Текст
                    Ю.Ф. Голубев
Основы
теоретической
механики
2-е издание, переработанное и дополненное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений, об-
обучающихся по направлениям "Механика" и
аМа темати ка ".
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2000


УДК 531.1 ББК 22.21 Г62 Рецензент: кафедра теоретической механики Московского энергетического института (технического университета) Федеральная программа книгоиздания России Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту № 00-01-14049 Голубев Ю.Ф. Г62 Основы теоретической механики: Учебник. 2-е изд., перераб. и дополн.— М.: Изд-во МГУ, 2000. — 719 с. ISBN 5-211-04244-1 Учебник написан на основе лекций, читаемых на механико- математическом факультете МГУ. Он поможет самостоятельно- самостоятельному изучению предмета и активному усвоению методов теоретиче- теоретической механики, наиболее часто используемых в практических при- приложениях и фундаментальных исследованиях. Изложение опира- опирается на методы дифференциальной геометрии и геометрической теории дифференциальных уравнений. Основные теоретические положения иллюстрируются примерами. Для студентов и аспирантов высших учебных заведений, об- обучающихся по направлениям "Механика" и "Математика". УДК 531.1 ББК 22.21 ISBN 5-211-04244-1 © Издательство Московского университета, 2000 © Ю.Ф.Голубев, 2000
Оглавление Предисловие ко второму изданию 7 Предисловие к первому изданию 9 1. Векторные свойства евклидова пространства 14 1.1. Точки и векторы 14 1.2. Свободные и скользящие векторы 25 1.3. Системы скользящих векторов 29 1.4. Пара скользящих векторов 31 1.5. Упрощение системы скользящих векторов 37 1.6. Параллельные скользящие векторы 40 1.7. Центр масс множества точек 42 1.8. Геометрия масс 45 1.9. Главные оси инерции 49 1.10. Преобразование эллипсоида инерции 50 1.11. Тензорное умножение векторов 57 1.12. Критерий тензора инерции 59 1.13. Свойства моментов инерции 61 1.14. Примеры вычисления тензора инерции 64 Контрольные вопросы к главе 1 73 2. Кинематика 76 2.1. Скорость точки 76 2.2. Ускорение точки 78 2.3. Закон движения твердого тела 81 2.4. Движение вокруг неподвижной точки 84 2.5. Угловые координаты твердого тела 88 2.6. Параметры Эйлера 96 2.7. Параметры Кэли-Клёйна 102 2.8. Кватернионы 110 2.9. Произвольное движение твердого тела ИЗ 2.10. Дифференциал вращения 115 2.11. Сложное движение точки 118 2.12. Поле скоростей твердого тела 120 2.13. Система угловых скоростей 125 2.14. Поле скоростей плоскопараллельного движения .... 131 2.15. Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой . . . 133 2.16. Ускорение точки в сложном движении 139
4 Оглавление 2.17. Поле ускорений в твердом теле 145 Контрольные вопросы к главе 2 150 3. Динамика поступательного движения 154 3.1. Пространственно-временная структура 154 3.2. Первый закон Ньютона. Принцип относительности . . 156 3.3. Принцип детерминированности 159 3.4. Работа силы на перемещении 162 3.5. Основные задачи динамики 169 3.6. Скалярные формы уравнений движения 176 3.7. Основные теоремы динамики материальной точки ... 190 3.8. Влияние связей на движение материальной точки . . . 197 3.9. Одномерные осцилляторы 211 3.10. Резонансные явления 232 3.11. Движение под действием сил всемирного тяготения . . 254 3.12. Сферический маятник 269 3.13. Относительное движение 274 3.14. Силы инерции из-за вращения Земли 281 3.15. Элементы теории удара 289 Контрольные вопросы к главе 3 297 4. Аналитическая статика системы материальных точек 304 4.1. Равновесие системы 304 4.2. Классификация связей 305 4.3. Интегрирующие механизмы 307 4.4. Критерии голономности системы связей 311 4.5. Выявление голономных связей 324 4.6. Идеальные связи. Виртуальные перемещения 332 4.7. Принцип виртуальных перемещений 343 4.8. Уравнения равновесия абсолютно твердого тела. Гео- Геометрическая статика 352 4.9. Статически неопределимые системы 357 4.10. Равновесие систем с трением 360 4.11. Уравнение равновесия нити 364 Контрольные вопросы к главе 4 373 5. Динамика системы материальных точек 376 5.1. Общее уравнение динамики системы материальных то- точек. Основные теоремы 378 5.2. Теоремы Кёнига 397 5.3. Движение систем переменного состава 404 5.4. Принцип Гаусса наименьшего принуждения 417 5.5. Квазикоординаты 421
Оглавление 5 5.6. Уравнения Аппёля 426 5.7. Общее уравнение теории удара 432 Контрольные вопросы к главе 5 438 6. Динамика твердого тела 443 6.1. Динамические характеристики твердого тела 443 6.2. Уравнения движения твердого тела 448 6.3. Движение твердого тела вокруг неподвижной оси . . . 453 6.4. Физический маятник 457 6.5. Задача о центре удара 462 6.Q. Движение твердого тела около неподвижной точки . . 464 6.7. Случай Эйлера 466 6.8. Случай Лагранжа-Пуассона 478 6.9. Случай Ковалевской 489 6.10. Частные первые интегралы 491 6.11. Симметричный гироскоп 494 6.12. Волчок на гладкой горизонтальной плоскости 501 6.13. Относительное равновесие спутника 504 6.14. Качение диска по горизонтальной плоскости 508 6.15. Качение шара по горизонтальной плоскости 514 Контрольные вопросы к главе 6 520 7. Уравнения движения в лагранжевых координатах 523 7.1. Координатная форма принципа Даламбера-Лагранжа 523 7.2. Уравнения движения 526 7.3. Системы Чаплыгина 531 Контрольные вопросы к главе 7 537 8. Динамика голономных систем 539 8.1. Уравнения Л агранжа второго рода 539 8.2. Энергетические соотношения 544 8.3. Обобщенная силовая функция 549 8.4. Функция Лагранжа. Циклические координаты 555 8.5. Метод Рауса исключения циклических координат . . . 564 8.6. Устойчивость движения 567 8.7. Движение вблизи равновесия 569 8.8. Главные координаты 573 8.9. Экстремальные свойства собственных значений .... 583 8.10. Влияние дополнительных сил 590 8.11. Экстремумы функционалов 598 8.12. Интегральные вариационные принципы 612 Контрольные вопросы к главе 8 622
Оглавление 9. Метод Гамильтона-Якоби 626 9.1. Преобразование Лежандра 626 9.2. Канонические уравнения Гамильтона 630 9.3. Скобка Пуассона 636 9.4. Метод Гамильтона-Якоби 641 9.5. Интегральные инварианты 658 9.6. Множители Якоби 672 9.7. Канонические преобразования 680 9.8. Элементы теории возмущений 695 Контрольные вопросы к главе 9 700 Именной указатель 704 Предметный указатель 706 Литература 714
Предисловие ко второму изданию В настоящее время изданный в 1992 г. учебник "Основы теорети- теоретической механики" является библиографической редкостью [25]. При подготовке к его повторному изданию автор доработал представлен- представленный в учебнике материал на основе опыта преподавания общего кур- курса теоретической механики с учетом новых программ по механике [19, 20, 42, 43, 47, 57]. В предлагаемой редакции учебника исправлены имевшиеся опечатки и более глубоко представлены фундаменталь- фундаментальные теоретические разделы такие, как кинематика движения твердо- твердого тела [32], связи и виртуальные перемещения системы материаль- материальных точек [69], необходимые условия экстремумов функционалов и элементы теории управления [48, 54, 2], резонансные явления линей- линейных систем [71], устойчивость консервативных систем в окрестности положения равновесия [26, 69]. Расширены разделы по геометрии масс, статике и аналитической динамике [10, 18, 33]. Добавлено ре- решение новых задач, демонстрирующих влияние сил инерции, влия- влияние сухого и вязкого трения на движение тел [34], явление удара при наличии освобождающей связи [11, 30]. Подчеркнута связь современ- современных методов вариационного исчисления и оптимального управления с интегральными вариационными принципами механики. Соответству- Соответствующий материал иллюстрируется задачей о брахистохроне и задачей о быстродействии в начало координат фазовой плоскости [54]. В конце каждой главы предложены контрольные вопросы для самопроверки усвоения материала. Указанные дополнения не изменили структуры учебника. Автор старался найти экономные и простые пути изложения материала, представляющие самостоятельную методическую ценность и могу- могущие оказаться полезными для преподавателей. Автор надеется, что материал, содержащийся в учебнике, даст хорошее представление о теоретической механике как о науке, лежащей в основе современно- современного естествознания, и, благодаря доступности изложения и богатству представленного теоретического и практического материала, будет способствовать привлечению молодежи к естественно-научным дис- дисциплинам. Автор благодарен сотрудникам кафедры теоретической механи- механики механико-математического факультета МГУ Д.Е.Охоцимскому, В.В. Румянцеву, В.В. Белецкому, И.Л. Антонову, А.В. Карапетяну,
Предисловие к 2 изданию С.В.Болотину, Я.В.Татаринову и другим сотрудникам за полезные обсуждения и рекомендации по улучшению содержания книги. Осо- Особую признательность автор выражает Е.В.Мелкумовой, внесшей зна- значительный вклад в подготовку контрольных вопросов и именного указателя.
Предисловие к первому изданию Теоретическая механика как наука начала развиваться в глубо- глубокой древности [45, 65]. Изучая такие фундаментальные свойства, как законы движения и равновесия материальных тел, она имеет огром- огромное практическое значение и лежит в основе современного естество- естествознания. Отвечая потребностям научно-технического прогресса, она постоянно развивается, совершенствуя существующие и разрабаты- разрабатывая новые методы исследований. Будучи тесно связанной со многими естественными науками (математика, теория относительности, кван- квантовая механика, механика сплошной среды, электротехника, теория машин и механизмов и др.), теоретическая механика не только при- привносит в них свои результаты, но и заимствует от них новые знания, постановки задач, подходы к решению проблем. Изложение основ теоретической механики возможно как с точки зрения пользователя, которому достаточно узнать некоторый фикси- фиксированный набор сведений (возможно, без обоснований) для практиче- практического их применения, так и с точки зрения исследователя, которому важен не только (и не столько) набор знаний, но и методы и техника получения результатов для дальнейшего развития теории и с целью проникновения в еще не изученные сферы ее приложения. Тот и дру- другой подходы имеют право на существование. Первый часто использу- используется в технических вузах, где курс теоретической механики служит лишь основой для специальности. Второй подход больше практи- практикуется для подготовки специалистов широкого профиля в области физики, математики, механики. Настоящая книга ориентирована на подготовку специалистов ши- широкого профиля. Она основана на лекциях автора для студентов- механиков механико-математического факультета МГУ. Тем самым излагаемый материал адресован в первую очередь читателю, решив- решившему профессионально заняться механикой и, следовательно, решив- решившему глубоко разобраться в понятиях, идеях и методах этой науки. Теоретическая механика, развиваясь, достигла большой глубины и мастерства в исследовании многих весьма сложных проблем. Суще- Существует также значительное число математических дисциплин (теория оптимальных процессов, симплектическая геометрия, теория потен- потенциала, теория линейчатых поверхностей, теория возмущений, теория устойчивости, теория дифференциальных уравнений и др.), проис-
10 Предисловие к 1 изданию хождение или развитие которых обязано теоретической механике и результаты которых вносят существенный вклад, в частности, в по- понимание ее задач. Ограниченные рамки университетского курса A54 часа) не позволяют включить весь этот материал и заставляют огра- ограничивать содержание курса наиболее фундаментальными знаниями с учетом, конечно, передовых направлений научных исследований. При этом полезно использовать факт взаимопроникновения методов и понятий теоретической механики и смежных наук, что будет способ- способствовать не только пониманию их единства, но и позволит включить новые результаты. В частности, в книге с целью экономии места опущена теория устойчивости движения, традиционно включаемая в курсы теоретической механики [69]. В настоящее время эта тео- теория переросла в самостоятельную математическую дисциплину [26], основы которой читаются в курсе дифференциальных уравнений [53]. Компактности изложения может способствовать выделение матема- математически родственных понятий механики. Например, алгебраическая теория скользящих векторов полностью обслуживает как раздел ки- кинематики, изучающий свойства угловых скоростей, так и все разделы геометрической статики. Сравнительный анализ свойств углов Эйле- Эйлера, параметров Кэли-Клейна и кватернионов позволяет существен- существенно дополнить кинематику твердого тела, экономно распорядившись объемом соответствующего раздела [23]. Лаконичности способству- способствует также сочетание алгебраического и геометрического стиля [31, 63] аналогично тому, как это применяется в дифференциальной геоме- геометрии [28]. Принятая в книге логическая схема изложения материала доста- достаточно традиционна [4, 12, 15, 16, 29, 39, 40, 52, 68] и соответствует установившейся за много лет последовательности проведения прак- практических занятий. Курс начинается с раскрытия понятия аффинного точечно-век- точечно-векторного пространства как формальной аксиоматической основы по- построений теоретической механики. Строится теория преобразований системы скользящих векторов к простейшему виду. Вводится поня- понятие центра масс и тензора инерции и развивается геометрия масс. Весь этот аппарат, помимо теоретической механики, может быть эф- эффективно применен и в некоторых разделах математики [7, 50]. Что- Чтобы подчеркнуть это, ему придана векторно-алгебраическая форма. Кинематика традиционно включает вопросы, связанные с изуче- изучением геометрических аспектов движения в трехмерном аффинном пространстве. Структура поля скоростей и поля ускорений твердых тел анализируется с помощью аппарата дифференциальной геоме- геометрии и теории ортогональных операторов. Создается теоретическая основа для введения и расчета основных динамических характери-
Предисловие к 1 изданию 11 стик (кинетической энергии, кинетического момента, энергии уско- ускорений), а также анализа структуры виртуальных перемещений. С целью облегчения практических приложений особое внимание уде- уделено сопоставлению различных типов координат углового положения твердого тела [23, 28]. Для изучения поступательного движения твердого тела вводится понятие материальной точки [1]. Это позволяет сделать динамику материальной точки физически ощутимой, облегчает анализ упраж- упражнений и сопоставление с опытными данными аксиоматически вводи- вводимых принципа относительности Галилея, принципа детерминирован- детерминированности и законов Ньютона. Анализируются ограничения на форму законов механики и физики, следующие из принципов относительно- относительности и детерминированности [5, 67]. Ставятся основные задачи меха- механики. Выявляются преимущества различных систем криволинейных координат для описания движения точки. Доказываются основные теоремы механики и сообщаются основные приемы, применяемые для исследования движения. Как основа качественного анализа поведе- поведения механических объектов подробно изучаются фазовые портреты осцилляторов. На их примере демонстрируется влияние потенциаль- потенциальных и диссипативных сил, а также резонансные явления различных типов [37]. Изучается динамика материальной точки, стесненной свя- связями [61]. Столь подробное изучение движения материальной точки вызва- вызвано двумя обстоятельствами. Во-первых, построенная теория имеет большое самостоятельное значение, как теория широко распростра- распространенного на практике поступательного движения реальных тел. Во- вторых, методически она создает достаточно удобный каркас для по- построения статики и динамики системы материальных точек, а также доставляет ряд стандартов исследования задач механики. Аналитическая статика и динамика опираются на учение о свя- связях. Вопрос о голономности связей имеет принципиальное значение для выбора того или иного математического аппарата исследования свойств движения и равновесия системы материальных точек. В кни- книгу включены элементы теории пфаффовых форм в объеме, достаточ- достаточном для получения критериев голономности системы связей [44, 59]. Для большей доступности это дополнение осуществлено обычными средствами математического анализа. В итоге сформулирован про- простой конечный алгоритм, позволяющий выделить максимальное чи- число голономных из заданной совокупности дифференциальных свя- связей. За основу учения о равновесии принят, как наиболее общий, ме- метод аналитической статики [68]. С его помощью выводятся другие известные методы. В частности, как следствие получена и сведена
12 Предисловие к 1 изданию к теории скользящих векторов геометрическая статика. Показана возможность ее применения для получения условий равновесия про- произвольных механических систем [61]. Динамика системы материальных точек сначала излагается для случая, когда движение стеснено произвольными дифференциальны- дифференциальными связями. Из принципа Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) с использованием свойств структуры виртуальных пере- перемещений [68] выводятся общие теоремы динамики об изменении ки- кинетической энергии (живой силы), кинетического момента (момента количеств движения), количества движения. Изучается динамика системы переменного состава [1]. На основе принципа Гаусса наи- наименьшего принуждения выводятся уравнения Аппеля в квазикоор- квазикоординатах. Получены также уравнения Воронца и, как их следствие, уравнения Чаплыгина. Установлено, что воздействие неголономных связей включает реакции, имеющие гироскопическую природу [44]. Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об из- изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс. Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования урав- уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковалевской [24]. В качестве примера методи- методики получения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стек лова [6]. С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов [14, 41], достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран- жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии си- системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавли- Устанавливается, что для голономных систем интегралы количества движе- движения, кинетического момента и обобщенный интеграл энергии Яко- би [70] всегда могут быть представлены как следствие существова- существования соответствующих циклических координат. Указывается на воз- возможность использования аппарата теории групп для поиска инте- интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамиль- Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соот- соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба-
Предисловие к 1 изданию 13 ний [3, 5, 21, 22]. Содержащиеся в книге методы анализа систем канонических урав- уравнений Гамильтона включают метод Якоби-Гамильтона, теорию по- последнего множителя Якоби [70], интегральные инварианты, перемен- переменные действие-угол [21, 49, 55]. Для иллюстрации эффективности при- приложений всего этого арсенала методов в книге даются элементы те- теории возмущений. Дополнительные подробности о содержании книги читатель смо- сможет узнать из оглавления, где перечислены все важнейшие ее разде- разделы. Теоретический материал поясняется решением большого числа задач и примеров различного уровня сложности [8, 35, 43, 57]. Существующая библиография по теоретической механике огром- огромна. Приведенный в книге список литературы не претендует на пол- полноту. В нем содержатся только работы на русском языке, близкие к настоящему изданию по назначению. К ним при необходимости читатель сможет обратиться за дополнениями. В этом случае преди- предисловие сыграет роль предметного указателя. Большое значение имеет возможность самостоятельной оценки читателем качества усвоения материала. С этой целью на базе IBM PC разработано приложение к книге в виде компьютерного учебно- учебного пособия, содержащее справочный теоретический материал, образ- образцы решения задач различного уровня сложности, контрольные во- вопросы и задачи, элементы практикума по теоретической механике. Балльная система оценки знаний, элементы анимации изображения на экране дисплея, дружественный интерфейс делают компьютер- компьютерное пособие привлекательным средством интенсификации процесса обучения как для преподавателя, так и для человека, решившего са- самостоятельно закрепить свои знания. По вопросам, связанным с приобретением компьютерного учебно- учебного пособия, следует обращаться на кафедру теоретической механи- механики МГУ (тел. 9393681) или в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, тел. 2507877 (Голубев Ю.Ф.), 2507925 (Павловский В.Е.). В работе над книгой автор мог неограниченно пользоваться по- помощью и советами своих коллег по кафедре теоретической механики МГУ, за что приносит им глубокую благодарность. Автор признате- признателен Н. Н. Колесникову, В. В. Козлову, А. П. Маркееву, Д. В. Зенкову, И. А. Серегину, Р. Г. Мухарлямову, А. С. Галиуллину, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд существенных замечаний по уточнению отдельных разделов книги.
Глава 1 Векторные свойства евклидова пространства § 1.1. Точки и векторы Предмет теоретической механики состоит в изучении и предсказа- предсказании движений материальных систем. С этой целью формулируются законы механики, создаются и анализируются соответствующие ма- математические модели. Понятие аффинного точечно-векторного про- пространства представляет собой математическую модель простейших геометрических объектов и их отношений, на которых базируется те- теория движения. Аффинное точечно-векторное п-мерное пространство Ап есть множество, состоящее из элементов двух типов: точек и векторов пространства. При этом предполагаются выполненными следующие четыре аксиомы: I. Множество всех векторов пространства Ап образует п-мерное линейное пространство Rn. И. Каждые две точки А и В, взятые в определенном порядке, задают единственный вектор г = АВ. III. Если даны произвольный вектор г и произвольная точка А, то существует единственная точка В такая, что г = АВ. Пара "точка А и вектор г" называется "вектором г, приложенным к точке А". При этом точка А называется начальной точкой приложенного к ней вектора г, а точка В — концом вектора г (приложенного к точке А). IV. Если ri = АВ и г2 = ВС, то ri + г2 = АС. Вещественное п-мерное линейное пространство Rn есть множество элементов (векторов), обладающих следующими свойствами: I. Для любых двух элементов ri,i*2 Е Rn однозначно определен элемент а Е Яп, называемый их суммой и обозначаемый ri 4 г2, причем должно быть выполнено: 1. ri -f гг = гг 4- ri (коммутативность); 2. ri 4 (гг 4 гз) = (ri 4 г2) 4 гз (ассоциативность); 3. Существует элемент О Е Rn: r40 = r для любого гЕйп; 4. Для любого г Е Rn существует элемент — г Е Rn : г 4 (—г) = 0.
1.1. Точки и векторы 15 II. Для любого числа а и любого элемента г G Rn определен эле- элемент от G Rn (произведение элемента г на число а), причем должно быть выполнено: 1. а(/?г) = (а/?)г; 2. 1г = г; 3. (а + /?)г 4. a(ri + г2) = Пусть каждой точке аффинного пространства по какому-нибудь правилу поставлен в соответствие единственный вектор из Rn . Такое множество пар точек и векторов называется векторным полем. Суммой векторных полей называется векторное поле, каждой точ- точке которого поставлен в соответствие вектор, равный сумме векторов, приложенных к этой точке от составляющих полей. Евклидова структура в линейном пространстве Rn задается ска- скалярным произведением двух векторов. Конкретно скалярное произ- произведение можно задать с помощью какой-нибудь положительно опре- определенной билинейной симметрической формы, устанавливающей со- соответствие между парой векторов и некоторым числом. Другими сло- словами, скалярное произведение ri • r2; ri,r2 G Д" — это операция, имеющая свойства: 1. г • г > 0 для любого г G Rn , причем г • г = 0, только если г = 0; 2. ri г2 = г2 -п; 3. (<*ri) -r2 = <*(Г1 -г2); 4. (п 4- г2) • г3 = ri • г3 4- г2 • г3. Скалярное произведение позволяет определить расстояние (ев- клидову метрику) р(А, В) = |АВ| = \/АВ АВ между точками А и В соответствующего аффинного пространства Ап. Аффинное пространство с введенной в нем евклидовой метрикой называется евклидовым пространством Еп. В силу сформулированных выше свойств операция скалярного умножения вполне определена, если указано, во что эта операция переводит пары базисных векторов ei,... ,еп пространства Rn. Обо- Обозначим gij = et- -ej, gij = gji. Пусть разложения x E Rn и у G Rn по базисным векторам имеют вид ж»е,-, у =
16 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Следовательно Естественно потребовать, чтобы скалярное произведение не менялось при переходе к другим базисным векторам. Тогда коэффициенты скалярного произведения должны подчиняться специальному закону преобразования. Укажем этот закон. Пусть базис е^,... ,е^ связан с базисом ei,..., еп посредством формул В базисе е^,... ,е'п коэффициенты скалярного произведения примут вид k,P=i Совокупность G коэффициентов д^ скалярного произведения, подчи- подчиняющаяся указанному закону при преобразованиях координат, обра- образует тензор второго ранга, который называется метрическим. Покажем, что если G — тензор, то скалярное произведение в са- самом деле инвариантно относительно линейных преобразований коор- координат. Пусть в базисе е^,..., е^ векторы х, у выражаются формула- формулами При этом справедливы формулы преобразования координат Имеем n n n n x У = Yl gijx'iyj = Л Л gkpanapjx'iy'j = ]Г gkpXkVp-П i,j = l tJ = lJb,p=l k,p=l Векторы x,y G Дп, для которых х • у — 0, называются ортого- ортогональными, а векторы х G йп, для которых х • х = 1, называются нормированными (единичными). В линейной алгебре доказывается, что всякую положительно определенную квадратичную форму можно привести к диагонально- диагональному виду. Простейший способ задать скалярное произведение — это
1.1. Точки и векторы 17 указать, какие п векторов пространства Rn должны быть единичны- единичными и взаимно ортогональными. Линейным оператором А : Rn —> Rn называется правило, ставя- ставящее в соответствие вектору хЕйп вектор Ах Е Rn и удовлетворяю- удовлетворяющее условиям: 1. А(Лх) = ААх, XeR; 2. А(х + у) = Ах + Ay, yeRn. Пусть ei,..., еп — базисные векторы и i = l Используя свойства линейного оператора, найдем п i = l Следовательно, линейный оператор вполне определен указанием об- образов базисных векторов. Результаты действия оператора над базис- базисными векторами разложим по самим этим векторам: п Матрица А = (аг^), г, j = 1,..., п, называется матрицей линейного оператора в базисе еь ... ,еп. Коэффициенты разложений векторов у = Ах и х по базису запишем в виде матриц-столбцов размерностью (п х 1). Тогда действие линейного оператора можно представить в матричном виде У\ \ / «и . •• «in Уп } \ «ril • • • Clnn и интерпретировать как линейное преобразование координат. Если det А ф 0, то существует обратное преобразование XI = Si(y),...,Sn = Sn(y), вычисляемое по правилу )-i / / У\ \ Уп 2 - 150"
18 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства которому отвечает обратный линейный оператор х = А"}', так что х = А^Ах. Линейное преобразование координат называется движением ме- метрики, если оно невырождено (det А ф 0) и преобразование метриче- метрического тензора выражается равенствами 9ij(Vi, • • •» Уп) ~ 9ij(*i(y), • • •, »n(y)). Другими словами, движение метрики точно сохраняет вид скалярно- скалярного произведения. При движении метрики компоненты метрического тензора удовле- удовлетворяют равенствам Представим это в матричной форме ATGA = G, АТ — матрица, транспонированная по отношению к A, G = (9ij) — матрица метрического тензора. В частности, для евклидова про- пространства Еп существует базис, в котором G превращается в еди- единичную матрицу Еу и потому АТА = Е. Матрица А называется ортогональной, если АТ = А. По- Поскольку det Ат = det Л, то для ортогональной матрицы А получим deti4 = ±l. Линейный оператор, обладающий ортогональной матрицей в ка- каком-либо ортонормированном базисе пространства Еп, называется ортогональным линейным оператором. Теорема 1.1.1. Матрица ортогонального линейного оператора будет ортогональной в любом ортонормированном базисе простран- пространства Еп. Доказательство. Пусть задан ортогональный линейный опе- оператор А. Это значит, что существует ортонормированный базис ei,..., еп пространства Еп, для которого матрица ain A- '
1.1. Точки и векторы 19 ортогональна: АтА = Е. Зададим базис е^,...,^ с помощью ра- равенств t = Потребуем, чтобы этот базис был ортонормированным. Тогда матри- матрица ; ••• Сп ортогональна (почему?). Применяя оператор А к векторам е(«, най- найдем п п п п п п Следовательно, матрица Л оператора А в базисе е^,...,^ может быть найдена по формуле А = СтАС. Проверим ее ортогональность: АТА = СТАТССТАС = СТАТАС = СТС = Е. Это и требовалось доказать.О Теорема 1.1.2. Для ортогональности линейного оператора не- необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонормированный базис в ортонормированную совокупность векторов, число которых равно числу векторов базиса. Доказательство. Необходимость. Пусть А — ортогональный оператор. Тогда в ортонормированном базисе ei,..., еп его матрица А ортогональна: АТА = Е. Применяя оператор к базисным векто- векторам, получим apjep = J>2 akiaPJek ' eP = Следовательно, в результате получаем п ортонормированных векто- векторов. Достаточность. Пусть базисные векторы ei,...,еп переходят в попарно ортонормированные. Тогда, очевидно, j ^ j, i, j = 1,..., n. а значит, AT A = E.O
20 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Следствие 1.1.1. Ортогональный линейный оператор сохраня- сохраняет расстояния между соответствующими точками евклидова про- пространства. Доказательство. Поскольку указанный линейный оператор пе- переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то длина вектора в полученном базисе будет такой же, как и длина соответ- соответствующего вектора в исходном: Пусть заданы два линейных оператора А и В. Композицией ли- линейных операторов называется линейный оператор С = А о В, дей- действие которого равно результату применения оператора А к вектору, полученному вследствие применения оператора В. Другими слова- словами, пусть хЕйп — произвольный вектор. Тогда Сх = (АоВ)х = А(Вх). Назначим базис ei,..., еп. Зададим матрицы операторов А и В: Аег- = ^Г ajiBj, Вег- = Применим последовательно линейные операторы: j=i Jb=ii=i Видим, что матрица С оператора А о В получается с помощью умно- умножения матриц: С = АВ. Произведение матриц некоммутативно. Не- Некоммутативна и композиция линейных операторов. Совокупность Г некоторых элементов называется группой, если каждой паре а и Ь элементов из Г ставится в соответствие их произ- произведение а о b G Г, обладающее следующими свойствами: 1. (а о 6) о с = а о F о с) — ассоциативность; 2. Существует элемент 1 Е Г такой, что loa = aol = а; 3. Для любого а Е Г существует элемент а" Е Г такой, что а о а = 1. Пример 1.1.1. Множество квадратных невырожденных матриц образует группу относительно операции умножения. Роль единичного элемента здесь играет единичная матрица, роль обратного — обратная
1.1. Точки и векторы 21 матрица. В соответствии с этим совокупность линейных операторов с невырожденными матрицами образует группу относительно их компо- композиции. Теорема 1.1.3. Множество ортогональных операторов (орто- (ортогональных матриц) образует группу относительно композиции опе- операторов (операции умножения матриц). Доказательство. Рассмотрим множество ортогональных ма- матриц. Роль единичного элемента для него играет единичная матрица ЕЛ роль обратного — транспонированная матрица. Докажем, что произведение ортогональных матриц дает ортогональную матрицу. Пусть А и В ортогональны: АТА — Е, ВТВ = Е. Для их произве- произведения С = АВ найдем СТС = (АВ)Т(АВ) = ВТАТАВ = Вт В = Е. Таким образом, ортогональные матрицы образуют группу относи- относительно их умножения, а ортогональные операторы — группу отно- относительно их композиции.D Группа ортогональных операторов над пространством Еп называ- называется группой О(п). Подгруппа с det А > 0 называется SO(n). Рассмотрим реальное физическое пространство. Геометрически оно представляет собой трехмерное аффинное пространство А3 . На- Направленные отрезки прямых назначим ортогональными, если они перпендикулярны. Выберем произвольно некоторую опорную точку О Е А3 и приложим к ней три взаимно перпендикулярных вектора, которые будем считать единичными. Тем самым определены соотно- соотношения О, если г ф j\ ij = 1,2,3, которые позволяют ввести скалярное произведение и превратить ис- исследуемое пространство А3 в евклидово пространство Е3. Названная система векторов образует базис линейного пространства Е3. Взятая вместе с точкой О, она называется декартовым репером пространства Е3. Коэффициенты разложения векторов с началом в точке О по указанному базису называются декартовыми координатами элемен- элементов пространства. Прямые, проходящие через точку О параллель- параллельно базисным векторам, называются декартовыми осями координат с началом в точке О. Базисные векторы будем обозначать ех,е2,ез. Разложения векторов х, у Е Е3 примут вид X = Х\Ъ\ + Х2&2 + #3^3, У — 2/1^1 + 2/2^2 +
22 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Скалярное произведение определено формулой х у = xiyi + Х2У2 + Модуль (длина) вектора есть X = |х| = \/Х • X = Vr = \/xf + х\ + X3, что служит выражением теоремы Пифагора. Из курса аналитической геометрии известно, что: 1. х-у = |х|- |y|cos(x7y) = xycos(x7y). Можно также сказать, что скалярное произведение есть произведение модуля одного из векторов и проекции другого вектора на направле- направление первого. Если один из перемножаемых векторов, например вто- второй, оказался единичным, то скалярное произведение даст проекцию первого вектора на направление второго: х • у = ху, если |у| = 1. 2. Выражение для косинуса угла между векторами принимает вид (Э) ху 3. В случае перпендикулярности векторов х и у имеем Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве Ег билинейную ко- сосимметричную операцию, ставящую в соответствие паре векторов х, у 6 Е3 третий вектор z = xxyE.El3H обладающую свойствами: 1. х х у = -(у х х) (кососимметричность); 2. Fх) х у = 8(х х у) (умножение на число 8); 3. (xi + х2) х у = xi х у + х2 х у (дистрибутивность). В соответствии с принятыми свойствами будем иметь ззз х х У = ]С х*е* х Yl mei = Yl Xiyi е* х еУ t=l ; = 1 t,; = l Следовательно, как и в случае скалярного произведения, для полного определения операции достаточно указать, во что она переводит пары базисных векторов. Пусть базисные векторы ориентированы так, что из конца третье- третьего вектора е3 кратчайший поворот от первого ei ко второму е2 виден происходящим против хода часовой стрелки. Система координат с таким базисом называется правоориентированной (правой).
1.1. Точки и векторы 23 Потребуем, чтобы для правоориентированной ортонормированной системы координат были выполнены равенства1 ех х ei = ег х ег = е3 х е3 = 0, е2 х е3 = -е3 х е2 = ei, е3 х ei = —ei х е3 = е2, ei х ег = —е2 х ei = е3. Тогда, очевидно, х х у = (х2у3 - или символически с помощью определителя si, е2, е3 - x2yi)e3 х х у = Уь 2/2, УЗ Построенная таким образом операция носит название векторного произведения (векторного умножения). Для векторного произведения z = х х у справедливо следующее: z х х = 0, z х у = 0, |z| = |х| • |у| sin(xTy), вектор z перпендикулярен плоскости, натянутой на векторы х и у, причем из конца вектора z поворот от х к у в кратчайшую сторону виден происходящим против хода часовой стрелки. Перейдем к произведениям трех векторов x,y,zG^3 . Их суще- существует два типа. Смешанное произведение дается формулой х • (у х z) = 31, #2, #3 Уь У2, Уз Для него справедлива циклическая перестановка х • (у х z) = у • (z х х) = z • (х х у). Если в смешанном произведении какие-либо два сомножителя кол- линеарны, то произведение равно нулю. Двойное векторное произведение представляется формулой х х (у х z) = y(x • z) - z(x • у). Пусть в некотором репере Oeie2e3 вектор а а = + а2е2 + а3е3 1 Для левоориентированного репера результаты должны иметь противополож- противоположные знаки, что связано с требованием инвариантности операции при преобразо- преобразованиях координат
24 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства имеет координаты, представляющие собой функции скалярного ар- аргумента t (например, времени): a2 = a2(t), a3 = В этом случае вектор а называется вектор-функцией аргумента t в репере Ое^ез. Выберем два значения аргумента: t и t + At. Значения вектор- функции для них обозначим а и a -f Aa соответственно. Вектор Аа назовем приращением вектор-функции вследствие приращения аргу- аргумента. Рассмотрим отношение Аа/Д<. Предел этого отношения, если он существует при At —* 0, есть вектор da Aa — = hm -—. dt Д*-+о А* Он называется производной вектора а по аргументу t, взятой от- относительно репера Ое^ез. Таким образом, da da\ da 2 da^ = е + е+е Пусть компоненты метрического тензора (gij) не зависят от t (см. определение метрического тензора). Тогда справедливы формулы d , _ ч da _ db d . _ ч da db _(a.b)=-.b + a.-, _(axb) = -xb + aX-, где b — другая вектор-функция аргумента t. Продифференцируем равенство а • а = а2: da da , а« —= а—, или а • da = a da, at at Другими словами, скалярное произведение вектора на его дифферен- дифференциал равно произведению модуля вектора на дифференциал модуля. Если модуль вектора постоянен, то вектор и его дифференциал вза- взаимно перпендикулярны: а • da = 0. В частности, если |ае| = 1, то ае • (dsie/dt) = 0. Вектор-функция а = а(^) может изменяться и по модулю, и по направлению. Вектор а представим как произведение модуля на еди- единичный вектор: а = аае. Взяв производную от обеих частей равен- равенства, найдем da da dae а + а
1.2. Свободные и скользящие векторы 25 Первое слагаемое правой части, очевидно, коллинеарно вектору а и носит название продольной составляющей. Оно характеризует бы- быстроту изменения модуля вектора. Второе слагаемое направлено пер- перпендикулярно вектору а и называется поперечной, или трансверсаль- иой, составляющей. Оно характеризует быстроту поворота вектора. Отметим, что, вообще говоря, da § 1.2. Свободные и скользящие векторы Согласно аксиомам аффинного пространства каждой точке из Е3 соответствует линейное пространство векторов, имеющих начало в этой точке. Вместе с тем часто возникает необходимость по той или иной причине считать одинаковыми некоторые векторы с различны- различными начальными точками. Будем говорить, что множество эквива- эквивалентных (тождественных) в каком-нибудь смысле векторов образует конкретный класс эквивалентности. Векторные операции над пред- представителями одного и того же класса эквивалентности будем счи- считать лишенными смысла. Векторные операции над классами экви- эквивалентности будем понимать как операции, одинаково выполненные над отдельными любыми представителями классов, участвующих в операции. Сначала введем понятие свободного вектора. Напомним, что аф- аффинное пространство А3 объединяет множество точек и пространство векторов R3. Выберем вектор el ? R3 и будем откладывать его от про- произвольной точки А € А3. Часто принимают, что все векторы, постро- построенные таким образом, эквивалентны. Этот класс эквивалентности называется свободным вектором а. Особую роль в теоретической механике играет понятие скользя- скользящего вектора. В пространстве А3 выберем опорную точку О, некото- некоторую точку А и вектор и с началом в точке А. Зададим действитель- действительное число (параметр) А и сопоставим ему точки Лд, В\, определенные векторами (рис. 1.2.1) ОАА = ОА + Аи, ОВА = ОА + (А + 1)и. Когда А принимает произвольные действительные значения, полу- получим множество векторов АдВа, каждый из которых имеет начало в точке А\ и конец в точке В\. Все векторы, принадлежащие это- этому множеству, отнесем к одному и тому же классу эквивалентности, который назовем скользящим вектором и обозначим (ОА, и).
26 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Прямая, определенная параметрически уравнением ОАЛ = ОА + Аи, называется основанием скользящего вектора. Из сказанного следует, что в пространстве Е13, снабженном декар- декартовыми осями координат с началом в точке О, скользящий вектор можно однозначно задать шестью параметрами (числами): тремя ко- координатами точки А и тремя проекциями вектора и на координатные оси. Пусть г = О А есть радиус-вектор точки А. Два вектора г и и называются векторными координатами скользящего вектора, кото- который в связи с этим будем обозначать (г, и). Два скользящих вектора (г,и) и (г,—и) называются противоположными. Суммарное число координат векторов г и и на единицу превышает число независимых параметров скользящего вектора, равное пяти. В самом деле, пусть в Е3 заданы две точки А\ и Ач и пусть точке А\ соответствует радиус-вектор ri, а точке А 2 — радиус-вектор Г2. Вы- Выражения (ri,u) и (r2,u) определяют один и тот же скользящий век- вектор тогда и только тогда, когда вектор А1А2 коллинеарен вектору и. Другими словами, для задания скользящего вектора можно вос- воспользоваться координатами любой точки его основания (параметр, задающий смещение и вдоль основания, несуществен). Моментом М° скользящего вектора (г, и) относительно опорной точки или (что одно и то же) полюса О называется векторное произ- произведение М° = г х и. Начало вектора М° совпадает с точкой О. Модуль момента М° чи- численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах г и и. Можно также сказать, что модуль момента равен произведению |и| на плечо ft. Плечом скользящего вектора относительно полюса называется длина ft перпендикуляра, опущенного из полюса на осно- основание скользящего вектора (рис. 1.2.1). Очевидно, что М° не зависит О Геометрически понятие скользящего вектора означает следующее. Через заданную точку А проведена прямая / с направляющим вектором и. Все векторы и, отложенные от произволь- произвольных точек прямой /, считаются экви- эквивалентными. Рис. 1.2.1. Скользящий вектор
1.2. Свободные и скользящие векторы 27 от того, какая точка на основании взята для задания скользящего вектора. Действительно, пусть точки А\,Аъ принадлежат основа- основанию и ri,r2 — соответственно радиусы-векторы этих точек. Тогда г2 — ri = Аи. Обозначим = ri х и, = г2 х и. Вычитая из второго равенства первое, найдем Mi — М2 = (ri — Г2) х u = Аи х и = 0. Пусть нам известен момент М° относительно полюса О, а мы хо- хотим найти момент Мс того же скользящего вектора относительно точки С. Обозначим гс — радиус-вектор точки А относительно по- полюса С, а ОС — радиус-вектор точки С относительно О (рис. 1.2.2): г = гс — ОС. Имеем Mc=rcxu = (r- ОС) х и = М° - ОС х и. Тем самым найдена формула пересчета момента при переходе к но- новому полюсу. и При изменении полюса момент сколь- скользящего вектора изменяется. Доба- Добавляется момент, учитывающий поло- положение нового полюса относительно исходного. Однако, проекция момен- момента на основание скользящего вектора остается постоянной. Рис. 1.2.2. Изменение полюса Теорема 1.2.1. Скользящий вектор (г, и) можно однозначно оп- определить, задав векторы Ы° и и, удовлетворяющие условию что геометрически означает перпендикулярность вектора и момен- моменту М°. Доказательство. Пусть заданы векторы М° и и. Найдем радиус-вектор г, начало которого совпадает с точкой О, а конец принадлежит искомому основанию скользящего вектора. Потребу- Потребуем, чтобы вектор г был перпендикулярен вектору и: и х М° = и х (г х и) = ги2.
28 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Следовательно, r = (uxM°)u"\ Тем самым скользящий вектор однозначно определен.? Координаты векторов и и М° составляют шесть параметров, за- задающих единственный скользящий вектор. Они не являются неза- независимыми, так как связаны условием перпендикулярности векторов М° и и, и называются плюккеровыми координатами. Удобство их в том, что они одинаковы для любой точки основания скользящего вектора. Пусть е — единичный вектор оси /, проходящей через полюс О. Рассмотрим скалярное произведение е • М° = е • (г х и). Представим (рис. 1.2.3) векторы г и и в виде таким образом, чтобы векторы г*- и и* были перпендикулярны век- вектору е, а ге и ие — параллельны ему: r^-e = 0, u^-e = 0, re||e, ue||e. Тогда е-М° = e-[(r7r-fre)x(u7r-fue)] = e-(r^ xu^-f re xii^-fr* xue+rexue). С учетом способа представления векторов г и и будем иметь Полученное равенство означает, что проекция момента М° на ось / есть момент проекции скользящего вектора на плоскость, перпенди- перпендикулярную е. и Момент скользящего вектора относи- относительно оси вычисляется как момент его проекции на плоскость перпенди- перпендикулярную оси, взятый относительно точки пересечения оси с плоскостью. Указанный момент не меняется при смещении плоскости вдоль оси. Рис. 1.2.3. Момент скользящего вектора относительно оси
1.3. Системы скользящих векторов 29 Одновременно доказано, что если на оси / взять другой полюс, например С, и рассмотреть момент Мс, то е • М° = е • Мс. Сказанное дает возможность корректно ввести следующее опре- определение. Моментом скользящего вектора относительно некоторой оси называется проекция на эту ось момента скользящего вектора, вычисленного относительно любой точки оси. § 1.3. Системы скользящих векторов Множество скользящих векторов, для которого заданы операции преобразования к другому множеству, назовем системой скользящих векторов. Прежде чем указать набор таких операций, введем следу- следующие понятия. Множество скользящих векторов называется сходящимся в точ- точке, если основания всех векторов множества пересекаются в этой точ- точке. Пусть имеется множество из п скользящих векторов, сходящееся в некоторой точке D с радиусом-вектором rp. Очевидно, что эти векторы можно задать в виде (yd, ui), (гд, u2),..., (r#, un), причем вектор yd будет одинаковым для всех скользящих векторов множества. Результирующим вектором этого множества называет- называется скользящий вектор \ 1=1 / Теорема 1.3.1. (Вариньон). Пусть задано сходящееся в точ- точке D множество скользящих векторов. Момент результирующе- результирующего вектора относительно полюса О равен сумме моментов относи- относительно того же полюса скользящих векторов, составляющих данное множество. Доказательство. Пусть основания всех п скользящих векторов множества пересекаются в точке D. Представим скользящие векторы в виде где yd — радиус-вектор точки D относительно полюса О. Момент М° результирующего вектора выражается формулой
30 Глава J. Векторные свойства евклидова пространства С учетом свойств векторного произведения найдем 1=1 Но каждое слагаемое в правой части последнего равенства есть мо- момент соответствующего скользящего вектора относительно полюса O.D Перечислим теперь операции над элементами системы скользя- скользящих векторов, которые будем считать допустимыми. 1. Замена множества сходящихся скользящих векторов соответ- соответствующим результирующим скользящим вектором. 2. Присоединение или исключение множества из двух скользящих векторов с общим основанием и результирующим нулевым скользя- скользящим вектором. Системы скользящих векторов, которые можно преобразовать друг в друга с помощью указанных элементарных операций, назы- называются эквивалентными. Теорема 1.3.2. Пусть задана система двух скользящих векто- векторов с параллельными основаниями: (rbiiie), (r2,u2e), причем и\ Ч- у>2 Ф 0. Тогда эта система эквивалентна одному сколь- скользящему вектору (гс, [щ + г/2]е), где __ Доказательство. Добавим к заданной в условии теоремы систе- системе два эквивалентных нулю скользящих вектора (pi , A[pi - r2]), (r2, A[r2 - ri]). Эти два вектора имеют общее основание и их результирующий вектор равен нулю. Вся полученная система эквивалентна двум скользящим векторам (pi , ще + A[pi - r2]), (r2, u2e + A[r2 - rj), основания которых не параллельны. Они имеют общую точку, ради- радиус-вектор которой обозначим Г?>. Согласно операции 1 заменим эту сходящуюся систему одним результирующим вектором
1.4. Пара скользящих векторов 31 По теореме 1.3.1 найдем yd х е(щ -f u2) = ri x eu\ + Г2 x + Y2U2) x e, или [r/?(iii + 112) - x e = 0. Но векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда либо хотя бы один из сомножителей равен нулю, либо векторы, уча- участвующие в произведении, коллинеарны. Вектор е ф 0. Тогда либо rD = rc, либо г/)-гс = ае, где a — скалярный множитель. В том и другом случаях конец вектора гс принадлежит основанию результи- результирующего вектора. П § 1.4. Пара скользящих векторов Обозначим is G R3 — направляющий единичный вектор, и — ска- скаляр, гх,Г2 — радиусы-век торы, имеющие начало в некотором полюсе О. Парой (рис. 1.4.1) называется система двух параллельных сколь- скользящих векторов (гх,ш/), (гг,—ш'), основания которых не совпада- совпадают. Плоскость, определяемая основаниями пары, называется плос- плоскостью пары. Расстояние h между основаниями называется плечом пары. Расстоянию h отвечает вектор h. Пара образована двумя параллель- параллельными скользящими векторами, рав- равными по модулю и противополож- противоположно направленными. Основания этих скользящих векторов параллельны. Расстояние между основаниями есть плечо пары. Плечо пары отлично от нуля. Рис. 1.4.1. Пара скользящих векторов Момент пары есть сумма моментов векторов пары относительно произвольной точки О. Момент пары перпендикулярен плоскости пары и направлен так, что из его конца "вращение" плеча, создава- создаваемое парой, видно происходящим против хода часовой стрелки. Теорема 1.4.1. Момент пары М = — u(h x и) не зависит от вы- выбора полюса О. Модуль момента равен произведению |г/|/г, в котором h — плечо пары.
32 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Доказательство. Рассмотрим пару скользящих векторов (п,ш/),(г2,-ш/). Найдем вектор h = (г2 - ri) - i/[(r2 - ri) • i/]. Очевидно, что h • u = 0, и поскольку i/ — единичный вектор, то h — |h| есть плечо пары. Конец вектора ri + h принадлежит основанию скользящего вектора (r2, —uv). Следовательно, момент пары равен М = ri х uv+ г2 х (—uv) = ri x ш/ + (ri -f h) x (—ш/) = = ri xuiy-ri x uv — h x uv = — u(h x i/). Отсюда видно, что изменение положения точки О в пространстве Е3 не влияет на результат вычисления вектора М. Меняется лишь на- начало этого вектора. Из-за перпендикулярности векторов h и v имеем |h х v\ = h. Поэтому |М| = \u\h.U Заметим, что если задан момент пары, то скользящие векторы, ее образующие, определяются неоднозначно. В самом деле, тогда для определения указанных скользящих векторов будем иметь уравнение в котором неизвестными служат и, и, h. В соответствии с определени- определением векторного произведения заключаем, что и и М перпендикуляр- перпендикулярны: и- М = 0. Зададим какой-нибудь вектор и, перпендикулярный к М, и найдем уравнение, связывающее вектор h и скаляр и: и х М = ии х (у х h) = и\и(у • h) - hi/2]. Но i/ • h = 0 и поэтому uh — М х и. Если теперь произвольным образом задать и, то вектор h может быть найден однозначно. Теперь ясно, как получить конкретную пару с заданным момен- моментом М ф 0. Выберем произвольно радиус-вектор ri и скаляр и ф 0, назначим i/, чтобы было М • i/ = 0, и определим М х и r2 = ri + . и Пара скользящих векторов (г1,ш/),(г2,—ш/) будет обладать задан- заданным моментом М. Действительно, в соответствии с теоремой 1.4.1 получим —u(h х i/) = i/ х (М х 1/) = М. Таким образом, все пары скользящих векторов с одинаковым момен- моментом образуют пятипараметрическое семейство. Докажем, что все эти пары эквивалентны.
1.4. Пара скользящих векторов 33 Теорема 1.4.2. При помощи элементарных операций пару мож- можно, не изменяя ее момента, а) повернуть в ее плоскости, б) перенести параллельно самой себе в любую точку простран- пространства, при желании изменив плечо. Доказательство. Пусть задана исходная пара скользящих век- векторов (г i,iii/), (г2,-ш/). Добавим к ней эквивалентную нулю систему (r'2,-tiV), (r'2,tiV). Потребуем, чтобы i/ был единичным вектором, sign г*' = sign u и ti'(r'2 — г^) х i/ = ti(r2 — х i/. Из последнего равенства, в частности, следует, что разность (г'2 —г[) и вектор \J параллельны плоскости исходной пары. Для доказатель- uuiv ^uiS yt—uu В плоскости исходной пары произ- произвольно выбираются две параллель- параллельные прямые, составляющие некото- некоторый угол с ее основаниями и отстоя- отстоящие друг от друга на расстояние, рав- равное плечу исходной пары. После эле- элементарных преобразований эти пря- прямые станут основаниями новой пары, эквивалентной исходной. Рис. 1.4.2. Поворот пары в ее плоскости ства пункта а) (рис. 1.4.2) выберем вектор г^ так, чтобы его конец лежал в плоскости пары, зададим iS ф и и и' = и. Тогда конец век- вектора г2 тоже принадлежит плоскости пары. Основания скользящих векторов (pbtii/), (ri,-tiV) непараллельны, принадлежат одной плоскости и, следовательно, пе- пересекаются в точке, радиус-вектор которой обозначим г^. Его можно найти из условия гА =ri + Ai/=r/1+AV, 3 - 1503
34 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства где А и А' — скалярные параметры. Чтобы определить А, умножим это равенство векторно на гУ. Тогда получим A(i/xi/) = (ri -rx) xi/. Скользящие векторы (ri,ui/), (г^, — ш/) заменим одним скользя- скользящим вектором {vA,u[u-v>\). Аналогично система скользящих векторов эквивалентна скользящему вектору в котором радиус-вектор гв определяется из условия ГВ = Г2 + flU = Г2 + /iV. После умножения этого равенства векторно на i/ будем иметь fi(u х i/) = (r'2 — r2) x i/. Вычислим векторное произведение (гв ~ гд) х (i/- i/) = [(г2 - п) + (/I - A)i/] х (i/- i/) = = (г2 — ri) х v — (гг — ri) х i/ + A(i/ xi/)- /i(i/ x гУ) = = (^2 - Pi) X I/ - (P2 - Pi) X |У + (p2 - Pi) X l/ - (P;2 - ri) X l/ = 0 в связи с выбором параметров дополнительной системы скользящих векторов. Вектор и — гУфО. Следовательно, либо вектор г в — Гд = 0, либо этот вектор параллелен v — i/. Ив том, и в другом случаях система скользящих векторов (гЛ,и[|/-|/]) (ГВ,-«[!/-I/]) эквивалентна нулю и ее можно исключить. Осталась система представляющая собой пару скользящих векторов, смещенную и по- повернутую относительно исходной, но обладающую тем же моментом, что и исходная.
1.4. Пара скользящих векторов 35 — UU В плоскости, параллельной плоско- плоскости исходной пары, добавляются че- четыре одинаковых по величине сколь- скользящих вектора, попарно взаимно уни- уничтожающихся и расположенных на двух основаниях, параллельных век- векторам исходной пары. После пре- преобразований остается пара с тем же моментом, что исходная, но располо- расположенная в выбранной плоскости. Рис. 1.4.3. Смещение плоскости пары Перейдем к доказательству пункта б) теоремы (рис. 1.4.3). В до- дополнительной системе скользящих векторов положим i/ = i/, а вектор г[ выберем произвольно. Рассмотрим скользящие векторы Они эквивалентны одному скользящему вектору где , Аналогично скользящие векторы можно заменить одним где ГВ= В соответствии с правилом выбора параметров дополнительной си- системы скользящих векторов найдем Отсюда либо г в = гд, либо (г в—гд) параллельно и. В обоих случаях система (рЛ, [и + ti», (гв, -[и + и']и)
36 Глава I. Векторные свойства евклидова пространства эквивалентна нулю и ее можно исключить. Осталась система представляющая собой пару с основаниями, параллельными основа- основаниям исходной пары, с тем же моментом, но произвольно смещенную в пространстве. Плечо hf полученной пары выбирается в соответ- соответствии с равенством и'Л' = иЛ, где h — плечо исходной пары.П Следствие 1.4.1. Любые две пары эквивалентны, если их мо- моменты равны. Безразлично также, к какой точке пространства приложен момент пары. Теорема 1.4.3. (О сложении пар). Система, состоящая из двух произвольно заданных пар скользящих векторов, эквивалент- эквивалентна одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов заданных пар. Доказательство. Пусть заданные пары имеют моменты Mi и М2- Выберем в пространстве Е3 произвольную точку А с радиусом- вектором ri и точку В с радиусом-вектором Г2 так, чтобы вектор АВ был перпендикулярен как вектору Mi, так и вектору Мг- Согласно теореме 1.4.2 найдем такие единичные векторы ki и кг и скаляры щ и 1/2, чтобы было выполнено Mi = АВ х ki^i, M2 = АВ х Эти векторы и скаляры порождают две пары скользящих векторов (n,ti2k2), (r2, Но скользящие векторы (ri, uiki), (n, u2\i2) эквивалентны резуль- результирующему вектору а скользящие векторы (г2, —uiki), (Г2, — ъ^кг) эквивалентны (p2,-[«iki + ti2k2]). В итоге получаем пару скользящих векторов (pi, wiki + w2k2), (p2,
1.5. Упрощение системы скользящих векторов 37 с моментом М = АВ х (tiiki + u2k2) = ABx kitii + ABx k2u2 = Mi + M2.D Доказанные выше свойства пары скользящих векторов кратко формулируются в виде утверждения: момент пары есть свободный вектор (см. стр. 25). § 1.5. Упрощение системы скользящих векторов Пусть задана система скользящих векторов (r»,ut-), г = 1,...,п, причем все векторы г,- имеют начало в полюсе О. Назовем суммар- суммарным (главным) вектором величину а суммарным (главным) моментом вектор М° = ^гг- х иг. 1=1 Ответ на вопрос о том, к какому наиболее простому виду, исполь- используя элементарные операции, можно привести произвольную систему скользящих векторов, дают следующие теоремы. Теорема 1.5.1. Всякая система скользящих векторов эквива- эквивалентна системе, состоящей из одного скользящего суммарного век- вектора и одного суммарного момента (суммарной пары). Доказательство. Назначим полюс О. Рассмотрим произволь- произвольную систему скользящих векторов (г,-, и,-), г = 1,..., п. Зафиксируем некоторый номер г. В точке О приложим эквивалентную нулю си- систему скользящих векторов (рис. 1.5.1) (О, u*), @,-Ue). Система @, —и,), (г,-, и,-) образует пару с моментом Мг- = гг- х щ. Вы- Выполнив такие же преобразования для каждого скользящего вектора системы, получим эквивалентную исходной систему сходящихся в точке О скользящих векторов @,ui),..., @,un) и пар с моментами Mi,..., Мп. Систему сходящихся скользящих векторов заменим од- одним результирующим скользящим вектором (О, R), а систему пар — одной парой с моментом М, причем
38 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Таким образом, две системы скользящих векторов эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их суммарные скользящие векторы и суммарные моменты. Найдем инварианты системы скользящих векторов по отноше- отношению к выбору полюса О. Лемма 1.5.1. При изменении полюса суммарный вектор не из- изменяется. Остается также постоянной проекция суммарного мо- момента на направление суммарного вектора. Доказательство. Пусть система скользящих векторов приве- приведена к одному скользящему вектору @,R) с основанием, проходя- проходящим через точку О, и одному моменту М. Возьмем точку О\ и добавим к системе два скользящих вектора (OOi, — R),(OOi,R). Скользящие векторы (OOi, —R),@,R) образуют пару с моментом Мд = — OOi х R. Новая система скользящих векторов эквивалентна исходной и состоит из скользящего вектора (OOi,R) с основанием, проходящим через точку Oi, и суммарным моментом Мх = М + MR = М - OOi х R. Видим, что при изменении полюса суммарный вектор не меняется. Для расчета проекции суммарного момента на направление вектора R вычислим скалярное произведение Mi • R = (М - OOi х R) R = М R.D Лемму 1.5.1 можно переформулировать следующим образом. Следствие 1.5.1. Суммарный вектор, а также проекция сум- суммарного момента на направление суммарного вектора инвариантны по отношению к изменению положения полюса. Основание скользящего вектора мож- можно сместить так, чтобы оно проходи- проходило через произвольно выбранную точ- точку О. Такое преобразование будет эквивалентным, если добавить пару с q \ л моментом, равным моменту исходно- исходного скользящего вектора относительно и\ точки О. Рис. 1.5.1. Сдвиг основания скользящего вектора
1.5. Упрощение системы скользящих векторов 39 Винтом называется такая система скользящих векторов, для ко- которой суммарный вектор и суммарный момент коллинеарны. Соот- Соответствующее основание с направлением суммарного вектора называ- называется осью винта. Теорема 1.5.2. Всякая система скользящих векторов с отлич- отличным от нуля суммарным вектором эквивалентна винту. Доказательство. Найдем полюс 0\, для которого Mi||R. Ради- Радиус-вектор OOi удовлетворяет уравнению R х Mi = 0 или R х М - R х (OOi x R) = 0. Потребуем, чтобы вектор OOi был перпендикулярен к R. Тогда оо, = *?*. Найденная точка О\ и определяет искомое основание винта.О Уравнение оси винта можно записать в параметрическом виде: RxM На оси винта главный вектор перпендикулярен плоскости пары. Ис- Исключив А, найдем векторное уравнение оси винта Rxr= —— R-M, эквивалентное двум линейно независимым скалярным уравнениям пересекающихся плоскостей. При упрощении системы скользящих векторов могут представить- представиться следующие случаи. I.R^O, R • М = 0. Для точек винтовой оси суммарный мо- момент будет равен нулю. Система приведется к одному скользящему вектору. Его называют результирующим вектором системы. II. R = 0, М^О. Система приводится к паре скользящих век- векторов, которая называется результирующей парой. III. R ф 0, R • М ф 0. Система приводится к винту. При при- приведении к винтовой оси модуль суммарного момента принимает наи- наименьшее значение. IV. R = 0, М = 0. Система эквивалентна нулю. Теорема 1.5.3. Система скользящих векторов, принадлежащих одной плоскости, приводится либо к случаю I, либо к случаю II, либо к случаю IV.
40 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Доказательство. Пусть П — плоскость, содержащая все сколь- скользящие векторы системы, и точка О — полюс. В плоскости П выберем произвольную точку А с радиусом-вектором гд. Радиусы-векторы rt можно представить в виде г* = гд + г(-, где г'; принадлежат плоскости П. Пусть R — суммарный вектор системы. Вычислим момент п М = ]П г, х и, = ]Г)(гЛ + г•) х иг = гд х R + 53г• х и*. 1=1 «=1 1=1 Вектор R параллелен плоскости П. Поэтому R • М = 0. Следова- Следовательно, случай III представиться не может. ? Таким образом, всякая плоская система скользящих векторов, для которой R ф 0, эквивалентна одному результирующему вектору. § 1.6. Параллельные скользящие векторы Система скользящих векторов, все основания которых взаимно параллельны, называется системой параллельных скользящих век- векторов. Обозначим эту систему S. Пусть число скользящих векторов системы равно n, a e — направляющий единичный вектор оснований. Тогда S = {(r,-,eti.-), г = 1,...,п}, где гi — радиусы-векторы с началом в полюсе О. Обозначим считая R ф 0. Вектор гс определяет в пространстве Е3 точку, назы- называемую центром системы S. Теорема 1.6.1. Система S параллельных скользящих векторов, для которой ЯфО, эквивалентна скользящему вектору (rc, Re). Доказательство. Для рассматриваемой системы п R = Re ф 0, М = J2 ГШ х е> М • R = 0. t=i Следовательно, эта система эквивалентна результирующему вектору (ООьДе), где ДехМ
1.6. Параллельные скользящие векторы 41 Второе слагаемое последнего выражения направлено вдоль основа- основания результирующего вектора. Значит, конец вектора гс принадле- принадлежит этому основанию.О Следует отметить, что если менять направление вектора е, оста- оставляя неизменными концы векторов г», i = l,...,n, то вектор гс не изменится. Другими словами, центр системы параллельных сколь- скользящих векторов инвариантен относительно ориентации их оснований. Рассмотрим примеры. Пример 1.6.1. Даны два скользящих вектора (ri,tiie), (г2,^2е), и «1 • г*2 > 0. Концы векторов ri и Г2 обозначим С\ и Сч соответственно. Определить, в каком отношении отрезок C\C<i будет разделен центром такой системы. Решение. По определению центра системы найдем _ tiiri + Ц2Г2 С ~~ U\+U2 Следовательно, конец С вектора гс, как линейной комбинации двух век- векторов ri и Г2, принадлежит отрезку С\Съ- Далее 1 с 2) Гс - Г2 = U\ + ti2 ° Щ + U2 Отсюда получаем правило рычага первого рода: СгС _ «2 С2С ~ их' Другими словами, центр С системы двух скользящих одинаково напра- направленных векторов (точка приложения результирующего вектора систе- системы) делит отрезок, соединяющий точки С\ и С*2 приложения этих век- векторов, на части, обратно пропорциональные модулям |wi| и |«2| соста- составляющих векторов.О Пример 1.6.2. Решить задачу примера 1.6.1 при условии, что U\ • U2 < 0, Ui + U2 ф 0. Решение. Пусть, например, и\ < 0, и% > 0, u\+U2 > 0. Формулы, примененные для решения примера 1.6.1, остаются справедливыми, но теперь Г2 _ Гс - Ы Следовательно, точка С принадлежит продолжению отрезка С1С2 со стороны наибольшего по модулю вектора. Имеем правило рычага вто- второго рода.О Для подъема различных грузов часто используются приспособле- приспособления, называемые рычагами. Они имеют вид стержня, одна точка
42 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства которого служит опорной, а к другой приложен поднимаемый груз. Примеры 1.6.1 и 1.6.2 показывают (см. § 4.8), как выполнить соответ- соответствующие расчеты. § 1.7. Центр Масс множества точек Центр масс — одно из важнейших понятий, которое часто будет встречаться в дальнейшем. Применение этого понятия оказывается эффективным не только в механике, но и в других разделах физи- физики, а также для решения многих геометрических задач и получения алгебраических неравенств. Пусть в Е3 задано множество Q, состоящее из п точек. Положение точек в пространстве зададим радиусами-векторами г,- и каждой точ- точке сопоставим массу шг > 0, г = 1,..., п. Такие точки в дальнейшем будем называть точечными массами. Физическая целесообразность понятия массы будет обсуждена в § 3.3. Здесь используется лишь свойство массы быть строго положительной скалярной величиной. Обозначим 1=1 суммарную массу всех точек множества. Определение 1.7.1. Точка с радиусом-вектором 1 называется центром масс множества Q. Пример 1.7.1. Предположим, что к точкам приложены парал- параллельные скользящие векторы силы тяжести u, = m,^kt где g — ускоре- ускорение свободного падения, к — единичный вектор вертикали. Тогда центр масс дает точку приложения результирующего вектора таких сил. Вслед- Вследствие того, что центр масс не зависит от ориентации вектора к, суще- существует простой способ экспериментального определения расположения центра масс в твердом теле, рассматриваемом как множество точечных масс. Подвесим такое тело на нити, закрепив ее в какой-либо точке те- тела. После того как тело перестанет качаться, отметим в нем прямую, служащую продолжением нити. Центр сил тяжести (см. § 1.6) совпадает с центром масс, и поэтому центр масс обязан принадлежать полученной прямой. Закрепим теперь нить в другой точке тела и повторим опера- операцию. Тогда центр масс будет точкой пересечения этих прямых.<> Теорема 1.7.1. Центр масс принадлежит минимальной выпу- выпуклой области, содержащей ограниченное в пространстве множе- множество точечных масс.
1.7. Центр масс множества точек 43 Доказательство. В самом деле, пусть число точечных масс ко- конечно. Выберем плоскость П, разделяющую пространство Е3 на два полупространства так, чтобы одно из полупространств, обозначим его ft, содержало все рассматриваемое множество точек. Для ко- конечного множества это всегда можно сделать. Выберем полюс О в плоскости П. Тогда все векторы г,, а вместе с ними и вектор будут ориентированы в сторону полупространства п. Ориентацию плоскости П можно выбирать произвольно, а саму плоскость распо- располагать сколь угодно близко к множеству точек. Аналогичное постро- построение можно применить и к бесконечному ограниченному в простран- пространстве множеству точечных масс.П Лемма 1.7.1. Пусть система S = {(rt-,u;e), i = l,...,n} па- параллельных скользящих векторов разделена на две непересекающиеся подсистемы 51 - {(г,-,т1,-е), j = t'i,...,ij, 52 - {(rp,upe), p= /Ь...Л}, причем j v Тогда радиус-вектор rc центра системы S можно вычислить по правилу Гс" Ъ+Ъ ' где rci и гсо — радиусы-векторы центров систем S\ и S2 соответ- соответственно. Доказательство. Радиусы-векторы rci и гс2 имеют вид 1 Гс1 = д^ Щ Теперь достаточно подставить указанные выражения в доказывае- доказываемую формулу. D Следствие 1.7.1. Центр масс некоторого множества точеч- точечных масс можно определить путем замены отдельных непересека- непересекающихся его подмножеств точками с массами, равными суммарным массам подмножеств, расположенными в центрах масс этих под- подмножеств.
44 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Поиск центра масс облегчается, если множество Q точечных масс обладает симметрией. Пусть Q, например, симметрично относитель- относительно плоскости П так, что симметричным точкам соответствуют оди- одинаковые массы. Разбив Q на два подмножества, симметричных отно- относительно плоскости П, найдем их центры масс. Центры масс подмно- подмножеств расположатся симметрично относительно плоскости П. Зна- Значит, центр масс всей системы принадлежит плоскости П. В том слу- случае, когда множество Q обладает осевой симметрией, можно, группи- группируя попарно симметричные точки, убедиться в том, что центр масс должен принадлежать оси симметрии. Подчеркнем, что сказанное справедливо лишь тогда, когда симметрично не только геометриче- геометрическое расположение точек, но и распределение масс. Рассмотрим примеры решения задач с помощью доказанных выше свойств центра масс. Пример 1.7.2. Доказать, что средние линии любого выпуклого четырехугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, проходят через общую точку и делятся ею пополам. Решение. Поместим в вершинах четырехугольника одинаковые массы. Центр масс такой системы должен быть в пересечении средних линий четырехугольника. Этот же центр масс должен делить пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей.О Пример 1.7.3. Рассмотрим фигуру Г, ограниченную графиком функции у = \пх, х > 0 и лучом оси абсцисс х > 1. Эта фигура выпу- выпуклая. Выберем на оси абсцисс точки 1 < х\ < ... < хп и найдем соответствующие им точки на графике функции у = 1пх: Поместим в эти точки положительные массы mi,...,mn соответствен- соответственно. Вычислим координаты центра масс полученной системы точек, обо- обозначив М = mi + • —h mn: 1 ' 1 хс = -rj{™>\X\ + • • • + mn#n), ус = тт(ш1 lno?i + • • • + тпп In xn). М М В связи с тем, что фигура Г — выпуклая, центр масс должен быть расположен строго внутри фигуры и, в частности, (mi InX\ + • ¦ • + win 1п#п) f тп\Х1-\г • *'-\г тпхпУ М \ М Отсюда, когда mi = m^ — • • • = mnt получаем, например, неравенство Коти: ^ si + + ж„ Л Хп < .О
1.8. Геометрия масс 45 § 1.8. Геометрия масс В предшествующем параграфе было изучено понятие центра масс, дающее представление "в целом" о заданном множестве точечных масс. Здесь рассмотрим другие подобные характеристики. Пусть точки, принадлежащие некоторому множеству Q С Е3, заданы ради- радиусами-векторами г*, г — 1,...,п, с началом в полюсе О. Каждой точке припишем массу mt- > 0. В пространстве Я3, соответствующем полюсу О, образуем положительно определенную билинейную сим- симметрическую форму, которая любой паре векторов х,у Ей3 ставит в соответствие скаляр п Т(х,у) = ]Tmt(ri х х) • (г,- х у). »=i Векторы х и у не обязательно должны быть разными. В частности, если х = е и у = е, где е — единичный вектор, то получим скалярную величину п Л = Т(е,е) = которая называется моментом инерции относительно оси (осевым моментом инерции), коллинеарной вектору е и проходящей через точ- точку О. Момент инерции Je равен сумме произведений масс на квадра- квадраты их расстояний до указанной оси. Выберем в точке О ортонор- мированный базис е^ег^ез. Чтобы определить результат действия формы Т(х,у) в Я3, достаточно указать значение формы на парах базисных векторов. Обозначим Jpg=T(ep,eg), p, я =1,2,3. Тогда Из определения формы Т(х, у) следует, что ее значение не меняется при преобразованиях базисных векторов. В этом смысле набор J ее коэффициентов Jpq, p,q = 1,2,3, представляет собой тензор второ- второго ранга. Он называется связанным с точкой О тензором инерции множества Q точечных масс. Найдем компоненты тензора J: Т(ер,ед) = ]Tmt(rt- х ер) • (г,- х eq) = ^тгед • [г* х (ер х г,-)]
46 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства или п T(ep,eq) = Пусть р = q. Тогда Jpp = Т(ер,ер) = *=1 Величина Jpp представляет собой момент инерции относительно оси, направляющий орт которой имеет номер р. Как уже отмечалось вы- выше, осевой момент инерции Jpp равен сумме произведений масс точек на квадраты их расстояний до соответствующей оси. Предположим, что р ф q. Величина 1 = 1 называется центробежным моментом инерции относительно плос- плоскости Оер, eq. Вернемся к определению формы Т(х, у) и преобразуем смешанное произведение: п Т(х, У) = У • X md*i х (х х г*)]« *=i Изменяя порядок суммирования в выражении той же формы через тензор инерции, можно получить з з q=l p=l Определим вектор z = z\e\ + ^2e2 + ^зез с помощью соотношения п z = ^mi[ri x (x x г,-)]. i=i Сопоставив два выражения для Т(х, у), получим з з zq = ^2 Jpixp = S ^рхр> 9 = 1> 2,3. p=i p=i Таким образом, тензор инерции порождает в пространстве Я3 линей- линейный оператор инерции J, переводящий вектор х в вектор z. Форма Т(х,у) может быть представлена в виде Т(х,у) = у -z = y -Jx.
1.8. Геометрия масс 47 Пусть теперь е — произвольный единичный вектор. Напишем момент инерции Je, соответствующий направлению е: Выберем вектор х = е/у/7^. Для него Т(х,х) = 1. Другими словами, конец вектора х принадлежит поверхности второго порядка. Если для любого направления е справедливо Je ф О, то эта поверхность ограничена в пространстве. В этом случае она предста- представляет собой эллипсоид, который называется эллипсоидом инерции. Теорема 1.8.1. Je = 0 тогда и только тогда, когда все точечные массы рассматриваемого множества принадлежат оси с направля- направляющим вектором е. Доказательство. Если все точки принадлежат оси с направля- направляющим вектором е, то их расстояния до этой оси равны нулю. Значит, Je = 0. Обратно, пусть Je = 0. Но Je по определению есть сумма произведений положительных масс точек на квадраты их расстоя- расстояний до рассматриваемой оси. Равенство нулю такой суммы может быть только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.П Теорема 1.8.2. Если все точечные массы принадлежат оси с единичным направляющим вектором к : г,- = г,-к и не все г,- рае- ны нулю, то поверхность, определенная уравнением Т(х,х) = 1, представляет собой круговой цилиндр с осью к. Доказательство. С учетом равенства г» = rt-k получим п Т(х,х) = ?т<(г»к х хJ = (к х х 1=1 *=i По условию теоремы имеем t=i Но |к х х| есть расстояние от конца вектора х до оси с направляющим вектором к. Следовательно, это расстояние постоянно для любого вектора х, принадлежащего поверхности Т(х,х) = 1.D
48 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства В дальнейшем будем предполагать, что заданные точечные массы не принадлежат одной прямой, так что уравнение Т(х, х) = 1 опре- определяет в пространстве Е3 эллипсоид инерции. Теорема 1.8.3. Если не все точечные массы принадлежат одной прямой, то матрица J = (JPq), Р,«= 1,2,3, соответствующая тензору инерции, невырождена. Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений Пусть матрица J вырождена. Тогда существует ненулевое решение х этой системы и для него х z = x2Jx = О, где Jx — момент инерции множества точечных масс относительно оси, параллельной х. Но х2 ф 0. Значит, Зх = 0. Следовательно, все точечные массы принадлежат оси х, что противоречит условию. ? Теорема 1.8.4. Пусть множеству точечных масс соответст- соответствует эллипсоид инерции и пусть х определяет фиксированную точку эллипсоида. Тогда вектор z = Jx есть нормаль к плоскости, касаю- касающейся эллипсоида в точке х. Доказательство. Уравнение эллипсоида инерции представим в виде х • Jx = 1. Зададим плоскость П уравнением у • Jx = 1, где х — постоянный вектор, а конец вектора у выделяет точку плоско- плоскости. Допустим, что плоскость П сечет эллипсоид. Тогда существует вектор у, конец которого одновременно принадлежит плоскости П и эллипсоиду, причем у ф х. Для такого вектора у должны быть выполнены равенства у • Jx = х-Jy = 1, y.Jy = l, x-Jx = l. Поэтому (у - х) • Jx = 0, (у - х) . Jy = 0 или (у — х) • J(y — х) = 0. Отсюда получаем, что все точечные массы принадлежат оси, параллельной ненулевому вектору (у — х). То- Тогда уравнение Т(х, х) = 1 определяет цилиндр, что противоречит
1.9. Главные оси инерции 49 условию. Таким образом, плоскость П, кроме точки, определяемой вектором х, не имеет общих точек с эллипсоидом и, значит, касает- касается эллипсоида в точке х. Вектор (у — х) принадлежит плоскости П. Равенство (у - х) • Jx = О свидетельствует, что вектор Jx перпендикулярен плоскости П. ? § 1.9. Главные оси инерции Пусть для полюса О построен эллипсоид инерции. Главной осью инерции для него называется ось, которая проходит через точку О и коллинеарна нормали к эллипсоиду, взятой в точке пересечения оси с ним. Обозначим х радиус-вектор точки пересечения главной оси с эл- эллипсоидом инерции. Тогда, согласно определению главной оси и в соответствии с теоремой 1.8.4, будем иметь z = Jx = Ах или (J - АЕ)х = О, где J — оператор инерции, Е — тождественный оператор. Получен- Полученная однородная линейная система должна иметь ненулевое решение. Поэтому ее определитель обязан обращаться в нуль: | J - АЕ| = «7ц — A J12 J13 «721 «722 - A J23 — А = 0. Это уравнение называется характеристическим уравнением элли- эллипсоида инерции. Левой частью этого уравнения служит характери- характеристический многочлен третьей степени. Из теории поверхностей второго порядка известны следующие свойства решений характеристического уравнения и главных осей. 1. Все решения характеристического уравнения действительны. 2. Простому корню характеристического уравнения соответствует единственная главная ось. 3. Главные оси, соответствующие двум различным корням харак- характеристического уравнения, взаимно перпендикулярны. 4. Если все три корня характеристического уравнения различны между собой, то имеется три и только три главные оси и они взаимно перпендикулярны. 4- 1503
50 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 5. Если из трех корней Ai, A2, A3 два равны между собой и отлич- отличны от третьего, например Ai = A2 Ф Аз, то все оси, перпендикулярные к единственной оси, соответствующей корню Аз, суть главные оси, отвечающие кратному корню Ai = A2. Таким образом, имеется бесконечно много троек взаимно перпенди- перпендикулярных главных осей. Каждая из них содержит единственную главную ось с единичным вектором е3, соответствующую простому корню Аз, тогда как две другие определены произвольными единич- единичными векторами ei и в2, перпендикулярными между собой и вектору ез- 6. Если все три корня характеристического уравнения равны ме- между собой, то каждая ось — главная. Таким образом, три взаимно перпендикулярные главные оси су- существуют всегда. Выберем единичные векторы ei, ег, ез, им соответ- соответствующие, в качестве базисных. Ясно, что тогда J\2 = J21 = «Лз = J31 = Лз = «^32 = 0, и уравнение эллипсоида инерции принимает канонический вид J\\x\ + J22X2 + Матрица J оператора инерции оказывается диагональной. Компо- Компоненты Jn, J22, </зз> отнесенные к главным осям, называются главны- главными моментами инерции. Отметим, что равенства Ji2 = J13 = 0 служат необходимыми и достаточными условиями того, чтобы ось с направлением ei была главной. Аналогичное утверждение справедливо и для других осей. § 1.10. Преобразование эллипсоида инерции Пусть в Е3 задано множество точечных масс Q. Значение введен- введенной в § 1.8 билинейной формы Т(х,у), взятое для одной и той же пары векторов х, у, зависит от того, какая точка пространства при- принята за начало векторов г,. Выясним эту зависимость. Центр масс множества Q обозначим С. Радиусы-векторы точек из Q, имеющие начало в С, обозначим rj, i = 1,..., п, так что t=i
1.10. Преобразование эллипсоида инерции 51 С помощью радиуса-вектора г, имеющего начало в точке С, зада- зададим произвольную точку О. Радиусы-векторы точек из Q, имеющие начало в точке О, обозначим г*. Тогда будем иметь г,- = г( — г. Для точки С значение билинейной формы дается выражением ,-(г{ х х) • (р{ х у), а для точки О по-прежнему будем иметь п Т(х,у) = ^m»(r» х х) • (г,- х у). i=i Зададим 7д#(х, у) = М(г х х) • (г х у) билинейную форму в точке О, возникающую, если в центре масс рас- рассматриваемого множества Q поместить его суммарную массу п *=1 Лемма 1.10.1. Действие формы Т(х,у) выражается суммой Доказательство. Подставив в правую часть формулы, опреде- определяющей Т(х,у), выражение г, = г(- — г, получим Т(х, у) = Е mf[(r< - г) х х] • [(г< - г) х у] = = ? m,(r< х х) • (г< х у) - (г х х) • f f ? пцгЛ х у] - i=1 Г/- А 1 " I ( Е "»<г< ) х х| • (г х у) + М(г х х) • (г х у). Учитывая, что убеждаемся в справедливости леммы.П Форма Тс(х,у) порождает в точке С тензор инерции Jc, называе- называемый центральным тензором инерции, а форма Тд/(х,у) — в точке О тензор инерции 3м. Лемму 1.10.1 можно переформулировать сле- следующим образом.
52 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Теорема 1.10.1. Тензор инерции 3 множества Q, взятый в точке О, равен покомпонентной сумме центрального тензора инер- инерции 3е того же множества Q и тензора 3м точки С, когда в ней помещена суммарная масса М. Подробнее, если заданы ортонорми- рованные базисные векторы ei, в2, ез, то 4* = •% + •#' Р,*= 1,2,3. Доказательство. По определению тензора инерции найдем Jpq = T(ep,ef) = Тс(ер,е?) + Тм(ер,е,) = Jcpq + jfi.n Форма Тм(х,у) и, следовательно, тензор 3м не зависят от распо- расположения точек множества Q относительно центра масс. Они харак- характеризуют расположение множества Q "в целом" относительно точки О. Формулы для расчета 3м достаточно просты: 3™ = М(г х ерJ = М[г2 - (г • ерJ], р = 1,2,3, J™ = М(г х ер) • (г х ер), p^q, р, q = 1, 2, 3. В частности, J^ есть произведение суммарной массы на квадрат рас- расстояния от центра масс до оси с направлением ер, проходящей через точку О. Особенности "внутренней" структуры множества Q отра- отражаются формой Тс(х,у) и связанным с ней тензором Jc. Теорема 1.10.1 дает возможность, определив однажды этот тензор, эффектив- эффективно пересчитать его для любой интересующей нас точки пространства. Перейдем к характеристикам эллипсоида инерции. Взятый от- относительно центра масс множества Q он называется центральным эллипсоидом инерции, его главные оси — главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — глав- главными центральными моментами инерции. Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р. Рассмо- Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. Теорема 1.10.2. (Гюйгенса-Штёйнера). Момент инерции Je относительно оси с произвольным направлением е, проходящей через точку О, равен сумме момента инерции J\ относительно па- параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения сум- суммарной массы на квадрат расстояния d между осями: Je = Jce + Md2 = Jce + M(r x eJ = Jce + M[r2 - (r • eJ].
1.10. Преобразование эллипсоида инерции 53 Доказательство. Пусть направление оси задано единичным век- вектором е. Применяя лемму 1.10.1, найдем Но |г х е| есть произведение модуля г радиуса-вектора на синус угла между г и е, что представляет собой расстояние d между осями.? Как следствие отметим, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси. Пример 1.10.1. Из теоремы Гюйгенса-Штейнера следует нера- неравенство Je > Md2. Выберем произвольно на числовой оси п точек с координатами х\, а?2,---,#п и сопоставим им массы mi, Ш2,...,тп. Взяв момент инер- инерции относительно перпендикуляра к числовой оси, проходящего через нулевую точку, получим I>*,2> n 7 . i=i причем равенство достигается тогда и только тогда, когда х\ — ... = хп Выберем какие-нибудь не равные нулю числа 6i, 62,.. .,6П и положим _ 2 _ °* • _ Подставив эти выражения в полученное неравенство, найдем Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Лег- Легко показать, что оно справедливо также, когда некоторые из чисел &i,..., bn обращаются в нуль.О Пример 1.10.2. Найти геометрическое место точек плоскости, для которых сумма квадратов расстояний от п заданных точек той же плоскости постоянна и равна а2. Решение. Поместим в каждую из заданных точек массу, равную единице. Обозначим С центр масс образовавшегося множества точечных
54 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства масс. Пусть О — произвольная точка плоскости. По теореме Гюйгенса- Штейнера имеем Л = Зсе + пОС2, где Je — момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоско- плоскости и проходящей через точку О, Jce — момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс. По условию Je = a2. Следовательно, и длина отрезка ОС, равная расстоянию от центра масс С до точки О, принадлежащей искомому геометрическому месту, должна принимать постоянное значение. Если a > «7^, то получаем окружность с центром в С и радиусом 0C= W~fa2~ Если а2 = Jg, то искомое геометрическое место есть центр масс С Если а2 < Jg, то решение отсутствует.О Исследуем теперь деформацию эллипсоида инерции в точке О по сравнению с центральным эллипсоидом при удалении точки О от центра масс С. Зафиксируем единичное направление ег смещения точки О, так что г = гег, и будем изменять только модуль г. Пусть zc(x) — оператор нормали к центральному эллипсоиду, a z(x) — оператор нормали к эллипсоиду в точке О (см. теорему 1.8.4). Теорема 1.10.3. Нормаль z(x) к эллипсоиду инерции с центром в точке О может быть найдена по формуле z(x) = zc(x) + М[г х (х х г)] = zc(x) + Мг2[х - ег(х • ег)]. Доказательство. В соответствии с определением нормали z(x) имеем Т(х,у) = у -z(x). С другой стороны, согласно лемме 1.10.1 причем Ъ(х, у) = у • zc(x), Тм(х, у) = у • M[v х (х х г)]. Следовательно, у • z(x) = у . [zc(x) + М[г х (х х г)]. Доказываемое тождество справедливо, так как вектор у может быть выбран произвольно.D
1.10. Преобразование эллипсоида, инерции 55 Теорема 1.10.4. Если направление ег — главное для централь- центрального эллипсоида инерции, то оно будет главным и для любой точки О1 определенной радиусом-вектором г = гег при произвольном зна- значении г. И наоборот, если направление ег не было главным для цен- центрального эллипсоида инерции, то оно не моэюет стать главным ни при каком значении г. Доказательство. Пусть х = хег. Тогда z(x) = zc(x) + Mr2x[er x (er x er)] = zc(x).D Теорема 1.10.5. Пусть направление ег произвольно. Тогда при увеличении г диаметр эллипсоида инерции в точке О, соответству- соответствующий направлению ег, не изменяется. Остальные диаметры умень- уменьшаются, так что весь эллипсоид сжимается к отрезку, направлен- направленному вдоль оси, проходящей через точки О и С. Две из трех главных осей инерции стремятся к плоскости, перпендикулярной ег, третья ось стремится стать коллинеарной вектору ег. Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инер- инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствую- соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инер- инерции относительно оси, проходящей через точку О параллельно век- вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллель- параллельный ег при любом г, будет таким же, каким он был в центральном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не кол линеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, рав- равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направлении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен ег, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде где вектор х принадлежит поверхности эллипсоида. Первое слагае- слагаемое в квадратной скобке стремится к нулю быстрее, чем х, и напра- направление вектораz(x) приближается к направлению векторах. Отсюда в силу непрерывности функции z(x) следует, что любое направление в плоскости, перпендикулярной вектору ег, тем меньше отличается от главного, чем больше г. Тем самым одна из плоскостей, опреде- определенная некоторыми двумя главными осями, приближается к плос-
56 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства кости, перпендикулярной ег. Третья главная ось стремится стать параллельной вектору er.D Теорема 1.10.6. Если некоторая ось оказалась главной для двух своих точек, то она проходит через центр масс и будет главной для любой своей точки. Доказательство. Пусть рассматриваемая ось проходит через точки О\ и Ог, заданные соответственно радиусами-векторами ri и г2, имеющими начало в центре масс С. Эллипсоид инерции для точ- точки О\ обозначим Э\. Эллипсоид инерции для точки О2 обозначим Э2. Сравним векторы zi(x) и z2(x) для эллипсоидов Э\ и Э2. По теореме 1.10.3 будем иметь zi(x) = zc(x) + Af [n x (x x ri)], z2(x) = zc(x) + M[r2 x (x x r2)]. По условию теоремы разность векторов ri — г2 = ре определяет на- направление главной оси как для Э\, так и для Э2. Это значит, что zi(e) = Aie и z2(e) = Л2е. Кроме того, z2(e) = zc(e) + M{(ri + ре) х [е х (п + ре)]} = = гс(е) + My\ х (е х ri) + Mpe x (e x ri) = = zi(e) + Mpe х (ex ri). Учитывая результат действия операторов z\ и z2 и раскрывая двойное векторное произведение, найдем Mpri = [Мр(е • Pi) + Ai - A2]e. Отсюда следует, что векторы ri и е коллинеарны, а значит, ось O\Oi проходит через центр масс С. Следовательно, zi(e) = zc(e) и ось 0102, будучи главной для эллипсоида Э\, будет главной и для цен- центрального эллипсоида инерции, а по теореме 1.10.4 она будет главной для любой своей точки.? Нахождение главных центральных осей инерции упрощается, ес- если множество точечных масс обладает той или иной симметрией. На- Например, если точки с одинаковой массой расположены симметрично относительно некоторой плоскости, то центр масс должен принадле- принадлежать этой плоскости. Ей же принадлежат две главные оси инерции, а третья перпендикулярна плоскости симметрии. Если множество то- точечных масс обладает осью симметрии, то центр масс принадлежит этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие перпендикулярны к ней. Если симметрия круговая, то любое
1.11. Тензорное умножение векторов 57 направление в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии, будет главным. Если ось симметрии получается как пересечение двух вза- взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии, то две другие глав- главные оси должны соответственно принадлежать этим плоскостям. § 1.11. Тензорное умножение векторов Рассмотрим билинейную форму относительно векторов х и у, зна- значение которой инвариантно при преобразованиях координат $(*>У) = jK* * а) • (у х Ь) + (х х Ь) • (у х а)], где а и b — фиксированные векторы, порождающие форму. Коэф- Коэффициенты формы образуют тензор второго ранга и получаются (см. § 1.8) как значения формы на всевозможных парах базисных век- векторов выбранного ортонормированного репера. Возьмем пару ер, eq базисных векторов. Положим х = ер, у = eq. Тогда коэффициенты формы примут вид Spq = S(ep,eq) = -[(ер х а) • (в, х Ь) + (ер х Ь) • (е, х а)] = Если р = </, то получим диагональные компоненты тензора: Spp = (a-b)-(a-ep)(b-ep). При р ф q найдем его внедиагональные компоненты: Определение 1.11.1. Для произвольной пары векторов a, b определим бинарную операцию тензорного умножения векторов "®" по правилу Эта операция билинейна, коммутативна, дистрибутивна и ассоциа- ассоциативна. В результате ее применения каждой паре векторов ставится в соответствие тензор S. Перечисленные свойства операции непосред- непосредственно следуют из вида коэффициентов Spq. В декартовом репере Ое^ез тензор S = а ® b принимает вид b=( -(ai62 + a26i)/2 ai6i + a363 -(а263 + а362)/2
58 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Теорема 1.11.1. Тензорное умножение векторов равно нулево- нулевому тензору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножи- сомножителей равен нулю. Доказательство. Необходимость. Непосредственно из выра- выражений для компонент тензора а®Ь следует, что если хотя бы один из векторов равен нулю, то и все компоненты тензора окажутся рав- равными нулю. Достаточность. Пусть все компоненты тензора a0b оказались равными нулю. Его диагональные компоненты дают следующие со- соотношения a2b2 + а3Ь3 = 0, ai6i + a363 = 0, ai&i + a2b2 = 0. Поэтому ai6i = a2b2 = (Х363 — 0. Пусть, например, 6i ^ 0. Тогда а\ = 0. Далее имеем S21 = -(a\b2 + a2bi)/2 = S31 = —(a\bs + a3bi)/2 = 0. Отсюда а2 = а3 = 0. Аналогично разбираются остальные случаи. ? Из доказанной теоремы, в частности, следует, что если заданы тензор S и вектор b и существует такой вектор а, что а ® b = S, то вектор а единственный. Замечание 1.11.1. Тензор инерции множества точечных масс относительно полюса О можно выразить формулой: J = Таким образом операция "®" удобна при вычислении тензоров инер- инерции множества точечных масс, если радиусы-векторы точек выража- выражаются как линейные комбинации других каких-нибудь векторов. Пример 1.11.1. Пусть радиусы-векторы точечных масс пред- представлены в виде г,- = rc -f р,-, где гс — центр масс системы, так что Г Pi = °- ТогДа найдем п 4- ^2 miPi ® Pi = Элементарными алгебраическими преобразованиями мы еще раз полу- получили теорему 1.10.1. О
1.12. Критерий тензора инерции 59 § 1.12. Критерий тензора инерции Как мы видели выше, всякому множеству точечных масс мож- можно сопоставить тензор инерции J. Компоненты этого тензора в каждом конкретном ортонормированном базисе образуют неотрица- неотрицательно определенную симметричную матрицу. Однако если взять произвольную такую матрицу, то ее не всегда можно считать матри- матрицей тензора инерции в каком-либо базисе, т.е. не для всякой сим- симметричной неотрицательно определенной матрицы существует мно- множество точечных масс, порождающее тензор инерции с соответству- соответствующими компонентами. Укажем критерий того, что заданная нео- неотрицательно определенная симметричная матрица может считаться составленной из компонент тензора инерции. Лемма 1.12.1. Для любого симметричного неотрицательно оп- определенного тензора I второго ранга существует множество то- точечных масс, для которого выполнено равенство где 1х — линейный оператор, соответствующий тензору I. Доказательство. Коль скоро тензор симметричный и неотрица- неотрицательно определенный, он имеет три ортонормированных собственных вектора ei, ег, ез с неотрицательными собственными значениями Ai, А2, A3. Произвольно зададим три массы: mi > 0, т2 > 0, т3 > О и разместим их соответственно в точках с радиусами-векторами г,- = W —e,-, i= 1,2,3, что, очевидно, всегда можно сделать из-за неотрицательности значе- значений Ai, A2, А3. Рассмотрим линейный оператор t=l t=l Этот оператор имеет те же собственные векторы и собственные зна- значения, что и оператор 1х. Следовательно, з Ix = ^m,(r,-x)r,-.D »=i
60 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Теорема 1.12.1. (Критерий тензора инерции.) Симметрич- Симметричная матрица (J\\ J\2 J\3 \ Ji\ «^22 «^23 I , Jij = Jji, J31 «/32 J33 / может быть матрицей тензора инерции в каком-нибудь ортонор- мированном базисе тогда и только тогда, когда матрица ( + Лз — ЛО -Л2 —Ji3 — J21 г(^33 + ^п "" ^22) —«^23 ~«/з1 —«/32 |(Jll + J22 — определена неотрицательно. Доказательство. Необходимость. Пусть задано некоторое множество точечных масс. Соответствующую ему билинейную фор- форму Т(х, у) преобразуем с использованием свойств векторного умно- умножения: п п п Т(х, У) = У • J2 т'(р* х (х х Р|')) = у 'х S т*г* " Yl m^r» ' х)(р|' 'у) 1=1 *=1 *=1 или Т(х, у) = -(Jn + J22 + 7зз)(у • х) - ^(х, у), где i=i инвариантная при преобразованиях координат симметричная били- билинейная форма, причем Р(х,у) > 0. Форме Т(х>у) соответствует ли- линейный оператор • x)r,- = -Jx 4- r(«/n + J22 + </зз)х. i=i 2 Поскольку ^(х, у) > 0, матрица / оператора 1х неотрицательно опре- определена и, как нетрудно видеть, совпадает с матрицей, указанной в утверждении теоремы. Достаточность. Пусть матрица / неотрицательно определена. Тогда с ее помощью можно образовать линейный оператор 1х. Со- Согласно лемме 1.12.1 для оператора I существует множество точечных масс такое, что п Ix = 5>,.(r,-x)r,.
1.13. Свойства моментов инерции 61 Но операторы Jx и 1х связаны простым соотношением Jx= -Ix + xSp/, где Sp / — след матрицы 7, инвариантный относительно ортогональ- ортогональных преобразований координат. Значит, когда множество точечных масс реализует оператор 1х, то это же множество реализует и опера- оператор Jx с матрицей J, заданной в условии теоремы. ? Следствие 1.12.1. В главных осях критерий тензора инерции состоит в выполнении неравенств треугольника для главных мо- моментов инерции, § 1.13. Свойства моментов инерции Дополнительно к понятиям осевых и центробежных моментов инерции (см. § 1.8) введем понятия моментов инерции относитель- относительно плоскости и полюса. Пусть плоскость Ve имеет нормаль е и проходит через полюс О. Моментом инерции относительно плоскости Ve множества точеч- точечных масс mi с радиусами-векторами г, называется величина представляющая собой сумму произведений масс точек на квадраты их расстояний до плоскости Vt- ^(x,y) — форма, введенная при доказательстве теоремы 1.12.1. Выберем в точке О ортонормированный базис ei, е2, ез. Для мо- моментов инерции относительно координатных плоскостей будем иметь п п п Щ = ?т,(г,- eiJ, П2 = ?т,-(г,- е2J, П3 = ?т»(г« е3J. i=i i=i *=1 Моментом инерции относительно полюса называется величина В соответствии с определением, осевые моменты инерции и мо- момент инерции относительно полюса выражаются формулами (§ 1.8) Jn = /| - Щ = П2 + П3,
62 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства J22 = /i-n2 = n3-f Пь [л = Щ + П2 + П3. Теорема 1.13.1. Осевые моменты инерции удовлетворяют не- неравенствам треугольника: J\l + J22 > J33, J22 + «/ЗЗ > Ль ^33 + Jll > ^22- Доказательство. Учитывая выражение осевых моментов инер- инерции через моменты инерции относительно плоскости, найдем Ju + J22 = Щ + П2 + 2П3 = J33 + 2П3, ^22 + </зз = П2 + П3 + 2Щ = Jn + 2ПЬ ^зз + Ju = П3 + Щ + 2П2 = J22 4- 2П2. Так как Щ, П2, П3 положительны, очевидна справедливость утвер- утверждения теоремы. D Из доказательства теоремы следует, что сразу во всех соотноше- соотношениях треугольника знак равенства достигается только тогда, когда Их = П2 = П3 = 0, т.е. когда все точечные массы помещены в одну и ту же геометрическую точку О. Далее, пусть Up = Uq = О, Щ ф 0, р ф q. Тогда все точечные массы расположены на координатной оси с направляющим вектором е^. Следовательно, ц = Щ, Jpp = Jqq, Jkk = 0. Наконец, пусть Лр = 0, Uq ф 0, Па? ф 0, р ф g, g 7^ fe, k ф р. То- Тогда множество точечных масс принадлежит плоскости, натянутой на векторы eq, е*. Поэтому Если, кроме того, окажется, что П? = Щ, для чего достаточно, на- например, чтобы точки с равными массами располагались симметрич- симметрично относительно биссектрис соответствующих координатных углов, то будем иметь Jqq = JjfcJfc = yJpp- Теорема 1.13.2. Момент инерции относительно плоскости не зависит от расположения полюса О в плоскости.
1.13. Свойства, моментов инерции 63 Доказательство. Пусть точка О принадлежит некоторой плос- плоскости Ре и е — нормаль к этой плоскости. Выберем точку О за полюс. Тогда Пе = Возьмем на плоскости Ve другую точку О\ с радиусом-вектором г относительно первой: г • е = 0. Сделаем замену г, = г + х\. Тогда получим Но последнее выражение есть момент инерции относительно плоско- плоскости Ve, взятый в предположении, что полюс совпадает с Oi.O Теорема 1.13.3. Момент инерции относительно плоскости Ve с нормалью е равен моменту инерции относительно плоскости с той же нормалью, проходящей через центр масс рассматриваемого множества точечных масс, сложенному с произведением суммар- суммарной массы на квадрат расстояния между плоскостями: где П'е — момент инерции относительно плоскости, проходящей че- через центр масс, гс — радиус-вектор центра масс с началом в точке на плоскости Ve- Доказательство. Сделаем замену переменных: гг = гс + г(. По смыслу замены 1=1 Выражение для Пе принимает вид Пе = Е пц[(гс + г{) • е]2 = ? Ыгс • еJ+ i=l t=l Напомним, что 1=1 Теорема 1.13.4. Момент инерции относительно произвольной точки О равен моменту инерции относительно центра масс, сло- сложенному с произведением суммарной массы на квадрат расстояния от центра масс до точки О.
64 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Доказательство. /л = Щ + П2 + П3, Пр = П; + М(гс • ерJ, р = 1,2,3. Поэтому 1 § 1.14. Примеры вычисления тензора инерции Найдем главные оси и вычислим главные центральные моменты инерции для некоторых типичных множеств точечных масс. Пример 1.14.1. Определить центральный тензор инерции для множества из п точек одинаковой массы ш, расположенных на одной прямой так, что каждая точка отстоит от соседних на одинаковое рас- расстояние Д. Решение. Обозначим ei —направляющий единичный вектор пря- прямой. Выберем на прямой полюс О так, чтобы радиусы-векторы точеч- точечных масс можно было задать в виде г,- = гехД, г = 1,..., гг. По причине симметрии одна из главных осей инерции проходит через точку О в направлении е\, а две другие ей перпендикулярны, причем Jn = J\2 = «/21 = J\3 — J31 = J23 = J32 = О, nn(n+l)Bn + l) J22 = J33 = 6 Центр масс рассматриваемого множества точек дается формулой 1 А Л. л mn *? mn *r? 2 Переходя к определению главных центральных моментов инерции, за- заметим, что гс 1С тс jc 7е 7е 7е П ^11 "~ J\2 — J2\ ~ ^13 -~ ^31 "- ^23 ~~ ^32 -~ V- Для расчета J^2 и «^зз воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера: тс тс т 2 л 2 П(П + 1)(п "" 1) уч «^22 = ^зз = ^22 - nmrc2 = шД2 -* ^ '-.О Пример 1.14.2. Определить центральный тензор инерции для прямолинейного однородного отрезка длины / и массы М.
1.14. Примеры вычисления тензора инерции 65 Решение. Обозначим ei — направляющий единичный вектор от- отрезка. Полюс О назначим так, чтобы начало вектора ei совпало с одним из концов отрезка, тогда как другой конец отрезка имел радиус-вектор г = 1е\. Разделим отрезок на п равных частей длины Д = 1/п и каждой ча- части сопоставим массу m = М/п, сосредоточенную в узловой точке с радиусом-вектором rt- = feiA, г = 1,...,п, гп = г. Теперь для расчета главных центральных моментов инерции можем вос- воспользоваться результатом примера 1.14.1, который перепишем в виде Гп = О, Г22 = Jc33 11 + j |l 22 J33 = 1^1 + j |l Положение центра масс дискретного множества задается радиусом- вектором Переходя к пределу при п -+ оо, получаем решение примера 1.14.2: Моменты инерции рассчитаны относительно главных центральных осей с началом в центре масс гс = 1е\/2. Первая из этих осей направлена вдоль отрезка, а две другие взаимно ортогональны и лежат в плоскости, перпендикулярной первой оси. Заметим, что главные центральные моменты инерции отрезка мож- можно найти и более экономным способом с помощью интегрирования. По- Положение центра масс, совпадающее с серединой отрезка, и указанные выше направления главных центральных осей инерции легко установить с помощью соображений симметрии. Обозначим dM = ydx — элемент массы, где у — плотность, dx — элемент длины. Тогда, составляя в соответствии с определением момента инерции интегральную сумму, обозначая a = 1/2 и переходя к пределу, найдем = Jss = J 2/3 Ml2 Пример 1.14.3. Определить центральный тензор инерции для массы М, равномерно распределенной по периметру прямоугольника со сторонами а и Ь. 5-1503
66 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Решение. Центр масс прямоугольника совпадает с точкой пересе- пересечения его диагоналей. Две взаимно перпендикулярные оси симметрии проходят через центр масс параллельно сторонам. Две главные цен- центральные оси инерции с ортонормированными направляющими векто- векторами ei и в2 соответственно совпадают с указанными осями симметрии. Третья ось с единичным направляющим вектором ез проходит через центр масс перпендикулярно плоскости прямоугольника. Оси прону- пронумеруем так, чтобы сторона длины а была параллельной вектору ei, a сторона длины 6 — параллельной вектору ег. Обозначим Мп — массу каждого отрезка длины а, а Мъ — массу каждого отрезка длины 6. В соответствии с условием имеем м Ма м МЬ Найдем момент инерции фигуры относительно оси, коллинеарной е\. Он состоит из суммы моментов инерции двух отрезков длины а, парал- параллельных ei и удаленных от рассматриваемой оси на расстояние 6/2, и моментов инерции двух отрезков длины 6, перпендикулярных оси. Ис- Используем решение примера 1.14.2: б2 _ б2 Мб2 Г 6 Аналогично а2 а2 Ма2 Jnn = 2Мь Ь 2Ма — = —;— 4 12 4(а Поскольку прямоугольник — фигура плоская, получим Га I ьIз+Т М(а + ЬJ '11 Т J22 — То" Тс. А. Т?- — + Л.= "^ ¦ "' .О Пример 1.14.4. Определить центральный тензор инерции для однородного плоского прямоугольника с массой М и сторонами а и 6. Решение. Из симметрии прямоугольника ясно, что главные цен- центральные оси инерции для него будут такими же, как в примере 1.14.3. С целью вычисления, например, момента инерции Jfi разобьем прямо- прямоугольник на п равных полос, параллельных первой оси с направляющим вектором ех. Момент инерции каждой полосы будет такой же, какой имеет отрезок, полученный проектированием полосы на вторую глав- главную ось, и имеющий массу, равную массе полосы. Переходя к пределу при п —> со, заключаем, что момент инерции Jfx равен главному цен- центральному моменту инерции отрезка массы М и длины 6, ориентирован- ориентированного вдоль главной оси. Проводя подобные построения для вычисления
1.14. Примеры вычисления тензора инерции 67 момента инерции J%2< убеждаемся, что он равен моменту инерции отно- относительно второй оси отрезка массой М и длиной а, ориентированного вдоль первой главной оси. Используя решение задачи 1.14.2, найдем 12' 22~ 12' Кроме того, Пример 1.14.5. Определить центральный тензор инерции одно- однородного прямоугольного параллелепипеда с массой М и размерами а, 6, с. Решение. Прямоугольный параллелепипед имеет три плоскости симметрии, взаимно перпендикулярные и проходящие через середины ребер. Центр масс С совпадает с точкой пересечения этих плоскостей. Главные центральные оси инерции начинаются в точке С и направлены параллельно соответствующим ребрам параллелепипеда. Пронумеруем оси так, чтобы направляющие векторы ei — первой оси, ег — вто- второй оси, ез — третьей оси были параллельны ребрам с длинами а, 6, с соответственно. Найдем моменты инерции Щ, Пг, Щ относительно координатных плоскостей, перпендикулярных векторам ei, ег, ез. Для того чтобы найти Щ, рассечем параллелепипед на п одинаковых слоев плоскостями, перпендикулярными вектору еь Момент инерции каждого такого слоя будет совпадать с моментом инерции пересечения этого слоя с первой главной осью, когда этому пересечению сопоставлена масса все- всего слоя. Переходя к пределу при п —> со, видим, что момент П\ будет совпадать с моментом инерции относительно С отрезка, равного пере- пересечению параллелепипеда с первой главной осью, имеющего длину а и массу, равную массе всего параллелепипеда. Аналогичные рассуждения можно провести с целью расчета моментов Щ и Щ Воспользовавшись затем решением задачи 1.14.2, получим Ma2 _ Mb2 Me2 Щ = _' П2 = —, Пз=-1Г. Главные центральные моменты инерции после этого вычисляются по формулам jc _п , п _МF2 + с2) _M(a2 + c2) _M(a2 + 62) «/ц-Пг + Пз- ^2 ' J22 = J2 ' 33 12 Пример 1.14.6. Определить центральный тензор инерции для массы М, равномерно распределенной по окружности радиуса R. 5*
68 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Решение. Центр масс совпадает с центром окружности. Любые две взаимно перпендикулярные оси с началом в центре окружности и напра- направляющими векторами ei и в2 будут главными центральными. Третья главная ось проходит через центр и перпендикулярна плоскости окруж- окружности. Легко видеть, что J33 = MR2. Окружность — фигура плоская и симметричная. Поэтому имеем jc _jc _ MB? . Пример 1.14.7. Определить центральный тензор инерции для однородного круга массы М и радиуса R. Решение. Главные центральные оси инерции здесь будут такими же, как в примере 1.14.6. Найдем момент инерции J?3. С этой це- целью разделим радиус окружности на п равных частей и найдем момент инерции J33 Для множества концентрических окружностей с радиусами Pi = iR/n и массами М , о 9\ М ,_ . <ч (Pi - *W-i) = ^2B* - 1), 1 = 1,..., п, равными массам слоев, заключенных между концентрическими окруж- окружностями с номерами гиг— 1. Используя решение примера 1.14.6, полу- получим МВ?_ Г na(n+lJ n(n 4 [ 4 Отсюда Из симметрии круга относительно любого диаметра заключаем, что 70 _ jc _ 1 jc _ «Ml — J22 — о 33 "" I ' Момент инерции J33 можно найти также и более экономным способом с помощью интегрирования. В самом деле, используя указанное выше разбиение круга, будем иметь M = /  о
1.14. Примеры вычисления тензора инерции 69 где р и р + dp — радиусы двух соседних концентрических окружностей, а выражение MBirpdp)/GrR2) есть с точностью до членов второго по- порядка малости масса слоя, заключенного между ними. Формула, найденная для J$3, может иметь и самостоятельное значе- значение, например когда задано множество равноудаленных друг от друга то- точек отрезка, массы которых составляют арифметическую прогрессию.О Пример 1.14.8. Определить центральный тензор инерции для однородного сплошного эллипса массы М, с границей, заданной в де- декартовых осях (xi,X2) посредством уравнения т2 т2 XJm | 2 — 1 a2 + Ь2 ~ L Решение. Уравнение эллипса задано в каноническом виде. Следо- Следовательно, оси координат служат осями симметрии эллипса. Центр масс С совпадает с началом координат. Поэтому оси координат будут глав- главными центральными осями инерции. Третья главная центральная ось перпендикулярна плоскости эллипса. Сделаем замену переменных xi = ayu x2 = Ьу2. В результате эллипс превратится в круг единичного радиуса. Разобьем эллипс на элементы малой площади. Пусть каждый элемент имеет мас- массу 6М{ и координаты (x^Xj). Тогда i = a2 Примем, что масса элемента при преобразованиях координат не изменя- изменяется. Уменьшая максимальную площадь элементов, в пределе получаем точные соотношения С ,2 т/ _МЬ _ 2 _ где J'n — момент инерции единичного круга массы М относительно его диаметра (см. пример 1.14.7). Третий главный момент инерции эллипса дается формулой J| Jc + Jc B + 62)O Пример 1.14.9. Определить центральный тензор инерции одно- однородной сферы массы М и радиуса R.
70 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Решение. Центр масс совпадает с центром С сферы. Любая ось, проходящая через точку С, есть главная центральная. Назначим про- произвольно три взаимно перпендикулярные координатные оси с напра- направляющими единичными векторами еь е2, е3, проходящие через точ- точку С Момент инерции сферы относительно точки С, очевидно, будет /ic = MR2. В силу симметрии сферы моменты инерции Щ, Щ, Щ от- относительно координатных плоскостей будут одинаковыми. Но так как /ic = Щ + П2 + П3, то Следовательно, jc _ гс _ гс _ 2МЯ2 Пример 1.14.10. Определить центральный тензор инерции одно- однородного шара массы М и радиуса R. Решение. Центр масс шара совпадает с его центром С. Как и в примере 1.14.9, назначим произвольно три взаимно перпендикулярные координатные оси с началом в точке С и направляющими единичными векторами ei, ео, ез. Найдем момент инерции шара относительно точ- точки С. С этой целью разобьем радиус шара на п одинаковых частей и рассмотрим совокупность концентрических сфер с радиусами />, = iR/n. Вычислим массу шарового слоя между соседними сферами с радиусами Pi и pi-i: Если по каждой сфере радиуса рг равномерно распределить массу Мг, найти ее момент инерции относительно центра и просуммировать значе- значения, полученные для всех сфер, то 4 + 6 Момент инерции цс шара относительно центра выражается формулой /ic = lim fic =
1.14. Примеры вычисления тензора инерции 71 Моменты инерции шара относительно координатных плоскостей будут одинаковыми. Учитывая, что /ic = П1 4- П2 -h П3, получим Поэтому тс _ тс _ jc _ 2МД2 Значение \хс можно получить с помощью интегрирования. Сложим все массы, лежащие в тонком сферическом слое, радиус которого равен р, а толщина dp. Получим ... ЗМ Ш = Следовательно, ЗМ / 4 _ ЗМЯ2 ~ j *d Пример 1.14.11. Определить центральный тензор инерции од- однородного сплошного эллипсоида массы М, граница которого задана в декартовых осях B1,22,23) посРеДством уравнения т2 т2 т2 а2 + б2 + с2 " Решение. Уравнение эллипсоида задано в каноническом виде. Следовательно, оси координат служат осями симметрии эллипсоида. Центр масс совпадает с началом координат. Поэтому оси координат будут главными центральными осями инерции. Сделаем замену 2i=at/i, 22 = 6y2, 23 = Су3, оставив неизменным направление осей координат. В результате элли- эллипсоид превращается в шар единичного радиуса. Разобьем эллипсоид на элементы малого объема. Пусть каждый элемент имеет массу ?М,- и координаты B1,2*2,23). Тогда П2 «
72 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства Пз « Е(хзJ«М,- = с2 ?(Й2«М(. * г Потребуем, чтобы масса каждого элемента при преобразованиях коорди- координат не менялась. Уменьшая максимальный объем элементов, в пределе получим точные соотношения щ = а2п;, п2 = б2п;, п3 = с2п;, где IIi — момент инерции единичного шара массы М относительно плоскости большого круга. Воспользовавшись результатом примера 1.14.10, найдем Ma2 Mb2 Me2 П П П Главные центральные моменты инерции выражаются формулами М(Ъ2+с2) М(а2+с2) М(а2 Jn - 112 4- Из ~ g , «/22 ~ g 1 J3Z = к Центральный эллипсоид инерции задается уравнением ^[F2 + с2)х2 + (а2 + с2)х2 + (а2 + 62)х2] = 1. Полуоси его равны у М(Ь2 + с2)' у М(а2 + с2У у М(а2 + б2) * Примем, что для осей заданного в условии эллипсоида выполнено со- соотношение а > 6 > с. Тогда Ь2 + с2<а2 + с2<а2 + Ь2. Поэтому ^ У М(Ь2 + с2) у М(а2 + с2) у М(а2 + б2) * Следовательно, центральный эллипсоид инерции "отслеживает" форму эллипсоида, заданного в условии. Большой полуоси заданного элли- эллипсоида соответствует большая полуось эллипсоида инерции, средней — средняя, меньшей — меньшая.
Контрольные вопросы к главе 1 73 Контрольные вопросы к главе 1 1.1. Можно ли утверждать, что любой направленный отрезок есть вектор? Если нет, то приведите пример, подтверждающий Ваше мнение. 1.2. Доказать, что расстояние, введенное с помощью скалярного произведения векторов, удовлетворяет неравенству треугольни- треугольника. 1.3. Посредством какой из перечисленных форм можно определить скалярное произведение векторов? *=1 i=l г=1 1.4. Пусть задан базис ei,... ,е„, в нем вектор х = ]СГ=1 ж*е« и ме" трический тензор G = (gij)- Показать, что существуют ровно п — 1 линейно независимых векторов у = Ya=i ^»e»> ортогональ- ортогональных вектору х. 1.5. Показать, что с помощью выбора подходящего базиса всякий метрический тензор можно привести к диагональному виду. Единственным ли способом это можно сделать? 1.6. Пусть G = (gij) — метрический тензор. Показать, что det G ф 0. 1.7. Показать, что если ортонормированный базис в результате ли- линейного преобразования перешел в новый ортонормированный базис, то матрица преобразования является ортогональной. 1.8. На плоскости с декартовой прямоугольной системой координат заданы векторы, образующие между собой угол тг/4. Найти ме- метрический тензор, для которого они ортонормированы. 1.9. Указать геометрический смысл модуля результата векторного умножения двух векторов. 1.10. Указать геометрический смысл смешанного произведения трех векторов. 1.11. Каким условием связаны Плюккеровы координаты скользяще- скользящего вектора?
74 Глава 1. Векторные свойства евклидова пространства 1.12. Почему момент пары скользящих векторов есть свободный век- вектор? 1.13. Как меняется при изменении полюса проекция суммарного мо- момента на направление, перпендикулярное суммарному вектору? 1.14. Пусть R х М = О, R • М = 0. К какому простейшему виду можно привести такую систему скользящих векторов? 1.15. Как зависит центр системы параллельных скользящих векторов от направления этих векторов? 1.16. Обобщить понятие центра масс для бесконечного ограниченного множества точечных масс. Доказать теорему 1.7.1 для такого множества. 1.17. Используя свойства функции у = у/х и свойства центра масс, доказать неравенство 2 1 \ 1 ¦;Р siE* « 1=1 / 1=1 1.18. Показать, что матрица тензора инерции симметрична в любой системе координат. 1.19. При каком условии существуют две неколлинеарные оси, отно- относительно которых моменты инерции множества точечных масс равны нулю? 1.20. Показать, что если множеству точечных масс соответствует эл- эллипсоид инерции, то матрица тензора инерции невырождена в любой системе координат. 1.21. Пусть поверхность ^(х,х) = 1 (см. § 1.8) есть цилиндр с осью к. Найти нормаль к этой поверхности. Показать, что этот цилиндр прямой круговой. 1.22. Доказать, что Ju = «Аз = 0, где Ji2, Лз — центробежные мо- моменты инерции, есть необходимое и достаточное условие того, чтобы ось ei была главной осью инерции. 1.23. Пусть г — радиус-вектор, имеющий начало в точке О и конец в центре масс множества Q точечных масс, А) В, С — главные центральные моменты инерции множества Q. Найти момент инерции множества Q относительно оси с направляющим век- вектором е, проходящей через точку О.
Контрольные вопросы к главе 1 75 1.24. Доказать, что если точечные массы множества Q расположены симметрично относительно плоскости V, причем симметричным точкам отвечают одинаковые массы, то a) центр масс системы принадлежит плоскости V\ b) одна из главных осей инерции множества Q перпендику- перпендикулярна плоскости V. 1.25. Доказать, что если точечные массы множества Q симметрич- симметричны относительно оси, причем симметричным точкам отвечают равные массы, то a) центр масс множества Q принадлежит этой оси; b) одна из главных осей инерции множества Q совпадает с этой осью. 1.26. Доказать теорему Гюйгенса-Штейнера без привлечения леммы 1.10.1, воспользовавшись непосредственно определением осевого момента инерции. 1.27. Применив теорему Гюйгенса-Штейнера, доказать, что осевой момент инерции не зависит от расположения точки О на соот- соответствующей оси. 1.28. Методом геометрии масс доказать, что сумма квадратов рас- расстояний от вершин правильного n-уголышка до любой точки, взятой на описанной около него или вписанной в него окруж- окружности, есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности. 1.29. Пусть точечные массы mi, Ш2, тз расположены на концах ко- координатных ортов. Найти тензор инерции. Показать, что этот тензор удовлетворяет теореме 1.12.1. 1.30. Каков критерий тензора инерции в главных осях инерции? 1.31. В примерах 1.14.1 и 1.14.2 указать вид поверхности Т(х,х) = 1 (см. § 1.8). 1.32. Определить центральный тензор инерции для гантели, состоя- состоящей из однородного стержня массы m и длины / и прикреплен- прикрепленных к концам стержня одинаковых однородных шаров массы М и радиуса г каждый.
Глава 2 Кинематика Кинематика — это раздел механики, в котором с геометрической точки зрения изучаются пространственно-временные свойства дви- движения различных объектов. С целью практических приложений зна- значительное внимание уделяется рациональным методам расчета ско- скоростей и ускорений отдельных точек, как изолированных, так и вхо- входящих в состав абсолютно твердых тел. Владение такими методами полезно при разработке реальных механических систем, выявлении структуры их виртуальных перемещений, составлении уравнений ди- динамики. Движение происходит во времени t ? I С Л, где / — заданный интервал множества R действительных чисел. Выберем множество X С Е3. Задать движение X — значит указать, какое положение в пространстве Е3 займет любая точка из X в произвольный момент времени t Е I. Множество одновременных положений точек из X для фиксированного времени t обозначим X(t). Движение будем рассма- рассматривать как взаимно однозначное преобразование X —> X(t), t 6 /. В зависимости от особенностей движения к этому преобразованию предъявляются специальные требования. В частности, примем, что оно по крайней мере дважды дифференцируемо по времени и что существует значение to ? /, для которого X = X(to). § 2.1. Скорость точки Пусть множество X содержит лишь одну точку. Положение точки X в пространстве Е3 будем задавать ее радиусом-вектором г с нача- началом в фиксированном полюсе О. При движении точки ее радиус- вектор меняется в зависимости от времени: r = r(t). Вектор-функция г(<) задает закон движения точки. Кривая в Е3У состоящая из последовательных положений точки X(i) при ее дви- движении, называется траекторией точки.
2.1. Скорость точки 77 Рассмотрим два положения точки X(t) и X(t + (г), соответствую- соответствующие моментам времени t и t + а. Точке X(t) отвечает радиус-вектор г(<), точке X(t -f с) — радиус-вектор r(t) -f Дг = r(t + <т). Величина Дг есть вектор перемещения точки за время а. Отношение вектора Дг ко времени перемещения называется средней скоростью за время а: Уср = Дг/G. Предел этого отношения при а —> О называется скоростью точки: г г Дг dv . v = hm vcp = am — = -7- = г. Выражение г есть общеупотребительное обозначение производной от вектора г по времени. По отношению к траектории точки вектор Дг задает секущую. При G —> 0 вектор \ср займет предельное положение, совпадающее с положением касательной к траектории в точке X(t). В пространстве Е3 введем декартову систему координат с началом в точке О и условно неподвижным ортонормированным базисом ei, е2, е3. Тогда г = nei + г2е2 -f г3е3, где числа г\, г2, г3 суть координаты вектора г в указанном базисе. При движении точки X(t) координаты вектора г представляют собой функции времени и потому в репере Oeie2e3 drx dr2 dr3 v = viei + v2e2 + v3e3 = — ex + -jr^i + "ЗГез^ так что компоненты вектора v получаются дифференцированием по времени координат движущейся точки. Модуль скорости точки можно выразить следующим образом: v = |v где ds — дифференциал длины дуги траектории точки. Направление отсчета дуги совпадает с направлением движения точки вдоль траек- траектории: ds/dt > 0. Сместим вектор v(<) параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с полюсом О. Получим вектор V(<). При изменении t конец вектора V(t) опишет в пространстве кривую, на- называемую годографом скорости. В дальнейшем векторы v и V будем отождествлять. Пусть скорость точки известна в каждый момент времени. Тогда с точностью до векторной константы закон движения может быть
78 Глава 2. Кинематика восстановлен посредством квадратур. В самом деле, t r(t) = / to izzl Lo Постоянная с = C\e\ + с^^2 + сзез определяется по положению точки в некоторый начальный момент времени *0- Вектор с можно сделать равным нулю, специально выбрав полюс О. Простейшим можно считать движение, при котором v — посто- постоянный вектор. Такое движение называется равномерным. Его закон имеет вид r(t) = (t - <0)v + с. Траектория любого равномерного движения есть прямая линия. Пример 2.1.1. Пусть хь я2, жз — декартовы координаты точки X(t), и закон движения имеет вид х\ = a + Rcosut, хч = Ь + flsinotf, #3 = с, где а, 6, с, w, R — постоянные. Траектория получается после исключе- исключения t: и представляет собой окружность с центром в точке (а, 6, с), располо- расположенную в плоскости, перпендикулярной к третьей оси. Компоненты скорости найдем, дифференцируя закон движения: dx\ . dx2 v\ = —77- = — Rujsmutt, V2 = —г— = Rijcosujt, V3 = 0. at at Следовательно, годограф скорости — это окружность радиуса Да; с цен- центром в начале координат, лежащая в плоскости первой и второй коор- координатных осей.О § 2.2. Ускорение точки Вектор ускорения определяется как скорость движения конца вектора \(t) по годографу. Другими словами, ускорение есть вторая производная от радиуса-вектора по времени. Символ г часто используется для обозначения ускорения.
2.2. Ускорение точки 79 Если ускорение точки задано как функция времени, то скорость точки может быть восстановлена с точностью до векторной постоян- постоянной: t з Г * = I w(t)dt + b = Y^ei fwi t1 Ь to t~1 Ьо Вектор b = &iei + &2e2 + &зез есть скорость точки в момент <о- По- Поэтому закон движения по заданному ускорению восстанавливается с точностью до равномерного движения. Простейшим ускоренным движением можно считать движение с постоянным вектором ускорения w. Оно называется равноускорен- равноускоренным движением. Его закон имеет вид г(<)= Тем самым равноускоренное движение происходит в плоскости век- векторов w и vo, проходящей через точку с радиусом-вектором го. Если w и vo коллинеарны (одинаково или противоположно направлены), то движение происходит по прямой линии. В общем случае равно- равноускоренного движения траектория представляет собой параболу. Запишем скорость точки X(t) в виде v = vt, где т— единичный вектор касательной к траектории. Пусть s — длина дуги траектории. Тогда ускорение w выражается равенством _ d\ _ dv drds __ dv 2dr dt dt d$ dt dt ds так как v = ds/dt. Коль скоро т — единичный вектор, т • dr/ds — О и, следовательно, вектор dr/ds принадлежит плоскости, перпендику- перпендикулярной вектору т. Положим dr и Ts = р' где v — единичный вектор, называемый главной нормалью к тра- траектории. Скалярная величина р называется радиусом кривизны в рассматриваемой точке X(t) траектории. Плоскость векторов т и i/, проходящая через точку Х(?), называется соприкасающейся плоско- плоскостью. В соприкасающейся плоскости возьмем окружность радиуса р. Центр ее поместим на главной нормали на расстоянии р от точки X(t) в направлении вектора и. Получим соприкасающуюся окруж- окружность к траектории в точке X(t). Вектор т служит общей касатель- касательной к этим двум кривым в точке X(t). Значения dr/ds, вычисленные
80 Глава 2. Кинематика в точке X(t) для соприкасающейся окружности и для траектории, совпадают. Определим единичный вектор /3 бинормали к траектории по фор- формуле /3 = т х и. Оси координат с началом в точке X(t) и направляющими единичными взаимно перпендикулярными базисными векторами т, i/, /3 называ- называются естественными осями. Представим ускорение в виде суммы w = wtt+ Теорема 2.2.1. Проекции ускорения на естественные оси дают- даются формулами dv v2 wT = v = —, wv = —, wp = 0. Доказательство. Учитывая результат дифференцирования век- вектора v = vt и используя понятие радиуса кривизны, найдем dv v2 w = -ггт+ —I/.D dt p Следствие 2.2.1. Ускорение точки принадлежит соприкасаю- соприкасающейся плоскости. Можно также сказать, что соприкасающаяся плоскость натянута на векторы скорости и ускорения. Модуль ускорения определяется равенством w •w+ffi- Если векторы скорости и ускорения коллинеарны, то соприкасающа- соприкасающаяся плоскость не определена, а р = оо. Так, например, будет, когда траектория движения точки представляет собой прямую. То же бу- будет и в точках перегиба траектории. Отметим, что в общем случае проекция wu ускорения аналогична центростремительному ускорению при движении точки по окружно- окружности. Пример 2.2.1. Пусть точка движется в соответствии с законом r\ = Rcosujt, г^ = Rsinujt, гз = at. Определить траекторию и найти ее радиус кривизны.
2.3. Закон движения твердого тела 81 Решение. Траектория представляет собой винтовую линию на по- поверхности кругового цилиндра радиуса R. Образующая цилиндра па- параллельна третьей оси. Найдем векторы скорости и ускорения: v = г = (—Rlj smut, Rucoswt, a), w = v = (—Rw2 совсЛ, — Ru2sinujt, 0). Видим, что v • w = 0. Поэтому wv = w. Отсюда В данной задаче, если а ф 0, радиус кривизны р оказывается больше радиуса R цилиндра, поверхности которого принадлежит траектория.О § 2.3. Закон движения твердого тела Твердым телом называется множество точек, попарные расстоя- расстояния между которыми постоянны. Закон движения твердого тела относительно некоторого репера есть правило, позволяющее одно- однозначно установить в этом репере закон движения любой, произвольно взятой точки тела. Лемма 2.3.1. Для определения закона движения твердого тела достаточно задать законы движения трех его точек, не лежащих на одной прямой. Доказательство. Пусть относительно некоторого репера с нача- началом в точке О заданы законы движения трех точек твердого тела не лежащих на одной прямой. Обозначим Ri = г2 — ri, R2 = Г3 — ] По условию леммы d|R2| d|R2-Ri| dt dt dt Единичный вектор ез определим равенством . Ri х R2 вз — . 6 - 1503 = 0.
82 Глава 2. Кинематика Этот вектор существует, так как заданные точки не принадлежат одной прямой. Пусть г — радиус-вектор произвольной точки тела. Тогда спра- справедливо равенство г - ri = R(t) = A1R1 + A2R2 + Л3е'3, где Ai, A2, A3 не зависят от времени. В самом деле, умножив это равенство скалярно сначала на Ri, а затем на R2, получим относи- относительно Ai, A2 систему линейных уравнений с постоянными коэффи- коэффициентами R • Ri = Aii?} + A2R1 • R2) R • R2 = AiRx • R2 ~Ь А2Д2. Определитель этой системы Д = R\R\[l - cos2(R"rR2)] = |RX x R2|2 отличен от нуля. Следовательно, Ai и А2 всегда существуют и по- постоянны. Постоянным будет и скаляр Аз, задающий расстояние от точки до плоскости векторов Ri, R2, неизменно связанных с телом. Таким образом, имеем взаимно однозначное соответствие между точ- точками тела и тройками постоянных коэффициентов Ai, А2, Аз- Закон движения произвольной точки тела дается выражением Теорема 2.3.1. Закон произвольного движения твердого тела есть аффинное линейное преобразование вида где х — постоянный вектор, A(t) — ортогональный линейный опе- оператор, зависящий от времени, rf(t) — радиус-вектор полюса, фик- фиксированного в теле. Доказательство. В соответствии с леммой 2.3.1 закон движения произвольной точки твердого тела можно представить в виде r(t) = A1R1 + A2R2 + А3ез + ri, где Ri = r2-ri, R2 = r3-ri, e3 = . ., |Ri x R2|
2.3. Закон движения твердого тела 83 ri, г2, гз — радиусы-векторы трех точек тела, не лежащих на одной прямой. В точке ri возьмем три взаимно перпендикулярных единич- единичных вектора ei = Ri/jRi, е2 = е'3 х е'х, е'3. В этом репере R2 = Я2[е1 cos(R^R2) + е'2 вт(кГн.2)]. Видим, что коэффициенты разложений векторов Ri и R2 оказыва- оказываются постоянными. Закон движения r(t) можно представить следу- следующим образом: r(t) = xie[ + х2е2 + х3е'3 + гь где координаты х\ = \\Ri + A2i22cos(Ri,R2), х2 = A2i?2sin(Ri,R2), x3 = А3 не зависят от времени. Пусть движение тела рассматривается в ортонормированном ре- репере ei, e2, ез с началом в точке О. Линейное преобразование Ах определим его действием над базисными векторами по формулам Aei = е'1} Ае2 = е2, Аез = е^. Тогда г - г' = xi Аех + х2Ае2 + х3Ае3 = A(xxei + х2е2 + х3е3) = Ах, где вектор г' = riB) есть радиус-вектор точки тела с известным зако- законом движения. Поскольку оператором А ортонормированный базис переводится в ортонормированный, то А — ортогональный оператор (см.теорему 1.1.2).О Линейный оператор А зависит от времени. Линейное преобразо- преобразование переводит множество X постоянных векторов х в множество векто- векторов, определяющих последовательные положения точек твердого те- тела в пространстве. Как следует из доказательства теоремы 2.3.1, множество X, оператор А и вектор г' будут разными в зависимости от выбора полюса в теле и базиса е^, е'2, е3, жестко связанного с телом. Этот произвол можно использовать для получения наиболее удобного вида преобразования. Например, если известно, что одна точка твердого тела неподвижно закреплена, то полезно за полюс в
84 Глава 2. Кинематика теле принять именно ее. Тогда вектор г' будет постоянным. Его мож- можно сделать равным нулю, если неподвижный полюс О совместить с этой точкой. Если какая-либо ось тела сохраняет постоянную ориентацию от- относительно базиса ei, е2, ез, то матрицу оператора А можно упро- упростить. С этой целью полюс надо взять на указанной оси, а ее еди- единичный вектор принять в качестве одного из базисных направлений, связанных с телом. Смысл коэффициентов матрицы оператора А виден из следующей таблицы. ei е2 ез ei an «21 «31 е'2 «12 «22 «32 е3 «13 «23 «33 По столбцам матрицы А стоят координаты связанных с телом векто- векторов e'l5 е2, е3, взятые в базисе ei, е2, е3, а по строкам — координаты векторов ei, е2, ез, взятые в базисе е'х, е2, е3. Пусть, например, вектор e'k сохраняет постоянную ориентацию в пространстве. Тогда fc-й столбец матрицы будет состоять из посто- постоянных элементов. Если дополнительно потребовать, чтобы ер =¦ ejj., то на пересечении k-го столбца и р-й строки должна стоять единица, а остальные элементы k-го столбца и р-й строки будут нулями. В результате матрица А будет содержать только четыре зависящих от времени элемента. § 2.4. Движение вокруг неподвижной точки Выше было показано, что закон движения конкретной точки твер- твердого тела можно представить в виде г@ = А(*)х + r'(i), где г — радиус-вектор точки, имеющий начало в полюсе О, r'(t) — вектор с началом в том же полюсе, один и тот же для всех точек тела, A(t) — зависящий от времени ортогональный линейный оператор, х — постоянный вектор с началом в полюсе О, конкретизирующий точку тела. Конец вектора х принадлежит постоянному множеству Л\ с которым изучаемое твердое тело можно совместить, не изменяя расстояний между его точками. В практических задачах множество X — так или иначе геометри- геометрически организованное ограниченное в пространстве Е3 множество то- точек. Вместе с тем преобразование, определенное оператором АB) и
2.4. Движение вокруг неподвижной точки 85 вектором г', формально можно применить к любой точке простран- пространства Е3 . В этом смысле условимся считать, что твердое тело совпа- совпадает со всем пространством Е3 , и будем говорить о движении трех- трехмерного пространства. Таким образом, каждому движению твердо- твердого тела можно сопоставить движение связанного с ним трехмерного пространства и, наоборот, каждому произвольному движению про- пространства можно сопоставить движение включенного в него твердого тела. Движение пространства Е3 есть композиция двух преобразова- преобразований. Первое из них обусловлено оператором А. Второе задает оди- одинаковое смещение всех точек пространства на вектор г'. Рассмотрим свойства первого преобразования: Оно состоит в применении ортогонального оператора А к векторному пространству R3. Множество таких операторов образует относитель- относительно их композиции группу, называемую группой 0C). Теорема 2.4.1. Существует инвариантная прямая, точки ко- которой при действии оператора А либо остаются на месте, либо зеркально отражаются. Доказательство. Если е — направляющий вектор такой пря- прямой, то мы должны иметь Ае = Ае, где А — действительное число. Другими словами, е — собственный вектор оператора А с собственным значением А. Для определения А служит характеристическое (вековое) уравнение det(A - \Е) = О, где А — матрица оператора А, Е — единичная матрица. Относитель- Относительно А это уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами. Оно имеет по крайней мере один вещественный корень Ао. Корню Ао отвечает хотя бы один собственный вектор е0. Для этого вектора, учитывая ортогональность оператора А, получим ©о • ео = Аео • Аео = Аоео • ео. Значит, Ао = ±1.О Следствие 2.4.1. Плоскость, проходящая через начало коорди- координат О перпендикулярно вектору ео, инвариантна относительно дей- действия оператора А.
86 Глава 2. Кинематика Выберем в пространстве R3 ортонормированный правоориентиро- правоориентированный базис ei, в2, ез так, чтобы ез = во- В этом базисе матрица А примет вид (аи an О а21 а22 О О 0 ±1 так как Ае3 = Аое3, Aei А. ез, Аег -L ез. Очевидно, что матрица А'=(ап \ ортогональна. Условие ортогональности этой матрицы приводит к системе трех уравнений аП + а21 = !> 011^12 + 021^22 = 0, п\2 + п\2 = 1. Поскольку а\х + а\х = 1, то существует такой угол ф> что Тогда а\2 = — sin ф, ail = cos ф или ai2 = sin ф, а22 = — cos ф. Следовательно, л, ( сояф —втф \ it ( cos<6 %\хаф \ А = . , . ] или А = [ . , 1 \ - \ втф cos0 ) \ sm0 — cos0 у Проанализируем действие оператора А для всех возможных сочета- сочетаний знаков величин det А и Ао- Вариант 1. det А = 1, Ао = 1. Матрица А однозначно принима- принимает вид (cos ф — sin ф О sin ф cos ф О О 0 1 При ф > 0 соответствующий ей оператор выполняет поворот вокруг вектора ез на угол ф против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора ез. Вариант 2. det Л = 1, Ло = — 1. Тогда имеем cos ф sin ф О sin ф — cos ф О 0 0-1
2.4. Движение вокруг неподвижной точки 87 Напишем характеристическое уравнение A + A)[-(cos2 ф - А2) - sin2 ф) = 0. Очевидны его решения: Ai = 1, А2 = — 1, A3 = Ао = — 1. Матрица А симметрична. Значит, ее собственные векторы взаимно перпенди- перпендикулярны. В базисе собственных векторов матрица А оператора А примет вид /10 0 i= I 0 -1 0 \ 0 0-1 Тем самым оператор А задает вращение на угол тг вокруг первого собственного вектора. Вариант 3. detA = — 1, Ао = 1. Для матрицы А получаем выражение (cos ф sin ф 0 sin ф — cos ф 0 0 0 1 Такая матрица получается вследствие композиции зеркального от- отражения относительно плоскости, натянутой на векторы ei, ез, и по- последующего поворота на угол ф вокруг вектора ез (исходная правая система координат меняется на левую). Вариант 4. det А = — 1, Ао = —1. В этом случае cos ф — sin ф 0 А — | sin ф cos ф 0 0 0-1 Эта матрица означает композицию поворота вокруг вектора ез и зер- зеркального отражения относительно плоскости, перпендикулярной век- вектору ез. Так же, как и в варианте 3, правая система координат ме- меняется на левую. Теорема 2.4.2. Ортогональные операторы, имеющие определи- определитель, равный единице, образуют в 0C) подгруппу. Доказательство. Пусть Ai, A2 — ортогональные операторы, причем det A\ = det Ai = 1. Матрица композиции операторов полу- получается как произведение матриц составляющих операторов. Имеем det А{ = det А% = 1 и det(Ax А2) = det Ax det A2 = 1.Q Подгруппа ортогональных операторов в 0C) с определителем, равным единице, называется группой 50C).
Глава 2. Кинематика Следствие 2.4.2. (Эйлер). Всякий оператор из 50C) имеет хотя бы одно собственное значение А = 1. В связи с этим группа 5ОC) состоит из вращений вокруг всевозможных прямых, проходя- проходящих через полюс О. Эти вращения сохраняют ориентированность троек базисных векторов. Следствие 2.4.3. Если действие ортогонального оператора в Е3 сохраняет ориентированность троек базисных векторов (отсут- (отсутствуют зеркальные отражения), то этот оператор принадлежит группе 50C). Доказательство. Действие операторов с определителем, равным — 1, проанализировано в вариантах 3 и 4. Оказалось, что такие опе- операторы всегда содержат зеркальные отражения. ? Определитель ортогонального оператора А непрерывно зависит от времени и, следовательно, при движении остается постоянным. Это означает, что репер, связанный с твердым телом, сохраняет свою ори- ориентированность. В начальный момент его всегда можно выбрать той же ориентированности, что и неподвижный репер. При этих услови- условиях определитель оператора А всегда будет равен +1. В дальнейшем ограничимся изучением действия операторов из группы 50C). § 2.5. Угловые координаты твердого тела Пусть в пространстве Е3 выбран ортонормированный правоори- правоориентированный базис ei, e2, ез. Рассмотрим движение твердого тела, определенное действием оператора А ? 50C): 3 3 Ах = 2^#,-Ае; = 22xiei ' ei ~ ^е«- »=1 1=1 Видим, что оператор А преобразует вектор х таким образом, что этот вектор в ортонормированном правоориентированном базисе е[ \ е^ , ез имеет те же координаты, что и в исходном. Тем самым оператор А осуществляет преобразование от базиса пространства к базису, связанному с твердым телом. Предположим, что А представляет собой композицию операторов А*1) и А<2): А = А*1) о А<2), причем Юе,, .'=1,2,3. Обозначим j^W i= 1,2,3.
2.5. Угловые координаты твердого тела Теорема 2.5.1. Оператор А 2 в композиции А = А^1) о А^2) пре- преобразует векторы е\ * в точности по тем же формулам, по каким он преобразует векторы е\, в2, ез пространства Е3. Доказательство. Применяя оператор А, найдем Ае, = <*> ^ ^J2 $4 Следствие 2.5.1. Столбцы матрицы оператора А^ суть ком- компоненты векторов е- конечного базиса, взятые относительно про- промежуточного базиса ер, е^ , е^ \ полученного в результате дей- действия оператора ^\ Пусть Во =(ei,e2,e3) исходный базис, в1 = (в11),41),41 промежуточный базис и конечный базис. Действие композиции А = А^1) о А^2^ можно пред- представить как следующую последовательность преобразований базисов: Bi = АA)В0, Bfc = A^Bi. Другими словами, сначала с помощью оператора А^1) осуществля- осуществляется переход от базиса Во к промежуточному базису Bi, а затем с помощью оператора А^2) выполняется переход от промежуточного ба- базиса Bi к конечному базису Вь Напомним, что матрица композиции линейных операторов равна произведению их матриц, взятых в том же порядке, в котором операторы участвуют в композиции. Пусть теперь указана последовательность ортонормированных ба- базисов B< = (e(i0,e<°.4°). *" = 0,1Д...Л и линейные операторы А^ перехода от одного базиса к другому: В^А^В^ь 1 = 1,...,*. Тогда оператор А, переводящий исходный базис Во в конечный базис Bfc, можно найти как композицию
90 Глава 2. Кинематика а матрицу оператора А — как произведение матриц составляющих операторов. Выясним теперь, какое минимальное число параметров требуется, чтобы однозначно определить положение твердого тела в простран- пространстве. Всякому оператору А Е 50C), взятому в конкретном ортонор- мированном базисе, отвечает ортогональная матрица «и «31 Условие ортогональности Ат А = Е приводит к шести уравнениям на коэффициенты сц,-: з если г ф j, ij = 1,2,3. Е Г 1, если t =j, apiapj = dij = < Q «—1 > ' Всего коэффициентов девять. Следовательно, имеется три свобод- свободных параметра, полностью определяющих действие ортогонального оператора в Еъ. Так как А ? 50C), то дополнительно должно быть выполнено условие detA = 1. Поскольку определитель ортогональ- ортогонального оператора равен 1 или — 1, последнее условие, не уменьшая чи- числа свободных параметров, сужает множество, которому они могут принадлежать. Три параметра, однозначно определяющие оператор А Е 50C), могут быть выбраны различными способами. Укажем один из наибо- наиболее распространенных. Пусть требуется найти параметры оператора А, действие которого состоит в том, что (к) (к) А (к) А ey = Ae2 eK3 > = Ае3, где е\\ &2 , eg — заданный произвольный ортонормированный правоориентированный базис. Пусть сначала е^ ф ез. Построим промежуточные базисы Оба базиса, как нетрудно видеть, — правоориентированные. Переход от базиса ei, ег, ез к базису е\*, е^ , е^ можно представить в виде последовательности
2.5. Угловые координаты твердого тела 91 Преобразование от базиса В2 к базису В* оставляет неподвижным вектор eg . Матрица А^ описывает поворот вокруг вектора вд . Угол этого поворота обозначим <р и назовем углом собственного вра- вращения. Матрица оператора А^3) имеет вид (cos у? — sin у? О sin <p cos у? О О 0 1 Переход от базиса Bi к базису Вг оставляет неподвижным вектор е\\ Матрица А^ описывает поворот вокруг вектора е^ . Угол этого поворота обозначим # и назовем углом нутации. Матрица оператора А^2) имеет вид A О О О cost? -sin г? О sin 1? cos t? Переход от базиса Во к базису Bi оставляет неподвижным вектор ез- Матрица А^ описывает поворот вокруг вектора ез. Угол этого поворота обозначим ф и назовем углом прецессии. Матрица операто- оператора А^1) имеет вид cos ф — sin ф О = | sin^ cos^ О О 0 1 Оператор А есть композиция операторов: А = А^1^ о а его матрица вычисляется как произведение матриц: А= Углы ф, г?, <р носят название углов Эйлера. Теорема 2.5.2. Существуют углы Эйлера, задающие произволь- произвольное положение твердого тела относительно базиса Во. Доказательство. Если е^ ф ез, то справедливость теоремы следует из определения углов Эйлера. Если е^ = ез, то базис Вг не определен. Его можно тогда принять совпадающим с базисом Bi. Будем иметь д = 0. Получим композицию А = А^1) о А^3), которую можно заменить одним поворотом на угол <р + ф вокруг вектора ез.П Рис. 2.5.1 иллюстрирует последовательность поворотов при ис- использовании углов Эйлера. Сначала происходит поворот на угол прецессии ф вокруг вектора е3, и базис Во переходит в базис (е(Д 4°, ез).
92 Глава 2. Кинематика Затем выполняется поворот на угол нутации г? вокруг вектора е^ и базис переходит в & е „(*) )¦ Наконец, поворот на угол собственного вращения <р переводит базис (е(Д е<2\ ef) в базис Bfc, жестко связанный с телом. Прямая с направляющим A) ^Л вектором е\ , проходящая через точку С/, называется линией узлов. Углы Эйлера задают последо- последовательность вращений: снача- сначала на угол прецессии ф вокруг оси ез, затем на угол нута- ции д вокруг повернутого на угол ф положения первой оси и, наконец, на угол собствен- собственного вращения <р вокруг нового положения третьей координат- координатной оси, получившегося после первых двух поворотов. Рис. 2.5.1. Углы Эйлера Представляет интерес аналогия углов Эйлера ф и г? полярным координатам точки на плоскости. Концы единичных векторов при- принадлежат сфере единичного радиуса с центром в точке О . На рис. 2.5.2 условно изображена такая единичная сфера. Положение кон- конца вектора е^ ^ на ней фиксируется следующим образом. Углом ф задается положение дуги большого круга, плоскость которого про- проходит через вектор ез и содержит вектор е^ . Положение вектора eg в этой плоскости задается углом нутации г?. Угол ф аналогичен полярному углу, а угол $ — полярному радиусу. Углы Эйлера доставляют минимальный набор координат, опреде- определяющих положение твердого тела. Когда они заданы, матрица опе- оператора А вычисляется однозначно. Обратное неверно. Одному и тому же оператору А отвечает множество наборов углов Эйлера, так как каждый из углов может быть найден с точностью до слагаемого, кратного 2тг. Чтобы избавиться от этого неудобства, следует учесть,
2.5. Угловые координаты твердого тела 93 Дуга большого круга между точка- точками пересечения осей ез и 4 со сфе- сферой отвечает углу нутации и ана- аналогична полярному радиусу. Угол прецессии задает вращение этой ду- дуги вокруг вектора е3 и аналогичен полярному углу. Угол собственно- собственного вращения осуществляется вокруг оси 4 , и к отмеченной аналогии от- отношения не имеет. Рис. 2.5.2. Аналогия углов Эйлера полярным координатам по возможности, дополнительную информацию о том, как тело по- попало в заданное положение. В частности, если известно, например, что углы ф, *?, <р не превосходят 2тг и д ф О, то соответствие между оператором А и углами Эйлера будет взаимно однозначным. Вместе с тем если д = 0, то по матрице А можно восстановить только сумму ф + (р и мы имеем случай существенного вырождения. Приведем еще один способ введения угловых координат, иногда бо- более удобный, чем способ Эйлера, поскольку он позволяет исключить вырождение при 4 = ез- Пусть, как и прежде, действие оператора А состоит в том, что Выберем следующую последовательность промежуточных базисов: B) _ Dfc) ei = eQ x 4fc) Л*) i4fc) i4fc)xei| Ч' = e2 ~" e2 ' Переход от базиса В2 к базису В* оставляет неподвижным вектор 4 • Соответствующий оператор А^3^ задает поворот вокруг векто- вектора 4 • Угол этого поворота обозначим у. Матрица оператора имеет вид (cos 7 — sin 7 О sin 7 cos 7 О О 0 1 Переход от базиса Bi к базису Вг оставляет неподвижным вектор 4 • Оператор А^2) задает поворот вокруг вектора 4 . Угол этого
Глава 2. Кинематика поворота обозначим /3. Матрица оператора A.W имеет вид (cos/? О sin/? О 1 О -sin/? О cos/? Переход от базиса Во к базису Bi оставляет неподвижным вектор ei. Оператор А^1^ задает поворот вокруг вектора ei. Угол этого поворота обозначим а. Матрица оператора А^1) имеет вид A О О О cos a — sin а О sin а cos а Таким образом, оператор А можно выразить с помощью композиции операторов, отличных от операторов, получающихся при использо- использовании углов Эйлера. Углы а, /?, у называются кардановыми углами (иногда углами Брайнта). Они задают последовательность промежу- промежуточных базисов путем поворотов вокруг каждой из трех координат- координатных осей в указанном порядке. Для кардановых углов возможны различные варианты. Примером могут служить углы Крылова, ко- когда последовательность промежуточных базисов получается посред- посредством поворотов сначала вокруг второй неподвижной оси (тангаж, килевая качка), затем вокруг получившегося положения первой оси (крен, боковая качка) и, наконец, вокруг получившегося после пер- первых двух поворотов положения третьей оси (рыскание). Углы Кры- Крылова (их еще иначе называют корабельными углами) или им подобные (например, самолетные углы) часто используются при исследовании движения кораблей, самолетов и других управляемых движущихся объектов. При этом вектор е^ ' выбирается по направлению продоль- продольной оси объекта, а ось ei близка к среднему направлению движения вдоль продольной оси. Теорема 2.5.3. Существуют кардановы углы, задающие произ- произвольное положение твердого тела относительно базиса ei, ег, ез. Доказательство. Если е^ Ф ei, то справедливость утвер- утверждения теоремы следует из определения кардановых углов. Если eij = ei, то базис Вг не определен. Вектор е\ ' можно тогда принять произвольным в плоскости (в2,ез). В частности, его можно взять со- совпадающим с ег. Тогда будем иметь а = 0. Оператор А окажется композицией А = А^2) о }SZ\ которая означает сначала поворот на
2.5. Угловые координаты твердого тела 95 угол 0 = тг/2 вокруг неподвижной оси e2 и поворот на угол у вокруг оси eg , совпадающей с осью ei.D Рис. 2.5.3 иллюстрирует последовательность поворотов при ис- использовании кардановых углов. Сначала происходит поворот вокруг оси ei на угол а, и базис Во переходит в базис Затем поворот на угол 0 вокруг вектора е^ переводит базис в базис Наконец, поворот на угол 7 переводит базис в базис В*. a В отличие от углов Эйлера кардано- вы углы определяют угловое поло- положение репера, жестко связанного с твердым телом, последовательными поворотами сначала вокруг первой неподвижной координатной оси, за- затем вокруг образа второй координат- координатной оси, получившегося после перво- первого поворота, и затем вокруг образа третьей координатной оси, получив- получившегося после первых двух поворотов. Рис. 2.5.3. Кардановы углы Как видно из доказательства теоремы 2.5.3, введение кардановых углов переносит особенность в те положения твердого тела, для ко- которых вз = ei. Вообще появление особенности при использовании минимального набора угловых координат неизбежно и связано с тем, что при поворотах концы базисных векторов описывают дуги большо- большого круга. На сфере же любые две окружности большого круга имеют пересечение.
96 Глава 2. Кинематика Использование углов Эйлера или кардановых углов не встреча- встречает принципиальных затруднений, когда углы элементарных поворо- поворотов задаются в зависимости от времени и требуется указать, в ка- какое положение переходит твердое тело. Однако необходимость вы- вычисления тригонометрических функций этих углов делает расчеты по определению матрицы оператора поворота не всегда эффективны- эффективными. В ряде задач предпочтительным оказывается описание углового движения твердого тела с помощью параметров Эйлера, параметров Кэли-Клейна или кватернионов. § 2.6. Параметры Эйлера Рассмотрим переход твердого тела из одного фиксированного по- положения в другое произвольное фиксированное положение, сохраня- сохраняющий неподвижной некоторую точку О тела. Такое движение со- согласно следствию 2.4.2 может быть представлено как конечный по- поворот тела на некоторый угол а вокруг оси с единичным вектором е собственного направления соответствующего оператора А. Пусть из конца вектора е угол а виден происходящим против хода часовой стрелки. Как и прежде обозначим х радиус-вектор точки твердого те- тела в его исходном положении, а г — радиус-вектор той же точки тела, получившийся в результате указанного перехода. Радиусы-векторы х и г имеют начало в неподвижной точке О. Построим преобразова- преобразование х —> г. Теорема 2.6.1. Преобразование вращения абсолютно твердого тела вокруг оси с направляющим вектором е на угол а выражается формулой r = x + 2qo(<x х х) -f 2(а х (а х х)), где скаляр qo = cos(a/2) и вектор а = esin(a/2). Доказательство. Пусть сначала вектор х и вектор е неколли- неарны. Составим правоориентированный репер Ое\ 'е^ е^ следу- следующим образом: A) _ е х (х х е) A) __ е х х (i) __ Gi — | | , eo —— * -, Co ^— e. 1 |e x x| z |e x x| в этом репере рассматриваемое преобразование имеет вид г = е(е • х) + |е х x|(ej cos a + е^ sin a), где первый член есть составляющая вектора х, направленная вдоль вектора е и не меняющаяся при вращении вокруг этого вектора. Вто- Второй член задает преобразование вращения на угол а в плоскости,
2.6. Параметры Эйлера 97 перпендикулярной вектору е. Учтем выражения для векторов е^ ' и еB1}: г = е(е • х) + (е х х) sin a + е х (х х е) cos a. Преобразуем двойное векторное произведение е х (е х х) = е(е • х) — х или е(е • х) = х 4- е х (е х х). Теперь получим г = х 4- 2 cos(a/2) sin(a/2)(e х х) + е х (е х х)A — cos a). Отсюда и следует доказываемая формула. Заметим, что она спра- справедлива и в том случае, когда векторы е и х коллинеарны.П Разложим вектор а теоремы 2.6.1 по базисным векторам непо- неподвижного репера Определение 2.6.1. Скалярные величины go, 0i, 02, 0з, опреде- определяющие преобразование вращения в соответствии с теоремой 2.6.1, называются параметрами Эйлера. Очевидно, что параметры Эйлера удовлетворяют условию 00 + 01+02+03 = 1- Согласно следствию 2.4.2 параметры Эйлера существуют для лю- любого оператора А Е 50C). Теорема 2.6.2. Зависимость компонент a,j матрицы операто- оператора A G 50C) от параметров Эйлера дается формулами ап = 2(?о 4- q\) - 1, а12 = 0003), <*22 = 2(?о + 02) ~ 1> а23 = 2(?203 ~ 0O0l), - 0002), «32 = 2(^203 + 0o0i), 033 = 2(ql + ql) - 1. Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно проверить, во что переходят базисные векторы е^ при рас- рассматриваемом преобразовании. Применяя теорему 2.6.1, найдем e'j = ej + 2qo(a. x ej) + 2(a x (a x ej)). 7- 1503
98 Глава 2. Кинематика Учтем, что (olx(olx ej)) = a(a • е,) - и рассмотрим скалярные произведения aij = e,-ej- = e,-ej(l - 2а2) + 2q0OL • (ej x e*) + Но а2 = q\ + q% + 9з = 1 — tfo- Пусть теперь г = j. Очевидно, что тогда пц = 2(g2 -f g2) ~ 1» и мы получаем все диагональные члены матрицы А. В том случае, когда г'¦ ф j, будем иметь «ti = ЩгЧз + 9о<* • (ej х е,)). Перебирая последовательно индексы, найдем остальные члены иско- искомой матрицы. В частности, пусть i = 1, j = 2. Имеем е2 х ei = —ез, и, следовательно, a\2 = Следствие 2.6.1. Яа основании теоремы 2.6.2 заключаем, что матрица всякого оператора А 6 50C) может быть представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц: \ О -^ 0 ~ \ где 9о, 9ь 92, 9з — параметры Эйлера. Сформулируем правило вычисления параметров Эйлера 9о> 9ь 92, qs по заданным компонентам apk матрицы А. Теорема 2.6.3. Пусть А — (apk) — матрица оператора А из 50C). Тогда параметры Эйлера qo, q\, q^, q% можно найти с помо- помощью одной из следующих систем уравнений 49о = 1 49o9i = 49о92 = 49о9з = / «32 «13 «21 рАфО - Л23 — «31 — «12 9о 29 29 29 II = 0 2 = 1 + а 192 = «12 19з = «13 и ф 0 = 021 = «31 90 = 0 91 = 0 292 = 29293 = III ^ + «22 = «23 = 7*0 «32 IV 9о = 0 91 = 0 92 = 0 9з = 1 Номер применяемой системы совпадает с номером первого отлич- отличного от нуля коэффициента в упорядоченном наборе (9о,9ь92,9з)- Доказательство. Вычислим след матрицы Л, используя теорему 2.6.2: " 1] = Qql ~ 3 2 ? qf =
2.6. Параметры Эйлера 99 так как q% + q\ + q\ + <?з = 1 по определению параметров Эйлера. Отсюда Aql = 1 + ац + а22 + азз- Если окажется, что до ^ 0, то, учитывая данные теоремой 2.6.2 вы- выражения для apk, р ф к, через параметры qo, <7ь <?2, <7з, получаем систему уравнений I. Пусть qo = 0. Тогда, применив следствие 2.6.1, заключаем, что матрица А симметричная. Коэффициент пц выражается формулой Отсюда можно найти q\. Если q\ ф 0, то получаем систему II. Если qi = 0, то применим уравнение позволяющее в этом случае найти (j2- При q2 ф 0 имеем систему III. При #2 — 0 получим систему IV.? Заметим, что каждая система уравнений теоремы 2.6.3 имеет ров- ровно два решения, противоположных по знаку. Оба решения отве- отвечают, как и следовало ожидать, вращению твердого тела на углы a + 2тгп, п G Z. Все эти углы дают одно и то же положение твердо- твердого тела в пространстве. Пример 2.6.1. Пусть матрица оператора А задается углами Эй- Эйлера Ф, $, <р, так что А — А-фА^А^. Коэффициенты ар& матрицы А выражаются формулами (ц 1 = cos ф cos <p — sin ф cos i? sin 9?, a\2 = — cos ф sin 9? — sin ф cos 1? cos 9?, 013 = sin ^ sin 1^, a2i = sin ф cos <?> + cos ^ cos 1? sin <p, a22 = — sin ф sin <?> -f cos ф cos 1? cos 9?, CI23 = — cos ф sin 1?, a3i = sini?sin<?>, 032 = sini?cos<?>, a33 = cos 1?. Для расчета параметров go. tfi. 92. <7з воспользуемся теоремой 2.6.3. Вы- Вычислим 4(Jo = 1 + an + «22 + азз- Подставим значения коэффициентов: 2 2^2 <?+ V> Яо = cos 2 cos —у~' Пусть qo ф 0. Применяя формулы случая I теоремы 2.6.3, найдем qoqi = cos - sin ~ cos —у- cos 7*
100 Глава 2. Кинематика i? . i? Ф + ф . Ф- ф q0q2 = - cos - sin - cos —— sin —2—, 2 р ф f p 9093 = cos - cos —^— sin —^-. В результате имеем два решения. д ф + ф . д <р- ф 1) 90 = cos-cos—у—, qi= sin - cos ^ , = ~ Sin ~ SHI——, 93= COS - Sin l?y? + ^ . д (р-ф 2) «о = - cos - cos 2 , 91 = - sin - cos 2 , , д . ш-ф д . Ф+ф 92= sin - sin —g—» 9з =-cos-sin—y—. Параметр 9о принимает нулевое значение, когда либо cos(i?/2) = 0, либо cos([<?> + ф]/2) = 0, либо оба эти сомножителя вместе равны нулю. Вариант 1: cos(i?/2) = 0, cos([y? + ф]/2) ф 0. Тогда q0 = 0 и матрица А примет вид os(^ — ф) sin(^ - ф) 0 А = ( sin(^ — у?) — cos(^> — у?) 0 0 0 1 Вычислим 29i = 1 + аи = 1 + cos(^> — (р). Предположим, что q\ ф 0. Имеет место случай II теоремы 2.6.3, для которого 9 5 Ф ~ <Р . Ф — Ф Ф ~ Ф Яо = 0, q{ = cos^ , 9192 = sin cos —-—, 9193 = 0. Отсюда получаем решения: 1) 9о = 0, 91 = - cos 2 , 92 = - sin 2 , 9з = 0, ф — <р ф — (р 2) 9о = 0, 9i = cos 2 , 92 = sin g , 93 = 0. Когда 9i = 0, то формулы случая III теоремы 2.6.3 дают 9о = 0, 91 = 0, 92 = !» 9з = 0.
2.6. Параметры Эйлера 101 Вариант 2: cos(i?/2) ф 0, cos([y? + ф]/2) = 0. Имеем 9о = 0,- а коэффициенты арк матрицы А примут вид аи = — cos2 ф — sin2 ф cosi?, а\2 — ъ\пф cosф(со$д — 1), ai3 = sin V> sin д, п2\ — sin ^ cos ^(cos д — 1), ci22 = — sin2 ^ — cos2 ф cos i?, «23 = — cos ф sin d, аз1 = sin ф sin i?, a32 = — cos^sintf, a33 = cosi^. Здесь учтено, что cos<?> = —собФ и sin<?> = sin^. Матрица А оказыва- оказывается симметричной (см. следствие 2.6.1). Имеем 2^1 = 1 + an = 1 - cos2 ф - sin2 ф cos д - sin2 ^A - cos д). Пусть (ji ^ 0. Тогда в соответствии со случаем II теоремы 2.6.3 найдем л 2 • 2 / • 2^ d д д ^fO = O ^i=sinVsin — —, qiq2 — —sin^cos^sin —, ^i^3 = sin^sin—cos —. z z z z Это дает решения: 1) 9o = 0, ^i = - sin ^ sin-, q2- cos^sin-, ^3 = -cos-, 2) Qo - 0, ^i= sin^sin-, 92 = -cos^sin-, 93= cos^- Предположим, что qo = 0 и 91 = 0. Тогда либо sin^ = 0, либо 1 — cos i? = 0, либо одновременно sin^ = 0 и 1 — cosi? = 0. Пусть сначала sin^ = 0, а 1 — cost? ф 0. Матрица А принимает вид -10 0 А = | 0 - cos tf - sin 1? 0 — sin 1? cos 1? и получаются решения (случай III теоремы 2.6.3): 1) 9о = 0, 9i=0, 92= sin-, 93 =-cos-, 2) 9o = 0, 9i=0, 92 =-sin-, 93= cos-.
102 Глава 2. Кинематика Если 1 — cosi? = 0, то при любом значении ф матрица А имеет вид что соответствует случаю IV теоремы 2.6.3. Вариант 3: cosi?/2 = 0, cos([<?>+ ф]/2) = 0. В этом случае (- cos 2ф - sin 2ф 0 — sin 2ф cos 2ф 0 0 0-1 Теорема 2.6.3 дает следующие решения* 2) до = 0, (ji = sin^, q2 = — соъф, <?з = 0. Тем самым пример 2.6.1 полностью разобран.О Теорема 2.6.3 решает задачу о вычислении параметров Эйлера по заданным элементам матрицы А в общем случае. При изменении расчетных формул, связанном с переходом от варианта к варианту, всегда может быть обеспечен непрерывный переход от одного типа решения к другому (см. пример 2.6.1). § 2.7. Параметры Кэли-Клёйна Рассмотрим движение твердого тела, имеющего в репере одну неподвижную точку, совпадающую с точкой О: з з г = Ах, А е 50C), г = ' Векторам г и х поставим в соответствие комплексные матрицы р = ( «>i r2 + ir3 \ р - Такое соответствие взаимно однозначно. Определение 2.7.1. Пусть D — матрица с комплексными ком- компонентами. Сопряженной к ней называется матрица
2.7. Параметры Кэли-Клёйна 103 где черта сверху означает переход к комплексно сопряженным ком- компонентам. Матрица D называется эрмитовой (самосопряженной), если D* = D, и косоэрмитовой, если D* = — D. Очевидно, что Р* = —Рг и Р* — —Рх, т.е. матрицы Рг и Рх ока- оказываются косоэрмитовыми. Кроме того, след этих матриц (сумма их диагональных элементов) равен нулю. Всякую косоэрмитову матри- матрицу Р с равным нулю следом можно представить в виде суммы где pi, р2> Рз — действительные числа, Р\, р2, рз — спиновые матрицы Паули: О 1 \ ( О -I \ МО 1 оj • р2 = { г о)' рз = v о -1 Матрицы <7i, <т2, 0з вместе с единичной матрицей линейно независимы. Используя правило умножения матриц, можно убедиться, что Определение 2.7.2. Матрица с комплексными компонентами а /? 7 <5 называется унитарной, если Q^Q — Е. Свойство унитарности аналогично свойству ортогональности дей- действительных матриц. Если матрица Q унитарна, то Тем самым модуль определителя унитарной матрицы равен 1. При этом на аргумент определителя не накладывается никакого ограни- ограничения. Рассмотрим свойства коэффициентов унитарных матриц Q, для которых
104 Глава 2. Кинематика По отношению к унитарным матрицам это — дополнительное требо- требование. Матрица Q содержит восемь действительных параметров, так как каждый из ее четырех элементов есть комплексное число. Раскроем условие унитарности: а у \ / a 0 \ _ { 1 0 ~0 ~6 )\у 6 ) " V 0 1 Выполнив умножение матриц, найдем уравнения 6 = 0, 0'0 + 66=1. Видим, что третье уравнение есть следствие второго. Первое и че- четвертое уравнения — действительные. Второе уравнение — ком- комплексное. Из него следует: 0/6 = —у/а. С помощью этого соот- соотношения преобразуем выражение для детерминанта: аб — 0у = (а — 0у/6N = (а + уу/аN = (аа + ууN/а = 1. Согласно первому уравнению величина, стоящая в скобках, равна единице. Следовательно, 6 = а и 0 = —у. Унитарная матрица Q принимает вид а 0 «Ч-М Компоненты а и 0 подчиняются условию det Q = аа + ~00 = 1. Из-за этого условия матрица Q содержит только три независимые величины. Как раз ровно столько, сколько нужно для определения ориентации твердого тела в трехмерном пространстве. Теорема 2.7.1. Унитарные матрицы Q такие, что det Q = 1, образуют группу относительно операции умножения. Доказательство. Роль единицы играет матрица ?*, так как она унитарна. Пусть матрицы Q\ и Q2 удовлетворяют условиям Q\Qx = E, Q*2Q2 = Е, det Qi = 1, det Q2 = 1. Покажем, что матрица Q — Q\Q2 удовлетворяет тем же условиям. В самом деле, Q* = Q2Q\- Следовательно, Q*Q = QIQIQ1Q2 = QIQ2 = я,
2.7. Параметры Кэли-Клёйна 105 det(QiQ2) = det Qx det Q2 = 1.П Определение 2.7.З. Группа унитарных матриц B х 2) с опреде- определителем, равным единице, называется группой SUB). Рассмотрим преобразование Рх —> Р, обусловленное матрицей Q e SUB): P = QPXQ*. При таком преобразовании матрица Р, как и РХ1 будет косоэрмито- вой: р* = (q*)*p;q* = q(-px)q* = -p Кроме того, Q* = Q~l. Поэтому рассматриваемое преобразование сохраняет все собственные значения, а следовательно, сохраняет и след. Значит, Р имеет след, равный нулю. Отсюда Далее, рассматриваемое преобразование сохраняет детерминант: det Р = р\ + р\ + pi = det Px= х Тем самым длина вектора в i?3, соответствующего матрице РХу совпа- совпадает с длиной вектора в Я3, соответствующего матрице Р. Другими словами, каждой матрице Q ? 5GB) можно поставить в соответствие некоторый ортогональный оператор А ? 50C), действующий в про- пространстве Е3. Установим закон этого соответствия. Пусть где (Tj — базисные косоэрмитовы матрицы. Тогда з Матрицы <jj — косоэрмитовы со следом, равным нулю. Значит, та- такими же будут и матрицы QotjQ*, j = 1,2, 3. Они, как и матрица Р, представляются в виде разложения по матрицам aj с действитель- действительными коэффициентами:
106 Глава 2. Кинематика Коэффициенты a,kj можно вычислить, зная компоненты а, /3, у, 6 матрицы Q. Отождествим Р и Рг. Сравнивая коэффициенты в вы- выражении Рг = QP*Q* при базисных косоэрмитовых матрицах, найдем з Тем самым коэффициенты a,kj суть компоненты искомой ортогональ- ортогональной матрицы оператора А. Видим, что матрицы <ту, будучи базисными для матриц Р, пре- преобразуются так же, как векторы репера, жестко связанного с твер- твердым телом. Определение 2.7.4. Компоненты а, /?, у, 6 матрицы Q ? 5GB): 7 = —/?, <5 = a, aa + C/3 = 1, называются параметрами Кэли-Клейна. Параметры Кэли-Клейна могут служить для определения ориен- ориентации твердого тела. Теорема 2.7.2. Пусть оператору Ai 6 50C) отвечает матри- матрица Qi e SUB), а оператору А2 € 50C) отвечает Q2 в SUB). Тогда композиции преобразований А\ о Аг соответствует матрица Q = Q1Q2 e Stf B). Доказательство. Сначала применим оператор А2: f = A2X. Это преобразование по условию теоремы можно описать формулой Рг = Q2P*Q*2- Применим теперь к вектору f оператор Ai: r = Aif. Тогда Подставляя выражение для матрицы Рг, получим Рг = QiQ2PxQ*2Ql Но (Q1Q2)* = Q2Q1 и произведение двух унитарных матриц есть также унитарная матрица. Поэтому матрица преобразования, полу- получающегося в результате композиции, имеет вид Q = Q\Q2.E Установим соответствие между параметрами Кэли-Клейна и па- параметрами Эйлера. Пусть
2.7. Параметры Кэли-Клёйна 107 где а, Ь, а х Ь, а х (Ь х с) — векторы трехмерного пространства, а Ра, Рь, Р[а,ъ), ^[а,[б,с]] — их образы в пространстве комплексных косоэрмитовых B х 2) матриц. Теорема 2.7.3. Справедливы формулы PaPb = Р[а%Ь\ - (а • Ъ)Е, Р[аМ = \(PaPb " ftfi»), (а • Ь)Е = ~\{РаРь + РъРа), Р[а,[ь,с]] = П(а . с) - Рс(а . Ь). Доказательство. Как следует из определения, базисные косоэр- митовы матрицы <г\, <Т2, сг3, имеющие различные индексы, умножа- умножаются по правилам векторного произведения базисных векторов про- пространства Я3. Произведение указанных матриц с совпадающими ин- индексами равно единичной матрице, взятой с обратным знаком (см. стр.103). Произведение РаРь можно представить в виде РаРь = (а\<т\ 4- «2^2 4- азGз)(Ь\(Т\ 4- 62^2 4- После перемножения всех матриц <тг- с разными индексами объединен- объединенные коэффициенты при матрицах <Г{ будут совпадать с компонентами соответствующего векторного произведения. Перемножение базис- базисных матриц с одинаковыми индексами дает —(aiti 4-(X2^2 4-азЬз)^- В итоге получается первая формула утверждения теоремы. Очевидно, что РьРа = Р[М] - ?(а • Ь) = -Р[аМ - (а • Ъ)Е. Вычитая эту формулу из первой формулы утверждения теоремы, по- получим вторую формулу, а складывая, получим третью формулу. Че- Четвертая формула есть очевидное следствие известной формулы для двойного векторного произведения.? Теорема 2.7А. Пусть Q 6 SUB). Тогда параметры Эйлера суть коэффициенты разложения Q - qoE + qi<r\ + №1 4- дз^з- Доказательство. Согласно определению 2.7.4 всякую матрицу Q G SUB) можно представить в виде Q = q0E -h qia-i 4- ^2^2 4- причем detQ = q% + ql + q% + q% = 1. Пусть Ра = q\<r\ 4- ^2^2 4- Очевидно, что Q = q^E + Pa и справедливо соответствие Ра^а так что a = gxei 4- ^2 4-
108 Глава 2. Кинематика Рассмотрим преобразование Pr = QPXQ* = (qoE + PQ)Px(qoE - PQ) = В соответствии с теоремой 2.7.3 имеем Кроме того, Р[а,[х,а)] = PxOL2 - PQ(OL • х) -* Ра(<* • х) = РХО? - Р[ау[х,а]]- Учитывая сказанное, окончательно получим Рг = QPXQ* = Рх + 2дО^а,г] 4" Ща,[а,хЛ. Эта формула означает в точности такое же преобразование, какое по- получается с помощью параметров Эйлера в теореме 2.6.1. Чтобы убе- убедится в этом, достаточно воспользоваться изоморфизмом простран- пространства косоэрмитовых матриц и пространства Д3.П Следствие 2.7.1. Параметры Кэли-Клейна выражаются через параметры Эйлера посредством следующих формул (см. определе- определение 2.7.4) Следствие 2.7.2. Произвольному оператору А ? 50C) соот- соответствует матрица Q ? SUB), описывающая то же самое дви- движение твердого тела, что и А. Доказательство следует из теоремы 2.6.3, которая устанавлива- устанавливает правило вычисления параметров Эйлера для произвольной орто- ортогональной матрицы Л.О Теорема 2.7.5. Пусть движение твердого тела с фиксирован- фиксированной точкой определено углами Эйлера ф, д, <р. Соответствующая матрица Q E SUB) выражается формулой Q = QtpQ^Q^, где ф . ф Qxi) ~ E cos — 4* &з sin тг ? 2 2 Qtf = E cos — -f (T\ sin —, Qto = Е cos —- ¦
2.7. Параметры Кэли-Клёйна 109 Доказательство. С помощью углов Эйлера движение предста- представляется в виде композиции преобразований вспомогательных бази- базисов. Сначала происходит поворот исходного репера на угол прецессии ф вокруг третьей координатной оси. Этот поворот (см. определение 2.6.1) задается набором параметров Эйлера: go = cos(V>/2), q\ = 0, q2 = 0, <?з = ьт(ф/2). Согласно теореме 2.7.4 получаем формулу для матрицы Qip, описывающей поворот на угол прецессии. Следующим происходит поворот на угол нутации д вокруг пер- первой координатной оси. Для него параметры Эйлера имеют вид go = cos(tf/2), Ч\ = sin(tf/2), Я2 = 0, дз = 0. Отсюда получается формула для матрицы Q#, задающей вращение по углу нутации. Завершает композицию вращение на угол ф вокруг третьей ко- координатной оси. Доказываемая формула для матрицы Q^ вполне аналогична формуле для матрицы Q^. Согласно теореме 2.7.2 композиции преобразований соответствует произведение матриц составляющих преобразований, взятых в поряд- порядке преобразований вспомогательных базисов.D Пример 2.7.1. Найдем формулы для параметров Эйлера, исполь- используя теорему 2.7.5. Выполнив умножение биномов / ф ф\ ( д tf\ / ф ф\ Q- ( Еcos - -f <тзsin — 1 ( Еcos - + <т\sin - J \Ecos — + &зsin — J с использованием правил умножения матриц <тг, г = 1,2,3 (см. стр. 103), получим tf ф-\<р . д ф-Ф . д . ф-Ф д . ф+Ф Q=Ecos - cos —— +сгг sin - cos — h72sin - sm — hr3 cos - sin ——. Как и следовало ожидать, коэффициенты разложения матрицы Q по матрицам Е, <j\, a2i сг3 совпадают с выражениями первого решения для параметров Эйлера, найденными в примере 2.6.1 для случая до Ф 0. Второе решение получится, если ко всем эйлеровым углам прибавить 2тг. Следствие 2.7.3. Пусть движение твердого тела задано с по- помощью кардановых углов а, /?, у. Тогда Q ? SUB) выражается формулой Q = QaQpQ-y, где ос а Qa = ? cos--+ <ti sin- Qp = Ecos- + G2sin-, Q1 - E cos - -f <тз sin -.
110 Глава 2. Кинематика Отметим, что если Q ? SUB) отвечает некоторому оператору А Е 5ОC), то матрица — Q дает тот же оператор. Поэтому при- присутствие половинных углов Эйлера в выражениях для параметров Кэли-Клейна вполне естественно. Имеем взаимно однозначное соот- соответствие между одним оператором из 50C) и парой матриц (Q, — Q) из SUB). Можно сказать, что Q есть двузначная функция операто- операторов из SOC). Для того, чтобы установить соответствие между параметрами Кэли-Клейна и элементами матрицы Л, совсем не обязательно снача- сначала определять углы Эйлера или какие-либо другие угловые коорди- координаты. Используя изоморфизм, отмеченный в следствии 2.7.1, можно непосредственно применить теоремы 2.6.2 и 2.6.3. § 2.8. Кватернионы Множество кватернионов — это пространство Н линейных ком- комбинаций вида h = а 4- Ь\ 4- cj 4- cfk, где а, 6, с, d — действительные числа, i, j, k — некоторые линей- линейно независимые символы. В пространстве И вводится билинейное умножение по правилу ioj =-joi = k, jok=-koj = i, koi = -iok=j, i2=j2=k2 = -l. Принимается, что кватернионы, у которых 6 = с = d = 0, коммути- коммутируют при умножении со всеми остальными кватернионами. Сопоставим каждому кватерниону h унитарную матрицу Q(h), по- полагая о, 4" bi с 4* di где г — мнимая единица. Очевидно, что если имеются два кватерни- кватерниона hi и Ii2, то Q(hi -f Ьг) = Q(hi) + Q(li2). В связи с этим <2(h) = аЕ -f Ьст\ 4- сст2 4- так как (см. стр. 103) Q(i) = Тем самым установлен изоморфизм пространств унитарных матриц и кватернионов.
2.8. Кватернионы 111 Лемма 2.8.1. Пусть hi u I12 — два кватерниона. Тогда спра- справедливо равенство h2) = Q(h1)Q(h2). Доказательство. Легко видеть, что Q(j)Q(k) = -Q(k)Q(j) = (т^з = <П = Q(i), (i) = -Q(i)Q(k) = «73.7! = G2 = Таким образом, матрицы Q(i), Q(j), Q(k) при умножении подчиняют- подчиняются тем же правилам, что и соответствующие им кватернионы. Зависи- Зависимость же между матрицами Q и кватернионами взаимно однозначна и линейна. D Пусть задан кватернион h = а + 6i + cj + dk. Сопряжённым к нему называется кватернион h = а — 6i — cj — dk. Теорема 2.8.1. Справедливы равенства (hi 4" I12) = hi 4" 1*2, hi о Ii2 = I12 о hi. Доказательство. Первое равенство с очевидностью следует из определения кватерниона. Для доказательства второго равенства за- заметим, что Q(h) = Q*(h), и воспользуемся взаимно однозначным со- соответствием элементов пространства UB) и кватернионов: о h2) =Q*(hi оh2) =(Q(hi)Q(h2))*=Q*(h2)Q*(hi) = Q(h2)Q(hi).D Нормой кватерниона h = a 4- M 4- cj 4* dk называется величина |h| > 0, определенная равенством Прямое вычисление показывает, что |h|2 = detQ(h). Поэтому норма обладает свойством IhiohaMhiHhal. Для каждого отличного от нуля кватерниона h имеем |h| ф 0 и су- существует обратный кватернион h-1 =h/|h|2, обладающий свойствами hoh~1 = l, h" оh = 1.
112 Глава 2. Кинематика Множество кватернионов с нормой, равной единице, обозначим Н\. Если h G Wi, то h" = h. Очевидно, что множество Н\ есть группа по умножению. Эта группа изоморфна группе SUB). Изо- Изоморфизм устанавливается с помощью равенств a = qOj b = qu с = g2, d = q3, где g0, <7i, <?2, <7з — параметры Эйлера. Пусть Но — трехмерное пространство кватернионов х, удовлетво- удовлетворяющих условию X = —X. Метрика в этом пространстве задается формулой |х| =хох = — х . Пространство Но изоморфно евклидову пространству Е3 . Теорема 2.8.2. Если |h| = 1, mo преобразование х —> z: z = h о х о h, x? Но есть вращение трехмерного евклидова пространства. Доказательство. Так как х = —х, h = h", то z = h о х о h" = h о х о h = — h о х о h 1. Следовательно, z = —z. Далее |z|2 = zoz = (hoxoh) о (h oxoh) = hoxoxoh = |x|2. Другими словами, рассматриваемое преобразование сохраняет норму. Учитывая изоморфизм пространств Но и Е3, получаем, что такое преобразование эквивалентно вращению трехмерного пространства. D Поскольку параметры Эйлера служат коэффициентами кватер- кватернионов из Н\, теорема 2.6.2 и теорема 2.6.3 дают возможность найти оператор А Е 50C) по заданному кватерниону и обратно найти ква- кватернион, описывающий то же движение, что и заданный оператор А ? 5(9C). Заметим, что коэффициенты кватерниона из Н\, задающего пре- преобразование х —> z в соответствии с теоремой 2.8.2, называются па- параметрами Родрига-Гамильтона. Видим, что по смыслу параметры Эйлера и параметры Родрига-Гамильтона совпадают.
2.9. Произвольное движение твердого тела 113 Пример 2.8.1 Воспользовавшись последним замечанием, легко устанавливаем связь между углами Эйлера и соответствующим кватер- кватернионом. Точно так же, как в теореме 2.7.5, этот кватернион можно представить в виде h = h^ о h^ о Ъ.^, где ф , . ф , 1?..$, V^i-V? h^ = cos — + ksin —, htf = cos - + ism -, h^ = cos ¦- 4- ksin — . Для кардановых углов требуемые соотношения находятся аналогично. § 2.9. Произвольное движение твердого тела В соответствии с теоремой 2.3.1 любой закон движения твердого тела можно выразить с помощью равенства где г — радиус-вектор отдельной точки тела, имеющий начало в по- полюсе О, rf(t) — вектор с началом в том же полюсе, одинаковый для всех точек тела, оператор A(t) ? ?0C), х — постоянный вектор, конкретизирующий точку тела. Движение, при котором все точки твердого тела получают одина- одинаковое смещение в пространстве, называется поступательным. Теорема 2.9.1. Поступательное движение реализуется тогда и только тогда, когда А — тождественный оператор. Доказательство. Необходимость. Пусть все точки тела полу- получают одинаковое смещение в пространстве. Закон движения прини- принимает вид r(t) = x-ha(t), где вектор a.(t) один и тот же для всех точек. Выберем произвольно точки xi и х2. Для них получим Вычитая из второго равенства первое, найдем х2 -xi = A(x2 -xi). Необходимость доказана, так как вектор х2—xi может принять любое значение. Достаточность. Если оператор А — тождественный, то все точ- точки тела одинаково смещаются на вектор r'(t).D Следствие 2.9.1. Произвольное движение твердого тела есть композиция вращения вокруг некоторой оси и поступательного дви- движения. Х- 1501
114 Глава 2. Кинематика Теорема 2.9.2. Всякое перемещение твердого тела можно пред- представить либо как результат поступательного движения, либо как результат винтового движения, т.е. такого, при котором посту- поступательный сдвиг осуществляется вдоль оси вращения, определенной оператором А. Если проекция вектора г' на ось вращения отсут- отсутствует, то найдется точка твердого тела такая, что движение сводится к повороту вокруг оси, проходящей через эту точку. Доказательство. В соответствии с теоремой 2.6.1 закон движе- движения можно представить в виде г = х + 2qo(<x х х) + 2(а х (а х х)) + v'{t). Если вектор а = 0, то имеем поступательное движение. Пусть а ф 0. Обозначим у точку тела, которая испытывает перемещение только вдоль направления вектора а. Для этой точки имеем уравнение у + Ла = у + 2qo{a. х у) + 2(а х (а х у)) + r'(t). Примем r'(t) = /За. + vn(t), где rff(t) JL а, Аи/? — скалярные пара- параметры. Очевидно, что тогда должно быть А = /?, так как результаты векторных произведений в исследуемом уравнении перпендикулярны вектору а, и qo(<* х у) + (а х (а х у)) = -г"(*)/2. Это уравнение имеет множество решений, получающихся друг из друга сдвигом параллельно вектору а. Ограничимся решением, для которого а. • у = 0. После преобразования двойного векторного про- произведения последнее уравнение приводится к виду 90(а х у) - а2у = -г"(*)/2. Умножим его слева векторно на а. После преобразования двойного векторного произведения получим второе уравнение: -ql2(ql х у) - ?0а2у = -а х r"(t)/2. Исключив из этих двух уравнений член, содержащий (а х у), найдем решение y=(r Выберем теперь новый полюс, соответствующий концу вектора у: x = z-hy, г = г + у,
2.10. Дифференциал вращения 115 где теперь уже вектор z задает точку твердого тела. Тогда получим г = z + 2q0(oL х z) + 2(а х (а х z)) + /?а. Такое преобразование и есть композиция вращения и поступатель- поступательного сдвига вдоль оси вращения, Если /3 = 0, то получаем чистое вращение. ? § 2.10. Дифференциал вращения Как уже отмечалось, композиция Ai о А2 операторов Ai ? 50C), А2 € 50C), вообще говоря, некоммутативна: Ai о А2 ф А2 о Ai. В выбранном ортонормированном репере Ое^ез действие оператора выражается матрицей. Оператору Ai сопоставим матрицу А\, а опе- оператору А2 — матрицу Л2. Композиции операторов Ai о А2 соответ- соответствует произведение матриц А\А2. Некоммутативность композиции операторов связана с тем, что произведение матриц некоммутативно. Следствие 2.4.2 устанавливает, что каждый линейный оператор A G SOC) задает конечный поворот твердого тела вокруг собственно- собственного вектора, соответствующего собственному значению, равному еди- единице. Композиция операторов из 5ОC) (см. раздел 2.5) эквивалент- эквивалентна последовательному выполнению конечных поворотов вокруг отли- отличающихся друг от друга в общем случае направлений. Некоммута- Некоммутативность композиции операторов означает, что результат выполнения конечных поворотов зависит от того, в каком порядке эти повороты выполняются. Проиллюстрируем сказанное. Пример 2.10.1. Пусть оператор Ai определяет поворот твердого тела на угол яг/2 против хода часовой стрелки вокруг оси ез, а оператор А2 задает поворот на угол тг/2 против хода часовой стрелки вокруг оси е2. Матрицы этих операторов имеют вид Ал = При действии композиции Ai о А2 сначала (см. теорему 2.5.1) происхо- происходит поворот вокруг оси ез и вектор е2 переходит в е2 = —ei, а затем осуществляется поворот вокруг вектора е2 . Произведение матриц равно 0 0 -1 0 0 0 1 0 Выполним теперь композицию Ао о А\. Она означает, что сначала вы- выполняется поворот вокруг вектора е2 и вектор ез переходит в eg = &i .
116 Глава 2. Кинематика а затем происходит поворот вокруг вектора е^ . Произведение матриц будет иметь вид /001 А2АХ =10 0 \ 0 1 0 Видно, что результаты применения операторов Ai о Аг и А2 о Ai полу- получаются разными. О Пусть A G 5ОC) есть дифференцируемая функция некоторого скалярного параметра ?: А = А(?), причем А@) = Е — тождествен- тождественному оператору. Изменяя ?, получим различные повороты вокруг различных в общем случае собственных векторов оператора А(?), зависящих от параметра ?. Выделим линейную по ? часть матри- матрицы оператора А: А = Е + ? ? + • • • Матрица dA = ?? определяет линейный оператор, который называ- называется дифференциалом оператора А. Теорема 2.10.1. Дифференциалу dA оператора А Е 50C) от- отвечает кососимметричная матрица. Доказательство. Учитывая, что ААТ = Е, получим или Последнее равенство должно быть выполнено при произвольном ?. Поэтому ? = — ?т.О Кососимметричная матрица ?? определяется тремя числами: В базисе ei, в2, ез матрице ?? можно сопоставить вектор з 1=1 Легко проверить справедливость равенства ??х = Фхх. В дальнейшем там, где это удобно и отсутствуют преобразования координат, будем отождествлять в записи оператор и его матрицу.
2.10. Дифференциал вращения 117 Теорема 2.10.2. Дифференциал композиции операторов вира- лсается суммой дифференциалов составляющих операторов: Доказательство. Рассмотрим композицию Ai о А2. По опреде- определению дифференциала имеем АА\ = ?i?, ДЛ2 = ?2?, Лх Л2 = (Е + ?i? + • • -)(Е + ?2? + •••) = Е + ?i? + ?2? + • • • Следовательно, d(yii Л2) = ?i^ + ?2^.П Видим, что дифференциал композиции операторов обладает свой- свойством коммутативности. Он не будет зависеть от порядка выполне- выполнения участвующих в ней операторов: d(A\ о А2) = d(A2 о Ai). Когда величина ?, задающая дифференциалы dA = d(Ai о А2) = ??, dAi = ?& dA2 = ?2^, мала, то с точностью до членов второго порядка малости действие операторов А = Ai о А2, Ai, A2 можно представить с помощью век- векторных умножений г = Ах «х + $хх, ri = Aix « x-f Ф\ хх, г2 = А2х « х + Ф2 хх. Векторы 6г = Ф х х, Eri =$i хх, <5г2 = Ф2 х х называются дифференциалами вращений. Следствие 2.10.1. Справедливо равенство Ф = Ф\ 4- Ф2. Оио означает, что дифференциалы вращений образуют линейное пространство относительно композиции преобразований <5r = Sri + 6г2. По смыслу вектора Ф ясно, что его влиянию не подвержены век- векторы х, которые параллельны Ф. Такие векторы образуют ось диф- дифференциала вращения. Смещение <5г = г — х происходит в плоскости, перпендикулярной Ф, а величина смещения равна где 9 — угол между Ф и х. Смещение <5г можно отождествить с элементом дуги окружности, и тогда \Ф\ получает смысл угла малого поворота.
118 Глава 2. Кинематика Рассмотрим два соседних по времени положения некоторой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса О: r(t) = A(t)x, r(* + At) = A(t + At)x. Учитывая свойства оператора А, найдем r(t + At) = A(t + At)A~l(t)r(t). При малом Д* матрица В — A(t + At)AT(t) близка к единичной. Поэтому движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно приблизить последовательно выполняемыми дифференциалами вра- вращений вокруг осей, соответствующих соседним моментам времени. § 2.11. Сложное движение точки Пусть 5 — ортонормированный репер е^, е'2, ез с началом в точ- точке О1 , который движется как твердое тело относительно репера So ортонормированных векторов ei, в2, ез с началом в полюсе О. Рас- Рассмотрим движение некоторой точки М. Его можно описать как с помощью репера 5, так и с помощью репера So. Движение точки М по отношению к реперу So назовем абсолютным движением, а ее траекторию в этом репере — абсолютной траекторией. Движение точки М по отношению к реперу S назовем относительным движе- движением, а траекторию М в репере S — относительной траекторией. Движение репера 5 назовем переносным движением. Скорость \а движения точки по абсолютной траектории называет- называется абсолютной скоростью. Скорость vr движения точки по отноше- отношению к подвижному реперу 5 называется относительной скоростью. В каждый конкретный момент времени t точка М совпадает с некоторой точкой М' пространства, жестко связанного с репером 5. Скорость точки М' , возникающая из-за движения этого простран- пространства (движения репера 5), называется переносной скоростью \е точ- точки М. Теорема 2.11.1. (О сложении скоростей). Абсолютная ско- скорость точки равна векторной сумме ее переносной и относительной скоростей: Va = Ve +Vr, где \а — вектор абсолютной скорости; \е — вектор переносной ско- скорости; vr — вектор относительной скорости. Доказательство. В соответствии с теоремой 2.3.1 сложное дви- движение точки можно описать с помощью равенства r(t) = Ах + г',
2.11. Сложное движение точки 119 где зависящие от времени оператор А Е 50C) и вектор г' задают движение пространства, жестко связанного с репером 5, а вектор х конкретизирует точку М в репере S. Если М движется относительно репера S, то х = x(t) есть вектор-функция времени. Продифферен- Продифференцируем по времени закон движения точки: • dA •/ A • Г = -ТГХ + г + Ах> at где символ dA/dt означает дифференцирование по времени каждой компоненты матрицы оператора А. Первые два слагаемых выражают скорость, которая была бы у точки, если бы вектор х сохранял постоянное значение. Такой век- вектор выделяет точку М' пространства, жестко связанного с репером S. В рассматриваемый момент времени точки М и М1 совпадают. Другими словами, dA Третье слагаемое представляет собой относительную скорость х, пре- преобразованную с помощью оператора А к реперу 5О.П Замечание. Радиус-вектор г движущейся точки М можно всегда представить суммой векторов: Г = Г0 + Г1, где Го есть радиус-вектор начала О' подвижного репера 5, a ri — радиус-вектор точки М с началом в О1. Дифференцируя это равен- равенство по времени, найдем Равенство верно в любой момент времени. Однако первое слагае- слагаемое в нем — не переносная скорость, а второе — не относительная скорость. Они станут таковыми лишь в случае поступательного дви- движения репера S. Теорема 2.11.2. (Случай нескольких реперов). Допустим, что точка М совершает движение в репере S\, который движется относительно репера 52. Репер S% движется в репере 5з и т.д. На- Наконец, репер Sk совершает движение относительно репера So- Тогда абсолютная скорость точки М выражается формулой У а =
120 Глава 2. Кинематика где vr — скорость М относительно репера S, а \{ — скорость от- относительно репера 5;+i той точки репера Si, которая в данный мо- момент совпадает с точкой М. Доказательство. Воспользуемся теоремой 2.11.1 о сложении скоростей и найдем скорость vr точки М в репере S^: где vi — скорость относительно репера S2 той точки репера S\, ко- которая совпадает в данный момент с точкой М. Обозначив далее V2 скорость относительно репера S3 той точки репера 52, которая совпа- совпадает в данный момент времени с точкой М, по теореме 2.11.1 найдем скорость Vr точки М в репере S3' Продолжая этот процесс, получим утверждение теоремы.? § 2.12. Поле скоростей твердого тела При поступательном движении (см. стр. 113) векторы скорости всех точек тела равны между собой в любой момент времени. За ско- скорость поступательного движения принимают скорость любой точки тела. Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором две точки тела неподвижно закреплены на этой оси. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Радиус окружности равен расстоянию от точки до оси вращения. Положение некоторой точки М тела в пространстве мож- можно однозначно охарактеризовать двугранным углом а между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Одна из плоскостей неподвижна, а вторая содержит точку М и вращается. Величина скорости точки М при движении по окружности есть da я где выражение da/dt называется угловой скоростью тела, R — рас- расстояние от точки до оси вращения. Скорость точки М параллель- параллельна плоскости ее движения и направлена перпендикулярно радиусу в сторону вращения.
2.12. Поле скоростей твердого тела 121 Введем скользящий вектор и> (см. раздел 1.2), основание кото- которого совпадает с осью вращения. Ориентируем его так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки. Полюс О расположим на оси вращения. Пусть г — радиус- вектор некоторой точки твердого тела. Тогда ее скорость может быть выражена с помощью векторного произведения (формула Эйлера): V = W X Г. Выражение, стоящее в правой части, не зависит от расположения полюса О на оси вращения. В самом деле, пусть г = ri -f Го, где го || и?. Тогда Перейдем к изучению поля скоростей (см. стр. 15) в общем случае движения твердого тела. Определение 2.12.1. Поле скоростей называется поступатель- поступательным, если векторы скоростей всех точек тела совпадают. Поле скоро- скоростей называется вращательным, если существует скользящий вектор о? (вектор угловой скорости) такой, что скорость v любой точки тела дается формулой V = W X f, где f — радиус-вектор рассматриваемой точки, имеющий начало на основании вектора о>, одинакового для всех точек тела. Теорема 2.12.1. (Эйлера о поле скоростей твердого тела). В любой момент времени произвольного движения твердого тела его поле скоростей может быть представлено как сумма поступа- поступательного и вращательного полей скоростей: v = v0 + w х f, где vo — скорость, одинаковая для всех точек тела, г — радиус- вектор точки тела, имеющий начало в полюсе О1 репера S, связан- связанного с телом, ы — скользящий вектор с основанием, проходящим через точку О1. Доказательство. Закон движения любой точки твердого тела можно в соответствии с теоремой 2.3.1 представить в виде где х — постоянный вектор, rf(i) — абсолютный радиус-вектор по- полюса О1 , фиксированного в теле, A(t) € 50C) — ортогональный ли- линейный оператор с матрицей А, удовлетворяющей условию ААТ = Е.
122 Глава 2. Кинематика Продифференцируем закон движения точки: с/г dA d^ Величина dv' /dt есть скорость точки О'. Вместе с тем она, буду- будучи одинаково отнесена ко всем точкам, задает поступательное поле скоростей, упомянутое в условии теоремы. Обозначим v0 = dr*/dt. Далее, очевидно, г = г-г'их = Атг. Подставляя последнее выра- выражение в формулу для скорости точки тела, найдем dA т„ v = — A'r + vo. at Покажем, что матрица (dA/dt)AT кососимметрична. В самом деле, учтем, что ААТ = Е. Тогда dAAT.dAT Л dA лТ _dAT (dA\T Al +л 0 или TtA =-л AT.dAT Л dA лТ _dAT (dAAT l +л- = 0 или TtA =л = -Ыл Следовательно, существует тройка чисел ы\, и>2, ^з такая, что И А ( А1 = и;3 0 - 0 а умножение на эту матрицу эквивалентно операции векторного умножения на вектор ы = (и>1,и>2,^з), ассоциированный с тройкой чисел u>i, W2, ^з- Поэтому —^г = ы х r.D at Следствие 2.12.1. Проекции скоростей концов отрезка твердо- го тела на направление самого отрезка совпадают. Доказательство. Достаточно умножить формулу теоремы 2.12.1 скалярно на вектор г. После умножения получим f • v = f • v0. Ho Vo — скорость точки, совпадающей с началом вектора f, а v — скорость конца этого вектора. D В доказательстве теоремы 2.12.1 был использован тот факт, что умножение на кососимметричную матрицу эквивалентно векторному умножению на вектор, ассоциированный с его элементами. Постро- Построить такой вектор можно лишь тогда, когда фиксирован некоторый базис. Остался неизученным вопрос, будет ли этот вектор одним и тем же при изменении базиса. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
2.12. Поле скоростей твердого тела 123 Теорема 2.12.2. Тройка (ы\, w2, ^з) элементов угловой скоро- скорости образует скользящий псевдовектор и> (это значит, что ы из- изменяет направление при изменении ориентированности базиса). Доказательство. Пусть А — матрица оператора А ? 5ОC): в репере ei, е2, ез с началом в полюсе О. Выберем другой ортонорми- рованный репер ki, k2, кз с тем же началом и с постоянной матрицей направляющих косинусов В = F,-j): е2 ki к2 кз Очевидно, что в базисе ki, k2, кз матрица угловой скорости примет вид j (dA j, \dt Матрицу В символически запишем следующим образом: В = (kbk2,k3), где ki, k2, k3 заменяют собой столбцы, образованные координатами этих векторов в базисе ei, e2, ез. Проводя формальные преобразова- преобразования, получим В = (ы х кь и х к2, ы х к3). Правая часть, как и прежде, представляет собой матрицу, составлен- составленную из столбцов, образованных компонентами векторных произведе- произведений. Указанные векторные произведения имеют смысл, так как ы и к, определены в одном и том же базисе ei, в2, ез. Далее, Вт (МАт ] в = ki-(uxki) ki-(wxk2) ki • (ы х k3) k2-(«xki) к2.(ыхк2) к2.(ыхк3) к3 • (ы х ki) к3 • (ы х к2) к3 • (ы х к3) Произведя циклические перестановки векторов, найдем О w.(k2xki) o;.(k3xki) (ki x k2) 0 ш • (k3 x k2) (kix k3) w • (k2 x k3) 0
124 Глава 2. Кинематика Рассмотрим два возможных случая реализации матрицы В. 1) detS = 1. Тогда зеркальные отражения осей координат от- отсутствуют и, если исходный базис ei, е2, ез был правоориентирован- правоориентированным, то и базР!с ki, кг, кз окажется правоориентированным. Значит, ki х k2 = кз, к2 х кз = ki, кз х ki = k2 и потому Другими словами, в новом базисе компоненты матрицы угловой ско- скорости получаются путем проектирования ы на новые базисные век- векторы. Следовательно, компоненты (u>i, w2, шз) преобразуются как координаты вектора. 2) det В = — 1. Тогда имеется зеркальное отражение одной из осей координат. Пусть для определенности это будет ось кз. Базис ki, k2, кз станет левоориентированным. Поэтому ki х к2 = -к3, к2 х к3 = -ki, k3 x ki = -к2 Видим, что при переходе от правоориентированного базиса к лево- левоориентированному помимо применения к тройке (u>i, w2, <^з) правила преобразования векторов требуется еще поменять ее знак на проти- противоположный. Объекты, обладающие таким свойством, называются псевдовекторами. Далее, и) — скользящий псевдовектор, так как в соответствии с теоремой Эйлера основание о; проходит через точку, определенную радиусом-вектором г', и любая точка прямой г = г' -f Аи;, где А — произвольный скаляр, имеет скорость v = vo и может быть выбрана за полюс при описании поля скоростей в данный момент времени. D Заметим, что скалярное произведение псевдовектора на вектор на- называется псевдоскаляром. Псевдоскаляр меняет знак при зеркальном отражении базисных векторов. Если при преобразованиях координат выполнять переходы только к базисам одинаковой ориентированности (использовать либо только правоориентированные, либо только левоориентированные базисы),
2.13. Система угловых скоростей 125 то тройку (u>i, иг, ^з) можно считать полноправным скользящим век- вектором. В связи с этим в механике условились всегда использовать только правоориентированные системы базисных векторов. В дальнейшем ограничимся только такими преобразованиями ко- координат, которые сохраняют ориентированность базиса. Это позво- позволяет считать о> скользящим вектором. Перейдем к анализу элементарных эквивалентных операций над системой угловых скоростей. § 2.13. Система угловых скоростей Теорема 2.13.1. Пусть вектор угловой скорости и*1 соответ- соответствует линейному оператору A\(t) E 50C), а вектор угловой ско- скорости и>2 — линейному оператору A2(t) E S0C). Тогда композиции линейных операторов А\ о А2 соответствует угловая скорость и? = w1 + и>2. Доказательство. Воспользуемся теоремой 2.11.1 о сложении скоростей в относительном движении. Действие композиции Ai о А2 можно интерпретировать как последовательность преобразований r@ = Aiy(O, У(О = А2х. Следовательно (см. доказательство теоремы 2.11.1), координаты век- вектора y(t) задают точку М тела в подвижном репере S: Ое[е'2е'3. Дви- Движение репера S относительно So задается оператором А\. Тем самым точка М участвует в сложном движении. Ее переносная скорость ve из-за движения S и относительная скорость vr в репере S даются выражениями С использованием матриц операторов выражение для vr можно пред- представить в виде = Ai-dfx = M -ЗГ1»у = л 1 где Ач — матрица оператора А2 в репере 5. Воспользуемся поня- понятием угловой скорости и сопоставим матрице (dAi/di)A\ вектор и?1, матрице (йЛг/Л)^ — вектор и>2. Рассмотрим матрицу п2 =Ai(dA2/dt)AlAj. Кососимметричной матрице (dA2/dt)A% соответствует вектор угло- угловой скорости движения в репере 5. Матрица П2) как легко видеть,
126 Глава 2. Кинематика также кососимметрична. Она получается вследствие перехода к ре- реперу So преобразованием подобия с помощью матрицы А\. Матрице Q2 сопоставим вектор угловой скорости и>2 относительного движения. Суммируя сказанное, имеем ve = о;1 х г, vr = u>2 x r, va = ve + vr = (a;1 -|- u>2) x r.D С помощью этой теоремы можно интерпретировать результат сложе- сложения нескольких вращательных полей, отвечающих угловым скоро- скоростям, основания которых пересекаются, как вращательное поле, по- полученное вследствие композиции угловых движений. Одновременно найдено правило сложения угловых скоростей, которое сформулиру- сформулируем в виде следствия. Следствие 2.13.1. (Угловая скорость с ложного движения). Если поле скоростей в твердом теле соответствует вращению с угловой скоростью ц>г относительно репера S\, который сам вра- вращается с угловой скоростью и*1 в репере 5г, репер 5г вращается с угловой скоростью и?2 в репере 5з и т.д. и, наконец, репер Sk вра- вращается с угловой скоростью шк в неподвижном репере So, и если основания всех векторов и>г, и*1,..., шк пересекаются в одной точке, то результирующее поле скоростей в репере So будет вращатель- вращательным с угловой скоростью = (jf -f Теорема 2.13.2. (Сложение поступательных полей скоро- скоростей). Пусть поле скоростей твердого тела в репере S\ — посту- поступательное со скоростью vr, поле скоростей репера S\ в репере S2 — поступательное со скоростью vi, поле скоростей репера S2 в репере 5з — поступательное со скоростью v2 и т.д. Наконец, поле ско- скоростей репера Sk в неподвижном репере So — поступательное со скоростью vr. Тогда поле скоростей тела в репере So — поступа- поступательное со скоростью V = Уг + 1=1 Доказательство. Каждая точка твердого тела участвует в слож- сложном движении. Достаточно применить теорему 2.11.1.D Рассмотрим общий случай, когда движение твердого тела есть композиция вращательных и поступательных перемещений. Такой случай описывается формулами г = Аху + г\ у = А2х + у',
2.13. Система угловых скоростей 127 где операторы Ai, A2 и векторы г'1} у' зависят от времени и одина- одинаковы для всех точек твердого тела. Вектор х не зависит от времени и фиксирует конкретную точку твердого тела. В рассматриваемом случае оператор Ai оставляет неподвижной точку 0i, совпадающую с концом вектора г'1} а оператор А 2 — точку Ог, совпадающую с концом вектора г' = Aiy' + г^. Следователь- Следовательно, основание вектора о;1, соответствующего оператору Ai, проходит через точку О\, а основание вектора ц>2 проходит через точку Оч- Имеем два скользящих вектора угловых скоростей, основания кото- которых могут, вообще говоря, не пересекаться. Вместе с тем, очевидно, эти векторы приводятся к одному сколь- скользящему вектору и>, так как рассматриваемое сложное движение за- задается равенством г = AiA2x-f г'. Видим, что всякому множеству скользящих векторов угловых ско- скоростей можно сопоставить композицию линейных операторов. По- Поле скоростей, порождаемое композицией, будет равно сумме полей, порождаемых элементами этого множества. Тем самым получают смысл операции эквивалентного преобразования такого множества и возникает возможность рассматривать его как систему (см. раздел 1.3). Определение 2.13.1. Пусть поле скоростей твердого тела пред- представляется в виде суммы вращательного поля репера S с угловой скоростью w, основание которой проходит через полюс О, и враща- вращательного поля в репере S с угловой скоростью — и>, имеющей основа- основание, параллельное о;. Такая система угловых скоростей называется парой вращений. Теорема 2.13.3. Пара вращений равносильна поступательному полю скоростей. Вектор v этого поля вычисляется по формуле v = w х d, где вектор d — плечо пары (см. стр. 31). Доказательство. Пусть задана пара вращений Воспользуемся теоремой о сложении скоростей. Переносная скорость произвольной точки М твердого тела, возникающая из-за движения репера 5, определена выражением ve = u> х г,
128 Глава 2. Кинематика, где г — радиус-вектор точки М. Относительная скорость точки М в репере 5 вычисляется по формуле vr = -u> х (г-гд). Абсолютная скорость есть сумма этих двух скоростей: v = ve -f vr = u> х та = u> х d. Тем самым скорости всех точек тела в рассматриваемый момент вре- времени оказываются равными.D Теорема 2.13.4. (Результирующее поле скоростей). Поле скоростей твердого тела как сумма нескольких вращательных и нескольких поступательных полей сводится эквивалентными опе- операциями (см. раздел 1.3) к сумме одного поступательного поля и одного вращательного поля скоростей. Доказательство. В соответствии с теоремой 2.13.3 основание угловой скорости ы можно смещать, добавляя соответствующее по- поступательное поле скоростей. В самом деле, выберем точку О, не принадлежащую основанию угловой скорости. Приложим к ней два вектора ы и — w угловой скорости. Они не изменяют поле скоростей в теле. Тогда вектор и>, действующий вдоль первоначальной оси, и вектор —и) с параллельным основанием, проходящим через точку О, образуют пару, эквивалентную поступательному полю скоростей. Повторяя доказательство теоремы 1.5.1, сместим так каждый из за- заданных векторов угловых скоростей. Получим сумму поступатель- поступательных полей и систему угловых скоростей, основания которых проходят через одну и ту же точку О. Вследствие теорем 2.13.1 и 2.13.2 заклю- заключаем, что такая система эквивалентна сумме одного поступательного и одного вращательного полей скоростей.D Определение 2.13.2. Поле скоростей называется винтовым, ес- если оно есть сумма поступательного и вращательного полей, причем скорость поступательного поля параллельна угловой скорости вра- вращательного. Теорема 2.13.5. Сумма поступательного со скоростью v и вра- вращательного с угловой скоростью w полей скоростей эквивалентна винтовому полю. Доказательство повторяет доказательство теоремы 1.5.2 с заме- заменой R — w, M -> v.D Таким образом, поле скоростей твердого тела в любой фиксиро- фиксированный момент времени движения всегда может быть представлено
2.13. Система угловых скоростей 129 как винтовое поле. Ось вращения (основание скользящего вектора ц>), соответствующая винтовому полю скоростей, называется винто- винтовой осью. Отношение скорости и поступательного поля, параллель- параллельного винтовой оси, к угловой скорости |и>| называется параметром винта р = и/\и>\. При р = 0 остается только вращательное поле, при р = ос — только поступательное. Если с течением времени положение винтовой оси, угловая и по- поступательная скорости не меняются, то твердое тело совершает дви- движение, которое называется винтовым. Тогда за время полного обо- оборота г = 2тг/|и>| тело продвинется вдоль оси вращения на расстояние / = ти = 2тгр. Это расстояние называется шагом винта. В общем случае движение твердого тела будет гораздо более слож- сложным из-за того, что ориентация и положение винтовой оси, угловая и поступательная скорости могут изменяться со временем. Параметрическое уравнение винтовой оси (см. стр.39) имеет вид w х v где Л — скалярный параметр; вектор г, определяющий точку вин- винтовой оси, имеет начало в произвольном полюсе О\, выбранном для упрощения системы скользящих векторов угловых скоростей; v — скорость точки О\. Чтобы исключить А, умножим параметрическое уравнение винто- винтовой оси векторно на и>: ц> х (ц> х v) a; • v ШХТ- Ц - 5~U> - V или Имеем векторное уравнение винтовой оси. Как и следовало ожидать, оно не дает однозначно значение г, а определяет его лишь с точно- точностью до произвольного смещения вдоль вектора и>. Поэтому три про- проекции этого уравнения на оси произвольной ортогональной системы координат будут линейно зависимыми. При движении твердого тела его поле скоростей непрерывно ме- меняется со временем. Изменяются и векторы vhw. В каждый сле- следующий момент времени будет получаться, вообще говоря, другая винтовая ось. Уравнение винтовой оси, точки которой в неподвижном репере So задаются радиусом-вектором г5, имеет вид v-wxr4wxr, = —- )- 1503
130 Глава 2. Кинематика где г' — радиус-вектор точки О\ в репере So, а г5 = г' + г. Множество положений, которые последовательно занимает вин- винтовая ось в неподвижном пространстве, связанном с репером So, на- называется неподвижным аксоидом. Запишем уравнение винтовой оси в репере, жестко связанном с твердым телом: w v где х — радиус-вектор точки твердого тела, лежащей на винтовой оси, A ? SOC) — оператор ориентации тела в неподвижном про- пространстве. Множество положений, которые последовательно занимает вин- винтовая ось в движущемся теле, называется подвижным аксоидом. Подвижный и неподвижный аксоиды двумерны. Они имеют две координаты: одна из них — А, отсчитываемая вдоль винтовой оси, другая — время движения t. Задание их однозначно определяет точ- точку на аксоиде. Тем самым подвижный и неподвижный аксоиды суть линейчатые поверхности. Они в каждый момент времени имеют по крайней мере одну общую прямую — винтовую ось. Теорема 2.13.6. Подвижный и неподвижный аксоиды, если они не вырождаются в прямую, имеют общую касательную плоскость, проходящую через винтовую ось. Доказательство. Пусть закон движения точки М обеспечивает принадлежность ее в любой момент времени винтовой оси. Движение этой точки можно рассматривать как в неподвижном репере So, так и в репере S, связанном с телом. Всегда можно выбрать движение М так, чтобы существовали относительная vr и абсолютная va скоро- скорости точки М. Можно считать, что в каждый момент времени М есть точка как неподвижного, так и подвижного аксоида. Перемещаясь по неподвижному аксоиду, точка М имеет абсолютную скорость va, которая лежит в плоскости, касательной к неподвижному аксоиду. Относительная скорость v точки М в репере S направлена по каса- касательной к относительной траектории, принадлежащей подвижному аксоиду, и потому лежит в плоскости, касательной к подвижному аксоиду. Переносная скорость ve есть скорость точки М' твердого тела, совпадающей с М, и направлена вдоль винтовой оси. Она тоже принадлежит касательной плоскости к подвижному аксоиду. Имеем Va = Ve+Vr. Следовательно, va принадлежит плоскости, касательной к подвиж- подвижному аксоиду. Так как закон движения точки М вдоль винтовой оси
2.14. Поле скоростей плоскопараллельного движения 131 можно выбрать произвольно, лишь бы он был дифференцируемым по времени, то вектор va можно считать непараллельным винтовой оси. Поэтому плоскости, касательные к подвижному и неподвижному аксоидам, совпадают. D Следствие 2.13.2. Произвольное непрерывное движение твердо- твердого тела можно представить как качение подвижного аксоида по не- неподвижному с возможным проскальзыванием вдоль винтовой оси. Отсюда ясна большая роль теории линейчатых поверхностей в вопросах, связанных с организацией требуемого сложного движения твердых тел, служащих деталями механических систем. § 2.14. Поле скоростей плоскопараллельного дви- движения Движение называется плоскопараллельным, если скорости всех точек твердого тела в любой момент времени параллельны некото- некоторой неподвижной плоскости. Сечение твердого тела этой плоскостью представляет собой фигуру, дающую однозначное представление о положении тела в пространстве при плоскопараллельном движении. Теорема 2.14.1. Поле скоростей плоскопараллельного движения может быть либо поступательным, либо вращательным с осью, перпендикулярной плоскости движения. Доказательство. С помощью эквивалентных операций приведем поле скоростей к винтовому: Начало вектора г расположено на оси винта, его конец фиксирует точку плоской фигуры твердого тела. Вектор v должен быть парал- параллелен плоскости движения V для любого радиуса-вектора г. Пока- Покажем, что могут быть лишь два случая: 1. и = О, вектор ы перпендикулярен плоскости V', 2. w = 0, вектор и параллелен плоскости V. Рассмотрим все логически возможные варианты. Вариант 1. Вектор ш ф О и параллелен плоскости V. Найдем скорости двух произвольных точек этой плоскости: vi=u + wxri, v2 = u + u> x гг. Разность этих скоростей выражается формулой v2 - vi = w х (го -ri). 9*
132 Глава 2. Кинематика В силу произвольности выбора точек разность Г2 — ri можно считать не параллельной вектору и>. Имеем противоречие. В левой части последнего равенства стоит вектор, параллельный плоскости V, а в правой части — вектор, перпендикулярный этой плоскости. Значит, вариант 1 не может иметь места. Вариант 2. Вектор w ф О, и винтовая ось пересекает плоскость V в точке О. Тогда скорость произвольной точки плоской фигуры выражается формулой v = u+wxr, где г — радиус-вектор, имеющий начало в О и принадлежащий V. Скорость самой точки О равна и. Отсюда ясно, что и = О, так как в противоположном случае скорость точки О должна быть направлена вдоль ы и не будет параллельна плоскости V. Значит, v = ы х г. Но векторы v и г параллельны плоскости V. Умножим v векторно на г: rxv=rx(wxr) = ыг2 — г(г • ы). Вектор г всегда можно выбрать перпендикулярным ы, и тогда ы = (г х v)/r2. Тем самым вектор ы обязан быть перпендикулярным плос- плоскости V. Вариант 3. Вектор ы = 0. Тогда для любой точки плоской фигуры должно быть v = и, и поле скоростей поступательное. Ясно, что тогда вектор и должен быть параллелен плоскости "Р.П Теорема 2.14.2. Плоскопараллельное поступательное поле ско- скоростей есть предельный случай вращательного поля, когда угловая скорость стремится к нулю, а ось вращения уходит в бесконеч- бесконечность. Доказательство. Рассмотрим следующую систему угловых ско- скоростей: (ri,uie), (r2, -u>2e), и\ - ш2 = а ф 0. Эта система эквивалентна скользящему вектору (г, ае), где г = а Пусть теперь ri и гг принадлежат плоскости движения, а е — нор- нормаль к этой плоскости. Если ш\ —+ и>2, то вектор г, определяющий эквивалентную ось вращения, становится бесконечно большим по мо- модулю, а а —* 0. Вместе с тем рассматриваемая система угловых скоростей стремится к паре, которая эквивалентна поступательно- поступательному движению. ? Таким образом, плоскопараллельное поле скоростей всегда мож- можно привести к вращательному полю, основание угловой скорости ко- которого перпендикулярно плоскости движения.
2.15. Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой 133 Аксоиды в плоскопараллельном движении представляют собой цилиндрические поверхности, образующие которых перпендикуляр- перпендикулярны плоскости движения. Аксоиды пересекаются с плоскостью дви- движения по двум кривым, называемым соответственно подвижной и неподвижной центроидами. Определение 2.14.1. Точка пересечения основания угловой ско- скорости вращательного поля скоростей с плоскостью движения называ- называется мгновенным центром скоростей (иногда мгновенным центром вращения). Непрерывное плоскопараллельное движение твердого тела можно представить как качение без проскальзывания подвижной центроиды по неподвижной. Это следует из того, что скорость точки твердого тела, совпадающей с мгновенным центром скоростей, равна нулю. Если положение мгновенного центра скоростей известно, то ско- скорость произвольной точки твердого тела, лежащей в плоскости дви- движения, перпендикулярна к прямой, соединяющей эту точку с мгно- мгновенным центром скоростей. Вектор скорости направлен по касатель- касательной к траектории. Зная законы движения двух точек твердого тела, можно определить центроиды как геометрическое место пересечений нормалей к траекториям точек, взятых в один и тот же момент вре- времени, если только эти нормали не окажутся параллельными. § 2.15. Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой В случае, когда твердое тело имеет одну неподвижную точку О, основание винта поля скоростей в каждый момент времени должно проходить через эту точку. Иначе возникает противоречие с требова- требованием равенства нулю скорости точки О. Точки тела, расположенные на основании винта, также будут иметь нулевую скорость, а скорость произвольной точки тела будет выражаться формулой v = ы х г, где г и ы имеют начало в неподвижной точке О. Следовательно, поле скоростей будет вращательным в любой момент времени. Угловая скорость задает направление мгновенной оси вращения, проходящей через точку О. Аксоиды представляют собой конические поверхности с общей вершиной в неподвижной точке. Подвижный аксоид катится по неподвижному без проскальзывания. Пусть угловая скорость ы представляет собой известную вектор- функцию времени t. В неподвижной ючке О выберем ортонорми- рованный репер 5 векторов е[, е'2, е^, жестко связанных с твердым
134 Глава 2. Кинематика телом, и неподвижный ортонормированный репер So векторов ei, в2, ез. Установим правило, с помощью которого, зная функцию u>(tf), можно вычислить матрицу оператора А € SOC), описывающего дви- движение тела. Как отмечено на стр. 84, столбцы матрицы оператора А суть координаты векторов е(-, г = 1,2,3, жестко связанных с телом, взятые в неподвижном базисе ei, ег, ез. Если известен вектор ы, то скорость точки тела, совпадающей в каждый момент времени с концом вектора е^-, выражается формулой dt =:uxe-, г -1,2,3. Таким образом, относительно каждого вектора е(- имеем одно век- векторное дифференциальное уравнение. В координатной форме оно эквивалентно системе из трех скалярных дифференциальных урав- уравнений. Для того чтобы найти все столбцы матрицы оператора А, имеем систему из трех векторных (г = 1,2,3) или из девяти скаляр- скалярных дифференциальных уравнений. Скалярные произведения е( • е^ остаются постоянными для решений указанной системы. В самом деле 1(в{ • в}) = (ш х е;-) • ej + в[ ¦ (ы х е}) = -ш • (ej х е{ + в{ х в}) = 0. Различных скалярных произведений базисных векторов — шесть: (е'хJ = (е'2J = (е(,J = 1, е\ ¦ е'2 = е\ ¦ е'3 = е'2 е^ = 0. Эти равенства должны быть выполнены в любой момент времени. Их наличие облегчает процедуру поиска столбцов матрицы операто- оператора А. Система уравнений, выражающая изменение векторов подвиж- подвижного репера в репере So, называется системой уравнений Пуассона для базисных векторов, связанных с твердым телом. Такая система удобна, если вектор ы задан координатами в неподвижном репере. В том случае, когда координаты вектора ы заданы в подвижном репере S, удобнее определять не столбцы, а строки матрицы операто- оператора А. Строки представляют собой координаты постоянных векторов еь е2> ез в репере S. Чтобы получить нужные дифференциальные уравнения, заметим, что точка Мг, определяемая концом вектора е,-, участвует в сложном движении. Будучи неподвижной, она перемеща- перемещается относительно репера S, который в свою очередь имеет угловую скорость ы. Относительная скорость такого движения получается путем дифференцирования (d/dt) координат вектора е,- в базисе е^, е72, ез, так что vr = dei/dt. Переносная скорость — это скорость,
2.15. Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой 135 которая была бы у точки М,-, будь она элементом твердого тела: ve = w х ej. Абсолютная скорость точки М{ равна нулю. Следова- Следовательно, dei ^ = -wxei, 1 = 1,2,3. Получили систему уравнений Пуассона для векторов неподвижного репера. Она сохраняет скалярные произведения: (eiJ = (е2J = (е3J = 1, ех • е2 = ех • е3 = е2 • е3 = 0. Установим теперь соотношения между координатами вектора ы и производными по времени от углов Эйлера. Определение углов Эй- Эйлера дано на стр. 91, где оператор А ? 50C) представлен в виде композиции А = А^ о А# о А^. Здесь А^ соответствует углу прецес- прецессии ф, А^ — углу нутации д, А^ — углу собственного вращения <р. По определению вектор угловой скорости вращения вокруг некото- некоторой оси направлен вдоль нее так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки, а модуль векто- вектора угловой скорости равен модулю производной по времени от угла поворота. Оператор А^ оставляет неподвижным вектор е3 . Угловая ско- скорость собственного вращения равна ы^ = фе^ (рис. 2.5.1). Оператор А# оставляет неподвижным вектор B) (*) (*) . е\ ' — е\ ' cos <р — er2 sin <p. Поэтому угловая скорость нутации ы# выражается равенством Оператор А^, оставляет неподвижным вектор е3. Значит, для угловой скорости прецессии uty имеем В примере 2.6.1 указаны выражения для элементов матрицы опера- оператора А через углы Эйлера. Из этих выражений следует (*) е3 = е\ } sin д sin <р + ej sin д cos <р + е^ cos д. тт (к) , (А:) , (А:) ^ Пусть ы = uj\e\ ^-и2е2 +(^з^з • По теореме о сложении угловых скоростей будем иметь ы = ы^ + и># + и?^. Следовательно, = ф sin д sin <p -h fl cos <p, = ф sin д cos <p — fl sin <p, = ф cos д -h ф.
136 Глава 2. Кинематика Отсюда найдем выражения для производных: д = uji cos <p — Ш2 sin <р, ф = (u^sin^ + u^cos^/sintf, ф = о;3 — ф cos??. Получили систему кинематических уравнении Эйлера. Она позво- позволяет вычислить угловое положение твердого тела, если проекции uj\ , u>2, и>з угловой скорости на оси координат, жестко связанные с телом, заданы как функции времени. Отметим вырождение кинематических уравнений Эйлера, когда д = 0. Оно возникает из-за совпадения действий поворотов по углу прецессии и углу собственного вращения, когда eg = ез (см. рис. 2.5.1). Найдем теперь соотношения между координатами вектора и> и производными по времени от кардановых углов а, /?, у (см. рис. 2.5.3). Оператор А^ поворота на угол 7 оставляет неподвижным вектор е^ \ Угловая скорость о>7 выражается равенством ц>7 = 7^3 • Оператор А^2) поворота на угол /? оставляет неподвижным век- вектор ej • Значит, wp = /?е^ . Наконец, оператор А/1) поворота на угол а оставляет неподвижным вектор ei. Следовательно, ша = ае\. Учитывая действие операторов, будем иметь B) (к) . , (к) еу2 — е\ sin 7 + е2 cos T? ei = е[ ' cos /3 cos 7 — e cos /?sin 7 + eg sin /3. Кроме того, должно быть u> = ша + ъ>р + u;7. Поэтому u>i — a cos j3 cos 7 + /?sin7, u>2 = —& cos /3 sin 7 + /3 cos 7, o;3 = dsin/? + 7. Разрешая эти равенства относительно производных, получим а = (wi cos 7 — ^2 sin 7)/ cos /?, /3 = w\ sin 7 + u>2 cos 7, 7 = u>3 — d sin C. Имеем систему кинематических уравнений Эйлера для кардановых углов. Она вырождается, но теперь уже при /3 = тг/2. Кинематические уравнения для параметров Эйлера (параметров Родрига-Гамильтона) свободны от вырождений. Вращение твердого тела (см. стр. 105) определено формулой Pr=QPxQ\ Pr = -P;, Рх = -Р:, QQ*=E, detQ=l,
2.15. Поле скоростей тела с одной неподвижной точкой 137 где Рх = х\(Т\ + Х2<Т2 + хз&з — косоэрмитова матрица, соответству- соответствующая вектору х точки в твердом теле, Рг = г\(Г\ + Г2<Т2 Н- гз0*з — косоэрмитова матрица, соответствующая вектору г положения той же точки в неподвижном пространстве, базисные матрицы <т,- опре- определены на стр. 103. Соответствующие векторы х и г трехмерного пространства имеют вид х = х\&\ + #2е2 + #зез, r = riei + г2е2 + г3е3. Матрица Q Е 5f/B). По теореме 2.7.4 параметры Эйлера служат коэффициентами ее разложения по базисным матрицам Q = q0E + qiai + ?2(Г2 + дз^з- С учетом того, что Рх — постоянная матрица, производная от матрицы Рг по времени дается равенством Рг = QPxQ* + QPxQ* = QQ*QP*Q* + QPXQ*QQ* или Обозначим Pq = 2QQ*. Очевидно, что Pq = 2QQ*. Кроме того, qq* = E-> QQ* + QQ* = 0 - Рп = -РЙ. Поэтому матрица Рп косоэрмитова и Теорема 2.15.1. Справедлива формула г5е fii, Q2j ^з суть компоненты вектора угловой скорости u> e we- подвиэюном репере: ш = Доказательство. Очевидно, имеем Рг = Pv, где Pv — косоэрми- косоэрмитова матрица, соответствующая вектору скорости v точки твердого тела с радиусом-вектором г. Сопоставим матрице Рп вектор ыЕЙ3. Пользуясь формулами теоремы 2.7.3, получим Рг = Pv = ^u>,r] или v = ix г для любой точки твердого тела. Другими словами, Со — и;. При этом координаты вектора угловой скорости и радиуса- вектора точки тела берутся в одном и том же (неподвижном в данном случае) репере
138 Глава 2. Кинематика Теорема 2.15.2. Параметры Кэли-Клейна и кватернионы под- подчиняются кинематическим уравнениям Q = PnQ/2, h = hn о h/2 соответственно. Здесь кватернион hn = fiii-f П^ + Пзк задается компонентами вектора угловой скорости и> в неподвижном репере Ое^ез. Параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) подчиняются следующим кинематическим уравнениям Яо = Я1 = Я2 = Яз = 2 1 2 1 1 2 Доказательство. По определению Рп = 2QQ*. Чтобы получить кинематическое уравнение для параметров Кэли-Клейна, достаточ- достаточно справа умножить это равенство на матрицу Q/2. Далее, матри- матрице Q соответствует кватернион h, а матрице Рп — кватернион hn- Матричное и кватернионное кинематические уравнения изоморфны. Кинематические уравнения для параметров Эйлера получаются пу- путем сравнения коэффициентов при одинаковых базисных матрицах Е, <xi, 0> <7з в соотношении которое получается после разложения правой и левой частей кине- кинематических уравнений для параметров Кели-Клейна по базисным матрицам. ? Следствие 2.15.1. Пусть вектор ш представлен в виде разло- разложения по базисным векторам е\ , е^ , eg репера, жестко связан- связанного с твердым телом: Тогда J.
2.16. Ускорение точки в сложном движении 139 и кинематические уравнения для параметров Кэли-Клейна, кватер- кватернионов, параметров Эйлера соответственно принимают вид qo = 2 1 1 2 1 Доказательство. Имеем Рг - Pv = QPXQ* +QPXQ*- Перейдем в этом равенстве к координатам точки в репере, жестко связанном с телом. Для этого умножим его слева на Q*, а справа на Q. Тогда Pv = Q*PVQ = Q*QP* + P*Q*Q. Косоэрмитовой матрице Рш = 2Q*Q сопоставим вектор ы с коорди- координатами в репере, жестко связанном с твердым телом. Тогда матрица Pv, соответствующая компонентам вектора скорости в том же репере, выразится формулой Отсюда, как и в теореме 2.15.2, заключаем, что матрице Рш отвеча- отвечает вектор угловой скорости, взятый в репере Ое\ '&2 е^ . Осталь- Остальные рассуждения проводятся аналогично доказательству теоремы 2.15.2.D § 2.16. Ускорение точки в сложном движении Теорема 2.16.1. Пусть имеется произвольный вектора, задан- заданный координатами в подвижном ортонормированном базисе е[, е'2} eg. Тогда абсолютная производная вектора а по времени выража- выражается формулой da da. rfT= dF + u>xa' где символ d/dt означает дифференцирование по времени координат вектора а в подвижном базисе (относительная скорость изменения вектора sl), о; — угловая скорость вращения базиса.
140 Глава 2. Кинематика Доказательство. Достаточно воспользоваться теоремой 2.12.1 Эйлера о поле скоростей твердого тела и теоремой 2.11.1 о сложении скоростей в относительном движении.? Теорема 2.16.2. (Кориолйса о сложении ускорений). Аб- Абсолютное ускорение точки М, участвующей в сложном движении, равно сумме где we — переносное ускорение, выражаемое формулой wr — относительное ускорение точки, a wc — добавочное или ко- риолисово ускорение: wc = 2u> x vr, w0 — ускорение начала О\ подвижного репера, и> — угловая скорость подвижного репера^ ы — угловое ускорение, vr — относительная скорость точки, г — радиус-вектор точки М, имеющий начало в точке О\. Доказательство. По теореме 2.12.1 Эйлера найдем абсолютную скорость точки М где у0 — скорость точки О\ в неподвижном репере Ое^ез. Диффе- Дифференцируя абсолютную скорость по времени, получим Применим правило дифференцирования вектора, заданного коорди- координатами в подвижном базисе: wa = w0 + wx r-f w x (a? x r + vr)+wx vr+wr. После очевидных преобразований приходим к требуемой формуле.D Отметим следующие свойства кориолисова ускорения: 1. Кориолисово ускорение обращается в нуль, когда поле скоро- скоростей подвижного репера поступательно (угловая скорость равна ну- нулю), а также когда равна нулю скорость относительного движения точки М. 2. Кориолисово ускорение обращается в нуль, если относительная скорость точки и угловая скорость переносного движения становятся параллельными.
2.16. Ускорение точки в сложном движении 141 Теорема 2.16.3. (Рйвальса). Ускорение произвольной точки абсолютно твердого тела складывается из ускорения полюса, вра- вращательного и осестремительного ускорений: w = wo+wB + woc. Вращательное ускорение дается формулой wB = wxr. Осестремительное ускорение имеет вид Wqc =wx(wxr) = u>(u> • г) — гиЛ Доказательство. Теорема Рйвальса есть следствие теоремы Ко- риолиса, когда отсутствует относительное движение точки: vr = О, wr = 0. В этом случае получим За полюс принимается начало О\ подвижного репера. ? Следствие 2.16.1. Вращательное ускорение возникает при из- менении угловой скорости. Осестремительное ускорение имеется всегда при ненулевых неколлинеарных векторах и) и г. Оно напра- направлено к основанию угловой скорости и перпендикулярно к нему. Пример 2.16.1. Пусть материальная точка М находится на плос- плоской горизонтальной платформе. Платформа вращается с угловой скоро- скоростью fie3 вокруг вертикальной оси е3> проходящей через неподвижную точку О. Радиус-вектор г точки М горизонтален и имеет начало в точке О. Относительно платформы точка М описывает окружность радиуса г с центром в О. Угловая скорость радиуса-вектора г относительно плат- платформы равна —Пе3. Найти компоненты ускорения точки М. Решение. Переносное ускорение возникает из-за вращения плат- платформы: we = woc = fie3 х (Пе3 хг) = —П2г. Относительное ускорение возникает из-за движения точки по платфор- платформе: wr = -fie3 х [(-Пе3) х г) = -fi2r. Оно совпадает и по величине, и по направлению с переносным ускоре- ускорением. Кориолисово ускорение составляет wc = 2?2е3 х vr = 2fie3 x (-fie3 х г) = 2fi2r.
142 Глава 2. Кинематика Абсолютное ускорение отсутствует: = 0. Этого и следовало ожидать, так как точка, участвуя в описанном слож- сложном движении, остается неподвижной в абсолютном пространстве.О Пример 2.16.2. Найдем ускорение точки, движущейся относи- относительно поверхности Земли. Пренебрегая сжатием Земли, примем ее за шар, радиус которого R = 6371,1км. Так как Земля совершает обо- оборот вокруг своей оси за одни сутки, то модуль Q угловой скорости и? вращения Земли (|и?| — п) будем считать равным 2тг 24 •3600 и 0,00007272с" Подвижный репер, жестко связанный с поверхностью Земли, выберем следующим образом. Возьмем полюс О\ на земной параллели, соответ- Начало координат О\ лежит на поверх- поверхности Земли. Третья ось направлена вдоль радиуса из центра Земли. Вто- Вторая ось по меридиану к Югу. Первая ось направлена на запад. Выбранные оси образуют правую систему коорди- координат. Они жестко связаны с Землей и вращаются с угловой скоростью и?. Рис. 2.16.1. Система координат, связанная с Землей ствующей какой-нибудь широте д. Вектор eij направим вдоль радиуса, проведенного из центра земной сферы в точку О\. Вектор ei> напра- направим по меридиану к югу, вектор е\ ' направим на запад по касательной к параллели (рис. 2.16.1). Точка О\ имеет скорость v0, равную по мо- модулю Qp, где р есть радиус параллели на широте ??, и направленную в сторону, противоположную вектору е\ \ Имеем v0 = -URcosi)e[k\ В связи с тем что репер О\е[ ^ е^ вращается вместе с Землей, его угловая скорость w совпадает с угловой скоростью Земли и направлена с юга на север, что соответствует вращению с запада на восток. Из рисунка видно, что вектор w образует с вектором eg угол, равный тг/2 — г?, с
2.16. Ускорение точки в сложном движении 143 вектором &2 — угол, равный 7г — г?, а с вектором е^ ' — угол, равный 7г/2. Следовательно, <•> = -ft cos г? еBк) + п sin г? 44 Абсолютная скорость точки М, заданной в репере Oie^ 4 4 * ради- радиусом-вектором ?>4'L*) выразится формулой dv V=-7T at или v= (- ^ J e^ Для вычисления абсолютного ускорения точки М воспользуемся те- теоремой Кориолиса. Точка О\ описывает окружность с центром С (рис. 2.16.1) и имеет постоянную линейную скорость ОД cos г?. Поэтому мо- модуль ее ускорения есть ?L2Rcosd. Перпендикуляр из точки О\ на ось вращения образует с вектором е2 угол, равный [—Gг/2 + г?)], а с векто- вектором eg — угол 7г — г?. Значит, w0 = -i Угловое ускорение отсутствует. Осестремительное ускорение woc прини- принимает вид wO(.=wx(wxr) = -хгп2е[к) - п2 sin t?(x3 cos г? + х2 sin д)е[к)- —Q2 cos г?(хз cos д + х2 sin г?L \ Найдем координаты кориолисова ускорения wc = 2wxvr: wc = 2п \- [ -4rcosi?-|- -4^ sin г? ] e(*} +-^(e^^ini?-h e^^osi?) . Компоненты абсолютного ускорения w = wie[k) + w2eBk)
144 Глава 2. Кинематика выражаются следующими формулами: It COS + "rft w2 = -Д^ + 2ft^sintf-ftsi at1 at w3 = -r~ + 2ft—- cos i? - ft2 cos #(Я cos # + z3 cos д + x2 sin #). at1 at Видим, что члены, связанные с осестремительным ускорением, весьма малы. Для того чтобы оценить влияние кориолисова ускорения, рассмо- рассмотрим следующие частные случаи. Случай 1. Пусть точка движется вдоль меридиана по траектории х\ = О, Х2 = —/Zsina, хз = R(cosa — 1). Тогда dxi dx2 . dx3 D. . —-г- = 0, —г- = — /mcosa, -r = ~icasma. at at at В кориолисовом ускорении только первая компонента не равна нулю: wc = 2Qi?dsin(tf + ос)е[к\ Тем самым кориолисово ускорение зависит от широты места расположе- расположения движущейся точки. Модуль этого ускорения равен нулю на экваторе (а = —г?), где скорость точки параллельна оси вращения Земли, и до- достигает максимума на полюсе (а = тг/2 — г?). Случай 2. Предположим, что вода течет в реке в Северном полуша- полушарии с юга на север (а > 0). При этом частицы воды должны получить ускорение wc, направленное с востока на запад. Такое ускорение сооб- сообщает частицам воды берег реки. Следовательно, правый берег должен интенсивнее подмываться водой и будет более крутым, чем левый. Если река течет с севера на юг, то а < 0, и кориолисово ускорение изменит свое направление на противоположное. Значит, и тогда река в Север- Северном полушарии будет больше подмывать правый берег, который окажет- окажется круче, чем левый. Это свойство рек носит название закона Бэра. В Южном полушарии структура берегов будет иной. Случай 3. Представим себе, что с корабля, находящегося на Север- Северном полюсе, производится выстрел из пушки в горизонтальном напра- направлении. Пусть снаряд имеет скорость v. Ускорение Кориолиса будет иметь величину 2Qt\ и линейное отклонение снаряда от его первона- первоначального направления по истечении времени t будет приблизительно
2.17. Поле ускорений в твердом теле 145 равно ilvt2. Угловое же отклонение этого снаряда будет приблизитель- приблизительно равно линейному отклонению, деленному на пройденный путь. Сле- Следовательно, оно равно ф « uvt2/vt = Ш, т. е. равно углу поворота земного шара за время t. Случай 4. Значительное влияние кориолисова ускорения можно на- наблюдать в метеорологических явлениях. Ветер, т. е. движение воздуш- воздушных масс, при отсутствии кориолисова ускорения дул бы в направле- направлении от области большего атмосферного давления к области меньшего. Следовательно, направление ветра было бы перпендикулярно изобарам. Однако имеет место ускорение Кориолиса, направленное в Северном по- полушарии справа налево, если смотреть вдоль скорости потока. Поэтому в относительном движении частицы воздуха испытают добавочное уско- ускорение. Область низкого давления с приблизительно концентрическими изобарами называют циклоном. Из-за кориолисова ускорения воздуш- воздушные массы циклонов Северного полушария вращаются против хода ча- часовой стрелки. В Южном полушарии такое движение совершается по ходу часовой стрелки.О § 2.17. Поле ускорений в твердом теле Определение 2.17.1. Точка твердого тела, ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю, называется мгновен- мгновенным центром ускорений. Пример 2.17.1. Рассмотрим круговой обруч, катящийся в вер- вертикальной плоскости по горизонтальной прямой без проскальзывания. Если скорость центра обруча постоянна, то центр обруча и будет мгно- мгновенным центром ускорений. Вместе с тем мгновенный центр скоростей (см. определение 2.14.1) совпадает с точкой соприкосновения обруча и опорной прямой.О Теорема 2.17.1. Если угловая скорость и угловое ускорение аб- абсолютно твердого тела одновременно не равны нулю и не коллине- арны: w х w / 0, то существует единственный мгновенный центр ускорений, и его радиус-вектор относительно полюса О\ репера, жестко связанного с телом, выражается формулой Г = |^|2^Wq ' (w х " || +(w0 . ш) ш - (w0 • u>)(u> х w)], где обозначения совпадают с принятыми в разделе 2.16. Доказательство. Воспользуемся теоремой 2.16.3 Ривальса. Так как абсолютное ускорение искомой точки равно нулю, то имеем урав- 10- 1503
146 Глава 2. Кинематика нение, определяющее радиус-вектор этой точки: Wo +WXT + U?(W • Г) — Y(jJ2 = 0. Вектор г будем искать в виде г = au> -f /?u> -f y(u> x и;). Подставим выражение для г в уравнение: w0 - (a + yu2)(u> xw) + (yu>2 + /?(u> • u>))u> - G@? • w) + u2f3)u> = 0. Умножим полученное равенство скалярно сначала на о;, затем на ы, потом на (о> х а>). Тогда получим систему трех уравнений относи- относительно трех неизвестных а, /?, у: w0 • u> + у[ш2и>2 — (u> • u;J] = w0 • u> + 7|u; x а>|2 = О, w0 • u> + j3[(w • u>J - u;2u;2] = w0 • u> - /5|w x w|2 = 0, wO'(wxw)-(a + 7u;2)|u; x u>|2 = 0. Отсюда легко найти а, /3 и у. После подстановки их в выражение для г убеждаемся в справедливости теоремы.D Если мгновенный центр ускорений принять за полюс, то для дан- данного момента времени ускорение любой другой точки твердого тела выражается формулой w = u>xr*+u>x(u>x г*), где г* — радиус-вектор точки тела, имеющий начало в мгновенном центре ускорений. В правой части этой формулы имеются лишь две составляющие: вращательное и осестремительное ускорения. Обратимся теперь к случаю, когда w x w = 0. Так может быть, например, при а> = а? = 0. Нетрудно убедиться в том, что тогда, если w0 = 0, то мгновенным центром ускорений будет любая точка твердого тела, а если w0 ф 0, то мгновенный центр ускорений отсут- отсутствует. Пусть и> и и> не равны нулю одновременно. При wxw=0 они будут кол линеарными, и можно принять и> = ш е^, ы = ш ew, где еш — единичный вектор их общего направления. Теорема 2.17.2. Пусть угловая скорость u> u угловое ускорение и* удовлетворяют условиям Тогда, если ea,-w0 ф 0, то мгновенный центр ускорений не существу- ет, а если еш • w0 = 0, то имеется множество мгновенных центров
2.17. Поле ускорений в твердом теле 147 ускорений, составляющих прямую, параметрическое уравнение ко- которой имеет вид г = . [угои2 + w х w0] + Аеы, +w4 L J где А — произвольный скалярный параметр. Доказательство. В условиях теоремы уравнение, служащее для определения радиуса-вектора мгновенного центра ускорений, запи- запишем следующим образом: w0 + u(ew x r) + ш2еш х (еы х г) = 0. Поскольку еы • (еы х г) = 0 и еш • [еы х (еы х г)] = 0, то решение этого уравнения может быть тогда и только тогда, когда wo еы = 0. Пусть это условие выполнено. Будем искать г 1_ и>. Для такого г уравнение принимает вид и>(еы х г) — (jj2y = —w0. Умножим это уравнение слева векторно на еы: —о;2(еы xr)-wr= — еш х w0. Исключим из полученных двух уравнений член, содержащий (е^ х г): Г = -ГТ-; -т [WOU2 +WXWe]. Поскольку множество решений допускает сдвиг вдоль направления еы, получаем уравнение прямой, указанное в утверждении теоремы.D Обратимся к изучению поля ускорений в плоскопараллельном движении. Зададим точку твердого тела радиусом-вектором г, вы- выходящим из неподвижного полюса О, а мгновенный центр скоростей — радиусом-вектором vv с началом в том же полюсе. По теореме 2.14.1 найдем скорость точки твердого тела в плоскопараллельном движении: v = г = и> х (г-г„), где u> ± v, u> ± (г — rv). Теорема 2.17.3. Абсолютное ускорение wv точки твердого те- тела, совпадающей с мгновенным центром скоростей, выражается формулой wv = -u> х rv, где rv — абсолютная скорость движения мгновенного центра ско- скоростей по неподвижной центроиде. 10*
148 Глава 2. Кинематика Доказательство. Дифференцируя скорость плоскопараллель- плоскопараллельного движения, получим w = v = и> х (г - г„) + и> х (г - rv). Положим г = rv. Тогда г = 0 как скорость точки тела, совпадающей с мгновенным центром вращения. ? Пример 2.17.2. Рассмотрим круговой обруч, катящийся в вер- вертикальной плоскости по горизонтальной прямой без проскальзывания (рис.2.17.1). Пусть и — скорость центра обруча. Она направлена го- При качении обруча по горизонталь- горизонтальной неподвижной прямой мгновенный центр скоростей совпадает с точкой ка- u сания прямой и обруча. Если центр об- обруча движется равномерно, то мгновен- мгновенный центр ускорений совпадает с цен- центром обруча. Точка обруча, которая ка- касается прямой, не имеет скорости, но имеет ускорение. Рис. 2.17.1. Качение обруча по прямой ризонтально. Мгновенный центр вращения в каждый момент време- времени совпадает с проекцией центра обруча на опорную прямую. Значит, rv = u. Радиус обруча примем равным a . Тогда получим величину угловой скорости ш = u/a . Вектор угловой скорости u> JL rv направлен так, что из его конца вращение обруча видно происходящим против хода часовой стрелки. Воспользовавшись теоремой 2.17.3, найдем, что мо- модуль ускорения точки обруча, совпадающей в данный момент времени с мгновенным центром скоростей, выражается формулой wv = и2/а. Век- Вектор wv направлен по радиусу из мгновенного центра скоростей (точки касания обруча с опорной прямой) к центру обруча.О Из теоремы 2.17.3, в частности, следует, что мгновенный центр скоростей будет одновременно и мгновенным центром ускорений то- тогда и только тогда, когда rv = 0. Если за полюс принять мгновенный центр ускорений плоскопа- плоскопараллельного движения, то по теореме 2.16.3 (Ривальса) формула для расчета ускорения произвольной точки М тела примет вид w = и> х (г - г^) - (jj2(y - rw),
2.17. Поле ускорений в твердом теле 149 где г^ — радиус-вектор мгновенного центра ускорений. Другими словами, поле ускорений плоскопараллельного движения таково, как будто твердое тело вращается вокруг мгновенного центра ускорений. Вращательное ускорение перпендикулярно вектору (г — г^). Осе- стремительное ускорение параллельно (г —г^). Следовательно, угол 0 между направлением ускорения точки М и прямой, соединяющей точку М с мгновенным центром ускорений, не зависит от располо- расположения точки М в теле и может быть вычислен с помощью равенства tg/З = ш/и2. Модуль ускорения точки вычисляется по формуле |w| = Ir-r^lVu^ + uJ4. В плоскопараллельном движении угловая скорость и угловое уско- ускорение коллинеарны: u> x u> = 0. Когда эти параметры известны, мгновенный центр ускорений можно определить с помощью теоремы 2.17.2. По смыслу введенных обозначений будем иметь 1 г 9 1 где ri — радиус-вектор точки, ускорение которой известно и равно Wi. В частности, это может быть мгновенный центр скоростей. Тогда П = rv, wi = ifi = — u> x rv и rw -rv = ^2 [urv - w(w x rv)]. Мгновенный центр ускорений можно определить и тогда, когда зада- заданы не совпадающие друг с другом ускорения двух различных точек твердого тела. В самом деле, пусть Wi — ускорение точки тела, име- имеющей радиус-вектор ri, а W2 — ускорение точки, имеющей радиус- вектор Г2- По теореме 2.16.3 должно быть выполнено равенство w2 = wx + u> х (г2 - rx) - u>2(r2 - гх), в котором учтено, что u> Jl (r2 — Гх). Из этого равенства следует 2 (W2 ~Wx) -(r2-ri) . (r2-ri) X (w2 -Wx) ^ " (Г2~ГхJ ' W" (Г2-ГхJ Напомним, что модуль скалярного произведения векторов равен про- произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, а модуль векторного произведения равен произведению модулей сомно- сомножителей на синус угла между ними. Поэтому
150 Глава 2. Кинематика Подставив найденные выражения в формулу для вычисления радиу- радиуса-вектора мгновенного центра ускорений и выполнив очевидные пре- преобразования, получим i[( ) W2] - r2[(w2 - "" wl) +(r2-ri) x (w2 x wi)}. Контрольные вопросы к главе 2 2.1. Радиус-вектор r(t) движущейся точки можно представить коор- координатами в различных реперах, в том числе подвижных и не- необязательно сохраняющих ортонормированность. Как следует выразить скорость точки, если базисные векторы е, суть про- произвольные заданные функции времени? 2.2. В примере 2.1.1, вычислив скалярное произведение, убедиться, что вектор скорости точки перпендикулярен ее радиусу-вектору с началом (а, 6, с). Какую поверхность заметает радиус-вектор движущейся точки, исходящий из начала координат? 2.3. Показать, что если точка движется по плоскости с постоянной по величине ненулевой скоростью и постоянным по величине не- ненулевым нормальным ускорением, то ее траектория есть окруж- окружность. 2.4. В каком случае закон движения абсолютно твердого тела мож- можно однозначно определить, если заданы законы движения двух несовпадающих точек этого тела? 2.5. Доказать следствие 2.4.1. 2.6. Выписать зависимость компонент матрицы оператора А 6 50C) от углов Эйлера. 2.7. Выписать зависимость компонент матрицы оператора А Е 50C) от кардановых углов. 2.8. Каким вращениям твердого тела соответствует значение пара- параметра Эйлера до = О? 2.9. Каким вращениям твердого тела соответствуют значения пара- параметров Эйлера (ji = q2 = <?з = О? 2.10. Доказать, что преобразование подобия Р = QPxQ~l, detQ ф О, сохраняет все собственные значения матрицы Рх.
Контрольные вопросы к главе 2 151 2.11. Доказать формулу Р\а,[ъ,с]] = ^&(а • с) - Рс(а • Ь) (см. теорему 2.7.3). 2.12. Построить унитарную матрицу Q по углам Крылова. 2.13. Найти кватернион h E И\ по кардановым углам. 2.14. Пусть #0, Я\1 <72> Яз — параметры Эйлера для Ai Е 50C), a q$, q", g2, <?з — параметры Эйлера для А2 Е 50C). С использова- использованием свойств унитарных матриц найти параметры Эйлера для композиции А = Ai о А2. 2.15. Пусть #0) Qi, ?2) <7з — параметры Эйлера для композиции А = Ai о А2 операторов Ai € 5ОC) и А2 Е 50C), a q'o, q[, q'2i qf3 — параметры Эйлера для оператора Ai. С использова- использованием свойств унитарных матриц найти параметры Эйлера для оператора А2. 2.16. С использованием понятия дифференциала вращения выразить множество всех дифференциалов смещений точек твердого те- тела, имеющего одну закрепленную точку. 2.17. Дать определение угловой скорости при произвольном движе- движении твердого тела. 2.18. С помощью формулы Эйлера (см. теорему 2.12.1) выразить ско- скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, если радиус-вектор г точки тела имеет начало в точке О, а ось вращения через точку О не проходит. 2.19. Доказать, что при движении твердого тела вокруг неподвижной точки справедлива формула 1 / •/ где и> — вектор угловой скорости, е^, е'2, е^, — базисные век- векторы репера, жестко связанного с телом и имеющего начало в неподвижной точке, а ё^, ё'2, eg — производные по времени от этих векторов. 2.20. Пусть ft = ^u>,' — суммарный вектор системы угловых скоро- скоростей, а V = 53 v,- — суммарный вектор поступательных полей скоростей. Показать, что если а) Л • V = О, И / 0, то поле скоростей приводится к враща- вращательному,
152 Глава 2. Кинематика b) ft • V ф О, то поле скоростей приводится к винтовому, c) ft = О, V ф О, то поле скоростей приводится к поступа- поступательному, d) ft = О, V = О, то скорости всех точек тела равны нулю. 2.21. Показать, что если ft = Yl^i' Ф О В плоскопараллельном дви- движении, то поле скоростей приводится к вращательному. Найти уравнения результирующей оси угловой скорости в случае та- такого движения. 2.22. Пусть в осях, связанных с твердым телом, вектор угловой ско- скорости тела, движущегося вокруг неподвижной точки, выража- выражается формулой о> = ре[ + qef2 + ге'3. Выписать в скалярном виде систему уравнений Пуассона для координат векторов не- неподвижного репера. Непосредственным дифференцированием проверить сохранение скалярных произведений базисных век- векторов. 2.23. Выразить в скалярном виде компоненты угловой скорости твер- твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, в осях, жестко связанных с телом, и в неподвижных осях через про- производные от параметров Эйлера. 2.24. Пусть абсолютное ускорение точки тождественно равно нулю, ускорение полюса и угловое ускорение движущейся системы ко- координат отсутствуют. Написать уравнение, которому подчиня- подчиняется относительное ускорение точки. Каким общим методом можно исследовать решения этого дифференциального уравне- уравнения? 2.25. Найти уравнения Земной параллели в координатах примера 2.16.2. Исследовать в этих координатах влияние кори- олисова ускорения в случае, когда точка движется вдоль па- параллели. 2.26. Пользуясь теоремой 2.17.1, определить положение мгновенного центра ускорений для случая, когда w0 Л о> и w0 JL и>. 2.27. Пользуясь теоремой 2.17.2, определить положение оси мгновен- мгновенных центров ускорений движения в случае Со = 0. Объяснить механический смысл полученного решения. 2.28. По формуле, выражающей радиус-вектор мгновенного центра ускорений по заданным ускорениям двух точек в плоскопарал- плоскопараллельном движении твердого тела, найти положение мгновенно-
Контрольные вопросы к главе 2 153 го центра ускорений для случая wx || W2, где Wi — ускоре- ускорение точки с радиусом-вектором ri и W2 — ускорение точки с радиусом-вектором Г2- Показать, что мгновенный центр уско- ускорений принадлежит прямой, соединяющей эти точки.
Глава 3 Динамика поступательного движения § 3.1. Пространственно-временная структура Из всех событий реального мира теоретическая механика выделя- выделяет главным образом события, связанные с геометрическим аспектом процесса движения. Такие события состоят в том, что рассматривае- рассматриваемая геометрическая точка в заданный момент времени занимает кон- конкретное положение в физическом пространстве. В этом смысле пред- представление о мире можно предельно упростить, изображая его события точками в четырехмерном пространстве, полученном из трехмерно- трехмерного физического пространства добавлением измерения, отражающего ход времени. Время — особое измерение. Его отношение к геометри- геометрическим объектам зададим с помощью галилёевой пространственно- временной структуры, включающей следующие аксиомы: 1. Мир — четырехмерное аффинное пространство А4. Точки этого пространства называются мировыми точками или событиями. Про- Пространству А4 соответствует линейное пространство R4. 2. Интервал времени — линейная функция t : R4 —> Я, отобража- отображающая линейное пространство векторов на вещественную "ось" вре- времени. Промежутком времени от события В ? А4 до события С ? А4 называется число <(ВС). Если <(ВС) = 0, то события В и С назы- называются одновременными. Множество всех одновременных событий трехмерно и образует аффинное пространство А3. Ему соответству- соответствует линейное пространство R3. 3. Расстояние между одновременными событиями задается ска- скалярным произведением в пространстве R3: р(Я,С) = |ВС|, Be А3, Се А3. Пространство А3, в котором введена указанная пространственно- временная структура, называется галилеевым пространством. Галилеево преобразование — это аффинное преобразование А4 —-> А4, сохраняющее структуру галилеева пространства, т.е. сохраняю- сохраняющее интервалы времени и расстояния между одновременными собы- событиями.
3.1. Пространственно-временная структура, 155 Теорема 3.1.1. Каждое галилеево преобразование представля- представляет собой движение трехмерного пространства одновременных со- событий, сопровождаемое сдвигом начала отсчета времени. Доказательство. Пусть задано событие В. Выберем опорное со- событие О. Тогда в соответствии с галилеевой структурой будем иметь В = (С, <(ОВ)), где С принадлежит пространству А3 всех одновре- одновременных с В событий. В пространстве А3 выберем опорную точку О'. Событие В можно охарактеризовать временем t и радиусом-век- радиусом-вектором х G R3 с началом в точке О' и концом в точке С. В общем случае аффинное преобразование А4 —> А4 записывается следующим образом: х' = Ах + Ы + с, V = at x + btt + ct, где А — линейный оператор; Ь, а(, с G Я3; &*, ct — скалярные ко- коэффициенты. При галилеевых преобразованиях любые два одновре- одновременных события переходят в одновременные. Пусть В и D два таких события: В = (х,<), D — (у,<)- После галилеевого преобразования должно быть а* • (у — х) = 0. Векторы х и у могут быть произволь- произвольными. Поэтому а* = 0. Таким образом, t' = btt + ct. Коэффициент bt задает изменение масштаба времени. Интервал времени сохраняется лишь при bt — 1. Далее, в соответствии с теоремой 1.1.1 расстоя- расстояния между одновременными событиями сохраняются тогда и только тогда, когда матрица А линейного оператора ортогональна. Следова- Следовательно, произвольное галилеево преобразование можно представить в виде х' = Ах + Ы + с, ААТ = Е, f = t + ct.U Все галилеевы преобразования образуют группу. Примерами та- таких преобразований могут служить: 1. Равномерное движение со скоростью Ь: 2. Изменение опорной точки (сдвиг): 3. Вращение пространства А3: G3(x, t) : (х, t) -> (Ах, <), A G 50C). Следствие 3.1.1. Каждое галилеево преобразование однозначно представляется с помощью композиции вращения, сдвига и равно- равномерного движения: G = G\ о G*i о Gz-
156 Глава 3. Динамика поступательного движения Для любой пары галилеевых пространств существует взаимно од- однозначное соответствие одного пространства другому, сохраняющее галилееву структуру. В этом смысле все галилеевы пространства изоморфны друг другу и изоморфны координатному пространству R3xR. Взаимно однозначное соответствие А4 —* R3 x R называется гали- леевой системой координат (системой отсчета). § 3.2. Первый закон Ньютона. Принцип относи- относительности При поступательном движении какого-нибудь тела скорости и ускорения любой пары его точек одинаковы, и все точки описыва- описывают траектории, которые можно получить друг из друга сдвигом на вектор, постоянный вдоль траектории отдельной точки. Анализ дви- движения такого тела сводится к изучению движения какой-либо одной его точки. Определение 3.2.1. Материальная точка — это точка, заме- заменяющая реальное тело, способное в силу сложившихся конкретных условий совершать только лишь поступательное движение. Взаимо- Взаимодействие материальных точек означает взаимодействие соответству- соответствующих поступательно движущихся тел. Материальной точке прида- придаются все свойства поступательно движущегося тела, определяющие закон его движения. Замечание. Ответ на вопрос о том, можно ли заменить матери- материальной точкой тот или иной объект, зависит не столько от размеров объекта, сколько от особенностей его движения и степени идеализа- идеализации задачи. Определение 3.2.2. Система отсчета называется инерциалъной, если по отношению к ней любая свободная от взаимодействий с други- другими объектами Вселенной (изолированная) материальная точка дви- движется равномерно и прямолинейно. Первый закон (постулат) Ньютона состоит в утверждении, что инерциальные системы отсчета существуют. Наделение неко- некоторой системы отсчета свойством инерциальности является сильным утверждением и всегда нуждается в обосновании. Теорема 3.2.1. Все системы отсчета, получающиеся из инер- циальной с помощью галилеевого преобразования) будут инерциаль- ными. Доказательство. Пусть в инерциальной системе отсчета коор- координаты изолированной материальной точки имеют вид (х,<), а закон
3.2. Первый закон Ньютона. Принцип относительности 157 ее равномерного движения задан равенством х = хо + vtf, где хо, v суть постоянные векторы. Применим к этой системе галилеево пре- преобразование у = Ах + Ы + с, t' = t + ct. Тогда закон движения рассматриваемой материальной точки в новой системе отсчета (у,<') примет вид У =yo + vy<', где уо = А(хо — vet) — bct + с, vy = Av + b, причем векторы уо и vy постоянны. Это — закон равномерного движения.D Из теоремы 3.2.1 следует, что инерциальных систем отсчета суще- существует бесконечно много. Принцип относительности Галилея утверждает, что при из- изучении законов движения все инерциальные системы отсчета рав- равноправны. Экспериментатор, проводящий опыты в инерциальной си- системе отсчета, не может обнаружить движение этой системы. Определение 3.2.3. Механической системой называется мно- множество материальных точек и твердых тел, которые могут взаимо- взаимодействовать друг с другом и с любыми другими объектами. Изоли- Изолированной механической системой называется множество материаль- материальных точек и твердых тел, которые могут взаимодействовать друг с другом, но лишены возможности взаимодействовать с другими объ- объектами Вселенной. Согласно принципу относительности все законы и уравнения ме- механики, установленные для изолированной механической системы в какой-либо одной инерциальной системе отсчета, сохраняют свой смысл и форму при переходе к любой другой инерциалькой системе отсчета (инвариантны по отношению к преобразованию координат). Это значит, что после выполнения преобразований, связанных с пе- переходом к новой системе отсчета, структура математических выра- выражений законов в новых переменных имеет такой же вид, какой она имела в исходных переменных, и законы выражаются с помощью од- одних и тех же функциональных зависимостей. Исследуем ограничения, которые накладывает принцип от- относительности на структуру законов механики. Пусть Wj — ускорения, v, — скорости, г,- — радиусы-векторы материальных то- точек (г = 1,..., TV) изолированной механической системы, t — время и пусть равенство ФA?1, . . . , Wat, Vi, . . . , Vjv, П, . . ., Гдг, <) = О выражает некоторый закон механики. Тогда:
158 Глава 3. Динамика поступательного движения 1. Изолированная механическая система всегда автономна, т. е. функция Ф не зависит явно от времени. Действительно, пусть г,(<), i = 1,..., N суть законы движения всех точек системы. Среди гали- леевых преобразований имеется сдвиг по времени. В соответствии с теоремой 3.2.1 и принципом относительности получим, что функции Yi(t — r), i = 1,..., N при любом значении т будут законами движения тех же точек, а значит, соответствующие им w,(tf — г), v,(tf — г) вместе с г,(< — г) обязаны удовлетворять уравнению Ф(*Г;(* - Т), V4(< - T),Vi(t - Г), 0 = 0. Обозначив s = t — т, найдем <S>(w,(s), v,(s), n(s), s + г) = 0. Поскольку т произвольно, видим, что Ф не зависит от т. 2. Функция Ф может зависеть лишь от разностей радиусов-векто- радиусов-векторов и разностей скоростей точек изолированной системы. В самом деле, среди галилеевых преобразований имеются сдвиги в трехмер- трехмерном пространстве. Пусть r,(tf), i = l,...,iV суть законы движения всех точек системы. Тогда r,(<) -f r, i = 1,..., JV, г = const также будут законами их движения. А это значит, что совместно должны быть выполнены равенства ФA?,-,У|-,Г1,...,Глг) = 0, ФA?,-, V,-, Г1 + Г, . . ., Глг + Г) = 0, в любой момент времени t. Зафиксируем время и выберем сначала г = —п. Тогда получим другое, эквивалентное в данный момент времени исходному, выражение для исследуемого закона механики: Ф^,у,-,0,г2-Г1,...,глг -ri) = 0. Применим к этому выражению повторный сдвиг всех векторов на век- вектор г = ri -f г', где г' — произвольный вектор. Тогда получим Ф(тг<, v,, ri + г;, г2 - ri,..., глг - ri) = 0. Поскольку значение г' произвольно, видим, что Ф от г' не зависит, а значит Ф может зависеть только от комбинаций г,- — ri. Анало- Аналогичное рассуждение можно провести для любого другого вектора г,. Следовательно, Ф может зависеть лишь от разностей г, — г;-. Далее, среди галилеевых преобразований имеются переходы к равномерно движущимся системам отсчета с сохранением направлений базисных
3.3. Принцип детерминированности 159 векторов. Такие преобразования приводят к изменению всех скоро- скоростей V,-, i = 1,..., JV, на постоянный вектор v. При этом закон Ф = О должен остаться справедливым: $(wt-,V! + v,v2+v,...,vjv + v,r, -г,) = 0. Проводя теперь рассуждения, аналогичные тем, которые применя- применялись при доказательстве первой части свойства, убеждаемся, что Ф может зависеть только от разностей v,- — Vj и не может зависеть не- непосредственно от значений скоростей. 3. Функция Ф инвариантна относительно преобразования всех ар- аргументов с помощью ортогональных линейных операторов. По теоре- теореме 3.1.1 среди галилеевых преобразований имеются преобразования с помощью ортогональных линейных операторов. Значит, если г,(<), г — 1,..., JV, суть законы движения точек изолированной системы, то rj = Аг, выражают те же законы, но в повернутой инерциальной системе отсчета. При этом ААТ = Е и А — постоянный линейный оператор. Значит, vj = Av,, wj = Aw,-. Согласно принципу относи- относительности Галилея равенства Ф(\^,у,-,г,) = 0, Ф(Ауг.-, Avt-, Аг,-) = 0 должны быть эквивалентными, что и доказывает справедливость свойства. 4. Если изолированная механическая система состоит из одной материальной точки, то функция Ф зависит только от ускорения w этой точки, причем уравнение Ф^) = 0 допускает нулевое решение. В самом деле, согласно пунктам 1 и 2 функция Ф в рассматриваемом случае не может зависеть от радиуса-вектора г, скорости v точки, а также от времени t. По определению инерциальной системы отсчета изолированная материальная точка имеет в ней ускорение, равное нулю. Следовательно, равенство w = 0 должно быть следствием рассматриваемого закона механики, и такое w должно удовлетворять уравнению Ф(\у) = 0. Изолированная материальная точка может испытывать ускоре- ускорение в какой-либо системе отсчета, только если эта система отсчета не инерциальна. Если система отсчета инерциальна, а материаль- материальная точка имеет ускорение, то это ускорение есть следствие влияния других объектов и точка не изолирована. § 3.3. Принцип детерминированности Состоянием механической системы (определение 3.2.3) называ- называется набор одновременных значений радиусов-векторов и скоростей всех ее точек.
160 Глава 3. Динамика поступательного движения Принцип детерминированности Ньютона утверждает, что состояние механической системы, заданное в любой момент време- времени, однозначно определяет все ее дальнейшее движение. Этот принцип безусловно удовлетворяется, когда между ускоре- ускорениями точек механической системы и составляющими ее состояния существует зависимость, не содержащая третьих и более высокого порядка производных от радиусов-векторов точек. Существование такой зависимости в дальнейшем принимается в качестве эквивален- эквивалента принципу детерминированности. Зависимость между состоянием системы и производными третьего порядка и выше также может быть установлена, но без дополнитель- дополнительных ограничений она приведет к дифференциальным уравнениям, для однозначного решения которых недостаточно задать лишь состо- состояние системы, что окажется в противоречии с принципом детермини- детерминированности. Рассмотрим изолированную систему из двух материальных точек в инерциальной системе отсчета. Состояние первой точки пусть бу- будет ri, vi, а второй — Г2, V2- Когда эти точки взаимодействуют, то изменение скоростей этих точек не будет одинаковым. Вместе с тем, согласно многочисленным экспериментальным данным, можно каждой материальной точке сопоставить такую скалярную постоян- постоянную ш,- > 0, (г = 1,2), называемую массой, что будет выполнено равенство Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет свое зна- значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях ма- материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий. Рассмотрим теперь одну материальную точку с массой т, под- подверженную внешнему воздействию. В соответствии с принципом де- детерминированности ускорение этой точки есть функция от радиуса- вектора и скорости этой точки, а также, быть может, времени t. Ма- Математическим выражением этого служит второй закон Ньютона: -(mv)=F(r,v,*). Вектор, стоящий в правой части последнего равенства, называется силой. Сила есть мера воздействия, вследствие которого возникает или способно возникнуть ускорение точки. Произведение mv назы- называется количеством движения материальной точки.
3.3. Принцип детерминированности 161 Второй закон Ньютона утверждает, что производная по време- времени от количества движения материальной точки равна действую- действующей на точку силе. В системе СИ единицей измерения силы служит 1н (ньютон), а единицей измерения массы — 1кг. По определению [н]=[мкг/с2]. Другими словами, 1н — это сила, которая массе 1кг сообщает уско- ускорение 1м/с2. Понятие силы дает возможность сформулировать третий закон Ньютона, который описывает взаимодействие двух материальных точек (определение 3.2.1). Пусть имеются две материальные точки Аи В. Действие точки В на точку А выразим силой F^, а действие точки А на точку В — силой F# • Третий закон Ньютона утверждает, что силы Fa и F# равны по величине, действуют вдоль одной прямой, направлены в проти- противоположные стороны, но приложены к соответствующим точкам физически различных поступательно перемещающихся тел А и В (закон равенства действия и противодействия). Пусть материальная точка взаимодействует с несколькими объ- объектами. Можно рассматривать силу, которая воздействует на точку со стороны каждого объекта при условии, что другие объекты отсут- отсутствуют. В этом смысле будем говорить об одновременном действии на точку нескольких отдельных сил. Результат такого действия опре- определяется следующими аксиомами. Аксиома 3.3.2. Все силы, действующие одновременно на посту- поступательно движущееся тело, имеют начало в одной геометрической точке тела, которая и принимается в качестве материальной точ- точки. Аксиома 3.3.3. Действие на материальную точку двух сил эк- эквивалентно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения векторов сил. Отсюда следует, что действие на материальную точку нескольких сил эквивалентно действию од- одной равнодействующей. Аксиома 3.3.4. Совокупность сил, приложенных к материаль- материальной точке, не вызывает ускорения, или, что то же самое, эквива- эквивалентна нулю тогда и только тогда, когда равнодействующая этой совокупности сил равна нулю. Аксиома 3.3.5. К силам, действующим на материальную точ- точку, можно добавить произвольное эквивалентное нулю множество сил. От этого ускорение точки не изменится. II -1503
162 Глава 3. Динамика поступательного движения § 3.4. Работа силы на перемещении Пусть материальная точка, к которой приложена сила F, переме- перемещается из положения с радиусом-вектором г в положение с радиусом- вектором г + dr. Работой силы F на элементарном перемещении dv {элементарной работой) называется скалярное произведение векто- вектора F на вектор dv. При этом не имеет значения, действует или нет сила F на материальную точку на всем перемещении dv. Таким обра- образом, элементарная работа Л вычисляется по формуле Л = F • dr. Единицей работы служит джоуль — работа, которую совершает сила 1н на расстоянии 1м при условии, что сила параллельна перемеще- перемещению: 1дж = 1н • 1м. Отметим следующие свойства элементарной работы. 1. Работа равнодействующей силы на некотором элементарном перемещении равна сумме работ составляющих сил на том же пере- перемещении: Л- 2. Работа силы на суммарном перемещении равна сумме работ этой силы на составляющих перемещениях: *i -> Л = F ? »=i »=i t=i 3. Работа равна нулю, когда либо F = 0 (сила отсутствует), либо dv = 0 (точка приложения силы не перемещается), либо F J_ dv (сила и перемещение взаимно перпендикулярны). Определение 3.4.1. Пусть точка перемещается вдоль спрямляе- спрямляемой кривой С в Е3 , а сила действует на точку в любом ее положении на кривой. Тогда работой силы F на пути С называется криволи- криволинейный интеграл второго рода =/ '•*• В общем случае работа зависит от формы кривой ?, по которой пе- перемещается точка приложения силы.
3.4. Работа силы на перемещении 163 Определение 3.4.2. Сила называется потенциальной, если ее элементарная работа на произвольном перемещении dr представля- представляет собой полный дифференциал некоторой однозначной скалярной функции С/(г) от векторного аргумента, то есть „ , Jrr dU . A Fdr = dU=--dr Функция U(r) в этом случае называется силовой функцией. Следствие 3.4.1. Потенциальная сила может быть выражена частными производными от функции U(r): „ ди А ди Очевидно, что работа потенциальной силы на замкнутом конту- контуре равна нулю. Работа такой силы на криволинейном участке пути зависит лишь от начального С и конечного D положений точки: = [ F-dr= [dU = U(rD)-U(rc) eh с и не зависит от формы кривой CD. Поверхности, на которых силовая функция принимает постоянное значение, называются поверхностями уровня. Потенциальная сила направлена перпендикулярно к поверхности уровня в сторону возра- возрастания силовой функции. Действительно, когда элементарное пере- перемещение направлено вдоль поверхности уровня, то работа силы рав- равна нулю. Но элементарная работа силы есть скалярное произведение силы на перемещение точки ее приложения. Отсюда следует орто- ортогональность. Вместе с тем, если перемещение направлено в сторону увеличения силовой функции, то работа обязана быть положитель- положительной. Значит, косинус угла между силой и указанным перемещением положителен. Теорема 3.4.1. Силовая функция суммы нескольких потенци- потенциальных сил равна сумме силовых функций этих сил. Доказательство. Пусть на точку действуют потенциальные си- силы F,- = -г—, г = 1,.. .,п, с/г и*
164 Глава 3. Динамика поступательного движения где Ui(г) — их силовые функции, г — радиус-вектор точки приложе- приложения всех этих сил. Рассмотрим функцию 1=1 Для нее ди ^ Тем самым U(r) есть силовая функция для суммарной силы.П Заметим, что теорема 3.4.1 справедлива для любых потенциаль- потенциальных сил независимо от их природы. Силовое поле — это область пространства, в каждой геометриче- геометрической точке которого однозначно определена сила, действующая на материальную точку при выполнении необходимых для этого фи- физических условий. Например, необходимым физическим условием действия электростатической силы будет присутствие на точке элек- электрического заряда. Поверхности уровня силовой функции представляют собой на- наглядный геометрический образ, характеризующий структуру потен- потенциального силового поля. Другой характеристикой силового (не обя- обязательно потенциального) поля могут служить силовые линии. Силовая линия — это кривая, касательная к которой в каждой точке кривой совпадает с направлением силы. Задать силовое поле — значит задать зависимость F(r) силы от радиуса-вектора точки пространства. Пусть г = r(s) — параметри- параметрическое уравнение силовой линии, причем s — длина ее дуги. Тогда силовая линия есть решение дифференциального уравнения dr _ F Ts-Щ' Оно теряет смысл, когда либо |F| = 0, либо |F| = оо. Во всех других точках пространства направление касательной к силовой линии одно- однозначно определено, и в них силовые линии одного и того же силового поля не могут пересечься под ненулевым углом. В случае потенциального силового поля уравнение силовой линии принимает вид dr dU *rr ~1 ds дг дг Следовательно, касательная к силовой линии перпендикулярна по- поверхностям уровня. Учтем, что \dr\ = ds, и скалярно умножим урав-
3.4. Работа силы на перемещении 165 нение силовой линии на dr. Получим ds = 8U_ дг -1 ди дг dU. Поэтому одинаковому приращению силовой функции отвечает сме- смещение вдоль силовой линии, обратно пропорциональное модулю гра- градиента силовой функции. В тех точках пространства, где сила боль- больше, поверхности равного уровня будут ближе друг к другу, чем в других точках. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы силовых полей. Пример 3.4.1. Поле параллельных сил. Пусть F — модуль силы, е — единичный вектор ее направления, произвольно ориентиро- ориентированный в пространстве и одинаковый для всех его точек: F = Fe. Обозначим z = е • г проекцию радиуса-вектора точки на направление вектора е. Предположим, что модуль силы зависит только от z : F = F(z). Элементарная работа Л силы F на перемещении dv выражается равенством Л = F(z) edr = F(z) d(e • г) = F(z) dz. Согласно определению первообразной, последнее выражение есть пол- полный дифференциал от функции z J = JF(z)dz где с — произвольная постоянная. Такое поле потенциально. Частным случаем поля рассматриваемого типа будет поле силы тя- тяжести. Для него F = mg е, где m — масса, g — ускорение силы тяжести и е — направление отвеса. Тогда U(z) = mgz + с = mg e ¦ г + с. Другой частный случай — это электростатическое поле между за- заряженными пластинами конденсатора. Для него F = Eqe, где Е — напряженность поля, q — точечный заряд, е — направление, перпенди- перпендикулярное пластинам. Имеем U(z) = Eqz + с = Eq e • г + с.
166 Глава 3. Динамика поступательного движения Силовые линии поля параллельных сил даются уравнением dv — = е или r = se + ro, ds где го — произвольное начальное значение радиуса-вектора. Видим, что силовые линии — прямые, пронизывающие пространство парал- параллельно вектору е. Поверхности уровня силовой функции даются уравне- уравнением e-r = zo, где zo — произвольное постоянное значение переменной z. Это плоскости, разрезающие пространство перпендикулярно вектору е.О Пример 3.4.2. Поле центральных сил. В любой точке поля сила направлена вдоль радиуса-вектора г, а ее модуль зависит только от г = |г|. Начало радиуса-вектора называется центром поля. F = F(r)er, er=r/r. Работа Л силы F на элементарном перемещении dr выражается равен- равенством А = F(r)er • dv = F(r)^ • dv = Ij^r)^ = F(r)dr \v\ 2 r и представляет собой полный дифференциал от функции г U(r)= f F(r)dr + c, го где с — произвольная постоянная. Поэтому поле центральных сил по- потенциальное. Поверхности уровня силовой функции U(r) представляют собой кон- концентрические сферы с различными значениями радиуса г. Силовые ли- линии суть радиальные лучи, исходящие из центра сил. Рассмотрим частные случаи, когда F(r) задает степенную зависи- зависимость силы от радиуса: F(r) = aer*. Для силовой функции справедливо выражение aeln(r/ro), если Ь = —1; U(r)= /6 Учтем, что силовая функция может быть определена с точностью до произвольной постоянной. Тогда
ЗА. Работа, силы на перемещении 167 а) Центральное поле ньютонианского тяготения: ае = —fMm, где / — гравитационная постоянная, М — масса при- притягивающего тела, расположенного в центре поля, га — масса притяги- притягиваемого тела, Ь = —2. Следовательно, б) Электростатическое поле: ае = kQq, где к — электростати- электростатическая постоянная, Q, q — величины точечных зарядов, Ь = —2. Сле- Следовательно, U(r) = -А г Силовое поле будет притягивающим, когда Qq < О (заряды разных зна- знаков), и отталкивающим, когда Qq > О (заряды одного знака). в) Поле упругой силы: ээ = —с2, 6 = 1. Силовая функция имеет вид Пример 3.4.3. Силы трения скольжения (Кулоновское сухое трение). Скольжению одного тела по поверхности другого всегда препят- препятствуют силы, называемые силами трения. Это пассивные силы, мешаю- мешающие возникновению относительного движения и стремящиеся успокоить такое движение, если оно возникло. Величина силы сухого трения FTp пропорциональна силе N, прижимающей друг к другу соприкасающиеся тела и направленной перпендикулярно к поверхности соприкосновения (N — сила нормального давления): FTp = JfeiV, к > 0. Коэффициент пропорциональности к зависит от того, движутся или нет друг относительно друга соприкасающиеся поверхности. Если проскаль- проскальзывание отсутствует, то сила трения уравновешивает касательную проек- проекцию активной силы, стремящуюся вызвать относительное перемещение. Следовательно, в этом случае где F — проекция активной силы на плоскость, касательную к поверх- поверхности контакта, F — модуль проекции активной силы. Коэффициент к ограничен предельным значением / = max А;, на- называемым коэффициентом сухого трения (трения скольжения). Как только к достигает предельного значения, начинается относительное проскальзывание трущихся поверхностей. Коэффициент / зависит от
168 Глава 3. Динамика поступательного движения скорости v относительного смещения: / = f(v). При малых значени- значениях v функция f(v) несколько больше, чем при больших. С ростом v эта функция асимптотически и очень быстро стремится к постоянному значению, являющемуся характеристикой трущихся поверхностей. На практике приближенно принимают / = const, 0 < к < /. Сила трения и сила, препятствующая проникновению тел сквозь по- поверхность контакта (противоположная силе нормального давления), в сумме образуют реакцию R опорной поверхности на действие активной силы. Угол ф, образованный нормалью к поверхности контакта и линией действия реакции R, отвечающей максимальной величине силы трения, называется углом трения. Угол трения связан с коэффициентом трения очевидным соотношением Построим конус с вершиной в точке контакта. Ось конуса направим по нормали к поверхности контакта, а угол при вершине положим рав- равным 2ф. Тогда реакция в данной точке всегда будет принадлежать этому конусу. Построенный конус называется конусом трения. Вообще гово- говоря, шероховатость поверхностей контакта по различным направлениям может оказаться различной. Тогда конус трения уже не будет прямым круговым конусом. Сила сухого трения дает пример силы, не обладающей силовой функ- функцией (непотенциальной). В самом деле, сила сухого трения направлена всегда против скорости относительного перемещения. Следовательно, Выражение для элементарной работы принимает вид Если dr — реальное перемещение, то dr = vdt. Поэтому А = -fN^-. • vA = -fNv dt = -fNds < 0, M где ds > 0 — элемент длины дуги, взятый в направлении движения точки по траектории. Видим, что элементарная работа во всех случаях отрицательна, и ее знак не зависит от формы траектории. Когда тра- траектория образует замкнутый контур, работа силы трения окажется не равной нулю, а потому сила сухого трения непотенциальна.О Пример 3.4.4. Сила вязкого трения. Такие силы возникают в присутствии смазки между трущимися поверхностями. Сила вязкого
3.5. Основные задачи динамики 169 трения направлена в сторону, противоположную скорости относитель- относительного движения: FTp = —aev, ae > 0. В практически интересном диапазоне скорости относительного про- проскальзывания зависимость коэффициента вязкого трения эе от вели- величины v скорости близка к линейной: эе = эео + aeiv, эео > 0, aei > 0, где постоянные эео, ^l характеризуют тип смазки. Если скорость v мала, то коэффициент вязкого трения можно приближенно принять постоян- постоянным: эе « зео. Вязкое трение дает еще один пример непотенциальной силы. Эле- Элементарная работа сил вязкого трения имеет вид (см. пример 3.4.3) А = —aev • dr = —zev2dt = —sev ds < 0. Суммарная работа такой силы по замкнутому контуру, как и в примере 3.4.3, не может обратиться в нуль.О § 3.5. Основные задачи динамики Изучение движения материальной точки может производиться различными методами. В зависимости от цели изучения различают следующие основные задачи динамики. 1. Прямая задача динамики состоит в том, чтобы найти закоц движения материальной точки под действием силы, определенной в достаточно широкой области пространства. 2. Обратная задача динамики состоит в том, чтобы по полностью заданному закону движения определить силу или силы, способные вызвать движение точки, соответствующее этому закону. 3. Смешанная задача динамики возникает, когда заданы некото- некоторые характеристики сил и некоторые характеристики закона движе- движения и требуется восстановить недостающие элементы движения. Каждая задача имеет свои особенности и специфические трудно- трудности решения. Рассмотрим, например, обратную задачу динамики. В том случае, когда закон движения задан абсолютно точно с помощью по крайней мере дважды дифференцируемых по времени функций, проблема определения сил не вызывает принципиальных затрудне- затруднений и сводится к вычислению второй производной по времени от за- заданного закона. Вместе с тем в достаточно часто встречающихся ситуациях закон движения точки нельзя задать по воле человека, но можно оценить путем проведения необходимых измерений. Тогда
170 Глава 3. Динамика поступательного движения из-за влияния неизбежно возникающих в процессе измерений оши- ошибок операция получения второй производной оказывается некоррект- некорректной, а ее результат существенно зависит от метода вычислений. Это так называемая задача математической диагностики, и для ее реше- решения необходимо использовать как статистические свойства ошибок измерений, так и специальные методы анализа структуры изучаемо- изучаемого движения. Подобная задача была решена Кеплером и Ньютоном при открытии закона всемирного тяготения, управляющего движени- движением небесных тел. Обратимся к прямой задаче динамики и рассмотрим уравнение, выражающее второй закон Ньютона: raw = F, где w — ускорение точки в некоторой инерциальной системе отсчета. Единичные базисные векторы ei, е2, е3 этой системы примем вза- взаимно перпендикулярными и начинающимися в некотором полюсе О, служащем началом системы отсчета. Разложения радиуса-вектора г материальной точки и силы F по базисным векторам запишем в виде г = nei + r2e2 + r3e3, F = F\e\ + F2e2 + F3e3. Из равенства векторов следует равенство их компонент. В результате получаем три скалярных уравнения движения которые называются уравнениями движения в проекциях на декар- декартовы оси координат. Пример 3.5.1. Относительно инерциальной системы отсчета ма- материальная точка движется в поле параллельных сил тяжести. Помимо силы тяжести на точку действует сила сопротивления воздуха, пропор- пропорциональная скорости точки и направленная противоположно скорости. Найти закон движения точки. Решение. Выберем правоориентированный инерциальный де- декартов репер Oeie2e3 так, чтобы вектор е3 был направлен в сторону, противоположную силе тяжести. Тогда векторное уравнение движения точки примет вид г = -д е3 - к г, где г = г\е\ + г2е2 + г3е3 — радиус-вектор точки, д — ускорение силы тяжести, к — постоянный коэффициент силы сопротивления. В проекциях на декартовы оси координат уравнения движения примут вид П = -tri, r2 = -fcr2, r3 = -g - fcr3.
3.5. Основные задачи динамики 171 Здесь каждое уравнение интегрируется независимо от других. Найдем проекции скорости точки как функции времени t: г,- = r0,- exp[-k(t - t0)], i = 1,2; r3 = (г0з + |) exp[-*(t - to)] - |, где rot, (i — 1J,3) — значения проекций скорости в начальный момент времени to. Видим, что скорости гь г2 с течением времени стремятся к нулю, тогда как скорость гз стремится к величине, равной — g/k, при ко- которой правая часть дифференциального уравнения для гз обращается в нуль. В пространстве скоростей точка @,0,—<7/&) служит аттрактором. Годографы скорости — прямолинейные лучи различных направлений, сходящиеся в этой точке. Движение по годографам происходит в напра- направлении аттрактора. При этом время достижения аттрактора бесконечно. Вектор @,0,— g/k) называется скоростью парашютирования. Найдем закон движения: v-i = го2 + ^A ~ exp[-*(t - гз = гоз + \ (гоз + f) A - ехр[-*(* - *0)]) - §(* - *о), где г0,- — начальные значения координат. Закон движения имеет асим- асимптоту при t —¦ оо, определенную уравнениями г\ = roi + -~, г2 = г02 + -jp г3 = гоз + ? (г03 + J-J ~ j-(t - *о). Это вертикальная прямая, по которой предельная точка движется рав- равномерно со скоростью парашютирования. О Если действующая на точку сила задана в виде то уравнения движения представляют собой систему трех диффе- дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций ri(t), гг(<), rz(t). Общее решение этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных: Г! = ri(t,Ci,...,C6), Г2 = Г2(*,С1,...,Сб), Гз = Г3(<,С1,...,Сб). Постоянные с,- можно найти, зная начальные условия, т.е. значения координат roi, г02, г0з и их производных foi, го2, гоз (скоростей) в начальный момент времени to. Тогда г01 = П(*0»С1, . . -,Сб), Г02 =
172 Глава 3. Динамика поступательного движения ПI = П(*(ЬС1, • • -,Сб), Г02 = *S(*(b Ci, • • -,Сб), ГОЗ = ^з(^0,С1, . . .,Сб). Разрешая эти уравнения относительно с,, найдем Ci = /1(^0,^01,^02,^03,^01,^02,^03), 1 = 1,.. .,6. Уравнения движения материальной точки удовлетворяют принципу детерминированности Ньютона, что эквивалентно выполнению усло- условий существования и единственности решений задачи Кошй для со- соответствующей системы дифференциальных уравнений. Поэтому ка- каждой совокупности начальных условий отвечает одно движение. Константы с, можно найти также с помощью краевых условий, которые задают положение материальной точки для двух различных моментов времени t = to, t = t\: при t = to : ri = rOi, r2 = Г02, r3 = rO3, при t = <i : Г1 = гц, r2 = r12, r3 = r13. Краевая задача состоит в определении значений произвольных по- постоянных по заданным краевым условиям. Следует отметить, что решение краевой задачи иногда требует предварительного анализа структуры траекторий. Могут существовать положения, через кото- которые материальная точка не пройдет в момент t = t\ ни при каких начальных скоростях. Пример 3.5.2. Рассмотрим движение материальной точки мас- массы m в поле параллельных сил F = Fe, где F — положительная по- постоянная, е — постоянный единичный вектор, задающий направление силы. Выберем инерциальный ортонормированный репер 0eie2e^ так, что ez =¦ —е, а единичные векторы ei и е2 образуют плоскость, перпен- перпендикулярную силе F (в том случае, когда F — сила тяжести, векторы ei и е2 задают горизонтальную плоскость). Пусть г = nei + r2e2 + ze* — радиус-вектор точки. Система дифференциальных уравнений движения принимает вид m'z = — F, mri = 0, mr^ = 0. Представим вектор г следующим образом: г = zez + р; р = г\е\ +г2е2, так что р A. ez. Интегрируя уравнения движения, получим ат2 . . F 2 m где т = t — tQ — время, прошедшее от начала движения, zq — проекция начальной скорости на направление ez, zq — начальное значение коор- координаты z, р0 — проекция начальной скорости на плоскость 0eie2, p0
3.5. Основные задачи динамики 173 — начальное значение радиуса-вектора проекции точки на ту же плос- плоскость. Примем, что в начальный момент времени to модуль скорости равен v, а вектор скорости образует с плоскостью угол д. Тогда zq = v sin tf, Ро = v cos д е^, где ех —постоянный единичный вектор направления проекции началь- начальной скорости на плоскость Oeie2. Представим координату z и вектор р в виде Закон движения точки определяется зависимостями 2 у = —— 4- rvsiwd, х = tv cos д. Таким образом, точка движется в плоскости, параллельной векторам ez и ех и проходящей через начальное положение (zo,po). В этой плоско- плоскости точка имеет декартовы координаты {х,у). Исключив г, получим уравнение траектории движения: Очевидно, это парабола, проходящая через начальную точку х = О, у = 0. При a \1 получим также у = 0. Величина / положительна при tgtf > 0. Так будет, например, если 0 < д < тг/2. Тогда / представляет собой дальность бросания до точки, не совпадающей с начальной и соответствующей значению у = 0. Дальность / зависит от угла д. Если 0 < д < тг/2, то максимальная дальность v2 соответствует значению t? = тг/4. Найдем теперь область достижимости в координатном пространстве при фиксированном значении скорости v (все точки координатного про- пространства, через которые можно провести траекторию из заданной на- начальной точки с заданной начальной скоростью). С этой целью вос- воспользуемся уравнением траектории, зафиксируем значение х и найдем максимум функции y(tgtf). Он имеет место при
174 Глава 3. Динамика поступательного движения и равен Парабола, соответствующая зависимости Y(x), называется параболой безопасности. Она имеет вершину при х = 0 и ограничивает область достижимости на плоскости (у,х). При вращении параболы вокруг оси с направляющим вектором е, проходящей через конец вектора р0, полу- получим параболоид безопасности. Достижимыми при заданной скорости будут все точки пространства, расположенные относительно параболо- параболоида безопасности со стороны, противоположной выпуклости параболо- параболоида. О Возвращаясь к структуре решения системы дифференциальных уравнений движения в общем случае, отметим, что для произвольно- произвольного момента времени справедливы равенства /*(<, И, г2, г3, п, г2, г3) - ci} i = 1,..., 6, где fi — те же функции, которые определяют константы с,- по на- начальным условиям. Определение 3.5.1. Первым интегралом системы дифференци- дифференциальных уравнений движения называется функция времени, коорди- координат и скоростей, сохраняющая постоянное значение для любого кон- конкретного решения системы. Очевидно, что при переходе от одного решения системы к другому постоянные первых интегралов могут изменяться. Видим, что функции /,• суть первые интегралы соответствующих им уравнений движения материальной точки. Из сказанного ясно, что определение закона движения точки по заданной силе можно све- свести к задаче поиска достаточного набора независимых первых инте- интегралов. Определение 3.5.2. Пусть задана произвольная функция Тогда выражение . ОФ Л 8Ф . 1 Л дФ где частные производные по какой-либо переменной берутся в пред- предположении, что все остальные переменные зафиксированы, называ- называется производной функции Ф в силу уравнений движения.
3.5. Основные задачи динамики 175 Замечание. Приведем более общее определение. Пусть заданы произвольная система дифференциальных уравнений х = х(х,г), хейп, xeRn, teR, где t — независимая переменная, и функция Ф(х,г). Производной функции Ф в силу указанной системы уравнений называется выра- выражение где я,-, Х{, г = 1,..., п суть координаты векторов я, X соответственно. При этом, конечно, предполагается, что функция Ф существует. Теорема 3.5.1. Функция Ф(<, п, Г2, гз, гь г2,гз) есть первый ин- интеграл уравнений движения тогда и только тогда, когда ее произ- производная в силу этих уравнений тождественно равна нулю. Доказательство. Необходимость. Пусть Ф есть первый инте- интеграл, a r(t) — любой закон движения материальной точки, удовле- удовлетворяющий уравнению Для этого закона будем иметь <) h(t) h(t) h(t)) = с. где с не зависит от времени. Продифференцируем левую часть этого выражения по времени как сложную функцию: дФ А дФ . dt *—* dri г „., После подстановки в левую часть этого выражения значений Г{, взя- взятых из уравнений движения, получим равенство дФ А дФ . 1 4^дФ которое должно быть выполнено для любого набора координат и ско- скоростей, принадлежащего области определения интеграла Ф. Достаточность. Пусть для функции Ф имеем тождество дФ А ЭФ . 1 А дФ „ Л ^
176 Глава 3. Динамика поступательного движения Возьмем закон движения г(<), соответствующий силе F. Подставив его в выражение для функции Ф, получим Ф(<, ri(t), r2(*), ra(Oi ri(t), r2(<), гз@)- Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и учи- учитывая, что производная от Ф в силу уравнений движения равна нулю, найдем d$/dt = 0. Значит, Ф = с есть первый интеграл.? Для того чтобы полностью узнать закон движения материальной точки, достаточно найти шесть независимых первых интегралов. Та- Такой набор первых интегралов назовем полным. Найти полный набор первых интегралов не всегда легко. Однако наличие первых интегра- интегралов упрощает исследование. Пусть, например, найдены три первых интеграла Ф|(<,Г1,г2,гз,Г1,Г2,гз) = с*, i = 1,2,3. Их можно рассматривать как новую систему трех дифференциаль- дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной, но уже не содержащую вто- вторых производных. Предположим, что новую систему удалось приве- привести к следующей равносильной системе: —Ф,-(*, гь г2, r3, ci,c2, с3) = 0, i = 1,2,3. Отсюда следует Ф|(*,Г1,Г2,Гз,С1,С2,Сз) = С3+г, 1 = 1,2,3. Полученные функции, будучи независимыми, задают искомый закон движения. § 3.6. Скалярные формы уравнений движения Положение материальной точки в пространстве не обязательно задавать непосредственно компонентами п, г2, гз радиуса-вектора г в системе ортонормированных базисных векторов ei, e2, е3: г = riei + г2е2 + г3е3. Для этой цели годятся любые независимые координаты х\, х2, однозначно связанные с компонентами законом преобразования Величины a?i, а:2, х$ называются криволинейными координатами точки. Когда криволинейные координаты выбраны, закон движения г(<) однозначно задается функциями #»(<), i = 1,2,3.
3.6. Скалярные формы уравнений движения 111 Переход к криволинейным координатам особенно эффективен, ко- когда имеется априорная информация о траектории точки. Его полезно применять также, когда поле действующей силы обладает той или иной симметрией. Поясним это. Пусть, например, из постановки задачи ясно, что точка может двигаться только вдоль поверхности, заданной уравнением Рассмотрим семейство поверхностей: /(Г1,Г2,Г3) = Х3, где #з — произвольный постоянный параметр. При выполнении усло- условий теоремы о неявно заданной функции найдем г3 = <Kri,r2,z3). Полученное выражение может оказаться достаточно сложным. До- Допустим, что оно упрощается, если ввести замену П =ri(xi,x2,x3), г2 = r2(xi,x2,x3), где ffi, х2 — более удобные переменные. Тогда искомое преобразова- преобразование координат примет вид i, х2, хз), r2 = r2(xi, х2, х3), г3 = г3(хь х2, х3) - Ф{г1(хи х2, х3), г2(хь х2, х3), х3). В итоге при движении точки будем иметь хз = 0. Тем самым остается найти только две функции xi(t), x2(<). Аналогичную процедуру можно применить, когда по условиям ре- решаемой задачи материальная точка должна двигаться вдоль кривой, заданной системой уравнений /i(ri, г2, г3) = 0, /2(ri, г2, г3) = 0. Рассмотрим два семейства поверхностей /i(ri,r2,r3) = х2, /2(г1,г2,г3) = х3, где х2, хз — произвольные постоянные параметры. Разрешая систе- систему уравнений поверхностей относительно г2, г3 при любых конкрет- конкретных значениях параметров х2, хз, получим Г2 = 12- 1503
178 Глава 3. Динамика поступательного движения Учитывая возможность упрощения полученных выражений, введем дополнительную замену переменной г\ = гх(х1,х2,хз), где х\ — бо- более удобная координата, чем г\. В итоге получается преобразование координат г2 = Г3 = По условию рассматриваемой задачи материальная точка обязана двигаться так, чтобы было х2 = #з = 0. Остается найти только одну функцию xi(t). Рассмотрим примеры криволинейных координат. Пример 3.6.1. Цилиндрические координаты: ri=pcosv?, r2 = psin<p, r3 = r3. При фиксированном значении р точки принадлежат поверхности прямо- прямого кругового цилиндра, заданного уравнением Направление оси цилиндра определено базисным вектором е3. Если зафиксировать угол (р, то точка принадлежит плоскости —r\ sin (р + ^2 cos (р = 0, перпендикулярной единичному вектору е2 = —ei sin <p + е2 cos ^> и проходящей через третью координатную ось. В этой плоскости р и гз служат декартовыми координатами, а радиус-вектор любой точки плос- плоскости выражается формулой г = ре[ + г3е3, где единичный вектор е\ имеет вид е\ = ei cos (p + е2 sin (p. Наконец, когда постоянной считается координата гз, то получаем плос- плоскость, параллельную базисным векторам еь е2, и в этой плоскости р и V? суть полярные координаты точки.О Пример 3.6.2. Сферические координаты: r\ —p cost? cos ф, r2 =
3.6. Скалярные формы уравнений движения 179 Координатная поверхность, соответствующая постоянному значению />, представляет собой сферу: При фиксированном значении г3 точки принадлежат плоскости V, па- параллельной базисным векторам ei, е2 и находящейся на расстоянии psiwd от соответствующей им координатной плоскости. При различных значениях гз соответствующие плоскости V пересекаются с координат- координатными сферами по параллелям. В каждой плоскости V величины pcostf, ф суть полярные координаты точек. Когда зафиксирован только угол ф, то получается координатная плоскость V\, заданная уравнением —г\ sin ф + r2 cos ф = 0. Эта плоскость перпендикулярна вектору е'2 = —ei sin ф + е2 cos ^ и проходит через третью координатную ось. Каждая точка этой плос- плоскости задается радиусом-вектором г = xie + х2е3, где е = ei cos^ + e2sin^, x\ = />costf, х^ = />sint?. Ясно, что в плоскости V\ величины р \л д служат полярными координа- координатами. При всевозможных значениях ф координатная сфера пересекается плоскостями V\ по меридианам. Параллели и меридианы образуют сет- сетку координатных кривых.О Как уже отмечалось выше, выбранным конкретным значениям криволинейных координат х\, #2, #з соответствует единственный радиус-вектор евклидова пространства г = г(хьх2,хз). Когда меняется только одна координата х,-, а остальные остаются постоянными, конец этого вектора описывает координатную кривую, отвечающую координате х,-. Частная производная dr/dx{ задает ка- касательный вектор к этой кривой. Из произвольной точки А простран- пространства можно провести три единичных вектора дт дг -1 дг дх2 дг дх2 -1 дг дх3 дх3 -1 12*
180 Глава 3. Динамика поступательного движения касательные к соответствующим координатным кривым. Векторы тъ, Т2 тз, с началом в точке А образуют локальный репер криволинейной системы координат. Пример 3.6.3. Локальный базис цилиндрической системы коор- координат принимает вид dp dip -i dp д<р дг3 cos <p + ег sin <p, -1 = —ei sin (p + ег cos v?, -1 = е3. Видим, что это — взаимно ортогональные векторы.О Пример 3.6.4. Локальный базис сферической системы координат: dr dr т* = дф dp dr_ dr_ дф -1 cost?cost{> + ег costf sin^ + езsint?, -1 = —ei sin д cos ф — ег sin i? sin ^ + ез cos t?, -l = —ei sin ^ -f eo cos ф. Здесь вектор тр направлен вдоль радиуса-вектора, вектор т$ — по каса- касательной к меридиану, вектор т^ — по касательной к параллели. Векторы Тр, 7V?, Тф взаимно перпендикулярны.О С целью получения уравнений движения в проекциях на оси ло- локального репера криволинейной системы координат х\, хч, #з рас- рассмотрим скалярные произведения ускорения материальной точки и единичных векторов т\, тг, тз: = w • г,- = dr_ Очевидно имеем V = — dt дт ax,- [dt \ dxij dtdxi] дт . dr . ^ X 0x2 dv . д X 0x3 Следовательно, д
3.6. Скалярные формы уравнений движения 181 Кроме того, d dr _ д2г dt dxi d2r . d2v + d2 d2r . Сопоставив эти равенства, найдем d dr d\ Значит, Отсюда ^дг__ dv _ д fv2\ dt дх{ ~ V ' дх{ ~ ах^ V Yy Определение З.6.1. Выражение rp _^ называется кинетической энергией материальной точки. Выражение дг называется обобщенной силой, соответствующей координате Х{. Теорема 3.6.1. Уравнения движения материальной точки в про- проекциях на оси локального репера криволинейной системы координат имеют вид Доказательство. Умножим обе части уравнения mw = F скалярно на вектор г,-: г т, дг mwi =F ^Г дг -1
182 Глава 3. Динамика поступательного движения Учитывая найденное выше выражение для wj и то, что масса мате- материальной точки всегда постоянна, получаем утверждение теоремы.О Система дифференциальных уравнений теоремы 3.6.1 вместе с на- начальными условиями определяет зависимости криволинейных коор- координат a?i, #2, #з от времени. Они задают закон движения материаль- материальной точки. Элементарное перемещение точки имеет вид Рассмотрим элементарную работу силы F на перемещении dr: А = F • dr = Я dxi' = Видим, что обобщенные силы суть коэффициенты при дифференци- дифференциалах криволинейных координат в выражении для элементарной ра- работы. Скорость и квадрат скорости даются равенствами dr . 2 _ V — Квадрат скорости не меняется при преобразованиях координат, и ко- коэффициенты 8г I | дг Ti • Ti суть компоненты метрического тензора. Когда локальный базис Т2, тз ортонормирован, имеем Т = 2 m • 2 9T *« dx- = Xi. Таким образом, для составления уравнений движения достаточно вы- выразить в криволинейных координатах элементарную работу силы и кинетическую энергию точки. После этого составление уравнений движения сводится к операциям дифференцирования. Уравнения движения материальной точки в форме, представлен- представленной теоремой 3.6.1, носят название уравнений Лагранжа второго ро- рода.
3.6. Скалярные формы уравнений движения 183 Пример 3.6.5. Уравнения движения в цилиндрических координатах. Соответствующий локальный базис ортонормирован. Далее Яг = 1, dp d<p = P, dr3 Скорость в этом базисе имеет координаты vP = f>, v^-рф, v3 = r3. Выражение для кинетической энергии принимает вид T=j{p2 + p2<p2 + rl). Обобщенные силы даются формулами Qp = F\ cos <p -f F2 sin <p = Fp, Qv = (-Fi sin <p + F2 cos v?)p = Fvp, Q3 = F3, где Fp = F -тр, Ftp = F • tv. В итоге получаются следующие уравнения движения: ^з = F3. = Fp, m"т:{р2ф) Они удобны, когда нет проекции силы на локальные оси т^ и т3.О Замечание 3.6.1. В случае плоскопараллельного движения ки- кинетическая энергия в полярных координатах р и <р имеет вид TB+V) Пример 3.6.6. Уравнения движения в сферических ко- координатах. Локальный базис в таких координатах будет ортонормиро- ванным, причем Я- =1, 9 Скорость имеет компоненты Vл — p. V<A — р и V\h ~ p W COS 1/ . Поэтому кинетическая энергия выражается формулой
184 Глава 3. Динамика поступательного движения Вычислим обобщенные силы Qp = F\ cos i? cos ф + F2 cos tf sin ф + F3 sin tf = Fp, Q^ = (—Fi sin i? cos V> — F2 sin 1? sin ^ + F3 cos i?)p = F$ p, Q^ = (~Fi sin V> + F2 cos ф)р cos t? = F^ p cos 1?, где Fp = F • tp, F^ = F • r^, F^ = F • Тф. В итоге получим следующие уравнения движения: ш'р - mpd2 - m/9^2 cos2 d = Fp, m-r(/92i?) -f тр2ф2 sin 1? cos 1? = F* ^?, m~(/92V>cos2i?) = F^ pcosd. Такие уравнения удобны, когда либо F$ — 0, либо равны тождественно нулю обе проекции F^ и F^.O В том случае, когда движение происходит вдоль известной кривой, заданной параметрически: где s — длина дуги траектории, удобными могут оказаться естествен- естественные оси. По теореме 2.2.1 проекции ускорения на естественные оси имеют вид dv v2 wT = —, w» = —, wp = О, где dv dr _ t — единичный вектор касательной к кривой в данной точке, и — единичный вектор главной нормали, перпендикулярный к г и обра- образующий вместе с г соприкасающуюся плоскость, E — единичный век- вектор бинормали, перпендикулярный к соприкасающейся плоскости, v — модуль скорости, р — радиус кривизны. Теорема 3.6.2. Уравнения движения в проекциях на естествен- естественные оси имеют вид Fr dv Xdt Ft = F-t, mv P t — 2 F u, где = F-C. Доказательство получается посредством проектирования век- векторного уравнения второго закона Ньютона (см. стр. 160) на есте- естественные оси. О
3.6. Скалярные формы уравнений движения 185 Следствие 3.6.1. Полная сила F, под действием которой проис- происходит движение материальной точки, всегда принадлежит сопри- соприкасающейся плоскости. Соприкасающаяся плоскость есть линейная оболочка векторов v и F. Следствие 3.6.2. Для того, чтобы вычислить нормальную со- составляющую суммарной силы, достаточно знать лишь скорость v движения точки по кривой. Если касательная составляющая силы Fr — Fr{s,v,t) известна в каждой точке кривой, то проекция уравнения движения на касательную определяет закон s = s(<), когда в начальный момент времени to задано s = so, ds/dt = vo. Положение материальной точки на известной кривой не всегда удобно задавать длиной дуги s. Пусть q — произвольная переменная, связанная с s посредством равенства s = s(q). Тогда , ч ds ds . d2s d2s .2 ds .. r=r(9), » = - = -„, w=ieq +rqq- Будем считать, что ds/dq ф 0 для любой точки траектории. Проек- Проекцию уравнения движения на касательную перепишем в виде где Имеем дифференциальное уравнение одномерного движения. Пример 3.6.7. Пусть траектория материальной точки предста- представляет собой винтовую линию, параметризованную углом <р: И = Rcosip, Г2 = Rsm<p, гз = — h<p/Bir). Эта линия принадлежит поверхности цилиндра радиуса R. Ось ци- цилиндра совпадает с третьей координатной осью. Когда <р кратно 2тг: <р = 2ктт, третья координата кратна шагу винта Л: гз = — kh. На точку действует сила тяжести Р = -mge3y и точка не испытывает сопротивления движению вдоль винтовой линии. Требуется составить уравнение одномерного движения точки.
186 Глава 3. Динамика поступательного движения Решение задачи можно осуществить различными способами. Сначала применим уравнения в проекциях на цилиндрические оси. Если бы на точку действовала только сила тяжести, то точка, имея постоян- постоянное ускорение, двигалась бы либо вдоль третьей координатной оси, либо по параболе в плоскости начального вектора скорости и вектора силы тяжести. Чтобы точка двигалась по винтовой линии, помимо силы тя- тяжести требуется дополнительная сила N (реакция связи). Обозначим Np = N • тр, N^ = N • т,р, АГ3 = N • ез. Уравнения движения в цилин- цилиндрических координатах примут вид •2 _ d , 2 -ч h р' dt 2тг ' так как по условию задачи должно быть выполнено г = R = const, Pr = Ру — 0. Имеем смешанную задачу динамики: задан вид траек- траектории и частично заданы силы. Реакция N неизвестна, но в условии сказано, что N не влияет на движение точки вдоль винтовой линии. Значит, N перпендикулярна касательной к кривой г = r(ip). Направле- Направление касательной дается в данном случае выражением dv h Х~ ~~ *^тч>"" тг ез • dip 2тг Учитывая, что N = Nptp + N^t^ + АГзез, запишем условие ортогональ- ортогональptp ности: N dip 2тг Тем самым получено дополнительное уравнение, позволяющее полно- полностью решить задачу. Из условия ортогональности найдем Тогда второе и третье уравнения движения можно представить в виде тЯ2ф = —АГ3, -т—ф = -mg + АГ3. Исключив неизвестную ЛГз, получим искомое уравнение Поставленная задача решена, но дополнительно мы можем найти также все составляющие реакции N: ?[\ Np = -
3.6. Скалярные формы уравнений движения 187 Для сравнения решим теперь эту же задачу посредством проектиро- проектирования уравнения движения на касательную к траектории. Имеем г = dr dip dr dip -l Следовательно, Рт=Р.т=\#+Ь?Г*гп9Н 2тг * По условию задачи реакция N не дает проекцию на касательную к траек- траектории. Поэтому проекция уравнений движения на направление вектора т примет вид По определению винтовой линии vz = — -— v Z7T Отсюда Подставляя найденное выражение в левую часть проекции уравнения движения на касательную г, выводим искомое дифференциальное урав- уравнение одномерного движения '-?[*¦?]"'¦ в точности совпадающее с найденным выше. Второй путь решения задачи оказался более экономным. Удалось обойтись без явного использования компонент реакции N, исключив их путем проектирования уравнений движения на перпендикулярное к N направление. При желании можно и с помощью второго способа найти реакцию N. Здесь получим лишь составляющую реакции вдоль главной нормали. Единичный вектор касательной дается формулой Г 2 ft2 "Г* Г „ . „ h ] т= \Н + —Н — Rsimpei + Rcosipe2 — — ез . L 4tt2J I 2тг J
188 Глава 3. Динамика поступательного движения По определению главной нормали получим I/ _ rfr__ drd<p _ Г 2 h2]'* d<p pk ds d(p ds [ 47T2J ds p где pk — радиус кривизны траектории. Очевидно, что dip dip Поэтому т. е. главная нормаль направлена в сторону, противоположную вектору тр, а выражение для радиуса кривизны pk имеет вид 1 Го2 Выше были найдены формулы для компонент вектора скорости. Из них следует Проекция уравнений движения на нормаль к траектории имеет вид Но так как i/ = — тр, получим АГ^ = ~ЛГр. Это соответствует найденному выше значению реакции.О Обратимся к геометрическим методам анализа свойств движения. Обозначим Q Э х = {ж,-} — пространство координат (криволинейных в общем случае), задающих радиус-вектор материальной точки. Раз- Размерность пространства координат Q не превосходит трех. Скорость точки задается набором х = {xi} ? Qy Пространство скоростей Qt имеет ту же размерность, что и пространство Q. Определение 3.6.2. Фазовое пространство есть прямое произ- произведение Q х Qt координатного множества и множества скоростей. Тем самым фазовое пространство всегда четномерно. В частности, три координаты радиуса-вектора и три компоненты скорости образуют шестимерное фазовое пространство. Если поло- положение точки в пространстве вполне определено лишь одной коорди- координатой (точка движется по заданной кривой), то ее фазовое простран- пространство двумерно и может интерпретироваться как фазовая плоскость.
3.6. Скалярные формы уравнений движения 189 Каждому состоянию материальной точки, представляющему со- собой некоторый набор координат ж и их скоростей ж, соответствует одна и только одна точка фазового пространства (фазовая точка). Движению материальной точки в реальном пространстве соответ- соответствует движение фазовой точки в фазовом пространстве. Траекто- Траектория движения фазовой точки называется фазовой кривой. Фазовая кривая может вырождаться в единственную точку. Такая точка на- называется положением равновесия. Если существуют какие-либо первые интегралы уравнений дви- движения, то эти интегралы выделяют в фазовом пространстве гипер- гиперповерхности, которым должна принадлежать фазовая точка в любой момент времени. Рассмотрим решение уравнений движения, начальные условия ко- которого при t = О изображаются некоторой точкой М фазового про- пространства. Для момента t будем иметь преобразование в силу уравне- уравнений движения, переводящее точку М в точку M(t). Пусть уравнения движения автономны, т. е. ускорение не зависит явно от времени, и пусть любое их решение продолжается на всю ось времени. Преобра- Преобразование G* , обеспечивающее переход М —> M{t)} взаимно однозначно и дифференцируемо по фазовым координатам {диффеоморфизм). Все такие преобразования G* образуют группу: Gx oGs = Gt+5, G° = 1, G'x = (G*). Эту группу называют фазовым потоком, определенным уравнения- уравнениями движения в фазовом пространстве. Фазовая кривая может быть представлена параметрически: х = x(xq, i0, t)> х = *(*о, «о, 0> где жо,жо — начальное положение фазовой точки. В общем случае это кривая в шестимерном пространстве. Фазовый портрет движе- движения есть полное множество возможных типов фазовых кривых. Фазовые кривые обладают рядом специфических свойств. Проил- Проиллюстрируем эти свойства на примере фазовой плоскости. Теорема 3.6.3. Плоская фазовая кривая, в точках которой уско- ускорение не обращается в нуль, может иметь касательную, парал- параллельную оси скорости, только при х = 0. Доказательство. Уравнение движения можно представить в ви- виде dx . dx - = *, ^ = /(«,«,«).
190 Глава 3. Динамика поступательного движения Отсюда при /(ж, i, t) ф 0 получим dx х dx f(x,x,t)' Параллельность касательной и оси скорости означает равенство ну- нулю производной dx/dx.O Следствие 3.6.3. Фазовая кривая не может быть замкнутой ни в полуплоскости, где х > 0, ни в полуплоскости, где х < 0. При х > 0 фазовая тонка движется в направлении увеличения координа- координаты х. Аналогичные свойства можно установить в случае большего чи- числа измерений. § 3.7. Основные теоремы динамики материальной точки Определение 3.7.1. Количеством движения материальной точ- точки называется вектор Q = mv. С учетом этого определения второй закон Ньютона может быть представлен в виде dt Другими словами, скорость изменения количества движения матери- материальной точки равна вектору силы, действующей на точку. Теорема 3.7.1. (Интеграл количества движения). Пусть проекция силы F на направление постоянного вектора е равна ну- нулю. Тогда равенство Q е = с есть первый интеграл уравнений движения, выражающий сохране- сохранение проекции количества движения на ось с направляющим векто- вектором е. Доказательство. Умножим обе части равенства Q = F скалярно на е. С учетом условия теоремы получим е • Q = 0. Вектор е не меняется. Поэтому Следовательно, в силу уравнений движения, скалярное произведение е • Q будет постоянным.D
3.7. Основные теоремы динамики материальной точки 191 Пример 3.7.1. Пусть материальная точка движется в поле парал- параллельных сил F = Fk, где F — величина силы (не обязательно посто- постоянная), а к — постоянный единичный вектор. Выберем вектор е _L k Все такие векторы е образуют плоскость V, перпендикулярную вектору к. По теореме 3.7.1 должно быть Q • е = с, так как F • е = 0. Учитывая, что масса точки постоянна, получим следствие: ve = ve = const. Сле- Следовательно, проекция вектора скорости точки на плоскость V обязана сохраняться во все время движения.О Определение 3.7.2. Кинетический момент материальной точ- точки (момент количества движения) относительно точки (полюса) О есть вектор K = rx Q, где г — радиус-вектор точки, имеющий начало в О. Теорема 3.7.2. (Об изменении кинетического момента). Производная по времени от кинетического момента, взятого отно- относительно неподвижного полюса О, равна моменту суммы всех сил, приложенных к материальной точке: dK Доказательство. ^ - А(г х Q) - — х Q rx^-rxF так как v = dr/dt параллельно Q.O Следуя Резалю, доказанной теореме можно дать геометрическую формулировку: скорость конца вектора кинетического момента, взятого относительно неподвижного полюса, равна моменту сум- суммы всех сил, действующих на материальную точку. Теорема 3.7.3. Если на точку действует центральная сила, то существует векторный первый интеграл К = с и движение точки происходит в неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору с и проходящей через центр силы. Доказательство. Выберем полюс О, совпадающий с центром силы. По теореме 3.7.2 получим так как F = F(r)r и г х F = 0. Поэтому К = с, где с — постоянный вектор, определяемый начальными условиями движения. Кинетиче- Кинетический момент перпендикулярен плоскости, натянутой на векторы г и
192 Глава 3. Динамика поступательного движения v. Значит, эта плоскость не меняет своей ориентации в пространстве. Кроме того, эта плоскость проходит через центр неподвижной силы.П Пусть вектор rn(t) начинается в неподвижной точке О и принад- принадлежит при любом t некоторой плоскости V. Обозначим vn = dYu/dt, v — нормаль к плоскости V, S(t) — площадь сектора, ограничен- ограниченного начальным вектором гп(*о)> вектором гп(*)> соответствующим некоторому значению времени t > to, и траекторией конца вектора гп(*), получающейся при изменении t от начального значения to. Бу- Будем считать приращение S(t) положительным, когда оно происходит вследствие вращения rn(t) против хода часовой стрелки, если смо- смотреть из конца вектора i/. Теорема 3.7.4. Пусть гп € V. Тогда справедливо равенство гп х vn =2v — . Доказательство. За элемент площади сектора можно взять пло- площадь треугольника с вершиной в полюсе О. Одна сторона треуголь- треугольника образована вектором гп(*)> а другая сторона начинается из кон- конца вектора rn(t) и образована вектором rds, где т — единичный век- вектор касательной к траектории, вычерчиваемой концом вектора гп(*)> a ds — элемент дуги траектории. Предположим сначала, что если смотреть с конца вектора is на плоскость V, то переход в кратчайшем направлении от вектора гп к вектору т осуществляется против хода часовой стрелки (гп вращается против хода часовой стрелки). Тогда гп х rds = i/|rn х т\ ds = i/rndssm(f^pr) = 2vdS. Если переход от вектора гп к вектору т осуществляется по ходу ча- часовой стрелки, то гп х rds = — i/|rn х т\ ds = —i/rndssin(fn7^) = 2i/d5, что соответствует принятому определению знака приращения площа- площади. Учитывая, что ds/dt = vn, получаем утверждение теоремы.О Определение 3.7.3. Величина dS/dt называется секторной ско- скоростью вектора rn(t). Пример 3.7.2. Пусть в плоскости V траектория точки задана по- полярными координатами г = г(<р). Направление отсчета <р положительно при вращении г(<р) против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора и. Установим выражение для секторной скорости в полярных координатах.
3.7. Основные теоремы динамики материальной точки 193 Обозначим d<p — приращение полярного угла. Тогда г • т г(<р + d<p) = |г 4- rds\ = y/(r + rdsJ « г Н ds. г Приближенное равенство выполнено с точностью до малых второго по- порядка относительно ds. Пусть d<p положительно. По определению сек- секторной скорости найдем 2dS = r(y?)r(y? 4- d<p) sin(r(ip), r(y? 4- dtp)) = r2d<p. Последнее соотношение справедливо, так как речь идет о равенстве диф- дифференциалов. Таким образом, 2^ = г*О dt dt Теорема 3.7.5. Проекция кинетического момента на постоян- постоянный единичный вектор и равна произведению массы и удвоенной сек- секторной скорости, которую имеет проекция радиуса-вектора мате- материальной точки на плоскость V, перпендикулярную к вектору и. Доказательство. Рассмотрим скалярное произведение К • и = m(r х v) • и. Векторы г и v всегда можно представить в виде г = гп + гс и, v = vn 4- vc i/, где гп G V, vn G V, причем vn = drn/dt. Следовательно, (г x v) = (гп + геи)х (уи + vcv)=rnx\n + rci'XYn+vcrnx и. Векторное произведение ортогонально сомножителям. Поэтому (г х v) • и = (гп х vn) • и. Теперь достаточно применить теорему 3.7.4: где 5 — площадь, заметаемая вектором гп в плоскости V.O Теорема 3.7.6. (Теорема площадей). Если проекция момен- момента силы на какое-либо постоянное направление г/ равна нулю, то проекция радиуса-вектора материальной точки на плоскость, пер- перпендикулярную и, заметает в любые равные промежутки времени одинаковые площади. 13-1503
194 Глава 3. Динамика поступательного движения Доказательство. Применим теорему 3.7.2 и учтем, что проекция момента силы на направление i/ равна нулю: i/~ = «/.(rxF) = 0. Единичный вектор и не изменяется. Имеем первый интеграл К и-с Постоянная с вычисляется по начальным условиям, заданным в мо- момент времени to. По теореме 3.7.5 получим о dS где 5 — площадь, заметаемая проекцией радиуса-вектора на плос- плоскость, перпендикулярную вектору и. После интегрирования найдем где So — начальное значение площади.О Теорема 3.7.7. Если материальная точка описывает плоскую траекторию, причем ее радиус-вектор с началом в полюсе О> распо- расположенном на плоскости, заметает за любые равные промежутки времени одинаковые площади, то движение осуществляется под дей- действием центральной силы, линия действия которой проходит через точку О. Доказательство. Пусть i/ — единичный вектор, перпендикуляр- перпендикулярный к упомянутой в условии теоремы плоскости. Тогда кинетический момент К точки параллелен вектору и. По условию теоремы сектор- секторная скорость точки постоянна: at Следовательно, '¦"-?¦•• Поэтому F||r.D Доказанная теорема есть пример частичного решения обратной задачи механики. Наличие векторного интеграла кинетического мо- момента представляет собой необходимый и достаточный признак того, что сила, действующая на материальную точку, будет центральной.
3.7. Основные теоремы динамики материальной точки 195 Теорема 3.7.8.(Об изменении кинетической энергии). Диф- Дифференциал dT кинетической энергии Т = mv2/2 равен работе си- силы на действительном элементарном перемещении материальной точки: dT=F- dr. Доказательство. Умножим уравнение, выражающее второй за- закон Ньютона, скалярно на v. Будем иметь d(mv) А или = F v dt V 2 ) A • Теорема 3.7.9. (Интеграл энергии). Если сила, действующая на материальную точку, потенциальна с силовой функцией U(r), то уравнения движения допускают первый интеграл (интеграл энер- энергии) где П = — U — потенциальная энергия, h — постоянная энергии, вычисляемая по начальным условиям. Доказательство. На элементарном перемещении, учитывая оп- определение силовой функции, будем иметь F • dr = dU. Теорема 3.7.8 дает dT = dU> или d(T — U) = 0. Поэтому утверждение теоремы справедливо, причем h сохраняется на конкретной траектории. От траектории к траектории величина h может принимать разные значе- значения, так как изменить траекторию — значит взять другие начальные условия.П Определение 3.7.4. Скалярная величина Е = T-f П называется полной механической энергией материальной точки. С помощью теоремы 3.7.9 можно сделать качественные выводы о характере движения. Например, пусть на точку действуют потенци- потенциальные силы с силовой функцией U(r). Тогда Имеем v2 > 0, Следовательно, U(г) + Л > 0, что выделяет область допустимых положений движущейся точки. Определение 3.7.5. Скалярное произведение F • v вектора силы F и вектора скорости v материальной точки называется мощностью силы. Единицей мощности служит "ватт": 1вт = 1н • м/с. Мощность имеет смысл работы, которую сила способна совершить за единицу времени. 13*
196 Глава 3. Динамика поступательного движения Следствие 3.7Л.Производная по времени от кинетической энер- энергии точки равна мощности силы, действующей на эту точку: Пример 3.7.3. Движение точки в поле параллельных сил тяжести. Основные формулы для такого движения можно най- найти в примере 3.5.2. Здесь проиллюстрируем действие основных теорем динамики точки. Пусть вектор е3 задает направление вертикали, и на материальную точку действует сила тяжести Р = — тдез. Выберем ор- тонормированный репер Ое^ез с началом в произвольной точке О трехмерного пространства. Векторы ei и ег образуют горизонтальную плоскость V, проходящую через начало координат О. Количество дви- движения материальной точки подчиняется уравнению d(m\) Проекция силы на горизонтальную плоскость V равна нулю. Согласно теореме 3.7.1, проекция скорости точки на горизонтальную плоскость (горизонтальная скорость) будет сохраняться как по величине, так и по направлению. Поэтому проекция точки на плоскость V будет переме- перемещаться по прямой линии /, уравнение которой зададим в параметриче- параметрическом виде: где е ? V — постоянный единичный вектор направления горизонталь- горизонтальной скорости, х — координата переменного положения проекции мате- материальной точки на плоскости V, вектор г0 ? V привязывает прямую к началу координат, задает точку прямой при х = 0 и остается посто- постоянным при движении материальной точки. Таким образом, гп ? V при любом значении х. Обозначим vT модуль горизонтальной составляющей скорости и представим радиус-вектор г точки и ее скорость v в виде г = уе3+ гп, v = Очевидно, что Откуда гп = х е = vr е —> х = vr = const. Поэтому х = хо + (t -to)vrf где xq — значение координаты х в начальный момент движения t = to.
3.8. Влияние связей на движение материальной точки 197 Проекция уравнения количества движения на вертикальную ось дает У=-9 —> У = -т(< - UJ + (t- to)vb + уо, где vB — начальное значение вертикальной скорости, а уо — начальное значение вертикальной координаты. Максимальное значение ут координаты у можно найти с помощью интеграла энергии (теорема 3.7.9). Имеем У2 + *? , . vl + v2T vl т— \-mgy = h = m— h mgy0 или ут - Уо = тг-, 2 2 2g так как для максимальной высоты ут — уо имеем у = 0. Отметим, что в рассматриваемой задаче вектор силы тяжести не со- создает момента вокруг вертикальной оси. Теорема 3.7.6 утверждает, что в этом случае горизонтальная проекция радиуса-вектора будет иметь постоянную секторную скорость. В самом деле, площадь, заметаемую проекцией радиуса-вектора на горизонтальную плоскость, можно найти по формуле 25е3 = (г0 х е)(х - х0) = vr(r0 x e)(t - t0). Видим, что S меняется равномерно по времени, и теорема площадей в данном случае имеет очевидную интерпретацию. О Ниже будут даны другие примеры применения доказанных тео- теорем, иллюстрирующие их эффективность при исследовании движе- движения. § 3.8. Влияние связей на движение материальной точки Рассмотрим задачи, в которых из-за геометрических и кинемати- кинематических ограничений (связей) ускорение w, реально получаемое точ- точкой, не совпадает с ускорением wf = F/m, которое возникло бы под действием заданной силы F при отсутствии ограничений. Естествен- Естественно разницу между w и Wf объяснить влиянием некоторой дополни- дополнительной силы. Определение 3.8.1. Реакция связи есть сила, которая, будучи приложенной к материальной точке вместо связи, сохраняет неиз- неизменным закон движения точки. Принцип освобождения от связей утверждает, что всегда су- существует реакция связи, действие которой эквивалентно действию связи.
198 Глава 3. Динамика поступательного движения Пусть N — реакция связи. При освобождении от связи второй закон Ньютона следует записать в виде mw = F 4- N. Силу F в отличие от реакции связи будем называть активной силой, вызывающей требуемое движение. Предположим, что ограничение задано с помощью уравнения причем дФ/dv ф 0. Такое ограничение носит название дифферен- дифференциальной связи. Это ограничение выделяет допустимые значения вектора скорости для любого заданного положения точки и для лю- любого заданного фиксированного момента времени. Активная сила F обеспечивает выбор действительных значений скорости среди всех допустимых. При действии активной силы F реакция связи N должна быть такой, чтобы левая часть уравнения дифференциальной связи была первым интегралом уравнения движения, ибо вдоль действительной траектории эта связь должна тождественно удовлетворяться. Воспользовавшись теоремой 3.5.1, приравняем нулю производную в силу уравнений движения от функции Ф: 1 9Ф ,_ ^тч дФ дФ Л Отсюда получаем необходимое и достаточное условие, которому дол- должна удовлетворять реакция N, чтобы движение материальной точки происходило в соответствии с заданной дифференциальной связью: Это условие ограничивает лишь проекцию N на вектор дФ/dv. Сле- Следовательно, вектор N целесообразно представить в виде где скаляр А = А(г, v,<) однозначно определен: -2 А = - а вектор Nr ± дФ/dv, и для его определения нужна дополнительная информация.
3.8. Влияние связей на движение материальной точки 199 В механике реакция связи всегда считается пассивной силой. Это означает, что реакция связи не может самостоятельно вызвать дви- движение, не приводящее к нарушению связи, а может тормозить такое движение или препятствовать его возникновению. Вместе с тем реак- реакция всегда препятствует нарушению связи. Чтобы однозначно найти NT, следует указать закон торможения. Таким, в частности, может быть закон сухого трения скольжения (см. пример 3.4.3) дФ Уг кг где / — коэффициент трения, а вектор / дФ\ дФ V dvjdv -2 VT = V- есть составляющая скорости, перпендикулярная вектору дФ/д\ и по- потому сохраняющая связь. Может встретиться также и закон вязкого трения (см. пример 3.4.4): Nr = -ae(vr)vr, ae(vr) > 0. Особо выделим случай, когда Nr = 0. Тогда N = \дФ/д\. Определение 3.8.2. Пусть вектор 6г задает перемещение точки, удовлетворяющее условию дФ Такой вектор 6г называется виртуальным перемещением точки. Вектор 6г определен неоднозначно. Он принадлежит плоскости, пер- перпендикулярной вектору дФ/dv. Определение 3.8.3. Связь, стесняющая движение материальной точки, называется идеальной, если для любого виртуального переме- перемещения 6т ее реакция N удовлетворяет условию N • 6т = 0. Очевидно, что условие ортогональности реакции N и любого вир- виртуального перемещения есть необходимое и достаточное условие того, что Nr = 0. Можно сказать также, что реакция идеальной связи не препятствует движению, совместимому со связью в данный момент времени, и однозначно определена активной силой и уравнением свя- связи. Особо обратим внимание на различие между действительным пе- перемещением dr материальной точки во времени и виртуальным ее перемещением 6г в данный фиксированный момент времени.
200 Глава 3. Динамика поступательного движения Лемма 3.8.1. Справедлива формула ЭФ , ЭФ . av av где dr — дифференциал перемещения точки в действительном дви- движении (действительное перемещение). Доказательство. Скорость точки и дифференциал ее радиуса- вектора в действительном движении связаны равенством dr = vdt. Умножив обе части этого равенства скалярно на дФ/dv, получим утверждение леммы.D Видим (см. определение 3.8.2), что при дФ *0 множество виртуальных перемещений не включает действительное перемещение. Если же дФ 0 то действительное перемещение точки за время dt будет принадле- принадлежать множеству виртуальных. Теорема 3.8.1. Связь <$(v,r,tf) = 0 допускает принадлежность действительного перемещения множеству виртуальных тогда и только тогда, когда при фиксированных rut она определяет в про- пространстве скоростей коническую поверхность с вершиной в точке v = 0. Доказательство. Необходимость. Пусть связь допускает при- принадлежность действительного перемещения множеству виртуальных. Тогда одновременно должны быть выполнены уравнения дФ Ф@ 0 0 Зафиксируем г и t. Так как \дФ/д\\ ф 0, можем воспользоваться теоремой о неявной функции и записать эти уравнения в виде Ф = v3 - f{vuv2) = 0, v3 = ^— vi + ^ где vi, V2, г;з — координаты вектора v в каком-нибудь ортонормиро- ванном базисе. На плоскости (v\, ^2) рассмотрим произвольный луч v\ = sa, vo = s/?, где a и /3 фиксированы, а s переменный параметр,
3.8. Влияние связей на движение материальной точки 201 выделяющий точки луча. Тогда второе уравнение можно преобразо- преобразовать к виду s — = / или / = s — —> г>3 = «7» as $o где /о есть значение функции / при начальном s = sq. Следовательно 7 = /o/so фиксировано при изменении $. Тем самым показано, что если уравнению связи удовлетворяет вектор v, то и вектор sv удовле- удовлетворяет уравнению той же связи. Точка v = 0, будучи предельной при s —> 0, всегда может быть доопределена, как удовлетворяющая уравнению связи. В пространстве скоростей имеем структуру кони- конической поверхности с вершиной в точке 0. Заметим, что плоскость есть частный случай конической поверхности. Достаточность. Если уравнение Ф = 0 определяет коническую поверхность с вершиной в точке 0, то это означает, что функция Ф не меняется вдоль направления скорости, а потому Реакция идеальной связи выразится формулой Для материальной точки, стесненной идеальной связью Ф(у, г, t) = О, уравнение движения принимает вид mw = P + А—, dv и оно вместе с уравнениями связи и начальными условиями однознач- однозначно определяет закон движения. Полученное уравнение называется уравнением Лагранжа с множителем. Теорема 3.8.2. (Влияние идеальной связи на кинетиче- кинетическую энергию). Допустим, что на материальную точку нало- наложена идеальная связь Ф(у,г,2) = 0. Тогда изменение кинетической энергии определено выражением dT <ЭФ dt -F'v + XQv 'V' Доказательство. Поскольку связь идеальна, мы можем вос- воспользоваться уравнением Лагранжа с множителем и скалярно умно- умножить обе его части на скорость v точки. Тогда хдФ = P-v + A— -v.a dt V 2 I dv
202 Глава 3. Динамика поступательного движения Член [(ХдФ/dv) • v] выражает мощность (см. определение 3.7.5), затрачиваемую реакцией связи при движении точки. Теорема 3.8.3. (Интеграл энергии при наличии идеальной связи). Пусть связь идеальна и такова, что действительное пере- перемещение в любой момент времени принадлежит множеству вир- виртуальных, а активная сила потенциальна с силовой функцией U(r). Тогда имеет место интеграл энергии T=U + h. Доказательство. Коль скоро действительные перемещения при- принадлежат множеству виртуальных и силы потенциальны, то хдФ п _ 8U д\ от и доказываемая теорема есть следствие теоремы 3.8.2.? Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей. Пусть уравнение связи имеет вид Ф(г, v, t) = А • v + В = 0, А ф 0, где вектор А = A(r,tf) и скаляр В = B(r,t) зависят только от радиуса-вектора г точки и времени /. Такое ограничение носит на- название линейной дифференциальной связи. Из-за нее конец вектора v должен принадлежать плоскости, перпендикулярной вектору А и смещенной от материальной точки на расстояние ??/|А|. Это ограни- ограничение выделяет допустимые значения вектора скорости для любого заданного положения точки и для любого заданного фиксированно- фиксированного момента времени. Для такой связи дФ/dv = А, и уравнение, определяющее векторы виртуальных перемещений, представляется следующим образом А • <5г = 0. Вектор 6г определен неоднозначно. Он принадлежит плоскости, пер- перпендикулярной вектору А. Далее, в силу уравнения связи получим дФ v = A-y = -B. д\ Таким образом при В ф 0 множество виртуальных перемещений не включает действительное перемещение. Если же В = 0, то действи- действительное перемещение точки за время dt будет принадлежать множе- множеству виртуальных.
3.8. Влияние связей на движение материальной точки 203 Реакция идеальной линейной дифференциальной связи выразит- выразится формулой N = AA. Для материальной точки, стесненной такой связью, уравнение Ла- гранжа с множителем принимает вид mw = F + АА, и оно вместе с уравнением связи и начальными условиями однозначно определяет закон движения. Следствие 3.8.1. Допустим, что на материальную точку на- наложена идеальная связь A-v+B = 0. Тогда изменение кинетической энергии определено выражением ?¦'-»• Доказательство. Воспользовавшись теоремой 3.8.2, найдем ^ = Fv + AAv. at Но уравнение связи влечет А • v = — B.U Член (—\В) выражает мощность, затрачиваемую реакцией связи при движении точки. Следствие 3.8.2. Пусть линейная дифференциальная связь иде- идеальна и такова, что действительное перемещение в любой момент времени принадлежит множеству виртуальных (В = 0), а актив- активная сила потенциальна с силовой функцией U(r). Тогда имеет ме- место интеграл энергии T=U + h. Доказательство. Коль скоро В = 0 и F = dU/dv, то доказывае- доказываемое утверждение вытекает из следствия 3.8.1.0 Пример 3.8.1. Точка перемещается в трехмерном пространстве относительно ортонормированного репера Ое^ез. Ее радиус-вектор выражается формулой г = xiei + Ж2в2 + язез. Пусть в каждой плоскости, перпендикулярной вектору ез, задано напра- направление проекции скорости точки на эту плоскость, зависящее от коор- координаты #з и времени:
204 Глава 3. Динамика поступательного движения где f(x3,i) — заданная функция. В этом случае имеем дифференци- дифференциальную связь А • v + В — 0, для которой А = (/(*з,0.-1.0), 5 = 0, и действительное перемещение принадлежит множеству виртуальных, несмотря на зависимость вектора А от времени. Функция Ф(г, v, t) имеет вид Множитель Л дается выражением А = -A + Z2)" где F\ и Fi — компоненты активной силы F.O Выше были рассмотрены случаи, когда связь существенно зави- зависит от скорости. Предположим теперь, что 0Ф/д\ = 0. Такая связь означает, что движение материальной точки ограничено поверхно- поверхностью, заданной уравнением /(г,<) = 0 (геометрическая связь). Со- Соответствующая дифференциальная связь имеет вид А • v -f- В = 0, где Примем, что df/dr ф 0. Виртуальные перемещения определены уравнением и принадлежат плоскости, касательной к связи при фиксированном времени t. Действительное перемещение принадлежит множеству виртуальных тогда и только тогда, когда В = df/dt = 0, т. е. когда связь не зависит явно от времени. Реакция геометрической идеаль- идеальной связи /(г,<) = 0 направлена вдоль градиента: Мощность реакции связи выражается формулой (—A df/dt). Теорему 3.8.3 можно сформулировать следующим образом. Следствие 3.8.3. Если геометрическая связь идеальна и не за- зависит явно от времени, а активная сила потенциальна, то имеет место интеграл энергии.
3.8. Влияние связей на движение материальной точки 205 Максимальное число независимых связей для материальной точ- точки, движущейся в трехмерном пространстве, не может превышать трех. Если имеются три такие связи, то ими скорость точки опреде- определена однозначно как функция координат и времени. Изучение закона движения в этом случае представляет собой задачу кинематики, а за- задачей динамики тогда будет лишь определение усилий, реализуемых этими связями. Рассмотрим случай, когда имеются две независимые дифферен- дифференциальные связи Движение материальной точки будет происходить в соответствии с заданными дифференциальными связями тогда и только тогда, когда реакция N удовлетворяет следующей системе уравнений дФ2 Решение этой системы неоднозначно. Однако можно заметить, что при выполнении условия невырожденности она однозначно опреде- определяет линейную комбинацию ~ дФ, дФ2 av д\ где Ai и А2 — искомые скалярные параметры. Реакцию связей тогда можно представить в виде N = N + Nr, где составляющая Nr может совпадать по направлению с любым ненулевым вектором ?г, перпен- перпендикулярным одновременно и вектору дФх/dv, и вектору дФ2/д\. Из системы уравнений для реакции невозможно определить такую со- составляющую NT. Все указанные векторы 6г называются виртуаль- виртуальными перемещениями в данном случае, и их множество описывается системой однородных линейных уравнений 8Ф2 • 6г = 0, -?— • 6г = 0. av Условие идеальности связей (условие однозначной определимости ре- реакции N) состоит в том, чтобы было выполнено N 6г = 0 для любого виртуального перемещения, что означает равенство нулю составля- составляющей NT.
206 Глава 3. Динамика поступательного движения Теорема 3.8.4. Пусть на материальную точку действуют две независимые идеальные дифференциальные связи Ф1(у,р|*) = 0, Ф2(у,г,<) = 0. Тогда изменение кинетической энергии точки выражается уравне- уравнением dT „ _ дФх х дФ2 _ = F.V + Al— v + A2 — .v, где Ai и А2 — коэффициенты разложения вектора реакции связей: Доказательство. С учетом условия идеальности связей уравне- уравнения движения материальной точки можно представить в виде C/V C/V Осталось умножить это равенство на v и преобразовать стандартным образом получившуюся левую часть. ? Следствие 3.8.4. (Интеграл энергии). Если две независимые идеальные связи таковы, что действительное перемещение матери- материальной точки в любой момент времени принадлежит множеству виртуальных, а сила, действующая на точку, потенциальна с сило- силовой функцией U = U(г), то имеет место интеграл энергии T=U + h. Доказательство. Действительное перемещение принадлежит множеству виртуальных в любой момент времени тогда и только то- тогда, когда v • (дФх/dv) = v • (дФ2/д\) = 0. Кроме того, F = dU/дгЛ Рассмотрим подробнее часто встречающиеся случаи. 1. Заданы две линейные по скоростям дифференциальные связи Фх = Ai • v + Вг = 0, Каждое уравнение выделяет в пространстве скоростей плоскость, со- содержащую конец вектора допустимой скорости. Обозначим эти плос- плоскости V\ и Р2 соответственно. Множество допустимых скоростей есть прямая, служащая пересечением плоскостей V\ иТ2-
3.8. Влияние связей на движение материальной точки 207 Виртуальное перемещение 6г точки в этом случае следует опре- определить как решение системы уравнений Ai • <5г = 0, А2 • 6г = 0. Таким образом, множество виртуальных перемещений состоит из всех векторов, перпендикулярных как вектору Ai, так и вектору А2. Это множество можно описать формулой 6r = /?Ai х А2, где 0 — скалярный коэффициент. Пусть заданные дифференциальные связи идеальны (см. опре- определение 3.8.3). Поскольку 0 — произвольный коэффициент, будем иметь N-(Ai х А2) = 0. Такое равенство означает компланарность векторов N, Ai, А2. По- Поэтому суммарную реакцию идеальных связей следует искать в виде N = AiAi-f Л2А2. По смыслу первое слагаемое правой части можно рассматривать как реакцию первой связи, а второе слагаемое — второй: Теорема 3.8.5. Пусть на материальную точку действуют две независимые идеальные дифференциальные связи Ai • v + Bi = 0, А2 • v + В2 = 0. Тогда изменение кинетической энергии точки выражается уравне- уравнением at где \\ и А2 — коэффициенты разложения вектора реакции связей по векторам Ai и А2: N = AiAi + A2A2. Доказательство. Воспользуемся теоремой 3.8.4 и учтем, что в соответствии с уравнениями связей Ai • v = — В\, А2 • v = —В2.П Следствие 3.8.5. (Интеграл энергии). Если две независимые идеальные линейные дифференциальные связи однородны: В\ — 0, В2 = 0 (действительное перемещение материальной точки в любой
208 Глава 3. Динамика поступательного движения момент времени принадлежит множеству виртуальных), а сила, действующая на точку, потенциальна с силовой функцией U = U(r)f то имеет место интеграл энергии T=U + h. Доказательство получается с помощью следствия 3.8.4.0 2. Заданы две геометрические связи: Они накладывают ограничения на скорость точки: Ai • v + Si = 0, А2 • v + В2 = 0, где 0/2 Векторы Ai и Аг направлены по нормалям к соответствующим поверхностям, когда время t рассматривается как фиксированный па- параметр. Действительные перемещения принадлежат множеству вир- виртуальных при В\ = #2 = 0- Для геометрических связей это означает, что левая часть их уравнений не зависит явно от времени. Имеем тогда две неподвижные поверхности в пространстве, пересечение ко- которых дает траекторию материальной точки, и требуется определить лишь закон ее движения вдоль траектории. Следствие 3.8.5 об интеграле энергии для данного случая можно переформулировать следующим образом. Следствие 3.8.6. Пусть уравнения поверхностей, в пересечении которых лежит траектория материальной точки, не зависят явно от времени, а активная сила потенциальна. Тогда имеет место интеграл энергии. 3. Геометрическая связь задана с помощью параметра: где q — скалярный параметр, определяющий положение точки на связи, t — время. Такая связь накладывает ограничение на скорость точки: дг . дг +
3.8. Влияние связей на движение материальной точки 209 Исключив параметр q, можно получить уравнение связи в стандарт- стандартной форме. Действительно, векторно умножив дифференциальную связь на dv/dq, получим Введем кососимметричную матрицу, соответствующую векторному произведению: ?> = 0 ?i - дг3 dq о \ dq dq дг2 \ dq р. dq 0 Она вырожденная, в чем легко убедиться, умножив ее первую строку на dri/dq, вторую — на dr^/dq, третью — на dr$/dq и ре- результаты сложив. Следовательно, векторное уравнение = 0 эквивалентно двум скалярным уравнениям, линейным относительно компонент вектора скорости. Согласно определению (см. стр. 205) виртуальное перемещение удовлетворяет уравнению Dv = 6r х -^ = 0, dq решением которого служит вектор дг Здесь 6q — произвольный параметр. Как и следовало ожидать, вир- виртуальное перемещение происходит вдоль направления касательной к связи при фиксированном времени. Условие идеальности связи N • <5г = 0 означает, что векторы N и dr/dq взаимно перпендикулярны: 14-1503
210 Глава 3. Динамика поступательного движения Уравнение движения материальной точки с учетом воздействия на нее связи следует записать в виде mw = F 4- N. Когда связь рассматриваемого типа идеальная, то реакция связи пол- полностью исключается: dv dv С учетом того, что d2v dv dq dq' dt dq dq2 Ч dtdq dq' полученное уравнение (см. доказательство теоремы 3.6.1) приводит- приводится к виду уравнения Лагранжа / 01 \ 01 OY dt\d4j~"dq=: "dq' Таким образом, имеем одно дифференциальное уравнение второго порядка, позволяющее установить закон движения точки по связи под действием активной силы F. Умножив это уравнение на д, полу- получим d {.дТ\ dT.. dT . „ „ dv или Это уравнение выражает закон изменения кинетической энергии. Член F • dr/dt учитывает мощность активной силы, возникающую из-за того, что связь зависит не только от д, но и от <. Если сила, действующая на точку, потенциальна с силовой функцией U(г), то полученное уравнение принимает вид di\q~dj~ ) + ~dtZ=Z~df~"dT' Следствие 3.8.7. Пусть сумма Т + U не зависит явно от вре- времени: — (Г 4- U) = 0. Тогда справедлив обобщенный интеграл энергии Якоби Если связь от времени явно не зависит, то q(dT/dq) = 2Т, и этот интеграл переходит в обычный интеграл энергии.
3.9. Одномерные осцилляторы 211 Отсутствие явной зависимости суммы Т + U от времени служит достаточным условием существования обобщенного интеграла энер- энергии не только для случаев, рассмотренных выше, но и в гораздо более общем случае (см\ следствие 8.4.3). § 3.9. Одномерные осцилляторы Изучим свойства решений часто встречающихся на практике ти- типов дифференциальных уравнений движения. Они будут иметь при- приложение как к движению одной материальной точки, так и к движе- движению систем материальных точек, подверженных связям. Гармоническим осциллятором называется механическая система, движение которой полностью описывается дифференциальным урав- уравнением вида x+w2x = 0, где х — координата, а а; — положительная постоянная, называемая циклической частотой. Пример 3.9.1. Ареометр — это цилиндрический сосуд с де- делениями, по глубине погружения которого в жидкость можно судить о ее плотности. Пусть zq — уровень равновесного положения, Р — вес, S — площадь поперечного сечения ареометра, р — плотность жидко- жидкости. В положении равновесия вес ареометра уравновешен силой Архи- Архимеда: Р = zoSpg. Если ареометр имеет меньший уровень погружения z = zo — х, то архимедова сила станет меньше веса. Без учета сил тре- трения прибора о жидкость проекция уравнения второго закона Ньютона на вертикальное направление примет вид т'х = -Р + (zq - x)Spg) или m Тем самым ареометр представляет собой гармонический осциллятор с циклической частотой ш = y/Spg/m.O Пример 3.9.2. Пусть однородная ровная доска находится под действием силы тяжести и лежит горизонтально на двух роликах, бы- быстро вращающихся так, что силы сухого трения, возникающие в точках контакта доски с роликами, направлены навстречу друг другу. В поло- положении, когда центр тяжести доски расположен точно посередине между роликами, силы трения взаимно уравновешены. Половину расстояния между роликами обозначим /. Сдвинем доску на расстояние х от пер- первого ролика ко второму. Тогда сила давления N\ со стороны доски на первый ролик и сила давления N2 со стороны доски на второй ролик 14*
212 Глава 3. Динамика поступательного движения уравновешивают вес доски и связаны друг с другом правилом рычага первого рода Nx(l + х) = N2(l - *), N1 + N2 = Р, или N\ — iV2 = —хР/l. По условию задачи имеем выражения для сил трения: F\ = kN\, F2 = АгЛГ2, где к — коэффициент трения скольжения роликов о доску. Уравнение движения доски принимает вид ткР Следовательно, рассматриваемая механическая система есть гармониче- гармонический осциллятор с циклической частотой ш = \/gk/l.O Пример 3.9.3. Рассмотрим электрический колебательный кон- контур, состоящий из конденсатора емкости С и катушки индуктивности L. Пусть q — заряд на конденсаторе, / — ток в контуре. При изменении тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции dl Разность потенциалов на пластинах конденсатора есть u = q/C. Следо- Следовательно, Ldt ~ С По определению тока I — dq/dt. Колебания заряда на пластинах кон- конденсатора описываются уравнением гармонического осциллятора с циклической частотой ш = y/{CL)~l.O Видим, что весьма разнородные физические явления подчиняют- подчиняются дифференциальному уравнению одного и того же типа и в этом смысле оказываются подобными. Каждый раз, когда имеется та- такое подобие, возникает принципиальная возможность моделировать явления одной физической природы явлениями другой природы, по той или иной причине более удобными для экспериментатора. Гар- Гармонический осциллятор — это система с одной степенью свободы, заданной координатой х. Фазовое пространство для него есть фа- фазовая плоскость (х,х). Общее решение уравнения гармонического осциллятора выражается равенствами х = с\ coscj* -h х = <jj{—с\ smut + С2 cosurt),
3.9. Одномерные осцилляторы 213 где с\ и С2 — постоянные интегрирования, определяемые по началь- начальным условиям. Пусть в момент времени t = О заданы х = жо, i = #о- Тогда, очевидно, d = а?0, с2 Уравнение гармонического осциллятора допускает интеграл энергии W2X2 где h = (io + ^2iCo)/2 — постоянная энергии. Из интеграла энергии следует, что фазовая кривая представляет собой эллипс, заданный уравнением х2 х2 — 4- — - 1 а2 + Ь2 "" ' где а = >/2ft/u;, 6 = \/2Л — полуоси. Фазовая точка движется по эллипсу в направлении часовой стрелки (рис. 3.9.1). Пусть посто- В зависимости от различных на- начальных условий имеем семейство концентрических эллипсов, отли- отличающихся друг от друга только одним параметром — постоянной энергии. Начало координат (поло- х жение равновесия гармоническо- гармонического осциллятора) в соответствии с общепринятой классификацией особых точек представляет собой центр. Рис. 3.9.1. Фазовый портрет гармонического осциллятора янная энергии фиксирована. Тогда увеличение частоты ш влечет уменьшение полуоси а, из-за чего фазовый эллипс выглядит все бо- более вытянутым вдоль оси ординат. Фазовый поток выражается матрицей _ ( cosurt, ш * sin art — wsinut, cosut Общее решение уравнения гармонического осциллятора можно пере- переписать в виде х = a cos(u;t + a),
214 Глава 3. Динамика поступательного движения где а= - s/2h ь0 — U) tga = . UX Осциллятор совершает гармонические колебания. Коэффициент а на- называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — фазой коле- колебаний, а есть начальное значение фазы, зависящее от выбора начала отсчета времени. Время г одного колебания (период колебаний) вы- выражается формулой г = 2тг/и; = l/i/, где v — число колебаний за 1 с. Частота колебаний v измеряется в "герцах": и = 1гц — это частота, при которой за одну секунду совершается одно колебание. Энергия h = а2и2/2 гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды. Зависимость от времени координаты х гармонического осцилля- осциллятора часто бывает удобно представить в виде действительной (веще- (вещественной) части комплексной функции х = Re (Ате«) , где Ат — комплексная постоянная, называемая комплексной ам- амплитудой. Она задается равенством Ат = aetQr, так что модуль Ат совпадает с амплитудой а, а аргумент — с