Н. А. МЕЛЬНИКОВ
МАТРИЧНЫЙ
МЕТОД
АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
Издание второе, переработанное
и дополненное
«ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1972

6П2.13
М 48
УДК 621.311.004.1
Мельников Н. А.
М 48 Матричный метод анализа электрических цепе
Изд. 2-е, перераб. и доп., М., «Энергия», 1972.
232 с. с илл.
В книге изложены основы обобщенного метода анализа уста:
вившихся рабочих режимов сложных схем замещения электрическ;
цепей на базе применения аппарата матриц и элементов топологи'
ской теории графов.
В настоящем, втором, издании книги расширено содержание гл. I
по вопросам применения матричной записи при определении парам»
трое воздушных линий. 1
Книга рассчитана на • широкий круг инженеров, занимающихся^
расчетами установившихся режимов работы электрических цепей а,
в частности, электрических сетей. Книга может быть использована
и в качестве учебного пособия в электротехнических и энергетических
институтах, а также на соответствующих факультетах политехнических
институтов.
3-3-9 -
87-71
6П2.13

ПРЕДИСЛОВИЕ
При составлении настоящей книги автор поставил
целью ознакомить читателя с матричным методом
обобщенного анализа .рабочих 'режимов сложных
электрических сетей. Целесообразность пользования этим
методом обусловлена следующими обстоятельствами.
В настоящее .время расчеты рабочих режимов
электрических сетей приходится производить достаточно
часто, особенно в процессе их текущей эксплуатации.
Только на основании этих расчетов можно принимать
обоснованные меры к повышению экономичности работы
систем электроснабжения. Здесь имеется в виду решение
таких задач, связанных с оптимизацией рабочих
режимов, как регулирование .напряжения, перераспределение
нагрузок в неоднородных замкнутых сетях,
экономически наивыгоднейшее распределение реактивной
мощности между ее источниками и т. д.
Вместе с тем схемы соединений линий электрических
сетей непрерывно усложняются, особенно в последние
годы, в связи с решением задачи полной электрификации
нашей страны. Одновременно с этим требования «
точности выполнения расчетов рабочих режимов исследуемых
электрических сетей непрерывно повышаются .в
соответствии с условиями оптимизации режимов работы и
оптимизации принимаемых проектных решений по
дальнейшему развитию систем электроснабжения в целом.
Поэтому во многих случаях не могут быть практически
использованы не только привычные приемы ручного счета,
но даже и обычные статические модели. Это связано
как с большой громоздкостью производимых расчетов,
так и с (получением недопустимо больших ошибок.
Положение резко изменилось после появления новых
быстродействующих счетно-решающих устройств —
электронных автоматизированных цифровых
вычислительных машин (АЦВМ). Теперь имеется возможность
выполнения достаточно частых и сложных расчетов, тре-
3

бующихся при полноценном решении современных задач
по оптимизации рабочих режимов. Без применения таких
мощных расчетных дредств, которыми являются АЦВМ,
постановка столь сложных задач вряд ли была бы
целесообразной. В дальнейшем, по-видимому, АЦВМ будут
использоваться и в устройствах автоматического
управления рабочими режимами электрических сетей по
критериям экономичности.
Из-за сравнительно небольшого объема в книге даны
лишь общие теоретические предпосылки для
рассмотрения возможных общих задач и расчетов режимов. При
этом более подробно рассмотрена только основная
задача расчета — определение рабочего режима
электрической сети при заданных значениях нагрузок в ее узлах.
Эта частная задача является типовой и обычно входит
составной частью в любую общую задачу оптимизации
режима работы электрической сети или в решения по ее
развитию.
К сожалению, в настоящее, время еще нет достаточно
надежных данных о наиболее целесообразных
алгоритмах решения этой задачи. Имеются лишь отдельные
программы, которые успешно используются
для-выполнения практических расчетов, Однако систематического
исследования и всестороннего сравнения известных
методов расчета еще не произведено. Поэтому в книге
изложены некоторые возможные методы расчета и даны
лишь предположительно имеющиеся соображения об их
преимуществах и наиболее удачных условиях
применения. Наибольшее внимание обращено в книге на
применение математического аппарата, приспособленного
к обобщенному решению задач анализа рабочего
режима электрических сетей как частного случая
исследования установившегося состояния электрических цепей
синусоидального переменного тока. Этим обусловлено
выделение гл. 2 в самостоятельную. Автор считает, что
более подробное изложение отдельных (наиболее
важных в данном случае) положений теории электрических
цепей облегчит читателю в дальнейшем самостоятельное
использование полученных сведений.
При изложении Материала книги предполагалось, что
читатель не имеет достаточных навыков в области
применения алгебры матриц. Поэтому гл. 1 книги начата
с изложения самых начальных представлений о
матрицах и их использования при решении задач расчета элек-
4

трических цепей. Последовательно изучая материал
книги, читатель сможет освоить матричный метод анализа
электрических цепей в необходимом для практического
применения объеме. Для изучения этого материала
требуется знание только элементов теории электрических
цепей, известных из общего курса «Теоретические основы
электротехники».
Применение многих формул иллюстрировано в книге
числовыми примерами. Большинство числовых
примеров намеренно выполнено для достаточно простой схемы
с вещественными параметрами. В ряде случаев это
непоказательно для применяемых методов расчета, но дает
возможность читателю сравнительно легко проверить
расчеты и сопоставить полученные результаты.
В книге в основном использована терминология,
известная из теории электрических цепей. Однако в
некоторых случаях по мере надобности эта терминология
развита за счет использования терминов топологической
теории графов. Так, введены термины: матрицы инциденций,
дерево схемы, хорды и т. д. Эти термины уже вошли
в специальную техническую литературу, поэтому
применение их является вполне оправданным. Эти термины
подробно пояснены в тексте книги и не должны вызвать
трудностей при изучении материала ее.
В принципе материал книги изложен с постепенно
нарастающей сложностью, ,в последующих разделах
использован почти весь материал предыдущих разделов.
Поэтому очень важно (для недостаточно
подготовленного читателя) последовательное ознакомление с
материалом книги. В случае надобности это ознакомление может
быть закончено на материале гл. 2, которая имеет
самостоятельное значение (независимое от необходимости
ознакомления с материалом гл. 3).
Автор выражает свою глубокую благодарность канд.
техн. наук Л. А. Солдаткиной, взявшей на себя труд по
редактированию первого издания книги, и инж.
Ю. С. Железко, активно содействовавшему улучшению и
дополнению содержания книги во втором ее издании.
Все отзывы и замечания по книге автор просит
направлять в адрес издательства: Москва, М-114,
Шлюзовая набережная, д. 10.

ВВЕДЕНИЕ
Как известно, установившийся рабочий режим
электрической цепи синусоидального переменного тока
определяется системой линейных алгебраических уравнений.
В качестве искомых переменных могут быть выбраны
токи или напряжения. Искомыми могут быть, например,
токи (В ветвях или контурные токи или узловые
напряжения, т. е. падения напряжения ии между каждым из
узлов i схемы и некоторым исходным (базисным) узлом,
который выбирается произвольно (о соображениях,
принимаемых при выборе базисного узла схемы, будет
сказано ниже).
(Предполагается, что число уравнений, составляющих
систему и подлежащих совместному решению,
достаточно велико. В действительности оно может исчисляться
десятками, а иногда и сотнями. При этом число ветвей в
в схеме всегда больше, чем число узлов у' и число
независимых замкнутых контуров к *:
в = к+у'—\.
Как правило, число независимых контуров к меньше
числа независимых узлов у
к<у
где у=у'-А\.
(зависимым является базисный узел схемы).
Для практически встречающихся сложных схем
электрических сетей подсчеты привели к следующим
пределам изменения соотношения у/к:
5<JL<10.
* Определения узлов и независимых контуров будут уточнены
в дальнейшем.
6

Это объясняется в основном Тем, что Практически
далеко не каждые два узла схемы непосредственно
связаны ветвями. Более того, число узлов схемы часто
увеличивается за счет появления дополнительных узлов.
В теории электрических цепей узлом называется
точка схемы, к которой присоединено более двух ветвей.
Однако при расчетах режимов работы электрических
сетей в ряде случаев целесообразно в понятие «узел»
включать также точки сети, в которых
соединяется и меньшее количество вет- | ~~Г~
вей: точка соединения двух ветвей или Пр _ I,
точка приложения задающего тока (если т J=~i
в этих точках требуется, например, фи- 4- g\ .
ксация напряжения). а) '
Задающим током (источником тока)
обычно заменяется каждая нагрузочная Рис- в"1-
"ветвь электрической сети, одним из
концов соединенная с нейтралью (рис. В-1,а). При
этом задающий ток заменяющий какую-либо
нагрузочную ветвь /, должен быть равен току в этой
ветви с обратным знаком (рис. В-1,б). Как правило,
такой задающий ток h оказывается зависящим от
напряжения Ui в данном пункте i сети
Jt{Ui)=Ji{Ut)e
Это приводит iK нелинейности схемы, но при
составлении схем замещения рассматриваемой электрической
цепи (сети) целесообразно их линеаризировать (см. ниже).
Алгебраические уравнения (системы уравнений),
определяющие рабочий режим схемы замещения,
называются в дальнейшем уравнениями состояния. Чаще
всего при расчетах рабочих режимов сложных схем в
качестве уравнений состояния используются узловые или
контурные уравнения. При отсутствии взаимной
индуктивности между ветвями и э. д. с. в ветвях схемы
узловое уравнение любого независимого узла i имеет
следующий вид1: "у
£г,/Уд;=Л, (В-1)
/=i
1 В соответствии с действующим в настоящее время стандартом
точки над обозначениями комплексных значений сопротивлений и
проводимостей помещать нельзя. Поэтому наличие точек здесь н
в дальнейшем только подразумевается.
7

где Ytj — комплексное значение полной проводимости ветви,
включенной между узлами / и / схемы (j=£i)t взятой с
обратным знаком; У и — сумма комплексных значений полной
проводимости для всех ветвей, соединенных с узлом i
схемы, в том числе и ветви, включенной между узлом и
базисным узлом схемы; JJAj — комплексное значение
напряжения между узлом схемы и ее базисным узлом
(узловое напряжение); /,■ — комплексное значение
задающего тока в узле схемы; за положительное принято его
направление к узлу схемы.
При отсутствии задающих токов в узлах схемы1
контурное уравнение для любого независимого контура i
имеет следующий вид:
к
^ ZijIKi=EKi,i (В-2)
где 1ц —[комплексное [значение полного общего
сопротивления для контуров i и ;'; если контурные токи IKi и /кз-
имеют в ветви с сопротивлением Zti противоположные
направления, в данное уравнение сопротивление Ztj
должно быть помещено с обратным знаком; Zu —
комплексное значение полного сопротивления контура i;
IKi — комплексное значение контурного тока для
контура i; Ещ — комплексное значение суммарной э. д. с.
в контуре ji (контурной э. д. с), положительное ее
направление принято совпадающим с направлением
соответствующего контурного тока.
Нетрудно заметить, что уравнения состояния обычно
получаются однотипными: в левой части каждого из них
записывается сумма попарных произведений из
соответствующих коэффициентов и искомых величин, а в
правой — заданная величина, которая иногда равна нулю.
Коэффициенты левых частей уравнений определяются
параметрами пассивных элементов схемы (сопротивлений,
проводимостей), а правые части уравнений
определяются параметрами активных элементов схемы (э. д. с,
задающими токами).
Определение рабочего режима электрической сети
обычно сводится к совместному решению одной из
систем уравнений (В-1) или (B-l2). В общем случае реше-
1 Схема может содержать сопротивления взаимной
индуктивности (взаимные сопротивления) между ветвями.
8

ние может потребовать линейной комбинации из этих
уравнений и линейных преобразований полученной
системы уравнений. Так эта задача и решается в теории
линейных цепей, где задающие токи Л и э. д. с. Et
считаются заданными и неизменными.
Линейные преобразования системы уравнений проще
всего производить, пользуясь специально
приспособленным для этого математическим аппаратом — алгеброй
матриц. Соответствующий метод анализа, основанный на
применении алгебры матриц и некоторых элементарных
положений топологической теории графов, назван
матричным.
Матрицей является таблица величин, обладающих
каким-либо общим признаком и записанных в
определенной последовательности. Для этого все входящие в эту
таблицу величины должны быть соответственно
перенумерованы. Алгебра матриц позволяет оперировать
одновременно с целыми группами однотипных величин и
записывать производимые над ними действия упрощенно —
некоторыми символами (при этом выполнение различных
математических преобразований производится почти так
же, как и при пользовании правилами обычной
элементарной алгебры). Опыт показывает, что матричный
метод обладает достаточно большими возможностями,
сравнительно легко усваивается и значительно упрощает
решение сложных задач.
Однако не все правила, известные из элементарной
алгебры, применимы в том же виде и при операциях
с матрицами. Операции с матрицами требуют обычно
значительно большей тщательности и осторожности цри
выполнении математических преобразований. Больше
того, внешне очень простые алгебраические
преобразования часто требуют дополнительной проверки их
справедливости. Однако эти трудности легко преодолеваются
по мере накопления опыта и, безусловно, оправдываются
теми преимуществами, которые приобретаются в случае
пользования алгеброй матриц.
Вначале может показаться, что обобщенный анализ
связан с более трудными представлениями и требует для
его освоения значительного труда и времени. Но на при-!
мере решения ряда конкретных задач нетрудно
убедиться в том, что обобщенные представления не только
открывают новые возможности и поэтому заслуживают
дополнительного внимания; но, кроме того, облегчают ре-
?

шение многих 'задач, обеспечивая большую ясность и
наглядность. Достаточно сложные задачи обычно
значительно проще поставить и математически
сформулировать в матричной записи. Значительно более быстрым и
простым получается и их решение. В ряде случаев при
обычной элементарной записи решение оказывается
настолько громоздким, что его практически весьма трудно
выполнить. Обобщенное решение в матричной форме
оказывается более явным, легко осуществимым. Время и
труд, затраченные на освоение матричного метода, а
также большее внимание и дополнительные проверки в
процессе решения — все это окупается указанными
большими возможностями и облегчением при решении задач. Из
последующего материала будет видно, что не все задачи,
сравнительно просто решенные матричным методом,
даже при известном результате решения удается записать
в развернутом виде (т. е. без применения матриц) так,
чтобы полученная запись была справедлива для любой
схемы.
Большим преимуществом матричной формы записи
являются ее компактность, краткость, отсутствие
излишней громоздкости. Это в большинстве случаев приводит
к большей наглядности математических формулировок
и преобразований. Там, где в обычной, подробной записи
для решения требуется удачная догадка с последующей
длительной и утомительной проверкой (не всегда
заканчивающейся удачно), матричная запись дает возмож-
, ность получения непосредственного решения. В качестве
примера в гл. 2 (§ 2-6) в матричной форме решены
следующие две задачи: 1) получение правила
преобразования схемы, при которой число независимых узлов схемы
уменьшается с у до п<у, и 2) получение правила
эквивалентной замены схемы, содержащей произвольное
количество элементов взаимной индуктивности, схемой, не
содержащей этих элементов.
Краткость записи существенна и весьма
целесообразна также по условиям затраты места и времени. Запись
производимых математических операций в развернутом
виде занимает в несколько раз больше места.
Соответственно больше времени требуется уже хотя бы только
для технического выполнения самой записи. Кроме того,
громоздкие математические выкладки затруднительны и
для их выполнения, и для их освоения. За сложными
преобразованиями часто теряется смысл задачи, возни^
Ю

кает желание упростить ее постановку и воспользоваться
какими-либо допущениями; нередко появляются и
различные ошибки.
'Сравнительно простая структура матричной записи
подкупает своей наглядностью, сходством с решением
для простого случая. Решение задачи получается более
изящным и доходчивым. Выражения в матричной
записи легче расшифровывать и проще понять смысл
математически сформулированной задачи. Обычно понятной
становится структура математической записи не только
для выражения в целом, но и по отдельным его частям.
Наконец, матричная запись какого-либо решения
определяет в значительной мере и рациональный
порядок выполнения отдельных действий, т. е. алгоритм
расчета. При сложных расчетах таким путем
устанавливается известный автоматизм в выполнении элементарных
операций, что облегчает выполнение конкретных
числовых задач.
Существенно облегчается и программирование
решения задачи при использовании АЦВМ. При этом
возможным оказывается использование различных
стандартных подпрограмм, составленных для выполнения
отдельных операций с матрицами. Это позволяет резко
сократить время, потребное для программирования и
отладки программы. Одновременно следует отметить, что
часто многие величины, входящие в состав матриц,
оказываются в действительности равными нулю. Это
создает невыгодные условия для использования матричного
метода при выполнении конкретных числовых расчетов
на АЦВМ, так как требует, в частности, увеличения
оперативной памяти машины. Для устранения этого
недостатка используются специальные приемы (которые
в данной книге не рассматриваются).
Весьма продуктивным для обобщенного анализа
электрических цепей является использование некоторых
элементарных положений топологической теории графов.
Если схему замещения рассматривать как направленный
граф (рис. В-2), то удается воспользоваться ее
обобщенным аналитическим представлением, пригодным для
любой частной схемы. При этом облегчаются соблюдение
правила знаков для-пассивных параметров и
определение направлений для активных параметров и
параметров режима, более четко выясняются взаимно
независимые величины, с использованием наименьшего количест-
11

ванием систем линейных
Jo--Jr,
ва Исходной информации получается аналитическое
представление сложных схем при расчетах на АЦВМ и т. д.
В книге использована некоторая терминология теории
графов, которая подробно пояснена по мере ее
появления (принятые при этом обозначения показаны на
рис. В-2).
Перечисленными выше преимуществами объясняется
все более широкое использование алгебры матриц при
решении задач, связанных с решением или преобразо-
алгебраических уравнений.
Особенно это замечается
в последнее время в
иностранной литературе.
Дальнейшее изложение
материала книги ведется
применительно к условиям
решения задач анализа
режимов работы
электрических сетей при известных
схемах их замещения. В
связи с этим некоторое внимание
обращено и на техническую
сторону задачи составления
самих схем замещения
электрических сетей и
определения их параметров.
Вся математическая
основа матричного метода
сосредоточена в гл. 1. Автор предполагает, что приведенных
в книге пояснений достаточно для изучения и освоения
материала, поэтому пользование дополнительной
математической литературой не является обязательным.
Глава 2 посвящена применению матричного метода к
обобщенному анализу установившихся режимов работы
электрических цепей; гл. 3 является специализированной;
в ней рассматриваются задачи расчета рабочих режимов
электрических сетей.
Следует обратить внимание читателя на
необходимость изучения материала книги в изложенной
последовательности, поскольку в большинстве случаев
последующий материал основан на результатах предыдущего.
Рис. В-2.
О —базисный узел; / — номер
ветви, направление ветви показано
стрелкой; I — начальная вершина
ветви I (узел I); j — конечная
вершина ветви / (узел /); /
■
задающий ток в узле g; h — задающий
ток в узле баланса; —
напряжение узла I относительно
базисного узла или падение напряжения
от узла I до узла баланса.

ГЛАВА ПЕРВАЯ
МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ И ЕЕ
ПРИМЕНЕНИЕ
1-1. ОБОБЩЕННАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ ОДНОТИПНЫХ
ВЕЛИЧИН
При подробной записи системы линейных уравнений
(В-1) и (В-2) имеют следующий общий вид:
&11Х1 &liX2 ••• ~Т~^ШХП ==^li \
amxi ~Ьamxz ~\~ ••' ~\~агтхп — -^n- j
Здесь все величины определяются комплексными
числами (отмечены точками сверху).
В^эту систему уравнений^входят следующие три группы
величин: искомые величины хи свободные члены Лг- и
коэффициенты ац при неизвестных. Индексы при величинах
принимают все значения в следующих пределах: 1=0'=^
гСга и ls^l/^/t, где п — число уравнений. Как уже
указывалось ранее, свободные члены уравнений
определяются параметрами активных элементов схемы, а
коэффициенты при неизвестных — параметрами пассивных ее
элементов.
Под пассивными (в отличие их от активных)
понимаются такие элементы схемы замещения, которые сами
не могут вызывать появления в ней токов и напряжений
(случаи параметрического резонанса здесь
исключаются).
Нетрудно заметить, что величины XijjpgAi имеют по
одному индексу, а коэффициенты ац — по два индекса, из
которых первый соответствует номеру строки (т. е. уравне-
13

ния), а второй—номеру столбца (т. е. неизвестного).
Поэтому число коэффициентов a,j равно произведению числа
неизвестных я,- на число уравнений или их свободных
членов Аг, т. е. я2. Каждую из групп величин л:,- и At можно
записать в виде таблицы, состоящей из одного столбца.
Так получается столбцовая матрица, которая является
линейной или одномерной. При записи группы величин
в виде матрицы соответствующая таблица отмечается
двойными чершчками с обеих сторон (слева и справа) 1
х,
х2
и]
Х„
к
Такая запись матриц применяется при
необходимости выполнения соответствующих арифметических
действий с каждым из элементов их, например при
выполнении числовых расчетов.
Матрицу в целом можно записать короче, используя
лишь ее общий элемент
1|*<И и \At\
с указанием пределов изменения индекса ... п.
Наконец, можно применить условный символ
матрицы в виде той же буквы, но другого шрифта —
соответственно х и А. Последнее обозначение целесообразно
использовать при математических преобразованиях,
выполняемых в общем виде, в целях сокращения записи.
Все эти обозначения в принципе равнозначны
х«
1 Применяются и другие обозначения, например в виде
квадратных скобок.
14

А,
Следовательно, все искомые падения напряжения UAl от
узла / до узла баланса и известные задающие токи Л,
которые входят в систему уравнений (iB-4), можно
записать в виде столбцовых матриц
j=\ш\=
*7
оА2
/Ду
В данном случае индекс величин каждой из групп
изменяется в пределах i= 1 ... у.
Аналогично в виде столбцовых матриц можно
записать все искомые контурные токи /Кг и заданные
контурные э. д. с. Em, которые входят в уравнения (В-2):
1, = ||/„||=
/к,
/«
Л»
и Е.
Дс2
пределы изменения индексов следующие:
Здесь
i=l ... к.
Несколько иначе записывается таблица
коэффициентов йц, поскольку они имеют по два индекса (£ и }).
Существенно, что пределы изменения этих индексов
одинаковы: i; /=1 ...п. Поэтому соответствующая таблица
должна иметь столько же строк, сколько она имеет
столбцов, т. е. получается квадратной (двумерной):
«11
а12 . .
• «1П
в22 • •
• «2П
• • ■
апг .
15

Здесь при записи матрицы с помощью общего
элемента пределы изменения индексов указываются у
правых черточек. Число п показывает порядок матрицы,
который соответствует числу уравнений.
Матрица коэффициентов узловых уравнений, т. е.
матрица узловых проводимостей, получается квадратной
vy=l|y«Jlf=
Коэффициенты с одинаковыми индексами (суммарные
проводимости ветвей, соединенных с соответствующим
узлом) располагаются по диагонали матрицы, идущей
слева сверху вправо вниз и носящей название главной
диагонали матрицы. На пересечении строки i и столбца
/ располагается коэффициент Уц, равный проводимости
ветви, соединяющей узлы i и /, но взятый с обратным
знаком.
Для схемы, обладающей свойством взаимности,
получается Yij—Yji, т. е. матрица Yy оказывается
симметричной относительно главной диагонали.
Аналогично для матрицы коэффициентов контурных
уравнений получается следующее выражение:
Z, = |l Z«||« =
Здесь каждый из индексов изменяется в пределах г;
... к, что и отмечено у матицы, записанной с
использованием общего элемента.
Данная матрица также получилась квадратной,
симметричной, так как для схемы, обладающей
свойством взаимности, Ztj—Zjt. По главной диагонали этой
матрицы располагаются коэффициенты с одинаковыми
индексами, т. е. собственные сопротивления
соответствующих контуров, а на пересечении строки I и столбца } —
общее сопротивление для контуров i и /. Если
направления контурных токов /к,- и /вд в соответствующей ветви
совпадают, то это сопротивление записывается с поло-
7 чг 7

жительным знаком, а если контурные токи имеют
противоположные направления, то сопротивление
записывается с обратным знаком.
Квадратная матрица а обладает особыми
свойствами, если ее определитель (т. е. определитель,
составленный из тех же элементов) равен нулю:
Дц Й12 . . . Д]Я
йг\ Й22 . . . Й2П
:0.
Такая квадратная матрица называется особенной.
Если определитель квадратной матрицы не равен нулю,
то она называется неособенной. Иногда приходится
специально проверять, не является ли квадратная матрица
особенной. Это важно потому, что с особенной матрицей
можно производить не все операции. Поскольку по
символу матрицы нельзя судить о том, является ли она
неособенной, то требуется специальная проверка. Если
установлено, что какая-либо квадратная матрица
получается особенной, -то приходится соответственно
ограничивать выполнение алгебраических действий, что в
дальнейшем будет специально указано.
В соответствии с правилами преобразования
определителей и их свойствами квадратная матрица,
элементами которой являются только положительные единицы
1 1 ... 1
1 1 .
1 1 . . . 1
является особенной. Одновременное умножение всех
элементов любой ее строки или любого столбца на
одинаковый множитель не изменяет этого положения.
Особенной является также матрица, сумма элементов
каждой строки или каждого столбца которой равна
нулю.
Запись какой-либо группы величин в виде матрицы
еще не предполагает выполнения над этими величинами
никаких алгебраических действий (в отличие, например,
от записи группы величин в виде определителя).
Возможности и правила выполнения алгебраических
действий над матрицами будут указаны в дальнейшем.
2-159 17

Пример 1-1. Для схемы, изображенной на рис. Ы, контурные
уравнения можно записать в следующем виде *:
(Zj + 22)/Bi—Z2/H2= bi,
-22/н, + (22 + г,) /к2 = 0.
Из этих уравнений следует, что для данной схемы матрица
контурных э. д. с. имеет следующий вид:
матрица контурных токов
1.=
О
4.
t иг
и матрица контурных сопротивлений (здесь индексы у элементов
матрицы соответствуют обозначениям на схеме)
Zi -)- Z2 — Z2
— Z2 Za -f- Z3
В данном случае матрица 2К получилась второго порядка, так
как число уравнений равно двум. Видно, что эта матрица
симметричная, неособенная
Z\ -f- Z2 — Z2
— Z2 Z2 -j-^Zj
= (Z1 + Z2) (Z2+Z8)+Z^0.
Общее сопротивление Z2 для контуров 1 и 2 записано с
обратным знаком, поскольку в соответствующей ветви контурные токи
имеют противоположные направления.
В том случае, если Z2=0, получается:
'hi
Z, о
о za
Такая матрица называется
диагональной. В диагональной
матрице отличными от нуля явля-
ff ' ются только диагональные эле-
рис. j-i. менты; все остальные элементы
равны нулю.
В виде диагональной матрицы можно записать
сопротивления всех ветвей схемы (при отсутствии взаим-
1 Приведенные в книге примеры носят чисто иллюстративный
характер. Для таких простых схем применение записи в виде матриц
не вызывается необходимостью.
18

zB=
ных сопротивлений). Так, для схемы, изображенной на
рис. 1-2,_|Мат.рица сопротивлений ветвей получается:
Z, о О
о za о
о о zs
Однако эта матрица перестает быть диагональной,
если между какими-либо ветвями существует связь
через взаимную индуктивность. Так, например, если между
ветвями 2 и 3 имеется связь через взаимную
индуктивность (рис. 1-2), то матрица
сопротивлений ветвей получает
следующий вид:
Z, 0 о
2Ъ =
z2 z23
Z2J Zj
-0
Рис. 1-2.
В общем случае двумерная
матрица, элементы которой имеют
по два индекса, является прямоугольной. В
прямоугольной матрице число строк не равно числу столбцов.
В виде прямоугольной получается, например,
матрица коэффициентов распределения задающих токов (см.
ниже) 1
Си С12. . . Си
C2i С22. . . С2у
Число строк этой матрицы равно числу ветвей в
схемы, а число столбцов — числу независимых узлов у,
в которых могут быть заданы нагрузочные токи.
Матрицы а = || ац )| и b = ||b»j|| считаются равными
(а = Ь), если равны все их соответственные (расположенные
на одинаковых местах) элементы: а^ — Ьц. Равные
матрицы должны иметь одинаковое число строк и одинаковое
число столбцов.
1 Коэффициент распределения Сц численно равен току в
ветви i схемы, вызванному задающим током Jj=\ в узле / при
отсутствии задающих токов в других узлах. Число коэффициентов
распределения равно произведению числа ветвей в на число
независимых узлов схемы у.
2* 19

Если строки некоторой матрицы а записать в виде
столбцов, причем ее столбцы станут строками, то
получается транспонированная матрица. В дальнейшем
транспонированная матрица будет отмечаться индексом
t, а именно а4.
В соответствии с приведенными выше указаниями
для симметричной матрицы транспонированная
совпадает с исходной. Поэтому, в частности, для матрицы
сопротивлений ветвей (.в случае схемы, обладающей
свойством взаимности) справедливо условие
Z-at -—
Если матрица а особенная, то особенной является и
транспонированная матрица а*.
Сумма двух взаимно транспонированных матриц дает
симметричную матрицу.
1-2. ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРАВИЛА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ОПЕРАЦИЙ С МАТРИЦАМИ
Сложение. Пусть к узлам некоторой
рассматриваемой схемы приложены задающие токи, которые
записаны в виде матрицы J'. Если к тем же узлам схемы
добавятся некоторые задающие токи, записанные в виде
матрицы J", то результирующие значения J задающих
токов в узлах рассматриваемой схемы получаются в виде
суммы матриц
Суммирование будет правильным только в том
случае, если в обеих матрицах задающие токи,
приложенные к одному и тому же узлу, будут расположены на
одинаковых местах. Правило сложения заключается
в суммировании элементов матриц, расположенных на
их одинаковых (соответственных) местах:
J г ■— J' i —f~ i*
Если к какому-либо узлу схемы задающий ток не
добавляется, то на соответствующем месте второй
матрицы помещается нуль.
Таким образом, сложение матриц является
составлением новой таблицы, элементами которой служат суммы
20

одинаково расположенных элементов Исходных таблиц.
При этом, очевидно, исходные таблицы
(матрицы-слагаемые) должны иметь одинаковое число строк и
одинаковое число столбцов. Матрица-сумма получается с
такими же числами строк и столбцов
Это правило справедливо не только для столбцовых
матриц, но и для квадратных, и для прямоугольных.
Если, например, в ветви схемы добавляются некоторые
сопротивления, то матрица сопротивлений ветвей после
такого изменения можег быть получена путем
суммирования матрицы исходных сопротивлений ветвей и
матрицы добавляемых сопротивлений. При этом места
расположения сопротивлений одной и той же ветви во всех
матрицах должны быть одинаковыми.
Если в действительности величины не добавляются,
а отнимаются, то вместо сложения производится
вычитание, т. е. сложение с обратным знаком; в первом случае
с задающими токами при этом получилось бы
Правила выполнения этой операции остаются теми же
Если к ветви, соединяющей узлы i и /, присоединить
другую ветвь, то это равносильно соответствующему
увеличению ее проводимости
Одновременное изменение проводимостей ветвей всей
схемы можно отразить в виде суммы матриц
Правила такого суммирования уже были указаны выше:
IIЛII=IIЛII+11А 1|.
J = J' —
J".
J г J I J f
Yy = Y'y + Y"y.
II r« 11 = 11 У a
+ 11 Y"„ || .
При вычитании матриц
Y — Y'
•у— • у
Y"
1 у
21

это правило сохраняется
II У и 11 = 11 Y'tj 11-11 Y"a ||.
Пример 1-2. Если для схемы, изображенной на рис. 1-3,
исходные задающие токи определены матрицей
l
j' =
-
2
3
и добавляются задающие токи, определяемые матрицей
4
/"2
=
5
6
то результирующие задающие токи определяются суммарной
матрицей
5
j = у + j" =
—
7
9
Пример 1-3. На рис. 1-3 показана схема, для которой матрица
узловых проводимостей имеет следующий вид:
^12 "Ь^ю —^12 О
Yy= -Y12 Y„ + Yit О
О
О
If '
^7
*Г2
Yl3
У30
Угз
Рис.
1-4.
Если в этой схеме добавить еще две ветви 1-3 и 2-3, то для
новой схемы (рис. 1-4) матрица узловых проводимостей получит
следующий вид:
Y'» =
Yl2 -f- У 20 + ^2;
-Yu
Ytt + Yi» + ^2»
22

Наличие указанных двух ветвей привело к необходимости
добавления следующей матрицы:
У.. О _У13
= Y'
О У„ -У,,
^11 ^23 Ylt-\-Yi2
Этой матрице соответствует схема, показанная на рис. 1-5.
Разность одинаковых (равных) ма- Ю
триц приводит к нулевой матрице
А — А = 0.
Элементами этой матрицы
являются нули.
Отсюда следует, что в матричных
равенствах можно переносить
слагаемые из одной части в другую с
обратным знаком; в рассмотренном выше случае
Рис. 1-5.
или
>"y + Yy = Y',-Yy + Y,
Y"y + Yy = Y'y.
В общем случае если
rt Art B = zt С,
то справедливо и следующее равенство:
±А = ±С=ьВ.
При сложении матриц справедливо перестановочное
правило
' An' В=^±В±Л;
± А ± В ± С = ± В ± С ± А = ± С =£ В ± А
и т. д.
Добавление нулевой матрицы не приводит к каким-либо
изменениям
А + 0 = А.
Умножение. Систему уравнений (1-1) можно
записать в символическом виде, т. е. с помощью символов
матриц, кратко:
ах = А. (1-2)
23

Эта запись показывает, что в левой части уравнения
содержатся произведения коэффициентов ац на искомые
неизвестные Xj, а в правой — заданные величины Лг-. Здесь
применено действие умножения, причем уже определен
порядок умножения матриц:
А=||Л11, i=\...n,
где
га
Ах = 2 dijXj.
Отсюда видно, что действие умножения является
более сложной операцией. В данном случае производится
операция умножения квадратной матрицы на
столбцовую, в результате чего получается столбцовая. Каждый
элемент At матрицы-произведения получается как
сумма из попарных произведений всех элементов а строки
i квадратной матрицьимножителя на соответствующие
элементы х столбцовой матрицы-множителя
"il *1 + fl12 Х2 + • • • + а1пХП
» Я21 Х\ + ^22 Х2 + •-. + а2п ХП
anixi + «п2^2 + ... + ап^хп
Пример 1-4. Система узловых уравнений в матричной форме
записывается в виде одного уравнения
YyUA = J. (1-3)
Из! этого уравнения видно, [чтек задающие токи j\ узлов"полу-
чаются равными соответствующими суммами произведений проводимо-
стей Ytj ветвей и падений напряжения UA!
Аналогично система контурных уравнений в матричной форме
записывается в следующем виде:
ZKI'K=EK. (1-4)
Полученная запись справедлива для любой схемы, при любом
числе независимых контуров. Соответственно изменяются только
порядок матрицы ZK и число элементов в матрицах 1к и Е„.
Для любой схемы справедливо и обобщенное узловое" уравнение
(1-3). От числа узлов в схеме зависят только порядок квадратной
матрицы Yy и число элементов в столбцовых матрицах и j.
■А п

Указанное правило умножения матриц можно
распространить и на более общий случай, когда матрицы-множители
являются прямоугольными. Каждый элемент Сц матрицы-
произведения С, которая получается при умножении матриц-
множителей А и В:
IС и \
гз |
определяется аналогичным путем. Элемент С13-
расположен в строке i на пересечении ее со столбцом /.
Поэтому для его получения надо элементы строки i первой
матрицы-множителя А умножить попарно на
соответствующие элементы столбца ; второй матрицы-множителя
В, сложить найденные произведения и поместить
результат на указанном месте
матрицы-произведения (см.
пример 1-5)
J
к=1
J
—т-
I
-о-
I
I
|_
Рис. 1-6.
На рис. 1-6 показано
мнемоническое правило
умножения матриц, соответствующее этой формуле.
Стрелками на матрицах-множителях показано расположение
попарно перемножаемых элементов, а кружочком на
матрице-произведении показано место элемента,
полученного в результате суммирования этих произведений.
Пример 1-5. Ниже показано, как получается
матрица-произведение при умножении двух матриц, элементы которых заданы
числовыми значениями
1-7 + 2.9 1-8 + 2-0
к. <
3-7 + 4-9 3-8 +4-0
5-7 +,6-9 5-8 + 6-9
Здесь для простоты рассмотрения каждый из элементов
заданных матриц-множителей определен своей цифрой.
Указанное правило умножения матриц показывает,
что эту операцию нужно выполнять строго в той
последовательности, в какой она записана. Переместительное
свойство при умножении любых матриц несправедливо.
1 2 1
1
7 8
3 4
=
9 0
5 6
25
8
57
24
89
40
25

Если матрйцы-множителй Поменять местами, то
результат от этого может изменяться; в общем случае
АВ^ВА.
Приходится поэтому различать умножение матрицы А
на матрицу В справа, т. е. произведение АВ, и умножение
матрицы А на матрицу В слева, т. е. произведение ВА.
Во многих случаях эта оговорка не требуется, так как
порядок умножения вытекает из структуры матриц.
Так, например, квадратную матрицу на столбцовую
можно умножить только справа, а столбцовую матрицу
умножить на квадратную можно только слева (если не
транспонировать столбцовую в строчную).
Умножение можно выполнить только в том случае,
когда число столбцов в первой матрице-множителе
равно числу строк во второй. При этом число строк в
матрице-произведении равно числу строк в первой
матрице-множителе, а число столбцов в ней равно числу
столбцов во второй матрице-множителе.
Пример 1-6. Если токи ветвей схемы выразить через задающие
токи узлов с помощью коэффициентов распределения (токи ветвей
и задающие токи записаны в виде столбцовых матриц I и J), то
матрица С коэффициентов распределения в уравнении
CJ = I
должна быть прямоугольной. Число строк в ней должно быть равно
числу независимых узлов схемы, а число столбцов — числу ветвей
схемы. В обобщенной записи это не видно и поэтому в ряде
случаев требует дополнительной Проверки.
Поскольку все параметры режима и активные
параметры схем представляются в виде столбцовых матриц
(это принято условно), то все коэффициенты в
матричных выражениях должны получаться в виде
прямоугольных или квадратных матриц и должны располагаться
слева от них. Только в этом случае возможно
выполнение операции умножения величин и сложения
соответствующих произведений.
Пример 1-7. Если известна матрица ZB сопротивлений ветвей
схемы )(она может содержать как собственные сопротивления,
расположенные на главной диагонали матрицы, так и взаимные
сопротивления между ветвями, расположенные на других ее местах), то
можно записать уравнение связи токов в ветвях схемы с падениями
напряжений на тех же ветвях.
26

При отсутствии в этих ветвях э. д. с. (токи в ветвях могут быть
вызваны задающими токами, приложенными к их вершинам)
матрицу токов I надо умножить на квадратную матрицу Z„
сопротивлений слева, чтобы получить матрицу UB падений напряжений на
ветвях:
Z.i=H,. (1-5)
Это равенство справедливо независимо от схемы соединения
ветвей (даже в том случае, если данные ветви не имеют
электрических связей, а связаны только взаимными сопротивлениями).
Обе части матричного равенства можно умножить
одновременно на одну и ту же матрицу, но обязательно
с одной и той же стороны — слева или справа. Кроме
того, следует проверить возможность такого умножения
по равенству числа столбцов у левого матричного
множителя и числа строк у правого матричного множителя.
Пример il-8. Обе части равенства (1-5) можно умножить слева
на транспонированную матрицу h сопряженных значений токов
Пг,*1=Пив. (i-6)
Такое умножение возможно, поскольку число столбцов в
транспонированной матрице 1( равно числу строк в матрицах Z, и U,; оно
равно числу ветвей. Очевидно, что матрица lt является строчной, т. е.
число строк в ней равно единице. Так как в выражении 1(1-6) число
строк у первого множителя равно числу столбцов у последнего и
равно единице, то после выполнения указанного умножения
получается одно комплексное число. Оно равно значению суммарных
потерь полной мощности. Следовательно, левая часть выражения
может быть применена при определении потерь мощности в пассивной
схеме /(при отсутствии э. д. с).
Если все элементы какой-либо матрицы имеют общий
множитель р, то этот множитель можно вынести за знак матрицы
|| pAt, || =р || At) ||.
Пример 1-9. Все элементы матрицы определяются чисто
мнимыми числами, т. е. имеют общий множитель /. Его можно вынести за
знак матрицы
1/*||-/1*«Я.
При этом остается матрица с вещественными величинами.
При умножении матриц остается справедливым
сочетательное свойство
А(± В=ьС)=±АВ±АС.
Оно соответствует приведенным выше правилам.
27

Пример 1-10. Производится умножение матриц, элементы
которых определяются комплексными числами. Это действие можно
записать так, чтобы требовалось производить умножение матриц,
элементами которых являются только вещественные числа:
АВ= (А' + /А") (В' + /В") = (А'В' — А"В") + ДА'В" + А"В').
Подобные операции необходимо производить при расчетах на
АЦВМ.
Умножение какой-либо матрицы на нулевую матрицу
дает в результате также нулевую матрицу. Это
справедливо как при умножении справа
А0 = 0,
так и при умножении слева
0 А = 0.
Несколько более свободными являются операции с
диагональными матрицами. Если Ад и Вд—диагональные
матрицы, то от порядка выполнения операции умножения результат
не зависит
АдВд = ВдАд. (1-7)
В результате получается диагональная
матрица-произведение.
Пример 1-11. Если матрицу напряжений U записать в виде
диагональной Од, то можно, например, получить матрицу, по главной
диагонали которой будут располагаться значения напряжений
в квадрате:
идид = ид = || du || ,
где
. f Of при «' = /;
аи = \
1 0 при i ф j.
Если известно, что
АВ = С, (1-8)
то при замене в матрицах А и В строк столбцами и
наоборот, т. е. при записи их в виде транспонированных, должно
получиться
BtAt=Ct. (1-8а)
28

Следует иметь в виду, что если в качестве
множителей оказываются две симметричных матрицы, то в
результате их умножения в общем случае не получается
симметричная матрица. Исключением является
произведение двух диагональных матриц, которое дает
диагональную же матрицу.
Диагональная матрица, состоящая из единиц (на
главной диагонали)
1
0 .
. 0
0
1.
. 0
0
о!
'. 1
называется единичной. При умножении какой-либо
матрицы А на единичную справа или слева
матрица-произведение равна исходной
А 1=1 А = А.
При этом порядок единичной [матрицы должен
соответствовать порядку матрицы А
ABC = rJ>,
то
QBt At = Dt.
Отсюда, в частности, следует, что если B = Bt—
симметричная, а матрицы А и С — взаимно транспонированные
С = At и Ct = А,
то произведение
ABAt = Ct ВС (1-9)
приводит к симметричной матрице. Это в дальнейшем
будет учитываться.
При многократном умножении последовательность
выполнения отдельных операций может быть различной
(в разных сочетаниях)
АВС = А(ВС) = (АВ)С,
однако порядок записи матриц-множителей должен быть
одинаковым.
29

Полезной является также следующая возможность
изменения записи: если А и В — столбцевые матрицы, то
АдВ = ВдА,
где Ад и Вд — диагонализированные матрицы, т. е.
записанные в виде диагональных.
Обратная матрица. В непосредственном виде
операция деления в алгебре матриц отсутствует. Ее
в какой-то мере заменяет операция умножения на
обратную матрицу. Однако обратная матрица существует
только для квадратной неособенной матрицы.
Прямоугольная матрица обратной не имеет.
Если матрица А является квадратной неособенной
(для которой определитель не равен нулю), то можно
найти такую квадратную матрицу В, которая в
произведении с матрицей А даст единичную (при умножении
справа или слева)
АВ = ВА=1. (1-10)
При этом матрица В называется обратной по отношению
к матрице А и обозначается следующим образом:
В=А-'.
Аналогично обратной по отношению к матрице В
является и матрица А
А = В-1 = (А-1)-1.
Как было указано в (1-10), произведение матриц
А и А-1 приводит к единичной матрице независимо от
порядка записи
А-1А = АА-1 = 1.
Полученное правило используют для исключения
отдельных матриц-множителей из сложных слагаемых
уравнений. Пусть, например, в какой-либо части
равенства квадратная неособенная матрица А является
множителем, расположенным у левого или правого края
некоторого слагаемого, и необходимо исключить
матрицу А из состава данного слагаемого. Для этого все сла-
30

гаемые обеих частей рассматриваемого равенства
следует умножить на обратную матрицу А-1 с одного и того
же края (соответственно слева или справа). Множитель
А в произведении с обратной матрицей обращается
в единичную матрицу и таким образом исключается из
состава данного слагаемого.
Пример 1-12. Имеется матричное уравнение
ax-t-by = c,
из которого требуется определить матрицу х. Если а —квадратная,
неособенная матрица, то следует произвести почленное умножение
уравнения слева на обратную матрицу а-1
а-«ах + а->Ьу = а-,с
или
х + а-1 Ьу=а_,с,
откуда непосредственно следует:
х = а-' (с —by).
В матричных равенствах нельзя сокращать
одинаковые множители в виде прямоугольных матриц
подобно тому, как это обычно делается при пользовании
правилами элементарной алгебры.
Пример 1-13. Если известно, что
ах = Ьх,
то отсюда не следует, что а = Ь. Пусть, например,
1
111
а =
1 1 1
О 2 1
х =
3 0 1
2 1 1
Легко видеть, что
1 1 1
О 2 1
Но при этом очевидно, что
1 1 1
О 2 1
1
1
3 0 1
2
2
2 1 1
3
3
3 0 1
2 1 1
31

Вычисление обратной матрицы является технически
весьма сложной операцией. В случае матрицы
достаточно высокого порядка требуется выполнение большого
количества последовательно производимых
арифметических действий. Существует несколько способов
вычисления обратной матрицы. Некоторые из них приведены
в приложении 1. Практически при выполнении расчетов
с помощью АЦВМ приходится пользоваться
стандартными подпрограммами для обращения матриц.
Целесообразно выбирать такую методику решения задач и
такой алгоритм расчета, при которых по возможности
снижается порядок обращаемых матриц. Даже при
расчетах с помощью АЦВМ операция обращения матриц
является весьма трудоемкой и поэтому нежелательной.
Вместе с тем обратная матрица является достаточно
важной для решения задач. В частности, с помощью
обратной матрицы легко выполнить аналитическое
решение системы линейных уравнений (алгебраических).
Пример 1-14. Умножим правую и левую части обобщенного
уравнения i(l-2) слева на обратную матрицу а-1. При этом
получается:
а~'ах = а-1 у
или
х = а-'у,
так как
а-'а= 1,
а единичную матрицу можно не писать в виде множителя
(результат от этого не изменяется).
Записав в указанном общем виде решение
промежуточной системы линейных алгебраических уравнений,
можно продолжать решение всей рассматриваемой
задачи в общем виде. При этом все производимые действия
отражаются в математической записи. Аналогичная
запись промежуточного решения в развернутом виде была
бы весьма громоздкой или потребовала бы применения
упрощенных обозначений, что привело бы к усложнению
дальнейшего решения общей задачи.
С помощью обратной матрицы просто записывается
решение обобщенного узлового уравнения (1-3):
32
UA = Y7'J=ZJ.
(1-11)

Обратная матрица \ ' = Z* является квадратной,
симметричной, порядка у. Она содержит узловые сопротивления
схемы. По ее главной диагонали располагаются входные
сопротивления Ъц между каждым из независимых узлов i
и узлом баланса, а на пересечении строки / и столбца /
находится общее сопротивление 1ц (общее для узлов i и у
схемы относителельно узла баланса). Входное сопротивление
1ц показывает, какое изменение' напряжения Uu вызывает
задающий ток J?, общее сопротивление Ztj определяет
изменение напряжения j С/д;, вызванное задающим током Л,
или изменение напряжения им, вызванное задающим
током Jj.
Аналогично получается решение обобщенного
контурного уравнения (1-4):
/K = Z;'EK. (1-12)
Обратная матрица Z_1 = YK является квадратной,
симметричной, порядка к. Она содержит контурные
проводимости схемы; по ее главной диагонали располагаются
собственные проводимости У« контуров, а на пересечении
строки i и столбца / находится взаимная проводимость
У и для контуров i и /.
Собственная проводимость У а контура i определяет
слагающую контурного тока /кг-, вызванную собственной
контурной э. д. с. Ди, а взаимная проюдимость Уц
определяет слагающую контурного тока /кг-, вызванную э. д. с.
£Kj контура /, или слагающую контурного тока /к^,
вызванную э. д. с. EKi контура i.
(При операциях с обратными матрицами приходится
обычно производить проверку, является ли обращаемая
матрица квадратной и неособенной.
Матрица, обратная по отношению к диагональной,
является диагональной. При обращении диагональной
матрицы на тех же местах записываются обратные
величины. Такое обращение матрицы производится
сравнительно просто.
* Элементы матрицы Z не равны обратным величинам элементов
матрицы Yy. Вся матрица Z является обратной по отношению
к матрице Yy.
3—159 33

Единичная матрица после обращения остается
единичной.
Нулевая квадратная матрица является особенной,
а поэтому обратной не имеет.
Если квадратная матрица А является произведением двух
других квадратных матриц 6 и С:
А = ВС,
то обратная матрица
А-'^ВС)-1^-1 В"1,
т. е. определяется как произведение обратных матриц,
расположенных в обратной последовательности.
Это правило справедливо и в случае большего числа •
множителей: если
А = ВСЬ,
то
A-'^CBCD^^rj-'C^B-1.
Справедливость этого правила легко устанавливается
непосредственной проверкой
A-1A = D-1C-,B-,BCD = 1.
Данное правило дает некоторые дополнительные
возможности при сложных математических
преобразованиях.
1-3. ОБОБЩЕННОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СХЕМ
При обобщенной записи уравнений появляется
возможность применения обобщенного изображения схем.
Вместо обозначения на схеме отдельных величин —
сопротивлений, э. д. с, задающих токов и т. д. можно
пользоваться условными обозначениями сразу целых
групп величин, входящих в соответствующие матрицы.
Такое изображение позволяет упростить принципиальную
постановку задач и их решение.
Пример 1-.15. Обобщенное узловое уравнение (1-3) по внешнему
виду похоже на уравнение, ■составленное для одного узла, поэтому
соответствующую схему можно изобразить упрощенно. На рис. 1-7
показана схема с одним обобщенным узлом (независимым). На та-
34

кой схеме можно показать все группы величин, записанные в виде
матриц в уравнения (1-3).
Здесь в виде одного независимого узла представлены все у
независимых узлов полной схемы, матрицией J обозначены все задающие
токи, приложенные к этим узлам, матрицей 0Д обозначены падения
напряжения между этими узлами и
узлом баланса, матрицей Z определены все
узловые сопротивления — входные и
общие относительно узла баланса — в
соответствии с уравнением '(1-11).
Пример 1-16. Схему, изображенную
на рис. (1-3, можно представить
упрощенно в виде схемы, показанной на
рис. 1-7, если ее параметры определять
Рис. 1-7.
следующими матрицами:
^10 + ^12
-У,2
0
Yy =
.-У.2
^20 + ^12
0
0
0
и,3
3 =
J.1
J2
Рис. 1-8.
Обобщенное контурное уравнение (1-4) по внешнему
виду похоже на уравнение, составленное для одного
контура. Поэтому соответствующую заданную схему,
например изображенную на рис. 1-1, можно
@jj изобразить упрощенно. На рис. 1-8 пред-
7^—1 _ ставлена схема в виде одного контура.
I ZK uig' На ней показаны матрицами все харак-
1 1— терные величины — контурные
сопротивления Z„, контурные э. д. с. Ек и
контурные токи 1к. Здесь в обозначение
контурных сопротивлений входят не только
собственные сопротивления контуров, но и общие
сопротивления для них в соответствии с уравнением (1-4) (см.
§ Ы).
При решении более сложных задач может
потребоваться и обобщенное изображение более сложных схем.
Им соответствует целая система обобщенных уравнений
(в матричной форме). Решение этой системы уравнений
в' принципе производится с помощью изложенных выше
правил выполнения алгебраических действий с
матрицами. Некоторые практические правила решения систем
матричных уравнений приведены ниже (§ 1-5).
3* 35

Пример 1-17. На рис. 1-9 показано параллельное соединение
двух активных схем i(c задающими токами). Каждая из схем имеет
одинаковую нумерацию узлов (число которых может быть произ-
Рис. 1-9.
вольным). Правила суммирования матриц соответственных величин
(см. материал по сложению матриц) аналогичны правилам сложения
величин при параллельном соединении двух ветвей.
1-4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СХЕМ
Показанное в предыдущем параграфе обобщенное
представление схем имеет целью наглядную
иллюстрацию постановки задачи. При этом все величины,
объединенные каким-либо общим свойством, представляются
одним элементом схемы. Фактическая схема соединений
при этом остается неизвестной. Однако для решения
конкретных задач фактическая схема соединений должна
учитываться. Это противоречие можно разрешить,
воспользовавшись аналитическим представлением схем
соединений ветвей. Для решения практических задач
приходится отражать характер соединений ветвей схемы
двояким образом: в узлах и в независимых контурах.
В дальнейшем будет показано, что эти представления
являются взаимно зависимыми. Для характеристики
конкретной схемы соединений ветвей применяются
матрицы инциденций (соединений).
(Весьма важным является согласование
положительных направлений для всех используемых в расчете
величин. Поскольку положительные направления нужны
для определения не только токов.в ветвях, но и э. д. с. и
напряжений, то целесообразно их относить
непосредственно к каждой ветви схемы (см. рис. В-2).
Положительные направления являются условными и принимаются
произвольно. Вся схема, содержащая любое число
ветвей с выбранными направлениями, называется
направленным графом. Направление каждой ветви
указывают от ее начальной вершины (узла) к
конечно й.
36

Первая матрица инциденций М. Уравнение Кирхгофа
для любого узла i схемы (первое уравнение состояния)
имеет следующий вид:
£/»«/, = Л. (1-13)
/=1
где /j — комплексное значение тока в ветви /; Л —
комплексное значение задающего тока в узле i\ Шц —
коэффициент.
Коэффициенты тц могут принимать только одно из
трех значений: положительная единица, отрицательная
единица и нуль. Коэффициент т,,. равен единице
(положительной), если ток Ij по ветви / направлен (имеет
положительное направление) от узла и Коэффициент тц
равен единице с отрицательным знаком, если ток Ij
в ветви / направлен к узлу и Коэффициент тц
равен нулю, если ветвь / не соединена с узлом i,
т. е. ток в ней Ij не входит в уравнение баланса для
узла i схемы.
Как известно, то же уравнение можно записать в
матричной форме—в виде произведения двух матриц
(в левой части), из которых первая должна содержать
указанные выше коэффициенты, а вторая является
столбцовой матрицей токов в ветвях:
Mi = j. (1-14)
Матрица М отражает соединения ветвей в узлах
схемы. В частности, эта матрица нужна для составления
первого обобщенного уравнения состояния цепи. Она
называется первой матрицей инциденций.
Для схемы с выбранными положительными
направлениями ветвей можно составить матрицу М. Каждая
строка i этой матрицы соответствует определенному
независимому узлу схемы, имеющему тот же номер и
Каждый столбец / этой матрицы соответствует ветви с тем
же номером /. На пересечении строки i и столбца / этой
матрицы помещается положительная единица, если
ветвь / соединена с узлом i своей начальной вершиной,
т. е. имеет направление от данного узла i. На
пересечении строки / й столбца / помещается отрицательная
единица, если ветвь / направлена к узлу i, т. е. соединена
37

с ним своей конечной вершиной. Наконец, на
пересечении строки i и столбца / помещается нуль, если ветвь /
не соединена с узлом i непосредственно.
По матрице М можно восстановить схему соединений.
Матрица М полностью заменяет схему и дает
возможность выполнять аналитическое решение задач в общем
виде, не имея схемы в развернутом виде. Полученное
решение оказывается справедливым для любой схемы.
единиц в строке показывает, какое число ветвей
соединено с данным узлом своими начальными вершинами.
Число отрицательных единиц показывает число ветвей,
соединенных с данным узлом своими конечными
вершинами. Суммарное число единиц (положительных и
отрицательных) в каждой строке показывает число ветвей,
соединенных с данным узлом (того же номера).
В каждом столбце матрицы М может быть только
одна положительная и одна отрицательная единицы.
Суммарное число единиц может быть от одной до двух.
Эти единицы показывают начальную и конечную
вершины данной ветви. Если в данном столбце имеется только
одна единица, то это значит, что второй вершиной
данная ветвь соединена с базисным узлом.
Матрица М получается прямоугольной. Она должна
иметь столько строк, сколько схема имеет независимых
узлов, и столько столбцов, сколько в схеме ветвей.
Суммарное число единиц в ней равно суммарному числу
вершин ветвей, соединенных с независимыми узлами
схемы.
Пример 1-18. На рис. 1-10 показана схема, содержащая пять
ветвей и, три независимых узла. Матрица М для нее должна
содержать три строки и пять столбцов. Если ветви имеют направления,
показанные на рис. 1-10 '(номера ветвей показаны у стрелок); то
О
В развернутом виде эта
матрица нужна только для
выполнения числового расчета
для конкретной схемы.
Рис. 1-10.
В каждой строке
матрицы М должно быть не менее
одной положительной или
отрицательной единицы.
В противном случае данный
узел не будет иметь
соединения с остальной частью
схемы. Число положительных
38

Первая матрица инциденций для нее получается в следующем виде:
М =
-1 1 О
0—1 о
0 0—1
0 о
-1 —1
1 о
(1-15)
В строке 1, соответствующей первому узлу, в столбце 1
помещается отрицательная единица, а в столбце 2 — положительная
единица, так как с первым узлом первая ветвь соединена своей
конечной вершиной, а вторая — начальной; в остальных столбцах
помещаются нули. В строке 2 отрицательные единицы помещаются
в столбцах 2, 4 и 5, так как соответствующие ветви соединены
с узлом 2 их конечными вершинами и т. д.
В дальнейшем будет выяснено, что бывают случаи,
когда в процессе расчета приходится изменять
нумерацию узлов. Если в какой-либо матрице строки или
столбцы соответствуют узлам схемы, то при замене номеров
у любых двух узлов схемы соответственно следует
поменять местами строки или столбцы этой матрицы,
имеющие те же номера, что и узлы.
Пример l-il9. Матрица М для схемы, изображенной на рис. 1-10,
получена в примере 1-18. Если номера узлов 2 и 3 поменять
местами, то в матрице М следует поменять местами строки 2 и 3
—1 1
о о
0 —1
о о
-1 1
0 —1
Если задана матрица М в виде (11н1б), то в случае
надобности соответствующая схема составляется в
следующем порядке. Намечаются четыре узла, так как
матрица М имеет три строки; один из узлов принимается
в качестве базисного. Столбец 1 матрицы показывает,
что ветвь 1 начальной вершины соединена с базисным
узлом (так как в данном столбце имеется только одна
отрицательная единица), а конечной — с узлом 1.
Столбец 2 показывает, что ветвь 2 начальной
вершиной соединена с узлом 1, а конечной—с узлом 2 и т. д.
Составленная таким образом схема, конечно, может
отличаться от исходной по ее внешнему виду, но ее
электрические свойства должны быть такими же; они
полностью отражаются первой матрицей инциденций JW.
Бывают случаи, когда требуется предположить
наличие таких узлов в схеме, которых в действительности нет.
Такое предположение возможно, если проводимости вет-
39

вей, связывающих действительные узлы схемы с
указанными дополнительными узлами, принять равными нулю.
При этом в матрице инциденций следует добавить
строки или столбцы, соответствующие дополнительным
узлам, но заполнить их нулевыми элементами.
Пример 1-20. Если к схеме, изображенной на рис. 1-10,
добавить узел 4, в действительности не имеющий связи с этой схемой, то
первую матрицу инциденций следует дополнить строкой 4, в
которой поместить только нулевые элементы:
М =
-1
1
о
о о
0—1 0—1 —1
0 0—1 10
0 0 0 0 0
а)
Рис. 1-11.
В некоторых случаях целесообразно образовать
дополнительный узел, непосредственно соединенный с
каким-либо из существующих узлов, т. е. соединенный
с ним ветвью нулевого сопротивления.
Пример 1-21. Схема содержит две параллельно включенные
ветви !(рис. 1-11,а). Параллельно включенные ветви не
предусматриваются в схемах и при-
^ 1 веденных выше
рассуждениях. Однако все
полученные правила остаются
справедливыми и для
данной схемы, если
предположить наличие еще
одного дополнительного
узла 2, непосредственно
соединенного, например,
с узлом 0 (рис. 1-11,6).
В таком случае ветвь, соединяющая узлы 0 я 2, должна иметь
нулевое сопротивление. Матрица М для такой схемы принимает
следующий вид:
1 —1 0
М= 0 1-1
Матрица М широко применяется при определении
соотношений между узловыми величинами. Она позволяет
определить матрицу UB падений напряжений на ветвях
схемы (между их начальными и конечными вершинами)
по известной матрице {/д падений напряжений между
каждым независимым узлом схемы и ее базисным узлом.
Это соотношение имеет следующий вид:
UB = MtU4. (1-16)
40

Действительно, каждая строка транспонированной
матрицы М4 содержит положительную единицу в
столбце, соответствующем начальной вершине данной ветви,
и отрицательную единицу в столбце, соответствующем
конечной вершине той же ветви. Исключение
представляет только базисный узел, соединение с которым какой-
либо ветви непосредственно не фиксируется в
матрице М.
Однако соответствующая величина падения напряжения
в матрице l)A также отсутствует. Поскольку она равна
нулю, то ответ получается правильным. При умножении
матрицы Mt на матрицу йд справа для каждой ветви схемы
получается разность напряжений (или потенциалов)
между ее начальной и конечной вершинами, т. е.
падение напряжения на этой ветви.
Разомкнутой схеме1 соответствует квадратная
матрица М. Это обусловлено тем обстоятельством, что
в разомкнутой схеме каждая ветвь связывает базисный
узел схемы с новым узлом. При этом число ветвей схемы
равно числу ее независимых узлов.
Пример 1-22. На рис. 1-12 показана разомкнутая схема с тремя
независимыми узлами и столькими же (тремя) ветвями. Первая
матрица инциденций для этой схемы
имеет следующий вид:
О
Мр
Рис. 1-12.
Она получается таким же путем,
как и для замкнутой схемы.
Рассматриваемая схема может
быть получена из ранее
приведенной (рис. 1-10) путем
исключения ветвей 4 и 5. Поэтому
матрицу Мр для нее можно получить из ранее полученной (1-15) путем
исключения двух ее последних столбцов, соответствующих этим
ветвям.
Для разомкнутой схемы матрица М имеет тот же
самый смысл, что и для замкнутой, и может быть
использована для составления первого уравнения состояния
1 Практически разомкнутая схема имеет смысл, если она
содержит задающие токи. Однако приведенные указания в дальнейшем
будут использованы более широко.
41

(1-14). Однако, как уже установлено, здесь матрица М
получается квадратной. Поэтому полученное уравнение
можно решить относительно токов ветвей; для этого
достаточно умножить обе части равенства на обратную
матрицу М-1
Это означает, что в разомкнутой схеме токи ветвей
определяются по задающим токам в узлах
непосредственно
где Ср — матрица коэффициентов распределения
задающих токов по ветвям разомкнутой схемы
В данном случае матрица Ср — квадратная,
неособенная (поскольку существует обратная матрица),
содержащая в качестве элементов только положительные
и отрицательные единицы и нули.
Каждый столбец i матрицы Ср соответствует
независимому узлу с тем же номером i, а каждая строка / —
ветви /. Каждый столбец матрицы Ср определяет путь
графа от соответствующего независимого узла схемы до
ее узла баланса. Единицами отмечаются ветви,
входящие в данный путь графа, а знак — положительный или
отрицательный соответственно показывает, совпадает ли
направление данной ветви с направлением пути графа
или противоположно ему. Каждая строка матрицы Ср
показывает, в какие пути графа (от каких узлов) входит
данная ветвь -и с каким относительным направлением.
Нуль на пересечении строки i и столбца / матрицы Ср
показывает, что ветвь i не входит в состав пути графа
от узла / до узла баланса схемы.
Таким образом, матрица Ср может быть составлена
непосредственно по заданной разомкнутой схеме.
Пример 1-23. Для схемы, изображенной на рис. 1-12, матрица СР
получается в следующем виде:
i=M-'j.
(1-17)
(1-18)
(1-19)
о
о
о
о
О —1
42

—1
1
0
—1
0
—1
0
0
0
0
—1
0
1
0
0
=
0
1
0
0
0
1
Поскольку ветвь 1 соединяет базисный узел с узлами 1 и i
схемы, то на соответствующих местах i(b столбцах 1 и 2 первой строки)
помещаются отрицательные единицы; на остальных местах (в
столбце 3) помещаются нули. Ветвь 2 дает соединение только с узлом 2,
поэтому во второй строке помещается только одна отрицательная
единица и т. д.
Непосредственная проверка показывает, что произведение
матриц Ср и Мр дает единичную матрицу
-1 О
-1 О
Отсюда следует, что эти матрицы являются взаимно обратными.
Столбцы полученной матрицы, действительно, определяют пути
связи каждого независимого узла схемы с ее узлом баланса.
Вторая матрица инциденций N. Аналогично (1-13)
уравнение второго закона Кирхгофа (второе уравнение
состояния) для каждого из независимых контуров i
имеет следующий вид:
в
где Uzi — комплексное значение падения напряжения на
сопротивление Zj ветви /; £кг- — комплексное значение
контурной э. д. с, т. е. суммарной э. д. с. для контура I;
riij — коэффициент, который может принимать только
одно из следующих трех значений: положительная или
отрицательная единица или нуль.
Коэффициент Пц имеет значение, равное единице
(положительной), если направление тока в ветви
входящей в контур i, совпадает с направлением, обхода
этого контура. Коэффициент Пц равен отрицательной
единице, если эти направления противоположны. Он равен
нулю, если ветвь j не входит в контур /.
То же уравнение можно записать в матричной
форме
NIL = Ек
(1-20)
Здесь матрица N определяет соединение ветвей в
независимые замкнутые контуры (в какой-то мере
произвольно выбранные). Она может быть использована не
только при составлении обобщенного второго уравнения
состояния, но и для других целей. Наряду с матрицей
М она дает дополнительную характеристику схемы.
43

Следует иметь в виду, что матрицы инциденций —
первая М и вторая N — отражают только электрические
связи; наличие магнитных связей (через взаимную
индуктивность или трансформацию) в них не отражается.
Строки матрицы N соответствуют контурам схемы,
а столбцы — ветвям. Поэтому матрица N получается
прямоугольной; число строк ее
равно числу независимых
контуров, а число столбцов —
числу ветвей. В каждом ее
столбце должна быть по меньшей
мере одна положительная или
отрицательная единица; в
противном случае какая-то ветвь
не войдет ни в один контур
Рис. 1-13. в каждой ее строке должно
быть по меньшей мере три
положительных или отрицательных единицы, так как
замкнутый контур не может состоять из меньшего числа ветвей,
если схема не содержит параллельных ветвей. Для
разомкнутой схемы матрица N не существует.
В матрице N на пересечении строки i и столбца j
помещается положительная единица, если ветвь /
входит в контур i и имеет направление, совпадающее с
направлением этого контура; помещается отрицательная
единица, если ветвь / входит в состав контура I, но
имеет направление, противоположное направлению обхода
контура, и помещается нуль, если ветвь не входит в
состав контура и
Вторую матрицу инциденций N можно составить
непосредственно по схеме соединений, если выбрать
независимые контуры направления и обхода и направления
всех ветвей.
Пример 1-24. На рис. 1-13 приведена схема, на которой
показаны номера и направления всех ветвей и номера узлов. Число
независимых контуров для этой схемы получается равным 2 '(см.
Введение)
к=в—у=5—3=2.
На рис. 1-13 показаны выбранные независимые контуры и
направления их обхода. В контур / входят ветви 3, 4, 2 и /, причем
1 Предполагается, что рассматриваемая схема является связной.
Обычно предполагается, что схема не содержит параллельных
ветвей. Если в действительности параллельные ветви имеются, то
соответственно увеличивается число узлов (см. рис. 1-11).
44

направления ветвей 3 к 4 совпадают с направлением обхода
контура, а направления ветвей 2 и 1 противоположны ему. Остальные
ветви не входят в контур /, поэтому в первой строке матрицы N
нужно поместить следующие значения: —1; —1; 1 и 0.
Аналогичными рассуждениями получена и вторая строка
матрицы N:
II —1 —1 1 ! О
N= • (1-21)
1|_1 -1 0 0 1
Как известно, в той же схеме можно выбрать и
другие независимые контуры.
Каждый столбец / матрицы N соответствует ветви
/ схемы и показывает, в какие контуры эта ветвь входит
и с каким направлением (совпадающим или
противоположным). Каждая строка i этой матрицы показывает
из каких ветвей состоит данный контур (того же
номера).
Матрица N используется при определении
соотношений между контурными величинами. Она позволяет
определить контурные э. д. с. схемы, если известны э. д. с,
включенные в каждую из ее ветвей. Соответствующее
выражение получается в следующем виде:
NE = Ёк. (1-22)
iB каждой строке матрицы N единицами отмечены
ветви, входящие в состав данного контура, а их знаками
отмечено совпадение (положительная единица) или
несовпадение (отрицательная единица) с направлением
обхода контура. Поэтому при умножении матрицы N
на матрицу Е справа получается алгебраическое
суммирование э. д. с. во всех ветвях данного контура,
причем положительными оказываются э. д. с, совпадающие
по направлению с направлением обхода контура, а
отрицательными— противоположно направленные.
Именно эти суммы и дают контурные э. д. с.
Из равенств (11-16) и (1-20) при отсутствии в схеме
э. д. с. получается:
NMtUA=0.
Суммарные падения напряжения на всех ветвях,
входящих в каждый независимый контур схемы должны
равняться нулю. Поскольку это справедливо при любой матрице U4
(а токи в схеме могут быть вызваны только задающими
токами), то должно быть:
NMt=0. (1-23)
45

Это условие относится к типологическим свойствам
графов, а в частности, и схем замещения электрических
цепей.
Если в уравнение (1-20) подставить выражения
матриц UB и Ёк соответственно из (1-5) и (1-22), то
получится второе уравнение состояния цепи в более
подробной матричной записи:
NZ,f = N£. (1-24)
После простых преобразований это уравнение
записывается несколько иначе:
N(ZBi~E) = 0.
Выражение, заключенное в скобках, можно
обозначить одним символом UB. Тогда получается следующее
выражение:
NUB = 0, (1-25)
здесь UB — матрица падений напряжений на ветвях
схемы (между их начальными и конечными вершинами).
При наличии в ветвях э. д. с.
UB = ZBi-E (1-26)
(см. формулу (1-5) при отсутствии s. д. с. в ветвях).
Уравнение (1-26) выражает
закон Ома в матричной форме.
На рис. 1-14 показана
соответствующая обобщенная схема
сети. Равенство (Ь26) и
обобщенная схема, приведенная на рис.
1-14 для сети в целом, имеют
такой же вид, как и для одной
ветви. Только все параметры здесь определены
матрицами.
Пример il-25. Для схемы, изображенной иа рис. 1-10, матрицам
получена в примере 1-18, а матрица N — в примере 1-24. Проверка
показывает, что
-1
—1 —1
—1 —1
1 1
0 0
0
—1
0
—1
—1
0
0
0
0
0
0
т. е.
46
подтверждает справедливость условия (1-23).

Дерево схемы. Наименьшая часть замкнутой схемы,
ветви которой соединяют пункт баланса со всеми
другими ее узлами, называется деревом схемы. Число
ветвей, входящих в дерево схемы, равно числу
независимых узлов. Если бы другие ветви схемы отсутствовали,
то получилась бы разомкнутая схема с теми же узлами.
Дерево можно считать основной частью (скелетом)
схемы.
Целесообразно так составить матрицу М, чтобы
первые у ее столбцов соответствовали ветвям дерева схемы.
Такой получилась бы первая матрица инциденций, если
бы схема состояла только из ветвей, входящих в дерево.
Пример 1-26. Схема, изображенная на рис. 1-10, содержит три
узла, поэтому в дерево этой схемы должны входить только три
ветви, не образующие замкнутого контура. Следовательно, в состав
дерева данной схемы могут быть включены, например, ветви I, 2 и 3.
При составлении матрицы М для этой схемы {см. 1(1-15)]
первыми были пронумерованы ветви, которые могут составить дерево
схемы. Очевидно, что первые три столбца этой матрицы и
соответствуют дереву схемы.
Если эти три столбца записать в виде матрицы отдельно, то новая
матрица М„ будет квадратной (индекс а показывает, что эта матрица
относится к дереву схемы). Порядок ее равен числу ветвей у,
входящих в дерево схемы. Эта матрица
—1 1 0
0—1 0
0 0—1
является первой матрицей инциденций для схемы, состоящей только
из одного дерева ;(рис. 1-12).
Очевидно, что в данном случае матрица Ма равна матрице Мр
в примере 1-22, так как схемы, рассматриваемые в этих примерах,
совпадают.
Матрица сопротивлений ветвей дерева схемы, изображенной на
рис. 1-12, имеет следующий вид*:
Из одной и той же замкнутой схемы можно выделить
несколько деревьев. Они различаются только составом
входящих в них ветвей схемы. Поскольку число ветвей
схемы в и число независимых узлов у ее известно, то
* Для простоты принято, что сопротивления ветвей численно
равны их номерам.
47

число возможных деревьев определяется как число
сочетаний из в по у, за исключением случаев, приводящих
к появлению замкнутых контуров.
Пример 1-27. Для схемы, изображенной на рис. 1-10, число
возможных деревьев меньше числа сочетаний из 5 по 3 (т. е. ilO), так
как из них два случая приводят к появлению замкнутых контуров.
Поэтому число деревьев равно 8. Возможные деревья показаны на
рис. 1-15, где ветви дерева изображены сплошными линиями.
Соответствующие им матрицы различны.
Дерево достаточно легко выделить из сравнительно
простых замкнутых схем. Для очень сложных схем
составление дерева встречает некоторые затруднения. Тем
более затруднительным оказывается составление
соответствующей матрицы Ма. Целесообразно эту операцию
возложить на !машину. Это освобождает от выполнения
чисто технической громоздкой операции и гарантирует
от излишних ошибок. При этом отпадает также
необходимость в соответствующем графическом изображении
схемы. Возможный порядок такого расчета приведен
в приложении 2.
Хорды (соединения). Ветви замкнутой схемы, не
входящие в состав дерева (пунктирные линии на рис. 1-15),
Рис. 1-15,
48

называются хордами или соединениями. Если после
нумерации ветвей дерева схемы остальные ветви (хорды)
обозначить последующими номерами, то легко матрицу
Ма дополнить матрицей до матрицы М (индекс (3
означает, что матрица относится к хордам). Для этого
в каждом очередном столбце, номер которого равен
номеру соответствующей хорды, положительная единица
помещается в строке, соответствующей номеру
начальной вершины этой ветви, и отрицательная единица — в
строке, соответствующей номеру конечной вершины ее.
Пример 1-28. Для схемы, изображенной на рис. 1-10, матрица
имеет следующий вид:
0
0
—1
—1
I
0
а матрица сопротивлений хорд*
4
0
0
5
Поскольку число ветвей в любой схеме равно сумме
из числа независимых узлов и числа независимых
контуров в = у + к, то число хорд всегда равно числу
независимых контуров к схемы. Очевидно, что добавление
хорды создает независимый контур. Поэтому
целесообразно так выбрать независимые контуры, чтобы каждая
из хорд входила только в какой-либо один независимый
контур схемы.
Если очередность нумерации независимых контуров
совпадает с очередностью нумерации соответствующих
хорд и направления хорд совпадают с направлениями
обхода соответствующих контуров, го вторая квадратная
часть матрицы N (соответствующая хордам), т. е.
матрица Np, номера столбцов которой совпадают с
номерами хорд, получается в виде единичной матрицы.
Пример 1-29. В матрице (1-21) последние два столбца
соответствуют хордам схемы, изображенной на рис. 1-13:
Это единичная матрица.
* См. сноску на стр. 54.
4^159
49

1-5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПЕРАЦИЯХ
С МАТРИЦАМИ
Объединение матриц. Если какие-либо группы
величин имеют некоторый общий характерный признак, то
соответствующие им матрицы можно объединить в одну.
Как показано в дальнейшем, иногда целесообразно
объединить матрицы величин, имеющих даже различные
размерности, например матрицы искомых величин
напряжений и токов у входных зажимов некоторой части
цепи, рассматриваемой в виде многополюсника.
Существенной причиной для объединения матриц
является получение из двух прямоугольных матриц одной
квадратной. Как следует из предыдущего (§ 1-2), это
целесообразно для случаев, когда требуется образование
квадратной матрицы (в целях получения, например,
обратной матрицы).
Пример 1-30. Имеются два матричных уравнения
а,х=Ь1 иа2х = Ь2, О"27)
каждое из которых соответствует неполной системе алгебраических
уравнений (в развернутом виде). Поэтому матрицы а, н а2
прямоугольные. Если суммарное число этих уравнений равно числу
неизвестных, то целесообразно их объединение с образованием новых
матриц
at
и fi =
b,
а2
ь2
В результате может быть записано одно уравнение ах = Ь.
Важно, что объединенная матрица а при этом получается квадратной.
Если она еще и неособенная, то существует обратная ей матрица,
которая может быть использована для решения задачи (см. ниже).
Разделение матриц на блоки. В некоторых случаях,
наоборот, целесообразно разделять матрицы на блоки
или подматрицы1. При этом также могут быть
получены дополнительные возможности преобразований,
связанные с появлением квадратных матриц. Надобность
в этих дополнительных возможностях ощущается потому,
что, как следует из предыдущего, алгебраические
действия с матричными выражениями оказываются обычно
достаточно стесненными, ограниченными. Поэтому в про-
1 Очевидно, что получаемые в результате подобного деления
блоки или подматрицы по существу являются матрицами,
50

цессе решения задачи приходится использовать все
имеющиеся возможности.
В частности, иногда полезным оказывается
разделение на блоки матриц М и N. Как было указано выше,
каждая из (этих матриц может рассматриваться
состоящей из двух частей.
Первая часть относится к дереву схемы, а вторая —
к хордам. Соответственно обе матрицы представляются
состоящими из блоков или подматриц
М=|| МаМ?||
N=||NeN,|[.
Индекс а относится к дереву схемы, а индекс р1 —
к хордам.
Как указано выше, существенно, что при таком
разделении на блоки подматрицы Ма и N? получаются
квадратными, неособенными, иногда равными единичной.
Пример 1-31. Для схемы, изображенной на рис. 1-10, матрица М
из (1-15) разделяется на следующие подматрицы:
0
о
-1
и Мн
0 0
—1 —1
1 о
(1-15а)
Для схемы, изображенной на рис. 1-13, .матрица N из (1-21)
разделяется на следующие подматрицы:
-1 —1 1
-1 —1 0
и N„ =
1 0
0 1
Такое разделение матриц М и N на подматрицы
получается только в том случае, если выполнены
указанные выше рекомендации по нумерации ветвей схемы,
т. е. если вначале перенумерованы ветви дерева схемы,
а затем — хорды. Матрицы N? получается единичной,
если каждая хорда входит только в один независимый
контур и последовательность номеров хорд совпадает
с последовательностью номеров независимых контуров
(при совпадении направлений хорд и обхода
соответствующих контуров).
4* 51

Соответственно на блоки можно разделить и матрицу
сопротивлений ветвей схемы
Здесь квадратная матрица Zaa порядка у содержит
только сопротивления (собственные и взаимные) ветвей
дерева, а квадратная матраца порядка k содержит только
сопротивления (собственные и взаимные) хорд схемы.
Подматрицы Zap и Zpa получаются прямоугольными и содержат
только взаимные сопротивления (в них не входят элементы,
расположенные по главной диагонали матрицы ZB) между
ветвями дерева и хордами. Для схем, обладающих
свойством взаимности, когда матрица является симметричной,
подматрицы Za? и Zpa получаются взаимно транспонированными:
Z =Z
Подматрицы Z и Z„.
при этом получаются
симметричными.
В тех случаях, когда схема не содержит взаимных
сопротивлений между ветвями дерева и хордами, подматрицы
~рв получаются нулевыми матрицами:
Z" и Z,
Za =Z „. = 0
{Six оф(
или
2в =
о гйЛ
Наконец, если схема не содержит взаимных сопротивлений
между ветвями вообще, то подматрицы Zaa и
получаются диагональными (см. примеры 1-26 и 1-28).
Операции с блоковыми матрицами. Матрица,
состоящая из блоков (подматриц), называется блоковой. Как
следует из предыдущего, элементами блоковой матрицы
также являются матрицы (которые называются блоками
или подматрицами). Однако при операциях с блоковыми
матрицами эти подматрицы можно рассматривать как
элементы обычных матриц; необходимо только
проверять возможность выполнения соответствующих
операций по числу строк и столбцов в этих подматрицах. Та-
52

ким образом, можно выполнять операции сложения,
вычитания, умножения и получения обратной матрицы
Правила выполнения этих операций только дополняются
необходимостью соответствующей проверки не только
для блоковых матриц в целом, но и для отдельных иод-
матриц.
Одной из операций является получение
транспонированной матрицы. Транспонированная блоковая матрица,
очевидно, составляется из транспонированных
подматриц. Так, если дана блоковая матрица
М=|| мв М„ (I.
то соответствующая транспонированная матрица получается:
В^матрице М [подматрицы Ма и Мр имели одинаковое
число строк, поэтому в транспонированной матрице Mt
подматрицы Mai и Мр< должны иметь одинаковое число
столбцов.
Поскольку при разделении матриц на блоки в новых
матричных выражениях можно получить квадратные
матрицы, то появляются и новые возможности
дальнейших преобразований. В частности, разделение матриц М
и N на блоки в условии (1-23) дает возможность
получить полезные соотношения. Так, если выполнить
умножение в выражении
IIN Np ||
то получается:
или
N М ,= -NJVL,.
о. at р рг
Теперь можно, например, умножить обе части равенства
на обратную матрицу М"1 справа. При этом получается
формула, которая позволяет определить подматрицу No по
известным подматрицам Ма, М? и N?:
Ми
о,
53

Если предположить, как это было принято ранее, что
то получается еще более простая формула
N =-Мй,М~'
а р at
или с учетом равенства (1-19)*
Л=-Л1ИС* (1-29)
что вполне соответствует правилу, изложенному в
приложении '2.
Применение диагональных матриц. В некоторых
случаях для выполнения желаемых операций приходится
элементы столбцовой матрицы располагать по главной
диагонали квадратной матрицы (диагонализировать).
Полученная таким путем диагональная матрица,
например, дает возможность производить поэлементное
умножение величин без их суммирования.
Пример 1-32. Если известны столбцовая матрица J задающих
токов в узлах схемы и столбцовая матрица U напряжений между
узлами схемы и нейтралью**, то путем выполнения операции умножения
можно составить матрицу значений полной мощности S. Однако для
этого приходится одну из матриц J или U представить в виде
диагональной (это отмечается далее индексом „д")***
fflU = U,f=S. (1-30)
При этом произведение сопряженного комплексного значения
тока и комплексного значения напряжения получается для каждого
узла в отдельности и полученные величины представляются в виде
столбцовой матрицы.
Такая запись целесообразна, например, в том случае,
если требуется выразить матрицу задающих токов через
матрицу значений полной мощности нагрузок. Из второ-
* При определении матрицы С0 для дерева замкнутой схемы
предполагается, что хорды отсутствуют.
** Имеется в виду однолинейная схема замещения
электрической сети (составленная на одну фазу).
*** Для упрощения формул (исключения коэффициента У 3)
предполагается, что в случае трехфазной сети значения всех токои и
напряжений в /3 раз больше соответствующих фазных величин.
54

го равенства (1-30) после умножения обеих частей на
обратную матрицу U~' слева и сопряжения легко
получить:
(1-31)
J = U«S.
Полученное выражение используется в дальнейшем.
Применение матрицы п. Для сложения величин,
записанных в виде матрицы, используется матрица п или
Пь состоящая из соответствующего количества единиц:
и п, = ||1 1 ...1||.
Пример 1-33. Для определения суммарного задающего тока,
равного задающему току /в, приложенному к узлу баланса схемы
с обратным знаком, достаточно произвести следующую операцию:
Произведение
щЗ = J6.
п
ntAn= 2 An
i. 1=1
дает возможность произвести суммирование всех элементов
матрицы А.
Умножение на матрицу п( можно использовать и для
образования матрицы с одинаковыми столбцами. Если,
например, надо образовать матрицу, состоящую из п
одинаковых столбцов, причем каждый столбец
определяется матрицей А, то достаточно эту матрицу А умножить
справа на матрицу nt
Atit= || АА... А||.
Аналогичным путем можно получить матрицу,
составленную из нужного числа одинаковых строк, А(.
Путем транспозиции из предыдущего выражения
получается следующее:
А
55

В обоих случаях матрицы п и nt должны содержать
требуемое число (п) единиц.
Для перехода от записи в виде диагональной
матрицы к записи в виде столбцовой матрицы достаточно
умножить диагональную матрицу на матрицу п справа:
U„n = U. (1-32)
Решение системы матричных уравнений. Для решения
системы матричных уравнений можно частично
использовать те же приемы, которые известны из элементарной
алгебры. Так, например, удается применить способ
исключения матрицы неизвестных.
Пример 1-34. Имеется система из двух матричных уравнений
а,х + bjy = с, и а2х + Ь2у = с2. (1-33)
Если матрица ад является квадратной, неособенной, то, умножив
первое уравнение на обратную матрицу а]~', из него можно определить
матрицу х:
х = аГ'(с1-Ьау). (1-34)
Теперь можно подставить полученное выражение вместо матрицы
х во второе уравнение
a2ar](Ci — b,y) + Ь2у = с2.
После несложных преобразований получается:
(b2 — a2a~jbi)y = c2 —ajaf'd. (1-35)
Если матрица коэффициентов при у оказывается квадратной,
неособенной, то тогда из уравнения (1-35) возможно определить матрицу у:
У = (b2 — a^f'b,)^1 (с2 — aaa^'cj).
Подставив полученное выражение вместо матрицы у в равенство
(1-34), нетрудно окончательно определить и матрицу х.
То же решение получается путем уравнивания коэффициентов. Если
первое уравнение умножить на произведение матриц a2aj~' и вычесть
из второго, то получается равенство (1-35).
Более простая запись решения получается в том
случае, если применить прием объединения матриц (см.
стр. 50).

Пример 1-35. Продолжая решение примера (1-30) из одного
объединенного матричного уравнения
ах = Ь,
нужно сразу получить решение
х = а-'Ь.
Возможны случаи и более сложного объединения матриц.
Пример 1-36. Два уравнения (1-33) можно записать в виде
одного, если применить прием объединения матриц:
ai
ь,
X
=
Ci
а2
ь2
1
У
с2
Проще это уравнение можно записать в следующем виде:
az = с,
где принято
а, Ь,
X
Ci
, z =
и с =
а2 Ь2
У
с2
Решение полученного уравнения записывается достаточно просто:
z = а_1с.
Решение возможно, если матрица а является квадратной,
неособенной.
Освоения изложенных в настоящей главе операций
с матрицами достаточно для выполнения весьма
сложных теоретических исследований в области анализа
электрических цепей. Поскольку все эти исследования
основаны на применении уравнений состояния электрических
цепей, то следующая глава настоящей книги
посвящается их преобразованиям в целях выяснения наиболее
целесообразной формы их представления. Вместе с тем
последующий материал книги дает возможность
читателю более основательно освоить методы матричного
анализа. Все последующие математические рассуждения
проводятся достаточно подробно для приобретения
читателем необходимой самостоятельности в выполнении
подобных преобразований при решении аналогичных задач.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Как было указано ранее, матричная форма записи
позволяет производить исследования для общего случая,
иначе говоря, для схемы любой сложности. В настоящей
57

главе предполагается, что исследуемая схема может
содержать любое число в ветвей и у независимых узлов
или к независимых контуров. В качестве активных
параметров схема может содержать задающие токи во всех
ее узлах (если какой-либо задающий ток отсутствует,
он принимается равным нулю) и э. д. с. во всех ветвях
(если какая-либо э. д.с. в действительности отсутствует,
она принимается равной нулю). Кроме того,
предполагается, что между любыми двумя ветвями схемы может
существовать взаимная индуктивность и вообще
взаимное сопротивление, т. е. матрица сопротивлений ветвей
ZB может не быть диагональной (любые элементы ее
могут отличаться от нуля). Случаи, когда взаимные
сопротивления отсутствуют, рассматриваются как частные.
Иногда при этом получаются соответственно более
простые решения.
В данной главе предполагается также, что
рассматриваемая схема замещения цепи является линейной,
т. е. все ее параметры — пассивные ZB и активные J и
Е — являются постоянными, не зависящими от
искомого рабочего режима. Это условие принято в целях упро-
шения представлений. В действительности значительная
часть приведенного материала остается справедливой и
для случая нелинейной схемы замещения. Однако в
прикладной части настоящей работы с нелинейностью
приходится считаться только для активных параметров
схемы. Поэтому схемы с нелинейными пассивными
параметрами специально не рассматриваются.
2-1. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ЦЕПИ
Ранее уравнения состояния цепи были записаны
раздельно: первое (1-14)
и второе (1-24) | (2-1)
NZB1 = NE — Ёк. '
Эти уравнения обычно называются полными
уравнениями Кирхгофа.
Нетрудно заметить, что матрицы М и N имеют
одинаковое число столбцов, равное числу ветвей схемы, но
разные числа строк, равные соответственно числу
независимых узлов и числу независимых контуров, которые
58

в сумме равны числу ветвей. Отсюда следует, что,
объединив матрицы М и NZB, удается получить квадратную,
неособенную матрицу
м
А =
NZ,
Объединив матричные уравнения (2-1), можно
получить следующее выражение:
М
NZ„
1 =
(2-2)
или сокращенно
А1 = Р,
где Р — блоковая матрица активных параметров схемы,
Р =
Следует отметить, что в полученных блоковых матрицах
А и Р объединены величины разных размерностей. В
матрице А элементы подматрицы М имеют нулевую
размерность, а элементы подматрицы NZ„ — размерность
сопротивления; в матрице Р элементы подматрицы J имеют
размерность тока, а элементы матрицы Ек — размерность
потенциала.
Запись уравнения состояния в обобщенном виде (2-2)
дает возможность получить решение
i=A-iP.
(2-3)
С точки зрения сложности практического выполнения
такое решение не является наиболее удачным, так как
порядок матрицы А достаточно высок. Однако
полученное в общем виде решение можно использовать для
дальнейших обобщенных исследований.
2-2. НЕЗАВИСИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Независимые токи ветвей. Как известно, для
определения рабочего режима сложной схемы нет надобности
в совместном решении всей системы из уравнений
(2-1). Так, например, метод контурных токов приводит
К необходимости совместного решения только к уравне-
59

ний, которые являются контурными, а метод узловых
потенциалов приводит к необходимости совместного
решения у уравнений, которые являются узловыми.
Возможности сокращения числа совместно решаемых уравнений
обнаруживаются путем следующих рассуждений.
Нетрудно видеть, что нет надобности в определении
токов всех в ветвей схемы путем совместного решения в
уравнений, так как не все эти токи являются взаимно
независимыми, если задающие токи в узлах схемы
являются известными. Действительно, из первого матричного
уравнения состояния (2-1) путем разделения матриц М
и I на блоки (см. § 1-5)
II МАП
=J
и выполнения операции умножения можно получить
следующее матричное уравнение:
M.1„ + M^ = J.
Поскольку матрица Ма является квадратной,
неособенной, то можно произвести почленное умножение полученного
уравнения на обратную матрицу М71. При этом] получается:
Отсюда следует, что матрицу \а можно определить, если
известна матрица 1р для заданной схемы (для которой
матрица J известна, а матрицы Ма и Мр можно найти):
. и = Ш-'(3~М^. (2-4)
Это значит, что путем совместного решения
некоторых уравнений достаточно определить только токи в
хордах, чтобы затем, пользуясь формулой (2-4), можно
было определить токи во всех остальных ветвях схемы—
в ветвях ее дерева.
Такой же вывод можно сделать и на основании
положений, которые были изложены в § 1-4. Известный ток
в каждой хорде может быть выражен в виде слагающих
задающих токов, приложенных у ее вершин; при этом
60

в конечной вершине данной ветви задающий ток должен
приниматься с тем же знаком, что и ток в ветви, а в
начальной вершине — с противоположным. Тогда все
хорды могут быть исключены из схемы; остается только
дерево схемы, токи в ветвях которого определяются
непосредственно, без совместного решения какой-либо
системы уравнений. Как следует из (1-19), для этого
достаточно иметь только матрицу С0= М~' (см.
приложение 2). Формулу (2-4) при этом можно записать
иначе:
ia=C0(J-MJL).
(2-5)
Пример 2-1. Для схемы, изображенной на рис. 2-1,а'
токи в ветвях 4 и 5, которые приняты в качестве хорд:
найдены
0,5211
—1,0704
Тогда схему можно упростить, представив ее в виде дерева
(рис. 2-1,6). Теперь токи во всех остальных ветвях схемы находятся
непосредственно.
Рис. 2-1.
В формуле (2-5) умножение матрицы Ig на матрицу Мр слева и
означает замену токов в хордах соответствующими слагающими
задающих токов в узлах:
0
0
—1
—1
1
0
0,5211
—1,0704
0
0,5493
0,5211
* Для простоты принято, что задающие токи численно равны
номерам соответствующих узлов.
61

В формуле (2-5) эти токи алгебраически складываются с
задающими токами схемы
i
0
1
j — Mpip =
2
—
0,5493
=
1,4507
со
0,5211
2,4789
Умножение матрицы результирующих задающих токов слева на
матрицу С0 коэффициентов распределения для дерева приводит
к определению по выражению (2-5) токов в ветвях дерева
— 1
—1 0
1
—2,4507
1'а=
0
—1 0
•
1,4507
=
—1,4507
0
0 —1
2,4789
—2,4789
Использованные при решении данного примера матрицы Мр и С„
были получены для схем, изображенных на рис. 1-10 и 1-12 в гл. 1
(см. примеры 1-23 и 1-30).
Таким образом, полученный результат дает
возможность сделать вывод о том, что токи в ветвях дерева
являются зависимыми от токов в хордах схемы.
Следовательно, независимыми для любой схемы являются
только токи в хордах. (Возможности определения токов в
хордах схемы будут выяснены в дальнейшем.)
Независимые падения напряжения на ветвях.
Аналогичный вывод о взаимной зависимости можно сделать и
для значений падений напряжений на ветвях схемы.
Если в уравнении (1-16) произвести разделение матриц
М< и UB на блоки
йа
0а
м
и произвести умножение, то можно получить следующие
два матричных уравнения:
Поскольку матрица М^1 квадратная, неособенная, то из
первого уравнения при почленном умножении на обратную
матрицу можно получить:
йЛ=м~'и =
4 of а
:C„tUn
(2-6)
62

Подставив полученное Выражение Для ид во второе урав*
нение, можно выразить матрицу Up через матрицу Ua
. ир = МрД = Мр<Со4ив. (2-7)
Это значит, что достаточно знать падения
напряжения на ветвях дерева схемы, чтобы определить
напряжения на всех остальных ветвях, т. е. на хордах. Это
положение легко понять. Очевидно, что рабочий режим
любой схемы полностью определяется значениями
падений напряжения, входящими в матрицу 0Д. Число этих
значений падений напряжения равно числу у
независимых узлов схемы. Однако очевидно также, что
достаточно иметь значения падений напряжения на ветвях дерева
схемы.чтобы определить значения падений напряжения
от любого из узлов до базисного узла (UJ. Для этого
можно воспользоваться выражением (2-6). Падение
напряжения на любой ветви схемы может быть получено
как разность потенциалов между ее начальной и
конечной вершинами, причем равным нулю может быть
принят потенциал любой точки схемы, в том числе и
базисного узла. Отсюда следует, что падение напряжения на
любой ветви, включенной между узлами i и / схемы,
определяется как разность падений напряжения между
ее соответствующими пограничными узлами и базисным
узлом схемы:
Пример 2-2. Падения напряжения на ветвях дерева схемы,
изображенной на рис. 2-1,а получаются по схеме, изображенной на
рис. 2-1,6 i(cm. примеры 1-26 и 2-1):
1
—2,4507
—2,4507
u« = z„i„-
2
•
—1,4507
=
—2,9014
3
—2,4789
—7,4367
По формуле (2-6) определяется матрица падений напряжения
от любого из узлов до базисного узла схемы
—1 0
0
—2,4507
2,4507
и =
—1 —1
0
•
—2,9014
=
5,3521
0 0
—1
—7.4367
7,4367
63

Наконец, по формуле (2-7) определяется матрица падений
напряжения на хордах схемы
2,4507
-1 1
-1 О
2,0846
-5,3521
5,3521
7,4367
Использованные здесь матрицы С0 и были получены ранее
(см. примеры 1-23 и 1-30).
Таким образом, полученные результаты позволяют
сделать вывод о том, что число взаимно независимых
падений напряжений на ветвях для любой схемы равно
числу у независимых узлов схемы. Полученные выводы
будут использованы в дальнейшем при решении задачи
определения рабочего режима схем замещения.
2-3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИИ СОСТОЯНИЯ
Все методы расчета рабочих режимов цепей по их
схемам замещения в конечном счете основаны на
применении уравнений состояния, записанных в той или иной
форме. Выбор наиболее целесообразной формы записи
этих уравнений определяется в значительной мере видом
и сложностью схемы замещения и зависит от
применяемых расчетных средств. Ниже даются возможные пути
преобразований уравнений состояния, которые могут
быть использованы при решении задач для различных
схем.
Приведенный в данном параграфе материал
является в значительной мере тренировочным. Он показывает,
как, пользуясь изложенными выше положениями
алгебры матриц, можно оперировать с системами линейных
алгебраических уравнений и преобразовывать их в
целях получения желаемой формы записи и выделения
отдельных групп величин. Приведенный материал
показывает, что, несмотря на значительные ограничения в
выполнении алгебраических действий с матрицами,
порядок решения задач в какой-то мере оказывается
сходным с порядком решения, применяемым в случае
использования элементарной алгебры.
Определение токов ветвей. Непосредственно из
обобщенного уравнения состояния (2-21) следует
формулировка так называемого принципа наложения. Если
формулу (2-3) записать с разделением матрицы
А-4=В
64

на блоки
I:
| BjBe
то после выполнения операции умножения получится
выражение:
1 = В,) + ВеЁж
или с учетом формулы (1-22)
i = BiJ + BeNE.
Отсюда видно, что матрица токов I может быть раз-,
делена на слагаемые. Каждому задающему току схемы
и каждой э. д. с. в ветви соответствует некоторая
система токов в ветвях, определяемая матрицей параметров
схемы. Действие задающих токов определяется
матрицей В,, а действие э. д. с. — матрицей BeN. Матрица В3
имеет в строк и у столбцов, а матрица BeN имеет в строк
и в столбцов, т. е. является квадратной. Первая
является матрицей коэффициентов распределения (задающих
токов по ветвям схемы), а вторая — матрицей входных и
взаимных проводимостей ветвей.
Матрицу А можно представить в виде блоковой
А =
АцАц
А21А22
Поскольку из предыдущего
м=|| МаМр |
NZB=||NNB
то, следовательно,
=11NZ +NfiZ_ N Z a + NfiZe«ll
II a aa i p pa a ap i p 0{! ||,
A21 = NZ +N„Z •
21 a aa i в ba>
(2-8)
A22 — N<Zaji _[_ NeZBB.
Полезно напомнить, что для схем, не содержащих
взаимных сопротивлений,
ZL =Z в, = 0.
pa aft
5—159
65

ВцВ12
В;*
в..
B2iB22
В*Р
Матрицу В = А-1 также можно представить в виде
блоковой
В:
Важно отметить, что число задающих токов в матрице J
равно числу ветвей дерева схемы (индекс а), а число
контурных э. д. с, входящих в матрицу Ек, равно числу хорд
(индекс Р). Поэтому блоки матрицы В имеют следующий
смысл: подматрица Вп = В/а определяет токи в ветвях
дерева, вызванные задающими токами, подматрица В12 = Веа
определяет токи в ветвях дерева, вызванные контурными
э. д. с, подматрица В21 = В;.а определяет токи в хордах,
вызванные задающими токами, и подматрица Ваа = ВеВ
определяет токи в хордах, вызванные контурными э. д. с.
На основании формул, выведенных в приложении 1,
блоки матрицы В получаются следующими:
Вуи— (Ац А|2А22 Аа1) *;
Befi = (Aaa А21Ап А12) 1.
(2-9)
Матрица коэффициентов распределения при этом
определяется
(2-10)
в/«
с«
1В/Р
СР
Здесь Са — квадратная матрица (порядка у)
коэффициентов распределения для ветвей дерева схемы, а Св —
прямоугольная (с числом строк к и числом столбцов у)
матрица коэффициентов распределения для хорд.
Матрица входных взаимных проводимостей ветвей
получается в следующем виде:
Y = BfiN=
В.
|N.NJ| =
М- BeaN?
ВеВ^о BeBNa
VP«YPP
66

Здесь Yoa — квадратная (порядка у) матрица,
определяющая зависимость между токами и э. д. с. в ветвях дерева
схемы, YBB — квадратная (порядка к) матрица,
определяющая зависимость между токами и э. д. с. в хордах, YaB —
прямоугольная матрица (с числом строк у и числом
столбцов к), определяющая зависимость между токами в ветвях
дерева и э. д. с. в хордах, и YBo — прямоугольная (с
числом строк к и числом столбцов у) матрица, определяющая
зависимость между токами в хордах и э. д. с. в ветвях
дерева.
По диагонали матрицы Y располагаются входные
проводимости ветвей, а на пересечении строки i и столбца / —
взаимные проводимости между ветвями i и /. В дальнейшем
будет показано, что матрица Y получается симметричной
(подматрицы Yaa и \вв — симметричные, а подматрицы YaB
и YBa — взаимно транспонированные).
Таким образом, уравнение состояния получается в
следующем виде:
t = CJ' + YE
или
(2-П)
i
с
Y„„ Y„B
a
\
=
a
с,
J +
aa ap
a
Отсюда, в частности, можно получить выражение для
определения токов в хордах схемы:
ip=Cpi+YBE,
(2-12)
где YB=||Yp.Ypp||.
В соответствии с выводами, полученными в
предыдущем параграфе, этого достаточно для определения токов
во всех остальных ветвях схемы. Из (2-5) и (2-12)
следует:
К = С. [J - М. (CBJ + Y.E)] = C'J + Y'E, (2-13)
где
С' = С.(1-МВСВ)
Y' = -CAYB.
67

Поэтому матрица токов во всех ветвях схемы
определяется по следующей формуле:
1 =
C'J-f- Y'E
С Y'
С Y0
= В'Р, (2-14)
где
В':
с.о-МвВя) -;coMpBeBN
B„fiN
С0 О
О В„0
1-MBB;B -MBBepN
—Аа,А]
—I
l
Расчет по формулам (2-14) проще, чем по формулам
(2-9), так как требует меньшего количества вычислений,
связанных с определением обратных матриц: достаточно
определить по формулам (2-9) только матрицы В;.а и ЪеЬ
матрицы В/а и Век здесь не требуются.
Пример 2-3. Схема, изображенная на рис. 2-1,а, не содержит
взаимных сопротивлений и в качестве активных параметров
содержит только задающие токи. Поэтому формула для вычисления 1р
несколько упрощается:
Ip = Cpj= Bypj=—(Хи-АиСА.О-'АиСД (2-15)
Если Np= 1, то из (1-29) получается1:
При этом
Aai =
О -1 1
0—10
—1 —1 1
—1 —1 о
А22 =
1 0
0 1
—1
0
0
—1 -
-1
0
0
0
1
1 0
0
1
0 2
0
1
-I
0 0
3
4 0
4 0
0 5
0
= Ма и
С =
= А
—1
11
—1 —1 1
—1 —1 о
68

Теперь по формуле (2-15) можно определить матрицу 1а
1а=-
4
0
0
5
—1 —2
3-1
—1 —2
0 1
—1
—2
3
—1
—2
0
—1
—1
0
0
—1
0
0
0
—1
—1 —1 о
0—1 о
0 0—1
1
о
—1
1
— 1
X
1
71
37
0,5211
—76
—1,0704
Матрицу токов в остальных ветвях схемы (в ветвях дерева)
можно определить по формуле (2-4). Это равносильно применению
формулы i(2-13).
Токи в ветвях дерева схемы уже были определены в примере 2-1.
Определение падений напряжения. В качестве
искомых величин можно выбрать падения напряжения от
всех независимых узлов до базисного узла, которые
входят в матрицу U4. Как следует из (2-6), эта матрица
определяется по матрице падений напряжений на ветвях
дерева схемы, которую можно определить,
воспользовавшись уравнением (1-26) закона Ома. Для этого
целесообразно все входящие в это уравнение матрицы
представить в виде блоковых
7 7 IV F
™ °* а — а . (2-16)
ZBa zae [ 'a i Ea
Отсюда получается:
Ua = Z A + ZaBIB- EB = ZJ- E„. (2-17)
™eZ HIZAII.
Если в это выражение подставить значение матрицы f из
(2-14), то можно определить^ матрицу Ua:
U =Z В'Р — Ё ,
а затем из (2-6) и матрицу U4
U4 = Cot(ZaB'P-Ea)
или
йл=г)-г-ЬЁ( (2-18)
69

где с учетом (2-13)
z=cotz4
D = CotZa
-II* АII-
(2-18а)
Уравнение (2-18) дает формулировку принципа
наложения применительно к падениям напряжения, или,
иначе говоря, напряжениям узлов относительно базисного
или узловых напряжений. Так же как и матрица токов,
матрица U, может быть разделена на слагаемые.
Каждый задающий ток схемы и каждая э. д. с. в ветвях
схемы определяют
соответствующие слагаемые в матрице
угловых напряжений. Действие
задающих токов определяется матри-
Y цей Z параметров схемы, а
действие э. д. с. — матрицей D ее
параметров.
Матрица Z является квад-
Рис. 2-2. ратной порядка у. Это —
матрица узловых сопротивлений. По
ее главной диагонали
располагаются входные сопротивления схемы между
каждым независимым узлом и базисным, а на
пересечении — строки i и / относительно базисного узла. В
дальнейшем будет показано, что матрица Z симметричная.
Входное сопротивление Zu определяет изменение
напряжения1 в узле I, вызванное задающим током /, того же
узла L Общее сопротивление Z*j определяет изменение
напряжения в узле i, вызванное задающим током узла
/, или изменение напряжения в узле /, вызванное
задающим током /, узла г.
Для любых двух узлов i и / всю схему замещения
можно представить упрощенно — в виде трехлучевой
звезды (рис. 2-2), третьей вершиной которой является
базисный узел 0. Сопротивление ветви, примыкающей к
базисному узлу, равно Z,j— общему сопротивлению для
1 Предполагается, что базисный узел является и узлом баланса
задающих токов.
70

узлов i и у схемы. Его можно определить, зная входные
сопротивления Zu, Z,, и Z между узлами i и /:"
2ц—-\- — Z).
Матрица D прямоугольная, с числом строк у и числом
столбцов в. Ее можно назвать матрицей коэффициентов
распределения для э. д. с. Каждая величина Оц
определяет изменение напряжения в узле / схемы, вызванное
действием э. д. с. в ветви /.
Уравнение (2-16) можно использовать и для
получения другой возможности определения токов в ветвях. Из
(2-16) и (2-17) получается:
up=Vl+Vp - EP=M8,cot(Zaaia+za6is - EJ
или после перегруппировки слагаемых
(Zee - Me(CoiZa8) I6 = Me,C0t (Zja - EJ + Ё6 - 2^ia.
Поскольку матрица коэффициентов при Ig является
квадратной, неособенной, то отсюда можно определить
матрицу v
1В = (Zw - I*VCt (*«А - EJ + Ep-Zfja).
(2-19)
Таким образом, оказывается, что путем совместного
решения уравнений достаточно определить только токи
в ветвях дерева схемы; токи в хордах после этого можно
определить по формуле (2-19). По-видимому, такой
порядок расчета не всегда целесообразен, так как число
ветвей дерева, как правило, значительно больше числа
хорд.
Пример 2-4. Для схемы, изображенной на рис. 2-1,
формула (2-19) несколько упрощается
При найденной ранее матрице 1„ (см. пример 2-1) по этой
формуле получается:
1В =
71
4
0
i-l j
0 —1 1
0
5
1 j
0—10
—1 0
0
И'
0
0
—1 —1
0
0
2
0
0 0
—1
0
0
3

X
—2,4507
—1,4507
—2,4789
0,5211
—1,0704
Как и следовало ожидать, этот расчет приводит к
полученным ранее результатам.
Имея матрицу токов I, можно определить и все
значения падений напряжения, входящие в матрицы UB и 11д-
Однако в дальнейшем будут показаны и другие
возможности выполнения этого расчета.
Определение контурных токов. В качестве искомых
неизвестных в ряде случаев целесообразно выбрать
контурные токи. Число их равно к. Однако следует иметь
в виду, что контурные токи вызывают появление в
ветвях схемы токов, сумма которых в каждом узле равна
нулю. Это не соответствует действительности, если схема
содержит задающие токи в узлах. Поэтому при наличии
задающих токов в узлах схемы приходится
предполагать, что матрица токов в ветвях состоит из двух
слагаемых
1 = 1' + Г\
(2-20)
которые могут быть определены на основании
следующих рассуждений. Слагаемое Г в ветвях схемы связано
с контурными токами следующим соотношением:
i'=NtiK.
(2-21)
Действительно, каждый столбец i матрицы N и
соответственно каждая строка матрицы N* содержат
единицы в тех местах, которые имеют номера, контуров,
содержащих ветвь i; знак при каждой единице показывает,
совпадает направление ветви i с направлением обхода
соответствующего контура или противоположно ему.
Таким образом, матрица Nt обеспечивает суммирование
контурных токов для каждой ветви схемы.
При этом в соответствии с условием (1-14)
получается:
Mi'=MNtiK=o,
Матрица I" может быть любой, удовлетворяющей
условию
МГ

В частности, в целях упрощения решения можно так
выбрать матрицу \", чтобы она определялась
непосредственно из следующего выражения:
С„
О
Г
(2-22)
Это означает, что задающие токи условно
распределяются по ветвям дерева схемы в предположении, что
хорды отсутствуют. При этом условия (1-14) в узлах
схемы соблюдаются
С„
М1" = ||МаМр|
О
J = (MaC0 + Me0)J = J,
так как
МСЛ = ММ"' = 1.
а 0 а а
Действительные токи в ветвях получаются только после
суммирования токов Г' с контурными 1к. Из (2-21), (2-20)
и (2-22) следует, что соответствующая матрица токов I
должна иметь следующий вид:
i=NtiK+
или после разделения на блоки
(2-23)
1к +
С„
—
0
J.
Полученное обобщенное уравнение разделяется на два
I„ = Nj. + C.i (2-24)
и
Если принять (как это было рекомендовано выше),
что каждая хорда входит только в один контур, т. е.
Np = N^ = 1-
то, как и следовало ожидать,
т. е. контурные токи равны соответствующим токам в
хордах.
73

Для определения матрицы контурных токов, а
следовательно, и токов в хордах необходимо применить
второе уравнение состояния. Из (2-1) и (2-23) получается:
NZBi = NZB^NtII + ||^||j^ = EIt=NE. (2-25)
Произведение матриц NZBNt дает квадратную,
неособенную матрицу порядка к. Поэтому из (2-25) можно
определить матрицу контурных токов
iK = (NZ8Nt)-« ^NE —NZ„ || ^|| j).
В более общем виде это уравнение имеет следующий
вид:
где
(2-26)
CK = -(NZBNt)-1NZB
Y^CNZbNO-^YkN.
(2-27)
Уравнением (2-26) формулируется принцип
наложения применительно к контурным токам. При принятых
условиях матрица контурных токов представляется в
виде отдельных слагаемых. Каждый задающий ток схемы
и каждая э. д. с. ветви соответствуют некоторой
слагающей системы контурных токов, которая определяется
матрицей параметров соответственно Ск или Ун- Первая
является своеобразной матрицей коэффициентов
распределения, связывающей задающие токи схемы с контур-
нами токами, а вторая — матрицей проводимоетей,
связывающей э. д. с. ветвей с контурными токами.
Пример 2-5. Для схемы, изображенной на рис. 2-1 ,а,
так как
Ё-=0.
74

Поэтому достаточно определить только матрицу коэффициентов
распределении С*к:
Ск = -
—1—11110
—1—110 0 1
X
—1
—1
-1 1
-I о
1
—1
—1
2
—1
—1
со
1
0
4
I
0
5
0
1
—1 -
-1 0
0 -
-1 0
=
0
0 —1
—1
X
71
5 15 —24
7 21 9
и, следовательно,
1В = »к= -
71
1
сп
15
—24
71
7
21
9
|_
37 I
0,5211
1 76 |
—1,0704
После этого матрица 1а может быть определена по формуле (2-4).
Следует отметить, что расчет получился сравнительно простым и
поэтому может быть рекомендован для практического применения.
В результате выполненных преобразований
уравнения состояния электрической цепи получены различные
формы их представления. Эти формы лежат в основе
большинства применяемых методов расчета рабочих
режимов схем замещения и, в частности, в основе методов
узловых потенциалов (напряжений) и контурных токов.
Ниже будут показаны возможности упрощенного
представления уравнений состояния.
В дальнейшем изложении операции с матрицами
будут применяться для получения решений, которые могут
оказаться менее знакомыми для читателя, но более
важными для практического применения. Поэтому в
дальнейшем большее внимание будет уделяться содержанию
выполняемого решения и меньшее — внешней форме его
выполнения.
* Матрицы N, ZB и Со определены в примерах 1-23—1-25 (с
учетом примечания на стр. 54).
' 75

2-4. ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ СХЕМ
Определение. Исходное обобщенное уравнение состой'
ния цепи обычно записывается в виде так называемых
полных уравнений Кирхгофа (см. § 2-1):
j
В него входят только натуральные параметры схемы:
пассивные Z, и активные J и Ё. Этими параметрами
задается рассматриваемая схема.
Иногда при записи этого уравнения применяется
матрица контурных э. д. с.
EK = NE.1 (2-28)
Контурные э. д. с. уже являются обобщенными
активными параметрами схемы. Они не являются
заданными, а получаются после выбора независимых контуров
и являются активными параметрами этих контуров.
Значительно больший интерес для выполнения
практических расчетов имеют обобщенные пассивные
параметры схем. Эти параметры были введены в
предыдущем параграфе при записи уравнений состояния в виде
решения исходного обобщенного уравнения:
при определении токов в ветвях (2-11)
1= CJ + YE;
при определении узловых напряжений (2-18)
U4 = ZJ + DE;
при определении контурных токов (2-26)
iK = C,J+YftE.
Параметры С, Y, Z, D, Ск и Y/, в отличие от
натуральных исходных параметров целесообразно назвать
обобщенными. Эти параметры характеризуют схему в
целом и определяются натуральными параметрами схемы
(пассивными). Они дают достаточно простую связь ис-
76
NZ,
1 =

комых параметров рабочего режима с ее заданными
активными параметрами. Естественно возникает вопрос
об их определении через натуральные пассивные
параметры схемы, т. е. через ма-
2,4507
Рис. 2-3.
трицу сопротивлении
ветвей ZB.
Перечисленными выше
обобщенными параметрами
не исчерпываются все
возможности обобщенной
характеристики схемы. Так,
например, наряду с
матрицей ZB сопротивлений
ветвей, которая при заданных
токах ветвей позволяет
определить падения
напряжения на сопротивлениях ветвей, а при известных э. д. с.
ветвей и напряжения на ветвях
UB=ZBI-E, (2-29)
может применяться и матрица проводимостей ветвей
YB = Z7\
которая при известных напряжениях на ветвях и э. д. с.
в ветвях позволяет определить токи ветвей
I = VB (U.+ E).
(2-30)
Пример 2-6. Рассматриваемая схема изображена на рис. 2-3,
где указаны все токи ветвей. Для этой схемы ZB — диагональная
матрица
1
Z,=
поэтому матрица Y, получается достаточно просто:
1/2
0,5
1/3
0,3333
1/4
0,25
1,5
0,2
77

Обобщенные параметры узлов. Для определения
обобщенных параметров через натуральные достаточно
воспользоваться приведенными выше соотношениями. Так,
из зависимости (1-16)
и, = М41]д (2-31)
с учетом (1-5) получается при отсутствии э. д. с. в
ветвях схемы:
ZBI = MtU4.
Отсюда определяется матрица токов ветвей
i = Z^MtU4 = YBMtU4. (2-32)
Подставив выражение для матрицы токов в
выражение (1-14), можно получить:
MYBMtU4=J.
Если записать короче:
YyU4 = .i, (2-33)
то можно получить для матрицы узловых прово-
димостей схемы следующее выражение:
Yy=MYBMf. (2-34)
Ранее было указано (§ 1-2), как матрица узловых
проводимостей Yy может быть получена и
непосредственно без проведения вычислений по формуле (2-34).
Умножение матрицы YB слева на матрицу М и
справа на транспонированную матрицу М« является так
называемым подобным преобразованием. При
этом преобразовании симметричная матрица YB
превращается в симметричную матрицу Yy.
Эта матрица является квадратной, неособенной.
Поэтому из (2-33) получается:
U4 = Y7'J=ZJ, (2-35)
где с учетом (2-34) >
Z = (MYjjMt)"1 = (MZ^'Mt)"1
является матрицей узловых сопротивлений
схемы. Эта матрица является также квадратной,
неособенной, симметричной, порядка у. Она позволяет определить
узловые напряжения по заданным значениям задающих
токов узлов.
78

Как следует из приведенных выше (Введение и гл. 1)
определений отдельных элементов матрицы Yy, по
значениям ее элементов может быть полностью
восстановлена вся схема замещения (это справедливо для схемы,
не содержащей взаимных сопротивлений). По значениям
элементов матрицы Z схема непосредственно
восстановлена быть не может.
Пример 2-7. Для рассматриваемой схемы (рис. 2-3) матрица
узловых проводимостей получается равной
—1
1 0
0
0
1
0,5
Y,=
0
—1 0
—1
—1
0,3333
X
0
0 ' —1
1
0
0,25
0,2
—1
0 0
1
—1 0
1,5
—0,5 0
X
0
0 —1
=
—0,5
0,95 —0,25
•
0
—I I
0
—0,25 0,5833
0
—1 0
Ее можно получить и непосредственно по схеме
1 +0,5 —0,5 0
уу= —0,5 0,5 +0,25 +0,2 —0,25
0 —0,25 0,3333 +0,25
1,5 —0,5 0
—0,5 0,95 —0,25
0 —0,25 0,5833
Матрица узловых сопротивлений получается как
1,5 —0,5 0 -1
Z = —0,5 0,95 —0,25
0 —0,25 0,5833
обратная
71
59 35
35 105
15 45
15
45
141
Правильность полученного результата можно проверить путем
умножения матрицы Z наУу справа или слева. Однако можно
произвести эту проверку и путем определения матрицы узловых
напряжений
UA=ZJ=7T-
59
95'
15
35
105"
45
15
45
141
1
2,4507
2
=
5,3521
со
7,4367
7?

Полученные значения совпадают с ранее найденными
в примере 2-2 (показаны на рис. 2-3).
Воспользовавшись формулой (2-30), теперь можно
определить токи в ветвях дерева схемы. При отсутствии
взаимных сопротивлений и э. д. с. в ветвях схемы
1
—1
0
0
2,4507
—2,4507
=
0,5
1
—1
0
.5,3521
=
—1,4507
0,3333
0
0
—1
7,4367
—2,4789
Здесь учтены равенство (1-16), а также результаты,
полученные в примере 1-22. Найденные токи (показаны
на рис. 2-3) совпадают с полученными ранее (ср.,
например, с результатами, полученными в примере 2-1).
Обобщенные параметры контуров. Из второго
уравнения состояния (1-24) с учетом (2-25) следует:
NZBt = NE = Ёк.
Как было указано выше (§ 2-3), при отсутствии в
схеме задающих токов
i ==NtiK. (2-36)
Поэтому, подставив данное выражение в предыдущее,
можно записать:
NZ„NtIK=EK
или короче
Z„iK=EK, (2-37)
где
ZK = NZBNt.
Таким образом, получено выражение для матрицы
контурных сопротивлений (собственных и
общих) схемы. По диагонали этой матрицы размещаются
собственные сопротивления, связывающие
контурные э. д. с. с контурными токами тех же контуров, а
на пересечении строки i и столбца / находится общее
сопротивление для контуров i и /. Это сопротивление
определяет часть э. д. с. контура 4 связанную с контурным
80

током контура /, и часть э. д. с. контура /, связанную с
током контура i. Эта матрица ZK является квадратной,
неособенной, симметричной порядка к.
Из (2-37) можно получить обратное соотношение
где
I —7_IF —Y F
YK = Zs-'=(NZBNt)-»
(2-38)
является матрицей контурных проводим o-
стей (входных и взаимных). Эта матрица также
является квадратной, неособенной, симметричной порядка к.
По ее диагонали располагаются входные
проводимости, связывающие э. д. с. контуров с токами.тех же
контуров, а на пересечении строки i и столбца / —
взаимные проводимости, связывающие э. д. с.
контура i с током контура / и э. .д с. контура / с током
контура I.
Пример 2-8. Для рассматриваемой схемы (рис. 2-3) получается:
1
—
1 -
-1
—1 —1
1 1 0
2
3
1 -
1
71
0
10 3
—1 —1
0 0 1
3 8
4
1
0
5
0
1
Ту же матрицу можно определить и непосредственно
по схеме
Z.=
1+2+3+4 1+2
1
10
3 j
•
1+2
1+2 + 5
|
со
оо
Обратная матрица
10
3
-1 1
8 —3
со
оо
71
—3 10
Правильность выполнения операции вычисления обратной
матрицы проверяется путем умножения матрицы Y„ на матрицу ZK i(cnpa-
ва или слева)
1 I 8 —3 10 3
= 1.
91
1
I 8
—3
10 3
71
1 —з
10
3 8
Таким образом, расчет выполнен правильно.
6-159

Выше (§ 2-3) уже были получены выражения для
обобщенных параметров С, a Yj (2-27):
CK = -(NZBN1)-'NZB
= -YKNZB
с.
о
YA=(NZBN,)-iN=YKN.
Как следует из выполненного решения, матрица Ск не
определяется однозначно и зависит от выбора путей
прохождения по схеме слагающих задающих токов J. Падения
напряжения, вызываемые этими слагающими задающих
токов на сопротивлениях ветвей, можно рассматривать
как равные по величине, но противоположно
направленные э. д. с. ветвей. Поэтому матрица Ск имеет в качестве
множителя слева матрицу контурных проводимостей.
Матрица Y/, отличается от матрицы YK контурных
проводимостей только множителем N справа, который
позволяет преобразовать матрицу э. д. с. ветвей в матрицу
контурных э. д. с.
Обобщенные параметры Ск и Yh дают связь параметров
контуров схемы с параметрами, отнесенными к ее узлам.
Поэтому матрицы С, и Yft отнесены к обобщенным
параметрам контуров условно.
Пример 2-9. Для рассматриваемой схемы (рис. 2-3) получается:
С,- 71
8
—3
X
—з
ю
—1
—1
о
—1
—1
1
X
Действительно,
_1_
71
5
15
—24 1
7
21
9 j
в—'»— 71
_1_
71
15
21
-24
9
82
1 37
1=
0,5211
1 —76
1
—1,0704

и в соответствии с (2-4)
— 1
—1
0
/
1
0 0
1
71
0
—1
0
2
—
-1 —1
0
0
—1
\
со
1 0
КЗ
1
71
174
103
2,4507
1,2507
У
176
2,4789
37
—76
что совпадает с ранее полученными результатами.
Матрица Yj, получается равной
Y„ = -
8 —3
—3 10
—1—1110
—1—10 0 1
1
71
—5 —5 8
_7 —7 —3
8 3
-3 10
Действительно, если хорды разомкнуты, то токи в ветвях схемы
получаются равными
—3
1' =
—2
—3
0
0
и если их действие заменить действием э. д. с.
Е = —
то получается:
-5 —5 8
71 II _7 _7 _з ю
что совпадает с ранее полученным результатом.
6*
—з
3
—2
4
—3
9
0
0
0
0
3
4
8 3
9
as
3 10
0
0
1
71
37
-76
83

Обобщенные параметры ветвей. Из выражений (1-16)
и (2-35) можно получить зависимость между
напряжениями на ветвях и задающими токами ветвей для схемы,
не содержащей э. д. с. в ветвях:
UB = MtZJ.
С учетом (2-29) получается:
zBi=Mtzj.
Отсюда можно выразить матрицу токов
i = Z-'MtZJ=YBMtZJ.
Если записать короче
i=cj,
то можно получить выражение для определения
матрицы коэффициентов распределения задающих токов по
ветвям схемы:
C=YBMtZ=Z7,Mt(MZ-1Mt)-1. (2-39)
Эта матрица получается прямоугольной с числом
строк в и числом столбцов у. Она связывает условия в
ветвях с условиями в узлах и поэтому отнесена к
обобщенным параметрам ветвей условно.
Из выражений (2-36) и 2-37) следует для схем, не
содержащих задающих токов:
NtIK = i=NtYKEK
или с учетом (2-28)
I = NtYKNE.
При сокращенной записи
I = YE,
поэтому матрица входных и взаимных прово-
димостей определяется следующим выражением:
Y=N,YKN
или с учетом (2-38)
Y=N,(NZBNt)-1N.
84

Эта матрица квадратная, неособенная, симметричная,
Порядка в. На главной ее диагонали располагаются
входные проводимости, связывающие э. д. с.
ветвей с точками тех же ветвей. На пересечении строки i и
столбца / помещается взаимная проводимость,
связывающая э. д. с. ветви i с током ветви / или э. д. с.
ветви / с током ветви г. Эта матрица не совпадает с
матрицей проводимостей ветвей YB, которая была
определена выше.
Полезно отметить, что при
N = || N. Ml
получается:
Y =
N„
YK||Na 1|| =
N.
fiat Y«
(2-40)
1 -■ " • YK Na Y,
Пример 2-10. Для рассматриваемой схемы (рис. 2-3) получается:
1
С =
0,5
0,3333
0,25
0,2
—10 0
1 —1 0
0 0—1
0 —1 1
0—1.0
71
Действительно,
59 35
—12 35
5 15
5 15
7 21
1
71
15
15
48
-24
9
59 35 15
35 105 45
15 45 141
59
35
15
174
—12
35
15
1
1
103
1
5
15
48
2
176
7Г
— 7Г
5
15
—24
со
—37
7
21
9
76
что совпадает с ранее полученным результатом.
85

Матрица V получается равной
—1 —1
Y =
—1
1
1
О
1
71
8 —3
—3 10
—1 —1110
—1—10 0 1
_1_
71
12 12 —5 —5 —7
12 12 —5 —5 —7
—5 —5 8 8 —3
—5 —5 8 8 —3
—7 —7 —3 —3 10
Нетрудно убедиться в соответствии полученного результата
соотношениям, полученным в :(2-40).
Теперь можно определить матрицу D. Действие э. д. с.
Е равносильно действию токов 1Э, создающих в ветвях
такие же падения напряжения:
ZBi8 = -E. (2-41)
С токами 1Э в ветвях связаны определенные задающие
токи в узлах схемы; в соответствии с (2-1) он равны:
J8=MI3.
Эти задающие токи вызывают падения напряжения в
схеме, которые определяются матрицей Z; при отсутствии в
схеме э. д. с.
u4=zj8=*zm8.
С учетом (2-41) можно записать:
UA = -ZMZ-'E.
При сокращенной записи
U4 = DE.
Следовательно, матрица D определяется следующим
выражением:
С = — ZMZ-1 = - (MYBMt)-»MYB = - (ШГ1Щ-1ШГ\
Если это выражение сравнить с выражением для С (2-39),
то можно сделать вывод о том, что для схем, обладающих
86

свойством взаимности, между матрицами С и С имеется
сравнительно простая зависимость
D = -Ct.
(2-42)
Пример 2-11. Действительно, -если предположить, что в
рассматриваемой схеме >(рис. 2-3) действуют э. д. с.
Е = —
то получится:
I"
_1_
71
-5 -5
—7 —7
В сумме с токами
12
12
-5
12
12
-5
—5
—5
8
8
—3
Г =
—5 —7
—5 —7
8 —3
8 —3
—3 10
—3
—2
—3
0
0
это дает:
со
39
4
39
9
1
37
= 71
0
37
0
—76
что совпадает с ранее полученными значениями.
В данном случае
59 —12 5 5 7
36 15 15 21
15 15 48 —24 9
1
D = -yj- И 35
со
39
174
2
+-'г
39
—1
103
3
37
176
т 71
71
0
37
—37
0
1 —76
76
87

Обобщенные параметры
Таблица 2-1
Название

Матрица
Определяемая зависимость
Расчетная формула
Коэффициенты распределения для
разомкнутой схемы в виде дерева
Проводимости ветвей
(собственные и взаимные)
Входные и взаимные
проводимости ветвей
Входные и общие сопротивления
ветвей
Узловые сопротивления (входные
и общие)
Узловые проводимости (входные и
общие)
Контурные сопротивления
(собственные и общие)
Контурные проводимости
(собственные и общие)
С.
Y,
Y
Ze
Z
Y,
ZK
Yx
Yft
ia=C„J при ig=o
I=Y„(U.+ e)
1= YE при j = 0
Ё = Zel" при J = 0
U4= ZJ при Ё = 0
j = YyUA при Ё = 0
Ёк = Z„iK при J = о
iK = YKEK при J = 0
IK - Ya'E при j = 0
Y^Z-1
Y = NjYKN
Z« = Y-'
Z= V
—l
Ky = MY,M(
Z„ = NZ.Nt
yk = z,
—1
: Y„N
Коэффициенты распределения то-
ков (задающих)
1= С j при Ё = 0
Коэффициенты распределения для
напряжений
U4=DE при J = 0
jK = С J при Ё = О
C = Y,MZ
D = —С*,
Ск = —YKNaZaotC0
* Для схем, обладающих взаимностью.

Если предположить, что действие токов в ветвях Схемы заменено
действием э. д. с.
Е = 7Г
1
174
174
2
103
_ 1
7Г
206
3
176
528
4
—37
—148
5
76
380
то получится:
иа = -тТ
59
—12
5
5
7
35
35
15
15
см
15
15
48
—24
9
гГ
174
206
528
-148
380
2,4507
5,3521
7,4367
что совпадает с ранее полученным результатом.
Все полученные формулы для определения
обобщенных параметров схем помещены в табл. 2-1. Путем
аналогичных рассуждений можно получить и другие
формулы, определяющие зависимости между различными
параметрами схем.
Следует отметить, что целесообразность применения
для расчетов рабочих режимов сложных схем
каких-либо обобщенных параметров из приведенного материала
еще не очевидна. Однако, как будет видно в дальнейшем,
обобщенные параметры во многих случаях позволяют
существенно облегчить решение задач. Особенно
большой эффект получается при их применении в тех
случаях, когда требуется выполнить целый ряд расчетов по
одной и той же схеме замещения. Тогда дополнительная
работа по определению обобщенных параметров
окупается тем упрощением, которое обеспечивается их
многократным применением при выполнении расчетов рабо;
чих режимов. Вместе с тем применение обобщенных
параметров целесообразно и с точки зрения убыстрения
сходимости при расчетах нелинейных схем методом
итераций (см. ниже).
2-5. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЗАМЕНА АКТИВНЫХ
ПАРАМЕТРОВ СХЕМ
Из уравнений состояния цепи, записанных в любой
форме, непосредственно следует, что активные параметры схем
j и Ё при некотором соотношении между ними оказывают
89

одинаковое действие на искомые параметры режима.
Отсюда можно сделать вывод о том, что в процессе решения
задачи целесообразно сократить число одновременно
действующих активных параметров и тем упростить
выполнение расчета. В частности, как правило,
целесообразной является замена действия имеющихся в схеме
э. д. с. действием задающих токов (если таковые также
имеются в схеме) или, наоборот, замена действия
задающих токов действием э. д. с. (если таковые
одновременно имеются в схеме). Целесообразность такой
эквивалентной замены заключается в том, что для решения
задачи не требуется определение двух матриц обобщенных
параметров; достаточно определение только одной.
Кроме того, появляются дополнительные возможности
выбора наиболее целесообразного метода расчета.
Замена Ё на J при постоянстве U4. Для того чтобы
получить правило эквивалентной замены активных
параметров, следует поставить некоторое исходное условие.
Так, например, можно потребовать, чтобы при этой
замене неизменными оставались напряжения узлов
(относительно базисного), определяемые по формуле (2-18)
U4 = ZJ-fDE'.
Отсюда следует, что действие э. д. с, определяемых
матрицей Ё', равносильно действию задающих токов,
определяемых матрицей У, если
ZJ' = i>E'. (2-43)
так как в обоих случаях изменение йд получается
одинаковым. Следовательно, можно считать, что при выполнении
условия (2-43) э. д. с. Ё' и задающие токи J' являются
взаимно эквивалентными.
Поскольку матрица Z квадратная, неособенная, то
обе части этого равенства можно умножить на обратную
матрицу Z-1 и получить:
J'^Z^DE^YybE'.
Это выражение можно считать условием эквивалентной
замены э. д. с. Ё' задающими токами J'.
90

Полученное выражение значительно упрощается, если
в него подставить найденное ранее выражение для
матрицы D. Действительно при этом получается следующее
выражение:
У = Yy (- ZMtYB) Ё' = - MY„E'. (2-44)
Выражение (2-44) имеет достаточно простой смысл.
Умножение матрицы Е' на матрицу YB с обратным
знаком слева означает определение эквивалентных токов в
ветвях схемы
Г = -УВЁ', (2-45)
вызывающих такое же изменение потенциала в ветвях,
какое обусловлено э. д. е. Ё'. Умножение этих токов V
на матрицу М слева означает их суммирование по узлам,
что и приводит к указанной выше эквивалентной
замене э. д. с. задающими токами.
Для определения напряжений в узлах схемы
(относительно базисного) теперь достаточно знать только
матрицу узловых сопротивлений Z
U4 = ZJ\
Пользуясь (2-16), по матрице йд можно определить и
падения напряжения на ветвях схемы U„. Зная падения
напряжения на ветвях схемы, можно определить и токи в
исходной схеме:
i = YB(UB+E')==I8-i'. (2-46)
Отсюда можно сделать следующий вывод:
эквивалентная замена э. д. с. Ё' на задающие токи )', выполненная
по условию неизменности напряжений узлов (относительно
базисного) йд, приводит к изменению токов в ветвях схемы.
Как следует из приведенных рассуждений, появление
задающих токов J' связано с добавлением в ветвях схемы
токов I'. Таким образом, после определения 1э в
эквивалентной схеме (с задающими токами У вместо э. д. с. Ё') из
них надо вычесть токи V.
91

Пример 2-12. Для схемы,
изображенной на рис. 2-4, задана
матрица
—3
—4
Е'= -9
О
О
Эквивалентные задающие токи У получаются из (2-44)
1
J' =
—110 0 0
0—1 0—1 —1
0 0—110
0,5
0,3333
0,25
0,2
—3
—4
—9
0
0
1
2
3
0
О
Если в (2-4о) подставить значение матрицы 1э в
развернутом виде
i3 = YBMtZJ' = - YBMtZMYB Ё'
и значение матрицы I' из (2-45), то получится:
I = - Y„MjZMYBЁ'—YBЁ' = — (YBMtZM + 1) YBE' = YE'.
Таким образом, получено еще одно выражение для
определения матрицы входных и взаимных проводимо-
стей ветвей
Y= — (YBM(ZM+1)YB.
Предлагается читателю проверить совпадение
результатов расчета по этой формуле с ранее полученными.
92

Замена J на Ё при постоянстве йд. Для получения
правила замены задающих токов, входящих в матрицу J', на
эквивалентные э. д. с, входящие в матрицу Ё', матрицы D
и Ё' в выражении (2-43) надо представить в виде блоков
Ё'
ZJ' = ||DeD.||
= DeE'e + DpE',, (2-47)
где в соответствии с полученными ранее результатами
v v
■ом * ctB
YBa YBB
ИЛИ
Dp = -Z(MJap + i\yy.
Поскольку матрица Da является квадратной,
неособенной, порядка у, то из (2-47) можно получить следующее
выражение:
E'e = D7'(ZJ'-D,E').
Это означает, что в действительности эквивалентную
замену можно производить различным образом: можно
задаваться значениями э. д. с, входящими в матрицу
Ё'р и действующими в хордах, после чего определять
соответствующую матрицу э. д. с, действующих в
ветвях дерева схемы; можно, например, для простоты
принять
Ё'р = 0.
Тогда получится:
Ё' ^-^^^-^(M^+M^r'ZJ^
Наиболее простым оказывается решение в том
случае, когда схема не содержит взаимных сопротивлений
между ветвями, т. е. когда
'
асов*_
= 0.
93

При этом
Ё' =-\-' М-' j':
а аа а
Z C0J'.
аа О
(2-48)
Полученный результат легко объяснить. Умножение
матрицы У на матрицу С0 слева означает определение
матрицы токов в ветвях дерева в предположении
отсутствия хорд
1'„ = С,И. (2-49)
Последующее умножение матрицы 1'и на матрицу Zaa с
обратным знаком слева означает определение матрицы э. д. с,
заменяющих действие этих токов, а следовательно, и дей-
ствие исходных задающих токов J' в узлах схемы.
Равенство нулю э. д. с, входящих в матрицу Ё'р, привело к
распределению задающих токов только по ветвям дерева
схемы.
После замены задающих токов J' на эквивалентные э. д. с.
Ё'а для определения напряжения в узлах 0Д достаточно
знать только матрицу коэффициентов 'распределения Da:
л a a
Токи в ветвях'эквивалентной схемы при этом получаются:
YB MtU4 +
= YB(MtDaE'a +
Е'0
О
О
Можно определить сразу и токи I в исходной схеме:
i = YBUB = YBMtDeE'e==i3-
так как в принятых условиях
Y
F'
Y 0
E'a
_
0
0
0
0
-С
j'
-I"'."
0
0
94

бтсюда приходится сделать аналогичный вывод о том,
что при замене (в принятом виде) задающих токов У
эквивалентными э. д. с. Е'а токи в ветвях эквивалентной схемы
правильными получаются только в хордах; в ветвях дерева
токи получаются отличными от действительных: из них надо
вычесть токи Г .
а
Пример 2-13. В схеме, изображенной на рис. 2-3, задающие токи
1
j'= 2
3
можно заменить эквивалентными э. д. с.
1
—1
—1
0
1
—3
F' —
11 о —
2
0
—1
0
2
—4
со
0
0
—1
со
—9
при Ёр = 0, что уже было использовано в примере 2-12.
Аналогичным путем можно определить правила
замены задающих токов в узлах схемы эквивалентными
э. д. с. в ветвях и наоборот, но при других исходных
положениях, например при условии неизменности значений
токов в ветвях схемы. Поскольку метод решения этой
задачи принципиально остается прежним, то
предлагается выполнить это решение читателю.
2-6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СХЕМ
При расчетах рабочих режимов сложных схем
замещения электрических цепей часто приходится применять
различные приемы их преобразования. Матричный метод
позволяет решить эту задачу в более общем виде и
более эффективно.
Замена базисного узла. Одним из простейших видов
преобразования расчетной схемы является замена
базисного узла, имеющего номер 0, новым из состава
независимых узлов схемы. Такая замена может потребоваться
в связи с другими преобразованиями схемы. Ранее уже
было установлено, как при этом изменяются матрицы
инциденций и матрица сопротивлений ветвей. Полезно
95

установить, как в этом случае изменяются матрицы
обобщенных параметров и, в частности, матрица
узловых проводимостей схемы.
Как уже было выяснено ранее, определение матрицы
обобщенных параметров для всей схемы представляет
известные трудности. В то же время для схемы,
незначительно отличающейся от исходной, нужная матрица
иногда может быть получена путем сравнительно
простых изменений известной матрицы.
Выданном случае целесообразно [воспользоваться
представлением о полной [матрице \z узловых проводимостей
схемы, которая может быть получена по той же формуле,
что и для матрицы Yy, но с использованием полной
матрицы Mj. Если ранее была получена матрица узловых
проводимостей Yy, то теперь получается полная матрица
узловых проводимостей в следующем виде:
Здесь матрица п должна содержать у единиц. Для
полученной матрицы справедливы следующие условия:
Поэтому матрица Ys является квадратной, симметричной,
порядка у, но особенной. Следовательно, обратную ей
матрицу получить нельзя.
При этом полной получается и матрица задающих
токов: если для схемы с одним из узлов в качестве
базисного матрица задающих токов J, то для новой схемы
(2-50)
где
и
Ysn = 0 и ntYs = 0.
где
96
j'=n«j.

Если теперь в качестве базисного узла выбрать
какой-либо другой узел i схемы, то матрицу узловых
проводимостей в новых условиях легко получить из полной
матрицы узловых проводимостей. Для этого достаточно
в полной матрице узловых проводимостей Yj. исключить
строку i и столбец i. Этой матрице соответствует другая
нумерация узлов. Новый базисный узел получает
номер 0 (вместо «омера /), прежний базисный узел
получает номер у, а все остальные независимые узлы
получают порядковые номера, которые записываются в той
же последовательности, что и раньше.
Окончательно порядок замены базисного узла
получается следующим. Матрица узловых проводимостей
дополняется до полной, и исключаются строки и столбец,
соответствующие новому базисному узлу, после чего
производится новая нумерация узлов схемы по
приведенному выше правилу.
Пример 2-14. Для схемы, изображенной на рис. 2-3, получается:
сп
—0,5
0
—1
Y' =
—0,5
0,95
—0,25
п =
—0,2
0
—0,25
0,5833
—0,3333
Следовательно, полная матрица узловых проводимостей имеет
следующий вид:
1,5—0,5 0 —1
—0,5 0,95 —0,25 —0,2
0 —0,25
—1 —0,2
0,5833 —0,3333
-0,3333 1,5333
Если теперь узел 2 схемы принять за новый базисный узел, то
матрица узловых проводимостей определяется из предыдущей путем
устранения отроки 2 и столбца 2:
Y't =
1,5 0 —1
0 0,5833 —0,3333
—1 —0,3333 1,5333
При этом номер узла 1 оказывается неизменным, номер узла 3
изменяется на 2, а прежний базисный узел с номером 0 получает
номер 3. Прежний узел с номером 2 теперь является базисным и
получает номер 0.
Важно отметить, что по матрице Ys можно составить
схему, не содержащую взаимных сопротивлений между вет-
7—159 97

вямй. Число узлов схемы равно порядку этой матрицы. Про
водимость ветви, включенной между любыми узлами i и /,
равна элементу матрицы Ys, расположенному на пересечении
строки г и столбца / или на пересечении строки / и
столбца i, но взятому с обратным знаком. Если
элементом является нуль, то соответствующая ветвь в схеме
отсутствует (проводимость ее равна нулю).
Сопротивление каждой ветви получается как обратная величина
найденной выше проводимости.
Пример 2-15. По матрице полных проводимостей
1,5
—0,5
0
—1
—0,5
0,95
—0,25
—0,2
0
—0,25
0,5833
—0,3333
—1
—0,2
—0,3333
1,5333
видно, что схема содержит четыре узла. Ветвь, включенная между
узлами 1 и 2, имеет проводимость, равную 0,5, или сопротивление,
равное 2. Между узлами 1 и 3 ветвь отсутствует. Ветвь, включенная
между узлами 1 и 4, имеет проводимость, равную 1, или
сопротивление, равное 1. Ветвь, включенная между узлами 2 и 3, имеет
проводимость, равную 0,25, или сопротивление, равное 4, и т. д.
(см. рис. 2-3).
Таким образом, для составления схемы достаточно
иметь верхнюю треугольную часть матрицы,
расположенную над главной диагональю. Поскольку матрица Ys
получается из матрицы Yy узловых проводимостей при
любом выбранном базисном узле, то и схема может быть
составлена по матрице Yy. Составленная таким образом
схема может несколько отличаться от исходной. Если
исходная схема не содержит взаимных сопротивлений,
то это отличие оказывается только внешним —
нумерацией и расположением узлов и т. д. Но если исходная
схема содержит взаимные сопротивления, то различие
получается более существенным: схема получается более
простой [см. ниже формулу (2-53)].
Уменьшение числа узлов. Если исходная схема
содержит у независимых узлов, то ее можно заменить
эквивалентной, содержащей п независимых узлов где п<у.
Такое преобразование имеет определенное практическое
значение: сокращается число характерных параметров
ее рабочего режима; соответственно сокращается
порядок матрицы, характеризующей ее обобщенные парамет-
98

ры; упрощается техническое выполнение расчетов по
определению ее рабочего режима и т. д.
В целях упрощения решения предполагается, что в
качестве активных элементов схема содержит только
задающие токи; все э. д. с. ветвей предполагаются
предварительно замененными эквивалентными задающими
токами. Схема считается эквивалентной, если
неизмененными остаются напряжения узлов с теми же номерами.
Остальные узлы предполагаются исключенными, поэто-'
му напряжения в них по эквивалентной схеме
определены быть не могут.
За исходное принимается матричное узловое
уравнение (2-53), так как оно непосредственно связано с узлами
схемы и в таком виде справедливо как для исходной
схемы, так и для преобразованной. Целесообразно
нумерацию узлов выполнить так, чтобы первые п
независимых узлов оставались в схеме после ее преобразования,
а последние у— п устранялись в процессе
преобразования. Первая группа узлов отмечается в дальнейшем
индексом а, а вторая — индексом Ь.
Тогда соответственно можно разделить на группы и
задающие токи узлов: в первую группу (с индексом а)
отнести задающие токи, приложенные к остающимся
узлам, а во вторую (с индексом Ь) — задающие токи,
приложенные к исключаемым узлам:
J =
где
Jo = ||J/|| при i=\...n
J6=||J,-|| при i = {n-\-\)...y.
матрицей напряжений
Так же можно поступить и с
узлов (относительно базисного)
U
U6
Если каждая" из матриц J и йд разделяется на два
блока, то матрица узловых проводимостей Yy должна
быть разделена на четыре блока
V
1 аа
Y„b
99

После приведения подобных членов получается:
Полученное равенство можно записать упрощенно:
Y'yUa = J',
где Y'y и J' — матрицы параметров преобразованной^схемы
(или эквивалентной);
Y'y = Yo0-)-Y3"j
й >• (2-51)
jW0 + J3 J
Эти формулы показывают, что параметры
упрощенной (эквивалентной) схемы получаются путем
соответственного добавления к матрицам Yoa и Ja
(характеризующих остающуюся часть схемы) эквивалентных
параметров Y3 и J3, которые характеризуют устраняемую
часть схемы:
Y8 = Y0j,Yьь Y{,a;
j8 = -YebY7b,Jb. (2-52)
Полученные формулы являются развитием
известного правила преобразования многолучевой звезды
в эквивалентный полный многоугольник (с
диагоналями), которое предполагает устранение только одного
узла.
Преобразование схем с взаимными сопротивлениями.
Как указывалось выше, преобразование схем можно
выполнить с помощью различных приемов. Одним из
таких приемов является применение принципа
дуальности схем (см. приложение 3). Практически
применение принципа дуальности схем наиболее целесообразно
для преобразования схем, содержащих взаимные
сопротивления. При этом оказывается возможным
сравнительно просто схему с взаимными сопротивлениями
заменить схемой, не содержащей взаимных
сопротивлений. Такая замена дает возможность, например,
упростить моделирование схем и поэтому имеет достаточно
большое практическое значение.
101

Рассматривается сложная схема без э. д. с. в
ветвях, но содержащая взаимные сопротивления между
отдельными ветвями. При этом матрица сопротивлений
ветвей схемы получается недиагональной. Чем больше
в схеме взаимных сопротивлений, тем меньше нулевых
элементов в матрице ZB. Это не усложняет общего
решения и приводит только к повышению технических
трудностей вычислений при численном решении задач.
Закон Ома для такой усложненной схемы имеет
прежний вид; из (1-26)
zBi=uB.
Прежний вид имеет и обобщенная схема цепи (см.
рис. 1-14).
Поскольку матрица ZB квадратная, неособенная (как
предполагается), то можно почленно умножить это
уравнение на обратную матрицу Z-1, после чего
получится:
i=z-,i}B.
Если теперь произвести еще почленное умножение
полученного равенства на матрицу М, то получается
выражение для матрицы задающих токов
j^mi^mz-'u,,.
в
Если выразить матрицу UB падений напряжений на
ветвях через матрицу ид напряжений узлов (относительно
базисного узла), то получается матричное узловое уравнение
J^MZ^MtU^YyU,,
где матрица коэффициентов
Yy = MZ~'Mt (2-53)
является матрицей узловых проводимостей некоторой
схемы, которая и является эквивалентной.
Действительно, как уже было выяснено ранее, по
матрице Yy можно составить схему, которая при тех же
значениях задающих токов имеет те же напряжения
узлов (относительно базисного узла), но не содержит
102

взаимных сопротивлений между ветвями. Следует иметь
в виду, что токи в ветвях этой эквивалентной схемы не
равны токам в соответствующих ветвях "исходной схемы.
Однако по эквивалентной схеме можно определить
матрицу напряжений узлов
после чего, пользуясь уже приведенной выше формулой,
можно определить и токи в ветвях исходной схемы
i=z-lMtuA.
Практически упрощение решения заключается в том, что
все элементы матрицы 0Д могут быть найдены путем
измерений на модели цепи, баз определения обратной матрицы
Y"1. В том случае, если исходная схема содержит э. д. с.
в ветвях, то предварительно можно выполнить
операцию замены их эквивалентными задающими токами.
2-7. ИЗМЕНЕНИЯ СХЕМ
Преобразования схем выполняются по условиям
эквивалентной замены и поэтому не должны приводить
к изменениям их электрических свойств в целом. В то
же время часто требуется* определение электрических
свойств измененной схемы при другом соединении ее
элементов или при другом составе элементов. Если это
изменение сравнительно невелико, то естественным
является желание воспользоваться результатами расчета,
выполненного для исходной схемы, и внести лишь
некоторые изменения в полученные ранее результаты.
Объединение узлов. Пусть требуется объединить
несколько узлов схемы, имеющих начальные номера.
В дальнейшем группа этих узлов-отмечается индексом а.
Остальные узлы отмечаются индексом Ь. После такого
объединения вместо нескольких узлов в данной части
схемы остается один узел. Если матрица Z узловых
сопротивлений для исходной схемы известна, то можно
определить матрицу Z' узловых сопротивлений и в
новой схеме, полученной после объединения узлов.
Правила такого определения получаются из матричного
узлового уравнения. Если схема не содержит э. д. с.
103

в ветвйх, то при записи с применением блоковых матриц
получается следующее выражение:
J'a
«Да
2ьь
Jb
йд6
Отсюда получаются два матричных уравнения:
Zoo}а -\- "^аЬ^Ь — 11да
Д6
(2-54)
Если принять ib = 0, то из выражения (2-54) после
почленного умножения его на произведение п^^получится1;
или
откуда получится значение входного сопротивления для
нового, объединенного узла схемы с напряжением 1)Да
(относительно базисного узла) и задающим током Ja
^Да
Z'aa^-T^^atZ-'na)-1.
J а.
(2-55)
Из (2-54) можно определить и задающие токи
объединяемых узлов, отвечающие поставленным условиям, при
Из (2-54) при этом определяются напряжения
в оставшихся узлах схемы (относительно базисного),
которые численно равны соответствующим узловым
сопротивлениям:
(2-56)
Юлжно
(2-57)
: Z>1aa^ba^7 Па
аа
Для схемы, обладающей свойством взаимности, должно
быть
Z'a6 = Z'bat = Z'aollaiZ^'Zaj,.
1 Матрица п„ имеет столько единиц, сколько узлов было в
части а схемы до ее объединения.
104

Определить матрицу Z'bb новых узловых сопротивлений
для остальной части схемы можно, предположив Уо = 0.
При этом из (2-54) после почленного умножения на
произведение natZ~' получается:
О = natJo = nat 2~'По^Да — natZ~'Zab jbl
откуда определяется (/До. Как и следовало ожидать:
UAa= Z'aa1latZa*Zabh — Z'ab h-
Если подставить это выражение в то же уравнение
(2-54), то получится:
Zao^o Н-Zabh — h0Z'0bJb.
Отсюда можно определить матрицу ja.
j„ = Z^J (naZ'ob — Zo6) Jb.
Подставив это выражение в уравнение (2-54), можно
выразить матрицу идй через матрицу jb:
[ZbaZgJ (naZ'o6 — Zo6) -|- Zbb\ J6 = UA6.
Коэффициент при Jb и является искомой матрицей
Z'bb = ZbaZoa' (n0Z'ab — Za6) -{- Zbb. (2-58)
Таким образом, чтобы определить матрицу узловых
сопротивлений для измененной схемы
следует воспользоваться последовательно
выражениями (2-55) —(2-58).
При этом следует иметь в виду, что нумерация узлов
схемы должна быть соответственно изменена.
Данный прием можно применить для определения
обобщенных параметров замкнутой схемы, пользуясь
ее предварительным разделением и превращением
в разомкнутую (см. ниже).
105

Пример 2-16. На рис. 2-5 приведена схема, для которой матрица
узловых сопротивлений получается непосредственно:
1+2 0 0 1 3 0 0 1
0 3+4 3 0 0 7 3 0
0 330 ^ 0 3 3 0
1 0 0 1 1 0 0 1
Z =
Требуется объединить узлы 1 и 2. Здесь
= Zfcaf и Ъъъ =
1 3
0
0
i
1 0
7
3
0
При объединении узлов 1 и 2 матрица новых значений узловых
сопротивлений определяется по частям. По формуле (2-55)
Z'aa=l II И
1/3
о
о
1/7
)-=„
По формуле (2-56)
0
Z'ba = 2,l
1/3
о
о
1/7
1 1
0,9
1|
0,7
0 3
1/3
0
(
1
1 0
0
1/7
\
1
Следовательно, по формуле (2-57)
Z'ab=l|0,9 0,7 |
По формуле (2-58)
Z'bb =
+
Поэтому окончательно
Z' =
10,9 0,7 1
3 0 1
2,1 0,3
0 1 1
0,3 0,9
2,1
0,9
0,7
0,9
2,1
0,3
0,7
0,3
0,9
При этом предполагается, что объединенный узел имеет один
номер /, узел 3 получает новый номер 2, а узел 4 — новый номер 3
(рис. 2-6).
106

Добавление и исключение ветвей. Практически часто
встречаются случаи, когда последующая схема
содержит несколько большее или меньшее число ветвей.
Первый случай характерен при рассмотрении вариантов
развития электрической сети, а второй — при проверке
послеаварийных режимов работы. Если изменения
сравнительно невелики (добавляется или исключается
сравнительно небольшое число ветвей), то целесообразно
воспользоваться результатами ранее выполненного
расчета.
Пусть исходная схема определена матрицей Yy узловых
проводимостей, для которой уже определена обратная
матрица Y~', т. е. матрица узловых сопротивлений Z. Если
отключить некоторое количество ветвей схемы, то
получится новая схема, для которой матрица узловых
проводимостей получается уже иной:
Y' —Y — Y
где YA — матрица узловых проводимостей для отключенной
части схемы.
Отключение части ветвей схемы приводит к
увеличению всех (принципиально) узловых сопротивлений.
Следовательно, матрицу узловых сопротивлений для
новой схемы можно определить, используя матрицу
узловых сопротивлений для исходной схемы:
Z' = Z + Z4,
где ZA — матрица добавочных узловых сопротивлений.
По определению должно быть для новой схемы
Y'Z' = (Yy-YA)(Z+Zi) = I.
При этом предполагается, что отключение ветвей не
приводит к изменению числа узлов в схеме. Поэтому
все квадратные матрицы Y'y, 2!, Y4 и ZA имеют один
и тот же порядок, равный числу независимых узлов
в схеме.
После выполнения операции умножения получается:
YyZ + YyZ4-YA(Z + ZA) = l
107

или с учетом известных соотношении для исходной схемы
Y4Z
После приведения подобных членов равенство принимает
следующий вид:
(Yy-\4)Z4 = Y4Z.
Поскольку матрица (Yy — Y4) является квадратной,
неособенной, то можно произвести почленное умножение на
обратную матрицу (Yy — YJ-1 и определить матрицу Z4:
za = (V, - YJ -1 Y,Z = (Z + ZJ Y,Z,
откуда получается:
гд(1-удг)=гудг
или окончательно
Z4 = ZYAZ(l-Y4Z)-i.
Существенным является тот факт, что обычно
отключается сравнительно небольшое число ветвей. Кроме
того, узлы можно перенумеровать так, чтобы
последними оказались узлы, с которыми связаны
непосредственно отключаемые ветви. При этом матрица Y4 имеет
следующий вид:
О О
О Y',
где Y'4 — квадратная матрица сравнительно небольшого
порядка; порядок этой матрицы п равен числу узлов, с
которыми непосредственно связаны отключаемые ветви
схемы.
При этом получается:
II О О
0 0
I
Z„a Zab
0 У'д
1
Zba
Y'uZba Y'AZ№
где индексом a отмечены узлы, с которыми
отключаемые ветви непосредственно не связаны, а индексом Ь —
узлы, с которыми отключаемые ветви непосредственно
связаны. В указанных условиях обратная матрица
(1 — Y4Z)~l получается (см. приложение 1):
1 о
- Y'uZba 1 — Y'AZbb
1 О
(1 - Y'4Z»)"1 Y'AZba (1 - Y'4Zbb)"
Кроме того, упрощается произведение матриц
ZabY'A Zba ZabY'4Z(,b
ZY,Z =
ZbbY'AZba ZbbY^Zu
108

Окончательно выражение дли определения, матрицы
добавочных значений узловых сопротивлений
принимает следующий вид:
ZtnY'4 Z(,e ZabY'uZbb
ZbbY'iZba
X
1
ZbbY'iZbb
0
X
(i - удгьь) - > y'4zm (i - y'az№;-'
(2-59)
(дальнейшее умножение матриц целесообразно
производить в числах).
Таким образом, при определении матрицы узловых
сопротивлений для новой схемы вместо вычисления
обратной матрицы порядка у достаточно выполнить
операцию вычисления обратной матрицы порядка п, хотя
это связано с дополнительным выполнением еще целого
ряда операций умножения матриц.
Поскольку обычно Z6a = ZoM, то ZbbY'4Zba —(ZabY'4Zbb)t
и практически достаточно выполнить только одно
умножение трех матриц.
Нетрудно убедиться в том, что полученная формула
для пересчета матрицы узловых сопротивлений может
быть применена и в том случае, когда в схему
включаются новые ветви без изменения числа узлов. При этом
в формуле изменяются только некоторые знаки
ZobY'a Zba
X
1
ZabY'4 Хъъ
ZbbY'A Z№
О
X
■ (1 + Y'4Zbb)"1 Y'4Zba (1 + Y'4Zbb)"
(2-60)
Дальнейшее упрощение
целесообразно производить при
числовых расчетах.
Пример 2-17. Схема, приведенная
на рис. 2-6, дополняется ветвью,
включаемой между базисным узлом и
узлом 3. Матрицу узловых
сопротивлений для новой схемы можно
определить, воспользовавшись полученной
формулой (2-60). Для этого
достаточно иметь только матрицу узловых сопротивлений для исходной
схемы. Эту матрицу легко получить из найденной в предыдущем
примере, если поменять местами строки„я столбцы 1 и 3 |(рис. 2-7).
109

Здесь
tab =
0,7
0,9
= zbati 2ы
= 2,i.
Вместо матрицы добавочных проводимостей в данном случае
получается одно число
1
Поэтому
0,7
0,9
гд=т- = 0,2.
0,2 || 0,7 0,9 || =
ZabY^Ztb =
0,7
0,9
0,2-2,1 =
0,098 0,126
0,126 0,162
0,294
0,378
ZbbY'4Zba = 2,1.0,2||0,7 0,9 || = || 0,294 0,378 |
ZbbY'4Zbb = 2,1-0,2.2,1 = 0,882;
О + Y'AZb„)-> = (1 +0,2-2,1)-! =
50
-(l + y'azbb)-iy'izba = -fr0,2||0,7 0,9|| = ||-7 _9
Следовательно, матрица добавочных сопротивлений
1
Z*-710
0,98 1,26 2,94
1,26 1,62 3,78
2,94 3,78 8,82
1
'710
49 63 147
63 81 189
89 441
147
71 0 0
0 71 0
7 —9 50
Матрица узловых сопротивлений для новой схемы получается:
59 15 35
15 14Г 45
35 45 105
Т
71
Если поменять местами строки и столбцы 2 и 3, то полученная
матрица совпадает с ранее найденной для схемы, изображенной на
рис. 2-3.
Следует иметь в виду, что практически выполнение
столь сложной операции пересчета узловых
сопротивлений оказывается целесообразным только в случаях
достаточно сложной схемы — с числом узлов в
несколько десятков.
Разделение и объединение схем. Обе указанные выше
возможности изменения схем позволяют упростить рас-
110

четы по определению обобщенных параметров. Если
сложная схема разделяется на две независимые части
при отключении небольшого числа ветвей, то
целесообразно для каждой независимой части определить,
например, матрицу узловых сопротивлений, а затем
произвести операцию их объединения путем включения
этих ветвей. После разделения схемы следует
произвести нумерацию узлов в каждой из независимых частей
так, чтобы матрица узловых проводимостей получилась
в следующем виде:
О
О Ybb
Здесь две части схемы оказываются связанными
только в базисном узле. При этом для каждой из двух
частей (взаимно независимых) схемы можно
определить матрицу узловых сопротивлений, а из последних
составить матрицу узловых сопротивлений для всей
схемы в целом
\2аа0
Z = Y
где
о zv
Zaa=\-' и Zbb = \~x
ьь
Таким приемом можно воспользоваться для
определения матрицы узловых сопротивлений в случае
достаточно сложной схемы без вычисления обратной
матрицы, порядок которой равен числу независимых узлов
всей схемы. При этом, правда, увеличивается число
производимых операций и, в частности, увеличивается
число операций по вычислению обратных матриц, но
уменьшается порядок каждой из этих матриц по сравнению
с порядком исходной матрицы. Предлагается
следующий порядок вычислений.
Надо так выбрать базисный узел схемы, чтобы
отключением возможно меньшего числа ветвей схема
разделялась на две взаимно независимые части. Для
каждой из этих частей (по возможности с одинаковым
числом узлов) следует составить матрицу узловых
проводимостей и произвести операцию вычисления обратной
матрицы, т. е. матрицы узловых сопротивлений. Затем
надо перенумеровать узлы так, чтобы узлы, с которыми
связаны отключаемые ветви, Оказались последними.
Пользуясь изложенной выше методикой, следует произ-
Ш

вести пересчет матрицы узловых сопротивлений для
схемы с отключенными ветвями и определить матрицу
узловых сопротивлений, справедливую для полной
схемы, которая получается теперь после присоединения
ранее отключенных ветвей.
Для очень сложной схемы операция разделения
в принципе может быть выполнена многократно. Таким
образом, порядок матриц, для которых приходится
вычислять обратные матрицы, может быть существенно
снижен. Целесообразная область применения такого
разделения схемы замещения в целях упрощения
вычислительной работы (даже при использовании АЦВМ)
в настоящее время остается неясной, так как
достаточного опыта его применения пока еще нет. Представляется,
что такой прием является целесообразным в тех
случаях, когда число отключаемых линий при каждом
разделении схемы невелико (порядка двух-трех), т. е.
дополнительные операции с матрицами получаются
достаточно простыми. Это обусловлено тем, что суммарное число
операций с матрицами в случае применения этого
приема значительно возрастает.
В том случае, если схема содержит сравнительно
небольшое число независимых контуров, целесообразно
разделить ее в узлах и превратить в разомкнутую. Для
разомкнутой схемы матрица узловых сопротивлений
определяется достаточно просто. Затем надо только
поочередно выполнить пересчет матрицы узловых
сопротивлений в связи с восстановлением исходной схемы
путем надлежащего соединения узлов упрощенной,
разомкнутой схемы.
Приведенные в данном параграфе примеры
показывают, как можно воспользоваться этими приемами для
определения матрицы узловых сопротивлений в
конкретном случае схемы, приведенной на рис. 2-1.
2-8. ПОТЕРИ МОЩНОСТИ
В инженерной практике часто значительный интерес
представляет определение потерь полной мощности в
сопротивлениях цепи. Этот расчет может быть
выполнен по схеме замещения различными приемами.
Как известно, баланс полной мощности в схеме
имеет приходную и расходную части. Расходной частью
является значение потерь мощности SA в
сопротивлениях ветвей. Приходная часть состоит из двух слагае-
U2

мых: мощности Sj, генерируемой задающими токами
в узлах, и мощности Se, генерируемой э. д. с. в ветвях.
Такое разделение баланса полной мощности для схемы
в целом вытекает из выбранных положительных
направлений токов в ветвях, задающих токов в узлах и э. д. с.
в ветвях схемы. В действительности задающие токи и
э. д. с. схемы не всегда оказываются генерирующими;
тогда они получаются отрицательными. Это может быть
достаточно полно учтено в каждом отдельном случае.
Мощность, теряемая в каждой ветви * схемы,
определяется по известной формуле
si=wr)i=[ri{ziii-%).
Соответственно для всей схемы в целом выражение
полной мощности можно записать в матричной форме
К= £ st =ЛД =Л*(Z„i - t)=*sA- se. (2-6i)
«•=1
Здесь потери полной мощности в сопротивлениях ветвей
S4=TtZBi (2-62)
и мощность генерируемой э. д. с. в ветвях схемы
5е=Л(Ё. (2-63)
Поскольку напряжения на ветвях сравнительно
просто выражаются через узловые напряжения [см.
формулу (1-16)]
ив=м4ид,
то из (2-61) получается следующее выражение:
SE=rtMtUA=JtUu, (2-64)
которое можно пояснить на некоторой обобщенной модели.
Если между каждым узлом / схемы и ее базисным узлом
включить источник питания с э. д. с. E0j = UAj и током J}
(рис. 2-8), то каждый такой источник питания должен
генерировать суммарную полную мощность
Sj = J jEt$ =? J jUц.
8—159 па

Оо
Все источники питания будут генерировать
суммарную полную мощность
Сумма мощности Ss и мощности Se (генерируемой
э. д. с. в ветвях схемы) дает полную мощность потерь
в сопротивлениях схемы (что и было отмечено ранее).
Иначе выражение полной мощности для ветвей схемы
можно получить, заменив матрицу 1)д ее выражением через
матрицы активных параметров схемы:
4 = А (ZJ + DE) = JtZj + JtDE. (2-65)
(J)io^u hj ® ЭТУ формулу входят только исход-
' ные активные параметры схемы и ее
обобщенные пассивные параметры.
Однако по ней можно определить
только значение полной мощности,
потребляемой во всех ветвях схемы в
целом (с учетом действия э. д. с.).
Аналогичную формулу можно получить и из (2-61),
если в ней заменить матрицы токов через
соответствующие матрицы задающих токов:
Sj, = it CtZbCJ — JtCjE.
Здесь первое слагаемое определяет потери полной
мощности в сопротивлениях схемы, а второе — полную
мощность, генерируемую э. д. с. в ветвях:
S. = JtCfZ6CJ
I=J
Рис. 2-8.
Se = — 3t CfE.
Из (2-39) и (2-66) следует, что
S,=JtZMYbMtZJ.
(2-66)
В том случае, когда в схеме отсутствуют э. д. с.
(Я = 0), из (2-65) получается:
SA = JtZJ = UA,YyUA.
114
(2-67)

Если матрицу комплексных значений задающих
токов и узловых сопротивлений представить в
развернутом виде
J = J'—/J" и Z = R+jX,
то из (2-67) получится:
5Д=РА + IQA = {I't+ji"t) (R + /X) (J' - у
где потери активной мощности
Рд. = Re S4 = J't RJ' + J"t RJ"
и потери реактивной мощности
QA = 1ш SA = J't XJ' + J"tXJ".
Аналогичные выражения можно получить, представив в
развернутом виде матрицы 0Д комплексных значений
узловых напряжений и матрицы Yy узловых проводимостей.
(Предлагается сделать это читателю.)
Полная мощность Sj, генерируемая задающими
токами, определяется напряжениями узлов относительно
нейтрали схемы
и = 11д+с/бп,
где 0б — напряжение базисного узла схемы относительно
нейтрали. Эту полную мощность можно определить как
в виде матрицы, содержащей значения для каждого
узла в отдельности:
S; = JSU,
так и в виде одной величины для всей схемы в целом
^ = ntS,- = JiU =3tUA - ?60б.
Здесь величина (см. пример 1-33)
/б = —jtn
определядт комплексное значение задающего тока в
базисном узле схемы.
Во многих выполненных выше решениях при анализе
сложной схемы замещения по существу эту схему
приходилось рассматривать в качестве многополюсника.
8* 115

Поэтому и полученные выражения оказываются
справедливыми для многополюсников. Некоторые
обобщения, связанные с таким представлением схемы,
приведены в приложении 4.
Преобразования активной схемы, связанные с
изменением мест включения активных элементов, как
правило, приводят к изменению мощности потерь в сопро-
■ j- тивлениях. Если требуется так выполнить пре-
3 образование, чтобы суммарная величина
потерь мощности осталась неизменной, то
изменение потерь можно компенсировать с
помощью дополнительных активных элементов.
Пример 2-18. Преобразование схемы, содержащей
задающие токи, выполненное с уменьшением числа
узлов, можно произвести по условию сохранения
суммарной мощности потерь, если все эквивалентные задающие токи
включать через добавочные э. д. с. (рис. 2-9).
В исходной схеме мощность потерь
"да
5Д= 3tV& = 3at3bt X
ид4
В эквивалентной схеме мощность потерь
5дэ = Э«иДа + л»*иДа;
их разность получается равной
Поскольку в матрицу За эквивалентных задающих токов входят
слагающие матрицы J„, то можно воспользоваться прямоугольной
матрицей, составленной из этих слагающих:
Число строк этой матрицы равно числу узлов в части а схемы,
а число столбцов — числу узлов в части 6 схемы. Тогда из
равенства
lit 3aqUAb— (ntJegtU4a)t = njJBJE
можно определить матрицу дополнительных э. д. с.
Ё = TltaVur- V&atn-
Однако при этом предполагается, что потери мощности в схеме
определяются с учетом мощности, обусловленной добавочными э. д. с.
Поскольку матрицы ид6 и 0До напряжений в узлах относительно-
базисного узла схемы, определяются через параметры схемы
матрицы Z и J, то матрица Е добавочных э. д. с. определяется по данным
исходной схемы.
116

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СЕТЕЙ
3-1. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
Особенности анализа рабочих
режимов электрических сетей. Электрическая сеть
является частным случаем электрической цепи.
Обычно приходится иметь дело с электрическими сетями
трехфазного переменного тока. Во многих случаях
электрические сети выполняются воздушными. При этом
они могут быть трехпроводными (при напряжениях
выше 1 ООО в) и четырехпроводными (в основном сети
380/220 в).
Электрическая сеть обладает некоторыми
особенностями. Несмотря на трехфазное выполнение, отдельные
участки линий имеют разные параметры фаз. Это
обусловлено, например, расположением проводов в одной
плоскости (в частности, в горизонтальной). В настоящее
время воздушные линии длиной до 100 км выполняются
без транспозиции проводов. Поэтому разными
получаются реактивные параметры фаз и для линии в целом.
С несколько меньшим пофазным различием параметров
получаются линии с удлиненными циклами
транспозиции.
Линии, выполненные на металлических и
железобетонных опорах, как правило, снабжаются тросами на
всей длине. Иногда эти тросы имеют многократное
заземление. Наличие тросов и их состояние могут
отражаться на реактивных (не только) параметрах линий.
В некоторых случаях представляет интерес не только
определение токов и напряжений в характерных местах
линий, но и определение токов и напряжений в
характерных местах тросов.
Нагрузки электрических сетей являются их
существенно нелинейными элементами. Поэтому схемы
замещения электрических сетей в целом получаются
нелинейными, хотя параметры элементов самих сетей
(линий, трансформаторов) приближенно предполагаются
неизменными. В некоторых случаях эти схемы
рассматриваются в линеаризованном виде. Во многих случаях
приходится считаться также с несимметрией нагрузок
и с их безынерционной нелинейностью, порождающей
117

нёсйнусоидальность токов и напряжений в сети. Иногда
приходится рассматривать также случаи неполнофазной
работы отдельных элементов электрической сети (при
обрывах проводов и пофазных отключениях). Следует
сразу же отметить, что все же основными для
исследований являются трехфазные симметричные режимы.
Дело в том, что работу сети и электроприемников
определяют в основном составляющие режимов прямой
последовательности основной частоты. Несимметрия и
несинусоидальность, хотя и имеют место почти всегда, но
оказываются в большинстве случаев сравнительно
небольшими, не оказывающими существенного влияния
на технико-экономические показатели работы систем
электроснабжения.
Определение режима прямой последовательности
производится по схеме замещения, составленной на
одну фазу. При этом часто различают продольные и
поперечные ветви схемы. По первым проходят токи
нагрузок, вторые включены под полное напряжение. Для
определения рабочего режима требуется уметь находить
нужные параметры элементов сети и выполнять расчет.
В случаях сложных схем замещения выполнение
расчета представляет существенные технические трудности.
Поэтому важно выбрать наиболее целесообразный
в данных условиях метод расчета. Это остается важным
и в случае применения АЦВМ.
Наряду с анализом симметричных режимов иногда
приходится исследовать и несимметричные и
несинусоидальные режимы. Целью этого исследования являются
проверка допустимости параметров режима для
электротехнического оборудования сети и для
электроприемников и оценка технико-экономических показателей
работы сети. В случае недопустимости параметров или
низких показателей требуется выбор мероприятий по
нормализации положения. Симметричные режимы
приходится анализировать значительно чаще, чем
несимметричные и несинусоидальные. Причина этого
заключается в том, что для первых требуется текущая
оптимизация, для чего расчеты нужно выполнять на каждый
час работы. Несимметрия и несинусоидальность
исследуются только по мере изменения условий.
Рассматриваемые процессы приходится
классифицировать как случайные, для анализа которых приходится
применять статистико-вероятностные методы расчета.
118

В настоящей книге исследования ограничены только
детерминистическими методами расчета. Возможность
их применения в каждом конкретном новом случае
(выходящем за пределы типового) должна быть специально
проверена.
Выбор системы координат. Принципиально, расчет
рабочего режима электрической сети можно выполнять как
в системе фазных координат (а; Ь; с), когда матрицы
токов и напряжений имеют следующий вид:
/.
0.
1 =
Л
и 0 =
Оъ
/с
Ос
так и в системе симметричных координат (1; 2; 0),
когда эти матрицы записываются несколько иначе:
и Us
Эти матрицы взаимно связаны
I = 's'ls и U = sUs, (3-1)
где матрица преобразования (или матрица системы
симметричных координат) 1
1
1
1
s =
а?
а
1
а
а?
1
Связь между матрицами токов и напряжений в
системе фазных координат определяется матрицей
сопротивлений
u=zi.
После замены на основании соотношений (3-1)
получается:
sU6 = Zsis.
Это дает возможность получить аналогичную связь
между матрицами токов и напряжений в системе
симметричных координат
1 Здесь а — оператор изменения аргумента комплексной величины
2
на -я-я
а==е
1
V3
119

U. = s-,Zst = Z,i.,
где матрица сопротивлений получается путем подобного
преобразования из предыдущей
Z,=s-1Zs'.'
Матрица
1
а
а2
1
аг
а
1
1
1
позволяет произвести разложение несимметричной
системы токов или напряжений на симметричные
составляющие
is = s-4 и U, = s-4J. (3-2)
Нетрудно видеть, что полученное правило (3-2)
определения матрицы параметров в системе симметричных
координат по матрице параметров в системе фазных
координат распространяется и на другие параметры —
проводимости, коэффициенты трансформации и т. д.
Из (3-2) можно получить и правило обратного
преобразования
Z = sZ5s-\ (3-3)
Выражение (3-3) позволяет получить матрицу
параметров (пассивных) в системе фазных координат по
матрице параметров в системе координат симметричных
составляющих.
Отсюда можно сделать важный вывод о том, что
исходные параметры целесообразно определять в той
системе координат, которая является в данном случае
наиболее целесообразной. После этого в случае
надобности можно произвести соответствующее преобразование
в нужную систему координат.
Практически для линий проще определяются
параметры в системе фазных координат, а для машин и
трансформаторов — в системе симметричных координат.
Для выполнения расчета рабочего режима более
целесообразной оказывается система симметричных
координат. Причина этого заключается в том, что при этом
существенно упрощается исследование несимметричных
режимов. Кроме того, более показательными для
практических целей получаются и результаты расчета.
12.0

Поскольку обе системы координат — фазных и
симметричных — имеют свои преимущества и недостатки, то
возникает естественное желание использовать
преимущества и исключить недостатки. Для этого в некоторых
случаях целесообразным может оказаться
одновременное применение обеих систем координат —для разных
частей схемы. Например, для той части сети, где много
элементов с разными параметрами фаз, можно
применить систему симметричных координат, а для той, где
имеются неполнофазные элементы, — систему фазных
координат. В последнем случае проще накладываются
граничные условия.
Погонные параметры воздушных линий. Продольные
сопротивления в системе фазных координат. За одну из исходных величин
можно принять погонное сопротивление петли «провод — земля»
(ом/км)
где г — погонное активное сопротивление провода; г3 — погонное
активное сопротивление, обусловленное прохождением тока в земле;
г3=0,05 ом/км ((при f='50 гц); xL — погонное индуктивное
сопротивление петли «провод — земля»; р — приведенный |(к поверхностному
распределению тока) радиус провода; в случае расщепления фаз на
п проводов —среднегеометрический радиус
если du — расстояние между проводами 1 и i; D3 — глубина
прохождения эквивалентного провода (заменяющего землю).
Этому сопротивлению целесообразно приравнять собственное
сопротивление каждой фазы линии. При одинаковом выполнении
всех фаз, независимо от высоты подвеса над землей, можно считать,
что их собственные сопротивления одинаковы.
Второй исходной величиной можно принять погонное
сопротивление взаимной индукции между двумя петлями «провод — земля»
(ом/км)
где D — расстояние между проводами (независимо от их взаимного
расположения относительно земли).
Поэтому матрицу погонных продольных сопротивлений
трехфазной трехпроводной линии можно получить непосредственно
Ч = г + ra+ j-0,145 Ig-j- = г -f r3 + )xi
г - -
%aa zab zae
zba zbb zbe
'CO
■ее
121

где
Zaa **ЪЪ == <*сс === ZL
и
Матрица погонных индуктивных сопротивлений при этом пол'у-
чается*:
*== 0,145 (nntlgD3-lg D),
где
D =
р D9b А.С
Dba р Dbc
оказывается симметричной матрицей. Поэтому симметричными
оказываются и матрицы х и z.
Пофазные параметры линии в общем случае получаются
различными. Это приводит к нарушению симметрии в параметрах режима.
Транспозиция линии в значительной мере устраняет яофазное
различие параметров линии, но при удлиненных циклах транспозиции
это различие полностью не устраняется '(в связь с распределенным
характером емкости).
По этому же типу легко составить матрицу погонных
продольных сопротивлений и для линии с тросами
"it
где при двух тросах аир матрица погонных продольных
сопротивлений системы тросов
ztt —
zoo
и матрица взаимных сопротивлении между системами тросов и проводов
ZC«
zcp
В тех случаях, когда тросы имеют многократное заземление, для
средней части линии достаточно большой длины их можно считать
короткозамкнутыми, т. е. принимать падение напряжения на любом
участке троса равным нулю (когда падение напряжения полностью
компенсируется наведенной э. д. е.).
* Знак lg условно вынесен за знак матрицы.
122

При этом на единице длины линий (условно всей)
z zt
i
zx^ zx'j*
'т
0
(3-4)
откуда
или
'■it
—f- ztt It — О
-1 ~
z-r/ij
ix "***** лух "*j"^
и, следовательно, матрица эквивалентных сопротивлений линии
получается:
z = z ■
■ z-r z-
•—1
x лтт Tt'
(3-5)
Аналогично можно получить матрицу погонных продольных
сопротивлений и для двухцепной линии с тросами. Если обе цепи
линии расположены на общих опорах, то
4—1 *1—ii
ч—т
*n—i *п—и Лп-т
zx__j zx _тт zx i"
где zI—I—матрица сопротивлений системы проводов цепи I линии;
zII_I, — матрица сопротивлений системы проводов цепи II линии;
zt_т—матрица сопротивлений системы тросов; zj_jj, гп_т и zj_t—
матрицы сопротивлений взаимной индукции между
соответствующими системами.
Очевидно, что
zi—п " zii— i' zi—т = 2т— i
и
zii—t = zt— ii-
Уравнение состояния для единицы длины линии имеет вид:
«1-1
ч—т
zj j zt тт z
zii—i zii—ii zii—t
z.
'i
•
'n
il
IT
0
(3-6)
zt—i zt—ii zt—т
где Ij, Ij j и It—системы токов соответственно в проводах цепей I и
II линчи и в тросах; иЛ1 и Uin —системы падений напряжения в
проводах соответственно цепей I и II линии на единице ее длины.
Отсюда еяедует, что
zi_t ч + zn—т 'п + ztt'' = ®
1Т =. — *тт (*t*i ij + «т-п 'и)-
133

Поэтому матрица эквивалентных погонных продольных
сопротивлений цепей линии получается в следующем виде:
z'' =
ь1-п
i
ei—t ztt zt—i zi—ii—Zl—T7TT zt—ii
"—1 •
t ztt zt—i
ьи—ii
eii—tztt zt—ii
(3-7)
Такам образом, с учетом влияния тросов матрица погонных
продольных сопротивлений цепей линии не обязательно остается
симметричной.
Если линии с короткозамкнутыми тросами проходят на
достаточно близком расстоянии одна от другой, но выполнены на разных
опорах, то
(3-8)
Для упрощения решения это уравнение целесообразно записать
короче—блоками
zi-i
zi-ii
zia
zip
m
zii—1
zii—ii
ziioc
ziip
jii
иди
z«_i
zaii
zao
га#
0
zp—i
zp-ii
zaa
H%
h
0
i' "z'T
J
^Tt z'tt
If
1 t
1
0
где
li—i zi—и
'и—i *п-п
' tt "
z0<z Zgg
I' =
zl—azip
ziia ziib
I,
Отсюда получается
или
z "j^l i- z •j-'j'I —— 0
Следовательно, матрицу эквивалентных погонных продольных
сопротивлений двух цепей линий можно определить
; z z ^(z ^z-
(3-9)
Полученные выражения позволяют определить параметры двух
параллельно проложенных линий и в том случае, когда эти линии
электрически не включены параллельно или даже включены в сети
разных номинальных напряжений.
Примененный метод рассуждений можно распространить и на
любое число параллельно проложенных линий. При этом получаются
124

В общем случае выражения отдельных элементов матрицы х„
получаются значительно сложнее
v,2
X.
22
X21
Xoi X0j>
Хц
2хд,
-2хЛ
— X,
где
Д
х„ = х22 = xL — хм = 0,145 lg -yl
— xN
*Х+ 2хм
1
(3-10)
Х-оо = XL+ 2хм = 0,434 lg
Pop
6c
Хд, = - 0,0242 lgTT-n- + /-0,0418 lg^
(3-11)
При горизонтальном расположении проводов
xw =+0,0073+/-0,0126.
Матрица xs получается несимметричной. Ее диагональные
элементы оказываются по модулю значительно больше остальных.
Как уже отмечалось ранее, в схему прямой Последовательности
(и обратной) входит сопротивление, которое определяется
среднегеометрическим расстоянием между проводами:
А* = ПАТЛАТ ■
а в схему нулевой последовательности входит сопротивление,
определяемое среднегеометрическим радиусом:
Рср = ^рД^.
Это объясняется тем, что напряжение той же
последовательности, что и тока, определяется системой нулевой последовательности
сопротивлений, справедливых для системы токов данной
последовательности. В то же время известно, что эти сопротивления
определяются как средние.
Тем же путем можно определить матрицу сопротивлений и для
линии с короткозамкнутыми тросами. Однако представляется, что
практически это лучше выполнять в численном виде, так как общие
выражения' получаются достаточно громоздкими. В то же время
необходимости в получении этих выражений в общем виде нет.
Может возникнуть вопрос о порядке выполнения вычислений
для двухцепной линии. Из очевидного выражения
I-I л1-П
'11—i Лн—п
следует
z",=
■ h*
slUs
-I
s s
zi-n s
I-
s s
-1
ZII—11 *
Отсюда видно, что известные уже правила распространяются
на каждую из матриц сопротивлений в отдельности.
126

Следует отметить, что влияние второй цепи В схемах Прямой и
обратной последовательностей получается сравнительно небольшим
и, как правило, может не учитываться. Это относится даже к
случаям расположения цепей на общих опорах, хотя при этом
расстояние между проводами разных цепей оказывается соизмеримым с
расстоянием между проводами разных фаз
одной цепи. В то же время в нулевой
последовательности приходится считаться
с этим влиянием даже в том случае, когда
параллельно проложенные линии включены
в сети разных номинальных напряжений.
Эти сопротивления взаимной индукции
могут существенно повлиять на распределение
токов нулевой последовательности в сети.
Поперечные проводимости в системе
фазных координат. Активная проводимость
воздушной линии, обусловленная потерями
активной мощности из-за короны на
проводах, является нелинейным элементом цепи.
Однако практически активные
проводимости воздушной линии сравнительно мало
влияют на параметры ее режима и поэтому
при расчете режима могут не учитываться.
В то же время приходится отметить, что
сами потери активной мощности,
возникающие вследствие коронирования проводов,
оказываются настолько большими, что
часто соизмеримы с потерями активной
мощности, вызванными прохождением тока по
проводам, т. е. эффектом нагрева проводов рис. 3.1.
током. Это противоречие можно устранить
следующим образом. Расчет рабочего
режима выполнять без учета активных проводимостей, а по известным
параметрам режима (значениям напряжений) определять потери
активной мощности на корону с учетом нелинейности тогда, когда
расчет доходит до технико-экономической оценки рассматриваемого
режима.
Для определения погонной поперечной емкостной проводимости
(точнее — матрицы этих значений для многопроводной системы)
достаточно воспользоваться уравнениями Максвелла, которые в
матричной форме имеют следующий вид:
q> = xpq,
где ф —матрица потенциалов проводов; q — матрица зарядов на
проводах; хр — матрица потенциальных коэффициентов; х —
постоянный коэффициент
и=41,4- 10е в/к-км.
В данном случае рассматривается изолированная система
проводов, для которой
n,q=0.
Это объясняется близостью земли. Как известно, для учета
этой близости каждый провод дополняется его зеркальным
изображением относительно поверхности земли. Провод и его зеркальное
изображение имеют одинаковые по величине, но противоположные
по знаку потенциалы и заряды 1(рис. 3-1).
127

В этих условиях
\\Ра\\
где
РИ =
1«
при i;
Ни
Рп
Ни
/-1
при i — f,
Здесь приняты следующие обозначения:
рп — половина внешнего диаметра йровода; йц — расстояние
между проводами i и /; На — расстояние между проводом i и его
зеркальным отражением; Я<3-— расстояние между проводом i и
зеркальным отражением провода /.
При переменном токе матрица погонных |(на единице длины
линии) задающих токов
Jc = /wCU'=/bU,
где матрица погонных емкостных проводимостей
b = vp-',
причем
наа
НаЪ
Нас
Рп
Dab
Dac
Наь
НЬъ
НЬс
Dab
Рп
Dbc
Нас
Ни
Нсс
Д..
Du
Рп
v = —= 7,58-10-* к-км/в'Сек.
Для трехпроводной трехфазной линии
p=lg
Матрица р получается симметричной, но в отлииче ее от
матрицы z полного равенства всех ее недиагональных элементов ожидать
не приходится (это может быть принято только приближенно).
Одинаковыми могут быть только ее диагональные элементы —при
Наа — Ньь — Нсс — Н.
Определение матрицы емкостных проводимостей целесообразно^
выполнять в численном виде, так как в общем виде выражения
получаются весьма громоздкими. Надобности же в их применении
практически нет.
Наличие заземленных тросов должйо быть учтено. При этом
достаточно, чтобы тросы были заземлены хотя бы только в одном:
месте на длине каждого отдельного от остальной части троса
участке. Соответствующее уравнение '"
h
и
Р Рт
•
0
Рт< Ртт
128

и,
"и
=
0
*Cl
•
JCII
JCT
получается аналогичным уравнению '(3-4). Поэтому его решение
выполняется также. В данном случае ответ можно написать сразу
из .(3-5)
Р' = Р — PtPFt Рте*
Для двухцепной линии с заземленными тросами
(предполагается, что цепи линии размещены на общих опорах) подобное
уравнение "
Pi—i Pi—ii Pi-т
Рп—i Pii—и Рп—т
Px—i Рт— i PfT
получается аналогичным уравнению (3-6). Поэтому решение можно
написать сразу, так как решение его выполняется так же из i(3-7)
Pi—i ~ Pi—тРттРт—i Pi—п Pi—т Ртт Рт—п
Рп—i— Рц-тРттРт-i Рц_п — Рп—тРттРт—п
Для двух цепей линий, размещенных на разных опорах, уравнение
Pi—i Pi—ii Ры Pip
PlI-I Рц-II Plla Plip
Ра-1 Pa—II Paa Pag
Рв—Г Рв—II Pga РвВ
получается аналогичным уравнению (3-8). Поэтому и ответ можно
написать сразу, пользуясь уже имеющимся решением 1(3-9):
"и
0
0
JCI
■"СП
Jca
■*ср
:р'-р'т(р'хт)-р'
те*
где
Р' =
Аналогично, в случае многоцепной линии подматрицы
коэффициентов получаются в следующем виде: '
Pi—i Pi—ii
Pla
Pip
Paa Pap
Рп-i Рп-п
; р'т =
Plla
Pup
и p'TT =
Ppa Ppp
p' =
Pi—i Pi—ii •
Рп-i Рп-п
Pi-ii
Pll-n
P„_! P„_n
P'tt —
Vn-n
PaaPap '
PpaPpp-
P'T=
•Pa
Ррт
Pla Pip '
Plla Plip '
Pi,
Pup
P/ia Png ■
P,aP
9—159
129

Погонные проводимости в системе
симметричных координат. Как уже было указано выше, для
преобразования матрицы емкостных проводимостей можно воспользоваться
известным приемом: предварительно произвести преобразование
матрицы коэффициентов *
p, = s-4ps,
а матрицу емкостных проводимостей определить путем вычисления
обратной матрицы
Ь. = vp-1.
По аналогии с преобразованием матрицы продольных
сопротивлений в данном случае получается подобно (3-10)
где, подобно (3-11),
Рм Рп Рю
Pit Ргг Рго
Ро\ Раг Роо
Pi = P2 = lg
Ро = 3 lg
HaaHlcDabDac
Pi Ра Pi.
Рз Рг Pi
Pt Pt P«
"cP .
Pep '
НЪъН%с°2аЬ
Pt = -3- lg ■/■„ „ „ „ n2 — / 2 / 3 lg „ „2 pp.
0 V nbbHtc nabHacUbc » HccHabDac
P* =
1 ' ffaaDbe VHabHac . _L_. HtzDabHac
3 lg НЫ V HbbHccDabDac ~' 2 V 3 -8 HabHbbDac '
Здесь
HaaHbbHec ; HM=fr HabHbcHca
и
HeV=fHLH2M и Pcp = fp^.
При горизонтальном расположении проводов
Pt g lg "о. : P* = 2P*-
Матрица p получается несимметричной. Ее диагональные
элементы по модулю оказываются значительно больше остальных.
Поэтому приближенно, пренебрегая ими, можно получить выражение
для определения погонной емкостной проводимости для схем прямой
и обратной последовательностей (сим/км)
7,58
01 = 02=—г. и 10"
lg
£>cptft
Af
130

и для схемы нулевой последовательности
2,53
■ 10-«.
'Pep
Для линий с номинальными напряжениями до 220 кв
включительно можно пренебречь и отличием отношения НьШы от
единицы. Это дает возможность еще упростить расчетные формулы
7,58
2,53
Однако для линий более высоких номинальных напряжений
требуется, наоборот, более точное решение — путем вычисления
обратной матрицы. Расчеты показывают, что это дает возможность внести
поправку порядка 2%. (Вычисление целесообразно выполнять в
численном виде, так как общие выражения получаются весьма
громоздкими, а практической надобности в них нет.
Дополнительный практический интерес может представлять
задача определения параметров линии в послеаварийных режимах,
возникающих в результате неполнофазных отключений. К таким
случаям относится, например, отключение одного провода с соединением
его с землей, тросом или другим проводом '(другой фазы).
При этом изменения индуктивных сопротивлений не происходит.
Изменение режима учитывается тем, что ток в отключенном проводе
принимается равным нулю. Однако емкостные проводимости при
этом могут измениться заметно |(в зависимости от длины данного
участка линии и его номинального напряжения). При более точном
исследовании таких режимов целесообразно учитывать состояние
проводов и тросов. Имеет значение, изолирован ли отключенный
провод, соединен ли с землей или с тросом или соединен с проводом
другой фазы. Ёмкостные проводимости фаз будут разными.
Если какой-либо провод- соединяется с тросом или с землей, то
можно считать, что его потенциал принимает нулевое значение и
этот провод попадает в систему тросов. Следовательно, в матрице р
строку, соответствующую данному..- проводу, надо переместить
к группе строк, относящихся к тросам. Расчетные формулы
остаются прежними, но порядок отдельных блоков матрицы р изменяется..
Если отключенный провод соединяется с проводом другой фазы,
то вместо строки, соответствующей данному проводу, в матрице
образуется строка, которая получается путем вычитания
соответственных элементов строк, соответствующих соединившимся проводам,
и разностная строка присоединяется к группе строк, относящихся
к тросам. Этим учитывается, что разность потенциалов между
соединившимися проводами равна нулю. Если к какой-либо фазе
у одного из концов линии нет присоединенного провода, то и ветвь
емкостной проводимости в схеме замещения к этой фазе не
присоединяется.
9* 131

Полные параметры линий. Имея погонные параметры
линий гну, можно рассмотреть несимметричную линию с
равномерно, распределенными параметрами и определить
ее эквивалентные параметры. Однако значительно
проще представить линию цепочечной схемой, разделив ее
на участки длиной порядка 100 км.
1н 0„
Рис. 3-2.
Рис. 3-3.
Для каждого из таких участков длиной / можно
воспользоваться схемой П (рис. 3-2), для которой
Yn=yir
Каждый из таких участков можно рассматривать как
трехфазный несимметричный трехполюсник, для
которого
UH=AUK+BiK
и
или короче
где
и
i'h=cuk+dik,
н =
AB
CD
132!
Из простых соотношений (рис. 3-3)
UlK + YKUK;
Uh=Uk + ZI = (1+ZYk)U/?-t-ZIi<

и
IH = I + YHUH = (YH + YK + YHZYK) UR + (1 + YHZ) IK
непосредственно получаются правила определения
обобщенных параметром трехтюлюсника
A = 1+ZYK;
B = Z; (3-12)
C=YH + YK + YHZYR
и
D = 1+YHZ.
Нетрудно заметить, что между матрицами
обобщенных параметров получается следующее соотношение:
DAt-BC = l.
Поэтому, в частности, наряду с тремя матрицами
исходных параметров (Z, YH и YK) получается четыре матрицы
обобщенных параметров (А, В, С и D).
В случае каскадного соединения таких трехполюсников
(рис. 3-4)
F = HnFK
и
fh=HiF = HiHiiFk,
где матрица эквивалентных параметров H = HIHII.
FH Hi F Нж rK
Рис. 3-4.
Таким образом, для линии достаточно большой
длины и, в частности, с удлиненными циклами
транспозиции можно определить эквивалентные параметры ее как
трехфазного трехполюсника.
138

Из (3-12) следует, что
Z=-B;
YH = (D-1)B'
и
Y^=B-»(A-1).
Это позволяет в случае надобности эквивалентный
трехфазный трехполюсник представить в виде схемы П,
которая получается в трехфазном представлении
'несимметричной.
Все приведенные рассуждения остаются
справедливыми в любой системе координат — фазных и
симметричных. В случае надобности возможно произвести
приведение параметров из одной системы координат в
другую.
Все приведенные здесь рассуждения могут быть
распространены и на многофазные многополюсники и,
в частности, на многофазные трехполюсники. Как
увеличение числа фаз, так и увеличение числа полюсов
приводит к соответствующему увеличению числа
величин, входящих в матрицы I и 0. Следовательно,
соответственно увеличивается и порядок матрицы обобщенных
параметров.
Практически случай увеличения числа фаз
возникает, например, в условиях одновременного определения
параметров режима линии и тросов. При этом, конечно,
должны быть заданы граничные условия не только для
проводов линии, но и для тросов (которые
предполагаются разземленными).
Тогда
а следовательно,
Z =
z zT
ZT<ZTT
A A.J.
&Tt Дтт
и т. д.,
и т. д.
134

Случай многофазного многополюсника возникает
в условиях рассмотрения сети, в которой несколько
линий оказываются (проложенными параллельно на
достаточно малых расстояниях одна от другой. При этом в
системе фазных координат приходится пользоваться всеми
параметрами
Ai—i Ai—п •■
• А1-,
А==
АП—IАи-п •
•• АН—т,
Ая— I Ал—И "
• Ал—т
В системе симметричных координат наиболее
существенными являются связи в схеме нулевой
последовательности.
В случае вычисления эквивалентных обобщенных
параметров для многоцепной линии каждый участок
определяется из условий неизменности положения для
любой из цепей. При этом в эквивалентных параметрах
отражаются как свойства каждой из цепей, так и их
взаимное влияние.
В случае сближения линий под углом (рис. 3-5)
эквивалентные параметры для данного участка определяются
несколько сложнее
о
и
i
о
Длину участка предлагается измерять по средней
линии, чтобы избежать преимущественного положения
одной из цепей.
Из условия
Jlg(Z>H + «)rf/ = /lgDa,
о
где |=tga, может быть определено соответствующее
эквивалентное расстояние. После решения уравнения
относительно D3 получается:
он
135

Практически по данному выражению не обязательно
определять эквивалентное расстояние между всеми
парами проводов, а достаточно определить лишь
расстояние между линиями. Дальнейший расчет проводится так
же, как для параллельных линий, расположенных на
расстоянии D3 одна от другой.
Составление расчетной схемы. Расчет симметричного
режима. Задачами расчета симметричных режимов
являются: определение параметров режима в целях проверки
их допустимости по техническим
условиям, проверка
технико-экономических показателей работы
при наличном оборудовании
(включая и выбор состава
включенного в работу оборудования) и
выбор средств дальнейшего
повышения экономичности сетей (с'вы-
Рис 3 5 бором параметров нового
оборудования).
Во всех перечисленных
случаях сам расчет симметричного режима является
составной частью всего расчета в целом. Следует отметить, что
расчет симметричного режима, как правило, является
наиболее трудоемкой частью всей работы. Поэтому очень
важно выбрать наиболее целесообразный метод расчета
с обеспечением необходимой точности результатов. При
этом приходится ориентироваться на широкое
применение АЦВМ, без которых выполнение расчетов для
сложных схем практически невозможно.
Под симметричным по существу понимается режим
прямой последовательности. При этом предполагается,
что параметры режимов обратной и нулевой
последовательностей не оказывают влияния (заметного) на
параметры прямой последовательности, хотя заведомо
известно, что параметры фаз отдельных элементов сети
неодинаковы. В условиях полнофазной работы всех
элементов сети такие допущения, как правило, являются
приемлемыми.
Таким образом, в схему замещения должны включаться
только продольные сопротивления Zn и поперечные
проводимости Уц. При этом учитывается только связь между
токами it и напряжениями их прямой последовательности. Это
относится также и к нагрузкам, которые представляются
задающими токами J„ и к трансформаторам, в состав схем
136

замещения которых входят трансформаторы с
параметрами к\.
Расчеты несимметричных режимов обладают своими
особенностями. Такие расчеты могут выполняться
разными методами, обладающими разной трудоемкостью и
приводящими к разной точности результатов. В связи
с их большой специфичностью они будут рассмотрены
отдельно ниже.
Нагрузки. Свойства нагрузок изменяются в
зависимости от наличия устройств регулирования в системе их
электроснабжения. Соответственно изменяются и схемы
их замещения. Характерными можно считать
предельные случаи—полное отсутствие регулирующих устройств
и осуществление оптимального регулирования
напряжения у всех электроприемников.
В нервом случае, наиболее характерном для
распределительных сетей, к которым непосредственно
присоединяются электроприемники, свойства нагрузок
определяются их статическими характеристиками
S' = P(U) + /Q(U). (3-13)
Статическая характеристика для каждой нагрузки
определяется ее составом (набором включенных в
работу электроприемников и режимом их работы). Однако
практически, как правило, пользуются стандартными
статическими характеристиками для некоторой условной
комбинированной нагрузки.
Для нагрузок питающих сетей указанные свойства
являются в той или иной мере справедливыми лишь
в тех случаях, когда трансформаторы, установленные на
соответствующих понижающих подстанциях, не имеют
регулирования под нагрузкой (без РПН) и нет
достаточных средств для местного регулирования напряжения
и, в частности, линейных регуляторов регулировочных
автотрансформаторов или вольтодобавочных агрегатов.
Следует отметить, что прогрессивной в настоящее время
является тенденция к массовому применению
регулируемых трансформаторов на всех вновь сооружаемых
понижающих подстанциях и к оснащению нерегулируемых
трансформаторов на существующих подстанциях
линейными регуляторами. Только при этих условиях у
потребителей электрической энергии могут быть обеспечены
требуемые нормальные условия работы электроприемни-
137

ков по режиму напряжений. Кроме того, могут быть
использованы и разные средства местного регулирования
напряжения (управляемые батареи, конденсаторы,
синхронные двигатели и т. п.).
В этих условиях можно считать, что величина
нагрузки (значение ее полной мощности) не зависит от
подведенного из питающей сети напряжения, т. е. принимать
s = const. (3-14)
В действительности это справедливо только в
пределах располагаемого регулировочного диапазона и
нарушается в пределах зоны нечувствительности регуляторов
(автоматических). Однако в связи с разными законами
регулирования и наличием нескольких регулирующих
устройств в каждой сети дополнительное уточнение, как
правило, обеспечено быть не может (в
детерминированной постановке во всяком случае), а соответствие
располагаемому регулировочному диапазону требует
соответствующей проверки.
Следует особо отметить, что оба приведенных уело- -
вия (3-13) и (3-14) приводят к нелинейности нагрузок.
Действительно, задающие токи нагрузок
j = 0~'s, (3-15)
т. е. в обоих случаях оказываются зависимыми от
определяемых значений напряжений. Здесь матрицу
напряжений пришлось записать в виде диагональной, так как
требуется определение обратной матрицы и
поэлементное умножение для каждого узла в отдельности
значений, записанных в разных матрицах.
В тех случаях, когда можно действительные
значения напряжений приближенно заменить номинальным,
выражение (3-15) значительно упрощается
j=u-'s.
При этом схема замещения становится линейной.
, В этих случаях с сопряженными значениями полной
мощности можно оперировать как с комплексными
значениями токов. Уравнения состояния при этом
принимают следующий вид:
по узлам
msb = s
138

и по (независимым) контурам (при отсутствии э. д. с.
в них)
n2bs"b=o.
Здесь под s„ понимается матрица комплексных значений
полной мощности по ветвям схемы. Последние
предполагаются неизменными вдоль ветвей. Такое
представление допустимо только в процессе технического
выполнения расчета, так как в действительности потери
мощности в ветвях имеют место и их численное значение
представляет практический интерес- (эти значения
в дальнейшем могут быть определены).
Трансформация. Расчет режимов электрических сетей
с участками разных номинальных напряжений может
выполняться различными путями. Можно производить
приведение схемы к одному базисному напряжению.
Однако это связано с некоторыми затруднениями «при
различии коэффициентов трансформации, особенно если
они определяются комплексными числами. Поэтому
значительные преимущества представляют расчеты ио
схеме, содержащей трансформации как самостоятельные
элементы.
Коэффициенты трансформации проще всего
определяются в системе симметричных координат. Для
симметричного трансформатора это — диагональная матрица
К
к
k
k
В системе фазных координат матрица коэффициентов
трансформации получается:
каа
kba
кеа
k
где
kaa = kbb — kce = -j-{k-}-'2Rek)
и
Kb = he — Ka — kba = kcb = Kc — ~J- \k + 2 Re (dk)\.
Отсюда особенно отчетливо видно, что расчет
нормального режима является по существу расчетом
режима прямой последовательности.
139

Пример 3-1. Первичная обмотка трансформатора имеет
номинальное напряжение рабочего вывода, равное 110 /се, а вторичная —
11 кв. Первичная обмотка трансформатора соединена звездой,
а вторичная—треугольником. При этом токи в линейных выводах
•первичной обмотки отстают по фазе от токов в линейных выводах
вторичной обмотки на 1/12 периода, или на 30 эл. град. Поэтому
коэффициент трансформации данного трансформатора равен:
ПО ~i'T~ ; ,п»
k = jYe =10<?~/ .
Расчет в фазных координатах, как видно, обладает
существенными недостатками, к которым можно отнести
также необходимость учета сопротивлений взаимной
индукции между фазами линий.
Отличительной особенностью трансформации как
пассивного элемента схемы замещения в любой системе
координат является его направленность. В этом
отношении он оказывается аналогичным активному элементу
в виде э. д. с.
В виде трансформации можно представить
преобразователь системы координат. Из выражений
i=sis и u=si)s
следует, что матрица s может рассматриваться как
своеобразный набор коэффициентов трансформации с
определенным направлением (рис. 3-6).
Такая трансформация дает возможность составить
пхему замещения, в которой одновременно применены
обе системы координат: часть схе-
s ^ мы —в системе фазных коорди-
/ й г~хт\ ^ нат> а ДРУгая —в системе симме-
: —*«-—CJL) °~ * тричных. В местах их соединений
. .£ включается указанный элемент.
Базисный узел и узел баланса.
Рис. 3-6. В принципе базисным узлом
может быть выбран любой узел
схемы. Соображения о влиянии количества соединенных с ним
ветвей имеют практическое значение только при
сравнительно простых схемах. Однако в большинстве случаев
базисный узел приходится объединять с узлом баланса
задающих токов всех остальных (независимых) узлов, но
имеющих обратный знак. По условиям работы
электрической сети узел баланса целесообразно выбрать в
таком пункте, где может быть получена дополнительная
140

небалансная мощность, обусловленная потерями
мощности в сети. Поэтому прежде всего узлом баланса
должен быть пункт с достаточно большой установленной
мощностью генераторов. Кроме того, обычно
целесообразно принимать заданным именно напряжение в
пункте баланса.
В процессе решения задач иногда приходится в «а^
честве базисного узла выбирать нейтраль схемы
независимо от наличия в ней- поперечных ветвей. Нейтраль
схемы отличается от всех прочих пунктов схемы тем,
что, во-первых, потенциал ее принимается равным
нулю, разность потенциалов между любым пунктом схемы
и нейтралью равна напряжению в этом пункте;
во-вторых, задающий ток в нейтрали всегда равен нулю,
сумма задающих токов во всех узлах схемы (кроме
нейтрали) всегда равна нулю. Поэтому нейтраль схемы не
является узлом баланса.
Обобщенное узловое уравнение для схемы, не
имеющей поперечных ветвей, в том случае, когда в качестве
базисного узла используется нейтраль, получается
поэтому в следующем виде:
где матрицы J^,, 1_ГЕ и Ds имеют у' строк, а квадратная
матрица Y^, получается порядка у' и оказывается особенной:
Y£n=0.
Если в ветвях схемы нет э. д. с. (Е=0), то в
режиме холостого хода (J = 0) получится:
Это означает, что напряжения (относительно
нейтрали) во всех пунктах схемы одинаковы и равны
напряжению узла баланса Об
О, =#611.
Поэтому для схемы без поперечных проводимостей
уравнение состояния можно записать в следующем
виде:
JI = ¥]!(UI-I>en) = YI0AI,
где для узла баланса #дб=0.
141

3-2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ
Линеаризация нагрузок. Как следует из предыдущего,
большинство пассивных параметров схем замещения
электрических сетей можно отнести к неизменным (не
зависящим от искомого рабочего режима). Поэтому
схемы замещения получаются в основном линейными.
Несмотря на то, что уравнения состояния для самой сети
имеют линейный характер, нелинейность нагрузок
приводит в результате к нелинейности схемы замещения
в целом. При постоянстве значений полной мощности
нагрузок рабочий режим электрической сети
определяется системой уравнений второй степени, в которых
все величины выражаются комплексными числами.
Указанная нелинейность схемы замещения вызывает
значительные затруднения в выполнении расчета.
Отсюда возникает желание воспользоваться линеаризацией
схемы замещения. Линеаризация задачи возможна при
использовании, например, приема итераций, который
оказывается весьма эффективным в случае выполнения
расчета на АЦВМ. Обычно решение системы уравнений
на АЦВМ и ведется с применением приема итераций.
Здесь следует обратить внимание на тот факт, что в
связи с выражением нагрузок величинами полной
мощности большое распространение получили методы расчета
рабочих режимов, в которых операции с комплексными
значениями полной мощности выполняются так же, как
с комплексными значениями токов. Такие методы
расчета обладают определенными преимуществами,
выражающимися в независимости нагрузок, заданных
постоянными значениями мощности, от искомых напряжений
и в непосредственном определении значений мощности
передачи по отдельным линиям сети. Однако эти
методы, как правило, основаны на использовании
значительных допущений, упрощающих техническое выполнение
расчетов. Поэтому указанные методы расчета можно
считать применимыми только в качестве
ориентировочных и только для сетей с номинальными напряжениями
до 220 кв. Для расчетов рабочих режимов сетей более
высоких номинальных напряжений эти методы
приходится признать менее пригодными. Одновременно с этим
следует отметить, что представление нагрузок в схемах
замещения в виде задающих токов, по-видимому, менее
целесообразно во всех случаях расчета рабочих
режимов, так как влияние значений напряжений на величины
142

токов и потерь мощности от этих токов обычно
оказывается весьма существенным.
По существу сложность расчета рабочего режима
по схеме замещения электрической сети заключается
в следующем: значения задающих токов зависят от
искомых значений напряжения в узлах, а значения
напряжений в узлах определяются задающими токами, так
как, зная задающие токи и пользуясь, например,
матрицей узловых сопротивлений, можно определить
напряжения в узлах относительно базисного узла, а
следовательно, и относительно нейтрали. Важно, что матрица
узловых сопротивлений остается неизменной. Поэтому
можно воспользоваться, например, способом
последовательных приближений. Это целесообразно хотя бы
потому, что значения напряжений во многих случаях
могут находиться в сравнительно узких пределах.
Прием итераций. Прием итераций в конечном счете и
является способом последовательных приближений.
Применительно к данной задаче его можно использовать
в нижеследующей постановке. Напряжения в узлах
всегда известны с той или иной степенью точности. Поэтому
можно определить приближенно значения задающих
токов. Теперь схема замещения может считаться
линейной; ее расчет не встречает принципиальных
затруднений. В результате расчета более точно определяются
напряжения в узлах схемы при заданном напряжении
в базисном узле
С = пОб -f 0Л = nU6+Z J = nU6 -f- zOj'S.
По более точным значениям напряжений можно
определить и более точные значения задающих токов в узлах
и вновь произвести расчет рабочего режима линейной
схемы. Такой расчет должен выполняться до получения
результатов с требуемой степенью точности. Если
задающие токи соответствуют найденным значениям
напряжений, а напряжения — этим значениям задающих
токов, то полученный рабочий режим является правиль:
ным.
Существенно, что на каждом этапе расчета рабочего
режима схемы замещения задающие токи являются
заданными и неизменными, т. е. задача оказывается
линейной. Более того, расчет ведется все время по одному
и тому же алгоритму и одной и той же программе. Это
143

9
Рис. 3-7.
создает очень удачные;
условия для расчета на
АЦВМ. Практически
расчет рабочего режима
линейной схемы замещения
дополняется только
операцией по уточнению
значений задающих токов.
В этом и заключается
линеаризация схемы
замещения.
Пример 3-2. На рис. 3-7
приведена схема без э. д. с,
отличающаяся от ранее рассмотренной на рис. 2-3 тем, что на ней
показана нейтраль и вместо задающих токов даны значения мощ-
ности:
100
1
& =
200
= 10а-
2
300
3
Напряжение в базисном узле (относительно нейтрали) задано
t/„= 100= 102.
Матрица узловых сопротивлений известна
59 35 15
35 105 45
15 45 141
1_
2 — у1
Для определения рабочего режима схемы целесообразно
воспользоваться приемом итераций. В нулевом приближении можно принять
Uo = £/вп. При этом матрица задающих токов получается равной
1
1
j = Ю-2-10=
2
=
2
3
та
Матрица падений напряжения в нулевом приближении (исходный
режим)
ua = zj =
71
59
35
15
35
105
45
15
45
141
71
174
2,4507
380
=
5,3521
528
7,4767
Матрица напряжений в первом приближении (первая итерация)
100
2,4507
102,45
100
+
2,3521
105,35
100
7,4767
107,48
144

и матрица задающих токов в первом приближении
1/102,45
1
0,9761
1/105,35
2
102 =
1,8982
1/107,48
со
2,7924
Во втором приближении (вторая итерация) получается:
В третьем
102,34
0,9772
U" =
105,06
и j" =
1,9038
106,95
2,8050
приближении (третья итерация)
102,34
0,9771
[)"' =
105,08
и J"' =
1,9034
106,98
2,8041
Как видно, итеративный прочесе в данном случае сходится
весьма быстро. После трех итераций получаются практически
приемлемые результаты
2,3427
102,34
5,0738
и UIV^
105,07
6,9815
106,98
Дальнейшее уточнение не требуется.
Количество .последовательных расчетов но уточнению
матрицы J задающих токов и время, потребное для
выполнения всего .расчета, в значительной мере зависят от
сходимости итеративного процесса. Последняя
определяется многими факторами. К этим факторам относятся
и особенности методики расчета, и особенности
принятого алгоритма решения, и качество программы расчета
при данных параметрах, и сложности схемы замещения.
Весьма существенным является также принятый
исходный режим.
Чем ближе исходные значения напряжений узлов
к искомым, тем быстрее сходится итеративный процесс.
Поэтому исходный режим часто приходится определять
с достаточной тщательностью. Проще выполнить расчет
рабочего режима сети менее высокого номинального
напряжения; здесь обычно можно задаться любыми
значениями напряжения, даже номинальными. Для
электрических сетей более высоких номинальных напряжений
заранее^ неопределенными являются аргументы ком-
10—159 ^ 145

плексных значений напряжения узлов, которые
оказывают существенное влияние на ход итеративного
процесса. Достаточно обратить внимание на тот факт, что
расхождение напряжений по фазе на 30 эл. град приводит
к величине поперечной слагающей падения напряжения
в сети порядка 50% номинального напряжения сети.
В таких условиях итеративный процесс может сходиться
очень медленно, а в некоторых случаях может и не
сходиться, а расходиться. При этом каждый следующий
этап получается более.далеким от искомого, чем
предыдущий. Расходящийся i итеративный процесс получается
и в тех случаях, когда рассматриваемый рабочий режим
оказывается близким к предельному по условиям
статической устойчивости. Отсюда следует, что при расчете
рабочего режима сети сверхвысокого номинального
напряжения целесообразно предварительно оценить
ориентировочно возможный режим напряжений, используя для
этого какие-либо упрощенные методы расчета или
модели.
В конечном счете длительность выполнения расчета
рабочего режима сложной электрической сети
определяется двумя основными условиями — сложностью
расчета линейной задачи и сходимостью итеративного
процесса по уточнению задающих токов. Поэтому оценка
применяемого метода расчета может производиться
одновременно с этих двух позиций. В некоторых случаях
линейная задача также решается итеративным путем и
одновременно с уточнением задающих токов.
Следовательно, без оценки сходимости итеративного процесса
нельзя получить представление о качестве метода
расчета.
Следует «меть в виду и то обстоятельство, что
отдельные методы расчета могут оказаться более
удачными в одних условиях и менее удачными в других. Это
зависит не только от номинального напряжения сети, но
и от сложности и параметров ее схемы замещения.
Поэтому представляется целесообразным рассмотрение
разных методов расчета, о действительных преимуществах
й недостатках которых можно будет судить только на
основе их применения и сопоставления в различных
условиях. Как уже указывалось ранее, в настоящее время
достаточно опыта по их применению и сравнению еще
нет; целесообразная область применения каждого из них
остается фактически еще неизвестной.
146

Указанные условия расчета приходится иметь в виду
и при составлении схем замещения электрических сетей.
В частности, необходимость исправления значений
задающих токов после каждой итерации (приближения)
приводит к мысли о целесообразности замены всех
поперечных ветвей схемы замещения (т. е. .ветвей,
соединяющих узлы схемы с ее нейтралью) соответствующими
задающими токами. При этом уменьшается число ветвей
схемы, упрощается вычисление напряжений в узлах, для
сетей сверхвысоких номинальных напряжений
ускоряется итеративный процесс расчета линейной схемы
(поскольку уменьшаются узловые сопротивления). Однако
при этом линейные ветви относятся к нелинейным
нагрузкам, что ухудшает условия сходимости процесса
уточнения задающих токов. Таким образом,
окончательное суждение о целесообразности такого приема
высказать пока что не удается.
Более совершенное решение получается в том случае,
когда производится разложение нелинейной функции
в ряд Тейлора и в расчет вводится линейная часть
разложения (метод Ньютона). Это обеспечивает лучший
результат в первом приближении. Ниже решение
выполнено для случая, когда нагрузки заданы значениями
полной мощности, не зависящей от подведенного
напряжения.
Матрица задающих токов в этом случае получается
по формуле (3-15) (положительными считаются
значения генерируемой в узлах мощности). Здесь нелинейной
является функция 1Г" . Ее разложение можно
выполнить, если принять
и = £/бп + и4.
При этом получается разложение в окрестностях точки 06
напряжения базисного узла (практически возможны и
другие решения, которые в отдельных случаях могут
считаться более целесообразными по условиям расчета).
После разложения получается:
0;1 = (0б,+иддг=(1 + 0; '0Дд) - > ~
(здесь члены более высоких степеней но показаны).
10» 147

При этом узловое уравнение принимает следующий
вид:
yu4='j = 0;1§«£7-1 (i-u6uj, (3-16)
т. е. оказывается линейным. Однако оно содержит
одновременно матрицы 0Д и Од взаимно сопряженных величин.
Решение этого уравнения возможно путем разложения
комплексных значений на вещественные и мнимые
слагаемые (см. ниже).
Уравнение (3-16) целесообразно несколько
видоизменить. Для этого следует воспользоваться следующим
очевидным равенством:
0Дд8 = §дид,
которое позволяет записать узловое уравнение в более
простом виде
yu4= j, + ye0A, (3-17)
где матрица
о
содержит неизменяемые задающие токи, которые
определяются по значению напряжения в базисном узле, а
является диагональной матрицей проводимостей (по
размерности), которыми замещаются нагрузки наряду с
задающими токами.
Матрицей Y0 обеспечивается автоматическое
изменение задающих токов нагрузок в зависимости от искомых
значений напряжений в узлах. Однако это изменение
получается линейным, не соответствующим действительной
нелинейной зависимости.
Замещение нагрузок двумя параметрами —
неизменными задающими токами и проводимостями позволяет
более точно учесть их действительные характеристики
(обусловленные неизменностью значений полной
мощности). Поэтому такая линеаризация позволяет получить
более точный результат в первом приближении и уточ-
148

нить его быстрее с помощью меньшего количества
итераций. Правда, при этом возникает необходимость
в определении дополнительных параметров схемы и в ее
усложнении.
Опыт показывает, что применение линеаризованных
схем практически целесообразно.
Поперечные ветви. Если схема имеет поперечные
ветви, проводимость которых определяется матрицей Y0
(диагональной), то токи в этих ветвях, которые
рассматриваются как задающие токи схемы, получаются
равными
ie = -Y„u.
Поскольку на каждом этапе итеративного расчета
известна только матрица приближенных значений
напряжений, то и соответствующие задающие токи
определяются приближенно. Знак минус указывает на
отрицательное направление этих задающих токов (подобно
нагрузкам).
Как ^же указывалось, к нелинейным элементам
электрических сетей сверхвысоких номинальных напряжений
относятся активные проводимости линий, обусловленные
потерями активной мощности из-за короны на проводах.
Зависимость этих потерь от напряжения для расчетных
климатических условий должна быть заранее получена
для всех участков линий электропередачи. В тех случаях,
когда изменения потерь активной мощности из-за
короны должны быть учтены (при определении экономически
наивыгоднейших режимов напряжений в электрической
сети), эта зависимость может быть использована в
расчете. При этом потери активной мощности можно учесть
вместе с нагрузкой, т. е. в виде дополнительного
отрицательного задающего тока в каждом из
соответствующих узлов схемы замещения. Если потери мощности
заданы матрицей Р(И), то на каждом этапе итеративного
расчета дополнительные задающие токи определяются
следующей матрицей:
Jp=-U_1P(U). (3-18)
Включение в схему замещения соответствующих
активных проводимостей представляется менее
целесообразным с точки зрения условий выполнения расчёта.
Таким образом, окончательно на каждом этапе
итеративного процесса в общем случае матрица задающих
149

токов должна определяться по следующей формуле:
j = и"1 [s - Р (I))] - Y0U, (3-19)
где s — матрица комплексных значений полной мощности
(мощности электростанций считаются положительными,
а мощности нагрузок — отрицательными);
P(U)—матрица потерь активной мощности из-за короны на
проводах; Y0 — матрица проводимостей линейных поперечных
ветвей (диагональная).
Для схемы, содержащей поперечные проводимости,
даже при отсутствии задающих токов в узлах и э. д. с.
в других ветвях падения напряжения отличны от нуля.
Поэтому напряжения в узлах отличны от напряжения
в базисном узле
и.=оД.
Это приводит к существенному усложнению расчета,
так как требует определения матрицы.
Точность расчета. Немаловажным представляется
также вопрос о необходимой точности расчета рабочего
режима электрической сети. Следует различать: точность
исходных данных, точность применяемого метода расче^
та (если он основан на применении каких-либо
допущений), точность выполнения арифметических действий,
точность выполнения арифметических действий и
точность результатов расчета. Естественно, что последняя
зависит от всех предыдущих, однако в разной мере.
Исходные данные обычно известны со сравнительно
невысокой степенью точности. Приблизительно с такой же
степенью точности нужно получить и результат. Для
этого, как правило, вполне достаточно выражать значения
параметров режима числами с тремя (реже четырьмя)
значащими цифрами. Поэтому желательно, чтобы метод
расчета и процесс технического выполнения расчета не
приводили к появлению более значительных ошибок.
Следует, однако, отметить, что в случае достаточно
сложных схем замещения обычные классические приемы
решения систем линейных уравнений (число которых,
как уже указывалось ранее, может достигать нескольких
десятков и даже сотен) приводят к накоплению больших
ошибок. Это обусловлено большим количеством
операций, последовательно производимых над числами,
получающимися в процессе расчета. Порядок ошибок в ре-
150

зультатах расчета зависит от числа совместно решаемых
уравнений и от точности выполнения арифметических
операций на .каждом этапе расчета, т. е. от числа
значащих цифр, используемых ери их выполнении. В тех
случаях, когда число совместно решаемых уравнений
составляет несколько десятков, приемлемую точность
результатов расчета можно ожидать только при
использовании в процессе расчета чисел, записанных
приблизительно с таким же числом знаков, т. е. с несколькими
десятками значащих цифр. Это, конечно, существенно
затрудняет техническое выполнение расчета. Даже
существующие мощные АЦВМ не дают таких
возможностей (без Применения специальных приемов).
Несравненно большими возможностями обладает
расчет, выполненный приемом итераций. Здесь не
приходится выполнять последовательно большого количества
операций с одними и теми же числами, поэтому здесь не
происходит и такого накопления ошибки. В результате
получается, что приближенный прием расчета
практически приводит к значительно большей точности
вычислений,, чем принципиально более точные приемы. Поэтому
прием итераций рекомендуется не только при расчетах
на АЦВМ, но и во всех прочих случаях. Он может
оказаться более целесообразным даже при расчетах
сравнительно простых схем замещения вручную. При этом
может оказаться полезным использование статической
модели для определения обобщенных параметров схемы.
Такие модели могут выполняться упрощенно в виде
магазинов сопротивлений и измерительной системы.
Наиболее сложная и дорогая часть модели, позволяющая
автоматически устанавливать рабочий режим,
оказывается излишней.
Значительные ошибки могут быть допущены в
случаях применения различных приближенных методов
расчета. Возможность применения того или иного
приближенного метода расчета (с теми или иными
допущениями) для электрических сетей сверхвысоких номинальных
напряжений требует специальной проверки. Выбор
метода зависит также и от характера решаемой задачи.
Ниже приведены некоторые приближенные методы
расчета режимов работы электрических сетей. В основном
их целесообразно применять для приближенной оценки
режима с последующим уточнением его итеративным
путем. Самостоятельное их значение весьма ограничено.
.151

3-3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА РАБОЧИХ РЕЖИМОВ -
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
Применение матрицы узловых сопротивлений. Как
следует из предыдущего, после выполнения каждой
итерации, т. е. очередного расчета рабочего режима для
линейной схемы замещения, требуется определение
напряжений во всех независимых узлах схемы. По этим
значениям напряжений уточняются значения задающих
токов. Поэтому можно предположить, что известными
преимуществами должен обладать метод расчета,
основанный на применении обобщенных параметров в виде
узловых сопротивлений. Эта матрица позволяет
непосредственно связать матрицу J задающих токов с
матрицей 04 напряжений в узлах относительно нейтрали.
Если схема не содержит э. д. с. в ветвях, то
u4=zj(0).
(Электродвижущую силу в ветвях можно заменить
эквивалентными задающими токами.) Если, кроме того,
в схеме отсутствуют поперечные проводимости, то
матрица напряжений в узлах относительно нейтрали
получается равной
U = U0 + ZJ (U), где U0 = Обп.
Одна и та же формула применяется при каждой
итерации. Если обозначить через U матрицу напряжений и через
J' матрицу задающих токов, полученных из предыдущей
итерации, то очередная итерация дает:
U" = U0 + ZJ'<€'), (3-20)
где
* = (0'fl)-l[3-P(O')]-YoU\ (3-21)
Таким образом, весь расчет сводится к
многократному использованию формул (3-20) и (3-21) до получения
результатов расчета с требуемой степенью точности *.
В тех случаях, когда изменение падений напряжения
в сети по модулю оказывается значительно меньше ио-
* Соответствующий пример уже выполнен выше — при
иллюстрации итеративного процесса (см. пример 3-2).
152

Y „
0
aa
0
0
м'Ин'ального напряжения сети, сходимость такого
итеративного процесса получается достаточно быстрой и
необходимое число итераций оказывается сравнительно
небольшим (порядка 10). Существенные затруднения
вызываются только необходимостью определения
матрицы Z.
Наиболее просто определяется матрица Zo для
разомкнутой схемы, когда
М = ||М 0|| и YB
При этом
Z0 = (М YBMt) -' = (MeY JW J -1 = CotZaaC0,
т. е. получается непосредственно из схемы замещения.
По диагонали матрицы Z0 здесь располагаются
сопротивления путей графа от базисного узла до каждого из
независимых узлов схемы (соответствующего номера),
а по пересечении строки i и столбца / или строки / и
столбца i — сопротивления общей части путей графа от
базисного узла до узлов г и у.
В случаях сложной замкнутой схемы
непосредственное определение матрицы Z путем вычисления обратной
матрицы Yy узловых проводимостей связано с
достаточно !болыпими техническими трудностями, так как
матрица Yy может иметь сравнительно высокий порядок. При
этом даже прием разделения матрицы на блоки не даст
нужного упрощения решения задачи.
Следует, однако, иметь в виду, что обычно
рассматриваемая схема замещения не содержит взаимных
сопротивлений, и поэтому матрица ZB.сопротивлений
ветвей является диагональной. При этом матрица YB
проводимостей ветвей также является диагональной, а
следовательно, матрица узловых проводимостей схемы
получается в следующем виде:
YT=||M„M,
= ^A + M^Mp( = Y0+Y4
и обратная матрица
0
Z = Y
—1
153

Правила вычисления обратной матрицы Y0
выяснены выше для разомкнутой схемы
уже были
а правила вычисления обратной матрицы относительно
суммарной Y0 -)- Y4 при наличии обратной матрицы относительно
одной из них были установлены в § 2-7
z=z0-z4,
где [см. формулу (2-59)]
2Д=
X
2ьъ^'А2Ъа Z00Y'AZ0b
1 О
- (1 + Y'4Z„b)"1 Y'4Z„„ (1 + Y'4Zbb) -'
Здесь принято, что матрица Z0 разделена на блоки
X
(3-22)
Z„=
причем
Zfia — Z,
Zab
Zbb
abt-
Смысл этой операции заключается в следующем.
Сначала определяется матрица Z0 узловых
сопротивлений для дерева схемы; хорды предполагаются
отключенными. Затем производится пересчет матрицы узловых
сопротивлений в связи с присоединением хорд; из
матрицы Z0 вычитается матрица Z4, обусловленная этим
присоединением.
В том случае, когда хорды образуют несвязной граф,
указанная операция должна повторяться многократно:
каждый раз можно этим способом присоединять только
связную часть хорд схемы.
При таком способе расчета порядок матрицы, для
[которой надо вычислить обратную, значительно снижается.
Порядок матриц Y4 и Zbb равен'числу узлов, с которыми
связаны хорды. Это число находится в пределах от /с+1
до 2к в зависимости от вида схемы и выбора хорд в ней.
Во многих случаях это число может оказаться
значительно меньше числа узлов схемы. Поэтому и операция
определения матрицы Z может оказаться более простой,
чем вычисление обратной матрицы Y"1.
154

Следует напомнить, что при пользовании формулой
(3-22) предполагается такая нумерация узлов, при
которой хорды оказываются связными только с узлами,
имеющими последние номера.
Возможны и другие способы определения матрицы Z.
Некоторые из них будут указаны в дальнейшем.
Применение узловых уравнений. Более
распространенным является метод расчета, основанный ,на
непосредственном применении узловых уравнений1
YytJ = J.
Задавшись матрицей U' напряжений в узлах схемы,
по этой формуле можно определить соответствующую
матрицу J'y задающих токов, которая, как правило, вряд
ли может совпасть с матрицей задающих токов,
найденных по формуле (3-21) при тех же значениях
напряжений узлов; получается небаланс токов в узлах схемы.
Последующий итерационный расчет ведется в целях
устранения этого небаланса, который постепенно
снижается по мере уточнения значений напряжений.
Разность полученных матриц задающих токов в узлах
схемы определяет имеющийся небаланс по узлам
J'(U')-JV=J4
я свидетельствует о несоответствии матрицы
напряжений в узлах условиям на границах схемы, а
следовательно, и о необходимости изменения напряжений. Это
изменение можно произвести приближенно, пользуясь,
например, одними диагональными элементами матрицы
Yy. Как уже было указано ранее, диагональные
элементы матрицы Yy являются наибольшими по модулю и
оказывают наибольшее влияние на изменение режима.
Их обратные величины определяют приближенное
значение матрицы Z узловых сопротивлений. Поэтому
приближенно можно направить режим, определив
уточненные значения напряжений в-узлах.схемы по.следующей
формуле:
U" = U' + Zju = О' + Z[i' ф')- J'y]. (3-23)
1 Матрица U здесь соответствует матрице 0Д в выражении
(2-23), так как при" отсутствии поперечных ветвей действие
напряжения в узле баланса относительно нейтрали схемы не приводит
к изменению токов в ветвях.
155

Таким образом, весь расчет сводится к
многократному применению формул (3-21) и (3-23). Сходимость
итеративного процесса зависит от параметров схемы
замещения и часто оказывается сравнительно медленной.
Поэтому обычно данный метод расчета требует применения
различных ускоряющих приемов. В частности,
используются- ускоряющие коэффициенты при определении
поправок ж значениям напряжений, поочередное изменение
напряжений с учетом влияния каждого изменения на все
задающие токи схемы и т. д. *.
При пользовании данным методом расчета уточнение
производится одновременно и для линейной задачи
определения рабочего режима схемы при заданных
значениях задающих токов и для самих задающих токов.
Имеются- тщательно составленные программы рабочего
режима электрической сети достаточно большой сложности
(с числом узлов порядка 200) с использованием данного
метода расчета.
Пример 3-3. Для рассматриваемой схемы (рис. 3-6) матрица
узловых проводимостей известна (см. пример 2-7)
1,5 ^0,5 0
-0,5 0,95 —0,25
0 —0,25 0,5833
Матрица приближенных значений узлоЕых сопротивлений
получается:
0,6667
Ъ = 1,0526
1,7144
Если ?а исходный принять прежний режим нулевого приближения
100
1
100
; J» =
2
100
со
то первое приближение (первая итерация) дает:
100,76
0,9934
0' =
102,11
и '}' =
1,9588
105,14
2,8533
1 Эти приемы здесь подробно не рассматриваются, так как они
в большей мере связаны с правилами приближенных вычислений,
а не с применением матричного метода.
156

второе приближение (вторая итерация)
101,36
0,9865
U" =
103,77
и j" =
1,9274
105,79
2,8318
приближение (третья итерация)
101,91
0,9812
0"' =
104,27
и У" =
0,9180
106,47
2,8177
102,08
•IV
и J =
0,9796
104,73
1,9178
106,66
2,8126
четвертая итерация
(JIV=
Расчет показывает, что без применения дополнительных
ускоряющих приемов итеративный процесс в данном случае оказывается
сравнительно медленно сходящимся; только после седьмой итерации
получается:
102,33
105,05
11 =
106,96
Расчет по линеаризованной схеме. Уравнение (3-17)
позволяет выполнить расчет рабочего режима сложной
схемы, пользуясь узловыми сопротивлениями. При этом
сходимость итеративного процесса существенно
ускоряется.
Как уже было указано выше (§ 3-1), для выполнения
решения следует все комплексные величины заменить их
записью в развернутой форме с разделением на
вещественные и мнимые слагаемые
Y = G-/B; 0д = и'4 + /и"д;
Ye = G0-/B, J0 = J'0-/J"0.
Тогда уравнение (3-17) приобретает следующий вид:
(G-/B)(U'4 + /U"J = J'.-/J".+ .'
+ (G0-/B0)(U'4-/U"4)
или после разделения на два матричных уравнения
GU', + BU"4 = J'„ + G0U' - B0U"4
BU'4 + GU"4 = - J"e - BeU'4 - G„U"4
157

Эти уравнения можно записать компактнее:
G
В
U'4
J'o
+
G0 — В„
U'a
В
—G
—
J".
В„ G„
и даже еще проще
^Р^Др = JoP + YiopUap.
если ввести следующие обозначения:
(3-24)
G
В
АР
U'4
В
J".
и Y
op-
G0 —В,
В» Go
Из (3-24) непосредственно следует:
(Yp Yop) U4p = JoP
или
где
^грУдр — Jop.
(3-25)
YSp — Yp Yop=
G — G0 В + B„
B —B0 — G — G0
Уравнение (3-25) можно решить
'Ар
Ip"0P'
Полученное решение имеет некоторые особенности.
Расчет выполняется с применением только вещественных
чисел. Это является большим преимуществом в случае
применения АЦВМ. Матрица Yj.p получается
несимметричной. Это значит, что требуется больший объем
памяти машины. Это значит также, что эквивалентную
схему нельзя набрать на обычной статической модели
(схема не обладает свойством взаимности). Матрица Y£p
получается вдвое большего порядка, чем матрица Y.
Это усложняет решение, хотя матрица состоит только из
одних вещественных чисел.
Преимущество расчета по линеаризованной схеме
заключается в том, что резко сокращается число итераций,
158

требующихся для обеспечения требуемой точности
результата. Во многих случаях первое решение уже дает
достаточно хороший результат, не требующий
дальнейших уточнений.
Крупным недостатком является необходимость
определения обратной матрицы высокого порядка. В более
совершенном решении эта операция требуется каждый
раз при очередном уточнении (если линеаризацию
производить в окрестностях вновь найденных значений
напряжений в узлах). Изложенное решение этого не
требует, но приводит к несколько замедленной сходимости.
Это происходит потому, что уточнение получается лишь
приближенным. Практически это может быть
оправданным, так как выполнение лишней операции уточнения
может быть проще, чем вычисление обратной матрицы.
Применение матрицы контурных проводимостей. Как
следует из предыдущего, наименьший порядок матрицы,
для которой достаточно вычислить обратную матрицу,
чтобы определить рабочий режим схемы, определяется
числом независимых контуров схемы к. Как уже
известно из предыдущего, для определения контурных токов и
токов в хордах в схеме без взаимных сопротивлений и
задающих токов достаточно вычислить матрицу YK
контурных проводимостей (см. табл. 2-1).
Тогда искомые токи определяются (при Np = 1)
1К = 1^ = YKEK.
Если в схеме в действительности имеются задающие
токи J(U), то матрица Ёк контурных э. д. с. определяется
следующим образом:
EK = NE-NeZaaC0J(0).
Зная токи в хордах схемы, можно определить и токи
в ветвях дерева
i.=c.[J(U) - M,r,i=c,i (u)+Njip;
а следовательно, и напряжения узлов схемы
U = Ue + Cot(Zaaie-Ea)=,U0 +
+ CotZaeC0[J*(U)-MpIp]=U0-T-
+ CotZeC0[J(U)-MpYKEK].
159

Если схема не содержит э. Д. с. в ветвях, то
U = U0 + CotZMC0 (1 + MpYKNaZaaC0) J (U).
Таким образом, по матрице U' напряжений узлов,
которая определена в результате выполнения предыдущей
итерации, определяется матрица уточненных значений
напряжения
U" = U0 + CotZaaC0 (1 + М,YeN ZaaC0) j (С) .
= U. + ZJ(U').
Здесь матрица Z узловых сопротивлений определяется
несколько иначе, чем ранее:
Z = CotZaaC0 [1 + Л1„ (NZ8Nt)-' NaZaoC0] =
= Z0(l+MpYKNaZaaC0). (3-26)
Этот способ определения матрицы Z представляется
достаточно простым и поэтому может быть рекомендован
для выполнения расчетов рабочих режимов
электрических сетей достаточно большой сложности, но с
относительно малым числом независимых контуров.
Пример 3-4. Для рассматриваемой схемы (рис. 3-6) матрица
узловых сопротивлений для дерева (в предположении отсутствия
хорд)
1
1
0
1
3
0
0
0
со
и матрица контурных проводимостей
71
8
—3
—3
10
Поэтому матрица узловых сопротивлений для всей схемы
получается:
Z =
1
1 0
/
1
0
0
1
71
1
3 э
1
+
-1
— 1
0
0 3
V
1
1
0
—1 ■
-1
1
1
—1
—1
X
2
0
—1
—1 -
-1
0
3
0
0
1
: 71
59
35
15
35
105
45
15
45
141
8 —3
—3 10
0
0
-1
X
что совпадает с полученными ранее результатами.
160

Следовательно, данный метод расчета сводится опять
же к применению матрицы узловых сопротивлений, но
позволяет определять эту матрицу несколько другим
путем. Поэтому и сходимость итеративного процесса в
данном случае совпадает с таковой для первого из
изложенных методов. Преимущества и недостатки того или
иного метода расчета могут обнаруживаться в зависимости
от вида и параметров рассчитываемых схем.
Определение значений полной мощности по ветвям.
Некоторым недостатком изложенных методов расчета
рабочих режимов электрических сетей является
необходимость выполнения дополнительных операций для
определения значений мощности передачи по отдельным
ветвям сети. Однако для этого достаточно воспользоваться
матрицей U напряжений узлов относительно нейтрали
схемы. Токи ветвей при этом определяются следующей
формулой:
I = YBMjU.
В результате расчета желательно было бы получить
матрицу, по которой видно, какое значение полной
мощности передается от данного узла (или поступает в
данный узел) по ветви, соединяющей его с каким-либо
другим узлом. Для этого можно предложить, например,
следующий порядок вычислений. Надо записать матрицу I
в диагональной форме 1д (чтобы исключить операцию
сложения) и умножить ее на матрицу Ms слева. При
этом получается прямоугольная матрица, в каждом
столбце / которой ток ветви / встречается дважды — с
положительным знаком в строке, соответствующей ее
начальной вершине, и с отрицательным — в строке,
соответствующей конечной ее вершине.
Если произвести умножение матрицы, сопряженной по
отношению к этой, на диагональную матрицу 11д5:,
содержащую напряжения всех узлов схемы (включая и
базисный) , то получится аналогичная прямоугольная матрица
(с числом строк у и числом столбцов в), содержащая
значения полной мощности у начальной и конечной
вершин каждой ветви схемы:
11—159
161

При этом положительной получается мощность
передачи к узлу, а отрицательной — от узла. Сумма
значений, расположенных в каждой строке i матрицы SBn,
дает полную мощность, обусловленную задающим током
в узле i
Сумма значений, расположенных в каждом столбце j
матрицы SBn, дает полную мощность потерь в ветви /
ГдМ^идЕп=1дй„ = 8Лв.
Можно матрицу значений полной мощности записать
несколько компактнее, если произвести дополнительное
умножение матрицы SBn справа на матрицу [М^], в которой все
отрицательные знаки заменены на положительные (это
условно отмечено прямыми скобками):
^и^мДалу. (3-27)
При этом получается квадратная матрица порядка у\
На пересечении строки i и столбца / этой матрицы нахо-1
дится значение полной мощности передачи от узла i
в направлении к узлу /. По диагонали этой матрицы
располагаются значения полной мощности, обусловленные
задающими токами в соответствующих узлах схемы.
Пример 3-5. Для рассматриваемой схемы (рис. 3-6) на этапе
первого приближения матрица значений мощности передачи
получается в следующем виде:
102,45 —1 1 0 0 0
105,35 0 —1 0 —1 —1 . .
S = V X
■« 107,44 л 0 0—1 1 0
100,00 0 0 0 0 0
—2,4507
1 0
0
0
—1,4507
0 1
0
0
X
-0,5211
0 0
1
0
0,5211
0 1
1
0
—1,0704
0 1
0
0
102,45
—148,62
0
251,07
152,83
210,70 -
-54,90
112,77
0
55,99
322,32
266,33
—245,07
—107,04 -
-247,89 -
-600,00
162

Обычно значения полной мощности для всех ветвей
схемы не требуются. Поэтому практически расчет
можно выполнять не полностью.
Полезно отметить, что аналогичное произведение
матриц
19=мЛ[лу
дает квадратную матрицу (порядка у) токов.'По
диагонали этой матрицы располагаются задающие токи в
узлах, а на пересечении строки i и столбца / — значения
тока в соответствующей ветви в направлении от узла i
к узлу / схемы (предлагается читателю выполнить
определение матрицы Ig для рассматриваемой схемы в
исходном рабочем режиме).
Применение контурных уравнений. Аналогично тому,
как выше был определен рабочий режим схемы
замещения путем итераций с использованием узловых
уравнений, можно воспользоваться непосредственно и
контурными уравнениями. Действительно, из уравнения
z i — F
задавшись значениями, входящими в матрицу 1'к, можно
определить соответствующие значения контурных э. д. с,
входящих в матрицу Еок:
Z Г — F
Эта матрица, как правило, не должна совпадать с
матрицей
E, = NE—NZ С01.
По разности
F F — F'
пользуясь приближенными значениями контурных
проводимостей, можно внести уточнение в значения
контурных токов. Приближенные значения контурных
проводимостей можно определить, пользуясь приближенными
значениями контурных сопротивлений. Если, например,
использовать только диагональные элементы матрицы
Zr, то приближенная матрица контурных проводимо-
11* 163

стей YH также /получится Диагональной. По «ей приблй^
женно определяется
I"K = I'K YKEK = I'K YK (Еок Ек) =
= i'K - YK \г\ I'R - N Е + N ZaaC0 J (LI1)]. (3-28)
Это дает возможность определить уточненные значения
напряжений в узлах схемы:
0"=и.+cotzaac0 [ j (i)>) - мв i"K] =
= U. + 2^ [ J (U') — M^l" J,
(3-29)
где
Zo = CotZaaC0,
и, следовательно, уточнить задающие токи.
Таким образом, расчет сводится к многократному
применению формул (3-21), (3-28) и (3-29). Здесь
итеративный процесс ведется сразу и по уточнению
линейной задачи—при заданных значениях задающих токов,
и по уточнению самих задающих токов. Сходимость
итерационного процесса оказывается тем более быстрой,
чем слабее связаны отдельные независимые контуры
схемы, т. е. чем меньше по модулю общие сопротивления
независимых контуров по сравнению с их собственными
сопротивлениями.
Пример 3-6. Для рассматриваемой схемы (рис. 3-6) на этапе
нулевого приближения матрицы напряжений узлов и задающих
токов принимаются такими же, как и в предыдущих расчетах:
1
1
и0= 100
1
; J„ =
2
1
3
Матрицы параметров схемы известны
1
1
0
1
3
0
; z,=
0
0
3
10 3 I
0,1
0
3 8 j
, YK =
0
0,125
Первая итерация: матрица контурных токов
-0,2
матрица напряжений
U'=Ua + Z.(J.-Mpi'1I) =
0,875
102,32
104,97
108,40
164

вторая итерация — по формулам (3-28) и (3-29)
102,42
0,4506 '
1 к —
Третья итерация
1'"» =
—0,9154
0,4465
—1,0033
u"=
L)"' =
105,30
107,22
102,32
105,00
107,05
Как видно, сходимость итеративного процесса получается
несколько замедленной. Приемлемым является результат расчета
только после пятой итерации
102,34
11= 105,56
106,98
Поскольку здесь в процессе решения задачи
определяются токи в хордах, то имеется возможность на
любом этапе расчета рабочего режима определить и
значения мощности передачи по любой ветви схемы. Это
является некоторым дополнительным преимуществом
рассматриваемого метода расчета.
Применение коэффициентов распределения. Из (2-38)
матричное контурное уравнение для схемы без э. д. с.
и взаимных сопротивлений получается в следующем
виде:
ZKIK = -NZ C0J.
Отсюда получается матрица контурных токов
где
1К =5 — YKN Z cj=ckj,
к « к a aa 0 * >
Ск = - YgN ZaaC0 = - (NZBNt)"»N ZaaC.
— является матрицей коэффициентов распределения
задающих токов для хорд [см. (2-27)].
Существенно, что для определения матрицы Ск
приходится находить обратную матрицу порядка к. При
наличии матрицы Ск получаются:
матрица токов в хордах
ip=cKj;
матрица токов в ветвях дерева схемы
165

матрица напряжений в узлах схемы
О"=и0+cotz X=ii.+colzaac0 (j - мр ij =
= Uo + C0iZaaC0(l-MgCK)J(l)').
Выражение
Z = ColZaaC0 (1 - MgCK)=Z0 (1 - MpQ) (3-30)
дает еще одну формулу для определения матрицы
узловых сопротивлений схемы.
Таким образом, данный метод опять же сводится
к методу расчета рабочего режима схемы по матрице
узловых сопротивлений, т. е. в дальнейшем обладает
теми же особенностями. Несколько изменяется только
порядок определения самой матрицы узловых
сопротивлений.
Пример 3-8. Воспользовавшись найденными ранее матрицами
обобщенных параметров для схемы, изображенной на рис. 3-6:
71
15
21
-24
9
1
1
0
> Zo —
1
со
0
0
0
со
нетрудно найти для нее и матрицу узловых сопротивлений по
формуле (3-30)
Z =
1
1
0
/
1
0
0
1
3
0
1
—
—1
—1
0
0
3
V
1
1
0
1
59
35
15
1
~7Г
35
105
45 .
15
45
141
1
5 15
—24
71
7 21
9
Полученная матрица совпадает с ранее найденной.
Аналогично предыдущему итеративный прием
уточнений можно применить и в данном случае. Для этого
достаточно воспользоваться приближенной матрицей Ск,
вычисленной по приближенной матрице NZBN(, в
которой можно оставить одни диагональные элементы.
Тогда обратная ей матрица определяется достаточно
просто.
Изложенными методами не исчерпываются все
возможности итеративных путей расчета рабочих режимов
166

сложных схем замещения электрических сетей. Целью
приведенного материала является показ путей
логических рассуждений с применением матричного метода для
решения конкретной задачи. Из приведенного материала
видно, что обобщенный анализ электрических цепей
целесообразен для решения сложных задач, связанных
с преобразованием системы линейных алгебраических
уравнений. Отсюда, в частности, можно сделать вывод и
о достаточно больших возможностях, которые
открываются при применении матричного метода, в случае
решения такой сложной задачи, какой является задача
оптимизации режимов работы электрических сетей.
3-4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Метод расчета «в два этапа». Как уже указывалось
выше, при расчетах рабочих режимов сложных
электрических сетей сверхвысоких номинальных напряжений
целесообразно предварительно ориентировочно оценить
возможные значения напряжений не только по модулю,
но и по аргументу. Для выполнения такого
приближенного расчета целесообразно воспользоваться методом,
основанным на использовании значений полней
мощности нагрузок. Одним из таких методов и является так
называемый метод расчета «в два этапа». На первом
этапе находится распределение нагрузок в сети при
выполнении операций с значениями мощности таким же
образом, как с токами. На втором этапе вводится
поправка по найденным значениям напряжений.
Этот метод расчета также сводится к применению
приема итераций. Он имеет и самостоятельное значение
для расчета рабочих режимов электрических сетей с
поминальными напряжениями до ПО—220 кв. В этих
условиях итеративный процесс сходится достаточно 'быстро и
второй этап расчета уже приводит к желаемым
результатам. Его обычно рассматривают как учет потерь
мощности в сети.
Для получения обоснованного правила внесения
поправки достаточно применить разложение в ряд
обратной диагональной матрицы напряжений, входящей
в уравнение состояния, которым определяется рабочий
режим!
i67

Поскольку матрица напряжений равна сумме
и=й0+и4,
то при использовании первых двух членов ряда
вид1:
При этом уравнения состояния принимают следующий
где
u=u0+zO;1§-zu7;u4AS:
-Uo + O-'zs-ur'zs,,
s,=0~' ОдД
4 од Дд
В тех случаях, копда схема не содержит э. д. с. в
ветвях и не содержит поперечных ветвей (они могут быть
приближенно учтены в соответствующих значениях
полной мощности нагрузок):
од б '
т. е. умножение на обратную матрицу 0~' равносильно
делению на постоянный коэффициент U6:
U = U0+^-(Zf-ZS4). (3-31)
Таким образом, получается:
ид=-^ <zs-zs;)=uM+uA2.
Это показывает, что рабочий режим схемы может
быть найден в результате выполнения двух этапов
расчетов, в одном из которых роль задающих токов вы-
1 По-прежнему считается, что нагрузки соответствуют
отрицательным задающим токам.
168

полняют значения полной мощности нагрузок, входящие
в матрицу-S, а в другом — значения мощности, входящие
в матрицу
Первый этап обычно называется расчетом без-учета
потерь мощности в сети, а второй — учетом потерь
мощности в сети.
Первый расчет .дает возможность получить лишь
матрицу U4I ориентировочных значений падений напряжения в
сети, а следовательно, и матрицу U' = U0
ориентировочных значений напряжений в узлах сети. Однако при
этом одновременно получаются и ориентировочные значения
мощности, передаваемой по отдельным линиям сети.
Второй расчет дает возможность несколько уточнить
результаты — матрицу падений напряжения U4 = U41 -f- U42
и матрицу напряжений U = U0-(-U4. При его
практическом выполнении приходится вводить дополнительное
допущение, вытекающее из отсутствия к началу этого расчета
матрицы U4 правильных значений узловых напряжений. Ее
приходится заменять матрицей U41 приближенных значений,
т. е. вместо матрицы S4 определять и вводить в расчет
матрицу
S'4=-Lu4US=-I (ZS)A§. (3-32)
и6 б
Приведенные рассуждения показывают, что потери
мощности надо определять не по значениям
сопротивлений отдельных ветвей схемы, а по значениям узловых
сопротивлений всей схемы. Отсюда, в частности, следует,
что мощность нагрузки оказывает тем большее влияние
на изменение предварительно найденного рабочего
режима, чем больше узловое сопротивление (входное),
которым соответствующий узел схемы связан с ее
базисным узлом.
Следует отметить, что принятые допущения
по-разному отражаются на точности получаемых результатов.
При сравнительно небольших значениях падений
напряжения в сети (по модулю) точность получается 'вполне
приемлемой (например, в сети 110 кв), но по мере их
16»

увеличения резко снижается. Ее можно повысить путем
учета более правильных значений падений напряжения
в сети при выполнении второго расчета и путем
дальнейшего увеличения числа принимаемых в расчете членов
разложения в ряд. Однако в случае необходимости
такого уточнения рассматриваемый метод расчета может
оказаться невыгодным.
Расщепление схем. Под расщеплением схемы с
комплексными параметрами элементов понимается ее
приближенное разделение на две, каждая из которых содержит
только элементы с вещественными параметрами. Такое
расщепление схемы приводит к приемлемым
результатам расчета только при достаточной ее однородности,
когда можно считать, что для матрицы ZB справедливо
выражение
где g=tg£Cp, если £ср — некоторое среднее значение
аргумента комплексной величины полного сопротивления
для всех ветвей схемы.
При отсутствии э. д. с. в ветвях схемы
где 1 = 1в —/1М. Учитывая, что в сетях 110 кв и выше
обычно
X=iR,
в,
NZBJ=0
или
N (RBIB + XBIM) =N (XBIB -.RBIM) = 0,
1В>
откуда
N (XBIB - RBIM) = N (-j- ХВ1В + ВД*)-0
(i + -f) NXBIB= + в) NRBIM = 0
или
NXBIB=NRBIM = 0.
(3-33)
Отсюда следует, что приближенно можно составить
две схемы: с реактивными сопротивлениями хв и задаю-
170

щими токами Jb и с активными сопротивлениями RB и
задающими токами Jm. Из этих схем приближенно
получаются составляющие падений напряжения:
UUB = Cot^XBIB+5RB|IM)
и
^дм — C0t (XBlB — RBIM)'
которые дают возможность определить матрицу
комплексных значений падения напряжения
ид=илв+/идм.
Результаты такого расчета можно уточнить
итеративным путем. Для этого надо в те же схемы ввести э. д. с,
учитывающие падения напряжения от соответствующих
слагающих токов на избыточных сопротивлениях ветвей:
Е L
Ев— 2
■R.) iB+(SRB-xB) imJ.
При этом удается воспользоваться моделью постоянного
тока, чтобы определить обобщенные параметры R"1 и X"1—■
входные и общие проводимости ветвей. Тогда процесс
итеративного расчета выполняется по следующим
формулам:
I"B = X7,(NXBI'B + E') и 1"M = R-,(NRB1'M+E'). (3-34)
Такое решение применимо и в том случае, когда
задающие токи заменены значениями полной мощности,
т. е. при использовании, например, метода «в два этапа».
Наложение режимов. В практике расчетов рабочих
режимов электрических сетей часто встречаются случаи,
когда условия последующего расчета сравнительно мало
отличаются от условий предыдущего. Так получается,
например, при учете статических характеристик
нагрузок, когда матрица новых значений полной мощности
сравнительно мало отличается от матрицы прежних
значений. Если заведомо известно, что изменение рабочего
режима получается сравнительно малым, то его можно
определить путем наложения, хотя в принципе задача
171

остается нелинейной, три линеаризации требующей
последующего уточнения.
Исходный рабочий режим соответствует уравнению
состояния, которое можно записать, например в
следующем виде:
и=и„+z {tr1 [S - р (й)] - y0i)}.
Новый рабочий режим должен соответствовать
аналогичному уравнению состояния
С=и.+z {(0'д) -1 [З+д^-р (О')] - y.U'},
где AS —матрица изменений (добавочных значений) величин
полной мощности нагрузок в узлах.
Однако приближенно изменение напряжений в узлах,
вызванное изменением падений напряжения в схеме,
и'=;и+и'д
можно оценить более просто
LK^Zir'AS. (3-35)
Здесь матрица U принята из предыдущего (исходного)
рабочего режима. Это не требует выполнения заново
всего расчета и может быть установлено более простым
путем, особенно если изменение значений полной мощности
произошло в небольшом числе узлов схемы, как,
например, в случае изменения распределения реактивной
мощности между ее источниками из-за какого-либо
ограничения.
Расчет послеаварийных режимов. Практически
достаточно часто приходится рассматривать режимы работы,
возникающие в.сети при выходе из работы отдельных
линий. Как правило, это связано с большими
техническими трудностями, так как требуется определение новой
матрицы обобщенных параметров для измененной схемы.
Кроме приемов исправления матрицы обобщенных
параметров, для линейной схемы возможен также путь
изменения режима способом наложения. Нулевое
значение нагрузок отключенных линий (в общем случае их
может быть несколько одновременно) 1можно . обеспечить
с помощью добавочных э. д. с. Ее соответствующих
значений.
172

Если определить эти значения, а затем найти to
изменение режима, которое они вызывают в схеме, то,
наложив это изменение на известный режим работы но
полной схеме, можно получить новый режим,
возникающий при отсутствии линий с нулевой нагрузкой.
Решение проще всего выполнить, если
воспользоваться контурными уравнениями. Контуры приходится делить
на содержащие отключаемые ветви и не содержащие их.
Первые надо выбирать так, чтобы каждая из
отключаемых ветвей входила только в один из контуров.
Поскольку после наложения токи в отключаемых вет-
ваях должны быть равны нулю, то добавочные э. д. с.
должны вызывать токи в них (контурные токи для
соответствующих контуров), равные и противоположные по
знаку токам 1о, проходящим по этим ветвям в исходном
режиме.
Следовательно, матричное контурное уравнение,
записанное с разделением всех ;матриц на блоки, должно
иметь следующий вид:
Y00
Y.
Ёо
-i.
Y
0
Д1ж
Здесь матрица контурных проводимостей разделена
на блоки в соответствии с указанным выше делением
контуров
'Подматрица Y0o соответствует контурам с
отключаемыми ветвями, подматрица Y — контурам без них,
а подматрица Y0 характеризует связи между ними.
Из написанного уравнения непосредственно следует:
^00^0 = — 1(>.
Отсюда определяется матрица дополнительных э. д. с.
F — — Y-11
ьо— *оо <•*
Второе матричное уравнение
YotE0 = AiK
после подстановки дает:
AiK=-YotYro t
Следовательно, изменение токов в ветвях получаются:
Д1 — NA iK = -NYotY^ 10.
173

Как уже указывалось, при этом токи в отключаемых
ветвях автоматически получаются равными нулю.
Изменения напряжений в узлах ;можно определить,
зная изменения токов в ветвях дерева схемы
AUA=Cotia = CotNaYotY-'l0.
В некоторых случаях достаточно иметь только
изменения напряжений в отдельных местах сети, чтобы
можно было судить о приемлемости послеаварийного
режима, подлежащего рассмотрению.
Изложенный расчет практически выполнить нетрудно,
если имеется матрица контурных проводимостей. В процессе
расчета приходится вычислять обратную матрицу Y~' . Однако
эта матрица имеет очень малый порядок, который равен
числу отключаемых одновременно ветвей сети.
Изложенный метод расчета целесообразно применять
в тех случаях, когда отключаемыми являются основные
линии сети, несущие большие нагрузки. В прочих
случаях расчет можно выполнить проще — заменяя линию ее
нагрузками.
Учет нелинейности схемы. Здесь имеются в виду
нелинейности, обусловленные зависимостью активных
сопротивлений проводов от значений проходящих по ним
токов и зависимостью активных проводимостей или
потерь активной мощности вследствие возникновения
короны на проводах от значений приложенных к данным
участкам линий напряжений.
Как известно, влияние этих параметров сети на
параметры режима, как правило, невелико в питающих
сетях. Поэтому вначале можно выполнить расчет по
линейной схеме замещения, в которую ввести некоторые
средние, предположительные значения указанных
параметров, а затем внести поправки. Эти поправки должны
быть сравнительно небольшими уже хотя бы потому, что
определяются только отличием действительных значений
параметров от принятых в расчете. Поэтому в данном
случае прием наложения можно считать вполне
приемлемым.
Пусть из расчета, выполненного по линейной схеме
с активными сопротивлениями ветвей R и активными
проводимостями, приведенными к узлам G, определены
токи в ветвях I и напряжения в узлах U.
174

По. этим значениям токов могут быть уточнены
значения активных сопротивлений R' ветвей и активных
проводимостей G' в узлах. По разностям между
действительными и принятыми значениями активных
сопротивлений R'—R можно определить э. д. с, компенсирующие
добавочные падения напряжения:
Ё = —(R' —R) I.
По добавочным активным проводимостям (с любым
знаком) можно определить добавочные задающие токи
Д) = — (С — G) U.
Если известны действительные и принятые значения
потерь активной мощности, то по их разностям ДР'К—ЛРк
добавочные задающие токи определяются следующим
образом:
Ы = ~К* (ЛР'к-ДРк). •
Поскольку в дополнительной схеме с прежними
пассивными параметрами появились активные элементы
обоих типов — и э. д. с. и задающие токи, то изменение
режима приходится определять по полной формуле.
При этом изменения напряжений в узлах получаются:
AU=ZAJ + DE.
Полученные таким образом значения должны быть
добавлены к найденным ранее
и' = и+ди.
Изменения токов в ветвях получаются:
Ai = YE+CJ.
Полученные таким образом значения должны быть
добавлены к найденным ранее
I' = i-l-а!.
Этот расчет можно упростить, если воспользоваться
одним из описанных ранее приемов, позволяющих сокра-
175

гить число необходимых обобщенных параметров. К
таким приемам относится, например, эквивалентная замена
активных параметров одного типа параметрами другого
типа (э. д. с. — задающими токами или наоборот).
3-5. РАСЧЕТ РАБОЧЕГО РЕЖИМА СХЕМЫ
С ТРАНСФОРМАЦИЯМИ
Сеть двух напряжений. Для простоты вначале
рассматривается схема, состоящая из двух частей / и //,
связанных произвольным числом трансформаций с
комплексными параметрами (рис. 3-8). Все трансформации
предполагаются «двухобмоточными», т. е. имеющими
одинаковое число входных и выходных полюсов (узлов).
Каждая из двух трансформаторно
связанных частей схемы предполагается
предварительно преобразованной так, что
ее узлами являются входные (индекс ')
или выходные (индекс ") полюсы
трансформаций. Поэтому узловые уравнения
состояния для них имеют следующий вид
(стр. 155):
Рис. 3-8.
Yi и,
(3-36)
Здесь матрицы токов \1 и 1п выделены, так как
оказываются взаимно связанными следующим условием: fn =
Кроме того, связанными оказываются и матрицы
напряжений Uj и ип
О, =Ы)П. (3-37)
Произведя соответствующие подстановки в уравнения
(3-36), нетрудно получить два уравнения с двумя
матрицами неизвестных Un и Ij:
176

и
YA = J.i + kii-
Если первое уравнение умножить почленно на матрицу
к, а затем почленно сложить со вторым, то матрица I,
окажется исключенной:
(k^k+Y^U^kJj+Jjj.
Полученное уравнение соответствует операции
приведения части / схемы к напряжению части // схемы. При
вещественных и одинаковых коэффициентах
трансформации полученное правило соответствует общеизвестному.
Это уравнение можно записать короче:
УД,^, (3-38)
где
Y^kY, k + Y„
является матрицей эквивалентных пассивных
параметров преобразованной схемы и
определяет матрицу эквивалентных активных
параметров преобразованной схемы (задающих токов).
Уравнение (3-38) содержит только одну матрицу
неизвестных ии. Однако непосредственным решением этого
уравнения определить матрицу UH нельзя, так как матрица
Yj. должна быть особенной и обратной не имеет.
Для того чтобы задачу можно было решить, надо
задать напряжение в узле / схемы (этот узел можно
специально выбрать), который и прилЬмается за базисный.
Тогда матрица UH разделяется на блоки (фактически
выделяется только базисный узел)
и6
и
(3-39)
12—159 177

Соответственно разделяются и другие матрицы
h
j
Тогда уравнение (3-37) принимает следующий вид:
и Y„
^бб
Y6
Y
^66 Yfi
Ygf Y
0
j
Отсюда получается уравнение, которое может быть
решено:
Y6Ai + YU=:J.
Решение дает:
U = Y-»(J-Y6l£/e).
Теперь можно определить и матрицы всех других
параметров режима: из (3-37) определяется матрица Uj и
из (3-36) определяются .матрицы h и 1ц.
По параметрам режима у пограничных узлов частей/
и // схемы в случае надобности можно определить и все
параметры режима в исходных (имевшихся до
преобразования) схемах этих частей. Порядок такого
определения изложен в § 2-6.
Сеть трех напряжений. Здесь целесообразно все узлы
каждой из частей схемы разделить на входные
(индекс ') и выходные (индекс "). Затем следует
объединить все входные и все выходные узлы, соблюдая
последовательность нумерации частей схемы
(предполагается, что нумерация частей схемы произведена в
очередности снижения номинального напряжения).
Так, например, принимая очередность нумерации в
порядке I—II—III, следует предусмотреть, что часть I сети
может иметь только входные зажимы, а часть III —
только выходные, тогда как часть II сети может иметь и те
и другие: входные — на связях с частью III и выходные—
на связях с частью I.
В результате матрицы напряжений и токов у входных
полюсов трансформаций получаются:
11—11
и i'=
'i—III
UII—III
'n—III
178

и матрицы напряжении и токов у выходных полюсов
соответственно
U"
Здесь первый индекс относится к части сети, к
которой данный узел относится, а второй — к той части, с
которой имеется трансформаторная связь.
Уравнения связи при этом получаются в следующем
виде:
"ii-i
in—i
и i" ==
'ill—i
иш—ii
'ill—ii
Ui-ii
ki-n
Uii-i
=
in
Ци-i
Ц1—iii
kn—in
иш-н
ki—ii
• ii-n
«11—1
—in
kn—in
'i—in
—
'ш—1
'11—in
'ill—ii
Поэтому можно считать, что матрицу коэффициентов
трансформации следует записать в диагональном виде
к =
ч—ii
ч—ш
41—iii
После этого уравнения связи получаются в том же
виде, что и ранее — для схемы двух напряжений:
U' = kU"
и
- ki'=i".
Уравнения состояния для схемы в целом можно
записать, объединив матрицы для отдельных частей схемы,
!2* 179

рассматривая их как блоки:
Yj
Ц
h
M
Uii
:Jn
—
Ml
Win;.
Jin
'hi
В .соответствии с принятым разделением узлов на
входные и выходные, это уравнение снова приходится
разделить на блоки, но по другому принципу.
Y'
yirr
0'
j'
i'
Y"
0"
j"
где
Y'
Y'
II
Y'" ■
0
Y'"t
и Y"=
ii
Здесь матрица Yn для второй части схемы
предполагается разделенной на блоки в связи с тем, что эта часть
схемы имеет одновременно и входные и выходные
полюсы трансформаций:
' ш "и
Индексом "' отмечены матрицы проводимостей,
связывающие параметры режима для обеих групп узлов.
Отсюда получаются два матричных уравнения
Y' U' + Y"'U" = J' — V
и
v'"tu'+Y"ii"=J" — i".
После подстановок и аналогичных преобразований
получается одно уравнение с одной матрицей
неизвестных U"
YSU"=JS
где
Yx = k (Y' к + V"') + Y"'tk + Y"
J, = kJ' + J"-
Поскольку полученное уравнение совпадает с (3-38),
то дальнейшее решение остается тем же. Нетрудно
видеть, что решение можно распространить и на более об-
180

щий случай. Однако при большем числе ступеней
напряжений перед делением на блоки для входных и
выходных узлов приходится производить перестановку строк
объединенных матриц. Например, для случая четырех
ступеней напряжений блоки матриц должны строиться
по следующему порядку:
и т. д.
вместо получаемого при объединении в следующем виде:
IJi
Л
Un-i
^11—III
и U" =
UII-IV
°III_II
UIII—IV
Uiv
u=
u,
Jiu
и
IV
, где Un =
и
и—i
и—ш
и—IV
и т. д.
Пример 3-8. Расчет рабочего режима выполняется для
соответственно видоизмененной схемы, приведенной на рис. 3-9,а. После
приведения к одному базисному напряжению получается схема,
рассмотренная ранее (рис. 3-7). Участки этой схемы показаны на
рис. 3-9,5 (участок /) и '3-9,в !(участок 2).
Рис. 3-9.
13—159
181

Для первого
участка *
и для второго
1
20
1
20
О
О
1
16
1
" 16
20
_1_
3
О
J_
3
Jus—
Все узлы второго участка схемы непосредственно связаны
с трансформациями, поэтому его схема в преобразовании не нуж-
дается. В схеме первого участка необходимо исключить узел 3. По
формулам i(2-52) и (2-51) получается:
Yi9=
_1_
20
0 0 тзг
0
—
1
20
0
^ 19
—
1
8
•
1
20
1
1
16
16
1
152
6
— 4
-2
=
-4
-2
9
— 5
-5
7
1 1
'19-
1
20
1
8
1
16
80 1_
19'1— 19
* Размерности величин ниже не записываются.
J_
8
J_
16
19
80
182

Для всей схемы в целом по '(3-38) определяются матрицы
параметров
2
2
1
2
152
4
3
— 1
1_
3
6 —4 —2
— 4 9 —5
— 2 —5 7
1
1
:114
I 170
—126
—44 ••
-126 —44
141 —15
- 15 59
-ПГ+
h
з
1
19
Выделяя базисный узел О, по 1(3-39) можно получить: матрицу
напряжений
59
15
39
100
—126
102,45
15
141
I19
67
114
— 44
Г
107,44
Отсюда получаются матрицы напряжений по обе стороны
трансформаций
100,СО
2
100,00
200,00
102,45
п Uj =
2
102,45
=
107,44
2
107,44
214,88^
Напряжение в ранее исключенном узле 3 определяется по
формуле, приведенной в § 2-6:
200,00
80 80
О. =-ig 1 +
19
J 1 1_
20 8 16
204,91
214,88
= 210,74.
Далее, по (3-36) определяются токи через трансформации для
первого участка
Iit_j'_ YjUr= j9
'152
6 —4 —2
—4 9 —5
—2—5 2
X
200,00
0,536
X
204,91
=
0,725
214,88
—0,261
13*
183

В данном случае эти же токи получаются й в соответствующих
ветвях
0,536
0,725
—0,261
Для второго участка матрица токов в трансформациях
'i — 'it ~~ ^i:
2
0,536
—1,072
'пт
2
0,725
=
—1,450
2
—0,261
0,522
и матрица токов в ветвях
—1,072
0
—1,072
'п — 'ит~ —
—1,450
-
1
=
—2,450
0,522
3
—2,478
Задающий ток базисного узла
J6 = nIIIX— nJn = H 1 1 1
—1,072
0
—1,450
1
—0,522
3
• 6.
Результаты расчета соответствуют полученным ранее по
приведенной к одному напряжению схеме (рис. 3-6). Токи во всех ветвях
схемы можно было определить непосредственно из (2-32), без
предварительного определения токов в ветвях трансформации по !(3-36).
При этом матрица М должна составляться для каждого участка
в отдельности.
3-6. НЕСИММЕТРИЧНЫЕ РЕЖИМЫ
Расчеты полнофазных режимов. Полнофазный режим
трехфазной щепи характерен тем, что, вместо
рассмотрения одной фазы (что вполне достаточно в случае полной
симметрии режима) приходится рассматривать
одновременно все три фазы. При этом каждая ветвь трехфазной
цепи должна рассматриваться как трехфазная.
Это значит, что вместо одного тока в ветви в ней
следует рассматривать всю систему токов, определяемую
матрицей—в системе фазных координат 1г- и в системе
симметричных координат 1г8. Аналогично, вместо одного
напряжения в узле 0$ режим характеризуется одновременно
тремя значениями, входящими в матрицу U, или \Jis
соответственно.
184

Такое положение справедливо для любого параметра
режима и любого активного элемента схемы (э. д. е.,
задающих токов). Пассивные параметры любого элемента
схемы определяются квадратными матрицами третьего
порядка. Это относится к продольным сопротивлениям,
поперечным проводимостям, коэффициентам
трансформации и т. д. или ZjS; Yj или Y,s; kj или kjS).
Поэтому можно воспользоваться известными из
предыдущего уравнениями состояния цепи, записанными
в любой форме. В частности, можно в системе фазных
координат записать исходные уравнения Кирхгофа:
MI = J и NZBI = NE,
но каждую из матриц предполагать состоящей не из
комплексных величин (как это имело место в случае
однофазной цепи или схемы, составленной на одну
фазу), а из блоков
i = [|I,||; i = ||Jj||; Ё = ||Ёг|| и т. д.
Особо следует остановиться на представлении матриц
М и N. Они могут иметь прежний вид, если блоки
остальных матриц входят в символическом виде, т. е. не
развернутыми. Этого достаточно для выполнения общих
рассуждений.
При выполнении вычислений все матрицы должны
участвовать в развернутом виде. Тогда следует изменить
и запись матриц М и N. В них вместо единиц должны
вводиться единичные матрицы третьего порядка, а
вместо нулей — соответствующие нулевые матрицы
(третьего же порядка).
Отсюда можно сделать следующие выводы.
Во-первых, все приведенные выше методы расчета в принципе
могут быть приемлемыми и для анализа полнофазных
несимметричных режимов. Во-вторых, все
вычислительные операции резко усложняются (по сравнению с
таковыми при расчетах симметричных режимов на одну
фазу). Причиной этого усложнения является утроение
порядка всех матриц.
Практически усложнение положения возникает уже
в связи с тем, что затрудняется представление нагрузок.
Симметричную нагрузку в несимметричном режиме
проще представлять в системе симметричных координат.
Как следует из предыдущего, в системе прямой последо-
185

вательности такая нагрузка в диапазоне допустимых
отклонений напряжения задается величиной полной
мощности. Однако в системах обратной и пулевой
последовательностей ее, как правило, можно определить только
соответствующими эквивалентными сопротивлениями или
проводимостями.
Таким образом, нагрузку (симметричную)
приходится представлять одновременно двумя матрицами
параметров— активных и пассивных — задающими токами
и поперечными проводимостями
о
YHS = "
В системе фазных координат, следовательно,
симметричная нагрузка (имеющая пофазно одинаковые
параметры, но могущая находиться в несимметричном
режиме) должна представляться следующими параметрами:
матрицей задающих токов
и матрицей поперечных проводимостей
Ус» Y" Y
где
'СР
У Уср У"
Y" .Y' Гер
^ср = ~о~ (Уг ~\~ ^о)
Г = -L (яК, + Г0);. Y"=-1- (а'Уа + У0).
Это в какой-то мере усложняет выполнение расчетов
в системе фазных координат. Как было выяснено выше
(§ 3-2), усложняется при этом и представление
коэффициентов трансформации. Наконец, в системе
фазных,координат требуется большая точность расчетов, так как
несимметрия обычно получается сравнительно
небольшой.:

В системе симметричных координат непосредственно
из расчета получаются данные, по которым сразу
можно судить о допустимости рассматриваемого режима. Это
относится, в частности, к напряжению обратной
последовательности на зажимах электроприемников
(электродвигателей) и току пулевой последовательности в
линиях.
Несимметричную нагрузку принято (это может быть
достаточно убедительным только при включении в
состав нагрузки крупных однофазных электроприемников)
задавать значениями полной мощности по фазам
Is.
Независимо от того, принимаются ли эти значения
неизменными (в пределах данного режима) или
изменяющимися по некоторым статическим характеристикам,
при этом цепь получается нелинейной
Л-=0"1 3,,
где иг- — матрица искомых фазных значений напряжений.
Такая задача может быть решена или в линейном
приближении—при неизменных задающих токах
или как линеаризованная. При этом возможно как
итеративное уточнение, так и на основе линеаризации
нагрузок —
•>'=Л+у0ид.
Решение узлового уравнения ^_для линеаризованной
схемы имеет тот же вид, что и ранее (§ 3-3). Кроме
усложнения технического выполнения решения, здесь
приходится предполагать и несколько худшую сходимость
итеративного процесса (при выходе искомых параметров
режима за зону линеаризации). Причиной этого
ухудшения сходимости является возможность появления
больших отклонений напряжения в отдельных местах схемы
или в отдельных фазах этих мест.
Кроме того, возможны случаи, когда получающиеся
отклонения напряжения выходят за пределы допустимых
при располагаемых диапазонах регулирования. При этом
187

могут существенно изменяться и свойства нагрузок (их
статические характеристики). Для учета этих
обстоятельств требуются более полные сведения о нагрузках:
их составе, статических характеристиках в разных
диапазонах напряжений и т. д.
Значительно более простым получается решение в том
случае, если ограничиться только первым членом
разложения и принять нагрузки в виде матриц задающих
токов
j = j„=0^3
или даже еще проще — при определении задающих токов
по номинальному значению напряжения:
При .этом несимметричные нагрузки оказываются
представленными в схеме замещения даже проще, чем
симметричные. Наличие несимметричных нагрузок
приводит к появлению заметной несимметрии. В этих
условиях приближенно можно не считаться с влиянием
различия параметров фаз линий, так как несимметрия
режима в большей мере определяется несимметричными
нагрузками.
Преимуществом такого расчета полнофазного
несимметричного режима является то, что схемы всех трех
последовательностей оказываются взаимно независимыми.
Практически к исследованию режима прямой
последовательности (который рассматривается независимо)
добавляется только расчет режимов обратной и нулевой
последовательностей, которые могут выполняться с
меньшей точностью. Следует отметить, что практически не
всегда приходится рассматривать и режим нулевой
последовательности (если нужно выяснить только условия
работы электроприемников).
Такой прием расчета можно считать приемлемым не
только для получения представления о допустимости
рассматриваемого несимметричного режима с точки
зрения условий работы электроприемников, но и для
решения более сложных задач — выяснения вопросов о
необходимости дополнительного применения
симметрирующих устройств, для выбора их параметров, для оценки
экономичности несимметричных режимов и т. д.
Неполнофазные режимы. Здесь имеются в виду
несимметричные режимы, вызванные разрывами фаз
188

в отдельных ветвях трехфазной цепи. Сложность
расчета здесь возникает в связи с тем, что в местах разрывов
фаз сопротивления становятся бесконечно большими.
Иногда поэтому в расчетах эти сопротивления
принимаются конечными, но значительно (например, на два
порядка) больше других.
В любом из этих случаев схема получается
трехфазной, с резко различными параметрами фаз. При наличии
взаимных индуктивностей между фазами линий такой
расчет в любой системе координат оказывается
достаточно громоздким, особенно в случаях достаточно
сложных схем.
Можно, однако, видоизменить постановку задачи и
привести при этом схему к полнофазному виду и тем
существенно облегчить ее представление. Поскольку
разрывы фаз приводят к достаточно большой несимметрии
режима, то возможно и некоторое упрощение решения
по существу. Так, например, можно отказаться от учета
различия параметров фаз для нетранспонированных
линий (как это уже было рекомендовано в случае наличия
несимметричных нагрузок).
Для приведения схемы к полнофазной достаточно
предположить в местах разрывов фаз включенными
э. д. с. такой величины, при которой токи в этих местах
(в соответствующих фазах) получаются равными нулю.
Таким образом, значения этих э. д. с. заранее остаются
неизвестными.
Если общее уравнение состояния цепи, записанное
для матрицы токов в ветвях
i = YE+CJ,
записать в развернутом виде (с раздельным отражением всех
фаз), то матрицы I и Ё можно путем перестановки строк
преобразовать так, что величины, относящиеся к местам
разрывов фаз, окажутся первыми.
При этом (после разделения на блоки по признаку
отношения к местам разрывов) получается:
0
Y33 Y3
Ёо
+
с.
j
и
Y« Y
Ё
С
или
0=YME.+ Y,E + CeJ
и
i,= Y,tEe+YE+CJ.
189

Из первого уравнения можно определить неизвестные
э. д. с, заменяющие разрывы:
E.=-Y3-1(Y,E + c0J).
После подстановки найденного выражения во второе
уравнение получается ответ
i,=c3J+YsE,
где матрица эквивалентных коэффициентов распределения
токов
СЭ 5= С YjtYgg С(,
и матрица эквивалентных проводимостей ветвей
Y8=Y YstY33 Y»*
Следует отметить, что практически схемы не имеют
других э. д. с, кроме заданного напряжения в базисном
узле. Это напряжение отражается э. д. с. только в схеме
прямой последовательности. В схемах других
последовательностей никаких э. д. с. (кроме неизвестных,
заменяющих места разрывов) нет. Поэтому расчетные
формулы соответственно упрощаются. Упрощается и
техническое выполнение расчетов, так как требуе-рся только
матрица проводимостей для э. д. ,с, отражающей
заданное напряжение в базисном узле схемы.
При выполнении решения предполагалось, что цепь
линейная. Как следует из предыдущего, это
предположение можно принять как приближенное. В случае
необходимости может быть выполнено и уточнение
решения. Для этого должен быть применен один из известных
способов учета нелинейности схемы, например ее
линеаризация. Однако в данном случае указания о возможных
изменениях свойств нагрузок вступают в силу с еще
большими основаниями.
Изложенный метод расчета является целесообразным
только в тех случаях, когда разрывы рассматриваются
одновременно в нескольких ветвях сети. При этом может
оказаться целесообразным одновременный учет и
нелинейных нагрузок (если таковые имеются), так как их,
влияние может оказаться заметным,,
т

Как правило, сам расчет может выполняться по
линейной схеме, так как основной задачей расчета
является выяснение возникающей .несимметрии, т. е.
параметров режимов обратной (а иногда и нулевой)
последовательности. Эти параметры достаточно определить лишь
приближенно. Уточненный расчет может потребоваться
только для определения режима прямой
последовательности. Правила его выполнения в основном остаются
прежними, хотя в отдельных случаях могут
потребоваться и дополнительные уточнения.
В тех случаях, когда разрывы рассматриваются
только в пределах одной ветви (одной ее фазы и двух ее
фаз), как правило, пользуются так называемыми
комплексными схемами замещения. При этом схема прямой
последовательности (расчет оказывается более простым
опять же в системе симметричных координат)
дополняется некоторым эквивалентным сопротивлением,
зависящим от вида повреждения. Поскольку правила такого
расчета описаны в целом ряде источников и в этом
расчете применение матриц не вызывается необходимостью,
то в данной книге они не изложены.
Анализ влияния различия параметров фаз. Такие
расчеты обычно выполнялись для сетей с номинальными
напряжениями не ниже ПО кв. Однако нетранспониро-
ванные линии сооружаются и в сетях других
номинальных напряжений. Расчеты показывают, что это может
быть причиной возникновения заметной несимметрии
напряжений даже при симметричных нагрузках. Поэтому
соответствующие исследования требуются практически
для сетей всех номинальных напряжений.
Расчет рабочего режима полнофазной сети, ветви
которой обладают неодинаковыми параметрами фаз,
может быть выполнен ранее описанным методом. Однако
в этих случаях, когда другие причины возникновения
несимметрии отсутствуют (или временно не
учитываются, чтобы более отчетливо обнаружить влияние различия
параметров фаз), решение может быть существенно
упрощено.
Упрощение основано.на учете факта сравнительно
малого различия параметров фаз, вызванного
несимметричным расположением проводов на опорах. Поскольку при
этом возникают сравнительно небольшие токи и
напряжения обратной и нулевой последовательностей, то
можно пренебречь их обратным влиянием на параметры лря-
т

мой последовательности. Ниже приведен путь
рассуждения, приводящий « упрощенному методу расчета.
Для любой продольной ветви цепи с несколько
различными параметрами фаз матрица падений напряжения
в системе симметричных координат получается:
или (в подробной записи)
Z)2
=
Z2I
Z22
Z20
/2
0,
Z01
■^02
Z0o
(3-40)
Поскольку заведомо известно, что преобладающими
по модулю являются токи прямой последовательности
и диагональные элементы матрицы сопротивлений
Zii>Zi3- при 1ф\,
то выражение
(3-40) можно записать иначе
' 2„
■^00
А
£1
/2
—
я2
/0
Я„
где матрица э. д. с.
или приближенно
ii
0
Z,2
Z^lo
A
£2
=
Z2i
0
Z20
•
/
2
Я0
Z01
Z02
0
/
0
я,
0
0
0
'il
я2
Z21
0
0
•
0
•
я.
z01
0
0
0
Аналогично, для любой поперечной ветви цепи (той
же) матрица токов (которые для остальной части схемы
являются переменными задающими токами с обратным
знаком) в развернутом виде получается:
192
А
У11 У12 У10
о\
/2
У 21 У22 У20
U2
А
У*\ У*г Уоо

Это выражение можно записать иначе:
Л
01
л
л
=
Y 22
02
—
л
и
К 00
Оо
К
где матрица задающих токов (неизменных) приближенно
определяется
0
0
0
Ог
/I
=
0
0
0
Yoi
0
0
0
Полученные результаты показывают, что схемы всех
трех последовательностей приближенно можно
рассматривать взаимно независимо. 'Режимы обратной и
нулевой последовательностей определяются при этом
активными элементами, параметры которых находятся по
(параметрам режима прямой последовательности.
Это является одной из причин, по которой система
симметричных составляющих может считаться более
целесообразной. Кроме того, как уже указывалось,
непосредственно по результатам расчета режимов обратной
и нулевой последовательностей можно судить о
допустимости всего несимметричного режима. Расчет же
режима прямой последовательности независимо от этого
должен анализироваться как нормальный симметричный
режим.
Порядок расчета в целом получается следующим.
Прежде всего выполняется расчет режима прямой
последовательности по схеме, в которую включаются
сопротивления Zu и проводимости Yu. В результате этого
расчета определяются все нужные значения токов в
продольных ветвях и напряжений на поперечных ветвях (Ii
и U,).
По найденным значениям параметров режима прямой
последовательности определяются приближенные
значения параметров активных элементов схем обратной и
нулевой последовательностей — э. д. с. для продольных
ветвей с пофазно различными параметрами
Е2= Z2,1,
и
Е0= Z01I,
193

и задающих токов для поперечных ветвей с пофазно
различными параметрами
и j;=-veiur
После этого выполняются расчеты режимов обратной
и нулевой последовательностей (расчет режима нулевой
последовательности выполняется только в случае
надобности). В схему обратной последовательности в качестве
активных элементов включаются э. д. с. Ё2 и задающие
токи Ja, а в качестве пассивных элементов—сопротивления
Z81 и проводимости Y21. (Для симметричных элементов эти
параметры обозначаются проще: Z2 й Y2.)
В схему нулевой последовательности в качестве
активных параметров включаются э. д. с. Ё„ и задающие токи
J0, а в качестве пассивных—сопротивления Z01 и
проводимости Y01. В обеих схемах точкой нулевого потенциала
является нейтраль. Падение напряжения от нейтрали до
любой точки схемы определяет соответствующее
напряжение в этой точке (в соответствующем месте цепи).
Как уже указывалось, точность расчета режимов
обратной и нулевой последовательностей может быть
сравнительно невысокой, так как значения напряжений
обратной и нулевой последовательностей достаточно
определять с двумя значащими цифрами (а иногда и с одной).
Для дальнейшего упрощения расчета можно
применить способы эквивалентной замены одних активных
параметров другими, например э. д. с. — эквивалентными
задающими токами. Это дает возможность пользоваться
только одной матрицей обобщенных параметров
(узловых сопротивлений). Однако следует иметь в виду, что
при этом правильными получаются только значения
напряжений узлов. При наличии других причин
возникновения несимметрии пользоваться изложенным методом
не рекомендуется, так как при этом токи и напряжения
обратной и нулевой последовательностей могут
оказываться* достаточно большими, когда принятое выше
допущение может оказаться неприемлемым.
Анализ сложных аварийных режимов. Здесь имеются
в виду расчеты режимов многократных коротких замы-
194

каний (несимметричных) — без разрывов или с
разрывами фаз. Во всех случаях цепь получается
несимметричной и нелолнофазной (если не иметь в виду
несимметричных трехфазных коротких замыканий без
разрывов фаз). Поэтому для такого анализа может быть
применен изложенный выше принцип решения, при котором
разрывы заменяются активными элементами.
В отличие от прежнего случая здесь короткие
замыкания, образующие поперечные ветви с нулевым
напряжением, заменяются неизвестными заранее
отрицательными задающими токами, приводящими к нулевым
значениям напряжений на соответствующих фазах в месте
повреждения (или между фазами, если рассматривается
случай двухфазного короткого замыкания без
соединения с землей).
Для выполнения расчета может быть выбрана любая
система координат. От этого зависит форма
представления граничных условий. Некоторые преимущества при
этом имеет система фазных координат, в которой разрыв
означают нулевое значение тока в соответствующей
фазе, а короткое замыкание — нулевое значение
напряжения {имеется в виду короткое замыкание на землю). Как
правило, в режимах короткого замыкания без разрывов
фаз нагрузки оказывают сравнительно небольшое
влияние на параметры режима. Поэтому они могут быть
представлены приближенно — поперечными ветвями
с заданными сопротивлениями (или проводимостями).
В схему нулевой последовательности часто нагрузки
вообще не включаются, так как оказываются
исключенными обмоткой трансформатора, соединенной
треугольником. Только в схемах замещения цепей с разрывами фаз
иногда нагрузки могут в схеме прямой
последовательности представляться так же, как при расчете нормального
режима, так как в этих случаях напряжения в отдельных
местах сети могут оказываться достаточно большими—
близкими к нормальным значениям. Таким образом, если
рассматривается цепь без разрывов фаз, в качестве
активных элементов схемы замещения оказываются
неизвестные задающие токи в местах с нулевыми значениями
напряжений (случай двухфазного короткого замыкания
временно не рассматривается), задающие токи
некоторых нагрузок и э. д. с. пунктов питания.
Первыми нумеруются неизвестные задающие токи,
поэтому уравнение состояния получается в следующем
195

виде:
0
Do
Ё +
Z00 Zo
Jo I
=
D
Z0t z
J
или
0 = D0E+Z00j0 + Z0j
и
U, = DE + ZotJ0 + ZJ.
Из первого уравнения определяется матрица неизвестных
задающих токов
J0 = -Z-,(b0E + Z0J). (3-41)
После подстановки полученного выражения во второе
уравнение получается ответ
0Д = (D-Z^Z-1 Ь0) E + (Z-ZotZ-' Z0)j.
После этого в случае необходимости могут быть
найдены и все остальные параметры режима. В частности,
по формуле (3-41) определяются значения токов
короткого замыкания в местах повреждений. Зная матрицу
напряжений в узлах, легко определить .матрицу токов
в ветвях
i=yBMtiv
Здесь в местах разрывов могут быть приняты нулевые
проводимости ветвей.
При наличии двухфазного короткого замыкания,
в уравнении состояния должна быть произведена
операция вычитания (почленного) соответствующих строк
(относящихся к закороченным фазам). В левой части
равенства нулю приравнивается соответствующее
междуфазное напряжение, а в правой уменьшается число искомых
неизвестных задающих токов (так как ток оказывается
одним и тем же).
В тех случаях, когда рассматриваются случаи
коротких замыканий с разрывами фаз, число неизвестных ак-
196

тивных параметров •соответственно увеличивается.
Приходится совмещать оба вида уравнений состояния
Y„t Y
Ё
+
Dot
De
D
+
Z0o Z0
Zot z
Эти уравнения можно объединить в одно
О
Н00
Н'„
F,
F'
Н".
н
F
где принято: в качестве искомых параметров режима
в качестве параметров замещающих активных элементов
ю Ео
го—
h
в качестве известных параметров активных элементов
Ё
j
и в качестве обобщенных пассивных параметров цепи
Н00 =
Н"0
Отсюда получаются два уравнения
0 = H00F0 + H'0F
и
F'==H"0F0+HF.
Из первого определяются исключаемые параметры
F0 =— Н~' H'„F.
После подстановки во второе определяются параметры
режима
-1
Yoo
C00
; H' =
Yo
c.
Doo
Zoo
D„
Dot
Z.t
и H==
D
z
Vot
C.t
Y
с
F' = (H-H"0H-' H'JF
197

После этого могут быть определены и все прочие
величины, характеризующие исследуемый режим.
Техническое выполнение расчета в данном случае оказывается
несколько затрудненным (по сравнению с предыдущими
случаями) в связи с более высоким порядком всех
матриц, входящих в расчетные формулы.
Упрощение расчета возможно обеспечить с помощью
приемов, позволяющих сократить необходимое число
матриц обобщенных параметров. Все рассуждения велись
для линейной схемы. В случае необходимости ее
нелинейность может быть учтена итеративным путем.
При выполнении массовых расчетов целесообразно
пользоваться матрицей перестановки строк. Она
получается из единичной матрицы. Если в единичной матрице
единицу строки i переместить в строку / и наоборот, то
при ее умножении слева на любую другую матрицу
происходит перестановка строк этой матрицы: строка i
перемещается на строку / и наоборот. Этим можно
воспользоваться для выбора мест повреждений или их
комбинаций автоматически — с помощью машины. Надо
только задать возможные комбинации узлов и фаз.
Исходные матрицы остаются неизменными, а матрицы
перестановки строк позволяют соответственно их
преобразовать и выполнить расчет.
3-7. ПРИМЕР ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
ПО ОПТИМИЗАЦИИ
Большинство оптимизационных задач в энергетике
характерно рядом ограничений, которые накладываются
как на оптимизируемые величины, так и на связанные
с ними параметры режима. Поэтому они решаются
методами нелинейного программирования. Привычные так
называемые классические приемы решения для них не
годятся, так как ограничения, как правило,
накладываются в виде неравенств.
Одним из методов, применяемых для решения таких
задач, является градиентный. Он подкупает своей
наглядностью, большими . возможностями использования
АЦВМ и сравнительно быстрым получением
приближенного решения с оценкой допускаемой погрешности. Ниже
такое решение и рассмотрено в общем виде.
В качестве примера постановки оптимизационной
задачи рассматривается случай определения
наивыгоднейшего распределения реактивной мощности в питающей
198

сети. Эта задача имеет сравнительно простую
постановку, так как критерием здесь может быть принято условие
минимума потерь активной мощности в сети.
При этом накладываются следующие ограничения: по
располагаемому регулировочному диапазону в каждом
узле сети, по допустимому отклонению напряжения
в каждом узле (для аппаратов, изоляции, по условиям
устойчивости), по располагаемому значению реактивной
мощности в каждом узле, по значению необходимого
резерва реактивной мощности в каждом узле. Большинство
ограничений накладывается с обеих сторон (сверху и
снизу).
Для решения задачи должны быть вычислены
производные
дР* -а ■
ЩГ
являющиеся компонентами градиента. Все эти
компоненты при пользовании матрицами могут быть вычислены
одновременно, так как образуют столбцовую матрицу
Og=llo'qill (см. приложение 5).
Задавая вначале произвольный малый шаг dh0,
можно определить первое приближение к оптимуму
Q1 = Q0 — aqdha.
Как известно, на линии градиента минимизируемую
функцию F (в данном случае PJ можно рассматривать как
параметрическую функцию одного параметра h. Каждый
следующий шаг приближения к оптимальному решению
может быть вычислен методом Ньютона
,, __ dFIdh
d^F/dl* '
Величина dFIdh является скалярным произведением
градиента на самого себя, взятого с обратным знаком.
В виде матриц это может быть записано так:
dF
_ = _o?t<r?.
Вторая производная от функции F по параметру h
определяется выражением
d*F 0 .
где 6, — квадратная матрица вторых производных от
минимизируемой функции по значениям реактивной
мощности в узлах.
199

Окончательно получается:
dk = 0,5OqtOq (OqtbqOq)"1.
Правила определения матриц о, и 6, даны в
приложении 5.
В проектной постановке аналогичная задача
несколько видоизменяется, так как генерация реактивной
мощности в узлах нагрузки связана с установкой
компенсирующих устройств. Поэтому в минимизируемую
функцию будут входить стоимость потерь активной мощности
и потерь энергии в сети, а также стоимость
компенсирующих устройств. Соответственно должны быть измене-'
ны и производные оч и 67.
Потери активной мощности в питающей сети зависят
от распределения реактивной мощности по двум
причинам. Во-первых, изменяются значения передаваемой
реактивной мощности по отдельным ветвям сети, а во-
вторых, изменяются значения напряжений, а
следовательно, и значения токов (не только реактивных, но и
активных).
Однако при движении по линии градиента на каждом
малом шаге процесса в ряде случаев можно пренебречь
влиянием искомых значений реактивной мощности на
величины напряжений. Тогда первые и вторые
производные могут вычисляться по упрощенным формулам (см.
приложение 5).
Режим напряжений на каждом шаге уточняется
следующим образом:
U1=O0 + jZ0-1(Ql-Q„).
Ограничения на параметры режима можно записать
в следующем виде:
UMbb и < ииако
и
После каждого шага производится проверка
допустимости нового режима. Если значение генерируемой
реактивной мощности для какого-либо источника доходит до
предельного, то это значение фиксируется, а
соответствующая компонента градиента приравнивается нулю. При
200

этом дальнейшего изменения данной величины не
происходит.
Если до предела доходит значение напряжения в
каком-либо узле сети, то вступает в силу условие связи
между оставшимися переменными. Таким условием
является равенство нулю изменения модуля падения
напряжения до узла с предельным напряжением
|zno-lQ| = 0,
где zn— соответствующая строчка матрицы z.
В случае сети сравнительно небольшой
протяженности в качестве такого условия может быть принято
равным нулю изменение соответствующей продольной
составляющей падения напряжения
xno-1(Q1-Qo)=0.
Это значит, что при изменении одного из значений
реактивной мощности одновременно соответствующим
образом должны изменяться и все остальные значения. Это
соответствует уменьшению числа степеней свободы.
При наличии степеней свободы расчет продолжается
до тех пор, пока модуль градиента не станет меньше
любой наперед заданной величины е:
Полученный режим при условии одноэкстремально-
сти задачи можно считать оптимальным. Если в процессе
расчета по причине наложения ограничений число
степеней свободы уменьшилось до нуля ранее, чем
наступило указанное условие, то оптимальным при заданных
условиях считается полученное решение.
14-159

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ НАХОЖДЕНИЯ
ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Классический метод определения обратной матрицы заключается
в следующем. Если задана квадратная неособенная матрица
А=Ув« II?,
то элементы обратной матрицы
А-1=4=||*(, ||«
получаются в виде отношений соответствующих алгебраических
дополнений At) (с обратными индексами) к определителю исходной
матрицы D
A At)
bt) = ~b>
где
Мц—минор элемента ац исходной матрицы, т. е. определитель'
(п—1)-то порядка,-который можно получить, если из исходной
матрицы исключить строку / и столбец i *.
Поэтому можно записать обратную матрицу в следующем виде:
A->=-g- ||(-l)* + JAfjt||.
Таким образом, нахождение обратной матрицы сводится к
многократному нахождению определителей.
Пример Пг1. Дана матрица второго порядка
А =
Я11 а12
^21 ^22
На месте элемента Ьи обратной матрицы должен быть минор,
который определяется для элемента л,, исходной матрицы. Для этого
* Предполагается, что правила нахождения определителей
читателю известны.
202

достаточно исключить в исходной матрице строку 1 и столбец 1.
При этом получается:
Ми = «22
и т. д.
Евли учесть правило определения знаков у элементов обратной
матрицы, то она получается в следующем виде:
_1_
D
й22 -
— «21
"«12
«11
где
D = Ац #22 «12 «21'
Проверить правильность полученного результата можно, если
произвести умножение полученной обратной матрицы на исходную
матрицу (слева или справа):
А-' А = АА'-' = 1.
Например, в приведенном выше примере матрицы второго
порядка получается, что
1
D
«И «22 «1!«21
«21 «22 «12 «21
" «11 «12 + «12 «11
- 0,21 «12 ~Ь «22 «11
- 1.
В связи с достаточной сложностью определения обратной
матрицы рекомендуется всегда проверять правильность полученного
результата путем умножения найденной обратной матрицы на
исходную '(слева или справа).
Определение обратной матрицы резко усложняется по мере
повышения ее порядка.
Пример П-2. Дана матрица третьего порядка
А =
«11 «и «и
«21 «22 «28
«11 «12 «И I
На месте алемента 6П обратной матрицы должен быть минор,
который определяется при исключении из исходной матрицы
строки 1 и столбца 1:
«11 «и
«н «II
На месте элемента Ь12 обратной матрицы должен быть мяиор,
который определяется при исключении строки 2 и столбца 1
исходной матрицы:
А*2.=
«12 «II
«12 «81
и т. д.
И*
203.:

Если учесть правило определения знаков у элементов обратной
матрицы, то она получается в следующем виде:
«21 «23
«И «13
1
«21 «23
«11 «12
«21 «22
где
D = Яц Я22 «33 + «12 «23 «31 "f" «13 «21 «82 «13 «22 «31
#12 «21 «S3 — «11 «23 «32-
Проверить правильность полученного результата можно таким
же путем '(рекомендуется произвести проверку читателю).
Вычисление определителей высоких порядков обычно
выполняется по Гауссу путем разложения по элементам, т. е. путем
постепенного снижения порядка его. Эта громоздкая операция требует не
только достаточно большого времени, но и связана с накоплением
ошибок. Поэтому даже использование АЦВМ не исключает
возможности применения и других способов нахождения обратной матрицы.
Снижение порядка одновременно обращаемой матрицы можно
получить, если применить разделение исходной матрицы на блоки.
Если задана матрица А ((четного порядка), то ее можно разделить
на блоки вдвое меньшего порядка ац
Й21 "I22
«22 «23
«32 «33
«21 «23
«31 «33
«21 «22
«31 «82
«12 «18
«32 «33
«11 «13
«81 «33
«11 «12
«31 «32
Обратную матрицу также можно представить разделенной на
блоки такого же порядка
А-1 =В==
Ьц Ь,2
b2i Ьга
АВ =
По определению произведение обратных матриц дает
единичную матрицу
1 О
О 1
или
3ц 3j2 Ьц bi2
304

'После выполнения операции умножения получается следующая
система матричных уравнений: '
an bn +а,2 b2i = 1;
an b2i + ai2 Ь22 = (Г>
a2i Ьц -f- а22 b2i =0;
a2lbi? -Т\а22 Ь22 = 1.
Если эту систему решать, пользуясь правилами матричной
алгебры (см. § 1-5), то получаются следующие формулы, позволяющие
определить отдельные блоки обратной матрицы В*:
Ьи = (3ц — яц&22 a2i)_1>
bi2 =ап* ai2 ь22;
b2i = — a22j **21 ^п!
Ь22 = ( a22 а21аЦ al2)_1.
To же решение можно выполнить и при другой последователь-
■ ности умножения взаимно обратных матриц
ВА = 1.
При этом получаются следующие формулы для определения
блоков матрицы:
Ьц = ( аи — а12 а2г' a2i)~
bj2 = — Ьм & 12^22 '
b2i = — b22 a2j Эц !
Ь22 = (a22 a21 alj' ai2)_I!
Некоторое различие полученных формул получаете только
внешним. Нетрудно установить, что эти формулы приводят к
тождественно равным результатам.
'Полученные формулы показывают, что метод разделения
исходной матрицы на блоки приводит к необходимости выполнения
многих дополнительных операций и многократного обращения матрицы,
хотя и вдвое меньшего порядка. Поэтому большого выигрыша в
трудоемкости операции получить таким путем не удается, однако
техническое выполнение расчета несколько облегчается. Во всяком случае
при этом можно с помощью имеющейся программы обращения
матрицы порядка п выполнить операцию обращения матрицы вдвое
* Подробное решение здесь не приводится. Предлагается
читателю выполнить все необходимые алгебраические преобразования й
получить приведенные формулы.
205

большего порядка 2п. Наиболее целесообразная область применения
данного метода расчета пока что не установлена.
Некоторые преимущества имеет итеративный метод определения
обратной матрицы. В частности, этот метод позволяет уточнить
полученный результат. Однако этот метод обладает и существенными
недостатками. В частности, им можно воспользоваться только в том
случае, когда обратная матрица может быть получена приближенно.
Если известна приближенная обратная матрица
то можно предположить, что ее уточнение достигается с памощью
матрицы Вд, содержащей добавочные значения элементов.
Следовательно, обратная матрица должна получаться в виде суммы
В= А"'= В' + Вд.
При этом произведение новой и исходной матриц должно
приводить к единичной матрице
А (В'+ В4) = 1.
Это значит, что добавочная матрица получается равной
Вд = А-1(1 —АВ').
Однако искомая обратная матрица А' остается неизвестной.
Поэтому для определения добавочной матрицы Вд в полученную формулу
вместо обратной матрицы А-' приближенно вводится матрица В'
Вд^В'(1—АВ')-
Это дает возможность найти приближенную матрацу В'д и
одновременно уточнить обратную матрицу
В" = В'+ В'д = 2В'— В'АВ'. (П-1)
Существенно, что операцию уточнения теперь можно повторять
многократно
В'" = 2В" — В"АВ" (П-2)
и т. д. до получения результата с достаточной точностью"
Следует обратить внимание на тот факт, что во многих
практически важных случаях диагональные элементы исходной матрицы
имеют существенно большие значения модулей, чем остальные ее
элементы. При этом приближенно можно считать, что все остальные
элементы исходной матрицы (кроме диагональных) равны нулю.
Тогда приближенно обратная матрица получается диагональной
с элементами, равными обратным значениям соответственных
элементов исходной матрицы. После этого можно производить
уточнение полученной таким путем приближенной обратной матрицы
описанным итеративным путем,

Пример П-3. Требуется определить матрицу узловых
сопротивлений для схемы, показанной на рис. 2-1,а. Матрица узловых
проводимостей получается непосредственно из схемы 1
1,5 —0,5 0
-0,5 0,95 —0,25
0 .—0,25 0,5833
Нетрудно заметить, что диагональные элементы этой матрицы
значительно больше остальных. Поэтому приближенно обратную
матрицу можно определить только с помощью ее диагональных вле-
ментов
0,6667 0 0
Z' =
1,0526 0
0 1,7144
Произведение этой матрицы и исходной значительно отличается
от единичной матрицы
1,0000 —0,3333 0
Z'Y, = J —0,5263 1,0000 —0,2632
0 —0,4286 1,0000
Это значит, что требуется уточнение обратной матрицы.
Первое приближение выполняется по формуле |(>П-1) и приводит
к следующим результатам |(после первой итерации):
Z" = 22' — Z'Y,Z'
0,6667 0,3508 0
0,3509 1,0526 0,4512
; 0 0,4511Jl.7144
Умножение полученной матрицы на исходную приводит уже
к несколько лучшему результату
0,8246 —0,0001 —0,0877
Z"Y, = 0,0000 0,7117 0,0000
),2255 —0,0001 0,8872
Полученная матрица ближе к единичной, чем ранее найденная.
Выполненное по формуле (П-2) второе приближение !(после
второй итерации) приводит к дальнейшему уточнению результата
Z'" = 2Z'
•Z"YyZ" =
0,7837 0,4520 1,1504
0,4521 1,3561 0,5813
0,1504 0,5812 1,9078
1 Пример выполнен в вещественных числах в целях упрощения
нраверки производимых действий.
207

При умножении этой Матрицы на исходную получается уже ма-
трица, достаточно близкая к единичной:
Z"'Yy =
0,9495 —0,0000 —0,0253
0,0000 0,9169 0,0000
-0,0650 0,0000 0,9675
После третьего приближения 1(после третьей итерации) получает-1
ся обратная матрица, элементы которой имеют уже по три
правильных значащих цифры после запятой:
:2Z'" — Z"'YyZ'" =
0,8271 0,4895 0,2068
0,4897 1,4688 0,6296
0,2062 0,6296 1,9796
Поэтому дальнейшее уточнение можно считать практически
излишним.
Следует, однако, иметь в виду, что сходимость итеративного
процесса зависит от правильности приближенной обратной матрицы.
Если диагональные элементы исходной матрицы соизмеримы
с остальными, то такой путь расчета может не привести к
сходимости процесса итерации.
;' ПРИЛОЖЕНИЕ 2
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НА АЦВМ
МАТРИЦ М, N И С0
Как уже было указано, составление матриц М, N и С0 для
сложной схемы является очень громоздким и связано с большой
возможностью ошибок. Поэтому целесообразно выполнение этой
операции возложить.: на АЦВМ. Программы составления этих матриц с
помощью АЦВМ основаны на выполнении некоторых сравнительно
несложных логических операций, которые нетрудно наметить,
пользуясь приведенными выше положениями '(§ 1-4).
Определение матрицы М. В качестве исходного материала
достаточно иметь перечень ветвей, которые могут быть заданы их
начальными и конечными '(условно) вершинами. Можно предположить,
например, следующий логический порядок (блок-схему) составления
матрицы Ма для .дерева сложной схемы. При этом, правда, не
гарантируется получение наилучшего по каким-либо соображениям
дерева схемы.
Предположим, что ветви заданы в виде таблицы с указанием
их начальных и конечных вершин. На первом этапе перебираются
все конечные вершины ветвей и выделяются те ветви, начальной
вершиной каждой из которых является базисный узел (узел
баланса). Каждой из этих ветвей приписывается номер ее конечной
вершины. На соответствующем месте диагонали матрицы Ма (на
пересечении строки и столбца того же номера) фиксируется
положительная единица.
Затем перебираются все начальные вершины ветвей и
выделяются ветви, конечной вершиной каждой из которых является базисный
узел. Каждой из этих ветвей приписывается номер ее начальной вер-
208

шины. На соответствующем месте диагонали матрицы фиксируется
отрицательная единица. На этом заканчивается первый этап
составления матрицы Ма и определения дерева схемы.
На следующем этапе составления матрицы Ма и определения
дерева схемы аналогичная операция выполняется для каждого из
зафиксированных на первом этапе узлов ii ((связанных с базисным
узлом какой-либо ветвью) в отдельности. Каждый раз перебираются
все конечные вершины ветвей и выделяются те ветви, конечной
вершиной каждой из которых является узел и. Если номер начальной
вершины очередной ветви не совпадает с ранее зафиксированными
(включая и базисный узел), то данной ветви приписывается номер
конечной вершины. На соответствующем месте диагонали матрицы
ЭДЯ фиксируется положительная единица, а в строке h того же
столбца фиксируется отрицательная единица. Если номер начальной
вершины данной ветви уже был ранее зафиксирован, то она не
может входить в состав дерева, так как образует замкнутый контур,
и должна быть пропущена.
Затем перебираются все начальные вершины ветвей (сразу
после того, как перебраны конечные вершины для данного узла и) и
выделяются те ветви, конечной вершиной каждой из которых
является узел ii. Если номер начальной вершины очередной ветви не
совпадает с уже ранее зафиксированным ((включая и базисный узел),
то этой ветви приписывается номер начальной вершины. На
соответствующем месте главной диагонали матрицы М „ помещается
отрицательная единица, а в строке h того же столбца помещается
положительная единица. Если номер начальной вершины данной ветви
является ранее зафиксированным, то эта ветвь не может входить
в состав дерева схемы, так как образует замкнутый контур, и
должна быть пропущена.
'После того как закончена операция выделения ветвей на
втором этапе для всех узлов, обнаруженных на первом этапе,
выполняется следующий, третий этап и т. д. Составление матрицы Ма
закончено, если на каком-то этапе не обнаруживается ни одной
ветви, для которой вторая вершина не совпадает с ранее
зафиксированными узлами. Оставшиеся ветви не могут входить в состав дерева
схемы.
Таблица П-1
Начальная
верКонечная
верНачальная
верКонечная
вершина ветви
шина ветви
шина ветви
шина ветви
II м
0
1
3
4
1
4
0
2
1
5
4
2
СО
6
СО
II 6
ю
Пример П-4. В табл. П-1 указаны начальные и конечные
вершины всех ветвей некоторой схемы. Базисный узел имеет номер О.
Узел 0 встречается во втором столбце табл. П-1 только один
раз. Начальной вершиной соответствующей ветви является узел 5.
209

Поэтому на главной диагонали на пересечении строки 5 и столбца 5
матрицы Ма помещается положительная единица.
В первом столбце табл. П-1 узел 0 встречается также только
один раз. Конечной вершиной соответствующей ветви является узел 1.
Поэтому на главной диагонали матрицы М„ на- пересечении строки 1
и столбца 1 помещается отрицательная единица. Таким образом, на
первом этапе составления матрицы Ма зафиксированными оказались
узлы 5 и 1. Для этих узлов и должен выполняться второй этап.
Во втором столбце табл. П-1 узел 5 встречается один раз.
Начальной вершиной соответствующей ветви является узел 6. Этот
узел еще не был ранее зафиксирован. Поэтому на главной диагонали
матрицы Мк на пересечении строки 6 и столбца 6 помещается
положительная единица, а в строке 5 того же столбца —
отрицательная единица.
В первом столбце табл. П-1 узел 5 встречается 2 раза—с
конечными вершинами 4 и 0. Однако новым является только узел 4;
номер 0 соответствует базисному узлу '(эта ветвь уже была ранее
выделена). Ветви б—4 приписывается номер 4. Поэтому в столбце 4
матрицы М„ на главной диагонали 1(т. е. в строке 4) помешается
отрицательная единица, а в строке 5 — положительная единица.
С узлом 1 связана только одна ветвь, которую можно ввести
в состав дерева. Начальной вершиной этой ветви является узел 2.
Эта ветвь получает номер 2. В столбце 2 матрицы Ма в строке 2
помещается положительная единица, а в строке 1 — отрицательная
единица. Таким образом, на втором этапе зафиксированы три узла—
5, 6 и 2. Из них первые два (5 и 6) связаны с узлом 4, а
последний 2 — с узлом 1.
На следующем, третьем этапе обнаруживается, что к узлам 6
и 2 не могут быть присоединены ветви, которые входили бы в
состав дерева. Только к узлу 4 может быть присоединена одна ветвь
с начальной вершиной в узле 3. Эта ветвь получает номер 3.
Поэтому в столбце 3 матрицы М„ в строке 3 помещается положительная
единица, а в строке 4 — отрицательная единица. Так как
последующий этап оказывается невозможным, то составление матрицы М„
для дерева схемы оказывается законченным. Матрица Ма
получается в следующем виде:
<_1 _1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 —1 —1 0 0 *
'0 0 0 1 1 —1
0 0 0 0 0 1
При этом, как следует из порядка выполнения операции,
развернутую схему цепи можно не иметь. В данном случае эта схема
показана на рис. П-1 только для иллюстрации. Линиями на этой схеме
показаны ветви, которые вошли в состав дерева в процессе
составления матрицы М0, Если бы ветви схемы были записаны в другой
последовательности, то было бы получено и другое дерево.
210

-1
—1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
—1
0
0
0
0
—1
—1
0
0
—1
—1
0
0
—1
0
0
0
io
0
1
1
—1
0
ш.
0
Q
0
0
0
0
0
0
0
1
Произвольно перенумеровав остальные ветви, легко Получать
Матрицу Мр, а следовательно, и матрицу М.
Пример П-5. Поочередно добавляя ветви, не вошедшие в дерево
схемы, показанной на рис. П-1, из матрицы-Ма молшо получить мат-
вицу М для всей схемы. В табл. П-1 остались не включенными в
дерево ветви 1—4, 2—3 и 6—3; им даются соответственно очередные
.номера: 7, 8 и 9. Тогда матрица М получается в следующем виде:
М =
В столбце 7 положительная единица помещается в строке 1 и
отрицательная — в строке 4. В столбце 8 положительная единица
помещается в строке 2 и отрицательная — в строке 3 и т. д.
Таким образом, матрицы М можно также составить, не имея
полной схемы замещения цепи. Достаточно иметь только сведения
о. ветвях, например, в виде табл. П-1. Все необходимые операции по
составлению матрицы М выполняются аналитически, а поэтому
могут быть возложены на машину.
Определение матрицы С0. В процессе составления^матрицы Ма
получаются данные, достаточные для логического получения матрицы
с» = м-1
для дерева схемы (в предположении, что остальная часть схемы
отсутствует). Достаточно, например, поочередно, по этапам, фикси-
каждым предыдущим
5
ровать все последующие узлы, связанные
узлом. По предлагаемой методике
номера этих узлов приписываются
соответствующим ветвям.
Одновременно с помощью знака при каждом
номере надо отмечать, совпадают или
Противоположны направление данной
ветви я -направление пути графа от
базисного узла к данному.
Пусть каждый этап составления
матрицы Mtt фиксируется в виде
столбца таблицы, причем в строках
этого столбца отмечаются очередные
номера узлов и ветвей с
соответствующими знаками. Тогда в такой
таблице оказывается зафиксированным
путь от базисного узла к каждому узлу схемы, а этого достаточно для
составления матрицы Со. Как уже было указано ранее, столбцы
матрицы Со содержат пути графа, но только в
противоположных направлениях — от каждого данного узла к базисному узлу.
Поэтому по составленной указанным путем таблице можно
заполнить все столбцы матрицы Со, соответствующие конечным узлам.
211

При этом следует помещать единицы в строках с теми же номера'
ми, которые встречаются при перемещении вдоль строк таблицы
справа налево, но знаки при единицах принимать
противоположными. Это справедливо при перемещении вдоль строки таблицы с
любого места. Поэтому целесообразно начинать с последнего этапа,
перебирая поочередно все строки и постепенно переходя к
предыдущим этапам.
Пример П-6. В процессе составления матрицы Mtt для схемы,
изображенной на рис. (П-1, по этапам рассмотрения получились
результаты, которые можно Представить, например, в виде табл. П-2.
Здесь на каждом этапе отмечены новые узлы с ветвями,
включенными в состав дерева схемы. Знаками плюс и минус при этом
отмечено, совпадают или противоположны направления соответствующих
ветвей и направления путей графа от базисного узла. Эти данные
получены в предыдущем примере ((см. табл. П-1).
Таблица П-2
I этап
II этап
III этап
—5
4
—3
—6
—
1
—2
—
Из табл. П-2 видно, что на этапе III зафиксирован конец
только одного пути — до узла 8. Этот путь от базисного узла указан
в строке 1: —5; 4; —3. Поэтому в столбце 3 матрицы С0
записываются: в строке 3 положительная единица, в строке 4
отрицательная единица и в строке '5 положительная единица.
На этапе II зафиксированы концы трех путей — до узлов 4, 6
и 2. Это дает возможность заполнить столбцы 4, 6 и 2 матрицы Со.
В столбце 4 в строке 4 помещается отрицательная единица и в
строке 5—положительная единица. Аналогично заполняются и
остальные столбцы матрицы С0. Окончательно матрица Со получается
в следующем виде:
—1
—1
0
ООО
0
1
0
ООО
0
0
1
ООО
0
0
—1
—10 0
0
0
1
1 1 1
0
0
0
0 0 1
'Все ее свободные места заполняются нулями.
Непосредственная проверка показывает, что условие С0Ма=1
выполняется.
212

Определение матрицы N. Нетрудно видеть, что первая часть
матрицы N, Т. е. матрица Na, номера столбцов которой совпадают
с номерами ветвей дерева, получается непосредственно с помощью
матрицы С0. Действительно, если некоторая хорда I включена
между узлами i и /, соответствующий независимый контур получается
состоящим из пути дерева от базисного узла до узла i, ветви / и
обратного пути дерева от узла / до базисного. Следовательно, для
получения соответствующей строки первой части матрицы N надо
взять столбец i матрицы С0, вычесть из него столбец /, затем
транспонировать, т. е. записать в виде строки.
Пример П-7. Матрица N для схемы, изображенной на рис. П-1,
должна содержать три строки, так как в ней оказались три хорды:
1—4, 2—3 и 6—3 за номерами 7, 8 и 9. Соответствующим
независимым контурам даны очередные номера 1, 2 и 3.
Строка 1 первой части матрицы N получается путем вычитания
из столбца 1 матрицы С0 столбца 4. Строка 2 получается путем
вычитания из столбца 2 столбца 3 и строка 3 — путем вычитания из
столбца 6 столбца 3. Вторая часть матрицы N получается в виде
единичной матрицы. Окончательная матрица N получается в
следующем виде:
N =
—Г— 1 110 0 10 0
0 ' 1 —1 0 0 0 0 1 0
0j 0 —1 0 0 1 0 0 1
Таким образом, табл. П-2 оказывается достаточной для
составления матриц М, N и С0, которые вместе с матрицами параметров
являются исходными для дальнейшего расчета.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДУАЛЬНОСТИ СХЕМ
На основании уравнения состояния 1(2-88) для схемы,
содержащей взаимные сопротивления, но не содержащей задающих токов^
обобщенное контурное уравнение можно составить в следующем,
виде:
zki'k = ek. (ГГ-3>
Аналогично на основании уравнения состояния (2-18) для:
схемы, не содержащей )(в принципе) взаимных сопротивлений и э. д. с.
в ветвях, обобщенное узловое уравнение можно записать в
следующем виде:
Y,U4 = J. (П-4)
Полученные уравнения 1(П-3) и ((П-4) оказываются подобными:
каждой матрице, входящей в одно уравнение, соответетвует"'такая
же по структуре матрица, входящая в другое уравнение.
Пусть первая схема |(которая считается в дальнейшем исходной)
имеет заданными матрицу z„ контурных сопротивлений и
матрицу е„ контурных э. д. с. Матрица контурных токов является
искомой. Вторую схему можно составить так, чтобы матрица Yy узло-
213

вых проводимостей для нее получилась состоящей из элементов,
численно равных элементам матрицы Z„ для первой схемы, и чтобы
матрица J задающих токов для нее получилась состоящей из
элементов, численно равных элементам матрицы Е„ для первой схемы.
Тогда на основании сравнения уравнений (П-3) и (П-4) можно
утверждать, что искомая матрица 1к контурных токов для первой схемы
должна состоять из элементов, численно равных элементам матрицы
ид для второй схемы. Поэтому, в частности, определение матрицы/,
в первой схеме можно заменить определением^матриды 11д во второй
схеме.
Такие схемы называются дуальными. Для них получается
следующее соответствие величин:
ZK «—►
ёХ*--*У,
1,«--.йд.
Здесь слева указаны матрицы величин, относящихся к первой
схеме, а справа — матрицы величин, относящихся ко второй схеме.
Приемом замены исходной схемы, содержащей взаимные
сопротивления, схемой (дуальной по отношению к первой), не
содержащей взаимных сопротивлений, можно воспользоваться для
упрощения расчета схем с взаимными сопротивлениями. Такую дуальную
схему легче моделировать (существующие универсальные
статические модели не имеют элементов, которыми можно отображать
взаимные сопротивления схем). На модели можно измерить значения
узловых напряжений, входящих в матрицу ид, а следовательно, и
определить искомые контурные токи для исходной схемы '(с
взаимными сопротивлениями). Если независимые контуры выбраны так,
как это было рекомендовано в § 1-3, то при этом сразу же
получаются значения токов в хордах исходной схемы. Токи во всех лрв-
чих ветвях (ветвях дерева схемы) определяются при этом
достаточно просто (см. формулу (2^21)]
l = NtV
. На основании приведенных выше сведений уже можно
составить -рекомендацию по выполнению расчета в целом. При этом
предполагается только, что рассматриваемая схема обладает свойством
взаимности.
Если исходная схема содержит'задающие^ токи J в у.лах, то они
должны быть предварительно заменены эквивалентными э. д. с.
В соответствии с указаниями, приведенными в § 2-5, эквивалентные
э. д. с. определяются следующим образом >(см. 1(2-48)):
Е' = —Z,
С„ J
О
214

Затем определяются обобщенные параметры исходной схемы:
активные — контурные э. д. с.
E. = N(E + E'),
где Е — матрица заданных э. д. с. в ветвях исходной схемы.
Пассивные — контурные сопротивления
Z„ = NZBN,.
Теперь можно составить дуальную схемуМатрица
заменяется численно равной матрицей Y7d узловых проводимостей для
дуальной схемы. При этом становится очевидным, что число узлов
y'd дуальной схемы должно быть на единицу больше числа
независимых контуров к для исходной схемы, так как порядок квадратной
матрицы Yy<i равен числу независимых контуров к для исходной
схемы. Матрица Е„ заменяется численно равной матрицей J<i
задающих токов для дуальной схемы.
Составление дуальной схемы начинается с фиксации ее узлов.
Независимым узлам приписываются номера контуров, зависимому
узлу (базисному) приписывается номер (к+l) или О. Матрица Yy<(
для удобства составления схемы дополняется до матрицы Ysi
(это не является обязательным). Между узлами i и / схемы
помещается ветвь, если элемент, расположенный на пересечении строки i
и столбца ; или строки /' и столбца i, отличен от нуля.
Проводимость этой ветви равна указанному элементу матрицы Ysrf, взятому
с обратным знаком.
В каждом узле дуальной схемы помещается задающий ток,
численно равный контурной э. д. с. для контура того же номера
исходной схемы. Таким образом, получается полная дуальная схема по
отношению к эквивалентной (для исходной).
Полученная схема моделируется ((аналитический расчет может
выполняться и непосредственно для исходной схемы).
Моделирование может быть выполнено полное или частичное. Достаточно, на*
пример, составить модель только для пассивной части схемы и путем
измерений определить для нее все значения узловых сопротивлений,
входящих в матрицу Z<j=Y^' для дуальной схемы. После этого
значения узловых напряжений для этой схемы определяются по
известной формуле
U4d = Z4Je.
Такой порядок расчета для дуальной схемы является более
целесообразным, так как универсальные статические модели обычно
выполняются без элементов в виде задающих токов. Достаточно,
чтобы модель имела только магазины сопротивлений и измерительное
устройство, позволяющее производить измерение сопротивлений.
Измерив все входные сопротивления схемы, можно определить И
все узловые сопротивления для нее. Некоторые затруднения может
вызвать только моделирование схемы с отрицательными активными
сопротивлениями. Однако это затруднение не является
принципиальным и поэтому здесь не рассматривается подробно.
1 Приведенный здесь порядок составления дуальной схемы
справедлив для любой исходной схемы независимо от ее планарностн.,
2г5

Найденные значения узловых напряжений для дуальной схемы
численно приравниваются значениям контурных токов для
контуров с теми же номерами, что и соответствующие узлы исходной
схемы. После этого могут быть определены токи во всех Ветвях
исходной схемы
а следовательно, и все остальные параметры искомого рабочего
режима исходной схемы.
С помощью дуальной схемы можно определить и некоторые
обобщенные параметры исходной схемы. Так, например, из ,'(П-3) и
(П-4) следует, что если для исходной схемы
IB = YkEk,
то для дуальной схемы
и, следовательно, матрица Zi узловых сопротивлений для дуальной
схемы численно равна матрице YK контурных проводимостей для
исходной схемы.
Если число э. д. с. в исходной схеме не больше числа
независимых контуров, то полученные значения контурных проводимостей
можно использовать и в качестве входных и взаимных
проводимостей ветвей с э. д. с. Более того, из обобщенного контурного
уравнения следует, что в том случае, когда число э. д. с. больше числа
контуров, все э. д. с. можно заменить контурными э. д. с. и
поместить контурные э. д. с. в хордах '(которые могут быть
соответственно выбраны). При этом как контурные токи, так и токи в ветвях
схемы оказывайся неизменными. Изменяются только узловые
напряжения. Но, зная токи I во всех ветвях исходной схемы,
действительные узловые напряжения 1?д можно определить
U4-Cet(l|2ee2ep||i + E;).
Принцип дуальности схем можно применить и в целях
распространения методических положений. В качестве примера применения
принципа дуальности схем можно предложить способ упрощения
схем путем уменьшения числа независимых контуров без
выполнения соответствующих математических выводов, «о только на
основании сравнения с уже имеющимся аналогичным решением.
В § 2-6 был рассмотрен прием упрощения схемы путем
уменьшения числа узлов. Можно считать, что он применим и к дуальной
схеме. Однако каждому независимому узлу дуальной схемы
соответствует определенный контур (того же номера) исходной схемы.
Поэтому устранению любого независимого узла в дуальной схеме
соответствует устранение определенного независимого контура
в исходной схеме ((которая, как уже было указано ранее, может
содержать и взаимные сопротивления). Поскольку уравнения
состояния (П-З) и (П-4) для этих схем состоят из численно равных
матриц, то всем изменениям матрицы Ууа узловых проводимостей и
матрицы 3d задающих токов для дуальной схемы должцы соответ-
216

ствовать такие же изменения матрицы Z„ контурных сопротивлений
и матрицы Ек контурных э. д. с. для исходной схемы.
'Очевидно, что преобразования, которые выполняются в
исходной схеме в связи с преобразованиями в дуальной, можно выполнить
и независимо от наличия дуальной схемы. Отсюда следует, что для
матриц контурных сопротивлений и контурных э. д. с. справедливы
те же формы преобразования, которые были приведены выше для
матриц узловых проводимостей и задающих токов. Достаточно
только воспользоваться уже готовыми формулами и произвести в них
соответствующую замену матриц.
Таким образом, правила упрощения схемы путем уменьшения
числа независимых контуров можно сформулировать на основании
формул (2-52). Решение получается в следующем виде. Если схема
содержит к независимых контуров, то ее можно упростить, сократив
число независимых контуров до Л<к. При этом все независимые
контуры исходной схемы разделяются на две части. Индексом а
отмечаются те контуры, которые остаются и после преобразования
схемы. Индексом Ь отмечаются те контуры, которые устраняются
в процессе преобразования. Поэтому матрица 2ьь имеет
порядок к — Л.
Матрица контурных сопротивлений 1(порядка h) для новой
(упрощенной, преобразованной) схемы получается в виде суммы
Z K = Zaa"f-Za,
где 2Э — матрица эквивалентных дополнительных сопротивлений
контуров преобразованной схемы
Z3 = -ZobZ^Zba. (П-5)
Этими сопротивлениями заменяется устраняемая пассивная
часть схемы.
Матрица контурных э. д. с. для новой схемы также получается
в виде суммы
Е'к = Ек -f-_EB,
где Е„ — матрица эквивалентных дополнительных э. д. с. для
преобразованной схемы
ee = -zabz^e0. (П-б)
Этими э. д. с. заменяются э. д. е., действующие в контурах
устраняемой части схемы.
Те же формулы, конечно, можно получить и на основе
подробного математического вывода, практическая надобность которого
в данном случае становится излишней. При таком преобразовании
получаются схемы с взаимными сопротивлениями. Поэтому для их
графического изображения (если оно желательно) целесообразно
пользоваться схемами без узлов 1(см. рис. П-2). Следует отметить,
что это остается справедливым и в тех случаях, когда исходная
схема не содержит взаимных проводимостей, так как взаимные
сопротивления возникают в процессе преобразования схемы, а
представление схемы без взаимных сопротивлений всегда возможно
только при числе независимых контуров не более трех,
15-159 217

Рис. П-2.
Полученные формулы являются обобщением известного
правила преобразования треугольника с э. д. с. в эквивалентную звезду.
Это правило может быть получено из приведенных формул при
условии, что устраняется только один контур, состоящий из трех
ветвей.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
МНОГОПОЛЮСНИКИ
Матричный метод анализа электрических цепей достаточно
убедительно показывает, что нет какой-то особой теории
многополюсников. Все формулы, характеризующие свойства многополюсников и
приводящие к правилам их преобразования, получаются из тех же
уравнений состояния, которые применимы к любой схеме замещения.
Обобщенная теория способствует применению обобщенных
параметров электрических цепей. Многополюсники же и используются для
обобщенного представления электрических цепей.
Действительно, под многополюсником обычно понимается схема,
неизвестная во всех подробностях и характеризуемая лишь
условиями на ее границах. Однако уравнения состояния, в которых
применены обобщенные параметры схем, определяют именно условия на
границах. При этом схема замещения во всех ее подробностях во
многих случаях остается неизвестной или неохарактеризованной.
Обобщенные параметры, необходимые для анализа рабочего режима
схемы замещения по условиям на ее границах, часто недостаточны
для более подробной ее характеристики.
Для получения уравнений состояния многополюсника достаточно
воспользоваться полученными ранее уравнениями. Так, например,
обобщенное (записанное в матричной форме) уравнение состояния
в виде равенства .(2-18) можно представить в следующем виде:
U4 = ZJ-r-Ee, (П-7)
где Z — матрица пассивных параметров многополюсника; Ё0—матрица
активных параметров многополюсника.
Равенство (П-7) является обобщенным уравнением активного
многополюсника, записанным в форме Z. Из предыдущего анализа
следует, что матрица Z пассивных параметров m'-полюсника
является квадратной матрицей узловых сопротивлений исходной схемы
(или некоторой эквивалентной). Ее порядок m равен числу
независимых полюсов m'-полюсника, т. е. на единицу меньше суммарного
числа полюсов /п'=га+1. Активными параметрами m'-полюсника Е0
218

Можно считать э. Д. с, присоединенные непосредственно ко всём efd
независимым полюсам.
На основании предыдущего материала можно сделать вывод и
о том, что число т' полюсов многополюсника может быть равно
числу у'—1 узлов исходной схемы, но может быть и меньше его.
В последнем случае матрица Z характеризует упрощенную схему
с соответственно уменьшенным числом узлов. Действительные
активные параметры исходной схемы остаются неизвестными; они
заменены обобщенными. Поэтому, в частности, действительные потери
мощности в исходной схеме активным многополюсником не отражаются.
Из уравнения (П-7) мо.кно получить, например, правило
определения параметров активного многополюсника. При условии J=0 имеем
11д = Е0. Отсюда можно определить параметры Е„ как напряжения
независимых полюсов относительно базисного в режиме внешнего
холостого хода схемы.
Если у какого-либо независимого полюса i многополюсника
задающий ток равен единице (такой же, но противоположного
направления задающий ток предполагается у базисного полюса
многополюсника), то столбец i матрицы Z получается как разность
матриц ид и Е0. Достаточно произвести т таких опытов с
единичными задающими токами у каждого из независимых полюсов,
чтобы определить все от столбцов матрицы Z.
Действительно, если матрицу J записать в диагональной форме
Jj, то матрица 04 получается квадратной; повторив матрицу Е0
соответственно т раз, можно записать уравнение (П-7) в следующем виде:
U4 = ZJS +Ё0п4.
Отсюда получается:
Z= (Ua-e0nt) j-1
■или при условии, что Лд = 1 (как это и было принято выше),
упрощенно
Z = Ue — E0nt.
Полученное выражение полностью подтверждает сделанные
выше выводы о порядке определения матрицы Z.
Если произвести почленное умножение равенства (П-7) на
обратную матрицу Z-1, то получится уравнение активного
многополюсника, записанное в форме У:
Z-'U4= J+Z-'E,
или
j = YyU4-j0, (П-8)
где Yy=Z""', a Je = YyE0 является матрицей активных параметров
многополюсника. Матрица Yy пассивных параметров многополюсника
является квадратной матрицей узловых проводимостей исходной
15* 219

схемы (или эквивалентной). Так же как й в предыдущем случае,
число полюсов многополюсника на единицу больше порядка этой
матрицы и может быть равно числу узлов исходной |(или
эквивалентной им схемы), но может быть и меньше его. Во всяком случае,
пользуясь матрицей Yy, можно составить эквивалентную схему,
число узлов которой равно числу полюсов многополюсника. Эта схема
имеет вид полного /п'-угольника (с диагоналями).
Непосредственно из уравнения многополюсника (П-8) следуют
правида определения его параметров. Так, при условии, что 0Д = 0,
получается J = — J0. Отсюда матрица активных параметров j0
определяется как матрица J токов в независимых узлах при полном
внешнем коротком замыкании, т. е. в режиме, когда все независимые
узлы соединены накоротко с базисным узлом схемы.
Записав матрицу 0Д в виде диагональной 0Дд, аналогично
предыдущему можно записать:
Jg = YyU^ + J„n(,
откуда
Yy=(J4_J0nt)U^
или при условии, что II Дд = 1, упрощенно
Yy = Jj — Jotif.
где Ja — квадратная матрица, столбцы которой получаются как
матрицы токов в соединениях независимых узлов с базисным при
поочередном включении единичной э. д. с. в каждое из этих
соединений.
Как известно, могут быть применены п другие формы записи
уравнений активного многополюсника. В частности, достаточно
распространенной является форма записи А, цри которой
предполагается, что все полюсы многополюсника рассматриваются попарно,
причем различаются входные и выходные пары полюсов 1(или зажимов).
Обычно параметры режима у входных зажимов многополюсника
предполагаются искомыми, а параметры режима у входных
зажимов— известными (заданными). Таким образом, в данном случае
суммарное число полюсов многополюсника четное: от'=2и. В
дальнейшем все входные зажимы отмечаются индексом а, а выходные —
индексом Ь. Получить уравнения многополюсника в форме А
можно, пользуясь уравнением 1(П-7) или (П-8). Однако при этом
требуется базисный полюс включить в состав полюсов с индексом а.
Это возможно, если в качестве нового базисного выбрать
дополнительный полюс, непосредственно связанный с прежним базисным.
При этом, например, уравнение '(П-7) можно записать, разделив
все входящие в него матрицы на блоки:
"да
Zaa
2аъ
+
Еоа
=
йдЬ
2Ъа
z№
Еоь
Важно отметить, что здесь все матрицы пассивных
параметров— Zoa, Z0b, Zba и Zbb—квадратные, порядка п, причем Zba=
=Z„bf. Особенной может быть только вся матрица Zz.
220

Полученное уравнение разделяется на два матричных
уравнения
U&a — ZoaJa + Z0bJb + E0a
UAJ = ZbaJa -f- Zbb Jb + E0b.
Из второго уравнения определяется матрица
Sa = Tj£ 0Д6 - ZjJ Ъъъ jb - Z^1 Ё0Ь (П-9)
и подставляется в первое
иДа = ZaaZ6a'ti4j -f- (Zab — ZaoZ6a'Zbb) +
+ Е0о-гааг^Ё.ь. (П-ю)
Уравнения (П-9) и (П-10) можно записать проще
U4a = AaaUA6 + Aabjb + Ё'о
где
Jo = Аьа ид6 + AbbJb + J'o.
А{,а = Zba'; Аьъ = — Z6a' Ztbi
Ааа = ZaaZja > Aaj = Zab ZaaZ^a Zji,,
3'o'= — ZboE0b И Ё'о = Ё0а — ZaoZj^Eob-
При этом получаются не только сами уравнения
многополюсника в форме А, но и равенства, позволяющие производить
определение параметров уравнений в форме А через параметры уравнений
в форме Z и наоборот. Эти равенства, кроме того, позволяют
установить свойства матриц параметров, обусловленные свойством
взаимности исходной схемы ((или схемы замещения). В данном
случае они получаются в следующем виде:
Abat Ааь + AaatAbb = 1.
(предлагается читателю проверить правильность этого условия).
Для четырехполюсника это условие известно в следующем виде-;
'AD — BC=\.
В соответствии с приведенными выше положениями параметры
режима у каждой пары входных и выходных зажимов оказываются
взаимно связанными. Это позволяет упростить представление таких
многополюсников. Поэтому все зажимы следует разделить на две
части: индексом ' (штрих) будут отмечаться зажимы, по одному
входящие в указанные пары, и индексом " (два штриха)—все
остальные. Тогда матрица задающих токов получается:
где
j" = — J'.
22r

Аналогично матрица напряжений
где
U
ид = U.
Тогда из (П-7) получается:
U
и:
Z21 Z22
или, с учетом приведенных соотношений,
+
•■ ZnJ' + Z12J" + Б'»
Ё'„
Ё"„
U'4 — U = Z2IJ' + Z22J" + Е"„.
Если выражение для матрицы U'A, которое дается первым
равенством, подставить во второе, то получится:
U
откуда
или
(Zn — Z]2) У + Е'о — U = (Z21 — Z22) J' -j- Ё"п,
U = (Zn — ZJ2 — Z2i + Zj2)J' -H E'o — E"o
U==Z3J'+E3,
где параметры
Za = Zn — Zi2 — Z2i -f- Z22
и
E^ = E'q E o*
Здесь матрица Z3 получилась порядка п. Следовательно, для
характеристики 2я-полюсника при указанных выше условиях
достаточно применить уравнения (п+1)-полюсника. Поэтому обычный
четырехполюсник можно рассматривать (по существу так он обычно
и рассматривается) как трехполюсник. Для определения его
рабочего режима достаточно двух уравнений.
Матричное уравнение многополюсника в форме А можно
записать короче:
где
Н =
Pa = HPb + F,
°» - р _
Ja
Aaa Ааь
Ё'„
Аьо Аьь
и F =
К
222

Здесь матрица Н является квадратной, порядка т.
Отсюда можно получить и уравнение, определяющее параметры
режима у выходных зажимов через параметры у его входных
зажимов:
Р„= Н'Ра + F',
где
Н' = Н-' и F'= — H-'F.
Матричная форма записи позволяет производить
преобразования многополюсников.
Если п многополюсников соединены параллельно, то падения
напряжения от базисного до независимого узлов у них должны быть
одинаковыми
иД1 = ид2 = ...ид„=1д.
При этом токи у одноименных зажимов суммируются
Jl 4" -Ь + •• • in = J-
>В этом случае целесообразно воспользоваться записью
уравнений отдельных многополюсников в форме Y. Тогда получается:
j = Y, 0Д1 + j0I + Y2UA2 + j02 + ... + Y„UM + j0n =
= Y9U4 + J9>
где
n n
Y. = E Yi, и 1. = j] i,t
i=i 1=1
— обобщенные параметры эквивалентного многополюсника.
Полученное правило преобразования справедливо и в том
случае, когда число полюсов у отдельных многополюсников различное.
Недостающие проводимости и задающие токи приравниваются нулю.
Пусть п многополюсников соединены каскадно, т. е. выходные
зажимы одного соединяются с входными зажимами следующего
и т. д. При этом рассматривается зависимость параметров режима
у входных зажимов первого от параметров режима у выходных
зажимов последнего.
Для каждого соединения должно быть
Ры = P0(t+i).
Для последнего многополюсника
Pa„=HnPim-r-Fn.
Для предпоследнего многополюсника
Po(p_,) = H^_1Pb(»-0 + Fn-ii=H«--i(H»Pbn + F»)+F»-. и т. д.
223

Для всей схемы в целом
P„ = H8Pb + F8,
где
л
Н9=]]>
в
п—1 /л—1 \
Fa = S (Д rtJjF* + ^
— эквивалентные параметры всей схемы.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ МАТРИЦ
Поскольку переменные могут входить в величины, объединенные
в матрицы по-разному, то и правила определения производных от
матриц получаются различными. Ниже рассматриваются лишь
некоторые частные случаи, встречающиеся при анализе электрических
цепей, например, в случае решения задач оптимизации.
1. Элементы матрицы содержат общую переменную в явном
виде в качестве множителя. Пример: матрица приближенных значений
задающих токов
j = ||/f || при i= \ ...у,
где
Здесь значение переменной напряжения 0 принято одинаковым
для всех узлов схемы.
В данном случае множитель О'1 можно вынести за знак матрицы
1 = 0-' у Si||.'
после чего дифференцирование по переменной *£/ производится
обычным путем
Л' = _£/-2||$||.
Это получается непосредственно: если
j = i/->S.
то отсюда сразу получается:
j'= — и-*3.
2. В каждый элемент матрицы своя переменная входит в явном
виде в качестве множителя. Пример: матрица узловых
напряжений
1)д = ZJ,
где
j = || v;% ||
224

Для которой надо образовать матрицу производных по Переменным
в предположении независимости Hi от Qc
Очевидно, что для каждого элемента матрицы-множителя
h=v;1 (Pi-iQi)
производная получается в следующем виде:
или
)' = -/U>
Поэтому производная от исходной матрицы образуется
следующим образом:
Это получается непосредственно, если исходную матрицу
записать подробнее, чтобы матрица переменных получилась в явном виде
0Д = ZU"1 (Р - jq) = ztr1 Р - ДТГ1 Q.
Как видно, в обоих рассмотренных случаях правила
дифференцирования, известные для обычных алгебраических функций,
распространяются и на выражения в виде матриц. Это легко
проверяется при более подробной записи.
Следует однако иметь в виду, что индекс производной в виде
штриха (') не показывает, по какой переменной производится
дифференцирование. Это должно быть дополнительно оговорено.
Впрочем, это относится и к алгебраическим выражениям.
3. Та же задача решается более точно — при линеаризованных
нагрузках, когда матрица задающих токов выражается несколько
более сложно
j=<»- кк) * = «С1*-
Поскольку исходным является равенство
ид = zi,
то в явном виде зависимость 0Д (Q) получить не удается. Поэтому
приходится пользоваться приемом дифференцирования функций от
функций.
Прежде всего следует отметить, что матрица производных
при I, 1 = 1 ... у
U'4 =
dQt
является квадратной, порядка у. Такой же является и производная
матрица
dQt
225

Как известнб,
U'4 = Zi'.
Матрица же j' определяется по слагаемым. Первое слагаемое дает:
так как
S=P-/Q,
где
Q= II Qi II.
Второе слагаемое приходится сначала представить в развернутом
виде
Поскольку
и
то
-ъб2 = -v?(§д0'д-уОДд).
Поэтому
у = - /V1 - о*2 (sK 0'д - /оДд)
и окончательно
'д — * t —1^6 1—^0ди д ^Дд
С'д = Z [ - У tV1 1 - Og-2 (S,U'4 - уиДд)] =
Отсюда можно определить вещественную и мнимую части
матрицы О'д, если произвести соответствующее разложение всех матриц,
входящих в полученное выражение.
4. Задача получения матрицы производных
dQj
при i; /' = 1 ... у
решается более полно — с учетом влияния Qj на ut. .
Известно, что
]==(0б.„ + 0дд)-'§. (П-И)
Здесь дифференцируемая матрица входит в состав сложной
функции. Непосредственное применение извстных из теории алге-
браичмиих функций вравил приходится признать рискованным.
226.

В развернутом виде
i= и (&в+0д»)-'3н1=ч| ли.-
Целесообразно отдельно проверить результаты
-дифференцирования по Qt и по Qj.
Очевидно, что
= - (0t + uAi)i(0t + Ou)-1
dUA
_ = _(Ув + ^.)-^
Следовательно, в матричной форме получается:
1' = - (tJ*. д + Одд)- аЗди'д - / (0в. д + Одд)-«
(П-12)
и'д=-гид
—2
S,U\-/ZU
П-1
(П-13)
Отсюда опять же вещественная и мнимая части матрицы 11'л
могут быть определены путем соответствующего разложения всех
матриц, входящих в полученное выражение.
Следует отметить, что непосредственным дифференцированием
матричного выражения (П-11) получить этот результат полностью
несколько затруднительно, если не иметь дополнительных сведений
о необходимой корректировке.
Если обозначить
й'4=А+ви'д = и'дв'+;и'ДМ)
где
А = - /ZU
—1
■■ А' + /А"
то получается:
откуда
В = — zGr2 S„ = В' + /В",
А'
+
В' В"
и'дм
А"
В" — В'
U'am
Ч'дв
1_В' —В"
-1
А'
и'дм
— В" 1 + В'
А"
Последний пример показывает, что в общем случае правила,
известные из дифференциального исчисления для алгебраических
функций, непосредственно на выражения, записанные с помощью
матриц, переносить нельзя. Здесь возникают некоторые особенности,
которые заранее остаются неизвестными. Поэтому в общем случае
2271

необходимо записывать матричные выражения в разернутом виде
и производить тщательную проверку правильности выполняемых
операций.
5. Пусть надо получить матрицу производных
<та =
dqt
= (JtRJ)'.
которые называются удельными приростами потерь. Эти величины
полезно иметь при решении задачи оптимизации распределения
реактивной мощности в сети.
Здесь обычные правила дифференцирования привели бы к
следующему результату:
(JfRJ)'==J',RJ + JtRJ'.
Однако сразу видно, что такое вычисление произвести нельзя,
так как первое слагаемое получается в виде столбцевой матрицы,
а второе — в виде строчной.
Приходится для уточнения решения воспользоваться более
подробной записью
у У
j\rj = S Еъ/л».
Очевидно, что
/ = 1 1=1 ]=л l=i
Оказывается, что первое и второе слагаемые являются взаимно
сопряженными, поэтому при суммировании их'мнимые части
сокращаются. Следовательно
ffg= J'tRJ + j'tRJ = 2JRe (J'tRJ).
Оказывается, что для получения правильного ответа достаточно
было матрицу, "полученную ранее во втором слагаемом,
транспонировать.
Окончательный ответ получается, если в этот результат
подставить выражение для матрицы производных J'. Это выражение было
получено ранее при разных допущениях. Так, например, если не
учитывать зависимости значений напряжений в узлах от значений
реактивной мощности, то получается:
ва — 21т (Од-1 RU~' S).
В линейном приближении — при замене действительных
значений напряжений их номинальным значением
<Га = 2U~2 RQ.
6. Определяется матрица вторых производных от функции
потерь активной мощности в сети по значениям реактивной мощности
в узлах сети (см. § 3-7),
228

При подробной записи получается:
/ у j. у
Е^К.Е^
л=1
Получаемые значения вторых проиводных '^qi0x^i составляют
трехмерную матрицу, запись которой вызывает некоторые
затруднения. Однако задача несколько упрощается, если учесть, что
элементы с индексами 1фк и )фк получаются на порядок меньше
элементов, у которых к совпадает с одним из индексов i или /, и на два
порядка меньше тех, у которых «'=/=«. При этом с практически
достаточной точностью можно ограничиться двумерной ((квадратной)
матрицей
дЧ
при к; ] = 1 ... у.
у =
Тогда получается:
6S = 2 Re (J"tRJ„ + J'tRj').
Если не учитывать влияния значений реактивной мощности на
значения напряжений, то получается J"=0 и
ea = 2Re(0-' RU-1 ).
В линейном приближении, при U?=nUH получается:
69 = 2U-2R.
Как видно из полученных выражений, вторые производные
сравнительно мало изменяются при достаточно большом диапазоне
изменения значений реактивной мощности, так как значения напряжений
изменяются сравнительно мало. Это дает возможность приближенно
определить матрицу первых производных в любой точке к, если она
известна в точке n, по следующей простой формуле:
= + * <Q*-Qff).
При приближенном учете влияния значений реактивной
мощности на значения напряжений последние в точке к могут быть
определены по известным в точке n значениям
^ = ^+/ZU^(Q^-Q^.
В таком случае вычисление вторых производных для функций
задающих токов не требуется.
229

Более точно матрица вторых производных для функции потерь
получается, если воспользоваться вторыми производными от
функций задающих токов:
д
0Q,
ди.
at
6Qt
dQtdQ, -2(u6 + uu) dQt ^
Ft., dVM
dVAt ддл
или в матричной форме
dQtdQj
= 2 0д3 ss0'4At)'A-
- О"2 s„ 0"д + / и-2 <0'Дд + 0'д),
(П-Н)
где Од. — диагональная матрица сопряженных значений производных
от напряжений.
Соответственно
01'= ZJ".
(П-15)
Таким образом, определив по (П-13) матрицу 0'д, аналогичным
разложением на . вещественную и мнимую части выражения
(П-15), можно определить и матрицу 0"д, а затем по (П-14) и
матрицу вторых производных для функций задающих токов.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие • 3
Введение • 6
Глава первая. Матричная форма записи и ее применение 13
1-1. Обобщенная запись систем однотипных величин . . 13
1-2. Применяемые правила алгебраических операций
с матрицами . 20
1-3. Обобщенное изображение схем 34
1-4. Аналитическое представление схем 36
1-5. Дополнительные сведения об операциях с матрицами 50
Глава вторая. Элементы теории линейных электрических
цепей 57
2-1. Обобщенное уравнение состояния цепи .... 58
2-2. Независимые величины 59
2-3. Преобразования уравнений состояния ..... 64
2-4. Обобщенные параметры схем 76
2-5. Эквивалентная замена активных параметров схем . 89
2-6. Преобразования схем 95
2-7. Изменения схем 103
2-8. Потери мощности 112
Глава третья. Элементы теории электрических сетей 117
3-1. Схемы замещения 117
3-2. Линеаризация схем замещения . • 142
3-3. Методы расчета рабочих режимов электрических сетей 152
3-4. Приближенные методы расчета 167
3-5. Расчет рабочего режима схемы с трансформациями . 176
3-6. Несимметричные режимы ■ 184
3-7. Пример постановки задачи по оптимизации . . . 198
Приложение 1. Некоторые способы нахождения обратной
матрицы 202
Приложение 2. Способ определения на АЦВМ матриц М,
N и Со 208
Приложение 3. Применение принципа дуальности схем . 213
Приложение 4. Многополюсники 218
Приложение 5. Производные от матриц 224
231

Николай Александрович Мельников
Матричный метод анализа электрических цепей
Редакторы: Л. А. Солдаткина, Н. С. Ковалева
Обложка художника Н. Т. Ярешко
Технический редактор Л. И. Иванова
Корректор Н. В. Лобанова
Сдано в набор 3I/III 1971 г. Подписано к печати 20/ХИ 1971 г. Т-16892
Формат 84Х108»Уя Бумага типографская № 2
Усл. печ. л. 12,8 Уч.-изд. л. 11,96
Тираж 4 500 экз. Цена 90 коп. Зак. 159
Издательство .Энергия-. Москва, M-I14, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Шлюзовая наб., 10.