/
Автор: Гайдук А.Р. Беляев В.Е. Пьянченко Т.А.
Теги: автоматика теория автоматического управления
ISBN: 978-5-8114-1255-6
Год: 2011
Текст
A. P. Гайдук,
В. E. Беляев T. А. Пьявченко
Теория
автоматы в
управлен г
в примерах и задала \
с решениями в MATLAB
A. P. ГАЙДУК, В. E. БЕЛЯЕВ,
T. А. ПЬЯВЧЕНКО
ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
в примерах и задачах
с решениями
в MATLAB
Издание второе,
исправленное
ДОПУЩЕНО Учебно-методическим объединением
вузов по образованию в области автоматизиро-
ванного машиностроения (УМОАМ) в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности «Авто-
матизация технологических процессов и произ-
водств (энергетика)» (направление подготовки
дипломированных специалистов «Автоматизиро-
ванные технологии и производства )>
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - МОСКВА - КРАСНОДАР
2011
ББК32.965я73
Г 14
Гайдук А. Р., Беляев В. Е., Пьявченко Т. А.
Г 14 Теория автоматического управления в примерах
и задачах с решениями в MATLAB: Учебное пособие.
2-еизд., испр. —СПб.: Издательство «Лань», 2011. —
464 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная ли-
тература).
ISBN 978-5-8114-1255-6
В пособии приведены методики решения всех типов рассмат-
риваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного
решения по дисциплине «Теория автоматического управления».
Материал пособия охватывает следующие разделы: основные ма-
тематические методы теории управления, решевие дифференци-
альных и разностных уравнений и систем; математические моде-
ли непрерывных и дискретных элементов и систем управления;
преобразование моделей; характеристики звеньев и систем управ-
ления; методы исследования управляемости, наблюдаемости,
полноты, устойчивости и качества линейных систем управления;
нелинейные системы управления, фазовая плоскость, методы
Ляпунова, абсолютная и робастная устойчивость, гармоническая
линеаризация; элементы синтеза линейных и нелинейных сис-
тем управления.
Большое внимание уделяется исследованию систем управле-
ния с помощью пакета MATLAB. Приводятся тексты программ
для решения в MATLAB практически всех рассматриваемых ти-
пов задач.
Учебное пособие рекомендуется студентам, обучающимся по
направлению «Автоматизированные технологии и производства».
Ойо может быть использовано также студентами других направ-
лений, изучающими теорию автоматического управления.
ББК32.965я73
Рецензенты:
В. И. ЛАЧИН — доктор технических наук, профессор, зав. кафед-
рой «Автоматика и телемеханика» Южно-Российского государ-
ственного технического университета; В. М. ЛОХИН — доктор
технических наук, профессор, зам. зав. кафедрой «Проблемы
управления» МИРЭА; Н. Б. ФИЛИМОНОВ — доктор техниче-
ских наук, профессор кафедры «Автоматические системы» Мос-
ковского государственного института радиотехники, электрони-
ки и автоматики.
Обложка
А. В. ПАНКЕВИЧ
Охраняется законом РФ об автор-
ском праве. Воспроизведение всей
книги или любой ее части запреща-
ется без письменного разрешения
издателя. Любые попытки наруше-
ния закона будут преследоваться в
судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2011
© А. Р. Гайдук, В. Е. Беляев,
Т. А. Пьявченко, 2011
© Издательство «Лань»,
художественное
оформление, 2011
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.................................................. J
1. Элементы алгебры, теории матриц и анализа................. 8
1.1. Комплексные числа. Уравнения ... 8
1.2. Операции с матрицами и векторами.................... 13
1.3. Решение систем линейных уравнений................... 23
1.4. Ряды Тейлора, Маклорена и Фурье..................... 26
2. Дифференциальные и разностные уравнения................. 35
2.1. Классический метод решения дифференциальных
уравнений................................................ 35
2.2. Решение уравнений методом
преобразования Лапласа................................... 4)
2.3. Разности и разностные уравнения..................... 44
2.4. Решение разностных уравнений методом
^-преобразования......................................... 48
2.5. Построение переходной матрицы....................... 51
2.6. Решение систем дифференциальных уравнений........... 56
2.7. Решение систем разностных уравнений................. 60
3. Модели элементов, систем и воздействий ................. 68
3.1. Модели непрерывных элементов и систем............... 68
3.2. Модели импульсных систем........,................... 81
3.3. Модели регулярных воздействии....................... 92
3.4. Характеристики случайных воздействий................ 97
4. Преобразование моделей систем управления............... 105
4.1. Преобразование .моделей в переменных состояния..... 105
4.2. Определение передаточных функций.................. 111
4.3. Преобразование структурных схем................... 117
4.4. Применение формулы Мэйсона......................... 125
4.5. Переход от моделей вход-выход
к моделям в переменных состояния........................ 133
4.6. Определение уравнений систем по уравнениям
в переменных состояния звеньев.......................... 141
5. Характеристики и реакции звеньев и систем.............. 145
5.1. Определение временных характеристик................ 145
5.2. 11остроеиие частотных характеристик............... 163
5.3. Определение реакций непрерывных звеньев и систем.. 172
5.4. Определение реакций дискретных систем............. 180
5.5. Определение статистических характеристик
выходных сигналов систем управления..................... 183
3
6. Исследование свойств линейных объектов
191
и систем управления........................................ '71
6.1. Анализ управляемости, наблюдаемости и полноты....... 191
6.2. Анализ устойчивости линейных непрерывных систем.... 200
6.3. Оценка запасов устойчивости непрерывных систем...... 212
6.4. Исследование устойчивости дискретных систем........ 217
7. Исследование качества линейных систем управления........ 225
7.1. Оценка качества переходных процессов................ 225
7.2. Оценка точности систем управления................... 238
7.3. Оценка точности С/\У при случайных воздействиях.... 249
7.4. Интегральные оценки качества........................ 255
8. Исследование нелинейных систем.......................... 260
8.1. Определение и исследование особых течек............. 260
8.2. Построение фазовых портретов нелинейных систем..... 267
8.3. Анализ устойчивости методом первого приближения.... 279
8.4. Анализ устойчивости методом функций Ляпунова........ 285
8.5. Исследование абсолютной устойчивости................ 295
8.6. Исследование робастной устойчивости................. 305
8.7. Исследование автоколебаний методом
гармонической линеаризации............................... 308
9. Синтез линейных систем управления...................... 315
9.1. Синтез систем с двумерным устройством управления... 315
9.2. Синтез наблюдателей переменных состояния............ 339
9.3. Синтез систем с модальным управлением............... 350
9.4. Синтез систем методом желаемых ЛАЧХ................. 362
10. Аналитический синтез нелинейных систем управления..... 379
10.1. Синтез систем с градиентным управлением............ 379
10.2. Синтез на основе квазилинейных моделей............. 382
10.3. Синтез на основе управляемой формы Жордана......... 386
Приложения.................................................. 396
П. I. Преобразование Лапласа............................. 396
П.2. Функция freqasimp................................... 398
П.З. Функция c2taud...................................... 402
П.4. Таблица интегралов.................................. 404
П.5. Коэффициенты гармонической линеаризации............. 405
П.6. Стандартные передаточные функции.................... 407
П.7. Пассивные корректирующие звенья..................... 410
Ответы..................................................... 412
Библиографический список.................................... 459
Тематический указатель задач................................ 460
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время теория автоматического управления явля-
ется одной из основных инженерных дисциплин, которые изуча-
ются в высших учебных заведениях, ведущих подготовку специа-
листов большинства технических направлений. Изучение теории
автоматического управления встречает известные трудности, вы-
званные сложностью используемого математического аппарата,
необходимостью комплексного использования знаний таких кур-
сов, как физика, химия, электротехника, электроника, информати-
ка. Современная теория управления предполагает широкое приме-
нение ЭВМ как для анализа, так и для синтеза систем управления.
В связи с этим первые два раздела данного сборника включа-
ют задачи для повторения важнейших вопросов и методов дисци-
плины «Высшая математика», изучаемой на первых двух курсах.
Разумеется, рассматриваются методы, наиболее часто используе-
мые при описании и исследовании элементов и систем управления
(часть из них в некоторых вузах изучается в курсе «Математиче-
ские основы теории систем»). Это касается комплексных чисел,
матричного исчисления, методов решения алгебраических, диффе-
ренциальных и разностных уравнений и систем, элементов теории
случайных процессов и др.
В последующих разделах рассматриваются задачи собственно
теории управления: составление уравнений элементов и систем
управления, их функциональных и структурных схем, получение
моделей внешних детерминированных и случайных воздействий,
используемых при построении характеристик и исследовании ка-
чества систем управления. Большое внимание уделяется методам
преобразования моделей вход-выход и вход-состояние-выход,
методам перехода от моделей одного типа к моделям другого типа.
При изложении методов исследования свойств линейных не-
прерывных и дискретных систем автоматического управления
5
При изложении методов исследования свойств линейных не-
прерывных и дискретных систем автоматического управления
большое внимание уделяется методам определения их основных
динамических характеристик, а также методам определения реак-
ции динамических систем на внешние воздействия с учетом на-
чальных условий. Рассматриваются задачи на исследование управ-
ляемости, наблюдаемости и полноты объектов управления, а также
устойчивости и качества систем автоматического управления.
В задачах, посвященных нелинейным системам управления,
рассматриваются метод фазовой плоскости, метод первого прибли-
жения, метод функций Ляпунова, методы абсолютной и робастной
устойчивости (критерии В. М. Попова, А. А. Воронова и
В. Л. Харитонова), а также метод гармонической линеаризации.
Значительное внимание уделяется задачам синтеза линейных
и нелинейных систем автоматического управления. Здесь рассмат-
риваются такие аналитические методы, как: синтез линейных не-
прерывных и дискретных систем управления по заданным показа-
телям качества с использованием стандартных передаточных
функций; синтез систем с модальным управлением в непрерывном
и дискретном случаях, а также традиционный графоаналитический
метод синтеза на основе логарифмических частотных характери-
стик с реализацией корректирующих звеньев на /?С-цепях и (или)
на операционных усилителях.
Задачи синтеза систем управления нелинейными объектами
также решаются аналитическими методами, такими как метод гра-
диентного управления, полиномиальный метод на основе квазили-
нейного представления модели нелинейного объекта, метод при-
ведения нелинейных моделей к управляемой форме Жордана.
Во всех задачах, включенных в сборник, используются модели
реальных процессов и объектов управления, полученные при по-
мощи обычно применяемых в инженерной практике способов
идеализации. Решение практически всех задач даётся как в анали-
тической форме, так и с помощью ЭВМ. При этом приводятся тек-
сты соответствующих программ или команд в среде MATLAB или
Maple V. Предполагается, что студенты уже имеют первоначаль-
ные навыки работы в среде MATLAB. При наличии таких навыков
приведенные в задачнике тексты программ можно непосредствен-
но копировать в редактор MATLAB (“Editor”) и исполнять как
6
обычные m-файлы для решения аналогичных задач с другими чи-
словыми данными. Простые и короткие последовательности ко-
мант, приведённые в тексте, можно вставлять и исполнять непо-
средственно в командном окне (Command Window) MATLAB.
Подчеркнём, что только решение задач и в аналитической
форме, и с помощью ЭВМ даст возможность студентам получить
более полные навыки анализа и синтеза систем автоматического
управления современными методами. Последнее имеет особо важ-
ное значение в настоящее время, в связи с проникновением ком-
пьютерных технологий во все сферы инженерной деятельности.
При составлении пособия авторы руководствовались рядом
учебников и учебных пособий по теории автоматического управ-
ления, указанных в конце книги. Однако изложенные в пособии
задачи и методы их решения наиболее полно соответствуют учеб-
ному пособию Гайдука А. Р. «Непрерывные и дискретные дина-
мические системы» (М.: Учлитвуз, 2004); учебнику того же автора
«Теория автоматического управления», вышедшему в издательст-
ве «Высшая школа» в 2010 году, а также учебнику «Теория авто-
матического управления» (под ред. А. В. Нетушила. — М.: Выс-
шая школа, 1976, 1984).
В сборнике принята нумерация задач по разделам. Задачи для
самостоятельного решения отмечены символом «*». Ответы на эти
задачи помещены в конце книги.
Работа над книгой распределена между авторами следующим
образом: разд. 1- 6, 8, 10 и гюдразд. 9.1-9.3 написаны А. Р. Гайду-
ком, разд. 7 и подразд. 9.4 написаны Т. А. Пьявченко; все тексты
программ или команд в системе MATLAB написаны
В. Е. Беляевым. При подготовке рукописи к изданию большая по-
мощь авторам была оказана студентами и магистрантами
ТТН ЮФУ, за что авторы выражают им свою искреннюю благо-
дарность.
Авторы будут признательны всем читателям за замечания по
данной книге, которые можно направлять по адресу: кафедра
САУ. Таганрогский технологический институт ЮФУ, Некрасов-
ский пер., 44, г. Таганрог, 347928.
Авторы
7
I. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ, ТЕОРИИ МАТРИЦ
И АНАЛИЗА
1.1. Комплексные числа. Уравнения
1.1. Найти модуль и фазу комплексного числа z = -4 + /3. По-
казать это число, его модуль и фазу на комплексной плоскости.
Решение. Модуль и фаза комплексного числа z = ct + jb опре-
деляются выражениями [10]:
|z|--J(Rcz)' + (Imz)2 =V«2 +b2 , (1.1)
Imz b r
arctg---= arctg—, Re z > 0
Rez a
<p(z) = Arg z = -
Im z ,,
7t + arctg-, Rez<()
Re z
(1.2)
Imz _
или - Л + arctg----, Re z < 0.
Rez
Замечание. Аргумент комплексного числа определяется с точностью
до слагаемого 2пА-, где к— любое целое число. При этом положитель-
ные значения <p(z) отсчитываются против часовой стрелки, а отрица-
тельные — по часовой стрелке
В рассматриваемом случае Rez = —4, Imz = 3 . Следовательно,
|z| = V16 + 9 =5 ; <р = 7t-arctg-^- = 2,4981 рад = \43,]$°.
Найденные величины показаны на рис. 1.1.
Решение в MATLAB:
% вводим комплексное число
z=-4+j*3
% MATLAB [9] выводит это число в несколько иной форме:
z = -4 +3i
% вычисляем модуль:
abs(z)
ans = 5
% вычисляем фазовый угол в радианах
angle(z)
ans - 2.4981
8
% вычисляем фазовый угол в градусах:
angle(z)*180/pi
ans = 143.13
Рис. 1.1. Комплексная плоскость и число z = -4+ /3
1.2. Найти третью степень, натуральный и десятичный лога-
рифмы комплексного числа z = 2-/3.
Решение. Для определения степеней (целых и дробных) и ло-
гарифмов комплексных чисел удобно сначала представить задан-
ное число z в показательной форме z = .
В данном случае по формулам (1.1) и (1.2) имеем:
|z| = ^4 + 9 = 3,6056. <p(z) = -arctg| = -0,9828 = -56,31°,
т. e. z = 3,605бе-7 °’9828. Следовательно,
(2 —/З)3 =3,6056V/3°-9828 =46,872е’'2-9484 =
= 46,872е-7'68-93 = 46,872(-0,9814 - j 0,192) = -46 - j 9.
Как известно,
In z = ln|z| + j<p(_), 1g z = lg|z| + j<p(z) 1ge. (1.3)
Поэтому, In(2 — /3) = 1,2825 — j 0,9828.
lg(2 - j 3) = 0,557 - j 0,9828 • 0,4343 - 0,557 - j 0,4268.
Для проверки найдем elnz и 10ls'. Имеем
^111(2-/3) = £>1.2825-70.9828 _^,1,2825^-/0.9828 _
9
= 3,6056е-/0-9828 = 2-7’3.
1О^(2-/3) = 100.557-/0.4268 = 3^ . 1()-7 0.4268
П - 1 л-/0,4268
Для вычисления второго множителя ооозначим у = 10 J
и найдем In у = -j 0,4268 • In 10 = -/ 0,4268 • 2.3026 = -j 0,9827 .
Следовательно, величина р = ]СГ7°’4268 =e-/0,9s2K, и тогда
10in(2-/3) = з6056 0,9828 =2-J3 .
Решение в MATLAB:
% вводим исходное число:
z=2-3*j;
% вычисляем третью степень:
z3=z*3
z3 = -46 -9i
% вычисляем модуль и фазу (в градусах) числа z3
abs(z3)
ans = 46.872
angle(z3)*180/pi
ans = -168.93
% вычисляем натуральный логарифм числа z
In z=log(z)
ln_z = 1.2825 -0.982791
% вычисляем модуль и фазу натурального логарифма числа z
abs(In z)
ans = 1.6157
angle(ln_z)*180/pi
ans = -37.464 .
"/«Проверка в MATLAB даст
exp(ln_z)
ana =2 -31
% вычисляем десятичный логарифм числа z
lg_z=logl0(z)
lg_z = 0.55697 -0.426821
% проверка в MATLAB дает
10*(lg_z)
ans = 2 -31 .
Таким образом, проверки дают исходное число.
1.3. Найти корни полинома 2х2 + 12л+16 и представить его в
виде произведения сомножителей.
10
Решение. Корни полинома — это корни уравнения, полученно-
го приравниванием данного полинома к нулю. Следовательно, в
нашем случае необходимо найти корни уравнения
2х2+12х+16 = 0. Для определения корней алгебраического урав-
нения (полинома) второй степени существует две формулы.
Первая относится к уравнению аг" + /?х + с = 0 и имеет вид
-b + ^jb1 —4ас
2а
пли
— b + qd
2а
(1.4)
(1-4’)
где d = b2 - 4яс — дискриминант. Если d > 0, то корни будут ве-
щественными, если же d < 0, то корни будут комплексными.
Для использования второй (более простой) формулы заданный
полином сначала приводится к виду х" + рх + ц = 0. В этом случае
корни находятся по формуле
Д.2 ~
д± [pY с,-
2 2J 4 2
(1-5)
где дискриминант d - р~ -4q. Смысл его тот же.
Для решения уравнений 3-й степени применяются либо форму-
лы Кардано, либо тригонометрические решения [10. С. 47,48].
Замечание. Корни уравнений 3-й и более высоких степеней удобнее
определять с помощью ЭВМ, например, используя пакет MATLAB.
Если полином /7-й степени с действительными коэффициентами
Я(х) = а„х" + +... + а,х + а0 (1.6)
имеет корни хи х2,...,х„, то его всегда можно представить в виде
произведения:
.4(х) = а„(х -х-| )(х-х2)...(х-х„) = а„ П(-* - х,-). (1.7)
7=1
11
Если полином Я(х) (1.6) имеет вещественных корней и п2
комплексных х,-=О,+ jco,, то он будет иметь и п2 сопряженных
им корней х,-+1 = о,jCi>i. Поэтому /71+2«2=«- а полином Л(х),
заданный в виде (1.6) или в виде (1.7), можно также представить в
следующем виде:
Л(х) = «„ П (-* - х,) П (х2 + pvx + qv),
1=1 V=1
э ->
причем pv = —2av, ср. - + (0v .
В рассматриваемом случае полинома 2х2+12х + 16 по фор-
муле (1.4) имеем
-12±7144-4 2-16 _-12 + 4
Л|-2~ 2-2 4 ’
т. е. х, = -2 , х2 = “4 •
В приведенной форме соответствующее уравнение имеет вид
л2 +6.г + 8 = 0. Следовательно, по формуле (1.5) найдем
х, 2 = -3 ± 1. Отсюда следуют те же значения корней.
В заданном полиноме с/.„ = 2, поэтому по формуле (1.7) мож-
но записать
Л(х) = 2(х + 2)(х+4).
Решение в MATLAB:
% вводим исходный полином, начиная с коэффициента при старшей
степени д:
р1= [2 12 16] ;
% вычисляем корни полинома
roots(pl)
ans = -4
-2
% вводим полином в приведенной форме
р2=[1 6 8] ;
% находим корни
roots(р2)
ans = -4
-2
Таким образом, решение в MATLAB дает те же значения корней.
12
1.4*. Представить числа в показательной форме:
1.4.1* z = 7 + y8; 1.4.3* £ = —8—/5 ; 1.4.2* £ = 16-7’7 ; 1.4.4* 2 = 7’10;
1.4.5* £ = -4; 1.4.6* £ = -8 + 78;
1.4.7* z = 4-/2; 1.4.8* z = -l + 7’10;
1.4.9* £ = 3; 1.5*. Вычислить: 1.4.10* £ = -5-7’20.
1.5.1* (5 + 78)3; 1.5.2* (4 + /9V;
1.5.3* (-10-/17)5; 1.5.4* (-11-7’8)";
1.5.5* (-10 + 7’2)"'; 1.5.6* 1п(5 + 78);
1.5.7* log(4-7’9); 1.5.8* 1п(5 + 7’8)2;
1.5.9* log(-120 + /40); 1.5.10* Н-10-7’7);
1.5.11* Iog(—3 + 7’4)3; 1.5.12* 1п(-3 + 7’4).
1.6*. Найти корни уравнений:
1.6.1* 4х2 + 8х + 32 = 0;
1.6.3* Зх2 + 18х + 27 = 0;
1.6.5* 5х2+25х+35 = 0;
1.6.2* х2+10х + 16 = 0;
1.6.4* х2+12л+32 = 0;
1.6.6* х2+4х + 8 = 0.
1.2. Операции с матрицами и векторами
Решение. Матрицы складываются путем сложения соответ-
ствующих элементов. Если размерность матриц не совпадает, то
сложить матрицы нельзя. При умножении матрицы Я =[«,-,] на
число а, на это число умножаются все её элементы, т. е.
ои = Иа=[ао,?].
13
В заданном случае
Решение в MATLAB:
% вводим заданные матрицы
А= [3 4 5; 0 2 1; 3 0 0] ;
В=[5 7 2; 14 1; 111];
% находим умноженную натри сумму матриц
3*(А+В)
ans =
24 33 21
3 18 6
12 3 3 .
1.8. Найти скалярное произведение векторов а , b и с, если
Решение. Для определения
скалярного произведения
аТ b
векторов
необходимо транспонировать вектор а, т. е. взять его в виде векто-
ра-строки ат = [«] сь ... а„], а затем перемножить следующим
образом:
ar b — [с/|
Л
п
= аф\+ а2Ь-> +... + anbn = X ufa .(1.8)
/=1
14
Скалярное произведение можно найти только для векторов
одинаковой размерности.
В данном случае размерности векторов а и b одинаковы, по-
этому по формуле (1.8) находим
«ТЬ = {3 4 -5]- 6 = 12 + 24-5 = 31;
Ьта = [4 6 1]- 4 =12 + 24-5 = 31,
т. е. атb - Ьта . Векторы лис имеют разные размерности:
dim а = 3, dim b = 2 , поэтому произведение атс не существует.
Решение в MATLAB:
% вводим заданные векторы а, Ь, с:
а=[3; 4; -5]
а = 3
4
-5
Ь=[4; 6; 1] ;
с=[2; 1]
с = 2
1
% находим скалярное произведение вектора аг на b (в MATLAB
транспонирование вектора обозначается штрихом):
аТЬ=а‘*Ь
аТЬ = 31
% скалярное произведение вектора Ьт на а
ЬТа=Ь'*а
ЬТа = 31
% при вычислении в MATLAB скалярного произведения вектора ат
на с выдается ошибка из-за несоответствия размеров векторов (или
внутренних размеров матриц в произведении):
аТс=а'*с
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree
% для проверки находим размеры векторов а и с
length(а)
ans ~ 3
15
length(с)
ans = 2
Как видно, размеры векторов действительно разные.
1.9. Найти произведение матриц А и В из примера 1.7 и векто-
ров а и Ьт, а и ст.
Решение. Произведение матриц— это матрица, каждый ij
элемент которой равен скалярному произведению /-Й строки пер-
вой матрицы на J-й столбец второй матрицы.
Перемножить матрицы можно лишь в том случае, когда число
столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Са-
ми матрицы могут иметь различную размерность.
Примечание. Здесь векторы рассматриваются как матрицы с соот-
ветствующим числом строк и столбцов. При этом каждая строка первой
матрицы и каждый столбец второй матрицы состоят из одного элемента.
Решение в MATLAB:
% вводим заданные матрицы и векторы
А= [3 4 5; 0 2 1; 3 0 0] ;
В=[5 7 2; 14 1; 11 1] ;
а=[3; 4; -51;
Ь=[4; 6; 1];
с=[2; 1];
% находим произведение матриц А н В
А*в
ans ~
16
24 42 15
3 9 3
15 21 6
% находим произведение векторов а и Ь7
а*Ь'
ans =
12 18 3
16 24 4
-20 -30 -5
% находим произведение векторов а и ст
а*с •
ans =
6 3
8 4
-10 -5
1.10. Найти произведение матриц АВ, АС и ВС, если
3
2 1
3 4
В= 1
2
1
0
4 2
2
Решение. Число столбцов матрицы А равно 2, а число строк
матрицы В равно 3, поэтому произведения АВ не существует. В то
же время число столбцов матриц А и В равно числу строк матри-
цы С, поэтому произведения .4С и ВС существуют и равны
1
10 4
25 11
ВС =
Решение в MATLAB:
% вводим заданные матрицы и векторы
А= [2 1; 3 4] ;
В=[3 2; 1 1; 2 0] ;
С=[3 1; 4 2] г
% находим произведение матриц А и С
А* с
ans = 10 4
25 11
17
% находим произведение матриц В и С
в* с
ans = 17 7
7 3
6 2
1.11* . Найти произведения
1.12. Вычислить определитель матрицы
'З 4 5
/1-0 5 1
2 1 4
Решение. Определитель пхп матрицы А=[а^] можно вы-
числить различными способами. Однако наиболее удобным для
численных расчетов является метод разложения его по элементам
какой-либо строки или столбца, т. е.
det Л- det/fy , /б[1,и] (1.9)
или
det J = Z(-l),+7a,7 det/l,7 , уб[1,и], (1.10)
где Aij— это матрица А, в которой вычеркнуты /-я строка и /-й
столбец; — элемент матрицы А, стоящий на пересечении /-й
18
строки и /-го столбца. При этом происходит понижение размерно-
сти вычисляемых определителей. Формулы (1.9) или (1.10) приме-
няют до тех пор, пока нс получатся определители второго порядка,
которые вычисляются непосредственно.
Отметим, что разлагать целесообразно по элементам того
столбца или той строки, где больше всего нулевых элементов.
Иногда вместо обозначения det А определитель обозначают
заменой квадратных скобок матрицы на вертикальные линии, т. е.
например.
В случае заданной в данной задаче матрицы А удобнее разло-
жить по элементам первого столбца, т. е.
5
1
4
4
5
det А = 3 det
+ 2 det
= 3-19-2-21 = 15,
1
или
3 4
0 5
2 1
5
1
= 3-19-2-21 = 15.
Решение в MATLAB:
% вводим заданную матрицу
А= [3 4 5; 0 5 1; 2 14];
% находим её определитель
det(А)
ans = 15
1.13. Найти обратную матрицу А 1 к матрице А из предыдущей
задачи.
Решение. Матрица /I”1 существует и ее можно найти только в
том случае, когда det А Ф 0. При этом
Л-'=—J-adj^, (1.11)
det А
где adj Л — присоединенная или союзная матрица.
I [рисоединенная матрица определяется выражением
adj А = [(- 1)''7 det А* ] = [/и(]. (1.12)
19
Здесь A-j — это также как и в (1.9), (1.10) матрица, полученная из
А1 путем вычеркивания /-той строки и у'-го столбца.
Определитель заданной в данном примере матрицы А не равен
нулю, т. е. обратная матрица А~1 существует. При этом матрица
0 2
5 1
5 1 4
Поэтому
шц=19, W|2=-ll, »»13=-21,
w2i = 2, лг22 =2, m2J =-3,
т31 = -10, in32 = 5, да33=15.
Следовательно, матрицы adj J и A~l имеют вид
adj А = 19 -11 -21 2 2 -3 -10 5 15 , я- =± 15 ’ 19 2 -10 -11 2 5 — 21 -3 15
Для проверки найдем А А1 = Е = diag{ 1 ствует о правильном определении матрицы А Решение в MATLAB: 1 1}- । Это свидетель-
% вводим заданную матрицу
А=[3 4 5; 0 5 1; 2 14),-
% вычисляем обратную матрицу
Al=inv(A)
Al = 1.2667 -0.73333 -1.4
0.13333 0.13333 -0.2
-0.66667 0.33333 1
% вычисляем присоединенную матрицу adj А
det(А)
ans = 15
inv<A)*15
ans = 19 -11 -21
2 2-3
-10 5 15
% проверка
A*A1
ans = 1 4.4409e-016 0
0 10
0 0 1
даег единичную матрицу с учетом того, что 4.4409е-016 = 0.
20
1.14. Найти матрицу, обратную матрице
.4 =
3 2
1 4
Решение. Если определитель матрицы второго порядка не ра-
вен нулю, то обратную к ней можно найти по более простой фор-
муле. чем (1.11), (1.12). А именно, если det /1*0, и = 2 , а матрица
.-1 1
то А = —
«11 «12
«21 «22
«22 “«12
А =
«21 «22 det А — flji «п
В случае заданной матрицы det .4 = 10*0. Поэтому
(1.13)
10 -1. 3
Нетрудно убедиться, что А А 1 = A lA = Е .
Решение в MATLAB:
% вводим заданную матрицу
А= [3 2; 1 4] ;
% вычисляем обратную матрицу по формуле для матриц размером 2x2
А1=[А(2,2) -А(1,2); -А(2,1) А(1,1)]/det(А)
А1 = 0.4 -0.2
-0.1 0.3
% использование функции inv для вычисления обратной матрицы %
дает тот же результат
inv (А)
ans - 0.4 -0.2
-0.1 0.3
% проверка
А*А1
ans = 1 -1.1102е-016
0 1
дает единичную матрицу с учетом того, что-1.1102е-016 = 0.
1.15. Определить ранг матрицы
3
2
8
/1 =
8
2
12
7
3
14
21
Решение. Рангом некоторой пхт матрицы называется число
ее линейно независимых столбцов. Причем к строк или к столбцов
в некоторой матрице или к векторов являются линейно независи-
мыми, если из них можно составить (удаляя некоторые столбцы и
(или) строки) определитель к-го порядка, не равный нулю.
Поэтому ранг некоторой матрицы определяется максималь-
ным порядком определителя, не равного нулю, который можно
получить из заданной матрицы путем вычеркивания из нее каких-
либо строк и столбцов.
Например, в случае заданной матрицы, если из нее вычеркнуть
третью строку, а также третий и четвертый столбцы, то получится
определитель
Д2]
= det
который не равен нулю. Далее из заданной матрицы можно полу-
чить следующие определители третьего порядка:
3 4 8 3 4 7
д31 = 2 1 2 ’ Аз2 = 2 1 3
8 6 12 8 6 14
Вычисление значений этих определителей дает Д3|=0,
Д32=0. Следовательно, максимальный порядок неравного нулю
определителя, составленного из строк и столбцов заданной матри-
цы А, равен 2 (определителем первого порядка здесь может быть
любой элемент матрицы А).
Таким образом, ответ в данном примере таков: rang >1 = 2
(иногда пишут р(А) - 2, а в английской транскрипции rank А = 2).
Этот же ответ можно получить, если заметить, что третий
столбец заданной матрицы А равен второму, умноженному на два,
а четвертый столбец равен сумме первого и второго столбцов. Та-
кие столбцы как раз и называются линейно-зависимыми. Другими
словами, из четырех столбцов заданной матрицы А только два яв-
ляются линейно независимыми. Это и свидетельствует о том, что
rang А = 2 .
22
Решение в MATLAB:
% вводим заданную матрицу
А=[3 4 8 7
2 12 3
8 6 12 14] ;
% находим ранг заданной матрицы
rank(А)
ans = 2
1.16*. Определите ранги следующих матриц:
4 3 2 1’
2 4 0
8 13 2
1.16.1* А = 3 1 5 2 ’ 1.16.2* А =
4 0 6 1_ ( 4 16 7
12 7 10 9
"3 4 5‘ '3 4 2 3’
А = 6 1 2 1 2 3 6
1.16.3* 1.16.4* А =
9 5 7 10 14 9 15
5 8 10 15
: . ' и НН •
1.3. Решение систем линейных уравнений
1.17. Найти решение системы уравнений методом Крамера
2xt + Зх2 = 5,
4л-] - 2х2 = 8.
Решение. Система уравнений вида
Ах — Ь,
где А — пхп -матрица, Ь — /г-вектор, может быть решена мето-
дом Крамера, если определитель A = det А * 0. В этом случае ком-
поненты Xj i = ],n вектора х определяются по формулам
х, =-^-./ = 1,н, (1.14)
д
где Л, -— определитель матрицы А, в которой /-Й столбец заменен
вектором Ъ.
23
В данном случае матрица А системы имеет вид
3
-2
Находим ее определитель
Д =
2
4
3
-2
= -16.
Для вычисления определителей Дь Д> заменим в определителе
матрицы А соответственно первый и второй столбцы столбцом
свободных членов заданной системы и найдём
Далее, подставляя в формулы (1.14) значения определителей,
находим
х, =17/8, х, =1/4.
Проверка. Подставляем найденные значения Х| и xi в задан-
ную систему, получим: 4,25 + 0,75 = 5, 8,5-0.5 = 8 или 5 = 5,
8 = 8, т. е. решение найдено верно.
Решение в MATLAB:
% вводим матрицу и правые части заданной системы
А= [2 3; 4 -2];
Ь= [5 8] ;
% находим решение по правилу Крамера
xl=det([b А(: ,2) ] )/det (А)
Х1 = 2.125
x2=det([А(:.1) b])/det(A)
х2 =
0.25
% для проверки подставим решение в исходную систему
А*[х1 х2]
ans = 5
8
это правая часть заданной системы.
1.18. Найти методом Гаусса решение системы уравнений
Зх, + х2 - х3 = 1,
24
2,Г] - х; = 5,
Зх, + 2х, + xj =8.
Решение. Метод Гаусса заключается в эквивалентных преоб-
разованиях уравнений системы Ах = Ь с целью приведения матри-
цы А системы к верхнему треугольному виду. С этой целью строки
матрицы А системы и вектора b правой части переставляются
или умножаются на некоторые коэффициенты и складываются с
первой строкой. Перестановки и коэффициенты выбираются так,
чтобы в первом столбце матрицы системы ненулевым оказался
коэффициент только в первой строке. Затем описанные операции
перестановки строк, умножения их и сложения выполняются со
второй и остальными строками, причем ненулевым должен ока-
заться коэффициент во втором столбце второй строки и так далее.
Выполнив над матрицей, заданной в примере системы, экви-
валентные преобразования, получим
3 1 -1
2-10
з' 2 1
I-
1 -1 Г
-5 2 13
1 2 7
L
3 1 -1
0-5 2
0 0 12
1
13
48
Здесь IjJiJi — условные обозначения строк соответствующих
матриц. Последняя из полученных матриц является верхней прямо-
угольной; ей соответствует система линейных уравнений вида
Зх, + х2 -х3 =1,
-5х2 +2х3 =13,
12х, =48.
Решая эту систему “снизу вверх”, найдем х3 = 4, х2 = -1, х, = 2.
Решение в MATLAB:
% вводим исходные данные
А= [3 1 -1
2-10
3 2 1];
Ь= [15 8]' ;
% находим решение методом Гаусса (с помощью знака обратного
% деления):
х=А\Ь
25
X
2
-1
4
Решения, полученные вручную и в MATLAB, как видно, совпадают.
1.19. Решить следующие системы уравнений методами Краме-
ра и Гаусса и сравнить результаты:
1.19.1* 8х, -5х2 =13, 1.19.2* х( + 8х, = 7,
З.Г] - 2х, = 10;
1.19.3** 9х, + 3х2 = 6,
6х( + 2х2 = 8;
-Xi —9х2 = 8;
1.19.4 2х, + 3х, =12,
-5х, - 10х2 = 8.
1.4. Ряды Тейлора, Маклорена и Фурье
1.20. Разложить функцию /(x) = 2sinx + 5е'2г в ряд Тейлора в
точке х = 0,5 и в ряд Маклорена (найти по пять членов ряда). По-
строить графики функции и её ряда в окрестности точек разложения.
Решение. Ряд Тейлора дифференцируемой функции одного
переменного имеет вид
Ях)=/(а)+у^| (,х-а)+~^- (v-«)2 +
1! дх 7. дхл х=(1
1 д3/(х) , чз и in
+---:L~ (x-of+... (1-15)
3! dv
Ряд Маклорена— это ряд Тейлора, коэффициенты которого
вычислены в точке а = 0.
В данном случае
= 2 cos х -10е>~2 v, д = -2 sin х + 20е’2',
дх дх2
д Д-— = -2 cos х - 40e“2jr, • = 2 sin х + 80е-2 v,
дх3 дх4
д = 2 cos х -160e~2j.
дх5
Подставляя в выражения для заданной функции и её произ-
водных значение х = 0,5, получим:
26
/(0,5) = 2,79825, - — = -1,92363 ,
1! г)л- _v=0-5
= 3,19937
1 <>3/(х)
3! дх3
= -2,74506,
1 d4f(x)
4! dx4
= 1,26622,
x=0,5
1 d5/(x)
5! dx5
= -0,47588.
Далее, подставляя найденные значения в формулу (1.15), най-
дем ряд Тейлора заданной функции:
/(х) = 2,79825-1,92363(х - 0,5)+3,19937(х - 0,5)2 - 2,74506(х -
- О,5)3 +1,26622(х - 0,5)4 - 0,47588(х - 0,5)5 +...
Аналогично, полагая в выражениях для функции Дх) и ее про-
изводных х = 0, получим ряд Маклорена:
/(х) = 5-8х+10х2 -7х3 + 3,33333х4 -1,31667х5 +...
Для наглядности на рис. 1.2 приведены графики рассматривае-
мой функции, а также графики её рядов Тейлора и Маклорена, по-
строенные с помощью MATLAB в окрестности точек разложения.
Рис. 1.2. Графики функции /(.r) = 2sin.v + 5e“2v и сё приближений
27
Решение в MATLAB:
% создаем две символьные переменные ‘х’ и ‘у’ командой
syms х у
% вводим символьное выражение функции
f=2*sin(х)+5*ехр(-2*х);
% вычисляем 6 членов ряда Тейлора относительно точки _г=0,5,
% введя команду
ft=taylor(f,0.5,6)
ft = 2*sin(l/2)+5*exp(-l)+
(2*cos(l/2)-10*exp(-l))*(x-1/2)+
(-sin(1/2)+10*exp(-1))*(x-1/2)A2+
(-20/3*exp(-1)-1/3‘cos(1/2))*(x-1/2)A3+
(l/12*sin(1/2)+10/3*exp(-1))*(x-1/2)"4+
(1/60‘cos(1/2)-4/3*exp(-1))*(x-1/2)'5
% вычисляем числовые значения коэффициентов ряда Тейлора по
% степеням х (MATLAB выдает их в порядке убывания степени л),
% введя команду
sym2poly(ft)
ans = -0.47588 2.4559 -6.4672
9.8111 -7.9636 4.997
% следовательно, искомый ряд Тейлора имеет вид
f = 4,997 - 7,9636л- + 9,811 1? - 6,4672? + 2,4559? - 0,47588?;
% если надо получить ряд по степеням (д- - 0,5), то подставим в
% полученную функцию f вместо желаемого выражения ‘.г - 0,5’
% переменную V. Это достигается вводом команды
ft=subs(ft,'x-1/2•,'у*)
% результат
ft = 2*sin(1/2)+5*ехр(-1)+
(2*cos(1/2)-10*ехр(-1)) *((у)) +
(-sin(1/2)+10*ехр(-1))*((у))А2+
(-20/3*ехр(-1)-l/3*cos(1/2))*((у))А3+
(l/12*sin(1/2)+10/3*ехр(-1))*((у))А4+
(l/60*cos(1/2)-4/3*ехр(-1))*((у))А5
% вычисляем коэффициенты при у. вводя команду
sym2poly(ft)
ans = -0.47588 1.2662 -2.7451
3.1994 -1.9236 2.7982
% следовательно, искомый ряд Тейлора имеет вид
f (х)= 2,7982 - 1,9236(х - 0,5) + 3,1994(д- - 0,5)2 -
- 2,7451 (д - 0,5)3 + 1,2662(л- - 0,5)4 - 0,47588(х - О,5)5
% ряд Маклорсна вычисляется из ряда Тейлора командой
fm=taylor(f,6)
fin = 5-8*х+10*хА2-7*хА3+10/3*хА4-79/60*хА5
28
sym2poly(fm)
ans = -1.3167 3.3333 -7 10
-8 5
Следовательно, искомый ряд Маклорена:
f (x)= 5 - 8л + Юл-2 - 7л-3 + 3,3333/ - 1,3167/.
1.21*. Найти по четыре члена ряда Тейлора в окрестности точ-
ки х = а и построить графики следующих функций и их рядов:
1.21.1*. tgx, о = 1; 1.21.2*. arcsin(x-l), « = 1;
1.21.3*. 2-Ух, о = 0,5;
1.21.5*. 21n х2, о = 2;
1.21.4*. e25injt\ o = 2;
1.21.6*. sign(x + x2-2), o = l.
1.22*. Вычислить по четыре члена ряда Маклорена функций
/ (х) из примеров 1.21.1*, 1.21.2*, 1.21.3*, 1.21.4*, 1.21.5* и 1.21.6*.
Записать приближенные выражения для/(х).
1.23. Разложить в ряд Фурье прямоугольную волну (рис. 1.3,о),
вычислив семь членов ряда.
Рис. 1.3. Периодические функции
Решение. В ряд Фурье разлагаются периодические интегри-
руемые функции. Для некоторой функции f (j) с периодом Т ряд
Фурье имеет вид
f(t) = о0 + У (оА. cos ААсо/ + bk sin ААсо/). (1.16)
к=1
Здесь о0 — среднее значение — постоянная составляющая функ-
ции Д/); сумма ак cos kAcot + bk sin ААсо/ называется А-й гармони-
кой; Дсо=2л/7' — частота первой гармоники; числа о*, Ьк при
к > 0 называются коэффициентами ряда Фурье (1.16) и вычисля-
ются по формулам:
29
1 7/2
«о=- f/m (i.i7)
‘ -TH
2 тп
ak = — J/'(/)cos(AA<dz )<//, (1.18)
-TH
2 th
bk =~ f/(/)sin(AAco/)<://. (1.19)
' -TH
Из выражения (1.16) следует, что если /(/)— нечетная функ-
ция (симметричная относительно начала координат, т. е. J(-t) =
= тЛО) на интервале [-0,57 + 0,57], то
47 ;2 —
ло=О. =0, bk= — J/(z)sin(AAtiy)c/z, А = 1,оо. (].20)
о
Если же функция / (/)— четная (симметричная относительно
оси ординат, т. е./(/)=/(-/) на интервале [-0,57 0,57]), то
2 тн л т.н _____
a0=~ \f(t)dt, ак=~ f/(/)cos(A-A(D/)d/, 6А. = 0, fc = l,оо.(1.21)
‘о 1 о
В рассматриваемом случае (рис. 1 .3,а), функция f (/) является
нечетной, причем 7 = 4, а А(0=л/2. Поэтому по формулам (1.20)
имеем
«о = °’ «а = 0,
• 2г ( • я А , - 2а п ,2 2а, 4а
Ь. =]а sin—t \dt =--cos—г =--------(cosrc-cosO) = —,
о I 2 ; л 2 10 л п
6, - j«(sin nt)dt =——собл/Р = -—(cos 2л - cos0) = 0,
о п 0 л
, 2, ( . Зл А , —2а Зл ,2 2а t 4а
bk = ]«l sin—t \dt=——cos—/ =-----(cos3n-cosO) =----
о V 2 ) Зл 2 Зл Зл
Аналогично:
64=0, Ь5 =
4а-2
2-5л
5л 6 7 9л
30
Следовательно, заданная функция/(Г) (рис. 1.3,а) приближен-
но описывается выражением
„ 4а . л 4а . ,л 4а ... л 4а . _ л
f(t)~—sin—/ч-----sm3—t А---sin 5—1 +—sin 7—/.
л 2 Зл 2 5л 2 7л 2
Решение в M/4TLAB:
% объявляем символическую переменную 1
syms t
% вычисляем аналитически интеграл (1.19)
bk = int('a*sin(k*pi/2*t)', t, 0,2)
bk = -2*a*(cos(k*pi)-1)/k/pi
subs(bk, 'k', {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7})
ans = [ 4*a/pi]
( 0]
[ 4/3*a/pi]
( 0]
[ 4/5*a/pi]
[ 0]
[ 4/7*a/pi]
Следовательно, коэффициенты ряда Фурье
1 4а А Л А 4(1 К Л А 4с> - А Л А 4а
Ь. =—Ь-, =0; о, =—; о, =0; bs =—; Ь, =0; Л7 =—.
• л * ' Зл 5л 7л
Графики функции/(/) и ее ряда при а = 2 показаны на рис. 1.4.
’^6 -4 -2 0 2 4
Рис. 1.4. Графики прямоугольной волны и её приближения
1.24. Найти первые пять членов ряда Фурье функции (рис.
1.3,6), описываемой выражениями:
/, 2п — 1 < t < 2п,
п = 0, ±1, ±2, ....
2/, 2п < / < 2п +1,
Построить совместные графики функции и её приближения задан-
ным рядом Фурье.
/(0 =
31
Решение. Заданная функция имеет Т= 2, До)= л и не являет-
ся ни четной, ни нечетной, поэтому используем формулы (1.17)-
(1.19). В результате, разбивая каждый интеграл на два, получим
«о=^ j/J/+ J2ft//
о
1о
1[-0,5 + 1] = 0,25.
_ I t2
О
Так как, согласно [8. С. 84, 89], f/sin/J/ = sin/ — /cos/,
J/cos/<7/= cos/+ /sin/, то коэффициенты ак и Ьк можно вычис-
лить в общем виде:
kni = x t = 1, х = кп
О I у
bk = J/sin Атс/с/г + 2 f / sin А'ГС/с//= /= — t = Q, х = 0
-I о Ал
, dx
dt =--- / = -1,Х = -АЛ
Ал
। 0 кп
= ——— [ xsinxdv + 2 fxsinxdr —
(кк)~ __кп о
= —[(sin x~xcosx)j” + 2(sin х-хсо5х)|*л]=
(Ал)
—[sin Ал - Ал cos Ал + 2(sin Ал - Ал cos Ал)]=
(Ал)“
--3^У'
(Ал)- (Ал)- Ал
Ал/ = х, / = 0, х = О
0 1 х
ак - J/cos(An/)J/ + 2f/cos(An)r//= /=—,/ = -1, х = -Ал
-1 о Ал
, dx
dt = —, t = 1, х - Ал
Ал
। 0 кп.
= ——- [ xcosxtZr +2 [xcosxdv =
(Ал)2 [._/„ J
32
= —j—— [(cos x + xsin v)|”to + 2(cos x + x sin х)|*л ]=
= ——т[1 - cos An - An sin An + 2(cos An + An sin An -1)]=
(An)’
_ cos An + Ansin An -1 _ (-!)* -1
(An)3 (An)2
Следовательно:
a, = -2/n2, a, =0, <7, =-2/9n2, a4 =0, a5 = -2/25n2,
Al =3/n, b2 = -3/2n, b3 =3/3k, b4 = -3/4n, A3 -3/5n.
Решение в MATLAB:
% объявляем символические переменные Т и t
syms Т t
% вычисляем коэффициент а0 , вводя команду
аО = 1/Т* (int ( t‘ , t, -Т/2, 0)+int(,2*f , t, 0, T/2))
a0 = 1/8*T
% подставляем значение 7"=2
subs(аО, 'Т1, 2)
ans = 1/4
% следовательно, коэффициент а0 = 1/4;
% вычисляем коэффициенты
ak = int(t*cos(k*pi*t)•,t,-
1,0)+int(12‘t‘cos(k*pi*t)1, t,0,1)
ak = (-1+cos(k*pi)+k*pi*sin(k*pi))/k*2/pi*2
% подставляем значения A
subslak, 'к1, {1, 2, 3, 4, 5})
ans = [-2/pix2, 0, -2/9/pi"2, 0, -2/25/piA2]
% следовательно, коэффициенты ak равны
«I =— 2/n2; «2=0; «3=—2/9n2; «4=0; a5--2/25n2;
% вычисляем коэффициенты bk, вводя команду
bk = int(1t*sin(k*pi*t)*,t,-l,0)tint(*2*t*sin(k*pi*t)',
t,0,l)
bk = -3*(-sin(k*pi)+k*pi*cos(k*pi))/k'2/pi^2
% подставляем значения A
subs(bk,>k',{l, 2, 3, 4, 5})
ans = [3/pi, -3/2/pi, 1/pi, -3/4/pi, 3/5/pi]
Следовательно, коэффициенты bk равны
=3/n; A,=3/2n; A3=l/n; Z>4=-3/4n; fes=3/5n.
2—1607
33
Теперь можно записать ряд Фурье заданной функции
„ 1 I
/(/)= +_
4 л
f 2 3 2 'I
cos л/ + 3sin л/ sin 2л/ cos Зл/ +
л----------------------------------2-9л
3 . л 2 с 3 . с
+ sm Зл/-----sin 4л/-------cos 5л/ + — sin 5л/
I 4 25л 5 у
Графики заданной функции и её приближения построенным рядом Фу-
рье приведены на рис 1.5.
Рис. 1.5. Кусочно-линейная функция и её приближение
1.25*. Найти первые пять членов ряда Фурье, записать конечный
ряд Фурье периодических функций, графики которых приведены
на рис. 1.6. Построить совместные графики функций и их рядов.
1.25.3*
Рис. 1.6. Периодические функции сложной формы
1.25.4*
34
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Классический метод решения дифференциальных
уравнений
2.1. Найти решение однородного дифференциального уравнения
3y + 18r + 75.v = 0 (2.1)
при начальных условиях у(0) = -5 , у(0) = -3 классическим ме-
тодом.
Решение. Поскольку необходимо использовать классический
метод, то заменим производные сГy/dt' величиной к', в резуль-
тате чего получим характеристическое уравнение
ЗА +18А + 75 = 0. Корни этого уравнения к}, = о ±3 j — — 3 ±4/.
Так как корни комплексные, то общее решение уравнения
(2.1) имеет вид
Уойи, = (С\ cosp/ + С2 sin р/)=е“3'(С] cos4z + С2 sin 4/), (2.2)
где С|, С2 - постоянные интегрирования, которые определяются
по заданным начальным условиям.
Чтобы определить их значения, найдем первую производную:
У„бш = -Зе”3' (G cos4/ + С, sin 4/) + е~’' (С2 4cos4/ - С, 4sin 4/). (2.3)
Затем, полагая в выражениях для yo6l/j (/) и yoiiltl (/) переменную
t = 0 , приравняем их к заданным начальным условиям. В резуль-
тате получим алгебраическую систему из двух уравнений
Уотц (0) = -ЗС, + 4С, = -3 , уоби1 (0) = С, = -5.
Решение этой системы даёт С, = -5 , С2 = -4,5 . Подставляя
эти значения в (2.2), получим искомое решение
у (г) = е“3' (-5 cos 4/ - 4,5 sin 4t)
однородного дифференциального уравнения (2.1), удовлетворяю-
щее заданным начальным условиям.
Решение в MATLAB:
у0 = dsolve(13*D2y+18*Dy+75*y=01, 'у(0)=-5', ’Dy(0)=3‘)
у = -5*ехр(-3*t)‘cos(4*t)-9/2*ехр'(-3*t)*sin(4*t)
% для построения в MATLAB графика этого решения напишем
% w-файл следующего содержания:
t = 0:0.01:3;
у = -exp(-3*t).*(5*cos(4*t) + 4.5*sin(4*t));
plot(t, у, 'k'), grid on
Введя этот файл, получим график, приведенный на рис. 2.1.
У
-3
-6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 t
Рис. 2.1. График решения дифференциального уравнения
2.2. Найти решение однородного дифференциального уравне-
ния 2y + 16y + 30v = 0 при начальных условиях v(0) = 0,
у(0) = —4 классическим методом.
Решение. Аналогично рассмотренному выше, найдем харак-
теристическое уравнение А2+8А + 15 = 0. Его корни А, =-3,
к2 — —5. Так как корни вещественные и различные, то общее реше-
ние рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид
y^ty^C^'+C.e-51
где Ci,C2 - постоянные интегрирования. Их значения определя-
ются из системы алгебраических уравнений, которая строится ана-
логично изложенному выше:
тоби, (0) = С, + С2 = 0, уоб„, (0) - -ЗС, - 5С2 = —4 .
Решение этой системы даёт Ct = -2, С2 — 2 . В результате получим
искомое решение y(t) = -2е-3/ + 2е-5' заданного уравнения.
Решение в MATLAB:
у = dsolve('2*D2y+16*Dy+30*y=0', 'у(0)=0', 'Dy(0)=-4')
у = -2*exp(-3*t)+2*exp(-5*t)
% для построения в MATLAB графика этого решения напишем
% w-файл следующего содержания:
t = 0:0.01:3;
36
у = 2*(exp(-5*t) - exp(-3*t));
plot(t, у, 'к'), grid on
Введя этот файл, получим график, приведенный на рис. 2.2.
У | _________________
- 0.251
- 0.3 I /
- 0.35 \ /
-0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 t
Рис. 2.2. График решения
2.3. Найти решение неоднородного дифференциального урав-
нения
у + 7у + 12у = 5е’3'+2 (2.4)
при начальных условиях у(0) = 1, j(0) = -1 классическим методом.
Решение. Решение неоднородного дифференциального урав-
нения всегда равно сумме y(t) = уоби) (I) + участ (I), где уобщ (I) -
общее решение соответствующего однородного дифференциаль-
ного уравнения, которое в данном случае имеет вид
у + 7 у +12 у = 0; участ (i) - частное решение, которое определя-
ется видом правой части неоднородного уравнения (2.4).
Решение однородного уравнения находится, как описано вы-
ше. В данном случае характеристическое уравнение имеет вид
к2 +7Л +12 = 0. Его корни кх = -4, к2 = -3. Поэтому общее ре-
шение указанного однородного дифференциального уравнения
запишется так: уобщ (t) - СКе~^‘ + С2е~3', где С\,С2 - постоянные
интегрирования.
Перейдем к определению частного решения. Правая часть
уравнения (2.4) состоит из суммы экспоненты и константы, поэто-
му частное решение имеет вид
у.жт (О У част 1 (0+ У част 2 (/). (2.5)
Так как показатель экспоненты в составляющей внешнего воздейст-
вия -Зе-3' совпадает с корнем к2 = -3 характеристического
уравнения, то имеет место так называемый случай резонанса [5].
37
Поэтому Уi(0= Dte~3', причем множитель t перед экспонен-
той в этом выражении появился именно из-за резонанса. Вторая со-
ставляющая участ2 (/) - А, так как в этом случае резонанса нет.
Здесь A, D — некоторые коэффициенты.
Для определения значений этих коэффициентов найдём про-
изводные участ (/), утс,„ (!) и подставим Участ (/) (2.5) и эти про-
изводные в уравнение (2.4). В результате получим равенство
e~3'D + 12Л = 5еi' + 2 . Приравнивая выражения перед экспо-
нентой и константой в левой и правой части, найдем D = 5,
А = 1 / 6 . Подставляя эти коэффициенты в выражение (2.5), будем
иметь ywcm (/) = 5/е-3' + 1 / 6.
Таким образом, полное решение заданного неоднородного
дифференциального уравнения (2.4) имеет вид
у(Х) = С,е-4' + С,е 3' + —+5/е 3/.
6
Постоянные интегрирования Ct, С2 определяются так же, как и в
случае решения однородного дифференциального уравнения, т. е.
исходя из заданных начальных условий.
В данном случае соответствующая система алгебраических
уравнений имеет вид
у(0) = С, + С2 + 1/6 = 1, у(0) = —4С| - ЗС, + 5 = -1.
Решение этой системы даёт С, =7/2, С2 =-8/3. Подставляя
найденные значения Q, С2, получим искомое решение
y(f) = —е~4' - -е~3' + — + 5te~3'.
2 3 6
Решение в MATLAB:
у = dsolve('D2y+7*Dy+12*y=5*exp(-3*t)+
2 1, 'у (0) s’l', 'Dy(O) = -1')
у = 1/6*ехр(-3*t)*(-30+exp(3»t)+30*t)+7/2*ехр(-
4*t)+7/3*exp(-3*t)
y=simplify(y)
у =-8/3*exp(-3*t)+1/6+5*t*exp(-3*t)+7/2*exp(-4*t)
% для построения в MATLAB графика этого решения напишем
38
% m-файл следующего содержания:
t = 0:0.01:3;
у = 1/6 + 5*t.*exp(-3*t)-8/3*exp(-3*t)+7/2*exp(-4*t);
plot(t, у, 'к'), grid on
Введя этот файл, получим график, приведенный на рис. 2.3.
Рис. 2.3. График решения неоднородного
дифференциального уравнения
2.4. Найти решение неоднородного дифференциального урав-
нения
у + 5у = 10 (2.6)
при начальных условиях у(0) = 0 , j(0) — 1 классическим методом.
Решение. Решение неоднородного дифференциального урав-
нения равно сумме y(t) = уоби1 (/) + участ (0. Решение y„6ui(t)
однородного уравнения находится, как описано выше.
В данном случае характеристическое уравнение имеет вид
к2 + 5к - 0. Его корни кх = 0, к2 = -5. Следовательно, общее ре-
шение имеет вид уоби/ (/) - С, + С2е5', где Сх, С2 - постоянные
интегрирования.
Так как правая часть уравнения (2.6)— константа, а среди
корней характеристического уравнения имеется нулевой, то, как и
в предыдущей задаче, имеет место случай резонанса. Поэтому ча-
стное решение уравнения (2.6) имеет вид
Учост(1) = В1е01 =Bt, (2.7)
где В — некоторый коэффициент, который находится, как описано
выше, т. е. путём подстановки решения участ (/) в уравнение (2.6).
В данном случае в результате подстановки найдем, что В= 2.
39
Подставляя это значение коэффициента В в выражение (2.7), полу-
чим
Таким образом, полное решение уравнения (2.6) имеет вид
y(t) = С, +С2е~5' +2t. Постоянные интегрирования определя-
ются из системы у(0) = -5С2 +2 = 1, у(0) = С( + С2 = 0. Реше-
ние этой системы даёт С2 = 0,2, С, = -0,2.
Подставляя найденные значения Ct, С2, получим искомое
решение у(/) = -0,2 + 0,2е~5' + It.
Решение в MATLAB:
у = dsolve('D2y+5*Dy=10', 'у(0)=0', 'Dy(0)=l')
у = 2*t-l/5+l/5*exp(-5*t)
% для построения в MATLAB графика этого решения напишем
% /и-файл следующего содержания:
t = 0:0.005:0.5;
у = 2*t - 0.2 + 0.2*exp(-5*t);
plot(t, у, 'k'), grid оа
Введя этот файл, получим график, приведенный на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Решение дифференциального уравнения
2.5*. Найти классическим методом вручную и проверить с по-
мощью MATLAB (используя алгоритм решения задачи 2.4) реше-
ния следующих дифференциальных уравнений. Построить графи-
ки решений с помощью Матлаб:
2.5.1* Зу + 24у + 36у = 0 ,
2.5.2* Зу + 9у + 14у = 2 + 3t,
2.5.3* 2у + 4у + бу = 2t,
2.5.4* Зу + 18у + 24у = 0 ,
2.5.5* 5у + 25у + 75у = 2 + е~‘,
2.5.6* 2у + 24у + 72у = е’2',
при у(0) = 1; у(0) = 2 .
при у(0) = 1, у(0) ~ 1 •
при у(0) = 2 , у(0) = 0 .
при у(0) = 4, у(0) = 2 .
при у(0) = 3, у(0) = 1.
при у(0) = 2 , у(0) = 3 .
40
2.2. Решение уравнений методом преобразования Лапласа
2.6. Разложить на простейшие дроби следующую дробно-
рациональную функцию:
_______5/2 +10______
(р + 1)2(/Г+7/> + 12) ’
Решение. Найдём сначала корни знаменателя заданной функ-
ции. В нашем случае корни равны: -1 кратный, а также -3 и —4.
Поэтому
5/2 + 10 А В С D
—--------------------—---------— -I-------1-------1------. (2.8)
(р + \)~(р + 4)(р + 3) (р + 1)2 р + 1 Р + 4 Р + 3
Коэффициенты А, С, D можно найти, умножая обе части равенства
на множители (/> + !)", (/> + 4), (р + 3) и полагая соответствен-
но р = — 1, р — — 4, р — — 3 . В результате получим:
5/2 + 10 __5 с 5/2+10 _1£
(р2 +Тр + \2) р=_~ б' ~ (о + I)2(/> + 3) ^"’9 ’
D _ 5/2 + 10 _
" (/2 + 1)2(/2+4) л=_3 " 4
Коэффициент В найти аналогичным образом нельзя из-за наличия
дроби А/(р +1)2. Для его определения подставим найденные зна-
чения коэффициентов А, С и D в (2.8) и приведём подобные. Да-
лее, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в
числителях дробей слева и справа в равенстве (2.8), найдём
В — 5 / 36 . Следовательно, заданную дробь можно представить
следующим образом:
5/2 + 10 _ 5/6 5/36 10/9 5/4
(/? +1)2(/2 + 4)(/2 + 3) (р + 1)2 Р + 1 р + 4 р + 3
Решение в MATLAB:
% вводим полином числителя, начиная со старшей степени
В = [5 10] ;
% полином знаменателя получаем перемножением 3-х полиномов
А = conv(conv([l 1] , [1 1] ), [1 7 12])
А = 1 9 27 31 12
41
р
% находим разложение на простые дроби с помощью команды
[R, Р, К] = residue (В, А)
R = 1.1111
-1.25
0.13889
0.83333
-4
-3
-1
-1
К = []
% преобразуем числа R из десятичных в рациональные дроби
format rational
R
R = 10/9
-5/4
5/36
5/6
format short g
Таким образом, в соответствии с описанием синтаксиса функции
residue разложение заданной дроби на простые дроби имеет вид
1.1111 1.25 t 0.13889 t 0.83333 _ 10/9 5/4 t 5/36 t 5/6
p + 4 p + 3 p + 1 (p + 1)2 p + 4 p + 3 p + 1 (p + 1)2
2.7. Найти решение неоднородного дифференциального урав-
нения
5у + у + 40,05у = 40 -1(/)
при начальных условиях у(0) = 1, 5(0) = — 1 методом преобразо-
вания Лапласа (операторным методом).
Решение. Запишем сначала изображения по Лапласу искомой
функции у(/) и её производных:
У <=> у(р). У <=> ру(р) - У(0), У <=> р2у(р) - ру(0) ~ 5 (0).
Так как изображение по Лапласу функции 1(f) равно 1/р, то,
подставляя в заданное уравнение вместо функций y(t), g(f) и
производных их изображения, найдём после очевидных преобра-
зований изображение искомого решения:
р-о.8„+8
р{ р~ + 0,2/? + 8,01)
(2.9)
42
Так как корни полинома знаменателя — комплексные
/>12 =—0,1 ± / 2-^2 , то с целью использования таблиц изображений
по Лапласу представим его в виде р1 + 0,2/> + 8,01 =
~{р + а)2 + со2 = (р + 0,1)2 + 8.
Подставим это выражение в знаменатель выражения (2.9) и
разложим результат на простейшие дроби. Это дает
р1 - 0,8р + 8 _А Вр + С
У Р -/7((л + 0,1)2+8)- р + (/7 + 0,1)2 +8 ’
Определяя коэффициенты так, как описано в задаче 2.6, полу-
чим А = 1, В - 0, С = -1. Наконец, выполняя обратное преоб-
разование Лапласа с помощью таблицы соответствующих изобра-
жений, приведенной в приложении П.1, найдём
y(t) = 1 —ехр(-0,1/) sin Vi/.
V8
Решение в MATLAB:
% вводим команду:
y=dsolve('5*D2y + Dy + 40.05*y=40.05','у(0)=1','Dy(0)=-
1')
у = l-l/4*2A(l/2)*exp(-l/10*t)*sin(2*2'(l/2)*t)
% для построения графика этого решения напишем
% от-файл следующего содержания:
t = 0:0.02:35;
у = 1 - 0.25*sqrt(2)*exp(-0.1*t).*sin(2*sqrt(2)*t);
plot(t, у, 'k'), grid on
% введя этот файл, получим график, приведенный на рис. 2.5.
У
0 5 10 15 20 25 30
Рис. 2.5. График решения неоднородного
дифференциального уравнения
43
2.8*. Найти операторным методом решения уравнений и по-
строить их графики с помощью MATLAB:
2.8.1* у + 4у + 8_у = 5/, при у(0) = 1, у(0) = 2 .
2.8.2* 3у + 24_у + 96 у = 0 , при у(0) = 0 , j(0) = 0 .
2.8.3* у + 7 у +12 у — 5е~3', при у() =3, у0 — 5, Ц) =—66.
2.8.4* i'! + 3у + 2у = 0, при _у(0) = 2 , _у(0) = -1 .
2.8.5* у + 7 у + 10_у = 5е~2', при у(0) = 1, у(0) = — 1 .
2.8.6* у + 10_у + 16у = 4cos 3/, при у(0) = 0 , v(0) = 1 .
2.3. Разности и разностные уравнения
2.9. Найти разности с 1 -й по 5-ю дискретной функции
gk — 2кТ + 4е~2кТ.
Решение. Если функцию gk считать нулевой разностью
A0gk , то /-я разность, как известно, определяется равенством
Поэтому в заданном примере
4g* =gk -£а-1 =2кТ+4е~2кТ-2(к-\)Т-4е^к^т =2Т+
+4е~2кТ()-е2Т),
A2g* =A,g*-A,g*_| =2Т + 4е-2кГ(\-е2г)-2Т-4е-^-'}Тх
х (1 - е2т ) = 4е~2кт (1 - е2т )(1 - е2т ) = 4е~2кТ (1 - е2Т )2,
A3gk -A2gk_, =4е-2кГ(1-е2У -4е~2^г(1-е2У =
= 4е-2АГ(1—е27)3.
Отсюда можно сделать вывод, что в данном случае
A'gk =4е-2кт(1-е2ту, /=2,3,4...
Следовательно, например,
A4gt =4e-2kr(l-e2r)4, A5gA. =4e~2kr(l-e2r)5.
44
2.10. Построить график решетчатой функции ук = gk_2, если
0-0,5*
в к = 2е
Решение. В данном случае функция ук — это функция gk,
смещённая в будущее время на два периода, равных единице. По-
этому для решения задачи, полагая к = 0, 1, 2,...7, вычислим зна-
чения функции gk = 1е~й,5к и построим её. Затем сместим её ор-
динаты на два периода вправо, как показано на рис. 2.6.
2.11. Найти первые пять значений решения разностного урав-
нения
У к + 1.5Л-) + 0,6yt_2 = gk (2.10)
ПРИ В к = 0,1 Л и начальных условиях у_{ -1, у_2 = 0,5 .
Решение. Наиболее простым методом решения разностных
уравнений является рекуррентный метод. При его использовании
из разностного уравнения выводится выражение для ук через
предыдущие значения решения ук_{, ук_2, и входного воздей-
ствия. Затем с помощью полученного выражения последовательно
вычисляются значения решения.
В данном случае из уравнения (2.10) с учётом того, что
gk = 0,1 к, выводим равенство
У к = - 0,6yt_2 + 0,1 Аг. (2.11)
Отсюда при к = 0 находим
45
у0 = — l,5y , - 0,6y_2 + 0,1 A' = —1,5 1 — 0,6 • 0,5 = -1,8.
Аналогично по (2.11) находим при
к = 1 у, = -1,5у0 - 0,6уч + 0,1 1 = 1,5 1,8 - 0,6 1 + 0,1 = 2,2;
к = 2 у2 =—1,5у| -О,6уо +0,1-2 = —1,5-2,2+0,6-1,8+0,2 = -2,02;
А = 3 у} = -1,5у2 -0,бу, +0,1-3 = 1,5-2,02-0,6-2,2+0,3 = 2,01;
к = 4 у4 =-1,5у3 -0,бу, +0,1 -4=—1,5 2,01+0,6-2,02+0,4 = -1,403;
к = 5 у5 =-1,5у4 -0,6у3 +0,1-5 = 1,5-1,403-0,6-2,01+0,5 = 1,3985
Решение в MATLAB:
% вводим начальные значения
ук_2 = 0.5; ук_1 = 1;
% создаем вспомогательные массивы
g = [] ; у = П ; кшах = 5;
% организуем цикл
i = 0:kmax;
for к = i
gk = 0.1*k; g = [g; gk] ;
yk = -0.6*yk_2 - 1.5*yk_l + gk;
у = [у; yk] ;
yk_2 = yk_l; yk_l = yk;
end
disp ( к gk yk •)
disp([i• g y])
plotli', g, 'o--', i', y, o-')» grid
Введя этот файл, получим таблицу:
к 0.1k yk
0 0 -1.8
1 0.1 2.2
2 0.2 -2.02
3 0.3 2.01
4 0.4 1.403
5 0.5 1 .3985
а также график, приведенный на рис. 2.7.
На этом рисунке приведены значения функции = 0,1 Л и
найденные значения решения ук. Небольшое число этих значений
не даёт полного представления о характере решения рассматри-
ваемого разностного уравнения. Однако MATLAB дает возмож-
ность без проблем получить любое число значений как функции
46
gk =0,1 к, так и решения ук. Полагая в приведенном выше файле
Атах = 25 > получим графики, приведенные на рис. 2.8.
-Зо 1 2 3 4 £
Рис. 2.7. Начальные ординаты решения разностного уравнения (2.10)
Подчеркнём, что решениями разностных уравнений, как и их
правыми частями, являются дискретные (или решетчатые) функ-
ции. Именно их значения соединены на рис. 2.7 и 2.8 отрезками
прямых линий. Эти прямые, соединяющие точки, не имеют отно-
шения ни к решению разностного уравнения, ни к дискретной
функции 0,lit. Их проводят, чтобы подчеркнуть, сделать более на-
глядным характер (монотонный или колебательный) соответст-
вующих дискретных функций.
Рис. 2.8. Решение ук разностного уравнения (2.10)
и решетчатая функция gk в его правой части
2.12*. Найти значения у0 — у12 решений следующих разно-
стных уравнений рекуррентным методом:
2.12.1* ук +0,8yt_j — 0,012yt_2 + 0,01у*_3 = 0,5/:
при y_j = 0, у_2 = -1, j_3 = -0,5.
2.12.2* ук + 0,6jt_, - 0,08jt_2 = 2 • 1[А] + 0,2А
при у_! =-0,5; у_2=-1.
47
2.12.3* yk = 2gA_l-0,5gA._2-l,5g,_3
при произвольных начальных условиях.
2.4. Решение разностных уравнений
методом z-преобразования
2.13 . Найти методом z-преобразования решение разностного
уравнения
1+1,12Л_2=2-1(^) (2.12)
при нулевых начальных условиях ( у_| = 0 и у_2 - 0), и построить
его график.
Решение. Перейдём в уравнении (2.12) к z-изображениям с
учетом заданных нулевых начальных условий. Если Z{yk}=y(z'),
то в соответствии с теоремой запаздывания [5. С. 198] имеем:
Z{yk.,} = z-'y(z), Z{yk_2} = z*y(z).
По таблице z-изображений (см. приложение П.1) находим
также Zkl[k]} = z/(z-l). Подставляя z-изображения вместо пере-
менных в (2.12) и группируя подобные члены, получим
(2 —3z-1+l,12z-2)j'(z) = 2—
z -1
Отсюда следует
(2.13)
y(z) =--------------------
(z-l)(z2 -l,5z + 0,56).
Теперь для решения уравнения достаточно найти оригинал
полученного выражения. С этой целью вынесем z, а оставшуюся
дробь разложим на простейшие дроби. Корни уравнения
z2 —1,5z + 0,56 = 0 равны = 0,7 , z2 - 0,8. Поэтому правую часть
(2.13) можно представить в виде
( „2
А В С
-1 z-0,7 z—0,8
(2.14)
(jz-l)(z-0,7)(z-0,8)
Неопределённые коэффициенты в этом равенстве найдём, как опи-
сано в задаче 2.6, т. е.
48
1
А =---------------
(z-0,7)(z-0,8)
= 16,67,
0,3 0,2
0,49
В —
= 16,33,
l)(z-0,8) =o7 -0,3 (-0,1)
2
(z-l)(z —0,7)
-^ = -32.
-0,2-0,1
Подставляя полученные значения в (2.14), а затем в (2.13), по-
лучим
у (z) = 16,67 - — +16,33 —--32 —=—.
z-1 z-0,7 z —0,8
В соответствии с таблицей z-изображений (приложение П.1)
можно записать соответствия:
—----->1[А], —------>0,7*, —------->0,8*.
z-1 z-0,7 z —0,8
Следовательно, решение заданного уравнения имеет вид
ук = 16,67 1[А] +16,33 • (0,7)* - 32 - (0,8)*.
Решение в Maple:
restart;
y[n]:=rsolve({2*у(n)-3*у(n-1)+1.12*у(n-2)=2, y(0)=0
y(l)=0} ,y(n));
-50
50
3
у [к] :=subs (п=к+2,у [п] ) ;
(* + 2>
Г4
Л
у [к] : =simplify(у[к] ) ;
г. := -32 4з + — 7*10 + —
' ‘ 3 3
Вычисление ук в MATLAB:
ук_2 = 0; ук_1 = 0;
у! = [] ; у2 = [] ; ктах = 25;
49
1=0:kmax;
for к = i
yl = [yl; 50/3 + 49/3*0.7"k - 32*0.8лк] ;
yk = (-1.12*yk_2 + 3*yk_l +2)/2;
y2 = [y2; yk] ;
yk_2 = yk_l; yk_l = yk;
end
dlsp(* к уIk y2k')
disp([i yl y2])
plot(i', yl, 'o-'), grid
Введя этот файл, получим:
к ylk у2к
0 1 1
1 2.5 2.5
2 4.19 4.19
3 5.885 5.885
4 7.4811 7.4811
5 8.926 8.926
6 10.2 10.2
7 11.301 11.301
8 12.24 12.24
Здесь в столбец ylk помещены результаты вычисления решения раз-
ностного уравнения, а в столбце ук2 показаны значения, вычисленные
рекуррентным методом; как видно, оба столбца совпадают. График полу-
ченного решения приведен на рис. 2.9.
Рис. 2.9. График решения разностного уравнения
2.14 *. Найти методом z-преобразования решения следующих
разностных уравнений при нулевых начальных условиях и по-
строить их графики:
2.14.1* ук + 0,6у*_, - 0,08у*_2 = 0,5Л.
2.14.2* ук + ук_х + 0,34л_2 = ВД + 0,6*.
50
2.14.3* ук + 0,5Л_, = 2gt_, - 0,5gt_2; gk = 0,5A.
2.14.4* 3yk +1,8yk_} — 0,28vA._2 = 4,5A.
2.5. Построение переходной матрицы
2.15. Найти переходную матрицу системы уравнений
%! = -2х{, х2 = -Зх2, Л'3 = -Л’з. (2.15)
Решение. Система дифференциальных уравнений
х = Ах
имеет переходную матрицу еА‘ [3], которая удовлетворяет сле-
дующим основным свойствам:
В случае заданной системы (2.15) по (2.17) имеем:
-2 0 О’ е“2' 0 0 '
А = 0-3 0 , еА1 - 0 е~3' 0
0 0-1 0 0 е~'
2.16. Найти переходную матрицу системы
-3 2 '
X = X.
1 -2
Решение. Если заданная матрица А имеет произвольный вид,
Аг —
то матрицу е удобнее всего находить операторным методом по
формуле
51
e" =L~'{(pE-Ay'},
где Z,-1 — обратное преобразование Лапласа.
Для заданной системы по формуле (1.13) имеем
(2.18)
(pE-A) =
р + 3 -2
-1 E + 2J
adj(/>E - A) =
2
р+з]’
detfpE— А) = р2 +5/2+4,
(pE-Af =
р+2 2
/г+5/2+4 1 р+3
(2.19)
p + 2
1
Таким образом, в соответствии с формулой (2.18) и равенст-
вом (2.19) для решения задачи необходимо найти обратное преоб-
разование от выражения вида
Ар + В
р2 +5р + 4
при различных значениях коэффициентов А и В.
Корни знаменателя /22+5/2 + 4, очевидно, равны /?|=-4,
р2 — — 1, т. е. указанную дробь можно представить в виде
Ар + В _ Ар + В _ С + D
р2 +5/2 + 4 (/? + 4)(р +1) р + 4 /2 + 1
Используя приём, показанный в задаче 2.6, находим
Ар + В
/2 + 1
р + 4 .
г Р=-\
(2.20)
D =
Подставляя значения А и В из (2.19) в (2.20) для четырёх слу-
чаев, будем иметь:
л , „ „ -4 + 2 2 -1 + 2 I
— при А =1, В = 2 находим: С=---------= — , D=—-------= —
-4+1 3 -1+4 3
т. е. если еА' = [<р/у-(/)], то
2 1
3 р + 4
ф, ,(/) = £'
1 1 2е^'+е~'
------—------------
3/2 + 1] 3
52
A = О, В = 2 имеем: С=-- = ——, D=--------——, т. е.
р + 1 , 3 —1+4 3
<Pi2(O =
-2g-4' +2е
3
-—при А = 0, 5 = 1 находим: С =-- =—, £> = —, т. е.
г -4+1 3 3
Наконец, при Л = 1, 5 = 3 имеем: С—---=—, D=------=—, т. е.
-4+1 3 -1+4 3
4*22(0 =
g~4' + 2е~'
3
Таким образом, в данном случае
At _ 1 2g + g
•5 -I -41
j e —e
2e~' - 2g“4'
g4'+2g-'
(2-21)
Для проверки сначала положим в (2.21) t = 0. Получим
g 10 —Е, что соответствует первому равенству (2.16). Далее най-
дём производную deAl /dt и произведение АеАг:
</е4' _ 1 -8g~4'-g-' -2g-'+8g-4'
dt ~3 -g-'+4g-4/ -4g-4'-2g-'
AeAr=- 3
3 1
2 1 2g-4'+g"'
-2 e-'-e"4'
2e-'-2g-4'
g-4'+2g-'
^Г-8е'4,-е-' 8g-4'-2g"'
3 4g~4'— g-' -2g-'-4g“4'
Следовательно, полученная матрица (2.20) удовлетворяет и
второму равенству (2.16).
Решение в MATLAB:
% команды:
53
syms t
A = [-32; 1 -2];
eAt = expm(A*t)
% результат:
eAt = [l/3*exp(-t)+2/3*exp(-4*t),
-2/3*exp(-4*t)+2/3*exp(-t)]
[-l/3*exp(-4*t)+l/3*exp(-t), 2/3*exp(-
t)+l/3*exp(-4*t)].
2.17. Найти переходную матрицу с помощью матрицы Ван-
дермонда, если
О 1
-4 -5
А =
(2.22)
Решение. В данном случае матрица А является так называемой
сопровождающей матрицей, которая в общем случае имеет вид
'0 1 0 0
0 0 1. 0
А = ; • • • • (2.23)
ООО. 1
-а0 -а, -а.
Отличительной особенностью этой матрицы является то, что её харак-
теристический полином A(p) = det(pE- А) можно записать сразу:
Ар) = Р”+ a„-iP”~' + - + aiP + «о - (2-24)
Кроме того, если все корни X, полинома (2.24) различные, т. е.
Х; Ф к-, то справедлива формула
eAl =Wdiag{eXl' Л' ... (2.25)
Здесь А — сопровождающая матрица (2.23), W — матрица Ван-
дермонда, которая определяется выражением
1 1 1
W = X. х2 - (2.26)
у-' X"’1 •• ЬЯЛ
54
В случае заданной матрицы (2.21) полином (2.24) имеет вид
А(р) = р1 + 5р + 4,а его корни X, = —4, Х2 = -1, т. е. различные.
Поэтому по формулам (2.26), (1.13) и (2.25) находим:
Решение в MATLAB:
% команды:
syms t
А = [0 1; -4 -5] ;
eAt = expm(A*t)
% результат:
eAt = [-1/3*ехр(-4*t)+4/3*ехр(-t), l/3*exp(-t)-
l/3*exp(-4*t)]
(-4/3*exp(-t)+4/3*exp(-4*t), 4/3*exp(-4*t)-
l/3*exp(-t)].
2.18*. Найти по формулам, приведенным выше, переходную
At
матрицу е , если:
—5 0 0 '-3 2 0 '
2.18.1* А = 0 0 0 2.18.2* А = 0 -1 1
0 0 1 0 0 -2
2.18.3* А = -5 _ 2 3 ’ -4 2.18.4* А = "3 0 2 ' -5
2.18.5* А = ' 0 -12 1 -7 2.18.6* А = 0 1 ’ -1 •
Указание. Для проверки правильности полученных вручную реше-
ний найдите соответствующие матрицы ехр(Л/) с помощью MATLAB,
используя программу решения задачи 2.17.
55
2.6. Решение систем дифференциальных уравнений
2.19 . Найти решение однородной системы уравнений
-2 0 О'
Л = 0-3 0 0 0-1 X (2.27)
при х0 = [2 - 3 0]т . Построить графики переменных состояния
л, (0, i = 1,3 данной системы.
Решение. Решение однородной системы дифференциальных
уравнений
х=Ах (2.28)
описывается выражением
x(t) = eA,x0. (2.29)
В случае заданной системы (2.27) матрица системы А являет-
ся диагональной. Поэтому по формулам (2.17) и (2.29) находим
е~2' 0 0 ' 2 ‘ ' 2е~2' ’
х(/) = 0 е 31 0 -3 = -Зе-3' -
0 0 е-' 0 0
Для построения графика -V|(0 заметил!, что х,(0) = 2, а
Х|(°о) = 0. Далее найдём время, за которое экспонента Се а1 до-
стигнет значения, равного 5 % от начального значения. Обозначим
это время t. Тогда можно записать уравнение
Се~а'р =0,05 С.
Сокращая здесь на С и логарифмируя, получим
tp = -(1п0,05)/а = 3/а или tp~3T, где 7' = 1/а — постоянная
времени экспоненты. Таким образом, графики переменных .г, (г) в
данном случае имеет смысл строить при 0 < t < (1,5 2) tp~ 2,5 с.
Эти графики приведены на рис. 2.10.
56
2.20 . Найти решение системы дифференциальных уравнений
(2.30)
у = [2 0] х + 0,2 g
при х0=[1 1]г и g(t) = 1,51, t>0, и построить зависимости
у(0 и g(f) на одном рисунке.
Рис. 2.10. Графики переменных состояния
Решение. Заданная система дифференциальных уравнений
(2.30) является частным случаем системы
х = Ах+В g, (2.31)
y = Cx + Dg. (2.32)
Решение системы (2.31), (2.32) определяется формулой Коши:
у = СеА,х0 + ]ceAi,~^Bg(T)dx+Dg(t). (2.33)
о
Таким образом, в соответствии с формулой (2.33) необходимо
сначала найти матрицу еА‘. В случае системы (2.30) матрица А
совпадает с матрицей, для которой в примере (2.16) найдена мат-
рица еА‘ (2.21). Используя это выражение, найдем, что свободная
составляющая решения (2.33) системы (2.30) будет равна
усв(г) - СеА'х0-[2
0]
2с-4' + е~'
2е~' -2с4'
е~4' +2е~'
1 - = 2еч.
1 3
Для вычисления интеграла в (2.33) найдём сначала произведение
57
Сел(,~х)В = [4е~4' + 2е“' 4е~' - 4е~4' ]
0 1 =
ij з 3
Далее, заменяя здесь t на t-T, запишем интеграл из (2.33):
I = -е-4('-т>)1,5тЛ = 2е" /еЧЛ-2е-4' Je4x тЛ.
О 3 0 0
Интегрируя по частям или применяя формулу (567.1) из [8. С. 116]
при а = 1 и а = 4, будем иметь
/(1) = 2е“'[е'(1-1) + 1]-2е
4 16 16
Л,_^+2е-<_1е-4'.
2 8 8
Теперь, суммируя, согласно (2.33), все составляющие реше-
ния, получим:
y[f) = 2 е~' + -1 -—+ 2 е4 - - е~4' + 0,2 • 1,51 =
2 8 8
= 1,81- — + 4е~'--е 4/.
8 8
Графики функций g(l) и y(t), с учётом того, что «самая
медленная» экспонента «затухает» в данном случае за 3 с, приве-
дены на рис. 2.11.
Рис. 2.11. Возбуждающая функция и решение системы ДУ
Замечание. В полученном решении имеется составляющая 1,81, про-
порциональная входному воздействию g(l) = 1,51, и две экспоненты
ехр(- 1) и ехр(- 41), показатели которых равны корням характеристиче-
ского полинома матрицы А заданной системы уравнений (2.30). Напом-
58
ним, что эти экспоненты являются собственными модами некоторой ди-
намической системы, которая описывается этими уравнениями.
Решение в MATLAB:
% команды:
syms t
x=dsolve('Dxl=-3*xl+2*x21, 'Dx2=xl-
2*x2+1.5*t','xl(0)=1',*x2(0)=1‘);
xl = x.xl, x2 = x.x2
y=2*xl + 0.2*1.5*t
% результат:
xl = -l/16*exp(-4*t)+2*exp(-t)+3/4*t-15/16
x2 = 2*exp(-t)+l/32*exp(-4*t)+9/8*t-33/32
у = -l/8*exp(-4*t)+4*exp(-t)+9/5*t-15/8.
2.21 *. Найти решения следующих систем дифференциальных
уравнений:
-5 0 o'
2.21.1* 0 0 0 X ,
0 0
-3 2 0 '
2.21.2* x — 0 -1 1 X
0 0 -2
2.21.3* x = -5 2 3 — 4 A
2.22 *. Найти решения следующих систем дифференциальных
уравнений и построить графики функций g(/) и y(t):
2.22.1*
0
-12
g, 40) =
g = KO,
у = [2 0]% + [l,5]g;
g = 2sin(3/),
y = [2 0]x;
59
2.22.3* х =
О
л(О) =
g = 2e 3',
Т=[3 О]х.
Указание. При решении задач 2.21* и 2.22* целесообразно находить
соответствующие матрицы ехр(Л?) с помощью MATLAB, используя про-
грамму решения задачи 2.17.
2.7. Решение систем разностных уравнений
2.23. Найти значения решений хк и ук системы однородных
разностных уравнений
’3 -2 1’ т
•Ч+1 = 0 ‘1 1 , х0 = 0 (2-34)
2-10 2
У к = [3-4 2]хЛ. (2.35)
рекуррентным методом при к =0,1,2,3.
Решение. В этом методе заданная система уравнений (2.34)
рассматривается как формула для вычисления хЛ+| по вектору хк .
Поэтому, полагая в (2.34) и (2.35) к =0,1,2..., получим
Л = 1,
То=[3
У, =[3
-4
-4
13
39
>2=[3
-4
2]
= 39
12
22
Л = 0
Л = 2
4
8
60
115
к = 3, _у3=НЗ,
34
66
>>4=341.
Решение в MATLAB:
% команды:
А = [3-2 1; 0 1 1; 2 -1 0] ;
С я [3 -4 2] ;
хО = [102]';
хк = хО; ук = С*хО; к = 0;
for i = 1:4
к = [к il
х = А*хк(:,end);
ук = [ук С*х] ;
хк = [хк х];
end
к, хк, ук
% результат:
к= 0 1 2 3 4
хк = 1 5 13 39 115
0 2 4 12 34
2 2 8 22 66
ук = 7 11 39 113 341
2.24. Найти значения решений хк и ук системы неоднород-
ных разностных уравнений
Г°,8 П Г 1 1 Го, 51 .....
х.,, = хк + gk, х0 = ’ (2.36)
А+1 [0,15 0J [0,5J [-1
Л=[2 1]-» (2-37)
рекуррентным методом при gk = 2кТ , Т = 1, к = 0,1,2,3,4-
Решение. Неоднородная система уравнений (2.36) также мо-
жет рассматриваться как формула для вычисления xt+1 по хк . По-
этому, как и выше, положим в (2.36) и (2.37) последовательно:
Л = 0,
То =[2
0,8
0,15
11 ГО,5'
0 -1
0,5
-0,6
0,075
61
-0,6
0,075
к = 1
У,=[2
1]
1,125,
*2= 0,8 Г 0,15 0 Г-0,6' 0,075 + 1 0,5 2= 1,595 0,91 5
6,186
к - 2 у2 = 4,1, х3 -
2,239
'13,187'
к=3 уз =14,611, х4 =
3,927
22,476
к = 4 у4 = 30,304, х5 = 5,978 •
Решение в MATLAB: -
% команды:
А = [0.8 1; 0.15 0] ; В = [1 0.5]
С = [2 1); хО = [0.5 -1] ;
к = 0; хк = хО; ук = С*х0; дк = 2*к
for i = 1:5
к = [к 1);
х ж А*хк(:,end)+B*gk(end);
ук = [ук С*х] ;
хк ж [хк х] ;
дк = [дк 2*1],
end
к, дк, хк, ук
% результат:
к ж 0 1 2 3 4 5
дк= 0 2 4 6 8 10
хк = 0.5 -0.6 1.595 6.186 13.188 22.478
-1 0.075 0.91 2.2393 3.9279 5.9782
ук = 0 -1.125 4.1 14.611 30.304 50.935
2.25. Найти решения системы
-Ч+1 = 0,8 1' — 0,15 0 хк + ’ 1 ' 0,5 £к, *о.= 0,5’ -1 , (2.38)
Ук = [2 1] хк (2.39)
хк и ук методом z-преобразования, при Т -0,8с и gk -кТ.
62
Решение. Прежде всего, с помошью таблиц z-изображений
(приложение П.1) найдём z-изображение g(z) внешнего воздейст-
вия о = кТ:
(2.40)
при ненулевых началь-
(5.12) в [5]) уравнение
zx(z)-zx0=
1
0,5
g(z).
1
O,5JU-1)
°’8 Zy. (2.41)
1
, л °’8z
g(2)=^-
Далее подвергаем z-преобразованию
ных условиях (см. теорему упреждения
(2.38). В результате получим
0,8
-0,15 0
Отсюда с учётом (2.40) выводим
Г Г 0,8 11Л
zE- x(z) =
I L-0J5 oJJ
Чтобы найти из этого выражения x(z), вычислим сначала по
формуле (1.11) матрицу A"1 (z) = adj A(z)/det A(z). В нашем случае
z 1
-0,15 z-0,8 ’
adj/l(z) =
Az) =
z-0,8 -f
0,15 z
detA(z) = z~ -0,8z+0,15. Корни уравнения z2-0,8z + 0,15 = 0 рав-
ны zt=0,3; z2=0,5. Поэтому detH(z)=(z-0,3)(z-0,5), а матрица
z 1
-0,15 z - 0,8 J (z - 0,3)(z - 0,5)
Умножая уравнение (2.41) на матрицу A~l(z) слева, получим
1
/l-'(z)-
z z 1
.v(z) =-------------
(z-0,3)(z-0,5)L-0,15 z-0,8
Вычислим сначала составляющую хсв(к), обусловленную на-
чальными условиями. Её изображение
z 1
- 0,3 )(z - 0,5) |_- 0,15 z - 0,8j[-1
0,8
2
L0,5j(z-l)
• (2.42)
*<«(*) =
0,5
z
0
63
0,5z —1
(z - 0,3)(z - 0,5) [^0,725 - z
(2.43)
Для того чтобы из (2.43) определить хсв(к) с помощью таблиц
z-изображений, разложим на простейшие дроби отношение
Az + B
(z-0,3) (z-0,5)
D С
z-0,3 z-0,5 ’
(2.44)
где А и В — заданные коэффициенты, имеющиеся в (2.43), a D и
С — неизвестные коэффициенты, которые нужно найти. Применяя
методику, описанную в задаче 2.6, получим
Az + B
z-0,5 z=0,3
Az + B
z-0,3
(2.45)
0,5
Сравнивая (2.44) с (2.43) и применяя формулы (2.45), найдём:
0,5z-l 4,25z 3,75z
(z - 0,3)(z - 0,5) -z + 0,725 z-0,3 -2,125z z-0,5 1,125z
(z - 0,3)(z - 0,5) z-0,3 ' z-0,5
Далее с помощью таблиц z-изображений (см. приложение П.1)
получим
-3,75 (0,5)* + 4,25 (0,3)*
1,125 (0,5)*-2,125 (0,3)*
(2.46)
Для проверки положим здесь к - 0, тогда хсв (0) - [0,5 -1] т.
Так как вынужденная составляющая решения будет равна нулю
при к — 1 (поскольку во входном воздействии нет 8-функций), то
хсв(0) должно быть равно заданному вектору х0. В нашем случае
это условие очевидно выполняется.
Перейдём к определению вынужденной составляющей
хвын(А'), z-изображение которой, согласно (2.42), определяется вы-
ражением
-0,15
1
z-0,8
0,8 z
0,5J(z-1)2(z-0,3)(z-0,5)
1
64
или
%вын (г)
0,8z+0,4 2
0,4z-0,44] (z-l)2(z-O,3)(z-O,5) ‘
(2.47)
Как и выше, разложим на простейшие дроби соответствующие
отношения в (2.47), т. е.
Az+B
D K L . (2.48)
(z-l)2(z-0,3)(z-0,5) (z-1)2 z-1 z-0,3 z-0,5
Так как здесь имеется кратный полюс (z = l), то формулы,
аналогичные (2.45), применять не целесообразно. В связи с этим
найдём дополнительные множители к каждой дроби и составим
систему алгебраических уравнений следующего вида:
0,15 -0,15 -0,5 -0,3 С В
-0,8 0,95 2 1,6 D А
1 -1,8 -2,5 -2,3 К 0
0 1 1 1 L 0
(2.49)
Эта система получается путём приравнивания коэффициентов
при одинаковых степенях z в числителях правой и левой части
равенства (2.48), после приведения его правой части к общему
знаменателю. Записывается же она путём подстановки коэффици-
ентов дополнительных множителей к каждому слагаемому в пра-
вой части (2.48) в соответствующие столбцы матрицы в левой час-
ти системы (2.49).
Решение системы (2.49) целесообразно найти с помощью
MATLAB. Для.этого вводим команды:
а=[0.15 -0.15 -0.5 -0.3, -0.8 0.95 2 1.6; 1 -1.8 -2.5
-2.3; 0111];
Ы=[0.4; 0.8; 0; 0];
Ь2=[-0.44; 0.4; 0; 0);
ll=inv(a) *Ы
12=inv(a)*Ь2
% в результате MATLAB выдаст векторы 11 и 12.
Тогда значения коэффициентов из (2.48) будут равны:
а) для х1выи: С = /1(1), D = /1(2), К = /1(3), L = /1(4);
б) для х2выи: С = /2(1), D = /2(2), К = /2(3), L = /2(4).
3—1607
65
Подставляя полученные значения коэффициентов C,D,K,L в
(2.48) и (2.47), получим /-изображение вектора хвын(г):
XKb.„(z)-
3,4286 z 9,4694 z 6,5306 г 16z
(z-1)2 z-1 z-0,3 z-0,5
-0,1143 z l,5347z 3,2653 z 4,8 z
-----------1-------1-----------------
(z-1)2 г-l z-0,3 z-0,5
Отсюда с помощью таблиц z-изображений (см. приложение П.1)
находим
3,4286
-0,1143
к+
-9,4694
1,5347
-6,5306
3,2653
0,3* +
16
-4,8
0,5*. (2.50)
Нетрудно убедиться, что условие гвы„(0) = 0 выполняется.
Таким образом, в соответствии с выражением (2.42), (2.46) и
(2.50) вектор хк определяется выражениями
**=*«(*)+*••(*) =
’ 12,25'
-3,675
0,5* +
-2,2806 , -9,4694
0,3* +
1,1403 1,5347
3,4286
-0,1143
Наконец, подставляя найденный вектор хк в равенство (2.39),
будем иметь
ук = 20,825 (0,5)* - 3,4209 • (0,3)* -17,4041 + 6,7429 • к.
В заключение отметим, что разложение z-изображений на про-
стейшие дроби можно выполнять и в MATLAB. Например, в слу-
чае хкын(г) (2.47) это делается следующим образом:
% команды:
В1 =(0.8 0.4]; В2 =[0.4 -0.44];
den = conv([l -1],[1 -1]);
den = conv(den,(1 -0.31);
den = conv(den,[1 -0.5])г
[R, P] = residue(Bl, den)
[R, P] = residue(B2, den)
% значения неопределенных коэффициентов Я, и соответствующих
% полюсов Р из (2.48):
R = -9.4694
66
3.4286
16
-6.5306
R = 1.5347
-0.11429
-4.8
3.2653
P = 1
1
0.5
0.3
Нетрудно видеть, что коэффициенты, найденные решением системы
(2.49) и приведенной программой, совпадают.
2.26 *. Вычислить рекуррентным методом значения — реше-
ний следующих систем разностных уравнений при к = 0, 1, 2, 3, 4 :
2.26.1*
'0,2 0,08 У 0,5
4+1 - -1 0,4 хк + 1 gk, хо = 0,5]’
№=[-1 gk=3k-
2.26.2*
2.26.3*
‘0,6 1 ' ' 1 * т
-Ч+1 = 0,24 0,8 хк + -1 gk *0 = 2 9
У к = [-1,5 0,5К, gk = 2 sin 0,3 А
0,5 0 1 ' У ’3
**+1 = -1 0,7 0,8 хк + 1 gk > * 0 “ -1
0 -2,2 0,3 0 0,5
ук =[0,15 0,75 0,5]х Н g*.= 1,5-1(A).
2.27 *. Найти решения хк и ук системы разностных уравне-
ний из задачи 2.26.1* методом z-преобразования: а) при gk -Зк ;
б) gk = 2 1(A) и тех же начальных условиях.
2.28 *. Найти решения хк и ук системы уравнений из задачи
2.26.2* методом z-преобразования: а) при х0 =[0 О]7; gk =2sinO,3A,
б) х0=[1 - 0,5]г; = 2 • 1(A).
67
3. МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ, СИСТЕМ И ВОЗДЕЙСТВИЙ
3.1. Модели непрерывных элементов и систем
3.1. Получить математическую модель в переменных состоя-
ния схемы, показанной на рис. 3.1. Обозначить в модели U} = g,
U2= у, а переменную состояния — х .
Рис. 3.1. RC-цепь
Решение. На основе законов Кирхгофа можно записать
I '
17, = IR + Uc, U2 = Ut, Uc= — ]7(т)dx + Uc„ .
С о
Здесь Ue0 — начальное значение напряжения на конденсаторе.
Обозначим х = Uc.. Тогда I = (67, - U() / R = (С7, - х) / R.
С другой стороны, дифференцируя Uc по времени, получим
UC=I IC. Следовательно, х = (Ut - х) / RC. Обозначив произве-
дение RC = Т, получим
1 ’ ,, ,,
X = -yX + yl7(, и2=Х.
Величина Т - RC — это постоянная времени RC -цепи (рис. 3.1).
Наконец, вводя заданные обозначения для входа и выхода, бу-
дем иметь
Полученные выражения представляют собой математическую
модель в переменных состояния заданной RC-цепи.
3.2. Получить математическую модель схемы с операционным
усилителем, приведенной на рис. 3.2.
Решение. Для операционного усилителя можно записать сле-
дующие соотношения:
I. _ U вых тт _ ^вых
у и ’ m к '
“ U^const У
Здесь — напряжение непосредственно на входе усилителя.
Рис. 3.2. Операционный усилитель
с емкостной обратной связью
Так как коэффициент усиления операционных усилителей
обычно ку ~ 106, а ивых =15 +20В, то, очевидно, можно считать,
что « 0. При этом условии на основе законов Ома и Кирхгофа
для входной и выходной цепи усилителя можно записать следую-
щие равенства:
I. = — , 12 =~, Uc =—+ .
I D D f'' * с * см ’
/Vj С/ о
ивЫх=ис, 1х+12+1с-1у=о.
Ток 1у = 0, так как UKX ~ 0. Следовательно, 7, +12 + 1С = 0. Сно-
ва обозначим x = Uc. Тогда
• л 4 А+Л» 1 (Ц и2}
С С С^ r2)
Обычно в это выражение вводятся коэффициенты передачи
следующим образом. Пусть R Ф 0 — сопротивление некоторого
резистора. Тогда предыдущее равенство можно записать так:
69
Обозначая RC — Т, R!R} =kt, R! R2—k2 и вводя стандарт-
ные обозначения Uehlx = у, Ul=g], U2~ gi, получим
k2
X = -^S'-^8^ У = Х-
Данные уравнения представляют собой математическую мо-
дель в переменных состояния схемы, приведенной на рис. 3.2.
3.3. Вывести математическую модель в переменных состояния
электрического двигателя постоянного тока с якорным управлени-
ем, схема которого приведена на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Двигатель постоянного тока
На рис. 3.3 Мс — момент сопротивления, вызываемый трением,
Мвр — момент вращения, развиваемый двигателем. Выходной
величиной принять соя — скорость вращения якоря.
Решение. Так как управление двигателем якорное, то
Ue = const, поэтому можно считать, пренебрегая реакцией якоря,
что поток возбуждения Фв = const, и цепь возбуждения не рас-
сматривать. Тогда уравнения двигателя на основе законов Кирх-
гофа и Ньютона можно записать следующим образом:
с]ф
U„ = wh —Г~ + СеЫя +1Л< мво = С..1Я ,
Л Л Я С. Л Л ЛГ Л '
70
Mep=Jx-f-+Mc. (3.1)
at
В уравнениях (3.1) принято, что вращающий момент Мвр
пропорционален току якоря, а противоЭДС пропорциональна ско-
рости вращения якоря; С„, Се — коэффициенты пропорциональ-
ности; R„, Jя —- сопротивление обмотки якоря и момент инерции
вращающихся частей, приведенный к оси якоря, ыя — коэффици-
ент пропорциональности между ЭДС самоиндукции и скоростью
изменения магнитного потока якоря.
Первое уравнение (3.1) является нелинейным, так как магнит-
ный поток якоря Фя нелинейно зависит от тока якоря 1Я. Для
упрощения анализа его обычно линеаризуют в окрестности уста-
новившегося значения Гя тока якоря. С этой целью разложим не-
линейную функцию Фя{1 я) в ряд Тейлора. В результате получим
Фя U я ) = Ф» U* + ЫЯ) = Фя U* ) + Ф'°я ^я + -
Здесь многоточием обозначены отбрасываемые далее слагаемые,
которые содержат старшие производные.
Подставим эту сумму в уравнение (3.1) и выразим все осталь-
ные переменные через их отклонения от установившихся значе-
ний, т. е. положим U я = ия + Д£7Я, Мс - М° + ДЛ/С и т. д. Кроме
того, исключим переменную Мвр . В результате получим
Фя = Ф'°я пяФ'°я Ы +Са> +/ЯЛЯ,
C,,I „ =J „(Пя + М,.
ft ft ft L
или
U* + Д(/я = и>яФ’°я Д/я + СДсо°я + Дсо) + Яя (/; + Д/я), (3.2)
Cv (Гя + Д/я ) = J я Л(ЬЯ + M°c + ДЛ/С. (3.3)
Полагая в этих уравнениях все отклонения и их производные рав-
ными нулю, получим уравнения установившегося режима:
= Се(1)оя + R„ 1°, СМ1Я = М°с . (3.4)
71
Вычитая из уравнений (3.2) и (3.3) уравнения (3.4), получим соот-
ветственно линейные уравнения в отклонениях:
АС/ = ыяФ'°я Д/я + С„Д<оя + /?ЯД/Я,
С.Д1 „ =JKA6ia + АМГ.
Чтобы записать эти уравнения в общепринятой форме, введем
две переменные состояния (по числу производных по времени):
Xi = Д/я, х2 - Д(йя . Кроме того, разделим обе части первого урав-
нения на и-яФ'°я, а второго на J я. В результате получим
Х| = —«цЛ| — «ПХ, +/>|И ,
Х2 Г/2|Х| 1
_Г = х2,
где и = Лия, f = &Mc, aH=RJw,^„ «12 = Q / %Ф'° ,
61=1/и,яФ'°я, a,, =CMIJ„, Ь2 = \ия.
Полученные уравнения являются искомой математической
моделью двигателя постоянного тока с якорным управлением,
ели выходной величиной является скорость вращения якоря.
3.4. На рис. 3.4,а показано устройство подъемной лебедки, а на
рис. 3.4,6 —- её кинематическая схема. Два троса намотаны на три ба-
рабана различных диаметров. Один из них радиусом R} установлен на
оси мотора, два других барабана, имеющие радиусы Я, и /?3, скреп-
лены вместе и вращаются вокруг одной оси. Общий момент инерции
всех барабанов относительно этой оси равен J6 . Чтобы поднять груз
массой т, двигатель развивает вращающий момент М. Необходимо:
а) вывести дифференциальное уравнение движения при подъ-
еме груза, предполагая, что М— некоторая функция времени;
6) найти условие, при котором груз будет подниматься;
в) пояснить, почему на рис 3.4 радиус /?з самый большой.
Решение. Подъем груза осуществляется при вращении скреп-
ленных барабанов под действием суммы моментов, создаваемых
двумя силами: F— натяжение троса и nig— вес груза (см. рис.
3.4), где т — масса груза, g — ускорение свободного падения.
72
Натяжение троса F создаётся вращающим моментом М мото-
ра, причем
M = FRX.
Так как при вращении скрепленных барабанов происходит пе-
ремещение груза, то инерция движущихся частей будет характери-
зоваться приведенным моментом инерции
пр ~ J бар ^^гр’
где J— приведенный к оси барабанов момент инерции груза.
Рис. 3.4. Подъемная лебедка
Приведенный момент инерции Jгр груза, перемещающегося со
скоростью v, определяется как момент инерции некоторого вра-
щающегося со скоростью скрепленных барабанов (О тела, кинети-
ческая энергия которого равна кинетической энергии груза, т. е.
J гр®2 _mv2
2
Так как линейная скорость груза г в рассматриваемом случае
(рис. 3.4,6) связана с угловой скоростью скрепленных барабанов
(О соотношением v = соТ?2, то из двух предыдущих равенств выво-
дим
т V2 ч ч
Л = — = Jбар +mR22. (3.5)
СО
73
Вращение скрепленных барабанов можно описать, воспользо-
вавшись третьим закона Ньютона. Применяя этот закон к движе-
нию скрепленных барабанов, получим уравнение
6 = F/?3-wg/?2. (3.6)
Согласно рис. 3.4,6 скорость груза, с одной стороны v = y,
а с другой— v = to/?2. Следовательно, 0 = V)=v/R2=y/R2. По-
этому из (3.5), (3.6) и равенства М = FRt вытекает окончательное
дифференциальное уравнение движения груза
, М
-mgR2)R2 (3.7)
Подчеркнем, что груз будет подниматься, только если ускоре-
ние у будет больше нуля. Согласно (3.7) для этого, очевидно, не-
обходимо, чтобы вращающий момент мотора был больше, чем
приведенный к валу мотора момент, развиваемый силой тяжести
груза, т. е.
(3.8)
Как видно на рис. 3.4,а, лебедка устроена так, что радиус R2
является самым большим по сравнению с Rx и R2. По формуле
(3.8) нетрудно заключить, что в этом случае мотор может поднять
значительно больший груз, чем если бы, например, R2 = R2.
3.5. Получить уравнения в переменных состояния гидравличе-
ского дифференцирующего устройства (рис. 3.5) при следующих
исходных данных: жесткость пружины с = 30 Н/см, длины рыча-
гов Юсл/, /2=20с.и, диаметр отверстия в поршне
d0 = 0,05 см, диаметр поршня D = 5 см, диаметр штока
dlu =0,5 см, динамический коэффициент вязкости жидкости
= 0,1 Н с/м2, число Рейнольдса Re = 2300 [15].
Дифференцирующее гидравлическое устройство состоит из
пружины 1, рычага 2, штока 3 с поршнем 5 и цилиндром 4.
В поршне 5 имеется отверстие для перетока жидкости. Поскольку
74
жидкость практически не сжимаема, то под действием силы g,
резко приложенной к цилиндру 4 и сжимающей пружину 1, одно-
временно перемещаются цилиндр и поршень со штоком 3. Это
приводит к повороту рычага 2 и перемещению точки М вниз. За-
тем, по мере перетекания жидкости, поршень возвращается в ис-
ходное положение под действием пружины I.
Рис. 3.5. Гидравлическое дифференциальное устройство
Таким образом, входной величиной дифференцирующего уст-
ройства является перемещение g цилиндра, а выходной — перемеще-
ние у точки М рычага 2. Необходимо найти уравнения, связывающие
эти величины.
Решение. При наличии входного воздействия g на поршень 5
действует, во-первых, сила Fd, обусловленная разностью давле-
ний в верхней и нижней полости цилиндра. Величина этой силы
Fd=S(P2-Pi),
где S = (nD2 -nd2)/4— эффективная площадь поршня;
Р2 - Рх — разность давлений над поршнем и под ним (влиянием
отверстия и тем, что штока снизу нет — пренебрегаем).
Во-вторых, на поршень 5 действует сила пружины 1. Величи-
на этой силы обычно пропорциональна сжатию или удлинению
пружины (на рис. 3.5 это х — перемещение точки К ), т. е.
75
(3.9)
=сх,
где с — жесткость пружины.
Под действием разности давлений Р2 - Pf жидкость перетека-
ет из одной полости цилиндра в другую, поэтому в соответствии с
уравнением Бернулли
„ RLyMs
= ^7~
cdQ
где V| — скорость перемещения точки N (см. рис. 3.5),
v^-dg/dt, a v2 — скорость перемещения точки К,
v2 = dx/dt.
Если силой инерции пренебречь, то закон равновесия
приложенных к поршню, запишется так: Fd + Fn = 0. Подставляя
приведенные выражения, найдем
( dx dg
d0
Отсюда вытекает уравнение состояния рассматриваемого уст-
ройства
(3.10)
т. е.
т. е.
сил,
+ сх = 0.
dt dt
cd0
X =-------X + g .
Выходная величина у — перемещение точки М — связана с
перемещением штока х законом рычага:
(З.П)
11’
или
11
(3-12)
Вводя обозначения
Т _ReVXS к _>2
cJ0 /,
и подставляя численные значения, получим:
76
= 10 2300 0,7-3,14 (5Z . J0-4 _0>52 .]0-4) = 0,208 с,
30 0,05 10 --4
20
К = — = 7
'• 10
Для получения уравнений состояния рассматриваемого гид-
равлического устройства в стандартной форме введем, следуя
[5. С. 119], одну переменную состояния x—x(t). С этой целью
положим х - х + к g, где к — неизвестный пока коэффициент. Он
выбирается согласно [5] так, чтобы производная х не зависела от
g . Производная по времени переменной х определяется, очевид-
но, выражением х = х + к g. Подставляя в это равенство х из
(3.11), с учетом введенного обозначения, получим
x=~~* + g + *g- (3.13)
' А
Отсюда следует, что производная х не зависит от g при
к - -1. Подставляя это значение в (3.13) и в равенство х = х + к g,
получим х =-х/Т^ , х = х - g . Исключая х из этих равенств, вы-
води м х = - (х + g)/Тду , а из (3.12) - у = кду (х + g).
Наконец, подставляя в эти выражения приведенные выше чис-
ленные значения, получим искомые уравнения в переменных со-
стояния дифференцирующего устройства
х — —4,8х — 4,8 g
у=2х+2g
(3.14)
Таким образом, в рассмотренном гидравлическом дифферен-
цирующем устройстве входное воздействие влияет и на скорость
изменения его переменной состояния и непосредственно на изме-
нения его выходной величины.
77
3.6*. Получить математические модели следующих схем:
Рис. 3.6. Корректирующие цепи (о, б, в) и суммирующий усилитель (г)
3.7 *. Вывести нелинейные уравнения смесительного бака ци-
линдрической формы (рис. 3.7) в переменных состояния, а затем
линеаризовать их в окрестности установившихся значений, пола-
гая выходной величиной у уровень Н жидкости в баке, а управ-
лениями — расходы, т. е. г/, = gt, г/2 = д2.
Расход д,
Концентрация с.
Мешалка Расход д2
Концентрация с2
Рис. 3.7. Смесительный бак
В бак поступают два раствора с расходом </, м3 / с и д-,
л/3 / с. Содержимое бака объемом V6 интенсивно перемешивается
мешалкой так, что концентрация вещества в баке равна с. Из бака
раствор вытекает в количестве д л/3/с. Площадь поперечного
сечения бака S = 0,8 л/2.
78
Уравнения баланса объемов и масс для бака имеют вид
dV~\~ = Ч\ (О + ?2 (О - 9(0.
at
^[с(О^б(О] _ с + с
dt
Мгновенный расход выходного потока равен
q(t) = к H(t),
где к - 0,024 м2,5 / с, а установившиеся значения: q°t = 0,02 л/3 / с,
9° =0,01 л/3/с, с, = 1,4кмоль!.м3, с2 =2 кмоль/м3. При выводе
математической модели бака принять х, = Н , х2 =ms =cV3.
3.8 *. Вывести и линеаризовать уравнения акселерометра, из-
меряющего линейные ускорения а некоторого объекта. Упрощен-
ная схема акселерометра приведена на рис. 3.8, где обозначено:
т — масса груза, Un — напряжение питания потенциометра,
Ua — выходное напряжение акселерометра. Пружины и корпуса
демпфера и потенциометра прикреплены к объекту.
Рис. 3.8. Акселерометр
Указание. При выводе уравнений обозначить: к — жесткость пружи-
ны 2, kv — коэффициент скоростного трения демпфера 3 и принять во
внимание, что смещение Аг груза т в вертикальном направлении про-
порционально ускорению корпуса акселерометра в установившемся режи-
ме, т. е. при Лг = 0 и Аг = 0, /Хх--к„а, где а — ускорение корпуса ак-
селерометра.
79
3.9 . Найти передаточную функцию дифференцирующего уст-
ройства, рассмотренного в задаче 3.5.
Решение. Для определения передаточной функции запишем
уравнения в переменных состояния (3.14) в изображениях по Лап-
ласу при нулевых начальных условиях:
рх(р) = —4,8[х(р) + g(p)], у(р) = 2[х(р) + g( Р)] •
Из первого уравнения выразим х(р) и подставим его во вто-
рое уравнение:
\ ~4’8 ( \ I \ 2Р < X
х(р) =---77^» У^ =-----------
р + 4,8 р + 4,8
Отсюда, искомая передаточная функция
- g(p) 0,20Sp + l
3.10 *. Найти:
a) y(t) как функцию времени в задаче 3.4, предполагая, что
М— константа, выполнено условие (3.8), и что груз начинает
движение с высоты h0 при нулевой скорости;
6) передаточные функции смесительного бака, рассмотренно-
го в задаче 3.7, и записать его уравнение вход-выход;
в) передаточную функцию акселерометра, линейные уравне-
ния в переменных состояния которого получены в задаче 3.8*.
Указать типовое звено, которое является математической моделью
акселерометра.
3.11 *. Записать передаточную функцию генератора постоян-
ного тока (ГПТ), работающего на активное сопротивление, полагая
выходной величиной UH — напряжение на сопротивлении нагруз-
ки, а входной Ue — напряжение на обмотке возбуждения. Урав-
нение вход-выход ГПТ в отклонениях имеет вид
+ =Кигие. (3.16)
at at
Указать типовое звено или звенья, передаточными функциями
которых можно описать данную модель ГПТ.
80
3.12*. Найти уравнения вход-выход динамических звеньев и
систем, которые описываются следующими передаточными функ-
циями:
3.12.1* >F,g(p) = - р3+2р + 5
3.12.2* 1F,g(p)= -12р+1 (3.17) s 4р2+20р + 2
3.12.3* ^(Р)= --J0, о • (3-18) g р3+4р'+8р
3.12.4* W (р) = — —. У8 (р + 4)(р + 2)(р + 3)
3.2. Модели импульсных систем
3.13. Найти разностное уравнение вход-выход
системы (рис. 3.9), импульсный элемент которой формирует пря-
моугольные импульсы длительностью ти = 0,28 с и периодом сле-
дования Т = 1 с. Передаточная функция непрерывной части
5
импульсной
»Fm(p) =----------------,
(р + 1)(0,5р +1)
(3.19)
а коэффициент передачи ИЭ кяэ = 1.
Рис. 3.9. Импульсная система
Решение. Разностное уравнение импульсной системы можно
получить, если предварительно найти ее передаточную функцию в
разомкнутом состоянии, которую можно определить выражением
Wp(z) = Z{Wnm(p)}, (3.20)
81
где Z{»}— символ z-преобразования, WnH4(p) — передаточная
функция приведенной непрерывной части, причем
= (3 21)
Здесь Ифэ(р) — передаточная функция формирующего элемента.
Когда ИЭ формирует прямоугольные импульсы длительно-
стью г„ и любым периодом следования Т, эта функция определя-
ется выражением
к Л— е~х"р)
^фэ(р) = —---------- (3.22)
Р
В нашем случае, согласно (3.19), (3.21) и (3.22), при =0,28,
^пнч (р) ~
10(1 — е~°~28р)
Р(Р + 1)(Р + 2)
(3.23)
Имея в виду необходимость взятия z-преобразования от WnH4(p)
согласно (3.20), разложим на простейшие дроби отношение
10 =А+ В + С
Р(Р + 1)(р + 2) Р р + 1 р + 2
Применяя соотношения, приведенные в задаче 2.6, найдем:
Л =--------------
(р + 1)(р + 2)
= 5,
В=-^-
Р(Р + 2)
=-ю,
₽=-
10
р(р + 1)
= 5.
р= -
В результате равенство (3.23) принимает вид
5 10 5 5е-0,28/> 10еч,'28р 5е"°-28р
^ПНЧ (Р) — . 1 + . Э + . 1 . 9 '
р р + 1 р + 2 р р + 1 р + 2
Подставляя это равенство в (3.20) и выполняя с помощью приложения
П.1 z-преобразование, получим с учетом значения Т = 1
5z
10z 5z 5 10e-0’72 5e-'M
----- -----------------1------—--------—-
z — e z — e z—l z — e z — e
82
или
^P(Z)= 2-P|Z + Po , (3.24)
z~ + atz + a0
где p, = 5(2e-0'72 -e-1’44 -2e"' + e~2) = 0,68077, a0 = e"3 =0,0498,
Po = 5(e'3 + e"2'44 -2e-2,72) = 0,0259914, «; = -(el + e2)«-0,5032.
Передаточную функцию (3.24) можно вычислить по Wm(p) и
в MATLAB с помощью программы c2taud, приведенной в прило-
жении П.З, следующим образом.
Решение Wp(z) в MATLAB:
% команды:
sys = tf(5,[0.5 1.5 1J > ; Т = 1; tau = 0.28; kie=l;
[syss, sysw] = c2taud(sys,T,tau, kie);
sysw
% результат:
Transfer function:
0.6808 z + 0.02599
z'2 - 0.5032 z + 0.04979
Sampling time: 1
Так как обратная связь единичная и отрицательная, то с уче-
том (3.24) будем иметь
(z) = У^1. = ^(Z) = Piz + Po
S(Z) ИНУ ^p(Z) + (C^l + Pl )^ + Cty + Pg
Наконец, подставляя численные значения, получим
0,68077;+ 0,02599 =2Й)
z +0,17757z + 0,07579 g(z)
Для вывода разностного уравнения вход-выход разделим чис-
литель и знаменатель дроби (3.25) на z2, поскольку это старшая
степень z, и раскроем правое равенство в (3.25) как пропорцию.
В результате получим
y(z) + 0,17757г 'y(z) + 0,07579z"2 y(z) =
= 0,68077z-'g(z) + 0,02599z’2g(z).
83
Наконец, переходя в этом равенстве к оригиналам с примене-
нием теоремы запаздывания [5. С. 198], будем иметь
ук + 0,17757у,_1 +0,07579^.2 = 0,68077g,+ 0,02599g,_2. (3.26)
Полученное выражение является искомым разностным урав-
нением вход-выход.
3.14 . Найти разностные уравнения в переменных состояния в
разомкнутом и замкнутом состояниях импульсной следящей сис-
темы (рис. 3.10), используя переходную матрицу ехр(Д/) . Непре-
рывная часть системы состоит из электронного усилителя с коэф-
фициентом усиления Ку, электродвигателя Дв с передаточной
функцией
^(Р) =
0,0102
(0,5р + 1)р
и редуктора с потенциометрическим датчиком, коэффициент пе-
редачи которых Кп = 10 В!рад.
Рис. 3.10. Импульсная следящая система
Импульсный элемент с периодом Т = 0,4 с формирует прямо-
угольные импульсы длительностью ти = 0,2 с. Коэффициент пере-
дачи ИЭ Киз = 1,7.
Решение. Если схему системы (рис. 3.10) привести к виду, по-
казанному на рис. 3.9, то передаточная функция её непрерывной
части будет равна
0,102К
WH4(p) =--------у—
(0,5р + 1)р
Чтобы упростить определение переходной матрицы ехр(Ли/)
непрерывной части, представим передаточную функцию WH4 (р) в
виде параллельного соединения двух типовых звеньев, т. е.
84
0,102Л\ 0,102Л\ 0,102 A? v
WH4 (p)=--------—=--------------------
(0,5p + l)p p P + 2
При этом уравнения в переменных состояния непрерывной
части системы можно записать так:
X] = 0,102Х\. и ,
х2 = -2х2 - 0,102A5y и ,
у = х, + х2
или в векторно-матричной форме
(3.27)
(3.28)
Запишем уравнение импульсного элемента в соответствии с
заданием и рис. 3.9 следующим образом:
w(0 =
КиэЕ, kT <t<kT + т„,
0, кТ + ти <КкТ + Т,
(3.29)
где е — отклонение.
В этом случае в соответствии с [4. С. 344] разностные уравне-
ния импульсной системы в разомкнутом состоянии имеют вид
х*+1 = Ахк + Ьгк, ук = стхк, (3.30)
где
А = еА“Т, b= ]eA“(T~v)dvbHKU3 . (3.31)
о
Если det * 0, то
b = -А~1 - е^т)ЬнКиз. (3.32)
Так как матрица Ан (3.28) является диагональной, причем
det Ан =0, то по формулам (3.31) путем поэлементного интегри-
рования матрицы при Т = 0,4с и 1и -0,2с находим
85
10 -10
„ , A =
0 С 0 0,4493
0,2
О
О 1Г 0,102/7,.
0,1105 -0,102X7
0,0347/7,,
= -0,0192/7,, ’
Подставляя найденные матрицу А и векторы b и с = с в
(3.30), получим уравнения рассматриваемой системы в разомкну-
том состоянии
’1 0 1 Г 0,0347/7,. 1
Х*+| “ 0 0,4493 Хк + -0,0192/7, £* ’
Л=[1 I]**-
Для получения уравнений замкнутой системы замечаем, что в
соответствии со схемой (рис. 3.9) рассогласование £ = g-y, по-
этому, исключая его в предыдущих уравнениях в соответствии с
выражением £А. = gk -ук = gk -[1 1]хА, получим
1-0,0347/7,.
0,0192/7,.
-0,0347/7, 0,0347/7,
0,449+0,0192Ку Х‘+ -0,0192/7,
(3.33)
Л.=[1 1К- (3.34)
Полученные выражения (3.33) и (3.34) являются искомыми раз-
ностными уравнениями в переменных состояния замкнутой им-
пульсной следящей системы, схема которой приведена на рис. 3.10
при gk = ил, ук =U„k.
Коэффициенты дискретных уравнений (3.30) системы в разомк-
нутом состоянии можно вычислить по Wm (р) и в MATLAB с помо-
щью программы c2taud, приведенной в приложении П.З. Покажем
это на примере рассмотренной здесь системы (рис. 3 J0) при Ку -1.
86
Вычисление коэффициентов уравнений в переменных со-
стояния в MATLAB:
% команды:
sys = tf(0.102,[0.5 1 0]); Т = 0.4; tau = 0.2; kie = 1.7;
[syss, sysw] = c2taud(sys,T,tau, kie);
[a,b,c,d] = ssdata(syss)
% результат:
a = 0.44933 0
0.55067 1
b = 0.046965
0.038043
c = 0 0.408
d = 0
Хотя коэффициенты полученных матриц отличаются от приведенных
выше значений, они точно так же описывают рассматриваемую систему
при Kv =1. В этом можно убедиться, если найти передаточную функ-
цию рассматриваемой системы в разомкнутом состоянии по тем и другим
уравнениям. Для получения передаточной функции по уравнениям, по-
лученным в MATLAB, достаточно ввести ещё одну команду
sysw
% результат:
Transfer function:
0.01552 z + 0.003578
z*2 - 1.449 z + 0.4493
Sampling time: 0.4
Чтобы получить’передаточную функцию, соответствующую полученным
ранее уравнениям, вводим в MATLAB команды:
а = [1 0;0 0.44933]; Ь = [0.0347;-0.0192]; с = [1 1] ; d = 0;
[bp,ар] = ss2tf(a,b,c,d)
% результат:
bp = 0 0.0155 0.0036082
ар = 1 -1.4493 0.44933
Как видно, коэффициенты передаточных функций совпадают, несмотря на то
что коэффициенты уравнений в переменных состояния различные.
Дискретные уравнения в переменных состояния можно получить
в MATLAB и по уравнениям в переменных состояния непрерыв-
ной части также с помощью указанной выше программы c2taud.
87
Для этого используются команды:
sys = ss([O 0; 0 -2],[0.102 -0.102]',{1 1] , [0]) ; Т =
0.4; tau = 0.2; kie = 1.7;
[syss, sysw] - c2taud(sys.T,tau, kie);
[a,b,c,d]=ssdata(syss)
% результат:
a = 1 0
0 0.44933
b = 0.034683
-0.019162
c = 1 1
d = 0
3.15 . Найти дискретную модель реактора в производстве эти-
лового спирта, передаточная функция которого описывается
[1. С. 33] выражением
0,13
1)79-ю6р3 + 4>28 - Ю4^2 +342^ +1 ’ (3~5)
если ИЭ формирует прямоугольные импульсы с периодом
Т = 10с и длительностью т„=10с, К1П =1. Оценить полноту
дискретной модели реактора.
Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношениями
(3.20)—<3.22) с тем, чтобы исключить необходимость построения
переходной матрицы ехр(Л/). Так как длительность импульсов
равна периоду их следования, то по (3.20)-(3.22)
lTr(z) = Z
Х„(1-е-^)
Р
и;ч(р)
или
IF (z)=Z_1zIrF",'(p)l-.
' Z [ р J
Если Wm(p) содержит запаздывание
t3 =w3T+jl37’ и m3 > 1, а 0 < у. < 1, т. е.
т3, причем
то выражение (3.20) принимает вид
88
WAZ>=----rz
zw'+
^(p)^'7"
p
(3.36)
Отметим еще раз, что для получения z-изображений функций
с запаздыванием по их изображениям по Лапласу, используются
специальные таблицы z-изображений функций с запаздыванием
(см. приложение П.1).
В рассматриваемой задаче т3/7’ = 5, т. е. /и3=5, а
Поэтому из (3.35) и (3.36) следует, что искомая функция
_____________________0,13____________________
/?(1,79 - 10б/>3 +4,28- 104/г +324р + 1)
(3.37)
Корни знаменателя отношения О{р) в фигурных скобках
данного выражения равны: р} =0, />,=-0,01157,
/>,4 =(~0,61696+/0,31961)10'2. При этом корни />,4 являются
также корнями трехчлена р2 + 0,012339/? + 0,000048279. Следова-
тельно,
1,79 • 106 О(р) = - + —-В----+ —----------Ср+р--------------
р р + 0,01157 р2 + 0,012339/? + 0,000048279 •
Выписав дополнительные множители для слагаемых, запи-
шем, как и в задаче 2.25, систему
5,5864-10'7 0 0 0 'А 0,13’
1,9106- (О'4 4,8279-10"5 0,01157 0 В 0
2,391-10’2 1,2339 10 2 1 0,01157 D 0
1 1 0 1 С 0
Эту систему решить достаточно точно вручную тем или иным
методом практически невозможно. Правильные результаты можно
получить, если решение этой системы и все указанные ниже опе-
рации осуществлять с помощью ЭВМ, например в среде
MATLAB. При необходимости выйти из ЭВМ промежуточные
результаты следует выписывать с точностью до 9-10-ти значащих
цифр.
89
Решив приведенную систему, получим
А В
Ср+Р
1,79 106О(р) = ^--------+-2-------------------------(3-38)
р р+0,01157 р2+0,012339р+0,000048279
Чтобы воспользоваться таблицами z-изображений, последнюю
дробь в (3.38) необходимо представить следующим образом:
(р +0,0061695) С__________________0,0031955 £__________
(р + 0,0061695)2 +0,00319552 (р + 0,0061695)2 +0,00319552 ’
(3.39)
где £ = (£>+0,0061695)70,0031955. Выражения (3.38) и (3.39) по-
зволяют записать с помощью таблиц z-изображение функции
1,79Ю9О(р):
Z{1,79 • 106 О(р)} = А —— В---------+
z-1 z-0,89074
+ —d cos(0,031955)z d sin(0,031955)z
z2 - l,8803z + 0,8839 z2 - l,8803z + 0,8839 ’
где d = exp(-0,061695) . Отсюда
z{o(„)}= (3.40)
z-1 [(z-0,89074)(z2 -l,8803z +0,8839) J
Наконец, подставляя выражение (3.40) в (3.37), получим иско-
мую передаточную функцию рассматриваемого реактора
^(z) = (^2+4^ + 1>О12)1О~5 . (3.41)
Р z5(z3— 2,771z2 + 2,558z— 0,7873)
Отметим, что корни числителя lVpe(z) равны z„, =-3,5169,
z„2 =-0,25242, а корни знаменателя zn) =0,89074,
zn23 =0,94015 ± j'0,00424. Так как среди корней числителя zHi нет
равных корням знаменателя znj, то данный дискретный объект
является полным.
Так как т„ = Т и £,„= 1, то передаточную функцию (3.41) по за-
данной можно получить в MATLAB с помощью операции c2d.
90
Решение в MATLAB:
% команды:
W = tf(0.13,[1.79е6 4.28е4 342 1], ’InputDelay’, 50)
Wd = c2d(W, 10)
% результат:
Transfer function:
1.14e-005z"2 + 4.297e-005z * 1.012e-005
z’(-5)‘ -------------------------------------------
zA3 - 2.77 z"2 + 2.558 z - 0.7873
Sampling time: 10
Таким образом, определение W(z) no заданной Wll4(p) при т„ = T с по-
мощью программы c2d значительно проще, чем вручную.
Отметим, что в приведенных командах запись 'InputDelay', 50 это ин-
формация о времени запаздывания 1} = 50. Если тз — 0, то эта запись
опускается.
3.16 *. Найти с помощью соотношений (3.20)-(3.22) переда-
точную функцию импульсной системы, схема которой приведена
на рис. 3.9, причем импульсы прямоугольные, Ки) =1,5, Г = 0,8 с,
т„ = 0,6 с, а
Р~
3.17 *. Найти с помощью соотношений (3.20)-(3.22) переда-
точные функции импульсной системы (рис. 3.9) в разомкнутом и
замкнутом состояниях, если ИЭ формирует прямоугольные им-
пульсы, Ku) = 1, Т = 1 с, т„ = 1 с, а
7
р + 0,5
Записать уравнение вход-выход замкнутой системы, если £ = g — у.
3.18 *. Найти с помощью соотношений (3.20)-(3.22) дискрет-
ную передаточную функцию fPp(z) системы, схема которой при-
ведена на рис. 3.11, если импульсы ИЭ прямоугольные, KU1 = 1,
Т = 1,5 с, т„ = 0,4 с, a Wm (р) = -- - .
m Р р(10р + 1)
91
Рис. 3.11. Разомкнутая импульсная система
3.19 *. Для системы, рассмотренной в задаче 3.16*, найти с
помощью соотношений (3.27)-(3.32) разностные уравнения в пе-
ременных состояния и передаточную функцию (в замкнутом со-
стоянии).
3.20 *. С помощью соотношений (3.27)-(3.32) найти разност-
ные уравнения в переменных состояния и передаточную функцию
замкнутой системы, рассмотренной в задаче 3.17*.
3.21 *. Решить приведенную выше задачу 3.18* с помощью со-
отношений (3.27)-(3.32).
Примечание. Решение задач типа 3.16-3.21 можно получать в среде
MATLAB. При этом, если импульсный элемент формирует прямоуголь-
ные импульсы, причем Тн — Т, кю = 1 и имеется запаздывание, то зада-
ча решается с помощью функции c2d. Если же запаздывания нет, Ти < Т
и кю любое, то — с помощью функции c2taud, приведенной в прило-
жении П.З (см. решение задач 3.13 и 3.14).
При этом важно иметь в виду, что в обоих случаях будут получены
дискретные уравнения в переменных состояния или дискретная переда-
точная функция системы в разомкнутом состоянии. Они будут соответст-
вовать либо введенной передаточной функции, либо введенным уравне-
ниям в переменных состояния непрерывной части импульсной системы.
3.3. Модели регулярных воздействий
3.22 . Записать математические модели воздействия g(t), гра-
фик которого приведен на рис. 3.12.
Решение. Судя по графику, данное воздействие является ли-
нейной функцией времени. Поэтому оно может быть описано вы-
ражением g{t) = gf)+gxt, 1>0 (3.42)
или g(f) = (go+gi() КО- (3-43)
92
Рис. 3.12. График внешнего воздействия
Полагая в (3.42) t = 0 и t = 9, получим с учетом графика на
рис. 3.12 систему уравнений
g(0) = go=2, g(9) = g0 + g|9 = 6.
Отсюда находим g0 = 2, gt — (6 — 2) / 9 = 4/ 9. Следовательно, во
временной области заданное воздействие описывается выражением
4
g(t) = (2 + —/)!(/). (3.44)
Подвергая каждое слагаемое выражения (3.44) преобразова-
нию Лапласа, используя приложение П.1, получим модель задан-
ного воздействия в изображениях по Лапласу
, ч 2 4 4/9 + 2»
g(p)=— + —Т =~— (3.45)
Р 9р- р-
Умножив обе части (3.45) на р~ и перенеся все слагаемые в
левую часть, получим
, 4
P'g(p)-2p-- = 0. (3.46)
По форме левая часть этого равенства соответствует изобра-
жению по Лапласу второй производной по времени g{t). Действи-
тельно, в общем случае Z{g(/)} = p2g(t) ~ Pg(ty ~ g(0)
Следовательно, равенство (3.46) является изображением по
Лапласу дифференциального уравнения
93
g(t) = o,
(3.47)
начальные условия которого: g(0) = 2, g(0) = 4/9.
Характеристический полином этого уравнения, очевидно,
имеет вид
G(p) = p2. (3.48)
Так как уравнение (3.47) имеет второй порядок, введем две
переменные состояния xlg -g и x2g = . Поскольку
x2g = g = 0, то уравнение (3.47) будет эквивалентно системе
^=0, £ = *),,
или в векторно-матричной форме
(3.49)
При начальных условиях xIg0 = 2, x,g0 = 4/9 решение систе-
мы (3.49), очевидно, будет совпадать с заданным воздействием
g(t), график которого приведен на рис. 3.12. Поэтому выражения
(3.42)-(3.48) представляют собой различные формы математиче-
ской модели линейных воздействий, причем:
(3.42), (3.43) — это явные математические модели всех линей-
ных воздействий в виде функций времени;
(3.47) — это модель всех линейных воздействий в форме диф-
ференциального уравнения;
(3.48) — это модель всех линейных воздействий в форме
/^-изображения;
(3.49) — это модель всех линейных воздействий в переменных
состояния.
В то же время выражения (3.44), (3.45), а также (3.46), (3.47)
при заданных начальных условиях являются различными формами
математической модели линейного воздействия, график которого
приведен на рис. 3.12.
94
3.23. Воздействие описывается функцией
/(/) = 5sin2r + 10e'01'. (3.50)
Найти его /^-изображение и модель в переменных состояния.
Решение. /^-изображение некоторой функции — это полином
знаменателя в изображении по Лапласу этой функции. Так как со-
гласно таблице изображений по Лапласу (см. приложение П.1)
£{sinP/} = ^—, ,
Р‘+₽ р + а
то
Ц5Й,Ъ + 10е 1 = -Лг-+-J°-=.
р2+4 р + 0,1 р3+0,1р"+4р + 0,4
Следовательно, ^-изображение воздействия (3.50) — это полином
F(p) = р3 + 0,1р2 +4р + 0,4 = (р2 + 4)(р + 0,1). (3.51)
Аналогично, р2+4 и р + 0,1 — это /^-изображения состав-
ляющих /,(/) = 5 sin 2/ и /2(г) = 1Ое"01' заданного воздействия.
Так как ЛГр-изображение составляющей f (г) является полиномом
второго порядка, то введем две переменных состояния хп = /, и
х21 = хп. Тогда .Гц =5sin2z, х21 = xn - fx = -4(5sin2/) = -4xn .
Для получения модели в переменных состояния второй со-
ставляющей достаточно одной переменной х3 = f2 = 10exp(-0,k).
Прн этом х3 = -0,1(10е~01') - - 0,1х3. Следовательно, составляю-
щие ft и /2 описываются уравнениями
0 1
/1=^1.
х3 = —0,1х3,
fl ~ хз
(3.52)
(3.53)
Объединяя Х( и х, в один вектор Ху = [хн х2| х3], получим
из (3.52) и (3.53) систему
95
О 1 о
xf - - 4 О О Ху,
/ = [1 0 1]ху. (3.54)
О 0 -0,1
Полученная система является
искомой моделью воздействия
(3.50) в переменных состояния. Как видно, в отличие от моделей
динамических систем она не имеет входного воздействия. Это озна-
чает, что моделируемое воздействие описывается общим решением
этой системы, которое обусловлено не нулевыми начальными зна-
чениями. Численные значения последних определяются интенсив-
ностью воздействия (3.50), т. е. в данном случае числами 5 и 10.
3.24*. Найти модели в форме Кр-изображений и в переменных
состояния воздействий, которые при ?>0 описываются следую-
щими функциями:
3.24.1 * g(z) = 15sin(0,l t+0,5) + It;
3.24.2* g(r) = 2/ + e"';
3.24.3* g(t) = 2 + t + ?>t\
3.24.5*. Найти модели воздействия, график которого приведен на
рис. 3.13,а, в форме -изображений и в переменных состояния.
3.24.6*. Найти модели воздействия, график которого приведен
на рис. 3.13,6, в форме /^-изображений и в переменных состояния.
96
3.4. Статистические характеристики случайных
воздействий
3.25. Найти корреляционную функцию (т) и спектральною
плотность Sxv(o) переменной х = хт sin(pz + <р), если амплитуда
-т„,=16, а угловая частота 0-1,5 с-1. Найти также дисперсию
этой переменной по ее спектральной плотности.
Решение. Согласно [5. С. 164] корреляционная функция
1 7
/? (T) = lim—— Ь(0 x(t + f)dt. (3.55)
Г~>°°2Т JT
В рассматриваемом случае функция x(t) является периодической,
поэтому выражение (3.55) можно заменить [15. С. 189] формулой
2
Лхг (т) = — sin(pr + 6) sin(0r + pT + &)dt =
^*0 о
=—^-cos 0т, (3.56)
где Го=2л/0 — период. Подставляя численные значения, полу-
чим Яи(т) = 128 cos 1,5т, /?„(0) = 128.
Спектральная плотность определяется [5. С. 165] преобразова-
нием Фурье
5^(0)= ]л„(т)е-^Л. (3.57)
С учетом (3.56) получим
(со) = J — cos рт e~jundi.
Интеграл в этом выражении определяется [15] равенством
Jcos 0т = л[8(о - р) + 8(о+Р)],
где 8(со-Р) и 8(о+Р) —смещенные 8-функции, зависящие от
частоты о.
4— 1607
97
Таким образом,
пх2
(®)=-^[8(со - Р) + 8(0) + Р)], (3.58)
т. е. спектральная плотность гармонической переменной
х = хт sin(P/ + <р) представляет собой два бесконечно коротких
импульса, расположенных на частотах со, =~Р и со, = р, площадь
каждого из которых равна л х2 / 2.
В соответствии с правой частью выражения (4.10) [5. С. 168],
дисперсию некоторой величины х(/) со спектральной плотностью
5Г1(со) можно определить по формуле
(3.59)
Поэтому в рассматриваемом случае
। о» 2 2 °° 2
=— J—^2-[3(со-Р) + 8((о+Р)]<Ло=^!- |[5((о-р)<Ао=^-,
так как интеграл от 5-функции равен 1. Подставляя численные
значения, получим Dx = 256/2 = 128.
Сравнивая со значением /?хг(0), заключаем Dx =/?xv(0), что
соответствует левой части формулы (4.10) из [5. С. 168].
Решение в MATLAB:
% m-файл
syms х xm beta t beta xtau tau w
x = sym(•xm*sin(beta*t+teta));
xtau = sym('xm*sin(beta*(t+tau)+beta)');
T = 2*pi*sym('1/beta*);
Rxxtau = int(x*xtau, t, -T, T)/2/T
Rxtau = subs(Rxxtau, {beta, xm},{1.5, 16})
RxxO = subs(Rxtau, 'tau',0)
Sxx = fourier(Rxtau, tau, w)
Dx = int(Sxx, w, -inf, inf)/2/pi
return
% результат
Rxxtau = l/2*xm~2*cos(beta*tau)
Rxtau = 128*cos(3/2*tau)
98
RxxO = 128
Sxx = 128*pi*(dirac(w+3/2)+dirac(w-3/2))
Dx = 128
3.26. Случайный стационарный процесс ip(/) имеет спектраль-
ную плотность 5w(co), график которой показан на рис. 3.14,а. Вы-
числить его среднее значение ср, дисперсию и корреляцион-
ную функцию 7?w(t)[15. С. 190].
Решение. Так как 5w(co) заданного процесса не содержит
8-функций 8(со) при со - 0, то среднее значение ф = 0. Поэтому
дисперсия равна среднему квадрату случайного процесса, т. е.
£>ф=сф, где сф— среднеквадратичное отклонение процесса
ср(/). С другой стороны, по формуле (3.59), с учетом рис. 3.14,а,
имеем
1 “у N Л/ДСО-
рУсЛо=—(со„ -(_со„)) = —-2L, (3.60)
где Дсоф = 2со„ — полоса угловых частот (в радиан/с) случайного
процесса ср(/). Формулу (3.60) можно записать так:
Оф=Л/ДГф, (3.61)
где Д/ф - Дсоф /2л — полоса частот в герцах рассматриваемого
случайного процесса ср(/).
Корреляционную функцию (т) найдем по формуле (4.9)
из [5. С. 168]
Лфф(т) = -5- j Sw(co)e_7toTc/co=-j5w(co) coscotс/со
-ос 71 0
или
1 “у N
7? (т) = — IД/COS СОТ СЙО =— sinco„T.
It „ лт
График этой корреляционной функции приведен на рис. 3.14,6.
99
Рис. 3.14. Спектральная плотность и корреляционная функция
При этом снова имеем
No3„ sinco„T N(i>„
/?фф(0) = 1йп-----------~ =------~ = ^,
т->0 П (0„Т Л
что соответствует формуле (4.10) из [5. С. 168]. Время т, (рис. 3.14,6)
определяется равенством sinco„T1 =0, т. е. Tj = л/<ои . Как видно,
при юя —>оо амплитуда корреляционной функции Aw(0)—а
время т, —>0, т. е. корреляционная функция /?W(T) (рис. 3.14,6)
стремится к 6 -функции, что соответствует корреляционной функ-
ции белого шума [5. С. 166].
Решение в MATLAB:
syms N w wn tau
Dphi » int(N, w, -wn, wn)/2/pi
Rphitau = N*int(cos(w*tau), w, 0, wn)/pi
% результат:
Dphi = N*wn/pi
Rphitau = N/tau*sin(wn*tau)/pi
3.27. В результате усреднения осциллограммы случайного ста-
ционарного процесса <р(/) с математическим ожиданием, равным
нулю, получено приближенное выражение для корреляционной
функции - 50е^'т'. Найти спектральную плотность Sw((o).
Решение. В соответствии с табл. 4.1 из [5. С. 166] корреляци-
онной функции /?w(t) = бе ”'1' соответствует спектральная плот-
ность ^(со) - 2<хОф /(а2 + со2). В данном случае, очевидно,
Dv = 50, а = 4с-1. Следовательно,
100
Sw((o) =
2-4-50
42 + co2
400
16 + co2
Решение в MATLAB:
syms tau
Sphi = 50*fourier(exp(-4*abs(tau)))
% результат:
Sphi ® 400/(16+w"2)
3.28. Найти спектральную плотность последовательности пря-
моугольных импульсов <р(<) [15] одинаковой ширины и случайной
амплитуды, следующих с постоянным периодом Т = 0,3 с, дли-
тельностью ти =0,1 с (рис. 3.15,а). Среднее значение амплитуды
импульса (р = 15, а дисперсия отклонений = 144.
Рис. 3.15. Случайная последовательность импульсов и её
спектральная плотность
Решение. Представим заданную последовательность импуль-
сов, приведенную на рис. 3.15,а, в виде суммы двух последова-
тельностей: последовательности импульсов <pi(Z) постоянной ам-
плитуды ф (рис. 3.16,а) и последовательности импульсов случай-
ной амплитуды фг(О (рис. 3.16,6). Период и длительность импуль-
сов на рис. 3.16 те же, что и на рис. 3.15,а.
Для определения спектральной плотности периодическую по-
следовательность ф] разложим в показательный ряд Фурье
,2лр
Ф1(0= Z т ,
Р=-~
где ср — коэффициенты разложения.
101
Рис. 3.16. Последовательности импульсов
постоянной и случайной амплитуды
Коэффициенты показательного ряда Фурье в данном случае
определяются выражением
Ф •
= — sin цл7 ,
ЦП
где у = ти/Т.
Обозначим |си| = Ац = А_^. Тогда, подставляя численные зна-
чения, получим = |(4,777/ц) sin 1,0466ц]. Значения этих коэф-
фициентов приведены в табл. 3.1.
Так как спектральная плотность каждой гармонической со-
ставляющей состоит из двух 5-функций, смещенных по оси частот
на величину, равную частоте этой составляющей (см. задачу 3.25),
то спектральная плотность периодической составляющей фДО
(рис. 3.16,а) является линейчатым спектром и описывается выра-
жением
$Ф1Ф1 «о) = Е 8(®-^) (3-62)
Линейчатый спектр (3.62) представляет собой совокупность 5-
функций, изображаемых обычно отрезками вертикальных прямых,
длина которых пропорциональна значению , и смещенных от-
носительно друг друга на величину 2л/Г.
График этой функции при ц = 0, 15 приведен на рис. 3.15,6.
102
Таблица 3.1
Ао = 5,000 А6 = 0 А12 = 0
А! =4,135 А7 = 0,591 Ав = 0,318
А2 = 2,068 As = 0,517 А14 = 0,295
А, = 0 А9 = 0 А|5 = 0
А4= 1,034 А10 = 0,414 А|6 = 0,258
А, = 0,827 Ац =0,376 А17 = 0,243
Спектральную плотность последовательности-импульсов слу-
чайной амплитуды ф2(/) (рис. 3.16,6) можно получить, подверг-
нув преобразованию Фурье одиночный импульс S(t) —
=[i(0-i(r-TH)]J5T, амплитуда которого равна среднеквадра-
тичному отклонению амплитуды, т. е.
Ф 2(» = fл/^ЛКО - К/ - т„ )]е J™dt = --—
о 7®
где у = т„ IT . Тогда
• 2 сй77'
1 .2 51П
^2<Р2(®) = у|ф2(7®)| =-----—2--------,
так как |1 - е~у“уГ| = -J(l - cos (оуТ)2 + sin2 (оуТ =2sin^^~. Под-
ставляя численные значения, будем иметь
1920sin2 0,05го _
£Ф,Ф, (®)=-------2------• (3-63)
График функции $ф,ф, (со) также приведен на рис. 3.15,6
(пунктирная линия). Он представляет собой непрерывную функ-
цию, форма которой подобна огибающей линейчатого спектра
(рис. 3.15,6) периодической составляющей рассматриваемой по-
следовательности импульсов, показанной на рис. 3.15,а.
Искомая спектральная плотность заданной последовательно-
сти импульсов ср(/) (рис. 15,о) представляет собой сумму выраже-
ний (3.62) и (3.63).
103
3.29 *. Найти корреляционную функцию и дисперсию случай-
ного сигнала (р(Г) со спектральной плотностью Sw(cq) = 40/(64+ or).
3.30 *. Экспериментальная спектральная плотность случайного
воздействия <р(/) хорошо аппроксимируется прямой линией, парал-
лельной оси абсцисс, проходящей через точку Sw(0) = 11,5. Запи-
сать соответствующее выражение для корреляционной функции.
3.31 *. Экспериментальная корреляционная функция процесса
качки корабля 0(/) описывается выражением
7?е0 (т) = 0,75 е"0,3^ cos 5т.
Найти спектральную плотность и построить ее график.
3.32 *. Экспериментальная спектральная плотность случайного
воздействия <р(/) в диапазоне частот от 0 до (0„ может быть ап-
проксимирована с относительной погрешностью ±8 прямой ли-
нией, параллельной оси абсцисс Sw(d)) = S0. Найти формулы
для определения параметров Dv и а выражения Sw(<W) =
= 2 О' D9l(a2 +(О2), аппроксимирующего экспериментальные
данные с той же точностью в указанном диапазоне частот. Запи-
сать соответствующую корреляционную функцию.
3.33 *. Используя соотношения, полученные в задаче 3.32*,
записать выражения для спектральной плотности и корреляцион-
ной функции случайного воздействия ф(/), если величина So = 12,
максимальная частота со„ =157, а погрешность 8 = 0,1.
104
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
4.1. Преобразование моделей в переменных состояния
4.1. Привести к диагональной форме систему
х=Ах, где
О
10 -
(4.1)
Решение. Характеристический полином данной системы
Л(Х) = detp.E'- Л] = det
X -1
10 Х + 7
= Х2 +7Х + Ю.
Его корни Л] =—2, Х2 =-5, как видно, являются разными, а мат-
рица системы (4.1) является сопровождающей. Следовательно, для
решения задачи можно применить преобразование х = Р^х, где
РА является матрицей Вандермонда [5. С. 40]. В данном случае
она имеет вид
Её определитель
матрица [5. С. 38]
1 1
_Х.| Х2_
det Р9 = -3 Ф 0, поэтому существует обратная
1 1
-2 -5
Р-1- 1
-
’*2
det РА - X,
-1
1
2 -5 -1
3 2 1
Матрица преобразованной системы находится по формуле
А = РА1А Рд [5. С. 39]. Подставляя численные значения, получим
3
-5 -1
2 1
° Чр-’
-10 -7 д 3
10 2 1 1
-10 -5 -2 -5
-2
0
0
-5
Заменяя в (4.1) х- Рлх , придём к системе уравнений
х = Ах -
-2
0
0
Матрица этой системы имеет, очевидно, диагональную форму.
Решение в MATLAB:
% вводим исходную матрицу
А = [0 1; -10 -7]
А = 0 1
-10 -7
% находим корни её характеристического уравнения
г = eig(A)
г = -2
-5
% поскольку исходная матрица имеет форму сопровождающей мат-
рицы, а корни характеристического уравнения (содержащиеся в век-
торе г) действительные и разные, то диагональную форму матрицы а
построим с помощью матрицы Вандермонда и. Сначала получим с
помощью команды vender матрицу v:
V ж vender(г)
V = -2 1
-5 1
% далее вводим матрицу перестановок
Р = [О 1; 1 0]
р = 0 1
1 о
% вычисляем матрицу Вандермонда W.
w ж р*у
и - 1 1
-2 -5
% проверяем, что преобразование подобия матрицы а с помощью
% матрицы Вандермонда приводит а к диагональной форме:
inv(w)*А*н
ans = -2 0
0 -5
4.2. Привести к диагональной форме систему
Решение. Так как матрица системы является сопровождаю-
щей, то можно сразу записать её характеристическое уравнение
Л2 + 8Х +15 - 0. Его корни X, =-3, Л, =-5 различные. Следова-
тельно, для решения данной задачи можно использовать матрицу
Вандермонда
106
Её определитель det У’, = -2 О, поэтому обратная матрица
-I
а 2 3 1
Матрица и вектор преобразованной системы находятся по
формулам А = Р^' АРа, В = Р^ В [5. С. 39]. С учётом численных
значений имеем
А = Р^АР„ =
-3 0
0 -5
в=р;'в=
Применяя преобразование х = Рл х к заданной системе, получим
(4.2)
Матрица А здесь имеет диагональный вид, что и требовалось.
Решение в MATLAB:
% вводим заданные матрицу и вектор
А = [0 1; -15 -8]; В = [2 4]
- вычисляем матрицу Вандермонда и ее обратную
И = [0 1;1 О]*vander(eig(A))1;
Hl = inv(W);
% вычисляем матрицу и вектор диагональной формы
А1 = W1*A*W
Al = -3 3.5527е-015
0 -5
В1 = И1*В
Bl = 7
-5
% малый элемент «|2 матрицы А1 появляется из-за ошибок
% округления и его можно принудительно обнулить:
А1(1,2) = 0
А1 = -3 0
О -5
4.3. Привести к канонической управляемой форме систему
107
Ax + bg, где
3 7
(4.3)
Решение. Определим составную матрицу
1 10'
1 9
U = [B AB] =
Её определитель det (/ = -1*0. Следовательно, приведение воз-
можно.
Матрица преобразования, приводящая систему (4.3) к канони-
ческой управляемой форме, определяется, согласно [5. С. 43], по
формуле
’ а, •• «»-2 а„-| Г
а2 - 1 0
Pv -UM, где М = «„-1 •’ 0 0 0 • (4.4)
1 .. 0 0 0
Здесь а, — коэффициент при р‘ характеристического полинома
det [рЕ — А] = det
р-3
-2
-7
р-7.
= р2 —10р + 7.
Следовательно, в данном случае а0 = 7, 0Ц = -10, а матрицы
10 1 0 1
, Pv =
0 Л -11
1 -1
1 0
Матрица и вектор преобразованной системы находятся так же, как
и выше, по формулам:
а = р;'ару
0 1
-7 10
Таким образом, каноническая управляемая форма заданной
системы имеет вид
108
Решение в MATLAB:
% /и-файл:
А = [3 7; 2 7] ; В = [1 1] •}
U = [В А*В] ;
if det(U)
р ж poly(А);
М - [р(end-1) 1,- 1 0] ;
Pu = U*M; Plu = inv(Pu);
Au = Plu*A*Pu, Bu = Plu*B
end
% результаты:
Au = 0 1
-7 10
Bu ° 0
1
4.4. Привести к канонической управляемой форме систему
Ax + bg, где
Решение. Определим составную матрицу U = [Ь АЬ]. Имеем
-6 0
4,5 0
Её определитель detl/ = 0. Следовательно, приведение невозмож-
но, т. е. задача 4.4 решения не имеет.
4.5. Привести к канонической наблюдаемой форме систему
х-Ax + bg,
y = crx + f}g, (4.5)
где
Решение. Определим составную матрицу
109
Её определитель det TV * 0, т. е. приведение возможно. Мат-
рица преобразования, приводящего систему (4.5) к канонической
наблюдаемой форме, определяется по формуле Р~' - MN, где М
по-прежнему определяется по формуле (4.4). В данном случае ха-
рактеристический полином системы
det[pE - А] - det
р + 6
-6
2
р + 14
= р2 +20р + 96.
Следовательно, а0 — 96, а( = 20. Поэтому
М =
а,
1
20 1
1 0
34 2
2 1
1
30
-2"
34
1
0
Р-' =
40
5
g, y=[0 l]x+5g.
Матрицы и векторы преобразованной системы находятся, как
и выше:
А = р;^АРн= ° 2^, в=р;'в^ 45° , с=сгр„=[0 1],
D = D = 5.
Поэтому каноническая наблюдаемая форма заданной системы (4.5)
имеет вид
ГО -96 ~
X = х -
1 -20
Решение в MATLAB:
% ля-файл:
А = [-6 -2; 6 -14]; В = [1 ЗР;
С = [2 1]; D = 5;
N » [С; С*А] ;
if det(N)
р = poly(А);
М = (p(end-l) 1; 10];
Pin = M*N; Pn - inv(Pin);
An = Pln*A*Pn, Bn = Pln*B
Cn - C*Pn, Dn = D
end
% результаты:
An = 0 -96
1 -20
110
Bn = 40
5
Cn = 0 1
Dn = 5
Записывая соответствующую этим матрицам систему уравнений в
переменных состояния, получим требуемую форму уравнений задан-
ной системы (4.5).
4.6 *. Привести систему
к канонической управляемой форме.
4.7 *. Систему
О 11 Гз1
*= , с х+ е, у=[3
— о —Э 1
2]х
привести к диагональной форме.
4.8*. Систему из задачи 4.3 привести к диагональной форме.
Указание. Воспользуйтесь решением, полученным в задаче 4.3.
4'.9*. Систему
Г-3
х =
1
2
3
4
-2
g, у = [1 2]х
привести к канонической наблюдаемой форме.
4.2. Определение передаточных функций
4.10. Найти передаточную функцию системы, если её уравне-
ние вход-выход имеет вид
у + 2у + Зу = 5g + 4g. (4.6)
Решение. Как известно, передаточная функция системы опре-
деляется как отношение изображений по Лапласу при нулевых на-
чальных условиях (ННУ), т. е.
ИЧр) =
у(р)
нну
(4-7)
111
Произведя замену в уравнении (4.6) функций и производных
их изображениями по Лапласу при нулевых начальных условиях:
У <=> У(р), У «• РУ(Р), У <=> р3у(р). g <=> g(p), g <=> pg(p) >
получим P3y(p) + 2py(p) + 3y(p) = 5g(p) + 4pg(p).
Отсюда, co-
гласно (4.7), находим
W(p) =
5 + 4p
p3 + 2p + 3
4.1 1. Найти передаточную матрицу системы
Решение. Отдельные передаточные функции системы
х = Ах + Bg, у = Сх + Dg определяются по формуле
... . ч c^pE-A^bj
Wu (Р) ------------ >
'' det(p£ —Л) "
(4.8)
где с-, — /-я строка матрицы С, Ь,—j-й столбец матрицы В, dy—i
j-й элемент матрицы D.
Найдём сначала определитель и присоединённую матрицу:
det(p£-А) = р1 -2р + 1, adj(p£-/4) =
Р 1
-1 р-2.
Далее выполняем промежуточные вычисления:
с,adj(p£ - A)bx = 5р +1, ctadj(pE - A)b2 = Зр + 3,
c2adj(pf - A)b{ = 4p -1, c2adj(p£ - A)b2 =3p.
Отсюда с помощью формулы (4.8) получаем
—Г 7’*' _
p — 2p + lj_p2 +2p 3p
так как, согласно (4.8), все передаточные функции W,j(p) одной и
той же системы имеют один и тот же знаменатель.
112
Решение в MATLAB:
% вводим заданные матрицы:
А = [2 1; -1 О]; В = [1 О; 2 3] ;
С = [3 1; 2 1] ; D = [0 1; 1 0] ;
% вызываем функцию ss2tf, которая осуществляет преобразова-
ния модели из пространства состояний (ss — state space) в переда-
точную функцию (tf— transfer function). Если система имеет не-
сколько входов, то эта функция работает, если пятым аргументом
указан номер одного конкретного входа. Тогда она вычисляет матри-
цу коэффициентов полиномов числителей (num, количество этих по-
линомов равно числу выходов системы). Функция ss2tf вычисляет
также полином знаменателя (den). Коэффициенты всех полиномов
располагаются в порядке понижения степени р:
[numl, den] - ss2tf(A, В, С, D, 1)
numl = 0 5 1
12 0
den =1 -2 1
% этот результат можно записать в виде
И'ц(р) 1 5р + 1
?V21(p) /г-2р + 1
% аналогично найдем для второго входа:
[num2, den] = ss2tf (А, В, С, D, 2)
num2 = 1 1 4
0 3 0
den =1 -2 1
% это позволяет записать передаточную матрицу для второго входа
»V|2(p) 1 р2 +Р + 4
w22(p\ Жр2-2р + 1 3Р
Объединив полученные векторы-столбцы в одну матрицу, получим
ту же передаточную матрицу, что и выше.
4.12. Найти передаточную матрицу системы
-3 2 1 ' т
"3 2 Г ’3’
0-12 х + 0 g, У~ х + g
0 1 1 0
0 2-2 2
113
Решение. Отдельные передаточные функции системы также
определяются по формуле (4.8). Поэтому, как и выше, найдём сна-
чала определитель и присоединённую матрицу
det(pE - Л) = р3 + 6р2 +7р — 6,
adj(p£'-/l) =
р2 +Зр-2
О
О
2р + 6
р2 +5р+6
2р + 6
р+5
2р+6
р2 + 4р + 3
Выполняя промежуточные вычисления
C| adj(pE- Я)/,, = 5р2+31р+54,
с2 adj(pE-^)Z>( = 2р2 + 12р+18
и подставляя в формулу (4.8), будем иметь
5р2 + 31р + 54 +
р3 + 6р2 + 7р-6
2р2 + 12р +18
р3 + 6р2 +1р — 6
JK(p) =
Решение в MATLAB:
% вводим заданные матрицы:
А = [-3 2 1; О -1 2; 0 2 -2]; В = [1; 0; 2];
С = (3 2 1; О 1 1]; D = (3; О];
% поскольку в данной системе всего 1 вход, то можно вызвать функ-
цию ss2tf без пятого входного аргумента (см. пример 4.11):
[num, den]
num = 3
0
den = 1
% результат (записывается пользователем):
Зр3 + 23р2 + 52р + 36
р3+6р2+7р-6 2р2+12р + 18
в
ss2tf(А,
23
2
6
С, D)
36
18
-6
52
12
7
1
^(р) =
4.13. Найти передаточную функцию системы по её уравнени-
ям в переменных состояниях
114
Решение. Передаточную функцию системы определим в на-
чале по формуле (4.8). С этой целью найдём сначала определитель
АеХ.(рЕ — А) = р3 +2р2 + 3. Так как у вектора b только Ь3 *0, то
найдем элементы лишь последнего столбца присоединённой матрицы:
</i3 =1> 9зз =Р2
Подставляя полученные значения в формулу (4.8), получим
искомую передаточную функцию системы
' 1 '
>F(p) =
[О 4 5]-
Р
.Р2|._ 4р + 5р2
р3+2р + 3 р3 + 2р + 3
Нетрудно видеть, что все коэффициенты передаточной функ-
ции W(p) имеются в выражениях (4.9). Это объясняется тем, что
уравнения (4.9) имеют каноническую управляемую форму. Поэто-
му можно было бы сразу написать:
W(p) = 4p+5pi ,.
3 + 2р + 0р! +₽’
Решение в MATLAB:
% вводим заданные матрицы:
А » [О 1 0; 0 0 1; -3 ‘
В = [0,- 0; 1] ; С = [0
% вводим команду
[num, den] = ss2tf(A,
num = 0 5 4 0
den =10 2 3
Следовательно, искомая передаточная функция
р3 +2р + 3
-2 О] ;
4 5] ;
в. С, [О])
115
4.14. Найти передаточную функцию со входа gk на выход
ук импульсной следящей системы, рассмотренной в задаче
3.14, по её уравнениям в переменных состояния.
Решение. Передаточную функцию импульсной системы по её
уравнениям в переменных состояния также можно определить по
формуле (4.8), заменив р на z, т. е. по формуле
,-adj(z£ -/1)6
(z) ----------------- + //,,.
det(zE -A) 1
(4.Ю)
Уравнения в переменных состояния заданной системы — это
уравнения (3.33) и (3.34), причем
1-0,0347/: -0,0347/:,.
д — *
[ 0,0192/:,, 0,449 + 0,0192/:,,]’
0,0347/:,, ] _Г1
-0,0192/:,. ’ С~ 1
(4.11)
Матрица, adj(zE— А), очевидно, имеет вид
z -1 + 0,0347К,, 0,0347/:,,
-0,0192/:,, z-0,449-0,0192/Г,.
Произведение этой матрицы на вектор b (4.11) равно
adj(zE - A)b =
0,0347/:,, (z-0.45)
-0,0192/:,, (z-1)
Так как
det( zE - A) = z~ - (1,449 - 0,0156/:,. )z + 0,449 + 0,003485/:,.,
то, подставляя полученные выражения в (4.10) с учетом вектора с
(4.11), получим окончательно
(0,0156z+0,003485)/:,.
™yg (z) - --------------------------->-----------, (4.12)
z2 -(1,449-0,0156АГ, )z+0,449+0,003485^
поскольку в данном случае d,y — 0.
4.15* . Найти передаточные функции следующих систем:
116
4.15.1* у + Зу + у = 5g! + 3g].
4.15.2* y-2g + g.
4.15.3* х = —1 со еч । । л + 'З' 4 g> у = [2 l]x + g.
'-8 1Г '3 61 гл ,
4.15.4* i = х + 7 g, v=[l 1]х + [0 l]g
0 -3 5
4.15.5* 5у + Зу + 4у = 2gt + 3g2 + 2g,.
4.15.6* у] + 2у] = 4g, у, + Зу, + 2уj = 5g + 2g.
’2 01 Г Г 4.15.7* х= х + g, 1 d L"1. 4 51 4.15.8* х = j g’ ГО,4 0,51 4.15.9* хк .| = лч + [0,3 1 J У = 4]х ’ 2 ' А4. 2 11 Г° х+ g. .° d L3. + [2 3]g. g^ У к =[1,5 1,8]хл.
ГО,9 1,51 4.15.10* хк+, = хк + *+1 [0,6 1,1 J А ' 1 ‘ .°’4. gk, Ук =[°’5 1,2]лг* +0,8gt
0,4 1,5’ 4.15.11* хл.+1 — хк + А+1 [0,2 l,2j 0,4' .°’7. Го,з 1 ' gk’ Ук - 2 1 7 Хк‘
4.3. Преобразование структурных схем
4.16. Найти передаточную функцию и записать урав-
нение вход-выход системы, структурная схема которой приведена
10 30 2
на рис. 4.1, причем №](р)=---, 1У,(р) = —--— ’ №з(р)=— •
2р + 1 р(р + 2) р
117
Решение. Чтобы найти передаточную функцию системы, не-
обходимо упростить структурную схему, показанную на рис. 4.1.
Для этого воспользуемся правилами преобразования простейших
соединений звеньев.
Рис. 4.1. Система с двумя обратными связями
Звенья с передаточными функциями ИЛ и Ж, образуют соеди-
нение с положительной обратной связью, поэтому передаточная
функция этого соединения определяется по формуле
Жс(₽)=—Ь<£) ...
С 1-И'„(рЖ'а.(р)’
где №ц(р) — передаточная функция звена прямой связи;
^ос(р) — передаточная функция звена обратной связи.
В данном случае Wn (р) = W2 (р), (р) = (р). поэтому
^23(Р)= -У "АП
р +2р2 -60
Звенья с передаточными функциями ^(р) и ^(р) соединены
последовательно, поэтому
(4-13)
(4.14)
ЗООр
^3(P)-^(P)^3(P)=/O 1Ч, з , ,
(2р + 1)(р3 + 2р* -60)
Наконец, звено с передаточной функцией И/|2з(р) охвачено
единичной отрицательной обратной связью, поэтому воспользуем-
ся формулой
при И/ос(р) = 1 и Жя(р) = 1У|2з(р). В результате подстановки чис-
ленных значений получим
118
_ у(р) ЗООр________
g(p)HW 2р4+5р3+2р2+180р-60
Это равенство можно записать в виде следующей пропорции:
(2р4 +5р3 +2р2 + 180p-60)y(p) = 300pg(/>).
Раскрывая скобки и переходя здесь от изображений к ориги-
налам, получим искомое уравнение вход-выход рассматриваемой
системы, схема которой приведена на рис. 4.1:
(4)
2 у + 5 у + Ту +180у - 60у = 300g.
Решение в MATLAB:
% можно найти в классе LTl-моделей:
% создаём lti-модели каждого звена в виде передаточных функций:
W1 = tf (10, 12 1])}
W2 = tf (30, [12 0]) ;
W3 = tf (2, [1 О] ) ;
% вычисляем передаточную функцию соединения звеньев Я'2 и с
% положительной обратной связью:
W23 = feedback(W2, W3, +1)г
% вычисляем передаточную функцию последовательного соединения
% звеньев Из и ИЛч, охваченного отрицательной единичной обратной
% связью:
Wyg = feedback(W1*W23, tf(l,l))
- результат (transfer function):
зоо р
2 рх4 + 5 р’з + 2 р~2 + 180 р - 60
4.17. Найтй передаточную функцию системы перемещения с
гидромотором, структурная схема которой приведена на рис. 4.2.
Усилитель Мотор Гидромотор
Рис. 4.2. Структурная схема системы с гидромотором
119
Решение. Как видно на схеме, усилитель, мотор и гидромотор
в прямой цепи системы, а также редуктор и датчик в цепи обрат-
ной связи соединены последовательно, поэтому соответствующие
передаточные функции будут равны:
W (р)=-2^--------Ь.---------------------=
ТуР + \ TlllP + i р(Т2р2 +2С7> + 1)
кгк}кг
~ р(т2 Р2 + 2^тгр+i)(TyTmP2 + (Г,,, -Г ту )р+1) ’
Woc(p) = KiK,.
Таким образом, рассматриваемая система представляет собою
звено с передаточной функцией №ц(р), охваченное отрицательной
обратной связью с передаточной функцией Woc{p). Поэтому по
формуле (4.13) получим
кк.к,
W (р)=-------------------——:--------------------
Л р(Тг2р2 + 2^Тгр + IXTXP2 + (Tm + Tv)p +1) + КЕ ’
где Кс = КуКгКхКуК4 — коэффициент передачи системы в ра-
зомкнутом состоянии.
4.18. Найти передаточную функцию и записать уравнение
вход-выход следящей системы, структурная схема которой приве-
дена на рис. 4.3, если W\ = 2J(p + 1), W2 = 3, Из = 3/р, W4 = 3, W5 = 1.
Рис. 4.3. Структурная схема следящей системы
Решение. Звенья с передаточными функциями И^(р) и Ж(р)
соединены параллельно, поэтому
120
W\2(p) = Wx{p) + W2(p) = ^^-.
p + 1
Звенья с передаточными функциями W2(p) и W4(p) образуют
соединение с отрицательной обратной связью, поэтому
„„о,),—..............
3 \ + W,(p)W^p) р + 9
Звенья с передаточными функциями 1У|2(р) и (р) соеди-
нены последовательно, поэтому
Лр+15....•
р р + 1 р + 9 р- +10р + 9
Полученная передаточная функция является передаточной функ-
цией системы в разомкнутом состоянии. Поэтому обозначена Wp (р).
Звено с передаточной функцией Wp(p) охвачено отрицательной
единичной обратной связью, поэтому передаточная функция Wvg(p)
системы, показанной на рис. 4.3, будет равна
w („\=у№ = Wp{p} 9р+15
'8 ё(Р)нну 1 + W,(p) р2+19р + 24
Уравнение вход-выход находится методом, описанным выше,
и имеет вид
у + 19j + 24у = 9g + 15g.
Решение в MATLAB:
% создаём lti-модели каждого звена:
Wl = tf(2, [1 1]),- W2 = tf(3, 1);
W3 = tf(3, [1 0]); W4 = tf(3, 1);
Wyg = feedback!(W1+W2)*feedback(W3, W4), tf(l,l))
Wyg.Variable = ‘p1
- результат (transfer function):
9 p + 15
pA2 + 19 p + 24
4.19. Найти передаточную функцию fPvg(p) и записать урав-
нение вход-выход многоконтурной системы, структурная схема
121
которой приведена на рис. 4.4, если Wt = 5, W-, =-, IK = —,
р + 1 р
W.=^-, W<=-, Wb = -^-, W, =1.
p+2 ’ p 6 P + 1 7
Рис. 4.4. Структурная схема многоконтурной системы
Решение. Для нахождения передаточной функции применим к
исходной схеме правила переноса точек суммирования и ветвле-
ния и формулы для передаточных функций простейших соедине-
ний с целью замены нескольких звеньев одним. Прежде всего точ-
ку ветвления между звеньями и W4 перенесем за звено W4.
Далее, применяя формулы для передаточных функций последова-
тельного соединения к звеньям Wx и W4, IV} и W4, а также парал-
лельного соединения к звеньям W6 и W7, получим схему, приве-
денную на рис. 4.5. Передаточные функции в этой схеме опреде-
ляются так:
(р) = (Р) (р) = 5- ,
2р 2р
1И9(р) = 1У3(р)1К4(р) = А.З^^_А_,
р р+2 р+2
^(p)=^(p)-w6(p)=\ ——=Ez^.
р + 1 р + 1
Звенья с передаточными функциями Ws(p) и 1С|0(р) соеди-
нены последовательно, поэтому
122
р(р+1)
Рис. 4.5. Преобразованная структурная схема
Звенья с передаточными функциями Иц(р) и ^510(р) обра-
зуют соединение с положительной обратной связью, поэтому
w (п)- ^9(р) - Мр+О
l-JF9(pX510(p) р3+3р2-22р + 48
Звенья с передаточными функциями W2(p) и *Р95ю(р) соеди-
нены последовательно, поэтому
16р
^95.о(Р) = ^(Р)^95.о(Р) = 3 , 2 „ ио’
р3 + 3р -22р + 48
Звенья с передаточными функциями fFg(p) и H/29SI0(р) обра-
зуют соединение с положительной обратной связью, поэтому
uz z_\_ ^2 951о(Р) _ 16р
’Г82 9510(Р)-. ... . ... . . “ з 2 ’
1 ^g(P)^2 95lo(P) Р +3р —62р~32
Звено с передаточной функцией 1Ph295io(p) охвачено отрица-
тельной единичной обратной связью, поэтому передаточная функция
системы, схема которой приведена на рис. 4.4, равна
у г ^829510 (р) _ 16р
>g “ 1 + ^8295Ю(Р) " Р3 + Зр2 -46Р - 32
(4.15)
123
Уравнение вход-выход записывается аналогично:
у + 3у — 46у — 32у = 16g.
Решение в MATLAB (1 способ):
% вводим заданные передаточные функции звеньев:
Wl=tf(5, 1); W2 = tf(2,[l 1]); W3 = tf(4,[l 0]);
W4 = tf ( [2 0], [1 2]); W5 = tf(3, [1 0] ) ;
W6 = tf(3, [1 1] > ; W7 = tf(l, 1);
% перенеся точку ветвления между звеньями W3 и W4 за звено W4,
% вычисляем передаточные функции отдельных соединений:
W14 = W1/W4; W576 = (W7 - W6)*W5;
Wa = feedback(W3*W4, W576, +1)*W2;
Wb = feedback(Wa, W1/W4, +1);
Wyg = feedback(Wb, tf(l,l))
- результат:
Transfer function:
32 s*4 + 32 sA3
--------------------------------------------- (4.16)
2 sA6 + 8 s~5 - 86 sa4 * 156 s'3 - 64 s'2
Полученная с помощью MATLAB передаточная функция сис-
темы отличается от полученной «вручную». Это объясняется тем,
что при вводе только числовых коэффициентов полиномов MATLAB
не сокращает общих множителей, если даже они лишние. В данном
случае общий множитель числителя и знаменателя дробной функции,
полученной с помощью MATLAB, равен 2р2(р + 1). После сокра-
щения на него, передаточные функции (4.15) и (4.16) совпадут.
MATLAB сократит общие множители, если передаточные
функции вводить как функции. В этом случае программа решения
(2 способ) имеет следующий вид:
syms g у yl у2 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 р
г = solve('((g-y+y2*Wl)*W2+yl)*W3=y2',...
у*(W7-W6)*W5=yl•,‘y2 *W4=y•,у,yl,y2);
Wyg = r.y/g;
Wyg = subs(Wyg,{'W1',W2',"W3•,"W4',•-•
W5‘,'W61,>W7'},...
{'5','2/(p+1)','4/p','2*p/(p+2)•,...
3/p1,‘3/(p+1)','1'}):
Wyg = simplify(Wyg)
- результат:
Wyg = 16*р/(-46*р-32+рЛ3+3*рЛ2)
совпадает с выражением (4.15).
124
Замечание. Интересно, что нн выражение (4.15), ни (4.16) не дают
правильного ответа на вопросы: чему равен порядок н каков характери-
стический полином системы, структурная схема которой приведена на
рис. 4.4 (см. задачу 4.37).
4.4. Применение формулы Мейсона
4.20. Определить с помощью формулы Мейсона передаточ-
ные функции W\,g(p) и системы, схема которой приведе-
на на рис. 4.6.
Решение. Формула Мейсона [5. С. 142] имеет вид
^а(р) =
П(1-1РД.7(Р))[
(4.17)
Здесь №п, (р) — передаточная функция /-го прямого пути из точ-
ки а в точку 6; dah — число прямых путей из точки а в точку й;
— передаточная функция /-го контура; I— число различ-
ных замкнутых контуров во всей схеме; {} — обозначение опера-
ции, смысл которой состоит в следующем: из выражения, стояще-
го внутри скобок, необходимо удалить слагаемые, которые содер-
жат передаточные функции с одинаковыми индексами.
Указание. Перед применением формулы Мейсона к той или иной
структурной схеме необходимо обозначить в схеме символом 1,- переда-
точные функции всех тех ветвей, в которых отсутствуют звенья.
Для определения передаточной функции (р) прежде всего
обозначим цифрами передаточные функции 1,, 12 и 13 ветви без
звеньев, как показано на рис. 4.6. Обозначим также входное воз-
действие g как точку а, а выход у как точку Ь. Затем для этих
точек а и b определим dclh — количество прямых путей из а в b и
125
число замкнутых контуров / всей системы. В данном случае
dah = 3, а I = 1.
Рис. 4.6. Структурная схема системы управления
Далее находим передаточную функцию замкнутого контура
1КД1(р) = -{Р4(р)11-12-13 =-1Р4(р)-1123 и определяем знаменатель
по формуле Мейсона (4.17): Знам = 1+1Р4(р)1123. Затем определяем
сумму передаточных функций прямых путей из точки а в точку Ь:
^п(р) = ,у|(р) >123+,>25(/’)-1з_И2з(Р)112з> после чего находим
числитель формулы Мейсона (4.17): Числ = {И^(/>)-Знам}* =
= И|(Р) ‘ 1|23 + ^2з(Р)' *3 ~ ^2з(Р) ’ *123 •
В результате по формуле Мейсона (4.17) найдем, что переда-
точная функция со входа g на выход у имеет вид
и/ л ч ^(Р)+^2(Р^5(Р)-^2(РШР)
----------------П5м7>-----------
Для определения передаточной функции со входа g на выход
и, т. е. между точками а и Ь', определяем число прямых путей и
их передаточные функции. Между этими точками их три, т. е.
datf = 3. Далее находим сумму передаточных функций этих путей
^л(р) = ^|(Р)’1|“^гмСР^зз и соответствующий
числитель: Числ={(И;(/>)11 =
= ^(р)-Ж2з(р)-^254(р).
Учитывая, что знаменатель передаточной функции такой же,
как и в предыдущем случае, по формуле Мэйсона получим
126
»^(р) =
(/>) - - ^Ар^ЛрШр)
l + l^4
Решение в MATLAB:
% обозначаем на рис. 4.6 все выходы, как показано на рис. 4.7;
% объявляем символические переменные:
syma g и у W1 W2 W3 W4 W5
% записываем по рис. 4.7 последовательно равенства, связывающие
% вход системы или её промежуточные переменные с выходами, в
% команду solve:
R = solve(’g*(W1-W2*W3)-y*W4=u',‘u+g*W2*W5=y', u,y) ;
Wug = R.u/g, Wyg » R.y/g
- в результате получаем искомые передаточные функции:
Wug = (-W2*W5*W4+W1-W2*W3)/(W4+1)
Wyg = (W1-W2*W3+W2*W5)/(W4+1).
Как видно, передаточные функции, полученные по формуле Мэйсона
(4.17) и с помощью MATLAB, совпадают
Рис. 4.7. Схема с обозначенными входами и выходами
4.21. Определить передаточные функции Wyig(p), WV2g(p),
Wy,f(p) с помощью формулы Мэйсона для системы, показанной на
рис. 4.8; записать её дифференциальное уравнение вход-выход по
переменным g -+ у2 и оценить полноту системы, если
=5’ =~Т7’ “"ГТ- =“Ч-
р + 1 р р + 2 р р + 1
127
Рис. 4.8. Структурная схема многоконтурной системы
Решение. Имея в виду определение W\,|g(p), сначала находим
количество прямых путей d = 1 из точки g в точку и замкнутых
контуров / = 4 всей схемы. Затем находим передаточные функции
замкнутых контуров: Wkl (р) = Ж>31 (р), Wk2(p) = ^(р)- 1235 ,
^з(р) = -^234(р)1341> Wk4(р) = -^3465(р) >345 и определяем по
(4.17) знаменатель:
Знам = 1 +PK3465(p)-l345 + ^23-|(р)‘1|34 — ^12з(р)~^345(р)^235-
Определяем передаточную функцию прямого пути
Wn (Р) = ^234 (р) и по (4-17) числитель Числ = W234 (р).
Следовательно, по формуле Мейсона (4.17) передаточная
функция со входа g на выход У] равна
w (р) =.
1 + (р) + 1Г234 (р) - /г|23 (р) - 1Г345 (р)
Подставляя численные значения, найдем
16р
p3+3p2 — 46p —32
Для определения передаточной функции W\,,g(p) опреде-
лим количество прямых путей из точки g в точку у2: d = 2 и
128
найдем их передаточные функции 1^/71(р)-1^2345(Р)123’
^П2 (Р) ~ “^23456 (Р) •134. Затем по формуле (4.17) определим чис-
литель ЧИСЛ = fV2J45 (р) • 123 ^23456 (Р) 134. Учитывая, что знаме-
натель передаточной функции такой же, как в предыдущем случае,
получим:
(р\ =___________^2345 (р) ~ 1^23456 (Р)_______
1 + ^3456 (Р) + ^234 (Р) - ^123 (Р) - ^345 (Р>
Подставляя численные значения, будем иметь
48р —96
(4.18)
W (р) =
(р3+Зр2-46р-32)(р + 1)
Наконец, для вычисления lFlsy(p) определим количество
прямых путей d = 2 из/ в у2; найдем их передаточные функции
(р) = 1^345(р) !23> ^/72(р) = -,у345б(р)1з4 и определим чис-
литель Числ = 1К345 (р) • 1,3 - Ж3456 (р) • 134. Снова учитывая, что
знаменатель передаточной функции такой же, как и в предыдущем
случае, получим:
W f(p) =_________^(Р).7.^(Р)___________
”2/ 1 + ^3456(Р) + ^234(Р)-^12з(Р)-^345(Р)
Подставляя численные значения, будем иметь
24р-48
(4.19)
pi+ip2-46p-32
Отметим, что порядок рассматриваемой системы равен пяти
(сумма порядков всех элементов системы). Следовательно, при
определении передаточных функций (4.18) и (4.19) произошло не-
явное сокращение их числителей и знаменателей на какие-то по-
линомы первой и второй степени. Это свидетельствует о неполно-
те системы, приведенной на рис. 4.8.
Уравнение вход-выход по переменой у2, записанное с помо-
щью передаточных функций, имеет вид
У2 = Wy2g(P)g(p)+Wy2f(P)f(P) •
Отсюда с учетом найденных выражений (4.18) и (4.19) получаем
5—1607
129
48/?-96
V, (/?) =-г-----Z-----------------g( Р) +
(р +3р2 - 46р - 32)(р +1)
24/?-48
р3 +3р2 -46/?-32^^
(4.20)
Умножая обе части уравнения (4.20) на полином
(р3+Зр2-46р - 32)(р +1), будем иметь
(р3 +3р2 — 46р—32)(р+1)у,(р) = (48р—96)g(p)+
+ (24р-48)(р + 1)/(р).
Наконец, переходя в этом выражении к оригиналам, получим
искомое дифференциальное уравнение вход-выход системы
(рис. 4.8) по выходу у2
<4>
У2+4у2 -43у2 -78у, -32у2 = -96g+48g-48/-24/+24/. (4.21)
Решение в MATLAB:
- на заданной схеме дополнительно обозначаем несколько промежу-
точных выходов звеньев так, чтобы можно было записать уравнения
всей схемы в виде нескольких уравнений. В схеме на рис. 4.8 удобно
дополнительно обозначить выход третьего звена как у3, что позволя-
ет записать три уравнения, которые связывают входы системы и её
промежуточные переменные с тремя выходами yi, у2, у3. Далее:
% объявляем символические переменные:
syms д f yl у2 уЗ W1 W2 W3 W4 W5 W6 р
% вводим указанные три уравнения схемы, в команду solve:
R = solve('((g-yl+y3*Wl)*W2+y2+f)*W3=y31,---
•yl*(1-W6)*W5=y2,'уЗ *W4=yl• , у 1, у2, уЗ) ;
% после выполнения этой команды в записи R в поле yi находятся
% выражения для выхода yi. Для получения численных значений
% коэффициентов передаточной функции Wyig(p) выполняются
% следующие команды:
yl = R.yl; Wylg = subs(yl,f,0)/g;
% по второй команде в поле yl вместо f подставляется 0, а результат
% делится на g. Затем передаточные функции Wi заменяются в
% выражении для yl их значениями командой:
Wylg = subs(Wylg, {’Wl1, 'W21, 'W3',...
•W4’, 'W5', 1W6'},{5',12/(p+1)1,14/p1,...
2*p/(p+2)-3/p-,^/(p+l)})}
Wylg = simplify(Wylg)
130
% описанные выше операции выполняются для выхода у 2
у2 = R.y2; Wy2g = subs(у2,f,0)/д;
Wy2g = subs(Wy2g, {'Wl', 'W21, 1W3',____
W41, *W5', •W6,},{'5,,‘2/(p+l)*,,4/p’,...
•2*p/(p+2)•,3/p', '3/(p+l) •}) ;
Wy2g = simplify(Wy2g)
Wy2f = subs(y2,g,0)/f;
Wy2f = subs(Wy2f, {'Wl', ’ W2‘, 'W3',...
•W4‘, 'W5', 'W6'},{'5','2/(p+l)•,'4/p',...
•2*p/(p+2)' ,'3/p1,-3/(p+l)•}) ;
Wy2f = simplify(Wy2f)
-результаты:
Wylg = 16*p/(-46*p-32+p"3+3*px2)
Wy2g = 48*(p-2)/(-4S*p-32+p*3+3*p*2)/(p+1)
Wy2f = 24*(p-2)/(-46*p-32+p'3+3*p"2)
Замечание. Отметим, что поскольку система, структурная схема ко-
торой приведена на рис. 4.8, является неполной, то ни найденные пере-
даточные функции, ни уравнение вход-выход (4.21) не дают полного
представления о свойствах этой системы.
4.22 *. Найти методом последовательных преобразований пере-
даточные функции ^„(р), Wv/(p), W^p) и И^(р) системы,
структурная схема которой приведена на рис. 4.9, записать её диф-
ференциальное уравнение вход-выход и оценить полноту системы,
если Ж. =——, W, =^P±L w = _1_
2р+1 - р 3 р+2
Рис. 4.9. Структурная схема двухконтурной системы
4.23 *. Найти методом последовательных преобразований пере-
даточную функцию Ж1Х(/?), записать дифференциальное уравнение
вход-выход и оценить полноту системы, схема которой приведена
131
3 2 05
на рис. 4.10, если Ж =-----, Ж2 =—, Ж, -—-—, Ж4 =4.
4р + 1 2 р 3 р + 2
Рис. 4.10. Структурная схема следящей системы
4.24 *. Найти методом последовательных преобразований пе-
редаточную функцию следящей системы (рис. 4.11), записать
уравнение вход-выход и оценить полноту системы, если Ж, =2,
Ж, =-^-, Ж3 = Ж4 =-, Ж5
р + 1 р + 2 р 2р + 2
Рис. 4.11. Структурная схема следящей системы
4.25*. Найти по формуле Мейсона передаточную функцию и
оценить полноту системы (рис. 4.10) при Ж,(р), указанных в зада-
че 4.23*.
4.26*. Найти по формуле Мейсона передаточную функцию и
оценить полноту системы (рис. 4.11) при Ж((р), указанных в зада-
че 4.24*.
4.27*. Найти, пользуясь формулой Мейсона, передаточные
функции Ж,х(р), Жу.Др), ЖЕА,(р) системы (рис. 4.12), записать её
уравнение вход-выход g —> е и оценить полноту.
132
Рис. 4.12. Структурная схема системы управления
Передаточные функции звеньев системы на рис. 4.12 опреде-
ляются следующими выражениями:
2 15 5
^1(р)=-£7. к,Ар)=-^, w3(p)=4, W^P)=~,
р + \ р+2 р
^б(р) = -^т. ^7(^) = -А-.
2/24-1 р + 5 р + 2
4.5. Переход от моделей вход-выход к моделям
в переменных состояния
4.28. Перейти от уравнения вход-выход
у + 2 у + 3 у = 5 g + 4g (4.22)
к уравнениям в переменных состояния.
Решение. Так как старшая производная в заданном уравнении
имеет третий порядок, а в правой части заданного уравнения име-
ется производная по времени, то введем 3 переменных состояния
следующим образом [см. 5. С. 119]:
= у + kfg , х2 = Х| + k2g, х3 = х2 +k3g. (4.23)
Здесь к\, кг, кз — неизвестные пока коэффициенты, которые выби-
раются так, чтобы выражения для х- не зависели от производных
по времени входной величины g. Для их определения совершаем
следующие преобразования:
133
X] = х2 - k2g, x, = x3 - k3g.
Дифференцируя выражение для x3 (4.23) по времени и под-
ставляя в полученное равенство вытекающие из (4.23) выражения
х2 = х, +k2g и х, = у' + kxg с учетом (4.22), получим
х3 = -Зх, - 2х2 + (5 + ЗЛ, + 2к2 )g + (4 + 2kt + к3 )g + k2g + ktg .
Чтобы это выражение не зависело от производных по времени
входного сигнала, положим Л, = к2 = 0, к3 — -4 . При данных зна-
чениях кп / = 1,2,3 получим следующую систему уравнений в
переменных состояния:
х, = х2, x2=x3+4g,
х3 = -3x,-2х, +5g, y = xt.
Решение в MATLAB:
- для решения задачи в MATLAB можно по заданному уравнению
вход-выход (4.22) записать передаточную функцию
и вызвать функцию t£2ss, которая преобразует модель— переда-
точную функцию (tf— transfer function) в модель в пространстве
состояний (ss — state-space). Для этого достаточно сообщить этой
функции коэффициенты полиномов числителя и знаменателя:
% команда:
(А, В, С, D] = tf2ss([4 5] , [1 0 2 3])
-результат:
А = 0 -2 -3
10 0
0 10
В = 1
о
С = 0 4 5
D = 0
Модель в пространстве состояний имеет, таким образом, вид
х, = -2х2 - Зх3 + g, х2 = х,,
х3=х2, у=4х2+5х3.
134
Замечание. Полученные в MATLAB уравнения отличаются от приве-
дённых выше. Однако они также являются правильным ответом в данной
задаче. Это объясняется тем, что одна и та же динамическая система мо-
жет быть описана большим числом различных систем уравнений в пере-
менных состояния. Но всегда полезно проверять, что полученные для
одной и той же системы разные уравнения состояния приводят к одной и
той же передаточной функции.
- например, для уравнений из данной задачи вводим
% команды:
sys=ss([O 1 0,-0 0 1;-3 -2 0] , [0 4 5] , [1 0 0] , (0] ) ;
W = tf(sys)
- результат
Transfer function
4 s + 5
s"3 - 1.lle-015 вЛ2 + 2 s + 3
- аналогично для решения, полученного в MATLAB, вводим
% команды:
sys=ss([0 -2 -3;1 0 0/0 1 0] , [1 0 0] • , [0 4 5] , [0] ) ;
W = tf(sys)
- и получаем ту же самую (учитывая, что 1.11е-015 и 8.882е-016— нули)
Transfer function
4 s + 5
s"3 - 8.882e-016 s'2 + 2 s + 3
4.29. Найти передаточную функцию и уравнения в перемен-
ных состояния объекта с уравнением вход-выход
у(4> + 5у + 2у + у = 1 Он .
Решение. Переходя в заданном уравнении к изображениям по
Лапласу при ННУ, будем иметь
w =______________________12________.
' "(р)яяз. р4+5р2+2р2+\
Так как в числителе данной передаточной функции р нет, то,
следуя [5. С. 117], введем четыре переменных состояния следую-
щим образом:
Xi = у, х2 = £,, х3 - х2, х4 = х3.
Выполняя преобразования, аналогичные проведенным в зада-
че 4.28, получим х4 — 10g — 5х4 — 2х3 — Xj. Следовательно, в мат-
135
ричной форме искомая система уравнений
ния имеет вид
в переменных состоя-
О
О
О
-1
0
1
О
О
О
Указание. Для сравнения получите решение данной задачи, восполь-
зовавшись формулами перехода к уравнениям в переменных состояния
на основе канонической управляемой формы (КУФ) [5. С. 111].
4.30. Найти передаточную функцию и уравнения в перемен-
ных состояния системы, описываемой уравнением вход-выход
У + 5у = 3g + 2g + 3 g .
Решение. Переходя, как и выше, к изображениям по Лапласу
при нулевых начальных условиях, получим:
^(р) =
Зр1 +2р + 3
р2 +5
Уравнения в переменных состояния в данном случае записать
невозможно, так как степень р в числителе больше степени р в
знаменателе полученной передаточной функции.
Решение в MATLAB:
[А, В, С, D] = tf2ss([3 0 2 3] , [1 0 5] )
-результат:
??? Error using ==> t£2ss
Order of denominator must be greater than or equal to
order of numerator (Степень знаменателя должна быть больше
или равна степени числителя).
4.31. Динамическая система описывается двумя уравнениями
вход-выход:
у, +3у) +2yt =4g + 5g,
У? +2у2 =15g.
(4.24)
136
Найти передаточную матрицу и уравнения в переменных со-
стояния системы, реализующей данные уравнения.
Решение. Передаточная матрица системы находится анало-
гично рассмотренному выше и является в данном случае матри-
цей-столбцом
&(р) =
5р2 + 4р
р2 + Зр + 2
15
Р2 +1Р
(4.25)
поскольку система имеет один вход и два выхода.
Для определения соответствующих уравнений в переменных
состояния рассмотрим каждое уравнение вход-выход отдельно.
Первое уравнение у, + Зу, + 2у( = 4g + 5g имеет второй по-
рядок и производные в правой части. Поэтому, как и в задаче 4.28,
введем две переменных состояния следующим образом: х|( =
= У, +ktg, x2i =хи + k2g.
Выполняя преобразования, аналогичные проведенным в зада-
че 4^28, получим
x2t = — Зл‘2| ~2.Хц +(5 + A|)g + (4 + 3A'1 + k2)g + (3k2 +2k})g.
Чтобы это выражение не зависело от производных входного
сигнала, положим к} = -5, к2 = 11. В результате находим
хн — x2I -11g, х2| = -2хи -3x2l + 23g,
y^^+Sg
или в векторно-матричной форме
’ 0 11 Г-lf
X. = X. + g,
L-2 ~3J L23
y,=[l 0]x,+[5]g,
где xt =[хн x21f.
Перейдем к преобразованию второго уравнения
(4.26)
(4-27)
У 2 +2Л =15g.
137
Так как в правой части этого уравнения производных по времени
нет, то введем две переменных состояния следующим образом:
л,, = у2, х2-> ~ *12 Выполняя преобразования, аналогичные про-
веденным выше, получим:
*12 = *22 > *22 = -2*22 + 1 5g > V? = *12 -
В векторно-матричной форме эти уравнения имеют вид
О
I
О
О
-2
15
(4.28)
(4.29)
у2=П
0]х,
где х = [л, л,]г.
Порядок полученной системы уравнений равен четырем, а её
передаточная матрица описывается выражением (4.25).
Решение в MATLAB:
% определение уравнений в переменных состояния первого звена:
[Al, Bl, Cl, DI] = tf2ss([5 40], [132]);
sysl = ss(Al, Bl, Cl, DI);
% определение уравнений в переменных состояния второго звена:
[А2, В2, С2, D2] = tf2ss(15, [1 2 0]);
sys2 = S3(А2, В2, С2, D2);
% так как на входах обоих звеньев действует одно и то же возмуще-
но ние, то для получения общих уравнений используется команда:
sys=parallel(sysl,sys2,1,1, [],[])
- по данным MATLAB уравнения системы будут иметь вид
138
-3 — 2 О
1 О О
0 0-2
О 0 1
g,
У =
-и
о
-10 о
о о
5
О
g-
Как видно, эти уравнения также отличаются от приведенных выше,
что объясняется теми же причинами, которые указаны в замечании к
ответу в задаче 4.28.
4.32. Найти уравнения «минимальной реализации» [5. С. 132]
динамической системы, заданной уравнениями (4.24).
Решение. Для получения требуемых уравнений воспользуемся
передаточной матрицей (4.25) заданной системы. Знаменатели пе-
редаточных функций (4.25) можно представить (найдя их корни) в
виде (р + 2)(р + 1) и (р + 2)р. Следовательно, наименьшим общим
кратным (НОК) этих знаменателей является полином
(р+2)(р+1)р. С его помощью представим элементы передаточ-
ной матрицы (4.25) в канонической форме [5. С. 122], т. е. приве-
дем их к общему знаменателю и выделим целую часть в той функ-
ции, где степень числителя равна степени знаменателя:
Wyg(p) =
5р3 +4р2
р3 + 3р2 +2р
15р +15
р3 + 3р2 +2р
Пр2 +10р
р3 + 3р2 + 2р
15/2 + 15
р3 + Зр2 + 2р
В данном- случае динамическая система имеет один вход и два
выхода, поэтому, применяя соотношения КУФ [5. С. 122, 123], по-
У.=[0 -10 -ll].r + 5g,
у2=[15 15 0]х.
139
Сравнивая эту систему уравнений с системой, полученной в
предыдущей задаче, приходим к выводу, что уравнения (4.24) мо-
гут быть реализованы системой третьего, а не четвертого порядка.
Решение в MATLAB:
% команды:
W = [tf((5 4 0],(1 3 21); tf(2 0])1;
W.Variable = 'р'
% минимизация порядка системы осуществляется по команде
sys = ss(W,'min')
Таким образом, по данным MATLAB уравнения исследуемой систе-
мы имеют вид
- 0,634
-0,366
0,2113
1,366
-2,366
0,7887
у, =[-0.384 -2,116 0].v + 5g,
у2=[0 0 3,75]х.
4.33*. Найти уравнения в переменных состояния следующих
систем, если их передаточные функции имеют вид:
4.33.1* ^(р). /Г + Зр3 + 2р2 +4
4.33.2* W (») = ——— W (р)= 10/? + 1 У8'(Р) р2+2р У8'(Р) р ’
4.33.3* W [р)= 2Р + 4 , W ( )=P2+12p + 16 •v,s Р р2+8р + 15 У1У Р р2+1р + \2
4.33.4*
Р+$Р р2+3р Р
140
4.6. Определение уравнений систем
по уравнениям в переменных состояния звеньев
4.34. Найти уравнения в переменных состояния системы по
уравнениям в переменных состояния её динамических звеньев.
Структурная схема системы приведена на рис. 4.13, причем
^2(р) = 4. ^(Р) = т-Ц-
р' + 2 р~ 5р + \
Рис. 4.13. Структурная схема двухконтурной системы
Решение. Так как передаточные функции всех звеньев удовле-
творяют условию /и, < и,-, где — степень числителя, и, — сте-
пень-знаменателя z-й передаточной функции, то задача имеет реше-
ние. ,
Обозначим входные и выходные величины всех звеньев, как
показано на рис. 4.13, а затем найдем уравнения в переменных со-
стояния всех звеньев по их передаточным функциям.
Рассмотрим звено с W^p)-(p2 + р)/{р2 +2). Разделив его
числитель на знаменатель, найдем, что каноническая форма дан-
ной передаточной функции (см. [5. С. 122]) имеет вид
^(Р) = 1 + (Р-2)/(р2 + 2). Поэтому, совершая обратный переход
от передаточной функции ^\(р) = у\(р)1 g{(p^mr к уравнениям в
переменных состояния с использованием соотношений КУФ [5.
С. 123], получим
' о 11 Го'
Х> = X. + g, ,
1~2 °J Lu
(4.30)
yi=[-2 1]х, +g,.
(431)
Выполним аналогичные преобразования для других звеньев:
141
10 0 1 0
W=-f, Ъ = Р 0 0 х2 + 1 g2, у2=[10 0]х2, (4.32)
Wy{p)=-^-, x3=-x3/3 + g3, у, =4x3/3. (4.33)
p + 1/3
Далее по структурной схеме на рис. 4.13 запишем уравнения свя-
зей между звеньями с учетом уравнений выходов (4.31), (4.32), (4.33):
=ё~У2 =£-[Ю 0]л2,
Si =У| + Л =1-2 l]xt+g-[10 0]х2+4х3/3,
g3=y2=[10 0]х2, у = у2.
Затем из уравнений состояния (4.30), (4.32), (4.33) исключим про-
межуточные переменные так, чтобы производные по времени х,
выражались только через другие переменные состояния х, и
внешние входные воздействия:
X, = ’ о Г х, + О' g- '0 О’ х2,
-2 0 1 10 0
х2 - ’ 0 Г х2 + О' g + 0 О’ X, + ' 0 ' х3,
-10 0 1 -2 1 4/3.
Х3 =“*3 +[Ю
0]х2.
Наконец, введем вектор состояния х, объединив в один вектор
переменные состояния всех звеньев заданной системы. Полагая
х = [хц х2| х12 х22 х3]г, запишем выражения для х и для у
с учетом предыдущих выражений. В результате получим:
' 0 1 0 0 0 0
-2 0 -10 0 0 1
X = 0 0 0 1 0 х+ 0 g’
-2 1 -10 0 4/3 1
0 0 10 0 -1/3 0
[0 0 10 0 0]х.
142
Решение в MATLAB:
% построение уравнений в переменных состояния звеньев:
Wl = tf((l 1 0], [10 21); Wl = ss(Wl);
W2 = tf(10, [1 0 01); W2 = ss(W2);
W3 = tf(4, [3 1]); W3 = ss(W3);
% уравнения в переменных состояния звеньев W3 и W2:
W23 = feedback(W2, W3, +1);
% уравнения всей системы
W = feedback(W1*W23, 1, -1)
- по данным MATLAB уравнения системы имеют вид
0 -2 0 5 0 О'
1 0 0 0 0 0
i = -2 4 0 -10 5,333 х+ 4 g’
0 0 1 0 0 0
0 0 0 2,5 -0,333 0
У = [0,5 -1 0 2,5 0]х.
Для сравнения полученных моделей найдем с помощью MATLAB их
характеристические уравнения, введя соответствующие матрицы А и
команду ар = poly (А). В результате получим:
- в первом случае
ар » 1 0.3333 12 0.66667 3.3333 -26.667
- во втором случае
ар = 1 0.3333 12 0.66635 3.333 -26.667
Как видно, полиномы имеют практически одинаковые коэффициен-
ты. Разница обусловлена погрешностью операций в ЭВМ с десятичными
дробями. Следовательно, обе полученные модели эквивалентны.
4.35*. Найти уравнения в переменных состояния сложной ди-
намической системы по уравнениям в переменных состояния её
динамических звеньев. Структурная схема системы приведена на
рис.4.14,где И/|(р) = 5, W2(p) = 2/(р + 1),а
«№) = -, ^4(р) = ^-, Ws(p) = -, W6(p) = ~^-.
Р Р + 2 Р Р+1
Указание. При переходе от передаточных функций звеньев системы
на рис. 4.14 к их уравнениям в переменных состояния используйте соот-
ношения КУФ или КНФ [5. С. 121-123].
143
Рис. 4.14. Структурная схема сложной системы
4.36*. Найти уравнения в переменных состояния систем
управления путем объединения уравнений в переменных состоя-
ния их динамических звеньев. Структурные схемы соответствую-
щих систем приведены:
4.36.1 * — на рис. 4.1. 4.36.2* — на рис. 4.3.
4.363* — на рис. 4.4. 4.36.4* — на рис. 4.8.
В задаче 4.36.4* передаточные функции на рис. 4.8 считать равными
wt =6, W2=-^~, W3=-, W4 = -?-2—
P p2+2p
р + 1
4.37*. Найти по формуле (4.8) и по уравнениям в переменных
состояния, полученным при решении задач 4.36.1 *-4.36.4*, пере-
даточные функции и характеристический полином систем:
4.37.1* —из задачи 4.36.1*. 4.37.2* —из задачи 4.36.2*.
4.37.3* —из задачи 4.36.3*. 4.37.4* —из задачи 4.36.4*.
Сравнить их с выражениями, полученными при решении задач
4.16, 4.18, 4.19, 4.21, соответственно. Сделать вывод о методах по-
лучения корректных уравнений динамических систем, заданных
структурными схемами.
144
5. ХАРАКТЕРИСТИКИ И РЕАКЦИИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ
5.1. Определение временных характеристик
5.1. Найти классическим методом решения дифференциаль-
ных уравнений аналитическое выражение для переходной функ-
ции инерционного звена с передаточной функцией
^(Р) = -Лт (5.1)
, 7р + 1
при К = 1, Т = 2 и построить ее график.
Решение. Переходная функция звена— это его реакция на
единичное воздействие g(t) = 1(f) при ННУ. Поэтому для решения
задачи восстановим дифференциальное уравнение заданной сис-
темы, считая, что входной сигнал g(t), выходной y(t), а затем
решим его классическим методом при g(f) = 1(f) и ННУ.
Согласно (5.1) и определению передаточной функции, при
ННУ можно записать
ГГ(/,)=Ж=_к
g(p) Тр + \
Отсюда
(7p + l)y(p) = Xg(p).
Раскрывая скобки и переходя к оригиналам при ННУ, получим
7j(f) + y(f) = Xg(f). (5.2)
В соответствии с классическим методом решения дифферен-
циальных уравнений (см. разд. 2), характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения (Ту + у = 0) имеет вид
74 + 1 = 0.
Его корень к=-- 1/Г является вещественным, поэтому общее ре-
шение дифференциального уравнения (5.2) имеет вид
У общ (0 = Се т ,
где С— постоянная интегрирования.
Далее находим частное решение. В нашем случае в правой
части (5.2) g{i) = 1 (/), т. е. постоянная величина при t > 0. Поэтому
У част (0 ~ ’
где А — постоянная. Чтобы найти её значение, подставим y,lacm(t)
и ее производную Кост (0 = 0 в уравнение (5.2). В результате по-
лучим А = К, т. е. учс,ст(/) = К . Так как y(t) = уоби1(1) + УчастЮ,
то, подставляя найденные значения, получим
у(1) = Се~т +К. (5.3)
Постоянную интегрирования С найдем по начальным услови-
ям. Полагая в (5.3) / = 0, получим
у(0) = С + ^ = 0.
Отсюда С = -К . Следовательно, реакция инерционного звена
на воздействие g(/) = !(/) при ННУ, т. е. его переходная функция,
согласно (5.3) имеет вид
Л(/) = -К ег + К = К(\ - е ? ). (5.4)
Подставляя заданные значения К — 1 и Т = 2, получим
Л(/) = 1-е’2. (5.5)
Чтобы построить график функции Л(/), найдем ее значение при
t = 0 и ее установившееся (при t - °°) значение. Согласно (5.5)
имеем
Л(0) = 0, Л(оо) = 1.
Найдем также время регулирования /р, т. е. интервал времени
[0,t ], в течение которого функция й(/) звена войдет в коридор
2 • Д • й(оо) и не выйдет из него. При этом обычно Д = 0,05. Так
как Л(/) монотонно возрастает, то
h(tp ) = (1 - 0,05)Л(оо) = 0,95й(«>).
Учитывая здесь равенство (5.4), получим:
К(\ — е 2 ) = 0,95ХГ,или е т =0,05.
146
Отсюда, путем логарифмирования, найдем
tp = -Лп0,05 = 37\ (5.6)
Подставляя в формулу (5.6) заданное значение Т = 2, получим
tp = 6. График функции Л(/) приведен на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Переходная функция инерционного звена
Согласно (5.6) и рис. 5.1, время регулирования tp, т. е. дли-
тельность переходных процессов инерционного звена (5.1), прямо
пропорциональна значению постоянной-времени Т звена и не за-
висит от коэффициента передачи звена К.
Решение в MATLAB: (см. также задачу 2.1)
% команда
yt = dsolve('T*Dy + у = К', 'у(0)= О')
- результат
yt = K-exp(-l/T*t)*К
% график переходной функции (5.5) (рис. 5.1) в MATLAB можно
% построить с помощью /и-файла следующего содержания:
К = 1; Т = 2;
tmax = 13.8; t = 0:0.02:tmax;
ht = 1 - exp(-t/2);
h = plot(t, ht);
set(h, 'Linewidth', 2,'Color',[0 0 0] )
line([0 tmax],[1 1],'Color*, [0 0 0], 'Linestyle', '- -
')
ylim([0 1.1]), xlim([0 tmax])
set(gca,'Box','off','Fontsize',16,'FontName','Times New
Roman')
5.2. Найти график переходной функции звена с передаточной
функцией
147
12 5
Н'(р) = -^—. (5.7)
0,5р + 1
Решение. График переходной функции динамического звена с
известной передаточной функцией в MATLAB проще всего постро-
ить с помощью следующих команд:
sys=t£ ([12.5],[0.5 1]);
step(sys,4) (5.8)
Примечание. Отметим, что в команде tf (...) первая квадратная
скобка включает коэффициенты числителя передаточной функции в по-
рядке уменьшения степени переменной, а вторая — коэффициенты зна-
менателя в том же порядке. В команде step(sys,4) число 4— продол-
жительность по оси времени графика переходной функции.
После ввода команд (5.8) в окне Figure No. 1 появится график
переходной функции исследуемого звена, приведённый на рис. 5.2.
Рис. 5.2. Переходная функция инерционного звена,
построенная в MATLAB
5.3. Найти аналитическое выражение для импульсной пере-
ходной (весовой) функции интегро-дифференцирующего звена с
передаточной функцией
„(Р)=№) (59)
Tjp + l
и построить её график при различных соотношениях 1\, Т2.
Решение. Импульсная переходная (весовая) функция звена
или системы — это её реакция на 8-функцию при нулевых началь-
148
ных условиях. Поэтому, согласно [4. С. 36], она определяется вы-
ражением
= LT1 {1Г(р)} или w(f) = при t > 0. (5.10)
dt
Подставляя в первое из этих выражений передаточную функ-
цию W(p) (5.9), будем иметь:
и(0 = Г'Ш^.
( Т2р + \
или, выделяя целую часть дроби,
и<0 = Г'
7] К(Т2 -7j)
Т2 + Т22
Отсюда следует, что
w(t)=х:-5-5(/)+\ (> о
Т2 т,‘
(5.Н)
Таким образом, импульсная переходная (весовая) функция ин-
тегро-дифференцирующего звена содержит 5-функцию, умножен-
ную на величину К 7\ /Т2 , и затухающую по модулю экспоненту.
Решение в MATLAB:
syma в t К Т1 Т2
w = ilaplace((К*(Tl*s + l))/(T2*s +1), a, t)
w = К*(Tl/T2*dirac(t)+(T2-Tl)/T2"2*exp(-t/T2))
Графики весовой функции и(/) (5.11) без составляющей
К Г| Г2-,5(/) при К = 2 приведены на рис. 5.3 (кривая а при 7] = 1,
Т2 = 2, а кривая b при Tf = 2, Т2 = 1). Они построены в MATLAB
с помощью m-файла следующего содержания:
К = 2;
Т1 = 1; Т2 = 2;
tmax = 6;
t= (О:0.001:tmax)';
wl = К*(12 - Tl)*exp(-t/T2)/T2~2;
Т1 = 2; Т2 = 1;
w2 = К*(12 - Tl)*exp(-t/T2)/T2^2;
h = plot(t, [wl w2]);
set(h, •Linewidth1, 2.5,"Color1,(0 0 0] )
149
line ([0 tmax] , [О, 0], 'Color', [0 0 0] )
ylim([-2 0.6])
set(gca,'Box', 'off','Fontsize', 16)
Рис. 5.3. Весовые функции интегро-диффереицирующих звеньев
5.4. Найти операторным методом переходную h(t) и весовую
w(/) функции системы, которая описывается уравнением
(0,1р 2 + 0,7 р +1,2)v( р) = 0,6g(p). (5.12)
Построить графики этих функций.
Решение. Для решения задачи запишем сначала передаточную
функцию заданной системы
0,1/72+0,7/7+ 1,2 р2 + 7/7 + 12
В соответствии с определением переходной функции [5. С. 31]
её изображение по Лапласу определяется выражением
р р(/7 +7/7 + 12)
Разложим полученное для h(p) выражение на простые дроби
командой residue пакета MATLAB (см. задачу 2.6):
[г, р] - residue(6, (1, 7, 12, 0])
- результат
г - 1.5
-2
0.5
р - -4 -3 0
Тогда
. ч Г1 Г2 Г3 1,5
Й(/7) =---!--+-------+--------= —-----
Р~Р\ Р~Рг Р~Рз Р + 4
2 | 0,5
/7 + 3 /7-0
150
Переходя в этом выражении к оригиналам, будем иметь
Л(/) = 0,5-2 е-3'+1,5 е-4', />0. (5.14)
Для определения импульсной переходной функции w(f) вос-
пользуемся вторым соотношением (5.10). Тогда, дифференцируя
(5.14) по времени, получим
и(/) = 6е3'-6е~4' = 6(е“3'-е’4'). (5.15)
Графики функций (5.14) и (5.15) приведены на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Переходная Л(/) и весовая w(/) функции
Решение в MATLAB:
syms s t
% определение переходной функции
ht = ilaplace(6/((sA2 + 7*s + 12)*s), s, t)
% определение весовой функции
wt = ilaplace(6/(sx2 + 7*s + 12), s, t)
- результаты:
ht = 3/2*exp(-4*t)+l/2-2*exp(-3*t)
wt = 12*exp(-7/2*t)*sinh(l/2*t)
Полученное выражение для импульсной переходной функции легко
приводится к выражению (5.15). Выражение sinh (а) — это обозначение
синуса гиперболического [10].
Как и в задаче 5.2, если необходимо построить только гра-
фики переходной и импульсной переходной функции, например,
системы (5.12), то в MATLAB эти функции строятся с помощью
следующих команд:
sys=tf ([0.6],[0.1 0.7 1.2]);
step(sys)
impulse(sys)
151
5.5. Найти переходные функции hg(f) и а также им-
пульсные переходные функции w„ (/) и wf (/), соответственно, по
задающему воздействию g и по возмущению f системы, которая
описывается уравнениями
0
1
-3 2
1 —2
0,1
0
f, у = [2 0]x + 0,2.
g +
и построить графики bg (t) и и’„ (г).
Решение. Если уравнения системы заданы в переменных со-
стояния, то ее переходные функции й (О и
[4. С. 35] выражениями
b„(t) = -crA~l(E-eA')b + f},
hf(t) определяются
hf (/) = -с' А~' (Е - еА' )Л + Т],
В рассматриваемом случае
0
1
-3 2
1 -2 ’
0,1
О
(5.16)
P = 0,2, T] = 0.
A =
b =
h =
0
еА' = -
Для данной матрицы А переходная матрица еА1 найдена в за-
даче 2.16 и, согласно (2.21), имеет вид
е"+2е’4' 2еч—2е~4'
3\_е-'-е~41 е-4'+2е~' '
Матрицу А~1 здесь можно найти по формулам (1.13). Так как
det А - 4, то матрица А~1 и произведение ст А"1 равны
1 Г—2 -2] г . Г 1
_з , сгА~'=[-1 -1].
A~'
4 -1
Поставляя полученные выражения
получим
в первую формулу (5.16),
. . .113 — 2е
й„(0=-Н
~4' -е-'
-е 1+е~4'
2е~4' -2е"'
3-2е" -е~4'
+ 0,2 =
0
1
152
2е — 2е
3-2е“'— е
1
А —+ 0,2.
-4/ з
Отсюда
/7„(0 = 1 + |(е-4' -4е’') + 0.2, />0.
Аналогично, по второй формуле (5.16) имеем
, г . .1 1Гз-2е-4' -е-‘ 2е~4'-2е~‘
-е~'+е~4' 3-2е^'-е”4'
0,1
0
+ 0,
3
или
hf{t)-G,\ 1---(е~4‘ + 2е~') , 1>0.
Поскольку в рассматриваемой системе Р^О, то, чтобы вос-
пользоваться полученным выражением hg(f) для определения ве-
совой функции w (J) с помощью второй формулы (5.10), выра-
жение для й (/) необходимо записать так:
hg (0 = 1 + (е-4' - 4е”)/з + 0,2 • 1(f), t > 0.
Тогда
dh„ 4
Wg = ~ (е~' -е~4,) + 0,25(1), t > 0.
Весовая функция иу(0 находится с помощью (5.10) без пре-
образования hf (/). В результате получим
н,(0=—=-0,2(2е~4' +е”')/3.
dt
Эти выражения для w (/) и wf (t) можно получить также по
формулам:
iv(/) = L~l {W (р)} или wg (/) = cTeA'b + PS(?),
>р/(0 = сгея'й + т15(0- (5.17)
153
Графики полученных переходной Л„(/) и весовой м> (/)
функций рассматриваемой системы приведены на рис. 5.5 (Step
Response) и (Impulse Response) соответственно.
Здесь ограничимся определением переходной и весовой функций
лишь по задающему воздействию. Соответствующие функции по
возмущению находятся совершенно аналогично с заменой вектора b
и числа Р на вектор h и число т).
Как и в задаче 5.4, решение находится в два этапа. Сначала по
уравнениям состояния создается lti-объект sys; затем он преобразу-
ется в объект sysl в виде передаточной функции:
sys = ss([-3 2;1 -2],[О 1], [2 О],0.2);
sysl = t£(sys); set(sysl,'Variable','p')
sysl
- промежуточный результат:
Transfer function:
0.2 p*2 + p + 4.8
p'2 + 5 p + 4
% затем решается основная задача так же, как и в 5.4:
syms р t
ht=ilaplace((0.2*рА2+р+4.8)/(рА2+5*р+4)/р,р,t)
wt=ilaplace((0.2*рА2+р+4.8)/(р'2+5*р+4),р,t)
- искомый результат:
ht = 6/5+exp(-5/2*t)*(-cosh(3/2*t)-5/3*sinh(3/2*t))
wt = l/5*dirac(t)+8/3*sinh(3/2*t)*exp(-5/2*t)
Если модель системы задана в виде уравнений в переменных
состояния, как в данной задаче, то графики переходной и весо-
154
вой функций в MATLAB можно построить с помощью следующих
команд:
sys=ss([-3 2;1 -2], [0,-1], [2 0], 0.2);
step(sys)
impulse(sys)
Соответствующие графики приведены на рис. 5.5.
5.6. Найти аналитические выражения для переходной Л(/) и
весовой и(/) функций системы
0 —4
1 —4
g, у = [0,5 2]х.
(5.18)
2
3
Решение. Чтобы воспользоваться формулами (5.16) и (5.17),
найдем сначала переходную матрицу ел>. Так как матрица А сис-
темы имеет форму транспонированной сопровождающей матрицы,
то ее характеристический полином А(р) = р2 + 4/? + 4, а его корни
Pi 2 = -о = -2, т. е. являются кратными.
В этом случае, согласно [5. С. 195],
еА,= \+ct -<Г1 е а‘ — 1 + 2/ -4/ е~2' . (5.19)
t 1-0/ 0=2 / 1-2/
Матрица А 1 и произведения ст А 1 и (Е-еА')Ь будут равны:
стА~' = [-1 0,5];
(Е-еА')Ь =
2 — 2е~2' + 8te~2t
З-Зе-2' + 4/е-2'
Теперь по формуле (5.16) запишем
Л(0 = -[-1
0,5]
2-(2-8/)е-2'
3-(3-4/)е“2'
= 0,5-(0,5-6/)е-2', (5.20)
а по второй формуле (5.17) имеем
и(/) = [о,5
2-8/
3-4/
с’2'
= (7-12/)е"2'.
(5.21)
155
Выражение, аналогичное (5.21), можно также получить, если к
равенству (5.20) применить вторую формулу (5.10).
Решение в MATLAB:
- порядок решения тот же, что и в задаче 5.6;
% команды:
sys = ss([0 -4;1 -4],[2 Зр.СО.5 2],0);
sysl = tf(sys); set.Variable = '₽'
- промежуточный результат:
Transfer function:
7 p + 2
(5-22)
p*2 ♦ 4 p + 4
% команды:
syms p t
ht = ilaplace((7*p+2)/(p*2+4*p+4)/p, p, t)
wt = ilaplacef(7*p+2)/(p*2+4*p+4), p, t)
- искомый результат:
ht = 1/2+(6*t-l/2)*exp(-2*t)
wt = <7-12*t)*exp(-2*t)
5.7. Найти значения переходной функции дискретной системы
с передаточной функцией
w 0,34z +0,245
(z2 + 0,8z + 0,15)(z - 0,7)
рекуррентным методом и методом z-преобразования (см. задачи
2.23 и 2.25) и построить её график.
Решение. Для решения рекуррентным методом необходимо
получить разностное уравнение системы. С этой целью перемно-
жим полиномы в знаменателе заданной передаточной функции и
запишем пропорцию:
0,34z +0,245 y(z)
z* + 0,lz2 - 0,41z - 0,105 “ g(z)
Далее раскроем эту пропорцию и умножим обе части полу-
ченного равенства на z~3. В результате получим
(1 + 0,lz-1 -0,41z-2 -0,105z-3)y(z) = (0,34z"2 + 0,245z~3 )g(z).
Отсюда
У* =-0ЛУ*-1 +0,41у*_2 + о,105у,_3 + 0,34g,+ 0,245g,_3. (5.24)
(5.23)
156
Переходная функция дискретной системы — это её реакция на
единичную функцию 1[А] при нулевых начальных условиях. По-
этому, полагая в (5.24) =у_2 = у_3 = 0, gk = 1[А], ук =hk и за-
даваясь последовательно значениями к = 0,1, 2,..., найдем
А' = 0, Ло=О,
А=1, Л, =-0,1/?о=0,
к = 2, h , = -0,1 Л, + 0,41Л0 + 0,34 • 1[0] = 0,3400,
А- = 3, Л, = -0,1 Л, + 0,41/?, + 0,105 Ло + 0,34 + 0,245 = 0,5510
к = 4, Л4 = -0,1 Л3 + 0,41ft, + 0,105Л, + 0,34 + 0,245 = 0,6693
к = 5, h 5 = -0,1 Л4 + 0,41/?, + 0,105Л, + 0,34 + 0,245 = 0,77968...
Продолжая этот процесс, можно найти значения hk при других
значениях к. График переходной функции /?* системы (5.22) при
изменении к от нуля до 20 приведен на рис. 5.6.
Перейдем к определению 1ц методом z -преобразования. Этим
методом находится аналитическое выражение для Л*. Здесь
прежде всего необходимо найти /?(z). Учитывая, что z-изо-
браже'ние 1[А] равно z/(z -1), из пропорции (5.23) найдем
,, . 0,34z +0,245 z
ll(z)= —-------------------------.
z3 + 0,lz* — 0,41z —0,105 Z-1
Представим это равенство следующим образом:
,, ч 0,34z +0,245 1
Л(г) = г< —------------------------),
[z3 +0,lz‘-0,41z-0,105 Z-1
и вычислим разложение на простые дроби выражения в фигурных
скобках с помощью MATLAB:
(г, р] = residue((0.34 0.245], conv([l 0.1 -0.41 -
0.105], [1 -1]))
г = 1 -1.3417 -0.20833 0.55
р = 1 0.7 -0.5 -0.3
Следовател ьно,
... fl 1,3417 0,20833 0,55 ]
[z-1 z-0,7 z + 0,5 z + 0,3j
157
Переходя в (5.25) к оригиналам с помощью таблицы z-изо-
бражений (см. приложение П.1), получим
hk = 1[А] -1,3417 • 0,7* + 0,55 (-0,3)* - 0,2083 • (-0,5)* . (5.26)
Рис. 5.6. Переходная функция дискретной системы
Для сравнения найдем по (5.26) А, = 0,5510, Л5 = 0,7797. Как-
видно, эти значения совпадают со значениями, найденными выше
рекуррентным методом. Совпадают, естественно, и графики Л*.
Решение в MATLAB:
- аналитическое выражение для дискретной импульсной переходной
функции hk можно найти с помощью обратного ^-преобразования про-
изведения передаточной функции IKsC2) на - 1 ) В этом случае ис-
пользуются следующие команды:
syxns z к
hk=iztrans((,34*z+.245)*z/((z*2+.8*z+.15)*(z-.7)*(z-
l)),k)
- результат:
hk = 1-161/120*(7/10)"k-5/24*(-1/2)"k+11/20*(-3/10)*k
Следовательно,
hk =1- —(0,7)* -—(-0,5)* + —(-0,3)*,
* 120 24 20
что фактически совпадает с выражением (5.26).
Переходную Л* и импульсную переходную (весовую) ык функ-
ции дискретных систем в MATLAB можно получить и по урав-
нениям в переменных состояния. Покажем эту возможность
на примере системы
158
*Л+1 =
0
О
0,105
1
О
0,41
О
1
-0,1
xA +
g, у — [0,245 0,34 0]л>,
О
О
1
которая соответствует передаточной функции (5.23).
Имея эти уравнения, переходную hk и импульсную переход-
ную wk функции определяем следующим образом:
% команды:
sys = ss([0 1 0;0 0 1;0.105 0.41 -0.1],[0 0 1]',[0.245
0.34 0],0);
sysl = tf(sys); set(sysl,'Variable*,*z')
sysl
Transfer function:
0.34 z + 0.245
z~3 + 0.1 z"2 - 0.41 z - 0.105
% затем вводим команды:
syms z k
hk=iztrans((.34*z+.245)*z/((zA2+.8*z+.15)*(z-.7)*(z-
l)),k)
wk=iztrans((.34*z+.245)/((zA2t.8*z+.15)*(z-.7)),k)
- результаты:
hk =
11/20*(-3/10)"k-5/24*(-1/2)"k-161/120*(7/10)"k+1
wk = -7/3*charfcn[0](k)+143/60*(-3/10)"k-5/8*(-
-1/2)"k+23/40*(7/10)Ak
Выражение для Л*, очевидно, совпадает с (5.26). В то же время выраже-
ние для wA имеет ряд особенностей. Прежде всего, charfcnto] (к) — это
обозначение в системе MATLAB дискретной 5-функции 5(Л). Поэтому
выражение для wk формально имеет вид
"*Hw+lw>4W)‘+s(o'7>*-
Замечание. Выражение для w*, обычно выдаваемое MATLAB, опи-
сывает математический оригинал (где е [-«>; «>]), соответствующий
заданному z-изображению 1У(г). Однако такое выражение не может соот-
ветствовать весовой функции рассматриваемой системы с физической
точки зрения. Это связано с тем, что в реакции системы, числитель пере-
даточной функции которой меньше степени знаменателя, не может со-
159
держаться 6-функция. К этому же выводу можно придти, если wk найти
как разность hk - /?*•_ ].
Поэтому для получения выражения, которое корректно описывает
весовую функцию, необходимо преобразовать выданное MATLAB выра-
жение (к переменной к-1) следующим образом:
и'0 =0, = — (-0.5)*’1 -—(-ОД)*-1 +1Ё1(о,7)*-', к>0-
16 200 400
При этом оба приведенных выражения дают, естественно, одни и те-
же значения н> при всех к = 0, 1, 2,....
Отметим также, что если необходимо получить только графики пе-
реходной Л*, и импульсной переходной (весовой) w* функций дискретных
систем, то, используя MATLAB, поступают следующим образом.
Предположим, модель дискретной системы задана в виде передаточ-
ной функции, например, (5.22), причем период квантования 7= 1,2. Сна-
чала приводим передаточную функцию к виду
W (г) =,
18 (z3 + 0,lz2 + 0,695z - 0,105)
а затем вводим команды:
sys-tf ([0.34 0.245], [1 0.1 0.695 -0.105], 1.2);
step(sys)
impulse(sys)
Если модель дискретной системы задана уравнениями в переменных
состояния -XA+I = Ахк + buk, ук = стхк +duk, где, например,
а период квантования Т— 0,3, то используются следующие команды:
sys=ss([-3 2;1 -2],[0;1],[2 0], 0, 0.3);
step(sys)
impulse(sys)
5.8 *. Найти аналитические выражения для переходной и им-
пульсной переходной функций систем, заданных следующими мо-
делями:
5.8.1* у + Ту + 10y = 10g.
5.8.2* 18y + 36y + 18y = 72g.
160
5.8.3*
^(р) =
15
5p2 +45p + 70
5.8.4*
^.,,(P) =
____________30 + 12p___________
0,5 p4 + 6p3 + 25,5p2 + 46p + 30
5.8.5*
y=[3 -l].v + 2g.
5.8.8*
y = [0
2]x.
5.8.9*
0,5z + 0,53
z2 + 0,9z + 0,14
5.9 *. Найти аналитические выражения для переходной й* и
импульсной переходной w* функций дискретных систем, описы-
ваемых следующими моделями:
5.9.1*
___________1,17___________
z3 + 0,6z2 — 0,3 lz — 0,12 ’
6— 1607
161
5.9.2* ук - bjyk_' + 0,12ук_г = 0,25g*.., + 0,17g*_2 .
5.9.3* lVyg(z) =
1,15z2 -3,5z + 2,182
z3 — 2,4z2 +1,6 Iz-0,294
5.10 *. Найти аналитические выражения для переходной А* и
импульсной переходной wk функций систем, заданных уравнения-
ми в переменных состояния:
0,5 0 1 2
5.10.1* -**+1 = 0 0,7 0 -0,5 -0,1 0,3 хк + 1 0 ёк.
у*=[0,15 0,75 0,5]л>
Г0.2 -0,151 У Л
5.10.2* 4+i = -1 0,4 хк + 1 5
Ук =[- -1 1]л*
5.10.3* **+i = ' 0,6 Г 0,24 0,8 Л к + 1 ‘ -1 ёк
№=[’ -1,5 0,5]л*..
5.10.4* **+i = 0 -0,12 1 0,8 X к + 0,4 0 ёк
5.11 *. Построить с помощью MATLAB графики переходных и
импульсных переходных функций (см. задачи 5.5 и 5.7) систем,
рассмотренных:
5.11.1* в задаче 5.8.4*.
5.11.2* в задаче 5.8.7*.
5.11.3* в задаче 5.8.9* (при Т= 1).
5.11.4* в задаче 5.10.2* (при Т- 1).
162
5.2. Построение частотных характеристик
5.12. Получить аналитические выражения и построить графи-
ки амплитудной и фазовой характеристик звена с передаточной
функцией
(Р) =-----у—-------------• (5-27)
* 0.75р3+4р‘+12/7 + 48
Решение. Амплитудная Л(со) и фазовая <р(ст>) частотные ха-
рактеристики определяются [4. С. 40] выражениями
Л( /со) = |lKvg (/со)|, <р(со) = argJPvg(/со), (5.28)
где |( )| — обозначение модуля, a arg(-) — фазы комплексного числа
()
Поэтому, заменяя в равенстве (5.27) р на /со и подставляя его
в (5.28), получим с учетом формул (1.1) и (1.2)
л/ ч 65
= ч у V •—— =
__________65__________
-0.75/й7-4йГ+12/СУ+48
65
7(48-4*г)2 + (12-56?)W ’
<p(co) = -arg[48-4co2 + /со(12-0.75(о2)]
или
со(12 — 0.75со2) ло л 2
- arctg------------—, 48 > 4со2
48-4со2
<о(12-0.75СО2) ло .
- к - arctg--------------, 48 < 4со
48 - 4(0“
Для построения графиков Л(со) и <р(со) зададимся рядом зна-
чений частоты со и найдем соответствующие значения амплитуд-
ной и фазовой характеристик.
Результаты вычислений (округленные) приведены в табл. 5.1,
а соответствующие графики — на рис. 5.7.
Решение в MATLAB:
% для вычисления таблицы 5.1 используем /«-файл:
sys » tf(65, [0.75 4 12 48]);
163
w=[0 0.5 1 1.4 1.6 2 3 3.5 457 10]•i
pq = shiftdim(freqresp(sys,w));
[w abs(pq) unwrap(angle(pq))*180/pi]
Таблица 5.1.
(0 0 0,5 1 1,4 1,6 2 3 3,5 4 5 7 10 оо
А 1,35 1,37 1,43 1,52 1,58 1,77 3,28 6,57 4,06 1,05 0,29 0,09 0
<Р° 0 -7,2 -14 -20 -23 -29 -53 -96 -180 -213 -229 -241 -270
Рис. 5.7. Амплитудная и фазовая характеристики
5.13 . Построить амплитудную и фазовую частотные характе-
ристики, а также годограф системы, если её передаточная функция
в разомкнутом состоянии равна
^(р) =
12(р + 1)
2р3+3р2+31р + 15
(5-29)
Решение. Поскольку требуется построить не только Л(со),
ф(со), но и годограф W^f/to), будем использовать не формулы
(5.28), а следующие равенства:
Д<в) = ^2(®) + С2(®). ^(jco) = P(<o) + je(<o), (5.30)
<p(w) = <
arctg , Р(со) > 0;
Л<о)
- п+arctg -----, P(to) < 0,
Р(ю)
(5.31)
164
где
P((0) = ReJ7/J(j(0), С((0) = 1т^(у(0). (5.32)
В заданном случае, согласно (5.29), имеем
^,(» =
12(7(0+1)
(15-Зсо2) + 7<о(31 - 2(О2)
Умножая числитель и знаменатель этого выражения на комплекс-
но-сопряженное число (15 - 3(02 ) — 7‘(о(31 — 2(о2), получим по (5.32):
Р(со) = 12(15 +28(о2 -2w4]/D(to), £>((0) =-12(о(16 +(02)/£>((0),
где
О(о>) = (15 - 3(О2 )2 + (О2 (31 - 2(02 )2 .
Далее, как и ранее, задаваясь рядом численных значений час-
тоты (О, , найдем соответствующие значения Р((о,), (2(0),), а по
(5.30) и (5.31)— Л(о),), <р((0,) (заметим, что удобнее всего это
сделать с помощью MATLAB). Результаты вычислений (округ-
лённые) приведены в табл. 5.2, а соответствующие графики пока-
заны'на рис. 5.8,а и 5.9.
Таблица 5.2
со, 0 1 2 3 3,81 5 7 10 15 20 30 оо
Лео) 0,8 0,50 0,54 0,76 0,00 -0,51 -0,17 -0,07 -0,03 -0,02 -0,01 0
е«о) 0 -0,21 0,23 -0,54 -1,60 -0,19 0,02 -0,00 -0,00 -0,00 -0,00 0
Л(со). 0,8 0,54 0,58 0,93 1,60 0,54 0,17 0,07 0,03 0,02 0,01 0
<р(со) 0 -22,5 -22,8 -35,5 -90,0 -159 -172 -176 -177 -178 -179 -180
Решение в MATLAB:
% для вычисления данных табл. 5.2 использовался /п-файл:
sys = tf(12*[l и, [2 3 31 15]);
w = [0123 3.81 5 7 10 15 20 30]’;
pq ж shiftdim(freqresp(sys,w));
(w real(pq) imag(pq) abs(pq) angle(pq)*180/pi]
Для построения годографа с помощью MATLAB можно также после
команды sys = tf() ввести команду nyquist (sys). При этом на экране
монитора в окне Figure No. 1 появится годограф комплексного коэффи-
циента передачи исследуемой системы при изменении частоты от — «> до
+ «, приведенный на рис. 5.8,6.
165
2
Nyquist Diagram
Рис. 5.9. Амплитудная и фазовая характеристики
S.14 . Построить графики логарифмических амплитудной и фа-
зовой частотных характеристик системы с передаточной функцией
(5-33)
р2(10р + 1)
Решение. При построении графиков логарифмических харак-
теристик сначала строятся асимптотические характеристики.
С этой целью сначала вычисляются величины
201gl50 = 44Э/>, lg<Oi=lg«-l, lg<o2 =lg—0,7.
При этом частоты со,- = 1/7} обозначаются так, чтобы щ <й\ <<Ц.
166
Подробно дальнейший алгоритм построения асимптотических
логарифмических характеристик описан в [4. С. 47-51]. Асимпто-
тическая амплитудная характеристика £o = Z,u(w), построенная по
этому алгоритму, приведена на рис. 5.10,а и образована жирной
ломаной линией.
<Pf
Рис. 5.10. Логарифмические характеристики:
а — амплитудная, б — фазовая
Тонкими сплошными и штриховыми линиями на рис. 5.10,а по-
казаны вспомогательные построения. Цифрами 1, 2, 3, 4 у стрелок
показана последовательность проведения вспомогательных линий.
Тонкой сплошной линией на рис. 5.10,а показан график лога-
рифмической (не асимптотической) амплитудной характеристики
£ = £((0) = L(lg(0). Как видно, эта характеристика в окрестности
частот сопряжения (0, и со2 очень близка к асимптотической ам-
плитудной характеристике, а в остальных — совпадает с ней.
Фазочастотная логарифмическая характеристика ф = ф(со) =
= <p(lgco) системы (5.33) приведена на рис.5.10,6. Она строится
167
путем сложения фазовых характеристик ф0, ср, и ф2, соответст-
вующих множителям 1/р2, 1/(10р + 1) и (0,2р + 1)2.
Замечание. Если система имеет высокий порядок или её передаточ-
ная функция W(p) не является отношением полиномов, то частотные ха-
рактеристики целесообразно строить в MATLAB (см. ниже).
Решение в MATLAB:
Асимптотические логарифмические характеристики можно постро-
ить (см. рис. 5.10,о) с помощью специальной функции freqasimp. при-
веденной в приложении П.2. Синтаксис вызова этой функции в MATLAB
находится, как обычно, запросом: help freqasymp. С помощью этой
программы можно получать асимптотическую амплитудную и два вида
фазовых логарифмических характеристик. Это может быть не асимпто-
тическая или же асимптотическая фазовая характеристики.
В случае рассматриваемой задачи команды следующие:
% ввод данных и вычисление ординат
sys = tf (150*conv( [0.2 1], [0.2 1] ) , [10 1 0 0] ) ;
[A,F,lgwl, Igws] = freqasymp(sys, Igw, 0]);
%построение графиков логарифмических характеристик
figured)
subplot(2,1,1)
h(l) = plot(Igwl.A); grid
xlabelplg \omega'), ylabel('dB')
ax = axis; kf = length(Igws);
line(ones(2, kf)*diag(lgws),diag([ax(3) ax(4)])‘ones(2,
kf),...
'Color', [1 0 0], 'LineStyle', •--')
subplot(2, 1, 2)
h(2) - plot(lgwl.F); grid
xlabelplg \omega')
set(gca,*FontName*,'Arial Unicode MS')
ylabel(phase (deg)'), ylim([-290 -60])
ax = axis;
line(ones(2, kf)*diag(lgws),diag([ax(3) ax(4)])‘ones(2,
kf),...
•Color', [100], 'LineStyle', '--')
set(h,'Linewidth', 2.5)
Построенные с помощью функции freqasymp графики лога-
рифмических частотных характеристик системы (5.33) приведены
на рис. 5.11: асимптотическая амплитудная — на рис. 5.11 ,а и не
асимптотическая фазовая — на рис. 5.11,6.
168
Ьа,дБ
Рис. 5.11. Логарифмические частотные характеристики
Для получения графиков асимптотических амплитудной и фа-
зовой логарифмических характеристик вводится команда
[A,F,Igwl,Igws]afreqasymp(sys, Igw, 1]);
Соответствующие этой команде логарифмические характери-
стики той же системы (5.33) приведены на рис. 5.11,а и 5.11,в.
Вертикальные штриховые линии на этих рисунках соответствуют
сопрягающим частотам.
Для построения с помощью MATLAB логарифмических
(не асимптотических) характеристик системы с переда-
точной функцией (5.33) достаточно ввести команды:
sys = tf (150* [0.04 0.4 1], [10 1 О 0]);
bode(sys), grid
169
Соответствующие графики приведены на рис. 5.12.
Рис. 5.12. Логарифмические частотные характеристики
5.15 *. Построить графики амплитудной и фазовой частотных
характеристик систем, заданных следующими моделями:
46
5.15.1*
Wyg(P) = 3 2
р3 + 5р2 + 12р + 46
5.15.2* 0,01jp+0,12y+y + 10y = 10g.
5.16 *. Построить графики амплитудной и фазовой частотных
характеристик, а также годограф Найквиста следующих систем в
разомкнутом состоянии:
170
5.16.1* >Мр) 60
5р3 + 9р2 + 40р
5.16.2* И'/р) 7
0,027р3 + 0,12р2 + р
’0 0 0 15л
5.16.3* X = 1 0 -0,5 х + 8 Е, £ = g-V,
0 1 -5 0
^ = [0 0 1]х.
5.17 *. Построить графики асимптотических логарифмических
амплитудных и фазовых (асимптотических и не асимптотических)
характеристик, соответствующих заданным моделям:
0 0 0 25'
5.17.1* л = 1 0 -0,333 л + 25 и, _у = [0 0 1}г,
0 1 -6,72 0
5.17.2* 1К„(р) = 220р +110 .
0,005 р + 0,15р +р
335р + 470
5.17.3*
1К (р) =
Р 0,015р4 +0,028р3+0,17р2+р
5.17.4*
ЗЗО(О,4р + 1)2
р3-42,7р2 - 263р-1
У
5.17.5*
5.17.6*
10(р + 1)(р + 0,01)
(р2 + 2р + 3)(р2 + 0,015р + 0,01) '
___________40(1 + 0,5р)_________
(1 + р)(1 + 0,5 р + 0,25р2 )(1 + 0,15 р)
171
Указание. Задачи 5.17.4*-5.17.6* решить в MATLAB с помощью
программы freqasimp, приведенной в приложении П.2.
5.3. Определение реакций
непрерывных звеньев и систем
5.18. Найти реакцию динамической системы (5.12), рассмот-
ренной в задаче 5.4, на воздействия £^|(/) = 5 -1(/) и g2(r) = 105(1).
Решение. Если известны переходная hg (?) и импульсная переход-
ная (весовая) wg (/) функция системы (звена) по некоторому воздейст-
вию g(t), то её (его) реакцию на воздействие типа g(O = ^oKO при
нулевых начальных условиях (ННУ) можно найти по формуле
yg(/) = goftg(l), (5.34)
а на воздействие типа g(f) - g08(l), при ННУ — по формуле
yg(l) = gowg (0- (5-35)
В данном случае, в соответствии с выражением (5.14), имеем
/zg(/) = O,5-2e-3'+1,5е-4'. />0.
Поэтому согласно (5.34) реакция рассматриваемой системы на
воздействие gi(/) = 5-l(/) будет равна yg|(/) = 2,5-10e~3'+
+7,5е~4'.
Аналогично, в соответствии с выражением (5.15), запишем
ivg(r) = 6(e’3' — е~4'), 1>0.
Поэтому, согласно (5.35), реакция системы (5.12) на воздействие
g2 (г) = 10 5(f) будет равна yg2 (1) = 60 (е~3' - е~4').
5.19. Найти реакцию системы (5.12) при ННУ на прямоуголь-
ный импульс длительностью 0,1с и амплитудой g0 = 7,5.
Решение. Согласно (5.14) и рис. 5.4, длительность переходной
функции системы (5.12) составляет около одной секунды. Поэтому
заданное воздействие в виде короткого прямоугольного импульса
длительностью 0,1 секунды можно считать эквивалентным
172
импульсному воздействию g(f) = 0,1 7,5 -8(/) = 0,758(f). Следова-
тельно, искомая реакция системы (5.12) с учетом равенства (5.15)
приближенно описывается выражением
yg(z) = 4,5(е-3'-е-4'). (5.36)
Для сравнения на рис. 5.10 приведены приближенный (1) и
точный (2) графики искомой реакции, построенные по (5.36) и в
соответствии с точным выражением:
У, (г) = 7 ДЛ, (/) - hg (/ - 0,1)] = [3,75 -15е-3' + 11,2 5е~4' ] l(r) -
- [3,75 -1 Se"30-0’0 + 1 l,25e<J4ft"°'n ] l(f - 0,1), (5.37)
где hg(t) — переходная функция системы (5.12), которая описы-
вается равенством (5.14).
Рис. 5.13. Реакция системы на импульсное воздействие
Как видно на рис. 5.13, разница между графиками и в особен-
ности разница между площадью под графиком 1 и площадью под
графиком 2 очень незначительна, хотя выражение (5.37) намного
сложнее выражения (5.36). Это позволяет использовать импульс-
ную переходную функцию для приближенного определения реак-
ции динамических систем на короткие воздействия.
5.20 *. Найти реакцию системы (5.12) на воздействие
g(t) = 2 • 1(г) + 3 • 1(/ -1,5) - 4 • l(f - 4) при ННУ, используя h(f).
Построить с помощью MATLAB на одном рисунке функции
g(f)n yg(t).
173
5.21 *. Найти реакцию интегро-дифференцирующего звена
(5.9) при К = 3; Т}-3; Т2-},5 на воздействие g(t)--4l(t) при
нулевых начальных условиях.
5.22 *. Найти реакцию системы, рассмотренной в задаче 5.5, на
воздействия g(/) = 2S(z) и /(/) = 2-1(г) при ННУ.
5.23 *. Найти реакцию системы (5.18) на воздействия
g, (Г) = 88(Г) и g2 (0 = 5 1(0 при ННУ.
5.24 . Найти реакцию на g(/) = 21(0 системы, которая описы-
вается передаточной функцией (5.13) при у0 -1,5; у0=-2.
Решение. Переходная функция рассматриваемой системы
найдена в задаче 5.4. Однако в данном случае воспользоваться ею
нельзя, так как заданные начальные условия не нулевые. Чтобы их
учесть, необходимо сначала найти дифференциальное уравнение,
соответствующее передаточной функции (5.13). С этой целью в
соответствии с определением передаточной функции запишем
пропорцию
6 _ У(р)
р2+7р + 12 g(p)
Отсюда найдём
Р2У(Р) + 7РУ(Р) +12у(р) = 6g(p)
и, переходя к оригиналам, получим
y + 7y + l2y = 6g(t).
Теперь перейдем в этом уравнении снова к изображениям по
Лапласу, но при заданных ненулевых начальных условиях
^2y(p)-U5p + 2 + 7[py(p)-l,5] + 12_v(p) = 6-2/p
или
. 7 _ , , 12 1,5р+8,5р + 12
(/Г +7р + 12)_у(р) = 1,5р + 8,5 + —=----------.
Р Р
Отсюда
, ч 1,5/>2+8,5о + 12 АВС
у(р)=—-——'----------= — +------+-----•
р(р + 3)(р + 4) р р + 3 р + 4
174
Коэффициенты А, В, С находим с помощью функции residue па-
кета MATLAB (см. задачу 2.6):
[г, р] = residue([1.5 8.5 12], [1, 7, 12, 0])
- результат
г = 0.5 о 1
р = -4-30
Тогда
, \ 'i г2 гз 0,5 0 1
Р~Р] Р~Р1 Р-Рз Р + 4 Р + 3 Р-°
Следовательно,
y(') = l + 0,5e~4', />0.
Для проверки найдем y(t), а затем значения у(0) и у(0):
у(/) = -2е-4'; у(0) = 1,5; у(0) = -2,
что соответствует заданным начальным условиям.
Решение в MATLAB:
- после получения дифференциального уравнения
у+7 у +12 у = 6g(Z) решаем его при заданном входном сигнале и при
заданных начальных условиях. Команда:
yt = dsolve('D2y + 7*Dy + 12*у = 6*2*, *у<0) = 1.5',
'Dy(O) = -2')
- результат:
yt = l+l/2*exp(-4*t).
5.25. Найти реакцию системы, описываемой уравнением вход-
выход тг,
y + 6y + iy = f(t), (5.38)
при f(t) = 5е2' +3 и начальных условиях у(0) = -1, j(0) = l.
Решение. Воспользуемся классическим методом решения
дифференциальных уравнений, при котором решение ищется в
виде y(t) = yoSu/ (/) + yvacm(t). Характеристическое уравнение
X2 +6Х + 8 = О.
Решив его, найдем корни X, = -2 и Х2 = -4. Поэтому общее ре-
шение уравнения (5.38) записывается в виде
У^^С.е-21+С2е-*'. (539)
)75
В данном случае в приложенном к системе (5.38) возмущении
f(t) = 5е~2' + 3 и в общем решении (5.39) имеются экспоненты с
одинаковыми показателями. Поэтому частное решение уравнения
(5.38) и его производные по времени записываются так:
y.,ac,„(t) = Ate-2' +В,
Учост(^ = ^е~2'-2Ate~2', y4lK.m(t) = 4A(t-1)е~2'. (5.40)
Подставляя участ(1) и его производные (5.40) в уравнение (5.38) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях времени,
получим Л = 5/2, Z? = 3/8.
Далее из (5.39) и (5.40) с учетом найденных значений для А и
В выводим
< т
y(t) = С,е"2' + С2е~4' + —te2' + -. (5.41)
2 8 —
Чтобы найти постоянные и С2, учтем заданные начальные
условия. С этой целью найдем производную
Я0 = -2С,е-2'-4С2е~4' + |е’2' -5te~2'. (5.42)
Затем, полагая в (5.41) и в (5.42) t = 0, получим
5 3
-2С]-4С2+ —= 1, С!+С2+- = -1.
2 8
Решаем эту систему в MATLAB с помощью команд:
format rational;
а = [-2 -4; 1 1] ; Ь = [1-5/2 -1-3/8] ; с = а\Ь
-результат
с = -7/2 17/8
Следовательно, С|=—7/2, С2=17/8. Таким образом, реак-
ция системы, описываемой уравнением (5.38), на постоянное воз-
действие и экспоненту описывается выражением
у(/) = --е’2'+ — е“4'+-/е~2'+-, Г>0. (5.43)
2 8 2 8
По графику этой функции, приведённому на рис. 5.14, можно
убедиться, что хотя характеристическое уравнение системы имеет
только вещественные корни, а в составе возмущения нет колеба-
176
тельных составляющих, в переходном процессе возникает не-
большое перерегулирование. Это происходит из-за явления резо-
нанса, обусловленного совпадением одного из корней характери-
стического уравнения системы с показателем экспоненциальной
составляющей входного воздействия.
Рис. 5.14. Реакция системы (5.38)
Решение в MATLAB:
- здесь эта задача решается непосредственно по заданному дифферен-
циальному уравнению с учетом возмущения и начальных условий.
% команда:
yt = dsolve('D2y+6*Dy+8*y=5*exp(-2*t)+3’, 'у(0)=-1',
DyW=l')
- результат:
yt =
<-5/4*log(exp(-2*t))+3/8/exp(-2*t)+17/8*exp(-2*t)-
7/2)*exp(-2*t)
Это выражение легко приводится к виду
XO = f“ — + — е~2' +—+-, />0.
V 2 8 2 J 8
5.26 *. Решить задачу 5.25 методом преобразования Лапласа.
Сравнить сложность определения реакции систем классическим и
операторным методами решения дифференциальных уравнений.
5.27 *. Найти реакцию систем на заданные воздействия:
5.27.1*
^(р)=
2р + 12
2р2 + 10р + 12
, 3'о=-2. Уо=1,
g(/) = 0,5/ + 3e“2'.
177
5.27.2*
Уо =1,
5.27.3*
g(/) = 51(/).
24
5.27.4*
WrAp)=—-----------,
J 4р2+20р + 24
/(Z)-5sin2/.
16
Wv/(p) = —2---------,
J 2р2+14р + 20
/(/) = 2 -!(/) +cos/.
5.27.5*
-2
О
О
-1
Уо=0,
Уо = °>
Уо = °.
/(0 = 2/,
Уо = 0 ,
3
4
2
1
Указание. В задаче 5.27.5* воспользуйтесь формулой Коши.
5.28 *. Найти реакцию звена (5.9), рассмотренного в задаче 5.3,
на воздействие g(t) - 0,5/ + 2е~‘ при К = 2, 7j = 0,2 с, Т2 = 0,5 с и
нулевых начальных условиях.
5.29 *. Найти реакцию системы (5.12), рассмотренной в задаче
5.4 , на воздействие g(/) = 2/ + 3e-2' +5e~0’,, при ННУ.
Указание. Воспользуйтесь формулой Коши и импульсной пере-
ходной функцией, найденной при решении задачи 5.4.
5.30 . Найти амплитуду и фазу выходного сигнала усилителя с
передаточной функцией
W (Р) = У^ 20(0,2 р + 1)
g(p)HHy 0,01 р2 +0,Зр + 1
(5.44)
на воздействие g(/) = l,2 sin2/. Записать выражение, описываю-
щее выходной сигнал рассматриваемого усилителя.
Решение. Так как требуется определить лишь амплитуду ут
и фазу ф,, переменной на выходе усилителя (5.44), то, следова-
178
тельно, имеется в виду установившийся режим работы. Реакция
линейной системы на гармоническое воздействие gm sin со ? t в ус-
тановившемся режиме описывается выражением
У (0 = У,„ sin (соg t + ср,,). (5.45)
При этом амплитуда и фаза определяется по формулам
У т= A gm =\WO“)|w=^ g,„, (5.46)
ср _, = cp(co )| =arg W (j co) | ю=% , (5.47)
гДе g m ’ “ g — амплитуда и частота входного гармонического воз-
действия.
В случае рассматриваемого усилителя по (5.46) и (5.47) имеем
= 20(0,2-72 + 1) 12= |20+>8|
Ут -0,01-4+0,3-72 + 1 ’ |0,96+70,б| ’
21 54
=—^-—1,2 = 22,833;
1,132
ф .v=argO96 + yo6 = аГ8 (2° + j®~ arg (0’96 + 7 °’6)=
=arctg^-arctg^ = 24,678° -34,883° = -11,34° = -0,17809рад.
Следовательно, согласно (5.45), реакция рассматриваемой сис-
темы (5.44) нд заданное гармоническое воздействие в установив-
шем режиме описывается выражением
у(г) = 22,833 sin (2/-0,178).
Решение в MATLAB:
% команды:
gm = 1.2; wg = 2;
Wjwg = 20*{0.2*j*wg + 1)/...
(0.01*(j*wg)*2 + 0.3*j*wg +1);
ym = gm*abs(Wjwg), phiy = angle(Wjwg)
- результат:
ym = 22.833
phiy = -0.17809 .
179
5.31 *. Найти реакцию системы, рассмотренной в задаче 5.12,
на воздействия g,(/) = 10cos/ и g2 (/) = 10 cos 5/ в установив-
шемся режиме (в виде (5.45)). Сравнить полученные результаты.
5.32 *. Найти амплитуду и фазу реакции (5.45) на воздействие
g(t) = 5 sin 4/ систем, рассмотренных
5.32.1* в задаче 5.15.1*.
5.32.2* в задаче 5.15.2*.
5.32.3* в задаче 5.15.3*.
Записать выражения для реакций этих систем в виде (5.45).
5.33 *. Определить с помощью найденных выше обычных и
логарифмических частотных характеристик реакцию на воздейст-
вие g(t) = 1,5 sin 0,11 систем, рассмотренных
5.33.1* в задаче 5.17.1*.
5.33.2* в задаче 5.17.2*.
5.33.3* в задаче 5.17.4*.
5.33.4* в задаче 5.17.5*.
5.33.5* в задаче 5.17.6*.
5.4. Определение реакций дискретных систем
5.34. Найти реакцию дискретной системы, рассмотренной в
задаче 5.7, на воздействие gk = 4- 1(к) при ННУ.
Решение. Так как воздействие при к > 0 постоянное, то реак-
цию системы на него при нулевых начальных условиях можно
найти по формуле
Ук =gohk, (5-48)
где hk — переходная функция исследуемой системы.
В рассматриваемом случае, используя значения переходной
функции системы, найденные при решении задачи 5.7, будем иметь
уо=О, У| =4-0 = 0,
у2 = 4• 0,34 = 1,36, у3 = 2,204.
С другой стороны, используя соотношение (5.26), получим
ук = 4 - 5,3668 (0,7) * + 2,2 (-0,3)* - 0,8332 (-0,5)*.
180
Подставляя в последнее выражение значения к - 0,1,2,3,..., полу-
чим те же значения уЛ..
5.35. Найти реакцию дискретной системы с передаточной
функцией
2z + l
z2 — 0,6 z + 0,08
(5.49)
на воздействия g1Jt=8-5(A:) и g2k-l,35(k) при ННУ.
Решение. Реакция дискретных систем на воздействия типа
g08(/r) определяется по формуле, аналогичной (5.35). Поэтому
сначала найдём импульсную переходную (весовую) функцию
заданной системы, например, используя обратное z-преобра-
зование. Соответствующая методика описана при решении зада-
чи 5.7.
В рассматриваемом случае системы (5.49) получим
но=О, wk =9(0,4)-7(0,2)Л-1, Х=1,2,... (5.50)
Полагая в (5.50) к = 0, 1,2, ..., найдём несколько первых орди-
нат весовой функции и>А.: w0 =0, w, =2, w2 =2,2, =1,4,
w4 =0,52, w 5 =0,2192. Графическое изображение этой решетча-
той функции приведено на рис. 5.15.
181
Перейдём к определению реакции системы (5.49) на заданные
воздействия. Эти воздействия являются 8-функциями различной
интенсивности, поэтому с учётом (5.35) и (5.50) находим
у, 0 = 0, уи = 8 wk = 72 • (0,4)*“' - 56 • (0,2)*4, к > 0,
Ую = °, У1к = ’3 и-*. = 11,7 - (0,4)*"* - 9,1 (0,2)Л |, к > 0 .
5(*) =
(5.51)
Замечание. Подчеркнём, что штриховая линия на рис. 5.15— это
лишь огибающая ординат решетчатой функции »г*. Её изображают, чтобы
подчеркнуть характер изменения решетчатой функции. Однако эта оги-
бающая никак не отражает значения функции vv* в интервалах между мо-
ментами времени кТ, так как этих значений вообще не существует.
Отметим также, что дискретная S-функция описывается выражением
1, к = 0,
0, к > 0, к < 0.
В курсах математики эту функцию называют символом Кронекера.
Аналитическое выражение для импульсной переходной функции
дискретной системы можно также получить путём решения соответст-
вующего разностного уравнения методом z-преобразования или, что
проще всего, с помощью MATLAB, как показано в задаче 5.7.
5.36. Найти реакцию ук системы, рассмотренной в задаче
2.25, на воздействие gk=2kT при тех же начальных условиях,
используя решение, полученное в указанной задаче.
Решение: Обозначим gk и хсв(к), хИЫН(к') —воздействие и
составляющие вектора состояния системы из задачи 2.25, где
gk=kT. В данной задаче начальные условия те же, a gk = 2g к,
поэтому на основе свойства суперпозиции линейных систем мож-
но записать равенство
— хсв (^) + 2 хвын (к).
Воспользовавшись значениями хсв (к) и (к), найденными при
решении задачи 2.25, получим
Ч =
' 6,85723 ^Г—18,93881 Г—03112
-0,2286 3,0694 0,1556
0,3* +
20,75
-6,225
0,5*.
182
Наконец, подставляя данный вектор в равенство (2.39), найдем
искомую реакцию
ук = 35,275 • (0,5)к - 0,4668 (0,3)* - 34,8082 +13,4858 к .
5.37 *. Найти ординаты ук к = 0,1,2,3,4 реакции системы,
рассмотренной в задаче 2.24, при начальных условиях
х0 = [0,125 -0,25]г и воздействии gk = 0,5кТ.
5.38 *. Найти ординаты ук, к = 0,1,2,3,4 реакции системы,
рассмотренной в задаче 2.26.2*, на воздействие g к -4 sin 0,3 к при
начальных условиях х0 = [2 4]г .
5.39 *. Найти ординаты ук, к = 0,1,2,3,4 реакции системы,
рассмотренной в задаче 2.26.3*, на воздействие gk= 0,75-1 (к)
при-т0 =[1,5 -0,5 0,25]г.
5.40 *. Найти реакцию системы, рассмотренной в задаче 5.10.1*,
на воздействие g к = 6 • 1 (к) при нулевых начальных условиях.
5.41 *. Найти реакцию системы с передаточной функцией
^,XU)=—-5(2г+1)—
* z‘ -0,6z + 0,08
на воздействие gk = 2,5 • Ь(к) при нулевых начальных условиях,
воспользовавшись решением задачи 5.35. Здесь 5(&) — функция,
описываемая выражением (5.51).
Указание. Прн решении задач 5.37*- 5.41* примените свойство су-
перпозиции линейных дискретных систем.
5.5. Определение статистических характеристик
выходных сигналов систем управления
5.42. Определить среднее значение, спектральную плотность и
дисперсию выходной переменной системы, показанной на
рис. 5.16, на случайное воздействие ф(/), если его среднее значе-
ние и спектральная плотность описываются выражениями:
183
ф = 0,5, S (и) = -4^7-
оГ +16
<р 2/7 + 10 у
4рI 2 * +8/7 + 10
Рис. 5.16. Система с одним случайным воздействием
Решение. Как показано в [5. С. 177], среднее значение у вы-
ходной переменной у (Г) устойчивой линейной системы при дей-
ствии на её входе случайного воздействия ф(/) определяется вы-
ражением
Т = ^.Ф(0)Ф, (5.52)
где W (р) — передаточная функция системы; ф — среднее зна-
чение случайного воздействия.
Спектральная плотность 5v,.(io) выходной переменной опре-
деляется по формуле [5. С. 181]:
\.„(со)=| Frv4>(y<»)| 2Sw(<o), (5.53)
где lVvv(jvii) —комплексный коэффициент передачи системы.
В рассматриваемом случае по формуле (5.52) находим
7 = 1-0,5 = 0,5.
Так как (j ю) = Wrv (р) при р = /са, то в данном случае
z- ч 10 + J2CO
С/ “) =---------------г •
10 + 8у(О+4(усо)2
Следовательно,
I W „ (/СО) |2 =_____+ ________=
[4 (j to)2 +8jto+10][4(-jto)2-8/со+Ю]
_ 4ю2 +100 _ со2 + 25
~ 16<в4 - 16со2 +100 ~ 4(О4 -4ог + 25 '
Квадрат модуля комплексного числа можно вычислить и в MAT-
LAB, введя
184
% команды:
w = sym(’w', ’real*);
Wy = (10 + 2*j*w)/(10 + 8*j*w + 4*(j*w)Л2);
Wy2 = abs(Wy)Л2
- результат:
Wy2 = (25+w"2)/(25-4*w"2+4*w"4).
Поэтому по формуле (5.53) находим:
„ ' ч co2 +25 0,36
SF,.((0) =--2i-------------->-=
4со4-4со‘+25 со2+16
0,36 со2 +9
4со6 +60со4 -39со2 +400
Переходим к определению дисперсии D выходной перемен-
ной рассматриваемой системы. Как известно, её можно определить
[5. С. 190] по формуле
J|^l(p(yco) |\фф((0)с/(0.
(5-54)
D
Подставляя в (5.54) заданные Wt tp(ja)) и (со), получим
' " 2 0,36 .
сЛо. (5.55)
2y(O+10
D 1
л 2л J
4(jco)2 +8усо+10 со2+16
Интеграл в этом выражении целесообразно вычислять с по-
мощью формул Мак-Ленна (см. приложение П.4). Поэтому пред-
варительно его необходимо привести к виду
2
с/СО.
Д(/а>)
С(У<о)
1
'4 J
2л }
(5.56)
Здесь n — степень полинома C(jco). В данном случае, представ-
ляя со2 +16 = (-j со + 4) (у со + 4) = |j со+4| ~, получим из (5.55) сле-
дующее выражение:
2y co +10
I
D = 0,36— [ ,
2л j 4 (у со)3 + 24(у со )* + 42 j со + 40
2
dco. (5.57)
185
Так как степень знаменателя в подынтегральном выраже-
нии равна трём, то, очевидно, D , = 0,36/3, где интеграл /3 оп-
ределяется равенством (5.56) при п = 3. Значение интеграла /3,
согласно приложению П.4, определяется выражением
у _ ^2 С0 С1 + (^1 ~ ^2 )С0 с3 + *0 С2 с3
2сос3(-сос3+с,с2)
где Ь, и Cj — коэффициенты полиномов В(усо) и С(усо) соот-
ветственно. В данном случае, согласно (5.56) и (5.57), имеем
Ьо =10, 6,=2, 6, =0, с0 = 40,q =42, с, =24, с3 = 4. Поэтому,
подставляя численные значения в (5.58), получим /3 =0,038 и
D v= 0,01359, согласно (5.57).
Вычисление дисперсии в MATLAB:
% команды:
Sff = 0.36/(wa2+16)г
Dy =int(Wy2*Sff, w, -inf, inf)/2/pi;
Dy = simple(Dy)
-результат:
Dy = 18/1325 = 0.013585
5.43. Найти дисперсию выходной переменной y(t) системы
(рис. 5.17), на входе которой действует сумма двух взаимно корре-
лированных случайных воздействий <pf (?) и ф2 (0 •
Воздействие ф| (Г) является белым шумом и имеет спектраль-
ную плотность
5Wi(w) = 0,16,
Рис. 5.17. Система первого порядка
Случайное воздействие ф2 (/) является коррелированным слу-
чайным процессом и характеризуется корреляционной функцией
/?w(T) = 0,064e-5|t| (5.59)
186
Взаимная спектральная плотность воздействий ср, (/) и ф, (/):
5^,(У«)) = -^-. (5.60)
- j со + 5
Решение. Согласно (5.54), для решения задачи прежде всего
необходимо найти спектральную плотность входного сигнала сис-
темы, который в данном случае является суммой двух случайных
процессов. Спектральная плотность суммы двух взаимно коррели-
рованных случайных процессов, согласно [5. С. 170], определяется
равенством
Ф (ь>) = 5Ф1(Р1 (<о) + $ф2ф2 (со ) + 2 Re (j со). (5.61)
В данном случае по (5.59) с помошью табл. 4.1 [5. С. 166] на-
ходим спектральную плотность процесса ф2 (/):
5'ф,ф,(®) =
0,64
со2 +25
Определить SV2V2 (со) можно и в MATLAB, введя
% команды:
w = sym('w‘,'real');
syms tau
Rff = 0.3*exp(-0.05*abs(tau));
Sff = Courier(Rff, tau, w)
-результат:
Sff =16/25/(25+w~2)
Далее в соответствии с выражением (5.60) имеем
(j со) = Re
0,01(-у со+ 5)
(У со+ 5) (-у со+ 5)
0,05
со2 + 25 ’
Следовательно, по формуле (5.61) можно записать
0,64 „ 0,05 0,16со2+4,74
5' (со) = 0,16 + —т2-+ 2—------= —— ----------—
w со2+25 со2+25 со2+25
Теперь, подставляя H'^Qco) и 5^ (со) в равенство (5.54),
найдём
187
2
5
У co+ 2
0,16 со2 +4,74
со2 + 25
с/со =
1 5 2 0,4/(0 + 2,1772
2я Jjco + 2 у со+ 5
dco =
1 ”f 2у со+ 10,886
2л J (усо)2 + 7 /со +10
dco.
Полученный интеграл соответствует выражению (5.56) при п = 2, и
его можно вычислить по формуле (см. приложение П.4)
Cq + С?2
2сос,с2
(5.62)
В нашем случае, очевидно, что Ьо =10,886, bt=2, со=1О,
с, - 7, с2 -1 • Следовательно, по формуле (5.62) искомая диспер-
сия выходной переменной равна
4-10 + 10,8862-1 _t В21
2-10-7-1
Решение в MATLAB (при найденной S (со) ):
% команды:
w = sym('w‘,'real');
Sfl=0.16; Sf2 = 0.64/(w*2 + 25) s Sf12=0.01/(j»w+5);
Sff = Sfl + Sf2 + 2*real(Sf12); Sff = simple(Sff);
Wy = 5/(j*w +2); Wy2 = abs(Wy)*2;
Dy =int(Wy2*Sff, v, -inf, inf)/2/pi;
Dy = simple(Dy)
- результат:
Dy = 317/280 = 1.1321
5.44 *. Найти дисперсию случайных изменений угла тангажа е
самолёта, вызванных турбулентностями атмосферы. Передаточная
функция самолёта описывается выражением
0,8 Г,
W (
(7’„,„Г + 1)(/72+2^со1р + со2)
188
где TIUI =0,5 — постоянная времени исполнительного механизма
автопилота; =0,75 и со, =2,5 — коэффициент затухания и соб-
ственная частота колебаний планера самолёта.
Влияние турбулентности атмосферы на изменения угла тан-
гажа самолёта соответствует влиянию случайного возмущения
V = V(0 с корреляционной функцией (т) = ОЗе-0 05^ .
5.45 *. Найти значение дисперсии D ,, выходной переменной
системы с передаточной функцией
(р)=.--------------------------
' 9 р2 +1,9(оо р2 +2,2а>1 р + (£>1
при случайном воздействии со спектральной плотностью
и различных значениях параметра соо : too = 1,5; соо = 4 ; со0 = 8 .
Оценить и описать зависимость D от параметра ю0.
5.46 *. Структурная схема системы управления беспилотным
ЛА имеет вид, приведённый на рис. 5.18. Найти дисперсию D
выходной переменной при случайном воздействии ср(/) со спек-
тральной плотностью ф (со) = 0,6 /(со2 + 9).
Рис. 5.18. Система управления беспилотным ЛА
5.47 *. Найти дисперсию случайных колебаний скорости вра-
щения вала двигателя постоянного тока с управлением по возбуж-
дению, который имеет передаточную функцию по скорости
189
(р + b/ J)(p + Rms /Loe)
при К — 25; b/J —1,7 ; Ro№ / LlM = 4,5. Здесь J — момент инерции
вращающихся частей, приведённый к валу двигателя; R(№, LWI —
активное сопротивление и индуктивность обмотки возбуждения;
b = JITm, где Тт — электромеханическая постоянная времени.
Колебания скорости вызваны случайными изменениями на-
пряжения возбуждения u{t), корреляционная функция которых
R„u (T) = (0,25/V10)exp(-V10|-c|).
190
6. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ
И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
6.1. Анализ управляемости, наблюдаемости
и полноты
6.1. Исследовать управляемость и наблюдаемость объекта
Решение. Для исследования управляемости и наблюдаемости
объектов или систем, описываемых уравнениями
х=Ах+Ви, (6.3)
y = Cx + Du, (6.4)
где х' — л-вектор состояния, сначала строятся матрицы управляе-
мости
U = [B- АВ\ ... А^'В]
и наблюдаемости
С
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Если
rang U = п,
то объект или система (6.3), (6.4) (или пара А, В) — вполне управ-
ляемая. В противном случае — не вполне управляемая.
Если
rang N = n, (6.8)
то объект или система (6.3), (6.4) (или пара А, С)— вполне на-
блюдаемая. В противном случае — не вполне наблюдаемая.
В заданном случае п = 3, поэтому согласно (6.5) и (6.6)
Следовательно, матрица управляемости в данном случае
1 О О'
U= О
О О
О О
О
Так как матрица U квадратная, то ее ранг будет равен трем, если
её определитель не будет равен нулю. В данном случае det U = 0.
Следовательно, условие (6.7) не выполняется, и объект управления
(6.1), (6.2) является не вполне управляемым.
Аналогично, сравнивая уравнения (6.1), (6.2) с (6.3), (6.4) и
вычисляя по (6.9), находим
О 1 1
1 I О
0 2 2
N = . (6.10)
0 2 2
0 4 4
0 4 4
В этой матрице третья, четвертая, пятая и шестая строки про-
порциональны первой. Поэтому она имеет только две линейно не-
зависимых строки, т. е. ее ранг равен двум. Следовательно, усло-
вие (6.8) также не выполняется, и объект (6.1), (6.2) является не
вполне наблюдаемым.
192
Отметим, что ранг матрицы А (как прямоугольной матрицы)
можно было бы найти, строя из элементов ее строк и столбцов оп-
ределители размером 1x1, 2x2, 3x3 . Максимальный размер не-
равного нулю определителя и будет равен рангу матрицы.
В случае матрицы А = [п- ] (6.10) можно взять
0 1
1 1
Л) = det[>j21] = l,
|_«21
«12
«22
= det
= —1*0.
Составив же различные определители третьего порядка* из лю-
бых строк матрицы N (6.9) и вычислив, найдем, что все они равны
нулю.
Например, возьмем
Д3 = det 1
1
0 = — 1-det
= 0.
0
1
1
4
1 1
4 4
0
Следовательно, снова заключаем, что ранг матрицы А (6.10) равен
двум.
Отметим также, что ранг матриц высокой размерности (боль-
ше второго) удобнее всего определять с помощью MATLAB.
Решение в MATLAB:
- проверку управляемости и наблюдаемости в MATLAB можно осу-
ществить двумя способами.
Первый способ: по заданным матрицам А, В и С строятся .матрицы
управляемости U и наблюдаемости N, а затем определяются и выво-
дятся на экран монитора их ранги. Заключение принимается самим
исследователем.
% команды:
disp
АНО 1 1,0 1 1,0 1 1],
в=[1 о о] , с=[0 1 1,1 1 0],
disp(['порядок системы равен* numZstr(size(А))])
U=ctrb(A,B)
disp(['раит U равен ' numZstr(rank(U))])
N=obsv(A,C)
disp(['ранг N равен * numZstr(rank(N))J)
7—1607
193
- результаты, выданные MATLAB:
порядок системы равен 3
и = 1 о о
ООО
ООО
ранг и равен 1
N = 0 1 1
110
0 2 2
0 2 2
0 4 4
0 4 4
ранг N равен 2
- заключение пользователя: поскольку ранги матриц управляемости
и наблюдаемости меньше порядка системы, то она и не вполне
управляемая и не вполне наблюдаемая.
Второй способ: определение матриц управляемости и наблюдаемо-
сти и заключение осуществляется MATLAB.
% команды:
disp
А= (О 1 1;0 1 1;0 1 1] ;
В=[1 0 0] • ; С=[0 1 1;1 1 01;
if rank(ctrb(А,В))==length(А)
disp(* система управляемая)
else
disp('система не вполне управляемая*)
end
if rank(obsv(A,C)) ==length(A)
disp(система наблюдаемая')
else
disp('система не вполне наблюдаемая*)
end
- результат, выданный MATLAB:
система не вполне управляемая
система не вполне наблюдаемая
6.2. Проверить наблюдаемость системы, которая задана урав-
нениями в переменных состояния
-1 1 —4
х = 0 1
2 х, у=[1 0 1].г.
2 -1
5
194
Решение. В данном случае матрицы системы
а матрица наблюдаемости W по-прежнему определяется выраже-
нием (6.9), так как и здесь п = 3. В данном случае
СА = [1
-1
О 1] О
2
— 4
1
I
-I
5
САА=[1
-1
О 1] О
2
1
1
-1
-4
2 =[1 0 1].
5
Поэтому матрица
Ранг полученной матрицы очевидно равен единице. Поэтому
заданная система является не вполне наблюдаемой, или, как часто
говорят, не наблюдаемой.
Решение в MATLAB:
% команды:
А=[-1 1 -4;0 1 2;2 -1 5]; С=[1 0 1] ;
N=obsv(А,С)
if rank(N)==length(А)
disp(1 система наблюдаемая *)
else
disp('система не вполне наблюдаемая')
end
- результат:
N = 1 0 1
10 1
10 1
система не вполне наблюдаемая
195
6.3. Исследовать полноту системы, описываемой уравнением
(р4 +Зр3 +6р2 + 5p + l)y(p) = (2p2 +8p + 6)g(p). (6.11)
Решение. Система, описываемая уравнением вход- -выход
^(p)y(p)=^(p)g(/’) (6-12)
или передаточной функцией
*{Р) А(р) (6.13)
является полной, если
Н0Д{А(р), В(р)}—const. (6.14)
В противном случае система (6.11) является неполной.
Примечание. Здесь важно иметь в виду, что в условии (6.14) А(р) —
это характеристический полином объекта или системы, т. е.
А(р) = det(pE - А), (6.15)
где А — матрица из уравнений вхол состояние-выход (например, урав-
нения (6.3), (6.4)) исследуемой системы.
Следует также иметь в виду, что, согласно правилу порядков
[5. С. 150], степень полинома А(р) в (6.12) должна быть всегда равна
сумме порядков всех элементов, входящих в состав исследуемой систе-
мы. Это правило необходимо всегда применять, когда характеристиче-
ский полином системы определяется как знаменатель передаточной
функции замкнутой системы или по другим её моделям вход-выход.
Таким образом, согласно (6.14), для исследования полноты за-
данной системы (6.11) целесообразно найти нули рА и рВ поли-
номов Л(р) и В(р), представить эти полиномы в виде
п т
Я(р) = а„П(р-р/), ад = ₽„,П(Р-Л ) (6.16)
1=1 1=1
и применить критерий (6.14) или же просто сравнить множества
1а а а I 1 в в в I
(Pi ,Pi ,-Рл 1 и ,р2 ,...рп j.
В рассматриваемой задаче полином А(р) имеет, очевидно, чет-
вертую степень, а В(р) — вторую. Поэтому найдем сначала нули
полинома В(р) путем решения квадратного уравнения
В(р) = 2(р2 +4р + 3) = 0.
196
Отсюда рхв = -3 и рв = -1. Далее проверим, являются ли числа
-3 и -I нулями полинома А(р):
Л(-3) = (-3)4 + З(-З)3 + 6(—3)2 -5-3 + 1 = 40 *0,
Л(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 6(-1)2 - 5 + 1=0.
Таким образом, число —3 не является нулем полинома А(р), а
число -1 является. Отсюда следует, что согласно критерию (6.14)
система (6.11) является неполной.
Решение в MATLAB:
% команды:
рА = (1 3 6 5 1] ; рВ = (2 8 6] ;
ГВ = roots(рВ);
flag = 1;
for 1 = 1:length(rB)
if -polyval(pA, rB(i))
flag » 0; break
end
end
if flag
disp('система полная')
else
disp('система неполная *)
end
- результат:
система неполная
6.4 . Исследовать полноту системы
Решение. Если система задана уравнениями в переменных со-
стояния типа (6.3), (6.4), то она является полной, если только она
одновременно является вполне управляемой и вполне наблюдае-
мой. Если система имеет высокий порядок, то иногда целесооб-
разно сначала перейти от уравнений в переменных состояния к
уравнениям вход-выход (6.12) или к передаточной функции (6.13).
В данной задаче п = 2, матрица управляемости равна
U = \b
О’
°]’
и rang U = 1.
197
Критерий управляемости (6.7), очевидно, не выполняется.
Следовательно, система (6.17) не является полной.
6.5 *. Является ли управляемым и наблюдаемым объект
у = [1 0 0]х ?
6.6 *. Проверить управляемость пар матриц А, В и наблюдае-
мость пар матриц А, Св следующих случаях:
6.6.1*
6.6.3*
6.7 *. Исследовать полноту следующих объектов и систем:
6.7.1*
6.7.2*
О
О
О
2
1
О
О
1
О
1
о
5
у=[-20
8 0 0]х.
Рис. 6.1. Следящая система
198
Указание. При решении задачи 6.7.2* учтите примечание к условию
(6.14).
6.7.3* (р5 +3р4 + 14/? +26/? + 42/? + 30)у(р) =
= (3/? + 18/? + 33p + 54)w(p).
6.7.4* И\„(р) =----. 2/?+,4-------.
0,1/?+0,5/?+р+ 0,8
6.8 *. Исследовать полноту систем, рассмотренных:
6.8.1* в задаче 4.10.
6.8.2* в задаче 4.11.
6.8.3* в задаче 4.33.1*.
6.9 . Проверить управляемость и наблюдаемость дискретного
объекта
xk+i ~
0,3
0,25
0,14
0,8
(6.18)
у,=[1 0]лА. (6.19)
Решение. Управляемость, наблюдаемость и полнота дискрет-
ных объектов и систем исследуются с помощью тех же критериев,
что и в случае непрерывных систем. Так как в случае заданного
объекта порядок п = 2, то
U=[b АЬ\=
0,88
и
det U = 1,72,
det W = 0,14.
Следовательно, в данном случае критерии (6.7) и (6.8) выпол-
няются, т. е. объект (6.18), (6.19) является вполне управляемым и
вполне наблюдаемым, т. е. полным.
Решение в MATLAB:
% команды:
А=[0.3 0.14,-0.25 0.81 ;
В= [2 1] 1; С= [1 0] ;
n = size (А, 1) ;
U=ctrb(A,B);
199
N=obsv(A,C);
if rank(ctrb(A,B))==n
disp(1система управляемая')
else
disp(* система не вполне управляемая'), end
if rank(obsv(A,C))==n
disp(* система наблюдаемая *)
else
disp(* система не вполне наблюдаемая'), end
if rank(ctrb(А,В))==n & rank(obsv(A,C))==n
disp('система полная *)
else
disp(’система неполная1), end
- результат:
система управляемая
система наблюдаемая
система полная
6.10*. Исследовать управляемость, наблюдаемость и полноту
следующих дискретных объектов
6.10.1* ук — 0,7v*_, + 0,06уА_2 = g* + 0,2gA._, -0,48gA._2.
6.10.2* xi+, =
0
-0,15
Л=[0,5 l]x*.
6.10.3* ^ytt(z) =
l,5z2 + 0,9z-0,825
z3+l,7z2+0,59z-0,077
6.2. Анализ устойчивости линейных
непрерывных систем
6.11 . Проверить устойчивость системы
0 11 Го!
х= о х -v+ , ё’ y=U 21Л-
— о — о 1
(6.20)
Решение. Устойчивость линейных непрерывных систем типа
(6.3), (6.4) определяется корнями Л,- их характеристического урав-
нения А(р) = det(pE — А) — 0. Если
200
ReX,<0, i = l,n, (6.21)
то система асимптотически устойчива.
Если среди коэффициентов уравнения А(р) = 0 имеются нуле-
вые или отрицательные, то проверять условие (6.21) не нужно, а
следует сразу делать вывод, что система является неустойчивой.
Если порядок системы п небольшой ( п < 3), то для устойчиво-
сти системы достаточно, чтобы все коэффициенты характеристи-
ческого уравнения были больше нуля.
В заданном случае характеристический полином имеет вид
Л(р) = р2 +6р + 8 = 0.
Его коэффициенты положительны. Следовательно, система (6.20)
является устойчивой.
Решение в MATLAB:
% команды:
А = [01; -8 -6];
рА = poly(А);
г = roots(рА);
jj = find(r>=0);
if isempty(jj)
disp('система устойчива')
else
disp('система не устойчива'), end
- результат:
система устойчива
6.12 . Проверить устойчивость системы, описываемой уравне-
нием вход-выход вида
(4)
у +11 у + 22у + 23 у +12у = 10g. (6.22)
Решение. Характеристическое уравнение в данном случае,
очевидно, имеет вид
А(р) = р4 +11р3 + 22р2 + 23 р +12 = 0. (6.23)
Если все коэффициенты характеристического полинома
ДР) = «„р" + «„-1Р"'' +-• + «! Р + «о (6.24)
больше нуля, и его степень больше 2, то устойчивость исследуют с по-
мощью критериев Рауса, Гурвица или (при п = 3 ) Вышнеградского.
201
Для исследования устойчивости системы с характеристиче-
ским полиномом (6.24) по критерию Рауса вначале строится таб-
лица Рауса.
Эта таблица строится по коэффициентам заданного характери-
стического полинома (6.24) исследуемой системы следующим об-
разом:
Таблица Рауса
а„ «л-2 «„-4
а„-1 «л-3 «„-5 ...
С31 = а»-2 ~ ап-Зг1 С32 = «л-4 ~ «л-5Г1 ... ...
С»1 = «„-J ~ Сз2Г2 С42 = «л-5 ~ г2 ... ...
... ... ... ...
В этой таблице г( = а„ /ал_(; r2 = а„_,/c3i; r3 = с31 /сп ...
Таблица Рауса заполняется до получения и + 1 строки или до
получения отрицательного коэффициента в её первом столбце.
Если все и + 1 коэффициентов первого столбца таблицы Рауса
строго больше нуля, то система с характеристическим полиномом
А(р) (6.24) асимптотически устойчива. В противном случае систе-
ма неустойчива.
Для исследования устойчивости по критерию Гурвица строит-
ся сначала матрица Гурвица
«»-| «„-3 «л-5 0 0
«» а «-2 «»-4 0
0 «„-1 «л-3 :
«„ а „-2 (6.25)
0 а „-1 0
; «„ •• «0 •
• 0 «1 0
0 0 «2 «о.
Затем выписываются и вычисляются определители Гурвица:
«п-з
ап-2
д1=ап-|. До = del
202
а„-з а„_5
а„-2 ««-л
«,,-1 а«-э.
(6.26)
Всего вычисляется п-1 определителей,так как Ди = а0Д„_|.
Критерий Гурвица формулируется следующим образом: сис-
тема с характеристическим полиномом (6.24) асимптотически ус-
тойчива, если при всех строго положительных а, все Д, больше
нуля, т. е. если
при а, > 0, I = 0,п, Д, > 0, / = 1, п. (6.27)
При и = 3 критерий Гурвица переходит в критерий Вышне-
градского: система с характеристическим полиномом
Л(р) = а3р3 + а2р2 + а,р + а0, (6.28)
где а, >0, i = 0,3 асимптотически устойчива, если
а:а,>а3а0. (6.29)
При не выполнении хотя бы одного условия (6.27) или (6.29) соот-
ветствующая система неустойчива.
Перейдем к исследованию устойчивости системы (6.22) сна-
чала по критерию Рауса, а затем по критерию Гурвица.
В данной задаче характеристический полином — это полином
(6.23). Поэтому соответствующая таблица Рауса имеет вид:
Таблица Рауса системы (6.22)
1 22 12
11 23 0
с31 = 22-23/11 = 19,91 12 0 Г, =1/11
с32 =23-12-0,55 = 16,4 0 0 г2 =11/19,91=0,55
с33 = 12-0-1,21 = 12 0 0 г3 =19,91/16,4 = 1,21
Так как все коэффициенты первого столбца положительны, то
система, описываемая уравнением (6.22), является устойчивой.
Применяя критерий Гурвица к тому же полиному (6.23), най-
дем, что матрица Гурвица (6.25) в данном случае имеет вид
203
11 23 О О
1 22 12 О
О 11 23 О
О 1 22 12
Определители Гурвица
А, =11, Д2 =det
11
1
23
22
= 219, Д3
11
= det 1
23
22
11
12 =3585.
23
О
О
Итак, условия (6.27) выполняются. Следовательно, и по крите-
рию Рауса, и по критерию Гурвица рассматриваемая система (6.22)
является асимптотически устойчивой.
Решение в MATLAB:
% команды:
р = [1 11 22 23 12];
г = roots(р);
jj = find(r>=0);
if isempty(jj)
disp('система устойчива*)
else
disp('система не устойчива*), end
- результат:
система устойчива
6.13 . Исследовать устойчивость системы, рассмотренной в за-
даче 6.7.4*.
Решение. Система задана структурной схемой (рис. 6.1), со-
гласно которой передаточная функция в разомкнутом состоянии
р Р 0,5(0,1/?2 +/?)
а в замкнутом
.
0,05/?2 + 48,5/?+ 60
Как видно, степень знаменателя 1Г3(/?) равна двум, в то время
как порядок системы в задаче 6.7.4*, согласно правилу порядков,
равен трем. Это говорит о том, что данная система неполная. В этом
204
случае для правильного определения её модели в замкнутом со-
стоянии, необходимо применить метод переменных состояния.
Следуя положениям подразд. 4.4, приведём заданные переда-
точные функции звеньев системы к канонической форме и запи-
шем соответствующие уравнения в переменных состояния:
W] (р)=8 + , xt = 2xt + е, и = 26х( + 8е , (6.30)
р-2
ч 12р-24 120р-240
7 “ 7 ’
0,1р2 + р р2 + Юр
0 0
1 -10
-240
120
w, у = [0 1]х2.
(631)
2
Заменяя рассогласование £ = g-y = g-[0 1]х2, вводя вектор
х = [х( Х|2 х22 ]г и объединяя системы уравнений (6.30) и (6.31)
в одну, получим уравнения замкнутой системы
2 0 -1 -1
-6240 0 1920 х- 1920
3120 1 -970 -960
у=[0
1]х.
0
А(р) = det
Характеристический полином найдем по формуле (6.15):
~р-2 0 1
6240 р -1920
-3120 1
= (р-2)(р2 + 970р + 1200).
р + 970
В данном случае условие (6.21) не выполняется, так как один
из корней полинома А(р) равен +2. Следовательно, рассматривае-
мая система неустойчива.
Замечание. Отметим, что если в качестве характеристического поли-
нома данной системы рассматривать знаменатель приведенной выше её
передаточной функции в замкнутом состоянии Wy(p), то будет получено
неверное заключение об устойчивости этой системы.
Решение в MATLAB:
% команды:
Wl = tf ( [4 51,0.5*11 -2]),-
W2 = tf(12*[l -2],[0.1 1 01);
205
W12 = W1 * W2;
W = feedback(W12, 1, -1);
(num,den] = tfdata(W,'v1);
r = roots(den);
jj = find(r>=0)f
if isempty(jj)
di sp(’система устойчива')
else
disp('система неустойчива *), end
- результат:
система неустойчива
6.14 . Найти с помощью критерия Гурвица критический коэф-
фициент усиления первого звена системы, структурная схема ко-
торой приведена на рис. 6.2.
Рис. 6.2. Замкнутая система
Передаточные функции звеньев
W,(P) =
^,(0,03р + 1)
0,05р + 1
0,7
0,8/?2 + р
Решение. Критическим значением какого-либо параметра
системы называется такое его значение, при котором система ока-
зывается на границе устойчивости. По критерию Гурвица это зна-
чит, что один или несколько определителей Гурвица равны нулю,
а остальные больше нуля.
Таким образом, для решения задачи необходимо найти харак-
теристическое уравнение, составить матрицу Гурвица и выписать
определители Гурвица.
Так как передаточные функции звеньев не имеют одинаковых
нулей и полюсов, то рассматриваемая система является полной.
В этом случае характеристический полином можно найти как знаме-
натель передаточной функции замкнутой системы, т. е. по формуле
Л(р) = зна.м{ Wyg (р)}. (6.32)
В данном случае, согласно рис. 6.2, имеем
206
w о,7*,(О,озР+1)
p (0,05/7 +1)(0,8/+ p) ’
W ,py-_ 0,021^/7+ 0,7*,___________
’* 0,04/ + 0,85/ + (1 + 0,021AT, )p + 0,7*,
Так как порядок системы равен трем, то вместо критерия Гур-
вица можно применить критерий Вышнеградского. Применяя со-
гласно (6.32) условия ц >0 и (6.29) к знаменателю Wvg(p), по-
лучим
1 + 0,021*,^, >0, 0,7*1ч<>0,
0,85(1 + 0,02 1К1кр) = 0,04 • O,7*k/).
Отсюда *|кр>0; К1кр =83,74.
6.15 *. Оценить устойчивость систем по критерию Рауса, если
6.15.1* Я(р) = 2/ + 5/ +6/ +9/ + 5/ +4р + 2.
6.15.2* А(р) = р* + 8/ +12/ +17/7 + 10.
6.15.3* Л(р) = 2/ +5,2/ +10,6/ +11/ + 7,5р + 2.
6.15.4* А(р) = 4р5 +11/ +18/ +32/ + 40/7 + 55.
6.16 *. Оценить устойчивость систем по критерию Гурвица или
Вышнеградского, если
6.16.1* А(р) = р3 + р + 5.
6.16.2* Л(р) = /+ 15/+10/7 + 160.
6.16.3* структурная схема системы имеет вид
6.16.4* Л(р) = 10/+25/+13р + 20.
207
6.16.5* Л(р) = 2/ + 16р3 +24р2 + 34р + 20.
6.17 *. Оценить устойчивость объектов или систем, рассмот-
ренных в следующих случаях:
6.17.1 * в задаче 6.7.2*.
6.17.2* в задаче 6.7.3*.
6.17.3* в задаче 6.3*.
6.17.4* в задаче 6.5*.
6.17.5* в задаче 4.22*.
6.17.6* в задаче 4.31*.
6.18 *. Найти критическое значение коэффициента усиления
К > 0 системы (рис. 6.2), если
1Р,(р)=К(0^51 + 1); Ж,(р) = —!----.
(0,5р + 1) р2+р
6.19 *. Найти критическое значение коэффициента усиления Кг
в системе,
Г,, =0,6,
£.-=0,5.
6.20 *.
схема которой приведена на рис. 4.2, если Г,, = 0,05,
К, =0,3, К3=1,25, ЛГг=1,5, К4=0,8, Гг=0,4,
Рассмотреть систему, схема которой приведена на
рис. 4.9, при условии, что звено ^(р) = К, /(2р+ 1) включено
вместо звена Ж,(р) = 3/(2р +1), и найти значения коэффициента
К}, при которых полученная система будет устойчивой.
6.21. Оценить устойчивость замкнутой системы, структурная
схема которой приведена на рис. 6.3, с помощью критерия Найк-
виста.
Рис. 6.3. Система с единичной обратной связью
На рис. 6.3 передаточная функция
27
р4 +8р3 +16р2 +22р
(6.33)
208
Решение. Если полная система в разомкнутом состоянии ус-
тойчива или нейтральна, то она будет асимптотически устойчива в
замкнутом состоянии, если её годограф Найквиста Wp (Joi) не ох-
ватывает точку (-1;j0) на комплексной плоскости, как показано
на рис. 6.4.
Рис. 6.4. Годограф Найквиста устойчивой системы
Это условие критерия Найквиста для полной системы можно
проверить аналитически или же графически, построив годограф
Найквиста И^С/со) при 0<(0<оо.
Решим данную задачу аналитическим путем. Согласно (6.33)
рассматриваемая система является полной, а её характеристиче-
ский полином в разомкнутом состоянии А(р) = р(р3 +
+ 8р2 +16р + 22) имеет один корень р, = 0, а реальные части трех
других отрицательные. Следовательно, система в разомкнутом со-
стоянии нейтральна, т. е. условие устойчивости по Найквисту, со-
гласно рис. 6.4, имеет вид
Refr(j<on)>-1, (6.34)
где (0п — частота, на которой годограф Найквиста пересекает (см.
рис. 6.4) отрицательную вещественную полуось комплексной
плоскости.
В рассматриваемом случае, согласно (6.33), имеем
27
IV (7ш)=----------—————.
р р4 —16(02 +j(22(O-8(03)
209
Годограф Wp(ja) пересекает вещественную ось тогда, когда его
мнимая часть равна нулю, т. е. при условии
22о)-8(1? =0.
Отсюда имеем два корня <в=0 и (0=+1,6583, т. е. частота
(0п -1,6583, а (О2 - 2,75. При этом
Re W -------- -0,741.
р 2,752 -16 -2,75
Следовательно, система (рис. 6.3) с Wp(p) (6.33) является ус-
тойчивой, так как условие (6.34) выполняется.
6.22. Оценить устойчивость систем (рис. 6.3), если соответст-
вующие годографы Найквиста имеют вид, показанный на приве-
денных рис. 6.5,а-6.5,в.
Решение. Дополнив заданные годографы до вещественной
полуоси (пунктирные линии на рис. 6.5), заключаем, что система с
годографом на рис. 6.5,о неустойчива; система с годографом на
рис. 6.5,6 находится на границе устойчивости, а система с годо-
графом на рис. 6.5,в — асимптотически устойчива.
Рис. 6.5. Годографы Найквиста
6.23. Найти с помощью критерия Найквиста критический ко-
эффициент усиления системы (рис. 6.3), если её передаточная
функция в разомкнутом состоянии имеет вид
К
WAp) = л
р 5р4+10р3+15р2+8,1р
(6.35)
Решение. Коэффициент усиления полной системы равен кри-
тическому значению Ккр, когда система находится на границе ус-
210
тойчивости. В заданном случае система полная, т. е. её характери-
стический полином Лр(/?) =/?(5/?3+10/?2 + 15/?+ 8,1); один его
корень /?, = 0; по критерию Вышнег радского полином
5/?3+10/?2+15/? + 8,1
является гурвицевым. Следовательно, система с lVp(p) (6.35) в
разомкнутом состоянии является нейтральной, и Ккр можно найти
(см. рис. 6.5,6 и 6.4) по условию
ИеИК/,(у(Ож) = -1. (6.36)
В связи с этим найдем сначала частоту (0л. Из (6.35) при
р - j(S) находим
к
^p(j(o) = д
5(0 -15со2 + j(o(8,1 -10(0“)
Приравняв мнимую часть знаменателя к нулю, найдем, что частота
(0п = д/0,81 = 0,9. При этом условие (6.36) принимает вид
. У - *•
5 0,94 —15-0,92
Отсюда находим К..п = 8,8695.
Л//
6.24*. Оценить по критерию Найквиста устойчивость системы
(рис. 6.3), если ее передаточная функция в разомкнутом состоянии
определяется выражением
3
6.24.1*
6.24.2*
MZ„(P) =
р (0,05/?+ !)(/? +1)
100
6.24.3*
1К (р) =
Р (0,05/?+ !)(/?2+/?)
50(0,1/?+ 1)
6.24.4*
И' (р) =
р 0,01/?4+0,5/?3+0,2/?2+/?
2,3
W„(p) =
р 0,08/?3+0,12/?2+1,8/?
211
40(0,lp + l)
6.24.3* Wn (р) =-----5-----------------
р 0,15р3+0,Зр +0,2р + 1
6.25 *. Оценить по критерию Найквиста устойчивость полных и
нейтральных в разомкнутом состоянии систем (рис. 6.3), если их
годографы Найквиста имеют вид, приведенный на рис. 6.6.
Рис. 6.6. Годографы Найквиста нейтральных систем
6.26 *. Оценить путем построения годографа Найквиста (см.
задачу 5.12) устойчивость систем, рассмотренных
6.26.1* в задаче 6.7.4*. 6.26.2* в задаче 5.86*.
6.26.3* в задаче 4.23*. 6.26.4* в задаче 4.22*.
6.26.5* в задаче 5.16.5*.
6.3. Оценка запасов устойчивости непрерывных систем
6.27. Найти степень устойчивости замкнутой системы с пере-
даточной функцией вход-выход
Решение. Степень устойчивости Т] систем определяется вы-
ражением
т] = mjn|Re Л1, (6.37)
i=i.n
где X, — корни характеристического уравнения 4(р) = 0 иссле-
дуемой системы, а число п — её порядок.
212
Система задана передаточной функцией, и поскольку она яв-
ляется полной, то её характеристический полином удобнее найти
по формуле (6.32). Имеем
Я(р) = 0,1р2 + /? + 3,4 = 0,
а его корни X] 2 = -5 ± /3, т. е. согласно (6.37) в данном случае Т| = 5 .
6.28. Найти с помощью годографа Найквиста запасы устойчи-
вости по амплитуде и по фазе системы (рис. 6.3) с передаточной
функцией в разомкнутом состоянии
60
(6.38)
W (р) =
р(Р) 5р2+9р2+40р
Решение. Согласно [4] запасы по <^>азе Дф и по амплитуде у
(см. рис. 6.7) определяются формулами:
Дф = л -1 arg Wp (jocp) | = л - ф( (йср ),
T = l-|Re^(j<on)|- (6.39)
Здесь соп — минимальное значение частоты такое, что
}mWp(JO)x) = 0, (6.40)
а озср — ближайшее к 0)п и меньшее чем (ол значение частоты,
при котором модуль
К₽и^)|=1.
(6.41)
Отметим, что аналитическое определение запасов по фазе и по
амплитуде согласно (6.38) и (6.39) в общем случае затруднительно,
так как необходимо находить решение нелинейных уравнений
(6.41) относительно частоты ыср и (6.40) относительно частоты
соя. Поэтому на практике запасы по фазе и по амплитуде чаще
всего определяются графически либо по годографу Найквиста
(рис. 6.7), либо по ЛАЧХ (см. ниже рис. 6.8).
Для заданной в рассматриваемой задаче системы годограф
Найквиста был построен при решении задачи 5.16.1*. Он приведен
на рис. 6.7,6. Там же выполнены необходимые построения. Непо-
средственно из чертежа находим у = 0,166; Дф == 22°.
213
Рис. 6.7. Определение запасов устойчивости
Решение в MATLAB:
- из решения задачи 5.16.1 находим, что интересующие иас точки
находятся в диапазоне круговых частот от 1,5 до 3. Поэтому для ре-
шения данной задачи вводим следующие
% команды:
w = 1.5:0.001:3; j=sqrt(-l);
Wp = 60./(5*(j*w).А3 + 9*(j*w).*2 <-40*j*w) ;
% вычисление запаса по фазе dphi:
jj=find(abs(Wp)>=1); jcp jj(end);
xO = real(Wp(jcp)); yO imag(Wp(jcp));
dphi = (pi+atan2(yO, x0))*180/pi;
disp(['Запас по фазе ' num2str(dphi) град'])
% вычисление запаса по амплитуде gamma:
jj=find(imag(Wp)<=0); jpi = jj(end);
gamma » 1-abs(Wp(jpi));
disp(['Запас по ампл. ' num2str(gamma)])
-результат:
Запас по фазе 22.3184 град
Запас по ампл. 0.16642
6.29. Определить аналитическим путем запас устойчивости по
амплитуде системы (рис. 6.3) с передаточной функцией
8
f?p(p)= з < 2 л ’
р +5р +4р
Решение. Годограф Найквиста в данном случае имеет вид,
аналогичный приведённому на рис. 6.7. Поэтому, согласно (6.39),
для решения задачи необходимо прежде всего найти частоту соп.
С этой целью запишем
214
8
Hz,,(./») =
-5(0“ + j(4(o-o?)
Приравняв мнимую часть знаменателя к нулю, найдем, что частота
(0к = 2. При этом по формуле (6.39) будем иметь
7 = 1-
_8_
-5-4
= 1-0,4 = 0,6.
6.30. Определить с помощью логарифмических характеристик
запас устойчивости по фазе и по амплитуде системы (рис. 6.3) с
передаточной функцией
W (р) =_____lOWp + l)_______
р 0,Зр4+4,6р’+30р2+60р
Решение. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики непрерывных динамических систем (рис. 6.3) в
общем случае имеют вид, приведенный на рис. 6.8.
Рис. 6.8. Логарифмические характеристики
По этим характеристикам находятся, как показано на рис. 6.8,
по условиям (6.40) и (6.41) частоты (йср и сол, а затем определя-
ются из графиков <р((0ср) и величина Д1 = £(сол) в децибелах.
Значения запасов по амплитуде у и по фазе Дф вычисляются по
формулам
215
ль
у=1-1О20, Дф^-^со^)]. (6.42)
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характери-
стики для заданной в данной задаче системы приведены на рис. 6.9.
В рассматриваемом случае из графиков на рис. 6.9 находим
logacp~0,0T, a log =0,75, ф((0£р) = -1Ю°, a ДА, =-18,5 <)£.
Поэтому по формулам (6.38) и (6.42) находим
Д<р=180° -110° = 70°, у=1 - Ю-0’925 =1-0,119 = 0,881.
Рис. 6.9. Определение запасов устойчивости
по логарифмическим характеристикам
6.31*. Найти степень устойчивости систем, если
ООО -17,5' ’19'
1 0 0 -39,5 0
6.31.1* х = X + g; у = х4
0 1 0 -11,5 0
0 0 1 -6,5 0
216
6.31.2* j’ + 5y + 6j' = 10g.
6.31.3* у +10j’’ + 4у + ЗОу = 30g.
6.31.4* схема системы соответствует рис. 6.3, где
IV (р) =--------Q’-t-1-)----
Р р4 +5р3 +10р2 +8р
6.32*. Найти согласно рис. 6.7 или 6.8 запасы устойчивости по
амплитуде и по фазе систем, рассмотренных:
6.32.1* в задаче 5.16.2*.
6.32.2* в задаче 5.17.1*.
6.32.3* в задаче 5.17.2*.
6.32.4* в задаче 5.17.5*.
6.32.5* в задаче 5.17.6*.
6.32.6* в задаче 5.13.
6.4. Исследование устойчивости дискретных систем
6.33. Исследовать устойчивость дискретной системы, описы-
ваемой разностным уравнением
У к + 0.7у*_, + 0,12ук_2 = l,82gA._l. (6.43)
Решение. Условием асимптотической устойчивости дискрет-
ных систем п - го порядка является неравенство
|z,]<l, / = 1,и, (6.44)
где z, — корни характеристического уравнения системы.
В случае системы (6.43) характеристическое уравнение имеет вид
D(z) = z2 + 0,7z + 0,12 = 0.
Его корни z, =-0,3, z, =-0,4 .Так как они меньше единицы
по модулю, то система (6.43) — асимптотически устойчива.
6.34. Оценить устойчивость замкнутой дискретной системы
(см. рис. 3.8), если ее передаточная функция в разомкнутом со-
стоянии
217
fV М- 0^-0,105
P z3 + 0,9z2 — 0,2z
Решение. Согласно рис. 3.8, характеристическое уравнение
данной системы имеет вид
z3 + 0,9z2 -0,105 = 0.
Так как определение корней уравнений, степень которых боль-
ше двух, затруднительно, то воспользуемся критерием Шура-Кона
[16, 4]. Для этого в соответствии с процедурой, изложенной в [4.
С. 361-362], составим приведенную ниже таблицу Шура-Кона.
Степень полинома в характеристическом уравнении равна
трем, поэтому с вычислением коэффициента г3 заполнение табли-
цы Шура-Кона заканчивается.
Так как в полученной таблице все коэффициенты |д|<1, то
рассматриваемая дискретная система асимптотически устойчива.
Таблица Шура-Кона
-0,105 0 0,9 1
1 0,9 0 -0,105
-0,105 '' 1 =-0,105 0+0,9-0,105 = = 0,0945 0,9+0-0,105 = = 0,9 1-0,1052 = = 0,989
0,989 0,9 0,0945
0,0945_ Г'~ 0,989 “ =0,0956 0,9-0,0956 0,9= =0,814 0,99-0,0950,096= =0,98
0,98 0,814
г,=Ж4=Ц83 Q98
6.35. Оценить устойчивость дискретной системы, описывае-
мой уравнением
2л - Зл-i + + 0,21у*_3 = 6,63gjt_,, (6.45)
с помощью критерия Гурвица.
218
Решение. Чтобы оценить устойчивость дискретной системы с
помощью критерия Гурвица, необходимо сначала в её характери-
стическом уравнении
D(z) = 8„z" +5„_,z"-1 +... + 5,2 + 80 =0 (6.46)
заменить z по формуле
где v — новая комплексная переменная. В результате получается
уравнение относительно переменной v
D(v) = 8„v" + 5"n_| v"'1 +... + 8,v + 80 = 0. (6.48)
К полиному D(v) (6.48) и применяется критерий Гурвица (или
Рауса).
Заданная дискретная система (6.45) имеет характеристическое
уравнение
D(z) = 2z3 + 3z2 + l,42z + 0,21 = 0. (6.49)
Проводя замену (6.47), найдём, что полином (6.48) здесь имеет вид
D(v) = 0,21 v3 + 2,2 lv2 + 6,95v + 6,63 = 0.
Все коэффициенты полинома D(v) положительны, а его сте-
пень равна 3, поэтому, применяя критерий Вышнеградского (част-
ный случай критерия Гурвица), получим 2,21 • 6,95 > 0,21 • 6,63.
Следовательно, дискретная система (6.45) устойчива.
636. Оценить устойчивость дискретной системы с характери-
стическим полиномом D(z) = 2z3 -2z2 -l,3z + l с помощью кри-
терия Михайлова.
Решение. Для оценки устойчивости дискретных систем с по-
мощью критерия Михайлова необходимо построить годограф Ми-
хайлова
Z>(jv) = ^С0|г=еА , v е [-л, л], (6.50)
где D(z) — нормированный по старшей степени z характеристи-
ческий полином (6.46) исследуемой системы.
219
Система с характеристическим полиномом (6.46) является ус-
тойчивой [4], если годограф Михайлова (6.50) при изменении v от
-л до л, начинаясь на вещественной оси, обходит последова-
тельно вокруг точки z=0 в положительном направлении (против
часовой стрелки) 4л квадрантов. В противном случае система яв-
ляется неустойчивой.
Отметим, что если годограф Михайлова обходит все квадран-
ты последовательно, т. е. порядок обхода не нарушается, то доста-
точно длинный отрезок прямой, проведенный из точки z = 0 под
любым углом, пересекает годограф в п точках. В противном слу-
чае критерий Михайлова не выполняется.
В заданном случае полином £>(z) = z3-z2- 0,65z + 0,5. Пола-
гая z — ехр( jv), получим
D (Jv) = eJiv - ej2v - 0,65с/v + 0,5. (6.51)
Для построения годографа Михайлова выделим вещественную
и мнимую части полинома D(jv). С этой целью заменим функ-
цию ejV по формуле Эйлера eJ<9 =cosq> + jsintp. В результате из
(6.51) получим
D(jv) = P^v) + jQd(y),
где
Ръ (у) = cos3v - cos 2v - 0,65 cos v + 0,5, (6.52)
Qa (v) = sin 3v - sin 2v - 0,65 sin v. (6.53)
Построенный no (6.52) и (6.53) годограф Михайлова приведен на
рис. 6.10.
Как видно, в данном случае нарушается порядок обхода годо-
графом точки z = 0. Это следует, например, из того, что отрица-
тельная вещественная полуось пересекает годограф в четырех
точках, а положительная вещественная полуось— лишь в двух
точках.
Следовательно, критерий Михайлова в данном случае не вы-
полняется, т. е. исследуемая система является неустойчивой.
6.37. Оценить степень устойчивости системы, описываемой
уравнением (6.45), на плоскости z и на плоскости р.
220
Рис. 6.10. Годограф Михайлова
Решение. Степень устойчивости линейных дискретных систем
на плоскости z равна разности
Г]а - = 1 - max I z. I, (6.54)
re [1,л] '
где z, — корни характеристического уравнения £>(z) (6.46) замкну-
той дискретной системы.
На комплексной плоскости р соответствующая степень ус-
тойчивости дискретной системы определяется по формуле
ПЗр In max |zf-| = ^|ln|l-T]a_-||- (6-55)
Здесь T— период квантования по времени в исследуемой системе.
В случае системы (6.45) корни ее характеристического поли-
нома (6.49) (найдены с помощью функции roots из пакета MAT-
LAB) равны z, « - 0,3; z2 = - 0,5; z3 - - 0,7. Следовательно, со-
гласно выражениям (6.54) и (6.55), степень устойчивости на плос-
кости z в данном случае Г]э_ = 1 - 0,7 = 0,3, а на плоскости р —
Т|эр =| In 0,7 [/Г = 0,356/Г, где Т — период следования импуль-
сов в системе.
638. Оценить запас устойчивости Г]д„ дискретной системы с
характеристическим полиномом
D(z) = 3z3 - z2 - z + 0,36 (6.56)
с помощью критерия Михайлова.
221
Решение. Для оценки запаса устойчивости дискретных систем
с помощью критерия Михайлова необходимо построить годограф
Михайлова (6.50).
Запас устойчивости по критерию Михайлова т]ал) — это ра-
диус окружности с центром в точке z=0, которую можно вписать
внутрь годографа Михайлова. Если критерий Михайлова не вы-
полняется, то запас устойчивости т]*) „ не определяется.
В рассматриваемом случае полином D(z) — это полином
(6.56), деленный на 3. Поэтому, полагая z=eJV, получим
D(jv) = ej3v - i (e'2v + ) + 0,12.
Как и в задаче 636, заменяя здесь функцию ejV по формуле Эйле-
ра е7<₽ =cos<p + j sin <р и изменяя v от - л до л, построим график,
приведённый на рис. 6.11. Как видно, рассматриваемая система
является устойчивой, а степень ее устойчивости Т|ал) ~ 0,45.
Рис. 6.11. Г одограф Михайлова дискретной системы
222
Решение в MATLAB:
% команды:
Dz = [3 -1 -1 0.36];
Dz = Dz/Dz(l);
nu = (-pi:pi/(100*length(Dz)):pi)•;
j=sqrt(-l);
z=exp(j*nu);
GM = polyvallDz, z);
figured), set(1,•Color',d 1 1],'Position', [300 400
350 400])
hp=plot(real(GM),imag(GM),'k');
set(hp,'Linewidth',2)
daspect([l 11])
set(gca,'Position'. [0.05 0.05 0.92 0.9])
eta=min(abs(GM));
disp(['запас устойчивости eta = ' num2str(eta)})
hr=rectangle('Position',[-1,-1,2,2]‘eta,...
'Curvature•,[1,1],'LineStyle','--');
ax=axis;
line((ax(l:2);0 0]',[0 0;ax(3:4)]','Color','k')
% результат:
запас устойчивости eta = 0.45333
6.39*. Оценить устойчивость следующих систем с помощью
критерия Шура-Кона или путем вычисления корней характери-
стического уравнения:
6.39.1* у„ + + О.8Л = Ug»
639.2* Зук + 4,5уЛ_, + 2,1 Зу4_2 + 0315 = 3gA_,.
6393* 1,5Л + 0,75уЛ_, - 0,45Л_2 - 0,1= l,25g*_4.
6.39.4* системы, схема которой приведена на рис. 3.8, где
0,15-0,16z
pZ 0,55z4 + 0,75z3 - 0,6z2
6.39.5* системы, рассмотренной в задаче 3.15.
6.39.6* системы, рассмотренной в задаче 5.9.1*.
6.40*. Оценить с помощью критерия Гурвица устойчивость
дискретных систем, схема которых приведена на рис. 3.8, полагая:
6.40.1* IK (z) = ——.
Р z2+0,5z
223
6.40.2* (z) = — °^/ + 1) .
Р z3 + 0,47z2 + O,5z-O,3
6.40.3* W (z) = ~ I’3 " z3+2,3z2-l,7z-2,8
6.41*. Оценить степень устойчивости T]d2 на плоскости г дис-
кретных систем с характеристическим полиномом.
6.41.1* O(z) — z2 + 0,8z + 0,2.
6.41.2* £>(z) = 2z3 + l,2z2 - 0,66z - 0,2.
6.41.3* D(z) = z4 + l,7z3 + l,03z2 + 0,27z + 0,025.
6.42*. Оценить устойчивость и запас устойчивости Г]д „ с по-
мощью критерия Михайлова, если
6.42.1* D(z) = 2z2 + l,6z+0,4.
6.42.2* £>(z) = z3 + 0,6z2 - 0,3Iz - 0,11.
6.42.3* D(z) = z3+1,5z2+0,7z + 0,1.
6.42.4* D(z) = 2z3 + 2z2 - 0,8z - 0,36.
6.42.5* D(z) = lOOOz3 + 200z2 - 50z - 6.
6.42.6* D(z) = z4 + 0,5z3 - O,8z2 - 0,6z - 0,1.
224
7. ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
7.1. Оценка качества переходных процессов
7.1. Определить показатели качества переходного процесса
следящей системы при отработке задающего воздействия g(t).
Структурная схема системы представлена на рис. 7.1. Параметры
системы: Кг =160, Ко=О,1с-1, Г,. =0,02 с, То = 0,1 с. Влияние
возмущения Д7) не учитывать.
Рис. 7.1. Схема следящей системы
Решение. Искомые показатели качества определяются по пе-
реходной функции /?(/) системы по задающему воздействию. Изо-
бражение по Лапласу этой функции в соответствии со структурной
схемой системы имеет вид
й(р) =---------------------------(7.1)
TyTopi+(Tv+To)p-+p + K р
где обозначено К = КГКО = \6с '. С помощью программы MAT-
LAB при указанных выше значениях параметров определяем /?(/)
(см. задачу 5.1 или 5.4). В результате получим
/?(/) = 1 - 0,0545е’ял' + 1,08е’3-29' sin(l 1,8/ +1,064). (7.2)
По выражению (7.2) построен на рис. 7.2 график, из которого
найдем следующие показатели переходного процесса:
• установившееся значение hmn—\ (для определения этого
значения необходимо либо взять один из пределов
/?,,m=lim/?(/), h= lim W3 (р), либо время интегрирования
t~>0
8— 1607
выбрать таким, чтобы четко наблюдалось установившееся зна-
чение /?(/)).
• время регулирования (при Д = 0,05) t = 0,89 с;
^макс hycm , «лл/ ., n.
• перерегулирование <5 =------—100% = 41 %;
hycm
• время первого максимума tm = 0,29 с;
• период колебаний Тк ~ 0,53 с;
• количество колебаний за время регулирования N -1,66 .
Решение в MATLAB:
Программа для автоматического определения показателей каче-
ства для произвольного и даже линейного объекта достаточно слож-
на. В MATLAB такой функции нет. Важное значение здесь имеет
предварительное изучение графика переходной функции и затем
правильный выбор времени интегрирования и шага по времени.
Здесь хорошо помогает функция step из MATLAB. И когда на гра-
фике видны все требуемые элементы: максимум, колебания, вход в
зону ±Д и т. д., тогда, выбрав достаточно малый шаг по времени, с
помощью функции find можно найти требуемые показатели В дан-
ном случае можно использовать следующие
% команды:
Ку = 160; КО = 0.1; К = Ку*К0;
Ту = 0.02; ТО » 0.1;
delta 0.05; bust = 1;
Т2 = Ту*Т0; Т1 = Ту + ТО;
Wyg = tf(K, [Т2 Т1 1 К]);
dt « 0.001; tmax = 1.45;
226
t = O:dt:tmax; t = t‘;
ht = step(Wyg,t);
jj = find(abs((ht-hust)/hust)>=delta);
tp = t (j j(end));
disp(['время регулирования tp = 'num2str(tp)'c'])
jj = find(ht == max(ht));
hm = ht(jj(D); tm = t(jj(l));;
sigma = (hm -hust)/hust*100;
disp(['перерегулирование sigma = '...
num2str(round(sigma*10)/10) %])
disp(['время первого максимума tm = 'num2str(tm)'с'])
tmaxl = 0.6; jmax = round(tmaxl/dt);
jj = find(ht(l:jmax)>hust);
Tperiod = length(jj)*dt*2;
N = tp/Tperiod;
disp('число колебаний за время регулирования')
disp([* N = ' num2str(round(N*10)/10)])
% результаты:
время регулирования tp = 0.888 сек
перерегулирование sigma = 40.6 %
время первого максимума tm = 0.286 сек
число колебаний за время регулирования N = 1.7
Как видно, программа довольно сложна. Поэтому целесообразнее по-
строить Л(/) с помощью команды step (см. задачу 7.2), а показатели каче-
ства вычислять по соответствующим формулам, определяя необходимые
значения непосредственно по графику.
7.2. Построить графики переходной функции Л(() и найти зна-
чения показателей качества замкнутой системы с передаточной
функцией
(р) =------1Т'Р + \----------
7’07j7'2p3+7'07jp2+7’|/? + 1
при следующих значениях параметров:
а) 7] =0,08с, То =0,03с; Т2 =0,000174с;
б) 7^=0,4с, т; =0,09с; Г, =0,0005с;
в) Т\ = 0,У$с, 7’о=О,ОЗс; Г, = 1,58-ДО’5с;
г) 7", =0,7с, 7’0=0,9с; Г2 =0-,005с.
Решение. В MATLAB вводим файл, соответствующий задан-
ным в варианте а) значениям параметров системы:
227
Т0=0.03; Т1=0.08; Т2=0.000174;
W=tf([Т1 1],[Т0*Т1*Т2 Т1*Т0 Т1 1]);
step(w); grid on
В результате получаем график h(t), представленный на
рис. 7.3. Аналогично получаем переходные функции при других
значениях параметров.
По графику переходной функции находим значения следую-
щих показателей переходного процесса:
a) hyc,„ = 1> 0 = 18%, tm =0,107 с, tp = 0,207с;
б) hyc„,=^ 0 = 13%, tm = 0,368 с, tp «0,743с;
в) hycm =1, о = 6%, Г„,=0,168с, /р= 0,245 с;
г) hyan=\, 0 = 34%, t„, = 1,96с, tp =5,47с;
h
Рис. 7.3. Переходная функция системы. Вариант а)
7.3. Для системы, структурная схема которой показана на
рис. 7.4, вывести зависимость величины перерегулирования о от
параметров Ти, Ти при отработке начальных условий у(0) = у0,
5(0) = 0 и нулевом задающем воздействии g(t) = 0, предполагая,
что характеристическое уравнение системы имеет комплексные
корни р, 2 = -а ± j(f>. Найти соотношения между параметрами сис-
темы, при которых перерегулирование имеет заданное значение.
Решение. Передаточная функция замкнутой САУ (рис. 7.4)
228
^(р)=
Т„Р + \
тот„р2+тиР+\
(7-3)
Поскольку характеристическое уравнение замкнутой системы
но условию имеет комплексные корни р]2 =-а± ja>, то решение
однородного уравнения Т07’иу + Г„у+у = 0, описывающего дви-
жения данной системы при отсутствии внешних воздействий, оче-
видно, имеет вид
у(/) = С}е cos(coz) + С2е sin(co/) . (7.4)
Рис. 7.4. Структурная схема системы управления
Для определения постоянных коэффициентов С, и С2 вос-
пользуемся заданными начальными условиями. С этой целью най-
дем производную координаты у(/) по времени:
y(t) = -аС,е^а' cos(co/)- (£>Cle~al sin(co/) -
- аС2е °' sin(w/) + а>С2е cos(co/). (7.5)
Затем, полагая в равенствах (7.4) и (7.5) t = 0, получим систе-
му алгебраических уравнений:
>’(O) = jo=Cl,
у(0) = -аС, + соС2 = 0,
решив которую, найдем
г _ а
^1 ~Л’о> ^2 — Уо
О)
Следовательно, согласно (7.4), имеем
у(/) = уое-а'[cos(w/) + —sin(w/)]. (7.6)
w
229
Известно, что перерегулирование о определяется значением
первого экстремума переходного процесса при I > 0. Чтобы найти
его, приравняем первую производную v(Z) к нулю, предваритель-
но приведя равенство (7.5) к более компактному виду. В результа-
те получим уравнение у(0 = УоеС',[~(ое2 + a>2)/w]sin((OZ) = 0. От-
сюда ясно, что первый экстремум при t > 0 будет при (OZ„, = я или
при tm = п/оз. Тогда в соответствии с (7.6)
Л
>т=-То^а“- (7.7)
Переходный процесс рассматриваемой системы (рис. 7.4) при-
веден на рис. 7.5. Подчеркнём, что если lim y(t)-0, то перерегу-
/—>сю
лирование определяется [4, 16] соотношением
|у I
0 = 124100%. (7.8)
Рис. 7.5. Переходный процесс, вызванный начальными условиями
Из равенств (7.8) и (7.7) вытекают формулы
_ал
о = е ш 100% или о = е-л/р 100%, (7.9)
которые позволяют установить связь перерегулирования системы
второго порядка с комплексными корнями pt,p2 её характери-
стического уравнения. Во втором равенстве (7.9) величина
ц = <о/а является одним из параметров распределения корней
230
характеристического уравнения САУ на комплексной плоско-
сти [4. С. 156-157].
Чтобы установить связь между перерегулированием о и па-
раметрами системы Ти и Т’р (рис. 7.4), представим её характери-
стическое уравнение следующим образом:
, 1 1 ,
Р~ + — Р + -т— = Р' ~(Р1 +Pi)P + P\P2 =0- (7.10)
'о '(Ни
Подставив в равенство (7.10) корни pl2 --О. + j(£>, полу чим
р2 + 2а/> + (ог + со2) = р2 + — р + --— = 0.
Л,
Следовательно,
К 1
т„
1
а =-----,
27о
1
<0 =---
2Г0
Подставляя полученные выражения для а и а> в (7.8), приходим к
следующей зависимости перерегулирования от параметров систе-
мы (рис. 7.4):
ndTu
% или а = 100е“ , х = —... (7.11)
о = 100 exp
М-т;,
Определим соотношения параметров Ги и То, при которых
перерегулирование о составит:
а) 0 %, б) 5 %, в) 10 %, г) 20 %.
На основании (7.10) и (7.11) получаем:
а) если о = 0, то х = °° и Т„ = 4Т0;
б) если о = 5 %, то х = 3 и Ти = 1,9Т0;
в) если G = 10%, то х = 2,3 и Т„ = 1,4Т0;
г) если о = 20 %, то х = 1,6 и Т„ - 0,8Т0.
Замечание. Из выражений (7.11) вытекает следующая зависимость
отношения постоянных времени рассматриваемой системы от перерегу-
лирования
231
Т 4
и _______'_________
Т ~ /
'о [ п
[1п 0,01о%
Этому выражению соответствует график, который может использо-
ваться для определения соотношения Ти/Т0 с целью обеспечения задан-
ного перерегулирования.
7.4. Оценить качество переходных процессов по переменным
состояния х, (/) = ис (Г) и х2 (/) = iL (Z) RLC-цепи (рис. 7.6) при сле-
дующих значениях параметров R = 3 Ом, L = 1 Гн, С = 0,5 Ф и
начальных условиях х,(0) = х2(0) = 1. При этом ток /(/) считать
управлением, а напряжение на резисторе R — выходом цепи.
Рис. 7.6. RLC-цепь
Решение. Для описания процессов, протекающих в заданной
RLC-цепи при подключении её к источнику тока, воспользуемся
законами Кирхгофа. Уравнение Кирхгофа для токов в верхнем уз-
ле цепи имеет вид
КО = 4 (0+^(0-
(7.12)
Так как
232
<0 >
z/c(/) = T7 PcCO^+K
L о
то, дифференцируя uc(t) по t, найдем скорость изменения напря-
duc (Z) 1 __
жения на конденсаторе: -----= — zc(/). Подставляя сюда выра-
dt С
жениедля ic(f) из (7.12), получим
duc(t) 1 . . . 1 .. .
dt CL С
С другой стороны, закон Кирхгофа для напряжений в правом
контуре цепи дает уравнение
uc(t) = uL(t) + uR[t).
Подставляя в него выражения для напряжений на резисторе и
индуктивности, найдем второе уравнение цепи
d t
Введём указанные выше обозначения для переменных состоя-
ния: Х| =-X\(t) = uc(t), х2 — x2(t) = iL(t), а также обозначим управ-
ление и = 1(f) и выход у— Ur (t). В результате получим линейную
систему уравнений в переменных состояния, которая описывает
процессы в рассматриваемой RLC-цепи (рис. 7.6) при подключе-
нии её к источнику тока:
В соответствии с формулой Коши [5. С. 77] изменения пере-
менных состояния x(f) линейной системы типа (7.13), вызванные
начальными условиями .го, описываются выражением
х(Г) = еА,х0. (7.14)
Поэтому для оценки качества переходных процессов в рассматри-
ваемой цепи сначала представим уравнения (7.13) в векторно-
матричной форме и определим матрицу А этой системы.
Система (7.13) в векторно-матричной форме имеет вид
233
о
г1
J = [O я]г,
А =
поэтому при указанных значениях R и С матрица А равна
О — 2
1 “3.
Следовательно, согласно [5. С. 84], изображение переходной мат-
рицы еА' рассматриваемой системы будет
р + 3
Л(р)1 1
-2
Ф(р) = (рЕ - А)"1 = 1
Р _
где А(р) = р(р + 3) + 2.
Корни характеристического полинома,
Р\ = -1, р2 — — 2, что позволяет записать
очевидно, равны
Ф(р) =
ел' =Г'{ф(р)}=
Переходя к оригиналам, получим переходную матрицу в виде
(2е~' -е’2/) (—2е~'+2е-2')
(е"-е~2') (-е“'+2е’2') ’
Подставляя найденную матрицу и заданный вектор начальных
условий в (7.14), получаем
*,(/)
х2(0.
е'21
е-2'
График изменения переменных X|(z) и х2(0 приведён на
рис. 7.7. Как видно из этого графика, перерегулирования нет (про-
цессы монотонные), время tp при «трубке» 5 % составляет 1,5 с.
7.5. Передаточная функция дискретной замкнутой системы
1
1
= еЛ/
(7-15)
го
234
Рис. 7.7. График изменения переменных %i их2
Определить показатели качества переходного процесса при
следующих значениях параметров системы: а2 = 1,5 ; at = -0,5;
а0 = 0,5; Ьо = 0,5; bt = 1 и периоде квантования Г = 1 с.
Решение. Изображение переходной функции hk для дискрет-
ной системы (7.15) при заданных параметрах имеет вид
... z + 0,5 z z2 + 0,5z , ..
h(z) =--------------------=-----т-------------. (7.16)
l,5z2 - 0,5z + 0,5 z-1 l,5z3-2z2+z-0,5
Поделив полином числителя выражения (7.16) на полином
знаменателя этого же выражения, получим следующий бесконеч-
ный степенной ряд:
A(z-') = 0,667z-‘ + l,22z-2 +l,19z'3 + 0,988г-4 + 0,934z~5 +
+ 0,982г-6 +l,02z-7 + 1,01г-8 + 0,998г"9 +1,0г-'° + ...
Так как z-изображение функции 8(Л-ти) равно г ~т, то полученному
ряду соответствует следующая переходная функция:
h(k) = 0,667 • 8(Jt -1) +1,22 8(к - 2) +1,19 • S(A - 3) +
+ 0,988 • 5(А - 4) + 0,934 • 8(к - 5) + 0,982 8(jt - 6) +
+1,02 • 8(Jt - 7) +1,01 • 8(k - 8) +... (7.17)
По выражению (7.17) на рис. 7.8,а построены ординаты пере-
ходной функции, которые позволяют определить следующие пока-
затели качества системы в переходном режиме (при Т-1 с):
235
• время регулирования tp =6 Т = 6с,
• время первого максимума t,„ — 2Т = 2 с,
• перерегулирование 0 = 22 %,
• число колебаний N = 1.
Рис. 7.8. Графики переходной функции системы (7.15)
Решение в MATLAB:
% команда:
sys=tf([1 0.5], [1.5 -0.5 0.5],1); step(sys,10); grid on
- график переходной функции системы (7.15), построенный с помо-
щью MATLAB, приведён на рис. 7.8,6.
7.6 . Оценить порядок астатизма и показатели качества переходно-
го процесса полной непрерывной системы (рис. 7.9)
Рис. 7.9. Замкнутая система управления
с передаточной функцией
fvP(p)=
30
р3 +5р2 + 12р
Решение. Передаточная функция заданной системы в замкну-
том состоянии определяется выражением
236
/?+5р2+12р + 30'
Так как её числитель является числом (т. е. не полиномом), то
для решения задачи можно воспользоваться корневыми оценками
показателей качества [4. С. 155-156], которые определяются сле-
дующими выражениями:
/?„= — , / <-, Nk < —, о< 100е“л/^, (7.18)
8() р п * 2л 7
где р0, 80 — свободные коэффициенты числителя и знаменателя
передаточной функции системы в замкнутом состоянии,
T] = min|ReX,|, p = max{|lmX(|/|ReX,|], а X, — корни знаменателя
передаточной функции системы в замкнутом состоянии.
В случае заданной системы корни (вычислены в MATLAB)
равны Х( = -3,8963, Х2 3 =-0,55185 ±/2,7194 . Следовательно,
т] = 0,55194, ц = 2,7194/0,55185 = 4,93. Поэтому, подставляя в
формулы (7.18), найдем /?„ =30/30=1, tp <3/0,55194=5,44,
Nk < 3 • 4,93 / 2 к = 2,4, о < 100 ехр(-л / 4,93) = 53 %. Так как
=1, то статическая ошибка системы равна нулю, т. е. система
является астатической первого порядка к задающему воздействию.
7.7 *. Найти аналитические выражения и построить графики
переменных х, (/) и х2 (/) для RLC-цепи из задачи 7.4 при нуле-
вых начальных условиях Х](0) = 0, х2(0) = 0 и и = 2 •!(/). Опреде-
лить время регулирования и характер переходных процессов.
7.8 *. Передаточная функция полной системы (рис. 7.9) в ра-
зомкнутом состоянии имеет вид
W (р) = -0 + °’13Р-. (7.19)
Р р(1±0,1р)
Оценить качество переходного процесса замкнутой системы
«при 5-процентной трубке», построив переходную функцию систе-
мы по соответствующим уравнениям в переменных состояния.
237
7.9 .* Определить показатели качества в переходном режиме
дискретной системы, имеющей в замкнутом состоянии передаточ-
ную функцию вида (7.15) со следующими параметрами:
a) bt = 0, бо=1,5, а2 = 1,5, «! =-0,5, «„ =0,5, Г = 1;
б) Ь} =0, *о=О,1, а2 -1, «, =“1,3, «о=О,4, Т = 1;
в) *, =1,5, *о=0, «2 =1,5, «1 = ~0,5, «о=0,5, Г = 1;
0*1=1, *о=0, «2=1, «1 =-0,5, «0 =0,4, Г = 1.
7.10 *. С помощью корневых оценок найти оценки показателей
качества переходного процесса следящей системы, рассмотренной
в задаче 7.1, и сравнить со значениями соответствующих показате-
лей, найденными по переходной функции.
7.11 *. Оценить с помощью корневых оценок показатели каче-
ства систем, рассмотренных:
7.11.1* в задаче 7.6*.
7.11.2* в задаче 7.33 при 7\ = 0,35, То = 1, Т2 - 0,1.
7.11.3* в задаче 6.23 при К = 6,5.
7.11.4* в задаче 6.31.1*.
7.11.5* в задаче 5.17.5*.
7.11.6* в задаче 6.31.4*.
7.2. Оценка точности систем управления
7.12. Найти ошибки отработки задающих воздействий
«) g(t) = g0 • КО, б) g(t) = g,t- 1 (/),
«) g(0=§-'2 КО, г) g(l)=(g0 +^/3)1(0,
2 о
системой, рассмотренной в задаче 7.3.
Решение. По структурной схеме (рис. 7.4) записываем переда-
точную функцию по ошибке от задающего воздействия:
iy£g(p) = l-lVyg(p) =
ТрТиР2
Т0Тир2 +ТиР + \
(7.20)
238
Делением полинома числителя на полином знаменателя полу-
чаем ряд Маклорена по степеням р.
Т0Тир2 \+Тир+Т0Тир2__________________
ЛТотир2+т;тор3+т^р^ т^-тХр2+т0т2(Ти-т0)р4+...
-W-iXp*
-(-т2тор3-тХрд-т2т^р5)
Т0Т2(Та-Т0)р4 + ТХр5 ит.д.
Сравнивая ряд Т0Т:1р2 -ТаТ2р3 + Т0Т2(Ти -Т0)р4 + ... со степен-
ным рядом
^(д) = СОк +cigp + c2gp2 + C3sp3+C4gp4 + ..., (7.21)
получим выражения для коэффициентов .ошибки в виде некоторых
функций параметров системы, а именно:
COg = Clg = 0, C2g = TOTU, Cig .= -Т0Т2 и т. д.
Так как первые 2 коэффициента ошибки нулевые, то рассмат-
риваемая система обладает астатизмом 2-го порядка к задающему
воздействию и отработает воздействия а) и б) без ошибки. В слу-
чае воздействия в) ошибка системы постоянная
8g=C2gg(/) = T0Tug2.
При воздействии вида г) ошибка растет во времени
8g = 5g(/) = C2gg(/) + CJgg(/) = (T0T„ t- T0T2)g3.
Замечание. В среде MATLAB полученный выше путем деления по-
линомов ряд Маклорена можно получить в режиме символьных вычис-
лений с помощью функции taylor.
% команды:
syms Tu ТО р
Wyg = Т0*Ти*рЛ2 /(Т0*Ти*рЛ2 + Ти*р +1);
taylor(Weg,5,р,О)
- результат:
ans = Т0*Ти*рЛ2-Т0*ТиЛ2*рЛ3+(-Т0Л2*ТиЛ2+Т0*ТиЛ3)*р^4
239
7.13. Оценить с какой ошибкой по модулю следящая система
(рис. 7.1) будет отрабатывать задающее воздействие в виде гармо-
нического сигнала g(t) - gm sin cog t, если gm = 1,5; (0 = 0,5 1/c.
Решение. Величина ошибки, вызванная гармоническим воз-
действием, определяется [4. С. 117] выражением:
8,„g=|^g(j(og)|g,„, (7.22)
где (у(й) = (p)j , a (р) — передаточная функция по
ошибке от задающего воздействия.
Передаточная функция по ошибке от задающего воздействия
для рассматриваемой системы имеет вид
и/ < \ ТгТоР* +(Л) +Ту)Р2 +Р
щ ТуТор3+(То+Ту)р2+р + к
Находим модуль 1(joo)| на частоте oog
|^ОЧ)| =
^-^ТуТ0)2+(Т0+Ту)2^
- со’ ТуТ0)2 + (к - (Го + Ту )(02 )2
(7.23)
Подставляя численные значения в (7.22) и (7.23), найдем ошибку
по модулю при отработке заданного гармонического воздействия
8mg> =|^(j(og)|gm = 0,0313 1,5 = 0,047 .
Решение в MATLAB:
% вводим исходные данные:
gm = 1.5; wg = 0.5;
Ку = 160; Ту = 0.02;
КО = 0.1; ТО = 0.1;
% вычисляем передаточную функцию разомкнутой системы:
Wp = tf(Ky,(Ту 1]) * tf(K0,[T0 10]);
% вычисляем передаточную функцию по ошибке Weg:
Weg = 1 - feedback(Wp,1,-1);
% вычисляем значение Weg на частоте wg:
Wjwg = evalfr(Weg,j*wg);
% вычисляем искомый результат по формуле (7.22):
deltamg = abs(Wjwg)*gm
- результат:
deltamg = 0.047001
240
7.14*. Определить с применением ряда (7.21) величину ошибки
от задающего воздействия системы (рис. 7.1) за время работы
/^=10 с при задающем воздействии g(/) = 0,025/ 1(/), если
7}. = 0,01 с; То = 0,2 с; К = KVKO = 10 с’1.
7.15*. Вычислить ошибку системы с передаточной функцией
(7.3) при Ти -2 с, То - 0,5 с для вариантов я) и б) задающего воз-
действия:
«) g(, (0 = (1000+25/) •!(/),
б) g6(/) = (2000+0,25/2)•!(/) и времени работы t раб =10 с.
7.16 *. Оценить ошибку от возмущения /(/) системы со
структурной схемой, представленной на рис. 7.4, при Ти = 1,9 с,
То -1 с, если
а) Л(/) = 10-1(/),
б) (/) = 0,5/ •!(/).
Решение. Передаточная функция системы (рис. 7.4) между точ-
кой приложения возмущения f (/) и точкой измерения ошибки £, т. е.
передаточная функция по ошибке от этого возмущения имеет вид
Wtf(p) =
Тир
т«тоР2 +тиР + \
Для оценки ошибки от этого возмущения воспользуемся тео-
ремой о предельном значении:
8 / „ = limE(r) = lim р Wc f (р) fa (р) = 1 im р _ ^иР-- - — = 0.
р^о р_,о ТиТор- + 7](р + 1 р
Следовательно, возмущение в виде скачка (вариант а) не влия-
ет на точность данной системы.
Для варианта б) решение получить самостоятельно.
7.17 *. Оценить влияние возмущения /(/) на величину ошиб-
ки системы, структурная схема которой изображена на рис. 7.1.
Параметры системы такие же, как и в задаче 7.1. Виды возмуще-
ния: я) /о(/) = 0,1 l(z); б) /й (/) = 0,05/ !(/).
241
7.18 *. В системе, рассмотренной в задачах 7.1 и 7.14, возму-
щающее воздействие изменяется по закону f(t) = при
fm =15, iDy =5 с-1. Определить ошибку по модулю, вызванную
этим воздействием.
7.19 *. Определить ошибку по модулю от задающего воздейст-
вия g(/) = 0,2 sin 1,1/ системы (рис. 7.9) с передаточной функцией в
разомкнутом состоянии
200(0,1/2 + 1)
/?(0,5р + 1)(0,01/2 + 1)
Wp(p)
7.20 *. Найти величину скоростной ошибки от задающего воз-
действия системы (рис. 7.9) с передаточной функцией
р />(0,1/2+ 1)(0,05/2 + 1)
при g(t) = 0,5/.
7.21 *. Вычислить ошибку отработки задающего воздействия
g(/) = 0,2/2 системой (рис. 7.9) с передаточной функцией
, 2w25-f--lj—
р /22 (0,01/2+ 1)(0,005/2 + 1)
7.22 *. Найти величину ошибки от задающего воздействия сис-
темы (рис. 7.9) с передаточной функцией
JWPtO.
р /2(0,05/2 + 1)
при g(/) = 0,l/2 и времени работы /рйб=10с.
7.23 *. Оценить величину ошибки от задающего воздействия
g(/) = 10 1(r) системы с передаточной функцией в замкнутом со-
стоянии
ys (1 + 0,5/2)(1 + /2)
242
7.24*. Вычислить ошибку, вносимую возмущением
/(г) = 0,5 1(/), если система имеет структурную схему, пока-
Рис. 7.10. Структурная схема системы с возмущением
7.25. Определить ошибку отработки задающего воздействия
g(kT) = 5kT\(k) и порядок астатизма импульсной САУ (рис.
7.11), если её передаточная функция в разомкнутом состоянии
w <.(z + 0,05)(z + l)
р ' (z - l)(z - 0,1 )(z - 0,02) ’
а период квантования Т -1 с.
Рис. 7.11. Структурная схема импульсной системы управления
Решение. Поскольку дискретная система (рис. 7.11) имеет
главную обратную связь, равную минус единице, то её передаточ-
ная функция по ошибке от задающего воздействия определяется
выражением
Wes(z) 1 + ir/z)’
Отсюда, с учетом заданной передаточной функции, выводим
W (-)- (z-l)(z-0,l)(z-0,02)
es (z - l)(z - 0,l)(z - 0,02) + (z + 0,05)(z +1)
(z-l)(z2 -0,12z +0,002)
" z3 - 0,12z2 +1,172z + 0,048 ’
(7.24)
243
Признаком астатизма по задающему воздействию в случае
дискретных систем может служить наличие множителя (z — 1) в
знаменателе передаточной функции AKp(z) (при отрицательной
единичной обратной связи) или же в общем случае — в числителе
W£g(z). Причем порядок астатизма определяется степенью этого
множителя.
Следовательно, для заданной системы порядок астатизма ра-
вен 1. Поскольку степень задающего воздействия g(k) = 5А- 1(A) то-
же равна 1, то, согласно [4. С. 129, 130], ошибка, вызванная этим
воздействием, будет постоянной.
Для её определения проще всего воспользоваться теоремой о
предельном значении:
8к = = lini’(^-1)W/El,(z)g(z).
В данном случае изображение входного сигнала
g(k) - 5к 1(A ), согласно приложению П. 1, имеет вид
g(z) - 5 • Т z /(z -1)2, поэтому
8 .. =Мг->)-----------------------------------
8 --->1 (z-l)(z-0,l)(z-0,02) + (z + 0,05)(z + l) (z-l)2
Отсюда
_ 0,882 -ST
7.26. Вычислить методом коэффициентов ошибки погреш-
ность воспроизведения задающего воздействия дискретной систе-
мой (рис. 7.И), если её передаточная функция в разомкнутом со-
стоянии
задающий сигнал g(kT)- 2Т2 к2 • 1(A), период квантования
Т = 1 с, а время работы системы / ; = 5 с.
244
Решение. Так как период квантования Т = I, то в дальнейшем
будем полагать g(kT)-g(k) =2к2, к>0.
Вызванная некоторым воздействием g(A) ошибка дискретной
системы в соответствии с методом коэффициентов ошибки опре-
деляется выражением
8g(А) = COgg(A) + CIgAg(A-) + C2„A2g(A) + C3g A3g(A) +..., (7.25)
где A'g(A) — i-я разность воздействия g(k), a C/g — z-й коэффици-
ент ошибки по этому воздействию. В дискретном случае эти коэффи-
циенты определяются путем разложения в ряд по степеням (z-1)
передаточной функции по ошибке от этого воздействия g(A).
В данном случае степень полинома воздействия g(A) равна 2,
поэтому для вычисления ошибки достаточно найти лишь первые
три коэффициента ошибки Со„, С1п и C2g, так как все более вы-
сокие разности Д'g(k) равны нулю.
Воздействие g(A) является задающим, поэтому передаточная
функция по ошибке определяется по (7.23), т. е. с учетом разложе-
ния в ряд можно записать равенство
= COg + Clg (z -1) + C2g (z -1)2 + C3g (z -1)3....
Для вычисления коэффициентов ошибки Cig дискретных сис-
тем сначала обычно проводится в Weg (z) замена скобки (z — 1) на
X, для чего полагают z = X +1. В результате подстановки получим
ЗХ2 + 4Х
или
+c’«x+cv!+-
ЭЛ “г у Л + J
245
Далее, следуя [4. С. 123], умножим ряд в правой части этого
равенства на полином знаменателя 3 + 9Х + 5А2, начиная с млад-
шей степени X, и приравняем коэффициенты при одинаковых сте-
пенях X полученного произведения к соответствующим коэффи-
циентам числителя. В результате получим значения искомых ко-
эффициентов ошибки:
cOg=o, Clg = 1,333, c2g=-3.
Отметим, что аналогичные значения можно получить также
путем деления полинома числителя на полином знаменателя,
предварительно записав их по возрастающей степени X:
4Х+ЗХ2 3 + 9Х + 512
-(4Х+12Х2 +^Х3) 3 iX-3X2+—V- 3 9
- 9Х2 - —V 3 г—t
-(- 9Х2 - 27V-15X4)
— Х3+15Х4
3
Согласно (7.25), в данном случае достаточно определить пер-
вые две разности входного воздействия g(k) = 2 к2 :
Ag(A) = g(k) ~ g(k -1) = 2[к2 - к2 + 2к -1] = 4к - 2,
&2g(k) = Ag(k) - Ag(k -1) = 2[2к -1 - 2( А -1) +1]=4,
так как все более старшие разности равны нулю.
Теперь по (7.24) вычисляем ошибку системы
7 4
б„(к) = C\&g(k) + C,gД2°(Л) =—(4к -2)-3 • 4 = 5,3к -14,7.
° * 3
Если tpa(i =5 с, то при Т = 1 с число периодов работы системы
краб ~ 5 • Следовательно,
5В(А/Л,Д) = 11,8.
246
Как видим, ошибка рассматриваемой системы от параболиче-
ского воздействия увеличивается по мере увеличения времени ра-
боты системы. Это объясняется тем, что порядок астатизма систе-
мы по этому воздействию меньше его степени.
Размерность полученной величины ошибки будет определять-
ся размерностью входного воздействия, например, гг? .мин. при
отработке угла поворота, заданного в минутах, или м при слеже-
нии по дальности и т. п.
7.27. Передаточная функция замкнутой импульсной системы
(рис. 7.11) равна
°’18z~0’18 ,
А z2 — l,82z + 0,32
а период квантования и Т = 0,2 с. Оценить ошибку отработки за-
дающего воздействия g(kT) — кТ • 1(A).
Решение. Для решения задачи воспользуемся методом коэф-
фициентов ошибки.
Передаточная функция по ошибке от задающего воздействия
J¥eg (z) через передаточную функцию Wrg (z) определяется выра-
жением
(KES(z) = l-^(z) =
z2 -2z + 0,5
z2 -l,82z + 0,32
(7.26)
Как и ранее, проведем в (7.26) замену z -1 = Л или z = Л +1.
В результате получим
zg Л2+0,181-0,5
(7.27)
Коэффициенты ошибки Cig из ряда (7.25), как и в задачах 7.12,
или 7.26, найдем делением числителя (7.27) на его знаменатель
или в MATLAB с помощью функции tayior. В результате полу-
чим
COg = 1, CIg = 0,36, C2g= 0,1296.
Теперь с помощью ряда (7.25), учитывая, что g(kT) = kT,
247
&g(kT) = kT) - (kT - Г) = Т = 0,2, а разности A'g(AT) = 0 при всех
/ = 2,3,4,..., находим
8g = Qsg(AT) + Clg Ag(AT) = kT + 0,36 0,2 = 0,072 + kT .
Как видно, ошибка отработки линейного задающего воздейст-
вия g(kT) = kT растет во времени, поскольку заданная система
является статической по этому воздействию.
7.28* . Определить ошибку отработки задающего воздействия
g(AT) = (10 + 5АТ) • \(кТ) дискретной системой с передаточной
функцией в разомкнутом состоянии
(z + 0.0S)(z-M)
1 (z —l)(z —0,1)
если обратная связь единичная отрицательная, а период квантова-
ния Т = 1 с.
7.29 *. Определить первые три коэффициента ошибки дискрет-
ной системы с передаточной функцией
,rf(z)= .
' (z-lXz+0,6)
если её главная обратная связь отрицательная и единичная, а пери-
од квантования Т - 0,1 с.
Указать, с какой ошибкой эта система будет отрабатывать за-
дающие воздействия, если время её работы 7 с:
«) ёа (kT) = 1(A), б) g6 (АТ) = 0.5(АТ) • 1(A),
в) ge(AT) = 0,25(AT)2l(A).
7.30 *. Решить предыдущую задачу, если в цепи главной отри-
цательной обратной связи системы (рис. 7.12) присутствует звено
запаздывания с передаточной функцией z~l -е~Тр.
7.31 *. Определить ошибку отработки задающего воздействия
замкнутой дискретной системой (рис. 7.11) для указанных ниже ва-
риантов, если время её работы 5 с:
248
a) W(z)= °’6l2-t°’5) , g(kT) = 0,5 kT\(k), T = 0,5 c;
p (z-lMz-0,3)
6) W(z)= ..4(Z + °’2) , g(AT) = 2(A7')2 1(A), T = 0,05 c.
P z2—0,9z —0,1
Рис. 7.12. Структурная схема дискретной системы
7.32 * а) Определить ошибку отработки задающего воздейст-
вия g(k) = 1(A) системой (рис. 7.11) с передаточной функцией
б) Определить ошибку отработки задающего воздействия
g(k7") = [(kT) системой (рис. 7.12), если её передаточная функция
в разомкнутом состоянии та же, что и в варианте а) данной задачи,
но в цепи обратной связи имеется звено с передаточной функцией
W(р) = е~Тр, где Т — 1 с. Влияет ли это звено запаздывания на точ-
ность системы?
Примечание. Звено W(p}=e~Tp эквивалентно звену И’(д) = z '.
73. Оценка точности САУ при случайных воздействиях
7.33. Найти величину среднеквадратической ошибки (СКО)
замкнутой следящей системы (рис. 7.13), если на вход этой системы
поступает сумма некоррелированных случайных сигналов: полез-
ного сигнала <р = <р(/) и случайной помехи = y(f) в виде белого
шума. Передаточная функция системы и спектральные плотности
указанных случайных сигналов определяются выражениями:
249
Wp(p)=
K(T2p+\)
(7-28)
a2
5(Ю) = - , 5 «o) = W. (7.29)
rw+l
Параметры системы и характеристик случайных воздействий
имеют следующие значения: К -100, То = 1 с, 7] = 1 с, Т2 = 0,1 с,
а1 =3,2 град2 с, 1 = 0,5 с, N = 0,4 град2 с.
Рис. 7.13. Система со случайными воздействиями
Замечание. Рассматриваемые в этом разделе случайные воздействия
следует считать, если не указано иное, центрированными, т. е. их матема-
тическое ожидание или среднее значение равно нулю.
Решение. Так как случайные воздействия <р«) и \у«) являют-
ся некоррелированными, то среднеквадратическое значение ошиб-
ки 5С, системы можно определить по формуле
8<л = = V£><p+Dv • (7-30)
Здесь Dlf! = <7* — дисперсия случайной ошибки, вызванной полез-
ным случайным сигналом <р(/), Она определяется, согласно [4.
С. 135, 136], выражением
£><р ~ J|^e<p(jto)|25w(io)£/(o. (7.31)
В равенстве (7.30) =а2 — дисперсия случайной ошибки, вы-
званной случайной помехой. Она определяется по формуле
(j<o)|\v «0)67(0. (7.32)
250
Таким образом, для решения задачи необходимо прежде
всего определить передаточные функции, входящие в формулы
(7.31) и (7.32).
В соответствии с рис. 7.13 и равенством (7.28) находим пере-
даточную функцию замкнутой системы
д______________________ (7.33)
“ 1 + 1Г„(Р) Т0Г,р2+(7-„ + 7-2Лр + К
и передаточную функцию по ошибке от задающего воздействия
w (р) = -—-— =---------ГорСПр+О--------- (7 34
4 1+wp (Р) ТОТ]Р2 + р {Т. +Т\К)+К
В результате подстановки передаточной функций (7.34) и
первого выражения для спектральной плотности (7.29) в формулу
(7.31) получим
P<₽ 2л
2 •
T"(f> + 1
5.5 (см. задачу
T0Tt(Ju>)2+Tja
T}T0U^2+j^Ta+T2K) + K
Для вычисления интеграла, как и в разделе
5.42), полином т2со2+1 представим как квадрат модуля:
т2<о2 +1 = |т(У<о) +1|2. Далее, перемножая полиномы, получим
2
ЗлЦгТ^О)3 +[т(Т0+^)+770](/т)2+(Кг+^"+Т0)>+К <*°’
(7-35)
Аналогично на основании выражений (7.29), (7.32) и (7.33) за-
писываем
DV=N^]
______КТ2 (jm) + К___
TJ0{j^2 +j^T0+KT2)+К
Для удобства вычислений подставим заданные численные значе-
ния параметров в выражения (7.35) и (7.36). В результате получим
cho. (7.36)
251
(JCD)- + J(0
2ft_q0,5(j(o) + 6,5 (jo)' +61 J(o+100
м _______ _______ 2
Jw.
lO(jco) +100
J, (y'w)2 +lljco+100
(7-37)
(7.38)
Интегралы данного типа, как и выше, вычисляются по форму-
лам Мак-Ленна, приведенным в приложении П.4.
Степень полинома в знаменателе (7.37) равна трем, поэтому,
сопоставляя выражение (7.37) с интегралом /п при л = 3 из при-
ложения П.4, найдем значения соответствующих коэффициентов,
и, подставляя их в формулу Мак-Ленна при п — 3, получим
п 2, 1100-61+1100-0,5 3,2-6150 д2
D = а 7, = 3,2------------------------= — -----= 0,5 7 град .
ф 2-100-0,5-(-100-0,5+61-6,5) 34650 -
Выражение (7.38) вычисляется с использованием формулы для
/2, так как здесь степень полинома в знаменателе равна двум.
Сравнивая (7.38) с интегралом /„ при п — 2. заключаем, что в
этом случае коэффициенты имеют значения: b„ = 100, 6, = 10 с,
со=1ОО , с, =11 с, с2=1с". Подставляя эти значения в формулу
Мак-Ленна при /7 = 2, получим
п ... п. 102 -100 + 1002 -1
= 77 = 0,4-------------------= 3,64 град~.
v 210011
Используя полученные значения и Dy в формуле (7.30),
находим среднеквадратическое значение ошибки
8С1 = ^/0,57 + 3,64 = -^4,21 град.
Итак, СКО рассматриваемой системы 8С, = 2,052 град.
Решение в Maple 6:
% используя пакет LinearAlgebra, вводим команды:
restart;
with (LinearAlgebra);
I2:=N*(В1"2*С0+В0"2*С2)/(2*С0*С1*С2);
subs(K=100,T0=l,Tl=l,T2=0.1,N=0.4, 1/2*N*(К"3*Т2"2+
K'2*T1*TO)/(K*(T0+K*T2)*Tl*T0));
252
% первый интеграл: /, = 3.63636363Ьград2.
13:=(В2"2*С0*С1+(В1Л2-
2*В0*В2)*СО*СЗ+ВО*СО*СЗ)/(2*С0*СЗ*(С1*С2-С0*СЗ));
subs(К=100,Т0=1,Т1=1,Т2=0.1,tau=O.5,а2=3.2,
а2*(Т1Л2*Т0Л2*К*(T0+K*T2+K*tau)+Т0'3*К*tau*Tl)/(K*tau*T
1*Т0*((T0+K*T2+K*tau)*(tau*(Т0+К*Т2)+Т1*Т0)-
K*tau*Tl*TO)));
% второй интеграл: /3 = 0,5679653680град2.
Delta = sqrt( 3.636363636+.5679653680);
- ответ:
8С, = 2,050 град.
Отличие результатов, полученных вручную и с помощью ЭВМ, объ-
ясняется ошибками округления.
7.34*. Найти величину среднеквадратической ошибки (СКО)
замкнутой следящей системы (рис. 7.13) с передаточной функцией
' " р(г|Р+1ХТ,р+1)
при отсутствии случайной помехи \|/(/), если полезный входной
сигнал (р(г) имеет спектральную плотность (7.29) с теми же пара-
метрами: а2 = 3,2 град2 с , т = 0,5 с, а параметры передаточной
функции имеют следующие значения: К = 140 с'1, 7] =1,0 с,
Т, =0,15 с, Т3 =0,02 с.
7.35*. Определить максимальное значение коэффициента пе-
редачи К системы (рис. 7.13), при котором значение среднеквад-
ратической ошибки 5С, < 1 угл. мин в случае отсутствия полезного
сигнала, т. е. при <р = 0. Передаточная функция системы в разомк-
нутом состоянии
W (р) =-------------,
' " Top(l + TlP)
(7.39)
где То —\с, Г| =0,1 с, а спектральная плотность помехи на входе
системы S’w (со) = N = 36 (угл. мин)2 с.
253
Как изменится дисперсия случайной ошибки, если в прямую
цепь рассматриваемой системы включить фильтр с передаточной
функцией (1 + Т2р)1(\ + 1\р) и параметрами Т2 = 0,05 с, Г3 = 1 с?
7.36*. Спектральная плотность помехи на входе следящей сис-
темы (рис. 7.13) определяется выражением
2Р-to
7
2Р + С0
s„(«»=o,S
(7-40)
w р [ц2 + (to- Р)2 ц2 + (to+ Р)2 J ’
где £>v =100 мм2; ц = 0,4 с-1; Р = 5 с'1, а передаточная функция
системы в разомкнутом состоянии
w, . °,1 1
WPW) =—=тг~-
р Юр
Вычислить при отсутствии полезного сигнала значение сред-
неквадратической ошибки и коэффициент сглаживания
Указание. Прежде всего подставьте численные значения заданных
параметров в (7.39) и (7.40).
7.37*. На вход системы (см. рис. 7.13), с передаточной функ-
цией
wm-------
’ р(7;р+1хг,р+1)’
где К = 140 с-1, Г] =1,0 с, Т2 =0,15 с, Т3 =0,02 с, поступает полез-
ный сигнал с корреляционной функцией
/?w(T) = 0,05e-,0|S^2
и помеха со спектральной плотностью
С2 to2
(7-41)
Sw(“) = - , , . ’
(w2 +3a>5) +16 too
где C2 =0,05 pad2 -c; w0 =10 c-1.
Найти среднеквадратическую ошибку замкнутой системы.
254
Указание. Спектральную плотность случайного сигнала можно най-
ти по корреляционной функции (7.41) либо воспользовавшись преобразо-
ванием Фурье [5. С. 165]
SW(CO)=
либо применяя формулы, приведенные в [5. С. 166] (см. табл. 4.1).
7.38*. Сравнить две системы управления (рис. 7.13) по регуляр-
ной (статической) ошибке 8<т [4. С. 115, 116] и эквивалентной поло-
се пропускания белого шума, которая определяется выражением
Д/ = ^ МШ(7(О)|26/СО,
если их передаточные функции в разомкнутом состоянии
(/’) =--------!,
1 toP(1^tiPhi + t2p) ’
w (р)-
рАР} (7\р + ЩТ3р+1)
имеют следующие значения параметров: Kt = 0,5, К2 = 5, То = 1 с,
7] =10 с, Т2 = 1с, Т3 =5 с. При этом математическое ожидание слу-
чайного задающего воздействия <р(/) отлично от нуля и является по-
стоянной величиной <р0; помеха у(/) отсутствует.
7.4. Интегральные оценки качества
7.39. Определить значение постоянной времени 7], соответст-
вующее минимуму квадратичной интегральной оценки переход-
ной функции Л(/) по задающему воздействию, для САУ (рис. 7.9)
с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
1F (р) =----- K(TlP + Y)------—
" Т4р(Т2р2+2£>T2p + Y)(T3p + l')
255
если параметры системы Т2 =0,1 с; 7] =0,1 с; 7]= 1с; £ = 0,75;
К = 5,29.
Решение. Как известно [4. С. 150,154], квадратичная инте-
гральная оценка переходной функции
(7.43)
о
может быть вычислена с помощью формул Мак-Ленна (см. при-
ложение П.4), так как по теореме Парсеваля интеграл в (7.43) ра-
вен интегралу
Ji = ~ 1|еО")1 2<*°, (7-44)
“ —<х>
где обозначено £(/) = h„ - h(t), причем £(jco) = £(р)|/?_у.(0.
Чтобы привести интеграл (7.44) к виду, удобному для примене-
ния формул Мак-Ленна, запишем изображение по Лапласу переход-
ной функции заданной системы, подставив значения параметров
;-------------------------------------—(7-45)
0,001 р4 + 0,025/ + 0,25/ + (1 + 5,297])р+5,29 р
Отсюда по теореме о предельном значении (см. задачу 7.16*)
легко найти, что = 1. Изображение (р) = 1 / р . Поэтому изо-
бражение £(р) = (р) - h(p) принимает вид
_________0,001 р4 +0,025р3 +0,25 р2 + р__
0,001 р4 +0,025 р3 +0,25 р2 + (1 + 5,29 7]) р + 5,29
Подставляя его в (7.44) после сокращения нар, получим
_L“
2л j
________0,001/ + 0,025/ +0,25р + 1___
0,001/ +0,025/ +0,25/ + (1 + 5,297] )/7 + 5,29
_1_
Р
2
d(£>
p=ju>
(7.46)
Этот интеграл вычисляется по формуле Мак-Ленна, которая
при п = 4 имеет вид
256
, 7>3(coctc2 сос3) + (/)2 2Л|(>3)с0С|с4 4-(Л| 2/>07>2)сосзс4
'4 ~
2СоСд( cOci С1 с4+с|с2сз)
(?о(с,с3с4 ~С,С4)
2с0с4(—сос3 -с2с4 +с,с2с3)
(7.47)
Сравнивая выражения (7.46) и (7.47), найдем значения коэф-
фициентов: b0 = 1, />! = 0,25, Ь2 — 0,025, b3 = 0,001, с0 = 5,29,
с, = 1 + 5,297], с2 = 0,25, с3 = 0,025, с4 = 0,001.
Подставляя эти значения в формулу (7.47) и сокращая на с4, по-
лучим выражение для квадратичной интегральной оценки J2, кото-
рое затем продифференцируем по 7\ и результат приравняем к ну-
лю. Решив полученное алгебраическое уравнение, найдем опти-
мальное значение Т], соответствующее минимальной величине J2.
Перечисленные выкладки проще выполнить с помощью Ма-
рк 6, используя пакет LinearAlgebra, следующим образом:
restart;
with (LinearAlgebra);
14 :=• (ЬЗ* (c0*cl*c2-c0'2*c3) + (Ь2^2-'2*Ы*ЬЗ) *с0*с1+ (Ы'2-
2*Ь0*Ь2)*с0*сЗ+Ь0"2*(с2*сЗ-с1*с4))/(2*с0*(-сО*сЗЛ2-
с1ж2*с4+с1*с2*сЗ));
I4:-subs(bl=0.25, Ь2=0.025, ЬЗ=0.001, Ь0=1, с0=5.29,
с1=1+5.29*Т1, с2=0.25, сЗ=0.025, с4=0.001, 14);
dI4:=diff(14, Т1);
solve(dI4=0, Tl) ;
subs(Tl=.3423726554, 14);
В результате выполнения указанных команд получается опти-
мальное значение Т\ = 0,3424 и соответствующее ему минималь-
ное значение квадратичной интегральной оценки J2 - 0,148.
7.40*. Определить значение постоянной времени Ти, при ко-
тором система регулирования с передаточной функцией
(р) =---------------
Ч0ТиР2+ТиР + \
и постоянной времени объекта То =1 с имеет минимум квадратич-
ной интегральной оценки (7.43).
9—1607
257
7.41 *. Установить характер зависимости квадратичной инте-
гральной оценки (7.43) от коэффициента К для системы регу-
лирования с передаточной функцией
и- („),______________
V.P+k^p+k^
при То = 1 с, Ти =5 с.
7.42 *. Для системы, представленной на рис. 7.1, найти значе-
ние Kv, при котором обеспечивается минимум квадратичной ин-
тегральной оценки (7.43) и значение этого минимума. Значения
остальных параметров системы взять из условий задачи 7.1.
7.43 *. Определить коэффициент усиления К в САУ с переда-
точной функцией в замкнутом состоянии
= ----77
TqP + Р +К
из условия наилучшего приближение импульсной переходной
функции к экспоненте уэ(/) = у0 еПРИ = 0,8 с, То =5 с.
Указание. Для решения задачи необходимо минимизировать улуч-
шенную интегральную оценку {4. С. 151]
2'
I ко
.2 | dE(t)
эт
dt
Л. = J][е(/)]2+Гэ
о
где £(/) = — _>’(/), при действии на входе системы единичного ступен-
чатого воздействия.
Для удобства вычисления интеграл J1 (7.48) целесообразно пред-
ставить в виде суммы J2i=bii+l2i2> где интегралы
(7.48)
I2|1 = H)]2^- I212=^hJ(e(0)2^
о 0
вычисляются по формулам Мак-Ленна (приложение П.4) с применением
формулы (7.44). При этом £(у(0) находится путем замены р на /СО в вы-
ражении для £(/?) , а £(/С0) — путем замены р на /СО в выражении для
Ё(р) , после сокращения на р. Причем, так как
258
г/е(/) <7[v„ — y(t)] cMf) < \ / ч
Далее решение проводится аналогично решению задачи 7.39.
7.44 *. Для системы автоматического управления (рис. 7.9),
имеющей в разомкнутом состоянии передаточную функцию
=----------К^,2РиГ-------------
р р(2,88р +1) (0,025 р +1 )(0,01 р +1)
найти К опт из условия минимума квадратичной интегральной
оценки (7.43).
7.45 *. Для системы (рис. 7.9) с передаточной функцией в ра-
зомкнутом состоянии
к
w„(p) =----------------,
р г p(T}P + \yj2p + V)
где Г, = 0,04 с, найти: а) оптимальное значение К при Т\ = 0,2 с;
б) оптимальное значение Г, при К = 26 с-1; соответствующие
минимуму квадратичной интегральной оценки (7.43).
7.46*. Для системы (рис. 7.9) с передаточной функцией в ра-
зомкнутом состоянии
20+Z?.p
W (р) =-----------
р р(0,1р+1)
найти оптимальное значение bt, соответствующее минимуму
квадратичной интегральной оценки (7.44), e(jcd) = g(joj)—v(joj)
при g(t) = 8(/).
259
8. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
8.1. Определение и исследование особых точек
8.1. Найти координаты особых точек нелинейной системы
’И = (w1 - »v2 )(1 - »v, - w2 ),1
й'2 = w,(3-iv2).
Решение. Особые точки нелинейной динамической системы,
описываемой уравнениями
й', =/(»v), , = (8.2)
это её положения равновесия. С другой стороны, эти точки явля-
ются стационарными (постоянными) решениями системы диффе-
ренциальных уравнений (8.2).
Поэтому координаты особых точек нелинейной системы (8.2)
можно найти путём решения системы нелинейных алгебраических
уравнений
/(w) = 0, / = (8.3)
которая очевидным образом записывается по уравнениям (8.2).
В случае линейной системы с постоянными коэффициентами
й’= Aw соответствующая система (8.3) имеет единственное реше-
ние w° = 0. В нелинейном случае эта система имеет обычно не-
сколько решений vvs, s = 1, т. Поэтому нелинейные динамические
системы обычно имеют несколько положений равновесия.
Для заданной нелинейной системы (8.1) система (8.3) имеет вид
(w. - ич)(1 - w. - w,) = 0,1
' \ ' (8-4)
»v((3-w2) = 0. J
Переходя к её решению, замечаем, что второе уравнение этой
системы имеет два решения
wj -- 0 и »v2 = 3.
Подставив wj -0 в первое уравнение (8.4), получим новое
уравнение —iv2(l —и2) = 0. Находим два его решения w* =0 и
Wy =1, которые соответствуют значению wj =0. Следовательно,
точки О| (0;0) и О2 (0;1) — это особые точки системы (8.1).
Теперь подставим решение и’,5 =3 в первое уравнение (8.4) и
найдем его решения: w’ = 3, w* = -2 . Этим решениям соответст-
вуют еще две особые точки Oj (3; 3) и О4 (-2; 3).
Таким образом, система (8.1) имеет четыре особые точки: О\
(0;0), О2 (0;1), О3 (3; 3) и О4 (-2; 3), которые показаны на рис 8.1,о.
Рис. 8.1. Особые точки нелинейной системы
8.2. Установить тип особых точек нелинейной системы (8.1)
методом первого приближения.
Решение. Для решения этой задачи прежде всего необходимо
построить систему первого приближения. В случае системы (8.2)
она определяется равенством
х = Ах, (8.5)
где х— вектор отклонений от исследуемой особой точки,
Л - [aij ] — постоянная матрица. Ее элементы вычисляются по
формулам
iJ dw,-
(8-6)
J о
Здесь символ ()|0 означает, что частные производные вычисляют-
ся в исследуемой особой точке.
261
Другими словами, для исследования типа каждой особой точ-
ки Os(wj, 5 = 1,/и системы (8.2) необходимо построить соот-
ветствующую систему (8.5), (8.6) в каждой из этих точек.
Тип особой точки и характер фазовых траекторий в её окрест-
ности можно установить либо по коэффициентам о и А, либо по
корням Р| и р2 характеристического полинома
А(р) = det(pE - А) = р2 -<5р + Д (8.7)
системы первого приближения (8.5). Обратим внимание читателя
на то, что перед коэффициентом о в (8.7) стоит знак минус.
Связь между типом особой точки линейной системы (8.5) и
коэффициентами о, Д или корнями р\, р2 характеристического
уравнения (8.7) представлена в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Особые точки линейных систем 2-го порядка
Коэффициент о Корни рх,р2 Типы особых точек
Коэффициент Д > 0
о < 0, а1 > 4Д Вещественные, Re р,, < 0 Узел устойчивый
<т < 0, ст <4Д Комплексные, Re р,2 < 0 Фокус устойчивый
о = 0, <г<4Д Мнимые, Re р,, = 0 Центр
о > 0, сг<4Д Комплексные, Re pl2 > 0 Фокус неустойчивый
о > 0, ст > 4Д Вещественные, Re р,, > 0 Узел неустойчивый
Коэффициент Д = 0
О > 0, Д = 0 Вещественный и нулевой Неустойчивые
О < 0, Д = 0 Полуустойчивые
Коэффициент Д < 0
-оо< (7< + со Вещественные, Re рх < 0 ; Re р2 > 0 Седло
Замечание. В соответствии с теоремами Ляпунова [4. С. 286-288]
тип особой точки нелинейной системы (8.2) совпадает с типом особой
точки линейной системы первого приближения (8.5) только в тех случа-
262
ях, когда последняя является узлом, фокусом или седлом. В осталь-
ных случаях (О = 0 и (или) Д — 0) тнп особой точки нелинейной систе-
мы (8.2) методом первого приближения определить невозможно.
Таким образом, чтобы установить тип особых точек нелиней-
ной системы (8.2) методом первого приближения, необходимо в
каждой особой точке ОДтЦ'.м^) построить систему первого при-
ближения (8.5) и найти или коэффициенты а и А или корни р} и
р2 соответствующего уравнения (8.7).
Поэтому, переходя к решению задачи 8.2, найдем сначала
частные производные (8.6) для нелинейной системы (8.1), в кото-
рой /] (iv) = (wt - iv2 )(1 - IV, - w2), a f2 (и) = vv, (3 - w2). В резуль-
тате получим
chi’j dwj
df2(w) , 9/2(>v)
—------= 3 - w7, —-----= -wt. (8.8)
dH) ow2
.Подставляя в (8.8) найденные в задаче 8.1 значения координат
особых точек (0; 0), Q>(0; 1), О3 (3; 3) и О4 (-2; 3) в (8.5) и вы-
числяя затем по (8.6) и (8.7) о и А, получим на основе табл. 8.1 и
замечания к ней следующие результаты:
• в случае особой точки (0,0)
А(р) - det(pE -А) = det
= Х2 -Х + 3,
о = 1, Д = 3>0, о2 =1<4Д = 12.
Следовательно, особая точка О\ (0, 0)—неустойчивый фокус;
• в случае особой точки О2 (0, 1)
Л(р) = р1 — р — 2, о = 1, Д = —2<0.
263
Следовательно, особая точка 6>2 (О, 1) — седло;
• в случае особой точки (?3 (3, 3)
Г-5 5 1
А =
0 ~3
Л(р) = р2-8р+ 15, о = -8<0,Д = 15,
о2 = 64>4Д = 60.
Следовательно, особая точка О3 (3, 3) — устойчивый узел;
• в случае особой точки О4 (-2, 3)
Г5 51
А =
.° 2
А(р) = р2-7р + 10, о = 7>0, Д = 10,
о2 = 49>4Д = 40.
Следовательно, особая точка О4 (-2,3) — неустойчивый узел.
Фазовые траектории в окрестностях особых точек О\ и О2
приведены на рис. 8.1,а и рис. 8.1,6. В окрестностях же особых то-
чек О4 и О3 — на рис. 8.2,а и рис. 8.2,6 соответственно.
Рис. 8.2. Окрестности особых точек О3 и О4
Для сравнения на рис. 8.3 приведен фазовый портрет рассмат-
риваемой нелинейной системы, построенный в MATLAB непо-
средственно по её уравнениям (8.1). На этом портрете хорошо
видны все четыре особые точки, т. е. положения равновесия этой
нелинейной системы.
264
Рис. 83. Фазовый портрет нелинейной системы
Как видно, метод первого приближения действительно позво-
ляет определить характер особых точек нелинейных систем.
8.3. Найти особые точки динамической системы и установить
их тип методом первого приближения, если её свободное движе-
ние описывается уравнением
у + у + / -9у = 0.
Изобразить качественный характер траекторий в окрестности
особых точек.
Решение. Чтобы найти координаты особых точек заданной
динамической системы, сначала запишем её уравнения в перемен-
ных состояния. Пусть w, = у, vv2 = у, тогда:
й>! = н’2,
i’v2 = — w2 — w, + 9>V]. (8.9)
Система (8.3) здесь имеет вид
w2 = О,
— — и’]3 + 9и’| = О
Ее решение дает особые точки О\ (0; 0), Оз (3; 0) и О3 (-3; 0). Далее
по (8.9) находим частные производные (8.6):
Эи’| d>v2
265
Э/2(м’) 0 , , Qf,(w) ,
— = 9 —Зи'-, ------------= —1.
ovv, 3w2
Переходим к определению типа особых точек:
• особая точка О, (0, 0)
Л(р) = р2-р-9, о = -1<0, Д = -9<0.
Следовательно, согласно табл. 8.1, точка Ot (0, 0) — седло; фа-
зовые траектории в её окрестности показаны на рис. 8.4,а.
Рис. 8.4 Особые точки: а — седло О] (0,0);
б — устойчивый фокус О2 (3, 0)
• особая точка О2 (3,0)
ГО Г
А =
-18 -1
А(р)-р2 +£> + 18, о=-1<0, Д = 18>0, сг<4Д.
Следовательно, О2 (3, 0) — устойчивый фокус;
• особая точка О3 (-3,0)
Так как матрица А совпадает с предыдущим случаем, то осо-
бая точка От, (-3, 0) также является устойчивым фокусом. Фазовые
траектории в окрестности точек О2 (3, 0) и О2 (-3, 0) рассматри-
ваемой системы показаны на рис. 8.4,6.
266
8.4 *. Найти особые точки (положения равновесия) нелиней-
ных систем, описываемых уравнениями
8.4.1 * Wj = и’] (3 — W] — w2 ), й’2 = iv2 (5 — ).
8.4.2* VV| = 4W| и’2 — >v2, м>2 = 2н’, — w2wt
8.4.3* — w2 — Wj »v2 , w2 = — 2w2 + sin W|, | | < 3n/2.
8.4.4* vV| - 0,25»v2W|2 - Wy, v'v, = 2w2 — w, w2.
8.4.5* vv, = 16и’( - Wy , w2 ~ ^w2 ~ w2
8.5 *. Построить системы первого приближения в особых точ-
ках динамических систем, рассмотренных в задачах 8.4.1 *-8.4.5*.
8.6 *. Установить методом первого приближения типы особых
точек динамических систем, рассмотренных в задачах 8.4.1 *-8.4.5*.
8.2 . Построение фазовых портретов нелинейных систем
•8.9. Построить фазовый портрет методом припасовываяия [4.
С. 258] для нелинейной системы, схема которой приведена на
рис. 8.5.
Рис. 8.5. Система с местной обратной связью
Нелинейность
°, M<vo,
Z(V)= 7 • >
(Zosignv, M>va.
При этом g = 0, va = 1,2, Zo = 2,5, а коэффициент P = 1.
(8.10)
267
Решение. Для построения фазового портрета методом припа-
совывания прежде всего необходимо найти уравнения исследуе-
мой системы в переменных состояния.
В данном случае по структурной схеме (рис. 8.5) можно запи-
сать уравнения
R Z(v) 1
v = g-y~Pyt, Л =------, У = —
Р Р
Так как g = 0, то, умножая второе и третье равенства на р и пере-
ходя к оригиналам, получим
ji=Z,(v), у = у,, v = -y-py,.
Далее введем две переменные состояния. В качестве х, обыч-
но берут управляемую переменную, т. е. х( = у, а в качестве вто-
рой— ее производную, т. е. х2=у. Тогда, исключая из предыду-
щих равенств обозначения у и у, найдём
*1 =У = х2,
х2 =T = Ti =Z(v),
v = -xt -рх(.
Затем исключаем переменную v с учетом описания нелиней-
ности (8.10). В результате будем иметь
X, =х2, х2 = Z(x,,x2), (8.Н)
где
0, |х, +рх2|<гй,
Z(x,.x2) = - -z„, -X) - рх2 <-v„, (8.12)
z«’ -х( -рх , >va.
Найдём положения равновесия исследуемой системы. Система
(8.3) здесь имеет вид
х2 =0,
Z(Xj,x2) = 0.
При х2 =0 из (8.12) находим, что положениями равновесия дан-
ной системы являются все точки внутри интервала от х, = -va до
268
х( = va. Переключения реле, согласно (8.10), происходят
при v = -va и при v = va.
Поэтому уравнения линий переключения (т. е. множество то-
чек переключения) определяется выражениями:
Х| +Рх2 =±vo
или
*2 = “|(Х1 +V«)’ Х2 <813)
р р
Положения равновесия и линии переключения исследуемой
системы при р = 1 и Р = 0,2 показаны на рис. 8.6,а.
а б
Рис. 8.6. Фазовая плоскость системы с местной обратной связью
Как видно, линии переключения делят фазовую плоскость на
три области (рис. 8.6):
- область (1) при х2 <-
|(v«+xI),
где Z(x,,x2) = Z„;
- область (2) при |х, + Рх21 < va, где Z(x(, х2 ) = 0;
- область (3) при х2 > -^(го - х,),
р
где Z(xI,x2) = -Zo.
При этом, чем меньше Р, тем больше угол наклона линий пе-
реключения. При Р = 0, когда местная обратная связь отсутствует,
269
линии переключения становятся вертикальными. При увеличении
р — угол наклона линий переключения уменьшается.
Построение фазовых траекторий при р = 1. Следуя [4.
С. 261], разделим почленно второе уравнение (8.11) на первое. В
результате получим дифференциальное уравнение фазовых траек-
торий исследуемой системы
dx-, Z(x.,x2) , „
—— =-------— или x2dx2 - Z(.C|, х2 )dxt. (8.14)
dxt х2
Интегрируя второе уравнение (8.14) для каждой области
(1)-(3) в отдельности, получим с учетом значений Z£, =2,5, Р = 1
уравнения фазовых траекторий:
- для области (1)
-y- = +ZeX] +С'| или х2 =5х, +С|, х2 <-(1,2 + х(); (8.15)
- для области (2)
; х2 =С2,при -(1,2 + х()<х2 < 1,2 —х,; (8.16)
- для области (3)
х2 = -5х( + С3, при х2 > 1,2 - Х|. (8.17)
Для построения фазовых траекторий зададимся начальной
точкой Мо с координатами х|0 = 1,5 ; х20 = 3. Отложив эту точку
на рис. 8.6,6, найдем, что она лежит в области (3). Поэтому под-
ставляем координаты точки Мо в уравнение (8.17)
9 = -7,5 + С30, т. е. Сзо=16,5.
Подставив это значение Сзо=16,5 снова в (8.17), получим
уравнение фазовой траектории (параболы)
х2 = -5х, +16,5, (8.18)
которая начинается в точке Мо (1,5; 3).
Согласно (8.11), одно из дифференциальных уравнений рас-
сматриваемой системы имеет вид х( = х2. Из теории нелинейных
динамических систем известно [4. С. 252], что в этом случае изо-
бражающая точка движется на фазовой плоскости по часовой
270
стрелке. Поэтому из точки Мо фазовая траектория (8.18) пойдет
вправо и вниз.
Для построения этой траектории найдем сначала точку П},
где траектория пересекается с осью Х|. Очевидно х2п = 0, поэтому
0=—5х|п +16,5. Отсюда х]п = 3,3. Далее зададимся тремя значе-
ниями Х| из интервала [1,5; 3,3], а именно: Хц=2, х12=2,6 и
х 1Л = 3; и найдем соответствующие значения х21, х22 и х23 из
уравнения (8.18)
хн=2, х21 =-5-2 + 16,5; х21 =±2,55.
х 12 = 2,6, х222 = -5 - 2,6 +16,5; х22 = ±1,87.
х|3=3, Хд =-5-3 + 16,5; х23=±1,22.
По найденным точкам построим траекторию Мо-П\-М\, кото-
рая показана на рис. 8.6,6. Как видно, она пересекает линию пере-
ключения. Координаты точки пересечения определяются решени-
ем алгебраической системы, составленной из уравнений линии пе-
реключения (8.13) и фазовой траектории (8.18), т. е.
х, = 1,2 — х,,
, (8.19)
х2 =— 5Х( +16,5.
Из двух решений хн =-5,39 и х12 =2,79 этой системы, точке пе-
ресечения М\ соответствует (судя по рис. 8.6,6) значение
х12 = 2,79. Соответствующее ему значение х22 = 1,2 - 2,79 = -1,59.
Итак, в точке пересечения Л/( (2,79; -1,59) фазовая траек-
тория переходит из области (3) в область (2), где фазовые траекто-
рии описываются уравнением (8.16). Поэтому значение х2 =-1,59
подставляем в это уравнение и находим значение постоянной
С2| = -1,59. Следовательно, уравнение фазовой траектории, про-
должающейся в области (2), начиная с точки Л/|, имеет вид
х, =-1,59
и описывает прямую линию, параллельную оси х(. Эта прямая пе-
ресекает вторую линию переключения (см. рис. 8.6,6) в точке ЛЬ,
271
координата х12 которой определяется из уравнения этой линии
х2=—1,2 —X] при х2=-1,59,т. е. х12 =-1,59 +1,2 = -0,39.
В точке Л/, (-0,39; -1,59) фазовая траектория переходит из
области (2) в область (1), где фазовые траектории описываются
уравнением (8.15). Подставляя в это уравнение координаты точки
Мг, найдем соответствующее значение постоянной Сь
(—1,59)2 =5 (-0,39) + Сц, т. е. Си =4,48. Следовательно, соглас-
но (8.15), фазовая траектория, проходящая в области (1) через точ-
ку М2, описывается уравнением
х2 = + 4,48. (8.20)
Для её построения, как и выше, найдем вначале точку её пе-
ресечения П2 с осью х( по условию 0 = 5х[„ + 4,48. Отсюда
х[п =—0,9. Так как |x'I?|<va = 1,2, то траектория, описываемая
уравнением (8.20), снова пересечет эту же линию переключения
х2 = -1,2 - х, при х2 < 0.
Для определения координат х'п и х2п этой точки пересече-
ния Mi решим систему, аналогичную системе (8.19),
х2 =-1,2- хн
х2 = 5Х| + 4,48.
Точке пересечения М2, очевидно, соответствует решение
xfn = -0,87, х2п = -0,33 этой системы.
Фазовые траектории слева от линии переключения и выше
точки Mz направлены (согласно построенному отрезку между
точками М2 и Л/3) к линии переключения. В то же время справа от
этой линии переключения и ниже оси Xj фазовые траектории, со-
гласно указанному выше направлению движения изображающей
точки по часовой стрелке, направлены также к этой линии пере-
ключения.
Поэтому, перейдя в точке М3 во вторую область, изобра-
жающая точка снова вернется на эти же линию переключения.
В итоге в точке Л/3 начнется так называемый «скользящий режим»,
показанный на рис. 8.6,6 зигзагообразной траекторией вдоль ли-
272
нии переключения. Заканчивается эта «траектория скользящего
режима» внутри отрезка (—1,2; 1,2) оси xj, справа от точки
.г, = —1,2.
Таким образом, траектория, начинающаяся в точке Л/о, за-
канчивается в одной из точек внутри отрезка (-1,2; 1,2).
Далее зададимся другой начальной точкой М'(1 с координа-
тами х[0 =0; Xjo =-5 . Эта точка лежит в области (1), т. е. прохо-
дящая через нее траектория описывается уравнением (8.15). По-
вторяя описанные выше действия, получим вторую фазовую тра-
екторию данной системы, точки П{, М{, М2 и М'3 которой име-
ют координаты 77|'(-5; 0), Л/[(-3,72; 2,52), ^(-1,32; 2,52) и
Л/з(-1,3; 2,50). Эта траектория и указанные точки также приведе-
ны на рис. 8.6,6.
В точке М2 также начинается скользящий режим. Соответ-
ствующая ему фазовая траектория совпадает с линией переключе-
ния х2 = 1,2-х, и заканчивается на оси х, слева от точки х, =1,2,
т. е. также внутри отрезка (-1,2; 1,2) осй Xj.
Построив еще несколько фазовых траекторий, начинающих-
ся в других точках, лежащих вне отрезка (-1,2; 1,2) оси хи можно
убедиться, что все они имеют аналогичный характер, т. е. стремят-
ся к положению равновесия либо слева от точки Х| = +1,2, либо
справа от точки х( =-1,2 оси х(. Если же начальная точка (как,
например, М5) окажется на оси xf внутри отрезка [-1,2; 1,2] (см.
рис. 8.6,6), То изображающая точка останется в этой начальной
точке, так как точки этого отрезка являются положениями равно-
весия рассматриваемой системы.
Решение в MATLAB:
Построение фазового портрета систем второго порядка можно осу-
ществить в интерактивном режиме с помощью следующих двух про-
грамм:*
figure(1), WP=300; НР=300;
set(1,‘Color•,'w',’position',[30 500 WP HP])
axes; set(gca,'box','on')
axis([-5 4 -5 4)); ax=axis;
set(gca,'position*,[0.08 0.08 0.9 0.88])
273
dxx=abs(ax(l)-ax(2)); dyy=abs(ax(3)-ax(4));
line([ax(1:2);0 0],[0 0;ax(3:4)]','Color','k')
u(1)=text(-5.6,3.6,'x_2');
u(2)=text(3.2,-5.4,'x_l');
set(u,'FontName,* Times New Roman',...
Fontsize *,[10],'FontAngle1,1 italic')
pz=10; alf=pi/10;
% ввод максимального времени и шага интегрирования
tmax=5; dt-0.001;
while 1
[х,у,Ы=ginput(1); % стоп правой кнопкой
if Ь == 3, break, end
[t,yt]=ode45(sys800•,0:dt:tmax,[x y]);
line(yt(:,l),yt(:,2),'Color','k')
x0=yt(l,l); y0=yt(l,2); % fleche
dx = -diff(yt(l:2,:)); dx=dx*diag([WP/dxx HP/dyy]);
ku=pz/norm(dx); dx=ku*dx;
cs=cos(alf); sn=sin(alf); mp=[cs sn; -sn cs];
ff=[dx*mp; 00; dx*mp']*diag([dxx/WP dyy/HP]) + . j.
[xO y0;x0 y0;x0 yO];;
line(ff(:,l),ff(:,2),'Color','k')
[t,yt]=ode45('sys800',0:-dt:-tmax,[x y]);
line(yt(:,l),yt(:,2),'Color','k')
end
I
function y=sys8_9(t,x)
% ввод правых частей диф. уравнений
beta^O.75; za=2.5; va=1.2;
v=-x(l) -beta*x(2) ,•
if abs(v) < va, zv = 0;
else, zv = za*sign(v); end
% накопление точек траектории
y=[x(2); zv] ;
Указание. Для построения с помощью этих программ фазового
портрета необходимо записать их в память MATLAB как два разных
m-файла. Второй файл содержит описание правых частей системы диф-
ференциальных уравнений, описывающих исследуемую систему второго
порядка. Его имя изменять нельзя.
Начальные условия задаются в данной программе положением «пе-
рекрестия нитей» на фазовом портрете в момент нажатия левой кнопки
«мыши». Каждая траектория по времени строится от 0 до /тах и от 0 до
— /тах. Эти значения времени устанавливаются в первой программе. Для
прекращения построения траекторий необходимо нажать правую кнопку
«мыши».
274
Фазовый портрет к задаче 8.9, построенный в MATLAB при 0 = 0,75
8.10 *. Построить методом припасовывания и с помощью
MATLAB фазовый портрет системы из задачи 8.9 при 0 = 0,2.
8.11 *. Путем анализа решения задачи 8.9 указать:
а) векторы х0, при которых не будет скользящего режима в
системе, рассмотренной в задаче 8.9 при 0=1,0.
6) значения коэффициента передачи обратной связи 0, при
котором не будет скользящего режима в системе, показанной на
рис. 8.5, ни при каком векторе начальных условий хо.
8.12 *. Полагая X] =у, а х2 =v , построить методом припасо-
вывания и с помощью MATLAB фазовый портрет системы, схема
которой приведена на рис. 8.7.
Рис. 8.7. Релейная следящая система
Параметры нелинейности: Za = 4, va = 0,8.
Указание. Для получения уравнений фазовых траекторий v(y) про-
интегрируйте уравнения системы во времени по отдельным областям, а
затем исключите время t.
275
8.13 *. Построить методом припасовывания и с помощью
MATLAB фазовые портреты систем, рассмотренных:
8.13.1* в задаче 8-9 при р = 3.
8.13.2* взадаче8.12* при р = 0, va =0,3, Л| =у, х2 =у.
8.14 . Установить методом первого приближения, как зависит
тип особых точек и характер фазового портрета нелинейной сис-
темы от параметра а Уравнения системы:
IV. = мч,
, (8.21)
w, = (а — 5)и’, - ivf.
Найти бифуркационное значение параметра а, т. е. значение
а, при котором изменяется характер особых точек и фазовый
портрет системы.
Решение. Для решения задачи прежде всего найдем особые
точки системы (8.21). Приравнивая нулю правые части, получим
w, = 0, VV, (а - 5) - iv3 = 0. (8.22)
Решения этой системы = 0, w2 = 0, vvj2 = -Ja-5 , iv2 = 0,
w3 = -Va-5, Wj = 0. Если a < 5 , то второе и третье значения
vv2 являются мнимыми. Поэтому при a < 5 нелинейная динамиче-
ская система (8.21) имеет одно положение равновесия О] (0,0).
Система первого приближения в этой точке
ГО 1]
х= X (8.23)
а-5 0 1
имеет корни характеристического уравнения р l2=+ тоже
мнимые. Поэтому, согласно таблице 8.1, установить тип особой
точки методом первого приближения невозможно. Фазовые траек-
тории в ее окрестности при a = —1 и а = 4,5, построенные с по-
мощью MATLAB, приведены на рис. 8.8. Как видно, особая точка
является центром.
При а = 5 система уравнений (8.21) по-прежнему имеет одну
особую точку О} (0,0) — центр. Фазовые траектории в её окрест-
ности приведены на рис. 8.9,я и, как видно, также являются
замкнутыми кривыми. Движение рассматриваемой системы по-
прежнему является циклическим, не затухающим.
Рис. 8.8. Особые точки системы с параметром
Наконец, при а > 5 все решения системы (8.22) являются ве-
щественными, и система (8.21) имеет три особые точки ОДО, 0),
Рис. 8.9. Фазовые траектории в окрестности точки О/
Корни характеристического уравнения системы первого при-
ближения (8.23) в точке О} (0,0) вещественные и противополож-
ные по знаку. Поэтому эта точка — седло. Фазовые траектории в
её окрестности при а = 5,5 приведены на рис. 8.9,6.
Системы уравнений первого приближения и их характеристи-
ческие полиномы в обеих особых точках О2(т/а-5;0) и
277
O3(-Va-5;0) одинаковы и имеют вид р2+2(а-5) = 0. Они
имеют чисто мнимые корни р l 2-±J^2(a - 5) , т. е. обе эти осо-
бые точки являются центрами.
Целиком фазовый портрет рассматриваемой системы, постро-
енный в MATLAB при а = 5,5, приведён на рис. 8.10. Бифуркаци-
онное значение параметра а в данном случае, очевидно, равно 5.
Отметим, что фазовые портреты на рис. 8.8-рис. 8.10 построе-
ны с помощью программ, текст которых приведён на стр. 274 и
275, при соответствующих исходных данных.
Рис. 8.10. Фазовый портрет системы (8.21) при а = 5,5
8.15 *. Найти особые точки системы уравнений Лоренца
= —o(wt ~W2),
w2=rwl-w2-wlw3, (8.24)
vv3 = wtw2 —bw3
и построить фазовый портрет при о = 10, г = 28, 6 = 8/3.
8.16 *. Найти методом первого приближения бифуркационные
значения параметра г системы уравнений Лоренца (8.24) при
0 = 10,6 = 8/3.
8.17 *. Построить фазовый портрет системы уравнений Рёсслера
(Rossler)
278
W, = —(w2 + IV3),
w, = w, + 0,15w2,
й'3 = 0,2 + w3 (и,, -10).
Примечание. Системы уравнений Рёсслера и Лоренца известны тем
[12], что их решения могут иметь хаотический характер.
8.3. Анализ устойчивости методом
первого приближения
8.18. Оценить устойчивость положения равновесия х = 0 системы
х, = х,(х2 -100)-137х2 -70х3 + х4(х3 -118),
х2 = 18х, + х2х3 + 23х2 + 7,7х3 + х4 (х3 + 23),
х3 = 24(Х| + х2 ) +10(х2 + 2х3) + 27(х4 + х4х3),
х4 = 41Х| + х3х4 + 58х2 + З2(х3 + х4) + Зх4 (8.25)
методом первого приближения.
Решение. Для решения задачи методом первого приближения
необходимо построить систему первого приближения по форму-
лам (8.5), (8.6), и найти её характеристический полином. Коэффи-
циенты матрицы состояния А = [а12 ] системы первого прибли-
жения (8.5) для системы (8.25), согласно (8.6), при х = 0 равны:
= (х7 -ЮО)|о =-100; ап =^~ = (х, -137)|0 =-137;
дх2 0
а,3 = -70; а,4 = (х3 — 118)| 0 =-118; а2| = 18; а22 = 23; а23 = 7,7;
а24 = 23; о3, = 24; а32 =34; «33 =20; а34 = 27; а41 = 41;
а42 = 58; а43 = 32; = 35.
Следовательно, в данном случае матрица состояния системы
первого приближения
п
" Эх,
279
-100 -137 -70 -118
18 23 7,7 23
А = (8.26)
24 34 20 27
41 58 32 35
Характеристический полином этой системы , найденный по
матрице (8.26) с помощью MATLAB, имеет вид
А(р) = йе1(рЕ-А) = р4 + 22р3 +689,2рг + 6ОЗ,4р + 155,1. (8.27)
В соответствии с теоремами Ляпунова об устойчивости по
первому приближению [4. С. 286] положение равновесия нелиней-
ной системы (8.25) является устойчивым (в малом), если характе-
ристический полином (8.27) системы первого приближения (8.5),
(8.26) имеет все коэффициенты строго больше нуля и удовлетво-
ряет какому-либо критерию асимптотической устойчивости.
В данном случае все коэффициенты полинома (8.27) числовые
и положительные, поэтому воспользуемся критерием Рауса (см.
задачу 6.12). Прежде всего составим таблицу Рауса (табл. 8.2).
Таблица 8.2
1 689,2 155,1
22 603,4 0
689,2= 661,8 22 155,1 — г, =1/22
603,4 -155,1 • 0,03324 = 658,2 0 — г2 =0,03324
155,1 г3 = 1,0055
Так как все элементы первого столбца положительны, то кри-
терий Рауса удовлетворяется. Следовательно, положение равнове-
сия .V = 0 рассматриваемой нелинейной системы (8.25) асимптоти-
чески устойчиво в малом.
Примечание. Матрицу А системы первого приближения можно
вычислить в MATLAB, объявив символьный режим.
% команды:
syms xl х2 хЗ х4
f=[xl*(х2-100)-137*х2-70*хЗ+х4*(хЗ-118)
18 *xl+x2*x3+23 *х2 +7.7 *хЗ+х4 *(хЗ+23)
24*(xl+x2)+10*(х2+2*хЗ)+27*(х4+х4*хЗ)
280
41*х1+х3*х4+58*х2+32*(хЗ+х4)+3*х4];
v=£xl, х2, хЗ, х4];
% вычисление якобиана
R=jacobian(f,v)
R =
[ Х2-100, xl-137. -70+х4, хЗ-118]
[ 18, хЗ+23, х2+77/10+х4. хЗ+23]
( 24, 34, 20+27*х4, 27+27*хЗ]
£ 41, 58, х4+32. хЗ+35]
% вычисление матрицы А путем подстановки численных значений
% координат особой точки
A=subs(R,v,{0,0,0,0})
- результат:
-100 -137 -70 -118
18 23 7.7 23
24 34 20 27
41 58 32 35
8.19. Найти критическое значение коэффициента усиления К не-
линейного усилителя системы, которая описывается уравнениями
<4)
0,05 у + 0,15у + 0,8у +1,2у = К aretgiy.), г — g — у.
Решение. Дифференцируя нелинейность Karctg(y) по е и
полагая g = 0, т. е. Е = — у, получим дифференциальное уравнение
первого приближения данной системы
(4)
0,05 > ч-0,15у + 0,8у +1,2у + Ку = 0.
Его характеристическое уравнение имеет вид
0,05// + 0,15р3 + 0,8р2+1,2р + Л' = 0.
Так как один из коэффициентов этого уравнения неизвестен,
то для решения задачи удобно воспользоваться критерием Гурви-
ца. С этой целью составляем матрицу Гурвица
0,15 1,2 0 О'
0,05 0,8 К 0
0 0,15 1,2 0
0 0,05 0,8 К
и находим её определители
281
Д, =0,15;
Д2 = det
0,15
0,05
1,2
0,8
= 0,06;
0,15 1,2
А3 = det 0,05 0,8
К =1,2 0,06-0,152К;
0 0,15
1,2
О
Д4 = К Д3.
Необходимое условие критерия Гурвица выполняется при К > 0.
С другой стороны, Д3 > О при К < 3,2. Следовательно, Ккр = 3,2.
8,20. Оценить устойчивость положения равновесия х = 0 сис-
темы, заданной уравнениями
X, = Х,Х2 + х2,
2 2
Х2 = Х,Х3 + Х3 + X, ,
х3 = 2х,х, — 8х, — х2х3 - 6х2 — 12х3.
Решение. По формулам (8.5), (8.6) построим систему первого
приближения:
= Х2|о=О» °12=Т~“ =(*) +1)|о "1»
о - о
_Э/,(х)
°" Эх,
о32 =(2х, — х3 -6)|0 =-6; а33 =(-х2 —12)|0 =-12.
Вычисление в MATLAB:
syms xl х2 хЗ
f=[xl*x2+x2; х1*хЗ~2+хЗ+х2Л2;
2*х1*х2-8*х1-х2*хЗ-б*х2-12*хЗ];
v=[xl, х2, хЗ];
R=jacobian(f, v)
A=subs(R,v,{0,0,О})
- результат
А = О 1 О
0 0 1
-8 -6 -12
282
Следовательно, система первого приближения имеет вид
О 1 О
х= О О
-8 -6 -12
Матрица состояния этой системы имеет форму сопровождаю-
щей (2.23), поэтому ее характеристический полином записывается
непосредственно по последней строке матрицы
Л(р) = р3+12р2+6р + 8. (8.28)
В данном случае степень полинома А(р) равна трем, поэтому
можно применить критерий Вышнеградского, по которому линейная
система х = Ах с характеристическим полиномом
А(р) = а3р3 +а2р2 +а{р + а0, (8.29)
где все а; > 0, является устойчивой, если
a2at>a3a0. (8.30)
Характеристический полином (8.28), очевидно, удовлетворяет
условию (8.30), следовательно, положение равновесия х = 0 за-
данной нелинейной системы асимптотически устойчиво в малом.
8.21 . Исследовать методом первого приближения устойчи-
вость положения равновесия х = 0 систем, свободное движение
которых описывается уравнениями:
8.21.1* x + 5sinx = 0.
8.21.2* 0,lx + 2x|x| + 4(gx —0, |х|<л/3.
8.21.3* LC и + [Т?С - М 5(w)]w + и = 0. Здесь и — напряжение лам-
пового генератора электрических колебаний; 5(и) — крутизна ха-
рактеристики лампы (дифференцируемая функция).
. 1 (4) 01 „ (3)
8.21.4 —- P+(j^-+2,510-4) Р+(1+2,510-5)р+0,1Р+0,8Р = 0.
Здесь р —угол прецессии гироскопа [15. С. 330].
283
8.21.5*. Исследовать методом первого приближения характер осо-
бой точки и =0 генератора колебаний, который описывается
уравнениями
Wj = СОо W2 - ---W ) > Й’2 = -“о и’| >
при цу > 2С00 и при цу < 2го0.
8.22 *. Исследовать методом первого приближения устойчи-
вость особых точек 01(0, 0) и О3(3, 3) системы, рассмотренной в
задаче 8.1.
8.23*. Структурная схема системы управления рулями высоты
ЛА приведена на рис. 8.11.
Z(v) =
Рис. 8.11. Система управления рулем высоты ЛА
Нелинейность описывается выражениями
M<v»>
va
Zasignv, H>v0,
где va = 0,7; Zo = 0,8. Найти значения коэффициента передачи
корректирующего звена, допустимые по условию устойчивости
положения равновесия в малом.
8.24 *. Исследовать методом первого приближения устойчивость
особых точек системы уравнений Лоренца, рассмотренной в задаче
8.15, с указанными значениями параметров: G = 10, г = 28, Ь = 8/3.
8.25 *. Найти положения равновесия системы Рёсслера
х, = -(л । + х3), х2 = X] + 0,25х2 + х4,
х3 = 3 + х,х3, х4 = 0,05х4 - О,5х3,
и исследовать их устойчивость методом первого приближения.
284
8.4. Анализ устойчивости
методом функций Ляпунова
8.26. Оценить устойчивость положения равновесия и° =[и{ »ь],
где vvf ^2, и*2 = 1, системы
v'v. = —3(IV. - 2)3 - 6 + 6w,,
1 1 , 2Ч (8.31)
и-, = 6 - Зи’| - (w, -1)3
методом функций Ляпунова.
Решение. Для решения данной задачи указанным методом
прежде всего находятся уравнения заданной системы в отклонени-
ях. С этой целью обычно полагают
х, = v'v, - w° = ф; (и ) — ф, (vv°) = ф. (х + и’°) — ф, (и’°) = fj (х), i = 1, и
или
x = f(x),
(8.32)
где
/(*) =
фДх + и’^-фДи/') /Дх)
Ф„(х+^°)-фп(и’°) f„(x)
Здесь и'° — вектор, компонентами которого являются коорди-
наты исследуемой особой точки (положения равновесия) или не-
возмущенного (эталонного, расчетного) движения.
При этом, очевидно, всегда выполняется условие
/(0) = 0. (8.33)
Уравнение (8.32) — это векторная форма уравнений иссле-
дуемой системы в отклонениях.
Далее находится положительно определенная [3. С. 307]
функция И(х), зависящая от всех переменных xi, хг,..., х„ системы в
отклонениях (8.32). Эту функцию желательно найти так, чтобы её
производная по времени вдоль траекторий системы (8.32), т. е.
функция
й(х) = ^1/1(х) + ^/2(х) + ... + ф^/„(х), (8.34)
C/Xj CZX-)
была бы знакоопределенной.
285
Если это удаётся сделать, то такая функция И(х) называется
функцией Ляпунова для системы (8.32). При этом если Й(х) будет
отрицательно определенной при всех х, то положение равновесия
х - 0 системы (8.32) является асимптотически устойчивым в целом.
Если же Й(х) будет положительно-определённой хотя бы в
некоторой области, включающей точку х = 0, то положение рав-
новесия х = 0 будет неустойчивым.
Если же Й(х) будет отрицательно-определенной не при всех
х, а лишь при х, принадлежащих некоторой замкнутой области
£2Л, включающей точку х = 0, т. е. Й(х) < 0 только при xeQ, и
х- Ое Qv, то положение равновесия х = 0 является асимптотиче-
ски устойчивым в большом.
Отметим, что область Qr0 начальных условий х0, при кото-
рых решение х(/,х0) системы (8.32) не выходит из области йд,
где Е(х) > 0, а V(х) < 0, называется областью притяжения поло-
жения равновесия х — 0.
Возвращаясь к решению задачи 8.26, где wf = 2, a w°2 = 1, по-
ложим X] - W| — 2; х2 = w2 — 1, поскольку п = 2. Тогда уравнения
в отклонениях (8.32) заданной системы (8.31) примут вид
х, = 6х2 - Зх,3,
х2 =-Зх, — х2.
Функцию У(х) возьмем в виде И(х) = х12 +2х2. Ее производ-
ная по времени вдоль траекторий системы (8.35), согласно (8.34),
определяется выражением
V(х) = 2xj (6х2 - Зх3) + 4х2 (-Зх( - х3) = ~(6xf + 4х2 ).
В данном случае Й(х) < 0 при всех х. Следовательно, в соот-
ветствии с теоремой Ляпунова об асимптотической устойчивости
[4. С. 293] положение равновесия (wf =2, и'2 =1) системы (8.31)
является асимптотически устойчивым в целом. Этот вывод под-
(8.35)
286
тверждается и фазовым портретом данной системы, приведённым
на рис. 8.12.
Рис. 8.12. Фазовый портрет системы (8.31)
8.27. Установить, какому дополнительному условию должна
удовлетворять нелинейность /о (х2 ), чтобы положение равновесия
х = 0 системы
х. = -5х. + 3/О(х7),
. о ° 7 (8.36)
х2 = -2х, -/о(х2),
где /„ (х2) такова, что
х2 *2
|ЛОМ>0 и Кт Й)^ = оо, (8.37)
являлось асимптотически устойчивым в целом.
Решение. В данном случае система содержит линейную часть
и одну нелинейность, которая удовлетворяет условиям (13.24) из
[4. С. 301]. Поэтому функцию К(х) можно взять в виде
Г(х) = х,7р]/Ж-
о
где Р>0. В силу условий (8.37) данная К(х)>0 при всех х. Её
производная по времени вдоль траекторий системы (8.36)
Ё(х) = 2х1х1 +Р/О(х2)х2 =
287
= 2х1 (-5х, + ЗЛ (х2)) + р/, (х, Х-2х, - /0 (х2)) =
= -10xf + (6-2р)х,/0(х2)-р/02(х2). (8.38)
Отсюда следует, что при Р = 3 функция V(х) не может принимать
положительных значений. Однако условиям (8.37) может удовле-
творять и функция /„ (х2) = 0 при некоторых х2 Ф 0. При этом
функция
Й(х)=-10х2-3/о2(х2) (8.39)
будет отрицательно полуопределенной. Устойчивость положе-
ния равновесия в этом случае можно установить с помощью тео-
ремы Барбашина-Красовского.
В соответствии с этой теоремой положение равновесия систе-
мы (8.32) будет устойчивым в большом, если К(х)>0,
lim F(x) = оо, а V(х) < 0 и обращается в нуль лишь на множестве
Л—
точек, не являющихся решениями исследуемой системы.
В рассматриваемом случае, если /о(х2) = 0 при некоторых
х2 ^0,то Й(х) = 0 (8.39) при х, = 0 и х2 =xj/0. Подставляя эти
значения в уравнения системы (8.36), получим Х| =0, х2=0.
Следовательно, если /о(х2) = 0 при некоторых х2 Ф 0, то условия
теоремы Барбашина-Красовского не будут выполняться.
Таким образом, положение равновесия х = 0 системы (8.36)
является асимптотически устойчивым в целом, если выполнены
условия (8.37) и /о(х2) * 0 при всех х2 Ф 0.
8.28. Исследовать устойчивость положения равновесия системы,
свободное движение которой описывается уравнением [17. С. 335]
j + G-|j|)j + y = O. (8.40)
Решение. Прежде всего представим уравнение (8.40) в пере-
менных состояния, полагая Xj = у, х2 = у. В результате получим
X, = х2, х2 = -х, —(1—|х, |)х2. (8.41)
Возьмем простейшую К(х) = х2+х2 >0. Ее производная по
288
времени вдоль траекторий системы (8.41)
V(х) = 2 л, X] + 2х2х, = 2х,х, + 2х2 (-х, - (1 - |х, |х2))=-2(1 - |х, |)х2.
Эта функция при всех -1 < X] < 1 и любых х2 является отри-
цательно полуопределенной, так как обращается в нуль при
X] - х2 = 0, а также при х, Ф 0 и х2 = 0. Все последние точки не
являются решением системы (8.41), в чем легко убедиться, подста-
вив эти значения х, # 0 и х2 =0 в уравнения (8.41). Однако, по-
мимо указанных точек, полоса -1 < х( <1 может включать точки
циклов рассматриваемой системы, которые также являются реше-
нием системы (8.41). Так как определение последних затрудни-
тельно, то определить область устойчивости рассматриваемой сис-
темы с помощью данной функции Ляпунова и теоремы Барбаши-
на—Красовского достаточно сложно.
Можно лишь утверждать, что в силу теоремы Барбашина-
Красовского положение равновесия у = у = 0 системы (8.40) явля-
ется асимптотически устойчивым в области -1 < у < 1, | jj < т, где
т — некоторое число. Его значение можно установить дополни-
тельными исследованиями.
Размер области устойчивости системы (8.40) вдоль оси Х| = у
можно увеличить, если ввести переменные состояния по-другому
У
[17]. Пусть х, = у по-прежнему, а х, = у+ j(l-|^|)t/^. Их произ-
о
водные по времени
i, =у = х2- |(1-|ф^,а х2 = у + (1 -1у|)у.
о
Подставляя во второе равенство выражение для у из уравнения
(8.40), получим
х2 = -(1 - |у|у - у + (1 - |у|)у = -у = -X,.
Итак, уравнению вход-выход (8.40) можно поставить в соот-
ветствие и такие уравнения в переменных состояния:
ю— 1607
289
х, = х2 - J(1 -, х2 = -х,. (8.42)
о
Производная по времени той же функции V(х) = х* + х2
вдоль траектории системы (8.42) описывается выражением
К(х) = 2х,(х2 - {(1-|ф^)-2х2х, =-2х, |(1-|фл^.
О о
Произведение
*1 |(1-|ф^ = х|<х| ~zl)’
о
где
h^=|x12, х,>0,
о
-J^ = -|x,\ х,<0.
Следовательно,
О
Й(х) =
- 2*i (* “ х'2 ) = -х'2 <2 “ xi)«
- 2Х| (х, + х2) = -х2 (2 + х,),
Х| >0,
X, <0.
Полученная функция также является отрицательно полуопре-
деленной, поэтому аналогично предыдущему случаю, заключаем:
что на самом деле положение равновесия у = у - 0 системы (8.40)
является асимптотически устойчивым при всех - 2 < у < 2 и
|ji] < т. Таким образом, условия устойчивости, устанавливаемые с
помощью функций Ляпунова, зависят как от выбранной функции
V(х), так и от уравнений системы в переменных состояния.
Действительная область притяжения системы (8.40) легко оп-
ределяется (поскольку порядок системы равен двум) по фазовому
портрету, который построен в MATLAB и приведен на рис. 8.13.
Как видно, область притяжения ограничена неустойчивым
циклом и включает отрезки оси Х| = у как -1 < у < 1, так и —2< у <2.
290
Рис. 8.13. Фазовый портрет системы (8.40)
8.29 . Исследовать устойчивость положения равновесия систе-
мы, схема которой приведена на рис. 8.14. Построить её фазовый
портрет.
Рис. 8.14. Структурная схема нелинейной системы
Решение. Непосредственно по схеме запишем уравнение рас-
сматриваемой системы
х = -х3 - (1 + |х|) sin х
или
х + (х)3+(l + |x|)sinx = 0. (8.43)
Если обозначить (х)3=ф(х), (1 + |х|) = g(x), sinx = /(x), то
уравнение (8.43) по форме будет совпадать с уравнением, для ко-
торого Е. А. Барбашиным разработан метод построения функций
Ляпунова (метод деления переменных [4. С. 303]).
291
Чтобы построить функцию Ляпунова методом Барбашина сна-
чала записывается эквивалентная уравнению (8.43) система
х = у, у = -у3 - (1 +1у|) sin(x). (8.44)
Для этой системы функция К(х j') и её производная Й(х, у) опре-
деляются выражениями
Й(х,у)=-у^4, (8.45)
о о g(j)
где обозначено у = х. Подставляя в эти выражения функции из
(8.43) в соответствии с указанными обозначениями, будем иметь
^(Aj)= Jsin^J^+J-
О о
1 + |^| signt,d^ = d z
= (cosx-l) + [(l + |y])-ln(l+|y|)].
Йх,у) = -Ут27~1=—
tyzdz
= (cosx-l)+ f-----=
oJl + z
(8.46)
(8.47)
Построенная функция K(x,y) (8.46) является положительно оп-
ределенной при всех |х| < 2л, так как величина а - In а > 0 при всех
а>0. При этом Й(х,у) (8.47) является отрицательно полуопреде-
ленной, так как обращается в нуль и в точках, где х 0, а у = 0.
Рис. 8.15. Фазовый портрет системы (8.44)
292
В данном случае из теоремы Барбашина-Красовского вытека-
ет асимптотическая устойчивость положения равновесия системы
(рис. 8.14), описываемой уравнением (8.44), лишь в некоторой об-
ласти, включающей это положение равновесия. Эта область может
быть определена по фазовому портрету рассматриваемой системы,
приведённому на рис. 8.15.
8.30 *. Исследовать устойчивость положения равновесия сис-
темы, динамика которой описывается [17. С. 332] уравнениями
х, = х2 + х((х2 + х2),
х2 = -х, + х2 (х2 + х2 ),
с помощью функции V(х) = х2 + х2.
8.31 *. Исследовать с помощью функции У(х)=х* + 2х2 устой-
чивость положения равновесия системы, схема которой [17. С. 329]
приведена на рис. 8.16.
Рис. 8.16. Структурная схема системы с кубической нелинейностью
8.32 *. Исследовать методом функций Ляпунова устойчивость
положения равновесия (0; 0) системы, схема которой приведена на
рис. 8.14, если звено с характеристикой 1 +|х] заменить звеном
0,5 + х2 . Построить её фазовый портрет.
8.33 . Оценить устойчивость положения равновесия управляе-
мой системы, динамика которой описывается уравнением
293
-6
1
о
-10
о
1
-3
1,5
1
0,8
[w(x) + q>(x)]
о
о
причем управление и-и(х') и неопределенная нелинейность <р(х),
удовлетворяют условиям
|ф(х)| < 2-Jx, +Xj + xf ; г/(х) =
0,
-ЗЦ.ф^и(хгР/>),
xTPb = 0,
xTPb*0.
В указанном законе градиентного управления и(х) (см. [4.
С. 316-319]) используется матрица Р, которая является решением
уравнения Ляпунова
АТР+РА = -С, (8.49)
где А — матрица состояния заданной системы, а С = Е.
8.34 .* Найти расчетное (при отсутствии возмущений) верти-
кальное движение тела, брошенного под углом к горизонту и ис-
следовать устойчивость этого движения. Изменение высоты поле-
та h = А(/) тела описывается уравнением
А' + к h + g = i|/, (8.50)
причем Л(0) = 0, А(0) = v0 sin а. Здесь к — коэффициент сопро-
тивления движению тела в воздухе; g — ускорение свободного
падения на поверхности Земли в точке бросания; v0 и а — на-
чальная скорость и угол бросания; у — возмущение, вызванное
непредвиденными изменениями состояния среды.
Указание. Записать уравнения возмущенного /?(/) и невозмущенного
11° (/) движений тела (8.50) в форме (8.2), а затем вывести уравнение дви-
жения в отклонениях х(/) типа (8.32), полагая Л(/) —А°(/) + х(/) см. [4.
С. 283-286] илн задачу 8.26.
8.35 *. Динамика управляемой нелинейной системы автоматиче-
ского управления описывается системой уравнений
294
О
О
-10
1
О
-8
[l/(x) + ф(х)] ,
и управление и — п(х) определяются сле-
где нелинейность ф(х) i
дующими выражениями:
|ф(х)|<ф|| ; w(x)=
О, хтРЬ=О,
— 12|xj|.wgw(xrPZ>), xTPb*Q.
В законе градиентного управления и(х) используется матрица
Р, которая является решением уравнения Ляпунова (8.49), где А —
матрица состояния заданной здесь системы, а С = Е.
Найти максимальное значение параметра р из ограничения на
нелинейность ф(х), при котором положение равновесия асимпто-
тически устойчиво в целом.
8.5. Исследование абсолютной устойчивости
8.36. Оценить абсолютную устойчивость следящей системы,
схема которой приведена на рис. 8.17.
Рис. 8.17. Система с неопределенной нелинейностью
В этой системе нелинейность /(о) принадлежит классу [0; 2],
т.е. 0<(/(о)/о)<2,а
W. (р) = —------т---------------------. (8.51)
/ +1,25р3 + 77,4р2+44,5р + 1225
Определить также критическое значение ккр параметра к класса
[0; £] допустимых нелинейностей.
295
Решение. Если линейная часть нелинейной системы
(рис. 8.17) является стабилизируемой, и степень числителя
меньше степени её знаменателя, т. е. lim И7, (7со) = 0, а нелиней-
со—
носгь /(о)е[0;А], где к<°°, то для исследования абсолютной
устойчивости удобнее всего применить графический вариант кри-
терия В.М. Попова. Для этого необходимо:
1. Выделить вещественную и мнимую части IF, (у®), т. е.
представить её в виде
ГК,(7®) = Р(ш) + 7С(®). (8.52)
2. Записать функцию Попова
^„(7W) = ЭД + 7co(?(co). (8.53)
3. Найти частоту (0п из уравнений
(2(со) = О или 1т{ЗнИл,(7со)} = О. (8.54)
4. Построить на комплексной плоскости годограф Попова, в
окрестности частоты соп, т. е. при соп - Wj < го < сол + со,.
5. Через точку провести прямую Попова так, чтобы
весь годограф Попова, соответствующий изменению частоты со от
нуля до °°, полностью располагался справа от этой прямой.
Рис. 8.18. Невыпуклые годографы н прямые Попова (к < к' < к" )
Если прямую Попова можно провести указанным образом
(прямая 1, рис. 8.18,а), то исследуемая система является абсолют-
но устойчивой. Если же провести прямую Попова указанным об-
296
разом нельзя (прямые 2 и 3 на рис. 8.18,я), то критерий Попова не
выполняется, и установить, является ли система абсолютно устой-
чивой или не является, нельзя, так как этот критерий является до-
статочным.
Точка пересечения с отрицательной вещественной полуосью
касательной кп, проведенной к наиболее выпуклым частям годо-
графа Попова (рис. 8.18,6), определяет максимальное значение па-
раметра к класса нелинейностей [0; £], при котором уже не вы-
полняется критерий Попова. Поэтому, если /„ — это расстояние
от точки пересечения касательной кп с отрицательной веществен-
ной полуосью (—°°, 0) до начала координат (см. рис. 8.18,6), то
коэффициент
^.„=р (8-55)
41
называется критическим коэффициентом абсолютной устойчивости.
Если годограф Попова является выпуклым, то отрезок /„ ра-
вен реальной части комплексного коэффициента передачи линей-
ной части на частоте со„, т. е. /п:=|^’(7ю>г)|- Это всегда имеет ме-
сто, если линейная часть нелинейной системы удовлетворяет сле-
дующему структурному условию:
линейная часть системы (рис. 8.17) эквива-
лентна последовательному соединению любого
числа устойчивых инерционных и (или) колеба- \ (8.56)
тельных звеньев с ^>-/2/2, и не более одного
интегрирующего звена.
Таким образом, если линейная часть удовлетворяет условию
(8.56), то критические значения параметров нелинейной системы
(рис. 8.17) можно определять из уравнения
ккип = 1 ,. (8.57)
р И,(М)|
Практически это означает, что при выполнении условия (8.56)
для решения задачи об абсолютной устойчивости системы (рис. 8.17)
297
достаточно найти частоту сол, т. е. записать и решить второе уравне-
ние (8.54); затем вычислить /п =|RePK7(jcon)| и сравнить полученное
значение с величиной 1 / к. Фактически, это соответствует примене-
нию критерия Найквиста к исследованию абсолютной устойчивости.
Переходя к исследованию абсолютной устойчивости системы,
схема которой приведена на рис. 8.17, а передаточная функция
1К7(р) определена выражением (8.51), отмечаем, что структура
линейной части не задана. Поэтому воспользуемся общей формой
критерия Попова. В данном случае
Л 100
(/со) = —----------------------------------.
со4 -1,25усо3 - 77,4со2 + 44,5 усо+1225
Следовательно, умножая числитель и знаменатель на ком-
плексно-сопряженное число
(1225 - 77,4со2 + со4) - у(44,5со- 1,25со3),
получим
100(1225-77,4со2 +со4)
(1225 -77,4со2 + со4)2 + (44,5со- 1,25со3)2 ’ ' ’ 7
-100(44,5со-1,25со3)
(1225 -77,4со2 + со4)2 +(44,5со-1,25со3)2 ’
Так как 1т{Зн1Т,(усо)} = 44,5со-1,25оэ3, то, подставив это вы-
ражение во второе уравнение (8.54) и решив его, найдем частоту
сол = 744’5/1»25 = = 5,967 .
Для построения JKJyco) по формуле (8.53) с учетом (8.58) и
(8.59) целесообразно применить MATLAB. Полученный в резуль-
тате годограф Попова при изменении частоты со от 2 до 7 приве-
ден на рис. 8.19.
Как видно, точка с координатами (0;-1/А) = (0; —0,5) нахо-
дится внутри годографа Попова, т. е. прямую Попова провести так,
чтобы выполнялся критерий Попова, в данном случае невозможно.
Следовательно, рассматриваемая система не является абсолютно
устойчивой.
298
Согласно рис. 8.19, длина отрезка /п =0,78, поэтому из фор-
мулы (8.55) находим ккр п = 1,282.
8.37. Найти критическое значение Клкр коэффициента пере-
дачи Кл линейной части системы (рис. 8.17), если последняя опи-
сывается передаточной функцией
Wn ~ (0,1 р +1)(0,05р +1)(0,5р +1) ’
а нелинейность принадлежит сектору [0; 0,5].
Решение. Передаточная функция линейной части системы и не-
линейность в данном случае удовлетворяют условиям применения
критерия Попова (степень знаменателя больше степени числителя;
знаменатель — гурвицев полином; f (а)е [0; Л], где к < °° ). Кроме
того, линейная часть полная и эквивалентна последовательному со-
единению инерционных звеньев, т. е. выполняется условие (8.56).
Поэтому для решения задачи можно применить формулу (8.57), пола-
гая в ней ккрп = к— 0,5.
С этой целью запишем
0,0025(усо)3 + О,О8(/<о)2 + 0,65(» +1
_____________£-______________
1-0,08(0+7(0,65(0- 0,0025Ю3) ’
299
Следовательно, второе уравнение (8.54) здесь имеет вид
0/0,65 -О,ОО25(о2) = 0 .
Его решение даёт со2 = 260. Подставляя полученные выражения в
формулу (8.57) с учетом ккри —0,5, получим
_ |1-0,08-260|
’ г-
.чкр
Отсюда К 1кр = (-1 + 0,08 - 260)/0,5 = 39,6.
8.38. Оценить абсолютную устойчивость нелинейной системы
(рис. 8.17), в которой f (о) 6 [1,2; 4], а
(0,15р +1 )(0,8р -1)(0,2 р +1) '
Решение. В данном случае линейная часть является неустой-
чивой, поэтому применять непосредственно критерий Попова или
какой-либо другой нельзя.
Для решения задачи, следуя [4. С. 311] или [16. С. 186], охва-
тим линейную часть отрицательной обратной связью с коэффици-
ентом передачи (3=1,2, поскольку нижний угловой коэффициент
сектора, к которому принадлежит заданная нелинейность, кн = 1,2.
При этом схему нелинейной системы можно преобразовать к эк-
вивалентному виду, аналогичному приведенному на рис. 8.16, где
W (р)-—%>.(£)— --------------------,
1 + ₽1Г7(/?) 0,024/?3 + 0,25/?2 + 0,45/? +1,2 • 1,16 -1 ’
а эквивалентная нелинейность
Л(и)е[Ан-р; А'- р] = [1,2 -1,2; 4-1,2] = [0; 2,8].
Так как 0,25 0,45 = 0,1125 > 0,024 • 0,392 - 0,0094, то линейная
часть эквивалентной системы, согласно критерию Вышнеградско-
го, устойчива; lim Wn (/со) - 0 при со —> °°,а /э(о)е[0;2,8]. Кро-
ме того, знаменатель передаточной функции Wrj (/?) можно пред-
ставить как произведение: 0,024(/? + 8,4203)(/?2 + 2£соо/? + со^), где
300
(О0 = 1,393, а С, = 0,7165. Отсюда следует, что условие (8.56) вы-
полняется. При этом условие абсолютной устойчивости, согласно
(8.57), принимает вид
|RelK,(7(0n)|<|- (8.60)
При исследовании эквивалентной системы в выражение (8.60)
необходимо подставлять IV1Э (/со). В рассматриваемом случае
1,16
(8.61)
< — или 0,27 < 0,35.
2,8
W(№ =--------------?-----------------т
0,392 - О,25со2 +./(0,45о)-0,024ю’)
Из второго уравнения (8.54) с учетом (8.61) находим
со2 =18,75 . Так как в данном случае к = 2,8 , то условие абсолют-
ной устойчивости (8.60) примет вид
1,16
0,392-0,25 18,75
Следовательно, критерий Попова выполняется, и заданная не-
линейная система с неустойчивой линейной частью является абсо-
лютно устойчивой.
8.39. Оценить устойчивость нелинейной системы (рис. 8.17),
где /(о)е [-0,4; 1,8], а линейная часть описывается передаточной
функцией
^(Р)=-Г------
р2+Зр + 25
(8.62)
Решение. Так как нижний угловой коэффициент сектора, ко-
торому принадлежит нелинейность, является отрицательным, то
для исследования абсолютной устойчивости целесообразно при-
менить круговой критерий Воронова. Этот критерий применяется,
если при замене нелинейности (рис. 8.17) линейной характе-
ристикой цо, получающаяся линейная замкнутая система будет
устойчивой при всех Zr2] (условие Айзермана).
При выполнении этого условия нелинейная система (рис. 8.17)
будет абсолютно устойчивой, если годограф fV^Jai) при всех
301
0<со<о° не будет заходить в запретную область в виде круга, как
показано на рис. 8.20,а.
Отметим, что центр указанного круга всегда располагается на
вещественной оси в точке
/(.=-0,stA'-1+*;'), (8.63)
а его радиус гс - 0,5|^|-1 — А?11.
Приведенные на рис. 8.20,а годографы РКД/со) и ГР, (уш) соот-
ветствуют абсолютно устойчивым нелинейным системам с нелиней-
ностью f (а)6 [А|; к2], если выполняется условие Айзермана.
Рис. 8.20. Запретные области кругового критерия
Переходя к решению рассматриваемой задачи 839, прежде все-
го, проверим, выполняется ли условие Айзермана. Если в системе
(рис. 8.17) с передаточной функцией линейной части (8.62) нелиней-
ность /(о) заменить функцией /'=ро, то передаточная функция
получившейся линейной замкнутой системы будет иметь вид
W (р) = —-------.
8 рг +3/? + 25 + 15р
Наиболее “опасным”, с точки зрения потери устойчивости
замкнутой системой, в данном случае является значение р = -0,4,
при котором 1¥^(р)— -б/(р2 +Зр + 19). Следовательно, и при
всех других значениях ре [-0,4; 1,8] замкнутая линейная система
302
будет устойчивой, т. е. в рассматриваемом случае условие Айзер-
мана выполняется.
Переходя к построению запретной области, заключаем, что
поскольку kt - -0,4 < 0, а к2 = 1,8 > 0, то? согласно (8.56),
/£ =0,5(-0,556+2,5) = 1,875>0. При этом запретной областью для
годографа 1К7(/со) становится [4. С. 315] внешняя область круга
радиусом гс = (2,5 + 0,556)/2 = 1,528, как показано на рис. 8.20,6.
На этом же рисунке приведен годограф 1F7(joj), построенный по
(8.62) при р = j(£) с помощью MATLAB.
Как видно, годограф не заходит в запретную область, следова-
тельно, рассматриваемая нелинейная система (рис. 8.17) с
/(о)е[-0,4; 1,8] и ^(р) (8.62) абсолютно устойчива.
8.40. Оценить абсолютную устойчивость системы (рис. 8.21),
где /(и)е[0,3; 4].
Рис. 8.21. Нелинейная система с параллельными связями
Решение. Передаточная функция параллельного соединения
звеньев в данной системе определяется выражением
Ил(р) = 1+ 5_= Р2+1.Р.. = -РЛ1_,
с р рг+2р р\р+2) р2 + 2р
Как видно, числитель и знаменатель передаточной функции
lL.(p) имеют сокращающийся множитель р. Поэтому линейная
часть системы (рис. 8.21) является неполной, а поскольку полюс
неполной части не левый, то эта система не является стабилизи-
руемой и не может быть абсолютно устойчивой.
8.41 *. Оценить абсолютную устойчивость системы (рис. 8.17),
где /(о)б[0; 1,1],
303
25
>Мр) = 5 4 3 2
р5 +2,2р4 +75,7р3 + 122р2 + 1269р +1220
8.42 *. Оценить абсолютную устойчивость системы (рис. 8.176)
при /(g)g[0; 0,5] и
5
W\p)= , --------------.
(р2+2р + 5)(р2+8р + 25)
8.43 *. Найти критическое по критерию Попова значение угло-
вого коэффициента к для системы (рис. 8.17), где /(о)е [0; к], а
2,5
1К,(р) = > -----5-----------
(р2 + 7p + VZ)(p2 + 6р + 36)
8.44*. Найти критическое по критерию Попова значение угло-
вого коэффициента передачи К., системы (рис. 8.17), если
/(с)е [0,5; 5], а
р2 +8р' +1р
8.45 *. Найти критическое значение кКрп углового коэффици-
ента к сектора [1,7; Л], если в системе (рис. 8.17) /(о)б [1,7; А], а
12
W1(P) = ———---------.
(р2+8р + 10)р
8.46 *. Исследовать на абсолютную устойчивость систему
(рис. 8.21), заменив в ней параллельное соединение звеньев одним
звеном с W(р) = 5/(р + 2) и полагая /(о) € [0; 4].
8.47 *. Исследовать абсолютную устойчивость системы
(рис. 8.17), где
О, |о|<0,5,
Ssign о, |о| > 0,5,
/«*)=
а
0,15
₽Г,(р) =
(0,1р + 1)(0,2р + 1)(0,8р + 1)
304
8.48 *. Построить годограф Попова и найти критическое зна-
чение к углового коэффициента к сектора [0; А] по условию
критерия Попова, если в системе (рис. 8.17) /(о)е [0; А], а
/?4+1,2/?+74/?’+44/?+1225
8.6. Исследование робастной устойчивости
8.49 . Исследовать робастную устойчивость системы, если ее
интервальный характеристический полином определяется выра-
жением
D(p) = [0,05; 0,06]/?3 +[0,35; 0,4]/?2 +[1,2; 1,35]/?+[7,1; 7,9]. (8.64)
Решение. Если характеристический полином линейной дина-
мический системы с постоянными параметрами является интер-
вальным, то оценить устойчивость такой системы можно с помо-
щью критерия В. Л. Харитонова [4. С. 107].
В общем случае интервальный полином имеет вид
D(P)=[8„; 8„]/?и + [8„_,; 8„-> ]/?"-' +... + [8>; 8, ]/?+[80; 8« ], (8.65)
где 8,, 8, — нижняя и верхняя граница интервала чисел, в кото-
ром находится действительное значение постоянного коэффициен-
та 8,-, z = 0, п.
Для исследования устойчивости систем с характеристическим
полиномом (8.65) с помощью критерия Харитонова необходимо
сначала построить четыре полинома Харитонова А1(/?)^-А’4(/?)
следующим образом:
Л|(/?) = 8о + 8i/? + 82p2 +83/?3 +б4/?4 + ...,
А2(/?) = 80 + 81/?+52/?2+8з/?3+84/?4 + ..., (g
/?3(/?) = 8о +8t/? + 82/?2 +8з/?3 +&»/?4 + ...,
+ 83/?3 + 84/?4 +....
305
Подчеркнем, что степени всех полиномов h ,(р), i = 0,4 одинако-
вы и равны степени полинома D(p) (8.65).
Если все четыре полинома Харитонова (8.66) удовлетворяют
какому-либо критерию устойчивости, то система с характеристи-
ческим полиномом (8.65) является робастно устойчивой, т. е. она
будет асимптотически устойчивой при любых постоянных значе-
ниях коэффициентов из указанных интервалов [5,: 5, ], i = 0, п .
В заданном случае полиному (8.64) соответствуют следующие
полиномы Харитонова
Л, (/?) = 7,9 + 1,35/? +0,35 р2 +0,05/?3,
h2 (/?) = 7,1 +1,2/? + 0,4 р2 + 0,Об/?3,
Л3 (/?) = 7,9 +1,2/? + 0,35/?2 + 0,06 /?3,
Л4 (/?) = 7,1+1,35/? + 0,4 р2 + 0,05 р3.
Так как степень полиномов h ,-(р) равна трем, то для исследо-
вания их устойчивости удобнее всего применить критерий Выш-
неградского:
Л|(р): 1,35 • 0,35 = 0,4725; 7,9 • 0,05 = 0,395 —устойчив,
h2 (р) : 1,2 • 0,4 = 0,48; 7,1 • 0,06 = 0,426 — устойчив,
h2(p): 1,2 • 0,35 = 0,42 ; 7,9- 0,06 = 0,474 — неустойчив.
Так как полином h2(p) — неустойчив, то Л4(р) можно не
проверять, а сразу сделать вывод, что в соответствии с критерием
Харитонова, рассматриваемая система с характеристическим по-
линомом (8.64) не является робастно устойчивой.
8.50 . Оценить робастную устойчивость системы с расчетным
характеристическим полиномом
О(р) = 5р3 + 10р2 + 20р + 25, (8.67)
если его коэффициенты реализованы с точностью в 3%.
Решение. Чтобы применить критерий Харитонова, необходи-
мо найти границы интервалов коэффициентов. При заданной по-
грешности А в % границы определяются по формулам:
306
8, = О + — )8,„ow, a 5,- = (1 - — )8 ,, (8.68)
где 8/ио„ —номинальное (расчетное) значение коэффициента 8,.
Для полинома (8.67) по формулам (8.68) получим
8о = 1,03 - 25 = 25,75 , 80 = 0,97 25 = 24,25,
81 = 1,03 20 = 20,6, 8t = 0,97 • 20 ,= 19,4,
82 =1,03-10 = 10,3, 8, =0,97-10 = 9,7,
8з = 1,03-5 = 5,15, 83 =0,97-5 = 4,85.
Подставляя эти значения в выражения (8.66) и применяя кри-
терий Вышнеградского к каждому из них, найдем что
й, (р) = 25,75 + 20,6р+9,7 р2 + 4,85 р3 — устойчив,
Л2 (р) = 24,25 +19,4р +10,Зр2 + 5,15р3 — устойчив,
Л3(р) = 25,75 + 19,4р+9,7р2+5,15р3 — устойчив,
/;4(р) = 24,25 + 20,6р+10,Зр2 +4,85р3 —устойчив.
Следовательно, если коэффициенты характеристического
полинома (8.67) реализованы с погрешностью А =3 %, то рассмат-
риваемая система является робастно устойчивой.
8.51 *. Найти связь между коэффициентами расчетного поли-
нома 3-й степени (не интервального, общего вида) и критическим
значением &кр°/о погрешности реализации коэффициентов этого
полинома, если граничные значения интервалов определяются по
формулам (8.68).
Проверить справедливость полученного соотношения путем
оценки робастной устойчивости системы из задачи 8.50 при
А = 0,9А^ и А = 1,1А^.
8.52 *. Оценить робастную устойчивость системы с интерваль-
ным характеристическим полиномом
О(р) = [2; 2,5]р4 +[3; 3,7]/ +[8; 9]р2 +[16; 17,5]р + [12; 13].
Указание. Проверку устойчивости полиномов Харитонова осущест-
вить с помощью MATLAB или Maple.
307
8.53 *. Оценить робастную устойчивость системы с характери-
стическим полиномом
D{p) = р3 + Юр2 + 15р + 130
при реализации его коэффициентов с погрешностью 5% и 3%.
8.54 *. Оценить робастную устойчивость системы с единичной
отрицательной обратной связью, если
ед=---------------------
р р(0,05р + 1)(0,8р + 1)
При этом постоянные времени реализуются точно, а коэффи-
циент передачи 15 с погрешностью а) 5% или б) 15%.
8.55 *. Полагая в системе (рис. 8.16) /(о) = 0,2о, оценить ро-
бастную устойчивость полученной линейной системы с W7(p)
(8.51) при 3 % погрешности реализации всех коэффициентов её
характеристи чес кого полинома.
8.56 *. Оценить робастную устойчивость системы из задачи 8.19,
если её усилитель является линейным, его коэффициент усиления
К = 2,5. При этом все остальные коэффициенты уравнения системы
в разомкнутом состоянии реализуются с погрешностью в 5%.
8.57 *. Используя результат решения задачи 8.51, найти крити-
ческое значение коэффициента усиления Kt по условиям робаст-
ной устойчивости системы из задачи 6.14 при реализации всех его
коэффициентов с погрешностью А = 5 %.
8.7. Исследование автоколебаний
методом гармонической линеаризации
8.58. Найти по условию Гольдфарба критическое значение ко-
эффициента усиления усилителя для релейной следящей системы,
схема которой приведена на рис. 8.22. Параметры нелинейности
Z(v) этой системы: Zn = 5 , va =0,5 .
308
Рис. 8.22. Схема нелинейной системы
Решение. В соответствии с методом гармонической линеари-
зации [4. С. 269] приведем структурную схему заданной системы к
виду, показанному на рис. 8.23.
Рис. 8.23. Приведенная схема нелинейной системы
На рис. 8.23, соответствующем рис. 8.22, передаточная функция
линейной части и нелинейность описываются выражениями:
^,(р) =
1,2/6
0,25р3 + 1,25р2 + р
ад=
О, |%|<хя,
Z signx,|х|>.хо,
(8.69)
где Z„ = 5 , ха = 0,5.
Согласно приложению П.5, коэффициент гармонической линеа-
ризации заданной нелинейности (8.69) определяется выражением
4Z I (х У
= —J1- — (8-70)
и является вещественной функцией. Здесь хт — амплитуда авто-
колебаний.
Соответствующий выражению (8.70) годограф функции
- (хт) располагается вдоль отрицательной вещественной по-
луоси, как показано на рис. 8.24,а.
Как видно, модуль функции -№~}(хт) имеет минимум. Пу-
тем дифференцирования 1Рю(хт) по хт легко установить, что
309
максимум функции И/нэ(хт) или указанный минимум функции
- (*га) ) достигается при х°т = 41ха.
Рис. 8.24. Годографы линейной и нелинейной частей системы
С другой стороны, то значение параметра К, при котором го-
дографы линейной и нелинейной частей системы касаются друг
друга, является, в соответствии с критерием Гольдфарба, критиче-
ским значением, т. е. К = fC.„.
В рассматриваемом случае это касание может произойти лишь
при (0=сол, как показано на рис. 8.24,а. Поэтому критическое зна-
чение К..п уравнения коэффициента усиления К определяется решением <871>
Так как 1 2. К W, О“)= Г ’ (8.72) -1,25со2 + у(со-0,25(о3)
то частота сол определяется решением уравнения
со(1-О,25со2) = О.
Легко видеть, что со2 = 4.
Подставляя численные значения в равенства (8.70) и (8.72),
приведем уравнение (8.71) к виду
310
или
л 0,5у/2
-1,25-4
0,24/^
л-0,5 V2-V2
20
л
20
Отсюда К..п =0,654.
KfJ
8.59. Найти параметры ( хта, ыа ) устойчивых автоколебаний в
системе (рис. 8.22) при К -4Ккр ; проверить выполнимость гипо-
тезы фильтра и оценить значение ошибки Ет, вызванной автоко-
лебаниями.
Решение. Так как К>Ккр, то годографы -И^’(хт) и JP/yco)
пересекаются (см. рис. 8.24,6). При этом значения хи/1, хт2 и ,
соответствующие точке пересечения, определяют параметры (ам-
плитуду хнш и частоту соа ) возможных автоколебаний.
Для определения этих значений воспользуемся уравнением
(8.71) при со=соп = 2, К = 4Ккр = 4 • 0,654 = 2,62 и произвольном
значении хт. В этом случае уравнение (8.71) имеет вид
1,2-2,62 О,157л£
=--------, или , — = 0,6288.
~1,25-4 Jvi-0.25
4-5J1-P
V
Возведем обе части этого равенства в квадрат, освободимся от
знаменателя и введем обозначение х* = q. В результате получим
q2 -16,04069 + 4,01012 = 0.
Решения этого уравнения: q} =0,25404, q2 =15,78656.
Следовательно, амплитуды возможных автоколебаний и их
частота равны: хт{ =^/^7 = 0,504, хя|2 =-^#7 = 3,973 и <оа =2.
311
В соответствии с критерием устойчивости автоколебаний [4.
С. 279] устойчивыми будут автоколебания с хта = 3,973 и
<0о — 2 рад/с, так как в соответствии с рис. 8.24,6 при этой ампли-
туде годограф нелинейности - IV (хт) пересекает годограф ли-
нейной части Ж7( /ю) изнутри вовне.
Для проверки гипотезы фильтра найдем при а> = (0„ и
10 = 2<0о. Подставляя значения ЯГ = 2,62, (х>а=2рад/с и
2о)„ =А рад/с в равенство (8.72) и определяя его модуль, получим
K(j2)| =
1,2-2,62
-1,25-4
= 0,6288,
1,2-2,62
Iff, 0’4)1 = 7----------------------т=
|л 1 |-1,25 16+ /4(1-0,25-16)| 23,324
= 0,1348.
Как видно, амплитуда второй гармоники в 4,66 раз меньше
амплитуды первой, так что гипотезу фильтра можно считать вы-
полненной в первом приближении.
Другими словами, можно считать, что в рассматриваемой не-
линейной системе (рис. 8.22) при К = 2,62 будут наблюдаться
автоколебания с хта = 3,973 и соа = 2 рад/с. Причем эти парамет-
ры имеет переменная x(t) на входе нелинейного звена на схеме,
приведенной на рис. 8.23. В схеме на рис. 8.22 эта переменная
х(/) = v(/) = 3,973 sin(2z + (pa) является выходом линейного звена с
0Л(р) = ЯГ/(0,25р + 1) при К = 2,62 . Поэтому для амплитуд ошиб-
ки Е(/) и переменной v(Z) можно записать равенство
2.62 £„,
J(0,25w)2 + 1
= 3,973.
Отсюда находим, что ошибка системы ен, = 1,7. Это значение в
3,4 раза больше, чем зона нечувствительности релейного элемента
системы.
312
8.60 *. Проверить возможность существования автоколебаний
в системе, схема которой показана на рис. 8.23. При этом нелиней-
ный элемент системы описывается выражением Z(x) = 3signx, а
линейная часть — передаточной функцией
^(р)=
3,3
р3 + 6р2 + 8р
Если автоколебания возможны, то найти их параметры и про-
верить, выполняется ли гипотеза фильтра?
8.61 *. Найти критическое значение коэффициента усиления К
в системе (рис. 8.23), а также соответствующие амплитуду и час-
тоту возможных автоколебаний, если нелинейный элемент имеет
гистерезис и описывается выражением
Z(x)={
х<0,8;
х>0,8;
х > —0,8;
х<-0,8;
х>0,
х>0,
х<0,
х<0,
а линейная часть — передаточной функцией
^,(Р) -------5----—2---------
0,05/? +0,8/? + 2,5р+3
8.62 *. Найти амплитуду и частоту автоколебаний в системе,
рассмотренной в задаче 8.61* при К = 2Ккр . Проверить, выполня-
ется ли гипотеза фильтра.
8.63 *. В системе (рис. 8.23) нелинейный элемент является
элементом с насыщением и описывается выражением
х,
где ха = 12. Линейная часть описывается передаточной функцией
313
12>5
j 2 о / '
/г + 5/2 + 2p + 6
Оценить возможность существования автоколебаний в данной
системе. Если автоколебания возможны, то найти их параметры.
Указание. Коэффициент гармонической линеаризации элемента с
насыщением взять из приложения П.5.
8.64 *. Считая, что в системе на рис. 8.22 релейный элемент
описывается выражением
Z(x) =
О, |х|<0,15;
12sign х, |х| > 0,15,
найти критическое значение коэффициента усиления К усилите-
ля, а также параметры автоколебаний при К = 4Кк/). Сравнить с
результатами, полученными в задачах 8.58 и 8.59.
314
9. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
9.1. Синтез систем с двумерным устройством управления
9.1. Найти уравнения в переменных состояния двумерного
устройства управления с относительной степенью = 1, при ко-
тором система управления объектом
2 41 Г1 1 ГО, 51
х- х+ и+ f, (9.1)
3 6j [13 J [0,3j
у = [0,5 2]х (9.2)
обладает астатизмом второго порядка к задающему воздействию g и
первого порядка к возмущению f При этом время регулирования по
задающему воздействию должно быть /* < 1,5 с, а перерегулирование
не более 10 %. Отклонение £ = g —у и управляемая переменная у
измеряются, а возмущение f и воздействие g не измеряются.
Решение. Для решения задачи воспользуемся аналитическим
методом синтеза двумерных устройств управления (ДУУ) по же-
лаемым показателям качества, изложенным в книге [4. С. 206-213].
Следуя [4], найдём по (9.1) и (9.2) с помощью MATLAB (см.
задачу 4.11) полиномы: 2?(/?)=р~|/?о(р) = 3,1(р+0,129),
Л(р) = р2-8р, Я(р) = 0,85р + 0,9 из уравнения вход-выход за-
данного объекта
A(P)y(P) = B(P)u(P) + H(P)f(P). (9.3)
В данном случае нули полинома А(р) равны 0 и 8, а нуль по-
линома В(р) равен -0,129, т. е. эти полиномы не имеют общих ну-
лей. Следовательно, заданный объект управления является полным
и минимально фазовым. Поэтому, можно синтезировать систему с
согласованными полюсами, полагая характеристический полином
замкнутой системы D(P) = Вп (P)D(P) = (Р + 0,129) D(P), где
D(P) — гурвицев полином, выбираемый по условиям качества
синтезируемой системы. При этом в качестве желаемой переда-
точной функции замкнутой системы по задающему воздействию
можно взять одну из стандартных передаточных функций с подхо-
дящим значением временного масштабного коэффициента. Эти
функции приведены в приложении П.6, а также в [4, 13, 15].
В соответствии с указанным выше аналитическим методом
синтеза сначала ищется уравнение вход-выход ДУУ вида
R{p}u{p} = Q{p}g(p) - Цр)у(р) > (9.4)
где R(p), Q(p), L(p) — полиномы, подлежащие определению в
процессе синтеза. При этом по условиям физической реализуемо-
сти должны выполняться неравенства
r-q>\lyy, r-l>\kyy, (9.5)
где r = deg/?(p), r/ = deg(2(p), / = deg £(/?), !Л? — индекс или
относительная степень ДУУ. Она зависит от свойств элементов, из
которых строится синтезируемое ДУУ [4. С. 187]. _
Как видно, синтезируемое УУ (9.4) имеет два входа: а именно
по задающему воздействию g и по выходу —у, поэтому оно и на-
зывается двумерным.
Отметим, что относительной степенью управляемой дина-
мической системы называется минимальный порядок производной
по времени от выхода системы, которая явно зависит от управления.
В случае линейного ДУУ (9.4) его относительная степень
Ц = min {г -д, г-1}. (9.6)
Для решения задачи синтеза составляется по (9.3) и (9.4) урав-
нение вход-выход замкнутой системы
D(p)y(p} = B(p)Q(p)g(p) + H(p)R(p)f(p). (9.7)
Здесь характеристический полином £>(р) определяется выражением
D(p) = A(p)R(p) + B(p)L(p). (9.8)
Как известно, для обеспечения второго порядка астатизма по
задающему воздействию необходимо, чтобы в разомкнутой цепи
системы было два интегратора [4. С. 127-130]. В данном же случае
в объекте имеется лишь один интегратор. Поэтому ещё один вво-
дится в ДУУ, для чего полином R(p) берется в виде R(p) = pR(p),
где R(p) — произвольный полином. При этом, согласно (9.7), бу-
.316
дет выполняться и условие астатизма первого порядка по возму-
щению f так как в этом уравнении изображение возмущения /(р)
умножается на полином R(p).
Как отмечено выше, £>(р)=(р + 0,129)£>(р), поэтому, подстав-
ляя выражения для полиномов в (9.8), придём к уравнению
(р + 0,129)£)(р) = (р2 - Sp')pR(p) + 3,1(р + 0,129)£(р). (9.9)
В уравнении (9.9) бином р+0,129 содержится в двух произве-
дениях, поэтому он должен быть и в третьем произведении, т. е.
необходимо, чтобы Л(р) = (р + 0,129)/?(р), где R(p) — произ-
вольный полином степени г - 2. Далее, подставляя полученное
выражение для R(p) в (9.9) и сокращая всё равенство на бином
р + 0,129, будем иметь
5(р) = (р2 - 8р)рЛ(р) + 3,1£(р). (9.10)
Полученное выражение является полиномиальным уравнением,
которое эквивалентно системе алгебраических уравнений [4.
С. 202], в которой неизвестными являются г - 2 +1 коэффициентов
полинома R(p) степени г=г —2 иг коэффициентов полинома
£(р) степени I = г -1, согласно (9.5), поскольку по заданию pvv=1.
Степень д полинома D(p) в (9.10), очевидно, равна степени
произведения (р2 - 8р)рЯ (р), т. е. д = г- 2 + 3 = г + 1. Следова-
тельно, в системе уравнений, которой эквивалентно полиномиаль-
ное уравнение (9.10), содержится Ny =д+1=г+2 уравнений и
Nk = г -1 + г = 2 г -1 неизвестных коэффициентов.
Для разрешимости указанной системы необходимо, чтобы
Л/*. = /V,,, т. е. 2г-1 = г + 2. Отсюда г=3, и по приведённым выше
формулам находим: г = 3-2 = 1, /=3-1 = 2, д=3+1=4. При
этом полиномы: £(р) = Х2р2+Х]Р + Х0, 7?(р) = р1р + р0,
£>(р) = 34р4 + 83р3 + 8,р2 + 8,р + 80.
Для выбора коэффициентов полинома D(p) используются,
как отмечалось выше, стандартные передаточные функции, приве-
317
денные в приложении П.6. В данном случае необходимы коэффи-
циенты передаточной функции, соответствующей системе четвер-
того порядка (так как fj = 4) с астатизмом второго порядка и пере-
регулированием не более 10 %. Этим данным удовлетворяет пе-
редаточная функция со стандартными коэффициентами: До = 1,
=11,8, Д2 = 16,3, Д3 = 7,2, Д4 =1 и tpm =12с.
Для обеспечения требуемого времени регулирования вычисля-
ется значение временного масштабного коэффициента
ю0 - tpm/t* =12/3 = 4. Желаемые коэффициенты полинома D(p)
определяются [4. С. 158] по формуле
5;=Д,(<' (9.11)
при и = т[ = 4. Подстановка численных значений даёт: 50= 256;
5, =755,2; 82= 260,8; 53 =28,8; 84= 1.
Теперь можно записать систему, соответствующую уравнению
(9.10) [4. С. 202]. Здесь она имеет вид
А.1 = 243,6, А.о= 82,58 позволяет записать полиномы: R(p)=
= (р + 0,129)Ср2 + 36,8р), L(p) = 179,1р2 + 243,6/>+82,58.
Произведение B(p)Q(j>), согласно уравнению (9.7), является
числителем передаточной функции замкнутой системы по задаю-
щему воздействию. С другой стороны, порядок астатизма по за-
дающему воздействию синтезируемой системы равен 2, поэтому
по условию (5.37) из [4. С. 125] это произведение должно равнять-
ся (5|/> + 50)(р + 0,129). Отсюда находятся коэффициенты
%0 = 82,58; fa = 243,6 полинома Q(p).
318
В итоге можно записать следующее уравнение (9.4) искомого
двумерного устройства управления:
{р2 + 36,8р)(р + 0,129)и(р) = (82,58 + 243,6p)g(/>) -
- (82,58 + 243,6р +179,1 р2 )у(р) . (9.12)
По условию задачи измеряемыми являются отклонение
E — g — у и управляемая переменная у. Поэтому в уравнении (9.12)
g заменяется по формуле g — Е + у . После приведения подобных и
перемножения полиномов, получим
(р3 + 36,929р2 + 4,7472р)и(р) = (82,58 + 243,6р)е(р) -
Полученные уравнения описывают искомое ДУУ, на вход ко-
торого поступают отклонение е и управляемая переменная объекта
у. Относительная степень найденного УУ, очевидно, равна единице.
Для проверки решения необходимо найти, например, переда-
точные функции замкнутой системы. Исключая отклонение Е и
управление и из уравнений (9.3) и (9.13), найдём (при нулевых на-
чальных условиях) следующие выражения для передаточных
функций синтезированной системы управления:
w ( , (р +0,129)(256 +755,2р)__________
yg (рА + 28,8/ + 260,8/ + 755,2р + 256)(р + 0,129) ’
w ( }... (Р + 0,129)(0,85/ +32,18р + 33,12)р
у/ р4 + 28,8/ + 260,8/ + 755,2р + 256)(р + 0,129) '
Построенные в MATLAB переходные функции замкнутой системы
(9.1), (9.2), (9.14), (9.15), соответствующие полученным передаточ-
ным функциям, приведены на рис. 9.1,о и 9.1,6.
319
Из приведенных выражений для передаточных функций и ре-
зультатов моделирования следует, что синтезированная система
удовлетворяет требованиям в отношении переходного процесса по
задающему воздействию, а также требованиям по точности отработ-
ки задающего воздействия g и подавления влияния возмущения f.
а б
Рис. 9.1. Переходные функции астатической системы
Замечание. В данном случае полюсы системы были согласованы с
нулями объекта путем выбора характеристического полинома системы
Dip) и полинома Rip) ДУУ в виде Dip) = Ва(р)Ь(р) и
Rip) = B(l(p)R(p), поскольку корень полинома Во(р)=(р+0,129) располо-
жен в левой полуплоскости (т. е. В0(р) = Вп (р)).
Если и среди корней полинома А(р) имеются «левые», то их тоже
можно включить в число нулей полинома системы D(p), полагая
D(p) = Ba(p)Aa(p)D(p), R(p) = Ba(p)R(p), L{p) = Aa(p)L{p),
где Ва(р) и Аа(р) — нормированные полиномы, корни которых рав-
ны корням полиномов В(р) и А(р), расположенных в области £2, т. е. в
области допустимого расположения корней характеристического поли-
нома синтезируемой системы. При этом получаются системы с вырож-
денными передаточными функциями [4. С. 204-207] и с согласованными
полюсами.
9.2. Построить структурную схему реализации УУ (9.14),
(9.15) на интеграторах.
320
Решение. Представим уравнения ДУУ в координатной форме
?! = 82,58е, z, =Zj — 4,7472 z3 + 243,6 £,
z3 -гг -36,929z3 -179,1 у, u = z3.
Этим уравнениям соответствует схема, приведенная на рис. 9.2.
Рис. 9.2. ДУУ астатической системы
9.3. Найти уравнения двумерного устройства управления для
полнрго неминимально-фазового объекта, который описывается
уравнением
(/ +0,б/ +0,1р)Мд)=(р2 -22р-75)«(р)+(0,1р-2,5)/(р), (9.16)
так, чтобы замкнутая система по каналу g —» у имела второй, а по
каналу f —» у первый порядок астатизма, время регулирования
/* <2с, перерегулирование не более 15%. Степень устойчивости д
замкнутой системы не хуже 1. Отклонение Е = g - у и задающее воз-
действие g измеряются, а выход у и возмущение f не измеряются.
Относительная степень ДУУ Ц п. = 0.
Решение. Поскольку возмущение f не измеряется, то уравнение
ДУУ будем искать в виде (9.4), имея в виду последующую замену
у = g - £. Область допустимого расположения корней характеристи-
ческого полинома синтезируемой системы Q определяется неравен-
ством Re Pi < -1, так как Т| > 1.
Далее представим полином В(р) в виде В{р) = ^тВа{р)В^{р),
где т— степень полинома В(р); Вп(р) — нормированный поли-
11 — 1607
321
ном, который включает нули полинома В(р), лежащие в области £2,
а В^(р) — нормированный полином, который включает нули
В(р), не лежащие в области £2, т. е. Вп(р)е £2, а В^ (p)g £2. В дан-
ном случае В(р) - (р - 25)(р + 3), т. е. т = 2, Р,„ =Р2 =1,
Д2(р)=р+3, В^(р)-(р-25). Следовательно, заданный объект явля-
ется неминимально-фазовым, и поэтому замкнутая система (9.4),
(9.16) также будет неминимально-фазовой.
Чтобы обеспечить астатизм заданных порядков vg и v z по за-
дающему воздействию g(j) и возмущению /(/) системы с немини-
мально-фазовым объектом, целесообразно взять в (9.4) полиномы
следующей структуры [6]:
R(p)=p'Ba(p)R(p), е(р)=р;'п(р)^(Р), (9.17)
где R(p) - вспомогательный полином степени 7 = п + ц п- та -1,
п— порядок объекта— степень полинома А(р) из (9.16);
v = max{0,vg -vJ,v/ -vH}; v4, vH— число нулей равных
нулю полиномов А(р) и Н(р) из уравнения (9.16), соответственно;
П(р) — вспомогательный полином, определяемый ниже; М(р —
устойчивый вспомогательный полином степени in=n + v — vg,
причем Л/(р)е £2.
Отметим, что фактически v — это число чистых интеграто-
ров, которые необходимо ввести в УУ для обеспечения заданных
порядков астатизма vg и vz. Коэффициенты полиномов R(p) из
(9.17) и Цр) из уравнения (9.4) определяются, как и выше, решением
соответствующей системы уравнений. Степень полинома Цр) -
l=n + v-\.
При этом характеристический полином замкнутой системы (9.4),
(9.16) будет равен D(p) = Ba(p)D(p,a>0)M(p), где D(p,w0) —
полином степени f] = п — тп + ц + vg — 1, который можно вы-
брать равным знаменателю нормированной передаточной функции
(см. приложение П.6) следующего вида;
322
д»,Х~>**'р,,~'+--+д|<^чр+д.м1> <918)
“ Д„р” + Д„_|(ОоР”-’ + • • • + Д1<с’р + д„<^
Из приведенных выше выражений следует, что в случае неми-
нимально-фазового объекта типа (9.16) реализуемая передаточная
функция замкнутой системы по задающему воздействию опреде-
ляется [6] выражением
Ь D(P)
к V X v-l X ’ <919>
+... + yVgp^ + 8Vg=lp * +... + 80
б^р" +8(Нр’’~' + ... + 8q
где D(p) = H(p,(f>0) при выбранном значении ю0,
A- = + vg -1; у, — некоторые коэффициенты.
Для обеспечения порядка астатизма vg полином П(р) степени
v8-l в (9.19) выбирается таким, чтобы vg младших коэффициентов
произведения В^(р)П(р) и полинома D(p) из (9.19) совпадали.
Полиномы Я0(р,ш0) и //(р,ш0) также выбираются из таб-
лиц стандартных передаточных функций по следующим данным:
порядок астатизма vg, степень знаменателя и = т[ и перерегули-
рование G %. При этом, учитывая, что множитель В& (р) в чис-
лителе передаточной функции (9.19) замкнутой системы может
привести к некоторому увеличению значений перерегулирования и
времени регулирования, коэффициенты передаточной функции
!F(p, ю0) выбираются, исходя из несколько меньших значений
<5% и tp по сравнению с заданными. Для обеспечения заданных
значений о % и tр можно также несколько изменить значения ко-
эффициентов 8, из (9.19).
Перейдем к расчету ДУУ для заданного объекта (9.16). В данном
случае имеем п - 3, ти = l,w^=l,vg=2,v/=l,v/)=l,vw=0.
323
Поэтому числа: v = max{0,2-1,1 -0} = 1, ш = 3-14-0 + 2-1 = 3,
г=3 + 0 —1—1 = 1, /=3+1—1=3, Т) = 3-1 + 0 + 2-1 = 3.
Итак, данные для выбора стандартной передаточной функции
таковы: порядок астатизма vg = 2, степень знаменателя л = т[ = 3,
перерегулирование О<15%. Учитывая влияние правого множи-
теля В^(р)= р-25 в числителе передаточной функции (9.19) вы-
берем стандартную передаточную функцию: по условиям vs = 2,
н = Т] = 3, о=10%. По этим данным из таблицы приложения П.6
находим стандартные коэффициенты До=1, Д( =6,35, Д2=5,1,
Д3 =1 и время регулирования t =7 с. Величину соо, также учи-
тывая влияние множителя В^ (р) = р - 25, выберем из условия
I = 1,65 </* = 2. При этом соо = 7 /1,65 = 4,24. Принимая с некото-
рым запасом соо=4,35, по формуле (9.18) найдём полиномы
Л/о(/?) = 120/7+ 82, Я(р) = /73 + 23р2 +120/7 + 82.
Тогда Яй(р)П(р) = (р-25)(л|р+л0) = л1р2 +(л0-25л,)/7-25л0.
Приравнивая младшие коэффициенты этого полинома к коэффи-
циентам 82 и 120, найдем л 0 =-3,28, л, =—4,9312, т. е.
П(р) =—4,93/7 -3,28. Таким образом, согласно (9.19), желаемая
передаточная функция имеет вид
к р} +22р2 + 120/7 + 82
(9.20)
Как видно, при неминимально-фазовом объекте реализуемая
передаточная функция системы отличается от нормированной ти-
па (9.18). Для оценки влияния правого нуля передаточной функции
(9.20) на рис. 9.3 приведены переходные функции, соответствую-
щие передаточной функции Н0(р)/Н(р) (рис. 9.3,а) и
Bri(p)U(p)/D(p) (9.20) (рис. 9.3,6).
Показатели качества системы с первой передаточной функци-
ей соответствуют расчетным: 0 = 10%, t = 1,65 с; система же с
передаточной функцией (9.20) имеет 0 = 12% и t =1,93 с. Так как
324
эти значения удовлетворяют заданным условиям, то передаточную
функцию (9.20) принимаем в качестве желаемой.
Отметим также, что переходная функция на рис. 9.3,6 имеет
отрицательное перерегулирование о_, которое всегда присуще не-
минимально-фазовым системам. В данном случае перерегулирова-
ние о_ = 6,1 %
Рис. 9.3. Переходные функции
Для реализации ДУУ примем полином М(р) = р2 + 5р + 6 и
запишем с учетом найденных выше значений
D(p) = D(p)M(p) = р5 + 28р4 + 241/? + 820р2 + 1130/?+ 492 ,
R(p) = PiP + Ро> Цр) = ^зР3 +^гР2 +А.,/? + Х0,
А(р) = р* А(р) = р4 + 0,6// +0,1р2.
Поэтому вытекающая из полиномиального уравнения (9.8) ал-
гебраическая система, решение которой определяет коэффициенты
полиномов R(p) и Цр), в данном случае имеет вид
-25 0 0 0 0 0 ' Ло 492
1 -25 0 0 0 0 А., ИЗО
0 1 -25 0 од 0 Х2 820
0 0 1 -25 0,6 0,1 241
0 0 0 1 1 0,6 Ро 28
0 0 0 0 0 1 -Р1. 1
325
Решение этой системы с учетом равенств (9.17) приводит к
полиномам:
R(p) = pR(p)Bn(p) = р3 + 40,52р2 +112,6р,
Z(p) = -10,12p3 -34,49р2 -45,99р-19,68,
Q(p) = -4,93р3 - 27,94р 2 - 45,99р -19,68.
Подставляя эти полиномы в (9.4) и заменяя в нём не измеряемую
переменную у по формуле у = g — е, получим уравнение вход-выход
искомого ДУУ:
р(р2 + 40,52p + 112,6)w(p) = (5,19p3 + 6,55p2)g(p)-
- (10,12р3 +34,49р2 + 45,99р + 19,68)е(р). (9.21)
Определив, например, путем моделирования в MATLAB или
S1MULINK, реакции замкнутой системы (9.16), (9.21) на ступенчатое
и линейное задающее и возмущающее воздействия, найдем, что най-
денное ДУУ (9.21) обеспечивает заданные свойства системы управ-
ления неминимально-фазовым объектом (9.16).
9.4. Для объекта, описываемого уравнениями
У = [о 1]х, (9.23)
найти уравнения двумерного устройства управления (9.4), (9.5) с
= 0, при котором замкнутая следящая система будет обладать
селективной инвариантностью к задающему воздействию
s(f)~8o + 8т sin 0,2 z и абсолютной инвариантностью к измеряе-
мому возмущению f Измеряются также отклонение e = g — у и
управляемая величина у. При этом время регулирования должно
быть не более 1 с.
Решение. Для решения задачи используется тот же аналити-
ческий метод синтеза, что и в задачах 9.1, 9.3. Поэтому сначала
определяются полиномы А(р), В(р) и Н(р) уравнения вход-выход
(9.3) объекта управления (9.22), (9.23). В данном случае
326
А(р) = р2+2р, В(р) = 5(р+4), Н(р) = 1,3р + 0,7.
Задача синтеза инвариантных САУ имеет решение, если толь-
ко выполняются условия достижимости инвариантности для за-
данного объекта. Так как возмущение f измеряется, то абсолютная
инвариантность относительно него, достигается [3], если полином
В(р}е £2, полюсы системы согласованы с объектом, и выполнено
неравенство deg Н(р) < deg В(р) . Здесь, как и выше, Q — область
комплексной плоскости, где могут располагаться корни характе-
ристического полинома синтезируемой системы.
В рассматриваемом случае рв=-4, degH(p)-i и degB(p)=l,
т. е. если область Q определить неравенством Re Pi < -0,5, то все
необходимые условия для достижения абсолютной инвариантно-
сти замкнутой системы к возмущению f выполняются.
Селективная инвариантность к задающему воздействию до-
стижима [3], если только НОД{В^(р),С(р)} = 1. В этом условии
№ — полином, объединяющий те нули полинома В(р), кото-
рые не могут быть включены в число корней характеристического
полйнома (в число полюсов) замкнутой системы; G(p)— это
Кр-изображение задающего воздействия. В рассматриваемом слу-
чае Вй(р) = 1,а G(p)=p(p2+0,04)=p3+0,04р. Следовательно, усло-
вие достижимости селективной инвариантности синтезируемой
системы к задающему воздействию также выполняется.
В данном случае возмущение f измеряется, поэтому уравне-
ние ДУУ (9.4) видоизменяется и принимает вид
Ж/>)»(р) = QtP)g{p) ~ ЦрЫр) + Р(Р)ЛР), (9-24)
где полином Р(р) также удовлетворяет условиям (9.5) при задан-
ном здесь |1 п, = 0. Другими словами, deg Р(р) < г.
Так как синтезируется инвариантная система, то для определе-
ния полиномов из (9.24) запишем уравнение вход-выход замкнутой
системы (9.3), (9.24) относительно отклонения е — g - у с учетом
найденных полиномов А(р), В(р) и Н(р). В результате получим
О(р)е(р) =[(р2 + 2р)Л(р) + 5(р + 4)Z(p)]g(p) -
327
- [5(р + 4)Р(р) + (1,3р + 0,7)Я(р)]/(р),
(9-25)
где
D(p)=[(p2 +2p)R(p)+5(p+4)L(p)], L(p) = L(p)-Q(p). (9.26)
По указанным выше условиям достижимости инвариантности
полюсы системы должны быть согласованы с объектом, поэтому
положим R(p)=(p+4)R(p), где /?(р) — произвольный полином
степени г - 1. Подставляя это равенство в оператор, на который в
(9.25) умножается изображение возмущения f найдем, что усло-
вие абсолютной инвариантности системы (9.25) к этому возмуще-
нию будет выполняться, если
Р(р) = -(0,26р + 0,14)й(р). (9.27)
При этом степень полинома Р(р) не будет превышать степени по-
линома R(p), что соответствует условию задачи: цп, = 0.
Для обеспечения селективной инвариантности системы (9.25)
к задающему воздействию g(r), необходимо [4. С. 134], чтобы опе-
ратор, на который в (9.25) умножается изображение g(p), содержал
в виде множителя /^-изображение этого воздействия. В рассмат-
риваемом случае ЛГр-изображение задающего воздействия g(/) это
полином G(p)=p(p"+0,04). Следовательно, имеем уравнение
(Р + 4)[(р2 + 2p)R(p) + 5£(р)] = р(р2 + 0,04)Л/(р).
Отсюда следует, что полином М(р) = (р + 4)М(р), где М(р) -
некоторый полином, степень которого на единицу меньше степени
полинома М(р}. Поэтому, сокращая предыдущее равенство на би-
ном р+4, получим уравнение
((р2 + 2р)Л(р) + 5£(р)] = р(р2 + 0,04)Л/(р).
В соответствии с принципом внутренних моделей [4. С. 182],
характеристический полином ДУУ должен содержать те множите-
ли /^-изображений воздействий, которые не содержатся в харак-
теристическом полиноме объекта. В данном случае множитель р
имеется в А(р), а множителя р2+0,04 нет. Поэтому положим
К(р) = (р2 + 0,04)/?(р). В результате предыдущее равенство при-
мет вид
328
[(P + 2)(P3 + 0,04p)R(p) + 5Z(p)] = (p3 + 0,04р)Л/(р).
Отсюда также заключаем, что полином Z(p)=(p3+0,04p)Z(p).
Тогда с учетом второго выражения (9.26) имеем
Л/(р) = (р+2)ОД+5ОД, Др)-ОД=(р3+0,0^)Г(р). (9.28)
Полиномы R(p) и L(p), как и выше, определяются из усло-
вий обеспечения желаемого характеристического полинома систе-
мы, поэтому полином М(р) может быть найден лишь после опре-
деления полиномов R(p) и L(p).
Перейдём к решению этого вопроса. Из первого равенства
(9.26) с учетом полученного выше выражения для полинома
/?(р) = (р2 + 0,04)(р + 4)Л(р) имеем
ОД=[(/ +2р)(р2 +0,04)(р+4)Л(р)+5(р+4)£(р)].
Очевидно полином D(p) = (р + 4)Z>(p), тогда
ОД=[(р2 +2р)(р2 +0,04)ОД+5ОД]. (9.29)
В этом полиномиальном уравнении полиномом D(p) необхо-
димо задаться. Степень т[ полинома О(р) в (9.29), очевидно,
равна 4 + г , а г = г - 3 т. е. ?] = г- 3 + 4 = г + 1. Следовательно, в
системе уравнений, которой эквивалентно полиномиальное урав-
нение (9.29), содержится =rj + l = r + 2 уравнений и
Nk =r-2+r+l=2r—l неизвестных коэффициентов.
Для разрешимости указанной системы необходимо, чтобы
дг. =ДГ т. е. 2г-1 = г + 2. Отсюда /- = 3. Следовательно,
г = 3 —3 = 0, /=3, r[ = 3 + l = 4, L(p)-Xyp2 +\2р2 +Х|Р + А.О,
Я(р) = Ро> О(р) = 84р4 + 83р3 + 8,р2 + 8|Р + 80.
В инвариантной системе числители передаточных функций
имеют сложную структуру, что делает применение метода норми-
рованных передаточных функций затруднительным. Поэтому,
имея в виду оценку t < (4-г-6) / minlRe р, I для времени регулиро-
7 (=1 п
329
вания tp и заданное условие tp < 1 с, зададимся равными корнями
полинома О(р), полагая р®=—5. Тогда указанный полином
^(р)-р4 +20/г +150р2 + 500р + 625. С другой стороны, произ-
ведение (р2+2р)(р2+0,04) = р4+2р3+0,04р2, поэтому урав-
нению (9.29) соответствует следующая система алгебраических
уравнений:
Решение этой системы дает: р0 = 1; Л3 = 3,6; Х2 = 29,97,
Х| =100, Хо =125. Следовательно, полиномы /?(р) = (р2 +0,04),
Л(р) = (р + 4)(р2 +0,04), £(р) = 3,6р3 +29,97р2 +100р + 125.
Подставляя найденные полиномы в равенства (9.27) и (9.28),
будем иметь
Р(р) = (0,26р + 0,14)(р2 + 0,04), (9.30)
З,6р3 +29,97р2 +Ю0р+125-О(р)=(р3 +0,04р)£(р). (9.31)
По условиям реализуемости, степень полинома Q(p) не может
быть больше трех, поэтому, согласно (9.31), £(р) = Х0. Тогда из
(9.31) находим
0(р)=(3,6-Хо)р3 +29,97р2 +(1ОО-О,О4Хо)р+125.
Чтобы упростить схему искомого ДУУ, положим Ло=3,6. При
этом д(р) = 29,97р2 +99,856р+125 и по (9.28) М(р) = р + 20.
Таким образом, все полиномы из уравнения ДУУ (9.24) опреде-
лены, и можно записать его в явном виде, заменяя g по формуле
g = е + у. В результате получим
(р + 4)(р2 + 0,04>(р) = (29,97р2 +99,856р + 125)е(р)-
ззо
-3,6(/?3 + 0,04р)у(р) + (0,26р + 0,14)(р2 + 0,04)/(/?). (9.32)
Как видно, полученное ДУУ в соответствии с условиями зада-
чи имеет относительную степень, равную нулю. Для проверки ре-
шения необходимо найти уравнение замкнутой системы (9.22),
(9.23), (9.32) и промоделировать, например, в MATLAB её поведе-
ние при различных входных воздействиях,
9.5. Непрерывная часть цифровой системы управления описы-
вается уравнением
(0,08/? +1)(0,5 р +1) ру(р) = 50(0,2/? + !)»(/?). (9.33)
Найти алгоритм работы цифрового двумерного устройства управ-
ления (ЦДУУ) с периодом квантования Т = 0,1с и задержкой на
период, которое обеспечивает следующие показатели качества:
первый порядок астатизма к задающему воздействию vg = 1; вре-
мя регулирования tp не более 1 с; перерегулирование о не более
10%. В области Q выполняется условие |zo| < 0,8. Измеряются от-
клонение £ и управляемая переменная у.
.Решение. Для решения задачи синтеза ЦДУУ аналитическим
методом [4. С. 386-396] необходимо, прежде всего, найти полино-
мы дискретного уравнения вход-выход
4(z)y(z) = 5(z)«(z) (9.34)
заданной части системы.
Вычисление целесообразно провести в MATLAB с использо-
ванием функции c2d (см. примечание к задаче 3.21). В случае объ-
екта (9.33) соответствующие команды таковы:
В = [10 50);
А = [0.04 0.58 1 0]1
Wp = tf(B, А);
Wz = c2d(Wp, 0.1)
% результат
Transfer function:
0.9476 zA2 + 0.1212 z - 0.4222
z~3 - 2.105 zA2 + 1.34 z - 0.2346
Sampling time: 0.1
Таким образом, искомые полиномы из уравнения (9.34):
331
/(z) = z3-2,105z2+l,34z —0,2346, B(z) = 0,9476 z2+0,1212z-
-0,4222, а их степени: n = deg(/l(z)) = 3, m = deg(B(z)) = 2 .
Заданные требования к качеству системы учитываются в дан-
ном методе синтеза путем формирования вспомогательной непре-
рывной передаточной функции типа (9.18).
Коэффициенты Д;, / = 0,и этой передаточной функции и зна-
чение времени регулирования tpm выбираются из таблицы стан-
дартных передаточных функций (приложение П.6) по значениям
vg, п и G%. В данном случае V,, =1, и = 3 и и = 10%, поэтому
имеем До = 1; Д| = 2,39; А? = 2,05; Д3 = 1; tp„ = 4,4. Далее вычисля-
ется временной масштабный коэффициент по формуле
ш0 = tpm l(tp-T) = 4,4 /(1 - 0,1) = 4,88889. Подставляя найденные
значения в формулу (9.18), найдем вспомогательную передаточ-
ную функцию:
/ ч 116,850
Ж, (р) = —------------------------------.
* р3 +10,022/?2 +57,124/?+ 116,850
Её z-преобразование также выполняется в MATLAB с помо-
щью функции c2d, по командам:
В - [116.850480];
А = [1 10.022222 57.123951 116.850480]
Wdesp = tf(В, А);
Wdesz = c2d(Wdesp, 0.1)
% результат
Transfer function:
0.01502 z"2 + 0.04628 z + 0.009092
z~3 - 1.982 z*2 ♦ 1.419 z - 0.3671
Sampling time: 0.1
Тем самым определяются полиномы H0(z) = 0,015 z2 +
+0,0463 z +0,0091, H(z) = z3— 1,982 z2+1,4195 z —0,3671 и их
степени т)0 = deg(//0(z)) = 2, deg(/7(z)) = n = 3.
Отметим, что коэффициенты этих полиномов необходимо ок-
руглять так, чтобы суммы коэффициентов полиномов H0(z) и
H(z) были бы равны друг другу. В данном случае при указанных
выше округлениях обе суммы коэффициентов равны 0,0704.
332
Отметим также, что полином H(z)e О, так как его корни
z} -0,71616, z, 3 =0,63292 ±0,33447j, причем |z2 3| = 0,71619.
Если объект управления, описываемый уравнением (9.33) и,
соответственно, (9.34) является минимально-фазовым, т. е. поли-
ном B(z) удовлетворяют условию
В(2)е(1, (9.35)
(9.36)
(9.37)
то желаемая передаточная функция синтезируемой дискретной
системы берётся в виде
H(z)zk
где к — целое число или нуль. В противном случае, когда полином
B(z) = $mBn(z)Bh(z) (см. задачу 9.3),
^(z)n(z)
h^(z)= -
H(z)zk
где полином П(г) — выбирается так, чтобы функция (9.37) удов-
летворяла условиям астатизма порядка vg к задающему воздейст-
вию и обеспечивались заданные перерегулирование и время регу-
лирования (см. задачу 9.4).
В данном случае |z|B| = |zf | = 0,667, т. е. условие (9.35) выпол-
няется, так как |zn|<0,8. Поэтому параметры искомого ЦДУУ оп-
ределяются следующим образом.
Так как запаздывание в ЦДУУ равно одному периоду, то в
z-изображениях оно описывается [4. С. 388] уравнением
7?(z)«(z) = Q(z)z-lg(z)-L(z)z-'y(z) . (9.38)
Полиномы £(z), Q(z), R(z) определяются путём приравнивания
^.(z) (9.36) (или (9.37)) к передаточной функции дискретной
замкнутой системы (9.34), (9.38). При этом числитель и знамена-
тель передаточной функции WM.(z) (9.36) (или (9.37)) необходимо
умножить на полином Z?o(z)zg. Здесь ц — некоторое целое число
или нуль, а полином
333
Bn(z) = p;*B(z), (9.39)
где Pm — коэффициент полинома B(z) при z"; т — степень B(z).
Полиномы £(z), Q(z), R(z) из уравнения (9.37) можно определить
[4. С. 391,393] по формулам
L(z) = z£(z), (9.40)
fl(z)^(z-l)vfiQ(z)fl(z), (9.41)
C(z) = p;7/0(z)z»1, (9.42)
где v = max{0, vg -vj , v A — число единичных нулей полинома
A(z), a £(z), /?(z) — вспомогательные полиномы, которые опреде-
ляются путем решения следующего полиномиального уравнения
7(z)«(z) + pm£(z) = D(z). (9.43)
Здесь
A(z) = (z-iy A(z), D(z) = H(z)z'1+li-'. (9.44)
Указанные выше числа р. и к, а также степени вспомогатель-
ных полиномов определяются по формулам:
£=По+ p = n + v-T]0, (9-45)
/ =n + v-l, r=n-m. (9.46)
В рассматриваемом случае п = 3, т = 2, v =1, \ А, Т]о = 2,
Р,„ = 0,9476, поэтому v = 0, и по формулам (9.45), (9.46) и (9.39),
(9.44) находим:
Л = 2-2 + 1 = 1, ц = 3 + 0-2 = 1, /=3+0-1 = 2,
г = 3 - 2 = 1. Ba(z) = z2 + 0,1279z - 0,44555,
/?(z) = p|Z + p0, £(z) = X2Z2 +X|Z4-X0,
Л(г) = A(z) = z3 - 2,105z2 + l,34z - 0,2346,
D(z) = zH{z) = z4 - l,982z3 4-1,4195z2 - 0,367 Iz.
Система алгебраических уравнений, соответствующая поли-
номиальному уравнению (9.43), имеет вид
334
0,9476 0 0 -0,2346 0 0
0 0,9476 0 1,34 -0,2346 ^•1 -0,3671
0 0 0,9476 -2,105 1,34 = 1,4195
0 0 0 1 -2,105 Ро -1,982
0 0 0 0 1 .Pi. 1
В результате решения приведенной системы определяются
численные значения коэффициентов Х„ р, полиномов L(z), R(z):
Хо = 0,0304515; X, =-0,313761; Х2 = 0,357129; ро = О,123000; р, =
= 1,000, а затем по (9.40)-(9.42) находятся полиномы 7?(z), L(z) и Q(z)\
£(z) = 0,35713z3 -0,31376z2 +0,030452z,
R(z) = z3 + 0,2509z2 -0,42982z- 0,054803 .
6(z) = p-'H0(z)^ = 0,015829z3 + 0,048860z2 +0,0096032z.
Полученные полиномы £(z), Q(z), R(z) подставляются в выра-
жение (9.38), что даёт уравнение
(z3 + 0,2509z2 - 0,42982z - 0,054803)//(z) =
= (0,015829z3 + 0,04886z2 + 0,0096032z)g(z) -
— (0,35713z3 -0,31376z2 + 0,030452z)y(z). (9.47)
Так как по условию задачи воздействие g* не измеряется, то в
(9.47) проведем замену переменных: gk = гк +ук. Далее для по-
лучения искомого разностного уравнения ЦДУУ обе части (9.47)
умножим на z-3 , после чего перейдем к оригиналам. В результате
будем иметь
ик =0,015829ел + 0,04886еь| +0,0096032ел_2 -
—0,2509иЛ_, +0,42982i/t_2 +0,054803иа_3 -
- 0,3413Л + 0,36262уЛ_, - 0,020849у*_2. (9.48)
Полученное выражение является искомым алгоритмом работы
ЦДУУ синтезируемой цифровой системы управления с непрерыв-
ной частью (9.33), и периодом квантования Т = 0,1 с .
335
Для проверки решения задачи синтеза необходимо найти
уравнение вход-выход замкнутой системы и оценить её качество.
Переходя с этой целью в выражении (9.48) к z-изображениям и
объединяя его с уравнением (9.34), получим
(z6 -1,854098z5 + 0,382036z4 + 0,951567z3 -0,519455z2 +
+ 0,0273999z + 0,0128565)y(z) = (0,0150204z4 +
+ 0,04820098z3 +0,00831892z2 -0,0194569z-
-0,00405088)g(z) + (-0,337915z4 +0,2540999z3 +
+ 0,159729z2 - 0,13616 Iz + 0,0128564)>-(z).
Переходя здесь к оригиналам, получим после некоторых пре-
образований, разностное уравнение замкнутой системы:
ук =0,01502^_2 + 0,04820 lgA_3 + 0,0083189gA-4 -
-0,019457g;_5 -0,0040509g + 1,8540уЛ_( -0,72у*_2 -
- 0,69748у*_3 + 0,67913yt_4 - 0,16368yt_5. (9.49)
Графики управления ик (9.48) и переходной функции Л* синте-
зированной системы (9.49), полученные в MATLAB, представлены
на рис. 9.4,а и рис. 9.4,6.
Как видно из графиков, синтезированное цифровое устройство
управления обеспечивает заданные показатели качества системы
управления.
9.6 *. Для объекта, описываемого уравнениями
синтезировать аналитическим методом двумерное устройство
управления с =1, при котором обеспечивается астатизм перво-
го порядка к задающему воздействию g и возмущению /, время
регулирования не более 2 си перерегулирование не более 10%.
Измеряются только отклонение Е и переменная у.
336
Рис. 9.4. Управление и переходная функция
9.7 *. Для объекта (9.50) синтезировать аналитическим мето-
дом двумерное устройство управления с = 0, при котором
обеспечивается селективная инвариантность к задающему воздей-
ствию g = gm sin0,5/ и возмущению f = /msin8/; время регули-
рования не более 3 с. Измеряются только отклонение Е и регули-
руемая переменная у.
9.8 *. Для смесительного бака, уравнения которого получены в
задаче 3.7*, найти аналитическим методом при н, =-8,70667 х2
уравнения ДУУ с ц n, = 1, при котором неминимально-фазовая
система управления уровнем у раствора в баке (с помощью управ-
ления и2) имеет с объектом общий полюс, астатизм второго по-
рядка к задающему воздействию g, время регулирования не более
5 с и перерегулирование не более 15%. Измеряются задающее воз-
действие g и переменная у.
337
9.9 *. Для следящей системы (рис. 9.5) найти аналитическим
методом уравнения ДУУ с ц , = 0, при котором она имеет второй
порядок астатизма по задающему воздействию; ошибку отработки
полезного сигнала g(t) = (2,5 • 10~3Z2) l(z) рад , равную
б„ии =3 10-5 рад; время регулирования tp <0,35с; перерегули-
рование а <10%.
Параметры заданной части системы: Кум=3, Тиу-0,}с,
К^и =0,8В!углгрд=45,МВ/рад, Кит, = 30 В/рад -2 рад/с- В,
^ред =0,025, Тм =0,01 с. ДУУ включить вместо предварительно-
го усилителя К^,,.
Рис. 9.5. Структурная схема следящей системы
9.10 *. Непрерывная часть цифровой системы управления опи-
сывается уравнением
y(t) + 0,5y(t) + l,7y(r) = 7u(l). (9.51)
Найти аналитическим методом алгоритм работы цифрового двумер-
ного устройства управления (ЦДУУ) с периодом квантования
Т= 0,8 с и задержкой на период, которое обеспечивает первый поря-
док астатизма к задающему воздействию V g =1; время регулирова-
ния tp не более 5 с; перерегулирование а не более 5%. Измеряются
только отклонение ЕЛ -gk -yk и управляемая переменная у*.
9.11 *. Непрерывная часть цифровой системы управления опи-
сывается уравнением
y(z) + 6y(t) + y(t) = 2u(t) + 5ti(z).
Найти аналитическим методом алгоритм работы ЦЦУУ с перио-
дом квантования Т - 0,4 с и задержкой на период. При этом замк-
338
нутая дискретная система должна быть астатической к задающему
воздействию; иметь время регулирования tp не более 1,5 с и не
иметь перерегулирования. Измеряются только задающее воздейст-
вие gk и управляемая переменная у к
9.12 *. Неминимально-фазовая непрерывная часть цифровой
системы управления описывается уравнением
4у(/) + y{t) = 8й(/) - 4w(r).
Найти аналитическим методом алгоритм работы ЦДУУ с перио-
дом квантования Т = 1,4 с и задержкой на период так, чтобы замк-
нутая дискретная система имела первый порядок астатизма к за-
дающему воздействию vg=l; время регулирования 1Р не более
6,5 с; перерегулирование не более 5%. Измеряются только задаю-
щее воздействие gk и отклонение Ек = gk - ук. Построить пере-
ходную функцию fik замкнутой дискретной системы.
9.2. Синтез наблюдателей переменных состояния
9.13 . Объект управления задан уравнениями в переменных со-
стояния
х =
ООО
1 0 -2
О 1 О
х, у = [0 0 1]х.
(9-52)
Найти уравнения асимптотического наблюдателя Калмана так,
чтобы время оценивания удовлетворяло условию t <2 с.
Решение. Если система или объект заданы уравнениями
х = Ax + bg + hf, у = стх,
(9-53)
то уравнение соответствующего наблюдателя Калмана имеет вид
х = Ах + bu + hf + 1(у - стх),
(9-54)
где / — неизвестный вектор, который нужно определить. Его раз-
мерность равна п, т. е. равна порядку заданной системы или задан-
ного объекта.
339
Если заданные уравнения (9.53) имеют каноническую на-
блюдаемую форму, то компоненты /,• вектора обратной связи /
наблюдателя (9.54) вычисляются по формулам
= 8’ч - а,_|, i = , (9.55)
где 8*_, и а,_| — коэффициенты желаемого характеристического
полинома искомого наблюдателя (9.54) и уравнения объекта (9.53).
Коэффициенты 8‘, i = 1, 3 чаше всего выбираются по требуе-
мому времени оценивания /о// по формуле
ReX/< ——, i = Vn. (9.56)
lotf
Здесь X* — желаемые корни характеристического полинома на-
блюдателя (9.54), причем желательно различные.
Методика расчета параметров наблюдателя в тех случаях, ко-
гда форма уравнений заданного объекта (9.53) отличается от ка-
нонической наблюдаемой, изложена в следующей задаче 9.14.
В случае заданного объекта (9.52) векторы b и h нулевые, т. е.
Л = /> = [0 0 0]г, вектор сг=[0 0 1], а уравнения объекта
имеют каноническую наблюдаемую форму, поэтому коэффициен-
ты его характеристического полинома равны: а0 = 0, а, = 2,
а2 = 0, (см. задачу 4.5).
Полагая в (9.56) tult = 2, найдем |ReX, | > 4/2 = 2. Имея в виду
это неравенство, зададимся желаемыми корнями характеристиче-
ского полинома искомого наблюдателя: XJ =-3, Х2 = —7, Х3 —— 5.
Тогда по формуле Безу D\p) = p3 + 15/?2 +71/?+ 105. Следова-
тельно, 8о = 105, 5* = 71, 82 = 15. Теперь согласно (9.55)
/, =8о-ао = 105 - 0 = 105, /^Sf-oq =71-2 = 69,
/3 = 82-а2 =15-0 = 15.
Это позволяет записать вектор / = [105 69 15]Г, а затем с
помощью (9.54) искомое уравнение наблюдателя Калмана
340
ООО 105
х= 1 0 -2 х + 69 (у-х3).
0 10 15
Для проверки полученного результата необходимо найти мат-
рицу А = А — 1ст. Здесь А и ст — соответствующие матрица и
вектор из уравнений объекта (9.52). При правильном расчете ко-
эффициенты характеристического полинома матрицы А = А—1сг
совпадают с коэффициентами полинома D* (р).
9.14 . Найти уравнение асимптотического наблюдателя Калма-
на для объекта управления, который описывается уравнениями
Время оценивания totl не должно превышать 0,2 с. Построить
структурную схему наблюдателя.
Решение. Форма уравнений (9.57) не является канонической
наблюдаемой, поэтому сначала проверяется условие наблюдаемо-
сти. Для этого составляется матрица наблюдаемости (см. главу 6),
которая в данном случае имеет вид
Определитель det N Ф 0, т. е. заданный объект является пол-
ностью наблюдаемым, и задача синтеза наблюдателя для него
имеет решение. Для построения наблюдателя используются мат-
рицы
P^=MN, М =
а, 1
1 0
(9.58)
где а, — коэффициент характеристического полинома заданного
объекта (9.57) (см. задачу 4.5 или [5. С. 43]). Этот полином равен
А(р) = det(pE - А) = р2 + 2р,
(9-59)
341
т. е. (Хо = 1, (Xi = 2, а2 = 1. Поэтому матрицы М (4.4), Р„ 1 (9.58) и
Рн в данном случае, согласно (9.57), имеют вид
2
О
Как и в случае, рассмотренном в задаче 9.13, для определения
параметров наблюдателя необходим его желаемый характеристи-
ческий полином. С этой целью по формуле (9.56) находим
|ReX,‘|> 4/0,2 = 20,
и задаёмся желаемыми корнями. Пусть X* = -22, Х*2 = -25 . Соот-
ветствующий полином D* (р) = р2 + 47р + 550, а его коэффициен-
ты: Зд =550, 8* =47.
Далее вычисляются коэффициенты /, вспомогательного век-
тора / по формулам (9.55), т. е. /,=3*_t -с^_,, / = 1,и. Отсюда
/| = 550, /2 = 45, а вектор I = [550 45J7. Вектор I из уравнения
наблюдателя (9.54) вычисляется по формуле
l = Pj. (9.60)
В рассматриваемом случае
2
-1
1
21 [5501 1 [-460'
°JL 45 2L 550
-230
275
Подставляя численные значения в (9.54), получим уравнение ис-
комого асимптотического наблюдателя Калмана
228 230
-275 -275
3 -230
и +
100 275
Его структурная схема на операционных усилителях приведе-
на на рис. 9.6.
Для проверки расчётов, как и в задаче 9.13, находятся коэф-
фициенты характеристического полинома матрицы А = А- 1ст.
Они должны совпадать с коэффициентами полинома D (р).
342
Рис. 9.6. Структурная схема наблюдателя
9.15 . Для дискретного объекта управления, передаточная
функция которого
, ЛГ (0,04874? + 0,006976)
W (z) - —---------------------
р z2-l,8607z +0,8607
(9.61)
получена в задаче 3.18*, построить при К = 3,25 асимптотиче-
ский наблюдатель Калмана так, чтобы время оценивания не
превышало 6 с. Период квантования Т= 1,5 с.
Решение. Для построения наблюдателей дискретных объектов
или систем, как и непрерывных, необходимы их уравнения в пере-
менных состояния, желательно в канонической наблюдаемой форме.
Поэтому, подставляя заданное значение К в (9.61) и применяя соот-
ношения канонической наблюдаемой формы (см. [5. С. 121-123])
к (9.61), получим
х
*+1
0 -0,8607
1 1,8607
0,02267
0,1584
ик , У к = [О 1]х*
(9.62)
Порядок расчета наблюдателей для дискретных объектов или
систем также полностью совпадает с непрерывным случаем. Если
объект или система описываются уравнениями (3.30) при ед. =ик ,
то дискретный наблюдатель Калмана описывается уравнением
**+1 = Лхк + &ик +/(Ук ~сГхк), (963)
343
где 7 — подлежащий определению вектор обратных связей.
Если уравнения дискретного объекта заданы в канонической
наблюдаемой форме, то компоненты 7, вектора 7 из (9.63) опреде-
ляются по формулам (9.55). Однако здесь для выбора коэффициен-
тов 8*, также исходя из условий устойчивости и требуемого вре-
мени оценивания 1иц, используется соотношение:
(3^5)7
maxlz’ke <1, (9.64)
/е[1.и]1 I
которое аналогично неравенству (9.56). Здесь zf — желаемые
корни характеристического полинома синтезируемого наблюдате-
ля.
Переходя к синтезу наблюдателя для заданного объекта (9.62),
найдем по (9.64) max |z*|< 0,37. Полагая z, =0,35 и z,=0,25,
получим (по формулам Безу): 80 = 0,0875, 8* = -0,6.
Так как, согласно (9.61) или (9.62), коэффициенты
а0= 0,8607, а, =-1,8607, то по (9.55) имеем: /| =0,0875-
-0,8607 = -0,7732, /2 =-0,6+1,8607 = 1,2607. Следовательно, в
соответствии с выражениями (9.62) и (9.63) искомый наблюдатель
Калмана описывается выражением
о
1
Л+i =
-0,8607
1,8607
0,02267
ик
0,1584 *
-0,7732
1,2607
(Т* >К)
или
0 -0,08751 ГО,02267
1 0,6 А* + 0,1584
-0,7732
1,2607
У к (9-65)
Как и в непрерывном случае, при правильном расчете коэффици-
енты характеристического полинома матрицы наблюдателя
А = А — 1ст должны совпадать с желаемыми коэффициентами 8*.
9.16 . Построить асимптотический наблюдатель Калмана (9.63)
для дискретного объекта управления из задачи 3.14, который при
кг =200, Т = 0,4с и Ек = ик описывается уравнениями:
344
1 0 6,94
О 0,4493jX* [-3,84
У к =[1
1]х*. (9.66)
Время оценивания t не должно превышать 2 с.
Решение. В данном случае форма уравнений заданного объек-
та (9.66) не является канонической наблюдаемой, поэтому, как и в
непрерывном случае (см. задачу 9.14), сначала проверяется условие
наблюдаемости. Для этого вычисляется матрица наблюдаемости
I 1
1 0,4493 '
Определитель det N Ф 0, т. е. заданный объект (9.66) является
полностью наблюдаемым, и задача синтеза наблюдателя для него
имеет решение. Дальнейший расчет ведется в полном соответствии с
методикой, изложенной в задаче 9.14, для непрерывных объектов.
Характеристический полином заданного дискретного объекта
A(z) = detfzE - A) = z2 — l,4493z + 0,4493, т. e. a0= 0,4493,
(X| =-1,4493. Поэтому матрицы M (4.4), P„ 1 (9.58) и Ptl в дан-
ном случае имеют вид:
-1,4493 1
1,4493
I
1
0,4493
-0,4493
1
-1
1
1 1
0 1
' 1-
" 0,5507 [-1 -0,4493
Далее по формуле (9.64) находим max jz*|< 0,45. Полагая
z, =0,42 и z2=0,35, получим (по формулам Безу): 8ц =0,147,
8* = -0,77. Далее вычисляются коэффициенты /, вспомогатель-
ного вектора I по формулам (9.55), т. е. /, = 8*_, - а/ч, где
i = i,n. Так как п = 2, а 0 =0,4493, а, =-1,4493, то lt =-0,3023,
Л = 0,6793, т. е. вектор / = [— 0,3023 0,6793]г. Вектор / из урав-
нения наблюдателя (9.63) и здесь вычисляется по формуле (9.60).
В рассматриваемом случае
345
0,5507 -I
1
-0,4493
-0,3023
0,6793
0,68458
-0,005283
Наконец, подставляя численные значения в (9.63), получим
уравнение искомого асимптотического наблюдателя Калмана для
дискретного объекта (9.66)
-Ъ+1 =
1 0
0 0,4493
6,94
-3,84
0,68458
-0,005283
(Л "О
1]х*)
м*
или
0,31542
0,005283
-0,68458 „ 6,94
0,45458 + -3,84
0,68458
-0,005283
Л-(9.67)
Замечание. Большинство вычислений по решению задач синтеза
аналитическим методом целесообразно проводить в MATLAB или в Ма-
рк. Например, вычисление в MATLAB вектора I в задаче 9.16 может
быть осуществлено следующей последовательностью команд:
а=[1 0;0 0.4493];
Ь=[6.94;-3.84
с=[1 1];
% вычисление матрицы наблюдаемости W
Н= [с;с*а];
det(N)
ans = -0.5507
% решение существует. Вычисление матрицы М
ра=ро!у(а)
pa = 1 -1.4493 0.4493
ш=[ра(2) 1;1 0]
m = -1.4493 1
1 0
% вычисление матриц Р~' и Р„
pnl = m*N
pnl = -0.4493 -1
1 1
pn=inv(pnl);
% вычисление коэффициентов 8' и 8'
zl = 0.42; z2 = 0.35;
deltaO = zl*z2
deltaO = 0.147
deltal = - (zl+z2)
deltal = - 0.77
346
% вычисление вектора /
11 = deltaO - ра(3)
11 = -0.3023
12 = deltal - pa(2)
12 = 0.6793
111 = [11; 12]
111 = - 0.3023
0.6793
% вычисление вектора I
1 = pn*lli
1 = 0.68458
- 0.005283
Совершенно аналогично вычисляется вектор / ив задаче 9.14, после
выбора желаемых корней характеристического полинома наблюдателя.
9.17 . Найти уравнения наблюдателя Луенбергера для реализа-
ции модального управления u = g-kTх, найденного для объекта,
описываемого уравнениями типа (9.53), где
'0 1 О' О' У 5 ' >
А = 0 0 1 , ь= 0 , /? = 7 , с = -2 (9.68)
-2 1 2 1 0 4
Измеряются только переменная у и возмущение f При этом время
оценивания переменных состояния не должно превышать 1 с.
Решение. Для построения наблюдателя Луенбергера прежде
всего строится матрица наблюдаемости N. Если она не удовлетво-
ряет условиям наблюдаемости, то поставленная задача синтеза
решения не имеет. В противном случае решение существует.
В том случае, когда измеряется одна выходная переменная у,
наблюдатель Луенбергера строится в следующей последователь-
ности. Задаются желаемыми корнями характеристического поли-
нома наблюдателя по условиям устойчивости и быстродействия,
например, на основе соотношений (9.56) или (9.64). В непрерыв-
ном случае это А.’], Х*2,. . . Х*п_,. По ним находится желаемый ха-
рактеристический полином и его коэффициенты
D: = n,(p-r;)=z’,+8;.2pn-2+...+8;p+8;.
1=1
Затем составляется вспомогательная пхп матрица
347
1 ... 0
s;
0 ... 1
0 ... 0
s;.
i
(9.69)
и вычисляются матрицы P2-(MN) 'Р,, А = Р2 1 АР,, b=P2‘b,
h = P2xh, кт - ктР,. Здесь матрица М по-прежнему определяется
по формуле (4.4). Полученные матрицы и векторы представляются
в блочной форме следующим образом:
К
А.
A'
A.
к\
А.
Я| А2
А А $
к =
b =
(9.70)
h =
A =
при этом размерность нижних блоков равна единице.
Затем записывается уравнение наблюдателя Луенбергера и со-
ответствующее выражение для управления (при одной у):
х = Atx + А2у + btu + htf, u-g-k^x-k2y. (9.71)
Перейдем к расчетам для заданного объекта. В данном случае
матрицы
N =
5
-8
-12
-2
9
-2
4
6
21
-1
-2
1
-2
1
0
M =
1
0
0
Определитель detN = 1309^0, т. e. заданный объект управления
(9.53), (9.68) является полностью наблюдаемым, и наблюдатель
Луенбергера построить можно. Исходя из заданного времени оце-
нивания t*lf <1с, примем корни 1*, =-4, 12 =—5. Тогда 8*, = 20,
8^ = 9, и в соответствии с выражениями (9.69) имеем
I
0
0
0
1
0
20
9
I
-0,036669
-0,047364
0,022154
-0,047364
0,022154
0,070283
-1,1375
-0,67762
1,3331
, a P2 =
348
При этом
0 -20 -222 ’-15 -149
А = 1 -9 -78 , ъ = -38 , h = 28 . (9.72)
0 1 11 4 1
Таким образом, согласно (9.71), наблюдатель Луенбергера для
заданного объекта (9.53), (9.68) описывается уравнениями
0 -20 222 75 -149
х = 1 -9 х~ 78 у- 38 и + 28 f (9.73)
и, как видно, имеет второй порядок.
9.18 *. Найти уравнения наблюдателя Калмана для системы,
уравнение вход-выход которой получено в задаче 4.16. Время оце-
нивания не должно превышать 2 с.
9.19 *. Найти уравнения наблюдателя Калмана для объекта,
уравнение вход-выход которого получено в задаче 4.29. Время
оценивания не должно превышать 0,75 с.
9.20 *. Найти уравнения дискретного наблюдателя Калмана для
дискретной системы с передаточной функцией (5.22). Время оце-
нивания при Т= 0,5 не должно превышать 1,8 с.
9.21 *. Найти уравнения дискретного наблюдателя Калмана для
системы, рассмотренной в задаче 5.10.1*. Время оценивания при
Т= 0,2 не должно превышать 1,2 с.
9.22 *. Найти уравнения непрерывного наблюдателя Луенбергера
для объекта (9.52). Время оценивания не должно превышать 0,6 с.
9.23 *. Найти уравнения непрерывного наблюдателя Луенбер-
гера для системы, рассмотренной в задаче 5.8.4*. Время оценива-
ния при Т- 0,4 не должно превышать 3,6 с.
9.24 *. Найти уравнения дискретного наблюдателя Луенберге-
ра для системы, рассмотренной в задаче 5.10.1*. Время оценива-
ния при Т=0,2 не должно превышать 1,2 с.
Указание. Алгоритм синтеза дискретного наблюдателя Луенбергера
полностью совпадает с алгоритмом синтеза наблюдателя Луенбергера в
непрерывном случае (см. решение задачи 9.17).
349
9.25 *. Найти уравнения дискретного наблюдателя Луенберге-
ра для системы с передаточной функцией (5.22). Время оценива-
ния при Т= 0,4 не должно превышать 3,6 с.
9.3. Синтез систем с модальным управлением
9.26 . Для объекта управления, описываемого уравнениями в
канонической управляемой форме (см. задачу 4.4)
у = [400 0 0]х, (9.74)
найти модальное управление так, чтобы замкнутая система обла-
дала первым порядком астатизма к задающему воздействию, а
время регулирования не превышало 0,6 с. Построить график пере-
ходной функции замкнутой системы.
Решение. Модальное управление, как известно, имеет вид
w = g-Arx,
(9-75)
где кт — [^1 ^2 к„] — вектор параметров (коэффициентов),
размерность которого равна размерности вектора состояния х объ-
екта управления. Коэффициенты к, выбираются, исходя из вы-
бранных (или заданных) корней или коэффициентов характери-
стического уравнения. Последние выбираются проектировщиком
так, чтобы замкнутая система имела определенные свойства.
После того как корни выбраны, в тех случаях, когда уравнения
объекта записаны в канонической управляемой форме, коэффици-
енты kf вычисляются по формулам
kj = 8‘_, - а,.,, i -1, и, (9.76)
где а, — коэффициенты характеристического полинома заданно-
го объекта управления; 8* — коэффициенты характеристического
полинома замкнутой системы, заданные или связанные формулой
Безу с выбранными корнями.
350
Корни или коэффициенты характеристического полинома сис-
темы удобно выбирать с помощью нормированных передаточных
функций. Известно, что при модальном управлении (9.75) числи-
тели передаточных функций замкнутой системы по задающему
воздействию и объекта по управлению совпадают, а знаменатели
имеют одинаковую степень [4. С. 168, 169].
Следовательно, в случае рассматриваемого объекта (9.74) пе-
редаточная функция замкнутой системы будет иметь вид
^(Р)=-3 я 2Р°.-----------Г’ (9-77)
причем замкнутая система будет иметь астатизм первого порядка к
задающему воздействию, если только выполняется условие
5о = ро, (9.78)
где ро = 400 — коэффициент числителя т. е. передаточной
функции объекта по управлению.
При выборе корней характеристического полинома замкнутой
системы (9.77) с помощью нормированных передаточных функций
типа (9.18) (см. приложение П.6 или [13, 15]) коэффициент
б(, = Wq , где п — порядок системы, a w0 — временной масштаб-
ный коэффициент. Этот коэффициент связан с временем регули-
рования замкнутой системы tp соотношением со0 - tpm / tp. Здесь
tpm — время регулирования при со0 = 1, соответствующее вы-
бранному распределению корней характеристического уравнения
системы.
Из табл. П.6.1, приведенной в приложении П.6, для системы
третьего порядка с первым порядком астатизма находим: tpm =6,31
при кратных корнях; tpm - 4,34 при минимальном времени регули-
рования и tpm = 5,89 при распределении по Баттерворсу.
Таким образом, из условий (9.78) и 50 =св2 ПРИ п = 3 имеем
равенство соо = ^400 = 7,368063, а условия обеспечения заданного
времени регулирования приводят к условиям:
ГОо = 6,31/0,6 = 10,5167 ; Wo = 4,34/0,6 = 7,2333,
(00=5,89/0,6 = 9,8167.
351
Примем распределение корней, соответствующее минимальному
времени регулирования, тогда при соо = 7,368063 будем иметь
t =tpn /оз0 =4,34/7,368063 = 0,58903, что несколько меньше тре-
буемого. Соответствующие выбранному распределению корней
стандартные коэффициенты (см. табл. П.6.1) равны: До=1,
Aj =2,39, Д2 =2,05, Д3 =1. Далее, вычисляя по формулам (9.11)
коэффициенты 8*, получим: 82 = 2,05 • 7,368063 ~ 15,10,
5; =2,39-7,3680632 =129,75, 8£ = 7,3680633 = 400.
В случае объекта (9.74) коэффициенты его характеристическо-
го полинома (см. задачу 4.13) а0 = 0, а! = 67, а2 - -7, поэтому
по формулам (9.76) находим: кх = бд - а0 = 400 - 0 = 400,
к2 = 8J - а, = 129,75 - 67 = 62,75, к3 = б2 - а2 = 15,10 + 7 = 22,10.
Итак, искомое модальное управление (9.75) в данном случае
определяется выражением
w = g-400x1 — 62,75х2 -22,1 х3.
Подставляя это выражение в уравнение (9.74), найдем, что переда
точная функция замкнутой системы равна
z v 400
jy ( п) =-----------------------.
Л р3+15,1р2 +129,75/?+ 400
График переходной функции, построенный в MATLAB
(см. задачу 5.2), приведён на рис. 9.7. Как видно, система имеет
заданные показатели качества.
Рис. 9.7. Переходная функция системы с модальным управлением
352
9.27 . Найти модальное управление (9.75) для объекта
-2 0] Г 3 ] г 1
л+ и, у = II 1]х,
° °J L100J
(9.79)
переменные состояния которого недоступны прямому измерению,
так, чтобы система была астатической, а время регулирования не
превышало 2 с. Задающее воздействие g и управляемая величина у
измеряются. Для построения устройства управления использовать
наблюдатель Калмана, полученный в задаче 9.14.
Решение. В данном случае форма уравнений объекта не явля-
ется канонической управляемой. Поэтому прежде всего убеждаем-
ся, что объект (9.79) является полностью управляемым (см. зада-
чу 6.1), т. е. поставленная задача имеет решение.
Алгоритм синтеза модального управления в этом случае изло-
жен в [4. С. 167]. Следуя этому алгоритму, находим, что матрица
управляемости, характеристический полином объекта и коэффи-
циенты последнего равны:
100 0
Л(р) = Р1 +2р, ао=О, а, =2.
Это позволяет найти необходимые матрицы М по (4.4), Рг и Р~':
2 1
0 3
Л/ =
aj 1
1 0
P=UM=
200 100
-100 3
1
600 200 0
1 о
р
Далее на основе оценки времени регулирования [4. С. 156]
<1±2
Р П
(9.80)
где T] = min|ReX(|, / = 1, п, находим допустимую степень устой-
чивости синтезируемой системы: Т] > 3 / 2 = 1,5.
Это позволяет выбирать корни характеристического полинома
замкнутой системы. В данном случае передаточная функция объ-
екта по управлению равна Wru(p)-(\03p + 200)/(p2 +2р), по-
этому в соответствии с условием (9.78), произведение
12— 1607
353
X", X2 = 8*, = 200. Далее, полагая X* = —Т] = —1,5, найдем, что
Х2 = -133,333, т. е. 8J = -(X’, + Х2) = 134,833.
Теперь, в соответствии с применяемым алгоритмом, находим
вспомогательные коэффициенты kt = 8*ч - а/ч и составляем вектор
кт: X, =8J - а0 = 200 , к2=Ь* =134,833 -2 = 132,833 ,
Хг=[200 132,833]. Наконец находим вектор кт из (9.75):
кт = ктР;' =[200 132,833]
-100 3‘
200 0
— = [10,9443
600
1].
Таким образом, искомое модальное управление имеет вид
и = g — Их, —х2.
(9.81)
При этом замкнутая система (9.79), (9.81) описывается уравнениями
-34,833 -3
-1094,43 -100
3
100
g,
у = [1
1]х, (9.82)
График переходной функции, построенный в MATLAB по
уравнениям (9.82) (см. задачу 5.5), приведён на рис. 9.8. Нетрудно
установить, что система имеет время регулирования t = 1,01 с, что
меньше допустимого, и первый порядок астатизма.
Рис. 9.8. Переходная функция системы (9.79)
Так как переменные состояния недоступны измерению, то
управление (9.81) заменяется управлением
и = g -10,9443%, - %2, (9.83)
где %|, х2 — оценки переменных состояния, формируемые на-
354
блюдателем Калмана (из задачи 9.14), который описывается
уравнениями
228 230
-275 -275
3 -230
w +
100 275
(9.84)
Уравнения (9.83), (9.84) фактически описывают устройство
управления с двумя входами g и у и с обратной связью по и.
9.28 . Для объекта, рассмотренного в задаче 9.17, найти УУ,
реализующее модальное управление (9.75). Последнее должно
обеспечивать астатизм первого порядка СУ к задающему воздей-
ствию и время регулирования— не более 1,8 с. Переменные со-
стояния объекта не измеряются; измеряются: задающее воздейст-
вие g, переменная у и возмущение f. Для построения УУ исполь-
зовать наблюдатель Луенбергера, построенный в задаче 9.17.
Решение. Форма уравнений заданного объекта управления яв-
ляется канонической управляемой, поэтому модальное управление
можно найти, следуя решению задачи 9.26. В данном случае пере-
даточная функция объекта по управлению имеет вид
W 5~2р + 4р
уи\Р/ з о 2 .о
р ~2р —р + 2
Следовательно, Р0=5, «0=2, (Х]=-1, а2=-2. По условию ас-
татизма (9.78) должно быть выполнено равенство
Зо = -XJA.2A.3 = 5. С другой стороны, по условию требуемого быст-
родействия, согласно (9.80), должно выполняться неравенство
T] = min|Re Х*|> 3/1,8 = 1,67 . При Xi=A.2=-1,7 и Хз=-1,73 про-
изведение -Х^ХзХз =4,9997 = 5, т. е. оба условия будут практиче-
ски выполнены. При этом 3q=5, 8j=8,77, 32 =5,13. Далее по
формулам (9.76) находим: = 8J - а0 = 5 - 2 = 3, к2 =
= 8f-а, =8,77 + 1 = 9,77, £3 =8$-а2 =5,13 + 2 = 7,13.
Таким образом, модальное управление в данном случае опре-
деляется выражением и =g — Зх, — 9,77х2 — 7,1 Зх3. Так как по
условию задачи переменные х, не измеряются, то их необходимо
заменить измеряемыми переменными.
355
При использовании для этой цели наблюдателя Луенбергера
вектор коэффициентов модального управления кт=[3 9,77 7,13],
как показано при решении задачи 9.17, преобразовывается по
формуле кт =ктР2, где Р2— матрица преобразования, вычис-
ляемая при построении наблюдателя Луенбергера.
В данном случае, в соответствии с решением задачи 9.17,
ктР2 =[-0,4148 0,57547 -0,52784], поэтому искомое УУ описы-
вается выражениями
0 -20 .
.г
1 -9
2221 Г75
у —
78 j L38
-149
28
и +
w = g + 0,4148x, - 0,57547 х2 + 0,52784 у.
9.29 . Найти модальное управление
= Sk -kTxk
(9.85)
для дискретного объекта (9.62) так, чтобы полюсы замкнутой сис-
темы, обусловленные модальным управлением, были равны
zf = 0,7, z2 = 0,9. Переменные состояния объекта не измеряются,
поэтому для построения УУ использовать наблюдатель Калмана,
построенный в задаче 9.15.
Решение. Форма уравнений заданного объекта управления не
является канонической управляемой, поэтому решение задачи, как
и в непрерывном случае (см. задачу 9.27), проводится в соответст-
вии с алгоритмом, изложенным в [4. С. 167].
В данном случае, согласно (9.62), матрица управляемости и
коэффициенты характеристического полинома объекта равны:
и=
0,02267 -0,13633'
0,1584 0,3174
а0= 0,8607, а, =-1,8607.
Так как detU = 0,02879^0, то объект (9.62) является полностью
управляемым и задача синтеза модального управления имеет ре-
шение. Находим необходимые матрицы М, Ру и Р~':
356
м=
1,8607 1“
1 0
Р>
-0,17852 0,02267
—0,02267 0,1584]’
р;'
-5,5017 0,7874
0,7874 6,2004
Корни характеристического полинома замкнутой системы за-
даны, поэтому сразу находим: 3(* =0,63, 3] =-1,6. Теперь, следуя
алгоритму синтеза, находим вспомогательные коэффициенты
kt = 3*_, - а,_, и составляем промежуточный вектор кт:
кх..= 0,63 - 0,8607 = -0,2307 , к2 = -1,6 + 1,8607 = 0,2607 ,
к т = [- 0,2307 0,2607]. Затем находим вектор кт из (9.75):
кг = ктР;' =[-0,2307
0,2607]
-5,5017 0,7874
0,7874 6,2004
= [1,4745 1,4348].
Таким образом, искомое модальное управление (9.85) в данном
случае определяется выражением:
w*=g*-[M745 l,4348]xt, (9.86)
а замкнутая система (9.62), (9.86) описывается уравнениями
-0,03343 -0,893231 ГО,02267“
0,76644 1,6334 ]* L °»1584
1R (9-87)
Нетрудно установить, что корни характеристического уравне-
ния системы (9.87) равны заданным значениям.
Переменные состояния, по условию задачи, не измеряются,
поэтому управление (9.86), как не реализуемое, заменяется управ-
лением
uk=gk -[1,4745 l,4348]xt, (9.88)
где хк — вектор оценок переменных состояния, формируемый
наблюдателем Калмана (9.65). Подставляя в уравнение (9.65)
управление (9.88), получим уравнение наблюдателя без обратной
связи по управлению:
-0,03343 -0,120031 ГО,02267“
х,.+, - Хк +
*+1 [ 0,76644 0,37275] [ 0,1584
-0,7732
1,2607
Л -(9-89)
357
Уравнения (9.88) и (9.89) описывают устройство модального
управления также с двумя входами gt и уц.
9.30 . Для объекта управления из задачи 3.14, который при
fcy=50 и Т = 0,4 с описывается уравнениями:
1 0 1,735
0 0,4493_Р [-0,96
Цх.,
Я=[1
найти дискретное модальное управление (9.85) так, чтобы замкну-
тая система имела астатизм первого порядка к задающему воздей-
ствию, а один из корней характеристического уравнения zt = -0,5.
Найти fKrg (z) и построить переходную функцию системы.
Решение. Условие астатизма дискретных систем по задающе-
му воздействию, в частности, имеет [4. С. 373] вид:
m п
SP/=S5.>
»=| »=|
где Р, и 5, — коэффициенты числителя и знаменателя передаточ-
ной функции Wyg(z) дискретной системы.
С другой стороны, в силу инвариантности нулей непрерывных
и дискретных систем с модальным управлением [4. С. 168, 169]
коэффициенты Р; совпадают с коэффициентами числителя пере-
даточной функции объекта по управлению. В данном случае эта
функция описывается выражением
0,775x4-0,1805
yu Z z2 — 1,4493x4- 0,4493’
Таким образом, полюсы xt и х2 замкнутой системы должны
быть такими, чтобы сумма коэффициентов знаменателя её переда-
точной функции Wyg(z) равнялась 0,7754-0,1805 = 0,9555. Так как
порядок системы равен двум, то указанным знаменателем будет
полином D(z) = (z-zxXz-z2)=z2 -(х, 4-х|)х4-х|х2. Сумма всех
его коэффициентов, очевидно, определяется выражением
14- XjX2 - (х, 4- х2 ) = (1 - х, )(1 - х2 ). По условию задачи zx = -0,5,
поэтому легко найти, что х2 =1-0,9555/1,5 = 0,363. При этом
358
So =-0,1815, 5J =0,137. Далее, имея в виду, что а0= 0,4493,
а, =-1,4493, по формулам (9.76) находим вспомогательные ко-
эффициенты Л, = 8*_, - a,_j и составляем вектор к т:
кх = -0,1815 - 0,4493 = -0,6308 , к2 = 0,137 +1,4493 = 1,5863 ,
к т = [- 0,6308 1,5863]. В данном случае матрицы
-1,4493 1
0,7795 1,735
0,96 -0,96
1,0466 1,8915
1,0466 0,8499
Поэтому вектор к т из (9.75) будет равен:
кт =ктР;' =[-0,6308
1,5863]
1,0466 1,8915
1,0466 0,8499
=[1 0,15496].
Таким образом, искомое модальное управление (9.85) в дан-
ном случае определяется выражением
"*=£*-[1 0,15496]ха.
Замкнутая система имеет передаточную функцию
z X 0,7752 + 0,1805
W (Z) = “7------------------
у z2 + 0,137г — 0,1815
при которой удовлетворяются заданные требования. Переходная
функция синтезированной системы приведена на рис. 9.9.
Рис. 9.9. Переходная функция дискретной системы
359
9.31 *. Найти модальное управление (9.75) для объекта с пере-
даточной функцией по управлению
* 0.005/? + 0,15/?2 +р
и измеряемыми переменными состояния. Замкнутая система
должна иметь первый порядок астатизма к задающему воздейст-
вию, а время регулирования не должно превышать 0,15 с.
9.32 *. Найти модальное управление для объекта, описываемо-
го уравнениями
так, чтобы замкнутая система обладала первым порядком астатиз-
ма к задающему воздействию, а время регулирования не превыша-
ло 1,2 с. Переменные состояния объекта не измеряются. Для по-
строения УУ применить наблюдатель Калмана.
9.33 *. Для объекта, который описывается уравнениями
2 41 Г1 1 ГО,51 г ,
х = х + и + f, у = 11 10|х,
3 б] L0,2J L°’3J
найти модальное управление так, чтобы замкнутая система имела
первый порядок астатизма к задающему воздействию, а время ре-
гулирования не превышало 1,5 с. Переменные состояния объекта
не измеряются. Для построения УУ применить наблюдатель Кал-
мана, предполагая, что возмущение f измеряется.
9.34 *. Найти модальное управление для объекта (9.16) так,
чтобы замкнутая система имела первый порядок астатизма к за-
дающему воздействию, а время регулирования не превышало 2 с.
Переменные состояния объекта не измеряются. Для построения
УУ применить наблюдатель Луенбергера, предполагая, что воз-
мущение f измеряется.
9.35 *. Найти модальное управление (9.85) для дискретного
объекта (9.66). Полюсы замкнутой системы, обусловленные мо-
360
дальним управлением, должны быть равны zf = 0,5 , - 0,6 . Пе-
ременные состояния объекта не измеряются. Для построения УУ
использовать наблюдатель Калмана, построенный в задаче 9.16.
Построить переходную функцию замкнутой системы.
9.36 *. Для дискретного объекта, который имеет передаточную
функцию по управлению
^) =
3,357 z +3,357
z2 — l,52z + l
найти модальное управление (9.85) так, чтобы полюсы замкнутой
системы, обусловленные модальным управлением, были равны
zf = 0,35, z*2 = 0,62. Переменные состояния дискретной системы
не измеряются, поэтому для построения УУ применить наблюда-
тель Калмана.
Система должна иметь первый порядок астатизма к задающему
воздействию. Два её полюса, обусловленные модальным управле-
нием: z*,=0,4, z*2=0,5. Для построения У У использовать на-
блюдатель Луенбергера с полюсами z*, = 0,2 , z*2 = 0,25.
9.38 *. Для дискретного объекта, который описывается уравне-
ниями
0 -0,86071 ГО,02267
х. +
1 1,8607 J * [ 0,1584
Ук =[о
1К,
найти модальное управление (9.85) так, чтобы полюсы замкнутой
системы, обусловленные модальным управлением, были равны
Zj* = 0,25, z2 = 0,45. Для построения УУ применить наблюдатель
Луенбергера с z*, - 0,15 .
361
9.4. Синтез систем методом желаемых ЛАЧХ
9.39. Для следящей системы (рис. 9.10) выбором коэффициен-
та усиления предварительного усилителя К и корректирующе-
го устройства обеспечить:
1) заданную ошибку 8()„„ = 5 10-5 рад отработки задающего
воздействия ф(К(0 = (Ч>2/2)К0 ПРИ Фг = 2,510-3рад/с2,
2) показатели качества переходного процесса: время регули-
рования tp, перерегулирование о%.
Рис. 9.10. Структурная схема приборной следящей системы
Корректирующее устройство синтезировать и реализовать в
двух вариантах:
а) в виде последовательного корректирующего устройства.
При этом tp < 0,35 с, а < 25%;
б) в виде местной обратной связи. При этом tp <0,5с,
о <12,5%.
Параметры заданной, исходной системы (рис. 9.10): Ay„ = 3,
Тиу =0,1 с, Кк1, = 0,%В1угл.грд = 45,84В/рад, Кг>в = 2 рад/с-В,
^=0,025, 7и=0,01 с.
Решение. В соответствии со структурной схемой, исходная
система имеет второй порядок астатизма по задающему воздей-
ствию [4. С. 127,128]. Поэтому её динамическая ошибка от за-
дающего воздействия заданного вида определяется выражением
8d„„=C2gg, где коэффициент ошибки C2g=l/K; £ = 2ф2, а
К — коэффициент усиления системы в разомкнутом состоянии.
Это позволяет найти требуемое значение этого коэффициента
К = Кт{кВ, исходя из заданной точности, по выражению
362
= 2<p2
треб о
5-10~3
5 105
= 100.
(9.90)
Согласно рис. 9.10, коэффициент усиления исходной системы в
разомкнутом состоянии равен К = К{К„уи, где Кх—коэффици-
ент усиления заданных элементов исходной системы
= КкмКшКдвКред/Т"У =68,76. Следовательно, требуемое значе-
ние коэффициента
К треб 100 , .
~ ~ =-----------1 >454.
К{ 68,76
Далее расчет ведется в следующей последовательности.
1. Записывается передаточная функция разомкнутой системы
по её структурной схеме при = Ктреб =100:
t
Wp(p) = --= 100----. (9.91)
р р2(1+ад p2(i+o,oip)
2. По выражению (9.91) строятся логарифмические частотные
характеристики исходной системы в соответствии с методикой,
изложенной, например, в [4. С. 47-51] или в [17]. Для рассматри-
ваемого случая эти характеристики приведены на рис. 9.11.
3. Анализ полученных частотных характеристик приводит к
выводу, что замкнутая система (рис. 9.10) является неустойчивой,
поскольку не обладает запасами устойчивости ни по модулю, ни
по фазе, т. е. необходима коррекция системы.
В соответствии с заданием выполним сначала синтез двух ва-
риантов последовательных корректирующих устройств в виде пас-
сивных четырехполюсников.
Замечание. В варианте 6) по заданию, необходимо найти корректи-
рующее звено в виде местной обратной связи. Однако и в этом случае
при синтезе методом ЛАЧХ сначала определяется корректирующее звено
последовательного типа, с помощью которого затем определяется звено
местной обратной связи.
Для синтеза корректирующих устройств прежде всего строит-
ся желаемая логарифмическая амплитудно-частотная характери-
стика Ьж (со).
363
Рис. 9.11. Графики логарифмических частотных характеристик
исходной системы в разомкнутом состоянии
Построение желаемой ЛАЧХ. Построение Ьж(ы) выполняет-
ся на основе требуемых показателей качества проектируемой сис-
темы и следующих положений:
- чтобы 8дм„ была равна требуемой, низкочастотные асимпто-
ты исходной и желаемой ЛАЧХ должны совпадать. При этом низ-
кочастотная асимптота исходной ЛАЧХ должна проходить через
точку A (201gA',n/)ffi; ю=1) (см. рис. 9.11) под наклоном
-20 vs дБ/дек, где vg — желаемый порядок астатизма по за-
дающему воздействию проектируемой системы;
- частота среза (йсрж желаемой ЛАЧХ БЖ((О) выбирается из
диапазона
364
— <<йсрж< —; (9.92)
рег рег
- при построении среднечастотной асимптоты, на которой нахо-
дится частота среза сосрлс, целесообразно рассматривать несколько
вариантов с различным наклоном этой асимптоты (обычно
— 20 дБ/дек или 0 дБ/дек). При этом, чем меньше величина требуе-
мого перерегулирования и %, тем меньше должен быть наклон;
- сопрягающие частоты соГж. и со2 ж. (начало и конец средне-
частотного участка), во-первых, должны по возможности совпа-
дать с сопрягающими частотами исходной ЛАЧХ Ь11СХ((Б) (для
простоты корректирующего контура), а во-вторых, отрезки
со1ж. ••<£>срж и соСДЖ (02ж должны находиться в диапазоне
(0,2 ”-0,9) декады. Уменьшение этого диапазона приводит к
сильным колебаниям, увеличение — к монотонности переходного
процесса. Это как в одном, так и в другом случае увеличивает дли-
тельность переходного процесса;
- ' частота со1ж. может принадлежать низкочастотной или до-
полнительной асимптоте с наклоном -40 (-60) дБ/дек, предназна-
ченной для сопряжения среднечастотной и низкочастотной асимп-
тот желаемой ЛАЧХ £ж(со) ;
- высокочастотная асимптота, начиная с частоты со„
(рис. 9.11), должна, по возможности, повторять наклон исходной
ЛАЧХ.
4. Перейдем к построению Ьж (со) для рассматриваемой зада-
чи. Для заданных вариантов синтеза корректирующих устройств а)
и б) строятся различные варианты Бж (со), так как требования к
качеству системы в этих вариантах различные.
Вариант а). Наклон среднечастотной асимптоты обычно при-
нимается равным - 20 дБ/дек (рис. 9.12). При этом условие (9.92)
имеет вид
12,56 <со"рж. <50,24
или в логарифмическом масштабе:
365
l,l<lgco")afC <1,7.
(9.93)
Диапазон (9.93) указан на рис. 9.12 наклонной штриховкой.
Частоту среза можно взять примерно в середине отрезка (9.92),
(9.93), т. е. со" =10UJ = 21,4с-1, а величины сопрягающих частот:
со"^. = 1О0'67 = 4,67 с’1 и со^ = со,, = 100 с'1. При этом отрезок
‘ ж Равен 133 - 0,67 = 0,66 дек, а отрезок со"р ж • • • ы2 ж
равен 2 - 1,33 = 0,67 дек, т. е. их длины лежат в пределах диапазо-
на (0,2•••0,9) декады.
Рис. 9.12. Графики исходных и желаемых логарифмических
характеристик для варианта о)
Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ проводится па-
раллельно высокочастотной асимптоте исходной ЛАЧХ через точ-
366
ку с координатами L = 0, (о = со^ж-. В результате получается асим-
птотическая для варианта а), показанная на рис. 9.12. Зна-
чения постоянных времени, соответствующих частотам сопряже-
ния со".*. и «j*., равны: Т°ж — 0,214 с, Т^ж = 0,01 с.
По графику £^.(со) легко записывается желаемая передаточ-
ная функция системы в разомкнутом состоянии данного варианта
100(0,214/? ч-1)
р2(0,01р + 1)2 ’
(9.94)
С помощью MATLAB по №^ж(р) соответствующей №“ж(р)
(9.94) находится график соответствующей переходной функции,
который приведён на рис. 9.13,а. По этому графику находим
= 0,34 с, а о" = 21 %, что соответствует требованиям к системе
в данном варианте.
Вариант б). В этом случае наклон среднечастотной асимптоты
£^.(<о) принимается равным 0 дБ/дек. Также по (9.92) рассчиты-
вается и наносится на ось частот диапазон допустимого изменения
С0срлс (на Рис- 9-^ этот Диапазон частот показан штриховкой):
6,28 <со^ж< 25,12
Рис. 9.13. Переходные функции синтезируемой системы
367
Поэтому, если сопрягающую частоту С01.ж взять равной часто-
те среза исходной ЛАЧХ, т. е. -10 с-1; частоту
со^. = со„ -100 с~', а наклон высокочастотной асимптоты также
-60 дБ/дек, то график желаемой асимптотической характери-
стики Ь6Ж. (со) полностью определится (рис. 9.14). При этом длины
отрезков cof3K---co®).w. со®,^•••со£ж. лежат в пределах (0,2...0,9)
декады. Постоянная Tf =0,1 с, а Tf =0,01 с.
Рис. 9.14. Графики исходных и желаемых логарифмических
характеристик для варианта б)
По графику Ьбж (со) (рис. 9.14) легко установить, что ей соот-
ветствует передаточная функция
368
(9.96)
^рж(р)=
100(0,1/7 +1)2
/>2(0,01р +1)3 '
Как и выше, с помощью MATLAB по ГК®^.(р) соответст-
вующей (УрЖ(р) (9.96) строится график переходной функции,
приведенный на рис. 9.13,б, судя по которому tp-0,484с, а
и6 = 12 %, что также соответствует требованиям.
5. Далее определяются запасы устойчивости для обоих вари-
антов желаемых ЛАЧХ. Для этого по передаточным функциям
(9.94) и (9.96) записываются соответствующие выражения для фа-
зочастотных характеристик:
Ф^(“) = ~* + arctg(T},%со) - 2arctg(T^(ii), &
4>ж (“) = -я + arctgiT^m) - 3arctg(rfM со).
Эти характеристики построены и приведены: ф^.(со) на рис. 9.12,
а ф^(со) на рис. 9.14.
По графикам ф^(со) и выражениям (9.97) получаются сле-
дующие запасы устойчивости:
- по фазе: у°р = 0,97 рад = 56°, у°ср = 1,63 рад = 93,4°;
- по модулю: £°о„ = 13 дБ, L63a„ = 16,3 дБ.
Полученные результаты позволяют перейти к определению
схем необходимых корректирующих звеньев.
6. С целью определения схем корректирующих звеньев снача-
ла по рис. 9.12 и рис. 9.14 находятся ЛАЧХ последовательных
корректирующих устройств в соответствии с выражением
£„ос (со) = £3^. (со)-£ucv (со) для 2-х вариантов. Полученные в ре-
зультате вычитания ЛАЧХ последовательных корректирующих
устройств приведены на рис. 9.15. По этим характеристикам запи-
сываются передаточные функции этих устройств в виде
1 + Г2 Р
369
(9.99)
*С(р) =
(1 + ?У>)2
(1 + Г/р)2
Рис. 9.15. Логарифмические частотные характеристики
корректирующих звеньев последовательного типа
7. По таблице, приведенной в приложении П.7, выбираются
две пассивные корректирующие цепочки с характеристиками, по
форме аналогичными приведённым на рис. 9.15. Соответственно,
передаточные функции этих цепочек должны быть аналогичны
выражениям (9.98) и (9.99).
Параметры цепочек рассчитываются по формулам, приведен-
ным в тех же таблицах, путем приравнивая постоянных времени
электрических схем к значениям, полученным из логарифмиче-
ских частотных характеристик. Например, для ИХ-С?) (9-98) и
схемы, представленной в верхней части рис. 9.16, можно записать
равенства 7\а = С - R, = 0,214 с, Т£ = = 0>01 с. Если зна-
чение ёмкости С, например, равно 0,1 мкФ, то R] = 2,14 мОм, а
R2 = 0,1 мОм. При этом а = R2 !(R\ + R2) = 0,04673. Это затухание,
370
вносимое RC-цепочкой, компенсируется увеличением Кпун в
а'1 =21,4 раз.
Таким образом, для реализации варианта а) проектируемой
системы (см. рис. 9.10) достаточно перед предварительным усили-
телем напряжения включить RC-цепь, показанную в верхней части
рис. 9.16, и увеличить коэффициент этого усилителя Кти в 21,4
раза, т. е. до 31,12.
Если и в случае б) коррекцию осуществлять последователь-
ным звеном, т. е. с помощью звена W^oc (р) (9.99), то формально
необходимо взять два звена, показанных в верхней части рис. 9.16,
и соединить их последовательно. Однако из-за взаимного влияния
их общая передаточная функция уже не будет равна произведению
передаточных функций каждой цепочки в отдельности.
—
Л, г*з
^яс(р) = «'' + Г—, а = —. Т|=С-Я|, т2=а-т1
С (\ + ТгР)' «, + «2
Рис. 9.16. Схемы последовательных корректирующих цепей
Чтобы исключить это влияние, а также влияние нагрузки пас-
сивного звена на его свойства и компенсировать затухание, вноси-
мое пассивными четырехполюсниками, в схему корректирующих
371
звеньев вводятся операционные усилители, как показано в нижней
части рис. 9.16.
На этом рисунке это усилители с резисторами /?3 на входе и
R4 в цепи обратной связи. Коэффициент усиления каждого из
этих усилителей берется равным 1 / а.
Как и в случае а), для звена №„й„с(р) получаем:
= CRi = 0,1 с, Г,6 = - 0,01 с. Следовательно, при том
щ + R2
же значении ёмкости С = 0,1 мкФ, элементы схемы будут такими:
R\ = I мОм, R2 — 0,11 мОм, а = 0,1. Если выбрать Л3 = LwOm, то
для компенсации указанного затухания необходимо взять
У?4 =Юл/0л/.
8. Далее в соответствии с пунктом б) задания определяется пе-
редаточная функция звена местной обратной связи по формуле
W (р) =-----------------
ЛЮС ^,ean,(PW„odP)
(9.100)
В рассматриваемом выражении под Woxeam (р) понимается
передаточная функция того звена системы, которое «охватывает-
ся» местной обратной связью.
В случае рассматриваемой системы в качестве охватываемого
звена удобно взять усилитель мощности (см. рис. 9.10). В этом
случае ^Рохват(р)-К и =3, и из выражений (9.99) и (9.100) нахо-
дится передаточная функция звена местной обратной связи в виде
ГГ (л) — „ 2(Г26-Т,б)р + [(7’26)2-(Г1б)2]р2
Кум-WZ(p) K^l + Tfp)2
Подстановка численных значений даёт
(9.Ю0
(1 + 0,1р)2
Для реализации с помощью пассивных корректирующих цепей
полученную функцию (9.101) целесообразно представить как после-
довательное соединение 2-х звеньев: 1КДс (у?) = IP,6 (р) W2 (р) при
372
1Гб(р) = -1 + °’°55р, r/(p) = 0,6-0,lp . (9.102)
1 1 + 0,\р 2 1 + 01р v >
В соответствии с таблицей из приложения П.7 с учётом необ-
ходимости исключения взаимного влияния передаточные функции
(9.102) можно реализовать электрической схемой, показанной на
рис. 9.17.
Расчет параметров корректирующих устройств также произ-
водится путем приравнивания постоянных времени электрических
схем к значениям из выражений (9.102). В результате при
С, = С2 = 0,1 мкФ получим: R, = 1л/(2м , /?2=10л/Ом,
Ry = 6 мОм, R4 = 0,45 мОм, R5 = 0,55 мОм.
(„)- ciRtP 1 + С2Л5д
1 + С,Л1Р Я, 1 + С2(Л4+Л5)р
Рис. 9.17. Электрическая схема корректирующей цепи
в обратной связи
9. Для оценки качества синтезированной следящей системы
целесообразно провести её моделирование. В данном случае для
моделирования использовался SIMULINK пакета MATLAB. Схема
моделей обоих полученных вариантов следящей системы показана
на рис. 9.18.
На этом рисунке верхняя часть схемы представляет собой модель
варианта а) системы, т. е. следящей системы с последовательной
коррекцией. Нижняя часть схемы — это модель варианта б), т. е.
системы с местной корректирующей обратной связью, охватываю-
щей усилитель мощности с Kvv = 3.
Графики переходных функций вариантов а) и б), полученные
на описанной модели, приведены на рис. 9.19. Как видно эти гра-
фики совпадают с графиками, приведенными на рис 9.13. При
373
этом показатели качества системы в переходном режиме, как сле-
дует из этих графиков, соответствуют заданным значениям.
Рис. 9.18. Схема моделей следящей системы
Оценку величины динамической ошибки 8duH системы можно
выполнить также путем её моделирования в SIMULINK при пара-
болическом воздействии Ф„(О = Ф2*2ЦО • Это воздействие, как
показано на рис. 9.18, создаётся последовательным включением
2-х интеграторов после блока “Step” (parabol model). На этих ин-
теграторах следует задать нулевые начальные условия. На блоке
“Step” следует задать “Step time” равным нулю, а величину “Final
value” равной фм(0) = 2<р2 = 5 • 10“3.
374
Указание. В процессе синтеза методом желаемых ЛАЧХ могут полу-
чаться передаточные функции неминимально-фазовых корректирующих
устройств с «положительным нулем» (т. е. звеньев, у которых хотя бы
один корень полинома числителя имеет положительную реальную часть).
Для реализации таких корректирующих звеньев необходимо выбирать
схемы специальных неминимально-фазовых RLC цепей [4. С. 55].
9.40. Найти уравнения и построить полностью на операционных
усилителях электрическую схему корректирующего устройства,
полученного при решении задачи 9.39, вариант а), заменив им пред-
варительный усилитель напряжения в схеме на рис. 9.10.
Решение. Фактически в данной задаче необходимо построить
корректирующее устройство (КУ) на операционных усилителях
(ОУ), передаточная функция которого ^.(р) равна произведе-
нию Кт111Упос(р), где Кпун —1,454 — коэффициент усиления
предварительного усилителя, a Wnoc (р) — передаточная функция
(9.98) корректирующего звена последовательного типа, найденная
в задаче 9.39. Если обозначить выходное напряжение измерителя
рассогласования , а входное напряжение интегрирующего уси-
лителя — Uuv, то с учетом численных значений имеем
^(р)=^
им
= М54(1+Л214р)
ииу 1 + 0.01Д
Представим сначала передаточную функцию (9.103) в кано-
нической форме [5. С. 122], т. е. выделим её целую часть:
Игку(р) = 31, Н6-2966’-.
р + 100
Чтобы уменьшить коэффициенты передачи операционных
усилителей и учесть их инвертирующие свойства, представим эту
функцию в виде произведения W (р) = KxW2(p), где
95 33
К. =-31,116, 1К>(р) =-----1.
1 2 р + 100
Обозначим выходное напряжение усилителя с коэффициен-
том усиления Кх =-31,116 через 17,, тогда из соотношений кано-
нической управляемой формы [5. С. 121-123] вытекают следую-
375
шие уравнения в переменных состояния корректирующего устрой-
ства с передаточной функцией (9.103):
t/] = -31t/KM, x = -100x + wi, 17иу =-(7] +95,Зх.
Этим уравнениям соответствует принципиальная электриче-
ская схема на операционных усилителях, приведенная на рис. 9.20.
Так как на выходе интегрирующего операционного усилителя сиг-
нал будет равен -х, то не трудно убедиться, что эта схема дейст-
вительно реализует передаточную функцию (9.103). Задавшись
значением ёмкости С и резисторов R i, Л5, Rf,, например,
С = 0,1 мкФ, R] =6 кОм, /?5 = /?б=100 кОм , легко рассчитать (см.
задачу 3.2) остальные параметры схемы: /?2 = 187кО.и,
Ry = 105 кОм, R4 = 100 кОм, R2 — 100 кОм.
Рис. 9.20. Последовательное корректирующее устройство
9.41 *. В следящей системе из задачи 9.39 (вариант б) корректи-
рующее устройство местной обратной связи с передаточной функ-
цией (9.101) полностью реализовать на операционных усилителях.
9.42 *. Выполнить синтез методом ЛАЧХ последовательного
корректирующего устройства для системы, имеющей в разомкну-
том состоянии следующую передаточную функцию
треб
W(P) =
р " p(l + TiP)(\ + T2p)
(9.104)
где 7j = 0,02 с, Т2 - 0,01 с. В результате синтеза необходимо обес-
376
лечить ошибку отработки линейного задающего воздействия
‘ l(0(£»i =0,2раг)/с) не более 0,001 рад, перерегулирова-
ние о < 30%, время регулирования tp < 0,8 с. Рассчитать параметры
последовательного корректирующего устройства на RC-цепи и ОУ.
9.43 *. Выполнить синтез методом ЛАЧХ последовательного
корректирующего устройства для системы, имеющей в разомкну-
том состоянии следующую передаточную функцию
К
треб
(9.105)
ИС (р)=------------------------>
Р (И-7’1р)(И-7’2р)(1 + 7’3р)
где 7\ - 0,2 с, Т2 = 0,1 с, Т2 = 0,05 с. В результате синтеза необхо-
димо обеспечить ошибку отработки ступенчатого задающего воз-
действия g(t) = g0 -1(0 (g0 -1 Рад) не более 3 10-2р«д, перерегу-
лирование о < 20%, время регулирования tp < 0,6 с. Рассчитать
параметры принципиальной электрической схемы последователь-
ного корректирующего устройства на основе RC-цепи и ОУ.
’ Указание. В данной задаче требуемый коэффициент передачи необ-
ходимо находить, исходя из выражения для статической ошибки синте-
зируемой системы (см. [4. С. 115,116 или С. 120, 123]).
9.44*. Выполнить синтез методом ЛАЧХ последовательного
корректирующего устройства для системы, имеющей в разомкну-
том состоянии следующую передаточную функцию
К
треб
W(p) = —--------------------------, (9.106)
р р2(\ + 7\р)(\ + Т2р)(\ + Т2р)
где 7] =0,04 с, Т2 =0,01 с, Т2 =0,002 с. Замкнутая система должна
иметь ошибку отработки задающего квадратичного воздействия
g(t) = g2 t2 1(0 (gi-0,001 рад/с2) не более 2-10“5 рад, перере-
гулирование о < 30%, время регулирования tp < 0,45 с. Рассчитать
параметры принципиальной схемы последовательного корректи-
рующего устройства на основе RC-цепи и ОУ.
9.45 *. Для системы с передаточной функцией (9.104) мето-
дом ЛАЧХ произвести выбор и расчет звена местной обратной
377
связи на основе RC-цепи и ОУ, охватывающей безынерционный
усилитель мощности, коэффициент усиления которого по напря-
жению К равен 2,5. Требования к качеству системы те же, что
и в задаче 9.42*.
9.46 *. Для системы с передаточной функцией (9.105) мето-
дом ЛАЧХ произвести выбор и расчет звена местной обратной
связи на основе RC-цепи и ОУ, охватывающей безынерционный
усилитель мощности, коэффициент усиления которого по на-
пряжению Кул, равен 2. Требования к качеству системы те же,
что и в задаче 9.43*.
9.47 *. Для системы с передаточной функцией (9.106) мето-
дом ЛАЧХ произвести выбор и расчет звена местной обратной
связи на основе RC-цепи и ОУ, охватывающей безынерционный
усилитель мощности, коэффициент усиления которого по на-
пряжению Кум равен 2,5. Требования к качеству системы те же,
что и в задаче 9.44*.
9.48 *. Выполнить синтез методом ЛАЧХ последовательного
корректирующего устройства для системы, имеющей в разомкну-
том состоянии следующую передаточную функцию
треб
И' (р)=----------------------,
р(1+тхРХ1+т2р)(1+т3р)
(9.107)
где Tt =0,0143 с, Т2 =0,005 с, Т} =0,00125 с. В результате синтеза
необходимо обеспечить ошибку отработки задающего линейного
воздействия g(t) = gt t-1(/) (gt = 20 угл.град/с) не более 3 угл. мин,
перерегулирование о < 35%, время регулирования tp < 0,6 с. Рас-
считать параметры принципиальной схемы последовательного кор-
ректирующего устройства на основе RC-цепи и ОУ.
9.49 *. Для системы с передаточной функцией (9.107) мето-
дом ЛАЧХ произвести выбор и расчет звена местной обратной
связи на основе RC-цепи и ОУ, охватывающей безынерционный
усилитель мощности, коэффициент усиления которого по на-
пряжению Kw, равен 3. Требования к качеству системы те же,
что и в задаче 9.48*.
378
10. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
10.1. Синтез систем с градиентным управлением
10.1. Синтезировать градиентное управление для уменьшения
бортовой качки корабля. Уравнение бортовой качки при отсутст-
вии морского волнения имеет [6. С. 326] вид
JkQ + иф|ё + Л/в(е) = РА.И, (10.1)
где 0 — угол крена корабля; |0j < л/З wk < 0,175 105 — коэффи-
циент вязкого трения, кгм2; Jk =2,5 105- момент инерции ко-
рабля относительно продольной оси с учетом присоединенной
массы, кгм2; А/в(0) — восстанавливающий момент, Tiw;
=0,5 105 — коэффициент пропорциональности; и — управле-
ние-момент, создаваемый успокоителем качки, Нм. Максималь-
ное значение скорости крена корабля принять равным 0,42 рад/с.
График зависимости произведения J^‘Me(0) от угла крена
имеет S-образный характер и не выходит (при 0>О) из угла от
Omjn =-10° до i3max =+40°. Угол и скорость крена корабля изме-
ряются специальными датчиками.
Решение. Градиентное управление применяется в тех случаях,
когда уравнение объекта управления в отклонениях переменных
состояния от положения равновесия х = 0 имеет вид
х = Яох + i>(/(x) + w), (10.2)
где А — устойчивая матрица, /(х) — неопределенная скалярная
нелинейность, удовлетворяющая условию
|/(х)| < /(х) < оо, при всех ||х{| < М < °°. (10.3)
Здесь /(х) — известная положительно определенная функция, М—
достаточно большое известное число. Оно определяется макси-
мально возможными значениями, которые могут принимать пере-
менные состояния объекта в процессе его функционирования.
Если указанные условия выполняются, то градиентное управ-
ление определяется [4. С. 316] выражением
0, хГРЪ = Ь,
-(l(x) + y(x))signxTPb, хгРЪ*0,’
и(л) =
(10.4)
где у(х) — положительная функция или нуль, а Р — матрица, яв-
ляющаяся решением уравнения Ляпунова
А1Р+РАй=-Е. (10.5)
В связи с этим, обозначая 0 = Х|, а 0 = х2, заменим уравнение
(10.1) системой
0
1
0
1
~vo
“viJ
(/(х) + 0,2н),
(10.6)
где неопределенная нелинейность
/(x)=-(wt.|x2|-vl)x2 -(J^A/JxJ-VoXj). (10.7)
Численные значения параметров v0 и v( в данном случае оп-
ределяются следующими выражениями:
Vo -/gOmin)/2, v, =(wcemax)/2. (10.8)
Подставляя численные значения, получим
vo=(/g40°+zgl0°)/2 = 0,4425, v, =(0,07 0,42)/2 = 0,0147. Эти
значения позволяют для нелинейности fix) (10.7) (10.8) при
|х,|<п/Зрад и |х2|<0,42рад/с в неравенстве (10.3) в качестве /(х)
взять функцию /(х) = 0,4425||xj|.
При найденных значениях параметров v0 и Vj матрица Ао в
(10.6) является устойчивой, а решение уравнения Ляпунова (10.5)
имеет вид
49,081 1,1299'
Р= . (10.9)
1,1299 110,88j
Учитывая, что функция /(х) = 0,4425||х|], примем в (10.4)
функцию у(х) = 4,6675||х||, тогда искомое градиентное управление
380
с учетом (10.9) при |х, | < к / 3рад и |х2| < 0,42 рад/с будет опреде-
ляться выражением
«(*) =
0,
-5||х[| sign хТРЪ,
хТРЬ = 0,
хТРЬ*0.
(10.10)
Для проверки правильности решения задачи синтеза найдём,
следуя [4], производную по времени вдоль траекторий синтезиро-
ванной системы (10.6), (10.10) (см. задачу 8.26) от функции
Р(х) = хтРх, где Р — матрица (10.9).
Нетрудно установить, что при хт РЬ - 0, V(х) — —хт Ех. Если
же хт РЬ*0 ,то У(х)=~. хтЕх— 2|xrPZ>|(||xj-/(x)5zg/zxrE7>).
Так как модуль неопределенной функции Дх) (10.7) при ]х, | < л /3рад
и |х2| <0,42 рад/с не превышает величины 0,4425||х||, то при любом
знаке произведения signxrPb функция (||x||-/(x)xzgnxrP6) явля-
ется положительно определенной.
Таким образом, при всех значениях величины хт РЬ и при
|х, | < л / 3рад и |х21 < 0,42рад/с производная по времени вдоль тра-
екторий синтезированной системы (10.6), (10.10) от функции
V(x)-xT Рх является отрицательно определенной функцией. Сле-
довательно, по известной теореме Ляпунова при всех (х^л/Зрад
и |х2|<0,42рад/с положение равновесия 6 = 0, 6 = 0 корабля
(10.1), снабженного успокоителем качки с найденным управлени-
ем (10.10), будет асимптотически устойчивым.
10.2 *. Синтезировать градиентное управление (10.4), (10.5)
для стабилизации маятника с маховиком [4. С. 332] в верхнем по-
ложении равновесия. Отклонения маятника описываются сле-
дующими уравнениями:
Xj = х2, х2 = - sin Х| + Зх3 - 4zz, х3 = 1,5 sin х, - 7,5х3 + 6zz,
где и — управление; переменные состояния измеряются датчика-
ми.
381
Указание. Для решения задачи добавьте и вычтите во втором урав-
нении 2х,, а в третьем — 3xj и представьте уравнения маятника в виде
(Ю.2), где
0 1 0
Аь= -2
0 3
0 -7,5
3
а нелинейность /(х) = -0,5 х, +0,25 sin х,. В этом случае можно взять
/(х) = 0,75|х, |, у(х) = 0, и в уравнении (10.5) Е заменить на ЗЕ.
10.3 *. Найти градиентное управление (10.4), (10.5) для стаби-
лизации скорости вращения двигателя постоянного тока с незави-
симым возбуждением. С учетом квадратичной зависимости трения
скольжения от скорости двигатель описывается уравнением в от-
клонениях
&+(4,33 + дск |сфсЬ+(9 + 2,15с,ск |сф w=14,2и,
где w— управление; gcJt — неизвестный коэффициент трения
скольжения, причём дск <7-10-3; переменные состояния измеря-
ются датчиками.
10.4 *. Объект управления представляет собой линейный блок
с передаточной функцией
охваченный положительной обратной связью с неопределенной
нелинейностью /(у)е[-3, 3] так, что v-u + f(y). Найти гради-
ентное управление п = м(у, у) (10.4), (10.5), стабилизирующее по-
ложение равновесия у — у = 0 нелинейной системы.
10.2. Синтез иа основе квазилинейных моделей
10.5. Пользуясь квазилинейным представлением модели пере-
вёрнутого маятника [11. С. 231]
Х|=х2, х2 =sinX] + х3, х3 = и, (10.11)
найти нелинейное управление по состоянию и воздействию
382
ii=u(g,x) = g-kT(x)x, (10.12)
стабилизирующее маятник в верхнем положении равновесия
х, ~ хг ~ 0 • При этом желаемый характеристический полином мат-
рицы состояния замкнутой системы должен иметь корни: -3; -5 и -7.
Переменные состояния измеряются.
Решение. Квазилинейное, векторно-матричное представление
[6. С. 319-320] уравнений (10.11) имеет вид
х = А(х)х + Ь(х)и. (10.13)
В случае объекта (10.11) матрица состояния Л(х) и вектор входа
Ь(х) определяются выражениями:
(10.14)
где о/х,) = (sin х,) / х,. Согласно [4. С. 319-321 ], поставленная зада-
ча синтеза имеет решение, если только я замкнутой окрестности
заданного положения равновесия выполняется следующее условие:
det[/i(x) Л(х)6(х)... А (x)fe(x)] 0. (10.15)
___
При выполнении этого условия компоненты Л,(х), i=l, п
вектора к(х) нелинейного управления (10.12) для объекта (10.13)
и-го порядка определяются
уравнений
v
решением системы алгебраических
Хю
v,.
V20
v2i
(10.16)
v2,„-i
Здесь Vjj =vJj(x) — коэффициенты (функции) полиномов
и-1
Vj(x) = ejadj(pE- А(х))Ь(х) = ^Vjj(x)p‘,
i=0
где е} —j-я строка единичной п х п матрицы, j = 1, п;
(10.17)
383
7, =Т,-(х) = 8*-а,(х), /=0, л-1.
(10.18)
Здесь 8* — постоянные коэффициенты желаемого характеристи-
ческого полинома D* (р) матрицы состояния Дх) - Ь(х)кт (х)
замкнутой системы, а а, (х) — коэффициенты характеристическо-
го полинома матрицы состояния заданного объекта (10.13)
А{р) = det(pE) - Дх)) = рп + £ а,- (х)р;. (10.19)
/=о
Переходя к решению рассматриваемой задачи 10.5, легко уста-
новить, что в некоторой окрестности положения равновесия
Xj = х2 =0 объекта (10.11) выполняется условие (10.15), т. е. зада-
ча синтеза нелинейного управления (10.12) имеет решение.
Для определения этого управления по заданным корням -3; -5;
-7 и матрице А(х) (10.14) найдём желаемый полином D (р) и по-
лином Др) (10.19):
£>*(р) = (Р + 3)(р + 5)(р + 7) = р3 + 15р2 + 71р + 105,
Др) = det рЕ-
о
(iXXj)
0
0
1
0
1
0
0
= р3 -oXxt)p,
т.е. 8^=105, 8>71, 8^=15, а0(х) = 0, а,(х)=-со(х),
а2(х) = 0. Следовательно, по формулам (10.18) имеем:
уо(х) = 1О5, -у,(х) = 71 + оХХ|), 72(х) = 15. Далее по формулам
(10.17) находим полиномы К1(р,х)=1, V2(p,x) = р,
V,{p,x)~р2 -со(Х|) и составляем систему (10.16):
1 0 -Ю(Х|) к\ 105
0 1 0 к2 = 71 + со(Х|)
0 0 1 кз_ 15
Решение этой системы даёт: к3 = 15, к2 - к2 (х) = 71 + со(Х|),
kt =А1(х) = 105 + ISoXx,) . Подставляя найденные значения в выра-
384
жение (10.12), получим искомое управление
w = g - (105+1 Sctfx, ))х, -(71 + (ofx, ))х2 -15х3. (10.20)
Для проверки правильности решения задачи, найдем опреде-
литель матрицы рЕ- А(х) + Ь(х)кт (х) замкнутой системы (10.11),
(10.20). Легко убедиться, что в результате получается полином
D(p) = р^ +15р2 + 71р +105, который совпадает с желаемым.
10.6*. Записать квазилинейное векторно-матричное представ-
ление (10.13) уравнений в отклонениях, описывающих вращение
спутника [11. С. 215]:
х, = -2х2 + U|, х2 = 2Х| + и2,
х3 = -Х2О(Хз,Х4 ) + х4 , х4 =Х|(0(Хз,Х4)-Хз,
при И|=ы2=ы, (о(хз,х4) = -J1 -Xj -х4 >0, и найти нелинейное
управление по состоянию
и = w(x) = — к т (х)х,
стабилизирующее положение равновесия х = 0 спутника. При
этом желаемый характеристический полином матрицы состояния
замкнутой системы должен иметь корни: -1; -1; -1,7 и -1,7. Все
переменные состояния измеряются.
10.7*. Записать квазилинейное представление модели «пере-
вёрнутого» маятника с маховиком [4. С. 332] в отклонениях:
Х| = х2, х2 = 5 sin Х| + 2х3 + 2и, х3 = 7 sin х, + х3 + и
и найти непрерывное нелинейное управление по состоянию
и=и(.х')=-кт (х)х,
стабилизирующее маятник в верхнем положении равновесия
х = 0. При этом желаемый характеристический полином матрицы
состояния замкнутой системы должен иметь корни: -1; -2 и -3.
Переменные состояния измеряются.
10.8*. Двигатель постоянного тока с последовательным воз-
буждением при некоторых значениях параметров описывается
13—1607
385
[18. С. 104] следующими уравнениями в отклонениях от устано-
вившихся значений переменных:
-8
4,05
12
-62,5
6,08 + 2,7х,
0
67,23-2,81х,
0
1,04 м,
0
0
где Х| — отклонение магнитного потока, x-i — тока, а х3 — скоро-
сти вращения якоря, и — управления, т. е. напряжения, приложен-
ного к двигателю. Переменные состояния измеряются. Найти не-
линейное управление по состоянию
w = w(x) = ~кт (х)х,
при котором уменьшается амплитуда колебаний скорости. Желае-
мый характеристический полином матрицы состояния замкнутой
системы должен иметь корни А., =-18, Х2 =-26, Х3 =-34.
10.3. Синтез на основе управляемой формы Жордана
10.9. Используя соотношения метода синтеза на основе управ-
ляемой формы Жордана, найти управление, стабилизирующее по-
ложение равновесия х° 0 системы уравнений Рёсслера с управ-
лением [11. С. 296]:
х1=-х2-х3, x2=xt+ax2, х3 =с + х3(х,-b) + u, (10.21)
где а,Ь,с — постоянные, положительные параметры; координаты
положения равновесия при л = 0 равны: х[=ях3, х2=-х3, а
х3 = (Ь — 4b2 —4ас)/2а.
В специальной системе координат характеристическое урав-
нение замкнутой системы должно иметь корни: X,, Х2, А3.
Решение. Согласно [2, 4], уравнениями в управляемой форме
Жордана (УФЖ) называется система уравнений вида
Х/ =ф,(х1,х2,...х,+1), г = 1, и —1, (10.22)
=Ф„(*|»*2.—х„) + Ь„и, (10.23)
386
где bn *0, а функции ф,(х1,х2,...х-+1), / = 1, п-1 таковы, что в
некоторой области £7г пространства R" выполняются условия
дф,(х,,х2,...хщ)*0, /=1 и1 R» (1024)
дхм
При этом х° — положение равновесия системы (10.22), (10.23)
лежит в области £2;, т. е. х° е .
Если уравнения объекта имеют вид (10.22) (10.23), и выполняют-
ся условия (10.24), то для построения стабилизирующего управления
вводятся вспомогательные переменные следующим образом:
М) = Xl, w( (х) = £ д^^Фп (х) + Х{_| МЛ_, (х), i = 2, и, (10.25)
п=1 охп
Yi(*)=П. Yz(х) = е|~Ф,-(*)• (1 °-26)
i=i Эх/+1 /=1 ох.
Здесь X, >0, i = l, п — модули заданных корней (вещественных)
характеристического уравнения замкнутой системы в том случае,
когда её вектором состояния является вектор w=[»vl w2...wM]r
переменных w,, i = 1, п. Функции (10.25), (10.26) позволяют опре-
делить искомое управление
« = -Yr’(x)[Y2(x)+X„we(x)]-fc;4„(x). (10.27)
Отметим, что в переменных н\, i = l, л замкнутая система
(10.22), (10.23), (10.27) описывается [2,4] уравнением
-Х| 0 1 0 0 0 ’ 0
й'=Л„м', где Л„ = • • • .(10.28)
0 0 - "Vi 1
0 0 0 -к.
Переходя к построению искомого управления для объекта
(10.21), прежде всего запишем его уравнения в отклонениях vt
387
(см. задачу 8.26), полагая х, = х,° + vi, i = 1, л. В результате этой
подстановки получим
vi=-v2-v3,
v2 =v, + av2,
v3 =xjv| + (x, + v,-b)v3 +u. (10.29)
Сравнивая эти уравнения с (10.22) и (10.23), замечаем, что их
формы не совпадают. Однако, если переобозначить переменные
так, что V| - х2, v2 = х, v3 =х3, то уравнения (10.29) примут вид
X, =axt + х2,
х2 =-х, -х3,
х3 = х3х2 + (xf + х2 - Ь)х3 + и, (10.30)
который соответствует выражениям (10.22), (10.23) при п = 3.
Далее по (10.30) находим частные производные из приведен-
ных выше условий (10.24):
Эф, _д(ах, +*z)_t Эф2 _Э(-х,-х3) _ 1
Эх2 Эх2 ’ Эх3 Эх3
Очевидно, в данном случае условия (10.24) выполняются, сле-
довательно, уравнения (10.30) заданного объекта (10.21) имеют
УФЖ и искомое управление можно найти с помощью приведен-
ных выше аналитических соотношений.
С этой целью по (10.25), (10.26) и (10.30) определяем вспомо-
гательные переменные:
w, =х,, w2 =ф|(х,,х2) + Х|Х1 =х2 +(п + Х.,)Х|,
w3 =[(а + X, )(я +1) - 1]х, +(о +X, +Х2)х2 -х3, (10.31)
Эф, Эф2 = }
1 Эх2 Эх3
72 =[(fl + X,X« + l)-l](x2 +лх,)-(л + Х, +A.2X*i +х3), (10.32)
и по (10.27) с учетом (10.30) записываем управление
м(х)=(72(5г) + Ми'з(*)]“хзг2-(хГ +х2-ф)х3. (10.33)
388
Возвращаясь к исходным переменным х,, / = 1, и в выражени-
ях (10.31)-( 10.33), с учетом выражений для координат положения
равновесия, будем иметь: х, =v2 = х2 -х2, х2 =v, =х, -xj1,
x3=v3=x3-x;,
w = [Y2 W + А.3 w3 (х)] - х3° (х, - х(’) - (х, - h)(x3 - xj ), (10.34)
где
Y2W=[(a + A.lXa + l)-l](x1 +ax2)-
-(a + X.)+X2Xx2+x3), (10.35)
w3 (*)=l(a + X-i Xa +1) “ l](x2 ~ x’z ) +
+ (a + A., +X2Xx1 -X|’)-(x3 -x3). (10.36)
Таким образом, искомое управление в исходных переменных
заданного объекта управления (10.21) определяется выражениями
(10.34Н 10.36).
Для исследования качества полученного решения проведено
моделирование синтезированной нелинейной системы (10.21),
(1034)-(10.36) с помощью MATLAB при а = 0,15; b = 10, с = 0,2.
В этом случае координаты заданного положения равновесия
управляемого объекта (10.21) при н = 0 имеют следующие значе-
ния: Х|* = 0,003, х2 = -0,02, а х3 = 0,02.
Графики переходных процессов по переменным Х| и х2, полу-
ченные в результате моделирования при =0,3, Х2 =0,6, =0,9
и начальных значениях х10=х20=х30=1, приведены на рис.10.1.
Рис. 10.1. Переходные процессы нелинейной системы
389
Переходные процессы синтезированной системы, как видно,
являются затухающими. При этом переменные состояния системы
сходятся к указанному выше положению равновесия объекта
управления.
10.10. Найти на основе управляемой формы Жордана два ва-
рианта дискретного управления и* без запаздывания, стабилизи-
рующего уровень жидкости в химическом реакторе, состоящем из
двух емкостей [14. С. 95-97]. Уравнения реактора:
XU+I = Xl* [1 + ^(^1Х1* ~ 1 + х2к )]»
Х2*+1 = х2к П + ^(^2Х2* — D] + v* , (10.37)
У\к =^1Х2* — Х1*’ У1к = х2к’ (10.38)
где kb к2, bi — постоянные, положительные параметры, причем
к2 = ; Т - период дискретизации; у1г у2 — уровни жидкости в
первом и втором баке— стабилизируемые переменные; vL—
управление. Измеряются стабилизируемые переменные. В специ-
альной системе координат характеристическое уравнение замкну-
той системы должно иметь коэффициенты: а) 8, =1, 8g =0,3;
б) 8J =0,1, 8J =0,0025.
Решение. Уравнения дискретных нелинейных объектов обще-
го вида в управляемой форме Жордана имеют вид [2,4]:
хм+1 =Мхи Л*)+ФА- ^л)Фд(^+и)=Ф;(х*)> *=1»л-1
х»л+| =<Mxi,t.--х»л) + «*. (10.39)
где х*=[х1Л,...,х„д]г, фл(0)=0, фй(0)=0 и при всех х*е£1';,
к е [0, <х>), выполнены неравенства:
ф,-.2(х|.*>"-»х/.*)*0, i = l,л-1, (10.40)
а функции фд(^+|л), i = 1, л -1 при всех х* G £2- являются обратимы-
ми функциями, т. е. существуют обратные функции Л3(Фв)> "такие
4X0 Лз (Ф,з(х,>1л)) = х,+1.* -В частности, возможно, что ф,3(^+ц)=х>+| *.
390
Стабилизирующее управление ик = и(хк) для объекта (10.39)
при выполнении указанных условий (10.40) определяется (при
п > 2 ) выражениями:
w2k — ^13 ЧФ11 (*1 А+я-1) + X М *+П 1Ф12 (*! *+1) > < п=о ) (10.41)
=^-|,з{['Ч-1.* (10.42)
-ф„(й)- (10.43)
Здесь хк g Q-, а 5П — коэффициенты характеристического
полинома
Ц,(*)=П(*-*/)=г" +5«-iz”4 + -+8|*+5O (10.44)
i=l
замкнутой системы (10.39), (10.43) в специальной системе коорди-
нат. Корни этого полинома |z,| < 1, i = 1, п.
Для сокращения записи в (10.42) введено обозначение:
•Xj.T — [-*1.А-+Д -^2,4+д ’ • • ] •
Упрежденные значения переменных x,t+n, Т] = 1,л—1,
/ = 1,и-Т], фигурирующие в выражениях (10.41) и (10.42), вычис-
ляются рекуррентно по формулам
— Ф> (Х1Л+П-1 ’ x2.t+n-t ’ • • • ’ *<+!Л+П-1) ’ (10.45)
которые вытекают из уравнений объекта (10.39).
Для проверки целесообразно подставить найденное управле-
ние (10.43) в последнее уравнение системы (10.39), а затем полу-
ченное выражение для хпМ в уравнение для х„_, t+2, которое вы-
текает из уравнения (10.39) при i = п — 1 ив котором к заменено на
Л+1. Далее полученное выражение для x„_)>t+2 подставляется в
уравнение для x„_2ii+3 и т. д. Этот процесс продолжается до по-
лучения выражения для хи+л, которое при правильном расчете
должно иметь вид
391
л-1
n=0
Переходя к решению задачи 10.10, прежде всего представим
уравнения объекта (10.37), (10.38) в отклонениях хи , х2Л (см. за-
дачу 8.26). Установившиеся значения переменных состояния при
ик = 0 равны х^ = -1 / А,, х2 = 1 / k2. Полагая в (10.37) xu = х,° + хи.,
х2* = х2 + х2Л , у1к = / + у,к, у2к = у2 + y2k , получим
*i*+i =xu +7W +*i*)[*i(xi° +xi* )~1+2Л,/>,х;]+
+ 2Titlfe1(X|’ + хи )х2к, (10.46)
Х2*+| — Х2к + ^(х2 х2к )[^-2 (х2 Х2к ) ~ Ц ^vk ’ (10.47)
Й* = Ъхх1к - х2к, у2к = хгк. (10.48)
Уравнения (10.46), (10.47) объекта управления (10.37), оче-
видно, имеют дискретную УФЖ (10.39), причем п = 2, ик= Tvk ,
Фц(**)=!*м: +Цх; + xik)[*i(xi” +X|*)-l + 2*|^xD, (Ю.49)
Ф|2(Х1*) = 27'Л|6|(Х|+xu), Фв(х2* ) = х2к, (10.50)
Фг (Х* ) = Х2к + ^(Х2* х2к )1Лг (х2* Х2к ) — П • (10-51)
При этом условие (10.40) выполняется при всех |хи| <|х|’|.
В данном случае ф|3(х2) = х2, поэтому обратная функция
^1з(Фв) совпадает со своим аргументом, т. е. с выражением в
круглых скобках равенства (10.41). В связи с этим искомое управ-
ление в соответствии с выражениями (10.41)-( 10.45) и (10.49)-
(10.51) имеет вид
v* =~'^~7Z—;[Фи(х1.*+1)+5?х1.*+1 +5ох1.*]-Ф2(х*)/7’- (Ю.52)
7Ф12(Х1.И+1)
Так как по условиям задачи измеряются стабилизируемые пе-
ременные уи, у2к, то отклонения переменных состояния, фигури-
рующие в выражениях (10.49)-(10.52), вычисляются с учетом
(10.45) по следующим формулам:
392
xu = xu -*i° = V2* ~Уи
х2/с ~X2t ~Х2 =У2к “ 1/^2’
Х1*+1 = Ф11(Хи-) + Ф|2(Хи-)х2* • (10.53)
Таким образом, для вычисления значений искомого управле-
ния v* необходимо при каждом значении к по значениям уц, и ум,
поступающим с датчиков, вычислять соответствующие значения
по выражениям (10.53), а затем по (10.49)-( 10.52).
Для проверки полученного решения задачи синтеза целесооб-
разно, как отмечалось выше, подставить найденное управление
(10.52) в уравнение (10.47), а затем полученное выражение для
x2Jt+l — в уравнение для x1Jt+2, которое вытекает из уравнения
(10.46) при замене к на £+1.
Моделирование уравнений в отклонениях синтезированной
системы (10.46), (10.47), (10.52) проводилось при Ьх =0,5, кх =1,
к2 =0,5, у\ =у2 =2, х|0 =0,1, х20 =0,2. Переходные процессы,
соответствующие заданным вариантам а) и б) корней характери-
стического полинома, приведены на рис. 10.2. Как видно, изменяя
коэффициенты 5-, можно существенно изменять длительность и
характер переходного процесса.
a-=1,8; =0,3; б- 8J =0,1, 8J =0,0025
10.11 *. На основе соотношений УФЖ найти непрерывное
управление, стабилизирующее колебательные движения ракеты,
которые описываются уравнениями
393
0 = Ту' sin а - gV~l cos0,
ij+T~'b+ka sin a = fc68,
где 0— угол наклона траектории, 0=0 + a — угол тангажа,
a — угол атаки, 8 — управление (угол отклонения рулей раке-
ты), V— скорость полёта, g— ускорение силы тяжести, Tv, Тш,
ка, Л6 — параметры. Принять Х]=2, Х2=4, Х3=8, Ла=0,07,
g-r-'=l,7, Ту1—2, Т ~'=5, а’= arcsin(0,085082) = 0,0852.
10.12 *. Химический реактор описывается уравнениями
Xi = sin 0,1 х( + 0,75 и,
х2 = м3/16 + х2 .
Провести замену х( = х, + 0,75 х2, х2 = 0,25[(8 + х2 )2 - 64], а за-
тем, пользуясь соотношениями УФЖ (10.39)-( 10.45) при X, =1,
Х2 = 0,5, найти непрерывное управление, стабилизирующее поло-
жение равновесия реактора при и = 0. Построить область притяже-
ния положения равновесия реактора.
Указание. При построении области притяжения используйте решение
уравнений замкнутой системы в переменных wb w2 (см. задачу 10.9).
10.13 *. Синхронный электрический генератор с приводной
турбиной описывается следующими уравнениями:
xi*+i = + х2к,
*2*+I = x2t -1,2 sin хц +0,4хн,
*з*+1 = хз* -0,1<Р(х*) + м* •
Здесь Х| — угол поворота ротора генератора относительно син-
хронной оси вращения; х2 — скольжение; х3 — отклонение ме-
ханической мощности турбины от равновесного значения;
<p(xt) — нелинейность турбины такая, что ф(0) = 0.
Найти дискретное управление ик приводной турбины с по-
мощью соотношений (10.39)~(10.45), полагая 80 = 0,024,
8, =0,26, 82=0,9 в выражении (10.44).
394
10.14*. Система уравнений, описывающая изменения откло-
нений от верхнего положения равновесия «перевернутого маятни-
ка» с маховиком, включает следующие уравнения:
х|Л+| = xiic + 0,21 sin(0,l х2к ),
= 0,05xu. + x2k -0,lx3i,
хз*+1 =-Usin(0,lx21) + l,025xM +uk .
В приведенных уравнениях xu, х2к — дискретные значения угла
и скорости отклонения маятника от вертикальной оси, х3к — зна-
чения угловой скорости вращения маховика, а м*— значения
управляющего напряжения, подаваемого на двигатель привода
маховика при t = kT.
Используя соотношения (10.39)-( 10.45) дискретной УФЖ,
найти дискретное управление и* (10.43), стабилизирующее маятник
в верхнем положении равновесия при произвольных значениях
коэффициентов 8П в выражении (10.44).
i
395
ПРИЛОЖЕНИЯ
П.1. Преобразование Лапласа. Непрерывное и дискретное
z-преобразования Лапласа определяются соотношениями:
g(p) = fg(t)e~p'dt, g(z) = Xg(kT)z k.
0 *=o
Таблица П.1.1
Изображения непрерывных и дискретных функций
g(0 g(.p) g(kT) g(z)
<?(/) 1 8(*D z° = l
1(0 р ЧкТ)
t 1 р* кТ т— (2-1)-
/2 2! 1 р' (кТ)2 2! гз z(z + 0 2(z-l)’
1 р + а e“‘r=d‘ -i-, d = e o' z-d
1 (р + а)2 кТеаТ r zd T T (z-</)2
e'"sin(^/) Р е-" smf ркТ) zdsmfpT)
(р+а)2+р2 z2 -2zd cosfpT) + d2
е_<” costfit) Р+а (р + а)2+р2 е-" cos(.0кТ) z2 -zdcos(pT) Z2 -2zdcos(pT) + d2
S(t-T) е” S(kT-px) 8(kT-px)
1(Г-т) е-г" Р 1 (кТ-х) 1 z*-‘(z-l)
t-l ег' Р2 кТ-т рТ-т ( T z"-,(z-l) z*'(2-l)2
Примечание. Справки по |1 и т на следующей странице.
Окончание табл. П. 1.1
g(') g(p) g(kT) g(z)
е-а«-г) e" p+a e-al№4 е~ащТ~г\ zp-Xz-d)
sin/?(/-r) Perp p+P2 sin P(kT - t) zsinPd+smpe zp~'(z2 - 2zcospT +1)
cos P(t-t) pe~'r p'+P* cosP(kT -t) zcospd-cospe z^^iz2-2z cos PT + 1)
sin/?(z-r) ea{,~ri Pe1" sin/?(fc7~ - t) </"(zsin Pd+J sin рв)
(p + a)2+p2 -2zd cos pT + d2)
cos/?(;-r) ealt~ri (p + a)e~’r (p + a)2+p2 cos P(kT -1) d^zcospd-dcosPQ)
e-'z^-'iz2-2zdcospT+d2)
Примечание. В таблице g(p) — изображение функции g(t) !(/);
g(z) — z-изображение функции g'(t) = g(kT) = g(t)\(kT), или
g‘G-T) = g'(^r-T) = g(/-T) ЦкТ). Здесь ’
\(кТ) = ^Ъ(кТ-1Т),
1=0
В таблице Ц — целое число. Оно подбирается пользователем таким об-
разом, чтобы при заданном значении Т выполнялось условие
(ц - 1)Т< т< цГ .
Величины: д = —т, 0 = т—(ц-!)?.
397
П.2. Функция freqasimp
function [A, F, Igwl, Igws]=freqasymp(sys, Igw, fig)
% freqasymp Вычисление асимптотических логарифмических АФЧХ
% [A, F, Igwl, Igws] = freqasymp(sys, igw)
% sys - Iti модель SISO типа 'zpk' или 'tfпосле каждого комплексного
% нуля или полюса должно сразу следовать сопряженное ему значение
% Igw - вектор десятичных логарифмов круговых частот или
% границы диапазона: [loglO(wmin) loglO(wmax)]
% fig - если = 1, то вычисляется асимптотическая ФЧХ;
% если = 0 или отсутствует, то вычисляется просто ФЧХ
% А - амплитудно-частотная характеристика (дБ)
% F - фазочастотная характеристика (градусы)
% Igwl - логарифмы частот, на которых вычислены А и F
% Igws - логарифмы сопрягающих частот
if -((isa(sys,’zpk') | isa(sys,'tf')) & issiso(sys))
error(•Требуется модель SISO типа ’'ирк'1 или
'•tf1'.•), end
if isa(sys,*tf*), sys « zpk(sys); end
Igw = lgw(:); ws=[]; lgws»[); kn= 2*log(10); kw = pi/kn;
if (nergin == 3 & -fig)|nargin==2, flag=l; else flag=O;
end
if fleg, kdf » 5; df » (Igw(end) - lgw(l))/kdf; end
zp » (sys.z{:}; sys.p{:}];
if -isempty(zp)
jr = find(-imag(zp));
if -iseapty(jr)
zpr zp(jr);
jrl • find(zpr);
if -isempty(jrl)
zprl » zpr(jrl);
w > loglO(abs(zprl));
if flag, df « min(df, kw/kdf);
end
Igws » (Igws; w];
ws « [ws; w; w-kw; w+kw] ;
end
end
ji = find(imag(zp));
if -isempty(ji)
zpi zp(ji); zpi = zpi(1:2send);
w = loglO(abs(zpi));
dw = kw«abs(real(zpi))./abs(zpi);
if fleg, jj = find(dw);
398
if -isempty(jj), df a min(df,
min(dw(jj))/kdf) ; end
end
Igws = [Igws; w] ;
ws « [ws; w; w-dw; w+dw] ;
end
end
if fleg
Igwl a sort([Igw; ws; (lgw(l):df:Igw(end))*]);
ww = 10.*Igwl;
else
Igwl a sort([Igw; ws] ) ;
end
к = sys.к;
A = loglO(abs(k)) + zeros(length(Igwl).1);
F » atan2(0. k) + zeros(length(lgwl),1);
p = sys.p{:}; % ПОЛЮСЫ
if -isempty(p)
jr = find(-imag(p));
if -isempty(jr)
pr - p(jr);
jO « find(-pr);
if -isempty(jO)
A a A - Igwl*length(jO);
F - F - pi/2*length(j0);
end
jrl = find(pr);
if -isempty(jrl)
prl a pr(jrl);
w a loglO(abs(prl));
for j a 1:length(prl)
jw a find(lgwl <a w(j));
A(jw) a A(jw)-w(j); jn a jw(end)+l;
A(jn:end) a A(jn:end)- Igwl(jn:end);
if flag, F a F - atan2(ww, -prl(j));
else
jw a find(lgwl > w(j)-kwtlgwl<a w(j)+kw);
if prl(j)<0
F(jw)=F(jw)-(kn*(lgwl(jw)-w(j))+pi)*0.25;
else
jn a jw(l)-l;
F(l:jn) a F(l:jn) - pi;
F(jw)=F(jw)+(kn*(Igwl(jw)-w(j))-3*pi)*0.25;
end
jn a jw(end)+l;
F(jn:end) a F(jn:end) - pi*0.5;
399
end
end
end
end
ji = find(imag(p));
if -isempty(ji)
pm = p(ji); pm = pm(l:2:end);
w = loglO(abs(pm));
dw = kw*abs(real(pm))./abs(pm);
for j = 1:length(pm)
jw = find(Igwl <= w(j));
A(jw) = A(jw) - 2*w(j); jn =jw(end)+l;
A(jn:end) = A(jn:end) - 2*lgwl(jn:end);
if flag
if real(pm(j))
F= F-atan2(ww-imag(pm(j)),-real(pm(j)));
F= F-atan2(ww+imag(pm( j)),-real(pm(j)));
end
else
jw=find(lgwl > w(j)-dw(j)fc lgwl<= w(j)+dw(j));
jn = jw(end) + 1;
if real(pm(j))<0
F(jw)=F(jw)-((Igwl(jw)-w(j))/dw(j)+1)*pi*0.5;
F(jn:end) = F(jn:end) - pi;
elseif real(pm(j))>0
F(jw)=F(jw)+((lgwl(jw)- w(j))/dw(j)+1)*pi*0.5;
F(jn:end) = F(jn:end) + pi;
end
end
if real(pm(j))== 0
jw = find(Igwl > w(j)); F(jw) = F(jw) - pi;
end
end
end
end
z = sys.z{:}; % нули
if -isempty(z)
jr = find(-imag(z)) ;
if -isempty(jr)
zr = z(jr);
jO = find(-zr);
if -isempty(jO)
A = A + lgwl*length(jO);
F = F + pi/2*length(j0);
end
jrl = find(zr);
if -isempty(jrl)
400
zrl = zr(jrl);
w = loglO(abs(zrl));
for j = 1:length(zrl)
jw = find(Igwl <= w(j));
A(jw) = A(jw) + w(j); jn = jw(end) + 1;
A(jn:end) = A(jn:end) + Igwl(jn:end);
if flag, F = F + atan2(ww, -zrl(j));
else
jw = find(Igwl > w(j)-kw & Igwl <= w(j)+kw);
if zrl(j) < 0
F(jw)=F(jw)+(kn*(Igwl(jw)-w(j)) + pi)*0.25;
else
jn = jw(l) - 1}
F(l:jn) = F(l:jn) + pi;
F(jw)=F(jw)-(kn*(Igwl(jw)-w(j))-3*pi)*0.25;
end
jn = jw(end) + 1;
F(jn:end) = F(jn:end) + pi*0.5;
end
end
end
end
ji = find(imag(z));
if -isempty(ji)
zm = z(ji); zm = zm(l:2:end);
w = loglO(abs(zm));
dw = kw*abs(real(zm))./abs(zm);
for j = 1:length(zm)
jw = find(lgwl <« w(j));
A(jw) » A(jw) + 2*w(j); jn » jw(end) + 1;
A(jn:end) = A(jn:end) + 2*lgwl(jn:end);
i f flag
if real(zm(j))
F = F + atan2(ww-imag(zm(j)),-real(zm(j)));
F = F + atan2(ww+imag(zm(j)),-real(zm(j)));
end
else
jw=find(Igwl >w(j)-dw(j) & Igwlo w(j)+dw(j));
jn = jw(end) * 1;
if real(zm(j))<0
F(jw) =F(jw) + ((Igwl(jw)-w(j))/dw(j)+1)*pi*0.5;
F(jn:end) = F(jn:end) * pi;
elseif real(zm(j))>0
F(jw)=F(jw)-((Igwl(jw)-w(j))/dw(j)+1)*pi*0.5;
F(jn:end) = F(jnsend)-pi;
end
end
14—1607
401
if real(zm(j))==0
jw = find(Igwl > w(j)); F(jw) = F(jw) + pi;
end
end
end
end
j = find(lgwl>=lgw(l) & lgwl<=lgw(end));
Igwl = lgwl(j); A = A(j); F = F(j);
if flag. F = unwrap(F); end
A = 20*A; F = F*180/pi;
П.3. Функция c2taud
function [syss, sysw] ж c2taud(sys,T,tau.kie)
% c2taud преобразование непрерывной lti-модели в дискретную,
% когда длительность импульса АИМ меньше периода
% квантования.
% Входные параметры:
% sys - непрерывная Iti ss- или tf-модель;
% Т - период квантования;
% tau - длительность импульса АИМ;
% kie - коэффициент передачи импульсного элемента.
% Выходные параметры:
% syss - дискретная iti ss-модель (уравнения состояний);
% sysw - дискретная iti tf-модель (передаточная функция).
if-((isa(sys,*ss *)|isa(sys,*tf*))&issiso(sys))
error(*Требуется модель SISO типа "ss" или ''tf''.')
end
if isa(sys,1tf*)
p ж sys.num{l}; while -p(l), p ж p(2send); end
m = length(p);
p ж sys.den{l}; while -p(l), p ж p(2:end); end
n ж length(p);
if m >ж n, error(*Решения нет.*), end
end
if isa(sys.*tf*). sys ж ss(sys); end
if sys.d -ж 0. error(1 Решения нет.’), end
if nargin жж 3 & (tau/T > 1 | tau/T <ж6)
error ('Условие 0 < tau/T <« 1 не выполнено. •), end
А ж sys.а; В ж kie*sys.Ь; С ж sys.c;
p ж poly(A); Al ж expm(A*T);
n ж length(A);
if p(end)
Bl ж A\ (eye (n)-expzn (-A*tau)) ;
402
else
syms t
At = expm(-A*t);
for i = l:n, for j » l:n
Bl(i,j)^double(int(At(i,j),0,tau)); end, end
end
Bl = A1*B1*B;
syss a ss(Al, Bl, С, 0, T);
syss.Notes{l,1} а 'дискретная модель для';
syss.Notes{2,1} a ['Ta ' num2str(T) ' tau a '
num2str(tau)];
sysw a tf(syss);
set(sysw, 'Variable', •*•);
sysw.Notes a syss.Notes;
403
П.4. Таблица интегралов [16. С. 386]:
J_-J i W(-JO)
2 л _^с(уш)с(-уш)
где
b(JO3) = 6„_, (jffl)"’1 + b„_2 (ja)"-2 +... + b0,
c(jw)=c„(jw)" +c„_|0’®)"’1 +...+c0,
1 / *0
при/7 = 1 b=------- ,
2c0c,
b?c0+b$c2
при n - 2 12 - —-------- ,
2CqC|C2
, , fe,2c0q + (Л2 - 2b0/>2)c0c3 + b%c2c3
при /7 = 3 /3 = —--------------------------- ,
2coc3(-coc3 + qc2)
. , Ц (coc, c2 - clc3) + (bl - 2Z>|Zb )coq c4
при n = 4 14 = —— -----------------------—------+
2cOC4(-CoC| -CfC4 +CfC2C3)
। (bl-2b0b2)c0c3c4+bl(c2c3c4 -cicj)
2c0c4 (~cocl - cfc4 + qc2c3)
при n >4 In=- -1)«+ 2c„ rn ’
C»-l Cn-i ... 0 O' Sn-\ Sn-2 ••• Si So
C« Cn-2 • c„ c„_2 ... : :
T„=det 0 C„-l - q> 0 , N,=det 0 c„_, ... c0 0
... c, 0 • : ... q 0
° 0 ... c2 Co. 0 0 ... сг c0
Здесь gi - коэффициенты полинома
g(jco) = b(joS)b(-ja>) = g„_! (jw)2"-2 + g„_2(jco)2"-4 +... + g0.
404
П.5. Коэффициенты гармонической линеаризацииО-
405
Трехпозиционное
реле
без гистерезиса
Трехпозиционное
реле с положи-
тельным гистере-
зисом
Идеальное ре-
ле
Двухпозиционное
реле с отрица-
тельным гистере-
зисом
vg п Нормированные коэффициенты 0, % С Тип П
До Ai Аг А3 Ад 4s Аб А? As Д9 A10
1 1 1 1 нет 3 1
2 1 2 1 нет 4,75
3 1 3 3 1 нет 6,31
4 1 4 6 4 1 нет 7,7
5 1 5 10 10 5 1 нет 9,2
6 1 6 15 20 15 6 1 нет 10,5
7 1 7 21 35 35 21 7 1 нет 11,9
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 нет 13,2
9 1 9 36 84 126 126 84 36 8 1 нет 14,4
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 нет 15,7
1 2 1 1,38 1 5 2,86 2
3 1 2,39 2,05 1 нет 4,34
4 1 2,8 3,8 2,6 1 5 4,6
5 1 3,64 5,42 5,28 2,6 1 нет 5,59
6 1 4,18 8,55 10,3 7,99 3,73 1 5 6,22
7 1 4,88 10,16 14,3 11,7 8,12 2,75 1 нет 7,11
8 1 5,52 14,9 24,9 28,52 22,81 12,88 4,67 1 4 7,73
9 1 6 16,23 29,62 33,56 32,24 18,93 10,87 2,92 1 нет 8,42
10 1 6,7 22,35 46,71 69,66 76,41 63,22 39,02 17,78 5,4 1 5 8,96
Окончание табл. П.6.1
Тип Q хг
С •Л 6,44 ОС in ОС КП ос jojl A92I ИИ U82J SO <n 00
D Sn m T"* ГГ гч ГГ <*) •Л •Л ГГ ОС 22
Нормированные коэффициенты о < —
о < — L2AJ
00 <J —’ г~ I275J
Д7 — SO cQ 63,75
< — Ы 17,5 с> 102,8 | —*
о-, <1 — ин 31,5 | 1 69,56 I o' сч —
Д4 —'. тг ИН 1 22,13 ОС m 69,56 I 102,8 A24J \O rr
Дз е-> гч 12,38 22,13 31,5 63,75 МО rr гч <n Os'
Дз —1 сч CN ГГ еч 9.75 1 14,25 I : 17,51 I 23,5 1 |2А сч ГГ СП L 5.24J \O rr
< in •Л m 4,5 5,5 \о Г- I-4’ сч Jo _3224_
< — — — — — — -4
s: сч m ГГ <п so Г- ОС о о еч m rr in so
> —
408
,r,t.
Таблица П.6.2
Vg п Нормированные коэффициенты о, % tpm* С 8. %
До Д1 Дг Д, Дд д5 До
1 2 1 1,82 1 0,1 4.8 2 2
3 1 2,2 1,9 1 — 1,65 4,0 4
4 1 2,8 3,5 2,2 1 0,89 4,8 1
5 1 3,4 5,4 4,9 2,7 1 1,29 5,4 3
6 1 4,05 7,55 8,7 6,5 3,15 ! 1 1,63 6,0 4
2 2 1 2,5 1 10 3,6 5
3 1 6,35 5,1 1 10 7,0
4 1 11,8 16,3 7,2 1 10 12
5 1 18 38 29 9 1 10 18
6 1 27,7 82,3 92,3 45,8 и 1 10 24, 6
3 3 1 6,7 6.7 1 10 1,5 5
4 1 7,9 15 7,9 1 21 4,2 8
5 1 18 69 69 18 1 20 8,2 6
6 1 36 251 485 251 26 1 17 19
Примечание. В табл. П.6.1 и П.6.2 используются следующие
обозначения: vg - порядок астатизма системы к задающему воз-
действию; п — степень знаменателя; tpm — длительность норми-
рованного переходного процесса при 5 % «трубке». Кроме того, в
последнем столбце табл. П.6.1 цифрами обозначен тип распреде-
ления Qкорней знаменателя на комплексной плоскости:
1 — кратные полюсы pv - -1;
2 — «минимальное время регулирования», в этом случае
[н / 2J корней pv = -T]±vco j и (при нечетном п) один равен -т|;
3 — L«/2J кратных корней =0,75±0,66143j и (при не-
четном п) один равен -1. Здесь |_( )J — целая часть числа (•);
4 — распределение Баттерворса [4, 13].
В последнем столбце табл. П.6.2 даётся значение «трубки»
2 % или 5 %, при которой определялось время .
409
П.7. Пассивные корректирующие звенья
Таблица П.7
Схема корректирующего звена Передаточная функция АЛАЧХ
Q ^(P) = G0|±^. 1+Т2р 7;=я1с,,
L дБ 1 1 1 1 ! 7i । Г-»
Я. "1 я0Г ] t2 = t.-r° , 4+V GB=— я,+^> 0 1 I'1 I'2 т । ; и
2°leG° kJ
t \ ! * । ।
С, ^) = Ц,^, 1 + Г2р ’!=я,с|, т - (я^+Яр)?; + /?| + /?0 G° я,+Х+Яо
А ? /?, 1 Т «о "1 .] "2 L дБ 0 ‘ । । 1 !* / »
20;sG°
1 1 I
^(р)=7±5Е, 1 + Г2р Г,=Я2С2, Г2=(Я,+Л)С2, g,=-A_ Я|+Я2
к 'Ь? Ь s" ’ "2 L, дБ 0 й й| »
i\! 2o|g^ г20; ( । । 1
410
Окончание табл. П.7
Схема корректирующего звена Передаточная функ- ция АЛАЧХ
»Xp) = G0^, 1 + Т2р t, = r2c2, T^ + GM + RJC,, G„ = & + /?| + Rf t дБ 0 1 1
А «1 fl '^T s
т С2Л j Я’Гр "i
2( } 20lgGz igG0; । । R.R.
G2= (Л,. + Я1ХЯ0 + Я2) + Я0Я,
С, II JV(p) = ^(1+^x1+гр) i + r2TiP + TiT:P2 T,=R,C,, t2=r2c2, , С, Г, /,=!+—+— C, 7]
11 дБ 0 lill r! !гю •< ? 1 J Jr
1 “77“ П Q * Jaf 5
«X. i i {-20^|—k+20| 1 1 i 1 1 II 1
С| Hfy) =
Постоянные А и В здесь вычисляются по формулам:
/t = G0
Л.
в=
U I я. я.
г+ —+—
) [1л «2
+С2Я, Go7],
. “о
я,
Ло
411
ОТВЕТЫ
1.4.1*. z 1.4.2*. z 1.4.3*. z 1.4.4*. z 1.4.5*. z 1.4.6*. z 1.4.7*. z 1.4.8*. z 1.4.9*. z 1.4.10*. z = 10,63 e7°,85,97 = 10,63 e7'48,814” = 17,464 e-7 0,41241 = 17,464 e-'23’629°' = 9,434 e-7 2,583 = 9,434 e-7 ,47"°. = 10 e71,5708 = 10 e790°. = 4е7Л1416 = 4е7180» = 11,314 e7 2,3562 = 11,314 e7l35°. = 4,4721 e-7 0,46365 = 4,4721 e-726,565°. = 10,05 e7 1,6705 = 10,05 e795,7"°. = 3e7° = 3e7°°. = 20,616 eJ 1,8,58 = 20,616 ej IO4,O4°.
1.5.1*. z 1.5.2*. z 1.5.3*. z 1.5.4*. z 1.5.5*. z 1.5.6*. z 1.5.7*. z 1.5.8*. z 1.5.9*. z 1.5.10*. 2 1.5.11*. z 1.5.12*. z 1.6.1*. X 1.6.2*. x 1.6.3*. x 1.6.4*. x 1.6.5*. x 1.6.6*. X = -835 +788. = 1,6985 + j 0,50342 . = -1,3861 • 106 + i 2,6431 • 106. = 13,601 "e’725'-8'’. = 10,198” e'2,W42m. = 2,2443 + j 1,0122. = 0,99339 -j 0,50056. = 4,4886+72,0244. = 2,1021 + j 1,2246. = 2,502-j 2,5309. = 2,0969+70,15622. = 1,6094 +72,2143. = -1 +7 2,6458; x2 = -1 -J 2,6458. =-&; x2 = -2. =-3; x2=3. = -8; x2 = -4. = -2,5 +70,866; x2 = -2,5 = -2+72; x2 = —2-j -70,866. i2.
1.11.1*. 6 7 32 4 3 13 6 3 12 1.11.2*. 4X| +x2 + 5x3
1.11.3*. 4X| + 2x2 + 3*3 3x| + x2 + 2x3 4.V| + x2 + 5x3 1.11.4*. [15 9 9].
1.11.5*. 15 18 2 5 6 7 10 12 1< f I 1.11.6*. -64 29 -61 30 -80 39 •
1.16.1*. rank Л = 3. 1.16.2*. гапкЛ = 3.
1.16.3*. rank Л = 2. 1.16.4*. rank >1 = 3.
1.19.1*. X) = -24; х2 = -41.
1.19.2*. х1 = 127; х2=-15.
1.19.3*. Решение не существует, так как матрица системы вырождена.
1.19.4*. xj=28,8; х2=15,2.
1.21.1*. tg х = tg а + (1 + tg2 а)(х - а) + tg а (1 + tg2 а)(х - а)2 +
+ ( 4tg2а +3 tg4a + 1)/3(х-а)3 =
= 1.5574 + 3.4255 (х- 1) + 5.3349 (х- I)2 + 5.1248 (х- I)3;
%.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 х
1.21.2*. arcsin(x - 1) = х - 1 +(х - 1 )3/6;
1.21.3*. = л/2(1 + (х-0,5)-0,5(х-0,5)2 +0,5(х-0,5)3);
413
1.21.5*. 2 In x2 - 2,7726 + 2(x - 2) - 0,5(x - 2)2 + (x - 2)3/6;
1.21.6*. Ряд Тейлора заданной функции не существует в точке
а = 1, так как эта функция не дифференцируема в точке а = 1.
1.22.2*. arcsin(x -1) =-у + х.
1.22.3*. Ряд Маклорена функции 2-Jx нс существует, так как её
производная терпит разрыв в точке х = 0.
1.22.4*. e2sinx2 =1 + 2х2;
1.12г
1.22.5*. Ряд Маклорена функции 21пх2 не существует, так как
функция терпит разрыв в точке х = 0.
1.22.6*. Ряд Маклорена функции /(x) = sign(x + x2-2) имеет вид
/(х) = /(0) = -1.
1.25.1*.
/(z) = 0,5—cos—/+—cos3—/+—cos5—/+—cos7—11;
Л-Ч 2 9 2 25 2 49 2 J
414
1
0.5
0
-6 -4 -2 0 2 4 t
1.25.4*. f(t) = —--+-rj-fcos2—t +—cos6—/1 +
2 яЧ 2 9 2 )
+—г sin—/—sin3—1+—sin5—/--sin7—t
яЧ 2 9 2 25 2 49 2
415
2.5.1*.
2.5.2*.
2.5.3*.
416
2.5.4*. y^Ve^-Se4';
2.8.1* y(t) = 0,0625(5(2/ -1) + e 21 (32 sin 2/ + 21 cos 2/)];
417
2.8.2*. y(t) = e-4' (sin 4t + cos 4z);
2.8.3*. y(/) = e"3'(12+5/)-9e’4';
2.8.5*. y(j) = 1 / 3[(5r + 7 / 3)e-2' + 2 / Зе-5' ];
418
4
2.8.6*. y(l) = (((28 cos t +120 sin Z) cos t - 21) cos t -
5 .
— e
78
,-n •
41
-30 sin Z)-e~8'
438
ЛЛЛЛ
^0
2
t
4
6
2.12.1*. yk = 0,5A - 0,8^-, + 0,012» 2 - 0,01j; 3,
J-i = 0, y.2 = -1. У-з = -0,5;
2.12.2*. yk = 2-11A] + 0,2£ - 0,6j*+ 0,08y* 2, y_t = -0,5; y..2 = -1;
2-12-3*. >0 = 0, = 2g0, y2 = 2g, -O,5go, y3 = 2g2 -0,5g, -l,5g0,
У4 = 2«з - °’5Si “ 1,5gi J's = 2g4 - O,5g3 - l,5g2,
y6=2g5-O,5g4-l,5g3.
419
2.14.1*.
2.14.2*.
2.14.3*.
2.14.4*.
420
2.18.1*.
2.18.2*.
2.183*.
2.18.4*.
2.18.5*.
2.18.6*.
2.21.1*.
2.213*.
2.22.2*.
еА>
еА‘
е“5' О О
О 1 О
О О е
—3t —t —з/ —1 । —з/
е е —е е + е — 2е
О е~' ё~' — е“2'
О О е’2'
£ Зе"7' + 2е”2'
5 2е*2' -2е*7'
Зе-2'-Зе*7'
2е*7' + 3е’2'
е3' О,25(е3'— е“5')
О е"5'
-Зем'+4е’3' е*3' -е^'
- 12е*3' + 12е*4' 4е*4' - Зе*3'
1 1-е"'
О е"'
27е*2'-12е*7'
5 27е*2'+8е*7'
2.21.2*.
2е*' — 2е”2'
2е*' -е
е*2'
2.22.1*. у = 4-О,5е"4';
у = (-60е 21 +ЗОе ' -18cos3/-14sin3/)/65;
421
2.22.3*. у = 15-9е-';
У * -V— - . -
14
12
10 /
6 /
6 о 1 2 3 4 /
2.26.1*.
к gk xk(l) xk(2) yk
0 0 0.5 0.5 0
1 3 0.14 -0.3 -0.44
2 6 9.004 2.74 -6.264
3 9 20.02 -1.908 -21.928
4 12 30.851 -11.783 -42.635
5 15 41.228 -23.565 -64.792
2.26.2*.
к gk xk(l) xk(2) yk
0 0 1 2 -0.5
1 0.5910 2.6 1.12 -3.34
2 1.1293 3.271 -0.9430 -5.3781
3 1.5667 2.1489 -3.4538 -4.9502
4 1.8641 -0.5978 -5.3612 -1.7838
5 1.995 -3.8558 -5.866 2.8507
2.263*.
к gk xk(l) xk(2) xk(3) yk
0 1.5 3 -1 0.5 -0.05
1 1.5 5 -1.8 2.35 0.575
2 1.5 7.85 -2.88 4.665 1.35
3 1.5 11.59 -4.634 7.735 2.1308
4 1.5 16.531 -7.145 12.515 3.3783
5 1.5 23.781 -10.02 19.475 5.7894
422
2.27*. a)
xIJt =^-^(19740Л-17850+(9415+_/5189>/7)(0,3 +_/0,l>/7)‘ +
+(9415-J5189>/7)(0,3-j0,l>/7)*);
x2Jt = ^^(-4620^ + 13650-(6727-j'3651>/7)(0,3+j'O.lV?)* -
-(6727+J3651^7 )(O,3-JO,1V7 )*);
Ук = -Х1к + Х2к;
6) =—^—(940-(435+J129>/7)(0,3+j'O.lV?)* -
4-35'
-(435 - J129>/7)(0,3-J0,l>/7)‘);
x2Jt = ^(-220+(l 17-jl41V7)(0,3+_f0,l>/7)‘ +
+(117+yl41>/7)(0,3-y0,l>/7)*);
Ук = -Х1к + Х2к..
2.28*. a)
480f f 3 ЗА (3 ЗА
xl(*) = -— 15040sin — k~— +7802sin — к-- +
47 V 110 10J 110 5 J
/ 3 з A (3 A2 ( 3 3 A 6 з A
+22560sin —к-----c/s — —36754 —к---------cos) — —
Uo 10J UoJ Uo 10J uoj
-11280sinf—jt--lcosf—l+7520sinf—¥—----------Ц=1 -
Uo 5j Uo; иод 5 1+14ал)
-290/sin Г— |V47|— Ц=| +2907 sin I— ¥~—-----Ц=| >/47 +
UoJ V5 7+7V47J 110Д 5 -l + ljvj)
423
. ( 3 Y 48 1 Y ( 3 'I
-10575sin —-----------= cos — -
110Д 5 7 + /V47 J llOj
1Л„С . f 3 Y 48 1 Y ( 3 Yl I
-10575 sin —----------cos — /
110Д 5 -7 + A/47J VlOjJ/
(( f 3\2 ( 3 A A
1200cos — -1715cos — +613 (7 + Л/47)(-7 + Л/47)
< <ioj lioj J' 1
x2(k) = -—| 61 lOsinf—к-— 1+40984sinf—Jt--|+
47< 10J I10
(3 3 'i f з Y (3 3 'i ( 3 Л
+112800sin —к----cos — -89018sin —к--------cos —
Vio 10J VioJ Uo 10J lioj
x Ч X к xxz X*
-56400sin( —к — ]cosl — |+3055sin| —-------== +
<10 5J <10j ll0j< 5 7 + /V47J
+5475/sin
3V 48 1 Y
10 Д 5 -7+/V47J
1715cos
424
3.6*a. х = -(1/7] + \IT2)x+glTx, y = K x,
где x = Uc, g = Ul, y = U2, Tx = R,C,
T2=(R2+R3)C, K = R3/(R2+R3).
3.6*6. x, =-(l/7] +l/7’3)x1 +x2/T3 +g/Tt,
x2 = —x, / T2 — x2 IT2, у = X|,
где, x2-Ul3, g = Ux, y = U2, TX=RXCX,
T2=R2C2, T3=R2Cx.
3.6*e. x = -(l/7] + 1/Г2)х+(1/Т]+1/F2)g, y = —K x + Kg,
где x = Uc, g = U,, y = U2, Tx=RtC,
T2=(R2+R3)C, K = R3/(R2+R}).
3.6*г. U = -KXUX -K2U2, KX=R3/R,, K2=R3/R2.
3.7*. При x, = H, x2 = w, = cVe
k I— 1 , 4 . k x,
x, +-(«, +«2)> =—+c2u2,
S S S yjx,
ИЛИ
X, = -0,03-jx^+33,3333(ц +w2),
425
х2 = -0,03-4=—l,4w, +2w2 , y = xt.
Установившиеся значения X|° = 1,5625, x2 = 2, c = 1,6.
x, = -0,012X| +33,3333(1/] +//2),
x2 = 0,01536x2 -0,024x2 +1,4W] + 2u2 , у = X].
3.8*. При X] = Ax, %2 = Ar и у = Ua x, = x2,
3.10*.
a) y(t) = h0 +
(MR3 — mgRl R2) R2
2 Л,(
6) WyUi{p)=Kkl{Tf,p+\), Wyll!(P)=Kl,/(Tep+\),
T6y + y = Kk(ul+u2),
где T. = 3Sq° !k2 ==14,69, Kh = 3q Ik1 ==18,37 .
<0 Wa{p) = Kal(Tap2 + 2^Tap+\),
где Ka=kmU„/2 к Ar^, Ta = >/2 k, £ = kv 12jT^~k .
Математической моделью акселерометра является колебательное звено
второго порядка.
311* W(p) = =-----j—----------,
311 • и.(р) ТяТ,рг+{Т.+Т,)р+\
колебательное звено.
3.12.1*. ^ + 2^+5y = g+10^-.
dt3 dt s dt
3.12.2*. 4^-y-+20—+2y = g+12—.
dt1 dt dt
3.12.3*. ^-£+4^ i-8— = 10g.
dt3 dt1 dt s
3.12.4*. -^+9^+26^+24y = 24g.
dt3 dt2 dt7
426-
3.16*.
3.17*.
„zzx 5,401z+3,24 4 5,401z+3,24
W(z)=—-z----------, lr,(z) = -T-----------.
p z2-2z+\ z2+3,401z + 4,24
3,357z+3,357 3,357z+3,357
p z2-l,52z + l ’ z2+l,837z+4,357
y„ +1,837^.) +4,357y*_, = 3,357(gt_1 +g*_2).
K(0,04874z + 0,06979)
3.18*. ₽(z)“ z2—l,8607z +0,8607
3.19*.
1 -5,41 П.8'
x. +
1,6 -4,4 J * [1,8
g„
b=[0
3]x*
»
= ^01z+3,24
’ z2+3,4z+4,24
3.20*.
0,7602 —3,44451 Г1,837'
1,837 -2,5963J X* [1,918
b=[0 1,75]х^
w,. 3,3565z+3,3539
W(Z) = —;--------------.
’ z- +l,8361z+4,3538
3.21*.
0,8607 O'
0,6965 1
W (z) = K(0,04874z+0,06979)
z2 —1,86 lz+0,8607
**+t —
0,1756'
0,1219
u,
Л=[0 0,4]xt
3.24.1*. G(r) = (p1 +0,01)p2, xg
0
1
0
0
-0,01
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
g = [l О 1 0]xg.
3.24.2*. G(p) = (p+l)p2,xg =
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
\>g=[l o l].rg.
427
3.24.3*.
G(P) = P4, xg
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
xg, g = [1 0 0 0]xg
3.24.4*.
G(p) = (p + al)(p + a2), xg
3.24.5*.
G(P) = (P2 +0,25л-2) , xg =
3.24.6*.
G(p) = (p + l,5)p2, xg =
0
0
0
0
1
1
0
0
0
-0,25 л-2-1
0
0
0
-1,5
0
•g’
g = [l
g=[l 0
l]xg.
°K-
!K-
3.29 *. Dp = 2,5, R„(T) = 2,5c*1 .
3.30 *. «w(r) = ll,5 S(t).
3.31*.
V®) = 0,45
________(12,59+ar)_______
(0,09+(5-®)2X0,09+(5+o)2)
3.32 *. a = io„yl0-ff)/2S, £>p=a(l + ^)S0/2,
^(r) = /Jpexp (-a | t |).
3.33 *. 5^,(0) = 1463734,8/(3332+Ю2),
Лрр(г) = 2197,8ехр (-333 | т |).
4.6*.
4.7*.
Нет решения.
-2
x =
0‘ _
О
-3
10
-7
g,
j = [-l -3]x.
428
0 -2 Г38' g, J = [0 l]x
4.9*. x = 1 —5 X+[8
4.15.1*. lK(p) = 5+3/? p2 +3/? + l
4.15.2*. WV) = (2+p)/p.
4.15.3*. 1K(P) = p2 + 6/? +15 p2-4p-5
4.15.4*. lK(p) = 8p + 104 /?2 +24/? + 175 p2 +1 Ip + 24 p2+llp + 24
4.15.5*.
5р3+Зр2+4 5р3+3/?2+4
4.15.6*. W(p) = 4.15.7*. >F(p) = 4
p2+2p 5 + 2p i 4p + 4 2p2+5p
p2 +3p2 +2p
p3 + 3 p + 2 1 P + 1 3/?2—10/?+9 '
p2-3/? + 2L
ч 2/?2+32/? Зр2 +29р
4.15.8*. 1Г(/?) = ,
Р Р'
4.15.9*.
lV(z) =
3,72z —1,908
z2-l,4z + 0,25
4.15.10*. !K(z) =
0,8z2-0,62z+0,l 1
z2-2z + 0,09
1 0,82z-0,025
4.15.11*. lK(z)^2_i>6z + oj^t99z + o>18
W,W. 3(/?+2)(4/? + l)
4 22* W (i>} =------------—------=----—-----—- —,
• • + I 2p3 +25/Г + 35p + 7
429
w (p}- W2 _.(4p+l)(2p + l)(p + 2)
>f W + JF3) +1 2p3 + 25p2 + 35p + 7 ’
W <P\- ^+1 _ (2p + l)(p2+6p + l)
ts И'2(И'|+И'3) + 1 2p3+25p2+35p + 7 ’
W (P'_ ~W2 _-(4p + l)(2p + l)(p + 2)
* ^(^,+^> + 1 2p3+25p2+35p + 7 '
система полная.
4 23* W (p) = = 0,5(llp + 2)
'* M^W+^l + l 4p3+9p2 + 24p+ 4 ’
система полная.
4.24*. ^(p) =__________________________=
38 H И',Ж2 - Wt) + w^w, +1
=_________24_______
p3 +3p2 +20p + 30 ’
система неполная.
4.25*. См. ответ задачи 4.23*.
4.26*. См. ответ задачи 4.24*.
4 27* W =____________________________________
^[^2(^-»n) + (^+W)W-1)1 + 1’
w =__________15(р+2)(р+5)(2р + 1)_____.
ЛХ 2р6 + 21р5 -4р4 -649р3 —1206р2 -395р + 125 ’
W =______________________________
yf ^2^ ~W3)+^V5 + -1)]+1 ’
W 5(p + 2)2(p + l)(p + 5)(2p + l)
>f 2p6+2\ps-4p* -649p3 —1206p2 —395p + 125 ’
w _ -W[^^+(^+^)(lF7-!)]+!}
eg -»S)+(^ +W2Wb)(Wi -1)]+1 ’
w _ (р + 1Х2рХ> +19P4-23p3-656p2-775p-25) .
cg 2pb + 2\p5 -4p4 -649p3 —1206p2 —395p + 125 ’
430
tJ -^)+W + W)(^7 -03+1 ’
-5(p + 2)2(p + lXp + 5)(2p + l)
ci 2p6+ 21ps-4p4-649p3 —1206p2-395p + 125 ’
<6> (5) (4) (3)
2 £+21 £-4 £-649£-1206£-395£+125£ =
(3) (4) (5)
= -25g-775g-656g-23£+19£+2£—
(3) <4) (5)
-25/—130/—250/—220/—85 /-10/,
система полная.
-3 -2 0 -4 т
1 0 0 0 0
X- х+ g
433.1*. 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
У = 0 1 3 2]х.
• О а ГЧ 1 i 1 О'
433.2*. .< = 1 0 0 *« + 0 0 g, у = [з 0 1]ха+[0 io]g
0 0 0 .°
или хь = -2 О' 0 °. ** + 1 О' .° *. g. /=[з 1к+[о 10]g
’2 4 0 01 [O'
4333*. у = ха+ s,
Л 0 0 5 4J [1.
'-8 -15 0 0 ' т
х„ = 1 0 0 0 х„ + 0 g
а 0 0 -7 -12 1
0 0 1 0 0
или
431
4.33.4*.
4.35*.
-12
I
О
2 12
5 29
-1
2
О
О
О
12
О
4
8
8
4
О
-2
-4
— 4
436.1*.
— 0,5 -30 0
0 0 1
х = 5 0 -2
0 30 0
О
О
2
О
Т
о
о
о
g.
у=30х2•
4.36.2*
4.36.3*.
х = -1 2 -3 -18 х + 1 3 я» у = [0
—
-1 12 4 0 о‘ 1
2 0 0 3 0 0
х = 0 4 -2 0 0 х + 0
0 8 -4 0 -3 0
0 8 -4 0 -1 0
g, у = 8х,-4х3.
3]х.
432
4.36.4*.
4.37.1*.
4.37.2*.
-1
4
О
О
О
о
-24
О
8
24
О
24
'О 24 -6 О О О] [О О1[У
0 0 0 5 0 0J |_0 0][/
1F (р) =---------2--------,
*s р4 + 2,5р3 + р2+90р-30
Л(р) = р4 +2,5р3 + р2 +90р-30 , система полная.
^(р) =
9р + 15
р2 + 19р + 24
А(р) = р2 + 19р + 24 , система полная.
4.37.3*. 1? (р) = —--»6p3+16p2-------
' >s р5+4р4-43р’-78р2-32р
ИЛИ
w (р)=----------,
g р р3+Зр2 — 46р —32
Ар) = Р5 + 4р4 -43р3 -78р2 -32р, система неполная.
96(р + 2)р
43,.4-. ^5р,_16р._5ир_ж.
W 24,?.72,г+48р
л/ р4 + 5р3 —16р2 —524р-240 ’
.у . . _ 480р2 + 2880р + 48
yiS{Р) " р4+5р3-16р2 -524р-240 ’
... . ч 120р2 +720р + 240
W, г \р) = —-;---;---------, система неполная,
p4+5pJ-16p2 -524p-240
АР) = Р6 + 6р5 -11р4 - 540р3 - 764р2 - 240р;
15—1607
433
Корректные уравнения динамических систем общего вида, заданных
структурными схемами, могут быть получены только лишь преобразова-
нием уравнений в переменных состояния их элементов. Как метод после-
довательных преобразований, так и правило Мейсона, в общем случае
могут приводить к некорректным уравнениям систем.
5.8.1*. h(/) = 1 +|е 5' -у2'; и(/) = у -
5.8.2*. Л(Г) = 4(1 - (1 +t)e~' ], w(/) = Ate"'.
5.8.3*. hAt) = —+—e’7' -—e’2'; wAt) = 0.6(e"2' -e"1'). 7 14 35 10 f ' ’
5.8.4*. h(t) = 1 -f-+2t\e"2' +2e’3' --e*, U J 3 и(/) = (- + 4r 1 e"2' - 6e“3' +—e"5'. <3 ) 3
5.8.5*. IK = — , ”= p2+7p+10 /,(/) = l+|e-5' -|e 2', H0 = y(^ -e"5') -
5.8.6*. Sl(p-H) ,x 400p’ + 600p2 + 129p + 5 ’ h(t) = 16,2-21,375e-°05' +(36/7)e"°-2' +(9/280)e’’-25', wfr) = (171 /16O)e"°’05' -(36/35K0’2' -(9/224)e“'-35'.
5.8.7*. 2p2 + 15p + 31 p2 +5/7 + 6 ’ 314 9 h(t) =—+-e"3' --e"2‘, w(t) = 2^(0+9e~2' - 4e~3'. 6 3 2
5.8.8*. ИЛ 2^+8 *z p2+4p + 4’ ЛД0 = 2[l-(l+0e-2'], му(0 = 2(1 + 2r)e-2'.
5.8.9*. =—-—(-0,2)*+—(-0,7)*, *>0, * 204 60 85
434
% = 0,
= -—(-0,2)*-' -——(-0,7)*"', к > 0 •
Примечание. При решении задач в MATLAB функция 8(A) будет
выведена как сйаг/си[0](к).
5.9.1*. hk = 1 + 2,25(-0,3)* - (-0,8)* - 2,25(0,5)*, к > 0.
5.9.2*. Л* = 1 + 3,5(0,3)* - 4,5(0,4)* к > 0 .
116 197
5.9.3*. At=2-^(l,4)*-^(03)*+-^(0,7)* к>0.
5.10.1*. й. =--—(0,5)*+—(0,8)*-—(0,2)*, к>0,
* 160 15 24 32
и’о = 0, = jZ(0,5)*-’ -|2(О,8)*-' +|(0,2)*-’, к>0.
15 475
5.10.2*. hfk=~— --(-0,1)*+^-(0,7)*, *>0,
^о=0’ ^*=-^(-°Л)*-,-^(0,8)*Л к>0.
5.10.3*. hk = -7 +—(1,2)* +—(0,2)*, £>0,
5 | 5
%=°, w* =^(1,2)*-'-g(0,2)*-', Л>0,
5.10.4*. = (-0,2)*+0,75 (-0,6)*, к >0,
%=0, w(jt) = l,6(-0,2)*1-1,2(-0,6)*4, А>0.
5.11.1*.
435
5.16.1*.
5.16.2*.
5.16.2*.
8р +15
5.16.3*.
438
5.17.2*.
5.17.1*. IT (р) =--------—;
Р(Р + 6,67)(р+0,04992)
439
5.17.3*.
5.17.4*.
5.17.5*.
440
5.17.6*.
5.20*. (0,1 р1 + 0,7 р + 1,2)>(р) - 0,6g(p);
й(1) = 0,5-2 е"3' +1,5 е 4' (см. задачу 5.4);
у(1) = 2h(t)\(/)+3h(t -1,5)1(1 -1,5) - 4Л(/ - 4)1(1 - 4) ;
441
5.22*.
5.23*.
5.26*.
=|(e" -e'4') + 0,46(/), />0,
Я0|/(О=м(о=0,2 l-l(e *+2e-')
/>0.
И')| g(, >-_№(„= (56 -96/)e'2',
Xz)|s(,).5.1(,)=2,5 + (30r-2,5)e-2'-
7 17 _2, 5 3
- +—e 21 +—t e +-
2 8 2 8
5.27.1*. y(/) = (44.5e” + 36/e~2' + 1.5/-49.5e’2' -l)/3 .
5.27.2*. y(r) = 5 - e~2‘ (y sin 3/ + у cos 3/).
_ . 15 60 _3, 75 _ 15 . .
5.27.3*. y(t) =—e ‘-----------e--------cos 2/ +—sin 2/.
2 13 26 26
c zx 56 308 .5, 8 36 28 .
5.27.4*. y(/) =----e~ +-------e + —+—cos/ +—sin/.
15 195 5 65 65
5.27.5*. y(t) = 4e"2' +14/- 6/e'2' + - 8/e-'.
5.28*. v(/) = (0,2+3,2e"' + /)(1 - e~2') .
5.29*.
829 -j, 2350 -3, 2639 2, 1000.
v(/)=---e--------e +/--------+9e 2' +---e
52 87 4524 377
5.31*. >] (/) = 6,7 cos (/ - 0,61), y2 (t) = 1,5 cos (5/ - 3,47). При дей-
ствии второго воздействия g2 (/) выходной гармонический сигнал сис-
темы у, (/) имеет почти в четыре раза меньшую амплитуду и почти в
пять раз большее запаздывание по фазе.
5.32.1*. y(t) = 6,1208 sin (4/ + 2,7018).
5.32.2*. y(t) =5,7138 sin (4/ -0,39409).
5.32.3*. у(/) =0,93914 sin (4/-1,5764).
5.33.1*. y(t) =505,46 sin (0,1/ - 2,5939).
5.33.2*. y(t) =1682,6 sin (0,1/ -1,3884).
442
5.33.3*. у (/) = 7069 sin (0,11 -1,5156).
5.33.4*. у (/) = 337,04 sin (0,1/- 0,06679) .
5.33.5*. у (/) = 59,845 sin (0,1 г - 0,11479).
5.37*. Так как и gk - 0,25g к, и х0 = 0,25х(|, то ук = 0,25 уА, т. е.
у„ =0,25-0 = 0, у, = 0,25 (-1,125) = О,28125, у, = 0,25 4,1 = 1,025,
у3 =3,65, у4 = 7,576,....
5.38*. Так каки gt=2gt,H х0=2х0,тои ук=2ук,т. е. у0 = -1, у, =-6,68, у, =-10,76, Уз =-9,9 , у4 =-3,567
5.39*. Так как и g t = 0,5 gk, и х0 = 0,5 , то у к = 0,5 у к, т. е. у0 = 0,5 • (-0,05) = -0,025, у, = 0,5 • 0,575 = 0,2875, у, = 0,5 • 1,35 = 0,675, у, = 1,065, у4 = 1,689,....
5.40*. Л = 6Л*. = В26_68 * + —(0,8)* ——(0,2)*, к>0. * 160 5 4 16
5.41*. ук.= 2,5- 5wt, w0 = 0, wk =9(0,4)*-' -7(0,2)*-', к=1,2,..., у0=0, у* =112,5(0,4;-'-87,5(0,2/-', к>0.
5.44*. 5.45*. И'(ю) = 10,24/(4+«Г)(625+25сог + 16и4), £>е = 0,0012051. too = 1,5, Dy = 0,026296; too = 4, Dy = 0,055998; too = 8, £>v = 0,07949. С увеличением параметра ю0, т. e. с увеличением быстродействия системы, дисперсия её выход- ной переменной возрастает.
5.46*. 6.5*. 6.6.1*. 6.6.2*. 6.6.3*. Dy = 0,0052675. 5.47*. £>ш = 0,26179. Объект управляемый и наблюдаемый. Пара А, В управляемая, пара А, С наблюдаемая. Пара Л, В не управляемая, пара Л, С ненаблюдаемая. Пара А, В не управляемая, пара А, С не наблюдаемая.
6.7.1*. Объект полный. 6.7.2*. Система неполная.
6.7.3*. Объект неполный. 6.7.4*. Система полная.
6.8.1*. Система полная. 6.8.2*. Система полная.
6.8.3*. Система полная.
443
6. 10.1*. Объект неполный; управляемость и наблюдаемость оценить
невозможно, так как объект задан уравнением вход-выход.
6. 10.2*. Объект вполне управляемый, наблюдаемый и полный.
6. 10.3*. Объект полный, поэтому и вполне управляемый и вполне
наблюдаемый.
6.15.1*. Система неустойчивая.
6.15.3*. Система устойчивая.
6.16.1*. Система неустойчивая.
6.16.3*. Система устойчивая.
6.16.5*. Система устойчивая.
6.17.2*.
6.17.4*.
6.17.6*.
6.19*.
6.24.1*.
6.24.3*.
6.24.5*.
6.25*.
6.15.2*.
6.15.4*.
6.16.2*.
6.16.4*.
6.17.1*.
6.17.3*.
6.17.5*. ।
6.18*.
6.20*.
. Система устойчивая.
. Система неустойчивая.
. Система неустойчивая.
. Система устойчивая.
. Система неустойчивая.
Объект неустойчивый.
Система устойчивая.
^=12.
0,91 <К, <3,119.
6.24.2*. Система неустойчивая.
6.24.4*. Система устойчивая.
Система устойчивая.
Система устойчивая.
Система неустойчивая.
=3,143.
Система устойчивая.
Система неустойчивая.
Система неустойчивая.
Система а неустойчивая, а система б устойчивая.
6.26.1*. Система неполная, поэтому её устойчивость нельзя оцени-
вать по критерию Найквиста.
6.26.2*. Система устойчивая.
6.26.4*. Система устойчивая.
6.31.1*.
6.31.4*.
И = 0,19885.
Т] = 0,065.
6.31.2*.
6.32.1*
6.26.3*. Система устойчивая.
6.26.5*. Система неустойчивая.
4 = 2. 6.31.3*. г] = 0,049-
Система неустойчивая.
6.32.2*. <0^=3,675, <ок=100, Дф = 43°, ДЛ = 50д5, у = 0,997.
6.32.3*. (Лср * 200, (йк = 541, Дф = 8,3°, &L = 12,5 дБ , у = 0,763 .
6.32.4*. тер = 2,65, (Лп = 10, Дф = 24,4", ДА = 18,42 дБ, у = 0,88 .
6.32.5*. Система неустойчивая.
6.39.1 *. Система устойчивая.
6.39.3*. Система устойчивая.
6.39.5*. Система устойчивая.
6.40.1*. Система устойчивая.
6.40.3*. Система неустойчивая.
6.41.2*. т].,. =0,15.
6.32.6*. у = 1, Дф = 39,6°.
6.39.2*. Система устойчивая.
6.39.4*. Система неустойчивая.
6.39.6*. Система устойчивая.
6.40.2*. Система устойчивая.
6.41.1*. Т]3г=0,55.
6.41.3*. т]а. =0,06.
444
6.42.1*. ^„=0,4.6.42.2*. По„ =0,2. 6.42.3*. По., =0,1.
6.42.4*. Система неустойчивая. 6.42.5*. r]du =0,756.
6.42.6*. г)л „ = 0, система на границе устойчивости.
7.7*. Х|(/) = 2[3 + ехр(-2/) — 4 ехр(-/)],
х3(/) = 2(1 + ехр(-2/) — 2 ехр(-/)].
Время регулирования определяем по выходу y(t) = Ixift): tp = 3,67 с. Пе-
реходные процессы апериодические. Графики переходных процессов:
tm = 0,23 с; перерегулирование о =11%.
7.9*. а) время регулирования tp = 6 с, время первого максимума
/,„ = 3 с, перерегулирование о = 33,3 %;
6) время регулирования tp = 15 с; переходной процесс монотон-
ный;
в) время регулирования tp = 5 с, время первого максимума = 2 с,
перерегулирование о = 33,3 %;
7.10*. Корни: — 53,445; — 3,2773 + 11,787 /; — 3,2773 —
11,787;;
=16/16=1,tp <3/3,2773=0,92с, Nk <3-4,3214/2-71 = 2,1,
сг< 100 ехр(-п/4,32) = 48,4%. Сравнивая со значениями, най-
денными в задаче 7.1, заключаем, что tp и Nk оцениваются достаточно
точно, а оценка перерегулирования несколько завышена.
7.11.1*. h„ =1; время регулирования tp = 5,4 с; число колеба-
ний 2,4; перерегулирование о = 52,9 %.
7.11.2*. =1; время регулирования tp = 0,2 с; число колеба-
ний 0,2; перерегулирование о = 0,04 %.
7.11.3*. h„ =1; время регулирования tp = 27,3 с; число колебаний
3,5; перерегулирование о = 65,36 %.
7.11.4*. h„ =1,0857; время регулирования tp = 15,1 с; число колеба-
ний 6; перерегулирование о = 77,9 %.
445
7.11.5*. h„ = 0,77; время регулирования tp = 240 с; число колебаний
2,6; перерегулирование о = 55,6 %,
7.11.6*. = 1; время регулирования tp =5,6 с; число колебаний 1,6;
перерегулирование о = 38,5 %.
7.14*. 8g= 0,0025. 7.15*. 8gtl=0, 8g6 =5. 7.16*. 8=0,95
7.17*. 8/о =-6,25-10'4, 8fe =(13,28 — 3,125/)!О'4.
7.18*. 8^=0,109. 7.19*. 8mg =0,00127 . 7.20*. 8g„ =0,125.
7.21*. 8g=0,2. 7.22*. 8g= 0,332. 7.23*. 8g=l.
7.24*. 8g= 0,0125. 7.28*. 8g= 2,143.
7.29*. Co=0, C| = 2,1333, C2 =-4,6399; o) 8g =0;
б) 8g =0,10677' = 0,01067;
в) 5g = 0,0107 k - 0,О285|а=7о =0,7205.
7.30*. С0 = 0, C| = 2,1333, С2=-2,5066; a) 8g =0;
б) 8g = 0,10677= 0,01067;
в) 8g = (1,067к- 1,787)7* = (1,067*70 - 1,787)*0,01 =0,729.
7.31*. а) Со= 0, С, = 0,78, С2=- 1,23; 8g = 0,195 ;
б) Со = 0, С, = 0,23, С2 = 0,035; 8g = (0,92А - 0,32)Т2 = 0,2292.
7.32*. о) Со =0,5; Ct = 0,44643; С2=-0,3667; 8g=0,5;
6) Со = 0,5; С, = 0,69643; С2 = - 0,4917; 8„ = 0,5. Звено
lV(p) = ехр(-Тр) в цепи обратной связи не влияет на точность отработки
ступенчатого воздействия типа g0\(kT), при более сложных воздействи-
ях — влияет.
7.34 *. 8„ = 0,283 град =17’.
7.35 *. К^п =0,05(5) с\ дисперсия случайной ошибки увеличится
в 2 раза.
7.36 *. Кса = 2,8, 8С1 = 0,6 мм.
7.37 *. 8 = 0,01823; рад = 1,1044 град.
7.38 *. 8,„, = 0, 8,„, = <р0 / 6; А/, = 0,458, Д/2 = 0,117.
7.40 *. Квадратичная интегральная оценка (7.42) не зависит от по-
стоянной времени Ти.
7.41 *. Зависимость линейная.
446
7.42*.
7.43*.
Ky =162,9, при этом Jмт =0,113 .
^=-К + \+.^К2 ’ *<™=1>25- 7-44* Ko^= 0,28c1.
7.45*.
8.4.1*.
2K
a) Kom = 26 c', 6) Tlonm = 0,2 c. 7.46*. bionm = 0,73 .
0,(0; 0),
0,(0; 0),
0,(0; 0),
0,(0; 0),
О2(л;0), О3(-л;0), 04(l; 0,5sin(l)).
O2(2; 4),
O2(4; 0), 03(- 4; 0), O4(4; 3), O5(- 4; 3),
07(-4; - 3) O8(0; 3), O9(0;-3).
w2 ~ w2 (5 - w,);
-3
0
8.4.2*.
8.4.3*.
8.4.4*.
8.4.5*. 0,(0; 0),
O6(4;-3),
8.5*. Система w, = w, (3 — w, - w2),
0,(0; 0) x =
3
0
O3(5;-2) x =
Система vv, = 4w,w2
0,(0; 0) x =
-w;
0
’ 2
0
5
-5
2
'2> w2
o'
x;
о
x ; O2(3; 0) x =
-5
0
= 2vV] — vv2Wj;
____________ 16
0
O2(0,25; 2) x=
-3
2
0
-0,25
x.
Система w, = w2 — w, w2,
0
1
0,(0; 0) x =
x; O2(?t; 0) x =
w2 = -2w2 + sin w,
1
-2
О 1+л
-! -2
Система w, = 0,25w2w, - w2, w2 = 2w2 - wtw2;
O3(- n; 0) jc =
x; O4(l; 0,5sin(l)) x=
0 l-Jt
x
-1 -2
-Q421 0
-1
-2
447
Ot(0; 0) i = 0 0 0 2 х; 0,(2; 4) х= 0 —4 1 0 X.
Система w, = 1 6iv, - м 'V2 = 9»v2 -и>2;
0,(0; 0) х О3(-4;0) х О5(-4;3)х= = 16 0 -з; L 0 -32 0 о’ 9 0 -1 X 0 9 8 э X X 0,(4; 0) х = ; О4(4; 3) х= О6(4; —3)х= -2 0 32 О' ° 9. 2 0 ‘ -18 32 0 0 -1 Л X 8 г;
О7(-4;-3) х= -32 0 0 -18 г; О8(0; 3) х= '16 0 О' -18 X
О9(0;-3) х = 16 0 0 ‘ -18 г.
8.6*. Система w, = w, (3 — w, — w2), w2 = >v2 (5 - w,) ;
O|(0; 0) — неустойчивый узел; O2(3; 0) — седло;
O3(5; - 2) — устойчивый фокус.
Система w, = 4wim'2 -w2, w2 = 2wt — w2w,;
O|(0; 0) — не определяется; O2(0,25; 2) — седло.
Система w, = w2-W|W,, vv2 =-2w2 + sin , |vvI|<3Tt/2;
O|(0; 0) — седло; О,(л; 0) — седло;
O3(- л; 0) — устойчивый фокус;
О4( I; 0,5sin( 1)) — устойчивый узел.
Система w, = 0,25 w2wf - w*, w2 = 2w2 - w, w2;
Oi(0; 0) — не определяется; O2(2; 4) — центр.
Система w, = 16»v, — wj*, w2 = 9w2 — w2;
Oi(0; 0) — неустойчивый узел; O2(4; 0) — седло;
O3(- 4; 0) — седло; О4(4; 3) — устойчивый узел;
О5(- 4; 3), О6(4; - 3), О7(- 4; - 3) — устойчивые узлы;
О8(0; 3) — седло, О9(4; - 3) — седло.
448
8.10*.
8.11*. а) векторы x0 =[-1,2 0]r, x0=[-l -1]т, x0=[l,4 -1]г,
x0=[l,6 -0]г и т. д. или х0=[1,2 Of, х0=[1 1]г, х0 =[-1,4 1]г,
х0 =[-1,6 0]г, х0 =[-0,8 - 2]г, а также векторы х0) соответствующие
точкам, лежащим на траекториях проходящих через указанные точки;
б) Р = 0, Р = е«.
8.12 *. y = 0,7xZ(v), v = -10(5y + v). Фазовые портреты, постро-
енные методом припасовывания и с помощью MATLAB:
449
8.13.1*.
8.13.2*.
8.16 *. Бифуркационные значения: г = 1, г =13,92; г = 24,06; г =
= 24,7368.
8.17 *.
450
8.21.1 . Положение равновесия асимптотически устойчиво в малом.
8.21.2 . Исследовать устойчивость положения равновесия методом
первого приближения невозможно.
8.21.3 .Если RC— pS(O)>O, то положение равновесия асимптоти-
чески устойчиво в малом. Если RC— ц5(0) < 0, то положение равновесия
неустойчиво. Если RC— pS(O)=O, то исследовать устойчивость положе-
ния равновесия методом первого приближения невозможно.
8.21.4 . Положение равновесия асимптотически устойчиво в малом.
8.21.5 . Неустойчивый узел при цу > 2ю0 и неустойчивый фокус при
ИУ<2ю0.
8.22 . Особая точка 0,(0, 0) неустойчива; особая точка О3(3, 3) ус-
тойчива.
8.23 *. Положение равновесия асимптотически устойчиво в малом
при всех Kt > е0, где £0 - малое положительное число.
8.24 *. Особая точка 0,(0, 0 0) — неустойчива; особая точка
I I& [й
О2 J-(г-1), J— (г-1), (г-1) — устойчива; особая точка
Is
(r-l)
— устойчива.
8.25 *. Особые точки 0,(1,732051; 62,353829; -1,732051; 17,320508) и
О2(-1,732051;-62,353829; 1,732051; 17,320508) —неустойчивы.
8.30 *. Положение равновесия неустойчиво.
8.31 *. Положение равновесия устойчиво.
8.32 *. Положение равновесия устойчиво в большом. Фазовый порт-
рет имеет вид
Фазовый портрет к задаче 8.32*
Годограф Попова к задаче 8.48*
451
8.33 *. Положение равновесия устойчиво в целом.
8.34 *. Вертикальное движение тела, брошенного под углом а к го-
ризонту, описывается выражением h(t) = C(l — ехр(—A/)) — gtl к, пока
h > 0, и является неустойчивым. Здесь С = (g + Av0 sin а) I к2.
8.35 *. 11^=12. 8.41*. Система абсолютно устойчива.
8.42 *. Система абсолютно устойчива. 8.43*. ккрит = 476.
8-44*. ^„,„=11,2. 8.45*. ^„=66,7.
8.46 *. Система ие является абсолютно устойчивой.
8.47 *. Система абсолютно устойчива.
8.48 *. 1И =0,84, ккр„ =1/0,84 = 1,19. Годограф см. выше.
8.51 *. Д,р =(Vy-1XVy + 1)100%, где y = (a1a2/aeaJ)ea„.
Если же задано Д = Д% /100, то
2
( 1 + Д2У
Y =2 ----—
*Ч> 1 72
ll-Д J
2| | -1
I 1-Д2 I
-1 .
8.52 *. Система ие является робастно-устойчивой.
8.53 *. Система не является робастно-устойчивой при погрешности
в 5% и является робастно-устойчивой при погрешности в 3%.
8.54 *. Система является робастно-устойчивой в обоих случаях.
8.55 *. Система является робастно-устойчивой.
8.56 *. Система является робастно-устойчивой. 8.57*. К, =51,97.
8.60 *. Существуют устойчивые автоколебания с параметрами:
со* = -^8, хт = 0,263.
8.61 *. Ккр =32,77 , со* = 10,3, х,„ ~ 1,58.
8.62 *. со* =7,75, х,„=3,1, |Ж,(7,75у)| = 1,46 , |1Кт(2х7,75/)| = 0,275,
1,46 / 0,275 = 5,3. Гипотеза фильтра выполняется.
8.63 *. Возможны автоколебания с параметрами с% = V2, хт =47,25.
8.64 *. Ккр =0,08177, со* =2, хж=1,19, \W, (2/)] = 0,0785,
|1К,(4у)| = 0,016828, 0,0785/0,016828 = 4,665. С увеличением Za и умень-
шением ха критический коэффициент и амплитуда автоколебаний умень-
шаются.
452
9.6 *. (р4 +17,75р3 +190,563р2 - 707,134р)и(р) = 21,276г(р) -
-(0,180р3 - 4,228р2 + 70,793р)у(р).
9.7 *. (р2 + 0,25)(р2 + 64)(р2 +9p+5,75)w = (1,926р + 0,077)£ +
+(0,092р6 +0,977р5 + 6,558р4 +42,166р3 +
+26р2 +10,48р+6,093)у.
9.8 *. р2 (р2 + 40,112р +1271,9)м(р) = (24,01 Зр3 + 328,7р2 +
+539р +126)у(р) - (44,6656р +10,6524)g(p).
9.9 *. (р2 + 15,94p+142,8)u(p) = 0,0938p2 + 9,58535р + 20,535)г(р).
uk
9.10 *.
= 0,0509605г,., + 0,0408217г,_2 -0,37268м,+ 0,93578м,.2 +
+0,436897м,., + 0,0941715у,_, +0,0924778ул_2 -0,18615у,.3
9.11 *. щ = 0,09383»,., + 2,409695м,_2-1,5О3525мьз +
+0,723244g,+0,187142g,_2 -
-3,009679yt_, +2,293734^ -ОД94441Л.3.
9.12 *. щ = 0,10585£t_, + 0,17508£4_2 -1,1573//,., -0,65707i/,_2 -
-0,387g,.,-0,17508g,_2.
9.18*. При 4 = -7, Д,2 = -6, Л,, = -5, 2,4 = -3, у = x4
453
9.19*. При Л, = —9, ЛН1 = —8, Лн3 = -7, Я„4 = -6
3 10 0 0 25 '
3 0 1 0 0 208
X — 3 0 0 1 х+ 0 и + 560 (7-Х|)
1 0 -2 -5 10 -193
9.20*. При Z »1 = -0,2, z„2 = 0,3, ”иЗ = 0,43 , У к =
0 0 0,105' 0,245 о,1зГ
1 0 0,41 Л + 0,34 ёк + 0,393 О'* -xit)
0 1 -0,1 0 -0,63
9.23*. При X., = -5, =-4, Хж3 = -3, у = х4;
0 0 -60 '60 60
х = 1 0 -47 х+ 24 ё~ 32 У
0 1 -12 0 4
9.24*. При хж| =0,35, z„2 =0,5;
0 -0,1751 „ 0,026751 -0,03375'
= хк + 1 0,85 * -0,2575 g* + 0,0675 Ук
9.25*. При z„, =03, z112 =0,5, ук =хм;
Хк+1 — 0 -0,15' 1 0,8 *к + 0,245' 0Д4 ёк + ' 0,24' -ОДб л
9.31*. При Xvl =- « = g 9.32*. При А,,, =- -20,Х,.2 = -[22000 -2,5,<2 = -27,5, Xv3=-40; 2250 57,5]х. -3,2,Хр=-4,Х Л
454
X„3=-8, t/ = g—[0,2 0,825 0,6] х;
О
-2
О
321 Г240
116 (_у-х3)
19
9.33*.При Х„ =—2, Xv2 =-10,4, Х„. =-5, Х„, = -8;
> 9 I ' у X. * ' 41 ' ИХ '
—0,875
1,1875
-24,75
-12,125
х+
0,2
0,5
0,3
2,875
1,8125
J.
0 О
х = 1 О
О ]
4 и +
О
1
и +
n = g-[48,88 126,88]х.
9.34 *. При X,., =-2,5, Xv2 = -4, Xj3 =-7,5, Х„, =-10, Х„2 =-12 ;
0
1
-120]. Г195] Г- 2,5
х- и +
-22 44 0,1
2568
350,9
У
w = g + [0,054176 0,45714]х + 17,279у.
9.35 *. При zrI =0,5, zv2 =0,6, z„, =0,42, z„2 =0,35;
x*+i —
0,31542
0,005283
-0,68458
0,45458
6,94
-3,84
0,68458
-0,005283
и* =g< -[0,052331 0,003613l]xt.
9.36 *. При zvl =0,35, z>2 =0,62, z„, =0,2, z„2 =0,25;
-0,44602
-1,624
0,55398
0,89602
0,13286
0,18587
w* =g* -[0,783 0,55] xt.
455
9.37*. При z,., =0,4, z„2 =0,5, z,,3 =0,6, z1(l =0,2, z„, =0,25;
-2,0775'
1,7475
*+1 ~
О -0,05 .
0,45 X
0,12
0
"к +
Ук
-2,058
0,282
uk =gk-[4,1667 22,833]^ - 22,1 yk.
9.38*. При zvl =0,25, г,., =0,45, z„, =0,15;
x3+1 =-0,15.vt -0,00109ик -1,1623^
i/t =gt - 5,0303 -7,3623 л .
9.41*.
Г, =1,82 с, Г, =0,25 с,
9.42*.
при
9.43*.
9.44*.
9.45*.
(1 + г1Р)(1+г4Р)
Т3 =0,1 с, Г4 =0,01с.
(1 + г2Р)(1+тзР)
'юЛР) (1 + Г1Р)(1 + Г4Р)
Т3 =0,1 с, Г4 =0,05 с.
w (1+г,Р)(1+лР)
0+т3рЮ+т4р)
Т3 =0,0029 с, Т4 =0,00066 с.
и/ i \ 1-7sP 0,592Р
при
при
Г, =6,3 с, Г, =0,2 с,
7] =0,25 с, Г, =0,04 с,
Т2 =0,25 с, Т3 =0,1 с,
Т5 =0,00184 с.
456
_ ... . 3,025» 1 + 7L»
9-46*. ^,,Др)=——при Г2 =0,2», Т3=0,1с,
1 + г2р 1 + Т3р
75=0,024».
9-47*. при Г, =0,25», Г2 =0,04 с,
1+т;р \+т2р
Г5=1,39с.
9.48*. при 7] =7,15», Т2=0,ЗЗс.
(1 + TiP)
9-49*. ^(р)=-^- при Г2=О,33», Г3=2,27с.
l + Tjp
/• \ J °’ хтРЬ = 0,
10. 2*. и(х) — < . । т т
— 0,75|x||signxTPfe, хтРЬ*0,
где хтРЬ = -Зх, - 38,75х2 - 13,5х3 .
10. 3*. При y(x) = 0, X] =(0, х2 =(В
' ' 0, хтРЬ=О, „ Г1.4017 0,05561
w(x)=] _ т ,Р=
-l(x)signxrPb, xrPb*Q, [0,0556 0,1292]
/(х)=[1,0б|х,|2 + 0,493|х,||х2|]-10-3.
10. 4*. При у(х) = О, Xj = у, х2 =у
О, хгР6 = 0, ГЦЗЗЗ 0,1667
-3\j\signxTРЬ, хгРЬ*О, ’ -[0,1667 03333
10. 6*. и = 0,4225 xt - 5,8225 х, - [1,51 х3 - 5,29 х4 ] / &(х3, х4 ).
10. 7*. Если ct)(xi) = (sin х() / х1, | xt | < п, то
11 — —[5,5 + 2,5ftj(X|)]X| —[3-1/3 бУ(х,)]х2 —[1 + 2/3<и(п)]х3.
10.8*.
91,366 +99,9Ц . 417,31-76,81х,-2,702.3
м------------ГТ---Lxi -7»21 15х2 +-----------!--’----L*T
Х| +4,5 2 *• л «
jq+4,5
457
10 .11*. При 0=х,, а=а°+х^, а = х3, Л83=н и |а°+х2|<л/2
и(х) = —(2 cos(a' + х2 ))4 [у, (х)+8и’3 (л)] - ф3 (х),
где
72(x)=[3,4cosx, sin(a“ +x2)-0,0289cos2xl +8+1,02х
xsinxl]<j)l(x)+2[(6+0,17sinx1)cos(a<’ +x2)-x3sin(a° +x2)Jx3,
w3(x) = (6+0,17втх1)ф|(х) + 8х1 +2x3cos(a“ + x2),
ф, (x) = 2 sin(a’ + x2) - 0,17 cos x,,
ф3(х)=(0Д751пх| +5>|)1(x)-(5+2cos(a° +x2))x3 -0,07sin@t’ +xj).
10.12*.
h=—sin 0,1 x.
1,5 sin 0,1 X| + 0,5(x, - -^36 + 2,25x3 +6)
0,lcos0,lx,
область притяжения определяется следующими неравенствами:
| ^(х0; 1)|2 -8| ^(х0; 0,5)| < 0, х2(/,х0) >-16,
где ^(х0,Х) = sin0,1х|о + Х(х10 - .j36 + 2,25x20 + 8)) .
10.13*. ик =-1,2х1Л -13х,*+1 -95хн+2 -5хм+| +6sinxu+1.
10.14*. н4 =—100arcsin[4,762(x11+2 + E5n-Vi.^n)l+10+
4=0
+0,5 xlt+1 +1,1 sin(0,l x2J) - l,025x3i.
458
Библиографический список
I. Алиев Р. А. Принцип инвариантности и его применение.— М.: Энерго-
атомиздат, 1985.
2. Гайдук А. Р. Синтез нелинейных снстем на основе управляемой формы
Жордана // Автоматика и телемеханика. № 7. 2006. — С. 3-13.
3. Гайдук А. Р. Условия достижимости инвариантных систем управления энер-
гетическими объектами И Автоматика и телемеханика. № 5. 2006. — С. 93-
101.
4. Гайдук А. Р. Теория автоматического управления.— М.: Высшая школа,
2010.
5. Гайдук А. Р. Непрерывные и дискретные динамические системы. — М.: УМ
и ИЦ «Учебная литература», 2004.
6. Гайдук А. Р. Синтез физически реализуемых систем управления методом
стандартных передаточных функций// Доклады РАЕН. № 1. 1999. — С.38-
42.
7. Гайдук А. Р. Алгебраические методы анализа и синтеза систем автоматиче-
ского управления. — Ростов-иа-Дону: Изд-во Ростовского государственного
университета, 1988.
8. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. —
СПб.: Лань, 2009.
9. Дьяконов В., Круглов В, Математические пакеты расширения MATLAB. Спе-
циальный справочник. — СПб.: Питер, 2001. ’’’
10. Корн Г, Корн Т. Справочник по математике. — СПб.: Лань, 2003.
11. Краснощёченко В. И., Кртценко А. П. Нелинейные системы: геометрические
методы анализа и синтеза. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005.
12. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной дина-
мики. — М.: Эдиториал УРСС, 2000.
13. НейдорфР.А., СоловейН. С. Инженерные методы синтеза автоматических
систем управления. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГАСХМ, 2004.
14. Олейников В. А. Оптимальное управление технологическими процессами в
нефтяной и газовой промышленности. —Л.: Недра, 1982.
15. Сборник задач по теории автоматического регулирования/ Под ред.
В. А. Бесекерского. — М.: Физматгиз, 1963.
16. Теория автоматического управления / Под ред. А. В. Нетушила. Часть 1;
часть 2. — М.: Высшая школа, 1976; 1983.
17. Топчеев Ю. И., Цыплаков А. П. Задачник по теории автоматического регули-
рования. — М.: Машиностроение, 1977.
18. Черныш П. И. Преобразование энергии в электрических системах. — Таган-
рог: Изд-во ТРТУ, 2001.
Тематический указатель задач
Ниже используются следующие сокращения:
А(ы) и <р(со) — амплитудная и фазовая частотные характеристики,
КНФ — каноническая наблюдаемая форма (форма Фробениуса),
КУФ — каноническая управляемая форма,
ЛАЧХ — логарифмическая амплитудно-частотная характеристика,
ОДО — обыкновенное дифференциальное уравнение,
ПФ — передаточная функция,
РУ — разностное уравнение,
УПС — уравнения в переменных состояния,
Л(г) — переходная функция непрерывной системы,
nV) — импульсная переходная функция непрерывной системы,
Л* — переходная функция дискретной системы,
к* — импульсная переходная функция дискретной системы,
Wp(p) — передаточная функция непрерывной системы,
fV„4(p) — передаточная функция непрерывной части системы,
УУ — устройство управления,
МФ — минимально-фазовый объект.
Таблица ТУ.1
Тема задачи Способ решения
вручную в MATLAB
Стр.
Вычисление дисперсии выхода системы 185 186
- - случайного воздействия 97,99 98
- бифуркационных значений параметров 276
- запасов устойчивости по амплитуде и фазе 213,215 214
- координат особых точек 260
- корней полинома 2-й степени 10 12
- критических значений параметров по критериям Гурвица, Найквиста 206,210
- - - по критерию Попова 295
- - - критерию Гольдфарба 308
- модуля и фазы комплексного числа 8,10
- обратной матрицы 19,21 20,21
- определителя матрицы 18 19
- ошибки методом коэффициентов ошибки 239,243
- - по теоремам о предельных значениях 244
- - по модулю и по фазе 240.241 252
- параметров автоколебаний 311
Продолжение табл. ТУ.1
Тема задачи вручную 5 MATLAB
Вычисление произведения матриц 16 16
- показателей качества переходных процессов 225,235 235,236
- скалярного произведения векторов 14, 15
- среднеквадратической ошибки (СКО) 249 252
- среднего значения выхода системы 183
- степени и логарифма комплексного числа 9
- - устойчивости непрерывной системы 212
- — - дискретной системы 220,221 223
— суммы матриц 13 14
Исследование абсолютной устойчивости по критерию Воронова 301
по критерию Попова 295
— систем с неустойчивой линейной частью 300
— полноты непрерывных и дискретных систем 196 197
— управляемости, наблюдаемости непрерывных систем 191 193
- - - и полноты дискретных систем 199 199
- робастной устойчивости 305
— устойчивости по корням характеристического полинома 200,217 201
- - непрерывных систем по критерию Гурвица 202
- - — — по критерию Рауса 202
- — - — по критерию Найквиста 208
- - дискретных систем по критерию Гурвица 218
- - - — по критерию Михайлова 219
- - - — по критерию Шура - Кона 218
- - методом первого приближения 280,282
- - методом функций Ляпунова 285
Минимизация интегральной квадратичной оценки 255
Определение типа особой точки 261
- порядка астатизма 236,243
- ранга матрицы 21 23
Получение выражения для Л(7) по ПФ, по УПС 145, 155 147,151
- - для »v(r) по ПФ 151 151
- - для hk и и> по ПФ 156,157 158,159
- - для А(ю) 163, 164
— ^-изображений регулярных воздействий 94,95
461
Продолжение табл. ТУ. 1
Тема задачи вручную в MATLAB
Получение корреляционной функции 97,99 98,100
- матрицы exp(J/) диагональной матрицы 51 53
- - - с помощью матрицы Вандермонда 54 55
Получение минимальной реализации 139 140
- моделей непрерывных систем 68 79
- ОДУ вход-выход непрерывной системы по ПФ 119
- ОДУ регулярных воздействий 93
- ПФ замкнутей системы по её WJ(p) 120,121 121
— ПФ (матрицы) дискретной системы по её УПС 116
- ПФ (матрицы) непрерывной системы по УПС 112,113 113,114
- ПФ непрерывной системы по её ОДУ 80,111
- ПФ непрерывной системы методом последовательных преобразований 118,124
- - - - по формуле Мейсона 125,127 127,130'
- разностей решетчатых функций 44
- РУ вход-выход дискретной системы по её ПФ 83,84
- - импульсной системы по ПФ H4-W,„(p) 81,88 83,91
- - - - по уравнен, в перемен, состояния НЧ 85 87
- реакции на гармоническое воздействие 178 179
- - на импульсное воздействие 172,181
- - на постоянное воздействие 172,180 175
- — на сложное воздействие 175,177 177
- системы первого приближения 261,279 280
- спектральной плотности выхода системы 183
- - - случайного воздействия 100,101 101
- схем корректирующих звеньев по ЛАЧХ 369
- УПС регулярных воздействий 94,95
- — по ПФ (матрице) 135,137 138
- - по уравнению вход-выход 133,136
- - системы по УПС звеньев структурной схемы 141 143
Построение асимптотических АЧХ, ФЧХ 166 168
- АЧХ и ФЧХ 163,164 163
- графика функции y(t) 42 43
- “ - Ук 45 50
- - - h(f) по ПФ, по УПС 150,152 148,154
- - - w(/) по ПФ, по УПС 148,152 151,155
- - - Л* и по ПФ, по УПС 156,158 158,160
462
Окончание табл. ТУ.1
Тема задачи вручную в MATLAB
Построение годографа Найквиста 164 165
- желаемой ЛАЧХ 362
- ЛАЧХ по передаточной функции 166 168
- схемы УУ на операционных усилителях 320 373
- фазового портрета нелинейной системы 267 273
Приведение системной матрицы к диагональной 105 106
- УПС системы к КНФ 109 НО
- УПС системы к УПС 107 109
Проверка гипотезы фильтра 312
Разложение в ряд Маклорена, Тейлора 26 28
- - Фурье 29,31 31,33
Решение не однородной системы ОДУ 57 59
- однородной системы ОДУ 56
- ОДУ классическим методом 35,37 35,38
- - методом преобразования Лапласа 41,42 41,43
- РУ рекуррентным методом 45 45
- - методом z-преобразования 48 49
- системы РУ методом z-преобразования 60 61,62
Синтез дискретного модального управления 357
- инвариантных систем управления 326
- линейных систем по показателям качества 315
- - - методом желаемых ЛАЧХ 362
- наблюдателя Калмана для непрерывных объектов 339,341 346
- - - для дискретных объектов 343, 344 346
- - Луенбергера для непрерывных объектов 347
- - - для дискретных объектов 347,349
- нелинейных дискретных систем на основе управляемой формы Жордана 387
- - непрерывных систем на основе управляемой формы Жордана 386
- - - систем на основе квазилинейной модели 382
- - - - с градиентным управлением 376
- непрерывных двумерных УУ для МФ объектов 315
- - - - для неминимально-фазовых объектов 321
- непрерывного модального управления 350,352
- цифровых двумерных УУ для МФ объектов 331
463
Анатолий Романович ГАЙДУК
Виктор Егорович БЕЛЯЕВ
Тамила Алексеевна ПЬЯВЧЕНКО
ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
в примерах и задачах
с решениями в MATLAB
Учебное пособие
Издание второе, исправленное
Зав. редакцией инженерно-технической литературы К. Е. Житков
ЛР №065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10
от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com
192029, Санкт-Петербург, Общественный пер.. 5.
Тел./факс: (812)412-29-35, 412-05-97, 412-92-72.
Бесплатный звонок по России: 8-800-700-40-71
ГДЕКУПИТЬ
ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЙ:
Для того чтобы заказать необходимые Вам книги, достаточно обратиться
в любую из торговых компаний Издательского Дома •ЛАНЬ»-.
по России и зарубежью
•ЛАНЬ-ТРЕЙД». 192029, Санкт-Петербург, ул. Крупской, 13
тел.: (812) 412-85-78, 412-14-45, 412-85-82; тел./факс: (812) 412-54-93
e-mail: trade@lanbook.ru; ICQ: 446-869-967
www.Ianpbl.spb.ru/price.htm
в Москве и в Московской области
•ЛАНЬ-ПРЕСС». 109263, Москва, 7-я ул. Текстильщиков, д. 6/19
тел.: (499) 178-65-85; e-mail: lanpress@lanbook.ru
в Краснодаре и в Краснодарском крае
«ЛАНЬ-ЮГ». 350072, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1/1
тел.: (861) 274-10-35; e-mail: lankrd98@mail.ru
ДЛЯ РОЗНИЧНЫХ ПОКУПАТЕЛЕЙ:
интернет-магазины:
Издательство «Лань»: http://www.lanbook.com
•Сова»: http://www.symplex.ru; «Ozon.ru»: http://www.ozon.ru
• Библ ион •: http: // www.biblion.ru
Подписано в печать 22.06.11.
Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Формат 84» 1081/».
Печать офсетная. Усл. п. л. 24,36. Тираж 1000 экз.
Заказ №1607
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Издательско-полиграфическое предприятие «Правда Севера».
163002, г. Архангельск, пр. Новгородский, 32.
Тел./факс (8182) 64-14-54, тел.: (8182) 65-37-65,65-38-78, 20-50-52
www.ipppa.ru, e-mail: zakaz@ippps.ru