчета. Соответственно дальнейшие рассуждения, привед- шие к парадоксу часов, ошибочны. Во втором случае нужно пользоваться не слепня пь- ной, а общей теорией относительности. При этом оказывается, что и с точки зрения космонавта его часы должны идти медленнее, чем часы на космодроме. 9- Интервалом (иростувггяпт ври и вили интервалом) между даумя событиями, из- меренным в инерциальной системе отсчета К', называется величина J^vWnM'u)2, (7.14) где t\2=t2—1\ -- промежуток времени между рассматриваемыми событиями 1 и 2 (по часам в системе отсчета КУ, 1\2 - расстояние между точками, в которых совершаются события I и 2, измеренное также в системе отсчета К': (*2-О2+04 -X)2+0’1 -z'l)2. Из преобразований Лоренца (7.5) следует, что интервал между двумя событиями I и 2 инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, т. е. не изменяется при перехода от движущейся инерциальной системы отсчета К' к неподвиж- ной.системе отсчета К: Л?3~/?3. (7.15) В самом деле, On)2=с2 (4 -1i)2 ~ («я ~ )2 - 04 -У»)2 -*i)2= с2—?2 1 —F’/c3 = 1_у2/с1 (xi~j:i)2_0’i-J'i)2-(z2-z1)2=c2rJ2-/J2=j?2=inv. Если .v, 2 > 0, т. е. si2 - действительное число, то интервал х12 называется пргпгпжю добным. Интервал J|2 называется простршклвояюнодобным, если <0, т. е. х12 — мни- мое число. 6. Из инвариантности интервала по отношению к выбору инерциальной системы отсчета К' следует, что во всех системах отсчета К', движущихся вдоль оси ОХ неподвижной системы отсчета К со всевозможными скоростями V, значения удовлетворяют урав- г'12 и ^11 ДОЯ данных двух нению гиперболы с 1*12/ ~Ч*12/ J12* Если х22>0, то связь между t'i3 и Z'13 в различных инерциальных системах отсчета К', отличающихся значе- ниями скорости V (0<К<с), изображается графически в виде двух ветвей I и II гиперболы (рис. 7.5). Следовате- льно, знак промежутка времени между событиями 1 я 2, связанными времениподобным интервалом, абсолютен, т. е. не зависит от выбора инерциальной системы от- счета: во всех системах отсчета К' второе событие проис- ходит либо всегда позже первого (t'13>0, ветвь I), либо всегда раньше первого (Г'12<0, ветвь II). Расстояние 94
Г12 относительно, причем можно указать такую инерциальную систему отсчета К, в которой /'12=0, т. е. события 1 и 2 совещаются в одном и том же месте (точки Л и В на гиперболах I и II). Двум событиям, связанным причинно-следственной связью, всегда должен соответ- ствовать времениподобный интервал или в крайнем случае интервал, .равный нулю (ji2=0). Это обусловлено тем, что сигнал, посредством которого событие 1 (причина) вызывает событие 2 (следствие), не может распространяться в пространстве со скоро- стью, превосходящей скорость света в вакууме: /'12 <с(т2—t'i). В случае событий, связанных пространственноподобным интервалом (J?i<0), знак /'12 относителен: г'12>0 (верхняя часть гиперболы III на рис. 7.5) в одних инерциальных системах отсчета К', а в других г'12 <0 (нижиняя часть гиперболы III). Точка С соответ- ствует такой системе отсчета К', в которой t'l2=0, т. е, события 1 и 2 происходят одновременно. § 7.5. Преобразование скоростей и ускорений в релятивистской кинематике 1. Значения v и v* скорости точки в двух инерциальных системах отсчета КаК' равны dr v=—=»х*+«М+»хК dr' v'——=fyi'+«yf+Dyk', где r=xl+yj+zk и r'=xT+yf+zTs' — радиусы-векторы рассматриваемой точки в си- стемах отсчета К и К’. Проекции скоростей т и т* на оси декаровых координат равны: dx dy dr dr * dr dr dV d/ , dr* * dr' y dr' r dr' (7.16) Если сходственные оси декартовых координат систем отсчета К и К' поаарво параллельны и система К’ движется относительно К с постоянной скоростью V, направленной вдоль оси ОХ (см. рис. 7.2), причем в момент начала отсчета временя в К и К' начала координат О и О' этих систем совпадают, то справедливы преобразования Лоренца в форме (7.5). Из этих преобразований следует, что dX dx/dt—V ъ-У & y/l-fl2 Vdx dy dy dz* di dr' c1 dr 1 —Fejc1 — as—-----------as--=t)z, --=---- =-- dr dr dr dr dr у/1-Д2 где P— V/c. Так как <,=dx'/dr'=(dx'/dr): (dr'/dr), ®;=dy/dt'=(dy/dr):(dr'/dr), «4=dz7dr'=(dr'/dr): (dr'/dr), 95
то связь между проекциями скоростей точки на оси декартовых координат в системах отсчета К и К' имеет вид , <+F 1Ь=-----—1>х=----------", I-Vvjc1 . l + Fi^/c2 , 1/,у/1-Г/с2 l-Fi^/c2 ’ 1 + И^/с2 ’ (7.17) vS=---------t>z=----------------- l-Fi^/c2 1 + Vv'Jc2 Эти формулы выражают закон сложения (преобразования) скоростей в релятивистс- кой кинематике. В пределе при с-* со они приводят к обычному закону сложения скоростей в классической механике Ньютона (7.3) и (7.4): v^—vx—V, vy=vy, vj=vz и V=v—V. 2. Пользуясь формулами (7.17), можно показать, что квадраты модулей векторов v и т' связаны между’собой следующими соотношениями: L (l-Fex/c2)2 J г- (7.18) e2 = <r 1--------------------- . L (i+n;/c2)2 J Из (7.18) следует, что если o'=с, то v=c и наоборот. Таким образом, если скорость точки относительно какой-либо инерциальной системы отсчета равна скорости света в вакууме, то она должна быть такой жспо отношению к любой другой инерциальной системе отсчета. С другой стороны, если v'<c, то ®<с, и, наоборот, если «<с, то v'<c, так как при этих условиях выражения, стоящие в формулах (7.18) в квадратных скобках, меньше единицы. Отсюда, в частности, следует: как бы ни были близки к с скорости двух частиц, их относительная скорость всегда меньше с. Например, пусть две частицы движутся вдоль оси ОХ системы отсчета К навстречу друг другу со скоростями, соответственно равными V|—0,9ci и v2= — 0,7ci. Скорость u21 второй частицы относите- льно первой не равна, как это считается в ньютоновской механике, геометрической разности v2—v1 = —l,6ci хотя бы потому, что модуль этой скорости превосходит с. Искомая скорость равна скорости второй частицы относительно инерциальной систе- мы отсчета К', движущейся вместе с первой частицей (V=0,9ci), т. е. 921=^2- Так как vjx= —0,7с, d2>=i>2J=0 и К=0,9с, то из формул (7.17) следует, что , ®2х—F ’ 1,6с eL=-----------=---------- -0,982с, l-Fejx/c2 1+0,63 *^=«2*>=0, т. е. П21= —0,982d' и |u2i|<c. 96
3. Аналогично можно показать, что из (7.5) и(7.17) получаются следующие соотноше- ния между проекциями ускорения точки на оси декартовых координат систем отсчета КиК’: , I-Vujc2 ) ’ l-F’/c2 (1-FrJc2)3’ (7119) l-F2/c2 (1-^Jc2)3’ dt>x_ t Д/1-У2/с2\з dr~fl4 I + Щ1С‘ ) l-P’/c2 (l + F</c2)3’ (1ЛУ) l-F2/c2 (1 + П/Л2)3' Формулы (7.19) и (7.19') выражают закон преобразования ускорений в релятивистской кинематике. Если К<к с и скорость точки и <к с, TOvx<Kc,vy«c, -к с и релятивистские формулы (7.19) и (7.19Э переходят в классические: ^=а„ а'у—ау, ay=az и а'=а. § 7.6. Поняте о релятивистской динамике 1. Из принципа относительности следует, что математическая запись любого закона физики должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчета. Это означа- ет, что уравнения, описывающие какое-либо явление в системе отсчета К', получаются из уравнений, описывающих то же самое явление в системе отсчета К, путем простой замены в последних всех нештрихованных величин, т. е. измеренных в системе К, на штрихованные, т. е. измеренные в системе К'. Указанное условие называется условием ковариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца или, короче, условием лоренц-инвариянтности. Основной закон классической динамики Ньютона для материальной точки dv d т —=F или — (mv) = F, dt d/ в котором масса т этой точки и д ействующая на нее сила F считаются одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета, не удовлетворяет условию лоренц-инвариант- ности и не может служить основой релятивистской динамики. 2. В релятивистской динамике, как и в ньютоновской, принимается, что импульс р материальной точки пропорционален ее массе т и совпадает по направлению со . скоростью v этой точки. Однако, в отличие от ньютоновской динамики, импульс ь. точки - нелинейная функция ее скорости: гт Р= . v/l-v2/c2 (7.20) 4 Курс физики 97
При этом предполагается, что масса m не зависит от скорости материя ттьнлй точки н тем самым инвариантна по отношению к выбору системы отсчета. Если v<c.c, то выражение (7.20) практически равно гт, т. е. совпадает со значением импульса мате- риальной точки в ньютоновской механике. Импульс р, выряжаемый формулой (7.20), иногда называют релятивистском мдедеом материальной точки. **До недавнего времени массу т обычно называли массой покоя матершыьпой точки, a m/V1 ~-«'2/е> — релятивистской массой этой точки. Соответственно говорили о зависимости массы материальной точки от ее скорости, понимая при этом под массой релятявисгсхую массу точки. 3. Основное уравнение релятжистской динамики материальной точки имеет вид: d ( пн \ ( }=F (7-21) d'Wl-e’/e2/ или dp —=F. ч (7.22) df В отличие от ньютоновской механики сила F, действующая на материальную точку, не инвариантна по отношению к выбору инерциальной системы отсчета. Прави- ла преобразования компонент силы при переходе от одной инерция пьнлй системы отсчета к другой можно получить из условия лоренц-инвариантности уравнения (7.21) . и найденных ранее правил преобразования времени и компонент скорости материаль- ной точки. При малых скоростях (е«с) уравнение (7.21) практически совпадает с основным уравнением ньютоновской динамики (2.5). Однако по мере увеличения скорости мате- риальной точки ее импульс возрастает быстрее, чем скорость. Из (7.20) видно, что lim р—со. Все реальные силы конечны по величине, а их действие на тело ограничено по времени. Поэтому согласно (7.22) они не могут сообщить телу бесконечно большой импульс. Следовательно, скорость тела по отношению к любой инерциальной системе отсчета не может быть равна скорости света в вакууме, а всегда меньше ее. Это утверждение справедливо такие для атомов, молекул и всех элементарных частиц, за-исключением фотонов, нейтрино и антинейтрино, у которых масса равна нулю*, так что их скорость вс может отличаться от с. 4. Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистс- кой механике. Приращение кинетической энергии материальной точки на элементар- ном перемещении dr равно работе, совершаемой на этом перемещении силой F, действующей на материальную точку: d!Fr=Fdr=F»dr, (723) где v — скорость точки. Из (7.21) следует, что _ т dv im dv F= ------—+--------------v -v’/e1 d' сз (I _e»/cJ)3/2 df поэтому aw.~...." w. ; " *B настоящее время тщательно изучается вопрос о возможном отличии от 0 значений масс нейтрино и антинейтрино (см. $ 46.5). 98
Так как vdv=«dv и w—v2, то dlF,= mvdv V'l-v’/c2 . v2/c2 1 mvdv , / m \ 1+---— -------—=<*41—== I. (l-^/c*)3^ \y/\~v2!c2/ Итак, связь между изменением кинетической энергии материальной точки и ее скоростью имеет вид: dW^ <?й\ ---Ж ). (724) VI-«’/с2/ Интегрируя это уравнение по t от 0 до v, получаем следующую зависимость кинетической энергии материальной точки от скорости: mvdv , -------^tnc J (l-V/e2)3* Воспользуемся разложением в ряд Тейлора: 1 1 1 (7.25) -1/г 1 2 Если t«c, то можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда, тогда = 7i"»2- Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки ее кинетичес- кая энергия, вычисленная по релятивистской формуле (7.25), совпадает со значением этой энергии в ньютоновской механике. Однако при больших скоростях материальной точки ее кинетическая энергия отлична от гтг(2, неограниченно возрастая по мере приближения v к с. Формулы (724) и (725) справедливы также для системы материаль- на точек (например, твердого тела), движущихся как одно целое со скоростью v. 5. С помощью соотношений (7.23) и (724) можно преобразовать ут вненис (7.21) и найти в явном виде связь между ускорением материальной точки a=dv/dr и вызыва- ющей его силой F: d / mv \ d / т \ т v dlFB т Fv ma <*r Wl-e’/J 4 dt V/l-V/cV V*'-•*/«* * * d< *Vl-i>2/c2 c3* Vl-v’/c3 Таким образом, (726) Из этого уравнения видно, что ускорение а совпадает по направлению с вызыва- ющей его силой F только в двух случаях: a) F±v (поперечная сила), так что Fv=0 и Vl-(«/c)2„ ------- г; т (727) 99 4*
6) F||v (продольная сила), так что а—-------F. m (7.28) ‘ Из формул (7.28) и (7.27) видно, что продольная сила сообщает материальной точке ускорение в (1— •?/<?) “’ рйз меньшее, чем такая же по модулю поперечная сила. Это связано с тем, что поперечная сила вызывает изменение скорости, точки только по направлению (модуль v скорости точки не изменяется), а продольная сила вызывает изменение значения модуля скорости и, соответственно, модуля импульса. в. В специальной теории относительности так же, как и в ньютоновской механике, предполагается, что пространство однородно. Поэтому из основного закона динамики (7.22) следует справедливость закона сохранения импульса в релятивистской механике: импульс замкнутой системы нс изменяется при любых процес- сах, происходящих в этой смотано. Если замкнутая система состоит из л материальных точек, то J.1 —const, гд е mt и vj — масса и скорость i-й материальной точки. § 7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии 1. Кинетическая энергия W* частицы или тела есть не что иное как разность значений полной энергии этой частицы (или тела) в двух состояниях: движения со скоростью к и покоя (при и—0). Поэтому согласно (7.25) полная энергия W частицы или поступате- льно движущегося тела, а также их полная энергия №0 в состоянии покоя, называемая, энергией bow, равны: же3 W—== и W^mc1. (729) Энергию покоя свободной частицы обычно называют ее собственно* энергией. Второе соотношение (729) справедливо как для отдельной частицы, так и для любой системы частиц (в частности, для атомного ядра, атома, молекулы, твердого тела и т. д.). Оно выражает один из основных законов теории относительности — закон взаимосвязи массы и энергии: энергия покои системы роима произведению массы этой си- стомы на Кондрат скорости света в вакууме. 2 2. Энергия покоя тела зависит от его состава и внутреннего состояния. Например, при нагревании тела его энергия покоя увеличивается. Одновременно с этим происходит возрастание массы тела, как того требует закон взаимосвязи массы и энергии: 100
В качестве примера найдем увеличение массы сиётёмы йз двух одинаковых шаров в результате их нагревания при абсолютно неупругом прямом центральном ударе. Пусть, ради простоты, шары движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. В процессе удара систему шаров можно считать замкнутой, т. е. удовлет- воряющей условиям сохранения импульса и полной энергии. Если т — масса каждого шара до удара, a v и — v — начальные скорости шаров, то импульс системы после удара равен нулю: гт • y/l-V^C2 После удара шары останавливаются, а их полная энергия представляет собой только энергию покоя: W=Mc2. Из закона сохранения полной энергии при ударе имеем: 4 2/ис2 Мс2=* -^===. v/i-v’/c2 Таким образом, увеличение массы системы при ударе / 1 . Л > М—2т^2т\ —-.—и. wi-«'2№ ' / 3. Из формул (7.29) и (7.20) легко найти связь между полной энергией частицы (или тела) и ее импульсом: Л т2? , k mVc2 И/® =-----=w2c*+--------- 1-(./с)2 1-(«/с)2 т. е. W^=y/p2c2+m2c4, (7.30) , где m — масса частицы (тела). 11ри переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой, скорость частицы, ее импульс и полная энергия изменяются. Однако, как видно из (7.30), разность квадрата полной энергии частицы, деленной на квадрат скорости света в вакууме, и. квадрата импульса этой j частицы, подобно интервалу между двумя событиями, не зависит от выбора инерци- альной системы отсчета: ----(р)= - -p2=m2c2=mv. С* Можно показать, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета К к другой К1, движущейся со скоростью V=const вдоль оси ОХ (рис. 7.2), проекции импульса частицы на оси координат и ее полная энергия преобразуются по формулам, . получающимся из формул (7.5) для координат и времени путём замены в них х, у и z на , р„ ру и pt (соответственно X, У и z' на р’^, р'у и р'^}, a t на W/c2 (соответственно t' на .W'lc2): ’ (7.31) , Px-VWjc2 р^ —j=, y/l-V2/^ Ру=Ру, P'trP* W-Vpx w— y/l - V2lc2 Л+ИГ'/с2 Рх ' .---i--> Vl-^/c2 Ру~Р'у* Pz=Py, W-- y/i-V2lc2 (7.32) 101 I
4. Найдем закон преобразования проекций силы F, действующей на частицу (матери- альную точку) при перехода от инерциальной системы отсчета К к К'. Из основного уравнения релятивистской динамики (7.22) следует, что в системе отсчета К ”dr’ а в системе отсчета К* d^₽-_d^„^ d^ dr' f dr' dr' Эти выражения для проекций силы F' на оси координат системы отсчета К можно переписать в форме: и F' d/<d‘ dr di' у dr dr’ dr dr' где согласно преобразованиям Лоренца (7.5) dr' 1-FeJe1 dr У1-Г2/с2 —=— .-.? И —=---------------. dr у/1 — Рг/с* dl' l — Учх/с2 - Из формул (7.32) для преобразований проекции импульса и полной энергии части- цы имеем: - dpx FdHz г, d /Рх-ИГ/с2\ y/l-^/c2 ~dt~e dr * dr \71-F2/cV ’ l-Икх/с’ ' Vl - F1/? &Pl 71 - F’/c1 ------------и J^= —---------------------, dr I-Fejc2 dt 1-Fex/c2 Энергия частицы изменяется за счет работы, совершаемой силой F: dJF=Fdr=Fvdr. Таким образом, окончательно получаем следующие правила преобразования проекций силы в релятивистской динамике: F*- VfV^lc1 Х Щс2 ’ I-Vvjc1 ’ (7.33) Ky/i-Wc* X-Vv^c1 102
Обратные преобразования имеют вид: ч F;,+V(F'iO/ci l + WJc* ’ >------------—» r l + Fi^/c1 (7.339 1+Й4/С1 ‘ Из формул (7.33) и (7.33') ввдно, что в нерелятивистском случае (К«с и ®<кс) F'^=FX, F'y=Fy, F'^FZ и F'=F, т. е. сила, действующая на частицу, не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Именно это и предполагается в ньютоновской механике. 5. Рассмотрим несколько частных случаев преобразования проекций силы,, дейст- вующей на частицу. Пример 1. В системе отсчета JK частица неподвижна (v==0, »х“0): F',=FXI F'y^Fyy/l-^/c2 и F'^Fzy/l-^/c1. Таким образом, в этом случае продольная (по отношению к скорости V движения системы отсчета АТ) составляющая силы не изменяется, а поперечная уменьшается в 1/^/1 —F’/r* раз. Пример 2. В системе отсчета К скорость частицы ортогональна оси ОХ (®*==0). Тогд а в системе отсчета К' F'^Fx-V(F^y+F^, F'y^F^l-F1!^ и F>FV1-W. Пример 3, В системе отсчета К скорость частицы параллельна оси OX (v^v^O). В системе отсчета К' тфоекции силы равны: F'^FX, F,Jl-V4c* л* %/ Fzy/x-V2!^ и Fs*-.— ------—. 1-PeJc1 6. Легко видеть, что энергия покоя Wq свободного твердого тела или любой другой системы взаимодействующих частиц (например, молекулы, атома, атомного ядра), обладающей некоторой прочностью, не равна сумме собственных энергий л^с2 всех частиц, входящих в состав этой системы, в свободном состоянии. Для расщепления такой системы на ее составные части (например, атомного ядра — на свободные оротоны и нейтроны, атома — на электроны и ядро и т. д.) необходимо совершить определенную работу А против сил сцепления между частицами. Поэтому на основа- ют закона сохранения и превращения энергии i-i или И'о=2><еа-ДИ'е., (7-34) <-i 103
> где ДИлсв“Л>0 — эвергяя амвв састемы, характеризующая степень ее, прочности; л — число частиц в системе. Соответственно масса М алсхали меньше суммы масс всех ее частиц в свободном состоянии: Я-£•«<.------—<0. (7.35) i-i е Закон взаимосвязи массы и энергии был надежно подтвержден многочисленными экспериментами в ядерной физике. Предсказываемые на его основе энергетические эффекты различных ядерных реакций ц Превращений элементарных частиц находятся в точном согласии с результатами экспериментов. Вопросы: 1. Что нового внесла специальная теория относительности в наши представления о свойствах пространства и времени? 2. Как согласовать конечное значение скорости космического корабля с утверждением о при- нципиально неограниченной дальности полога этого корабля? Докажите, что интервал между стартом космического корабля и его возвращением — времениподобный. 3. Докажите, что относительная скорость двух частиц с ненулевыми массами всегда меньше скорости света в вакууме. 4. Как зависят от скорости материальной точки ее релятивистский импульс и кинетическая энергия? 5. Объясните смысл закона взаимосвязи массы и энергии. Может ли при ядерных реакциях происходить преобразование массы в энергию? С. Какие Вам известны величины, сохраняющиеся при переходе от одной инерциальной систе- мы отсчета к другой? 7. Соблюдается ли закон сохранения импульса в специальной теории относительности?
Основы молекулярной физики и термодинамики Глава 8 Исходные понятия и определения Глава 8 Первый закон термодинамики Глава 10 Кинетическая теория газов Глава 11 Второй закон термодинамики Глава 12 Реальные газы и пары
Глава fr_______________________._________ Исходные понятия и определения термодинамики и молекулярной физики § 8.1. Введение. Тепловое движение 1. Мы приступаем к изучению молекул пой физики — раздела физической науки, в котором рассматриваются зависимости агрегатных состояний и свойств тел от их строения, взаимодействия между частицами, из которых состоят тела, и характера движения частиц. Уже давно было доказано, что все тела состоят из атомов, молекул или ионов, находящихся в непрерывном хаотическом тепловом движении. Теория строения веще- ства, базирующаяся на этих представлениях, называется молекулярно-кинетической. Ее основы были заложены в 40-х годах XVIII в. М. В. Ломоносовым. Он сформулировал исходные положения этой теории и применил ее к объяснению различных явлений. Ломоносов считал, что все тела состоят из «корпускул», содержащих некоторое количество «элементов». Спустя столетие выяснилось, что под этими терминами нужно понимать молекулы и атомы. Вот, например, как Ломоносов доказывал справед- ливость закона Бойля — Мариотта, открытого Р. Бойлем (1611) и независимо от него Э. .Мариоттом (1676). Предположим, ради простоты, что газ находится в сосуде кубической формы* со стороной а и объемом К=в3, и допустим, что частицы газа движутся перпендикулярно стенкам сосуда. Ломоносов считал, что давление р газа есть результат соударений его частиц со стенками сосуда. Как оно изменится, если сторона куба уменьшится вдвое и, следовательно, объем сосуда будет Izi = 1/efl3 = 1/a^r? Оказы- вается, что оно должно возрасти в восемь раз: в два раза за счет того, что каждая частица проходит между стенками вдвое меньшее расстояние, и в четыре раза за счет того, что площадь поверхности стенки в четыре раза уменьшается. Таким образом, новое давление газа будет равно pi—8p. Следовательно, pV~p\V\. Эго и есть закон Бойля - Мариотта. Во второй половине прошлого столетия работами многих выдающихся физиков (Д. Джоуля, Р. Клаузиуса, Д. К. Максвелла, Л. Больцмана и др.) молекулярно- кинетическая теория строения и свойств вещества получила всестороннее развитие и применение во многих областях физики и химии. Экспериментальной проверкой правильности молекулярно-кинетической теории явилось объяснение на ее основе броуновского движения, процессов диффузии, теплопроводности и других явлений. 2. Огромная роль молекулярно-кинетической теории в развитии физики состоит в том, что она позволила единым образом подойти к изучению физических явлений, так или иначе связанных с характером движения молекул в телах. Многие свойства тел в разных агрегатных состояниях объясняются различиями в характере движения атомов и молекул в газах, жидкостях и твердых телах. В свою очередь, особенности теплового движения в трех агрегатных состояниях связаны с тем, что между молекула- ми действуют силы взаимного притяжения и отталкивания. Они проявляют -себя тем в большей степени, чем меньше среднее расстояние между молекулами. В не слишком сильно сжатых газах средние расстояния между молекулами столь велики, что силы межмолекулярного взаимодействия практически не влияют на движе- ние молекул. Поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что молекулы движутся прямолинейно и равномерно до тех пор, пока не происходят столкновения их между собой или со стенками сосуда, в котором находится газ. * Л омоносов рассматривал газ, находящийся в сосуде сферической формы. 106
3. В твердых кристаллических телах силы взаимодействия между частицами (атома- ми, молекулами или ионами) весьма велики. Одновременное действие сил притяжения и отталкивания между частицами твердых тел приводит к тому, что эти частицы не могут удалиться друг от друга на большие расстояния. Они совершают колебания, около некоторых средних равновесных положений, которые называются узлжмв нрн- спллнесжой решетки. 4. Тепловое движение молекул жидкости имеет промежуточный характер между двумя предыдущими видами движений. В нем наблюдаются черты, присущие теплово- му движению частиц как в твердых телах, так и в газах. Молекула какое-то время колеблется около некоторого положения равновесия — находится в оседлом положе- нии, которое время от времени смещается на расстояния, сравнимые с размерами молекул, таким образом, молекула после пребывания в одном оседлом положении перемещается в другое оседлое положение. Выходит, что молекулы жидкости и колеб- лются и медленно перемещаются по объему сосуда. § 8.2. Статистический и термодинамический методы исследования 1. Число атомов (или молекул) в любом теле огромно. Например, в 1 мэ газа при обычных давлениях и температурах содержится порядка 10м молекул, а в жидких и твердых телах- — порядка Ю2* молекул. Если считать, что движение каждого атома (или молекулы) подчиняется законам классической механики, то практически невоз- можно даже написать систему дифференциальных уравнений движения такого множе- ства молекул*. Но, если бы такая система уравнений и была написана, о ее решении (даже с помощью самых совершенных ЭВМ) не может быть и речи. Поэтому поведение отдельной молекулы (или атома) тела. например ее траектория,- последовательность изменений ее местоположения и скорости не могут быть изучены методами классичес- кой механики — они изменяются во времени случайным образом. 2. Физические свойства макроскопических систем, состоящих из очень большого числа частиц, изучаются двумя взаимно дополняющими друг друга методами: статистичес- ким и термодинамическим. Ститнствческж1 метод основан на использовании теории вероятностей и определенных моделей строения изучаемых систем. В совокупном поведении большого числа частиц, координаты и импульсы которых случайны в любой момент времени, проявляются особые статастпчеспе закоиомцяимп. Например, в га- зе можно определить средние значения скоростей теплового движения молекул и их энергий, однозначно связанных с температурой газа. Можно также найти зависимость от температуры средней энергии колебательного движения частиц в твердом теле. Свойства макроскопической системы частиц обусловлены не только индивидуальными свойствами самих частиц, но также особенностями их совокупных движений и сред- ними значениями динамических характеристик частиц (средние скорости, средние энергии и т. д.). Раздел теоретической физики, в котором с помощью статистического метода изучаются физические свойства макроскопических систем, называется статисти- ческой фпзмсой. Связь между динамическими закономерностями, описывающими дви- жение отдельных частиц системы, и статистическими закономерностями заключается в том, что законы движения отдельных частиц после усреднения по всей системе определяют свойства системы частиц, описываемые статистическим методом. 3. Кроме статистического метода исследования физических явлений существует терыо- деиямячеекМй метод, в котором не рассматриваются внутреннее строение изучаемых тел и характер движения отдельных их частиц. Термодинамический метод основан на анализе условий и количественных соотношений при различных превращениях энергии, происходящих в системе. Соотношения между разными видами энергии позволяют изучать физические свойства исследуемых систем при самых разнообразных процессах, в которых эти системы участвуют. Раздел теоретической физики, в котором физические свойства макроскопических систем изучаются с помощью термодинамического метода,' называется термодинамикой. Термодинамика основывается на двух, установленных опытным путем законах: первом и втором законах (началах) термодинамики, а также на тепловой теореме •Всей бумаги, имеющейся на Земле, для этого не хватило бы! 107
Нернста, или третьем законе (витале) термодинамики. Применение этого начала необходимо при ранении Сравнительно небольшого числа задач. Законы термодинами- ки позволяют получить многорведений о физических свойствах макроскопических систем в различных условиях. При этом не нужно пользоваться какими-пибл конкрет- ными представлениями о внутреннем строении исследуемых систем и характере движе- ния тех частиц, из которых образованы тела системы. В этом состоит преимущество термодинамики. Она может применяться к изучению явлений, относящихся к различ- ным разделам физики (налример, в молекулярной физике, электродинамике и др.). Но в этом же состоит и ограниченность термодинамики. При изучении тех явлений, в которых строение вещества тел играет определяющую роль, термодинамика оказы- вается беоюменцгой. 6 8.3. Термодинамический системы, термодинамические параметры и процессы 1. Мысленно выделеннад макроскопическая система, рассматриваемая методами тер- модинамики, называется термодаиамяческой системой. Все тела, не включенные в со- став исследуемой системы, называются внешними телами или внешней средой. Обмен энергией и веществом может происходить как внутри самой системы между ее частями, так и между системой и внадией средой. В зависимости от возможных способов изоляции системы от внешней среды различают несколько видов термодинамических систем. Открытой системой называется термодинамическая система, которая может об- мениваться веществом с внешней средой. Типичными примерами таких систем могут служит)» все живые организмы,? а также жидкость, масса которой непрерывно уменьша- ется вследствие испарения или кипения. Закрытая састема не может обмениваться веществом с внешней средой. Д дальнейшем мы будем рассматривать только закрытые системы, химический состав а,масса которых не изменяются. Термодинамическая система называется изолированной, если она не может об- мениваться с внешней средой ни энергией, ни веществом. Замкнутой системой будем называть термодинамическую систему, изолированную в механическом отношении, т. е. не способную к обмену анергией с внешней средой путем совершения работы. Примером такой системы может служить газ, заключенный в сосуд постоянного объема. Термодинамическая система называется адиабатной, если она не может об- мениваться с другими системами энергией путем теплообмена. Примером адиабатной системы может служить тело, окруженное теплоизолирующей оболочкой (например, тело, помещенное в сосуд Дьюара). В каком-либо процессе систему можно приближен- но считать адиабатной, если изменение ее состояния в этом процессе происходит достаточно быстро, так чтотеплообмен между системой и внешней средой не успевает происходить (например, при быстром сжатии газа в цилиндре с подвижным поршнем). 2. Термодинамнчеекюш параметрами (параметрами состоя») называются физические величины, служащие для характеристики состояния термодинамической системы. Примерами термодинамических параметров являются давление, объем, температу- ра, концентрация и др. Различают два типа термодинамических параметров: экстенсив- ные и шитнгшннн . Первые пропорциональны количеству вещества в данной термоди- намической системе, вторые не зависят от количества вещества в системе. Простейшим экстенсивным параметром является объем V системы. Величину v, равную отношению объема системы к се массе, называют удельяым объемом системы. Простейшими интенсивными параметрами явлзпотся давление р и температура Т. Араиюшем называется физическая величина где — модуль нормальной силы, действующей на малый участок поверхности тела площадью d£. 108
3. Если давление и удельный объем имеют ясный и простой физический смысл, то гораздо более сложным и менее наглядным является понятие температуры. Заметим прежде всего, что понятие температуры, строго говоря, имеет смысл только для равновесных состояний системы*. Под равновесным состоянием понимают состояние термодинамической системы, характеризующееся при постоянных внешних условиях неизменностью параметров во времени и отсутствием в системе потоков (например, потоков энергии или вещества). Из этого определения следует, что постоянство параметров не связано с протекани- ем каких-либо процессов во внешней среде. Другими словами, равновесное состоя- ние —- это состояние, в которое при неизменных внешних условиях приходит в конце концов термодинамическая система и дальше остается в этом состоянии сколь угодно долго. Температура во всех частях термодинамической системы, находящейся в равно- весном состоянии, одинакова. При теплообмене между двумя телами с различной температурой происходит передача теплоты от тела с большей 'температурой к телу с меньшей температурой. Этот процесс прекращается, когда температуры обоих тел выравниваются. 4. Температура системы, находящейся в равновесном состоянии, служит мерой интен- сивности теплового движения атомов, молекул н других частиц, образующих систему. В этом состоит молекулярно-кинетическое истолкование температуры. В системе ча- стиц, описываемых законами классической статистической физики и находящейся в равновесном состоянии, средняя кинетическая энергия теплового движения частиц прямо пропорциональна термодинамической температуре системы**. Поэтому иногда говорят, что температура характеризует степень нагрстости тела. При измерении температуры, которое можно производить'только косвенным пу- тем, используется зависимость от температуры целого ряда физических свойств тела, поддающихся прямому или косвенному измерению. Например, при изменении тем- пературы тела изменяются его длина и объем, плотность, упругие свойства, элект- рическое сопротивление и т. д. Изменение любого из этих свойств является основой для измерений температуры. Для этого необходимо, чтобы для одного тела, называемого термометрическим телом, была известна функциональная зависимость данного свойст- ва от температуры. Для практических измерений температуры применяются тем- Затурные шкалы, установленные с помощью термометрических тел. В Междуиярод- стоптадуспой температурной шкале температура выражается в градусах Цельсия (°C) и обозначается г, причем принимается, что при нормальном давлении 1,01325 - 10s Па температуры плавления льда и кипения воды равны соответственно 0 и 100 °C. В термодинамической температурной шкале температура выражается в кельвинах (К), обозначается Т и называется термодшимпческой температурой. Связь между термоди- намической температурой Т и температурой по стоградусной шкале имеет вид Г=г+273,15 °C. Температура 7=0 К (по стоградусной шкале г= —273,15 °C) называ- ется абсолютным нулем температуры, или нулем но термодинамической шкале тем- ператур. 5. Параметры состояния системы разделяются на внешние и внутренние. Внешними параметрами системы называются физические величины, зависящие от положения в пространстве и различных свойств (например, электрических зарядов) тел, которые являются внешними по отношению к данной системе. Например, для газа таким параметром является объем V сосуда, в котором находится газ, ибо объем зависит от расположения внешних тел — стенок сосуда. Для диэлектрика, находящегося в элект- рическом поле, внешним параметром является напряженность этого поля, связанного с внешними Источниками поля. Атмосферное давление является внешним параметром для жидкости в открытом сосуде. Внутренними параметрами системы называются физические величины, зависящие как от положения внешних по отношению к системе тел, так и от координат и скоростей частиц, образующих данную систему. Например, внутренними параметрами газа являются его Давление и энергия, которые зависят от координат и скоростей движущихся молекул и от плотности газа. •Из определения температуры как термодинамического параметра состояния макроскопи- ческой системы следует, что это понятие не имеет смысла для одной частицы (атома, молекулы и др.). ••До недавнего времени она называлась абсолютной температурой. 109
в. Под термодинамическим вкмвесом понимают всякое изменение состояния рассмат- риваемой термодинамической системы, характеризующееся изменением ее термодина- мических параметров. Термодинамический процесс называется риаомсшм, если в этом процессе система проходит непрерывный рад бесконечно близких термодинами- чески равновесных состояний. Реальные процессы изменения состояния системы всегда происходят с конечной скоростью и поэтому не могут быть ра ювесш ш. Очевидно, однако, что реальный процесс изменения состояния системы будет тем ближе к равно- весному, чем медленнее он совершается, поэтому равновесные процессы называют ювазист агачг гмин. Примерами простейших термодинамических процессов могут служить следующие процессы: а) изотермический процесс, при котором температура системы не изменяется (Г= const); б) изохорный процесс, происходящий при постоянном объеме системы (K=const); в) изобарный процесс, происходящий при постоянном давлении в системе (р=const). Большую роль играет адиабатный процесс, который происходит без теплообмена между системой и внешней средой. § 8Л. Уравнение состояния идеального та 1. Можно доказать, что не все параметры термодинамической системы, находящейся в равновесном состоянии, независимы: внутренние параметры такой системы зависят только от ее внешних параметров и температуры. Уравнение, связывающее любой термодинамический параметр системы с параметрами, принятыми в качестве независи- мых переменных, называется уравнением состояния. Уравнение состояния, связыва- ющее для однородного тела давление р, объем V и температуру Т, называется .термическим уравнением сое юаням: ч /(р, У, Л-0. (8.1) Конкретный вид функции / в термодинамике предполагается известным из опыта. Теоретический вывод уравнения состояния проводится только методами статистичес- кой физики. В этом состоит тесная взаимосвязь между статистическим и термодинами- ческим методами исследования в современной физике. Уравнение состояния (8.1) описывает свойства простых систем, у которых в отсутст- вие внешних полей имеется единственный внешний параметр — объем V. 2. Простейшим объектом, для которого в термодинамию может быть рассмотрено термическое уравнение состояния, является идеальный гях Идеальным называется газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый собственный объем и не взаимодей- ствуют друг с другом на. расстоянии. В реальных газах существуют силы межмолекулярного притяжения и отталкива- ния. Существенно, что эти силы действуют совместно. Если бы отсутствовал один вад этих сил, например не было бы сил отталкивания, то все молекулы газа слиплись бы друг с другом под действием сил притяжения и само существование газа было бы невозможно. Силы отталкивания проявляются при взаимных столкновениях молекул друг о другом и со стенками сосуда. Далее мы покажем, что при взаимных столкнове- ниях молекулы газа ведут себя как абсолютные упругие шары с диаметром d, завися- щим от химической природы газа. Этот эффективный диаметр молекулы свидетель- ствует о наличии сил отталкивания между молекулами. Если бы этих сил не было, то молекулы могли бы сближаться на сколь угодно малые расстояния. В действитель- ности оказалось, что эффективные диаметры молекул разных газов имеют величины порядка 10“10 м. Межмолекулярные силы притяжея я преобладают на ббльших расстояниях, чем силы отталкивания. Однако и эти силы быстро убывают с увеличением расстояния г между молекулами и практически равны нулю при г> 10~’ м. Поэтому реальные газы тем ближе по своим свойствам к идеальным газам, чем больше средние расстояния между молекулами, т. е. чем меньше концентрация молекул и соответственно плот- ность газа. НО
3. При нормальных условиях, т. е. при давлении />*>=^101325 Па и температуре Го=273,15 К, многие газы (например, водород, гелий, неон, азот,'кислород, воздух и др.) можно считать с хорошим приближением идеальными. В самом деле, при этих условиях концентрация молекул газа по порядку величины составляет ло~1Сг5 м-э, а средние расстояния между молекулами <r>~VV"o*4' 10“’ м столь велики, что силами притяжения можно пренебречь. Суммарный собственный объем всех л~ 1035 молекул, содержащихся в 1 мэ, пяг/’/6~10~5 м3« 1 мэ. Следовательно, собственным объемом молекул газа тоже можно пренебречь. Вместе с тем суммарная площадь поверхности всех молекул газа в сосуде объемом 1 мэ составляет ля</3~(10’ -ь 10s) м3» 1 м3, т. е. во много раз больше площади поверхности стенок сосуда. Эго означает, что в газе, несмотря на малый эффективный диаметр d молекул, межмолехулярные столкновения происходят значительное чаще, чем соударения молекул со стенками сосуда. Другими словами, возможность пренебрегать собственным объемом молекул вовсе не означает, что в газе можно не учитывать взаимные столкновения частиц. 4. В курсе физики средней школы рассматривается термическое уравнение состояния идеального газа, называемое уравнением Клапейрона: pF/Т» C«=const. (82) Для данной массы идеального газа отношение произведения давления и объема к термодинамической температуре есть величина постоянная. Газовая йоспимая С зависит от химического состава газа и щюшрцнональва его массе т. Так как F=me, где я —? удельный объем газа, то уравнение Клалсйрша (82) можно переписать в форме pv^BT, (8.3) где С/т — удельная газовая пог шинная, зависящая только от химического состава газа. 5. Из определения единицы количества вещества следует, что 1. моль любого газа содержит одно и то же число молекул NA, называемое пеетоянвой Ааогадро: 2VA-6,O2’10зэ моль-1. Если то — масса одной молекулы, то масса произвольного количества вещества я равна m=«pi(№v=Afv, где — молярная масса газа, равная отношению массы газа к содержащемуся в нем количеству вещества: M=mjv. Молярным объемом называется величина Fm= V/v. Перепишем уравнение состояния (82) в форме pFmv=»CT или рКж-ЛГ, (8.4) где R=^MB — молярная газовая постоянная. Согласно закону Авогддро, при одинаковых давленият и температурах молярные объемы различных газов также одинаковы. Из этого закона и уравнения (8.4) следует, что молярная газовая постоянная R одинакова у всех газов. Поэтому ее принято называть уяверсальаой газовой постоял вой. Экспериментально установлено, что Л» 8,31 Дж/(моль К). Для произвольной массы т газа можно переписать уравнение (8.4) в виде pF»- RT. (8.5) 111
В такой наиболее общей форме записи термическое уравнение состояния идеаль- > ного газа называется уравяепем Клапейрона — Менделеева. Из него получается, что плотность газа Употребляется еще одна форма уравнения (8.4). Введем постоянную Больцмана к, равную отношению универсальной газовой постоянной R к постоянной Авогадро NK: 1,38 • 10~и Дж/К. (8.7) Из уравнения (8.4) получим *лгА Т-къТ, (8.8) где ло=NfJVm — концентрация молекул газа. в. Понятие об идеальном газе, уравнение состояния которого мы только что рассмат- ривали, является модельным представлением. Как уже указывалось, даже простейшие по своим свойствам газы лишь приближенно могут считаться идеальными. Модель идеального газа позволяет изучать свойства газов в кинетической теории (гл. 10) простейшим образом. В физике используется ряд других моделей (например, модель материальной точки, точечного электрического заряда и др.). Применение всех моделей в физике всегда преследует одну цель — изучить определенную труппу физических явлений таким образом, чтобы можно было абстрагироваться от целого ряда реальных условий, усложняющих данные явления. Например, рассматривая модель идеального газа, мы не учитываем, что реальные атомы и молекулы имеют сложную структуру — состоят из электрически заряженных частиц (электронов, протонов), а также нейтро- нов. Взаимодействие атомов и молекул, которое в модели идеального газа рассмат- ривается как простое соударение, в действительности представляет собой очень слож- ное явление. В разделах курса, посвященных электродинамике и атомной физике, мы будем изучать это явление. Модель идеального газа широко используется в физике. Например, в электродина- мике при изучении электропроводности металлов в классическом приближении элект- роны считаются идеальным электронным газом. Эго дает возможность не учитывать электромагнитное взаимодействие электронов между собой и рассматривать их вза- имодействие с положительными ионами кристаллической решетки металла как простое соударение. Модель идеального электронного газа используется при изучении явлений, возникающих при движении проводников в магнитном поле. Число примеров примене- ний модели идеального газа можно было бы увеличить, но в этом нет необходимости. Вопросы: 1. Приведите характеристики теплового движения молекул в различных агрегатных состояниях - тел. 2. Чем отличается статистический метод исследования от термодинамического? 3. Можно ли принять за термодинамический параметр функцию состояния? 4. Какая форма уравнения состояния идеального газа наиболее удобна для определения г концентрации частиц этого газа? . ,
Глава 9 _ '' ' ' / * Первый закон термодинамики § 9.1. Внутренняя анергия системы 1, Полная энергия W термодинамической системы включает в себя кинетическую энергию W** механического движения системы как целого или ее макроскопических частей, потенциальную энергию свстш во внешнем поле (гравитационном или электромагнитном) и внутреннюю энерпво U, зависящую только от внутреннего состо- яния системы. В некоторых простейших случаях можно считать, что ползая энергия системы равна сумме членов, соответствующих вышеуказанным формам энергии: (9.1) В дальнейшем мы будем рассматривать термодинамические системы, которые макроскопически неподвижны и не подвержены действию внешнего поля. Для таких систем значения полной и внутренней вергий совпадают. 2. Внутренняя энергия включает в себя энергию всевозможных видов движения и вза- имодействия всех частиц (молекул, атомов, ионов и т. д.), образующих рассматрива- емую систему. Например, внутренняя энергия системы, находящейся в газообразном состоянии, состоит из: а) кинетической энергии беспорядочного (теплового) поступательного и вращатель- ного движения молекул, а также колебательного движения атомов в молекулах; б) потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекулярного взаимодейст- вия; в) энергии электронных оболочек атомов и ионов; г) энергии движения и взаимодейсп я нуклонов в атомных ядрах. Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния термодинамической системы. Значение внутренней энергии в каком-либо произвольно выбранном состоя- нии системы не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Иначе говоря, изменение внутренней энергии MJi-j при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода и равно иг— Ц. В частности, если в результате какого-либо процесса система возвращается в исход- ное состояние, то полное изменение внутренней энергии равно нулю. 3, Подобно потенциальной энергии в механике, внутренняя энергия определяется только с точностью до постоянного слагаемого 170> зависящего от выбора «начала отсчета» внутренней энергии, т. е. от выбора состояния, в котором внутренняя энергия принимается равной нулю. Так как во всех термодинамических расчетах определяют i не абсолютные значения внутренней энергии U, а ее измеяения Д17, не зависящие от Ц» то выбор 170 не играет роли. Во всех процессах, не связанных с химическими реакциями и другими превращени- ями электронных оболочек помов и ионов, а также с ядерными реакциями, состав- ляющие в) и г) внутренней энергии не изменяются и их можно не включать во внутреннюю энергию. Поэтому в дальнейшем, рассматривая, например, внутреннюю энергию газа, мы будем под ней понимать только сумму кинетической энергии теплового движения молекул (поступательного, вращательного и колебательного) и потенциальную энергию межмолекулярного взаимодействия. В идеальном газе пре- небрегают силами межмолекуляркого взаимодействия на расстоянии. Соответственно внутреннюю энергию такого газа можно считать равной сум е кинетических энергий беспорядочного движения всех молекул. При расчете внутренней энергии кристалличес- 113
кого диэлектрика нужно учитывать кинетическую и потенциальную энергию, связан- ную с тепловыми колебаниями атомов, молекул или ионов, образующих этот кристал- лический диэлектрик. Внутренняя энергия металла включает в себя не только энергию тепловых колебаний ионов, но также и энергию теплового движения электронов проводимости. § 9Л. Работа и теплота 1. Обмен энергией между закрытой термодинамической системой и внешними телами может осуществляться двумя качественно различными способами: путем совершения работы и путем теплообмена. Первый способ, как известно из механики, осуществляет- ’ ся при силовом взаимодействии между телами. Энергия, передаваемая при этом рассматриваемой термодинамической системе нешнимз телами, называется работой, совершаемой над системой. Энергия, передаваемая системе внешними телами путем теплообмена, называется теплотой, получаемой системой от внешней среды. 2. Работу над системой производят внешние силы. Для совершения работы над макроскопически неподвижной системой нужно, чтобы перемещались взаимодейст- вующие с ней внешние тела, т. е. чтобы изменялись внешние параметры состояния системы. В отсутствие внешних силовых полей обмен энергией между неподвижной системой и внешней средой может осуществляться путем совершения работы лишь в процессе изменения объема и формы системы. Например, работу над газом произ- водят силы давления на газ со стороны внешней среды. При этом работа А', соверша- емая внешними телами над системой, численно равна и противоположна по знаку работе А, совершаемой самой системой над внешней средой, т. е. против внешних сил: А'--А. 3. Теплообмен происходит между телами или частями одного и того же тела, нагре- тыми до различной температуры. Например, в батарее водяного отоплени путем кошективаого теплообмена от более горячей воды, протекающей по батарее, энергия передается к менее нагретым стенкам. В свою очередь, передача теплоты через стенку батареи от более нагретой внутренней поверхности к менее нагретой наружиой поверх- ности происходит путем теплопроводности. Есть к третий вид теплообмена. Он осуще- ствляется без непосредственного соприкосновения тел друг с другом и происходит между удаленными телами без посредства промежуточной среды. Этот вид теплооб- мена называется теплообменом нзлучепкм. Он происходит за счет испускания и погло- щения телами электромагнитного излучения. Именно так Земля получает от Солнца очень большую энергию. 4. В отличие от внутренней энергии системы, которая является однозначной функцией состояния этой системы, понятия теплоты и работы имеют смысл только в связи с процессом изменения состояния системы. Они являются энергетическими харак- теристиками этого процесса. Как будет дальше показано, для перевода системы из одного и того же состояния / в одно и то же конечное состояние 2 необходимо сообщить системе различную теплоту и совершить над системой разную работу в зави- симости от вида процесса 1 — 2, т. е. в зависимости от того, через какие промежуточ- ные состояния проходит система. В отличие от этого изменение внутренней энергии системы не зависит от того, какой процесс происходит, и целиком определяется начальным и конечным состояниями системы. Можно сказать, что в данном состоянии термодинамическая система обладает бггреде ленным «запасом» внутренней энергии, но нельзя говорить ни о «запасе работы», ни о «запасе теплоты» в системе. 5. Существует качественная неравноценность между совершением работы и теплооб- меном как способами обмена энергией между макроскопическими системами. Совер- шение работы над системой может изменить любой вид энергии системы. Например, при быстром сжатии газа в сосуде с подвижным поршнем работа, совершаемая над газом внешними силами, целиком идет на увеличение внутренней энергии газа. При неупругом соударении двух тел часть совершенной работы идет на изменение кинети- ческой энергии тел, а часть работы — на изменение внутренней энергии тел. Если энергия сообщается системе в форме теплоты, то она идет на увеличение энергии теплового движения частиц системы (атомов, молекул и ионов). При этом увеличивает- 114
ся внутренняя энергия системы. К такому выводу приводит изучение механизма теплообмена. Рассмотрим, напр лер, соприкосновение двух тел, имеющих различные температуры. Частицы теля с более высокой температурой имеют в среднем бблыпую кинетическую энерппо теплового движения, чем частицы тела с меньшей температу- рой. В результате столкновений частиц обоих тел частицы более нагретого тела передают часть своей Кинетической энергии частицам менее нагретого тела. В итоге внутренняя энергия тела, имеющего более высокую температуру, уменьшаете а у вто- рого тела внутренняя энергия возрастает. Соответственно убывает температура перво- го тела и возрастает температура второго тела. Когда температуры обоих тел стано- вятся равными, выравниваются и средние значения кинетической энергии теплового движения в обоих телах. При этом процесс теплообмена между телами прекращается, так как при взаимных столкновениях частиц двух тел с равной температурой энергия с равной вероятностью передается как от первого тела ко второму, так и от второго к первому. 8. Часто оба способа передачи энергии системе (в форме работы и в форме теплоты) осуществляются одновременно. Например, при нагревании газа в сосуде с подвижным поршнем газу сообщается теплота и происходит увеличение сто объема. При этом совершается работа против внепшего давления. Бывает и так, что одна из форм передачи энергии отсутствует. Например, адиабатная термодинамическая система может совершать работу над внешними телами. Внешние тела также могут совершать работу над адиабатной системой. Призером может служить цилиндр с подвижным поршнем, наполненный газом и со всех сторон окруженный плотным слоем теплонеп- роницаемого войлока. Отсутствие теплообмена с внешней средой не исключает воз- можности газу совершать работу расширения при увеличении объема газа. Вместе с тем если силы внепшего давления сжимают газ под поршнем, то над газом соверша- ется работа сжатия. § 9.3. Первый закон термодинамики 1. Существование двух способов передачи энергии термодинамической системе позво- ляет проанализировать с энергетической точки зрения равновесный процесс перехода системы из какого-либо начального состояния / в другое состояние 2. Изменение внутренней энергии системы Ui ® таком процессе равно сумме работы Л{_2, совершаемой над системой внешними силами, и теплоты Qi-j, сообщенной системе*: At/] _2=“ Л', + 0! _2. (9.2) Работа А\г численно равна и противоположна по знаку работе At_j, совершаемой самой системой против внешних сил в том же равновесном процессе перехода: Л'|_2= — Л1_2. Поэтому выражение (9.2) можно переписать иначе: С1_2«ДП1_2+Л1_2. (9.3) Уравнение (9.3) является математической записью первого закона (первого начале) термоданямяки: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение внут- ренней энергии системы и на совершение системой роботы против внешних сил. ♦Рассматриваются только закрытые, макроскопически неподвижные системы, не иаходяшя- ; ем во внешних гравитационном, электрическом иля магнитном полях. 115
2. Первый закон термодинамики обычно записывают дм изменения состояния систе- мы, вызванного сообщением ей малой теплоты 3Q, совершением системой элементар- ной (малой) работы ЗА и приводящего к малому изменению dU внутренней энергии: 3Q-dU+3A. (9.4) Отличия в записи (3Q; ЗА и dU) малых величин теплоты и работы и изменения внутренней энергии имеют отнюдь не формальный характер, а выражают глубокие физические различия этих величин. Дело в том, что, как отмечалось в } 9.1, внутренняя энергия системы является однозначной функцией ее состояние. Отсюда следует, что при совершении системой произвольного процесса, в результате которого она вновь возвращается в исходное состояние, полное изменение внутренней энергии системы равно нулю. Математической записью этого вывода служит тождество fdZ7=0, которое является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выражение dU представляло собой полный дифференциал. Как будет видно из дальнейшего, ни работа, ни теплота не являются функциями состояния и поэтому 3Q и ЗА не являются полными дифференциалами. 3. Все физические величины, входящие в первое начало термодинамики (9.4), могут быть как положительными, так и отрицательными. Возможны случаи, когда 3Q или ЗА либо 3Q+3A равны нулю. Например, для адиабатной термодинамической системы <$е=о. Если к системе подводится теплота, то 3Q>0; если 3Q<0, то от системы отводится теплота. На одних участках процесса перехода системы из состояния 1 в состояние 2 теплота может подводиться, а на других — отвадиться от нее. Общее количество теплоты Ci-2, сообщаемое системе в процессе I — 2, равно алгебраической сумме 2 теплот 3Q, сообщаемых системе на всех участках процесса 1 — 2: 21-2=“ J У2- 1 4. Если система совершает работу над внешними телами, то считается, что <5Л>0. Если же над системой внешние силы совершают работу, то ЗА<0. Работа Л1_2, совершаемая системой в конечном процессе 1 — 2, равна алгебраической сумме работ 2 ЗА, совершаемых системой на всех участках этого процесса: Л1-г= I ЛЛ. В качестве примера рассмотрим работу, которая совершается при расширении или сжатии газа, заключенного в сосуде с подвижным невесомым поршнем площадью S (рис. 9.1). Пусть рва — давление, которое производится на поршень и газ внешними силами. Тогда сила, действующая на поршень, равна F^^^p^mS. При перемещении поршня вверх на ‘малое расстояние dx газ совершает против внешнего давления элементарную работу Рвиеш 3A=-FllxB1dx=ptmdV, (9.5) Рис. В.1 где dK= Sdx — изменение объема газа. ' Если изменение объема газа происходит квазистатически, тс в любой момент времени газ находится в состоянии равновесий с внешней средой и его давление Элементарная работа ЗА ' газа в равновесном (квазистатическо^) процессе изменения его объема 116
6А~рйР. (9.5') Давление р газа всегда положительно. Поэтому при расширении газа (0Г>0) газ совершает положительную работу (<5Л>0). Если газ сжимается, то dK<0 и 6А<0. В этом случае положительную работу над газом совершают силы внешнего давления. Формула (9.5) справедлива не только для газа или жидкости, но и для твердого тела при его расширении или сжатии под действием внешнего давления, равномерно распределенного по поверхности тела. § 9.4. Графическое изображение термодинамических процессов и работы 1. Термодинамические процессы удобно изучать и сравнивать друг с другом, исполь- зуя их графическое изображение. Это особенно наглядно для простых систем, так как термическое уравнение состояния такой системы (8.1) позволяет по любым значениям двух параметров состояния, например V и р, определить значение третьего параметра Т. Для графического изображения процесса, совершаемого простой системой, можно воспользоваться системой координат на плоскости, по осям которой откладываются два независимых параметра состояния. Кроме наиболее распространенной диаграммы р — Г, по оси абсцисс которой откладывается объем К, а по оси ординат — давление р, применяют также диаграммы V—T. На рис. 92 термодинамический процесс в диаграмме р — V изображен кривой CiC2, на которой точки Ct(pi, Ft) и С2(д2, К2) характеризуют начальное и конечное состояния термодинамической систе- мы. 2. Графически можно изображать только равновесные процессы. Для неравновесных процессов нельзя говорить о параметрах состояния для всего тела (или системы) в данном состояниях. Значения параметров в разных частях тела различны. Точек Q и С2 на рис. 9.2, характеризующих состояние всей системы (или тела), не существует. Поэтому графическое изображение неравновесного процесса невозможно. Поясним сказанное на примере сжатия газа в цилиндре с подвижным поршнем (рис. 9.1). Пока поршень неподвижен, газ находится в равновесии с внешней средой. Давление, тем- пература и плотность газа во всех частях объема цилиндра одинаковы. Когда поршень начинает перемещаться под действием внешних сил, изменен давления газа распрост- раняются в нем со скоростью звука. При сжатии газа под поршнем образуется область повышенного давления. Нарушается равенство давлений во всех частях объема газа и тем сильнее, чем с большей скоростью движется поршень. Такое состояние газа является неравновесным и не может оставаться долго после остановки поршня. Этот пример показывает, что сжатие газа поршнем — неравновесный процесс. В некоторых случаях неравновесностью реальных процессов можно пренебречь. В рассмотренном примере это можно сделать, если скорость движения поршня значи- тельно меньше скорости звука в газе и размеры цилиндра невелики. 3. На диаграмме р— V элементарная' работа SA~pdV графически изображается площадью криволинейной трапеции, закрашенной на рис. 9.2. Работа, совершаемая системой в процессе CtCj, равна At-2 pdV и измеряется площадью, ограниченной на рис. 9.2 кривой процесса CiCJt осью абсцисс и вертикальными прямыми К— Vt и F» V^. Из рис. 9.2 видно, что работа Л2_2 зависит т того, каким образом система переходит из состояния С, в состояние С2, т. е. от вида роцесса С|С2. Работы, совершенные системой в показанных на рис. 9.3 процессах CtZ.|C2, и С|£зС2, равные соответственно Al,, Al, и Al,, измеряются разными площадями: 117
Рис. 9.2 Рис. 9.3 После завершения системой процесса по замкнутой кривой C1L1C2L3C1, при кото- ром система возвратилась в исходное состояние Сь полная работа не равна нулю. Положительная работа расширения, совершаемая системой в процессе QLtCi, превышает отрицательную работу, которая совершается в процессе сжатия CjLjCi. В итоге получается результирующая положительная работа, измеряемая площадью, закрашенной на рис. 9.3. Итак, работа At -z — это функция не только состояний термодинамической систе- мы, но и вида процесса, который происходит. Следовательно, работа не является однозначной функцией состояния, такой, как внутренняя энергия. Из уравнения (9.3) следует, что и теплота Qjz, так же как и работа At-2, является функцией процесса, который происходит с системой. В различных процессах 1 — 2 изменения состояния системы к ней подводятся различные теплоты и ею совершаются различные работы. Поэтому, как указывалось в начале § 9.3, элементарные, т. е. малые, величины оА и f>Q не являются полными дифференциалами. § 9.5. Теплоемкость вещества. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам идеальных газов 1. Одним из основных тепловых свойств тел, широко используемых в термодинами- ческом методе исследования, является теплоемкость. Тсплоежсостыо тела называется физическая величина, численно равная отношению теплоты 6Q, сообщаемой телу, к изменению АТ температуры тела в рассматриваемом термодинамическом процессе: «е ~ЛТ (9.6) Теплоемкость тела зависит от его химического состава, массы тела и его термодинами- ческого состояния, а также, как видно из определения С*, от вида процесса изменения состояния тела, в котором поступает теплота 6Q. 2. Тепловые свойства однородных тел характеризуются значениями удельной и моль- ной (молярной) теплоемкости. Теплоемкость однородного тела равна произведению массы m тела на удельную теплоемкость с его вещества: «б 1 ее шс—— ’ ила с=---. АТ m АТ . Таким образом, связь между 6Q и dT для однородного тела имеет вид SQ*=mcdT. (9.6^ (9;б-) 118
Молярной теолоемокстью называется физическая величина С, численно равная теплоте, которую нужно сообщить одному молю вещества для изменения его тем- пературы на 1 К в рассматриваемом термодинамическом щюцессе: ’ М 60 с-м'~ £ где М — молярная масса вещества; с — его удельная теплоемкость в том же процессе. - Выражение (9.6*) можно записать теперь в форме т Cdr« <9-7) rutmlM^v — количество вещества. Формулы (9.5') и (9.7) позволяют записать уравнение (9.4) первого начала термоди- намики для равновесных процессов изменения состояния газа в следующем виде: £ Cd7=d£Z+pdK (9.8) 3. Применим это уравнение к различным изопроцессам идеальных газов. Начнем с рассмотрения изохорного процесса (V— const). На диаграмме р — V этот процесс изображается прямой, параллельной оси ординат. На рис. 9.4 показаны процессы изохорного нагревания (прямая 1 — 2) и охлаждения (прямая 1 — 3). Практически изохорный процесс осуществляется при изменении температуры газа, находятфгося в толстостенном сосуде постоянного объема. В изохорном процессе газ не совершает работы: 6A=pdV=>0. По первому началу термодинамики (9.8), вся теплота, сообща- емая газу в изохорном процессе, вдет на изменение его внутренней энергии: dU=*6Q, т. е. т dU^CydT, (9.9) где Су — моляриая теплоемкость газа в изохорном процессе, или, как принято говорить, молярная теплоемкость при постоянном объеме (изохорная теплоемкость). Из опытов установлено, что теплоемкость Су зависит от химического состава газа и от его температуры. Однако в не очень широкой области изменения температуры можно считать, что C^aconst. Соответственно при изохорном нагревании газа от температу- ры Г] до Тг изменение внутренней энергии газа и сообщенная ему теплота равны m ДС71 _2- U2-U^- Су(Т2—ТО, Ля С1-2“— Су(Тг—71). Ая 4. Во всех других процессах, кроме изохорного, объем газа изменяется. В реальных газах внутренняя энергия включает в себя как кинетическую энергию беспорядочного теплового движения молекул, так и потенциальную энергию их вза- имодействия, которая зависит от среднего расстояния между молекулами и, следовательно, изменяется при расширении • или сжатии газа. Поэтому для реальных газов формулы (9.9) й (9.10) выражают изменение внутренней энергии только t в изохорном процессе и характеризуют зависимость энергии теплового движения молекул газа от его темпдтатуры. Иначе обстоит дело в случае идеального газа, внутрен- няя энергия которого представляет собой только кинетичес- (9.10) 119
кую энергию теплового движения молекул и непосредственно не зависит от объема, занимаемого данной массой газа. При расширении или сжатии идеального газа его внутренняя энергия будет измеряться только за счет происходящего при этом измене- ния температуры. Таким образом, соотношения (9.9) и (9.10) справедливы для любого процесса изменения состояния идеального газа. Внутренняя энергия такого газа зависит только от его массы, химического состава и температуры. • Этот важнейший вывод был подтвержден опытами, которые осуществили независи- мо друг от друга Ж. Гей-Люссак и Д. Джоуль. Схема опытов Джоуля изображена на рис. 9.5. Разреженный газ, близкий по своим свойствам к идеальному, находится в сосуде А и имеет температуру Т. Из сосуда В газ откачан. Оба сосуда и трубка, которая их соединяет, теплоизолированы от внешней среды (3Q=0). Если кран от- крыть, то газ расширится в сосуд В и займет весь объем установки. Оказалось, что при этом температура газа не изменялась и по-прежнему была равна Т. Не изменилась и внутренняя энергия газа. В самом деле, газ не совершает работы против внешних сил (ЗА—О). Кроме того, так как 3Q=0, то из первого начала термодинамики следует, что и dU=0, т. е. 17= const. Следовательно, внутренняя энергия идеального газа не зависит ст его объема. В реальных газах дело обстоит сложнее: его внутренняя энергия зависит и от температуры газа, и от его объема. Мы получили важный результат: для любого равновесного процесса изменения состояния идеального газа уравнение (9.8) первого закона термодинамики можно записать в виде - CdT=- CydT+pdV. (9.8Э 5. Рассмотрим теперь изобарный процесс, при котором p»>copst. Практически, он осуществляется, например, при нагревании или охлаждении газа, находящегося в цили- ндре с подвижным поршнем, на который действует постоянное внешнее давление. На рис. 9.6 изображены процессы изобарного расширена газа прц его нагревании (про- цесс 1 — 2) и изобарного сжатия газа при его охлаждении (процесс 1 — 3). Элементар- ная теплота 3Q, сообщаемая газу в изобарном процессе, 3Q~- c,dT, ’ (9.П) ЪА где С,молярная теплоемкость, газа при постоянном дявлемя, которую также на- зывают изобарной теплоемкостью. Элементарная работа ЗА, совершаемая идеальным газом в изобарном процессе, 3A~pdV=-RdT, ‘ (9.12) М где использовано выражение pdV из уравнения Клапейрона — Менделеева (8.5) при р—const. Соотношение (9.12) позволяет выяснить физический смысл универсальной газовой постоянной R: Рис. 9.5 120
6А Л=-------(9.129 т. е. она численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа ври его изобарном нагревании на 1 К. Установим связь между молярными теплоемкостями Ср и Су идеального газа. Для этого подставим выражение (9.11) и (9.12) в уравнение первого начала термодинамики (9.8'): — C,dT«- CydT+- RdT. м'м м Отсюда следует, что C,-CV=R. (9.13) Это соотношение называется уравиенаем Майера. 'Для удельных теплоемкостей cf и су оно имеет вид cr—cv—RIM. (9.13') Физический смысл уравнения Майера заключается в том, что при изобарном нагрева- нии газа к нему должна быть подведена большая теплота, чем для такого же изохор- ного нагревания. Разность теплот д олжна быть равна работе, совершенной газом при изобарном расширении. ' Работа, которую совершает газ при изобарном процессе расширения 1 — 2 (рис. 9.6), равна , у, Л1_2=Р<1Г=р(У2-У1). (9.14) г. Она измеряется площадью, закрашенной на ряс. 9.6. Для идеального газа работу можно выразить также формулой A^-RUh-Ti). (9.14') Если в интервале температур АТ=Т2—Т1 молярную теплоемкость Ср можно считать постоянной, то теплота Qi-ъ сообщаемая газу в изобарном процессе 1 — 2, Qi-2^~Cf(T2-T0. В. Изотермический процесс раширення или сжатия газа может происходить в услови- ях, когда теплообмен между газом и внешней средой осуществляется при постоянной разности температур. Для этого теплоемкость вне- шней среды должна быть достаточно велика и про- цесс расширения (или сжатия) должен происходить весьма медленно. Изотермическими являются процес- сы явления, конденсации, плавления и кристаллиза- ции химически чистых веществ, происходящие при постоянном внешнем давлении. Для идеального газа в процессе пря Г» const выполняется закон Бойля — Мариотта pK^const и в диаграммер — V такой про- цесс графически изображается изотермой, имеющей вид равнобочной гиперболы (рис. 9.7). Внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе не изменяется: (9.149 О И, Vf V2 V Рис. 9.7 121
dt/= - CFdr=O, M так как Г= const и dZ’=0. Вся теплота, сообщаемая газу, расходуется на совершение газом работы против внешних сил: гг. Г т Г dV т Fj С|-2=Я!_2= р<1У= - RT —=- ЯТ1п —. (9.15) J ' М J V М Vt ' ' ' к, *1 Если газ изотермически расширяется (К2> Kj), то к нему подводится теплота (Ci_з>0) и газ совершает положительную работу (Л1_2>0), которая измеряется пло- щадью, закрашенной на рис. 9.7. При изотермическом сжатии газа (процесс 1 — 3) работа Я|_з, совершаемая газом, отрицательна (Л1_3<0). Положительную работу (A'i s= — Л|-э>0) совершают внешние силы. При этом от газа отводится теплота Qi -э (С1-з<0). Теплоемкость газа в изотермическом процессе СТ= ±оо, так как 6Q&0, a dT—0. § 9.6. Адиабатный и политропный процессы идеальных газов 1. Большой практический интерес представляет адиабатный процесс — термодинами- ческий процесс, в котором система не обменивается теплотой с окружающей средой. Из этого определения следует, что в адиабатном процессе #б=®0. Следует отметить, что условие отсутствия теплообмена нельзя формулировать в виде Q—0. Это равенство говорит лишь о том, что в целом за весь процесс алгебраическая сумма теплот, подведенных к системе и отведенных от нее, равна нулю. Условие Q*=0 вовсе не исключает теплообмена между системой и внешней средой на отдельных участках рассматриваемого процесса. Практически адиабатный процесс осуществляется при достаточно быстром расширении или сжатии газа. Из первого закона термодинамики (9.4) имеем для адиабатного процесса 6А=— dt/, т. е. в адиабатном процессе система совершает работу за счет убыли внутренней энергии системы. Для адиабатного процесса идеального газа из (9.8') следует, что т 6А—— CtdT. (9.16) М Если газ адиабатно расширяется, то 6А =pdK>0 и d7’<0, т. е. происходит охлаждение газа. При адиабатном сжатии газ нагревается, потому что 6А<0 и dT>0. 6Q Теплоемкость вещества при адиабатном процессе См= =0, так как 6Q—0, adTVO. йТ 2. Найдем связь между параметрами состояния (например, между р и V) идеального газа в адиабатном процессе. Для этого запишем уравнение (9.16) в виде , т pdV~- CvdT. М Из уравнения Клапейрона Менделеева имеем т ^RdT—d(pV)=pdV+Vdp. Следовательно, pdV=-С^ (pdV+Vdp), R 122
или, учитывая уравнение (9.13), C,pdF+CrFdp=O. В последнем уравнении можно разделить переменные, подали обе части на CypV: где dF dp — +— V Р Су су (9.16Э (9.17) — безразмерная величина, называемая показателем адиабаты, или кюффмцмнтом Пу- ассона. Пренебрегая зависимостью Су от температуры, можно считать, что для дан- ного газа эс. = const. Тогда, интегрируя дифференциальное уравнение (9.16*) с разделен- ными переменными, имеем In P^+lnpeln const, ИЛИ pV9^* const. (9.18) Эго уравнение называется уравнением Пуассона. С помощью уравнения Клапейрона — Менделеева можно уравнение Пуассона записать в виде связи между другими параме- трами состояния газа в ад иабатном процессе: pT^^’^const, FT'^’^const (9.18Э 3. Линия, изображающая адиабатный процесс, называется адяаЯггой На рис. 9.8 в р — F-диаграмме адиабата показана сплошной линией. На этом же рисунке для сравнения штриховой линией изображена изотерма, соответствующая температуре газа в начальном состоянии 1. Для любого идеального газа коэффициент Пуассона JT>1. Поэтому в р — F-диаграмме адиабата изображается крайой, идущей более круто, чем изотерма. Объясняется это тем, что при набатном сжатии увеличение давления происхоит нс только за счет уменьшения объема, как при изотермическом сжатии, но также связано с возрастанием температуры. При адиабатном расширении газа его температура уменьшается и давление газа падает быстрее, чем при соответст- вующем изотермическом расширении. 4. Вычислим теперь работу, которую совершает газ в адиабатном щюцессе 1 — 2. Она измеряется площадью, закрашенной на рис. 9.8. Интегрируя выражение (9.16) для 6Л, получаем ^_2=~ С^-Гг). (9.19) м Из уравнения Майера (9.13) и формулы (9.17) для коэффициента Пу ассоца’следует, что Сг=Л/(ае-1), (9.19) поэтому Л,_2= т PlV~ Г1 ——1(9.19*) м^е-1 лг-1 L 7*iJ Если использовать соотношения (9.18Э, то мож- но написать Рис. 8.8 123
и работу Л]_2 газа при адиабатном процессе представить в форме: (9.19"9 -dj-J АН Эе-1 5. Обобщением рассмотренных выше процессов изменения состояния идеального газа является иоллрооша ирацеее — термодинамический процесс, описываемый урав- нением pF’—const, (920) где п — безразмерная постоянная величина, называемая нокязателем политропы. Четы- рем процессам, которые были проанализированы ранее, соответствуют различные значения показателя политроша. Так, при л-0 мы имеем изобарный процесс (о-const), при —изотермический процесс (pF—const), при л—ае — адиабатный процесс (pF*£=const), при л= ±со — изохорный процесс. Вычислим молярную теплоемкость С идеального газа в политропном процессе. Из уравнения (9.89 запишем , Мр &V -С"‘Су+——. (9.21) Связь между объемом газа и его земпературой в политропном процессе найдем из уравнения(920) и уравнения Клапейрона — Менделеева: F^*-1’Г—const. Дифференцируя последнее выражение, получаем (л-1) F"-2TdF+ F"-' dr-0, dF F dr“~(a-l)f Теперь уравнение (9.21) примет вид pF Я 1 С— Су------------^Су-----. (р-Ы/н!М)Т п-1 Наконец, используя соотношение (9.199, окончательно находим j___________ D • tofr-!)(«-!) (922) 6. Для изопроцессов из этой формулы следуют результаты, которые получены ранее: 1) для изобарного процесса (л—0) С —---— ХСу^ Ст ае-1 * 124
2) для изотермического процесса (л — 1) Ст= ±со; 3) для изохорного процесса (п= ± со) Я л? _ i 4) для адиабатного процесса ) С.а=0_ = [И! "-И 1=/‘ 1-( *) . У* л-1 п— 1 L \^2/ J Работа, совершаемая идеальным газом в политропном процессе 1 2, г, Ht_2 = |pdr= J г, »'i Формула (9.23) неприменима к изотермическому процессу, т. е. при п= 1. (9.23) Вопросы: 1. Почему в термодинамике и молекулярной физике при вычислении внутренней энергии можно не учитывать энергию электронных слоев атомов и ионоа, а также энергию взаимодействия нуклонов а ядрах атомов? 2. Раскройте физический, смысл понятий работы термодинамической системы и работы над такой системой. 3. В чем состоит качественная неравноценность между работой и теплообменом как формами передачи энергии? 4. Почему малое количество теплоты, сообщаемое термодинамической системе, не является полным дифференциалом?
Глава 10_________________ Кинетическая теория газов § ЮЛ. Некоторые сведения о классической статистической физике 1. В § 9.2 мы ознакомились со статистическим методом изучения физических явлений, происходящих с макроскопическими телами или системами таких тел. Теперь мы применим статистический метод к изучению физических свойств газов. Теория, ос- нованная на статистическом методе исследования этих свойств, называется кинетичес- кой теорией газов. Она является частью классической статистической физики. 2. Кинетическая теория газов основана на следующих общих положениях классичес- кой статистической физики: а) в системе частиц выполняются законы .сохранения импульса, момента импульса, энергии, электрического заряда (для систем заряженных частиц) и числа частиц (для закрытых систем частиц, не претерпевающих химических и других превращений); б) все частицы системы считаются «мечеными», т. е. предполагается возможность отличать друг от друга тождественные частицы (например, молекулы одного и того же вещества); в) все физические процессы в системе протекают в пространстве и времени непреры- вно (например, энергия молекулы может изменяться под влиянием внешних воздейст- вий на любую величину, т. е. непрерывно); г) каждая частица системы может иметь совершенно произвольные значения коор- динат (в пределах объема системы) и компонент скорости совершенно независимо от того, каковы значения этих характеристик у других частиц системы. § 10.2. Уравнение кинетической теории идеального газа 1. Мы уже говорили, что идеальный газ можно рассматривать как совокупность безпорядочно движущихся молекул-шариков, имеющих пренебрежимо малый со- бственный объем и не взаимодействующих друг с другом на расстоянии. Молекулы непрерывно сталкиваются между собой и со 'стенками сосуда, производя на них давление. Таким образом, давление — макроскопическое проявление теплового движе- ния молекул газа. Если газ не Находится во внешнем силовом поле (например, в поле силы тяжести), то ввиду хаотичности теплового движения молекул давление газа на все стенки сосуда одинаково и, по определению, численно равно средней силе, дейст- вующей на единицу площади поверхности стенки по направлению нормали к этой поверхности. 2. Важнейшей задачей кинетической теории газов является вычисление давления иде- ального газа на основе молекулярно-кинетических представлений. Взаимные столкно- вения молекул в объеме газа происходят значительно чаще, чем их соударения со стенками сосуда, в котором находится газ. Однако, как показал Д. К. Максвелл, в случае идеального газа соударения молекул между собой не влияют на давление газа, оказываемое на стенки сосуда. Кроме того Максвелл показал, что давление газа не зависит от характера соударений молекул со стенками — упругие они или не упругие. Именно поэтому давление идеального газа на стенки сосуда не зависит, как это видно из уравнения состояния газа (8.8), от материала стенок. 3. Из сказанного выше очевидно, что давление р химически однородного идеального газа зависит от массы то и концентрации ло молекул, а также от скоростей их теплового движения. Эту связь можно найти с точностью до безразмерного (чис- лового) коэффициента пропорциональности С, пользуясь методами теории размер- ностей. Будем ради простоты предполагать, что все молекулы газа движутся с одина- ковыми по модулю и скоростями. Тогда 126
p^Cnfiuty, где а, Д и у — показатели степени, которые нужно найти путем сравнения размерностей правой и левой частей написанного равенства. Так как размерности давле- ния — ML' *Т 2, массы молекулы — М, скорости — LT-1 и концентрации — L-3, то должно выполняться равенство ML-1T-2=MaLAT“/iL т. е. a=l, fl—3ys= — 1 и —fl=—2. Таким образом, у=1 и давление идеального газа равно р=Сп&п&г^С — т&г=2С где V—объем сосуда с газом; N—общее число молекул в сосуда; — кинетическая энергия поступательного движения всех N молекул. В курсе физики средней школы доказывается, что коэффициент С= 1/э, так что уравнение квнетической теория для давления идеального газя имеет вид (10.1) Оно показывает, что произведение давления идеального газа и его объема равно 2/3 кинетической энергии поступательного движения всех его молекул. В действительности скорости теплового движения молекул различны как по напра- влению, так и по модулю. Поэтому кинетическая энергия поступательного движения N молекул газа, входящая в уравнение (10.1), равна 4 /-1 где и/ — скорость i-й молекулы. 4. Средней квадратичной скоростью ti„ поступательного движения молекул газа назы- вается корень квадратный из среднего арифметического значения квадратов скоростей поступательного движения всех его молекул: /1 " * (102) Если ввести эту скорость в выражение для И7?*1, то получим (Ю.З) Уравнение (10.1) можно теперь записать так: •• рГ=^зЛН’’а=1/э"и’» (Ю.4) или Р= 1I3W”^= ‘/зР®*.. (10.4') где р=тоПо — плотность газа. с Из сравнения (10.4) с уравнением Клапейрона — Менделеева следует, что ^y/iRTIM^y/ikT/mo, (10.5) где к — постоянная Больцмана. 127
Средняя квадратичная скорость является одной из характеристик движения всей совокупности молекул. Она ш имеет смысла для одной молекулы или небольшого их числа. 5. Найдам выражение для средней кинетической энерпш поступательного движения молекулы идеального газа. Из формул (103) и (10.5) имеем (Wjk (Ю.6) Средняя кинетическая энергия поступательного движе- ния молекулы идеального газа зависит только от его термо- / динамической температуры Т и прямо пропорциональна / этой температуре. На рис. 10.1 графически изображена зави- f----------► симость <Н*> от Т. Линейная зависимость <>ГЖ> от Т не справедлива при сверхнизких температурах, близких к тем- Рис. 10.1 пературе Г=0К. В этой области температур неприменимы выводы кинетической теории газов и вообще результаты классической статистической-физики. Там действуют законы квантовой статистики, которые рассмотрены в гл. 41. В области температур, далеких от 0.К, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. § 10.3. Закон распределения молекул по скоростям и энергиям 1. При рассмотрении уравнения для давления идеального газа мы считали, что молекулы имеют различные скорости теплового движения. Если даже предположить, что в какой-то момент времени скорости всех молекул одинаковы по модулю и раз- личаются только по направлению, то соударения между молекулами приведут к изме- нению их скоростей и нарушению равенства скоростей по модулю. Действительно, пусть молекула Л имеет скорость иь равную по модулю и и направленную вдоль оси ОХ. После упругого столкновения с другой молекулой, движущейся с такой же по модулю скоростью Hj вдоль оси OZ, молекула А может подучить дополнительную скорость Hj (рис. 102). В результате такого столкновения вторая молекула останав- ливается, а скорость молекулы А станов гея равной hJ^Bi+bj, так что Jlu. 2. Закон распределения по скоростям теплового движения молекул газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, впервые был найден Д. К. Максвеллом (1859) и называется мфеделеяне Максвелла. Ход рассуждений Максвелла достаточ- но сложен, и привод ки его- мы не будем, а ограничимся рассмотрением физического смысла закона Максвелла и некоторых его следствий. Рис. 10.3 128
Скорости молекул удобно изображать в виде полярных векторов в трехмерном пространстве скоростей, в котором по взаимно ортогональным осям координат от- ложены компоненты иХ1 иу и иг скоростей молекул (рис. 10.3). Пусть dn — число молекул в единице объема газа, модули скоростей которых заключены в пределах от и до u+du. Очевидно, что концы векторов скоростей этих молекул должны лежать в пространстве скоростей внутри шарового слоя, закрашенного на рис. 10.3. Объем этого слоя d(o=4nu* du. При тепловом движении из-за его беспорядочности все направ- ления скоростей молекул равновероятны. Поэтому число dn должно быть пропорци- онально как числу по молекул в единице объема газа, так и объему dw шарового слоя. Кроме того, dn должно зависеть от модуля скорости и. Таким образом, dn=nt/(u)4nu2du=noF(u)du, (10.7) где • F(u)=4nu2/(u). (10.7') 3. Функция распределения dn F(u)------ (10.7я) Пдаи представляет собой долю молекул, модули скоростей которых находятся в шаровом слое единичной толщины. Произведение F(u)du=dn/n0 есть вероятность того, что модуль скорости молекулы заключен между и и u+du. функция F(u) называется функцией распределения молекул газа по модулям их скоростей. Из физического смысла функции F(u) следует, что СО j*F(u)du=l. (10.8) о Смысл интеграла (10.8) состоит в следующем. Любая молекула имеет какое-то аб- солютное значение скорости и. Поэтому если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные абсолютные значения скорости и, то получим единицу. Функция /(и) имеет такрй же смысл, как и F(u), но, согласно (10.7'), является функцией распределения, отнесенной к единичному интервалу объемов dcu=4nu2du. Расчеты показали, что (\3/2 -'"“-J (10.9) ZnkTj На рис. 10.4 представлен график функции F(u). Из ее физического смысла и интеграла (10.8) следует, что вся площадь, ограниченная кривой на рис. 10.4 и осью абсцисс, равна единице, 4. Кривая на рис. 10.4 описывает распределение молекул по модулям скоростей. Объединяя формулы (10.7) и (10.9)« можно записать закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла): \3/2 ">0 \ -т^/^Г) 2. ,ln1m ----1 е 4яи du. (10.10) 2пкТJ • Из закона (10.10) можно определить так называемую наиболее вероятную скорость и„, соответствующую максимуму на графике функции F(u) (рис. 10.4). Запишем условие максимума функции F(u): du 3 Курс физики 129
где vn - средняя квадратичная скорость, определяемая по формуле (10.5). Обе скоро- сти и и, зависят только от температуры газа и его молярной маем. 5. Если по оси абсцисс отложить скорости и, а по оси ординат — функцию F(u), то для разных температур Г( < Тг< Т3 кривые распределения молекул по скоростям будут иметь вид, изображенный на рис. 10.5. С увеличением температуры газа максимум кривой смещается в сторону больших скоростей, а его абсолютная величина уменьша- ется. Следовательно, при нагревании таза доля молекул, обладающих малыми скоро- стями, уменьшается, а доля молекул с большими скоростями увеличивается. в. Закон распределения молекул по скоростям позволяет вычислить среднюю ариф- метическую скорость <и) поступательного движения молекул идеального газа. Для этого необходимо долю молекул dn/ло, обладающих некоторой скоростью и, умножить на эту скорость и просуммировать по всем скоростям. Так как скорость изменяется непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. В результате получим со f <«>= « -• J "о , О - Вместо dn/n0 введем по формуле (10.7) функцию F(u). Тогда <u> = |uF(u)du. (10.12) о Этот результат имеет общее значение. Среднее значение любой физической величины х с учетом закона распределения молекул по скоростям в классической статистической физике вычисляется по формуле оо <х> = jxf(u)du. (10.13)' о Подставим в формулу (10.12) выражение для F(u) из формул (10.7') и (10.9). Тогда со <u)=no4itl - I I u е du. \2я*Т/ J о 130
После интегрирования получаем , v lUT fatT /4 /8 <«>= /------/—-u. /-=«„ /-. (10.14) у хто у яМ у я у Зя Три скорости V.., <н> и и, отличаются друг от друга числовыми множителями порядка единицы, причем t>„> <u> > u,. 1 7. С помощью закона распределения молекул по скоростям (10.10) можно найти распределение молекул ио относительным скоростям. Как показано в § 5.4, относитель- ное движение двух частиц с массами mi и т2 эквивалентно движению одной частицы с приведенной массой mnp=m1m2/(mi+m2). Для однородного газа mi=m2=mo и тар—то/2. Распределение молекул по их относительным скоростям устанавливает долю бли^/ло молекул из общего их числа «о, относительные скорости Цт, которых лежат в пределах от Цп, до Ншя+бНго. Закон (10.10) для этого распределения при- мет вид (. "V \ —л^к*/(4Ь7) . i . е 4ю£1<1яОП1. (10.10') Здесь ——=Fi (UanJdUei» ГДв «о (_ \ЗД с “Jm — фушння распределены молекул идеального газа по относительным скоростям. С помощью закона (10.10') и формулы (10.13) можно найти среденою относительную скорость молекул идеального газа: оо <«от.>“ J («рт^ЙМоп- О Если подставить в этот интеграл функцию Fi(umd й провести интегрирование, то получим <Ця»>=л/2х/8ЛГ/(ятЬ)=л/5<н>, • (10.15) где <и> — средняя арифметическая скорость молекул. I. В заключение найдем закон распределения молекул идеального газа по кинетичес- ким энергиям их теплового движения. Это распределение устанавливает долю dnwJrto молекул, кинетические энергии JFX= которых заключены в интервале от W* до jyt+dlFa. Чтобы получить такое распределение, нужно в законе (10.10) перейти от , скорости и к энергии Жх по соотношениям п=ч/2И,ж/т0 н du= lldWajy/2mo. В ре- зультате получим dn^=no Л (кТ)~312с~№я1^ y/w,dw,. (10.10") Здесь dn^/n0=F2(lFJd»'I, 131
где Г2(»У=Л (kT^^^y/w* у/п — функция распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям. Исполь- зуя эту функцию и формулу (10.13), найдем среднюю кинетическую энергию молекулы идеального газа': со со <1КЖ> = I 2 з Г W,tTW'IW y/w,dW,=3l2kT. (10.10я) •» Jn(kT)12 J о о Как и следовало ожидать, мы получили результат, совпадающий с формулой (10.6) для средней кинетической энергии поступательного движения молекулы. § 10.4. Экспериментальная проверка закона распределения молекул по скоростям 1. Экспериментальная проверка закона распределения молекул по скоростям была проведена спустя 60 лет после того, как закон был найден Д. К. Максвеллом. О. Штерн использовал (1920) метод молекулярных и атомных пучков и впервые измерил средние скорости атомов в таких пучках. Опыты Штерна изучаются в курсе физики средней школы. Они показали, что атомы в пучке летяг с различными скоростями. В даль- нейшем предложенная Штерном- методика использовалась многими учеными для изучения законов распределения атомов по скоростям. Мы рассмотрим опыты, постав- ленные Б. Ламмертом (1929). Рис. 10.6 2. Опыт. Прибор состоял из тол- стостенного сосуда 1, к которому присоединялась ' «молекулярная печка» 2— сосуд, в котором ис- парялся какой-либо жидкий ме- талл, например ртуть (рис. 10.6). Пары металла проходили сквозь систему диафрагм 3, после кото- рых создавался узкий молекуляр- ный пучок. В этом и состоял ме- тод молекулярных цучков, разра- ботанный Штерном. На пути пуч- ка атомов располагались два дис- ка 4 и 5 с узкими прорезями, пове- рнутыми друг относительно друга на некоторый угол у (рис. 10.7). Диски приводились во вращение двигателем 6. Пучок атомов, пройдя через прорези в обоих дисках, попадал в ловушку 7, охлаждавшуюся жидким азотом. Атомы осаждались на стеклянной мишени 8, образуя на ней видимый осадок. С помощью насоса 9 в установке поддерживался высокий вакуум, чтобы не происходило столкновений атомов с молекулами воздуха. 3. Очевидно, что при неподвижных дисках пучок атомов не попадает на мишень. Если же диски привести во вращение, то атомы, имеющие определенную скорость, смогут пройти сквозь прорезь во втором диске. Это произойдет в том случае, когда за время, в течение которого атомы движутся между дисками, второй диск успеет повернуться на угол <р, так что прорезь окажется на пути пучка атомов. Если диски вращаются с угловой скоростью ш=2лл, где п — частота их вращения, то угол ф=оИ=2лл/. НоГ=//и, где / — расстояние между дисками, и —скорость, атомов. Например, если /=40 см=0,4 м, ф=24°=24п/180 рад и и=3000 об/мин=50 об/с, то скорость атомов 2я-50 0,4 180 и=—----—— м/с=300 м/с. 24л 4. Конечная ширина прорезей в дисках приводила к тому, что скорость атомов измерялась в опыте с погрешностью, которую можно оценить. Пусть атом пролетел вблизи левого края 132
прорези первого диска; в прорези второго диска он может пролететь как вблизи левого края, так и вблизи правого. Но в первом случае система повернется, на угол ф, а во втором на угол Ф1=Ф+Дф. Соответственно, на мишень попадут как атомы, которые движутся со скоростью и (они. пройдут вблизи левого края), так и атомы, движущиеся с меныней скоростью u( —2r.nll<p\ (они пройдут вблизи правого края прорези). Погрешность при измерении скорости равна 2лл/ 2пп1 2r.nl'Л.<р иЛ<р Ди — u—ui = - - — = -----== ----- . Ф (ф+Дф) (ф(ф+Дф)] (ф+Дф) В конкретном примере, который приведен выше, при Дф=2° получим Ди=300 2/26 м/с=23 м/с. Таким образом, в опыте, который рассмотрен, можно было лишь утверждать, что скорость атомов лежит в интервале между 277 и 323 м/с. Эту погрешность можно уменьшить, сделав прорези более узкими. Однако, поскольку сделать щель бесконечно тонкой нельзя, принципиально невозможно полностью ликвидировать разброс в измерениях скоростей отдельных атомов. 5. Разброс в значениях измеренных опытным путем скоростей отдель- ных атомов нельзя смешивать е измерениями распределения атомов по скоростям, которые были проведены Ламмертом и другими ис- следователями. Опытная проверка закона распределения основывалась на том, что видимый осадок атомов на мишени 8 (см. рис. 10.6) получается при вполне определенном числе сконденсировавшихся атомов. Чем больше число атомов в пучке, тем меньше времени требуется для получения осадка определенной толщины: m/m—ti/h. Этим методом было определено относительное число молекул, скоро- <1л сти которых лежат в интервале от и до и +du, т. е. величина -Оцы- Лоои ты показали, что закон распределения молекул по скоростям спра- ведлив. Мы так подробно остановились на опытной проверке распределения молекул по скоростям, чтобы показать, насколько сложны физические эксперименты. ПодТверждающиё (а иногда и не подтверждающие!) теоретические выводы. Экспериментальвалпррверка, и только она,-^является * «верховным судьей» справедливости любой физической-в частности, кинетической теории газов. Все выводы этой теории были экспериментально подтверждены,. ’ % ... В заключение отметим, что все опыты по измерению скррр£гей.теплового Движения атомов и молекул и по изучению распределения молекул (атомов) ио-Oi^Oj гям Методом молекулярных пучков имеют один существенный недостаток. При зтт}М<'’йзывр'кют скорость не хаотически движущихся в газе частиц*, а скорость упорядоченно движущихся в пучке атомов (или молекул). В таком пучке быстрых молекул (или атомов) заведомо больше, чем в газе, из которого пучок возник, потому что быстрые частицы чаще проходят через диафрагмы, чем медленные. § 10.5. Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле 1. До сих пор в кинетической теории газов мы считали; что на молекулы газа не действуют внешние силы. Поэтому можно было предполагать, что молекулы равноме- рно распределены по объему сосуда. В действительности это предположение ошибоч- но. Молекулы любого газа всегда находятся в поле Тяготения Земли. Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, тд йсе они упали бы на Землю. Если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной. Совместные действия поля тяготения и теплового движения приводят к такому состоя- ' иию атмосферы, при котором концентрация и давление газа убывают с возрастанием высоты над Землей. 2. Найдем закон изменения давления идеального газа с высотой в однородном поле тяготения,; Будем считать, что газ находится в состоянии термодинамического равнове- сия, так что его температура Т всюду одинакова. Выделим на высоте й столб abed газа высотой d/i и площадью основания, равной единице (рис. 10.8). Разность давлений *3акон Максвелла установлен для совершенно беспорядочного движения молекул. 133
р и p+dp на нижнее и верхнее основания выделенного нами столба abed, т. е. на высотах h и A+dA, равна гидростатическому давлению pgdh столба abed газа: -dp=pgdA. Заменим в этом уравнении плотность р по формуле (8.6): • dp=-^gdA, или — = -^dA. RT р RT Интегрируя это выражение пр высоте от 0 до h и по давлению от ро до р, получаем Inp—tapo= — gMhHRT), илн p=poe-»**«J'7’. (10.16) Здесь ро — давление газа на высоте А=0. Если с помощью, барометра измерить давление ро и р, то по формуле (10.16) можно по изменению давления определить высоту: Поэтому (10.16) называется барометрической формулой. Барометр, специально про- градуированный для отсчета высоты над уровнем моря, называется альтиметром. Он широко применяется в авиации, при восхождениях на горы и т. п. 3. Барометрическая формула позволяет получить соотношение между концентраци- ями газа на различных высотах. Используем уравнение состояния идеального газа в форме (8.8): р=п&Т, где По - концентрация молекул газа. При Т— const имеем р/ро=ло/яоо, где лоо - концентрация молекул газа при давлении ро (на высоте А=0). Поэтому уравнение (10.16) можно записать в форме яог=лоое"’"ад*7’. (10.17) Заменяя RjM=klm0, где то — масса молекулы газа, получаем ло-доое"^*77. (10.17') Из формулы (10.17') следует, что ло-»лоо при Т-»со, т. е. повышение температуры приводит к выравниванию крнцентрации газа по всему предоставленному ему объему. При Т-»0 К ло-»О, т. е. молекулы под действием силы тяжести будут опускаться на дно Рис. 10.S 134
сосуда. Наша атмосфера существует лишь благодаря тепловому движению частиц воздуха. 4. Если учесть, что mgh— WB — потенциальная энергия молекулы в однородном поле тяготения вблизи поверхности Земли (при условии, что на уровне Л=»0 потенциальная энергия молекулы FFB=O), то формулу (10.17') можно переписать в виде по* (10.18) Значение этого соотношения далеко выходит за рамки рассмотренной намц конк- ретной задачи. Формула (10.18) является математическим выражением весьма общего и важного закона — закона Больцмана для распределения частиц во внешнем потенци- альном поле. Закон Больцмана (10.18) справедлив для любого потенциального поля независимо от его физической природы. Этот закон широко используется в физике, и мы будем с ним неоднократно встречаться в вашем курсе. 5. Заменив в (10.17) получим Эго выражение можно использовать для экспериментального определения одной из важнейших констант физики — постоянной Авогадро: тдел «о (10.19) Трудность экспериментов заключается в том, что молекулы газе» невидимы в микроскоп и измерение их концентрации на различных высотах невозможно. Ж. Перрен (1906) исследовал распределение по высоте сосуда мельчайших частиц эмульсии смолы гуммигута в воде. Зерна эмульсии имели форму шариков диаметром порядка 0,1 мкм, которые были отчетливо видны в микроскоп. Частицы таких малых размеров совершают интенсивное броуновское движение. Схема опытов Перрена тфиведена на рис. 10.9. Эмульсия находилась в сосуде высотой в несколько десятых долей миллиметра. На какую-либо одну из горизонтальных плоскостей, проходящих в эмульсии, на води «ед микроскоп с малой глубиной ЛЛ поди зрения. Наблюдения частиц эмульсии и подсчет их числа на диной высоте затруднялись их Интенсивным броуновским движением. Поэтому Перрен производил мгновенные фотоснимки наблюдаемой в микроскоп картины и по ним определял концентрацию зерен. Измерения проводились последовательно для ряда сечений, отстоящих друг от друга на разных расстояниях. При увеличении расстояния Л от два сосуда в армфмепгвекой прогрессии концентрация зерен убывает в геометрической прогрес- сии, т. е. изменяется по закону яо=поое_“*, причем коэффициент и обратно пропорционален температуре Т. Эта формула аналогична (10.17) и показывает, что броуновские частицы, испытывая многочисленше удары со стороны молекул жидкости, в которой они движутся, ведут себя подобно молекулам тяжелого газа. Перрен цхдположил, что масса то такой тяжелой молекулы должна быть равна разности между массами броуновской частицы и вытесненной ею жидкости: то-4/эЯв*(р-р1), где р — плотность гуммигута; pi — плотность жидкости; а радаус сферической броуновской частицы- Ecu подставить это значение тц в формулу (10.10), то получится следующее выражение дц постоянной Авогадро: Ч - fa—• (10.199 4iur(p-p1)gA до В опытах Перрена изменялись температура, вязкость среды и размер зерен эмульсин. Во всех опытах значения постоянной Авогадро получались близкими к 6,8 * 10” моль-1. 135
§ 10.6. Средняя длина свободного пробега молекул 1. Мы уже говорили о том, чтоконечные размеры молекул и их огромная концент- рация даже в газах при обычных условиях приводят к тому, что молекулы непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями моле- кулы движутся равномерно'и прямолинейно. Расстояние 2, которое молекула пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего, называется длиной свободного пробега. Эти расстояния могут быть самыми разными. Поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного /пробега молекул <2>. Величина <А> является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления н температуры. Для вычисления (2> необходимо принять определенную ^одель молекул газа. Будем считать, что молекулы представляют собой шарики некоторого диаметра d порядка 10 16 м, зависящего от химической природы газа. Такая модель, как мы увидим в § 12.1, правильно передает характер сил отталкива- ния, которые действуют при сильном сближении молекул реальных газов. 2. Подсчитаем среднее число столкновений, которое испытывает за единицу времени молекула при движении в однородном газе. Для упрощения расчетов предположим, что все остальные молекулы, кроме рас- сматриваемой, неподвижны, а зга одна движется со скоростью, равной средней ариф- метической скорости <и>. При своем движении молекула будет сталкиваться со всеми молекулами газа, центры которых отстоят от траектории движения ее центра на расстояниях, меньших или равных диаметру молекул d. За единицу времени рассмат- риваемая молекула столкнется со всеми частицами, центры которых лежат внутри цилйндра высотой <и> н радиусом основания d (рис. 10.10). Если ло — концентрация молекул газа, то среднее число соударений молекулы в единицу времени равно <Z>=Hd2no<w>. (10.20) 3. Мы сделали заведомо неправильное предположение о том, что все молекулы, кроме одной, неподвижны. В действительности все молекулы движутся, и возможность соударения двух частиц зависит от их относительной скорости. Поэтому в формулу (10.20) вместо средней арифметической скорости <п> должна входить средняя от- носительная скорость (МтяУ- По формуле (10.15), <иотн>=х/2<м>. Поэтому значение I среднего числа соударений (10.20) нужно увеличить в ^/2 раз: <Z>=\/2 nd1 ло<н>. (10.21) Среднее расстояние, которое пролетает молекула, за единицу времени, численно равно <и>. Оно представляет собой, очевидно, произведение <Z> <2>. Поэтому средни длина свободного пробега молекул _<«>_ 1 (РУ Из формулы (10.22) следует, что при постоянной. температуре, когда, согласно (8.8), концентрация по молекул пропорциональна давлению р газа, сред- , няя длина свободного пробега обратно пропорци- ональна давлению. Для данного газа при 7’=const н различных давлениях pi н pi имеем <Xi>pi = <x2>P2=const. (10.220 4. Рассмотрим один из методов экспериментального опре- деления средней длины свободного пробега атомов и моле- 136
кул, примененный в опыте, который поставили . М. Бори и Е. Борман (1921). В этом опыте исследовалась закономерность убывании интенсивности пучка атомов серебра по мере его рас- пространения в замкнутом сосуде с сильно разреженным воздухом, давление которого можно было изменять с помощью вакуумного насоса. Уменьшение количества атомов серебра в пучке обусловлено их рассеянием вследствие столкновений с молекулами воздуха. Пусть N — число атомов, прошедших без рассеяния путь в воздухе, равный.*, a |dN| — число атомов, испытыва- ющих столкновения с молекулами воздуха в слое толщиной dx и выбывающих из пучка в этом слое (dlV<0). Отношение ^dN/N есть вероятность того, что ..атом'серебра, долетевший до рас- сматриваемого слоя, выйдет в этом слое из пучка. Вероятность такого события равца’вероятности столкновения атома с молекулой воздуха в слое толщиной dx, г. е. равна отношению dx/(JlX где <Л> — средняя длина свободного пробега атомов серебра в воздухе. Таким образом, dN dx ~№<Л>’ Проинтегрировав, это уравнение, получим N=N(fi~xKl>, (1023) где No — число атомов в пучке при *=0. Для определения значений N при разных значе- ниях * Борн и Борман использовали метод осаждения атомов .серебра на охлаждаемых стеклян- ных пластинках: чем больше N, тем более плотный слой серебра откладывается за одно и то же время экспонирования на стеклянной пластинке, установленной на пути пучка перпендикулярно ему. 5. Соотношение (10.23) называется законом распределения свободных пробегов. С его помощью можно найти среднюю длину свободного пробега атомов серебра в воздухе. В самом деле, если ЛГ(хО=М, а Л(х2)=^2, то, согласно (10.23), ^=е(Ха~х,)/<^, откуда ' Ni Отношение Ni/N? Борн и Борман определяли оптическим методом путем сравнения степеней почернения стеклянных пластинок, установленных на расстояниях* Xi н х2. Опытным путем была также проверена справедливость соотношения (16.22). в. В этом параграфе мы предполагали, что молекулы (или атомы) представляют Собой шарики некоторого диаметра d. В действительности каждый атом (или молеку- ла) представляет собой сложную систему ядер и электронов. Ясно, что такие молекулы соударяются не как шары. Вместе с тем представление о том, что при соударениях каждая молекула имеет некоторый «эффективный» диаметр d и «эффективное» попе- речное сечение nd1/4, оказывается правильным. Эффективное поперечное сечение моле- кул зависит от характера сил взаимодействия между ними. При повышении тем- пературы газа, когда скорости движения молекул увеличиваются, эффективное попе- речное сечение молекул уменьшается. В заключение заметим, что можно определить экспериментально на основе изучения явлений переноса в газах. § 10.7. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах 1. В § 8.3 мы ввели понятие равновесного состояния термодинамической системы. Одним из условий такого состояния является отсутствие в.’системе потоков вещества и энергии. В кинетической теории газов мы рассматривали ДО сих пор газы, находящие- ся в состоянии равновесия. Однако беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные столкновения между ними' приводят к пойЪянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в Тазе существует пространственная ‘ *На самом деле в опыте одновременно экспонировались четыре стеклянные пластинки, установленные друг за другом на равных расстояниях. Каждая из этих пластинок перекрывала только */4 сечения пучка (один его квадрант), так что в совокупности они перекрывали весь пучок. 137
неоднородность плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещении отдельных слоев газа, то происходит самопроизвольное выравнииание этих неоднород- ностей. В газе возникают потоки энергии, вещества, а также импульса упорядоченного движения частиц. Эти потоки, характерные для неравновесных состояний газа, являют- ся физической основой особых процессов, объединенных общим названием явлепА переноса. К этим явлениям относятся теплопроводность, внутреннее трение и диф- фузия. 2. Теплопроводность возникает при наличии разности температур, вызванной какими- либо внешними причинами. При этом молекулы газа в разных местах его объема имеют разные средние кинетические энергии и хаотическое тепловое движение молекул приводит к направленному переносу внутренней энергии газа. Молекулы, попавшие из нагретых частей объема газа в более холодные, отдают часть своей энергии окружа- ющим частицам. Наоборот, медленнее движущиеся молекулы, попадая из холодных частей объема газа в более нагретые, увеличивают свою энергию за счет соударений с молекулами, имеющими большие скорости и энергии. 3. Внутреннее трение (вязкость) связано с возникновением сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными по модулю скоростя- ми*. Со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила. Наоборот, медленнее перемещающиеся слои тормозят более быстро движущиеся слои газа. Силы трения, которые при этом возникают, Рис. 10.11 направлены по касательной к поверхности соприкос- новения' слоев. С молекулярно-кинетической точки зрения причиной вязкости является наложение упоря- доченного движения слоев газа с различными скоро- стями v и хаотического теплового движения молекул. Рассмотрим два слоя А и В газа, движущихся параллельно друг другу со скоростями и vj (рис. 10.11). Благодаря тепловому движению молекулы из слоя В переходят в слой А и «переносят» в этот слой импульсы тоъ своего упорядоченного движения. Если V] > v2, то такие молекулы при столкновениях с частицами слоя А ускоряют свое упорядоченное движение, а молекулы слоя А замедляют. При переходе молекул из быстрее движущегося слоя А в слой В они переносят большие импульсы пцр1 и соударе- ния между молекулами приводят к ускорению упорядоченного движения молекул слоя В. В результате этих процессов переноса импульсов молекул между слоями Ан В воз- никают силы трения, направленные, как уже сказано выше, по касательной к поверх- ности соприкосновения слоев. 4. Диффузней в простейшем случае называется явление самопроизвольного взаимного проникновения и перемешивания частиц двух соприкасающихся газов**. В химически чистых газах при постоянной температуре диффузия возникает вследствие неодинако- вой плотности в различных частях объема газа. Для смеси газов диффузия вызывается различием в концентрациях отдельных газов в разных частях объема смеси. При постоянной температуре явление диффузии заключается в переносе массы газа из мест с большей концентрацией даннгДо газа в места с меньшей его концентрацией. 5. Все явления переноса возникают в газах в результате нарушения полной хаотич- ности движения молекул. Эти нарушения вызваны направленным воздействием на газ, приводящим в случае диффузии к неоднородной плотности, в случае теплопровод- ности к разной температуре в различных частях объема газа. Внутреннее трение связано с тем, что создается упорядоченное движение разных слоев газа с различными скоростями. Нарушение полной хаотичности движения молекул в явлениях переноса сопровож- дается отклонением от максвелловского закона распределения молекул по скоростям. Именно отклонениями от этого закона объясняется направленный перенос массы, импульса и внутренней энергии в газах. Строгий молекулярно-кинетический анализ явлений переноса оказывается весьма затруднительным. В каждом конкретном случае *В жидкостях вязкость возникает таким же образом. •♦Диффузия может происходить также в жидкостях и твердых телах. 138
внепшего воздействия на газ необходимо сначала найти отклонения от максвелловс- кого распределения и лишь затем можно перейти к изучению закономерностей явления переноса, вызываемого этим воздействием. Впервые такой расчет провел Максвелл, основываясь на тщательном анализе динамики молекулярных столкновений. Мы не можем входить в обсуждение строгих методов расчета явлений переноса и ограничимся лишь рассмотрением основных закономерностей этих явлений н их приближенным качественным обоснованием. Из- учение явлений переноса представляет особый интерес в связи с тем, что эти явления позволяют определить опытным путем такие важнейшие характеристики газа, как средняя длина свободного пробега молекул и их эффективный диаметр. § 10.8. Основные уравнения и коэффициенты явлений переноса 1. В химически однородном газе перенос вещества при диффузии подчиняется закону Фюса (1855): , (10.24) Здесь та» — удельный поток массы, равный dm w“=dsZd? где dm — масса вещества, диффундирующего за время dz через площадку dSi, рас- положенную перпендикулярно направлению переноса вещества; р — плотность газа; D — коэффициент диффузии. Формула (10.24) описывает простейший случай одномер- ной диффузии, при которой плотность р есть функция только одной координаты х, т. е. р-р(х). Вещество при этом переносится также только вдоль оси ОХ. Знак минус в формуле (10.24) показывает, что перенос массы при диффузии происходит в направле- нии убывания плотности, т. е. вдоль положительного направления оси Ох при dp/dx<0 и в обратном направлении при dp/dx>0. Учитывая, что р—т^, запишем закон Фика в другой форме: -D (10.24') /И© dX Здесь J — плотность потока молекул при диффузии, равная •_ ^“dSxdt’ где <1л — число молекул, диффундирующих за время dr через площадку d5±. В общем случае трехмерной диффузии, когда плотность р зависит от трех коор- динат х, у и z, т. е. р=р(х, у, z), закон Фика для плотности потока молекул j=-Pgradno, (10.24") где j — вектор плотности потока молекул, модуль которого имеет прежний смысл, а направление совпадает с направлением переноса вещества. 2. Явление теплопроводности в простейшем одномерном случае возникает в газе, температура которого зависит только от одной координаты х, т. е. Т=Т(х). При этом перенос внутренней энергии газа путем теплообмена осуществляется только вдоль оси ОХ и описывается законом Фурье (1822): «б _ „аг Здесь qm -- плотность теплового потока, SQ —7 количество теплоты, которое пере- 139
дается вследствие теплопроводности за время dr через площадку dSi, расположенную йерпсндикулярно направлению переноса внутренней Энергии. Величина К называется теплопроводностью (коэффициентом теплопроводности). Знак минус в формуле (10.25) указывает на то, что при теплопроводности перенос внутренней энергии происходит в направлении убывания температуры. Теплопроводность численно равна плотности теплового потока при dT/dx= 1 К/м, т. е. при единичном градиенте температуры.. В общем случае трехмерной теплопроводности, когда температура является функ- цией трех координат х, у и к, т. е. Г= Т(х, у, z), закон Фурье имеет вид q=—/fgradT. (10.25Э Здесь q — вектор плотности теплового потока, модуль которого имеет указанный выше смысл, а направление совпадает с направлением переноса энергии. 3. Для явления внутреннего трения справедлив закон Ньютона (1687): Л0.26) dv Здесь т — напряжение трения, равное - dF T=dS’ где dF— касательная сила трения, действующая на поверхность слоя площадью dS, a dv — изменение скорости течения газа (жидкости) на расстоянии dn в направлении внешней нормали п к поверхности слоя. Напряжение трения т считается положитель- ным, если сила внутреннего трения, действующая на рассматриваемую поверхность слоя, совпадает по направлению со скоростью v движения газа, т. е. является ускоря- ющей силой для этого слоя. Если сила внутреннего трения тормозит слой, то т<0. Величина v называется динамической вязкостью (коэффициентом внутреннего трения). Она численно равна напряжению трения при условии, что dv/dn=1с-1. Кроме динами- ческой вязкости часто используется понятие к мат косой вязкости: v—tj/p, где р — плотность жидкости (газа). 4. Попытаемся теперь качественно, не претендуя на строгость изложения, рассмотреть явления переноса с молекулярно-кинетической точки зрения. Пусть в одномерной задаче вдоль оси ОХ происходит одно из явлений переноса. Это значит, что существует пространственная неоднородность некоторой физической величины А, характеризу- ющей явление переноса, т.е производная d/1/dx отлична от'нуля. Неоднородность величины А обусловливает ее перенос. Через единицу площади поверхности, перпен- дикулярной оси ОХ, в единицу времени проходит с обеих сторон определенное число молекул. В среднем это число пропорционально произведению по (и), где — сред- няя скорость молекулы. Перенос физической величины А вдоль оси ОХ означает, что молекулы, проходящие через поверхность в одну сторону, имеют бблыпие значения величины А, чем молекулы, проходящие в противоположную сторону. Разность вели- чин А, переносимых в разные стороны, является мерой явления переноса. Обозначим эту меру М(А} и оценим ее. Если средняя длина пробега молекулы (Л), то до прохождения через поверхность молекулы со времени последнего столкновения про- шли в среднем путь <Л>. С точностью до числового множителя М(Л)~иь<и>{Л[х-<2>]-Л[х+<2>]}, (10.27) где х — абсцисса рассматриваемой площади поверхности. Предыдущее выражение можно переписать в другом виде*: —); А [х+<Л>]- jdx/ ♦Из математического анализа известно, что А [х — <Л»=Л (х) — /ая\ =Л (х)+(Л> I — I. Подставляя в (10.27) эти выражения, получим формулу (10.27Э- \dx/ 140 ‘
. Л/(Л)~-2лп<и> <л>(^ ). (1017) \4xJ . z Полученное уравнение называется уравнением переноса. По своей форме оно напомина- ет законы явлений переносу (10.24) (10.26). 5. Применим уравнение переноса (10.27') к явлению теплопроводности. Тогда под А следует понимать кинетическую энергию молекулы, которую можно выразить через удельную теплоемкость сг, массу то молекулы и температуру Т. А = н^—сутоТ. Плот- ность теплового потока d'T Яса---2по <u> <л> ci-mo , . ах Более точное равенство, которое может быть получено в кинетической теории газов, имеет вид Я™ = - 73/w <«> <л> *Т. • (10.25") UX « Сравнивая (10.25) и (10.25"), получаем формулу для теплопроводности газа: К=7э<н><х>е,-р. (10.28) в. Прн внутреннем трении переносимой физической величиной является импульс mot> упорядоченного движения молекулы в слое газа: Л = Тогда уравнение переноса (10.27 ) приводит к закону Ньютона для внутреннего трения. С числовым коэффициен- том он записывается так: (10.263 ал Сравнивая (10 26) и (10.26'), получаем выражение для коэффициента внутреннего трения газа: ч=‘/з<н><А>р. (10.29) В случае диффузии переносимая величина масса то молекулы не зависит от координат, но зато концентрация по молекул изменяется вдоль оси ОХ. Поэтому для диффузии уравнение переноса имеет вид, несколько отличный от (10.273'- /Исег=-7э<и><Л> у. (10.24'") ах Из сравнения (10.24) и (10.24"3 получаем следующую формулу для коэффициента диффузии в газах: D=‘/3<U><z>. (10.30) § 10.9. Некоторые следствия из теории явлений переноса в газах 1. Формулы для коэффициентов переноса показывают, что коэффициенты вну- треннего трения и теплопроводности не зависят от давления газа. Это было .установлено Максвеллом н в свое время вызвало серьезные трудности в признании • молекулярно-кинетической теории газов и ее выводов. Формально дело сводится к тому, что в формулах (10.28) и (10.29) плотность р входит и в числитель, и в знаменатель, поскольку средняя длина .свободного пробега <л> обратно пропорциональна плотности: <х)~1/р. Поэтому коэффициенты переноса К и ц от плотности не зависят. Физически это объясняется -тем, что Для не слишком 141
Рис. 10.12 разреженных газов при неизменной температуре с ростом давле- ния (а следовательно, и плотности) в переносе импульса и внут- ренней энергии принимает участие большее число молекул. Одна- ко каждая из них за счет уменьшения средней длины свободного пробега переносит меньшие импульсы упорядоченного движения или энергии (в случае теплопроводности). Поэтому в целом для всей массы газа перенос импульса и энергии не изменяется. 2. Из формул (10.28) — (10.30) для коэффициентов переноса вытекают простые зависимости между коэффициентами Л7(|/ег)«1, (10.31) из которых следует, что по найденным из опыта значениям коэффициента внутреннего трения, теплопроводности иля диффузии можно определить остальные коэффициенты переноса. На ряс. 10.12 изображена одна из схем опытов по измерению коэф- фициента внутреннего трения газов. Опыт. Металлический цилиндр А подвешен на кварцевой нити внут- ри концентричного ему полого вращающегося цилиндра В. Под действи- ем сил внутреннего трения в газе, заполняющем зазор между цилинд- рами, цилиндр А поворачивается. При этом он закручивает нить на некоторый уго^, пропорциональный действующему на него крутящему моменту. Угол измеряется с помощью зеркального отсчета С. Теоретический расчет позволяет найти коэффициент внутрен- него трения газа, если знать радиусы цилиндров, их высоту, угловую скорость вращения цилиндра В и измерить в опыте крутящий момент, действующий на цилиндр А. В подобных экспериментах было установлено, что уменьшение давления воздуха в 500 раз вызывает изменение коэффициента внутреннего трения только на 4%, т. е. ч действительно не зависит'от давления н плотности. 3. Исследования явлений переноса в химически однородных газах позволяют опреде- лить «эффективный» диаметр d молекул. Из уравнения (10.22) имеем </=>/’/(72лло<Л». Вместо по введем молярную массу М и плотность р: nt>=plmo^pNfJM. Тогда rf=V^/(V2 ^аР <2». (W.32) С другой стороны, из формул для коэффициентов переноса следует . . 3JT Зп Р<2>*тт—р<Л>=—. <u>cr <u> Подставляя эти выражения в уравнение (10.32), получаем d= /. 1-^-. (10.32') ЧЗлДяНьК \3y/2itNM Последние формулы позволяют по известным из опытов значениям коэффициентов переноса и характеристикам газа (средней скорости молекулы при данной температуре, удельной теплоемкости и молярной массе) определить «эффективный» диаметр моле- кул. Для водорода, кислорода, азота, гелия и углекислого газа значения d при О °C составляют (1,64-^2,79)' 10”’° м. 142
4. В заключение приведем сводную таблицу законов и коэффициентов явлений перено- са для одномерного случая (табл. 10.1). Таблица 10.1 Явление Переносимая физическая величина Основной зеков явления перевеса Формула для коэффициента переноса Диффузия Масса dp ‘-Dr- ax Л»‘/в<«ХЛ> Внутреннее трение Импульс do dn Теплопроводность Внутренняя энергия а - jrdT Ч„ —к- § 10.10. Понятие о свойствах разреженных газов 1. Газ, давление которого ниже нормального атмосферного давления, называется разреженным газом. Такое состояние газа называют также вакуумом. Мерой Степени разрежения (вакуума) служит отношение средней длины свободного пробега молекул газа связанной с их взаимными столкновениями в газе, т. е. подсчитываемой по формуле (10.22), и характерного линейного размера I сосуда, в котором находится газ. Различают мзкай вакуум «А> «/), средний вакуум «Л> » I) и высоки* вакуум (<Л> »I). При высоком вакууме молекулы газа пролетают от одной стенки сосуда к другой практически бет столкновений между собой. В этом случае длина свободного пробега молекул определяется размерами и формой сосуда, т. е. не зависит ни от плотности газа, ни от размера его молекул. Некоторые характеристики вакуума различных степеней в вакуумных установках с характерным размером /«0,1 м приведены в табл. 10.2. Таблица 10.2 Характеристика Вакуум визпй средний высокий сверю сокий Давление, мм рт. ст. Концентрация, м“э Зависимость от давления коэффициентов К и ij 760—1 1033 - 10м Не зависят ст давления 1 — 10“а 1032 _ Определяется «гром <А>Д 10 s — 10“* ю»» _ ю»< Прямо пропорцио- нальны по 10“ * и менее 1014 и менее Теплопроводность и вязкость практи- чески отсутствуют 2. Теория явлений переноса, изложенная в § 10.9, основана на предположении о том, что (Л> во много раз меньше линейных размеров сосуда. Поэтому от неприменима к разреженным газам. Уменьшение плотности сильно разреженного газа, не вызывая изменения <Л>, приводит к убыли числа молекул, участвующих в процессе переноса импульса или внутренней энергии. Поэтому коэффициенты внутреннего трения и теплопроводности газа в состоянии высокого вакуума прямо прпппрципия ттыты его плотности. В состоя- ниях сверхвысокого вакуума в газах отсутствует- внутреннее трение, а существует лишь внешнее трение движущегося газа о стенки сосуда. Это связано с тем, что изменение импульса молекул происходит только в результате их взаимодействия со стенками. Сила трения, действующая на единицу площади стенки, в первом приближении пропор- 143
циональна скорости движения газа И его плотности. Такая законо- мерность резко отличается от закона Ньютона (10.26) для внут- реннего трения. 3. Отсутствие соударений между молекулами разреженного газа изменяет характер закономерностей процесса теплопроводности в разреженных газах. Свободно перемещаясь от одной стенки сосуда к другой, молекулы непосредственно обмениваются энерги- ей со стенками, имеющими температуры Т) и Ti- Теплота, отдан- ная (или полученная) за единицу времени, пропорциональна раз- ности температур и плотности газа. Закон Фурье для теплопрово- дности (10.25) здесь неприменим. Особенности процесса теплопро- Рис. 10.13 водности в разреженных газах используются на практике для создания тепловой изоляции. Так, например, для уменьшения теплообмена между телом и окружающей средой тело помещают в сосуд Дьюара. Сосуд Дьюара (рис. 10.13) имеет двойные стенки. Между стенками находится сильно разреженный воздух, теплопроводность которого весьма мала. 4. Не изменяющееся с течением времени стационарное состояние разреженного газа, находящегося в двух сосудах, соединенных узкой трубкой, возможно в том случае, если через единицу площади сечения трубки, перпендикулярного направлению движения частиц, за единицу времени в противоположных направлениях будет проходить одина- ковое число молекул. Пусть nt и rtj — концентрации молекул в обоих сосудах, a (щ) и <»2> — их средние арифметические скорости. Тогда условие стационарного состоя- ния разреженного газа можно записать в форме Л1<«1> = П2<И2>- (10.33) Но, согласно (8.8) и (10.14), п—рЦкТ) и <и>=>/8ЛТ/(ют0). Подставив эти выраже- ния в формулу (10.33), получим уравнение, выражающее эффект Кнудсена: PxlP2=VT^T2, (10.33Э где pi ирг — давления разреженного газа в обоих сосудах; Т\ и Тг — температуры газа в сосудах. §10.11. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы 1. В этом параграфе мы снова остановимся на некоторых общих вопросах, связанных с применением статистического метода в молекулярной физике. Особое значение имеет закон распределения энергии по степеням свободы. Числом степеней свободы тела называется наименьшее число координат (число независимых координат), которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. Например, материальная точка, свободно движущаяся в пространстве, имеет три степени свободы: координаты х, у hz. Материальная точка, движущаяся на плоскости, имеет две степени свободы: координаты х и у. Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы: его положение в пространстве определяется тремя координатами центра масс, двумя координатами, определяющими положение в пространстве опреде- ленной оси, проходящей через центр масс и какую-либо другую фиксированную точку тела, и, наконец, углом поворота тела вокруг этой оси по отношению к некоторому начальному положению. Таким образом, абсолютно твердое тело обладает тремя степенями свободы поступательного движения и тремя степенями свободы вращатель- ного движения. Если тело не абсолютно твердое и его части могут смещаться друг относительно друга, то необходимо рассматривать дополнительные степени свободы колебательного движения. 2. Молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, потому что практически вся масса такой частицы сосредоточена в атомном ядре, 144
размеры -которого весьма малы. Такая молекула (точнее, атом) имеет' три степени свобода поступательного движения. Бе средняя кинетическая энергия равна кинетичес- кой энергии молекулы, движущейся со скоростью, равной средней квадратичной скоро- сти: Заменив «х, по формуле (10.2), получим Средняя кинетическая энергия, приходящаяся .на одну степень свободы молекулы, например на движение вдоль оси ОХ, равна <*Ржо>=^ £ < (10.34) так как движение вдоль этой оси происходит только за счет составляющей вектора- и, скорости г-й молекулы газа. В силу полной хаотичности теплового движения молекул газа все направления этого движения равновозможны и одинаково вероятны. Поэтому в очевидном равенстве все три слагаемых правой части в среднем одинаковы, поэтому N « N Уравнение (10.34) теперь дает <^ko>=73<»;>. (10.35) т. е. в среднем на каждую степень свободы поступательного движения одноатомной молекулы приходится одинаковая кинетическая энергия (ГГю), равная 1/з (JFK>. Из соотношения (10.6) следует, что (W^y^lJcT. (10.36) 3. Двух-, трех- и многоатомные молекулы нельзя рассматривать как материальные точки. Молекула двухатомного газа в первом приближении представляет собой два жестко связанных атома А и В, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Такая молекула напоминет гимнастическую гантель с невесомой ручкой (рис. 10.14). Она помимо трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы,, вращательного движения вокруг осей Oi'— Ot и От — От. Вращение вокруг , третьей оси О' —О' не рассматривается, так как момент инерции атомов относительно этой оси очень мал и, следовательно, весьма мала кинетическая энергия молекулы, связанная с этим вращением. Молекулы, состоящие из трех (и более) жестко Связанных атомов (рис. 10.15), имеют, подобно абсолютно твердому телу, шесть степеней свобо- ды: три степени свободы поступательного движения и три степени свободы вращатель- ного движения. 145
Какой же вклад вносят дополнительные степени свободы вращательного движения в среднюю кинетическую энергию молекулы? Ответ на этот вопрос дает важнейший закон статистической физики — закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная 'ЦсТ. Другими словами, в среднем на любую степень свободы сложной молекулы прихо- дится такая же кинетическая энергия, как и на одну степень свободы молекулы одноатомного газа при той же температуре. Следовательно, средняя кинетическая энергия молекулы, имеющей i степеней свободы, равна <»;>=^Т. (10.37) 4. Модель молекулы в виде жестко связанных атомов является чрезмерно упрощен- ной. Во многих случаях приходится учитывать возможность относительных смещений атомов в молекуле, т. е. вводить в рассмотрение колебательные степени свободы. Например, нежесткая двухатомная молекула (см. рис. 10.14) имеет одну колебательную степень свободы, а нежесткая трехатомная молекула — три колебательные степени свободы. При колебательном движении молекула имеет и кинетическую WT, и потенци- альную Wn энергии. Если колебания гармонические, то в среднем эти энергии равны друг другу. Таким образом, в соответствии с законом равномерного распределения энергии средняя полная энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы моле- кулы, равна <И'0> = <И'в0> + <И'10> = 2<И'ж0>=ЛГ. (10.38) Она вдвое превышает среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы поступательного или вращательного движения молекулы. 5. Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинетическую энергию его молекул. Для одного моля Un^W^N^kTN^RT (10.39) Как видно, внутренняя энергия идеального газа зависит линейно от термодинамичес- кой температуры Т газа и от числа степеней свободы его молекул. В реальных газах внутренняя энергия включает в себя также еще и потенциальную энергию молекул, обусловленную межмолекуляриыми взаимодействиями между ними. Потенциальная энергия зависит от среднего расстояния между молекулами, т. е. от удельного объема газа и от характера сил межмолекулярного взаимодействия. Поэто- му внутреннюю.энергию реального газа нельзя найти на. основе одного только закона равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул. § 10.12. Классическая теория теплоемкостей идеальных газон й ее трудности 1. Классический статистический метод изучения тепловых свойств веществ позволил теоретически вычислить теплоемкости газов и твердых тел (см. § 41.8). Вместе с тем именно в проблеме теплоемкостей в полной мере обнаружились недостатки и затрудне- ния классического статистического метода, потребовавшие пересмотра некоторых основных его положений, изложенных в § 10.1. 2. Молярные теплоемкости Су и CF для идеального газа легко найти из уравнения (10.39), если учесть, что, согласно (9.9) и (9.13), Cy=dUm/dT, a C,= Cy+R. Таким образом, 146
г у- г а+2)я М'=-£, 4,= 2 (10.40) Подставляя в (10.40) значения универсальной газовой постоянной, получаем: Ср=р4,16/Дж/(мольК)«/ кал/(моль-К), ‘ С,=4,16 0+2) Дж/(моль.К)«(/+2) кал/(моль-К). Соответственно, показатель адиабаты для идеального газа равен Ж =£i, Су (10.41) В частности, для одноатомного (i=3), двухатомного (f=5) и многоатомных (/=6) газов показатель адиабаты имеет соответственно следующие значения: 1,67; 1,40; 1,33. ** Предположение, что молекула двухатомного газа имеет пять степеней свобода — три посту- пательного и две вращательного движения,— основывается на том, что вращение молекулы вокруг осн, проходяще* через атомы, не вносит вклада в энергию и теплоемкость ввиду малости момента инерции атомов при таком вращении. Однако такое рассуждение противоречит закону равномерного распределеиия кинетической энергии по степеням свобода: формула (10.37), его выражающая, не содержит момента ннерцш. Эта трудность классической теории теплоемкостей, как я другие трудности, преодолена в квантовой теории теплоемкостей. Для сравнения теории с данными экспериментов в табл. 10.3 приведены найденные из опытов значения молярных теплоемкостей некоторых газов. Таблица 10.3 Газ Темпе- ратура. •Cz Су Ср Ж 1 Цж/(маль-К) я*д/(моль-К) Цж/Ыаш.К) кжл/(ыаль-К) Гелий 13 12,6 3,00 20,9 3,00 1,66 3 Неон 13 12,5 2,99 20,9 3,00 1,67 3 Водород 0 20,3 4,85 28,6 6,83 1,41 5 Азот 0 20,8 4,97 29,1 6,95 1,40 5 Кислород 0 21,0 3,01 29,3 6,99 1,39 3 Оксид углерода 0 20,8 4,97 29,1 6,96 1,40 3 Диоксид углерода 0 27,6 6,38 33,8 8,56 1,30 6 Пары вода 0 25,2 6,02 33,5 8,00 1,33 6 Метан 0 26,4 6,31 34,8 8,30 .1,32 6 Пары бензола 0 65,4 . 15,61 73,7 17,60 1,13 6 Пары этилового спирта С2Н5ОН 0 61,8 14,75 70,1 16,74 1,13 6 Из табл. 10.3 видно, что в ряде случаев теоретические значения молярных теплоем- костей Су и Ср хорошо согласуются со значениями, полученными экспериментально. ! Однако из этой же таблицы видно, что для словсных молекул типа CaH« и CjHjOH результаты теории и опыта сильно различаются. 3. Классическая теория теплоемкостей газов приводит к серьезным расхождениям с опытными данными. Прежде всего теория приводит к выводу о независимости теплоемкости от температуры, в то время, как данные экспериментов показывают, f что для всех веществ, в том числе и для газов, теплоемкость растет с увеличением ! температуры, а при достаточно низких термодинамических температурах быстро убывает с понижением температуры и стремится к нулю при Т-*0 К. Классическая теория теплоемкостей дает заниженные значения теплоемкостей многоатомных газе» по сравнению с опытными данными при средних и высоких температурах. Введение 147
колебательных степеней свободы в рамках классического закона о равномерном рас- пределении энергии по степеням свободы не устраняет расхождения между теорией и экспериментом. Причина всех этих трудностей заключается в ограниченной пригод- ности закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. В квантовой теории теплоемкостей все эти трудности преодолены. Вопросы: 1. Дайте общую характеристику классической статистической физики. 2. Почему формула для давления идеального газа на стенки сосуда одинакова для упругого и неупругого столкновений молекул со стенкой? 3. Какие предположения делаются в законе распределения молекул по скоростям и кинетичес- ким энергиям теплового движения? 4. Как экспериментально подтверждается этот закон? 5. Как объяснить физический' смысл независимости динамической вязкости газов от их плот- ности? 6. Применимо ли к разреженным газам уравнение состояния идеального газа? 7; В чем состоят трудности классической теории теплоемкостей идеального газа?
Глава 11________________________________ Второй закон термодинамики §11.1. Обратимые и необратимые процессы 1. В этой главе мы вновь обращаемся к термодинамическому методу изучения физи- ческих явлений. Дело в том, что .для описания термодинамических процессов одного первого начала термодинамики недостаточно. Выражая всеобщий закон сохранения и превращения энергии, первое начало не позволяет определить направление протека- ния процессов. В самом деле, процесс самопроизвольной передачи теплоты от холод- ного тела к горячему не противоречит первому закону термодинамики, если только уменьшение внутренней энергии первого тела равно энергии, шщученной вторым телом. Однако опыты показывают, что такой процесс не происходит. Например, при опускании раскаленного куска железа в холодную воду никогда не наблюдается дальнейшее нагревание железа за Счет соответствующего охлаждения воды. Далее мы увидим, что ограниченность первого начала состоит не только в этом. Обобщение огромного экспериментального материала привело к необходимости расширения тер- модинамики. Было сформулировано второе начало (второй закон) термодинамики, позволившее превратить термодинамический метод исследования физических явлений в один из самых мощных методов, применяемых в физике. Однако для того чтобы можно было перейти к изучению второго закона термодинамики, необходимо рассмот- реть предварительно целый ряд вопросов. 2. Прежде всего необходимо расширить представления о термодинамических процес- сах. Введем понятие обратимого процесса. Термодинамический процесс, совершаемый системой, называется обратимым, если после него можно возвратить систему и все взаимодействовавшие с ней тела в их начальные состояния таким образом, чтобы в других телах не возникло каких-либо остаточных изменений. Другими словами, при обратимом процессе система может возвратиться в исходное состояние так, что в окружающей ее среде не останется никаких изменений. Процесс, который не удовлет- воряет вышеуказанному условию, называется необратимым процессом. В термодинамике доказывается, что необходимое условие обратимости термодина- мического процесса — его равновесность, т. е. всякий обратимый процесс всегда является равновесным (квазисгатичес- ким). Однако не всякий равновесный процесс обязательно обратим. Напри- мер, квазистаТический процесс равно- мерного движения тела по горизон- тальной шероховатой поверхности под действием взаимно уравновешива- ющихся сил тяги и трения — процесс необратимый. 3. Примером обратимого процесса могут служить незатухающие колеба- ния, которые совершает в вакууме те- ло, подвешенное на абсолютно упру- гой пружине. На рис. 11.1 .показаны положения колеблющегося тела в раз- ные моменты времени. Система те- ло — пружина является консерватив- ной. Ее механические колебания не вызывают изменения энергии тепло- 149
J 11.2. Крутоаыа процессы. Цикл Карно

7) (Г1< = Г1), адиабатного расширения Г — 2, изотермического сжатия 2 — 2' при температуре Т2 и адиабатного сжатия 2—.L Практически прямой цикл Карно можно представить себе происходящим следующим Образом. Газ, заключенный в цилиндре с подвижным поршнем, в процессе изотермического расширения 1 — Г находится в тепловом контакте и равновесии с телом, имеющим температуру Т\. Это тело называется нагревателем (теплоотдатчиком). Им может быть большой резервуар с водой. В процессе 1 — Г нагреватель передает газу теплоту >0)- Теплоемкость нагревателя, строго говоря, должна быть бесконечно большой? Иначе отдача газу теплоты Qt вызвала бы понижение температуры нагревателя, а следовательно, и нару- шение изотермичности процесса расширения газа 1 — /'.В процессе Г — 2 газ полно- стью теплоизолируют и его расширение происходит адиабаТно. Для этого необходимо на участке Г — 2 цикла разобщить газ с нагревателем и заключить в адиабатную оболочку, например покрыть цилиндр с газом толстым слоем войлока. На участке 2 — 2 газ приводится в тепловой контакт с другим телом, имеющим температуру Т2 (Т2< Ti). Оно называется холодильником (теплоприемником). В процессе 2 — 2 газ изотермический сжимается и передает холодильнику теплоту — Q2 (если считать, что 0 есть теплота, получаемая газом от холодильника, т. е. Q2<Q). В состоянии 2 газ снова полностью теплоизолируется и адиабатно сжимается до первоначального состо- яния 1, где цикл Карно завершается. 5. Работа, которую совершает рабочее тело в прямом цикле Карно, на основании уравнения {11.1) равна л=е=е1+е2=й-1С2|. (и-э Из этой формулы видно, что А <бь т. е. при совершении рабочим телом цикла Карно полезная работа меньше энергии, полученной в форме теплоты от нагревателя, на количество теплоты, переданное холодильнику. Этот результат справедлив для любого прямого кругового процесса: работа А, совершаемая за прямой цикл, всегда меньше количества теплоты Опп™, подводимого к рабочему телу всеми нагревателями. Величина, равная отношению работы А, совершенной рабочим телом в прямом обратимом цикле, к количеству теплоты бтд» сообщенному в этом процессе рабочему телу нагревателями, называется термическим коэффициентом полезного действия цикла:’ tl=A/Qmpf (П-3) Термический КПД характеризует экономичность цикла теплового двигателя. Предположим, что идеальный газ совершает прямой цикл Карно. Для такого цикла, согласно формуле (11.2), Л=6|+С2, а 2под«=2ь Термический КПД этого цикла по формуле (11.3) имеет вид В § 11.4 будет доказано, что цц зависит только от температур нагревателя и холо- дильника и определяется выражением »к=^Д2==1-₽- T1 п Из двух последних формул следует, что для прямого цикла Карно справедливо соотношение . , . 61 + б2_Г1-Г2 „. __ & с .‘4 ИЛИ , f ^+^=0. (П-5*) л т2 152
в. В обратном цикле Карво (рис. 11.4) количест- во теплоты Qi отводится оттаза в процессе Г — 1 изотермического сжатия при температуре Т\, а количество теплоты Qi подводится к газу в процессе 2' — 2 изотермического расширения при температуре Тг<Т\. Следовательно, Qi<0, Q2>$ и работа А, совершаемая газом за один цикл, отрицательна: A=Qi + Q2<0. Этот вывод справедлив для. любого обратного цикла. Если рабочее тело совершает обратный цикл, то при этом осуществляется передача теплоты от хо- лодного тела к горячему за счет совершения внешними силами соответствующей работы. По такому принципу работают многие холодиль- рис 114 ные установки. Величина, равная отношению теплоты Q<m, отведенной в обратном цикле от охлаждаемого тела, к работе А', затраченной в этом цикле, называется холодильным коэффициентом: в—Qon/A. (П.6) В частности, для обратного цикла Карно Сот»=21> А'— — А= — (21 + 2г)=I2il~ Сг, а связь между Qi и Q2, как и в прямом цикле Карно, выражается соотношением (11.5"). Поэтому холодильный коэффициент обратного цикла Карно равен (11б) IC1I-W2 П-22 §11.3. Энтропия 1. Помимо внутренней энергии, с которой мы уже ознакомились, в термодинамике широко пользуются и Другими функциями состояния термодинамической системы. Особое место среди них занимает энтропия. Пусть 6Q — элементарное количество ‘теплоты, сообщаемое нагревателем системе при малом изменении ее состояния, а Т — температура нагревателя. Если процесс обратимый, то температура системы тоже равна Т. Можно показать, что в отличие от 6Q отношение 5Q)T в обратимом процессе есть полный дифференциал функции состоя- ния системы, называемой энтропией S' системы: (11.7) Таким образом, в обратимом процессе температура Т является интегрирующим делителем, который обращает элементарную теплоту 3Q в полный дифференциал dS*. 2. Для того чтобы определение энтропии с помощью соотношения (11.7) было обосно- ванным, необходимо доказать, что в любом обратимом круговом процессе интеграл от 6Q/T тождественно равен нулю: . (118) обр Не приводя общего доказательства справедливости этого тождества, мы ограни- чимся частным случаем: рассмотрим систему, представляющую собой идеальный газ. Из первого начала термодинамики для идеального газа (9.8') следует, что 6Q \ _т Т /обр М Cv&^+PiV. т т 153
Заменим отношение р/Т по уравнению Клапейрона — Менделеева: 6QА , Т/сБр М dT „ - + Л Т (11.9) В обратимом процессе перехода идеального газа из состояния 1 в состояние 2 интеграл от &Q/T не зависит от вида процесса перехода / — 2: к?) о*’-’ J \ " /обр м \ J Т J у) М.\ Ti ViJ В частности, если процесс круговой, то Т2— Т\ и У= У, так что для идеального газа справедливо тождество (11.8). 3. Из (11.7) и (11.9) следует, что дифференциал энтропии идеального газа равен dS=* I Су + Л )= (Crdln Г+fldln Г)- (11.Ю) Так как для постоянного количества идеального газа pF/T^const, то dlnp+dln V— din Г==0. Поэтому выражение (11.10) для энтропии идеального газа можно также переписать в следующих двух эквивалентных ему формах: ds=* [(cr+/?)dinr-j?dinp]=2 (cr dp\ (ii.io) M •** \ * P 7 dS= " Kc> + *)d In V+ Cyd lnp)= “ ( C, %+Cy Ap M M \ , V p (11.10я) 4. Из (11.7) видно, что dS и 6Q имеют один и тот же знак. Это позволяет по характеру изменения энтропии судить о направлении процесса теплообмена. При нагревании тела SQ>0 и его энтропия возрастает (d$>0), при охлаждении 50 <0и.энтропия тела убывает (d5<0). В обратимом адиабатном процессе ^2=rdS=0, так что dS=0 и S=const. Таким образом, обратимый адиабатный процесс представляет собой мзоэв- троошный процесс. 5. Энтропия, подобно внутренней энергии, аддитивная функция состояния системы:, энтропия системы равна сумме энтропий всех тел, входящих в состав системы. В тер- модинамике доказывается, что энтропия изолированной системы в любом обратимом процессе не изменяется. Дело в том, что при передаче теплоты 5Q от тела 1 к. телу 2 в обратимом процессе температуры обоих тел одинаковы. Поэтому изменение dS2 энтропии тела 2, получа- ющего теплоту 5Q, равно и противоположно по знаку изменению dSt энтропии тела /, отдающего теплоту 5Q: dS=dS|+dS2=0. § * § 11.4. Термодинамическая диаграмма Т — 5 и ее применение 1. При изучении термодинамических процессов и некоторых общих вопросов термо- динамики широко используется Т S-диаграмма, в которой по осям абсцисс и ор- динат отложены соответственно энтропия S и термодинамическая температура Т рас- сматриваемого тела (системы). Ценность этой диаграммы легко понять из рассмотре- I54
ния некоторого обратимого процесса, который в этой диаграмме изображается линией DE (рис. 11.5). Из (11.7) следует, что* oQ=TaS. На диаграмме Т — S элементарная теплота 5Q изоб- ражается площадью, закрашенной на рис. 11.5. Коли- чество теплоты Qde, сообщаемое системе в процессе DE, пропорционально площади фигуры SdDESe (коэф- фициент пропорциональности зависит от выбора мас- штабов по осям координат): в JrdS. (11.11) о я. Рис. 11.5 2. Формулы (11.10) и (11.10') позволяют найти связь между температурой и энтропией идеального газа в четырех простейших его процессах и построить соответствующие им линии в Т — S-диаграмме. Пусть точка О в диаграмме Т — S изображает начальное состояние идеального газа (рис. 11.6). Прямая Г — 1, проходящая через точку О парал- лельно оси абсцисс, соответствует изотермическому процессу: 0 — 1 — изотермичес- кое расширение (теплота подводится, так что dS>0), 0 — Г — изотермическое сжатие (теплота отводится, так что dScO). Прямая 2' — 2, проходящая через точку О парал- лельно оси ординат, изображает адиабатный (нзоэнтропийный) процесс: 0 — 2 — ади- абатное сжатие (dT>0) и 0 — 2' — адиабатное расширение (dFcO). ш dP В изохорном процессе, как видно из (11.10), dS=— Су—. Поэтому в конечном изохорном процессе 0 — 3 МТ Д5Ь-э=5(Э)-5(0)=^Сг1п J. М То Изохорный процесс показан на рис. 11.6 линией 3' — 3:0 — 3 — изохорное нагре- вание (dS>0 и dT>0), 0 — 3' — изохорное охлаждение (dS<0 и dT<0). В изобарном процессе, как видно из первого соотношения (11.10'), — и в конечном изобарном процессе 0 — 4 МТ ASo_4=S(4)-S(O)=” С,1п £ М То Так как Cf>Cv, то изобарный процесс по- казан линией 4' — 4, идущей положе изохоры 3’ — 3. Изобарному расширению газа соответ- ствует участок изобары 0 — 4 (dS>0 и d7>0), и изобарному сжатию — участок 0 — 4' (dS<0 и dT<0). 3. На рис. 11.7 изображен в Т — S-диаграмме произвольный (обратимый!) прямой цикл abeda. Состояния вис соответствуют наимень- шему (Swn) и наибольшему (£шс) зна- чениям энтропии рабочего тела в цикле. В про- цессе abc теплота подводится: (?иод»= = J TdS>0, а в процессе tda -г- отводится: abc *В этом параграфе, если нет специальных оговорок, рассматриваются обратимые процессы. Потому индекс «обр» в формуле (11.7) опущен. 155
Рис. 11.7 Рис. 11.8 Qtrr*^ I 7'dS<0. Работе за цикл Л=бП0да+бО1> соответствует площадь цикда, т. е. eda X площадь, ограниченная замкнутой кривой abeda процесса: Л=ФТ<1Х>0. Термичес- кому КПД rj цикла по формуле (11.3) соответствует отношение площади цикла к площади под кривой abc. A у/пЯДВ J * Им Прямой цикл Карно независимо от природы рабочего тела изображается в Г — S- диаграмме в виде прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат (рис. 11.8). Из рисунка и формулы (11.12) следует, что термический КПД цикля Карно равен и -№-Та)№-Д1)_ Т1-Гг Чк= T^Si-Sd Ti * (11.12') Таким образом мы доказали важное положение термодинамики, называемое те- оремой Карно: термический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя и холодильника. Теорема Карно и формула (11.5") служат основанием для установления термодина- мической шкалы температур. Из (11.5") имеем Г2_ е2_1ег1 61 бГ Таким образом, для сравнения температур 7\ и Тг двух тел нужно осуществить обратимый цикл Карно, в котором эти тела являются нагревателем и холодильником. Отношение температур тел равно отношению абсолютных значений количеств тепло- ты, отданных или полученных телами в этом цикле. По теореме Карно, химический состав рабочего тела, осуществляющего цикл, не влияет на результаты сравнена! температур. Поэтому установленная таким образом термодинамическая шкала тем- ператур не связана со свойствами какого-либо определенного термометрического тела. В этом состоит большое достоинство такой шкалы. Однако вследствие необратимости реальных термодинамических процессов такой способ сравнения температур прак- тически неосуществим и имеет лишь принципиальное значение. 4. Докажем с помощью Т — S-диаграммы теорему о том*, что термический КПД i/обр любого обратимого цикла не может превосходить термический КПД Чк циквд •Она составляет вторую часть теоремы Карно. 156
Карно, проведенного между экстремальны- ми температурами рабочего тела в рассмат- риваемом цикле; т. е. при Т| = Тмахс и Г2=ТМНИ- На рис. 11.9 изображены обратимый цикл abcda и соответствующий ему цикл Ка- рно 1-T-2-Z-1, проведенный между макси- мальными и минимальными значениями те- мпературы и энтропий. Рабочее тело совер- шает в цикле abcda работу А, которой соот- ветствует площадь цикла: А = (Тмахс Тмин) (*^макс ^мии) РИС. 11.9 (Л| + Л2 + Л3 + Л4), где работам At, А2, Аз, А4 соответствуют площади криволинейных треугольников, закрашенных на рис. 11.9. Количество теплоты Quoub, переданное за цикл рабочему телу нагревателями, соответствует площади под кривой abed: Q ИОД В— 'ZfAUXC (^МКХС ^МИн) (At~t~A2)‘ Термический коэффициент полезного действия цикла найдем по формуле (11.3): __ *А ____ (Тмихс Тмин) (^'макс ^мин) ____ (Л[ 4-Л2 4-Л4) С?иодв 7махс(5мии:--5МИ11)--(Л|+Л2) Тмаю: (SMaxc *5МИН) — (А| + Л2) (11.13) Выражение (11.13) можно преобразовать: т _ т 1—к »7обр= . (П-13) 1 макс 1—к Здесь Л1+Л2 + Л3+Л4 ( Тмакс — Тмин) (^макс — *^мин) fc'= At+A2 Zmiuk GSmhjcc ^мин) * причем к>к\ так что (1 — £)<(! —к’). Таким образом, из (11.13') следует, что Тмакс- Тмин * макс Мы доказали сформулированную выше теорему: »;о6р<»/к=7'м“;_Гмин. (11.14) а махе S. Необратимые процессы ввиду их неравцовесности нельзя изображать в какой-либо диаграмме состояния. Это сильно осложняет исследование необратимых процессов и циклов. Обычно на практике нужно знать интегральные характеристики необ- 157
Рис. 11.10 ратимого процесса, который переводит рабочее тело из состояния Ci в состояние С2, т. е. знать, какая работа АжЯр совершена телом и ка- кую теплоту 2жюв₽ оно получило. Поэтому необ- ратимый процесс может быть заменен «эквива- лентным» ему обратимым' процессом Ct—С2. Для этого обратимого процесса нужно потребовать, чтобы совершаемая телом работа А и полученное им количество теплоты Q были равны соответст- венно Ламе,, н бжюбр: Л = Лавовр, в=вяеобр- Удобство такой замены состоит в том, что «эк- вивалентный» обратимый процесс может быть из- ображен'в термодинамических диаграммах. Таким образом удастся условно изобразить любой необратимый процесс. Нужно, однако, иметь в виду, что в действительном необратимом процессе рабочее тело- проходит не через те состояния, которым соответствуют промежуточные точки кривой, «изоб- ражающей» этот процесс на диаграмме. \ в.. Можно доказать, что термический КПД любого необратимого цикла всегда меньше коэффициента полезного действия цикла Карно, протекающего между двумя «источ- никами теплоты» с температурами, равными экстремальным значениям температур «источников теплоты», участвующих в осуществлении необратимого цикла: Ч^<Тм^,~Т,т. > (11.15) 'MUC Покажем справедливость соотношения (11.15) на примере необратимого прямого цикла abeda, состоящего из двух изотермических процессов ab и cd и двух изоэитропий- ных адиабатных процессов be и da (рис. 11.10). Пусть необратимость этого цикла обусловлена только тем, что в процессах ab и cd теплообмен между рабочим телом и «источниками теплоты» происходит при конечных разностях температур. Температу- ра нагревателя, используемого в процессе ab, Ti — Ta+&Ti>Tn а температура холо- дильника, используемого в процессе cd, Т2= Ге—ДГ2< Те,.где АТ) и ДГ2 — положитель- ные величины. Термический КПД цикла abeda равен A (Te-T^Sc-S^ Тс Т2+ЬТ2 Ci»»= T'(SC-SJ Тв Tj-ATi’ т. е. в соответствии с (11.15) (11.16) § 11.5. Второй закон термодинамики 1. В § 11.1 мы уже говорили, что первый закон термодинамики не позволяет устано- вить направление протекания процессов. Он не исключает возможности такого процес- са, единственным результатом которого было бы превращение теплоты, полученной от некоторого тела, в эквивалентную ей работу. Например, первое начало допускает построение периодически действующего двигателя, совершающего работу за счет охлаждения одного источника теплоты (например, за счет внутренней энергии оке- анов). Такой двигатель называется вечмш двигателем второго рода. Обобщение огром- 158
кого экспериментального материала привело к выводу о невозможности построения вечного двигателя второго рода н получило название второго займа (второго начала) термодпиамикв. 2. Существует несколько эквивалентных друг другу формулировок второго закона термодтпишки. Приведем две из них, принадлежащих соответственно Р. Клаузиусу (1850) и У. Томсону (1851): 1) невозможен процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от холодного тела к горячему; 2) невозможен процесс, единственным результатом которого является совершение работы за счет охлаждения одного тела. Для доказательства эквивалентности этих двух формулировок нужно показать, что из отрицания справедливости первой из этих формулировок следует отрицание справе- дливости второй формулировки, и наоборот. Предположим, что неверна первая формулировка второго закона, т. е. существует такой JT-процесс, единственный результат которого состоит в передаче теплоты от холодного тела к горячему. Возьмем тогда два тела: первое с температурой 7\ и второе с температурой Ti<Ti. Осуществим идеальный тепловой двигатель, работающий по прямому циклу Карно и использующий упомянутые тела в качестве нагревателя и холодильника.'За один цикл рабочее тело получает от нагревателя количество теплоты Qi, передает холодильнику количество теплоты \Qi] и совершает работу A=*Qi — |Сг|- Если затем с помощью У-процесса передать теплоту IQalот холодильника обратно нагревателю, то удастся осуществить процесс, противоречащий второй фор- мулировке второго закона термодинамики: единственным результатом этого процесса будет совершение работы за счет равной ей теплоты, полученной от нагревателя. Предположим теперь, что неверна вторая формулировка второго начала термоди- намики, т..е. существует такой К-процесс, единственный результат которого состоит в совершении работы за счет соответствующего охлаждения одного тела. Тогда осуществим идеальную холодильную установку, работающую по обратному циклу Карно между телами с температурами Ti и 7г < Т}. За одни цикл рабочее тело заберет у тела с меньшей температурой теплоту Q? и передаст телу с большей температурой теплоту |&i|. На привод этой установки нужно затратить за один цикл работу Л'=|(?1|—Qi, которую можно получить с помощью У-процесса за счет равной ей теплоты, забираемой у тела с температурой 7). В результате совершения цикла и У-процесса будет осуществлен процесс, противоречащий первой формулировке вто- рого закона термодинамики: единственный результат этого процесса — передача теп- лоты Qz>0 горячему телу от холодного. 3. Рассмотрим еще одну формулировку второго закона термодинамики: энтропия изолированной системы не может убывать при любых происходящих в ней процессах: dS>0, (11.17) где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак больше — к необ- ратимым процессам. 4. Мы не будем приводить доказательство эквивалентности этой, третьей, фор- мулировки двум предыдущим, а ограничимся рассмотрением лишь некоторых приме- ров, подтверждающих правильность соотношения (11.17). Првмер 1. Необратимый процесс теплообмена между двумя телами, образующими изо- лированную систему. Пусть начальные температуры тел равны Т\ и 72<7i, а теплоемкости тел ради простоты будем считать одинаковыми и равными С. В соответствии с первой формулиров- кой второго начала термодинамики при теплообмене первое тело отдает .теплоту, а второе — * получает. Процесс теплообмена прекращается, когда температуры тел становятся одинаковыми равными ?з. 159
Из первого закона термодинамики следует; что C(Ti—Гз)=С(Гз—ТЦ, откуда Г3= —'/jCT'i + T’z)- Изменения энтропий первого тела при его остывании и второго тела при его нагревании можно найти, мысленно заменив эти необратимые процессы соответствующими обратимыми процессами: г, '.т, f 6g Гаг г3 Д5| = = С —=С1п±2 Jr Jr Г/ г, Г, т. г, „ fag /аг Гз &S2= I -£-С — -=С1п —. Jr Jr r2 г, т, Изменение энтропии системы равно сумме изменений энтропий обоих тел: А5=Д51 4-Д$2 -=С (in ^4-ln “'j’Cln It=Cln \ Г1 TiJ TtT2 4TiT2 (11.18) Так как (Т1 + Т&-4Т1Т2=(7\-Т2?, то А5>0. Пркиер 2. Необратимый процесс смешения двух различных идеальных газов, образующих изолированную систему. Пусть первоначально один газ массой да3 находится при давления ра и температуре Го в сосуде объемом Fj, а другой газ массой ш2 находится при том же давлении ро И той же температуре Го. в сосуде объемом У2 (рис. 11.11, а). Сосуда теплоизолированы и соединены трубкой с закры- тым краном Я. Если кран открыть (рис. 11.11, б), то газы перемешаются: каждый из них распределится по всему объаау Fi4-F2. Очевидно, что при этом температура и давление в сообщающихся сосудах не изменятся, т. е. останутся равными Го и рц. Для нахождения изменения энтропии каждого из га- зов в рассматриваемом процессе подставим в выражение (11.7) для.дифференциала энтропии выражение для 6g. из первого начала термодинамики (9.8): ; , dt/4-pdF в да dF 1 d5-----g----£dF=-/?—, (11.19) Г Г. М V так как в рассматриваемом процессе температура, а следовательно, и внутренняя энергия каждого из идеальных газов не изменяется. Таким образом, изменение энтропии при еьдачмАии газов K1+F, Н + к, Mi J F М2 J V Fi М2 F2 J 1 1 Пример 3. Изменение энтропии изолированной системы, совершающей необратимый цикл abcda, изображенный на рис. 11.10 и рассмотренный в конце § 11.4. Система состоит из рабочего тела, нагревателя и холодилыпдя с темпызатурами Г] и Т2<Т\, а также «потребителя рабо- ты» — тела, которое обменивается энергией с рабочим телом только путем совершения работы. Роль «потребителя работы» может играть, например, упругая пружина или груз, поднимающийса и опускающийся в поле тяготения у поверхности Земли. Изменение энтропии системы при совершении рабочим телом цикла abcda равно в Д5рт 4-4-A -f-Д*Уцр, где ASpp — изменение энтропии рабочего тела; Д5Х и Д5Х — изменения энтропий нагреватен и холодильника; — изменение энтропии «потребителя работы». Рабочее тело, Соверши, цикл, возвращается в исходное состояние, поэтому Д5^т=0. Изменение энтропии «потребили работы» тоже равно нулю, так как оно получает энергию только в форме работы. ИзыенеякК энтропий нагревателя и холодильника в необратимых изотермических процессах db и cd равны 160
Л5н=-^аА и Д5Х=-^К 71 Тг где Qa> и Qd — количества теплоты, полученные рабочим телом в процессах ab и с<?. Из рис. 11.10 видно, что Qab=Ta(Sc—И Qcd~Fc{Sg—fl^₽)<0. Таким образом, изменение энтропии системы за один цикл Д5=Д5и+Д5х=(5е-5в) так как Sc>Sa, ТС>Т2 и Та<Т\. 5. Из определения энтропии (11.7) следует, что количество теплоты, сообщенное рабочему телу при малом обратимом изменении его состояния, SQ=TdS, (11.21) где Т — температура рабочего тела. В случае необратимого процесса равенства (11.7) и (11.21) превращаются в неравенства . dS>y, (11.7') 6Q<TdS, (11.21') где Т — температура того «источника теплоты», который сообщает рабочему телу количество теплоты &Q в процессе малого необратимого изменения состояния этого тела. Справедливость неравенства (11.7') легко показать на примере изотермического нагревания тела, необратимость которого обусловлена только тем, что теплообмен происходит при конечной разности Д7’>0 между температурой нагревателя (7) и тела (Г— Д7). Элементарное приращение энтропии тела при сообщении ему количества теплоты Й0>О 6Q 6Q оо=--> —. г-дт т Для произвольного процесса SQ^TdS. (11.22) - Знак равенства относится к обратимым процессам, а знак неравенства — к необ- ратимым. По первому закону термодинамики, 6Q=dU+&A, тогда соотношение (11.22) можно записать в форме Tds>du+6A. (П-гг*) Неравенство (11.22'), объединяющее оба закона термодинамики, является ее важ- нейшим соотношением. 6. В случае обратимых процессов выполняется термодинамическое тождество 7\15=<Ш+<5Л, (11.22") которое можно переписать в форме 6А = TdS—dU=d(TS)—SdT—dU или SA=—dF—SdT, (11.23) где F=U—TS (1124) новая функция состояния рассматриваемого тела, называемая энергией Гельмгольца, или свободной энергией. Физический смысл энергии Гельмгольца легко выяснить из термодинамического тождества, записанного в форме (11.23): при T=const 5А= — dF ,uAi-2=Fi-F2. 6 Курс физики 161
Следовательно, работа, совершаемая телом в обратимом изотермическом процессе, равна убыли в этом процессе энергии Гельмгольца рассматриваемого тела. Из (11.24) видно, что энергия Гельмгольца составляет лишь часть внутренней энергии тела, так как Т5>0. Величина TS имеет размерность энергии и представляет собой ту часть внутренней энергии тела, которую нельзя в обратимом изотермическом процессе передать в форме работы. Это как бы «обесцененная» часть внутренней энергии тела, которую часто называют связанной энергией. При одной и той же температуре связанная энергия тела тем больше, чем больше энтропия тела. §11.6. Статистическое истолкование второго закона термодинамики 1. До сих пор, рассматривая второй закон термодинамики, мы пользовались термоди- намическим методом исследования и не интересовались внутренним строением' тел. Однако существует связь второго закона термодинамики с молекулярно-кинетической теорией строения вещества. Раскрытие этой связи позволяет глубже понять физический смысл второго закона термодинамики. С молекулярно-кинетической точки зрения каждому состоянию газа (или другого тела) соответствует некоторое распределение его молекул по объему и определенное распределение молекул по скоростям (или импульсам и энергиям). Предположим, например, что в сосуде находятся только три «меченые» молекулы газа а, b и с, а весь объем сосуда разбит на три равные части.I, II и III. Отвлечемся ради простоты от влияния на состояние газа распределения молекул по скоростям, т. е. предположим, что различные состояния газа отличаются только распределением молекул а, b и с по трем ячейкам объема. Всего возможно 27 различных распределений (табл. 11.1). Таблица 11.1 1 . Номер распреде- ления Ячейка I II III 1 abc - — 2 abc . —. 3 abc 4 ab . С . 5 ab С 6 ас ь i , • 7 ас b 8 he а 9 he a Ю С ah - 11 ah c 12 ь ас 13 ас b 14 а he 15 he a 16 с ab * 17 с ab 18 ь ac 19 ь ac 20 а he 21 а he 22 а ь c 23 а с b 24 ь а c 25 ь с a 26 с а b 27 • ‘ с h a 162
2. Полная хаотичность движения молекул газа приводит ж тому, что если длительное время т наблюдать за возможными распределениями молекул а, b я с по ячейкам объема, то в среднем все 27 распределений 'встретятся одинаково часто. Они являются равновозможными. Для характеристики степени возможности появления в мдаттеп конкретных условиях некоторого события в математике вводится понятие вероятности и> этого события. Например, если при данных условиях могут поочередно осуществ- ляться N различных событий и все они равновозможны, то вероятность одного какого-либо определенного события w^l/N. (П-25) Согласно этой формуле, вероятность каждого из равновозможных распределений равна 1/27. Но эта вероятность отличается от вероятности термодинамического состо- яния системы, соответствующего этому распределению. Дело в тени, что в однородном газе все молекулы тождественны друг другу. Поэтому все состояния, соответст- вующие одинаковому числу молекул в каждой ячейке, будут тождественными независи- мо от того, какие именно молекулы газа находятся в данной ячейке. Например, распределения 4, б и 8 соответствуют одному и тому же состоянию, в котором в первой ячейке находятся две молекулы, во второй ячейке — одна, а в третьей — ни одной молекулы. Вероятность такого состояния равна 3/27, и она втрое больше вероятности каждого из распределений 4, 6 и 8. Предлагаем читателю найти по табл. 11.1 рас- пределения, которым соответствует вероятность состояния 6/27. Вероятность W какого-либо состояния тела (или системы) больше вероятности w отдельного распределения в Р раз: W~wP, (11.26) где Р — термодинамическая вероятность состояния тела или системы. Она равна числу всевозможных микрораспределений частиц по координатам и скоростям, соответству- ющих данному термодинамическому состоянию (макросостоянию). В отличие от w и W, которые всегда меньше или равны единице, Р всегда больше или в крайнем случае, равно единице- 3. Л. Больцман доказал (1872), что между энтропией системы и термодинамической веротностью ее состояния существует связь, которая называется формулой Бошцмам- S-JtlnP, (11.27) где к — постоянная Больцмана. Формула Больцмана позволяет дать статистическое истолкование второго закона термодинамики, утверждающего, что энтропия изолированной системы не убывает: термодинамическая вероятность состояния изолированной системы при всех проис- ходящих в ней процессах не может убывать. Следовательно, при всяком процессе, протекающем в изолированной системе, изменение термодинамической вероятности ее состояния ДР положительно или равно нулю: ДР=Р2-Р1>0. (11.28) Для обратимого процесса ДР=0 и P=const, а в случае необратимого процесса АР>0 и Р возрастает. Следовательно, необратимый процесс — процесс, при котором система из менее вероятного состояния переходит в более вероятное, в пределе — в равновесное состояние. Иначе его можно определить как процесс, обратный тому, при котором система из более вероятного состояния переходит в менее вероятное. Само- произвольное протекание обратного процесса маловероятно, хотя в принципе и воз- можно. Чтобы ои произошел, требуется одновременное протекание компенсирующего процесса во внешних телах. По второму закону термодинамики, компенсирующий процесс должен быть таким, чтобы термодинамическая вероятность состояния систе- мы всех тел, участвующих в осуществлении обратного и компенсирующего процессов, возрастала. Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть с этой точки зрения описанные в § 11.1 необратимые процессы. «• 163
Итак, второй закон термодинамики является статистическим законом. Он выража- ет необходимые закономерности хаотического движения большого числа частиц, входя- щих в состав изолированной системы. 4. Неправомерно распространение второго начала термодинамики, установленного для замкнутых земных систем, на всю безграничную Вселенную. Такая экстраполяция привела некоторых физиков и философов к выводу о неизбежности выравнивания температур всех тел Вселенной и прекращения всяких иных форм движения, кроме хаотического теплового движения. Р. Клаузиус назвал такое состояние «тепловой смертью» Вселенной. Состояние «тепловой смерти» должно быть равновесным с мак- симумом энтропии. 5. Были сделаны многочисленные попытки опровергнуть вывод о «тепловой смерти». Вселенной. Наибольшей известностью пользуется гипотеза Больцмана'. Согласно этой гипотезе, Вселенная пребывает все время в равновесном изотермическом состоянии, но в различных ее частях происходят отклонения от этого состояния. Чем большую область Вселенной они захватывают и чем больше отклонения от равновесного состояния, тем реже происходят такие отклонения. В настоящее время установлено, что ошибочен не только вывод о «тепловой смерти» Вселенной, но также и первоначальные попытки его опровержения, так как в них не учитывалось влияние тяготения. Оказа- лось, что вследствие тяготения однородное изотермическое распределение вещества во Вселенной не соответствует максимуму энтропии, потому что не является наиболее вероятным. Дело в том, что Вселенная нестационарна т— она расширяется и первонача- льно однородное вещество распадается под действием сил тяготения, образуя скопле- ния галактик, галактики, 'звезды и т. д. Эти процессы происходят с ростом энтропии, т. е. в согласии со вторым законом термодинамики. Они и в будущем не приведут к рднородному изотермическому состоянию Вселенной, т. е. к состоянию «тепловой смерти» Вселенной. § 11.7. Флуктуации 1. К системам, состоящим из сравнительно небольшого числа частиц, неприменим второй закон термодинамики. Так, в сильно разреженных газах происходят значитель- ные случайные отклонения от равномерного распределения молекул по объему сосуда. Поэтому плотность газа в различных местах может отличаться от средней плотности, соответствующей равновесному состоянию при заданных температуре и давлении. Точно так же могут происходить случайные отклонения температуры, давления и дру- гих физических величин от их средних значений. Подобные явления1 называются флуктуациями соответствующих величин (флуктуации плотности, температуры, давле- ния и т. д.). 2. Не вдаваясь в подробности, рассмотрим некоторые количественные оценки флукту- ации произвольной физической величины. Если L — значение этой величины в данный момент, <£> — ее среднее значение, то разностьД£=£—<£>, а также среднее значение <Д£> не могут служить количественной мерой флуктуаций величины L. Дело в том, что величина Д£ не постоянна во времени, а ее среднее значение (ДЕ) равно нулю: <Д£>=<(£—<£»>=<£>—<£>=0. (12.29) Равенство (11.29) непосредственно вытекает из математического определения поня- тия среднего значения переменной величины. В качестве количественной характеристики флуктуаций физической величины L ис- пользуют квадратичную флуктуацию, или дисперсию «Q, равную среднему значению квадрата отклонения £ от ее среднего значения: <(Д£)2>=<(£—<£»2>=<£2> -«£»2, (11.30) так как среднее значение -2L <£> равно —2«£»2. Соотношение (11.30) показывает, что среднее значение квадрата величины L, т; е. <£2>, нельзя смешивать с квадратом среднего значения той же величины, т. е. с (<£>)*. Очевидно, что квадратичная флуктуация не может быть отрицательной: 164
<(ДЛ)2»о. ' ' Абсолютной флуктуацией величины L называется корень квадратный из квад- атичной флуктуации: Если абсолютная флуктуация близка к нулю, то значительные отклонения L от маловероятны, т. ё. происходят крайне редко. Для оценки относительной величины отклонений L от (L) применяется относитель- ная флуктуация 6[, равная отношению абсолютной флуктуации к (Л): п v<w> <L>- (IIJ1) 3. Флуктуации обусловлены тепловым движением частиц, образующих макроскопи- ческую систему. Чем больше этих частиц, тем . меньше относительные флуктуации термодинамических параметров этой системы (например, концентрации молекул, пло- тности, давления, температуры). Можно доказать, что1 в химически однородном иде- альном газе, находящемся в сосуде постоянного объема, относительные флуктуации плотности, давления и температуры обратно пропорциональны корню квадратному из числа N молекул газа в сосуде: ; 3Р~3Р~3Т~ ! • (11.32) Например, если в сосуде содержится 1 моль газа (У=6,02 102Э), то Зр, Зр и Зт имеют значения порядка 1,3’ 10~’2. Отсюда видно, что в этом случае вероятность заметных отклонений плотности, давления и температуры газа от их средних (равновесных) значений ничтожно мала. Совершенно иную картину мы получим в сильно разрежен- ных газах. Читатель легко может в этом убедиться, прйняв в качестве N значения, характерные для разреженных газов (см. табл. 10.2). 4. Флуктуации физических величин имеют болыПое' значение для оценки предела чувствительности измерительных приборов. Поясни^' это на конкретных примерах. . Пример 1. Измерение температуры с помощью газового ^термометра, наполненного идеаль- ным газом. В результате флуктуаций температуры/ показания термометра не будут оставаться постоянным^. Из (11.32) следует, что абсолютная флуктуация температуры вт~ Tj-JN. Ясно, что вт ограничивает точность измерения температуры с помощью газового термометра. Если в этом термометре содержится, например, 10-в моль газа, т. .е, N,=fr l017 молекул, то <7т~10_’Т. -Практически во всех случаях измерения температуры такая .точность более чем достаточна. Пример 2. Электрические флуктуации в радиоаппаратуре. Например, в результате флуктуаций числа электронов, вылетающих из раскаленного катода,,, происходят флуктуации тока в элект- ронной лампе, называемые дробовым эффектом. Дробовой эффект вместе с другими флуктуацион- ными явлениями ограничивает пределы чувствительности приемной аппаратуры. § 11.8. Броуновское движение 1. Английский ботаник Р. Броун (1827) обнаружилвидимоев микроскоп непрерывное беспорядочное движение мелких частиц, взвешенный в жидкости или газе. Это движе- ние получило название броуновского движения, а совершающие его частицы называют броуновскими частицами. Потребовалось более трех четвертей века, чтобы физики смогли понять причины и закономерности броуновс'кбго движения и его важность для молёкулярно-кинетической теории и термодинамики. Первоначальные попытки объяс- нить движение броуновских частиц простыми физическими причинами - встряхивани- ем, неоднородностью температуры, световыми, химическими или какими-либо други- ми воздействиями успеха не имели. Постепенно выяснились важнейшие особенности броуновского движения: , а) движение продолжается неограниченно долго бе! каких-либо видимых изме- нений; 165
6) интенсивность движения броуновских частиц зависит от их размеров, но не от природы частиц; она возрастает с ростом температуры и уменьшением вязкости жидкости. 2. Было установлено, что броуновское движение происходит под действием ударов молекул среды. Броуновские частицы подобны поплавкам на «молекулярном море» — их беспорядочное броуновское движение лишь выявляет хаотическое тепловое движе- ние самих молекул среды. При своем движении броуновские частицы могут переме- щаться вверх, как бы всплывая в жидкости. Это происходит в тех случаях, когда молекулы жидкости, находящиеся ниже частицы, передают ей больший импульс, чем молекулы, расположенные над ней. Подъем вверх броуновской частицы означает увеличение ее потенциальной энергии за счет кинетической энергии соседних молекул, т. е. за счет местного охлаждения жидкости. Механическая энергия броуновской частицы возрастает за счет охлаждения одного источника теплоты — жидкости или газа. Это противоречит второму закону термодинамики и тем самым доказывает ограниченность этого закона, его статистический характер. 3. Закономерности броуновского движения были изучены А. Эйнштейном (1905) и несколько позднее М. Смолуховским. В основе работы Эйнштейна лежало пред- положение о том, что броуновские частицы подобны большим молекулам посторон- него вещества, разбросанным среди молекул чистой жидкости или газа. Такие частицы должны подчиняться законам разбавленных растворов, которые совпадают с законами идеальных газов. Наблюдение броуновских частиц под микроскопом показало, что среднее смещение <х> частицы вдоль произвольного направления равно нулю. Это доказывает полную хаотичность движения броуновских частиц. Теоретически было установлено, что среднее значение квадрата смещения <ха> частицы пропорционально времени t наблюдения над вей: , (11.33) где D — коэффициент диффузии броуновских частиц, который для частицы сферичес- кой формы равен 1 - • D~RT/(6n4aNA, (11.34) где 9 — вязкость жидкости, в — радиус частицы. В формулах Эйнштейна не содержит- ся величин, зависящих от природы частиц. Формулы броуновского движения (11.33) и (11.34) дают независимый метод экспериментального определения постоянной Авога- дро. Такие опыты были проведены Ж. Перреном и привели к результатам, совпада- ющим с результатами его все опытов по измерению Ад (см. § 10.5). Вопросы: 1. Приведите примеры процессов, которые приближенно можно считать обратимыми. 2. Будет ли обратимым круговым процессом превращение в пар кипящей жидкости в закрытом сосуде с последующей конденсацией пара в жидкость? 3. Как доказывается теорема Карно с помощью Г— 5-диагрмммы? 4. Приведите все известные Вам формулировки второго начала термодинамики. 5. Докажите, что е броуновском движении нарушается второе начало термодинамики.
Глава 12 Реальные газы и пары §12.1. Силы ммшкмюкулярного взаимодействия в газах 1. Свойства не сильно разреженных газов отличаются от свойств идеальных газов, подчиняющихся уравнению Клапейрона — Менделеева. Тах, например, из этого урав- нения следует, что отношение рУп/(ЛТ), называемое фактором сжямвемостж, для • вдеальных газов всегда равно единице. Однако опыты показывают, что факторы сжимаемости для всех газов зависят от давления и температуры. При достаточно высоких давлениях все реальные газы независимо от их температуры менее сжимаемы, чем идеальные. Экспериментальные исследования удельной теплоемкости, вязкости и других свойств газов показали, что эти свойства тоже более или менее значительно отличают- ся от соответствующих свойств идеальных газов. Более two, приближенная теория, основанная на законах идеальных газов, часто не в состоянии объяснить даже качест- венно характер зависимости свойств газов от их параметров состояния. 2. Причина этих трудностей кроется в том, что поведение молекул реальных газов отлично от того, какое цриписываегся частицам идеальных газов. Во всех телах (твердых, жидких и газообразных) молекулы взаимодействуют друг с другом. Тот факт, что свойства разреженных газов близки к свойствам вдеальных газов, свидетель- ствует о том, что силы взаимодействия между молекулами в сильной степени зависят от расстояния между ними. Эти силы имеют электромагнитную, а также особую квантовую природу. Опыты показывают, что при расстояниях более' 10-’ см меж- молекулярным взаимодействием можно пренебречь. 3. Своеобразные свойства поверхностного слоя жидкостей, а также способность твер- дых тел сопротивляться растяжению приводит к выводу о том, что между молекулами вещества в любом агрегатном состоянии действуют силы взаимного притяжения. Относительно малая сжимаемость сильно уплотненных газов, а также способность жидких и твердых тел сопротивляться сжатию указывают на то, что между молекула- ми действуют также и силы взаимного отталкивания. Существенно, что эти силы действуют одновременно. В противном случае тела не были бы устойчивы: образующие вх частицы разлетались бы в разные стороны или «слипались». Из тех же соображений следует, что зависимость сил взаимного притяжения и отталкивания от расстояния г между молекулами должна быть различной. На очень близких расстояниях преоб- падают силы отталкивания Fi, на более далеких — силы взаимного притяжения F2, причем F!-Flr', F2=Fj,p (12.1) где г — радиус-вектор, проведенный в точку нахождения рассматриваемой молекулы из той точки, в которой находится другая молекула, действующая на первую с силами F( и F2. Проекции и Ръ сил Fj и F2 на направление вектора г зависят от расстояния г между взаимодействующими молекулами. Примерный характер этих зависимостей показан на рис. 12.1. Результирующая сила F=Fi+F2=»Fr-, г (12.19 (12.1") 167 причем
Характер зависимости Fr от г также показан на рис. 12.1. При г=го силы Fi и F2 взаимно уравновеши- ваются и результирующая сила F—0. Если г> го, то преобладают силы взаимного притяжения, если г<го — преобладают силы отталкивания. Таким образом, го — это то равновесное рассто- яние между молекулами, на котором они нахо- дились бы пр^ отсутствии теплового движения, нарушающего 'это равновесие. 4. Рассмотрим взаимную гютеадвяльную энер- гию двух молекул. Ее можно найти следу- ющим образом. Подсчитаем элементарную ра- боту ёА, совершаемую результирующей потен- циальной силой F межмолекулярного взаимо- действия при увеличении расстояния между мо- лекулами наш: &4=F dr=Frdr. (12.2) С другой стороны, эта работа совершается за счет уменьшения взаимной потенциальной энер- гии молекул: Из уравнений (12.2) и (122*) следует : <ПРИ= -F,dr. <5Л= -d»F„. (1229 (12.3) Интегрируя выражение (12.3) по г от г до со, получаем На бесконечно большом расстоянии друг от друга молекулы не взаимодействуют. Поэтому взаимную потенциальную энергию % (со) двух бесконечно удаленных друг от друга молекул удобно принять равной нулю. Окончательно, «в s ; ; И'и=|г,бг. (12.4) Интеграл, стоящий справа^ .Можно найти графически, если задана зависимость силы Fr от г (рис. 12.1). Он прощфцйонален площади, ограниченной кривой F,=Fr(r), осью г и вертикалью (г=сопв1), со0Тветствующей тому значению г, для которого нужно найти Wa. Из рис. 12.1 Видно. что при г>го взаимная потенциальная энергия от- рицательна, так как Г,>0.ПрИ >ь=го, как видно из (12.3), « Г - '4,1 • (dB^dr),-,,-----Л(го)=О, (12.5) т. е. Wa достигает минимума. При сближении молекул До 'расстояния го их взаимная потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая соответственно увеличивается. Эго происходит за счет 168
положительной работы, совершаемой ре- зультирующей силой взаимного притяже- ния молекул (при r>r0 F,<0). Дальнейшее уменьшение расстояния между молекулами сопряжено с совершением ими работы про- тив результирующей силы F взаимного от- талкивания молекул (при т < r0 Fr> 0). Соот- ветственно взаимная потенциальная энер- гия молекул начинает расти с уменьшением г. Характер зависимости Wn от г показан на рйс. 12.2. 5. Если молекулы находятся достаточно далеко друг от друга, то их взаимная поте- нциальная энергия равна нулю, а полная энергия W этой консервативной системы равна их кинетической энергии WB. К моме- нту максимального сближения молекул (г=и) вся их кинетическая энергия оказыва- Рис. 12.2 ется полностью израсходованной на совер- шение работы против сил отталкивания [Яж(п)=0], а их взаимная потенциальная энергия FFn(ri)= W. При прочих равных условиях расстояние и тем меньше, чем выше температура газа. Однако зависимость ,Wa от г в области положительных значений Wa настолько «крутая», что даже значительные изменения температуры газа приводят к сравнительно небольшим изменениям величины, и. Поэтому в первом приближении можно считать, что и зависит только от химической природы газа и представляет собой не что иное, как эффективный диаметр d молекул. Из сказанного ясно, что возможность представления молекул газа в виде твердых шариков диаметра d связана с очень быстрым увеличением сил взаимного отталкивания молекул реального газа при уменьшении расстояния между ними. В. Зависимость взаимной потенциальной энергии WB двух молекул реального газа от расстояния г между ними неплохо описывается формулой Ленарда-Джойса (1924): (12.6) где О] и аг — постоянные положительные коэффициенты, зависящие от химической природы газа. ч Дифференцируя выражение (12.6) по г, находим зависимость от г проекции F, ре- зультирующей силы F взаимодействия двух молекул реального газа: 02-7) dr г' Г : где ci = 6oi и с2= 12а2- Первый член в правой части формулы (12.7) соответствует силам межмолекулярвого циггяжения, которые часто называют ван-дер-ваальсовыми садами по имени нидер- ландского физика Я. Д. Ван-дер-Ваальса, который впервые начал учитывать меж- молекулярное взаимодействие в газах. Различают три типа сил межмолекулярного притяжения: ориентационные, индукционные и дисперсионные. Все они имеют элект- рическую природу и зависят от расстояния г между молекулами по закону const/r7. Ориентационные силы притяжения действуют между полярными молекулами, индук- ционные— между полярной и неполярной молекулами, .а дисперсионные — между неполярными молекулами, а также между любыми, другими парами молекул. Второй член в правой части формулы (12.7) соответствует енлам взаимного оттал- и ия молекул. Эти силы обратно пропорциональнц г13, т. е. играют определяющую роль на малых расстояниях, соответствующих перекрытию электронных оболочек молекул. Существование сил взаимного отталкивания молекул при их очень сильном сближении удалось объяснить только в квантовой механике,' основываясь на квантовом принципе запрета Паули. " 169
§ 12.2. Уравнение Ваидер-Вшизьса 1. Из сказанного в § 12.1 ясно, что в первом приближении молекулы реального газа можно уподобить абсолютно твердым шарикам с диаметром а, между которыми действуют только силы взаимного притяжения. Учитывая конечные размеры молекул, мы приближенно принимаем во внимание действие сил взаимного отталкивания между ними. Такая модель газа, принятая Ван-дер-Ваальсом, позволила ему полупить уравне- ние состояния реального газа более совершенное, чем уравнение Клапейрона — Менделеева. 2. Каждая молекула реального газа имеет объем l/6nd3. Поэтому молекулы газа движутся в сосуде менее свободно, чем «точечные» молекулы идеального газа. Ван-дер- Ваальс учел собственный объем молекул газа путем замены в уравнении Клапей- рона — Менделеева pV^RT полного объема Ит сосуда, занимаемого молем газа, на «свободный» объем: И*=ИШ-А, { (12.8) где b — поправка Ван-дер-Ваальса, зависящая от собственного объема S молекулы. Докажем, что поправка Ь в четыре раза больще собственного объема всех Nk моле- кул одного моля газа: b=4NJ. (12.9) Для доказательства рассмотрим сферу радиуса d, центр которой совпадает с цент- ром произвольной молекулы. Внутри этой сферы не могут находиться центры других молекул. Объем этой сферы является «запрещенным» объемом v, для центров всех молекул, соударяющихся с данной. Ои в восемь раз больше собственного объема молекулы: »э=*/эге/’=85. Вероятность одновременного соударения трех и большего числа молекул при обычных плотностях газа очень мала. Поэтому можно ограничиться случаями соударе- ния только двух молекул. Объем v, дважды учитывает каждую молекулу: один раз — как ударяющую, другой раз — как ударяемую. В пересчете на одну молекулу «запрещенный» объем равен Поправка Ван-дер-Ваальса b представляет собой «запрещенный» объем, приходя- щийся на все молекул, т. е. />=4tWA, что и требовалось доказать. Из (12.9) следует, что значение b зависит от-эффективного диаметра молекул, т. е. от химической природы газа. 3. Несколько сложнее учесть влияние сил взаимного притяжения молекул. Эти силы очень быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами. Поэтому можно считать, что каждая молекула взаимодействует лишь с теми молекулами, которые находятся от нее на расстояниях г<Ям, где R„ — радаус молекулярного действия, имеющий значение порядка Ю"’ м. Сферу радиуса R„, построенную вокруг молекулы, называют сферой ее молекулярного действия. Если молекула находится вдали от стенок сосуда, то вся сфера ее молекулярного действия заполнена другими молекулами, так что результирующая сила притяжения для рассматриваемой молекулы равна нулю. । Иначе обстоит дело с молекулами, находящимися вблизи стенки MN сосуда (рис. 12.3). У них сферы молекулярного действия только частично находятся внутри газа (области, z закрашенные на рис. 12.3). Найдем равнодействующую сил притяже- ния, приложенных к произвольной молекуле К, находящейся в слое газа, пограничном со стенкой. Для этого разобьем сферу молеку- лярного действия молекулы К на четыре об- ласти: а, б, г, д (рис. 12.4). Плоскости Л В н CD. Рис. 12.3 проведены параллельно поверхности стенка MN, причем плоскость CD симметрична пове- 170
рхиости стенки относительно диаметральной плоско- сти АВ. Области б, г, д в отличие от области а запол- нены молекулами газа. Силы, действующие на молекулу К со стороны молекул, находящихся в шаровых слоях б, г, взаимно уравновешиваются. Притяжение же молекулы К ча- стицами, находящимися в шаровом сегменте д, ни- чем не компенсируется, так как в сегменте а молекул газа нет*. Очевидно, что результирующая сила F* должна быть направлена перпендикулярно стенке внутрь газа (рис. 12.4). Для данного газа и фик- Рис 12 4 сированного положения молекулы К относительно стенки сила F* будет тем больше, чем больше молекул заключено в сегменте д. Инъладг словами, эта сила пропорциональна концентрации молекул газа: Л=ц*ло, (12.10) где коэффициент о* зависит от химической природы газа и расстояния 4 центра молекулы К до стенки сосуда. Если 4>Ло то области а, д исчезают и /*=0. Таким образом, молекулы, отсто- ящие от стенок сосуда на расстояниях Д, и бблыпих, уже можно считать «внутрен- ними». 4. Действие сил F* приводит к тому, что в пограничном со стенкой слое газа молекулы движутся по направлению к стенке замедленно. Они ведут себя подобно шарам, которые прикреплены к пружинам и растягивают их в процессе движения за счет убыли своей кинетической энергии. Поэтому удары молекул о стенки сосуда несколько смягчены. Давление р, производимое на стенки реальным газом, меньше, чем в случае идеального газа р1Д, имеющего ту же температуру Т и ту же концентрацию: /»=Р«-РИ. t (12.11) или (12.11Э где Рю — давление, обусловленное действием сил взаимного притяжения молекул (внутреннее давление). Внутри газа силы взаимного притяжения молекул не влияют на их движение, и давление газа равно р^. У стенок оно меньше этого давления и равно р. Добавочное давление р„' производит на газ слой его молекул, граничащих со стенками. Оно вызвано силами F* и равно Е К, (12.12) О к-1 где сумма сил F* распространена на все л молекул пограничного слоя газа, S— пло- щадь стенок сосуда. Заменив Fk по формуле (12.10), получим или P„*W<a>/S, (12.13) 1 " где <о>=- У ак — среднее значение коэффициента at для всех молекул пограничного Л £* I ч слоя, зависящее только от химической природы газа. Число молекул, заключенных в пограничном слое, n^SR^>. Подставив это выражение в (12.13), получим •Влиянием частиц стенок сосуда пренебрегаем. 171
где о'=<а>/?м. Концентрация Молекул р М 1 «Л/- 4.?% - Uq=-=в-# «о «о Гщ Из уравнений (12.14) и (12.15) имеем , dM1 2 1 а Р**^ т1 у2= vi' т0 '•> (12.14) (12.15) (12.16) ^Коэффициент Ван-дер-Ваальса'^=о'№/т2 зависит только от химической природы газа. Из (12.16) и (12.1 V) получим выражение для давления внутри газа: / 1 Рк=Р+^1. (12.17) где р — давление газа на стенки сосуда. 5. Подставив в уравнение Клапейрона — Менделеева (Кт—Л) вместо Уа и ряд вместо р, получим уравнение состояния реальных газов, которое было выведено нидерладским физиком Я. Д. Ван-дер-Ваальсом (1873) в названо его именем: < •-. * ' - • V (р+-“Л (Кт-6)=ЛГ. (12.18) f . г X и/ Умножив (12.18) ца число молей газа т/Л/ и заменив mVnJM через V, получим А а \ т \ т (,218) — уравнение Ван-дер-Вяалься для произвольной массы т газа. § 12.3. Изотермы реальных газов. Понятие о фазовых переходах I и П рода 1. Английский физик Т. Эндрюс (1866) экспериментально исследовал зависимость молярного объема углекислого Газа от давления при изотермическом сжатии. Резуль- таты этих опытов представлены на рис. 12.5 (I)<T<T2<Trf<Ti<Тч). При тем- пературах Т, меньших 7^=340 К, на каждой изотерме имеется горизонтальный участок ВС, вдоль которого постоянна не только температура, ио и давление р=рв, а молярный объем может принимать любые значения от Ув до Ус. Разность Ус— Ув объемов в конечных точках горизонтальных участков изотерм возрастает с понижени- ем температуры Т. Из рис. 12.5 видно, что эта разность объемов стремится к нулю при приближении к температуре 7^, которую называют критической температурой. На изотерме, соответствующей температуре 7= Tip (ее называют критической изотермой), точки В я С сливаются в одну точку К, называемую критической точкой. Соответствующие ей значения давления Ртр и молярного объема У^ называют крити- ческими. Критическая точка совпадает с точкой перегиба изотермы 7’=7’гр, причем касательная к изотерме в этойточке параллельна оси Vm. 2. Любую докритическую изотерму (Т< Tip) можно разбить на три характерных участка: ТС, СВ и ВЛ. Вдоль, первого и третьего участков давление монотонно возрастает при уменьшении молярного объема. На участке СВ сжатие углекислоты не сопровождается изменением ре.,давления. Это своеобразие докритических изотерм связано с тем, что они охватывают различные агрегатные состояния COj. Опыты показали, что на участке ТХ* углекислота находится в газообразном состоянии, а на 172
Рис. 12.5 Рис. 12.6 участке ВА в жидком. Малая сжимаемость жидкостей приводит к тому, что участок изотермы ВА представляет собой почти вертикальную прямую. На участке СВ углекислота одновременно находится в двух агрегатных состояниях: жидком и газообразном. Точка С соответствует началу конденсации COj При изотер- мическом сжатии, а точка В — концу конденсации. Наоборот, при изотермическом расширении жидкой углекислоты точка В соответствует началу кипения, а точка С его концу. Следовательно, точка В соответствует состоянию ки щи жидкости, а точка С состоянию сухого насыщенного пара. В произвольном состоянии М об- ласти ВС СОг представляет собой смесь кипящей жидкости и сухого насыщенного пара. Такую смесь называют влажным паром. Для анализа состояния неоднородных систем, подобных влажному пару, в термо- динамике вводится понятие фазы. Фазой называют совокупность всех частей системы, обладающих одинаковым химическим составом, находящихся в одинаковом состоянии и ограниченных поверхностями раздела. Таким образом, влажный пар представляет собой двухфазную систему, одна фаза которой кипящая жидкость, а другая — сухой насыщенный пар. 3. Если нанести на диаграмму р — точки В и С при различных температурах Т, то получим две пограничные кривые ЬК и сК, смыкающиеся .в критической точке К (рис. 12.6). Пограничная кривая кипения ЬК отделяет однофазную область I жидкого состоя- ния вещества от двухфазной области II его влажного пара. Она является кривой начала фазового перехода из жидкого состояния в газообразное и конца обратного фазового перехода из газообразного состояния в жидкое. Пограничная кривая конденсации сК отделяет двухфазную область II от однофазной области III газообразного состояния вещества. При давлениях, больших критического, отсутствует область двухфазного состоя- ния. Вещество находится либо в жидком, либо в газообразном состоянии. Границей между ними служит критическая изотерма. Следовательно, газ, температура которого выше критической, нельзя перевести в жидкое состояние путем изотермического сжа- тия. В свое время потерпели неудачу первые попыгкиежижения некоторых газов, критические температуры которых очень низки: у гелия /гр= — 268 °C, у водорода /ч>=—240 °C, у неона t^—— 228 °C и др. Это произошло1 из-за того, что не были известны их критические температуры и их пытались сжижать, изотермически сжимая при />/жр. ' i 4. Критическая точка замечательна тем, что при приближении к ней стирается раз- личие между жидким и газообразным состояниями вещества. В критическом состоянии обращаются в нуль разность молярных объемов кипящей жидкости н сухого насыщен- ного пара, удельная теплота парообразования и поверхностное натяжение жидкости. Исчезновение различия между жидким и газообразным состояниями вещества 173
в критической точке можно продемонстрировать на следующем опыте. В запаянную стеклянную ампулу помещен жидкий эфир 0^= 194 °C). Между жидкой и газообразной фазамиэфира в ампуле имеется резкая граница раздела (вогнутый мениск). Нагревание ампулы приводит к возрастанию температуры и давления паров эфира, куменьшению сил поверхностного натяжения и исчезновению кривизны мениска. При достижении критического состояния исчезает, граница между жидкостью и паром. Если нагреть эфир в ампуле до температуры более высокой, чем критическая, а затем охлаждать, то в момент прохождения через критическую температуру возникает внезапное помутне- ние всего содержимого ампулы (вследствие флуктуаций плотности). После этого вновь появляется резкая граница раздела между жидкостью и паром. Впервые вывод о необходимости существования для каждого вещества такой температуры, при которой исчезает различие между жидкой и газообразной фазами, находящимися в равновесии, был сделан Д. И. Менделеевым. Он исследовал зависи- мость поверхностного натяжения жидкостей от температуры и пришел к выводу, что при некоторой температуре коэффициент поверхностного натяжения становится рав- ным нулю. Менделеев назвал эту температуру «температурой абсолютного кипения» В дальнейшем критические Температуры различных веществ были подробно исследова- ны профессором Киевского университета М. П. Авенариусом и его учениками. 5. Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно правильно описывает некоторые особен- ности процесса сжижения газов. Это уравнение можно записать в такой форме: рУ2-(р4+Я7)11+вИт-аЬ=О. (12.19) Мы получили уравнение третьей степени относительно молярного объема Ув. Коэф- фициенты уравнения зависят от давления, температуры и химической природы газа. В зависимости от числовых значений р я Т для данного газа это уравнение может иметь либо один, либо три действительных корня. Изотермы газа, подчиняющегося уравне- нию Ван-дет-Ваадьса (12.19),, имеют вид, представленный на рис. 12.7, где 7i < Tj < Т< 7j < Tgf < 7з,<Д$. -. При температурах T<T^ юяетя. область состояний, где каждому значению давления соответствуют три точки изотермы, т. е. три различных нзопрмтяст. состояния. По мере повышения температуры эта три точки сближаются и при Т» сливаются в одну точку К, которая является точкой перегиба изотермы Г—Г^. Касательная к изотерме в точке К параллельна оси абсцисс. При температурах Т» Т„ изотермы Ван-дер-Ваальса близки к равнобочным гиперболам — изотермам идеаль- ного газа. в. Сравнение изотерм Ван-дер-Ваальса (рис. 12.7) с эксперимента пьимми изотермами реальных веществ (например, с рис. 12.5) показывает, что изотермы Ван-дер-Ваальса охватывают не только область газообразного состояния вещества, во также области двухфазного и жидкого состояний. Жидкому состоя- нию соответствуют круто уходящие вверх левые " участки изотерм. Однако в этой области имеется лишь качественное согласие с результатами экспери- ментов. х Волнообразные участки BDEFC veumpu Ван- дер-Ваальса (рис. 12.7), относящиеся к двухфазному состоянию вещества, сильно отличаются от соответ- ствующих горизонтальных участков эксперимен- тальных изотерм (штриховые прямые ВС). На ос- новании второго закона термодинамики можно по- казать, что прямые рассекают участки изотерм BDEFC так, что площади BDEB и EFCE равны друг Тфугу (правило Максвелла). - 7. Опиты показывают, что некоторые состояния, соответствующие участкам BDEFC изотерм Вал- дер-Ваальса, практически осуществимы. Например, можно, задержать кипение жидкости; тщательно Pi । 4 Рис. 12.7 удалив из нее механические примеси и произвола нагревание в сосуде с глддкнми стенками. При этом 174
получают перегретую ходкость, различным состояниям которой соответствуют точки кривой BD. Аналогично, при медленном изотермическом сжатии газа, не содержащего пылинок, ионов и других центров конденсации, можно получить яереснюяжшй нар, соответствующий участку изотермы CF. При введении в пересыщенный пар пылинок или ионов происходит быстрая конденсация пара. Это явление используют в камере Вильсона для наблюдения траекторий движения заряженных частиц. Участок изотер- мы DEF прахттваж неосуществим. Изотерма Г= является критической, а точка К перегиба этой изотермы — кри- тической точкой. Значения критических параметров состояния р^, и молярного объема для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, можно выразить через универсальную тазовую постоянную Л и коэффициенты а и & (1220) 8. Различают два типа превращений вещества из одной фазы в фугую при вменений внешних условий: фазовые переходы первого (I) и второго (П) рода. При фазовом переходе I рода скачкообразно изменяются такие характеристики вещества, как плот- ность, удельный и молярный объемы, концентрации компонентов, ц, что особенно характерно, выделяется или поглощается теплота, называемая теологий фазового пере- хода. Примерами фазовых переходов I рода могут служить превращения вещества из одного агрегатного состояния в другое (испарение и конденсация, плавление и кристал- лизация, сублимация и обратный ей процесс конденсации вещества из газовой фазы в твердую), фазовые превращения твердых тел из одной кристаллической модификации в другую, переход вещества из сверхпроводящего состояния в нормальное под действи- ем сильного магнитного поля. При фазовом переходе П рода теплота не поглощается и не выделяется (теплота фазового перехода II рода равна нулю), плотность изменяется непрерывно, а скачкооб- разно изменяются такие характеристики вещества, как молйрная теплоемкость, коэф- фициент теплового расширения, удельная электрическая проводимость, вязкость и др. Примерами фазовых переходов II рода могут служить: переход некоторых металлов и сплавов при низких температурах из нормального состояния в сверхпроводящее, переход жидкого гелия из одной модификации — Не-1.в другую — Не-П, обладающий свойством сверхтекучести (См. $ 12.4), переход магнитного вещества из ферромагнит- ного состояния в парамагнитное, происходящий при нагреве до определенной тем- пературы, называемой точкой Кюри. § 12.4. Сверхтекучесть гелия 1. П. Л. Капица открыл (1938) явление аверхтекучесп гелия, которое состоит в спосо- бности жидкого Не-П протекать без трения через узкие щели и капилляры. Гелий — вещество с самой низкой критической температурой (7^,=5,2 К, /^,=0,23 МПа). Он может быть переведен в твердое состояние только при давлениях, превышающих 2,5 МПа. Диаграмма состояния Г —-р .приведена на рас. 12.8. В зависимости от давления температура Тх перехода Не-I в НеШ, называемого Д-точкой, изменяется от 2,17 К при давлении насыщенного пара, равном 5,1 кПа, до 1,78 К при давлении, равном 3,04 МПа. Гелий-1 ведет себя приблизительно так же, как другие сжиженные газы при низких температурах (например, водород, неои и др.). Его теплопроводность невелика [~4 мДж/(К м с)], а вязкость хотя и мала, но отлична от нуля. Теплопроводность Не-П необычайно велика. Она . превосходит теплопроводность Не-I во много милли- онов раз. Вязкостные свойства Не-П весьма своеобразны. С одной стороны, он обладает свойством сверхтекучести, т. е. движется через узкие щели и капилляры как жидкость, вязкость которой равна нулю. С другой стороны, как показывают опыты, он имеет отличную от нуля вязкость: при температурах, близких к 7\, свободные крутиль- ные колебания диска затухают практически одинаково независимо от того, находится ли этот диск в Не-I или он находится в Не-П. 175
р,МПа Рис. 12.В . 2. Л. Д. Ландау разработал (1941) теорию сверхтекучести, согласно которой Не-П пред- ставляет собой совокупность двух взаимопро- никающих жидкостей: нормальной и сверхтеку- чей. Сверхтекучая компонента не участвует' в переносе энергии и движется без трения, сво- бодно проникая через узкие щели и капилляры. Нормальный компонент Не-П обладает вязко- стью и участвует в переносе энергии. Соотно- шение между нормальной и сверхтекучей ком- понентами зависит от температуры: при Т=0 К весь Не-П состоит только из сверхтекучей компоненты, а при T—Ti — только из нор- мальной. При T<Ti есть обе компоненты Не-П, которые движутся независимо друг от друга. Теория Ландау позволила объяснить мно- гие особенности свойств Не-П. Его сверхтеку- честь связана с тем, что через узкие щели и капилляры перетекает лишь сверхтекучая компонента, движущаяся без трения, а нормальная в силу своей вязкости практически через них не течет. В то же время прй свободных крутильных колебаниях диска в жидком Не-П эти колебания затухают за счет внутреннего трения в нормальной компоненте Не-П. Огромная теплопроводность Не-П обусловлена одновременным существованием в нем двух компенсирующих друг друга потоков — потоков нормальной и сверх- текучей компонент. Нормальная компонента движется в направлении убывания тем- пературы, а сверхтекучая — в противоположном направлении. При перетекании Не-П по капиллярной трубке из сосуда А в сосуд В наблюдается мехавокалорпеский эффект, состоящий в том, что температура в сосуде А повышается, а в сосуде В понижается. Причина этого явления в том, что по капилляру перетекает из А в В сверхтекучая компонента Не-П, не переносящая энергию. Поэтому вся внутренняя энергия гелия, остающегося в сосуде А, распределяется на меньшую массу, что приводит к повыше- нию температуры в этом сосуде. Наоборот, в сосуде В масса гелия увеличивается, а температура соответственно понижается. Теория Ландау позволила предсказать существование в Не-П второго звука, экс- периментально обнаруженного В. П. Пешковым (1944). В отличие от обычных звуко- вых волн — распространяющихся в среде колебаний плотности и давления — второй звук представляет собой распространяющиеся в Не-П колебания плотности нормаль- ной компоненты Не-П и соответственно его температуры. 3. Рассмотрим некоторые основы современных представлений о сверхтекучести Не-П. Прежде всего следует сказать, что только квантовая теория объяснила, почему именно гелий является единственной незамерзающей жидкостью при очень низких температу- рах и нормальном давлении. Квантовая теория показывает, что в отличие от классичес- ких представлений при любой как угодно низкой температуре вещества (в том числе и при Т—0 К) существуют «нулевые» колебания атомов и молекул. Им соответствует некоторая «нулевая энергия», которую невозможно отнять у вещества. Ответ на вопрос о том, остается ли вещество вблизи О К жидким или твердым, зависит от того, что играет определяющую роль — межмолекулярное притяжение, вызывающее образова- ние кристаллической решетки, или «нулевые колебания», препятствующие этому об- разованию. В гелии силы взаимодействия между атомами весьма слабы, а «нулевые колебания» вследствие легкости гелиевых атомов весьма интенсивны. Поэтому при обычных давлениях кристаллическая решетка в гелии не образуется и он не замерзает. При очень низких температурах тепловое движение в гелии рассматривается как со- вокупность некоторых элементарных «тепловых возбуждений». В квантовой теории доказано, что энергия тепловых возбуждений может изменяться лишь порциями — квантами. 176
Нагревание Не-П от Т=О К до некоторой малой температуры должно привести к появлению в нем «элементарных возбуждений». С появлением этих возбуждений связаны запас внутренней энергии в жидкости и существование в ней трения. ' Нормальная часть жидкого Не-П представляет собой ту часть жидкости, в которой возникают элементарные тепловые возбуждения. Однако из детального рассмотрения элементарных возбуждений в гелии, основанного на законах сохранения энергии и им- пульса, следует, что возможны состояния Не-П, в которых «элементарные возбужде- ния» не возникают. Этим состояниям соответствует сверхтекучая часть гелия. Выяс- нилось, что частицы сверхтекучей части Не-П весьма сильно взаимодействуют друг с другом и образуют связанный коллектив, называемый иногда конденсатом. Благо- даря сильному взаимодействию частиц в сверхтекучей части Не-П не возникают тепловые «возбуждения» и эта часть гелия не обладает запасом внутренней энергии. При О К, когда «элементарных возбуждений» нет, весь Не-П является сверхтекучим и нормальная часть его отсутствует. С ростом температуры растет число «возбужде- ний» и увеличивается доля нормальной части Не-П. Однако вплоть до температуры z-точки в Не-П сохраняется сверхтекучая часть со всеми ее особыми свойствами. §12.5. Внутренняя энергия реального газе. Эффект Джоуля — Томсона Z 1. Внутренняя энергия U реального газа равна сумме кинетической энергии ха- отического движения молекул и их взаимной потенциальной энергии Wa: t7=JF«+JFn. (12.21) Мы отмечали, что силы взаимного притяжения влияют на движение сравнительно небольшого числа молекул, находящихся в пограничном со стенками слое газа. Поэто- му с достаточной степенью точности можно считать, что W* для моля реального газа совпадает с W* для моля соответствующего идеального газа, находящегося при той же температуре. Внутренняя энергия Uw идеального газа представляет собой только кинетическую энергию хаотического движения молекул, поэтому т • 1 CrdT, (12.22) где Су — молярная теплоемкость газа в изохорном процессе. Пренебрегая зависимостью Су от температуры, получаем* Wa=CyT. (12.22') Таким образом, внутренняя энергия моля реального газа Ua~CyT+Wa. (12.23) Взаимная потенциальная энергия IFn обусловлена силами межмолекулярного вза- имодействия, зависящими от расстояния между молекулами. Каждая молекула газа взаимодействует с большим числом других молекул. Поэтому для данного газа энергия должна зависеть от среднего расстояния между молекулами, которое, в свою очередь, однозначно определяется молярным объемом Кт. Следовательно, в изохорном процессе const и, как видно из (12.23), изменение внутренней энергии dUm реального газа выражается так же, как для идеального газа: dt7m=CpdT(rm=const). Су АТ — средняя молярная теплоемкость газа в интервале температуры от О К до Т. *В общем случае вместо (12.22Э нужно было бы писать где <Ср> Т 1 f г] о 177
Рис. 12.9 2. Английские физики Д. Джо- уль и У. Томсон (1853 — 1854) экспериментально обнаружи- ли, что при адиабатном расши- рении газа без совершения по- лезной работы температура га- за изменяется. Процесс такого необратимого расширения на- зывается адиабатам росселн- ромяием, а явление изменения температуры в этом процес- се — эффектом Джоуля — То- мсом. Принципиальная схема опытов Джоуля и Томсона приведена на рис. 12.9. В хоро- шо теплоизолированную трубу В вставлена пористая пробка С (дроссель). С помощью подвижных поршней Е и D давления исследуемого газа слева и справа от пробки поддерживаются постоянными и соответственно равными р\ Ti р\ (p\>pi)- Под действием перепада давления Ap=pt — pi газ продавливается через пробку и при этом расширяется от давления р\ до давления р2. Совершаемая газом работа расширения практически целиком расходуется на преодоление трения газа в пробке, а выделяющая- ся при трении теплота Qtp^A^, идет на нагревание газа. По первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии газа при прохо- ждении через дроссель равно MJ=Q+A'. 3. Сообщаемая газу теплота Q из-за отсутствия теплообмена между газом н внешними телами равна Q^. Работа А', совершаемая над газом внешними силами, равна алгебра- ической. сумме работ, совершаемых подвижными поршнями Е (работа Л'0 и D (работа Л'2), и работы сил трения Xip: А' =* A j + А г + А'тр. Учитывая, что работа, совершаемая газом против сил трения, Агр— —A'tp^Qrp, * получаем , АГ=Л',+Л'2. (12.24) Работа изобарного вытеснения поршнем Е всего газа массой т и объемом V\ равна PtdK^pt^. (12.25) Аналогично получим, что Л'2=-р2У2. ' (12.26) В этих формулах И и К2 - объемы, занимаемые данной массой газа перед дросселем, т. е. при давлении pi, и после дросселя, т. е. при давлении pi. Знак минус в формуле (12.26) показывает, что поршень Ь противодействует перетеканию газа через дроссель. Из предыдущих формул получим "* СгЛГ+А1Рп=-А(рЮ. м где А(рИ)=лИ2-Р1И- Таким образом, изменение температуры реального газа при адиабатном дрос- селировании равно дг= _М bW^+btpV) т Су (12.27) 178
при конечном перепаде давления в дросселе. - 4. Опыты показали, чего для каждого газа в зависодкги от его состояния перед дросселем (pi, Т>) и перепада давления в дросселе pt~—p2 изменение температуры ДТ«Тг—Г1 может быть больше нуля — отридателмыв эффект Джоуля — Томсона, меньше нуля — воложителмый эффект Джоуля — Томсона и равно нулю — нулевое эффект Джоуля — Томсона. Заметим, что в случае идеального газа И^О, и из (1227) имеем дг____М Д(рЮ *(RT) _R_ m Су Су Су * откуда 1+^1 дг-о. VF/ Скобка отлична, от нуля, поэтому ДТ=О К. Следовательно, у идеальных газов эффект Джоуля — Томсона отсутствует. 5. Изменение температуры газа при бесконечно малом адиабатном дросселировании, т. е. при изменении давления газа в дросселе на малую величину dp<0, называют даффереицмлыым эффектом Джоуля — Томсона. Можно показать, что для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, изменение температуры 1 2д(Иш-^/(Л7У:)-& С, \-2a(Va-b)*l(RTV$ (12.28) где С, — молярная теплоемкость газа в изобарном процессе. В частности, для идеаль- ного газа а=Л=О и dT/dp=0, т. е. эффект Джоуля — Томсона отсутствует. Знак дифференциального эффекта Джоуля — Томсона, т. е. знак производной dT/dp, зависит для данного газа от значений давлеиия р и температуры Т газа перед дросселем. Температуру Т, при которой дифференциальный эффект Джоуля — Том- сона равен нулю (dT/dp=O), называют температурой имгргм. Из формулы (1228) следует, что для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, температуру ин- версии Тж можно определить из уравнения (12И> Из (12.29) видно, что инверсия возможна лишь в пределах изменения давления от нуля до Д=9ржр (ргр -критическое давление). При А=ЗТ1р. 3 (Г У DK Максимальное и минимальное значения температуры инверсии достигаются при р=*0: k 2а 27 _ (^и)м1К= , -- 7 7жр> - DK 4 . 2а 3 (гЮ1)ми=%я=4 Т^. 179
Вопросы: 1. Докажите, что поправка на объем газа в уравнении Ван-дер-Ваальса в четыре раза превос- ходит объем всех молекул в моле газа. 2. Докажите, что площади участков BDEB и EFCE на кривой, показанной на рис. 12.7, равны друг другу. 3. Чем отличаются друг от друга сверхтекучая и нормальная фазы жидкого гелия? 4. Чем отличаются друг от друга фазовые переходы I и П рода? 5. Вычислите изменение энтропии реального газа Ван-дер-Ваальса.
Глава 13 Электростатическое поле и его характеристики Глава 14 Теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля в вакууме Глава 15 Электростатическое поле в диэлектрической среде Глава 18 Проводники в электростатическом поле Часть 3 Электродинамика Глава 17 Энергия электрического поля Глава 18 Классическая электронная теория электропроводности металлов Глава 19 Законы постоянного тока Глава 20 Электрический ток в жидкостях, газах и плазме Глава 21 Действие магнитного поля на движущиеся заряды и на проводники с током Гпава 22 Магнитное поле постоянного электрического тока а вакууме Гпаев 23 Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях Глава 24 Магнитное поле а веществе Гпава 25 Электромагнитная индукция Глава 26 Основы теории Максвелла для электромагнитного поля
Глава 13____________________________________ Электростатическое поле и его характеристики §13.1 . Закон сохранения электрического заряда 1. Взаимодействие между электрически заряжеными частицами или телами, движущи- мися произвольным образом относительно Инерциальной системы отсчета, осуществ- ляется посредством электромагнитного поля, которое представляет собой совокупность двух взаимосвязанных полей: электрического и мягпгяого. Характерная особенность электрического поля, отличающая его от других физичес- ких полей (см. § 2.2), состоит в том, что оно действует на электрический заряд (заряженную частицу или тело) с силой, которая не зависит от скорости движения заряда. Характерная особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует на движущиеся электрические заряды с силами, пропорциональными скоростям зарядов и направленными перпен дикулярно этим скоростям. Поэтому обнаружить электричес- кое поле удобно по его силовому действию на помещенный в поле неподвижный электрический заряд. Электрическое поле неподвижных электрических зарядов, осуществляющее взаимо- действие между ними, называется электростатическим полем. Силы, действующие на наряды (заряженные частицы) со стороны электростатического поля, называются элск- тростатичесхими силами. Элекгродмямясой называется раздел классической физики, в котором изучаются законы электромагнитного поля. Соответственно теория электростатического поля неподвижных электрических зарядов рассматривается в разделе электродинамики, называемом электростатикой. 2. В природе существуют два рода электрических зарядов: положптелыпм и отрица- тельные. Положительный заряд возникает, например, на стекле, натертом кожей, а отрицательный — на эбоните или янтаре, натертом шерстью. Разноименно заряжен- ные тела притягиваются, а одноименно заряженные отталкиваются друг от друга. Точечным электрическим зарядом называется заряженное тело, форма и размеры которого несущественны в данной задаче. Например, рассматривая электростатическое взаимодействие двух тел, их можно считать точечными электрическими зарядами, если размеры этих тел малы по сравнению с расстоянием между ними. . Электрический заряд любой системы тел состоит из целого числа элемент ермп зарядов, приближенно равных 1,6 • 10”19 Кл. Наименьшей по массе частицей, имеющей отрицательный элементарный заряд, является Электрой. Масса электрона приближенно равна 9,Г10“31 кг. Наименьшая по массе устойчивая частица с положительным элементарным зарядом — протон, представляющий собой ядро атома наиболее рас- пространенного в природе изотопа водорода. Масса протона приближенно равна 1,67 10“ 22 кг. Электроны и протоны входят в состав всех атомов и молекул. Наименьшая по массе античастица, имеющая элементарный положительный за- ряд,— позитрон — является античастицей электрона и имеет равную с ним массу.' Система тел или частиц называется электрически изолированной системой, если между ней и внешними телами нет обмена электрическими зарядами (электрически заряженными частицами). 3. Опыты показывают, что в результате соприкосновения при трении двух электричес- ки нейтральных тел заряды переходят от одного тела к другому. В каждом из них нарушается равенство сумм положительных и отрицательных зарядов — тела заряжа- ются разноименно. При электризации тела через влияние в нем нарушается равномер- ное распределение положительных и отрицательных зарядов. Они перераспределяются 182
так, что в одной части тела возникает избыток положительных зарядов, а в другой — отрицательных. Однако в обоих случаях выполняется следующий фундаментальный закон физикизакон сохранения элостркческого заряда: алгебраическая сумма электрических заряди тел или частиц, образукицих электрически изолированную систему, ио изме- няется при любых процессах, происходтцих в этой системе. В системе могут образовываться новые электрически заряженные частицы, напри- мер электроны вследствие ионизаций атомов и молекул, ионы за счет явления иониза- ции или электролитической диссоциации и др. Однако при этом одновременно рожда- ются частицы, заряды которых противоположны по знаку и в сумме равны нулю. Например, при ионизации атома образуется пара частиц — свободный электрон и од- нозарядный положительный ион. § 13.2. Закон Кулона 1. Силы взаимодействия неподвижных электрических зарядов подчиняются основ- ному закону электростатического взаимодействия, который был экспериментально установлен Ш. Кулоном (1785) с помощью крутильных весов. Поэтому силы электро- статического взаимодействия часто называют кулововскжаю ошш*. Закои Кулема утверждает, что . сила электростатического взаимодействия двух точечных эле- ктрических зарядов, находящихся в вакууме, прямо пропорци- , оняльиа произведению этих зарядов, обратно пропорциональ- на квадрату расстояния между зарядами и направлена вдоль соединяющей их прямой: (13.1) 9192 гд Здесь Гц — сила, действующая на заряд gj со стороны заряда д2; г12 — радиус-вектор, соединяющий заряд д2 с зарядом дь г=|г1г| (рис. 13.1); к — коэффициент пропорци- ональности (fc>0); Гц — сила, действующая на заряд дг со стороны заряда gi; гц» —m — радиус-вектор, соединяющий заряд 9i с зарядом д2 (на рис. 13.1 показан штрихами). 2. Коэффициент пропорциональности к в законе Кулона (13.1) зависит от выбора системы единиц. В СИ принимается, что коэффициент к — величина размерная нравная Л=1/(4яео), (132) где — ^овый коэффициент пропорцио- нальности, подлежащий определению из экспериментальных данных и называемый Fg fr>0 Га jpO %, г» Рис. 13.1 183
электрической постоянной, а множитель 4л при со введен для записи закона Кулона в рационализованной форме: <71?2_ 1 *21—Т-------~зГГ21- 4л8о г3- (13.3) Как показали эксперименты, 60=8,85 10"12 Кл2/(Н м2), fc= 1/(4jwo)=9 -10’ Н • м2/Кл2. В дальнейшее мы будем писать все формулы электродинамики в СИ. Здесь же лишь укажем, что при построении системы единиц СГС (гауссовой) для электродина- мических величин полагают коэффициент к в законе Кулона (13.1) безразмерным и равным единице: к— 1. Соответственно закон Кулона записывают в форме Fti—jjr r2i- (13.3') 3. Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечных зарядов аналогично тому, как в механике всякое тело можно считать совокупностью матери- альных точек. Поэтому электростатическая сила, с которой одно заряженное тело действует на другое, равна геометрической сумме сил, приложенных ко всем точечным зарядам второго тела со стороны каждого точечного заряда первого тела. Часто бывает значительно удобнее считать, что заряды распределены в заряженном теле непрерывно — вдоль некоторой линии (например, в случае заряженного тонкого стержня), поверхности (например, в случае заряженного проводника) или объема. Соответственно пользуются понятиями линейной, поверхностной и объемной плот- ностей зарядов. Линейная плотность электрических зарядов T=dg/d/, (13.4) где dq — заряд малого участка заряженной пинии длиной dZ., Поверхностная плотность электрических зарядов tr=dg/dS, (13.5) где dg — заряд малого участка заряженной поверхности площадью d<S. Объемная плотность элек1рическах зарядов P~dq/dV, (13.6) где dq — заряд малого элемента заряженного тела объемом dK ** Размеры элементов dl, dS в dF должны быть во много раз больше межатомных расстояний в твердых телах, но в то же .время они должны быть настолько малы, чтобы в пределах этих элементов неравномерностью в распределении электрических зарядов можно было пренебречь. Расчеты показывают, что закон Кулона в форме (13.3) справедлив также для электростатического взаимодействвд заряженных тел шарообразной формы, если заря- ды qi и qt распределены равномерно по всему объему или Но всей поверхности этих тел. При этом радиусы тел могут быть соизмеримы с расстоянием г между их центрами. § 13.3. Напряженность электрического поля 1. Количественной характеристикой силоцрго действия электрического поля на заря- женные частицы и тела служит векторная величина Е — напряженность электрического поля. Напряженность электрического поля равна отношению силы F, действующей со стороны поля на неподвижный точечный пробный .электрический заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля, к этому заряду $>: 184
E=F/go. (B.7) Пробный электрический заряд должен быть столь малым, чтобы его внесение в ноле не вызывало изменения значений и перераспределения в пространстве электрических зарядов, напряженность поля которых измеряется с его помощью. 2. Электрическое поле однородно, если во всех его точках векторы напряженности Е одинаковы, т. е. совпадают как по модулю, так и по направлению.. Сила, действующая со стороны электрического поля на помещенный в него произ- вольный («непробный») точечный электрический заряд д, равна F=gE. (13-8) Однако в отличие от (13.7) здесь Е — напряженность в месте нахождения заряда g для поля, искаженного этим зарядом, т. е. в общем случае отличного от того поля, которое было до внесения в него заряда д. 3. Кулоновское взаимодействие между неподвижными электрически заряженными частицами или телами осуществляется посредством их электростатического поля. Электростатическое поле представляет собой стационарное (не изменяющееся стечени- ем времени) электрическое поле. Напряженность электростатического поля точечного заряда д в вакууме можно найти из закона Кулона (13.3), положив в нем д\=д, дг=до иг21=П ' 1 Ч _ 4я«о г* (13.9) Здесь г — радиус-вектор, проведенный в рассматриваемую точку поля из той точки О, где находится заряд д. Таким образом, электростатическое поле точечного заряда является примером центрального поля: во всех точках поля векторы напряженности поля Е и силы F=9oE, действующей на положительный пробный заряд до, направлены радиально от точки О, если д>0, и к ней, если д<0. Проекция вектора Е на направление радиуса-вектора г равна £г_ 1 ч 4л«о г2 (13.10) 4. Графическое изображение электростатического поля с помощью векторов напря- женности Е в различных точках поля очень неудобно. Векторы напряженности при этом накладываются друг на друга, и получается весьма запутанная картина. Более нагляден предложенный М. Фарадеем метод изображения электростатических полей с помощью силовых линий. Линиями напряженности (еяловыми л ш <и) называются линии, проведенные в поле так, что касательные к ним в каждой точке совпадают по направлению с вектором напряженности поля (рис. 13.2). Линия напряженности считается направленной так же, как вектор Е поля в рассмат- риваемой точке линии. Например, на рис. 13.2 линия напряженности направлена слева направо. Линии напряженности не пересекаются, так как в каждой точке поля вектор Е имеет только одно определенное направление. На рис. 13.3 изображены известные из курса средней школы картины плоских сечений электростатических полей положитель- ного и отрицательного точечных зарядов, а также двух одинаковых по модулю одноименных и разноименных зарядов. В первых двух случаях поля обладают центра- льной симметрией. В случае поля двух одинаковых одно- именных зарядов д и д силовые линии искривлены. Одна- ко вдали от зарядов эти линии асимптотически прибли- жаются к прямым, которые проходят через точку, нахо- дящуюся посередине между зарядами: вдали от зарядов их поле подобно полю точечного заряда 2g, находящего- ся посередине. Из приведенных рисунков видно, что ли- нии напряженности начинаются на положительных заря- дах и оканчиваются на отрицательных. Рис. 13.2 185
Рис. 13.3 Линии напряженности не следу- ет отождествлять с траекториями движения в электростатическом по- ле очень легких заряженных частиц. Траектория частицы обладает тем свойством, что в каждой ее точке по касательной к ней направлена скорость частицы. По касательной же к линии напряженности напра- влена сила, действующая со сторо- ны поля на частицу, а также уско- рение частицы. 5. Рассмотрим электростатическое поле произвольной системы непо- движных точечных зарядов ди дг, дя, находящихся в вакууме. Экспери- ментально было показано, что ре- зультирующая сила F, действующая на пробный заряд д в любой точке поля, равна геометрической сумме сил F>, приложенных к заряду д со стороны каждого из зарядов gi: F= t F, i-1 (13.11) Из (13.7) следует, что F—дЕ и F/=gE(, где Е - напряженность поля системы зарядов, а Е| - напряженность поля одного заряда <?/. Подставив эти выражения в (13.11) и сократив на д, получим Е-£Е|. (13.12) i-1 Уравнение (13.12) выражает прилип суперпозиции электрических полей (нрвицп независимости действия электрических полей): напряженность электрического поля системы точечных зарядов равна сумме напряженностей полей каждого из этих зарядов в отдельности. Иными словами, результирующее поле можно рассматривать как простое наложе- ние (суперпозицию) полей каждого из зарядов системы порознь. Согласно (13.9), Ж,-.' U 4«0 Г/ (1319) где rt — радиус-вектор, проведенный от заряда в рассматриваемую точку поля. Поэтому для электростатического поля в вакууме уравнение (13.12) можно переписать в форме Е- ‘ 4л£П Г? (13.13) Если заряды системы распределены в пространстве непрерывно, то напряженность поля этой системы в вакууме, согласно принципу суперпозиции полей, Е='- 4лго dg Р (G) где г — радиус-вектор, проведенный в рассматриваемую точку поля из точки нахожде- ния малого заряда dg, а интегрирование проводится по всему заряду Q системы. 186 (13.14)
§ 13Л. Потенциал электростатического поля 1. Электростатическое поле точечного заряда 9< — центральное ж потому потенциаль- ное (см. $ 3.3). На точечный заряд q в этом поле действует сила Fi-fEb где Е, — напряженность поля (13.99. Работа этой силы на любой замкнутой траектории L точки приложения силы равна нулю: ^gEjdr^O (13.15) или ^E,dr=O. (13.16) (О Интеграл, стоящий в левой части соотношения (13.16), называется цкркултевей вектора Е,- вдоль замкнутого контура L. Итак, циркуляция вектора напряженности электрического поля точечного заряда qi вдоль произвольного замкнутого контура, проведенного в поле, равна нулю. Условие (13.16) является необходимым и достаточ- ным для того, чтобы поле напряженностью Е/ было потенциальным. Наряжеиность Е электростатического поля произвольной системы точечных заря- дов 9j, .... 9. связана с Е, соотношением (13.12), поэтому ^Edr-ф £ E|dr-£ ^Eidr. « W '-1 (Ц Учитывая (13.16), получаем <j>Edr»O. (13.17) Соотношение (13.17) свидетельствует о том, что любое электростатическое поле потенциально. 1 Работа SA, совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении dr точечного заряда q в этом поле, равна убыли потенциальной энергии IP, заряда 9 в рассматриваемом поле: M«9Edr= —dlPB. Для поля системы из л точечных зарядов dJPB-------------------------9 £ Efdr- -9 £ bdrb- (13.18) где г — радиус-вектор заряда q; r(«»r—R,; R; — радиус-вектор точки, в которой нахо- дятся заряд 9, (рис. 13.4). № (13.18) и (13.9) имеем для заряда, находящегося в электро- статическом поле в вакууме, dip,* — Е rjdr/= —т~ Е д 4яео f_ j г? 4жео Г После интегрирования получим >Рп=А У -+С, (13.19) 4мо, _ 1 П где С — произвольная постоянная интегрирования. Ее значение зависит от выбора начала отсчета потен- 187
циальной энергии заряда q в электростатическом поле. Для системы зарядов, имеющей конечную протяженность в пространстве, обычно полагают потенциальную энергию заряда q равной нулю в точке, бесконечно удаленной от всех зарядов qt системы, т. е. принимают в (13.19) постоянную С=0: К-Я Z (13.20) , 4«on Если заряды системы, поле которой рассматривается, распределены в пространстве непрерывно, то для напряженности поля справедлива формула (13.14) и потенциальная энергия заряда в поле равна W^q Г—+ С, (13.19) J 4Я£о>* (й) где интегрирование проводится по всему заряду Q системы. Соответственно при вышеуказанном выборе начала отсчета потенциальной энергии [Ж. (13.20) J 4я£ог (0 3. Из формул (13.20) и (13.2(У) видно, что потенциальная энергия точечного элект- рического заряда в электростатическом поле пропорциональна этому заряду q, т. е. не может служить характеристикой самого поля. Энергетической характеристикой поля служит его потенциал. Потенциалом электростатического поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии пробного точечного электричес- кого заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля, к этому заряду q: (p=Wa/q. (13.21) Из формулы (13.20) следует, что потенциалы электростатического поля одного точечного заряда и системы из л точечных зарядов в вакууме равны: 9t=qil(4i№ord, (13.22) (13.23) i-i 4ябог/ Таким образом, Ф=£ <ph (13.24) т. е. при наложении электростатических полей их потенциалы складываются алгебра-, ически. , ** Предполагается при этом одинаковый для всех Накладывающихся полей выбор точки, в кото- рой потенциал считается равным нулю. Например, в формулах (13.22) — (13.24) ф и все ф; об- ращаются в нуль в бесконечно удаленной .точке. Если заряды системы распределены в пространстве непрерывно, то потенциал их поля в вакууме при вышеуказанном выборе точки, в которой ф=0, равен (13.24*) I 4juqt (С) где интегрирование проводится по всему заряду Q системы. 188
4. Работа, совершаемая силами электростатичесхогополя при перемещении точечного заряда q из точки 1 поля (потенциал фО в точку 2 (потенциал ф2), равна •Л1-2=9(ф1—Vi)- (13.25) В частности, если q>2—0, то < ^1-2 Ф.=~. Следовательно, потенциал в какой-либо точке электростатического поля численно равен работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из этой точки поля в ту точку, где потенциал поля принят равным нулю. Выбор точки с нулевым потенциалом произволен и определяется только удобством решения каждой конкретной задачи. 5. Сила, действующая со стороны- электростатического поля на внесенный в него пробный точечный электрический заряд q, и потенциальная энергия этого заряда в поле равны F=?E, Wn—qtp. С другой стороны, между потенциальной силой и потенциальной энергией суще- ствует связь, выражаемая формулой (3.20): F= -grad Wu. Так как заряд q не зависит от координат точек поля, то grad (от»)=я grad р. Поэтому между Силовой характеристикой электростатического поля, напряженностью Е, и его энергетической характеристикой, потенциалом <р, существует следующая связь: ' Е= -grad<p. ' (13.26) В каждой точке поля проекции вектора Е на оси декартовой системы координат связаны с частными производными от потенциала по этим координатам соотно- шениями Ех----Е,= -г/, Ez=—~. (13.26') Bx у By Вг Элементарная работа сил электростатического поля на малом перемещении dr пробного заряда q 6A = qEdr=qEdlcos(E,dr)=qEidl, где dZ=|dr|, Ei — проекция вектора Е на направление перемещения dr. С другой стороны, 5А= —dFEn» — qd<p. Поэтому £}d/= —<1ф или (13-27) т. е. проекция вектора напряженности электростатического поля на произвольное направление численно равна быстроте убывания потенциала поля на единицу длины в этом направляли. Вдоль линии напряженности Ei и |dc>/dfl достигают максимального значения, равного |Е|. 0. Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потен- циала одинаковы, называется эпмпотеяДОльной поверхностью. 189
Если вектор dr направлен»по касательной к эквипотенциальной поверхности, то (d<p/d/)=O и Е/»0, т. с. dr±E. Следовательно, эквипотенциальные поверхности ор- тогональны линиям напряженности. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю. Существуют два способа графического изображения электростатических полей — при помощи линий напряженности или эквипотенциальных поверхностей. Эквипотен- циальные поверхности обычно строят так, чтобы разности потенциалов между любы- ми двумя соседними поверхностями были одинаковы. Зная расположение этих поверх- ностей, можно построить силовые линии и найти значения напряженности поля. § 13.5. Электростатической поле электрического диполя в вакууме 1. Электрическим двволем называется система, состоящая из двух точечных элект- рических зарядов <?>0 и —q, рзлстсхвяе I между которыми мало по сравнению с расстоянием г от этой системы до рассматриваемых точек ее поля. м Оказалось, что такая модель очень неплохо описывает электрические свойства атомов и молекул, а также влияние на них внешнего электрического поля. Поэтому в физике широко пользуются представлением атомов и молекул в виде электрических диполей. Плечом диполя называется вектор I, направленный по оси диполя от отрица- 0 _ Е А Е Е тельного заряда к положительному и по ~о ? г? г ____________< с * г-* модулю равный расстоянию между ними П Г] (рис. 13.5). Произведение положительного _»_2—заряда q диполя на плечо I называется г ' электрическим моментом диюля р« (ди- Uвольным электрическим моментом): Р.=<Д. (1328) Рис. 13.5 Вектор р, совпадает по направлению с плечом диполя. 2. В соответствии с принципом суперпозиции полей напряженность в произвольной точке поля диполя Е=Е+ +Е_, где Е+ и Е_ — напряженности полей зарядов q и —д в рассматриваемой точке. Если точка А расположена на оси диполя (рис. -13.5), то векторы Е+ и Е„, направлены также вдоль этой оси, но только во взаимно противоположные стороны. По формуле (13.9), да _ 1 Я м да ____ 1 Я Е+ «ГЬ Е~ _ Tj, 4явоН 4я£оп где Г| и rj — радиусы-векторы, проведенные в точку А из точечных зарядов q и —д, прячем Г1=г—Ц2 Т1=г+Ц2. Векторы г и rj совпадают по направлению с вектором I, поэтому _ 1 q I + ~4»и0(г-//2)1? _ ! q I 4яво (r+Z/2)1 ? Е____1 giT 1 1 1- 1 2zgI 4w<> I [(г-//!)2 * ч (r+//2)2J 4л£0(г2-/2/4)2’ Потенциал поля в точке А равен сумме потенциалов полей точечных зарядов q и — д: 1 / я________я \ 1 я! ч 4хсо\Г~1/2 r+1121 inter1—РЦ' 190
Так как для поля диполя Р-^кг3 и ql~pe, то напряженность и потенциал Поля в точке А на оси диполя равны ч . Е-.-Ц', g>=-—J (13.29) 4«о г* Лякот* 3. Рассмотрим теперь точку В поля, которая находится на перпендикуляре, восстанов- ленном к осн диполя из его середины О (ряс. 13.6). В этой точке Из рис. 13.6 видно, что IE +Е I___1 2^смв___1 # + 4«о гг+Р/4 4яео (г»+Р/4),/2’ причем вектор Е-Е+ +Е_ параллелен электрическому моменту р, диполя и направлен в противоположную сторону. Следовательно, напряженность поля диполя в точке В(г*»Р) Е=—-LJ. (13.30) 4П0Г1 Точка В равноудалена от зарядов q и —q диполя, поэтому потенциал поля в точке В равен нулю: —7===)=0. (13.30Э ♦«о Wri+/2/4 4. Расчет поля диполя в произвольной точке С с полярными координатами тиа (рис. 13.7) удобнее всего произвести с помощью следующего вспомогательного приема. Опустим на прямую NC, соединяющую заряд —q диполя с точкой С, перпендикуляр МК, проведенный из точки М, где находится заряд q даполя. Поместим в точку К два точечных заряда q и — q, которые полностью нейтрализуют друг друга и не искажают поля диполя. Четыре заряда, находящиеся в точках М, N и К, можно рассматривать как два диполя (NK и МК). Ввиду малости расстояния I nd сравнению с г угол CNMи а. Поэтому модули электрических моментов первого и второго диполей соответственно равны . Рл=ql cos a=p«cosa, Pa^qlsiii a=A sin a. 191
Для первого диполя точка С лежит на его оси, а для второго — на перпендикуляре, восстановленном в средней точке оси. По формулам (13.29) и (13.30), напряженности Е1 и Ег полей каждого из диполей в точке С равны Ei=-i-^,E2-------L^2. (13.32) 4iuq г3 4яво г Векторы ре1 и Ре2, соответственно Е] и Ej, взаимно перпендикулярны, поэтому модуль напряженности поля диполя MN в точке С Г I Подставив сюда значения рл яраяз (13.31), получим Е— —т/Зсов2а+1. 4я®о ' (13.33) Потенциал поля диполя в точке С равен сумме потенциалов в этой точке для полей двух диполей (NK и МК): Ф=Ф1+ф2, хде tpi я <рг находятся по формулам (13.29) и (13.30). Таким образом, 1 Рл .1 РеССЖа 4мо г3 4мо г2 (13.34) ( 5. Из предыдущего видно, что расчет потенциала поля диполя (13.34) производится с помощью принципа суперпозиции полей значительно проще, чем расчет напряжен- ности того же поля (13.33). Это связано с тем, что потенциалы складываются алгебра- ически, а напряженности — геометрически. Однако, зная выражение (13.34) для потен- циала ф, можно найти напряженность поля диполя, пользуясь взаимосвязью между потенциалом и напряженностью электростатического поля. Из (1327) следует, что проекции Ег я Е„ вектора Е напряженности поля диполя на полярный радиус-вектор г и на вектор, проведенный в рассматриваемой точке поля перпендикулярно г в сторону возрастания полярного угла а, равны S<p 1 2p«cosa г3 ’ _ 1 pcsma “ г За 4я«о г3 (13.35) Отсюда следует, что для E—^E^+Ei справедлива формула (13.33). Вопросы: 1. При каких условиях силы взаимодействия двух заряженных тел можно найти по закону Купона? 2. Как можно практически обнаружить существование электрического поля? Как можно об- наружить существование магнитного поля? 3. Всегда ли при наложении электростатических попей потенциал результирующего поля равен алгебраической'сумме потенциалов накладывающихся полей? 4. От чего зависит работа, совершаемая силамй ЗЛектростатического поля при переносе в нем точечного заряда? 5. Как связаны между собой силовая и внергетическая характеристики электростатического поля — его напряженность и потенциал? 192
Глава 14 _______________________,_______ Теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля в вакууме §14.1. Теорема Остроградского — Гаусса 1. Потоком (элементарным потоком) напряженности электрического поля сквозь малый участок поверхности, проведенной в поле, называется величина d(V=EdScos(E, n)=EdS. (14.1) Здесь Е — вектор напряженности электрического поля в точках малого участка поверх- ности площадью dS; п — единичный вектор, нормальный к площадке dS, а вектор dS=dSn. *• Малый участок поверхности выбирается так, чтобы в его пределах можно было пренебречь неоднородностью поля и кривизной поверхности. Так как Е cos (Е, п)=Е„ — проекция напряженности поля Е на направление нормали в, a d5cos (Е, n)=dSi — площадь проекции площадки dS на плоскость, перпендикуляр- ную вектору Е, то (14.1) можно также переписать в форме dN=E„dS=EdSt. (14.2) Поток напряженности N сквозь любую поверхность 5 равен алгебраической сумме потоков напряженности сквозь все малые участки этой поверхности: N=j EdS=j EdScos(E?n)= j E„dS=j EdSx. (14.3) (S) (S) (S) При этом все векторы п нормалей к малым площадкам dS нужно направить в одну й ту же сторону относительно поверхности S. Например, в случае замкнутой поверх- ности S всюду в дальнейшем под п понимаются векторы внешних нормалей, т. е. направленные вовне из области, ограниченной этой поверхностью. 2. Найдем, чему равен поток напряженности электростатического поля сквозь произ- вольную замкнутую поверхность, проведенную в этом поле. Рассмотрим электростати- ческое поле системы точечных зарядов qi, qi, 9л- Согласно принципу суперпозиции электрических полей (13.12), ' ДГ= jEdS= J £ (5) (5) E,dS= £ . i-1 E,dS= f М, (14.4) т. е. искомый поток N равен алгебраической сумме потоков через ту же замкнутую поверхность S напряженностей полей каждого из зарядов системы. Таким образом, наша задача сводится к расчету потока напряженности поля одного точечного заряда д,. Возможны два случая: 1) замкнутая поверхность S’ охватывает заряд д„ т. е. он находится внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью S, a 2) замкнутая поверхность S не охватывает заряд д,. 7 Курс физики 193
Рис. 14.1 Рис. 14.2 3. Рассмотрим сначала первый случай (рис. 14.1). Поток напряженности dN сквозь малый элемент dS поверхности найдем по формулам (14.3) и (13.9'): dM=£i(dSi)i=A1 (14.5) 4яео г, С точностью до малых'.высшего порядка малости можно считать, что (dSi), совпадает с площадью (dS^); проекции элемента dS поверхности S на поверхность сферы радиуса г, с центром в месте нахождения заряда т. е. d№~ * (14.5') 4Ж£о rf Из школьного курса математики известно, что часть пространства, ограниченная замкнутой конической поверхностью, называется телесным углом. Мерой телесного угла ш служит отноп^енне площади <$,$, вырезаемой конической поверхностью на сфере произвольного радиуса г с центром в вершине О конической поверхности (рис. 14.2), к квадрату радиуса: w=Sc^/r2. Если £$=г1, то ш=1 ср. Площадь поверхности всей сферы равна 4ЯГ2, поэтому телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий собой все пространство, равен 4я ср. Из сказанного ясно, что отношение (dS’oJ,)j/»'?, входящее в формулу (14.5'), есть не что иное, как телесный угол dal, под которым элемент dS’ замкнутой поверхности S виден из точечного заряда qf. dN,= Ч‘ du.. (14.6) 4п£о Ni= (14.7) Интегрируя это выражение по всей поверхности S, т. е. по ш,- от 0 до 4я, находим поток напряженности электростатического поля точечного заряда д, сквозь замкнутую поверхность S’, охватывающую этот заряд: 4я f J ео 4я s0' в При выводе соотношений (14.*5') (14.7) мы предполагали, что заряд д,>0 (см. рис. 14.1). Однако все эти соотношения в равной мере справедливы и в том случае, когда q, < 0. Все отличие в вышеприведенном выводе состоит лишь в том, что при д;<0 соотношение (14.5) имеет вид dM=-£(dSi),=J * (dSj.),<0. 4пеоГ 194
4. Если замкнутая поверхность S не охватывает заряд ф (рис. 14.3), то касательная к ней коническая поверхность с вершиной в точке О, где находится заряд разбивает поверхность S (ради простоты предполагается, что поверхность S всюду выпуклая) на две части: Si и S2. Поток напряженности сквозь поверхность S равен алгебраической сумме потоков Na и Na соответственно сквозь поверхности Si и <Sj: Поверхности S] и S2 видны из точки О под одним и тем же телесным углом coh Поэтому Nn и Na равны друг другу по абсолютному значению: ' М |M1| = |№| = Z- <В/. Однако если для всех элементов поверхности Si углы между векторами Е< и внеш- ними нормалями и острые (при ф>0), то для всех элементов поверхности S2 эти углы тупые. Следовательно, Таким образом, поток напряженности электростатического поля точечного заряда 91 в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность S, не охватывающую этот заряд, равен нулю. 5. Из (14.4), (14.7) и (14.8) следует, что <|)EdS=—. (14.9) J £0 (5) Уравнение (14.9) выражает теорему. Остроградского — Гаусса для электростатичес- кого поля в вакууме: поток напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы элект- рических зарядов* охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной д*. Напомним, что при вычислении потока напряженности (14.9) векторы dS малых участков замкнутой поверхности S нужно направлять по внешним нормалям. При решении задач замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме Остроградско- го - Гаусса, часто называют гауссовой поверхностью. в. Теорема Остроградского — Гаусса (14.9) теснейшим образом связана с законом Кулона, согласно которому сила F электростатического взаимодействия двух точечных зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними. Именно поэто- му напряженность Е< поля точечного заряда qi также обратно пропорциональна квад- рату расстояния г, от заряда: Е{~гГ2- Если бы зависимость Fот г и Е) от г( была иной, т. е. F~ra н Ei~r?, где а^= — 2, то вместо (14.6) мы бы получили Л- У* dM=E(dS(=-‘- r?dw,= rf+1 dw„ 4яео 4яео 1 При а/ —2 результат интегрирования этого выражения по замкнутой поверхности S должен зависеть от формы и размеров поверхности S, т. е. в этрм случае теорема Остроградского — Гаусса не должна была бы выполняться. Следовательно, справед- 195 г
ливость теоремы Остроградского — Гаусса и всех следствий из нее служит надежным подтверждением правильности закона Кулона. 7. С помощью теоремы Остроградского — Гаусса легко доказать одну из основных теорем электростатики — теорему Ирвшоу: система неподвижных точечных элект- рических зарядов, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть устойчивой. Произвольный точечный заряд q системы находится в положении устойчивого равновесия, если при любом малом смещении заряда q из этого положения на него действует со стороны электростатического поля Е остальных зарядов сила F=gE, направленная к положению равновесия. Пусть S — замкнутая поверхность, охватыва- ющая заряд q и соответствующая столь малым его смещениям из положения равнове- сия во всевозможных направлениях, что все другие заряды системы находятся вне этой поверхности. Тогда в случае устойчивого равновесия заряда q действующая на него сила F образовала бы тупой угол с внешней нормалью к замкнутой поверхности S, так что должно было бы выполняться условие ^FdS=9 ^EdS<0. IS) (S) Однако это соотношение противоречит теореме Остроградского — Гаусса, соглас- но которой j>EdS=O, (Я так как замкнутая поверхность S не охватывает ни один из точечных зарядов, участву- ющих^ создании' поля Е. 8. Теорема Ирншоу сыграла важную роль в развитии теории строения вещества, так как она показала, что атомы и молекулы представляют собой не статические, а дина- мические системы заряженных частиц. В электростатике для объяснения устойчивости различных рассматриваемых систем зарядов пользуются формальным представлением о добавочных силах Пли связях, неэлектростатического происхождения, обеспечива- ющих эту устойчивость*. Так, в идеальном проводнике носители заряда могут свобод- но перемещаться по всему объему и поверхности проводника. Однако на поверхности проводника действуют неэлектростатические силы, которые препятствуют выходу носителей заряда за пределы проводника. Например, электроны проводимости нахо- дятся в металлическом проводнике в потенциальной яме. В идеальном диэлектрике действуют такие неэлектростатические силы, которые обеспечивают полную неподвиж- ность свободных зарядов, вносимых в диэлектрик. § 14.2. Применение теоремы Остроградского — Гаусса к расчету электростатических полей в вакууме 1. Метод расчета электростатических полей, основанный на использовании принципа суперпозиции полей, применим к расчету поля любой системы зарядов. Это универ- сальный метод расчета электростатических полей. Однако, как правило, он связан с более или менее трудоемкими математическими операциями суммирования или интегрирования. В ряде случаев значительно более простым оказывается метод, ос- нованный на использовании теоремы Остроградского — Гаусса (14.9). Этот метод особенно удобен для расчета электростатических полей симметричных систем зарядов. Поля таких систем зарядов обладают заранее известной симметрией, обусловленной симметрией в конфигурации зарядов. Поэтому можно так выбрать гауссову поверх- ность, проходящую через рассматриваемую точку поля, чтобы поток напряжённости поля сквозь эту поверхность легко выражался через искомое значение вектора напря- женности Е. *См.: Тамм И. Е. Основы теории электричества. М., 1966. С. 98. 196
2. Рассмотрим несколько примеров расчета полей симметричных систем зарядов. б/6о б>0 бЯ/в0 - Пример 1. Поле заряда q, равномер- |\ | \ но распределенного по поверхности сфе- । \ \ ры радиуса R с поверхностной плотно- । V | стыо a—q!{AnR2). . Система зарядов и, следовательно, ] _ само поле центрально-симметричны от- q р ----р--------:—*; носительно центра О сферы. Вектор на- пряженности поля имеет только ради- альную составляющую: Е=£гг/г, где - • Рис. 14.4 г радиус-вектор, проведенный из цен- тра О сферы в рассматриваемую точку поля; Ег проекция вектора Е на радиус-вектор 1, одинаковая во всех точках, равноудаленных от центра О. Поэтому за гауссову поверхность 5 следует взять сферу радиуса г с центром в точке О. Тогда ^EdS=^E,dS=Er СТ СТ' 4 nr3 d.S=£,4nr2. Если r^R, то <7охв = <7 и, по теореме Остроградского Гаусса (14.9), Если r<R, то qmt—0 и Ег=0, т. е. внутри заряженной сферы поля нет. Потенциал поля (р найдем из формулы (13.27) связи между потенциалом и напряженностью поля: £>= — d<p/dr. Полагая lim с>=0, получаем, что потенциал поля вне сферы равен Ф=- Я dr= 4 4я£о г2 4л£()Г (14.10') Из (14.10) и (14.10') видно, что вне заряженной сферы радиуса R поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, так что потенциал всюду одинаков н такой же, как на ее поверхности: График зависимостей Е, н q> от г для случая, когда а>0, показаны на рис. 14.4. Пример 2. Поле заряда q, равномерно распределенного в вакууме по объему шара радиуса Ас объемной плотностью р=3<?/(4яЯ3). Центр ‘шара О является центром симметрии поля. Поэтому дтя гауссовой поверхности S в виде сферы радиуса г с центром в точке О EdS = Er4nr2, где Ег проекция вектора Е на радиус-вектор г, проведенный.из точки О в рассматриваемую точку поля; Е=Е,=£гг/г. Связь потенциала q> с Е имеет вид Er=— d<p/dr. ~ Если г R, то ^О1[В = q и (14.11) 4л£оГ2’ 4лЕ()Г 197
В частности, при г=Я 4пео№ Зе0 „(Д)„ 7 4«оЯ Зао Если r<R, то ^охв—*/>яг*p**qr*IR3 и £д <гг ' 4пеоЯ3 Это’ Из связи между <р и £ следует, что для г < R Г ф»ф(£)~ Jf^dr, К так что "»-**/• „.-А 3«о бго (1'4.119 (14-12) (14.129 Графики зависимостей Е, и ср от г для случи, когда р>0, показаны на рис. 14.5. Принт 3 Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхност- ной плотностью о по круговой цилинд- рической поверхности, радиус R которой во много раз меньше длины / обязу- ющей. Вдали от концов заряженной поверх- ности и на расстояниях г от ее оси О (У, малых по сравнению c l, поле можно считать осесимметричным — векторы Е направлены перпендикулярно оса (ХУ и радиально от нее (если ®>0) и к ией (если о<0). За гауссову поверхность S’ удобно взять поверхность кругового цилиндра радиуса г я высоты Я-*г( ось которого совпадает с (ХУ, а основания перпендикулярны оси. Тогда EdS-=£r2wH, где Ег проекция вектора Е на радиус-вектор г, проведенный от oat О(У в рассматриваемую точку поля и направленный перпендикулярно О(У. Потенциал поля зависит только от г и удовлет- воряет соотношению £,= —йф/<1г. Если r<R, то 9au"° и £r”0, а ср —const (внутри цилиндра радиуса R поля нет). Удобно принять эту константу равной нулю, т. е. принять ф—О вточках оси О(У. Если г>Л, то qolB—o2kRH**iH, где т—о2яЯ — линейная плотность заряда. Поэтому tipr 2я1ег <тЯ -г т , г Ф“-----fa - - --— to И) R 2я£о R (14.13) j. 198
Графики зависимостей Е, и ф от г для случая, когда о 0, показаны на рис. 14.6. Пример 4. Поле заряда, равномерно рас- пределенного с объемной плотностью р по - объему кругового цилиндра, радиус R кото- рого во много раз меньше длины I обязу- ющей. Вдали от конца заряженного цилиндра и на расстояниях г«/ от его оси ОСУ поле можно считать осесимметричным — векто- ры Е направлены перпендикулярно оси ОСУ и радиально от нее. (если р>0) или к ней (если р<0). Выбирая гауссову поверхность 5 так же, как в предыдущем примере, полу- им, что в области поля, где г<Я, ?ов«»ряг2Н, так что 2ft v=__ 4ft (14.14) В частности, при r**R 2ft 4ft (14.14') В области.поля, где г>Я, и Потенциал поля Ф-ф(Я)- | (1+21п~ J 4ft \ R (14.15) (14.15Э Графики зависимостей Ег и <р от г для случая, когда р>0, проказаны на рис. 14.7. Прчгр 5. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью а по плоскости. Эта плоскость (л» О) является плоскостью симметрии поля, векторы напряженности Е кото- рого направлены перпендикулярно плоскости от нее (если <г>0) или к ней (если и<0). За гауссову поверхность S удобно принять поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания площадью AS параллельны ей и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях. Так как векторы Е направлены вдоль осн ОХ (Е»£н) £х(х) - - Еж(-х), то E<iS**2£jtА,?, Опц” <гES, <3) где Еж — проекты вектора Е на ось ОХ в точках с координатами х>0. Таким образом, в £хъ.— если х>0, 2ft в Ех** ——, если х<0. 2ft Общая ж^рмуда для напряженности в любой точке поля имеет вид Ex’*--------- 2ft И - (14.16) 199
Таким образом, поле заряженной плоскости всюду следа от нее однородное и всюду справа от нее тоже однородное. Однако при переходе через эту плоскость из одной области поля в другую вектор напряженности Е изменяет скачком свое направление на противоположное. Так как Ex——dcp/dx, то, полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости х—0, получаем: dtp а с а)ср = -~~х (х>0); dx Zfio 2ео de? с с б)т^=у-, Ф=~-х (х«0). dx 2fo Общая формула, справедливая при любых значениях х, имеет вид 9~ 14 (14.16-) Графики зависимостей Ех и ср от х для случая, когда а>0, показаны на рис. 14.8. Пример 6. Поле двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с равными по абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов н>0 и — а (рис. 14.9). Из примера 5 ясно, что векторы Ei и напряженностей полей первой и второй плоскостей равны по модулю [Е\ И всюду направлены параллельно оср ОХ, ортогональной заряженным плоскостям. При этом векторы Ег (показаны сплошными стрелками) направлены от положительно заряженной первой плоскости, а векторы Ег (показаны штриховыми стрелками) — к отрицательно заряженной второй плоскости. По принципу суперпозиции полей напряженность поля двух плоскостей Е=Е| +Ej. Таким образом, слева от плоскости 1 и справа от плоскости 2, т. е. в областях х<0 и x'Std, Е=0. В области между плоскостями Ej=Ei и E=2Ej. Следовательно, Ех=0, если х<0 и x>d, а в области 0<x<d ЕЖ=2£1Х= о/ео- (14-17) Поле между плоскостями однородное. Зависимость ср(х) найдем, интегрируя уравнение Ех— —d<p/dx и полагая потенциал плоскости 1 равным f>i: а)|^=0, с>=ф(0)=ф1 (х«0); dx de? а а б)— =-—, ---х (0<x<d). (14.17/) dx со «о В частности, при x=d, ср2~<Р\ —odjeo, т. е. разность потенциалов плоскостей равна «>1-ф2=-<4 (14.18) - со d(p в)--=0, (х><0- dx 200
Рис. 14.9 Рис. 14.10 Графики зависимостей Ех и <р от х показаны на рис. 14.10. 3. На основании рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы от- носительно зависимостей напряженности и потенциала электростатического поля в ва- кууме от координат точек в этом поле: 1) напряженность электростатического поля в вакууме изменяется скачком при перехо- де через заряженную поверхность; 2) при переходе через границу области объемного заряда напряженность поля в ваку- уме изменяется непрерывно; 3) потенциал поля' всегда является непрерывнрй функцией координат (скачкообразное изменение потенциала поля означало бы возможность совершения в этом поле конеч- ной по величине работы над электрическим зарядом при его перемещении, равном нулю). Вопросы: 1. Чему равен поток напряженности электростатического поля в вакууме через замкнутую поверхность? Как зависит результат от выбора направления нормалей к малым участкам этой поверхности? 2. Расчет каких электростатических полей удобно производить на основе теоремы Остроградс- кого — Гаусса? Как при этом нужно выбирать замкнутую поверхность? 3. Почему при переходе через заряженную поверхность напряженность электростатического поля в вакууме изменяется скачком, а при переходе через границу области объемного заряда — изменяется непрерывно? 4. Почему потенциал электростатического поля всегда является непрерывной функцией коор- динат? S. Каким образом теорема Остроградского — Гаусса и следствия из нее могут служить косвен- ным подтверждением справедливости закона Кулона?
Глава 15_____________________5_______________ Электростатическое поле в диэлектрической среде § 15.1. Дипольные моменты молекул диэлектрика 1. Диэлектриками называются вещества, которые при обычных условиях практически не проводят электрический ток. 1 Согласно представлениям классической физики, в диэлектриках в отличие от про- водников нет свободных носителей заряда — заряженных частиц, которые могли бы прийти под действием электрического поля в упорядоченное движение и образовать электрический ток проводимости. К диэлектрикам относятся все газы, если они не подвергаются ионизации, некоторые жидкости (дистиллированная вода, бензол, нефтя- ные, синтетические и растительные масла и др.) и твердые тела (стекло, фарфор, слюда, поливинилхлорид и др.). Удельное электрическое сопротивление диэлектриков p~106-r-!0*s Ом м, тогда как у металлов р~10~в = 10-в Ом-м. Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны:-суммарный заряд электронов н атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. Тем не менее молекулы обладают электрическими свойствами. В первом приближении молекулу можно рас- сматривать как электрический диполь с электрическим моментом рг=?1. Здесь q — суммарный положительный заряд всех атомных ядер в молекуле, 1 — вектор, прове- денный из «центра тяжести» электронов в молекуле в «центр тяжести» положительных зарядов атомных ядер. 2. Диэлектрик называется неполярным (диэлектриком с пеподяряыош молекулами), если в отсутствие внешнего электрического поля «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов в молекулах этого диэлектрика совпадают (1=0) и дипольные моменты молекул равны нулю. Таковы, например, молекулы Hj, Nj, Ог, СС1Ч и др. Во внешнем электрическом поле происходит деформация электронных оболочек атомов н молекул. «Центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смещаются друг относительно друга (1^0). Соответственно неполярная молекула диэлектрику приобретает во внешнем элект- рическом поле индуцирован»™ (наведенный) дипольный электрический момент р„ про- порциональный напряженности Е внешнего поля. Покажем это на модели атома, изображенной на рис. 15.1, а. Положительно заряженное ядро атома точечный заряд q - находится в центре О облака электро- нов, имеющего форму шара, радиус R которого равен размеру атома м). Рис. 15.1 Если атом многоэлектронный, то прибли- женно можно считать, что отрицательный заряд электронов равномерно «размазан» по всему объему атома-шара с постоянной объемной плотностью р= — 3q/(4itR3). Во внешнем электрическом поле напряженно- стью Е на ядро атома действует сила оЕ, а на объемный заряд — сила — оЕ. Пря этом центр О объемного заряда смещается относительно ядра атома на такое расстоя- ние I в сторону, противоположную направ- лению вектора Е, при котором^ сила gEi, действующая на ядро со стороны объем- ного заряда, уравновешивает ейлу qE, дей- 202
ствующую на ядро со стороны внешнего поля (рис. 14.1, б): ?E+9E|«>0, откуда Е1 = — Е й Et **Е. Напряженность поля объемного заряда при 1<R можно найти по формуле (14.12), положив в ней г—I: F pl ql 1 Зео 4яеоЯ*' Так как Е| —Е, то индуцированный дипольный электрический момент атома Р'~д1=4кеоЯ3Е. (15.1) Вектор р„ как видно из рис. 15.1, б, совпадает по направлению с вектором Е. Поэтому р,=а«оЕ, (15.2) где а=4я£3 — поляркзуемость атома (молекулы), зависящая только от объема атома . (молекулы). Исходя из формулы (15.1), легко показать, что l«R при всех возможных значениях напряженности внешнего поля вплоть до Иг — 10* В/м (при таких значени- ях Е происходит электрический пробой электроизоляционных материалов): , 4яеоЯ’ 1О"эо1О* 1У2. КГ* М~10 “• Неполярная молекула подобна упругому диполю, длина плеча которого пропорци- ональна растягивающей его силе, т. е. пропорциональна напряженности внешнего электрического поля. Тепловое движение неполярных молекул никак не влияет иа возникновение у них индуцированных электрических моментов: векторы р, всегда совпадают по направлению с вектором Е, а поляризуемость а не зависит от тем- пературы. Это связано с очень малой инертностью электронов, которые смещаются в молекуле Всегда в направлений силы —еЕ, действующей на них со стороны внешнего электрического поля. 3. Полярным диэлектриком (диэлектриком с полярными молекулами) называется такой диэлектрик, молекулы (атомы) которого имеют электроны, расположенные несиммет- рично относительно атомных ядер (НгО, спирты, поливинилхлорид и др.). В таких молекулах «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают даже в отсутствие внешнего электрического поля. Во внешнем электрическом поле полярная молекула, так же как и неполярная, деформируется. Однако эта р деформация столь мала, что ею можно в первом прибли- £ жении пренебречь, т. е. считать, что полярная молекула пО // J* *~qE своим электрическим свойствам подобна жесткому дню- / лю, у которого имеется постоянный по модулю элект- X / рический момент (pt** const). д В однородном внешнем электрическом поле на жест- ~?Е 1 кий диполь действует пара сил дЕ и — дЕ (рис. 15.2), модуль момента которой Р*10- 15 2 iM^qElsD-B^ptEane. (15.3) ил М=(р«Е]. (15.4) лярно плоскости векторов р( и Е так, что из конца к Е по кратчайшему пути видно происходящим против часовой стрелки. В случае, показанном на рис. 15.2, вектор М направлен за чертеж. ’ Внешнее поле стремится развернуть диполь так, чтобы ао электрический момент 203
р, совпадал по направлению с напряженностью поля Е. Такая ориентация диполя соответствует состоянию его устойчивого равновесия в однородном электростатичес- ком поле. Жесткий диполь, находящийся в электростатическом поле, обладает потенциаль- ной энергией Wu. При повороте диполя на малый угол d0 силы поля совершают работу SA за счет соответствующего уменьшения потенциальной энергии диполя: SA=Md0 = —peEsin 0d0= -dlT,,.' Интегрируя это выражение для d!7n по углу в в пределах от 0 до л/2 и полагая Wn=0 при 0=л/2,. получаем О я/2 п/2 J dlFn= J p,Esin0d0= — реЕ J dcos0 и>п е в ' или Я'п= —p»Ecos 0= —р,Е. (15.5) В положении устойчивого равновесия (0=0) потенциальная энергия диполя имеет минимальное значение, равное ~р*Е. Если диполь находится в неоднородном поле, напряженность Е которого изменяет- ся на длине I диполя, то на него действует не только вращающий момент M=[ptE], но также еще и результирующая сила _ -,ЗЕ SE F=gE+ —qE_ = 9/ —=р, Я., 01 01 где Е4 и Е_ — напряженности поля в точках, где находятся заряды qи — q диполя, a cE/cl — производная вектора Е по длине в направлении оси диполя, т. е. в направле- нии вектора рг. В векторном анализе доказывается, что _ ЗЕ . 5Е ЗЕ F-fe^+fe^+p.,-. (15.6) где р^х, р^ и ра — проекции р, на оси декартовой системы координат. С другой стороны, из выражения (15.5) для потенциальной энергии диполя в элект- ростатическом поле и формулы (3.20) следует, что силу, действующую на диполь в этом поле, можно также представить в форме F=grad(peE). (15.7) Под действием этой силы диполь, электрический момент которого образует острый угол с вектором Е напряженности поля, втягивается в область более сильного поля. § 15.2. Поляризация диэлектриков 1. Если полярный диэлектрик не находится во внешнем электрическом поле, то в результате теплового движения молекул векторы их дипольных электрических моме- нтов ориентированы беспорядочно. Поэтому сумма дипольных моментов всех моле- кул, содержащихся в любом макроскопически малом объеме* ДУ диэлектрика, равна нулю. В неполярном диэлектрике в отсутствие внешнего электрического поля равны нулю дипольные моменты каждой отдельной молекулы. ‘Предполагается, что ДУ во много раз больше объема одной молекулы, так что в объеме ДУ содержится еще столь большое число молекул, что к ним применим статистический метод. 204
При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит поляризация диэлектрика, состоящая в том, что в любом макроскопическом Малом его объеме А К возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул. Диэлектрик, находящийся в таком состоянии, называется поляризованным. В зависимости от строения молекул (атомов) диэлектрика различают три типа поляризации: ориентационную, электронную и ионную. Ориентационная поляризация наблюдается у полярных диэлектриков. Внешнее элек- трическое поле стремится ориентировать дипольные моменты полярных молекул жестких диполей по направлению вектора напряженности поля. Этому препятству- ет хаотическое тепловое движение молекул, вызывающее беспорядочный разброс диполей. В итоге совместного действия поля и теплового движения возникает преиму- щественная ориентация дипольных электрических моментов вдоль поля, возрастающая с увеличением напряженности электрического поля и с уменьшением температуры. Электронная (деформационная) поляризация осуществляется у неполярных диэлект- риков. Под действием внешнего электрического поля у молекул диэлектриков этого типа возникают индуцированные дипольные моменты (15.2), направленные вдоль поля, т. е. по направлению вектора Е. Тепловое движение молекул, как было отмечено выше, не влияет на электронную поляризацию. В газообразных и жидких полярных диэлектриках электронная поляризация происходит одновременно с ориентационной. Ионная поляризация происходит в твердых диэлектриках, имеющих ионную кри- сталлическую решетку. Внешнее электрическое поле вызывает в таких диэлектриках смещение всех положительных ионов в направлении напряженности Е поля, а всех отрицательных ионов в противоположную сторону. • 2. Количественной мерой. поляризации диэлектрика служит вектор Р, называемый полярнзованностью (вектором поляризации) и равный отношению электрического ди- польного момента малого объема диэлектрика к этому объему А К: °5'8’ где р(1 электрический дипольный момент i-й молекулы; п общее число молекул в объеме А К Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его пределах электричес- кое поле можно было считать однородным. В то же время число п молекул в объеме А И-должно быть достаточно велико, чтобы к ним можно было применять статистичес- кие закономерности (л» 1). В пределах малого объема А К все молекулы неполярного диэлектрика приобрета- ют в электрическом поле одинаковые индуцированные электрические моменты ре. Поэтому поляризованность неполярного диэлектрика в электрическом поле напряжен- ности Е равна Р=лоре, (15.8') где л0 концентрация молекул (ло=л/AF). Используя для р, формулу (15.2), получаем Р=лоаЕоЕ=ХЕОЕ, (15.9) где у=ал0 бе зразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью неполярного диэлектрика (у>0). Из механизма поляризации неполярного диэлектрика и выражения (15.9) видно, что диэлектрическая восприимчивость такого диэлектрика не зависит явно от его температуры. Температура может влиять на значения у лишь косвенно через концентрацию молекул. 3. Поляризованность полярного диэлектрика Р=^ХР« = Д^<Ре>="О<Ре>. |де <р,) среднее значение вектора дипольного момента для всех л молекул, содер- жащихся в малом объеме А К диэлектрика. Векторы pd молекул — жестких диполей 205
одинаковы по модулю и различаются только ориентациями в поле. Можно показать, что при поляризации полярных диэлектриков в слабых электрических полях, напряжен- ность Е которых удовлетворяет условию Е«.кТ)рл Е. ЗкТ (15.10) Следовательно, поляризованность полярного диэлектрика в слабых полях можно найти по формуле (15.9), полагая долсктрвческую восприимчивость у полярного диэлек- тряка равной ИоР? У =----. А Ъ&Т (15.11) Эта формула для у называется формулой Дебая — Лявжеясш. 4. Выражение (15.10) и вытекающую из него формулу Дебая — Ланжевена (15.11) можно полу- чить, основываясь на законе Больцмана для распределения молекул по их потенциальным энергиям: ( Яо\ йл » С.ехр L-—j d ИКП, где dn - число молекул в единице объема диэлектрика, потенциальная энергия которых находит- ся в пределах от И* до IPn+dlFJ,, а С — постоянный коэффициент пропорциональности. Соглас- но (15.5), —рЛсхяб, 6.ИЕв^р,ЕтвА0, поэтому /ptEcoiff\ dn—Cexp I———\ ptEsa6dB. Если реЕ«кТ, exp (p^E coaffX P'EcatO —1»1+..... { kT J kT (PfEcot l+ ~ kT РеЕяпВйв. Коэффициент С находится из условия нормировки: общее число молекул, потеятгнягтьия* энергия которых заключена в пределах от Иги мп» -реЕ (при 0«<О) до Wn (пои 0«я), равно по, т. е. я ' пЕКкТ) Г / p-EcostA f ло- СИ+^^—Jft£sjn0d0-Otr (l-x)dx-2Q>eE, о -д-ВДЮ) где х« — ргЕсо^ВЦкТ). Таким образом. С—no/fZpti) и во / dn-vl 1 + 2 \ p,£cos кТ~ sm0d0. Так как углы 0 и —0 равновероятны, то вклад в поляризованность Р дают только состав- ляющие векторов ₽«* электрических моментов молекул, параллельные напряженности Е элект- рического поля. Среднее значение проекции векторов pw на направление вектора Е равно 206
<Р«Е>«- "о Выполнив интегрирование, получим <р.и>-р?£/(3*Л. или <л>«р?Е/(зт 5. В очень сильном электрическом поле и при достаточно низкой температуре (р,Е» кТ) электрические моменты р„ всех молекул располагаются практически парал- лельно Е. При этом поляризованность полярного диэлектрика достигает максималь- ного значения A-oW- (15.12) Таким образом, линейная зависимость поляризованности диэлектрика с поляр- ными молекулами от напряженности Е электрического поля наблюдается только в слабых полях.. В широком диапазоне значений эта зависимость нелинейная: чем больше Е, тем меньше производная dP/d£. Тепловое движение мешает выстраивать электрические моменты полярных моле- кул по направлению Е. Поэтому диэлектрическая восприимчивость полярных диэлект- риков зависит от температуры, убывая с ростом последней (в слабых полях у обратно пропорциональна температуре). 8. В результате поляризации диэлектрика возникают в тонких слоях у ограничива- ющих его поверхностей нескомпенсированные заряды, называемые поверхностными ноляркмфоннымн зарядами. Поверхностную плотность о, поляризационных зарядов проще всего найти на примере диэлек- трика с неполярными молекулами. На рис. 15.3 dS — площадь малого участ- ка поверхности диэлектрика, внешняя нормаль п к которому составляет угол 0 с направлением поляризованности Р диэлектрика. Электрические момен- ты и оси всех молекул-диполей непо- лярного диэлектрика ориентированы одинаково — вдоль направления Р. Если I — плечо диполя, то, как видно из рис. 15.3, вклад в поляризационный заряд соответствующий участку Рве. 15.3 dS поверхности, дают только те дипо- ли, которые находятся внутри объема косого цилиндра с площадью основания dS и длиной I образующей, показанного на рис. 15.3 штриховой линией. Число этих диполей dn—no/dScosfl, где.лв — концент- рация молекул, а поляризационный заряд dg>= nogldScos 0x>P„dS, где Pa»Pcos0 — проекция вектора поляризованности Р на внешнюю нормаль и к рас- сматриваемому участку поверхности диэлектрика. Таким образом, поверхностная пло- тность поляризационных зарядов o>=d9^dS=P„ (15.13) 7. В неоднородном электрическом поле поляризация диэлектрика тоже неоднородна: его поляризованность Р зависит от координат. В этом случае кроме поверхностных поляризационных зарядов могут возникать еще и объемные иотритянпшв if заряды. < 207
Объемная плотность р, этих зарядов, как будет показано в § 15.3, находится по формуле рр=- divP, (15.14) где divP= дРх дРу dPz сх су oz — дивергенция поляризованное™ Р. ** В теории поля и векторном анализе дивергенцией вектора а (обозначается diva) в какой-либо точке М поля называется предел отношения потока вектора а сквозь замкнутую поверхность 5, охватывающую точку М, к объему V части поля, ограниченной поверхностью S, при неограничен- ном уменьшении V: diva=hm 1 <badS. (15.15) Г-0 У “ (S) Можно показать, что Зах diva=—+ дх да™ дсх ду дг (15-159 8. Мы рассмотрели поляризацию электрически изотропных неполярных и полярных диэлектриков, т. е. диэлектрических сред, электрические свойства которых не зависят от направления напряженности поля Е. Диэлектрическая восприимчивость / изотропных диэлектриков — величина скалярная, а вектор поляризованное™ совпадает с Е по направлению. Кристаллические диэлектрики могут быть электрически анизотропными. В этом случае / — величина тензорная, а векторы Р и Е коллинеарны пипп» для некоторых определенных направлений поля в данном кристалле. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только изотропных сред. § 15.3. Теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля в среде 1. При рассмотрении электрического поля в среде различают два типа электрических зарядов: свободные и связанные. Связанными зарядами называются заряды, которые входят в состав атомов и моле- кул, а также заряды ионов в кристаллических диэлектриках с ионной решеткой. Заряды, не связанные с перечисленными выше частицами вещества, называются свободными. Свободными зарядами являются: а) заряды частиц, способных перемещаться под действием электрического поля на макроскопические расстояния (электронов проводимое™ в металлах и полупровод- никах, электронов в вакууме, ионов в электролитах и газах и т. п.’); б) положительные заряды атомных остатков в металлах; в) избыточные заряды, сообщенные телу и нарушающие его электрическую нейтра- льность (например, заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектрика). 2. Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и свя- занными зарядами. Вектор напряженное™ Е характеризует результирующее поле. Однако первичным источником электрического поля в диэлектрике являются свобод- ные заряды, так как поле связанных зарядов возникает в результате поляризации диэлектрика при помещении его в поле, созданное системой свободных электрических зарядов. В свою очередь, поле связанных зарядов может вызвать перераспределение свободных зарядов (например, если они находятся на проводниках) и соответственно изменить поле этих зарядов. Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность поля в среде равна геометрической сумме напряженностей полей свободных и связан- ных зарядов: е=е"о6+еяя. Соответственно теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля в вакууме (14.9) может быть распространена на электростатическое поле в среде, если 208
под qoa понимать алгебраическую сумму всех свободных и связанных зарядов, охваты- ваемых замкнутой гауссовой поверхностью S: EdS=- (gSS’+^gS*). (15.16) Со I 3. Использование соотношения (15.16) для расчета электростатического поля в среде, соответствующего заданной системе свободных зарядов, осложняется тем, что заранее не известно распределение связанных зарядов в поле. Молекулы-диполи электрически нейтральны. Поэтому вклад в у™ дают только те диполи, которые перерезаются гауссовой поверхностью S. Величину q^S легко найти на примере поля в неполярном диэлектрике, электрические моменты молекул которого коллинеарны Е. На рис. 15.4 показан малый, участок dS гауссовой поверхности S. Вектор Е в пределах площадки dS всюду одинаков и составляет угол а с внешней нормалью и вектором dS. Площадка перерезает только те dn диполей, центры которых находят- ся внутри показанного на рис. 15.4 штриховой линией косого цилиндра с основанием площа- дью dS и образующей, равной длине I молеку- лы-диполя: dn=no/dS'cosa, где по — концентра- ция молекул диэлектрика. Заряд, соответству- ющий этим диполям, равен dg™ = — qdn= — nop,d5’cosa= —PdS. Таким образом, Ут = -J PdS. (15.17) . (S) Отсюда, в частности, следует, что среднее значение объемной плотности связанных (поляризационных) зарядов в пределах объема V, ограниченного замкнутой поверх- ностью S, равно , </>“">=PdS. Переходя к пределу при Р-»0 и учитывая (15.15), получаем для Рр^р™0 соотноше- ние (15.14). 4. Подставим значение (15.17) для 9“ в (15.16): <j>EdS=- f?SS6-^PdS (3) ' (S) ‘ или ф EoEdS+£pdS=gS56. (s) (S) (15.16') В обоих интегралах, стоящих слева, интегрирование проводится по одной и той же замкнутой поверхности S. Поэтому уравнение (15.16') можно переписать в форме (eoE+PJdS^gSS®. (15.16"). (SJ Вектор D=«oE+P (15.18) 209
называется электрическим смещением (электрической индукцией). Пользуясь (15.18), можно переписать уравнение (15.16я)» выражающее теорему Остроградского — Гаусса для электростатического тля в среде, в форме ^DdS=g£f. (15.19) (Я) Согласно этой теореме, поток электрического смещения (поток смещения) элект- ростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в поле, равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью. 5. В изотропной диэлектрической среде вектор Р пропорционален Е [см. (15.19)]*, поэтому D = £oE + X£oE = ££oE, (15.20) где e=l+Z (15.21) — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Как и х, Е - величина безраз- мерная. Для вакуума х=0 и £=1. Относительная диэлектрическая проницаемость е неполярных диэлектриков не зависит от температуры (при постоянстве концентраций молекул), а полярных — уме- ньшается с ростом температуры в соответствии с формулой Дебая — Ланжевена (15.11). § 15.4. Условия для электростатического поля на границе раздела двух изотропных диэлектрических сред 1. Найдем соотношение между значениями напряженности Е и электрического смеще- ния D электростатического.по^я.в двух диэлектрических средах /(Еь Di) и 2(Е2, Dj) в произвольной точке А, лежащей на поверхности раздела этих сред. Проведем в точке А единичные векторы, направленные по касательной к поверхности (т) раздела сред и по нормали (и) к ней, проведенной нз первой среды во вторую. Построим вблизи точки А замкнутый контур L, имеющий форму прямоугольника, две стороны которого параллельны границе раздела сред и равны d/, а две другие равны ДА (рис. 15.5). Из условия потенциальности электростатического поля (13.17) следует, что циркуляция вектора Е напряженности поля вдоль прямоугольного контура L равна нулю: Edl—0, (« причем это равенство должно выполняться при любом значении ДА. Перейдем к пре- делу при ДА-»0, тогда (15.22) Ай—0 Edl=0. (О В пределе при ДА-*0 длины боковых сторон прямоугольного контура L и значения линейного интеграла f Edl вдоль этих сторон стремятся тоже к 0, а верхняя и нижняя стороны контура неограниченно приближаются к поверхности раздела сред. Поэтому при обходе контура L против часовой стрелки lim Ф Edl=(Ejt—£iT)d/. АЛ-0 J ___________ (Ц ♦Напомним, Что для полярного диэлектрика соотношения (15.9) ,и (15.11) справедливы только в случае слабых полей. 210 (15.22)
Из (15.22) и (15.22') следует первое условие для напряженности волк 1 £2т=£|г. (15.23) Итак, касательная к поверхности раздела двух сред составляющая напряженности поля не изменяется при переходе через эту поверхность из одной среды в другую. Первое условие для электрического смещения, согласно (15.20) и (15.23), имеет вид (1524) где £] и ег — относительные диэлектрические проницаемости первой и второй сред. 2. Для получения Второй пары условий выберем вокруг точки А небольшой участок поверхности раздела сред площадью dS. ПостроиМ^амкнутую поверхность S, охваты- вающую этот участок границы раздела сред 1 и 2 и имеющую вид поверхности прямого цилиндра, образующие которого длиной АА параллельны вектору и нормали к поверхности раздела, а основания цилиндра перпендикулярны в (рис. 15.6). Согласно теореме Остроградского — Гаусса (15.19), ГО где 9SS6'— суммарный свободный заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S, т. е. в объеме цилиндра. Перейдем к пределу при ДА-»0, т. е. устремим к нулю объем пилиндра: lira ф DdS= lira q^. tA-^в J ел-о ГО Если на поверхности раздела сред нет поверхностных свободных зарядов, то lim 9S?=0, ДА-.0 Нт фоав^Яь-А»)*^ ДЛ-.0 * ГО Следовательно, второе условие для вектора D имеет вид (15.25) т. е. при переходе через границу раздела двух сред, на которой нет поверхностных (свободных зарядов, нормальная составляющая электрического смещения не изменяется. 211
Соответственно второе условв для нипряженности поля имеет вид (15.26) В частности, если первая среда — вакуум, то et=l и E^^Ei^ej. Таким образом, относительная диэлектрическая проницаемость среды имеет следующий смысл: она показывает, во сколько раз уменьшается нормальная составляющая напряженности электростатического поля при Переходе из вакуума в данную среду. 3. При переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии напряжен- ности электростатического поля преломляются (рис. 15.7). Углы aj и а2, образуемые линиями напряженности с перпендикуляром к поверхности раздела сред в точке А, удовлетворяют условиям • tg = EitfEin, tg 0t2 ® ElJEin. Поэтому из* граничных условий (15.23)-и (15.26) следует, что закон преломления линий напряженности электростатического поля на поверхности раздела двух диэлектрических сред при условии отсутствия на этой поверхности свободных зарядов имеет вид tg аг/tg а, - EXnIEb,=е2/£Ь или tga2=(e;t/«i)tgai. ч (15.27) 4. Вектор напряженности поля не изменяется при переходе из одной диэлектрической среды в другую в тех точках поверхности раздела сред, где она касается линий напряженности поля, так что Ei=Eit, Е1=«=Е21, E2=Ei. Соответственно для 'вектора электрического смещения в этих точках выполняется соотношение D2=(£2/£I)Di. Если поверхность раздела двух сред совпадает с эквипотенциальной поверхностью электростатического поля, то векторы напряженности поля и электрического смещения ортогональны этой поверхности, т. е. Е(°»Е1Я, Е2=Е2я> Di=Di„, Поэтому при переходе через такую границу вектор электрического смещения не изменяется: Dj^Di, a E2=(ei/e2)Ei. 5. Рассмотрим примеры электростатических полей в диэлектрических средах. Пример 1. Поле равномерно заряженной сферы радиуса R, окруженной концентрическими слоями двух разных диэлектрических сред. Наружный радиус первой среды с относительной диэлектрической проницаемостью aj равен Я|, а второй среды (w2) равен К2 (рис. 15.8). За пределами слоя второй среды — вакуум (е«1). Поверхностная плотность свободных зарядов на сфере радиуса R равна ст. Центр О заряженной сферы и концентрических слоев диэлектриков является центром симмет- рии поля. Поэтому, в любой точке М поля векторы Е и D направлены радиально от центра О, если ег>0, или к центру О, если tr<0, т. е. Е»»Е, и D=Dr Выберем в качестве гауссовой поверхности S сферу с центром в точке О и радиуса г. Во всех точках этой поверхности DdS»DrdS, где Рис. 15.7 Рис. 15.8 212
Dr проекция вектора D на радиус-вектор г, проведенный из центра О в рассматриваемую точку поля на поверхности 5. Из симметрии поля ясно, что во всех точках поверхнсти S значения D, Одинаковы. . Поэтому поток смешения, через поверхность 5 равен DdS=4nr2£>r. (.V) С другой стороны, по теореме Остроградского Гаусса (15.19), этбт поток равен <7“°6. Таким образом: а) если г<Л, то <7S?=0, Пг=0; б) если г>Л, то ?“6=?=4яД2<т; Пг=<7/(4лг2)=<тЕ2/(г2). Напряженность поля связана с электрическим смешением соотношением (15.20), поэтому £,=0 (г«Я), <7 Е“‘ £= а= (ЖгСМ. 47ГЕ|Е(/ <7 ЕГ Е,= ,= (Я^г^Лг), 4Д£2еПГ е2 ? 2 = ЕГ (г>Я2). 4яе0Г Здесь Ев“ напряженность поля той все заряженной сферы в той же точке поля,- но только в отсутствие диэлектриков, т. е. в вакууме, Е“* находится по формуле (14.10). График зависимости Ег(г) для в>0 и ej<ej показан н^'рис. 15.9. Там же штриховой линией дана зависимость Е" (г). Пример 2. Поле двух параллельных плоскостей, заряженные разноименно с поверхностными плотностями зарядов ст и —о. Пространство между плоскоЧггями заполнено двумя слоями диэлектриков, относительные диэлектрические проницаемости и толщины которых соответствен- но равны d\ и £2, di — d— dj, где d расстояние между заряженными плоскостями .(рис. 15.10). Из симметрии в распределении свободных зарядов на плоскостях и в расположении слоев диэлектрических сред ясно, что всюду векторы Е и D должны быть параллельны оси ОК, т. е. Е=ЕХ и D==DX. В каждом из слоев диэлектрика поле однородно и соответственно поляризованы эти слои тоже однородно. Поэтому в них имеются только поверхностные поляризационные заряды, плотности ор которых на двух плоских поверхностях каждого слоя отличаются только знаком. Напряженность поля таких поляризационных зарядов отлична от нуля только внутри самого слоя диэлектрика. Следовательно, результирующие значения Ен D=£qE в областях х^О и x^d равны нулю. Для нахождения значений DT и Ет в пространстве между пластинами (O^x^d) воспользуемся теоремой Остроградского Гаусса (15.19). Выберем за гауссову поверхность 5, 213 v
□оказанную ва ряс. 15.10 штриховой линвей, поверхность цилиндра, образующее которого параллельны оси ОХ, а основания площадью AS каждое параллельны зараженным плоскостям, причем левое основание находится в области х<0, где D—0, а правое проходит через рассмат- риваемую точку поля с координатой 0<х«1 Поток смещения через поверхность цилиндра равен потоку смещения только через правое его основание: <|>DdS-PxAS. (S) Гауссова поверхность 5 охватывает свободный заряд, находящийся на участке левой плоскости, площадь которого равна площади основания цилиндра AS: AS. Таким образом, в области 0<x<d я (0<x<d|), 81«0 «1 (4<х<4)> ®2®0 «2 где £“ определяем по формуле (14.17) для поля тех же'разноименно заряженных параллельных плоскостей, находящихся в вакууме. 6. Рассмотренные примеры подтверждают справедливость следующего общего утвер- ждения: если однородный изотропный диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью е, не зависящей от напряженности поля, заполняет весь объем электро- статического поля или часть его, ограниченную эквипотенциальными поверхностями, то напряженность поля Е в диэлектрике в е раз меньше, чем напряженность Е"“ в той же точке поля, создаваемого пи^рцже свободными зарядами в вакууме: Е=Е“/е. (15.28) Соответственно P=eeoE=eoE“=D"1. (15.29) -• .-‘vaOr- В частности, напряженность и потенциал поля точечного заряда q, находящегося в однородном изотропном диэлектрике, заполняющем все доле, равны Е»9г/(4я£оЕГ3), ф=<?/(4лгоег). (15.30) 7. Если граница раздела диэлектрических сред не эквипотенциальна, то D^D», Е^Е» и D^D*“, Е#Е“*/е. В этом можно убедиться на примере поля двух параллельных пластин, заряженных разноименно одинаковыми по модулю зарядами. Если между пластинами вакуум (рис. 15.11, л), то поверхностные Рис. 15.11 плотности зарядов пластин равны д и — а, а напря- женность поля между пластинами Ею—а!еа. Запол- ним теперь пространство между пластинами поровну двумя диэлектрическими средами, граница между ко- торыми перпендикулярна пластинам (рис. 15.11, б). Граница раздела параллельна линиям напряженности поля, так что напряженности поля в первой и второй средах Е]=Е1П Ej^Ejr и в соответствии с граничным условием (15.23) E2=Ei. Следовательно, при заполне- нии поля диэлектриками происходит перераспредели вне свободных зарядов на пластинах. Так как Ei=<7i/(£iCo), Е2=oj/feeo), то oi/ei=а^г2. 214
С другой стороны, по закону сохранения электрического заряда, общий заряд каждой из пластин не изменяется, т. е. оУ=(<7| +a^Sp., где S— площадь пластины, или o\+at=2a. Таким образом, 2«i 2«2 • щ=------- a, tri——~ а, в| +®2 е1 +е2 2гт 2Е- Л1=Л2 = ;---,-— =----—. («+«2)4) ei+«2 rflsJ Рис. 15.12 8. Заполнение части электростатического поля диэлектриком не всюду приводит к уменьшению напряженности поля. Например, если в однородное поле напряжен- ностью Е”0® поместить длинный стер- жень из диэлектрика (рис. 15.12), то этот стержень поляризуется: на его ле- вом конце возникают отрицательные связанные заряды, а на правом — по- ложительные. Внутри стержня напря- женность Е™” поля связанных зарядов противоположна по направлению Е00®, так что Е=|Е“о6+Е“*3|<£сж*. Однако в точках А и В вне стержня векторы Е**06 и Е“в совпадают по направлению. Следовательно, в точках А и В напряженность поля усиливается при внесении стержня. § 15.5. Сегнетоэлектрики 1. Сегнетоэлекхряками называется группа кристаллических диэлектриков, обладаю- щих в определенном интервале температур самопроизвольной (спонтанной) поляриза- цией, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий — электричес- кого поля, деформации, изменения температуры. Примерами сегнетоэлектриков могут служить сегнетова соль NaKC4H4O6 4H2O, титанат бария BaTiO3. Сегнетоэлектрики иногда называют ферроэлектриками, так как их электрические свойства подобны магнитным свойствам ферромагнетиков. . В отсутствие внешнего электрического поля весь объем сегнетоэлектрика самопро- извольно разбит на небольшие области, которые поляризованы до насыщения и назы- ваются доменами. Возможные направления электрических моментов доменов опреде- ляются симметрией кристалла. Поляризация сегнетоэлектрического образца во вне- шнем электрическом поле состоит, во-первых, в смещении границ доменов и росте размеров тех доменов, векторы электрических моментов которых близки по направле- нию к напряженности Е поля, и, во-вторых, в повороте электрических моментов доменов по полю. В достаточно сильном поле достигается состояние насыщения, когда весь образец однородно поляризован по полю и его поляризованность Р не изменяется при дальнейшем увеличении Е. 2. Для сегнетоэлектриков характерно явление диэлектрического гистерезиса (запаздывания), со- стоящее в различии значений поляризованное™ сегнетоэлектрического образца при одной и той же напряженности электрического поля в зависи- мости от значения предварительной поляризо- ванное™ этого образца (рис. 15.13). С увеличением напряженное™ поля, направ- ленного по оси ОХ (Е=ЕХ), поляризованность первоначально неполяризованного образца воз- растает от 7>х=0 при Ех=0 до полярязованвости насыщения Ps в точке а, соответствующей состоя- нию насыщения. При дальнейшем уменьшении Ех до нуля поляризованность уменьшается до 215
значения Рк, называемого остаточной полярязованностью. Поляризация образца исчеза- ет полностью лишь под действием электрического поля противоположного направле- ния, напряженность которого Ех= — Ес- Величина Ес называется коэрцитивной силой. Периодическое изменение поляризации сегнетоэлектрика связано с затратой энер- гии, которая в конечном счете идет на нагревание вещества. Площадь петли гистерези- са, показанной на рис. 15.13, пропорциональна количеству теплоты, выделяющейся в единице объема сегнетоэлектрика за один цикл изменения его поляризации. 3. Диэлектрическая восприимчивость z и относительная диэлектрическая проница- емость £ сегнетоэлектрика зависят не только от химической природы вещества, но также от температуры, напряженности электрического поля и предварительной поляри- зации. Обычно рассматривают зависимость / и с=1+у от напряженности поля для образца, не подвергавшегося предварительной поляризации, т. е. для образца, у кото- рого при Е=0 поляризованность Р=0. Максимальные значения Zн £, соответствующие этой зависимости, достигают у сегнетоэлектриков очень больших значений (порядка 103 и больше). У каждого сегнетоэлектрика есть такая температура 7с, называемая точкой Кюри (температурой Кюри), выше которой это вещество теряет свои особые электрические свойства и ведет себя как обычный полярный диэлектрик. Например, у титаната бария Тс=406 К (133 °C), а ниобата лития LiNbOj 7с=1483 К (1210 °C)- Сегнетова соль обладает сегнетоэлектрическими свойствами только в интервале температур между нижней точкой Кюри 7’£“в=255 К (—18 °C) и верхней точкой Кюри 7’^’= = 297 К (24 °C). В точке Кюри происходит фазовое превращение вещества. Оно переходит из спонтанно поляризованной фазы в неполяризованную либо, наоборот, из неполяризовапной в спонтанно поляризованную. Вопросы: ш 1. Что общего и в чем различие в поляризации диэлектриков с неполярными и с полярными молекулами? 2. Какая физическая величина служат количественной мерой поляризации диэлектрика и от чего она зависит? 3. Как можно найти поверхностную плотность поляризационных зарядов? 4. Чему равен поток смещения через замкнутую поверхность, проведенную в электростатичес- ком поле? 5. Как диэлектрик влияет на напряженность электростатического поля? Каков. физический смысл относительной диэлектрической проницаемости среды? 6. В чем состоят особенности диэлектрических свойств сегнетоэлектриков?
Глава 16________.____________________________ Проводники в электростатическом поле § 16.1. Распределение зарядов в проводнике 1. В металлических проводниках имеются свободные носители заряда — электроны проводимости (свободные электроны), которые могут под действием электрического поля перемещаться по всему проводнику. Они возникают, когда металл переходит из газообразного состояния в жидкое, а затем в твердое. При конденсации металла происходит обобществление части валентных электронов, которые отделяются от «своих» атомов и образуют электронный газ в металле. Электрические свойства проводников в условиях электростатики .определяются поведением электронов проводимости во внешнем электростатическом поле. В отсут- ствие внешнего поля электрические поля электронов проводимости н «атомных оста- тков» — положительных ионов металла — взаимно компенсируются. Если металли- ческий проводник внесен во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов скомпенсировало внешнее поле. Перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатичес- кого поля называется явлением электростатической индукции. Возникающие при этом на проводнике заряды, численно равные друг другу, но противоположные по знакам, называются индуцированными или наведенными зарядами. Индуцированные заряды исчезают, как только проводник удаляется из электрического поля. 2. Вектор Е напряженности поля у поверхности проводника направлен по нормали к поверхности, так как касательная составляющая вектора Е вызывала бы перемещение носителей тока по поверхности проводника, что противоречит условию равновесия зарядов в проводнике, находящемся в электростатическом поле. Итак, для проводника в электростатическом поле выполняются следующие усло- вия; . а) всюду внутри проводника напряженность поля Е=0, а у его поверхности Е=Е„ (Et=0); б) весь объем проводника эквипотенциален, так как, согласно (13.27), в любой точке внутри проводника d<p —= —Ei= —£cos(E, d!)=0; в) поверхность проводника эквипотенциальна, так как для любой линии на этой поверхности ,d(p{dl= —£,=0; г) нескомпенсированные заряды располагаются в проводнике только на его поверх- ности, так как, согласно теореме Остроградского — Гаусса (14.9), заряд q, охватыва- емый произвольной замкнутой поверхностью S, проведенной внутри проводника, равен нулю: g=4>£oEdS=0, Ю 217
поскольку во всех точках поверхности S, находящихся внутри проводника, напряжен* ность поля Е=0. 3. Напряженность Е и электрическое смещение D электростатического поля вблизи поверхности проводника связаны с поверхностной плотностью а свободных зарядов на проводнике. Эту связь можно найти с помощью теоремы Остроградского — Гаусса. Выберем вблизи точки А на поверхности проводника малый участок площадью dS, на котором находится свободный заряд cdS. Проведем внешнюю нормаль в к поверх- ности проводника в точке А (рис. 16.1). Выберем в качестве замкнутой гауссовой поверхности S поверхность, цилиндра, основания которого равны до площади выделен- ному участку поверхности проводника dS и лежат напротив него по обе его стороны на расстояниях Дй/2 так, что образующие цилиндра параллельны нормали в. По теореме. Остроградского - Гаусса (.15.19), поток смещения сквозь поверхность S равен сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью, q^: ^DdS-gSS6. Внутри металла поля нет, т. е. Е=0, Р=0, D=0. Поэтому поток смещения через часть поверхности S, находящуюся внутри металла, равен нулю. Перейдем к пределу при ДЛ-»О. Тогда lira DdS=£)„dS, л*^о J q^=adS, ' где D„ проекция вектора D электрического смещения поля вблизи точки А провод- ника вне его на направление внешней нормали и. Таким образом, А=<т, Ея=(т/(££о), (16.1) где с относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей провод- ник. , 4. Согласно (13.27), £,= — d<p/dn, т. е. Ея равно быстроте убывания потенциала элект- ростатического поля на единицу длины в направлении внешней нормали к поверхности проводника. Следовательно, d<p <Г= -££о (16.2) dn На рис. 16.2 показан вид линий напряженности и эквипотенциальных" поверхностей поля заряженного положительно металлического тела цилиндрической формы с кони- ческим выступом на одном конце и конической впадиной на другом. Из рисунка видно, что вблизи острия и выступов на проводнике эквипотенциальные поверхности наиболее сильно сближены, так что |d?/dn| достигает наибольших значений. Соответственно и поверхностная плотность свободных зарядов на остриях н выступах больше, чем на других участках поверхности тела, имеющих меньшую кривизну. В области конической впадины напряженность поля и поверхностная плотность зарядов минимальны., 5. Большое значение напряженности поля вблизи острого выступа на заряженном проводнике приводит к явлению, известному под названием .«электрического ветра». В достаточно сильном электрическом поле вблизи заряженного острия происходит ионизация воздуха (ударная ионизация, см. § 20.J). Ионы, заряженные одноименно с острием, движутся от него. Они увлекают за собой частицы воздуха и вызывают образование «электрического ветра», направленого от острия. Ионы, заряженные разноименно с острием, движутся к нему. Однако их влияние на «электрический ветер» 218
Рис. 16.1 Рис. 16.2 Рис. 16.3 несущественно, так как образование и разгон ионов происходят в непосредственной близости от острия. На рве. 16.3 изображена схема опыта, демонстрирующего действие «электрического ветра» на пламя свечи. Помещенное перед острием S, соединенным с положительным полюсом электроста- тической машины, пламя сильно отклоняется от заряженного острия и даже может погаснуть. Вследствие сильной ионизации воздуха около острия оно быстро теряет электрический заряд, б. Если заряженный металлический шарик привести в соприкосновение с внешней поверхностью другого про- водника, то заряд перераспределяется между шариком и проводником так, чтобы их потенциалы стали рав- ными. Иначе обстоит дело, если шарик привести в со- прикосновение с внутренней поверхностью полого про- водника. При этом также происходит выравшпание по- тенциалов шарика и проводника, но так как внутри про-. водника не может быть избыточных зарядов, то весь заряд шарика передается проводнику и распределяется по внешней поверхности последнего. Многократно повторяя передачу зарядов полому провод нику, можно значительно повысить его потенциал до предела, ограничиваемого явлением стекания зарядов с проводника. Этот принцип был использован в электростатическом генераторе Вав-де-Граафа, схема кото- рого приведена на рис. 16.4. Бесконечная лента L, сделанная из шелка или прорезиненной ткани, движется на двух шкивах А а В, расположенных друг над другом. Верхний шкив помещен внутри полого, изолированного от земля шара С. Лента заряжается в результате стекания на нее электрических зарядов с остриев D, соединенных с одним из полюсов электростатической машины Э. Через острия К этот заряд полностью передается шару С. Заряд и потенциал шара увеличива- ' ются до тех пор, пока заряд, уходяпщй с наружной поверхности пира из-за возникновения пехтрического разряда в окружающем шар воздухе, не станет равным заряду, поступающему за то же время через острия К, Имея два таких генератора с шарами диаметром в несколько метров заряжая эти шары разноименно, можно получить разность потенциалов между ними порядка скольких мегавольт. । 7. Между одноименными зарядами, находящимися на поверхности заряженного про- водника, действуют силы взаимного отталкивания. Заряд cdS малого участка dS поверхности проводника находится в электростатическом поле зарядов, распределен- ных по всей остальной поверхности проводника. Если Ei — напряженность этого поля, . то на заряд <rd 5, т. с. на элемент поверхности d5 проводника, действует сила dF-E,cdS. (16.3) Найдем Ei и dF для заряженного проводника, находящегося в вакууме. Напряжен- ность Е поля вблизи элемента поверхности проводника равна сумме напряженности 219
Рис. 16.4 Ei и напряженности Е2 поля заряда ndS: E^Ei+E?. Вне проводника у его поверхности векторы Е( и Е2 совпадают по направлению — они оба направлены по внешней нормали п к рассматриваемому элементу поверхности проводника, если <г>0, и в обратную сторону, если <т<0. Внутри провод- ника у его поверхности вектор Ei такой же, как и вне провод- ника: Ei=Ej, так как переход через поверхность соответству- ет малому смещению по отношению к зарядам — источ- никам поля Ер В то же время для поля Ej переход извне проводника внутрь него означает переход через заряженную поверхность, создающую это поле. Поэтому Е'2=—Е2. На- пряженность поля внутри проводника E'=Ei+Ei=Ei —Е2= =0. Таким образом, Ei=E2=*/2E. (16.4) Векторы Е и п коллинеарны. Поэтому из (16.1) и (16.4) следует, что для проводника, находящегося в вакууме, Ej=оп/(2£о). (16.4Э Подставив (16.4) в (16.3), получим dF«ff2dSB/(2£Q)=e0S2dSn/2. (16.5) 8. Силы, действующие на заряженные тела, по традиции называют иондеромоторныма силами (от лат — силы, движущие весомые тела). Обычно найти эти силы далеко не просто. Их расчет сильно осложняется из-за того, что в электрическом поле диэлектри- ки поляризуются, а на проводниках появляются индуцированные свободные заряды. Кроме того, в электрическом поле возникают упругие деформации тел (диэлектриков и проводников). Общий метод расчета пондеромоторных сил, не связанный с анализом причин и механизма их появления, основан на использовании закона сохранения и превращения энергии, т. е. на анализе 'возможных превращений энергии в рассмат- риваемой системе заряженных тел. Пример такого расчета приведен ниже (см. § 17.3). Из формулы (16.5) следует, что поверхностная плотность fedF/dS поадеромоторных сил, действующих на заряженный проводник в вакууме, равна f=ff2n/(2e0)=eoE2n/2. (16.6) § 16.2. Электрическая емкость уединенного проводника 1. Уединенным проводником называется проводник, который находится столь далеко от других тел, что влиянием их электрических полей можно пренебречь. Характер распределения зарядов по поверхности заряженного уединенного проводника, находя- щегося в однородной, изотропной диэлектрической среде, зависит только от формы поверхности проводника. Каждая новая порция зарядов, сообщаемых проводнику, распределяется по его поверхности подобно предыдущей. Поэтому поверхностная плотность зарядов о в каждой точке А поверхности проводника пропорциональна его общему заряду д: а—кд, (16.7) где к=к(х, у, я) — функция координат точки А, зависящая от формы и размеров поверхности проводника. Значения к больше в тех точках поверхности, где больше ее< кривизна. 2. Потенциал заряженного уединенного Проводника можно найти, пользуясь принца- пом суперпозиции электростатических полей. Если потенциал бесконечно удаленной} 220
точки принять равным нулю, то потенциал заряженного проводника, находящегося в однородном, изотропном диэлектрике с относительной диэлектрической проница- емостью е, равен I С trds q f JtdS Ф= I = I . 4КИо J r ilt££a J r (*^npoa) <5про») (16.8) Здесь г расстояние от малого элемента dS поверхности проводника до какой-либо фиксированной точки на поверхности проводника, в которой определяется потенциал <р (выбор этой точки совершенно произволен, так как поверхность проводника эк- випотенциальна, как, впрочем, и весь его объем), а интегрирование проводится по всей поверхности проводника ^иро.. Интеграл зависит только от формы и размеров провод- ника, так что потенциал <р уединенного проводника пропорционален его заряду ц: (p = q!C. ’ (16.8') Величина С, равная отношению заряда д уединенного проводника к его потенциалу <р, называется электрической емкостью (электроемкостью или просто емкостью) этого проводника*: • С=Ч1<р. (16.9) 3. Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, причем при прочих равных условиях электроемкости геометрически подобных проводников пропорциональны их линейным размерам. Это связано с тем, что на геометрически подобных проводниках распределение зарядов тоже подобно, а расстояния от анало- гичных участков поверхностей проводников до сходственных точек этих проводников пропорциональны их линейным размерам. Поэтому потенциалы одинаково заряжен- ных и геометрически подобных проводников обратно пропорциональны их линейным размерам, а электроемкости этих проводников прямо пропорциональны им. Электроемкость уединенного проводника зависит также от диэлектрических свойств окружающей его среды. Если среда одонородна и изотропна, то, как видно из (16.8), электроемкость проводника пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости среды. Ни от материала проводника, ни от формы и размеров возможных полостей внутри проводника его электроемкость не зависит, так как свободные заряды находятся только на внешней поверхности проводника. Следует заметить, что С не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала, если окружающая среда не обладает сегнетоэлектрическими свойствами. Это совершенно не противоречит соотношению (16.9), так как оно эквивалентно (16.8Э и, подобно ему, показывает, что потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду и обратно пропорционален элект- роемкости. 4. В качестве примера найдем электроемкость уединенного проводящего шара (или феры) радиуса R, находящегося в однородной, изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью £. Если заряд шара равен д, то напряженность его поля вне шара, т. е. на расстояниях от его центра г > Я, как показано в § 15.4 (пример 1), Е,= 9/(4л££Ог’). Соответственно потенциал шара к Сел <р— — I £rdr— —. J 4п££0К со Таким образом, электроемкость шара C—4npE0R. (16.10) •Предполагается, что ф=0 в бесконечно удаленной точке. 221
а) Рис. 18.5 5. Выясним, как должна изменяться элект- роемкость проводника при нарушении усло- вия его уединенности, т. е. при приближении к нему другого, незаряженного, проводника. Будем ради простоты считать, что проводник имеет форму шара. Если этот шар А уединен- ный, то его заряд q равномерно распределен по поверхности (рис. 16.5, а) и напряженность поля в точке М равна Er=q/(4m^r1'). Поме- стим теперь справа от шара А незаряженный проводник В. Под действием поля шара А в проводнике В произойдет перераспреде- ление свободных носителей заряда: на ближ- нем к шару А конце проводника В индуциру- ется поверхностный заряд противоположно- го q знака (рис. 16.5, б), а на дальнем конце — одноименного с q знака. Перерасп- ределяется по поверхности шара А и заряд q так, чтобы скомпенсировать внутри шара А поле зарядов, индуцированных на теле В. В результате перераспределения зарядов в проводниках А и £ напряженность поля в точке М уменьшается: E'r<Er=ql(^it№^). Это соотношение справедливо для всех точек, лежащих на прямой ОМ слева от шара А. Поэтому потенциал неуединенного шара во f *dr Я Я Е,аг< I-------------=—=<р. J 4ямог 4явг&Я С л л Здесь <р и С — потенциал и электроемкость уединенного шара. Так как q>'**qjC't где С - - электроемкость неуедииенного шара, то ОС. (16.11) Этот результат — проявление общего правила: электроемкость неуединенного про- водника всегда больше электроемкости того же проводника, когда он уединен. § 16.3. Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы 1. Рассмотрим систему, состоящую из двух проводников, заряды которых численно равны, но противоположны по знаку. Обозначим разность потенциалов проводников <?!—tp2, а абсолютное значение их зарядов q. Если проводники находятся вдали от каких бы то ни было заряженных тел и иных проводников, то, как показывают и теория и эксперименты, разность потенциалов Ф1—<рг пропорциональна заряду д, т. е. Ф1—Ф2=д/С. (16.12) Скалярная величина С, равная абсолютному значению отношения электрического заряда одного проводника к разности электрических потенциалов двух проводников при условии, что эти проводники имеют одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды и что все другие проводники бесконечно удалены, называется взаимной электрической емкостью двух проводаюгов (электрической емкостью между двумя про- водниками): С=—. (16.12Э Ф1-Ф2 Взаимная электроемкость С двух проводников зависит от их формы, размеров, j взаимного расположения, а также от диэлектрических свойств окружающей среды. ' Если среда однородна, изотропна и заполняет все поле, то С прямо пропорциональна 222
относительной диэлектрической проницаемости среды. При удалении одного из про- водников в бесконечность разность потенциалов <pi~ проводников возрастает, а их взаимная электроемкость уменьшается, стремясь в пределе к емкости оставшегося уединенного проводника. В этом мы убедимся дальше на примере сферического конденсатора. 2. Особый практический интерес представляет система из двух проводников, форма и взаимное расположение которых таковы, что электростатическое поле этих провод- ников при сообщении им равных по абсолютному значению и противоположных по знаку электрических зарядов полностью или почти полностью локализовано в ограни- ченной области пространства. Такая система двух проводников называется конден- сатором, а сами проводники — обкладками конденсатора. Электрическая емкость кон- денсатора представляет собой взаимную электрическую емкость его обкладок. Найдем электрические емкости конденсаторов простейших типов — плоского, сферического и цилиндрического. 3. Плоао^ конденсатор состоит из двух параллельных, металлических пластин площа- дью S каждая, расположенных на близком расстоянии d одна от другой. Заряды пластин $>0 и —q. Если линейные размеры пластин велики по сравнению с d,io электростатическое поле между пластинами можно считать таким же, как поле между двумя плоскостями, заряженными разноименно с поверхностными плотностями заря-, дов a^qfS и —а. Из примера 2, рассмотренного в § 15.4, видно, что поле плоского конденсатора локализовано -в пространстве между его обкладками., Если ось ОХ ировлр/хвл перпендикулярно пластинам конденсатора в направлении от положительно заряженной пластины 1 (х!=0) к отрицательно заряженной пластине 2 (x2=d), то напряженность поля конденсатора между пластинами (0<x<d), «о где г — относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конден- сатор. Так как г I dx гсд : то разность потенциалов пластин * о Г ad qd ---I dx=------------~- Ыф J вео «о$ о Таким образом, электрическая емкость, плоского конденсатора Я oqS 4»1~91 d (16.13) Формула (16.13) справедлива только при малых значениях расстояния d между пдастинями {d<a^js}, когда можно пренебречь нарушением однородности электроста- тического поля у краев пластин. 4. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металлических обкладок / и 2 сферической формы, радиусы которых соогвегствено равны R\ и R2>Ri. Пусть у>0 — заряд обкладки 1, а — q — заряд обкладки 2. В примере 1 § 15.4 показано, что равномерно заряженная сфера создает электростатическое поле только в области пространства вне этой сферы. Вне наружной обкладки поля разноименно заряженных обкладок взаимно уничтожаются, а поле внутри конденсатора, т. е. между обкладками, создается только зарядом q внутренней обкладки. Напряженность поля в конденсаторе вшравйена радиально: Е=Е„ причем 223
4як(/2 где £ — относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конден- сатор. Так как <1ф 9 SS P,-.SS —~ " dr------------4ке£оГ2 то разность потенциалов обкладок 4» q Гdr ? /1 1 \ ф2 — ------I —~------- I ——— I- 4яио J г2 4я€£о уЛг Ry Электрическая емкость сферического конденсатора а 4яыф 4itE£o^iJ?2 С= —-----------------=--------—. (16.14) Ф1~ 92 1/Л| —1//?2 Rz—Rl При 7?2->со конденсатор превращается в уединенную сферу радиуса Ri, а элект- рическая, емкость конденсатора приближается по значению к электрической емкости уединенной внутренней обкладки Q=4ти£0Л1. При любом конечном значении R2 элект- рическая емкость сферического конденсатора больше электрической емкости одной уединенной его внутренней обкладки. Если Л2—Ri—d<&:Ri, то из формулы (16.14) следует, что CxseeoSfd, где 5=4яЯ, — площадь внутренней обкладки. 5. Цилиндрический конденсатор состоит из двух соосных тонкостенных металлических цилиндров высотой h и радиусов Rt и R2> вставленных друг в друга. Пусть заряд внутренней обкладки радиуса Ri д>0, а внешней — д. Если h»(Rt и R£, то, пренеб- регая искажениями поля вблизи краев конденсатора, можно приближенно считать, что поле конденсатора такое же, как поле двух соосных цилиндров бесконечной длины, заряженных с линейными плотностями зарядов t—qfh и — т. Внутри конденсатора поле создается только внутренней обкладкой. Из (15.28) и (14.13), где <r=t/(2nRi)=q/(2nRih), следует, что напряженность поля в диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью е, заполняющем поле между обкладками конденсатора (Rt^r^Rd, равна Er=g/(2mejir). Так как ' q 1 —= — Ег— ——, dr 2яее<Л г то разность потенциалов обкладок конденсатора ^3 fdr q R2 92—9i—--------1 — —---------ш 2msoh J г 2я££оЛ *1 Электрическая емкость цилиндрического1 конденсатора q 2ямоЛ Ф1—92 falRzJRi) 224
Если зазор между обкладка ц конденсатора </=(Л2—А,)« AJt то lh(J?2/^t)= =1п (1 +d/Rl)xd/Ri и CraeeoSId, vjjfi S**2xRih — площадь внутренней обкладки. В.. Из формул (16.13) — (16.15) ввдно, что электроемкость конденсатора, заполнен- ного, однородным диэлектриком, пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости с этого диэлектрика. Конденсаторы характеризуются не только их электрической емкостью, но также еще пробивным напряжением (нащряжением пробоя) — такой минимальной разностью потенциалов обкладок, при которой происходит электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы и размеров обкладок и от свойств диэлектрика. 7. Для получения батареи конденсаторов, имеющей большую электрическую емкость, конденсаторы, соединяют в батарею параллельно (рис. 16.6). Все конденсаторы такой батареи заряжаются до одной и той же разности потенциалов Дф клемм батареи. Если С( — электрическая емкость 1-го конденсатора, ап — общее число конденсаторов в батарее, то заряд 1-го конденсатора а заряд всей батареи равен сумме зарядов всех конденсаторов: - - 1 9ц₽= Е Е с>- । । С другой стороны, ?щ>=СцрДф, где Ст — общая электроем- I 2 кость всей батареи. Таким образом, |____ц____ c„-i ct (16.16) Рие £ !! При параллельном соединении конденсаторов их общая электрическая емкость равна сумме электрических емкостей всех конденсаторов, входящих в батарею. Пробивное напряжение такой батареи равно пробивному напряжению того из конденсаторов в батарее, у которого оно наименьшее. 8. При последовательном соединении конденсаторов в батарею (рис. 16.7) заряды всех конденсаторов одинаковы и равны заряду q батареи. Разность потенциалов дар клемм батареи равна сумме разностей потенциалов на каждом из конденсаторов порознь: Ё <д^= Ё ^9 Ё р 1-1 ;<-1 Ч i-i С другой стороны, dap—qjC^, где — электрическая емкость батареи. Таким । образом, (16.17) При последовательном соединении конденсаторов величина, обратная электричес- ки емкости батареи, равна сумме величин, обратных электрическим емкостям всех юнденсаторов, которые входят в батарею. Электрическая емкость такой батареи меньше наименьшей из электроемкостей Q. Преимущество последовательного соединения состоит в том, что на каждый конден- сатор приходится лишь часть разности потенциалов А<р клемм батареи, чем уменьша- ется возможность пробоя конденсаторов. | Если л одинаковых конденсаторов электроемкостью С. каждый соединить парал- лельно (рис. 16.8, а) и зарядить до разности потенциалов А<р, а затем в заряженном тстоянии соединить их последовательно (рис. 16.8, б), то на зажимах батареи появится 4т* физики
С/ Cg C3 cn Ц i f a) S) Рис. 16.7 Рис. 16.6 разность потенциалов п Дф. На этом принципе основан высоковольтный «иулмный генератор, позволяющий'ПолучДГь разности потенциалов порядка нескольких мега- вольт. Импульсные генераторы Применяются, например, в электротехнике при изуче- нии кратковременных перенапряжений, возникающих в различных установках под влиянием грозовых разрядов и других причин. Вопросы: 1. Что можно сказать о напряженности и потенциале электростатического поля внутри и у по- верхности проводника? 2. Поясните механизм «стекания» зарядов с острия. 3. Как найти поверхностную плотность пондеромоторных сил, действующих на заряженный проводник в вакууме? 4. От чего зависит электрическая емкость уединенного проводника? Как влияет на электроем- кость проводника приближение к нему другого, незаряженного, проводника? 5. Объясните принцип действия электростатического генератора.
Глава 17_______________________________________ Энергия электрического поля § 17.1. Энергия заряженных проводников и электростатического поля 1. В это* главе мы будем всюду цредполагать, что срсдА, в которой находятся заряженные тела и создано рассматриваемое электростатическое поле, электрически изотропна и не обладает сегнетоэлектрическими свойствами. Сообщение проводнику электрического заряда связано с совершением работы по преодолению кулоновских сил отталкивания между одноименными зарядами. Эта работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника. Элемен- тарная работа 6А', соверпв м; с внешними силами при перенееенин малого заряда dj из бесконечности на уединенный проводник, равна 5A'“<pdq^Cq>d(p, (П-1) где С и ф — электроемкость проводника и его потенциал, начало отсчета которого выбрано в бесконечно удаленной точке. Работа, совершаемая при увели яии потенциала проводника от 0 до р, т. е. при сообщении проводнику заряда 9*»Сф, равна (17-2) о Отедраатр • ‘yuyrjHHigjyiiM эиврпш зяряжвшюго уедвшешюго щкнюдишея Сф’ Ч* q<P s ---к=--ж: — л 2 2С 2 (17.3) 2. Аналогично >жно найти энергию заряженного конденсатора. Если q— заряд конденсатора, а Дф*=ф1—фз — разность потенциалов положительно и отрицательно заряженных его обкладок / и 2, то для переноса малого заряда dq с обкладки 2 на обкладку I внешние силы должны совершить работу бЛ'=(ф1-ф2)<^ С ’ (17.1Э где С — электроемкость конденсатора. Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до 9 равна » (17.2') Соответственно электрическая энергия зараз го конденсатора ^(Vi-Vz)1 «(Ф1-Ф2) W- ks--ха: —------— зв--------, 2С 2 2 (17.4) 227
Учитывая, что конденсатор — это система из двух проводников 1 и 2, заряда которых 91—д и д2= —9> перепишем формулу (17.4) в виде (17.4') В исходной формуле (17.4) фигурирует разность потенциалов <pj—<р2, которая не зависит от выбора начала отсчета ср. Поэтому будем считать, что начало отсчета Ф1 и <р2 в формуле (17.4') находится в бесконечно удаленной точке. 3. Можно показать, что электрическая энергия системы из л неподвижных заряженных проводников равна £ gt<ph (17.5) z/-i где д{ — заряд i-ro проводника, a g>f — его потенциал (относительно бесконечно уда- ленной точки) в электростатическом поле всей системы из л проводников. В пророднике избыточные заряды распределены по его внешней поверхности, так что gf— J ff/dS, №) где af — поверхностная плотность свободных зарядов на малом элементе поверхности i-ro проводника площадью dS, а интегрирование проводится по всей эквипотенциаль- ной внешней поверхности проводника площадью St. Таким образом, формулу (17.5) молено переписать в виде I I f Wi™- (П.5') 2 <-1 J 4. Электрическую энергию любой системы заряженных неподвижных тел — провод- ников и непроводников — можно найти по формуле, являющейся обобщением формул (17.5) и (17.5Т Г pcdS+- Г tppdV. (17.6) 2 J 2 J Здесь аир — поверхностная и объемная плотности свободных зарядов; <р — потенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов в точках малых элементов d5 и dV заряженных поверхностей и объемов. Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям тел системы (5Ш1ИЖ) и по всему заряженному объему (K.p«J тел системы, изготовленных из диэлектриков. Основываясь на формулах (17.5) и (17.6),. можно трактовать энергию Wt как потенциальную энергию системы заряженных тел, обусловленную кулоновскими сила- ми их взаимодействия. Влияние, на энергию системы Wt среды, в которой находятся тела системы, сказывается в том, что даже при неизменном распределении свободных зарядов значения д> в разных диэлектриках различны. Например, в однородном, изотропном диэлектрике, заполняющем все поле, <р меньше, чем в вакууме, В е раз. Легко видеть, что-из формулы (17.6), в частности, следуют формулы (17.3) и (17.49- В самом деле, для уединенного заряженного проводника р=0 и потенциал <р во всех точках поверхности проводника одинаков, поэтому 228
* Г 2 J (^аряж) jf V i <paaS—I №«раж) adS= */2q<p. Для конденсатора p=0 и 1 Г Wt= 2 J (£цфЯж) Ф<7<15=*|^ф1 J ffidS+pj J W (-S) где St и S2 площади обкладок конденсатора. 5. В качестве примера'вычислим энергию заряженного плоского конденсатора. Электроемкость такого конденсатора C^eeoS/d, а разность потенциалов обкладок с>1—где Е - - напряжен- ность однородного поля в конденсаторе. Подставив в (17.4) эти выражения для С и Ф1 —Ф2, получим И-;~72ее0Г2Г, (17.7) где V=Sd объем поля конденсатора. Формула (17.7) связывает энергию, затраченную на зарядку конденсатора, с основной харак- теристикой его электрического поля - напряженностью Е Формулы (17.4) и (17.7) позволяют дать две различные трактовки энергии W,. йыом из (17.4) можно утверждать, что Wt - энергия системы зарядов на обкладках конденсатора, т. е. что носителями электрической энергии являют- ся сами заряды. С другой стороны, основываясь на (17.7), можно утверждать, что Wt энергия электрического поля конденсатора, т. е. что она распределена по всему объему поля, которое является ее носителем. Электростатическое поле неотделимо от его источников — неподвижных электрических зарядов. Поэтому, оставаясь в рамках электростатики, нельзя отдать предпочтение какому-либо из двух вышеприведенных утверждений относительно локализации энергии Wt Изучение переменных электромагнитных полей показало, что они могут существовать отдель- но от породивших их систем электрических зарядов и токов, а их распространение в пространстве в виде электромагнитных волн связано с переносом энергии. Так было доказано, что электромаг- нитное поле обладает энергией. Соответственно и электростатическое поле обладает энергией, которая распределена в поле с объемной плотностью В однородном поле плоского конден- сатора его энергия Wt должна быть распределена раНноввёрйО пО'всему объему поля* V=Sd. Поэтому из (17.7) следует, что объемная плотность энергии электростатического по&я: плоского конденсатора w,= И/,/И= 73£ео£2= 42ED. (17.8) где D=££qE электрическое смешение. в. Выражение (17.8) для объемной плотности энергии электростатического поля справед- ливо также и для неоднородных полей: w,=«dW;/dK=72e£b£2=71£'Z>.,7 (17.9) . где dH7 энергия малого элемента dF объема поля, в пределах которого величину w, можно считать всюду одинаковой. Докажем это на примере энергии неоднородного поля заряженной проводящей сферы радиуса R, окруженной однородным, изотропным диэлектриком с относитель- ной диэлектрической проницаемостью е. Электроемкость проводящей сферы равна Эремкости проводящего шара того же радиуса й может быть найдена по формуле : C=4££qA. Если заряд сферы равен q, то ее электрическая энергия, согласно (17.3), равна . . ^«^/(вяееоЛ). (17.10) 229
Напряженность поля заряженной сферы, как показано в § 15.4 (пример 1), равна нулю внутри сферы, а вне ее, т. е. на расстояния от ее центра г направлена радиально, причем ^«в/фяедог3)- Объемная плотность энергии поля сферы ъ ' esoE2 ееоЕ2 q2 t .. Я=----~ —----= —------. 2 2 32xaO(Z Из этого выражения видно, что объемную плотность энергии поля можно считать одинаковой в пределах тонкого шарового слоя, концентричного заряженной сфере и ограниченного сферическими поверхностями, радиусы которых равны г и г+ог. Объем этого елйя d 4кг2 dr, а энергия электростатического поля в нем q2 dr dWe=wt dV=—---------. (17.11) 8«££o Г2 Энергию всего поля заряженной сферы найдем путем интегрирования выражения (17.11) по г от Л до со: Г q2. dr q2 Wt= ---------= . J вхио г2 8iwe<xR к Это значение энергии совпадает с (17.10), что может служить подтверждением применимости выражения (17.9) для расчета энергии как однородного, так и неод- дородного электростатического доля: f eeqE2 f DE »V= | — dK= — dK (17.12) (Иила) (Июля) 7. В заключение заметим, что формулы (17.5) и (17.6) пригодны только для потенци- альных электростатических поЛей неподвижных заряженных тел. Для переменных непотенциальных элеюрических полей понятие потенциала tp и построенные на его Основе выражения (17.3)-^{17.6) для энергии лишены смысла. МеЖду тем эти поля обладают' энергией, которую можно найти, пользуясь универсальной формулой (17.12). § 17.2. Энергия поляризованного диэлектрика 1. Процесс поляризации диэлектрика в электрическом поле связан с затратой энергии. При электронной поляризации силы поля совершают работу растяжения молекул — упругих диполей, а при ориентационной поляризации силы поля совершают работу ио повороту в поле электрических моментов молекул — жестких диполей. Поэтому ясно, что поляризованный диэлектрик обладает энергией, которая распределена по его объему с некоторой объемной плотностью Из формулы (17.9) следует, что объемная плотность энергии электростатического поля в вакууме (е= 1) (ПЛЗ) При той же напряженности Е поля в диэлектрической среде объемная плотность энергии поля в е раз больше, чем в вакууме: Z . (17.1$ Поэтому объемная плотность эверпм поляризованного диэлектрика M'<<WM>=lA(e-l)eft£a=17^2=72P£, (17> 230
гдЬ Р—х«оЕ — поляризованность диэлектрика, а 1 — сто диэлектрическая восп- риимчивость. 2. Докажем справедливость формулы (17.15) на примере электронной поляризации диэлектрика с неполярными молекулами — упругими диполями. Связь между элект- рическим моментом Рс упругого дню ля, индуцированным полем, и напряженностью Е выражается формулой (15.2): р,—асоЕ, где а — поляризуемость молекулы. Так как р.*?!, где 1 — плечо диполя, а д>0 — сто положительный заряд, то 1»ocqE/«. (17.16) При увеличении плеча д иполя на dl сила F—gE, действующая со стороны поля на заряд 9 диполя, совершает элементарную работу 6X*9*dl Из (17.16) видно, что dl*(cuo/g)dE. Поэтому &4в9 — EdE^ccf^Edf. Я Интегрируя это’ выражение по Е от О до Е, найдем работу сил доля дои деформации одного упругого диполя: А-Ч3ш0Е3-*11рлЕ. Искомая объемная плотность энергии равна сумме работ по деформации всех но молекул, содержащихся в единице объема диэлектрика: так как поляризоваявость диэлектрика с неполярными молекулами § 17.3. Закон сохранения энергии для электрического поля 1. Энергия JF, электрического доля какой-либо системы заряженных тел (проводников и диэлектриков) изменяется, если тела системы перемещаются, а также если изменяют- ся их заряды. При этом соверша работу внешние силы, припоженмые к телам Системы, а источники электрической хергии (аккумуляторные батарея, генераторы тока' и т. п.), подключенные к проводникам системы. Возможен также теплообмен между системой и внешней средой. Выделяя энергию JF„ мы представим полную энергию рассматриваемой системы в виде где IF. — кинетическая энергия механического движения тел системы, я U— та часть внутренней энергии системы, которая не связана с электрическим полем системы. Энергия 17 включает в себя энергию теплового движения молекул, энергию их взаимодействия и т. п. Для малого изменения состояния системы заряженных теп имеем, согласно закону сохранения и доеврахдония энергии, dH^+dB^+dU^dA’+dA^+tQ. (17.17) Здесь ЬА' — работа внешних сил, действующих на тела системы; — работа источников электрической энергии в системе; bQ — количество теплоты, сообщаемое системе извне. 2. Буд ем считать, как это обычно бывает, что в рассматриваемых процессах тем- пература системы поддерживается постоянной, а изменение плотности диэлектриков и теолога, выделяющаяся иля поглощающаяся в них дои изменении их поляризован- booth, пре :брсжимо малы. В таком случае можно считать, что dt7»O и ЭД* —ЭДд-л, т. е. что от системы отводится только теплота Джоуля — Ленца, которая выделяется электрическими токами, связанными с перераспределением зарядов в проводниках 231
системы. Подставив эти значения dU и 6Q в уравнение (17.17), получим следующее выражение закона сохранена энерпнк d^+dW^SQa^SA'+SA^. (ПЛ8) 3. Если перемещение тел системы производится квазистатически, т. е. очень медленно, то можно, во-первых, пренебречь изменением кинетической энергии системы (<ПКЖ=О) и, во-вторых, считать работу внешних сил SA' равной и противоположной по знаку работе 6А, совершаемой силами, которые действуют на тела системы в электрическом поле и, как уже говорилось выше, называются пондеромоторными силами. В таких случаях закон сохранения энергии (17.18) можно переписать в форме (17:19) Работа источников электрической энергии за малый промежуток времени dt равна * * i-i ь-i где к — общее число источников электрической энергии в системе; & t — э.д.с. i-го источника; dqt — заряд, проходящий через этот источник за время dr, I^dqjdt — сила тока в источнике. Работа £tIidt>Q, если ток Л идет внутри источника от катода к аноду. Выражение закона сохранения энергии для квазистатического изменения состояния системы тел, в которой заряд каждого из провод ников не изменяется и не перерасп- ределяется, так что дЛИАЭ.=0й ^бд-л=О: dWt+5A=0. (1720) Это соотношение можно использовать для отыскания пондеромоторных сил на основе расчета изменения энергии электрического поля системы. 4. Рассмотрим в качестве примера расчет сил, действующих на пластины заряженного плоского конденсатора, расстояние между пластинами которого х<& -^/s, где £ — пло- щадь пластины. Т'Ь Конденсатор заряжен и отключен от источника электрической энергии, так что заряД конденсатора qaaS=*const, где а — поверхностная плотность зарядов. При увеличении расстояния .между пластинами на dx пондеромоторная сила F, приложен- ная к перемещающейся Пластине, совершает работу &А— — Fdx. Изменение энергии электростатического поля в конденсаторе dWt=wtSdx, где к, — объемная плотность энергии поля в прилегающем к пластине слое толщиной dx. Таким образом, из закона сохранения энергии (17.20) следует, что пондеромоторная сида равна Г-и-Л , (17.21) Возможны два случая: 1) между пластинами конденсатора находится газообразный или жидкий диэлект- РИК2) между пластинами конденсатора находится твердый диэлектрик. В первом случае все пространство между .пластинами конденсатора независимо от расстояния между ними заполнено одним и тем же диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью а Следовательно, =еЕоЕ3/2=«^/(Тио), F-o^S/Qu^F^/e, (17.22) 232
где F — сила, действующая на пластину Атого же конденсатора при том же значении о, но только в отсутствие диэлектрика, т. е. в вакууме. Во втором случае в слое толщиной dx, образовавшемся в результате отодвигания пластины конденсатора, находится воздух, относительная диэлектрическая проница- емость которого равна единице. Поэтому и’<=ев(£”в)3/2=ал/(2ея), •' (17.22Э 5. Независимость сил взаимного притяжен i пластин заряженного плоского конден- сатора с твердым диэлектриком от диэлектрической проницаемости е последнего понятна: напряженность поля пластин зависит от е (уменьшается в е раз по сравнению с напряженностью Ет поля в ‘ вакууме) только внутри диэлектрика, а пластины конденсатора находятся вне диэлектрика, где напряженность поля равна Ет. Однако эти рассуждения в равной мере применимы и к конденсатору с жидким или газообраз- ным диэлектриком. Поэтому специального обсуждения требует соотношение (17.22), получающееся в этом случае из закона сохранения энергии. Нужно понять механизм уменьшения силы взаимного притяжения пластин конденсатора при заполнении его жидким или газообразным диэлектриком. У краев плоского конденсатора его электростатическое поле неоднородно: его i напряженность быстро уменьшается по мере удаления от края пластин конденсатора вовне. На молекулы-диполи жидкого или газообразного диэлектрика, находящиеся в таком сильно неоднородном поле, действуют сиды, которые втягивают эти диполи в область более сильного поля, т. е. внутрь конденсатора. Поэтому в согласии .сзаконом Паскаля давление р диэлектрика внутри заряженного конденсатора больше, чем атмосферное давление р0 вне конденсатора. Следовательно, результирующая сила F притяжения пластин меньше силы F*“ их кулоновского притяжения на величину гидростатической силы (р—pn)S: F=Fm-(p-p^S. Закон сохранения энергии позволил найти силу Е а следовательно, и (р—ро), не вникая во внутренний механизм влияния диэлектрика на F. Вопросы: 1. Как найти электрическую энергию системы заряженных тел (проводников и непроводников)? Где локализована эта энергия? 2. Выведите выражение для объемной плотности энергии электрического поля. 3. Дайте качественное объяснение уменьшения силы взаимного притяжения пластин заряжен- ного плоского конденсатора при погружении его в жидкий диэлектрик.
Глава Классическая электронная, теория электропроводности металлов § 18.1. Электрический ток и «гр характеристики 1. Электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц или заряженных макроскопических тел.* Различат два вида электрических токов: токи проводимости и конвекционные токи. Электрическим током проводамоств называется упорядоченное движение в веществе или вакууме свободных заряженных частиц — носителей тока. Примерами таких токов могут служить электрические токи в металлах, электролитах, ионизованных газах, плазме, полупроводниках, пучки электронов или ионов в вакууме. Конвекционным электрический током (электрическим током Переноса) называется электрический ток, осуществляемый движением в пространстве заряженного макроско- пического тела. Например; движущаяся заряженная лента электростатического генера- тора, изготовленная из диэлектрического материала (см. § 16.1), образует конвекцион- ный ток. За направление электрического тока условились принимать направление движения положительных зарядов, образующих этот ток. Если в действительности Движутся не положительные, а отрицательные заряды (например, электроны проводимости,' об-* радующие электрический -ток в металлическом проводнике), то направление элект- рического тока считается противоположным направлению движения отрицательных зарядов. 2. Ток проводимости возникает под действием электрического поля. При этом равно- весное (электростатическое) распределение зарядов в проводнике нарушается, а его поверхность и объем перестают быть эквипотенциальными. Внутри проводника появ- ляется электрическое поле, а касательная составляющая напряженности электрического поля у поверхности проводника £гт*0. Электрический ток в проводнике продолжается до тех пор, пока все точки проводника не станут эквипотенциальными. Из сказанного ясно, что для осуществления в среде тока проводимости необходимо выполнение следующих двух-условий: по-первых, в среде должны быть носителя тока и, во-вторых, в ней должно существовать электрическое поле. Носителями тока в металлах являются электроны проводимости, в электроли- тах — положительные и отрицательные ионы, в газах и плазме — новы и электроны, в полупроводниках - электроны проводимости и дырки. Для поддержания тока необходим источник электрической энергии — устройство, в котором осуществляется преобразование какого-либо вида энергии в энергию элект- рического тока. 3. Силой тока (или просто током) называется скалярная физическая величина I, равная отношению заряда dq, переносимого при электрическом токе сквозь рассматриваемую поверхность $ за малый промежуток времени, к длительности dr этого промежутка: l^dqjdt. / (18.1) В случае тока проводимости в какой-либо электрической цепи под поверхностью 5 понимают поперечное сечение проводника. Электрический ток называется постоянным, если его направление и сила тока не изменяются с течением времени. Для постоянного тока /=<?/', (18.1') 234
где 9 — заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность за конечный проме- жуток времени t. Для постоянства электрического тока проводимости необходимо, чтобы напряжен- ность электрического поля во всех точках проводника, по которому идет этот ток, сохранялась неизменной. Поэтому заряды н₽ должны накапливаться или убывать где-либо в проводнике, по которому идет постоянный электрический ток. В противном случае изменялось бы электрическое поле этих зарядов. Указанное условие означает, что цепь постоянного тока должна быть замкнутой, а сила тока — одинаковой вд* всех поперечных сечениях цепи. 4. Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменили зжепрнческнм током. Электрический ток называется периодическим, если его значения повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, по истечении которого происходит это повто- рение, называется периодом электрического тока. В электротехнике получил очень широкое распространение синусоидальный электрический Чок — периодический пере- менный электрический ток, являющийся синусоидальной функцией времени. Мгновен- ное значение силы синусоидального тока, т. ё. ее значение в момент времени г равно I— /0sin(d>r+<p0). (18-2) Здесь /0 — максимальное возможное значение /, называемое амплитудой тока (силы тока); a>=2nfT— круговая (угловая) Частота тока; иг+фо — фаза тока; р0— началь- ная фаза (фаза в начальный момент времени 1=0). Половину периода синусоидальный ток вдет в одном направлении (/>6), а другую половину периода — в обратном направлении (/<0). Периодический переменный электрический ток, направление которого не изменяет- ся, называется пульсирующим. Такой ток получается, например, при выпрямлении синусоидального тока с помощью лампового или полупроводникового выпрямителя. 5. Для характеристики направления электрического тока в разных точках рассмат- риваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхности вводится вектор плотности тока. Плотностью электрического тока проводимости называется вектор j, совпадающий ^направлением электрического тока в рассматриваемой точке и численно, разный отношению силы тока dZ сквозь малый элемент поверхности, ортогональной направле- ниютока, к площади dSj. этого элемента: y=dZ/d5x. (18.3) Если малый элемент поверхности площадью d$ расположен так, что. нормаль к этому элементу составляет с вектором плотности тока угол в, то сила тока сквозь участок поверхности dS равна dZ=jdSx=;dScosa=jnd5=jdS, (18.4) где dS=nd5 — вектор малого элемента поверхности; и — единичный вектор нормали. Из (18.4) следует, что сила электрического тока через произвольную поверхность S равна потоку через эту поверхность вектора плотности тока: (18.5) где Л — проекция плотности тока на нормаль и. , Опыты показали, что плотность постоянного электрического тока одинакова по (всему поперечному сечению 5 однородного проводника.. Поэтому Для постоянного 'тока в однородном проводнике с поперечным сечением 5сила тока I=jS. (18.53 235
Из (18.5Э и постоянства значения I во всех участках цепи постоянного тока следует, что плотности постоянного тока в различных'поперечных сечениях / и 2 цепи обратно пропорциональны площадям и этих сечений: Ji'Ji—Si :Si. Пусть 5 — замкнутая Поверхность, а векторы dS всюду -проведены по внешним нормалям п. Тогда поток вектора j сквозь эту поверхность 5 равен электрическому току I, идущему вовне из области, ограниченной замкнутой поверхностью S. Следователь- но, в согласии с законом сохранения электрического заряда суммарный электрический заряд 9, охватываемый поверхностью S, изменяется за время dr на Aq= —lit, т. е. yjdS-----£ (18.6) j dr Уравнение (18.6) называется уравнением неразрывности. В случае постоянного тока заряд д=const и <£jdS=O. (18.6') (Я ‘ § 18.2. Опытные доказательства электронной проводимости металлов 1. Рассматривая металлические проводники, мы считали, что их электропроводность объясняется тем, что в них имеются свободные электроны — электроны проводимо- сти. Это предположение было экспериментально подтверждено в опыте К. Рикке. Опыт. Через цепь, состоящую из трех последовательно расположенных цилиндров: медного, алюминиевого и снова медного,— пропускался электрический ток в течение очень долгого времени (порядка года). В общей сложности через цилиндры прошел заряд 3,5 МКл. Однако пики гит следов переноса вещества (меди или алюминия) не было обнаружено. Отсюда следовало, что электропроводность металлов обусловлена перемещением таких заряженных частиц — сво- бодных носителей заряда, которце являются общими для всех металлов и не связаны с различием их физических и химических свойств. 2. Для изучения природы свободных носителей заряда в металле можно осуществить следующий опыт. Опыт. Металлический стержень С длиной I движется поступательно со скоростью v0 (рис. 18.1, а). В результате взаимодействия с кристаллической решеткой носители заряда в проводнике также движутся со скоростью vq- Предположим теперь, что стержень резко тормозится и при торможении замыкается.с помощью неподвижного проводника В на гальванометр G (рис. 18.1, б). Носители заряда, не связанные жестко с кристаллической решеткой стержня С, продолжают двигаться в прежнем направлении до тех пор, пока вся энергия их упорядоченного движения не израсходуется на выделение в цепи теплоты Джоуля — Ленца. Поэтому в цепи пойдет кратко- временный ток, который можно обнаружить с помощью гальванометра G. По направлению этого тока можно судить о знаке заряда носителей тока в металлическом стержне С. Этот опыт позволяет также найти очень важную характеристику носителя тока — его удельный заряд qftn, где q — заряд носителя тока, ат — его масса. В самом деле, по закону Джоуля — Ленца, работа, со- вершаемая током I за время dr в цепи с сопротивлением R, (18.7) Эта работа совершается вследствие убыли кинетической энергии упорядо- ченного движения носителей тока в сте- ржне С: 236
SA=~-Nd = — nolSmvdv, (18.79 где N число носителей тока в стержне; » скорость их упорядоченного движения в момент времени l; S площадь поперечного сечения стержня; п0 - концентрация носителей тока в стержне. Плотность тока в стержне равна • 7=|?|лое, поэтому сила тока в стержне и во всей остальной части цепи Z=|qr|not>5. Подставив это выражение в (18.7), получим ^4 = |g|noeS/J/dr=|9|ndvSZ?dQ, (18.7”) где d.Q=Zdr заряд, проходящий через гальванометр за время dr. Приравнивая правые части уравнений (18.79 и (18.7") и сокращая общие множители, находим l9|/?dQ= — mZdv. Интегрируя это уравнение по v от «о до 0, получим общий заряд Q, проходящий через гальванометр при торможении стержня: mho Q~\4\R' откуда т RQ Удельный заряд является важной характеристикой элементарных частиц, так как по его величине легко отличить друг от друга разные частицы, имеющие одинаковые заряды (например, электроны от отрицательно заряженных мюона, пиона и др.). 3. Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси провели (1913) следующий опыт. Опыт. Концы провода, намотанного на катушку, были подключены к. неподвижной телефон- ной трубке. При быстрых крутильных колебаниях катушки вокруг ее оси в цепи появлялся переменный ток, вызывавший треск в телефонной трубке. Знак и значение заряда носителей тока в проводе в этом опыте не определялись. Т. Стюарт и Р. Толмен усовершенствовали (1916) схему опыта, заменив телефон чувствительным гальванометром. Было показано, что носители тока в металле заряже- ны отрицательно. Удельный заряд этих частиц оказался приблизительно одинаковым для всех исследованных металлов и близким к удельному заряду электрона, равно- му 1,76 • 1011 Кл/кг. Таким образом было экспериментально доказано, что носи- телями тока в металлах действительно являются электроны. § 18.3. Основы классической электронной теории электропроводности металлов 1. Высокая электрическая проводимость металлов в жидком и твердом состояниях (в газообразном состоянии металлы не проводят электрический ток, если только газ не ионизован) обусловлена огромной концентрацией в них носителей тока. - 'электронов проводимости. В классической теория П. Друде — X. Лоренца электроны проводимости рассматриваются как электронный газ, обладающий свойствами одноатомного иде- ального газа. Концентрация электронов проводимости в одновалентном металле порядка числа атомов в единице объема: 237
яо~— D, A где Na постоянная Авогадро; A — атомная масса металла; D — его плотность. По порядку величины КЯ’ч-Ю3* м~3. В отсутствие электрического поля электроны проводимости хаотически двивгутся и сталкиваются с ионами металла, которые, в свою очередь, совершают беспорядочные тепловые колебания около положений равновесия — узлов кристаллической решетки. Считается, что средняя длина свободного пробега <А> электронов должга быть поряд- ка расстояния между узлами решетки металла, т. е. <А> ~ 10"10 м. Средняя кинетическая энергия теплового движения электронов где т — масса; «„ — средняя квадратичная скорость электронов. При температуре Т=273 К с„и105 м/с. Средняя арифметическая скорость <и> теплового движения электронов имеет значение такого же порядка. 2. Электрический ток в металле возникает под действием электрического поля, кото- рое вызывает упорядоченное движение электронов проводимости — их дрейф в напра- влении, противоположном направлению вектора Е напряженности поля. Плотность тока j---ine<T>, (18.9) где п0 - концентрация электронов проводимости; —е — заряд электрона; <▼> — сред- няя скорость дрейфа электронов. При самых больших значениях плотности тока в проводах, допускаемых правилами техники безопасности, скорость <▼> имеет по формуле (18.9) величину порядка 10~3 м/с. Таким образом, скорость дрейфа электро- нов в металлах ничтожно мала по сравнению со средней скоростью (и) их теплового движения. Это объясняется Малостью средней длины свободного пробега электронов между двумя последовательными столкновениями с ионами металла. 3. В классической электронной теории предполагается, что при соударениях с ионами электроны полностью теряют Скорость упорядоченного движения. Уравнение движе- ния электрона в процессе свободного пробега имеет вад dt где Е - напряженность электрического поля в проводнике. В процессе свободного пробега электроны двивгутся равноускоренно. Поэтому средняя скорость их упорядо- ченного движения •“ ОЬмк^/2, где ~ средняя скорость электрона, приобрета- емая под действием электрического поля на длине, свободного пробега. Интегрируя это уравнение движения электрона по временя от 0 до (т> (средняя продолжительность свободного пробега электрона), получаем (18.10) <е>-еЕ<т>/(2м). К 7 Электроны одновременно участвуют также в тепловом движении. Пренебрегая, как это делал Друде, статистическим распределением электронов проводимости по скоростям их теплового движения, будем считать, что модули скоростей всех электронов в этом движении одинаковы и равны <и>. Тогда, учитывая, что (»>-« <и>, можно определить Среднее время свободного пробега электронов по формуле <t>=W/<«>, 238
где <2> — средняя длина свободного пробега электронов. Подставим это выражение в формулу (18.10) для <«>: <г>=е<Л>£/(2т<М». (18.10') Из (18.9) и (18.10') следует, что плотность тока проводимости в металле j^n^iyE/Qm^y). Величину y=n0e1<A>/(2m<u>) (18.11) называют удельной электрической проводимостью, а обратную ей величину р= 1/у — удельным электрическим сопротивлением проводника. Следовательно, J=yE=- Е Р или, учитывая, что векторы ] и Е сонаправлены, j=yE=- Е. (18.12) Р Уравнение (18.12) выражает закон Ома для плотности токе: плотность тока проводимости равна производенмо удельной электрической npoBojtpHBocTH проводника не напряжанноспв электрического поля в проводнике. Этот закон часто называют- также законом Ома в дифференциальной форме. 4. Рассмотрим превращение энергия, происходящее при соударениях электронов с Ио- вами кристаллической решетки. В конце свободного пробега каждый электрон теряет скорость упорядоченного движения, приобретенную, им под, действием, электрического поля за время свободного пробега. При этом энергия упорядоченного движения электронов преобразуется во внутреннюю энергию проводника, нагревающегося в про- цессе прохождения по нему электрического тока. На длине свободного пробега элект- рон увеличивает свою кинетическую энергию под действием электрического поля на величину А =Vi»» (+%»»)1 - ’А"™2=т где в — скорость теплового движения электрона во время свободного пробега, а — скорость упорядоченного движения электрона перед ударом о ион. Из-за беспорядочности теплового движения <(nvMm,)>=0. Поэтому средняя энергия,сообща- емая электрическим полем электрону и передаваемая им иону решетки при сголкнове- ВЕИ, ^W,y^l2m(^y. Пренебрегая различием между <у*—.У и <Амкгс>2, будем считать, что (18.13) В единице объема проводника имеется ло электронов проводимости, каждый из которых испытывает ежесекундно в среднем (и>/<2> столкновений с ионами металла. Следовательно, энергия тока, преобразующаяся во внутреннюю энергию в единице объема проводника за 1 с, равна 239
<u> ж и'=л°7Кэ (18J4) \Л/ 2 Величину w называют обьемяо* плотностью -тепловой мощности тока. Заменяя <®мпх> по формуле (18.10), где <т>=<Л>/<«>, получаем w=noe2<A>£2/(2m<u>) (18.15) или ю=у£а. (18.16) Это уравнение выражает закон Джоуля — Ленца для плотности тепловой мощности тока (его часто называют законом Джоуля — Леща в дифференциальной форме): объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимо- сти на квадрат напряженности электрического поля я провод- нике. Закон Джоуля — Ленца можно также переписать в форме W=JE=-f-pF. (18.16Э 7 5. Немецкие физики Г. Видеман и Р. Франц на основе экспериментов установили (закон Видемана — Франца) (1853), .что для всех металлов при одной и той же температуре отношение теплопроводности К к удельной электрической проводимости у одинаково: (К/у^С. (18.17) Дальнейшие исследования датского физика Л. Лоренца (1882) показали, что от- ношение К/у для металлов пропорционально их термодинамической температуре Г. {Kjy)=CiT. (18.17) Электронная теория металлов позволила получить этот закон и вычислить значе- ние константы Сь основываясь на предположении, что теплопроводность металлов в основном осуществляется электронами проводимости, т. е. электронным газом. Как показано в § 10.8, теплопроводность газа К-*/э/»у<А><н>, где р=тп0 — плотность газа; су— его удельная теплоемкость при постоянном объ- еме. Электронный газ в металле рассматривается как одноатомный идеальный газ, «молекулы» которого имеют три степени свободы, а молярная масса где m — масса электрона. Поэтому ЗЯ 3 pcy=mrto ——=- пок, 2 М 2 240
где fc — постоянная Больцмана. Таким образом, теплопроводность электронного газа М/МШ (18-18) . Из формул (18.18) и (18.11) следует» что ' В теории Друде <«> =«и®у/зЬТ/т, поэтому к к3 -~3-Т. (18.19) у е2 Эта формула совпадает с (18.17'), если принять, что С^З^/е2, (18.20) где Q=2,23 • IO"’ Дж2/(Кл-К)1 [см, (18.20)]. Эта величина оказалась несколько меньше значения Си найденного из опытов. § 18.4. Недостатки классической электронной теории электропроводности металлов 1. Электронная теория проводимости металлов, развитая Друде, была чрезмерно упрощенной, так как в ней предполагалось, что все электроны имеют одинаковые по модулю скорости теплового движения. Между тем в электронном газе, как и в обыч- ном газе, состоящем из молекул, должно существовать какое-то распределение элект- ронов по скоростям, электроны должны подчиняться какой-то статистике. X. Лоренц усовершенствовал теорию Друде, применив к электронному газу классическую стати- стику Максвелла — Больцмана. Он исходил из того, что в отсутствие электрического поля электроны проводимости движутся в металлическом проводнике беспорядочно, а их распределение по скоростям описывается законом Максвелла (см. § 10.3). Элект- рический ток, возникающий под влиянием электрического поля, связан с отклонением распределения электронов по скоростям от максвелловского. На беспорядочное тепло- вое движение электронов накладывается движение, вызванное электрическим полем. , В теории Лоренца средняя скорость дрейфа электронов в поле, так же как и в теории 1 Пруде, пропорциональна напряженности поля. Лоренц тоже получил закон Ома для ,,плотности тока в форме (18.12). Однако выражение для удельной зи ктрической проводимости имело несколько отличный от (18.11) вид, а именно iBoe’W /1\ В В этой формуле <1/и> — среднее значение величины, обратной тепловой скорости v электронов, вычисленное с помощью статистического распределения электронов по скоростям. Ничего существенно нового усовершенствованная теория Лоренца не дала, так как характер зависимости у от физических характеристик металла (температуры Т, концентрации Ид электроне» проводимости н средней длины их свободного пробега (л>) по формулам (18.21) и (18.11) одинаков. В теории Лоренца получилось меныпее значение коэффициента Ci в законе Видема- на — Франца, чем значение (18.20), полученное Друде: С}~2к2/е2. (18.20) t Это значение хуже согласуется с опытными данными, чем (18.20). Таким образом, | (казалось, что уточненная классическая электронная теория, учитывающая статисти- 241
ческие закономерности электронного газа в металлах, хуже согласуется с опытными данными, чем более грубая теория Друде. 2. Теория Друде — Лоренца не смогла объяснить целый ряд. экспериментально уста- новленных закономерностей для металлов. 1. Экспериментально установлено, что в довольно широком интервале температур Т удельное электрическое сопротивление р пропорционально Т, А удельная электричес- кая проводимость у обратно пропорциональна Г. Формулы (18.11) н (18.21) не позволя- ют получить такую зависимость у от Т. В самом деле, из кинетической теории газов известно, что средняя скорость теплового движения молекул пропорциональна у/т (соответственно <1/а>~1\/7), а произведение ло(А> от температуры не зависят. Таким образом, согласно формулам (18.11) и (18.21), у-1/Vr и р«(1/у)~7г. 2. Возникли трудности при оценке средней длины свободного пробега электронов в металле. Для того чтобы получить с помощью формул (18.11) или (18.21) значения удельной электрической проводимости, близкие к найденным экспериментально, при- ходится предположить, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни межузельных расстояний*. Однако это предположение непонятно в рамках классичес- кой теории Друде - Лоренца. 3. Еще большие затруднения возникли с теплоемкостью металлов. Согласно клас- сической электронной теории, молярная теплоемкость С металла складывается из молярной теплоемкости кристаллической решетки и молярной теплоемкости С,, электронного газа, обладающего свойствами одноатомного идеального газа: С=Срав+Сяя. Ионы, образующие кристаллическую решетку металла, совершают теп- ловые колебания около узлов решетки. Каждый ион имеет три колебательные степени свободы, на которые в среднем приходится энергия, равная ЗкТ. Внутренняя энергия моля ионов Цкш=>з^^7'жЗ/{7'. Следовательно, dt/pee Овп»--^?=зл dr Согласно классической теории теплоемкостей идеальных газов, C^—^^R- Таким образом, молярная теплоемкость металлов C=9/2R- Однако опыты показали, что молярная теплоемкость металлов мало отличается от молярной теплоемкости кристаллических диэлектриков и при обычных температурах близка к 3R. Следовательно, основываясь на экспериментальных данных, нужно счи- тать, что внутренняя энергия электронного газа в металле не изменяется при нагрева- нии проводника. Классическая электронная теория металлов не может объяснить этот результат. Э. Худшее согласие значения (18.2(Х) для коэффициента С| в законе Видемана — Фран- ца, полученное Лоренцем при уточнении классической электронной теории Друде, свидетельствовало о том, что уточнять эту теорию не имеет смысла. Для лучшего согласия теории с экспериментом и преодоления перечисленных выше трудностей классической теории Друде — Лоренца требовалась качественно новая теория метал- лов. Такой теорией явилась квантовая электронная теория металлов, разработаная А. Зоммерфельдом (1928). Зоммерфельд применил к электронному газу в металле не классическую статистику Максвелла — Больцмана, а квантовую статистику Ферми — Дирака. Ему удалось (см. § 41.6) получить правильное значение молярной теплоем- кости электронного газа и объяснить‘малый вклад электронов проводимости в тепло- емкость металлов. Было также уточнено значение коэффициента С| в законе Видема- на Франца, которое оказалось равным •Концентрацию ид электронов проводимости можно определять экспериментально ш основе эффекта Холла (см. § 23.2). 242
Дальнейшее развитие квантовой теории металлов было достигнуто путем учета влияния периодического электрического поля ионон, образующих хрясталлйческую решетку, а также нарушений периодичности этого поля вследствие тепловых колебаний ионов, наличия примесей и других дефектов кристалла. § 18.5. Работа выхода электрона из металла. 10|lmUwJ ГОК I )Jvlf HflJI эжисиия 1. Электроны проводимости металла, совершая беспорядочное тепловое движение, могут вылетать за пределы металлического тела. Поэтому у поверхности металла существует электронное облако, постоянно обменивающееся электронами с металлом, так что электроны облака и металла находятся в динамическом равновесии между собой. Заметная концентрация электронов в облаке наблюдается лишь на расстояниях от поверхности металла порядка нескольких межатомных расстояний. На поверхности металла имеется избыток положительных зарядов ионов. Эти заряды и электронное облако образуют тонкий даойной элиа римский слой, электрическое поле которого препятствует вылету электронов из металла. Наименьшая работа, которую Должен совершить электрон проводимости для выхода из металла в вакуум, называется работой выхода Л. Работа выхода совершается электроном за счет уменьшения его кинетической энергии. Она включает в себя работу против сил поля двойного электрического слоя, а также против сил «зеркального изображения», т. е. против сил притяжения со стороны положительного заряда на поверхности металлического проводника, индуци- руемого вылетающим электроном (этот заряд экранирует внутри проводника элект- рическое поле вылетающего электрона). Работа выхода зависят ст химической приро- ды металла и состояния его поверхности. Загрязнение поверхности, оксидная пленка и другие изменения состояния поверхности заметно изменяют работу выхода. У чис- тых металлов работа выхода колеблется в пределах нескольких электрон-вольт. 2. Испускание электронов твердыми или жидкими телами называется электронной эмиссией, а тела, испускающие электроны, называются эмиттерами. В зависимости от механизма приобретения электронами эмиттера энергии, до- статочной для совершения работы выхода, различают следующие виды электронной эмиссии: а) термоэлектронная эмиссия — испускание электронов нагретыми телами; б) фотоэлектронная эмиссия, иля вяепний фотоэффект,— испускание электронов под действием электромагнитного излучения (см. § 36.2); в) вторичная электроняя эмиссия — испу- скание вторичных электронов в результате бомбардировки эмиттера первичными элек- тронами; i г) ионно-элск тронная эмиссия — испуска- ние электронов в результате бомбардировки эмиттера ионами; д) автоэлектронная эмиссия — испуска- ете электронов проводящими твердыми « жидкими телами под действием очень сильного внешнего электрического поля у их ^поверхности. Автоэлектронная эмиссия — {пример квантово-механического явления, |пзываемого туннельным эффектом (см. Н II Термоэлектронную эмиссию можно на- шюдать с помощью установки, схема кото- |рой показана на рис. 18.2. Стеклянная труб- щ М, в которую впаяны два электрода — 243
катод К и анод А, откачана до глубокого вакуума для того, чтобы катод не окислялся, а электроны, эмиттируемые катодом, не сталкивались при своем движении в трубке с молекулами воздуха. Металлический катод нагревается электрическим током от батареи накала Бя. Сила тока в цепи накала регулируется переменным резистором Ля. С помощью потенциометрической схемы, состоящей, из анодной батареи j?a и потенци- ометра R, между анодом и катодом создается анодное напряжение (разность потенци- алов) ил, измеряемое вольтметром V». Переключатель Р служит для перемены знака . анодного напряжения ил. В трубке М идет электрический ток, образованный упорядо- ченно движущимися под действием электрического поля электронами, которые ис- пускаются накаленным катрДом. Эти электроны называются термоэлектронами, а об- разованный ими ток — термоэлектронным током. Его сила 1Л измеряется микроампер- метром дА. 4. На рис. 18.3 показана зависимость силы термоэлектронного тока 7В от анодного напряжения 17, при постоянной температуре катода. При небольших анодных напряже- ниях сила тока 7В вначале медленно растет с повышением напряжения. Это объясняется тем, что при малых значениях ил не все электроны, испускаемые катодом, достигают анода, так как этому препятствует электронное облако (отрицательный про- странственный заряд), существующее между катодом и анодом. С увеличением 17, электронное облако посте- пенно рассеивается и сила тока 1Л растет. При 17,»» 77, дальнейший рост силы тока прекращается, так как все lai t 1ц - Рис. 18.3 электроны, вылетающие из катода, достигают анода. Максимальный термоэлектронный ток 7„, возможный при данной температуре катода, называется током на- сыщения. И. Ленгмюр, С. А. Богуславский и другие теоретически показали, что при 7, •« 7„ когда существенное влияние на термоэлектронный ток оказывает отрицательный про- странственный даряд, зависимость 7, от 77, >0 имеет вид Ь=ви*2, (18.22) где В — коэффициент пропорциональности, зависящий только от формы, размеров и взаимного расположения электродов (от температуры катода и его материала В не зависит). Закон (18.22) часто называют законом трех вторых или формулой Ленгмюра. Он получен в предположении, что начальная скорость термоэлектронов после выхода из < катода равна нулю. В действительности есть некоторое распределение термоэлект- ронов по их начальным скоростям. Поэтому при 77,«О и даже при небольших отрицательных значениях 77, существует очень небольшой, но все-таки отличный от нуля термоэлектронный ток. Таким образом, закон трех вторых несколько занижает значения тока 7, при малых положительных значениях Ut. Наоборот, в области значений 77„ близких к 77и, формула (18.22) завышает ток 7„ так как при ее выводе предполагается, что эмиссионная способность катода «ограничена. На самом деле каждый катод в зависимости от его размеров, работы выхода А электрона и тем- пературы Т ежесекундно эмиттирует конечное число термоэлектронов. Поэтому термоэлектронный ток 7, может расти с увеличением Ut лишь до значения топ насыщения 7и=еи<«. (1823) 5. Опыты показали, что и сила тока насыщения очень быстро возрастают с увели- чением температуры катода. Теоретически было показано, что плотность тока насыще- ния на катоде удовлетворяет формуле Ричардсона — Дэшмаиа: Л=7ГТ2ехр[-Л/(ЛТ)], (1824) 244
гдеВ'= J20(1 — R) А/(см2 • К2) и R . коэффициент отражения электроне» проводимо- сти от потенциального барьера на поверхности эмиттера. Так как Л»кТ (например, для вольфрамового катода Л«=4,54 эВ и при 7’=2000 К Л/(Л7)=26,3), то определя- ющую роль в зависимости /и от температуры по формуле (18.24) играет множитель ехр[—А/(кТ)]. Например, при увеличении температуры вольфрамового катода с 2000 до 2500 К множитель Т2 увеличивается в 1,56 раза, а ехр[—Л/(Л7)] в 193 раза! Для снижений рабочей температуры и в то же время получения достаточно больших значений- J„ применяют термоэлектронные катоды с пониженной работой выхода (например, оксидные катоды, состоящие из металлической тугоплавкой подложки, поверхность которой покрыта пленкой оксидов щелочно-земельных металлов (ВаО и SrO или ВаО, SrO и СаО) толщиной в десятки тысяч атомных слоев). Явление термоэлектронной эмиссии нашло широкое практическое применение в различных электровакуумных и газоразрядных приборах. Вопросы: 1. Чему равен поток вектора плотности тока проводимости через какую-либо поверхность? Чему равен этот поток через замкнутую поверхность в случае постоянного тока? 2. Какие эксперименты позволили выяснить природу носителей тока в металлах? 3. Сформулируйте основные положения классической электронной теории проводимости ме- таллов. 5. Объясните зависимость термоэлектронного тока от анодного напряжения.
Глава 19________________________________________ Законы постоянного тока § 19.1. Обобщенный закон Ота для участка цепи 1. Силы кулоновского взаимодействия зарядов вызывают такое перераспределение носителей тока (свободных носителей заряда) в проводнике, при котором потенциалы во всех его точках выравниваются и электрическое поле в проводнике исчезает. Для поддержания в цепи постоянного тока проводимости нужно, чтобы на носи- тели тока действовали помимо кулоновских сил еще какие-то иные, неэлектростатичес- кие, силы, называемые стороннями силами. Если кулоновские силы вызывают соединение разноименных зарядов, выравнива- ние потенциалов и исчезновение электрического поля в проводнике, то сторонние силы вызывают разделение разноименных зарядов и поддерживают разность, потенциалов на концах проводника. Сторонние силы действуют на носители тока внутри источника электрической энергии (гальванических элементов, аккумуляторов, электрических гене- раторов и т. п.). Источник сторонних сил так же необходим в цепи постоянного тока, как необходим насос для создания постоянной циркуляции жидкости в любой замкнутой гидравличес- кой системе. Роль насоса в электрической цепи играет источник электрической энергии. Под действием сторонних сил носители тока движутся внутри источника Электрической энергии против сил электростатического поля, так что на концах внешней цепи поддерживается постоянная разность потенциалов и в цепи идет постоянный ток. Перемещая заряды, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затрачиваемой в источнике электрической энергии. Так, например, в электромагнитном генераторе работа сторонних сил производится за счет механической энергии, расходуемой на вращение ротора генератора, а в аккумуляторах и гальванических элементах — за счет энергии химических реакций на электродах.; 2. В общем случае на носитель тока, имеющий заряд q, действует в проводнике сила =Ржзя+КС1Ор==^(ЕЖуЯ+ЕСТОр), (19.1) где Ежул — напряженность электростатического поля в проводнике, a — напряженность сгоропяп сил, равная отнопению сторонней силы к заряду носителя тока, на который она действует. Из вывода закона Ома для плотности тока видно, что под Е в формуле (18.12) в общем случае нужно понимать F/q, т. е. сумму E^+E^^: (19.2) Умножим скалярно обе части равенства (19.2) на вектор di, численно равный длине dl элемента проводника и направленный вдоль проводника в направлении тока, т. е. вдоль вектора J плотности тока: jdl-^dl+E^pdD/p. Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов j и di равно произведению их модулей, то p/d/-Ery„dI+Ecrepdl, или, согласно (18.S9. /pd/^E^dl+E^dl. 246
Интегрируя по длине участка цепи 1 — 2 (между сечениями цепи 1 и 2) и учитывая, что сила тока во всех сечениях цепи одинакова, получаем (19.3) 3. Рассмотрим подробнее физический смысл всех членов, входящих в уравнение (19.3). Первый интеграл, стоящий в правой части уравнения (19.3), численно равен работе, совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заря- да вдоль участка цепи 1 — 2. В электростатике было показано [см. (1327)], что ЕжуцсП— —dp, ч. где <р — потенциал электростатического поля. Таким образом, 2 Je^cH-Pi-P:, (19.4) 1 где pi и Ф2 — потенциалы в сечениях 7 и 2; pi—— падение тиснящим вдоль участка цепи 1 — 2. Аналогичный линейный интеграл, содержащий вектор Ет^, называется электродои- жуи силой (э.дх.) iи, действующей на участке цепи 1 — 2: 2 Sn-jlUpdl. (19-5) 1 Электродвижущая сила 5 и численно равна работе, совершаемой сторонними силами при перемещении до участку цепи 1 — 2 едш чного положительного заряда. Эту работу производит источник электрической энергии. Поэтому можно также называть электродвижущей сапой источника электрической энергии, включен- ного на участке цепи 1 — 2. Напряжением ня участке цеп 1 — 2 называется физическая величина U», численно равная суммарной работе, сс сршаемой кулоновскими а сторонними силами при перемещении по участку цепи 7 — 2 единичного положительного заряда: 2 Ц2-|(Ежуя+1^р)<П, (19-6) или pz)+ i (19-7) Вввсденное нами понятие напряжения не совпадает с тем, которым иногда пользу- ются в электростатике для обозначения разности потенциалов, а является его обобще- ввсм. Напряжение на участке цепи равно разности потенциалов только в том случае, если на этом участке не приложена э.д.с., т. е. не действуют сторонние силы. Интеграл г « ]/>--*! 09-8) 1 247
называется электрическим сопротивлением участка цепи / — 2. Для однородного про- водника постоянного сечения p=const, S=const и Rn^phi/S, (19.89 где /и — длина проводника между сечениями / и 2. 4. Из соотношений (19.3) — (19.8) следует, что , Я12/12 = (ф1— <Р1)+& 12, (19.9) где /12=/>0, если электрический ток вдет по участку цепи от сечения 1 к сечению 2, в противном случае Д2=' — I<G. Уравнение (19.9) является математической записью обобщенного закона Ома для участка цепи электрического тока: произведение электрического сопротивления участке цепи ш Силу тока в ном равно сумме падения электрического потен- циала на этом участке и эдл. веек источников электрической энергии, включенных на рассматриваемом участке. Обобщенный закон Ома, как видно из его вывода и смысла всех членов уравнения (19.9), выражает закон сохранения и превращения энергии применительно к участку цепи электрического тока. Он в равной мере справедлив как для участков электричес- кой цепи, не содержащих источников электрической энергии и называемых пассивными участками, так и для активных участков, содержащих указанные источники. Пользуясь обобщенным законом Ома (19.9), нужно соблюдать следу- ющее правило звяков для э.д.с. источ- ников, включенных на участке цепи / — 2: если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направлени- ем обхода участка (т, е. внутри источ- ника обход связан сперемещением от катода к аноду), то при подсчете э.д.с. этого источника нужно считать положительной, а в противном случае — от- рицательной. Так, на рис. 19.1, a 612= &>0, а на рис. 19.1, б 612= — £ <0. Обобщен- ный закон Ома можно также представить в форме* Я12/12= С/12- (19.10) 5. Во всех сечениях неразветвленной замкнутой электрической цепи сила тока оди- накова. Такую цепь можно рассматривать как участок, концы которого (сечения / и 2} совпадают, так что Ф2=Ф1 и Я12=— сопротивление всей цепи. Поэтому закон Ома для замкнутой цепи имеет вид Яа/=£, , (19.11) где £ — алгебраическая сумма всех э.д.с., приложенных в этой цепи. Пусть замкнутая цепь состоит из источника электрической энергии zc э.д.с. & и внутренним сопротивлением г, а также внешней части цепи, имеющей сопротивление *Этот закон был экспериментально установлен немецким физиком Г. Омом (1826) и им хе теоретически обоснован (1827). 248 '
Рис. 18.2 Рис. 18.3 R (рис. 19.2). Силу тока в цепи найдем по закону Ома (19.11): 1= 5/(7?+г). Разность потенциалов на электродах источника равна напряжению на внешней части цепи: = -/г. (19.10') Если с помощью ключа К цепь разомкнуть, то ток в ней прекратится и, как видно из (19.103, разность потенциалов на клеммах источника будет равна его э.д.с. Покажем, что вольтметр, подключенный параллельно какому-либо участку элект- рической цепи постоянного тока, измеряет разность потенциалов на концах этого участка (рис. 19.-3). Напишем обобщенный закон Ома для'участка 1 — 2: Л12/=ф1— «Рз + б 12- Аналогично, по тому же закону, записанному для участка 7 — 2 цепи вольтметра, на котором нет э.д.с., /Ц»=ф1-ф2, где и 7» — сопротивление вольтметра и ток в нем. Таким образом, ток в вольтметре, определяющий отклонение подвижной системы этого прибора, пропорционален имен- но разности потенциалов на участке 1 — 2 электрической цепи, а не напряжению Un= Vi—Ф1+ & и- В случае пассивного участка цепи & 12=0, так что разность потенци- алов и напряжение на таком участке равны друг другу. § 19.2. Закон Джоуля — Ленца для участка цепи 1. Еёли постоянный электрический ток идет в цепи, состоящей из неподвижных металлических проводников, ТО работа тока целиком расходуется на нагревание про- водников. За малое время dt в объеме dVэлемента проводника длиной dl выделяется количество теплоты SQ^wdVdt^wSdldt, (19.12) где S — площадь поперечного сечения проводника; w — объемная плотность тепловой мощности тока. Согласно классической электронной теории проводимости металлов [см. (18-16')], w—pj2, где р — удельное электрическое сопротивление проводника; J — t плотность тока. Так как сила постоянного тока в проводнике I—jS, то формулу (19.12) можно переписать в форме а/ 6Q=pj2Sdldt=Pp-dt. (19.13) S 2. Количество теплоты Q, выделяющееся за конечный промежуток времени от 0 до jf постоянным током 7 во всем объеме проводника, электрическое сопротивление которого равно R, найдем, интегрируя выражение (19.13): .е=/2Лг. (19.14) Формула (19.14) выражает- закон Джоуля — Ленца для участка цени постоянво- |го тока: 249
количество теплоты, выдаппамоа постоянным электрическим током в участке цопм, равно произведению квадрата силы тока на время ого пршождания в электрическое сопротивле- ние «того участка цваи. Этот закон был установлен экспериментально Д. Джоулем (1841) и независимо от него русским физиком Э. X. Ленцем (1842). По закону Ома [см. (19.10)], №** U — напряжение на рассматриваемом участке цепи, поэтому формулу (19.14) можно перепи- сать в виде Q~UIt~lPtlR. (19.15) § 19.3. Правила Кирхгофа 1. ‘ На практике часто приходится рассчитывать сложные (разветвленные) цепи посто- янного тока, например по заданным сопротивлениям участков цепи и приложенным э.д.с. находить силу тока во всех участках. Решение этой задачи значительно облегчает- ся, если пользоваться двумя правилами,-сформулированными Г. Кирхгофом (1847). Первое правило Кирхгофа выражает приведенное в § 18.1 условие постоянства тока в цепи, состоящее в том, что в случае установившегося постоянного тока электрические заряды не должны накапливаться ни на каком из участков цепи. Назовем узлом точку разветвления электрической цепи, т. е. точку цепи, в которой сходится больше двух проводников. Тогда первое правам Кирхгофа можно сфор- мулировать следующим образом: алгебраическая сумма токов, 1е/ сходящихся в узле, равна нулю: Г *“1 где п - число проводников, сходящихся в узле; Ik - сила тока Рис. 18.4 в k-м проводнике, причем токи, подходящие к узлу, считаются положительными, а токи, отходящие от него,— отрицатель- ными. На рис. 19.4 в узле Л сходятся шесть проводников, направления токов в которых показаны стрелками. Запишем первое правило Кирхгофа (19.16) для узла Л: 4 — /з+Д+Л— 4=0, где все токи считаются уже подозрительными. 2. Второе правиле Кирхгофа является обобщением закона Ома (19.11) на разветвлен- ные электрические цепи: в мобом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветв- ленной электрической цепи, алгебраическая сумма напряжений на всех участках этого контура равна алгебраической^ сумме э.д.с. всех источников электрической энергии, включенных в контур: Е Z I к, (19.17) *-i где Л| число участков, на которые контур разбивается узлами; Ik, Rk и & к сила тока, сопротивление и э.д.с., соответствующие Ar-му участку. Формулу (19.17) легко получить путем последовательного применения закона Ома (19.9) ко всем участкам замкнутого контура. Для составления уравнения (19.17) нужно условиться о направлении обхода контура (по часовой стрелке или против нее). Выбор этого направления совершенно произ- волен. Все токи в участках, совпадающие с направлением обхода, следует считать положительными. Положительными считаются э.д.с. тех источников электрической 250
энергии, которые вызывают ток, совпадающий по на- правлению с обходом контура. Так, например, в случае обхода по часовой стрелке замкнутого контура ABCDA (рис. 19.5) уравнение (19.17) имеет вед IiRi—£|—йг+£з, где все токи и э.д.с. уже считаются положительными. 3. При решении задач рекомендуется следующий поря- док расчета разветвленной цепи постоянного тока. 1. Произвольно выбрать в обозначить на схеме це- пи направления токов во всех участках цепи. 2. Подсчитать число т узлов в цепи. Записать выра- жения (19.16) для каждого из т—1 узлов [уравнение Рис * 19-5 (19.16) для оставшегося узла не дает ничего нового, так как является простым следствием уже написанных уравнений для т— 1 узлов]. 3. Выделить в разветвленной цепи всевозможные замкнутые контуры и, условив- шись о направлении обхода, записать систему уравнений (19.17), но не для всех этих контуров, а лишь для некоторых из них, так как уравнения (19.17) для части контуров являются следствием таких же уравнений для остальных контуров. В разветвленной цепи,'состоящей из р участков и т узлов, число независимых уравнений (19.17) равно р-(т— 1). При составлении этих уравнений контуры следует выбирать так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входивший в уже рассмотренные контуры. 4. Если в результате расчета получается отрицательное значение силы тока в ка- ком-либо участке цепи, то это означает, что в данном участке цепи электрический ток в действительности идет в направлении, противоположном тому, которое было выбра- но в начале расчета (т. е. в н. 1). Вопросы: 1. Что понимают под сторонними силами и какова их роль в цели постоянного тока? 2. Поясните физический смысл электродвижущей силы, напряжения и разности потенциалов иа участке электрической цепи. 1 Каковы правила знаков для силы тока и э.д.с. при записи обобщенного закона Ома для участка цепи? *. На чем основаны правила Кирхгофа? &. Что показывает вольтметр, подключенный к участку цепи?
Глава 20____________________________________ Электрический ток в жидкостях, газах и плазме 1 § 20.1. Законы Фарадея для электролиза 1. Неметаллические проводящие жидкости обладают ионной проводимостью, т. е. носители тока в них — положительно и отрицательно заряженные ионы. Такие жид* кости называются электролитами, или право, i—mim II рода. Типичными примерами электролитов могут служить водные растворы солей, кислот и щелочей. Упорядоченное движение конов в проводящих жидкостях происходит в электричес- ком поле, которое создается электродами — проводниками, опущенными в электролит и соединенными с полюсами источника электрической энергия. Положительный элект- род называется модам, отрицательный — катодом. Положительные ионы (ионы водо- рода и металлов) движутся к катоду и потому называются иатиенами, а отрицательные । ионы (ионы кислотных остатков и гидроксильной группы) двинутся к аноду и называ- ются анионами. Электрический ток в электролитах сопровождается явлением электро- лиза — выделением на электродах составных частей растворенных веществ или других веществ, являющихся результатом вторичных реакций на электродах. 2. Основные законы электролиза были экспериментально установлены М. Фарадеем (1834). Первьия заной Фарадея. масса т ы |дапивиюгося на электроде ешцестм нршюрци- онелым электрическому эеряду Q, прошедшему через элект- (ЮЛИТ? m~kQ. (20.1) Коэффициент пропорциональности к называется электрохимическим эким ягнятам вещества. Он численно равен массе вещества, выделяющегося при прохож зши через электролит единичного электрического заряда, и зависит от химической природы вещества. Второй закои Фарадея: электрохимические аквимлеиты различных выцвете относят- ся, как их химические эквиваленты кх: ^2_кд *1 (202), л Хшягчесхям экмвалеягаи иоиа называется отношение молярной массы М иона', к.его валентности Z: kx=-M]Z. Поэтому электрохимический эквивалент 1 М к~—, FZ (203>4 252
где F универсальная постоянная, названная постоянной Фарадея. Подставим выра- жение (20.3) в (20.1), получим 1 М ^fzQ- (20.4) Формула (20.4) объединяет в себе оба закона Фарадея, т. е. является записью объединенного закона Фарадея для электролиза. Если через электролит пропускается в течение времени t постоянный электрический ток I, то заряд Q—It и уравнение (20.4) можно записать в виде 1 М т= It. (20.4’) F Z Из объединенного закона Фарадея (20.4) легко понять физический смысл постоян- ной Фарадея. Если т = М/Z, то заряд Q, прошедший через электролит, равен постоян- ной Фарадея. Следовательно, постоянная Фарадея численно равна электрическому заряду, при прохождении которого через электролит на электроде выделяется 1 моль одновалентного вещества. 3. Законы Фарадея впервые навели на мысль о том, что любой электрический заряд состоит из целого числа «атомов электричества» элементарных зарядов. Дейст- вительно, из (20.4) следует, что для выделения на электроде 1 моля любого Z- валентного вещества требуется пропустить через электролит заряд Q=ZF. Этот заряд переносится в электролите одним и тем же числом Z-валентных ионов, равным постоянной Авогадро Уд. Возможны два различных истолкования такой закономер- ности: а) заряды Z-валентных ионов различны, но в среднем равны ZF[Nk, подобно тому, как в газе молекулы обладают различной кинетической энергией поступательного движения, но в среднем она равна 3/2ЛсТ; б) каждый ион несет вполне определенный заряд q=ZF!N^, причем заряды иоиов могут отличаться лишь на величины, кратные элемевтараому заряду одновалентного иона е= F/NА. С помощью специально поставленных опытов была доказана правильность второ- го утверждения, а также экспериментально найдено значение элементарного заряда е. 4. Схема опытов, проведенных А. Ф. Иоффе (1912), показана на рис. 20.1. Опыт. Отрицательно заряженная металлическая пылинка помещалась между обкладками конденсатора, напряженность поля в котором подбиралась такой, чтобы пылинка находилась в равновесии. Затем пылинка освещалась ультрафиолетовым светом малой интенсивности. Вслед- ствие фотоэффекта отрицательный заряд пылинки время от времени уменьшался и для сохране- ния равновесия пылинки приходилось так изменять напряженность электрического поля в конден- саторе, чтобы электрическая сила qE не изменялась: —— Опыты показали, что заряд пылинки может принимать лишь ряд дискретных значений. S. Элементарный электрический заряд был измерен Р. Милликеном (1909 — 1914). Опыт. Идея опытов Милликена состояла в определении заряда микроскопической масляной капли сферической формы на основе Измерения скорости ее установившегося движения в однород- ном электрическом поле плоского конденсатора. Пластины конденсатора были расположены горизонтально, как и в опытах А. Ф. Иоффе. В отсутствие электричес- кого поля капля равномерно падала вертикально вниз под действием трех взаимно уравновешивающихся сил: силы тяжести mg капли, архи- медовой силы Fapx и силы сопротивления воздуха Как показал | Д. Стокс, сила сопротивления, действующая на твердый шар при его 4- 4- 4-1 + 4- 4- медленном поступательном движении со скоростью » в вязкой жидкой | или газообразной среде, равна g q Е I Fconp=-to»jrv (20.5) — где г радиус шара; q динамическая вязкость среды. | Пусть v0 скорость установившегося падения капли в отсутствие центрического поля, тогда рис. 20.1 253
*lt(p-‘pj*rig’‘*bwo, (20.6) ' где p и р» плотности масляной капля и воздуха в конденсаторе. Измерив vq я зная плотности р и р„ а также ч» можно было найти из (20.6) радиус капли: r—sVWPtp-pJg]. (20.63 Затем в конденсаторе создавалось электрическое поле напряженностью Е, под действием которого та же масленая капля равномерно поднималась вертикально вверх со скоростью vj. В этом случае сила тяжести капли и сида сопротивления уравновешива пись электрической силой уЕ и архимедовой силой: (20.7) Из (20.7) и (20.63 следует, что заряд капли 9хц I Ъръ ’ Ю-^г(«о+«>1) /;-------г*- (208) £ \/ (Р~Р& Зная направление Е, можно было определить и знак заряда капли. Если при постоянном значении напряженности поля Е слегка изменить заряд капли на Ду, то соответственно изменится на Av । и скорость ее установившегося подъема вверх, причем, согласно (20.8), 9xq I 2ф>о |Лв1—-- — |Д»||. (20.9) Е yl (p-pjg В опытах Милликена заряд капли можно было изменять путем слабой ионизация воздуха рентгеновским излучением. Опыты показа пи*, что и у, я Ду кратны одному я тому же элементар- ному заряду е. Соответственно постаивая Фарадея равна F~eN^. Рис. 20.2 § 20.2. Закон Ома для плотности тока в электролитах 1. Опыты показали, что закон Джоуля -— Ленца (19.14) справедлив для электричес- кого тока не только в металлических проводниках, но также и в электролитах. Отсюда следует, что диссоциация молекул электролита на ноны не связана с прохождением электрического тока и затратой на нее энергии тока. Дигспцияцм молекулы соли, кислоты или щелочи, состоящей из взаимосвязанных ионов, происходит в растворе при ее столкновениях с другой молекулой растворенного вещества или растворителя, имеющей достаточно большую кинетическую энергию те- шювого движения. Интенсивная диссоциация солей, кис- лот и щелочей в водных растворах объясняется тем, что молекулы воды обладают большим электрическим мо- ментом, т. е. подобны сильно вытянутым диполям. Под влиянием электрического поля полярной молекулы сода (кислоты, щелочи) окружающие ее молекулы воды орисн- тируются преимущественно так (рис. 20.2), что своим электрическим полем существенно ослабляют связь меж- ду ионами в молекуле растворенного вещества и тем самым облегчают ее диссоциацию. 2. Из-за хаотического теплового движения ионов в рас- творе происходит и обратный процесс столкновения ио- < нов противоположных знаков и воссоединения их в ней- ♦Формула Стокса (20.S) справедлива для шара, движущегося в газе, только при условии, чин радиус шара во много раз больше средней длины свободного пробега молекул газа, В опыты Милликена масляные капли были столь малы, что это условие не выполнялось. Поэтому пра, обработке своих опытных пянных Милликен ввел необходимые поправки в формулы (20.5)—1 (20.9). 254
тральные молекулы. Этот процесс называется молватний иди рекомбашвкй. Пусть Ло — концентрация молекул растворенного вещества, из которых ало диссоциированы ва ионы, где а — коэффифежг дассоцвацвв. Очевидно, что число молекул Дл^, которые диссоциируют за единицу времени в единице объема раствора, пропорционально числу недиссоциированных молекул в этом объеме: Д<«Р(1~а)ло, где Р — коэффициент пропорциональности. Число Алд нейтральных молекул, образующихся в единице объема раствора за единицу времени в результате процесса рекомбинации, пропорционалы как числу положительных ионов, так и числу отрицательных ионов, содержащихся в единице объема: Дл’^уа2/^, где у — коэффициент пропорциональности. В состоянии динамического равновесия Дл^« Дл£, т. е. /7(1 —или (1—а)/а2=const-ло- (20.10) Если ло~»О, то а-»1, т. е. в слабых растворах почти все молекулы диссоциированы (аа 1). По мере увеличения концентрации hq раствора коэффициент диссоциации а убы- вает. В сильно концентрированных растворах а~ 1/у/по. 3. Плотность j электрического тока в электролите равна геометрической сумме плот- ностей тока положительных и отрицательных ионов: j=j+ +j_, причем j+-9+n0+<v+>, j_=g_Ho_<T_>, (20.11) где д+ и 9_, Ло+ и «о-. <▼+> и <т_> — заряды, концентрации и средние скорости упорядоченного движения (дрейфа) положительных и отрицательных ионов в элект- рическом поле. Аналогично тому, как скорость дрейфа электронов проводимости в металле пропорциональя натяженности Е электрического поля, скорости дрейфа ионов также пропорциональны Е: > Л ' <ч+>-д+Е» <»->----Д-Е. (20.12) где д+ и д_ — положительные величины, называемые вцдвнжавеша волов. Как показывают опыты, подвижность иона зависит от его природы, а также от тем- пературы, вязкости и других характеристик электролита. Существенно, что подви- жность ионов в электролитах не зависит от напряженности Е электрического поля. Соотношения (20.12) можно подучить, рассматривая дрейф ионов как их установив- шееся движение в вязкой среде — электролите с постоянными скоростями <v+> и <v_). При этом для каждого иона электрическая сила уравновешивается силой вязкостного сопротивления электролита, которая пропорциональна скорости дрейфа иона. Напри- , мер, для положительного иона 9+E+F+=0, где сида сопротивления F+— — с+ <▼+>, 'а с* —положительный коэффициент пропорциональности, так что <▼+)=*р+Е, где д+=9+/с+. 4. С помощью выражений (20.12) плотность тока в электролите можно представить в форме )-(9+ло+д+-9-По-Я-)Е. (20.13) В электролитах, так же как в металлических проводниках, нет объемных зарядов. Поэтому 9+Ло++9_по_«=О и р ' )-^.ло+(д++д_)Е. (20.13') 255
Образование ионов в электролите не связано с прохождением электрического тока. Поэтому их концентрации «о+ и По~, подобно подвижностям ц+ и р_, не зависят от напряженности электрического поля. Таким образом, формулы (20.13) и (20.139 пока- зывают, что для плотности тока а электролитах выполняется злим Ома: тмтюсп» тем* • зпшктролкт* пропорциоммлым шмряжминсн ста амктричюсого поля и гоеицдввт с май во мавравлеимо. 5. Заряд положительного иона равен произведению элементарного заряда е на валент- ность нона Z+: q+=eZ+. Поэтому закон Ома (20.139 для плотности тока в электроли- тах можно записать в виде j=eZ+«o+ (д+ 4-д_)Е=Е/р. (20.14) Удельное электрическое сопротивление электролита p=[eZ+«o+ (Д++Д-)Г‘- (20.15) Концентрация положительных ионов зависит от концентрации ло молекул электро- лита, коэффициента диссоциации а и числа к+ положительных ионов, образующихся при диссоциации одной молекулы: »o+ •^к+ап0. Следовательно, р=[е2+к+ал0(д++д_)Г1 (20.159 или р=[ГаС(д++д_)]-\ (20.16) где C^k+Z+no/Nb — BanmaiaBii шмнвжтрежм электролита. С повышением температуры раствора электролита его удельное электрическое сопроти тение р уменьшается, так как, во-первых, увеличивается коэффициент дис- социации а, во-вторых, уменьшается вязкость раствора и соответственно возрастаю подвижности ионов д+ и д_. Зависимость р от концентрации раствора имеет сложный характер, так как при изменении концентрацш изменяются также коэффициент дис- социации и подвижности ионов. При малых концентрациях а и (р+ +д_) изменяются мало, так что р убывает обратно пропорционально С. При дальнейшем увеличении концентрации р достигает минимума, а затем возрастает вследствие убывания как коэффициента диссоциации а, так и подвижностей ионов. Как показывают опыты, ионной проводимостью обладают не только водные растворы солей, кислот и щелочей, но и, например, расплавленные соли. Это явление широко используется в электрометаллургии для получения алюминия, магния и ряда других металлов. § 20.3. Электропроводность газон 1. Газы в отличие от металлов и электролитов состоят из электрически нейтральных атомов и молекул, т. е. не содержат свободных заряженных частиц — носителей тока, способных приходить в упорядоченное движение под действием электрического поля. Следовательно, при обычных условиях газы не проводят электрический ток. Газ становится проводником,- если часть его молекул ионизировать, т. е. расщепить на свободные электроны и положительные ионы. В газе могут образовываться и от- рицательные ионы вслед ствие присоединения части освободившихся Электронов к ней-] тральным молекулам газа. Атомы и молекулы — устойчивые системы заряженных частиц. Поэтому для иояич зации атома (или молекулы) газа необходимо совершить работу вомшцви Лл. Работф 256
ионизации зависит от химической природы газа и энергетического состояния вырыва- емого электрона в ионизируемом атоме или молекуле. Наиболее слабо связаны в атоме внешние (валентные) электроны. Поэтому для удаления из атома валентного электрона нужно затратить меныпую работу, чем для вырывания любого другого электрона атома. После удаления из. атома валентного электрона и образования таким образом положительного иона прочность связи остальных электронов возрастает. Следователь- но, для удаления из однократно ионизированного атома (одновалентного иона) еще одного электрона нужно совершить работу, которая значительно больше работы отрыва первого ^электрона. Так, например, работа ионизации атома азота (N) равна 14,5 эВ, а его одновалентного иона (N+) — 29,6 эВ, двухвалентного иона (N+*) — 47,4 эВ и т. д. ‘ 2. Работу ионизации можно характеризовать с помощью потенциала ионизации. Потенциалом ионизации tpB называется разность потенциалов, которую должен пройти электрон в ускоряющем электрическом поле, чтобы увеличение его энергии было равно работе ионизации. Из (13.25) следует, что <P^AJe. (20.17) Значения потенциалов ионизации некоторых атомов и молекул приведены в табл. 20.1. Таблица 20.1 Атомы Н Не О N Ne а Na Hg 'К Аг ЧЪ, В 13,6 24,6 13,6 14,5 21,6 13,0 5,14 10,4 4,34 15,8 Молекулы н2 о2 Н2О n2 no2 Cl2 со2 СО НС1 NO Фи. В 15,4 12,2 12,6 15,6 12,3 11,3 13,8 14,0 12,6 9,2 3. Ионизация газа может происходить под влиянием различных внешних воздейст- вий — сильного нагрева газа, рентгеновского излучения, гамма-излучения, бомбар- дировки молекул газа быстро движущимися электронами, ионами, нейтронами и дру- гими частицами. Количественной характеристикой процесса ионизации служит интен- сивность ионизации, равная числу пар противоположных по знаку заряженных частиц, возникающих в единице объема газа за единицу времени. В обычных условиях газ подвергается действию космического н радиоактивного излучений. Поэтому, строго говоря, проводимость газа никогда не равна нулю: в нем всегда имеются свободные заряженные частицы, если только не приняты специальные меры защиты газа от.действия всех естественных внешних ионизаторов. Однако интенсивность ионизации под влиянием космических лучей и распада рассеянных в земной коре радиоактивных элементов очень мала. Поэтому проводимость газов в естественных условиях хотя и не равна нулю, но очень мала. В дальнейшем показано, что присутствие в газах даже малого количества свободных электронов и ионов играет существенную роль в возникновении заметной проводимости газов в достаточно сильных электрических полях. 4. Рассмотрим подробнее процесс ионизации газа под действием быстро движущихся электронов, ионов и других частиц, получивший название ударной ионизации. Для простоты будем считать, что газ — одноатомный. При столкновении частицы с ней- тральным атомом газа она передает ему часть своей энергии. Если кинетическая энергия частицы сравнительно мала, то, как показывают опыты, ее соударение : атомом является упругим. Энергия, сообщаемая атому в этом случае, недостаточна 1ля его ионизации. Бомбардировка атомов газа такими частицами вызывает лишь <агревание газа. Совершенно, иначе происходят соударения с атомами газа частиц, кинетическая нергия которых достаточно велика. В этом случае, как показывают опыты, соударения Курс физики ' 257
становятся неупругими и вызывают возбуждение атомов газа, т. е. перевод атома из нормального энергетического состояния в состояние с повышенной энергией, или даже ионизацию атома. Оценим > минимальное значение кинетической энергии, которой должна обладать частица для того, чтобы вызвать ударную ионизацию атома газа. Скорость теплового движения, молекул во много раз меньше скорости ионизирующей частицы. Поэтому можно. считать, что до удара атом неподвижен. Полагая, что скорость v ионизирующей-частицы во много раз меньше скорости света в вакууме, а масса частицы равна т и применяя закон сохранения импульса при неупругом ударе (5.2) к столкновению частицы с атомом, получим (20.18) где М — масса атома; а — скорость частицы и атома после удара. При этом прибли- женно считается, что скорость электрона, выбитого из атома, тоже равна а. Начальная кинетическая энергия частицы расходуется при ударе на работу ионизации Ал и сообще- ние атому и частице кинетической энергии, соответствующей их скорости а после удара: л12ткг==Ал+'12(т+М)и2. (20.19) Подставив в (20.19) и из (20.18), получим mv2 т+М ( т\ - — =Л. -— = Л. 1+ ) < 2 М \ М/ (20.20) Таким образом, минимальная кинетическая энергия, которой должна обладать частица для осуществления ударной ионизации атома газа, не может быть меньше работы ионизации Ая и будет тем ближе к Ая, чем меньше масса частицы по сравнению с массой атома. Для электрона эта энергия меньше, чем для любого иона. В одном и том же ускоряющем электрическом поле электрон и одновалентный ион приобрета- ют одинаковую кинетическую энергию Wt=eЛхр. Поэтому для осуществления ударной ионизации ионы должны пройти в ускоряющем электрическом поле ббльшую разность потенциалов, чем электроны. Работа, необходимая для возбуждения атома, меньше работы ионизации. Следовательно, исупругие столкновения частиц с атомами газа возможны и при энергии частиц; меньшей значения, получаемого по формуле (20.20). Процесс столкновения частицы ё молекулой, состоящей из двухдаш большего числа атомов, качественно подобен рассмотренному для одноатомного газа. Однако следует иметь в виду, что возбуждение двухатомной и более сложной молекулы может состоять в увеличении энергии не только ее электронов, но также вращательного и колебательного движений молекулы. 5. Одновременно с ионизацией газа в его объеме происходит и обратный процесс рекомбинации ионов и электронов в нейтральные ча- Рис. 20.3 стицы — атомы и молекулы. Рассмотрим опыт, иллюстрирующий процесс рекомбина- ции (рис. 20.3). Опыт. В стеклянный сосуд А, расширяющийся вниз, впа- яны электроды В, С и D, соединенные с одинаковыми элект- роскопами. Электроскопы заряжают так, чтобы их листочки разошлись на одинаковые углы (рис. 20.3, а). Затем под цилиндр А подводится газовая горелка, в пламени которой воздух ионизируется. Струя горячего ионизированного воз- духа поднимается в цилиндре А вверх. При этом листочки электроскопа b быстро спадают, листочки электроскопа с спа- дают значительно медленнее, а отклонение листочков элект- роскопа d вообще не изменяется (рис. 20.3, б). Из опыта следует, что в течение времени, необходимого для подъема ионов до уровня электродов до С и Д происходит постепен- ное уменьшение электропроводности нагретого воздуха, обу- словленное процессом рекомбинации. 258
§ 20.4. Несамостоятельный газовый разряд 1. Прохождение электрического тока через газ называется электрическим разрядом в газе или газовым разрядом. Если электропроводность газа создается и поддерживается за счет действия вне- шнего источника ионизации, то происходящий при этом электрический разряд в газе называется несамостоятельным газовым разрядом. Несамостоятельный газовый разряд прекращается, как только прекращается действие внешнего ионизатора. На рис. 20.4 показана схема установки для изучения вольт-ш^перной характеристи- ки (ВАХ) несамостоятельного газового разряда в заполненной газом стеклянной трубке М, т. е. зависимости силы тока I от напряжения (разности потенциалов) U между электродами А и К, впаянными в трубку. Напряжение регулируется потенци- ометром Р и измеряется вольтметром V. Для измерения силы тока I служит чувст- вительный гальванометр G. Газ ионизируется рентгеновским излучением, испускаемым рентгеновской трубкой R (электрическая цепь питания этой трубки на рисунке не показана). Интенсивность ионизации газа в трубке М не изменяется во время опыта. 2. Результаты измерений представлены на графике, изображенном на рис. 20.5. При небольших значениях напряжения U сила тока I пропорциональна U (область /). Это легко понять, если учесть, что несамостоятельный газовый разряд подобен току в электролитах: оба они осуществляются упорядоченно движущимися ионами (свобод- ные электроны в ионизованном газе можно рассматривать как простейшие отрицатель- ные ионы). Следовательно, в данном случае для, плотности тока j в разряде можно воспользоваться выражением (20.13'). При ионизации газа обычно образуются электро- ны и одновалентные положительные ионы. Поэтому можно принять, что д+=е н Ло+ =«0. где Но — число пар ионов в единице объема газа. Тогда, согласно (20.13'), )=ело(д++д_)Е. (20.21) Как показывает опыт, подвижности газовых ионов в широком интервале давлений обратно пропорциональны давлению и при не слишком больших значениях напряжен- ности поля Е не зависят от Е. Таким образом, при небольших значениях Е несамосго- ггельный разряд в газе подчиняется закону Ома. 3. При дальнейшем увеличении напряжения U между электродами линейная зависи- мость силы тока I от U нарушается (область 2) — сила тока растет медленнее, чем U. Эта закономерность связана со следующим существенным отличием несамостоятель- ного газового разряда от тока в электролитах—- убыль ионов, участвующих в прово- димости электролита и нейтрализующихся у электродов, непрерывно пополняется (объеме электролита за счет диссоциации новых молекул. Поэтому число По пар ионов 1 единице объема электролита в первом приближении не зависит от плотности тока в остается постоянным. В несамостоятельном газовом разряде пополнение ионов 259
в газе целиком зависит от мощности внешнего источника ионизации. Поэтому можно считать, что «о=const и j пропорционально Е (соответственно / пропорционально U) только при малых значениях плотности и силы тока, т. е. при малых значениях Е и U. При дальнейшем увеличении ^ концентрация ионов убывает, что приводит к наруше- нию закона Ома в области 2, 4. Начиная с некоторого значения напряжения 17н сила тока при несамостоятельном разряде остается неизменной, несмотря на дальнейшее увеличение напряжения (об- ласть 3). Это явление объясняется тем, что все ионы, возникающие в газе, не успевают на пути к электродам воссоединяться в нейтральные молекулы: все они доходят до электродов. Сила тока газового разряда достигает наибольшего значения, возможного при данной интенсивности ионизации, определяющейся внешним ее источником. Этот ток называется током насыщения /в. Если Лс« — число пар' одновалентных ионов, образующихся в газе за 1 с под действием внешнего ионизатора, то ток насыщения равен (20.22) При дальнейшем увеличении напряжения между электродами сила тока начинает резко возрастать (область 4). Это явление, обусловленное возникновением ударной ионизации газа и резким возрастанием числа свободных носителей заряда, рассмат- ривается в § 20.5. § 20.5. Самостоятельный газовый разряд 1. Электрический разряд в газе, сохраняющийся после прекращения действия внешне- го ионизатора, называется самостоятельным газовым разрядом. Для его осуществления необходима, чтобы в результате самого разряда в газе непрерывно образовывались носители тока. Основным источником их возникновения является ударная ионизация молекул газа. Рассмотрим влияние напряжения U между электродами газоразрядной трубки М (рис. 20.4) на проводимость газа и процессы, происходящие в нем при разряде. Если напряжение U достаточно велико, то электроны, возникающие в газе под действием внешнего ионизатора R, настолько сильно ускоряются электрическим полем, что при столкновениях с молекулами газа ионизируют их. При этом образуются вторичные электроны и ионы. Вторичные электроны тоже ускоряются электрическим полем и в свою очередь ионизируют новые молекулы газа. Таким образом, число носителей тока в газе и его проводимость сильно возрастают. В этом и состоит причина резкого увеличения тока в начале области 4. Однако ударная ионизация, производимая одними только электронами, недостаточна для поддержания разряда после удаления внешнего ионизатора, т. е. для осуществления самостоятельного разряда. В самом деле, каждый ; электрон движется в электрическом поле газоразрядной трубки в направлении от’ катода к аноду. Поэтому он может ионизировать только те молекулы газа, которые j лежат ближе к аноду по сравнению с местом его собственного возникновения. Иными1 словами, если энергия положительных ионов недостаточна для ударной ионизации молекул газа или для выбивания электронов из металлического катода газоразрядной трубки, то вблизи последнего свободные электроны могут возникать только благодаря действию внешнего ионизатора. В случае внезапного прекращения его действия область ударной ионизации газа электронами будет сокращаться, стягиваясь к аноду по мере движения к нему электронов, так что вскоре ударная ионизация газа и электрический разряд в нем прекратятся совсем. 2. Совершенно иная картина наблюдается, если напряжение U столь велико, что положительные ионы также приобретают способность порождать вторичные электро- ны*. В этом случае образуется двухсторонняя лавина электронов и положительных* •Опыты показывают, что в большинстве случаев для > выбивания электрона из катод положительный ион должен совершать меньшую работу, чем для ударной ионизации молекул газа. Поэтому основной причиной появления вторичных электронов под действием положитель ных ионов является процесс выбивания электронов из катода газоразрядной трубки. 260
ионов, возникающих во всех частях объема газа. Теперь внешний ионизатор уже не играет практически никакой роли в осуществлении газового разряда, так как число Создаваемых им первичных электронов и ионов ничтожно мало по сравнению с числом вторичных электронов и ионов, образующихся благодаря указанным выше процессам. Поэтому прекращение действия внешнего ионизатора никак не отражается на даль- нейшем протекании газового разряда. Таким образом, при достаточно большом напряжении на электродах газоразрядной трубки несамостоятельный газовый разряд может перейти в самостоятельный. Этот переход называется электрическим пробоем газа, а соответствующее ему напряжение U3 напряжением зажигания, или напряжени- ем пробоя. Из сказанного ясно, что для возникновения электрического пробоя газа необ- ходимо, чтобы в газе имелось хотя бы небольшое начальное число свободных носи- телей заряда, способных сыграть роль «запала». Однако для этого не требуется применения специальных внешних ионизаторов (например, рентгеновского излучения), так как в естественных условиях газ всегда подвергается действию космических лучей и радиоактивного излучения Земли, вызывающих ионизацию небольшой части моле- кул газа. 3. Мы рассмотрели упрощенную картину возникновения и протекания самостоятель- ного газового разряда, в которой не учитывается ряд процессов, играющих в разряде более или менее существенную роль. Укажем на некоторые из них. Сталкиваясь с молекулами газа, электроны и ионы, обладающие недостаточной энергией для ионизации молекул, Могут переводить их в возбужденные состояния. Возвращаясь в нормальное состояние, возбужденные молекулы излучают свет. Испускание света происходит также при рекомбинации положительных ионов с электронами (реком- бинационное свечение). Свет, падая на катод газоразрядной трубки, может вызвать фотоэлектронную эмиссию. Кроме того, при интенсивной бомбардировке катода положительными ионами возможно столь сильное нагревание катода, что существен- ную роль начинает играть-термоэлектронная эмиссия из катода (например, именно так обстоит дело в дуговом разряде). 4. Опыты показывают, что напряжение зажигания U3 6 газоразрядной трубке с плос- кими электродами, параллельными друг другу, зависит от химической природы газа, материала катода и произведения давления р газа на расстояние d между электродами трубки. Чем меньше потенциал ионизации молекул газа и чем меньше работа выхода электрона из катода, тем при прочих равных условиях меньше напряжение зажигания. Более сложный вид имеет зависимость U3, представленная на рис. 20.6. Ее можно пояснить следующим образом. Зависимость напряжения зажигания от давления газа и расстояния между электродами определяется двумя условиями возникновения само- стоятельного газового разряда: во-первых, необходимо, чтобы энергия, приобретаемая электронами под действием электрического поля, была достаточна для ударной иони- зации молекул газа, а энергия, приобретаемая положительными ионами, была до- статочна для выбивания электронов из катода; во-вторых, необходимо, чтобы вероят- ность неупругих столкновений электронов с молекулами газа была сравнительно велика, так как в противном случае число носителей тока в газе и его проводимость будут малы. Электроны и положительные ионы ускоряются электрическим полем в процессе их свободного пробега между двумя по- следовательными столкновениями с молекулами га- за. С увеличением давления газа средние длины сво- бодного пробега электронов и ионов уменьшаются. Поэтому для сообщения им необходимой энергии нужно увеличивать напряженность электрического поля, т. е. при постоянном d увеличивать напряжение между электродами газоразрядной трубки. Этим объясняется возрастание напряжения зажигания с увеличением pd при pd> (pd)a (рис. 20.6). В области малых значений pd<(pd)0 решающую роль играет второе условие. При малых р или d вероятность столкновения электронов с молекулами газа значите- !. льно меньше, чем при большом значении pd. Поэто- 261
му нужно, чтобы возможно большее число этих столкновений было неуиругим. Иными словами, в области малых значений pd с уменьшением давления газа нужно увеличи- вать напряженость электрического поля. Этим объясняется возрастание U, с уменьше- нием pd при pd<(pd)Q. Напряжение зажигания в значительной степени зависит от содержания в газе примесей. 5. Существует несколько различных видов самостоятельного разряда в газах, которые отличаются друг от друга как по' внешнему виду, так и по характеру физических процессов, обусловливающих их-возникновение и протекание. К ним относятся тле- ющий, коронный, искровой, Дуговой и другие разряды. § 20.6. Тлеющий разряд , 1. Тлеющий разряд представляет собой один из видов стационарного самостоятель- ного разряда в газах, обычно наблюдающегося при низких давлениях газа порядка нескольких килопаскалей и меньше. Он происходит в разрядных трубках с холодным катодом и отличается малойпЛотностЬю тока на катоде и большим падением потенци- ала (порядка сотен вольт) в области разряда около катода. На рис. 20.7 изображена трубка с тлеющим разрядом и показано распределение потенциала <р вдоль ее оси. Основными частями тлеющего разряда являются: катодное темное пространство (об- ласть I), резко отделенное Ьт него отрнцяТельвое, или тлеющее, свечение (область II), которое постепенно переходит в область фарадеева темного пространства (область III). Эти три области образуют катодную часть разряда, за которой ‘следует основная светящаяся часть разряда, определяющая его оптические свойства и называемая поло- жительным столбом (область IV). 2. Основную роль в поддержании тлеющего разряда играют первые две области его катодной части. Резкое падение потенциала вблизи катода связано с большой концент- рацией положительных йонбв на границе областей I и II, обусловленной сравнительно малой скоростью движения ионовк катоду. В катодном темном пространстве проис- ходит сильное ускорение электронов и положительных ионов, выбивающих электроны из катода. В области тлеющеГд сведения электроны производят интенсивную ударную ионизацию молекул газа и теряюЛ свою энергию. Здесь образуются положительные Ионы, необходимые для поддержания разряда. Напряженность электрического поля в этой области мала. Тлеющее свечение в основном вызывается рекомбинацией элект- ронов и ионов. Протяженность катодного темного пространства определяется свойст- вами газа и материала катода. '' В области положительного столба концентрация электронов и Ионов приблизитель- но одинакова и очень велика, что обусловливает высокую электропроводность положи- тельного столба и незначительное' падение в нем потенциала. Свечение положитель- ного столба определяется свеченией возбужденных молекул газа. Вблизи анода вновь наблюдается сравнительно резкое изменение потенциала, связанное с процессом гене- рации положительных ионов: Ъ'ряде случаев положительный столб распадается на отдельные светящиеся участки — страты, разделенные темными про- межутками. Положительный столб не играет существенной роли в под- держании тлеющего разряда. Поэто- му при уменьшении расстояния меж-. ду электродами трубки длина поло- ) жительного столба сокращается и он . может исчезнуть совсем. j Иначе обстоит дело с длиной ка-1 -годного темного пространства, кото-J рая при сближении электродов не и»4 меняется. Если электроды сблизить! настолько, что расстояние между им ми станет меньше' длины катодногол темного пространства, то тлеющим разряд в газе прекратится. Онытнж 262
показали, что при прочих равных условиях длина катодного темного пространства обратно пропорциональна давлению газа, Следовательно, при достаточно низких давлениях электроны, выбиваемые из катода положительными ионами, проходят через газ почти без столкновений с его молекулами, образуя хчтотпп— лучи. 3. Тлеющий разряд используется в газосветных трубках, лампах дневного света, стабилизаторах напряжения, для получения электронных и ионных пучков. Если в като- де трубки тлеющего разряда сделать щель, то сквозь нсе в пространство за катодом проходит пучок ионов, часто называемый кяшлошмн лучами. В лабораторной практике используется явление катодного рмпылемя — разруше- ние поверхности катода разрядной трубки в результате ударов положительных ионов. Ультрамикроскопические осколки материала катода летят во все стороны и покрыва- ют тонким слоем поверхность тела, помещенного в трубку. Таким способом наносят, тонкий слой металла на поверхность твердого тела, сделанного из стекла, слюды, других металлов и т. д. § 20.7. Самостоятельный разряд при нормальном м больших давлениях 1. Различают несколько форм самостоятельного разряда при нормальном и больших давлениях: коронный,4 кистевой, искровой и дуговой разряды. КороашЙ разряд возникает при нормальном давлении в газе, находящемся в силь- но неоднородном электрическом поле (например, Около остриев или проводов линий высокого напряжения). При коронном разряде ионизация газа и его свечение проис- ходят лишь вблизи коронирующих электродов. В случае коронирования катода (от- рицательная корона) электроны, вызывающие ударную ионизацию молекул газа, выби- ваются из катода при бомбардировке его положительными ионами. Белов коронирует анод (положительная корма), то рождение электронов происходит вследствие фотоио- низации газа вблизи анода. В линиях высокого напряжения коронный разряд — вред- ное явление, сопровождающееся утечкой тока и потерей электрической энергии. Для уменьшения коронирования увеличивают радиус кривизны проводников, а их поверх- ность делают возможно более гладкой. Коронный разряд находит полезное примене- ние в установках для электрогазоочиегки и других устройств электронно-ионной технологии. При повышенном напряжении коронный разряд на острие приобретает вид ис- ходящих из острия и перемежающихся во времени светящихся линий. Эти линии имеют ряд изломов н изгибов и образуют подобие кисти, вследствие чего такой разряд называется кистевым. 2. Если напряжение U между электродами увеличивать, то при достаточно большом значении U коронный разряд переходит в искровой. Неверовой разряд представляет собой нестационарный самостоятельный разряд в газе, .имеющий вид ярких зигзагооб- разных нитей-каналов (рис. 20:8), которые пронизывают разрядный промежуток между электродами и исчезают, сменяясь новыми. Исследования показали, что каналы ис- крового разряда начинают расти иногда от положительного электрода, иногда от отрицательного, а иногда и от какой-либо точки между электродами. Это объясняется тем, что ионизация ударом в случае искрового разряда происходит не по всему объему газа, а по отдельным каналам, проходящим в тех местах, в которых концентрация юнов случайно оказалась наибольшей. Искровой разряд сопровождается выделением большого количества теплоты, ярким свечением газа,треском и громом. Все эти явления вызываются электронными и ионными лавинами, которые возникают в ис- кровых каналах и приводят к увеличению давления н температуры. Примером гигантс- кого искрового разряда в атмосфере между заряженными облаками или между обла- ком и Землей является молпш. Сила тока в главном разряде молнии достигает десят- ' ков и сотен тысяч ампер. Искровой разряд широко используется в технике. Он лежит в основе электроиск- . ровой обработки металлов и сплавов, при- меняется для воспламенения горючей сме- ем в карбюраторных двигателях внутрен- Рис. 20.6 263
него сгорания, для защиты электрических цепей от перенапряжений и т. д. Искровой разряд используется в спектроскопии, а также для измерения больших разностей потенциалов с помощью шарового разрядника, электродами которого служат два полированных металлических шара. Шары раздвигают и на них подается измеряемая разность потенциалов. Затем шары сближают до тех пор, пока между ними не проскочит искра. Зная диаметр шаров, расстояние между ними, давление, температуру н влажность воздуха, находят разность потенциалов шаров с помощью специальных таблиц. Этим методом можно измерять с точностью до нескольких процентов раз- ности потенциалов порядка десятков киловольт. 3. Дуговой разряд был открыт В, В. Петровым (1802). Этот газовый разряд осуществ- ляется при большой плотности тока и сравнительно небольшом напряжении между электродами (порядка нескольких десятков вольт). Основной причиной дугового раз- ряда является интенсивное испускание термоэлектронов раскаленным катодом. Эти электроны ускоряются электрическим полем и производят ударную ионизацию моле- кул газа, благодаря чему электрическое сопротивление газового промежутка между электродами сравнительно мало. Если, уменьшая сопротивление внешней цепи, увели- чить силу тока дугового разряда, то проводимость газового промежутка столь сильно возрастает, что напряжение между электродами уменьшается. Поэтому говорят, что дуговой разряд имеет падающую вольт-амперную характеристику. При атмосферном давлении температура катода достигает 3000 °C. Электроны, бомбардируя анод, созда- ют в нем углубление (кратер) и нагревают его. Температура кратера около 4000 °C, а при больших давлениях воздуха достигает 6000 — 7000 °C. Температура газа в кана- ле дугового разряда достигает 5000 — 6000 °C, поэтому в нем происходит интенсивная термоионизация. В ряде случаев дуговой разряд осуществляется и при сравнительно низкой температуре катода (например, в ртутной дуговой лампе). 4. Впервые дуговой разряд был использован в качестве источника света П. Н. Яблоч- ковым (1876). В «свече Яблочкова» угольные электроды были расположены параллель- но и разделены изолирующей прослойкой, а их концы соединены проводящим «запаль- ным мостиком». При включении тока запальный мостик сгорал и между углями образовывалась электрическая дуга. По мере сгорания углей изолирующая прослойка испаряется. Дуговой разряд применяется как источник света и в наши дни, например в прожекторах и проекционных аппаратах. Высокая температура дугового разряда позволяет использовать его для устройства дуговой печи.- В настоящее время дуговые печи, питаемые током очень большой силы, применяются в ряде областей промышленности — для выплавки стали, чугуна, фер- росплавов, бронзы, получения карбида кальция, оксида азота и т. д. Н. Н. Бенардос (1882) впервые использовал дуговой разряд для резки и сварки металла. Для нагрева места соединения двух свариваемых металлических листов или пластин Бенардос применил дуговой разряд между неподвижным угольным электро- дом и металлом. Тот же метод Бенардос применил для резки металлических пластин и получения в них отверстий. Н. Г. Славянов (1888) усовершенствовал этот метод сварки, заменив угольный электрод металлическим. Дуговой разряд нашел также применение в ртутном выпрямителе, преобразующем переменный электрический ток в ток постоянного направления. § 20.8. Границы применимости закона Ома 1. Закон Ома утверждает, что плотность электрического тока проводимости j пропор-j циональна напряженности Е электрического поля в проводящей среде: | j=yE, (20.23)- где у — удельная электрическая проводимость среды, не зависящая от напряженности^ поля. Для того чтобы выяснить границы применимости закона Ома, нужно проанализи- ровать те допущения, которые были сделаны при выводе этого закона в классической электронной теорий электропроводности. Согласно соотношениям (18.9) и (18.10) этой теории для металлов, ' 264
i=noe2<t>E/(2wi), (20.24) Где <т> — средняя продолжительность свободного пробега электронов в металле. Аналогично, для плотности электрического тока проводимости в электролитах и газах "о+?+<^4-> Ло-92<Т->~ 2т+ 2ли_ (20.24') где ло+ и по_, д+ и <?_, т+ и тп_, <т+> и <т_> — концентрации, заряды, массы и средние продолжительности свободного пробега положительных и отрицательных ионов, явля- ющихся носителями тока в электролитах н газах. 2. Из (20.24) и (20.243 видно, что для выполнения закона Ома необходимо соблюдение следующих двух условий: а) независимость средних продолжительностей свободного пробега носителей тока (электронов и ионов) от напряженности Е электрического поля; б) независимость концентраций носителей от Е. Из первого условия следует, что средняя скорость упорядоченного движения (дрейфа) носителей тока должна быть значительно меньше средней скорости <м> их теплового движения, т. е. <!>>«<«>, (20.25) так как только в этом случае можно считать, что <т> не зависит от скоростей дрейфа > носителей тока, а следовательно, и от Е: <t> = <A>/<|u+v|>«<A>/<m>. Очевидно, что условие (20.25) соблюдается, если работа, совершаемая силами поля над носителем тока на средней длине его свободного пробега <2>, мала по сравнению со средней энергией теплового движения носителя: \д\Е(Л)«кТ. (20.253 Так как |?| = Ze, где Z — валентность иона, то |?| того же порядка, что е. Поэтому первое условие выполнения'закона Ома имеет вид E«,fcT/(e<2>). (20.26) 3. Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Металлы. Средняя длина свободного пробега электронов проводимости <А>~10~8 м и при Т~300 К . . kt 1,4 10-23-300 В е<Л>~1,610-1’10-в м~ 3 МВ/м. Напряженность электрического поля в металлических проводниках никогда не бывает столь большой. Например, даже при огромной плотности тока j~100 А/мм2 в проводе, изготовленном из нихрома, который имеет сравнительно большое удельное электрическое сопротивление р= 10-6 Ом -м, напряженность поля E=pJ~W2 В/м. • Таким образом, для электрического тока в металлических проводниках условие (20.26) всегда выполняется. То же самое можно сказать и об электрическом токе В электролитах. 2. Газы. Будем приближенно считать, что средняя длина свободного пробега ионов '^ало отличается от средней длины свободного пробега молекул газа: <A>« l/(v/2^4)=Jt77(x/2wd2p), 265
rue d — эффективный диаметр молекул газа; р — давление газа. Следовательно, „ кТ —-—3а е<А> е так как d2~ 10"’’ м2. При нормальных условиях значение Ео достаточно велико: Eq~3' 10s В/м, так что в слабых полях условие (20.26) выполняется. Однако в разреженном газе Ео мало и условие (20.26) нарушается. Например, при р=10 Па (около 0,1 мм рт. ст.) Ео~ —30 В/м. Поэтому закои Ома неприменим к электрическому току в разреженных газах (например, к тлеющему разряду). 4. Рассмотрим теперь второе условие справедливости закона Ома. В металлах и элект- ролитах оно выполняется всегда, так как в них концентрации носителей тока чре- звычайно велики и совершенно не зависят ни от плотности тока, ни от напряженности электрического поля. Иначе обстоит дело с электрическим током в газах. Например, при несамостоятельном разряде в газе пополнение носителей тока целиком зависит от мощности внешнего источника ионизации, а их убыль из-за ухода на электроды возрастает с ростом напряженности поля. Соответственно по мере увеличения напря- женности поля рост плотности разрядного тока все сильнее замедляется (см. рис. 20.5), пока, наконец, не прекращается -совсем. Такое же явление насыщения наблюдается в случае термоэлектронного тока в вакууме (см. рис. 18.4), который тоже не подчиняет- ся закону Ома. При самостоятельном разряде прохождение тока через газ сопровождается и под- держивается процессами интенсивной генерации носителей тока. К самостоятельному разряду закон Ома неприменим. Наглядным свидетельством этого может служить дуговой разряд, который имеет падающую вольт-амперную характеристику. 5. В заключение заметим, что закон Ома для плотности тока может выполняться не только в случае стационарного электрического поля и соответственно постоянного электрического тока. Он справедлив и для переменного тока проводимости, если только помимо двух вышеприведенных условий выполняется еще одно условие: Т» <т>, где Т - период изменения электрического поля, <т> —- среднее время свобод- ного пробега носителей тока (для электронов проводимости в металлах <т>~10“,э с). § 20.9. Плазма 1. Плазмой называется квазинейтральный ионизованный газ, т. е. такой ионизованный газ, в котором объемные плотности положительных (р+) и отрицательных (р_) зарядов практически одинаковы по абсолютному значению: р+=|Р-1 «ли р++р_=0. (20.27) Из-за теплового движения ионов мгновенные значения р4 и р_ совершают бес- порядочные колебания (тепловые флуктуации) около средних значений, так что равен- ства (20.27) непрерывно нарушаются в той или иной степени. Поэтому определение квазинейтральности плазмы нуждается в следующем уточнении: ионизованный газ можно считать плазмой, если его объем V во много раз больше объемов областей газа, в пределах которых возможны заметные случайные отклонения от нуля суммы поло- жительных и отрицательных зарядов, обусловленные тепловым движением ионов и электронов, т. е. V»D3, (20.28) где D характерный размер, называемый дебаевским радиусом экранирования. 2. Для выяснения характера зависимости дебаевского радиуса экранирования от параметров плазмы рассмотрим простейшую плазму, состоящую из свободных элект- ронов и однозарядных положительных ионов. Из-за квазинейтральиости плазмы рав-1 новесные концентрации электронов и ионов одинаковы и равны ло. Выделим мысленно | часть плазмы, ограниченную сферой достаточно большого радиуса Л (R»D). Пред- ] 266
положим, что вследствие тепловых флуктуаций положительные новы расширились и заняли объем сферы радиуса R+D, то изменением концентрации положительных ионов можно пренебречь и считать, что число ионов, перешедших в шаровой слой толщиной D, равно #=4яй2Ол0, а их общий заряд =№=4яЛ2Ллое. Соответственно избыточный отрицательный заряд внутри сферы радиуса R равен q_— — q+. Эту систему зарядов можно приближенно ^рассматривать как заряженный сферический конденсатор, энергия электрического поля которого W^q^KlC), где С — электроем- кость конденсатора. По формуле (16.14), где R2—Ri=*D, a R^fuR2, имеем С=4п80Л2/Л, так что Wt=(2n/^R2n2e2D3. (20.29) По закону сохранения и превращения энергии, We=Wt, где — кинетическая энергия теплового движения N положительных ионов до их перехода в шаровой слой. Полагая среднюю кинетическую энергию одного иона равной 3/2кТ, получаем (2n/e0)R.2n^e2D3—6nR2DnJcT D^y/le^T/tnoe2). Это приближенное выражение отличается от точного значения D только коэффици- ентом: Л=х/с<ЛГ/(2лое2). (20.30) 3. Если бы заряженная частица М плазмы (положительный ион Или электрон) находи- лась в вакууме, то потенциал ее электростатического поля был бы равен <Ро=9/(4жог), (20.31) где q — заряд частицы М; г — расстояние от нее до рассматриваемой точки ее поля. В плазме частица М окружена другими заряженными частицами. Благодаря куло- новскому притяжению вблизи М преобладают частицы плазмы, заряды которых противоположны по знаку заряду q. Они ослабляют (экранируют) поле частицы М в плазме. Как показывают расчеты, потенциал <р поля заряда q В плазме убывает с расстоянием г значительно быстрее, чем в вакууме: где D определяется по формуле (20.30). Таким образом, приближенно можно считать, что на расстояниях r> D электроста- тическое поле иона или электрона в плазме практически полностью экранируется. Вот почему размер D, являющийся одной из важнейших характеристик плазмы, называется дебаевским радиусом экранирования. ' 4. Плазма называется идеальной, или газовой, если потенциальная энергия кулоновс- кого взаимодействия двух частиц плазмы, находящихся на среднем расстоянии друг от .. друга, равном <г> = л^*/3, мала по сравнению с их кинетической энергией теплового i движения: '. e~^r>ID«kT. (20.33) 4яе0<Г> Условие (20.33) выполняется, если в плазме число ND частиц одного знака, находя- щихся внутри сферы радиуса D, достаточно велико: 267
^=*/3л£>3л0» 1. Термодинамические свойства идеальной плазмы с хорошей степенью точности описываются уравнением состояния идеального газа p—nJcT. 5. Степенью ионизации плазмы а называется отношение числа ионизованных атомов к их общему числу в плазме. В зависимости от величины а различают слабо ионизован- ную плазму (а порядка долей процента), умеренно ионизовашую плазму и полностью ионизованную плазму (а близка к 100%). Ионизация газа и образование плазмы может вызываться рядом процессов. К ним относятся: а) термическая ионизация — в результате столкновений атомов достаточно сильно нагретых газов (например, для водорода при Г=10* К аж 10%, а при Т=2-10*К а «98%); б) ударная ионизация заряженными частицами (например, при электрическом разряде в газе); в) фотоионизация — ионизация газа за счет энергии падающего на газ электромаг- нитного излучения. в. В общем случае средние энергии теплового движения электронов, ионов и нейтраль- ных атомов в плазме могут быть разными. Такую термодинамически неравновесную плазму называют неизотермической, так как ее нельзя охарактеризовать с помощью одного какого-либо значения температуры. Из законов сохранения импульса и энергии следует, что при упругих столкновениях очень легких электронов с массивными ионами и атомами они почти не обмениваются энергией. Поэтому приближенно считают, что в неизотермической плазме каждый сорт частиц находится в квазиравновесном состоя- нии со своим значением температуры. Соответственно говорят об электронной (Тэ) и ионной (Гя) температурах. Так, например, в газоразрядной плазме тлеющего разряда, заполняющей положительный столб разряда, электронная температура может до- стигать 5 10* К, превосходя при этом ионную температуру во много' десятков раз. Существование такой неравновесной плазмы поддерживается за счет энергии разряд- ного тока. 7. Расчеты показывают, что для неизотермической плазмы с однозарядными ионами дебаевский радиус экранирования равен D=^T3TJ№ (Т,+ TH)]=v/Cofc7’H/[»oe2(l + Ги/Гэ)]. (20.34) Если Тя« Тэ, то дебаевская длина D определяется нонной температурой плазмы. В случае равновесной (изотермической) плазмы Тв= Т3— Т и значения D по формулам (20.34) и (20.30) совпадают. В зависимости от значения ионной температуры различают низкотемпературную плазму (Гя< 10s К) и высокотемпературную плазму (Тя> 107 К). 8. Взаимодействие заряженных частиц плазмы посредством дальнодействующих ку- лоновских сил обусловливает качественное своеобразие свойств плазмы по сравнению с обычными нейтральными газами. Поэтому плазму часто рассматривают как особое, четвертое, состояние вещества. Плазму отличает сильное взаимодействие с внешними электрическими и магнитными полями, обусловленное высокой электропроводностью плазмы. Вторая особенность плазмы состоит в том, что между заряженными части- цами плазмы существует не парное, а коллективное взаимодействие, осуществляющее- ся через усредненные электрические и магнитные поля, которые создают сами эти частицы. Благодаря этим коллективным взаимодействиям плазма ведет себя как своеобразная упругая среда, в которой легко возбуждаются и распространяются различного рода колебания и волны. В частности, для плазмы характерны продольные колебания объемного заряда, называемые ленгмюровскимв колебаниями плазмы (см. § 27.2). Во внешнем магнитном поле плазма ведет себя как диамагнитная среда (см. § 24.3). Удельная электрическая проводимость полностью ионизованной плазмы не зависит от плотности плазмы и увеличивается с ростом температуры Т пропорци- онально 73'2. 268
9. Плазма наиболее распространенное состояние вещества во Вселенной. Солнце и другие звезды состоят из полностью ионизованной высокотемпературной плазмы. Основной источник энергии излучения звезд термоядерные реакции синтеза, проте- кающие в недрах звезд при огромных температурах порядка 107 10’ К. Холодные туманности и межзвездная среда также находятся в плазменном состоянии. Они представляют собой низкотемпературную плазму, ионизация которой происходит главным образом путем фотоионизации под действием ультрафиолетового излучения звезд. В околоземном пространстве слабоионизованная плазма находится в радиацион- ных поясах и ионосфере Земли. С процессами, происходящими в этой плазме, связаны такие явления, как магнитные бури, нарушения дальней радиосвязи и полярные сияния. Низкотемпературная газоразрядная плазма, образующаяся при тлеющем, искро- вом, дуговом и других разрядах в газах, широко используется в различных источниках света, в газовых лазерах, для сварки, резки, плавки и других видов обработки метал- лов. Плазма служит в качестве рабочего тела в плазменных ракетных двигателях и магнитогидродинамических генераторах (см. § 23.5). Особенно большие надежды связываются с возможностью осуществления в будущем управляемой термоядерной реакции синтеза в высокотемпературной плазме. Решение этой сложнейшей задачи позволило бы человечеству получить практически неисчерпаемый источник энергии. Вопросы: 1. Каков физический смысл постоянной Фарадея? 2. Опишите опыты по определению элементарного заряда. 3. Подчиняется ли электрический ток в электролитах закону Ома? 4. От каких характеристик электролита зависят его коэффициент диссоциации и удельное электрическое сопротивление, а также подвижность ионоа? 5. Почему для осуществления ударной ионизации газа ионьг.должны иметь значительно боль- шую кинетическую энергию, чем электроны? 6, Как объяснить существование тока насыщения при несамостоятельном газовом разряде? Почему этот разряд не подчиняется закону Ома? 7. При каком условии несамостоятельный разряд в газе переходит в самостоятельный? 8. Обсудите границы применимости закона Ома. 9. От каких параметров плазмы зависит ее дебаевский радиус экранирования? 10. В чем состоит качественное своеобразие свойств плазмы?
Глава 21_______________________________________ Действие магнитного поля на движущиеся заряды и на проводники с током § 21.1. Магнитное поле , 1. Занимаясь изучением электропроводности твердых, жидких и газообразных тел и основных законов постоянного, тока, мы ограничивались рассмотрением процессов, происходящих внутри проводников с токами. Однако этим не исчерпываются все явления, связанные с прохождением электрического тока. Опыты показали, что вокруг проводников с током и постоянных магнитов существует магнитное поле, которое легко обнаружить по его силовому действию на движущиеся электрические заряды, другие проводники с током и постоянные магниты. 2. Из курса физики средней школы известны элементарные сведения о магнетизме, а именно, что все постоянные магниты (полосовые, подковообразные и магнитные стрелки) обладают двумя разноименными полюсами: северным и южным. Одноимен- ные полюсы взаимно отталкиваются, а разноименные — взаимно притягиваются. В связи с этим постоянные магниты оказывают ориентирующее действие на магнит- ную стрелку, помещенную вблизи от них таким образом, что она может свободно вращаться вокруг своего центра тяжести. Исследования поведения таких магнитных стрелок в различных точках земного шара привели к выводу о существовании магнит- ного поля Земли. Это поле в основном обусловлено процессами, протекающими в жидком металлическом ядре Земли. Магнитные полюсы Земли не совпадают с ее географическими полюсами: вблизи северного географического полюса Земли находит- ся ее южный магнитный полюс, причем угол между осью вращения Земли и линией, соединяющей ее магнитные полюсы, составляет 11,5°. 3. Опыты показали, что постоянное магнитное поле не действует на неподвижные электрически заряженные частицы и тела. В свою очередь, эти частицы и тела не действуют иа помещенную вблизи них магнитную стрелку, т. е. не создают магнитное поле. - Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика X. Эрстеда (1820). При пропускании по прямолинейному горизонтальному проводнику постоянного тока / нахо- дящаяся под ним магнитная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси, стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током (рис. 21.1). Ось стрелки теу точнее совпада- ет с этим направлением, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля Земли Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием элект рического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. В дальнейшем экспериментально исследовалось действие на магнитную стрелх) электрического тока, протекающего по проводникам самой различной формы. Во всех случаях проводники с током оказывали ориентирующее действие на магнитную стрел- ку. Таким образом, можно сделать следующий вывод: при прохождении по проводнику электрического тока вокруг проводника возникает магнитное поле, действующее иа помещенную в это поле магнитную стрелку. 4. Ток в проводнике представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому на основания приведенных выше опытов естественно предположить, что вокруг всякого движущегося заряда Должно существовать магнитное поле. При этом материал проводника и характер его проводимости (электронный иля ионный), а также происходящие в нем процессы (например, нагревание, электролиз и т. д.) никакой роли не играют. Действительно, используя в опыте Эрстеда провод- 270
Рис. 21.1 Рис. 21.2 ники одинаковой формы и размеров, изготовленные из разных металлов, а также из разных твердых и жидких электролитов, мы не обнаружим никаких различий в от- клонении магнитной стрелки, если только сила тока в проводниках во всех случаях будет одинаковой. ./« 5. Непосредственное измерение действия магнитного поля движущихся электронов на магнитную стрелку было произведено А. Ф. Иоффе (1911). Принципиальная схема его установки приведена на рис. 21.2. Внутри стеклянной трубки М был создан высокий вакуум. Электроны, вылетавшие из катода К, который нагревался током от батареи накала Б*, ускорялись электрическим полем, созданным между катодом К и анодом А батареей К,. В центре -О анода трубки имелось небольшое отверстие, через которое проходила часть электронов. Узкий пучок электронов в пространстве за анодом попадал в цилиндр Фарадея F, соединенный через гальванометр G с положительным полюсом батареи Бл. В средней части трубки по обе стороны электронного пучка располагались две одинаковые легкие магнитные стрелки N — S, аитипараллельные туг другу. Стрелки были скреплены между собой легким кольцом, свободно охватывающим трубку. Вся эта система была подвешена на упругой нити. Применение двух параллельных и,противоположно направленных магнитных стрелок (такая система называется астатической) позволило исключить влияние маг- нитного поля Земли, так как его действия на стрелки взаимно уравновешиваются. При движении в трубке , пучка электронов возникало магнитное поле, действовавшее на каждую стрелку так, как показано на рис. 21.2. Угол закручивания нити D, регистрировавшийся по смещению светового зайчика, отраженного от зеркальца позволил судить' о силе, с которой магнитное поле электронного пучка действовало на магнитные стрелки. Сила тока в трубке измерялась гальванометром G. Заменив катодную трубку, Л/ прямолинейным проводником, по которому шел ток такой же силы, как и в трубке, Иоффе установил, что угол закручивания нити не изменился. Таким образом, было доказано, что свободные электронные пучки по своему магнит- ному действию эквивалентны токам в проводниках. В. Рядом исследований, в числе которых необходимо отметить опыты А. А. Эйхен- вальда (1901), было доказано, что магнитное действие . конвекционных токов, образованных движением в про*-.. странстве заряженных тел и поляризованных диэлектри- и - ков, также подобно магнитному действию токов проводи- мости. " - Упрощенная схема прибора Эйхенвальда приведена На рис. 21.3. Внутри металлического корпуса F находился диск А, кото- рыб мог вращаться вокруг оси 00\. Диск был изготовлен- из материала, обладающего высокими диэлектрическими свойства- : ми. На этот диск по внешней его окружности наклеивался стани- олевый ободок В, представляющий собой незамкнутое кольцо; . Корпус прибора F и станиолевый ободок В играли роль двух обкладок конденсатора, емкость С которого была предваритель- но измерена. Конденсатор заряжался от электростатической ма- шины до разности Потенциалов Б<р между обкладками. При этом'; заряд обкладки В был равен 9=СД<>. 271
Диск А приводился в быстрое вращение вокруг оси OOt. Сила возникающего при этом конвекционного тока равна /к=9П=СДфл, где л — частота вращения диска. О магнитном поле конвекционного тока можно было судить по его действию на легкую магнитную стрелку М, Подвешенную на упругой нити L внутри защитного металлического кожуха Е со стеклянным окошечком N. Уголповорота стрелки определялся по смещению отраженного от зеркальца 3 светового луча, который падал на шкалу, не изображенную на рисунке. Затем диск А устанавливался неподвижно и через отверстие D в корпусе прибора к концам станиолевого ободка В подводился ток от внешнего источника. Ток проводимости I в ободке подирался таким, чтобы отклонение магнитной стрелки было равно ее отклонению при конвекци- онном токе Zr Опыты показали, что Z=ZX. Этим было доказано, что конвекционные токи по своему магнитному действию подобны токам проводимости. 7. Рассмотренные опыты показывают, что вокруг всякого движущегося заряда, будь то электрон, ион или заряженное тело, помимо электрического поля существует также и магнитное поле. Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Следовательно, между двумя движущимися друг относительно друга заряженными частицами существуют и электрическое, и магнитное взаимодействия. ' § 21.2. Магнитная индукция. Сила Лоренца 1. Опыты показывают, что сила FM, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся в этом поле заряженную частицу, подчиняется следующим закономер- ностям: а) сила FM всегда перпендикулярна вектору скорости v частицы; б) отношение FM/(I?I«) не зависит ни от заряда q частицы, ни от модуля ее скорости; в) при изменении направления скорости частицы в точке А поля модуль силы FM изме- няется от 0 до максимального значения (FM)M,W, которое зависит не только от |g| v, но также от значения в точке А силовой характеристики магнитного поля ;— вектора В, называемого магнитной индукцией поля. t По определению, модуль вектора В равен вчламаЛМ- (21.1) . Итак, магнитная индукция В численно равна отношению силы, действующей на заряженную частицу со стороны магнитного поля, к произведению абсолютного значения заряда и скорости частицы, если направление скорости частицы таково, что эта сила максимальна. Вектор В направлен перпендикулярно вектору силы (РыХш, действующей на положительно заряженную частицу (д>0), и вектору скорости v части- цы так, что из конца вектора В вращение по кратчайшему расстоянию от направления силы (FM)MiIC к направлению скорости v видно происходящим против часовой стрелки. Иначе говоря, векторы (Fm)m,tp, v и В образуют правую тройку (рис. 21.4). Магнитное поле называется однородным, если во всех его точках у- векторы магнитной индукции одинаковы как по модулю, так и по направлению. В противном случае магнитное поле называется неод- неродным. 2- Для графического изображения стационарного, т. е. не изменя- •• № ющегося со временем, магнитного поля пользуются методом линий магнитной индукции. Линиями магнйтной индукции (силовыми линиями магнитного Ьр ч поля) называются линии, проведенные в магнитном поле так, что и/мпте в каждой точке поля касательная к линии магнитной индукции Рис. 21.4 совпадает с направлением вектора В в этой точке поля. 272
Линии магнитной индукции проще всего наблюдать с помощью мелких игольчатых железных опилок, которые намагничиваются в исследуемом поле и ведут себя подобно маленьким магнитным стрелкам (свободная магнитная стрелка разворачивается в маг- нитном поле так, чтобы ось стрелки, соединяющая ее южный полюс с северным, совпадала с направлением В). 3. Вид линий магнитной индукции простейших магнитных полей показан на рис. 21.5. Из рис. 21.5, б — г видно, что эти линии охватывают проводник с током, создающий поле. Вблизи проводника они лежат в плоскостях, перпендикулярных проводнику. Направление линий индукции определяется по правилу буравчика: если ввинчивать буравчик по направлению вектора плотности тока в проводнике, то на- правление движения рукоятки бу- равчика укажет направление линий магнитной индукции. Линии индукции магнитного по- ля тока ни в каких точках не могут обрываться, т. е. ни начинаться, ни кончаться: они либо замкнуты (рис.. 21.5, б, в, г), либо бесконечно нави- ваются на некоторую поверхность, всюду плотно заполняя ее, но никог- да не возвращаясь вторично в лю- бую точку поверхности. Для сравнения магнитного поля с электростатическим полезно напо- мнить, что линии напряженности Рис 2-| 5 электростатического поля разо- мкнуты. Они начинаются на положительных зарядах, оканчиваются иа отрицательных и вблизи от заряженного проводника направлены перпендикулярно его поверхности. Из сопоставления рис. 21.5, а и 21.5, г видно, что магнитное поле вне соленоида, т. е. длинной катушки с током, подобно магнитному полю полосового магнита. Северный полюс магнита совпадает с тем концом соленоида, из которого ток в витках виден идущим против часовой стрелки. Линии магнитной индукции постоянного магнита выходят из его северного полюса и входят в южный. На первый взгляд кажется, что здесь имеется полная аналогия с линиями напряженности электростати- ческого поля, причем полюсы магнита играют роль магнитных «зарядов» (магнитных масс), создающих магнитное поле. Однако опыты показали, что, разрезая постоянный магнит на части, нельзя разделить его полюсы, т. в. нельзя получить магнит либо с одним северным, либо с одним южным полюсом. Каждая сколь угодно малая часть постоянного магнита всегда имеет оба полюса. Следовательно, в отличие от элект- рических зарядов свободных магнитных «зарядов» в природе не существует. Нет их и в полюсах постоянных магнитов. Поэтому линии магнитной индукции не могут обрываться на полюсах. Полная аналогия между магнитными полями полосовых магнитов н соленоидов позволила французскому физику А. Амперу высказать (1821 — 1822) гипотезу о том, что магнитные свойства постоянных магнитов обусловлены существующими в них микротоками. О природе и характере этих микротоков Ампер ничего не мог сказать, так как в то время учение о строении вещества находилось еще в начальной стадии. Лишь после открытия электрона и выяснения строения атомов и молекул, т. е. спустя почти 100 лет, гипотеза Ампера была блестяще подтверждена и легла в основу современных представлений о магнитных свойствах вещества. Гипотетические микро- токи Ампера получили простое и наглядное истолкование: они связаны с движением электронов в атомах, молекулах и ионах. 4. По формуле (21.1) можно найти силу, действующую со стороны магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу, только если скорость частицы v перпен- ( дикулярна вектору В. В общем случае эта сила равна Fm = 9[vB], (21.2) 273
На рис. 21.6 показаны взаимные рас- положения вспоров v, В и FM для положи- тельного и отрицательного зарядов части- цы. Модуль силы равен Musina, (21.3) где а — угол между векторами v и В. Сила FM направлена перпендикулярно Рис. 21.6 скорости v заряженной частицы и сообщает частице только нормальное ускорение. Иными словами, сила FM не совершает работы и вызывает лишь искривление траек- тории частицы. Поэтому при движении свободной заряженной частицы в магнитном поле ее кинетическая 'Энергия не изменяется. 5. Если на движущуюся частицу с электрическим зарядом g одновременно действуют и магнитное, и электрическое поля, то результирующая сила F, называемая силой Лоренца, равна сумме двух составляющих — электрической и магнитной: F—дЕ+ д [чВ], (21.4) где Е — напряженность электрического поля. Иногда под силой Лоренца понимают только магнитную составляющую силы F. Разделение силы Лоренца F на электрическую и магнитную составляющие от- юснтельно, т. е. эти составляющие зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Дело в том, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой изменяются не только скорость ч заряженной частицы, но также и силовые харак- теристики Е и В полей. Соответственно разделение электромагнитного поля на элект- рическое и магнитное поля тоже относительно. На этом важном вопросе мы остано- вимся подробнее в § 23.5, 26.5. § 21.3. Закон Ампера 1. На проводники с электрическим током, находящиеся в магнитном поле, действуют сила Ампера. Сила Ампера dF, приложенная к малому элементу проводнику с током I, равна геометрической сумме сил, которые действуют со стороны магнитного поля на движущиеся в проводнике носители тока. Элемент проводника длиной d/ и площадью поперечного сечения S выберем так, чтобы он был физически малым, т. е. чтобы в его пределах магнитное поле можно было считать однородным, а число dn носителей тока в нем еше столь большим, чтобы к ним был применим статистический подход. Предположим ради простоты, что в проводнике имеются носители тока одного сорта с зарядами д, а их концентрация равна и0. Тогда dn=n0Sd/. Если V( — скорость ьго носителя тока, то сила, действующая на него со стороны магнитного поля с индукцией В, равна Fi=9[V<B)=gb3]+g[eiBl, где и а, скорости упорядоченного и теплового движения i-го носителя. Искомая сила Ампера равна сумме сил F, для всех dn носителей: dF=gdn«v>B]+gdn [<и>В], где <ч> средняя скорость упорядоченного движения носителей тока, а вектор сред- ней скорости теплового движения <и>=0 из-за беспорядочности этого движения. Таким образом, dF=gnoSd/[<v>B). 274
Так как дп^ <▼> == j — плотность электрического тока в элементе проводника, JSdZ^/dl, где r=JS — сила тока, di — вектор элемента проводника, проведенный в направлении электрического тока, то сила Ампера dF=7[dlB], (21-5) Формула (21.5) выражает закон Ампера: сила, действующая на элемент проводника с током в магнит- ном поло, равна произведению силы тока на векторное произ- ведение элемента длины проводника на магнитную индукцию поля. 2. Из закона Ампера (21.5) следует, что сила dF максимальна, если элемент провод- ника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции: откуда 1 /dF (21-6) Таким образом, магнитная индукция численно равна отношению силы, дейст- вующей со стороны магнитного поля на малый элемент проводника с электрическим током, к произведению силы тока на длину этого элемента, если он так расположен в поле, что указанное отношение имеет наибольшее значение. Векторы dF^c, dl и В образуют правую тройку. 3. Сила Ампера, действующая в магнитном поле на проводник конечной длины I с током 7, равна геометрической сумме сил Ампера, действующих на все малые элементы этого проводника: F=7 [dlBJ. (21.7) В частности, если магнитное поле однородно, а про- водник прямолинейный, то F=7/Bsina, (21.8) где а — угол между током (вектором плотности тока) в проводнике и вектором В. Направление силы F для двух направлений тока в случае а=л/2 показано на рис. 21.7, а, б. Его можно найти по правилу левой руки: если Рис. 21.7 расположить ладонь левой руки так, чтобы вектор В входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца совпадали с направлением электричес- кого тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы Ампера, действующей на проводник в магнитном поле. 4. Магнитное поле оказывает ориентирующее действие на замкнутый проводящий контур, по которому идет постоянный электрический ток. На рис. 21.8 показана прямоугольная рамка А, помещенная в однородное магнитное поле. Рамка свободно подвешена на неупругой нити Сив отсутствие тока находится в положении равновесия (сплошная линия). При пропускании постоянного тока через рамку она поворачивается под действием сил Ампера так, что ее плоскость располагается перпендикулярно 275
Рис. 21.8 Рис. 21.9 вектору В, причем из конца вектора В ток в рамке виден идущим против часовой стрелки. Это положение рамки с током показано штриховой линией. Найдем выражение для момента сил, действующих в однородном магнитном поле на прямоугольную рамку 1 — 2 — 3 — 4стоком / (рис. 21.9, а). Считаем, что стороны рамки 2 — 3 и 1 — 4 лежат в плоскостях, параллельных В, а стороны 1 — 2 и 3 — 4 перпендикулярны В. Это предположение не влияет на конечный результат, но несколь- ко упрощает его получение. Силы F] и Fj, действующие на прямолинейные проводники 7 — 2 и 3 — 4, направлены перпендикулярно плоскости рис. 21.9, а в противоположные стороны (на рис. 21.9, б показан вид рамки сверху) и по формуле (21.8) численно равны Fl=F3=IaB. (21.9) Силы F2 и F«, приложенные к проводникам 2 — 3 и 4 — I, численно равны > Fi=Fn=IbBsn(nj2—Р)=IbBcct, р vl направлены вдоль вертикальной оси рамки в противоположные стороны, поэтому они полностью уравновешивают друг друга. Результирующий вращающий момент М, действующий на рамку, равен моменту пары сил Fi и F3 = — Fj. Модуль этого вектора M=Fil, где /=7>sinj8. Заменив F] по формуле (21.9), получим M^IabBsmfi=ISBsm0, (21.10) где S=ab — площадь рамки. 5. Формулу (21.10) можно преобразовать, воспользовавшись понятием магнитного момента рамки с током. Магнитным моментом плоского замкнутого контура с током / называется вектор p^-JS-ZSta, . (21.11) где S' — площадь поверхности, ограниченной контуром (мы ее будем называть просто поверхностью контура или поверхностью, натянутой на контур), п — единичный век- тор нормали к плоскости контура,- a S=Sn — вектор площадки S. Векторы n, S и Pm на- правлены перпендикулярно плоскости контура так, что из их концов ток в контуре виден идущим против часовой стрелки (рис. 21.10). ** Если контур с током I не плоский, то натянутую на него поверхность площадью S разбивают на столь малые участки площадью dS, что каждый из них можно считать плоским. Поэтому магнитный момент любого (плоского или неплоского) контура с током I равен (S) (S) । 276
Рис. 21.11 Рис. 21.10 Из (21.10) и (21.11) видно, что М=ртВ sin fl, (21.13) где Р угол Между векторами рп, и В. Вращение рамки под действием пары сил F] и F3 происходит вокруг вертикальной оси, перпендикулярной как В, так и рт. Вектор вращающего момента М откладывается вдоль оси вращения так, чтобы из его конца вращение рамки под действием пары сил F| и F3 было видно происходящим против часовой стрелки. На рис. 21.9, б вектор М направлен из-за чертежа перпендикулярно его плоскости. Из (21.10) следует, что вращающий момент, действующий на рамку с током в магнитном поле, равен 1 М=[риВ]. (21.14) Можно доказать, что формула (21.14) справедлива для контура с током, находяще- гося в однородном магнитном поле, независимо от формы этого контура [магнитный момент контура нужно находить по формуле (21.12)]. 8. Из (21.13) следует, что вращающий момент, действующий на рамку с током в магнитном поле, равен нулю и рамка находится в равновесии в однородном поле в двух случаях: если вектор рт сонаправлен вектору В (Д=0) или если р™ и В направ- лены во взаимно противоположные стороны (fl—n). В первом случае, соответст- вующем устойчивому равновесию рамки (рис. 21.11, а), при отклонении рамки из положения Р=0 возникает момент М сил Ампера, возвращающий рамку в положение равновесия. Во втором случае рамка находится в неустойчивом равновесии (рис. 21.11, б): при любом малом отклонении ее от этого положения возникает момент Mj сил Ампера, который вызывает дальнейшее отклонение рамки от положения Д=тг. Действие магнитного поля на помещенный в него небольшой виток с током (в пределах достаточно малого витка магнитное поле можно считать однородным) часто используют в качестве основы для определения силовой характеристики магнитного Поля — вектора В. Магнитная индукция численно равна отношению вращающего момента, дейст- вующего в магнитном поле на небольшую рамку с током, к магнитному моменту рамки при такой ее ориентации в поле, когда эго отношение достигает максимального значения; по направлению вектор В совпадает с вектором магнитного момента рамки, находящейся в положении устойчивого равновесия в рассматриваемой точке поля. Силы Ампера, действующие на замкнутый проводник С током со стороны магнит- ного поля (внешнего и собственного ноля тока в проводнике), вызывают деформацию проводника. Поэтому в проводниках, по которым идут очень большие токи и которые находятся в очень сильных магнитных полях, возникают столь значительные внутрен- ние напряжения, что они могут угрожать прочности проводников. 7. Если контур с током находится в неоднородном магнитном поле, то действие сил Ампера на контур не сводится только к результирующему моменту (21.14). В этом случае на контур действует еще и результирующая сила 277
F=7 (21Л5) U) где интегрирование проводится по всем, участкам замкнутого контура L с током /; В — магнитная индукция внешнего магнитного поля, так как для собственного магнит- ного поля контура F=0. Если внешнее поле однородно, то F=/ =0, (Ц так как Фо1=0. Ю Можно показать, что для силы F также справедлива формула Здесь „ _ _ _ ав ав ав F—(ftn V)B—Рщх ——+рШу — + Pm, —. дх ду az (21.16) а а а =— i-l-------jd------ дх By dz — оператор набля.. В частности, если проводники с током, создающие неоднородное магнитное поле, в котором находится контур с током, не пересекают поверхность, натянутую на этот контур,то формула (21.16) приводится к виду F=grad(pmB). (21.17) По своему виду формулы (21.14) и (21.16) для контура с током в магнитном поле аналогичны соответствующим формулам (15.4) и (15.6) для электрического диполя в электрическом поле. На этом основании часто говорят, что контур с током подобен магнитному диполю, имеющему равный с контуром магнитный момент. 8. Под действием силы F незакрепленный контур с током втягивается в область более сильного магнитного поля, если угол Д между векторами Рш и В острый (/?<п/2). Если же угол р тупой (Р>п/2), то контур с током выталкивается в область более слабого поля, поворачивается под действием момента сил Ампера, так что угол Р становится острым, и затем втягивается в область более сильного поля. Возникновение резуль- тирующей силы F в результате сложения элементарных сил Ампера dF и направление силы F пояснено на рис. 21.12 для двух случаев ориентации контура [Д=0 (рис. 21.12, д) и р=я (рис. 21.12, 6)]. Рис. 21.12 278
Поведение контура с током в неоднородном магнитном поле можно наблюдать на опыте, схема которого показана на рис. 21.13. Короткая катушка А, состоящая из нескольких витков провода из немагнитного материала (например, из меди), подвеше- на на длинной нити вблизи одного из полюсов полосового магнита. Если в катушке нет электрического тока, то ее магнитный момент равен нулю и поле магнита не действует на катушку (положение /). При пропускании тока I через катушку она поворачивается вокруг вертикальной оси так, чтобы се магнитный момент pm был сонаправлен вектору В поля магнита, и притягивается к магниту, занимая положение 2. Соответствующее направление тока в катушке показано стрелкой. Вопросы: 1. Как вводится силовая характеристика магнитного поля — вектор магнитной индукции? 2. В чем состоит принципиальное отличие линий магнитной индукции стационарных магнитных полей от силовых линий электростатических полей? 3. Чему равны и как направлены электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца? 4. Как найти силу, действующую в магнитном поле на малый элемент проводника с током и на участок проводника конечной дойны? 5. Как действует магнитное поле на помещенный в него замкнутый проводник с током?
Глава 22________________________________________ Магнитное поле постоянного электрического тока в вакууме § 22.1. Закон Био — Савара — Лапласа 1. После опытов Г. Эрстеда началось интенсивное изучение магнитного поля постоян- ного электрического тока. Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар исследовали (1820) магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли к выводу, что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки поля по отношению к проводнику. Так, например, в случае длинного прямолинейного проводника стоком / магнитная индукция В~11г0, где г0 — расстояние от точки поля до проводника. В центре кругово- го витка с током B~IfR, где Л — радиус витка. 2. Био и Савар пытались получить общий закон, который позволял бы вычислять магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого током, текущим по провод- нику любой формы. Однако сделать это им не удалось. По их просьбе этой задачей занялся французский математик, астроном и физик П. Лаплас. Он учел векторный характер магнитной индукции и высказал важную гипотезу о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т. е. принцип независимого действия полей (см. § 13.3): B=JdB, (22.1) Ю где dB — магнитная индукция магнитного поля малого элемента dZ проводника с то- ком, а интегрирование проводится по всей длине I проводника. Магнитная индукция поля постоянного электрического тока / в Вакууме удовлет- воряет закону Био — Савара — Лапласа: dB=fc —[dlr], (22.2) г3 Здесь dl—diyj; j — плотность тока в элементе dZ проводника; г — радиус-вектор, проведенный из этого элемента проводника в рассматриваемую точку С поля (рис. 22.1); к — коэффициент пропорциональности. Рис. 22.1 Вектор dB направлен в точке С перпендикулярно плоскости векторов dl и г по правилу буравчика (см. § 21.2). 3. Коэффициент пропорциональности к в законе Био — Савара — Лапласа (22.2) зависит от выбора системы еди- ниц. В СИ это размерная величина, равная А:=до/(4я)> (22-3) где до=4л-10-7 Гн/м — магнитная постоянная. Таким об- разом, в СИ закон Био — Савара — Лапласа имеет вид 280 I
(22.4) Po I dB=—— [dlr]. 4лr3 Так как |[dlr]|=d/rsma=r2d(z, где da —угол, под которым виден элемент dl проводника из точки С поля, то |dB|-Mda/(4w). (22.5) Из (22.1) и (22.4) следует, что магнитная индукция поля, создаваемого в вакууме током I, идущим по проводу конечной длины н любой формы, равна /V Г [dlr] 4я J г3 (I) (22.6) 4. Из законов Ампера (21.5) и Био — Савара — Лапласа (22.4) следует, что между двумя элементами сЩ и dl2 проводников, токи в которых соответственно равны /1 и /2 (рнс. 22.2), должно существовать магнитное взаимодействие. Сила, действующая на элемент dl2 со стороны магнитного поля элемента dlj, равна dF21=-—-[dbfdl^n]], (22.7) 4л г3 где г=|г21|. Соответственно сила, действующая на элемент dlj со стороны магнитного поля элемента dl2, равна Ро * - (22.7') 4я г* где г12=—г21. Как видно из рис. 22.2, силы dF21 и dF)2 магнитного взаимодействия элементов проводников с постоянными токами не удовлетворяют третьему закону Ньютона. Однако результирующие силы F21 и F12 взаимодействия двух замкнутых контуров с постоянными токами этому закону удовлетворяют: F2I = —F]2. 5. Магнитное поле проводника с током является результатом наложения магнитных полей всех движущихся в проводнике электрически заряженных частиц — носителей тока. Найдем выражение для магнитной индукции поля движущегося заряда, восполь- зовавшись законом Био — Савара — Лапласа (22.4). Сила постоянного тока в одно- родном проводнике l=jS (j—плотность тока, S — площадь поперечного сечения проводника), прэтому /dl=/5dl=jdV (dV=Sdl — объем элемента проводника дли- ной dl). Предположим ради простоты, что ток в проводнике связан с упорядоченным движением одинаковых частиц — носителей тока (например, электронов проводимо- сти). Пусть q — заряд одной частицы, По — их концентрация в проводнике, v — оди- наковая для всех частиц скорость их упорядоченного движения. В таком случае вектор ' плотности тока ]=?По¥ н ldl = qnovdV=qvdn, (22.8) 281
Рис. 22.2 Рис. 22.3 где dn=nodF - число носителей тока в элементе проводника. Подставим (22.8) в (22.4): До qdn de= -[vr]. . 4я г Все dn зарядов упорядоченно движутся в одном направлении и с одинаковой скоростью. Поэтому магнитная индукция В, поля каждого из этих зарядов в отдель- ности меньше dB в dn раз: dB A) q Б,= = - [„]. dn 4я г* (22.9) 6. Выражение (22.9) было получено исходя нз рассмотрения частного случая движения заряженных частиц упорядоченного движения носителей тока в проводнике. Именно поэтому в (22.9) v скорость упорядоченного движения носителя тока. Однако, изучая движение отдельной заряженной частицы, бессмысленно говорить о том, какое это движение упорядоченное или беспорядочное. Указанные понятия имеют смысл лишь для систем частиц, тогда как каждая отдельная частица просто движется. Формула (22.9) справедлива для магнитной индукции поля заряженной частицы, дви- жущейся произвольно со скоростью V, малой по сравнению со скоростью света в вакууме (v«c). Можно доказать, что магнитная индукция результирующего поля множества носителей тока в проводнике, участвующих только в тепловом движении, равна нулю. Вектор Bt направлен перпендикулярно плоскости векторов v и г (рис. 22.3, а, б}. Магнитное поле отдельного движущегося заряда переменно, так как даже при v=const радиус-вектор г, проведенный от заряда в какую-либо точку А поля, изменяется с течением времени и по направлению, и по модулю. Однако результирующее поле огромного множества носителей тока в проводнике, по которому идет постоянный электрический ток, стационарно. Магнитное поле движущегося точечного заряда, в отличие от электростатического поля неподвижного точечного заряда (13.9), не является сферически-симметричным. Вектор В, этого поля зависит от угла а между векторами v и г. При одном и том же расстоя- нии г значение Вч максимально в точках плоскости, прове- денной через движущуюся заряженную частицу перпендику- лярно ее скорости v (а—п/2). В точках прямой, вдоль кото- рой движется .заряд (а=0, п), В9=0, а поле зеркально-сим- метрично относительно этой прямой. 7. Сила (F2i)m, действующая на движущийся точечный элек- трический заряд 92 с0 стороны магнитного поля другого движущегося точечного заряда qu называется свлоа магнитного взаимодействия зарядов q2 и qv Из формул (21.2) и (22.9) имеем (предполагается, что и1«сии2«с) (Ъ)м ' - —»---------► V Г Гц № Рис. 22.4 282
(22.10) W) 91 *2 — - [V(r2 J 4я г5 где r2i — радиус-вектор, соединяющий заряд qt с зарядом q2, а г«|г2)|. В частности, если vi=v2=v и r2Ilv, т.е. заряды движутся с одинаковыми скоростями по параллель- ным прямым, оставаясь напротив друг друга (рис. 22.4), то 4я г3 121- Сила магнитного отталкивания разноименных зарядов qt и q2 (9192 <0) Fm=I(F21)J=2^’'1- 4я г (22.11) Сила электростатического (кулоновского) взаимодействия тех же зарядов qt и q2 Разноименные заряды 91 и q2 притягиваются с электрическими силами Fm=KF2i)3jiI=—— —(22.12) 4лч» г Из (22.11) и (22.12) следует, что или FJF^Jlc1, так как £оЯо=1/с2- Таким образом, в случае малых скоростей движения заряженных частиц (к «с) магнитное взаимодействие этих частиц ничтожно мало по сравнению с их электроста- тическим взаимодействием. Однако, если заряженные частицы движутся в проводнике, который в целом электрически нейтрален, электрические силы оказываются скомпен- сированными, так что остается только магнитное взаимодействие. Хотя сила магнит- ного взаимодействия каждой пары электронов в двух параллельных металлических проводниках с токами мала, число этих пар столь велико, что результирующая сила магнитного взаимодействия проводников оказывается заметной величиной. § 22.2. Примеры простейших магнитных полей проводников с Током 1. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. По закону Био — Савара — Лапласа (22.5), модуль вектора магнитной индукции в точке . А поля элемента dl прямолинейного проводника A/N(pHC. 22.5) с током / равен ; |dB| = до/ da/(4xr), где r=ro/sina; го — расстояние от провода до точки А. Векторы dB полей всех малых элементов провода MN направлены в точке А одинаково — из-за чертежа перпендикулярно его плоскости. Это упрощает расчет В результирующего поля проводника MN. Вектор В направлен также из-за чертежа перпендикулярно его плоскости, а его модуль равен сумме модулей векторов dB: •г _ Г*1 7 - В» I -----smada. J 4я r0 «1 283
(22.13) Рис. 22.5 Таким образом. До I В=------(COS<X|—COS«2). 4п г0 Если проводник бесконечно длинный, то «1=0, а а2=л и (22.14) 2. Рассмотрим два длинных прямолинейных проводника, расположен- ных параллельно друг другу на расстоянии а. Опыт показывает, что при пропускании по проводникам тока между ними возникают силы взаимодействия. Если токи /, и /j в обоих проводниках направлены в одну сторону (рис. 22.6, а), то проводники притягиваются друг к другу, а если направления токов взаимно противоположны, то про- водники отталкиваются друг от друга (рис. 22.6, б). По закону Ампера (21.5), на элемент dl2 второго проводника с током /2 действует сила dF2^/2[di2BJ, где В| — магнитная индукция поля первого проводника с током Ij. Если длина проводников во много раз больше расстояния а между ними, то при определении В| можно считать первый проводник бесконечно длинным. Тогда До 22] 72 dF2=|dF2|=72F] d/2=-----— d/2. 4л а Соответственно на участок di| первого проводника с током 1\ действует сила dF| =I\ [d^BJ, До 27]/2 модуль которой d-Fj = /1^2d/1 =------ _ . 4л а написать общую формулу: ; d/|. Таким образом, для модулей сил dF] и dF2 можно ДО 2/j/2 dF=— -—- 4л а dl. (22.15) Эта формула была использована при установлении четвертой основной единицы СИ — ам- пера. 3. Магнитное поле в центре прямоугольного контура с током. Применим полученные формулы к расчету магнитного поля в центре О прямоугольного витка ACDEA с током / (рис. 22.7). Виток лежит в плоскости чертежа. Легко видеть, что в точке О векторы В], В2, Вз и В4 магнитных полей соответственно проводников ЕА, AC, CD и DE с током I имеют одинаковое направление — перпендикулярно плоскости витка (за чертеж). Поэтому индукция результирующего магнитного поля в точке О Рис. 22.6 Рис. 22.7 284
в=в}+в2+в3+в4. Стороны ЕА и CD прямоугольника равны а, а АС и DE h. Заменим Вь В2, В2 и В4 по формуле (22.13) и введем второй индекс углов а для обозначения номера стороны прямоуголь- ника: В = [цо/(4п)]1 [2 (cos aj j — cos а2| )/Л+2 (cos в] 2 -<-cos а22)/а+2 (Cos й| 3—cos а2з)/6 + 2 (cos в] 4—cos а24)/а]. Из рис. 22.6 видно, что cosan =cosa13 = fl/N/a2 + 62; cos в| 2 = cos а14 = h/-Ja1+b2\ cosa2I =cosa23= —sina|2= -а/х/я2+62; cos a22 =cos a24 = — sin в] 1 = — bl^Ja2+b2. Подставив эти значения в предыдущую формулу и произведя преобразования, получим следующее выражение для индукции поля в центре прямоугольного витка с током: Но BIy/a2+h2 В= 4я ah (22.16) 4. Магнитное поле кругового витка с током. В центре О кругового витка радиуса R с электричес- ким током I (рис. 22.8) векторы dB магнитных полей всех малых элементов витка направлены одинаково перпендикулярно плоскости витка (за чертеж). Так же направлен и вектор В резуль- тирующего поля всего витка. По закону Био Савара ' Лапласа (22.5), АВ=yoIAa/(4nR), где da=Al/R угол, под которым из точки О виден элемент А1 витка. Интегрируя это. выражение по всем элементам витка, т. е. по / от 0 до 2r. R или по а от 0 до 2л, получаем В=до//(2Я). (22.17) Определим теперь магнитную индукцию поля витка с током в произвольной .точке на оси витка, т. е. на прямой ОО', проходящей через центр витка перпендикулярно его плоскости. На рис. 22.9 показан круговой виток радиуса R, плоскость которого перпендикулярна плоскости чертежа, а ось ОО‘ лежит в этой плоскости. В точке С на оси ОО' векторы До I dB = [dlr] 4л rs Рис. 22.8 Рис. 22.8 285
для полей различных малых элементов dl витка с током 7 не совпадают по направлению. Векторы dB] и dBz для полей двух диаметрально противоположных элементов витка dlj и dlj, имеюпщх одинаковую длину (d/1 =d/2“d/), равны по модулю: |dB1|=|dB2|=p07d//(4№). Результирующий вектор dBt +dBj направлен в точке С по оси ОСУ витка, причем |dBi 4-dBal =2dBi sin/J=po27Rd//(4w3). B= (22.18) Вектор В индукции в точке С для магнитного поля всего витка направлен также вдоль оси ОСУ, а его модуль яД Г До 2TR до 27яЯ2 I------d/=-------- J 4л г3 4я г3 о Если воспользоваться понятием вектора Pm магнитного момента витка с током 7 [см. (21.12)], то выражение (22.18) можно переписать в форме До2рт До 2рт 5=------- —-----------, 4п г 4л(Я2+Л2)3/2 (22.18') В=> Во 2рт 4я г3 (22.19) Формула (22.19) по виду подобна формуле (13.29) для напряженности электростатического поля электрического диполя на его оси. 5. Магнитное поле соленоида. Соленоидом называется цилиндрическая катушка с током, состо- ящая из большого ‘ числа витков проволоки, которые образуют винтовую линию. Если витки расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токе» одинакового радиуса с общей осью. На рис. 22.10 показано сечение соленоида радиуса R и длины L с током 7. Кружки с точками изоб- ражают сечения витков, в которых электрический ток направлен из-за чертежа к нам, а кружки с ко- сыми крестами — сечения витков, в которых ток направлен за чертеж. Пусть; л.— число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. ; Магнитная индукция В поля соленоида равна геометрической сумме магн ш . индукций В,- по- лей всех витков этого соленоида. В произвольной точке А, лежащей на оси соленоида OjOj, все век- торы В,- и результирующий вектор В направлены по оси Ot Ь2 в ту сторону, куда перемещается буравчик с правой резьбой при вращении его рукоятки в направлении электрического тока в витках соленоида. На малый участок соленоида длиной dl вдоль оси приходится ndl витков. Если / — расстояние вдоль оси от этих витков до точки А, то, согласно (22.18'), магнитная индукция поля этих витков dfi=W)27n«2nd//(4w3). Так как г = Я/sin а и l=R/tga, то d/= — Я<1а/5т2а и dB= — (pg/2)n7sinizda=(po/2>i7d(cosa). В пределах соленоида угол а изменяется от aj до aj, поэтому 1/2p0n7(cos а2 - cos «[), (22.20) где cos»} = -l}/y/R2+l2l, cosa2 = (L-li)ly/'R2+(.L-li)2. (22.21) Из (22.20) и (22.21) видно, что магнитная индукция поля соленоида в точке Л зависит от силы тока 7, густоты намотки витков л, радиуса Я витков и длины L соленоида, а также от положения 286
точки Л относительно концов соленоида. Легко доказать, что В максимально, если 1\ »£/2, так что cos«2“ —cos «| =® 1д/1 +(2R/Z)2 и Smoc-W»/ 1 (2222) Если L»R, то соленоид можно приближенно считать бесконечно длинным. Для точки А, лежащей вдали от концов такого соленоида, «2«0, a ai«n, так что, по формуле (2220), В^щуп!- (2223) В точке А, находящейся в центре одного из оснований бесконечно длинного соленоида (oq =я и а2=я/2, либо в! »я/2 и а2=0), B^/2flQnI. (22.23') 6. Магнитный момент соленоида равен геометрической сумме магнитных моментов всех его N=nL витков: ^«MS-h/ZS, (22.24) где S=«rt.R2B, ап — единичный вектор, направленный по оси соленоида в ту же сторону, что и вектор В. Модуль магнитного момента соленоида pa~nIV, (2224') где V=LS — объем соленоида. , § 22.3. Закон полного тока для магнитного поля а вакууме 1. Магнитное поле в отличие от электростатического не потенциальное поле: цир- куляция вектора В вдоль замкнутого контура, вообще говоря, не равна нулю и зависит от выбора контура. Рассмотрим в качестве примера магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током I, находящегося в вакууме (рис. 22.11). Линии магнитной индукции этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны проводнику, а центры лежат на его оси. На рисунке они изображены черными штрихо- выми линиями. Найдем циркуляцию вектора В вдоль произвольной линии магнитной индукции — окружности радиуса г. Bdl=Bd/cos(B?dl). (22.25) (I) W Во всех точках линии индукции вектор В равен по модулю ж» «J27 JB=---- 4я г (22.26) и направлен по касательной к этой линии, так что Л cos (В, dl)—1. Следовательно, 2яг Bdl=—- Г dZ=po7. (22.27) 2яг J О) о Из (22.27) можно сделать два вывода: Рис. 22.11 287
Рис. 22.12 Рис. 22.13 а) магнитное поле прямолинейного тока - - вихревое, так как в нем циркуляция вектора В вдоль линии магнитной индукции не равна нулю; 6) циркуляция вектора В поля прямолинейного тока в вакууме одинакова вдоль всех линий магнитной индукции и равна произведению магнитной постоянной на силу тока. 2. Покажем, что формула (22.27) справедлива для замкнутого контура L произволь- ной формы, охватывающего бесконечно длинный прямолинейный проводник с током I (рис. 22.12). В точке А контура L вектор В перпендикулярен радиусу-вектору г. Поэтому можно считать, что проекция dl на направление В, равная d/i=d/cos(B,dl), совпадает с малой дугой окружности радиуса г, т. е. d/1=dZcos(B?dl)=rd<?), (2228) где dtp — центральный угол, под которым виден элемент dl контура L из центра окружности. Из (2227) и (22.28) следует, что -*4 Uni BdZcos(B,dl)=— - rd<?=— d<p. 4n r 2n (22.29) Интегрируя вдоль всего замкнутого контура L и учитывая, что при этом угол I Ф изменяется от нуля до 2л, находим - 2я Bdl= Bd/cos(B?dl)=p J d<p=po7. (Ц W 0 Таким образом, нами доказано, что формула (22.27) справедлива для любого । замкнутого контура, охватывающего проводник, независимо от формы этого контура. I 3. В предыдущих выводах предполагалось, что направление обхода контура L при! вычислении циркуляции вектора В согласовано с направлением тока в проводнике по Г правилу буравчика. Это значит, что для наблюдателя, смотрящего навстречу вектору! j плотности тока в проводнике, обход контура L виден происходящим против часовой! стрелки (рис. 22.12). При противоположном направлении обхода контура L изменяется! только знак циркуляции вектора В. Этот результат можно получить из формулы! (22.27), считая в ней силу тока / величиной алгебраической: />0, если направление тока! в проводнике согласуется с направлением обхода контура по правилу буравчика, и /<Сг в противном случае. 1 4. Предположим теперь, что замкнутый контур Ц не охватывает проводник с током! (рис. 22.13). Тогда Д' Bdl= J Bdl + J Bdl, • 1-в-2 2-b-l 288
где 1 — а — 2 и 2 — b — 1 — участки контура Lj. Заменив подынтегральные выраже- ния по формуле (22.29), получим ф в<п=^ ( J d<p+ J d^-®- (22.30) №1) ф, (Р2 Итак, циркуляция вектора магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю. Можно доказать, что соотношения (22.27) и (22.30) для магнитного поля в вакууме универсальны. Они справедливы для магнитного поля проводника с током любой формы и размеров, а не только для поля бесконечного прямолинейного проводника с током. 5. В общем случае магнитное поле может создавать целая система из л' проводников с токами Д, 12, ..., Д-. Обозначим В, индукцию магнитного поля в вакууме одного i-ro проводника с током Индукция результирующего магнитного поля, согласно принци- пу суперпозиции, в= £ в,. Циркуляция вектора В вдоль произвольного замкнутого контура L, проведенного в поле, равна Bfdl. В соответствии с (22.27) и (22.30) получим rUtJi (L охватывает ток 7J, Bfdl=< (0 (L не охватывает ток /<). Следовательно, п Bdl=po X 4=PoZd», к-1 (22.31) где п — число проводников с током, охватываемых контуром L а индекс суммирования i заменен на к для того, чтобы показать, что в сумму, стоящую в (22.31), входят только те токи, которые охватываются контуром L. Уравнение (22.31) является математическим выражением закона полного тока для магнитного поля в вакууме: циркуляция магнитной индукции поля в вакууме вдоль произ- вольного замкнутого контура L равна произведению магнит- ной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватыва- емых этим контуром (т. е. на электрический ток через поверх- ность S, натянутую на этот контур). Закон полного тока (22.31) можно также записать в форме W (5) (22.32) 10 Курс физики 289
где j — плотность тока в пределах малого элемента dS поверхности S, ндтянутрй на контур L, а вектор dS направлен по нормали к площадке dS так, что из его конца обход контура L виден происходящим против часовой стрелки. 6. С помощью закона полного тока можно найти индукцию магнитного поля торо- ида. Тороидом называется кольцевая катушка с током, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 22.14). Если витки расположены вплотную или очень близко друг к другу, то тороид можно приближенно рассматривать как систему большого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, центры которых лежат на средней линии тороида, а плоскости ортогональны ей. Легко видеть, что линии магнитной индукции поля тороида имеют вид концентрических окружностей радиуса г, центры кото- рых лежат на оси тороида. Во всех точках замкнутого контура L, совпадающего с какой-либо из линий магнитной индукции поля тороида, модуль вектора В одинаков, так что ^Bdl=2nrB. СТ Если r>Rj или r<R2, то /ои, = 0 и В=0, т. е. магнитное поле локализовано внутри тороида. Для контура L радиуса Rj<r<Rt ток /о„—NI, где N — число витков обмотки торо- 1ей. Поэтому внутри тороида с немагнитным сердечником, близким по своим магнитным свойствам к вакууму, B=HoNI/(2nr). (22.33) В случае тонкого тороида диаметр витков d=R}—R2 мал по сравнению с радиусом средней линии Rcp=(R1 +йг)/2 и в пределах площади витка магнитное поле тороида можно приближенно считать однородным: BxB^p^NI/flnR^^^nl, (22.34) где п число витков обмотхи тороида, приходящихся на единицу длины его средней линии. ъ-:,. ... А Если неограниченно увеличивать R^, сохраняя неизменными диаметр d витков и плотность л их навнвкн, то в пределе получится бесконечно длинный соленоид. Поле внутри такого соленоида однородно, так как всюду векторы В одинаково направлены и равны по модулю: Это соотношение уже было получено нами [см. (22.23)] значительно более сложным путем, основанным на использовании принципа суперпо- зиции полей. § 22.4. Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля в вакууме 1. Магнитным потоком (потоком вектора В магнитной индукции) сквозь малую поверх- ность площадью dS называется физическая величина d®m=BdS=B,dy=BdS’cos(B?n). (22.35) где dS=ndS; п единичный вектор нормали к площадке dS; В„ проекция вектора В на направление нормали. Малая площадка dS выбирается так, чтобы ее можно было считать плоской, а магнитное поле в ее пределах однородным. Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S Фт= j BdS=J B„dS. СТ СТ 290
При. вычислении этого интеграла векторы п нормалей к площадкам d5 нужно направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S. Например, если поверхность S замкнутая, то векторы и должны быть либо все внешними нормалями, либо все внутренними нормалями. Если магнитное поле однородно, а поверхность S плоская, то Фт=B„S=BS cos (B,n). 2. Теорема Остроградского — Гаусса для мапиггаого поля: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поварх- ность равен нулю*: J>BdS=O. (22.36) И Этот результат является математическим выражением того, что в природе нет магнитных «зарядов» (магнитных масс) — источников магнитного поля, на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции. Согласно терминологии, принятой в векторном анализе, теорема Остроградско- го — Гаусса (22.36) свидетельствует о том, что магнитное поле представляет собой поле, называемое солсноццалышм. 3. Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называ- ется потокосцеплевием Т этого контура. Например, потокосцепление рамки или катушки, состоящей из N витков, магнит- ные потоки через которые одинаковы и равны Фт, Ч*=АФШ. Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом контуре, называется потокосцеплением саммщдукцип. Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в дру- гом контуре, называется потокосцеплением взяминой hhujkibm этих двух контуров. В качестве примера найдем потокосцепление самоиндукции тонкого тороида. Пола- гая магнитное поле тороида Однородным в пределах каждого из N ero витков н пользу- ясь выражением (22.34), получаем Ч'е=^5=До№57/(2яДф)=Дол1КД (22.37) где S=nd1/4 — площадь витка, л=^(2яЯч,), a V=S 2itRcp — объем тороида, в кото- ром локализовано его магнитное поле. Формула (22.37) справедлива также и для длинного соленоида; когда можно пренебречь влиянием ослабления поля вблизи концов соленоида. § 22.5. Работа перемещения проводника с током • постоянном магнитном поле 1. На проводник с током в магнитном поле действуют силы Ампера, подчиняющиеся закону (21.5). Элементарная работа ЗА, совершаемая силой Ампера dF при малом перемещении dr в постоянном магнитном поле малого элемента dl проводника с током ,1, равна ЗА=dF dr=/dr [dl В]=ТВ dS=/dOm, ♦Доказательство этой теоремы выходит за рамки втузовского курса физики. 291 ю*
где dS=[drdl] — вектор малой площадки, прочерчиваемой элементом dl проводника при его малом перемещении dr (рис. 22.15), a dOm=BdS — магнитный поток сквозь эту площадку. 2. При малом перемещении в магнитном поле проводника конечной длины I с током I силы Ампера совершают работу <M=/d<Dm, . > (22.38) где d<Dm — магнитный поток сквозь поверхность, которую прочерчивает весь провод- ник при его малом перемещении, т. е. d<Dm=| B[drdlJ. © Если проводник, сила тока I в котором поддерживается постоянной, совершает конечное перемещение в магнитном поле из положения 1 в положение 2, то работа амперовых сил на этом перемещении 2 ^-2= j МФт=/Фм, (22.39) 1 где Фш — магнитный поток сквозь поверхность, прочерченную проводником, при рассматриваемом перемещении. 3. Найдем работу сил Ампера при перемещении в магнитном поле замкнутого контура с током I. Пусть в результате малого перемещения контур перешел из положения С в положение^ С (рис. 22.16). При этом малый элемент dl контура совершил перемещение dr и прочертил малую площадку dS. Искомая работа сил Ампера ёА при малом перемещении контура выражается формулой (22.38), где d®m — магнитный поток через поверхность, прочерченную кон- туром. Однако этот магнитный поток можно выразить через изменение потокосцепле- ния контура при его перемещении из положения С (потокосцепление равно *Р) в поло- жение С (потокосцепление T+d®). При вычислении Т и ‘F+d'P используют единич- ные векторы нормалей, соответственно п и п', связанные с направлением тока в контуре по правилу буравчика (из конца вектора нормали ток в контуре виден идущим против часовой стрелки). Поверхности, натянутые на контур в его положениях С и С вместе с поверхностью, прочерченной контуром при переходе из С в С', образуют замкнутую поверхность. По теореме Остроградского — Гаусса (22.36), магнитный поток сквозь эту замкнутую поверхность равен нулю: 4'+d®m-(T+d4')=0, Здесь учтено, *гго нормали, использованные при вычислении Ч* и бФт, являются внешними для рассматриваемой замкнутой поверхности, а нормаль п' — внутренняя. Таким образом, d®m=d4* и ‘' dS =[drdl] .Рис. 22.15 292
ЙЛ = /бЧ/, (22.40) где dT изменение потокосцепления контура при его малом перемещении. Интегрируя выражение (22.40), найдем работу сил-Ампера при конечном перемеще- нии контура с током из положения 1 в положение 2\ - * , 2 я1_2 = |/ат. ' (22.41) 1 Если в процессе перемещения контура I— const, то, Л1_2 = /Д'Р1_2=/(Т2-'Р1). (22.4Г) Таким образом, работа сил Ампера при перемёц|ёййи "в постоянном магнитном поле замкнутого контура, электрический ток в коТорОкГйоДдерживается постоянным, равна произведению силы тока в контуре на цзменёй’йе'ё"гб потокосцепления. § 22.6. Понятие о магнитоэлектрических и электродинамических измерительных приборах 1. Действие магнитного поля на. рамку с током широко рсполдзуется в различных электроиз- мерительных приборах. В' зависимости от того, как в' приборах создается магнитное поле, различают магнитоэлектрические и электродинамические приборы*. В магнитоэлектрических приборах рамка с током помещается В магнитном поле подковооб- разного магнита. Принципиальная схема магнитоэлектрического гальванометра показана на рис. 22.17. Рамка D, состоящая из нескольких витков тонкой Проволоки и подвешенная на упругой нити Е, помещена в цилиндрический зазор между полюсными наконечниками магнита Л и сплош- ным железным цилиндром С, укрепленными в корпусе прибора. Благодаря влиянию железного' цилиндра С линии магнитной индукции в зазоре направлены ради- ально, а модуль В постоянен. При пропускании через рамку измеря- емого тока /на нее действует-вращающий момент M=ISNB, ..... В . 3 где N число витков провода в рамке, S площадь рамки. ' ’" ’ , s Под действием момента М рамка поворачивается, закручивая нить Е на угол гр. В пределах упругой деформации угол круЧенйй р пропорционален моменту Af: - ' Ф=аЛ/, (22.42) где а коэффициент, зависящий от упругих свойств материала нити и ее размеров. Таким образом, угол кручения нити пропорци- онален току в рамке: tp = aSNBI=pi, (22.43) где p=xSNB постоянная прибора, определяемая при его градуировке путем пропускания через прибор тока, сила которого известна. Угол кручения <р регистрируется по смещению светового луча, отраженного от зеркальца 3, жёстко связанного с нитью Е. Рамка поворачивается в противоположную сторону, если изменить направдение тока в рамке. Поэтому приборы такого типа пригодны только для измерения постоянных токов. Для измерения силы тока прибор следует включить в цепь последовательно, а для измерения разности потенци- алов иа участке цепи параллельно этому участку. 2. Магнитоэлектрический гальванометр можно использовать для измерения электрического заряда проходящего через поперечное сечение цепи при кратковременном токе (например, при разрядке конденсатора). Такой гальванометр называется баллистический. В нем искусственно увеличен момент инерции Jo подвижной системы. Благодаря этому период Тд свободных колеба- ний рамки гальванометра сравнительно велик. Пусть т малое время.Прохождения тока через •Существуют также и другие типы электроизмерительных приборов. 293
гальванометр (т « То). Импульс момента сил, действующих на рамку при прохождении краткое ременного тока /, равен » t t г ‘ J A/d<=J ISNBdt=SNB J /dr. ,00 о Так как 7dt=df, то т | Mdt=SNBq, о где q искомый электрический заряд, прошедший через рамку гальванометра. Так как т«Гр, то можно считать, что за время т рамка практически не успевает выйти из положения равновесия, а лишь приобретает начальный момент импульса Jqcoq. Из (4.29) имеем < Л)Шо=J MAt=SNBq, Q2M) О где wo угловая скорость, првобретеияая подвижной системой гальванометра за время t. Начальная кинетическая энергия,приобретенная подвижной системой гальванометра в резуль- тате прохождения заряда q через рамку, равна »rt=W2=(SN2?)1?2/(2Jo). (22.45) В дальнейшем при движении рамки происходит закручивание нити Е (рис. 22.17), сопровожда- ющееся переходом кинетической энергии подвижной системы в потенциальную энергию упруго деформированной нити, равную №„=J A/d<p. Учитывая (22.42), получаем о Г q>dta <рг Wu=--------=—, (22.46) J а 2а о т. е. энергия Wu пропорциональна квадрату деформации q>. При максимальном угле фо отклонения подвижной системы вся ее начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную, поэтому (SW^/(2Jb)B=g>2/(2a), откуда ?=СОФо, (22.47) 1 /Л) . где Сл=---- / — - постоянная прибора. SNByl а Формула (22.47) показывает, что заряд, прошедший через баллистический гальванометр, пропорционален максимальному углу, отклонения Фо подвижной системы гальванометра из положения равновесия 3. В электродинамических приборах магнитное поле, действующее на рамку с. током, создается соленоидом. Ось вращения рамки с током, помещенной внутри соленоида, перпендикулярна его оси. В отсутствие тока плоскость рамки параллельна оси соленоида. Соленоид и рамка включают- 294
ci последовательно, так что по ним проходит один и тот же измеряемый ток I. Вращающий момент М, действующий на рамку, можно определить по формуле (21.13): (22.48) где М — число витков провода в рамке; Si — площадь витка; 0=(я/2)— q> — угол между осью соленоида и нормалью к плоскости рамки; <р — угол поворота рамки из положения равновесия; Дг—до"2^ — магнитная индукция поля соленоида, содержащего л2 витков на единицу длины. Из (22.42) и (22.48) следует, что угол поворота подвижной системы равен ^^oSjA^njCOSippo/2. Так как обычно угол? небольшой, то со> pad и. t (22.49) гдеу=>а$1^Л2До — постоянная прибора. Электродинамический гальванометр неудобен тем, что вследствие квадратичной зависимости (22.49) его шкалу нельзя сделать равномерной. Зато гальванометр такого типа универсален — он пригоден для измерения как постоянных, так и переменных токов. Действительно, при изменении направления тока в рамке одновременно изменяется на противоположное и направление магнит- ного поля соленоида. Поэтому направление отклонения рамки в магнитном поле соленоида сохраняется. 4. Электродинамический гальванометр можно использовать Для измерения мощности, развива- емой электрическим током на пассивном участке цепи. Для- этого обмотку соленоида следует включить параллельно участку цепи, а обмотку рамки — последовательно. Тогда ток /j в солено- иде и индукция Въ его магнитного поля пропорциональны не силе тока / в цепи, а напряжению U на рассматриваемом участке: где R2 — сопротивление цепи соленоида. Следовательно, ^=уЬ7/Л2=/Ь7, ‘ (22.50) где UI — измеряемая мощность тока. Вопросы: 1. Как рассчитать магнитную индукцию поля постоянного тока? Покажите, что магнитное взаимодействие двух малых элементов проводников с током не удовлетворяет третьему закону Ньютона. L Охарактеризуйте магнитное поле заряженной частицы, движущейся со скоростью г «с. 3. Чему равны циркуляция магнитной индукции и магнитный поток, соответственно вдоль замкнутого контура и через замкнутую поверхность, проведенные в магнитном поле? 4. В каких случаях магнитную индукцию удобно находить, основываясь на законе полного тока? Приведите примеры. S. За счет какого источника энергии совершают работу амперовы силы при перемещении в магнитном поле проводника или замкнутого контура с током?
Глава 23 Движение заряжённых частиц в электрическом и магнитном полях § 23.1. Движение заряженных частиц в постоянном магнитном поле 1. Выражение (21.4) для силы Лоренца позволяет установить ряд закономерностей движения заряженных частиц немагнитном поле, лежащих в основе устройства элект- ронного микроскопа, масс-спектрографа и ускорителей заряженных частиц. Рассмотрим сначала движение, заряженных частиц в однородном магнитном поле. При этом будем считать, чгго ца частицы не действуют никакие электрические поля, так что сила Лоренца имеет только Магнитную составляющую: FM=g[vB], (23.1) Если частица Влетает в однородное магнитное поле так, что ее скорость направлена вдоль линии магнитной индукции (угол а между v и В равен 0 или я), то FM=0. Частица будет продолжать двигаться в магнитном поле равномерно н прямолинейно. Если же угол а=я/2, т. е. частица влетает в магнитное поле в направлении, перпендикулярном линиям магнитной индукции, то на нее действует сила Лоренца модуль которой (23.2) Под действием этой сйЛьг'^раектория частицы искривляется — частица равномерно движется в однородном полейб Дуте окружности, плоскость которой перпендикулярна линиям индукции. Радиус окружности г легко найти из условия, что сила Лоренца играет роль центростремительной силы, сообщающей частице нормальное ускорение. Согласно соотношению (7.27) релятивистской динамики 1?М г— ------y/l-Vlc1 г т т v ' (23.3) Рис. 23.1 ; где т — масса частицы, a q/m — ее удельный заряд. Если скорость частицы и «с, то радиус окружности зависит от v линейно: 2 r=nw/(|9|B). (23.3') 2. Направления силы Лоренца (23.1) и вызываемого ею , «отклонения заряженной, частицы в магнитном поле за- висят не только от направления скорости v частицы, но , и от знака ее заряда q. Если частица движется в плоско- сти чертежа (рис. 23.1) слева направо, а магнитное поле (вектор В) направлено из-за чертежа перпендикулярно его плоскости, то положительно заряженная частица 296
отклоняется вниз, а отрицательно заряженная — вверх. Таким образом, по характеру отклонения частицы в поле можно сразу же судить о знаке заряда частицы. Этим широко пользуются в экспериментах с элементарными частицами. Частица движется по окружности радиуса г равномерно. Поэтому период обраще- ния частицы Т= Inr/v. Как видно из (23.3), . .•I.-. 2тип 1 2nW Т=— =------------- l<7l® v/l-^/c2 k?lBc2 где W — полная энергия частицы (7.29). В частности, для частицы, движущейся с нере- лятивистской скоростью (г«с), период обращения не зависит от скорости: Г=2т^/(|9|В). (23.4') ? .--.г, 3. Рассмотрим общий случай движения заряженной частйцы в однородном магнитном поле, когда ее скорость v направлена под произвольным острым утлой п к вектору магнитной индукции В поля (рис. 23.2). Разложим* вектРр v на две составляющие: параллельную вектору B(vE) и перпендикулярную ейу (fj.)’? t)j=DCOsa, sin ос. (23.5) Скорость Vj в магнитном поле не изменяется. «Частица одновременно участвует в двух движениях: она равномерно вращается со скоростью v± по окружности радиуса v л Ч Я - J ' mv sin а » и движется поступательно с постоянной скоростью vs в направлении, перпендикуляр- ном плоскости вращения. Поэтому траектория заряженной частицы представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с линией индукции магнитного поля (рис. 23.3). Радиус г витков выражается формулой (23.6)л ^.расстояние между соседними витками (шаг винтовой линии) равно й=«вТ. - Заменив Т по формуле (23.4), a по (23.5), получки ;\ 2nmt’cosa й=------- . . (23.7) 4. Если заряженная частица движется в неоднородном магнитном поле, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то по мере перемещения частицы значения г и й уменьшаются. Следовательно, частица движется по скручива- ющейся спирали, которая навивается на линию магнитной индукции поля. На этом принципе основана магнитная фокусировка пучков -заряженных частиц (например, в электронной оптике). - . 297
§ 23.2. Эффект Холла 1. Американский физик Э. Холл провел эксперимент (1879), в котором пропускал постоянный ток I через пластинку М (рис. 23.4), изготовленную из золота, и измерял разность потенциалов Л<э между противолежащими точками А и С на верхней и нижней гранях. Эти точки лежат в одном и том же поперечном сечении проводника М. Поэтому, как и следовало Ожидать, оказалось, что Аф=О. Когда пластина с током была помещена в однородное магнитное поле, перпендикулярное ее боковым граням, то потенциалы точек А и С стали разными. Это явление получило название эффекта Холла. Было установлено, что разность потенциалов Ад> между точками А н С пропорциональна силе тока /, индукции В и обратно пропорциональна ширине b пла- стинки, т. е. Ад» = ч>л - 9с=RIBfb, . (23.8) где R - постоянная Холла. Дальнейшие исследования показали, что эф- фект Холла наблюдается во всех проводниках =- и полупроводниках независимо от их материала. Изменение направления тока или вектора В на противоположное вызывает изменение знака разности потенциалов <рл—<рс- Числовое значение постоянной Холла R зависит от материала пластинки М, причем этот коэффициент для одних веществ положителен, а для других — отрицателен. 2. Эффект Холла можно объяснить следующим образом. Пусть ток I в пластинке М обусловлен упорядоченным движением частиц носителей зарядов q. Если их концентрация и0, а средняя скорость их упорядоченного движения », то сила тока / = ^t>rnnS' = qvxnoab, (23.9) где 5= ah площадь поперечного сечения пластинки, a t>x проекция вектора v на ось ОХ, проведенную в направлении вектора j плотности тока. Если заряд частиц, образу- ющих ток, q>0, то их скорость v совпадает с направлением тока и vx=v. Если же заряд д<0, то скорость v противоположна по направлению вектору j и vx= — «<0, но gt)x=|gl »>0. На частицу, движущуюся в магнитном поле с индукцией В, действует магнитная составляющая силы Лоренца FM=g[vB]. При указанных на рис. 23.4 направлениях тока в пластинке М и вектора В сила FM направлена вверх (вдоль положительного направле- ния осн OZ). Под действием силы FM частицы должны отклоняться к верхней грани пластинки, так что на верхней грани будет избыток зарядов того же знака, что и д, а на нижней избыток зарядов противоположного знака. В результате этого в пластинке возникнет поперечное электрическое поле, направленное сверху вниз, если заряды q положительны, и снизу вверх, если они отрицательны. Пусть напряженность об- разовавшегося кулоновского поля будет Е. Сила дЕ, действующая со стороны попереч- ного электрического поля на заряд д, направлена в сторону, противоположную силе FM. В случае установившегося состояния сила Лоренца (21.4), действующая на носитель заряда д, равна нулю: дЕ + д[»В]=0, откуда напряженность установившегося поперечного электрического поля (поля Холла) Е=-[»В]. (23.10) Вектор Е направлен вдоль оси OZ, а его проекция на эту ось равна E-——vxB. (23.10’) Соответственно разность потенциалов между точками Л и С равна 298
<Рл—<Рс= - J Ez&z=vJ5a. о Подставив сюда выражение для vx из (23.9), окончательно найдем <Рл-<Рс=/В/(дп^. (23.11) Таким образом, полученный результат совпадает с экспериментальной формулой (23.8). 3. Из сравнения (23.11) и (23.8) следует, что постоянная Холла /t=l/(gn0). (23.12) Отсюда видно, что знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда q частиц, обусловливающих проводимость данного материала. Поэтому на основании измере- ния постоянной Холла для полупроводника можно судить о природе его проводимо- сти: если R <0, то проводимость электронная, если /?>0, то дырочная. Если в полупро- воднике одновременно осуществляются оба типа проводимости, то по знаку постоян- ной Холла можно судить о том, какой из них является преобладающим. С помощью постоянной Холла можно также определить концентрацию носителей заряда, если характер проводимости и их заряд известны (например, для металлов): ло=1/(9Л)- . .(23.13) Так, для одновалентных металлов оказалось, что концентрация электронов прово- димости совпадает с концентрацией атомов. Зная постоянную Холла для электронного проводника, можно оценить значение <Л> средней длины свободного пробега электронов. Из (18.11) и (23.12) следует, что <2> = 2т<И>у/(Иое2)=2т<И>у|Я|/е, (23.14) где е и т — абсолютное значение заряда электрона и его масса; <и> — средняя скорость теплового движения электронов в проводнике; у — удельная электрическая проводимость. Оказалось, что средняя длина свободного-пробега электронов в метал- лах достигает сотен межузельных расстояний: <А>~10’в м. § 23.3. Экспериментальное определение удельного заряда частиц 1. Закономерности движения заряженных частиц в магнитном поле позволили разработать весьма точные экспериментальные методы определения удельного заряда частиц. Мы ограничим- ся рассмотрением простейших из этих методов. На рис. 23.5 показана упрощенная схема установки для измерения удельного заряда электро- на. Металлический катод К вакуумной трубки М нагревается током от батареи Бк. Электроны, вылетающие нз катода, вследствие термоэлектронной эмиссии, ускоряются сильным электричес- ким полем, созданным между катодом н анодом Л трубки высоковольтной батареей Бх. Через узкое отверстие О в пространство за анод проникает только тонкий пучок электронов, распрост- раняющихся вдоль оси трубки и улавливаемых цилиндром Фарадея D, который включен в цепь батареи Бл через гальванометр G. Кроме того, в трубку впаян небольшой боковой электрод С, включенный в цепь через гальванометр Gj. В пространстве за анодом с помощью сильного электромагнита, полюсы которого условно показаны штриховой окружностью, создают перпен- дикулярное плоскости чертежа однородное магнитное поле. При указанном на рисунке направле- нии вектора В (из-за чертежа) электронный пучок отклоняется вверх. Значение В подбирается так, чтобы отклоненный пучок попадал на боковой электрод С. Траектория ОС электронов в магнит- ном поле представляет собой дугу окружности, касающейся в точке О горизонтальной оси трубки. Зная расстояния между точками О и С по оси трубки (7jj и по вертикали (/j), можно определить радиус г траектории электронов в магнитном поле (рис. 23.6). Из подобий треугольника СЕО и CEN имеем 299
откуда . ,. - ’ г=(М)/(2'г)- , (23.15) Скорость v электронов в пространстве за анодом можно найти, измерив с помощью вольт- метра V напряжение U между анрдоь! и катодом трубки*: mv2=2eU, откуда v=J eV 1т. (23.16) Подставив выражения (23; 16) и (23.15) в (23.3) и положив |д|=е, получим следу- ющую расчетную формулу для абсолютного значения удельного заряда электрона: ' e/m=8C^/[B2 (/? + /*)*]. (23.17) ** Датой открытия первой элементарной частицы — электрона принято считать 1897 г., а его первооткрывателем — английского физика Дж. Дж. Томсона. На основе анализа результатов опытов с катодными лучами (По их отклонению в электрическом и магнитном полях, а также по их сравнительно малому ослаблению; при прохождении через газы) Томсон пришел к выводу, что катодные лучи не зависят от, материала катода и представляют собой поток одних и тех же заряженных отрицательно часуид,,прцчем их размер во-много раз меньше размеров атомов. Этот вывод подтверждался тем, что ..значения удельного заряда частиц катодных лучей, измеренные Томсоном и др. исследователями, сказались довольно близкими. Вскоре выяснилось, что таков же удельный заряд частиц, испу^каёМЫх при ^-радиоактивности, фото- и термоэмиссии. 2. Удельный заряд положительных ионов и их массу можно найти, измеряя отклоне- ние каналовых лучей в магнитном поле. Однако эта задача оказалась более сложной, чем определение удельного заряда электрона. Положительные ионы образуются в газо- разрядной трубке не в каком-то одном месте, а по всему ее объему. Различные ионы проходят в ускоряющем электрическом поле трубки неодинаковые пути, и их скорости колеблются в весьма широких пределах. Попадая в поперечное магнитное поле, ионы движутся по окружностям самых различных радиусов. Поэтому установка, подобная изображенной на рис. 23.5,, непригодна для измерения удельного заряда положитель- ных ионов. 3. Впервые измерение удельных.. зарядов положительных ионов было произведено Дж. Дж. Томсоном. . ? » . Каналовые лучи пропускались через плоский конденсатор, помещенный между полюсами электромагнита так, что направлениявекторов Е и В совпадали или были противоположны друг другу (рис. .23.7). В результате совместного действия электрического и магнитного полей положи- тельные ионы, образующие каналовые лучи, отклонялись как в вертикальном, так и в поперечном направлениях. Можно показать, .что в плоскости Q, перпендикулярной первоначальному направ- •Начальной кинетической энергией электронов, вылетающих из катода, можно пренебречь, если напряжение достаточно велико. 300
лснию каналовых лучей, положительные ионы должны распределяться по ветви параболы АО, ось которой параллельна векторам Е и В. Различным точкам параболы соответствуют ионы, об- ладающие разными скоростями. Чем больше скорость иона, тем слабее он отклоняется в элект- рическом и магнитном полях. Поэтому соответствующая ему точка параболы должна лежать ближе к вершине О. Вторая ветвь OD параболы получается при изменении направления В на противоположное. Ионам с различными удельными зарядами соответствуют разные параболы. Так, например, если ионам с удельным зарядом q/m соответствует парабола AOD, то ионам с удельным зарядом (q\lm\)>(qim) соответствует парабола СОЕ с большим фокальным парамет- ром. Для регистрации отклонения ионов в электрическом и магнитном полях в плоскости Q помещалась фотог рафическая пластинка. В местах попадания ионов на ее светочувствительный слой происходила фотохимическая реакция разложения бромистого серебра. Поэтому после проявления пластинки на ней получалось изображение распределения ионов в плоскости Q. 4. Проводя опыты с пучками одновалентных ионов неона, Томсон (1912) обнаружил на фотопластинке изображения ветвей двух разных парабол, соответствующих неско- лько отличным одно от другого значениям удельного заряда. Этот результат свиде- тельствовал о том, что существуют два типа ионов неона, различающихся своими массами. Масса одновалентного иона отличается от массы атома на ничтожно малую величину, равную массе электрона. Поэтому опыты Томсона явились первым экс- периментальным доказательством существования различных по своей массе атомов одного и того же элемента. В дальнейшем разновидности атомов химического элемен- та, отличающиеся только массой, получили название изотопов. Метод определения удельного заряда положительных ионов, предложенный Том- соном, по ряду причин, на которых мы не будем останавливаться, оказался недостаточ- но точным. 5. В дальнейшем были разработаны специальные приборы масс-спектрографы и масс-спектрометры, позволяющие измерять удельные заряды ионов и соответственно их массы с весьма высокой степенью точности. На рис. 23.8 показана принципиальная схема простейшего масс-спектрографа, сконструированного Ф. Астоном (1919). 'Пучок А исследуемых ионов проходит через две диафрагрмы Р| и fij с узкими щелями, перпендикулярными плоскости чертежа. В однородном электрическом поле плоского конден- сатора С ионы отклоняются в направлении напряженности Е поля тем сильнее, чем меньше их скорость и больше удельный заряд. Затем ионы попадают в однородное магнитное поле, вектор В которого направлен за чертеж, и движутся в нем по дугам окружностей. Радиусы этих окружностей тем больше, чем больше скорость ионов и меньше их удельный заряд [см. (23.3')]. Поэтому в магнитном поле пучок ионов расщепляется на несколько пучков, каждый из которых соответствует определенному значению удельного заряда ионов. На рис. 23.8 показаны два таких пучка. В каждом пучке радиус верхней границы его больше радиуса нижней границы, так как вдоль верхней окружности движутся наиболее быстрые ионы, а вдоль нижией наиболее медлен- ные. Следовательно, магнитное поле фокусирует ионы, обладающие одинаковым удельным зарядом и различными скоростями. Магнитную индукцию В можно подобрать такой, чтобы ионы фокусировались на фотопластинке MN, расположенной перпендикулярно плоскости чертежа. Тогда на .пластинке получается ряд узких параллельных линий, соответствующих различным значениям f дельных зарядов ионов. В случае, изображенном на рис. 23.8, линия А । соответствует иовам с большим удельным зарядом, а линия Аг ионам с меньшим удельным зарядом. Зная } дельный заряд ионов, дающих линию А ь расстояние между линиями А । и Аг, а также параметры установки, можно определить удельный заряд ионов, соответствующих линии Аг- Рис. 23.7 Рис. 23.8 301
в. Масс-спектрограф Астона имел существенный недостаток. В нем получалась до- статочно четкая фокусировка ионов на фотопластинке только в том случае, когда векторы скоростей ионов в пучке,, входящем в прибор, были строго параллельны друг другу. Если это условие не выполнялось, то на фотопластинке получались не четкие линии, а размытые полосы и . точность измерения удельного заряда ионов резко снижалась. Иными словами, масс-спектрограф Астона не давал фокусировки ионов по направлению. Поэтому приходилось пользоваться диафрагмами Dt и Dj с очень узкими щелями. Эго, в свою очередь, приводило к тому, что сквозь них проходило сравнительно небольшое число ионов, а поэтому интенсивность линий на фотопластин- ке была мала. Более чувствительными являются маее-свекгрометры — приборы с электрической регистрацией ионных токов. По принципу действия они делятся на статические и дина- мические. В статических масоспектрометрах ионы движутся в постоянных во времени электрических и магнитных полях. В дипшгкасих масс-спектрометрах удельные заря- ды ионов определяются различными способами: по времени их пролета от источника до коллектора, по периоду колебаний в переменных электрическом или магнитном полях, по резонансным частотам и т. д. Масс-спектрометры и масс-спектрографы нашли широкое и разнообразное применение в различных областях физики, химии, геологии, ядерной техники и т. д. Например, они используются для быстрого анализа состава газовых смесей и непрерывного контроля и регулирования процессов в хи- мической промышленности, для изучения состава атмосферы Земли и планет, для определения возраста минералов (путем измерения количеств радиоактивных изотопов и продуктов их распада), для исследования кинетики химических реакций (в частности, для измерения концентрации свободных радикалов) и т. д. § 23.4. Ускорители заряженных частиц 1. В связи с развитием экспериментальной ядерной физики возникла потребность в специальных установках, с помощью которых можно было бы получать в лаборатор- ных условиях направленные пучки заряженных частиц (электронов, протонов, атомных ядер и ионов легких элементов), обладающих весьма большой кинетической энергией. Такие установки подучили название ускорителей заряжании частиц. Первые ускорители, которые позволили сообщать электронам и положительным ионам водорода (протонам) энергию порядка нескольких миллионов электрон-вольт (МэВ), были созданы в начале' ЗО-Х годов. В последующие десятилетия ускорительная техника развивалась бурнымй темпами. Были построены ускорители различных типов, а максимальная энергия, сообщаемая в них заряженным частицам, достигла 500 млрд. эВ (500 ГэВ)*. По форме траектории ускоряемых частиц все ускорители можно разделить на две основные группы: линейные ускорители и цвслические ускорителя. В первых траектории частиц близки к прямым линиям, а во вторых — к окружностям или раскручивающим- ся спиралям. Энергия ускоряемых частиц увеличивается при их движении в электричес- ком поле ускорителя. Это поле может быть в зависимости от типа ускорителя электро- статическим, индуктированным (см, § 26.2) или переменным высокочастотным полем. 2. В электростатическом гнпейвом ускорителе заряженная частица проходит через ускоряющее электрическое поле однократно. Если д — заряд частицы, а, и р2 — потенциалы поля в начальной и конечной точках траектории частицы в поле, то энергия, приобретаемая частицей в ускорителе, равна W= ?(?i~?2)- Чем больше разность потенциалов (<0i—<р2), тем больше и энергия частицы. Поэто- му поле в ускорителях этого типа создается либо высоковольтным генератором Ван-де-Граафа (см. § 16.1), либо высоковольтным импульсным генератором (см. § 16.3). Однако таким образом удается получить значения (?i—фг)> нс превышающие 15 МВ. Значительно большие энергии можно сообщать заряженным частицам в ляшЛяа резонансных ускорителях. В этих ускорителях энергия частиц увеличивается под влия- •Проектируются ускорители на еще бдлыпую энергию частиц. 302
наем переменного электрического поля сверхвысокой частоты. Это поле изменяется синхронно (в резонанс) с движением ускоряемых частиц. В США действует линейный резонансный ускоритель электронов, который на пути 3 км сообщает им энергию 22 ГэВ. При столь больших энергиях электронов линейные резонансные ускорители оказываются более перспективными, чем циклические. Иначе обстоит дело в отноше- нии ускорителей протонов и других, более тяжелых частиц. 3. Наиболее мощные современные ускорители протонов и,других положительно заряженных частиц построены по циклическому типу, В этих ускорителях заряженная частица многократно проходит через электрическое поле, каждой раз увеличивая свою энергию от нескольких тысяч до нескольких сотен тысяч электрон-вольт. Для управле- ния движением частиц и периодического возвращения их в область ускоряющего электрического поля применяется сильное поперечное магнитное поле. Поясним подро- на примере циклотрона, впервые бнее принцип действия циклических ускорителен построенного Э. Лоуренсом (1931). Циклотрон состоит из двух металлических дуантов М и N (рис. 23.9), представляющих собой две половины невысокой тонкостенной цилиндрической коробки, разделенные узкой щелью. Дуацты заключены в плоскую замкну- тую камеру А, помещенную между полюсами сильного электромагнита. Магнитная индукция В направлена перпендикулярно плоскости чер- тежа. Дуанты с помощью электродов тип при- соединены к полюсам электрического генерато- ра, создающего в щели между ними переменное электрическое поле. Если ввести в точку С поло- жительный ион в тот момент, когда электричес- кое поле между дуантами максимально и напра- влено снизу вверх, то под действием электричес- кого поля ион начнет равноускоренно переме- щаться в плоскости чертежа снизу вверх. Как Рис. 23.9 только он войдет в дуант М, ускоряющее действие электрического поля прекратится, так как металлические стенки дуанта экранируют его внутреннюю полость от элект- рического поля в зазоре. Внутри дуанта м ион под действием магнитного поля опишет полуокружность, радиус которой можно определить по формуле (23.3). К тому момен- ту времени, когда ион, двигаясь в дуанте М, будет подходить к зазору между дуантами, направление вектора Е электрического поля изменится на противоположное первона- чальному и поле снова будет ускорять движение иона. Затем внутри дуанта N ион опишет полуокружность, но уже несколько бблыпего радиуса, соответствующего воз- росшей скорости. К моменту вылета иона в зазор электрическое поле снова изменит свое направление и будет ускорять движение иона. В результате многократного ускорения иона электрическим полем его кинетическая энергия может стать очень большой. Для уменьшения вероятности торможения ионов из-за столкновения с моле- кулами воздуха в камере А создается высокий вакуум.... 4. Описанный процесс непрерывного ускорения ионов возможен только в том случае, если движение иона и изменение электрического поля, в зазоре будут происходить строго синхронно.. В противном случае ион при прохождении через зазор будет то ускоряться, то замедляться. Таким образом, для нормальной работы циклотрона необходимо, чтобы периоды колебаний электрического поля (То) и обращения иона (7) были равны; Т=Г0, (23.18) или, по формуле (23.4), T^2ianl(fiqy/\ (23.189 где qjm — удельный заряд нона, В — магнитная индукция поля в дуантах. 303
В циклотроне магнитное поле постоянно, а на- пряженность Е электрического поля изменяется во времени по гармоническому закону Ех= = E0sin(2n/7’0)r с постоянным периодом То (рис. 23.10). При малых скоростях v ионов (г«с) его пери- од обращения Т в циклотроне не изменяется по мере увеличения скорости и энергии иона. Условие синхронности (23.18) легко осуществить соответст- вующим выбором Та или В. Однако при возрастании скорости иона до зна- чений, соизмеримых со скоростью света, начинает сказываться зависимость Т от v. Период обращения Т возрастает и перестает быть равным То. Условие синхронности нарушается. 5. Рассмотрим подробнее процессы ускорения иона в циклотроне при Т= То и Т> То- Пусть в начальный момент t= G ион движется через зазор между дуантами, а напря- женность ускоряющего электрического поля максимальна и равна Ео (рис. 23.10). Если Г=Т0, то н во все последующие моменты времени t2 = tt + Т0/2, t3=t2+To/2 н т. д., соответствующие прохождению нона между дуантами, напряженность электрического поля максимальна н совпадает с направлением движения иона. Поэтому энергия иона будет непрерывно возрастать. Если Т> То, то ион в своем движении отстает от изменения электрического поля. Он проходит через зазор в моменты времени f2—ti + T/2, f^fj+Tp. и т. д., соответст- вующие все более и более малым значениям напряженности электрического поля. Поэтому ускорение иона в циклотроне постепенно замедляется. Наконец, начиная с некоторого момента ион попадает в зазоре не в ускоряющее, а в тормозящее поле. В процессе дальнейшего движения иона его скорость и кинетическая энергия постепен- но уменьшаются. Период обращения Т также уменьшается, приближаясь к То. Теоретически показано, что предельная энергия, которую может иметь ион в конце процесса ускорения (перед началом торможения), 1Гпрсд=4<™сМо/Ч (23.19) где С70 — амплитуда напряжения между дуантами. Таким образом, предельная энергия иона пропорциональна y/Uo- Из формулы (23.19) видно, что предельная энергия, приобретаемая заряженной частицей в циклотроне, тем больше, чем больше ее масса и заряд- Так, например, при 17о=100 кВ для протона Ипред=21,9 МэВ, а для электрона Щч,ед=0,51 МэВ. Поэтому циклотрон мало пригоден для ускорения электронов. Указанные выше теоретические значения предельной энергии ионов в действитель- ности получить не удается. Оказалось, что при соблюдении строгой однородности магнитного поля движение ионов в циклотроне неустойчиво. При случайных отклоне- ниях ионов от спиральной орбиты они не возвращаются на нее, а ударяются о стенки дуантов и тормозятся. Для обеспечения устойчивости ионов на орбите необходимо, как показали расчеты, чтобы индукция В магнитного поля слегка уменьшалась от центра к краям дуантов. Поэтому возрастание периода обращения иона в процессе ускорения в циклотроне происходит не только из-за увеличения его скорости, но н из-за ослабле- ния магнитного поля. В результате совместного действия обеих причин дальнейшее ускорение иона прекращается при его энергии, меньшей И^д. Максимальную энергию ионов, ускоряемых в циклотроне, можно было бы значите- льно повысить, если по мере их разгона и удаления от центра дуантов период То изменения электрического поля постепенно увеличивать. Однако следует иметь в виду, что в циклотрон непрерывно поступают (впрыскиваются) ускоряемые частицы. Проследить за одной частицей в циклотроне и изменять То в соответствии с измеиени- 304
ем периода ее обращения практически невозможно. Тем более нельзя осуществить необходимое изменение периода То в случае множества ускоряемых ионов. 6. Возможность ускорения заряженных частиц, движущихся в циклических ускори- телях с релятивистскими скоростями (v~c), вытекает из установленного советским физиком В. И. Векслером (1944) принципа автофазировкн*: всякое отклонение периода обращения Т релятивистской частицы в магнитном поле ускорителя от резонансного значения То, равного периоду изменения электрического поля ускорителя, приводит к такому изменению энергии W частицы, что Т колеблется около То, оставаясь в среднем равным То, т. е. согласно (23.4) <П = 27г<^/(В|9|г)=Т0. (23.20) Поясним принцип автофазировкн на примере движения в циклотроне положитель- ных ионов, начальная энергия которых такова, что зависимость их периода от скорости играет существенную роль. Пусть период То переменного электрического поля циклотрона равен периоду обращения 7} в магнитном поле иона с энергией Ta=T\=2nW\l(Bqc*). (23.21) Зависимость напряженности Е=ЕХ электрического поля в циклотроне от времени t представлена на рис. 23.11, где по оси абсцисс отложена фаза напряженности Ф=2т/Т0. Если ионы попадают в зазор между дуантами в те моменты времени t, когда Ф—тс, Зя, 5тг и т. д., то Е.х=0 и поле не оказывает никакого влияния на движение этих ионов. Они будут равномерно вращаться с периодом 7q по устойчивой круговой орбите, соответствующей их энергии Wy. Ионы, попадающие в зазор несколько раньше (например, при Ф = Ф]), ускоряются электрическим полем. Их энергия W и период • обращения Т несколько увеличиваются. Поэтому они в своем движении постепенно отстают от изменения поля. Моменты последовательных прохождений этих ионов через зазор из одного и того же дуанта в другой обозначены на рис. 23.11 точками а, Ь, си d. Так как точка d соответствует движению ионов уже в тормозящем поле, то скорость ионов, а также их период обраще- ния в дальнейшем постепенно уменьшают- ся. Когда Т станет меньше ТЬ, ионы в своем движении будут опережать изменения поля, они в конце концов опять будут попадать в зазоре в ускоряющее поле и вновь будет происходить процесс увеличения их скоро- сти и периода обращения. Аналогичный ко- лебательный процесс, но только в обратной последовательности, происходит с ионами, которые попадают в циклотрон при Ф2>л. Из принципа автофазировкн следует, что при достаточно медленном увеличении периода То изменения электрического поля должно соответственно возрастать и сред- нее значение периода обращения релятивистской частицы в магнитном поле циклического ускорителя. При этом будет возрастать также среднее значение <ИС> Энергии частицы, так как, согласно (23.20), при 5= const возрастание <Т) возможно лишь за счет увеличения энергии частицы. Основанный на этом принципе циклический ускоритель ионов получил название фазотрона. В фазотроне магнитное поле постоянно, а частота vff= 1/7о переменного электрического поля медленно изменяется с периодом t»7q. Ускоряемые ионы вводятся в фазотрон в тот момент, когда частота v0 максимальна и равна частоте их обращения в магнитном поле фазотрона. При минимальном значении v0 энергия ионов становится наибольшей и они с помощью специальных устройств выводятся из Рис. 23.11 ♦Этот принцип был независимо от Векслера установлен американским физиком Э. Мак- Милланом. 305
фазотрона. Таким образом, фазотрон позволяет получить пульсирующий пучок ионот большой энергии. По мере ускорения ионов в фазотроне радиус ил орбиты возрастает, поэтом) предельное значение энергии ионов определяется магнитной индукцией В и диаметром полюсных наконечников электромагнита. Чтобы представить себе размеры электрома- гнита действующего фазотрона, ускоряющего протоны до энергии 680 МэВ, укажем, что его масса 7 * 10® кг, а диаметр полюсов 6 м. Фазотрон мало пригоден для ускорения электронов, так как ухе при энергии электрона порядка нескольких мегаэлектронвольт (МэВ) его скорость отличается от скорости света примерно на 1%. Поэтому его радиус орбиты н период обращения очень быстро возрастают при ускорении. 7. Для получения пучков электронов большой энергии применяют два других типа циклических ускорителей: бетатрон и синхротрон. Принцип работы бетатрона основан на явлении электромагнитной индукции (см. § 26.2). В синхротроне частота v0 ускоряющего электрического поля постоянна, а индукция В магнитного поля меняется во времени. -Период обращения электрона в магнитном поле синхротрона Т=2лВ7(ес2В). (23.22) Из принципа автофазнровки (23.20) следует, что при То=const энергия ускоряемого электрона растет пропорционально магнитной индукции В поля синхротрона: < WyfB^= ec2/(2nv0)=const. Скорость электрона очень близка к с и практически не меняется в процессе разгона. Соответственно электроны движутся в синхротроне, как видно из (23.3), по орбитам, близким к окружности радиуса 1 <и-> г0= —— =------- се В есВыис где Вмт и магнитная индукция и энергия электрона в конце цикла ускорения в синхротроне. Поэтому в синхротронах применяют кольцевые электромагниты, со- здающие магнитное поле в сравнительно узкой области вблизи круговой орбиты радиуса г0- В электродинамике доказывается, что всякая заряженная частица, движущаяся с ускорением, должна излучать электромагнитные волны, расходуя на это свою энергию. В магнитном поле заряженная частица приобретает нормальное ускорение и, следовательно, должна излучать. Излучение электромагнитных волн заряженными частицами, движущимися в одно- родном магнитном поле с релятивистскими скоростями, называется синхротронным излучением или магвитотормозным излучением*. Энергия расходуемая электроном эа один оборот в Синхротроне на излучение, пропорциональна отношению четвертой степени энергии W электрона к радиусу г0 его орбиты: =const W*lr0. Если эта энергия будет равна энергии, сообщаемой электрону электрическим полем за один оборот, то дальнейшее ускорение электрона станет невозможным. Наиболее мощным циклическим ускорителем протонов является синхрофазотрон. В нем комбинируются принципы, положенные в основу работы синхротрона и фазо- трона. В синхрофазотроне одновременно изменяются н период То ускоряющего элект- *Излучение электромагнитных волн заряженными частицами, движущимися в магнитном поле с нерелятивистскими скоростями, называется циклотронным излучением. 306
рического поля, в индукция В магнитного поля. Расчеты показывают, что жри со- гласованном уменьшении То и увеличении В можно добиться такого состояния,, при котором ускоряемые протоны будут двигаться по круговой орбите постоянного ради- уса. Поэтому в синхрофазотроне применяется кольцевой электрона! мп, подобный магниту синхротрона. 8. Для нормальной работы синхротрона и синхрофазотрона необходимо, чтобы дви- жение ускоряемых в них частиц было устойчивым. Это значит, что сфж слуш иых отклонениях частицы от расчетной круговой орбиты как в радиалыюм, уаж вер- тикальном направлениях на частицу должна действовать сила, возвращалДО ее на расчетную орбиту. Оказалось, что для обеспечения вертикальной устойчивости нужно, чтобы вблизи расчетной орбиты индукция магнитного поля изменялась « увеличением расстояния г от центра орбиты по закону B=const/r", (23.23) где п>0. В свою очередь, радиальная устойчивость обеспечивается, если я<1. Таким образом, условия одновременного осуществления вертикальной (аксиальной) и ради- альной устойчивости имеют вид 0<л<1. (23.233 Циклические ускорители, удовлетворяющие указанным условиям, называют уско- рителями с «мягкой фокусировкой». Расчеты показывают, что с увеличением энергии 1ГМИС, приобретаемой частицами в таком ускорителе, очень быстро возрастают масса электромагнита (приблизительно пропорционально Ж^,„) и стоимость ускорителя. Например, сооружение такого синхротрона на энергию электронов Ж.^.> 1-T-I.5 Гэй оказывается экономически неоправданным. Дальнейшее увеличение энергии частиц, ускоряемых в синхротронах к син- хрофазотронах, было достигнуто путем замены «мягкой фокусировки» на так называ- емую «жесткую фокусировку». В ускорителях с жесткой фокусировкой частица движет- ся по орбите, близкой к круговой, вдоль которой попеременно расположены магнитные секции двух типов. Одни создают магнитное поле вида (23.23), где Л«0 (например, л= —100), а другие — поле вида (23.23), где п» 1. Секции первого типа обеспечивают очень сильную радиальную фокусировку пучка ускоряемых частиц при одновременном размытии в вертикальном направлении. Секции второго типа обеспечивают очень сильную вертикальную фокусировку при одновременном размытии пучка в радиаль- ном направлении. В результате совместного действия на ускоряемые частицы магнит- ных полей обоих типов размах радиальных н вертикальных колебаний частиц около расчетной орбиты радиуса г0 оказывается значительно меньшим, чем В ускорителе с мягкой фокусировкой. Соответственно можно существенно уменьшить поперечное сечение вакуумной камеры ускорителя, массу электромагнита и стоимость всей уста- новки. Во всех наиболее мощных современных синхротронах и синхрофазотронах исполь- зован метод жесткой фокусировки. В настоящее время действуют синхротроны С жест- кой фокусировкой, сообщающие электронам энергию Жяжс= 12,2 ГэВ. Первый такой синхрофазотрон, ускоряющий протоны до Жм.„=28 ГэВ, был запущен (1959) в Ев- ропейском центре ядерных исследований (ЦЕРН) вблизи Женевы (Швейцарии). Масса его электромагнита составляет 3 10’т, тогда как для сооружения слаббфокусярующе- го ускорителя на ту же энергию протонов понадобился бы электромагнит массой в 10* т! В 1967 г. был введен в строй синхрофазотрон Института физики высоких s ергий под Серпуховом. Этот ускоритель с жесткой фокусировкой сообщает протонам энер- гию Ж, „=76 ГэВ. В 1972 г. в Батейвии (близ Чикаго, США) начал действовать синхрофазотрон, дающий пучок протонов с энергией Жм^.=500 ГэВ. Наибольшие значения магнитной индукции, осуществимые пока в с фазот- ронах, не превосходят 1,5 — 2 Тл. Поэтому радиусы г0 орбит протонов и размеры этих гигантских ускорителей весьма велики. Например, у синхрофазотрона И Бетйвии г0«1 км! 307
9. Бомбардируя частицами высокой энергии неподвижную мишень, нельзя использо- вать всю кинетическую энергию этих частиц для осуществления исследуемых ядерных реакций. Часть энергии налетающей частицы расходуется на сообщение кинетической энергии частицам, являющимся продуктами реакции. Это связано с тем, что при столкновении должен выполняться не только закон сохранения энергии, но и закон сохранения импульса. Расчеты показывают, что доля кинетической энергии налета- ющей частицы, полезно используемая для осуществления ядерной реакции, убывает по мере увеличения Поэтому наряду с созданием сверхмощных ускорителей заряжен- ных частиц разрабатываются установки, в которых используется метод встречных пучков. Например, в ЦЕРНе построен ускоритель со встречными протон-протонными пучками, в каждом из которых кинетическая энергия протонов равна 30,5 ГэВ. Суммар- ный импульс двух протонов, движущихся до столкновения навстречу друг другу с численно одинаковыми скоростями, равен нулю. Поэтому энергия столкновения этих двух частиц достигает 61 ГэВ. Такую же энергию столкновения можно получить, бомбардируя пучком протонов неподвижную водородную мишень, лишь при энергии налетающих протонов порядка 2 103 ГэВ! § 23.5. Релятивистское истолкование магнитного взаимодействия движущегося заряда и прямолинейного проводника с током 1. Пусть в инерциальной системе отсчета К длинный тонкий прямолинейный провод- ник с током I неподвижен, а положительно заряженная частица — точечный элект- рический заряд q — движется со скоростью V, направленной параллельно проводу (рис. 23.12)*. Расстояние от частицы до провода равно а. Будем ради простоты считать, что электрическое сопротивление проводника пренебрежимо мало. В таком случае проводник с током создает в системе отсчета К только магнитное поле. Для наблюдателя, на- ходящегося в системе отсчета К, на движущуюся заряженную частицу действует лишь магнитная составляющая силы Лоренца F=FM=g[VB]. Вектор В магнитной индукции поля Прямоли- нейного проводника с током I в месте нахождения заряженной частицы направлен за чертеж перпен- дикулярно его плоскости и численно равен В=Ро2//(4ла). Модуль силы F притяжения движущегося заряда q к проводнику с током равен До 2Ч1У 4л а (23.24) 2. В инерциальной системе отсчета К положительные ноны, образующие кристал- лическую решетку проводника, неподвижны (их скорости v+=0), а электроны проводи- мости движутся со скоростями дрейфа v_=v в сторону, противоположную направле- нию электрического тока в проводнике**. Плотность электрического тока в провод-, нике j=I/S=enov, (23.25) *На рис. 23.12 и 23.13 умышленно завышен поперечный размер проводника. ♦♦Для упрощения расчетов мы отвлекаемся от статистического распределения электроне»; проводимости по скоростям их дрейфа в проводнике и считаем, что все они движутся с одам-1 ковымн скоростями V.. 308
где 5 площадь поперечного сечения проводника, и0 концентрация электронов проводимости. В системе отсчета К проводник не создает электрического поля, т. е. этот проводник электронейтрален: линейные плотности зарядов ионов (т+) и электронов проводимости (т_) равны по абсолютному значению и противоположны по знаку: т+=т0 и т_=-т0. Величину to легко найти из (23.25): т _ = — enoS = —I[v, то - //г. (23.26) 3. Рассмотрим теперь взаимодействие заряда q с проводником с позиции наблюда- теля, находящегося в инерциальной системе отсчета К', которая движется относитель- но системы отсчета К поступательно вдоль оси ОХ вместе с зарядом q, т. е. со скоростью V (рис. 23.13 ). В системе отсчета К' заряд q неподвижен и потому магнитное поле проводника с током на него не действует. Между тем и в этой системе отсчета заряд q притягивается к проводнику, кото- рый в К' уже не электронейтрален, а заряжен отрицательно с линейной плотностью заряда т'<(). Электроны проводимости движутся относите- льно системы отсчета К влево со скоростью v'_, а положительные ионы Из формул (7.17) влево со скоростью v +. (»+)х- V 1-И(.,,)х/С2 так как (г+)х = 0, и (г-)х-И v+V (v'-)y= = ~ г l-Vb-hlc2 1+иИ/с2 так как (t' )x= —v. Таким образом ц'+ = Г,г'_ = 1 +vVlc2 (23.27) Легко видеть, что v'_ >г>\: и(1 —К2/с2) Г>'_ = 1+гИ/с2 4. Вследствие лоренцева сокращения (7.12) длины провода, движущегося относитель- но системы отсчета К со скоростью v'+, линейная плотность положительных зарядов в проводе, регистрируемая в К, отлична от то и равна то то (23.28) ** Нужно отметить, что электрические заряды частиц и тел, как показывают эксперименты, не зависят от скоростей движения этих частиц и тел и одинаковы во всех системах отсчета. В противном случае нарушался бы закон сохранения электрического заряда. Так, например, заряд металлического тела должен был бы очень сильно изменяться при нагревании тела, так как при 309
любой температуре скорость теплового движения электронов проводимости значительно больше скорости теплового движения ионов. ' Соответственно линейная плотность электронов проводимости в проводнике, реги- стрируемая в К, ' 1 Т~. =, (23.29) где т* — линейная плотность заряда электронов проводимости в инерциальной систе- ме отсчета К*, относительно которой они покоятся. В системе отсчета К электроны движутся со скоростью у, а линейная плотность их заряда в проводе т_ = — т0. Поэтому тТ = -точ/1-1)2/с2. (23.30) Из соотношений (23.27) — (23.30) следует, что линейная плотность электрического заряда проводника в системе К (23.31) Можно показать, что т'<0 н на заряд q действует электрическая сила притяжения к проводнику, которая, согласно (14.13), равна |т'| F'—qE'=q (23.32) ,2л«оа 5. Скорость электронов проводимости в системе отсчета Kv«c. Если же и заряд д движется с нерелятивистской скоростью V (К« с), то, пользуясь разложением т'+, т* и т'_ в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами, получаем: / 1 Р2\ и, согласно (23.26), т'=т'+ + т'_ « — tot) У/с2 = — IV/с2. (23.3Г) Так как с2 = 1/(«оДо), то г =--------— г, 4я а (гз-зг1) Следует отметить, что совпадение значений F и F силы, действующей на заряД д в системах отсчета К' и К, является приближенным. Этот результат справедлив лишь при сделанном выше предположении, что скорость заряда У«.с. в. Рассмотренная нами задача весьма поучительна. Во-первых, она показывает, дгф, релятивистские эффекты могут оказываться существенными не только при очень больших (релятивистских) скоростях движения. Так, например, в вышеприведенной задаче скорость дрейфа электронов проводимости очень мала. Однако релятивистский' 310
эффект, с нею связанный, отнюдь не мал, так как концентрация электронов проводимо- сти в проводе очень велика. Во-вторых, эта задача позволяет сделать общий вывод о том, что электрическое и магнитное взаимодействия составляют части единого электромагнитного взаимодей- ствия заряженных частиц: Существует единое электромагнитное поле,' разделение которого на электрическое и магнитное поля, характеризуемые векторами £ и В, относительно, так как зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Если одноименные оси декартовых координат инерциальных систем отсчета К я К' попарно параллельны и система К' движется относительно К с постоянной орростью V вдоль положительного направления оси ОХ, то проекции векторов £ и В на оси координат систем отсчета К и К' связаны следующими правилами преобразования: Е^—Ех, В^—Вх, _ Ey-ув, в Ех+УВу Bz-VEJc1 2 3 4 = ......У Jl-y^c2 Jl-V^c2 7. В заключение найдем с помощью соотношений (23.33) точное значение шцфяжен- ности Е' электрического поля в системе отсчета К' в месте нахождения заряда Из рис. 23.12 видно, что в системе отсчета К значения проекций векторов Е и В в месте нахождения заряда q равны (ось OZ вдет из-за чертежа): Ex=Ey=Ex—Q, Вх=Ву—0, Лх= — До^/(2яа). Поэтому, согласно преобразованиям (23.33), МУ Е'^Е'^О, Е'„-----. 2пау/\ — 2/с2 Соответственно точное значение силы электрического притяжения заряда q к провод- нику равно F=qE'=......7* ‘ (23.34) inay/l-V2!? т. е. отличается от полученного ранее приближенного значения (23.32Э релятивистским множителем i/Vi-r2/c2. Вопросы: 1. Как движется заряженная частица а однородном и неоднородном магнитных полях, если других полей нет? * I Какие данные о проводниках и полупроводниках можно получить на основе эксперименталь- ного изучения эффекта Холла в них? 3. Какую роль играет магнитное поле а циклотроне? 4. В чем состоит принцип автофазировкн и как он реализуется в фазотроне, синхротроне и синхрофазотроне? Л Что такое метод встречных пучкоа и каковы его преимущества? Л Поясните идею релятивистского истолкования магнитного взаимодействия движущегося за- > ряде и проводника с током. '7. Проиллюстрируйте примерами утверждение об относительности разделения алектромшнит- 1 нота поля на электрическое и магнитное поля. 311
Глава 24 . Магнитное поле в веществе § 24.1. Магнитные моменты атомов 1. Согласно представлениям классической физики электроны в атоме движутся по замкнутым траекториям — орбитам, образуя систему замкнутых орбитальных токов. Если электрон движется со скоростью v по круговой орбите радиуса г (рис. 24.1), то сила орбитального тока I=ev=evl(2nr), (24.1) где е — элементарный заряд; v — частота обращения электрона по орбите. Направле- ние орбитального тока показано на рис. 24.1 стрелкой. Орбитальному току соответствует магнитный момент рт, называемый орбиталь- ным магнитным моментом электрона. Вектор Рп направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона (рис. 24.1), а его модуль pm=IS (24.2) где S=nr2 — площадь орбиты. 2. Момент импульса Le электрона, движущегося по орбите, относительно ее центра О называется орбитальным Моментом импульса электрона: L,=/n[rv], Le—mvr, (24.3) где т масса электрона; г — его радиус-вектор, проведенный из центра О орбиты. Вектор Le противоположен по направлению вектору р^,: Pm=yLe, (24.4) где у = — е/(2т) — гиромагнитное (магнитомеханическое) отношение орбитальных момен- тов электрона. 3. Орбитальным магнитным моментом атома называется вектор Pm, равный геомет- рической сумме орбитальных магнитных моментов всех электронов атома: z Pm= X. Рпм > i=l (24.5) где Z — число электронов в атоме, равное порядковому номеру элемента в системе Менделеева. Орбитальный момент импульса атома L равен геомет- рической сумме орбитальных моментов всех электронов этого атома: z ( L= X L„- (24.6) i-l Из (24.4) — (24.6) следует, что Pm=yL. (24.4') 312
4. В этой главе мы не будем учитывать влияние, которое оказывают на магнитные свойства вещества магнитные моменты атомных ядер. Дело в том, что эти магнитные моменты примерно в тысячу раз меньше орбитальных магнитных моментов электро- нов. Поэтому в первом приближении магнитными моментами атомных ядер можно пренебречь по сравнению с магнитными моментами электронных оболочек атомов. § 24.2. Атом в магнитном поле 1. Рассмотрим влияние магнитного поля на движение электронов в атомах вещества. При внесении атома в магнитное поле на электрон, движущийся по орбите и об- разующий замкнутый орбитальный ток, действует вращающий момент (21.14): М=[ртВ]. (24.7) Из (24.4) видно, что вращающий момент (24.7) можно представить в форме M=[yLrB]=[—yBLJ. (24.7') Из закона изменения момента импульса (4.20) следует, что dl« yBLJ (24.8) dt и соответственно dpm —Ч-yBpJ. (24.8') ш Вектор — уВ=ёВ/(2т) совпадает по направлению с вектором В. 2. В § 4.1 было показано, что скорость произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижной то^ки О, может быть найдена по формуле (4.6'): dr Y=—=[й)г]. dr Из сопоставления этого выражения с (24.8) и (24.8'), видно, что под влиянием внешнего магнитного поля векторы L, и Pm орбитальных моментов электрона в атоме вращаются с угловой скоростью ' wL= —уВ“вВ/(2т). (24.9) При этом векторы L, и рщ опи- сывают соосные круговые коничес- кие поверхности с общей вершиной в центре О орбиты и осью, парал- лельной вектору В (рис. 24.2, а). Та- кое движение векторов Le и рщ и со- ответствующей им орбиты электро- на в атоме называется прецессией Лармора. Из формулы (24.9) видно, что угловая скорость прецессии Лар- мора зависит только от магнитной индукции поля и совпадает с ней по направлению. Таким образом, мы доказали следующую теорему Лармора (1895): Дополнительное _ Прецессионное 38и- о мение злектрона и его орбитального маг- нитного момента Рис. 24.2 313
’«щиистмнныи результатом влияния магнитного яоля на ор- Акту алоктроиа в атома является процессия орбиты и вектора fa с угловой скоростью в>£ вокруг оси, проходящей через ядро атома и параллельной вектору В индукции магнитного поля. 3. Вследствие прецессии Лармора появляется дополнительный орбитальный ток А/орб—eo>t/(2«)=e2jB/(4nm), (24.10) шшраялеше которого показано на рис. 24.2, б. Этому току соответствует наведений уАтя~п АЙ ампвтшй момент электрона Afa, модуль которого Лра=А/орб^х=e2SiB/(4nm), где Si площадь проекции прецессирующей орбиты электрона на плоскость, перпен- дикулярную вектору В. Из рис. 24.2, б видно, что вектор Afa противоположен вектору В по направлению. Поэтому Afa= -е25хВ/(4ят). (24.11) Общий наведенный орбитальный магнитный момент атома, электронная оболочка которого состоит из Z электронов, равен АРЩ= —e2Z <5Х> В/(4ят), (24.12) где <51 > — среднее значение площади 5Х для орбит всех электронов атома. § 344k Диамагнетики и парамагнетики магнитном поле 1. Все вещества при рассмотрении их магнитных свойств принято называть магаетв- ками. По своим магнитным свойствам магнетики подразделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики н ферромагнетики. Всякая среда при внесении « во внешнее магнитное поле намагничивается в той или иной степени, т. е. создает своё собственное магнитное поле, накладывающееся на внешнее поле. Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит век- торная величина — намагниченность J, равная отношению магнитного момента мак- роскопически малого объема вещества к этому объему А К; где Pmf магнитный момент i-го атома (молекулы) из общего числа и атомов (моле- кул), содержащихся в объеме А К Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его пределах магнитное поле можно было считать однородным. В то же время в нем должно содержаться еще столь большое число атомов (л> 1), чтобы к ним можно было применять статистические методы. 2. Дмамагнетнками называются вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении, противоположном направлению вектора магнитно! индукции поля. К диамагнетикам относятся вещества, магнитные моменты атомов, молекул или ионов которых в отсутствие внешнего магнитного подя равны нулю. Диамагнетикам» являются инертные газы, молекулярные водород и азот, висмут, цинк, медь, золото, серебро, кремний, германий, вода (жидкая), ацетон, глицерин, нафталин и многие другие органические и неорганические соединения. 314
При внесении диамагнитного вещества во внешнее магнитное поле атомы (молеку- лы) вещества приобретают, согласно теореме Лармора, наведанные магнитные момен- ты АРт. В пределах малого объема ДИ изотропного диамагнетика векторы ДРт всех я атомов (молекул) одинаковы. Они, как видно из (24.12), пропорциональны вектору В и противоположны ему по направлению. Поэтому намагниченность диамагнетика J=nAPm/AF=noAPm=je'B/Po, (24.13) где по — концентрация атомов (молекул);*' — безразмерный коэффициент пропорци- ональности, зависящий от природы вещества (у всех диамагнетиков* '<0).Из (24.12) следует, что для атомарного диамагнетика * '= -noe2Z<S1>po/(4wn). По исторически сложившейся традиции в качестве характеристики магнитных свойств среды пользуются магнитной восприлгавостью среды*, связанной с *' соот- ношением 1+*==----- или*--—. (24.14) 1-*' I-*' У-диамагнетиков |*'|~10~6-j-10~s, т. е. |*'|«1 и магнитная восприимчивость зе практически равна* ве = -Пое2И<5х>Яо/(4дая). (24.15) Л. Д. Ландау предсказал (1930) существование диамагнетизма свободных электро- нов во внешнем магнитном поле. Это явление получило название диамагнетизма Ландау. Оно обусловлено тем, что внешнее магнитное поле вызывает искривление траекторий электронов, так что в проекции на плоскость, перпендикулярную вектору В, электроны движутся по замкнутым орбитам. Соответствующие орбитальные магнит- ные моменты электронов направлены в сторону, противоположную направлению IL> 3. Поведение диамагнетиков в магнитном поле существенно отличается от поведения диэлектриков с неполярными Молекулами в электрическое поле. Диэлектрик поляризу- ется в направлении вектора Напряжённости Е электрического поля. Поэтому легкий стержень, изготовленный из диэлектрика и свободно подваленный в однородном электрическом поле, устанавливается так, чтобы его ось* была направлена параллельно Е. В неоднородном электрическом поле стержень из диэлектрика втягивается в область более сильного поля. Стержень ив диамагнитного материала (например, из висмута) намагничивается в направлении, противоположном вектору магнитной индукции вне- шнего поля. Поэтому в неоднородном магнитном поле диамагнитный стержень вытал- кивается в область более слабого поля и устанавливается так, чтобы его ось была перпендикулярна В (рис. 24.3). Газы, входящие в состав продуктов сгорания, обладают диамагнитными свойствами. Поэтому пламя свечи отклоняется в неоднородном маг- нитном поле в сторону более слабого поля (рис. 24.4). Рис. 24.3 Рис. 24.4 315
4. Парамагнетиками называются вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении вектора В. Атомы (молекулы или ионы) парамагнетика обладают собственным магнитным моментом Рга. К парамагнетикам относятся многие металлы (щелочные и щелочно- земельные металлы, некоторые переходные металлы, а также сплавы этих металлов), кислород О2, оксид азота NO, оксид марганца МпО, хлорное железо FeCl2 и др. В отсутствие внешнего магнитного поля парамагнетик не намагничен, так как из-за теплового движения собственные магнитные моменты атомов ориентированы совер- шенно беспорядочно (J=0). При внесении парамагнитного вещества в магнитное поле магнитные моменты атомов (молекул) прецессируют вокруг направления В с угловой скоростью ау прецессии Лармора. В то же время совместное действие на атомы (молекулы) парамагнетика магнитного поля и столкновений их друг с другом вследст- вие теплового движения приводит к преимущественной ориентации собственных маг- нитных моментов атомов по направлению вектора В. В результате парамагнетик намагничивается «по полю», т. е. в направлении В. Классическая теория парамагнетизма была разработана П. Ланжевеном (1905). Он рассмотрел статистическую задачу о поведении молекулярных токов и соответству- Рис. 24.5 ющих им магнитных моментов в однородном магнитном поле с индукцией В. Оказалось, что намагниченность J пара- магнетика в поле зависит от параметра а-Р^ВЦкТ), где к постоянная Больцмана, Т термодинамическая тем- пература: (24.16) где концентрация атомов (молекул) парамагнетика. Функция Ца) называется классической функцией Ланжевена и имеет вид L(e) = ctha— 1/а, (24.17) где cth а—[ехр а + ехр (— а)]/[ехр а — ехр (— а)] гиперболический котангенс а. График функции £(а) приведен на рис. 24.5. При а> 1 L(a)x 1: магнитные моменты всех атомов «выстроены» по полю, и намагниченность J парамагнетика практически не увеличивается при дальнейшем росте В Это состояние называется состоянием магнит- ного насыщенна парамагнетика. Оно может осуществляться только в очень сильных магнитных полях и при достаточно низких температурах (например, при Т=ЗО0 К а=^ I, если В~ 100 Тл). Обычно а«1 и £(а)«а/3. Таким образом, в слабом магнитном поле намагничен- ность изотропного парамагнетика пропорциональна магнитной индукции поля: J = n0P£B/(3£7>^'B//r0, ' (24.18) где * ' = ПоР^Ио/(ЗкТ). Величина ' для парамагнетиков положительна и очень мала (от 10-5 до 10 ~3). Поэтому магнитная восприимчивость Л" парамагнетиков практически не от- личается от«и ': ‘ I эе =n0P^/(ikT). - (24.19)1 i Это соотношение выражает закон Кюри (1895): магнитная восприимчивость парамагнетика обратно пропорци- ональна его термодинамической температуре. 316
Можно показать на опыте, что намагничи- вание парамагнетика действительно происхо- дит в направлении, совпадающем с вектором В. При внесении парамагнитного стержня в маг- нитное поле, созданное между полюсами элект- ромагнита, он устанавливается вдоль линий индукции этого поля (рис. 24.6) и притягивается к ближайшему полюсу 5. Как уже указывалось выше, процесс намаг- ничивания парамагнетика состоит в упорядоче- нии расположения магнитных моментов его р^с 246 атомов (или молекул) по отношению к направ- лению вектора В. Механический момент импульса атома связан с его магнитным моментом соотношением (24.4'). Поэтому намагничивание парамагнетика сопровожда- ется также преимущественной ориентацией векторов L, моментов импульса его атомов: п 1 п El«= Epmi! ,=i У I-l где п число атомов, содержащихся в объеме Г парамагнетика. Пренебрегая неод- нородностью магнитного поля в пределах этого объема, на основании (20.13) и (20.18) получим " 1 Д1'В £ L,= VJ = i-l У У Яо Таким образом, суммарный момент импульса всех атомов парамагнетика пропор- ционален индукции магнитного поля и равен нулю в отсутствие поля. Поворот атомов парамагнетика в магнитном поле происходит в результате их соударений при тепловом движении, т. е. под влиянием внутренних снл. Поэтому момент импульса парамагнит- ного тела при его намагничивании не должен изменяться. Следовательно, одновремен- но с упорядочением направления векторов магнитных моментов и моментов импульса атомов парамагнитного тела в однородном магнитном поле это тело должно начать вращаться вокруг оси, параллельной вектору В. Это явление называется магнитомеха- ;ическим эффектом. Угловая скорость щ вращения тела должна быть такой, чтобы соответствующий ей момент импульса тела был равен п — £ L,= i=l Ж 'I'B (24.20) где Jo момент инерции тела. Зная Jo, Ии и измеряя опытным путем В и от, можно по формуле (24.20) опреде- лить гиромагнитное отношение у. Магнитомеханический эффект впервые был обнару- жен экспериментально А. Эйнштейном и В. де Гаазом (1915) и поэтому называется также эффектом Эйнштей- на — де Гааза. Железный стержень, подвешенный на тонкой кварцевой нити, помещался внутри вертикального соленоида вдоль его оси (рис. 24.7). При пропускании тока через соленоид стержень намагничивался и приобретал соответствующий вращательный импульс, под действием которого ои поворачивался на некото- рый угол а, закручивая кварцевую нить. Угол а регистрировался с помощью зеркального отсчета — по смещению светового лу- ча, отражавшегося от закрепленного на нити зеркала 3. Угол поворота стержня был очень мал. Поэтому через соленоид Рис. 24.7 317
пропускался rwptiHKiiHii ток, частота которого соответствовала резонансным крутильным коле- бажикыстержня. С. Барнетт обнаружил (1909) обратный эффект — эффект Барнетта, который состо- ит в намагничивании быстро вращающегося железного стержня в отсутствие внешнего мапогтного поля. Вектор магнитного момента противоположен по направлению век- тору угловой скорости вращения стержня. Это связано с тем, что векторы механичес- ких и магнитных моментов электронов направлены в противоположные стороны. Опыты Эйнштейна и де Гааза, проведенные с железными стержнями, привели к неожиданным результатам. Найденное ими гиромагнитное отношение у, оказалось отличным от орбитального гиромагнитного отношения у: , ; у,=2у=-е/т.. (24.21) Этот результат имел огромное значение не только для изучения магнитных свойств железа, но и для всего дальнейшего развития физики. Для его объяснения пришлось предположить, что электрон помимо орбитальных моментов L, к ь обладает еще собственным мм кита и импульса L„, который был назван спином электрона, и соответ- ствующим ему собственным магнитным моментом (24.22) Вначале элементарное представление о спине связывалось с вращением электрона вокругообствсиной оси. Однако в дальнейшем выяснилось, что такая классическая модель спина, основанная на представлениях механики макроскопических объектов, неверна. Спин' имеет не классическую, а квантовую природу и не связан с движением электрона как целого. Спин электрона (или какой-либо другой элементарной частицы) является такой лк неотъемлемой характеристикой электрона (или частицы), как элект- рический заряд и масса. Со'спином электрона связаны, как мы увидим в дальнейшем, многие важные закономерности (например, распределение электронов в атоме по оболочкам, элект- рические свойства кристаллов и их деление на проводники, диэлектрики и полупровод- ники). 4 Было установлено, что модуль спина электрона (24.23) где Л=«ЛД2я); Л— постоянная Планка; s=1/1 — спиновое квантовое число электрона. Из (24.22) и (24.23) следует, что модуль собственного (айвового) магнитного момента электрона Аш=ейч/з/(2л1)=73дБ, (24.24) где — магнетон Бора. Важнейшая особенность спина электрона состоит в том, что в магнитном поле* спин моЖет быть ориентирован только двумя способами: его проекция на направление вектора В может быть равна либо +Й/2, либо —ty2. Соответственно проекции спино- вых магнитных моментов равны — дБ или + дв. В первом случае принято говорить, что спин параллелен вектору В, а во втором — антипараллелен ему. Указанную особен- ность сшша подтверждают все эксперименты, в которых проявляется влияние спина электрона. Прямым экспериментальным доказательством наличия только двух ориен- таций ошна являются опыты О. Штерна и В. Герлаха (см. § 39.4). *Пр*шиы возникновения этого поля ве играют никакой роли. Оно может порождаться км токами щюводНМости («внешнее Поле»), так и орбитальным движением электронов и магнитным! моментами ядер атомов («внутреннее поле»). 318
7. Многие парамагнитные металлы (например, щелочные я щелочно-земельные металлы) не подчиняются загону Кюри (24.19): их магнитная восприимчивость не зависит от температуры. Это явление удалось объяснить лишь в «вантовой теории. Магнитные свойства металлов опреде- ляются магнитными моментами электронных оболочек ионов, образующих кристаллическую решетку металла, и спиновыми магнитными моментами электронов проводимости. Если магнит- ные моменты ионов равны нулю, то парамагнитные свойства металла обусловлены только электронами проводимости. В отсутствие внешнего магнитного поля электроны проводимости металла распределяются по'возможным энфгетичесжим состояниям (уровням) попарно так, что их спины направлены в противоположные стороны*. Спиновые магнитные моменты таких пар электронов взаимно компенсируются. Во внешнем магнитном поле энергетическая эквивалентность обоих направле- ний спиновых магнитных моментов электронов нарушается. Электрон, спиновый магнитный момент которого параллелен внешнему магнитному полю, обладает меньшей энергией, чем электрон с противоположно направленным спиновым магнитным моментом. Таким образом^ первый электрон находится в энергетически белее выгодном (устойчивом) состоянии, чем второй. Здесь имеется аналогия с двумя ориентациями плоского контура тока в магнитном поле, соответствующими параллельности векторов ₽ы и В и их антипараллельиосги. В металле не все энергетические уровни заняты электронами проводимости. Поэтому в результате действия на металл внешнего магнитного поля должен происходить «поворот» антипаряллелышх В спиновых магнитных моментов у тех электронов, которые оказались на энергетических уровнях более высоких, чем свободные уровни, соответствующие электронам, спиновые магнитные моменты которых параллельны В. Эго явление называется парамагнетизмом электронов цшаплюпн ев в металлах, или парамагнетизмом Паули. Электроны проводимости подчиняются не классической, а квантовой статистике Ферми — Дирака (} 41.2). Пока лишь заметим, что согласно этой статистике парамагнетизм электронов проводимости в металлах практически не зависит от температуры. При внесении металла во внешнее магнитное поле одновременно с парамагнетизмом электро- нов проводимости проявляется и их диамагнетизм Ландау. Однако первый эффект оказывается втрое сильнее второго, так что результирующая магнитная восприимчивость электронов прово- димости в металлах положительна. 8. В заключение необходимо отметить, что ни диамагнетизм, ни парамагнетизм, по существу, не могут быть последовательно объяснены в рамках классической фичйги, т. е. без привлечения квантовых представлений. Об этом говорит теорема Н. Бора (1911) — И. Ван Лёвен (1919), которая утверждает, что согласно классической статистической физике намагничен- ность системы электронов а постоянном внешнем магнитном поло в состоянии термодинамического равновесия равив нулю. Прежде всего идея о незатухающих внутримолекулярных амперовых токах проти- воречит классической электродинамике, согласно которой электроны, движущиеся в атомах с огромными нормальными ускорениями, должны интенсивно изучать элект- ромагнитные волны,- расходуя на это энергию (см. § 30.3). -Поэтому молекулярные токи должны затухать, а электроны — падать на ядра атомов. Рассмотренная выше теория дна- и парамагнетизма удовлетворительно согласуется с опытом, если радиусам электронных орбит в атомах и молекулах приписать значения порядка 10-1° м, вытекающие из квантовой теории. Так, например, радиус круговой орбиты электрона в атоме водорода, по теории Бора, равен ri =еоЛ2/(юпе2)=О,53 • 10“10 м. *Это связано с тем, что согласно квантовому прип^пу запрета Паули на каждом уровне может находиться не белее двух электронов с янтаптаря нпепьямыж спинами. 319
§ 24.4. Закон полного тока для магнитного поля в веществе 1. При изучении магнитного поля в веществе (магнетике) различают два типа токов: макротоки и микротоки. Под макротоками понимают электрические токи проводимо- сти, а также конвекционные токи, связанные с движением заряженных макроскопичес- ких тел. Мнкротоками, или молекулярными токами, называю’т токи, обусловленные движением электронов в атомах, ионах и молекулах. В веществ; на магнитное поле макротоков (его часто называет внешним) наклады- вается дополнительное магнитное поле микротоков (его соответственно называют внутренним). Вектор В характеризует результирующее магнитное поле в веществе, т. е. он равен геометрической сумме магнитных индукций внешнего (Во) и внутреннего (Вмугр) полей: В = Во+Вв^уГр. (24.25) Из сказанного ясно, что вектор В должен зависеть от магнитный свойств магнети- ка. Магнитное поле микротоков возникает в результате намагничивания магнетика при его помещении во внешнее магнитное поле. Поэтому первичным источником магнит- ного поля в веществе являются макротоки. 2. Закон полного тока (22.31) для магнитного поля в вакууме легко обобщить на магнитное поле в веществе. В вакууме поле создают только макротоки, а в веществе — макротоки и микротоки. Следовательно, для поля в веществе £ В<И = Ро(7мажро+7мижро), (24.26) (Ц где 7ммро и 7мижро алгебраические суммы соответственно макро- и микротоков, охватываемых замкнутым контуром L, т. е. результирующие макро- и микротоки сквозь поверхность, натянутую на контур L. Величину 7микро можно подсчитать, основываясь на предположении, что молекула с магнитным моментом Рт эквивалентна замкнутому «витку» молекулярного тока Асон = где 5МОЛ площадь «вйтка» (рис. 24.8). В.случае парамагнитной среды Рт собствен- ный магнитный момент молекулы, а в случае диамагнитной среды - - наведенный магнитный момент ДРт. /Вклад в 7^,^ дают только те молекулярные токи, «витки» которых «нанизаны» на контур L, как бусы на нитку. В самом деле, молекулярные токи, не удовлетворяющие этому условию, либо вообще не пересекают поверхность, натянутую на контур L и закрашенную на рис. 24.9 («виток» а), либо пересекают ее дважды («виток» Ь) во взаимно противоположных направлениях. 3. Для нахождения 7мшро рассмотрим магнитное поле в диамагнитном веществе. Во внешнем магнитном поле молекулы этого вещества имеют наведенные магнитные Рис. 24.8 320
Рис. 24.10 моменты APm, направленные строго упорядоченно — в сторону, противоположную вектору В. Пусть а — угол между вектором dl малого элемента dl замкнуто- го контура L и вектором АРт. На элемент dl контура «нанизаны» молекулярные токи всех dn молекул, нахо- дящихся в объеме косого цилиндра (рис. 24.10) с об- разующей dl и основанием, равным 5’^, нормаль к ко- торому составляет угол а с образующей цилиндра: dfl=n0Sllond/cosa, где по — концентрация молекул. Таким образом, малому элементу dl контура L соответствует охватываемый этим контуром микроток dZw^rn^AmynS^dZcosg^noAP^d/cos а=Jdl, где Л=ПоДРга — намагниченность. Интегрируя это выражение по всему замкнутому контуру L, находим /«ию’уЛсИ. < ; (24.27) ' .О) Для парамагнитной среды расчет более сложен, так как из-за теплового движения магнитные моменты молекул ориентированы по-разному. Однако можно доказать, что и в этом случае для справедливо выражение (2427). Итак, сумма микротоков, охватываемых замкнутым контуром, равна циркуляции вдоль этого контура вектора намагниченности. 4. Разделим обе части уравнения (24.26) на до и подставим в него выражение /«про в форме (24.27): f^dl=AWQ+fjdl. ДА J '. & (Ц W - После несложных преобразований получим ^(B/po-jjdl»/»^. (24.28) Вектор Н=В/до- J (24.29) называется напряженностью магнитного ноля. Поэтому (24.28) можно переписать в виде ^Hdl^Ao^. (24.30) Это уравнение является обобщением на магнитное ноле в веществе соотношения (22.31), полученного для магнитного поля в вакууме. Оно выражает закон полного тока для магнитного тюля в среда: циркуляция вектора напряженности магнитного поля Вдоль произвольного замкнутого контура равна результирующему макротоку сквозь поверхность, натянутую на этот контур. 11 Курс физики
5. В случае изотропной среды связь между векторами магнитной индукции и намагниченности имеет ввд [см. (24.13) и (24.18)] Поэтому из (24.29) следует, что напряженность и магнитная индукция поля в изо- тропной среде связаны соотношением Н-О-^ЭВ/до или на основании (24.14) Н=В/(ддо), (24.31) где д=1 + ^ (24.32) — относительная магнитная проиедаемость среды, мг — магнитная восприимчивость среды. Для диамагнитных веществ X <0 и ц< 1. Для парамагнитных веществ 9с > 0 и д > 1. Относительная магнитная проницаемость этих веществ не зависит от напряженности магнитного поля, в котором они находятся. Из данных для эс, которые были приведены ранее, следует, что д пара- и диамаг- нитных веществ незначительно отличается от единицы (д» 1). Это связано с тем, что внутренние магнитные поля в таких веществах намного слабее тех внешних полей, которые вызывают намагничивание вещества. Из (24.29), (24.31) и (24.32) видно, что намагниченность магнетика прямо пропорци- ональна напряженности магнитного поля: (24.31') § 24.5. Ферромагнетики 1. Ферромагветякямя называются твердые вещества, обладающие при не слишком высоких температурах самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью, которая сильно изменяете! под влиянием внешних воздействий — магнитного поля, дефор- мации, изменения температуры. Ферромагнетики в отличие от слабомагнитных дна- и парамагнетиков являются сильномагннтными средами: внутреннее магнитное поле в них может в сотни и тысячи раз превосходить внешнее поле. Такими свойствами обладают кристаллы переходных металлов (железо, кобальт, никель), некоторых редкоземельных элементов и ряда сплавов, ферриты, а также некоторые металлические стекла. 2. Большой вклад в экспериментальное изучение свойств ферромагнетиков внес А. Г. Столетов. В своей докторской диссертации (1872) он исследовал зависимость намаг- ниченности мягкого железа от напряженности магнитного поля. Предложенный им экспериментальный метод заключался в измерении магнитного потока Фш в ферромаг- нитных кольцах при помощи баллистического гальванометра. Тороид, первичная обмотка которого состояла из М витков, имел сердечник из исследуемого материала (например, отожженного железа). Вторичная обмотка из витков была замкнута на баллистический гальванометр G (рис. 24.11). Обмотка Ni включалась в цепь аккумуляторной батареи Б. Напряжение, приложенное к этой обмотке, а следовательно, и силу тока Д в ней можно было изменять с помощью потенциометра Aj. Направление тока изменялось посредством коммутатора К. При изменении направления тока в обмотке М на противоположное в цепи обмотки М возникал кратковременный индукционный ток и через баллистический гальванометр проходил электрический заряд 9, который, как показано в § 25.1, равен отношению взятого с обратным знаком изменения потокосцепления вторичной обмот- 322
кик электрическому сопротивлению R цепи гальванометра: q=2N2<bm/R. Если сердеч* ник тонкий, а площадь его поперечного Течения равна S, то магнитная индукция поля в сердечнике B=<bmIS=qRI(2N2S). Напряженность магнитного поля в сердечнике вычисляется по формуле (24.30): где /ср длина средней линии сердечника. Зная В и Н, можно найти намагниченность J=В/До—Н. 3. Результаты экспериментального изучения свойств ферромагнетиков приведены на рис. 24.12 — 24.14. На рис. 24.12 показана зависимость намагниченности от напряжен- ности магнитного поля. Начиная с некоторого значения Н, модуль вектора намаг- ниченности остается постоянным и равным J,: Это явление называется магшпным насыщением. График зависимости В от Я (рис. 24.13) отличается от графика отсутствием горизонтальной части: как только наступает насыщение, магнитная индук- ция В = до/(Н+J) растет по линейному закону в зависимости от напряженности магнит- ного поля. Существенной особенностью ферромагнетиков является зависимость ц от Н. Относительная магнитная проницаемость д ферромагнетика вначале быстро растет с возрастанием Я, достигает максимума, а затем убывает, стремясь к единице в очень сильных намагничивающих полях (рис. 24.14). Последнее объясняется тем, что при очень больших значениях Я в формуле В=доН+доЛ можно пренебречь ДоЛ=ДоЛ, по сравнению с ДоН- Тогда Я=ддоЯ«доЯ и д»1. Максимальные значения д для фер- ромагнетиков очень велики: дц.„~103-^106. 4. Опыты показали, что зависимость намагниченности J ферромагнитного образца от напряженности Н -Существенно зависит от того, каким предварительным воздействиям подвергался этот образец. Графики, показанные на рис.24.12 - 24.14, соответствуют намагничиванию образца, который предварительно был нолностью размагничен. Дело в том, что ферромагнетики имеют способность частично сохранять намаг- ниченность после их удаления из внешнего магнитного поля. Это связано с наблюда- ющимся у ферромагнетиков явлением магнитного гистерезиса (рис. 24.15). Пусть фер- ромагнитный образец предварительно полностью размагничен. Тогда во внешнем магнитном поле, напряженность которого направлена по осн ОХ: Н=Нх=Ял намаг- ниченность образца возрастает по начальной кривой вямагиичжиявия Оа от Jx«=0 при Нх=0 до JX=J, при ЯХ=Я, в точке а, соответствующей состоянию магнитного насыщения. Ёсли затем уменьшать напряженность Ях магнитного поля, то намагничен- ность Jx изменяется по кривой, лежащей выше Оа. При Нх=0 намагниченность 323 и*
Jx=Jr>0 и обращается в нуль только в размагничивающем магнитном поле, напря- женность которого Нх= —Нс<0.. Дальнейший ход зависимости Jx от Нх при перемаг- ничивании образца показан на рис. 24.15, изображающем предельную петлю магнитного гистерезиса. Величины Jr и Нс называются остаточной намагниченностью и коэрцитивной силой. Коэрцитивная сила характеризует способность ферромагнитного материала сохранять намагниченное состояние. Аналогичная предельная петля магнитного гистерезиса для зависимости Вх от Нх представлена на рис. 24.16. Величина Вг называется остаточной нндукщ а. Можно показать, что площадь петли гистерезиса на рис. 24.16 пропорциональна количеству теплоты, выделяющемуся в единице объема ферромагнетика за один цикл перемаг- ничивания. В зависимости от значения коэрцитивной силы различают магнцтно-мягкне и маг- нитно-твердые материалы. Первые отличаются малым значением коэрцитивной силы (Нс~0,8-±8 А/м) и очень малыми потерями энергии при перемагничиваний. Эти материалы используют при изготовлении трансформаторов, электрических машин и т. п. Магнитно-твердые материалы намагничиваются до насыщения и перемагничи- ваются в сравнительно сильных магнитных полях. Они характеризуются высокими значениями коэрцитивной силы (Не~ 10*-*- 10s А/м) и остаточной индукции (Д> 1 Тл). Эти материалы используют для заготовления постоянных магнитов. 5. Остаточная намагниченность ферромагнитного образца может быть нарушена при его сотрясении. Поэтому постоянные магниты следует предохранять от ударов. Анало- гично действует нагревание ферромагнитного тела. С повышением температуры оста- точная намагниченность ферромагнетика уменьшается. При достаточно высокой тем- пературе, называемой точкой Кюри, она исчезает полностью. При температурах выше точки Кюри ферромагнетик ведет себя во внешнем магнитном поле как парамагнитное вещество. Он не только теряет свои ферромагнитные свойства, но у него изменяются теплоемкость, электропроводимость й некоторые другие физические характеристики. Переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, происходящий в точке Кюри, не сопровождается выделением или поглощением теплоты. Поэтому он является примером фазового перехода второго рода (см. § 12.4). Точка Кюри у железа равна 1043 К, у кобальта 1403 К н у никеля 631 К. 6. В середине XIX в. были открыты два магшггомеханмческих эффекта: явление м низост исц* состоящее в изменении формы и размеров ферромагнит- ного образца при его намагничивании (Д. Джоуль, 1842); эффект Внллари, состоящий в изменении намагниченности ферромагнитного образ- ца при его механической деформации (Э. Виллари, 1865). ।. Эти явления применяются в магнитострикционных датчиках и реле. Механические колебания, возникающие в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически 324
изменяющемся магнитном поле, используются в магнитострикционных излучателях ультразвука. 7. Классическая теория ферромагнетизма была разработана французским физиком П. Вейсом (1907). Согласно этой теории, весь объем ферромагнитного образца, находяще- гося при температуре ниже точки Кюри, разбит на небольшие области — домены, которые самопроизвольно (спонтанно) намагничены до насыщения Линейные размеры доменов порядка 10~3-г-10-2 см. В размагниченном образце в отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты доменов ориентированы .так, что результиру- ющая намагниченность образца в целом равна нулю. Показанное на рис. 24.12 намаг- ничивание такого образца в магнитном поле, напряженность которого медленно и монотонно увеличивается, происходит за счет двух процессов: смещения границ доменов и вращения магнитных моментов доменов. Процесс смещения границ между доменами приводит к росту размеров тех доменов, которые самопроизвольно намаг- ничены в направлениях, близких к направлению вектора Н. Процесс вращения магнит- ных моментов доменов по направлению Н играет основную роль только в области, близкой к насыщению (т. е. при Н, близких к Д,). В области средних значений Н, соответствующей наиболее крутой зависимости J от Н, наблюдается эффект Г. Баркгаузеяа (1919), который состоит в скачкообразном изменении J при монотонном изменении Н. Эффект Баркгаузена обусловлен тем, что имеющиеся в образце инородные включения и другие дефекты мешают плавному перемещению границ доменов при увеличении напряженности поля. 8. Измерения гиромагнитного отношения для ферромагнетиков на основе эффектов Эйнштейна — де Гааза и Барнетта показали, что ферромагнетизм имеет опиновую природу, т. е. обусловлен спиновыми магнитными моментами электронов атомов ферромагнетика. В атоме электроны распределяются по слоям, в каждом из которых в соответствии с квантовым принципом запрета Паули может находиться не более определенного числа электронов. Все слои атома, кроме первого (ближайшего к ядру атома), подразделяются на оболочки, число которых тем больше, чем больше номер слоя. Электроны распределяются по слоям и по оболочкам в них так, чтобы энергия атома была наименьшей. Результирующие спиновые и орбитальные магнитные момен- ты всех электронов, находящихся в целиком заполненной ими оболочке или слое атома; равны нулю. Атомы элементов, обладающих ферромагштными свойствами (Fe, Со, Ni), принадлежат к числу переходных атомов периодической системы Д. И. Менделеева. В этих атомах нарушается последовательность заполнения электронами мест в слоях и оболочках. Прежде чем полностью «застроится» нижний слой, начинает- ся заполнение выше расположенного слоя. Поэтому в переходном атоме имеются не полностью занятые электронами внутренние слои и оболочки. Например, в атоме железа 26 его электронов распределены по четырем слоям. Первый и второй слои целиком заполнены и содержат соответственно 2 и 8 электронов. Третий и четвертый слои не достроены: в третьем слое находится 14 электронов (вместо 18), а в четвер- том — 2 (вместо' 32). 14 электронов третьего слоя распределены по оболочкам следу- ющим образом: -в первой оболочке — 2, а во второй й третьей — по 6 электронов. Спины электронов, принадлежащих к каждой оболочке, могут быть ориентированы в двух противоположных направлениях. В застроенных первых двух слоях атрма' железа магнитные спиновые моменты электронов взаимно, компенсируют друг друга. В третьем слое первые д ве'оболочки также характерны тем, что спиновые магнитные моменты электронов на этих оболочках компенсируют друг друга. Что же касается третьей оболочки, то из шести находящихся на ней электронов пять имеют спины, ориентированные в одном направлении*, и лишь один электрон имеет спин, ориен- тированный противоположно. Итак, в атоме железа; спины четырех электронов в третьем слое остаются некомпенсированными. Что касается наружных валентных электронов атрма железа, то их спины, вообще говоря, тоже могут быть декомпен- сированы. Однако, как показывает опыт, на магнитные свойства атома Железа валент- ные электроны, слабо связанные с атомом, существенного влияния не оказывают. В изолированном атоме железа орбитальные движения электронов дают некото- рый орбитальный магнитный момент. Однако при образовании кристалла железа ♦Это не противоречит принципу Паули, так как состояния этих электронов различны. 325
происходит своеобразное «замораживание» электронных орбит, приводящее к тому, что орбитальные магнитные моменты электронов практически не участвуют в созда- нии магнитных моментов атомов. Причины такого «замораживания» еще не вполне выяснены. Вместе с тем измерения гиромагнитного отношения ясно показывают, что магнитные свойства ферромагнитных еществ связаны с некомпенсированными спино- выми магнитными моментами небольшого числа электронов атома. Таким образом, ферромагнитными свойствами могут обладать только такие вещества, в атомах кото- рых имеются недостроенные внутренние электронные оболочки. Однако это условие является необходимым, но не достаточным. Например, ряд атомов элементов переход- ной группы (Сг, Мп, Pt и др.) и редкоземельных элементов имеют недостроенные внутренние оболочки, но эти вещества являются парамагнетиками. 9. Для объяснения самопроизвольной намагниченности феромагнетиков необходимо предположить, что в них между носителями магнетизма — спинами электронов — су- ществует взаимодействие, способное при температурах более низких, чем точка Кюри, обеспечить спонтанную намагниченность доменов. Естетвенно предположить, что между ецнновымн магнитными моментами существует обыкновенное магнитное вза- ‘ имодействие, подобное взаимодействию двух проводников с током или двух солено- идов. Однако расчеты показывают, что энергия этого взаимодействия оказывается весьма малой величиной порядка 10-аз Дж, так что даже при температуре жидкого воздуха средняя энергия теплового движения атомов превосходит энергию их магнит- ного взаимодействия. Поэтому за счет магнитного взаимодействия невозможно об- разование самопроизвольной намагниченности. Я. И. Френкель и В. Гейзенберг (1928) показали, что самопроизвольная намагничен- ность может быть следствием электрического взаимодействия электронов. Возникнове- ние самопроизвольной намагниченности за счет электрических сил нельзя объяснить С точки зрения классической физики. Само существование спина у электрона является «неклассическим», т. е. чуждым классической физике явлением. Не удивительно поэто- му, что и электрическое взаимодействие электронов, приводящее к состоянию самопро- извольной намагниченности ферромагнетиков, также является особым квантовым взаимодействием, называемым обменным взаимодействием. § 24.6. Условия для магнитного поля на границе раздела двух изотропных сред 1. Найдем соотношения между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля в двух изотропных средах 1 (В), Hi) и 2 (В?, Н2) в произвольной точке А, лежащей на поверхности раздела сред. Для этого воспользуемся законом полного тока (24.30) и теоремой Остроградского — Гаусса (22.36). Предположим, что макротоки не идут по поверхности раздела сред вблизи точки А. Тогда с помощью математических операций, которые мы применили в § 15.4, получим следующие граничные условия для магнит- ного поля: Я2»=Я1„ Я2я=(д1/д2)Я1я, ^z4.33) ftt=(Az/Pl)-Bln В2я=В1я. Здесь Я, и Вг — проекции векторов Н и В на плоскость, касательную к поверхности раздела сред в точке Л; Я„ и В„ — проекции Н и В на направление нормали к границе раздела сред в точке А; — относительные магнитные проницаемости сред. 2. Из граничных условий (24.33) можно сделать следующие выводы: 1. Если граница раздела сред ортогональна линиям магнитной индукции, т. е. Bi=Bln, то В2—В2л и вектор магнитной индукции не изменяется при переходе через границу раздела сред: В^Вь Ц,-(й/й)Н,. . (2434) 2. Если граница раздела сред касается линий магнитной индукции, т. е. Bj^Bt, и то Н2=Н2т и напряженность магнитного поля не изменяется при переходе через границу раздела сред: 326
Н2=Нь В2=(№/л)В1. (24.35) 3. Если первая среда — вакуум, то Д1 = 1 и из (24.33) следует, что В2т=Д2В1т. Таким образом, относительная магнитная проницаемость среды имеет следующий физический смысл: она показывает,, во сколько раз увеличивается касательная состав- ляющая магнитной индукции поля при переходе из вакуума в данную среду. 3. Рассмотрим два примера магнитных полей в веществе. Пример 1. Поле тороида (см. рис. 22.14) с сердечником из однородного и изотропного вещества с относительной магнитной проницаемостью д (если вещество — ферромагнетик, то предполагается, что тороид тонкий; так что неоднородностью магнитного поля по сечению сердечника можно пренебречь). Магнитное поле локализовано в сердечнике тороида, причем лини магнитной индукции имеют вид концентрических окружностей, центры которых лежат на оси тороида, а плоскости перпендикулярны ей. Циркуляция вектора Н вдоль линии магнитной индукции — окружности L 'ръ.яяуса. г — равна Hdl—InrH. (L) Сумма макротоков сквозь поверхность, натянутую на контур L радиуса г (Я| <г<Л2), равна lunpo^NI, где N — число витков обмотки тороида, I—сила тока в ней. По закону полного тока (24.30), напряженность и магнитная индукция поля в сердечнике тороида равны NI ИМ NI Н—, В=~—, 2пг 2л г или Я-hZ, В^нмпГ, (24.36*) где n»N/(2nr) — число витков, приходящихся на единицу длины линии магнитной индукции. Пример 2. Поле длинного соленоида с сердечником из однородного изотропного вещества с относительной магнитной проницаемостью д. Вдали от концов соленоида магнитное поле в сердечнике соленоида можно считать однород- ным. Напряженность и магнитная индукция этого поля находятся по формулам (24.36'), где л — число витков соленоида, приходящихся на единицу его длины. Вопросы: 1. Можно ли провести аналогию между намагничением парамагнетика и поляризацией диэлект- рика с полярными молекулами? 2. Есть ли аналогия между намагничением диамагнетика и поляризацией диэлектрика с непо- лярными молекулами? ( 3. Какая величина служит количественной характеристикой намагниченного состояния ве- щества? 4. Поясните качественно сущность магнитомеханического эффекта у парамагнетиков. 5. Как связаны между собой векторы напряженности магнитного поля, магнитной индукции и намагниченности? 6. Чему равна циркуляция напряженности магнитного поля пр замкнутому контуру, проведен- ному в поле? 7..Каковы особенности магнитных свойств ферромагнетиков? I. В чем состоял опыт Эйнштейна и де Гааза и каково его значение для выяснения природы ферромагнетизма? 9, Как изменяются магнитная индукция и напряженность магнитного поля при переходе через границу раздела двух сред? 10. Могут ли векторы В и Н быть направлены во взаимно противоположные стороны в какой- либо точке среды? ' 327
Глава 25 Электромагнитная индукция § 25.1. Основной закон электромагнитной индукции 1. Французский физик Д. Араго обнаружил (1824), что колебания свободно подвешен- ' ной магнитной стрелки затухают значительно быстрее, если над этой стрелкой или под ней находится медная пластинка. Видоизменив этот опыт (1825), он обнаружил еще более поразительное явление:- при быстром вращении медной пластинки расположен- ная под ней магнитная стрелка начинает вращаться в том же направлении. Правильное объяснение опытов Араго было дано спустя несколько лет английским физиком М. Фарадеем, открывшим явление электромагнитной индукции. Фарадей был сторонником теории Ампера. Он считал, что между электрическими и магнитными явлениями существует тесная взаимосвязь. Ампер, Био и другие выяснили лишь одну сторону этой взаимосвязи, а именно магнитное действие тока. Фарадей считал необ- ходимым исследовать электрическое действие магнитного поля. При этом он исходил из следующего: если электрические и магнитные явления взаимосвязаны и если вокруг проводника с током возникает -магнитное поле, то естественно ожидать, что должно иметь место и обратное явление возникновение электрического тока в замкнутом проводнике под действием магнитного поля. Однако первые опыты с проводником, помещенным в магнитное поле постоянного тока, не дали положительных результатов. 2. Только в 1831 г., после десяти лет упорных поисков, Фарадею удалось наконец решить задачу, которую он поставил перед собой, и осуществить опыт, имевший огромное значение для дальнейшего развития физики и техники. Принципиальная схема' установки Фарадея приведена на рис. 25.1. На немагнитный стержень М намота- ны два длинных куска изолированного медного провода. Концы одного (/) из них через ключ К присоединены к батарее гальванических элементов Б, а концы другого к гальванометру G. При неизменной силе тока в первой цепи гальванометр показывал отсутствие тока во второй. Однако при замыкании и размыкании ключа К стрелка I альванометра слегка отклонялась и затем быстро возвращалась в положение равнове- сия, что свидетельствовало о возникновении в проводнике 2 кратковременного тока, названного Фарадеем индукционным током. Направления индукционных токов при 328
замыкании и размыкании ключа К были прямо противоположными. Заменив ключ К реостатом, Фарадей заметил, что при изменении силы тока в первом проводнике во втором по-прежнему наводится индукционный ток, направление которого зависит от того, уменьшается It или увеличивается. Изменение силы тока Zj сопровождалось одновременным изменением его магнит- ного поля. Поэтому неясно было, что же является причиной возникновения индукцион- ного тока: изменение тока Д или его магнитного поля в той части пространства, где находится второй проводник? Ответ на этот вопрос был получен Фарадеем с помощью следующих опытов. Надо взять две катушки (рис. 25.2), одна из которых (XJ замыкает- ся на батарею Б; по этой катушке идет постоянный ток It. Катушка К2 замкнута на гальванометр. Если катушку Kt при- ближать к К2, в последней возникает индукционный ток 12. При удалешш катушки Kt от К2 ток 12 также возникает, но имеет противоположное направление. Аналогичная картина наблюдается при удалении или приближении катушки К2 к не- подвижной катушке Kt. Наконец, ток 12 отсутствует, когда взаимное расположение катушек не изменяется. Опыты Фарадея ясно показали, что причиной возникнове- ния индукционного тока 12 является изменение магнитного поля, пронизывающего катушку К2. Чтобы окончательно убе- диться в этом, Фарадей провел еще один опыт. КатуЩка Kt была заменена длинным полосовым магнитом (рис. 25.3). При перемещении магнита вдоль оси катушки К2 было Ьб- Рис. 25.3 наружено возникновение в ней индукционного тока, направление которого зависело от того, каким полюсом-был обращен к катушке магнит и удалялся он от нес или приближался к ней. Результаты опыта полностью подтвердили сделанный выше вывод о причине возникновения индукционного тока. 3. Открытое Фарадеем явление получило название электромагнитной дукцни Оно наряду с обнаруженным им же (1821) явлением вращения прямолинейного проводника с током вокруг полосового магнита явилось той основой, на базе которой в последу- ющие годы были созданы электрические двигатели, генераторы и трансформаторы. Поэтому Фарадей заслуженно считается одним из основателей электротехники. Индукционный ток проводимости в замкнутой цепи может возникнуть только под действием сторонних сил. Соответствующая им э.д.с. называется электродвижущей силой электромагнитной индукции &та. Дальнейшие исследования индукционного тока в проводящих контурах различной формы и размеров показали справедливость следующего закона Фарадея: э.д.с. электромагнитной индукции в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока Фт сквозь поверх- ность, натянутую на этот контур: <1ФГ £ ИЯД — ~~ dt (25.1) где к коэффициент пропорциональности. Э.д.с. электромагнитной индукции не зави- сит от того, чем именно вызвано изменение магнитного потока — деформацией кон- тура, его перемещением в магнитном поле или изменением/самого поля. 4. Профессор Петербургского университета Э. X. Ленц исследовал связь между напра- влением индукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока. Он установил (1833) следующий закон — правило Ленца: 329
при всяком изменении мапмтюго потока сквозь поверхность, натянутую на замкнутый проводящий контур, в последнем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного по- тока. Так, например, при приближении полосового магнита к замкнутой на гальванометр катушке (рис. 25.3) в ней наводится индукционный ток, который своим магнитным действием препятствует приближению магнита и связанному с этим возрастанию магнитного потока сквозь витки катушки. При удалении магнита от катушки в ней наводится ток противоположного направления, который своим магнитным действием также препятствует движению магнита. Легко проверить, что внутри катушки векторы магнитной индукции поля магнита и поля индукционного тока в первом случае направлены в противоположные стороны, а во втором — в одну и ту же сторону. Интересной иллюстрацией правила Ленца служит следующий опыт. На расположенный горизонтально железный сердечник катушки е большим числом витков провода свободно надето алюминиевое кольцо А (рис. 25.4). Катушку можно включить в цепь аккумуляторной батареи Б с помощью ключа К. При замыкании ключа кольцо А перемещается по сердечнику вправо, а при размыкании — влево. Такое поведение кольца объясняется возникновением в нем индукци- онного тока. Если Сердечник сделан из магнитно-мягкого ферромагнетика, то в отсутствие тока в катушке магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на кольцо, т. е. сцепленный с кольцом, равен нулю. При замыкании цени катушки магнитный поток, сцепленный с кольцом, возрастает. В кольце возникает индукционный ток, который, согласно правилу Ленца, направлен проти- воположно току в витках катушки. Между такими токами действует сила взаимного отталкива- ния, и кольцо смещается вправо. При размыкании цепи катушкй магнитный поток, сцепленный с кольцом, уменьшается. Теперь в кольце возникает индукционный ток, совпадающий по направ- лению с током в катушке. Поэтому кольцо притягивается к ней. 5. В физике и электротехнике принята правая система координат. Поэтому направле- ние обхода контура при вычислении £та и направлении нормали п при вычислении магнитного потока Фш, сцепленного с контуром, должны быть согласованы по правилу правого винта: из конца вектора о обход контура должен быть виден происходящим против часовой стрелки (рис. 25.5). Если и Фи в формуле (25.1) выражать в единицах СИ, то коэффициент пропорциональности к— — 1 и £ нал (25.2) Знак минус в правой части уравнения (25.2) соответствует правилу Ленца. Формула (25.2), объединяющая в себе закон Фарадея и правило Ленца, является математическим выражением основного закона электромагнитной нндуюри: Рис. 25.4 Рис. 25.5 330
электродвижущая сила электромагнитной индукции замкну* том проводящем контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь повер- хность, натянутую на контур. Для замкнутого контура магнитный поток Фт в уравнении (25.2) есть не что иное, как потокосцепление Т этого контура. Поэтому основной закон электромагнитной индукции для замкнутого проводящего контура мы будем записывать в форме, приня- той в электротехнике: dW ' (25.3) dr Закон электромагнитной индукции (25.3) для замкнутого проводника, перемеща- ющегося в магнитном поле, можно получить на основе закона сохранения энергии. За малое время dt внешние силы, приложенные к проводнику и вызывающие его переме- щение в магнитном поле, совершают работу ЗА', равную работе индукционного тока в замкнутом проводнике: ЗА'~ С другой стороны, работа ЗА' равна взятой с обратным знаком работе ЗА, совершаемой силами Ампера (22.40): ЗА’= — поэтому £ ннд= -dT/dr. Э.д.с. электромагнитной индукции возникает в каждом отрезке проводника, пересе- кающем при своем движении лйнии магнитной индукции поля. Это явление объясняет- ся силовым действием магнитного поля на упорядоченно движущиеся в нем носители тока, имеющиеся в проводнике. Пусть, ради определенности, носители тока в провод- нике электроны проводимости, а V скорость их упорядоченного движения. Если проводник не замкнут, то V=v скорость перемещения в магнитном поле рассмат- риваемого участка проводника. В общем случае V=v+vb где vf скорость упорядо- ченного движения электронов по проводнику (если проводник замкнут и по нему вдет индукционный ток). Со стороны магнитного поля на электрон действует сила FM- —e[VB]= Эта сила является сторонней, и ей соответствует стороннее поле, напряженность которого Ec,= --^(vB] + [vlBJ. е Так как вектор di малого участка проводника длиной d/ и вектор коллинеарны, то dl[v|B] = 0 и E„dl-dl|vB|. Скорость перемещения малого участка d/ проводника v=dr/dr, где г радиус- вектор этого участка. Поэтому, пользуясь правилом переста- новки сомножителей в смешанном произведении трех векто- ров, получим Ecrdl^dl dr 1 dS - В =-В—, dr J dr где dS=[drdI] вектор малой площадки, прочерчиваемой элементом проводника за малое время dr (рис. 25.6). Э.д.с. индукции в участке проводника конечной длины I между сечениями / и 2 равна 331
•>.’ .. ,Л\ 2 о f f dS dOm £вд= E^dl=- IB -—-------------------------------------“ (25.4) J J dr dr i t где d«Dm магнитный поток через поверхность, прочерчиваемую за время dr всем - проводником длины I. Формула (25.4) тождественна по ввду с (25.2). Однако в (25.2) dOm имеет другой смысл это изменение магнитного потока через поверхность, натянутую на замкнутый контур. Очевидно, что магнитный поток d®m в (25.4) отличен от нуля только в тех случаях, когда проводник пересекает линии магнитной индукции поля, поэтому dOm/dr часто называют скоростью пересечения проводником линий магнитной индукции. Например, в случае прямолинейного проводника длиной /, который движется в Однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 25.7), э.д.с. индукции в проводнике - .. d0m & 12=,^иид=-----= -B/vsina, (25.5) dr где а угол между проводником и направлением его скорости v. Разность потенциалов на концах проводника q>i — <р2 можно найти, воспользовав- шись обобщенным законом Ома (19.9). Так как электрического тока в проводнике нет (7=0), то Ф1-ч?2= — £ i2 = /?/vsina. (25.5') 6. На явлении электромагнитной индукции основано действие магнятогидродинами- ческого генератора (МГД-генератора), служащего для непосредственного преобразова- ния внутренней энергии в электрическую. При этом роль проводника, движущегося в поперечном магнитном поле, играет плазма или проводящая жидкость. Принципи- альная схема плазменного МГД-генератора постоянного тока показана на рис. 25.8. Сильно ионизованный газ, образующийся в результате сгорания топлива и обогащения продуктов сгорания парами щелочных металлов, которые способствуют повышению Степени ионизации газа, проходит через сопло и расширяется в нем. При этом часть внутренней энергии газа преобразуется в кинетическую энергию струи газа. В попереч- ном магнитном поле (на рис. 25.8 вектор В направлен за чертеж) положительные ионы отклоняются вверх к электроду А; а свободные электроны — вниз к электроду К. При замыкании электродов на внешнюю нагрузку R в ней идет электрический ток /от анода А генератора к его катоду К. Электрический ток совершает работу за счет соответст- вующего уменьшения кинетической энергии струи плазмы. - 7. Возникновение э.д.с. электромагнитной индукции и индукционного тока в непо- движном проводящем контуре, находящемся в переметом магнитном поле, нельзя 332
объяснить действием на носители тока магнитной составляющей FM силы Лоренца, так как на неподвижные заряды эта сила не действует. Поэтому для истолкования явления электромагнитной индукции в неподвижных проводниках необходимо считать, что переменное магнитное поле вызывает появление непотенциального (т. е. неэлектроста- тического) электрического поля, под действием которого и возникает индукционный ток в замкнутом проводнике. Если Е — напряженность этого индуктированного элект- рического поля, то э.д.с. индукции в замкнутом проводящем контуре L f Edl. (25.6) (!L) Фигурирующий в основном законе электромагнитной индукции (25.2) магнитный поток Фт сквозь поверхность, натянутую на контур, может изменяться по ряду причин — благодаря изменению формы контура и его расположения в магнитном поле, а также вследствие переменности самого магнитного поля. Полная производная <M>m/dt учитывает все эти причины. В случае неподвижного контура Фт может изменять- ся только вследствие непостоянства магнитного поля, т. е. вследствие того, что в точках неподвижной поверхности S, натянутой на контур L, магнитная индукция В изменяется с течением времени. В таких случаях закон (25.2) записывают в форме (25.2') 5г г 5Фт а С С гв „ Так как Фт= I BdS, то --------=— I BdS= I —dS, j St dt J J St {S) (S) (S) Г SB 6™=- ~dS. (25.7) J ot (S) Из (25.6) и (25.7) следует, что циркуляция напряженности Е индуктированного поля вдоль замкнутого проводящего контура L равна X Г5В „ 4>EdI=- — dS. J J St (4 . W (25.8) 8. При изменении потокосцепления Т замкнутого проводящего контура в контуре наводится э.д.с. электромагнитной индукции б ияд и возникает индукционный ток 1тд. Если электрическое сопротивление контура равно R, то, по основному закону электро- магнитной индукции (25.3), б ш,д ' 1 d¥ та r r а/ (25.9) Заряд, проходящий за время df при токе 7ИНЛ через поперечное сечение цепи, равен dq^I^dt^-d'V/R. (25.10) За время, в течение которого потокосцепление контура изменяется с до Т2, переносится заряд .. 333
(25.10') 9. Индукционные токи возникают не только в замкнутых проводниках, поперечные размеры которых малы по сравнению с их длиной, но н в массивных проводниках. Для возникновения этих токов в массивных проводниках последние не нужно включать в замкнутую электрическую цепь.- Замкнутая цепь индукционного тока образуется в толще самого проводника. Индукционные токи, возникающие в массивных проводниках при их движении в магнитном поле или под влиянием переменного магнитного поля, называются вихревыми токами, ила токами фуко. Сила вихревого тока удовлетворяет соотношению (25.9), где Т — потокосцепление замкнутого контура вихревого тока, R — электрическое сопротивление цепи этого тока. Подсчитать сопротивление R очень сложно. Однако совершенно очевидно, что оно тем меньше, чем больше удельная проводимость материала проводника и чем больше его размеры. В массивных проводниках R мало и вихревые токи могут достигать большой силы даже в не очень быстро меняющихся магнитных полях (например, в магнитном поле, создаваемом обычным переменным током, частота которого 50 Гц). Вихревые токи вызывают сильное нагревание проводников. Из закона Джоуля — Ленца и формулы (25.9) следует, что количество теплоты, выделяемое в единицу времени вихревым током, пропорционально'квадрату частоты изменения магнитного поля. Поэтому в индукционных печах, служащих для плавки металлов при помощи вихревых токов, магнитное поле создается переменным током высокой частоты. В электрических машинах и трансформаторах вихревые токи приводят к значительным потерям энергии. Ввиду этого магнитные цепи электрических машин и сердечники трансфор- маторов делают не сплошными, а собирают из отдельных тонких листов железа, изолированных друг от друга специальным лаком или окалиной. Вихревые токи образуются в плоскостях, перпендикулярных линиям магнитной индукции (токи «охватывают» линии индукции). Поэтому плоскости пластин, из которых собирают магнитные цепи, следует располагать параллельно линиям магнитной индукции. Сердечники катушек индуктивности, дросселей и других радиотехнических устройств, работа- ющих при частотах 10* — 10* Гщ изготовляют из маппггодвэлектрмсов. Эго ферромагнитные порошки, смешанные с диэлектриком (бакелитом, резиной и др.) и спрессованные под большим давлением при высокой температуре в монолитную массу. Магнитодиэлектрики имеют большое удельное электрическое сопротивление. Широкое применение в радиотехнике, радиоэлектронике, вычислительной технике получили феррпы —’ полупроводниковые или диэлектрические ферромагнитные материалы, представля- ющие собой химические соединенна оксида железа Fe2O3 с оксидами других металлов. Например, ферриты-пшинели имеют общую формулу вида MeOFe^Oj, где Me — двухвалентный металл (Mg, Ni, Со, Мп, Си, Zn и др.). Ферритовые изделия производят методом керамики, т. е. путем прессования порошкообразной смеси оксидов и последующего спекания при температурах свыше 1000 ”С. На вихревые токи, возникающие в массивных проводниках при их движении в магнитном поле, действуют амперовы -силы. В согласии с правилом Ленда вихревые токи имеют такое направление, что действующие на них амперовы силы должны тор- мозить движение проводника. В качестве иллюст- рации рассмотрим следующий опыт. Между полюсами сильного электромагнита качается массявный алюминиевый маятник (рис. 25.9, а). Если ток в обмотке электромагнита отсутствует, то маятник совер- шает слабозатухающие колебания. При включении тока затухание колебаний резко воз а -г. Если магнитное по- ле достаточно сильное, то колебания маятника становятся апериодическими — отклоненный маятник медленно воз- вращается в положение равновесия. Эго явление широко используется для гашения колебаний подвижных систем электроизмерительных приборов. Рис. 25.9 334
Затухание колебаний маятника в магнитвомполе уменьшится, если увеличить электрическое сопротивление маятника для индукционных токов. Эго можно осуществить, сделав в маятнике большое число узких поперечных вырезов (рис. 25.9, б). Вихревые токи действуют на источники индуктирующего их магнитного поля. Наглядным примером этого являются опыты Араго, рассмотренные в начале параг- рафа. Вихревые токи, возникающие в медной пластинке при колебаниях расположен- ной вблизи нее магнитной стрелки, по правилу Ленца тормозят движение стрелки. Наоборот, если стрелка неподвижна, а находящаяся над стрелкой параллельная ей пластинка приводится в быстрое вращение, то в этой пластинке также возникают вихревые токи. Причина появления этих токов заключается в движении пластинки в магнитном поле стрелки. По правилу Ленца, индукционные токи Фуко в пластинке противодействуют причине, вызвавшей их возникновение. Поэтому вращающаяся пластина увлекает за собой магнитную стрелку. § 25.2. Явление самоиндукции 1. Самоиндукцией называется возникновение э.д.с. электромагнитной индукции в элек- трической цепи вследствие изменения в ней электрического тока. Эта э.д.с. £ с называ- ется электродвижущей силой самоиндукции. Самоиндукция — частный случай электромагнитной и При изменении в цепи электрического тока изменяется потокосцепление сак дни этой цепи, т. е. потокосцепление, обусловленное собственным магнитным. тока в этой цепи. По основному закону электромагнитной индукции (25.3), эщ.с. самоиндукции ^е=-—. (25.11) 2. Индуктивностью (собственной индуктивностью) замкнутого проводящего контура называется скалярная величина L, равная отношению потокосцепления самоиндукции контура I'c к силе тока I в этом контуре: L=y. (25.12) Из закона Био — Савара — Лапласа (22.6) следует, что магнитная индукция в ка- кой-либо точке поля замкнутого контура с током, находящегося в вакууме, пропорци- ональна силе тока I в контуре. Следовательно, Тс также пропорционально I, так что индуктивность контура, находящегося в вакууме, зависит только от его формы и раз- меров. Если контур с током находится в однородной, изотропной и неферромагнитной среде, заполняющей все магнитное поле, то индуктивность контура пропорциональна относительной магнитной проницаемости д среды. Покажем это на примере тонкого тороида с сердечником. Потокосцепление самоиндукции такого тороида 4ft=NBS, где N — число витков обмотки, S — площадь витка, а В — магнитная индукция поля, выражаемая формулой (24.36). Следовательно, Те=дд0№/.5/(2пгСр), где Гер — радиус средней линии тороида. Таким образом, индуктивность тонкого тороида (гср » у/S) £=ддоЛ2И, (25.13) где n=Nf(2nrcl>) — число витков на единицу длины средней линии тороида, V— -2ягср<5 —объем тороида. Формула (25.13) справедлива также, для индуктивности 335
длинного соленоида, магнитное поле которого практически можно считать однород- ным. В этом случае V=IS, где I длина соленоида Если сердечник тонкого тороида или длинного соленоида сделан из ферромагнит- ного. материала,' тр формула (25.13) сохраняет свою силу. -Однако в этом ,случае ц зависит не только от материала сердечника, но также и от напряженности Н магнит- ного поля, т. е. и от силы тока Zb обмотке, так как Н=п1. ’ " , Э. Выразим э.д.с. самоиндукции через индуктивность контура и силу тока в нем: ', d * 6е=- (ZJ). (25.14) df Если среда, заполняющая магнитное поле контура, неферромагнигна, а контур не деформируется, то его индуктивность остается постоянной при изменении силы тока с течением времени. Индуктивность такого контура можно.вывести в (25.14) из-под знака производной: dZ • - • (25.15) dr . * ’ По правилу Ленца, э.д.с. самоиндукции противодействует изменению электричес- кого тока в контуре, т. е. замедляет его возрастание или убывание. По формуле (25.15), э.д.с. самоиндукции, а следовательно, и индукционный ток при прочих равных условиях пропорциональны индуктивности контура. Таким образом, индуктивность контура является мерой его инертности по отношению к изменению силы тока. Относительная магнитная проницаемость д ферромагнетиков сильно зависит от напряженности магнитного, доля/ поэтому при изменении тока в контуре, помещенном в ферромагнитную среду, индуктивность L контура изменяется. Однако и в этом случае э.д.с. самоиндукции можно записать в форме, аналогичной (25.15): , а/ А- £с=~£гая , (25.15') \ ' где динамическая индуктивность контура. 4. Найдем закон изменения силы тока в цепи при ее замыкании и размыкании, т. е. при неустановившемся режиме в цепи. Пусть индуктивность цепи L, а ее электрическое сопротивление R. По закону Ома для замкнутой цепи с общим сопротивлением Я, сила тока в цепи + гс)/я, где & алгебраическая сумма э.д.с. источников электрической энергии, включенных в цепь; £ тд э.д.с. индукций. Если внешнее магнитное поле постоянно, то индукци- онные явления в неподвижной цепи обусловлены только изменением силы тока, поэтому при L= const г„ид= - A(dz/d/), £-L(dZ/df) Л Для нахождения зависимости, силы тока от времени разделим переменные в этом дифференциальном уравнении: dZ dl 1 - , . = dr. dr L 6-IR L Полагая , R и L постоянными и интегрируя это уравнение, получаем ln(£-ZR)=-Rr/L+inC, 336
t где С—* произвольная постоянная интегрирования. Следовательно, £-ГЯ=Се~Л,£. (25.16) » Пусть в начальный момент (г»0) сила тока равна /о. Тогда & —loR^C. Подставим это выражение в (25.16): После преобразований получим (1 _е-Л/£). (25.17) Я Формула (25.17) позволяет найти законы изменения силы тока в замкнутой цепи, обладающей постоянными сопротивлением R и индуктивностью L, при включении в эту цепь и выключении из нее источника постоянной э.д.с. 5. В случае включения в цепь источника э.д.с. начальный ток 1^0 и формула (25.17) имеет ввд /»-(1-ё“Л/Л). (25.18) R . Сила тока в цепи постепенно увеличивается от нуля до значения &jR, соответст- вующего силе постоянного тока (рис. 25.10). Нарастание сала тока происходит тем быстрее, чем больше отношение Я/L, т. е. чем меньше индуктивность цепи и больше се сопротивление. Это явление можно наблюдать на опыте, схема которого'приведена на рис. 25.11. . Две одинаковые лампы накаливания Аа В включены параллельно в цепь аккумуляторной батареи Б. Последовательно с лампой А включен соленоид с железным сердечником, индуктив- ность которого L], а сопротивление Я,. Последовательно с лампой Я включен резистор сопротив- лением Яг *= Л]. При замыкании ключа К ток в лампе В устанавливается практически мгновенно, а в лампе А он постепенно возрастает до равновесного значения. Поэтому нить лампы А накали- вается значительно медленнее, чем нить лампы В. После установления в лампе А равнотесного постоянного тока она светится так же, как и лампа В. 6. При выключении источника э.д.с. S «Он формула (25.17) имеет вид (25.19) Сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения /о до нуля (рис. 25.12), причем тем быстрее, чем больше сопротивление цепи и чем меньше ее индуктив- , нбегь. Существование индукционного тока при выключении источника э.д.с. можно проде- ' монстрировать на опыте А. А. Эйхенвалъда (рис. 25.13). Магнитоэлектрический гальванометр (см. § 22.6) и катушка L, обладающая большой индук- тивностью, включены параллельно в Цепь аккумуляторной батарея Б. При замкнутом ключе К ток в гальванометре и катушке направлен слева направо, пря этом стрелка гальванометра Рис. 25.11 337
Рис. 25.12 Рис. 25.13 отклоняется вправо. Есл га шкале прибора вблизи нейтрального положения стрелки установить стопор, претите:пукиций отклонению сгрелм вправо, то при замкнутом ключе К она будет оставаться в нейтральноы положеип А. При размыкании ключа К индукционный ток, воз- никающий в катушке, будет совпадать по направлению с основным током. Проходя через гальванометр справа налево, этот ток вызовет заметное отклонение стрелки влево. 7. Произведем приближенную оценку значения э.д.с. самоиндукции,-возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от Rq до R. Пусть 6 — алгебраическая сумма э.д.с. всех источников, возбуждающих в цепи посто- янный ток /о= t/Ro- После мгновенного увеличения сопротивления сила тока I в цепи изменяется по формуле (25.17). Подставим в нее выражение для /0: Яо R Дифференцируя это выражение по t и умножая на — L, получаем _ £R —лг/jl « -л/t < (R -л/t Ro \Ro J откуда 4 с R—Ro с Яое (25.20) Из формулы (25.30) следует, что при значительном увеличении сопротивления цепи (Я»Яо), обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать 4. Большая э.д.с. самоиндукции, возникающая при бы- стром размыкании электрической цепи, может вызвать пробой воздушного зазора между контактами выключа- теля (проскакивает искра или даже возникает дуговой i разряд). Электрическая дуга расплавляет контакты вы- ключателя и выводит его из строя. Для предотвращения искрения контактов выключателя цепи низкого напряже- ния параллельно контактам включают конденсатор. ; В момент размыкания цепи конденсатор заряжается, а за- тем разряжается через цепь. В электрических цепях высо- кого напряжения применяются выключатели специальной конструкции (масляные и др.), обеспечивающие быстрое гашение дугового разряда. 8. При прохождении по проводнику переменного тока магнитное поле внутри проводника изменяется и в нем возникают вихревые токи самоиндукции. В случае круг- лого цилиндрического проводника плоскости вихревых Рис. 25.14 338
токов проходят через его ось. Направление этих токов можно определить с помощью правила Ленца. На рис. 25.14, а показано направление вихревых токов при возрастании основного тока I в проводнике, а на рис. 25.14, б — при его убывании. В обоих случаях вихрвые токи направлены так, что противодействуют изменению основного тока внутри проводника и способствуют его изменению вблизи поверхности. Следователь- но, для переменного токД сопротивление внутренних частей проводника оказывается больше внешних. Поэтому плотность переменного тока неодинакова по сечению. Она максимальна на поверхности проводника и минимальна на его оси. Это. явление получило название поверхностного эффекта или скин-эффекта [skin (англ.) — кожа, оболочка]. Переменные токи высокой частоты проходят только по очень тонкому поверхност- ному слою проводника. Для таких токов применяются проводники трубчатой формы. Их внешняя поверхность не должна иметь трещин, коррозии н других повреждений, так riuc это сильно влияет на сопротивление. Поэтому поверхность гфояодииков, предназначенных для токов высокой частоты, часто покрывают тонким слоем серебра. При’ нагреве сплошных проводников токами высокой частоты в результате скин- эффекта почти вся теплота выделяется в поверхностном - слое. На этой ' основе В. П. Вологдин и другие разработали методы поверхностной захалхя металлов, широко применяемые при изготовлении шестерен, коленчатых валон и других деталей машин, подвергающихся ударным нагрузкам. § 25.3. Явление взаимной индукции 1. Явление взаимной индукции заключается-в наведении э.д.с. нндукции во всех провод- никах, находящихся вблизи цепи переменного тока. Впервые это явление наблюдал Фарадей на опыте, изображенном на ряс. 25.1. При изменении силы тока Ц в первой цепи с помощью ключа или реостата во второй наводится э.д.с. взаимной индукции £21 и возникает индукционный ток. Из основного закона электромагнитной индукции (25.3) следует, что d’Fa / (2521) dt где ‘Рл — потокосцепление второго контура, обусловленное магнитным полем тока It в первом контуре (потокосцепление взаимной индукции второго и первого контуров). 2. Взаимной индуктивностью второго и первого контуров называется скалярная вели- чина Мц, равная отношению потокосцепления взаимной индукции второго жоатура к силе тока /| в первом контуре, обусловливающем это потокосцепление: *21 A/2i=-A (2522) h Из закона Био — Савара — Лапласа видно, что взаимная индуктивность двух контуров, находящихся в вакууме, зависит от формы и размеров контуров и их взаимного расположения. Если контуры находятся в однородной, изотропной и иефер- ромагнитной среде, заполняющей все магнитное поле, то М» зависит также от относительной магнитной проницаемости д среды. Можно показать, что в этом случае JHI2=M2I. (2523) Именно поэтому величины M2i и М12 назвали взаимной мндухтяшюстыо двух контуров. Если среда ферромагнитна, то М21 и Л/12 зависят не только ст геометрической формы, размеров и взаимного расположения контуров, но и от силы токов в них. В этом случае равенство (25.23) не соблюдается. 339
>3., Рассмотрим в качестве примера взаимную индуктивность двух обмоток тонкого тороида, состоящих из N\ и N2 витков провода. Если по первой обмотке идет ток 1и то магнитную индукцию В\ поля этого тока в сердечнике тороида можно найти по формуле (24.36): - ' (25.24) где I - длина средней линии тороида; д — относительная магнитная проницаемость сердечника. Потокосцепление взаимной индукции второй обмотки %1 = ^Й15=дд0^ад//, ' ’ (25.25) где S площадь витков, равная площади поперечного сечения сердечника (пред- полагается, что обмотка сделана из тонкого провода, прилегающего вплотную к сер- дечнику). Из (25.25) получаем, что взаимная индуктивность двух обмоток тонкого тороида равна ...... i (25.26) Если сердечник сделан из диа- или парамагнетика, то д не зависит от силы тока ft и Мц — const. 4. .Окончательное выражение для э.д.с. взаимной индукций, возникающей во втором контуре при изменении в первом тока Ii, можно найти, заменив в (25.21) T2j его выражением по формуле (25.22): d «21—-(Л/цЛ). (25.27) dr < Если форма, размеры и взаимное расположение контуров, а также относительная магнитная проницаемость среды постоянны, то M2i —const н формулу (25.27) можно записать в виде dZi 62i=-M21~. • (25.28) dr Если контуры / и 2 находятся в ферромагнитной среде, то ЛГ2] зависит от силы тока /j. Однако и в этом случае для э.д.с. 6 21 можно пользовктьс'я формулой, аналогичной (25.28): d’Fn dZr & я = - -т^'= - М2Х т (25.28') dr dr где Л/21Дим=<1Ч'21/д71 динамическая взаимная индуктивность второго и первого кон- туров. . . На явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов, служащих для повышения или понижения напряжения переменного тока. § 25.4. Энергия магнитного поля неферромагнитной изотропной среде 1. При возрастании электрического тока в замкнутом проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, противодействующая увеличению тока. По закону Ома, сила тока в контуре с сопротивлением R и индуктивностью L равна — ; /=(4 + 4е)/Л, где S э.д.с. источника электрической энергии; & t — э.д.с. самоиндукции, которая по формуле (25.15) равна 4 с= —E(dZ/dr). Таким образом, 340 ’
£==ZR4-Z,(dZ/dt), Работа, совершаемая источником электрической энергии за время dr, &Idt*=I2Rdt+LIdI. (25.29) Первое слагаемое в уравнении (25.29) представляет обычную ленд-джоулеву рабо- ту, расходуемую на нагревание проводника, второе — дополнительную работу, обус- ловленную индукционными явлениями. Дополнительная работа, затрачиваемая на увеличение силы тока в контуре от нуля до 7, равна (предполагается, что L— const) I <->, . f и1 1‘ i £ZdZ=—, (25.30) ; о где LI2/! — собственная энергия тока I в контуре с индуктивностью L. 2. Увеличение силы тока в проводнике вызывает соответствующее усиление его магнитного поля, которое, подобно электрическому полю, обладает энергией. Найден- ная нами собственная энергия токав контуре есть не что иное, как энфгия магнит- ного поля этого контура с током. В качестве примера рассмотрим однородное магнитное поле длинного соленовда с неферромагнитным сердечником. Индуктивность соленоида тцс п — число витков обмотки, приходящихся на единицу длины соленовда; V— объ- ем однородного йоля внутри соленоида. Магнитная индукция этого поля [см. (24,36')] В=Щ1ап1, откуда Подставив выражения для длинного соленоида: L и / в (25.30), найдем энергию магнитного поля LI2В* , (2<31) 2 2ддо Поскольку поле однородно, его энергия Wa распределена равномерно по всему объему V поля с объемной плотностью Wa В2 . и-и=—«=---. (25.319 Так как индукция и напряженность магнитного поля Связаны соотношением то выражение для объемной плотности энергии Магнитного поля можно записать в следу- ющих трех эквивалентных формах: В2 ВН ддоЯ2 2рЯо 2 2 (25.32) 3. В случае неоднородного магнитного поля тока /, проходящего по контуру произ- вольной формы, энергия распределена в поле неравномерно. Энергий малого участка магнитного поля объемом dF, выбранного так, что в его пределах объемную плот- ность энергии (25.32) можно считать всюду одинаковой, равна dWa=wBdV~™ dV. (25.33) 341
Соответственно энергия, локализованная во всем поле, равна IFB~|ydF, (2534) где интегрирование проводится по всему объему поля Кя. С другой стороны, Wa—LIЕ 2/2. (2535) Таким образом, можно дать следующее энергетическое определение индуктивности: индуктивность контура численно равна удвоенной энергии магнитного поля, создава- емого проходящим по контуру током единичной силы. Поскольку LI*= Тс — потокосцепление самоиндукции контура, выражение для энер- гий магнитного поля контура с током можно переписать еще в одной форме: Wa^Jf2. (25.36) 4. В общем случае магнитное поле создается произвольной системой из я контуров с различными токами Z(, /2, ..., 1„. Энергия такого поля выражается универсальной формулой (25.34). Однако, как показывают расчеты,, эту энергию можно также пред- ставить в форме, аналогичной (2536): Ж.-; Е (2537) Здесь Т*. — потокосцепление к-то контура. При его вычислении нормаль п* к поверх- ности, натянутой на к-й контур, проводится так, чтобы из конца вектора п* ток в контуре был виден идущим против ча- совой стрелки (рис. 25.15). Потокосцепление равно сумме по- токосцепления самоиндукции этого кон- тура СОДс и его потокосцепления взаим- ной индукции СР*)„: V(WC₽t)B- Таккак(Т*)с=£*4и(Т*)„= £ М^то f-i ('•**) ТР=ДЛ+ £ (25.38) Phc.25.1S где I* — индуктивность к-тс контура; Мн — взаимная индуктивность к-то и 1-то контуров. Таким образом, энергию (25.37) можно представить в. виде И”.-; Е Е £ МкМ' (25 39) z*-i 2*-i i-i </•**) Первая сумма в правой части этого выражения представляет собой сумму собствен- ных энергий всех токов, а вторая — взаимную энергию токов: Е Е мм (25.40) 2fc-l /-1 '
Следует заметить, что в соответствии с указанным выше правилом выбора направ- ления вектора нормали п* при вычислении потокосцепления *Р* взаимные индуктив- ности Ми к-гс и Z-ro контуров могут быть как цоложительнымн (рис. 25.15, б), так и отрицательными (рис. 25.15, а). § 25.5. Закон сохранения энергии для магнитного поля в неферромагнитной среде 1. Энергия магнитного поля, создаваемого какой-либо системой тел (проводящих контуров с токами и среды), изменяется, если контуры с токами перемещаются или изменяются токи в них. При этом совершают работу внешние силы, приложенные к телам системы, и источники электрической энергии, включенные в цепи токов. В тех случаях, когда температура системы поддерживается постоянной, а измене- ния плотности среды и ее относительной магнитной проницаемости пренебрежимо малы, закон сохранения энергии при малом изменении состоял» системы можно выразить в форме бЛ'+ЙЛилэ.=<П7т+<1»Г1+йед_л. ' (25.41) Здесь 8А' — работа внешних сил; — работа источников электрической энергии; dJTm — изменение энергии магнитного поля; <ПГЖ — изменение кинетической энергии тел системы; бСд-л — теплота Джоуля — Ленца. ** Предполагается, что энергией We электрического поля системы можно 1фенебречь ввиду малости электроемкостей проводников, входящих в систему. В противном случае в правую часть уравнения (25.41) нужно добавить член dWe. 2. Если тела системы перемещаются очень медленно (квазистатическн), то можно пренебречь изменением кинетической энергии системы (d!P,=O). Кроме того, можно считать, что 6А’= —SA, где 6А'— работа сил, действующих на тела системы в магнит- ном поле и называемых поидеромоторными силами. Соответственно закон сохранения энергии (25.41) примет вид \ бЯя.э.э,=(»Гт+<5Л+гед-л. (25.42) ч В системе, содержащей п проводящих контуров с токами, работа источников электрической энергии за малый промежуток времени dr равна = £ & k/kdt, *-i •где 6 k — алгебраическая сумма э.д.с. всех источников электрической энергии, вклю- ченных в к-й контур; 1к — сила тока в этом контуре. Теплота Джоуля — Ленца, выделяющаяся в системе за то же время dr, равна 6Qa-л = J IlRkdt, к-1 где Rk — электрическое сопротивление всей цепи к-го контура. 3. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Неподвижный контур с током. 1 . Ток в контуре постоянен. В этом случае энергия магнитного поля не изменяется (<ПГВ— 0), а пондеромоторные силы работы не совершают (6А =0), так что ^иЛЭ=йбд_л. 343
Bti работа источника электрической энергии полностью преобразуется в контуре в теплоту - Джоуля Ленца. , . ?. 2 .;, Сила тока в контуре нарастает от 0 до установившегося значения 1о*= 5/Я.‘Работа пондеромоторных сил равна нулю. Работа источника электрической энергии в контуре расходует- ся на изменение энергии Магнитного поля и на выделение теплоты Джоуля - — Ленца: ^н.зл d Ит+•л или 5jdz=L/d/+Z2Adz, где & э.д.с. источника; R и L электрическое сопротивление и индуктивность контура; 7 сила тока в нем. За промежуток времени t, в течение которого сила тока в контуре возрастает От 0 до 7-7о(1— е ), источник совершает работу (. ^H.3.3. = ^7ot-2JoZ. За это же время в контуре выделяется теплота Джоуля Ленца ' . , 1 бд-л“ tfa-LW- иг. • 2 Пример 2. Работа пондеромоторных сил при очень медленной деформации контура с током. Из закона сохранения энергии (25.42) имеем 6А = ЗА нлл. - <5£)д _ д - d И'т. Сила тока в контуре изменяется под влиянием э.д.с. самоиндукции:* 1 Г о d 1 . /=» <L/4 R L dz J где & =const . э.д.с. источника постоянного тока в контуре; R и L электрическое сопротивле- ние и индуктивность контура. Следовательно, ж 2 е 3A„.,.t = tldi~ dz- d(7Z). R R При очень медленной деформации контура э.д.с. самоиндукции мала по сравнению с £. По- этому, пренебрегая малыми второго порядка малости, получаем f2 <t 3Qa^n^I2Rdt^ dz—2 6d(L7), R R , (U2\ Г2- & g2 dH'm=d( ] = Zd(77)- d7= d(77)- di. \ 2 J 2 R 2R2 Таким образом, работа пондеромоторных сил г, г, где Д7,=7,2 — 7.] изменение индуктивности контура при его деформации; Io = &/R постоян- ный ток в контуре до и после его деформации. 344
Вопросы: 1. Какова связь между законом электромагнитной индукции и законом сохранения энергии? 2. Как объяснить совершение работы индукционным токой в замкнутом проводнике, перемеща- ющемся в магнитном поле, если известно, - что силы, действующие со стороны магнитного поля на носители тока, работу Не совершают? 3. Объясните существование электрического тока в замкнутом проводнике, находящемся в пе- ременном магнитном поле. Какой вид имеет выражение для э.д.с. индукции в этом провод- нике? 4. Каков физический смысл индуктивности проводящего контура и взаимной, индуктивности двух контуров? От чего .они зависят и могут ли быть отрицательными? S. Почему при расчете энергии магнитного поля g ферромагнетике нельзя пользоваться форму- лами (25.32) для объемной плотности энергии поля?
Глава 26_____________________;_______________ Основы теории Максвелла для электромагнитного поля § 26.1. Общая характеристика теории Максвелла 1. В 60-х годах прошлого столетия Д. К. Максвелл, основываясь на идеях Фарадея об электрическом и магнитном поли, обобщил законы, установленные эксперименталь- ным путем, и разработал законченную теорию единого электромап тного поля. Те- ория Максвелла была обобщением таких важнейших законов электростатики и элект- ромагнетизма, как теорема Остроградского — Гаусса (§ 14.1, 15.3 и 22.4), закон полного тока (S 223, 24.4) и основной закон электромагнитной индукции (§ 25.1). В теории Максвелла решается основная задача электродаммякя: найти характеристики электромаг итногололя заданной системы электрических зарядов и токов. Теория Максвелла явилась величайшим вкладом в развитие классической физики. Она позволила с единой точки зрения охватить огромный круг явлений, начиная от электростатического поля неподвижных зарядов и кончая электромагнитной природой света. В этой главе мы кратко остановимся на существе идей Максвелла и содержании его теории. 2. Теория Максвелла представляет собой феноменологическую теорию электромаг- нитного поля. Эго означает, что в ней не рассматриваются молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются тремя величинами: относительной диэлектрической проницаемостью е, относительной магнитной прони- цаемостью д и удельной электрической проводимостью у. Предполагается, что эти параметры среды известны из опыта. Теория Максвелла — макроскопическая. В ней рассматриваются макроскопические электромагнитные доля макроскопических зарядов и токов, т. е. таких систем поко- ящихся и движущихся зарядов, пространственная протяженность которых неизмеримо больше размеров отдельных атомов и молекул. 3. Математическим выражением теории Максвелла служат четыре уравнения Макс- велла, которые принято записывать в двух формах: интегральной и дифференциальной. Уравнения Максвелла в интегральной форме выражают соотношения, справедливые для мысленно проведенных в электромагнитном поле неподвижных замкнутых кон- туров и поверхностей. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают, как связаны между собой характеристики электромагнитного поля и плотности элект- рических зарядов и токов в каждой точке этого поля. Дифференциальные уравнения Максвелла получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа: теоремы Гаусса и теоремы Стокса. 4. Теорема Гаусса утверждает: ноток вектора а. характеризующего какое-либо Поле, через произвольную замкнутую поверхность 5, мысленно прове- денную в атом поло, равен интегралу от дивергенции вектора а, взятому по объёму V, ограниченному замкнутой пооер- ямостыо Ж 346
I Согласно (15.15'), divadV, (26Л) dax да. да. diva— + + ', дх ду дг (26.2) ) где ах, af, а. проекции вектора а на оси прямоугольной декартовой системы коор- динат. Теорема Стокса утверждает: циркуляция вектора я, характеризующего какое-либо поле, вдоль произвольного замкнутого контура L, мысленно проза денного в этом поле, равна потоку вектора rota через поверх- ность S, натянутую на контур L: ф adl= J rotadS. (26.3) Здесь rot а — ротор вектора а, который выражается в декартовых координатах следу- ющим образом: i j k d d d fSa- да.\ (да. да-\ (да. да(\ rota= , , - =( |1+1 - ')j+| — .Ik. (26.4) дх ду дг \ду дг / \ дг дх) \ дх ду ) ах of а. Мы будем пользоваться этими теоремами, оставляя их доказательство курсу высшей математики. § 26.2. Первое уравнение Максвелла 1. Максвелл обобщил закои электромагнитной индукции (25.8) для замкнутого прово- дящего контура, находящегося неподвижно в переменном магнитном поле. Из (25.8) видно, что материал проводника никак, не влияет на индуктируемое в нем электричес- кое поле. Поэтому Максвелл предположил, что закон (25.8) справедлив не только для проводящего контура, ио для любого ^сонтура, мысленно проведенного в переменном магнитном поле. Иными словами, с переменным магнитным полем неразрывно связано вихревое индуктированное электрическое поле, которое не зависит от того, находятся в нем проводники или нет. Характерная особенность вихревого электрического поля состоит в том, что цир- куляция вектора Е его напряженности вдоль замкнутого контура зависит от; выбора этого контура, т. е., в отличие От потенциального кулоновского поля, не равна тождественно нулю. Первое уравневме Максвелла в мтегралыюй форме: (26.5) 347
Здесь dS=dSn; n —единичный вектор нормали к малому элементу dS поверх- ности S, натянутой на замкнутый контур L (из конца вектора п обход контура L виден цррисходяцщм против часовой стрелки). , Первое уравнение Максвелла показывает, что циркуляция вектора Е напряженности электрического поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру, мысленно проведенному в электромагнитном поле, равна взятой с об- ратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность 5, натянутую на этот контур (или, что то же самое, равна взятому с обратным знаком потоку вектора SBfSt через вышеуказаннуюповерхность 5). 2. Согласно теореме Стокса (26.3), ^Edl = JrotEdS. (26.6) ' ' 1 (S) 4 Изсопоставления (26.5)и(26.6)вцдно, что гв rotE=-—. (26.7) Это и есть первое ураваеаае Максвелла в дифференциальной форме. 3. Вихревое индуктированное электрическое поле используется в индукционных уско- рителях заряженных частиц. На рис. 26.1 изображена упрощенная схема циклического индукционного ускорителя эледтронов — бетатрона (А иС — конические, полисные ' . наконечники электромагнита, Д— кольцевая вакуум- , ' * ная ускорительная камера). Лициицапряженцости.вих- Рис. 20.1 ревого индуктированного электрического поля лежат в плоскостях, перпендикулярных оси ОО' симметрии полюсных наконечников, и имеют вид окружностей с центрами на оси ОО'. Во всех точках каждой из таких окружностей векторы напряженности Е равны помоду- дю и направлены по касательным к окружности. Элект- роны движутся в ускорительной камере по круговым '.траекториям^ Модуль напряженности вихревого элект- рического поля бетатрона в точках круговой орбиты электрона радиуса г равен г d г-^КЯ». где <В>. - среднее значение Н Моментвремени t индукции магнитного доля в пределах площади орбиты электрона. В бетатроне, в отличиеГепт резонансных циклических ускорителей, не существуй: проблемы синхронизации. Для ускорения электрона необходима только, чтббы он все время двигалея вдоль однойцтбйжекруговойдрбиты. Магнитнаясоставляющая силы Дрренца’.’ обеспечивает движение электрона" в, бетатроне по' круговой орбите радиуса г, если выполнено условие .В==<2?>/2, где Д — магнитная индукция .в точках орбиты. 348
§26.3.Ток см«|цения, Второв уравнение Максвелла \ 1. Максвелл обобщил закон полного тока (24.-30), Предположив, что переменное электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного поля. Для количественной характеристики «магнитного действия» переменного элект- рического поля Максвелл ввел понятие, тока смещения. По теореме Остроградского — Гаусса (15.19), поток, смещения сквозь замкнутую поверхность S Фс= ^DdS=g, . ' .. ' (4) ‘ ,, где q — алгебраическая сумма свободных электрических' зарядов,' охватываемых за- мкнутой поверхностно S’. Продифференцируем это выражение по времени: dq d®e d f 1 -1, _’=а__!=а_ $DdS. (26.8) dr dr dt J CT Если поверхность S неподвижная и не деформируется, то изменение во времени потока смещения сквозь поверхность S вызывается только изменением электрического смещения D .с течением времени. Поэтому полную производную, стоящую в правой части уравнения (26.8), можно заменить частной производной по времени и дифферент дарование внести под знак интеграла: dq ' Г 3D —=Ф—dS. (26.8') . dr . J at’ , ’ ' СТ Правая часть этой формулы имеет размерность силы токи. Из сравнения ,(26.8') с формулой (18.5), связывающей силу тока I и плотность j тока проводимости, следует,’. что dD/dr имеет размерность плотности тока. Максвелл предложил назвать dD/dt плотностью тока смещеон: 3D ь-=-- . (26») ЗГ Плотность тока смещения в данной точке пространства равна скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке. Током емоцеиия сквозь произвольную поверхность.S называется физическая вели- чина, равная потоку вектора платности тока смещения сквозь эту поверхность: । .. . • • . f f 3D Z„= I icudS= —dS. (26.10) J J Ct CT CT 2 2. Введя представление о токе смещения, Максвелл по-новому подошел к рассмотре- ние замкнутости цепей электрического тока. Как известно, цепи постоянного тока должны быть замкнутыми. Однако для цепей переменного тока это условие не обязате- , льно. Например, при зарядке и разрядке кон денсатора электрический ток протекает по проводнику, соединяющему обкладки, и не проходит через диэлектрик, находящийся между обкладками, т. е, цепь не замкнута- С точки зрения Максвелла, цепи любых ^постоянных токов тоже замкнуты. Замкнутость таких цепей обеспечивается токами смещения, которые «протекают» в тех участках, где нет проводников, Например между обкладками конденсатора в процессе его зарядки или разрядки. 349
На ряс. 26.2 изображены векторы плотностей токов смещения и линии магнитной инду щи их полей: а — п I зарядке конденсатора (усиление электрического по- ля); б — при разрядке конденсатора (ослабление элект- рического поля). 3. Согласно Максвеллу, ток смещения, подобно обыч- ным токам проводимости, является источником вих- ревого магнитного поля, т. е. такого поля, циркуляция напряженности Н которого по замкнутому контуру не равна нулю. В диэлектрике вектор электрического смещения D, как известно, состоит из двух слагаемых: D—вцЕ+Р. Второе слагаемое — поляризованность Р — характери- . зует действительное смещение электрических зарядов в неполярных молекулах и поворот полярных молекул, находящихся единице объема диэлектрика. Плотность тока смещения в диэлектрике, согласно (26.9), состоит из двух слага- емых: дЕ ЗУ (26.11) Первое слагаемое называется плотностью тока смещения в вакууме, а второе — лптммтып тока во пирит ИМИ (плотностью нолярнзацвоаного тока): • ' « -8Z io‘~e°dt’ коя~д1’ где U- — плотность така, обусловленного упорядоченным перемещением связанных заряде» в диэлектрике пр изменении его поляризации. Ток смещения, в отличие от тока проводимости, не сопровождается выделением теплоты Джоуля — Ленца. Правда, в случае изменения поляризации полярных диэлек- триков (т. е. при возникновении в них поляризационного тока) происходит поглощение или wMjiy пение теплоты. Однако закономерности этих тепловых эффектов не подчиня- ются закону Джоуля'— Ленца. 4. В общем случае токи проводимости и ток смещения не разделены в пространстве, как в конденсаторе с переменным напряжением на обкладках. Все типы токов суще- ствуют в одном и том же объеме, и можно говорить о полном токе, равном сумме токов проводимости и конвекционных, а также тока смещения. Максвелл обобщил закон полного тока, добавив в правую часть уравнения (24.30) ток см цеиия сквозь поверхность S, натянутую на замкнутый контур L: J (26.12) Это равенство называется вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Оно показывает, что цириямцин вектора Н напряженности магнитного поля по яроикволышму неподвижному замкнутому контуру L, мыслан- и аромдамиому в алоктромагнитном поле, равна алгобра- й » мякротоков И тока смащан! Сквозь поверх- 1МЙВТЬ| мэтяиутум1 йв этот ксниур. 350
Макроток, входящий в правую часть выражения (26.12), 4^»= jjdS, (S) где j — вектор плотности макротока. Используя это соотношение (26.10), можно переписать второе уравнение Максвелла (26.12) в форме £ Hdl= J j^dS. (26.13) <£) (5) Здесь ino.m — плотность полного тока, равная геометрической сумме плотностей мак* ротока и тока смещения: SD U»=j+v (26-И) Ct 5. Экспериментальным обоснованием второго уравнения Максвелла служат опыты, в которых обнаруживается магнитное поле тока смещения. Рассмотрим одни из них — вал А. А. Эйхсж- вальда, изучавшего магнитное поле тока поляризации, представляющего собой часть тока смеще- ния. Диск S из диэлектрика помещен между двумя обкладками плоского конденсатора и вращает- ся вокруг оси ОО1 (рис. 26.3). Каждая обкладка конденсатора разделена на две пластины (в, Ь и с, d), соединенные между собой, как показано на рисунке. Вследствие этого обе половины диэлектри- ка, помещенного между обкладками, поляризованы в противоположных направлениях. Во время вращения диэлектрика направление вектора поляризации в каждой из его частей изменяется на противоположное при переходе от пары пластин а, с к паре пластин b, d. Поэтому цри вращении диэлектрика в нем возникает ток поляризации, направленный параллельно оси раще—и. Магнит- ное поле этого тока обнаруживается по его действию на магнитную стрелку, помещенную вблизи диска (на рис. 26.3 не показана). 8. Согласно теореме Стокса (26.3), <j>Hdl= JrotHdS. (26.15) (П (S) Из (26.13) —(26.15) получаем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме: BD rotH=j+—. (26.16) Для областей поля, где нет макротоков G—0), первое и второе уравнения Максвел- ла в дифференциальной форме имеют симметричный вид с точностью до знаков в правых частях этих уравнений: гв го rotE=----, rotH=—. (26.17) Bt Bt Это различие в знаках свидетельствует о том, что направления векторов 3D{Bt и Н соответствуют правовинтовой системе (рис. 26.4, а), а направления векторов iJB/dt и Е левовинтовой системе (рис. 26.4, б). Напомним, что'знак минус в правой части первого уравнения Максвелла связан с правилом Ленца м вктекает из закона сохранения энергии. В случае одинаковых знаков при BUjBt и BD/Bt бесконечно малое усиление одного из полей (электрического или магнитного) вызывало бы 351
Рис. 26.3 Рис. 26.4 неограниченное усиление обоих полей, а бесконечно малое ослабление одного из полей влекло бы за собой полное исчезновение этих полей. Из уравнений Максвелла (27.17) следует чрезвычайно важный вывод о том, что параыоииы» элоктричоскоа и магнитно» поля неразрывно связаны друг с другом, образуя едино» электромагнитам поле. § 26Л. Третье и четвертое уравнения Максвелла 1. Максвелл обобщил теорему Остроградского — Гаусса для электростатического поля (15.19); Он предположил, что она справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Соответственно третье уравнение Максвелла в интегральной форме имеет Вид ’ (2618) - (Я или j>DdS=j*pdK (26.18') (SJ (D • Здесь р объемная плотность свободных зарядов, а интегрирование в правой части уравнения (26.18') проводится по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S. Третье уравнение Максвелла показывает, что поток сметания чараз произвольную неподвижную замкну- тую поверхность, мысленно проведанную в электромагнитном поло, равен суммарному свободному заряду, который нахо- дится внутри области, ограниченной этой поверхностью. 2. Максвелл предположил также, что всякое магнитное поле (в вакууме или в ереде, стационарное или переменное) всегда соленоидально. Иными словами, он обобщил теорему Остроградского - Гаусса (22.36) на любое магнитное поле. Соответственно четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид 352
Оно показывает, что (26.19) магнитный поток через произвольную неподвижную замкну- тую поверхность, мысленно проведенную в электромагнитном поле, равен нулю. 3. С помощью теоремы Гаусса (26.1) можно перейти от интегральных уравнений Максвелла (26.18) и (26.19) к дифференциальным. Третье уравнение Максвелла в диф- ференциальной форме выглядит следующим образом: divD=p. . (26.20) Четвертое уравнение Максвелла в дифференциальной форме имеет вид . divB=0. (26.21) § 26.5. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля 1. Полная система у pi нений Максвелла (в дифференциальной форме) включает четы- ре уравнения: (26.7), (26.16), (26.20) и (26.21). Запишем их вместе: ВВ rotE =----, divD=p, St (26.22) 5D • rotH—id---, divB=0. Bt ’ Эту систему необходимо дополнить материальными уравнениями, характеризующими электрические и магнитные свойства среды. В случае изотропных несегнетоэлектрических н неферромагнитных сред и мак- ротоков, подчиняющихся закону Ома, эти уравнения имеют вид D=££oE, В=ддоН, j=yE. (26.23) Здесь £о и до ~ электрическая и магнитная постоянные; е и д — относительные диэлек- трическая и магнитная проницаемости среды в рассматриваемой точке поля; у — удельная электрическая проводимость среды. 2. На границе раздела сред должны выполняться определенные граничные условия, вытекающие из уравнений Максвелла. С помощью математических приемов, рассмот- ренных в § 15.4, можно показать, что граничные условия для электромагнитного поля имеют вид Л1Л=а, E2t=Ei„ в^в^. (26.24) Здесь о — поверхностная плотность свободных заря- дов в .точке М на поверхности раздела сред; п — еди- ничный вектор нормали к поверхности раздела, прове- денный из среды I в среду 2 (рис. 2б.5)Ст — единичный Рис. 26.5 12 Курс физики 353
вектор, касательный к поверхности раздела сред; N=(nr ] — единичный вектор, каса- тельный к поверхности раздела сред и ортогональный "г; }т — вектор линейной плотности поверхностного тока проводимости. Вектор j”™ направлен вдоль поверх- ности по направлению тока в ней и численно равен j —al fol, где dZ — сила тока проводимости, проходящего через малый участок длиной -dZ сечения поверхности, проведенного перпендикулярно направлению поверхностного тока. При заданных граничных . и начальных условиях, т. е. известных значениях Е и Н в начальный момент времени t=0, система уравнений Максвелла имеет единственное решение. 3D № 3. Если электрическое и магнитное поля стационарны, т. е.—= -.=0, то, как видно из 3t -St уравнений Максвелла (26.22), эти поля существуют независимо друг от друга. В этом случае электрическое поле описывается двумя уравнениями электростатики: rotE=0, divD=p. (26.25) Соответственно магнитное поле описывается двумя уравнениями магнигосптнсн: rotH=j, divB=0. (26.26) Электрическое смещение D=ееоЕ. Поэтому в случае электростатического поля, учитывая связь между напряженностью Е и потенциалом <р поля (13.26), второе уравнение электростатики можно записать в форме div(—egradv)=p/fio- (2627) Если диэлектрик однородный, то е не зависит от координат и div grad ф =-р/(с£о), Так как 3*ч> divgrad?=—+—+—=V2c>, or фт oz1 д2 д2 В2 где V2=----1---1—-=Д — оператор Лапласа, то уравнение (26.27) имеет вид Зх2 ду2 дг2 V2o----р/(вео), ". (26.28) иди, в частности, для электростатического поля в вакууме V2fl>=-p/eo- (26.283 Дифференциальное уравнение (26.28) называется уравнением Пуассона. Если в рас- сматриваемой области электростатического поля в однородной среде нет свободных зарядов, то потенциал поля удовлетворяет дифференциальному урявнонно Лапласа: V2v=0. < (2629) 4. Дальнейшим развитием теории электромагнитного поля Максвелла явилась клас- сическая электронная теория Лоренца. Эта теория исходила из определенных модельных представлений о строении вещества: считалось, что атомы состоят из отрицательно и положительно заряженных частиц и все многообразие электрических и магнитных явлений объясняется определенным расположением, движением, взаимодействием за- рядов и микротоков. В любой точке пространства существует электромагнитное микрополе, которое представляет собой результат совокупного действия всех зарядов и микротоков. Микрополе подчиняется системе уравнений, аналогичных уравнениям 3,54
Максвелла. Усреднение уравнений электронной теории позволяет перейти к уравнени- ям Максвелла для макроскопического электромагнитного поля. Это усреднение произ-. водится по интервалам времени, значительно большим, чем периоды внутриатомных и внутримолекулярных процессов (периодов обращения электронов, периодов враще- ния и колебаний молекул), и по объемам поля, во много раз превосходящим объемы атомов и молекул. 5. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца (см. § 7.3). Электрические заряды частиц и тел также не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Формулы преобразовяшш Лоренца для электромагнитного поля в ваку- уме при переходе от неподвижной инерциальной системы отсчета К к другой инерци- альной системе отсчета К’, движущейся относительно К равномерно и прямолинейно вдоль положительного направления оси ОХ со скоростью V, имеют следующий вид [частично мы их уже писали раньше - см. (23.33)]*: Ev-VBZ Ег+УВу Е\= . ' , £> у/Х-уЧс1 у/х-гчг в By+VEJc1 в, ~ Bz— VEy/c2 у y/i-v2/c2 1 y/\-v2ie (26.30) ~ On Dy-VHtjc2 D^VHJc1 D.= У Dz = y/l-iV2/c2 y/l-V2lc2 Hy+VD. HZ-VD, r , у/1-У2/сг y/l-r2/c2 Обратные преобразования от К' к К получаются из написанных выше путем замены всех нештрихованных величин на штрихованные и всех штрихованных величин на нештрихованные, а также замены всюду величины И на — И в. Из преобразований Лоренца для электромагнитного поля видно, что одно и то же электромагнитное поле по-разиому проявляется в инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. В частности, если в системе отсчета К есть только электрическое поле E=£J, а В=0, то в системе отсчета К' будут наблюдаться и электрическое и магнитное поля, векторы Е' и В' которых взаимно перпендикулярны: £„ £> - 7...-.^, - у21г (26.31) , 'Предполагается, что сходственные оси координат систем отсчета К и /С попарно парал- лельны. 355 12*
Наоборот, если в К нет электрического поля, а есть только магнитное поле В=Дк, . то в К' опять-таки будут наблюдаться и магнитное и электрическое поля, векторы В' и Е' которых взаимно перпендикулярны: г.-*-. y/l-V2lc2 (26.32) £^=е;=о, ==• V1-F2/cj 7. Исходя из преобразований Лоренца для электромагнитного поля (26.30), можно доказать, что скалярные произведения Е' и В', а также Н' и D' инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета К', т. е. Е'В'=ЕВ, H'D'=HD. (26.33) Точно так же инвариантны следующие выражения: Е'2-с2В'2=Е2-с252, (2634) Вопросы: 1. Обобщением каких законов электростатики и электромагнетизма является теория Максвелла для электромагнитного поля? 2. В чем состоят эти обобщения и как они отражены в уравнениях Максвелла? 3. Поясните принцип действия бетатрона. Почему при ускорении электронов в бетатроне нет проблемы синхронизации? 4. Удовлетворяет ли ток смещения закону Джоуля — Ленца? 5. Какой основной вывод относительно электрических и магнитных полей вытекает из уравне- ний Максвелла?
4 Часть Колебательные и волновые процессы Глава 27 Свободные гарионические колебания Глава 28 Затухающие и вынужденные колебания Глава 22 Волны в упругой средв Глава 30 Электроиагнитные волны Глава 37 Интерференция света Глава 32 Дифракция света Глава 33 Распространение света в веществе Глава 34 Поляризация света
Глава 27___________________ -___________________ Свободные гармонические колебания § 27.1. Гармонические колебания 1. Колебаиинш называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают: мехяшнеосне колебания (колебания маятников, струи, частей машин и механизмов, зданий, мосте» и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука, качка корабля, волнение моря и т. п.); элапрмшшгаые (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов Е и В элект- рической напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитного поля и т. д.); электромеханические (колебания мембраны телефона, диффузора электродина- мического громкоговорителя и т. п.) и др. Система, совершающая колебания, называется колебательной. Свободными (Собственными) колебаниями называются колебания, которые проис- ходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и воз- никают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. .Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия. Примерами вынужденных колебаний могут служить колебания силы тока в элект- рической цепи, вызываемые переменной э.д.с.; колебания маятника, вызываемые пере- менной внешней силой. 2. Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повто- ряются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называет- ся периодам колебаний. За период колебаний Т система совершает одно полное колеба- ние. Частотой периодических колебаний называется величина v=l[T, равная числу полных колебании, совершающихся за единицу времени. Циклической (круговой) часто- той периодических колебаний называется величина а=2я¥—2л/Т, равная числу полных колебаний, совершающихся на 2я единиц времени. В электротехнике о>—2яу называют угловой частотой. 3. При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины з от временя t удовлетворяет условию х(г+ 7)—j(l). Периодические колебания величины s(t) называются гармоническими, если з(1)“=Л sin (atf+f>0), (27.1) где cj=2«v=(2«/7)“const — цяклическая (круговая) частота гармонических колебав; ^»JwMn=con8t>0 — максимальное значение колеблющейся величины з, называемое амплитудой колебаний; фо — постоянная величина. Значение з в произвольный момент времени t определяется значением фазы колебаний Ф(г)=с>г+фо- Величина фо представ- ляет собой начальную фазу иош бииЛ, т. е. значение Ф(0 в момент г—0 начала отсчета времени: фо=Ф(О). Выражение для гармонически колеблющейся величины х(г) можно также пред- ставить в следующей форме, эквивалентной (27.1): • х(|)*Лсо8(<ог+ф1), (27.19 где ф1 = фо-я/2. 358
4. Из (27.1) видно, что первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся величины я(г) также совершают гармонические колебания той же частоты: dj —“ Аа> сое (<а/+Фо)=Аси 8ш.(<дг+ фо+я/2), dl d2j —— — Л ar ain (car+фо)» Л со2 ain (со/+фо+я). (27.2) причем амплитуды dr/dr и d2j/dr2 соответственно равны Лео и Аса2. Начальная фаза is/dt равна (фо+я/2), т. е. разность фаз колебаний dj/dr и з постоянна и равна , я/2 (величина dj/df опережает к по фазе на я/2). Начальная фаза d2j/dr2 равна (Фо+Н), т. е. разность фаз колебаний d2j/d?2 и з постоянна и равна к (d2j/dr2 опережает з по фазе на я). Графики зависимости От времени t величин J, dj/dr и d2j/dr2 пр гармонических колебаниях для случая фо“О показаны на рис. 27.1. 5. Из второго соо кипения (27.2) видно, что гармонически олсблющаяся величина з удов- ^+<А-0. - d/2 Общее решение этого уравнения: 3=*Ai ЯП С0/+ Л1СО8СИ, (27.3) (27.4) где Л1 и Л] — произвольные постоянные интегрирования. Значения At и Aj можно найти из начальных условий, т. е. зная значения з и ds/dt в начальный момент времени (г-0): ,Л2=1(0). Общее решение (27.4) можно привести к вицу (27.1): • я=А яп (со/+фо), • где Л=х/Л]+л|, ф0=агсг8(Л2/Л1). Таким образом, з совершает гармонические колебания в том и только в том случае, если она удовлетворяет уравнении (27.3), называемому двффереипшльаым ураваенаем гармокческих колебашм. Рис. 27.2 в. Гармонические колебания можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора на плоскости. Для этого из начала координат О на плоскости проводят вектор А (рис. 27.2), модуль которого равен амплитуде Л колебаний и со- ставляет с осью координат ОХ угол ф—oJ/4-фо, равный фазе колебаний в данный момент времени t. С течением времени угол ф увеличивается так, что вектор А равномерно враща- ется вокруг точки О с угловой скоростью, равной цикличес- кой частоте колебаний со. Соответственно проекция вектора А на вертикальную ось OY совершает гармонические коле- бания по закону 359
Ay=s=A sin {at+ф0). Графическое изображение гармонических колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды называется методом векторных диаграмм. Им широко пользуются, например, при сложении одинаково направленных гармонических колебаний (см. § 27.4). 7. Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел, е =С08ф + /8Шф, (27.5) где i=y/— 1 — мнимая единица. Поэтому гармонические колебания л=A sin (at+фо)=A cos (он+ф j), где ф1 = фо—я/2, можно записать в экспоненциальной форме: s=Ac =Ае , (27.6) где А = Ас*' — комплексная амплитуда. Физический смысл имеет только действитель- ная часть комплексной функции S, обозначаемая Re л: Re s=s= A cos {tot+<p()=A sin (to/+ф0), где ф0=Ф1+я/2. § 27.2. Механические гармонические колебания 1. Есди материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат ОХ около положения равновесия, принятого за начало координат, то зависимость координаты х точки от времени t имеет вид (27.1), где s=x: х—Л sin (оя+ф0). (27.1*) Проекции скорости v и ускорения а точки на ось ОХ равны • dx -=«0со5(шг+фо), ' dr (27.7) ах ах = —-== — ао sin {ait + фо), dr2 где t0=Aai — амплитуда скорости; ao=Aai2=v0a) — амплитуда ускорения. Сила, действующая на материальную точку, F=wa, Fx= — mai2x, (27.8) где т — масса материальной точки'. Следовательно, сила F пропорциональна смете- ' нию материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону: F=-rwo)2xi, (27.9) где i - орт оси ОХ. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы (3.33). Поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называ- ются квазиупругими. 2. Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармони- ческие колебания, равна 360
*/2mti2«= 1limvo cos2 (tot+ Фо)= 1l2rnarLA1 cos2 (o>f+ф0) (27.10) НИИ »гж=74шй>2Л2[1+со8(2шГ+2фо)]. (27.10') Кинетическая энергия материальной точки периодически изменяется от О до та1 А1/2, совершая гармонические колебания с циклической частотой 2ш и амплитудой таз1А1 /4 около среднего значения, равного таг А1/4. Потенциальная энергия мате- риальной точки, гармонически колеб- лющейся под действием квазиупру- гой силы, равна Wa= - Fxdx=1/2maj2x2= ту1 а2 2 W о Ж Л П=0 W Ж Ж Т/2 Т о ЗТ/2 t = 1/2тш2Л28ш(<»Г+фо) (27.11) или 1Уп=1/4ти2Л2[1—cos(2co/4-2^0)]=1/4/ncD2y42[14-cos(2o>r+2?>0+n)]. (27.119 Потенциальная энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до '/2л1ш2Л2, совершая гармонические колебания с циклической частотой 2ш и ам- плитудой ^l^mwP-A1 около среднего значения, равного Ч^та^А*. Колебания поте- нциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на п, так что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при гармо- нических колебаниях: 1У=1Уж+1Рп=72тсЛ42® const. (27.12) Графики зависимостей WK, Wx и W от времени t для случая <ро=О показаны на рис. 27.3. ‘ 3. Рассмотрим примеры систем, совершающих свободные гармонические колебания. Пример 1. Лявйный гармонический осциллятор — материальная точка массы т, совершающая прямс«линейные гармоничесгие колебания под действием упругой силы Fynp” — fad (3.33). Приме- ром такой системы может служить ужи i маятник — груз массы т, подвешенный на аб- солютно упругой пружине (It — коэффициент, характеризую яй упругие свойства пружины). По i d2x второму закону Ньютона, ят-Гущ,, где •=—-1 — ускорение материальной точки. Таким об- d/2 разом, уравнение движения осциллятора — пружинного маятника — имеет вид d2x d2x It л т—-——far или ——4— х—0. dr1 dr2 т (27.13) Так как коэффициент к/т положителен, то уравнение (27.13) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний.. Из сравнения (27.13) с (27.3) следует, что осциллятор (пружинный маятник) совершает гармонические колебания по закону х—A sm (orf+фо) с цикличес- кой частотой еа и периодом Т, равными ^~Jklm, Т~2пу/т/к. (27.14) Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора ^„-‘/jfar2. (27.15) Пример 2. Физический маятжк — твердое тело, которое может вращаться под действием своей силы тяжести т g вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр 361
тяжести тел» (рис. 27.4) и называемой осыо качания мактжжа. Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс С. Точа* О пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной осн качания, называется точкой адоеса маятшка. Вопи силами трети в подвесе маятнике можно пренебречь, то момент стяосятельно осн качания маятника создает только его сила тяжести mg. При отклонении маятника на угол «эта сила создает момент, численно равный rngtiaina и стремящийся возвратить маятник в положение равновесия (а»0). Поэтому в соответствии с основным законом (4J26) динамики тела, враща- ющегося вокруг неподвижной оси, уравнение движения физичес- кого маятника имеет вид d2a J—mfrftina, dT2 где a — угол поворота маятника вокруг оси качания из положе- Рис. 27.4 ник равновесия: d«|OC| —расстояние от центра масс маятника до оси качания; J—момент инерции маятника относительно той же оси; m — масса маятника; g— ускорение свободного падения. При малых колебаниях маятника плата и можно считать, что уравнение движения маятника имеет вцд d2a mgd —+~ a-0, dr2 J (27.16) т. е. угол а удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний (27.3). Таким образом, в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими: a— ат (а>г+ф(0, где До — амплитуда колебаний угла а, а m^y/mgdfJ, T—lKyJ'j/(mgd)^ (27.17) — циклическая частота и период малых колебаний физического маятника. Пример 3. Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой «ра- стяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Математический маятник представляет собой предельный СДПГЧ&Й фнЗЯЧЮСЖОГО МПЯТВЕЖЖ, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, тая что d~l—пякве. шхплктваюго маятника, а Соответственно циклическая частота и период малых колебаний математичес- кого маятника равны '' n-y/gil, T-2xy/lig. (27.18) Малые колебания физического и математического маятника являются примерами Hinqwn колебаний, т. е. колебаний, частоты и периоды которых не зависят от амплитуд. В общем случае период колебаний физического маятника зависит от его амплитуды а& Т-2я Гl+(-Y tin2 -+(- -Y tin* -+...1 \Jmgd\_ \2/ 2 2 J Изменение значения T при увеличении ао до 15* не превосходит 0,5%. Длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный физический маятник, называется этого физического маятника. Из (27.17) и (27.18) следует, что J Jc md md где Jc —- монет инерции физического маятника относительно оси, проходящей через цектр масс С маятника и параллельной его оси яжчания. Точка О], лежащая на прямой ОС на роилошим 362 <
от точки подвеса маятника О (рис. 27.4), называется жанром качал физического маапвкя. Центр качания О) и точка подвеса О обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качаний проходила через точку Ot, то точка О будет совпадать с новым положением центра качания маятника, т. е. приведенная длина и период колебаний маятника останутся Пре- жними. , Пример 4. Малые свободные колебании электронов в плазме. Эти колебания, называемые лежтморовскиаа колебаниями плазмы, вы- зываются силами электрического поля, которое возникает в элект- ронейтральной плазме при каком-либо случайном отклонении про- странственного распределения электронов от равновесного. Напри- мер, если в плоском слое плазмы толщиной I (рис. 27.5) электроны Рис. 27.S смещаются на малое расстояние з вдоль положительного направления оси ОХ, то в левой части слоя возникает избыточный положительный зар^ц, а в правой — отрицательный. Соответственно возникает электрическое поле, подобное полю плоского конденсатора (14.17), поверхностная плотность зарядов которого в^п^ез, где ло — концентрация электронов в плазме, е — абсолют- ное значение заряда электрона. Напряженность Е поля направлена по оси ОХ, а проекция Е на эту ось Ех“'%«/£о- По второму закону Ньютона, уравнение движения электронов плазмы в этом электрическом поле имеет вид da5 <?2«oi т—-•»— е£х“--------или dr2 ев d2j e2«o — +-----5-0, d( тво (27.20) где т — масса электрона. Таким образом, электроны плазмы совершают свободные гармоничес- кие колебания с циклической частотой ш^еу/поКтео), (27.21) называемой плазменной (ленгмюровской) частотой. § 27.3. Свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре 1. Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электри- ческие колебания, служит простейший колебательный контур (рис. 27.6), состоящий из конденсатора электроемкостью С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивностью L. При замыкании на катушку предварительно заряженного конден- сатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора в тока в катушке. Переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью, равной скорости света. Поэтому если линейные размеры I контура не слишком велики (l-Gzcfv, где оЗЮ1 м/с — скорость света в вакууме, v— частота колебаний в контуре), то можно считать, что в каждый момент времени t сила тока /во всех частях контура одинакова. Такой переменный ток называется квязветацяоняряым. По закону Ома (19.9) для участка цепи I — L — 2 (рис. 27.6), /Л=ф|-ф2+ ёс, или /Я- 9 Ы С At />0 Рис. 27.6 Здесь q и <?i— q>2= — q/C— заряд конденсатора и разность потенциалов его обкладок в произвольный момент времени г; /{ — электрическое сопротивление колебательного контура, т. е. участка цепи I— L — 2; dc= —L(d//dr) -- э.д.с. самоин- 363
d2? (27.22) дукции в катушке. Из закона сохранения электрического заряда следует, что сила квазистационарного тока в контуре Z=dg/d/. Поэтому дифференциальное уравнение колебаний заряда q имеет вид R de д — +-----+— df2 L di LC 2. Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармони- ческими, если его электрическое сопротивление Л=0: d2? dr2 1 +—9=0. LC (27.23) Циклическая частота со и период Т этих колебаний удовлетворяют формуле Том- сона: w=\ly/LC, Т=2ях/Ес. (27.24) Заряд q конденсатора и сила тока Z в контуре изменяются по законам д=9сгяп(шг+фо). Z= Z0cos (cot + фо)=Zo яп (си+ фо+я/2), (27.25) Z где до — амплитуда заряда конденсатора; 1о=а>до=до1у/ьс — амплитуда силы тока; Фо — начальная фаза колебаний заряда конденсатора. Ток в контуре опережает по фазе заряд конденсатора на я/2. Разность потенциалов обкладок конденсатора и=ф2—ф] также изменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом д'. и=(7ойп(йН+фо), (27.26) где Uo~ qtJC — амплитуда разности потенциалов. Амплитуда тока Zo=-==-=. (27.27) JLC у/L/C Соотношение (27.27) между Zo и С70 по форме подобно закону Ома (19.9) для пассивного участка цепи постоянного тока, поэтому величину Jt-ic. называют волно- вым сопротивлением колебательного контура. 3. При свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре происходит периодическое преобразование энергии Wt электрического поля конденсатора в энер-. гию IFm магнитного поля катушки индуктивности и наоборот: sin2 (шг+фо), 2С 2С . . LZ2 LZ2 Wa=—=—~ С082(йЛ+фо). 2 2 i (27.28) Колебания, происходящие в электрическом колебательном контуре, часто называ- ют электромагнитными колебаниями в контуре. Значения Wc и изменяются при гармонических электромагнитных колебаниях в пределах от 0 до максимальных значений, соответственно равных 9о/(2С) и LIo/2, причем, как видно из (27.27), 9q/(2C)»LZ3/2. Колебания Wc и Wa сдвинуты по фазе: 364
в те моменты времени, когда И^=0, И'т“(Я'га)мыс=£7'о/2 и, наоборот, когда Wa=0, то ^е=(1ГДви.=?о/(2С). Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени: ir=rye+Frm=’" = Z'7Lconst. (27.29) 2С 2 § 27.4. Сложение гармонических колебаний 1. Под сложением колоб пш понимают нахождение закона результирующих колеба- ний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая: сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Первый случай соответствует, например, колебаниям грузика 1 (рис. 27.7), который колеблется относительно грузика 2 на пружине а и вместе с ним на пружине Ь. Этот же случай реализуется при наложении колебаний скалярных физических характеристик колеба- тельной системы (давления, температуры, плотности, тока и т. п.). 2. Сложение двух одпаково направленных гармонических колебаний St—Aisn(a)it+g>i), Ji=Z2sin(c>2f+^2) можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм. На рис. 27.8 показаны векторы At (г) и А2 (f) амплитуд первого и второго колебаний в произвольный момент времени г, когда фазы этих колебаний равны Ф1(т)=о>1г+ф1 и Ф(0=й)2^+ф2- Результирующим колебаниям х=.т( соответствует вектор A(r)=Aj (г)4-А2 (г), проек- ция которого на ось OY s=A(t)sin<b(t). (27.30) По теореме косинусов, [Л(г)]2=Л?-М2+2Л1Л2со8[Ф2(0-Ф1(0], (27.30Э At йвФ] (г)+Л2мпФ2(0 tg®(r)=---------•-----=---. Ajcos®] (0+Л2со«Ф2(0 3. Два колебательных процесса называются когерентными колебаниями, если они согласованно протекают во времени, так что разность их фаз остается постоянной. Разность фаз двух гармонических Колебаний .п и л2 равна Ф2(0-Ф1 (0=(<О2-<а|Х + (Р2-Ф1)- 365
Следовательно, два гармонических колебания когерентны, если их циклические частоты одинаковы, т. е. oj-oii-im. В любой момент времени разность фаз когерент- ных гармонических колебаний равна разности их начальных фаз: Ф] (0“Фз~Ф1- Соответственно результирующие колебания — гармонические с той же циклической частотой со, т. е. Ji +Kj=A sin (со? 4-фо), (27.31) где А3 — Л, + A3+2HtA2 cos (ф2—Ф1), (27.31’) Л|>тф1+Л28тф2 \ tg^-------------—:—• Л1ОМф1+Л2СОВф2 В зависимости от разности начальных фаз складываемых колебаний амплитуда А результирующих колебаний изменяется в пределах отЛ=|Л1—XJ при ф2—Ф1«±(2т+1)я до Л—Л1+Aj при Ф2—Ф1“±2тя, где /и=0, 1, 2, ...— любое целое неотрицательное число. Если фз—ф, «= ±2/пя, то колебания аофазиы (находятся в одной фазе), а если ф2—ф]=±(2т+1)я, то находятся впротвофазе. 4. Гармонические колебания, частоты которых различны (coj^coi), векогерепиы, так как разность их фаз (<Дг—а>1)г+(ф2—Ф1) непрерывно изменяется с течением времени. При наложении таких колебаний получаются негармонические результирующие коле- бания. Векторы амплитуд Aj и Aj складываемых колебаний (рис. 27.8) вращаются с разными угловыми скоростями, так что построенный на них параллелограмм непре- рывно деформируется, а его диагональ — вектор А результирующих колебаний — из- меняется по длине и вращается с переменной угловой скоростью. Два гармонических колебания с различными циклическими частотами oh и мож- но приближенно считать когерентными лишь в течение промежутка времени Дг, за который разность фаз этих колебаний изменяется незначительно: с0]|Дгс2я или Дг-стпг, где тжя.-2к/|®1-Ш|| * (27.32) — время мшцммывослв колебаний. 5. Негармонические колебания, получающиеся в результате наложения двух оди- наково направленных гармонических колебаний с близкими частотами <»i|-octoj), называются биенжямн. В этом случае за начало отсчета времени t целесообразно принять тот момент, когда фазы обоих колебаний Ji и совпадают и равны фо. Тогда ( jj—Xi йп(сМ+фо). я2 v Л 2 sm (<ед+фд) <= Л 2 sin [од Н-фо+ф (/)], где ф (г) “ (со?—o>i)r. Результирующие колебания я=.?i+ъ удовлетворяют соотношению х—Л(г)8т[а>1Г+фо+ф(г)], (27.33) 366
где [А (г)]2 “X j+А*+2ЛI Аг cos <р (г), Л2йпф(г) tg ^(г)----------- • Xi+XjCOSpft) В частности, если Xi® Х2®Хо, то (ОН—О»| \ —2— /’ ан—с»! *(0-=^ t, так что /а>2—ш, \ ,/<в^—а>1 .?=2X0cos I-----11 sin I--— t+Фо (27.339 (27.34) Величина Л (г), характеризующая размах колебаний при биениях, изменяется в пределах от |Xi—XJ до Ai+A2 с циклической частотой Q®|o>2—o>i|, называемой щклической частотой биений. Поскольку частота биений во много раз меньше частоты колебаний (Q<kwi), переменную величину |Х (г)| условно называют амплитудой биений. Период биений и частота биений равны 2я 2я , TiTj Тб=—®--------=------ n fo-®,! т-ту t (27.35) ve® —= |V2-V1|, Те где 7|, и Тъ V] — периоды и частоты Рис. 27.8 складываемых колебаний. Характер за- висимости .? от времени t при биениях показан на рис. -27.9 (для случая At — А2=Ао). 6. В результате сложения гармонических колебаний, совпадающих по направлению и имеющих кратные циклические частоты to, 2to, 3to и т. д., получаются периодические негармонические колебания с периодом T-lufto. В свою очередь, любое сложное периодическое колебание я®/(0 можно представить в виде суммы простых гармоничес- ких колебаний с циклическими частотами, кратными основной щклической частоте со=2л/7', где Т— период колебания: Oq Qq w а=/(т)=—+ £ (a,cosntoT+feRsmпо#)®—I- £ Ляпп(л®г+фя). (27.36) 2 «-1 2 »-i Такое представление период ической функции /(г) называется разложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания. Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами to, 2to, 3to и т. д., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания {Совокупность этих гармоник образует спектр колебания s=f(t). Состав спектра зависит от вида периодической функции /(г). В простейших случаях спектр может состоять из небольшого числа гармоник. Часто цод спектром колебания понимают спектр его частот, т. е. совокупность частот простых гармонических колебаний, в результате сложения которых может быть 367
получено сложное колебание. Периодические колебания имеют дискретные (линей- чатые) спектры частот. Непериодические колебания г как правило, имеют непрерывный (сплошной) спектр частот, т. е. их можно представить как результат наложения множества гармонических колебаний,, частоты которых принимают всевозможные значения в некотором ин- тервале (в общем случае от 0 до оо). 7. Изменение по определенному закону какого-либо из параметров периодических колебаний (например, амплитуды или частоты), осуществляемое за время, значительно большее, чем период колебаний, называется модуляцией колебаний. Например, при амплитудной модуляции гармонических колебаний s=Лояп (ш0/Ч-ф0) модулированные колебания имеют вид j=^o[l+A(r)]sin(tao?+(90), (27.37) где |6(0|<1. Если амплитудная модуляция осуществляется по гармоническому закону bfiy^bocosClt, где bB=const и n«<ot), то s=/40(l+fc0cosnz)sin(<oot+<?>o). (27.38) 1 Это модулированное колебание имеет линейчатый спектр частот, так как может быть представлено в виде суммы трех гармонических колебаний с циклическими частотами сод, а>о~ П, шо+П и амплитудами, равными Ao, Aobo/2 и Afall- Ло(1 +60cosnOsin(<u0/+p0)-.40sm(c<w+Po)+ ’/2^0*0 {sfti ((®о+й)г+Фо1+ +яп[(а)п-П)/+ф(Д}. (27.39) Модуляция колебаний широко используется, например, в радиосвязи и телевидении. 8. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты. Пусть точка М одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОК по законам х=А\ (сиг+фО, ' . , ' (27.40) У = Л2ЯП(юТ + ф2), где х и у — декартовы координаты точки М. Уравнение траектории результирующего движения точки в плоскости ХО Y можно найти, исключив из выражений для х и у пара- метр г. Из (27.40) имеем х/А j==sin (cot+ф|)«=sin cot cos <pt + cos cot sin фь у!Аг—sin (cot+<p2)=sin cot cos <p2+cos cut sin cp2, откуда " . (xMOsmipj-G-Mjhintpj sin cot—--------------------, cos ф] sin ф2—cos фг sin ф1 (*/ A!) cos Ф2 - (у/Аг) COS <j>| coso>t=---------------------—. cos срг sin <pi — cos ф1 sin <p2 Тогда tx у "|2 Гx У I2 sm<p2— - sin<pi | + cos<p2— cos^i =(cos<pisin<p2—cos<p2sin<pi) . A< A2 J |_Л] a2 J 368
После несложных преобразований получаем уравнение траектории: ----- «»(ф2-ф1)=81П2(ф2-ф|). la AjAj (27.41) Траектория имеет форму эллипса (рис. 27.10), причем точка М описывает этот эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний Т—2я/ео. Поэтому резуль- тирующее движение точки М называют элл! тическн Ориентация в плоскости XOY эллипса, а также его размеры зависят от амплитуд At и А2 складываемых колебаний и разности их начальных фаз ф2—фЬ Если ф2—Ф,=(2/и+ 1)я/2, где m=0, ± 1, ±2,.... то оси эллип- са совпадают с осями координат ОХ и OY, а размеры его полуосей равны амплитудам At и А2: Рис. 27.10 (27.42) Если, кроме того, Л!=Л2, то траектория точки М представляет собой Окружность. Такое результирующее движение точки М называют циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, иолцмэомйпыми по кругу. « В тех случаях, когда ф2—(/п=0, ±1, ±2,...), эллипс.вырождается в отрезок прямой: y-iWAJx. (27.42') Знак плюс соответствует четным значениям т, т. е. сложению синфазных колебаний (рис. 27.11, а), а знак минус — нечетным значениям т, т. е. сложению колебаний, происходящих в противофазе (рис. 27.11, 6). В этих случаях точка М совершает линейно поляризованные колебав i. Она гармонически колеблется с частотой складываемых колебаний и амплитудой Л=>/Л?+Л2 вдоль прямой линии, составляющей с осью ОХ угол а=arctg [(Л г/Л 0 cos/ил]. 9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими частотами рсо и фа, где pug — целые числа: х=Л1 яп (роН+фД у=Л2яп(фсоГ+ф2). (27'43) Значения координат х и у колеблющейся точки М одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени Го, равные, общему наименьшему кратному РИС. 27.12 369
Ti‘=2n/(pto) и Т1-=2я/(9<и) — периодов колебаний вдоль осей ОХ и ОХ. Иозттву траектория точки М — замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траек- тории точки М, одновременно совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а сто- роны параллельны осям координат ОХ и ОХ и расположены по обе стороны от них на расстояниях, соответственно равных и Aj. Отношение частот ра> и да) складываемых колебаний равно отношению числа касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельной оси ОУ, и со стороной, параллельной оси ОХ. На рис. 27.12 показан вид фигур Лиссажу при трет различных значениях отношения д/р (2:1,3:2,4:3) и разности начальных фаз A<p=<pj— Вопросы: 1. Что изменится в уравнении гармонических колебаний, если в векторной диаграмме вращать вектор амплитуды по направлению часовой стрелки? 2. От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний? 3. Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний одной частоты? 4. Как получить эллиптически поляризованные колебания? & Как по виду фигуры Лиссажу найти отношение частот складываемых колебаний? В каких случаях это можно сделать? б. Что понимают под спектром колебаний?
Глава 28_________________________________________________ Затухающие и вынужденные колебания § 28.1. Затухающие колебания 1. Затуханием колебанв называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных механических колебаний вызывается главным образом трением, сопротивлением окру- жающей среды и возбуждением в ней упругих волн. Затухание в электрических колеба- тельных системах вызывается тепловыми потерями в проводниках, образующих систе- му или находящихся в ее переменном электрическом поле, потерями энергии на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потеря» в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется лям *, если параметры, характеризующие существенныв в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. Например, пружинный маятник, движущийся в вязкой, среде, представляет собой линейную систему, если коэффициент сопротивления среды и упругость пружины не зависят от скорости и смещения маятника. Электрический колебательный контур можно считать ана юй системой, если его электрическое сопротивление R, электро- емкость С и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. В большинстве случаев реальные колебательные системы достаточно близки по своим свойствам к линейным. 2. Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие коле- бания линейной системы. Для этого рассмотрим два примера линейных систем — механической и электрической, колебания которых сопровождаются диссипацией энер- гии. Пример 1. Свободные затухающие колебенм пружинного маятника массы т, движущегося в вязкой среде вдоль оси ОХ. На маятник действуют дм силы: сила упругости пужнем Fyop и сила сопротивления среды Fc, которую, как показывает опыт, можно считать в ервом , жближени пропорцжн и< скорости маятника т и вле« в противоположную т сто* ролу; Fe= — bv, где b — постоянный положительный коэффициент прол тл госп называ- емый нигффищии1пм сопротмлеаки. По второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид d’x <1* т ——Ь--------кх, dr2 de или d2x dx —-+20 — +wJx-O, (28.1) ____ it* dr где p^b/(2m}, a>o**y/kln>. Пример X Свободные затухаюпюе колебании и злекгрмесжом колебательном контуре. Элект- рическое сопротивление реального контура Я?*О, и, согласно (2722), колебания заряда конден- сатора описываются уравнением d’f df --^+20 у+^0, (282) __ dr1 dr где Р-Rj{2L}, wo- \!y/UC. 371
Уравнения (28.1) и (28.2) тождественны по форме. Поэтому можно утверждать, что общее дифференциальное уравнеяве свободных затухающих колебаний рассмотренных линейных систем имеет вид dJjs dj , —+2p-+w^0. (28.3) at at Здесь s — изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы; /f=const>0 — коэффпцм г затухания; ы0 — циклическая частота свободных незатуха- ющих колебаний той же'системы, т. е. в отсутствие потерь энергии (при /1=0). 3. В курсе математического анализа доказывается, что решение дифференциального уравнения (28.3) следует, искать в форме «=еЛ', (28.4) а его общее решение з^С^+С**. (28.5) Здесь Ci и С2 — постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий; Ai и Л2 — корни характеристического уравнения, которое получается из (28.33) после подстановки в него выражения (28.4) для искомой функции з (г): 21+2Д+а>’=0. (28.6) Если р<азо, то корни квадратного уравнения (28.6) комплексно-сопряженные: /1.2= -Pi^P1-^-P±h>, (28.7) где (28.8) — мнимая единица. Общее решение (28.5) имеет вид s=e [Qe +Cje ], или на основании формулы Эйлера (27.5) кч= е [(Ci + С2) cos cot+i (С! — С2) sin со/]. Вводя вместо Q и С2 новые две постоянные Ао и фо, связанные с С| и С2 соотношение- ями С| + С2=>4оып ^о. /(Ci—С2)=Л0со8^0, окончательно получаем s=A(ft ^яп(шг+^о). (28.9) Постоянные величины Ао и фо зависят от начальных условий, т. е. от значений s и ds/dt в начальный момент времени. График зависимости л (г) при затухающих колебаниях (28.9) изображен на рис. 28.1. 4. Затухающие колебания (28.9) не явля- ются периодическими, так как максималь- ное значение колеблющейся величины з, достигаемое в некоторый момент времени Г1, в последующем (при t>ti) никогда не повторяется. Однако при затухающих ко- лебаниях величина з обращается в нуль, 372
изменяясь в одну и ту же сторону (например, убывая), а также достигает максимальных в минимальных значений через равные промежутки временя: Т«2я/ю« 2я\/ша-j?2. (28.10) Величины Т и со поэтому обычно называют периодом (условным периодом) и цик- лической частотой (условной циклической частотой) затухающих колебаний. Величина . Л-Лое"* (28.11) л называется амплитудой затухающих колебаний, соответственно Ло — начальной амп- литудой. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания Д. Промежуток времени ?, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации: Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента затухания. Лог яфмвч хим декрементом затухания называется безразмерная величина 3, равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колеба- ний в моменты времени t и /+ Т (Т — условный период колебаний): S~]n^Q-~pT~-=-, (28.12) A(t+T) и т N tjscN — число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. Найдем связь между циклической частотой со затухающих колебаний системы в логарифмическим декрементом затухания 6. Так как со1 и Т=2п/со, то г=^Т=2ял/(щ0/<а)а-1 и со~ .... в* =. (28.13) 71+Р/(2хйа 5. Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная произведению 2я на отношение энергии W(i) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до г+ Т, т. е. за один условный период затухающих колебаний: б=2я------—-------. (28.14) Так как энергия W(i) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний А (г), то Ла(г) 2я 2я Q-2* —------v---------------------. иа(0-ла(г+3) х_е-21>т l e-w (28.15) При малых значениях логарифмического декремента затухания (<5<к 1) 1 —е~М«25 в добротность колебательной системы Qosk/S. (28.153 I. При этом условии, как видно из (28.13), гаиыо, т. е. условный период Тзатухающих колебаний практически равен периоду Те свободных незатухающих колебаний, так что 373
Я Я <№) о«-«———. 6 pro 20 (28.16) Например, добротность (28.16) электрического колебательного контура [шь— » \jyJtC н 0=1?/(2L)] равна отношению волнового сопротивления контура к его элект- рическому сопротивлению: (281б,) Л у V» . Добротность пружинного маятника [«Но—у/к/т, р=Ь!{2т}} e-J у/кт. (28.16") а в. При увеличении коэффициента затухания fl условный период затухающих колеба- ний возрастает и обращается в бесконечность при fl=coo. Если Д>аь*> то дифференци- альное уравнение движения системы (28.3)’имеет следующее решение: s-C# V+C*^‘, (28.17) где ai=fl~y/fi2-a% и tb^P+y/p-aft, а С] и Cj — постоянные коэффициенты, завися- щие от начальных условий. Если начальные зна- чения (в. момент времени т=0) равны 5(О)«=Ло da и — (О)»*», то, как легко проверить, <ВД)+Ч) Иро+яо С|=-------, Cj=-------. «2—«I в] —«2 Такое движение системы не имеет колебательного характера и называется алера- одн ким даиженем. В зависимости от начальных условий возможны два случая апериодического возвращения системы в состояние равновесия (рис. 28.2). Движение типа а осуществляется, если Ло>О, a q><0, причем |щ|>взд. Во всех остальных случаях происходит апериодическое движение типа б. § 28.2. Вынужденные механические колебания 1. Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные механические колебания, называется вынуждающей или возмущающей силой. Дифференщплыюе ураввшю вывуждшых колебаний простейшей линейной сиапе- мы — пружвшого маятника, происходящих вдоль осн ОХ под влиянием переменной внешней силы F(r), отличается от (28.1) только правой частью, равной отношении ГХ(Г) к массе маятника т; •Например для колебательного пура, электрическое и волновое сопротивления которого удовлетворяют соотношению КЯу/ЦС. 374
d’x dx _ 1 -+2^-+ф-Ш (28.18) at at m Если F,(r) — периодическая функция времени, то после приложения этой силы к маятнику вначале возникает переходный режим вынужденных колебавй, при котором мытник одновременно участвует в двух колебаниях: $ j(r)-x,(r)+x2(/). (28-19) Первый, член соответствует свободным затухающим колебаниям маятника (28.9)*: xi (Т)-Л<*яп (art+ft)» _____________ S где oj-Vo’o-/’1- Второй член соответствует незатухающим периодическим колебаниям маятника с частотой, равной частоте возмущающей силы Л (О- Амплитудное значение xj (Г), равное Лее-*, более или менее быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний: за время т0-4,6//7 амплитуда х( (г) уменьшается в 100 раз. Следовательно, через некоторое время т после начала колебаний (т~Тд) свободные колебания маятника практически прекращаются: х(г)»х2(Г). Маятник пере- ходит в состояние уставамиипнхся пвуждеяных колебаний, совершающихся с частотой возмущающей силы. 1 Рассмотрим вынужденные колебания пружинного маятника, происходящие под действием возмущающей силы, которая изменяется по гармоническому закону с цик- лический частотой Q: F^FoCOiflt, (2820) где Fg — амплитуда возмути ощей силы. Покажем, что установившиеся вынужденные колебания маятника будут тоже гар- моническими с той же частотой, т. е. найдем такие значения А и pg, чтобы выражение X—Лсо8(12т+<ро) (2821) обращало уравнение (28.18) в тождество. Из (28.21) следует, что dx/dt= — ЛП8Ш^1г+фо)=ЛЯсов(Пг+фо+»^2), d2x/dr2= — ЛП2со8(С1г+фо)=ЛП2сов(Пн-фо+я). (2822) Подставим (2821) и (2822) в (28.18): Л1 со8(П/+фд+я)+Л2сов(Пм-фд+я/2)+Л3сов(Ог+ф0)»ВсовПг. (2823) Здесь использованы следующие сокращенные обозначения: Л1=П2Л,Л2=2ДОЛ,Лз=оф4,В=^1Я. (2824) Уравнение (2823) показывает, что сумма трех одинаково направленных гармонических колебаний с амплитудами At, Л2, А3, одинаковой циклической частотой Q и раз- ’ личными начальными фазами (фо+я), (фд+я/2) и фд должна совпадать с гармо- •Предполагаегся, как это обычно в бывает, что Д<о>д. В противном случае свободно движение, маятника будет апериодическим. 37S
ническйм колебанием, происходящим по закону В cos (it. Для сложения этих трех колебаний мы вос- пользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 28.3 изображены векторы амплитуд всех четырех колебаний в начальный момент времени А((0), А2(0), А3(0) и В(0). Эти векторы должны удовлет- ворять условию (28.23), т. е. А1(0)+А2(0)+А3(0)=В(0). (28.24') Из рис. 28.3 и формул (28.24) следует, что амп- литуда А установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фаз <р0 между смещением маятника из поло- жения равновесия и вынуждающей силой зависят от соотношения между циклическими частотами вынужденных колебаний П и свободных незатухающих колебаний Юо> а также от коэффициента затухания Д: т •%/(е^о~^1)2+4Д2Й2 tgp0= -2ДП/(ш2-П2). (28.25) При П=0 получим фо(О)=О и A[0)^Aj)=F0/(mto^)=F0/k— статическое смещение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы FX=*F& При £1-»оо амплитуда Л(П)-»0 и tgpo-»0. а Фо~»—л. Графики зависимости Л(П) и <р0(Г2) при различных значениях коэффициента затухания 0 показаны на рис. 28.4 и 28.5. 3. Найдем частоту установившихся вынужденных колебаний Пр, при которой амп- литуда смещения А достигает наибольшего значения. Из (28.25) видно, что при П=Ц, . должно быть минимальным подкоренное выражение, стоящее в знаменателе выраже- ния для А, т. е. при П=°Пр ^[Н-П1)2+4Д2П2]п.Пр=0. G12 Выполняя дифференцирование, получаем -4Пр(ш2-Прг)+8Д2Пр=0, откуда Пр=7^5-2Д2=А/ш2-Д2, (2826) 376
где to — циклическая частота свободных затухающих колебаний маятника (28.8); Ц, — резонансная циклическая частота. Из (28.25) и (28.26) следует, что максимальная амплитуда ЛМ1ТГ=А (П₽)=Fa/Cimfito)=кРоЦтбо)1), (2827) где 5=рТ— 2гф!а> — логарифмический декремент затухания. , Если р<кша, то ПрЛсояашо и, как видно из (2825) и (28.27), Фо (Ц>)» - я/2, Ащп w QA0, (28.27') где QkkI& — добротность маятника (28.16); Ла=^о/(7пш§) — статическое смещение. Резкое возрастание амплитуды вынужденных механических колебаний при прибли- жении циклической частоты возмущающей силы к значению Ц, называется явлением механического резонанса Соответственно графики зависимости А от Q, изображенные на рис. 28.4, называются резонансными кривыми. По мере увеличения коэффициента затухания Д пики на резонансных кривых быстро сглаживаются (при малых р амплитуда А„.„~ 1/Д), а резонансная частота Ц, медленно уменьшается. 4. Скорость маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях dx w,=—= — ЛП8ш(£1/+фо)=Асо8(ЙГ+а). (28.28) dz Здесь Ач=*АС1 и а=ф0+я/2— амплитуда скорости и сдвиг фаз между скоростью и возмущающей силой, причем ДО Го А^= ------" --------~----- ........... , (2829) mV(£a2~Oi)2+4^ пг ч/(ш2-П2)2/П2+4^2 tga-— ctg,q>0=(w^-Cl2)/(2pQ'). . . (28.29') Из (28.29) видно, что амплитуда скорости максимальна при П=<ла и равна М.)м„с=ЛЛШо)=Г()/(2тД)- (28.30) В этом случае а=0, т. е. скорость маятника колеблется в одной фазе с воз- мущающей силой. При О—*оо амплитуда Л,-*0 и а-*—я/2, а при П-*0 амплитуда А-»0 и а-»л/2. 5. Ускорение маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях d2x ах——-«•— 4Q2cos(£lz+<p0)=^Icos(Qz4-y). (28.31) dz2 Здесь Лв=ЛП2 и — амплитуда ускорения и сдвиг фаз между ускорением в возмущающей силой, причем ДО2 Fo Аа=----....... . . --(28.32) т -OV +4/W « VK^o/^)' - П2 +(2Д/))2 Можно показать, что амплитуда ускорения максимальна при сио ( В2\ 1+^ Vl-2W«o)2 \ “о/ 377
При Й=0 амплитуда 4«—О, а при П-*оо амплитуда ускорения стремится к в. Покажем, что при установившихся вынужденных колебаниях потери энергии коле- бательной системы, обусловленные диссипативными силами, полностью компенсиру- ются за счет работы, совершасмойнад системой озмупд зп й силой. Элементарная работа, совершаемая силой сопротивления Fe— — bv на малом перемещении маятника, ушина SA^.— — tosdx>* —bt>*dt= — 2mflv^At. Подставим выраяа ие v. по формуле (28.28): -ЪфАЧР sin2 (Пг+фо) dr. Работа, совершаемая силой сопротивления за одно полное колебание маятника, г -2яфАЧ^ |вщ2(Пг+фо)бГ- -mftAWT о Работа, совершаемая за то же время возмущающей силой, т т At-*^ Fu»xco»nrdt“ —AQF0 J sin (Or+фо)cosCit dt. о о Так как ^ш(12г+фй)=&тОгсоафо+совОгапфо, то А,— — 1/2A£1FoTsin фо- Из рис. 28.3 видно, что sin фо— —Ai]B= —Im/KIA/Fo, поэтому Т. Если возмущающая си. l, действующая на пру инный маятник, из та пери- одически, но не по гармоническому закону, то ее можно разложить в ряд Фурье, т, е. представить в виде суммы гармоник этой силы. Гармоники имеют различные амп- литуды, начальные физы и циклические частоты, кратные П—2х/Т, где Т— период «пм^вения возмущающей силы. Так как маятник является линейной колебательной системой, то каждая г рмоник возмущающей силы действует на него так, как если бы других гармоник не было. Поэтому установившиеся вынужденные колебания маят- ника, вызываемые произвольной периодической возмущающей силой, можно рассмат- ривать как результат наложения установившихся вынужденных колебаний этого маят- ника под действием каждой из гармоник возмущающей силы порознь. «Вклад» различ- ных гармоник силы в результирующие колебания зависит от их частот и амплитуд. Благодаря явлению резонанса существенную роль играют лишь те гармоники воз- мущающем сиды, циклические частоты которых близки к резонансной частоте маят- ника. Если коэффициент затухания маятника fi мал (соответственно велика доброт- ность маятника), то маятник может совершать установившиеся вынужденные колеба- ния, близкие к гармоническим, даже в тех случаях, когда вынуждающая сила далека от гармонической. Примером таких вынужденных колебаний могут служить коле анш маятника, который периодически подвергается кратковременным внешним воздействи- ям в виде толчков, направленных в одну и ту же сторону и повторяющихся через одинаковые промежутки времени, равные периоду свободных колебаний маятника. 378
8. Явление механического резонанса используется в акустике для анализа звуков и их усиления. Однако в различных сооружениях и машинах, подвергающихся периодически изменяющимся нагрузкам, резонанс весьма опасен. Он может вызвать их разрушение вследствие значительндго возрастания амплитуды колебании. Так, например, шатуны двигателя внутреннего сгорания действуют на коленчатый Лал с периодически изменя- ющимися силами. Период их изменения связан с угловой скоростью вращения вала. Эти силы вызывают колебания коленчатого вала и при скорости вращения, соответст- вующей резонансу, могут привести к поломке вала. Вращающиеся части машин, диски и валы турбин, винты самолетов не могут быть абсолютно точно уравновешены, т. е. их центры масс всегда слегка смещены по отношению к осям вращения. Следователь- но, они также испытывают переменную нагрузку и совершают вынужденные колеба- ния. При проектировании современных машин и других сооружений, подвергающихся переменным нагрузкам, производят специальные расчеты и принимают меры для исключения возможности возникновения резонанса. § 28.3. Вынужденные электрические колебания 1. Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном кои- туре (см. § 27.3) в него нужно включить источник электрической энергии, э.дс.£ которого изменяется с течением времени (рис. 28.6). В электротехнике источник элект- рической энергии, характеризующийся э.д.с. и внутренним электрическим сопротивле- нием, называется источшком э.д.с. (источником напряжения) По закону Ома для участка / — R — L — 2 цепи квазистационарного электрического тока в контуре при вынужденных колебаниях IR=ф! — ф2—L —F & (/)• (28.33) Здесь <pi—<p\ — q!C — разность потенциалов обкладок конденсатора, q- его заряд, а внутреннее электрическое сопротивление источника э.д.с. считается пренебрежимо малым по сравнению с R — такой источник э.д.с. называется идеальным. Из закона сохранения электрического заряда следует, что I=dq/dt. Поэтому дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре можно представить в форме, аналогичной уравнению вынужденных механических колебаний (28.18): daq dq , 1 . (28.34) Здесь Д_= К/(2£) — коэффициент затухания свободных колебаний в контуре, а юо—1/л/^С — циклическая частота свободных незатухающих колебаний (т. е. при Я=0). 2. Если вынуждающая э.д.с. о» (/) изменяется по гармоническому закону: С (0= AocosHz, то при установившихся вынужденных колебаниях заряд конденсатора колеблется гармонически с той же циклической частотой £1 qtss.g0cos(£lz+<p0)- (28.35) Амплитуда А и начальная фаза Фо находятся по фор- мулам, аналогичным (28.25): 90=»-.--г——„ . .. „ , Рис. 28.6 379
Учитывая, что 1/(LQ и $=K/(2L), получаем & о <70= - ' - fHy/R *+{й£-1/(йС)]2 л (28.36) tg<oo“--------- П£-1/(ОС) При П—О фаза фо(0)=0 и 9о(О)=ЛрС — заряд конденсатора при постоянной разности потенциалов между обкладками, равной & 0. При П-»со амплитуда 9о~»О, а од-»—я. Графики зависимости до (О) и Фо (И) показаны на рис. 28.4 и 28.5, где Л=9о, Ло=9о(О)= SoC. 3. Силу тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре найдем из (28.35): do /4=—= —9бПаш(Пг+фо)=/о«»(П^—¥»)• (28.37) Амплитуду тока Zo—9(Д и начальную фазу — Ф«=фо+я/2 найдем с помощью формул (28.36): V^+[(Ob-l/(nC)]J (28.38) П£-1/(ОС) 18ф=авФо=———. Л Графики зависимости 1о(Л) при различных R называются резонансвымя кривыми колебательного контура, (рис. 28.7). Графики зависимости ф(П) показаны На рис. 28.8. Резонансная циклическая частота Ц,, соответствующая максимуму амплитуды тока в коитуре при вынужденных кппебаниях, w зависит от J?- ' , Ц,=шо=1/л/£С. (28.39) , Амплитуда силы тока при резонансе о/^ а сдвиг фаз между силон тока и э.д.с. ф(Пр)=О. Если П<шо, то ф<0, т. е. сила тока опережает э.д.с. по фазе и тем 380
сильнее, чем меньше £2 (<р= —я/2 при ft—0). Если £2><оо, то q»0, т. е. сила тока отстает по фазе от э.д.с. и тем сильнее, чем больше £2 (ф-*я/2 при £2-*оо). 4. Разность потенциалов клемм идеального источника гармонической э.д.с. (рис. 28.6) равна его э.дс. K=^ocosflz. (28.40) Падение потенциала на отдельных участках показанной на рис, 28.6 цепи перемен- ного синусоидального тока I=I0cos(flt—q>) —- конденсаторе емкостью С, резисторе сопротивлением R и катушке индуктивностью L — найдем из формул (28.35) и (28.37): Ч ис=<Р2-Ч>1=~ f п Uccos | £2г—<р—- uK==IR==UKcos(fit—(p), (28.41) dl uL=L—=ULcm dt я £2/—ср J— 2 Колебания ия происходят в одной фазе с колебаниями тока в цепи; и^, опережает ток по фазе на я/2, а ис отстает от него по фазе на тг/2, причем, по закону Ома (28.33) для участка цепи I — R — L — 2 (рис. 28.6), uc+ug+uL—S Ocos£2z. (28.42) Амплитудные значения ис, ия и щ соответственно равны: во /п U*~k>R, UL= С ПС CILIo (28.43) иди Uc^Xch, U^RIq, UL=XJ0, (28.43') ( где Xc—V(fiC} — емкостное сопротивление, 2l=£2L— индуктивное сопротивление, a R — активное электрическое сопротивление. Величины X=XL-Xc=QL-l/(nC), Z=y/R1+Xt—y/R2+(ClL—l/QC)2 (28.44) называются соответственно реактивным и полным опротнвленмями цепи. Пользуясь этими понятиями, можно переписать формулы (28.38) для амплитуды синусоидального электрического тока в цепи и его начальной фазе в виде . Io=£o/Z, tg(p=X[R, (28.44') причем cos<p=R]Z, sincp=X/Z. (28.44") При резонансе П—l/^/Ec и Хг=Хс, так что реактивное сопротивление цепи обращается в нуль, а полное сопротивление цепи достигает минимального значения, равного ее активному сопротивлению R: * Af(Qp)=O, Z(Qp)=ZMM=«. 381
В этом случае Цк“^о и э.д.с., напряжения и т. п.) называется среднее квадратичное значение силы тока за период Т его изменения- (28.45) о Для синусоидального тока М/0соя(ЗД—<р) и синусоидальной э.д.с. 5 =£0cosfkZ действующие значения равны (28.46) Элементарная работа, совершаемая синусоидальным током за малое время d/ в цепи, изображенной на рис. 28.6, равна работе источника эл.с. за то же'время: £dl~/06oCOb(Qf—<р) сов О/dr. (28.47) Мгновенная мощность тока в ценя &4 А'»—«Jo£oCOs(Qt—ф)соьПл (28.48) dt Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью Р тока в электрической цепи: т J#dr~^ /0^оС08фжАф£«фс08Ф- (28.49) о Множитель соеф называется коэффициентом мощности. Так как ^/Z, соаф* = Я/Z, то P-R&^/Z2. (28.50) При резонансе Z имеет минимальное значение, равное R, и активная мощность магсимн пьна* Р- & ^/R~ & ^/(2Я). (28.50) в. Если вынуждающая эщ-с. & представляет собой сумму гармонических эщ.с. с раз- Я личными циклическими частотами Ц, т. е. £ = £ £шсозОД> то результирующий j-i электрический ток I в колебательном контуре также будет представлять сумму сииусо- цдальных токов с циклическими частотами Ц и начальными фазами —ф(: 382
Рис. 2&8 I- E AkCos^z-^J. Jo M *Ьмамс Однако вследствие явления электрического ре- зонанса контур сильнее всего реагирует на ту & составляющую э.д.с., частота О, которой равна или наиболее близка к резонансной частоте <оо контура. Поэтому сила тока в контуре в основном определяется этой составляющей э.д.с. На описан- ном явлении основаны все радиоприемные устройства, неотъемлемой частью которых явля- ется колебательный контур, резонансная частота которого может изменяться путем изменения его емкости или индуктивности. Легко видеть, что влияние на колебательный контур вынуждающих э.д.с., частоты которых отличны от соо, будет тем слабее, чем «острее» резонансная кривая для контура, т. е. чем резче зависимость 10 от 12 вблизи значения f2=tao. «Остроту» резонансной кривой можно охарактеризовать с помощью относительной шв этой кривой, равной ДП/шо, где Д£2— разность значений flj и 12| циклических частот, соответствующих (рис. 28.9). Полагая в формуле (28.38) <>/(#>/2), получаем или CfiL2 / 1 У 1 R2 \ ~Q2LCj = ' Заменив (R2/L2)=4p2 и !/(£€)=©J, получим следующее уравнение, которому удов- летворяют искомые значения Qj и I2j циклической частоты: (о)2-(12)а=402Я2. Это биквадратное уравнение эквивалентно следующим двум квадратным уравнени- ям: Wg—Q2=2^Q и Wg—— 2Д£2. Решая их и отбрасывая отрицательные корни, так как они не соответствуют физическому смыслу Q, находим П^~Р+^Р2+<о2, Лз^р+^+а2, ДП=П2-П1-2Д Относительная ширина резонансной кривой колебательного контура равна отноше- нию активного сопротивления контура к его волновому сопротивлению: ДП/соо«2Д/шо=Я^/с/Ь. (28.51) Из (28.16') видно, что относительная ширина резонансной кривой колебательного контура есть величина, обратная добротности Q контура: АП/«о=1/е. (28.51Э 383
Вопросы: 1. Как влияет коэффициент затухания на условный период затухающих колебаний системы? Будет ли справедлива формула (28.10). если коэффициент затухания зависит от времени? 2. Какова связь между добротностью колебательной системы и ее логарифмическим декремен- том затухания? 3. Почему в теории вынужденных колебаний уделяют такое большое внимание случаю, когда внешнее воздействие на колебательную систему изменяется по гармоническому закону? 4. Как влияют активное сопротивление, электроемкость и индуктивность колебательного кон- тура на его резонансные характеристики? 5. От чего зависит коэффициент мощности в цели переменного тока?
Глава 29__________________________________________ Волны в упругой среде § 29.1. Продольные и поперечные волны 1. В предыдущих двух главах, рассматривая механические колебания, мы не ин- тересовались теми процессами, которые происходят в среде, окружающей колебатель- ную систему. Результирующее действие среды на систему учитывалось путем введения в уравнение движения системы силы сопротивления. Эта сила отождествлялась с силой трения, так как ее действие приводит к уменьшению механической энергии системы и затуханию ее свободных колебаний. Однако такое толкование взаимодействия коле- бательной системы со средой не полностью отражает истинную картину процессов, происходящих в самой среде. Действительно, если бы это взаимодействие было целиком аналогично трению, то оно должно было вызывать только нагревание окру- жающей среды, т. е. усиление теплового движения ее молекул. На самом деле вследст- вие передачи энергии колебательной системой среде последняя не только нагревается, но также приходит в механическое движение, совершая вынужденные колебания. В этом легко убедиться, наблюдая образование волн на поверхности жидкости при ударах о нее колеблющегося тела или даже при ее однократном возмущении в резуль- тате падения камня. Зритель в театре слышит речь и пение актеров, звучание музыкаль- ных инструментов благодаря доходящим до него колебаниям давления воздуха, со- здаваемым этими источниками звука. При изучении закономерностей распространения механических колебаний в газах, жидкостях и твердых телах мы будем отвлекаться от молекулярного строения этих тел и рассматривать их как сллошкую среду, непрерывно распределенную в пространстве. Соответственно под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, будем понимать малый элемент ее объема, размеры которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстояний, так что в нем содержится очень большое число молекул. Даже в наименее плотной среде — газе — межмолекулярные расстояния столь малы (~ 10“* м при нормальных условиях), что частицы среды можно прибли- женно считать точечными. 2. Тело называется упругим, а сто деформации, вызываемые внешними воздействиями, называются упругими деформациями, если они полностью исчезают после прекраще- ния этих воздействий. Согласно закону Гука, упругие деформации прямо пропорциональны вызывающим их внешним воздействиям, т. е. зависят от них линейно. При достаточно малых деформациях все тела практически можно считать упругими. Упругие свойства тел зависят от характера теплового движения молекул и сил их взаимодействия. Например, газообразное тело беспрепятственно изменяет свою ферму в соответствии с формой занимаемого им сосуда — газ не обладает упругостью формы. В то же время газу присуща объемам упругость, т. е. способность сопротивляться изменению его объема. Эго свойство газа обусловлено тепловым движением его молекул и проявляется в изменении давления р газа при изменении его объема V. По закону Гука для объемной деформации, изменение dp давления газа при малом измене- нии dFего объема прямо пропорционально относительной объемной деформации: dp--К —, (29.1) где К — модуль объемной упругости газа. Для идеального газа значение К зависит от вида термодинамического процесса сжатия (расширения) газа. При очень мед- ленном изменении объема газа процесс можно считать изотермическим, а при очень 385 13 Курс физики
быстром ч- адиабатным. В первом случае pV= const, так что Pdp+pdF^O и Л^вог*р. Во втором случае pr^const, где^С — показатель адиабаты, так что 3. Упругость кристаллического твердого тела обусловлена салями взаимного притя- жения и отгалкиванна частиц (Ионов, атомов или молекул), образующих это тело и совершающих беспорядочные тепло! к колебания около узлов его кристаллической решетки. Силы взаимодействия части# препятствуют деформациям кристаллической решетки, связанным с изменением как объема тела, так и его формы. Поэтому твердые тела помимо объемной упругости обладают упругостью формы, которая проявляется в их сопротивлении деформации сдвига. Сдыжом называется такая деформация твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью сдви- га, не нс ривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рве. 29.1). Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельн i плоскости сдвига. Грань AD, параллельная ВС, закреплена неподвижно. При малом сдвиге y»tgy«-|CC|/|CD|. Вели- чина у, выраженная в радианах, называется углом сдвжа. По закону Гука для сдвига, касательное напряжение t^F/S (S — пло- щадь поверхности грани ВС) пропорциональ- но углу сдвига: т-Gy, (292) где G — модуль сдвига, который зависит от материала тела, его температуры, термооб- работки и некоторых других факторов. Упругость жидкостей также обусловлена Рис. 2В.1 силами межмолекулярного взаимодействия. Однако вследствие того, что средняя продол- жительность т0 оседлого существования молекул жидкости очень мала, жидкости, подобно газам, обладают только объемной упругостью. Они проявляют упругость формы по отношению к переменным деформациям сверхвысокой , частоты, период которых меньше или порядка тв. 4. В первом приближении все среды (за исключением разреженных газов) можно считать абсолютно упругими, так как внутренние сады, возникающие в них пр Достаточно малых деформациях, оказываются;; пропорциональными деформациями Тело, колеблющееся в упругой среде, периодически воздействует на i летающие к нему частицы среды, выводя их из положений равновесия и заставляя вершать вынужденные колебания. При этом среда вблизи тела деформируется и в ней возника- ют упругие силы. Эти силы действуют как на прилегающие к телу частицы, стремясь возвратить их в положение равновесия, так и на более, удаленные от тела частицы, выводя их из положений равновесия. Последние взаимодействуют со следующими частицами и т. д. Таким образом, постепенно все более и более удаленные от колеб- лющегося тела области среды вовлекаются в колебательное движение. Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими или мех сими волнами. Тела, которые, воздействуя на упругую среду, вызывают эти возмущения, называются ист и ими инн упругих водей Звуковыми или акустнчесюиа вогтилми называются упругие волны малой интенсив- ности, т. е. слабые механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Звуковые волны, воздействуя на органы слуха человека, способны вызывать звуко- вые ощущения, если частоты v соответствующих им колебаний лежат в пределах от 16 Гц до 20 кГц — гпьпиидем звуки. Упругие волны с частотами v< 16 Гц называются инфразвуком, а с частотами v>20 кГц — ультразвуком (часто упругие волны с v>l ГГц называют гиперзвуком). Отметим, что в отличие от других вадов механического движения среды (например, ее течения) распространение упругих волн в среде не связано с переносам вещества*. ’Некоторый перенос вещества может осуществляться при распростраивиии в среда сииьтп возмущений (например, ударных волн, возникающих при взрыве), когда колебания частиц среды становятся нелинейными. 386
5. Упругая я огни называется продольной, если частицы среды колеблются в направле- нии распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией упругой среды и потому могут распространяться в любой среде — твердой, жидкой и газообразной. Примером таких волн являются звуковые волны в воздухе. Упругая волна называется помоечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечны» волны связаны с деформацией сдвига упругой среды и, следовательно, могут об- разовываться и распространяться только в средах, обладающих упругостью формы, т. е. в твердых телах. Примером поперечных волн могут служить волны, распространя- ющиеся вдоль струн музыкальных инструментов. Особое место занимают поверхностные воины — распространяющиеся вдоль сво- бодной поверхности жидкости (или поверхности раздела двух несмешивающихся жид- костей) возмущения этой поверхности, возникающие под влиянием внешних воздейст- вий (падения тел, движения судов, ветра и т. п.). В образовании и распространении этих - волн определяющую роль играют силы поверхностного натяжения и тяжести. В повер- хностных волнах частицы жидкости одновременно совершают поперечные и продоль- ные колебания, описывая эллиптические или более сложные траектории. 6. Среда называется однородной, если ее физические свойства, существенные в рас- сматриваемых задачах, не изменяются от точки к точке. Среда, однородная в отноше- нии одних физических свойств, может быть неоднородной в отношении Других. Напри- мер, монокристаллическое тело однородно по своим упругим свойствам и в то же . время оптически неоднородно для рентгеновского излучения. Среда называется изотрошюй, если ее физические свойства, существенные в рассмат- риваемых задачах, одинаковы во всех направлениях Среда, изотропная в отношении одних физических свойств, может быть анизотропной в отношении других. Например, кристаллы кубической системы оптически изотропны, а в отношении упругих свойств — анизотропны. Газы и жидкости в отсутствие инстиит полей изотропны в отношении любых физических свойств. Среда называется лмеЬой, если между величинами, характеризующими рассмат- риваемое внешнее воздействие на среду и вызываемое им изменение состояния среды, существует прямо пропорциональная связь. Например, упругая среда, подчиняющаяся закону Гука, линейна по своим механическим свойствам. Диэлектрик является линей- ной средой по своим электрическим свойствам, если его диэлектрическая Ьрошща- емоегь не зависит от напряженности электрического поля. Аналогично, магнетик — линейная среда по своим магнитным свойствам, если его магнитная проницаемость не зависит от магнитной индукции поля. J-. : . , - • • ' '• 5 2SX Уравнение волны 1. Урпипспиен упругой волны называется зависимость от координат и времени скаляр- ных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении в ней рассматриваемой волны. Например, для волн в твердой среде такой величиной может служить вектор смещения частицы среды из положения равновесия илИ три его проекции на осн координат. Для характеристики продольных волн в газе или жидкости обычно пользуются избыточным дан пением колеблющейся среды, равным разности между се переменным и равновесным давлениями. Распространение в упругой среде механических возмущений, возбуждаемых источ- ником волн, связано с переносом волнами энергии. Поэтому такие волны в отличие от стоячих волн (см. $ 29.6) называют бегущими волками. Линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением рас- пространения волны, т. е. с направлением переноса энергии волной, называется лучом. В однородной среде лучи имеют вид прямых линий. й. Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если соответству- ющие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Частота этих колебаний называется частотой во мот Колебания давления в газообразной или жидкой среде при распространении в ней Синусоидальной волны также совершаются по гармоническому закону с частотой, 387
равной частоте волны. В поперечной синусоидальной волне частицы среды могут одновременно гармонически колебаться с частотой волны вдоль двух взаимно перпен- дикулярных направлений, каждое из которых перпендикулярно направлению распрост- ранения волны. В зависимости от характера поляризации результирующих колебаний (см. § 27.4) различают следующие типы поляризации поперечных синусоидальных волн: эллиптическую, циркуляр до (или круговую), линейную (или плоскуз 3. Механические возмущения (деформации) распространяются в упругой среде с ко- нечной скоростью v. Поэтому возмущение, вызываемое источником волн в момент времени to, достигает произвольной точки М среды в момент времени г> г0. Разность t—to=llv тем больше, чем больший путь I проходит волна от источника до точки ‘М. Соответственно колебания в точке М отстают по фазе от колебаний источника волн. Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение, называется вол той поверхностью или фронтом волны. Для всех точек одной волновой поверхности разность t—10 одинакова. Через каждую точку среды, охваченной волновым движением, можно провести одну волно- вую поверхность, соответствующую значению фазы колебаний в этой точке в рассмат- риваемый момент времени. Множеству различных значений фазы колебаний соответ- ствует семейство волновых поверхностей. В однородной изотропной среде волновые поверхности ортогональны лучам. 4. Волна называется плоской, если се волновые поверхности представляют совокуп- ность плоскостей, параллельных друг другу. В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ОХ, все величины х, харак- теризующие колебательное д вижение среды, зависят только от времени t и координаты х точки М среды. Если нет поглощения волн в среде, то колебания в точке М отличают- ся от колебаний в начале координат О, происходящих по заходу 3=f(t), только тем, что они сдвинуты по времени на х/«, где v — скорость волны. Поэтому в плоской волне, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, з является функцией разности (t—xfv), так что уравнен : такой плоской волны имеет вид j=/(t-x/v). (29.3) Соответственно уравнение плоской волны, распространяющейся в противополож- 1 ном направлении, (29.3') 5. Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся в непоглощающей среде вдоль положительного направления оси ОХ, sin[o;(/—x/t>)+<Po]=Xsin(wt-wx/r+<pQ), (29.4) иди х=4яп(2я//Т— 2ях/( 7г)+<?()], (29.4') где Л=const — амплитуда колебаний, называемая амплитудой вшнш; ш=2я/Г — цик- лическая (круговая) частота волны; Т— период колебаний; <ро — начальная фаза коле- баний в точках координатной плоскости х=0. Величина cox/v+фо, равная фазе колебаний в произвольной точке с координатой х, называется фазой плоской волны. Расстояние X^vT, на которое распространяется синусоидальная волна за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны. Длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, в кото- рых разность фаз колебаний равна 2я. в. Наряду с длиной волны используется другая характеристика синусоидальной вол- ны — волновое число*, которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрез- ке длиной 2л: £=2я/л=2я/(г7>ш/г. (29.5) ♦В физической оптике волновым числом часто называют величину 1/А, где Л — длина волны излучения в вакууме (ГОСТ 7601 —78). (/ 388
Следовательно, уравненне плоской синусоидальной волны (29,4) можно также представить в виде л—Я8ш(и/^-2жх/2+ф0)=Л8ш(са/—kx+tpj). (29.6) Соответственно фаза этой плоской волны Ф=аИ—кх+<ръ Волновым вектором называется вектор к, по модулю равный волновому числу к и направленный вдоль луча в рассматриваемой точке Л/ среды. Волновой вектор плоской синусоидальной волны не зависит от выбора точки М. Для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, к=И 0 — орт оси ОХ), поэтому кх»>кг, где г — радиус-вектор точки М, и уравнение плоской волны (29.6) можно записать в форме j= A sin (ait—kr+фо). (29 7) Основываясь на формуле (27.5), уравнение волны (29.7) можно записать в экспонен- циальной форме, удобной для дифференцирования: S=Aelat kr+fl, (29.73 где и я/2. Физический смысл имеет только действительная часть комплексной величины S, т. е. величина J=Rei. Пользуясь 3 для нахождения какой- либо характеристики волны, нужно после выполнения всех математических операций отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения- 7. Волна называется сфера хжой, если се волновые поверхности имеют вид концент- рических сфер. Центр этих сфер называется центром волны. Такого рода волны возбуждаются в однородной изотропной среде уединенным точечным источником. Уравнение расходящейся сфернческой волны 5=4>(r)/(z-r/«;), (29.8) где г — расстояние от цеигра волны до точки М среды; v — скорость волны. В случае синусоидальное сферической волны к=Л(г) sin (tot—kr+фо), ,... ч..... (29.9) где Л (г) — амплитуда волны; Фо— начальная фаза колебаний в центре волны; Ф«шг—кг+фо — фаза сферической волны. В § 29.4 будет показано, что при распрост- ранении сферической волны в непоглощающей среде амплитуда волны удовлетворяет соотношению (29.33), т. с. обратно пропорциональна г. В экспоненциальной форме записи уравнение синусоидальной сферической волны ' 1=Л(г)е(т,~“+^, (29-93 где Л=ф0—я/2; г — радиус-вектор, проведенный из центра волны в точку М, а волно- вой вектор к направлен в точке М ptциально от центра волны. Реальные источники волн всегда имеют конечные размеры. Однако их можно считать точечными, а волны, возбуждаемые ими в однородной изотропной среде,— сферическими, если расстояние т от источника до рассматриваемых точек среды значительно больше размера источника. Когда г очень велико, то любые малые участки волновых поверхностей практически можно считать плоскими. 8. Волны в линейной однородной, изотропной, непоглощающеЙ среде отписываются дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением и имеет вид v’j-4 й-°>‘ 4 (29Л°) «Л dt1 389
где а фазическая величина, которая характеризует возмущение, распространяющее- ^2 ^2 ^2 ся в среде со скоростью »; V2—-+—-+—-=Д — оператор Лапласа. Вх* ду2 Зг2 Покажем, что плоская вопия (29.3) удовлетворяет волновому уравнению Л 1 „ / А Л 1 „ ox о \ oj их v 1 Л Так как s от у и z не зависит, то V2s^d1s/8x1 и, действительно, V3^—- —=0. •* dt* Путем более громоздких расчетов можно показать, что сферическая волна где <р(г)“ 1/г, также удовлетворяет волновому уравнению (29.10). Если волна синусоидальная, то 32я/3г2= — to2s и ^s+l^s^O. (29.11) Скорость v распространения синусоидальной волны называется фазовой скоростью. . Она равна скорости дерсметдештя в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значенню фазы синусоидальной волны. Например, в случае плоской синусоидальной волны (29.6) из условия dx <в art—kx+q>=const следует, что ———г. Соответственно в случае сферической синусо- идальной волны (29.9) из условия о»г—fr+фо—const следует, что —=—=». dz к § 29.3. Фазовая скорость волны 1. Найдем выражение для скорости « продольной волны в однородной газообразной среде. Пусть газ находится в длинном горизонтальном цилиндрическом сосуде с подви- жным поршнем площадью^. Первоначально поршень находился в покое, а в момент времени г пришел в движение и’да малый промежуток времени dr приобрел скорость dv], сместившись при этом на расстояние dvtdr/2. Возмущающее действие поршня за время dr распространится в газе на расстояние vdr и охватит область среды объемом Swdr, относительная объемная деформация которой , Sdv] dr d«i . ds—------------. 2*dr 2» (29.12) Добавочное давление dp, производимое на газ движущимся поршнем, можно найти из закона Гука (29.1), где (dV/V)^de: ' dvi dp-К—. (29.13) Под действием силы dF— Sdp возмущенный поршнем газ приобретает за время dr импульс, равный dmdvi/2, где dw=pSvdr, р — плотность газа. По второму закону Ньютона, • 1 dvi - pSvdrdvi—Sdpdr—KS — dr, 2 2v 390
откуда истома я скорость продольной волны в газе (29.14) Заметим, что при выводе формулы (29.14) предполагалось, что плотность газа p-conat В газах это условие соблюдается, если избыточное давление, связанное с распространением волны, во много раз меньше равновесного давления невозмущен- ного газа. Формула (29.14) справедлива также для продольных волн в жидкостях. 2. Можно показать, что скорость поперечных упругих волн в неограниченной изотроп- ной твердой среде ч~у/оГр, (29.15) где G — модуль сдвига среды; р — ее плотность. Распространение продольных волн в достаточно танком стержне связано с его продольным растяжением и сжатием. Закон Гука для такой деформации Ы а-Е—, (29.16) где o^F/S— нормальное напряжение, возникающее под действием растягивающей сиды F в стержне с площадью поперечного сечения S; Ы/1 —- относительное удлинение стержня, равновесная длина которого ЦЕ — модуль Юнга для материала стержня. Скорость продольных волн в тонком стержне ч. (29.17) Скорость поперечных волн в струне, т. el в натянутой тонкой нити, зависит от натяжения струны: ч-jFKpS), -v г >• (29.18) где F— сила натяжения струны; рн S — плотность материала струны и площадь ее поперечного сечения. 1 Упругие свойства и плотность *п рдых тел и жидкостей зависят от их химического состава и мало изменяются при различных давлениях и температурах. Следовательно, в первом приближении можно считать, что скорость упругих волн в каждой из этих сред постоянна. Иная картина наблюдается в газах. Рассмотрим в качестве примера идеальный газ. Его плотность p—pMI(RT). Мопуиь объемной упругости К газа зависит От вида термодинамического процесса его объемной деформации (см. £ 29.1): нК^Хр, поэтому скорость упругих волн в идеальном газе зависит от их частоты. Эго явление называется декиерсией ваш. Возможны следующие два предельных случая. При очень малой частоте процесс дефор щи газа близок к изотермичестому и ско- рость волны —(29.19) а при большой частоте он близок к адиабатному и скорость волны v^v^y/KvJp-y/.XRTIM. (29.20) Опыты показывают, что скорость звука, т. е. слышимых звуковых волн, в газах фактически не зависит от частоты и соответствует формуле (29.20). 391
§ 29.4. Энергия волны 1. Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энерги- ей, обусловленной деформацией. Если vt — скорость колебаний частиц среды, то объемная плотность кинетической энергии сред ы .*«=—=(2921) dr где р — плотность среды; d WB — кинетическая энергия всех частиц в малом объеме dV среды, выбранном таким образом, что в его пределах скорость v1 всюду одинакова. Молено доказать, что объемная плотность потещнальной эверган упруго дефор- мированной среды dWu и>в=—=1/2pvV, (29.22) где diyB — потенциальная энергия однородно деформированного малого участка сре- ды объемом dP; v — фазовая Скорость волны в среде; е -г относительная деформация. Покажем справедливость формулы (29.22) на примере продольной волны в газе. Элементарная работа, совершаемая внешними силами давления при объемной дефор- мации, 6А’= —pdV. По закону Гука (29.1), 8А'= -pdV=(V/K)pdp. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии упруго деформированной среды: dWa=5A’=(V(K)pdp. Соответственно при конечной относительной деформации среды е<= KVjV р Гг уРг 1 , »'»= - рф—K?V, J К К 2 2 •о где в соответствии с законом Гука (29.1) р— — Кв. Следовательно, объемная плотность потенциальной энергии среды dlFB Кег Если учесть, что, согласно (29.12), K—pv2, то это выражение можно переписать в форме (29.22). Под объемной плотностью энергия упругих волн понимают объемную плотность w механической энергии среды, обусловленную распространением этих волн н равную сумме wK и wB: w =* wB+ wB = 1/2р (® J+®2е2). (29.23) 2. Если в среде распространяется продольная плоская волна (29.3), то щ=дз/д1, где s — смещение частиц, и 8з е=—=—, (29.24) дх v 392
так что »„=*, и w=pt,J=p(3J/5r)J. (29.24') В каждой точке среды, охваченной волновым х ижением, и»ж и wa являются оди* паковыми функциями времени. Соответственно и w изменяется с течением эемени. Эта закономерность справедлива для любых бегущих волн в упругой среде независимо ни от формы их волновых поверхностей, ни от типа деформации среды. Она вытекает вз закона сохранения энергии применительно к процессу распространения колебаний в упругой среде. Для вовлечения в колебательное движение все более и более удален- ных от источника волн областей среды необходимо затрачивать энергию, сообщаемую среде источником. Следовательно, распространение упругих, волн неразрывно связано с передачей энергии от одних участков среды к Другим. Именно поэтому объемная плотность w энергии волн зависит как от координат, так и от времени. Для плоской бегущей синусоидальной волны (29.6) ц>=рА2сй^ cos1 (cot—kx+ ф0)= i/2pA2<al [1 +cos 2 (tot—Лх+ф0). (2925) В случае расходящейся сферической синусоидальной волны (29.9) w=pA1co2cos1(cot—kr+<po), (2926) где А - А (г) — амплитуда волны. , Таким образом, объемная плотность энергии w синусоидальной волны периодичес- ки изменяется с периодом я/to в пределах от до wmi.=‘oAato2- Среднее за период значение w равно (^У^/грА2^. (29.269 3. Скорость перенос энергии волной равна скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности w энер- гии волны. Для синусоидальных волн эта скорость равна фазовой скорости с. Потоком энергии <1Ф„ сквозь малую площадку dS называется отношение энергии d!7, передаваемой через эту площадку за малый промежуток времени, к его длитель- ности dt d®w=d»7dt. (29.27) Если v — вектор скорости переноса энергии волной, то dtf' равно энергия, заклю- ченной внутри показанного на рис. 292 косого цилиндра с основанием площадью dS и образующей длиной tdt d IF= w « dt d S’cos а—w (v dS) dt, (2928) <№w=w(ydS)=(UdS), 4 1 где w — объемная плотность энергии волны; dS=»ndS — вектор площадки dS; n — единичный вектор нормали к площадке; а — угол между ▼ и dS. Вектор плотности потока энергии и=ит (2929) называется вектором Умова, так как впервые был введен Н. А. Умовым (1874). Вектор направлен в сторону переноса энергии волной, а по модулю равен отношению патока энер- гии d®„ сквозь малую площадку dS к площади dS’±=dS’cosa проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению переноса энергии: l7«dOw/dS±. (29.299 Рис. 29.2 393
Поток энерп i через произвольную поверхность S, мысленно проведанную в среде, охваченной волновым движением, ранга потоку вектора Умова че з эту поверхность: Ф„- J UdS. (2930) СТ 4. Скалярная величина I, равша модулю среднего значения вектора Умова, называет- ся интеиеяввостью волны: /-КИЛ- (2931) Интенсивность волны численно равна энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, нормальной к направлению распрост- р гения волны. Интенсивность синусоидальной волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Для плоской и сферической синусоидальных бел х воли /— l<U>l —® <*> — 2. (2932) Если сферическая волна распространяется в непоглощающей среде, то за единицу времени через любую сферическую поверхность радиуса г, центр которой находится в центре волны, передается одна и та же энергия, равная энергии, расходуемой за такое же время источником волны: / Аят2—const. Таким образом, интенсивность и амп- литуда сферической волны убывают по мере удаления от центра волны по законам ; /0-4/^, Л (г)-^, (2933) где io и во — физические величины, численно равные интенсивности и амплитуде волны на расстоянии г=» 1 м от центра волны. Такая зависимость /(г) и А (г) связана с тем, что по мере удаления фронта волны от источника за равные промежутки времени вовлека- ются в колебательное движение все бблыпие объемы среды. При распространении плоской волны за равные промежутки i смени в колебатель- ное движение вовлекаются равные объемы среды. Поэтому интенсивность и амплитуда плоской волны не изменяются по мере ее распространения, если только в среде не происходит рассеяние звер , т. е. преобразование энергии колебаний в другие виды вЛ^^реобразование энергии волн в другие виды энергия, происходящее при распрост- ранении волн в среда, называется веглощевем волн. В однородной среде поглощение упругих волн обусловлено главным образом процессами внутреннего трения и теплопроводности. Амплитуда А и интенсивост I плоасой волны, распространяющейся в поглощающей среда вдоль положительного направления оси ОХ, изменяются по экспоненциальному закону: Л(х)-Лое"“, Z(x)=Zoe-2“. (29.34) Здесь Ао и /0 — амплитуда и интенсивность волны в точках х—0; а—яявЛаЛ коэффедиенг полницепя упругих волн, зависящий от свойств среды и частоты волны. § 29.5. Принцип суперпозиции воли 1. В линейной среде скорость волны не зависит от ее интенсивности, поэтому в такой среде волны распростра яются независимо друг от друга, так что выполняется приведи сунероозмеди (наложен) воли: воо|^в^® вояцйев^и^в всовсов^—^ти^^( тпочяо ^ти^те^^ной среды при одпоореагеином роспространа1в<м в вой нескольких воли равно сумм воояедедиий, соответствуюрос каждой из 394
' Например, если в линейной среде одновременно распространяется п различных механических волн, то результирующее смещение в, скорость v и ускорение а частиц среды в произвольный момент времени г. 1-1 i-1 f-1 (29.35) Здесь a, T( и а/ — значения смещения, скорости и ускорения, которые имели бы рассматриваемые частицы в тот же момент времени I, если бы в среде распрост- ранялась одна только ья волна. 2. Основываясь на принципе суперпозиции волн, можно заменить любую несинусо- идальную волну в линейной среде эквивалентной ей системой синусоидальных волн, т. е. представить в виде грут волн, или волнового пакета. Совокупность значений частот этих синусоидальных волн называется спектром частот (или просто спектром) рассматриваемой несанусоядальаой волны. В зависимости от характера колебаний, возбуждаемых волной, спектр частот последней может быть дискретным или непре- рывным. Закономерность распространения в линейной среде произвольного возмущения (сигнала), представляющего собой несинусоидальную волну, проста только при усло- вии, что среда недиспергирующая, т. е. фазовая ско- рость волн не зависит от их частоты. В этом случае 5 сигнал перемещается в среде, не изменяя своей «формы», так как все синусоидальные волны, об- f разующие эту группу, имеют одинаковые фазовые ft * аороспл, равные скорости сигнала. j| /у—>. В диспергирующей среде синусоидальные состав- 0 ? ляющие группы волн распространяются с разными скоростями. Поэтому группа волн по мере распрост- Рис. 29.3 ранения «расплывается», так что «форма» сигнала изменяется. Например, если в момент времени п сигнал, распространяющийся в дис- пергирующей среде вдоль ост ОХ, имел «форму», показанную на ряс. 29.3 штриховой линией, то в момент времени h>t\ он имеет уже иную «форму», изображенную сплошной линией. 3. Простейшей группой волн является квазиспусоцдалыпя нлоская волна, получа- ющаяся в результате наложения двух распространяющихся вдоль оси ОХ плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими по значению частотами и волновыми чис- лами: s=А о an (cot—кх)+А о яп [(со+dco)r—(к+dx)x]= =2A0cos[(zdco—xdA:)/2] ял (coZ—кх). , (29.36) Зависимость з(х) в некоторый фиксированный момент времени z показана на рис. 29.4. Эта волна отличается от синусоидальной тем, что ее амплитуда А=2Л0 |cos((Zdco—xdA:)/2] (29.37) Рис. 29.4 — медленно изменяющаяся функция коорди- наты х и времени Z. За скорость распространения этой несину- соидальной волны принимают скорость и пе- ремещения точки М, в которой амплитуда А имеет какое-либо фиксированное значение (например, Л—0 или Л=2л0).Следовательно, точка М движется по закону zdco—xdk=* =const, откуда 395
Величина и называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии квазисинусовдальной волной. Групповая скорость u—da)/dk пригодна для описания переноса энергии (передачи сигнала) посредством несинусоидальных волн, имеющих иной спектр частот, при условии, что спектр не очень широк, а дисперсия волн в среде для этих частот мала. Найдем связь между групповой и фазовой скоростями волны. Так как о=с/с, а к= =2я/Л и dfc= —2яйЛ/Л2, где А — длина волны, то doo do do —=v+k —=«—A —. dJt dk dA (29.39) § 29.6 Интерференция волн. Стоячие волны 1. Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. Когерентным волнам соответствуют когерентные колебания (гаг. § 27.4). Источники когерентных волн называются шн грешными кточнвсамн. Синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда. Волны, частоты которых различны, когерентны только в течение времени когерентности возбуждаемых тая колебаний [см. (27.32)]. Рассмотрим наложение двух синусоидальных волн, возбуждаемых в однородной и изотропной среде точечными источниками Sj и S2 (рис. 29.5), циклические частоты гармонических колебаний которых равны caj и Oj, а на- чальные фазы — соответственно cq и а2. Пусть вызыва- емые ими колебания в произвольной точке М одинаково направлены и удовлетворяют уравнению (29.9): Xi=At ein (toit-r-ktrt+at)—At ял Фь з2=А2 sin (a)2t—Л2Г2+ bj)=А2 sin Фг. По принципу суперпозиции, результирующие колеба- ния в точке М ошюывязхлхя формулой х=Х1+х2=Л sin®. Для нахождения А и Ф воспользуемся методом векторных диаграмм (рис. 27.8). Из рисунка следует, что' А1=A J+Al+2А ,Л2 cos (Фг-ФО, . (29.40) ^стФ^ЛгЯпфг tg®«-------------. Al COS®! +Л2совФ2 Так как к=cofv, где « — фазовая скорость волны, то ®2-®I=(Gj2-co1)r-(w2r2/o2-wIr1/c1)+(a2-a1). (29.41) 2. Из формулы (29.40) видно, что при наложении некогерентных синусоидальных волн . (о>2^со|) амплитуда А результирующих колебаний в произвольной точке М среды зависит от времени, т. е. результирующие колебания негармонические. Амплитуда А изменяется в пределах от |Л1 — Л2] до Ai+А2, причем циклическая частота колебаний амплитуды А совпадает с циклической частотой изменения фг— ®i и равна loj—oj. Если эта частота достаточно велика, то любой регистрирующий прибор не будет успевать реагировать на изменения величины А и будет показывать лишь некоторое ее среднее значение. Найдем среднее значение <Л2> квадрата амплитуды за время, равное периоду т ее . изменения: 396
t с <Л2>=- I Л2<к=- | [Л?+Л1+2Л1Л2со»(Ф2-Ф1»<1г. т J т J ' о о т _ - - 2Л1Л1 Г I <Л2>=Л1+ЛаЧ--------j СО8(Ф2—®i)dL т J о т Так как за время т разность Ф2—®i изменяется на 2я, то Jcos(®2—®i)dr=O и <Л2>=Л?-М1- ° (29.42) Таким образом, при наложении некогерентных синусоидальных волн среднее значе- ние квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме квадратов амплитуд исходных волн. 3. Иначе обстоит дело при наложении когерентных волн. Полагая в формуле (29.41) <Dj = (M2 = CO И учитывая, ЧТО При ЭТОМ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТрОПНОЙ Среде «1=®2=«, получаем Ф2—®i= — to(r3—п)/«+(в2—et)= — k(r2—Г1)+(«2+“!)- Поэтому формулу (29.40) для А2 можно переписать так: A2=A2+A2+2A1A2ccs[kA—(ct2—at)]. Q29.W) Величина Д=г2—п называется геометрической разностью хода волн от их источ- ников S2 и S| до рассматриваемой точки М. Так как в2—bi=const и fc=const, то амплитуда А не зависит от времени. Косинус в правой части формулы (29.403 равен единице и амплитуда результирующего колеба- ния максимальна (А—Аг+А£ во всех точках М, для которых аргумент косинуса равен четному числу тс ЛД+в|—в2=±2лпс (m=0, 1, 2,...), (29.43) или, заменив к на 2я/Л, получим а2—ei Д=±тА+-—-Л. (29.43Э 2я ЕСЛИ В2 —81=0, то Д=±тЛ. (29.43*) Очевидно, что амплитуда результирующего колебания минимальна (А=IAt —AJ) во всех точках М, для которых ЛД+В1—в2= ±(2т—1)я (т=1,2,...), (29.44) или 2 сь—аь Д= ±(2т—1)-+——— Л. (29.44Э 2 2я Если в2—в]=0, то условие минимума амплитуды Д=±(2т-1)^. (29.44*) 397
При наложении когерентных волн квадрат амплитуды и энергия результирующей волны, вообще говоря, отличны от суммы соответственно квадратов амплиту и энер- гий исходных волн. В самом деле, в точках М, удовлетворяющих условию (29.43), Л1-(Л1+Ла)1>(Л?+Ла), а в точках М, удовлетворяющих условию (29.44), Ла-(Л,-Ла)а<(Л?+Л5). 4. Явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн, называется интерфер* ей волн. Из предыдущего ясно, что ин i ерферировать могут только когероттные волны, если им соответствуют колебания, совершающиеся вдоль одного и того же или близких НаП^^мошения (29.43) — (29.43*) выражают условия пцрфереяцнмаых максимумов, а входящее в них целое неотрицательное число m называется порядком —прфгрмирон кого максимума. Соотношения (29.44) — (29.44*) выражают условия ннтерферееивюншх минимумов, а целое положительное число м, входящее в эти условия, азываегся порядком Hiti Р'-||11>ин110 ii—ijiia. На прямой да, проходящей параллельно линии источников SiSj на расстоянии L от нее (рис. 29.5), центральный максимум нулевого порядка находится при otj—ai в точке О, равноудаленной от -Si и Sj. Если расстояние между источниками l«L, то для точки М на прямой ab, отстоящей от О на расстоянии z«L, разность хода волн ' b=lz!L. (29.45) Максимумам лмго и (т+ 1)-го порядков соответствуют значения тЯ (ж+1)1£ так что расстояние между соседними максимумами Ат-»тж+,-тж=1ГД (29.46) 5. Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны. Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и име- ют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию (§ 29.2). Поперечная стоячая волна образуется, например, на Натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приводите в колебательное движение. При наложении двух котерентных бегущих плоских волн вида Х1-<Лащ(а>Г—кх), sj^Asn^aA+kx+ci), где а — разность фаз волн в точках плоскости х—О, образуется плоская еяиусоцдадыннг стоячая шла, oi яваеья у] вне км я—xt4-4:«»X4coe(fcc+«/2)8in(fiH+^/2). (29.47) Акшлитуда стоячей волны в отличие от амплитуды А бегущих волн является периодической функцией координаты ж. Лг-2Л|сов(кх+а/2)|. (29.41) Точки, в которых амплитуда стоячей волны 4«=0, называются узлами етеячей волш, а точки, в которых амплитуда максимальна (А„—2А), называются пуч- ностями стоячей волш. 398
Положение узлов и пучностей находятся из условий кх+а/2~(2т+1)я/2 (узлы), кх+а/2—тк (пучности), (29.49) где m=0, 1, 2, ... . Расстояния между двумя соседними узлами и между* двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны Л бегущих волн. Эту величину называют длиной стоячей волы: ^=2/2. Расстояние между соседними узлом и пучностью стоячей волны равно Ав/2. в. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки. В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амп- литудами, но с одинаковыми фазами (син- фазно), так ак аргумент синуса в уравне- нии стоячей волны (29.47) не завасиг от координаты х. При переходе через узел фаза колебаний изменяется скачком на я, так как при этом см(йх+л/2) изменяет свой знак на противоположный. На рис. 29.6 показан характер движе- ния различных точек натянутой упругой нити длиной I пр: установиmei в ней поперечной стоячей волне. Левый конец нити О приводится в гармонические коле- бания, а правый N закреплен неподвижно. В этом случае при отражении волны от места закрягления ее фаза изменяется на я, так что в месте закрепления нити образует- ся узел стоячей волны. В точке О (х—0) разность фаз отраженной и падающей волн а— —(2Л/+я). Кружками на рис. 29.6 обозначены узлы стоячей волны, а момент времени Го выбран так, что ein(etfo+«/2)“O. Рис. 29.8 7. В стоячей волне (29.47) скорость колебательного движения частиц среды vi~83/dt=2Aajcob(kx+a/2')cob{tot+aJ2), (29.50) а относительная деформация среды е—дз/дх** —2ЛА:яп(2х+а/2)яп (<»/+а/2)«= = 2Л£яп(Лх+а/2)сов(шГ+а/2+я/2). (29.51) 71 I а Si О АДА* 3 ЙГ] X Таким образом, в отличие от бегущей волны, для которой справедливо соотнотпе- ние (2924), в стоячей волне а опережает «| по фазе иа я/2, так что в те моменты времени, когда t>i достигает амплитудного значения, « обращается в нуль, и наоборот. Кроме того, амплитуды ®i и е зависят ст координаты х и притом различным образом: в пучностях стоячей волны располагаются пучности скорости частиц и узлы дефор- мации среды, а в узлах стоячей волны — пучности деформации и узлы скорости. В упругой стоячей волне энергия периодически преобразуется из потенциальной энергии, локализованной в основном вблизи пучностей деформации, в кинетическую, локализованную в основном вблизи пучностей скорости, и обратно. Поэтому энергия периодически мигрирует oj-узлов стоячей волны к ее пучностям и обратно. Однако в самих узлах и пучностях плотность потока энергии тождественно равна нулю. Среднее за период значеш плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, так как две бегущие волны, образующие стоячую, переносят за период равную энерг о в прямо прогнвоположных направлениях. Имеяно поэтому стоячие волны и получили вое название. 399
8. В случае свободных колебаний струн, стержней и столбов газа в них устанавлива- ются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т. е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собствен- ными частотами колебаний соответствующей колебательной системы. На жестко закре- пленных концах струн или стержней располагаются узлы смещения (пучности дефор- мации), а на свободных концах стержней — пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях цилиндрического столба газа в трубе у закрытого конца трубы . располагается, пучность давления, а у открытого — узел давления. Если I — длина струны, стержня или столба газа, v — фазовая скорость волны, а 2 — ее длина, то для струн или стержней, закрепленных на обоих концах, и столбов газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине I укладывается целое число длин стоячей волны 1~тА„=тЦ2 (т=1,2, 3,...). (29.52) Собственные частоты колебаний таких систем v=mt>/(2Z). (29.52Э Из (29.52Э и (29.18) следует, что частота vb соответствующая основному тону (т= 1) натянутой струны музыкального .инструмента, равна ъ-i /I 21 \ 8р Ее можно изменить путем увеличения или уменьшения натяжения струны, что и дела- ют при настройке музыкального инструмента. Для стержней, один конец которых закреплен, а другой свободен, и для труб, закрытых с одного конца и открытых с другого, /=(2т-1)2ст/2=(2т-1)2/4 (29.53) и собственные частоты колебаний v=(2m-l)t>/(4/). (29.53’) § 29.7. Эффект Доплера в акустике 1. Эффектом Доплера называется изменение частоты волн, регистрируемой приемни- ком, которое происходит вследствие движения источника этих волн и приемника. Например, при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося поезда той звукового сигнала последнего выше, а при удалении поезда — ниже тона сигнала, подаваемого тем же поездом, когда он стоит на станции. Пусть приемник J7 звуковых волн в газообразной (или жидкой) среде неподвижен относительно нее, а источник И удаляется от приемника со скоростью вдоль соединяющей их прямой (рис. 29.7, д). Источник смещается в среде за время, равное периоду Го его колебаний, на расстояние vtT0=vi/v0, где v0— частота колебаний источника. Поэтому при движении источника длина волны в среде 2 отлична от ее значения Л) при неподвижном источнике: 2=+*>i Го= (®+«|) Го=(«+i>i)/vo, где v фазовая скорость волны в среде. Частота волны, регистрируемая приемником, Если вектор vi скорости источника направлен под произвольным углом V i к ради- усу-вектору R, соединяющему неподвижный приемник с источником (рис. 29.7, б), то 400
v®-----------—. (29.54') 1 +(ei/»)coe??i 2, Если источник неподвижен, а приемник при- ближается ж нему со скоростью v2 вдоль соединя- ющей их прямой (рис. 29.7, а), то длина волны в среде Л=Ло=с/уо. Однако скорость распрост- ра:нения волны относительно приема а равна v+t>2, так что частота волны, регистрируемая приемником *“(е+»2)/Л»-»о(1+п/*). (29.55) В том случае, когда скорость v2 направлена под произвольным углом 1г 2 * радиусу-векто- ру R, соединяющему движущейся приемник с не- подвижным источником (рте. 29.7, г), v=v0[l+(»2/e)co8^2]. (29.55') 3. В самом общем случае, когда и приемник и ис- точник звуковых волн движутся относительно сре- ды с произвольными скоростями (рис. 29.7, д),т l+(nhi)CO»&2 l+(»|/t>)cOsZ^ 1 Эту формулу можно также представить в виде* Г Ксо»^ v=v0 V—-------- I ® 1--- COS^i+Г— cosi^J Рис. 29.7 (29.56) (29.57) где V=Y,—y2 — скорость источника волны относительно приемника, а " — угол меж- ду векторами V и R. Величина Koos , равная проекции V на направление R, называет- ся лучевой скоростью источника. Если «i «v, то V«Vb[l —(F/e) cos^j. (29.57') Вопросы: 1. Возможно ли образование сходящейся сферической волны? 2. Что понимается под уравнением волны и лсд волновым уравнением? 1 От чего зависит фазовая скорость волн в упругой среде? 4. Каковы должны быть свойства среды, чтобы для механических волн в этой среде выполнял- ся принцип суперпозиции? 5. Как связаны между собой амплитуда синусоидальной волны в упругой среде и объемная плотность энергии этой волны? в. Каков физический смысл групповой скорости? 7. Чем принципиально отличается бегущая волна от стоячей? Чему равен вектор Умова в узлах и пучностях стоячей волны? Чему равна интенсивность стоячей волны? ♦Для этого нужно использовать разложение функции [!+(»]/») co»^j]_,b ряд Тейлора: П+(»1/у) cos^r'-l-(•iM соз?> I+K»1/e) cos Z>Ja-[(»t/»> cost? ,!*+... и учесть, что t | cos у t - eos 7/2“ ^Cos * 401
Глава 30 Электромагнитные волны § 30.1. Свойства электромагнитных волн 1. Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля (т. с. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве. Покажем, что утверждение о существований электромагнитных волн является непосредственным следствием уравнений Максвелла (26.22). Для области электромаг- нитного поля, не содержащей свободных электрических зарядов и макроскопических токов, эти уравнения имеют следующий вид: ав ев TOtE»----, rotH=—, divD—0, divB=0. (30.1) Если среда — однородный и изотропный диэлектрик, не обладающий сегнетоэлект- рическими или ферромагнитными свойствами, то и В^ддоН, где вид— постоянные скалярные величины, не зависящие ни от координат, ни от времени. В этом случае уравнения Максвелла (30.1) можно переписать в форме ЗН ЗЕ rotE»—Шд—, rotH=e«o—, divE=0, divH»0, 3t 3t (30.2) или в проекциях на оси декартовых координат: ЗЕ* ЗЕ, ЗН* -——--шъ —, Зу Зг 3t ЗЕ* ЗЕ* ЗН, ЗЕ, ЗЕ* ЗН* ЗЕ* ЗЕ, ЗЕ* —+—+—= Зх Зу Зг 0, (303) ЗН* ЗН, ЗЕ* ЗН* ЗН* ЗЕ, ---------= 8Во---, Зг Зх----3t ЗН, ЗН* ЗЕ* -------««880--, Зх Зу St ЗН* ЗН, ЗН* —+—+—=0. Зх Зу Зг 402
Из (30.3) следует, что в*ех в Ган, <w/| а /анл г (зн,\ i Г а (зеж эед а (зеж зе; аР л|_йу &J ay\3t) at\at) ддо[_ду\£у ах) вх\дт Bxt 1 ГЗ*еж &еж а (ЗЕ. а£Д1 i (#еж в*еж а* ел » — I------—— — I —— I а»— I------------"F™—*4"----L ддо L ^У* ах\Ву Bz/j ддо \ Зх2 Зу* Зг1) Таким образом, Ех удовлетворяет волновому уравнению (29.10): v^-иоддо -’-О. (30.4) Вг Аналогично можно показать, что ФЕг-иощ* , . «0, VIEI-eeew«0 —«0, a/1 at* &нж , &н, , а*нг ^H^-etofifto .-О, V^ff,-eeoW«o ~ Г“°. dt dt ot т. e. . a*E ^Е-ИоДДо -О, 3r (30.5) , Э’Н VaH—«вддо --«О. at1 Таким образом, переменное электромагнитное поле действительно распространяет- ся в пространств* в виде волн, фазовая скорость которых v**cly/iii, (30.6) где с= 1/^/од) ~ скорость электроныочных воля вакууме. Оказалось, что с» •=3 10’ м/с, т. е. совпадает со скоростью света в вакууме. Поэтому Максвелл еще задолго до экспериментального подтверждения существования электромагнитных волн* высказал гипотезу о том, что свет •- это электромагнитные волны. 2. Электромагнитные волны — поперечные волны, векторы Е и Н поля волны лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т. е. вектору ее скорости v в рассматриваемой точке поля. В этом проще всего убедиться на примере плоской волны, распространяющейся вдоль положительного катц вления оси ОХ (29.3): E-f(/-x/e), Н«Ф(/-х/в). (30.7) Векторы Е и Н поля волны (30.7) и их проекции на оси координат не зависят от у и к ЗЕЯ 8ЕЯ BE, BE, BE, ЗЕ, ВН, ВИЖ Bff, Btt, ВИ, 8H, By 8z By 8z By Bz 3y Bz By 3z By 3z Из уравнений Максвелла (30.3) следует, что для поля плоской вогаш (30.7) ВЕЖ ВЕЖ ЗНЖ ЗНЖ ---ав--»0, ------»-----ясО, Вх at Зх at •Впервые экстерименталыю доказал существом вне электромагнипшх воля Г. Герц в 1888 г., спустя 9 лет после смерти Максвелла. 403
т, е. Ех и Нх не зависят ни от координат, ни от времени. Тогда для переменного поля плоской волны ЕХ=НХ — О и векторы Е и Н перпендикулярны направлению распрост- ранения волны: E=Ej+£rk, Н=Я^+ЯЛ, (30.8) где j и к —- орты осей координат. 3. Векторы Е и Н поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны, так что вектор скорости волны v и векторы Е и Н образуют правую тройку (рис. 30.1). Докажем это опять-таки на примере плоской волны (30.8), для которой Я7=Ф, (r-x/v), Л Е2=Л(г-хМ, Яг=Ф2(Г-х/г). (30’9) I Обозначим t—x/v=$, тогда I /I / I dEy / ** bt~ df.’ Н ЪЕу 1 АЕу ----------dEy — у/ Рис. 30.1 ox v At, df Аналогичные соотношения получаются для Ez, Ну и Hz, поэтому из уравнений Максвел- ла (30.3) получаем /— dEy ,— dHz d? d< dEz i— dHy ~~ ~ —v MMo • de d£ Интегрируя эти два уравнения и отбрасывая постоянные интегрирования, не зави- сящие от { = /—x/v и потому не имеющие никакого отношения к переменному электро- магнитному полю плоской волны, получаем И,** Е„ Еу. (30.10) Скалярное произведение векторов Е и Н равно нулю: ЕН = ЕуНу+EZHZ = yjеео/Офо) {—ЕуЕг + EyEz)=0. Таким образом, векторы Е и Н взаимно перпендикулярны, а из (30.10) видно, что вектор v, направленный по оси ОХ, и векторы Е и Н действительно образуют правую тройку. Иными словами, вектор v совпадает по направлению с векторным произведе- нием [ЕН]: v=t, (ЕН]/(ЕЛ). <30.11) Найдем связь между модулями векторов Е и Н: Я= у/Н^ + Н? = ^еео/(ддо) у/^ + Е*=7“о/(ДДо) Е. (30.12) Взаимно перпендикулярные ректоры Е и Н напряженностей поля электромагнитной волны колеблются в одной фазе — они одновременно обращаются в нуль и одновре- 404
мрнно достигают максимальных значений. Модули их связаны соотношением (30.12), которое справедливо для любой бегущей электромагнитной волны независимо от формы ее волновых поверхностей. 4. Синусоидальная электромагнитная волна называется монохроматической волной. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции век- торов Е и Н на оси координат инерциальной системы отсчета совершают гармоничес- кие колебания одинаковой частоты v, называемой частотой веяны. Так, например, в поле плоской монохроматической Аоч, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, Е^А\Лп{аЯ—кх), Н,=* —х/еве/Омм) Elt Ех«Л2ат(сИ—fce+ф), Ях'-^/едЯДЯо) Еу, (30.13) где а=2т— циклическая (круговая) частота волны; k^a/v— волновое, число; А1 и А2 — «малятутл Е,иЕ^<р — разность фаз колебаний Et и Ег При произвольном значении <р плоская монохроматическая волна эллиптически поляризована, т. е. в каждой точке поля волны векторы Е и Н, оставаясь взаимно перпендикулярными, изменяются с течением времени так, что их концы описывает эллипсы, лежащие в плоскости, перпендикулярной направлению распространения вол- ны [см. (27.41)]: A*A*~*tA2 сов<р=яп2 <р. (30.14) И* Н* W,Ht ио . , i-l----СОВ®*---ЯП®. A* A* AtA2 /Ц1о В частности, если Л1*Л2 и ф= ±(2т+1)я/2 (т«0,1, 2,...), то эллипсы превраща- ются в окружности: e;+e;-a3u Я2+Я2=еМ?/(ДЛ)- (30.149 Такая волна называется шркулирио поляризовяшой (воляриэовяввой но кругу). Если ?= ±mn (т»0,1,2,...), то эллипсы вырождаются в прямые: E,/Ai ± EJAi** 0, (30.15) Я^ЛтЯх/Л-0- Такая волна называется лшейво поляри- зованной (плоскополирпзоияяной). На рис. 302 показаны векторы Е и Н поля плоской линейно поляризованной монохроматичес- кой волны в различных точках луча (оси ОХ) в один и тот же момент времени. Оси OY и OZ проведены в направлениях колебаний векторов Е и Н, так что. E^H^Q. Плос- кость, проходящая через электрический век- тор Е и луч, называется плоскостью поляри- зации лшейио «юл приз павший волка*. Рис. 30.2 *До недавнего времени эту плоскость называли вяосвпепав ввиеЙамй волны, а под плоскостью поляризации понимала плоскость, проходящую через вектор Н и луч. 405
5. Произвольную плоскую монохроматическую волну можно представить в виде совокупности двух одновременно распространяющихся в том же направлении плоских монохроматических волн той же частоты, которые линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Например, монохроматическую плоскую волну, рас- пространяющуюся вдольоси ОХ (30.13), можно рассматривать как результат суперпо- зиции у-волны (Ej—E,) и z-волны (Ej—Е,). § 30.2. Энергия электромагнитных волн 1. Объемная плотность энергии электромагнитного поля '» равна сумме объемных плотностей энергии электрического (wj и магнитного (жщ) полей. ' Для поля в линейной изотропной среде, не обладающей сегнетоэлектрическими и ферромагнитными свойствами, w, можно найти по формуле (17.9), a — по формуле (25.32), поэтому и-ж.1/2м0£,2+1/2дд0Я2, (30.16) где £ и д — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Из соотношения (30.12) между модулями векторов Е и Н поля электромагнитной волны следует, что объемная плотность зикртии электромагнитной волны (30.17) где v — скорость электромагнитной волны в среде (30.6). 2. В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распрост- раняющейся вдоль положительного направления оси ОХ, напряженность поля Е= Л ял (car—kx). Соответственно объемная плотность энергии этой волны w=eeoX2sin2(car—fcr). (30.18) Значение и> в каждой точке поля периодически колеблется с частотой ю/я в пределах от 0 до w^m.’~etnA2. Среднее за период значение w пропорционально квадрату амп- литуды напряженности тюля: Г »бГ=-йоЛ2. (30.18) я J 2 о Если плоская монохроматическая волна имеет произвольную (эллиптическую) поляризацию, то Еа=*Е2+Е2 и в соответствии с (30.13) ж»евоИ1 ял2 (fot—kxy+Aj ein2 (ваг—Jbe+ф)], <w>-=72«ot<i+^)- (3019) 3. Вектор П плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова — Пойитвига (вектором Пошжиа). Скорость переноса энергии бегущей монохроматической волной равна фазовой скорости этой волны. Согласно формулам (30.17) и (30.11), вектор Умова — Пойнтин- га равен П=илг=[ЕН]. (3020) В случае плоской бегущей монохроматической волны, которая эллиптически поля- ризована, объемная плотность энериш w выражается формулой (30.19) и модуль вектора П равен Л»^/Ёй^д^[Л2яп2.(шг—£х+Л2яп2(соГ—£х+ф)]., (3021)., 406
Если, в частности, волна линейно поляризована, то Л’»‘Ч/аад/(даа) Л3 ял2 (at—кх). (золи 4. Итыкивиость мошифомннчеекой бегущей элекяромапитюй волш /“1<П>|=<*>«. (30.22) Согласно (30.183» интенсивность плоской линейно поляризованной монохромати- ческой бегущей волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды А колебаний вектора Е поля волны: —А2. (ЗОД2-) 2‘У ЯРо Если плоская монохроматическая волна эллиптически поляризовала, то ее интен- сивность равна сумме интенсивностей у- и z-воли, образующих рассматриваемую волиу (см. § ЗОЛ, п. 5): —(At+A$. (30.22*) 2*^яю ** Под пенсявиоспыю света, т. е. рвссматриваемых в оятап электромагнитных воли, часто понимают просто квадрат амплитуды колебаний напряженности Е поля световой вошы. Интенсивность / сферической линейно поляризованной монохроматической волны связана с амплитудой А колебаний вектора Е также формулой (30.22Э. Однако в отсут- ствие поглощения / и А увыявжл с увеличением расстояния г от центра волны в соответствии с формулами (29.33). 5. Максвелл теоретически показал (1873), что электромагнитные волны должны про- изводить давление на встречающиеся на их пути тела. По его расчетам, давление р плоской волны пропорционально среднему значению <w> объемной плотности энер- гии электромагнитного Поля волны: р=»(!+£) сов1/, (30.23) где R — коэффициент отряжения, т. е. отнощение интенсив- носги волны, отражаемой телом, к интенсивности падающей волны; i — угол между направлением распространения пада- ющей волны и внутренней нормалью к поверхности тела (угол падения). Существование этого давления проще всего пояснить для случая нормального падения (/=0) плоскополяризованиой во- лны на плоскую поверхность металла (рис. 30.3). Под дейст- вием электрического поля волны электроны в металле переме- щаются в сторону, противоположную вектору Е (значительно более массивные положительные ионы практически не ре- агируют на поле волны, изменяющееся с болыпойчастотой). Со стороны магнитного тюля на каждый электрон, движущий- ся со скоростью к», действует сила F„«= — e[vJQ. Эта сила направлена внутрь металла перпендикулярно его поверхно- сти. Таким образом, электромагнитная волна действительно должна производить давление иа поверхность металла. Рис. 30.3 407
§ 30.3. Излучение электрического диполя 1. Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в окружающем пространстве называется излучением этих волн, а сама система называется излучающей системой. Поле электромагнитных волн называется полем излучения. Согласно представлениям классической электродинамики электромагнитные волны возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с ускорением (в частности, электрической цепью, ток в которой изменяется). В веществе возможно также излуче- ние Вавилова — Черенкова, которое мы рассмотрим позже (см. § 33.6). Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент р, которого изменяется с течением времени. Такой «колеблющийся» диполь называется осциллятором, или элементарным вибратором. Осцилляторами широко пользуются в физике для моделирования и расчета полей излучения реальных систем. Если излучающая система электронейтральна, а ее размеры малы по сравнению с длиной Л излучаемых волн, то в волновой зоне системы, г. е. в точках, отстоящих от системы на расстояниях г» Л, поле излучения близко к полю излучения осциллятора, имеющего такой же электрический момент, как и вся излучающая система. 2. Рассмотрим некоторые закономерности излучения линейного гармонического осцил- лятора — электрического диполя, электрический момент р, которого изменяется во времени по гармоническому закону: ре=рояпшг, (30.24) где ро — амплитудное значение р^. Электрический момент диполя где 1 — вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды диполя (плечо диполя), a q — абсолютное значение этих зарядов. Изменение ре во времени может быть обусловлено тем, что либо q, либо I является функцией времени. Мгновенная мощность излучения диполя, как показывает теория, равна бяс d*2 (30.25) Для линейного гармонического осциллятора d2pe/dr2 = — СО2ре = — О)2ро sin CDt, N = До<и*Ро ®°2 (30.26) Средняя мощность излучения диполя за промежуток времени, равный периоду Тколебаний, J Ndt= о 12лс (30.27) Диполь излучает не одинаково в различных направлениях. Интенсив- ность излучения диполя в волновой зоне Z-sin^/r2, где &— угол между осью диполя и на- правлением излучения. Зависимость /(2^) при фиксированном г (рис. 30.4) 'называют полярной диаграммой напра- вленности излучения даполя. Из этой 408
диаграммы видно, что диполь всего сильнее излучает в направлениях =я/2, т. е. в плоскости, проходящей через середину диполя перпендикулярно его оси. Вдоль своей оси (lA=0; я) диполь не излучает совсем* 3. Формула (39.25) справедлива также для излучения произвольной системы точечных электрических зарядов qt, ft, —>9» движущихся с малыми скоростями (vj«c). Если положение l-го заряда определяется радиусом-вектором г(, то электрический (диполь- ный) момент системы зарядов Р«= X «Л, — - L 9Л, где ai=d2r</dr2 — ускорение /-го заряда. В частности, для одного заряда q мощность излучения пропорциональна произведе- нию квадрата модуля его ускорения а на q2: N-prfcfMnc). (30.28) 4. Рассмотренные выше результаты были использованы в приближенной классической теории излучения атомов, согласно которой это излучение обусловлено колебаниями электронов около их положений равновесия в атомах. Если электрон колеблется с циклической частотой со и амплитудой Iq, то, по формуле (30.27), средняя мощность излучения атома. <^>=/^*^/2/(12®:), (30.27) где е — абсолютное значение заряда электрона. В действительности свободные колебания электрона являются не гармоническими, а затухающими, так как энергия колебаний расходуется на излучение. За время dr энергия электрона уменьшается на -d»r«<Ar>dr=pot»<e2/2dr/(12jtc). (30.29) Механическая энергия электрона, масса которого т,, причем амп- литуда затухающих колебаний по формуле (28.11) равна 4>-/вое_р'=4ое“1,/Г,‘ где /оо — амплитуда в начальный момент времени Г=0; fl — коэффициент затухания; 6=flT*=2Kflla> — логарифмический декремент затухания. Таким образом, dW~-flm^ll^^dt^ -2flWdt~ -(coS/K)Wdt. Подставляя это выражение для cIIFb (30.29), находим коэффициент и логарифмический декремент затухания: до «Лг2/2 до Л»2 р=---------=--------, 12яс 2W Ппс те (30.30) . До е*а> -------. 6с те 409
Промежуток времени т, за который амплитуда колебаний электрона уменьшается в с раз, равен т—1//1“ ХЗясиц/Сдое3»2). За это время электрон совершает в полных колебаний, причем л* l/^Mficm^/Oiowe2)* Для электромагнитного излучения с дайной волны в вакууме 5* 10“7 м, соответст- вующей зеленому свету (а>«3,77* 10м9 с*1), 12-3»14-3l10*-9,110-m т«*---------------------------—“2,25 10"9 с, 4-3,U10”-3,77*10’el,e,10-M в»-------------------------------j 35 ю’, 4-3,14-»“’• 3,77 10м-1,5» Ю-” 9 классической теории излучения время г иногда называют средним временем жизни виучаницего атама, а также времишм высвечивания. § ЗОЛ. Опыты Ливадии*. Шима алактромагнитных волн 1. Мы уже говорили о гипотезе Маипвеипа относительно электромагнитной природы света. Важную роль в нритдании справедливости этой гипотезы сыграли опыты П. Н. Лебедева. Лебедев виграыг экспериментально обнаружил и измерил давление света на твердые тела (1900) и газы (1907 —1910), показав, что оно согласуется с формулой 0023) теории Максаклла дал электромагнитных воли. Прибор Лебедева представай собой весьма Чувствительные крутильные весы, подвижная система которых состояла из легкого каркаса с укрепленными на нем тонкими крутками («крывытк^мч»), расположенными «жммо^шчно относительно осн подвеса. Одна из конструкций подвижной системы показана на рис. 30.5. Некоторые крылышки были зачернены, а поверхность других была зеркальной. Вся эта система подвяливалась на тонкой упругой инти внутри закрытого стеклянного баллона, воздух из которого был откачай. Крыиыянгв освещались светом от вольтовой дуги, направля- Рис. 30.5 емым на них с помощью специальной системы линз и зеркал. . Световое давление на крылышки определялось по углу закручива- ния шгтн подвеса, регистрировавшемуся с помощью зеркального отсчета. 2. Давление света столь мало, что для его дадвлпюго измерения необходимо было исключить влияние на крылышки всех других факторов. Влияние конвекционных токов вочдутя бы ло исключено Лебедевым путем создания в баллоне достаточно глубокого ваку- ума. Однако н в этом случае оставался «устраненным рддаомет- ричесияй эффект. Причина его состоит в том, что зачерненное крыльнико' нагревается в результате поглощения падающего на него света, причем температуры освещенной и неосвещенной (за- дав^ поверхностей крылышка не одинаковы. Это различие связа- но с передачей энергии внутри кры пышка путем теплопроводности к зависит от тоацины и материала крылышек. Молекулы раз- реженного апэдута в баллоне, ударяйся, о поверхности крылышек и отражаясь от них, создают давление на крылышко. При ударе о более нагретую светом переднюю поверхность крылышка моле- кулы увеличивают свою энергию и отскакивают с большими ско- 410
ростами, чем молекулы, отражающиеся от задней поверхности. Поэтому молекулы воздуха создают результирующее давление на зачерненную поверхность крылышка, складывающееся с давлением света. Радиометрический эффект может привести к тому, что в опыте давление на зачерненное крылышко окажется больше давления на зеркаль- ное крылышко тех же размеров. Лебедев исключил влияние радиометрического эффек- та, использовав в своих опытах очень тонкие крылышки различной толщины от 0,01 до 0,1 мм. Давление света на зеркальное крылышко (с коэффициентом отражения Л—1) оказалось вдвое большим, чем давление на зачерненное крылышко (Я“0), что соответ- ствует теоретической формуле Максвелла (30.23). Опыты Лебедева завоевали ему мировую известность и вошли в историю физики как классический пример тончайшего физического эксперимента. 3. В зависимости от частоты v (или длины волны в вакууме A*c/v), а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн: радиово- лны, оптическое излучение, рентгеновское излучение и гамма-излучение. Радиоволнами называются электромагнитные волны, длина 3. которых в вакууме больше 5’10"’ м (v<6*1012 Гц). В связи с особенностями распространения и генерации весь диапазон радиоволн принято делить на 9 поддиапазонов (табл. 30.1). Таблица 30.1 Нашяяе подщшимм радиоволн ... Длим валим, м Частота, Гц Сверхдлинные Более 10* Менее 3 10* Длинные 10*—10» 3 10*—3 104 s * Средние 101—10’ 3 10s—3 10* Короткие 10’—10 ЗЮ*—ЗЮ7 Метровые 10—1 ЗЮ7—3'10* Дециметровые 1—0,1 3 10е—3 10’ Сантиметровые 41 —0,01 ЗЮ*—3 10,в Миллиметровые io-’—IO-’ ЗЮ1®—3 10“ Субмиллиметровые ip-1-ЗЮ-5 зю“—ею1’ 4. Оягпнеааш излучением или светом называются электромагнитные волны (электро- магнитное излучение), длины которых в вакууме лежат в диапазоне от 10 нм до 1 мм (границы условны). К оптическому излучению относят инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучение. Иифракрасшм излучением (ИК) называется электромагнитное излучение, испуска- емое нагретыми телами; длины волн которого в вакууме лежат в пределах от 1 мм до 770 нм (1 нм«= 10“® м). Видимым излучением, или вцдомым светом, называется электромагнитное излучение с длинами волн в вакууме от 770 до 380 нм, которое способно непосредственно вызывать зрительное ощущение в человеческом глазе. Ультрафиолетовым излучением (УФ) называется электромагнитное излучение с дли- нами волн в вакууме от 380 до 10 нм. 5. Реншиовсиш излучением, или рентгеновскими лучами, называется электромагнит- ное излучение, которое возникает при взаимодействии заряженных частиц и фотонов с атомами вещества я характеризуется длинами волн в вакууме, лежащими в широком диапазоне с условными границами от 10 — 100 нм до 0,01 — 1 им. , Гамма-излучением, или гамма-лучами, называется электромагнитное излучение < длинами волн в вакууме менее ОД нм, которое испускается возбужденными атом- , ными ядрами при радиоактивных превращениях и ядерных реакциях, а также возникает при распаде частиц, аннигиляции пар «частица — античастица» и других процессах. / 411
§ 30.5. Отраженно и преломление электромагнитных волн на границе раздела двух диэлектрических сред 1. Показателем врелмшем (абсолютным показателем преломления) среды называет- ся величина п, равная отношению скорости с электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости v в среде: (30.31) где е и ц — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Для среды, не обладающей ферромагнитными свойствами, и практически можно считать, что л-у/е. (30.31Э Относктелыым показателем преломления двух сред (второй среды по отношению к первой) называется величина я», равная отношению показателей преломления этих сред: Я21 «“Яг/Я!. (30.32) Для неферромагнитных сред nzi» лАг/®!- (30.32') 2. Электромагнитная волна, падая на границу раз- дела двух сред, частично отражается от поверхности раздела, а частично преломляется, переходя во вторую среду. На рис. 30.6 линия АВ — плоская граница раз- дела сред. Лучи /, Г и 2 характеризуют направления распространения падающей, отраженной и преломлен- ной плоских волн. Они называются соответственно вадам—м лучом, отраж—« лучом и преломленным лучом, а углы между ними и перпендикуляром ab к поверхности раздела сред, прове- денным в точке падения О, называются: i — угол аденин, V — угод отражения и г — угол пре лом де— . Плоскостью вадедея называется плоскость, проходящая через падающий луч и пер- пендикуляр к поверхности раздела сред в точке падения. 3. Закономерности отражения и преломления электромагнитных волн на поверхности раздела двух диэлектрических сред можно получить, исходя из граничных условий для электромагнитного поля (26.24), где е~0 При этом нужно иметь в ввду, что в первой среде на поле падающей волны (Е°, Н^) накладывается поде отраженной волны (Е°тр, Н<пт), а во второй среде имеется поле только преломленной (проходящей Рис. 30.8 Рис. 30.7 412
в эту среду) волны (Е*41, Н4). Следовательно, граничные условия имеют следующий вад (предполагается, что 1): Е°+Е^=Е'?‘, Н^+Н^Н?, 81(^+Е^’)=е2Е?>, Я?+ЯГР=Я?’. (30.33) Здесь Е„ Нх и Е„, Н„ — проекции векторов Е и Н соответственно на касательную плоскость и нормаль к границе раздела сред. Из этих соотношений вытекает, что при падении на гладкую плоскую поверхность раздела сред плоской монохроматической волны выполняются (независимо от характера поляризации этой волны) следующие законы отражения t преломления электромагнитных воли: а) отряженная и проломленная волны также являются моно- хроматическими волнами той же частоты, что и пцдакнцая; б) закон отражения—отраженный луч лежит в плоскости падения, причем угол отражения равен углу падения (<'=0; в) закон проломления (закон Сиеллиуса) — преломленный луч лежит в плоскости падения, а угол проломления связан с углом падения соотношением: sini/sinr^nj/ni=П2]. (30.34) 4. С помощью граничных условий (30.33) можно также найти соотношения между фазами, амплитудами и интенсивностями падающей, отраженной и преломленной монохроматических волн. Для этого достаточно знать укачанные соотношения для линейно поляризованных волн двух типов (см. § 30.1, п. 5): p-волны, вектор Е=Е, которой лежит в плоскости падения, а вектор Н=НР перпендикулярен'ей (рис. 30.7), и s-волны, вектор Е=Е, которой перпендикулярен плоскости падения, а вектор Н=Н, лежит в ней (рис. 30.8). Связь между амплитудами колебаний, вектора Е в падающей (Л°), отраженной (Л”5) и преломленной (Лф) волнах в случае р- я j-волн выражается Френеля*: формулами л?—л;^, ' tgtf+r) 2 cos У ап г ----------------, sin(t+r)cos(<—г) лг—*!*?“=*, ав(:+г) (30.35) „п 2cosтяпг Л 7=Я °---------. sin(i4-r) * Аналогичные формулы для амплитуд и фаз отраженных и преломленных световых волн впервые получил французский физик О. Ж. Френель (1823) на основе тфедстазлений о свете как об упругих поперечных колебаниях эфира. 413
В частности, при нормальном падении волн на поверхность раздела сред (i—r^O) А^~-А9, 2 Ни+1 (3036) яц—1 и+1’ В формулах Френеля А * и Л® — величины положительные, а Л* и Л* при любых возможных значениях угла падения угла преломления также положительны, что свидетельствует о совпадении фаз преломленной и падающей волн. Величины Л"* и Л Г* могут быть как от^-^ тельными, так и положительными В первом чае (рнс. 30.7 и ЭОЛ) фаза ковемимй вектора К изменяется пра отражении на я (фаза колебаний вектора Н при этом сохраняется). Во втором случае отражение происходит без изменения фазы колебаний вектора Е (соответственно фаза колебаний вектора Н изменяется на я). и э-тнпа в зависимоели аг угла падения i и относительного показателя преломления сред «21 приведены в табл. ЗОЛ. Угол падения при котором отраженный и преломленный лучи взаимно перпен- дикулярны, называется углам Крютра. Если Iя* is,, то1+г—я/2ииз закона преломле- ния (30.34) следует, что (30.37) Таблица ЗОЛ Тш ВОЯНЫ (1+г)<к/2 (.KisJ (/+г)>цД (»>^Вр) ДИ>1 G>r) ви<1 (/О’) Ц21>1 G>r) им<1 (f<r) /Ьвояяа я 0 0 * я-яояйа я 0 я 0 Из формул Френеля видно, что при А^-О, т. е. p-волна не отражается от ПОВСОХНОСТИ рауума Сред, а полностью проходит из первой среды во вторую. •, Кюффмимпчм етрамемм R электромагнитной вол ы от поверх! сти раздела двух сред начиндгтся отношение интенсивностей отраженной и падающей волн: Л-/*’/Г»-(Ли’/Лв)а. (3038) Коэффициенты отражения р- и я*волн находятся из формул Френеля' (30.35): ^-tfO-WO+r), Д,-ыв2(/-г)/аш2(»+г). (3039) В частности, при нормальном падении волн на поверхность раздела сред (i»r~>0) ^-^-K-a-D/G^+Df. (30.39*) Если падающая волна поляризована произвольным образом, то коэффициент отражения 'й 414
R RjIf+RJf' If+If If+lf ’ (30.39м) где /J и If — интенсивности p- и .^-составляющих падающей волны, интенсивность которой I°=If+If. 7. Коэффициентом пропусками Т называется отношение интенсивностей проходящей (преломленной) и падающей волн. Из (30.22Э видно, что (мад) Коэффициент пропускания для р- и з-волн также можно найти из формул Френеля (30.39 и СЙШЭ: T,“4co82/sin fsinr/[sin2(/+r)cos2(/—г)], - гзо.4<У) 7^аж4со82 laini sin r/sin2 (i+ г). В частности, при нормальном падении волн на поверхность раздела сред (30.40*) 8. Если «л “(л2?«1)< 1, то угол преломления больше угла падения: ш г»ша#л21 ur>i. Угол падения, при котором угол преломления равен х/2, называется предельным углом (или критическии углом). Угол агсыпл2). Если />4?» то интенсивности отражен- ной и падающей волн одинаковы, т. е. волна полностью отражается от поверхности раздела сред (Л»»1). Эго явление называется полным тро и отражением. § 30.6. Эффект Доплера 1. При движении источника и приемника электромагнитных волн относительно друг друга наблюдается эффект До*шрн, т. е. изменение частоты волны, регистрируемой приемником. В отличие от эффекта Доплера в акустике (см. § 29.7) закономерности этого явления для электромагнитных волн можно установить только на основе специ- альной теории относительности. Пусть приемник П неподвижен относительно инерци- альной системы отсчета К, а источник И движется относительно К вдоль положитель- ного направления оси ОХ со скоростью V (рис. 30.9). Источник И неподвижен в системе отсчета К' и находится в ее начале координат. Оси координат систем К* и К попарно параллельны (ось О'Х’ совпадает с ОХ, а оси OY и 0'1* проведены так, что приемник находится в плоскости XOY). На рис. 30.9 показано положение источника И в момент времени когда источник проходит через начало координат системы отсчета К. Согласно принципу относительности Эйнштейна (см. § 12), уравнения сферической монохроматической волны (29.9Q, посылаемой источником в этот момент времени в направлении приемника П, в систе- мах отсчета К и К имеют тождественный вид: З-ЛИе'*'**™'****”1. (30.41) Г-Л (30.41*) Здесь <о'=<Уо ы — циклические частоты волны в системах отсчета источника и приемника; кя^(л{с nk'^oi'ld— вол- новые числа (предполагается, что волна распространяется Рис. 30.8 415
в вакууме); V и V — углы между направлением наблюдения скоростью V (осью ОХ), измеренные в тех же системах отсчета. 2. Фаза волны характеризует на торос событие, например прохождение через нуле- вое значение напр: сс ст Е и Н электромагнитного тюля волны в некоторой точке М пространства в некоторый момент времени. Если рассмотреть ту же волну в другой инерциальной системе отсчета, то координаты точки М и время, соответствующее событию, будут иметь другие значения [в соответствии с преобразованиями Лоренца (7.5)], но само событие измениться при этом не может. Иными словами, фаза волны должна быть инвариантна по отношению к выбору инерциальной системы отсчета. Это легко донять, если представить себе, что электрическое поле измеряют с помощью какого-либо безынерцноиного прибора. Такие два прибора, совмещенные в некоторый момент времени в одной и той же точке пространен но имеющие относительную скорость движения, оба должны показать одно и то асе (например, нулевое) значение напряженности поля. В противном случае та система отсчета, в которой Е“0, будет выделенной по отношению к остальным. Таким образом, выражение для фазы волны (30.41Q должно получаться из выраже- ния фазы волны (30.41) путем замены х.уи/нах'.у'ит'в соответствии с преобразова- ниями Лоренца (7.5): ш'1'+к'х!с<л1? ,+k'y'taal^,+3'^t» : +к -====== cost*+*/sin +5. Приравнивая коэффициенты при х* и у* в левой и правой частях этого тождества, получаем: , °> /, ¥ (О ~—===== 11Ч— cost/ ], у/х-гчгх с / к'coil? fc'sinZ^ '«fcsinJ’’, З'=ё. ..ar. ал Таким образом, соотношения, описывающие эффект Доплера для злвктромягвит- ных воля в вакууме, имеют вид 5 <а«-----------, l+(K/c)coiP- ______ (30.42) l+(₽7c)cosl^ Из рис. 30.9 видно, что —угол между вектором В, соединяющим приемник с источником волны, и вектором V скорости источника, причем этот угол измеряется в системе отсчета К, связанной с приемником. При небольших скоростях движения источника волн относительно приемника и [l-KH/^cosPj-’al-OVcJcos^, так что релятивистская формула эффекта Доплера (30.42) совпадает с классической формулой (29.57*): »*К8[1“<К/с)соя^]. (30.420 416
а в случае их взаимного удаления (2^=0) Если источник движется относительно приемника вдоль соединяющей их прямой (1^=0, я), то наблюдается вроде ый эффект Доплере. В случае сближения источника и приемника (п) Vic Ъ*" / (30.43) (30.43) 3. Из релятивистской теории эффекта Доплера следует существование попереч >го эффекта Доплера, наблюдающегося при V =я/2 и V=Зя/2, Т. е. в тех случаях, когда источник движется перпендикулярно линии наблюдения: v=v0 v/l-K2/c2 < v0. (30.44) Поперечный эффект Доплера необъясним в классической нерелятивистской физике. Он представляет чисто релятивистский эффект, так как связан с замедлением хода времени в движущейся системе отсчета. Периоды Т* = То и Гколебаний электромагнит- ного поля соответственно в системе отсчета К', где источник покоится, и в системе отсчета К связаны соотношением (7.13): 7*= Toly/X — Vtlct. При этом частоты волн v=l/Ти v0= 1/Т0 связаны соотношением (30.44). Поперечный эффект Доплера, в отличие от продольного,— квадратичный относи- тельно Vjc. Обычно И«с и, согласно (30.44), v / Г2\1/2 1 V* = ( 1—- ] «1-------. vo \ с2 / 2 с2 Следовательно, поперечный эффект Доплера значительно слабее продольного, зависящего от Vie в первой степени. Трудность экспериментального обнаружения поперечного эффекта Доплера связана с тем, что даже при небольших отличиях 2/ • от значений + я/2 этот эффект может полностью маскироваться за счет влияния второго слагаемого в знаменателе общей формулы (30.42) эффекта Доплера. Впервые экспериментальная проверка существования поперечного эффекта Доплера и прави- льности релятивистской формулы (30.42) была осуществлена американскими физиками Г. Айвсом и Д. Стилуэллом (1938 1941). Они исследовали с помощью спектрографа длины волн А излуче- ния пучка атомов водорода, двигавшихся с одинаковыми скоростями V порядка 2 10* м/с. Измерения производились одновременно для двух взаимно противоположных направлений на- блюдения: вдоль скорости пучка (U ,=0) и навстречу ей (V 2=я). Из формулы (30.42) следует, что теоретические значения Л] и Л2 должны быть связаны с длиной волны Ао света, излучаемого неподвижными атомами, следующими соотношениями с с Х+Р Х+Р Af = - =А<) *1 'b'Jx-p* у/\-Рг так что среднее значение =(А, +Л)/2=Afl/^/1 - /Р а Ao (1 + ^/2)- 14 Курс физики 417
Легко видеть, что отличие от так же как и поперечный эффект Доплера, обусловлено членом в релятивистской формуле (30.42). Измерения, выполнен* ные Айвсом и Стилуэллом для зеленой линии ввдимого спектра водорода (Ло=486,1 нм), показали, что при различны* значениях fi величины Ло, найденные из опыта, согласуются с теоретическими, равными */3А)/Р- Так была экспериментально подтверждена справедливость формулы (30.42) и доказано существование поперечного эффекта Доплера. ... 4. Эффект Доплера нашелчпирмое применение в науке и технике. Особенно большую роль это явление играет в астрофизике. На основании доплеровского смещения линий поглощения в спек1рах*Шэт%',£Уманностей можно определять лучевые скорости Feos & этих объектов цо .отцщде^що к Земле: при К«с по формуле (30.42) FcosP »(l-v/v0)c. (30.45) Америка нет ий астроном Э. Хаббл обнаружил (1929) явление, получившее название космологического красного смещения и состоящее в том, что линии в спектрах излуче- ния внегалактических объектов смещены в сторону меньших частот (ббльших длин волн). Оказалось, что для каждого объекта относительное смещение частоты z= (v0—v)/vo (v0 — частота линии в спектре неподвижного источника, v — наблюдаемая частота) совершенно одинаково по всем частотам. Космологическое красное смещение есть не что иное, как эффект Доплера. Оно свидетельствует о том, что Метагалактика* расширяется, так что внегалактические объекты удаляются от нашей Галактики. Существование этого явления было теоретически предсказано еще в 1922 г. советским ученым А. А. Фридманом на основе развития общей теории относительности. Хаббл установил закон, согласно которому относительное кроеное смещение z галактик растет пропорци- онально расстоянию г до них. При скоростях галактик Г«кс, как видно из (30.42'), z—1 — v/v0« Fcosi^/c и закон Хаббла можно записать в форме Fcos^ ка=Нг, (30.46) где Н — иоегояямая Хаббла. По современным оценкам, Я- 50-г100 км/(с - Мпк)**. Вращение источника света вызывает доплеровское уширяли» спектральных линий, так как разные точки такого источника обладают разными лучевыми скоростями. Следовательно, с помощью эффекта Доплера можно исследовать вращение небесных тел. На эффекте Доплера основаны радиолокационные лазерные методы измерения скоростей различных объектов на Земле (например, автомобиля, самолета и др.). Лазерная анемометрия является незаменимым методом изучения потока жидкости или газа. Хаотическое тепловое движение атомов светящегося тела также вызывает ушире- ние линий в его спектре, которое возрастает с увеличением скорости теплового движения, т. е. с повышением температуры газа. Это явление можно использовать для определения температуры раскаленных газов. •Под Метагалактикой понимают совокупность всех звездных систем. В современные телескопы можно наблюдать часть Метагалактики, состоящую примерно из 10’ галактик. ••1 пк (парсек) — расстояние, которое свет деоходит в вакууме за 3,27 лет (1 пк»3,09-101* и). 418
Вопросы: .1» Покажите, что теория Максвелла приводит к выводу о существовании электромагнитных волн. 2. Какие свойства электромагнитных волн вам известны? 3. Докажите, что в общем случае монохроматическая электромагнитная волна эллиптически поляризована. При каком условии эта волна линейно поляризована? 4. Какова связь между интенсивностью бегущей электромагнитной волны и вектором Умова — Пойнтинга? Енфоотов в S. Как, исходя из поперечное™ электромагнитных воон,1дежод£ь, что колеблющийся элект- рический диполь не может излучать вдоль своей оси?,, г, •. Напишите условия для поля электромагнитной волны Йагранице раздела двух диэлектричес- ких сред. 7. О чем свидетельствует космологическое красное смещение и как оно было установлено?
Глада 31^____ - - __________ Интерференция света ;' ' --—*—'----------—./ ' > ---------------------------------1--------- aflomicpiit JH3 МН ЭННЭ1 § 31.1. Монохроматичноееьтякжременная когерентность света а нмвмотв 1. Раздел-•< физики, занимайпцийс* изучением природы света, закономерностей его испускания, распространения и взаимодействия с веществом, называется оптикой. В волновой оптике рассматриваются оптические явления, в которых проявляется волновая природа света (например^ явления интерференции, дифракции, поляризации и>. дисперсии света). Так как ;свет представляет собой электромагнитные волны, то в.основе волновой оптики, лежат.уравнения Максвелла и вытекающие из них соотноше- ния Для электромагнитных волн.. .В классической волн'овой оптике рассматриваются среды, линейные по своим оптическим свойствам, т. е. такие, диэлектрическая и маг- нитная проницаемости которых не. зависят от интенсивности света. Поэтому в волно- вой оптике справедлив принцип суперпозиции волн. Явления.-наблюдающиеся при., распространении света в оптически нелинейных средах; исследуются в нелинейной .оптике. Нелинейные оптические эффекты становятся существенными при очень .больших интенсивностях света, излучаемого мощными лазерами. и 2. Экспериментально установлен», что действие света на фотоэлемент, фотопленку, флуоресцирующий экран и другие устройства для его регистрации определяется, век- тором электрической напряженности Е электромагнитного поля световой волны, кото- рый поэтому иногда называют световым вектором. К такому же выводу приводит и классическая электронная, теория, согласно которой процессы, вызываемые светом в веществе, связайы с действием поля световой волны на заряженные частицы вещест- ва электроны и ионы. Частота видимого и более коротковолнового света столь велика (v>10’s Гц), что сколько-нибудь значительные по амплитуде вынужденные колебания могут совершать только электроны. Сила, действующая на электрон со стороны электромагнитного поля, ' 'F= —e[fe+Iv1BB= -«[Е-Ь/щ^Щ]. Здесь V! скорость электрона, 4)=ддоН магнитная индукция. Из (30.12) следует, что магнитная составляющая силы F значительно меньше ее электрической состав- ляющей: ^o\[^i^^fi^^B-(vlE/v)<<E и F«— еЕ, так как скорость электромагнитных волн v~ 108 м/с, а скорость электрона в атоме при вынужденных колебаниях с амплитудой, А ~ 10“10 м, равной размеру атома, под действием света частоты v~ 10’5 Гц = А •2т~ 106 м/с. 3. Явление интерференции света. Состоит в отсутствии суммирования интенсивностей световых волн при их наложении, т. е. во взаимном усилении этих волн в одних точках пространства й ослаблении в других. Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, Этому условию удовлетворяют монохроматические волны одинаковой частоты. Однако йфза поперечности электромагнитных волн условие их когерентности еще недостаточно для получения интерференционной картины. Необ- ходимо, кроме того, чтобы колебания векторов Е электромагнитных полей интерферг^ рующих волн совершались вдоль одного и того жё или близких направлений. Из повседневного опыта известно, что при наложений света от двух независимых источников' (например, двух электрических ламп накаливания) никогда не удается наблюдать явление интерференции. Увеличение числа горящих в комнате ламп всегда 420
приводит к возрастанию освещенности во всех точках комнаты. Применение оди- наковых светофильтров для «монохроматизации» излучения ламп также не приводит к появлению интерференции. Таким образом, волны»излучаемые независимыми источ- никами света, всегда некогерентны. Причины указанной закономерности заключены в самом механизме испускания света атомами (молекулами, ионами) источника. В § 30.3 показано, что продолжитель- ность процесса излучения стета атомом ?~10~8 с. За этот промежуток времени возбужденный атом, растратив свою избыточную энергию на излучение, возвращается в нормальное (невозбужденное) состояние и излучение им света прекращается. Затем, спустя некоторый промежуток времени, атом чшкывяовь возбудиться и начать излучать свет. Такое прерывистое излучение света атомами в виде отдельных кратков- ременных импульсов — цугов вол — характерно для любого источника света незави- симо от специфических особенностей тех процессов, которые происходят в источнике 1 и вызывают возбуждение его атомов. "‘= Каждый цуг волн имеет ограниченную протяженность в пространстве, связанную с конечной длительностью т его излучения. Например, протяженность цуга волн, распространяющегося в вакууме вдоль оси ОХ, равна Дх*ст, т. е. составляет 1 <— Юм. Вследствие этого, а также уменьшения амплитуды из-за затухания колебаний электрона в излучающем атоме цуг волн отличен от монохроматической волны, которая, по определению, имеет неизменную амплитуду и не ограничена в пространст- ве. С помощью методов спектрального анализа цуг волн можно представить в виде волнового пакета со сплошным спектром частот: циклические частоты входящих в его состав монохроматических волн образуют непрерывную последовательность значений от ш—Дш/2 до ко+ Дш/2, где ш — циклическая частота колебаний источника рассмат- риваемого цуга волн. Величина Дш, характеризующая ширину спектра, зависит от протяженности Дх цуга и его «формы», т. е. характера изменения амплитуды волны по длине цуга. Можно показать, что Дш>1/т или ДхДа)>с. (31.1) Так как волновое число k=*w)c, то Дсо=сДк и неравенство (31.1) можно переписать в виде ДхДЛ>1. (31.2) Из (31.1) и (31.2) следует, что цуг волн тем ближе по своим свойствам к монохрома- тической волне с циклической частотой со и волновым числом к^аз/с (в вакууме), чем больше длительность т его излучения: lim Дш= lim Ды=0. т—*оо Дх-*со Для видимого света со ~ 10*5 с~1 и отношение Ди/со мало: Д® с 1 --------в-----10т7; со Ьхсо tco Однако из-за инерционности измерительных приборов, а также органов зрения продолжительность регистрации света всегда во много раз больше длительности т излучения одного цуга. Кроме того, в каждый момент времени излучение света осуществляется не одним, а весьма большим числом атомов светящегося тела. Поэто- му достаточно высокая степень монохроматичности каждого цуга порознь вовсе еще не означает когерентности различных цугов между собой и связанной с Этим монохрома- тичности совокупного излучения источника стета. 4. Атомы обычных источников света (ламп накаливания и газоразрядных, электричес- кой дуги и т. п.), основанных на явлении спонтанного (самопроизвольного) излучения (см. § 40.1), излучают независимо друг от друга. Следовательно, начальные фазы соответствующих им цугов волн никак не связаны между собой. Больше того, даже для одного и того же атома значения начальных фаз разных цугов хаотически изменяются 421
от,одного акта излучения этого атома к другому. Из всего сказанного ясно, что свет, испускаемый макроскопическим источником, немонохроматичен, так как состоит из множества быстро сменяющих друг друга цугов, начальные фазы которых изменяются совершенно хаотично. Кроме того, значения циклических частот а для этих цугов также могут быть различными. Каждый цуг плоскополяризован. Однако для различ- ных цугов плоскости поляризации могут быть ориентированы по-разному. Поэтому свет, излучаемый источником, представляет собой набор плоскополяризованных волн со всевозможными направлениями векторов Е, удовлетворяющими только условию их перпендикулярности лучу, Если все указанные направления совершенно равноправны, т. е. ни одно из них не Лфется преимущественным, то свет называют сстестветеым, или неаоляриюваиж ш. В естественном свете результирующая напряженность £ в каж- дой точке поля волны совершает колебания, направление которых быстро и бес- порядочно изменяется, оставаясь в плоскости, перпендикулярной лучу. Если имеется некоторое преимущественное направление колебаний вектора £, то стет называют часто иолцжзовамым в плоскости, проходящей через это направле- ние и луч. Иначе обстоит дело в случае вынужденного излучения, возникающего в неравновес- ной активной среде под действием переменного электромагнитного поля (см. § 40.1). Вынужденное излучение всех частиц системы когерентно с возбуждающим его моно- хроматическим излучением, имеет ту же частоту, поляризацию и направление рас- пространения. Эти особенности вынужденного излучения используются в квантовых генераторах — лазерах и мазерах (см. § 402). 5. Реальная волна, излучаемая в течение ограниченного промежутка времени и охва- тывающая ограниченную область пространства, не является монохроматической. Спектр ее циклических частот имеет конечную ширину Дю, т. е. включает циклические частоты от w—tMiill до ю+Дш/2. Промежуток времени т^г, в течение которого разность фаз колебаний, соответству- ющих волнам с циклическими частотами ю+Дю/2 и ш—Дю/2, изменяется на 2я, называется временем когереятвоеп немонохроматической волны: тжот=2я/Дю. (31.3) Это название связано с тем, что немонохроматическую волну можно приближенно считать монохроматической с циклической частотой ш в течение промежутка времени ДГ^СТдд.. Расстояние 4<r> m которое распространяется за время когерентности т№ волна с циклической частотой а и фазовой скоростью v, называется длиной когереитвветв или длиной гармонического цуга, соответствующего рассматриваемой немонохроматичес- кой волне: 4от5Ж*’ткг=2я*,/Д°>- (31.4) Чем данная волна ближе к монохроматической, тем меньше ширина Дю спектра ее частот и тем больше ее время и длина когерентности. Например, для видимого солнечного света, имеющего сплошной спектр частот -от 4 101* до 8 141* Гц, t№~ 10”14 с и 10” 6 м. Время когерентности вынужденного излучения значительно больше времени высвечивания атома. Например, для лазеров непрерывного действия тжог достигает 10~5 с, a ZOT~ 103 м. § 31.2. Интерференция свете. Пространственная когерентность 1. Для получения когерентных световых волн с помощью обычных (нелазерных) источников применяют метод разделения света от одного источника на две или несколько систем волн. В каждой из них представлена излучение одних и тех же атомов источника, так что из-за общности происхождения эти системы волн когерентны между собой и интерферируют при наложении. Разделение света на когерентные системы волн можно осуществить, например, путем его отражения или преломления. 422
кал в ваде двух пучков с центрами I, являющихся мнимыми изображе- аэи нлоЯ На рис. 31.1 показана в качестве примера схе- ма, называемая бкзеркалом Френеля. Свет от то- чечного источника о падает на два плоских зер- кала AiO и АгО, расположенных перпендикулярно плоскости рисунка и соединенных по линии О. Угол а 'меищу плоскостями зеркал оЧень мал. Свет от источника S распространяется после от- ражения от э точках Si я виями источника S' в зеркалах. Эти пучки когерсн- ’Ф1 кэтэ тны и при наложении дают на экране Э ннтерфе-1 ’нэнтоэ^э । / ренционную картину (область ВС, называемая но-'"'' леи перферемцм). Результат интерференции в некоторой точке М экрана зависит от длины волны света Л, я разности хода волн от когерент- ных мнимых источников Si и S2 до точки М: ГУ D 3 в м с Рис. 31.1 Начальные фазы колебаний источников S, и S2 одинаковы. Поэтому условия ин- терференционных максимумов и минимумов (29.43') и (29.44Э имеют вид rj—И » ±т2 [максимум m-ro порядка (zn«*O, 1,2,...)], « г2—Г1 — ±(2т—1)2/2 [минимум т-то порядка (m— 1,2,...)]. Угол 2fi при вершине S между двумя лучами света, которые после отражения от зеркал AiO я А2О сходятся в точке М интерференционной картины, называется нертурой жгерференцм. Этот угол обычно мало меняется при изменении положения точки М в пределах интерференционного поля. 2. Схемы наблюдения интерференции света с помощью бнфнзмы Френеля (рис. 31J2) и бвлнпы Бийе* (рис. 31.3) подобны схеме с бизеркалом. Бипризма состоит из двух одинаковых трехгранных призм, сложенных основаниями и изготовленных как одно целое. Преломляющие углы а при верхней и нижней вершинах бипризмы очень малы (порядка долей градуса). Свет от источника S преломляется в бипризме и распрост- раняется за ней в виде двух систем волн, соответствующих когерентным мнимым источникам света я S2. Интерференция этих воли наблюдается в области их перекрытия на экране Э. Билинза представляет собой две половины JIi я Л2 собирающей линзы, разрезанной по диаметру. Обе половины слегка разведены, благодаря чему они дают дм не совпадающих между собой действительных изображения Sj я S2 точечного источника света S. Интерференция слета от этих когерентных вторичных источников наблюдается на экране Э. Промежуток между частями Л2 я Л2 билинзы закрыт непрозрачным экраном А. 423
На рис. 31.2 и 31.3 показаны значения апертуры интерференции 2Д для центральной точки Л/р интерференционной картины, получаемой с помощью бипризмы и билинзы. 3. Шириной интерференционной волосы называется расстояние между двумя соседними интерференционными максимумами (или минимумами). В случае бизеркала Френеля и аналогичных ему схем осуществления интерференции (бипризма, билинза и т. п.) ширина интерференционной полосы находится по формуле (29.46):'Дг=1£//. Здесь I — ъ&тэяашь между источниками $ и S2, a L — расстояние от них до экрана Э. Длина вВшй1 Видимого света очень мала (Л~ 5 10“7 м). Поэтому для получения интерференцц-лм^л_1^адрс такой ширины, чтобы их можно было различать глазом, должно выло.. itri-сд усМяие l«.L. Соответственно угол а. в бизеркале и пре- ломляющие углы а у бзРрйЗуУ поджим быть очень малы. Возможность набйюЯгйиЯ интерференционных полос зависит также от их контраст- ности,'. т. е. от степени различия освещенностей экрана в максимумах и минимумах. Освещенность пропорциональна интенсивности I падающего света. Количественной характеристикой контрастности интерференционной картины служит безразмерная величина видимость полсс 4'V Zмин)/(Лшс Н" ^минХ (3 1 *6) / где /Мажс и /мин — интенсивности света в интерференционных максимумах и минимумах на экране. Глаз уверенно различает полосы, если их видимость К>0,1,т. е. если ^мин <0,82/мжи:. При наложении двух одинаково поляризованных когерентных монохроматических волн, амплитуды и интенсивности которых равны А{, Л и Л г, /г, видимость интерферен- ционных полос можно найти, пользуясь формулой (29.40) и полагая в ней СО8(Фг-Ф1)= 1 для /мвс=Ая СО8(Фа-Ф1)=-1 ДЛЯ а*+а*~ /1+/2‘ (31.6') Видимость полос максимальна (К= 1), если =А2. 4. В интерференционной схеме типа бизеркала Френеля, освещаемого точечным ис- точником S (см. рис. 31.1), накладывающиеся волны в действительности никогда не бывают идеально монохроматическими. Соответственно эти волны только частично когерентны. Они способны интерферировать лишь при условии, что колебания, воз- буждаемые ими в точке М экрана, соответствуют одному и тому же гармоническому цугу излучения источника S, г. е. если |r2-rif<t>T„r ИЛИ |Г2-Г1|<4ог. Здесь г2—Г| — разность хода накладывающихся волн; v — их скорость; т1ог й 1тг — время и длина когерентности света“источника S. В точке М осуществляется сложение частично когерентных колебаний, возбуждаемых одним и тем же источником <$ в различ- ные моменты времени t и Г+Г, где т=|г2—п|Л>. Поэтому видимость интерференционной катины в такого рода установках существенно зависит от временной когерентности колебаний, которая ограничивается степенью монохроматичности светаисточника S, т. е. временем его когерентности тжот. При т«т,ог складываемые колебания практичес- ки полностью когерентны ц видимость интерференционных полос при равной интен- сивности накладывающихся волн К«1. Если же т>тжог, то складываемые колебания некогерентны и не интерферируют (К=0). Таким образом, для наблюдения интерференции света при больших разностях хода г2—п (соответственно при больших значениях т) необходимо, чтобы свет обладал 424 I
достаточно большим временем когерентности, т. е.чтобыои имел достаточно высо- кую степень монохроматичности. 5. Из (31.5) видно, что положения на экране всехцнтерферешщонныхмаксимумов, кроме максимума нулевого порядка, зависят от Длины волны света, двух длин волн А] и 12 максимумы m-го порядка смещены друг отадентельно друга тем сильнее, чем больше т. Поэтому с ростом m ухудшается вцдодсръинтерфдойцианных полос, получающихся при освещении бизеркала Френеля нецоцрхроматическим светом: поло- сы, соответствующие свету с разными значениями.^ нагадываются друг на друга, и интерференционная картина смазывается. ~ п™ Ы m Пусть длины волн света заключены в пределах тйй^ЯЖ&до А+ДА/2, а циклические частоты от й)+До>/2 до ш—Дш/2, где Аш=2я«ДЛД^1Т^^2рогласно критерию Редея, интерференционная картина остается еще различф^дщ^шксимума порядка для света с длиной волны А+ДА/2 (ДА>0), который накладывается на экране на ближайший к нему интерференционный минимум для света.с ддинрй волны А: гио(А+ДА/2)= =(2/яо+1)А/2, откуда , .1. (31.7) Таким образом, согласно (31.5) и (31.7), интерференцию можно наблюдать при разностях хода волн, удовлетворяющих условию |Г2-П|<7т=7^=»««г- (31.7') Ил Доз Этот результат согласуется с оценкой, произведенной и п. 4. на основе представле- ний о временной когерентности колебаний.. 6. Частично когерентный свет, общая интенсивность которого равна /, можно рас- сматривать как совокупность двух составляющих: когерентной с интенсивностью у/, где у — степень когерентности света, и некогерентной с интенсивностью (1— у)/. При наложении частично когерентных волн интерферируют только их когерентные состав- ляющие. Некогерентные составляющие создают равномерно освещенный фон интерфе- ренционной картины, поэтому Аи1В=у^+лГ+а-уМ так как 1= АI+А то г- ** (31.П 2(Д*+А*> A+fi Следовательно, по мере уменьшения степени когерентности света видимость ин- терференционных полос V тоже уменьшается. Если интенсивности частично когерент- ных волн одинаковы, то V— у. 7. Обычно в интерференционной установке с бизеркалом (или бипризмой) используют не точечный источник света S, а ярко освещенную узкую щель, параллельную ребру О бизеркала. В этом случае интерференционные картины, получающиеся на экране от разных участков по длине щели, сдвинуты друг относительно друга вдоль направления щели S. Соответственно на экране наблюдается система интерференционных полос, параллельных ребру О бизеркала. Видимость 'интерференционных полос уменьшается по мере увеличения ширины щели. 5. Это связано с тем, что интерференционные полосы, получающиеся на экране от различных узких щелей, на которые можно мысленно разбить щель S, смещены друг относительно друга. Интерференционная картина в монохроматическом свете с длиной волны А получается отчетливой, если выполняется приближенное условие ДяпД<А/4, . . (31.8) где b — ширина щели; 2ft — апертура интерференции. ' 425
щ .никоею Рис. 31.4 8. На рис. 31.4 похжзаиа щлнщпшальнаж схе- ма осуществления интерференции света по ме- тоду Ювга. Источником света служит ярко освещенная узкая щель S в экране А. Слет от нее надает на второй непрозрачный экран А2, в котором имеются две одинаковые узкие ще- ли 5] и S2, параллельные £ В пространстве за экраном А2 распространяются две системы цилиндрических волн, интерференция кото- рых наблюдается иа экране Э. Видимость ин- терференционных полос при небольших раз- ностях хода определяется главным образом степенью согласованности протекания колебаний в точках щелей St и Sj, которые можно рассматривать в качестве «источников» интерферирующих на экране волн. Когерентность колебаний, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках плоскости Q, перпендикулярной направлению распространения волны, называют цростравствеввой когерентностью (в отличие от временнбй когерентности колебаний, совершающихся в одной и той же точке, но в разные моменты времени). Пространственная когерентность зависит от условий излучения и формирования световых волн. Например, световая волна, излучаемая точечным источником, обладает полной пространственной когерентностью. В случае идеальной плоской волны амп- литуда и фаза колебаний во всех точках плоскости Q одинаковы, т. е. также имеется полная пространственная когерентность. Пространственная когерентность сохраняется также по всему поперечному сечению пучка света, излучаемого лазером. В реальной волне, излучаемой множеством независимых атомов протяженного нелазерного источника света, разность фаз колебаний в двух точках Xt и л2 плоскости Q — случайная функция времени. Случайные изменения этой разности фаз возрастают с увеличением расстояния мёжду точками. Расстояние 4 между точками и К2 плоскости Q, случайные изменения разности фаз в которых достигают значения, равного я, называется дивной простршетвеявой ^^аии^схеме Юнга расстояние между щелями £ и S2 />4» то видимость ин- терференционных полос Г«0. Для обеспечения пространственной когерентности осве- щения щелей S] и S2 ширина b входной щели 5 должна быть достаточно малой. Можно показать, что 4=Ad/A=A/0, где d— расстояние между экранами Ai в А2, ®^bjd—утлаыА размер источника света — щели S. ft^aaa. пространственной когерентности 4="^/® увеличивается по мере удаления от источника света. Например, для звезды диаметра D, находящейся на расстоянии г, и l^kr/D. Площадь круга радиуса 4 называется размером прппранг шемпй когеротюсти, а объем прямого цилиндра с таким же основанием и образующей, равной длине гармонического цуга (31.4) 4®гв«’жг, называется объемом когерентности. § 31.3. Интерференция света в тонких пленках 1. Не следует думать, что интерференцию света можно наблюдать только в лабора- торных условиях, применяя для этого специальные оптические устройства (например, биэеркало). Примером интерференции света, наблюдающейся в естественных условиях, может служить радужная окраска тонких пленок (мыльных пузырей, пленок нефти или масла на поверхности воды, прозрачных пленок оксидов на поверхностях закаленных металлических деталей — цвета побежалости — нт. п.). Образование частично коге- рентных воли, интерферирующих при наложении, происходит в этом случае вследствие отражения падающего на пленку света от ее верхней и нижней поверхностей. Результат 426
интерференции зависит от сдвига фаз, приобретаемого накладывающимися волнами в пленке. 2. Для установления общих закономерностей интерференции света в тонких пленках рассмотрим плоскопараллельную прозрачную пленку толщиной d, на которую падает под углом i плоская монохроматическая волна (луч 1 на рис. 31.5). Будем пред- полагать, что по обе стороны от пленки находится одна и та же среда (например, воздух). Абсолютные показатели преломления среды и пленки обозначим я( и л2, причем для определенности будем считать, что л2^ль ~ Падающая волна частично отражается от верхней поверхности пленки (луч /*), а частично преломляется (луч AD). Преломленная водна, достигнув нижней поверх- ности пленки, также частично отражается (луч DC), а частично преломляется (луч 2). То же самое вновь происходит на верхней поверхности пленки с волной, распространяющейся вдоль луча DC,, причем преломленная волна (луч Г) накладывает- ся на волну, непосредственно отраженную от верх- ней поверхности (луч Г). Эти две волны когерент- ны, если только разность их хода мала по сравне- нию с длиной их когерентности. Результат их ин- терференции зависит от разности фаз ДФ колеба- ний, возбуждаемых этими волнами соответственно в точках С нВ плоскости ВС, проведенной перпен- дикулярно лучам Г и Г. Колебания, вызываемые в точке С волной, отраженной от нижней поверхности пленки, отстают по фазе от колебаний в точке А на величину ДФ^Зл (|Л2)|+|Z)C|)/22, где Л2 — длина волны света во второй среде*. Аналогично этому, отставание по фазе колебаний в точке В, вызываемых волной, которая отражается от верхней поверхности пленки, равно ДФ2=2я|ЛВ|/Л1+я, где — длина волны света в первой среде. Добавочный член я учитывает сдвиг фаз, возникающий при отражении света, от оптически более плотной среды (мы полагали, что я2>л1; если бы л2 было меньше яь то добавочный член я нужно было бы ввести в выражение для ДФ], а не для ДФ2**). Сдвиг по фазе на я при отражении эквивалентен дополнительному пути света в первой среде, равному JLt/2. Таким образом, искомая разность фаз интерферирующих волн ДФ=ДФ1 - ДФг=(2л/А2) (|Л£>|+|£>q) -(2л/Л|)(ИД|+А1/2). Длины волн 22 и 2t связаны с длиной волны 1 света той же частоты v,. распространя- ющегося в вакууме, следующими соотношениями: , Рис. 31.5 . 21=«2/у=с/(ул2)=А/л2, 2i=t>i/v=2/nb где t>i и v2 — фазовые скорости света в обеих средах. Таким образом, ДФ=(2яМ)[л2(|Л1)|+|ад-л1аЛБ|+21/2)], или ДФ=(2я/2)(л2/2-л1/1), (31.9) где /2=ИД+ |ЛС| и /1=|АЯ|+21/2 — геометрические длины путей, пройденных интерферирующими волнами во второй и первой средах (с учетом возможных потерь Полуволны при отражении). •Напомним, что при прохождении волной расстояния, равного 2, её фаза изменяется на 2я. ••Предполагается, что i меньше угла Брюстера iBp (см. табл. 30.2). 427
, Произведение геометрической длины пути I световой волны в среде на абсолютный показатель преломления л последней называется оптической длиной пути л j=bZ. . Из формулы (31.9) следует, что * &Ф=~2лЗ/к (31.9Э где 3=*32-‘S\<*n2l2—nJi —ощическм разность хода интерферирующих волн. Интерференционные максимумы и минимумы удовлетворяют следующим услови- ям, вытек ощим из (29.4©: онап-жг isMqoH 1 Я RHgMJ — максимум, (2ли—1)2/2 — минимум, (31.10) где т — целое число. t _ 3. Для плоскопараллельной пленки |ZD|=|Z>C| и, как видно из рис. 31.5, \AD\=d/cosr и |ЯС]ап i=2dtgrsin/. При этом оптическая разность хода 3—2nid/cosr— — 2nidsnrtiai/cosr—niki/2. По закону преломления света, Л|ЯП1'=>Л28Шг; следова- тельно, г=2л2</(Г-ап1г)/со8г-2/2=2л2</со»г-2/2 (31.11) или d=2d-^n%—n*sin2i—X/2. (31.11') Результат интерференции в отраженном от пленки свете, как видно из (31.10) и (31.11), зависит от числовых значений d, г, п2 и к 2n2dcosr=*(2m+ 1)2/2 — максимум, ч’ > , (31,2) 2л2асовг=лг2 — минимум, где/л==0, 1,2,.... >. </. При освещении пленки* белым светом для некоторых длин волн выполняется условие максимума отражения, адля некоторых других — минимума, поэтому в от- раженном свете пленка кажется окрашенной. Интерференция наблюдается не только в отраженном, но и в проходящем сквозь пленку свете. Легко показать, что оптическая разность хода для проходящего света отличается от 3 для отраженного света на 2/2. Следовательно, максимумам интерфере- нции в отраженном свете соответствуют минимумы интерференции в проходящем свете, и наоборот. Поэтому при освещении пленки белым светом ее окраска в отражен- ном и проходящем свете оказывается взаимно дополнительной. В расчетах оптической разности хода интерферирующих волн в пленке принима- лись во внимание только две волны, соответствовавшие первому отражению от верхней и от нижней поверхностей пленки, т. е. не учитывалась возможность много- кратного отражения свеча. Такое упрощение правомерно только при условии, что интенсивность 12 волны, соответствующей второму отражению от нужней поверхности пленки, значительно меньше интенсивности 12 волны, возникающий при первом от- ражении. Если R — коэффш енг отражения света от верхней и нюней поверхностей пленки, то I2=* R2Ii- Обычно Я2 1. Например, для границы воздух — стекло («21=1,5) при углах падения света i< 50° коэффициент отражения Л <0,05. В некоторых гениаль- ных случаях, когда 12 соизмеримо С 7t, необходимо рассматривать интерференцию многих волн (см. § 31.4). ' ’ : г:- 4. Возможность ослабления Отраженного света вследствие интерференции в тонких пленках широко используемсяj совре енных оптических приборах (фотоаппаратах, биноклях, перископах и др.). Для этого на передние поверхности имеющихся в них линз и призм наносят тонкие прозрачные пленки, абсолютный показатель преломления которых п, меньше абсолютного -показателя преломления ль материала линзы или призмы. Толщина пленки подбирается так, чтобы осуществлялся Интерференционный 428
минимум отражения для света с длиной волны Л»5,510~7 м, соответствующей наибольшей чувствительности человеческого глаза(3елейыйстет).Такаяоптикаполу- чила название просветленвой оптики. В отраженном свете просветленные линзы и при- змы кажутся окрашенными в фиолетовый цвет, так как они заметно отражают только красный и сине-фиолетовый свет. Наиболее полное взаимное гашение световых волн; отраженных от верхней и ниж- ней поверхностей пленки на просветленной линзе или, призме, происходит в случае равенства интенсивностей этих волн, т. е. приблизительно $ри равенстве коэффициен- тов отражения от обеих поверхностей: Пм нормальном падении света из воздуха на пленку и из пленки на линзу или призму эн ис гя и Лп можно определить по формуле (30.39Э: £). (Пв/п,-IV /4,-lV _ /"b/Яп-Л2 ------ »|------ I , I , ; . .. Г. . ... » zht/n»+l/ \Лп+1/ \no/,!»+V так как абсолютный показатель преломления воздуха п„» 1. Приравнивая друг другу эти выражения для и Ли» найдем оптимальное значение абсолютного показателя преломления материала пленки: Ни—Л 5. Рассматривая интерференцию света в тонких пленках, различают интерференцион- ные полосы равного наклона и равной толщины. Полосы равного наклона наблюдают- ся в тех случаях, когда на плоскопараллельную тонкую пленку падает под разными углами i расходящийся (или сходяпщйся) пучок света. Таковы, например, условия освещения пленки протяженным источником или рассеянным солнечным светом. Ин- терференционная картина наблюдается на экране Э, установленном в фокальной плоскости собирающей линзы Л (рис. 31.6). Всякая линза обладает тем свойством, что она не создает дополнительной разности фаз между лучами, собираемыми линзой в одной и той же точке изображения. Иными словами, оптические длины пути для этих лучей одинаковы;или, как принято говорить, таутохронны. Если бы указанное правило не соблюдалось, то с помощью линз нельзя было бы получать изображения предметов (источников света), подобные этим предме-' там: изображения всегда имели бы вид чере- дующихся интерференционных максимумов и минимумов освещенности. Таким образом, при освещении плоскопа- раллельной пленки монохроматическим све- том результаты интерференции отраженного света в различных точках экрана Э зависят только от углов i падения на пленку или равных им углов отражения для лучей, соби- рающихся в этих точках экрана. Интерферен- ционная картина имеет вид чередующихся криволинейных темных и светлых полос. Ка- ждой из этих полос соответствует определен- ное значение угла i, поэтому они и называются полосами равного, наклона. При освещении пленки белым стетом на экране наблюдается система разноцветных полос равного наклона. В отсутствие линзы интерференционную картину можно было бы наблюдать только на бесконечности — в месте пересечения пар параллельных лучей ГГ, 2!Т и т. Д., поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бес- конечности. Для их визуального наблюдения нужно аккомод ировать глазна бесконеч- ность. . В. Полосы равной толщины наблюдаются при отражении параллельного или почти параллельного пучка лучей стета (f==const) от тоцкрй прозрачной плёнки, толщина d которой не одинакова в разных местах. Оптическая разность хода интерферирующих 429
волн изменяется при перехода от одних точек иа поверхности пленки к другим в соответствии с изменением толщины d, так что условий интерференции одинаковы в точках, соответствующих единановым значениям d. Поэтому рассматриваемая ин* терференционная картина и называется полосами равной толщины. Полосы равной толщины локализованы вблизи поверхности пленки, т. е. для их наблюдения нужно аккомодировать глаз практически иа поверхность самой пленки. Если свет нитерфпти рует в тонком прозрачном клине с малым углом а при вершине, то полосы равней!яожцииы параллельны ребру клина. При освещении клина монохроматическим свещшэеодапюй волны в вакууме А, падающим нормально на поверхнося клина (1—(^апирнимаптерффенционных полос равна А/(2па), где п — абсолютный проказатель йрслоягаения клина. 7. Частным случаем понос ранкой толщины являются кольца Ныотме, которые наблюдаются в схеме, изобраз иной на рис. 31.7. Плосковыпуклая линза Л с большим радиусом R кривизны выпуклой поверхности обращена этой поверхностью к плоской пластине А и соприкасается с ней в точке О. Параллельш пучок света падает нормально на плоскую поверхность ВС линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного промежутка между линзой и пластиной. При наложении отраженных води возникают интерференционные кольца равной толщины. Вид этих колец в случае монохроматического света показан на том лее рис. 31.7 внизу. В центре находится темное пятно (минимум нулевого порядка). Оно окружено систе- мой чередующихся светлых и темных колец, ширина и интенсивность которых посте- пенно убывают по мере удаления от центрального пятна. В проходящем свете наблю- дается дополнительная картина: центральное пятно — светлое, следующее кольцо — темное я т. д, Оптическая разность хода между лучами, отраженный от верхней и шжней поверхностей воздушного зазора на произвольном расстоянии r=\DE\ от точки О, равна a-2|£F|-M/2, где показатель преломления воздуха пр аят равным единице, а член А/2 обусловлен сдвигом по фазе на я при отражении света от поверхности пластины. Из подобия прямоугольных треугольников EOD и EDM ахрует, что |2H^:|DJEJ—где ЦЮ| |EJFJ, |2>Е|—г и |7>А/1«=2Л—|EF|w2R, так как |.EF|-(£/2—А/4)жА Таким образом, М Рис. 31.7 |£Л“Га/(2Я),б=г1/Л+А/2. ' Из соотношения для 6 и условий (31.10) следует, что радиусы m-х светлого (rj?) и темноте (гж) колец Ньютона в отраженном свете равны: - г“-</(2т-1)ЯД/2 (т-1, 2, 3, ...), .--- (31.13) гт—<т/Ц (т=>0, 1, 2, ...). Очевидно, что в проходящем свете гТ-^/тЛА (т=0, 1, 2, ...), -------------- (31.139 гм-7(2т-1)ЯА/2 (т-1, 2, 3, ...). Если иа линзу падает белый свет, то в отраженном свете наблюдается центральное темное пятно, :г ? ш системой цветных колец, соответствующих «и; - днлым максимумам отражения света с различными значе- ниями А 430
Правильная форма колец Ньютона легко искажается при всяких, даже незначитель- ных, дефектах в обработке выпуклой поверхности линзы и верхней поверхности пластины. Наблюдение формы колец Ньютона позволяет осуществлять быстрый в ве- сьма точный контроль качества шлифовки плоских пластин и линз, а также близость поверхностей последних к сферической форме. В заключение следует заметить, что в приведен их выше расчетах для колец Ньютона мы не случайно пренебрегли влиянием света, сражающегося ст верхней (плоской) поверхности линзы и нижней поверхностонластины. Дело в том, что толщины центральной части линзы и пластинки налкнагомюрядков больше толщины воздушного зазора вблизи точки О. Поэтому рятпяр1хрЩ между световыми, вол- нами, отражающимися от верхней и нижней поверхностей линзы н пластинки, столь велики, что они намного npeiвосходят длину когероимельяелаэернего света. § 31.4. Интерференция многих волн 1. Для осуществления интерференции многих световых волн с близкими или равными амплитудами применяют специальные интерференционные приборы — дифракцион- ную решетку, эталон Фабри — Перо и др. Амплитуду Л результирующих колебаний и их интенсивность 7= Я2 в произвольной точке М интерференционной картины можно найти, воспользовавшись методом векторных диаграмм для сложения одинаково направленных колебаний (см. § 27.4). На рис. 31.8 показана векторная диаграмма сложения колебаний при интерферен- ции N волн, возбуждающих в точке М одинаково направленные когерентные колебания с равными амплитудами At и не зависящим от i сдвигом фаз между (i+ 1)-м и Ам колебаниями: Ф1+|(г)—Ф/(г)=Дф0- Амплиту- да результирующих колебаний Л-2|ОО|1вш(ц/2), At •де а-2я-ЛГ Д^о, По' 2|йп(Афо/2)1 /тому яп^Дфо/2) А жЛ1 ----------—, ап(Афо/2) (31.14) /аж/ 1 sma(Afl>o/2) ’ где Л =-А\ — интенсивность колебаний, воз- буждаемых в точке М каждой из N интерфе- Рис. 31.8 рирующих волн порознь. 2. Главные максимумы интерференции N волн наблюдаются в тех точках М, для которых углы Дф0 либо равны О, либо кратны 2я, так что векторная диаграмма сложения колебаний имеет вид, показанный на рис. 31.9. Таким образом, условие для глижп максимумов имеет вид Афо= ±2ля, (31.15) А'г А*г_____________Ай. А«Л/А, Рис. 31.9 где л=0, 1, 2, ...— порядок главного мыкмиума. Амплитуда и интенсивность колебаний в главных максимумах равны A^-NAt, (31.153 Интерфереацминые минимумы (Л«0) удовле- творяют условию 431
\ Дфо=±2я/»/М (31.16) где р гфинимает любые целые положительные значения, кроме кратных N. Между каждой парой соседних интерференционных минимумов находится один максимум — либо главный, либо побочный. При большом числе N интерферирующих волн интен- сивности побочных максимумов пренебрежимо малы по сравнению с интенсивностями главных максимумов. Двум минимумам, ограничивающим главный максимум л-го порядка, соответству- ют значения Афо= ±(2яв^2я/||&Хпоэтому «ширина» главного максимума, равная обратно прошфциош^^мЬлу N интерферирующих волн, а его интенсивность пропорциональна №. Такой' характер изменения интерференционной картины при изменении W полностью согласуется с законом сохранения энергии: общая энергия колебаний во всех точках экрана, на котором наблюдается интерференционная кар- тина, пропорциональна N. Характер зависимости I/Ц от Афо по формуле (31.14) показан на рис. 31.10. 3. Если число N интерферирующих волн неограниченно увеличивать, а их амплитуды At и сдвиги фаз Афо соответственно уменьшать так, чтобы NAt и N&q>0 оставались конечными величинами, равными Ао и Д<р, то в пределе векторная диаграмма (рис. 31.8) примет вид^ показанный на рис. 31.11. Вектор А амплитуды результирующих колебаний замыкает дугу ВС окружности. Длина этой дуги равна Ао, а соответст- вующий ей центральный угол 1_ВОС=Ь<р. Поэтому радиус окружности |ОВ|—Ло/Аф, а амплитуда А и интенсивность I результирующих колебаний равны sin (А<р/2) sin2 (Д<р/2) Дф/2 ’ 1~1° (Дф/2)2 ’ (31.17) где 1о=Ао- Из 31.17 видно, что интерференционные минимумы и максимумы находятся в точках интерференционной картины, для которых выполняются соответственно следующие-условия: А<р=+2тя(т= 1,2,3,...), (31.18) tg(A<p/2)=A<p/2. (31.19) -I Корни трансцендентного уравнения (31.19) можно представить в форме (Av)M=±2AMx, (31.197 где т— 0, 1,2,... порядок максимума. Для центрального максимума нулевого поряд- ка коэффициент 0 и (Д<р)о=О. Амплитуда и интенсивность, колебаний в максимуме нулевого порядка равны Ао и Z0- Для всех остальных максимумов (m> 1) приближенно 432
можно считать, что Ля='(2т+ D/2, (Дф)м- ±(2т+ 1)я. (31.20) При выполнении условия (31.20) вектор А-=А„ на диаграмме рис. 31.11 направлен вертикально, а сама диаграмма состоит из 2/я+1 полуокружностей, диаметру которых и равен модуль вектора А„: Лт=2ЛоД(2/я+1)я]. Соответственно отношение интенсивно- стей максимумов m-го и нулевого порядков Zm/Zo=4/R2n>+l)2n1]. (31.21) Рис. 31.12 Это отношение быстро убывает с ростом pi (табл. 31.1). Характер зависимости Гот Д<р показан на рис. 31.12. 1 Таблица 31.1 Порядок максимума 0 1 2 3 4 Wo 1 0,045 Р.016 0,008 0,005 § 31.5. Интерферометры 1. Явление интерференции света используется в ряде весьма точных измерительных приборов, получивших название интерферометров. На рис. 31.13 изображена принципи- альная схема интерферометра Жамена, применяемого для точных i иерений показа- телей преломления газов и их зависимости От температуры, давления и влажности. Две совершенно одинаковые толстые плоскопараллельные стеклянные пластины А и В установлены почти параллельно друг другу. Монохроматический свет, испуска- емый источником 5, падает на поверхность пластины А под различными углами i, близкими к 45° (на рис. 31.13 показан только один падающий луч). В результате отражения света от обеих поверхностей пластины образуются две когерентные волны (лучи 1 и 2). Пройдя сквозь две совершенно одинаковые закрытые стеклянные кюветы X] и Ki, эти волны после отражения от второй пластины В собир< линзой Л и интерферируют. Интерференционные полосы равного наклона ра* аются с помощью окуляра, который на рисунке не показан. Если одну i я (Х0 заполнить газом, имеющим известный абсолютный показатель преломления »], а вто- рую — газом, показатель преломления л3 которого измеряется, то между интерфериру- ющими волнами возникнет дополнительная оптическая разность хода, равная (л3— Соответственно произойдет смещение интерференционной картины на Лги полос, при- чем Дл1=(л3—Л|)//Л, так что л3=л1+АДт//. Например, при 1—5 см и 2=500 нм смещению полос на 0,1 их ширины, которое еще можно достаточно надежно зарегистрировать, соответствует ничтожно малая разность 0,1 Г10"7- = 10'6. л2—Л1=------- 5 10"2 2. На рис. 31.14 показана упрощенная схема интерферометра Майкельсова. Верти- кальный пучок монохроматического света от источника 5 падает под углом 45° 433
Рис. 31.14 Рис. 31.13 на плоскопараллельную стеклянную пластинку А, задняя поверхность которой покры- та тонким полупрозрачным слоем серебра. Часть света отражается от этого слоя (горизонтальный луч Г), а часть — проходит сквозь него (вертикальный луч 2). Луч 1 отражается от вертикального плоского зеркала 3t и частично проходит сквозь пластинку А (луч Г). Луч 2 сгтрляается от горизонтального плоского зеркала 31 и возвращается к пластинке А, дважды проходя сквозь стеклянную пластинку В, которая параллельна А и отличается от нее только тем, что не покрыта слоем серебра. Этот луч частично отражается от посеребренной поверхности пластинки А (луч 2). Волны, соответствующие лучам Г и 2, когерентны. Результат их интерференции зависит от оптической разности хода луча 1 от точки О до зеркала 3( и луча 2 от точки О до зеркала 32. Благодаря пластинке В их пути в стекле одинаковы, поэтому В называют комиевсятором. Таким образом, оптическая разность хода лучей .Г и 2 6>=2Л1 (Л—4)> где Bi — абсолютный показатель преломления воздуха, а /] н /2 — рас- стояния от точки О до зеркал и 32. Если li^li, то наблюдается интерференционный максимум. Смещение одного из зеркал на расстояние Д/4 приводит к возникновению интерференционного минимума. Таким образом, по изменению интерференционной картины можно судить о малых перемещениях одного Из зеркал и использовать интерферо- метр Майкельсона для точных измерений дли- ны. Чувствительность этого прибора можно значительно повысить, если пластинку А осве- жать параллельным пучком света, а зеркала 31 и 31 расположить под двугранным углом, меньшим или большим я/2 на малую величину а. В этом Случае интерференционная KajnHHa будет иметь вид прямолинейных полос равной толщины, соответствующих воздушному клину между зеркалом 3] и мнимым изображением зеркала 31 в «полуэеркальном» слое серебра на поверхности пластинки А. Очевидно, что прело- мляющий угол такого клина равен а. Погрешности при измерении длины с помо- щью интерферометра Майкельсона весьма ма- лы (порядка КГ7 м). Этот интерферометр, так же как и интерферометр Жамена, используется для точных измерений показателей преломле- ния, т. е. в качестве иигерференюмиого рефрвк- 434
тометря. Его применяют для спектрального анализа света (птрфереяюювный спектро- метр), т. е. для измерения распределения энергии излучения по частотам. 3. В. П. Линник использовал принцип действия интерферометра Майкельсона для создания ммкроинтерферометря высокочувствительного прибора, служащего для ко- нтроля чистоты обработки поверхностей металлических изделий. Основным элемен- том микроинтерферометра Линника является стеклянный кубик А (рис. 31.15), состо- ящий из двух половин, склеенных до диагональной плоскости. Одна из склеиваемых поверхностей полупосеребреиа. Ход лучей в интерферометре показан на рис. 31.15, где ВС исследуемая плоская поверхность, а 3 плоское зеркало. Двугранный угол между зеркалом и поверхностью ВС отличается от я/2 на малую величину а. На рис. 31.15 штриховая длина DE мнимое изображение отражающей поверхности зеркала 3 в полупосеребренной диагональной плоскости кубика А. Интерференционные полосы равной толщины для воздушного клина DE ВС наблюдаются с помощью микроско- па М. В тех местах поверхности ВС, где имеются выступы или углубления, видны искривления интерференционных полос. С помощью этого прибора можно обнаружить штрихи на поверхности детали, глубина которых порядка 10"7 м. Интерференционные методы широко используются для сравнения и проверки точности изготовления технических эталонов длины, для точных измерений коэффици- ентов линейного расширения и проверки качества линз, для исследования ударных волн в газах и т. д. Вопросы: 1. Что понимается под временем когерентности немонохроматической волны? Что называется длиной когерентности? 2. Что понимается под пространственной когерентностью? Что такое длина пространственной когерентности? 3. Выведите условия для интерференционных максимумов и минимумов в отраженном и прохо- дящем свете при интерференции в тонких пленках. 4. Что называют полосами равного наклона и равной толщины? 5. От чего зависит интенсивность главных максимумов при интерференции многих волн?
Глава 32______' ___________________________ Дифракция света § 32.1. Принцип Гюйгенса — Френеля 1. В геометрической оптике широко пользуются понятием светового луча, т. е. узкого пучка света, распространяющегося прямолинейно. Прямолинейность распространения света в однородной среде настолько привычна, что кажется очевидной. Убедительным подтверждением этого закона может служить образование тени позади непрозрачного препятствия, находящегося на пути света, излучаемого точечным источником. Границы тени определяются лучами света, которые проходят мимо препятствия, касаясь erd поверхности. Прямолинейность распространения света легко объяснялась теорией И. Ньютона (1704), господствовавшей в физике XVIII в. Согласно этой теории, свет представляет собой поток особых частиц (светдвых корпускул), которые в однородной среде движут- ся равномерно и прямолинейно. В то же время прямолинейность распространения света не была столь очевидна с позиций волновой теории. Ведь по принципу Гюйгенса каждую точку поля волны можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся вперед по всем направлениям, в том числе и в область геомет- рической тени препятствия. Иначе говоря, волны должны огибать препятствия. Таким образом, неясно,, как вообще может возникать сколько-нибудь четкая тень, если свет имеет волновую природу. Первоначальная волновая теория света, предложенная Гюй- генсом (1690), не могла дать ответа на этот вопрос. Однако серьезные трудности имелись и у приверженцев корпускулярной теории света, например в объяснении явления интерференции. Кроме того, опыты показали, что закон прямолинейного распространения света не является универсальным. Он особенно заметно нарушается при прохождении света сквозь достаточно узкие щели и отверстия, а также при освещении небольших непрозрачных препятствий. В этих случаях на экране, установ- ленном за отверстием или препятствием, вместо четко разграниченных областей света и тени наблюдается система интерференционных максимумов и минимумов освещен- ности. Например, если на небольшой непрозрачный диск падает свет от точечного источника S, расположенного напротив центра О диска, то на экране, установленном за диском, наблюдается система концентрических темных и. светлых колец. Самым пара- доксальным является то, что в центре колец, находящемся в точке пересечения прямой SO с экраном, наблюдается светлое пятно! По мере увеличения радиуса диска интен- сивности этого пятна и других светлых колец постепенно уменьшаются и за диском образуется область геометрической тени. Однако даже для препятствий и отверстий, имеющих большие размеры, строго говоря, нет резкого перехода от тени к свету. Всегда существует некоторая переходная область, в которой можно обнаружить сла- бые интерференционные максимумы и минимумы. Совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюда- ются при его распространении в среде с резко выраженной оптической неоднород- ностью (например, при прохождении через отверстия в экранах, вблизи границ непроз- рачных тел и т. п.), называется дифракцией света. В более узком смысле под дифракцией света понимают огибание светом встречных препятствий, т. е. отклонение от законов геометрической оптики. Решающую роль в утверждении в начале XIX в. волновой теории света и ее дальнейшем развитии, позволившем, в частности, объяснять дифракцию света и дать методы ее количественного расчета, сыграл О. Френель. Ему удалось также показать, что закон прямолинейного распространения света является приближенным. Оказалось, что этот закон, а также и вся геометрическая оптика абсолютно точны лишь в пре- деле — при длине волны света А-»0. 436
2. X. Гюйгенс сформулировал правило, называемое прпцпом Гюйгенса (1678), кото- рое позволяет найти положение фронта волны в момент времени t+Kt, зная его положение в предыдущий момент времени t и скорость волны «. Согласно этому принципу, все точки поверхности S(i), через которые проходит фронт волны в момент времени t, следует рассматривать как источники вторичных волн, а искомое положение S(z+Az) фронта в момент времени z+Az совпадает с поверхностью, огибающей все вторичные волны. При этом считается, что в однородной среде вторичные волны излучаются только вперед, т. е. в направлениях, составляющих острые углы с внешней нормалью к фронту волн. В однородной изотропной среде вторичные волны — сфери- ческие (рис. 32.1). Принцип Гюйгенса является чисто геометрическим способом построения волновых поверхностей. Он никак не связан с физической природой волн и в равной мере применим как к упругим, так и к электромагнитным волнам. С помощью принципа Гюйгенса можно вывести законы отражения и преломления света на границе раздела двух сред. На рис. 32.2 MN— плоская поверхность раздела двух сред, скорость света в которых равна i>t и «j. На эту поверхность падает под углом i плоская волна (лучи 1 и 2). В момент времени Z фронт волны (плоскость АВ) достиг поверхности раздела в точке А. Поэтому точка А начинает излучать вторичные волны, распространяющиеся как в первой среде (отраженная волна), так и во второй (проходя- щая волна). За время Az прохождения падающей волной расстояния ВС (At*=|ОД/®|) фронт вторичной волны, излучаемой точкой А, достигнет в первой среде точек полу- сферы радиуса jRj =«iAz=|jBC], а во второй среде — точек полусферы радиуса Я2=v2At—(»г/®1) |ЛС|. Фронт отраженной волны (лучи Г и 2), распространяющейся под углом отражения Г, — плоскость DC, касающаяся сферы радиуса А] с центром в точке А. Соответственно фронт проходящей (преломленной) волны (лучи Г и Т), распрост- раняющейся под углом преломления г,— плоскость СЕ, асающива. сферы радиуса R2 с центром в точке А. Из равенства &ACD и ДЛСВ следует закон отражения света: f=i. Из прямоугольных треугольников АСВ и АСЕ, имеющих общую гипотенузу, следует закон преломлет я света: sinZ |ЙС| ---«=--=—=n2j, tiar |Л^1 "2 где л2] — относительный показатель преломления второй и первой сред. 3; Принцип Гюйгенса не указывает способа расчета амплитуды волны, огибающей вторичные волны. Поэтому принцип Гюйгенса недостаточен для расчета закономерностей Рис. 32.1 Рис. 32.2 437
распространения световых волн. Приближенный метод решения этой задачи, явля- ющийся развитием принципа Гюйгенса на основе предложенной Френелем идеи о коге- рентности втори п> волн и их интерференции пр наложении, называется прививном Гюйгенса — Френеля (1815). Этот принцип можно выразить в виде следующего ряда положений: а) при расчете амплитуды световых колебаний, возбуждаемых источником So > про- извольной точке М, него чина So можно заменить эквивалентной ему системой вторич- ных источников — малых участков dr любой замкнутой вспомогательной поверхности S’, проведенной так, чтобы она охватывала источник So и не охватывала рассматрива- емую точку М; 6) вторичные источники когерентны So и между собой, поэтому возбуждаемые ими вторичные волны интерферируют при, наложении; расчет интерференции наиболее прост, если S — волновая поверхность для источника света So, так как при этом фазы колебаний всех вторичных источников одинаковы; в) амплитуда аЛ колебаний, возбуждаемых в точке М вторичным источником, пропорциональна отношению площади dr соответствующего участка волновой поверх- ности S к расстоянию г от вето до точки М и завис г от угла а между внешней нормалью к волновой поверхности и направлением от элемента dr в точку М: айз dA^ffa) —, где а — величина, пропорциональная амплитуде первичной волны в точках элемента dlr; /(а) монотонно убывает, от 1 при а»0 до О при а^п/2 (вторичные источники не излучают назад)*; г) если часть поверхности S занята непрозрачными экранами, то соответствующие .(закрытые экранами) вторичные источники не излучают, а остальные излучают так же, как и в отсутствие экранов. 4. С помощью принципа Гюйгенса — Френеля можно обосновать с волновой точки зрения закон прямолюжйвого распространения света в одеородной среде. Пусть So — точечный источник монохроматического света (рис. 32.3), а М—точка наблюдения. В качестве вспомогательной поверхности S возьмем волновую поверхность радиуса R, который выберем так, чтобы расстояние L от точки М до этой сферы (£=|О.М|) было порядка R. Разобьем поверхность S а небольшие по площади кольцевые участки — зовы Френеля, как показано на рис. 32.3, где Л — длина волны света. Рис. 32.3 •Как показал Кирхгоф, / («)«(1 +соа а)/2, т. е. обращается в нуль только при я«х, однако при малых углах дифракция я это уточнение несущественно. 438
Колебания, возбуждаемые в точке М двумя соседними зонами, противоположны по фазе; так как разность хода от сходственных точек этих зон до точки М равна А/2. Следовательно, амплитуда результирующих колебаний в точке М равна / где Л — амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке М вторичными ми очниками, находящимися в пределах одной 1-й зоны. Величина А, зависит от площади <7( 1-й зоны и угла а, между внешней нор- малью к поверхности зоны в какой-либо ее точке и прямой, направленной из этой точки в точку М. На рис. 32.4 точки В и В* соответствуют внешней границе 1-й зоны; |ВС1=п — внешний радиус 1-й зоны, а Л, —высота шарового сегмента BOB'. Из прямоугольных треугольников SqBC и МВС следует, что г?=«А2—(A—AJ2=(£-l-iA/2)2—(£+AJ2, откуда после несложных преобразований найдем 2(А+£)Л,=1Д£+(О/2)2. Так как X<&L, то при не очень больших i вторым членом в правой части уравнения можно пренебречь по сравнению с первым, так что л^адгсв+г)], rry/lRhrJilRLItR+L). Боковая поверхность шарового сегмента ВОВ, представляющая сумму площадей всех 1 зон, начиная с первой, равна +...+= 2яЛЛ|=nRLAi/(R+£). Полагая 1, 2, 3 и т. д., найдем, что все зоны Френеля равновелики по площади: <Г| «= <тг =... = ot=nRLX/(R+£). В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол а< и в соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля уменьшается интенсивность излучения зоны в на- правлении точки М, т. е. уменьшается амплитуда А* Она уменьшается с ростом i также и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Таким образом, Ai>Ai>Ai>...>At>.... Общее число N зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной к точке М, очень велико: L+NX/2=y/(L+R')2—R2, N^2[y/L2+2LR-L]/X. Если Л=£=10 см и см, то N»3 10s. Поэтому можно считать, что в пределах не слишком больших изменений i зависи- мость At от i является линейной, т. е. А^/^А^+А^. (32.2) Перепишем теперь (32.1) в виде а=’Ml+СМ1 - л2+,м,)+(72л3-л1+‘/2л,)+...- »/*-<!. (32.3) так как по (32.2) все выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Формула (32.3) показывает, что результирующее действие в точке М полностью открытого фронта световой волны, возбуждаемой источником So. равно половине действия одной только центральной зоны Френеля, радиус и которой сравнительно мал (при А=£=10 см 4»
и Л=5 10 5 см, г1 «0,016 см). Следовательно, с достаточно большой точностью можно считать, что в свободном пространстве свет от источника So в точку М распространяет- ся прямолинейно. § 32.2. Дифракция Френеля 1. Различают два случая дифракции света: дифракцию Френеля, или дифракцию в сходящихся лучах, и дифракцию Фраунгофера, или дифракцию в параллельных лучах. В первом случае на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся за препятствием на конечном расстоянии от него. Во втором случае на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фо- кальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света. При дифракции Френеля на экране получается «дифракционное изображение» препятствия, а прн дифракции Фраунгофера — «дифракционное из- ображение» удаленного источника света. В простейших задачах дифракции Френеля вид дифракционной картины можно выяснить, пользуясь методом зон Френеля. 2. Дифракция Френеля па небольшом круглом отверстии ВС в непрозрачном экране (рис. 32.5). Дифракционная картина наблюдается на экране Э, параллельном плоскости отвер- стия и находящемся от него на расстоянии L. Вопрос о том, что будет наблюдаться в точке М, лежащей против центра отверстия, легко разрешается путем построения на открытой части ВС фронта волны S зон Френеля, соответствующих точке М. Если в отверстии ВС укладывается т зон Френеля, то в соответствии с формулами (32.1) и (32.2) амплитуда А результирующих колебаний в точке М зависит от четности или нечетности т: * А=А1-Аг+Л3-...+(-1)т *Лтт.е. ct/i(Al+Am) (т — нечетное), V/i(Ai-A„) (т- четное). (32-4) А = В первом случае (т — нечетное) в точке М .наблюдается интерференционный максимум, во втором — минимум. Очевидно, чтб максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе значение А„ к А3. При неизменном положении источника света число зон т зависит от диаметра отверстия и расстояния L. Следовательно, при изменении диаметра отверстия либо при удалении от него или приближении к нему экрана Э результат интерференции света в точке М должен изменяться. Если диаметр отверстия велик, так что Ат<с Alt то никакой интерференци- онной картины на экране не будет — свет в этом случае распространяется практически так же, как и в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием, т. е. прямолинейно. Расчет амплитуды результирующих колебаний, в других точках экрана Э значитель- но более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля оказываются частично закрытыми непрозрачным экраном. Из симметрии системы и закона сохранения энергии очевидно, что интерференционная картина вблцзи точки М экрана Э должна иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в тоуке М. По мере удаления от М интенсивность максимумов света убывает. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца имеют многоцветную (радужную) окраску, так как число зон Френеля, укладывающих- ся в отверстии, зависит от длины волны света. 3. Из теории Френеля следует, что в том случае, когда в отверстии укладываете^ только одна зона Френеля, амплитуда колебаний в точке М (рис. 32.5) А—А ь т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием (соответственно интен- сивность света в точке М 1=А2=А2у. Амплитуду А можно значительно увеличить с помощью зонной пластинки — стеклянной пластинки, на поверхность которой так 440
нанесено непрозрачное покрытие, что оно закрывает все четные зоны Френеля и оста- вляет открытыми все нечетные эоны (либо,, наоборот, закрывает все нечетные зоны и оставляет открытыми все четные зоны). Если общее число зон, умещающихся на пластинке, равно 2к, то А=А1+Аз+...+Аи-1. Если 2Л не слишком велико, то и AaskAi, т. е. освещенность Экрана в точке М в fc2 раз больше, чем при беспрепятственном распространении света от источника в точку М. Зонная пластинка действует на свет подобно собирающей линзе. 4. Дифракция Френеля на небольшом диске (непрозрачном круглом экране). Способ построения зон Френеля на открытой части волновой поверхности S падающей моно- хроматической сферической волны показан на рис. 32.6. Интерференционная картина на экране Э имеет вид концентрических темных и светлых колец с центром в точке Л/, где всегда находится интерференционный максимум (пятно Пуассона). Амплитуда света в точке М равна половине амплитуды Alt соответствующей действию в этой точке одной только первой открытой зоны Френеля: A=At/2. При освещении диска белым светом в центре экрана Э наблюдается белое пятно, окруженное системой концентрических цветных колец. По мере увеличения отношения диаметра диска d к расстоянию L от диска до экрана Э яркость пятна Пуассона постепенно уменьшается, а следующее за ним темное кольцо расширяется, образуя область тени за диском. 5. Из рассмотренных примеров видна плодотворность принципа Гюйгенса — Френе- ля и основанного на нем метода зон, позволяющих сравнительно просто рассчитывать интенсивность света для различных случаев дифракции. Однако, пользуясь этим при- нципом, нужно всегда иметь в виду, что он является лишь приближенным расчетным приемом, заменяющим строгое решение задачи о распространении света. Точное решение волнового уравнения при заданных граничных условиях сопряжено с боль- шими математическими трудностями и пока найдено лишь для некоторых простейших случаев дифракции. В теории Френеля предполагается, что амплитуд^ и начальные фазы колебаний в точках поверхности S, не закрытых непрозрачными экранами, такие же, как и в отсут- ствие последних. На самом деле это предположение неправильно, так как граничные условия в точках поверхности экрана зависят от его материала. Например, в случае металлического экрана с очень высокой электрической проводимостью вектор Е на внешних границах экрана или на границах отверстий в нем должен быть направлен по нормали к соответствующему участку поверхности экрана. Однако влияние материала экрана на поле' электромагнитной волны сказывается лишь на малых расстояниях от экрана, имеющих величину порядка длины волны Л. Поэтому теория Сфенеля хорошо согласуется с опытом для дифракции света на отверстиях и экранах, размеры которых значительно больше Л. Второй недостаток теории Френеля состоит в том, что она дает неправильные значения фазы результирующей волны. Так, например, при графическом сложении векторов амплитуд колебаний, возбуждаемых в точке М всеми малыми элементами полностью открытого фронта волны, оказывается, что фаза результирующего вектора 441
А меньше на я/2, чем фаза колебаний в точке М, ххротк^увща. в действительности. Для устранения этой ошибки в фазе нужно считать, что колебания всех вторичных источников, расположенных вдоль некоторой поверхности S, совершаются с опереже- нием по фазе на я/2 по сравнению с колебаниями в соответствующих точках поверх- ности S, вызываемых пер очной волной. § 32.3. Дифракцш Фраунгофера на щели и круглом отверстии 1. Дифракция в параллельных лучах впервые была рассмотрена И. Фраунгофером (1821 — 1822). Для получения пучка параллельных лучей света, падающих на препятст- вие (отмершие или непрозрачный экран), обычно пользуются небольшим источником света, который помещается в фокусе собирающей линзы. Раопределение по различным направлениям интенсивности стета за препятствием исследуется с помощью второй собирающей линзы и экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы. При визуальном наблюдении вместо линзы и крана пользуются зрительной трубой, на- строенной на бесконечность. Наибольший практический интерес представляют случаи дифракции, наблюдающиеся при прохождении плоской волны сквозь узкую щель или круглое отверстие в непрозрачном экране и дифракционную решетку. 2. Пусть параллельный пучок монохроматического стета падает нормально на непро- зрачный экран Е (рис. 32.7), в котором прорезана узкая щель ВС, имеющая постоянную ширину b=I2JC1 и длину Ь. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля точки щели являются вторичными источниками волн, колеблющимися в одной фазе, так как плоскость щели совпадает с фронтам падающей волны. Если бы црн прохождении стета через щель сооблюдался закон прямолинейного i>«.<jространенмя стета, то на заране Э, установленном в фокальной плоскости собирахяцсй линзы Л, получилось бы изображение источника стета. Вследствие дифракциа на узкой цели картина коренным образом изменяется: на экране наблюдается система интерференционных максиму- мов — размытых изображений источинка света, разделенных темными промежутками интерференционных минимумов. В побочном фокусе F* шш собираются все параллельные лучи, падающие на линзу под углом к ее оптической осн OF0, перпендикулярной фронту падающей волны. Оптическая разность хода между>крайшми лучами CN и ВМ,ждущими от щели в этом направлении, равна 6—|CD|—йыд^, где D — основание перпендикуляра, опу- щенного из точки В на луч CN, а абсолютный показатель преломление воздуха считаете р ihи «дшшце. Разобьем щель ВС на зоны Френеля, нмеииц : вид полос, параллельных ребру В щели. Ширина зоны равна 2/(2 мд ^г), так что оптическая разность хода лучей, проведанных из краев эоны параллельно ВМ, равна 2/2. Все зоны в заданном направле- нии излучают стет совершенно одинаково. При интерференции стета от каждой пары соседних зон амплитуда результирующих колебаний равна ну- лю, так как эти зоны вызывают колебания с оди- наковыми ампл! удами, но проти>по: ю а фазами. Таким образом, результат интерференции стета в точке F* определяется тем, сколько зон Френеля укладывается в щели. Если число зон четное, т. е. А«п^-±2м2/2 (м-1,2,...), (32.5) то наблюдается дяфр1гцяпяи ii маяимум (полная темнота). Знак минус в травой части формулы (32.5) соответствует лучам стета, распространяю- щимся от щели под углом —и собирающимся в побочном фокусе линзы Л, симметричном с F* относительно главного фокуса Го- Если число эон нечетное, т. е. Ьйп^-±(2ж+1)2/2 (м-1,2,...), (32.6) 442
то наблюдается дафракципиш iii максимум, соответствующий действию одной зоны Френеля. Величина т называется порядком дифракционного максимума. В направлении <Д=0 наблюдается самый интенсивный центральный максимум нуле- вого порядка: колебания, вызываемые в точке Го всеми участками щели, совершаются в одной фазе. S. Расчет дифракционной картины, основанный на использовании метода зон Френеля, является приближенным. Точное решение этой задачи осуществляется путем разбиения щели на бесконеч- ное число одинаковых бесконечно узких полос, параллельных ребру В. Вторичные волны, излуча- емые этими малыми элементами щели в направлении луча ВМ, имеют одинаковые бесконечно малые амплитуды, а их начальные фазы заключены в интервале шириной A<p=2n/>sin ф/А. Результат интерференции этих волн дается формулой (31.17): Isin(nhsin0/A) | пЬяпф/А (32.7) где Aq - - амплитуда колебаний в дифракционном максимуме нулевого порядка,.т. е. при ^»>0; амплитуда результирующих колебаний, соответствующих произвольному углу дифрак- ции ф. Из формулы (317) следует условие лифрыгцинвии-г миимумов для щели nAsin^/2— ±2тк/2 1, 2,...), (32.5') которое тождественно соотношению (315), полученному с помощью приближенного метода зон Френеля. Точное условие дифракционных максимумов несколько отличается от (32.6). В согласия sin(A<p/2) с формулой (317) оно соответствует максимумам функции---------, в то время как условие (32.6) . • Д«>/2 соответствует максимумам только sin(Ap/2). Точное условие макоидоаи tg(A?/2)-Av/2 или tg (nb ип ф/А) ~ nb sin ф/А. (32.8) Значения К„«=Z>|sin^m/A| для максимумов нескольких порядков, вычисленные по формулам (32.8) и (32.6), приведены в табл. 311. Из таблицы видно, что различия между значениями Кт. определенными по формулам (32.8) в (32.6), очень невелики, поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться более простой формулой (316). Интенсивности света в различных точ- ках экрана Э (рис. 317) пропорциона квадратам амплитуды Аф. Из формулы (317) следует, что sin1 (я* sin ф/А) 1л “ ~ • (32.9) (я&яшф/Л)1 где /о интенсивность центрального макси- мума, соответствующего ф«°0. Зависимость 1ф от Ьыпф/А показана на рис. 318. Основная Часть света приходится на центральную 66- мласгь экрана, ог] ииченну двумя миняму- мами первого порядка (Ьааф» ±2). Из формул (32.9) и (32.6) можно найти относи- тельные интенсивности остальных максиму- мов: Рис. 32.8 443
/яЛо“4Л«,(2ж+1)а], (3110) где /и«= 1,2, 3,...— порядок максимума. Злаченая IJI0 даны в табл. 32.1. Таблкца 32.1 Порядок максимума т ЗваченжжК^, ычвелеввые по формуле ЬМ) (32.8) (32.15) 0 0 0 1 1 1,43 1,50 0,045 2 2,46 2,50 0,016 3 3,47 3,50 008 4 4,48 4,50 0,005 4. Дифракционная картина на экране Э (см. рис. 32.7) зависит от отношения ширины b щели к длине волны 2 света. В самом деле, если Ь=тХ, где m — целое число, то, как видно из соотношения (32.5), угол соответствующий минимуму m-го порядка, равен я/2. Следовательно, сколь бы ни были велики размеры линзы Л и экрана Э, на экране нельзя наблюдать дифракционные максимумы, порядок которых больше т—1. Шири й дифракционного максимум на экране называется расстояние между двумя ограничивающими его дифракционными минимумами. Например, ширина аксимум нулевого порядка равна расстоянию между двумя минимумами первого порядка. Если b/Х невелико, т. е. щель очень узка, то все наблюдающиеся максимумы очень широки и дифракционная картина малоконтрастна. Кроме того, поток энергии через узкую щель крайне невелик, так что интенсивность даже нулевого максимума очень мала. Наоборот, если b/Х велико (широкая щель), то центральный максимум очень узкий и яркий. Он представляет собой не что иное, как изображение источника света, образуемое на экране линзой Л в соответствии с закона- ми геометрической оптики. До сих пор предполагалось, что щель освещается монохроматическим светом. Положения дифракционных минимумов и максимумов всех порядков начиная с перво- го зависят от длины волны света X, поэтому при освещении щели белым светом центральный максимум имеет радужную окраску по краям. Полное гашение света не происходит ни в одной точке экрана, так как максимумы и минимумы света с разными X перекрываются. 5. Большой практический интерес представляет дифракция плоской волны при прохо- ждении через круглое отверстие. С этим типом дифракции приходится иметь дело в различных оптических приборах, в которых роль отверстия играют оправы объек- тивов. Если падающий пучок монохроматического света нормален к плоскости отвер- стия, то, как показывают расчеты, которые мы не приводим ввиду их математической сложности, дифракционная картина в фокальной плоскости линзы имеет вид централь- ного светлого пятна, расположенного в главном фокусе линзы и окруженного системой чередующихся темных и светлых колец*. Интенсивности светлых колец очень малы по сравнению с интенсивностью центрального максимума (например, /1=0,018/о) и быст- ро убывают с увеличением порядка максимума. Угол фь соответствующий первому темному кольцу, определяется из условия sin ft = 1,222/1), (32.11) где D — диаметр отверстия. Если свет падает на отверстие под небольшим углом и, то характер дифракционной картины не изменяется, но ее центр перемещается в побочный фокус линзы, соответст- вующий углу а. ♦Предполагается, что источник света точечный. 444
§ 32.4. Дифракционная решетка 1. Простейшая одно» шя дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине. На рис. 32.9 показаны только две соседние щели ВС и DE. Ширину щелей обозначим Ь, а ширину непрозрачных промежутков — а. Величина d=a+b называется периодом, или постоянной дифракционной решетки. При освещении решетки монохроматическим светом дифракционная картина на экране значительно сложнее, чем в случае одной щели, так как свет от разных щелей также интерферирует. 2. Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, падающей нормально на поверхность решетки. Колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, так как эти точки находятся на одной и той же волновой поверхности. Найдем резуль- тирующую амплитуду А колебаний в точке F* экрана □, в которой собираются лучи от всех щелей решетки, падающие на линзу Л под углом ф к ее оптической оси OF0. Воспользуемся для этой цели векторной диаграммой сложения амплитуд (см. рис. 31.8): N А-£ А* * /-1 где А( — вектор амплитуды колебаний, вызываемых действием одной i-й щели; N — число щелей в решетке. В одном и том же направлении все щели решетки излучают свет совершенно одинаково, поэтому вес векторы А/ равны по модулю: |Aj=>4^. Сдвиг фаз Дро между А/ и А<+1 определяется оптической разностью хода 6 от сходственных точек двух соседних щелей до точки F^. Например, для щелей ВС и DE на рис. 32.9 сходственными являются точки В и D, С и Е и т. д. Тогда ' / 6=|ЛА]=d ял ф, Д.фо=2пд1Х=2т1й1пф/2, (32.12) где К -основание перпендикуляра, опущенного из точки В на луч DN; 2 — длина волны света (абсолютный показатель преломления воздуха принят равным единице). Теперь можно воспользоваться результатами, полученными в § 31.4. Из формулы (31.14), где А\ и выражения (32.12) следует, что smfrdstaffX) | Из (32.13) и (32.7) следует, что для амплитуды А и интенсивности I колебаний в произвольной точке экрана справедливы формулы А=А0 sin (nb sin ф/Х) sin (nAtfsin ф/Х) пЬапф/Х sin (kJ sin ^/Л) sin2 (nb sin ^г/Л) sin2 (xNJsin ф/Х) ° (хЛатф/Л)2 sin2 {nd sin ф/Х) ’ (32.14) гдЬ 4, й /q —соответственно амплитуда и интен- сивность колебаний в точке Го (соответствующей углу ф^О), обусловленные действием одной щели. Рис. 32.0 445
3. Из формул (31.15) к (32.12) вытекает следующее условие для гнали иг максимумов: </яп^=±л2, (32.15) где л-=0,1, 2, ...— порядок г пивного макет «ума. Главные минимумы соответствуют таким углам ф, для которых А^=0, т. е. свет от разных частей каждой щели полностью погашается в результате интерференц а. Условие главных минимумов выражается соотношением (32.5): ±л»2 (ги«*1, 2, ...). Из соотношений (31.153» (32.9) и (32.15) следует, что интенсивность колебали в главных мя геи муках равна /«=/<>№ sma(m6/d) / мА2 (mb/d? =I°\mb) sin2 (32.16) 4. Кроме главных максимумов имеется, как показано в § 31.4, большое число очень слабых побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами. Послед- ние определяются условием (31.16), которое с помощью формулы (32.12) представим в виде rising- ±pi./N, (32.17) где р фш мает любые целые юдожительные значения, кроме N, 2N, ЗЛГ и т. д. Из (32.17) и (32.15) легко найти угловую ширину главного максимума л-го порядка, т. с. разность Дуя-и»—углов ф, соответствующих двум ближайшим к нему допол- ‘ нательным минимумам: sin^=(Mt+l)2/(Mi)» sm|fri=(2Vh—1)А/(ЛИ), где — угол ф, соответствующий главному максимуму. Поэтому sin —sin =22/(№). Из тригонометрии известно, что 8in^-sin^-2coa[(«+^/2]«mK^-^/2]. При больших # разность очень мала, так что и sinR^—^/2]«Д^я/2, поэтому Д^яа$2Л/(№/со8 (32.18) ^+^>2^, (32.19) Для главных максимумов не слитком высоких порядков углы невелики и со&ф„« 1, так что угловая ширина этих максимумов обратно пропорциональна длине решетки Nd. Например, при Nd= 1 см и 2=550 нм Д^в«10"* рад«2Г. Таким образом, в онохроматическом свете дифракционная картина на экране Э (рис. 32.9) имеет при больших Nd вид узких и ярких главных максимумов, разделен- ных широкими темными промежутками. При освещении решетки белым светом на экране наблюдается неокрашенный центральный максимум нулевого порядка, а по обе стороны ст него — днфракжшжыс спектры 1-го, 2-го и т. д. порядков, в которых наблюдается непрерывный переход от окраски сине-фиодето >го цвета у внутреннего края спектра к краягой у внешнего краж в. При наклонном падении света на ф юнную решетку разность хода двух сходственных лучей, показанных на рис. 32.10, равна Д—4(sin^~sin/), где i — угол падения света на поверхность решетки. Обычно удобнее характеризовать направление 446
падающего на решетку и дафраровипего на Ней света посредством углов во и а, которые составляют зги штравления с осью ОХ, провсденно! в плоскости решеп перпендикулярно щелям. Тогда S^d(cosK— -coeoto) и условие для главжгг макяшумеи имеет вид d(co*a—совоо)— ±яД, (3220) где п=0, 1,2,...— порядок главного максимума. В. Два экрана называются допыжпелиыми, если от- верстиям в одном из них соответствуют точно такие же по форме, размерам и взаимному расположению непроз кчные участки другого, и наоборот. Таковы, например, непрозрачный экран в виде круга радиуса R и непрозрачный жряи с отверстием того же радиуса р*.. 32.10 R. Исходя из принципа Гюйгенса Френеля можно доказать теорему Набиле (арамцип Бвбше): при фаунгоферовой дифракции на каком- либо экране интенсивность дифрагированного света в любом i правде , кроме направления распространения падающей на экран плоской волны, должна быть такой же, как и при дифракции на дополнительном экране. § 30. Дифракция иа пространственной решетка 1. Простраисшпипй, или трехмерной, дафрякцвсииой рсиипмй называется такая оп- тически неоднородная среда, неоднородности которой периодически повторяются при изменении всех трех пространственкых координат. Примером простр зственно дифракционной решетки может служить кристал- лическая решетка твердого тела. Частицы, образующие эту решетку (атомы, молекулы иди ионы), играют роль упорядоченно расположенных центров, когерентно рассеива- ющих падающий на них свет. Пусть 4, 4 — периоды решетки по трем осям координат <, 7, С, которые проведаны вдоль трех ребер решетки, пересекающихся в каком-либо из ее узлов. Тогда при дифракции Фраунгофера главные максимумы удовлетворяют трем соотношениям, которые вытекают из условия (3220) для дифрак- ционных максимумов при наклонном падении света на одномерную дифракционную решетку. Эти соотношсння, называемые усом паи Лауз, имеют вид dt (cose—cosoo)" ±Л|Д, ^(соя/Г-соаЛ)-!^ (3221) 4(соау—соауа)* ±и,у. Здесь во, До, Ув и и, fi, у — углы между осями координат 17, С и направлениями распространения соответственно падающего и дифрагировавшего света; Л|, иа и иэ — ел е числа, определяющие порядок максимума; Л — длина волны света. 2. Из трех углов а, £ и у (соответственно ад, До и Уо) независимыми являются только два угла, так как они должны удовлетворять одному геометрическс у соотношению, конкретный вид которого зависит от углов между осями координат if, (. Например, если оси координат взаимно перпендикулярны, т. е. если решетка ортогональна, то геометрическое соотношение между «, Д и у имеет вид соааа+сов1Д+со»1у® 1. (3222) т Ирк произвольно заданном направлении падения юхроматичесхсго света с за- данной длиной волны Л на пространственную дифракционную решетку, вообще говоря, нельзя найти значения а, Д и у, которые бы одновременно удовлетворяли я г метрическому соотношению, и трем условиям Лауз. Единственное 1 клк енле 447
представляет максимум нулевого порядка (n^nj^nj^O), для которого а*е^, И ?=?<>• '- * '3 . , J.... ; . ’ ..... Для наблюдения дифракционного максимума порядка (ль п2, я3) при заданных 'значениях углов До, До и Уо необходимо, чтобы длина волны падающего света имела вполне определенное значение. Например, в случае ортогональной решетки из (32.21) и (32.22) следует, что длина волны должна быть равна Ш ”2 „ — соед0+-соаД0+-соеу0 «1 ч ч д= —2_________________________ ("1/4)а+(н2/42)а+(л3/4)а ’ (32.23) • Если длина волны падающего света фиксирована, то условия Лауэ и геометричес- кое соотношение между, углами и, Д и у можно одновременно удовлетворить путем соответствующего выбора направления падейия света на дифракшкншую решетку, т. е. углов аь> До и уо. 3. Из (32.21) следует, что при 2^24», где 4«ис — наибольшее из значений 4, d2 и ds, должны отсутствовать все дифракционные максимумы, кроме нулевого (л1=л2=л3=0). Свет с такими длинами волн расцросяредяется в среде, еде замечая» ее неоднород- ности, т. е. не испытывая /^оф^йёОДк^Аоэтому условие 2>24^ называют уедошем оптической однородности среды. Постоянные кристаллических решёток твердых тел значительно меньше длин волн видимого света (4~510-,° м, 2~5‘ 10-7 м), поэтому для видимого света кристаллы являются оптически однородной средой*. В то же время для значительно более коротковолнового рентгеновского излучения кристаллы представляют естественные дифракционные решетки. 4. Русский физик Г. В. Вульф и английский У. Л. Брэгг независимо друг от друга предложили (1913) простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения в кри- сталлах. Они исходили из предположения о том, что дифракцию рентгеновского излучения можно рассматривать как результат его отражения ст системы параллель- ных сетчатых плоскостей кристалла, т. е. плоскостей, в которых лежат узлы кристал- лической решетки. Эго отражение, в отличие от обычного, осуществляется лишь при таких условиях падения лучей на жристклл, которые СоОТветсйэуюг интерфереяцион- ным максимумам для лучей,отражейшлх от разныхплоскостей?На рис. 32Л1 показаны две соседние сетчатые плоскости кристаяла ЛЛ' и ВВ. Абсолютныйпоказательпрелб- мления всех сред для рентгеновского излучеаия близок К единице. Поэтому оптическая разность хода между двумя лучами Г и 2, отражающимися от плоскостей АЛ' и ВВ, равна 6=|Z)£]+|Z)X]=24sin V, где d — межплоскостное расстояние, а V — угол между падающими и отраженными лучами и плоскостью АЛ' (угол скольжения). Если длина волны рентгеновского излучения равна 2, то интерференционные максимумы отраже- ния удовлетворяют следующему условию, называемому условием Брэгга — Вульфа: 24ап^=л2, (3224) где л=1, 2, ...— порядок дифракционного максимума. Можно показать, что условие Брэгга — Вульфа вытекает как следствие из общих соотношений (32.21). На рис. 32.11 видно, что угол дифракции ф, т. с. угол между отраженным и падающим лучами, равен 2 5. Из формулы (32.24) следует, что наблюдение дифракционных максимумов возмож- но только при определенных соотношениях между длиной волны 2 и углом или дополнительным ему углом падения i= я/2—V". 2/sin Р = 2/cos i= 2d/n. (32-24Q •Следует заметить, что в кристаллах возможно молекулярное рассеяние видимого свеп . (см. $ 33.3). ->• 448
Рис. 32.11 Рис. 32.12 Этот результат лежит в основе различных методов спектральноте анализа рент- геновского излучен т. с. определения значений А по известным d и п и измеренным в опыте значениям V- для дифракционных максимумов. Наиболее распространен метод качающегося (или вращающегося) кристалла. Узкий пучок исследуемого рентгеновс- кого излучения, прошедший через отверстия в диафрагмах D\ и Di (рис. 32.12), направляется на кристалл К, постоянные d которого известны*. В процессе покачива- ния (или вряшени») кристалла вокруг осн О, перпендикулярной плоскости чертежа, изменяется угол V, благодаря чему обеспечивается выполнение условия (32.24) для всех длин волн А, содержащихся в спектре анализируемого рентгеновского излучения. В качестве регистрирующего устройства используется фотопластинка Ф. После прояв- ления фотопластинки на ней наблюдается система дифракционных максимумов, име- ющих вид темных пятен. По положению этих пятен можно найти соответствующие им значения углов V, а из формулы (32.24) — значения Л. в. С помощью дифракции рентгеновского излучения на кристаллах можно осуществ- лять их реипчяюструктящый анализ, т. е. исследовать строение кристаллических реше- ток и определить межплоскостные расстояния. Эта идея, впервые высказанная немец- ким физиком М. Лауз (1912), явилась существенным вкладом в развитие физики твердого тела. Изображение монокристалла, получаемое на фотопластинке в резуль- тате дифракции узкого пучка «белого» рентгеновского излучения (с непрерывным спектром) на неподвижном кристалле, называется лауэграимой. В рентгеноструктуриом анализе широко применяется метод исследования поли- кристаллических образцов, предложенный П. Дебаем и П. Шеррером (1916). В методе Дебая — Шеррера узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения R пада- ет на небольшой образец О (рис. 32.13), состоящий из множества мелких кристалликов, которые по-разному ориентированы относительно падающего пучка. В качестве образца можно, напри- мер, использовать мелкий кристаллический порошок. Рентгенограмма образца, полученная на фотопла- стинке Ф по методу Дебая — Шерера, называется дебаеграммой. Она представляет собой систему кон- центрических интерференционных колец, центры ко- торых лежат в точке Ot пересечения падающего пуч- ка с плоскостью фотопластинки. На рис. 32.13 пока- заны два луча, соответствующих дифракционному максимуму л-го порядка по формуле (32.24) условия Брэгга — Вульфа. Радиус этого кольца Рис. за 13 rn=/tg2(\=/tg{2arcsin[nA/(2d)]}, (32.25) где / — расстояние от образца до фотопластинки. •В каждом монокристалле можно провести через узлы решетки несколько систем парал- лельных между собой сетчатых плоскостей с р личным значениями параметра d. 15 Курс физики 449
§ 32.8. Голография 1. Обычный фотографический метод получения изобра er й объектов основан на регистрации с помощью фотопластинки (или фотопленки) различий в интенсивности света, рассеиваемого разными малыми элементами поверхности объекта. Для этого при фотосъемке действительное изображение объекта в фотоаппарате проецируется на светочувствительную поверхность фотопластинки. Полученный негатив и отпечатан- ная с него позитивная фотография объекта — лишь приближенные, двумерные образы трехмерного объекта. Об объемности объекта можно судить только по светотеням, имеющимся на его фотографическом изображении. Более совершенным является сте- реоскопический фотоснимок. Однако и в этом случае не удается получить такого же полного ощущения объемности, как при непосредственном наблюдении самого объекта. Дело в том, что, разглядывая стереоскопический фотоснимок с помощью стереоскопа, мы не можем, например, изменить положение точки наблюдения и уви- деть то, что было закрыто во время съемки предметом, находящимся на переднем плане,— не можем «заглянуть за этот предмет». 2. Английский физик Д. Габор (1948) высказал идею принципиально нового метода получения объемных изображений объектов. Он предложил регистрировать с помо- щью фотопластинки не только амплитуды (или их квадраты, т. е. интенсивности, как при обычном фотографировании), но и фазы рассеянных объектом волн, воспользовав- шись для этого явлением интерференции волн. Таким способом можно получить и зарегистрировать на фотопластинке значительно более полную информацию об объекте, нежели путем обычного фотографирования. Свой метод Габор назвал голог- рафией*. Рис. 32.14 Суть этого метода пояснена на рис. 32.14. С помощью фотопластинки Ф (рис. 32.14, а) регистрируется интерференцион- ная картина, возникающая при вложе- нии волны /, рассеянной объектом А и называемой сагиаллой волной, или предметным пучком, и когерентной ей во- лны 2, имеющей фиксированные значе- ния амплитуды и фазы. Волна 2, называ- емая опорный волной, или опорами пуч- ком, испускается тем же источником све- та, который освещает объект, и после отражения от зеркала В падает непосред- ственно на фотопластинку Ф. Интерфе- ренционную картину,, зафиксированную на фотопластинке после ее проявления, называют голограммой объекта. Голограмма, в отличие от фотографического негатива объекта, не имеет внешнего сходства с объектом. Она представляет собой очень мелкий и замысловатый узор из чередующихся малых областей различного почернения эмуль- сии. Получение голограммы связано с осуществлением интерференции света при боль- ших разностях хода, т. с. требует весьма высокой степени когерентности света. Прак- тическое осуществление идеи Габора стало возможным пить в начале 60-х годов после создания лазеров. Они являются незаменимыми источниками света в голографии. 3. Восстановление изображения объекта по его голограмме показано на рис. 32.14, б. Голограмму С просвечивают как диапозитив той же опорной волной 2, которая использовалась при получени голограммы, причем ориентация голограммы по от- ношению к опорной волне также .должна быть сохранена. Эта световая волна диф- рагирует на голограмме. В результате дифракции наблюдаются два объемных изоб- ражения объекта: мнимое и действительное. Мнимое изображение А' находится в том же месте по отношению к голограмме, где помещался объект Л при съемке голограм- мы. Это изображение видно при наблюдении сквозь голограмму как через окно. *H<51os (греч.) — весь, полный и gripho (греч.) — пишу, рисую. 450
Действительное изображение А" расположено по другую сторону голограммы. Оно как бы висит в воздухе перед голограммой и является зеркальным изображением объекта, что представляет определенные неудобства. Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зритель- ному восприятию тождественно самому объекту. Оно является объемным, а его перспектива изменяется в зависимости от положения глаз наблюдателя по отношению к голограмме. Например, перемещая голову вдоль голограммы, наблюдатель может «заглянуть за предмет», находящийся на переднем плане голографического изображе- ния. Точно такой же эффект получается при изменении положения точки визуального наблюдения непосредственно самого объекта. 4. Интерференционная картина в каждой точке голограммы определяется светом, рассеянным всеми точками объекта. Поэтому каждый участок, голограммы содержит информацию обо всем объекте. Следовательно, если голограмма случайно разбилась, то с помощью даже малого сохранившегося ее осколка можно восстановить изображе- ние всего объекта. Разница состоит лишь в том, что чем меньше размеры оставшейся части голограммы, тем меньше ее разрешающая способность и тем меныпе света на ней дифрагирует на стадии восстановления изображения, соответственно тем менее четким и ярким будет восстановленное с ее помощью изображение. Между тем каждый элемент поверхности обычного фотонегатива содержит информацию только о той части объекта, изображением которой он является. Частичное повреждение фотонега- тива неизбежно сопровождается потерей некоторой части информации об изображен- ном на нем объекте. Таким образом, с точки зрения надежности хранения записанной на ней информации голограмма значительно превосходит обычный фотонегатив. Наконец, на одну и ту же фотопластинку можно последовательно записать несколько различных голограмм, изменяя каждый раз, например, угол падения опорной волны. 5. Можно получить цветное голографическое изображение объекта. Для этого при изготовлении голограммы пользуются монохроматическим светом трех основных цветов (например, красным, зеленым и синим), испускаемым тремя разными лазерами. На стадии восстановления изображения на голограмму нужно одновременно напра- вить три опорных пучка света от тех же трех лазеров. Ю. Н. Денисюк впервые получил (1962) объемш голограммы, используя для этого толстослойные фотоэмульсии. Такие голограммы ведут себя подобно пространствен- ным дифракционным решеткам. Они способны выделять из белого света свет той длины волны или тех нескольких длин волн, который был использован при получении голограммы. Для восстановления изображения, записанного в виде объемной голо- граммы, последнюю достаточно осветить белым светом. Если при изготовлении объемной голограммы был использован свет трех основных цветов, то при освещении этой голограммы белым светом наблюдается цветное изображение объекта. Применение голографии открывает принципиальную возможность создания систем стереоскопического цветного голографического кино и телевидения. Очень перспектив- но использование голографических методов для создания новых, весьма надежных и очень емких систем памяти вычислительных машин, систем поиска заданной инфор- мации и распознавания образов, а также для кодирования информации. § 32.7. Разрешающая способность оптических приборов 1. Изображение объекта в любом оптическом приборе (телескопе, микроскопе, фото- аппарате и т. п.) получается с помощью ограниченного пучка света, пропускаемого в прибор авертурвой аафрагмой. Роль такой диафрагмы играет, например, диафрагма фотоаппарата, оправа объектива телескопа и т. д. Уменьшение диаметра апертурной диафрагмы способствует ослаблению различных искажений изображения, обусловлен- ных использованием широких пучков света и называемых геометричккимв al ррш я> i оптической системы. Однако вследствие дифракции света в оптическом приборе изоб- ражение светящейся точки имеет вид не точки, а светлого пятна, окруженного системой концентрических интерференционных колец (темных я светлых в случае монохромати- ческого света и радужных в случае белого света). Это явление ограничивает раэ- решамнцую способность оптячеосо прибора, т. е. его способность давать раздельные изображения двух близких друг к другу точек объекта. 451 15'
2. Согласно критерию Рэлеи, изображения двух одинаковых точечных источников света еще можно видеть раздельно, если центральный максимум дифракционной картины от одного источника совпадает с первым минимумом дифракционной кар- тины от другого. Из (32. Последует, что в соответствии с критерием Рэлей две близкие звезды, наблюдаемые в телескоп в монохроматическом свете с длиной волны 2, видны раздельно, если угловое расстояние между ними Дф>1,222/D, (32.26) где D — диаметр объектива. Величина (Дф)0=1,222/D называется угловым пределом разрешения телескопа, а обратная величина 1/(Д<р)0 — разрешающей силой телескопа. Разрешающая сила телескопа растет пропорционально диаметру его объектива. Усло- вие разрешения для зрительной трубы и фотоаппарата при рассматривании и фотогра- фировании удаленных предметов совпадает с условием разрешения для телескопа. Угловой предел разрешения глаза определяется дифракцией света на зрачке (D~2 мм) и зернистой структурой сетчатки глаза. Он составляет около Г. 3. Разрешающая способность микроскопа характеризуется величиной (Д2)о минималь- ного расстояния между двумя точками предмета, видимыми на изображении раздель- но. В случае самосветящегося предмета, все точки которого можно считать некогерент- ными источниками, (Д2)о=0,612о/Л, • . < где 2о —длина волны света в вакууме; Л=л8Щи— числовая апертура объектива; л —показатель преломления среды, находящейся между предметом и объективом; и — половина угла раствора пучка света, исходящего из точки предмета и попадающе- го в объектив микроскопа. Для несамосветящихся предметов значение (Д/)о зависит от условий освещения. Однако и в этом случае (Д/)о>2<)/Л. Увеличение разрешающей способности микроскопа можно осуществить либо за счет уменьшения длины волны 2р, либо за счет увеличения числовой апертуры А. Первый способ реализуется, и ультрафиолетовой микроскопии ив электронной микро- скопии, а второй — в нммёрсаМшом микроскопе, в котором пространство между предметом и объективом заполняется прозрачной жидкостью с показателем преломле- ния л >1. ’ ' '/ Вопросы: 1. Чем принцип Гюйгенса — Френеля отличается от принципа Гюйгенса? 2. В чем состоит метод зон Френеля? Поясните принцип действия зонной пластинки. 3. В каких случаях при дифракции Френеля на небольшом круглом отверстии в непрозрачном экране в центре дифракционной картины получается светлое пятно, а в каких —темное? 4. В чем различие между дифракцией Френеля и дифракцией Фраунгофера? 5. Как влияют период дифракционной решетки и ее размер на дифракционную картину? в. Каковы особенности дифракции на пространственной решетке? 7. Поясните сущность голографического метода регистрации и воспроизведения объемных изображений предметов. в. Что понимают под разрешающей способностью оптического прибора и от чего она зависит?
Глава 33____________________ __________________ Распространение света в веществе § 33.1. Взаимодействие света с веществом 1. Согласно представлениям классической электронной теории, переменное электро- магнитное поле световой волны, распространяющейся в диэлектрической среде, вызы- вает вынужденные колебания связанных зарядов '(электронов и ионов), входящих в состав молекул среды. Соответственно каждую молекулу среды можно рассматри- вать как систему осцилляторов с различными циклическими частотами собственных колебаний. Ионы значительно массивнее электронов и совершают заметные колебания только под действием низкочастотного (инфракрасного) излучения. В области частот видимого и ультрафиолетового излучения определяющую роль играют вынужденные колебания внешних, наиболее слабо связанных электронов атомов и молекул, называ- емых оптическими электронами. 2. В процессе вынужденных колебаний электронов с частотой v падающего на вещест- во света периодически изменяются дипольные электрические моменты молекул. Следо- вательно, как было показано в § 30.3, молекулы излучают вторичные электромагнит- ные волны, частота которых также равна v. Средние расстояния между частицами вещества во много раз меньше длины когерентности света, поэтому вторичные волны, излучаемые весьма большим числом соседних молекул среды, когерентны как между собой, так и с первичной волной. При наложении они интерферируют, причем резуль- тат интерференции зависит от соотношения их амплитуд и начальных фаз. Расчеты показывают, что в однородном, изотропном веществе в результате ин- терференции образуется проходящая волна,' направление распространения которой совпадает с направленная первичной волны, а фазовая скорость зависит от частоты. В оптически неоднородной среде в результате наложения первичной и вторичных волн возникает рассеяние света. Наконец, при падении света на границу раздела двух различных сред в результате интерференции возникает не только проходящая, но и отраженная волна. Таким образом, отражение света происходит не от геометричес- кой поверхности раздела сред, а от более или менее значительного слоя частиц среды, прилегающих к границе раздела. 3. В связи с вопросом о поведении света на границе раздела двух сред особый интерес представ- ляет явление полнено внутреннего отражения света от оптически менее плотной среды. Теоретический анализ, проведенный А. А. Эйхенвальдом (1968), показал, что при полном внутренней отражении электромагнитное поле световой вожы не обрывается на границе раздела, а частично проникает и во вторую (оптически менее плотную) среду. Однако амплитуды Ео и Но напряженностей поля очень быстро умень- шаются по мере углубления во вторую среду: £о~ехр где z — расстояние от границы раздела; Л2 — дли- на волны света во второй среде; i — угол падения »21 — относительный показатель преломле- ния второй среды (»21 < 1)- Глубина проникновения поля во вторую среду соизмерима с длиной волны 1 Это явление можно обнаружить на опыте. Так, в опыте Г. Квинке, схема которого показана на рис. 33.1, плоскопараллельный слой воздуха толщиной d находился между стеклянным полуцилиндром Рис. 33.1 453
A и стеклянной призмой В. При d»-k (А — длина световых волк в воздухе) и углах падении i> свет в призму В не проходил. Прн малых толщинах d (порядка А и меньше) энергии полк в воздухе нв границе с призмой В была еще достаточно велнка и через призму проходил свет. Если оптически менее плртш среда способна под действием света флуоресцировать, то проникновение в нее злепрсЫагвитдого пои при i>i^ можно обнаружить по флуоресцентному свечению тонкого слоя среды, щплегакнцего к границе раздела. Этот метод был предложен Л. И. Мандельштамом и П. Зелени. § 33.2. Поглощение света 1. Из опытов известно, что по мере распространения плоской световой волны в веще- стве се интенсивность постепенно уменьшается. Явление уменьшения энергии световой волны прн ее распространении в веществе, происходящее вследствие преобразования энергии электромагнитного поля волны во внутреннюю энергию вещества или в энергию вторичного (фотолюминесцентного, см. { 39.12) излучения, имеющего другой спектральный состав и иные направления рас- пространения, называется поглмавймм светя. Поглощение света может вызывать нагревание вещества, возбуждение и ионизацию атомов или молекул, фотохимические реакции и другие процессы в веществе. Еще в XVIII в. П. Бугер (1729) экспериментально, а, И. Ламберт (1760) теоретически установили закон иоглояцеам света, называемый заковом Бугера — Ламберта: митеиомнюпь плоское вшшы монохроматического спита ум*- нымеетеж по море прохождения через поглощающую среду по ЛСРП(МШИ|ИДПЫЮМу 1ИКО1: /«Ле ", (33.1) Здесь /о и I—дяхеиапяжт снега на входе и выходе из слоя среды толщиной х; o' — вптураАЗый показатель пагдощпжн среды, который зависит от химической при- роды и состояния поглощающей среды и от длины волны света А. Показатель поглоще- ния o' — величина, обратная расстоянию, на котором интенсивность плоской монохро- матической волны уменьшается в е=2,718 раза. Для разбавленного раствора поглощающего вещества в непоглощающем раствори- теле выполняется закон Берн: ei^bc, где с — концентрация раствора, а Ь — коэффици- ент пропорциональности, не зависящий от с. В концентрированных растворах закон Бера нарушается из-за влияния взаимодействия между близко расположенными моле- кулами поглощающего вещества. 2. В согласии с законом Бугере — Ламберта уравнение плоской линейно поляризован- ной монохроматической световой волны, распространяющейся в поглощающей среде вдоль положительного направления оси ОХ, имеет вид Е—Жее~^со8(шг—кх). (333) ЗДесь Е— напряженность электрического поля волны в точках с координатой х; — амплитуда Е в точках плоскости х—0. В экспоненциальной форме (29.7Э уравне- ние этой волны имеет вид (33.3) Я-л-еЛ (33.4) — комшиксшей показатель предомлошя поглощающей среды, а ’*=в'с/(2в>)-д'А0/(4я) (33.5) 454
— гпищ|й деказятел воглощежяя среды, характеризующий убывание интенсивности и амплитуды плоской волны по мере ее распространения в среде; Ло»яЛ — длина волны света в вакууме. 3. Зависимость натурального показателя поглощения диэлектрика d от длины волны света Ль характеризующая спектр поглощения слеш в этой среда, связана с явлением резонанса при вынужденных колебаниях электроне» в атомах и атомов в молекулах диэлектрик Диэлектрики поглощают свет более или менее селективно: поглощение велико лишь в областях частот, близких к частотам собственных колебаний электронов дотомах и атомов в молекулах. Наиболее четко это явление резонансного поглощена света обнаруживается у разреженных одноатомных газе» (например, у паров большин- ства металлов), для которых характерен л ейчятый спектр нпгшмдения света. Дискрет- ные частоты интенсивного поглощения стета совпадают с частотами собственного излучения возбужденных атомов Этих газов. У газов с многоатомными молекулами наблюдаются системы тесно расположен- ных линий, образующих полосы тглощемм. Структура полос поглощения определяет- ся составом и строением молекул. Жидкие и твердые диэлектрики имеют силошми* спектры наглоеая, состоящие из сравнительно широких полос поглощения, в пре- делах которых натуральный показатель поглощения d достигает значительной вели- чины и плавно изменяется в зависимости от длины волны Ль Такой ход зависимости d от Л> У конденсированных сред объясняется сильным взаимодействием между части- цами среды, приводящим к появлению множества дополнительных резонансных ча- стот. 4. С И. Вавилов и В. JI. Лёвшин (1926) в экспер иентах по поглощению света в урановом стекле обнаружили первый нелинейный аффект в оптике: оказалось, что показатель поглощения d уранового стекла зависит от интенсивности / света, уменьша- ясь с увеличением /. Такой характер зависимости d от I легко истолковывается в квантовой теории взаимодействия стета с веществом. При поглощении стета часть молекул среды переходит в возбужденное состояние. Эти молекулы не могут уча- ствовать в дальнейшем поглощении стета до тех пор, пока они не вернутся, растратив свою избыточную энергию, в возбужденное («нормальное») состояние. Доля возбуж- денных молекул среды тем больше, чая больше интенсивность стета и чем больше среднее время <т> ши молекулы в возбужденном состоянии. Если деля этих молекул незначительна, то поглощение стета происходит в соответствии с законом Бугера — Ламберта. В противном случае tt уменьшается с ростом интенсивности стета. Обычно <т>~10~* с, а для уранового стекла в опытах Вавилова — Лёвшина оно было на четыре порядка больше: <т> ~3 • 10** с. В. А. Фабрикант показал (1940), что можно осуществить такое неравновесное состояние вещества, при котором деля возбужденных молекул будет столь велика, что коэффициент поглощены вещества станет отрицательным. Это возможно, когда число акте» поглощения света, пропорциональное числу невозбужденных молекул, меньше числа актов вынужденного излучения стета возбужденными молекулами, пропорци- онального числу последних. Среды с отрицательными коэффициентами поглощения используются для создания квантовых генераторов радиоволн и видимого стета, называемых соответственно мазерами и лазерами (см. гл. 40). 5. В заключение рассмотрим вопрос об отражении и поглощении стета металлами. В газообразном состоянии металлы являются диэлектриками и не обнаруживают каких-либо аномальных оптических свойств. В коцденсиро1 ином состоянии металлы содержат огромное количество электронов проводимости и потому обладают высокой электрической проводимостью. Под действием света электроны проводимости совер- шают переменное движение и излучают вторичные волны. В результате наложения первичной волны, падающей на поверхность металла, и вторичных волн образуются интенсивная отраженная волна и сравнительно слабая волна, проходящая в металл. Коэффициент отражения может достигать 0,95 и более. Он зависит от чистоты поверх- ности металла, его электрической проводимости и частоты стета. Преломленная волна очень быстро поглощается в металле. Ее энергия расходуется на джоулеву теплоту, выделяемую токами проводимости, возникающими под действием света в тонком слое металла у его поверхности. В области частот инфракрасного излучения оптические свойства металлов определяются главным образом электронами проводимости. Одна- 455
ко в области видимого света и особенно ультрафиолетового излучения заметную роль начинают играть связанные электроны, находящиеся в ионах металла. Это приводит к уменьшению коэффициента отражения и заметной 'его зависимости от частоты. Например, коэффициент отражения от чистой поверхности серебра изменяется от 0,95 при До=700 нм до 0,042 при 2^=316 нм. Соответственно возрастает и прозрачность тонкой пленки серебра. Аналогичные закономерности обнаруживаются у щелочных металлов. § 33.3. Рассеяние света 1. Рассеянием светя называется явление преобразования света веществом, сопровож- дающееся изменением направления распространения света и проявляющееся как несоб- ственное свечение вещества. Это свечение обусловлено вынужденными колебаниями электронов в атомах, моле- кулах или ионах рассеивающей Среды цод действием падающего цвета. Как показал Л. И. Мандельштам (1907), рассеяние света может возникать только в оптически неоднородной среде, показатель преломления которой нерегулярно изменяется от точки к точке. Примерами таких сред могут служить мутные среды — аэрозоли (дым, туман), эмульсии, коллои дные растворы, матовые стекла и т. п., содержащие мелкие частицы, показатель преломления которых отличается от показателя преломления окружающей среды. В случае оптически однородной среды ее одинаковые малые (по сравнению с кубом длины волны света) объемы, содержащие равное и притом достаточно большое число молекул, можно рассматривать как фиксированные в пространстве когерентные источ- ники вторичных волн. Следовательно, можно отвлечься от теплового движения фак- тических источников вторичных волн — атомов и молекул среды, если только это движение не нарушает оптической однородности среды. В такой среде рассеяние света должно отсутствовать, так как для всех направлений, отличных от направления первичного пучка света, вторичные волны взаимно гасятся из-за интерференции. Иначе обстоит дело в случае оптически неоднородной среды. Если расстояние между малыми по размеру неоднородностями среды (например, между инородными частицами мутной среды) значительно больше длины волны света, то эти неоднород- ности ведут себя как независимые таришые источники света. Излучаемые ими волны не когерентны между собой и при наложении не могут интерферировать, поэтому оптически неоднородная среда рассеивает свет по всем направлениям. 2. Рассеяние света в мутных средах на частицах, размеры которых малы цо сравнению с длиной волны света 2, называется явлением Тиндаля. Его можно наблюдать, напри- мер, при прохождении яркого пучка света через слой воздуха, заполненный мелкими частичками дыма, или через сосуд с водой, в которую добавлено немного молока, содержащего небольшие капельки жира. Если мутная среда освещается пучком белого света, то при наблюдении сбоку, т. е. в рассеянном свете, она кажется голубоватой. В свете, прошедшем сквозь достаточно толстый слой мутной среды, обнаруживается преобладание длинноволнового света, так что в проходящем свете среда кажется красноватой. Система электронов, совершающих вынужденные колебания в атомах электрически изотропной частицы малого размера го~(О,14-0,2)2, эквивалентна одно- му колеблющемуся электрическому диполю (линейному гармоническому осциллято- ру). Этот диполь колеблется с частотой падающего на него света, а согласно (3026) интенсивность излучаемого им света пропорциональна со*. Для рассеянного света справедлив закон Рэлея (1899): интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны: 7~2*. - ’Г}-- - . ! ,. В случае рассеяния естественного света зависимость интенсивности 1в рассеянного света от угла рассеяния в имеет вид 456
ft==4/2(l+cos26), где Iftp — интенсивность света, рассеиваемого под углом в==я/2, т. е. перпендикулярно направлению первичного пучка. Если молекулы рассеивающего вещества электрически изотропны (неполярные молекулы), то свет,- рассеиваемый под углом 0=я/2, полно- стью поляризован: вектор Е перпендикулярен плоскости, проходящей через падающий и рассеянный лучи. Явление Тиндаля используется в ультрамикроскопе для обнаружения мельчайших коллоидных частиц размером до 10“’ м и наблюдения за их движением. Ось трубы ультрамикроскопа установлена перпендикулярно направлению пучка света от освети- теля. В глаз наблюдателя попадает только свет, рассеянный коллоидными частицами, которые имеют вид блестящих звездочек, выделяющихся на общем черном фоне поля зрения. По мере увеличения размеров г0 неоднородностей в мутной среде укачяпиые выше закономерности рассеяния света постепенно искажаются. При г0>2 зависимость /в (в) имеет сложную форму, причем интенсивность рассеяния вперед, т. е. в направлениях 0<тг/2, больше, чем назад. Это явление называется эффектом Ми. Свет, рассеиваемый под углом 0=л/2, поляризован лишь частично. Закон Рэлея также нарушается. При го» А спектральный состав рассеянного света практически совпадает'со спектральным составом падающего света. Этим объясняется, например, белый цвет облаков. 3. Рассеяние света наблюдается также в чистых средах, не содержащих каких-либо частиц примесей (например, в чистых газах и жидкостях, истинных растворах). Оно называется молекулярным рассеянием света и обусловлено, как впервые предположил М. Смолуховский (1908), флуктуациями плотности, возникающими в Процессе ха- отического теплового движения молекул среды. Дополнительными причинами возник- новения оптической неоднородности в чистых средйх с анизотропными (полярными) молекулами являются флуктуации ориентаций молекул (флуктуации анизотропии), а в истинных растворах, кроме того, флуктуации концентрации. А. Эйнштейн, ос- новываясь на идее М. Смолуховского, создал теорию молекулярного рассеяния света (1910). Как показывают расчеты, размеры участков среда, соответствующих более или менее значительным флуктуациям, при обычных условиях Значительно меньше длин волн видимого света. Теория Эйнштейна привела к тем же результатам в отношении зависимости интенсивности рассеянного света от А и в, а также характера поляризации рассеянного света, что и теория Рэлея. Молекулярным рассеянием в атмосфере коротковолновой части видимого солнеч- ного света объясняется голубой цвет неба. По тем же причинам при восходе и закате прямой солнечный свет, прошедший сквозь значительную толщу атмосферы, должен быть красно-оранжевым. Флуктуации плотности и интенсивность рассеяния света возрастают с увеличением температуры. Этим объясняется более насыщенный цвет, неба в ясный летний д ень по сравнению с таким же зимним даем. Наиболее значительные флуктуации плотности в газах возникают в критическом состоянии, т. е. в состоянии, когда газ по своим свойствам становится тождественным жидкости. При этом наблюдается столь, интенсивное рассеяние света, называемое критической опалесценцией, что даже сравнительно тонкий слой вещества полностью рассеивает весь падающий на него свет. Аналогичное явление наблюдается в растворах при критической температуре смешения, соответствующей максимальной или мини- мальной температуре расслоения раствора на две несмещивающнеся жидкости. Рассеяние света на флуктуациях анизотропии значительно слабее рассеяния иа флуктуациях плотности. Однако оно представляет большой научный интерес, так как из анализа спектрального состава и поляризации рассеянного света можно получить ценные сведения относительно электрических свойств и стрбения анизотропных моле- кул. 4. Молекулярное рассеяние света происходит также и в кристаллических твердых телах. Это явление, значительно более слабое, чем рассеяние в жидкостях, впервые было обнаружено экспериментально Г. С. Ландсбергом (1926). Теория молекулярного рассеяния света в кристаллах была разработана Л. И. Мандельштамом и его школой (Г. С. Ландсберг, М. А. Леонгович и др.). Благодаря сильному взаимодействию между частицами в кристаллах флуктуации плотности, 457
обусловл шощие рассеяние окта, тесяо связаны с упругими свойствами всего жрясталла. Слу- чайно возникшие флуктуации давления и связанные с ними флуктуации плотности должны распрост] няться в кристалле в Д! 'пругих тепловых волн*. Исходя из этой основной идеи, Мандельштам пришел к выводу, что рассеяние света в кристаллах можно рассматривать как результат дифракции падающего света на упругих тепловых волнах гиперзвуковых частот (~ 10’° Теория Мандельштама оказалась применимой не только к кристаллам, но и к аморфным твердым телам жидкостям. Из нее следовал важный вывод о том, что при молекулярном рассеянии света в указанных средах должна существовать топая структура состра рессеяжмго света, обусловленная модуляцией света пшерэвуковыми упругим волнами. Оказалось, что в свете, рассеянном под углом в, помимо несмещенной компоненты с частотой v первичного света должны наблюдаться «сманенные» компоненты с частотами v+Av н v—Av, причем в Av—2- vain е 2 где я' же — скорости гиперзвук* и света в рассеивающей среде. Это явление получило название ряссеяшя Мандельштама —— циидвозжа. В жидкостях возможны только продольные упругие волны, поэтому наблюдаются две «смешенные» компоненты. В аморфном твердом теле возможны как продольные, так и попереч- ные упругие волны, имеющие различные скорости в, н v'2. Сооптлжввв наблюдаются четыре «сметценные» компоненты р ного света. В анизотропных кристаллах на опыте наблюдаются шесть «смещенных» компонент. § 33.4. Дисперсия света 1. Дисперсией света называется зависимость фазовой скорости света в среде от его частоты v. Согласно (30.31), v^cfn, где с — скорость света в вакууме, а п — показатель преломления среды. Так как с — универсальная постоянная, одинаковая для электро- магнитных волн любой частоты, то существование дисперсии света в среде обуслов- лено тем, что показатель преломления среды зависит от частоты v. Эта зависимость легко обнаруживается, например, при прохождени пучка белого света через призму, изготовленную из какой-либо прозрачной среды. На экране, установленном за при- змой, наблюдается радужная полоска (рис. 33.2), которая называется призматическим (или досперсжоиваым) спектром. 2. Зависимость показателя преломления среды п от частоты v света нелинейная и немонотонная. Области значений v, в которых (dn/dv)>0, т. е. с ростом v увели- чивается также и л, соответствуют вормаиыой дострой смета. Нормальная дисперсия наблюдается у веществ, прозрачных для свет Например, обычное стекло прозрачно для видимого света и в этой области частот наблюдается нормальная дисперсия света в стекле (рис. 33.2). Дисперсия света называется аномал юй, ес- Рис. 33.2 Согласно (29.38), групповая скорост волновым числом к соотношением и ли (dn/dv)<0, т. е. с ростом v показатель прело- мления среды уменьшается. Аномальная диспе- рсия наблюдается в областях частот, соответст- вующих полосам I те я того 1 глощени све- та в данной среде. Например, у обычного стекла эти полосы находятся в инфракрасной и ультра- фиолетовой частях спектра. 3. В зависимости ст характера дисперсии груп- повая скорость и света в веществе может быть как больше, так и меньше фазовой скорости е. , связана с циклической частотой to волны и ее dto/dk. Так как a fc—2n/2=2imv/c, то, как легко видеть, •Понятие об этих волнах впервые было введено П. Дебаем (1912) для объяснения тепловых свойств кристаллических твердых тел. 458
с Г n+v(dn/dv) l+(v/n)(dn/dv) / При нормальной дисперсии групповая скорость меньше фазовой («<»). В случае dn * аномальной дисперсии k>v, и, в частности, если л+v —< 1, то и>с. Этот результат не । dv противоречит утверждению специальной теории относительности о том, что скорость передачи любого сигнала (в том числе и светового) ие может превосходить с. Понятие групповой скорости правильно описывает распространение только такого сигнала, «форма» которого, т. е. распределение амплитуды и энергии по его «длине», не изменяется при перемещении сигнала в среде. Однако для света это условие выполняет* ся лишь приближенно и тем точнее, чем уже спектр частот сигнала и чем меньше дисперсия света в среде. В областях частот, соответствующих аномальной дисперсии, групповая скорость не совпадает со скоростью сигнала, так как вследствие значитель- ной дисперсии света «форма» сигнала быстро изменяется по мере его распространения в среде. § 33.5. Классическая, электронная теория дисперсии света 1. Оптически прозрачные среды немагнитны (д«1), так что для их показателей преломления справедлива формула (30.31'), из которой следует, что л2=£=1+х, (33.6) где « и х — относительная диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая воспри- имчивость среды. Таким образом,'дисперсию света можно рассматривать как следст- вие зависимости £ и / от частоты v переменного электромагнитного поля света, вызывающего поляризацию среды. Для частот видимого света поляризация среды происходит только вследствие смещения оптических электронов атомов и молекул. Таким образом, поляризованностъ с^еды можно найти по формуле (15.8'): Р=лоР« где По - - концентрация атомов (молекул) среды; р, — наведенный полем электрический момент атома, обусловленный смещением оптических электронов. Если каждый атом содержит только один оптический электрон, то р,= — ег, где г — смещение электрона из положения равновесия, и поляризованностъ среды Р= -поет. (33.7) С другой стороны, по формуле (15.9), Р=хеоЕ, (33.8) где Е — напряженность электрического поля световой волны. Из (33.6) — (33.8) видно, что для отыскания вида зависимости показателя прелом- ления среды от частоты света нужно найти связь между смещением г оптического электрона и напряженностью Е поля. 2. Оптический электрон совершает вынужденные колебания в поле световой волны под действием следующих сил: а) возвращающей квазиупругой силы FB= —mtofr, где Л и о»о — масса электрона и циклическая частота его свободных незатухающих колебаний; „ ___ „ „ dr б) силы сопротивления, пропорциональной скорости электрона: Fc= — 2т0 где fl — коэффициент затухания свободных колебаний электрона; в) вынуждающей силы F = — еЕ, действующей на электрон со стороны переменного деля напряженности Е. Уравнение вынужденных колебаний 459
dnr dr _ e —+2Д —+а>ог= — E. (33.9) de dr m В случае линейно поляризованного монохроматического света с циклической часто- той со напряженность поля Е=Eq cos со/, где Ео“ const — вектор амплитуды. Если, кроме того, среда не поглощает свет, то р=0 и установившиеся вынужденные колеба- ния оптического электрона, как легко проверить, совершаются по закону г= -eE/[m(caJ-cu2)]. (33.10) В этом случае поляризованность среды Р=я0е2ЕДт(сао-ш1)], Х=яоеаЛео»»(шо-ш2)]> так что зависимость показателя преломления среды от со имеет вид л2 = 1 +noe2/[£ow(coj-co2)]. (33.11) Таким образом, по мере увеличения ния среды монотонно возрастает л (0)=V/1 + Пае2/(т£осо^ до +со. При а -Foo до —со, а по мере дальнейшего w от 0 до «о абсолютный показатель преломле- от статического показателя преломления =со0 значение л скачкообразно изменяется от увеличения со от ш0 до оо значение л вновь монотонно возрастает от —со до 1. График зависимости л (со) по формуле (33.11) показан на рис. 33.3. 3. Неограниченное возрастание х и п при со-»соо физически бессмысленно и практичес- ки неосуществимо. При значениях со, близких к wo, нельзя пренебрегать поглощением света в среде и считать Р—0. В поглощающей среде (т. е. при Д^О) колебания оптического электрона и поляризованности Р сдвинуты по фазе относительно колебаний напряжен- ности Е поля: r=Acos(w/+<p0). (33.12) Амплитуду А и сдвиг фаз ср0 можно найти по формулам (28.25), заменив в них П на со и Fo на —еЕо: А= — еЕо/[тд/(со$—со2)2+4^2со2], tg?o=-2j8ca/(“J-C'>1)- 03.12) Соответственно лое’Ео сое (ю/+фо) Р= . =. (33.13) , m-y/(pi%—coi)2+4flico1 Можно показать, что из (33.13) следует такая зависимость л (со), которая отличается от (33.11) только в области значений со, близких к ®о- График этой зависимости вблизи соо изображен на рис. 33.3 штриховой линией. Для описания свойств поглощающей свет среды вводят наряду с комплексным показателем преломления (33.4) й=п-ij£ комплекс до / ектр косую воспромчивость % 1 комплексную диэлектрическую проницаемость 2: 460
f-ОД e=l+X. Я2=1+?. (33.14) Здесь P и E — комплексные значения поляризованности и напряженности поля: лое%оф[|(®/4-Фо)] ' /««---- . -: _ -, £=£Ьехр(ки/), (33.15) т -J(а>д—а>2)2+4Д2®2 так что лое-2 ехр (/фо) (л-1Л52 = 1+----- .. . ...» (33.16) trfny/(<D*—tn2)2 +4Д2®2 Так как ехр(1фо)=со5фо-Н'ыпфо, то, сравнивая действительные и мнимые члены в обеих частях уравнения (33.16), а также учитывая, что cos фо=(“о “ “ЪА/(®р “ ш2)2 +4/JW, ein фо= —2/йи/^/(п>д—о?)2 + 4Д2®2, получаем л2 = 1 + лое2 («Од - «а2)/{еол» [(«oj - ш2)2 +4Д2®2]}, (33.17) 2л^=2лое2Д«п/{г(/и[(<о2—ш2)24-4Д2со2]}. (33.18) Из формулы (30.30) и расчетов т=1/Д, приведенных в § 30.3, видно, что Р«а>, поэтому влияние затухания на зависимость л (со) существенно лишь в области частот со, очень близких к шо- За пределами этой области 4/Ро12«(Шд—ш2)2 иЛГ 2 «кл2, так что формула (33.17) практически сопадает с (33.11). График зависимости л (со) по формуле (33.17) вблизи ш=а>о имеет вид, показанный на рис. 33.3 штриховой линией. 4. До сих пор мы основывались на предположении о том, что у каждого вещества имеется только одна характерная для него циклическая частота соо свободных колеба- ний оптических электронов. В действительности, как показывают опыты, при прохож- дении света сквозь любое газообразное вещество наблюдается целый ряд характерных для этого вещества линий поглощения. Следовательно, каждое вещество характеризу- ется определенным набором различных циклических частот о>07. В классической теории дисперсии света вводится предположение о том, что каждый атом (или молекулу) вещества можно рассматривать как систему из I гармонических осцилляторов — заря- женных частиц с различными эффективными зарядами % и массами пу, свершающих свободные незатухающие колебания с циклическими частотами св^. Под действием электрического поля световой волны все эти осцилляторы совершают вынужденные колебания и вносят свой вклад в поляризацию вещества, а следовательно, и в выраже- ние для его показателя преломления. Если коэффициент затухания для осциллятора j-ro сорта, соответствующего циклической частоте <»оу, равен Ду, то W2 ' вот у_! (№2-ш2)2+4Д2ш2’ вот у_1 (®$-®У+4$св* Безразмерный коэффициент (33.19) (33.20) 461
называется ото* j-ro осяллятора. Он характеризует вклад этого осциллятора в диспер- _ сию и поглощение света. В классической теории дисперсии значения aty и jj предполага- ‘ ются известными из опыта. У газов Э€ «1, а в мало отличается ст 1, так что п1—1=(я+1)(л—1)»2(я— 1). Поэтому зависимость я (со) имеет вид ЗдуЯу.! (<aj— (33.19Э Вблизи каждой из частот щу наблюдается аномальная дисперсия. § 33.6. Излучение Вавилове — Черенкова 1. П. А. Черенков, изучая люминесценцию прозрачных жидкостей под действием у-излучения, обнаружил (1934), что у-излучение вызывает очень слабое голубоватое свечение прозрачных жидкостей. Анализ свойств этого излучения показал, что оно не имеет ничего общего с люминесценцией. Так, например, оно наблюдалось во всех чистых жидкостях независимо от их химического состава, причем его интенсивность практически не зависела ни от температуры жидкости, ни от содержания в ней примесей, которые должны были бы вызывать резкое ослабление («тушение») свечения, если бы оно являлось люминесцентным. С. И. Вавилов высказал основополагающее предположение о том, что обнаружен- ное Черенковым свечение связано с движением в веществе свободных электронов, образующихся под действием у-нзлучения. Однако попытка объяснить это излучение торможением электронов в жидкостях оказалась неудачной. Расчеты показали, что для всех жидкостей, исследованных Черенковым, интенсивность излучения, наблюдавшего- ся в опытах, хотя и была очень невелика, но все же во много раз превосходила возможные значения интенсивности тормозного излучения электронов в видимой части спектра. Объяснение природы этого нового типа излучения свободных электрически заряженных частиц при движении их в веществе, названного излучением (эффектом) Вавилова — Черенкова, было дано советскими физиками И. Е. Таммом и И. М. Франком (1937). 2. В § 30.3 говорилось о том, что заряженная частица (например, электрон) излучает электромагнитные волны только тогда, когда она движется с ускорением. Однако, как впервые показали Тамм и Франк, доказательство этого утверждения основывается на предположении, что никакая заряженная частица не может двигаться со скоростью, превосходящей скорость света. Между тем теория относительности позволяет лишь утверждать, что скорость V пкЛсА заряженной частицы всегда меньше скорости с света в вакууме. V<c. Заряд, движущийся равномерно и прямолинейно в вакууме, дейст- вительно не излучает электромш витых волн. В прозрачном веществе фазовая ско- рость видимого света меньше е. Она равна с/п, где я>1 —абсолютный показатель преломления вещества. Следовательно, в веществе заряд может двигаться со «сверх- световой» скоростью: (с/я)< К<с. Тамм и Франк показали, что заряженная частица, движущаяся в веществе со сверхсветовой скоростью, должна излучать электромагнит- ные волны. Таким образом, была объяснена природа эффекта Вавилова — Черенкова и указаны условия его возникновения. Следует заметить, что в процессе излучения Вавилова — Черенкова энергия и ско- рость излучающей свободной частицы, конечно, уменьшаются, т. е. частица тормозит- ся. Однако весьма существенно, что в отличие от тормозного излучения, являющегося следствием изменения скорости частицы, уменьшение скорости частицы при эффекте Вавилова — Черенкова само является следствием излучения. Иными словами, если бы убыль энергии частицы на излучение Вавилова — Черенкова каким-либо образом восполнялась и частица двигалась бы с постоянной сверхсветовой скоростью, то излучение Вавилова— Черенкова все равно имело бы место, тогда как никакого тормозного излучения частицы не было бы. 3. Рассмотрим подробнее вопрос об излучении электромагнитных волн заряженной частицей, движущейся в веществе вдоль оси ОХ с постоянной скоростью V (рис. 33.4). 462
Заряженная частица вызывает кратковремен- ную поляризацию вещества в окрестностях тех точек, через которые она проходит при своем движении. Поэтому молекулы среды, лежащие на пути частицы, становятся кратковременно действующими' когерентными источниками элементарных электромагнитных волн, интер- ферирующих при наложении. Если V<v=^c/n, то элементарные волны га- сят друг друга. Пусть заряженная частица Рис, 33.4 в моменты времени t я t+Bt находится соот- ветственно в точках А я В, расстояние между которыми Разность хода элементарных волн, которые излучаются из точек А и В в произвольном направлении и, составляющем угол а с вектором V, Д = |DJ| = (« — Исот а)Дг =/(е/К—cos а). Для каждого значения Л длины волны излучения можно найти такое значение 4л» при котором Д=- Л/2, так что элементарные волны гасят друг друга: Я / ------------(33.21) 2(v/F—сова) При излучение в направлении в из любой точки М отрезка АВ траектории заряженной частицы гасится при интерференции излучением в том же направлении из сходственной ей точки N соседнего участка отстоящей от М на расстоянии Следовательно, при равномерном прямолинейном движении заряженной частицы в веществе с «досэетовой» скоростью частица не излучает. 4. Если частица движется в веществе со «сверхсветовой» скоростью Й>®=-с/л, то значение удовлетворяющее условию гашения элементарных волн: 1Л------------, (3321) 2|v/F—cosuf можно найти для всех а, кроме значения V =»arccos(t>/P)—arccos[c/(nP)J, (3322) 1 Для направления а=« разность хода элементарных волн, излучаемых из любых двух точек А я В траектории заряженной частицы (рис. 33.4), равна нулю: Д==«•(»—Ксот )Д/=0. Следовательно, в указанном направлении должно происходить взаимное усиление этих элементарных волн при их интерференции, т. е. должно наблюдаться резуль- тирующее излучение заряженной частицы — излучение Вавилова — Черенкова. Из сказанного видно, что харак- Рис. 33.5 терная особенность излучения Вавилова — Черенкова .состоит в его направленности. Свет, возникающий на каждом малом участке траек- тории заряженной частицы, распространяется вдоль об- разующих конуса, вершина О которого (рис. 33.5) рас- положена на этом участке, ось совпадает с траекторией частицы, а образующие составляют с осью угол ^>arccos[c/(nP)]. Свет поляризован так, что вектор Е направлен по нормали к поверхности конуса, а вектор Н — по касательной к ней. 453
Эффект Вавилова — Черенкова нашел широкое практическое применсниев со- временной экспериментальной физике. На его основе созданы черенклпские счетчики заряженных частиц, с помощью которых можно не только регистрировать эти частицы, но и определять модуль и направление скорости частицы. - \ i- Вопросы: 1. Почему во взаимодействии видимого света с веществом участвуют только электроны? 2. Как выглядит уравнение плоской линейно поляризованной монохроматической волны, рас- пространяющейся в поглощающей среде? 3. В чем заключается закон Рэлея для рассеяния света? Какие атмосферные явления с ним связаны? 4. Как доказать на основе классической электронной теории, что скорость рентгеновского излучения во всех средах практически равна скорости света в вакууме? 5. Поясните, почему излучение Вавилова — Черенкова имеет вполне определенную направлен- ность.
Глава за ' _____' Поляризация света § 34.1. Поляризация света при отражении и преломлении на границе раздела двух диэлектрических сред 1. Поляризацией свеп называется выделение линейно поляризованного света из есте- ственного или частично поляризованного. Для этой цели используют специальные устройства, называемые поляризаторами. Их действие основывается на поляризации света при его отражении и преломлении на границе раздела двух диэлектрических сред, а также на явлениях двойного лучепрелом- ления и дихроизма (см. § 34.2). Те же устройства можно использовать и в качестве анализаторов, т. е. для определения характера и степени поляризации света. Пусть на анализатор падает перпендикулярно плоскости ряс. 34.1 линейно поляри- зованный свет, электрический вектор Е, которого направлен вдоль линии р— р и колеблется с амплитудой А,. Пусть электрический вектор Е, света, пропускаемого анализатором, направлен вдоль линия a — а, составляющей ср — ругол а. Падающий свет можно представить в виде двух волн, линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях. Волда, электрический вектор Et которой колеблется вдоль направления, перпендикулярного a — а, с амплитудой А[ (X =« Лл8т а), не может пройти через анализатор. Зато вторая волна, электрический вектор Ej которой колеб- лется вдоль направления a — а, с амплитудой (Аз=^А,сова), полностью проходит через анализатор. Следовательно, амплитуда света, выходящего из анализатора, Л,=“ Аз** Аг сов а. (34.1) Соответственно интенсивности /в и I, линейно поляризованного света, пропущен- ного анализатором и падающего на него, связаны законом Малюса: /«-•/дСоа1®. (34.2) Главной плоасостыо поляризатора (или анализатора) называется плоскость поляри- зации света, пропускаемого поляризатором (или анализатором). 2. При изучении закономерностей поляризации света в результате отражения и преломления естественного света последний удобно рассматривать как совокупность одинаковых по интенсивности линейно поляризованных волн двух типов: з- и p-волн. Из формул (30.39) видно, что для всех углов падения света, кроме i=0, коэффици- ент отражения j-волны (Я,) больше коэффициента от- ражения p-волны (Я?). Поэтому в отличие от падающего 'естественного света отраженный и проходящий (прелом- ленный) свет частично поляризован. В отраженном свете преобладают колебания вектора Е напряженности элект- рического поля л-типа (перпендикулярно плоскости паде- ния), а в проходящем — колебания p-типа (в плоскости падения). В § 30.5 было доказано, что отраженный свет полно- стью линейно поляризован в плоскости, перпендикуляр- ной плоскости падения при угле падения Брюстера, кото- рый удовлетворяет условию (30.37): 465
tgfep=“'»2b (34.3) Этот закон называется з со ш Брюстера. Если то отражается только л-волна. Однако при /=“/б₽ коэффициент отражения J-волны Д, значительно меньше 1 (около 0,15 для стекла).- Таким образом, проходящий свет поляризован лишь частично. Степень поляризации проходящего стета можно повышать, подвергая его ряду последовательных отражений и преломлений. Это осуществляется в стопе, состоящей из нескольких одинаковых и параллельных друг другу пластин из прозрачного диэлект- рика (например, стекла), установленных под углом Брюстера к падающему пучку стета. Если число пластин в стопе достаточно велико, то проходящий через нее стет оказыва- ется тоже практически полностью линейно поляризованным (p-типа). В отсутствие поглощения света в стопе интенсивности I, и I, отраженного и проходящего линейно поляризованного стета одинаковы и равны половине интенсивности падающего естественного стета: Рис. 34.2 3. Закон Брюстера можно пояснить, основыва- ясь на полярной диаграмме направленности из- лучения диполя (см. рис. 30.4). Согласно пред- ставлениям классической электронной теории об- разование отраженной волны бусловлено вто- ричными волнами, которые излучают молеку- лы — осцилляторы отражающей стет среды. Во- лне J-типа соответствуют осцилляторы (колеб- лющиеся электрические диполи), оси которых пе- рпендикулярны плоскости падения. Эти осцил- ляторы показаны на рис. 34.2 точками, нанесен- ными на преломленный луч. Из полярной диа- граммы направленности излучения диполя (см. рис. 30.4) видно, что такие осцилляторы долиты интенсивно излучать во всех Направлениях, лежа- щих в плоскости падения, т. е. участвовать в об- разовании как отраженной, так и преломленной 4-ВОЛН. Волне p-типа соответствуют осцилляторы, оси которых лежат в плоскости падения и перпендикулярны преломленному лучу (показаны на рис. 342 в виде поперечных черточек). Осцилляторы вдоль своей оси не излучают, а при /=°/s₽ отраженный луч перпендикулярен преломленному и, следовательно, параллелен осям этих осциллято- ров. При указанные осцилляторы не излучают в направлении отраженного луча и вклада в отраженную волну не дают. Соответственно отраженный стет полностью линейно поляризован (волна х-типа). § 34.2. Двойное лучепреломление 1. В предыдущих главах, рассматривая закономерности распространения света в раз- личных средах, мы предполагали, что среда оптически изотропна, т. е. скорость стета в каждой точке среды не зависит ни от в правления распространения световой волны, ни от характера поляризации волны. Исследования показали, что при обычных услови- ях газообразные, жидкие и аморфные твердые диэлектрики оптически изотропны. В то же вре я почти все кристалл»какие д иэлектрики опталести анизотропны. Оказалось также, что под влиянием внешних воздействий среда, бывшая оптически изотропной, может стать оптически анизотропной. Это явление называется искусственвой оптичес- кой аюкютропией. акономерности распространения стета в любой среде (изотропной или анизотроп- ной) в конечном счете определяются интерференцией первичной волны и вторичных 446
волн, излучаемых молекулами, атомами или ионами среды вследствие их электронной поляризации под действием электрического поля Е световой волны. Поэтому оптичес- киесвойства среды полностью обусловлены электрическими свойствами этих элемен- тарных излучателей, их взаимным расположением и взаимодействием друг с другом. Молекулы или атомы среды в зависимости от их строения могут быть электрически изотропными или анизотропными. В первом случае их поляризуемость не зависит от направления, во втором — зависит. Однако электрические свойства отдельных атомов или молекул среды еще не определяют полностью оптические свойства этой среды Так, например, как мы уже указывали выше, все газы, жидкости и аморфные твердые тела при обычных условиях оптически изотропны, хотя молекулы многих из них электрически анизотропны. Причина этого заключается в полной хаотичности ориен- таций молекул в газах, жидкостях и аморфных телах. Всякое упорядочение ориентаций анизотропных молекул в этих средах под влиянием внешних воздействий приводит к возникновению оптической анизотропии. Если среда находится в кристаллическом состоянии, то ее частицы (атомы, молеку- лы или ионы) располагаются в строгом порядке, образуя кристаллическую решетку. Каждая частица находится в сильном взаимодействии с ближайшими соседями в ре- шетке, так что излучение вторичных волн частицами кристаллической среды зависит не только от электрических свойств самих частиц, но и от силового воздействия со стороцы других частиц. Из сказанного ясно, что оптическая анизотропия кристалла может быть обусловлена как электрической анизотропией образующих его частиц, так и анизотропией поля сил взаимодействия между частицами. Характер этого поля, т. е. его изотропность или анизотропность, зависит от степени симметрии решетки кристал- ла. Только кристаллы кубической системы (например, каменная соль NaCl), облада- ющие весьма высокой степенью симметрии решетки, оптически изотропны. Все оста- льные кристаллы независимо от электрических свойств образующих их частиц оптичес- ки анизотропны. 2. Расчет интерференции вторичных волн в анизотропных кристаллах весьма сложен. Более простой метод изучения закономерностей распространения света в таких средах основывается на применении к ним теории Максвелла для переменного электромагнит- ного поля. При этом кристалл рассматривается как однородная среда, диэлектрическая воспрн- имчивость у и относительная диэлектрическая проницаемость е« 1 +у которой не одинаковы f ~ - ДВ в различных направлениях*. Таким образом, считается, что оптическая анизотропий немаг- нитных кристаллов является следствием анизот- ропии его относительной диэлектрической про- л/ТуУ* ницаемости. ‘ n0 В оптически анизотропных кристаллах на- 2 343 блюдается явление двойного лучепреломления, которое состоит в том, что луч света, падающий на поверхность кристалла, раздваива- ется в нем на два преломленных луча. На рис. 34.3 показано двойное лучепреломление света в кристалле исландского шпата. 3. Оптической осью кристалла называется направление в оптически анизотропном кристалле, вдоль которого свет распространяется, не испытывая двойного лучепрелом- ления. Важно отметить, что оптическая ось кристалла не Является какой-то одной особой прямой линией в нем, подобной, например, оси симметрии тела. Она харак- теризует лишь избранное направление в кристалле и может быть проведена через любую точку кристалла. Оптически анизотропные кристаллы бывают, в зависимости от типа их симметрии, однюсжыми либо двуосшлии, т. е. имеют одну или две оптические осн. Примером одноосного кристалла является исландский шпат, оптическая ось которого совпадает по направлению с диагональю Л/0М> кристалла (ряс. 34.3), а также кварц, турмалин, •Предполагается, что кристалл немагнитен, т. е. его относительная магнитная проница- емость р»=1. 467
апатит, каломель и др. Двуосными кристаллами являют- Sn ся, например, гипс, слюда, топаз, ромбическая сера и др. Главной плоскостью, или главным сечением, одноос- . ного кристалла для какого-либо луча называется плос- 1 ' 1 *₽ кость, проходящая через этот луч и пересекающую его » > < «—>- оптическую ось. ° В одноосном кристалле один из лучей, образующихся | чри двойном лучепреломлении, подчиняется законам пре- ломления света: он лежит в плоскости падения и удовлет- 7™““ воряет закону Снеллиуса (30.34), поэтому его называют м обыкновенным лучом и обозначают буквой о. Второй луч обозначают буквой е и называют необыкновсншм лучом, Рис 34 4 так ках он> вообще говоря, не лежит в плоскости падения и не подчиняется закону Снеллиуса. Например, даже в случае нормального падения света на поверхность пластинки, вырезанной из одноос- ного кристалла, необыкновенный луч преломляется (рис. 34.4). Угол его преломления ге зависит от того, как ориентирована поверхность пластинки по отношению к оптичес- кой оси кристалла. Он равен нулю только в двух случаях: а) если поверхность пластинки перпендикулярна оптической оси (свет распространяется в пластинке вдоль оптической оси, не испытывая двойного лучепреломления); б) если поверхность пла- стинки параллельна оптической оси (свет распространяется в пластинке перпендикуляр- но оптической оси). В двуосном-кристалле оба преломленных луча ведут себя как необыкновенные. 4. Двойное лучепреломление свидетельствует о том, что падающая на оптически анизотропный кристалл световая волна возбуждает две волны, распространяющиеся в кристалле, вообще говоря, по различным направлениям. В одноосном кристалле эти волны называются обыкновенной и необыкновенной волнами. Обыкновенный и необык- новенный лучи показывают направления векторов Умова — Пойнтинга соответству- ющих волн в кристалле, т. е. направления переноса энергии этими волнами. Обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы*. В обыкновенной волне вектор Ео направлен перпендикулярно главной плоскости кристалла для обык- новенного луча. Электрический вектор Е, необыкновенной волны лежит в главной плоскости кристалла для необыкновенного луча. Направления векторов Е в обыкновен- ной и необыкновенной волнах условно показаны (рис. 34.4) точками на обыкновенном луче и поперечными черточками на необыкновенном луче (предполагается, что оба луча и пересекающая их оптическая ось MN кристалла лежат в плоскости чертежа). 5. Лучевой скоростью волны или скоростью луча в оптически анизотропном кристалле называется скорость v переноса энергии волной. В одноосном кристалле скорость обыкновенного луча vo численно одинакова по всем направлениям: ов=с/ло, где п„=const — показатель преломления кристалла для обык- новенного луча. Соответственно скорость необыкновенного луча численно равна vt=clnt, где пе — показатель преломления кристалла для необыкновенного луча. Значения л, и ve зависят от направления необыкновенного луча по отношению к оптической оси кристалла. Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси, nt=n„ vr=v„. Значе- ние пе наиболее сильно отличается от пд для направления, перпендикулярного оптичес- кой оси: пе=пл. в. Лучевой поверхностью волны в кристалле называется геометрическое место концов векторов v лучевой скорости волны, проведенных из некоторой точки О кристалла во всевозможных направлениях. В одноосном кристалле лучевая поверхность обыкновенной волны имеет вад сферы, а лучевая поверхность необыкновенной волны — эллипсоида вращения вокруг оптической оси MN, проведенной через точку О. Эллипсоид и сфера касаются друг друга в точках их пересечения с оптической осью MN. Если пе^п„ то эллипсоид вписан •Часто говорят о линейной поляризации обыкновенного и необыкновенного лучей, пони- мая под этим поляризацию соответствующих им волн. 468
Рис. 34.5 Рис. 34.6 в сферу (рис. 34.5, а), а если лг<и0, то эллипсоид описан вокруг сферы (рис. 34.5, б). В первом случае одноосный кристалл называется оптически положительным (например, кварц, каломель, киноварь и др.), во втором — оптически отрицательным (например, исландский пшат, турмалин, апатит и др.). 7. Для объяснения двойного лучепреломления в одноосном кристалле и нахождения направлений обыкновенного и необыкновенного лучей можно воспользоваться графи- ческим методом Гюйгенса. Пусть на плоскую поверхность ah одноосного оптически отрицательного кристалла (или вырезанной из него пластинки) падает под углом i плоская неполяризованная световая волна (рис. 34.6). Оптическая ось кристалла MN, проведенная в точке А поверхности ab, лежит в плоскости чертежа и составляет с ah угол у. В момент времени t фронт АЛ падающей волны достиг точки А поверхности кристалла, и она становится источником двух линейно поляризованных элементарных вторичных волн в кристалле — обыкновенной и необыкновенной. К моменту времени f+Az, где Аг — время прохождения падающим светом расстояния ЛК, возмущение, распространяющееся из точки А в виде обыкновенной элементарной волны, достигает точек сферы радиуса v„&t с центром в А. Возмущение, распространяющееся из точки А в виде необыкновенной элементарной волны, достигает к этому же времени точек поверхности эллипсоида, касающегося сферы радиуса d„Az в точке L ее пересечения с оптической осью MN. Этот эллипсоид геометрически подобен лучевой поверхности необыкновенной волны в кристалле. Плоскости КСе и КС„ перпендикулярные плоскости чертежа и касательные соответ- ственно к сфере и к эллипсоиду, указывают, согласно принципу Гюйгенса, положения в момент времени Z + А/ фронтов обыкновенной и необыкновенной волн, действительно распространяющихся в одноосном кристалле. Прямые, проведенные из точки А в точки касания Bu.F, показывают направления обыкновенного и необыкновенного лучей. Оба луча лежат в плоскости падения, но необыкновенный луч не ортогонален волновой поверхности КСе. Обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Направления электрических векторов Е„ и Ее в обыкновенной и необыкновенной волнах показаны на рис. 34.6 точками и поперечными черточками, нанесенными на соответствующие лучи. ** Если оптическая ось MN кристалла не лежит в плоскости падения света, то необыкновенный луч, вообще говоря, тоже не лежит в плоскости падения. Соответственно угол между плоскостями поляризации обыкновенной и необыкновенной волн слегка отличен от прямого. 8. Построение обыкновенного и необыкновенного лучей в случае нормального паде- ния света на поверхность оптически отрицательного одноосного кристалла показано на рис. 34.7. Здесь ah — положение фронта падающей волны в момент времени t; СОС'„ и СеС' — положения в момент времени /+А/ фронтов обыкновенной и необыкновен- ной волн в кристалле. 469
Рис. 34.7 Предполагается, что оптическая ось MN ле- жит в плоскости падения и образует с прелом- ляющей поверхностью ab угол у, отличный от О и я/2. Из рис. 34.7 видно, что обыкновенный луч является продолжением падающего, а не- обыкновенный преломляется на угол ге&0. На рис. 34.8 рассмотрен случай, когда свет падает нормально на плоскую поверхность ab оптически отрицательного одноосного кристал- ла, оптическая ось MN которого параллельна ab. Плоскость чертежа выбрана так, что оптическая ось MN лежит в ней. В этом случае, как видно из преломляется на поверхности ab и совпадает по построения, необыкновенный луч не направлению с обыкновенным и падающим лучами. Однако скорости обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле в этом направлении различны и соответственно равны vo=с/по и vt=с/п^. При прохождении обоими лучами (волнами) одного и того же расстояния d в кристалле между ними возникает оптическая разность хода й=</(ло-лг0). (34.4) На рис. 34.9 показан ход лучей в поляризационной призме. Она вырезана из кристал- ла исландского пшата так, что ее грани АВ и CD параллельны оптической оси MN. Призма разрезана по диагональной плоскости АС и склеена по этой поверхности тонким слоем оптически изотропного прозрачного вещества, называемого канадским бальзамом. Кристалл исландского шпата — одноосный, оптически отрицательный; значения его показателей преломления: лв= 1,658 и па—1,486. Показатель преломления канадского бальзама n,6= 1,550, т. е. канадский бальзам — среда оптически менее плотная, чем материал призмы для обыкновенного луча, и среда оптически более плотная для необыкновенного луча. Свет падает на призму нормально к ее грани АВ (луч S' на рис. 34.9). Обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются в при- зме, не преломляясь, вплоть до слоя канадского бальзама АС. Размеры призмы подобраны таким образом, чтобы угол падения i обыкновенного луча на поверхность АС был больше предельного угла полного внутреннего отражения. Поэтому обык- новенная волна полностью отражается от слоя канадского бальзама (луч о на рис. 34.9). Необыкновенная волна свободно проходит через слой канадского бальзама и вторую половину поляризационной призмы. Таким образом, поляризационная приз- ма может быть использована как поляризатор. 9. Все двоякопреломляющие кристаллы в той или иной степени поглощают свет. Это поглощение анизотропно: показатель поглощения среды d зависит от ориентации электрического вектора световой волны и от направления распространения света в кристалле, а также от длины волны. Это явление называется дихроизмом или плеохроизмом, так как проявляется в различной окраске кристаллов по разным направ- лениям. Примером сильно дихроичного кристалла является турмалин — одноосный кристалл, в котором обыкновенный луч поглощается во много раз сильнее необык- Рис. 34.8 Рис. 34.8 470
новенного. Еще более ярко вьфаженным дихроизмом обладают кристаллы герапатита, которые используют для изготовления тонких пленок, преобразующих естественный свет в линейно поляризованный и называемых поляроидами. § 34.3. Интерференция поляризованного света 1. Цуги волн со всевозможными ориентациями плоскостей их поляризации, входящие в состав естественного света, некогерентны, так как соответствуют излучению различ- ных независимых атомов источника света. Эти цуги участвуют в образовании обык- новенной и необыкновенной волн, распространяющихся в одноосном кристалле при падении на него естественного света. Однако вклад каждого отдельного цуга в эти две волны, вообще говоря, неодинаков. Он больше в ту волну, плоскость поляризации которой составляет меньший угол а с плоскостью поляризации цуга. Иными словами, обыкновенная и необыкновенная волны в основном порождаются разными цугами, входящими в состав естественного света. Следовательно, обыкновенная и необык- новенная волны, распространяющиеся в одноосном кристалле при падении на него естественного света, некогерентны. 2. Обыкновенная и необыкновенная волны, распространяющиеся в одноосном кри- сталле при падении на него линейно поляризованного света (полученного из естествен- ного, например, с помощью поляризационной призмы или какого-либо другого поля- ризатора), когерентны между собой. Это связано с тем, что у всех цугов, входящих ^состав падающего света, плоскости поляризации ориентированы одинаково. Пусть, например, параллельный пучок света, прошедшего через поляризатор П (рис. 34.10), падает нормально на поверхность ab плоскопараллельной пластинки В, вырезанной из одноосного кристалла так, что плоскость ab параллельна оптической оси MN. На рис. 34.11 показан вектор А/ амплитуды i-ro цуга, который отложен вдоль линии р—р, соответствующей направлению колебаний электрического вектора в свете, выходящем из поляризатора. Вклады i-то цуга в обыкновенную и необыкновенную волны харак- теризуются амплитудами А*, (Л(0=Л,5Ша) и Aif(Air=Лесова), отношение модулей которых (Ale/Ale)=tga одинаково для всех цугов. В частности, если а=п/4, то Аь=Ай, так что попарно когерентные цуги, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, имеют одинаковые интенсивности. 3. На входе в кристаллическую пластинку В (рис. 34.10) векторы Ео и Ее обыкновенной и необыкновенной волн колеблются в* одной фазе, а их геометрическая сумма равна электрическому вектору Е, линейно поляризованного монохроматического падающего света: Е,=Е0+Ее. В пластинке обыкновенная и необыкновенная волны распространя- ются с разными скоростями. Поэтому на выходе из пластинки толщиной d взаимно перпендикулярные векторы Е„ и Е, колеблются со сдвигом по фазе, равным Рис. 34.11 471
2п5 2п<1(по-пл) ^Ч>=~=------------, (34.5) *0 А» где <5 — оптическая разность хода этих волн (34.4), Л) — длина волны света в вакууме. Следовательно, в результате прохождения через пластинку свет-становится, в общем случае эллиптически поляризованным: конец вектора Е'=Е°+Е' описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу. Если а — угол между направлением колебаний вектора Е, й оптической осью MN пластинки, то модули амплитуд Ад и А, векторов Ео и Е, равны j4o=^4psina и Л,=Лрсо8а, где Ар амплитуда вектора Ер. В отсутствие поглощения света в пластинке модули амплитуд векторов Е' и Е' так- же равны Ао и Ас. 4. В зависимости от толщины d пластинки возможно несколько частных случаев. 1. Пластинка в четверть волны, толщина которой удовлетворяет соотношению d(no—пго)= ±(ш+1/4)Л)> где т = 0, 1, 2, ..., знак плюс соответствует оптически от- рицательному кристаллу, а знак минус — оптически положительному. На выходе из такой пластинки колебания векторов Е„ и Е' сдвинуты по фазе на я/2. Если, кроме того, а=я/4, то свет, выходящий из пластинки, циркулярно поляризован. 2. Пластинка в полволны: d(nQ—nM)= ±(т+1/2)Л0. На выходе из такой пластинки колебания векторов E^ и Е' сдвинуты по фазе на п. Свет, выходящий из пластинки, остается линейно поляризованным. Однако направления колебаний векторов ЕриЕ' падающего и проходящего света симметричны относительно главной плоскости пла- стинки (рис. 34.12). 3. Пластинка в целую волну: d(n„—пл)= ±m^. В результате прохождения через пластинку свет остается линейно поляризованным в той же плоскости, что и падающий свет. 5. Когерентные волны, выходящие из кристаллической пластинки В (рис. 34.10), не могут интерферировать, так как они поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Поэтому за пластинкой В устанавливается еще одна поляризационная призма — анализатор А (рис. 34.13). Анализатор выделяет из падающих на него когерентных волн составляющие, поляризованные в одной плоскости, и таким образом создает условия, необходимые для осуществления интерференции этих волн. Результат интерференции зависит от разности фаз Д<р, приобретенной обыкновенной и необык- новенной волнами в пластинке, от соотношения амплитуд этих волн и угла /? между главными плоскостями анализатора и поляризатора. Например, если угол между главной плоскостью поляризатора и оптической осью MN пластинки а = я/4, то амплитуды и интенсивности обыкновенной и необыкновенной волн одинаковы. Пусть при этом на пластинку падает монохроматический свет с дли- ной волны в вакууме 2о- Возможны два предельных случая (т=0, 1,2, ...): 2nd (±2тл, Л<р = —(по-Пе0)=< 2о (±(2ли+1)л. Рис. 34.12 472
В первом случае, соответствующем пластинке в целую волну, на анализатор падает свет, линейно поляризованный в главной плоскости поляризатора. Поэтому при Р—0 (анализатор установлен параллельно поляризатору) интенсивность 1а света, проходя- щего через анализатор, максимальна, а при /?=л/2 (анализатор скрещен с поляризато- ром) 4=0, т. е. при /?=0 наблюдается интерференционный максимум, а при Р=п/2 — минимум. Во втором случае, соответствующем пластинке в полволны, на анализатор падает свет, линейно поляризованный в плоскости, составляющей с главной плоскостью поляризатора угол 2а=л/2. Поэтому при /?=0 наблюдается интерференционный мини- мум, а при Р—п/2 — максимум. Если на пластинку В (рис. 34.13) падает линейно поляризованный белый свет, то при наблюдении через анализатор пластинка видна окрашенной. При вращении анали- затора вокруг луча, т. е. при изменении угла Р, окраска изменяется. Это связано с тем, что значение сдвига фаз Дф, определяющее результат интерференции, зависит от длины волны света. При изменении Р на п/2 окраска пластинки меняется на дополнительную (например, если при р=0 пластинка видна окрашенной в красный цвет, то при Р=п/2 она приобретает сине-зеленую окраску). Кристаллическая пластинка, толщина d которой в разных местах не одинакова, видна в белом свете причудливо окрашенной, причем каждая цветная интерференцион- ная линия (изохромата) проходит через точки равной толщины d. Аналогичная картина наблюдается в пластинке, толщина которой всюду одинакова, но зато различны значения разности (по—пл). В этом случае каждая изохромата проходит через точки пластинки, соответствующие одинаковым значениям (п0—лЛ). § 34.4. Искусственная оптическая анизотропия 1. Еще в начале прошлого столетия Т. Зеебек (1813) и Д. Брюстер (1816) обнаружили явление фотоупругости, состоящее в том, что оптически изотропное твердое тело под влиянием механической деформации становится оптически анизотропным. Например, при одностороннем сжатии или растяжении стеклянной пластинки она приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением сжатия или растяжения. Разность показателей преломления обыкновенного и необык- новенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси, пропорциональна нормальному напряжению а: по-пл=ка, (34.6) где к — коэффициент, зависящий от свойств вещества. Таким образом, поместив деформированную стеклянную пластинку между поляризатором и анализатором вме- сто кристаллической пластинки В (рис. 34.13), можно наблюдать интерференционную картину, аналогичную той, которая была рассмотрена в § 34.3. По виду нзохромат можно судить о распределении внутренних напряжений в стеклянной пластинке, так как каждая изохромата проходит через точки, в которых а одинаковы. Явление искусственной оптической анизотропии при деформациях используется для обнаружения остаточных внутренних напряжений, которые могут возникать в изде- лиях из стекла и других прозрачных изотропных материалов вследствие несоблюдения технологии их изготовления. Оптический метод изучения на прозрачных моделях распределения внутренних напряжений в различных непрозрачных частях машин и со- оружений широко применяется в современной технике. 2. Дж. Керр обнаружил (1875), что жидкий или твердый изотропный ди- электрик, помещенный в достаточно сильное однородное электрическое поле, становится оптически анизот- ропным. Это явление получило название эффекта Керра. Принципиальная схе- ма его наблюдения в жидкостях изоб- ражена на рис. 34.14, где П и А — по- 473
ляризатор ж скрещенный с жим анализатор, К.я — ячейка Кема: (кювета с жидкостью, в которую погружены обкладки плоского конденсатора). Опыты показала, что под действием однородного эла рического поля в плоском конденсаторе жидкость поля- ризуется и приобретает свойства одноосного двояхопрелоь яющего кристалла, оп- тическая ось которого совпадает с направлением вектора Е», напряженности поля к цдансатора. Разность показателей преломления поляризованной жидкости для не- обыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света в направлении, перш окулярном вектору Е» пре щнональна Е^: (34.7) гд е Лф — длина волны света в вакууме; В — константа Керра. Константа Керра зависит от природы вещества, длины волны Ло и температуры, как правило, быстро уменьшаясь с ее увеличением. Часто пользуются другой константой Керра К, связанной с В соот- ношением К—ВЛс/л, где л — абсолютный показатель преломления вещества в отсутст- вие электрического поля. К определяет относительную разность показателей преломле- ния в поле единичной напряженности. Для большинства веществ константа В>0, т. е. , эти вещества по своим оптическим свойствам в однородном электрическом поле подобны оптически положительным одноосным кристаллам. Было обнаружено существование эффекта Керра и в газах (1930). Трудность наблюдения этого явления связана с тем, что значения В для газов на несколько порядков меньше, чок для жидкостей. 3. Ячейка Керра, находящаяся между скрещенными поляризатором и анализатором, действует на свет так же, как рассмотренная в 5 34.3 плоскопараллельная кристалличес- кая пластинка. Она создает между веоб шовеннь i и обыкновенным лучамн сдвиг фаз Аф-2я4(л,—я^д/Ло*" — 2кМЕ^« —2xBdu2l<P, (34.8) где d—длина ячейки, равная длине пластин конденсатора; <7—— напряжение, подаваемое на конденсатор; а — расстояние между пластинами. При 17—0 ячейка вполне изотропна (Аф—0) и не изменяет характера поляризации падающего на нее света. Поэтому свет сквозь анализатор не проходит. По мере увеличения U возрастает Ар. При этом увеличивается интенсивность света, проходящего через анализатор, достигая максимума при Uvajy/lBd, соответствующем Аф— — я. Эффект Керра практически безынерционен: длительность процессов перехода веще- ства в электрическом поле из изотропного состояния в анизотропное и обратного перехода после исчезновения поля не превосходит 0,1 — 1 нс. Подавая на пластины конденсатора ячейки Керра переменное напряжение U, можно модулировать интенсив- ность света, проходилдаго через анализатор, в соответствии с колебаниями U. Этот прин- цип был использован П. Г. Тагером в первой системе советского звукового кино для записи звука на кинопленке. Ячейка Керра в сочета- нии со скрещенными поляризатором и анали- затором применяется в скоростной фотосъем- ке быстро протекающих процессов в качестве быстродействующего светового затвора. Для этого на конденсатор ячейки Керра подаются периодически повторяющиеся с частотой киносъемки . v—l/(to+ti) прямоугольные импульсы напряжения (рис. 34.15). Длитель- ность т0 каждого импульса равна продолжительности экспозиции яри съемке, которая может составлять до 10 нс. 4. Классическая теория эффекта Керра для веществ с неполярными анизотропными молекулами была разработана П. Ланжеваном (1910) н развита для веществ с полярпшн молекулами М. Борис (1918). Непоияряыв молекулы шшцжзумтся во внешнем электрическом поле Е„. У ани- зотропной молекулы ее поляризуемость неодавакова в разных направлениях. Поэтому в резуль- тате совместного влияния оря тирующего действия электрического поля на наведенные ям 474 0 Рис. 34.15
электрические моменты молекул и соударений между молекулами в веществе должна нарушаться полни хаотичность во взаимной ориентации частиц. Молекулы строится ориентироваться так, чтобы направления их максимальной юляр уе хти совпадали с ап ю Е* В связи с этим в ыектрическом поле относнтельни диэлектрически проницаемость с и показатель преломления л среды должны зависеть от направления, т. е. среда должна быть оптически анизотропной. В обыкновенном необыкновенном лучи, распространяющихся перпендикулярно Е , векторы напряженности электрического поля волны колеблются соответственно перпен- дикулярно Е» и вдоль него. В первом поправлении в н я имеют минимальные значения, во втором — । ш мальные. Следовательно, ^<ц,о и константа Керра B**(nto—neW«E^)>O. При увеличении температуры усиливается хаотическое тепловое движение молекул, препятствующее упорядочению их о; Виталий во внешнем электрическом по». Возрастав температуры при неизменном значении Еш сопровождается уменьшением степени анизотропии вещества, т. е. уменьшением разности л*«—«о и константы Керра В. Если вещество состоит из полярных молекул, обладаюпжх постоянными электрическими моментами, то во внешнем электрическом поле возникает гахжмушвствеади ормашди век- торов электрических моментов молекул по направлению Е^,. Напракзенш макгима иьной поляри- зуемости полярной молекулы может не совпадать с направлением i сгори ее постоянного дипольного момента. Пусть угол между этими направлениями равен у. Тогда при у~0 картина аналогична рассмотренной выше для веществ с неполярными молекулами.* константа Керра /?>0. Если то значения е и я вещества должны быть минимальными в направленп ектора Ем и ксамальиыми в перпендикулярном направлении, т. е. лх><я, и В<6. Таким образом удалось связать величину и знак константы Керра вещества со свойствами и строением его молекул. 5. Эффектом Коттона — Мутона называется возникновение оптической анизотропии у некоторых изотропных веществ (жидкостей, стекал, коллоидов) при помещен их в сильное внешнее магнитное поле. В однородном магнитном поле вещество приобреласт оптические свойства одноос- ного кристалла, оптичсскал ось которого совпадает по направлению с вектором Н напряженности поля. Разность показателей преломления вещества для необыкновен- ного и обыкновенного лучей монохроматического света при его распространении в направлении, перпендикулярном вектору Н, пропорциональна Я2: лл-лв«С1оЯ2, (34.9) где С — постоянная Котима — Мутона; Л) — длина водны света в вакууме. Значение С зависит от природы вещества, длины волны и температуры. § * § 34.5. Вращение плоскости поляризации 1. При прохождения линейно поляризованного света через некоторые вещества, назы- ваемые оипчеекя актнвмымн, плоскость поляризации света пс орачивается вокруг направления луча. Оптически активны некоторые кристаллы (например, кварц, киноварь и др.), чистые жидкости и растворы (например, скипидар, раствор сахара в воде и до.). Все вещества, активные в жидком состоянии, обладают тем же свойством и в кристаллическом состоянии. Однако некоторые вещества, оптически активные в кристаллическом состо- янии, неактивны в жидком. Следовательно, оптически активность может обуслов- ливаться как строением самих молекул вещества, так и расположением частиц в кри- сталлической решетке. 2. В оптически активных кристаллах и чистых жидкостях угол <р поворота плоскости поляризации света пропорционален толщине I слоя вещества, через который проходит свет: tp*=al. Коэффициент пропорциональности а называется удышшм нранюжвем или постоянной врат на. Удельное вращение зависит от природы вещества, температуры и длины волны света в вакууме. Зависимость а(Л>) называется вращательной доснер- сяей. Вдали от полос поглощения света веществом вращательная дисперсия подчиняет- ся закону Био: 3. Большинство оптически активных кристаллов существует в двух модификациях. При прохождении света через кристалл одной модификации, назьп емоЙ ираммраща- кцей, или положительной, плоскость поляризации поворачивается вправо, т. е. по часовой стрелке (для наблюдателя, смотрящего навстречу лучу). При прохождении 475
света через кристалл другой модификации, называемой левовращающей или отрица- тельной, плоскость поляризации поворачивается влево (против часовой стрелки). Значе- ния удельного вращения для обеих модификаций одного ц того же оптически актив- ного кристалла отличаются только знаком. 4. Угол поворота плоскости поляризации света при прохождении им пути 1 в оптичес- ки активном растворе равен Ф *• [a] cl*= [а] DKI. Здесь с — объемно-массовая концентрация оптически активного вещества в рас- творе (кг/м3); D — плотность раствора; K^cfD — долевая концентрация по массе, т. е. отношение массы оптически активного вещества к массе всего раствора, коэффициент пропорциональности [а] называется удельным вращением или постоянной вращепя раствора. Значение Ы зависит от природы оптически активного вещества и раствори- теля, длины волны Хо света и температуры. 5. Френель предложил (1823) следующее качественное объяснение вращения плоскости поляризации света. Линейно поляризованную плоскую монохроматическую волну Е» Asin (юг—кх) молено представить в виде комбинации двух одновременно распространяющихся цир- кулярно поляризованных плоских монохроматических волн той лее частоты, векторы напряженностей Е2 и Ej которых равны по модулю А/2 и вращаются во взаимно противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью ю. В оптически активной среде волны Е2 и Ej распространяются с разными фазовыми скоростями. Поэтому после прохождения этими волнами в среде пути I между ними возникает сдвиг по фазе Д<р, пропорциональный I. Соответственно в результате наложения этих волн на выходе из слоя толщиной I образуется плоская монохроматическая волна Е/жЕ|+Ед, * плоскость поляризации которой повернута относительно плоскости поляризации пада- ющей волны на угол Дф/2, пропорциональный I. в. М. Фарадей (1845) экспериментально установил, что оптически неактивная среда приобретает под действием внешнего магнитного поля способность вращать плоскость поляризации света, распространяющегося вдоль направления поля. Эго явление называется эффектом Фарадея, или магнитным вращением плоскости поляризации снега. Угол поворота <р плоскости поляризации пропорционален длине пути света в веществе и напряженности Н магнитного поля: tp^VHl. Коэффициент пропор- циональности V называется постоянной Верде. Он зависит от природы вещества и длины волны света До. Направление магнитного вращения плоскости поляризации (для наблюдателя смо- трящего вдоль магнитного поля) одинаково при распространении света как по направ- лению вектора Н, так и в обратную сторону. В этом отношении эффект Фарадея отличается от вращения плоскости поляризации света в естественных оптически актив- ных средах. Вопросы: 1. Как объяснить закон Брюстера, основываясь на полярной диаграмме излучения диполя?' 2. Какие способы получения поляризованного света вам известны? 3. Нарисуйте лучевые поверхности для оптически положительного и для оптически отрицатель- ного одноосного кристалла. 4. Почему для наблюдения интерференции света в анизотропной кристаллической пластинке необходимо использовать не только анализатор (на выходе из пластинки), но также и поляри- затор (на входе в пластинку)? 5. Каковы отличия в интерференционных картинах при прохождении света через пластинки в четверть волны, в попволны и в целую волну? в. В ,чем состоят явления фотоупругости и Керра и каковы их применения? 476
Часть 5 Квантовые свойства излучения Глава 35 Тепловое излучение Глава 38 Основы квантовой оптикц
Глава 35______ - . Тепловое излучение § 35.1. Тепловое излучение 1. Тела, нагретые до достаточно высокой температуры, приобретают способность светиться. Например, раскаленные жидкие или твердые тела испускают белый свет, обладающий сплошным спектром частот. По мере понижения температуры тела не только уменьшается интенсивность его излучения, но и изменяется спектральный состав излучения. В нем все сильнее обнаруживается преобладание длинных волн (красных и инфракрасных). При дальнейшем охлаждении тела излучение им видимого света вообще прекращается — тело испускает лишь не видимые глазом инфракрасные лучи. Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающе- го тела и зависящее только от температуры и оптических свойств этого тела, называет- ся тепловым излучением. Если энергия, расходуемая телом на тепловое излучение, не восполняется за счет соответствующего количества теплоты, подведенного к телу, то его температура постепенно понижается, а тепловое излучение уменьшается. Тепловое излучение — единственное излучение, способное находиться в термодина- мическом равновесии с веществом. Такое излучение, называемое равновесным, устанав- ливается в адиабатно замкнутой (теплоизолированной) системе, все тела которой находятся при одной и той же температуре. При динамическом равновесии энергия, расходуемая каждым из тел системы на тепловое излучение, компенсируется вследствие поглощения этим телом такого же количества энергии падающего на него из пучения 2. Спектральной характеристикой теййового излучения тела служит спектральная плотность энергетаческой гветявемчи фкцуекятельиав способность), равная , dv где — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в интервале частот от v до v+dv. Спектральная плотность энергетической светимости численно равна мощности излучения с единицы площади поверхности этого тела в интервале частот единичной ширины Спектральной характеристикой поглощения электромагнитных волн телом служит монохроматический коэффнявпгг поглощения (поглощательняя способность) ; гл dW ' (352) Он показывает, какая доля энергии d W падающего на поверхность тела электромагнит- ного излучения с частотами от v до v+dv поглощается телом. Очевидно, что а, — величина безразмерная. Опыты показывают, что спектральная плотность энергетической светимости и ко- эффициент поглощения зависят от частоты v соответственно излучаемых и поглоща- емых волн, температуры тела, его химического состава и состояния поверхности. 3. Тело называется чариш (абсолютно черным), если оно при любой температуре полностью поглощает всю энергию падающих иа него электромагнитных волн незави- симо от их частоты, поляризации и направления распространения. Следовательно, 478
Рис. 35.1 коэффициент поглощения черного тела тождественно равен еди- нице. Спектральную плотность энергетической светимости чер- нота тела обозначим rj*. Она зависит только от частоты v излуче- ния и термодинамической температтоы Т тела. Все реа льные тепа не являются абсолютно черными. Однако некоторые из них в определенных интервалах частот близки по своим свойствам к ним. Например, в области частот видимого света коэффициенты поглощения сажи, платиновой черни и чер- ного бархата мало отличаются от единицы. Наиболее совершен- ной моделью черного тела может служить небольшое отверстие О в непрозрачной стенке замкнутой полости (рис. 35.1). Луч света, попадающий внутрь полости через отверстие О, претерпе- вает многократные отражения от стенок полости, прежде чем он выйдет из полости обратно. При каждом отражении происходит частичное поглощение энергии света стенками. Поэтому независимо от материала стенок интенсивность света, выходящего из'полости через отверстие О, во много раз меньше интенсивности падающего извне первичного излучения. Очевидно, что эта модель тем ближе по характеристикам к черному телу, чем больше отношение площади поверхности поло- сти к Площади отверстия. Рассмотренная модель черного тела позволяет легко понять, почему узкий вход в пещеру или открытые окна домов снаружи кажутся черными, хотя внутри пещеры около входа или в комнатах дома достаточно светло из-за отражения дневного света от стен. Шероховатые ткани с большим ворсом обладают большим коэффициентом поглощения, чем гладкие. 4. Испуская электромагнитные волны, а таске частично поглощая падающие на них водны, тела способны обмениваться энергией. Самопроизвольный процесс передачи энергии в форме теплоты от более нагретого тела к менее нагретому путем излучения и поглощения электромагнитных волн называется теплообменом взлучеваем илн радв- тешюобмеяом; Теплообмен излучением в отличие от теплообмена при юн- векции и теплопроводности может осуществляться между тепами, находящимися не только в какой-либо среде, но и в вакууме. Рассмотрим теплоизолированную систему тел, находящихся в состоянии термоди- намического равновесия. Температуры всех тел такой системы одинаковы и не изменя- ются с течением времени,, а их излучение — равновесное. Следовательно, для любого тела энергия Wm, излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности, должна быть равна энергии В^д, поглощаемой за то же время этим участком поверхности тела за счет падающего на него излучения: (35.3) t Нарушение условия (35.3) противоречит второму закону термодинамики. В самом деле, если, например, IFau> И^д, то тело охлаждается, а вследствие этого какие-то другие тела системы нагреваются. Поскольку вначале температуры всех тел системы были одинаковы, температура охлаждающегося тела должна стать Меньше температуры нагревающихся тел системы. При W«m< Ипогл соотношение температур будет обратным. Таким образом, при И^д удалось бы осуществить процесс (теплообмен излучением), единственным результатом которого была бы передача энергии в форме теплоты от холодного тела к более нагретому. Второй закон термоди- намики исключает возможность такого процесса. Из (35.3) следует, что при равновесном излучении выполняется цмвало Прево: •спи дм тела поглощают разные энергии, то и излучение, испускаемое этими телами, тоже должно быть различным. В уравнении (35.3) характеризуют интегральное излучение и погло- , шение, происходящее с единицы площади поверхности тела, т. е. осуществляемое 479
в области всех возможных значений частот электромагнитных волн от 0 до оо. Окружим рассматриваемый элемент поверхности тела фильтром, который абсолютно прозрачен для волн с частотами от v до v+dv и полностью отражает волны с частота- ми, меньшими v и большими v+dv. Тогда с помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, мы получим следующее дифференциальное соотношение дай теплового излучения." dH^dB^, (35.4) где dFKsu и dlFnon — энергия, соответственно излучаемая и поглощаемая единицей площади поверхности тела в единицу времени в интервале частот от v до v+dv. Примером равновесного излучения является излучение замкнутой оболочки, окру- женной снаружи теплонепроницаемой изоляцией. Электромагнитное поле излучения оболочки полностью локализовано в объеме полости. Между оболочкой и полем ее излучения устанавливается термодинамическое равновесие: энергия, излучаемая каж- дым элементом поверхности оболочки в единицу времени, равна энергии, передава- емой излучением этому элементу за то же время. Основываясь на втором законе термопинямиги, можно показать, что объемная плотность энергии излучения w оди- накова во всех точках полости и полностью определяется температурой оболочки. Иначе говоря, при одной н той же температуре значения w для замкнутых полостей с любыми оболочками и для полости <; черной оболочкой должны быть одинаковыми. Поэтому равновесное излучение в замкнутой полости называют черным излучением. Спектральная плотность энергетической светимости т® черного тела и его объемная плотность энергии излучения dw связаны соотношением с dw с «* ' 4 dv 4 где p(v, 7)»dw/dv — функция частоты и температуры, характеризующая распределе- ние энергии излучения по частотам н называемая спектральной плотностью объемной плотности энергии излучения. 5.. Испускательная и поглощательная способности непрозрачного тела взаимосвяза- ны. Для отыскания этой связи рассмотрим теплоизолированную систему, состоящую из двух бесконечно длинных пластин а и b (рис. 35.2), которые могут обмениваться энергией в форме теплоты только друг с другом, так как их внешние поверхности покрыты идеальной тепловой изоляцией. Пусть внутренняя поверхность пластины а черная, а энергетическая светимость и коэффициент поглощения внутренней Поверх- ности пластины b равны г, и о,. Если в этой системе установилось термодинамическое равновесие, то температуры обеих пластин одинаковы и равны Т, а излучение пла- стин — равновесное. Поэтому можно воспользоваться соотношением (35.4), записан- ным для единицы площади поверхности пластины Ь. Из (35.1) и (35.2) следует, что dlFBU«r,dv,dlFB0B1»e,dlF. (35.5) Рис. 35.2 Очевидно, что энергия &W элхкхрсыахвитяота излучения в ин- тервале частот от v до v+dv, падающего в единицу времени на единицу площади пластины Ь, равна энергии, излучаемой за то же время и в том же интервале частот единицей площади черной поверхности пластины а. Сх^пеюхл излучение пластины b в dlT учитывать не нужно, так как оно может вновь возвратиться к пла- стине b только после отражения от пластины а. Однако черная поверхность а полностью поглощает падающее на нее излучение. Таким образом , dlT-ifdv, dlTBpra=az?dv, (35.6) Подставив (35.5) и (35.6) в (35.4), получим r,dv=a,r°dv, или г,/а,=г°. (35.7) 480
Таким образом, отношение спектральной плотности энергетической светимо- сти тола к ого моиожроматичоскому коэффициенту поглоще- ния но зависит от материала тала и равно спектральной плотности энергетической светимости черного тола, являю- щейся функцией только температуры и частоты. Этот закон теплового излучения впервые был установлен Г. Кирхгофом (1859) и назван законом Кирхгофа в даффереяциальвой форме, а зависимость r~(v, 7) — фуж- цвей Кирхгофа. Из закона Кирхгофа следует, что тело, которое при данной температуре Т не поглощает излучения в каком-либо интервале частот от v до v+dv (а,=0), не может при температуре Т и излучать в этом интервале частот (г,=а,г°=0). В то же время если коэффициент поглощения а, тела .близок к 1, то это еще не означает, что энергетическая светимость rv тела велика. Например, при комнатной температуре тело, покрытое слоем красной краски, сильно поглощает зеленый свет. Однако оно не излучает этот свет, так как при комнатной температуре черное тело тоже практически не излучает свет: г°«0, г,=щ7?и0. Отметим, что коэффициент поглощения тела не может быть больше единицы. Поэтому энергетическая светимость г, любого тела не может превосходить энер- гетическую светимость i# черного тела при тех же значениях температуры Т и часто- ты V. В теории теплового излучения наряду с понятием черного тела часто пользуются другой идеализированной моделью реальных тел — серым телом. Тело называется серым, если его коэффициент поглощения одинаков для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности: в. Во многих случаях необходимо знать полную мощность теплового излучения с единицы площади поверхности тела во всем интервале частот от 0 до оо. Эта величина Д,, называемая энергетической светимостью, связана с г, соотношением ш JR,= jrvdv, (35.8) о или на основании закона Кирхгофа (35.7) СО ДЭ=|<М^. (35.9) 0 Для серого тела со *3=^1 (35J0) о 16 Курс физики 481
где /?-= j r»dv (35.11) о — энергетика я светимость черного тела, зависящая только от температуры Т. Уравнение (35.10) выражает закои Кирхгофа в янтегрельной форме для серых тел. Из него следует, что < при денной температуре сильнее излучают те серые тола, которые обладают бблыоим коэффициентом поглощения. 7. Реальное тело может быть близко по своим свойствам к серому телу пипть в сравнительно небольших интервалах частот излученииi. Однако и в этом случае Энергетическую светимость часто записывают в форме, аналогичной (35.10): ‘ Д»=а/?, (35.12) где а — коэффициент излучвмм твидового излучатели (коэффициент черноты). В соответствии с формулами (35.9) и (35.11) СО I со a-|«z?dv^|r®dv (35.13) о о и зависит от температуры тела, его материала и состояния поверхности. Коэффициент поглощения а, тела может изменяться в пределах от 0 до 1. Поэтрму л, как видно из S5.13), не может быть меньше ЧУДЯ и больше единицы. Для черного тела д—1. епрозрачные тела, у которых а—О, не излучают И де поглощают электромагнитных волн: они полностью отражают падающее на них излучение. Если при этом Отражение происходит по законам геометрической оптики, то тело называется зеркальным. § 3&2. Законы теплового излучения черного тело 1. После установления закона Кирхгофа (35.7) стало очевидным, что первоочередная задача теории теплового излучения состоит в нахождении вида функции Кирхгофа, т. е. в выяснении вида завигимости энергетической светимости г° черного тела от тем* пературы Т и частоты излучения v. Однако сначала удалось решить более простую задачу — найти зависимость энергетической светимости Я? черного тела от сто тем- пературы. Л. Больцман, примени термодинамический метод к исследованию черного излучения, теоретически показал (1884), что »нвргигичв1жвя саигааюеть черного тела пропорциональна че- твертой отомни его термодинамической температуры: #=оТ4, (35.14) гд е в — жсюяяяяя Стефана — Бодацмана. Этот закон получил название закона Стефана — Больцмана, так как еще Д. Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел (1879) к аналогичному выводу. 482
Однако Стефан ошибочно считал, что энергетическая светимость любого тела также пропорциональна четвертой сте- пени его термодинамической темпера- туры. 2. Значительно более сложной оказа- лась задача отыскания вида функции Кирхгофа г?, т. е. выяснение спектраль- ного состава излучен i черного тела. Решение этой задачи вышло далеко за рамки теории теплового излучения и сыграло огромную роль во всем дальнейшем развитии физики, так как привело к установлению квантового характера излучения и поглощения эне- Рис. 35.3 ргии атомами и молекулами. Эксперименты показали, что зависимость г? ( v) щш разных температурах Т чертоге тела имеет вид, изображенный на рис. 353. При малых частотах^~гТ, а в области больших частот (правые ветви кривых вдали от максимумов) зависимость if от частоты имеет вид ' if~v’e“-/r. (35.15) где в] — постоянная величина. Существование на каждой кривой более или менее ярко выраженного максимума свидетельствует о том» что энергия излучения черного тела распределена по его спектру неравномерно: первое тело почти не излучает энергии в области очень малых и очень больших частот. По мете повыше! я температуры тела максимум if смещается в область больших частот. Площадь, ограниченная кривой if (») и осью абсцисс, пропорцио щьна Д*. Поэтому в соответствии с законом Стефа- на — Больцмана она возрастает пропорционально Г*. 3. Первое теоретическое исследование вида функции Кирхгофа было предпринято русским физиком В. А. Михельсоном (1887). В. Вии рассмотрен (1893) задачу об адиабатном сжатии черного излучения в цилиндрическом сосуде с подвижным зеркаль- ным поршнем и зеркальными стенками. Приняв во внимание, что вследствие эффекта Доплера частота излучения изменяется при заражении от движущегося поршня, ом получил следующее выражение д ня функции Кирхгофа: (35.153 где/(у/7) — функция отношения частоты излучения четного тела к его температуре. Хотя Вину не удалось теоретически установить вид функция Г(у/7). формула яма (35.1 S') позволила получить ряд очень важных результатов. Например, из (35.15Э вытекает закон Стефана — Больцмана: - ОО со /£=| v’/(v/7)dv-r4 | (v/7)’/(*/7)d(v/7)-ffT* О о со Здесь о- J x3/(x)dx — постоянный коэффициент, где х—у/Г. о Из формулы Вина можно найти зависимость от температуры частоты v„, соответ- ствующей максимальному значению if. При v=vM частная производная
должна быть равна нулю: Из (35.16) следует*, что vm/T=AI, (35.16) (35.17) где Ь\ — постоянная величина, являющаяся корнем уравнения (35.16) и зависящая от вида функции ftylTj. Уравнение (35.17) выражает закон смещения Вина: частота, соответствующая макс m ому значению спект- ральной плотности энергетической светимости черного тела, прямо пропорциональна его термодинамической температуре. Значения частот vmj, vmj, соответствующие четырем различным температу- рам Т\, Тг, Tj, Т4, показаны на рис. 35.3. Обычно закон смещения Вина записывают в несколько иной форме: для максимума спектральной плотности энергетической светимости черного тела г°, отнесенной к ин- тервалу dA длин волн (в вакууме), где dFKan — энергия электромагнитного излучения за единицу времени с единицы площади поверхности черного тела в интервале длин волн от А до A+dA. Так как, по определению, г® и rj не могут быть отрицательными, то из (35.18) и (35.1) следует, что Так как v=c/A и dv/dA= —с)).1, то К (35.19) Подставляя (35.15') в (35.19), получаем ’{-£/(£)• (35-ад Пользуясь выражением (35.20) для функции г®, легко показать, что длина волны Л» соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черно- го тела, обратно пропорциональна ого термодинамической температуре: ’Соотношение (35.16) выполняется также при любых значениях v/T, если /(v/7)—(v/7)_J. Однако в этом случае г® — v3(»/7)-s-^7®, т. е. не зависит от частоты », что противоречит данным опытов. 484
b (35.179 где b — постоя ias Вала. По современным данным й=2,898-10"3 м К. Это другая форма выражения закона смете ih Bn , который полностью согласу- ется с результатами экспериментов. Из закона Вина (35.179 видно, что при понижении температуры черного тела максимум энергии его излучения смещаяся в область больших длин волн. Становится понятным, почему при понижении температуры светящихся тел в их спектре все сильнее преобладает Длинноволновое излучение — белое каление переходит в красное, а затем вообще не воспринимается глазом. Из формул (35.20) и (35.179 следует, что максимальная спектральная плотность энергетической светимости черного тела пропорциональна пятой степени его термо- динамической температуры: (Ф»«=^/(0 Ts. (3521) Заметим, что г? и г°, связанные соотношением (35.19), не пропорциональны друг другу. Поэтому их максимумы лежат в разных частях спектра, а соответствующие им значения Л» и vm не связаны соотношением 2.=c/v. « 4. Дальнейшее исследование вида функции Кирхгофа Методами классической стати- стической физики предпринималось рядом ученых. Мы остановимся только на резуль- татах исследования Д. Рэлея и Д. Д инса. Рэлей подошел (1900) к изучению спектральных закономерностей черного излуче- ния с позиций статистической физики, а ие термодиамики, как это делали его предшест- венники. Он рассмотрел равновесное (черное) излучение в замкнутой полости с зер- кальными стенками как совокупность пространственных стоячих электромагнитных волн. Частоты этих волн должны удовлетворять определенным условиям, подобным условиям для частот стоячих упругих волн в стержнях. Рэлей показал, что число dn таких собственных частот, находящихся в интервале от * до v+dv, пропорционально объему полости V, квадрату частоты v и ширине интервала dv: dn~ FVdv. Колебания с разными собственными частотами совершаются независимо друг от друга. Каждой собственной частоте соответствует своя колебательная степень свободы черного излучения. Применив закон классической статистической физики о равном распределении энергии по всем степеням свободы равновесной системы, Рэлей показал, что энергия d FTизлучения в полости, соответствующая интервалу частот от v до v+dv, dFF~ Kv’jtTdv, _ 1 dW ' p(v, Т^=^~Г~у кТ' V dv где kT — средняя энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы [см. (11.38)]. Таким образом, Рэлей получил, что Р(У, T)~v2T. В дальнейшем Рэлей и Джинс уточнили эту формулу, вычислив значение коэффици- ента пропорциональности: 2nv3 kT. (3522) <г 485
Формуле Рэлея — Длимся (3522) хорошо согласовалась с данными опытов только в области малых частот излучения (кривая Г, рис. 35.4). Д ля больших частот она была ..... явно неверна (кривая 2). Формула Рэлея — Джинса ся в бесконечность: „ , 2*кТ r?dv«——— v’dv-co. (35.229 о о Работы Рэлея и Джинса показали, что последо- вательное црнменег классической физики к иссле- дованию спектрального состава черного излучения дает абсурдные результаты, находя- щиеся в Вротиворечин с законом сохранения энергии. частот от О до со, получило образное название «ультрафн- него мучения в замкнутой полости i распределенв энергии этого изл] ев я по частотам зависит только от температуры стенок полости. Материал стенок, т. е. конкретные свойства системы, с которой связано равновесное излучение, не играет (электрических диполей) со всевозможными собственными частотами v. Исходя из того, что в состоянии термодинамического равновесия расход энергии на излучение осцилляторов с собственной частотой в Должен полностью компенсироваться в резуль- тате поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения, Планк показал (1899), что Bxv1 р(*, Т)~— <*,>, (3523) г?----г <*’>> где <*’»> — средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Если бы для ее определения Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической статисти- ческой физики о равном {определении эвергни по всем степеням свободы равновесной системы, то он получил бы, что <w,>—fcr. При этом его формула (35.23) совпала бы с (3522). Однако Планк пытался найти выражение для <»,>, всходя из термодинами- ческих соотношений. Он был убежден, что между энтропией S осциллятора и сто средней энергией должна существовать сравнительно простал связь. В октябре 1900 г. Планку удалось подобрать такой вид зависимости <5 от <wv>, при - котором ---------, г°-------±, 0524) где в] и а2 — постоянные коэффициенты. •Смысл названия заключаете в том, что шрупи не закона сохранения энергии происходит цри подстановке в интеграл (3522*) бесконечности в качестве верхнего «улырафяодетового» предела частот. 486 '
Оказалось, что формула (35.24) хорошо согласуете с резулы геми экспериментов прн всех частотах и температурах. Поэтому следующий основной этап седедозания, завершенный Планком в декабре 1900 г., состоял в выяснении физического смысла и теоретическом обосновании столь удачно угад анного ям соотипения между жт- родней и средней энергией осциллятора. Пр пенив статистический метод Больцмана, Планк вывел искомое соо гашение. Однако для этого ему яршшюсь ввести нажившую гипотезу, согласно которой анергия атомое-осцилллторов может изменяться дискрет- но, порциями, пропорциональными некоторой элементарной порции — каюту анергии w,t: где л=0, 1,2,.... Если считать, что распределение осцилляторов по возможным дискретным энер- гетическим состояниям описывается законом Больцмана, то мротюсть ихсданях осцилляторов в состоянии с энергией nw,, при термодинамическое температуре 7*равна д,-ссхр[-я»,ф/(*Т))- <© Здесь с — постоянный коэффициент, определяемый из условия нормировки £ /»•» 1, т. е. »-о 1 g*—1 — — -д а.» Средняя энергия осциллятора <*»>“ Е ля*Ч‘-*ч , "“° £ eapi-w^ws •-0 откуда (<W) £ exp(--i) ш <»,>= -ж,,—^=®----------—*4-1» Е «Р(-»О. £ ечК-afl -° я—О где f=w,y(fc7), так как £ ехр(-лО«=;----, то -In £ exp(-*J)~ln(l-cxp(-O). я.о l-exp(-f) Таким образом, exp (-{) w, <»,>-=» -------------3—. •1-еч»(-0 екр{-1 или <w,>=----=—. ’ е» в"»Л*П_1’ (35Л4Э (3525) Поэтому согласно (35.23) 487
<*v>4 Из сопоставления (35.25) с формулой Вина (35.15) следует, что квант энергии пропорционален частоте v: w„,=Av, (35.26) где А — универсальная постоянная*, получившая на- звание постоянной Планка. 0 V Таким образом, средняя энергия осциллятора <»,>= -• (35.26) Рис. 35.5 > е — 1 Эта зависимость <н\) формулы Плавка: от v показана на рис. 35.5. Окончательное выражение (35.27) е —1 Из изложенного видно, что часто встречающееся в учебной литературе утвержде- ние, что формула (35.26) была предположением Планка, не соответствует действитель- ности. В области малых частот, т..-е. при условии, что квант энергии Av во много раз меньше средней энергии осциллятора, формула Планка совпадает с формулой Рэлея — Джинса. Для доказательства этого разложим е в ряд: *v i /Av у 1 /Avy *Т 2! ) 3! \кТ) Если Av «АТ, то е*’/*П—l«Av/(JtT) и из формулы Планка (35-27) следует формула Рэлея — Джинса (35.22): ’ с2 Av/(A7) с2 В области больших частот Av» кТ и единицей в знаменателе формулы (35.27) можно пренебречь по сравнению с е . Тогда получим формулу д 2яАу3 _-м*Л с2 ’ которая совпадает с выражением (35.15), причем ец =hjk. § 35.3. Понятие об оптической пирометрии 1. Оптической пирометрией называется совокупность оптических методов измерения высоких температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, применя- емые для этого, называются пирометрами. В радиационных пирометрах регистрируется интегральное (полное) излучение ис- следуемого нагретого тела, а в оптических пирометрах — излучение тела в каком-либо одном или двух узких участках спектра. •Универсальность постоянной А следует из того, что функция Вина /(v/7) в выражении (35.15') не зависит от материала, из которого изготовлено черное тело. 488
Потоком излуч фэ называется средняя мощность оптического излучения за время, значительно большее периода колебаний электромагнитного поля света. Энергетическая освепц восгь Е,, т. е. поверхностная плотность потока излучения, падающего на данную поверхность, определяется по формуле Ез^йФз/dS. Энергетическая сила света I, — величина, равная отношению потока излучения источника к телесному углу П, в пределах которого распространяется это излучение: /s=dO,/dn. 2. Энергетическая яркость В3— величина, равная отношению энергетической силы света элемента излучающей поверхности площадью dS к площади Проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения: я « ’ dScos<p где ф — угол между направлением излучения и нормалью ж площадке dS. Спектральная плотность энергетической яркости — величина, равная отношению энергетической яркости, соответствующей узкому участку оптического спектра, к ши- рине этого участка: ад ад о,=---, О1=---. dv <Ц Источник оптического излучения называется косинусным, или подчиняющимся закону Ламберта, если его энергетическая яркость Д, а также ее спектральные плот- ности Д и Ьц одинаковы для всех направлений, т. е. не зависят от угла ф. Черное тело является косинусным излучателем. Энергетическая яркость косинусного излучателя и ее спектральные плотности связаны с его энергетической светимостью и ее спектральными плотностями соотноше- НИЯМИ * Ьз—г-Jk. bi=T)Jn. 3. В оптической пирометрии различают радиационную, яркостную и цветовую тем- пературы тела. Радиационной температурой Тр тела называется температура черного тела, при которой его энергетическая яркость J9 равна энергетической яркости В3 данного тела. Если исследуемое тело — косинусный излучатель, коэффициент излучения которо- го а, то из условия В, (7)=В°(Тр), где Т— истинная термодинамическая температура тела, следует, что а^(7>Я?(Тр), Т=ГР/\А>ГР. Яркостной температурой Тя тела называется температура черного тела, при которой его спектральная плотность энергетической яркости Ь° для какой-либо определенной длины волны Ао равна спектральной плотности энергетической яркости Ьх данного тела для той же длины волны: ЫЛ», Л=*?(*>, TJ. Обычно Йо=660 нм (красный свет). 489
Для косинусного излучателя, коэффициент поглощения которого для снега с дли- ной вслвы До ₽ температуре Г тела равен аДАо, 7),® закола Кирхгофа и формулы План» следует, что «д(Ч 7>?(Аь 7>»?(*е. ГД , «ЯЛь 7)1 еф где aj—Ac/fc. Таж жак ад(Ль 7)<1» то T>T* ЦмтомЙ тсммрвтурЫ1 Тп те» называется такая температура черного тела, при которой относительные распределения сп< тральной плотности яркости i J этого тела и рассматриваемого те» bi максимально би аки в видимой области спектра: ЫЪ. 7) ^(Аь TJ ЫА2, П~4?(Аь ТУ Для косинусного излучателя П(А. ПмГ?(А. Гц) гд(Аь 7)"i*(Aj. TJ Обычно A]»655 нм (красный свет) и Ла—470 нм (зеленый свет). Цветовая температура серого те» совпадает с его истивиой температурой и может быть найдена из закона смещения Виня. Вопросы: 1. Почему значения s, иа кривых рис. 36.3 не соответствуют значениям Ля на кривых rf—/(А), которые рекомендуется построить? Я. Могут ля кривые, изображенные на рис. Э5Д пересекаться? *. Согласуется ли формула Рзлея—Джинса с формулой Вина? 4. В чем состоит принципиальная непоследовательность вывода формулы Планка, изложенного af Э51? S. Что понимают а оптической пирометрии под радиационной, яркостной и цветовой тем- пературами?
Глава 36________________z_______1_______________ Основы квантовой оптики § 36.1. Фотоэлектрический эффект 1. В гл. 35 было показано, что последовательное решение проблемы теплового излучения черного тела оказалось возможным лишь после того, хак М. Планк отказал- ся от классических представлений о непрерывном процессе излучения энергии атомом- осциллятором. Квантовая гипотеза Планка привела в дальнейшем к представлению о том, что свет испускается и поглощается Отдельными порциями — квантами, и на- шла свое подтверждение в дальнейшее развитие в ряде других явлений: фотоэлект- рическом эффекте, химическом действии света, эффекте Комптона и т. д. Г. Герц обнаружил (1887), что при освещении отрицательного электрода искрового разрядника ультрафиолетовым излучением разряд происходит при меньшем напряже- нии между электродами, чем в отсутствие такого освещения. Эго явление, как показали опыты В. Гальвакса (1888) и А. Г. Столетова (1888 — 1890), обусловлено выбиванием под действием света отрицательных зарядов из металлического катода разрядника. Схема опытов Столетова представлена на рис. 36.1. Плоский конденсатор, одной из обкладок которого служила медвая сетка С, а в качестве торой — цинковая платина D, был включен через гальванометр G в цепь аккумуляторной батареи ZT. При освещении отрицательно заряженной пластины 2> светом от источника S в целя возникал электрический ток, называемый фототоком. Сила фототока была пропорциональна освещенности пластины D. Освещение положительно заряженной обкладки С конденсатора не приводило к возникновению фототока. Так было экспериментально доказано, что под действием света металл теряет отрицательно заряжа ые частицы. Измерения удельного заряда этих частиц по их отклонению магнитном поле показали, что они представляют собой электроны -1,759 10” Кд/кг). Явление вырывания электронов из твердых и жидких веществ под действием света получило название внешнего ютам стркческого эффекта (ям вел фотоэффекта). Ионизация атомов или молекул газа под действием света называется фотампазвщкй. 2. Экспериментальные исследования внешнего фотоэффекта у металлов показали, что это явление зависит не только от химической природы металла, ио в от состояния его поверхности. Даже ничтожные загрязнения поверхности металла существенно влияют на эмиссию электронов под действием света. Поэтому для изучения фотоэффекта пользуются вакуумной трубкой (рис. 36.2). Катод К, покрытый исследуемым метал- ♦91
Рис. 36.3 лом, освещается монохроматическим светом, про- ходящим в трубку через окно D. Напряжение U между анодом и катодом регулируется потенци- ометром R и измеряется вольтметром К Две акку- муляторные батареи Бх и Б* включенные «на- встречу друг другу», позволяют с помощью потен- циометра изменять значение и знак напряжения U. Сила фототока измеряется гальванометром G. На рис. 36.3 изображены кривые зависимости сипы фототока I от напряжения U, соответствующие двум различным энергетическим освещенностям катода: Е\ (кривая а) и Ег>Е\ (кривая Ь). Частота света в обоих случаях одинакова. Существование фототока в области отрицательных напряжений от 0 до — Uo объясня- ется тем, что фотоэлектроны, выбитые светом из катода, обладают отличной от нуля начальной кинетической энергией. За счет уменьшения этой энергии электроны могут совершать работу против силзадерживающего электрического поля в трубке и до- стигать анода. Очевидно, что максимальная начальная скорость фотоэлектронов связана с £70 соотношением (36.1) где е и т — абсолютное значение заряда и масса электрона. При — С70 фототок 1—0. По мере увеличения Uфототок I постепенно возрастает, так как все большее число фотоэлектронов достигает анода. Максимальное значение силы тока 1Я называет- ся фототоком насыщения и соответствует таким значениям U, при которых все электро- ны, выбиваемые из катода, достигают анода: - >' ~ 1я=еч, где п— число фотоэлектронов,-вылетающих из катода за 1 с. § 36.2. Законы и квантовая теория внешнего фотоэффекта 1. Опытным путем установлены следующие основные законы кш го фотоэффекта: 1. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов опре- деляэтся частотой свата и но зависит от ого интенсивности. 2. Для каждого вмцЭства существует красная граница фото- эффекта, т. о. минимальная частота v0 света, при которой еще возможен внешний фотоэффект [vo зависит от химической природы вещества и состояния ого поверхности]. 3. Число фотоэлектронов л, вырываемых из катода за еди- ницу времени, пропорционально интенсивности свете, т. о. фототок насыщони пропорционален энергетической осве- щенности Е катода (закон Столетова). Опыты показывают, что фотоэффект практически безынерционен. При объяснении первого и второго законов встретились серьезные трудности. В самом деле, согласно электромагнитной теории, вырывание свободных электронов из металла должно являться результатом их «раскачивания» в электрическом поле световой волны. Однако в таком случае совершенно непонятно, почему максимальная начальная скорость и кинетическая энергия вылетающих фотоэлектронов зависят от частоты света, а не от амплитуды коле ший вектора напряженности Е электрического поля волны и связанной с ней интенсивности волны. Трудности в истолковании первого и второго законов фотоэффекта вызвали сомнения в универсальной применимости волновой теории света. 492
2. А. Эйнштейн обратился (1905) к проблеме возникновения и превращения света, исходя не из законов фотоэффекта. Анализируя флуктуации энергии излучения черного тела, он показал, что если в объеме Fo находится такое излучение, то, исходя из экспериментально подобранной функции (35.24) для г®, можно найти вероятность того, что вся энергия излучения W соберется в малом объеме V< Fb. Эта вероятность имеет вид ^«(F/Fb)^. Эйнштейн сравнил ее с им же найденной вероятностью wj того, что N молекул газа в объеме Fo соберутся в малом объеме V< Fb: w2-(F7Fbf. Из сопоставления этих двух выражений Эйнштейн сделал вывод о том, что излучение ведет себя так, как если бы оно состояло из п=* W/(hv) независимых квантов энергии величиной hv каждый. По Эйнштейну, при распространении света, вышедшего из какой-либо точки, энергия распределяете^ не непрерывно во все более возрастающем пространстве. Энергия состоит из конечного числа локализованных в пространстве квантов энергии. Эти кванты движутся, не делясь на части; они могут поглощаться и испускаться только как целое. Только в одном параграфе своей большой работы Эйнштейн обращается к фотоэффекту и его законам как к подтверждению своих идей. Помимо фотоэффекта свои квантовые идеи Эйнштейн применил и к другим оптичес- ким явлениям, потребовавшим для своего объяснения квантовых представлений. 3. Рассмотрим с квантовой точки зрения внешний фотоэффект в металлах. Известно, что для выхода из металла электрон должен совершить работу выхода А. В результате поглощения фотбна электрон приобретает энергию hv. Если hv^A, то электрон может совершить работу выхода и вырваться из металла. В соответствии с законом сохране- ния энергии максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона 17аии’т“Лу—(36.2) Это уравнение впервые было предложено Эйнштейном и называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Как видно из предыдущего, уравнение (36.2) / получено в предположении, что электроны в металле движутся независимо друг от друга, т. е. между ними отсутствуют силы взаимодействия. Поэтому передача фотоном энергии одному из электронов не изменяет энергии всех остальных электронов. Теория фотоэффекта, основанная на этом предположении, называется одноэлектронной. При весьма большой интенсивности света, вызывающего фотоэффект, например при освещении металла излучением, полученным в генераторах когерентного света, законы внешнего фотоэффекта теряют силу. Предположим, что на электрон в металле падают одновременно два совершенно одинаковых фотона с энергией hv каждый. Происходит многофотонный фотоэффект. Тогда суммарная энергия, переданная элект- рону, равна 2Av=A(2v), т. е. будет такой же, как если бы падал один фотон, но с удвоенной частотой. Очевидно, что закон красной границы фотоэффекта будет нарушен. В нелинейной оптике изучаются процессы взаимодействия света высоких интенсивностей с веществом и выясняются многие необычные особенности этого взаимодействия. 4. Уравнение (36.2) позволяет легко объяснить все основные законы внешнего фотоэф- фекта для металлов. В самом деле, из (36.2) следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона зависит не от интенсивности, а от частоты света в работы выхода А. Внешний фотоэффект возможен только в случае, когда энергии Av фотона больше или, в крайнем случае, равна А. Следовательно, соответствующая красной границе фотоэффекта частота равна vo^A/h. (36.3) 493
Опзамср только от работывыхода электрона, т. е. от химической природы металла состояния его поверхности. • Наконец, из явлезгак ввешвего фотоэффекта ясно, что общее число п фотоэлект- ронов, выяепюпщх за единицу ври вин, пропорционально числу фотонов л*, надо* кицих за то ate ярема на повсродоеть катода. Для плоского катода, равномерно освещаемого монохроматическим светом с частотой v, if ~ EKtn), где £ — энергетичес- кая освещенность, пропорциональная интенсивности снега. Таким образом, в соответ- ствии с третьим законом фотоэффекта число фотоэлектронов, вылетающих из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света. На основе соотношений (36.1) и (ЗбЗ) уравнение Эйнштейна можно переписать: (36.4) В. Уравнение Эйнштейна дан BwwiBHiro фотоэффекта в форме (36.4) неоднократно лучяющего металл света для алюминия, цинка и никля. Существенно, что в согласии с урав- нением (36.4) вое прямые параллельны друг другу, причем производная — (et70) не зависит dr от материала катода и численно равна посто- янной Планка А. Точки пересечения прямых с осью абцисс указывают также иа существова- ние граничной частоты а# фотоэффекта для данного металла. Отрезки, отсекаемые прямы- ми иа оси ординат (оде. 36.4), численно равны работе А выхода электронов из соответству- ющих металлов. Среднее значение А, полученное из опытов, оказалось равным 6,543 * 10'54 Дж-с. Точность опытов составляла 0,1 — 0,2%. Совпадение значепя А, полученного в опытах по фотоэффекту, с результатами других методов определении подтвердило правильность уравнении (36J) для фотоэффекта я вместе с. тем идеи Эйнштейна о квантовом магнитная волна фотона водимого света (»*» №*ГПф со сродней кинетической энергией < Н«о>, приходя- щейся на одну степень свободы мсимкулы газа: <>Ужо>-7»*7’. Из уравиепя Аг-'ЦсТ следует, что молекула пал имеет такую же энергию, хак я фотон водимого света, при § ЭЙА. Други* жксппр»яимтпы1ые подгоорждоиия кимггоиых свойств спота 1. Расдространыме света в воде потока отдельных фотонов и квантовый характер взаимодействия свеп с веществом были экспериментально подтверждены в опыте, постяажииом А. Ф. Иоффе и HL И. Добронравовым (1922). Мпфоскмвнккм эаодяОДиая аыяшва ня яиамута радиусом 3 10”* см была взвешена в меатод искои вот намного аоодявсагоре. Одна из пластик конденсатора, была сделана ю 494
алюминвевой фольги толщиной 5* 10“ * мм в играла роль актжатоде I—nitipmH ] st >«с- кой трубам. Антикатод бомбяпяврсмдеи элепроиааш, которые «привались жэ катода труби -г острия тонкой алмжошсвш проаолсжипол влиянием семдепя его ультрафиолетовым излучением. Напряжение между электродами труби составляло 12 кВ. Осжийжостъ катода была столь малов, что ежесекундно из вето вырывалось лишь около 1.000 фотоажжтровоз. Поэтому рентгеновское излучение антикатода ссстоило кз отдахым пульсов, жаждш в которых соответствовал удару одного фотоэлектрона об антикатод. Раяттеиовсаов « (учение свободно проникало сквозь тонкую алюминиевую фольгу в полость конденсаторе. В опыте исследовалось лейст е этого излг г на пылинку, находившуюся не расстоянии rf—0,2 мм от антикатода, который принимался за точечшй ветчина рентгеновского излучения. 2. В среднем через каждые 30 мп уравновешенная пылинка «взфагнбаяа» и теряла равновесие. Это происходило благодаря тому, что рентгеновское издучение, попадая на пылинку, освобож- дало кэ нее фотоэлектроны и изменяло ее заряд. Пылинка представят собой дм рентгеновских фотонов мишень площадью яг*—я(3 10“’)а—9x10“10 см1. Бели сигать, что рентгеновские фотоны вылетали из точечного источника по всем направлениям ими*»»»», то on равномерно распределялись по сфере поверхностью 4xrfa—4x (0,02)’ CM**We,10r* см*. Таким образом, вероятность попадания фотона в «цены» составляй 9я10-,в/(1бя10-4)— •1O“*/1JB. Это означало, что в сред м одни из 1800000 фотонов попадал на пылинку. Вся учесть, что в 1 с испускалось всего 1000 фотонов, то i же фотона в пылянку происходи- ло весьма редко. В сог.сии с результатами опыта один фотоятюладал в цель в средемм каждые 30 мин. Таким образом, с квантовой точки зрения опыт получая простое объяснение. Между тем его истолкование с волновой точки зрения оказывалось невозможным. Если считать, что рентгеновское излучение распространяется в виде сферических волн, а не отдельных фотонов, то каждый рентгеновский импульс передавал бы пылинке очень малую энергию. Эта энергия, кроме того, должна была бы распреде- ляться между огромным числам электронов, содержащихся в пылинке. Поэтому практически невероятно, чтобы один из электронов мог накопить энергию, достаточ- ную для совершения работы выхода из пылинки, не только за 30 мни, но и за существенно больший срок облучения. 3. Из представлений о свете как о потоке дискретных фотоиаи, взаимодействующих с регистрирующим прибором (глазом, фотозлементом и т. и.) независимо друг от друга, следует, что при регнет щни очень слабых световых потоков должны об- наруживаться заметные флуктуации их интенсивностей. Эти флуктуации обусловлива- ются случайными отклонениям! числя фотонов N, попадвжхдех в прибор за 1 с, от некоторого среднего значения. Из теории флуктуаций,, (ем. § 11.8) следует, угго от- носите льная флуктуация интенсивности света обратно проп ящональ i y/lf. В обыч- ных световых потоках N столь велико, что обнаружить ничтожно малые относитель- ные флуктуации их интенсивности практически невозможно. Опыты по обнаружению флуктуаций слабых потоков видимого света впервые были осуществлены С. И. Вавиловым и его сотрудниками. Наблюдения проводились визу- ально и были основаны на том, что после достаточно длительного пребывания в темноте человеческий глаз обладает резким порогом цмтптапогп ощущения, т. е. зрительно воспринимает свет, интенсш ость которого не меныде некоторого опреде- ленного значения. Для света с длиной волны 525 нм порог зрительного ощущения у разных наблюдателей соответствует падению на глаз за 1 с от 200 до 400 фотонов. В опытах Вавилова наблюдались периодически повторяющиеся вспышки ояабого источника, средняя интенсивность света которого совпадала с порогом зрительного ощущения наблюдателя. Вследствие флуктуаций интевсивиосп света, соответст- вующего различным вспышкам, наблюдатель часть вспышек видел, а часть не видел. Эти опыты явились убедительным доказательствам наличия у света ква говых свойств. 4. Действие света на поглоп ющие его вещества может вызвать химические превра- щения веществ, называемые фптпаипдаи скит реякцвмь Нацример, при оглмнуяп паров брома молекулы Вг2 диссоциируют на два атома, молекула бромистого серебра AgBr под действием света разлагается на атомы серебре и брома. В некоторых случаях освещение вызывает образование сложных молекул из более простых. 49S
Если при фотохимической реакции не происходит никаких вторичных процессов, связанных с химической активностью веществ, которые возникают в результате фото- химической реакции, то справедлив следующий экспериментально установленный ос- новной закон фотохямп (закон Бунзена — Роско): масса т фотохимически прораагировавшаго вещества пропор- циональна энергии W поглощенного света: m=kW. (36.5) Коэффициент пропорциональности к зависит от рода реакции и частоты v света. Зависимость к (у), а также существование для каждой фотохимической реакции красной г ши , т. е. некоторой минимальной частоты v0 химически активного света, было объяснено Эйнштейном на основе квантового характера поглощения света веществом. Для фотохимического превращения одной молекулы вещества необходима некоторая энергия Wa, называемая энергией активации этого превращения. Следовательно, фотон способен вызвать это превращение только в том случае, когда энергия фотона Минимальная частота химически активного света v0=WJh. (36.6) Эйнштейн высказал также предположение о том, что каждый фотон, поглощенный веществом, может вызвать фотохимическое превращение только одной поглотившей его молекулы (фотохимическое соотношение Эйнштейна). Поэтому число N молекул вещества, претерпевающих фотохимическое превращение при поглощении одной в той же энергии W, обратно пропорционально энергии hv одного фотона (при v> v0): . 1 Л *~Г=Г’ (36-7) hv he где A—c/v — длина волны света. Масса прореагировавшего вещества m=NM/N&, где М — молярная масса. Из формулы (36.5) следует, что т—к при W= 1. Следовательно, k~Mf(hv). Фотохимическое соотношение Эйнштейна весьма часто нарушается. Иногда на . один поглощенный фотон приходится множество молекул, участвующих в химических превращениях. Примером может служить цепная реакция образования на свету НС1 из Н2 и С12, происходящая со взрывом. Освещение служит при этом толчком к началу химического процесса, который затем развивается самостоятельно. Необходимым условием протекания фотохимической реакции является поглощение света веществом. Если для данной частоты v света вещество прозрачно, то не будет ни поглощения, ни фотохимического процесса. Однако в этом случае можно осуществить фотохимическую реакцию, если добавить к исследуемому веществу другое, которое поглощает свет частоты v. Молекулы второго вещества, называемого сенсибилизато- ром, поглощают фотоны hv и полученную энергию передают при столкновениях молекулам исследуемого вещества. Очевидно, что такие сенсибилизированные фотохи- ( мические реакции могут происходить при достаточно частых соударениях между моле- Пулами сенсибилизатора и изучаемого вещества, т. е. в твердых и жидких средах. В противном случае молекула сенсибилизатора «высветится» — потеряет полученную ею энергию — раньше, чем она успеет передать ее молекуле, которая должна подвиг- нуться фотохимическому превращению. 496
§ 36.4. Импульс фотона 1. Согласно представлениям квантовой электродинамики электромагнитное взаимо- действие между заряженными частицами имеет обменный характер, причем перенос- чиками этого взаимодействия служат фотоны — кванты электромагнитного излуче- ния. На этом вопросе мы остановимся позднее в главе, посвященной элементарным частицам (см. §§'46.1 и 46.8). Фотов* существенно отличается от всех других элементарных частиц (кроме, воз- можно, нейтрино — см. § 46.5) тем, что его масса н энергия покоя равны нулю Игоф=0). Так как энергия фотона не равна нулю, то согласно соотношению (7.29) теории относительности фотон является ультрарелятивистской частицей, ско- рость которой относительно любой системы отсчета равна скорости с света в вакууме (см. также соотношение (7.18)). Такое своеобразие поведения фотонов вовсе не проти- воречит тому опытному факту, что скорость света в среде всегда меньше с. v=cfn, где п>1 — абсолютный показатель преломления среды. Объяснение этого кажущегося противоречия состоит в том, что согласно квантовой э пеггродинамике распростране- ние света в среде сопровождается процессами «переизлучения» — фотоны поглощают- ся и вновь испускаются частицами среды. Из сказанного видно, что современные квантовые представления о свойствах света существенно отличаются от ньютоновской корпускулярной теории света. Световые корпускулы рассматривались Ньютонбм как обычные механические частицы (с со- временной точки зрения, частицы должны были бы иметь массу м^О). Интересно отметить, что эту трудность корпускулярной теории понимал М. В. Ломоносов. Критикуя корпускулярную теорию света, Ломоносов говорил, что в случае ее справед- ливости должны были бы обнаруживаться соударения световых корпускул: при пересе- чении световых пучков происходило бы «в лучах замешательство». При этом речь шла об обычном механическом ударе, подобном соударению шаров. > 2. Импульс фотона рф и его энергия Иф в соответствии с общей формулой (7.30) теории относительности связаны соотношением ^Ф=е^^+т2с2. Для фотона т=0 и p^=W^c=h»lc. (36.8) Если ввести волновое число Л=2я/Л, то выражение (36.9) можно переписать в форме v h h p.=h =-=—k=hk, (36.9) ф с ). 2п где Л=й/(2я)= 1,05-10“3+ Дж с. Направление импульса совпадает с направлением распространения света, харак- теризуемым волновым вектором к, численно равным волновому числу. Следовательно, 1' рф=Лк. (36.9) Таким образом, фотон, подобно любой движущейся частице или телу, обладает энергией и импульсом. Обе эти корпускулярные характеристики фотона связаны с вол- новой характеристикой света — его частотой v. 3. Одним из экспериментальных подтверждений наличия у фотонов импульса являет- ся существование светового давления. С квантовой точки зрения давление света на поверхность какого-либо тела обусловлено тем, что при соударении с этой поверх- ностью каждый фотон передает ей свой импульс. Фотон может двигаться только со скоростью света в вакууме. Поэтому отражение света от поверхности тела, строго говоря, следует рассматривать как сложный процесс «переизлучения» фотонов — пада- *Термнн «фотон» был введен Г. Н. Льюисом (1929). 497
ющий фотон поглощается поверхностью, а затем вновь излучается сю с изменившимся направлением импульса. Однако совершенно очевидно, что при этом давление света на отражающую поверхность должно быть таким же, каким оно было бы в том случае, если бы фотоны зеркально стражами» от поверхности подобно абсолютно упругим шарикам. В дальнейшем мы будемшироко пользоваться этим формальным приемом, условно рассматривая процессы отражения и рассеяния света как процессы отражения и рассеяния фотонов. 4. Найдем давление, производимое на идеально отражающее стенки замкнутой поло- сти изотропным монохроматическим излучением, заключенным в этой полости. Для простоты предположим, что полость имеет форму куба с ребром, равным L Ввиду изотропности излучения можно считать, что все направления движения фотонов равно- вероятны. Поэтому будем считать, что вдоль оси, перпендикулярной к стенке куба, движется 1/3 часть всех фотонов, концентрация которых в кубе равна пд. Половина из них движется к стенке и передает ей прн отражении удвоенный свой импульс. Поэтому давление на стенку равно удвоенному импульсу всех Пщ фотонов, падающих за 1 с на единицу площади стенки (лях=п0с/6): Л» 1 * Р=2- /»„=-Awid“-. с 3 3 (36.10) Здесь w — объемная плотность энергии излучения. 5. Найдем световое давление, которое оказывает на поверхность тела поток монохро- матического излучения, падающего перпендикулярно поверхности. Существенное от- личие этого примера от разобранного в п. 4 заключается в неизотропности падающего излучения — все фотоны летят в одном направлении. Пусть в единицу времени на единицу площади поверхности тела падает п фотонов. Если коэффициент отражения света от поверхности тела равен Л, то Л» фотонов отражается, а (1 —Л) л поглощается. Каждый отраженный фотон передает стенке им- пульс 2рф=2йу/с (при отражении импульс фотона изменяется с Рф на — Рф). Каждый поглощенный фотон передает стенке свой импульс p^hvjc. Таким образом, давление света на поверхность, равное импульсу, который передают поверхности за 1 с все п фотонов, выражается формулой рж,— Ял+— (1-Я)л, с с или (1+Я)=/(1+Я>н’(1+Я), (36.11) с с где l=nhv — интенсивность стета; — объемная плотность энергии падающего излучения. Формула (36.11) подтверждается экспериментальными результатами П. Н. Лебедева по измерению светового давления.: Заметим, что давление стета одинаково успешно объясняется как волновой, так и квантовой теорией света. Отсюда следует, что световое давление не может считаться убедительным доказательством справедливости существования квантовых свойств из- лучения. § 36.5. Эффект Комптоне 1. Квантовые свойства света проявляются в эффекте, который обнаружил А. Комптон (1922), наблюдая рассеяние монохроматического рентгеновского излучения «легкими» веществами (графит, парафин и др.). Дрлее мы подробно остановимся на происхожде- нии и свойствах рентгеновского излучения, которое представляет собой электромагнит- ные волны с меньшей длиной волны, чем ультрафиолетовое излучение. Схема опыта Комптона изображена на рис. 36.5. 498
Узкий диафрагмированный пучок моно- хроматического реятгевожхого излучения па- дает иа «легкое» рассеивающее вещество К и после рассеяния на угол I? попадает в энеыиих — рентгеновский спектрограф D, где измеряется длина волны рассеянного из- лучении. Опыты Комптона показали, что длина волны X рюжпшат излучения бо- льше длины волны 2 падающего излучения, причем разность X—2 зависит только от угла рассеяния 2^: A2-2'-2w24:«ina(^/2X (36.12) гда 2< — компгоновоая длина волны. Это жвл1 полу > 1 и : эффасти Коькггона. Рис. Э6.5 2. Классическая волновая теория рассеяния света оказалась бессильной в объяснении эффекта Комптона. Согласно этой теории, рассеяние света связано с возникновением в веществе под действием падающего света вторичных электромагнитных волн той же частоты (длины волны). С квантовой точки зрения рассеяние света, как и фотоэффект, является результатом взаимодействия фотонов падающего на вещество излучения с электронами этого вещества. При этом взаимодействии должны выполняться законы сохранения энергии в импульса в системе вещество — излучение, которую можно считать изолированвой. Если предположить, что фотон падает на покоящийся* свободный электрон вещества и поглощается им, то одновременно выполняются следующие два условия: WT-=hv и p^hvjc. (36-13) где и р — кинетическая энергия и импульс, приобретенные электроном в результате поглощения фотона с энергией hv. В общем случае для и р нужно воспользоваться релятивистскими формулами (7.25) и (7.20). Поэтому условия (36.13) примут вид: те hv (36.13Э Легко видеть, что эти два равенства не могут выполняться одновременно при произ- вольных значениях v, отличных от 0 и оо. Таким образом, фотоэлектрическое поглоще- ние света свободными электронами невозможно: оно противоречит законам сохране- ния энергии и импульса. Фотоэффект может происходить только на «связанных» электронах, находящихся, например, в атоме газа, в твердом теле и т. д. В ютом случае уравнения (36.13*) принимают нИД (36.13*) где IF — энергия связи электрона с системой, в которой он находится; р — импульс, передаваемый этой системе при фотоэффекте. Легко видеть, что при Av— W, малых но сравнению с me3, и«с, ♦Допущение, что электрон покоится, не ограничивает общности вывода. 4»
тс2 (1 \ т? / 1 ’ т. е. первое уравнение (36.13”) совпадает с уравнением Эйнштейна (36.2) для внешнего фотоэффекта. ' 3. Для рассеяния света на электронах вещества условие «связанности» электронов не является обязательным, рассеяние света может происходить и на свободных электро- нах. Комптон впервые показал, что квантовый подход к за- p. даче рассеяния рентгеновских лучей на «почти» свободных *4* электронах легких веществ приводит к результатам, суще- ственно отличающимся от классических. Рассмотрим снова взаимодействие падающего фотона, обладающего импуль- cq » —рф сом рф=Ло>/с=ЛЛ и энергией Нф=Лги (tu=2?rv — цнкли- у,'' ческая частота света), со свободным покоящимся электро- ном, имеющим энергию покоя =тс1. Предположим, что Рг происходит рассеяние фотона на электроне, в результате которого импульс н энергия фотона становятся равными Рис. 36.6 и W*=cp*. Электрон при этом приобретает импульс 'ре и энергию W^Cy/pf+nft?. Векторная диаграмма импульсов при рассеянии изоб- ражена на рис. 36.6. Запишем выражения для законов сохранения энергии и импульса: »го+»'*=и'+и'*> (36.14) Рф=Р«+Рф (36.14') Выражение (36.14) подробнее записывается так: тс2+срф=ст/р2+т2с2+срф. (36.14") Из (36.14*) и (36.14") найдем связь между р'ф и рф. При этом нужно учесть, что Аа=(Рф-Р*)2-Рф-2рфрфСО8^+р^. Простые вычисления приводят к результату тс+рф(1 — cos#) Так как рф=Лсо/с и hco'/c, то тс2 со'^со— ---------(36.15) me3 +hto (1 — cos#) Из формулы (36.15) видно, что циклическая частота рассеянного света си' отлична от циклической частоты ш падающего света. Они совпадают лишь в двух случаях. Во-первых, цри #=0, что соответствует отсутствию рассеяния, во-вторых, когда падающее излучение имеет настолько малую частоту, что Локоте2. -В этом случае очень мягкого рентгеновского излучения вторым слагаемым в знаменателе формулы (36.15) можно пренебречь и ш'=о>. Из формулы (36.15).найдем изменение длины волны, происходящее при комптоновском рассеянии. Заменяя со по формуле со=2пс/Л, после несложных преобразований получаем ДА=А'-А=2 — sin1 —. (36.16) тс 2 < ’ Из этой формулы следует в согласии с опытом, что увеличение длины волны при эффекте Комптона зависит только от угла рассеяния #. Наибольшее увеличение длины волны происходит при 1?=1С, т. е. в случае, когда фотон рассеивается в сторону, 500 ;
противоположную первоначальному направлению его движения. Существенно, что ДА не зависит от длины волны падающего света и свойств рассеивающего вещества. Из сопоставления формул (36.12) и (36.16) следует, что комптоновская длина волны Лк=Л/(шс)=2,42631 10"12 м. Иногда применяется также величина 4. Электрон, который в эффекте Комптона приобретает импульс ре и энергию W, называется Электроном отдачи. Найдам кинетическую энергию И,, которую приобретает электрон отдачи. Так как Wx= W— Wo, то закон сохранения энергии (36.14) можно написать в форме hea=haf + Wt или 1 =со'/“+ Используя (36.15), после несложных преобразований получаем 23 sin2 (1^/2) 1+2<5sin2 (Р/2) (36.17) где 6=Ло>/(т<?). .. Наибольшую кинетическую энергию электрон отдачи приобретает при(/ =л, т. е. при рассеянии фотона «назад»: =Ло-25/(1+2<5). (36.179 § 36.6. Корпускулярно-волновая двойственность свойств света 1. Все изложенное ранее в этой главе служит, казалось бы, убедительным доказатель- ством справедливости квантовых (корпускулярных) представлений о свойствах света. Однако большая группа оптических явлений неопровержимо свидетельствует о волно- вых свойствах света. Д. Рэлей утверждал, что в «области интерференции волновая теория одержала величайшие победы». В связи с этим возникает вопрос: что же такое свет? «Неужели мы должны считать свет состоящим из корпускул в понедельник, вторник и среду, пока мы проводим опыты с фотоэффектом и эффектом Комптона, и представлять себе его волнами в четверг, пятницу и субботу, когда мы работаем с явлениями дифракции и интерференции?» Этот вопрос, поставленный в такой форме У. Брэггом, можно сформулировать иначе: что представляет собой свет — непрерывные электромагнит- ные волны, излучаемые источником, или поток дискретных фотонов, беспорядочно испускаемых источником? Необходимость приписывать свету, с одной стороны, кван- товые, корпускулярные свойства, а с другой стороны, волновые — может создать впечатление несовершенства наших знаний о свойствах света. Необходимость пользо- ваться при объяснении экспериментальных фактов различными и как будто бы ис- ключающими друг друга представлениями кажется искусственной. Хочется думать, что все многообразие оптических явлений можно объяснить на основе одной из двух точек зрения на свойства света. 2. Одним из наиболее значительных достижений физики нашего века служит постепен- ное убеждение в ошибочности попытки противопоставить друг другу волновые и кван- товые свойства света. Свойства непрерывности, характерные для электромагнитного поля световой волны, не исключают свойств дискретности, характерных для световых квантов — фотонов. Свет одвовремеаво обладает свойствами непрерывных электрома- гнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Он представляет собой диалектичес- кое единство этих противоположных свойств. Однако в проявлении этих противопо- ложных свойств света имеется вполне определенная закономерность. С уменьшением длины волны (увеличением частоты) все более отчетливо сказываются квантовые свойства света. С этим связано, например, существование красной границы фотоэффек- та и фотохимических реакций. Вместе с тем волновые свойства коротковолнового излучения (например, рентгеновского) выражаются весьма слабо. Мы убедились в этом, в частности, при изучении дифракции рентгеновского излучения. Лишь после того, как в качестве дифракционной решетки была использована кристаллическая решетка твердых тел, удалось обнаружить волновые свойства (дифракцию) рентгеновс- кого излучения. Еще в большей степени это справедливо для у-иэлучения. Наоборот, 501
у длинноволнового излучении квантовые свойства видны в малой стеиеяи и основную роль играют его волновые свойства. Именно поэтому большая группа оптических явлений (интерференция, дифракция, поляризация и др.) получает свое исчерпывающее объяснение в волновой оптике. Таким образом, если «перемещаться» по шкале элект- ромагнитных волн слева направо, от длинных волн в сторону более коротких, то волновые свойства электромагнитного излучения будут постепенно уступать место квантовым свойствам. 3J. Одновременное существование у света волновых и квантовых свойств, естественно, ставит вопрос об их сочетании и взаимозависимости. Взаимосвязь между двойствен- ными корпускулярно-волновыми свойствами света находит простое истолкование при статистическом подходе к рассмотрению вопроса о распространении света. В самом деле, все квантово-оптические явления убеждают нас в том, что свет — это поток дискретных частиц-фотонов, в которых локализованы энергия и импульс излучения. Взаимодействие фотонов с веществом при прохождении света через какую-нибудь оптическую систему (например, дифракционную решетку) приводит к перераспределе- нию фотонов в пространстве и возникновению дифракционной картины на экране, расположенном на пути света, прошедшего сквозь систему. Очевидно, что освещен- ность Е экрана в различных точках прямо пропорциональна суммарным энергиям фотонов, попадающих в эти точки за единицу времени. Для монохроматического света £~dn/dS, где бв/ДОжЛо — число фотонов, падающих на единичную площадку dS поверхности экрана за единицу времени. Величина Е пропарпрювальи». ллтвхкт вероятности попадания фотонов'в рассматриваемую точку экрана. С другой стороны, решение этой дифракционной задачи на основе волновых представлений о свойствах стета показывает, что освещенность Е пропорциональна интенсивности / в данной точке экрана. Так как 1~А2, где А — амплитуда световой волны, то Е~А2. Из сопоставления двух выражений для Е, полученных выше, можно сделать следу- ющий вывод: квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку. Таким образом, корпускулярные и волновые свойства света не исключают, а, наоборот, взаимно дополняют друг друга. Они отражают две различные, ио в то же время тесно взаимосвязанные закономерности распространения электромагнитного излучения и его взаимодействия с веществом. Корпускулярные свойства обусловлены тем, что энергия и импульс излучения локализованы в дискретных «частицах» — фото- нах, волновые — статистическими закономерностями распределения фотонов в про- странстве, т. е. закономерностями, определяющими плотность вероятности попадания фотонов в различные точки пространства. Из опытов по дифракции света известно, что при изменении интенсивности пада- ющего светового потока характер дифракционной картины, возникающей ст данного препятствия, т. е. соотношение между интенсивностями в одних и тех же точках экрана, не изменяется. Эго позволяет считать, что волновые свойства присущи не только совокупности большого числа одновременно движущихся фотонов, но также каждому отдельному фотону. Волновые свойства фотона проявляются в том, что для него нельзя указать точно, в какую именно точку экрана он попадет после прохождения через оптическую систему, можно говорить лишь о плотности вероятности попадания фотона в различные точки экрана. Таким образом, фотоны качественно отличаются от световых корпускул Ньютона, движение которых, как считал Ньютон, подобно движе- нию макроскопических тел однозначно определяется вторым законом динамики Нью- тона и начальными условиями. Из сказанного ясно, что создание квантовой теории света отнюдь не означало возврата к механической корпускулярной теории Ньютона. Вопросы: 1. Как Эйнштейн обосновал квантовые свойства света? 2. В чем состоит невозможность объяснения законов внешнего фотоэффекта в волновой оптике? 3 Можно ли в волновой оптике объяснить закономерности фотахимическихреакций? 4. Как объяснить явление интерференции света с квантовой точки зрения? S. В.чем состоит корпускулярно-волновой дуализм свойств света? 502
Часть Элементы квантовой механики и атомной физики Глава 37 Элементы квантовой механики Глава 38 Строение и линейчатые спектры водородоподобных систем Глава 39 Современные представления о строении и оптических свойствах атомов Глава 40 Основы фиаики лазеров
Глава 37 Элементы квантовой механики § 37.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества L 1. Французский физик Луи де Бройль пришел к выводу (1924), что корпускулярно- волновая двойственность свойств характерна не только для света. Если по мере возрастания частоты света его волновые свойства все труднее обнаружить, то можно предположить существование еще более коротких волн, чем у у-излучения, связанных каким-то образом с частицами вещества — электронами, нейтронами, атомами, моле- кулами и т. д. Оставим пока в стороне вопрос о природе этих волн, хотя сразу же подчеркнем, что волны эти, как будет показано, не электромагнитные. Они имеют специфическую природу, для которой нельзя найти аналогии в классической физике. 2. Де Бройль обобщил соотношение [см. (36.9)], предположив, что оно имеет универсальный характер для любых волновых процессов, связанных с частицами, обладающими импульсом р: А=Л/р. (37.1) Формула (37.1) называется формулой де Бройля и является одним из соотношений, лежащих в основе современной физики. Для частицы с массой т, движущейся со скоростью v«c, A=h/(rm). (37.2) Если частица имеет кинетическую энергию W, то, учитывая, чтоp—yJlmW, можно записать (37.2) в виде А=/г/(2л1И),/’. (37.2х) В частности, для электрона, ускоряющегося в электрическом поле с разностью потенциалов Дф, имеем W= '/2т»2=е&<р, где е — заряд электрона. Подставив в (37.2х) выражение для IV- к значения всех постоянных, получим формулу, обычно применя- емую в практических расчетах (Дф,В;Л,10~’° м): Л=12Д5/х/^; (37.3) 3. Формула де Бройля экспериментально подтвердилась в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера (1927), наблюдавших рассеяние электронов монокристаллом никеля. Схема опыта изображена на рис. 37.1. Нить накала электронной пушки, нагреваемая током от источника напряжения накала 1/я, нагревает катод К, который испускает электроны. Последние разгоняются ускоряющим напряже- нием Uya и выходят из отверстия в аноде, приобретал определенную скорость. С помощью делителя напряжения (потенциометра) можно изменять ускоряющее напряже te и сообщать различные скорости выходящим из пушки электронам. Они падают ни поверхность кристалла и, вообще говоря, отражаются от него. Отраженные электроны улавливаются цилиндром Фарада» (металлической полостью). Об интенсивности отраженного электронного луча можно судить по силе тока /, созданного отраженными электронами и измеряемого гальванометром G. Элект- ронная пушка, кристалл и цилиндр Фарадея находятся в вакууме. При неизменном фиксированном угле падания электронного луча на кристалл непрерывно изменялось ускоряющее напряжение и при этом регистрировались показания гальванометра.
о D-D Рис. 37.1 Рис. 37.2 Результаты опытов представлены на рис. 37.2. Кривая зависимости I ст имеет несколько максимумов, равноотстоящих друг от друга. 4. Результаты опытов Дэвиссона и Джермера можно объяснить, если привлечь идею де Бройля о волновых свойствах электронов и формулу (36.9). Выразим скорость электрона через , ускоряющее напряжение по формуле v-y/2(e/m)U^. Теперь можно найти импульс и вычислить дебройлсвскую длину волны: Д h Л "* rnyfyflrnWyn yfamUyn Если пучок электронов обладает волновыми свойствами, то он должен отражаться от кристалла так же, как и рентгеновское излучение, т. е. в соответствии с условием Брэтта — Вульфа (32.24):. JWanV"=п2 (л= 1, 2,...). (37.4) Учитывая выражение для длины волны де Бройля, получаем где D—h/(2danl^y/eni) — величина, являющаяся постоянной в условиях опыта. Входя- щее в это соотношение ускоряющее напряжение соответствует максимумам отражения, так как именно к этим случаям относится условие Брэтта — Вульфа. Как видим, . значения -Ju^, соответствующие соседним максимумам отряжения, отстоят друг от друга на одинаковое расстояние D в соответствии с опытом. Больще того, подстановка < реальных числовых данных, соответствующих условиям опыта (значения d и V), > в полученную формулу, для D дало прекрасное согласие с результатами опытов Дэвиссона и Джермера. Таким образом, идея де Бройля о волновых свойствах "частиц и количественное выражение этой идеи — формула де Бройля (37.1) — получили блестящее опытное подтверждение. S. Вскоре после опытов Дэвиссона и Джермера волновые свойства электронов были обнаружены в экспериментальных исследованиях П. С. Таргаковского в Ленинградо- - ком и Дж. П. Томсона в Абердинском университетах. Опыты эти состояли в прохожде- ния пучков электронов сквозь тонкие пленки (толщиной порядка 10~7 м) поликристал- 505
лической структуры. По своей постанов- ке эти опыты были аналогичны осущест- влению дифракции рентгеновского излу- чения по методу Дебая — Шеррера. На рис. 37.3 представлены фотогра- фии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновского излучения Рис 37 3 пластинкой алюминия и пучка электро- нов, прошедших сквозь тонкие пленки золота и меди. Пользуясь подобными фотографиями, Дж. П. Томсон проверил фор- мулу де Бройля (37.1) и определил по полученным значениям и формуле (37.4) период кристаллической решетки металла, через который проходили электроны. Результаты совпали с известными ранее данными рентгеноструктурного анализа. В методе Дебая — Шеррера диаметр D дифракционного кольца данного порядка прямо пропорционален длине волны, поэтому отношение Л/А для данного материала при неизменном расстоянии от образца до фотопластинки должно оставаться постоян- ным. Аналогичные результаты были получены при дифракции электронов. в. В Москве Л. М. Биберманом, Н. Г. Сушкиным и В. А. Фабрикантом были осуществлены (1949) опыты по дифракции одиночных, поочередно летящих электро- нов. Интенсивность электронного пучка в этих опытах была столь малой, что на тонкую пленку вещества одновременно попадал только один электрон. В § 36.5 мы видели, каковы были бы результаты опыта, состоящего в последова- тельном «обстреле» фотонами некоторого препятствия. Оказалось, что результаты наблюдения после многократного «обстрела» соответствовали бы дифракционной картине на данном препятствии при облучении его световым потоком, состоящим из большого числа фотонов. Аналогичный результат был и в опытах по дифракции поочередно летящих электронов. На рис. 37.4 изображена фотография типичной диф- ракционной картины от поочередно летящих электронов в результате многократного «обстрела» вещества электронами. Она не отличается от дифракционных картин, получаемых сразу при обычных интенсивностях электронных пучков. Для исследования структуры вещества наряду с рент- геноструктурным анализом в настоящее время широко используется метод электронографии. Он основан на том, что дифракционные эффекты для электронов на- блюдаются лишь при условии, что длина волны, связан- ной с электронами, имеет порядок величины межатом- ного расстояния в веществе. В связи с тем что электроны рис 37 4 имеют значительно меньшую проникающую способ- ность, чем рентгеновское излучение, электронография чаще применяется для исследо- вания структуры поверхностей твердых тел, например при изучении коррозии и катали- за. Для молекул газов, адсорбированных на поверхности твердого тела, с помощью дифракции электронов могут быть найдены межатомные расстояния и получены другие сведения, характеризующие структуру молекул. 7. В формуле де Бройля нет ничего специфического для электрона как определенной частицы. Волновые свойства должны быть присущи любой частице вещества, имеющей массу т и скорость v. Опытами О. Штерна и И. Остермана была доказана (1929) применимость формулы де Бройля (37.2) к пучкам атомов и молекул. Приняв, что скорость частицы в пучке равна наивероятной скорости молекулы при температуре Т: u.=y/2RT/M, и вычислив массу молекулы по формуле m=MIN^, можно переписать соотношение (37.2) в виде X^hNfJyflMRT. (37.5) Подставив в (37.5) значения Л, Na и /?, получим 506
1=0,978/у/мТ, (37-5'), где Л в A (10~’° м). При температуре Т=300 К это дает для водорода (Л/*=0,002 кг/моль) 2=0,13 нм и для гелия (М=0,004 кг/моль) Л«0,09 нм, т. е. величины к, соизмеримые с периодами кристаллических решеток твердых тел. При отражении пучков атомов и молекул от поверхности твердых тел должны наблюдаться дифракционные явления, описываемые тем же соотношениями, которые справедливы для плоской (двумерной) дифракцион- ной решетки. В опытах Штерна измерялась интенсивность пучков атомов гелия и моле- кул водорода, рассеянных под различными углами поверхностями кристаллов щелоч- но-галоидных солей. Наблюдались пучки, падающие и рассеянные в определенной плоскости. Результаты опытов показали, что помимо частиц, рассеянных под углом, равным углу падения, наблюдаются максимумы числа отраженных частиц под други- ми углами, определяемыми формулами двумерной дифракционной решетки. Если длину волны, связанную с движущимися атомами (или молекулами), вычислить по формуле (37.5Э, то дифракционные соотношения, определяющие направления интерфе- ренционного усиления иа двумерной решетке, точно выполняются. Опыты с атомными и молекулярными пучками крайне затруднительны из-за малой интенсивности применяемых пучков. Они ценны тем, что подтвердили справедливость формулы де Бройля в виде (37.5) и (37.5*) для нейтральных атомов и молекул. В. Справедливость формулы де Бройля и наличие волновых свойств у частиц убедите- льно шли доказаны в опытах по дифракции нейтронов на кристаллах. Опыты показы- вают, что отражение нейтронов от кристаллов твердых тел и их рассеяние в веществе происходят в соответствии с условием Брэгга — Вульфа. Скорость нейтронов в этих опытах определялась независимо из максвелловского распределения нейтронов по скоростям при дайной температуре. В ряде случаев с помощью дифракции нейтронов можно успешнее, чем с помощью рентгеновского излучения или электронов, исследовать строение веществ. Этот метод назван вяггронографвей. Нейтроны не обладают электрическим зарядом к не испыты- вают электричес а сил взаимодействия с электронами и ядрами. Рентгеновское же излучение рассеивается на атомных электронах, а пучки электронов, падающих на вещество, взаимодействуют как с атомными электронами, так и с ядрами. Поэтому для исследования структуры вещества, состоящего из легких атомов, рентгеновское излуче- ние и электроны оказываются малопригодными. Так, для веществ, содержащих водо- род (например, органических кристаллов), дифракция рентгеновского излучения и элек- тронов не позволяет обнаружить расположение атомов водорода, так как на них рассеяние рентгеновского излучения и электронов незначительно. Наоборот, нейтроны весьма сильно взаимодействуют с ядрами атомов водорода посредством ядерных сил и благодаря наличию у нейтрона и ядра водорода магнитных моментов. Это приводит к сильному рассеянию нейтронов на водороде, и дифракция нейтронов позволяет исследовать структуру веществ, включающих водород. в. Итак, наличие волновых свойств у движущихся частиц представляет собой уни- версальное явление, не связанное с какой-либо спецификой частицы. Естественно, возникает вопрос о том, почему волновые свойства не обнаруживаются у мак- роскопических тел, например у летящей пули. Ответ на этот вопрос связан с осо- бенностью формулы де Бройля и всех других формул квантовой физики, содержащих постоянную Планка. Если в формулах квантовой физики Нельзя пренебречь по- стоянной А=6,62 10 3* Дж-с, мы всегда будем получать неклассические результаты. Наоборот, если в формулах можно считать, что А-»0, то результаты квантовой физики совпадают с классическими. В частности, для тел, масса которых несоизмеримо велика по сравнению с массой атомов и молекул, принято, что А-»0 и никаких волновых свойств у таких тел не обнаружится (2-»0). Например, в случае с пулей массой m= 10-3 кг при скорости о=Ю2 м/с А 6,62-10 ~ 34 КГ3 102 м=6,62 10"33 307
Легко сообразить, что такая длина волны никаким дифракционным опытом не может быть обнаружена. Поэтому можно считать, что волновые свойства у макроскопических тел практически отсутствуют. Вторым независимым от формулы де Бройля соотношением, углубляющим пред* ставлення о корпускулярно-волновой двойственности свойств частиц вещества, являет- ся перенесенная на эти частицы связь между энергией W свободной частицы* и часто- той v волн де Бройля: W=kv^ha>, (37.6) где Лз=й/(2л), ш — циклическая частота. Она заимствуется из оптики, где в аналогич- ной форме связаны энергия фотона и частота света. Таким образом, соотнотпенте между частотой и энергией фотона приобретает в современной физике характер универсального соотношения, справедливого для любых объектов, изучаемых в кван- товой или волновой механике — разделе современной физики, в котором изучаются законы движения частиц в области микромира (в питейных масштабах 10~9 — 10”15 м). Объектами изучения квантовой механики являются атомы, молекулы, кристаллы, а также атомные ядра и «элементарные» частицы. Мы рассмотрим лишь некоторые основы нерелитивнстасой квантовой механики, в которой изучаются движения часгип со скоростями v«c. При скоростях, сравнимых со скоростью света в вакууме, эта механика заменяется релятивистской квантовой механикой, изложение которой не входит в данный курс. Соотношение (37.6) в отличие от формулы де Бройля не являлось объектом экспериментальной проверки. Его справедливость вытекает из согласия с опытом тех теоретических результатов, которые были получены с его помощью в квантовой механике, атомной и ядерной физике. Все дальнейшее изложение курса будет служить убедительным подтверждением этого. § 37.2. Некоторый свойства волн де Бройля 1. Рассмотрим движение свободного электрона, которому, согласно формуле де Брой- ля, соответствует волна с длиной волны i.=hl(rm)=hlp. Для краткости назовем ее электронной волной. Введем волновой вектор к (А=2тг/А) и запишем формулу де Бройля в виде р=Ак. (37.7) Мы видели, что при дисперсии следует различать две скорости волн: фазовую и групповую и, связанные между собой соотношением (29.39). 2. Длина волны А и частота v связаны соотношением A,=v^,/v, где «фп — фазовая скорость распространения волны. Очевидно, что фазовая и групповая скорости волны для частицы, свободно движущейся со скоростью о, как-то зависят от v. Для вычисле- ния фазовой и групповой скоростей волн недостаточно формулы k=hfp. Нужно использовать и соотношение (37.6), связывающее корпускулярную характеристику электрона — его энергию W—с частотой v электронной волны. Найдем фазовую скорость волн де Бройля, используя формулу «фп=&>/&. Умножая числитель и знамена- тель правой части на А и используя формулы (37.6), (37.7) и (37.2), получаем следу- ющую формулу для фазовой скорости волн де Бройля для свободного электрона или другой частицы, движущейся с нерелятивистской скоростью и «с. О) W ч (37.7') я р Z Здесь использовано очевидное соотношение для свободной' нерелятивистской ча- стицы: И|Г=р2/(2|я). •Под свободной понимается частица, движущаяся по инерции в отсутствие внешнего силового поля. , 508
Электронные волны (и вообще волны де Бройля) должны испытывать большую дисперсию. Это следует из того, что скорость волн де Бройля оказывается зависящей от длины волны: »ф„~ 1/Л. 3. Групповая скорость волн де Бройля do d(A<u) dW и=—=-------=—. (37.8) • dJt d(M) dp ’ Для свободной нерелятивистской частицы dW d (р*\ р —=— I — l=-=t. dp dp \2т/ m dW ПП •• Можно показать, что и для релятивистской частицы (7.30) —»», где W~c y/jr +иг<г. 4р Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы do) u=—(37.9) , Этот результат имеет существенное 'значение и сыграл в свое время важную роль в развитии принципиальных основ квантовой механики. После обнаружения волновых свойств у частиц вещества и установления корпускулярно-волновой двойственности свойств частиц была сдедяня попытка рассматривать частицы как волновые пакеты сколь угодно малой протяженности и таким образом «освободиться» от двойствен- ности свойств частиц. Это как будто соответствовало тому, что’частица локализована в данный момент времени в определенной малой области пространства. С другой стороны, эта гипотеза подтверждалась тем, что групповая скорость распространения максимума амплитуды «узкого» пакета совпадает со скоростью частицы. Однако она оказалась ошибочной, так как все составляющие пакет синусоидальные волны рас- пространяются независимо друг от друга. При большой дисперсии, свойственной электронным волнам (или волнам, связанным с другими частицами вещества), фазовые скорости распространения отдельных составляющих волнового пакета различны и вол- новой пакет «расплывается». Для частиц с массой порядка массы электрона время расплывания пакета оказывается ничтожно малым (порядка 10~26 с!). Таким образом, попытка «избавиться» от корпускулярно-волновой двойственности свойств' частиц вещества рассмотрением их как волновые пакеты не удалась. Причина этого весьма глубокая: двойственность свойств частиц — это объективная закономерность, которая сказывается в многочисленных явлениях, изучаемых физикой. Связь между корпускулярными и волновыми свойствами свободных частиц, об- ладающих массой т и скоростью », представлена в табл. 37.1. Таблица 37.1 Корпускулярные свойства Волновые свойства Скорость» Импульс р Энергня свободной частицы W—/r/(2zn) Длина волны де Бройля Д*Л/(т)«Л/р Частота волны де Бройля v-lF/A Групповая скорость волн до Бройля Фазовая скоростиврлн до Бройля «фи-»/2 509
117.3. Вероятностный смысл волн до Бройля Л. Мы не касались до сих псу вопроса о физическом смысле волн де Бройля. Было лишь отмечено, что волны де Бройля не электромагнитные. В самом деле, электромаг- нитные волны представляют собой распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поде. Распространение же волн де Бройля не связано с распростране- нием в пространстве какого-либо электромагнитного поля. Можно было бы думать, что с движущимися в пространстве заряженными частицами (электронами, протонами, нонами), а также с нейтральными молекулами, обладающими дипопыпами и муль- тнпольнымн электрическими моментами, связан дополнительный, особый волновой электромагнитный процесс. Однако это противоречит экспериментам. Равномерно и прямолинейно движущиеся заряженные частицы, как известно, не излучают электро- магнитных волн (исключение составляет излучение Вавилова — Черенкова). Волновые же свойства электронов наблюдаются н в случае их равномерного движения. Таким образом, электромагнитная прнррда волн де Бройля исключается. Можно показать также, что исключается природа любых других волн, известных в классической физике. Волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую анало- гии с волнами в классической физике. 1. Для понимания физического смысла волн да Бройля существенную помощь может оказать рассмотренное в § 36.6 взаимоотношение между корпускулярными и волновы- ми свойствами света. Вопрос о природа волн можно сформулировать как вопрос о физическом смысле амплитуды этих волн. Вместо амплитуды Л удобнее выбрать интенсивность волны, пропорциональную квадрату модуля амплитуды |Л|2. Амплитуда волны может быть комплексной величиной, но ее квадрат, связанный с энергией, должен быть действительной величиной. Поэтому берется |А|а. Из опытов по дифракции электроне» следует, что в этих экспериментах обнаружи- вается неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных или рассеянных по различным направлениям: в некоторых направлениях наблюдается большее число электронов, чем во всех других, С волновой точки зрения наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Другими словами, интенсивность волн в данной точке пространства определяет грютность вероятности попадания электронов в эту точку. Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероят- ностного истолкования волн де Бройля. Квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой пжотности вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Эго указывает на аналогичную, по существу, интерпретацию взаимоотношения между корпускулярными и волновыми свойствами света. 3. Для того чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, введем функцию Т (х, у, z, г), называемую волновой фуГмий (или подфункцией). Определим ее так, чтобы вероят- ность dw того, что частица находится в элементе объема dF, равнялась произведению т2 и элемента объема dF: dw=|^|adK=|’F|2dxdy<k. (37.10) Физический смысл имеет не сама функция Т, а квадрат ее модуля: |Т]2«¥¥*, где Y* — функция, комплексно сопряженная с Т. Величина |Т|а имеет смысл плотности вероятности: dw “l*!2. (37.КУ) т. е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства. Иными словами, величиной |Т|2 определяется интенсивность волн де Бройля. Такая интерпре- тация волновой функции y объясняет, почему волны де Бройля иногда называют «волнами вероятности». Из определения волновой функции следует, что она должна удовлетворять условию иормфовкв вероятностей: 510
|’F|adxdydz-l (37.11) где тройной интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у и z от — оо до оо. Эго означает, что пребывшие частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице. На других важных условиях, которым должна удовлетворять ^-функция, мы остановимся в § 37.5. 4. Волновая функция Т является основной характеристикой состояния микрообъектов (элементарных частиц, атомов, молекул). С ее помощью в квантовой механике могут быть вычислены средние значения физических величин, которые характеризуют данный объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией Т. Вычислим, например, среднее расстояния <г> от электрона до ядра в атоме. Вероятность об- наружить электрон в элементе объема dV атома, согласно (37.10), равна |¥|adK Величина S' r|4*|adxdydz, очевидно, представляет собой суммы произ- ведений всевозможных расстояний г ст электрона до ядра на вероятность этих расстоя- ний. Среднее значение <г> расстояния электрона от ядра выражает отношение вели- чины S к полной вероятности обнаружить электрон в какой-либо точке пространства: j f f rPFI’dxdydz <r>”~: ----------------- f f f |¥|adxdydz Знаменатель этой дроби, как видно из (37.11), равен единице, поэтому <г>= rTY*dxdydz, (37.119 так как |Т|а=ТЧ**. Аналогичная формула получается для среднего значения квадрата расстояния: (37.11") § * § 37.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберге 1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, и статистический смысл Т-функции, заданием которой определяется состоя- ние частицы в пространстве, приводят к весьма важному вопросу о границе применимо- сти тювят& классической физики в микромире. Сама по себе постановка этого Вопроса не должна вызывать удивления. И в классической физике некоторые привыч- ные понятия в определенных случаях имеют границы применимости. Например, поня- тие температуры неприменимо к одной молекуле, понятие о точечной пока шпации (о пребывании в определенной точке) неприменимо к определению положения в простран- стве электромагнитной волны. Таких примеров мовшо было бы привести достаточно 511
много. Подобно этому в квантовой механике нельзя одновременно характеризовать объект микромира его координатами (положением в пространстве) и импульсом (в классическом смысле этих понятий). 2. Раньше у» обсуждался вопрос о том, что ограниченная пространственная протя- женность Ах некоторого цуга волн связана с его принципиальной неМонохроматич- ностью — неизбежным наличием у такого цуга определенного Интервала Аса возмож- ных частот или интервала Лк волновых чисел монохроматических волн, составляющих этот цуг. Как было указано [см. (31.2)], между Ах и Лк существует связь ДхД£>1. Эго соотношение справедливо для любых волновых процессов. Для волны де Бройля, частицы, движущейся вдоль оси X с импульсом рх=р* (px=-kh), имеем Лк=Лрх/к Тогда ДхДрх>Л. (37.12) Рассматривая движения частицы вдоль осей Y и Z с проекциями импульсов ру и р2, мы получили бы аналогичные соотношения: ДуА/^^й, Дгр2^й. (37.13) (37.14) Соотношения (37.12) — (37.14) часто используют в другой записи. В правую часть неравенств вместо Л вводят Л=2лй, тогда ДхДрх>Л, ЛуЛру'&К, ЛгЛр^Ь, (37.143 где Ах, Ду, Лг — интервалы координат, в которых локализована частица, описываемая волной де Бройля; Арх, Лру, Лрх — интервалы, в которых заключены проекции импуль- са частицы по осям X, Y и Z. 3. Формулы (37.12) — (37.14) называют соотношс вами неопределенностей Гейзенбер- га**. Они показывают, что координаты х, у, г частицы и проекции рх, ру, рг ее импульса на соответствующие оси не имеют одновременно значений, равных х и рх, у и ру, гИ рх. Их значения определены лишь с некоторой степенью точности. Значения Ах и Арх, Лу и Ар,,, Лг та. Лрг, связанные соотношениями (37.12) — (37.14), одновременно не равны нулю. Другими словами, классические понятия координаты и импульса применимы к микрочастицам лишь в пределах, устанавливаемых соотношениями Гейзенберга. Например, если электрон локализован в интервале Дх оси X, то он не может быть Описан бесконечно протяженной плоской монохроматической волной де Бройля. Лока- лизация электрона в области Дх означает, что квадрат модуля |Ф|2 волновой функции вне интервала Дх тождественно равен нулю. Для локализации электрона в области Дх его необходимо описать в квантовой механике системой плоских монохроматических волн де Бройля, обеспечивающих выполнение условия |Т|2=0 везде, кроме интервала Ах на оси X. У такой системы воле уже нет определенной частоты (или волнового числа), а у электрона — строго фик- сированного импульса рх. Импульс электрона находится лишь с точностью до вели- чины Лрх, определяемой соотношением (37.12). Наоборот, если импульс рх электрош задан в интервале Лрх импульсов, то электрон может быть обнаружен с вероятностью, h равной единице, в области Дх, удовлетворяющей неравенству Дх>—. Дрх *В данном случаерх»р, так как других проекций импульса нет: Ру—рг~О. ♦•Запись соотношений неопределенностей в форме (37.14'), где вместо й введено й=2яй используется в квантовых статистиках (§ 41.1). 512
4. Соотношения (37.12) — (37.14) показывают, что с увеличением массы т частицы ограничения, вносимые в возможность применения классических понятий координаты и скорости, уменьшаются. В самом д еле, из-за малости Л неопределенности в значениях координаты и скорости, вытекающие из формулы становятся пренебрежимо ма лыми у тел с массой м, во много раз большей масс частиц, находящихся в атоме (электронов, протонов, нейтронов). Например, дня пылинки массой 10“13 ат и линейным размером 10~б м, координата которой определена с точностью до 1/100 ее размеров (т. е. Лх~10-’ м), неопределенность в проекции скорости составит Д®.,~10~13 м/с. Эта неопределенность практически не сказывается при всех скоростях, с которыми движется такая частица. Для макроскопических тел соотношения неопределенностей не вносят.ограничения в возможность применения понятий координаты и скорости. Для таких тел постоянную Планка в формулах (37.12) — (37.14) считают пренебрежимо малой (А-*0). В эти случаях говорят о точных значениях, координаты и скорости и рассматривают движение тела по траектории в соответствии с законами классической механики. Условие Л-*0 приводит к тому, что квантовые свойства изучаемых объектов оказываются несущественными и возможен переход к классическому описанию изучаемых объектов (см. $ 37.9). S. Соотношения (37.12) — (37.14). существуют не только для координат и импульсов. Можно доказать, например, что если частица находится в нестационарном (например, возбужденном) состоянии в течение времени Д/ и обладает некоторой энергией W, то энергия определяется с ограниченной степенью точности. Если обозначить ДЖ неоп- ределенность в задании W, ТО ДЖД/>Л или ДЖД/>Л. (37.15) Нетрудно видеть, что они являются записью общего соотношения для волн да Бройля, устанавливающего принципиальную «монохроматичность ограниченного цу- га волн. В самом деле, подставив W в (37.15), из выражения (37.6) получаем Дсо Дг> 1, т. е. формулу, использованную в теории волн. Соотношение (37.15) играет большую роль в атомной и ядерной физике. й. Соотношения неопределенностей Гейзенберга иногда неверно связывают с совре- менным уровнем развития квантовой теории. Встречаются утверждения о том, что эти соотношения не ограничивают область применения классических понятий о коор- динатах и импульсах к частицам микромира, а только ограничивают ту степень -точности, с которой на данном уровне развития физического эксоернмента и теории могут быть одновременно измерены координаты и импульсы. Это означает, что дои дальнейшем развитии квантовой физики возникнет возможность более точного одно- временного определения координат и импульсов. Подобные утверждения ошибочны. Соотношения неопределенностей являются следствием объективно существующей двойственности частиц микромира — наличия у них корпускулярных и волновых свойств. Эти соотношения свидетельствуют об объективности существующих ограни- чений в возможности описания поведения микрообъекгов с помощью классических понятий координат и импульсов. В ряде случаев описывать движение микрообъектатак, как это делается в классической механике — с помощью задания в каждый момент времени его координат и импульса, не имеет смысла, так как сами зги понятия не могут быть одновременно применимы к михрообъекгу. 7. В связи с соотношениями неопределенностей возникает также вопрос о том, почему нужно описывать поведение микрообъекгов с помощью классических понятий, таких, как координата, импульс и др., если далеко не всегда, они могутбыть применимы. Всякий эксперимент, дающий некоторую информацию о поведении и свойствах микро- объектов, является макроскопическим (отклонение стрелки приборов, положение пятна на экране осциллографа, фотография трека частицы н т. Д-). Действия любых приборов, с помощью которых изучается поведение микрочастиц в пространстве и во времени, подчиняются классической механике и электродинамике, и даваемая ими информация имеет макроскопический характер, т. е. она должна истолковываться в понятиях классической физики. При этом мы неизбежно описываем мидоообьекты хотя бы 513 17 Курс физики
частично с помощью классических понятий. Поскольку эти понятия применимы к объектам, подчиняющимся квантовой механике, лишь в ограниченной степени, существуют пределы применимости классических понятий, устанавливаемые соотно- шениями неопределенностей Гейзенберга. Процесс взаимодействия прибора с изучаемым объектом называется нирнмсм Этот процесс протекает в пространстве и во времени и является объективным. Суще- ствует, однако, важное различие между взаимодействием прибора с макро- и микро- объектами. Взаимодействие прибора с макрообъектом есть взаимодействие двух мак- рообьектов, описываемое с достаточной степенью точности 'законами классической физики. При этом можно считать что прибор не оказывает на измеряемый объект такого влияния, которое ве могло бы быть точно учтено в терминах (понятиях) классической физики либо сделано, как угодно малым. При взаимодействии прибора с микрообъектами возникает даная ситуация. Вследствие объективно суп^сгвующей двойственности свойств микрообъектов процесс измерения, например фиксация поло- жения микрочастицы, вносит в се импульс изменение, которое не может быть равным Л нулю и определяется лишь в рамках соотношения неопределенностей Дрх>—. Поэто- Дх* му воздействие прибора на микрочастицу нельзя считать малым и несущественным, прибор изменяет состояние микрообъекта. Изменение это таково, что в результате измерения классические характеристики частицы, например ее импульс, оказываются известными лишь в рамках, ограниченных соотношенияьш неопределенностей. Результаты процесса измерения воспринимаются наблюдателем. Эта ситуация дала повод к тому, что некоторые физики (в том числе, и в первую очередь, сам В. Гейзенберг) стали приписывать наблюдателю особую роль в квантовой механике. В философском смысле эта конпощия является выражением субъективного идеализма. Гейзенберг писал, что в-то время, как предмет классической физики составляли объективные события в пространстве и во времени, для существования которых их наблюдения не имеют значения, квантовая теория рассматривает такие процессы, которые, так сказать, вспыхивают в момент наблюдения и о которых -бессмысленны наглядные физические высказывания для интервала между наблюдениями. Для таких и подобных этим идеалистических выводов, отрицающих объективное протекание процессов в микромире, соотношения неопределенностей не дают никаких оснований. На свойства и состояние микрообъекта, изучаемые в процессе измерения, проис- ходящего в пространстве й во времени, наблюдатель не оказывает никакого влияния. 1, Одним из идеалистичсскнхвыводов из соотношений неопределенностей является утверждение о том, что из этих соотношений вытекает неприменимость к явлениям, протекающим в микромире, принципа причинности. На первый взгляд кажется, что это утверждение имеет основания. Действительно, принцип причинности означает возмож- ность на основании известного в некоторый момент времени состояния системы точно предсказать ее состояние в любой следующий момент времени. Классическая механика Ньютона позволяет по известным в момент времени to координатам xq. Уо. хо и проек- циям скорости juq&A материальной точки определить (с помощью решения уравнений ее движения) координаты и скорость точки в момент времени Z. Эго положение называется механическим детерминизмом. Поскольку координаты и скоро- сти микрообъектов одновременно могут бЬпъ найдены лишь в рамках соотношений неопределенностей, то и в начальный момент времени to состояние системы не может быть точно определено, а поэтому Л последующие состояния системы непредсказуемы, т. с. нарушается принцип причинности. В действительности дело обстоит иначе. В квантовой механике само понятие о состоянии системы приобретает иной смысл, чем в классической физике. Для определения этого состояния нужен иной подход. Мак- симально точным заданием состояния микрообъекта в квантовой механике является задание его ’F-функцни, которая (см. § 37.5) удовлетворяет некоторому дифференциаль- ному уравнению, содержащему первую производную функции ¥ по времени Это значит, что задание Ф-функцяи для момента времени t0 определяет ее значение для момента t>to. Другими словами, В квантовой механике в соответствии с требованием принципа причинности состояние микрообъекта в некоторый момент времени to одно- значно предопределяет его дальнейшие состояния. К микрообъектам нельзя применять 514
принцип причинности' в форме, заимствованной из классической механики и основан- ной на применении понятий координат и импульсов, так как особая природа микро- объектов этого не допускает. § 37.5. Уравнение Шредингера 1. В квантовой механике возникает важнейшая проблема отыскания такого уравнения, которое являлось бы тем же, чем являются уравнения движения Ньютона для клас- сической механики. Как известно, уравнения Ньютона позволяют для макроскопичес- ких тел решать основную задачу механики — по заданным силам, действующим на тело, (или систему тел), и начальным условиям (начальным значениям координат и скорости тела) найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т. е. описать движение тела в пространстве и во времени. При постановке аналогичной задачи в квантовой механике нужно сразу же учесть, что для частиц микромира характерна двойственность свойств, которая ограничивает возможность применения к таким частицам классических понятий о координате и скорости (или импульсе). Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношения неоп- ределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Поскольку состояние частицы в пространстве в данный момент времени в квантовой механике задается волновой функцией ^(х; у, г, г), основное уравнение квантовой механики является уравнением относительно функции Т(х, у, z, t). Это уравнение будет волновым, так как из него получают свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, указывающие на их волновые свойства. 2. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было получено Э. Шре- дингером (1926). Как и уравнения движения Ньютона, лежащие в основе классической механики и поэтому невыводимые, уравнение Шредингера постулируется. Справед- ливость уравнения Шредингера доказывается тем, что- выводы квантовой механики, полученные с. помощью этого уравнения в атомной и ядериой физике, находятся в хорошем согласии с опытом. Уравнение Шредингера имеет вид лат л1 ДТ+Щх, у, МН*. (37.16) I cl 2/м . - ’ Здесь т — масса частицы; U (х, у, z, t) потенциальная энергия частицы в силовом а2 а2 а2 поле, где частица движется; Д=—— оператор Лапласа; *Fw*F(x, у, z, t) • дх2 Sy2 дг2 — искомая волновая функция частицы; i=y/— 1 — мнимая единица. Уравнение (37.16) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью* v«c. Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накпадывя- ются на функцию Т=Т(х, у, z, t). Этих условий три: 1) функция Т должна быть конечной, непрерывной и од нозначной; ат ат ат ат 2) производные —, —, —, — должны быть непрерывны; (37.17) ох оу az at 3) функция |Т|2 должна быть интегрируема, т. с. интеграл СО св со JI! l*l2<bcdydz ' — <t> “ «о ~ «О должен быть конечным. В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки вероят- ностей (37.11). Первые, два из указанных условий не представляют собой чего-нибудь . *В релятивистской области (ийс) уравнение Шредингера заменяется более сложным реляти- вистским уравнением Дирака. 515 17*
особенного. Это обычныетребования, накладываемые на искомое решение дифферен- циального уравнения. Третье условие связано с тем, что физический смысл имеет, хая уже отмечалось, не сама функция Т, а квадрат ее модуля |Ф|а. Важность условий (37.17) заключается в том, что как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения Шредингера, а лишь исследуя возмовшые сто решения, можно высказать ряд очень существенных заключений об энергии исследуемой частицы и других физических •величинах, ее характеризующих. 3. Уравнение (37.16) часто называют временным уравнением Шредангеря, так как оно содержит производную от функции ж по времени. Однако для большого числа физических явлений, происходящих в микромире, например для описания поведения электрона в атоме, важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредин- гера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно подучить стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость Т от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени: U= U (х, у, z). Будем искать решение уравнения (37.16) в вида произведения Т(х, у, z, /)=ф(х, у, z)v(0, (37.18) в котором разделены переменные: ф является функцией координат, ф — функцией времени. Подставляя (37.18) в (37,16) и производя дифференцирование, получаем л в<р л? ‘ Ф тт* ч>Лф+и(х, у, г)ф<р. . .1. . ,Л 2m Разделим правую и левую части уравнения на уф: Л* 1 . , . Л1 Зф — -f. (37.19) 2т ф i<p St Поскольку левая часть уравнения есть функция координат, а правая — функция време- ни, уравнение (37.19) удовлетворяется при единственном условии — обе части равны постоянной величине. Обозначим ее — W: .Л 1 Зф (37.20) I Ф at if 1 — -Ьф-и(х,у,2)-----W. (3721) 2тф Уравнение (37.21) обычно записывают в форме ‘ 2m «**Дф+—(^-Ц)ф=0 (3722) Л* и называют сгш|книфиыму01иыки|им Шрцдиэтера. Уравнение (3722) являсгсяваждейшим соотношением нерелятивисгской квантовой механики, играющим основную роль в атомной физике. Функции Ф, удовлетворяющие уравнению Шредингера цри данном U, называются собспсявымн фунтами Значения W, при которых существуют радения уравнения Шредингера (3722), называются собственными значениями, Лримеры отыскания собственных функций и собственных значений приведены в сшдущпи; параграфах. Уравнение (3720) можнопроинтегрировать: )пф=(-де)И7+1пфо. Перейдем от логарифмов к самим функциям: —ли/* ... Ф=ФоС , (3723) где Фо=ф(О) — значение ф (г) в начальный момент времени /М)? 516
4. Для того чтобы выяснить смысл 1Ув стационарном уравнении Шредингера и ука- зать путь, который может привести к стационарному уравнению Шредингера, сравним (37.22) с волновым уравнением (29.10) '•-у ' " 1 ^5 \ &S— ------=0. •L St2 г. Для синусоидальной сферической водны вида > v 5=Л(г)езф[Ояу(г-г/в^,г ’ (3723') г 7 <' 4?/ . где v — частота волны, А (г) — комплексный вектор амплитуды волны, легко показать, дифференцируя (3723*) дважды по г, что 4 • д/2 V- Поэтому волновое уравнение молено записать в форме A5+4k2v25/®^-0. ’ ? (37.24) Идея Шредингера состояла в теш, что к волнам де Бройля можно применить уравнение (3724). Из формулы де Бройля 2=Л/(т») следует, что ' \li.=vlv^=mvlh, Д1Д+4я2т2г^/А2-Ц.1, °7’249 Кинетическая энергия частицы W— U, тде'И^'—/ее лояная энергия в нереля- тивистской теории Коэффициент при в уравнении (37.24') можно переписать иначе: 4л2л?|>а Зя2» пи2 2т -----------------=— (JK-L7). h2 А2 2 Л? Таким образом, 2т (w~ п Следовательно, уравнение (3724) тождественно со стационарным уравнением Шре- дингера (3722), если W — полная энерг i части движущейся в данном потенциаль- ном поле и обладающей потенциальной энергией V. Такой подход к истолкованию уравнения Шредингера (3722) отнюдь не должен рассматриваться как его вывод, а лишь указывает найсЙяовой характер этого уравне- ния. Отметим еще раз (см. п. 2), что уравнение Шредингера не выводится. Более того, возможность представления полной энергии W частицыв виде суммы кинетической и потенциальной энергий имеет в квантовой механике ограниченный характер. 5. Из вида решения (3723) для вреь инбй части волйовЬй^функции (37.18) следует, что уравнение Шредингера (37.16) находится в согласии с предположением о связи полной энергии W частицы с частотой водны да Бройля у=сй/(2я)в форме (37.6). В самом деле, если подставить (37.23) в (37.18), то 'рЬшенне уравнения Шредингера приобретает вид* (37.18') 'Постоянный множитель ф0 включен в функцию ф (ж, у, г), ибо « определяется из линейного дифференциа пьяртп уравнения (37.24) с точностью до произвольного посто|шиого множителя. 517
Таким образом, состояние частицы в данный момент времени описывается пери- одической функцией времени с циклической частотой со» Wjh, определяемой полной энергией частицы. Как ухе указывалось, эта связь эне^эгии частицы Wс частотой волны де Бройля является важнейшей основой квантовой механики. § 37.6. Движение свободной частицы 1. При свободном движении частицы ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость v=coo»t. Направим ось X вдоль вектора у. Тогда стационарное уравнение Шредингера (37.22) можно записать в виде d^J 2ж А+-т »V=0. dx2 (3725) ф=*Аехр (~\/2»|И''х| Вехр -y/2mWx\, Т (х, у, z, i)^Acxp -I где А и В — некоторые постоянные. Тогда решение полного уравнения Шредингера (37.16) получится в форме (37.18'): (W y/2mW h h Решение (37.26) представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматичес- ких волн одинаковой частоты см-ВУД распространяющихся одна в положительном направлении оси X с амплитудой Л, другая — в противоположном направлении с амп- литудой В. Сравнивая полученные .решения с общим выражением плоской монохрома- тической волны ;= А ехр[—i(a)t ±fcx)L видим, что для свободной частицы волновое число Подобно тому, как в уравнении плоской монохроматической волны можно выде- лить фазу (fot±kx), волновая функция ^(х, г) имеет фазу (Н7/Л±ч/2т^'х/Л). 2. Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует одинаковая плотность вероятности обнаружить частицу в разных точках пространства. Действительно, выби- рая для простоты лишь одну, из волн (37.26), например первую, распространяющуюся в положительном направления оси X, имеем § 37.7. Электрон в потенциальном «ящике» 1. Рассмотрим электрон, движущийся в потенциальном поле (рис. 37.5). Потенциаль- ная энергия электрона вне и внутри потенциального «ящика» имеет следующие значе- U-О (0<х<£). Г-и (х<0. »>£). 1 ' Примером движения электрона в потенциальном «ящике» является движение кол- лективизированных электронов внутри металла. Как известно, в классической элект- ронной теорий считалось, что вне металла потенциальная энергия электрона равна 518
нулю, а внутри металла она отрицательна и численно -- ц равна работе выхода электрона из металла. Иными словами, движение электронов ограничено потенци- альным барьером прямоугольной формы с плоским ином Рассматриваемый нами потенциальный «ятпэтп» с бесконечно высоким барьером на границах более прост, чем «ящик» для электрона в металле. 2. Применим к электрону, движущемуся в потенции . альном поле, уравнение Шредингера в форме (37.22) . d* о и учтем, что дня одномерной задачи Д“— йх2 (37.28) Рис. 37.5 dx ¥ Уравнение (37.28) при условии (37.27) может иметь решение, удовлетворяющее требо- ваниям (37.17) лишь в том случае, если волновая функция ф(х) обращается в нуль на стенках «ящика»: <H<W(L)=0. (3729) В самом деле, обозначив dV/dx2=^", перепишем (3728): л* 2m (37.289 В области 0<х<£ получаем U—0 и отношение ф^/ф'Юаест конечное значение. При х-»0 и х-»£ потенциальная энергия стремится к бесхоиечиосги.Условия (37.17)не будут нарушены, если ф(х)~*О при х-»0 и х-»£. Таким образов^ для электрона в потенциаль- ном «ящике» с бесконечно высокими стенками решение уравнения Шредингера должно быть таким, чтобы ^=0, Ж2“=0 (вне области 0<х<£). (3730) Другими словами, вероятность найти электрон вне «ящика» равна нулю. 3. Зад ача о д вижении электрона в прямоугольном потенция льном «ящике» с бесконеч- но высокими стенками сводится к решению уравнения йгй 2т (37.31) <иг п при краевых условиях (3729): ^(0)=^(£)«0. Обозначим 2mFF/AJ»fc2, где к — волно- вое число волны де Бройля для электрона, находящегося внутри потенциального «ящика», и запишем периодическое ранение уравнения (3731) в виде ф(х)=А<Х№кх+Вй11кх, (37.32) где А и В — постоянные. Используя первое из краевых: условий (37.29), получим, что А-0. Из второго условия имеем ^(£)-J9«nfc£=0. (37.329 Таким образом, Б/0, Я=0, sinfcL-O. (37.32") Из (37.32") следует, что число к принимает лишь определенные дискретные значения к„ удовлетворяющие условию k„L=nn, где и= 1,2,.... Отсюда kn^mlL. (3733) 519
4. Условие (37.33) имеет ТфоСгой физический смысл. Так как ^Я=2я/Л,, где Л, — длина волны де Бройля для электрона в «ящике», то условие (37.33) означает, что . * < - 2я/Л,= nx/L или 2я=2Ь/п, т. е. на длине потенциального «ящика» должно укладываться целое число полуволн де Бройля. Аналогичную картину мы имели при распространении упругих волн вдоль струны, закрепленной на клипах в этом случае образуются стоячие волны, причем возможные длины волн Л, принимают ^ 01 гТш 1 ряд значений: осуществляются при sinfcJL^O лишь te значения JL, которыесоответствуют целому числу длин волн, укладывающих НЯ ИЛИЯ* струны1 .71.»-/’. 5. Условие (37.33) приводит К очень важному результату: (37.34) т. с. энергия W электрона » потенциальном «ящике» не произвольна. Она принимает лишь ряд дискретных соб&пйенхых значений W„. Другие значения W энергии электрона невозможны: вероятность обнаружить внут- ри «ящика» электрон с энергией, отличной от W* равна нулю. Физические величины, кфинимающие лишь определенные дискретные значения, LrndvsTMf гвойтпиаппткй A J'S Таким образом, энергия электрона, находящегося в потенциальном «ящике», явля- ется Квантованной. Рассматривая Шеи Планка, позволившие разрешить трудности в проблеме излучения черного тала, мы видели, что основу для его рассуждений составляло предположение Фтом,что энергия атомного осциллятора имеет определен- ные, квантованные значещЩ* Это предположение было совершенно чуждо классической физике, где процессы излучейня предполагались протекающими непрерывно, а физи- ческие величины, характеризующие излучение, могли принимать Произвольные значе- ния. 6. Квантованные значение Догадываются уровнями энсргии,а числа л, определя- ющие энергетические уровни элс трона,— квантовыми числами. Таким образом, электроцгидю^енциальном «ящике» может находиться на опреде- ленном энергетическом уровне Г,. Иногда говорят, что он находится в. определенном квантовом состоянии л. гйгкр? Для потенциального «дщикая с размерами, соизмеримыми с размерами. атома L=1Q~9 м, собственные аначемияэнергии электрона образуют последовательность энергетических уровней, «расстояние» между которыми ДГ- Г.+,&Г>(2Й+ !)• 5,4 • 10’" Дж=0,34 (2л+1)эВ. ’ ” .-'•St.dO Л • В потенциальном «ятЦикс»мазфоскопических размеров £«=10-J м соседние энер- гетические уровни Г»*., и W„ отличаются друг от друга на ДГ-(ЗвЙ£$$Ю“** Дж-(2л+1)’3,41а-‘5 эВ. Энергетические уровнивдтом случае расположены столь тесно, что можно их считать как бы квазвнещ*я>ыввыми. Ддя такого потенциального «ящика» квантование энергии дает результаты, цс столь существенно отличающиеся от результатов клас- сической физики, как в случае «ящика» атомного размера. Заметим, что при £-*оо АГ=0, т. е. энергетический спектр непрерывен. 7. Рассмотрим влияниеквангового числа л на характер расположения энергетических уровней электрона в потенциальном «ящике». Для этого сопоставим . . -3' ' М ДГ-^,+1-Г.«=(2л+1)—» - 2mL2 (37.35) 520
с энергией Wn электрона, находящегося на уровне ц,,,Найдем отношение h.W{Wm используя формулу (37.34): Д И7Ж,-(2л + !)/«*. (37.36) Из (37.36) видно, что при увеличении квантового числи л, когда 2л+1«2л, LWIW^2{nfi (3737) - ь . = .... ДЖ становится малой по сравнению с Ж„ т. е. происхрдиготносительное сближение энергетических уровней. При больших квантовых числдх л квантование энергии дает результаты, близкие к результатам классического рассмотрения. В этомнаходит свор выражение важный пркшнш соответствия, наиболее лрдно; сформулированный Бором при больших кваитовых числах выводы и роаультяты ними товой имиаиики должны соответствовать классичоаоп* ре- зупьтятш. ( В более общей формултфовке принцип соответствия требует, чтобы между любой теорией, которая является развитием классический, ^ первоначальной .классической теорией существовала закономерная связь.— вопред&жнных предельных случаях но- вая теория должна переходить в старую. В предыдущих удавах мы убедились в справе- дливости этого принципа. Например, формулы кинематики и динамики теории , от- носительности переходят в формулы, классической, механики Ньютона щзи таких скоростях, что tr/<r-»O. Между квантовой и клвдсщтеской механикой предельный переход связан с возможностью пренебречь конечностью величины Л и считать Л-»0. § 37.8. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер 1, Мы считали, что на границах «ящикажволноваяфункцнястановнтсяравнойнулю. В действительности дело обстоит сложнее. Двияквие зМйрсша с постоянной скоро- стью внутри «ящика» описывается плоской волной де Бройля. На границе (ряс. 37.5), где происходит скачкообразное изменение потенциала’зтя волна должна вести себя аналогично электромагнитной волне на границе двухсрсдсразличиыми показателями преломления. Как известно, такая волна на границе частично отражается, а частично проходит через границу. Даже в случае полного внутреннего отражения наблюдается частичное проникновение света во вторую среду. Волнагде Бройля на границе «ящика» также испытывает отражение, но частично проходит в область вне «ящика». Другими словами, имеется определенная вероятность обнаружить Зпеггрон за пределами потен- циального «ящика». 2. Этот результат существенно отличается от выводов классической физики. 'Частица, подчиняющаяся законам классической физики, может выйти из потенциального «ящи- ка» при условии, что се полная энергия превышает «Глубину»потенциального «ящика». С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потенциального «ящика», «заперта» в нем. Стенки потенциального «ящика» Представляют для нее потенциаль- ный барьер, который частица преодолеть не можег.дайТОго чтобы часпцв могла выйти из потенциального «ящика» нпн проникнуть в hero, согласно классической физике ей нужно сообщить энергию, равную или большую разности высоты барьера и ее собственной энергии. 3. Квантовая механика приводит к принципиалыго новому выводу © возможности прохождения («просачивания») часпщ сквозь потешщальные барьеры.. Это явление называется туивелышм эффектом. Для его описания вводится понятие тфозрячности (коэффициент прозрачности) D тгсеш&яяыюто барьера. Если по аналогии с оптикой для волн де Бройля подсчитать интенсивность 4м Падающей на барьер волны и интен- 521
Рис. 37 .в Рис. 37.7 сивность /щки волны, прошедшей сквозь барьер, то, по определению, прозрачностью 1 потенциального барьера называется величина Дфох/Лид- \ (37.38) Ее можно рассматривать как вероятность прохождения волн де Бройля сквозь потен- циальный барьер, или, что то вое самое, как вероятность просачивания частицы, описываемой волной де Бройля, сквозь потенциальный барьер. По аналогии с оптикой можно ввести также коэффицяеитотражения R, так что 1 — R. \ Расчеты показывают, что ^прозрачность барьера зависит от «формы» потенциаль- ного барьера и сто высоты. В случае прямоугольного потенциального барьера высотой и0 и шириной L (рис. 37.6) прозрачность барьера ! Л-Д>ехр(—(37.39) .. г \ Й J где т — масса частицы, W—ее энергия. Если потенциальный барьер имеет слоящую форму, то прозрачность барьера D~Dotxp ь/2»»[17(х)-1Ибх (37.39Э где Xi и Х2 — координаты начала и конца потенциального барьера С7(х) для данного значения полной энергии IF (рис. 37.7). В этих формулах Д> — постоянный коэффици- ент, близкий к единице 4. Туннельный эффект может играть заметную роль в тех случаях, когда прозрачность барьера не слишком мала. Эго условие осуществляется только в тех случаях, когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными размерами. Например, при U— W& 10 эВ дня электрона тю Ю-30 кг, при £« 10”10 м D«в-3,4. При тех же условиях для LwMTAm, т. е. в макроскопической области, имеем Dwe-3,4 ** С увеличением массы частицы я разности Do— W прозрачность барьера уменьшается. 5. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер приводит к возможности обнаружить ее в области, запрещенной с точки зрения классической механики В самом деле, если полная энергия W частицы меньше высоты барьера ил то в области, где С7(х)> W, кинетическая энергия частицы рЧ@т) тршцаепьял, так как IF-f-+l7(x), т-<0, 2т 2т 522
если U(х)> W. С классической точки зрения эта область недопустима для частицы, так как бессмысленно говорить о мнимом импульсе р частицы. Квантовая механика приводит к возможности обнаружить частицу в этой запрещенной области (парадокс туннельного эффекта}. Однако здесь нет парадокса и предыдущие рассуждения о мни- мом импульсе частицы неверны.'.Туннельный эффект есть чисто квантовое явление. Если попытаться перейти к классической теории, положив й-»0, то, согласно (37.39), О-»0 и о прозрачности барьера не имеет смысла говорить. Описывая же туннельный эффект в квантовой механике, мы встречаемся с неожи- данной с точки зрения классической физики трудностью, связанной с самой возмож- ностью представления полной энергии W частицы в виде суммы ее кинетической р1/(2т) и потенциальной U(х) энергий: W=p2/(2m}+ U(х). В классической физике такое редставление не вызывает сомнения, и оно предполагает, что одновременно известны с любой степенью точности и кинетическая энергия p’/CZm), и потенциальная энергия 17(х) частицы. Иными словами, частице с любой степенью точности одновременно приписываются определенные значения координаты х и импульса р. Но, как известно, соотношение неопределенностей Гейзенберга исключает такую возможность в кван- товой механике," само представление полной энергии в виде суммы точно определенных частей — кинетической и потенциальной энергии — неправомерно. Поэтому и парадо- кса, основанного на представлении W в виде суммы p2K'2m)+U(x), в квантовой механике не существует. Если мы фиксируем частицу в определенной области* Дх, измеряя ее координату, т. е. определяем с достаточной точностью ее потенциальную энергию Г7(х), то при этом вносим неопределенность Др в ее импульс dptsthlbx и, следовательно, нельзя говорить о точном значении кинетической энергии рТ1{2т}. Согласно (37.15) нельзя также утверждать, что после того, как частица углубится внутрь барьера, ее полная энергия по-прежнему равна (К Найдем изменение AJFK кинетической энергии частицы, вызванное фиксированием ее в области Дх внутри барьера. Из формулы (37.39) видно, что глубина проникновении частицы в классически запрещенную область внутри потенциального барьера порядка Дх= hly/lm (Uo— ИИ)- Соответствующее изменение импульса частицы Др>—>^/2m (Uo— W). Изменение кинетической энергии Дх • А»2 1 диг«=—>Г/0-Ж 2m Другими словами, Д W* превышает ту энергию, которой недостает частице, находящей- ся внутри потенциальной ямы, для того чтобы она могла «классическим способом» пройти над барьером. в. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер получило экспериментальное доказательство в явлении автоэлектронной эмиссия электронов из металлов. Вырыва- ние электронов из металлов электрическими полями происходит при напряженностях электрического поля, в Сотни раз меНыпих, чем те, которые необходимы для того, чтобы электрон в металле под действием внешнего электрического поля преодолел поверхностный скачок потенциала на границе металл — вакуум и покинул металл. Объяснение этого было дано в квантовой механике. Действие электрического поля с напряженностью Е приводит к тому, что потенциальный барьер для электронов на границе металл — вакуум будет узким и электрон, обладающий энергией W, по абсолютному значению меньшей высоты барьера может выйти из металла сквозь барьер с помощью туннельного эффекта. Это приводит к уменьшению, по сравнению с классическими оценками, напряженностей полей, необходимых для возникновения автоэлектронной эмиссии. 7. Электрическое поле вырывает электроны из отдельных атомов и молекул благо- даря туннельному эффекту, Это явление автоионизация также происходит при меньших напряженностях поля, чем это следует из классической физики. Автоионизация получи- •Речь все время идет об одномерной задаче. 523
тивного а-распада. с учетом прохождения электронов сквозь г играет основную роль в явлениях радиоак- А 1 -а Рис. 37.8 § 37.9. Линейный гармонический осциллятор 1. Линейным гармоничеаним осциллятором называется частица с массой т, которая движется вдоль некоторой оси под действием квазиупругой силы F, пропорциональной отклонению х частицы от положения равновесия: ' F—kx. Здесь к — коэффициент’квазиупругой силы, связанный с масс й т частицы и со- бственной циклической частотой с>о ее колебаний формулой k=moig. Потенциальная энергия гармонического осциллятора U^^fjoc1 изображена на рис. 37.8. Модель гармонического осциллятора имеет большое значение в физике. Например, при объяснении механизма дисперсии света и изучении законов теплового ' ’ < >" излучения черного тела мы уже пользовались моде- лью гармонического осциллятора. Эта модель может применяться в тех случаях, когда амплитуда колеба- ний частицы невелика. Во всех реальных физических Задачах с ростом амплитуды колебаний возникают отклонения от гармоничности колебаний и кривая на рис. 37.8 теряет физический смысл. Модель гармони- ческого осциллятора часто применяется в приложе- ниях потому, что с помощью надлежащим образом выбранных координат, называемых нормальными ко- ординатами, малые колебания произвольной систе- мы частиц могут быть представлены как колебания , совокупности гармонических осцилляторов. 2. С классической точки Зрййа Амплитуда малых колебаний гармонического осцил- лятора определяется запасом его полной энергии W. В точках А а В кинетическая энергия осциллятора равна нулю и вся энергия переходит в потенциальную энергию осциллятора. Этим точкам соответствувЗт значения координат х» ±а, где а — амп- литуда колебаний классического осциллятора. За пределы Области (—а, +а) классичес- кий осциллятор выйти не может. Вероятность р^л(х)йх того, что Осциллятор в течение времени dr находится на отрезке рт х до x+dx, по классической механике выразится отношением где T—2x/t»o — период колебаний осциллятора. Можно записать, что :Х.Х. 2dl p^(x)dx—— --------. ЗЛ = > Т «ЯГ Л» Здесь v—скорость частицы, совершающей гармонические колебания, например по закону х* a sin (Од Тогда '. ; л —*=ашьсо8ш0*=а<и01 1— — 1 , dr \ в*/ если выразить cosav через х. Окончательно при — а<х<а имеем . яв(1-х’/Л»)Д 524
Из рис. 37.9 видно, что плотность вероятности неограниченно возрастает при приближении х к предельным точкам ±а, ограничивающим область, в которой может быть классический осциллятор. 3. ' В квантовой механике задача о колебаниях линейного гармонического осциллятора решается с помощью уравнения Шредингера (37.22). Для линейного гармонического осциллятора оно имеет вид d2tfr 2т ( mai \ * *.) ♦-<>. (37.40) Решение этого уравнения проводится в квантовой механике. Чтобы вычислить квантованные значения энергии осциллятора, мы используем приближенный метод, основанный на том, что на каждом уровне Эверт ни в зависимо- сти от формы потенциальной кривой должно уложиться некоторое число полуволн де Бройля. * --* Вначале оценим амплитуду а колебаний гармонического осциллятора. Точкам Л и В на графике U (х) соответствуют в классической механике наибольшие отклонения частицы от положения равновесия, когда скорость частицы обращается в нуль, и ее полная энергия РИ равна потенциальной С7(х): (37.40*) Амплитуда а колебаний осциллятора определяется запасом его полной энергии W: . «.± д.................. ... то у т ' 4. При переходе к рассмотрению квантового гармонического осциллятора необходи- мо учесть волновые свойства частицы, «запертой» внутри шленциальной. ловушки, имеющей форму параболы (рис. 37.10). Соотношения неопределенностей приводят к принципиально новому результату: полная энергия квантового осциллятора и .амп- литуда его колебаний не могут быть равны нулю. В самом деле, если частица «заперта» в области Дхюа, то, согласно (37.12), bp^h/a и импульс р не может быть равен нулю: р^ЬрхкЬ!а. При этом энергия W удовлетворяет соотношению р* й 2т 2зтг (37.40*) Исключим амплитуду а из соотношений (37.404 * * 7) и (37.40*): , Wrl>1/*^a°’o или (37.40'") 525
Существует минимальное значение полной энергии гармонического осциллятора FFo-Vjfajo»1/^, (37.41) называемой нулевой энергией йсцкллятора. Нулевая энергия осциллятора является наименьшей его энергией, совместимой с соотношениями неопределенностей. S. Нулевая энергия оспийляторя определяется только его собственной частотой v0. Ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы и при температуре О К. Нулевой энергии соответствуют нулевые голевом квантового осциллятора. Существование нулевой энергии подтверждено экспериментально в явлении рассея- ния света кристаллами при сверхнизких температурах. Рассеяние света в кристаллах происходит на тепловых колебаниях, которые совершают атомы, молекулы или ионы, расположенные в узлах кристаллической решетки. С классической точки зрения интен- сивность рассеянного света должна убывать до нуля с уменьшением температуры до О К, так как должны прекратиться тепловые колебания узлов решетки, на которых происходит рассеяние света. Опыты показали, что при уменьшении температуры интенсивность света, рассеянного кристаллами, стремится к некоторому предельному значению, не убывающему при дальнейшем охлаждении кристалла. Результаты опытов показали, что при 7-*0 К у частиц, расположенных в узлах решетки, сохраняются нулевые колебания, на которых ж дроисходиг рассеяние света. Нулевым колебаниям соответствует нулевая энергия атомных осцилляторов. Нулевая энергия является характерным признаком любой системы частиц, рассмат- риваемой в квантовой механике. При температурах, близких к О К, любое вещество находится в кристаллическом состоянии и его атомы (молекулы, атомы и ионы) ведут себя как колеблющиеся осциллятора. Исключение составляет гелий, который остается квантовой жидкостью вплоть до О К, если давление не превышает 2,53 МПа. Эго объясняется, во-первых, тем, что у гелия частота колебаний атомов достаточно велика, так как мала масса атома Поэтому у гелия нулевая энергия i/1hv0 имеет сравнительно большую величину. С другой стороны, силы взаимодействия между атомами гелия малы, так как у них электронные оболочки с двумя электронами полностью «застроены». В итоге атомы гелия при Г-»0 К находятся в интенсивном движении и гелий при относительно небольших давлениях остается жидким и при Т-»0 К. Поскольку причиной этого является квантовый эффежт ^существование нулевой энергии, жидкий гелий называ- ется квантовой жидкостью. 8. Найдем теперь все возможные значения полней энергии квантового гармоннчес- ' кого осциллятора. Движение частицы в этом случае ограничено потенциальной кривой. параболического типа (рис. 37.10). Как и в случае частицы, «запертой» в прямоугольном ящике, ндаичяейотекциальной ловушки параболического типа при- водит к дискретному набору знерпй частицы. Квантованные значения энергии осцил- лятора определяются тем.Чго на эффективной длине во', b&, cd, ... укладывается нечетное число полуволн де Бройля. Введем эффектную длину волны де Бройля: (37.42) где — эффективный импульс, связанный с энергией так, как будто потенциальная ловушка отсутствует и движение частицы совершенно свободно. Тогда и длину волны де Бройля следует считать эффектной данной волны 2^. Энергия частицы 2т 2тЛ1 (37.43) 526
W2-5/2ht0 Wf^ZWg Рис. 37.11 Из рис. 37.10 видно, что на эффективной амплитуде укладывается нечетное число четвертей эффективных длин волн де Бройля: x^a^Qn+V^t. . На границе с потенциальной кривей тш» mtu^ Л?* w= и----~ ~ (2л+ iy . 2 - 2 .16 (37.44) (37.449 Перемножив выражения (37,43) и (37.449, получим w ~Г(2я+1) Й (2л+1) • (37-45) Извлекая квадратный корень, имеем (2л+1)Ла>оя я/ я/, 1\ |^яв---------( л+ЧЛ»о»=-| (37.46) В квантовой механике при строгом подходе, основанном на решении уравнения Шредингера, получается выражение для возможных энергий осциллятора л+-)Лу0 (л~0, 1, 2, 3,...), (37.469 \ 2/ отличающееся от полученного нами числовым множителем. Из (37.46) видно, что энергетические уровни гармбцдческого осциллятора представ- ляют собой систему равноотстоящих друг от друга значений энергии (рис. 37.11). Грубый расчет дал правильную зависимость энергии линейного гармонического осцил- лятора от его частоты v0 и правильный характер зависимости >Гя(п). в. Строгое квантово-механическое решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит еще- к одному существенному отличию от классического рассмотрения. Оказывается, можно обнаружить частицу за пределами дозволенной области М<а, т. е. за точками А и В (см. рис. 37.8). Выяснено, что это означает пребывание частицы там, где ее полная энергия W меньше потенциальной энергии. Однако благодаря волновым свойствам частиц и принципу неопределенностей обнаружение частицы за пределами классически дозволенной области оказывается возможным вследствие тун-, дельного эффекта. 7. Вероятность обнаружить линейный гармонический осциллятор на участке с коор- динатами от х до x+dx в квантовой механике равна Pwto(Jt)dx=|^(x)|1dx.
На рис. 37.12 изображены квантовал плотность вероятности р^ для состояния п=10 и для сравнения — классическая плотность вероятности р^. Наиболее су- щественным отличием р^ от р^ является возможность обнаружить часгицу за пре- делами классически дозволенной области И <а, т. е. за точками Л и В (см. рис. 37.8). Это связано с тем, что благодаря волно- вым свойствам область за пределами И с а, где полная энергия W меньше поте- нциальной, не запрещена. По мере увеличения квантового числа л кривая ] определении вероятностей (рис. 37.13 для п«10) все больше становит- ся похожей на классическую кривую (см. рис. 37.9). В этом находит свое выражение принцип соответствия Бора. Вопросы: 1. Получите формулу для длины волны де Бройля, используя значение радиуса я-го светового кольца в опытах Тартаковского и Томсона по дифракции электронов. 2. Можно ли, пользуясь соотношениями неопределенностей, по известному импульсу фотона определить область его локализации? 3. Покажите, что при больших квантовых числах энергетические уровни электрона в потенци- альном ящике с плоским дном и бесконечно высокими стенками становятся квазинепрерыв- ными. 4. Докажите, что для свободного электрона вероятность обнаружить его в любой точке оси ОХ одинакова. 5. Докажите, что туннельный эффект не противоречит закону сохранения энергии.
Глава 38 ____________________,_____ Строение и линейчатые спектры водородоподобных систем § 38.1. Опыты Резерфорда по рассеянию а-часгиц мзцастиом 1. Э. Резерфорд исследовал рассеяние а-частиц при прохождении их через тонкую металлическую фольгу (1011). Альфа-излучение образуется при естественном радиоак- тивном распаде атомов некоторых тяжелых элементов и представляет собой положите- льно заряженные частицы с зарядом 2е и массой, приблизительно в четыре раза большей, чем масса атома водорода. Энергии а-частиц, «пуск i различными радиоакп аыми элементами, имеют порядок 10е—107 эВ (от 4,05 10® эВ для урана до 8,78-10* эВ для тория С). С помощью таких частиц, обладающих достаточно большими энергиями, Резерфорд со своими сотрудниками X. Гейгером и Э. Марсденом зондировал вещество — «простреливал» металлическую фольгу. Установка для изучения рассеяния а-частиц изоб- ражена на рис. 38.1. Металлическая камера А, сверху закрытая стеклянной пластин- кой Р, прикреплялась к подставке В, на окружности которой были нанесены градусные деления. Вся подставка месте с камерой могла вращаться на галифе С. Сбоку в камеру А был вделан микроскоп М, перед объективом соторого укреплялся экран, покрытый сервис тым цинком. Источник or-частиц помещался в свинцовом футляре F, имеющем диафрагму D. На пути пучка о-часпщ по № сь пассе ипгощая металлическая фольга £ толщиной м. Источ- ник и фольга укреп хл мводмжпо на трубке Т, зоходаией через основание прибора. Через эту трубку из камеры А отвивая- са воздух, чтобы пе щюРсходио рааидаия о-чьспщ ца молекулах воздуха. Попадание каждой «-частицы на экран S вызывало вспыш- ку — сцинтилляпню, обуслоалвпую флуорклеящей эк ли При повороте камеры на раздайте углы не экран попадали s-част par гетит и под соответст- вующими углами. С помощью такой установки можно было наблюдать и частицы, рассеянные под углами до 150°. 2. Опыты, доведенные в лаборатории Резерфорда, показали, что наряду с подав- ляющим большинством а-часгиц, отклоняющихся весьма к: ачитеш о ст своего первоначального направления, имелись а-частицы, которые при прохождении через •п кие листы фольги резко откл на весьма большие углы, и рядка 135 — 1з(Г. Объяснить эти резкие отклонения накоплением малых отклонеии оказалось невоз- можным. Опыты Резерфорда явились Экспериментальным подтверждением высказанной им идеи о том, что весь положительный заряд атома сосредоточен в его ядре — области, занимающей весьма малый объем по сравнению со всем объемом атома. Рассеяние а-частицы на таком малом объекте маловероятно, поэтому бол пинство а-частиц испытывает незначительное рассеян»; а-частицы, проходецж вблизи от этой малой области, испытывают резкие отклонения, так как на малых расстояниях силы оттал- кивания между положительно заряженными а-часгицей и ядром должны быть очень велики. Вероятность попаданий а-частиц в ядро и их отклонений па большие углы сравнительно мала, но не равна нулю. , 3. Резерфорд теоретически рассмотрел задачу о рассеяли] а-частиц в кулоновском электрическом поле ядра, содержащего Р положительно заряженных частиц. Аналогич- ная задача рассматривается ри изучении рассеяния частиц на неподвижном рассе- 529
ивающем центре в предположении, что взаимодействие падающей частицы в цен- тра происходит по закону центральных сял е потенциальной энергией взаимодей- ствия вцца Wn—P/r, где Р~ постоянная величина, г — расстояние ст центра до ча- стицы. Потенциальная энергия взаимодей- ствия а-частицы с ядром W,n—2ejt’e/(4rreor), где е — элементарный электрический за- ряд, 2а и Ре — заряды а-частицы и ядра, так что Д—2аРе/(4яго). Обозначим: п — плотность потока а- часгиц, налетающих на ядро, т. е. число частиц, падающих иа единицу цдопвдн за единицу времени ( м-а с-1), a AN — число а-частиц, рассеянных в единицу времени внутрь телесного угла d£l Отношение——da называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния a-частиц в кулоновс- ком поле ядра атома. Согласно, формуле Резерфорда, /ду <Ю dff—l — 1 —--------, \4И7 йп4(4»/2) где ф-л—2фо — угол рассеяния a-частицы (рис. 38.2); W—ее энергия; da имеет размерность площади. Из формулы Резерфорда следует, что число a-частиц, рассеянных за единицу времени внутрь единичного телесного угла, равно AN, / 2еРе V 1 dl} \4nt(fiW/ (3811) Формула (38.1) показывает, что для данного рассеивающего вещества при опреде- ленной энергии W a-частиц и- заданной плотности их потока произведение — 8ш - <Ю 2 должно оставаться постоянным. Это было экспериментально подтверждено в опытах Гейгера и Марсдена (углы рассеяния <р менялись в широких пределах от 15 до 150°). AN . ?> Небольшой разброс в значениях — аш* - объяснялся экспериментальными трудностя- ми} 2 ми при создании моноэнергетических пучков a-частиц постоянной плотности л. 4. Формула (38.1) позволяет по измеренному числу частиц, рассеянных под некоторым углом ф, определить число Р элементарных положительных зарядов, содержащихся в ядре атомов данной рассеивающей фольги. Опыты показали, что число Р равно порядковому номеру Z элемента в период ической системе Менделеева, т. е. P=*Z. Таким образом, идея Резерфорда о сосредоточении положительного заряда атома в его ядре не только получила .блестящее экспериментальное пощверждение, но и позволила установить физический смысл порядкового номера в периодической системе элементов. ; 1Л' к. Очевидно, в нейтральном атоЙ^должно содержаться также Z электронов. Поэтому проверкой справедливости ЯДе&нйЙ модели атома послужило изучение тех явлений, .в которых независимым путагаёпю быть определено число электронов в атоме. Три группы явлений особенно п^д№Ыы для этой цели, прежде всего измерение интенсив- ности рассеянного света в разЙичных участках спектра. Как известно, рассеяние света происходит на электронах атомов и имеет резонансный характер — оно наиболее интенсивно при совпадении часнуэдшссеиваемого света и собственной частоты колеба- ний электронов. Опыты показали, что в атомах есть несколько групп электронов, «резонирующих» на различные частоты падающего света. 330
Теория явления рассеяния света позволяет по известной интенсивности рассеянного света в данной области частот найти число электронов, участвующих в рассеянии. Таким образом, измеряя интенсивность рассеянного света в широком диапазоне ча- стот, можно вычислить полное число электронов в атоме. Другим независимым методам определения числа электронов в атомах является изучение потерь энергии а- и /1-частиц при прохождении их сквозь слой вещества некоторой толщины. Оказывается, что потери энергии а- и /Маспщами в веществе связаны с числом электронов в атоме, которое может быть рассчитано по этим потерям. Наконец, измерение коэффициента рассеяния рентгеновского излучения дан- ным атомом также позволяет найти общее число Z его электронов. Существенно, что число электронов в атоме, определенное различными методами, совпало с числом элементарных положительных зарядов в ядре, измеренным по рассеянию а-частиц. 5. По известному заряду ядра Ze можно установить верхний гфедел размера ядра. При рассеянии а-частяцы ядром не происходит их столкновения в механическом смысле этого слова, так как в случае такого столкновения задан взаимодействия FPB=fi/r и вытекающая из него формула Резерфорда не были бы справедливы. Сумма радиусов ядра и а-частицы* меньше того минимального расстояния го, на которое сближаются их центры при столкновении (рис. 38.2}.. *. ;.v Для оценки го рассмотрим центральный удар а-частицы о ядао, соответствующий углу рассеяния 180°. № закона сохранения энергии следует, что в момент наиболь- шего сближения а-частицы с ядром её кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную энергию их взаимодействия: т»*/2=2е • Ze/(4«Zo). (38.2) Здесь т — масса а-частицы, с — ее начальная скорость вдали от ядра. Для а-частиц, испускаемых RaC, «*1,9*107 м/с. Оценим ъ для золота (Z=79). Подставив е== 1,6-10“’9 Кл и л»=6,5’ 10“17 кг в (38.2),палучим 2е Ze п>=-----, ZMoMir «3,1 10“’* Таким образом, размеры ядра атома золота меньше этой величины. Если пред- положить, что форма электрона сферическая, то его «классический радиус» должен иметь такой же порядок величины. Это наряду с другими важными обстоятельствами привело к выводу, что электроны не могут находиться в ядре, так как его размеры иорядка 10"” м. § * § 38.2. Ядерная модель атома Резерфорда 1. На основании результатов опытов по рассеянию а-частиц тонкими металлическими фольгами и следствий, к которым привели эти опыты, Резерфордом была предложена ядерная модеш атома. Согласно этой модели, в ядре атома — малой по сравнению с объемом всего атома области с линейными размерами 10*41 —10“’* м — со- средоточен весь его положительный заряд н практически вся масса атома. Вокруг ядра в области с линейными размерами ~1О~10 м движутся электроны, масса которых составляет лишь весьма малую долю массы ядра**. Статическая ядерная модель атома, в которой электроны были бы неподвижны, физически бессмысленна. В результате действия ку^юведох сил притяжения электро- ны сразу же упали бы на ядро. Чтобы этого «^произошло, электроны должны двигаться около ядра по орбитам, зависящим от эвджий электронов. Ядерная модель атомов Резерфорда внешне очень напоминает Солйршую, систему: в центре системы находится «солнце» — ядро, а вокруг него по орбите^ дв^кутся «пяаяеты» — электро- _________ _ UOMG3S •Если считать, что оба они имеют сферическую форй£г " ‘' ••Напомним, что масса электрона в 1836,5 раза меньше массы протона — ядре атома водорода. 331
ны. Поэтому данную модель часто называют планетарной. Орбиты электронов в атоме стационарны; атому свойственна исключительная устойчивость, о чем, в частности, свидетельствуют оптические линейчатые спектры атомов, отличающиеся определен- ным для всех атомов данного элемента расположением линий. 2. Устойчивость атома не может быть согласована с класса еским истолкованием ядерной модели. Рассмотрим, например, ядерную модель простейшей) атома-— атома водорода, содержащего один электрон и ядро — протон. Предположим ради просто- ты, что электрон движется вокруг протона по круговой орбите. Классическое представ- ление об орбите как о траектории движения электрона в атоме не выдерживает критики с квантово-механической точки зрения. Однако имеет смысл говорить о геометричес- ком месте точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон в атоме водорода. Это геометрическое место заменяет в квантовой механике классическое представление об орбите электрона. В дальнейшем, используя термин «орбита» электрона, мы будем иметь в виду этот его смысл. Скорость электрона на круговой орбите с радиусом Г«40~10 м должна быть порядка г-106 м/с (это сразу следует из формулы те»2/г«=е2/(4яеог2), а центростремительное ускорение п=«2/г — порядка 1022 м/с2*. Такой ускоренно движущийся электрон ведет себя как вибратор, колеблющийся с большой частотой; он излучает электромагнитные волны. Можно рассчитать мощность излучения электрона, ускоренно движущегося в ато- ме. Согласно классическим представлениям, это излучение (и связанная с ним потеря электроном энергии) происходит непрерывно. Поэтому электрон не удерживается на круговой орбите — он по спирали приближается к ядру, и частота его обращения вокруг ядра (а следовательно, и частота излучаемых им электромагнитных волн) непрерывно изменяется. Иными словами, электромагнитное излучение атома имеет непрерывный, а не линейчатый спектр. Можно было бы избежать трудности с потерей электроном энергии на излучение, если допустить, что он движется с малыми скоростя- ми и ускорениями, т. е. считать, что его излучение пренебрежимо мало. Однако в этом случае также неизбежно падение электрона на ядро, потому что при малых скоростях электрон не сможет удержаться на орбите такого радиуса, который соответствует реальным размерам атома. 3. Таким образом, применение классической электродинамики к ядерной модели атома привело к полному противоречию с экспериментальными фактами. Согласно классической теории, должны иметь место: а) непрерывная потеря электроном энергии в виде излучения электромагнитных волн и неустойчивость атома; б) существование только непрерывного спектра, спектральных линий не должно быть. В действительности оказывается, что: а) атом является устойчивой системой; б) атом излучает энергию лишь при определенных условиях; в) излучение атома имеет линейчатый спектр, связанный со строением и свойствами его электронной оболочки. Эти выводы относятся не только к атому водорода, но и к другим атомам. § 38.3. Линейчатый спектр атома водорода 1* Светящиеся газы дают линейчатые спектры испускания. В соответствии с законом Кирхгофа спектры поглощения газов также имеют линейчатую структуру. Изучая линейчатый спектр водорода, швейцарский ученый И. Бальмер установил (1885), что длины волн известных в то время девяти линий спектра удовлетворяют формуле jqxan'-a,)!' (38.3) где Я'= 10973731,77 м ’; и=,3, 4; 5, ... Константа R' была определена Й. Ридбергом и называется постоянной Ридберга. Формула Бальмера, впервые указавшая на особое •Поскольку речь идет о классической модели атома, такие классические оценки могут быть сделаны. 532
значение целых чисел в спектральных закономерностях, сыграла выдающуюся роль в развитии учения о строении атомов. В настоящее время известно большое число линий в спектре водорода, длины волн которых укладываются в формулу Бальмера. Если учесть большую точность спектро- скопически) измерений, то следует признать, что формула Бальмера принадлежит к числу наиболее точных закономерностей в физике. Формулу (38.3) переписывают нередко для частот т соответствующих линий. Тах как v—efk, то формула (38.3) для частот имеет вид ’-«(Н)' (38.0 Произведение Я'е— 3,2931193 • 1015 с~ ’ также называется постоянной Ридберга*. Из формулы (38.4) видно, что все линии, отличающиеся различными значениями л, образуют группу, или серию, линий, называемую серией Бажмера. С увеличением п линии серии сближаются друг с другом. Значение Я—со определяет границу серии Бальмера. Ей соответствует длина волны 3645,068/10"10 м. 2. Ридберг показал, что в линейчатых спектрах не только водорода, но и других элементов' наблюдаются спектральные серии, причем частоты т всех линий данной серии удовлетворяют соотношению v«F(H!)-T(ni), (38.4Q где Я] и п2 — некоторые целые числа. Функции Т(пЦ и Т(Я]) называются спектральными термами. Для данной серии л2 имеет постоянное значение. Измен е числа Л1 дает все линии данной серии. Например, для серии Бальмера из (38.4) следует, что Т'(л2)=Л/22, Т(л1)=Л/«г При неограниченном возрастании Л( Т(Л1)-»0 и частоты линий серии Бальмера стремятся к пределу, которым является терм Т(лз), представляющий собой частоту границы серии. 1 В. Ритц установил (1908) справедливость положения, называемого комбинационным принципом Рица: чистоты спектральных линий излучения любого вгоню вюгут быть представлены в виде ревности двух .термов: составляя различные комбинации термов, можно найти вес возможные частоты спектральных линий атого атома. Из комбинационного принципа Ритца следует, что в спектре водорода кроме бальмеровской серии должны существовать другие серии, которые’могут быть получе- ' /1 1\ вы из термов серии Бальмера. Например, вычитая из частоты vh^R родной линии Нд частоту 1 1 \ ———) линии Н„ получаем Д21 4’ водо- v=»A Аналогично можно найти и другие линии в инфракрасной части спектра водорода, называемой серией Патела: 1 1 v-Я V "/ - •Обычно в литературе об» значения постоянной Ридберга обозначаются одной буквой R и лишь указывается, в Каких одинитах она выражена: с"1 или ы-1. 533
3. Тщательные исследования спектра водорода показали, что в нем наблюдаются еще четыре серии спектральных линий. В далекой ультрафиолетовой области спектра обнаружена серин Ляймяяа: ' v=R (-----| (л=2, 3, 4,...). V2 </ В далекой инфракрасной области обнаружены: серия Брэкета /1 1\ v=A(-—-)(п-5,6,7,...); \42 л2/ серия Пфунда । ——-) («“6, 7,...); л’/ серия Хэмфри . (I 1\ ——i I (и“7> 8» — ) 6* irj Таким образом, все сериальные формулы спектра водорода могут быть выражены едиными формулами: 1 /1 1\ -~R (383Э \ЛГ 1Г/ где тип — целые числа, причем для данной серии п=т+1, т+2, т+3 и т. д. Для серии Лаймана т=* 1, для серии Бальмера т=2, для серии Пашена т=3 и т. д. При неограниченном возрастания п частоты всех серий водородного спектра сходятся к соответствующим границам. Граничные частоты водородного спектра Т(т) равны R]m\ Огромную роль сыграла возможность, комбинируя термы Т(л) одной серии, получить линии другой серии. Эго было предвосхищением того, что терм пропорционален энергии атома Щ, в состоянии с квантовым числом л. Из формул (38.5), подтвержденных на опыте с огромной, «спектроскопической», точностью, ярко выступает особое значение целых чисел в спектроскопических законо- мерностях. Мы вцделн, что квантово-механическое решение некоторых задач об энер- гии (например, у осциллятора, электрона в «ящике» и др.) также приводит к особой Shh целых чисел — квантовых чисел, определяющих дискретные значения энергии. бегая вперед, укажем, что числа т и в в формулах (38.5) также являются квантовыми числами, определяющими энергетические уровни атома водорода. Однако от открытия сериальных закономерностей в атоме водорода до квантово-механического решения задачи об атоме водорода физика прошла огромный путь, исторически очень корот- кий, но.полный драматизма и выдающихся открытий. Этот путь, как и вся физика первой половины нашего века, всегда будет связан с именем великого физика — дат- чанина Нильса Бора. .Г ,7 \ § 38.4. Теория Бора Для водородоподобных систем 1. В § 38.3 было показаво/г*яю дискретный линейчатый спектр атома водорода и закономерности (38.5) или(582У) находятся в прямом противоречии с классическим истолкованием модели атома Резерфорда. Первая попытка построения «классической теории атома была предпринята Бо- ром (1913) и составила важный этап в развитии современной физики. В основе этой теории лежала идея связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых 534
спектров, ядерную модель атомов Резерфорда в квантовый характер излучения в по- глощения света, подтвержденные обширным экспериментальным материалом. В те- ории Бора не содержалось принципиального отказа от описания поведення электрона в атоме при помощи законов классической физики. Такое описание сохранялось. Однако для достижения тех целей, которые поставил перед собой Бор, ему пришлось дополнить классическое описание некоторыми ограничениями, накладываемыми на возможные состояния'электронов в атоме. Эти ограничения были сформулированы в виде постулатов, физический смысл которых не только не мог быть объяснен в рамках теории, но, более того, противоречил сохраняющемуся в теории классичес- кому описанию движения электрона в атоме. Тем не менее такой принципиально непоследовательный путь привел к правильным результатам в некоторых вопросах, в частности к объяснению спектральных закономерностей атома водорода. Причина этого заключается, в том, что в Боровской теории, которую часто называют «старой» квантовой теорией, были правильно указаны некоторые свойства атомных систем. Как мы увидим, эти правильные результаты могут быть получены в квантовой механике из гораздо более строгих и общих положений, не требующих постулатов. Теория Бора применима не только к атому водорода, но и к водородмодобной системе, состоящей из ядра с зарядом Ze и одного : ггрона, вращаю его< вокруг ядра. Такую систему называют иэоэлектронной водороду. Примерами таких систем являются ионы Не*, Li** и др. 2. Первый постулат Бора (постулат сгацвоняриых rni inaaril) заключается в следу- ющем:' существуют стяционярные состояния ятсизв, мяходясъ кото- рых он но излучает энергию. Этим стационарным состояниям соответствуют вполне определенные (стационар- ные) орбиты, по которым движутся электроны. При движении по стационарным орбитам электроны, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают электромагнит- ных волн. Правило квантования орбит Бора утверждает, что импульса, удовлетворяющие условию Д.-щлг—яй (л-1,2,3,(38.6) Здесь те — масса электрона; е — скорость электрона; г — радиус его орбиты. Целое число п равно числу длин воли де Бройля для электрона, укладывающихся на длине круговой орбиты. В самом деле, учитывая формулу де Бройля, найдем отноше- ние длины окружности к длине волны де Бройля: 2яг/1»» 2ятм>/Л « л. Второй постулат (правило частот) устанавливает, что 1ОДО /• при переходя атоме из одного стационарного состояния в дру- гое испускается или поглощается один фечон.-. .лГЗ" >моз «И к... ; Х<< * Излучение происходит при переходе атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией (при переходе электрона с орбиты более удаленной от 535
ядра на ближнюю к ядру орбиту). Поглощение фотона сопровождается переходом атома в состояние с большей энергией. Этому соответствует переход электрона На более удаленную от ядра орбиту. Изменение энергии атома, связанное с излучением или поглощением фотона, пропорционально частоте v. Если AFF — изменение энергии атома в результате этих'процессов, то AFF-Av. (38.7) Правило частот Бора (38.7) может быть записано иначе. Если W. и Wm — энергия атома в двух стационарных состояниях, то (38.7') При W„< FF„ происходит излучение фотона, при Wm> W„ — его поглощение. 3. Анализируя содержание постулатов Бора, нельзя не заметить, что первый и второй постулаты связаны с невозможностью классического обоснования ядерной модели атома, а также со спектральными закономерностями (38.5) в атоме водорода и кван- товой структурой излучения. В самом деле, сопоставление формул (38 7), (38.5') и (38.4') позволяет сделать заключение о том, что энергия атома в некотором стаци- онарном состоянии FF„- -Юф? (я-1,2, ...). (38.8) Постоянная Ридберга была вычислена из принципа соответствия Бора. Спектральный терм связан с энергией атома формулой (38.83 Таким образом, целые числа, входящие в сериальные формулы (38.5) и (38.53, опре- деляют квантованные значения энергии ато- ма (энергетические уровни атома водоро- да)*. Целое число л, определяющее энерге- тические уровни водородного атома по формуле (38.8), называется главный кван- товым числом. Из формулы (38.8) следует, что энерге- тические состояния атома водорода образу- ют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от п. Энергетическое состояние, соответствующее п— 1, называется основным или вормшмым (невозбужденным) состоянием. Все состоя- ния с п> 1 называются возбуждавши. При возрастании п энергетические уров- ни сближаются к границе, соответствующей п=оо. При этом п FF«,«O. Звак минус в формуле (38.8) показывает, что электрон связан в атоме силой притяжения к ядру. Поэтому абсолютное значение W„ в формуле (38.8) считают энергией связи электрона в атоме, находящемся в состоянии п. Сосюяпк п=со соответствует понизащп атома, т. с. отрыву от него электрона. Энергия иониза- ции из данного состояния равна энергии связи электрона в атоме в этом состоянии. Энергия ионизации Wm связана с потенциалом ионизации ®: Wm~eq>. Таким об- разом, -ЗМО1Л hS- - ^=ЯА/«- •Мы считаем, что ядро атома неподвижно и энергия однозлапронной системы равна энергии движущегося электрона. В тех слу ях, когда необходимо учитывать движение кфя, будут сделаны специальные оговорки. • • 536
Подставив в это соотношение значения всех постоянных*, получим для потенциала ионизации атома водорода из нормального состояния (л= 1) <р= 13,60 В. На рис. 38.3 приведена схема энергетических уровней атома водорода W„ — WX Стрелками указаны переходы, соответствующие излучению различных серий линий Л в нм). 4. Правило частот не могло быть навеяно никакими эмпирическими формулами в явилось гениальной догадкой Бора. Это правило (38.6) в соединении с формулой (38.7Q позволили Бору рассчитать спектр атома водорода и других изоэлектронных водороду систем, а также теоретически вычислить соответствующие им значения постоянной Ридберга, находящиеся в хорошем согласии с опытом. Бор считал, что движение электрона в водородоподобной системе происходит по круговой орбите радиуса г под действием кулоновской силы притяжения электрона к ядру, обуслов- ливающей центростремительное ускорение, т. е. можно записать nw2/r.Ze2/(4jwor2) или, так как v=tor, где to — угловая скорость вращения, гэ.2е2/(4яе0'п«с’2)- (38.9) Из (38.6) и (38.9) получим гв^лаЛх-4я80/(т^е2)(л=1,2,„.Э. (38.9') При л=» 1 для водорода (Z- 1) имеем . г1=ав-Й1-4я8в/(/п^2)=0,529 10-1Ом. (38.9*) Эту величину называют радиусом первой орбиты электрона в атоме водорода (первым воровским радиусом). Из формулы О8.9Э видно,, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел. Энергия электрона в водородоподобной системе равна сумме его кинети- ческой и потенциальной WB энергий в электростатическом поле ядра: «V2 Ze2 1 Ze2 IP. W,+ Wa~—---------~-------. 2 4«or 24?щ/ . Подставив т в (38.9") из (38.9Q, получим гр ’ л2 8*2«3 ’ Для атома водорода (Z. 1) 1И-«* 1 W __ * _ * 8Л2в^ и2 Из сравнения формул (38.10') и (38.8) следует, что постоянная Ридберга (38.9"Э (38.10) (38.10') 8А3в2о (38.11) Соответственно формулу (38.10) для энергетических уровней водородоподобной си- стемы можно переписать в виде: . W,—ZW^X t (38.104 ЙНЬ , Учет движения ядра сводится к тому, что вместо массы т, электрона в формулу (38.11) следует ввести приведенную массу двух частиц электрона и ядра, движу- щихся относительно центра масс системы ядро — электрон: ЛГ), где И—масса ядра атома. •3вяление Я должно быть взято с учетом движения ядра (см. п. 4). 537
в. Бор чувствовал, что его правило квантования орбит, относящееся к круговым орбитам, не является правильным. Поэтому он предложил более общий подход для вычисления постоянной Ридберга Для вычисления достоянной Ридберга можно воспользоваться принципом соответ- ствия Бора, сформулированным в | 37.7. Классическое выражение для радиуса орбиты электрона в водородооцдобной системе, согласно (38.9), имеет вид Эта формула приводит к выражению для энергии электрона в атоме водорода до (38.9"Э: 1 "У™ ~2 (4>«о) Рассмотрим* теперь переход электрона между двумя соседними энергетическими уровнями и и я— 1 при я5»> 1. <]о .принципу соответствия результаты квантово-механи- ческого и классического рассмотрения должны при этом совпадать. Частота, соответ- ствующая этому переходу, [1 11 2л-1 2R (л—1)* b’J »,(л—I)3 в* Таким образом, »-Энергия электрона до формуле (38.8) равна ---J?,V'7(4k)W. Приравнивая до принципу соответствия классическое и квантовое выражения для энергии, после возведения в куб, получаем А«ж^*/(8А3^). Этот результат совпадает с формулой (38.11). § 3&5. Экспериментальное подтверждение постулатов Бора Рис. 38.4 1. Постулат Бора о существовании стационарных состояний атомов и правило частот нашли свое экспериментальное подтверждение в опытах Д. Франка и Густава Герца (1913). В опытах изучались столкновения электронов с атомами газов методом задер- живающего потенциала. Идея опытов заключалась в том, что.пучок электронов, ускоряемых в электрическом поле, проход ил через газ и электроды испытывали соуда- рения с атомами газа. Первые опыты были поставлены на ртути. Схема опытов изображена На рис. 38 А Накаленный катод К, испускающий электроны, сетчатый электрод S’ и анод А, соединенный с aiKUjXHM цюм или гальванометром <7, помещались в стек- ляиный.^осуд, 8 КОТОР°М находились ртутные пары при дав£££$ц. аколо 0,1 мм рт. ст. Между катодом и сеткой соэдф^дось ускоряющее электрическое доле с разностью потеаодаж» а между сеткой и анодом — слабое замед- лшйцж пояе с разностью потенциалов pj, не тфевышающей Ж-^мжтроды, встречающие на своем цуга атомы ртути, ^^ьпывать с ними соударения двоякого рода. Пср- вый кцЦгроударений -г- уцругие столкновения, в' результате г^нчжытг эисгтия электронов НЕ изменяется, & изменяются лишь «пфавиения скоростей электронов. Такие упругие сто- 538
лкновсиия, хотя и затрудняют попадание электронов на анод, не могут быть причиной практически полно* го отсутствия анодного тока в трубке, который до- лжен возрастать с увеличением разности потенци- алов Ф1- Второй тип возможных соударений электро- нов с атомами — неупругие столкновения — связан с потерей электронами их энергии и передачей этой энергии атомам ртути. В соответствии с постулатами Бора каждый из атомов ртути не может принять энергию в любом количестве. Атом может воспри- нять лишь определенную энергию и перейти при этом в одно из возбужденных энергетических состоя- ний. . О 5 10 15 Ближайшее к нормальному состоянию атома ртути возбужденное состояние отстоит от основного Рис. 38.5 по шкале энергий на 4,86 эВ. До тех пот, пока элект- роны, ускоряемые полем, не приобретут эиергиЮ1ОД=4,86 эВ, они испыты- вают лишь упругие столкновения и анодный ток возрастает с ростом Как только кинетическая энергия электронов достигает 4,86 эВ, начинают происходить неупругие столкновения. Электрон с таким значением энергии полностью отдает ее атому ртути, возбуждая переход одного из электронов атома ртути из нормального энергетического состояния на возбужденный энергетический уровень. Ясно, что такой электрон, потеря- вший свою кинетическую энергию, не сможет преодолеть задерживающее его поле и не достигнет анода. Таким образом, при разности потенциалов между катодом и сеткой, равной 4,86 зВ, .должно происходить резкое падение анодного тока. Аналогичное явление будп при од=2'4,8б зВ, 3'4,86 зВ, вообще говоря, при од «л-4,86 эВ, когда электроны могут испытать два, три и т. д. неупругих соударения с атомами ртути, потерять при этом полностью свою энергию и не достигнуть анода. На рис. 38.5 приведена характерная кривая зависимости силы анодного тока от разности потенци- алов между катодом и сеткой в опытах Франка и Герца, подтверждающая справед- ливость первого постулата Бора. 2. Правило частот Бора также экспериментально подтвердилось в опытах Франка и Герда. Ртутные пары, возбужденные электронным ударом, оказались источником ультрафиолетового излучения с длиной волны 2537 А(первая резонансная линия ртути). Это излучение происходит в тот момент, когда атом ртути, возбужденный элект- ронным ударом на уровень с энергией JFj, возвращается в основное нормальное энергетическое состояние с энергией W\. Согласно правилу частот Бора, W2— Wi=~hv, где W2— По известному значению AIP«4,86 эВ можно вычислить длину водны излучения: А=Лс/Д>Г=2,537 10”7 м. Этот результат полностью согласуется с экспериментом. 3. Серьезным успехом теории Бора явились теоретическое вычисление постоянной Ридберга для водородоподобных систем и объяснение структуры их линейчатых спек- тров. В частности, Бору удалось правильно объяснить серии спектральных линий ионизированного гелия, до этого приписываемые водороду (серии Пикеринга и Фаулера для Не4). По значениям постоянной Ридберга R для Н и Не4 можно теоретически вычислить отношение массы протона к массе электрона т^т, и значение Яц при неподвижном ядре. Вычисления привели к значению /n^/m, = 1847, находящемуся в со- гласии с известным из опыта. Это было очень важйым подтверждением правильности основных идей, содержавшихся в теории Бора. Не мёЙССважным оказалось нахожд ение удельного заряда электрона е/m, из спектроскопичеоЖ Жданных. Значение е/т( опреде- ляется по известным постоянным Ридберга для двЖ!различных атомов, например водорода и дейтерия (тяжелого водорода). р":. Теория Бора объяснила физическую природу характеристических рентгеновских спектров, расщепление спектральных линий и сильйомм&пштном поле (нормальный эффект Зеемана) и другие явления. Дальнейшее обЬбЩштйЪравил квантования орбит на.системы со многими степенями свободы позволило установить, что состояние электрона в водородоподобной системе не может быть описано одним квантовым • 539
числом. Квантовых чисел должно быть столько же, каково число степеней свобода, например дна эллиптической орбиты Электрона их должно быть два. 4. Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физики В период ее развития (1913 —1925) были сделаны важные открытия, навсегда вошедшие в со- кровищницу физической науки. Особенно велика ее роль в развитии атомной, а также частично и молекулярной спектроскопии, где огромный экспериментальный материал с помощью теории Бера был систематизирован и сведен к определенным полуэмпнрическим закономерностям. Однако наряду с определенными успехами в теории Бора с самого начала об- наружились существенные недостатки. Главнейшим из них была внутренняя проти- воречивость теории. Основываясь на механическом соединении классической физики с квантовыми постулатами, теория Бора в ряда проблем привела к существенным трудностям. Сюда прежде всего относится вопрос об интенсивностях спектральных лНний. Для их вычисления и теории Бора приходилось применять принцип соответст- „ вня не только для больших квантовых чисел, но и дня малых, т. е., по существу, использовать для расчета интенсивностей классические представления. Наиболее се- рьезной неудачей в теории Бора явилась абсолютная невозможность с ее помощью создать теорию атома геодя, содержащего помимо ядра два электрона. Постепенно становилось очевидным, что теория Бора, правильно объяснившая одни факты и не способная истолковывать целый род других, представляет собой липп. перетлпный этап на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений. Такой последовательной теорией явилась квантовая (волновая) механика Применение ее к атомным процессам позволило де только объяснить огромное многообразие явлений атомной и одерной физики, но и вскрыть физическое содержание самих постулатов Бора. Вопросы: 1. В чем состояла невозможность классического истолкоевнир одерной модели атома во- дороде? 2. В чем заключаются постулаты Бора и как они обосновывают линейчатый спектр водорода? 3. Чем должны отличаться частоты линий иона гелия и атома водороде при одинаковых квантовых числах исходного и конечного состояний? 4. Как выводится формула для постоянной Ридберга с помощью принципа соответствия? б. Как доказывается экспериментально правило частот Бора э опытах Франка и Герца?
Глава 38___________________;_________- ______ Современные представления о строении и оптических свойствах атомов § 39.1. Водородоподобная бистема в квантовой механике 1. Результаты, достигнутые теорией Бора в решении задачи об энергетических уров- нях электрона в водородоподобной системе, получены в квантовой механике без привлечения постулатов Бора. Рассмотрим движение электрона в кулоновском полеядра Ze, т. е. задачу об электроне, обладающем потенциальной энергией Ц(г)» -*Ze2/(4juor), где к — расстоя- ние между электроном и ядром. Состояние электрона' в водородоподобном ионе описывается некоторой волновой функцией ф, удовлетворяющей стационарному урав- нению Шредингера: A^+(2m^(IF-U)^“0. (39.1) Здесь W — значения полной энергии электрона в ионе, которые требуется отыскать при условии, что ф удовлетворяет требованиям конечности, однозначности и непрерыв- ности. Центрально-симметричный характер силового поля, в котором движется элект- рон, естественно, требует использования сферических координат при решении уравне- ния (39.1). 2. Решение уравнения Шредингера для водородоподобной системы в сферических координатах позволяет получить важные результаты. Оказывается, что момент импуль- са электрона в ионе квантуется по формуле (392) где 1—0; 1; 2;...; (л— 1) — орбитальное квантовое число*. Из уравнения (39.1) сйедует, что при W<0, т. с. в условиях, когда электрон «связан» в атоме, его движения должны быть периодическими, а значения W — полной энер- гии — квантованными. Энергия, которой может обладать электрон в ионе,. W— —Z1mte*/[8h2e£(nr+l+1)2], (39.3) где tir — радия ш.ное квантовое число. Если ввести обозначение п—л,+/+1, (39.4) то выражение (39.3) для энергетических уровней электрона в водородоподобной систе- ме можно записать в форме, аналогичной выражению (38.10) в теории Бора: Щ,--22щ^*/(п28Л2^)=-22ЛЛ/па- (39.4Э Таким образом, последовательное решение уравнения Шредингера для электрона в водородоподобной системе приводит к энергетическим уровням типа Бальмера — Ридберга без использования каких-либо постулатов. Квантовое число л, определенное по формуле (39.4), совпадает с главным квантовым числом, вводимым в теории Бора. Энергетические урокш электрона для водородоподобной системы зависят только от *Пределы, в которых изменяется число /, рассмотрены в конце параграфа. 541
главного квантового числа Из формулы (39.4) следует, что наибольшему значению 4шс при данном я соответствует л,—О, т. е. 1. Следовательно, при заданном п орбитальное квантовое число может принимать следующие значения; 1-0,1,2,..., (л—1). (39.5) § 39.2. Основное состояние атома водорода 1. Состояние электрона, обладающего различными значениями орбитального кван- тового числа, в атомной физике цриниго обозначать и называть следующим образом: /=0— «-состояние, /= 1—р-состояние, /=2— d-состояние, Z— 3 —/^состояние ит. д в пррвдяв следования букв латинского алфавита. Рассмотрим более подробно состояние электрона в атоме водорода при л—1. Такое состояние электрона и атома называется основным. Волновая функция электрона в этом состоянии является функцией только г. ф—чНг), т. е. «-состояние электрона в атоме сферически-симметрично, плотность вероятности обнаружить электрон в дан- ной точке атома будет зависеть только от г. Уравнение Шредингера для основного состояния водородного атома Нмеет вид dV 2ty 2ж,/ «»\ +-JZ+~_(jp1+ U_o. (39.6) dr r dr Jr \ . 4xcpr/ Будем искать решение этого уравнения в ферме #-се~г1‘‘, (39.7) где вр имеет размерность длины; с — некоторая постоянная, определяемая из условия нормировки вероятности. . - Дифференцируя ф н подставляя и d V/dr2 в (39.6), получим после сокращения -г/<, на се » /1 2\ «* Яг- н— 24 \< гцр/ 4нрг Последнее уравнение удовлетворяется для любых значений г при выполнении двух условий: ж. * 2мс4р Из последнего условия следует, что 0^Й»-4«р/(»кеа). (39.9) Из сравнения (39.9) с (38.9*) вцеЬ^ *чго выражение (39.9) совпадает с первым боровским радиусом вц для атома водореш. Подставив (39.9) в (38.8), найдем . iUSHIv , . /jqoc . «йЙк** (39.10) Сравнение (39.10) и (39.3) показывает, что мы получили значение энергии основного состояния атома водорода, соответствующее л—1. 542
2. Найдем вероятность того, что электрон в основ- л . ном состоянии атома водорода находится на рас- "*» стоянии г от ядра, точнее в интервале расстояний /Г» от г до r+dr, т. е. *в шаровом слое объемом / I dP'—4nr2dr. / I Вероятность обнаружить электрон в элементе / 1 объема d V имеет вид / I dw=|<Д|2 dR= |^|2 4ЯГ2 dr. I \ Подставим в эту формулу выражение (39.7) для / \ волновой функции основного состояния: / dw=A /”-4яг2<1г. (39.11) > ' а° г. Вычислим теперь те расстояния rww. от ядра атома, Рис на которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон. Для этого исследуем выражение dw/dr на максимум Диф- ференцируя функцию/-2е~2г(а* и приравнивая производную нулю, получаем гМ1Г=дь. Этот результат является частным случаем более общего вывода: воровские орбиты электрона представляют собой геометри- ческое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть' обнаружен электрон. По теории Бора, вероятность обнаружить электрон в состоянии с л— 1 отлична от нуля для r=OQ. Согласно же квантовой механике, эта вероятность лишь достигает максимума при г=оо. но она отлична от нуля во всем пространстве. На рис. 39.1 сопоставлены вероятности обнаружить электрон на различных расстояниях от ядра по теории Бора и по квантовой механике. 3. Из формулы (39.2) следует, что электрон, находящийся в атоме водорода в х- состоянии, т. е. в состоянии с /—0, имеет момент импульса, равный нулю: £о=0. В теории Бора такое состояние соответствовало бы «маятникообразной» орбите, проходящей через ядро атома. Квантовая механике приводит к возможности сущест- вования таких состояний электрона, в которых он не имеет момента импульса, связанного с движением по орбите. Этот вывод относится к х-электрону в любом атоме. § 39.3. Приближенный метод квантования энергии электрона в атоме водорода 1. Для произвольного состояния электрона, обладающего потенциальной энергией tf(r)= — е2/(4я«ог) в поле ядра атома водорода, решение уравнения Шредингера пред- ставляет большие трудности. Вместе с тем очень важно получить энергетические уровни WH электрона в атоме водорода в форме (38.10). Попытаемся качественно получить формулу (38.1Q до.методу, аналогичному тому, который применен для гармонического осциллятора’; дадем исходить из того, что на эффективной длине в области, дозволенной «потенциальной ловушкой» (отрезки оЬ, а’Ь', <?Ь” и т. д. на рис. 39.2), должно укладываться целое число полуволн де Бройля*.. Постольку эффективная длина I зависит от энергии W, форма потенциальной кривой определит квантование энергии. Из равенства потенциальной энергии на «стенках» •Выбор эффективной длины диктуется теми же соображениями, что и в § 37.9, и. 6. .543
потенциального ящика (потенциальной ловушки), т. е. в точках а,а!, tf, b, b', Ь*Цт. д., > энергии IF имеем ' , v . е»'-'- 1й' или /.------- (39.12) Ажср/к 4wq1Fb Эффективную длину волны да Бройля Л4 введем аналогично формуле (37.43): <»Va/2>-fta/(2m^. (39.12') Для определения имеем соотношение h1l(2m'ty-W-<lT> (39.13) или 24» ‘/3пЛ4 («-1. 2, ...). (39.14) Задача сводится к отысканию <(7>. которое нельзя провести элементарными методами. Ес- Л ли сделать упрощающе» предположение о том, что электрон может с равной вероятностью находиться в любом месте внутри «потенции - ильной ловушки», можно сравнительно просто (но не элементарным путем) подсчитать, что <17>-э/2И4. Предположим, что заряд электрона равномерно распределен внутри «потенциаль- ной ловушки». Бесконечно малый заряд внутри сферического слоя радиусом г и толщи- ной dr равен —edF —e’4ar2dr —3<r2dr Аава-----вя----------зек-----. */»<’ •/.-< е -Л~ Потенциальная энергия этого слоя в цоле ядра, заряд которого е* равна Jr, J тгя, Зег’йг ,е • ЗЛ-dr - dt7=d? - —у- А • I* 4«ог 4»#/' ’ Д Среднее значение потенциальной энергии f Зе1 f Зе1 3 ? 3 <L7>-|d£/=- - |rdr=— —------------------- J 4juof* J 4ж«о/.э2 24«о/, 2 о о Теперь формула (39.13) принимает вид Ла/(2т^)=-‘/аИ4. С другой стороны, —4еа/(н4яеоВ4). Подставив Л» в (39.13'), получим после сокращения (39.13') (39.43 544
2. Сравним эту формулу с. выражением (39.4'). Ках видно, зависимость энергии от главного квантового числа и универсальных постоянных т, е, h получилась правиль- ной. Единственное отличие от точной формулы состоит в том, что вместо восьмерки в знаменателе стоит я2=9,98. Разумеется, приведенные рассуждения не следует считать выводом выражения для энергии водородного атома. Их цель — иллюстрировать зависимость энергий Wn от формы потенциальной кривой и показать, что электрон, обладающий волновыми свойствами и движущийся в кулоновском поле ядра в атоме водорода, имеет квантованные значения энергии W„ обратно пропорциональные квад- рату главного квантового числа п2. § 39.4. Пространственное квантование. Спин электрона 1. Известно, что орбитальный момент импульса электрона L/ и пропорциональный ему магнитный момент ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты элект- рона и направлены в противоположные стороны. Между векторами и L; существует связь (§ 24.1) Pm=?L/= -eL,/(2me), (39.15) где у=-е/(2те)— орбитальное гиромагнитное отношение; mt — масса электрона. На- помним, что аналогичная связь существует между магнитным моментом и механичес- ким моментом импульса атома в целом. Указанная связь векторов Рш и L/ выводится в классической физике и сохраняется в теории Бора. В квантовой механике, естествен- но, не может быть указана ориентация векторов L/ и рщ относительно плоскости электронной орбиты. Для указания ориентации векторов L; и Рщ должно быть выбрано некоторое направление в пространстве, и расположение вектора L/ фиксируется углом между вектором L, и направлением, за которое выбирается направление любого внешнего магнитного поля, в котором находится атом и его электроны, либо внутрен- него магнитного поля, созданного всеми электронамии (кроме рассматриваемого) и ядром атома. В классической физике предполагалось само собой разумеющимся, что вектор L/ (или Pm) может быть ориентирован относительно йзбранного направления магнитного поля произвольным образом. На этом естественном предположении ос- новывалась классическая теория парамагнетизма П. Ланжевена. 2. На языке теории Бора возможность любых ориентаций вектора означает, что плоскость орбиты электрона может быть ориентирована произвольно по отношению к внешнему магнитному полю. Однако такое предположение было ошибочным. Оказа- лось, что существует так называемое пространственное квантование: момент импульсе электрона может иметь лишь такие ориен- тации в пространстве, при которых проекция Lb вектора 1ц на направление Z внешнего поля принимает квантованные зна- чения, кратные h. Этот результат впервые был получен как следствие обобщенных А. Зоммерфельдом правил квантования воровских орбит. В квантовой механике строго доказано, что проекция Lb вектора L/ орбитального момента импульса электрона на направление Z внешнего магнитного поля принимает лишь целочисленные значения h Lb=mh, (39.16) гдети=0, +1, ±2, ±3,..., ±1 — магнитное квантовое число (/ — орбитальное квантовое число, определяющее модуль вектора L,). Таким 'образом, вектор L, может принимать 545 18 Курс физики
Рис. 38.3 Рис. 39.4 2/+1 ориентаций в пространстве. На рис. 39.3 приведены возможные ориентации векторов Lj для электронов в р- и ^-состояниях (/= 1 и 1=2). 3. О. Штерном и В. Герлахом были поставлены опыты (1922), целью которых яв- лялось измерение магнитных моментов Рщ атомов различных химических элементов. Для определения моментов L/ и рщ одного электрона опыты должны быть поставлены с атомами, у которых орбитальные механические (и магнитные) моменты всех электро- нов, кроме одного, взаимно компенсируют друг друга. Такими атомами являются атомы химических элементов, образующие первую группу периодической системы Менделеева и имеющие один валентный электрон на внешней оболочке. Идея опытов Штерна и Герлаха заключалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле. В таком магнитном поле на атом должна действовать сила dfl F=Anz-- (39.17) dz Здесь В — индукция магнитного поля (направленная вдоль оси 2), неоднородного только вдоль этой же оси. - * Опыты Штерна и Герлаха обнаружили ошибочность классического предположения о том, что магнитный момент Рп и механический момент импульса Lz атома произ- вольно ориентируются относительно направления внешнего поля, и подтвердили нали- чие пространственного квантования. Схема первых опытов Штерна и Герлаха изоб- ражена на рис. 39.4. . В трубке, где был создан вакуум порядка 10-s мм рт. см., помещался источник пучка атомов — нагреваемый до высокой температуры серебряный шарик К. Атомы серебра вылетали с его поверхности со средней тепловой скоростью порядка 100 м/с, соответствующей температуре нспарени серебра. Из этих атомов при помощи щелевых диафрагм В вырезался узкий пучок, проходящий через сильное и неоднородное магнитное поле, направленное перпендикулярно пучку. Основная трудность опыта состояла в теш, чтобы достигнуть такой большой неоднородности магнитного поля, которая сказывалась бы на расстояниях порядка размере атома. При такой величине неоднородности поля, как показывает формула (39.17), можно было рассчитывать получить значительную отклоняющую силу F, действующую на атом в магнитном поле. Необ- ходимая неоднородность поля была достигнута в результате применения сильного электромаг- нита SN с полюсными наконечниками специальной формы. Приемни- ком атомов серебра служила фотопластинка А. 4. Если- бы момент импульса L; атома (в его магнитный момент Рт) мог принимать произвольные ориентации в маг- нитном поле, то можно было бы ожидать непрерывного рас- пределения попаданий атомов на пластинку с большей плот- ностью попаданий в середине пластинки и меньшей плотно- стью к ее краям. Опыты, проведенные с серебром и атомами других элементов периодической системы, привели к совер- шенно другому результату. На рис. 39.5 показана фотография 546
результата опыта Штерна н Герлаха с литием. Из рисунка видно, что на фотопластинке получились две резкие полосы все атомы отклонялись в магнитном поле двояко, что соответствовало лишь двум возможным ориентациям магнитного момента во вне- шнем поле. Момент импульса атома (и его магнитный момент) равен суммарным моментам электронов, поскольку магнитные моменты ядер значительно меньше по модулю, чем магнитные моменты электронов. Последние совпадают с суммарными моментами валентных электронов, так как моменты электронов заполненных оболочек компенсируются. У лития и других атомов первой группы периодической системы имеется один валентный оптический электрон. Таким образом, моменты импульса и магнитные моменты таких атомов совпадают с моментами электрона. 5. Если подставить выражение (39.2) в (39.15), то связь величин рт и Lt можно записать в виде An= ' Lt= v//(/+1) =дБ 7К/+Т). (39.18) 2те где рБ=е^(2/н,)=9,274 10“24 Дж/Тл магнетон Бора.'Таким образом, магнитный момент может содержать некоторое число у/1(1+1) магнетонов Бора. По известной величине dB/dz неоднородности магнитного поля, направленного по оси Z, и по определенной из отклонения атомов в магнитном поле силе F, действующей на атом, можно, пользуясь формулой (39.17), найти Рт.. Для серебра Штерн и Герлах получили, что проекция магнитного момента атома на Направление поля численно равна магнетону Бора. По оценкам исследователей, относительная погрешность в опре- делении магнитного момента не превышала 10%. Результаты этих опытов, впоследст- вии проверенные на других атомах элементов первой группы периодической системы, не вызывают ни малейшего сомнения. Таким образом, опыты Штерна и Герлаха не только подтвердили пространственное квантование моментов импульса в магнитном поле, но, кроме того, экспериментально подтвердили вывод о том, что магнитные моменты электронов и атомов состоят из некоторого числа «элементарных моментов», т. е. имеют дискретную природу, связанную с квантованием момента импульса. Магнитные моменты электронов и атомов выражаются в магнетонах Бора. 6. Важной особенностью атомов первой группы элементов таблицы Менделеева, с которыми ставились вначале опыты Штерна и Герлаха, является то, что валентный электрон в основном состоянии атома имеет орбитальное квантовое число, равное нулю, т. е. электрон находится в «-состоянии. Атомный пучок в опытах содержал атомы, находящиеся в основном состоянии. Однако в состоянии с /=0 электрон не имеет момента импульса, как это следует из' формулы (39.2)*. Поэтому возникает серьезный вопрос об истолковании результатов опытов Штерна и Герлаха. Простран- ственное квантование какого момента импульса обнаружилось в этих опытах и проек- ция какого магнитного момента равна одному магнетону Бора? Ранее Эйнштейн и де Гааз обнаружили аномальное значение гиромагнитного отношения для ферромаг- нетиков. Для объяснения этих результатов нужно предположить, что у электрона помимо орбитального момента импульса L/ и соответствующего ему магнитного момента рщ имеются собственный механический момент импульса L„ называемый свином электрона, и соответствующий ему собственный магнитный момент Pm,. Пред- положение о существовании спина было высказано (1925) С. Гаудсмитом и Дж. Уленбеком в связи с целым рядом трудностей в атомной физике, накопившихся к тому времени. Одной из них, н притом очень важной, явилась трудность с истолкованием результатов опытов Штерна и Герлаха. 7. Уленбек н Гаудсмит дали спину электрона наглядное модельное истолкование, заключающееся в том, что спин рассматривается как момент импульса, связанный с вращением электрона - заряженного шарика — вокруг своей оси. Однако можно •Если даже предположить, что при нагревании источника пучка атомов последние перехо- дили в возбужденные состояния, то следует учесть, что в возбужденном состоянии атомы находятся в среднем 10 * с, а затем переходят в нормальное состояние. 547 18*
□оказать, что такое представление о спине приводит к противоречию с, теорией относительности. Оказывается, что для того, чтобы вращающийся вокруг своей оси электрон-шарик приобрел магнитный момент, равный одному магнетону Бора, уг- ловая скорость вращения должна быть такой, чтобы линейная скорость на поверхности сферы в 200 раз превосходила скорость света в вакууме. В самом деле, предположим, что электрон представляет собой шарик с некоторым радиусом г. Величину этого «классического» радиуса электрона можно оценить, прира- вняв потенциальную энергию заряженного шарика его собственной энергии е3/(4л£ог)=тесг. Отсюда следует, что классический радиус электрона г=е2/(4я£о»»ес,)=2,81 • 10-ls м. Если шарик радиусом г с моментом инерции J= вращается с угловой скоростью a>=v/r, то, приравнивая момент импульса Jto спину электрона, получим где v - линейная скорость на экваторе шарика. Простая оценка показывает, что при этом «=5^(4wer)«200 с, а это находится в очевидной противоречии с теорией относительности. Модельное представление о спине при всей его наглядности не выдерживает критики и к нему не следует привыкать. Спин электрона и других элементарных частиц рассматривают как некоторое особое свойство этих частиц: подобно тому как частицы имеют массу, а заряженные частицы — заряд, они имеют, еще и спин. Заметим, что в дальнейшем развитии квантовой механики Дираку удалось показать, что существование спина вытекает из полученного им релятивистского волнового уравнения. 8. Если приписать электрону собственный момент импульса L, (сокращенно — спино- вый момент, или просто спин), то с ним оказывается связанным некоторый собствен- ный магнитный момент электрона. Из общих выводов квантовой механнки сдедует, что спин должен быть квантован по закону Д-л/ф+П* (39.19) где л — квантовое число, называемое спиновым квантовым числом. Проекция LB спина на ось Z, совпадающую с направлением внешнего магнитного поля, должна быть квантована и вектор Ьл может иметь 2s+1 различных ориентаций в магнитном поле. Из опытов Штерна и Герлаха следует, что для спина электрона таких ориентаций существует всего 2, так что 2j+ 1=2, т. е. $= */2. Для атомов первой группы периодической системы, валентный электрон которых находится в состоянии с 7=0,, момент импульса всего атома равен спину валентного электрона. Поэтому обнаруженное для таких атомов пространственное квантование момента импульса атома в магнитном поле явилось доказательством наличия у спина лишь двух ориентаций во внешнем поле*. Спиновое квантовое число В отличие от введенных ранее трех квантовых чисел — главного rt, орбитального 7 й магнитного т — не является целым числом. Числовое значение спина электрона найдем по формуле ' °’-20’ * Дальнейшие опыты, проведенные с атомами, содержащими электроны в р- и более высоких энергетических состояниях, подтвердили существование пространственного квантования орбитальных моментов импульса. 548
По аналогии' с пространственным квантованием орбитального момента импульса электрона L/, проекция La вектора L, на направление внешнего поля должна быть квантованной величиной и определяться по формуле, аналогичной (39.16): £в=/лД (39.21) где число та может иметь всего два значения*: /«,= ±’/2- Таким образом, проекция спинового механического момента импульса на направление поля может принимать два значения: £И=±1М (39.22) Часто полагают, что спин электрона может быть ориентирован либо Вдоль направле- ния напряженности магнитного поля, либо противоположно вектору Н. Такое обще- принятое словоупотребление неточно: говоря б направлении спина, при этом в дейст- вительности имеют в виду направление его составляющей L„. 9. Из опытов Штерна и Герлаха следует, что проекция Рпш собственного магнитного момента электрона равна плюс или минус магнетон Бора Дб: . JPnUI=±№=±^(2me). (39.23) Часто считают, что собственный магнитный момент электрона равен магнетону Бора. Это тоже неточность: говоря о магнитном моменте, црн этом в действительности имеют в виду абсолютное значение его проекции на направление магнитного поля. Из формул (39.22) и (39.23) видно, что -е!те= -у,. (39.24) Очевидно, что отношение числовых значений проекций векторов, направленных во взаимно противоположные стороны, равно отношению числовых значений самих векторов: PiaJL,=eitnt=y„ (39.25) или в векторной записи Рви= ~Л, (39.25') где y,=ejmt— спиновое гиромагнитное отношение, уа вдвое превышает орбитальное гиромагнитное отношение у/ (однозначно установлено при определении у,). Это позво- лило выяснить спиновую природу магнитных свойств ферромагнетиков и создать современную теорию ферромагнетизма. § 39.5. Принцип Паули 1. В. Паули установил (1925) квантово-механический закон, называемый принципом Паули или принципом исключения. В своей простейшей формулировке он гласит: ч в любом атома на может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного л, орбитального /, магнитного т и спинового тг ♦Число да, по аналогии с т можно было бы назвать магнитным спиновым числом. Однако такое название обычно редко применяется. Число та отличается от s только тем, что может принимать два значения: не только Ч-1^, но и — 1/2. Гораздо чаще, говоря о спиновом квантовом числе, понимают под ним число та, т. е. приписывают спиновому квантовому числу значения + */2- Следует, однако, помнить, что число s имеет только одно значение: s-’/j. 549
Применительно к системе электронов в атоме принцип Паули молено записать следующим образом: . Zj(n, 7, т, тл)=0 или 1, (39.26) где Zi (л, I, т, mt) — число электронов, находящихся в состоянии, описываемом набо- ром квантовых чисел п, I, т и тг Пользуясь принципом Паули, можно найти мак- симальное число электронов в атоме, имеющих заданные значения трех (л, I, т), двух (л, 0 и одного (л) квантовых чисел. Найдем максимальное число Z2 (л, I, т) электронов, находящихся в состояниях, определяемых набором трех квантовых чисел (л, 7, т), т. е. отличающихся лишь ориентацией спинов электронов. Так как число тг может прини- мать лишь два значения, т. е. +1/2 и —1f1, то, очевидно, имеем Z2(h, 7, m)=2. (39.263 Вычислим далее максимальное число электронов Z3(h, 7), находящихся в состояни- ях, определяемых двумя квантовыми числами: л и 7. Так как при заданном числовом значении £/ вектор момента импульса L* может иметь 27+1 различных ориентаций в пространстве, то число электронов равно 23(л, /)=2(2/+1). (39.27) Значения Z3(h, 7) для разных 7 приведены в табл. 39.1. Таблица 39.1 Значение орбитального квантового числа 1 0 1 2 3 4 Символ соответствующего состояния электрона S Р d / 8 Максимальное число электронов 23(л, 7) 2 6 10 14 18 Наконец, найдем, пользуясь принципом Паули, максимальное число Z(h) электро- нов, находящихся в состояниях, определяемых значением л главного квантового числа. Так как 7 при заданном л изменяется от 0 до л— 1, то, суммируя Zs(h, 7) по /от 0 до л— 1, получим Mir—1 Z(h> £ 2(27+1)=[2(л—1)+2]л==2ла. (39.28) /-о В табл. 39.2, Составленной на основе предыдущих формул, приведены максималь- ные числа электронов, обладающих в атоме заданными значениями квантовых чисел. Таблица 39.2 Заданные квантовые п, I, т, т, п, I, т л, I л числа Максимальное число 1 2 2(27+1) 2я’ электронов 550
В табл. 39.3 приведены максимальные числа электронов, находящихся в состояниях, характеризуемых данными значениями главного п и орбитального / квантовых чисел. Таблица 39.3 Слой Число электронов в состояниях Макси-, мальное число электро- нов (/-0) (/-1) d (/-2) f (/-3) g К 2 — — — — 2 L 2 б — , — — 8 М 2 б 10 — — 18 » N 2 б 10 14 — 32 О 2 б 10 14 18 50 Принцип Паули сыграл выдающуюся роль в развитии современной атомной и ядерной физики. Так, например, удалось теоретически обосновать, периодическую систему элементов Менделеева. Без принципа Паули невозможно было бы создать квантовые статистики и современную теорию твердых тел. § 39.6. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева 1. В 1869 г. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физичес- ких свойств элементов в зависимости от их атомных масс. Если расположить химичес- кие элементы в порядке возрастания их атомных масс, то периодически, через правиль- ные промежутки, называемые периодами, элементы, оказавшиеся в таблице Менделеева в одном вертикальном ряду (группе элементов), обнаруживают сходые физико-хи- мические свойства. Однако сам Менделеев, расположив известные в его время 64 химических элемента в таблицу, отражающую периодическое изменение химических свойств элементов, был в ряде случаев вынужден отступить от принципа возрастания атомных масс. Менделеев ввел понятие о порядковом номере элемента, и, расположив химические элементы в порядке возрастания их номера, получил полную периодич- ность в изменении химических свойств элементов. При этом часть клеток периодичес- кой таблицы осталась свободной, так как соответствующие им элементы тогда еще не были известны. Таким образом, Менделееву удалось на основании открытого им закона предсказать ряд новых химических элементов (галлий, скан дий, германий и др.) и описать их химические свойства. В дальнейшем все эти элементы были открыты, и предсказания Менделеева полностью подтвердились. Менделееву удалось также внести уточнения в значения атомных масс и некоторые свойства ряда элементов. Атомные массы бериллия, титана, церия и урана, вычисленные на основе закона Менделеева, оказались правильными, а экспериментальные данные о них, полученные до этого,— ошибочными. Это. явилось подлинным триумфом закона Менделеева. Являясь одним из важнейших законов природы, периодический закон Менделеева составляет основу современной химии, атомной и ядерной физики. 2. Физический смысл порядкового номера Z элемента в периодической системе эле- ментов был установлен в ядерной модели атома Резерфорда: Z совпадает с числом положительных элементарных зарядов в ядре, закономерно возрастающих на единицу при переходе от предыдущего элемента к последующему. Химические свойства элемен- тов и ряд их физических свойств объясняются поведением внешних, валентных, элект- ронов их атомов. Поэтому периодичность свойств химических элементов должна быть связана с определенной периодичностью в расположении электронов в атомах различ- ных элементов. Важнейшей задачей физики явилось теоретическое истолкование пери- одического закона Менделеева и объяснение строеннящернодической системы. Основы теории периодической системы были разработаны в квантовой теории еще до появле- ния современной квантовой механики. Теория периодической системы основывается на следующих положениях: 551
) порядковый номвр химического элемента равен общему числу электронов в атома данного элемента; б) состояние элоктроноа а атоме определяется набором их квантовых чисел л, Z, ти Распределение электронов в ато- ме по энергетическим состояниям должно удовлетворять при- нципу минимума энергии атома: с возрастанием числа элект- ронов каждый следующий электрон должен занять возмож- ное энергетическое состояние с наименьшей энергией; в) заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули. 3. Электроны в атоме, занимающие совокупность состояний с одинаковым значением главного квантового числа и, образуют электронный слой. В зависимости от значений и различают следующие слой:,# при п= 1, L при п—2, М при л=3, N при п=4, О при л=5ит. д. Из формулы (39.28) определяют максимальное число электронов, которые могут находиться в слоях: в К-слое — 2 электрона, в слоях L, М, N и О — свтвстпснвр 8, 18,32 и 50 электронов (см. табл. 39.3). В каждом из слоев электроны распределяются по оболочкам, каждая из которых соответствует определенному значению орбитального квантового числа I. Максималь- ное число электронов, находящихся й состоянии, определяемом значением I орбиталь- ного квантового числа, дается формулой (39.27) и приведено в табл. 39.1. В атомной физике принято обозначать электронное состояние в атоме символом л, I, указывающим значения двух квантовых чисел. Электроны, находящиеся в состояни- ях, характеризуемых одинаковыми квантовыми числами ли/, называются эквявалевгг- ными. Число z эквивалентных электронов указывается показателем степени в символе nl . Если электроны находятся в некоторых состояниях с определенными значениями квантовых чисел л и /, то считается заданной электронная конфигурация. Например, основное состояние атома кислорода можно выразить следующей символической формулой*: 1Д 2s2, 2р*. Она показывает, что два электрона находятся в состояниях с л=1 и 1=0, два электрона имеют квантовые числа л=2 и 1=0 и четыре электрона занимают состояния с п=2 и 1=\. 4. Изложенных выше сведений достаточно для обоснования строения периодической системы элементов Менделеева. Однако для полного описания состояния атома этих сведений недостаточно. Порядок заполнения электронных состояний в слоях атомов, а в пределах одного слоя в оболочках должен соответствовать последовательности расположения энергетических уровней с данными л н /. Сначала заполняются состояния с наименьшей возможной энергией, а затем состояния со все более высокой энергией. Для легких атомов этот порядок соответствует тому, что сначала заполняется слой с меньшим л и лишь затем должен заполняться электронами следующий слой. В пре- делах одного слоя сначала заполняются состояния с /=0, а затем состояния с бблыпим /, вплоть до l=n— 1. Подобная идеальная система элементов должна была бы иметь строение н длины периодов (т. е. число элементов в одном периоде), соответствующие табл. 39.3. Реальная периодическая система элементов Менделеева отличается от идеальной системы. 5. Для того чтобы понять различия между табл. 39.3 и реальной периодической системой элементов, следует учесть, что каждый электрон находится в поле ядра и в поле всех остальных электронов, взаимодействующих между собой. Задача об энергетическом состоянии электрона, движущегося в столь сложном поле, является очень трудной в квантовой механике. •Обоснование такого заполнения электронами состояний в нормальном (не возбужденном) атоме кислорода см. в п. 4 — 6. 552
Для решения задачи о распределении электронов в атамах химических элементов по состояниям атом каждого последующего элемента можно приближенно представ- лять себе образованным из атома предыдущего путем прибавления к ядру одного протона (и необходимого числа нейтронов) и одного электрона, находящегося на периферии атома. При этом, согласно Бору, распределение электронов по состояниям, имеющееся в атоме данного элемента^ должно соблюдаться и в атоме следующего элемента (в этом состоит важнейшая идея принципа построения системы, предложен- ного Бором еще до появления принципа Паули). Однако учет взаимодействия между электронами приводит к нарушению этбго положения. Взаимодействие между электро- нами приводит к тому, что для достаточно больших главных квантовых чисел и состоя- ния с большим и и малым / могут иметь меныиую энергию, т. е. быть энергетически более выгодными, чем состояния с меньшим п, но с большим /. В этом состоит причина отступления в заполнении состояний в реальной периодической системе элементов от заполнения, соответствующего табл. 39.3. 8. Рассмотрим кратко последовательность заполнения электронами состояний в атомах некото- рых химических элементов, находящихся в основном состоянии, В атоме водорода единственный электрон находится в состоянии 1s, характеризуемом квантовыми числами л»1,М), т**0. При этом проекция его спина на направление внешнего поля характеризуется спиновыми числами тг**±Т/3. В атоме гелия имеется.два электрона. Второй электрон этого атома также может находиться в состоянии 1s, т. е. при л=1, /=0, т=0,во спин второго электрона должен быть ориентирован противоположно спину первого (для одного из них */2, для другого т,** — */2). Группа состояний с л=1,1<=0, т»0 и mt<- ± */а образует заполненный ДГ-слой атома, соответст- вующий завершению первого периода периодической системы Менделеева. Следующий по порядку атом лития содержит три электрона. Но, по принципу Паули, третий электрон атома лития уже не может разместиться в целиком заполненном АГ-слое и занимает наинизшее энергетическое состояние в слое с л=2 (L-слой). Таким состоянием является состояние 2s (л«*2,1^0, ?и=0). Литием начинается второй период периодической системы. -Четвертый электрон бериллия (Z”4) занимает также состояние 2s, а пятый электрон бора (Z=5) должен уже занять энергетически более высокое состояние 2р (п*°2, /” 1). Электроны всех атомов вплоть до неона (Z=10) размещаются в оболочке с 1-1 и л=2. У неона таких электронов б, т. е. число, максимально возможное для такого состояния. Таким образом, L-слой неона оказывается полностью застроенным, и на этом элементе завершается второй период периодической системы Менделеева. 11-й электрон натрия (Z= И) размещается уже в ЛГ-слое (л—3), занимая низшее состояние 3s. Далее, вплоть до аргона (Z=18), идет последовательная застройка Af-слоя. Она заканчивается заполнением всех состояний оболочки Зр у аргона, завершающего третий период периодической системы. 7. 19-Й электрон калия (Z— 19) должен был бы занять состояние 3rf в JW-слое. Однако химические и оптические свойства калия, как показывает опыт, аналогичны, свойствам Li и Na, у которых валентный электрон находится в s-состоянии. Поэтому и у К его 19-й валентный электрон должен находиться в s-состоянии. Но это может быть только s-состоянце уже в следующем N слое (л=4) — состояние 4s. Таким образом, начиная с . калия при незаполненной 3</-оболочке Д/-слоя начинается застройка N-слоя. Это означает, что вследствие взаимодействия между электронами энергия Wija электрона в состоял™ 4s меньше, чем энергия Wj^, которую он имел бы в состоянии 3d. Спектроскопические и химические свойства кальция (Z—20) показывают, что его 20-й электрон также размещается в состоянии 4s N-слоя. Начиная со скацдня (Z—21) возобновляется нормаль- ное заполнение оболочки 3d, которое заканчивается у меди (Z=»29). Далее, до криптона (Z=36) происходит нормальное заполнение N-слоя. Криптон завершает четвертый период периодической системы элементов. Элемент рубидий (Z<=37), следующий за криптоном, по своим свойствам аналогичен атомам щелочных металлов Na и К. Поэтому его валентный 37-й электрон размеща- ется не в N-слое, который еще не достроен, а в следующем О-слое (в«5), т. е. находится в состоянии 5s. У атома стронция (Z—38), который по своим свойствам аналогичен кальцию, электрон также занимает состояние 5s. Начиная с иттрия (Z=39) и до палладия (Z= 46) заполняет- ся оболочка 4d, при этом изменяется число электронов в состоянии 5s от двух у иттрия до О у палладия. У серебра (Z-47) и кадмия (Za>48) вновь застраивается оболочка 5s. Начиная с индия (Z=49) и до ксенона (Z=54), завершающего пятый период, происходит застройка оболочки 5р. С цезия (Z—55) начинается заполнение Р-слоя (л—6). 8. У группы редкоземельных элементов [от лантана (Z—57) до лютеция (Z=71)], называемых лаигаяядами, обнаруживается сходство химических и ряда физических свойств. Это связано с особенностью порядка заполнения состояний электронами атомов этих элементов. У лантана оболочки 5s, Зр и ps целиком заполнены и 57-й электрон лантана находится в состоянии 3d, в то время как глубокая оболочка 4f не заполнена электронами. У атомов элементов от церия (Z=58) 553
до лютеци (Z—71) происходит ьыюливкм эго* ободочки, а ангинам оболочка 6г остается без пэмеиения. Этим и обменяется тождеспепость химических свойств лантанидов. Начиная с гафния. (Z” 72) происходят застройка оболочки 5d, завершающаяся у одеом лиат- ного золота (Z—79). У ртути (Z “ 80) заканчивается заполнение оболочка 6г, а начиная с таллия (Z-81) и до радона (Z-86), завершажидего шестой период пердодечмжой системы элементов, происходит заполнение оболочки 6р. У франция (Z=87) и радия (Z-88) заполняется оболочка Is Q-слог. й. Второй группой редкоземельных элементов являются актякнды. Эта группа элементов, начи- нающаяся с актиния (Z—89), простирается до элемента с атомным номером 103 и содержит заурановые элемента: нешуняй (Z—93), плутоний (Z~ 94), америций (Z”95), кюрий (Z=96) и Др. В честь двух величайших физиков нашего столетия два элемента этой труппы названы эйнштейний (Z”99) и фермий (Z—100). 101-й элемент был назвал менделевием в честь создателя периодичес- кой системы элементов Д. И. Менделеева. Элементы 102-й и 103-й иазваш соответственно нобелием и лоурсисжем. По поводу названий элементов со 104-го по 109-й окончательного международного соглашения пока нет. Все актиниды отличаются заполнением ободочки 5/, а внешние их электроны находится в состоянии, аналогичном состояниям лантанидов. Из всего изложенного выше следует, что периодичность химических свойств элементов объясняется повторяемостью зшаырошых конфигураций во ввел гнид эдеягронвых оболочках у атомов родственных элементов. Теоретическое объяснение периодического закона Менделе- ева— одного из важнейших законов естествознания— явилось величайшим достижением со- § 39.7. Излучение и поглощение снеге 1. Мы рассмотрели на основе постулатов Бора вопрос об излучении спектральных линий атомом, находящимся в возбужденном состоянии, а также поглощение излуче- ния, которое падает на атом. Квантовая механика позволила объяснить эти процессы в полном согласии с опытом и вскрыла смысл постулатов Бора. Предположим, что электрон в водородоподобной системе* находится в некотором энергетическом состоянии, характеризуемом главным квантовым числом л. Волновая функция электрона в этом состоянии, согласно формулам (37.18).и (37.23), имеет вид ’Р,(х,у,к,Т)=^(х,у,х)е_'’Г"'Д. (39.29) Вероятность нахождения электрона в элементе объема dK внутри атома I’i'J’dK Если учесть (39.29), то она будет равна |^я(х, у, z)|2dK. Таким образом, в квантовом состоянии, характеризуемом квантовым числом л, вероятность местоположения элект- рона в атоме не зависит от времени и не изменяется с течением времени. Электрон в таком состоянии с классической точки зрения не совершает колебаний и не излучает энергию. Его энергия Жя не изменяется. Энергетическое состояние электрона, харак- теризуемое определенной энергией Жж является стамптицип Находка, в этом состо- янии, электрон не излучает энергии. Это есть не что иное, как первый постулат Бора о наличии у атома стационарных состояний, находясь в которых электроны атома не излучают. 2. С точки зрения квантовой-механики стационарное'состояние атома должно со- храняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии атома. Однако опыт показывает, что атом, находящийся в возбужденном энергетичес- ком состоянии, сам собой переходит в нормальное, невозбужденное состояние, излучая свет. । Излучение, происходящее в отсутствие внешних причин, изменяющих энергию атома, называется сямпнрпепвоib типи или rwnaг—ш hiiijwhi. Для строгого объяснения спонтанных переходов атома из выгапит энергетических состояний в низшее недостаточно одних законов квантовой механики и приходится прибегать к квантовой электродинамике, в которой рассматриваются с общей точки зрения законы возникновения и исчезновения электромагнитного поля. 'Ограничение водородоподобной системой ве уменьшит общности та результатов, о кото- рых идет речь в параграфе, и приводятся лишь для доостоты и сопоставления с теорией Бора. 554
Однако задолго до создания квантовой электродинамики* Эйнштейн создал (1916) теорию излучения, базирующуюся на законах сохранения энергии и импульса при взаимодействии квантовых систем с электромагнитным полем. Рассмотрим, согласно Эйнштейну, спонтанное излучение атома. Если атом в некоторый момент времени i находится в квантовом состоянии л и обладает энергией W„, то под действием внутренних воздействий, механизм которых невозможно детально проследить, атом может самопроизвольно перейти в некоторое состояние т, характеризуемое меньшей энергией ИИЖ**. Введем вероятность Ат того, что в течение 1 с осуществляется спонтанный переход атома из состояния л в состояние т. Величина Ат называется коэфф—гнтом Эйнштейна для спонгиннего нзлучешя. Введение ее обусловлено тем, что самопроизвольный переход из состояния п в состояние т может и не произойти, так как в соответствии с выводами квантовой механики атом может оставаться еще некоторое время в состоянии л. Если N„ есть число атомов, находящихся на энер- гетическом уровне Ж, в момент времени /, то число — dN„ атомов, перешедших за промежуток времени от t до r+dr в состояние т, пропорционально вероятности Ат спонтанного перехода, числу атомов N„ и промежутку времени d£ -dN„=AmN„dt. Знак минус указывает на убыль числа атомов на уровне л. После интегрирования получим Nn=N^~A^, " (39.30) где — число атомов на уровне л в начальный момент времени г=0. Каждый переход из состояния л в состояние т сопровождается излучением кванта света (фотона) с циклической частотой определяемой правилом частот Бора: Энергия, испускаемая за время dr, d 1P= |dNn|= й to^^N^dt. Интенсивность излучения, т. е. энергия, испускаемая в единицу времени, (39.31) ш t ' « где — начальная интенсивность излучения (при t=0). Назовем средней продолжительностью жизни т„ атома в возбужденном состоянии время, в течение которого число атомов NM, первоначально находившихся на возбуж- денном уровне л, уменьшается в е раз: ^=N,o/e. Из формулы (39.30) видно, что Nno/e=Л|*"1я. После сокращения на получим АятТя= 1, т. е. T.=1M™. (39.32) •Последовательная теория излучения и поглощения света была развита впервые П. Дира- ком (1927). ••Спонтанный переход, как правило, совершается в нормальное, вевозбужденное состояние, в котором атом имеет наименьшую энергию. 555
Таким образом, коэффищкнг Эйшптейна Ат имеет ясный физический смысл: это величина, обратная среднему времени изни атома в возбужденном состоянии. С учетом (39.32) фо улу (39.31) можно переписать: < v’’ 7=/0е-,Лл. (39.33) Проверка экспоненциального; закона (39.33) убывания интенсивности излучения и измерение величины тя были осуществлены Вином в опытах со свечением каналовых лучей. Вин изучил свечение пучка каналовых лучей, распространяющихся в цространст- ве со столь высоким вакуумом, что соударений между частицами не происходило и возбужденные частицы высвечивались только за счет конечности времени жизни возбужденного состояния. Вин измерял для отдельной спектральной пинии убывание интенсивности вдоль пучка лучей, прошедших со скоростью v некоторый путь х, так что' t=x/v. Величина тя определялась из формулы (39.33) по известным значениям интенсивностей 10 и I. Для линии водорода Яя (2=6562 А) получилось, что тя=1,5 10-8 с; для линии ртути Hg (2=2537 А) тя=9,810-8 с. Порядок величины тя« 10“8 с является характер- ным для времени нахождения атомов в возбужденном состоянии, после чего они спонтанно переходят в нижерасноложенные энергетические состояния. Конечность времени жизни т„ атома в возбужденном состоянии приводит к тому, что энергия Жя атома в возбужденном состоянии может быть найдена лишь с некоторой неоп- ределенностью вытекающей из соотношения неопределенностей Гейзенберга: АИ^т». Величина A W„=r„ называется естественной шириной энергетического уровня W„. Значе- ние bW„ или т„ определяет естествепую ширину &vm спектральной лиши при переходе с уровня п на уровень пт, по правилу частот Бора, д ] Av„,=——, 2пЛ 2ят„ что соответствует Дл~16“*А Помимо естественной ширины спектральных линий существуют другие причины, приводящие к уширению спектральных линий. Например, ударное уширение связано с тем, что в результате соударений возбужденных атомов уменьшается время жизни атома в возбужденном состоянии и спектральная линия уширяется. Второй причиной дополнительного уширения является эффект Доплера. Вследствие того, что излуча- ющие возбужденные атомы движутся в различных направлениях и с различными скоростями, возникает доплеровское уширение спектральной линии. 3. Если атом находится в Пространстве, где имеется электромагнитное поле, то, согласно Эйнштейну, между атомом и полем происходит взаимодействие, определя- емое законами сохранения энергии и импульса. В классической электродинамике доказывается, что диполь, находящийся в электромагнитном поле падающей на него волны, может в зависимости от соотношения фаз между собственными .колебаниями диполя и колебаниями поля в волне либо поглощать энергию из поля, либо отдавать ее полю в ввде вынужденного излучения. В последнем случае говорят об отрицательной абсорбции света в отличие от обычного поглощения (положительная абсорбция). Эйнш- тейн показал, что атом, находящийся в электромагнитном поле, обладает свойствами, аналогичными свойствам классического диполя: в присутствии поля должно проис- ходить вынужденное излучение атома. Это означает, что атом, находящийся на некото- ром возбужденном энергетическом уровне и, может с некоторой вероятностью перейти под действием поля в низшее состояние т. Поле как бы «сваливает» атом с возбужден- ного уровня вниз. 556
Явление вынужденного излучения нашло свое экспериментальное подтверждение в принципиально новых квантовых источниках и усилителяхсвета, созданных в середи- не XX в. Вероятность вынужденного испускания под действием поля пропорциональна спектральной плотности энергии поля* и некоторому коэффициенту который называется коэффициентом Эйнштейна для вьшуждеиного (яцдуццроммого) излучения. Эту вероятность, следуя Эйнштейну, записывают в форме ДмР(у)- Полная вероятность того, что возбужденный атом с уровня л в единицу времени перейдет на низший уровень т с испусканием фотона hv спонтанно или вынужденно, выразится суммой Хм+ДмРб'). Число dAT' атомов, которые из общего числа N„ атомов на уровне л перейдут в состояние т за время dr, d^=M„+B„,p(v)№dr. 4. Взаимодействие с электромагнитным полем атомов, находящихся на уровне т, может привести к тому, что атом, поглощая фотон с энергией Av— W„— Wm, перейдет в более высокое энергетическое состояние я. Вероятность того, что за 1 с произойдет акт поглощения, по аналогии с предыдущим можно записать так: Дмр(у), здесь Вт, — коэффициент Эйнлпйия для поглощения светя. Число актов возбуждения атомов за время dr равно dN^Bmfi(y)N,ndt, где Nm — число атомов на уровне т в момент времени г. В состоянии термодинамичес- кого равновесия вещества и электромагнитного поля должно быть равновесие между процессами испускания и поглощения света, т. е. равенство полного числа актов испускания и поглощения света. Поскольку речь вдет о переходах между двумя произвольно выбранными уровнями лит, говорят, что существует приняли детального равновесия: для двух произвольно выбранных уровней в сметена, находя- щейся в термодинамическом равновесии, должно быть равен- ство между процессами испускания и поглощения свети. Этот принцип выражен уравнением (39.34) г Такое равновесие устанавливается в замкнутой полости, температура Т стенок которой поддерживается постоянной. Равновесие, возникающее в результате излучения и поглощения электромагнитных волн атомами стенки, приводит в этом случае, как показал Эйнштейн, к формуле Планка. 5. Воспользуемся условием детального равновесия (39.34) для вывода, по Эйнштейну, формулы Планка (35.27). Для этого учтем, что число атомов, находящихся в различных энергетических состояниях, описывается статистической формулой Больцмана •Полная объемная плотность энергии н> поля связана со спектральной плотностью р(у) соотношением н>=« Jp (у) dv. Здесь и дальше в этом параграфе под у понимается частота v^, о соответствующая переходу из состояния я в состояние т. 537
где No — число атомов на некотором энергетическом уровне, принятом за тачало отсчета энергии. Тогда, ратая уравнение (39.34) относительно p(v), имеем -"МЫ >(*)= -W^JQin -W^' Из формулы видно, что спектральная плотность р(у) объемной плотности энергии излучения зависит кроме частоты перехода между уровнями лит еще от температуры. Поэтому ее часто записывают в виде p(v, 7) или р^т- Из условия Г-»+со, p(v,7)-»co имеем 1 • (39.35) т. е. равенство коэффициентов Эйнштейна для вынужденного (индуцированного) излучения н поглощения света. Тогда, если принять во внимание, что W„— Wn=hv, получаш fc-ЛИ) ,* е -1 Воспользуемся формулой Вина (35.15Э для излучения черного тела, согласно кото- рой р(у,Т)=v3<p(v/T), где p(v,T)">-/Q^ — универсальная функция отношения v/T. Из сопоставления предыдущей формулы с законом Вина следует, что A^JB^^av3, где а — постоянная, не зависящая ни от v, ни от Т. Таким образом, (XV1 p(v,7)=---------• С 1 При малых частотах v, таких, что Av<cfcT, е = l+Av/(Jt7) и поэтому p(v,7)= =avlkTlh. В этом случае спектральная плотность энергии излучения черного тела 8№ должна удовлетворять закону Рэлея — Джинса: p(v,7)=—— кТ. Следовательно, 8хЛ Ацщ 8яЛ а а=—, —=— Vs. с3 Окончательно формулу Планка можно записать в виде вя*2 й» P(v,7)=~7--T^z—• с* Ий) С — 1 (39.36) Однако чаще формулу Плавка записывают не для спектральной плотности излуче- ния, а для испускательной способности абсолютно черного тела г®, которая связана с p(v,7) соотношением г» РМ- 4 Тогда формулу Планка получим в привычном виде _ 2nv2 й» . го=—---------. С» Ь-ЛМ) С 1 558
§ 39.8. Квиитово-михаиичвский смысл постулатов Бора 1. В квантовой механике переход атома из одного состояния в другое, связанный с излучением или поглощением фотона Лю, должен описываться с помощью общего уравнения Шредингера, в котором волновая функция электрона зависит не только от координат, но и от времени Ч'=Ч'(х, у, z, г). Пусть оптические свойства атома определяются поведением одного оптического электрона. Переход такого атома из одного состояния в другое означает переход между этими состояниями его оптического электрона, описываемого волновой функцией Т. Последовательное рассмотрение проблемы излучения выходит за рамки нашего курса. Мы опраничимся лишь основными положениями, оставляя в стороне подробные вычисления. Переход электрона из энергетического состояния п в состояние т означает, что состояние электрона не может быть стационарным, т. е. вероятность |¥|2<1Е обнаружить электрон в элементе объема dV должна зависеть от времени. Если состоя- ние электрона описывается волновой функцией типа Та=фа(х, у, г)еГтГ’*1\ то |Т|2дУ не зависит от времени. Состояние электрона будет стационарным. Рассмотрим переход электрона из состояния л в состояние т под действием электромагнитного поля. Если в некоторый момент временя t на него начинает действовать поле и электрон соверша- ет переход из одного состояния в другое, то с этого момента он может быть н в состоянии л, и в состоянии т — имеется как бы «смесь» обоих состояний, существует определенная вероятность обнаружить электрон как в одном, так и в дру- гом состоянии. Выберем волновую функцию ¥ такого «смешанного» состояния следу- ющим образом: где Ч*а и — волновые функции электрона указанного выше типа в состояниях лит, а коэффициенты ct и с2 зависят от времени. В момент f=0, когда поле было только создано, электрон находился в состоянии л, так что С|(0)=1 и с2(0)=0. В некоторый момент t', когда переход закончился и электрон перешел в состояние т, c((f9=O и cj(r9= !• При таком выборе |T|2dK будет зависеть от времени. В самом деле, |T|2=(eJTa+cJ'Fa,) (сТ?+ Подставляя Ta=^a(x, у, z)e ’ и '¥„=ф„(х, у, z)e " и полагая, что ф* получаем: |’P|2=c]^^+c2^*+2clc2^*cos W" У-* г. 2. В классической теории мощность излучения электрона, колеблющегося с цикличес- кой частотой ш, *=-^1Ыа, бяс где — модуль вектора второй производной по времени от дипольного момента колеблющегося заряда. Если г — расстояние электрона до ядра атома, то р«= —ст, где е — абсолютное значение заряда электрона; тогда моп(Ность излучения иое2 |f]2. бяс ЕсЛИГ=Го£ , TOf=—ОГГИ бяс 559
Пользуясь принципом соответствия, можно показать, что в квантовой механике формула мощности, излучения отличается от классической только заменой |г| на |Г (Oln. мех- CjCj W„-W„ 2 cos----- Л 4 ^|r|^*dK (39.37) Результат (39.37) имеет большое значение. Он показывает, что происходят колебания среднего значения расстояния электрона от ядра — это расстояние является пери- одической функцией времени с частотой ajnm=(JV„— W„)/h, соответствующей правилу частот Бора. С классической точки зрения, которая сохраняется в данном случае и в квантовой механике, такие колебания приводят к излучению и поглощению света. Итак, возникновение линейчатых спектров и постулат Бора о связи частоты излуче- ния с разностью энергии уровней, между которыми происходит переход, получают в квантовой механике свое обоснование: излучение и поглощение квантов света происходят лишь о ча- стотами, удовлетворяющими правилу частот Бора. 3. Результат (39.37) указывает, что средняя мощность должна быть пропорциональна kJ2=lf^r^dF|a. Выражение r™=№nftdF (39.379 может обращаться в нуль, и тогда соответствующий переход из состояния и в состоя- ние т оказывается «запрещенным» — спектральные линии, соответствующие этому переходу, не наблюдаются. Так, в квантовой механике возникают особые правила ' отбора, ограничивающие число возможных переходов электрона в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Если бы таких правил отбора не существовало, то число линий в спектрах излучения и поглощения атдма было бы произвольно велико. Оказывается, например, что в атомах, где существует две системы энергетических уровней — одиночные (синглетные) и тройные (триплетные) (гелий, ртуть),— прак- тически не наблюдается переходов между синглетными и триплетными уровнями. Далее, как показывает опыт, оптический электрон не переходит с уровня s(Z=O) на уровень <Z(Z=2), но может переходить с уровня s на уровень р(1—1) (или наоборот). В спектроскопии эти правила отбора были установлены эмпирически еще до развития квантовой механики. В квантовой механике правила отбора являются следствием выражения (39.379- Возможны лишь такие переходы, для которых гт не обращается в нуль. Состояние электрона в атоме определяется набором квантовых чисел в, Z, т и Волновые функции фп(х, у, z) и ^*(х, у, z) зависят от этих чисел. Расчеты показывают, что для электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра (случай водородоподобных систем), выражение (39.379 отлично от нуля лишь в том случае, если осуществляется переход между состояниями,' для которых изменение орбитального квантового числа А/ удовлетворяет условию AZ= ± 1. Это означает, что электрон может переходить из состояния з в р (или наоборот), из р- в d-состояние (или наоборот), т. е. всегда так, чтобы орбитальное квантовое число увеличивалось или уменьшалось на единицу. Помимо правила отбора по орбитальному квантовому числу существуют другие правила отбора, например по магнитному квантовому числу т: возможные оптические переходы должны удовлетворять условиям Am=0, ± 1. Мы не будем подробно останавливаться на этих правилах. Отметим в заключение, что в отличие от теории Бора, которая не позволила вычислить интенсивности спектраль- 560
вых линий, квантово-механическое рассмотрение проблемы излучения дало возмож- ность в согласии с опытом решить задачу об отыскании частот спектральных линий атомов и об их интенсивностях. » § 39.9. Эффект Зеемана 1. П. Зееман обнаружил (1896), что если поместить источник света между полюсами электромагнита, то спектральные линии источника расщепляются на несколько ком- понент. В настоящее враля эффектом Зеемана называется расщепление спектральных линий и уровней энергии во внешнем магнитном поле. В свое время, в особенности в период создания теории Бора, изучение эффекта Зеемана на спектральных линиях атомов в видимой и ультрафиолетовой областях сыграло существенную роль в развитии учения о строении атома. Однако и до сих пор эффект Зеемана является одним из методов изучения энергетических уровней электро- нов в атомах и облегчает истолкование спектров сложных атомов. В простейшем случае эффект Зеемана заключается в том, что при помещении источника света в достаточно сильное магнитное поле спектральная линия с частотой vo расщепляется на три или две компоненты. При наблюдеш излучения, распространя- ющегося перпендикулярно направлению напряженности Н магнитного поля, линия v0 симметрично расщепляется на три компоненты с частотами v+J, v0 и v_b При этом все три компоненты линейно поляризованы. У средней компоненты vq, называемой я-компоненгой, колебания электрического вектора Е направлены вдоль Н. У крайних компонент v+I и v_j (а-компонент) колебания электрического вектора Е перпендикуляр- ны направлению Н. При наблюдении излучения, распространяющегося вдоль направления напряжен- ности Н магнитного поля, линия v0 исчезает, а крайние линии v+1 и v_j оказываются поляризованными по кругу с противоположными направлениями вращения (рис. 39.6). Указанный тип расщепления спектральных линий называется аопишмыи или простым эффектом 3 :м п. В этом эффекте расстояние между средней и крайними линиями нормального триплета Av0= v+1—v0= v0—v_i оказывается равным Д v0=р&Н!(4кт= pop^H/h, где pB=fte/(2zne) — магнетон Бора. Нормальный эффект Зеемана относительно легко наблюдается в спектрах щелочно- земельных элементов, а также в спектрах Zn, Cd и Hg. 2. Нормальный эффект Зеемана был Объяснен еще X. Лоренцем (1897) на основе классической электронной теории. Рассмотрим атом с одним валентным излучающим электроном. С классической точки зрения, излучение атомом электромагнитных волн с частотой v0 является результатом гармонических колебаний электрон с такой же частотой. Если атом находится в магнитном поле, то произвольное лннейно-поляризо ванное колебание электрона а может быть разложено на два колебания: одно (вО происходит вдоль вектора Н, а другое (%) — в плоскости, перпендикулярной вектору 561
Н (рис. 39.7). В свою очередь, это последнее можно разложить на два колебания в3 и в4, поляризованные по кругу с противоположными направлениями вращения. На это вращение накладывается прецессия Лармора с частотой JIjul кругово- I го колебания с направлением вращения, совпадающим с направлением прецессии, частота колебаний электрона v0+vL, a для колебания с противоположным направлени- ем вращения получится частота v0—vL. Вдоль напряженности магнитного поля линейно поляризованное колебание электрона 8| не дает излучения, так как линейный осцил- лятор вдоль своей оси не излучает. Поэтому в продольном эффекте Зеемана наблюда- ются два колебания, смещенные относительно первоначальной частоты vo на доеЯ Avo= ±V£= ±----. 4лте При наблюдении излучения в направлении, перпендикулярном вектору Н (попереч- ный эффект Зеемана), все три колебания вь в3 и в4 дадут' линейно поляризованные излучения с частотами vo и vq± ¥£=>Уо±ДоеЯ/(4кщ(). Изложенные рассуждения находят- ся в полном согласии с опытом. 3. В слабом магнитном поле наблюдается аномальный или сложный эффект Зеемана. В этом случае происходит расщепление спектральных линий на множество компонент, которые относятся по своей поляризованности либо к я-компонентам, либо к а- комцонентам. Аномальный эффект Зеемана получил свое истолкование после об- наружения спина электрона и создания векторной модели атома. При объяснении нормального эффекта Зеемана принимается во внимание лишь орбитальный магнит- ный момент электрона. Наличие у электрона спина и соответствующего ему магнит- ного момента усложняет картину расщепления энергетических уровней и спектральных линий в магнитном поле. При увеличении напряженности магнитного поля взаимодействие между орбиталь- ными и спиновыми моментами становится все менее существенным по сравнению с взаимодействием каждого из них порознь с внешним полем. Расщепление спектраль- ных пиний при этом растет и постепенно начинают сливаться компоненты мультип- летов соседних спектральных линий. В сильном магнитном поле из всех компонент мультиплетов остаются три линии (для поперечного) или две линии (для продольного) нормального эффекта Зеемана. Переход от аномального к нормальному эффекту Зеемана при увеличении напря- женности внешних магнитных полей называется эффектом Пашем — Бака. § 39.10. Понятие о явлениях магнитного резонанса 1. С расщеплением энергетических уровней в магнитном поле, обусловленным наличием у элект- ронов, а также у ядерных частиц магнитных моментов, связано явление магнитного резонанса, играющего большую роль в современных методах исследования строения и свойств вещества. Мм miш hi резонансом называется избирательное поглощение энергии переменного электро- магнитного поля веществом, находящимся в постоянном магнитном поле. Это явление связано с вынужденными переходами между подуровнями одного и того же зеемановского мультиплета, возникающего в результате действия постоянного магнитного поля. Опыт и теоретические расчеты показывают, что спонтанные переходы между такими подуров- нями не происходят, так как они очень маловероятны. Эти переходы соответствовали бы для практически достижимых напряженностей магнитного поля излучению с частотами, лежащими в радиодиапазоне. Например, расщеплению, связанному с электронным магнитным моментом, соответствует излучение в области сантиметровых волн. Однако кроме спонтанных переходов возможны вынужденные переходы между подуровнями Wи W+&Wзеемановского расщепления, вызванные наложением на вещество дополнительного переменного магнитного поля с частотой v=&Wjh, совпадающей с частотой перехода между данными двумя подуровнями. Эти вынужден- ные переходы обусловливают явление магнитного резонанса. 2. Магнитный резонанс, связанный с наличием у электронов магнитных моментов, называется электронным магнитмим резонансом. Как известно, в постоянном магнитном поле Н вектор Рш магнитного момента электрона совершает прецессионное движение вокруг направления век- тора Н внешнего поля с некоторой частотой прецессии v0 (рис. 39.8, а). Предположим, что кроме постоянного магнитного поля действует еще переменное магнитное поле, направление И' которого перпендикулярно направлению Н, а частота меняется. Переменное 562
магнитное поле с индукцией В' создает враща- ющий момент М, действующий на магнитный момент рт: М=[ртВ1 Под действием этого момента сил вектор рт должен прецессировать вокруг направления В' переменного магнитного поля, имеющего напряженность Н'=В'/(Дод), так что ориента- ция вектора рт относительно Н должна изме- няться (рис. 39.8, б). Это означает, что изме- н нится проекция ртн вектора рт на направление рис 39 g Н. Если частота переменного поля совпадает с частотой прецессии vq (магнитный резонанс), то изменение ориентации вектора рт и его проекции ртц на направление Н будет очень сильным. Это приведет к изменению энергии магнитного момента рт в поле Н, т. е, вызовет энергетические переходы между подуровнями зеемановского расщепления. Магнитный резонанс может быть использован для определения частоты v0 прецессии. По известной частоте vq можно определить магнитные моменты электронов. 3. Существует два различных метода наблюдения магнитного резонанса: измерение воздействия переменного радиочастотного магнитного поля на молекулярный или атомный пучок (метод И. Раби) и измерение поглощения веществом электромагнитных волн соответствующей частоты. В первом методе пучок частиц, обладающих магнитным моментом, отклоняется в постоян- ном неоднородном магнитном поле и приемник фиксирует число частиц, испытавших в постоянном магнитном поле некоторое определенное отклонение. Если этот пучок одновременно подвергнуть действию переменного радиочастотного магнитного поля, направленного перпендикулярно на- правлению постоянного магнитного поля, то оно вызовет переходы между подуровнями зе- емановского расщепления. Когда частота v переменного поля не совпадает с частотой переходов (другими словами, с частотой vo прецессии вокруг постоянного поля), в приемник попадает то же число частиц, что и в отсутствие переменного поля. При совпадении частоты переменного поля с частотой переходов (с частотой прецессии) все частицы, для которых проекция магнитного момента на направление Н постоянного поля изменилась, будут иначе отклоняться в неоднород- ном поле и не попадут в приемник. Экспериментально этот метод может быть реализован в двух вариантах. Задавая определенное значение напряженности постоянного магнитного поля, исследу- ют зависимость интенсивности молекулярного (или атомного) пучка, попавшего в приемник, от частоты v переменного магнитного поля и находят такую частоту при которой интенсив- ность пучка оказывается наименьшей («резонансный минимум»). Эта частота совпадает с vg. Можно, наоборот, фиксировать частоту радиочастотного магнитного поля и изменять напряжен- ность постоянного поля, т. е. изменять частоту v0, добиваясь ее совпадения с частотой v. Резонансные минимумы, полученные таким образом, имеют исключительную остроту и позволя- ют определять магнитные моменты с относительной точностью 10"* — 10~5. Важной особен- ностью магнитного резонанса в молекулярных и атомных пучках является то, что он позволяет изучать действие радиочастотного поля на свободные молекулы или атомы, не взаимодейст- вующие между собой. Вместе с тем экспериментальные трудности работы с молекулярными пучками, необходимость специальной вакуумной техники очень усложняют измерения. 4. Вторым методом изучения магнитного резонанса, практически более удобным, является исследование резонансного поглощения электромагнитных волн веществом, помещенным в по- стоянное однородное магнитное поле. Если частота переменного магнитного поля совпадает с частотами, соответствующими переходам между подуровнями зеемановского расщепления, то происходит интенсивное поглощение радиоволн веществом. Благодаря высокой чувствительности современных радиотехнических методов можно наблюдать поглощение волн, частоты которых соответствуют переходам между ближайшими подуровнями. Изучение поглощения в радиоча- стотной области в принципе не отличается от изучения поглощения волн в области оптических частот. Вся экспериментальная методика исследования магнитного резонанса методом резонанс- ного поглощения более проста, чем в методе молекулярных пучков. Вместе с тем точность этого метода также очень высока. Исследование поглощения веществом электромагнитного излучения радиоднапазона состав- ляет содержание радиосиекгроскопня, которая позволяет раскрыть многие тонкие особенности строения вещества. Принципиальная схема радиоспектроскопических исследований состоит в сле- дующем. От «генератора электромагнитных волн излучение поступает в волновод, частично заполненный исследуемым веществом. Волновод представляет собой канал для передачи энергии электромагнитного поля, ограниченный боковой поверхностью (или поверхностями) определен- ной формы. В простейшем случае волновод имеет вид металлической трубки круглого или 563
прямоугольного сечения. После прохождения сквозь поглощающую среду излучение поступает в детектор, вырабатывающий электрический сигнал, пропорциональный мощности электромаг- нитного излучения, падающего на детектор. После усиления этот сигнал наблюдается на кране осциллографа или регистрируется измерительным прибором. Для радиоспектроскопических мето- дов характерна весьма высокая разрешающая способность, в сотни тысяч раз превышающая разрешающую способность оптических методов. Методом поглощения исследуются вещества в газообразном и конденсированных (твердом или жидком) состояниях. При. исследованиях поглощения в газах генератор должен давать излучение в диапазоне миллиметровых и сантимет- ровых волн, соответствующее избирательному поглощению газов при низких давлениях. В кон- денсированных средах метод радиоспектроскопии широко применяется для определения харак- тера химических связей. При этойг, однако, приходитсд учитывать, Что определенные таким методом магнитные моменты взаимодействующих друг с другом частиц вещества могут сущест- венно отличаться от магнитнцх моментов для свободных частиц. Это сильно затрудняет ин- терпретацию резонансных пиков поглощения в конденсированных средах. 5. Важным случаем резонансного поглощения является электронный пар кг гй резонанс (э.п.р.), открытый Е. К. Завойским (1944) и часто называемый просто парамагнитным резонансом. Явление электронного парамагнитного резонанса состоит в поглощении парамагнитным веществом микроволнового радиоизлучения за счет переходов между подуровнями зеемановского - расщепления. ' Расщепление энергетических уровней обусловлено действием постоянного магнитного поля на магнитные моменты частиц вещества, определяющие его парамагнитные свойства. Во внешнем постоянном магнитном полё магнитные моменты атомов* стремятся ориентироваться вдоль вектора Н. Одновременно с этим происходит зеемановское расщепление энергетических уровней и перераспределение по этим уровням атОмОв. Заселенность атомами подуровней зеемановского - расщепления оказывается неодинаковой. В состоянии термодинамического равновесия среднее число атомов, находящихся да данном подуровне, выразится формулой Больцмана <и>=лоехр[-ДЖм/(ЛТ)], где энергия А Им пропорциональна mH. На подуровнях с меньшим Означением магнитного квантового числа т находится большее число атомов, чем на других подуровнях с т'>т, так как состояния с меньшей потенциальной энергией энергетически более выгодны. Иными словами, должна существовать преимущественная ориентация магнитных моментов атомов вдоль направ- ления вектора Н, соответствующая намагниченному состоянию парамагнитного вещества. При наложении на вещество переменного магнитного поля с частотами, совпадающими с частотой перехода между подуровнями зеемановского расщепления или кратными ей, будет происходить резонансное поглощение электромагнитных волн. Оно обусловлено преобладанием числа перехо- дов, связанных с увеличением магнитного квантового числа на единицу (переходы типа т-*т+1), над числом противоположных переходов (типа /и+1-»«). Другими словами, в результате резо- нансного поглощения энергии переменного магнитного поля атомы будут переходить с более заселенных нижних энергетических уровней на менее заселенные верхние уровни. Поглощение пропорционально числу поглощающих атомов в единице объема вещества. Чувствительные установки для изучения э.п.р. позволяют обнаруживать поглощение в образцах, имеющих концен- трации поглощающих атомов порядка 1011 см-3. Особенно эффективен э.п.р. в тех случаях, когда вещество состоит из атомов с одним внешним электроном в j-состоянии, которые обладают суммарным магнитным моментом, равным спиновому магнитному моменту х-электрона. Хи- мически устойчивые молекулы, как правило, имеют четное число электронов, образующих заполненные оболочки, так что полный механический и магнитный моменты молекулы равны нулю. При химических реакциях такйк молекул в качестве промежуточных продуктов могут образовываться свободные, химически неустойчивые радикалы, обладающие одним электроном с некомпенсированным спином. Метод парамагнитного резонанса позволяет обнаружить эти радикалы и по протеканию химических реакций сделать определенные выводы о характере химических связей. 8. Особым случаем парамагнитного резонанса является резонансное поглощение электромагнит- ных волн электронами проводимости в металлах, связанное со спином электронов и спиновым парамагнетизмом электронного газа в металлах. В ферромагнитных веществах наблюдается ферромагнитный резонанс, связанный с изменением ориентации электронных моментов внутри доменов или между доменами ферромагнетиков. Этот случай резонанса связан с особым спино- вым взаимодействием электронов в ферромагнетиках и используется для изучения этих взаимо- действий. ♦Ради простоты мы по-прежнему будем считать, что речь идет об атомах с одним оптическим валентным электроном. 564
§ 39.11. Комбинационное рассеяние света 1. Прирассеянии света, происходящего либо на посторонних включениях в веществе, через которое проходит свет (рассеяние в мутной среде), либо на флуктуациях плот- ности, связанных с тепловым движением молекул среды, частота v света, испытыва- ющего рассеяние, нс изменяется. При рассеянии света атомами вещества переменное электрическое поле Е электро- магнитной волны наводит в атомах электрический дипольный момент pt^eaiE, где а — поляризуемость атома. Поскольку напряженность Е электрического поля волны меняется с частотой v0 падающего света: E=Eocos2^v0f, индуцированный дипольный момент ре также изменяется с этой же частотой. Прэтому излучение атомов под действием падающего света имеет частоту v0 и рассеяние когерентно. 2. Существуют, однако, причины, которые могут вызвать изменение частоты моно- хроматического света, рассеиваемого веществом. Представим себе, что рассеивающей свет частицей является колеблющаяся молекула. Бе поляризуемость а состоит из двух частей: ао — постоянной поляризуемости, не зависящей от колебаний молекулы, и a,cos2nvt — поляризуемости, периодически меняющейся с частотой, равной частоте v колебаний молекулы.'. a=«o+a»cos2Hvt (39.38) Тогда дипольный момент ре=едхЕ такой частицы будет равен pe=eo[aoEoCos2nv0r+o^E0cos2Rvrcos2nv0r]. (39.39) Второй член (39.39) представляет собой периодически меняющийся с частотой v0 ди- польный момент, амплитуда которого изменяется с частотой v. Мы имеем здесь случай амплитудной модуляции дипольного момента. Колебания дипольного момента под действием падающего света частоты vq модулированы собственными колебаниями молекулы, происходящими с частотой v«v0, ибо собственные частоты колебаний молекул соответствуют инфракрасной области спектра. Произведение cos2nvrcos2nv0t можно представить следующим образом: cos 2яуг • cos 2o0t=1 /2cos 2я (v0—v)r+ */2cos 2я (v0+v)f. Поэтому индуцированный дипольный момент молекулы pe=eoa6EoCos2jrv0r+ 1/1eoii,'Ecos2it(yo—v)t+1/2eeajEoCOs2«(vo+v)t (39.39Q Наряду с членом pe, ,0, изменяющимся с частотой v0 и обусловливающим когерентное рассеяние с неизменной частотой v0, дипольный момент содержит р(> ,0_, и обусловливающие некогерентное рассеяние с частотами v0—v и v0+v —комбинацион- ное рассеяние света. Если имеется ряд собственных частот vb v2, v3 колебаний молекул, то в спектре рассеянного света должны появиться все «комбинационные» частоты: Vb±Vb Vo±V2, Vo±V3 И т. д. Комбинационное рассеяние света обнаружили (1928) Л. И. Мандельштам и Г. С. Ландсберг при исследовании спектрального состава излучения, рассеянного кристаллами кварца. Одновременно такое же явление было обнаружено Я. В. Раманом и К. С. Кришнаном при рассеянии света жидкостями. Публикация об открытии Раманом была сделана в журнале «Nature» несколько раньше, и поэтому спектры комбинационного рассеяния иногда называют раман-спекграми. 3. Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами Vq—vj и т. д., меньшими частоты падающего света, называются красными (или стоксовыми) шутниками (сател- литами); линии с частотами vo+vb v0+v2..большими v0 — фиолетовыми (или анти- стоксовыми) спутяпсамт (сателлитами), причем все частоты vb v2, v3,... характерны для данного кристалла (или жидкости) и не зависят от частоты v0 падающего света. 565
Экспериментальное изучение комбинационного рассеяния показало, что интенсивность фиолетовых спутников меньше интенсивности красных и с повышением температуры возрастает, в то время как у красных она практически не зависит от температуры. 4. Полное объяснение явления комбинационного рассеяния света, в частности соот- ношения интенсивностей красных и фиолетовых спутников, было дано на основе квантовых представлений. Пусть фотон hv0 падает на вещество, молекулы которых могут находиться в различных колебательных энергетических состояниях (^жал)1 и T. д. Помимо упругого, когерентного рассеяния фотона (состоящего в погло- щении и последующем испускании фотона молекулой, при котором частота va фотона не изменяется) возможно такое взаимодействие фотона с молекулой, в результате которого молекула перейдет из нормального колебательного состояния с энергией (^хал)1 в более высокое энергетическое состояние с энергией (>F,nn)?, так что (И'юиЪ>(^,хол)1- Необходимая для этого перехода энергия ДИ,=(ИЛГОЛ)2—заим- ствуется у фотона, энергия которого уменьшится на Д W и станет равной* hv=hv0—AW. Таким образом, в рассеянном свете частота v=v0—Д1У/Л соответствует красному спутнику. Переход молекулы в различные возбужденные колебательные состояния приведет к появлению всей совокупности красных спутников. Появление фиолетовых спутников с квантовой точки зрения объясняется возможностью того, что молекула, находящаяся в одном из возбужденных колебательных состояний с энергией (Wmak, под действием фотона с энергией hva перейдет в нормальное состояние с меньшей энергией (*Кол)1- Тогда первоначальная энергия Av0 фотона увеличится на Д^=(ИЛЖМ)2—(W»»i)i и станет равной hv=hv0+AW. Это будет соответствовать в рассеянном свете фиолетовому спутнику с частотой у=я0+Д»7Л. В обоих случаях сдвиг частоты v0 падающего света равен v—&W/h, т. е. частоте перехода между колебательными уровнями молекулы. Поскольку число молекул, находящихся в возбужденных энергетических состояниях, обычно меньше, чем число молекул в нормальном колебательном состоянии, очевидно, что вероятность рассеяния кванта Av0 с увеличением частоты vj меньше, чем вероятность обратного перехода из нормального состояния в возбужденное. Поэтому интенсивность фиолетовых спут- ников должна быть меньше, чем красных. С повышением температуры заселенность молекулами возбужденных энергетических состояний возрастает. Поэтому возрастает и вероятность рассеяния фотона с переходом молекулы из возбужденного состояния в нормальное. Другими словами, с повышением температуры возрастает интенсив- ность фиолетовых спутников. Число же молекул, находящихся в нормальном колеба- тельном энергет ическом состоянии, мало меняется с повышением температуры. Поэто- му интенсивность красных спутников практически мало меняется при нагревании. 5. Из сказанного выше следует, что сдвиг частот в спутниках при комбинационном рассеянии совпадет с частотами колебаний молекулы, лежащими в инфракрасной области спектра. Однако это совпадение наблюдается не всегда. В ряде случаев сдвиг частот, наблюдаемых при комбинационном рассеянии, не совпадает с частотами в инфракрасном спектре молекул. Возможен и такой случай, когда частоты поглоще- ния, наблюдаемые в инфракрасном спектре молекулы, не проявляются в спектрах комбинационного рассеяния. Дело здесь в том, что для излучения (и поглощения) молекулой электромагнитных волн необходимо, чтобы молекула, ведущая себя в этом случае как диполь, изменяла дипольный момент р,. Для комбинационного рассеяния света, связанного с модулированием падающей волны, это условие не обязательно. Необходимо лишь, чтобы в молекуле изменялось взаимное расположение ее частей *Это не означает, что фотон Av0 «уменьшает» свою энергию и становится фотоном Av. В действительности происходит уничтожение фотона Av0 и возникновение фотона Av. 566
и изменялась ее поляризуемость. В некоторых случаях различие условий, необходимых для появления инфракрасных частот и частот комбинационного рассеяния, приводит к тому, что наблюдаются одни из них и не наблюдаются другие. Комбинационное рассеяние света позволяет отыскивать собственные частоты коле- баний сложных многоатомных молекул и сделать заключения о составе и строении таких молекул. С помощью спектров комбинационного рассеяния проводят, например, количественный спектральный анализ состава сложных органических смесей. § 39.12. Люминесценция 1. Люминесцгпцигй называется оптическое излучение (от ИК до ближнего УФ), избы- точное над тепловым и продолжающееся после прекращения вызвавшего его внешнего воздействия в течение времени, значительно превышающем период световых колеба- ний. Люминесценция может быть вызвана бомбардировкой тел электронами и другими заряжен- ными частицами, пропусканием через вещество электрического тока или действием электричес- кого поля,, освещением видимым, УФ, рентгеновским и гамма-излучением, а также некоторыми химическими реакциями в веществе. В зависимости от способов возбуждения люминесцентного свечения различают катомломмксяе^мо, элекгролшамесцеищио, фотолинаиесцеицмо, хемвяю- мимсце^^о и т. д. 2. В отличие от теплового излучения, люминесцентное излучение не имеет разновесного харак- тера. Оно вызывается сравнительно небольшим числом атомов, молекул или ионов (образующих центры люминесценции), переходящих под действием какого-либо источника энергии в возбуж- денное состояние. Центрами лкмаиесцеацв в твердом теле могут служить ионы, атомы или группы ионов, находящихся около того места кристаллической решетки, где правильность ее структуры нарушена включением активатора — атома постороннего вещества — или вакансией. Последующее возвращение возбужденного центра люминесценции в нормальное или менее возбужденное состояние сопровождается испусканием люминесцентного излучения. Длительность свечения обусловлена длительностью возбужденного состояния, которое помимо свойств самих излучающих атомов, молекул или ионов зависит от окружающей их среды. Если возбужденное состояние метастабильно, то время пребывания в нем частиц может достигать 10~* с (вместо обычного времени пребывания в возбужденном состоянии 10“ • с). Соответственно увеличивается и длительность люминесценции. Люминесценцию с временем затухания ~ 10~в-ь 10 9 с называют обычно флуоресцеищкй. Такое время затухания характерно, например, для фотолюминесценции многих веществ, главным образом жидкостей и газов. Люминесценция, которая сохраняется длительное время после прекращения действия возбудителя свечения, называется фасфоресцти- «й. Такое длительное высвечивание наблюдается у твердых тел, способных люминесцироватъ. Строго говоря, разделение люминесценции на флуоресценцию и фосфоресценцию условно, так как установить точную временную границу между ними иногда бывает затруднительно. 3. При возбуждении люминесценции электронным (катодным) пучком кинетическая энергия бомбардирующих электронов передастся электронам атомов (или молекул, ионов) и переводит их в возбужденное состояние. Передача энергии возможна лишь при условии где Wg — кинетическая энергия бомбардирующего электрона; И7, и №я — энергия атома (или иной люминесцирующей частицы) соответственно в возбужденном и нормальном состояниях*. При достаточной энергии Й7, возбуждения возвращение атома (молекулы или иона) в нор- мальное состояние может происходить в несколько этапов через все менее возбужденные состоя- ния. Этому соответствует испускание нескольких фотонов люминесцентного излучения различных частот, причем суммарная их энергия равна энергии начального возбуждения. Электролюминесценция в газах вызывается электрическим разрядом. Энергия возбуждения в этом случае сообщается молекулам газа с помощью электронного удара или удара ионов. Хемилюминесценция вызывается экзотермическими химическими процессами в веществе, т. е. процессами, протекающими с выделением энергии. Люминесцентное излучение уносит избыток энергии, что приводит к образованию химических соединений с более устойчивой в данном ’Обычно преобладает механизм непрямой передачи энергии центрам люминесценции (через посредство других атомов, которым электроны непосредственно передают свою энергию). На долю прямого возбуждения приходится не более 1 % всего свечения. 567
окружении и при данных условиях электронной конфигурацией. Хемилюминесценция часто сопровождает, например, процессы окисления с образованием более устойчивых продуктов сгорания. Яркость хемилюминесценции может на несколько порядков превышать яркость тепло- вого излучения люминесцирующего вещества при температуре опыта. Частным случаем хемилю- минесценции является бволюмивесцеищи (например, свечение гнилых деревьев и светлячков). 4. Фотолюминесценция возбуждается электромагнитным излучением видимого и ультрафиоле- тового диапазона. Фотолюминесценцию изучал еще Д. Стокс, который установил: фотолюминесцирующм вещество излучает, как правило, свет, имеющий большую длину волны, чвм то излучение, которое вызывает люминесценцию. Это правило Стокса получает свое естественное обоснование в квантовой оптике. В самом деле, фотон возбуждающего фотолюминесцентЬого света имеет энергию hv, которая, по закону сохранения энергии, частично расходуется на создание фотона с энергией hv„ люминес- центного излучения, а в остальном будет израсходована на различные неоптические процессы: hv=>hv„+W, где W—энергия, идущая на различные процессы, кроме фотолюминесценции. Обычно W>0 и v> vn, т. е. лл>Л, что соответствует правилу Стокса. В некоторых случаях фотолюминесцентное излучение имеет длину волны, меньшую длины волны возбуждающего света (антистоксово излучение). Это явление объясняется тем, что к энер- гии hv фотона возбуждающего излучение добавляется энергия теплового движения атомов (молекул или ионов) люминесцирующего вещества hvn=hv+акТ, где а — коэффициент, зависящий от природы люминесцирующего вещества. Антистоксово излу- чение проявляется все отчетливее по мере повышения температуры. В. Отношение энергии, излучаемой при фотолюминесценции, к поглощаемой энергии возбуж- дающего ее света называется энергетическим выходом фотолюминесценции ч3. Соответственно, отношение числа фотонов люминесцентного излучения к числу фотонов монохроматического возбуждающего света называется квантовым выходом фотолюмивесцешии ij„. С. И. Вавилов (1924) установил следующий закон: квантовый выход фотолюминесценции постоянен широкой области длин волн возбуждающего света (стоксова область) и резко падает при длинах волн возбуждающего света, превы- шающих длину волны фотолюминесцонтного излучения (анти- стоксова область). Из закона Вавилова следует, что энергетический выход фотолюминесценции в стоксовой области растет пропорционально 2, а в антистоксовой быстро уменьшается до нуля при даль- нейшем увеличении L В самом деле, если v„ и 2Л - частота и длина волны фотолюминесцентного излучения, то Чэ—“ Чп~~ *7ж»- hv . Лд Так как 2Л не зависит от Л, то в стоксовой области (п„=const) В антистоксовой области >7э и 'In быстро убывают с увеличением Л, поскольку фотоны света с такой длиной волны де в состоянии возбудить электроны атомов (молекул или ионов) люминесцирующего вещества. Величина энергетического выхода люминесценции в сильной степени зависит от возможности в веществе безызлучательных переходов молекул из возбужденного состояния в нормальное. Если вероятность таких переходов велика, происходит тушение люмииесценшш. Обычно причиной тушения люминесценции являются либо безызлучательные переходы в самих люминесцирующих 568
молекулах, либо процесс передачи энергии молекулы присутствующим молекулам примеси. Основную роль в последнем случае играют удары второго рода — столкновения, в результате которых энергия возбуждения переходит в энергию теплового движения молекул. При чрезмерно большой концентрации люминесцирующего вещества также наблюдается резкое уменьшение интенсивности флуоресценции. Оно называется концентрационным тушеыкм или самотушением и объясняется тем, что в результате усиления связи между молекулами происходит их ассоциация в нелюминесцирующне димеры (сдвоенные молекулы). Фотолюминесценция ряда жидкостей (растворы некоторых красок, растворы хинина и др.) легко наблюдается визуально при пропускании через растворы таких жидкостей видимого света. При этом правило Стокса проявляется непосредственно: видно, что свечение флуоресценции более длинноволновое, чем падающий свет. в. Явление флуоресценции связано с переходами атомов, молекул или ионов из обычных возбужденных состояний, длительность существования которых 10“г с, в нормальное. Фосфорес- ценция, дающая длительное свечение, обусловлена достаточно продолжительным нахождением атомов в возбужденных состояниях. Возможной причиной этого может быть наличие метаста- бильных возбужденных состояний, переход из которых в нормальное состояние по тем или иным причинам затруднен. В кристаллических фосфоресцирующих веществах, например полупровод- никового типа, это связано с оседанием возбужденных электронов на акцепторных примесных уровнях. 7. На явлении люминесценции основан люминесцентный авалю, принцип которого заключается в следующем. Вещество, состав которого необходимо исследовать, освещается ультрафиолето- вым излучением. Вещество либо само по себе, либо после обработки соответствующими реак- тивами дает люминесцентное свечение, по характеру которого можно, определяя интенсивности линий в спектре, определить не только качественное, но и количественное содержание исследу- емого вещества. Люминесцентный анализ в отличие от обычного спектрального анализа не сопровождается разложением на элементы исследуемого вещества и применяется при весьма малых количествах изучаемого вещества. С другой стороны, чрезвычайно высокая чувствитель- ность люминесцентного анализа позволяет обнаружить наличие ничтожных примесей порядка 10"11 г в 1 г исследуемого вещества. Люминесцентный анализ применяется в различных отраслях промышленности, в биологии, медицине, агротехнике. 8. Явление люминесценции позволяет создать нсточвякж света, которые обладают значитель- ными преимуществами перед лампами накаливания, излучающими в диапазоне видимого участка спектра лишь около 3 — 5% расходуемой энергии и имеющими малую светоотдачу. Люминес- центные источники света не требуют нагрева, дают излучение в сравнительно узкой спектральной области и являются весьма экономичными, например натриевые лампы, в которых пары натрия светятся под действием электрического разряда. Натриевые лампы дают излучение, почти полно- стью сосредоточенное в области около желтой линии натрия с длиной волны 589 нм, что близко к длине волны, соответствующей максимуму чувствительности глаза. Однако натриевая лампа придает всем освещаемым объектам неприятную желтую окраску. Люминесцентными источниками света являются также ртутйые лампы, весьма разнообразные по своему устройству. В области видимого света излучение этих ламп сосредоточено в основном в желтом, зеленом, синем и фиолетовом участках спектра. Помимо этого, спектр паров ртути значительно простирается в область ультрафиолета. Интенсивное излучение в ультрафиолетовой области ртутных ламп'среднего и низкого давления обеспечивает им широкое применение как бактерицидных источников излучения. - Для получения ламп с излучением, близким по составу к дневному свету, применяются ртутные лампы низкого давления в форме трубок, внутренняя поверхность которых покрывается смесью люминесцирующих веществ. Поглощая ультрафиолетовое излучение ртутных паров, эти вещества дают люминесцентное излучение в видимой области, близкое по составу к дневному свету. Такие лампы дневного света широко распространены для освещения в промышленности и быту. Вопросы: 1. Как обосновывается в квантовой механике существование первой стационарной воровской орбиты и числовое значение ее радиуса? 2. Как доказываются в квантовой теории первый постулат Бора и правило частот? 3. В чем состоит ошибочность истолкования спина как результата вращения электрона-шарика вокруг своей оси? 4. Как доказывается в квантовой теории второй постулат Бора? 5. В чем состоит физический смысл явления магнитного резонанса? 569
Глава 40 ____________________________________________ Основы физики лазеров § 40.1. Отрицательное поглощение света 1. В заключение этой части курса рассмотрим вопрос о принципиально новых источ- никах излучения, обладающих необычными свойствами. В СССР в 1954 г. появились работы Н. Г. Басова и А. М. Прохорова, в которых был описан квантовый генератор ультракоротких радиоволн в сантиметровом диапазоне, называемый мазером. Термин «мазер» (maser) составлен из первых букв английского названия этого устройства: microwave amplification by stimulated emission of radiation — усиление микроволн с по- мощью стимулированного излучения. Генераторы и усилители света в видимой и ближней инфракрасной областях, появившиеся в 1960 г., называются оптическими квантовыми геяеряторайи (ОКГ). Иначе эти устройства называют генераторами коге- рентного света (ГКС). В настоящее время их сокращенно называют лазерами. Термин «лаэтр» имеет такое же происхождение, как и термин «мазер». Оба типа устройств работают на основе эффекта вынужденного (индуцированного или стимулированного) излучения. Этот эффект есть результат взаимодействия электромагнитной волны с ато- мами вещества, через которое проходит волна. Так как поведение атомов описывается квантовыми законами, то в названиях обоих устройств имеется слово «квантовый»: «квантовый генератор», «квантовый усилитель». 2. Индуцированное (стимулированное) излучение может приводить к отрицательному поглощению света. Так как оно лежит в основе ОКГ, рассмотрим его несколько подробнее. Активной (усжлтающей) называется такая среда, в которой интенсивность проходящего света возрастает. Возможность существования такой среды вытекает из явления вынужденного излучения, рассмотренного Эйнштейном. Эйнштейн показал, что вынужденное излучение должно бытн по своим харак- теристикам совершенно тождественно с тем излучением, которое, проходя через веще- ство, вызывает индуцированное излучение. Новый фотон, образовавшийся в результате того, что атом (или молекула) вещества переходит с высшего энергетического состоя- ния на низшее под действием света, имеет ту же энергию и летит строго в том, же направлении, что и фотон, стимулировавший появление первого. На волновом языке эффект вынужденного излучения сводится к увеличению амплитуды проходящей волны без изменения ее частоты, направления распространения, фазы н поляризации. Други- ми словами, вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением. 3. Новый фотон, возникший в результате индуцированного излучения, усиливает свет, проходящий через среду. Однако следует иметь в виду, что кроме индуцированного излучения происходит процесс поглощения света. В результате поглощения фотона атомом, находящимся на энергетическом уровне фотон исчезнет и атом перейдет на энергетический уровень (рис- 40.1, а). При этом уменьшается мощность света, проходящего через среду. Таким образом, имеются два конкурирующих друг с другом процесса. В результате актов вынужденного излучения фотон с энергией hv «сваливает» электрон с уровня W-i на уровень JPi и вме- сто одного фотона дальше летят два фотона До взаимодействия После Взаимодействия 570
(рис. 40.1, б). Акты же поглощения уменьшают число фотонов, проходящих сквозь среду. Усиливающее действие среды определяется тем, какой из двух процессов преоб- ладает. Если преобладают акты поглощения фотонов, то среда будет не усиливающей, а ослабляющей свет, который через нее проходит. Если главную роль играют акты вынужденного излучения, то среда усиливает свет. 4. Поглощение света в веществе подчиняется закону Бугера Ламберта: (40.1) где а' положительный натуральный показатель поглощения; х толщина поглоща- ющего слоя; /0 интенсивность света, входящего в среду; / интенсивность света, прошедшего слой толщиной x.t В. А. Фабрикантом впервые были рассмотрены особенности среды с отрицатель- ным поглощением света. Им было показано, что для такой среды закон (40.1) имеет другой вид (закон Бугера — Ламберта — Фабриканта): /=/Zlx. (40.17 Здесь |а'| положительная величина, что соответствует не ослаблению, а усилению света по мере прохождения его через вещество. Иначе говоря, в усиливающей среде показатель поглощения среды становится отрицательным. Этим объясняется то, что подобную среду иногда называют средой с отрицательным показателем поглощения. Формула (40. Г) указывает на крутое возрастание интенсивности света с увеличением толщины слоя усиливающей среды (рис. 40.2). Это означает, что в такой среде из-за преобладания актов вынужденного излучения лавинообразно нарастает число фотонов. Два фотона, образовавшихся в одном акте индуцированного излучения, при встрече с двумя атомами, находящимися на возбужденном уровне, «свалят» атомы вниз и после этого будут лететь уже четыре одинаковых фотона и т. д. (рис. 40.3). С волновой точки зрения, амплитуда электромагнитной волны и ее квадрат, пропорци- ональный интенсивности света, будут нарастать за счет энергии, получаемой от возбужденных атомов. Лавинообразное нарастание интенсивности света в усиливающей (активной) среде означаем, что такая среда действует как усилитель электромагнитных волн. Принцип подобного усиления был сформулирован В. А. Фабрикантом, М. М. Вудынским и Ф. А. Бутаевой (1951). 5. Оценим натуральный показатель поглощения а’ некоторой среды, не предполагая специально, что она является усиливающей. Натуральный показатель поглощения а' в условиях, когда спонтанное излучение несущественно, должен определяться, вообще говоря, двумя противоположными процессами: поглощением и индуцированным излу- чением. Рассмотрим два энергетических уровня и атомов (или молекул) среды, Рис. 40.3 571
Wz Рис. 40.4 между которыми, согласно Эйнштейну, воз- можны три типа оптических процессов: спон- танное излучение, поглощение и вынужденное (стимулированное) излучение (рис. 40.4). Предположим для простоты, что процессами спонтанного излучения, при которых возбуж- денные атомы самопроизвольно переходят в нормальное состояние, можно пренебречь. Ниже мы выясним, при каких условиях это возможно. Число фотонов, поглощенных ато- мами, находящимися на нижнем энергетичес- ком уровне, пропорционально концентрации атомов Nt, которые имеют энергию Wt. Число актов вынужденного (стимулированного) излучения пропорционально концент- рации атомов У2 на верхнем энергетическом уровне W2. Можно доказать, что коэф- фициент пропорциональности в обоих процессах одинаков. Показатель поглощения o' в законе Бугера — Ламберта — Фабриканта (40.1), в свою очередь, пропорционален разности между числом актов поглощения н вынужденого излучения: a'=*W-^), (40.2) где к>0 — коэффициент пропорциональности. в. В состоянии термодинамического равновесия системы число атомов N2 на возбуж- денном уровне W2 меньше числа атомов Ni на более низком уровне т. е. N2/Ni<l. Поэтому в состоянии равновесия а'>0. Это значит, что число актов обычного (положи- тельного) поглощения превышает число переходов, сопровождающихся отрицатель- ным поглощением, т. е. индуцированным излучением. Однако из (40.2) следует, что могут существовать такие среды, в которых натуральный показатель поглощения o' будет отрицательным (а'<0). Для получения среды с отрицательным поглощением необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов N2 на возбужденном уровне было бы больше, чем число атомов Ni в нормальном состоянии, т. е. N^Ni > 1. Такие состояния принято называть инверсшми (обращенными) состояни- ями. Слово «инверсия» означает переворачивание (от лат. inversio). Смысл термина состоит в том, что в таком неравновесном состоянии имеется «обращенное» рас- пределение атомов по энергетическим состояниям — на верхнем уровне концентрация атомов больше, чем на нижнем. 7. Процесс перевода среды в инверсное состояние называется накачкой усиливающей среды. Наиболее естественной представляется оптическая накачка среды, при которой атомы переводятся с нижнего уровня W\ на верхний возбужденный уровень W2 облуче- нием светом такой частоты v, что hv=W2 — Wt. Если усиливающая среда является газообразной, то перевод атомов на верхний энергетический уровень возможен при неупругих столкновениях атомов с электронами в газовом разряде (электрическая накачка). Однако такие методы перевода атомов с нижнего уровня на верхний не приводят к инверсной заселенности атомов по уровням. Вследствие спонтанного излучения атомов, находящихся на возбужденных уровнях весьма малое время, а также в результате столкновения атомов с электронами, при которых возбужденные атомы отдают электронам свою энергию и переходят на нижние уровни, заселенность атома- ми верхних уровней будет меньше, чем нижних. Этот общий результат показывает, что использование двух уровней и W2 не эффективно для получения инверсной заселен- ности. Существо метода, предложенного В. А. Фабрикантом, состояло в том, чтобы с помощью специальных молекулярных примесей избирательно разрушить некоторые нижние энергетические уровни и таким образом осуществить более высокую заселен- ность атомами верхних энергетических уровней по сравнению с нижними. В мазере, созданном Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым и независимо от них Ч. Таунсом, молекулы, находящиеся на нижнем энергетическом уровне, удалялись с помощью 572
специально созданного‘неоднородного электрического поля. Другим методом получе- ния инверсной заселенности является применение вспомогательного излучения, кото- рое создает избыточную по сравнению с равновесной концентрацию атомов (или других частиц) на верхних энергетических уровнях. § 40.2. Оптические квантовые генераторы 1. Практическое осуществление инверсной заселенности уровней в оптических кван- товых генераторах производится по трехуровневой схеме, 'предложенной Н. Г. Басо- вым и А. М. Прохоровым (1955). Один из первых генераторов когерентного света, работающих по схеме трех уровней с твердым телом в качестве активной, усиливающей среды, был создан в, 1960 гг Усиливающей средой в нем был кристалл рубина, представляющий собой по химичес- кому составу оксид алюминид А12О3 с примесью оксида хрома Сг2О3 в количе- стве от -0,03 до 0,05%. При этом в кристаллической решетке оксида алюминия определенная часть атомов А1 заменена ионами Сг3+. Активным веществом, в котором осуществляются вынужденные переходы, являются в рубине ионы хрома Сг3+. Энер- гетическая схема уровней Сг3+ содержит ближайшие к основному уровню С две широкие энергетические полосы А и двойной метастабильный уровень В, переходы с которого нД основной уровень С соответствуют длинам волн красного света 692,7 и 694,3 нм (рис. 40.5). Существенно наличие трех уровней: А, В и С. При интенсивном облучении рубина зеленым светом мощной импульсной лампы, наполненной неоном и криптоном (лампы накачки), наблюдается переход ионов хрома на уровни широкой полосы А, откуда наиболее вероятным является безызлучательный переход ионов на двойной уровень В с передачей избытка энергии кристаллической решетке рубина. Таким образом можно создать условия, при которых населенность ионами двойного уровня В будет превышать населенность основного уровня С. Кон- центрация ионов на уровне А меньше, чем на уровне С. Но это неважно. Важно то, что уровни В и С будут заселены инверсно. Это позволяет получить оптический генератор на линиях 692,7 и 694,3 нм. Возникновению инверсии уровней ВиС способствует малая вероятность спонтанных переходов ионов хрома с уровня В на уровень С. В одном из газовых оптических квантовых генераторов усиливающей средой служит плазма высокочастотного газового разряда, полученная в смеси гелия с не- оном. Вследствие соударений с электронами атомы гелия переходят в возбужденное состояние W3. При столкновениях возбужденных атомов гелия с атомами неона последние также возбуждаются и переходят на один из верхних уровней неона, близко расположенных к соответствующему уровню гелия. При переходе атомов неона с этого уровня на один из нижних уровней Wi осуществляется излучение лазера. На рис. 40.6 изображена упрощенная трехуровневая энергетическая диаграмма такого лазера. 2. Эффект усиления света, основанный на индуцированных переходах, можно увели- чить путем многократного прохождения усиливаемого света через один и тот же слой активной среды. Например, это может быть достигнуто путем помещения слоя среды с отрицательным поглощением (кювета с газом или кристалл) между двумя достаточно плоскими зеркалами, установленными параллельно друг другу. Чаще зеркала делают вогнутыми. Принципиальная схема ОКГ изображена на рис. 40.7, где 1 — активная Рис. 40.5 573
Рис. 40.7 среда, 2 и 3 — сплошное и полупрозрач- ное зеркала. Любой фотон, возникший в активной среде за счет спонтанного испускания возбужденных накачкой атомов среды, является «затравкой» процесса генерации света. Рассмотрим фотон, который дви- жется параллельно оси кюветы или кри- сталла.’Он рождает лавину фотонов, ле- тящих в том же направлении (рис. 40.7, а). Часть этой лавины частично пройдет через полупрозрачное зеркало 3 наружу, а часть отразится и будет нарастать в активной среде (рис. 40.7, б). Когда лавина фотонов дойдет до сплошного зеркала 2, она частично поглотится, но после отражения от зеркала 2 усилен- ный поток фотонов вновь будет дви- гаться так же, как и первоначальный, «затравочный» фотон (рис. 40.7, в). Таким образом, с помощью зеркал в ОКГ реализу- ется положительная обратная связь, необходимая во всяком генераторе для того, чтобы был обеспечен режим генерации. Поток фотонов, многократно усиленный и вышедший из генератора сквозь полупрозрачное зеркало, создает строго направлен- ный пучок лучей света огромной яркости. 3. Лавина фотонов будет нарастать (самовозбуждение генератора), если усиление, создаваемое на пути фотонов между двумя последовательными отражениями от зеркала 2, по крайней мере компенсирует потери фотонов при отражении от зеркал. Количественной мерой усиления света в ОКГ на пути фотонов длиной L может быть выбрана величина, равная к—111й—с Л по формуле (40.1). Здесь L — длина активной среды между зеркалами. Между двумя отражениями фотоны проходят путь 2L, поэтому усиление определяется величиной е . Для того чтобы учесть потери фото- нов в зеркалах, обозначим через R2 и R3 коэффициенты отражения света от зеркал 2 и 3 (рис. 40.7). С учетом потерь в зеркалах усиление ОКГ можно записать в более общем виде: ' fc=e RiRj- (40.3) Из формулы (40.3) можно найти условие, при котором потери в зеркалах компенсиру- ются усилением среды, т. е. fc=l: е"“ЬЛ2Л3=1. (40.3') Логарифмируя условие (40.3'), получаем показатель отрицательного поглощения o' в лазере: п'=^1п(Л2«з). (40.4) Формула (40.4) используется для определения минимальной (пороговой) мощности накачки, которая необходима для у [лени света в генераторе. Очевидно, что если увеличить мощность накачки так, чтобы процессы генерации света превышали потери в зеркалах, то в ОКГ будет нарастать лавина фотонов и яркость луча, вышедшего из генератора, будет увеличиваться. Однако в ОКГ невозможно беспредельное возраста- ние усиления света. По мере роста усиления возрастают процессы спонтанного излуче- ния атомов, находящихся на верхних «рабочих энергетических уровнях генератора». Это приводит к уменьшению инверсии в заселении верхних энергетических уровней и уменьшению индуцированных переходов — усиление уменьшается и замедляется 574
нарастание лавины фотонов. Описанное явление называется насып вей в оптическом квантовом генераторе. 4. До сих пор при анализе условии усиления света в ОКГ мы не учитывали, что индуцированное излучение в генераторе является когерентным первоначальному, «за- травочному» излучению. Волновые свойства света приводят к некоторым дополни- тельным условиям, при которых осуществляется режим генерации. На волновом языке процесс усиления света в ОКГ означает непрерывное и значительное возрастание амплитуды световой волны. Но для этого необходимо, чтобы волна, возвратившаяся в некоторую точку активной среды после отражения от зеркал, имела в этой точке фазу, совпадающую с фазой первичной волны при любом числе отражений от зеркал. Это накладывает определенное условие на зависимость между длиной волны Л и дли- ной L активной среды. Длина пути, который проходит волна между двумя отражени- ями, должна составлять целое число длин волн: 2L=nX или L—л2/2 (и=1, 2, ...). (40.5) Тогда при сложении амплитуд первичной и всех вторичных волн будет резко воз- растать амплитуда результирующей волны. Если выполнено условие (40.5), то волны, которые при каждом отражении выходят из генератора через зеркало 3 (см. рис. 40.3), когерентны между собой. Разность фаз двух последовательно вышедших волн состав- ляет ДФ=2я2Л/2 и определяется разностью оптического хода 2L. Лучи, которые вырываются из ОКГ, являются результатом интерференции многих когерентных волн, имеющих разность фаз, кратную 2я. Это обеспечивает наибольшую результирующую амплитуду, н интенсивность света, полученного в лазере. Как известно, при интерферен- ции многих когерентных волн интерференционные максимумы интенсивности получа- ются очень узкими, резкими. Если условие (40.5) нарушено, то амплитуды воли не будут усиливаться. 5. Уравнение (40.5) является фазовым условием, выполнение которого так же необ- ходимо для процесса генерации света в ОКГ, как и условие компенсации потерь (40.3'). Из уравнения (40.5) следует, что если рассматривать пространство между двумя зеркалами в ОКГ как некоторый зеркальный резонатор, то на его длине L должно укладываться целое число и стоячих волн. Таким образом, уравнение (40.5) есть одновременно условие резонанса между электромагнитной волной и зеркальным резо- натором. Из уравнения (40.5) можно найти частоты, генерируемые в ОКГ. Используя связь частоты с длиной волны x=t>/v и уравнение (40.5), получаем ve=nt)/(2L). (40.6) Каждому значению и соответствует определенная частота. Кроме того, частоты, генерируемые в ОКГ, должны одновременно удовлетворять правилу Бора, связыва- ющему частоту с разностью энергетических уровней атомов активной среды генерато- ра. Необходимость одновременного выполнения уравнения (40.6) и условия частот Бора на первый взгляд очень усложняет практическое создание ОКГ. Это предъявляет очень высокие требования к точности, с которой должно быть задано расстояние L, чтобы сохранялась когерентность интерферирующих волн. Однако в действительности ситуация оказывается не такой безнадежной. Выручает то, что правило частот Бора выполняется с точностью до конечной ширины энергетических уровней атома, а также то, что существует ряд причин уширения спектральных линий, в первую очередь за счет эффекта Доплера. В. Мы не можем входить в детальное обсуждение вопроса о ширине спектральных линий излучения ОКГ. Можно показать, что спектр излучения ОКГ состоит из ряда очень узких линий, частоты которых, как это видно из (40.6), отстоят друг от друга на Ду=г/(2Л). Создание лазеров позволило значительно продвинуться вперед в решении задач а получении строго монохроматическою света. Высокая степень монохроматичности света, получаемого в лазерах, означает, что имеется значительно большая (на несколь- ко порядков), чем обычно в оптике, длительность непрерывного цуга волн, испуска- емых ОКГ. Следовательно, пространственная протяженность (длина непрерывного цуга волн, испускаемых лазером) также значительно превосходит длину цуга в обыч- ч 575
ной оптике. Последнее обстоятельство снимает то ограничение, которое накладывается обычно в оптике на проведение опытов по интерференции: требование малой разности оптического хода лучей. С лучом лазера можно проводить опыты по интерференции при громадных разностях хода — порядка десятков метров и более. 7. Одной из замечательных особенностей лучей, получаемых в ОКГ, является их острая направленность, малое расхождение пучка лучей по углам. Это связано с меха- низмом процессов индуцированного излучения, лежащих в основе действия лазеров. «Затравочный» фотон, необходимый для генерации света в лазере, должен лететь параллельно оси резонатора. Фотон, летящий «вбок», под углом к оси резонатора, создаст лавину фотонов, которая после небольшого числа отражений выйдет из активной среды и не будет участвовать в процессе усиления (рис. 40.7, а). В генерации н усилении света участвуют только фотоны, летящие параллельно оси резонатора. Поэтому луч, вышедший из генератора, имеет острую направленность. Однако волно- вые свойства света не позволяют получить угол расхождения лучей, равный нулю. Явление дифракции света определяет нижний угловой предел для расхождения лучей ОКГ. Угол расхождения лучей не может быть меньше угла дифракции на круглом отверстии (см. (32.11)): Х G^X/D, (40.7) где D — диаметр зеркала. в оптическом квантовом генераторе, имеет порядок 10“5 — 10~6 рад. В газовых лазерах угловое расхождение лучей достигает такой величины. 8. Из-за высокой когерентности и острой направленности лучей ОКГ они могут быть с большой эффективностью использованы для связи, локации, получения очень высо- ких температур в малых объемах и т. д. С помощью современных ОКГ можно осуществить связь на громадных расстояниях астрономического порядка. Излучением ОКГ можно пробивать мельчайшие отверстия в самых твердых веществах, например в алмазе, осуществлять сварку микродеталей. Лучи лазеров нашли применение в хирур- гии при лечении отслаивания сетчатки Глаза. Луч лазера как бы «приваривает» отсло- ившуюся сетчатку к тканям глазного дна. - Характеристики современных ОКГ пока еще далеки от принципиально возможных. Например, возможно получение световых пучков такой мощности, которой будут соответствовать световые давления порядка миллионов атмосфер. Все это' создает необозримые перспективы для применения квантовых усилителей и генераторов коге- рентного света. ' Вопросы: 1. В каком случае показатель поглощения среды может быть отрицательным? 2. - Объясните, почему а ОКГ используется трехуровневая схема? Э. Как действует ОКГ на рубине? 4. Каково назначение зеркального резонатора ОКГ? 5. В чем состоит фазовое условие генерации света в ОКГ? в. Почему излучение ОКГ отличается острой направленностью?
Часть Элементы квантовых статистик и квантовой физики твердого тела Глава 41 Квантовые статистики и некоторые их причинения Главе 42 Элеыенты квантовой теории иеталлое Глава 43 Зонная теория твердых тал Глава 44 Контактные явления 19 Курс физики
Глава 41______________________________i______ Квантовые статистики и некоторые их применения §41.1. Общие сведения о квантовых статистиках 1. В § 10.1 мы останавливались на некоторых общих вопросах, связанных с клас- сической статистической физикой. Статистическая физика изучает свойства систем, состоящих из большого числа частиц (атомов, молекул, электронов, фотонов и др.). В зависимости от условий частицы системы подчиняются законам либо классической, либо квантовой механики. Соответственно различаются классическая и квантовая статистики. В статистической физике движение огромного, числа частиц и их взаимодействия невозможно практически рассчитать, даже если частицы можно рассматривать как материальные точки, движущиеся по Траекториям. В квантовой механике, как и в ста- тистической физике, закономерности имеют статистический, вероятностный характер. Однако существует принципиальное отличие квантовой механики в этом смысле: в квантовой механике (и, соответственно, в квантовой статистике) необходимость статистического описания является следствием корпускулярно-волновой двойствен- ности свойств частиц вещества. 2. В квантовой механике существует важное положение о неразличимости тождествен- ных частиц с вытекающими из него следствиями. Состояние системы, состоящей из п тождественных частиц, характеризуется в кван- товой механике" некоторой полной волновой функцией, зависящей как от координат всех частиц системы (координатные волновые функции), так и от ориентаций их спинов (спиновые волновые функции). Из принт ^ипа неразличимости тождественных частиц вытекает, что существует два типа полных волновых функций, описывающих состояние системы тождественных частиц: симметричные и антисимметричные волновые функции. Различие симметричных и антисимметричных волновых функций состоит в том, что первые не изменяют своего знака при перестановке любой пары а и Ь частиц системы (т. е. при переходе к .состоянию системы, в котором частица а находится в прежнем квантовом состоянии частицы Ь, а частица Ь — в прежнем квантовом состоянии частицы в), тогда как вторые изменяют при этом свой знак на проти- воположный. В квантовой механике доказывается, что тип полной волновой функции системы тождественных частиц (ее симметричность или антисимметричность) зависит от проекции La спинов этих частиц на направление вектора Н внешнего магнитного поля и не изменяется при любых внешних воздействиях на систему частиц. Электроны и другие частицы, у которых La равно нечетному числу ±Ц2, называ- ются фермионами или частицами с волуцелым свином. Система тождественных фермионов описывается антисимметричной полной волно- вой функцией. Частицы, у которых LB равно нулю или четному числу ±h/2, называются бозонами или частицами с целым спином., Система тождественных бозонов описывается симметричной полной волновой функцией. Принцип Паули выражает особенность поведения системы тождественных ферми- онов: в данной системе тождественным фермионов любые два из них но могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. 578
Из этой общей формулировки принципа Паули вытекает как частный случай его простейшая формулировка, приведенная в § 39.5. 3. Основная задача статистической физики в квантовых статистиках состоит в нахож- дении функций распределения частиц системы по тем или другим параметрам коор- динатам, импульсам, энергиям и т. и., а также отыскании средних значений этих параметров, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц. Для систем фермионов и бозонов эти задачи решаются единообразно, но несколько различ- но в связи с тем, что бозоны не подчиняются принципу Паули. В соответствии с этим различаются две квантовые статистики: Ферми Дирака н Бозе Эйнштейна. 4. Для описания состояния системы частиц вводится пространство шести измере- ний фазовое пространство, называемое также ^-пространством: х, у, г, рж, ру, р,. Первые три измерения являются координатами частицы, три последних проек- циями ее импульса р по осям координат. Состояние частицы (ее координаты и импульс) изображается точкой в д-пространстве. Состояние системы определяется тем, как распределены в д-пространстве изображающие точки всех частиц системы. Но при этом нужно учесть корпускулярно-волновую двойственность свойств частиц. Основываясь на соотношениях неопределенностей Гейзенберга в форме (37.14') естественно считать, что данному состоянию частицы в д-пространстве соответствует не точка, а ячейка фазового объема размером ^fD=hxKy^zKpxt^py^ps=hi. При раз- мещении частиц (точнее их изображающих точек) по ячейкам с объемом А3 каждая в соответствии с принципом неразличимости тождественных частиц ставится вопрос о наиболее вероятном распределении частиц системы по ячейкам. При этом существен- но число частиц в данной ячейке, но не то, какие именно частицы данного сорта находятся в ячейке. Состояние системы тождественных частиц не изменяется от перестановки частиц как внутри данной ячейки, так и между ячейками. Для системы фермионов при этом должен быть учтен принцип Паули. § 41.2. Функция распределения Ферми —Дирака 1. Рассмотрим систему, состоящую из п невзаимодействующих тождественных фермиоиов, например электронов, со спииом h/2. Такая система называется идеальным Ферми-газом. В соот- ветствии с принципом Паули в каждой ячейке (в каждом квантовом состоянии) не может быть более двух частиц, причем непременно с антипараллельными спинами. Пусть энергии И’, соответствует g, ячеек. Для упрощения-расчетов.можно считать, что в ячейке размером Дш/2 может либо находиться одна частица, либо ячейка будет пустой. Если я,- число частиц с энергией W„ получающейся из решения уравнения Шредингера, то энергия системы И’ и полное число частиц в системе л удовлетворяют условиям: у. л,=л, У л,И’, = И'. (41.1) Найдем число различных способов размещения л, частиц по g, ячейкам объемом Ато/2. Число различных перестановок всех 0 и 1 равно /?,!. Число перестановок всех 1 будет л,!. Число перестановок всех 0 будет (?,—л()!. Тогда число различных способов указанного размещения Ki! яД(к,~п.)! (41.2) Общее число различных способов размещения частиц по микросостояниям, соответствующее данному макросостоянию, т. е. термодинамическому состоянию системы, равно произведению всех выражений (41.2): _ Т Ki- /> = П«. = Г1 (41-3) . . «,! (К, -«,)! Формула (41.3) определяет термодинамяческую вероятность данного макросостояиня. 2. Из-за хаотического, теплового движения частиц все микросостояния, соответствующие дан- ному макросостоянию, равновероятны, т. е. одинаково часто реализуются в течение достаточно длительного промежутка времени. Поэтому состоянию термодинамического равновесия соответ - 579 19*
ствует максимум Р ври выполнении ^дополнительных условий (41.1). Оказывается, что при достаточно большом числе чдстйц этот максимум очень острый, т. е. сколько-нибудь значитель- ные отклонения системы от этого равновесного состояния весьма, маловероятны — ио^моуны лишь, малые колебания (флуктуации) около равновесного состояния. - 3. Для отыскания условного максимума функции Р удобнее взять функцию In Р и воспользовать- ся методом неопределенных множителей Лагранжа. Вспомогательная функция имеет вцд <p=dn/>—a f Y, пг~п\—р (41.4) где а и р постоянные коэффициенты — неопределенные множители Лагранжа. Условный мак- симум функций In Р (и Р) соответствует безусловному максимуму функции <р. Из формулы (41.3) следует, что 1пР=£ lng,!-£ 1пИ<!-£ Infe-nJ!. (41.5) Воспользуемся приближенной формулой Стирлинга, справедливой при достаточно больших Ь: Тогда 1пЬ!=Л1пЛ-Л. (41.5') lnP=£[g/lng,-gj-H1lnwj+H/-(g(-ni)ln(g(-H/)-i-(g<->ij)]. ' i После простых преобразований выражения для In Р функция <р, согласно (41.4), принимает вцд Ф=£ [£<1п£,-лДпл;-(г/-л<)1п(£,-л,-)--ал1-/Ц1^+ал+/ПР. i Дифференцируя эту функцию по п, и приравнивая производную нулю, получаем dtp = »-1пл(— 14-ln(g,—л,)+1 — a—pWi^O. дп. Введем обозначение • ... ... li=-alP (41.5') и перейдем от логарифмов к числам (^—пЦ/п^е , или окончательно Формула (41.6) называется распределением Ферми — Дирака. Функция распределения Ферми — Дирака (функция заполнения ячеек), или средняя заселенность фермионами состояний с данной энергией Й'„ равна />"'---. , ep^+i (41-6') § 41.3. Функция распределения Бозе — Эйнштейна 1. Аналогичная задача возникает для системы из л невзаимодействующих бозонов с энергией W (идеальный Бозе-газ). Спии бозонов равен нулю или целому числу Д и они не подчиняются принципу Паули. В одной ячейке может находиться произвольное, число частиц. Требуется найти число отличных друг от друга размещений частиц по ячейкам д-пространства, а затем найти наиболее вероятное распределение. Учтем, что энергии Wf соответствуют gt ячеек и и/частиц, т. е. (gi+rif) элементов. Обозначим ячейки через Z[, Z2, .... zgjt а частицы через yi, уг, — > З'»,- Выпишем формально последовательность элементов z и у в произвольном порядке: *1. Уь У2, Z2, УЗ, Z3, У4. У5, Уб, Z4, Zj, У7, ... . 580
Будем считать, что частицы, попавшие между парой элементов я, находятся в той ячейке, которая стоят слева от них. В выписанной последовательности частицы у] иуз i ходится в ячейке zi, частица уз — в ячейке j, частицы уь'уз и yj — в ячейке Я), в четвертой ячейке х4 нет частиц и т. д Ясно, что первой буквой такого ряда должна быть буква я, а не у. Это можно сделать gi способами, а оставшиеся (ft—1+*) элементы последовательности можно расположить произ- вольно (ft+nj—1)! способами. Полное число различных последовательностей ftCft+nj— 1)!. Однако все последовательности, которые можно получить друг из друга перестановкой ячеек или частиц, соответствуют не различным, а одному и тому же состоянию системы. Число таких перестановок ft! л<1. Таким образом, число различных способов размещения л/ частиц по ft ячейкам в статистике Бозе — Эйнштейна имеет вид gi (ft+»i—1)1 (ft+«Г~1)1 Hi- gM (ft-W (41.7) 2. Далее поступим аналогично тому, как в 5 41.2. Термо, намическая вероятность состояние (Ю+Ц-!)! / (ft-DM (41.8) Поскольку gt» 1, формула (41.8) упрощается: (й+л<)! р-П-— I ftl"fl (41.83 Отыскивать условный максимум будем, как и раньше, для In Л 1пР-£ [(£/+n1)ln(g1+ni)-g/lngj-n,tan1]. i При получении формулы (41.9) использована формула Стирлинга (41.5')- Далее вновь применим (41-9) Ф—£ [(ft+-ni)ln(ft+Hi)—fttaft—л(1пл(— axi-fintWi+am+pW, Вт — — ln(ft+ni)—1пл|— a— fiWf- 0. дп{ ft+ty Отсюда In------р), где по-прежнему р— — а/Д. Следовательно, "i ft л/—--------- е —I (41.10) Формула (41.10) дает ip ш Бозе — Эйнштейна. Объединяя (41.6) и (41.10), можно для идеальных Ферми- и Бозе- газов записать распределения в единой формуле: ft Л/—----- е^±1 (41.11) Функция заполнения ячеек -пхжб эашааъааекя в единой формуле: 1_ ^±1 (41.11') 581
3. Для выяснения физического смысла величин р и р нам придется истользовать первый и второй законы термодинамики в несколько более общей форме, чем это сделано во второй части. Изменение внутренней энергии системы может происходить, помимо сообщения сй^тсплоты и совершения над ней работы, еще в процессе массооб- мена. В более общей записи первый закон термодинамики имеет вид dt7« 5С+6А'+р* dn, где p*dn— изменение энергии системы за счет массообмена системы с внешней средой. Вспоминая определение энтропии и выражение SQ^TdS и заменяя работу SA’ над системой работой самой системы SA'*= — 6А^ —pdV, чапатем первый закон в виде dt7= TdS—pd V+ р* dn, (41.12) откуда следует, что 4 (4112,) \kJv, S Величина д* называется химическим, нотенфалом и представляет собой изменений энергии системы при изменении на единицу числа частиц системы при изохорно- изоэнтропийиом процессе. Как мы увидим, д* связан с р в квантовых статистических распределениях. 4. Выясним смысл в и р на примере идеального Ферми-газа, где и,=------, е«^+1 •^=1^ и dtA=£nfd»;+£ Widni. I ‘ i Рассмотрим случай, когда изменение Wt возможно только за счет изменения объема газа (например, для электронов в потенциальном «ящике», где B''„»«it2fl?n2/(2mZ,2), L — ширина потенциального «ящика»). Таким образом, в равновесном процессе при V= const и const dt7-rdS-dC»^ IFidBfo i причем Wt и gi являются постоянными. В этом случае (ftlosi-лДн л,—(gi—nOlofe-"<)], i dlnP^^ln — dB,=£/JW-p)dHJ=/l £ Widn^fidU^fiSQ. i Hi i i Таким образом, (41.13) Вспомним, что SQ -—dS, т. e. 1/T—интегрирующий множитель, который превра- Т щает SQ в полный дифференциал энтропии. Из (41.13) видно, что 0~1/Г и при надлежащей нормировке на энергию Д превращает SQ в полный дифференциал функ- ции 1пР. Полагая IftkT)** 1/в, где к — постоянная Больцмана, а 0=W — стати- стическая теммератури (в Дж), мы получаем dS=fcdlnP, или S'=fclnP+So. 582
Этот результат уже использовался во второй части. Он выражает статистический смысл второго закона термодинамики. Постоянная $0 представляет собой энтропию наиболее вероятного состояния, для которого Р= 1, т. е. состояния с наименьшей энергией. 5. Осталось выяснить смысл д. Рассмотрим равновесный процесс, который проис- ходит так, что К= const, а и#const. Тогда Wt=const, dt7=]T Widnt. i Для такого процесса соотношение (41.12) принимает вид dU=TdS+n*dn. (41.14) С другой стороны, dlnP=/J £ JPjdn.-Mdn |=0[df7-pdn], L i J t. e. dt/=(l/^)dlnP+^dn=7'dS+^dn. (41.14') Сравнивая (41.14) и (41.14'), видим, что Д=Д*. (41.15) Постоянная д в квантовых статистических распределениях представляет собой хими- ческий потенциал. § 41.4. Вырождение системы частиц, описываемых квантовыми статистиками 1. В макроскопической системе уровни энергии W( частиц квазинепрерывны. Поэтому индекс i у Wf можно опустить. Под функцией заполнения ячеек д-простраиства вместо fi=nilgi следует понимать /=dn/dg, (41.16) где dn — число частиц в ячейках dg, соответствующих интервалу энергии частиц от dn dn dlF IFдо W+dW. Функцию заполнения ячеек (41.16) можно переписать так:/=—=------, так что dg dlP dg dn dg iW~ AW Эта формула (41.17) устанавливает распределение частиц по энергиям. Функция заполнения ячеек для квантовых статистик имеет вид (Г-МкЛ е ±1 (41.17) (41.18) Для Ферми-газа 1. Для Бозе-газа/>0. 2. Для отыскания числа частиц dn, приходящихся на единичный интервал энергии, т. е. величину dn/dW по формуле (41.17), необходимо знать д в функции f [см. (41.18)]. р2' В отсутствие внешнего силового поля вся энергия W только кинетическая: W=->0. 2m 583
Поэтому для Бозе-газа д<0, иначе при JF=O будет/<0, а это противоречит смыслу функции заполнения ячеек. Химический потенциал определяется из условия, что общее число частиц равно л. Это условие, согласно (41.17), выразится так: Г dg /— <ПУ=л. J dlF о Вычисление интеграла требует знания величины —. Вычисление dJF проводится pdp элементарно: d№=—-. Число ячеек dg—dt/Aw*, где До* — размер ячейки, a dr — т объем части фазового пространства, соответствующей заданному интервалу энергии частицы от W до 1Г+а1Г. Так как энергия частицы зависит только от модуля ее импульса и не зависит ни от направления вектора импульса, ни от координат частицы, то dr=4np2dp Г, где 4np2dp— объем шарового слоя радиуса р и толщины dp в импульсном подпространстве (рис. 41.1), а V— объем газа (системы частиц) в коор- динатном пространстве. Таким образом ' Вычислим Окончательно получаем 4праdp V dg=-------- Дш* dg 4nV2mW dp dir” Дф* dir dp m m dwz P y/ZmW dg 4nV ,—- , - - =---x/2^ y/W- dlT Дф* (41.19) (41.20) (41.20') и На рис. 41.2 изображен график зависимости — от W. 3. Газ называется вырожденным, если его свойства отличаются от свойств классичес- кого идеального газа. 584
В вырожденном газе происходит взаимное квантово-механическое влияние частиц газа, обусловленное неразличимостью тождественных частиц. Поведение фермионов и бозонов различно при вырождении. Для характеристики степени вырождения газа вводится параметр вырождения А: А^е^. (4121) Функция распределения / с помощью параметра вырождения для обеих квантовых статистик запишется так: е —11 (41.22) вИ7(*7) Если параметр вырождения мал Л«1, то---»1 и функция распределения (41.22) превращается в функцию распределения Максвелла — Больцмана, лежащую в основе классической статистики невырожденного газа: /-Ле’Т В общем случае, когда газ находится во внешнем силовом поле, *• W^p1l{2m)+U(x,y,2\ где U (х, у, z) — потенциальная энергия частицы в этом поле. 4. Сравнительно легко можно грубо оценить температурный критерий вырождения газа. Дело в том, что вырождение обычных газов сказывается при низких температу- рах. Для фотонного и электронного газа в металлах это не справедливо. На оси термодинамических температур (рис. 41.3) существует некоторая температура вырожде- ния Тп которая разделяет две области: вырожденного и невырожденного (клас- сического) газа. Для грубой оценки Г. используем формулу (37.40") энергии квантовой Л1 частицы локализованной в некоторой области на длине a: ----. Вместо длины 2льг а удобнее ввести концентрацию по частиц. Из очевидного соотношения о3п0= 1 следует, что а—п^1{3, и поэтому 2m (41.23) Минимальной энергии вырожденной частицы, расположенной слева на оси (рис. 41.3), соответствует знак равенства в формуле (41.23). Справа от температуры вырождения на рис. 41.3 расположена область классического невырожденного газа, у которого энергия частиц равна 3/2ЛГ. На границе двух областей (рис. 41.3). (41.24) 2m 2 Из формулы (41.24) вычислим темпе- ратуру вырождения: Г.=йггл2/3/(ЗлЛ). (4124') Полученная формула отличается чис- ловым коэффициентом от строгой формулы, вытекающей из анализа по- ведения параметра вырождения. В строгой формуле вместо коэффици- О Гв Г ента ’/3 стоят коэффициенты, различ- ные для Бозе- и Ферми-газов. Рис. 41.3 585
5. Однако эти коэффициенты не влияют на порядок значения температуры вырожде- ния различных газов. Приведем несколько примеров вырождения газов. Для элект- ронного газа в металлах по~1О2’ м-3 и 1и=9,Г10-31 кг. Формула (41.24') дает Г,®2‘ 10* К. Электронный газ в металлах практически всегда вырожден. Только при температурах выше нескольких десятков тысяч градусов электроны металла подчиня- лись бы классической статистике Максвелла — Больцмана. Но существование метал- лов в конденсированном состоянии при таких температурах невозможно. Поэтому, как отмечалось, классическое описание поведения электронов в металлах приводит в элект- родинамике в ряде случаев к законам, резко противоречащим опыту. В полупровод- никах концентрация электронного газа много меньше, чем в металлах, и составляет ~ 1018 м“3. В этих условиях Г,® 10“* К и электронный газ в полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике. Примером вырожденного газа служит фотонный газ. Так как масса фотона равна нулю (т—0), то Т,=ао. Фотонный газ при любой температуре является вырожденным. Атомные и молекуляр- ные газы имеют весьма малые температуры вырождения. Например, для водорода при нормальных условиях (Г=300 К и Ио®3-1023 м-3) Т,®1 К. Для всех остальных газов, более тяжелых, чем водород, Т. еще меньше. Газы при нормальных условиях не бывают вырождены. Вырождение, связанное с квантовыми свойствами газов, проявля- ется значительно меньше, чем отклонение газов от идеальности, вызванное меж- молекулярными взаимодействиями. в. Отличие свойств вырожденного электронного газа от свойств обычных классичес- ких газов можно иллюстрировать одним весьма поучительным примером. В основе понятия об идеальном газе лсхиг возможность пренебречь взаимодействием между молекулами и считать, что молекулы движутся свободно, лишь сталкиваясь друг с другом. Обычный газ тем идеальнее, чем меньше потенциальная энергия взаимодей- ствия его молекул по сравнению с их кинетической энергией. Чем более разрежен газ, чем меньше его плотность, тем более его свойства приближаются к свойствам идеаль- ного газа. Для вырожденного электронного газа в металлах справедливо обратное: он тем ближе по свойствам к идеальному газу, чем больше его плотность, т. е. чем меньше расстояние между электронами. В самом деле, потенциальная энергия U взаимодейст- вия электронов пропорциональна е*/а, где е — заряд электрона, а — среднее расстоя- ние между электронами, которое, как мы виделй, связано с концентрацией электронов: а=я^1/3. Таким образом, Uxie1^. Кинетическая энергия W электрона по формуле (41.23) пропорциональна л^3. Следовательно, с ростом плотности и концентрации ло электронов их кинетическая энергия растет быстрее, чем потенциальная энергия их взаимодействия. А это условие определяет большую близость газа к идеальному. § 41.5. Распределение Ферми —Дирака для вырожденного электронного газа в металлах 1. Рассмотрим такой газ на простейшей модели. В первом приближении электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный Ферми-газ в потенци- альном «ящике» с плоским дном. Рассмотрим прежде всего поведение электронного газа в металле при 0 К. Если д(0) — химический потенциал при Т=0 К, то функция распределения (41.18) для Ферми-газа при Т=0 К имеет вид, показанный на рис. 41.4: f J1 при FF<p(O), (0 при 1Г>д(0). О И>«у«(О) W Рис. 41.4 Смысл графика 41.4 прост: прн Г=0 К все энергетические состояния заполнены по одному электрону в каждой фазовой ячейке размером Л3/2 вплоть до максимальной энергии д (0), кото- рая называется энергией Ферми. 586
Рис. 41.5 Рис. 41.6 Энергия Ферми Wf представляет собой максимальную энергию, которую могут иметь электроны в металле при 7’= О К. Распределение электронов по энергиям устанавливается формулой (41.17), которая с учетом (41.20) приобретает вид dn dg , 8л Р / i— dH'^dw [“РКИ'-'М*7)!+1Г V (41 -25) При Т=0 К, когда/= 1, эта функция изображена на рис. 41.5. 2. Зная энергию Ферми Ир, можно найти импульс рг электрона, находящегося на уровне Ферми: pF=^/2n»Pw- Этот импульс определяет верхнюю занятую ячейку. Все ячейки фазового пространства с р<р? заняты, а ячейки с р>р? свободны и в них нет электронов. Ячейке с импульсом p=pF соответствует энергия W= JPF. Импульсная сфера на рис. 41.1 при Г=0 К имеет радиус рг и объем */3xpF. Весь фазовый объем, заполненный электронами, равен Разделив его на элементар- ный объем ’/2А3, получим общее число и электронов в металле объемом V: откуда 72А3" (41.26) (41.27) Здесь ло=л/К концентрация электронов проводимости. В металле ло~1О29 м э, Ир~ 10 18 Дж~6 эВ. Для сравнения укажем, что при комнатной температуре средняя энергия частицы кТсоставляет 4-10“21 Дж~0,03 эВ, т. е. (kT/Wr)«. 1. 3. Квантовое распределение Ферми — Дирака крайне нечувствительно к температуре. Функция распределения (функция заполнения ячеек) / при Г/0 К искажается только вблизи «хвоста распре- деления» (рис. 41.6). Вместо вертикального сниже- ния при Т=0 (см. рис. 41.4) происходит снижение на интервале шириной кТ, так что/(ц)= ’/2. Кривая распределения электронов по энергиям dn — при 7V0 К также искажается только вблизи dir верхней гарницы (рис. 41.7). Искажение происхо- дит на интервале энергий шириной кТ. 1Г Рис. 41.7 587
4. Значение химического потенциала ц при температуре Т, можно най- ти из условия сохранения полного числа частиц: „ гп f 'Jw&w n0V*=~— (2m) I-------------------. A3 J ехр[(^-д)/(*7)1+1 о (41.28) Этот интеграл можно вычислить только приближенно. Зависимость ц от температуры имеет вид try (41.289 При всех температурах, соответствующих твердому или жидкому состоянию металла, кТ<с Wr, поэтому д (7) мало отличается от Wr и параметр вырождения электронного (U \ — I» 1. Электронный газ в металле всегда сильно вырожден. Об этом говорит и оценка температуры вырождения (см. § 41.4): Т,ю2‘ 10* К. § 41.6. Некоторые свойства вырожденного электронного газа в металлах 1. Подсчитаем среднюю энергия электрона проводимости в металле. Для этого dg воспользуемся формулой (41.17), записываемой в виде An^f— dlF. Средняя энергия электрона проводимости При этом использовано выражение (41.209 РЯ* —=const yjw. Для п справедлива формула j/^dlPfeconst jfJWAW. о о Средняя энергия электрона (41.29) Вычисления приводят к результату: 'з 1Ff (41.30) Учитывая малость второго члена в скобках, приближенно можно считать £W)fti3/fWp. 2. Вычислим внутреннюю энергию электронного газа. Если —средняя энергия одного электрона, то энергия моля электронного газа где выражает- ся формулой (41.30). 588
Рис. 41.8 Рис. 41.8 Зная внутреннюю энергию моля электронного газа, можно рассчитать молярную теплоемкость электронного газа: Cy—fdU^/BT^y. При К= const, по=const и Ир=const. Тогда , 3 .5 Cy=-NkWv- 5 6 „ я2Я кТ —— -—. 2 Wf (4131) 3. Сравним теперь эту теплоемкость с молярной теплоемкостью классического одно- атомного газа Cy—^hR (при комнатных температурах): Су к2 кТ Ап1с —=.-------~0,015. .С|? 3 WF Физически малая теплоемкость вырожденного электронного газа объясняется харак- тером заполнения квантовых состояний электронами. Из кривой на рис. 41.6 следует, что все состояния, кроме тех, которые расположены на «хвосте» функции распределе- ния в ишервале шириной кТ, заняты. Электроны, находящиеся в глубинных ячейках; не могут принимать теплоту при нагревании — им нельзя перейти в более высокие энергетические состояния — все эти состояния заняты. Поэтому в теплоемкости могут участвовать только те электроны, которые расположены на «хвосте» функции/запол- нения ячеек. Вблизи от этих заполненных ячеек имеются свободные, куда электроны при нагревании могут перейти. В заключение поясним графически зависимость от температуры внутренней энергии и молярной теплоемкости вырожденного электронного таза (рис. 41.8, 41.9). § 41.7. Фотонный газ в замкнутой полости 1. В гл. 35 была выведена формула Планка (35.27) для теплового излучения черного тела. С квантовой точки зрения тепловое излучение может быть рассмотрено как фотонный газ, заключенный в замкнутой полости. Фотонный газ является идеальным, так как в соответствии с принципом суперпозиции волн фотоны не взаимодействуют друг с другом. Фотон имеет целый спин к, и поэтому фотонный газ подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна. Последовательное применение этой статистики должно привести к формуле Планка. Число фотонов в полости не сохраняется постоянным, а зависит от температуры; Равновесность излучения достигается за счет излучения и поглощения фотонов стен- ками полости. Следовательно, при выводе распределения Бозе — Эйнштейна первое из дополнительных условий (41.1) Л » У л,—const отсутствует и при выводе максимума i вероятности неопределенный множитель Лагранжа я=0, а следовательно, по формуле (41.5"), д=* 0 — химический потенциал фотонного газа равен нулю. 589
2. Функция распределения фотонного Бозе-газа может быть представлена так: dg *№ или dg И7(*7) ' е —1 (41.32) Параметр вырождения А=-е = 1, так что фотонный газ всегда вырожден. Об этом же говорит и температура вырожденного фотонного газа, которая равна бесконечности (Т,= со). Для фотойного газа энергия частицы W=hv, а импульс p=hvlc**Wlc. Число фазовых ячеек размером йэ в интервале энергий AW An/fdpV 4nV . или 4яР , dg=— v’dv. (41.33) с1 3. Распределение фотонов по энергиям: dn dg вяРЯ* 1 m~Vm~ W (4IJ4) С — 1 Коэффициент 2 появляется в соответствии с двумя независимыми поляризациями излучения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. От выражения (41.34) легко перейти к распределению фотонов по частотам: dn 8hFv* 1 dv= МИ) , С — 1 Теперь можно перейти к Спектральной плотности объемной плотности энергии излучения p(v, 7): (41.349 (41.35) dn Snv2 Avdv p(v, T)dv=ftv—=—--------- ' V c3 e — I Спектральная плотность объемной плотности энергии излучения черною тела р(у, Т) связана с исцускательной способностью соотношением (35.19: Это позволяет записать формулу Планка в таком же виде, как и в (3527): * с2 МИ) , С — 1 § 41.8. Теплоемкость твердых тол 1. Для твердых тел не различаются теплоемкости Су и Сг Основной вклад в теплоем- кость неметаллических твердых тел вносит энергия тепловых колебаний частиц, нахо- дящихся в узлах кристаллических решеток. Для металлов незначительный вклад в теп- лоемкость вносит вырожденный электронный газ. 590
В основе классической теории теплоем- кости твердых тел лежит закон равномер- ного распределения энергии по степеням свободы. Однородное твердое тело рас- сматривается как система независимых друг от’ друга частиц, имеющих три степе- ни свободы и совершающих тепловые ко- лебания с одинаковой частотой. Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, (Wy=kT. Внутренняя энергия моля твердого тела = 3N*kT= 3RT, R—kN^ — универсальная газовая постоянная. Молярная теплоемкость твердого тела с атомной кристаллической ранеткой Рис. 41.10 Су=—=37?=25 Дж/(мОль-К)==5,97 кал/(моль-К). Правило Дюлоя-а и Птя: молярная таплоамкость ясах химически простым кристалли- ческих твердых тел приблизительно раина 2S Дж/(моль • К). Согласно этому правилу молярная теплоемкость твердых тел не должна зависеть ни от температуры, ни от каких-либо характеристик кристаллов. Опыты опровергают это и указывают на зависимость теплоемкости от температуры, в особенности в об- ласти низких температур (рис. 41.10). Причины расхождения с опытом классической теории теплоемкости твердых тел состоят в ограниченности используемого Закона равномерного распределения энергии по степеням свободы и непригодности его в об- ласти низких температур, где среднюю энергию колеблющихся частиц в кристалличес- кой решетке необходимо вычислять по законам квантовой механики. 2. В первоначальной квантовой теории теплоемкости твердых тел, разработанной Эйнштейном, кристалл рассматривается как система N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором. Колебания всех атоме» происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой to. Средняя энфгия <И'>, приходяща- яся на одну степень свободы атома — квантового гармонического осциллятора, равна, согласно (35.26'), ко Av <IF>----------------. е -1 е —1 Внутренняя энергия моля твердого тела Av U=3NA<№~3Nk——, (41.36) *»д*л , е —1 откуда находится молярная теплоемкость твердого тела: АуМ еМИ) кТ) (41.37) 591
Если ввести характеристическую температуру T^hv/k, то /т\2 ' ' Cr-М-М) -—-/ - ' (41Jh A7' (.W-t). Этот результат качественно описывает зависимость теплоемкости твердых тел от температуры (рис. 41.10). При высоких температурах (hv«kT) (Wy^kTв соответствии с законом о равно- мерном распределении энергии по степеням свободы и Су^ЗЙ. При низких температурах (Av» кТ) MM)_j ММ) (41.38) ' । С,=ЗЛ ("Ye-Te/r. \т / При ^Г-»0 К имеем: Т^/Т-юз н е~^е/Т~*0 быстрее, чем возрастает (7е/7)2. Поэтому при 7*-»0 К темплоемкость Су-*0, что качественно согласуется с опытом. Однако количественное поведение теплоемкости твердых тел вблизи 0 К простейшая квантовая теория не описывает. 3. Предположение о том, что все атомы твердого тепа совершают тепловые колеба- ния независимо друг от друга с одинаковой частотой, чрезмерно упрощает подлинную картину колебаний частиц в кристаллической решетке. Мергду атомами (или другими частицами) твердого тела имеются настолько сильные взаимодействия, что все 2V ча- стиц тела образуют связанную систему, обладающую ЗЛГ степенями свободы, причем колебания всех атомов могут происходить с различными частотами. Весьма сложная задача о распределении частот колебаний атомов в твердом теле явилась в свое время основой уточненной теории теплоемкости твердых тел. Твердое тело обладает широ- ким спектром частот колебаний. Имеются колебания с достаточно низкими и более высокими частотами. Низким частотам соответствуют упругие колебания кристалла звукового (или инфразвукового) диапазона. Связь между частицами в кристаллической решетке приводит к тому, что в кристалле распространяются упругие звуковые волны. Физическая идея, позволившая уточнить теорию, рассмотренную в п. 2, была предложена П. Дебаем и состояла в том, что основной вклад в энергию тепловых колебаний кристалла вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам с длинами волн, превышающими период кристаллической решетки. Это следу- ет, в частности, из рис. 35.5, показывающего, что наибольший вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания с малыми частотами. Распрост- раняющиеся упругие волны ведут себя так, как если бы они распространялись в сплош- ной среде. Атомная структура кристалла не оказывает влияния на распространение в нем упругих волн с длинами волн, превосходящими где « — скорость соответствующей упругой волны, vMTc — ее частота. Длина волны должна быть соизмерима с периодом решетки, т. е. где ЛГ— число частиц (узлов кристаллической решетки) в кристалле объемом V. 4. Упругие волны в кристалле имеют квантовые свойства, проявляющиеся в том, что существует наименьшая порция — квант энергии волны с данной частотой v. Это позволяет сопоставить волне с частотой v квазнчастнцы — фононы, распространению которых со скоростью звука » соответствует звуковая волна. Фонон обладает энергией W=hv и квазиимпульсом p**hv]v. Квязнимпульс фонона р имеет направление, совпадающее с направлением распространения звуковой волны. Наиболее существенное отличие квазиимпульса от импульса состоит в том, что при 592
столкновении фононов в кристаллах квазиимпульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решите — он прн этом не сохраняется. 5. Короче говоря, подобно тому, как квантование электромагнитного поля приводит к фотонам, квантование звукового поля приводит к фононам. ' Спин фононов равен нулю, поэтому оии подчиняются статистике Бозе — Эйнштей- на. Фононы могут испускаться и поглощаться, но число их не сохраняется постоянным, поэтому химический потенциал для фононного газа равен нулю (р—0). Энергия кристалла может рассматриваться как энергия фотонного газа. Число dn фононов с частотами в интервале от v до v+dv, согласно (41.32), где (41.39) где v — скорость звука в ярныалле. Коэффициент 3 учитывает, что в твердом теле могут распространяться продольные и поперечные волны с двумя взаимно перпен- дикулярными поляризациями*. Таким образом, 12itv2dvF dn—-----------. »’(еМ^-1) (41.40) Внутренняя энергия U кристалла (с точностью до нулевой энергии) £7» Г - 12л Vh I Avdn——-— f v* dv J , * С 1 о верхняя граница частот фононов, предложенная П. Дебаем. где Уигс-е I-г-- \4як, В а 3 приведена оценка JL»- по порядку величины. При вычислении V вводится характеристическая температура Дебая T^hv^Jk и рассматриваются Два предельных случая: а) высокие температуры Т> 7р. При этом е U’»——kT kf г» ПяГкТ^ „ . v3 dv—-----—3NkT. «э 3 е —1 4яраф>Р 4nv2dv о |<ЗЛ’\1Л о Для одного моля кристалла 7V«=#a молярная теплоемкость Су соответствует правилу Дюлонга и Птн: dtZ Су—~—3JVAfc—ЗД; dT ♦Мы не учитываем различия скоростей продольных и поперечных волн и просто увеличива- ем втрое число квантовых состояний фононов. 593
б) низкие температуры Т«. 7г>. При вычислении интеграла о новая переменная £=hv/(kT) и верхний предел заменяется на оо: ^МЯХС 12яРЛ £7=*--_— Г v’dv l2nVh/кТ\* rt1 2 3 4di_4nsk*V I *ЯИ) .= ®s \ Л / J « , “ 5h V C ““ 1 C 1 о 0 v’dv ------- вводится е -1 (41.41) Молярная теплоемкость Су пропорциональна кубу термодинамической температу- ры н подчиняется закону Дебаи: dU l6nak*VT3 _ Су———------——=const Г3. dT ' (41.42) 5AV Вопросы: 1. Чем принципиально отличаются квантовые статистики от классической статистики? 2. В чем состоят различия квантовых статистик Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна? X Какой вывод формулы Планка, основанный на статистике Бозе — Эйнштейна или приведен- ный в $ 35.2. является более правильным? 4. Перечислите свойства вырожденного электронного газа в металлах. & Чем объясняется малая теплоемкость электронного газа в металлах?
Глава 42 Элементы квантовой теории металлов § 42.1. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов 1. Развитие физики привело к созданию квантовой теории твердого тела, позволи- вшей более глубоко и с единой точки зрения объяснить электрические, тепловые и другие свойства металлов, кристаллических диэлектриков и полупроводников. Благо- даря этому открылась возможность широкого и многообещающего применения полу- проводников в самых различных отраслях техники. В этой главе кратко изложены основные идеи современной теории электропроводности металлов. В первоначальной квантовой теории металлов, так же как в классической теории Друде - Лоренца, использовалось понятие об электронном газе. Считалось, что ва- лентные электроны свободны и движутся внутри металла так, как будто положитель- ные ионы решетки не создают никакого электрического поля. Поэтому движение электронов в металле можно было описать с помощью модели, называемой потенци- альным «ящиком*. Если принять, что вне металла потенциальная энергия электронов равна нулю, то внутри металла она равна —А, где Л — положительная работа выхода электрона из металла. Иными словами, можно считать, что свободные электроны металла находят- ся внутри потенциальной «ямы» (потенциального «ящика») с вертикальными стенками и глубиной, равной А (рис. 42.1). Плоское «дно» потенциального ящика свидетельству- ет о том, что никакого электрического поля внутри металла нет н весь его объем эквипотенциален. Движение электронов внутри ящика ограничено только тем, что они не могут выйти за его пределы, так как для этого они должны преодолеть потенциаль- ный барьер высотой А. Однако для описания движения свободных электронов в потенциальном «ящике» вместо классической статистики Максвелла - - Больцмана была применена статистика Ферми — Дирака. 2. Все электроны стремятся занять наиболее низкие энергетические уровни, как самые устойчивые. Поэтому они заполняют дозволенные энергетические уровни начиная от дна потенциальной ямы. На рис. 42.2 занятые электронами уровни окрашены. Из рисунка видно, что работу А выхода электрона из металла нужно отсчитывать ие от «дна» потенциального «ящика», как в классической теории, а от верхнего из занятых электронами энергетических уровней — уровня Ферм*. Электрический ток проводимости в металлах представляет упорядоченное движе- ние электронов. Это движение накладывается на их хаотическое тепловое движение и возникает под действием электрического поля, создаваемого в металле. Следователь- но, для того чтобы электроны металла начали упорядоченно двигаться под действием внешнего электрического поля, они должны увеличить свою энергию. При обычных напряжениях в цепи электроны принимают весьма малую энергию. В том случае, если Рис. 42.1 Рис. 42.2 595
существуют близкие не занятые другими электронами энергетические уровни, осущест- вляется переход электронов на эти свободные уровни, и возникает электрический ток в направлении внешнего электрического поля. Г § 42.2. Закон Ома в квантовой теории электропроводности металлов 1. Строгий вывод закона Ома для металлов с использованием квантовой статистики Ферми — Дирака представляет значительные трудности н не может быть проведен в нашем курсе. Однако общие идеи вывода и его результаты могут быть обсуждены. Каждый электрон с импульсом р, упорядоченно движущийся со скоростью в под действием электрического поля в металле, вносит вклад в плотность тока. Плотность электрического тока СО J — enfdpxdpydp,. (42.1) “W Здесь f— функция распределения носителей тока для неравновесных процессов при одновременном действии ускоряющего электроны поля с напряженностью Е и тор- мозящих процессов столкновений. Коэффициент 2 учитывает принцип Паули. Для стационарного неравновесного процесса проводимости, характеризующего постоян- ный ток, изменение функции распределения под действием электрического поля должно быть равно изменению функции распределения в результате столкновений, которые испытывают носители тока в металле, ускоряемые полем: (42.2) Раскроем подробнее условие (42.2): Но 8pl8t=F^eE-t следовательно, столжя (42.3) Если f0 — равновесная функция Ферми, то для малых отклонений от положения равновесия , (42.4) М^/етоягя где т имеет смысл времени, в течение которого распределение, возмущенное элект- рическим полем, стремится к равновесному распределению fy в результате столкнове- ний. Если /1 — возмущение функции распределения под действием поля, то f=/o+/i- (42.5) При малых напряженностях полей fi~E. Подставив (42,5), (42.4) в (423) в (42.2), получим ?0о+Л) _ /1 ------— еЕ=~. Зр т 396
При малых полях импульс р(Е) электрона под действием поля во много раз меньше импульса теплового движения; т. е. р (£) <£ртт, и/i не зависит от р. Поэтому dfijbp^. Тогда Ф& _ fl г % г — лЕ—, или /i——еЕт. . (42.6) ср t Зр 2. Неравновесная функция распределения имеет вид ' Фо /-/о+—еЕх' (42.7) Ф» Возмущение равновесной функции fa вызвано электрическим полем. Теперь подставим функцию (42.7) в интеграл (42.1): Г —« Ц&+— е£т) difcdtyd^r. (42.1') hr J \ Зр / со Интеграл j* e/oduxdu,dux—0 ввиду симметричности функции fa относительно и» и? и и, и нечетности подынтегральной функции. Поэтому Фо и — duxdtyduf. Обозначив Фо и — du. du, du,, Зр ’ (42.8) получим закон Ома в дифференциальной форме j-yE (42.9) такой же, как в классической электронной теории металлов. Вычисление удельной электрической проводимости в квантовой теории металлов по формуле (42.8) привело А. Зоммерфельда к следующему результату: »е*<2(я)> ти(р) (42.10) где п — концентрация электронов, а и(д) и <2 (д)> — скорость и средняя длина свобод- ного пробега электрона, энергия которого равна химическому потенциалу д(7). Внешний вцд формулы (42.10) напоминает классическую формулу для у, но физи- ческий смысл величин в формулах совершенно разный. В классической формуле <и> является средней скоростью теплового движения свободных электронов, пропорци- ональной уТ. В формуле (42.10) и(д), по существу, не зависит от температуры, так как [см. (41.28)] химический потенциал электронного газа в металлах практически не зависит от Т и поэтому д(7) мало отличается от энергии Ферми JPp при 0 К. 3. Основные различия формул (18.11) и (42.10) состоят в истолковании величин <2> и <2(д)>. В (18.11), согласно классической электронной теории, <2> — средняя длина 597
свободного пробега электрона. Считается, что электроны сталкиваются с узлами кристаллической решетки и электрон свободно проходит расстояние, равное периоду кристаллической решетки. В квантовой теории металле» движение электронов прово- димости сквозь металл рассматривается как процесс распространения электронных волн де Бройля. Для понимания механизма этого распространения полезно напомнить об аналогичной задаче в оптике. Если пучок света распространяется сквозь мутную среду (туман, коллоидные растворы и пр.), то часть его рассеивается и интенсивность пучка уменьшается. Чтобы возникло рассеяние света, нужно, чтобы частицы в среде — центры рассеяния — были расположены друг от друга на расстояниях d, по порядку величины не меньших длины световой волны d>A. Если же d<z.A, то рассеяния не происходит и среда является оптически однородной. 4. Аналогичное явление происходит при распространении электронных волн сквозь металл. Идеально правильная црвсталлическая решетка, в узлах которой находятся неподвижные ионы, не должна рассеивать электронные волны. Электроны проводимо- сти должны были бы проходить сквозь такую решетку свободно, без рассеяния на узлах. Такая решетка не оказывает сопротивления электрическому току. Рассеяние электронных волн и связанное с ним сопротивление проводника возникают, если в кристаллической решетке существуют центры рассеяния — искажения правильности решетки, размеры d которых превосходят длину А волны де Бройля (d>l). Центрами рассеяния являются главным образом флуктуации плотности, возникающие в резуль- тате тепловых колебаний узлов решетки. Рассеяние волн де Бройля на флуктуациях плотности является причиной элеялрйчесюго сопротивления абсолютно чистых метал- лов*. 5. Способность металла рассеивать электронные волны, обусловленная флуктуациями плотности, оценивается коэффициентом рассеяния а, который вводится аналогично тому, как это делается в оптике при рассмотрении рассеяния света мутной средой. Расчеты показывают, что для свободных электронов величина, обратная коэффициенту рассеяния а, равна <А(Р)>: а-1/<А(д)>. (42.11) Одновременно коэффициент рассеяния а можно выразить через характеристики кристаллической решетки, упругие постоянные и термодинамическую температуру Т: a^imkT/(Ed), (42.119 где п — концентрация атомов; Е — модуль Юнга; d — период кристаллической решет- ки. Из (42.11) и (42.119 имеем <А(д)>=£//(юЛ7). (42.12) Формула (42.12) в соответствии с опытом дает значения средней длины свободного пробега электрона, на два порядка превышающие период кристаллической решетки. Если подставить (42.12) в (42.10), то получим t?Ed у=----------. mu(ji)nkT (42.13) Видно, что у обратно пропорциональна термодинамической температуре, а удельное сопротивление р= 1/у прямо пропорционально Т. Эго находится в хорошем согласии с опытом при комнатных температурах и не могло быть объяснено в классической теории электропроводности металлов. Например, для серебра при Е=10’ Па, d=3 1O~10 м, т=»910-31 кг, АгТ“4,210-21 Дж (при комнатной температуре) и и(д)-1,4 106 м/с формула (42.13) дает у=5'10’ Ом^м-1. Из опыта получается близкое значение: у»б,3-10’ Ом-1 -м~*. При низких температурах формулы (42.12) и (42.13) не справедливы. ♦Роль примесей в электрическом сопротивления металлов мы ве обсуждаем. 598
§ 4213. Сверхпроводимость 1. Прямая пропорциональность удельного электрического сопротивления чистых ме- таллов их термодинамической температуре, как показывают опыты, справедлива лишь прн средних температурах. При достаточно низких температурах удельное сопротивле- ние металлов стремится к некоторому пределу, называемому оспггочяым уделывай сопротивлением. Характер зависимости удельного сопротивления р металлического проводника от его температуры Т показан на рис. 42.3, где До — удельное сопротивле- ние этого же проводника при О °C. На рис. 42.4 приведены температурные зависимости удельного сопротивления различных образцов золота. Кривые на рис. 42.4 отличаются друг от друга лишь величинами остаточного сопротивления и могут быть переведены одна в другую параллельным переносом вдоль оси координат. Чем химически чжде металл н чем меньше в нем различных неоднородностей, обусловленных внутренними напряжениями, тем меньше его остаточное сопротивление. 2. При очень низких температурах крайне сложно измерять электрическое сопротивле- ние. Трудность состоит прежде всего в получении сверхнизких температур. Термодина- мическая температура до 0,7 К была получена испарением жидкого гелия при понижен- ном давлении. Более низкие температуры получаются адиабатным размагничиванием парамагнитных солей. Этим методом достигнута температура 0,003 К. • Голландский ученый X. Камерлинг-Оннес провел (1911) экспериментальное ис- следование удельного сопротивления чистой ртути при низких температурах. Замкнутый проводник из твердой ртути помещался между полюсами электромагнита. При выключении тока в обмотке электромагнита в проводнике возникал нвдукцжяиый ток, кптгцшй при обычных условиях весьма быстро затухал. Однако при охлаждении ртутя жияяям гошм де температуры ниже 4,21 К сощютивлеияе ртути резко уменьшалось н индужшюаяы* то* продол- жал идти по проводнику и течение многих часов без сколь- ко-нибудь заметного ослабления. По уточненным данным, резкое падение сопротивления ртути наступает при Т—4,15 К. Это явление получило название саерхпмнолииосп, а вещества, обладающие та- ким свойством, были названы саерхироеийщиеамк Явление сверхпроводимости было обнаружено еще у 22 металлов (свинца, цинка, алюминия и др.). Известно так» большое число сверхпроводящих сплавов (сплав висмута и золота, карбиды молибдена и вольфрама, нитрид ниобия и др.). 3. Температурная зависимость сопротивления све- рхпроводников изображена на рис. 42.5. Тем- пературный интервал, соответствующий переходной области АВ возникновения сверхпроводимости, 399
зависит от неоднородности металла и в первую очередь от наличия примесей и внут- ренних напряжений. Для химически чистых образцов он не превышает тысячных долей градуса. Поэтому можно говорить о вполне определенном значении температуры перехода в сверхпроводящее состояние Т*?, которую часто называют также критической температурой. При заметной ширине области АВ под обычно понимают тем- пературу, прн которой сопротивление равно половине сопротивления, соответст- вующего точке А. Не осталось сомнений, писал Камерлинг-Оннес, в существовании нового состояния ртути, в котором сопротивление фактически исчезает... Ртуть перешла в новое состоя- ние, которое в соответствии с его необыкновенными электрическими свойствами можно назвать сверхпроводящим состоянием. Сверхпроводимость уже почти столетие интенсивно изучается и является одним из важнейших направлений современной физики твердого тела. 4. Естественно, что самые чувствительные приборы обладают погрешностью и могут определить только верхний предел сопротивления сверхпроводника. По последним да иным, удельное сопротивление сверхпроводника меньше 10~зэ Ом-см. Если срав- нить это значение с удельным сопротивлением меди, которое составляет 10~9 Ом-см, то очевидно, что для сверхпроводника можно говорить о практическом равенстве нулю удельного электрического сопротивления. Если в кольце, изготовленном из сверхпроводника, создать ток, то отсутствие удельного сопротивления приведет к тому, что электрический ток в кольце не будет затухать. Подобный эксперимент был проведен в 1959 г. Через два с воловиной года после начала опыта не было обнаружено никакого уменьшения тока, протекающего по кольцу. Отсутствие удельного сопротивления является важнейшим, но не единственным отличием сверхпроводников. У них наблюдаются особые магнитные и другие свойства. Поэтому следует говорить не только о сверхпроводимости, а об Особом состоянии вещества, наблюдаемом при низких температурах. 5. Открытие сверхпроводимости вызвало огромный интерес. Многие выдающиеся физики пытались объяснить особенности сверхпроводящего состояния. Среди них был Эйнштейн, который отметил (1920) аналогию сверхпроводимости н ферромагнетизма. В ферромагнетиках коллективное взаимодействие электронов приводит к спонтан- ной намагниченности, устойчивой по отношению к тепловому движению. В сверх- проводниках, как думал Эйнштейн, особые взаимодействия электронов приводят к появлению особых коллективных образований — «туч», которые движутся в металле без трения, т. е. прн отсутствии электрического сопротивления. Однакопрошло почти полвека, пока накопление сведений о различных свойствах сверхпроводников и созда- ние первоначальных термодинамических теорий позволили разработать (1957) со- временную теорию сверхпроводимости, не только объяснившую многочисленные экс- периментальные факты, но и позволившую по-новому подойти к решению некоторых принципиальных вопросов квантовой теории, в том числе и к проблеме квантования физических величин. § 42.4. Некоторые магнитные свойства сверхпроводников 1. Сверхпроводниками является ряд химических элементов, переходящих в сверхп- роводящее состояние с понижением температуры. Самой высокой критической температурой среди химических элементов обладает ниобий (7'гр=9,22 К), а наиболее низкой — иридий (7^=0,140 К). Оказалось, что сверхпроводимость — это свойство не отдельных атомов, а коллективный эффект, связанный со структурой всего образца. Об этом свидетельствует целый ряд фактов. Например, серое олово — полупроводник, а белое олово — металл, переходящий в сверхпроводящее состояние при температуре 3,72 К. Две кристаллические модифика- ции лантана (a-La и /5-La) имеют разные критические температуры перехода в сверх- проводящее состояния (для a-La Гжр=4,8 К, для fl-La. 7^=5,95 К). 2. Большую часть сверхпроводников составляют не чистые химические элементы, а сплавы и соединения. Существуют сверхпроводящие сплавы (например, CuS, Au2Bi), 600
компоненты которых порознь не обнаруживают свойств сверхпроводимости. Харак- терны в этом смысле медь и золото, которые в обычных условиях являются хорошими проводниками с малым удельным сопротивлением. В сплавах, как и в чистых химичес- ких элементах, критическая температура зависит от кристаллической модификации, и это . подчеркивает коллективный характер сверхпроводимости. Я. Г. Дорфман и И. К. Кикоин в книге «Физика металлов» писали (1933): «То обстоятельство, что ни Ag,HH Си, ни другие наилучшие проводники не переходят в сверхпроводящее состояние, но наоборот... плохие проводники... обладают этой удивительной способностью, свиде- тельствует о том, что механизм сверхпроводимости совершенно отличен от механизма обычной проводимости». Наиболее высокие температуры перехода в сверхпроводящее состояние наблюдаются у сплавов. Сравнительно недавно (1973) у пленки, изготовлен- ной из соединения Nb3Ge, обнаружена наиболее высокая критическая температура перехода, равная 23,2 К. В настоящее время ведутся интенсивные поиски сверхпровод- ников с температурами, более высокими (возможно даже комнатными). Весьма перс- пективны в этом отношении полимерные сверхпроводники. В конце 1986 г. было опубликовано сообщение К. Мюллера и Дж. Беднореца из Швейцарии об открытии сверхпроводимости керамики лантан — барий — медь — ки- слород при температуре, превышающей 30 К. Вскоре пришли сообщения из Японии и США о сверхпроводимости керамики лантан — стронций — медь — кислород при температурах 40 — S0 К. В СССР в лаборатории А. Головапткина в Физическом институте АН СССР обнаружено, что в керамике на основе итрия сверхпроводимость начинается при температуре 102 К. В настоящее время проводятся интенсивные исследования, которые привели к открытию обширного класса материалов, переходя- щих в сверхпроводящее состояние при азотных температурах. 3. Для создания современной теории сверхпроводимости и применения этого явления в науке и технике большую роль сыграло изучение магнитных свойств сверхпровод- ников. В 1933 г. был открыт эффект Мейснера. Он заключается в том, что магнитное поле не проникает внутрь сверхпроводника. При температурах более высоких, чем критическая температура перехода в сверх- проводящее состояние, в образце, помещенном во внешнее магнитное поле, как и во всяком металле, индукция магнитного поля внутри будет отлична от нуля. Если, не выключая внешнего магнитного поля, постепенно снижать температуру, то в момент перехода в сверхпроводящее состояние магнитное поле вытолкнется из образца и ин- дукция магнитного поля внутри станет равной нулю (В=0). Именно в этом состоит эффект Мейснера. Эффект Мейснера возникает следующим образом. Если сверхпроводящий образец поместить во внешнее магнитное поле, то в поверхностном слое металла появляется , стационарный электрический ток, собственное магнитное поле которого имеет направ- ление, прямо противоположное внешнему приложенному полю. В результате внутри сверхпроводника магнитное поле отсутствует. Впечатляющие опыты иллюстрируют существование стационарных сверхпроводя- щих токов. Если над металлическим кольцом, в котором проходит такой ток, поме- стить сверхпроводящую сферу, то на ее поверхности индуцируется сверхпроводящий ток. Его возникновение приведет к появлению сил отталкивания между кольцом и сферой, которая оказывается висящей над кольцом на высоте, которая определяется равенством силы отталкивания и силы тяжести сферы. Такой же эффект отталкивания наблюдается в опыте, который получил название «гроб Магомета». По преданию, гроб Магомета висел в пространстве без всякой поддержки. Если над сверхпроводящим кольцом поместить постоянный магнит, то он будет висеть над кольцом без видимой поддержки. В кольце магнит индуцирует незатухающие сверхпроводящие токи, маг- нитное поле которых отталкивает магнит. 4. Не проникая в глубь сверхпроводника, магнитное поле может существовать в его поверхностном слое, В этом слое индукция магнитного поля отлична от нуля. В слое протекают незатухающие токи, экранирующие от внешнего поля области сверхпровод- ника, удаленные от поверхности. Глубина проникновения магнитного поля в сверх- проводниках (толщина слоя, в котором индукция поля отлична от нуля) является одной из основных характеристик сверхпроводника. Обычно она составляет несколько сотен ангстрем. Другими словами, магнитное поле проникает в глубь Сверхпроводника 601
ш расстояние, равное несколышм сотням межатомных расстояний. С увеличением индукции внешнего магнитного поля, где находится сверхпроводник, имеющий форму бесконечного епдттпного цилиндра (с осью, направленной по полю), до некоторого значения, называемого врипчеекям, сверхпроводимость разрушается, и образец пере- ходит в нормальное состояние. Критическое поле зависит от температуры. С прибли- жением к критической температуре уменьшается индукция магнитного поля, раз- рушающего сверхпроводимость. При О К сверхпроводящее состояние наиболее устой- чиво н индукция критического магнитного поля максимальна. При Г» 7^, индукция критического магнитного поля обращается в нуль. § Понятии о теории сверхпроводимости 1. Для создания современной теории сверхпроводимости большое значение имело открытие взмпмвческого эффекта (1950). Исследование нескольких сверхпроводящих изотопов ртути показало, что существует связь между критической температурой перехода в сверхпроводящее состояние и массой изотопов (массовым числом М). Для данного сверхпроводящего химического элемента была установлена формула, опра- вдывающаяся с достаточной точностью: TrpA//2=const. (42.14) Масса изотопа является характеристикой кристаллической решетки, так как в нее основной вклад вносят ноны металла. Масса определяет многие свойства решетки. Известно, например, что частота со колебаний решетки связана с массой: <о~ С другой стороны, многочисленные экспериментальные факты говорят о том, что свфхпроводнмость — свойство электронной системы сверхпроводника. Отсюда воз- никла идея, которая привела к созданию теории сверхпроводимости. В основе ее лежала мысль о том, что возникновение сверхпроводимости обусловлено взаимодейст- вием электронов с решеткой кристалла. Однако электрическое сопротивление также связано со взаимодействием электронов с решеткой. Следовательно, речь вдет о таком взанмодейстни электронов с решеткой, которое должно приводить к отсутствию электрического сопротивления. Интересно, что ртуть была тем объектом, на котором была обнаружена сверхпроводимость (1911) и изучен изотопический эффект (1950), приведший к созданию теории сасршпюводимости. Я. Дж. Бардин, Л. Купер и Дж. Щриффер создали (1957) последовательную квантово- механическую теорию сверхпроводимости (теория БКШ). Академик Н. Н. Боголюбов развил новый метод, отличный от примененного в теории БКШ. Была, наконец, решена проблема, которая в течение 46 лет мучила физиков и инженеров. Выясни лист. нс только физический смысл сверхпроводимости, ио и основные ее особенности. Изо- топический эффект указывал на то, что сверхпроводимость связана с особым, эффек- тивным взаимодействием между электронами, которое происходит с участием кристал- лической решетки и приводит к исчезновению удельного электрического сопротивле- ния. Рассмотрим подробнее характер этого взаимодействия. Электрон, движущийся в металле црн низких температурах, может электрическими силами деформировать — поляризовать кристаллическую решетку. Наблюдается некоторое смещение положите- льно заряженных ионе» из их положений равновесия и некоторое изменение периодич- ности структуры решетки. Это существенно изменяет состояние электрона в такой решетке. Электрон оказывается окруженным «облаком» положительного заряда, при- тягивающегося к электрону. Величина этого положительного заряда превышает элект- ронный заряд. Такой электрон вместе с окружающим его «облаком» имеет положи- тельный заряд и будет нрнтяпвмпьея к другому электрону. При высоких температурах ничего этого происходить не может. Интенсивное тепловое движение разбрасывает частицы, ликвидирует деформацию и поляризацию решетки, размывает «облако» положительного заряда и эффект межэлектронного притяжения прекращается. Э. Заметим, что притяжение электронов друг к другу в веществе не противоречит законам физики Закон Кулона описывает взаимодействие зарядов в веществе форму- лой F,*9t92/(4«ee04). Если среда допускает, чтобы относительная диэлектрическая 602
проницаемость была отрицательной (е<0), то одноименные заряды будут притяги- ваться. Кристаллическая решетка сверхпроводника является средой, в которой от- носительная диэлектрическая проницаемость становится отрицательной и тем самым одноименные заряды притягиваются. 4. Межэлектронное притяжение в сверхпроводнике может быть качественно описало в понятиях и терминах квантовой теории. Для простоты рассмотрим металл при О К. Движение электронов в кристалле, их столкновения с нонами решетки нарушают нулевые колебания частиц решети и переводят решетку в возбужденное состояние. Обратный переход решетки сопровождается излучением энергии, которая поглощается электронами. Возбужденному состоянию кристал- лической решети соответствуют, как мы знаем, кванты энергии звуковых частот — фононы. .Поэтому.процесс обмена энергией, о котором, шла речь, рассматривается в квантовой теории как излучение фонона одним электроном, движущимся в решетке, и поглощение этого фонона другим электроном. Обмен электронов фононами приводит при определенных условиях к притяжению между электронами. При низких температурах это притяжение у сверхпроводников преобладает над отталкиванием электронов. Вся система электронов превращается в единый спят» няый коллектив. Энергетический спектр такой электронной системы уже не будет непрерывным. Воз- бужденное состояние отделено от основного состояния некоторым интервалом энергии, некото- рой энергетической «щелью». Квантовые переходы электронной системы .не происходят при малых возбуждениях, меньших ширины энергетической щели. А это значит, что вся электронная система движется без трения. Это и означает отсутствие электрического сопротивления. Если же возбуждение электронной системы значительно, например по сверхпроводнику пропущен ток, превышающий критический, то сверхпроводящее состояние разрушается. Теория сверхпроводи- мости объяснила, почему хорошие проводники типа меди, серебра и т. д. не переходят в сверхп- роводящее состояние при самых низких температурах. 5. Хорошая проводимость, связанная с малым удельным сопротивлением, является результатом слабого взаимодействия электронов с решеткой. Такое слабое взаимодействие не может вблизи О К создать условия для возникновения межэлектронного притяжения, преодолевающего куло- новское отталкивание электронов. Поэтому сверхпроводящее состояние не возникает. Межэлект- ронное притяжение, которое приводит к сверхпроводимости, подчиняется определенным законо- мерностям. Важнейшей из них является то, что данный электрон неодинаково притягивается ко всем остальным, причем близость расположения не играет никакой роли. Дхиимм хтектроном будет выбран в качестве «партнера» в паре другой электрон, имеющий противоположный спин. Этот второй электрон может быть расположен от первого на расстоянии порядка 10 "* см, т. е. электроны в паре находятся друг от друга на расстоянии 10* периодов решети. И тем не меме взаимодействие этой пары наиболее сильное. Поэтому весь сверхпроводник представляет собой единый связанный коллектив, который не отдает энергию малыми порциями и движется без электрического сопротивления. В сверхпроводниках наблюдается редчайший в физике пример дальней связи. Электронная система в сверхпроводнике представляется состоящей из связанных нар, которые называются хунеровскями (по имени Купера, доказавшего, что слабое притяжение между электронами в металле приводит к их связанному состоянию). Возбуждение электронной системы сверхпроводника, переводящее сверхпроводник в обычный проводник, является результа- том разрыва куперовских пяр. Состояние электронов в металле непрерывно изменяется и постоян- но меняются наборы пар. § 42.6. Понятие об эффектах Джозефсона 1. Б. Джозефсоном была предсказана (1962) возможность обнаружения двух необыч- ных эффектов, которые вскоре были экспериментально обнаружены, и их изучение активно продолжается в настоящее время. Различают стпаипиврий и мотямишартаг* эффекты Джозефсона, которые наблюдаются при включении в цепь источника постоян- ной э.д.с. контакта Джозефсона, образованного двумя сверхпроводниками, которые разделены тонким слоем (~ 10 ’ м) диэлектрика. Электроны проводимости проходят через контакт благодаря туннельному эффекту. Если электрический ток через контакт Джозефсона не превышает некоторого значения 4р, называемого критическим током контакта, то падение напряжения на контакте равно нулю (стационарный эффект Джозефсона). Нестационарный эффект Джозефсона наблюдается при пропускании через контакт Джозефсона тока 7>7жр. В этом случае на контакте возникает падение напряжения U, и контакт излучает электромагнитные волны. 2. Излучение электромагнитных волн возможно только переменным током. Следова- тельно, через контакт Джозефсона при постоянном падении напряжения протекает 603
переменный ток. В этом состоит физическое своеобразие нестационарного эффекта Джозефсона. Частота излучения v связана с падением напряжения U соотношением v^leU/h, где — е — заряд электрона. Причина излучения состоит в следующем. Объ- единенные в пары электроны, создающие сверхпроводящий ток, при переходе через контакт приобретают дополнительную по отношению к основному состоянию сверхп- роводника энергию 2eU. Единственная возможность для пары электронов вернуться в основное состояние свсрхпроводдика— это излучить фотон с энергией hv*-2eU, откуда v=~2eU/h. 3. Нестационарный эффект Джозефсона является экспериментальным доказатель- ством существования электронных пар в сверхпроводниках. Об этом говорит удвоен- ный заряд электрона в выражении для частоты v излучения. Однако эффекты Джозеф- сона имеют и общефизичсвое значение для всей квантовой физики. В этих эффектах индивидуальная квантово-механическая характеристика электрона — свойство его волновой фушщии — проявляется в макроскопических эффектах — токе и излучении. В квантовой механике доказывается, что плотность тока j пропорциональна градиенту фазы волновой фушщии*. В обычных металлах при отсутствии в них электрического поля макроскопического тока нет» В металлах при случайных изменениях разностей фаз волновых функций среднее значение плотности тока равно нулю. Аналогичная ситуацию наблюдается в оптике, где при случайных изменениях разности фаз води отсутствует интерференция. В эффекте Джозефсона впервые в истории физики экспериментально обнаружено, что макроскопическое явление — электрический ток — определяется микроскопичес- кой характеристикой — фазой волновой фушщии и квантуется, принимая лишь диск- ретные значения. При этом «размываются» границы между макро- и микрофизикой. § 42.7. Квантований магнитного потока [макроскопический квантовый эффект] 1. Одно из важнейших положений квантовой физики состоит в квантовании рада физических величин (энергии, импульса и др.). Однако до недавнего времени пред- полагалось, что квантование происходит только в микромире и свойственно процессам в атомах, молекулах, атомных адрах и т. п. Считалось, что в макроскопических объектах, состоящих из колоссального числа частиц, квантовые свойства отдельных частиц не проявляются из-за их хаотического теплового движения, которое «смазыва- ет» квантовые закономерности. 2. Изучение явлений, происходящих при температурах, близких к О К, показало, что возможно макросKOMwt nrori ммигпвяивг, т. с. квантование величии, характеризующих макроскопические тела, размеры которых в 10s раз больше атомных размеров. Вблизи 0 К оказывается возможным непосредственное наблюдение квантовых закономер- ностей. Рассмотрим этот вопрос на примере электрического тока, протекающего по сверх- проводящему металлическому кольцу. Опыт показывает, что ток становится незатуха- ющим вследствие того, что ток в сверхпроводнике течет без сопротивления и потери на джоулеву теплоту отсутствуют. Од нако с точки зрения классической физики отсутствие затухания тока в кольце остается необъяснимым. Движение электронов в кольце криволинейное, и электроны должны терять энергию на излучение. Из-за этого ток даже в сверхпроводящем кольце должен затухнуть**. 3. Вспомним, что в атоме водорода в аналогичной туации Бор ввел квантовые постулаты и это было началом развития квантовой физики атома. Оказывается, сверхпроводимость д ает нам пример квантования макроскопической величины — силы тока. Сверхпроводящее кольцо-позволяет наблюдать гигантский по масштабам кван- товый эффект. Сила тока в сверхпроводящем кольце не принимает любые числовые значения и не измеш гся непрерывно. Для всех электронов, движущихся в кольце, возникает гигантская воровская орбита и все квантовые закономерности, характеризу- •Напомним, что понятие о фазе волновой функция введено в § 37.6. “Предположение о там, что излучения отдельных электронов гасят друг друга, не оправды- вается. 604
ющне ее в атоме водорода, как бы переносятся на электроны в сверхпроводящем кольце 4. Сверхпроводящий ток, как н всякий ток, связан с магнитным полем. Поэтому квантование тока означает, что и индукция магнитного поля также квантуется и может принимать только ряд дискретных значений. Следовательно, будет квантоваться и маг- нитный поток Ф сквозь площадь ю2 кольца*- Другими?-словами, Ф»^Фо, где N — целое число, Фо — некоторая минимальная порция — квант налип о потока. Маг- нитный поток — макроскопическая величина, и возможность его квантования означает переход к гигантским по сравнению с атомными масштабам квантования. 5. Вычислим величину кванта магнитного потока. Для этого применим условие квантования Бора к электронам, движущимся в кольце: mvr^Nh, где г — радиус кольца, в котором циркулирует сверхпроводящий ток. Так как радиус г кольца задан, то написанное условие нужно рассматривать как условие квантования импульса p^mv. Квантование импульса означает, что скорость, ток, а следовательно, и магнитный поток квантуются. Найдам связь р и Ф. Энергия тока, текущего по контуру с индуктивностью L, равна а магнитный поток Ф=£7. Следовате- льно, РР~7а/Ф. Сила тока, создаваемая в кольце л электронами, движущимися со скоростью v, равна /»ля>/(2кг). Таким образом, 1Г=Фил/(2яг-2). С другой стороны, энергия и электронов, движущихся по кольцу со скоростью », равна W— 1/1nmv2 — 1/2npv. Из двух последних формул находим, что импульс электрона в сверхпроводящем кольце р=Фе/(2яг). В сверхпроводнике электроны разбиваются на пары, поэтому импульс электронной пары р=Фе/(яг). Тогда Фе/я=АЙ/(2я), откуда Ф=#Ф(ь где АГ»1, 2, 3...Фо=Л/(2е)=2,О6785'1О-15 Вб — квант магнитного потока. Если радиус кольца г~10“э см, то при магнитном потоке Ф=Ф0 магнитная андукцня поля составляет порядка 1% от индукции магнитного поля Земли, т. е. квант магнитного потока соответствует макроскопическому значению магнитной индукции. Экспериментально квант магнитного потока определен с весьма высокой степенью точности на основе эффекта Джозефсона. § 42.8. О некоторых применениях сверхпроводимости в науке и технике 1. В последние годы, особенно после создания теории сверхпроводимости, интенсивно развивается, техническая сверхпроводимость. Явление сверхпроводимости используется для получения сильных магнитных по- лей, поскольку при прохождении по сверхпроводнику си.пьных токов, создающих сальные магнитные поля, отсутствуют тепловые потери. Однако в связи с тем, что магнитное поле разрушает состояние сверхпроводимости, для получения сильных магнитных полей применяются особые св кпрово , писи П рода, предсказанные А. А. Абрикосовым. Это некоторые сплавы, тонкие сверхпроводящие пленки. В такие сверх- •Мы пренебрегаем неоднородностью поля по сечению кольца. 605
проводники магнитные поля, превышающие критические, проникают в вещество в виде нитей, пронизывающих образец. Вещество между нитями оказывается сверхпроводя- щим, и сильные токи могут привести к созданию сверхсильных Магнитных полей. Широкое распространение имеют магниты, основанные на сверхпроводящих солено- идах. В настоящее время космонавты часто оказываются в зоне повышенной радиации. Для защиты от нее необходимо магнитное поле, искривляющее траекторию заряжен- ных частиц и «уводящее» радиацию. С этой целью на космическом корабле должна находиться установка, создающая магнитную защиту с помощью сверхпроводящих соленоидов. 2. Сверхпроводники применяются при создании вычислительных машин. Сверхпрово- дящий ток является незатухающим. Поэтому его можно использовать в качестве прекрасного запоминающего устройства, хранящего большие и легко считываемые запасы няфпрыапии Скорость «вспоминания» сверхпроводящих устройств весьма велика. Они в состоянии за 10~* с выбрать нужную информацию из 10п ее единиц. В вычислительной технике используется двоичная система. Пребывание сверх- проводников в двух состояниях — нормальном или сверхпроводящем — и быстрота их перехода из одного состояния в другое под действием изменения температуры или магнитного поля позволяют использовать сверхпроводники в качестве элементов вычислительных машин Сверхпроводники используются в качестве переключающих устройств, работающих с высокой скоростью при. мша затратах мощности. В подо- бных устройствах — криотронах — скорость переключения достигает 2 нс. Высокая скорость и простота устройства лежат в основе использования сверхпроводящих криотронов в вычислительной технике. а. Сверхпроводники, в толщу которых не проникает магнитное поле, характеризуются механическим отталкиванием- (вспомните «гроб Магомета»), и им пользуются для сверхпроводящих подвесов. Такие подвесы применяются в гироскопах, двигателях и других устройствах. Принцип механического отталкивания положен в основу созда- ния электрических машин, к.п.д. которых благодаря свойствам сверхпроводников близок к 100%. В этих машинах вращающаяся часть — ротор — выполнена в виде шестиугольного сверхпроводящего стаканчика. Два магнитика, вращающиеся по окру- жности статора, отталкивают от себя сверхпроводящий ротор, приходящий во враще- ние, угловая скорость которого доходит до 20000 об/мин и может быть еще большей. Вопросы: 1. Чем отличается квантовая теория электропроводности металлов от классической теории? 2. Как в квантовой теории электропроводности металлов объясняется зависимость удельной электропроводности от температуры? 3. В чем состоит явление сверхпроводимости и каковы физические основы теории этого явления? 4. Расскажите о квантовании магнитного потока. С. Расскажите о эффектах Джозефсона.
Глава 43_________;______________:______;______ Зонная теория твердых тел § 43.1. Исходные представления зонной теории твердых тел 1. В гл. 42, рассматривая квантовую теорию электропроводности металлов, мы исходили из модели металла в форме потенциального «иприта» с плоским «дном». К электронам проводимости применялась квантовая статистика Ферми — Дирака, но совершенно не учитывалось, что положительные ионы кристаллической решетки созда- ют в металле электрическое поле. Кроме того, нб обсуждался вопрос о том, как в квантовой теории металлов следует понимать возникновение электронов проводимо- сти. Почему в кристаллах металлов свободные электроны существуют, а в кристаллах диэлектриков их нет, хотя в газообразном состоянии все вещества являются диэлектри- ками. Квантовая теория твердых тел должна была объяснить, почему щелочные металлы, например натрий, атомы которого имеют всего лишь по одному, валентному электрону,— проводники, а алмаз — диэлектрик, хотя атом углерода имеет четыре валентных электрона. Наконец, теория должна была объяснить, почему существует большой класс веществ — полупроводники, удельная электрическая проводимость ко- торых изменяется в широких пределах и .резко по экспоненциальному закону растет с увеличением температуры. 2. На все эти и многие другие вопросы ответы были получены в эоииой теорм тверда» тел. В этой теории твердое кристаллическое тело рассматривается как строго пери- одическая структура, в которой ионы создают электрическое поле. Задача состоит в описании поведения электронов в этом поле. Точное решение уравнения Шредингера для такой системы множества частиц невозможно. Существуют два, казалось бы, диаметрально противоположных метода решения задачи, которые, однако, приводят практически к одинаковым результатам. Первый метод — приближение, всходящее из , связанных электронов (приближеме сильной связи). В этом метода принимается, что имеется совокупность большого числа изолированных'атомов, у каждого из которых электроны имеют свою систему дискретных энергетических уровней. Считается, что энергия связи электронов со «своими» атомами значительно больше, чем их кинетичес- кая энергия перемещения в кристаллической решетке. Рассматривается, что происходит с энергетическими уровнями по мере сближения изолированных атомов и образования из них кристалла. Связь электронов со своими атомами так сильна, что лишь валент- ные электроны при сближении атомов на расстояния, сравнимые с размерами атомов, переходят от одного атома к другому. 3. Второй метод исходит из приближения свободных электронов (иуближгпиг слабой связи). Этот метод развивается на основе предположения о том, что энергия взаимо- действия электронов с решеткой много меньше их кинетической энергии. Это позволя- ет трактовать электрон как свободный и пользоваться уравнением Шредингера для свободных электронов, учитывая, однако, что электроны движутся в периодическом поле кристаллической решетки. § 43.2. Энергетические зоны в кристаллах в приближении сильной связи 1. В изолированном атоме имеются дискретные энергетические уровни энергии /. Считается, что они зависят от главного л и орбитального / квантовых чисел. Считается также, что энергетические уровни, соответствующие различным значениям магнитного m и спинового т, квантовых чисел, совпадают. Как обычно говорят, энергетические уровни вырождены по квантовым числам тит,. 607
Рис. 43.1 Рис. 43.2 Энергетические уровни электронов в атомах, находящихся в возбужденных состоя- ниях, имеют конечную ширину Д1ГЯ,, связанную с соотношением неопределенности для энергии и времени. Согласно второй из формул (37.15) имеем Время жизни атома в возбужденном состоянии т„ совпадает с временем жизни электро- на в этом состоянии, 10"8 с. В § 39.7 обсуждался вопрос о значащи т„и естествен- ной ширине энергетического, уровня Дt: ДИ),. /~Л/тя«10-25 ДжаЮ-6 эВ. Как видно, эта ширина гораздо меньше, чем расстояние между уровнями, имеющее порядок величины ~ 1 эВ. 2. В газе (рис. 43.1) соседние атомы Лк В удалены друг от другана расстояние L^d, где d - диаметр атома. Потенциальный барьер для валентных электронов а и b в со- седних атомах слишком широк, так что вероятность просачивания электронов сквозь него практически равна нулю. Электроны «привязаны» к своим атомам, так что в газе нет свободных электронов — носителей тока. Поэтому все вещества в газообразном состоянии ведут себя как диэлектрические среды до тех пор, пока внешние воздействия нс вызовут их ионизацию. Иначе обстоит дело при переходе вещества в конденсированное состояние. В кри- сталлах расстояния между атомами столь мало (Z,~d~lO-10 м), что происходит перекрытие их электрических полей. Потенциальные кривые, разграничивающие сосед- ние атомы, частично накладываются друг на друга и дают потенция пьные кривые для электронов типа I — 2 (рис. 43.2). Из рисунка видно, что происходит понижение и сужение потенциального барьера для валентных электронов атомов. В этих условиях существенную роль играет туннельный эффект, с помощью которого электрон «ухо- дит» от своего атома и переходит к соседнему. 3. Будем для упрощения вычислений считать, что потенциальный барьер прямоуголь- ный. Тогда прозрачность барьера можно вычислить по формуле (37.39): D~exp I-----y/2m(U0~- W) I. L Л I Для нашего случая толщина потенциального барьера м. Тогда при Uo— Wa ~6 эВ —10~18 Дж расчет прозрачности барьера приводит к результату £>«0,05. Найдем частоту v просачивания валентного электрона сквозь потенциальный ба- рьер. Число ударов электрона о стенки барьера за единицу времени п^к/а, где v скорость движения электрона в атоме (и~_106 м/с), а а~1О~10 м — ширина потенциальной «ямы», в которой находится электрон (рис. 43.3). Частота просачивания электрона сквозь потенциальный барьер равна 608
V v=Dn&- exp a (43.1) I ” Подставив числовые значения всех величин, получим v~5' 101* с *. Среднее время жизни т валентного электрона в данном атомеесть величина, обратная частоте v: т= l/v~2* 10 13 с. Ках видим, т в этом случае на семь порядков уменьшается по сравнению с временем жизни Рис 43 3 валентного электрона в возбужденном состоя- нии изолированного атома. При таких значениях т не имеет смысла говорить о принад- лежности валентных электронов к определенным атомам. Они становятся «обобществ- ленными», коллективизированными и образуют квантовый электронный газ. Эти электроны могут перемещаться по всему кристаллу. 4. Найдем расширение энергетического уровня bW электрона, связанное с резким уменьшением времени жизни в результате взаимодействия атомов в кристалле. По соотношению неопределенностей, Д1Га!Л/тя3 10-19 Дж®2 эВ. Узкий энергетический уровень валентного электрона в изолированном атоме расширя- ется в кристалле в широкую полосу — зону разрешевных значений энергия электронов шириной порядка единиц электрон-вольт (рис. 43.4). Разрешенные энергетические зоны 1 отделены друг от друга зонами 2 запрещенных значений энергии электронов (рис. 43.5). Разрешенная зона тем шире, чем больше энергия W„_ i электрона на соответст- вующем уровне в изолированном атоме. Возможные значения энергий электронов в пределах разрешенной энергетической зоны квантованы, т. е. дискретны, а общее число их конечно. В кристалле, состоящем из N атомов, уровню энергии W„ i изо- лированного атома соответствует зона, состоящая из (21+ 1)ДГ дискретных уровней, на каждом из которых может находиться не более двух электронов с ангипараллельными спинами. 5. Для электронов' внутренних оболочек атомов вероятность туннельного перехода электрона от одного атома к другому оказывается очень малой. Это связано с умень- шением прозрачности потенциального барьера, в результате чего частота v просачива- ния электрона сквозь потенциальный барьер становится ничтожно малой. Например, Рис. 43.5 Рис. 43.4 20 Курс физики 609
для электрона атома Na в основном состоянии va 10-27 с1 и соответственно среднее время жизни такого электрона у данного атома ta 1О20 лет. Следовательно, электроны внутренних оболочек атомов в кристаллах также прочно связаны со «своими» атома* ми, как и в Изолированных атомах. Энергетические уровни этих Электронов в кристалле такие же узкие, как и в отдельно взятом атоме. § 43.3. Металлы, диэлектрики и полупроводники 1. В зонной теории различные типы твердых тел по электрическим свойствам отлича- ются характером расположения разрешенных и запрещенных зон энергий, а также различным заполнением зон электронами. Заметим, что ширина разрешенных зон энергии возрастает с ростом энергии W„ / электрона в изолированном атоме, а ширина запрещенных зон при этом уменьшается. Для достаточно высоких уровней энергии электронов изолированных атомов образовавшиеся из них энергетические зоны иногда перекрывают друг друга. В зонной теории твердого тела различия в электрических свойствах разных типов твердых тел объясняются шириной запрещенных энергетических зон и различным заполнением разрешенных энергетических зон. Запрещенные зоны могут разделять разрешенные или вообще отсутствовать, если разрешенные зоны перекрывают друг друга. На рис. 43.6 нижняя , разрешенная зона перекрывается верхней разрешенной зоной. Образуется гибридная зона.. 2. В изолированном атоме дозволенные квантованные энергетические уровни могут быть заняты электронами или быть свободными. Соответст^нно в твердом теле энергетические зоны могут иметь различное заполнение электронами. Подобно тому, как в отдельном атоме электроны могут переходить с одного энергетического уровня на другой,’ Электроны в кристаллах могут переходить из одной разрешенной зоны в другую, а также совершать переходы внутри одной и той же зоны. Для перехода электрона Из нижней Энергетической зоны в соседнюю верхнюю раз- решенную зону необходима энергия,< равная ширине запрещенной зоны, лежащей между ними, т. е. Энергия пбрядка Нескольких электрон-вольт. 3. Определим изменение энергии электрона, находящегося на некотором уровне в разрешенной зоне, под действием внешнего электрического поля с напряженностью Е. Энергия, приобретаема^ электроном на длине свободного, пробега, ДИл~е£'<Я>. Средняя длина свободного, пробега электрона в кристалле м, где d — период кристаллической решетки(г/~ 10_,° м). Даже вочень сильном электричес- ком поле .о напряженностью В/м ДИл~10“3 эВ. 3rOi> значительно меньше ширины запрещенной зоны, раздедяющей соседние разрешенныезоны. Таким образом, под действием электрического поля электроны могут совершать только внутризонные переходы. Повышение температуры приводит к передаче электрону энергии, достаточ- ной для его перехода в расположенную выше разрешенную зону. Вместе с тем тепловой механизм возбуждения приводит к внутризонным переходам электронов. 4. Необходимым условием электрической проводимости твердого тела является наличие в разрешенной зоне свободных энергетических уровней, на которые внешнее электрическое поле могло бы перевести электроны. 610
Зона, заполнения электронами частично или пустая (при Т=0 К), называется зоной проводимости. Самая верхняя зона, целиком заполненная электронами (при Т=0 К), называется валентной зоной. Если зона проводимости заполнена частично и содержит свободные верхние, не запятые электронами уровни, твердое тело будет проводником. Например, в метал- лическом натрии зона проводимости заполнена наполовину (рис. 43.7), этому соответ- ствует наполовину занятый верхний стационарный энергетический уровень валентного одиннадцатого электрона в изолированном атоме Na. Проводником твердое тело будет также в том случае, если имеется перекрытие зон и образование гибридной зоны, причем нижняя зона заполнена; а верхняя пуста, но перекрывается нижней (рис. 43.6). Примером таких проводников являются щелочно-земельные металлы. 5. Зонная теория позволила объяснить, почему увеличение валентности металла, т. е. увеличение числа «свободных» электронов, приходящихся на один атом, не вызывает соответствующего возрастания электропроводности. Так, например, удельная элект- рическая проводимость трехвалентного алюминия почти вдвое меньше, чем удельная проводимость одновалентной меди. Оказалось, что электро- проводимость твердого тела зависит не от числа валентных электронов, а от отношения числа электронов в зоне прово- w димости к общему числу энергетических уровней в этой зоне. У твердых диэлектриков энергетические зоны не перекры- ваются, причем валентная зона отделена от зоны проводи- мости интервалом энергии условно более 2 эВ. Примером такого тела является * кристаллическая поваренная соль NaO. В молекуле NaCl внешний (валентный) электрон ато- ма Na переходит на внешнюю оболочку С1. В результате этого образуются иоиы Na+ и Cl- с полностью застроен-, ными электронными оболочками. Поэтому в кристалле р NaCl валентная зона хлора и лежащая выше зона проводи- ис' мости иона натрия (рис. 43.8)* так расположены, что «расстояние» между этими зонами Na+ и С1~ равно 6 эВ. Следовательно, внешнее электрическое поле не может перевести электроны из целиком заполненной зоны С1~ в свободную зону проводимо- сти Na+. 6. В твердых диэлектриках электроны могут перемещаться по кристаллу с тепловыми скоростями. Однако это движение хаотично и не создает направленного электронного «дрейфа» электрического тока. Поэтому электроны в кристаллах диэлектриков сле- дует считать в некотором смысле более свободными, чем в металлах: внешнее элект- рическое поле не может заставить их двигаться в определенном направлении й создать электрический ток. Таким образом, современные представления о строении диэлект- риков совершенно отличаются от представлений б связанных зарядах, лежащие в ос- нове классической теории диэлектриков. § 43.4. Собственная проводимость полупроводников ' I 1. Между металлами с удельным сопротивлением 10 б ' - 10 8 Омм и диэлектри- ками с удельным сопротивлением 108 - 101Э Ом м находится много материалов, относящихся к полупроводникам, удельное сопротивление которых изменяется в широ- ком интервале от 10“5 до 108 Ом м. Почти вся окружающая нас природа состоит из полупроводящих веществ. Оксиды металлов, сульфиды, теллуриды и селениды многих металлов имеют полупроводниковые свойства. В периодической системе Д. И. Мен- делеева полупроводники образуют компактную группу элементов, показанную на рис. 43.9. Слева и снизу от полупроводниковых элементов находятся металлы, справа и сверху расположены элементы, которые в твердом состоянии являются диэлектри- ками. К типичным представителям полупроводников относятся германий, кремний и теллур. Германий — один из наиболее широко применяемых полупроводниковых элементов. Он расположен в IV группе и IV периоде периодической системы элементов. 32 электрона его атома распределены так, что на внешней оболочке имеется четыре валентных электрона.^ кристалле германия электроны соседних атомов вступают *На этом и после дующих рисунках валентная зона окрашена темно-серым цветом, а зона проводимости светло-серым. 611 20*
eC 5,2 УГЛЕРОД Si ” КРЕМНИИ S 255 СЕРА "Ge* ГЕРМАНИЙ Wf олово ФОСФОР МЫШЬЯК {селен "SW СУРЬМА н ТЕЛЛУР Im я Рис. 43.9 *" Рис. 43,10 a) Рис. 43.11 в химические, или ковалентные, связи (рис. 43.10), так что «свободных» электронов при Т—0 К в чистом германии нет.г Поэтому он должен быть хорошим изолятором. Германий весьма рассеян,в природе и является дорогостоящим элементом. Большое значение в современной полупроводниковой технике имеет кремний. .14 электронов его атома распределены так, что четыре из них, как и у германия, находятся на внешней оболочке. Они также вступают в химические связи с электронами соседних атомов. 2. Полупроводник называется беспримесным, если он йдеально химически чист и име- ет идеально правильную’ кристаллическую решетку. Его проводимость называется собственной проводимостью полупроводника. • • /': г Для возникновения собственной проводимости полупроводника необходимо, чтобы в нем появились носители тока, способные под действием внешнего электрического поля увеличить свою энергию и прийти в упорядоченное движение (дрейф). Это условие выполняется, если часть электронов «пере- брасывается» из валентной зоны в зону проводимо- сти за счет сообщения каждому из них энергии, не _ „ ,j меньшей ширины ДИ^ запрещенной зоды. Величина } < . . Д И^о называется энергией актации собственной про- п воднмюсти. Она, как будет видно из дальнейшего, ♦< является важнейшей характеристикой электрических свойств полупроводника. Значенияэнергии активации ДИо (в эВ) полупроводниковых элементов указаны на рис. 43.9 цифрами в кружках. Рис. 43.11 иллюстрируют различие в величинах энергии активацииу диэлектриков (рис. 43.11, а Д W0>2 эВ) и полупровод- ников (рис. 43.11, б Д1Р0<?21эВ);- ,;г: 3. Замечательная особенность электрических свойств полупроводников, используемая в ряде высокочувствительных приборов, состоит в том, что при обычных температурах их удельное электрическое сопротивление р быстро уменьшается с повышением тем- пературы Т по закону: p~exp(a/fc7), где а — постоянная для данного полупроводника величина, а к — постоянная Больцмана. В этом отношении полупроводники ведут себя противоположно металлам, удельное электрическое сопротивление которых растет с увеличением температуры nb линейному закону (§ 18.4). 4. Зонная теория позволила объяснить существование таких свойств у кристалличес- ких тел со сравнительно небольшим значением энергии активации собственной прово- , димости Д Wo, т. е. у полупроводников. Полупроводник не проводит электрический ток, т. е. ведет себя как диэлектрик лишь при сравнительно низкой температуре, когда его валентная зона целиком заполнена электронами, а вышележащая зона проводимости пуста. Однако с повышением температуры возрастает вероятность переброса электро- нов из валентной зоны в зону проводимости в результате теплового возбуждения (рис.
43.12). При этом вблизи «потолка» валентной зоны образуются вакантные (не занятые электронами) энергетические уровни. Поэтому собственная проводимость полупровод- ника обусловлена как электронами, перешедшими в эону проводимости и называ- емыми электронами проводимости, так и электронами, оставшимися в валентной зоне. Концентрация электронов проводимости и вакантных мест в валентной зоне быстро увеличивается с ростом температуры. Соответственно, быстро увеличивается удельная электрическая проводимость полупроводника и уменьшается его удельное электричес- кое сопротивление. 5. Таким образом, переброс электронов из валентной зоны (вблизи ее «потолка») в зону проводимости (рис. 43.12) и возникновение вакантных уровней в валентной эоне создают предпосылки для электрической проводимости полупроводника. При наличии внешнего электрического поля эти предпосылки реализуются. В кристалле на носители заряда (электроны) действует не только внешнее электрическое поле, но также еще и периодическое внутреннее электрическое поле кристалла. Действие поля кристалла можно учесть введением понятия об эффективной массе электрона т*. Эта масса вводится так, чтобы в ней учитывалось действие на электрон внутреннего поля кристалла и чтобы можно было считать, что электрон с эффективной массой т* движется только под влиянием одного внешнего поля. 6. Понятие эффективной массы т* электрона можно пояснить на механической анало- гии. Представим себе, что в сосуде с жидкостью плотностью ро под действием силы тяжести Р—mg движется шарик, плотность которого р (рис. 43.13). Кроме силы тяжести на шарик действует архимедова сила, которая играет роль «внутренней» силы. Hq второму закону Ньютона, тия=Р+F,px=mg-mpog/p=mg (1 -pb/p). Можно ввести эффективную массу /и*=--------так, чтобы движение рассматривалось (1-Ро/р) происходящим только под действием силы тяжести: m*a*P=mg, Видно, что эффективная масса т* может быть положительной или отрицательной в зависимости от соотношения плотностей р0 и р. Удобство введения эффективной массы т* электрона зависит от Того, постоянна ли она при изменении энергетического состояния электрона. Оказалось, что т* «const для электронов, находящихся на «дне» зоны проводимости (zn*>0) и у «потолка» валентной зоны (т*<0). Движение огромного числа электронов в валентной зоне полупровбдника под действием электрического поля удобно описывать с помощью квазичастиц — дырок. Вакантные состояния в валентной зоне можно рассматривать как совокупность двух Рис. 43.12 РИС. 43.13 613
частиц — электрона и дырки, обладающих численно равными и противоположными по знаку электрическими зарядами, эффек- тивными массами, спинами и другими характеристиками: 9э+9д=0; т*э+т*д=О, т. е. дэ=е>0, т\= -т*э>0. Введение на все вакантные места валентной зоны электронов пре- вращает эту зону в нацело заполненную электронами, так что проводимость можно считать обусловленной только электронами в зоне проводимости и дырками в валентной зоне. Во внешнем электрическом поле электроны зоны проводимости движутся про- тив направления вектора Е, а дырки в валентной зоне — по направ- Рис. 43.14 леиию вектора Е. В дальнейшем будем отсчитывать энергию электронов W3 от «дна» зоны проводимости, а энергию дырок Wa — от «потолка» валентной зоны (рис. 43.14), Росту энергии дырки соответствует ее опускание в валентной зоне, т. е. опуска- ние вакантного места. 7. Плотность тока j при собственной проводимости полупроводника складывается из плотности тока электронов и дырок: j=j,+k (43.19 Обозначим равные друг Другу концентрации электронов и дырок П(ь=под=А) и средние скорости упорядоченного движения электронов и дырок <v.,) и <vj>. Тогда Ь= -еял<¥э>, )я=епОд<*д>. Если ввести подвижности электронов и дырок щ и иа <*»>=—и»Е> <*д>=«дЕ, то найдем |=еИо(14,+иц)Е. (43.2) Мы получили закон Ома в дифференциальной форме для собственной проводимо- сти полупроводника. Удельная электрическая проводимость у=ело(«э+ид). (43.3) Найдем концентрацию «о носителей заряда при собственной проводимости полу- проводника. Прн комнатных температурах по невелика, так как энергия активации собственной проводимости A Wo^ kT. Поэтому электроны в зоне проводимости и дыр- ки в валентной эоне являются невырожденными газами и параметр вырождения для них по формуле (41.21) мал: e^^cl и еЯдЛИ,<с1. Здесь д, и цп — химические потенциалы электронов и дырок. Функции распределения Ферми — Дирака для элект- ронов и дырок, по формуле (41.18), - 1 ____________ jn —----------R5 с , я=е(Жд-^/(*Л+1~ Перейдем к вычислению концентрации электронов в зоне проводимости. Число электронов йлоэ в зоне проводимости, соответствующих интервалу энергий от W, до И'з+сПГэ, согласно формулам (41.25) и (41.20), равно 1 dg 614
Поэтому dg _4яК dW3 h3 (43.4) Интегрируя (43.4) в эоне проводимости, а точнее по W3 от 0 до со, находим 2 — -.—3/2 -ч Лоз=— (2ят?£7) е . (43.5) л Аналогично получается выражение для концентрации дырок в валентной зоне: Пвд=^ (43.6) Для того чтобы выразить концентрацию носителей заряда через энергию активации ДИ7,, собственной проводимости, надо связать с ней химические потенциалы электро- нов и дырок. 8. В валентной зоне . K-lJM 1 С 1 /=1 _/э= 1----------------------------=---------------. (V3-^KkT) -(W3-!^l(kT) с •+1 с +1 е т1 Равенство fa+f3=l вытекает из смысла функции f заполнения состояний. В каждом энергетическом состоянии находится либо электрон, либо свободная вакансия — дыр- ка, откуда и вытекает написанное равенство. Иначе, по (41.18) /=-—1___________ Следовательно, Wa—ца— — (1ГЭ—д). Кроме того, в валентной зоне — W3—ДИо, т. с. И'д-ь W3= — Д17о и дд= — Gi,+A1FO). Формулу (43.6) можно переписать так: no„=(2/ft3)(2«m*fc7)^e_4WW*7)e_'^tn. (43.6') Используем равенство лоэ=«од=ло- Тогда ло=(2/йэ) (2nfcTv/w,*"’*)’/2 е"А (43.7) 9. Определим химический потенциал д, электронов в собственном полупроводнике и, следовательно, положение уровня Ферми. Из равенства (т?)Э/2е^П=К*)ЗУ2е-ЛИ'’/(*Пе-М^ можно получить ДИЪ 3 /и* , Дэ=-------+- кТ\п —. (43.8) 2 4 ш* 615
Из формулы (43.8) следует, что при Т=0 К МО)-----AFFo/2. (43.80 Уровень Ферми расположен посередине запрещен- ной зоны (рис. 43.15). Если т*=т*, то при любой температуре Дэ(Г)=щ(0)= — AW/0/2=const. (43.8я) Обычно (чаще m*>m*) и уровень Ферми с повышением температуры несколько смещается Рис. 43.15 вверх при т*>т*, но это смещение невелико, при- мерно порядка кТ. Из формулы (43.7) легко установить зависимость удельной электрической проводи- мости собственного полупроводника от различных факторов: у=ело(иэ+мц), Ло-К^Г^е-4™. (43.9) Подвижность носителей заряда -определяется их рассеянием на тепловых колебаниях решетки, т. е. на фононах, причем можно показать, что 1 «~Т"3/2(т*)-5/2. (43.9) Если полупроводник не идеально чистый н в нем есть дефекты и примеси, то при низких температурах основную роль играет рассеяние на ионизированных примесях. Однако при обычных и высоких температурах подвижность носителей зависит от их рассеяния на фононах. Из (43.9') и (43.9) следует, что удельная электрическая проводи- мость собственного полупроводника зависит от температуры по экспоненциальному закону ♦ / * л'?!2 г/ -М'оКгиу ... y=const(w#mj) [(m*) +(w?) ]е . (43.10) Вклад в у электронов и дырок различен й это связано с различием их эффективных масс. В табл. 43.1 указаны подвижности электронов и дырок при 7’=300 К для важнейших собственных полупроводников. Таблица 43.1 Подвижность, м*/(В с) Полупроводник Si Ge InSb “э 0,135 0,380 7,700 “д 0,040 0,180 0,130 § 43.5. Примесная проводимость полупроводников 1. Введение в полупроводник примесей сильно влияет на его электрические свойства. Под примесями подразумевают как атомы или ионы посторонних элементов, так и различного рода дефекты и искажения в кристаллической решетке: пустые узлы, сдвиги, возникающие при деформациях кристалла, трещины и т. п. Все эти примеси и включения вносят дополнительные изменения в периодическое поле кристалла и вли- яют на поведение электронов и их энергетические состояния. Если в основную кристаллическую решетку полупроводника вводятся примесные атомы, то независимо от того, где эти атомы располагаются в кристалле, возникают 616
Рис. 43.16 дополнительные энергетические уровни, располо- женные в запрещенной зоне и называемые примес- ными, локальными энергетическими уровнями. 2. Примеси играют двоякую роль. Они могут слу- жить, с одной стороны, дополнительными постав- щиками электронов в кристалл, с другой — цент- рами локализации имеющихся в кристалле электро- нов. Рассмотрим, например, что произойдет, если в решетке германия один его атом замещен атомом примеси, обладающим пятью валентными электро- нами (фосфор, мышьяк, сурьма). Четыре электрона примесного атома будут находиться в химической связи с соседними атомами германия, а пятый элек- трон не может образовать валентную связь. Этот «лишний» электрон слабее связан с атомом, и его сравнительно легко перевести в зону проводимости полупроводника. Энергия «лишних» примесных электронов несколько меньше, чем энергия, соответ- ствующая нижней границе зоны проводимости полупроводника. Поэтому энергетичес- кие уровни примесных электронов располагаются вблизи дна зоны проводимости. Эти уровни заполнены некоторым числом электронов и называются донорными, а атомы примесей, поставляющие «лишние»-электроны в решетку, называются атомами-до- норами. Для перевода электронов с донорного уровня в зону проводимости нужна незначительная энергия ДЩ, активаi электронной проводимости, которую он может получить при тепловом возбуждении. В результате переброса электронов с донорных уровней в эону проводимости в полупроводнике возникает электронная примесная проводимость (проводимость п- типа). Полупроводники такого типа называются электронными (или полупроводниками л-типа). На рис. 43.16 показана схема энергетических уровней полупроводника л-типа. В табл. 43.2 приведены значения ширины запрещенной зоны Д Wo и энергии активации проводимости л-типа некоторых полупроводников. Таблица 43.2 Полу- проводник Энергия, эВ ДИ70 Д»ГП Р As Sb Si 1,10 0,045 0,050 0,039 Ge 0,72 0,012 0,013 0,010 3. Предположим, что в решетку германия введен примесный атом с тремя валент- ными электронами (бор, алюминий, индий). Такой атом не может сформировать полного комплекта необходимых связей в решетке германия (см. рис. 43.10), так как у него для этого не хватает одного электрона. Однако он сможет насытить все связи, если позаимствует электрон у ближайшего атома германия. Тогда на месте электрона, ушедшего из атома германия, образуется «положительная дырка», которая будет заполняться электроном из соседнего атома германия. Процесс последовательного заполнения свободной связи эквивалентен движению «дырки» в полупроводнике. Трехвалентные примеси приводят к появлению в запрещенной энергетической зоне примесных энергетических уровней, не занятых электронами. Они называются акцеп- торными уровнями Атомы примесей в этом случае называют том ии-йк Игорями. Акцепторные уровни располагаются несколько выше верхнего края валентной зоны основного кри- сталла на величину Д Wp. Эта энергия значительно меньше общей ширины запрещенной зоны. Поэтому вследствие теплового возбуждения электроны достаточно легко могут 617
переходить из валентной зоны на локальные акцепторные уровни и там закрепляться. В результате этого освобождаются вблизи «потолка» валентной зоны некоторые энергетические уровни, прежде занятые электронами. Электроны, оставшиеся в валент- ной зоне, могут теперь участвовать в проводимости полупроводника, которую, как мы уже говорили, удобно рассматривать как дырочную примесную проводимость. Описан- ный тип примесной проводимости называют также проводимостью p-типа, а полупро- водники с таким типом проводимости — дырочным полупроводяпсами, или полупро- водаиками р-тпшл. На рис. 43.17 показана схема энергетических уровней полупроводника р-типа. В табл. 43.3 для некоторых полупроводников p-типа приведены значения энергии активации Д№р дырочной проводимости. Таблица 43.3 Полу- пров i Энергия, эВ AFF0 В А1 Io Si 1,10 0,045 0,060 0,070 Ge 0,72 0,010 0,010 0,011 Для выяснения типа проводимости полупроводника (и- или p-тип) или установле- ния преобладающего типа носителей заряда при смешанной проводимости использует- ся эффект Холла. Для полупроводников постоянная Холла Л является функцией концентраций и по- движностей электронов и дырок. Знак постоянной Холла зависит от типа примесной проводимости. Для л-типа проводимости 7?<0, для p-типа 7?>0. Поэтому измерение постоянной Холла позволяет установить характер примесной проводимости полупро- водника. 4. Уровень Ферми при ЗГ=О К в хфимесных полупроводниках зависит от типа примес- ной проводимости. У n-типа полупроводников Д,(0)= —AlT„/2. Основными носителями заряда являют- ся электроны в зоне проводимости (Электроны проводимости). Неосновными носи- телями являются дырки в валентной зоне. У p-типа полупроводников д,(0)= — AJP0+A Wpj2. Основными носителями тока* являются дырки в валентной зоне, неосновными — электроны в зоне проводимости. Влияние температуры на положение уровня Ферми имеет сложный характер раз- личный для п- и p-типов примесных полупроводников (рис. 43.18). Рис. 43.17 ♦Термин «носители тока» часто применяется в том же смысле, что и «носители зарядов». 618
Для л-типа полупроводников дл сначала растет с повышением термодинамической температуры, затем убывает, стремясь к —АИп/2,котда осуществляется переход к собственной проводимости полупроводника при достаточно высокой температуре. Для />-типа примесной проводимости цр сначала убывает с ростом Т, а затем растет, стремясь к —^Wo/2 с аналогичным переходом, как и для л-тица, к собственной проводимости при высокой температуре. ' ' ! • - ’ ‘ •* -• 5. Концентрация п0 носителей тока складывается из концентрации носителей при собственной и“6 и примесной л^ проводимостях: ио=л^+л?>. Каждая из этих концентраций растет с повышением температуры по экспоненциаль- ному закону л^~ехр[-А^/(2Л7)], л^~ехр[-АИда7)]. В первой из этих формул под АИ/“Р нужно понимать либо hWm либо АИ^,. При низких температурах основной вклад в концентрацию л0 носителей тока вносит примесная концентрация л0«Пдр. При высоких температурах, наоборот, главную роль играет концентрация носителей собственной проводимости По^Ло06. Когда все донорные и акцепторные примеси в полупроводнике оказываются ис- пользованными, наступает насьпЦенне примесной концентрации носителей тока. При этом • лГ}, ' ? где Лдои и nJ” концентрации самих примесей, т. е. донорных и акцепторных атомов. Удельная электрическая проводимость У = е[Л0эИэ+Л0дМд}- § 43.6. Фотопроводимость полупроводников С . а 1. Электрическая проводимость полупроводников, возбужденная электромагнитным излучением, называется фотопроводимостью. . Фотопроводимость обусловлена внутренним фотоэффектом. В полупроводнике (или диэлектрике) под влиянием света образуются дополнительные неравновесные носители тока. Общая удельная электрическая проводимость полупроводника У=Уо+7ф, (43.11) где Уо — темновая удельная электрическая проводимость; Уф — удельная электрическая фотопроводимость. На рис. 43.19, а показана схема образования электрона фотопроводимости и дырки у собственного беспримесного полупроводника. Фотон с энергией hv, равной или большей ширины запрещенной зоны AJFn(ftv>A Ид), переводит электрон из валентной зоны в зону проводимости. При этом образуется пара — электрон в зоне проводимости и дырка в валентной зоне. Они участвуют в создании собственной фотопроводимости полупроводника. Удельная элект- рическая проводимость УФ=елос{иэ <тэ> +Мд <Тд>]. (43.12) Здесь лос — число пар неравновесных носителей — электронов и дырок, генерируемых светом в единице объема полупроводника за 1 с; <тэ> и <тд> — средние времена жизни этих носителей. 619
Рис. 43.18 Рис. 43.20 На рис. 43.19, б, в показано, как создаются носители тока под действием света в примесных донорных (б) и акцепторных (в) полупроводниках. В этих случаях фотон с энергией Av, не меньшей энергии активации примесной проводимости, либо переводит Электрон с донорного уровня в зону проводимости, либо из валентной зоны Переводит электрон на акцепторный вакантный примесный уровень. 2. Требование к энергии фотона Лу>ДИ', где ЛГУ—энергия активации соответст- вующей проводимости, означает, иго существует краевая граняя внутреннего фотоэф- фекте, которая определяется из условия hvxp=AlF. Переходя от частоты к длине волны, получим Л^Лс/ЛГУ. (43.13) Для собственной фотопроводимости полупроводника при Д Ж=2 эВ ^=600 нм. Это соответствует желтому свету. Видимый и ультрафиолетовый свет может вызвать фотопроводимость не только полупроводников, но и диэлектриков, у которых Д1Р>2эВ. У примесных полупроводников энергия активации проводимости Д 1F~O,O1 -е-0,1 эВ и Ач>~ 10“5 4-10_* м, что соответствует инфракрасной области спектра. 3. Зависимость фотопроводимости полупроводников от освещенности используется в фоторезнсторах (фотосопротнвленнях). На рис. 43.20 показана схема одного из типов фотосопротивления. Тонкий полупроводниковый слой 2 наносится на изолирующую подложку 1. С помощью металлических электродов 3 фотосопротивление включается в цепь. Защитное лаковое перекрытие 4 преррираяясг прибор от внешних воздействий. Характеристикой фотосопротивления является его световая чувствительность бГ/бФ (мА/лм) — изменение силы тока при изменении светового потока на 1 лм. У фотосоп- ротивлений световая чувствительность выше, чем у вакуумных фотоэлементов, ос- нованных на внешнем фотоэффекте. Например, у фоторезистора CdSe световая чувст- вительность ~ 1200 мА/лм; она в 10s раз больше, чем у вакуумных фотоэлементов. Вопросы: 1. Как образуются энергетические зоны в кристаллах твердых тел? 2. Как в зонной теории рассматриваются различия металлов, диэлектриков и полупроводников? 3. Чем отличаются друг от друга температурные зависимости электропроводимости полупровод- ников и металлов? 4. В каких условиях диэлектрик, с точки зрения зонной теории, становится проводником электрического тока? 5. Перечислите и дайте характеристики известных вам типов полупроводников.
Глава 44 Контактные явления § 44.1. Контакт двух металлов 1. В § 41.5 мы уже говорили о том, что электроны проводимости в металле* можно рассматривать как вырожденный идеальный Ферми-Газ; находящийся в потенциальном «ящике» с плоским дном. Если принять, что вне незаряженного проводника потенциал электрического поля <р(=0, то внутри металла <р>0, а ««глубина» потенциального «ящика» равна е<р (рис. 44.1). Электроны проводимости заполняют энергетические уровни, начиная с дна «ящика» (W-— еср) и до уровня Ферми W= —еср+ц, где д — химический потенциал электронов в металле. Величину ц—etp называют электро- химическим потенциалом электронов в металле. Соответственно уровень Ферми часто называют уровнем электрохимического потенциала. Работа выхода А электрона из металла отсчитывается от уровня Ферми: A' 2. Рассмотрим два разнородных металла, 1 и 2, отличающиеся работами выхода Ai й А2 й Химическими Потенциалами. Пусть Л2<Л1 (рис/'44.2). Во втором металле электронами заполнены более высокие энергетические уровни, чем в первом. Вначале металлы разведены на расстояние, во много раз большее периодов кристаллических решеток. Если привести металлы в соприкосновение, то Электроны проводимости частично переходят из второго металла в первый. При этом выравниваются их электрохимические потенциалы: металл I заряжается отрицательно, а металл 2 — по- ложительно (рис. 44.3). Одновременно происходит относительное смещение энергети- ческих уровней электронов в контактирующих металлах. В металле, заряжающемся отрицательно, все уровни смещаются вверх, а в металле, заряжающемся положительно,— вниз (рис. 44.3). В состоянии равновесия элект- рохимические потенциалы выравниваются: -e<pi+ni = -e2<P2+H2. (44.1) 1 1 н ++++ Рис. 44.3 Разность потенциалов <pi~- <р2 контактирующих металлов называется внутренней кон- тактной разностью потенциалов: Ф1-Ф2=(Д1-№)/«- (44.2) •Здесь и далее под. словом «металл» понимается, конечно, тело — металлический про- водник. 621
w Рис. 44.4 , Рис. 44.5 3. Изменение потенциалов от Ф1 до ф2 происходит внутри очень тонкого контактного слоя толщиной 6 (рис. 44.5). Рассмотрим контактный слой как плоский конденсатор толщиной 8 и оценим возможное изменение концентрации носителей тока в контакт- ном слое по сравнению с остальными объемами металлов. Воспользуемся формулой разности потенциалов между обкладками плоского конденсатора: hep— a aS aS а -=—=— 8— 8. С С SqS Bq (44.3) Здесь использованы формула связи заряда q с поверхностной плотностью а и пло- щадью S' обкладок и формула емкости С для плоского конденсатора. Из (44.3) имеем a—EoheplS. При <5~3 • 10"10 м и Дф~1 В <г~0,03 Кл/м2. Для получения такой плотности заряда необходимо, чтобы из одного металла в другой перешло через единицу площади контакта число электронов Дл=(о/е)~2 1017 м-2. Между тем при концентрации электронов проводимости в металле tiq~1029 м~3 в контактном слое единичной площади находится л=лой~3 1019 м~2. Таким образом, Ал/и—1/150. Это означает, что при контакте двух металлов в очень тонком контактном слое происходит весьма незначительное изменение-концентрации лд электронов по сравнению с остальными объемами металлов. Следовательно, удельная электрическая проводимость у контакта двух металлов и удельное сопротивление р контакта не отличаются от этих харак- теристик самих металлов. 4. Все изложенное до сих пор относилось к температуре Т— 0 К. Как нам известно, для электронного газа в металлах Химический потенциал зависит от температуры р=р (7). Это-значит в соответствии с формулой (44.2), что и <Р\—<рг зависит от температуры. Но зависимость д(7) очень Слабая. Уровень Ферми при нагревании металла смещается очень незначительно' по формуле д(7>д(0) 1 /яИЛа 12 V^(0)7 . Следовательно, внутренняя контактная разность потенциалов при нагревании контакта изменяется незначительно. 5. Из рис. 44.4 вцдно, что потенциал электрического поля вблизи поверхностей контактирующих металлов вне их (vi и ф2) неодинаковы. Таким образом, кроме внутренней контактной разности потенциалов существует внешняя контактная разность потеяцналон, обусловленная разностью работ выхода электронов из металлов 1 и 2: ---(Лг-АЦ/е. " (44.4) Эта разность потенциалов для разных пар металлов колеблется от десятых долей до единиц вольт и сильно зависит От чистоты и состояния поверхности. 622
§ 44.2. Контакт металла с полупроводником 1. Рассмотрим теперь контакт металла с полупроводником. Для определенности выберем полупроводник л-типа. Сделаем важное для дальнейшего предположение, что работа выхода At электрона из металла больше, чем его работа выхода А„ из л-полупроводника (см. рис. 44.6, соответствующий положению уровней Ферми в метал- ле и полупроводнике до контакта). При контакте металла х полупроводником часть электронов будет переходить из полупроводника в металл до тех пор, пока их уровни Ферми не выровняются. Приконтактный слой n-полупроводника обеднится электрона- ми и зарядится положительно, а металл получит отрицательный заряд. Между метал- лом и полупроводником образуется двойной электрический слой. Однако условия для создания этого слоя существенно иные, чем при контакте двух металлов. Это связано со значительно меньшей концентрацией электронов проводимости в л-полупроводнике по сравнению с металлом (1022 м~3 вместо 1029 м~3). Поэтому толщина контактного слоя в л-полупроводнике превосходит толщину этого слоя й металле в 10* и более раз. 2. В контактном слое л-полупроводника почти нет электронов проводимости, и его удельное элек- ' трическое сопротивление значительно больше, чем - .' < - в остальной части полупроводника. Такой слой _________ называется «запирающим». С ним связано выпря- мляющее («вентильное») действие контакта метал-- ла с полупроводником на переменный ток. Рассмотрим подробнее влияние напряженности внешнего электрического поля на размеры и со- .- противление контактного слоя. Если вектор Е на- - правлен от металла к полупроводнику (металл.‘ ' соединен с положительным полюсом источника тока, а полупроводник — с отрицательным), то ' электроны втягиваются из объема полупроводни- L-г> Рис. 44.6 ка в контактный слой, что приводит к уменьшениюг' его толщины 6 и увеличению проводимости. В этом направлении, называемом пропуск- ным, электрический ток может проходить через контакт металла с полупроводником. Если же вектор Е направлен от полупроводника к металлу,.тр электроны вытесняются из двойного слоя в глубь полупроводника, увеличивав .трлщину запирающего слоя и его сопротивление, В этом направлении ток не ^проходит через контакт. Таким образом, контакт металла с полупроводником обладает односторонней проводимо- стью и выпрямляет переменные токи. Кроме случая, когда работа выхода электрона 'цз мСтайЛа больше работы выхода электрона из л-полупроводниха, возможен случай, когда ^полупроводник имеет боль- шую работу выхода, чем металл (А„> Ау). При этом’электроны переходят из металла в полупроводник и удельное сопротивление контактного слоя будет меньше, чем в остальном объеме полупроводника. Контакт металла с таким полупроводником ие образует запирающего слоя и не оказывает выпрямляющего действия на переменные ТОКИ. § 4.3. Контакт электронного и дырочного полупроводников (р-п-переход) 1. Во многих областях современной электроники большую роль играет контакт двух полупроводников с различными л- и p-типами проводимости. Такой контакт называет- ся электронно-дырочным переходом или р-л-переходом. Такие переходы используются не только для выпрямления переменных токов, но также и для генерирования и усиления высокочастотных токов.. Практически р-л- переход осуществляется в виде области объема полупроводника, где один тип проводи- мости переходит в другой. Рассмотрим контакт примесных полупроводников л- и р-тнпа, полученных из одного и того же собственного полупроводника, с .энергией активации ДИо, например, за счет введения донорных и акцепторных примесей. На рис. 44 7 показаны 623
энергетические зоны и уровни Ферми этих полупроводников до приведения их в кон- такт, а также работы выхода электронов А„ и Ар> А„, равные расстояниям от уровней Ферми до общего нулевого уровня энергии электронов. Уровни Ферми находятся ниже «дна» зоны проводимости на расстояниях — и —рр (дя<0 и Др<0). При контакте полупроводников происходит переход электронов из n-полупровод- ника в р-полупроводник, а дырок:— в обратном направлении. Этот процесс заканчива- ется, когда уровни Ферми в обоих полупроводниках выравниваются и система стано- вится термодинамически равновесной. , 2. В контактном слое л-полупроводника толщиной образуется положительный объемный заряд, а в контактном слое р-подупроводника толщиной Дг создается отрицательный объемный заряд (рис. 44.8). Между полупроводниками возникает ввут- ренняя контактная разность потоделов <pT=<p„—q>/. Переход электрона из л- в р- полупроводник через задерживающее его электрическое поле контактного слоя приво- дит к увеличению потенциальной энергии электрона на величину, равную —e(fpp—tp^=e<px. В состоянии термодинамического равновесия, изображенном на рис. 44.8, фк=[(дл—Др)/е]>0. Соответственно за пределами контактного Слоя толщиной 6=6t+«дно» зоны проводимости и «потолок» валентной зоны в р-полупроводнике располагаюся выше, чем в л-полупроводнике, на величину е<рх. 3. В каждом из контактирующих полупроводников имеются носители тока обоих знаков — электроны проводимости и дырки. Они подразделяются на основные и неос- новные. Основные носители образуются за счет донорных или акцепторных примесей, а неосновные ноаггеп образуются за счет переброса путем теплового возбуждения небольшого числа электронов из валентной зоны примесного полупроводника в зону проводимости. При обычной температуре кТ<£ ДЖ0 и концентрация неосновных носи- телей во 'много раз меньше, чем основных (поэтому они и получили такие названия). В л-полупроводнике основные носители — электроны проводимости, а неосновные — дырки в валентной зоне. В р-полупроводнике основные носители — дырки в валент- ной зоне, а неосновные — электроны проводимости. 4. Переход электронов из л- в р-полупроводник связан с их «подъемом» с уровня Ферми до «дна» зоны проводимости р-полупроводника, т. е. с преодолением потенци- ального барьера высотой, равной е<рж—д». Поэтому, как можно показать, соответст- вующая сила электрического тока через контакт ZM^=Cexp[-(^-ft,)/(fc7)], (44.5) где С — постоянная, зависящая от температуры. Сила тока за счет движения электро- нов из р- в л-полупроводник Рис. 44.7 Рис. 44.8 624
С exp fppl(kT)} (44.53 'ь В состоянии термодинамического равновесия-«фх»дя—и i • - • ... . 1^,=Г^‘ (44.6) То же самое получается и Для .электрического тока через р-я-переход, осуществля- ющегося за счет движения дырок: 4-»=/^ (44.63 Электрические токи через р-я-переход за счет движения основных и неосновных носителей тока равны: Ажт = 4" Л(Я-»я» I +/ (447? Эти электрические токи направлены во взаимно противоположные стороны. В состоя- нии термодинамического равновесия они равны по абсолютной величине (.1^=1^), так что результирующий ток через р-л-персход равен нулю: Д>=^-С=о. § 44.4, Вольт-амперная характеристика р-п-перехода 1. Рассмотрим влияние внешнего электрического поля на электрический ток через р-л-переход. Удельное электрическое сопротивление контактного слоя, сильно обеднен- ного носителями токи, йо много раз больше, чем в остальной части л- и р-полупровод- ников. Поэтому можно считать, что приложенное внешнее напряжение U практически полностью приходится на контактный слой. Будем считать U<0, если «-полупровод- ник подключен к аноду источника тока, а р-полупроводник — к катоду. В этом случае, как видно из рис. 44.9, высота потенциального барьера для перехода через контакт основных носителей тока (электронов из я- в р-полупроводник и дырок из р- в л- полупроводник) увеличивается на — eU>0 по сравнению с равновесным состоянием, изображенным на рис. 44.8. Поэтому ток основных носителей меньше, чем в состоянии равновесия: Z„I=Cexp[el7/(A:7)]<^- (44.8) Рис. 44.10 625
В то же время напряжение U никак не отражается на силе тока неосновных носителей, так как она определяется концентрациями этих носителей, не зависящими от U. Например, концентрация электронов проводимости в р-подупроводнике пропорци- ональна cxpi/i^kT)], а концентрация дырок в л-полупроводнике пропорциональна ехр[—(A^o+Ai)/(W)L Таким образом, и через контакт идет очень небо- льшой результирующий электрический ток в направлении от л- к р-полупроводнику. В соответствии с принятым выше правилом знаков для U этот ток следует считать отрицательным и равным: 7=7aBI-7mn=7^T[exp(e77/(fc7))- Ч<0. (44.9) Это направление тока через р-л-переход называется запорным. В рассматриваемом случае толщина 6_ контактного слоя больше его толщины 6 в равновесном состоянии, т. е. при 77=0. Предельное значение тока при 77<О равно —7°^. 2. Пусть теперь 77>О, т. е. анод источника тока подсоединен к р-полупроводнику, а катод — к л-полупроводнику (рис. 44.1Q). В этом слу- чае высота потенциального барьера для основных носи- телей тока понижается по сравнению с равновесной на eV. Соответственно возрастает ток основных носителей: /c«T=^exp[e77/(k7)]>7^. (44.89 Ток неосновных носителей по-прежнему равен 7^,. Результирующий электрический ток через р-л-переход идет в так называемом пропускном направлении из р- в л- полупроводник и равен: 7=7^[ехр(е77/(к7))-1]>0. (44.10) Легко видеть, что формулы (44.9) и (44.10) тождест- венны. Они описывают вольт-амперную характеристику р-л-перехода, т. е. зависимость 7 от 77, изображенную на рис. 44.11. 3. Электрический ток через р-л-переход при 77<О очень невелик. Поэтому р-л-переход можно использовать для выпрямления переменного тока. В современной радиотехнике и полупроводниковой электронике широко используют различные полупроводниковые приборы и устройства, которые служат для генерирования, усиления и преобразования электрических колебаний. К ним, в частности, относятся полупроводниковые диоды, основанные на свойстве односторонней проводимости р-л-перехода. Кристаллические полупроводниковые диоды выгодно отличаются от ламповых механической прочно- стью, дешевизной, малыми размерами, большим сроком службы и другими ценными качествами. Вопросы: 1. Что такое внешняя и внутренняя контактные разности потенциалов двух металлических проводников? Чему они равны? 2. Поясните механизм выпрямляющего действия на переменный ток контакта металла и л- полупроводника. 3. Объясните вольт-амперную характеристику р-л-перехода.
Часть Основы физики ядра и элементарных частиц Глава 45 Строение и важнейшие свойства ядер Глава 49 Элементарные частицы
Глава 45._____________________________________ Строение и важнейшие свойства ядер § 45.1. Основные свойства и строение ядра 1. Ядром называется центральная часть атома, в которой сосредоточены практически вся масса атома и его положительный электрический заряд. Все атомные ядра состоят из элементарных частиц —; протонов и нейтронов, кото- рые считаются двумя зарядовыми состояниями одной частицы — нуклона. Протон имеет положительный электрический заряд, равный по абсолютной величине заряду электрона. Нейтрон не имеет электрического заряда. Ядро атома характеризуется зарядом. Заряд ядра равен величине Ze, где е — заряд протона, Z — порядковый номер химического элемента в периодической системе Менделеева, равный числу протонов в ядре. В настоящее время известны ядра с Z от 2= 1 до 2= 112. Для всех ядер, кроме }Н, |Не и некоторых других нейтронно-дефицитных ядер А>2, где N — число нейтро- нов в ядре. Для легких ядер 2V/2«1; для ядер химических элементов, расположенных в конце периодической системы, N/Z «1,6. Число нуклонов в ядре A=N+Z называется массовым числом. Нуклонам (протону и нейтрону) приписывается массовое число, равное единице, электрону — нулевое значение А. Ядра с одинаковыми 2, но различными А называются изотопами. Ядра, которые при одинаковом А имеют различные 2, называются изобарами. Ядро .химического элемента X обозначается fX, где X — символ химического элемента. Всего известно около 300 устойчивых изотопов химических элементов и более 2000 естественных и искусственно полученных радиоактивных изотопов. Размер ядра характеризуется радиусом ядра, имеющим условный смысл ввиду размытости границы ядра. Эмпирическая формула для радиуса ядра R=R0Ail3, где Яо—(1,3 4-1,5) • 10“15 м, может быть истолкована как пропорциональность объема ядра числу нуклонов в нем. Действительно, если считать ядро сфсрэй радиуса /^состоящей из А нуклонов — шариков радиуса Яо, то, очевидно, */3nR3=A .]3icR%, откуда следует написанное равенство. Плотность ядерного вещества составляет по порядку величины 1017 кг/м3 и посто- янна для всех ядер. Она значительно превосходит плотности самых плотных обычных веществ*. 2. Нуклоны в атомных ядрах являются фермионами и имеют спин /1/2. Ядро атома имеет собственный момент импульса — спин ядра, равный £,=/><7(7+1), где I — внутреннее (полное) спвовое квантовое число. Число I принимает целочисленные или полуцелые значения 0,1/2,1, 3/2 и т* Д- Ядра с четными А имеют целочисленный спин (в единицах й) и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Ядра с нечетными А имеют полуцелый спин (в единицах Л) и подчиняются статистике Ферми — Дирака. 3. Ядерные частицы имеют собственные магнитные моменты, которыми определяется магнитный момент ядра , в целом. Единицей магнитных моментов ядер служит ядерный магнетон д/. *В этой части курса рассмотрены краткие сведения о физике ядра и элементарных частиц, которыми ограничивается курс физики в высших технических учебных заведениях. 628
(45.1) где е — абсолютное значение заряда электрона, тр — масса протона. Ядерный маг- нетон в тР!те= 1836,5 раза меньше магнетона Бора, откуда следует, что магнитные свойства атомов определяются магнитными свойствами его электронов. Между спином ядра L,, выраженным в Л, и его магнитным моментом имеется соотношение ' (45.2) / где уя — ядервое гиромагнитное отношение. ; Магнитный момент нейтрона равен —1,91 ця. Знак минус показывает, что направле- ния спина нейтрона и его магнитного момента противоположны. Магнитный момент протона положителен и равен 2,79дж. Его направление совпадает с направлением спина протона. 4. Распределение электрического заряда протонов по ядру в общем случае несиммет- рично. Мерой отклонения этого распределения от сферически-симметричного является квадрупольшдй электрический момент Q ядра. Если плотность заряда считается везде одинаковой, то Q определяется только формой ядра. Так, для ядра, имеющего форму эллипсоида вращения, e=2/sZe(6a-a2), где Ь — полуось эллипсоида вдоль направления спина; а — полуось в перпендикуляр- ном направлении. Для ядра, вытянутого вдоль направления спина, Ь>а и Q>0. Для ядра, сплющенного в этом направлении, Ь<а и б<0. Для сферического распределения заряда в ядре Ь=а и Q=0. Это справедливо для ядер со спином, равным 0 или h/2. § 45.2. Энергия связи ядер 1. Нуклоны в ядрах находятся в состояниях, существенно отличающихся от их свобод- ных состояний. За исключением ядра обычного водорода, во всех ядрах имеется не менее двух нуклонов, между которыми существует особое ядерное (сильное) взаимо- действие — притяжение, обеспечивающее устойчивость ядер, несмотря на отталкива- ние одноименно заряженных протонов. Энергией связи нуклона в ядре называется физическая величина, равная той работе, которую нужно совершить для удаления нуклона из ядра^не сообщая ему кинетической энергии. Энергия связи ядра определяется той работой, которую нужно совершить, чтобы расщепить ядро на составляющие его нуклоны, не сообщая им кинетической энергии. Из закона сохранения энергии следует, что при образовании ядра должна выделять- ся такая же энергия, какую нужно затратить при расщеплении ядра на составляющие его нуклоны. Энергия связи ядра является разностью между энергией всех свободных нуклонов, составляющих ядро, и их энергией в ядре. 2. Цри образовании ядра происходит уменьшение его массы: масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов. Уменьшение массы ядра при его образовании объясняется выделением энергии связи. Если Wa — энергия, выделяющаяся при об- разовании ядра, то соответствующая ей масса Дш= W^c1 (45.3) называется дефектом массы и характеризует уменьшение суммарной массы при об- разовании ядра из составляющих его нуклонов. Если ядро с массой Мя образовано из Z протонов с массой тр и из (A—Z) нейтронов с массой т„, то bm=Zmp+(A—Z)m„—Мя. (45.3') 629
Вместо массы Мя ядра величину Д/n можно выразить через атомную массу Ма. Am=Zmji+(A—Z)m„—Ma, (45.3я) где тн — масса водородного атома. При практическом вычислении Дт массы всех частиц и атомов выражаются в атомных единицах массы. Дефект массы служит мерой энергии связи ядра: 1Fcb=A»«:2=[ZotJ)+(X —Z)m„—Afjc2. (45.4) Одной атомной единице массы соответствует атомная епинипя энергия (а.е.э.). 3. Удельной энергией связи ядра называется энергия связи, приходящаяся на один нуклон: wa=Wct/A. Величина составляет в среднем 8 МэВ/нуклон. На рис. 45.1 приведена кривая зависимости удельной энергии связи от массового числа А, харак- теризующая различную прочность связей нук- лонов в ядрах разных химических элементов. Ядра элементов в средней части периодичес- кой системы (28<Л<138), т. е. от i®Si до ||®Ва, наиболее прочны. В этих ядрах wa близка к 8,7 МэВ/нуклон. По мере увели- чения числа нуклонов в ядре удельная энергия связи убывает. Ядра атомов химических эле- ментов, расположенных в конце периодичес- кой системы (например, ядро урана), имеют МэВ/нуклон. Это объясняет возмож- ность выделения энергии при делении тяже- лых ядер. В области малых массовых чисел имеются острые «пики» удельной энергии свя- зи. Максимумы характерны для ядер с чет- ными числами протонов и нейтронов (*Не, £2С, |бО). Минимумы характерны для ядер с нечетными количествами протонов и нейтронов (fLi, J°B, 7*N). Если ядро имеет наименьшую возможную энергию И\т= — W^, то оно находится в основном энергетическом состоянии. Если ядро имеет энергию то оно находится в возбужденном энергетическом состоянии. Случай W=0 соответствует расщеплению ядра на составляющие его нуклоны. В отличие от энергетических уровней атома, раздвинутых на единицы электрон-вольт, энергетические уровни ядра отстоят друг от друга на мегаэлектрои-вольты. Этим объясняются происхождение и свойства гамма-излучения. 4. Данные об энергии связи ядер позволили установить некоторые закономерности в строении ядер. Критерием устойчивости атомных ядер является соотношение между числом про- тонов и нейтронов в устойчивом ядре для данных изобаров (А=const). Условие минимума энергии ядра приводит к соотношению между Z^ и Л: А 1,98+0,015^’ (45.5) Берется целое число Z^, ближайшее к тому, которое получается по этой формуле. При малых и средних значениях А число нейтронов и протонов в устойчивых ядрах примерно одинаковы: Z« A—Z. С ростом Z силы кулоновского отталкивания протонов растут пропорционально Z(Z— 1)~Z2 (в результате парного взаимодействия протонов) и для компенсации этого отталкивания ддерным притяжением число нейтронов должно возрастать быст- рее числа протонов. 630
§ 45.3. Ядерные силы 1. Ядерное взаимодействие свидетельствует о том, что в ядрах существуют особые ядерные силы, не сводящиеся ни ж одному из типов сил, известных в классической физике (гравитационных и электромагнитных). Ядерные силы являются короткодействующими силами. Они проявляются лишь на весьма малых расстояниях между нуклонами в ядре порядка 10-1® м. Длина (1,5 — 2,2) - 10~ls м называется радиусом действия ядерных сил. Ядерные силы обнаруживают зарядовую независимость: притяжение между двумя нуклонами одинаково независимо от зарядового состояния нуклонов (протонного или нейтронного). Зарядовая независимость ядерных сил, равенство сил между протонами и между нейтронами подтверждаются сравнением энергий связи зеркальных ядер. Так называются ядра, в которых одинаково общее число нуклонов, но число протонов в одном равно числу нейтронов в другом, например ядра |Не и тяжелого водорода — трития fr. Энергия связи в этих ядрах составляет 7,72 и 8,49 МэВ. Разность энергий связи ядер, равная 0,77 МэВ, соответствует энергии кулоновского отталкивания двух {ротонов в ядре ’Не. Полагая эту величину равной е2/(4я£ьг), можно найти, что среднее расстояние между протонами в ядре ’Не равно 1,9 10“15 м, что согласуется со значением радиуса действия ядерных сил. 2. Ядерные силы обладают насыщенностью, которая проявляется в том, что нуклон в ядре взаимодействует лишь с ограниченным числом ближайших к нему соседних нуклонов. Свойством насыщения можно объяснить линейную зависимость энергии связи ядер от массового числа А. Если бы каждый нуклон взаимодействовал одновре- менно со всеми (А — 1) нуклонами ядра, то энергия связи ядра была бы пропорциональ- на возможному числу взаимодействующих пар нуклонов в ядре, т. е. числу сочетаний из Л по два: 1/2Л(Л —1) (в предположении, что ядерное взаимодействие парное). Зависимость энергии связи от А была бы в этом случае не линейной, а квадратичной, что противоречит экспериментальным данным. Практически полное насыщение ядер- ных сил достигается у а-частицы, которая является очень устойчивым образованием. 3. Ядерные силы зависят от ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. Это. подтверждается различным характером рассеяния нейтронов молекулами орто- н пара- водорода. В молекуле ортоводорода спины обоих протонов параллельны друг другу, а в молекуле параводорода они антипараллельны. Если бы взаимодействие нейтрона с протоном не зависело от взаимной ориентации их спинов, то рассеяние нейтронов на молекулах орто- и параводорода происходило бы одинаково. Опыты показали, что рассеяние нейтронов на параводороде в 30 раз превышает рассеяние на ортоводороде. Это доказывает зависимость ядерных сил от ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. Ядерные силы не являются центральными силами. § 45.4. Радиоактивность 1. Под радиоактивностью понимается превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотопы другого элемента, сопровождающееся испусканием некоторых частиц. Различаются естественная и искусственная радиоактивности. Есте- ственной радиоактивностью называется радиоактивность, наблюдающаяся у существу- ющих в природе неустойчивых изотопов. Искусственной радиоактивностью называется радиоактивность изотопов, полученных в результате ядерных реакций. В табл. 45.1 приведены основные типы радиоактивности. Обычно все типы радиоактивности сопровождаются испусканием жесткого, корот- коволнового электромагнитного гамма-излучения. Гамма-излучение — основная форма уменьшения энергии возбужденных продуктов радиоактивных превращений. Ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется матерннскнм; возникающее дочернее ядро, как правило, оказывается возбужденным, и его переход в основное состояние сопровождается испусканием у-фотона. 2. Самопроизвольный распад атомных ядер подчиняется закону радиоактивного рас- пада: (45.6) 631
где No — число ядер в данном объеме вещества в начальный момент времени г=0; — число ядер в том же объеме к моменту времени Г, А — постоянная распада, имеющая смысл вероятности распада ядра за 1 с и равная доле ядер, распадающихся в единицу времени. Таблица 45.1 Тип радиоактивности Изменение заряда ядра Изменение массового числа А Характер процесса Альфа-распад Z-2 Л-4 Вылет а-частицы — системы двух протонов и двух нейтронов, соединенных воедино Бета-распад . Z±1 А Взаимные превращения в ядре нейтрона (Jn) и протона (}р) -распад Z+1 А Р+-распад Z-1 А ;₽ + _?*-» £л+(Х); Электронный захват (е- или К-эахват) Z-1 . А “v, и “v, — электронное нейтрино и анти- нейтрино. В скобках указаны частицы, вылетающие из Спонтанное деление Z-‘/2Z а-1!2а . ядра Деление ядра обычно на два осколка, име- ющие приблизительно равные массы и заряды Закон самопроизвольного радиоактивного распада основывается на двух пред- положениях: 1) постоянная распада не зависит от внешних условий; 2) число ядер, распадающихся за время dz, пропорционально наличному числу ядер. Эти предположе- ния означают, что радиоактивный распад - статистический процесс, а распад данного ядра — случайное событие, имеющее определенную вероятность. Из предположений, лежащих в основе закона радиоактивного распада, следует, что убыль — dN числа ядер за время dr пропорциональна наличному числу ядер Nn времени dr: —dN=ANdr. (45.6*) dN Разделяя переменные в (45.6'), запишем —= — Я dr; интегрируя полученное дифферен- N циальное уравнение, найдем закон радиоактивного распада (45.6). Величина 1/А является средней продолжительностью жизни (среднее время жизни) радиоактивного изотопа. Действительно, суммарная продолжительность жизни dN ядер равна r|d7V]-=rAXdr. Средняя продолжительность т жизни для всез; первоначально существовавших ядер СО со 1 f f -Лг 1 т = — AMdr = A е rdr=-. (45.7) No J J A о о 3. Характеристикой устойчивости ядер относительно распада является период полура- спада Т\)2 время, в течение которого первоначальное количество ядер данного радиоактивного вещества распадается наполовину. Связь А и Таг- 1п2 0,693 Т1/2=у=— = 0,693т. (45.8) Естественная радиоактивность наблюдается у ядер атомов химических элементов, расположенных за свинцом в периодической системе Менделеева. Естественная радио- активность легких и средних ядер наблюдается лишь у ядер ’^Pb, |^8La, ‘♦’Sm, *?sLu, ’«’Re. 632
Заков сохранения электрических зарядов при радиоактивном распаде ядер Z^e^Zfi, 1 где ZjC — заряд материнского ядра; Z& — заряды ядра и частиц, возникших в ре- зультате радиоактивного распада. Этот закон соблюдается также при всех ядерных реакциях. Правило сохранения массовых чисел в явлениях естественной радиоактивности i где А, — массовое число материнского ядра; А, — массовое число ядра и частиц, полу- чившихся в результате радиоактивного распада. 4. Правила смещения (правила Фаянса и Соддн) при радиоактивных а- и ^-распадах: при а-распаде х-Х'-»^Г*У+*Не, при /{-распаде zX-*z+iY+ -ie- Здесь — материнское ядро; У — символ дочернего ядра; ^Не — ядро гелия; _— символическое обозначение электрона, для которого А=0 и Z= — 1. Если дочернее ядро оказывается также радиоактивным, то возникает цепочка радиоактивных превращений. Естественно радиоактивные ядра образуют три радиоак- тивных семейства, называемых семейством урана (У8!!), семейством тория (g^Th) и семейством актиния (g|sAc). Свои названия они получили по «родоначальнику» — долгоживущему изотопу с наибольшим периодом полураспада. Все семейства после цепочки а- и -распадов заканчиваются на устойчивых ядрах изотопов свинца: J26Pb, в°8РЬ и в27РЬ. Семейство нептуния, начинающееся от трансуранового элемента непту- ния ”7Np, получено искусственным путем и заканчивается на J£9Bi. ' 5. Если происходит цепочка радиоактивных распадов и за время dr из общего числа материнских ядер распадается ЯыМ^г ядер, а за это же время распадается ЛдАГддГ дочерних ядер, то общее изменение числа ядер дочернего вещества за единицу времени dN„ dr В случае подвижного равновесия между материнским и дочерним веществами dN„fdl=O, и выполняется условие радиоактивного равновесия (45.9) откуда I • ?д где Ты и Тя — периоды полураспадов материнского и дочернего ядер. Произведение A=XN называется активностью данного радиоактивного вещества и представляет собой число распадов за единицу времени. Активность, отнесенная к единице массы вещества, называется удельной активностью. Она измеряется числом распадов в еди- нице массы радиоактивного вещества в единицу времени (с-1 кг-1). § 45.5. Альфа-распад 1. Альфа-распад состоит в испускании ядрами атомов некоторых химических эле- ментов а-частиц. Альфа-распад является свойством тяжелых ядер с массовыми чи- слами А >200 и зарядовыми Z>82. Внутри таких ядер происходит образование обособленных а-частиц, состоящих каждая из двух протонов и двух нейтронов. Этому 633
способствует насыщение ядерных сил. Образовавшаяся а-частица подвержена боль- шему действию кулоновских сил Отталкивания от протонов ядра, чем отдельные протоны. Одновременно а-частица испытывает меньшее ядерное притяжение к нук- лонам в ядре, чем отдельные нуклоны. 2. Ядро является для а-частицы потенциальным барьером, высота U которого боль- шем, чем W — энергия а-частицы в ядре. Альфа-распад происходит при просачивании а-частицы сквозь потенциальный барьер с помощью туннельного эффекта. Формула прозрачности D потенциального барьера (37.39') показывает, что незначительные изменения энергии а-частицы в ядре приводят к сильному изменению величины ехр Этим объясняются большие различия в периодах полураспадов а-излучателей — от 109 лет до 10“7 с — при сравнительно небольшом возрастании энергии а-частиц от 4 до 9 МэВ. Постоянная распада А связана с прозрачностью Z> потенциального барьера для а-частицы. В упрощенной модели прямоугольного потенциального барьера A=Dn, где п — число ударов а-частицы о стенку барьера за единицу времени, равное п=«/(2£); v=y/2Wlma — скорость а-частицы в ядре. Величина L обычно принимается равной радиусу R ядра (2Ё — ширина потенциального «ящика»). Упрощенная формула для постоянной А а-радиоактивного распада имеет вид 1 I2W -2y/2maiUB-W)R/k 2R\] та 6 (45.10) 3. Связь между периодом полураспада Т1/2 и энергией W а-частицы приближенно описывается экспериментально установленным законом Гейгера — Неттолла (1911): В 1пЗг1^=—=+С, Jw где В>0 и С>0 — постоянные величины, не зависящие от массового числа материн- ского ядра и слабо зависящие от зарядового числа Z этого ядра. Так, например, для Z=84 128,8 МэВ1'2 и С==-50,2, а для Z= 90 В= 133,4 МэВ1'2 и С= -51,9. Наиболее хорошо закон Гейгера — Неттолла описывает переходы между основными состояни- ями четно-четных ядер. Экспериментально доказано, что у одного и того же а-радиоактивного элемента имеется несколько групп а-часгиц с различными дискретными значениями энергии W. Это свидетельствует о существовании дискретных энергетических уровней атомных ядер. § 45.6. Бета-распад 1. Термином «бета-распад» обозначают три типа ядерных превращений: электронный (Д_) и позитронный (Д+) распады, а также электронный захват (е- или Е-захват). Первые два типа превращений состоят в том, что ядро испускает электрон (позитрон) и элект- ронное антинейтрино (электронное нейтрино). Эти процессы происходят при превраще- нии одного вида нуклона в ядре в другой: нейтрона в протон или протона в нейтрон — по схеме: 634
(45.12) Jn-»lp+-ie+?ve (/7.-распад), }p-»on+ +°e+?v, (/?+-распад). Здесь дП и }р — символические обозначения нейтрона и протона; _“е и +®е — обозначе- ния электрона и позитрона; °ve и — электронные нейтрино и антинейтрино. В случае е-захвата превращение протона в нейтрон идет по схеме Jn+Jv* (45.12') и заключается в том, что исчезает один из электронов на ближайшем к ядру Х'-слое атома. Протон, превращаясь в нейтрон, как бы «захватывает» электрон; отсюда произошел термин «электронный захват» (или «е-захват»). Особенностью этого типа бета-распада является вылет из ядра только одной частицы qVc. Примером е-захвата является превращение радиоактивного ядра бериллия jBe в устойчивое ядро лития ,Li. Электронный захват в отличие от /?±-распада сопровождается характеристическим рентгеновским излучением, принадлежащим A-серии соответствующего элемента, 2. /?_-Распад происходит у естественно-радиоактивных, а также искусственно-радио- активных ядер; Д+-распад характерен только для явления искусственной радиоактив- ности — возникновения собственных радиоактивных излучений ядер под действием а-частиц, нейтронов и других частиц. При этом нарушается условие устойчивости атомного ядра. Например, искусственно-радиоактивный изотоп углерода JJC возника- ет из стабильного ядра азота под действием нейтронов с выделением протонов: и, испытывая бета-распад, вновь превращается в устойчивый изотоп ,*N: rC-»?*N+_»e+gve. Нарушение условия устойчивости введением в ядро избыточных протонов приводит к искусственному -распаду. Эго видно из следующего примера: J°B+ *He-4*N-»}3N+Jn, “N-^C+^e+gve, где +°е — позитрон; ”ve — электронное нейтрино. 3. Естественный /7 .-распад происходит так, что нейтрон Jn самопроизвольно превра- щается в протон. Энергия покоя нейтрона превышает энергию покоя атома водорода (т. е. протона и электрона вместе взятых) на 782 кэВ. Поэтому превращение типа энергетически возможно и вне ядра. В потоках нейтронов большой интенсивности, возникающих в ядерных реакторах, обнаружен радиоактивный распад свободных ней- тронов с периодом полураспада около 620 с. В тяжелых ядрах, перегруженных нейтро- нами, такое превращение приводит к /7.-естественной радиоактивности. Превращение типа +°е+Jve возможно только в ядрах, где необходимая для этого энергия заимствуется у соседних частиц. Это превращение приводит к искусствен- ному fl+-распаду. Полупериоды бета-распадов изменяются для различных источников /3±-радиоак- тивного излучения в широком интервале времени от 10“2 с до 101в лет, несоизмеримо больших по сравнению с ядерным временем 1022 — 10-23 с. 4. Решающим экспериментальным фактом для понимания механизма Д_-распада н создания его теории стало изучение энергетического спектра испускаемых электро- нов. Этот спектр оказался непрерывным, простирающимся до (рис. 45.2). / 635
Энергия 1КМЯГГ называется верхней границей энер- гии /?_-спектра и является характеристикой ис- точника /?_-радиоактивного излучения. Для дан- ного источника невозможны энергии электро- нов, превышающие Для того чтобы согласовать непрерывность спектра энергии электронов с дискретностью энергетических уровней ядер, необходимо счи- тать, что вместе с электроном из ядра ис- пускается еще одна частица — электронное ан- тинейтрино °ve. Полная энергия, теряемая ядром при -распаде, равна но она различно распределяется между электроном и электронным антинейтрино*. В частности, гранич- ная точка на кривой рис. 45.2 означает, что вся энергия /L-распада уносится электро- ном. Нулевое значение энергии электрона на кривой соответствовало бы тому, что вся энергия уносится антинейтрино цС,. Для ^ -радиоактивности свободных нейтронов Жмие=782 кэВ, что полностью соответствует изложенному выше. При бета-распаде не изменяются массовое число А и спин ядра. § 45.7. Гамма-излучение 1. Гамма-излучение является жестким электромагнитным излучением, энергия кото- рого испускается при переходах (Ядер нз возбужденных энергетических состояний в основное или менее возбужденные состояния, а также при ядерных реакциях. В первом случае, согласно правилу частот Бора, энергия фотона у-излучения равна разности энергий конечного и начального энергетических уровней ядра: hvi^Wi-Wk^HWik. где vlk — частота фотона, соответствующего переходу ядра из состояния с энергией Wt в состояние с энергией И*. Величина bWik имеет порядок 0,1 МэВ и значительно превышает разность энергий электронных уровней в атоме. Гдмма-излучение — это весьма коротковолновое электромагнитное излучение с длиной водны, не превыша- ющей 0,1 нм. Дискретный линейчатый спектр у-излучения является подтверждением вышесказанного о дискретных энергетических уровнях ядер. Гамма-излучение не самостоятельный тип радиоактивности. Оно сопровождает процессы а- и Д-распадов и не вызывает изменения заряда и массового числа ядер. Установлено, что у-излучение испускается дочерним ядром, которое в момент своего образования оказывается возбужденным. Снятие энергии возбужденного ядра осущест- вляется за время (10”13 — 10“ ’•) с, значительно меньшее, чем время жизни возбужден- ного атома (~ 10“® с). 2. Помимо гамма-излучения существует еще один способ передачи энергии возбуж- денными атомными ядрами при их переходе в менее возбужденные состояния. Энергия, высвобождаемая при таком переходе ядра (энергия перехода), может непосредственно передаваться одному из электронов того же атома, в результате чего электрон вырыва- ется из атома. Это явление получило название внутренней конверсии гамма-излучения, а электроны, испускаемые атомами, называют конверсионными электронами. Конверси- онные электроны могут выбиваться из различных внутренних слоев электронной оболочки атома (К, L, М и т. д.). Поэтому внутренняя конверсия сопровождается испусканием атомами характеристического рентгеновского излучения. Это происходит за счет переходов электронов атома на освободившиеся места во внутренних слоях электронной оболочки. Спектральный состав характеристического рентгеновского из- ♦Очевидно, что определяет разность &Wik энергий двух уровней ядра. 636
лучения свидетельствует о том, что конверсионные электроны и у-фотоны испускаются возбужденными дочерними (а не материнскими!) атомными ядрами. Мерой вероятности внутренней конверсии по сравнению с гамма-излучением слу- жит коэффициент внутренней конверсии, который равен отношению числа конверсион- ных электронов к числу у-фотонов, испускаемых за один и тот же промежуток времени радиоактивным образцом. Этот коэффициент зависит от энергии перехода, заряда ядра и др. характеристик. Если энергия перехода превышает удвоенную энергию покоя электрона, равную 1,022 МэВ, то становится возможной внутренняя конверсия с об- разованием пары электрон — позитрон. Это явление называют парной конверсией. Вероятность парной конверсии растет с увеличением энергии перехода. 3. Гамма-излучение оказывает сильное воздействие на вещество, в частности на биологические объекты. Действие гамма- и других видов ионизирующих излучений оценивается дозой излучения D — отношением энергии излучения к массе облучаемого вещества*. Единицей дозы излучения служит 1 Дж/кг: доза излучения, при которой массе 1 кг облученного вещества передается энергия излучения 1 Дж. Эта единица называется грей (Гр). Применяется также внесистемная единица дозы излучения, называемая рад: 1 рад=10-2 Гр. Мощностью N дозы излучения называется величина, равная отношению дозы излучения D ко времени: N=D/t. (45.13) Единицей мощности дозы служит ватт на килограмм (Вт/кг= Гр/с). ' Энергетической характеристикой излучения, оцениваемой по ионизации сухого атмосферного воздуха, служит экспозиционная доза излучения D3 — величина, равная отношению суммы электрических зарядов ионов одного знака, созданных электрона- ми, освободившимися в облученном воздухе при полном использовании ионизиру- ющей способности электронов к массе этого воздуха. Единицей D3 служит 1 Кл/кг. Внесистемная единица экспозиционной дозы излучения — рентген (Р); 1Р=2,58 10-* Кл/кг. Мощностью N3 экспозиционной дозы называется величина, равная отношению экс- позиционной дозы излучения к интервалу времени, за который получена эта доза: Доза излучения оценивается также по биологическому действию. Биологическим эквивалентом рентгена (бэр) называется поглощенная энергия излучения, биологически эквивалентная 1 Р: 1 бэр=10-2 Дж/кг. § 45.8. Эффект Мёссбауэра 1. Все возбужденные энергетические уровни ядра имеют значения энергии, найденные с точностью до величины ДИ7, определяемой из соотношения неопределенностей: h • &Wk—, Д/ где Д/ — время жизни ядра в возбужденном состоянии. Только для основного состоя- ния стабильного ядра Дг=оо и Д1Г=0, т. е. ядро имеет значение энергии, в точности равное И7**. Например, ядро иридия за время Дг, которое можно принять равным периоду полураспада Tj/2=1O-10 с, переходит из возбужденного состояния с энергией В7—129 кэВ в основное состояние, испуская у-фотон. Величина неопределенности энергии оказывается равной Д10-6 эВ. ♦Ввиду определенной специфики сведений о биологическом действии у-излучения соответст- вующие единицы физических величин не вынесены в Приложения, а приводятся здесь. ♦♦Эго в равной мере относится к энергетическим уровням электронов в атомах. । 637
Конечное время жизни возбужденных энергетических состояний ядра приводит к немонохроматичности у-излучения, сопровождающего переход ядра из возбужден- - ного в нормальное состояние. Эта цемонохроматичность называется естественной шириной линии у-излучения, а неопределенность AFK значения энергии возбужденного состояния — естественной шириной Г энергетического уровня ядра*. 2. Резонансным поглощением у-излучения ядрами называется поглощение ядром у- фотонов такой частоты v, что энергия hv фотона равна разности энергий одного из возбужденных и основного энергетических состояний ядра. Смысл названия в том, что такая же частота будет у линии у-фотона, излученного при переходе ядра из возбужденного состояния ядра в нормальное. В актах излучения и поглощения ядром у-фотонов учитывается отдача ядра. При переходе ядра из возбужденного состояния с энергией W в основное (энергия которого принята равной нулю) у-фотон приобретает энергию й¥им= Wf= W- W,< W, где W, — энергия отдачи ядра. При возбуждении ядра и переходе его из основного состояния в состояние с энерги- ей W гамма-фотон должен обладать энергией W’f=hvmTll=W+W,>W. Частоты в максимумах линий излучения vmJ1 и поглощения сдвинуты друг относительно друга на величину vnorn—vHM=Av такую, что AAv=2FK,. Энергия Wa отдачи ядра определяется по импульсу р/ фотона, который в процессах излучения и поглощения у-фотона равен по модулю импульсу ядра (pf=p^ 2М, 2М, \с) 2МЯ (45.14) где М, масса ядра. Для ядра Чг с энергией возбужденного состояния W= 129 кэВ вычисления дают И7,=0,05 эВ и максимумы линий излучения и поглощения сдвинуты по частоте на bv—2WJh. При этом йДу= 0,1 эВ, что значительно превышает естествен- ную ширину уровня Г. Резкое сокращение энергии отдачи ядер при испускании и погощении. у-излучения достигается при наблюдении этих процессов в ядрах, находящихся в кристаллической решетке, т. е. в связанном состоянии. В этих условиях импульс и энергия отдачи передаются не одному ядру, излучающему (или поглощающему) у-фотон, а всей кристаллической решетке в целом. Масса кристалла несоизмеримо больше массы ядра, и потери энергии W, при излучении и поглощении у-излучения становятся весьма малыми. В этом случае будет наблюдаться резонансное поглощение и излучение у-фотона строго определенной частоты v, причем ширина линии будет сравнима с естественной шириной. Явление резонансного излучения (поглощения) у-излучения без отдачи называется эффектом Мёссбауэра. 3. В ядерной спектроскопии эффект Мёссбауэра используется для точных измерений энергетических уровней атомных ядер- Так, например, для у-перехода в ядрах ^Fe с энергией перехода W= 14,4 кэВ изменение энергии уровня определено с точностью до величины hWjW='i-10“1Э. Для у-перехода в fJZn с энергией перехода FK=93 кэВ величина kWjW оказалась равной 5’ 10"16. Эффект Мёссбауэра использован для проверки вывода о смещении частоты спект- ральных линий в гравитационном поле. При движении фотона в гравитационном поле *Эти определения справедливы также для переходов атома из возбужденного состояния в нормальное. В этом случае говорят о естественной ширине спектральной jmk» и о естественной ширине энергетических уровней электрон» в атоме. 638
его энергия изменяется на Д —hv(q>2—фО/с2, где ф( и ф2 — потен- циалы гравитационного поля в точках / и 2. Знак минус указывает на то, что увеличение энергии фотона в гравитационном поле происходит в результате уменьше- ния его энергии W= hv: AAv= —hv^tp/c1. Относительное изменение частоты при прохождении фотоном гравитационной раз- ности потенциалов Дф: Av/v=—Дф/с2. Здесь Лф>0, так как потенциал поля тяготения Солнца увеличивается по мере удале- ния от него. На поверхности Земля он больше, чем на поверхности Солнца. Следовате- льно, Av/v<0 и все частоты линий Солнца и звезд, регистрируемые на Земле, сдвинуты к красному участку спектра. Этот эффект называется rpi п ш ым «красным см л* наем». Эффект Мёссбауэра позволил обнаружить гравитационное смещение частоты у- фотона при движении его в поле тяготения Земли. При движении по вертикали от пола до потолка лаборатории на высоту порядка 10 м относительное изменение частоты равно v с2 с2 где g — ускорение свободного падения. Для регистрации такого сдвига частоты необ- ходимо осуществить резонансное поглощение у-фотонов так, чтобы источник и прием- ник у-излучения имели относительную ширину линий, меньшую или равную 10”. Тогда поглощение будет отсутствовать, если частота у-фотона, падающего на ядро, отличается от частоты фотона, который ядро может поглотить, на Av/v= 10'”. Опыт ставился с двумя одинаковыми кристаллическими источниками у-излучения, которые располагались на 20 м один выше другого. Когда приемник у-излучения находился на одной высоте с источником у-фотонов, происходило резонансное погло- щение. При подъеме приемника на 20 м поглощение прекращалось вследствие гравита- ционного смещения частоты. Для восстановления поглощения использовался эффект Доплера. При определенной скорости сближения приемника с источником излучения доплеровское увеличение частоты компенсировало ее гравитационное умев шение, и резонансное поглощение у-излучения восстанавливалось. Опыт явился подтверждени- ем в лабораторных условиях гравитационного «красного смещения». § 45.9. Ядерные реакции 1. Ядерными реакциями называются превращения атомных ядер, вызванные взаимо- действием их друг с другом или с элементарными частицами. Как правило, в ядерных реакциях участвуют два ядра и две частицы. Одна пара ядро — частица является исходной, другая пара — конечной. Символическая запись ядерной реакции: А+а—В+Ь или А(а,Ь)В, (45.15) где А и В — исходное и конечное ядра, а а и Ь — исходная и конечная частицы в реакции. В ряде случаев ядерная реакция может происходить неоднозначно и наряду с предыдущей реакцией осуществляется по схеме А+а~*С+с, т. е. А (а, с)С, или по другим схемам. Возможные схемы протекания ядерной реакции называются ее канала- ми, а начальный этап реакции — входным каналом. Ядерная реакция характеризуется энергией ядерной реакции Q, равной разност^ энергий конечной и исходной пар в реакции. Если Q< 0, то реакция идет с поглощением энергии и называется эндотермической; если Q>0, то реакция идет с выделением энергии и называется экзотермической. Эндотермическая ядерная реакция оказывается 639
возможной при некоторой наименьшей (пороговой) кинетической энергии Ж^ро,., вызы- вающей реакцию ядер или частиц: :^орог-4, -lei, .................€ МА -Г... ' где Мл — масса неподвижного ядря-мишени; Ма — масса налетающей на ядро частицы (или ядра). В ядерных реакциях выполняются законы сохранения энергии, импульса, элект- рического заряда и массовых чисел. Если кинетическая энергия вступающих в реакцию частиц достаточна для рождения нуклон-ангинуклонцой пары, то сумма массовых чисел изменяется. Кроме того, в ядерной физике существуют особые законы , сохране- ния, которых нет в других областях физики. Эффективность ядерной реакции определяется эффекта ви поперечным сече вем а данной реакции. Величина в имеет размерность площади и характеризует «выход» реакции на одну облучающую ядро частицу: ёл0 noNc/ix (45.16) В этом определении считается, что за единицу времени на единицу площади попереч- ного сечения вещества, содержащего ЛГ0 ядер в единице объема, падает плоскопарал- лельный поток, содержащий гщ частиц; dn0 — число этих частиц, вызвавших ядерную реакцию в слое толщиной dx. 2. В зависимости от характера взаимодействия частицы а с мишенью А различаются прямые взаимодействия, когда ядерные реакции происходят по схеме (45.15), и ядерные реакции, идущие в два этапа с образованием составного ядра (компаунд-ядро). На первом этапе налетающая частица застревает в ядре-мишени и ее энергия передается не одному какому-либо нуклону, а равномерно распределяется между всеми частицами составного ядра, так что ни одна из них не получает энергии, достаточной для вылета из ядра*. Составное ядро рассматривается как возбужденная статистическая система частиц, совершающих неупорядоченные движения, подобные движению частиц в капле жидкости. Быстрое перераспределение энергии между частиками в ядре возможно лишь при частых столкновениях Частиц, а это характер >‘?дйя перераспределения энергии между частицами в каплеЗщдкости. В результате случайных отклонений от равномерного распределения энергии возбуждения между частицами составного ядра на какой-либо одной из них концентрируется энергия, достаточная Для вылета этой частицы из ядра. Этот второй этап ядерной реакции происходит по истечении времени (107 — 10®)тя после первого этапа, где т„ — характерное ядерное время (~ 10-11 с). Схема ядерной реакции с образованием составного ядра: ^Х+а^г^зС+Ь, (45.17) где zjX—исходное ядро-мишень; а — налетающая частица; —составное ядро; z’C — ядро — продукт ядерной реакции; b — частица, вылетевшая из ядра в резуль- тате реакции. Если а=Ь, то происходит рассеяние частицы ядром (упругое или неуп- ругое в зависимости от того, одинаковы или различны энергии частицы до и после рассеяния). Если 6# а, то идет ядерная реакция в прямом смысле слова. 3. Ядерные реакции классифицируются по различным признакам: по энергиям вызы- вающих их частиц, по роду участвующих в них частиц, по характеру ядерных превра- щений. Ядерные реакции при малых энергиях (порядка эВ) в основном осуществляются под действием нейтронов. Реакции при средних энергиях (до нескольких МэВ) вызыва- •Захваченный ядром «снаряд», например а-частица или дейтрон, может состоять из не- скольких частиц. 640
ются, кроме того, заряженными частицами (а-частицами, протонами, дейтронами, ядрами тяжелого водорода), а также у-фотонами. Заряженными частицами, вызыва- ющими ядерные реакции, могут быть многозарядные ионы тяжепыг химических элементов, а также заряженные частицы, ускоренные в ускорителях. Реакции дои высоких энергиях (сотни и тысячи МэВ) приводят к рождению отсутствующих в сво- бодном состоянии элементарных частиц (мезонов, гиперонов и др.). Примеры ядерных реакций под действием а-частиц и дейтронов JD: а) исторически первая ядерная реакция превращения азота в кислород 4*N+*He-aeF)-J7O+*p, кин сокращенно |*N(a,p)i7O; б) ядерная реакция, в которой впервые были получены нейтроны, ’Be+jHe-^C+Jn; в) ядерные реакции под действием дейтронов ,D — ядер тяжелого водорода (дей- терия) — могут приводить к синтезу тяжелых ядер — трития ’Н или легкого изотопа гелия ’Не — с образованием протона или нейтрона: ID+JD-^H+iF, ?D+2D-»’He+*n. 4. Под действием нейтронов £л образуются искусственно-радиоактивные изотопы, например радиоуглерод J*C с периодом полураспада свыше 5000 лет: Последующий распад: “N+Jh-^C+Ip. (45.18) где Л* и о^< — обозначения электрона и электронного антинейтрино. Большой период полураспада ,*С лежит в основе радиоуглеродного метода датировки в археологии. Определение относительного количества нераспавшегося радиоактивного углерода, который перестал накапливаться в погибшем организме по реакции (45.18), позволяет установить момент, когда организм перестал поглощать из атмосферы изотоп |4С, образующийся в атмосфере из азота под действием космических нейтронов. 5. Характер взаимодействия нейтронов с ядрами различен для быстрых и медпеннык нейтронов. Нейтроны называются быстрыми, если их скорость v так велика, что соответствующая длина волны де Бройля A.^h[p иквыпл радиуса Я ядра, т. е. Л/(т»)<Я, или скорость нейтронов v>n/(mR). Энергии быстрых нейтронов заключены в пределах от 0,1 до 50 МэВ. Если X>R, то нейтроны называются медлеяивла. Их энергии не превышают 100 кэВ. Медленные нейтроны с энергиями от 0,005 до 0,5 эВ называются тепловыми нейтронами. При энергиях, меньших 0,005 эВ, различают холод- ае и ультрахолодиые нейтроны. Взаимодействие нейтронов с ядрами состоит главным образом либо в упругом рассеянии нейЧрййавод ддрах, либо в захвате нейтронов ядрами. В веществах, называ- емых замедлителями (графит, тяжелая вода DjO, HDO, соединения бериллия), быстрые нейтроны рассеиваются на ядрах и их энергия переходит в энергию теплового движения атомов вещества-замедлителя. В результате нейтроны становятся тепловыми. Их энергии дои комнатных температурах становятся равными примерно 0,025 эВ. При совпадении энергии тепловых нейтронов с энергией составного ядра наблюдается резонансное поглощение (рпоивнншй захват) нейтронов. Этот процесс лежит в основе получения трансурановых (заурановых) химических элементов. Тах, трансурановый элемент нептуний ”®Np образуется дои резонансном захвате нейтронов наиболее распространенным изотопом урана по схеме 21 Курс физики 641
23 *001 где указан период полураспада радиоактивного изотопа “’U, превращающегося в m’Np- Затем ядро изотопа gl’Np превращается в плутоний gJ’Pu: f"Np— «»Pu. 2J ди Благодаря эффективному делению под действием тепловых нейтронов плутоний играет выдающуюся роль в получении ядерной энергии. Плутоний является а-радиоактивным с огромным периодом полураспада (24000 лет). Он превращается в устойчивый изотоп урана ^’U: й*Ри 2Л10* лег "’и. Ядерные реакции под действием ускоренных ядер химических элементов позволили продвинуться в системе Мендепсста до химического элемента с номером Z—109. Названия элементов со 104 по 109 поп не утверждены. При облучении изотопа gJ’Pu ядрами неона ”Ne получен химический элемент с Z= 104 (?$JX). После захвата ядра foNe плутонием образовалось сосп ное ядро изотопа JoJX и в одном случае на 10 млрд, составных ядер после испускания четырех нейтронов возникало ядро элемента 2«OV. й3Рп+ЙХе-?5?С+4*н. В самых мощных пучках ускоренных ядер неона одно ядро изотопа Z-104 рождается за несколько часов. I. Тяжелое составное ядро, возбужденное при резонансном захвате нейтрона, может разделиться на две приблизительно равные части (ре вя деления тяжелых ядер). Образовавшиеся части называются осколками деленя. Неустойчивости тяжелых ядер относительно деления способствует большое количество в них протонов, испытыва- ют: х кулоновское отталкивание друг от друга. Деление тяжелого ядра на два осколка сопровождается выделением огромной энергии. Это вытекает из (равнения удельных энергий связи в ядрах химических элементов, расположенных в конце и середине периодической системы Менделеев: В реакции деления выделяется энергия, пропорциональная разности удельных энергией неустойчивого «рыхлого» ядра и двух «упакованных» устойчивых осколков деления. Эта разность составляет 0,9 МэВ на один нуклон. При делении ядра урана gf’U, содержащего 238 нуклонов, выделяется энергия порядка 200 МэВ. При делении ядер, содержащихся в 1 г урана g”U, выделяется энергия 8 * Ю10 Дж, или 22000 кВт-ч. Тяжелы ядра способны к делению, если для них выполняется условие ZJ/>4$>17, где Z2/^ — параметр деления. Это условие выполняется для всех ядер*начиная с сереб- ра 47*Ag, для которого Z2/X«20. Ядра, с Z1/J43»(Z2/^)4on-=49 (крнпчесюй параметр деления), совершенно неустойчивы относительно деления и не могут существовать. Для изотопа Z= 104 2?!А «41. При Z’M <(Z2/t4)4WI возможно самопроизыыжвое (сшжгамюе) деле— ядер, проис- ходящее аналогично а-распаду с помощью туннельного эффекта. Период полураспада для самопроизвольного деления ядер составляет Ю16 — 10” лет. 7. Осколки деления в момент своего образования обладают избытком нейг шов над (фотонами. Избыточные нейтроны, испускаемые осколками, называются нейтронами деления. Число их может быть различным, и процесс деления ядер сопровождается размножением нейтронов, характеризуемым средним числом <v> возникших нейтро- нов, приходящихся на один акт деления. Для ядер плутония ”*Рп и урана д”П, которые делятся под действием тепловых нейтронов, <v> равно соответственно 3,0 и 2,5. Среди нейтронов деления имеются мгвоаеиле (вторнчвые) и запаздывающее 642
вейтроиы. Мгновенные нейтроны испускаются непосредственно при делении ядра за время порядка 10"14 с. Запаздывающие нейтроны испускаются продуктами деления спустя некоторое время после деления. Каждый из мгновенных нейтронов, возникших в реакции деления, взаимодействуя с соседними д арами делящегося вещества, вызывает в них реакцию деления. При этом идет лавинообразное нарастание числа актов деления — цепная pew— делеям. Усло- вием возникновения цепной реакции является наличие размножающихся нейтронов. Коэффетцмятом размножена нейтронов к называется отношение числа нейтронов, возникающих в некотором звене реакции, к числу таких нейтронов в предшествующем звене. Условие развития цепной реакции к> 1. Практическая возможность существова- ния цепных реакций деления доказана развитием ядерно* энергетики — областью техники, в которой созданы различные типы writ реакторов — устройств, где реализованы управляемые цепные реакции. 8. Рассмотрим реакции синтеза ядер трития и гелия из ядер дейтерия, являющиеся вторым путем выделения внутриядерной энергии, помимо деления тяжелых ядер. Удельные энергии связи в трех ядрах — ?D, ,Н и jHe — относятся приблизительно как 1:3:6. Эго означает, что ядерные реакции, рассмотренные в п. 3, сопровождаются выделением большой энергии: в первой из них выделяется энергия 4,04 МэВ, во второй — энергия 3,27 МэВ. . Еще большая энергия 17,58 МэВ выделяется в реакции ?D+’H-»*He+*n. 17,6 На один нуклон эта энергия равна — МэВ=3,5 МэВ, т. е. примерно в четыре раза ® 200 больше, чем в реакции деления урана «’’U (см. п. 6): — МэВ=0,8 5 МэВ. Еще более эффективной в смысле удельного выделения энергии является реакция синтеза ядер гелия *Не из четырех протонов — 6,70 МэВ — на одну частицу. Реакции синтеза легких ядер, связанные с преодолением их кулоновского оттал- кивания, эффективно могут протекать при сверхвысоких температурах порядка 10* — 109 К, превышающих температуру центральных областей Солнца (г= 1,3 * 107 К). Такие реакции называются термоядгрйпм реакциями синтеза и происходят в веществе, находящемся в плазменном состоянии. Термоядерные реакции являются, по-видимо- му, источниками энергии звезд, компенсирующими их излучение. Солнце ежесекундно излучает энергию 3,8 * 1026 Дж, что соответствует выделению энергии на единицу массы в 1 с, всего 1,88-КГ* Дж/(с кг). Оно составляет лишь 1% от удельной энергии, выделяемой в живом организме в процессе обмена веществ. Термоядерные реакции на Солнце, как считается, могут протекать в форме гераю- ядершх циклов, в которых выделение энергии происходит за счет превращения ядер водорода в ядра гелия.' Один из вариантов цротонротмного цвела начинается с сжунпимия двух цротонов в дейтерий с испусканием позитрона и электронного нейтрино: }>+ Jp-»?D+ +*}e+gvr. Дальнейшее протекание цикла осуществляется по схеме ?D+lp-**He+y. Вероятным продолжением цикла является реакция с выделением энергии: 1Не+1Не-»*Не+2[р, fjvt *Не — символ а-частицы. г В углеродво-азотвом цикле ядра углерода являются «катализаторами)» реакции соединения ядер водорода в ядро гелия. В начат цикла быстрый протон проникает в ядро углерода: JaC+ip-»|3N+y. 643 21*
В радиоактивном изотопе азота “N с периодом полураспада 14 мин происходит превращение 1р-»£л+ +?в+о’« и образуется ядро изотопа углерода: “N->“C+ Приблизительно через каждые 2,7 млн. лет ядро “С захватывает протон, образуя ядро устойчивого изотопа азота “N: £1 2 3C+}p-»|4N+y. Спустя в среднем 32 млн, лет ядро “N захватывает протон и превращается в ядро кислорода “О: 74N+}p-»JsO+y. Неустойчивое ядро “О с периодом полураспада 3 мин испускает позитрон и нейтрино и превращается в ядро i’N: i’O-l’N-^e+gv,. Цикл завершается реакцией, происходящей приблизительно через 100 тыс. лет: “N+Jp-»J2C+4He. Результатом цикла является превращение четырех протонов в ядро гелия с появлением двух позитронов и у-излучения. На одно ядро гелия выделяется энергия 26,8 МэВ, что составляет в пересчете на моль гелия 700 тыс. кВт-ч энергии. Этой энергии достаточно для компенсации излучения Солнца. Отдельно реакции цикла отдалены друг от друга временем, непомерно большим по земным масштабам. Однако этот цикл замкнут и происходит непрерывно. Поэтому все стадии цикла происходят на Солнце одновре- менно, начавшись в разные моменты времени. 9. Условия, близкие к тем, какие реализуются в недрах Солнца, были осуществлены в водородной бомбе, где идет самоподдерхивающаяся термоядерная реакция взрывного -характера в смеси дейтерия и трития типа ?D+?H-lHe+jB. (45.19) Высокая температура, необходимая для протекания термоядерной реакции, была получена за счет взрыва «обычной» атомной бомбы, действующей на принципе быст- рой цепной реакции деления тяжелых цдер. Теоретической основой искусственных управляемых термоядерных реакций явля- ются реакции типа jD+?H-4He+£n или *D+?D->3H+lp. (45.20) Для осуществления этих реакций необходимо, чтобы плазма была достаточнд сильно нагрета, а также чтобы концентрация п частиц в ней и время т их удержания в плазме удовлетворяли определенному условию, называемому кржтераем Лоусова: для реакции (45.19) лт> 1014 с/см3 (Г> 10' К), для реакций (45.20) лт> 10“ с/см3 (Т> 10’ К). Вопросы: 1. Приведите аргументы, показывающие, что в составе ядра не может быть электронов. 2. Почему атомные ядра изотопов химических элементов, расположенных в середине пери- одической системы Менделеева, не могут быть источниками ядерной энергии? л ' 3. Как доказать зарядовую независимость ядерных сил? 4. Почему у-иэлучение не следует считать типом радиоактивности? 5. Почему энергия, выделяемая при термоядерной реакции, существенно больше энергии, выделяемой при реакциях деления тяжелых ядер? 644
Глава i46_ Элементарные частицы § 46.1. Уровень элементарных частиц 1. Физические системы и процессы, в них протекающие, можно классифицировать по разным признакам. Один из них — характерные масштабы, т. е. типичные размеры исследуемых объектов и (или) типичные расстояния между ними. Окружающие нас тела обладают «обычными» размерами и составляют макромир — пре;ter макроско- пической физики. В том случае, когда характерные масштабы большие, порядка миллионов световых лет, речь идет о мегамире, который изучают космология и аст- рофизика. Если характерные масштабы не превышают 10~® м, то физические системы относят к области микромира, законыкоторог о устанавливает квантовая физика. 2. Главный предмет обсуждения в данной главе — самые нижние подуровни микро- мира. Исходным пунктом обсужденйя будет служить простая схема, представленная в виде табл. 46.1. На схеме ука ihu структурные уровни строения мате-' Таблица46.1 рии. Наиболее подробно расшифро- вана структура микромира, выделен- ного волнистой линией. Именно здесь расположен интересующий нас уровень элементарны} частиц. В классической физике, описыва- ющей макромир, считается, что ма- терия существует в двух видах: в ви- де вещества и поля (прежде всего имеется в виду электромагнитное по- ле).' Они выступают в качестве носи- телей противоположных свойств — дискретности и непрерывности. Но нужно иметь в виду, что в современ- ной физике грань между понятиями вещества и поля практически полно- стью стирается и взаимоотношения между категориями дискретного и непрерывного обретают характер диалектического единства. 3. В XIX в. было окончательно установлено, что вещество состоит из молекул, а молекулы — из атомов. В соответствии с этим выделяется первый микроскопический уровень — атомно-молекулярный с характерными масштабами ЯиЮ-’т-Ю-10 м. Опыты по рассеянию а-частиц позволили Э. Резерфорду в 1911 г. установить, что в состав атома с порядковым номером Z входит массивное ядро с положительным зарядом Ze (е — элементарный заряд). Атомные ядра, будучи относительно устой- чивыми, обусловливают химическую индинидуа пытос-п. элементов. Они составляют ядерный уровень, для которого характерны масштабы Я«10“14-*-10~15 м. В состав атома входят также электроны, но они лежат на более глубоком уровне микромира. Ядро атома с порядковым номером Z и массовым числом А содержит Z протонов р и A —Z нейтронов п — всего А частиц (Д. Д. Иваненко и Е. Н. Галон, В. Гейзенберг, 1932). Протоны и нейтроны объединяются общим названием нуклоны. Они являются типичными представителями целого класса микрообъектов — класса адронов 645
Йерминология разъясняется ниже). Для адронного уровня характерны масштабы и 10”15 м. 4. Атомное ядро окружено сравнительно рыхлой и легко перестраиваемой оболочкой из Z электроне» в . Именно электронные оболочки ответственны за химические и многие физические (в частности, оптические) свойства вещества. Это связано с тем, что электроны могут теряться атомом и присоединяться к нему, образуя положительно и отрицательно заряженные воны. Кроме того, они могут переходить с одного энергетического уровня на другой, в результате чего атом будет г пуа ть или погло- щать кванты света. Электрой — родоначальник класса лептонов, который содержит и другие частицы* С квантовой точки зрения элементарные возбуждения электромагнитного поля обладают всеми свойствами частиц. Они называются фотонами. В классической физике считается, что электромагнитное взаимодействие осуществляется посредством элект- ромагнитного поля, в квантовой теории оно рассматривается как результат обмена заряженных частиц фотонами. Но нряду с электромагнитным существуют и другие фундаментальные взаимодействия. Фотон есть типичный представитель аовог важ- нейшего класса микрообъекгов — переносчиков взаимодействий. 5. Сравнительно недавно нуклоны, электроны в фотоны размещались на едином уров в элементарных lacrni а рассь три ись как то ]нравные ч :ны. Ода ю постепенно выяснилось, что протон и нейтрон (и вообще все адроны) являются составными микрообъектами. Они построены из некоторых более «мелких» частиц, которые обозначают символами и и <f. Эти частицы принадлежат к классу кварков. Кварки, отличные от и и d, необходимы для построения других адронов, отличных от протона и нейтрона. Сейчас, по традиции, продолжают говорить об элементарных частицах. Так назы- вают все субъядерные микрообъекты, отделенные в табл. 46.1 штриховой Прямой, хотя многие из них и Не являются элементарными в первоначальном смысле этого слова. Данный термин повторил историю слова «атом», которое в переводе с греческого означает «неделимый». в. Согласно современным воззрениям, единый ранее уровень элементарных частиц на самом, деле оказывается расщепленным на два уровня. На верхнем из них — адрон- ном —^расположены составные частицы, в том числе протон р и нейтрон п. Самый нижний уровень — это уровень истинно элементарных частиц, часто называемых фундаментальными частицами. Им но на нем находятся электрон е~ (лептоны), фотон у (переносчики взаимодействий), а также частицы и a d (кварки). В табл. 46.1 уровень фундаментальных частиц отделен от адронного цприхпунктиром. Существуют ли еще более глубокие уровни строения серии, в настоящее время неизвестно, хотя такие возможности обсуждаются в научной литературе и даже строят- ся конкретные модели (субкварки, преоны, ришоны и др.). Этот важнейший вопрос может быть решен только экспериментально. Из соотношения неопределенностей ДгДр~йследует, что для выявления деталей структуры с размерами порядка Дг нужны зое ирующие частицы с импульсами р, не меньшими др^д/дт. Таким образом, для изучения очень мелких деталей нужны частицы с очень большими энергия!и. Интен- сивные пучки заряженных частиц с высокими энергиями, необходимые для постановки соответствующих опытов, формируются ускорителями. Максимальные значения энер- гии, достигнутые в ускорительных лабораториях, составляют по порядку величины 103 ГэВ (1 ГэВ» 10’ эВ), чему отвечают минимальные расстояния R~ 10"19 м. На этих расстояниях электрон еще не выявляет внутренней структуры. Но конструируются и строятся новые, все более мощные ускорители заряженных частиц (электронов, позитронов, протонов н др.), которые позволят проникнуть в глубь материи на еще меныпие расстояния. С их помощью надеются выяснить, в частности, столь ли уж фундаментальны на самом деле фундаментальные частицы, т. е. обладает ли, напри- мер, электрон какой-то ' .сей или не обладает. § 46.2. Общие свойства аламаитариых частиц 1. В настоящее время общее число известных элементарных астйц (вместе с ан- тичастицами) приближается к 400. Пота мы тречалнсь только с электроном е~ (позитроном е*), протоном р, нейтроном л, фотоном у и электронным (анти) нейтрино v, (?«)• Эти частицы стабильны 646
вин квазистабнльиы, и они существуют в природе в свободном или слабосвязанном состоянии. Так, квазистабильиые нейтроны входят в состав атомных ядер, многие из которых являются абсолютно устойчивы и. Почти все остальные элементарные части- цы крайне нестабильны и образуются во вторичном космическом излучении или получаются в лаборатория с помощью ускорителей, а затем быстро распадаются, превращаясь в энечно: итоге в стабильные частицы. Основные класс t элементарных частиц и их наиболее важные представители рассмотрены в $ 46.4 — 46.7. Для описания свойств отдельных элементарных частиц вводится целый ряд физи- ческих величин, значеш м которых они и различаются. Наиболее известными средн иих являются масса, среднее время жизни, спин, электрический заряд, магн гный момент. О других характеристиках частиц, в том числе о зарядах, отличных от электрического, будем говорить по ходу изложения. 2. Масса т частицы выражена в энергетических единицах (МэВ или ГэВ) в соответст- вии с соотношением Эйнштейна Ио»тс3. Иными словами, в таблицах приводится фактически де масса т частиц, а их энергия покоя Нр. Это удобно при составлении уравнений энергетического баланса для процес- сов взаимопревращений элементарных частиц. Укажем массы частиц, о которых уже говорилось: m,=0, m,=0*, т,а:0,51 МэВ, т,аг938,З.МэВ, тя=±939,6 МэВ. Наиболее тяжелая из известных сейчас частиц (промежуточный бозон) почти в 100 раз массивнее протона. Среднее время жизни т служит мерой стабильности частицы и выражается в секун- дах**. Электрон, протон, фотон и нейтрино абсолютно стабильны (т=оо), во всяком случае их распады экспериментально » зарегистрированы: <">2-1022 лет, г^>2- 10эз лет. Нейтрон — квазистабильная частица, и последнее экспериментальное значение его среднего времени жизни (1986) ти-(898± 16) с. Существуют группы частиц со средними временами жизни порядка 10~6, 10~*, 10"10, 10"13 с. У наиболее короткоживущих частиц, называемых резонансами, т~ ЮГ34-?- Ю-33 с. Для нестабильных частиц в табли- цах наряду с временами жизни указываются также типы распадов (наприиер, для дейтронов л-»р+е~ + ?,). Спин — это собственный момент импульса частицы, т. е. ее момент импульса в системе отсчета покоя. Спин де имеет классического аналога, так как элементарную частицу нельзя представлять себе в виде вращающегося шарика. Обычно един J выражаете: в еди- ницах Л и принимает только целые и полуцелые значения. Частица со спином J имеет 2J+1 единовых состояний, различающихся значениями проекции J„ которая может быть равна — J, —J+1,..., J—1, J. У электрона, протона, нейтрона и нейтрино */,, у фотона J— 1***. Известны частицы со спинами от О (многие мезоны) до 6 (меэонн резонанс г, открытый на Серпуховском ускорителе в 1983 г.). Спин элементарной частицы — одна из важнейшихее характеристик. В частности, для покоящейся частицы только вектор спина задает выделенное направление в пространстве. Поэтому любой другой вектор А, характеризующий частицу в состоянии покоя (например, собственный магнитный момент), должен быть коллинеарен вектору опта: A=aJ. (46.1) •См. 9 46.4 ••В физике элементарных частиц период полураспада Тщ не употребляется; в качестве меры нестабильности резонансов принимают ширину выражаемую в энергетических епиницат •••Из-за того, что масса фотона равна нулю, у него отсутствует состояние с 0 и могут быть только состояния с +. ® кл сической физике это соответствует поцеречности электро- магнитных воля. 647
Кроме того, значение спина однозначно определяет тип статистики, которой подчи- няются данные частицы. Все частицы с целыми спинами являются бозонами (статисти- ка Бозе — Эйнштейна), все частицы с полуцелыми спинами — фермионами (статисти- ка Ферми — Дирака), для которых справедлив принцип Паули. Например, электро- ны — это фермионы, г. фотоны — бозоны. Электрический заряд д характеризует способность частицы участвовать в электро- магнитном взаимодействии и выражается в единица* элементарного заряда ей 1,6 10"19 Кл. Для всех частиц, существующих в свободном состоянии, он принимает целочислен- ные значения* — обычно 0 и ± 1, для некоторых резонансов ±2. Это правило кван- тования электрического заряда выполняется с огромной точностью: согласно послед- ним измерениям, |?,+?«1<Ю-21е, Ы<10"21е. (46.2) Вектор собственного магнитного момента характеризует взаимодействие поко- ящейся частицы с внешним магнитным полем: F=grad(pmB), М»^], W---------(рпД). (46.3) Из (46.1) следует, что векторы Рщ и J параллельны: Pm=yJ. (46.4) Если они направлены в одну сторону, то у>0, если в противоположные стороны, то у <0. Ясно также, что магнитные моменты могут быть только у частиц с ненулевыми значениями спина. Для проекции рт, вектора р^ на направление оси Z можно записать Ptaz^y^z' (46.5) Так как Jz квантуется, то квантуется и/v Значение р„а, отвечающее максимальному значению Jz^J, называется просто собственным магнитным моментом частицы и обозначается символом д. Таким образом, p=yJ. (46.6) Из сказанного ясно, что магнитный момент д может быть положительным (векторы Рв и J направлены в одну сторону), отрицательным (рщ и J направлены в проти- воположные стороны) или равным нулю (в частности, при 7=0). Магнитные моменты элементарных частиц обычно выражают в единицах соответствующих магнетонов до=е/У(2т). Если m»me, то до — магнетон Бора Дб; если то получаем ядерный магнетон д,: дБ=еМ2лгД д,=е^(2т,). (46.7) У фотона и нейтрино д=0, а для электрона, протона и нейтрона Д,®2,79д„ д,и-1,91д,; Долгое время равенство д«=дб считалось точным, и лишь в 1947 г. было обнаружено небольшое отклонение от него. Эго отклонение полностью объяснила квантовая электродинамика — современная квантовая теория электромагнитного взаимодейст- вия. В первом приближении магнитный момент электрона равен д.-Л(1+д/(2я)], (46.8)е •Кварки, которым приписываются дробные значения электрического заряда, требуют особого обсуждения, так как они, скорее всего, могут существовать только внутри адронов (см. § 46.6). 648
где а-^явок)» 1/137,04 (46.9) — постоянная тонкой структуры. Уже теоретическое значение ре (см. (46.8)], примерно на 0,1% отличающееся от Де, хорошо согласуется с экспериментальным значением pjps-1,0011596567± 35, (46.10) которое обращает на себя внимание точностью измерений (ошибка указана в единицах последней значащей цифры). Согласие результатов уточненных теоретических расчетов с результатами последних измерений является в данном пункте абсолютным, что свидетельствует о совершенстве квантовой теории электромагнитного взаимодействия. 3. До сяа пор мы говорили просто об элементарных частицах. Однако практически у каждой частицы имеется янтвчаствця, обычно обозначаемая тем же символом, но с добавлением тильды над ним. Существование античастиц предсказал (1930) П. Дирак. Из теории следует, что массы, времена жизни и спины частицы и античастицы должны быть одинаковыми, и это с огромной степенью точности подтверждается на опыте. Остальные харак- теристики, в том числе электрический заряд и магнитный момент, у частицы и ан- тичастицы равны по модулю, но противоположны по знаку. Примеры частиц и ан- тичастиц: электрон е~ и позитрон е+гГ, протон р и антипротон р, нейтрон л и ан- тинейтрон в, нейтрино v, и антинейтрино Первые две пары различаются, например, знаками электрического заряда, л и Я — знаками магнитного момента (но, главное, .знаками барионного заряда; СМ. § 46.5), о различиях между v« и сказано в § 46.4. У некоторых частиц, называемых истинно нейтральными, все «заряды» равны нулю, и они тождественны своим античастицам. К истинно нейтральным частицам относит- ся, например, фотон у. Первая античастица — позитрон е* — была зарегистрирована в 1932 г. в космичес- ком излучении с помощью камеры Вильсона, внутри которой находилась свинцовая пластинка в сильном магнитном поле (опыт описан в школьном учебнике физики). Часто позитроны, образуются совместно с электронами при соударении достаточно энергичных фотонов (Е,> Злу?) с заряженными частицами X". у+Х-*Х+е~+е+. ,(46.11) Частица X (обычно атомное ядро) необходима для того, чтобы выполнялись законы сохранения энергии и импульса. Ясно, что они запрещают самопроизвольный распад одиночного свободного фотона на электрон-позитронную пару. Встречаясь друг с другом, медленные электроны и позитроны авявгялируют, поро- ждая два (гораздо реже три) фотона: е-+е+_2у. (46.12) Термин «аннигиляция» переводится как «уничтожение», но, разумеется, его не следует трактовать-буквально. Никакого уничтожения материи в процессе (46.12), конечно, нет. Один се вид (электрон и позитрон) превращается в другой вид (фотоны). Безусловно выполняется и закон сохранения энергии: один ее вид (энергия покоя электрона и позитрона) превращается в другой (в энергию излучения). Кстати, при соударении достаточно быстрых электронов и позитронов могут порождаться не только фотоны, но самые разнообразные частицы, вплоть до наиболее тяжелых. Использование встреч- ных электрон-позитронных пучков — один из самых эффективных методов генерации и исследования новых частиц, и он широко применяется в современной физике. В настоящее время практически для каждой известной частицы найдена соответст- вующая ей античастица. г Так, антипротон р был открыт (1955) в реакции р+р-»р+р+р+р, - (46.13) а антинейтрон Я (1956) — в реакции «перезарядки» 649
0+p-*n+n. (46.14) Малю того, многие уравнения теории оказываются симметричными по отношению к зарядовому сопряжению — к замене всех частиц на античастицы и наоборот. Отсюда становится ясным, что понятия частицы и античастицы являются относительными, а не абсолютными. Например, р мы называем протоном, а р — антипротоне i только потому, что объектов первого типа во Вселенной.неизмеримо больше, чем объектов второго типа. 4. Рассмотрим кратко основные типы элементарных частиц, открытых к настоящему моменту. В 1932 г. были известны лишь электрон е", фотон у, протон р и нейтрон л, а кроме того, В. Паули высказал гипотезу о существовании нейтрино к Но на первых порах и этих немногих частиц почти хватало для создания довольно стройной картины строения материи. Вещество состоит из молекул, молекулы — из атомов, а всякий атом представляет собой ядро, окруженное электронной оболочкой. В состав атомного ядра входят протоны и нейтроны. Процессы перестройки электронной оболочки со* провождаются испусканием и поглощением фотонов.— квантов электромагнитного поля. В результате обмена фотонами осуществляется электромагнитное взаимодейст- вие между электрически зар генными частицами* (см. § 46.7). Необходимость введе- ния нейтрино диктовалась законом сохранения энергии в процессах 0-распада атомных ^^Невыясненной оставалась лишь природа ядерных сил, связывающих протоны и нейтроны. И. Е. Тамм и Д. Д. Иваненко предположили (1934), что механизм ядерного взаимодействия является также обменным**. Вскоре японский физик X. Юкава пока- зал, что частицы, в результате обмена между которыми возникают ядерные силы, должны быть в 200 — 300 раз тяжелее электрона, а значит, примерно в 10 раз легче протона и нейтрона. Поэтому они были названы мезонами [mesos (греч.) — < едний]. В 1937 г. в космическом излучении были зарегистрированы заряженные частицы с массой т»200тп которые сначала и отождествлялись с юкавскими мезонами. Но последующие исследования показали, что они чрезвычайно слабо взаимодействуют с атомными ядрами, из-за чего не могут быть переносчиками ядерного взаимодейст- вия. На самом деле открытая частица оказалась по своим свойствам очень похожей на электрон, являясь его тяжелым аналогом. Сейчас она обозначается символом р~ и называется мюоном. Существует и положительно заряженный мюон р? — антича- стица по отношению к р~, представляющая собой аналог позитрона е*. Старое название мюона — мю-мезон —- не соответствует современной классификации элемен- тарных частиц (см. § 46.5), и его следует считать неправильным. Мюоны — нестабиль- ные частицы (среднее время жизни т~ 10~® с) — претерпевают распады Д+-»е++ч.+?г (46.15) Здесь v^(vg) — мюонное нейтрино (антинейтрино), выступающее в качестве аналога обычного электронного нейтрино vt (антинейтрино v,), образующегося при /7-распадах атомных ядер. Существование нейтрино двух различных типов — электронного и мю- онного — установлено в 1962 г. Заметим, что в 1975 г. с помощью электрон-позитрон- ных пучков зарегистрирован сверхтяжелый аналог электрона (и мюона) — тяжелый лептон, или таон t~, с массой 3500m,, а также его античастица т+. У него есть стой нейтрино vr и антинейтрино v, — таонные, или тау-нейтрино. Среднее время жизни тайна ~10-13 с. 5. Настоящие переносчики ядерного взаимодействия — Пионы (уш-мезоны) я*, я°, я" — были открыты в конце 40-х годов в космическом излучении. Пионы я+ и п~ — частица и античастица по отношению друг к другу. Ош распадаются со средним временем жизни 10~а с по схемам •Примерно в то Же время сформировались взгляды на гравитационное взаимодействие как взаимодействие, осуществляемое при ' >мене гравитонами — квантами гравитационного поля. ••Они считали, что нуклоны обмениваются ялеггрои-иеЯгритрлыи парами, но радиус ядерных сил получался при этом слишком большим. 650
п~-*p~+?д. (46.16) Пион я® — истинно нейтральная частица. Он гораздо менее стабилен, распадаясь за время т~ 10"16 с на два фотона:’я°-»2у. В 50-е годы в космических излучениях и на ускорителях зарегистрирована довольно большая группа новых частиц (и их античастиц): каты (ка-мезоны) К*, КР, ламбда- гиперон Л , сигма-гипероны £+, Е°, Е~, кси-гипероны (каскадные гипероны) Е°, Е", омега-гиперон П *. Массы всех гиперонов [hyper (греч.) — сверх] больше массы прото- на. Существование этих частиц было большой неожиданностью для физиков. К тому же они обладали весьма необычным поведением: рождались всегда парами и очень быстро (за время ~ 10" 23 с), а распадались поодиночке и сравнительно медленно (со средними временами жизни т~ 10"1О4-10"8 с). Поэтому ка-мезоны и все гипероны получил общее название странные частицы. в. 60-е годы ознаменовались открытием более сотни короткоживущих частиц со средними временами жизни т~ 10"244-10"23 с. Длина их пробега с момента рождения до момента распада составляет около 10 13 м, и они не могут быть зарегистрированы непосредственно с помощью детекторов типа пузырьковой камеры. Эти частицы идентифицируются или по продуктам распадов, или по их проявлениюввиде характер- ных пиков на графиках зависимости сечений рассеяния от энергии, в связи с чем все они называются резонансами. Следует отметить, что резонансы, несмотря на чрезвычайно малые времена их жизни,— «настоящие» элементарные частицы, обладающие всеми свойственными им характеристиками — массой, спином, электрическим зарядом и т. д. Резонансы составляют самый многочисленный класс элементарных частиц. 7. В 1974 г. обнаружены массивные (втрое тяжелее протона), но относительно устой- чивые (т~1О~20 с) резонансы — джи-пси-мезоны J/ф. Они послужили родоначаль- никами группы «очарованных» частиц (D+, Р°, F+, и др.), предсказанной те- оретически. В 1977 г. открыты ипсилон-мезоны Г с массами, более чем в 10 раз превышающими массу протона. Они служат родоначальниками группы «прелестных» частиц, включающей пока лишь мезоны В+ и ЕР. Наконец, в 1983 г. зарегистрированы промежуточные бозоны IF*, IP", Z° — пере- носчики слабого взаимодействия (см. $ 46.7). Они имеют массы гл»рж81 ГэВ и ж93 ГэВ и времена жизни т~ 10~25 с. Это самые тяжелые и самые нестабильные из всех известных в настоящее время элементарных частиц. Предсказывается также существование целого ряда новых частиц — отпетткных представителей групп «очарованных» и «прелестных» частиц, совершенно нового се- мейства «истинных» частиц, еще более экзотических объектов (например, монополей Дирака, несущих магнитный заряд). Кроме того, в § 46.7, 46.8 мы встретимся с весьма специфическими элементарными частицами — кварками и глюонами. § 46.3. Взаимопревращения элементарных частиц 1. Основным экспериментальным и теоретическим методом исследования в физике микромира является метод рассеяния. Достаточно вспомнить хотя бы опыты Резер- форда, Франка — Герца, Штерна — Герлаха, Комптона. Всякий опыт по рассеянию всегда ставится так, что весь процесс можно разделить на три основных этапа. 1. Подходящие источники создают одни или два параллельных пучка невзаимодей- ствующих частиц с энергиями, примерно одинаковыми в каждом пучке. Раньше использовался один пучок, который направлялся на неподвижную мишень. В последнее время широко применяются встречные пучки — протон-протонные, протон-антипро- тонные, электрон-электронные, электрон-позитронные. 2. Частицы из разных пучков сближаются и вступают в область взаимодействия. В результате они рассеиваются: изменяется состояние их движения или рождаются новые частицы. ♦История открытия П” относится к более позднему период этот гиперон был предсказал в 1962 г. теоретиками и зарегистрирован экспериментально в 1964 г. 651
3. Рассеянные частицы расходятся на большие (в масштабах микромира) расстоя- ния и регистрируются детекторами, назначение которых — зафиксировать образовав- шиеся частицы и измерить необходимые их характеристики (массу, энергию, импульс, спин, электрический заряд и т. д.). Основные задачи экспериментаторов состоят в изготовлении источников и детек- торов, в реальном проведении опыта по рассеянию и в регистрации рассеянных частиц вместе с их характеристиками. Цель теоретиков — по заданному начальному состоя- нию частиц до рассеяния и известному взаимодействию между ними предсказать результат опыта, т. е. конечное состояние частиц. Но чаще всего приходится решать обратную задачу: по заданному начальному состоянию и по экспериментальным данным о конечных состояниях восстанавливать характеристики взаимодействия и де- тали структуры частиц. 2. Взаимодействия между частицами обусловливают самые разнообразные процессы. Они делятся на три большие группы. 1. При упругом рассеянии а+Ь-*а+Ь .. (46.17) (а и b — символы частиц) частицы не претерпевают превращений, а изменяют состоя- ние своего движения. Например, рассеяние а-частиц ядрами в опытах Резерфорда, комптоновское рассея- ние фотонов свободными электронами. 2. В неупругих процессах (реакциях) а+Ь-»С1+...+ц, (46.18) сталкивающиеся частицы превращаются в частицы других сортов. Например, рождение электрон-позитронной пары (46.11), аннигиляция пары (46.12), процесс образования антипротона (46.13), реакция «перезарядки» (46.14). 3. Частицы, рождающиеся в процессах рассеяния, за редкими исключениями, являются нестабильными и претерпевают распады: а-»с1+...+А«. (46.19) Например, /J-распад нейтрона, распады мюонов (46.15) и пионов (46.16). 3. Не следует думать, что при заданных начальных частицах в конечных состояниях всегда образуются строго определенные частицы. Напротив, в ксЬце процесса обычно могут возникать с различными вероятностями различные группировки частиц. При- меры: -»я°+п -»a:++i~ (63,5%) (21,2%) (5,6%) (П,7%) (46.20) Начальная совокупность частиц называется входным каналом, их конечные совокуп- ности — выходными каналами данного процесса. В (46.20) в скобках указаны относи- тельные вероятности протекания процесса распада положительного каона по различ- ным каналам. , з 4. Все процессы рассеяния и распадов управляются законами сохранения, из которых отметим законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и электрического заряда (некоторые другие законы сохранения обсуждаются в последующих параг- рафах). Важной характеристикой всякого превращения частиц является энергия процес- 652
ca Q. Она определяется как разность кинетических энергий конечных и начальных частиц: е= £ илие=£и^, (4621) а—1 а—1 где первая из формул относится к процессам рассеяния, а вторая ~ к распадным процессам (в последнем случае частица а считается покоящейся). Записывая законы сохранения полной релятивистской энергии И'или (4622) а—1 . а—1 и учитывая, что для каждой частицы W складывается из ее энергии покоя и кинетичес- кой энергии (JF= mc2+Jfrt:), получаем простые формулы для вычисления энергии процесса: Г л 1 C=<("’«+WIi)— £ /лЛс2, или Г „ Г1 J (462Z3) G=jme- £ лЗс2. L а—1 J Если массы выражены в энергетических единицах, то множитель с2 писать не нужно. В любом упругом процессе (46.17) энергия ие выделяется и не поглощается, а потому для него всегда Q—0. Все прочие процессы подразделяются на экзотермичес- кие (Q>0), протекающие с выделением энергии, и эндотермические (Q<0), протека- ющие с поглощением энергии. Из этих определений и формул (46.23) следует,'что в экзотермических процессах часть начальной энергии покоя превращается в кинетичес- кую энергию, а в эндотермических процессах происходит превращение кинетической энергии в энергию покоя образующихся частиц. 5. Любой распад по самой своей сути является экзотермическим процессом. Из неравенства Q>0 и второй формулы (46.23) приходим к необходимому условию распада общего вида (46.19): £ тв. (4624) «—1 Пример: с одной стороны, свободный нейтрон претерпевает /L-распад п-*р+е~+Уг с выделением энергии 6={m„—(m/+m,)}c2s«0,78 МэВ. С другой стороны, протон легче нейтрона, и в свободном состоянии он не будет распадаться по схеме р-»п+е++ve. Протон может испытывать /?+-распад, но только находясь в связанном состоянии внутри атомного ядра. 4 Неупругие процессы (реакции) типа (46.18) бывают как экзотермические (С>0), так и эндотермические (2<0). Согласно первой формуле (4623), тип конкретной реакции и ее энергия определяются значениями масс соответствующих частиц. Если реакция эндотермическая, то она протекает не при всех энергиях сталкивающихся частиц, а только при энергиях, превышающих некоторую минимальную. Эта минимальная кинетическая энергия начальных частиц, начиная с которой реакция становится энер- гетически возможной, называется пороговой энергией (или просто порогом) дан- ной реакции. 6. Если в начальном состоянии суммирный импульс частиц не равен нулю, то и пол- ный импульс образующихся частиц отличен от нуля (закон сохранения импульса). Поэтому в общем случае часть начальной кинетической энергии должна обязательно 653
затрачиваться на движение центра масс образующихся частиц. Иными словами, на- чальная кинетическая энергии не только «порождает» массу (точнее, энерго покоя), но и разгоняет ее. Отсюда ясно, что пороговая энергия не меньше поглощаемой энергии: ^^>161. (4625) Совпадают эти величины лишь при условии, что полный импульс системы частиц равен нулю, т. е. когда реакция осуществляется на встречных пучках. Поэтому и выгод- но их использовать, если требуется генерировать частицы с как можно большими массами: в i инципе в эне покоя может превратиться вся энергия частиц из встречных пучков. Для вычисления поротой энергии существуют несложные формулы, но их вывод увел бы нас в сторону, и мы ограничимся рассмотрением нескольких числовых примеров. Реакция аннигиляции злектрои-позитронной пары (46.12) — экзотермичес- кая с Q=2m^ciasl,02 МэВ. Реакция рождения электрон-позитронной пары (46.11) — эндотермическая с Q= — 1Д2 МэВ. Порог этой реакции в случае покоящегося ядра X несколько больше |g|. нр из-за существенного различия в массах электрона и ядра это различие оказывается очень маленьким, составляя лишь сотые или даже тысячные доли процента. Еще один пример: реакция рождения антипротона (46.13) также эндотермическая, с б=— 2т/? к —1,9 ГэВ. Если один из начальных протонов покоится, то И,жфОг=6л1рс2«5,7 ГэВ, что уже втрое превышает |2|. Но если начальные протоны принадлежат встречным пучкам, то B''B0par==2m/c2=:|Q|. 7. Выше мы убедились, что элементарные частицы обладают фундаментальным и весьма удивительным свойством — способностью к взаимопревращениям. Следует отметить, что образующиеся частицы не содержатся в исходных частицах, а рождаются непосредственно в процессах их соударений (рассеяния) или распадов. Для потгонения заметим, что фотон также не содержится в составе атома, а рождается непосредственно при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой. Именно в процессах взаимопревращений и открывают ранее неизвестные частицы. Для этого сталкивают друг с другом известные стабильные частицы с как можно более высокими энергиями, а затем исследуют продукты протекающих реакций и те фрагмен- ты, на которые распались образовавшиеся частицы. Укажем в качестве примера две реакции, в которых были открыты странные частицы (см. § 462): я »К++Е , р+/>—»ЙГ++А°+р. (4626) До начала 50-х годов основным источником частиц с высокими энергиями служило космическое излучение. Прн попадании космического протона в верхние слои атмосферы иногда порожда- ется в общей сложности до миллиарда различного рода частиц — космический ливень. Достоинство космического излучения как неючийка частиц — чрезвычайная широта энергетического диапазона: средняя энергия примерно 1О‘° эВ, максимальная энергия порядка 1О20 эВ. Существенные его недостатки — неконгролируемость опытов, ред- кость нужных событий, большие экспериментальные трудности (прецизионную ап- паратуру приходится поднимать на большую высоту). 8. Основными источниками частиц, применяемыми в настоящее время, являются *т интенсивные пучки заряженных частиц (электроне», протонов ысокин энергиями. М ю ты энергия элек* юнс , досгигну- и тяжелых_____,----------------------------------ж------------,------ тая в лаборатории, составляет 35 ГэВ, максимальная энергия протонов — 103 Гэр. Конструируются и строятся еще более мощные установки. При взаимодействии пер- вичного пучка с мишенью подучаются вторичные пучки элементарных частиц и атом- ных ядер, не существуют i в природе в естественном состоянии. Из продукте распада вторичных частиц могут быть сформированы третичные пучки частиц и т. д, В частно- сти, только таким способом могут быть получены достаточно интенсивные пучки 654
электронных в мюонных нейтрино (антинейтрино) с высокими энергиями. Каждый из пучкоц направляется на свою мишень и исследуются соответствующее процессы рассеяния. Эго, позволяет получить богатый спектр самых разнообразных частиц, а также изучить характеристики их взаимодействий и внутреннюю структуру. В. Для генерации новых частиц особенно эффективны установки со встречными пуч- ками (коллайдеры), в которых сталкивающиеся частицы обладают равными по моду- лю, но противоположно направленными импульсами. При этом одни из пучков формируется основным ускорителем, а другой — накопительным кольцом, в которое инжектируются первичные или вторичные частицы от ускорителя. Накопительное кольцо помещается в сильное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна его плоскости, а внутри кольца поддерживается высочайший вакуум. Благодаря этому заряженные частицы (электроны, позитроны, протоны или антипротоны) могут цир- кулировать в накопительном кольце многие сутки без существенных потерь. Можно показать, что энергия обычного ускорителя (с неподвижной мишенью), эквивалентного ускорителю со встречными пучками с энергией Же, вычисляется по формуле ЖигИ^/рис2). (46Л7) Отсюда видно, что выигрыш в энергии действительно может быть колоссальным, причем ои пропорционален квадрату энергии сталкивающихся частиц и обратно пропо- рционален их массе. По последней причине особенно эффективны алектрон-злект- ронные и злектрои-позитронные коллайдеры. Встречные пучки впервые реализованы в СССР (1967). В крупнейших современных установках сталкиваются протоны и анти- протоны с энергиями Жс=270 ГэВ, электроны и позитроны с энергиями Жс=19 ГэВ. С помощью формулы (46.27) сразу получим, что в последнем случае энергия эк- вивалентного обычного ускорителя равна Ж«1,5 10и эВ, т. е. она гораздо больше средней энергии частиц космического излучения. § 46.4. Фундаментальны» взаимодействия 1. Все процессы, в которых участвуют элементарные частицы, обусловлены взаимо- действиями между ними. В настоящее время различают четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, Слабое и гравитационное. Сильное взаимодействие свойственно частицш, называемым адронами [hadros (греч.) — сипъямй, массивный, крупный], к числу жиорых принадлежат, в частности, протон р и нейтрон п (см. табл. 46.1). Наиболее известное его проявление — ядерные силы, обеспечивающие существование атомных ядер. Примеры процессов, вызываемых сильным взаимодействием,— реакции рождения антипротона (46.13) и антинейтрона (46.14), первая совокупность процессов (46.20), реакции рождения странных частиц (46.26). В электромагнитном взаимодействии, наиболее известном и наиболее изученном, непосредственно участвуют только электрически заряженные частицы и фотоны. Одно из его проявлений — кулоновские силы, обусловливающие существование атомов. Именно электромагнитное взаимодействие ответственно за подавляющее большинство макроскопических свойств вещества. Оно же ответственно за процессы рождения (46.11) и'аннигиляции (46.12) электрон-позитронной пары, за распад нейтрального пиона я°-»2у, за комптоновское рассеяние, за процессы упругого рассеяния электронов на ядрах, протонах, на других электронах и т. д. Слабое взаимодействие присуще всем частицам, кровле фотонов. Наиболее извест- ное его проявление — бета-превращения атомных ядер. Оно же обеспечивает нестаби- льность многих элементарных частиц, например нейтрона. Примерами слабых процес- сов служат также распады мюонов (46.15) и пионов (46.16), вторая совокупность процессов в (46.20). В последние годы интенсивно изучаются слабые процессы рассея- ния нейтрино и антинейтрино на атомных ядрах, протонах и электронах. Заметим, что'. в этом отношении нейтрино — уникальные частицы, так как они могут участвовать только в слабом взаимодействии (если не считать гравитационного). 6SS
Гравитационное взаимодействие свойственно всем телам Вселенной, проявляясь в виде сил всемирного тяготения. Эти силы обусловливают существование звезд, планетных систем и т. п. Гравитационное взаимодействие предельно слабое (см. ниже) и в мире элементарных частиц при обычных энергиях непосредственной роли не играет. Здесь гравитация становится существенной лишь при энергиях JF~ 102* эВ, которые соответствуют расстояниям А~10~3* м 0). 2. Фундаментальные взаимодействия различаются интенсивностями а/; радиусами действия Ri и характерными временами т(. Под отношением интенсивностей и 09 взаимодействий i nJ в грубом приближении можно понимать отношение энергий этих взаимодействий для двух одинаковых частиц (например, протонов*), разделенных достаточно малым расстоянием**: а//ау=И^3/Иу3. Такое определение весьма неточное, но зато оно обладает большим достоинством — наглядностью. Сравним в качестве примера интенсивности гравитационного и эле- ктромагнитного взаимодействий***, пользуясь общеизвестными формулами для их энергий: _Л. <йи? в2 Gm? «в: аЕ= Л^э: Wf=—£:-— =4яво —/• г 4гидг г Подставляя сюда числовые значения гравитационной постоянной G, массы протона элементарного заряда е и электрической постоянной ео, получим Об/а£~10~Э6. Таким образом, гравитационное взаимодействие на 36 (!) порядков слабее электромагнитного, почему оно непосредственно и не проявляется в мире элементарных частиц. В больших же масштабах его ведущая роль обусловлена лишь тем, что массы («гравитационные заряды») астрономических объектов колоссальны, и тем, что радиус гравитационного взаимодействия бесконечен. При строгом подходе интенсивность данного взаимодействия i характеризуется некоторой безразмерной величиной (константой связи), построенной из соответст- вующего «заряда» et и фундаментальных постоянных с и Л Для электромагнитного взаимодействия такой величиной служит постоянная тонкой структуры a£sa, задава- емая формулой (46.9). Ее очевидным аналогом для гравитационного взаимодействия будет константа связи ас=С/и2/(йс)~10~3*. Присоединяя сюда константы as и aw, значения которых находятся из большой совокупности опытных данных, получаем, что фундаментальные взаимодействия характеризуются следующими интенсивностями: as~l, <xs~10-2, a^~10-10, ае~10-эв. (46.28) Здесь нижние индексы — символы взаимодействий: S— сильное (strong), Е — элект- ромагнитное (electromagnetic), W — слабое (weak), G — гравитационное (gravitational). Таким образом, среди взаимодействий, которые существенны в мире элементарных частиц, сильное — самое интенсивное, слабое — наименее интенсивное, откуда и их названия. 3. Радиус Rj взаимодействия i связывается с зависимостью энергии данного взаимо- действия от расстояния между частицами. Для сильного и слабого взаимодействий энергия убывает с расстоянием очень быстро — по экспоненциальному закону****. Поэтому они сказываются лишь на малых расстояниях, т. е. обладают конечными радиусами. Электромагнитные и гравитационные силы относятся к силам далекого •Которые в отличие, скажем, от электронов участвуют во всех четырех фундаментальных взаимодействиях. ••Последняя оговорка существенна, так как радиусы сильного и слабого взаимодействий очень малы (см. ниже). •••Только этот пример и может быть рассмотрен на достаточно элементарном уровне, так как всякий анализ сильного и слабого взаимодействий требует обязательного привлечены представлений квантовой теории поля. •••♦Здесь имеется в виду сильное'взаимодействие адронов как целого, но не кварков внутри адронов (см. § 46.6) 656
действия с бесконечным радиусом, так как с ростом расстояния они убывают медлен- но — всего лишь по степенному закону. Значения Rs и Rw находятся из опытных данных, и в итоге фундаментальные взаимодействия характеризуются следующими радиусами: Лс~10~15 м, RE=tx>, Я,р~10-1в м, Ле=оо. (4б29) В § 46.7 мы увидим, что радиусы взаимодействий связаны с массами переносящих их частиц. 4. Понятие характерного времени взаимодействия i условно. Эмпирически его можно ввести как минимальное время жизни частиц, подверженных распадам в резуль- тате данного взаимодействия. Например, характерное время тЕ сильного взаимодейст- вия по порядку величины совпадает со средними временами жизни резонансов — са- мых нестабильных частиц, подверженных сильным распадам (см. § 46.6). При такой трактовке характерных времен фундаментальных взаимодействий их значения оказы- ваются следующими: т$~10-2Э с, т£~1О-20 с, тж~10~1Э ₽, те=? В качестве «эталонов» здесь выбраны резонансы, гиперон Е° и тяжелый лептон т~, распадающиеся соответственно вследствие взаимодействий S, Е и W. Вопросительный знак означает, что микроскопические проявления гравитационного взаимодействия, пока совершенно не изучены. Заметим, что время т$~10-23 с можно получить также делением характерного расстояния (радиуса сильного взаимодействия Rs~ 10”15 м) на характерную скорость (скорость света с~ 108 м/с), так что оно имеет и более непосред- ственный смысл времени, за которое совершается элементарный акт сильного взаимо- действия. Интересно отметить н то, что отношения характерных времен разных взаимодействий примерно совпадают с обратными отношениями их интенсивностей, что видно из простого сравнения числовых значений (46.30) и (46.28). Таким образом, в мире элементарных частиц сильное взаимодействие самое «быстрое», а слабое взаимодействие — самое «медленное». 5. Фундаментальные взаимодействия динамически различаются типами обменного механизма, а также свойственными им законами сохранения. При этом чем более интенсивно взаимодействие, тем больше ему отвечает законов сохранения. Эти важные вопросы обсуждаются в последующих параграфах данной, главы. § 46.5. Лептоны 1. Перейдем теперь к краткому обсуждению отдельных больших классов элементар- ных частиц, указанных в нижней части табл. 46.1,— лептонов, адронов, кварков и переносчиков взаимодействий. Всякая содержательная систематика элементарных частиц основывается на их отношении к фундаментальным взаимодействиям. В после- дующем изложении именно этот принцип является руководящим. Лептонами называются элементарные частицы, не участвующие в сильном взаимо- действии и имеющие спин J—1/3, т. е. являющиеся фермионами. Второй признак исключает из класса лептонов фотон (и гравитон), также не участвующий в сильном взаимодействии. Все представители класса лептонов и их основные характеристики приведены в табл. 46.2. 2. Общее число лептонов невелико — их всего 6. Известно три заряженньЬ лептона, участвующих в электромагнитном и слабом взаимодействиях: электрон е~, мюон д~, таон г-. Каждому из них соответствует нейтральная частица, участвующая только в слабом взаимодействии: электронное нейтрино ve, мюонное нейтрино vM, таонное нейтрино vt. Иными словами, существует три семейства («поколения») лептонов — три 22 Курс физики 657
Таблица 46.2 Семейство лептонов Частица Лептонный заряд Спин, й Масса, МэВ Среднее время жизни, с £ £ Электронный дублет £ е~ 4-1 0 0 - 0,511 00 ve 4-1 0 0 <46 10"* 00 Мюонный дублет М д" 0 ц-1 0 105,66 2,2’10"* ъ* 0 4-1 0 <0,25 00 Таонный дублет Т г” 0 0 +1 */я 1784 3,5 10" ” 0 0 +1 <70 00 лептонных дублета: электронный дублет Е=(е , уД мюонный дублет уД таонный дублет T=(t~, ут). Каждому из них соответствует- дублет антилептонов: Ё=(е+, ve), Л?=(д+, 5Д Т=(т+, 5Д Члены данного дублета различаются значениями электрического заряда, заряженные лептоны — значениями массы. Но главное, все лептоны и антилептоны, в том числе три типа нейтрино, а также нейтрино и антинейт- рино данного типа, различаются характером взаимопревращений. Так, например, из реакций v«-Fp-»n+e+, ve+p-/»n+e+, уе4-я-^»р4-е", ve+n-/»p+p~, t (46.31) у|14-в-»р4-д“, Уд+п-/»р+е" те, которые записаны слева, разрешены, в все они реально протекают, а те, которые записаны справа, запрещены и ни одна из них не наблюдалась. 3. С помощью первой реакции было впервые экспериментально зарегистрировано (анти)нсйтрино (1953 — 1956). Реакция второго типа слева используется в настоящее время для регистрации солнечных нейтрино. Изучение процессов (1962), представлен- ных в последней строке (46.31), показало отличие мюонных нейтрино vx от элект- ронных нейтрино vt- В этих опытах первичный пучок протонов от ускорителя направ- лялся на мишень и генерировал вторичный пучок я+-мезонов. Они распадались по схеме (46.16), и образующиеся в значительном количестве нейтрино падали на свою мишень, хорошо защищенную от фона. Если бы мюонное нейтрино было тождествен- но электронному, участвующему, например, в /L-превращениях ядер, то гораздо более вероятным было бы образование в конечном состоянии электронов [реакция слева во второй строке (46.31)1, так как они много легче мюонов. На самом деле ни одного такого процесса не наблюдалось, а все они шли с образованием только мюона [реакция слева в третьей строке (46.31)]. 4. Для того чтобы выделить класс лептонов из множества частиц и различить лептоны и антилептоны, прежде всего нейтрино в антинейтрино, была введена новая физическая величина — лептонный заряд L. По определению, для всех лептонов L= 4-1, для всех ангилептоиов L- — 1, для остальных частиц £=0. Таким образом, можно сказать, что антинейтрино отличается от нейтрино знаком лептонного заряда, подобно тому, как позитрон и электрон различаются знаками электрического заряда (и лептонного тоже). На первый взгляд может показаться, что такое различие является чисто формальным. Но главное здесь в том, что лептонный заряд, как считается, сохраняется в любом взаимодействии, и пока это предположение подтверждается всей совокупностью опыт- ных данных. Именно поэтому, в частности, реакция слева в первой строке (46.31) разрешена (L сохраняется). По этой же причине при обычном В_ -распаде вместе с электроном (£= + 1) образуется именно антинейтрино (£=—1), но не нейтрино (L= +1). В последнем случае лептонный заряд в начальном состоянии (нейтрон) был бы равен нулю, а в конечном состоянии (протон, электрон и нейтрино) было бы £= 4-2. 5. В дальнейшем для каждого лептонного дублета потребовалось ввести свой «заряд»: электронный заряд L, (не путать с электрическим зарядом), мюонный заряд и таон- 658
ный заряд LT. Значения этих квантовых чисел приведены в табл. 46.2, а для антилеп- тонов они имеют противоположные знаки. Полный лептонный заряд £=£,+£„+£,. (46.32) Считается, что во всех взаимодействиях сохраняется не только £, но и каждый его компонент Lt, £я, £t по отдельности. Именно по этой причине реакция слева в третьей строке (46.31) разрешена, а справа запрещена. В ней нарушались бы сразу два закона сохранения: электронного заряда Lt и мюонного заряда £д (но не лептонного заряда £ в целом). По той же причине в природе отсутствует, по-видимому, наиболее «естественный» распад мюона р~ -*е~+у. Во всяком случае, настойчивые попытки экспериментаторов обнаружить его не увенчались успехом. в. О массах заряженных лептонов уже говорилось в § 46.3, и их значения приведены в табл. 46.2. Электрон — самый легкий из заряженных лептонов, мюон примерно в 200 раз тяжелее, а у таона масса превышает массу электрона более чфи в 3500 раз. Кстати, масса таона почти вдвое больше массы протона. Отсюда ясно, сколь сильно изменился первоначальный смысл слова «лептон» [leptos (греч.) — «легкий», «мелкий», вспомним лепту — мелкую греческую монету, от которой и произошло выражение «внести свою лепту»]. 7. До недавних пор практически никто не сомневался, что у всех нейтрино масса в точности равна нулю (так же, как у фотона). Если это действительно так, то нейтрино и антинейтрино можно приписать еще одну характеристику, значениями которой они будут различаться. Соответствующая физическая величина гораздо более наглядна, чем лептонный заряд, и называется спиральностью. Все дело в том, что у нейтрино спин равен ’/2, и его проекция на направление импульса (направление движения) может принимать лишь значения. + ’/2 и ~1 /2- Удвоенное значение этой проекции и есть спиральность А, которая, таким образом, может быть равна либо +1 (спин направлен по им- пульсу), либо —1 (спин направлен против им- пульса). Самое интересное в том, что при усло- вии mv=0 все нейтрино должны иметь одно и то же значение спиральности, а все антинейтри- но ее противоположное значение (Л. Д. Лан- дау, 1957). Дополнительные опыты показали, что у нейтрино всегда А= — 1, у антинейтрино всегда z= +1 (рис. 46.1); Нейтрино является левовинтовой частицей, а антинейтрино — правовинтовой. Названия связаны с тем, что спин есть собственный момент импульса частицы и условно ему можно сопоставить некое вращение. Тогда частица с 2= +1 будет двигаться, подобно винту с правой (обычной) резьбой, а частица с 2= —1 — подобно винту с левой резьбой. 8. Однако в последние годы равенство нулю массы нейтрино подвергается серьезным сомнениям. Все. прямые опыты по определению значений т, основываются на измерении энергий заряженных частиц, образующихся в процессах того или иного распада вместе с соответствующими нейтрино. С этой точки зрения лучше всего изучено электронное антинейтрино, масса которого определяется путем прецизионных измерений энер- гетического спектра электронов, образующихся при /L -распаде атомных ядер. Форма этого спектра зависит от т„. По разным причинам наиболее удобным объектом исследования оказываются ядра трития, претерпевающие Д_-распад по схеме ?H-»|He + e- + ve- (4633) По мере совершенствования экспериментальной техники и процедуры обработки результатов измерений верхние границы для масс нейтрино постепенно снижались и их современные значения приведены в табл. 46.2. Из вес видно, что масса электронного нейтрино не превышает'10_4/и<( масса мюонного нейтрино может оказаться уже сопо- ставимой с Массой электрона, а таоннбе Нейтрино в принципе моНст быть почти в 400 659 22*
раз тяжелее электрона. Заметим, что здесь речь идет именно о верхних границах масс нейтрино, и они не исключают равенств т„=0. 9. В 1980 г. группа советских физиков под руководством В. А. Любимова сообщила, что в результате изучения Д .-распада трития (46.33) ею установлен нижний предел на массу электронного (анти) нейтрино: mv> 14 эВ. Однако из-за крайней сложности измерений и обработки их результатов данный вывод пока не подтвержден другими независимыми экспериментами и не может считаться абсолютно достоверный. А нали- чие у нейтрино даже очень малой ненулевой массы привело бы к важным физическим следствиям. Так, если mv^0, а законы сохранения лептонных зарядов в какой-то степени нарушаются, то возможны нейтринные осцилляции, т. е. самопроизвольные взаимопревращения и т. п. Экспериментально наличие осцилляций должно проявляться в виде ослабления первичного пучка нейтрино данного сорта (например, ve), даже если он строго коллимирован и не взаимодействует с веществом. Кроме того, в этом пучке будут возникать новые сорта нейтрино (например, v^). Поставлено несколько опытов по поиску нейтринных осцилляций, обнаружение которых подтвер- дило бы, в частности, что т,^0. Но и их результаты пока неоднозначны. § 46.6. Адроны 1. Адронами называются элементарные частицы, которые могут участвовать и реаль- но участвуют в сильном взаимодействии. Все они подвержены также электромагнитному, слабому и гравитационному вза- имодействиям. Класс адронов самый многочисленный: он насчитывает более 300 частиц (если считать и античастицы). Классификация адронов, основанная преимуще- ственно на их отношении к разным фундаментальным взаимодействиям, представлена в табл. 46.3. Следующая за ней табл. 46.4 служит как бы продолжением предыдущей, и в ней даны основные характеристики адронов (последний столбец обсуждается в § 46.7). Различают стабильные (точнее, метастабильные) адроны со средними временами жизни т» 10“23 с и резонансы, времена жизни которых 10-2* — 10~23 с. 2. К числу стабильных адронов относится, в частности, Х°-гиперон, который распада- ется по схеме Х°-»А°+у за время т»51О-20 с. Самой характерной особенностью 'резонансов является то, что они распадаются в результате сильного взаимодействия, тогда как распады «стабильных»' адронов обусловлены гораздо менее интенсивными взаимодействиями, главным образом слабым, иногда электромагнитным (как в только что приведенном примере Е°-гиперона). Данное свойство резонансов может служить наиболее адекватным их определением. 3. Дальнейшая классификация происходит по спину и типу статистики. Адроны, обладающие целыми спинами, называют мезонами; адроны, имеющие полуцелые спины, называют барионами. По типу статистики мезоны относятся к бозо- нам, а барионы — к фермионам. Таким образом, бывают стабильные мезоны и стабильные барионы, а также мезонные резонансы и барионные резонансы. Для характеристики этого различия вводят физическую величину, аналогичную лептонному заряду (см. § 46.4),— барион- ный заряд В. По определению, у всех барионов В= + 1, у всех антибарионов В= — 1, у всех прочих частиц (в том числе у мезонов) В=0. Пока считается, что барионный заряд сохраняется во всех взаимодействиях. Этим обусловлена, в частности, абсолют- ная стабильность протона (см., однако, § 46.7) — самого легкого бариона. Согласно условию (46.24), он мог бы распадаться только на частицы с меньшими массами, а у всех них В=0. 4. Все мезоны и барионы подразделяются на «обычные», «странные», «очарованные» и «прелестные». Эти классы частиц мы расположили в порядке, отражающем ту хронологическую последовательность, в которой dim открывались (смысл названий прояснится чуть ниже, а динамические основы подобной классификации обсуждаются в § 46,7). Заме- тим, что «прелестные» барионы еще не зарегистрированы, хотя нет никаких сомнений 660
Os OS 4 s off +<r -3 о о W- i ? © о О О © О » s 5271 5274 5 oooo Os Os LA Ю 493,67 497,7 £ 00 oe 139,57 134,96 1 © . 1 IO ** © i M © © 1 1 w w -OlZ'S) oi —01 6 0J 8-ObZ‘l p © 1 £ 2,6 10“8 0,8-10"16 время жизни, с 5. 2 Й Ci fcu Sf E, uu, dd, ss £ L §• в ! i >+ О Mtn 1 о HMM 1 о + > я i Д 5 Ш S' *: £ >-• H- OS ui 1315 1321,3 1189,4 1192,5 1197,3 »—• us *Os 938,28 939,57 г ? _ 4 to о 1 w p 00 О 1 о ~JO Os so © © 1 1 ° ° ot-01 S‘l ot-Ol-S □i —01 • 8 0 jo Os © 1 О >2’10” лет 898 ±16 II] 1 в H m & II. и “1 № f s s 3 * S 1
Таблица 46.3
в том, что они существуют. Кроме того, предсказывается новый класс «истинных» частиц с весьма большими массами. 5. Все адроны распределяются по небольшим семействам — взопультиплетам. Сильное взаимодействие отдельных их членов одинаково, а различаются они только своим отношением к электромагнитному и слабому взаимодействиям. Если бы два последних взаимодействия удалось «выключить», то члены одного изомультиплета стали бы тождественными, неразличимыми частицами. Характерный внешний признак принадлежности частиц к одному изомультиплету — приближенное равенство их масс при разных значениях электрического заряда. Считается, что небольшие различия в массах возникают как раз вследствие электромагнитного взаимодействия. Самый известный пример изомультиплета даст нуклонный изодублет N, содержащий протон р и нейтрон л. Тождественность протона и нейтрона по отношению к сильному взаимодействию находит свое конкретное выражение в свойстве зарядовой независи- мости ядерных сил: они одинаковы для систем р—р,п — п,р— п. в. Математический аппарат, с помощью которого описываются разные изомуль- типлеты и отдельные их члены, почти идентичен аппарату, созданному для описания обычного спина и разных спиновых состояний данной частицы. Изомультиплету в целом приписывается изоспин Т, который определяет число его членов по формуле tf=2T+l. (46.34) У частицы с обычным спином J имеется 27+1 спиновых состояний, различающихся проекциями спина Jt. По аналогии с этим вводится проекция изоспина Т3, значениями которой различаются отдельные члены изомультиплета (хотя здесь никакие наглядные геометрические образы непригодны). Величина пробегает значения от — Г до Г через единицу (ср. с обычным спином) в порядке возрастания электрического заряда. Приве- дем два простых примера. Для нуклона А’=2 (р, п), а поэтому Т=Ч2, у нейтрона 7'з= —‘/а» У протона Тз= + 1/а- Ддя пиона JV=3 (я+, я0, я"), и поэтому Г=1; у я“- мезона Г3= — 1, у я°-мсэона 7з=0, у я*-мезона Т3= + 1. В сильном взаимодействии изоспин сохраняется, но мы на этой проблеме не останавливаемся. Заметим только, что свойство зарядовой независимости ядерных сил является частным следствием закона сохранения изоспина. Электромагнитное взаимодействие делает члены данного изомультиплета уже различными, и поэтому в процессах, им обусловленных, изоспин не сохраняется. Не сохраняется он и в слабом взаимодействии. 7. Первоначально из адронов были известны только частицы Аг и я. Непосредст- венной проверкой сразу убеждаемся, что электрические заряды этих «обычных» частиц могут быть вычислены по формуле (в единицах е): Я-Ъ+'ЬВ. (46.35) Но для «странных» частиц, открытых в 50-е годы, данная формула уже не справедлива. Так, у К*-мезона +1, 7j=‘/i, 0, но +1 * + */i- Всем этим частицам приписыва- ется новое квантовое число — странность S. Оно вводится так, чтобы для странных частиц выполнялось соотношеяк Гелл-Маша — Нвшкджимы ?=Т3+72(5+5), (46.36) обобщающее формулу (46.35). По сути дела, соотношение (46.36) рассматривается в настоящее время просто как определение странности, позволяющее находить ее значения для конкретных частиц. Так, у «обычных» частиц S=0, а из последнего примера сразу ясно, что АГ+-мезону следует приписать странность S= +1. Считается, что странность сохраняется в сильном (и электромагнитном) взаимо- действии, но не сохраняется в слабом взаимодействии. Этим сразу объясняется весьма необычное свойство странных частиц, из-за которого они главным образом и получили свое название: рождаются эти частицы всегда парами, причем быстро — за время 662
т~10-23 с, а распадаются поодиночке и медленно — за время т~ 10“10-ИО-8 с (см. табл. 46.4). Дело в том, что в космическом излучении «странные» частицы генерируют- ся прн соударении «обычных» адронов N н п с S=0 и в результате сильного взаимодей- ствия (отсюда малые времена). Так как в начальном состоянии 5=0, то и в конечном состоянии полная странность равна нулю. А это значит, что если образовалась какая-то одна частица с 5^0, то обязана образоваться и другая частица с проти- воположным значением 5. Распадаться же «странные» частицы за счет сильного взаимодействия не могут, так как в конечном итоге они превращаются в «обычные» частицы. Их распады обусловлены слабым взаимодействием, не сохраняющим стран- ность, откуда относительно большие времена жизни. 8. В 70-е годы были открыты очарованные частицы, для которых оказалось неспра- ведливым й соотношение (46.36). Им приписали новое квантовое число — очарование С [charm (англ.) — очарование], введение которого обобщает соотношение Гелл-Ман- на — Нишиджимы Ц=Т3+Ч2(В+В+С). (46.37) Очарование подчиняется таким же законам сохранения, что и странность. После открытия прелестных частиц возникла необходимость во введении прелести b [beauty (англ.) — прелесть, красота] q=T3+lJ2(B+S+C-b) (46.38) (знак минус введен по причинам достаточно случайного характера). Для «истинных» частиц, если их откроют, необходимо ввести еще одно квантовое число — истинность (?) t [truth (англ.) — истина, правда]. Итак, мы видим, что для описания всего многообразия адронов приходится использовать большое количество весьма необычных физических величин (причем мы перечислили не все из них). Их глубокий смысл в том, что все эти величины подчиняют- ся определенным законам сохранения, позволяющим устанавливать правила отбора, которые запрещают или разрешают протекание тех или иных превращений частиц. Из сказанного ясно, что фундаментальные взаимодействия различаются, наряду с прочи- ми характеристиками, также свойственными им законами сохранения. Оказывается, что чем более интенсивно взаимодействие, тем оно более симметрич- но, т. е. тем больше ему присуще законов сохранения. Во всех взаимодействиях сохраняются безоговорочно только энергия и импульс, момент импульса, электрический заряд. Пока считается, что этим свойством обладают также лептонные заряды трех типов и барионный заряд. Во всяком случае, нарушения соответствующих законов сохранения экспериментально еще не наблюдались. Сильное взаимодействие — самое симметричное.- В обусловленных им процессах сохраняются также изоспин и его проекция, странность, очарование и многие другие физические величины. Электромагнитное взаимодействие почти столь же симметрично, но оно уже не сохраняет изоспин. Слабое взаимодействие — наименее симметричное. Ему свойственны только универсальные законы сохранения. Некоторые следствия законов сохранения и нарушений ряда из них слабым взаимодействием обсуждались выше. § 46.7. Кварки 1. Совсем недавно уровень элементарных частиц считался единым, и все они трак- товались на более или менее равной основе (см. § 46.1). В настоящее время уровень элементарных частиц расщеплен на уровень адронов и уровень фундаментальных частиц. К числу последних относятся, в частности, лептоны. Адроны, согласно современным воззрениям, являются Составными частицами. Первым косвенным указанием на это может служить хотя бы то, что их очень много — несколько сотен. Далее, большинство адронов являются резонансами — 663
крайне нестабильными частицами- Но, главное, у адронов была обнаружена внутрен- няя структура. Уже из результатов опытов по упругому рассеянию электронов на нуклонах, проведенных в 50 — 60-е годы, следовало, что радиусы протона и нейтрона* отличны от нуля: Лх«0,8 10"15м. (46.39) Прн этом электрический заряд и магнитный момент распределены в них неравномерно: они спадают от центра к периферии по экспоненциальному закону (у нейтрона рас- пределение электрического заряда отсутствует). Так, плотность электрического заряда протона хорошо описывается следующей экспериментально найденной формулой: р(г)=е-3,06 ехр(—4,25г). (46.40) Мало того, опыты по неупругому рассеянию электронов на нуклонах, выполненные в 60 -— 70-е годы, выявили зернистую («партонную») структуру протона и нейтрона. 2. Практически доказано, что все адроны состоят из кварков — весьма необычных по своим свойствам фундаментальных частиц, у которых имеются и античастицы — ан- тикварки. В частности, электрические 1 заряды кварков и антикварков имеют дробные (в единицах элементарного заряда е) значения, кратные ’/3. Гипотеза кварков сфор- мулирована в 1964 г., когда были известны только «обычные» и странные адроны, и для их построения хватало кварков (и антикварков) трех сортов, которые обозначают символами u, d, s. Кварки и и d образуют изодублет с изоспином Т— ± 1/i и проекциями изоспина Г3= + ’/2 У кварка и н Г3=—’/з у кварка d, откуда и их обозначения (up — «верхний», down — «нижний»). Кварк j [strange (англ.) — странный] является изосинглетом с 7=0, но зато у него есть странность S= — 1..Таким образом, теперь можно сказать, что «обычные» частицы — это такие, которые содержат в своем составе только кварки и н d(u и d), а в состав странных частиц обязательно входит хотя бы один кварк j (или антикварк s). 3. Чуть позже был установлен принцип кварк-лептонной симметрии: каждому кварку должен отвечать некоторый лептон, н наоборот. Но кварков сначала ввели три (u, d, s), а лептонов было. известно уже четыре (е~, vt, р~, уя). Чтобы не нарушалась кварк-лептонная симметрия, пришлось постулировать существование еще и «очарован- ного» (charm) кварка с, а вместе с ним существование и целого семейства «очарован- ных» частиц, включающих этот. кварк. Эти теоретически предсказанные частицы действительно были зарегистрированы во второй половине 70-х годе». Их открытие явилось триумфом всей кварковой схемы в целом, и после Зтого она из теоретической гипотезы превратилась практически в реальность. 4. Но потом появились еще два лептона (т_, vt), которым должны соответствовать два новых кварка; «прелестный» (beauty) b и «истинный» (truth) г**. Можно считать, что вместе с последовавшим в 70 — 80-е годы открытием нескольких частиц, облада- ющих прелестью, был открыт и кварк Ь. Что касается семейства «истинных» частиц (шестого кварка г), то ни один из его членов пока не зарегистрирован***. Скорее всего это связано с тем, что частицы, содержащие r-кварк, должны обладать очень большими массами ~ 100 ГэВ и их не удается генерировать с помощью существующих ускори- телей. 5. Итак, в настоящее время считается, что имеются кварки шести типов, которые, подобно лептонам, образуют три дублета, или поколения (и, d), (с, s), (г, Ь). Имеется также три дублета антикварков, значения квантовых чисел которых (кроме, разумеется, * Имеют в виду среднеквадратичные радиусы распределения электрического заряда и маг- нитного момента в этих частицах. **Иногда символы Лиг связывают со словами «bottom» — дно и «top» — верхушка, так как в естественной схеме 6-кварк занимает самое нижнее место, а t-кварк расположен над ним (см. табл^ 46.5). ***В 1984 г. появились сообщения об открытии t-кварка, но последующий детальный анализ показал, что интерпретация зарегистрированных событий не является вполне однозначной. 664
слива и изоспина) противоположны по знаку значениям соответствующих квантовых чисел Кварков. Характеристики кварков приведены в табл. 46.5. • ; Таблица 46.5 ' Кварк Сим- вол J.h В 9 т Тз с S t ь Верхний (up) U lh ±7з + 7з 7а +7а 0 0 0 0 Нижний (down) d /а + /з -*/, 7, -7а 0 0 0 0 «Очарованный» (charm) С 7а + 7з +7з 0 0 4-1 0 0 0 «Странный» (strange) S /а + 7з -у. 0 0 0 -1 0 0 «Истинный» (truth) t ‘/а + 7з +7з 0 0 0 0 +1 0 «Прелестный» (beauty) ь ‘/а + 7з -7, 0 0 0 0 0 +1 Каждый мезон М строится из одного кварка q н одного ангцкварка q, каждый барион В — из трех кварков q: M^qq, B=qqq. (46.41) Tai' как у реально регистрируемых барионов, по определению, барионный заряд равен +1, то каждому кварку необходимо приписать его дробное значение +7з (у антиквар- ков В= — */э)- Любой данный адрон легко построить из кварков, зная его квантовые числа и пользуясь «формулами» (46.41) и табл. 46.5. Кварковый состав всех известных стабильных адронов указан в последнем столбце табл. 46.4. в.' Обращает на себя внимание П“-гиперон со спином J=3/a и странностью S= — 3. Очевидно, он должен состоять из трех f-кварков с параллельными спинами. Но тогда три тождественных фермиона 5 будут, находиться в одном и том же квантовом состоянии, что противоречит принципу Паули. Для разрешения этой трудности квар- кам было приписано дополнительное квантовое число, принимающее три значения. Можно сказать также, что существует три сорта кварков каждого из шести типов. Новое квантовое число назвали цветом, а три его значения обозначили символами R (red — красный), G (green — зеленый), В (blue — голубой). Разумеется, к физиологии зрения «цвет» никакого отношения не имеет, но принятая терминология весьма удобна и наглядна. Обращаем внимание на то, что красный, зеленый и голубой цвет являются основными и при смешивании их в равной пропорции получается белый цвет. Анти- кваркам приписываются «антицвета» R, G, S, которые можно рассматривать как дополнительные к основным цветам. В этом контексте типы кварков u, d, ... обычно называются ароматами. Таким образом, у кварков имеется шесть ароматов и три цвета. 7. С учетом указанной модификации мезоны считают теперь составленными из одно- го кварка н одного антикварка подходящих ароматов, которые представлены всеми своими цветами. Например, в символической записи л+ —Ugdjt+ucd(;-¥-UBdB‘ (46.42) Барионы же строятся из трех кварков разных цветов. Так, состав того же Q -гиперона выглядит следующим образом: (46.43) Отсюда сразу видно, что никакого противоречия с принципом Паули не возникает. ДП“- гипероне три кварка 5 находятся в разных квантовых состояниях R, G, В. Можно сказать и иначе: в одном квантовом состоянии находятся три разные частицы: sK, S& sB. 665
Из сформулированных правил построения адронов следует, что все они являются белыми, или бесцветными, частицами. Этим же свойством обладают и лептоны, только у них в отличие от адронов нет даже «скрытого» цвета: лептоны — истинно элементар- ные частицы, а цвет им вообще не приписывается. 8. Теперь возникает естественный вопрос, насколько реально существование самих кварков. Экспериментаторы интенсивно искали их, причем самыми разными способа- ми (например, с помощью счетчиков, трековых детекторов и опытов типа опыта Милликена) и в* самых различных источниках (на ускорителях, в космическом излуче- нии, в морской воде, в земных породах, в метеоритах и т. п.). Однако все попытки непосредственной регистрации кварков оказались безуспешными. Сейчас общепринята точка зрения, согласно которой кварки, будучи цветными объектами, в принципе не могут существовать в свободном состоянии, а могут нахо- диться только внутри белых частиц — адронов. В частности, нельзя непосредственно зарегистрировать не только сами кварки q, но и дикварки qq, которые также должны нести некоторый цвет. Теоретическое обоснова- ние контейнмента цвета (его «удержания», «пленения») внутри адронов находится пока в стадии разработки. Решение проблемы кроется в весьма необычных свойствах сил, действующих между кварками: оказывается, энергия взаимодействия кварков не убы- вает, с ростом расстояния между ними, как мы привыкли, а возрастает. И тем не менее кварки вовсе не являются «вещью в себе». Только с их помощью удается описать и объяснить все многообразие свойств и превращений адронов, образующих чрезвычайно широкий класс. Мало того, опыты по рассеянию лептонов высоких энергий на протонах и нейтронах позволили измерить экспериментально основные характеристики кварков. Результаты этих опытов однозначно свидетельству- ют о том, что кварки внутри адронов действительно есть, что их спин равен */„ что они обладают дробными электрическими зарядами и существуют в трех цветовых раз- новидностях. 9. Опыты по рассеянию электронов и позитронов из встречных пучков позволили почти непосредственно «увидеть» кварки. При столкновении эти частицы превращают- ся в фотон (виртуальный), который порождает кварк-антикварковую пару. Полный импульс системы равен нулю, а потому кварк и антикварк разлетаются в проти- воположные стороны. Они не могут существовать в свободном состоянии и «обес- цвечиваются»: каждый генерирует большое количество мезонов, летящих преимущест- венно в его первоначальном направлении. В итоге образуются две достаточно узкие струи мезонов, которые и были зарегистрированы на опыте. Ни одна теоретическая схема, кроме кварковой, не в состоянии объяснить сколько-нибудь естественным способом двухструйную структуру событий и описать характеристики рождающихся мезонов. Таким образом, принципиальная правильность общих концепций теории кварков сейчас не вызывает никаких сомнений. Кварки несоменно существуют, но только в связанном состоянии. Поэтому сам термин «существование» обрел в физике микро- мира несколько неожиданную трактовку, и он требует даже философского переосмыс- ления. Развитие современной физики еще раз подтвердило истинность и глубину одного из основных тезисов диалектического материализма о многообразии и неисчер- паемости форм н свойств материи. § 46.8. Переносчики фундаментальных взаимодействий 1. О фундаментальных взаимодействиях — сильном S, электромагнитном Е, слабом W и гравитационном G — уже говорилось в § 46.4. Там же были введены некоторые их характеристики — интенсивность а^, радиус действия Rh характерное время В конце § 46.6 кратко обсуждены законы, сохранения, свойственные разным типам фундамен- тальных взаимодействий. В данном параграфе рассмотрены их механизмы. Основные свойства фундаментальных взаимодействий сведены в табл. 46.6, вторая половина которой комментируется ниже. 666
Таблица 46.6 Взаимо- действие ai Л;, М Ч. с Загоны сохра- нения Участ- ники* Перенос- ЧИП Изменяются цвет аромат S ~10-ls -IO"" Все 4(Я) Я1 + — Е ~1(Г2 со ~кг20 Все, кроме Т <7(Я) 0-1 8) У — — W ~1О-10 -кг1" ~io-,s р, Е, J, я№ ..Л о JV, Z + G ~10-зв 00 ? 7 , 1 Все G ? ? * q — кварки (Н — адроны), I — лептоны. Как уже подчеркивалось, крупнейшим достижением физики 70-х годов явилось расщепление единого ранее уровня элементарных частиц на уровень адронов (состав- ных частиц) и уровень фундаментальных частиц. Не менее крупное ее достижение — установление единства механизмов фундаментальных взаимодействий: все фундамен- тальные взаимодействия имеют обменный характер. Разъясним, насколько это возможно на простом уровне и без привлечения матема- тического аппарата, что же это означает. Главное здесь в том, что в качестве элементарных актов каждого взаимодействия выступают процессы испускания и поглощения данной частицей а некоторой частицы У, как раз и определяющей тип данного взаимодействия. Сама частица а может остаться неизменной, а может и превратиться в некоторую другую частицу Ь*: a2b+X. (46.44) Расположенная поблизости частица с также способна поглощать и испускать частицу X: X+cttd. (46.45) Если а испустит X, а с поглотит X или наоборот, то промежуточная частица X, сыграв роль как бы «катализатора», исчезнет, а между а, Ь и с, d возникает взаимодействие, которое приведет к превращению a+c-*b + d (46.46) (если Ь=а и d=c, то это будет упругое рассеяние). В этом смысле взаимодейст- вие между частицами и имеет обменный характер. Будем говорить, что частицы а, Ь, с, d являются участниками данного взаимодействия, а частица X — его пере- носчиком. Указанные процессы удобно изображать графически. Элементарные акты (46.44) и (46.45) представляет рис. 46.2, а, б, а сам процесс взаимодействия, т. е. превращение (46.46),— рис. 46.2, в. Элементарные акты взаимодействия (46.44) и соответствующие ему простые графы на рис. 46.2, а служат своего рода «кирпичиками», из которых по почти очевидным правилам можно «построить» любой сколь угодно сложный процесс, обусловленный *Говорят, что в первом случае взаимодействие обусловлено нейтральными токами, а во втором случае — заряженными токами. 667
данным взаимодействием. Графический способ разложения произвольных процессов на элементарные ввел в научный обиход Р. Фейнман, и все рисунки, подобные рис.4$Д называются фейнмановскими диаграммами. 2. Однако, несмотря на всю красоту описанной обменной схемы взаимодействий, на первый взгляд может показаться, что она вообще не имеет права на существование. Ведь элементарные процессы вида а^.а+Х запрещены законом сохранения энергии. И действительно, сами по себе они никогда реально не протекают: например, свобод- ный электрон не может ни испустить, ни поглотить фотон. Тем не менее обменный механизм взаимодействия оказывается правильным, и диаграмма, представленная на рис. 46.2, в, является вполне осмысленной. Все дело в том, что в микромире действуют не привычные нам законы классической физики, а законы квантовой механики, гораздо менее наглядные. В частности, согласно одному из положений квантовой механики, имеет место соотношение неопределенностей энергия — время ДЖДг~Д (46.47) которое как бы разрешает закону сохранения энергии нарушаться на величину AFF, коль скоро процесс завершается в течение промежутка времени, не превышающего На более строгом языке это означает следующее: если состояние системы существует конечный промежуток времени Аг, то энергия в этом состоянии не может иметь фиксированного значения, а определена лишь с точностью bW~hl&t. В интересующем нас случае происходит подобная ситуация. Частица X испускается частицей а и быстро поглощается частицей с, так что состояние системы в целом не является стационарным. Такие процессы без образования частиц X, которые реально могут наблюдаться, называются виртуальными. Промежуточные частицы X называют- ся виртуальными. Их существование не противоречит закону сохранения энергии, хотя сам термин «существование» В данном контексте имеет смысл еще более сложный,, чем в случае кварков. , При испускании частицей а частицы X, переносящей некоторое взаимодействие, происходит «нарушение» закона сохранения энергии (в разъясненном выше смысле) на AFF~m^c2. Согласно соотнощению неопределенностей (46.47), частица X может суще- ствовать лишь в течение промежутка времени Ar~tyAFP~ty(nijfcz), после чего она должна поглотиться другой частицей. Радиус взаимодействия /? есть максимальное расстояние, на которое сможет отойти X от частицы а за время Аг, т, e.R~c&t, где с — скорость света. Учитывая, что &t~h/(mxci), найдем связь между радиусом дан- ного взаимодействия и массой тх переносящих его частиц: R~---- или тх~— (46.48) Rc Если во вторую формулу подставить известное из опыта значение радиуса ядерного взаимодействия /?«(!-=-2)-10“1S м, то для массы его переносчиков получим ш«(200-=-300)/ле. Примерно таким способом X. Юкава и предсказал существование мезонов (см. § 46.2). Несмотря на то что в последнее время выяснилась ограниченность мезонной теории ядерных сил (которая не учитывает кварковую структуру нуклонов), она сыграла в физике выдающуюся роль. Именно в ее рамках окончательно сфор- мировалась важнейшая концепция обменного механизма взаимодействий, которая была рассмотрена выше. Обсудим теперь кратко с этой точки зрения отдельные фундаментальные взаимодействия; 3. Переносчики электромагнитного взаимодействия—нейтральные (д=0),безмассо- вые (т=0) фотоны у. " , Вероятность испускания и поглощения фотона какой-то частицей определяется ёе электрическим зарядом, который служит мерой интенсивности электромагнитного взаимодействия (см. § 46.4). Так как ту=0, то из первой формулы (46.48) следует, что радиус электромагнитного взаимодействия бесконечно велик. В нем участвуют все 668
кварки (а значит, все адроны) и заряженные лептоны (а также переносчики слабого взаимодействия FF+ и W"; см. ниже). Разумеется, в электромагнитном взаимодействии участвуют и сами фотоны. Так как они не несут ни аромата, ни цвета, то при испускании и поглощении фотона фундаментальной частицей ее аромат и цвет не изменяются. Все эти сведения в краткой форме представлены в соответствующей строке табл. 46.6. Предсказания теории электромагнитного взаимодействия — кван- товой электродинамики — совпадают с результатами измерений с точностью до 10 (!) значащих цифр. Вспомним хотя бы формулу (46.10) и сопутствующее ей обсуждение. 4. Переносчиками сильного взаимодействия являются восемь электрически нейтраль- ных (9=»0) и безмассовых (т—0) глюонов g, [glue (англ.) — Клей]. Каждый глюон несет некоторые цвет и антицвет, но не несет аромат. Поэтому, например, кварк йд может испустить глюон g=RG, превратившись в кварк uG того, же аромата, но другого цвета, а рядом расположенный кварк Цв может поглотить этот глюон, превратившись в и*. В § 46.7 цвет был введен «кинематически», для того чтобы не нарушался принцип Паули. Теперь мы видим, что он имеет и глубокий динамичес- кий смысл: цвет для сильного взаимодействия играет роль, аналогичную роли элект- рического заряда для электромагнитного взаимодействия. Именно поэтому в сильном взаимодействии участвуют кварки, обладающие цветом, но не могут участвовать лептоны, являющиеся бесцветными (белыми) частицами. Наблюдаемое сильное вза- имодействие между белыми адронами, в частности ядерные силы, есть результат наличия у них «скрытого» цвета, т. е. в конечном итоге их кварковой структуры. В процессах, обусловленных сильным взаимодействием, ароматы кварков не меняют- ся, чем сразу объясняется сохранение в них адронных квантовых чисел типа изоспина и странности (см. конец § 46.6). Современной теорией сильного взаимодействия является квантовая хромодинамика, основы которой заложены, но которая пока не завершена. Последнее обстоятельство связано с тем, что глюоны в отличие от элект- рически нейтральных фотонов сами несут цвет, а потому взаимодействуют друг с другом. К числу элементарных актов сильного взаимодействия относятся не только процессы испускания и поглощения кварками глюонов, но и процессы «расщепления» одного глюона на два и даже три глюона. Эго и делает схему квантовой хромодинами- ки чрезвычайно сложной в математическом отношении, но зато очень богатой с физи- ческой точки зрения. В частности, не исключено существование весьма экзотических частиц — глюболов, представляющих собой сгустки глюонного поля без кварков. Именно взаимодействием глюонов друг с другом объясняется, по-видимому, явление конфайнмента цвета (см. § 46.7). Из-за него связь между радиусом сильного взаимодей- ствия и массой его переносчиков оказывается гораздо более сложной, чем в других случаях. Поэтому, несмотря на то что znf=0, из первой формулы (46.48) не следует, что радиус сильного взаимодействия бесконечно велик. 5. Переносчиками слабого взаимодействия являются промежуточные бозоны W*, W~, Z°, которые имеют электрический заряд (9= ± 1,0) и обладают большими массами: /иж«81 ГзВ, т2~ 93 ГэВ. (46.49) Промежуточные бозоны могут испускаться и поглощаться как кварками, так и леп- тонами, а поэтому в слабом взаимодействии участвуют практически все частицы (кроме фотона и гравитона). Сами они, конечно, участвуют в слабом взаимодействии (и гравитационном), а частицы W* и W~ также в электромагнитном взаимодействии, но сильному взаимодействию промежуточные бозоны не подвержены. Обмен ими не изменяет цвета, но изменяет аромат фундаментальных частиц. Именно по этой причи- не в процессах, обусловленных слабым взаимодействием, не сохраняются адронные квантовые числа типа изоспина и странности. Адекватная теория слабого взаимодейст- вия создана только в 70-е годы и большинство ее весьма неочевидных предсказаний уже подтверждено на опыте. В частности, в 1983 г. было подтверждено ее главнейшее предсказание — существование самих промежуточных бозонов трех типов. Они зареги- стрированы во встречных протон-антипротонных пучках. В этих экспериментах изме- рены и значения масс (46.49) промежуточных бозонов, которые также были пред- сказаны теоретически. Их подстановка во вторую формулу (46.48) дает для радиуса 669
слабого взаимодействия значение jR^~10~18 м, как раз и приведенное в табл. 46.6 (более непосредственным измерениям Rw пока не поддается). в. Переносчики гравитационного взаимодействия — нейтральные (9—0) безмассовые (w=0) гравитоны G, имеющие спин 7=2. Это взаимодействие универсально в том смысле, что в нем участвуют все частицы. Экспериментальная регистрация гравитонов откладывается на неопределенный срок, так как пока не поддаются детектированию даже гравитационные волны. Квантовая теория гравитации только начинает создаваться, и здесь имеется множество нерешен- ных проблем, откуда, в частности, и обилие вопросительных знаков в соответствующей строке табл. 46.6. Основные трудности здесь связаны с тем, что уже уравнения общей теории относительности, описывающие классическое гравитационное поле, являются существенно нелинейными! В квантовой теории это приводит к наличию взаимодейст- вия гравитонов друг с другом- Ситуация похожа на квантовую хромодинамику (см. выше), но в квантовой гравидинамике она усугубляется еще целым рядом обсто- ятельств. 7. Если вновь вернуться к табл. 46.1 и. учесть все сказанное в данной главе, то мы придем к следующей стройной картине строения материи. В конечном итоге состав- ными элементами разных ее видов являются кварки шести ароматов (и трех цветов) н лептоны татке шести ароматов. Различные взаимодействия между этими фундамен- тальными частицами возникают за счет обмена специфическими материальными объектами — переносчиками взаимодействий: глюонами, фотонами, промежуточными бозонами и гравитонами. Все они также относятся к числу фундаментальных частиц. 8. Выявление общности механизмов всех фундаментальных взаимодействий — их обменного характера — вселило надежду на возможность построения единых теорий. Практически уже завершенной можно считать единую теорию электромагнитного и слабого взаимодействий, которые при низких энергиях выступают в качестве разных проявлений одного электрослабого взаимодействия и разница между которыми стира- ется по мере роста энергии частиц. Здесь уместно напомнить, что до работ Фарадея и Максвелла считалось, что имеются электрическое и магнитное взаимодействия, а в результате их исследований выяснилось, что эти два взаимодействия есть лишь разные проявления одного электромагнитного взаимодействия. Довольно успешными являются и многочисленные попытки «великого объедине- ния» электрослабого и сильного взаимодействий в одно электроядерное взаимодейст- вие. Начаты исследования также в направлении объединенного описания всех четырех фундаментальных взаимодействий («расширенная супергравитация»). 8. Обратимся в этой связи к последнему столбцу табл. 46.6. Выше, по мере рассмотре- ния конкретных типов фундаментальных взаимодействий, говорилось, что сильное взаимодействие изменяет цвет, но не аромат фундаментальных частиц, электромагнит- ное взаимодействие не изменяет ни их цвета, ни аромата, слабое взаимодействие изменяет аромат, но не цвет. Возникает естественный вопрос: а нет ли в природе взаимодействия, которое изменяло бы н цвет, и аромат элементарных частиц? Самое интересное в том, что ответ на него может оказаться положительным. Все схемы «великого объединения» как раз предсказывают, что такое взаимодействие дейст- вительно должно существовать. Возникает оно за счет обмена частицами с колоссаль- ными массами m~10IS ГэВ, а потому проявляется в полной мере при столь же колоссальных энергиях, но в чрезвычайно слабой степени это взаимодействие может сказаться и при обычных энергиях. Его переносчики обозначаются символами X и Y, и за счет обмена ими кварки и лептоны могут превращаться друг в друга, так что законы сохранения барионного заряда В и лептонного заряда L перестают быть абсолютно строгими. Одним из самых интересных следствий всех этих положений является крайне малая нестабильность протона. Теория предсказывает, что протоны будут распадаться, например, по схеме />-»я°+е* со средним временем жизни т^о₽=Ю30±3 лет (!). В настоящее время установлен следующий экспериментальный предел на время жизни протона: т*в>2-10” лет, (46.50) 670
но поиски распадов протона, квалифицируемые как «эксперимент века», настойчиво продолжаются. Соответствующие опыты проводятся в России, США, Японии, Запад- ной Европе. Обнаружение нестабильности протона подтвердило бы правильность основных направлений, по которым ведется сейчас создание единой картины строения материи. Вопросы: 1. Как эволюционировало понятие элементарной частицы? Какой смысл вкладывается в этот термин в настоящее время? Все ли «элементарные» частицы действительно элементарны? Проследите историю открытия наиболее важных элементарных частиц. 2. Совпадают пи гипероны £~ и Е+? мезоны 1t~ и я*? Почему? 3. Доказать, что процессы у-»е“+е+ и е~+е+-»у запрещены законами сохранения энергии и импульса. Как реально протекают процессы рождения и аннигиляции электрон-позитрон- ной пары? 4. В чем преимущества ускорителей по сравнению с другими источниками заряженных частиц? В чем преимущества установки со встречными пучками? 5. Почему мюон не распадается по схеме Учитывая все законы сохранения, запишите реальную реакцию распада мюона. в. Чем объясняется неудача попыток обнаружить свободные кварки? 7. Сколько вы знаете фундаментальных взаимодействий? Каковы основные характеристики и механизмы фундаментальных взаимодействий?
Заключение 1. Современный курс физики в высшей технической школе охватывает все важнейшие разделы классической и современной физики. Среди всех дисциплин во втузе нет таких, которые могли бы сравниться с курсом физики по богатству и многообразию идей, методов исследования и фундаментальности изучаемых в нем достижений науки и техники. В наши дни существенно изменилось положение курса физики в системе подготовки современного инженера. Если раньше курс физики был в основном базой, фундаментом, на котором строилось здание инженерной подготовки, то теперь курс физики, полностью сохранив это значение, стал. одновременно составной частью подготовки специалиста к конкретной инженерной деятельности. Ряд областей со- временной техники, такие, например, как электронная техника (включая полупровод- никовую), квантовая электроника, ядерная техника (включая реакторостроение) и др., настолько тесно переплетаются с физикой, что становятся неотделимыми от нее. Вместе с тем в давно сложившихся «классических» отраслях техники применение новых физических методов исследования приводит зачастую к принципиально новым ин- женерным решениям ряда проблем. Для нашего времени характерно резкое сокращение сроков между научными от- крытиями, достижениями современной науки и их внедрением в повседневную ин- женерную практику. Появление и развитие пограничных научных н инженерных дис- циплин, находящихся на стыках нескольких наук и базирующихся на физике, сущест- венно расширило возможности дальнейшего взаимного проникновения друг в друга различных областей знания и повысило инженерный уровень, на котором могут решаться в наши дни многие технические задачи. Все это не могло не привести к резкому повышению требований, которые предъяв- ляются к современному курсу физики во втузе. Эти требования находят свое выраже- ние в повышении научно-теоретического уровня курса.4 2. В курсе рассмотрены все основные разделы классической и современной физики. Начав с изучения основ физической механики и специальной теории относительности (СТО), мы рассмотрели основы термодинамики и молекулярной физики, учение об электричестве и магнетизме, колебательные и волновые процессы, включая учение об электромагнитных волнах и оптику. Существенное место отведено основам квантовых статистик, квантовой теории твердого тела, современной атомной физики, физики атомного ядра и современным представлениям об элементарных частицах. Нетрудно заметить, что все построение курса физики означало непрерывное углубление сведений о явлениях природы и закономерностях, управляющих процессами в окружающем нас мире. В самом деле, изучение механики происходило на макроскопическом уровне, когда объектом изучения являлись макроскопические тела, движущиеся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме, с массами, неизмеримо превышающими массы атомов н молекул. В СТО рассматривалось учение о связи пространства — времени с движущимися телами и частицами и на основе постулатов СТО изучались кинематика и динамика движений со скоростями, близкими к скорости света в вакууме. Следующий, молекулярный, уровень изучения явлений позволил выяснить особен- ности поведения совокупностей атомов и молекул. Молекулярная физика с ее статисти- ческими методами была первым шагом в микромир — область, в которой развитие физики шло'особенно быстро и где достигнутые физикой результаты оказали столь глубокое, революционизирующее влияние на всю науку н технику и на повседневную жизнь человеческого общества. На молекулярном и внутримолекулярном уровне изуче- ния курса нам пришлось отказаться в ряде случаев от методов, применяемых в мак- рофизике, появилась необходимость использования новых, квантовых представлений н новых закономерностей. Это сделано в объеме, допускаемом программой курса физики во втузах. Переход к новым количественным масштабам с необходимостью приводит, как учит нас диалектический материализм, к существенным качественным 672
изменениям. Поэтому не удивительно, что в микромире господствуют иные законы, чем в макромире. 3. Изучение строения н свойств атома, атомного ядра и твердых тел — достижения физики нашего столетия. Оно стало возможным благодаря, во-первых, быстрому расширению технических возможностей эксперимента — фактору, сыгравшему огром- ную роль в развитии современной физики, и, во-вторых, двум теориям — теории относительности и квантовой механике, которые произвели революцию в физике. Возникшие в первой четверти нашего столетия, они привели физику к осознанию тех особых законов, которыми управляется микромир. В настоящее время квантовая механика и теория относительности —это не только теории, позволяющие проникать в тайны строения атомного ядра и элементарных частиц. Теория относительности уже достаточное время является основой для получения расчетных инженерных формул ускорительной техники и исследования термоядерных реакций. Квантовая механика в ее применениях к теории твердых тел, расчетам ядерных реакторов, электронных приборов, квантовых генераторов и усилителей является дисциплиной, основы которой вошли в инженерную практику. 4. Многие основные идеи квантовой механики, а также н теории относительности кажутся поначалу необычными, противоречащими тому складу мышления, к которому привыкает человек благодаря длительному периоду обучения в школе и повседневной практике. Невозможность свести дело к привычным представлениям, отсутствие в ряде случаев аналогий, столь облегчающих «понимание» изучаемого предмета,— все это действительно составляет известные трудности в начальный период изучения современ- ной физики. Однако значительная часть их обусловлена тем, что недостаточно осозна- ются логические связи между классической и современной физикой, между различными аспектами рассмотрения физических явлений. На это требуется время и терпение — два фактора, без которых немыслимо усвоение новых идей. 5. Глубокие внутренние связи между классической и современной физикой находят свое выражение в принципе соответствия, согласно которому между дальнейшим развитием разделов физики и их предшествующим содержанием устанавливаются определенные связи: в определенных предельных случаях новое физическое учение переходит в старое. Установленные на определенном этапе развития физики закономе- рности, правильно объясняющие экспериментальные данные, не отбрасываются с раз- витием нового этапа учения, а включаются в него как предельный случай, справед- ливый в определенных условиях. в. Все здание классической и современной физики, несмотря на его сложную «архитек- туру», прочно покоится на фундаменте законов сохранения. Все те законы сохранения, которые были установлены в классической физике, применимы и в физике микроми- ра — им подчиняются, как мы видели, элементарные процессы, происходящие с от- дельными частицами вещества. Во всеобщности действия законов сохранения находят свое доказательство глубокие связи между классической и современной физикой. Правда, в физике элементарных частиц появились новые законы сохранения, не дейст- вующие в области макромира, но в этом находит лишь свое подтверждение матери- алистическое учение об абсолютной и относительной истине и о непрерывном переходе в процессе познания от сущностей менее глубоких к сущностям более глубоким. 7. Современная физика принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся наук. Ее динамический характер особенно сказывается в развитии таких разделов, как физика атомного ядра и элементарных частиц, физика твердого тела и др., а также ряда пограничных, соприкасающихся с физикой наук (биофизика и др.). Развитие новейшей физики приводит к появлению многих новых дисциплин. Вряд ли можно было думать несколько десятков лет тому назад, что возникнут механика плазмы, магнитная гидродинамика, квантовая радиотехника и другие важнейшие разделы физики. Из сказанного ясно, какое значение имеет для современного инженера изучение физики. Именно поэтому время и усилия, потраченные на усвоение основ современной физики, сторицей окупятся в дальнейшей учебе и работе инженера.
Приложения § П.1. Системы единиц физических величин 1. Единицей фазической величиям называется условно выбранная физическая величина, имеющая тот же физический смысл, что и рассматриваемая. Системок единиц называется совокупность единиц физических величин, относящаяся к некоторой системе величин и образованная в соответ- ствии с принятыми правилами. Основными единицами данной системы называются единицы нескольких разнородных физических величин, произвольно выбранные при построении этой системы. Соответствующие физические величины называются основными величиями данной системы. Система единиц называется абсолютной, если ее основными физическими величинами являются длина, масса и время, Производными единицами называются единицы, устанавливаемые через другие единицы дан- ной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответст- вующими физическими величинами. 2. Размерностью физической величины называется выражение, характеризующее связь этой физи- ческой величины с основными величинами данной системы единиц. Это выражение представляет собой одночлен в виде произведения символов основных величин в соответствующих степенях (целых или дробны положительных или отрицательных). Физическая величина называется безразмерной веля'иной, если в выражение ее размерности все основные величины входят в нуле- вой степени. Числовое значение безразмерной величины не зависит от выбора системы единиц. 3. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц: Множи- тель Приставка Множи- тель Приставка наимево- ванне обознание наимено- ванне обозначение русское междуна- родное русское междуна- родное 10" экса э Е 10-’ (деци) д d 10" пета. п Р 10~2 (санти) с С 1012 тера т Т 10~э МИЛЛИ м ш 10’ гига г G 10"* микро мк я 10е мега м М кг’ нано н п 10э кило к к кг12 ПИКО п р 102 (гекто) г h КГ" фемто' ф г 10‘ (дека) да da 10" атго а а ** В скобках указаны приставки, которые допускается применять только в наименованиях кратных и дольных единиц, уже получивших широкое распространение (например, гектар, декалитр, дециметр, сан- тиметр). 4. Международная система едяищ (СИ) Величина Единица наименование раз- мер- ность наимено- вание обозначение определение рус- ское меж- дуна- род- ное Длина Масса L М метр килограмм Основ м кг *ые едг m kg шицы Метр — единица длины, равная расстоянию, проходимому в вакууме плоской электромаг- нитной волной за 1/299792458 доли секунды Килограмм — единица массы, равная массе международного прототипа килограмма 674
Продолжение таблицы Величина няимеяо ванне р*> мер- ность обозначение определен» рус- ское меж- дунк- род- ное BUMCHO- ваяве Время т секунда С В Сила электрическо- го тока I ампер А А 9192631770 периодам излучения, соответст- вующего переходу между двумя сверхтонки- ми уровнями основного состояния атом це- зия-133 рый, проходя по двум параллельным пртыо- Терм од инамичес- 0 кельвин к к линейным проводникам бесконечно* длины и ничтожно мало* площади кругового попе- речного сечения, расположенным на расстоя- нии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими протодпюпп силу, равную 2 10”7 Н на кжяутый метр дмны Кешин — единица термол«в’*“вчсс*ий те- кая температура Количество веще- ства N моль моль mol мпературы, равная 1/2/3,16 термоднив>нтч1х- кой температуры тройной точки воды Мош — единица количества вещества, рав- ная количеству вещества гягтгпщ, в которой содержится столько же структурных элеми- тов (атомов, молекул, ионов, злеа тронов • групп частиц), сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 яг Сила света J кандела кд cd Кандела — ещняца силы света, равная силе света-в данном направлении от истожнига, ксиусккющсго мокро юлучепе частоты 340' 1011 Гц (340 ТГц), опа пмуче- ния которого в этом нмравянин составляет 1/683 Вт/ср Дополнительные единицы Плоский угол — радиан рад rad Рядная — угол между двумя радаусами окружности, длина дуги между которым равна радиусу Телесный угол стероди&н ср 8Г Стеращпм — телесный угол с вергнеяой в центре сферы, вырезающий жв поверхности сферы площадь, равную площади пирата со стороной, по длине равно* радаусу этой сферы 5. Производные едяжяы СИ Величина Производим еджипи Прнмечыяк наименование размерность ОМИ обо» русское шяе мнедуна- родвое Площадь Объем, вместимость д 1? I? Единицы пространств! квадратны* метр кубический метр т и времени м1 м1 "ев 675
Продолжение таблицы Величина Проиэводвая единица Примечание ткмеяовшше размерность наименование обо русское междуна- родное Скорость LT-1 ет в секунду м/с m/g Ускорение LT"2 метр на секунду в ква- драте м/с2 m/s2 • Частота Т-1 герц Гц Hz Частота вращения т-1 оекундд в минус пер- вой степени с 1 . s-1 Угловая скорость т-1 радиан в секунду рад/с rad/в Угловое ускорение Т“2 ридиан на секунду я квадрате рад/с2 rad/s2 2. Единицы механических величин Плотность L~3M «до грамм на куби- кг/м3 kg/m2 Момент инерции L2M ческии ме^р г гл.'гуамм-метр в ква- драте кг-м2 kgm2 Импульс LMT-1 килограмм-метр в се- кг м/с kg-m/s Момент импульса L’MT’1 кунду килограмм-метр в ква- драте в секунду кгм’/с kgm2/t КГ-М Сила LMT-2 ньютон н N IH-! — Момент силы L2MT: ньютон-метр Нм Nm Импульс силы LMT"1 ньютон-секунда Нс N-s Давление, напряже- ние (механическое), модуль упругости L-»MT-2 паскаль Па Pa 1 Па=1 Н/м2 Поверхностное на- тяжение MT-2 ньютон на метр Н/м N/m Работа, энергия L2MT“2 джоуль Дж J 1 Дж-1 Нм Мощность L2MT-1 ватт Вт W 1 Вт-I Дж/с Дта ес я аз- кость L-1MT-1 паскаль-секунда Па с Pai Кинематическая вязкость I/T”1 квадратный метр на секунду м2/с m2/g 3. Единицы тепловых величин Количество тепло- ты, внутренняя эне- L2MT“2 джоуль Дж J 1 Дж-1 Нм Сдельное количе- ство теплоты L^-a джоуль на килограмм Дж/кг J/kg Теплоемкость и эн- тропия системы l/MT-2©-1 Джоуль на кельвин Дж/К J/K Теплоемкость удель- ная L2T-20-1 джоуль на килограмм- кельвин Дж/(кг К) J/(kg К) X Теплоемкость мо- лярная К 1 т ® н । j х джоуль на моль-кель- вин Дж/(моль-К) J/(mol-K) Теплопроводность LMT-30-i ватт на метр-кельвин Вт/(мК) W/(mK) 676
Продолжение таблицы Величина Производная единица Примечание наименование размерность наименование обозначение русское междуна-. родное 4. Единица электрических и магнитных величин Плотность электри- ческого тока Ъ~Ч ампер на квадратный метр А/м2 А/т2 Электрический за- ряд Плотность электри- ческого заряда: п кулон Кл f С 1 Кл-1 Ao а) линейная L’Tl кулон на метр . Кл/м С/т б) поверхностная L~2TI кулон на квадратный метр Кл/м2 С/т2 в) объемная L-3TI кулон на кубический Кл/м3 С/т3 Поляризованность, электрическое сме- щение L’2TI метр кулон на квадратный метр Кл/м2 С/т2 Электрический мо- мент диполя LTI кулон-ь гр Кл-м Ст Поток смещения TI кулон Кл С Электрический по- тенциал, напряже- ние, э. д. с. 1?МТ;3Г‘ вольт В V 1 В=Дж/Кл Напряженность эле- ктрического поля LMTT1 вольт на метр В/м V/m Электрическая ем- кость L“2M-1T*I2 фарад Ф. F 1 Ф=1 Кл/В Электрическая по- стоянная L-3M-1T*I2 фарад на метр Ф/м F/m Электрическое со- противление - L2MT~3I~2 ом Ом 0 ГОм=1 В/А ’•' ' } ’ Удельное электри- ческое сопротивле- ние L3MT-3I~2 • I ом-метр Ом-м Л-in Электрическая про- водимость L~2M*1T3I2 сименс См S 1 См=1 А/В Удельная электричес- кая проводимость L-’M-T3!2 сименс на метр См/м s/m - Магнитный поток L2MT“2I"' вебер Вб Wb 1 Вб-1 Вс Магнитная индук- ция MT-2!-1 тесла Тл T 1 Тл= = 1 Н/(А м) Магнитодвижущая сила I ампер' А A Напряженность ма- гнитного поля L-1I ампер на метр А/м A/m > Индуктивность, вза- имная индуктив- L2MT"2I*2 генри Гн H 1 Гн = 1 Вб/А ность Магнитная постоян- ная LMT~2I"2 генри на метр Гн/м H/m Магнитный момент электрического то- ка L2I ампер-квадратный метр А-м2 Am2 Намагниченность - L"*I ампер на метр А/м A/m Магнитное сопроти- вление L’?M71T2I2 i ампер Hi вебер А/Вб A/Wb 677
Продолжение таблицы Велу г Производная единица Примечание наименование ^размерность наименование обозначение русское междуна- родное / 5. Единицы световых величин и величин энергетической фотометрии Световой поток J ипомеи лм 1m 1 лм=1 кд-ср Освещенность L~2J люкс лк 1х 1 лк=1 лм/м2 Светимость L"2J люмен на квадратный метр лм/м2 lm/m2 Яркость L"2J кандела на княдрят- ный метр кд/м2 cd/m2 Поток излучения L2MT-3 ватт Вт W Энергетическая осве- щенность и свети- мость MT'1 ватт на квадратный метр Вт/м2 W/m2 Энергетическая яр- кость Спектральная пло- тность энергетичес- кой светимости: MT-1 ватт на стерадиан- квадратный метр ВтДср-м2) W/(srm2) а) по длине волны L-1MT-3 ватт на метр в кубе Вт/м3 W/m3 6) по частоте MT-2 джоуль на квадрат- ный метр Дж/м2 J/m2 ** Производные единицы СИ электричесхих и магнитных величин образованы в соответствии с рационали- зованной формой записи уравнений электромагнитного пола. в. В некоторых случаях (например, в научной литературе, по физике) допускается применение системы единиц СГС. Различают три системы единиц электрических и магнитных величин, построенные на основе системы СГС для механических величин: абсолютная электростатическая система (СГСЭ), абсолютная электромагнитная система (СГСМ) и абсолютная гауссова система единиц (СГС). В системе СГСЭ коэффициент пропорциональности к в законе Кулона (13.1) полагается безразмерным и равным 1. Соответственно закон Кулона и все другие соотношения электростати- ки и электродинамики записываются в нерационализованной форме. В системе СГСМ коэффициент пропорциональности к в законе Био — Савара — Лапласа (22.2) полагается безразмерным и равным 1, так что этот закон и все другие соотношения электромагнетизма записываются в нерационализованной форме. Величина с, показывающая, скольким единицам электрического заряда (или электрического тока) в системе СГСЭ эквивалент- на одна единица электрического заряда (или электрического тока) в системе СГСМ, называется электродинамической носгояююй. Она равна скорости света в-вакууме, выраженной в сантиметрах на секунду. В гауссовой системе единиц (СГС) единицы всех электрических величин такие же, как в системе СГСЭ, а единицы всех магнитных величин такие же, как в системе СГСМ. Соответствен- но в СГС коэффициент пропорциональности к в законе Кулона (13.1) полагается безразмерным и равным 1, а коэффициент пропорциональности к в законе Био — Савара — Лапласа (22.2) полагается равным к*=\!с. 678
7. Основные дооолнительяые елти*! СГС Величая* ’ Примечание наименование размер- ность обояачсаве русское меадуя*- родяое Основные единицы Длина L сантиметр см ст КГ’м Масса М грамм г 8 UT* иг Время т секунда с а Термодинамическая температура 6 кельвин К К Количество вещества N моль моль mol Сила света J кандела кд cd 1 Дополнительные единицы Плоский угол радиан j рад I 1 1 Телесный угол 1 1 стерадиан | ср LrJ 8. Производим едшицы СГС Величин* Производная едяяжп» наименование размерность наименование обозначат значение веди- вноах СИ русское. меядушь- родяое 1. Единицы механических величин Плотность L“3M грамм на кубичес- кий сантиметр г/см3 8/ап* 10s кг/м2 Момент инерции L2M грамм-сантиметр в квадрате ГСМ2 g ст2 10"7 kt m2 Импульс LMT’1 грамм-сантиметр в секунду г-см/с gem/» Ю-’шм/с Момент импульса L’MT1 грамм-сантиметр >адрат в секунду гсм’/с gem2/» IO-7 KF М3/с Сила LMT"2 дина ДНИ dyn 10-’H Момент силы L2MT~2 дина-сантиметр дин см dyn-cm 1(Г’Н м . Импульс силы LMT1 дина-секунда ДИНС dyn» 10"’ H e Давление, напряжение (ме- ханическое), модуль упру- гости L-'MT"2 дина на сантиметр в квадрате дин/см2 dyn/cm2 10“*Па Поверхностное натяжение MT~2 дина на сантиметр дин/см dyn/cm 10“’Н/м Работа, энергия L2MT-2 эрг эрг erg IO"7 Дж Мощность L’MT3 эрг в секунду эрг/с erg/s КГ’ Вт Динамическая вязкость L“’MT"’ пуаз п P 10“* Па-с Кинематическая вязкость L’T’1 стокс Ст St 10“* м2/с 2. Единицы электрических и магнитных величин Сила электрического тока Плотность электрнческо- l’/2m*'2t-2 L~,/2M,/JT“2 —• — — 10/c A lO’/c A/m2 Электрический заряд Плотность электрнческо- L’/2M,/2T-* — — — 10/сКл го заряда: а) линейная L,/2M,/2T-1 — — — Ю’/с Кд/м 679
Продолжение таблицы Величава Производны единица наименование / . ' размерность наименование обозначение значение в еди- ницах СИ русское междуна- родное б) поверхностная L“l'’M1'aT“i г — — 104/с Кл/м1 107с Кд/м3 в) объемная L"3BM1/2T_1 — — — Поляризованность l-ibmi/2t-* — — — 10’/с Кл/ма Электрический момент ди- Ls'JM*'aT-* — — — 1/(10с)Кл-м поля Поток электрического сме- щения Электрическое смещение L’MMVij-1 — — — 10/(4лс)Кл L“IBM,/2T-1 — — — 1О’/(4лс) Кл/ма Электрический потенциал, l,/2m,/2t-* — - — — 10_,с В э. д, с., напряжение Напряженность элвктричес- L"1/aM1/aT“* — — —- 10“вс В/м кого поля Электрическая емкость L сантиметр см ст Ю’/с2 Ф Электрическое соцротив- L-1T —• — — lO-’c2 Ом леиие Электрическое сопротив- T i »< -а 'Ч СЛ - А- ’ 1 ‘ 10-«с» Ом м ление удельное Элеггреческая проводи- LT"1 — »ч^- Ю’/с2 См МОСТЬ Магнитный поток L3/aMl/aT-1 максвелл Мкс Мх 10“вВб Магнитная индукция L-1/2M1/2T_1 гаусс Гс Gs 10“* Тл Магнитодвижущая сила L1/aM1BT*‘ гильберт Гб Gb 10/(4я) А Напряженность магнитно- L-wMvaT-» эрстед э Ое Ю7(4я)А/м го поля Индуктивность, взаимная L сантиметр см ст 10“’ Гн индуктивность Магнитный момент элек- — -— — 10-а Ам2 тричесхого тока Намагниченность u-^mw’t-1 — ' . и* - Ю’А/м . Магнитное сопротивление L’* > — — 1О’/(4л)А/Вб в. Внесистемные единицы Внесистемные единацы, допускаемые к применению в физике астрономии Наименование величины Внесистемная единица наименование обозначение значекие в единицах СИ русское мчждува- родвое Длина • Оптическая сила Масса Площадь Энергия Площадь (земельных участков) Объем, вместимость ’ Плоский угол астрономическая единица световой год парсек диоптрия атомная единица массы барн электрон-вольт. гектар ... s. литр градус минута кун. а. е. св. год ПК дптр а. е. м- ' б эВ га л О 1-У- ре и b eV ha 1о Г ft 1,49600 10“ м 9,4605 10” м 3,0857 Ю1" м 1м"1 1,66057 Ю"27 кг Ю-^м2 1,60219 Ю"1’Дж 10* ма 10“3 м3 я/180 оад я/1О8О0рад я/648000 рад 680
Продолжение таблицы Наммсяовы : вешяны Внесистемная единица иаименовиие обозначение русское междуна- родное Время Масса Температура Цельсия, разность температур минута час сутки 1 цея 1 сяц год тонна градус мин ч сут нед мес год °C 5 min h d t °C 60c 3600 c 86400 c 103 кг ( Температура Цельсия t-T— 273Д5, где T — термодинамичес- кая температура. По размеру градус Цель- сия равен кельвину' § П. 2. Фундаментальны* физически* константы Величина Обо и Звсине Относвтель- >я погреш- ность, 1О-6 Атомная единица массы Заряд элементарный Заряд удельный электрона Комптоновская длина волны нейтрона Комптоновская длина водны протона ' ; ’ Комптоновская длина воЛны электрона Магнетон Бора Ядерный магнетон Магнитный момент нейтрона Магнитный момент протона Магнитный момент электрона Масса нейтрона Масса (фотона j Масса’электронк , а.е.м. -</»»« Ч^(2я) Лк, .,-А/(ЖрС) ! 2к,р/(2я) Лк, «-Ь/(ж«с) Лк,Л2я) рЕ-еЛ/(2т.) д„-*ей/(2|Ир) «к М*в Др/Ям Л/Др «и да, ’ т> ; 1,6605655(86)-10” 27 кг 1,6021892(46) • 10“19 Кл' -1,7588047(49) • 10й Кл/кг 1,3195909(22)'10”13 м 2,1001941(35)-10~“ м 1,3214099(22) -10”13 м 2,1030892(36) 10"“ м 2,4263089(40) '10”12 м 3,8615905(64) 1б-“м» 9,274078(36)-КГ24 Дж/Тд 5,050824(20) 10"27 Дж/Тл -1,91304184(88) 1,4106171(55) • 10-“ Дж/Тд 1,521032209(16) Ю"3 2,7928456(11) 9,284832(36) • 10"24 Дж/Тл 658,2106880(66) 1,6749543(86)'10"27 кг 1,008665012(37) а.е.м. 1,6726485(86) 10"27 кг 1,007276470(11) а.ези. 0,9109534(47) Ю’30 кг 5,4858026(21)- КГ* К.е.м. 5,1 2,9 2,8 1.7 1,7 > /1,7 * 1,7 1>« 3,9 -< 3,9 0,46 3,9 0,011 * 0,38 3,9 0,010 5,1 О;О37 5,1 . Р.ОИ 1 - ’5,1 . 0,38 681
Продолжение таблицы - Вемпниа Обозаачсиие Зинине Опоситсдьиая погрешность, »-• Monqmd объем цмпгго га- Ра-Л7Ул 0,02241383(70) м’/моль 31 ^Ж.ГзК-Ю! зЙпа)" Постаивая Авогадро *А 6,022045(31)-10“ моль'1 5,1 Постовшая Больцмавя *-JVWa 1,380662(44) • 10’” Дж/К 32 Постаивая газовая уинверсаяь- л 8,31441(26) Дж/(моль К) 31 нал Постоянная траввтационжм G.Tf 6,6720(41) • 10”11 Н-м’/кг2 615 Поставим магжтвая ДО 12,5663706144' 10”’ Гн/м Поставим Плайи h 6,626176(36)-10” ” Дж/Гц 5,4 А-*/(2я) 1,0545887(57) • 16” ” Дж/Гц 5,4 Квант магнитного потока •b-A/(2e) 2,0678506(54) ’10”“ Вб 2,6 Квант циркуляции А/» Дж 4,135701(11)-10”** П(-Кл Дж 3,6369455(60)-10”4 2,6 1,6 hjen. П(-кг Дж 7Д73891(12)-Ю”4——- 1.6 Поставим иэфнения верам ci—2xhe? Гц-кг 3,741832(20)* 10”14 Вгм2 5,4 Постонннм кэлучення вгорм Cfc-Ac/* 0,01438786(45) м-К 31 Постаннвм РнДберга Лео ™ _ 8А* 1,097373177(83)-10’м”1 ОДО Поставим Стефана — Больц- я2*4 5,67032(71)* 10”’ Bt/(ms -К4) 125 манд Постовввм тонкой структуры ворс* Роси* в— 2А 0,0072973506(60) 0,82 в-1 137/)36О4(11) 032 Постоянная Фарадея P-WAe 9,648456(27) -10* Кл/моль 2,8 Постоянно электричкам во»1/(яосл) 8,85418782(7)' 10"” Ф/м 0,08 Радиус боровсквй ов-я/(4хА<ю) 0,52917706(44)-10”“ м 0,82 Радиус электрона кяаосвшзи* '•«До^/Няяи 2,8179380(70)’ 10”“ м 2,5 Скорость'света в вакууме с 299792458 м/с — Ускорение свободного падения g 9,80665 м/с2 — стандартное Энергия Кокоа нейтрона 939,5731(27) МэВ 2,8 Энергия ноем протона я^с3 938,2796(27) МэВ 2,6 Энергия покоя мвпрона 0,5110034(14) МэВ 2,8 Эвдвня, соотзетспуеацм 1 желе. 931,5016(26) МэВ 2,8 •* Чти в яруглых скСш уимнмпт стмлертяуи> погрешность оосдяв тщфрМ «виндниио мвшииаеяшнш.
§ П.З. Погрешности при измерениях физических величии 1. Измерение фазической вели ibmi заключается в сравнении ее с однородной ей физической величиной, принятой за единицу. Результат измерения физической величины А представляют в виде А»{Л}[Л], где {Л} — отвлеченное число, называемое числовым заачеамм вешгмы А, а [Л] — единица величины А. Если единицу данной физической величины изменить в к раз ф4]'*й[Л]), то числовое значение {А}' этой величины изменится в 1/й раз: 1 ' "и’ки" * Размерность физической величины А обозначают dim Л. Так как числовое значение {А} — величина безразмерная, то размерность физической величины А совпадает с размерностью ее единицы: dim И «dim [И]. Различают два типа измерений физических величин: прямые и косвенные. При прямой измерешш значение искомой величины непосредственно определяется с помощью прибора, измеряющего эту величину. Например, размеры тела можно непосредственно измерить линейкой, штангенциркулем, микрометром; массу тела можно найти путем прямого измерения — взвешивания на весах; продолжительность какого-либо процесса можно непосредственно изме- рить секундомером, а силу электрического тока в цепи — амперметром. При косвеииом измерена! значение искомой физической величины находят, основываясь на результатах прямых измерений других физических величин, с которыми эта величина связана известной функциональной зависимостью. Например, среднюю плотность тела можно вычислять, пользуясь результатами прямых измерений массы и объема этого тела, электрическое сопротивле- ние проводника можно найти из закона Ома, если известны результаты прямых измерений силы тока в проводнике и напряжения на его концах. В зависимости от выбора метода измерений значения некоторых физических величин можно определить путем как прямых, так и косвенных измерений. Например, салу постоянного тока в электрической цепи можно непосредственно измерить амперметром, а можно косвенно — по измеренному напряжению на образцовом сопротивлении, включенном в цепь последовательно. Объем шарика можно найти путем прямого измерения, погружая этот шарик в жидкость, Налитую в мерный цилиндр, а можно вычислить, измерив диаметр шарика. Технические средства, используемые для выполнения экспериментальной части измерений, называются средствами измерен^. К ним относятся измерительные приборы, меры и состоящие из них измерительные системы и установки. Измерите питчи прибора» называются средства измерения, с помощью которых можно непосредственно отсчитывать значения измеряемых величин. Мерями называются средства измерения, служащие для воспроизведения физических величин заданных (одного или нескольких) размеров. Примерами мер являются наборы гирь, нормальные элементы, образцовые сопротивления и катушки индуктивности, магазины емкостей, индуктивностей и сопротивлений, различные меры длины, вместимости и т. д. 2. Из-за действия множества искажающих факторов результат каждого отдельного измерения физической величины не совпадает с ее истинным значением. Разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется иогреяиюстъю измерений (сшибкой нзмерсшй). Погрешности измерений могут быть связаны с техническими трудностями (несовершенство измерительных приборов, ограниченные возможности органов зрения человека, с помощью которых во многих случаях производится регистрация показаний приборов, и т. д.), а также с целым рядом факторов, влияние которых трудно учесть (колебания температуры воздуха, его движение вблизи измерительного прибора, малые вибрации элементов измерительной установки и т. п.). Различают три типа погрешностей измерений: грубые ошибки (промахи), систематические и случайные погрешности. Грубые ошибки, или промахи, обычно бывают связаны с неисправ- ностью измерительной аппаратуры, либо с ошибкой экспериментатора в отечете или записи пока хя ни» приборов, либо с резким изменением условий измерений. Результаты измерений, соответствующих грубым ошибкам, нужно отбрасывать и взамен проводить новые измерения. Свстемятическшии погрешностями измерений называются погранности, которые при много- кратном измерении одной и той же величины остаются постоянными либо изменяются по 683
определенному закону. Систематические погрешности включают' в себя методические' и инст- рументальные (приборные) погрешности измерений. •• Методические ширепиюсти вызываются недостатками применяемого методаизмерений.несо- вершенсгвом теории физического явления и неточностью расчетной формулы, используемой для нахождения измеряемой величины. Например, при взвешивании тела на аналитических весах 'будет допущена систематическая методическая погрешность, если не будет вноситься поправка на различие выталкивающих сил, действующих со стороны воздуха на взвешиваемое тело и раз- новесы. Методические погрешности можно, уменьшать путем совершенствования метода измере- ний, а также введений уточнений в расчетную формулу. Инструментальные (приборные) погрешности вызываются несовершенством конструкции и не- точностью изготовления измерительных приборов (например, небольшое различие в длинах плеч рычажных весов, несовпадение в стрелочном приборе центра шкалы с осью вращения стрелки, изменение хода ручного секундомера при изменении температуры и т. п.). Уменьшение инструмен- тальной погрешности достигается применением более совершенных и точных приборов. Однако полностью устранить приборную погрешность невозможно. 3. Случайными погрешностями измерен* называются погрешности, абсолютная величина и знак которых изменяются при многократных измерениях , одной и той же физической величины. С.гц'чаййме погрешности вызываются многими факторами, не поддающимися учету, Йапример, ва’пйказания чувствительных аналитических рычажных весов могут повлиять пылинки, оседа- ющие во время взвешивания на чашки весов, удлинение одного из плеч коромысла весов, нагревающихся от находящейся. вбл#зй него руки экспериментатора, конвективные токи воздуха вблизи чашек весов и другие причины. Полностью избавиться отслучайных погрешностей, невозможно^но их можно уменьшить Путем йнбгократногр повторения, измерений. При’этрм происходит частичная компенсация случайных отклонений результатов Измерений в сторону завышения и в сторону занижения. Расчет случайных погрешностей производится методами Теории вероятностей и гйатематичёской статистики. За наиболее достоверное значение непосредственно измеряемой физической величины А при- нимают среднее арифметическое <Л> из* всех л результатов ее измерений Л ь Аг,™, Аь ..., Я„: 1 " А(. '• " ' ’ И/-1 Окончательный результат измерения величины А представляют в форме Л-<А>±АЛ, ’ ' где АЛ—положительная величина, называемая абсолютной погрешностью найденного значения А. Относительной погрешностью значения А называется отношение ЛА/А. Надежностью результата измерения физической величины А называется вероятность Р.того, что истинное значение А действительно лежит в интервале от <Л>— АЛ до (Л>+АЛ. Если систематическими погрешностями можно пренебречь' (см. п. 4), а случайные погреш- ности подчиняются нормальному распределению (распределению Гаусса)*, то при числе измере- ний л> 5 с надежностью Ра>3/3 можно принять, что абсолютная погрешность АЛ равна стандарт- ной (среднеквадратичной) погрешности ’ / " «л- / £ <л»’/п(л^ 1). ,, У Г-1 Если необходимо повысить надежность Р результата, то значение АЛ следует соответственно увеличить, положив АЛ«г£л, где t — положительный коэффициент, зависящий от л и Р. С увеличением л стандартная погрешность Зд уменьшается (при больших значениях л погреш- ность Поэтому точность, результата измерений, лимитируемая случайными погреш- ностями, растет с увеличением числа измерений. *Это верно, например, когда результирующая погрешность измерения является суммой большого числа независимых случайных погрешностей, малых’по сравнению с результирующей. 684
I 4. В общем случае необходимо щ м во внимание как случайные, так систематические погрешности прямых измерений. При этом стандартная иогрспвюстъ измерения вежнмы А рас- считывается по формуле* где S* — стандартная случайная погрешность; — стандартная система гимен ая погрешность. При вычислении Sa не требуется высокая точность — вполне достаточно найти Sa с точ- ностью до 15 — 20%. Поэтому если 5“ и отличаются в два раза или более, то практически можно считать, что SA равна большей из них: Зл-шах^, sp. Например, пусть 5^—0,53^, тогда 34-^1,253^5^. В этом случае для повышения точности результата измерений нет смысла увеличивать число измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической погрешности (ияпрнмеу, использовать более точные приборы). Стандартная систематическая погрешность оценивается на основе анализа мето, измерважя и используемых средств измерения. Вов систематические погрешности, поддающиеся исключению (например, некоторые методические погрешности), должны быть устранены еще до начала обработки экспериментальных данных путем введения к ним соответствующих ши нм. Именно эти справлеш е значения At и рассматриваются как исходные экспериментальные данные При отыскании <Л> я 3^. Инструментальная (приборная) погрешность определяется на основе пас- портных данных прибора, его класса точности, точности нониуса и т. д. Классом точности средства измеровя называется характеристика последнего, служащая пока- зателем установленных для вето государственным стандартом пределов погрешностей и других параметров, влияющих на точность. Многие показывающие приборы (манометры, амперметры, вольтметры, ваттметры и др.) нормируются по пмюедеааюй погрешности — погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела измерении (у многопредельных приборов — от верхнего предела на соответствующем диапазоне) или от длины шкалы. Применяются следующие классы точности таких прибор >: 0,1; ОД* 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Обозначение класса точности прибора записывается на его шкале в виде соответствующих цифр (не заключенных в кружок). Общая формула для расчета максиме <п.нпй абсолютной погрешности имеет внид где К—класс точности прибора, Ани,— верхний предел измерений прибора (либо данного его диапазона). Например, для амперметра класса 0,5 на диапазоне 2 А 0,5 А7гоя6-— 2 А-0,01 А. 100 В качестве стандартной систематической погрешности этого амперметра можно принять половину А/цше, т. е. S"t —0,5ААфЫ< **0.005 А. Измерительные приборы могут также нормироваться по относительной погргаомостн — погре- шности, выраженной в про;центах от действ tej кого значения измеряемой величины. Обозначе- ние класса точности изображается на шкале такого прбора соответствующими цифрами, загло- ченными в кружок. В этом случае К А^-шяВ А. 100 Если класс точности прибора не указан и в паспорте прибора нет данных относительно «го инструментальной погрешности, то обычно считают, что эта погрешность равна половив я ♦Здесь праведен упрощен гй способ учета систематических погрешностей. Более сложный точный метод обработки см. ГОСТ 8.207 — 76 «Прямые измерения с многократными наблюдени- ями. Методы обработки результатов наблюден й. 685
наименьшего деления пжалы прибора. В случае прибора, стрелка которого перемещается не рамомер!ю, а «скачками» (например, у ручного секундомера), приборную погрешность считают равной цене деления шкалы. С. При записи результата измерений в стандартной форме, показанной в п. 3, необходимо соблюдать следующие правила: 1) погрешность АЛ необходимо округлить до двух значащих цифр, если первая из них — единица, и до одной значащей цифры Ио всех остальных случаях; 2) при записи значения <Л> необходимо указывать все цифры вплоть до последнего десяти- чного разряда, использованного для записи погрешности. Пршер. Обработка результатов прямых измерений диаметра d шарика с помощью мик- рометра. Значения </, для пип измерений приведены во втором столбце таблицы. Номер им ирмпм 4> мм 14-<4>|мм (А-ЮГ, мм1 1 5,27 0,02 0,0004 2 5,30 0,01 0,0001 3 5,28 0,01 0,0001 4 5,32 0,03 0,0009 5 5,28 0,01 0,0001 Про»»» рас»™ W7+Ji <<(> —-—------------мм—5Д9 мм, /4+1 +1+9+1 S'.— /------------10"‘ мм «0,009 мм. . V 5-4 Полагая стандартную инструментальную погрешность микрометра разной его точности (5J=0,01 мм), найдем стандартную погрешность диаметра шарика: S^^y/ofiO^+Ofil2 мм «0,0134 мм«0,013 мм. Правильная запись результата измерений: </=(5,290 ±0,013) мм. Примеры неправильной зап и результата измерений: 1) </=(5Д9±О,О1) мм — погрешность занижена больше чем на 15 —20% из-за нарушения правила 1; 2) </= 5,29+0,013) мм— нарушено правило 2; 3) </=(5,2900 ±0,0134) мм — не выполнено правило 1. / •. Правиле расчета погрешностей ера косаеишх измерениях. Пусть для косвенных измерений физической величины А используется известная функциональ- ная зависимость А от ряда других независимых величин В, С, D, Е, F, ..., Q, заданная в форме A~f(B, С, D, Е, F, .... б). Среди переменных В, С,.... Q могут быть величины трех типов: 1) величины, определяемые путем прямых измерений (например, величины Е, F, .... Q), которые после проведения этих измерении представляются в стандартной форме: £-<£>±5и, F»</>±Sf,..., 2-<G>±Sc; 2) данные установки (например, величины В и С), т. е. характеристики экспериментальной установки, известные из предыдущих (тарировочных) измерений; эти величины также должны быть заданы в аналогичной форме*: В-<Б>±5Л и C=<C>±Sc; •В противном случае обычно считают, что заданное без указания погрешности значение измерено с точностью до половины единицы последнего десятичного разряда в этом значении (например, если £« 11,3 мм, то 5в=0,05 мм, а если 11 мм, то 5^=0,5 мм). 686
г 3) табличные величины (например величина D) — величины, которые в данном опыте не измеряются, а берутся из таблиц. Табличная величина может быть константой (например, О«я). В этом случае ее нужно брать из таблиц с такой точностью, чтобы относительная noi ппность 1 была значительно меньше относительных погрешностей всех остальных величин, входящих в функциональное выражение для искомой величины А. Если же Л — заданная в табличной форме |ункция непосредственно измеряемой величины Т, то ее также нужно представить в стандартной форме: да dD где <Л> — табличное значение, соответствующее — Зт, а — определяется с помощью , дТ дТ таблицы. Наилучшим значением величины А пря косвенном ее измерении будет <Л> =/«В>, <Q, <Л>, <£•>, <f>.... <С», а стандартная погрешность А принимается равной Окончательный результат также представляется в стандартной форме: Л-<Л>±3Л. 7. Формулы расчета погрешностей при косвенных измерениях в некоторых простейших случаях: 8. Пример обработки результатов косвенных измерений. Определить плотность р однородного тела на основании результатов прямых измерений его массы т=(25,4+0,5) Ю"3 кг и объема V= (2,94+ 0,05) 10"* м3. Наилучшее значение плотности тела 25,4 10"3 103 кг/м3. 2,94 10 6 Относительная стандартная погрешность плотности sP //°-5Y /°’05V , /--------- —= /(—I +|---------) = Ю~2 73,87+2,89=2,6'10"2. p \25,4/ \2.94/ Стандартная погрешность плотности =8,639 103 2,6 10"2 кг/м3=225 кг/м3. Округляя значения Sfi и запишем окончательный результат в виде 1 р=(8,6 ±0,2) • 103 кг/м3. 687
Предметный указатель А Аберрации оптических систем геометри- ческие 451 Автоионизация 523 Адиабата 123 Адроны 655, 660 —, состав кварков 661 Аксиома об инвариантности длин 14 -------промежутков времени 14 4^тивность радиоактивного вещест- ва 633 -------, удельная 633 Актиниды 554 Акцепторы 617 Альфа-распад 633 Ампер 675 Амплитуда биений 367 — волны 388 ----стоячей 398 — колебаний гармонических 358 -------комплексная 360 — — затухающих 373 Анализ колебаний гармонический 367 — люминесцентный 569 — рентгеноспектральный 449 - — рентгеноструктурный 449 Анализатор 465 Анизотропия оптическая естествен- ная 466 ----искусственная 466, 473 Анионы 252 Аннигиляция пары 649 Анод 252 Антинейтрино 632 Антинейтрон 649 Антипротон 649 Античастицы 649 Апертура интерференции 423 — числовая объектива микроскопа 452 Аромат кварка 665 Атом водорода, потенциал ' иониза- ции 536 — —, состояние основное (Нормаль- ное) 536, 542 Атом водорода, состояние возбужден- ное 536 ---, спектр 532 ---, термы спектральные 533 —, модель ядерная 531 Атомы акцепторы 617 — доноры 617 Б Базис ортонормированный декартовой системы координат 9 Барионы 660 '? —, состав кварков 661 Барн 680 Барьер потенциальный 63 Бета-распад 634 Бетатрон 348 Биения 366 —, амплитуда 367 —, период 367 > —, частота 367 Бизеркало Френеля 423 апертура интерференции 423 ---, условия интерференционные'423 Билинза Бийе 423 Биолюминесценция 568 Бипризма Френеля 423 Бозоны 578 — промежуточные 651, 669 Бомба водородная 644 Бэр 637 В Вакуум 143 Ватт 676 Вебер 677 Вектор внешних сил главный 27 — волновой 389 — главной нормали 11 — касательной 11 — перемещения 11 688
Вектор плотности потока энергии волны упругой 393 ------------электромагнитной 406 — световой 420 — Умова 393 — Умова-Пойнтинга (Пойнтинга) 406 — элементарного поворота твердого те- ла 47 Векторы аксиальные (псевдовекторы) 47 — полярные 47 Величина физическая безразмерная 674 -----, измерение 683 -----, основная 674 -----, размерность 674 -----, числовое значение 683 Вероятность состояния термодинами- ческая 163, 579, 581 Вещества (среды) оптически активные 475 Взаимодействие гравитационное 656, 670 — обменное 667 — проводников с токами 284 — сильное 655, 669 — слабое 655, 669 — электромагнитное 655, 668 — электрослабое 670 — электроядерное 670 Взаимодействия фундаментальные 655 -----, время характерное 657 -----, интенсивность 656 -----, механизм 657, 666 -----, переносчики 669 и след. -----, радиус действия 656 Вибратор элементарный 408 Видимость интерференционных полос 424 Волна бегущая 387 —, волновая поверхность 388 — гармоническая 387 — квазисинусоидальная 395 — монохроматическая 405 — необыкновенная 468 — обыкновенная 468 — опорная (в голографии) 450 — плоская 388 -----, уравнение 388, 403 — сигнальная (в голографии) 450 — синусоидальная 387 — стоячая 398 -----, плоская синусоидальная 398 Волна стоячая плоская синуслипя льна я, амплитуда 398 ---------, длина волны 399 ---------, пучности 398 ---------, узды 398 — сферическая 389 — упругая поперечная 387 ------ продольная 387 ----стоячая, энергия 399 —, фронт 388 — электромагнитная, интенсивность 407 ----, р-волна 413 -----, г-волна 413 Волны акустические 386 — де Бройля 504 -------, длина волны 504 --------, скорость групповая 509 ----- —— фазовая 508 — -----, частота 508 — звуковые 386 — когерентные 396 ----частично 424 — механические 386 — поверхностные 387 — упругие 386 — электромагнитные 402 ----, поляризация 405 ----, поперечность 403 ----, скорость фазовая 403 ----, энергия 406 ----, эффект Доплера 415 Вольт 677 Восприимчивост диэлектрическая ком- плексная 460 —- — неполярного диэлектрика 205 — — полярного д иэлектрика 206 — магнитная 315, 316 Вращение плоскости поляризации света 475 —--------магнитное 476 — тела вокруг неподвижной оси 47 --------- точки 49 Время высвечивания атома среднее 410 — жизни радиоактивного изотопа сред- нее 632 — когерентности 366, 422 — релаксации 373 — собственное объекта 93 — характерное фундаментальных вза- имодействий 657 23 Курс физики 689
Вязкость 140, 141 — динамическая 140,141 ' — кинематическая 140 Г Газ вырожденный 584 — идеальный ПО — — Бозе 580 — — Ферми 579 — — фононный 592 — — фотонный 589 — разреженный 143 — реальный 167 ---Ван-дер-Ваальса 170 . ~ электронный в металле 2171 ---- вырожденный 586 ; ---- —, внутренняя анергия 588 ---, теплоемкость 589 ---—-----, химический потенциал 588 — — _----, энергия Фсрмм 586 --------------электрона, средняя 588 Гальванометр баллистический 293 — магнитоэлектрический 293 —- электродинамический 294 Гамма-излучение (гамма-лучи) 411,636 Гармоники периодического колебания 367 Гаусс 680 Гектар 680 Гелий жидкий, сверхтекучесть 175 Генератор импульсный высоковольтный 226 — когерентного света (ГКО 570 — магнитогидродинамический (МГД) 332 — оптический квантовый (ОКГ) 570 — электростатический Ван де Граафа 219 Генри 677 Германий 611 Гера 676 Гидродинамика 44 Гильберт 680 Гиперзвук 386 Гипероны 651, 661 Гипотеза квантовая Планка 487 Гироскоп 65 — уравновешенный 65 — , центр подвеса 65 Гистерезис диэлектрический'215 — магнитный 323 Глаз, угловой предел разрешения 452 Глюболы 669 Глюоны 669 Год 681 — световой 93, 680 Голограмма объекта 450 ----объемная 451 Голография 450 Гравитон 670 Градиент скалярной функции координат 40 Градус угловой 680 — Цельсия 681 Граница верхняя энергии бета-спектра 636 — красная внешнего фотоэффекта 493 Грей 637 Группа волн 395 д Давление 108 — внутреннее 171 — полное 46 — света 410, 498 — статическое 46 — электромагнитных волн 407 Двигатель вечный второго рода 158 — ракетный ионный 73 ----фотонный73 — — вдерный 73 ' — тепловой 151 Движение абсолютное 76 < — апериодическое 374 — броуновское 165 — заряженной частицы в магнитном по- ле 296 — механическое 8 — относительное 76 ----, основное уравнение динамики точ- ки 78 — - по инерции 19 — твердого тела винтовое 50 -------вращательное 47,49 — — — плоское (плоскопараллельное) 50 -— поступательное 17 — — — сферическое 49 — тела переменной массы 30' — тепловое 106 — точки замедленное 14 ----криволинейное 10 690
Движение точки неравномерное 13 ----плоское 10 ----прямолинейное 10 ----равиозамедвенное 16 ----равномерное 13 — — равнопеременное 16 ----равноускоренное 16 ----ускоренное 14 Двойственность корпускулярно-волно- вая света 501 -------частиц вещества 504 Дебаеграмма 449 Декремент затухания логарифмический 373 Деления тяжелых ядер 642 -------, параметр деления 642 ----— спонтанное (самопроизвольное) 642 Детерминизм механический 514 Дефект массы ядра атома 629 Деформации 8 — упругие 385 Деформация объемная 385 — сдвига 386 Джоуль 676 Диаграмма направленности излучения осциллятора (диполя) 408 — термодинамическая 117 ----Г — 3’154 Д иаграммы Фейнмановские 668 Д иамагнетизм Ландау 315 Диамагнетики 314 Диаметр молекулы эффективный 120, ' 136, 169 Диафрагма апертурная 451 Дивергенция вектора 208 Дина 679 Динамика 8 — релятивистская 97 Диод полупроводниковый 626 Диоптрия 680 Диполь электрический 190 ----жесткий 203 :-------в электрическом поле203 ----упругий 203 Дисперсия волн 391 — света аномальная и нормальная 458 ------------, теория классическая элек- тронная 459 ----вращательная 475. Диссипация энерг и 44 Диссоциация молекул электролита 254 Дифраждиони i решетка одномерная 445 ----трехмерная (пространственная) 447 Дифракция рентгеновского излучения на фостранственной решетке 447 — света 436 ----Фраунгофера (в параллельных лу- чах) 442—447 ----Френеля (в сходящихся лучах) 440 Диффузия 138 Дихроизм 470 — электрически изотропный 208 Диэлектрики 202,611 — неполярные 202 — полярине 203 —, условия на границе раздела 211 Длина волны 388 ----де Бройля 504 — когерентности (гармонического цуга) 422 — — пространственной 426 — приведенная физического маятника 362 — пути оптическая 428 ----точки 11 — свободного пробега молекул газа 136 — стоячей волны 399 Добротность колебательной системы 373 Доза излучения 637 ----, мощность 637 ----экспозиционная 637 -------, мощность 637 Домены 215,325 Доноры 617 Дросселирование газа адиабатное 178 Дублет мюонный 65$ — таонный 658 — электронный 658 Дырка 613 Е Единица астрономическая 680 — массы атомная 681 -------, энергия 682 — физической величины 674 -------основная 674 — — — производная 674 691
Емкость электрическая батареи конден- саторов 225 ---взаимная двух проводнихов222 ---конденсатора 222,223 ---уединенного проводника 221 -------шара 221 Ж Жидкость идеальная 44 ‘..... — квантовая 526 , — ишящая 173 / — перегретая 175 3 VC" Закон Авогадро 111 — Ампера 275 м -' — Бера 454 — Био 475 — Био — Савара — Лапласа280 — Больцмана 135 — Брюстера 466 — Бугера — Ламберта 454 — Бугера — Ламберта — Фабриканта 571 — Бунзена — Роско 496 — Вавилова 568 — взаимосвязи массы и энергии100 — Видемана — Франца 240 > — всемирного тяготения 41,80 ' — Гейгера — Неттолла 634 — Гука 42 ---для деформации объемной 385 ---------растяжения (сжатия) 391 ---------сдвига 386 — движения центра масс 29 — Дебая 594 — Джоуля — Ленца 249 ---— в дифференциальной форме 240 — динамики материальной точки основ- ной 24 ---твердого тела, вращающегося вок- руг неподвижной оси 53 ---------, движущегося поступательно 28 — изменения импульса системы 28 ---механической энергии системы 43 ---момента импульса системы 52 — инерции 19 — Кеплера первый 70 —i—второй 68 Закон Киллера третий 70 — Кирхгофа 481,482 — Кулона 183 — Кюри 316 — Ламберта 489 — Максвелла (распределение молекул по скоростям) 129 — Малюса465 — Менделеева 551 — Ньютона внутреннего трения 140 -----динамики первый 19 -------второй 24 -------третий 26 — Ома для замкнутой цепи 248 -------плотности тока 239, 264, 596 ------------в электролитах 256 -----обобщенный 248 — отражения света 437 -----электромагнитных волн,413 . — поглощения света 454 — полного тока в вакууме 289 :------в веществе 321 — преломления света 437 -----силовых линий электростатическо- го поля 212 -----электромагнитных волн 413 — прямолинейного распространения света 438 — радиоактивного распада 632 — распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям 132 ---------------скоростям 129,131 — — свободных пробегав молекул газа 137 -----энергии по степеням свободы мо- лекул 146 — Рэлея 456 — сложения скоростей в кинематике классической 14 ------------релятивистской 96 — емепуния Вина 484 — сохранения заряда барионного 660 -------лептонного 658,659 -------электрического 183,633 -----изоспина 662 , -----импульса 59, 74, 100 -----момента импульса 65, 74 — очарования 663 -----странности 662 -----энергии 64,115,231, 343 692
Закон сохранения энергии механической 61,75 — Стефана — Больцмана 482 — Столетова 492 ' — термодинамики первый 115, 582 -------для идеального газа 120 ----второй 159 — трех вторых 244 — Фарадея 329 — Фика 139 — фотохимии основной 496 — Фурье 139, 140 — Хаббла 418 — электромагнитной индукции 330 Законы внешнего фотоэффекта 492 — Фарадея для электролиза 252 Замедление хода времени 93 Замедлители нейтронов 641 Заряд барионный 660 — лептонный 658 ----мюонный 658 ----таонный 659 . ----электронный 658 — магнитный 291 — электрический пробный 185 ----точечный 182 ----удельный 236,299 ----элементарный 182, 681 ----ядра атома 628 Заряды индуцированные (наведенные) 217 — поляризационные объемные 207 ----поверхностные 207 — свободные 208 — связанные 208 Затухание колебаний 371 Захват нейтронов резонансный 641 — электронный (е-захват, Х-захват) 635 Звуки слышимые 386 Значения универсальных физических по- стоянных 681 — 682 — энергии собственные 516 Зона волновая 408 — энергетическая 609 ----валентная 611 ----гибридная 610 ----запрещенная 609 ----проводимости 611 ----разрешенная 609 Зоны Френеля 438 * - И Излучатель косинусный 489 Излучение Вавилова — Черенкова 462 — видимое 411.. — вынужденное (индуцированное) 556 — гамма 411 — инфракрасное 411 — оптическое 411 — равновесное 478 — =—, спектральная плотность 480 — рентгеновское 411 — самопроизвольное (спонтанное) 554 — синхротронное 306 — тепловое 478 — ультрафиолетовое 411 — циклотронное 306 — черное 480 — электромагнитных волн 408 Измерение физической величины 683 -------косвенное 683 -------, правила расчета погреш- ностей 686 -------прямое 683 ----------, расчет погрешностей 685 Изобары 628 Изомультиплеты адронов 662 Изоспин 662 f —, проекция 662 Изотерма 121 — газа Ван-дер-Ваальса 174 -----реального 172 —------- критическая 172 Изотопы 628 Изотропность пространства 74 Импульс материальной точки 24 -----релятивистский 97,101 — силы 25 — системы 27 -----, закон изменения 28 -----сохранения 59, 74, 100 — фотона 497 Индуктивность взаимная 339 -----динамическая 340 — контура 335, 342 -----динамическая 336 — соленоида 335 — тонкого тороида 335 Индукция магнитная 272,277 — электростатическая 217 Инертность тел 19 Интенсивность волны упругой 394 693
Интенсивность воины электромагнит- ной 407 — ионизации газ* 257 — света 407 Интервал цросгранственно-времыной 94 -----временногодобный 94 -----просгражлгвешюгодобиый 94 Интерференция волн 398 — многих воин 431 — «ста 420 -----в тонких пленках 426 — — — — —, полосы равного наклона 429 --------------равной толщины 429 — поляризованного 471 Интерферометр Жамсна 433 — Линника (микроинтерферометр) 435 — Майкелых а 433 Инфразвук 386 Ион 252 Ионизация газа 256 -----, интенсивность 257 -----ударная 257 Ионы водородогодобные 535 — —, квантовал теория 541 Источник излучения косинусный 489 — напряжения 379 — Э.Д.С. 379 -----идеальный 379 — электрической энергии 234 Источники волн 386 -----когерентные 396 К Кандела 675 । Каоны (К-меэоны) 651,661 Катастрофа ультрафиолетовая 486 Катионы 252 Катод 252 Квант магнитного потока 605,682 — циркуляция 682 — энергии 407, 408 Квантование макроскопическое 604 — пространственное 545 Кварки 664 — , ароматы 665 — три дублета (покалены) 664 — , цвет 665 Кельвин 675 Килограмм 675 К нем гика 8 — релятивистская 95 Когерентность волн частичная 424 — колебаний временная 424 -----пространственная 426 Колебания 358 — , время когерентности 366 — вынужденные 358 -----пружинного маятника 374 ----------- дифференциальное уравне- ние 375 ---------1 переходный режим 375 ---------установившиеся гармоничес- кие 375 -----электрические 379 ---------, дифференциальное уравнение 379 ---------установившиеся 379 — гармоничесх с 358 -----, дифференциальное уравнение 359 -----•, метод векторных д иаграмм 360 -----механические 360 -----, сложение 365 -----, эгеппнетптия тткяа форма чатшпи 360 — затухающие 371 — изохронные 362 — когерентные 365 -----частично, сложение 424 — механические 358 — модулированные 368 — находящиеся в одной фазе (синфаз- ные) 366 -----в противофазе 366 — некогерентные 366 — периодические 358, 367 ----—, гармоники 367 -----, основная циклическая частота 367 -----, спектр 367 — плазмы ленгмюровские 363 — поляризованные линейно 369 -----по кругу 369 -----циркулярно 369 — — эллиптически 369 — свободные 358 -----пружинного маятника 361,371 -----стержней, струя, столбов газа 400 -----электромагнитные 364, 371 -----электронов в плазме 363 — , сложение 365 — собственные 358 — электромагнитные 358 694
Колебания электромеханические 358 Количество движения 24 — теплоты — то же, что Теплота Коллайдер 655 Кольца Ньютона 430 Конверсия внутренняя гамма-излучения 636 Конденсатор 223 — плоский 223 — сферический 223 — цилиндрический 224 Контакт металла и полупроводника 623 ---------г пропускное направление 623 — полупроводников и- и р-тнпа 623 Контрастность интерференционных по- лос 424 Контур колебательный 363 ---, вынужденные колебания 379 —--, свободные колебания 363,371 Контур с током в магнитном поле 277 Конфайнмент цвета 666 Конфигурация системы 38 — — нулевая 39 — электронная атома 552 Концентрация электролита эквивалент- ная 256 Коэффициент внутреннего трения 140, 141 — диссоциации 255 — диффузии 139, 141 — затухания 372 — излучения (черноты) теплового излу- чателя 482 — мощности 382 — отражения света металлами 455 ---электромагнитной волны 407, 414 - - поглощения монохроматический 478 ---упругих воли линейный 394 — прозрачности потенциального барье- ра 521, 522 — пропускания электромагнитных воли 415 — Пуассона (показатель ад иабаты) 123 — размножения нейтронов 643 — сопротивления 371 — теплопроводности 140, 141 — холодильный 153 — Эйнштейна для излучения вынужден- ного 557 —-------- спонтанного 555 -------поглощения 557 Кремний 612 Кривая потенциальна 63 Кривые резонансные 377,380 ---относительная ширина 383 Кристалл оптически активный 475 ---анизотропный 466 -------двуосный 467 —. — — одноосный 467 ---------отрицательный 469 ---------положительный 469 Критерий Лоусона 644 — Рэлея 425, >52 — устойчивости атомных ядер 630 Кулон 677 Л Лазер 570 —, трехуровневая схема 573 Лампы люминесцентные 569 Лантаниды 553 Лауэграмма 449 Лептоны 657 семейства 658 Ливень космический 654 Линии магнитной индукции 272 — напряженности электростатического поля 185 — силовые электростатического поля 185 — спектральные атомарного водорода 533 ---, доплеровское уширение 418 Линия действия силы 20 — тока жидкости 44 - удара 60 Литр 680 Луч 387 — необыкновенный 468 — обыкновенный 468 — отраженный 412 — падающий 412 — преломленный 412 — световой 436 Лучепреломление двойное 467 Лучи каиаловые 263 — катодные 263 — космические 654 — рентгеновские 411 Люкс 678 Люмен 678 Люминесценция 567 695
Люминесценция, тушение 568 —, центры 567 • 'it.,- м Магнетики 314 , ... — , условия на границе раздела 326 Магнетон Бора 318, 547, 81, : — ядерный 628, 681 Магнитодиэдектрихи 334 Магнитострикция 324 Мазер 570 Макромир 645 Макротоки 320 Максвелл 680 ~ Масса магнитная 291 — молярная 111 — покоя 98 — релятивистская 98 — системы приведения 71 — тела 23 — —, аддитивность 23 — эффективная электронов н дырок 613, 614 Масс-спектрограф 301 Масс-спектрометр 302 Маятник математический 362 — пружинный 361 , колебания вынужденные 374 — —---свободные 361, 371 — физический 5б1 , приведенная длина 362 МГД-генератор 332 Мегамир 645 Мезоны 650, 660 — , состав кварков 661 Мера 683 Месяц 681 Метод встречных пучков 308 — исследования статистический 107 ----термодинамический 107 — Эйлера (в гидродинамике) 44 — Юнга (в интерференции света) 426 Метр 674 Механика 8 — квантовая (волновая) 508 — классическая (ньютоновская) 8 релятивистская 8, 92 Микромир 645 Микроскоп иммерсионный 452 • —, разрешающая способность 452 Микротоки 320 Минута 618 — угловая 680 Модель атома ядерная 531 Модуль сдвига 386 — упругости объемной 385 — Юнга 391 Модуляция колебаний 368 Молекулы неполярные 202 — полярные 203 Молизация 255 Моль 675 Момент главный внешних сил 51 — импульса атома орбитальный 312 ----механической системы относитель- но неподвижной оси 52,66 --------------точки 51 -----------------, закон изменения 52 ---------г---------сохранения 65, 74 ------------центра масс 53, 65 — — электрона орбитальный 312, 541,545 -------собственный (спин) 318, 548 — инерции механической системы 54 ----тела 54 -------, теорема Гюйгенса — Штейнера 54 — магнитный атома орбитальный 312 ----контура с током 276 ----соленоида 287 ----электрона орбитальный 312 -------— наведенный 314 -------спиновый 318, 681 ----ядра атома 628 — силы относительно неподвижной оси 52 ---------точки 50 — электрический диполя 190; — молекулы индуцированный (наве- денный) 202 ----ядра атома квадрупольный 629 Мощность излучения заряда 409 ----осциллятора (диполя) 408 — силы 36 — тока переменного активна 382 -------мгновенная 382 Мюоны 650, 658 Н Нагреватель (теплоотдачик) 152 Надежность результата измерения 684 Накачка усиливающей среды 572 696
Намагниченность 314 — насыщения 323 — остаточная 324 Напор скоростной 46 Напряжение механическое 386, 391 — трения 140 — электрическое 247 ----зажигания 261 ----переменное, действующее значение 382 ----пробоя 225, 261 Напряженность поля гравитационного 80 ----магнитного 321 ----электрического 184 ----электростатического заряженного цилиндра 198, 199 ---------шара 197 -------заряженной плоскости 199 ---------сферы 197, 212 -------, связь с потенциалом поля 189 ----— системы точечных зарядов 186 -------точечного заряда 185, 214 -------электрического диполя 190 — 192 сторонних сил 246 Насыщение магнитное ферромагнетика 323 — намагниченности парамагнетика 316 Начало термодинамики первое 115 ----второе 159 Невесомость 82 Нейтрино мюонное 650, 658 — 660 таонное 650, 658 — 660 . — электронное 632, 658 — 660 Нейтрон 628, 681,682 Нейтронография 507 Нейтроны быстрые 641 — медленные 641 — тепловые 641 — холодные и ультрахолодные 641 Нормаль главная 11 Носители тока 234, 624 ----, удельный заряд 236 Нуклон 628,,645 Ньютон 676 О Обкладки конденсатора 223 Оболочки электронные в атоме 552 Обратимость механических процессов 75 Объем когерентности 426 — молярный 111 — удельный 108 — фазовый, размер ячейки в квантовых статистиках 579 Однородность времени 75 — пространства 74 Окружность соприкасающаяся 11 • Ом 677 Опалесценсия критическая 457 Оператор Лапласа 354 — набла278 ' Оптика волновая 420 — нелинейная 420,493 — просветленная 429 Опыт Айвса и Стилуэлла 417 ' — Араго 328 — Борна и Борман 137 — Вина 556 — Джоуля 120 — Иоффе 253, 271 — Иоффе и Добронравова 494 — Мандельштама и Папалекси 237 — Милликена 253 — Рикке 236 — Стюарта и Толмена 237 — Томсона 300 — Эйхенвадьда 271, 351 — Эрстеда 270 Опыты Бибермана, Сушкина и Фабрика- нта 506 — Вавилова 495 — Девиссона и Джермера 504 — Ламмерта 132 — Лебедева 410 — Перрена 135 — Резерфорда 529 — Столетова 322 — Тартаковского и Томсона 505 — Фарадея 328 — Франка и Герца 538 — Штерна и Герлаха 546 — Штерна и Эстерман 506 Освещенность энергетическая 489 Осциллятор. 408 — линейный гармонический квантовый 524 ---------, квантование энергии 527 ’ -----— —нулевые колебания 526 ------ классический 361,408 ---------, излучение 408 697 Л
Осциллятор, полярная диаграмма на- правленности 408 ‘":Л Осцилляции нейтринные 660 Ось вращения тела 47 -------мгновенная 49 качания физического маятника 362 — кристалла оптическая 467 Отдача атомного ядра 638 Относительность механического движе- ния 10 Отношение гиромагнитное орбитальное 312 ----спиновое 318, 549 ----ядерное 629 Отражение света металлами 455 — электромагнитных волн 413 ----—, коэффициент отражения 414 —------полное внутреннее 415,453 ------------f угол 415 Очарование 663 Ошибка измерений грубая (промах) 683 П Падение свободное 23, 81 Пакет волновой 395 Пар влажный 173 — пересыщенный 175 — сухой насыщенный 173 Парадокс часов (времени) 93 Парамагнетизм Паули 319 Парамагнетики 316 Параметр вырождения 585 — деления ядра 642 Параметры состояния системы термоди- намические 108 ---------внешние 109 ----------- внутренние 109 ---------интенсивные 108 ---------экстенсивные 108 ----критические газа Ван-дер-Ваальса 175 Парсек 418, 680 Пары куперовские 603 Паскаль 676 Переход фазовый 1-го рода 173,175 ----2-го рода 175 — электронно-дырочный (р-л-переход) 623 Переход р-л, вольт-амперная характери- стика 625 Период вращения 48 — дифракционной решетки 445 — колебаний 358 — — затухающих (условный) 373 — полураспада 632 Пионы (пи-мезоны) 650, 661 Пирометр оптический 488 — радиационный 488 Пирометрия оптическая 488 Плазма 266 — высокотемпературная 268 — газовая (идеальная) 267 — , дебаевский радиус экранирования 266 - - неизотермическая 268 ' —, свойства 268 —, степень ионизации 268 Пластинка зонная 440 — кристаллическая в полволны 472 -------целую волну 472 -------четверть волны 472 Плеохроизм 470 Плечо диполя 190 — силы 50 Плоскости кристалла сетчатые 448 Плоскость главная одноосного кристал- ла 468 ---поляризатора (анализатора) 465 ...колебаний 405 — падения 412 — поляризации 405 — сдвига 386 — соприкасающаяся 11 Плотность вероятности 510 — зарядов 184 — потока молекул 139 ---теплового 139 — тепловой мощности тока объемная 240 — тока 235 ---поляризации 350 ---проводимости в газах 259 ---------жидкостях 255 ---------металлах 238 ---смещения 349 ---— в вакууме 350 — энергии равновесного излучения спек- тральная 480, 590 ---упругих волн 392 698
Плотность энергии электромагнитного поля 406 Поверхность волновая 388 — гауссова 195 — лучевая волны в кристалле 468 — эквипотенциальная 189 Поглощение волн 394 — резонансное гамма-излучение 638 -----нейтронов 641 — света 454 ,----отрицательное 455, 571 -----резонансное 455 Погрешности измерения инструменталь- ные (приборные) 684,685 -----методические 684 -----систематические 683 -----случайные 684 Погрешность абсолютная 684 — грубая (промах) 683 — относительная 684 — приведенная 685 — стандартная 684 -----систематическая 685 -----случайная 685 Подвижности ионов 255. — электронов и дырок 614, 616 Позитрон 182, 649 Показатель адиабаты 123 — поглощения среды главный 454 -------натуральный 454 -------отрицательный 455, 571 — политропы 124 — преломления кристалла для необык- новенного луча 468 ----------обыкновенного луча 468 -----относительный двух сред 412 — — среды абсолютный 412 -------комплексный 454 Поле (физическое) 20 — вихревое 347 — гравитационное 40, 80 -----, напряженность 80 — излучения 408 — интерференции 423 — магнитное 182, 272 -----, вихревой характер 288 — — в веществе 320 -----движущегося заряда 282 ——- критическое (в сверхпроводимо- сти) 602 -----кругового тока 284 Поле магнитное однородное 272 ----прямого тока 283 ----соленоида 286, 327 ----тороида 290,327 ----, энергия 341 — потенциальное 35 — скоростей жидкости 44 — соленоидальное 291 — стационарное 20 — Холла 298 — центральных сил 40 — электрическое 182 ----индуктированное 333 ----однородное 185 — электромагнитное 182 ----, граничные условия 353 ----, теория Лоренца 354 -------Максвелла 346 ----.энергия 406 — электростатическое 182 ----, потенциальность 187 ----.энергия 229 Полосы интерференционные 424 ----равного, наклона 429 ----- равной толщины 429 — поглощения света 455 Полупроводники 607,611 — дырочные (р-тнпа) 618 — электронные (л-типа) 617 Полюс 50 Поляризатор 465 Поляризация днзлвктрика 205 ----деформационная (электронная) 205 ----ионная 205 ----ориентационная 205 ----остаточная 216 ----самопроизвольная доменов 215 — колебаний 369 — монохроматической волны линейная (плоская) 405 -------циркулярная (по кругу) 405 -------эллиптическая 405 — поперечных синусоидальных волн 388 — света 465 Поляризованностъ 205 — насыщения 215 — остаточная 216 Поляризуемость молекулы 203 ' Поляроиды 471 р-л-переход 623 Порог зрительного ощущения 495 699
Порядок интерференционного максиму- ма 398 • , , :{г -----минимума 398--------« Постоянная Авогадро П1» jf>82 — Больцмана 112, 682 > — Верде 476 — Вина 485 — вращения 475 -------------------------раствора 476 — газовая 111 -------------------------удельная 111-------------< г -------------------------универсальная 111, 682 , — гравитационная 41, 682 О(„. — дифракционной решетки-445.. — излучения первая 4582 -, к- Л{ -----вторая 682 : ? — Керра 474 — Коттона — Мутона 475 — магнитная 280, 682 — Планка 488, 682 — Ридберга 532, 682 — Стефана — Больцмана 482,682 — тонкой Структуры 649,682 — Фарадея 253, 682 — Хаббла 418 .7 — Холла 298 — электрическая 184, 682 — электродинамическая 678 Постулаты Бора 535, 559 — специальной теории относительности 86 . Потенциал ионизации 257 . -----атома водорода 536 , - Д . — химический 582 -----электронов в металле 558 -------полупро >днике я-типа 618 ---------------p-типа 61В ----------собственном 615 — электростатического поля 188 ----------заряженного цилиндра 198 ----------'---------шара 197 ----------заряженной плоскости 199 ----------сферы 197 -----------------, связь с напряженностью 189 -----------------системы точечных зарядов 188 -----------------электрического диполя 192 — электрохимический 621 Поток излучения 489 — магнитный 290 — массы удельный 139 — молекул, плотность 139 Поток напряженности электрического поля 193 — смещения 210 — тепловой, плотность 139 — энергии 393 ----, вектор Умова 393 -------Умова — Пойнтинга 406 Потокосцепление 291 — взаимной индукции 291 — самоиндукции 291 Правила Кирхгофа расчета электричес- ких цепей 250 — отбора при излучении атома 560 — расчета погрешностей при косвенных измерениях 686 — смещения Фаянс? и Содди 633 Правило винта (буравчика) 47,273 — Дюлонга и Пти 591 — левой руки 275 — Ленца 329 — Максвелла 174 — Прево 479 — Стокса 568 Прелесть 663 Преобразования Галилея 84 , — Лоренца 89 ----для электромагнитного поля 355 Прецессия Лармора 313 -----, угловая скорость 313 Приближение сильной связи 607 — слабой связи 607 Прибор измерительный 683 ----, класс точности 685 — оптический, разрешающая способ- ность 451 Призма поляризационная 470 Примеси в полупроводнике 616 -------акцепторные и донорные 617 Принцип автофазировкн 305 — (теорема) Бабине 447 — Гюйгенса 437 ' — Гюйгенса — Френеля 438 — детального равновесия 557 — инвариантности скорости света 86 — независимости действия сил 25 — неразличимости тождественных ча- стиц 579 — освобождаемости 22 — относительности Галилея 85 ----механический 85 . ----Эйнштейна 86 700
Принцип Паули 549, 578 — причинности 25, 514 — Ритца 533 — соответствия Бора 521 — суперпозиции волн 394 -----поцей магнитных 280 -------электрических 186,188 — эквивалентности локальный 82 Проводимость полупроводника примес- ная дырочная (р-типа) 618 .------электронная (п-типа) 617 -----собственная 612 — электрическая удельная металлов 239, 598 -------полупроводников 619 Проводник уединенный 220 Проводники в электростатическом поле 217 — второго рода 252 Продолжительность жизни изотопа 632 Прозрачность потенциального барьера 521 Проницаемость среды диэлектрическая комплексная 460 -------относительная 210, 212 -----магнитная относительная 322, 327 Пространство, свойства симметрии 74 — скоростей молекул газа 129 — фазовое (^-пространство) 579 -----, ячейка 579 Прогон 182, 628, 681, 682 Процесс идеального газа адиабатный 122 -------изобарный 120 -------изотермический 121 -------изохорный 119 -------политропный 124 — термодинамический ПО -----адиабатный ПО -----изобарный 110 -----изотермический ПО । -----изоэнтр опийный 154 ! -----квазистатический 110 —'— компенсирующий 150 -----круговой (цикл) 150 -----необратимый 149 -----обратимый 149 -----равновесный 110 -----—, графическое изображение 117 Процессы виртуальные 668 Псевдовекторы 47 Пси-функции 510 —, условия 515 Пуаз 679 Пучность стоячей волны 398 Пучок опорный 450 — предметный 450 Пятно Пуассона 441 Р Работа в магнитном поле 291 — выхода электрона из металла 243, 595 — ионизации 256 -т- расширения 116 ---, графическое изображение 117 — силы 33 Равновесие системы механическое 63 -------устойчивое 63 — термодинамическое 109, 537 Радиан 675 Радиоактивность 631 —, тины 632 Радиоволны 411 —, поддиапазоны 411 Радиоспектроскопия 563 Радиус боровский первый 537, 542, 682 ’ — дествия ядерных сил 631 — эивизны траектории 11 — молекулярного действия 170 — экранирования дебаевский 266 — электрона классический 682 — ядра атома 628 Радиус-вектор точки 10 ---, компоненты 10 ---, проекции 10 ---, составляющие 10 Размер пространственной когерентности 426 Размерность физической величины 683 Размеры тела собственные 92 Разность потенциал» контактная р-п- перехода 624 -------внешняя 622 -------внутренняя 621 — хода волн геометрическая 397 -------оптическая 428 Разряд газовый 259,260 — дуговой 264 — искровой 263 — кистевой 263 — коронный 263 701
Разряд тлеющий 262 Ракета-носитель 72 Распад радиоактивны! альфа 633 ----бета 634 -------, типы 634 — свободного нейтрона-635 Распределение Бозе Эйнштейна 581 — Больцмана 135 — Максвелла 129 — Максвелла — Больцмана 585 — Ферми — Дирака 580 — частиц в потенциальном енловом по- ле 135 — электронов в атомах по состояниям 552 Рассеяние света 456 ----в мутной среде 456 ’ ------------, явление Тиндаля 456 ----комбинационное 565 ----Мандельштама — Бриллюэна 458 ----молекулярное 457 — частиц-651 Расстояние межпяоскоспюе в кристалле 448 Расход жидкости массовый 45 ----объемный 45 Реактор ядерный 643 Реакции связей 22 — термоядерные 643 ----, критерий Лоусона 644 . ----, цикл протон-протониый 643 ----=--углеродио-азотныЙ643 — ядерные 639 ----, каналы 639 -----, классификация 639 — 641 ----, эффективное сечение 640 Реакция деления ядер 642 -------нейтроны дгжециа 642 ----------запаздывающие 642 -------— мгновенные 642 -------, осколок деления 642 -------, параметр делеиия 642 ----------— критический 642 -------самопроизвольная (спонтанная) 642 -------цепная 643 ----------, коэффициент размпоисеиня нейтронов 643 Резонанс магнитный 562 — механический 377 Резонанс парамагнитный 564 — ферромагнитный 564 — электрический 380 Резонансы 647,651,660 — барионные 660 — мезонные 660 Рекомбинация 225 Рентген 637 Рефрактометр интерференционный 434 Решетка д ифракционная 445 — кристаллическая 447 Ротор вектора 347 Ряд Фурье 367 С Самоиндукция 335 Сверхпроводимость 599 —, изотопический эффект 602 , —, критическое магнитное поле 602 —, куперовские пары 603 —, температуре перехода 600 —, эффект Мейснера 601 Сверхпроводаики 599 — 2-го рода 605 Сверхтекучесть 175 Свет 411 — видимый 411 — естественный 422 — линейно поляризованный 405 — яеполяриэоваиный 422 — поляризованный частично 422 Светимость энергетическая 481 ----, спектральная пиотность 478 Свечение рекомбинационное 261 Связи (в механике) 22 Сдвиг 386 Сегнетоэлектрики 215 Секунда 675 — угловая 680 Семейства радиоактивные 633 Сенсибилизатор 496 Сечение одноосного кристалла главное 468 — рассеяния эффективное 503 Сила 20 — Ампера 274 — вынуждающая (возмущающая) 374 — движущая 33 — инерции корнолисом 78 ----переносная 7? ----центробевмая 79 тт
Quia квазиупругая 524 — коэрцитивная216,324 — Лоренца 274 — магнитного взанмодаЦетвия движу- щихся зарядов 282 -------проводников с током 281,284 — осциллятора 462 — потенциальная 34 — равнодействующая (результиру- ющая) 21 — реактивная 30 — света энергетическая 489 — тока 234 — тормозящая 33 — тяжести 80 — центробежная 79 — электродвижущая 247 ----взаимной индукция 340 ----периодическая, действующее значе- ние 382 ----самоиндукции 336 ----электромагнитной индукции 329 Силы активные 22 — • Ван-дер-Ваальса 169 — внешние 27 — внутренние 27 — гироскопические 35 — диссипативные 35 — кваэиупругие 360 — кулоновские 183 — межмолекуляряого взаимодействия 167 : —,— отталкивания 167,169 ----притяжения 167,169 — пондеромоторные 218, 232, 343 — сторонние 246 — тяготения тел к Земле 80 — упругости 42 — центральные 40 — электростатические 182 — ядерные 631 ----, теория Юкавы 650 Сименс 677 Симметрия времени 75 — к зарядовому сопряжению 650 — кварк-лептонная 664 — пространство 74 Синхронизация часов 88 Синхротрон 306 Синхрофазотрон 306 Система водородоподобная 535, 541 Система дясеипативная 44 — единиц 674 ---абсолютная 674 -------гауссова (СГС) 678 — 680 -------электромагнитная 0(СГСМ) 678 -------электростатическая (СГСЭ) 678 ---Международная (СИ) 674 678 ---, приставки 674 — замкнутая (в механике) 29 — излучающая 408 — изолированная электрически 182 — колебательная 358 , добротность 373 — консервативная 61 — координат правая 9 — линейная 371 — макроскопическая 8 — материальных точек 8 — механическая 8 — отсчета 9 гелиоцектричижая 20 инерциальная 20 лабораторная 9 — термодинамическая 108 ---адиабатная 108 ---закрытая 108 ---замкнутая 108 ---изолированная 108 ---открытая 108 ---простая ПО — центра шее 29 , —частиц вырожденная 583 — элементов Менделеева 551 Скамья Жуковского 66 Скин-эффект 339 Скорости релятивистские 92 Скорость абсолютная 76 — волн групповая 396 ---лучевая 401 ---фазовая 390 — дрейфа ионов 255 — звука в идеальном газе 391 — космическая первая (круговая) 72 ---вторая (параболическая) 72 ---третья 72 — ларморовой прецессии 313 — линейная 48 — лучевая 468 — молекул газа наиболее вероятная 129 -------средняя арифметическая 130 ---------квадратичная 127 703
Скорость молекул относительная 131 — необыкновенного луча 468 ; ' — обыкновенного луча 468 — относительная 77 -----двух частиц и релятивистской кине- матике 96 — переноса энергии волной 393 — переносная 77 — поперечных упругих волн 391 ----------в струне 391 — продольных волн 391 — света в вакууме 682 -----, предельный характер 86 -----групповая 459 — точки 13 -----радиальная 14 — — секторная 15 средняя 12 трансверсальная 14 — угловая тела 47 — характеристическая ракеты 31 — центра масс 29, 59 —--электромагнитных волн в вакууме 403 =--фазовая в среде 403 Сложение гармонических колебаний вза- имно перпендикулярных 368 -------одного направления 365 Слой двойной электрический 243, 622 — контактный запирающий 623,626 -----равновесный 624 — пограничный 44, — электронный в атоме 552 Смерть Вселенной тепловая 164 Смещение красное гравитационное 639 -----космологическое 418 — маятника статическое 376 — электрическое 210 Сокращение лоренцево 92 Соленоид 286 —, индуктивность 335 Соотношение Гелл-Мана-Нишцджимы 662 — фотохимическое Эйнштейна 496 Соотношения неопределенностей Гейзе- нберга 512 Сопротивление волновое колебательно- го контура 364 — участка электрической цепи 248 — цепи переменного тока активное 381 ----------емкостное 381 *• Сопротивление цепи индуктивное 381 > — электрическое удельное 239 *•': ; ' -------— остаточное 599 < s • -------------------------------электролита 256 Состояние механического равновесия 63 — равновесное (в термодинамике) 109 — системы инверсное 572 — электрона в атоме 552 Спектр атома водорода 532 — волны 395 — дисперсионный 458 — дифракционный 446 — колебания 367 — молекулы комбинационный 565 — поглощения света 455 ---— — линейчатый 455 -------полосатый 455 -------сплошной 455 — частот колебаний 367 -------дискретный 368 -------непрерывный 368 Спектроскопия ядерная 638 Спин частицы 647 — электрона 318, 547 — ядра атома 628 Спиральность нейтрино 659 Способность разрешающая оптического прибора 451 ---------, критерий Рэлея 452 Среда активная (усиливающая) 570 — внешняя 108 — диспергирующая 395 — изотропная 387 — линейная 387 — несжимаемая 44 — однородная 387 — сплошная 44, 385 ---, частица среды 44, 385 Средства измерений 683 ---, класс точности 685 Статистика квантовая 578 и след. ---Бозе — Эйнштейна 580 ---Ферми — Дирака 579 — классическая Максвелла — Больцма- на 585 Степень ионизации плазмы 268 когерентности света 425 Стерадиан 675 Стокс 679 Стопа 466 Странность 662 704
Струй» 44 j Сутки 681 - ; . - Сфера молекулярного действия 170 т Таоны 650, 658 Таутохронность 429 Телескоп, разрешающая сил 452 —, угловой предал разрешения 452 Тело абсолютно неупругое 9 ---твердое 9 ---упругое 9 ---черное 478 — внешнее 27 — зеркальное 482 — рабочее 150 — свободное 22 — серое 481 ' • — термометрическое 109 — упругое 385 — черное 478 Температура 109 — вырождения 585 — ионная 268 — критическая 172 ---смешения 457 — перехода в сверхпроводящее состоя- ние 600 — радиационная 489 — статистическая 582 — термодинамическая 109 ---, абсолютный нуль 109 — характеристическая 592 ----Дебая 593 — цветовая 490 — , шкалы 109, 156 — электронная 268 — яркостная 489 Теорема (принцип) Бабине 447 — Бора — Ван Лёвен 319 — Гаусса 346 — Гюйгенса — Штейнера 54 — Ирнпюу 196 — Карно 156 — Кёнига 38 — Лармора 313 — Остроградского — Гаусса для маг- нитного поля 291 -----------электростатического поля 195, 210 Теорема Стокса 347 Теория Бора 534 — газов кинетическая 126 — квантовая электропроводности ме- таллов 596 — классическая электронная металлов (Друде — Лоренца) 237 — Максвелла электромагнитного поля 346 и след. — относительности специальв » 85 -------, постулаты 86 ---—, преобразования Лоренца 89 ------------ — для электромагнитного поля 355 ----------скоростей 96 ----------ускорений 97 — релятивистская 92 — строения веществ молекулярно-кине- тическая 106 — твердых тел зонная 607 Теплоемкость 118 — идеальных газов 124,146 — металлов 242, 589 — молярная 119 — твердых тел 590 — удельная 118 — электронного газа 589 Теплообмен 114 — излучением (радиационный) 114,479 — конвективный 114 — теплопроводностью 114,138 Теплопроводность 138, 140 Теплота 114 — фазового перехода 175 Термы спектральные 533 Термодинамика 107 Термоэлектроны 244 Тесла 677 Тождество термодинамическое 161 Ток индукционный 328 — — при замыкании и размыкании цепи 337 — орбитальный в атоме 312 — переменный квазистационарный 363 — периодический, действующее значе- ние 382 — смещения 349 — электрический 234 ---конвекционный 234 ---, направление 234 ---переменный 235 70S
Ток электрические переменный Периоди- ческий 235 ------синусоидальный 235 ------, характеристики 235 ------постоянный 234 ------проводимости 234 ------, плотность 235 ------пульсирующий 235 ------,сила 234 ------термоэлектронный 244 Токи вихревые (Фуко) 334 Тороид 290 — индуктивность 335 Точка критическая 172, 175 — Кюри 216, 324 — материальная 8 — подвеса маятника 362 Траектория точки 10 .. Трение внутреннее 138,140 Труба зрительная, угловой предел раз- решения 452 Трубка тока 44 У Угол Брюстера 414 — отражения 412 — падения 412 — предельный полного внутреннего от- ражения 415 — преломления 412 — сдвига 386 — скольжения 448 — телесный 194 Удар 60 — абсолютно неупругий 60 ------прямой центральный 60 ------упругий 61 ------косой центральный 61 ------прямой нейтральный 61 — прямой 60 — центральный $0 Узел стоячей волны 398 — электрической цепи 250 Узлы кристаллической решетки 107 Ультразвук 386 Ультрамикроскоп 457 Упругость объемная 385 — формы 385 Уравнение Бернулли 46 — Ван-дер-Ваальса 172 е — волновое 389 У 1 ю волны 387 -----плоской 388, 389 — — сферической 389 — движения материальной точки 24 — динамики отяосятелького движения 68 ----------в системе отсчета, связанной с Землей 80 поступательного движения 28 релятивистской основное 98 -----тела, вращающегося вокруг непо- движной осн 53 — кинетической теории газов для давле- ния 127 — Клапейрона 111 — Клапейрона — Менделеева 112 — Лапласа 354 — Майера 121 — Максвелла первое 347,348 -----второе 350, 351 -----третье 352,353 -----четвертое 352,353 — Мещерского 30 — неразрывности 45,236 — переноса 141 — Пуассона 354 — состояния 110 -----термическое ПО -------идеального газа 111 — Шредингера 515 -----стационарное 516 — Эйнштейна для внешнего фотоэффек- та 493 Уравнения движения точки кинематичес- кие 10 — магнитостатики 354 — Максвелла, граничные условия 353 — материальные в теории Максвелла 353 — электростатики 354 Уровень Ферми 595 — энергетический ядра, естественная ширина 638 Уровни энергетические акцепторные 617 -----донорные 617 -----локальные 617 -----примесные 617 Ускорение 15 — абсолютное 77 — в релятивистской механике 97,99 — вращательное 49 706
Ускорение касательное IS — кориолисово 78 — нормальное 15 — осестремительное 49 — относительное 77 — переносное 77 — свободного падения 8| -------, стандартное 81,682 — тангенциальное 15 — угловое 48 — центростремительное 17 Ускорители заряженных частиц 302 — 307,654,655 Условие Брэгга — Вульфа 448 — нормировки вероятностей 510 — оптической однородности среды 448 — радиоактивного равновесия 633 Условия интерференционных максиму- мов и минимумов 398 — Лауз 447 — нормальные 111, 682 -----, объем моля идеального газа 682 Участок электрической цепи 248 Уширение доплеровское спектральных - линий 418 Ф Фаза (в термодинамике) 173 — волны плоской 388 -----сферической 389 — колебаний 358 Фазотрон 305 фактор сжимаемости 167 Фарад 677 Фермионы 578 Ферриты 334 Ферромагнетики 322 Ферроэлектрики 215 Фигуры Лиссажу 370 Физика молекулярная 106 — статистическая 107, 578 -----квантовая 578 и след. -----классическая 126 и след. — твердого тела 586 и след. — элементарных частиц 645 и след. — ядерная 528 и след. Флуктуации 164 Флуктуация абсолютная 165 — квадратичная (дисперсия) 164 — относительная 165 Флуоресценция 567 Фокусировка частиц в ускорителях 307 Фонон 592 — , квазиимпульс 592 — .энергия 592 Формула барометрическая 134 — Больцмана 163 — Вина 483 — де Бройля 504 . — Дебая — Лаяжевева206 — Ленарда-Джонса 169 — Ленгмюра 244 — Планка 488, 558,590 — Резерфорда 530 — Ричардсона — Дэшмава 244 — Рэлея — Джинса 486 — Стокса 253 — Томсона 364 — Циолковского .31 — Эйлера 360 — Эйнштейна для броуновского двкже- ния 166 Формулы Френеля 413 Фосфоресценция 567 Фотоионизация 491 Фотолюминесценция 567 —, антистоксово излучение 568 —, выход квантовый 568 ----энергетический 568 — — _ закон Вавилова 568 —, правило Стокса 568 Фотон 493, 497, 668 —.импульс 497 —, масса 497 —, энергия 493 Фотопроводимость 619 Фоторезистор (фогосоаротивлеиие) 620 —, световая чувствительность 620 Фототок 491 — насыщения 492 Фотоупругость 473 Фотоэлектроны 492 Фотоэффект внешний 491 ----, законы 492 ----, красная граница 492 ----, уравнение Эйнштейна 493 — внутренний 619 ----, красная граница 620 — многофотонный 493 Фронт волны 388 Функция волновая системы тождествен- ных частиц 578
Функция волновая частицы 510 ---—, накладываемые условия 515 -------собственная 516 — Кирхгофа 481 — Ланжевена классическая 316 — распределения Бозе — Эйнштейна 581, 583 ---Максвелла — Больцмана 585 ---Ферми — Дирака 580, 583 X Хемилюминесценция 567 Холодильник (теплоприемник) 152 Хромодинамика квантовая 669 Хронометризация системы отсчета 88 ц Цвет глюона 669 — кварка 665 Центр волны 389 — качания физического маятника 363 — кривизны траектории 11 — масс (инерции) системы 28 ---------, закон движения 29 — силы 40 — тяжести тела 81 Центры люминесценции 567 Цикл в термодинамике 150 — 152, 157, 158 — Карно обратный 153 ---прямой 151 ---—, термический к.п.д. 156 — термоядерный 643 ---протон-протонный 643 ---углеродно-азотный 643 Циклотрон 303 Цуг волн 421 Ч Час 681 Частица в потенциальной яме 518 - ---------, квантование энергии 520 ---------, принцип соответствия 521 — свободная (в квантовой механике) 518 — сплошной среды 385 Частицы резонансные 647, 651 — фундаментальные 646 ----, кварки 664 Частицы фундаментальные, лептоны 657 ----—, переносчики взаимо действий 666 — элементарные 646 ----, взаимопревращаемость 651 1 -----.время жизни 647 — •—, заряд электрический 648 ----истинно нейтральные 649 ----, классификация 663 • ----, масса. 647 ----, момент магнитный 648 : ----очарованны» 651 — — прелестные 651 ----составные 663 ----, спин 647 — — странные 651 ----таблицы адронОв 661 -------кварков 665 -------лептонов 658 -------фундаментальных взаимодейст- вий 667 Частота биений 367 — волны 387 ----циклическая (круговая) 388' — вращения 48 — затухающих колебаний (условная) 373 — колебаний 358 ----круговая 358 — — угловая 358 ----.циклическая 358 -------основная 367 — ленгмюровская 363 — плазменная 363 — резонансная 377, 380 , Частоты колебаний стержней, струн, столбов газа 400 Число волновое 388 - — квантовое главное 536 ----магнитное 545 ----орбитальное 541 -------классификация состояний элек- трона в атоме 542* ----спиновое 548 -------магнитное 549 -------ядра атома внутреннее (полное) 628 — массовое ядра атрма 628 — соударений молекулы газа среднее 136 — степеней свободы молекулы 145 ----— системы 22 -------тела 144 708
ш Ширина дифракционного максимума 444 — естественная спектральная линии 556 -----энергетического уровня 556,608 — интерференционной полосы 424 Шкала температуры международная стоградусная 109 -----термодинамическая 109,156 Э Эквивалент рентгена биологический (бэр) 637 — химический 252 — электрохимический 252 Экраны дополнительные 447 Электродинамика 182, 346 — квантодея 669 Электролиз 252 Электролиты 252 Электрон 182,657, 681,682 — отдачи 501 Электрон-вольт 680 Электронография 506 Электроны атома внешние (валентные) 551 — коллективизированные 609 — конверсии 636 — оптические 453 — проводимости 217,237 — распределение по энергетическим зо- нам в твердом теле 610 — свободные 217 Электропроводность металлов, теория квантовая 595 -------классическая 237 Электростатика 182 Элементы трансурановые 641 Эмиссия электронная 243 -----автоэлектронная 243, 523 -----вторичная 243 -----ионно-электронная 243 -----термоэлектронная 243 — 245 -----фотоэлектронная 243 Энергия 33 — активации проводимости полупро- водника 612 Энергия внутренняя 113 ----газа идеального 113, 120,146 ----реального 177 / — Гельмгольца 161 —, закон сохранения и превращения 64 — заряженного конденсатора 227 ----уединенного проводника 227 — кинетическая 37, 99 ----вращающегося тела 57 ----молекулы газа 128,146 ----свободного твердого тела 38, 57 — механическая 43 ----, закон изменения 43 -------сохранения 61, 75 — покоя 100 — полная 100 — поля магнитного 341 -------, объемная плотность 341 ----электромагнитного, объемная пло- тность 406 ----электростатического 229 -------, объемная плотность 229 — поляризованного диэлектрика 230 — — взаимная двух материальных точек 42 ----------молекул 168 ----материальной точки в поде одно- родном 40 ---------------центральных сил 41 ----упруго деформированной среды 392 — > —упругого тепа 42 — процесса превращения частиц 652 ----------пороговая 653 — свободная 161 — связанная 162 — связи нуклона в ядре атома 629 ----системы 104 — — электрона в атоме 536 ----ядра атома 629 ----------удельная 630 — системы заряженных проводников 228 -------теп 228 ----контуров с токами 342 — собственная частицы 100 — термодинамической системы полная ИЗ — тока в контуре собственная 341 — токов взаимная 342 709
Энергия упругих волн, обмывая плот- ность 392 — Ферми (в металле) 586 — частицы, собственные значения 516 — электромагнитах волн, объемная плотность 406 — ядерной реакции 639 ' Энтропия 153 — идеального газа 153 — системы 154 — , статвстическнй смысл 163 Эрг 679 Эрстед 680 Эффект Баркгауэена 325 — Барнетта 318 — Вавилова — Черенкова 462 — Виларя 324 — Джозефсона, критический ток 603 ------ нестационарный 603 ---стационарный 603 ~ Джоуля — Томсона 178 — 179 — Дошяра в акустике 400 ---для электромагнитных волн 416 ---------поперечный 417 ------------продольный 417 — дробовой 165 — Зеемана аномальный (сложный) 562 — — нормальный (простой) 561 — изотопический в сверхпроводимости 602 — Керра 473 — Кнудсена 144 — Комптона 499 — Коттона — Мутона 475 — Мейснера 601 — механокалорическнй 176 — М&сбауэра 637 — Ми 457 Эффект Пашена — Бака 562 — радиометрический 410 — туннельный 521 — Фарадея 476 — Холла 298 — Эйнштейна — де Гааза 317 Эффекты магнитомеханические 317.324 — релятивистские 92 -----, замедление хода времени 93 -----, лоренцево сокращение 92 Я Явление взаимной индукции 339 — Керра 473 — самоавдукцин 335 — Тиндаля 456 — электромагнитной индукции 329 — электростатической индукции 217 Явления переноса 138 Ядра атомов зеркальные 631 Ядро атома '529,628 -----, дефект массы 629 -----дочернее 631 -----, заряд электрический 530,628 -----, магнитный момент 628 -----материнское 631 -----, радиус 531,628 -----составное (компаунд) 640 -----, спин 628 -----, энергетические уровни 634,636 -----ж энергия связи 629 Имя потенция вымя 64 Яркость энергетическая 489 Ячейка Керре 474
Оглавление Предисловие..................................................................... 3 Введение........................................................................ 4 Чисть 1 Физические основы механики Глава 1. Кияематака материям вой томя и поступательного дажкенм твердаго теля . . 8 § 1.1. Механическое движение .................................................. 8 5 1.2. Скорость ............................................................. 12 § 1.3. Ускорение ......................................................... . 15 § 1.4. Поступательное движение твердого тела...................................17 Глава 2. Динамика материальной томен и поступательного движении твердого таяв . 19 § 2.1. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета ...............19 $ 2.2. Сила ................................................................. 20 § 2.3. Масса . . . . ..........................................................23 § 2.4. Основной закон динамики материальной точки..............................24 8 2.5. Закон изменения импульса..............................................26 § 2.6. Центр масс и закон его движения.......................................28 § 2.7. Движение тела переменной массы........................................30 Глава 3. Работа и mf iaw и г*ее лицам...........................................33 $ 3.1. Работа силы .........................................................33 § 3.2. Кинетическая зверем..................................................37 § 3.3. Потенциальная энергия ...............................................38 § 3.4. Закон изменения механической энергии 43 $ 3.5. Уравнения неразрывности и Бернулли.................................. 44 Глава 4. Кинематика а даиамика аращетеяаюго движения...........................47 8 4.1. Кинематика вращательного движенм твердого тела..................... 47 § 4.2. Закон изменения момента импульса .... 50 § 4.3. Динамика твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной осп.........53 Глава 5. Змг пит сохранный в мг i аинн ...........................................59 § 5.1. Закон сохранения импульса. Абсолютно веупругий удар....................59 § 5.2. Закон сохранения механической энергии. Абсолютно упругий удар..........61 6 5.3. Закон сохранения момента импульса......................................65 § 5.4. Движение в поле центральных сил........................................67 § 5.5. Космические скорости и проблема космических полетов....................71 § 5.6. Связь между свойствами симметрии пространства и времени и законами сохране- ния ........................................................................ 74 Глава 6. Движем» в пеямрцмыьиых системах отсчета................................76 9 6.1. Кинематика относительного движения.................................. 76 § 6.2. Силы инерции.........................................................78 § 6.3. Относительное движение в системе отсчета, связанной с Землей.........80 § 6.4. Принцип эквивалентности ...................... 82 711
Глава 7. Освгаы спмвмльвой теория опюсжтельаосп............................ . . .84( § 7.1. Механический принцип относительности Галилея.......................84 § 7.2. Постулаты специальной теории относительности.......................8$ б 7.3. Преобразования Лоренца.............................................89 б 7.4. Относительность длин и промежутков времени. Интервал между двумя события- ми . ....................................................................... 92 б 7.5. Преобразование скоростей и ускорений в релятивистской кинематике .... 95 б 7.6. Понятие о релятивистской динамике.................................... 97 б 7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии ................................ .100 Часть 2 Основы молекулярной физики и термодинамики Глава 8. Исходное понятии в оцределеми термодинамики в молекулярной физика ... 106 б 8.1. Введение. Тепловое движение..........................................106 б 8.2. Статистический и термодинамический методы исследования...............107 б 8.3. Термодинамические системы. Термодинамические параметры и процессы . 108 б 8.4. Уравнение состояния идеального газа ................................ 110 Глава 9. Птрвий закон термодипамаки............................................113 б 9.1. Внутренняя энергия системы .....................113 . б 9-2. Работа и теплота ............................................... . 114 б 9.3. Первый закон термодинамики..........................................115 б 9.4. Графическое изображение термодинамических процессов и работы........117 б 9.5. Теплоемкость вещества. Применение первого начала термодинамики к изопро- цессам идеальных газов............................................. 118 б 9.6. Адиабатный и политропный процессы идеальных газов....................122 Глава 10. Квиепнеотая теория газов............................................. 126 б 10.1. Некоторые сведения о классической статистической физике . . 126 б 10.2. Уравнение кинетической теории идеального газа.......................126 б 10.3. Закон распределения молекул по скоростям и энергиям ........ 128 б 10.4. Экспериментальная проверка закона распределения молекул по скоростям . 132 б 10.5. Барометрическая формула. Закои Больцмана для распределения частиц во внеш- нем потенциальном поле.................................................... 133 б 10.6J Средняя длина свободного пробега молекул.......................... 136 б 10.7. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах . . . . 137 б 10.8. Основные уравнения и коэффициенты явлений переноса..................139 б 10.9. Некоторые следствия из теории явлений переноса в газах..............141 б 10.10. Понятие о свойствах разреженных газов..............................143 б 10.11. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы 144 б 10.12. Классическая теория теплоемкостей идеальных газов и её трудности ... 146 Глава 11. Второй закои термодивашасв ..........................................149 б 11.1. Обратимые и необратимые процессы ........................149 б 11.2. Круговые процессы. Цикл Крано................................ . 150 б 11.3. Энтропия ......................................................... 153 б 11.4. Термодинамическая диаграмма' Т—S в ее применения .........154 б 11.5. Второй закон термодинамики....................................... 158 б 11.6. Статистическое истолкование второго закона термодинамики...........162 б 11.7. Флуктуации ........................................................164 § 11.8. Броуновское движение ............................................ 165 712
Глава 12 Реальные газы в пары ...................................................167 § 12.1. Силы межмолвкулярного взаимодействия в газах.........................167 § 122. Уравнение Ван-дер-Ваальса ......................................... 170 б 12.3. Изотермы реальных газов. Понятие о фазовых переходах I и П рода ... 172 б 12.4. Сверхтекучесть гелия.................................................175 б 12.5. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля — Томсона .... 177 Электродинамика Глава 13. Электростатическое поле в его характеристики ............................182 б 13.1. Закон сохранения электрического заряда.................................182 б 13.3. Напряженость эдектричешго поля..................................... ..184 б 13.4. Потенциал электростатического поля.....................................187 б 13.5. Электростатическое поле электрического диполя в вакууме................190 Глава 14. Теорема Остроградашго— Гаусба для электростатического поля в вакууме . . 193 б 14.1. Теорема Остроградского — Гаусса....................................... 193 б 142. Применение теоремы Остроградского — Гаусса к расчету электростатических полей в вакууме............................................................... 196 Глава 15. Электростат вашим поле в диэлектрической среде...........................202 б 15.1. Дипольные моменты молекул диэлектрика..................................202 б 152. Поляризация диэлектриков.............................................. 204 •б 15.3. Теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля в ерздр . . 208 б 15.4. Условия для электростатического поля на границе раздела двух изотропных диэлектрических сред...........................................................210 б 15.5. Сегнетоэлектрики ..................................................... 215 Глава 16. Приводив» в а электрогтяттнегипм поле..................................217 б 16.1. Распределение зарядов в проводнике.....................................217 б 162. Электрическая емкость уединенного проводника...........................220 б 16.3. Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы ..... 222 Глава 17. Энергия электрического поля..............................................227 б 17.1. Энергия заряженных проводников и электростатического поля..............227 б 17.2. Энергия поляризованного диэлектрика....................................230 б 17.3. Закон сохранения энергии для электрического поля .......... 231 Глава 18. Класвчесхая электронная теория электропроводности металлов...............234 б 18.1. Электрический ток и его характеристики.................................234 б 18.2. Опытные доказательства электронной проводимости металлов...............236 б 18.3. Основы классической электродной теории электропроводности металлов . . 237 б 18.4. Недостатки классической электронов теории электропроводности металлов . 241 б 18.5. Работа выхода электрона из металла. Тфмоэлвктронная эмиссия............243 Глава 19. Замоин постояного тока.........................................^ ... . 246 б 19.1. Обобщенный закон Ома для участка цепи .................................246 б 192. Закон Джоуля — Ленца для участка цепи...................................249 б 19.3. Правила Кирхгофа ..................................................... 250 713
Глш 20. Электрический ток жадностях, газах плазме .... х ... 252 § 20.1. Законы Фарадея для электролиза......................................252 § 20^2. Закон Ома для плотности тока в электролитах ........................254 § 20.3. Электропроводность газов........................................... 256 § 20.4. Несамостоятельный газовый разряд....................................259 § 20.5. Самостоятельный газовый разряд......................................260 $ 20.6. Тлеющий разряд ...............................................262 § 20.7. Самостоятельный разряд при нормальном и больших давлениях ...... 263 $ 20.8. Границы применимости закона Ома ............................. 264 $ 20.9. Плазма....................................................... 266 Глава 21. Действие мапиткго поля на тяжущиеся заряды И на проиодижи с током . . 270 $ 21.1. Магнитное поле .........................................270 § 21.2. Магнитная индукция. Сила Лоренца...................................272 § 21.3. Закон Ампера ......................................................274 Глава 22. Магмтюе ноле постойного электрического тока в вакууме............. . 280 § 22.1. Закон Био — Савара — Лапласа..................................... 280 § 22.2. Примеры простейших магнитных полей проводников с током.............283 § 22.3. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме...................287 j 22.4. Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля в вакууме .... 290 | 22.5. Работа перемещения проводника с током в постоянном магнитном поле . 291 § 22.6. Понятие о магнитоэлектрических и электродинамических измерительных при- борах ................................................................. . 293 Глава 23. Дявжяме заршвеивых частиц в электрическом в магнитном полях...........296 § 23.1. Движение заражения частиц в постоянном магнитном поле...............296 $ 23.2. Эффект Холла..................................................... 298 б 23.3. Экспериментальное определение удельного заряда частиц...............299 § 23.4, Ускорители заряженных частиц...................................... 302 § 23.5. Релятивистское истолкование магнитного взаимодействия движущегося заряда и пршолинейного проводника с током ..................... . 308 Гланя 24. Магнитим жале в встестм......................................... 312 б 24.1. Магнитные моменты атомов ..................................... 312 б 242. Атом в магнитном поле......................................... 313 б 24.3. Диамагнетики и парамагнетики в магнитном поле...................314 б 24.4. Закон полного тока для магнитного поля в веществе............ . 320 б 24.5. Ферромагнетики ................................................ 322 б 24.6. Условия для магшстяого поля на границе раздела двух изотропных сред . . 326 Глава 25. Электромагнитная мядукцвя...........................................-328 б 25.1. Основной закон электромагнитной индукции...........................328 б 25.2. Явление самоиндукции.................................................. .335 б 25.3. Явление взаимной индукции..........................................339 б 25.4. Эверсия магнитного пола в неферромагнитной изотропной среде ............340 б 25.5. Закон сохранения энергии для магнитного поля в неферромагнитной среде . 343 Глава 26. Основы теорив Максвелла дав электромагвитвого поля................... . 346 б 26.1. Общая характеристика теории Максвелла...................................346 б 26.2. Первое уравнение Максвелла............................................. 347 б 26.3. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла................................349 б 26.4. Третье и четвертое уравнения Максвелла............................. . 352 б 26.5. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля .... 353 714
Колебательные и волновые процессы Глава 27. Свободжи гармонически кмебашя 358 § 27.1. Гармонические коловши............................................. J27.2. Механические гармонические впиба—я . ....................... 27.3. Свободные гармонические колебания в элсктрпесном колебательном контуре § 27.4. Сложение гармпкичпггих колебапй................................ Глава 28. Затух амиш а ваиуждише молабаип..................................... § 28.1. Затухающие колебание.............................................. § 282. Вынужденные механические колебания................................. j 28.3. Вынужденные электрические колебания............................... Глава 29. Во шт в упругой среде..................................... б 29.1. Продольные и поперечные воины.............. ...................... § 292. У^ивеак волш ............................................... б 29-3. Фазовая скорость волны............................................ б 29.4. Энергия волны..................................................... б 29.5. Принцип суперпозиции воли......................................... б 29.6. Интерференция волн. Стоячие волны...................л............. б 29.7 Эффект Доплера в акустике.......................................... Глава 30. Элеюремагвитии ваши ................................................ б 30.1. Свойства электромагнитных волн.................................... б ЗОЛ. Энергия электромагнитных волн...................................... б 30.3. Излучение электрического диполя ................... б 30А Опыты Лебедей Шкала электроне! мп мыт воля.......................... б 30.5. Отражение и тфеломлеиие электромагнитных вояк на транице раздела двух ди- электрических сред........................................................ б 30.6. Эффект Доплера .............................................. Глава 3L Ншрфереяжи света..................................... б 31.1. Моаохроматмшость и врпмеанбя когерентность света............... 5 31.2. Интерференция света. Пространственная когерентность............ б 31.3. Интерференция свеп в тонких тисках............................. б 31.4. Интерференция многих вок ...................................... б 31.5. Интерферометры ................................................ Глава 32. Длфраювм свеп .......................................... б 32.1. Принцип" Гюйгеяса—Френеля....................... б 32.2. Дифракция Френеля ......?...................................... б 32.3. Дифракция Фраунгофера к тцвяй и круглом отверстии ............. б 32.4. Дифракционная рептепа ......................................... б 3X5. Дифракция на пространственной решетке.................. б 32.6. Голография .............................. . .................. б 32.7. Разрешающая способность оптических приборов.................... Глава ЗЗь Рбсяространеми сапа а веществе..................................... б 33.1. Взаимодействие света с вещмтвом.................................. б ЗЗЛ. Поглощение свеп .................................................. JS § £ SSgfig fi Sb 8888 8 £ Ш 3 Шй 715
§ 33 3 Ряпсяямя «мн-в................................................. 456 § 33 А Дисперсия саета..................................................458 § 33.5. Классическая электронам теории дисперсии света..................459 б 33.6. Излучение Вавилова — Черенкова .............................. . 462 Глава 34. Пмаримцск света ..........................................465 В 34.1. Поляризация света пре отражении и преломлении на границе раздела двух ди- электрических сред ......................................................... 465 9 34J. Двойное лучепреломление.............................................. 466 , 5 343. Интерференция поляризованного света...................................471 § 34.4. Искусственная оптическая анизотропия................................ 473 § 34.5. Вращение плоскости поляризации........................................475 < Чисть 5 Квантовые свойства излучения Глава 35. Теиновое излучение ................................................. 478 б 35.1. Тепловое излучение ................................................ 478 § 353. Законы теплового излучения черного тела............................ 482 § 35.3. Понятие об оптической пирометрии....................................488 Глава 36. Огневы квантовой Ьшнки ...............................................491 § 36.1. Фотоэлектрический эффект............................................491 § 36.2. Законы и квантовая теория внешнего фотоэффекта......................492 б 363. Другие экспериментальные подтверждения квантовых свойств саета .... 494 б 36.4. Импульс фотона ................. ...................497 б 36.5. Эффект Комптона.....................................................498 б 36.6. Корпускулярно-волновая двойственность свойств света.................501 Часть 6 Элементы квантовой механики и атомной физики Глава 37. Элементы паитомй меканм............................................504 б 37.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества .... 504 б 37.2. Некоторые свойства волн де Бройля................................508 б 373. Вероятностный смысл, волн де Ефойля.............................. 510 б 37.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберга........................511 б 37.5. Уравнение Шредингера.............................................515 б 37.6. Движение свободной частицы..................................... 518 б 37.7. Электрон в потенциальном «ящике».................................5Д8 б 37.8. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер..................521 б 37.9. Линейный гармонический осциллятор................................524 Глава 38. Строение и линейчатые спектры вздвродоподобшх систем ........ 529 б 38.1. Опыты Резерфорда по рассеянию а-частиц веществом.................529 б 383. Явфнм модель атома Резерфорда................................... 531 б 38.3.'Линейчатый спектр атома водорода.................................532 б 38.4. Теория Бора дм водородоподобных систем.......................... 534 б 38.5. Экспериментальное подтверждение постулатов Бора .................538 716
Глава 39. Современные представлена о стросшие оптических свойствах атомов . . 541 § 39.1. Водородоподобная система в квантовой механике.................... § 39.2. Основное состояние атома водорода................/. . ........ § 39.3. Приближенный метод квантования энергии электрона в атоме водорода § 39.4. Пространственное квантование. Спин электрона..................... § 39.5. Принцип Паули........................... ........................ б 39.6. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева................. б 39.7. Излучение и поглощение света..................................... б 39.8. Квантово-механический смысл постулатов Бора...................... б 39.9. Эффект Зеемана................................................... б 39.10. Понятие о явлениях магнитного резонанса................. б 39.11. Комбинационное рассеяние света . . . . . б 39Л2. Люминесценная ........................ .................. 541 542 543 545 549 551 554 5J9 561 562 565 567 Глава 40. Основы фишка лазеров..................................................... . 570 б 40.1. Отрицательное поглощение света......................................570 б 40.2. Оптические квантовые генераторы................................... 573 Часть 7 Элементы квантовых статистах и квантовой физики твердого тела Глава 41. Квантовые ептнепкя и некоторые их пркмеекяия..............................578 б 41.1. Общие сведения о квантовых статистиках...............................578 б 41 Л. функция распределения Ферми —Дирака .................................579 Б 41.3. Функция распределения Бозе — Эйнштейна...............................580 $ 41.4. Вырождение системы частиц, описываемых квантовыми статистиками . . 583 б 41.5. Распределение Ферми — Дирака для вырожденного электронного газа в метал- лах . . . . '.............................................................. 586 б 41.6. Некоторые свойства вырожденного электронного газа в Металлах ... 588 б 41.7. Фотонный гаЗ в замкнутой полости.................................... 589 б 41.8. Теплоемкость твердых тел............................................ 590 . Глани 4Х Элементы квантовой теорив металлов......................................595 б 42.1. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов ...............595 § 422. Закон Ома в квантовой теории электропроводности металлов...............596 б 42.3. Сверхпроводимость ....................................................599 б 42.4. Некоторые магнитные свойства сверхпроводников . . . ..............600 8 4X5. Понятие о теории сверхпроводимости.....................................602 9 4X6. Понятие об эффектах Джозефсона ........................................603 б 4X7. Квантование магнитного потока (макроскопический квантовый эффект) . . 604 б 42.8. О некоторых применениях сверхпроводимости в науке и технике...........605 Глава 43. Зонная теория твердей тел..............f . ......................607 б 43.1. Исходные представления зонной теории твердых тел....................607 б 43.Х Энергетические зоны в кристаллах в приближении сильной связи.........607 б 43.3. Металлы, диэлектрики и полупроводники...............................610 § 43.4. Собственная проводимость полупроводников ....................... . 611 § 43.5. Примесная проводимость полупроводников..............................616 б 43.6. Фотопроводимость полупроводников....................................619 Глава 44. Контактные явления ................................................ 621 б 44.1. Контакт двух металлов...............................................621 *' § 44.x Контакт металла с полупроводником ...................................623 717
$ 44J. Контакт Twaipoiinnro и дырочного полупроводники (р-н-переход) . . . . 4ВЗ б 44.4. Вольт-амоервак характеристика р-я-иерехода........................US Основы физики ядра и злеыентарных частиц Глава 49L Страавве и вавнекипв свойства ядер ................................ § 45.1. Основные свойства в строение ядра......................... § 452. Энергия омзк ядер.............................. .................. § 45.3. Ядфвые силы .................................................... б 45.4. Радиоактивность ................................................. б 45.5. Альфафаспад...................................................... б 45.6. Бета-распад ..................................................... б 45.7. Гамма-излучение ............... ................................. | 452. Эффект Мёссбауэра ....................... ........................ б 45.9. Ялфжые реакции ......................... ........................ Глава 46. Элементарные часпве ........... ........................ б 46-1* Уровень элементарных частиц .................................... 1 462. Обком свойства элементарных частиц.......................... • . 46.3. Взапмоцревращення элементарных частиц .......................... | 46.4. Фундаментальные взаимодействия........................... б 46.5. Лептоны ................................................... . • 146.6. Адроны .......................................................... 46.7. Кварки ' ....................... б 46.8. Переносчики фундаментальных взаимодействий...................... Заключение ....................................................... . . . . Праикпвешх ................ ............................ б П.1. Системы единиц физических величин ...............• б П.2 Фундаментальные физические константы.............................. б П.З. Погрешности при измерениях физических величии ............ Предметный указатель ....................................................... 9 999 9 а 999MBI9 I 999999999 9
Учебное издание ДЕТЛАФ Андрей Антонович ЯВОРСКИЙ Борис Михайлович КУРС ФИЗИКИ Зав. редакцией Т. А. Рыкова Редакторы Г. Я. Чернышова, Ж, И. Яковлева Оформление худой а В. А. Дмшкрмееа Художестве* Й1 редактор Ю. 3. Иванова Технические редакторы Л. А. Овчшишкова, Я. В. Быкова Корректоры Л. В. Демешова, В. А. Жилкшш, Г. Я. Петрова Компьютерная верстка Я. С. Михайлова Оператор В. Я. Новоселова Лицензия ИД № 06236 от 09.11.2001 Изд. № ФМ - 181. Подл, в печать 24.01.2002. Формат 70x100 '/и. Бум. газета. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем.* 5830 усл. печ. л., 58,50 усл. кр.-отт., 55,34 уч.-изд. л. Тираж 12000 экз. Заказ № 221 ФГУП «Издательство «Высшая школа», 127994, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14 Тел. (095) 200-04-56 E-mail: info@v-shkoia.ru http://www.v-shkola.ru Отдел продаж: (095) 200-07-69, 200-59-39, факс (095) 200-03-01 E-mail: sales@v-shkola.ru Отдел «Книга-почтой»: (095) 200-33-36 E-mail: bookpoet@v-shkola.ni Набрано на персональном компьютере издательства «Высшая школа» Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати» - 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14