§
Л.В.ПРОКОРОВ
С.В.ШАБАНОВ
ГАМИЛЫОНОВА
МЕХАНИКА
КАЛИБРОВОЧНЫХ
систем
Щ Издательство С.-Петербургского университета
И/ Санкт-Петербург 1997

С.-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Л. В. ПРОХОРОВ, С. В. ШАБАНОВ
ГАМИЛЬТОНОВА
МЕХАНИКА
КАЛИБРОВОЧНЫХ
СИСТЕМ
САНКТ-ЦЕТЕРБУРГ
ИЗДАТЕЛЬСТВО С-ПЕТЕРБУРГСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
1997 .-j'-л.

BBK 22.31
УДК 539.12
П84
Содержание .
Редактор Т. В. Мызникова
Рецензенты: л-р физ.-мат. наук проф. Л.Н. Липатов (С.-Петербург-
скнй ин-т ядерной физики РАН),
д-р фнз.-мат. наук В. В. Нестеренко (Объединенный
ин-т ядерных исследований)
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
С.-Петербургского университета
Прохоров- Л.В., Шабанов СВ.
П84 Гамильтонова механика калибровочных систем-—СПб: Изда-
тельство С.-Петербургского университета., 1997.— 292 с.
ISBN 5-2S8-01523-6 ; " ' .
Монография посвящена проблемам динамических систем с калибро-
вочной симметрией. Подробно излагаются теория динамически! си-
стем со связями, теория систем с грассм&иовыми временными, метод
гамильтоковых континуальных интегралов. Отдельная глава посвяще-
на проблеме конфайнмента. В монографию вошли результаты исследо-
ваний последних лет (нетривиальное фазовое пространство, остаточная
дискретная калибровочная группа и др.). Монография может служить
введением в современную теорию калибровочных систем и метод га-
мильтоновых континуальных интегралов.
Книга рассчитана на специалистов по квантовой теории поля, Она
будет полезна также студентам старших курсов и аспирантам.
ВБК 22.31
Тем. план 1996 г., W» 103
ISBN 5-288-01523-6
© Л.В. Прохоров,
СВ. Шабанов, 1997
. © , Издательство ^',; ¦J
С.-Петербургского
университета; 1997
Предисловие
Г лава 1. Гамильтонов формализм 12
1.1. Принцип наименьшего действия —
1.2. Гамильтоновы уравнения движения ; 13
1.3. Скобки Пуассона ; ;... .v.......~. 16
1.4. Канонические преобразования 17
1.5. Производящие функции канонических преобразований 18
1.6. Симметрии и интегралы движения 21
1.7. Лагранжев формализм для грассмановых переменных 24
1.8. Гамильтонов формализм для грассмановых перемен-
ных 27
1.9. Гамильтонова динамика на супермногообразиях 32
1.10. Канонические преобразования на симплектических су-
пермногообразиях 37
1.11. Неканонические преобразования 43
1.12. Примеры систем с нетривиальной симплектической
структурой I..".'."..' 46
1.12.1. Частица с трением D6). 1.12.2. д-Осцилля-
торD8).
Г л а в а 2. Гамильтоновы континуальные интегралы 50
2.1. Введение.. .".' :v —
2,1.1- Предварительные замечания E0). 2.1.2. Кван-
тование E1). к , . ¦ ч -; .;¦-».¦¦'.'.¦¦
2.2. Гамильтоновы континуальные интегралы в квантовой
механике .;.-. •.. 51
" 2.2.1. , Определение гамильтонова континуального
интеграла E1). 2.2.2. Лагранжевы континуальные
интегралы E3).
2.3. Нестандартныеллены и базисные правила.эквивалент-
ности ¦••••'¦'- -.-ftrwi ,v-f * • • $5
2.3.1- • Нестандартные члены E5). ,2^.2. .Базисные
* правила эквивалентности E7). 2.3.3. Базисные ин-
тегралы в криволинейных координатах., Лагранже-
вы базисные правила эквивалентности E9). h
2.4. Правила эквивалентности ,•:.¦>¦•< ¦¦•< 62
2.4.1. Гамильтоновы правила эквивалентности F2).
2.4.2. Лагранжевы правила эквивалентности F3).
2.5. Правила перемены опорной точки .'.'.'..'.:..".'..".'."..."
¦ 2.5/11 Неоднозначность'''.формальной5 записи
... B:2.7) F5). 2.5.2. Правила перемены'опорной точ-
ки F6).
2.6. Канонические преобразования и гамильтоновы конти'-
нуальные интегралы .'.л •..'.....:': I. .">-:!. г:'/:..:'.'?.':
2.6.1. Предварительные замечания F8).-2.6.2. Заме-'
'.. § ¦ • на"переменных в- лагранжевых континуальных и№'
s,!'-тетрадах. Координаты, топологически эквивалент-
65

ные декартовым G0). 2.6.3. Канонические и уни-
тарные преобразования G1). 2.6.4. Канонические
преобразования гамильтоновых континуальных ин-
тегралов G5).
2.7. Задачи с нетривиальными граничными условиями.... 79
2.7.1. Частица в "ящике" G9). 2.7.2. Частица в поле
потенциала j* (85). 2.7.3. Топологически нетриви- .
альные координаты (87). .
2.8. Квантование в рамках метода континуального интегри-
рования 98
2.8.1. Лагранжев формализм (98). 2.8.2. Гамильто-
нов формализм A04).
Г л ав а 3. Динамические системы со связями 108
3.1. Введение —
3.2. Общий анализ динамических систем со связями НО
3.2.1. Гамильтонов формализм A10). 3.2.2. Образ-
цы систем со связями A14). 3.2.3. Лагранжев фор-
мализм A18).
3.3. Физические переменные в системах со связями 119
3.3.1. Расширенная группа калибровочных преоб-
разований A19). 3.3.2. Исключение нефизических
переменных в случае связей второго рода. Скобка
Дирака A21). 3.3-3. Формализм первого порядка и
гамильтонова механика A23).
3.4. Нелинейные скобки Пуассона и системы со связями .. 124
3.4.1. Динамика с нетривиальной симплектической
структурой и системы со связями второго ро-
да A24). 3.4.2. Абелева конверсия связей второго
рода A25). '3.4.3. Переменные Дарбу и конверсия
связей A27). '¦""" '¦"•¦ -;•¦;'¦ ¦'•¦¦•.
Г лава 4. Квантование динамических систем со связями . 129
4.1. Рецепт квантования Дирака :. —
4.1.1. 'Системы со связями Первого рода A29).
4.1.2. Системы 'со связями второго рода" A30).
4.1.3. " Связи первого рода.' Правомерность ис-
ключения нефизических переменных до квантова-
ния A30). 4.1.4. Связи первого рода. Эффективный '
гамильтониан1 A33)\"*" ¦
4.2. Упорядочение операторов в связях 136
4.2.1., Квантование, систем с равным нулю гамиль-
тонианом A36). .4.2.2. Упорядочение операторов в
связях A37). '¦'¦'.
4.3. Релятивистская частица , 140.
4.3.1. Классическая теория A40). 4.3.2. Квантовая
теория A41). *t , ;, ¦ . , , - -.,:,:* ,
4.4. Исключение нефизических.переменных. Связи второго
рода •.!:.'.--.?-.. ::.!Г/;чз--*г,-.;.-..-.• s..;...'. .w-Г....-.. 143
4
5.2.
5.3.
5.4.
166
Г лав а 5. Фазовое пространство в калибровочных теориях 146
5.1. Модель 4 147
5.1.1. Классическая гамильтонова теория A47).
5.1.2. Фазовое пространство в полярных координа-
тах A51). 5.1.3. Квантовая теория. Инвариантный.,
и неинвариантный подходы A52).
Гармонический осциллятор с коническим фазовым про-
странством 154
. 5.2.1. Квантовая теория. Координатное предста-
вление A55). 5.2.2. "Представление вторичного
квантования" A57).
Остаточная дискретная калибровочная группа и выбор
физических переменных 157
5.3.1. Неинвариантный подход A58). 5.3.2. Описа-
ние физических переменных криволинейными коор-
динатами A59). 5.3.3. Квантовая теория в инвари-
антных переменных и выбор калибровки A64).
Модели с произвольной простой калибровочной груп-
пой
5.4.1. Классическая теория. Выделение физиче-
ских переменных A66). 5.4.2. Квантовая теория.
Гармонический осциллятор A68). 5.4.3. Классиче-
ская теория. Анализ динамики групп ранга 2 A69).
5.4.4. Инвариантные координаты для групп ран-
. • га 2 A71). 5.4.5. Квантовая теория. Координат-
ное представление A72). 5.4.6. Теорема Шевалле и
калибровочно-инвариантные волновые функции ос-
i>. >циллятора A76).. .-. , '..
Калибровочные системы с грассмановыми переменны-
ми;. .... .ъ.'~ т. ;: : 177
'; 5.5.1; ¦ Классическая теория. Минимальная модель с
абелевой калибровочной группой A77). 5.5.2. Кван-
•.*• товая теория. Минимальная модель A78). 5.5.3. Мо-
¦-"¦. дель с произвольной калибровочной группой. При-
i соединенное представление A79).
Сложные механические системы с бозевыми перемен-
ными "ЛТ1.--.".:'.." '.¦..'.•;¦..."¦-.';'. .-v.. ......- 181
к 5.6.1.т Две частицы в двумерномпространстве A81).
5.6.2. Квантовая теория модели E.6.2). Осцилля-
тор A83). 5.6.3. Квантовая теория модели E.6.2).
Координатное представление A84). 5.6.4. Кванто-
вая механика Янга—Миллса A87).
Системы с бозевыми и1 фермиевыми степенями сво-
' х ,..¦.;,??';;.• _;'.;.?.:'..;.¦:. ..:;.„.:::. m
5.7.1. Простейшая модель A90). 5.7.2. Оператор
Лапласа— Бельтрами^в криволинейных координа-
тах на суперпространстве A92). 5.7.3. Теорема Ше-
яя? валле в теории смешанных систем A94)..
Следствия изменения структуры физического фазового
пространства .'..'. 197
-.5.5.
л . w-
. .i'M'.)
^ *«5.6.'
. 5.7
югя-

5.8.1. Метод Венцеля—Крамерса—Бриллюэна A98).
5.8.2. Функции Грина и структура физического фа-
зового пространства A9S). 5.8.3. Функции Грина и
выбор физических переменных B02).
Г л а в а 6. Континуальные интегралы в калибровочных тео-
риях 206
6.1. Предварительные замечания —
¦ 6.2. Гамильтоновы континуальные интегралы в теории ка-
либровочных систем с коническим фазовым простран-
ством 207
6.2.1. Гармонический осциллятор. Дискретная ка-
либровочная группа Zi B07). 6.2.2. Гармонический
осциллятор с калибровочной группой SOC) B10).
6.2.3. Модель с калибровочной группой SO(n) B11).
6.3. Модели с более сложным фазовым пространством ... 213
6.3.1. Модель с произвольной калибровочной груп-
пой. Присоединенное представление B13). 6.3.2. Га-
мильтонов континуальный интеграл для абелевой
матричной модели B15).
6.4. Модель с грассмановыми переменными 218
6.5. Гамильтонов континуальный интеграл в произвольной
калибровке 219
6.5.1. Калибровочная группа SO{2) B20). 6.5.2. Си-
стема с произвольной калибровочной группой B23).
6.6. Гамильтоновы континуальные интегралы для смешан-
ных систем с калибровочной группой ;: 228
6.6.1. Остаточная калибровочная симметрия и га-
мильтоновы континуальные интегралы для смешан-
ных систем (группа 50B)) B29). 6.6.2. Гамильтоно-
.... вы континуальные интегралы в криволинейных су-
•. •; перкоординатах и смешанные системы с произволь-
ной калибровочной группой B32). . - .
6.7. Некоторые следствия модификации гамильтоновых кон-
тинуальных интегралов для калибровочных систем .. 236
6.7.1. Квантовомеханические инстантоны B36).
6.7.2. Функции Грина для калибровочных систем
с нетривиальным физическим фазовым простран-
ством, и метод гамильтоновых континуальных ин-
. тегралов B38)...
Г л а в а 7. Конфайнмент ..: 240
7.1. Введение '._....".'..' —
7.1.1. Краткая история вопроса. B40). 7.1.2. Общие
замечания о проблеме конфайнмента B41).
7.1.3. Особенности калибровочных теорий по-
ля B42).: ••¦'¦¦ /!;'_;;¦' ' '•• ; /
7.2. Кинематика. Калибровочные поля и расслоенные про-
странства ...." V.\I'.'!".4'..'.'.'.....' .'..'.' 244
7.2.1. 'Калибровочные поля как геометрические объ-
екты теории '' расслоенных пространств B44).
7.2.2. Инвариантные структуры в теориях с груп-
пами 1/A), 5GB), 5GC) B45).
7.3. Динамика. Квантование 249
7.3.1. Внесение динамики B49). 7.3.2. Квантова-
ние B49). 7.3.3. Проблема ветвления струн B50).
7.4. Внешние поля зарядов и статические силы. Конфайн-
мент 251
7.4.1. Электродинамика B51). 7.4.2. Неабелевы те-
ории B52). 7.4.3. Обсуждение B54). 7.4.4. Конфайн-
мент B55).
Г л ав а 8. Приложения 257
8.1. Краткие сведения по теории групп —
8.1.1. Основные определения B57). 8.1.2. Краткие
сведения по алгебрам Ли B59). 8.1.3. Свойства ме-
ры к2(Л) B62).
8.2. Грассмановы переменные 263
8.2.1. Анализ на грассмановых алгебрах B63).
8.2.2. Квантовое описание систем с грассмановы-
ми переменными B65). 8.2.3. Решения классических
уравнений движения для смешанных систем со свя-
зями B67).
8.3. Интегралы Гаусса, обобщенная формула Пуассона,
ядро Qn и определитель Ван Флека 270
8.3.1. Многомерные гауссовы интегралы B70).
8.3.2. Вывод формулы B.7.58) B71). 8.3.3. Другой
вывод формулы B.7.89) для ядра Qn B71). 8.3.4. Оп-
ределитель Ван Флека B73). ч,
8.4. Устранение калибровочного произвола и остаточные
преобразования 273
8.4.1. Рецепты устранения калибровочного произ-
вола B73). 8.4.2. Пример построения остаточных
преобразований 5 B78). .
8.5. Калибровочно-инвариантное представление ядра еди-
. , личного оператора .. ...v...... 279
.. . 8.5.1. Голоморфное представление B79). 8.5.2. Ко-
ординатное представление B80).
Указатель литературы V : 282

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние полтора-два десятилетия калибровочные теории выдви-
нулись на передний план и заняли доминирующее положение в физике ми-
кромира. Все известные взаимодействия — сильные, слабые, электромаг-
нитные и гравитационные - описываются калибровочно-инвариантными
лагранжианами (действиями). В рамках классической физики калибро-
вочная инвариантность не доставляла особых хлопот. В случае элек-
тродинамики, служившей эталоном для всех остальных полевых теорий,
калибро?!очный произвол устранялся добавлением к уравнениям движе-
ния какого-либо дополнительного условия, например условия Лоренца. В
гравитации обычно использовалась калибровка Ле Лондера — Фока. Но
уже первые работы по квантованию электромагнитного поля показали,
что калибровочные теории требуют особого подхода. Переход к кванто-
вому описанию предполагает наличие гамильтонова формализма, постро-
ение которого оказалось не совсем простым делом. Выяснилось, что урав-
нения, связывающие скорости и канонические импульсы в электродинами-
ке, неразрешимы, т.е. не все скорости выражаются через импульсы (след-
ствие вырожденности лагранжиана). Как результат, появляются условия
на канонические переменные (связи). Требовалось, во-первых, сформу-
лировать теорию динамических систем со связями, во-вторых, сформу-
лировать рецепт их квантования. Применительно к электродинамике эти
задачи были решены уже В. Гейзенбергом и В. Паули A930 г.). В даль-
нейшем, при создании современной квантовой электродинамики (КЭЛ)
удалось избежать принципиальной проблемы квантования при наличии
связей. Выло установлено, что в КЭД можно развить теорию возмуще-
ний, не чувствительную к тонкостям гамильтоновой динамики, обусло-
вленным вырожденностью лагранжиана. Единственным отличием от не-
калибровочной теории было существование тождеств Уорда, а единствен-
ной дополнительной заботой — необходимость следить за калибровочной
инвариантностью результатов. Однако попытки описания более сложных
систем с вырожденным лагранжианом (таких, как гравитация) показали
необходимость создания обшей теории. Такая теория была построена
в работах П.A.M. Дирака и П. Бергмана. П.А.М. Дирак дал и рецепт
квантования подобных систем. Довольно долгое время это направление
не пользовалось популярностью у большинства специалистов. Отноше-
ние к нему изменилось после появления объединенной модели слабых и
электромагнитных взаимодействий- Права гражданства теперь получили
поляЯнга— Миллса, т.е. теории с неабелевой калибровочной группой. В'
модели имелся и малый параметр, поэтому, казалось бы, ничто не меша-
ло применению теории возмущений. Однако, еще раньше Р. Фейнманом
было установлено, что прямолинейное перенесение стандартной для КЭЛ
техники на теорию Янга — Миллса приводит к катастрофе — нарушению
условия унитарности. Это ясно указывало на недостаточность полуинту-
итивных методов и необходимость привлечения общей теории.
Ситуация еще более обострилась после того как обнаружилось, что
сильные взаимодействия описываются теорией с неабелевой калибровоч-
ной группой. Здесь проблема корректного описания встала в полный
рост, поскольку взаимодействие могло считаться слабым только на доста-
точно малых расстояниях. Ограниченность до сих пор безотказного ме-
тода теории возмущений подчеркивалась феноменом "пленения" кварков,
характеризующимся, в частности, линейно растущим потенциалом (кок-
файнмент). Мало того, что сама применимость теории возмущений ока-
зывалась под вопросом (ввиду роста константы связи с расстоянием), но-'
вая теория сильных взаимодействий - квантовая хромодинамика (КХД)
— не давала, даже качественного объяснения конфайнмента. Серьезность
проблемы усугублялась тем обстоятельством, что не помогло и привлече-
ние новых методов, не связанных с теорией возмущений, таких, например,
как квазиклассика.' Малая результативность первого натиска на зада-
чу предполагала переход к ее правильной осаде. По-видимому, какие-то
существенные черты КХД ускользнули от внимания физиков. Назрела не-
обходимость обратиться к основам теории, тщательно проанализировать
ее особенности. Исходным пунктом такого анализа могли служить осно-
вополагающие работы Дирака и Бергмана.
Монография в значительной степени и посвящена изучению основ ме-
ханики калибровочных систем (динамических систем со связями). Ввиду
того, что подобные системы исследованы недостаточно полно, изучение
начинается с простейших моделей.1 Они вполне элементарны и в то же
время обладают всеми характерными особенностями, присущими теори-
ям данного типа. Ясно, что без хорошего знания простых калибровоч-
ных систем невозможно ориентироваться в калибровочных теориях с бес-
конечным числом степеней свободы, т.е. в теориях поля. Эти модели
представляют из себя "поля" Янга — Миллса в пространстве — времени
@+1), взаимодействующие с "полями материи". Несмотря на их макси-
мальную простоту, может быть именно благодаря ей, они оказали-.-, не-
ключительно полезными. Изучение моделей привело к выявлению ряда
принципиальных моментов, долгое время остававшихся незамеченными.
Уже простейшая из них (скалярная электродинамика в пространстве -
времени @+1)) позволила выявить поразительный факт редукции физи-
ческого фазового пространства (ФП). Оказалось, что ФП единственной
физической степени свободы данной системы есть не плоскость, а раз-
вертываемый в полуплоскость конус. Это радикально меняет динамику
системы, налример ведет к удвоению частоты колебаний осциллятора (к
удвоению расстояния между уровнями его энергии в квантовой теории). В
моделях с произвольной простой калибровочной группой структура ФП
оказывается связанной с группой Вейля (W) — дискретной подгруппой
калибровочной группы, характеризующей ее корневое пространство (W
есть группа отражений относительно гиперплоскостей, ортогональных
простым корням). Удивительный синтез весьма абстрактной математи-
ки и физики! Другой пример полезности изучения элементарных моделей
дает проблема фиксации калибровки. Недостаточность условия Лоренца
для устранения калибровочного произвола, обнаруженная в неабелевых
теориях вызвала довольно оживленную дискуссию. Между тем, изучение
этого вопроса уже на простейшей модели с абелевой калибровочной груп-
пой позволило полностью прояснить проблему и дать корректный рецепт
квантового описания в произвольной калибровке.
Даже приведенных примеров, по-видимому, достаточно для того, что-
бы убедиться, что свойства калибровочных и некалибровочных систем
могут различаться довольно сильно, что опыта работы с обычными си-
1 Рассказывают, что, зн&комясь с новым явлением, К. Рентген любил задавать
вопрос: "Где здесь »том водород»?".
9

сгем&ми может оказаться недостаточно и что без хорошего понимания
механики простейших систем трудно разобраться в более сложных, обла-
дающих несколькими физическими степенями свободы. Это тем более
справедливо по отношению к теории поля, характеризующейся бесконеч-
ным числом независимых переменных.
Глава 1 является вводной. В ней приводятся основные формулы клас-
сической гамильтоновой механики, необходимые для дальнейшего (прин-
дап наименьшего действия Гамильтона, гамильтоновы уравнения движе-
ния, канонические преобразование и т.п.). Вместе с тем, наряду с тради-
ционным материалом, включены разделы, развитие которых стимулиро-
валось потребностями современной теории поля. Прежде всего это меха-
нхка систем с грассмановыми (антико.ммутирующими) переменными и ме-
ханика смешанных систем с бозевыми и фермиевыми степенями свободы.
Обсуждается также совершенно неразработанный вопрос о неканониче-
ских преобразоианиях, начинающих играть заметную роль в ¦-овременной
фкзике. Классическим примером здесь может служить переход к "пред-
ставлению вторичного квантования" в задаче об осцилляторе, т.е. пере-
хад q,p —» а, а', ч>- сохраняющий гкобки Пуассона. Другой пример связан
с ныне модной проблематикой g-систем (линамаческих систем, .-низанных
с квантовыми группами).
Глава 2 посвящена квантовой теории, именно той ее ча ли, которая
связана с континуальными интегралами в гамильтоиовой форме. Хотя
основные черты аппарата здесь были установлены еще Фейнманом, мно-
гие практически важные факты выяснились значительно позже. Из наибо-
лее существенных к ним относятся ;ькие залами, как замена переменных,
переход к криволинейным коордика гам с нетривиальной топологш. й, про-
блема поведения гамильтоновых континуальных интегралов (ГКИ) при
канонических преобразованиях, проблема упорядочения операторов в га-
мильтониане, применение метола континуального интегрирования к за-
дачам с нетривиальной границей и некоторые другие. Пор счисленные
задачи не является надуманными — в рамках аппарата ГКИ с ними при-
ходится сталюгааться уже при описании простейших систем со связями.
^Развитые методы позволяют сформулировать аппарат ГКИ для задач с
нетривиальным фазовым пространством.
Глава 3 служит элементарным введением в теорию систем со связями.
Материал иллюстрируется большим количеством примеров.
Глава 4 посвящена проблеме квантования динамических систем со свя-
зями. Помимо изложения стандартных рецептов здесь рассмотрена про-
блема упорядочения операторов в связях, а также изучен нестандартный
случай, когда "связи" зависят от скоростей, но не могут быть разрешены
относительно последних (разд. 4.3).
В главе 5 подробно анализируются динамические системы с калибро-
вочной симметрией. Изучаются структура фазового пространства, про-
блема исключения нефизических переменных, особенности динамики си-
стем. Рассмотрены модели с абелевыми и неабелевыми калибровочными
группами с бозевыми и фермиевыми переменными, смешанные системы с
коммутирующими и антикоммутирующими степенями свободы. Подроб-
но исследован вопрос о выборе калибровочного условия.
В главе б дается описание моделей из главы 5 в рамках аппарата ин-
тегрирования по траекториям в фазовом пространстве. Основная особен-
ность, с которой приходится сталкиваться, — это нетривиальная структу-
10
ра физического фазового пространства. Методы, разработанные в главе
2, позволяют успешно справиться с задачей.
Глава 7 занимает особое место. Если в предыдущих главах изуча-
лись простенькие модели, то в последней речь идет о полях, более того,
об одной из наиболее трудных проблем теории калибровочных нолей —
конфайнменте. Данная глава включена в книгу потому, что почти все ее
содержание сводится, по существу, к последовательному применению ре-
комендаций Дирака, разработанных для более общих теорий со сиячями.
Уяснение принципиальной роли связей и расширенной группы калибро-
вочных преобразований позволило взглянуть на феномен с более общей
точки зрения. Стала очевидной универсальная природа явления, удалось
отделить черты, присущие только КХД, от черт, характертлх для лю-
бой калибровочной теории. Выяснилось, например, что с точки зрения
расслоенных пространств Р-экспонента (оператор параллельного сдви-
га) является основными единственным элементом любых калибровочных
инвариантов. Отвечающие ей возбуждения пол> й (при условии их ста-
бильности) характеризуются линейной зависимостью энергии от длины
когпура интегрирования, т.е. объекты с линейной зависимостью энер-
гии от расстояния внутренне присущи подобным теориям и пояялнютоя
уже на самом рапнем этапе их построения. Вместе с тем сравнительная
легкость, с которой удается установить общие свойства конфайнмента,
только подчеркивает сложность конкретной проблемы описания адронов
в КХЛ, лажи в максимально упрощенном варианте массивных кварков и
большой константы связи.
Книгу могут читать уже студенты старших курсов фичико-ма'11-.\)а1и-
ческих факультетов, хотя ее содержание основано на результатах иссле-
дований последних лет, не отраженных в монографической литературе.
Все главы можно читать практически независимо. Введение в каждую
главу вполне элементарно и не требует особой осведомленности читате-
ля сверх университетских курсов аналитической механики и квантовой
теории. Исключение, может быть, составляют последние главы E, 6 и
7), предполагающие наличие у читателя некоторых сведений по теории
простых групп и геометрии расслоенных пространств (последнее жела-
тельно, но необязательно). Основные факты теории групп помещены в
Приложении 8.1.
»' Авторы глубоко признательны Наталии Васильевне Шабаловой, взяв-
шей на себя тяжелый труд по компьютерной подготовке рукописи к печа-
ти. ,
И

Глава 1
ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
1.1. Принцип наименьшего действия
Динамическая система с конечным числом степеней свободы може:
быть охарактеризована набором функций времени g'(t) (i — 1,2,.... п), так
что их значения вместе с производными в любой момент вполне определя
ют ее состояние. Величины j1 называются обобщенными координатами
Многообразие М, которое образуют значения j1, называют конфигура-
ционным пространством. Размерность М определяется числом степени
свободы л динамической системы, dim M ~ п. Конфигурационное про-
странство может быть бесконечномерным, если система содержит беско
вечное число степеней свободы. Пример такого рода дает теория поля.
С течением времени состояние системы изменяется, и точка {q'{t)} они-
сынает на М некоторую кривую, именуемую траекторией системы. Эво-
люция системы есть движение вдоль этой траектории. Дифференциаль-
ные уравнения, определяющие траекторию системы в конфигурациошюх
пространстве, называют уравнениями движения. Достаточно широкий
класс динамических систем может быть охарактеризован функцией L от
q' и их производных по времени ?' — обобщенных скоростей, такой, что
траектория движения является экстремалью функционала (см., напрмер
; ¦
= S[q] = J L(q,q.t)dt,
AЛЛ]
в котором начальные q'(t\) и конечные д'((г) значения координат фикси-
рованы. Функционал A.1.1) называют действием системы, L — лагранжи-
аном. Условия экстремума для 5
«,(*,) =
= 0,
дают следующие уравнения Эйлера — Лагранжа для q'(t):
d б ., . . д
A.1.2)
A.1.3)
Таким образом, для задания динамической системы нужно задать ее функ-
цию Лагранжа (или лагранжиан). Лагранжиан должен удовлетворять
РЯДУ условий, в частности быть инвариантным относительно группы сим-
метрии системы (например, относительно группы Лоренца и т.д.). Есте-
ственно, что уравнения A.1.3) не должны быть противоречивыми. Напри-
мер, полагая L = q (n = 1), мы приходим к равенству 0 = 1, вытекающему
из A.1.3), что невозможно. Вариационный принцип A.1.2) есть принцип
наименьшего действия Гамильтона.
Отметим, что не всегда уравнения движения можно задать лагранжиа-
ном. Существуюттакназываемые"нелагранжевы" системы, для которых
12
нельзя построить лагранжиан, но уравнения движения существуют. На-
пример, рассмотрим трехмерную динамическую систему n = dirnM = 3,
эволюция которой определяется уравнениями Щ
«*«* = <>,
q" -
A.1.4)
где се — Некоторая вещественная константа, ejjt — полностью антисим-
метричный единичный тензор, е^з — 1. Очевидно, что уравнения A.1.4)
имеют решения. Но нельзя построить действие (или лагранжиан), лтк ко-
торого эти решения были бы экстремалями, т.е. уравнения A.1.4) нельзя
представить в виде A.1.3).
' Опыт показывает, что большинство динамических систем, встречаю-
щихся в природе, описываются дифференциальными уравнениями второ-
го порядка, т.е. они не содержат третьих, четвертых и т.д. производных
^по^времени. Однако не существует принципиального запрета на теории
"с высшими производными. Наличие высших производных в -;чч>ии, как
правило, связано с наличием внутренней структуры рассматриваемого
объекта [4]. Например, ьыстлие производные естественно возникают при
приближенном описании колебаний упругого стержня, поперечный раэ-
' мер которого много меньше его длины [4]. В этом случае лагранжиан,
зависит от старших производных g'(m' = dmq'/dim (m > 2), так, что.траик-
, тория движения системы доставляет экстремум функционалу действия:
Ирг
.;,, ¦¦¦{,] = J da (?<m>, g""-1', ...,?,?,<)¦
ШРЬгда уравнения движения имеют вид
ШЩрг-
4^ = 0.
A.1.5)
8 ,5чвиЛ..- -,..-..
Д.2. Гамилыоновы уравнения движения
равнения A.1.3) являются уравнениями второго порядка. , Из тео-
'дифференциальных уравнений известно, что система уравнений вто-
ого порядка может быть сведена к системе первого порядка, если уве-
йичить число независимых функций. Действительно, полагая в A.1.3)
По определению
/ A.2.1)
A.2.2)
'Величину pi называют каноническим импульсом, сопряженным g*. Если
ьтрица (PL/dq'dqi, называемая гессианом, невырожденна, то'соотноше-
.- /-I п i\ дПредеЛЯет обобщенную скорость j1 как функцию д1 и-pi, т.е.
юрую,следует подставить в A.2.2). Тогда A.2.2) и A.2.3) составляют
[Ст«му уравнений движения первого порядка для обобщенных координат
[?и импульсов pi. ¦ ¦ ;
13

В теориях с вырожденным гессианом, именуемых иногда (не вполне
удачно) сингулярными, непосредственный переход к уравнениям движе-
ния первого порядка невозможен. Анализ подобных теорий будет дан в
главе 3. Здесь мы предполагаем, что гессиан невырожден.
Уравнения движения первого порядка также могут быть получены из
вариационного принципа, но уже для функционала
«3
= J
<tt{Pi?-H(p,q,t))
A.2.4)
(с прежними граничными условиями A.1.2)), где функция И — H(p,q,t)
есть функция Гамильтона (или гамильтониан); она определяется через
преобразование Лежандра ' фунции Лагранжа L(q,q,t) по переменной <j":
Н{р,ч,г) = р^-ш,11), A.2.5)
где q' = ql(p,q,t) задается равенством A.2.1). Из равенства A.2.5) видно,
что действие A.2.4) эквивалентно действию A.1.1). В A.2.4) независимыми
переменными являются р,- и q' , поэтому
SSh
= -Pi -
дН
n SSa . дН
или. перенося производные от гамильтониана в правую часть, имеем
»,-. A.2.6)
Систему A.2.6) называют системой уравнений Гамильтона или уравнени-
ями движения в гамиль тоновой форме.'
Таким образом, если q'{t) удовлетворяют уравнениям Лагранжа, то
(Р>@. ?'(')) удовлетворяют уравнениям Гамильтона, и наоборот. Это
означает, что системы Лагранжа и Гамильтона эквивалентны. Совокуп-
ность точек {pi,q') называют фазовым пространством системы. Фазовое
пространство можно также трактовать как совокупность всевозможных
начальных условий для уравнения Гамильтона. Стандартный вид лагран-
жиана, рассматриваемый в последующих главах, таков:
L = \з
+ Чя)? - V{q);
Здесь V(q)— потенциальная энергия, матрица gij(q) не вырождена, она
зависит от координат. Легко найти лагранжевы уравнения движения
этой системы:
¦ ¦ "-=- ¦ • • ву? = -rnj,,-9V + Frf - Vj, A.2.7)
где Fij =• Ajj —,Ajj; индексом после запятой мы обозначили производ-
ную по соответствующей координате, например 3n>,i = dSnj/dq', и ввели
символы Кристоффеля: rnj-,, = (gnij + gji.n - ffnj,.)/2 = [nj, i).
'Пусть /(х) ¦'— выпуклая функция переменной х € Я" (т.е. квадратичная фор-
ма д*//дх'дх> dx'dx3 положительно определена). Тогд» прсобрлз^аляием Лежандр»
называется функция переменной у € Л", определенны равенством д(у) = (у, х(у)) —
/(х{у)), где у = df/dx задает х = х(у) [5].
Рассмотрим гамильтонов формализм для этой теории. По определе-
нию A.2.1) канонический импульс есть
р,.=
A.2.8)
Из равенства A.2.8) находим обобщенные скорости как функции коорди-
нат и импульсов
где матрица stJ - обратная к j,j, g''gjk = 6\- Подставляя это соотношение
в A.2.5), получаем гамильтониан системы:
Н = ^(Pi - Ai)(pj - Af) + V. A.2.9)
Легко видеть, что в простейшем случае gij = 6ij и Ai — 0 гамильтониан
есть сумма кинетической и потенциальной энергий частицы единичной
массы, описываемой координатами q'.
Но столь простое соответствие между гамильтонианом и энергией дви-
жущейся частицы не всегда возможно. Рассмотрим, например, частицу,
движущуюся вдоль оси. Пусть на частицу действует сила, пропорцио-
нальная ее скорости. Уравнение движения имеет вид
0. A.2.10)
Это уравнение задает экстремали действия
S = JdtL, L
где функция скорости F(q) определена следующим соотношением:
dF 1 / 0 \
-гг = — ехр 1 —g 1, 0 - const ф 0.
dq q- \ a )
Поскольку система обладает лагранжианом, то с помощью преобразова-
ния Лежандра можно найти гамильтониан. Он не будет явно зависеть от
времени и, следовательно, будет сохраняющейся величиной.
._ Уравнению движения A.2.10) можно сопоставить лагранжиан, явно за-
висящий от времени:
L--e q .
Действительно, лагранжевы уравнения движения совпадают с A.2.10), од-
нако преобразование Лежандра ведет к гамильтониану, явно зависящему
от времени: ¦ . .. . ... ¦ '¦ .
_ ". " Н=\е-а'р\ "- A.2.11)
где р = dLjdq — eatq. Из гамильтоновых уравнений движения {1.2.6) сле-
дует, что р = 0, т.е. импульс сохраняется р = ро = const, поэтому
Н = e~atE0,
A.2.12)
где Ео = Ро/2 — начальное значение энергии. Равенство A.2.12) показы-
вает, что гамильтониан системы не является сохраняющейся величиной.
14
15

Итак, одно и то же уравнение движения может получаться из разных
лагранжианов; вид гамильтониана зависит от выбора лагранжиана. В
разделе 1.12 частица с трением будет описана как система с нетривиаль-
ной симплектической структурой. Кроме того, существуют негамильто-
новы динамические системы, для которых нельзя построить гамильтони-
ан. Например, положим
Pi = г.,. Pi =
i,j, к = 1, 2, 3.
A.2.13)
Уравнения A.2.13) эквивалентны уравненилм движения A.1.4) для систе-
мы, которая не имеет лагранжиана.
1 1.3. Скобки Пуассона
* "Рассмотрим изменение со временем некоторой функции F — F(p, q, (),
заданной на фазовом пространстве. В силу уравнений движения
A.2.6) имеем
d? _ 5F dF .; a/"
rf« ~ Si t Ж79 + ?ГЛ
at + d?« <9p,-
_=dF_
1 ~ dt + { ' l
A.3.1)
Введенный в A.3.1) символ
вазывается скобкой Пуассона для функций А и В, заданных на фазовом
пространстве системы. Скобка Пуассона обладает рядом замечательных
свойств [1]. Именно, она антисимметрична:
удовлетворяет правилу Лейбница: , ,
\А,'вС]"={А,В}С+В{А,С};
и подчиняется тождеству Якоби:
A.3.3)
для произвольных А, В и С. Если функция F не зависит от времени явно,
то ее эволюция определяется уравнением F = {F,ff}. Подставляя вме-
сто F канонические координаты и импульсы, записываем гамильтоновы
уравнения движения в симметричном виде: ,
Величина F является интегралом движения, если dF/dt
вательно, , , ; N . ,
16
0, следо-
A.3.4)
Лля не зависящих явно от времени интегралов движения уравнение A.3.4)
имеет простой вид: {F, Н] — 0. В частности, гамильтониан является ин-
тегралом движения, если он не зависит от времени явно.
1.4. Канонические преобразования
Скобки Пуассона для канонических координат и импульсов имеют вид
W,Pj} = 6'. A.4.1)
Рассмотрим функции
< A-4.2)
такие, что
{Q',Pj} = <5J- A.4.3)
Говорят, что функции A.4.2) определяют каноническое преобразование,
причем Q' есть новые обобщенные координаты, а Р, — новые обобщенные
импульсы [1]. Положим в A.3.2)
_а_ _ д<У__д_ дР3 д
а?' ~ dq' 8Q> + dq' dPj'
JL-?QLjL дР> д
dpi ~ dPi 8Q' dpi dPj
и воспользуемся условием A.4.3). Тогда находим
_ Э.4 дВ дА дВ
{ ' ''dQ'dPi dPidQ*'
Следовательно, канонические преобразования не изменяют скобок Пуас-
сона. Этот факт имеет важное следствие — уравнения движения Гамиль-
тона сохраняют свою форму при канонических преобразованиях:
дН
дН
где Я = H(P,Q) = H(p(P,Q),q(P,Q)) — гамильтониан в новых переменных.
Замена переменных . ¦
*' = ?'(<?) или <Э'=<Э'(?) A.4.4)
может служить простейшим примером канонического преобразования.
Преобразование A.4.4) называют т,акже точечным. Чтобы найти новые
канонические импульсы, воспользуемся условием A.4.3):
Вместе с условием {Pj,Pi} - 0 A.4.5) дает
да"
) = р-=
17
A.4.5)
A.4.6)

где || А || 1 обозначает матрицу, обратную к А. Равенства A.4.6) опре-
деляют новые канонические импульсы с точностью до преобразования
Рп —* Рп + df(q)/dq", где f(q) — произвольная функция координат.
Рассмотрим, например, частицу, движущуюся в плоскости. Лагран-
жиан имеет вид
L = ix2 - V(x),
х ? R2 . Гамильтониан согласно A.2.1), A.2.5) таков:
Я = ip2 + V(x).
Введем полярные координаты на плоскости х:
х = (zj,гг) = (rcosy>, rsiny>). A.4.7)
Тогда, подставляя A.4.7) в A.4.6), находим импульсы, канонически сопря-
женные г и <р соответственно:
»-№)-
»•(*¦%)-<»*•>¦
1.4.8)
где г = |х|, Т = I n ) - генератор 5ОB)-вращений вектора х отно-
сительно начала координат, (р, Тх) = piTijXj = рГх (i,j = l,2). Нетрудно
записать гамильтониан в новых переменных:
1.5. Производящие функции
канонических преобразований
В разделе 1.2 было показано, что уравнения Гамильтона A.2.6) можно
получить, варьируя действие S, записанное в гамильтоновой форме:
6SH~S f dtL-
S I dt (ptf - H(p, q, <)) = 0.
A.5.1)
С другой стороны, мы знаем, что уравнения Гамильтона инвариантны от-
носительно канонических преобразований. Поэтому новые канонические
переменные должны удовлетворять уравнению
A.5.2)
Таким образом, равенства A.5.1) и A.5.2) должны удовлетворяться "одно-
временно. Отсюда следует, что функции, стоящие под знаком интеграла в
A.5.1) и A.5.2), могут отличаться не больше, чем на полную производную
по времени от какой-либо функции F. Функцию F называют производящей
функцией данного преобразования. Выбирая функцию F, мы однозначно
определяем уравнения канонического преобразования A.4.2).
Функция F, задающая переход от старых переменных к новым, должна
быть функцией времени и всех канонических переменных — как старых, так
и новых, т.е. она содержит 4п (п—число степеней свободы) переменных.
Однако старые и новые переменные связаны 2п соотношениями A.4.2), по-
этому независимых аргументов у функции F будет только 2п (не считая
времени). Следовательно, производящую функцию можно записать в од-
ном из четырех видов [1]:
Ы), F3(P,Q,t), F*{p,P,t). A.5.3)
Вопрос о том, какой из четырех форм пользоваться, связан с конкретны-
ми особенностями задачи. Например, если мы совершаем точечное пре-
образование A.4.4), то q' и Q' не являются независимыми переменными, и
функцию Fj следует исключить.
Возьмем в качестве производящей функцию Fj. Тогда подынтеграль-
ные выражения в A.5.1) и A.5.2) должны различаться на полную произ-
водную по времени от F\:
Piq{ - Я = № -H + j^q.Qj). A.5.4)
Так как старые и новые координаты рассматриваются здесь как незави-
симые переменные, то равенство A.5.4) будет иметь место только тогда,
когда коэффициенты при q' и Q" будут в левой части A.5.1) такими же,
как и в правой. Это приводит к следующим равенствам:
Pi = 0Fi/0«\ A.5.5)
р{ = -8Fi/dQ\ A.5.6)
Я. = H + dFr/dt. A.5.7)
Соотношение A.5.5) содержит только pi,q',Q' и (, поэтому с его помощью
можно найти Q' как функциирь q' и t. ПодстановкаQ' = Q'(p. ?,') в правую
часть A.5.6) определяет Р,- = Pi(p,q,t). Тем самым новые канонические
переменные определены как функции старых.
Уравнения A.5.6) и A.5.5) показывают, что производящие функции Fi
и Fz могут быть получены из F\ с помощью преобразования Лежандра
по переменным Q' и q' соответственно (ср. с переходом от лагранжиан*, к
гамильтониану):
F2(q,P,t) =
MQ,P,t) = -
Ft(q,Q,t),
A.5.8)
A-5.9)
MQ,P,t) = чп + ЫъЯЛ.
Функция F4 получается из F\ двойным преобразованием Лежандра по пе-
ременным q' kQ' в соответствии с уравнениями A.5.6) и A.5.5) :
F^tP,t)~-Mi+.PiQi + F1(q,g,t)._ "- A-5.10)
Подставляя в A.5.4) вместо F: решения уравнений A.5.8) — A.5.10) и при-
равнивая коэффициенты при производных по времени от соответствую-
щих независимых переменных, находим
/ jdPi; A.5.11)
Pi = dFi/dq1, Q'
18
19

<?'' = -dF4/dpi, Q{ =
A.5.12)
A.5.13)
Гамильтониан Н определяется формулой A.5.7), в которой /\ заменена
соответствующей производящей функцией.
В качестве примера приведем производящую функцию точечного пре-
образования, рассмотренного в предыдущем параграфе. Положим
тогда из уравнения A.5.11) получим
A-5-14)
Легко видеть, что в этом случае уравнение A.4.6) непосредственно выте-
кает из первого соотношения A.5.11). Если положить /' = ?', то соответ-
ствующее каноническое преобразование будет тождественным.
Рассмотрим канонические преобразование, задаваемое произво-
дящей функцией
Fi(q,P,t) = qiPi+tG(q,P,t), A.5.15)
где е— некоторый параметр, е —» 0. Очевидно, что при t == 0 генери-
руемое A.5.15) преобразование является тождественным. Каноническое
преобразование, генерируемое производящей функцией A.5.15) называют
инфинитезимальным. Согласно A.5.11) имеем
Pi = Pi
.OC(q.PJ)
В соответствии с A.5.16) P; = p,- + O(e), поэтому, пренебрегая членами
~ f2, эти формулы можно переписать в виде
dG(q,p,t)
dpi
A-5.17)
Равенства A.5.17) определяют новые канонические переменные как функ-
ции старых при инфинитезимальном каноническом преобразовании. Функ-
цию G называют генератором канонического преобразования.
Используя соотношения A.5.8)—A.5-10), можно построить инфинитези-
мальные функции F{3 4. Например, в соответствии с A.5.8)
где Р,- = Pi(Q,q,t) определяется из второго равенства A.5.16).
Пусть р,- = pj{<), з' = ql(t) — значения канонических переменных в неко-
торый момент времени. Рассмотрим значения канонических переменных
через бесконечно малый промежуток времени с,, е —> 0, ,. .. . ,
20
Тогда согласно гамильтоновым уравнениям движения получаем, прене-
брегая членами O(t2),
OPi
Сравнивгья уравнения A.5.18) и A.5.19) с A.5.17), видим, что канониче-
ские переменные q{t), p(t) связаны с их начальными значениями 5f@), p@)
каноническим преобразованием, генератором которого является функция
Гамильтона (эволюция динамической системы есть "непрерывно совер-
шающееся каноническое преобразование").
1.6. Симметрии и интегралы движения
Пусть действие системы инвариантно относительно некоторой группы
преобразований G 2:
A.6.1)
где ша — не зависящие от времени параметры, Т" — генераторы группы
G;
[Ta,Tb]=FabcT\ ¦¦¦ A.6.2)
.F°'c — структурные константы3. Первая теорема Э.Нетер утверждает,
что всякому конечно-параметрическому (зависящему от .V параметров)
непрерывному преобразованию обобщенных координат, обращающему в
нуль вариацию действия, соответствует N динамических инвариантов,
т.е. сохраняющихся во времени функций обобщенных координат и их про-
изводных по времени [6]. Действительно, рассмотрим инфинитезимальное
преобразование A.6.1) ?' —> q'+Sq\ где 8<f — 6илТ?^>, обращающее в нуль
вариацию действия:
Второе равенство A.6.3) вытекает из лагранжевых уравнений движения
A.1.3). Из A.6.3) и A.2.1) следует, что JV(= dim G) величин
сохраняются во времени:
величин A.6.5): ¦
dL"/dt = 0. Вычислим скобку .Пуассона
= Pi [Г,ТЬ\'. q> =
'Необходимые сведения из теории групп приведены в Приложении 8.1.
'Соотношение A.6.1) означает, что конфигурационное пространство сис
ся пространством линейного представления группы G. ;
стемы явля-
ется пространст

Таким образом, сохраняющиеся величины L" можно считать генератора-
ми группы G, если в качестве коммутатора в алгебре Ли взять скобку
Пуассона. Очевидно, что последнее возможно, поскольку скобка Пуассо-
на антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби Отсюда следует,
что операторы L", действующие на функции от q и р по правилу
L°$(p,q) = {L\*}, A.6.5)
являются генераторами преобразования симметрии на фазовом простран-
стве системы. .Действительно, используя определение A.6.5), нетрудно
доказать, что
[2в,2*]ф = ^а*с1еФ. A.6.6)
Ввиду произвольности функции Ф, из соотношения A.6.6) вытекает опера-
торное равенство
\ъаЛь\ =FatcLc, A.6.7)
которое означает, что операторы A.6.5) могут быть отождествлены с ге-
нераторами группы С Тогда оператор ft = exp(uiaL") есть оператор пре-
образования симметрии на фазовом пространстве. В частности,
Q,i = [exp(u;.r»)])«J. fift = W[exp(«.T«)]{. A.6.8)
Таким образом, мы приходим к утверждению, что всякая величина Ф,
заданная на фазовом пространстве и инвариантная относительно преобра-
зований из группы G. должна удовлетворять уравнению
?аФ = 0.' ' A.6.9)
Если L" являются интегралами движения, то их скобки Пуассона с га-
мильтонианом равны нулю. Последнее означает, что гамильтониан удо-
влетворяет уравнению A.6.9) - . ,
L"H = {La,H} = 0,
т.е. он инвариантен относительно преобразований A.6.8) из группы
симметрии G.
Используя интегралы движения A.6.4), можно свести динамику систе-
мы к динамике с меньшим числом степеней свободы. Эта задача решается
в два этапа. На первом нужно отыскать все независимые интегралы дви-
жения, скобки Пуассона которых друг с другом равны нулю. Проблема
решается чисто алгебраическим путем. Пусть G — простая группа ранга
/ [170]. Если {/i(Z),/2(Z)} = 0, то из тождества Якоби следует [/ь/г] = 0,
где /i,2$ = {/1,2,$}, Ф — функция на фазовом пространстве; справедливо
и обратное утверждение. Поэтому задача сводится к поиску базиса во
множестве взаимокоммутируюших операторов в универсальной оберты-
вающей алгебре алгебры Ли A.6.7) [165], базисом которой являются упо-
рядоченные некоторым образом мономы: La, LaiLa2, ..., L"yL111 ¦ ¦ ¦ La", ...
Этот базис задается 11 мономами тга(Ц, *a(L) (a = 1,2,...; /):
*„(?)¦ = L°,
A.6.10)
A.6.11)
где Тг относится к матрицам Т"; го— степени независимых операторов
Казимира; L" — pTaq; Ta— базис в подалгебре Картана Я алгебры Ли,
[Т°,Т^] = 0, ТО,Г" ? Н (см. Приложение 8.1).
Факт, что величины A.6.10) и A.6.11) образуют полный коммутирую-
щий набор в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли, можно
понять с точки зрения теории представлений. Известно, что собствен-
ные числа независимых операторов Казимира фиксируют представление,
а собственные числа независимых элементов подалгебры Картана нуме-
руют базис в этом представлении [170].
Итак, все независимые интегралы движения, скобки Пуассона которых
друг с другом равны нулю, задаются величинами ira(L) и Za(L)- Если
G — редуктивная группа Ли (т.е. прямое произведение некоторого числа
простых и абелевых групп [170]), то к величинам A.6.11) следует добавить
генераторы абелевых подгрупп.
Поскольку 5га и жа коммутируют друг с другом, то можно построить
такое каноническое преобразование, что они будут новыми (сохраняю-
щимися) каноническими импульсами. Это составляет второй этап ре-
дукции динамики системы к динамике с меньшим числом степеней свобо-
ды. Выберем в качестве производящей функции искомого канонического
преобразования
Л = -Q°to - fri* + F[(Q', q), A.6.12)
где Q'= (Q<\ Qa, Q*'), i' = 2/+ l,2/ + 2, ...,n; n-число степеней свободы,
a F[— некоторая функция от q' и Q' . Тогда находим
Ра =
Ра =
Pi, =
-dFi/dQ" = «•„,
-dFxfdQt' =-dF[/dQi'
A.6.13)
A.6.14)
A.6.15)
Подставив A.6.12) в A.5.5), получим уравнения для функций Q' =
Q'(q,p)- Подстановка их решений в A.6.15) дает уравнения для функций
M) '
Pi MbP) .
Так как тга и Иа есть интегралы движения, то канонические импульсы
Ра и Ра должны сохраняться^
А. =
A.6.16)
где Н — гамильтониан в новых переменных; аналогично для Ра. Из урав-
нений A.6.16) вытекает также, что гамильтониан не зависит от координат,
канонически сопряженных сохраняющимся импульсам Ра к Ра. Такие об-
общенные координаты называют циклическими.
Итак, часть уравнений движения интегрируется явно: Ра = const, Po =
const и Qa,Q° изменяются со временем по линейному закону согласно
A.6.16). Гамильтоновы уравнения движения для переменных Pf и Q' опи-
сывают динамику редуцированной системы. , . .
Отметим, что когда число независимых коммутирующих (в смысле
скобок Пуассона) интегралов движения, полученных по теореме Нетер,
равно числу степеней свободы, то нахождение полной группы симме-
22

трии динамической системы эквивалентно интегрированию уравнений
движения.
1.7. Лагранжев формализм
для грассмановых переменных
Для описания фермионных степеней свободы используют антикомму-
тируюшие или грассмановы переменные. По определению эти перемен-
ные антикоммутиругат:
U=lA...,n;
A.7.1)
здесь п—число степеней свободы. Величины ?' называют образующими
алгебры Грассмана. Из A.7.1) следует, что ?'?' = 0 (нет суммирова-
ния по i). Элементами грассмановой алгебры (или функциями грассмано-
вых переменных) называют элементы линейного пространства с базисом
?"?'*.. .?'* (к — 0,1,..., п). Случай к = 0 соответствует обычным с-числам.
Число независимых базисных элементов определяет размерность грас-
смановой алгебры. Из условия A.7.1) следует, что размерность равна
Z)i=oC? = 2". Лва элемента алгебры Грассмана равны, если равны ко-
эффициенты при всех их базисных элементах. В Приложении 8.2 показа-
но, что для функций от грассмановых переменных можно ввести понятие
интеграла и производной.
Как и в бозезом случае эволюция системы задается функциями време-
ни (' = ('(t) со значениями в алгебре Грассмана, образующими которой
являются начальные значения {'(I = 0) = so- ?'(' — 0) = ?J и Т-Д- в зависи-
мости от порядка дифференциального уравнения, которому удовлетворя-
ет ?'(<). Ввиду антикоммутативности переменных ?'(<) такое представле-
ние нуждается в пояснении.
Обычно уравнения движения фермионных степеней свободы описыва-
ют уравнениями первого порядка (по аналогии с уравнением Дирака).
Однако, как мы покажем далее, нет принципиального запрета на исполь-
зование уравнений движения второго или более высокого порядков. Если
функции ?'(?) подчиняются уравнениям первого порядка, тогда для их од-
нозначного определения следует задать только начальные образующие
(q. Функции ?'(') есть нечетные элементы алгебры Грассмана с образую-
щими {о и коэффициентами, зависящими от времени:
«'(о =
A.7.2)
где п' = [п/2] — аитье (целая часть) числа п/2. Ввиду антикомму-
тативности 4о все величины г' антисимметричны. Число независимых
компонент в антисимметричном тензоре ранга 2ib — 1 есть CJt_i, поэто-
му для описания эволюции п грассмановых переменных нужно задать
nX2i=iCnt-i — п ¦ 2"~1 вещественных скалярных функций.'- Начальные
условия ?'(t = 0) = Q, индуцируют начальные условия для тензоров z':
4@) = *{,
»-,@) = о,
A.7.3)
A.7.4)
Если $'(<) подчиняется уравнениям второго порядка, то ?'(t) является не-
четным элементом грассмановой алгебры с образующими (_'о и ?{,. Тогда
вместо представления A.7.2) будем иметь
•••<?
A.7.5)
где суммирование проводится по к и I, дающим в сумме нечетное число
[к + 1 — 2тп + 1, тп = 0,1,2, ...,п— 1). Начальные данные для функций z'{t)
имеют следующий вид:
*1.@) = «{1, *'1@) = 0; 4,@) = 0,
(.1-7.6)
и нулевые значения для остальных г'@) и г'@). В отличие от теории пер-
вого порядка здесь нужно фиксировать i1 и z' в начальный момент вре-
мени, поскольку функции г' подчиняются уравнениям второго порядка.
В теории с высшими производными ?'(<) следует рассматривать как не-
четный элемент алгебры Грассмана с образующими ?q,?q, Со и тд- Тогда
начальные значения соответственно фиксируются z'@),i'@), г'@) и т.д.
Уравнения движения можно получить из вариационного принципа:
*2
= Ь f
dtL(ii,t) = 0,
= 0,
A.7.7)
где лагранжиан обычно полагают четным элементом грассмановой алге-
бры. Вариации по ?' в A.7.7) вычисляются в соответствии с правилом
Лейбница (см. Приложение 8.2) для производных по грассмаяовым пере-
менным и определением вариационной производной:
Стрелка указывает направление действия производной (левая или правая
производная соответственно (см. Приложение 8.2)). В результате нахо-
дим
' /ф| §) A.7.8)
Вариации 8?1 считаются независимыми образующими, антикомму тирую-
щими с ?'. После интегрирования по частям в A.7.8) получаем
" -Л ' ¦ " - A.7.9)
ввиду произвольности 5?г. По форме уравнения движения для грассма-
новых и обычных переменных совпадают. Если в качестве лагранжиана
в A.7.7) взять функцию старших производных от 4'(*)> т0 уравнения дви-
жения будут иметь вид A.1.5), где вместо обычных производных стоят
левые. Эти уравнения задают теорию с высшими производными и для
грассмановых переменных.
24

Подставляя в лагранжевы уравнения движения A.7.9) разложение ?'(<)
по базису алгебры Грассмана (A.7.2) или A.7.5) в зависимости от поряд-
ка уравнений) и приравнивая коэффициенты при одинаковых базисных
элементах в левой и правой частях, получаем систему уравнений для ан-
тисимметричных тензоров г', которые должны решаться при начальных
условиях A.7.3), A.7.4) или A.7.6). Таким образом, динамика п веществен-
ных грассмановых степеней свободы эквивалентна динамике всех веще-
ственных антисимметричных тензоров нечетного ранга, не превышающе-
го п (или 2п). Можно также сказать, что вместо динамики п грассмановых
переменных можно построить некоторую эквивалентную динамику п-2"
(или п • 22" для уравнений второго порядка) вещественных коммутиру-
ющих переменных.
Пример. Пусть п = 3 и
где для простоты положим chj = Sij, тогда ввиду четности лагранжиана
имеем следующее представление для потенциала:
так:
Подставляя в них разложение A.7.2), которое в нашем случае записыва-
ется как :"
14 — постоянный вектор. Уравнения движения A.7.9) выглядят
мы получаем уравнения для коэффициентов г' и г1:
ij @ = Vneitnz$(t); A.7.10)
• ¦ i'(i) = Vtiijkz'{t). A.7.11)
Уравнения A.7.10) представляют собой три независимых уравнения по
индексу j =¦ 1,2,3. Поэтому все уравнения движения можно рассматри-
вать как уравнения для трехмерных векторов z,- и z. Поскольку матрица
e>jkVt антисимметрична, изменение этих векторов со временем суть вра-
щение вокруг начала координат:
--*@) s П\@**@), /. = 0,1,2,3,
где zq = z; К — матрица ?ihnVn; Щ{) ? 50C), т.е. jJ,(<) осциллируют
вокруг начала координат. Лодставляяв A.7.11) начальные условия A.7.3),
A.7.4), получаем ... ...... ;... .
--V. . '¦.-.' ¦\.*'@ = o,"*j(o = n|:@ Л . -. ¦- ' .
или для грассмановых образующих: „' '
Другие примеры можно найти в работах [7-9]. Авторами публикации [8]
изучена общая структура конфигурационного пространства и указан ме-
тод построения всех сохраняющихся величин.
<¦ 1.8. Гамильтонов формализм
для грассмановых переменных
Как уже упоминалось, для описания фермионов можно использовать
формализмы первого и второго порядков. В первом случае имеем типич-
ный лагранжиан:
L = UiA'? ~ V(O, A.8.1)
где ciij — otji. Если ?' являются комплексными образующими (см. раз-
дел 8.2.2), тогда лагранжиан следует записать так:
;,Г), A-8.2)
где otij— симметричная вещественная матрица. В последнем случае ла-
гранжиан должен быть вещественным, L* = L. При сопряжении произве-
дения образующих следует использовать правило (см. Приложение 8.2)
{CV • ¦ -{кУ — *к~ ¦ ¦¦fJ". Te- порядок следования образующих изменя-
ется на обратный.
Уравнения движения для лагранжиана A.8.1) имеют вид
A.8.3)
В теории с комплексными образующими наряду с ?' независимыми пе-
ременными будут также 4", поэтому уравнения движения, порождаемые
лагранжианом A.8.2), записываются в следующей форме:
A.8.4)
A.8.5)
= -Sv/аё.
Уравнения движения A.8.3) — A.8.5) первого порядка, причем уравнение
A.8.5) получается из A.8.4) комплексным сопряжением (это следует из
соотношения dV/d?" = -(dV/dt1)', которое справедливо для любой ве-
щественной функции V — V).
Динамика грассмановых степеней свободы в формализме второго по-
рядка может быть задана лагранжианом:
(ое-елЩ-ую, ' A.8.6)
где o,j = — otji— антисимметричная вещественная матрица, четный эле-
мент алгебры Грассмана; Д(?)—нечетный элемент алгебры Грассмана. В
случае комплексных образующих также можно использовать лагранжиан
A.8.6), если заменить индексы i,j на а,6 и считать ?" = (?',?""). Разуме-
ется, матрицу а„ь и функцию А„ нужно выбрать так, чтобы лагранжиан
был вещественным, V = L. Лагранжиан A.8.6) приводит к уравнению
движения второго порядка: ....
<*и? = -ГщАпе-Рц? + Уь A.8.7)

где мы ввели грассмаиовы символы Кристоффеля: Г„у,- = {onij — <*j,-,rt —
a ?)/2 и Fij — At j + A, *; индексом со стрелкой после запятой мы обозна-
чили левую производную по соответствующей грассмановой переменной,
например anij — dani/d(i. При выводе уравнений A.8.7) следует учи-
тывать порядок следования (' иих производных по времени, например
dt<*ni = ('anij = -aaiji' или dtAi = &А(* = А(*& ввиду четности ву и
нечетности Ai. По форме уравнение A.8.7) совпадает с A.2.7), описыва-
ющим аналогичную бозеву систему; различие в определениях Гп;-,- и Fij
связано с антикоммутативностью переменных ?'.
Определим канонический импульс, сопряженный ?', как правую произ-
водную от лагранжиана по обобщенной скорости ?':
'. A.8.8)
Гамильтониан получается из лагранжиана преобразованием Лежандра по
переменной ?':
H = Pie-L, A.8.9)
причем ввиду антикоммутативности обобщенных скоростей и импульсов в
гамильтониане существен порядок следования р, и ?' . По построению ка-
нонический импульс A.8.8) является нечетным элементом алгебры Грас-
смана, а гамильтониан A.8.9) — четным. Гамильтоновы уравнения движе-
ния получаются из вариационного принципа:
<lt(piC -Я)=О, ^•¦(*«.) = 0, а = 1,2,
где образующие р; и ?' считаются независимыми переменными. Варьиро-
вание дает
вание дает
6S =
При вычислении следует учитывать нечетность образующих Spi и 5?', т.е.
их антикоммутативность с р,- и ?'. Ввиду произвольности вариаций 5р,- и
6{' мы приходим к уравнениям движения:
дН
дН
A.8.10)
Отметим следующую особенность гамильтонова формализма для ан-
тикоммутирующих переменных. Равенство A.8.8) определяет канониче-
ский импульс как правую производную от лагранжиана. В принципе им-
пульсы можно определить и левой производной дЬ/д? — —L д /д(', т.е.
оба определения различаются знаком. Определение гамильтониана также
содержит произвол, связанный с антикоммутативностью р,- и ?'. Замена
* 28
pj?' на ?'pj = —pti' в A.8.9) ведет к изменению знака правых частей га-
миль тоновых уравнений A.8.10) или к замене в них правой производной
на левую. Эта "знаковая" неопределенность устраняется физическими
требованиями.
Сравним гамильтоновы формализмы для теорий первого и второго по-
рядков. Легко видеть, что для лагранжиана A.8.1) непосредственный пе-
реход к гамильтониану по правилу A.8.9) невозможен, поскольку
Р< = '-|- = -5«.Д;', A.8.11)
т.е. канонический импульс не является функцией обобщенных скоростей
(аналогично для лагранжиана A.8.2)). Соотношения типа A.8.11), связы-
вающие обобщенные импульсы и координаты, называют связями. Гамиль-
тонов формализм для систем со связями обсуждается в гл. 3. Там показа-
но, что формализм первого порядка пригоден для описания как грассмано-
вых, так и бозевых степеней свободы и что он эквивалентен гамильтонову
формализму, в котором часть обобщенных координат играет роль обоб-
щенных импульсов (см. также [10, 149]). Любую систему второго порядка
(с коммутирующими и антикоммутирующими степенями свободы) можно
описать как систему первого порядка, совершив переход к гамильтонову
формализму. Таким образом, существует полное равноправие в описании
динамики бозевых и фермиевых степеней свободы.
Обратимся теперь к гамильтонову формализму для лагранжиана A.8.6).
Канонические импульсы записываются в виде
Р< =
После несложных преобразований получаем гамильтониан
который совпадает по форме с гамильтонианом A.2.9) для аналогичной
бозевой системы (именно по этой причине мы определили импульсы как
правую производную, а гамильтониан как A.8.9)); здесь а1} — матрица,
обратная к a,j, axtcatj — Sj.
Рассмотрим функцию F = F(p,?,t), заданную на фазовом простран-
стве, являющемся теперь грассмановым многообразием, и исследуем из-
менение этой функции вдоль траектории, определяемой гамильтоновыми
уравнениями движения A.8.10). Имеем: '
d?
dt
8F
Если функция F не зависит от времени явно, то ее эволюция определя-
ется величиной {F, Я}. В частности, выбирая в качестве F канонические
29

координаты и импульсы, мы можем представить гамильтоновы уравнения
A.8.10) в следующей форме:
Для любых двух функций А и В на фазовом пространстве грассмано-
вой системы можно определить величину
A-8ЛЗ)
которую называют скобкой Пуассона для грассмановых переменных. Оиа
обладает следующим свойством перестановки:
{А,В} = -(-1)'-"в{В,А}, A.8.14)
где (а,в — четность элементов алгебры Грассмана А и В (сд = 0 и с а — 1
соответственно для четных и нечетных А). Очевидно, что произвольный
элемент алгебры Грассмана не имеет определенной четности. Но это не
мешает определить правило перестановки для произвольных А и В, так
как произвольный элемент есть сумма четного и нечетного элементов.
Скобка Пуассона подчиняется также правилу Лейбница:
{А, ВС] = {А, В}С + (~1)!велВ{Л, С) = {А, В}С + {-1)<ВСС{Л, С)В
A.8.15)
и удовлетворяет тождеству Якоби:
(-\)CAtc {{А,В},С} + (-1)Сс'в {{С,А},В} + (-1Ув'л {{В,С},А} = 0.
A.8.16)
Если функции .4, В и С не обладают определенной четностью, то назван-
ные свойства скобки Пуассона будут справедливы для их четных и нечет-
ных составляющих отдельно.
Для доказательства соотношений A.8.14)—A.8.16) запишем правило пе-
рестановок для любых элементов грассмановой алгебры с фиксированной
четностью:
АВ = (-1)^А'аВА. A.8.17)
Его справедливость очевидна: элементы А и В коммутируют, если хотя
бы один из них четный (< = 0), и антикоммутируют, если А и В — нечет-
ные элементы («д = eg = 1). Четность производной элемента А по любой
образующей равна (эа = |1 — ед|: если А нечетный элемент, то его произ-
водная по образующей — четный элемент, и наоборот. Тогда, исходя из
определения A.8.11) имеем цепочку равенств:
где мы воспользовались очевидным соотношением:
{А, В) = (-\
Эр,'
В A^r + ~
A.8.18)
в котором вг есть любая из образующих ?', р%. Свойство A.8.14) доказано.
Правило Лейбница для грассмановых скобок Пуассона легко вывести
из правила Лейбница для производных по образующим (см. Приложе-
ние 8.2):
(АВ)
д
A.8.19)
A.8.20)
где 9,- — любая из образующих р,, f. Доказательство тождества Якоби
основано на том обстоятельстве, что левая часть A.8.16) есть линейная
однородная функция относительно вторых производных Э2/30,Э0; от А,В
и С, в силу чего достаточно установить исчезновение коэффициентов при
них. Это нетрудно сделать, используя правила A.8.17)—A.8.20) и очевид-
ное соотношение для вторых производных:
JLJL
JLJL
По аналогии с бозевым случаем, можно определить каноническое пре-
образование для грассмановых переменных и построить соответствую-
щие производящие функции, а также ввести понятие симметрии системы
и интегралов движения, связанных с ним [6, 7]. Мы сделаем это при рас-
смотрении смешанных систем общего вида, содержащих как бозевы, так
и грассмановы степени свободы.
Пример. Рассмотрим гамильтонову динамику для системы A.8.6) при
vi,j = 1,2, Aj = 0. В этом случае ац = miij, где е,;- = —fjj — единичный
антисимметричный тензор, eij = 1;
Поскольку Cijtjb — —Sit, то а'-7 = m~V; = —т~}-(ц- Поэтому гамильтони-
ан имеет вид
Используя A.8.10), находим уравнения движения:
которые должны быть дополнены начальными условиями
Pi(t = о) = Poi, Г0 = о) = &
¦ Уравнения A.8.21) эквивалентны следующим уравнениям:
A.8.21)
A.8.22)
A.8.23)
30
т
31

с начальными условиями ?'@) = fj, ?'@) = m~1(t>poj. Уравнение A.8.23)
описывает осциллятор с частотой ы = (—АТ/т)'/2 при К/т < 0; соответ-
ствующее решение имеет вид
Tc'hojsinut; A.8.24)
- mwcijil sinut. A.8.25)
Решение гамильтоновых уравнений движения для грассмаиовых пе-
ременных эквивалентно интегрированию некоторых дифференциальных
уравнений для обычных функций 4. Действительно, для Pi(t) и ?'(<) спра-
ведливы разложения, подобные A.7.5), где образующие {J следует за-
менить на pot-. Подстановка этого разложения в гамильтоновы уравне-
ния движения A.8.10) и приравнивание коэффициентов в левой и пра-
вой частях равенств A.8.10) при одинаковых базисных элементах алге-
бры Грассмана индуцирует соответствующие уравнения для коэффициен-
тов разложения, а условия A.8.22) порождают соответствующие началь-
ные условия. Например, для рассматриваемой модели разложение A.7.5)
имеет вид
{(t) =
p{t) =
WPotfcl A.8.26)
to + Z3{t)pototo + Zt(t)(oPoiPO2, A-8.27)
где z и Z — матрицы 2 x 2. Из A.8.22) вытекают начальные условия
«Ь@) = ЗД = «?( A.8.28)
*я@) = 4@) = ¦# (О) = *?@) = Z2ij@) = 2«,-@) = 0. . A.8.29)
Подстановка A.8.26) и A.8.27) в уравнения A.8.21) дает уравнения для
матрицей Z. Их решения, удовлетворяющие начальным условиям A.8.28)
и A.8.29) есть
¦' ' "¦ ' ' A.8.30)
4j(t) - 6) coswt, zi>(t) - —с» sinut;
Z[j(t) - &} coswt, Z2ij(t) = -rmiuj sinwt. " A.8.31)
Остальные матрицы тождественно равны нулю. Очевидно, что решения
A.8.30) и A.8.31) воспроизводят A.8.24) и A.8.25).
Заключаем: уравнения движения в теориях с грассмановыми пере-
менными можно формулировать и решать как в алгебраической форме
A.8.21), A.8.24), A.8.25), так и в с-числовой (для коэффициентов A.8.30),
A.8.31)).
1.9. Гамильтонова динамика
на супермногообразиях
Пусть имеется некоторая система, содержащая как бозонные, так и
фермионные степени свободы. Как было показано, динамическое описание
коммутирующих и антикоммутирующих переменных по форме одинако-
во, поэтому можно с самого начала задать эволюцию подобной системы в
4См. также разд. 1.9 об интерпретации решений уравнений движения на
сулермяогообраэии.
рамках гамильтонова формализма. С этой целью мы введем четномерное
супермногообразие Г, которое образовано 2п бозевыми образующими —
обобщенными координатами и импульсами и 2п' грассмановыми--образу-
ющими — обобщенными грассмановыми координатами и импульсами; 271-
мерное бозево фазовое пространство есть многообразие. Все образующие
г'мы будем обозначать одной буквой в" (а = 1,2,..., 2(п + п')). Четности ("
грассмановых и бозевых образующих соответственно равны 1 и 0. Левая
и правая производные д/д9а, д /д9" для бозевых переменных совпадают
с обычной, а для антикоммутирующих определены стандартно.
На фазовом пространстве Г можно задавать функции, являющиеся эле-
ментами супералгебры с базисом О0 ... 0"ь (fc = 0,1,...). Для элементов
с фиксированной четностью мы определяем правило суперкоммутации со-
гласно A.8.17). Для определения четности на супералгебре можно поль-
зоваться соответствующими правилами в алгебре Грассмана: произведе-
ние двух нечетных или двух четных элементов дает четный, произведение
. четного на нечетный дает нечетный. Поэтому зная с", можно определить
четность любого элемента. Чтобы определить гамильтонову динамику,
нужно задать фазовое пространство, гамильтониан, скобку Пуассона и
связь между F и {F, Я}, где F = F(9, t) — некоторая функция на фазовом
пространстве. Фазовое пространство Г мы уже определили; в качестве
гамильтониана выберем некоторую четную функцию на Г, Н — Н(в). По
определению скобка Пуассона на плоском многообразии Г является есте-
ственным обобщением скобок A.3.3) и A.8.13). Именно,
«V. .; {A>B}=aJL^±;B; A.9.1)
'/матрица и антисимметрична для бозевых переменных и симметрична
i- о ,
Здля грассмановых; она имеет канонический вид w ¦:.
0 hj 0 0
-<$;, 0 0 0
0 0 0 «,-.,--
0 0 $,-.,-. О
,аЬ11 — !
A.9.2)
^где нули и 5jj,ij/3< символизируют нулевые и единичные матрицы; i,j =
l,2,...,n, i',j' = 1,2,.. .,п' нумеруют соответственно бозевы и грассма-
jHOBbi канонические переменные. Очевидно, что скобка A.9.1) является
суммой бозевой и грассмановой скобок Пуассона. Изменение любой ве-
личины F со временем задаем уравнением A.8.12). Тем самым задается
гамильтонова динамика.
Многообразие Г не обязательно выбирать плоским. Пусть Г — произ-
вольное супермногообразие. Тогда каждая его окрестность U С Г изо-
морфна некоторой области плоского евклидова пространства. Поэтому
' можно определить координаты (образующие) в" в каждой окрестности U
1 как координаты соответствующей области суперпространства. Скобка
Пуассона на Г по-прежнему определяется равенством A.9.1) для любой
"окрестности U, но теперь матрица wai зависит от координат:
шаЬ = ыаЬ(в), ее и.
A.9.3)
По определению скобка Пуассона удовлетворяет правилу коммутации,
правилу Лейбница и тождеству Якоби A.8.14)—A.8.16). Мы постулируем
32

эти свойства для скобки Пуассоиа A.9.1) на произвольном супермного-
образии Г. Справедливость этих тождеств не очевидна при произвольном
w°l A.9.3) Но если матрица ^аЬ удовлетворяет следующим трем соотно-
шениям [11]:
ф°ь) = {(." + е4) mod 2, A.9.4)
w«» = _(-1)'*'кшЬо, A.9.5)
6,с) = 0, A.9.6)
где а, Ь, с фиксированы и cycle(a, 6, с) означает сумму циклических переста-
новок по индексам а, 6, с, то скобка Пуассона A.9.1) удовлетворяет пра-
вилам антикоммутации A.8-14) и Лейбница A.8.15), а также тождеству
Якоби A.8.16).
Для доказательства этих тождеств в случае произвольного многооб-
разия Г воспользуемся следующими свойствами производной:
JL
A.9.7)
сА)
которые являются тривиальным обобщением соотношений чисто грассма-
новой теории. Вспоминая правило суперкоммутации A.8.17), в правой ча-
сти A.9.1) перенесем производную д/,В налево, а производную Ада -
направо, затем заменим левую производную от А на правую, а правую
от В на левую согласно правилу A.9.7). Учитывал далее A.9.5), получа-
ем правило перестановки A.8.14) для скобки A.9.1). Правило Лейбнипа
A.8.15) непосредственно вытекает из правила Лейбница на супермного-
образии:
дь(ВС) = {8ЬВ)С + (-1УвС'
(ВС) дь= В(С дь) + (-1)ССС'В дь С.
Доказательство тождества Якоби опирается на уравнение A.9.6), которо-
му удовлетворяет матрица ыа>. Выкладки аналогичны выкладкам при
доказательстве тождества Якоби в бозевом и фермиевом случаях, т.е.
нужно показать равенство нулю коэффициентов при вторых производных
д2А/д9адвь, d2B/deadet и д2С/дОадвь; соответствующее правило измене-
ния порядка дифференцирования записывается как
левой части
*. Последние
двлд0ь К ' 80" дВ*'
Кроме слагаемых, линейных по вторым производным, в
A.8.16) позволяются члены, содержащие производные от и'
взаимно сокращаются благодаря тождеству A.9.6). ¦ :
Таким образом, мы определили гамильтонову динамику для произволь-
-ной системы, содержащей фермиониые и бозонные степени свободы. Урав-
нения движения имеют вид
A.9.8)
Матрицу ш'° называют симплектической структурой на пространстве Г.
Фазовое пространство Г, снабженное симплектической структурой, назы-
вают симплектическим многообразием (супермногообразием). Решения
уравнений движения A.9.8) есть элементы супералгебры в" = <?°(t, 0g) с
определенной четностью ((8") = e@Jj) = с", где 6"(t — to) = #о ~ начальные
значения (образующие супералгебры), т.е. эволюция интерпретируется
как непрерывный переход от одной системы образующих к другой.
По определению эволюция бозонных степеней свободы описывается
четными образующими супералгебры, а фермионных — нечетными. Это
означает, что в общем случае начальные значения бозевых переменных не
обязательно должны выбираться в виде обычных вещественных величин.
Такой выбор отвечал бы лишь одному из возможных решений уравнения
A.9.8) и противоречил бы теории канонических преобразований. Дело в
том, что при канонических преобразованиях вид гамильтоновых уравне-
ний движения A.9.8) сохраняется, а новые бозевы канонические перемен-
ные (и, конечно, их начальные значения) становятся четными функция-
ми исходных бозевых и грассмановых переменных (см. далее A.10.24)—
A.10.26)). Поскольку априори нет ограничений на выбор канонических
переменных при решении уравнений движения, то их начальвые значения
должны считаться произвольными элементами супералгебры с опреде-
ленной четностью. Подобная интерпретация классической гамильтоно-
вой динамики на суперпространстве следует также из квантовой теории
(см. разд. 5.7.1).
t Уравнения A.9.8) могут быть получены из вариационного принципа.
Если симплектическая структура имеет стандартный вид A.9.2), т.е. фа-
> зовое пространство плоское, то гамилыоновы уравнения движения A.9.8)
определяют экстремум действия:
= J'
- H(9)
j ,
A.9.9)
^гдешо» — матрица, обратнаяш"°: ш"' ^Jbc— <5?- Еслиш" фш , то нетрудно
проверить, что экстремумы функционала, полученного из A.9.9) заменой
<Wj( HawO4, где
-W.«-.' • . ' Л4с = ^, A.9.10)
не удовлетворяют уравнениям A.9.8).
Прежде чем определить принцип наименьшего действия в произволь-
¦: ном четномерном супермногообразии Г рассмотрим некоторые свойства
матрицы и:а^. Можно показать, что из равенств A.9.4)—A.9.6) вытекают
следующие соотношения:
(С + f*) mod 2,
- A.9.11)
" A-9.12)
,с)=:0. A.9.13)
Действительно, равенства A.9.11), A.9.12) являются тривиальным
' следствием определения A.9.10) ковариаитных компонент иаь ¦ Лля до-
казательства A.9.13) нужно продифференцировать равенство A.9.10) по
34
35

где мы воспользовались правилом вычисления производной от сложной"
функции:
$А _ (Ha?L\ ЗА Ад А
д~в°~\дОа) 3©»''
Из инвариантности скобок Пуассона относительно канонических пре-
образований вытекает инвариантность гамильтоновых уравнений дви- ¦
жения A.9:8). " '
Пусть в каждой окрестности Ui из некоторой системы окрестностей
{Ui}, покрывающей многообразие Г, координаты выбраны так, что
ыаь _ ш«ъ Тогда очевидно, что в областях перекрытия Ui Г» Uj должно
существовать преобразование, связывающее координаты в Щ с координа-
тами Uj. Поскольку симплектическая структура имеет стандартный вид
во всех окрестностях, это преобразование является каноническим. Таким
образом, определяя функции перехода на покрытии {Ui}, мы определяем
каноническое преобразование на всем Г.
Можно определить производящие функции канонического преобразо-
вания A.10.1). Так как уравнения движения сохраняют свою форму при
канонических преобразованиях, действие в новых переменных может отли-
чаться от A.9.9) только на полную производную по времени от некоторой
функции F:
s = J dt (±ея 1„ь в* - я(в> + ~F{9,e,t)\, A.Ю.4)
где Н = Н{8(&)). Поскольку новые и старые переменные связаны 2(п + п')
соотношениями (п,п' — число четных й нечетных образующих соответ-
ственно), функция F может зависеть лишь от^(п + п') канонических пере-
менных, в качестве которых можно выбрать любые из 4(п + п') переменных
0° и в*. При произвольном выборе аргументов в F нахождение функций
A.10.1) по функции F сводится к решению дифференциальных уравнений.
Однако благодаря специфике стандартной симплектической структуры
.и — ш существуют специальные выборы аргументов в F, при которых
эта задача сводится к алгебраической, подобно выбору A.5.3) в бозевом
случае. ,..,..¦ - -. , ¦ ... ,, ¦*-. .. ... .. j.
Рассмотрим эти случаи. Представим действие A.10.4) в следующем
виде:
¦= fdt(ea
04 - Я +
dF\
dt)'
A.10.5)
где w++a» — нижнетреугольная часть матрицы ыл\,,
( о
*/
0
t 0
0
0
0
_0.-.
0
о ¦
0
Si-H
0
0
0
0
A.10.6)
Действие A.10.5) получается из A.10.4) интегрированием по частям вкла-
' * . о
да от верхнетреугольной части матрицы шаь, что эквивалентно изменению
'функции F. Матрицу A.10.6) представим суммой ее бозевой (а, 6 = i,j) и
фермиевой (а, Ь = i',j') частей: ш++„ь = w^ob+ ш+04> или в матричной
'.записи: (ы -1)++ = (ш ~*)f + (ш ~J)J (обозначение ш ~г используется для
'матрицы контрвариантных компоненты оЬ). Столбец 0 имеет стандартный
«ркД (Q,P>?>P*)> гДе Q>P и Ф.^"*1 — столбцы, составленные из новых ка-
^онических координат и импульсов соответственно для бозевых и ферми-
ёвых степеней свободы. Пусть функция F в A.10.5) зависит от одной из
•следующих 16 комбинаций переменных:
A.10.7)
„.„- v^)- = -(?""")+ и (ш-1)?; = (ш~1Т)?; индекс 6= 1,2,3,4 фиксирует
Швыбор бозонных переменных в соответствии с A.5.3); аналогичное правило
|щр'ияимается и для индекса / = 1,2,3,4, фиксирующего выбор фермионных
^переменных. Например,
jjpi^ ¦ *ii=*"(Q. 4, ¦.*,'«); A-10.8)
нгТогда из сопоставления действия A.10.5) и A.9.9), записанного через
«Ш~г)++ подобно A.10.5), вытекает
'•¦ д
Pi =
_
H = Я + ^
•¦' ~ ЗФ*'
A.10.9)
A.10.10)
;, A.10.11)
логично A.5.5)—A.5.7). Различие знаков в определении импульсов бо-
„.-р-лх и фермиевых степеней свободы связано с антикоммутативностью
gftfeJeMeHHHx ф и Ф. Соотношения A.10.9) определяют Q' и Ф* как функ-
[гстарых координат и импульсов; Подставляя их в fl.10.10), получаем
1*Р1?;Р* в виде функций ofp,q и Ф.рф. "¦ -
*г"Как и в чисто бозевом случае, можно показать, что все функции A.10.7)
г'Ссвязаны между собой преобразованием Лежандра. Наличие грассмано-
|-Вых переменных вносит особенности в процедуру разрешения уравнений
!?*?М0.9) относительно Q и ф. Допустим, что имеется только одна грассма-
|.нова степень свободы. В этом случае для функции A.10-8) справедливо
|?'еледующее представление: .-.;¦-- .; • • - , .* : ;
AЛ0.12)
A.10.13)
поскольку ф2 - Ф2 = 0. Тогда A.10.9) дает
38
39

Второе равенство A.10.13) определяет Ф как функцию /,?и(?. Подставив
его в первое равенство A.10.13), мы получаем уравнение для новых бозе-
вых переменных Q'. Поскольку Q' есть четный элемент алгебры Грассма-
на с образующими ф и р^, то справедливо разложение
Q' =
, 0 =
A.10.14)
т.е. для определения Q' нужно найти две бозевых функции Q\ 0. Подста-
вляя A.10.14) в A.10.13), получаем
dFp
dq'
dq'dQi
Q=Q
Q=Qo
Равенство A.10.15) эквивалентно двум соотношениям:
dF0
32F0
Pi =
dq'dQi
<?=q0
Fx !(?=(?„
A.10.15)
A.10.16)
A.10.17)
первое из которых определяет функции QJ = Q{(q,p, t), а второе есть
линейное уравнение для Q\. Новые канонические импульсы находятся
из A.10.10) подстановкой в них явных функций A.10.14), определяемых
A.10.16), A.10.17),
" <?=<;
В общем случае производящая функция A.10.8) разлагается по всем
базисным элементам грассмановой алгебры с 2п' образующими ф' ,Ф''.
После дифференцирования во втором уравнении A.10.9) нужно заменить
Ф1 на произвольный нечетный элемент грассмановой алгебры с образую-
щими ф', pf,, тогда это уравнение дает систему уравнений для коэффици-
ентов разложения Ф' . Решая эту систему, находим Ф' = Ф* (Q, q, V, р**,*).
Затем Ф' следует подставить в первое уравнение A.10.9), чтобы найти Q'.
Представляя Q' в виде произвольного четного элемента в алгебре Грас-
смана с образующими ф1, pf,, получаем из первого уравнения A.10.9) си-
стему уравнений для коэффициентов разложения Q'. Подстановка явного
вида Q' = Q'(p,q, ^,p^,t) в Ф1' определяет Ф1' как функцию старых кано-
нических переменных и времени. Наконец, подстановка Q' и Ф1' в A.10.10)
позволяет найти новые канонические импульсы. Аналогичная схема при-
годна для любой из 16 функций A.10.7), изменяется лишь система образу-
ющих для разложения производящей функции.
Рассмотрим в качестве примера каноническое преобразование, инду-
цированное заменой переменных на суперпространстве:
Q' = Я'(я, Ф), «'" = *'"(?, Ф),
A.Ю.19)
Задание Q' как функции от q и ф эквивалентно заданию 2"'-1 функций
от } при каждом фиксированном i, аналогичное утверждение справедливо
для Ф1', так как размерности четного и нечетного подпространств алгебры
Грассмана Совпадают и равны 2" ~1. Таким образом, A.10.18) определяет
(n + n'J" -1 скалярных функций от }'. Можно задать обратное преобра-
зование:
<?•' = ?'(О, •), / = /(<?.*).
Разлагая функции }' и ф' соответственно по четным и нечетным базис-
ным элементам алгебры Грассмана с образующими Ф' и подставляя их
в A.10.18), получаем уравнения для коэффициентов разложения. Под-
черкнем, что число образующих ф' и Ф1 должно совпадать, в противном
случае замена переменных невозможна.
В качестве производящей функции соответствующего канонического
преобразования удобно выбрать F--++; она связана с Fu преобразовани-
ем Лежандра подобно A.5.8):
9, Р, Ф,Р*, 0 = PiQ* + Р?.?' + FU(Q, q, Ф, ФЛ).
Поэтому каноническое преобразование определяется следующими соот-
ношениями
ft = jjU* ^ = -S3FF»: A10-20)
A.10.21)
Гамильтониан в новых переменных имеет вид A.10.11) с соответствующей
заменой производящей функции. Равенства A.10.21) должны быть эквива-
лентны A.10.19), поэтому аналогично бозеву случаю A.5.12) для точечно-
го преобразования имеем
Тогда соотношения
A.10.22)
вытекающие из A.10.20), определяют новые канонические . импульсы.
Для решения уравнений A.10.22) перепишем их в матричном виде:
и
A.10.23)
Диагональные блоки матрицы в A.10.21) — четные элементы грассмано-
вой алгебры, недиаганальные блоки - нечетные. Детерминант этой
матрицы называют супердетерминантом или березианом. Если суперде-
терминант отличен от нуля, существует обратная матрица (см..Приложе-
ние 8.2). Действуя ею на обе части равенства A.10.23), получаем РиР*
как функции р, q и р+, ф. ' ' '
В качестве иллюстрации рассмотрим следующее обобщение поляр-
ных координат A.4.7) на случай супермногообразия [13]:
41

где матрица Т - генератор 5ОB)-вращений (см. A.4.8)). Для бозевых
переменных связь между х1 и г, ф совпадает с A.4.7). Особенностью за-
мены переменных A.10.24) является то, что связь между грассмановыми
переменными ф и ? звисит от угла ф. По этой причине величина рТх
теперь не есть импульс, канонически сопряженный ф, так как ее скобка
Пуассона с ?' отлична от нуля.
Решая уравнение A.10.23) для преобразования A.10.24), получаем но-
вые канонические импульсы:
Ш
'-"
A.10.25)
Pr =
Рф -
A.10.26)
где р*ТФ = p*Tij\J!j. Связь между граесмановыми импульсами такая же,
как и между соответствующими координатами (ср. второе равенство
A.10.24) и A.10.25)). Равенство {ф,рф} - 1 обеспечивается только первым
слагаемымв р4. Второе слагаемое необходимо, чтобы {?',р*} — 0.
Пусть производящая функция имеет вид
+ cG(q, Р. ф, Р*, t).
A.10.27)
где f — некоторый параметр, е — 0. Очевидно, что при f = 0 функ-
ция A.10.27) задает тождественное каноническое преобразование, как это
вытекает из A.10.20), A.10.21). Поэтому каноническое преобразование,
генерируемое функцией A.10.27) является инфинитезимальным канониче-
ским преобразованием. Подставляя A.10.27) в A.10.20), A.10.21) и полагая
Pi = Pi + O(t), Pf, =pf, + O(f), находим с точностью О(е2)
3
едр-<
dpt
A.10.28)
A.10.29)
Эти равенства определяют новые канонические переменные как функции
старых при инфинитезимальном каноническом преобразовании. Они явля-
ются обобщением A.5.17) на случай смешаной системы.
Если в уравнениях A.10.28), A.10.29) в качестве G взять гамильтониан,
то уравнения можно переписать в компактной форме:
т.е. Q"(t) — 0a(t + {). Следовательно, как и в чисто бозевом случае,
эволюция смешанной динамической системы есть непрерывно соверша-
ющееся каноническое преобразование, генератором которого является
гамильтониан. ' ¦ " •'•"¦* и>..™
1.11. Неканонические преобразования
На практике встречаются неканонические преобразования канониче-
ских переменных. Простейший пример такого рода дает теория гармони-
ческого осциллятора, задаваемая гамильтонианом
H = l(P2 + q2). A.11.1)
Вместо канонических переменных q и р введем новые комплексные пере-
менные:
A.11.2)
1
1
а* = -j=(p + iq).
В этих переменных гамильтониан A.11.1) имеет вид
Я = а'а,
а скобка Пуассона индуцируется скобкой Пуассона в старых переменных:
A.11.3)
dq dp dp dq
За да* да' да') '
В частности,
Таким образом, при переходе (p.q) ¦— (а,а") сохраняются все атрибуты
гамильтоновой механики: гамильтониан, скобка Пуассона, удовлетворя-
ющая тождеству Якоби, и фазовое пространство. Преобразование A.11.2),
однако, не сохраняет симплектическую форму (и;аЬ —> —i w°b, а,6 = 1,2),
т.е. не является каноническим. Эволюция любой величины, заданной на
фазовом пространстве, определяется скобкой Пуассона A.11.3) этой вели-
;чины и гамильтониана. В частности,
а = {о, Я} = -ia", а* = {а*, Я} = ia
A.11.4)
есть гамильтоновы уравнения движения для осциллятора в новых пере-
менных.
Чтобы изучить класс неканонических преобразований, сохраняющих
гамильтонову форму уравнений движения, рассмотрим произвольную за-
мену переменных на симплектическом супермногообразии:
в" -6a{Q,t).
A.11.5)
Ее ли в исходных переменных в" симплектическая 2-форма имела стандарт-
ный вид и) — ш (а это всегда возможно, по крайней мере локально, со-
гласно теореме Дарбу), то в новых переменных скобка Пуассона задается
матрицей
ыаЬ = еа- ?а'4'е»-„ - A.П.6)
где индексом после запятой обозначены производные по старым перемен-
ным в". . Матрица A.11.6) удовлетворяет тождествам A.9.4)—A.9.6). В
справедливости A.9.4), A.9.5) можно убедиться непосредственно из явно-
го вида A.11.6). Чтобы доказать тождество A.9.6), рассмотрим обратную
матрицу
uab = fl'j ?.'»' вЪт ¦ A-11-7)

Н*,з = ~д>паъЭъ, A.11.18)
то для существования функции Яш = НиF,<) необходимо и достаточно,
чтобы
Ни aj = (-1)'"'^ g3. A.11.19)
Подставляя A.11.18) в A.11.19) и используя тождество A.9.13), приходим
к условию для матрицы uai,:
dtuai(G,t) = 0, A.11.20)
из которого следует, что Нш ~ 0.
Таким образом, гамильтонова форма уравнений движения не сохраня-
ется при произоольном преобразовании координат на фазовом простран-
стве, если симплектическая метрика в новых переменных явно зависит от
времени.
Это не означает, однако, что замена переменных A.11.5) не может со-
держать явную зависимость от времени. Лля иллюстации рассмотрим
гамильтониан
~ ЬпР 2'1
где т = m(t) и v = !/(/). Введем новые переменные:
Симплектическая метрика в этих переменных имеет вид
1 \> Wsu
A.11.21)
A.11.22)
где Q — (i//m)i//2 — частота осциллятора. Условие A.11.20) выполняется,
если частота П (или отношение функций m(t) и v{i)) не зависит от време-
ни. Гамильтониан в новых переменных определяется формулой A.11.15),
в которой следует положить в1 = q, в7 = р, и аналогично: в1 = Q, 02 = Р.
Он выглядит так:
последнее равенство вытекает из требования dtQ = 0. Гамильтониан
A.11.23) вместе с симплектической формой A.11.22) определяет гамиль-
тонову динамику системы, хотя связь A.11.21) между старыми и новыми
переменными содержит явную зависимость от времени.
1.12. Примеры систем
с нетривиальной симплектической структурой
.1,12.1. Частица с трением. Одной из простейших динамических
систем, которые.могут быть олисаны в рамках гамильтоновой механики
с нетривиальной симплектической структурой, является одномерная ча-
стица с трением. Уравнение движения имеет вид A.2.11):
q + aq = 0.
46
A.12.1)
Его общее решение есть
9(t) = go + ^(l~e-a>),
где }@) - до и q@) = v0.
Рассмотрим динамику, задаваемую гамильтонианом
Я = Яо(р)
(Но — некоторая функция р) и симплектической структурой
U,p] - 1-Яр/а
A.12.2)
(а — константа с размерностью действия). Гамильтоновы уравнения дви-
жения имеют вид
A.12.3)
Из первого уравнения A.12.3) следует, что импульс является интегралом
движения p(t) — ро = const, поэтому уравнение для q(l) линейно:
9+ 79 =/о,
A.12.4)
j = fopo/a. A.12.5)
Очевидно, что уравнения A.12.4) и A.12.1) эквивалентны, если положить
/0 = 1>о + а<}о и отождествить величину A.12.5) с коэффициентом трения а.
Для доказательства самосогласованности гамильтоновой динамики
нужно показать, что симплектическая 2-форма, отвечающая скобке Пуас-
сона A.12.2), замкнута. Поскольку замкнутость 2-формы не зависит от
выбора координат на симплектическом многообразии, достаточно предъ-
явить координаты Дарбу. Легко проверить, что A.12.2) выполняется,
если [14]
-v. • .. (м?-«)
и {Q, Р] — 1, т.е. переменные Q и Р есть координаты Ларбу для симплек-
тической структуры A.12.2). - - ,
Уравнения движения A.12.3) можно получить из вариационного прин-
ципа для действия A.9.20) с в1 — q, в2 = р и
ар
A.12.7
При вычислении матрицы A.12.7) мы воспользовались интегральным
представлением A.9.18). ¦,.->.
Любопытно, что "каноническое квантование скобки Пуассона^ A.12.2)
(т.е. замена g и р соответствующими операторами с коммутационным со-
отношением [, } = ih{ ,}) приводит к теории "квантовой д-частицы" (или
частицы на }-линии) [15] с параметром деформации, зависящим от отнр-
шеиия h/a [14]. Таким образом, квантовая механика частицы с.трением
есть простейший пример д-деформированной системы [14]. • ,.-
47

1.12.2. g-Осциллятор. В физической литературе уже много лет обсу-
ждается возможность модификации алгебры Гейзенберга [16-20]. Интерес
к проблеме возрос после открытия так называемых " квантовых групп" [21-
23]. Дело в том, что представления этих групп можно реализовать с по-
мощью операторов рождения 6+ и уничтожения 6,-, которые подчиняются
q-деформированной алгебре Гейзенберга— Вейля [24]:
W?-
+ 6; = hSij; A.12.8)
здесь вещественное число q — параметр деформации. При q —> 1 алгебра
A.12.8) переходит в стандартную алгебру Гейзенберга—Вейля. Оказыва-
ется, что алгебра A.12.8) может быть получена путем канонического кван-
тования классической системы с нетривиальной симплектической струк-
турой [25-28]. Мы ограничимся анализом одного ^-осциллятора. Общий
случай изучен в [27].
Рассмотрим двумерное симплектическое многообразие с симплектиче-
ской структурой
{х,р} = 1 - Р ^ Х , A.12.9)
где Е и и; — некоторые постоянные; каноническая координата во избежа-
ние путаницы с параметром деформации q обозначена через х. Введем
голоморфные переменные 6,6*:
Их скобка Пуассона имеет вид
A.12.10)
После канонического квантования A.12.9) или A.12.10) и перенормиров-
ки операторов: ft —> A + hu/{2E))~1^2b и соответственно 6+ мы получаем
алгебру A.12.8), где q = A - 7)/A + т), 7 = Пш/BЕ).
Таким образом, j-осциллятор получается из обычного путем деформа-
ции симплектической структуры. Чтобы доказать непротиворечивость
гамильтововой динамики со скобкой Пуассона A.12.10), необходимо по-
казать; что "деформированная" симплектическая форма замкнута, а для
этого достаточно построить соответствующие координаты Дарбу. Они
имеют вид [26-28] * ¦ ¦ ;, ',.'. ...;,
Ь =
6' =
A.12.11)
A-12.12)
i iW X,
где E = и>212/2 и {X, Р} = 1. В пределе / —> со (Е —> со), 6 и Ллереходят
в стандартные голоморфные переменные. • <-¦¦¦ ~iv. мл,щщр:.м1.
Отметим, что вместо квантования в переменных х ир<можно;кванто-
вать в переменных Дарбу Хм Р. Операторы ft,H 6+,трактуются в.этом
случае как функции операторов X и Р, подчинянмцизсса стандартной ал-
ге5ре Гейзенберга. Они также будут подчиняться деформи^овайноЙ! ал-
гебре Гейзенберга-Вейля A.12.8), но с другим параметром."деформации:
48
q = exp(—h/(wl2)). Это означает, в частности, что введение переменных
Дарбу и квантование не перестановочны между собой [28].
Построим гамильтоновы уравнения движения. Полагал Я = Я,F,6*),
находим
6 = {6, Я} = -i (\ - ^Д) ^f
6
6* =
A.12.13)
A.12.14)
Если для простоты ограничиться гамильтонианом Ht = Я,(Л), где h =
ш6*6, то уравнения движения A.12.13), A.12.14) описывают осциллятор с
частотой, зависящей от его энергии (или амплитуды) [28]:
6=-Ш6,
дН,
дЕш'
где Еи = h = const — интеграл движения, так как {h,Hq} = 0.
Таким образом, так называемая j-деформация может быть описана не-
которым специальным неканоническим преобразованием. Примерами та-
ких преобразований являются A.12.6) (для ^-частицы) и A.12.11), A.12.12)
(для j-осциллятора). Формулы A.12.11), A.12.12) обобщаются на случай
произвольного числа осцилляторов, что позволяет строить представле-
ния "квантовых групп" на коммутативном фазовом пространстве с нетри-
виальной симплектической структурой [28], подобно тому как это было
сделано для обычных групп в разд. 1.6.
49

Глава 2
ГАМИЛЬТОНОВЫ
КОНТИНУАЛЬНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
2.1. Введение
2.1.1. Предварительные замечания. Континуальные интегралы
являются одним из важнейших инструментов современной теоретической
физики. Впервые интегрирование в пространстве функций рассмотрел
Норберт Винер при изучении процессов диффузии [29, 30]. Интегрирова-
ние велось по мере Винера, т.е. изучались, как принято говорить, гаус-
совы интегралы. В квантовой физике они начали употребляться после
работ Р. Фейнмана [31, 32], воспользовавшегося важными замечаниями
П.А.М. Дирака о связи между волновой функцией и классическим дей-
ствием [33, 34].
Континуальные интегралы в современной физике находят применение
не только там, где требуется дать квантовое описание систем с бесконеч-
ным (или очень большим) числом степеней свободы, например в квантовой
теории полнили теории твердого тела, но и в задачах обычной квантовой
механики. Более того, имеется тенденция переформулировать привыч-
ные квантовомеханические задачи (например, частица в "ящике" [35, 36],
или частица в кулоновском поле [37]) на языке континуальных интегра-
лов. Причина атого очевидна: физики создают новый математический
аппарат, новый язык, и чтобы постигнуть все его тонкости, необходимо
изучить как можно больше конкретных примеров.'
Популярность континуальных интегралов в квантовой теории поля
связана с тем, что это наиболее адекватный задаче аппарат, позволяю-
щий записывать формулы в весьма компактном виде и сильно упрощаю-
щий многие выкладки. Однако помимо этих, хотя и важных, но чисто тех-
нических преимуществ метод континуального интегрирования открывает
новые возможности для приложений — в его рамках естественно строится
квазиклассическое приближение, дающее возможность выйти за пределы
теории вомущений. В квантовой механике континуальные интегралы ока-
зались полезны не только потому, что они помогают по-новому взглянуть
на старые задачи или лучше изучить возможности метода. Новый подход
позволил решить ряд принципиальных проблем: 1) квантование в криво-
линейных координатах [38], 2) квантование в искривленном пространстве
[38], а также проблему упорядочения в связях из достаточно широкого
класса (содержащих импульсы не более чем во второй степени [39]).
В зависимости от того, ведется ли интегрирование по переменным кон-
фигурационного или фазового пространств, соответствующие контину-
альные интегралы будем называть лагранжевыми (ЛКИ) или гамилъто-
новыми (ГКИ). Первыми были сформулированы лагранжевы интегралы
[31]; континуальные интегралы в гамильтоновой форме появились позднее
[40-43], хотя структурно именно они ближе всего к квантовой механике и
непосредственно из нее вытекают. Лагранжевы континуальные интегра-
лы получаются из гамильтоновых после выполнения интегрирования по
импульсам.
50
2.1.2. Квантование. Хотя аппарат континуальных интегралов и по-
зволяет обобщить стандартный метод квантования [34], для его постро-
ения приходится прибегать к старым рецептам, поскольку они хорошо
изучены и апробированы на опыте. Под квантованием будем понимать пе-
реход к квантовому описанию динамической системы, т.е. к описанию ее
эволюции с помощью амплитуд вероятности. Стандартный рецепт кван-
тования [34] сводится к правилу, все канонические переменные q',pi (a
значит, и все функции от них) заменяются операторами, которые подчи-
няются коммутационным соотношениям
[?,%)-=Щя\р1) = Ш) B.1.1)
(алгебра Гейзенберга, i2 = —1); операторы действуют на элементы гиль-
бертова пространства — векторы состояний. Последние содержат всю
информацию о системе. Их эволюция задается оператором Гамильто-
на — генератором сдвигов по времени. Данный рецепт не универсален.
Он применим, во-первых, лишь для декартовых координат и, во-вторых,
только в тех случаях, когда нет проблемы упорядочения операторов в
гамильтониане и других интересующих нас функциях канонических пере-
менных. Указанные ограничения достаточно неприятны. Ясно, что да-
же простейшие калибровочные системы могут оказаться для него камнем
преткновения, ибо переход к физическим переменным в них почти всегда
связан с переходом к криволинейным координатам. Метод континуально-
го интегрирования оказывается гораздо более гибким и указывет на го-
раздо более тесную, нежели принято думать, связь между классической и
квантовой механиками. Этими замечаниями мы и ограничимся, отсылая
читателя за деталями к учебникам [34, 44].
2.2. Гамильтоновы континуальные интегралы
в квантовой механике
2.2.1. Определение гамилыонова континуального интеграла.
Пусть задан гамильтониан Н(q, p). Рассмотрим матричный элемент (ядро)
оператора эволюции U(i - (') = exp[—iH(t — t')/h\; разбивая временной ин-
тервал t — t' на ЛГ промежутков е = (t — t')/N, представим это ядро в виде
(см. [33, 34]) . .
(}|U,_,.|j') = / dqi ¦ ¦¦dqN-1(q\Vt\qN-1) ¦ ¦ ¦ (qi\Vt\q'),
B.2.1)
где Uf = U({), i/jt — волновая функция в момент времени t. Континуальный
интеграл получается из B.2.1) переходом к пределу ,<V —> оо (е —<¦ 0), если
он существует. Для последующего принципиальное значение имеет ответ
на вопрос: с какой точностью нужно знать матричные элементы опера-
тора U? как функции с? Из структуры произведения B.2.1) ясно,, что в
разложении U? по степеням е необходимо удерживать линейные члены и
пренебрегать более высокими степенями i. Причина проста. Поскольку
\JC ~* I при { —* 0 (/ — единичный оператор), формула B.2.1) есть формула

и членами o(l/N) в круглых скобках можно пренебречь. Мы не будем без
необходимости заниматься проблемой существования предела в B.2.1),
отослав читателя к математической литературе [45-61]. Во всех после-
дующих выкладках элементарные составляющие (g|U,|g') = U1q'(e) в до-
предельных выражениях типа B.2.1) вычисляются с указанной точностью,
если не оговорено иное.
Для начала рассмотрим простейший случай, когда
B.2.2)
Гамильтонов континуальный интеграл получается из B.2.1) переходом к
пределу ? —» 0 после подстановки следующего выражения для V1fi(():
')- B-2.3)
B.2.4)
на втором и последнем этапах вывода опускались члены порядка ?2. Учи-
тывая, что (q\p) = Bnh)~"/2 ex.p(ipq/h), имеем
'exp ( -г
Здесь было использовано равенство
Аппроксимационная формула B.2.1) для ГКИ выглядит так:
' " ' '' ' ' " V B.2.6)
где gjy = q, q0 = g'; после перехода к пределу N —юо получаем стандарт-
ное представление для Uqq> в виде континуального интеграла:
B.2.7)
По поводу этого хорошо известного формального вывода сделаем три за-
мечания. Во-первых, континуальный интеграл B.2.7) есть символ. Его
содержание задается допредельным выражением B.2.6). Именно предел
B.2.6) при N —<¦ оо служит определением B.2.7). Любые другие опре-
деления B.2.7) имеют смысл лишь постольку, поскольку они не проти-
воречат B.2.6), B.2.7), ибо последние вытекают из квантовой механики.
Во-вторых, формула B.2.7) выглядит мало полезной, так как предпола-
гает последовательное выполнение бесконечного числа ("континуума"!)
52
интегрирований. Оказывается, однако, что интеграл B.2.7) можно трак-
товать как многократный; более того, в некоторых важных случаях (би-
линейность H{q,p)) он вычисляется явно. В значительной мере с этим
и связана плодотворность метода. В-третьих (по счету, но не по важно-
сти), законен вопрос о существовании предела B.2.6) при N —• со... Име-
ется теорема Троттера (см. [61]), которая в специальном, интересую-
щем нас случае [58], формулируется так: пуст» А и В — самосопряжен-
ные операторы в сепараоелъном гильбертовом пространстве, такие, что
определенный в D(A) U D(B) оператор А + В — также самосопряжен-
ный (D(A) — область определения А). Тогда существует сильный предел
Обсудим формулы B.2.1) — B.2.7) подробнее.
Из B.2.1) ясно, что матричный элемент B.2.5) есть фундаментальный
объект развиваемого аппарата, и задание U,,<({) по существу означает
задание континуального интеграла. Коэффициент при i/h в экспоненте
B.2.5) можно представить в виде
с \p(q - ,')/? - H(q,p)) » J dt\pq- H] = SH, B.2.8)
о
т.е. показатель экспоненты B.2.5) пропорционален гамильтонову класси-
ческому действию Sh A.2.4); из условия его экстремальности вытекают
классические уравнения движения в гамильтоновой форме A.2.6). Фор-
мулы B.2.5), B.2.8) являются ключевыми к пониманию связи между клас-
сической и квантовой механиками: амплитуда B.2.5) определяется клас-
сическим действием (Sh следует понимать как функционал от q(t),p(t)),
при Л —г 0 в амплитуде B.2.7) доминирует вклад от классических траек-
торий, это "объясняет", почему в классической теории движение частиц
описывается гамильтоновыми уравнениями A.2.6).
2.2.2. Лагранжевы континуальные интегралы. Подставлял в B.2.5)
гамильтониан B.2.2) и интегрируя по импульсам, находим
B.2.9)
В B.2.9) показатель экспоненты пропорционален лагранжеву действию
3{чл') — JdtL(q,q) на классической траектории, выраженному через на-
чальные и конечные значения координат; в случае гамильтониана B.2.2)
при ? —• 0 траекторию частицы между точками q н q' в интеграле J dtL
можно аппроксимировать прямой (см. [31]). Подставим B.2.9) в B.2.1) и
перейдем к пределу Лг —> со; запишем результат в виде
53

J
= г
Dq(t)txpiT
«(<')=«'
B.2.10)
Представление ядра оператора эволюции лагранжевым континуальным
интегралом B.2.10) называют формулой Фейнмана—Каца (см. [56]). В
случае свободной частицы (V = 0) ^ ;(t) = Uf_,i(c) и имеет место
формула /<f?"U,_?/'(fi)U,«_,>(B) = У,_,'(с1 + ?2), вследствие чего ядро
оператора эволюции для конечной разности времен t — t' есть
~ О =
.("-И)
Выражение B.2.11) можно рассматривать как результат вычисления ЛКИ
B.2.10) для V = 0. Интегралы с билинейными функциями в экспоненте
называют гауссовыми,- Отметим: B.2.11) получается из допредельного
интеграла B.2.10) лишь при условии, что интегрируется по бесконечным
интервалам ( — 00,00).
Выражение B.2.9) было получено в результате вычисления "однократ-
ного" (n-кратного) интеграла B.2.5). Нам же необходимо научиться ра-
ботать с бесконечнократными интегралами. Введя в обращение новый
символ — континуальный интеграл B.2.7) (или B.2.10)) — мы должны дать
правило обращения с ним. Для этого нужно уметь вычислять многократ-
ные интегралы, ибо правила оперирования с символами B.2.7), B.2.10)
и их свойства определяются операциями над соответствующими допре-
дельными выражениями B.2.6), B.2.10) и свойствами последних. В основе
выкладок лежит следующая формула для iV-кратного гауссова интеграла:
N = / J]
J 1=1
B.2Л2)
где хАх = ZiAijXj — положительно определенная форма, Ьх = 6<х,-. Форму-
ла B.2.12) доказывается переходом к новым переменным интегрирования
с помощью ортогонального преобразования, диагонализирующего А. Вы-
текающие из B.2.12) выражения для гауссовых континуальных интегралов
и некоторые часто используемые формулы приведены в Приложении 8.3.1.
Приведенный вывод ГКИ B.2.7) порождает ряд вопросов [62].
1). При получении B.2.3) разложение единицы \р)(р\ вставлено у пра-
вой обкладки. Если бы мы вставили его слева, то вместо B.2.4) по-
лучили бы
. ¦ '. ,{pW(q,P)\q') = H(q',p){p\q'). B.2.13)
Лаже для простейшего гамильтониана B.2-2), когда функции H{q,p) в
B.2.4), B.2.13) совпадают с .классической функниеД-Гамильтрда,. требу-
ется ответить на вопрос: равноправны ли оба способа льщс^.еяий^т.е.
можно ли пренебречь в B.2.5) разностью i[H(q,p)- H(q' ,р)) »?Y,if.i' —.в")'
Мы увидим, что для гамильтониана B.2.2) ответ положителен. В более
сложных случаях, когда гамильтониан содержит произведение некомму-
тирующих операторов, например сумму qp+pq, формулы B.2.?},B.2.13) не
применимы, так как.в них классические функции #(O>)«(#(j'jр)„ролуча-
ются из H(q,p) заменой операторов на классические.хгеремениые.},? или
q',p, тогда как матричный элемент (q\qp + pq\q') равен {q\p)p{p\qJ)(q + q').
54
Можно ли здесь сделать замену }' —<• q или q —* q', т.е. можно ли пре-
небречь членами рДд (Дд = j- q')l (Ответ отрицателен.) На практике
встречаются гамильтонианы с еще более сложными комбинациями неком-
мутирующих операторов, поэтому данный вопрос есть частный случай
более общего. В квантовомеханических амплитудах B.2.7), B.2.101 фигу-
рируют лишь классические величины (?,P,Sh,S); спрашивается, как же
проявляется некоммутативность канонических операторов в методе кон-
тинуального интегрирования?
2). Функции от координат в допредельных выражениях рассматрива-
лись лишь в крайней левой B.2.4) и крайней правой B.2.13) точках ин-
тервала Aq. Как перейти к ядрам B.2.5) с функциями, взятыми внутри
интервала, например H((q + j')/2,p)?
3). Как сделать замену переменных в континуальном интеграле?
4). Формулой B.2.7) нельзя пользоваться в криволинейных координа-
тах, поскольку, в частности, меняется амплитуда (q\p). Как выглядит ГКИ
в этом случае?
5). В криволинейных координатах спектры соответствующих операто-
ров могут быть самыми разнообразными (дискретными, заполняющими
отрезок или полуось, как, например, в полярных координатах). Сохра-
нится ли при этом общий вид ГКИ?
6). Конечность области изменений координат может входить в условие
задачи (пример — частица в "ящике"). В каких пределах следует интегри-
ровать в данном случае?
7). И последний вопрос (опять же не по важности). Пренебрегал в
B.2.3) членами (ер2J,... при ? —* 0, мы закрывали глаза на то, что инте-
грирование по р ведется в бесконечных пределах и всегда найдутся такие
р, для которых ер2 не мало. Правильно ли мы поступали? Сказанное каса-
ется и членов ((VJ,..., поскольку V(q) может возрастать при } —* оо, а в
B.2.6) по q интегрирование ведется также в бесконечных пределах. По су-
ществу речь идет о том, что можно считать "нулевымприближением", т.е.
чем можно и чем нельзя пренебрегать. Обычно за нулевое приближение
берут решение " ближайшей" точно решаемой задачи. В ряде случаев в ка-
честве такового можно взять решение B.2.11) задачи о свободной частице.
Мы видим^ что при t — t' = е —» 0 функция B.2.11), вопреки предположен-
ному в B.2.3), отнюдь не разлагается в ряд по степеням е, т.е. на первый
взгляд экспоненту ехр(—i?p2/Bft)) необходимо учитывать точно. Этот во-
прос обсуждается в разд. 2.3.3. Вопрос о классе потенциалов V(q), для
которых справедливо допредельное представление B.2.10), обсуждается
в разд. 2.7.
Ответы на поставленные вопросы, по существу, и составляют содер-
жание гл. 2.
2.3. Нестандартные члены
и базисные правила эквивалентности
2.3.1. Нестандартные члены. Ограничимся изучением динамиче-
ских систем, заданных функцией Лагранжа вида
1 = \9Ш#'*М*)?гЪ(ч)ъ B.3.1)
где
метрический тензор g,j и функции Ai,V\, предполагаются не завися-
55

щими от времени. Лагранжиан L задает довольно общий класс систем,
включающий почти все интересные случаи; в то же время он достаточно
прост и позволяет обойтись элементарными средствами. Соответствую-
щий классический гамильтониан есть
1
И.,
B.3.2)
При переходе к квантовому описанию подобных систем немедленно возни-
кает вопрос о порядке следования операторов в гамильтониане. Оставим
его пока без ответа, допустив, что тот или иной выбор сделан, и займемся
вопросом: как влияет выбор порядка следования операторов в гамильто-
ниане на вид ГКИ? Рассмотрим операторы
°"(?)?+/J() VE) Ун = Уь+^А\ B.3.3)
Я" = \piPjgij(q) +pjfl{q) + VH(q), Г = -А\ Я° ф Я'; B.3.4)
индексы с и а указывают на стандартное (р стоят правее всех q) и анти-
стандартнос (q стоят правее всех р) упорядочения. Выясним, чем будут
отличаться для них ГКИ. Обратимся к ядру оператора инфинитезималь-
ного сдвига B.2.5). Попутно еще раз подчеркнем фундаментальный ха-
рактер ядер Uqti(e): это простейшие элементы теории, из них строится
гамильтонов континуальный интеграл, именно они определяют его вид и
свойства; с ними мы и будем работать. Итак, найдем Uni{t) для Нс и Я".
Используя в первом случае формулу B.2.4), а во втором — B.2.13), об-
наруживаем, что показатели экспонент в B.2.5) отличаются на разность
) - #(}',р)) = (-кЙ)ДЯ, где
= (q-q')k=Ac,k.
B.3.5)
Нужно ли учитывать эти члены в формуле B.2.6)? Очевидно, что нуж-
но, во всяком случае, первые три. Если бы разностью B.3.5) можно было
пренебречь, то это означало бы, что для гамильтоновых континуальных
интегралов безразличен порядок следования некоммутирующих операто-
ров в Я, и что существенно разные гамильтонианы Нс и Я" ведут к од-
ному и тому же интегралу по траекториям B.2.7). Разумеется, это не
так, и разность B.3.5) (за исключением последнего члена) должна давать
подлежащий учету вклад в интеграл.
Слагаемые в показателе экспоненты допредельного выражения B.2.6),
содержащие добавляемые к основному члену рД произведения вида
(р)п(Д)т (п > 0, т > 1, кроме т — п — 1), называют вхстрачленами (или
нестандартными членами). "Именно они содержат информацию о поряд-
ке следования операторов в гамильтониане [63]. Чтобы методом контину-
ального интегрирования решать задачи с гамильтонианами1 вида B.3.2),
нужно научиться работать с экстрачленами. Оказывается, от них можно
избавиться (т.е. превратить гамильтониан с экстрачленами в эквивалент-
ный гамильтониан без экстрачленов [63, 64]) с помощью так называемых
"правил эквивалентности".
56
2.3.2. Базисные правила эквивалентности. Простейший способ на-
хождения правил эквивалентности для разности B.3.5) связан с переме-
щением операторов р в Нс B.3.3) налево. При этом получится Н" плюс
результат коммутирования р с функциями от q, каковой естественно свя-
зать с экстрачленами B.3.5). Мы, однако, поступим по-другому. Наша
цель — освоить технику континуального интегрирования, поэтому найдем
правила эквивалентности в рамках аппарата ГКИ [63-67].
Рассмотрим матричный элемент
м„, = ШЧ- ¦ -Г. w, ¦••«.] ¦••]!«'> =
= д'«---д**(«1к. •••?*!«') =
Используя очевидные формулы
записываем его в виде
^H, B.3.7)
р,, ¦¦¦%,)№ =
~ J
ехр (s"
Здесь 3' = д/др{. Объединяя B.3.6) и B.3.8), находим
exp [l
Ph
B.3.9)
Базисные правила эквивалентности B.3.9) служат основой гамильтоно-
вых правил эквивалентности [63, 64]. Согласно B.3.9) в ядре оператора
инфинитезимального сдвига B.2.5) произведение Д'1 • • • Д""р>-, • • -Pit можно
заменить на выражение (ih)kdil ¦ ¦¦dikpjl ¦ ¦ -pj,, не содержащее экстрачле-
нов. Из B.3.9) видно, что если Jb > /, то B.3.6) обращается в нуль. Формула
B.3.9) обобщается на случай произвольной функции F(q,p, Д):
[F(q,P, Д)- F-(q,p,ihe,) ¦ 1] = 0, B.3.10)
где F" ¦ 1 означает, что в F(q,p,ihdp) все операторы др следует распо-
ложить левее всех импульсов р (" антистандартно", отсюда - буква a), a
затем применить полученный оператор к единице.
Замечание. Правило B.3.10) выполняется при любом аргументе q
функции F.
.Равенства B.3.9), B.3.10) есть базисные правила эквивалентности. Они
следуют из самых общих постулатов квантовой механики. С их помощью
можно сравнительно просто получить правила эквивалентности для про-
извольных гамильтонианов [66, 67].
57

Из приведенных выкладок следует, что конкретный вид амплитуды
B.2.5) целиком определяется спецификой квантовой механики. Так, со-
гласно B.3.6), B.3.7) выражения вида р"Дт в континуальном интеграле
(точнее, в допредельных формулах) отвечают многократному коммутато-
ру [<j[- --[q,p- ¦ -р] ¦ ¦ ¦]. Выбор функции gij(q) или </*,(}') в Н B.3.2) отвечает
согласно B.2.4), B.2.13) стандартному или антистандартному расположе-
ниям операторов в гамильтониане.
А какому оператору отвечает выбор функций в B.2.5) не на краях от-
резка [q, q'], а внутри его, например в опорной точке qa = q—aAq @ < Or < 1,
<?о — Я, ?i = }'; параметр а (индекс точки) фиксирует ее положение на от-
резке [q, q*])? Другими словами, какому оператору отвечает выбор в B.2.5)
функции
B.3.11)
Чтобы ответить на этот вопрос, введем понятие а-скобки (в случае одно-
мерного пространства, п — 1) [65]:
{?а.Шс, = "?{?п-1.№)в1 + {1-с,){?п-\/в))ар, B.3.12)
причем {р°, f(q)} = /(?)• Тогда при т — 1 выражение B.3.12) записывает-
ся в виде {р, f}a = apf + A - a)fp; в частности,^, /)i/2 = (?/(<j) + Л?)?)/2
отвечает симметризации. Если определить: {/,р}а — <*/р+ A — <*)р/, то,
как легко видеть, {p"\/}i-a = {f,Pm}a- Несложно убедиться в справед-
ливости равенства
B.3.13)
Для т = 0 оно тривиально (согласно B.3.9) его правая часть не зависит
от а). Далее имеем: • • . "..'¦'?
(«К?.
учитывая, что q = qa + "Д.' j'-= }a — A — <*)Д и что члены рЛг (г > 1) не
дают вклада в этот интеграл, устанавливаем справедливость B.3.13) для
т = 1.Лля т >Л формула B.3.13) доказывается по индукции. • Предста-
вив а-скобку суммой B.3.12), нужно вставить разложение единицы |д")(?"|
и, воспользовавшись представлением B.3.13), заменить р на производную
от соответствующей экспоненты, а затем произвести интегрирование по
частям; производные по f(qo) сокращаются. Обобщение определения а-
скобки на n-мерное пространство очевидно (р™ —<• pi, • • -pi*, и т.д.).
Итак, выражение B.3.11) в показателе экспоненты B.2.5) появится при
выборе а-упорядочения в гамильтониане: ,i -
a + VHfdr^JVXU)-
как мы увидим, потенциальную энергию Yn(q) можно брать в любой точке
¦' 1 *. ¦. -* ' _^ .... i • ¦ й -i'j '/№*?. ' _i\ #Л
qa — это не влияет на значение интеграла. Очевидно, что ?i/2 = \3.+ т)/^;
выбор опорной точки в середине отрезка [q, q"] отвечает симметричному
вейлевскому упорядочению. " . ' '
58
Технически мы готовы к выводу гамильтоновых правил эквивалент-
ности, но прежде чем приступить к выкладкам, выясним, как модифици-
руются базисные интегралы B.3.6), B.3.9) в криволинейных координатах,
а также установим базисные правила эквивалентности для лагранжева
формализма.
2.3.3. Базисные интегралы в криволинейных координатах. Ла-
гранэксвы базисные правила эквивалентности. В данном разделе речь
пойдет о топологически тривиальных криволинейных координатах, полу-
чающихся непрерывным преобразованием ("искривлением") декартовых
координат. Тем самым, очевидно, исключаются сферические или цилин-
дрические координаты. О них — отдельно (см. разд. 2.7).
Несложно убедиться, что в криволинейных координатах известные
формулы квантовой механики меняются следующим образом. Скалярное
произведение:
B.3.15)
B.3.16)
b) s J
gij — метрический тензор). Операторы импульса:
именно эти операторы обладают свойством самосопряженности для ска-
лярного произведения векторов гильбертова пространства B.3.15); их соб-
ственные функции есть
B-3.17)
B.3.18)
и б-функция дается формулой
(ФШ) = (ЭЭ'Г 1/4*(n)(9 - ?') з 6{q, q')t g' = g(q');
Оператор Лапласа— Белътрами (пропорционален оператору кинетиче-
ской энергии) выглядит так:
1у B-319)
Его записывают также в виде g~1^2diog1^2g'>dj; символ о указывает на то,
что di следует понимать как опрератор.
Пользуясь- случаем, приведем также выражения для символа
Кристоффеля: ' ¦
¦ - [u,4 = (**j+»*,<-J4,O/2, . B.3.20)
тензора Римана—Куистоффеля:
. Rikjl — jUij.*' ~ 9il,kj ~ gkj,il + ЭИ.о) +
+ Г"^"."»]!*'.»]-W."•][«, n])f , B.3.21)
тензора Риччи и скалярной кривизны:
Rii = 9kl Ran; R = gijRij B.3.22)
(R > 0 для сферы в евклидовом пространстве); здесь и далее индексы
одинаковой вариантности свертываются с помощью метрического тензо-
pai R — Rjj- ' ¦ -•;¦.;•.
59

Из B.3.17), B.3.18) ясно, как изменятся важные для дальнейшего фор-
мулы B.2.5),B.2.6), B.2.7). Например,
(Я
!ехР\~*
'"' ' B.3.23)
т.е. перед интегралом появится фактор (pj*)'4. Перед интегралом
B.3.6) также появится фактор (gg')'4, а базисные правила эквивалент-
ности B.3.9) не изменятся. Поскольку интегрирование по q в разложении
единицы |?)(?| ведется по мере yfgdq = dq, аналогичное изменение произой-
дет в многократном интеграле B.2.6) и континуальном интеграле B.2.7);
последний записывают как
B.3.24)
Мы обнаруживаем, что нестандартные члены могут появиться и в пред-
експонеициалыюм множителе ядра B.3.23), например при переходе от д'
к 9- я(ч') = 9(Ч ~ Д) — 3 ~ 9,* Д + • ¦ ¦• Здесь также возникает вопрос о
необходимости их учета и о порядке их малости. Остановимся на этом
вопросе подробнее.
Существо дела заключается в следующем. Как уже обсуждалось в
конце разд. 2.2, важно установить иерархию рассматриваемых величин.
Масштаб задает параметр t; все остальные величины сравниваются с ним.
В базисных правилах эквивалентности величинойпорядкаОA) считалась
exp(ipA/h). При изучении же динамики необходимо уметь точно описы-
вать движение свободной частицы, т.е. величиной порядка 0A) следует
считать ядро B.2.11) (при * —»t'). Выясним, меняются ли при этом прави-
ла эквивалентности.
Итак, нас интересуют интегралы вида
(99
/4-1/4
.;,.:,-.- • . B.3.25)
В отличие от B.3.6) интеграл B.3.25) не есть нуль при к > / ввиду наличия
гауссовой экспоненты. Прежде всего покажем, что эту экспоненту можно
разложить в ряд по степеням е. Положим в B.3.25) it = / = 0. Интегрируя
по р, имеем
Ядро B.3.26) применяется к волновой функции
B.3.26)
B-3.27)
Разлагая V(e') = V-(j - Д) = V(?) - &ФЛя) + (д;'Л*/2)^*(«)гЛ;В РЯД.
сталкиваемся с проблемой малости величин (Д)т- Качественная оценка
вытекает из вида B.3.26): основной вклад в интеграл B.3.27) вносят зна-
чения Д, для которых показатель экспоненты в B.3.26) Д2/с = ОA), т.е.
60
Л ~ е1/2. Точное соответствие дается следующими базисными лаграп-
жевыми правилами эквивалентности, подтверждающими качественные
соображения (их вывод см. далее):
=0. B.3.28)
Здесь через д*1 '">"• обозначен тензор в квадратных скобках в B.3.33); про-
изведение нечетного числа Д эквивалентно нулю. Согласно B.3.28) под
знаком интеграла Д' Д* можно заменить на iehg'i. Пусть gij не зависит от
д, тогда B.3.27) дает
Ф.ъФо+^йЬ^'Фо.ч, B-3.29)
откуда, в частности, получается уравнение Шредингера для свободной
частицы. С другой стороны, аппроксимируя экспоненту в B.3.25) при
fc = / = 0 разностью ехр(—Up2 /Ah)) я 1 — itgl'p;pjjAK), представляя затем
pi exp(ipAfh) — -ihdexTp(ip&/h)/dt\l и применяя результат интегрирова-
ния по р к 0o(?')i снова получаем разложение B.3.29). Это доказывает
допустимость разложения в формуле B.3.25) в ряд по степеням е. От-
сюда следует, что правило эквивалентности для интегралов типа B.3.25)
после разложения экспоненты в ряд по с сводятся к базисным правилам
эквивалентности B.3.9). Тем самым в принципе решается вопрос о пред-
экспоненциальных экстрачленах, затронутый ранее. Конкретные правила
эквивалентности для них устанавливаются в разд. 2.4.
В заключение приведем вывод формулы B.3.28) (постоянный множи-
тель B(Г1сй)~П/'2 в ней можно, разумеется, опустить). Дифференцируя оче-
видное равенство
по gij с использованием формулы
dg^ggijdgij B.3.31a)
(последняявытекает из соотношения lndet^ =Тг1пЛ), имеем
<ГДД*Д' (х
eXP U
J
=9 (l(h)9 ¦
Повторные дифференцирования по gij с учетом равенства
dg" = -j'V'dwi. -
следующего из тождества d(g'kgicj) — О, дают формулу
00
-B.3.316)
61

Заменяя в B.3.33) д~1/2 на интеграл B.3.30), приходим к B.3.28); в ква-
дратных скобках стоит сумма всевозможных различных произведений к
тензоров д'', всего Bк)\/(к\2к) — Bк — 1)!! членов. Иногда бывает полезна
обобщенная формула:
7
7
J
=0,
B.3.34)
в которой сумма берется по Bк — 1)!!/B/ — 1)!!B? — 21— 1)!! перестановкам
индексов между совокупностями Ц\,.. . ,j2i) и (j'31+ь • • -,J2k), отвечающим
перестановкам в тождестве д*1 "J" = ]Г] ff^1 ;j'j;j'+1 ¦"•>»• (/ — произвольное
число, 1 < I < к). Итак, (ДJ"* ~ ет; отсюда, в частности, следует, что
членом V^A* в B.3.5) можно пренебречь: будучи умножен на е, он дает
малость f3//2.
Замечание.. Если максимальная степень импульса в гамильтониане
равна л (Н ~ р"/п), то главный вклад вносят траектории с А ~ с1/".
Это демонстрируется разными способами. Простейший связан с перехо-
домк лагранжиану: dll/dp = q, т.е. р" = }и? = pq — H = A — l/n)^"'";
следовательно, действие «I ~ (ДпДI/(п~1), т.е. (L = 0A) при Д"Д ~ 1.
Утверждение остается в силе и для п = 1.
2.4. Правила эквивалентности
2.4.1. Гамильтоновы правила эквивалентности. Опираясь на ба-
зисные правила эквивалентности B.3.9),B.3.10), ^несложно получить пра-
вила эквивалентности для систем, описываемых лагранжианами вида
B.3.1) [66, 67]. Наиболее общий вид ядра инфинитезимального операто-
ра эволюции в этом случае (с точностью до несущественного фактора)
таков:
где
1
а(Р, ?, А) = -pi
b Д)
,_ д). ;-
B.4.1)
B.4.2)
()
Представление B.4.1) охватывает все практически интересные случаи.
Для функций а,с,о,/ можно ограничиться следующими членами их раз-
ложений в ряды по степеням Д: >.:,м , -
а(д,Д) --
с'(9,-Д)' =
с'к Д> Д*
, B.4.3)
' + О(Д4),г - ¦ •; B.4.4)
(?гД) = ^. + а?Д^айД*Л'+#Й3),:Н:^ ,B-4.5)
62
Конкретный вид функций B.4.3)-B.4.6) диктуется оценками, полученными
в разд. 2.3, именно: рД ~ ih, A ~ f1'2, и возможностью пренебречь члена-
ми, малыми по сравнению с е; разложение с' начинается с квадратичных
по Д членов, поскольку линейный член выписан в B.4.1) явно.
Для вывода эффективного гамильтониана без экстрачленов восполь-
зуемся обобщенным правилом эквивалентности B.3.10). Имеем:
'J[l + a(q,ihdr)} \l-ja(p,q,ihdp)\ X
B.4.7)
где буква а, как и в B.3.10), указывает на то, что все операторы dv рас-
положены левее всех р; оператор { }° применяется к единице. Выполнив
оговоренные операции, можно представить ядро B.4.7) в стандартном ви-
де без экстрачленов:
= J
B.4.8)
где
= jP.-p,-Jy (9) + Лф( j
x[l - J «(P. t.
\ = V(q) + -{[l+cc(qt
B.4.9)
¦Вычисление B.4.9) с функциями a, c, a, /, задаваемыми формулами B.4.2)-
B.4.6), не представляет труда. В итоге находим:
-ci,^), "; " B.4.10)
i^ + cj,^)," - 4 - акк% - ^'ayj . B.4.11)
Формулы B.4.10),B.4.11) получены для опорной точки q (т.е. все функ-
ции в них взяты в точке q). Но правила эквивалентности B.3.9),B.3.10)
не зависят от выбора опорной точки (см. разд. 2.3.2, замечание), поэто-
му найденные формулы справедливы для любого аргумента qa — q — аД,
О ? а ? 1) функций а, с, a,f [68], т.е. последние могут быть взяты в лю-
бой точке отрезка [д^1]. Отметим также, что правило B.3.10) годится не
только для билинейных по импульсам гамильтонианов.
2.4.2. Лагранжевы правила эквивалентности. Найденные гамиль-
тоновы правила эквивалентности позволяют получить аналогичные ла-
гранжевы правила. При этом вывод, лагранжевых правил (см; [62]) су-
63

щественно упрощается (см. [65]). Пусть матричный элемент инфинитези-
мального оператора развития имеет вид (и здесь пренебрегаем несуще-
ственным для наших целей фактором)
expl
B.4.]2)
где
1 П
S(q, ?') = - [ ^у(»)Д'Д' + Вик(д)Л{Л>Ак + СуЫ(в)Д*Д'Д1Д' +
S-tV(q). B.4.13)
Выписано наиболее общее выражение для S(q,q'), дающее вклад в B.4.12)
лорядка с, очевидно, что тензоры В, С, D в B.4.13) симметричны. В B.4.12)
exp(iS/ft) можно представить как интеграл но импульсу:
ехр [-
у
dp
_ ехр | ' [5н(?) р> д)
в котором
Sn(q,p, A) = pic"(q, А) - е i-zg'1'(q)piPj + 7(9, Д)р* + '
причем
с1' = Д' + В)кА'Ак +
B.4.J4)
7 = -Л'+В)к
VH = VL + ~AiAi. !
Чтобы воспользоваться правилами эквивалентности B.4.9)—B.4.11), в
B.4.14) разложим ехр(ШД2/й) в ряд по степеням D, сохранив лишь ли-
нейный по D член; это приведет к замене а,, -* а,, + (i/h)Dij в B.4.12).
Применяя правила эквивалентности B.4.10), B.4.11) с учетом того обсто-
ятельства^что тензоры а\' и а1^ равны нулю, приходим к представлению
для ядра U44-(() B.4.12) вида B.4.8) (также с точностью до несущественно-
го множителя). Интегрируя в нем по импульсам, находим искомое экви-
валентное выражение ядра B.4.12):
где
ih(Bik
B.4.16)
i. ¦•' \.."..[ " "¦'¦'¦' --'-•..-. B.4.17)
¦°{у*> = &Ч1с + В)Н + Bkij. Формулы B.4.15)—B.4.17) и составляют со-
держание лагранжевых правил эквивалентности. Отметим, что для их
64
получения оказалось достаточным воспользоваться частным случаем га-
мильтоновых правил эквивалентности B.4.10),B.4.11), когда а'к} = а'к1 — 0.
Вывод этих правил в рамках лагранжева формализма [62] требует гораздо"
больших усилий.
В заключение сделаем несколько замечании:
1) базисные правила эквивалентности B.3.9), B.3.10) и B.3.28), B.3.34)
выполняются точно, тогда как ядра B.4.1) и B.4.8) (или B.4.12) и B.4.15))
эквивалентны с точностью до членов О(е2):
0;
J dq' jtfM.(<) - ?/;*<
2) правила эквивалентности B.4.9)—B.4.11) позволяют перебрасывать
экстрачлены из a''{q,A) в с'(?,Д) или а(д,Д) и обратно, т.е. например,
освобождаться от экстрачленов в "гамильтониане" B.4.2) за счет пере-
определения с',а в B,4.1); соответствующие явные формулы перехода
можно найти в [65];
3) то, что o,-,ofij в B.4.16), B.4.17) не свертываются с остальными тен-
зорами, свидетельствует о возможности избавляться от экстрачленов в
предэксионенциальном множителе и в показателе экспоненты независимо,
причем от первых путем замены .4,- —• А,- — ifia,-, V —> V + Ь2(рча'/2 - а*,);
4) в предэкспоненциальном множителе необходимо удерживать члены
Д, Д2, cpn&m, pnAk, Q<m<n, \<k<n + 2, л = 0,1,...; B.4.18)
5) то, что операторная природа канонических переменных проявляет-
ся и в континуальных интегралах, понимал еще Р. Фейнман (см. [31])-
Исчерпывающий анализ проблемы в лагранжевом формализме был дан
в работе [38] (см. также [69]). В гамильтоновом формализме вопрос об-
суждался в работах [42, 70-73]. Правила эквивалентности в лагранжевом
формализме были выписаны в [38] (простейший случай) и [73, 74]. В наи-
более полном виде они были найдены в [62]. В гамильтоновом формализме
правила эквивалентности для одномерного пространства сформулирова-
ны в публикациях [63, 75], а для гамильтонианов вида B.3.2),B.3.3) в про-
странстве произвольной размерности — в [64]. Общий метод изучения
гамильтоновых правил эквивалентности для гамильтонианов произволь-
ного вида разработан в [65-67].
2.5. Правила перемены опорной точки
2.5.1. Неоднозначность формальной записи B.2.7). Одним из
достоинств метода континуального интегрирования является его непо-
средственная связь с классической механикой — в показателе экспоненты
B.2.7) фигурирует классический гамильтониан. Как мы убедились, одна-
ко, это так лишь для простейших функций вида B.2.2). Уже для динамиче-
ских систем, задаваемых функциями B.3.1),B.3.2), при квантовании-встает
проблема упорядочения операторов в гамильтониане, которая проявляет-
ся в континуальных интегралах, во-первых, как проблема экстрачленов и,
во-вторых, как связанная с ней проблема выбора опорной точки (т.е. про-
блема выбора точки внутри интервалов [qi, g,_i], в которых берутся функ-
9'3(я)> Г(ч) в допредельных выражениях типа B.2.6)), см. разд. 2.3.2.
65

На операторном языке перемена опорной точки означает изменение по-
рядка следования операторов в гамильтониане, т.е. континуальные инте-
гралы с одинаковыми классическими гамильтонианами B.3.2), отличаю-
щиеся опорными точками, различны. Отсюда вытекает, что, во-первых,
простейшай запись B.2.7) не годится для гамильтонианов вида B.3.2), во-
вторых, при формальной записи символ континуального интеграла необ-
ходимо снабдить параметром а, 0 < а < 1, указывающим опорную точку
qa, B которой берутся функции в допредельных выражениях; для задач с
проблемой упорядочения в гамильтониане символ континуального инте-
грала лишен смысла без указания опорной точки. В дальнейшем при необ-
ходимости опорную точку будем фиксировать индексом у гамильтониана
Ha(q,p), лагранжиана La(q,q) или действия Sa. Проблема упорядочения
операторов в гамильтониане решается в разд. 2.8.
2.5.2. Прапила перемены опорной точки. Сформулирем правила
перехода от одной опорной точки к другой для гамильтоновых и лагран-
жевых континуальных интегралов. Начнем с гамильтонова формализма,
в котором согласно B.3.14) для перехода qa —» qg достаточно задать связь
между а- и /^-скобками B.3.12) (т.е. между скобками с различными индек-
сами). Цели можно достигнуть двумя путями. Воспользовавшись равен-
ством
A = q - q\
B.5.1)
функцию j(qp — $&.) в формуле B.3.13) можно разложить в ряд по степеням
Д, прибегнув затем к правилам эквивалентности B.3.9); получающийся
ряд очевидно содержит конечное число членов, поскольку согласно B.3.9)
степень Д не может превосходить степень р. Все функции справа будут
зависеть от qp, поэтому, читая формулу B.3.13) справа налево, получа-
ем связь между а- и /^-скобками. Второй путь — чисто алгебраический.
Запишем очевидное равенство: <..г
в виде
= {р,
<?./}» = {?+«[?, ),/Ь,
B.5.2)
B.5.3)
т.е. {[р, ],/}д = {1,[р, f]}p', B.5.2), по существу, определяет правую часть
B.5.3). Отсюда немедленно получаем искомую связь между скобками с
различными индексами:
{р"\/(«)}. = {(?+*!?. ]Г./E)Ь-
B.5.4)
При непосредственной проверке B.5.4) может оказаться полезным
равенство
{pm,P./lb = |p.{Pnl,/)a], т = 0,1,.... B.5.5)
являющееся тривиальным следствием линейности а-скобки по / и комму-
тативности импульсов между собой.
¦ Применяя обобщенную формулу B.5.4) (р1™ —» pit ¦ ¦.•?;„,) к гамильтони-
ану B.3.14), получаем . , i . ,., г
- Lpf'i - ihSf1,-,
¦ B.5.6)
66
т.е. согласно B.5.6) между функциями Н в показателе экспоненты B.2.5)
имеет место связь
Ha(q,p) = Hp(q,p) - i
И1,.
B.5.7)
Для функций в B.5.7), аргумент которых не указан, выбор опорной точки
несуществен — его изменение не порождает значимых членов. Итак, в
ГКИ имеет место следующее правило перехода от одной опорной точки
к другой [62]: :
B.5.8)
где Н'р описыва.ется формулой B.5.7). Вместе с тем B.5.8) являет образец
корректной записи ГКИ для нетривиальных гамильтонианов - индексы
а,@ указывают точки интервалов, в которых берутся функции координат.
Правила перехода от одной опорной точки к другой в лагранжевых
континуальных интегралах можно получить двумя способами. В рамках
лагранжева формализма цель достигается заменой аргументов функций
B.5.1) с последующим разложением их в ряд по степеням Д, удержанием
значимых экстрачленов и применением лагранжевых правил эквивалент-
ности B.4.16), B.4.17); при этом следует принять во внимание и предэкс-
поненциальный член, возникающий при переходе qa —¦ qp в мере s/gdq.
Учет перечисленных обстоятельств дает следующие правила перемены
опорной точки в ЛКИ: ¦
, B.5.9)
B.5.10)
где для лагранжианов вида B.3.1)
¦ L'g = -ihSgatq1 - ih
¦ 2 с2
(
Индекс дифференциала Daq фиксирует аргумент плотности у/д
(см. B.3.15)).
Более короткий путь связан с интегрированием по импульсам в B.5.8).
При этом автоматически меняется опорная точка в мере y/gdq. Необхо-
димо лишь помнить, что слагаемое Н'р линейно по импульсам, т.е. что в
правой части B.5.8) меняется f: S1 т Г — Г ~ i^*ff'j> ввиду чего в силу
равенства Vl = Ун - /2/2 к Vl кроме выписанных в B.5.$) членов следует
добавить разность —(/2 — /2)/2: ¦ - .
67

В итоге получаем V^ вида B.3.1), в котором
= -U = -U + ih6gikgkj, tf = a-/J,
B.5.11)
B.5.12)
Чтобы убедиться в идентичности ответов, даваемых формулами B.5.10)
и B.5.11), B.5.12), необходимо в последних перейти к ковариантным тен-
зорам с учетом равенств /* = —g'i.Aj, Ajj — fig'j — /^ и вытекающих из
B.3.316) тождеств:
k; 9% = 9ki,i9kj,i
9uj9kj,i -
Напомним, что индексы одинаковой вариантности свертываются с помо-
щью метрического тензора. Формулы B.5.9),B.5.10) решают задачу о пе-
ремене опорной точки в лагранжевом континуальном интеграле для ла-
гранжианов вида B.3.1).
В заключение подчеркнем, что в данном и предыдущих разделах речь
шла не о пыборе гамильтониана, а о выборе того или иного порядка сле-
дования операторов в нем в связи с техническими проблемами аппарата
континуальных интегралов. Вопрос о выборе оператора Гамильтона рас-
смотрен в разд. 2.8.
В 70-х годах дискутировался вопрос об однозначности определения
континуальных интегралов (см. [71]), причем неоднозначность стандарт-
ной записи интерпретировалась как дефектность jix определения с помо-
щью процедуры дискретизации B.2.6), B.2.10) [76; с. 60]. Как мы видели,
неоднозначности, связанные с интегралами по траекториям, носят двоя-
кий характер. Во-первых, они отражают зависимость результата вычи-
слений от расположения операторов в гамильтониане. -'Но это отнюдь
не недостаток. Недостатком следовало бы признать как раз нечувстви-
тельность пределов выражений типа B.2.1), B.2.6) к порядку следования
операторов. Во-вторых, записи типа B.2.7) не определяют интеграла од-
нозначно, что также не есть дефект объекта (континуального интеграла,
определяемого предельным переходом) — это недостаток записи. Как уже
разъяснялось, формулы типа B.2.7) следует снабдить значками, указы-
вающими опорную точку, в которой берутся функции в допредельных
формулах (см. B.5.8), B.5.9)). Правила перемены опорной точки были
сформулированы в [62].
2.6. Канонические преобразования
и гамильтоновы континуальные интегралы
2.6.1. Предварительные "замечания. При работе с гамильтоновыми
континуальными интегралами важно знать их поведение при канониче-
ских преобразованиях, в частности уметь переходить от одних координат
к другим. Этот достаточно трудный вопрос связан с двумя проблема-
ми: во-первых, с общей проблемой соответствия между каноническими
и унитарными преобразованиями (термины каноническое преобразование
и унитарной преобразование относятся соответственно к преобразованиям
в классической и квантовой теориях); во-вторых, он касается специфики
изменения гамильтоновых континуальных интегралов при канонических
преобразованиях (аналогичная проблема встает при замене переменных
в лагранжевых континуальных интегралах).
Важность первой проблемы очевидна. Поскольку аппарат континуаль- .
ных интегралов есть чисто квантовый аппарат, ясно, что нужно иметь об-
щую теорию поведения амплитуд вероятности при подобных преобразова-
ниях. Хорошо известно утверждение П.A.M. Дирака (см. [34]) о том, что
для систем, имеющих классический аналог, унитарные преобразования •
в квантовой механике аналогичны каноническим преобразованиям. Лля
бесконечно малых преобразований эта аналогия почти очевидна [34]. В
целом данная проблема еще далека от своего решения [77, 78]. О характе-
ре встречающихся здесь трудностей свидетельствует хотя бы такой факт:
уже при простейшем точечном преобразовании координат Q — q1 области
изменения новых и старых переменных оказываются разными, тогда как
унитарные преобразования не меняют спектров операторов (подробнее об
этом см. [77]).
Что касается второй проблемы, то трудности здесь связаны с необхо-
димостью учета экстрачленов. Как отмечалось, при описании простей-
ших систем в континуальных интегралах фигурирует лишь классическая
функция Гамильтона B.2.2); тем самым создается впечатление, что при
изучении вопроса о канонических преобразованиях можно обойтись лишь
классическими формулами. Суть дела, однако, в том, что в континуаль-
ных интегралах необходимо удерживать экстрачлены, исчезавшие в клас-
сическом пределе. При не зависящих от времени канонических преобразо-
ваниях разность между старым и новым инфинитезимальными действиями
дается формулой (см. разд. 1.5)
- PAQ =
Д, + ;
W + О(Д').
B.6.1)
где Fi(q,Q) — производящая функция. Если равенство B.6.1) разделить
на е, то, устремляя временной интервал е к нулю, в пределе получим из-
вестное соотношение pq — PQ'= dF\fdt, поскольку стремятся к нулю члены
типа (ДдMД « ?Д?." Этимичленами нельзя пренебрегать цр'и квантовом
описании, т.е. в континуальных интегралах: в формуле B.6.1) необходи-
мо удерживать значимые экстрачлены (в частности, члены 0(Д2)). Это
ключ к проблеме. -
Еще одна трудность связана с построением оператора унитарного пре-
образования по заданной производящей функции. Задача не имеет одно-
значного решения, поэтому далее речь будет идти о канонических пре-
образованиях, заданных генератором.--М последнее замечание. Полезно
различать замену переменных в континуальном интеграле и каноническое
преобразование. Замена переменных есть операция, не-затрагивающая
конечных переменных (например, q и"?' в B.2.6)), по которым интегриро-
вание не ведется; при совершении ее в допредельном выражении нужно
лишь следить, чтобы при переходе к пределу N —> со не потерялись зна-
чимые экстрачлены. Хотя новые и старые переменные под интегралом
могут быть связаны каноническим преобразованием, такал замена еще не
влечет поворота векторов в гильбертовомпространстве. Новые перемен-
ные могут быть даже не каноническими, т.е. меняется лишь способ вы-
числения ядра и„>. При унитарных »<е преобразованиях, отвечающих
каноническим преобразованиям, наряду с переменными интегрирования,
меняются й "внешние" координаты q, q1, равно как и волновые функции. .

Рассмотрим сначала проблему учета экстрачленов при замене пере-
менных. Сущестно дела проще всего вменить на примере лагранжевых
континуальных интегралов. К тому же этот вопрос (замена переменных в
ЛКИ) интересен и важен сам по себе.
2.6.2. Замена переменных в лдгравакевых континуальных инте-
гралах. Координаты, топологически эквивалентные декартовым.
При замене переменных в квантовой механике существенную роль игра-
ет топология координатных сеток. Координаты, трансформируемые друг
в друга непрерывным преобразопанием, будем называть топологи-чески
эквивалентными (или просто эквивалентными). Топологически эквива-
лентные координатные системы получаются, например, малым шевелени-
ем координатной сетки. Координаты, топологически эквивалентные де-
картовым, будем именовать тривиальными. Примером топологически не-
эквивалентных координат служат декартовы и полярные координаты на
плоскости (без разрыва окружность не перевести в прямую). Переход к
координатам с переменой топологии порождает специфические проблемы
и будет рассмотрен отдельно (см. разд. 2.7).
Лля лагранжианов класса B.3.1) стандартное инфинитезималыюе дей-
ствие имеет вид
S(q, Д) = Sij
B.6.2)
Оно зависит от разностей координат Д = q — q', которые при переходе к
новым переменным «/ = q'(Q) заменяются отрезком ряда (Aq = Q - Q'):
B.6.3)
Все выписанные члены необходимо учитывать (слагаемое ~ Д^ даст
вклад ~ Д4/е при подстановке B.6.3) в первый член B.6.2)).
,. Обозначим через d матрицу с элементами d?j — q'j(Q)- Определим да-
лее матрицы
где d ' — обратная матрица. В обозначениях B.6.4)
Л'" =
B.6.4)
B-6.5)
Подставляя выражение B.6.5) в B.6.2), находим, что оно по структуре
идентично выражению B.4.13), в котором gj,- —>¦ jjij, Л, —> A~i и тензоры
gij,A,;Bijk и т.п. выражены через тензоры <^,с^,...: . . . -
Теперь можно воспользоваться общими формулами B.4.16), B.4.17). По-
сле некоторых вычислений получаем следующий результат: инфините-
зима'льноё 'эффективное действие 54* выражается суммой в квадратных
70
скобках B.4.15), в которой j,j заменено на j,-,- B.6.6), а в качестве
Vя* взято
4 »Ф
B.6.7)
Суммирование по повторяющимся нижним (верхним) индексам произво-
дится с помощью тензора д'-'(ду), например с\.к — c'tgl1. С учетом B.6.7)
приходим к искомому правилу преобразования выражения B.3.27) при за-
мене переменных:
Ф. я
B.6.8)
В B.6.8) д' = g'J-(Q'), J = detq'j (якобиан преобразования); предполага-
ется, что S берется в точке д, т.е. а = 0. Для лагранжианов частного вида
L = q2f2 — V соответствующее эффективное действие было получено в [79],
для лагранжианов общего вида - в [62]. Остановимся коротко на точечных.
преобразованиях в гамильтоновых континуальных интегралах. Преобра-
зование q,p — Q, P, g'=«'@), Pj = diipj, dj' = g*-, линейно по импульсам.
Появление экстрачленов связано со слагаемым р,Д' в экспоненте, которое
превращается в Р;с:(<3,До), где с' задается формулой B.6.5). Здесь следу-
ет воспользоваться гамильтоновыми правилами эквивалентности B.4.4),
B.4.10), B.4.11) (а = 0, o«(Q, Лд) = ?{, /4Q, Д<?) = PlQ) = (rf)j/j).
2.6.3. Канонические и унитарные преобразования. Континуаль-
ные интегралы позволяют прояснить связь между каноническими и уни-
тарными преобразованиями. Рассмотрим отдельно инфинитезимальные и
конечные преобразования, связанные с переходом от старых переменных
q\pi к новым Q', Pi (i — 1,2,..., л). Лля упрощения записи индексы, как
правило, будем опускать. Классическая и квантовая теории рассматри-
ваются параллельно.
Инфинитезимальные преобразования. Как отмечалось в
гл. 1, каноническое преобразование можно задать одной из четырех про-
изводящих функций Fi(g,Q), F7(q,P), F3(p,Q), F^(p,P). Для наших целей
удобнее всего использовать функцию F2\ в этом случае переход от старых
переменных к новым осуществляется с помощью формул
q, P)/dq = p, dF,(q, P)/dP = Q.
B.6.9)
И нфинитезима льное каноническое прео б р азов ание задает-
ся функцией
F? = qP + G(q,P)(j, :- "¦ B.6.10)
где ш — некоторый параметр, и
вания. Согласно B.6.9) имеем
0; функция G- — генератор преобразо-
B.6.П)
71

Поскольку Р = р + О(й>), эти формулы, пренебрегая членами O(ui7), можно
переписать так:
B.6.12)
Ор
Старое и новое инфинитезимальные действия отличаются на полный диф-
ференциал:
А N - Я(«.РI - Л [PQ - ll(Q, P)] = pd« - PdQ = dF^q, Q), B.6.13)
где H(Q, P) = H(q(Q, P),p(Q, P)) (см. гл. 1), pdq = Pidq* и т.п. Зная функ-
цию Fi, можно найти F\, и наоборот:
) = Л(9, Я)-QP;
B.6.14)
здесь Р = P(g,Q) есть решение второго уравнения системы B.6.9). Лля
инфинитезимальных преобразований
F?(q,Q) = P(q-Q)+G{q,P)u. B.6.15)
Унитарное преобразование, соответствующее каноническому
преобразопанию B.6.11), задается генератором
. .- G = G(q,p), B.6.16)
который получается заменой q, p —> q, p, [f,p] — ifi, в функции G(q,p)
B.6.10). Предполагается, что замена производится в декартовых коор-
динатах и что так или иначе решена проблем* упорядочения операторов
в G. Конечное унитарное преобразование, заданное самосопряженным ге-
нератором, осуществляется оператором
UT = exp[-(i/h)Gr]
B.6.17)
согласно правилу , , .•„,...
... Лг =U+AUT, \тА) = п+\А},, .У.,, ; ', B.6.18)
где г — параметр преобразования, А — произвольный оператор,' \тА) —
собственный вектор оператора Ат с собственным значением А. Для инфи-
нитезимального преобразования "(г = ш —> 0) имеем:
B.6.19)
B.6.20)
Чтобы подчеркнуть аналогию с классическими формулами B.6.12) здесь
введены символы производных по операторам, определение которых оче-
видно. Формулы B.6.19),B.6.20) в явном виде задают бесконечно малое
унитарное преобразование величин q,p, отвечающее бесконечно малому-
каноническому преобразованию B.6.12). Ясно, что если не указан рецепт
построения оператора G по функциям G(q,p), формулы B.6.17),B.6.18) име-
ют чисто символическое значение. Метод континуального интегрирова-
ния в ряде случаев позволяет дать такой рецепт (см. разд. 2.8).
72
Конечные преобразования. В классической и квантовой тео-
риях они задаются соответственно производящими функциями F; и опе-
ратором UT. Покажем, как по функции G(q,P) построить производящие
функции Fi (q,Q), F?(q, P), и найдем представление для ядра оператора UT
D виде континуального интеграла.
Каноническое преобразование. Если г — параметр конечного
преобразования, то формулы B.6.12) можно переписать в виде уравнений
р(т) = -dG(q.p)/dq(r),
= dG(q,p)/dp{r),
B.6.21)
в которых производные df(r)/dT обозначены /(г). Пусть q{0), p@) =
q,p, q{r),p(r) — Q,P; тогда решения уравнений B.6.21) Q = Q(q,p, r),
Р = P{q,p,T) в явном виде дают выражения новых координат через ста-
рые. Найдем функции F] и F?. Согласно B.6.15)
. Q) = \-
B.6.22)
о
где I] и — Q — q, q — q(r), Q — q(r + w), P = p(r + w) и вместо Р подста-
влено решение второго уравнения (или системы уравнений) B.6.21). Из
B.6.22) ясно, что G(q,p) играет роль функции Гамильтона, -F" — роль
инфинитезимального действия, а г — роль временного параметра, т.е.
о
/(9,7) играет ту же роль, что и функция Лагранжа в аналитической ме-
ханике. Нетрудно убедиться, что решения уравнений
d
dr
B.6.23)
о
вместе с условием dl/a q = p дают то же самое каноническое преобра-
зование, что и решения уравнений B.6.21) — доказательство аналогично
доказательству эквивалентности лагранжевых и гамильтоновых уравне-
ний движения. Производящая функция конечного преобразования F\{q,Q)
есть экстремум (минимум) функционала —Jl(q,q)dTr с фиксированными
начальными и конечными значениями q@) — q, q(r) = Q:
Г
Jl(q,q)dr'.
B.6.24)
Функционал B.6.24) принимает экстремальные значения на решениях урав-
нений B.6.23). Ясно также, что вытекающие из определения B.6.13) урав-
нения
dF1(q,Q)/dq = p, dF1(q,Q)/dQ=-P B.6.25)
и уравнения B.6.21) или B.6.23) задают одно и то же каноническое пре-
образование. Действительно, согласно B.6.24), т.е. "если выполняются
о ' о
уравнения B.6.23), SF\ = —dI/dqSq\l и с учетом равенств Ы/д ?= р(т),
р@).= р, р(т) = Р получаем 6F\ = — PSq(r) + pSq(O); это и есть уравне-
ния B.6.25). Тем самым доказывается эквивалентность уравнений B.6.23)
и B.6.25), т.е. 'B.6.24) действительно определяет функцию Fi(q,Q), фи-
гурирующую в B.6.13). Функция Fi(q,P) связана с Fi(q,Q) посредством
73

B.6.14). Формулы B.6.22), B.6.24) показывают, как по заданному генерато-
ру построить производящую фушшию конечного канонического преобра-
зования.
Унитарное преобразование. Матричный элемент {Q\Ur\q) с
помощью стандартной процедуры (см. разд. 2.2) представляется гамиль-
тоновым континуальным интегралом
«(г)=<5
1@)=1
Выражение B.6.26) имеет смысл лишь в том случае, если указан порядок
следования операторов в генераторе G; при стандартном упорядочении
(операторы р стоят правее исех q) функция G{q,p) в B.6.26) определяется
равенством G(q,p){q\p) = {q\G\p}. Предположим, что функция G содержит
не более, чем вторые степени импульсов. Тогда, интегрируя в B.6.26) по
импульсам, получаем
Aq) = j Dq{r)txV hjl(lq)dr 1 . B.6.27)
Это и есть точная формула для ядра унитарного оператора Ur ¦ Переходя
к пределу h ~> 0, для билинейных по 4 функций /(?, q) получаем с уче-
том B.6.24) известное квазиклассическое приближение для данного ядра
[44,80): '
D1'2
exp\-R(q,Q)
B.6.28)
Асимптотику B.6.28), в принципе, можно получить непосредственно из
B.6.27) (см. [76, с. 113, а также 81]), проще, однако, воспользоваться урав-
нением Шредингера ihdU/дт — G(Q, ~i%d/8Q)U применительно к ядру
(<?1^т!?), записанному в-виде B.6.28). Для функций R и D получаются
уравнения, аналогичные уравнениям B.8.23) и B.8.25). Метод нахождения
предэкспоненциального множителя в B.6.28), принадлежащий Ван Флеку
(см. [80]), изложен в Приложении 8.3 (разд. 4).
Пример. Рассмотрим бесконечно малое точечное преобразование
Q(q) = q + 6(q)ui, где Ф — произвольная функция. Оно задается генера-
тором G(q, Р) - Р.-ф'(д), Т.е. согласно B.6.12)
'' 1 ¦ B.6.29)
Отвечающий B.6.29) квантовый оператор таков:
В силу линейности G{q, P) по импульсам проблема упорядочения в опера-
торе B.6.30) решается простой симметризацией, т.е. требованием эрми-
товости G (иной возможности нет). Для унитарного операторах^ имеем
Волновые функции преобразуются согласно формуле
B.6.31)
где J = det Q'j » 1 + фjW — якобиан преобразования. Если исходные
координаты декартовы, то / = y/g, j,j — новый метрический тензор. Из
B.6.31), в частности, следует, что операция замены переменных ф(ц) —»
il'(Q(q)) не унитарна (отсутствует множитель 71/2 = j1'4); она "унитарна"
в скаллрном произведении (ф\,ф2) = $divliq^iiq) — здесь при замене
переменных dq —» Jdq, т.е. эффективно tf>,(g) —> Jl^va{Q{q)) (i = 1,2).
Представление ядра унитарного оператора континуальным интегра-
лом (см. B.6.26), B.6.27)) было получено также авторами публикации [S3],
однако, в отличие от работы [82], без обсуждения проблемы экстрачленов.
2.6.4. Канонические преобразования гамильтоковых континуаль-
ных интегралов. Как известно из классической механики, гамильто-
нов формализм инвариантен относительно канонических преобразований.
Справедливо ли аналогичное утверждение но отношению к гамильтоно-
вым континуальным интегралам, т.е. можно ли в них при переходе к но-
вым каноническим переменным ограничиться формулами классической
механики? Ответ: вообще говоря, нельзя. Причина заключается в необ-
ходимости учета экстрачленов, опускаемых в классике. Рассмотрим этот
вопрос подробнее, ограничившись инфинитезимальными каноническими
преобразованиями [62, 82]. Обратимся к основной формуле:
Mq)
ехр {11рЪ -qll) -eH{q"' pl<)\}
B-632)
для простоты рассматривается система с одной степенью свободы (л = 1)
и со стандартным гамильтонианом B.2.2). Имеются два пути. Первый
("операторный") — с помощью 1/ш преобразовать гамильтониан Н H
в соответствии с B.6.18):
Hw
' ¦ *B.6.33)
а затем по известным правилам строить стандартный ГКИ. Второй —
в формуле B.6.32) перейти к новым каноническим переменным согласно
B.6.12). Первый путь оказывается наиболее простым, поскольку он позво-
ляет избежать утомительных выкладок, связанных с учетом экстрачленов.
Перейдем к деталям. Бесконечно малое каноническое преобразование
q",p" —> g',p' B.6.12) (роль Q, Р играют q",p", т.е. мы совершаем обрат-
ное преобразование) очевидно сводится к простой замене переменных в
B.6^32). Преобразуя аналогичным образом переменные q,p —* qrp и пре-
небрегая членами порядка и2, переписываем формулу B.6.32) в виде
B.6.34)

где
H^(q,p) = H(q + *dG/dp,p - udG/dq). B.G.35)
Чтобы продвинуться вперед, необходимо конкретизировать генератор G.
Ограничимся функциями вида
G = «p7/2 + U(q), B.6.36)
представляющими достаточно широкий класс канонических преобразова-
ний. Поскольку dG/dp = ар, dG/dq = U'(q) — d[f/dq, для гамильтониана,
отвечающего B.2.2), имеем ' '¦'¦
Нш(ч.р)
РУ(ЯР, У = U'(q) - aV'(j).
B.6.37)
тогда как в квантовом случае в B.6.35) переменные q, p следует заменить на
операторы q, p, вследствие чего сталкиваемся с необходимостью следить
за порядком следования операторов в гамильтониане B.6-33):
B.6.38)
Переходя, например, к антистандартиому упорядочению (р левее </), по-
лучаем
B.6.39)
ift.
Видно, что по сравнению с B.6.37) Н? содержит пропорциональный h
член, отличающий квантовую теорию. Так как ГКИ являют собой аппа-
рат квантового описания динамических систем, в нем необходимо учиты-
вать члены, опускаемые в классике; в данном случае это член У. Сказан-
ное и составляет характерную особенность канонических преобразований
гамильтоновых континуальных интегралов. «.-
Хотя в принципе проблема ясна, желательно иметь прямую проверку
эквивалентности обоих путей, поскольку исходные выражения их доволь-
но сильно отличаются. Соответствующие выкладки, однако, достаточно
громоздки, поетому мы отсылаем читателя к оригинальной литературе
(Приложение в [82]). ,.....•'.
Полезно выяснить и вопрос об эквивалентности выражения B.6.34) вы-
ражению B.6.32), унитарно преобразованному с генератором G:
i, ¦ '¦ ¦-'"-¦ ' ФЛч) = (ilUtlv') = (?|t'fuiU. U+\v), B.6.40)
где Ut = U*XJ(UW = exp(—iHwe/h). Дважды подставлял в B.6.40) раз-
ложение единицы по полной системе собственных функций оператора q и
пользуясь формулами для ядер операторов Uw, Ut, Uj, аналогичными
B.2.5), имеем
dPdQdP'dQ'dp'dg11
2xh 2irft 2jrft
B.6.41)
И здесь мы обнаруживаем, что результат унитарного преобразования
B.6.41) по внешнему виду сильно отличается от аналогичного резуль-
тата B.6.34), полученного каноническим преобразованием переменных
в B.6.32).
76
Доказательство идентичности формул B.6.34) и B.6.41) также оказыва-
ется довольно длинным, хотя и достаточно поучительным. Во-первых, в
процессе вычислений будет проиллюстрирована формула B.6.1) и станет
ясно, с чем связана, необходимость учета в ней членов О(Д2). Во-вторых,
мы познакомимся со случаем, когда необходимо учитывать экстрачлены
еще более высокого порядка (А4) по сраинению с членами B.4.18). Спе-
цифика примера связана с наличием jusyx малых параметров е,ш и с не-
обходимостью удерживать члены порядка ш. ..¦¦" . .
Проведем соответствующие выкладки. Интегрирование в B.6.41) по Q
дает 6(Р — Р'), а последующее интегрирование по Р дает единицу. Опус-
кая в получающемсАВыражении штрихи у Q',P', имеем:
ФЛя)
J
dPdQ dp'dq'
B.6.42)
Следующий шаг — интегрирование в B.6.42) по Р. Обозначим q — Q =
Л^. В экспоненте под интегралом коэффициент при Р" есть с + аи = П.
Этот факт, а также то, что необходимо удерживать члены порядка ел, не
позволяете чистом виде применять правила эквивалентности из разд. 2.4,
хотя общий метод годится и здесь. Интегрируя по Р, получаем
dQdp'dq'
ехр
2П
-p'Au-U(q)u-
(q'). B.6.43)
- V(Q)t + ?Г(
Главные члены интеграла B.6.43) при (,и ->0 вычисляются с помощью
: стандартной уже процедуры — разложения подынтегрального выражения
в ряд по степеням Ди и интеграции по Q, т.е. опять используется формула
B.3.28), в которой n = I, s.j -»I, ghj" -> BJb —l)!f и t -* Q. В разложени-
ях У и V необходимо удерживать соответственно линейные и квадратич-
ные члены , т.е. Y(Q) « У(9)-У'(«)Д«, V(Q) ss V{q)-V'(q)Au+V"(q)b?J2,
а в У'(<3) аргумент можно сразу заменить на q, так как коэффициент
при нем есть еш. Бросается в глаза отличие от правил эквивалентности
из разд. 2.4 — учитываются члены еД?, эквивалентные согласно B.3^28):
eft « аеш. По той же причине в разложении ехр(р'Дц,AЙ)) приходится удер-
живать члены вплоть до Д* ~ ft2 и 2a<ru; члены ewAw/u также подлежат
учету. Выполняя указанные действия, находим
- *') ~«(у + Пч) -
Полученное выражение теперь уже несложно привести к виду, сопоста-
вимому с формулой B.6.34). В экспоненте B.6.44) коэффициент при р'2/2
есть с, поэтому можно пользоваться результатами разд. 2.4. Совершим
следующие операции: .(. ¦ ¦¦; •/¦. :• '••¦•¦¦ ¦:., . .-. '.:
" 1) Заменим q -* q1 в V(q) и U"(q); ...
77

2) подставим p'U'(q) яв p'U'(q') + p'U"(q')&.;
3) вместо q подставим q + udG(q, р)/др;
4) выполним сдвиг неременной интегрирования q' —» q' + wdG(q' ,р')/др'.
Законность всех операций очевидна (в случае 1 старый и новый члены
отличаются на сЛ, а в случае 4 dG/dp' не зависит от q' для G B.6.36)).
Пользуясь формулами B.4.6), B.4.10), B.4.11), в которых все тензоры
а,й,е равны нулю, a f\ -+ — U"{q'), заменяем в B.6.44) после опера-
ции 2 U"(q')p'/S. —> ih(f"(q'). Наконец, учитывая, что H(q' + udG/dj/,
р' -udG/dq1) » H(q' + udG/dp',p') -p'U'(q')w = Hw{q',p'), переписываем
B.6.44) в виде
+ Ai ~ «0 -
" I ISrexp {1
'+ 0w) ¦ B.6.45)
Эта формула все еще отличается от B.6.34). Представим разность:
G(q'.p')-G(q,p')
dq'
dq"
B.6.46)
Как несложно убедиться, снова пользуясь равенством B.3.28), в B.6.46)
можно совершить замену (q' — qO — ieh. В итоге члены порядка си сокра-
тятся и окончательная формула будет идентична B.6.34).
В заключение остановимся несколько подробнее на формуле B.6.1).
Слагаемые вне квадратных скобок в экспоненте B.6.34) представляют со-
бой разность S = p"(q — q") - p'(q - q') (см. текст~леред B.6.34)). В класси-
ческой механике это есть полный дифференциал dF\, если Д< = е —> 0 (см.
B.6.13)). Как отмечалось, при работе с гамильтоновыми континуальны-
ми интегралами подобная аппроксимация недостаточна. Учитыва.ч, что
р" — р' — ^dG(q', p')Oq' и q — q" = q — q' + O(u), имеем, пренебрегая членами
порядка и7:
Используя теперь формулу B.6.46) и вспоминая определение B.6.15) функ-
ции Fi(q',q") = p'(q' — q") ¦+¦ G{q',p')ijj (здесь вместо р' следует подставить
решение уравнения q" = q' + uidG(q',р')др'), получаем
1 ' 2 <9g'2
В классике отношение S/e при е —> 0 стремится к —dF^/dt, так как послед-
ний член выражения B.6.39) в пределе даёт нуль, (q — q'J/e —» 0. В гамиль-
тоновых континуальных интегралах последних; членом, как мы видели,
пренебрегать нельзя. Ему отвечает "неклассический" член ihU"(q')eui/2 в
формуле B.6.45), появившийся ввиду некоммутативности операторов q и
р при переходе от B.6:38) к B.6.39). Таким образом, здесь, как и ранее,
в экстрачленах'находит'отражение операторная природа канонических
переменных.- "-' f'* ¦. :ь .. - , -. , ;
Итак, гамильтонов континуальный интеграл меняет свой вид при ка-
нонических преобразованиях, ибо, как мы выяснили, нельзя ограничиться
78
заменой исходной классической функции Гамильтона на преобразован-
ную ввиду возможного появления в Я° B.6.39) неклассических членов
(—ihw/2)[U"(q)—aV"(q)}. В этом смысле гамильтонов континуальный инте-
грал не преобразуется "ковариантно" при канонических преобразованиях.
Он не ковариантен, строго говоря, даже при линейных канонических пре-
образованиях, когда функция U(q) в B.6.36) квадратична по q, поскольку
и в этом случае пропорциональный Ь член У в B.6.39) отличен от нуля
(У = const / 0).
Нами были рассмотрены лишь генераторы вида B.6-36). К ним можно
добавить линейные по р члены — выкладки по-прежнему будут осуще-
ствимы. Если же в функции G присутствуют более высокие степени р, то
вычисления повторить не удастся, так как интегралы по импульсам не бе-
рутся. Впрочем, это не лишает возникающие формулы смысла, поскольку
аналогичные выражения получаются и при конечных канонических пре-
образованиях с генераторами из класса B.6.36).
Проблема канонических преобразований в континуальных интегралах
рассматривалась также в [84].
2.7. Задачи с нетривиальными
граничными условиями
2.7.1. Частица в "ящике". До сих пор рассматривались задачи с
частицей в безграничном пространстве, в которых естественное требова-
ние убывания волновой функции на бесконечности автоматически выте-
кало из общих формул B.2.1) или B.3.27). Нередко встречаются задачи,
в которых граница находится на конечном расстоянии. Примером может
служить задача о частице в "ящике" [35, 36]:
0<«<?. ^@,0 =
B-7.1)
Похожие проблемы возникают при преобразовании координат (переход к
угловым переменным [62, 85]), при изучении динамики на группе [86-88] и
т.п. В этих случаях прямолинейное применение стандартной схемы [31,
32] не ведет к цели. Причина неудачи очевидна - решение должно удо-
влетворять надлежащим граничным условиям, тогда как рассмотренный
формализм гарантирует лишь убывание решения на бесконечности. По-
скольку .оператор эволюции должен обеспечивать выполнение граничных
условий, приведенные ранее формулы требуют модификации.
Чтобы пояснить возникающие при этом трудности, рассмотрим при-
мер B,7.1). Шаблонная запись ядра оператора эволюции
(е = t/N, gjv = q,
волновая функция
go = ?') не годится, поскольку уже при t — ,t,
79

Рис. 2.1. Мировые линии для частицы в "ящике".
хотя и удовлетворяет уравнению Шредингера при 0 < q < L, не удовле-
творяет граничным условиям Ф,@) = ^t(L) — 0, даже если V'o@) = 4'o(L) =
0. Следовательно, B.7.2) не решает задачу. К тому же интеграл B.7.2) не
вычисляется явно, несмотря на простоту подынтегрального выражения
(гауссова экспонента).
Правильный путь был указан уже в [35]. Функция B.7.2) удовле-
творяет уравнению Шредингера B.7.1), поэтому нужно взять несколько
подобных решений и так их скомбинировать, чтобы выполнялись усло-
вия на границе. Эта задача напоминает алс-ктростагкческую задачу
о точечном заряде между двумя параллельными проводящими пласти-
нами. Чтобы удовлетворить граничным условиям в точках 0,L, необ-
ходимо из экспоненты под интегралом в B.7.3) вычесть соответственно
exp[i(q 4- q')-/Beh)], exp[i(g — 2L + q'O/(Ich)}. Они отвечают движению из
точек, получаемых "зеркальным*" отражением точки q' относительно то-
чек q = 0, q — L, т.е.- из точек -q',2L — q' (ём. рис. 2,i). Вклады новых
траекторий (мировых линий) A^C\B и А'СВ в точности равны вкладам
при движении по траекториям с отражениями ACiB и АСВ соответствен-
но. При этом, однако, первая функция нарушит граничное условие в точке
q — L, а вторая — в точке q — 0. Теперь уже нужно добавить экспоненты,
описывающие движение из точек, симметричных (относительно } = L,Q)
точкам —q',2L — q1 и т.д. В результате, "используя метод изображений"
(Паули [35, р.171]), получаем, что под интегралом в B.7.3) вместо U( долж-
на стоять сумма ' '¦'." ' ..:.¦'
K'(q,q';e)= ]Г [Uc(q-r4> + Un)~U<(q + q' + 2Ln)}.., B.7.4)
Несложно показать, что Л'' есть ядро оператора эволюции задачи B.7.1)
), О 0, B.7.5)
при t = с (здесь tl>n(q) - B/LI/2 sm(imq/L), En = irVn7BL2)). Проверка
осуществляется с помощью тождества [85] (см. Приложение 8.3.2)
П = g 7
n=-oo v.
- q"
B.7.6)
80
или использованием свойств эллиптических функций [35]. Решение най-
дено, однако переход к континуальному интегралу связан с неприятной
необходимостью интегрировать гауссовы экспоненты (ядра К') в конеч-
ных пределах. Формулу B.7.3) с ядром B.7.4) вместо Ut(q — q') можно
переписать в виде
ILn
B.7.7)
Определим на вещественной оси функцию Фо, обладающую свойствами
Ы-Ч) = -»оЫ, *о(<} + 2Ln) = Фо(9), Фо@) - «(L) = 0, B.7.8)
и совпадающую с г!:0 на интервале [0, L], т.е. Фо(?) = il>o(q), Ч € Pi L]. С ее
помощью B.7.7) перепишется так:
DO
J
dq'U,{q - ?')
B-7.9)
Легко проверить, что фушщия фе B.7,9) удонлетворя.ет условиям B.7.8)
и подчиняется уравнению Шредингера. Следовательно, теперь в конти-
нуальном интеграле можно интегрировать по всей вещественной оси, но
получающееся ядро лрк:«енять к функции Фо> которая определена во всем
пространстве и конструируется по функции фо (в данном случае как не-
четная, периодически! с периодом 1L). Задача решена.
Итак, имеется две возможности: 1) можно использовать ядро операто-
ра эволюции А'' B.7.4) и интегрировать в конечных пределах; 2) можно
использовать ядро оператора эволюции свободной частицы Vc(q — <?') и
интегрировать в бесконечных пределах. В последнем случае Ut(q — q')
следует применять к функции Фо, построенной по начальному значению
^о и определенной согласно B.7.8) во всем пространстве.
Полученные формулы запишем в виде [89], удобном для решения цело-
го класса задач (периодические граничные условия, наличие дискретной
калибровочной симметрии и т.д.). Введем оператор Q с ядром
B.7.10)
тогда
и согласно B.7.7), B.7.9) " ;
K(q,q';t)= j dq"U,{q-f)Q{q",q'). .
12.7.11)
B.7.12)
81

Далее, подставляя в B.7.12) вместо К сумму B.7.5) и устремляя i к нулю,
находим следующее представление для ядра оператора Q:
поскольку согласно B.2.3) или B.2.5)
(9|«0 - % - «')•
B.7.13)
B.7.11)
Из формул B.7.10) B.7.14) видно, что, с одной стороны, оператор Q по-
зволяет по фд постороить Фо, т.е. продолжить ^'о на всю ось, определяя
ее как нечетную, 2?-периодическую функцию, а с другой — обеспечивает
выполнение граничных условий для ядра Л' B.7.12). Будем называть Q
продолжающим оператором.
Теперь уже нетрудно установить общую структуру решения для не-
которого класса задач данного тина [89]. Пусть // = --А"Д/2 + V —
гамильтониан, описывающий движение частицы в n-мерном евклидовом
пространстве, и пусть потенциал V(q) — аналитическая функция по ка-
ждой перс-мучной q' в окрестности вещественной оси; обозначим через Г
границу области движения П. Считаем границу достаточно гладкой, а
объем области п (для определенности) ограниченным. Пусть \J(q,q';t)
дается формулой B.2.10), в которой по q интегрируется в бесконечных
пределах. Тогда соответственно отмеченным возможностям нужно уметь
строить или ядро оператора эволюции K(q,q';t), или функцию Фо- Реше-
ния даются формулами
K{q,q';t) =
*o(«) =
U(q,q"'¦
0,
B.7.15)
B.7.16)
где
(*)
B.7.17)
i/jfjt) — полный ортонормированный набор собственных функций оператора
Я, Нфо;-) = ?(ь)^(*), удовлетворяющих граничным условиям
гО; B.7.18)
посредством (it) обозначен полный набор квантовых чисел, характеризу-
ющий векторы '/'(jt)- В силу аналитичности потенциала функции </>(jt)(?)
можно аналитически продолжить за пределы области П, определяя тем са-
мым Q(q, q') и 4'o(g) при всех значениях q. Очевидно, что для q, q' ? П ядро
Q(q, q') есть просто 6-функция, если же q€U, то Q — некоторое естествен-
ное для данной задачи продолжение i-функции за пределы Q. Формулы
B.7.15)—B.7.17) устанавливают общую структуру представления ядра А'
континуальным интегралом. Конкретный вид оператора Q можно найти
82
или из формулы B.7.17) (если известны решения задачи), или из других
соображений (например, свойств симметрии).
Несложно показать справедливость высказанных утверждений. Поль-
зуясь формулой (см. B.2.3))
00
J U(g, q'; t)V0(q'W « (l - j
— 00
имеем для B.7.15) с учетом B.7.17)
AW; 0 « (l - jfi) Q(q,q') » ?ехР
- 0,
B.7.19)
?'), B.7.20)
откуда вытекает, что K(q,q';t) действительно есть ядро оператора эво-
люции задачи: оно очевидным образом удовлетворяет уравнению Шре-
дингира, граничным условиям (в силу B.7.18)) и стремится к 6-функнии
при t —» 0. Необходимость интегрировать в B.7.15) именно в бесконечных
пределах потребовалась при переходе от этой формулы к первому равен-
ству B.7.20). При конкретных применениях данной схемы нужно следить
за сходимостью выписываемых интегралов, точнее, за возможностью при-
дать им смысл. Впрочем, интегралам типа B.7.9) с ядром B.2.11) легко
придать смысл даже при довольно быстро (например, как гауссова экспо-
нента) растущих на бесконечности функциях Фо (функция li'o нормируется
в физической области). В работе [89] найденные формулы были примене-
ны к решению задачи о частице в круге. В данном случае все вычисления
выполняются явно.
В квантовой механике встречаются задачи, в которых координата ме-
няется в конечных пределах, a sra волновую функцию вместо условия обра-
щения в нуль на. границе накладывается условие периодичности. В этом
случае от ядра К требуется лишь периодичность. Если функция U(q, q'\ t)
удовлетворяет уравнению Шредингера во всем пространстве и обладает
свойством
U(q + nL, q'; t) = U(q, q' - nL; t), B.7.21)
.. .'¦¦(
причем Ut(i,q') —* S(q — q'), t — 0, то К представляется суммой
7 ¦ ..- -
,q';t)= J dq"Utiq,q";t)Q(q",q'), B.7.22)
где
?(?,?')=
- *' + nL)>
B.7.23)
B.7.24)
83

решение задачи, ибо 4't(q + nL) — i/>,(q). Формула B.7.24) с учетом B.7.22),
B.7.23) переписывается в виде
Мя)
) = /
». ?';O*o(ff').
B-725)
пригодном для записи с помощью континуального интеграла.
Смысл появления суммы B.7.22) столь же прост, как и суммы B.7.4).
Если разность под знаком суммы в B.7.4) обеспечивала выполнение нуле-
ных граничных условий в точках О, L, а вся сумма отвечала учету помимо
прямой, соединяющей точки q.q', еще и других экстремальных траекто-
рий (учет отражения от границы), то сумма в B.7.22) обеспечивает вы-
полнение условия периодичности. Т<:м самым учитывается тот факт, что
помимо прямой (кратчайшей), соединяющей точки q,q', имеются экстре-
мальные траектории, отличающиеся на nL (например, л раз обегающие
окружность), вкладом которых нельзя пренебречь.
Несложно сообразить, как выглядят решения однотипных задач, на-
пример таких, как частица на полуоси } > 0 — в этом случае
Q(<i, q') = Hi -«')-*(« -и'). <2-<-2б)
или частица внутри сектора плоскости с углом раствора я/n (п = 2, 3,...):
.B.7.27)
где cjt,ct — матрицы 2x2, элементы группы всевозможных отражений
относительно прямых, ортогональных образующим сектора (cjt отвеча-
ет четному, а с» — нечетному числу отражений). "Данная группа есть
частный случай групп Коксетера [90, 91]. Они определяются следую-
щим образом. Пусть в n-мерном пространстве заданы р гиперплоскостей
Ai (i = 1, 2,.. .,р), проходящих через точку х = 0 и определяемых норма-
лями nj, т.е. хп, = 0, хб hi, jujf = 1, причем •¦¦•.-.
Vi =2,3
B.7.28)
Группа порождается генераторами gi — операциями отражения относи-
тельно Л,-: • ли,- = —n,-, j(X = х, х е Л|, п> подчиняются B.7.28);
совокупность всевозможных различных произведений gi образует груп-
пу Коксетера С. Выпуклую область D, ограниченную гиперплоскостями
Л,-: хп,- > 0, х 6 D, называют фундаментальной областью. Результат
применения к ней всех элементов группы однократно покрывает все про-
странство. Ясно, что задачи о частице внутри фундаментальной области
с нулевыми граничными условиями также решаются с применением фор-
мул типа B.7.26), B.7.27). На рис. 2.2 изображены прямая (АВ) и отражен-
ные траектории в случае, когда п = тц — 2 (фундаментальная область —
положительный квадрант). Столь же легко выписываются решения и для
задач с условием "периодичности" — разность в формуле B.7.27) следу-
ет заменить суммой. Частным случаем групп Коксетера является груп-
па Вейля — группа симметрии корневого пространства простой группы;
ее фундаментальную область именуют камерой Вейля [92]. Наконец, при
84
Рис. 2.2. Отраженные траектории.
отличном от нуля потенциале V задачу можно поставить во всем про-
странстве, доопределив V" вне фундаментальной области симметричным
образом с помощью надлежащего оператора Q:
-сх'), с ее.
B.7.29).
Задача об описании частицы внутри сектора плоскости методом инте-
грирования по траекториям рассматривалась также в работах [93, 94].
2.7.2. Частица в- поле потенциала q*. Относительно формулы
B,3.27) с ядром B.2.9) Р. Фейнман мимоходом заметил, что она верна лишь
для потенциалов, растущих не быстрее второй степени q (см. [31], приме-
чание на с. 185 перевода). Паули уделил этому вопросу больше внимания
[35], приведя, в частности, конкретный пример недостаточности формул
B.3.27), B.2.9) - это рассмотренная ранее'задача о частице в "ящике".
Ее можно трактовать как задачу о движении частицы в поле сил потенци-
ала
B.7.30)
растущего быстрее любой степени q. Физическое содержание решения
B.7.10), B.7.12) задачи с потенциалом B.7.30) мы выяснили - оператор
Q обеспечивает учет отраженных от стенок траекторий. В связи с этим
возникает вопрос: для каких потенциалов теряет смысл формула
¦**>-
¦ У- ¦:... - • . ¦ .1Ч. . .
Ясно, что данный вопрос должен быть связан с вопросом о самосопря-
женности оператора if = ^/2 + V{q). Обстоятельное исследование этой
проблемы для степенных потенциалов опубликовал П. Шокар [95].
85

Обсудим этот вопрос подробнее (см. также [62]). Его суть заключа-
ется в следующем. Как подчеркивалось в разд. 2.2 — 2.4, в характерных
для континуальных интегралов формулах типа B.7.31) необходимо учи-
тывать члены порядка с. Следовательно, значение континуального инте-
грала целиком определяется асимптотикой выражения B.7.31), которую
можно найти методом стационарной фазы [96]. Главным членом в показа-
теле экспоненты традиционно считается (ДдJ/«. Это действительно так
для потенциалов, растущих на бесконечности не быстрее, чем д2. Однако
для более быстро растущих потенциалов при больших q' членом tV(q')
уже нельзя пренебрегать по сраииеншо с (Д<?JД.
Проиллюстрируем сказанное на примере потенциала V(q) = Xqk в од-
номерном пространстве (п — 1). Воспользуемся следующим приемом
(указан СЮ. Славяновым). В B.7.31) перейдем к новым переменным
q = у/с", q1 = у1 /са, а параметр а найдем из условия равенства, степеней е
при обоих членах в квадратных скобках, т.е. из уравнения l/?l+Ja = е1*
имеем:
<*=2/(*-2). B.7.32)
Формула B.7.31) приобретает пид
(л) ~ 1 7
ехр /
е Р U
~У\)
B.7.33)
Так как ввиду B.7.32) 2а +1 > 1 при к > 2, асимптотика интеграла B.7.33)
при € —> 0 находится стандартным методом. Стационарные точки показа-
теля экспоненты получаем из алгебраического уравнения
•¦ jZ-y-kXy'^^O^y ^ B.7.34)
которое имеет к — 1 решений. Одно из них для у —> 0 (при t —» 0 и фикси-
рованном q имеем: у = O(ta)) вычисляется по теории возмущений:
-.- ; . Уо*У+к\ук-1 . ' . ..;' B.7.35)
и соответствует предположению о старшинстве (AqJ/e. Остальные реше-
ния малы. Они дают вклад вида
exp (iAm/(he-a+l))
B.7.36)
где у'т — корень уравнения B.7.34) с номером т, а коэффициент Ат равен
(у — \/тJ/1 — AyjJ. Похожие выражения получаются при интегрировании
в B.7.31) по конечному или полубесконечному интервалу. Лля конечных
интервалов амплитуда ф берется в точках границы, здесь же при с —> О
асимптотика B.7.36) определяется поведением ф на бесконечности. Ясно,
что для достаточно быстро убывающих функций (фо ~ l/gWa+*\ & > 0)
вкладом остальных стационарных точек можно пренебречь. Чтобы их
вкладом можно было пренебречь и в континуальном интеграле, требуется
столь же быстрое убывание фt при конечных t. Лля состояний с конечной
энергией (четные it) ф~ l/g(fe+1+2*)/2, S > 0; но (Ь+1+Щ/2 > 1/а +
S = (к — 2)/2 + 6, т.е. указанное условие убывания ф' выполняется всегда.
Следовательно, в B.7.33) достаточно учесть решение B.7.35); добавочные
86
стационарные точки, возникающие в случае потенциалов вида д* (it > 2),
можно не учитывать.
П. Шокар также исследовал вклады в асимптотику B.7.31) траекторий,
соединяющих точки q@) и q(t) (см. [95]). Лля потенциалов типа V = qn
помимо основной траектории найдены и отраженные, также обладающие
экстремальными свойствами. В работе [95] сделан аналогичный нашему
вывод: при достаточно малых временах вкладом отраженных траекторий
можно пренебречь.
2.7.3. Топологически нетривиальные координаты. Примерами то-
пологически нетривиальных координат могут служить цилиндрические
или сферические координаты. Как разъяснялось в разд. 2.6 переход от де-
картовых к топологически эквивалентным координатам (т.е. переход без
изменения топологии координатной сетки) не порождает особых проблем
и связан лишь с учетом экстрачленов. Напротив, переход к координатам
с другой топологией встречается с дополнительными трудностями. Их
специфика иллюстрируется примером перехода от декартовых координат
к цилиндрическим в 3-мерном пространстве. Спектры операторов xi,Pi
(i = 1,2,3), занимающие всю вещественную ось, меняются на следующие:
рг — — ihdz : [—оо,оо]; B.7.37)
= -ihr-ll-drr112 : [-00,00]; B.7.38)
[—оо, ccj;
{\ 2 ¦ [0,ос];
ф = arctg(i2rf *) : [0,2тг];
% ~ -гПдф : 0, ± h, ± 2 h, ....
B.7.39)
Таким образом, даже при этом весьма простом преобразовании встре-
чаются четыре вида спектров. Собственные функции операторов Р:,рг,Рф
таковы:
4= ехр f-kp*- +Ргг + тПф)\ , m = 0,±1, • • -,
J
B.7,10)
т.е. в формулах типа B.2.6) будут встречаться интегрирования в самых
различных пределах и даже суммирования. Кроме того, рТ не есть само-
сопряженный оператор на полуоси [0, оо] [97], и его собственные функции
(г|р) = cexp(irp/h)/y/f не ортогональнны:
W) = (Р\г){г\р)= ¦'
т.е. (р|р') не есть 6-функция. Правда, на физических функциях
{гЩ = {2тН)-1'2 J v^dr ехр(-;рг/Й)^(г), B.7.42)
Ф(Р) =
аналитических при Im р < 0 и убывающих при Im р —- —ос, выражение
B.7.41) есть ядро единичного оператора
B.7.43)
87

Данное обстоятельство позволяет надеяться ни возможность удовлетво-
рительной записи континуальных интегралов и в цилиндрических (сфе-
рических) координатах. Оказывается, это действительно так; используя
методы, предложенные в публикациях [62, 85J, мы покажем, что несмотря
на разнообразие спектров B.7.37) B.7.39) в B.7.40), ГКИ можно записать
в стандартном виде, когда по всем координатам и импульсам интегри-
рование ведется в бесконечных пределах. Начнем с простейшего случая
полярных координат. Ввиду важности вопроса, долгое время остававше-
гося нерешенный, проделаем вывод двумя разными способами.
Полярные координаты; лагранжев континуальный ин-
теграл. Рассмотрим переход к полярным координатам в задаче о сво-
бодной частице единичной массы в плоскости. Имеем (Д^ = ф - ф'):
= Шпехр [ш
' (x - х'У
h 2t ...
17 - 2rr'
B.7.44)
как и полагается, ядро оператора эволюции есть периодическая функция
ф: А*(г,г/, Д* + Йптг; t) = А'(г, г', A$;l). Но при построении континуального
интеграла используется лишь асимптотика К при t —> 0, которая опреде-
ляется критическими точками (точками стационарности) показателя экс-
поненты, т.е. решениями уравнений
г-r'cos Д, = 0.
Решения B.7.45) запишем в виде
Ф'о -
B.7.45)
B.7.46)
B.7.47)
Разлагая показатель экспоненты B.7.44) в ряд по Д^ в окрестностях точек
B.7.46), B.7.47) и ограничиваясь лишь значимыми экстрачленами [38, 69],
находим следующее представление для асимптотики К€ .ядра B.7.44) при
t = (-*0 (Дг = г-У), Апф = ф-ф' + 2тгп [62]: , ., .
^ " - , B.7.48)
(предполагаем, что Кс применяется к некоторой функции). Формулу
B.7.48) можно переписать в следующем виде:
Ке(г,г",ф,ф") = 1 J
r'dr'dtf
2itith
где
хехр
Я2(г,ф;г',ф') =
¦*-Ф')'''=
12
*- ТТ ]|^2(г'^';г",Л- B-7.49)
B.7.51)
Представляя в B.7.49) г' = г —Дг и избавляясь с помощью правил эквива-
лентности B.4.13), B.4.15)-B.4.17) от экстрачленов, получаем следующее
выражение для сдвинутой во времени волновой функции:
2irkh
2е
B.7.52)
где функция Фо определена во всем пространстве с помошью продолжаю-
щего оператора Qn-
оо "ix
*о(г,ф) = J dr' J 4ф'<2г(г,ф;г>,ф')щ(г',Ф'), B-7.53)
о о
т.е. Уо(г,ф->г2тп)= Фо(г,<э), Ф0(-г,^) = Фо(г,0-Цг)иФо = фо в физической
области. Непосредственно убеждаемся, что ф( удовлетворяет уравнению
Шредингера и доопределяется в нефизической области так же, как и Фо-
Следовательно, теперь можно в полном объеме пользоваться прапнлами
эквивалентности и переходить к континуальному интегралу.
Полярные координаты; гамильтонов континуальный
интеграл. Альтернативный вывод выражения для инфинитезимальио-
го ядра UXI'(f) B.7.-14) в полярных координатах позволяет получить его
сразу в гамильтоновой форме. Ядро B.7.44) инвариантно относительно
преобразований -
ф-*.ф + 2*; ' ¦'." B.7.54)
г -* -г, ф — ф + т
B.7.55)
и аналогичных преобразований г'.<?'. При t = ( -* 0 аппроксимация
cos Д* и 1 - А\/2 ( при этом показатель в B.7.44) превращается в = kL/h,
где L - (г2 + г2ф2)/2 - классическал функция Лагранжа), равно как и бо-
лее точная, учитывающая экстрачлен Д^/24, нарушает фундаментальную
симметрию B.7.54), B.7.55). Чтобы обойти эту трудность, воспользуем-
ся следующим приемом. Часть экспоненты B.7.44), содержащая косинус,
разлагается в ряд по функциям Бесселя Jm [98]:
при с —* 0 имеет место асимптотическая формула [98]
I виде
Теперь воспользуемся формулой B.7.6), которую запишем в i
f) /(mft)e""(*"«"> = :/ ^Je^fJW " ГУ B-7.58)
89

С учетом B.7.57), B.7.58) получаем следующее выражение для асимпто-
тики экспоненты B.7.56):
ехр[-
B.7.59)
где
QD> + ж) = Я'(Ф) B.7.60)
и функция С}(ф — ф') определена при всех 0 ? (—оо,ос), даже если <?' ? [0,2т].
Подставляя B.7.59) в формулу
r"dr"W v [ i r2 + r - 2rr" cos(«S - <4")
получаем
B.7.61)
х jexp
+ техр
J
0 0
i/(r-r"J
1c
Irr" -
2rr"
B.7.62)
- • ¦ n
Внося 1/i под знак корня: l/iy/r" = 1/V—г", обнаруживаем, что второй
член в фигурных скобках отличается от первого знаком г" (если отвлечься
от аргумента Q). Подставляя в эти слагаемые единицу: ,
1 = f dr'S(r' T г")
B.7.63)
(верхний знак относится к первому члену), представим зависящие от г, г"
коэффициенты при экспонентах в виде
B.7.64)
Теперь в соответствии с B.7.63), заменяя во всех функциях (за исключе-
нием $о) т" на ir*, получим соотношение
Л - _ B.7.65)
где Фо дается B.7.53), из которого следует искомое представление:
7 dprdr'dp+dV г'
7 dprdr'dp+
B.7.66)
(интегрирование по рг превращает B.7.66) в B.7.65)). Отметим, что в
B.7.66) нет проблемы определения корня (г?')'2 при отрицательных г',
поскольку вклад в интеграл дают только г' « г, и корень считается поло-
жительным. Используя правила эквивалентности B.4.9)-B.4.11), предзке-
попенциальный член (r'/гI/2 можно включить в гамильтониан, видоизме-
нив потенциал и линейные в импульсах члены. Интегрируя в B.7.65) по
Рф, приходим к формуле B.7.52).
Несложно убедиться, что ф, B.766) удовлетворяет тому же уравне-
нию, что и функция B.7.61), и определена при всех вещественных г,ф: она
периодическая по ф и i/'Д—г, 6) — 4иЬ',Ф + ")¦ Последнее обстоятельство
позволяет перейти от B.7.61) к формуле с конечным временем (:
00
Чч{г,Ф)= [[ r'dr'd<?'U(r,<?;r',v';tL!o(r',tf),
B.7.67)
в которой ядро
интегралом [85]:
U представляется следующим континуальным
B.7.68)
здесь г@) = r', ^@) — ф' тл r(t) = г, 0(() = ф. Это и есть представление
ядра оператора эволюции гамильтоновым континуальным интегралом в
полярных координатах. В B.7.67) ядро B.7.68) применяется к функции Фо
B.7.53). ¦ '
Сферические координаты в n-мерном пространстве.
Приведенное построение обобщается на случай n-мерного пространства,
когда ядро оператора эволюции по форме отличается от B.7.44) лишь
предэкспоненциальным множителем Bтп*Й)~"/2, а квадрат разности век-
торов в экспоненте B.7.44) записывается в виде
B.7.69)
Здесь Oj — углы сферической системы координат (?n-i ,9.^,bIli!H.0 обознача-
ют ф), hj = rsin^i > • -sinfy-i — коэффициенты Ламе, Л] = г, hn = I, a q
символизирует совокупность переменных (#i,..., 9n_i, г); .все углы за ис-
ключением ф @ < ф < 2тг) меняются от 0 до jr. ^Переход от декартовых
91

координат к сферическим осуществляется с помощью формул
xn_i =
xn = An_isin0n_i, j < п. Обозначим
B.7.70)
j')/(eft) = AjAj/(<ft)- B.7.71)
Дальнейшее, по существу, основано на последовательном применении
равенства B.7.59) первоначально к ехр(—iz'n_i cosA0n-i) (происходит от
последнего члена в B.7.69)), затем, ввиду наличия в B.7.59) факторов
ехр(±й) (в нашем случае exp(±j^_,)) и равенства
- к ехр[—i2j1_2Cos@n_2 ^ Ki-ъ)] и т-д- Но прежде чем переходить к наме-
четгаой процедуре, подчеркнем, что, как и в случае полярных координат,
в первой экспоненте B.7.44) с квадратом разности координат B.7.69) не-
льзя ограничиться конечным числом членов в разложении по Д0;- (е —- 0);
при переходе к континуальному интегралу нужно использовать асимпто-
тику, сохраняющую свойства симметрии ядра оператора эволюции, т.е.
использовать формулы B.7.56) - B.7.59). Из B.7.69) вытекает, что ядро
игх< рассматриваемой задачи не меняется при следующих подстановках:
9,-
-г, ' 0, -0! + ж,. . TV
B.7.73)
B.7.74)
B.7.75)
¦
которые и есть совокупность преобразованийгсохраняющих B.7.70).
Обратимся к выводу. Во всех деталях его привести невозможно —
он слишком громоздок, поэтому остановимся лишь на главных моментах.
Предварительно введем более компактные обозначения. Формулу B.7.59)
перепишем, в виде ¦ , ., . - .
B.7.76)
где
. !/2
B.7.77)
и использованы обозначения Л(?') = Л','Л(д") = Л", г" = hh"/((h), QT(9) -
QF + it) (см". .7.60), B.7:71). :B соответствии с B.7.69) и с учетом
B.7.77) применяем к Uxx»(e) формулу B.7'76) для j = п - 1, взяв верх-
ний знак. Полученное'выражение умножаем;"согласно B.7.69),B:7.70), на
ехр(—iz%_2 cos0j_2cos0"_2), что с учетом знаков показателей экспонент
Т»Х>'-1 в B.7.76) и формулы B.7.72) ведет к появлению при ?(A'n'_i) и
?(-Л^'_х) экспонент типа тех, которые стоят в левой части B.7.76) со-
ответственно со знаками минус и плюс при 0^_2- Вновь применив пред-
ставление B.7.76), получим
C.j - !<'_! cos(On_, - C-i)] =
B.7.78)
где Ei(±hj') = E(±h'-) exp(^pi;j'). Учитывая далее тот факт, что
B7.79)
B.7.80)
переписываем B.7.78) в виде
^{¦¦¦] = с^с^, J da'n_l
B-7.81)
Здесь мы прибегли к обозначениям: /in_i(r", 0",..., 0'„'_3,6'п_2)
(указывается, что в Л{[_х совершена замена 0J,'_2 -* 9J,_j), и
^п-2. «i-uCa. Ci). B-7.82)
- , B-7.83)
' Формула B.7.81) имеет ту же структуру, ¦ что и формула
B.7.76), поэтому всю процедуру можно повторить с участием уже сомно-
жителя ехр(—«\^,'_зСО8#п_зсо8б'п'_3), отвечающего следующему члену сум-
мы B.7.69). Все выкладки будут повторять проделанные вплоть до вх.
Отличие наступит при достижении г. В этом случае следует поступить
так же, как в задаче о частице в двумерной плоскости, т.е. подставить в
соответствующие члены единицу в виде B.7.63) и учесть, что при измене-
i i нии знака г все fy также меняют знак. Наконед; нужно будет .учесть пред-
акспоненциальные множители и весовой множитель -y/F7 = Л? • • -Л" = Л" в
93

выражениях, аналогичных B.7.62). Переписывая тождество B.7.64) для h
k" k> '" B.7.84)
и принимал во внимание изменение знаков Л" при заменах в" —> в' (как в
B.7.79), B.7.80)), приходим к следующему аналогу формулы B.7.65) для
случая сферических координат в n-мерном пространстве:
где
о(9)= f d"q'Qn(q;q')Mq'),
Js
*о(9'). B-7.85)
B.7.86)
5 — физическая область изменения сферических переменных в\,.. .,в„^х,г,
а функция Qn определяется рекуррентным соотношением, обобщающим
B.7.82), B.7.83):
если j < n, и
B.7.87)
Q> = o. B.7.88)
r')Qrn^, B.7.89)
если j = п. Прямой проверкой убеждаемся, что задаваемое B.7.87)-
B.7.89) Qn, функции *о B.7.86) и фе B.7.85) не меняются при преобразо-
ваниях B.7.73)-B.7.75). Далее убеждаемся, что Qn есть ядро единичного
оператора в применении к функциям, инвариантным относительно B.7.73)-
B.7.75): . . '
ЩЯ)= [ dq'Qn(q,q'L!0(q').
Js
Перечисленные свойства позволяют перейти в B.7.85) к континуальному
5интегралу. Гамильтонов континуальный интеграл получается очевидным
добавлением интегрирования по рг [85] (см. B.7.25)):
B.7.90)
*' ЪШ) =(^'Г1/4 / Д ТГЙГ^Р I Т I Ы ^ »{РЛ,Щ\ dr \ -B.7.91)
94
B.7.92)
здесь dq в drdOi ¦ ¦ ¦ d9n_i, dp = dprdpi ¦ ¦ dpn-i, pj — сопряженные углам @j
импульсы. Интегрирование по всемр и q ведется от —со до со. Как и в слу-
чае полярных координат при переходе от B.7.85) к B.7.91), B.7.92), Л} было
заменено на Л^. Согласно правилам эквивалентности B.4.10), B.4.11), это
не повлечет изменения потенциала, так как hj не содержит в,- — сопря-
женной pj переменной. Допредельные функции в B.7.92) взяты в крайних
левых точках интервалов деления, хотя здесь это и несущественно.
Напомним, что п-мерный оператор Лапласа в сферических координа-
тах можно записать в виде
1
где (см. B.3.16))
-hid
\ q"-r, qi=eJ, ]фп, к= 1,2,...,г», B.7.93)
* i gU* ддк~
а классический гамильтониан свободной частицы единичной массы есть
В справедливости формул B.7.90), B.7.91) можно убедиться непосред-
ственно, составив, например, уравнение Шрелингера для функции B.7.85).
Интеграция по импульсам (именно здесь существенны бесконечные преде-
лы) дает лагранжев интеграл. При выяснении правильности этого послед-
него, т.е. при конструировании для него уравнения Шредингера [31, 32],
также невозможно обойтись без интегрирования в бесконечных пределах
(в данном случае по сферическим координатам).
Переход к произвольным координатам qk, топологически эквивалент-
ным сферическим (т.е. таким, что уравнения qk = qk(r,9\,У.".\9п-\) одно-
значно разрешимы; qk — непрерывные функции, значения которых пробега-
ют всю вещественную ось, если г, Si,..., ffn-i меняются в тех же пределах)
совершается по общим правилам разд. 2.6.
Произвольные координаты (общий случай) (см. [85], так-
же разд. 6.6.2). Ранее решалась задача перехода к сферическим или топо-
логически им эквивалентным координатам. Обобщение использованного
метода на случай координат с произвольной топологией не очевидно. Об-
судим этот вопрос. " -=."¦-•¦. .
В гамильтоновом континуальном интеграле всегда можно перейти от
декартовых к новым интересующим нас координатам (см. .р?зд,.2.6).
Новые канонические импульсы будут меняться в бесконечных нределах
(следствие того, что было совершено точечное преобразование), поэтому
интеграция по новым импульсам будет производиться в бесконечных пре-
делах. Тем самым мы обходим проблему дискретного спектра импульсов.
Что же касается проблемы интегрирования по координатам, то она тесно
связана с проблемой продолжающего оператора Q. J ¦¦-"¦* ":*".-«;>::¦
95

Будем считать, что декартовы координаты выражаются через новые с
помощью аналитических функций. Это не есть ограничение, так как от
аналитических координат всегда можно перейти к топологически экви-
валентным неаналитическим. Рассмотрим в новых координатах q форму
|х — х*!2, фигурирующую в ядре оператора эволюции свободной частицы
B.7.44). Пусть з'(х) (i = 1,2,..., п) пробегает лишь часть S пространства
jr*(g) =. Ц1 С?1) ® \у ® Я\{яп.) при изменении х* в бесконечных пределах (в
противном случае задача тривиальна). Пусть, далее, имеется дискретная
группа преобразований G переменных д' с элементами дь ? G, такая, что
при преобразованиях q (или q') из С форма \x(q) - х(д')|г остается неизмен-
ной, а преобразованные переменные gtq, дк ? G (дк / 1) не принадлежат
5. Назовем G полной накрывающей группой, если gi,S однократно покры-
вает все пространство Rn(q), когда it пробегает все элементы группы G;
S есть фундаментальная область. Примером подобной группы для сфери-
ческих координат служит группа преобразований B.7.73)-B.7.75). Теперь
необходимость интегрирования по q в бесконечных пределах можно об-
основать двояко. Можно, с одной стороны, обратить внимание на то, что
при стремлении t к нулю стационарными точками экспоненты B.7.44) кро-
ме ? = q'o (go ? 5) будут и gjt = gtq'a (gk ? G); все их необходимо учитывать,
так как пренебрежение хотя бы одной из них влечет нарушение связан-
ной с G симметрии ядра оператора эволюции. Согласно предположению
о полноте накрывающей группы, объединений Uj*5 покрывает R"(q), если
к пробегает все элементы дъ ? G, поэтому и приходится интегрировать по
всему пространству R"(q). С другой стороны, случай S / R"(q) близок
к задаче о движении частицы в ограниченной области, когда необходи-
мо заботитьтся о том, чтобы ядро оператора эволюции обеспечивало вы-
полнение граничных условий, что эффективно ведет к распространению
пределов интегрирования до бесконечности ^см:. разд. 2.7.1). Более точ-
но, вместо граничных условий здесь приходится следить-за сохранением
более или менее сложных свойств симметрии ядра оператора эволюции,
Но и это достигается .введением добавочных траекторий. Так, периодич-
ность волновой функции по угловым переменным в случае.полярных ко-
ординат требует учета не только кратчайшей траектории, соединяющей
точки (г, ф), (г7,^), но и траекторий, отличающихся на углы, кратные 2тг
(экстремальные траектории). - . . .,, ... ... ..
Обратимся к вопросу о построении оператора Q. Он также встречает-
ся при решении задач с границей методом континуального интегрирова-
ния (см. разд. 2.7.1). Ранее оператор ц| появлялся естественным образом
в результате применения метода, основанного на использовании конкрет-
ных свойств сферических координат. В общем случае найти его помогает
следующее замечание. Известно, что предел ядра Uqqi{e) при i —>• 0 есть
E-функция в S. Наличие группы G позволяет естественным образом а) до-
определить Utti во всем пространстве Rn(q), б) построить оператор Q, ибо
Q есть продолжение, в данном случае "по симметрии", ядра единичного
(для области S) оператора [62, 85, 89}. Другими словами, ядро оператора
Q есть ядро точного оператора t/j при t —* 0, продолженного за пределы
физической области 5,'т. е:: •--: • i:. ,.y ¦ ¦ ,,-
Л..-., ¦< . г;j:4-..r, о :-,;. 6(j; «')..= lim^f.(«)(ffff')l/^s-;vw "'¦ J.-'1. B.7^94)
Например ядро Qi/ityI1}-(см. B.7-50),а B.7,51)) есть предел ядра
96
К(г, г', Аф; t) B.7.44) при t -* 0, рассматриваемого при всех г, ф. Прямой
вывод ядер <Э„(г,вх,...-у,в[,...) B.7.S9) для п = 2,3 из соответствующих
б-фуикций 6(х — х') дан в Приложении 8.3.
Сводка правил для записи континуального интеграла в произвольных
координатах для свободной частицы выглядит следующим образом:
1) перейти в первой экспоненте B.7.44) к новым ( аналитическим, сим-
метричным) переменным заданной топологии;
2) постороить в новых переменных гамильтониан, выразив его через
врмнтовы импульсы B.7.92) и упорядочив операторы, например располо-
жил все операторы р справа от q;
3) построить оператор Q как предел B.7.94), используя явный вид ядра
B.7,44) в новых переменных (или любым иным способом); ядро Q(q, q')
определено при всех вещественных q. -..
Окончательные формулы имеют следующий вид:
ФМ) = Jdq'^/g1 Jdq"Un.(t)Q(</;f)Mi")' B-795)
где но q,p интегрирование ведется в бесконечных пределах, а символ
Нэ$(ч-Р) означает, что в H(q,p) включены квантовые поправки, связан-
ные с неперестановочностью операторов (т.е. учтены все экстрачлены).
Кроме того, в B.7.95) необходимо указать избранный способ упорядоче-
ния (т.е. опорную точку в допредельном выражении B.2.6)). Лагранжев
формализм получается интеграцией по р. Явная формула для Q в случае,
когда имеется калибровочная симметрия, дана в Приложении 8.5. Обоб-
щение на случай суперпространств (смешанные системы) дано в разд. 6.6.2
(см. также [13]). -' '
Отличный от нуля потенциал. И здесь аналогия с задачей
о частице в ограниченной области помогает найти общее выражение для
континуального интеграла. Пусть потенциал и старые переменные есть
вещественно аналитические функции новых переменных q. Тогда все функ-
ции в уравнении Шредингера будут вещественно аналитическими и урав-
нение естественным образом доопределяется вне физической области S
переменных q, т.е. продолжается на все пространство. Ясно, что реше-
ние этого уравнения, удовлетворяющее определенным физическим усло-
виям (например, граничным или таким, как периодичность, отсутствие
сингулярностей и т.п.), будет одновременно и решением исходной задачи.
Лля оператора эволюции нового уравнения несложно построить контину-
альный интеграл, в котором по всем переменным интегрирование ведет-
ся в бесконечных пределах. Полученное ядро позволяет найти волновую
функцию "продолженного* уравнения при любых временах! и, тем самым,
найти интересующую нас волновую функцию. Разница по сравнению с
исходной задачей лишь в том, что в ней начальная функция ^о определе-
на только в физической области S, тогда как во вспомогательной задаче
она задается во всем пространстве^ Следовательно, встает вопрос о та-
ком доопределении фо вне физической области, чтобы применение к ней
построенного ядра обеспечивало выполнение граничных й иных физиче-
ских условий'привсёх*. Задача Сводится к построению ядра'оператора'ф,
97

которое можно задать как предел B.7.94), ибо ядро Utt'(t) определено при
всех q (аналитичность), а его предел при с —> 0 есть 6-функция в 5. В ка-
ждом конкретном случае нужно убедиться, что найденная с помощью дан-
ного репепта волновая функция действительно есть решение поставленной
задачи. Летали приведенного рассуждения идентичны деталям, изложен-
ным в разд. 2.7.1. Лругой способ построения континуального интеграла
связан с доопределением потенциала вне 5 с помощью группы G: V = QV,
где ядро Q есть
<?(«.«') = ?%-**«')> <?* ?G, ' B.7.97)
к
(ср. B.7.29)).
Пример: параболические координаты [85]. Проиллюстрируем предлага-
емый общий рецепт на примере параболических координат [99, с. 476]:
Z = 1ц,2, dx\ + dxl = (,» + ql)(dql + dql),
где 2 = 1] + i'z2, w — Ч\ + i?2i при этом qt > О, со > q2 > —со, а коэффи-
циенты Ламе равны kx = h2 = (gj + g^I/2. Квадратичная форма в B.7.44)
переписывается в виде
I* " *? = \ [(91 + Я'х? + (92 + 92J] [ill - ч\? + (Ч? - 92J] ¦ B.7.98)
Накрывающая группа симметрии формы B.7.98) есть
91 -* — 9ь 92 — -?2-
Отсюда немедленно вытекает выражение для Q: - -
<3(9, Я') = 6(qi - q[)S(q2 - q'2) + «(„* + q[N(q? + q'7).'
Оператор Гамильтона для свободной частицы выглядит так:
B.7.99)
Й=-Т
B.7.100)
где Pj = -ifts ll*djgll*, g = Л|A|, j = 1,2. Окончательные форму-
лы идентичны B.7.95), B.7.96); в качестве Яэф(д,р) следует взять правую
часть B.7.100), заменив операторы q, p на. с-числа. Справедливость реце-
пта можно установить непосредственно, используя симметрию действия
относительно инверсии B.7.99) и ту особенность модели, что асимптоти-
ческое выражение B.7.98) при Д, -+ 0 совпадает с точным, так как члены
~ Д^А, Д,Д подлежат учету. Отметим, что эквивалентное эффективное
действие, в котором нет экстрачленов, уже не инвариантно относительно
B.7.99). ¦ ••
2.8. Квантование в рамках
метода континуального интегрирования
т. 2.8.1. Лагранжев формализм. Стандартный метод квантования сво-
дится, как говорилось в разд. 2.1, к замене канонических переменных
98
операторами с коммутационными соотношениями B.1.1). Там же отмеча-
лась довольно узкая область его применимости (декартовы координаты,
проблема упорядочения), вследствие чего формулирование квантовой ме-
ханики в криволинейных координатах обычно начинается с квантования
в декартовых координатах, после чего оператор Лапласа записывают в
новых переменных.
Как мы знаем, в рамках аппарата континуального интегрирования мож-
но не только построить ядро оператора эволюции, но и осуществить заме-
ну переменных, т.е. данный метод "не слабее" операторного. Метод конти-
нуального интегрирования представляется даже более предпочтительным,
поскольку он непосредственно имеет дело с наиболее важным для физики
объектом — ядром оператора эволюции Uqq'. Естественно спросить: не-
льзя ли построить ядро f/,,'(t), используя лишь классическую механику,
т.е. минуя этап канонического квантования? Обсудим вопрос подробнее.
Для простейших лагранжианов, фигурирующих в B.2.10), инфинитези-
мальное ядро Uqq'(t) можно представить [35, 38, 100] в виде
B.8.1)
где
5(g, q') « cL - (, - ,'OB<) - tV(q), t - 0,
B.8.2)
есть "действие на решении уравнений движения", выраженное через на-
чальное и конечное значения координат q', q, причем
D = det |- д-S/dq'dq1' \ = i~n.
B.3.3)
В B.8.1) взято приближенное значение действия B.8.2) — классическая
траектория в нем аппроксимирована прямой, соединяющей точки q,q' [31,
32]. Это оправдано для динамических систем с гамильтонианом B.2.2),
ибо ядро B.8.1) удовлетворяет надлежащему уравнению Щредингера.
Формулы B.8.1) - B.8.3), однако, не применимы для лагранжианов вида
у , * .[¦ .; /Су At \'i i// \ /о о /Л
(здесь и в дальнейшем предполагается, что функции gtj и .4* не зависят от
времени).
Что служит критерием справедливости формул типа B.2.9), B.8.1)?
Функция B.8.1) есть ядро оператора эволюции, т.е. она описывает рас-
пространение частицы и должно обладать следующими свойствами:
1) подчиняться уравнению Шредингера
где Я — оператор Гамильтона, действующий на первый аргумент;
2) при t —> 0 стремиться к ядру единичного оператора
(9|и,!?') - («I?'). <-0; • B-8-6)
3) обеспечивать выполнение граничных (или эквивалентных им)
условий.
99

Как станет ясно, функция B.8.1), определяемая B.S.2)—B.S.4), не под-
чиняется должному уравнению Шредингера. Для того, чтобы найти пра-
вильное выражение для Utt-(i), обратим внимание на следующее. Не уста-
новлено, с какой точностью следует вычислять действие S(q,q') в B.8.1)
на классической траектории. Согласно Дираку (см. [33, 34]) S(q,q') —
классическое действие, которое вычислено на истинной траектории, со-
единяющей точки q,q'. Рецепт Фейнмана [31, 32] (аппроксимация класси-
ческой траектории прямой) не годится, как отмечалось, для более слож-
ных систем с лагранжианом B.8.4). Воспользуемся тем, что запись ядра
Uqq/(c) B.8.1) по форме совпадает с квазиклассическим разложением вол-
новой функции [44, 80]. Напрашивается мысль, что именно так должна
выглядеть соответствующая функция в более сложных случаях. В При-
ложении 8.3 указанный вид ядра обосновывается из других соображений.
Итак, постулируем следующее выражение для инфинитезимального ядра
D -- 6<л\-д33/дч'дя'>\;
B.8.7)
B.8.8)
множитель (дд')~1/Л включен в соответствии с формулами B.3.17),B.3.23).
Займемся теперь вопросом о точности, с которой необходимо вычи-
слять S(q, q') в B.8.7). Согласно [33, 34] действие
S(q
,q') = J L(q,q)dt, q = q(t), q"= q@),
B.8.9)
следует брать на истинной классической траектории, соединяющей точки
q, q'. Мы знаем, однако, что для построения континуального интеграла
в инфинитезимальном действии.S(q,q') достаточно удержать лишь зна-
чимые экстрачлены, выписанные в B.4.13). Выясним, к чему приведет бу-
квальное следование рекомендации Дирака относительно действия S(q, q')
в B.8.7). •¦ . .
Найдем S(q, q') с учетом всех существенных экстрачленов. С этой це-
лью в интеграл B.8.9) подставим решение уравнений движения для лагран-
жиана B.8.4)
VJ =
B.8.10)
зависящее от q,q'; скобка Кристоффеля [jk,i\ дается B.3.20). Разложим
решение q(t) в ряд по степеням Д = q — q'. Для нашей цели, согласно
разложению
9(<)=9' + ?'t + ?V/2+9;t3/6+---, B.8.11)
требуется знать начальные значения производных от q по времени (как
оказывается, вплоть до третьего порядка) в виде рядов по степеням Д.
Полагая в B.8.11) t = е, имеем в низшем порядке по Д: д!оч = Д/t (нулик
при q' означает нулевое приближение). Для вычисления q' в следующих
порядках требуется знать ?',?',_.,... Из уравнений B.8.10) находим q как
функцию д. Дифференцируя затем B.8.10) по t, находим q как функцию
q,q, а значит, используя еще раз уравнения движения, — как функцию q.
100
Если найденные значения q(q') и q (<?') подставить в B.8.11), положив t = ?,
то получится нелинейное соотношение вида
B.8.12)
которое решается итерациями (напомним: q — q' = Д). В итоге имеем
следующие выражения для q',tf,q' в B.8.11) (с требуемой точностью):
q'j « i jД' + I,»'» [ik, п]Д'"Д* + i Ш, п]., - дтт>[1к, тКт.
2
B.8.13)
Я1' * -4
^ —; B.8.14)
тДпД'. B.8.15)
Все функции в правых частях этих формул взяты в точке q'. Отметим,
что аппроксимация траектории отрезком прямой отвечала бы учету лишь
первого слагаемого Д/е в B.8.13). Нам приходится принимать во внимание
искривленность траектории (формулы B.8.12)—B.8.15)). Имеем далее
= J
f2 dLg
~2~~dT
6 dt2
B.8.16)
Здесь Lo, dLq/dt,... — значения лагранжиана и его полных производных
по времени в момент ( = 0, вычисленных после подстановки в L решения
B.8.11). Оказывается, что вклад последнего члена в B.8.16), имеющий
порядок Д4/е. равен нулю, а вклад второго равен (Лт„—Л*:[тпД])ДтДп/2,
который вместе с вкладом первого члена (он легко вычисляется подста-
новкой в Lo B.8.13)) дает следующее выражение для действия:
B.8.17)
индекс q' у квадратных скобок означает, что все функции берутся
В точке q'.
Итак, действие найдено. Осталось вычислить детерминант B.8.8)
матрицы
и = %,
B.8.18)
Пользуясь B.8.17), имеем
Фц я -\[дц + \jk,»1Д* + J[[*/,»1 j + \jl, i],* + \jk,(],, -
101

-9тп ([У, m][kl, n] + \jk,m][U, n] + \jl, m][ik, n])] Д* Д1 - l-Ftj j .B.8.19)
Как всегда, выписываем только существенные члены. Лля вычисления
D — det | — <j>ij\ матрицы B.8.19) воспользуемся формулой для опера-
торов [38]:
det(A + В) = det а{\
+ b
применяя B.8.20), получаем (,4;j = g,j/e):
D = h9' {l+i?
1 ВА~1 В) + ¦
B.8.20)
" ([У, m][kl, n] + 2{ik,
Пользуясь далее разложением
B.8.21)
—9jn,:9im,kj+9 9ij,kl " ^ f
' J J,'
и определением тензора Риччи Дц B.3.22), записываем B.8.21) в виде
B.8.22)
аргумент Яц (опорная точка) в B.8.22) не существен.
Ядро инфинитезимального оператора эволюции B.8.7),B.8.17),B.8.22)
построено. Для того, чтобы оценить полученный результат, найдем урав-
нение, которому удовлетворяет ядро B.8.7). Быстрее всего к цели ведет
путь, избранный Паули (см. [35]) в более простой ситуации (gtjl = 0).
Нам потребуется уравнение Гамильтона-Якоби [1]
as
as
где
Н(Р, q) = 9h (Pi - Ai){pj - Aj)/2 + V,
и закон сохранения
B.8.23)
B.8.24)
B.8.25)
Равенство B.8.25) выводится элементарно. Из тождества In det й = Trln0
и определений B.8.8), B.8.18) имеем
at
±1
dt '
B.8.26)
(cp. B.3.32)). Применяя к B.8.23) оператор d^/dq'dq'', а затем умножая
результат на ф*г и свертывая, получаем с учетом B.8.18), B.8.24), B.8.26)
равенство B.8-25). Для вывода уравнения Шредингера воспользуемся сле-
дующими соотношениями для ядра B.8.7):
i dt ~ [ dt + 2 i D dt
B.8.27)
B.8.29)
где через [ ]j обозначено выражение в квадратных скобках из B.8.28).
Складывая левые и правые части равенств B.8.27), B.8.29) и добавляя
к обеим частям член VU, находим
(*!¦»)»-'
B.8.30)
где
a Q — оператор Лапласа—Бельтрами B.3.19); члены в правой части, не
содержащие ft и пропорциональные ft, сократятся в силу соответственно
B.8.23) и B.8.25). Члены, пропорциональные ft2, выражаются через ска-
лярную кривизну R. Используя формулы B.3.19), B.8.22) и пренебрегая
вкладами О(Д), записываем B.8.30) в виде [38] •• - .
аи
B.8.32)
Другой вывод этого уравнения связан с использованием лагранже-
вых правил эквивалентности B.4.16), B.4.17) для S,D B.8.17), B.8.22) и
последующим дифференцированием U (т.е. применением к U оператора
—iftSt + Н, заданного B.8.31)). Отметим, что пренебрежение Dll2 в B.8.7)
удваивает коэффициент при R в B.8.32).
Обсудим результат B.8.32). Он примечателен в нескольких отношени-
ях. Во-первых, формула B.8.32) дает правильное уравнение Шредингера в
криволинейных координатах (евклидово пространство, Rtjn = 0) — именно
так записывается оператор Лапласа, более того, именно так выглядит вол-
новое уравнение при ,4; ^ 0. Следовательно, рецепт B.8.7) пригоден для
квантования в криволинейных координатах — существенное преимущество
по сравнению со стандартным методом B.1.1). Во-вторых, при получении
B.8.32) не предполагалось, что пространство плоское. Сверх ожидания
формула B.8.32) утверждает, что уравнение Шредингера нуждается в ис-
правлении при отличной от нуля скалярной кривизне (чисто квантовая
добавка йгЯ/12 к потенциалу — красиво!). Впрочем, в этой части рецепт

B.8.7) нуждается в практической (экспериментальной) проверке, хотя ед-
ва ли приходится сомневаться в его справедливости. Наконец, формула
B.8.32) порождает вопрос: как получилось, что, используя лишь класси-
ческие уравнения движения, удалось решить чисто квантовую проблему
упорядочения операторов в гамильтониане?
Ответ требует тщательного анализа. Мы ограничимся краткими за-
мечаниями. Показатель экспоненты в B.8.7) есть экстремум действия,
т.е. действие на решениях классических уравнений движения. Специфика
квантовой задачи по сравнению с классической в том, что в ней главный
вклад вносят недпфференцируемые траектории с Д2 ~ «, тогда как в клас-
сике Д ~ е. Именно этим определяется точность, с которой вычисляется
5extr в B.8.7) при t -* 0:
5„,г = So + О(Д2), B.8.33)
где So = cL(q,A/e), a O(A2) — экстрачлены, дающие подлежащие уче-
ту вклады ~ Д2 и ~ Д4Д (т.е. ~ ihe и ~ Л2е). Именно эти члены в
B.8.33) определяют расстановку операторов в гамильтониане (влияют на
вид уравнения Шредингера). С этой точки зрения утверждение, что клас-
сические уравнения движения содержат информацию о порядке следова-
ния операторов в гамильтониане, представляется естественным. Конти-
нуальные интегралы свидетельствуют, что между классическим и кванто-
вым описаниями имеется гораздо более тесная связь, нежели это принято
думать. Необходимость учета "кривизны" траектории (точнее, недоста-
точность ее аппроксимации отрезком прямой, как в B.2.9), B.2.11)) связа-
на с тем фактом, что основной вклад в континуальный интеграл B.2.10)
дают недифференцируемые траектории (Д/е ~ е^2 —» ос). Характерное
для броунова движения соответствие с ~ Д2 [30] означает, что фракталь-
ная размерность траектории равна двум [101, 102]. Траектории как бы
уширяются, эффективно превращаясь в двумерные объекты. Вопрос за-
служивает более глубокого изучения. , .; •¦
2.8.2. Гамилыонов формализм. Проведенное рассмотрение не об-
общается непосредственно на гамильтонов формализм [65, 66]. Кванто-
вание в рамках ГКИ есть отдельная важная проблема. Важность ее оп-
ределяется тем, что на практике встречаются задачи, возникающие при
работе именно в гамильтоновом формализме. Например, при задании ка.-
нонического преобразования генератором G(q,p) (см. разд. 2.6) перенесе-
ние его на квантовую механику требует умения построить соответствую-
щий оператор G, в связи с чем может возникнуть проблема упорядочения
операторов q,p. Разумеется, по G можно построить аналог лагранжева
формализма (см. B.6.27)), но это выглядит искусственно. Аналогичная
проблема может возникнуть при квантовании динамических систем со свя-
зями (упорядочение в связях, см. гл. 4). Впрочем, независимо от практи-
ческих соображений вопрос интересен сам по себе.
Для простейших функций Гамильтона типа B.2.2) ядро инфинитези-
мального оператора эволюции U(() имеет вид B.2.5):
и.,
Д.= ,-
B.8.34)
Как обобщить B.8.34) на случай искривленного пространства, когда Н
104
дается B.3.11):
Vh =
B.8.35)
Задача заключается в определении показателя экспоненты Sn (выраже-
ние в квадратных скобках B.8.34)) и предэкспоненциального множителя.
Выясним сначала вид функции 5н- Она превращается в действие на клас-
сической траектории, соединяющей точки q и q' после замены р решением
уравнения дБн/др = 0. С учетом этого обстоятельства по аналогии с
лагранжевым формализмом (см. B.8.9)) гамильтоново действие в B.8.34)
заменим на
= Jdt[pA-H(q,p)},
B.8.36)
вычислив его с учетом всех значимых экстрачленов. Подставляя в B.8.36)
решения гамильтоновых уравнений движения
- }\Pj - Vi B.8.37)
Pi = l»j. /
и используя в B.8.36) разложение, аналогичное B.8.16):
, с2 d €3 d2
¦?н(?,Р,?) = (\РЯ- Що+ гтИо + 7^Но + '
B.8.38)
находим действие с учетом кривизны траектории. В B.8.38) производные
берутся при t = 0; учтено, что Я есть константа движения.
Своеобразие задачи по сравнению с лагранжевым формализмом в сле-
дующем. С одной стороны, мы собираемся вычислить действие на клас-
сической траектории, т.е. подставить в B.8.36) решение B.8.37) q(t) =
q(t,qo,po), p(t) — р('.?о,Ро), зависящие от начальных значений до = ?@) =
я'< Ро = р@) = P'i ПРИ этом с помощью первого уравнения B.8.37) можно
вообще избавиться от р. С другой стороны, р — независимая переменная,
по которой производится интегрирование (см. B.8.34)), т.е. ее присут-
ствие в B.8.36) обязательно. Поэтому поступим так: в первом члене р
оставим как есть, а вместо q(t),q'(t) подставим решения B.8.11)—B.8.15),
выраженные через q,q'. При этом стационарная точка показателя экспо-
ненты в B.8.34) будет по-прежнему определяться гамильтоновым уравне-
нием движения q' = dH/dpi- Остальные члены в B.8.38) не влияют на
классические уравнения движения, поэтому в них допустимо перейти от
р к q. При их вычислении необходимо удерживать только значимые экс-
трачлены; по формальному счету достаточно ограничиться выписанными
в B.8.38) слагаемыми (например, первый невыписанный член имеет поря-
док (*pd*q/dt* ~ с4рД4Л4 ~ Д3 = О(е3/2)). Вклад от последнего слагаемо-
го, имеющего порядок Д4/е ~ ?, обращается в нуль, второе же дает
Итак, с учетом B.8.39)
B.8.39)
B.8.40)
105

где Ak;i = Ль,( — [kl,j]A' — ковариантная производная, a q' дается B.8.13).
Все функции взяты в крайней правой точке q@) = q'. Интегрирование в
B.8.34) по импульсам после подстановки в показатель экспоненты выраже-
ния B.8.40) дает, разумеется, действие B.8.17). Остается найти предэкс-
поненциальный множитель. Ок должен выражаться, подобно D в B.8.7),
через вторые производные 5н- Трудность в том, что 5н, в отличие от 5,
зависит от трех переменных: q,q',p. Этот множитель приходится угады-
вать, поэтому приведем сразу ответ. Ядро U4i> для гамильтониана вида
B.8.35) дается формулой
в котором Sn определяется равенствами B.8.40), B.8.13). Обозначим
, Р, Я ) = det | d,SH/dpi8qti д23н/др(др.
B.8.42)
Фактор Он есть результат подстановки в ?>н решения классических урав-
нений движения B.8.37) р = p{q,q'), те-
DH(?,я') = Dh(«.p(q, ?'). <?') = Д«, ?')¦ B-8.43)
Проверка правильности рецепта B.8.41)-B.8.43) сводится к доказатель-
ству того, что после интегрирования по р ядро B.8.41) превращается в
ядро B.3.7). В отношении показателя экспоненты это, как отмечалось,
действительно так — проверка не составляет труда. Если бы определи-
тель ?>н не зависел от импульсов, то переход Dh —• -Оц был бы не нужен.
Но Dft зависит от р и при вычислении DH в аиде ряда по Д появляются
билинейные по импульсам значимые члены, из-за которых и приходится
писать ?>н- Правильность выбора ?>н в B.3.41) доказывается следующим
образом. 5н B.3.40) представим в виде
B.8.44)
где р(я,я') — Я' — fW) ~ решение классических уравнений движения
p(<7,g'.t), выраженное через начальную и конечную точки траектории q'.q
в момент времени t = 0: p(q,q') = p(q,q',O) (см. B.8.37), B.8.13)); очевид-
но, что в B.8.44) 5Н(?, я') = 5Н(9, P(q,q'),«') = 5(g,g')- r&e S дается B.8.17).^
Обозначим
Ац =
ы __
dq'dq'i', "' dqidp\'
Подставим Du B.8.42) в виде
Dn = det
А В
с Вв
B.8.45)
B.8.46)
На определитель матрицы DJ' B.8.45) в B.8.46) можно не обращать вни-
мания — он сократится с определителем, возникающим в результате ин-
тегрирования в B.8.41) по р (за вычетом не существенных сейчас множи-
телей, которые комбинируются с множителем Bjrft)"n). Матрицы А, В, С
106
на решениях (р—* р) выглядят следующим образом:
dp,
Подставляя эти выражения во второй определитель B.8.46), находим
- det
dq'dq'i
dq'dq'i
где D есть определитель B.8.8); фактор (—1)п включается в постоян-
ный множитель. Идентичность рецептов B.8.41), B.8.43) и B.8.7), B.8.8)
доказана.
Замечание. Иногда в качестве рецепта упорядочения в криволиней-
ных координатах предлагают симметризацию операторов (точнее, упоря-
дочение по Вейлю). Предложение не выдерживает простейшей провер-
ки. Функция Гамильтона свободной частицы в сферических координа-
тах содержит произведения канонических переменных лишь с нулевыми
скобками Пуассона, т.е. переход в ней к операторам вообще не связан с
проблемой упорядочения. Между тем формальная замена канонических
переменных операторами дает неправильный гамильтониан (ср. B.3.19)).
Таким образом, следование данной рекомендации привело бы, например,
к неправильному спектру атома водорода (см. также разд^ 4.2).
107

Глава 3 ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
СО СВЯЗЯМИ
3.1. Введение
На практике часто встречаются задачи, в которых динамические пе-
ременные (т.е. координаты и импульсы q',pi) подчиняются тем или иным
условиям, связанным с особенностями механической системы. Эти усло-
вия, именуемые связями, могут быть заданы явно с самого начала, как
вытекающие из существа задачи. Например, при движении материаль-
ной точки по кольцу с радиусом R ее координаты подчиняются условию
х2 = ti + х\ — Я2. Хорошо известно (см. [103]), что в лагранжевом подхо-
де подобные связи (равно как и связи, содержащие производные от коор-
динат по времени) легко включаются в обшую схему — в рамках метода
неопределенных множителей Лагранжа все сводится к модификации функ-
ции Лагранжа:
L(x,x) - 1{х, х, А) = Цх.х) +
- х2),
C.1.1)
где L — лагранжиан, соответствующий движению в отсутствие связи, А —
множитель Лагранжа. Уравнения движения и связи получаются из нового
действия вариацией х и А.
Лагранжиан C.1.1) допускает другую интерпретацию: параметр А
можно рассматривать как новую динамическую-переменную наравне с
xi,xi- Отсюда ясно, что связи могут быть заданы и неявно — их суще-
ствование можно установить, изучая лагранжиан. Переобозначив в C.1.1)
А —» гз, имеем:
1(х)х,хз,хз) = Х(х,х)-^г3(х2-Л2), x = (*i,xa). C.1.2)
Формальное C.1.2) нет множителей Лагранжа - переменныеxi,хг,х3 вы-
ступают равноправно; по существу же хз играет роль А.
Итак, появление связей в лагранжевом подходе классической теории в
принципе не приводит к каким-либо затруднениям, ибо с помощью ме-
тода множителей Лагранжа они естественным образом включаются в
формализм.
Ситуация несколько меняется в гамильтоновом формализме, с которым
связана стандартная процедура квантования. Согласно рецепту Лирака,
в классической теории необходимо перейти к каноническим переменным
q и р, а затем объявить их операторами1. Следовательно, до перехо-
да к квантовому описанию необходимо изучить динамику классических
систем со связями в гамильтоновом формализме. Связи теперь могут
накладываться как на координаты, так и на импульсы. Например, при
переходе к гамильтонову формализму мы имеем для лагранжиана C.1.2)
Рз = dL/dii = 0. Это тоже связь — условие на импульс рз-
Общей причиной возникновения подобных связей является вырожден-
ность билинейной формы скоростей в лагранжиане. Если, например, в
'Этот рецепт справедлив только для канонических переменных в декартовых ко-
ординатах, см. гл. 2.
108
C.1.2) слагаемое L есть I(x,x) = ?7}ti,-ii ~ ^(x)/2 {i,k = 1,2, detTa /
0), то кинетический член в L можно записать в виде ?,. l=17iti,ii/2; здесь
Тзь = Г»з = 0> те- det 7(i = 0, и, следовательно, квадратичная форма ско-
ростей вырождена. В этом случае уравнения р, = dLjdii, которысобычно
используются при переходе от лагранжева к гамильтонову формализму
для исключения скоростей, оказываются неразрешимыми относительно
ii — часть из них превращается в условия на координаты и импульсы
(связи). Лагранжианы, у которых
дЧ
= 0, Тц =
C.1.3)
будем называть выро жденкыми. Иногда (не вполне удачно) их именуют
также сингулярными. При появлении нескольких связей необходимо вы-
яснить, не противоречат ли они друг другу, а также убедиться, что они
не противоречат уравнениям движения.
Еще одним характерным примером служит лагранжиан релятивист-
ской частицы
L = -my/ii, C.1.4)
где хЙ = dift/dr, xw— координата D-вектор), г— инвариантный пара-
метр, играющий роль времени. В случае C.1.4) импульсы р,, = дЬ/дх^ =
m2ili/L не есть независимые переменные. Как легко видеть, они подчи-
няются условию р2 = тп2 (более тщательный анализ системы дан в гл. 4).
Здесь связи появляются вследствие нашего желания описывать систему
явно лоренц-инвариантным образом. Мы знаем, что координаты х есть
функции времени 1 = го, т.е. ха и х не равноправны, но, желая иметь явно
ковариантные уравнения движения, считаем и го независимой перемен-
ной. Это можно сделать лишь ценой введения вспомогательного параме-
тра г. Итак, ради явной ковариантности уравнений мы ввели лишнюю
переменную (степень свободы) xq(t). Неизбежность появления связей в
подобных случаях очевидна — благодаря им новая динамическая система
эквивалентна старой.
Введение лишних (нефизических) степеней свободы с целью достиже-
ния явно релятивистски-инвариантного описания и появление, как след-
ствие, связей типично для безмассовых полей с высшими спинами (J >
1/2); впрочем, связи имеются и в теориях ферми-полей (J — 1/2), см.
разд. 3.3.3). Наиболее известными примерами здесь служат электромаг-
нитное поле и поле Янга—Миллса (J — 1), а также гравитационное по-
ле (J = 2). Именно эти теории стимулировали изучение динамических
систем со связями. Характерной особенностью перечисленных (калибро-
вочных) теорий является вырожденность их лагранжианов. Так, в случае
лагранжиана свободного электромагнитного поля L — —F^w/4 (F^,, —
дцА, — dvAp) матрица
г"- = a2i/ai(Iai1/ = 30A50l'-s0V е ' '
есть диагональная матрица с элементами на диагонали @,1,1,1),
т.е. detT*"" = 0. Следовательно, лагранжиан электромагнитного поля
вырожден. Это ведет к дополнительной трудности при построении тео-
рии возмущений: помимо обычных расходимостей, присущих локальным
109

теориям, появляются чисто кинематические бесконечности, связанные с
обращением вырожденной матрицы.
Наконец, общее замечание о той роли, которую играют лагранжев и га-
мильтонов формализмы в релятивистской квантовой теории. Квантование
удобнее всего проводить в рамках гамильтонова формализма. При этом,
однако, трудно гарантировать лоренц-инвариантность получающейся те-
ории: ввиду явной нековариантности данного формализма неудачный вы-
бор гамильтониана может привести к нарушению релятивистской инва-
риантности. Напротив, если описывать квантовомеханическую систему
в рамках лагранжева подхода, например, с помощью континуального ин-
теграла Фейнмана, то релятивистски-инвариантное описание достигается
элементарно — выбором лореиц-инвариантного лагранжиана. При этом,
однако, не очевидно, что в такой теории будет сохраняться вероятность,
т.е. что S-матрица будет унитарной. Поэтому поступают так. Сначала
задаются лоренц-инвариантным лагранжианом, затем на его основе стро-
ят гамильтониан. Если этот гамильтониан самосопряжен, то данная тео-
рия будет релятивистски-инвариантной с унитарной 5-матрицей. Именно
поэтому рассмотрение систем со связями мы начнем с лагранжева фор-
мализма.
3.2. Общий анализ
динамических систем со связями
3.2.1: Гамильтонов формализм [104]. Пусть динамическая система с
:V степенями свободы описывается лагранжианом L(q,q). Для перехода к
гамильтонову формализму скорости q следует выразить через импульсы.
По определению
^il > " C.2.1)
требуется разрешить эти .V уравнений относительно q'. Как хорошо из-
вестно, разрешимость уравнений C.2.1) определяется рангом матрицы
Тцс = d2Ljdqxdqk. Если ранг матрицы Т равен N, то система уравнений
C.2.1) разрешима относительно q1, и переход к гамильтонову формализму
совершается стандартным образом.
Предположим, что ранг матрицы Т равен R, R < N. В этом случае
матрица Тц имеет iV —' R нулевых собственных значений и R уравнений
системы C.2.1) разрешимы относительно <jl. Пусть это будут первые R
уравнений; тогда можно написать:
qk == fk(q,puqr), к, I = 1,2,..., R. r=R + l,...,N. C.2.2)
Здесь для сокращения записи через fk{q,PuqT) обозначены функции
fk(qi>- •>9лг.Р1, • • -,Ря,9я+1, •. -, qN)- Такое сокращение будем использо-
вать и в дальнейшем. Неравенство R < N означает, что после подста-
новки C.2.2) в оставшиеся N — R = S уравнений C.2.1) из них выпадает
зависимость от qr, т.е. они имеют вид 2
В гамильтоновом формализме, это есть условия на независимые перемен-
ные q' и Pi. Полученные условия называют уравнениями связи или просто
" 'Встречаются и более сложные случаи, см. гл. 4. • . *
110
связями. Отметим, что связями называют также сами функции фэ. Крат-
кости ради и мы позволим себе эту терминологическую вольность. Су-
ществование связей означает, что физическим является лишь некоторое
подпространство полного фазового пространства 2N измерений. Равен-
ство C.2.3) можно переписать несколько иначе. Обозначим
д?
-рг.
C.2.4)
Здесь в лагранжиане выделены аргументы дя+1 ,...,qN и явным образом
учтено, что <Pr(?,Pi) не зависят от f. Вместо C.2.3) получаем
ФЛя,р) =
= о, s= 1,2,...,
C.2.5)
Тем самым мы уточнили вид функции $,: она линейна в импульсах рц+,-
Гамильтониан определяется обычным образом:
Я = Pi? -Lzz
r - 1(?,Л»Г).
C.2.6)
Я+1
, q не выражаются через импульсы, поэтому они сохра-
Скорости q
нены в Я (т.е. строго говоря, это не гамильтониан). Докажем следующие
утверждения: _
1) с учетом связей C.2.5) Я не зависит от ?г;
2) без учета связей C.2.5) Я зависит от qT и рг линейно.
Действительно, дифференцируя C.2.6) по qr, имеем:
ЭН
= Рк-
+ Рг-
dfk dqr
= Рт - 9т
C.2.7)
(первый и третий члены сокращаются согласно первым R уравнениям
C.2.1)). Отсюда немедленно заключаем: во-первых, учет C.2.4), C.2.5)
означает, что дН/dqf — 0 — это доказывает первое утрерждение; во-
вторых, так как правая часть уравнений C.2.7) не зависит от др, то, инте-
грируя их, находим
Я = Я(д, рк) + qr (Pr - Ч>Л<1, Pit)).
C.2.8)
это доказывает второе утверждение. Гамильтониан H(q,pic) есть правая
часть C.2.6). после учета связей. Формула C.2.8) устанавливает общий
вид гамильтониана при наличии связей.
Теперь встает вопрос о том, как пользоваться этим гамильтонианом.
Если связи не учитывать, то Я зависит от qT — необычное свойство для
гамильтониана. Если же учесть связи, то q и р уже не будут независи-
мыми переменными. Как быть? Воспользуемся рекомендацией Дирака
(см. [104]). Найдем вариацию функции р;?1' - L(q,q) при изменеии всех ее
аргументов:
-L) =
+ Pi
q* - j^Sq* -
Q Г
После учета уравнений движения d/dtdL/dq' = dL/dq' и определения
C.2.1) выясняется, что
6{piq* - L) = q'S
= 8H{q,p),
,C.2.9)
111

т.е. что комбинация p,j' - L есть некоторая функция q и р. Если бы пере-
менные q' и р, были независимыми, то из C.2.9) приравниванием коэффи-
циентов при вариациях Spi и Sq' в равенстве
дН дН ¦
4'Spi — p\Sq' — SH(q,p) = -г—Spi + -т—Sq' C.2.10)
Opi Oq'
немедленно получались бы гамильтоновы уравнения движения.3 Мы, од-
нако, не можем этого сделать, так как в силу уравнений C.2.3) вариации
Spi и Sq' связаны между собой соотношениями
дф.
~ SPi = 0,
OPi
C.2.11)
Лля получения уравнений движения воспользуемся методом множителей
Лагранжа. Умножая равенства C.2.11) на произвольные функции времени
11, и складывал их с C.2.9), получим равенство
#6р,
= «Я + и.
q* +
из которого выводим уравнения
дН
дН
дф,
C.2.12)
C.2.13)
Сюда следует добавить уравнения связей C.2.3"). Таким образом, для
2iV + 5 неизвестных функций q', p;, и, имеется.2N уравнений C.2.13) и 5
уравнений связи C.2.3). Уравнения C.2.13) можно перепцсать с использо-
ванием скобок Пуассона:
C.2.14)
где
Уравнения C.2.13) и C.2.14) идентичны в предположении, что {q, и,} =
{р,и,} = 0. Впрочем, следуя Дираку (см. [104]), можно не определять яв-
но этих скобок, допустив лишь, что они обладают всеми обычными свой-
ствами скобок Пуассона, в частности {и,ф,,А} — и,{ф,,А) + {и,,А}ф, (А
— произвольная функция q и р). Тогда, например:
{?', Нт} = {?',Я} + U,{q', ф3} + {q', и,}ф,,
и в силу уравнений связи последний член исчезает независимо от опреде-
ления {<?, и,}. Если принять во внимание линейность ф, по импульсам рг
(см. C.2.5)) и тот факт, что гамильтониан H(q,pt) в C.2.15) не зависит от
рг, то становится ясен смысл включения членов иаф, в Нт. Действитель-
но, согласно C.2.14) и C.2.5)
' т — /яг тт \ _ /о л "i/?\
Ч — \Ч i**Tj — Ur—R) ; \о,Л.ш)
3 Не удивительно, что равенства. C.2.10) эквивалентны г&мильтоновым уравнениям
движения — ведь при получении C.2.9) были использованы уравнения движения в
лагранжевой форме.
112
т.е. эти члены, точнее, коэффициенты и,, определяют скорость изменения
N - R нефизических переменных %' C.2.16) со временем.
Итак, согласно C.2.14), гамильтониан #т задает развитие динамичен
ских переменных со временем. Теперь уместно убедиться в непротиворе-
чивости теории. Так как <р, = 0, то и ф, — 0, т.е. должно быть
,{ф„ф,,} = 0. C.2.17)
C.2.18)
Здесь имеются следующие возможности (связи учитываются):
1) равенства C.2.17) выполняются тождественно;
2) они ведут к условиям вида
которые не сводятся к связям C.2.7); это новые связи;
3) равенства C.2.17) есть условия на и,;
4) эти равенства противоречивы.
Возможность 1) не требует комментариев — теория не противоречива.
Условия C.2.18) по существу являются новыми связями, т.е. для непро-
тиворечивости теории необходимо наложить дальнейшие ограничения на
координаты и импульсы. Случай 2) возможен, лишь если справедливо
равенство
{*„*.•} = С;".(ч,р)ф.«, C.2.19)
где С'„> есть некоторые функции j ир, т.е. когда после учета связей из
уравнений C.2.17) выпадает зависимость от и,. Еслиже C.2.19) не выпол-
няется, т.е. если для некоторых ф,,ф,< левая часть C.2.19) даже с учетом
связей не обращается в нуль (например, есть отличная от нуля постоян-
ная), то осуществляется третья возможность. В этом случае часть коэф-
фициентов 11,", или все они, находятся из уравнений C.2.17).
И, наконец, может случиться, что условиям C.2.17) нельзя удовле-
творить никаким выбором функций q,p и и,, — теория противоречива.
Примеры паталогических лагранжианов: A) L = q, уравнения движения:
dL/dq — 0, т.е. 1 = 0 (абсурд); B) L — q, уравнения движения: dtdL/dq — О,
т.е. 0 = 0 (тождество, поскольку лагранжиан есть полная производная).
Если имеет место возможность 2), то анализ следует продолжить, т.е.
необходимо выяснить непротиворечивость новых связей фт точно так
же, как это было сделано для связей 6,. Общее исследование непроти-
воречивости заканчивается, если на каком-нибудь этапе не появляется
новых связей.
Прежде чем переходить к примерам, договоримся о терминологии.
Связи C.2.3) и C.2.18) называют соответственно первичными и вторич-
ными. Название указывает лишь этап, на котором связи появляются, в
остальном же они равноправны. '
При работе со связями встречаются два типа равенств. Именно, поми-
мо обычных, встречаются равенства, которые справедливы лишь'с учетом
связей или, как говорят, выполняются "на связях" — т.е. на подпростран-
стве фазового лространства, выделяемом связями. Последние равенства
именуются слабыми, и для их обозначения используют знак w. Например,
C.2.19) можно записать так: {Ф,,Ф,<} « 0. Обычные равенства, справед-
ливые и без учета связей, называют сильными и обозначают привычным
знаком =.
113

Все динамические величины, следуя Дираку, разобьем на два клас-
са. Функцию A(q,p) будем называть динамической величиной первого рода,
если ее скобки Пуассона со всеми связями слабо обращаются в нуль, т.е.
если
{Л,0у}«О, j = l,2,...,J. C.2.20)
Здесь и в дальнейшем (если не оговорено обратное) посредством 0,- обо-
значаются все связи — первичные и вторичные. Равенство C.2.20) можно
записать в эквивалентном виде:
{A, 0j} = rf,j'(?,p)«ij'. C.2.21)
Другими словами, величина, равная нулю в слабом смысле, в сильном
смысле равна линейной комбинации связей. Разумеется, коэффициенты
djji в C.2.21), вообще говоря, также могут оказаться зависящими от ф].
Все величины, не относящиеся к первому роду, назовем динамическими
величинами второго рода. Поскольку непротиворечивость теории требу-
ет, чтобы на связях всегда выполнялось равенство C.2.17), т.е. чтобы
I тг 1 1 L 1 —. п / о О ОО\
то гамильтониан всегда должен бить величиной первого рода (/ijt в C.2.22)
есть некоторая функция q,p).
В соответствии с этой терминологией классифицируются и связи.
Если для каких-то связей (первичных или вторичных) выполняются ра-
венства C.2.19), то они называются связями первого рода. В этом случае
говорят, что связи находятся в инволюции. Итак.хкобки Пуассона связей
первого рода слабо обращаются в нуль. Если этого нет, то их относят к
связям второго рода. .,.-.' __¦_
В заключение подчеркнем, что нельзя использовать уравнения свя-
зи до вычисления скобок Пуассона, так как при определении этих ско-
бок предполагается, что все переменные q и р являются независимыми
переменными.
3.2.2. Образцы систем со связями.
1. Простейшая система со связью определяется лагран-
жианом : .¦•.-.
?= ъ(*1+*2K- C.2.23)
Имеем р\ = i] + Х2, рт,— х\ + Х2, первичная связь ф = ръ — pi = 0. "Га-
мильтониан" Н = р\/2 + гг(Р2 — Pi)- Лагранжиан C,2.23) инвариантен
относительно калибровочных преобразований 5х\ = 8u(t), 8x2 = — 8u(t).
Если перейти к новым переменным Х\ — х\ + х3, %2 = (^2 — xi)/1, то
L = A'j/2. Становится ясно, что это система с одной степенью свобо-
ды (в этом смысл появления связи — физическое фазовое пространство
имеет меньшую размерность). Динамика определяет закон изменения со
временем лишь переменной Xi, тогда как Лг остается совершенно произ-
вольной. Ясно, что Xi — нефизическая степень свободы, она меняется, в
частности, при калибровочных преобразованиях. Выясним смысл гамиль-
тониана Нт'.
-p1
2-pi). ' ..C.2.24)
Непротиворечивость теории очевидна, ибо {6,Нх} = 0. Из уравнений
движения xi = pi — и, х2 = и; р\ - 0, рг = 0 и связи pi = р2 заключа-
ем, что функция u(t) оказывается произвольной. Найдем, как меняются со
114
временем переменные Х\ и Х%. Поскольку {Х\,ф} = 0, {Хг,(?} = 1, имеем
Х\ = {Х\,Нт} — р\\ Xi — —pi/2+u. Отсюда становится ясным смысл чле-
нов и,ф, в #т — они не влияют на физические переменные и определяют
закон изменения со временем нефизических. Их включение делает теорию
более общей. Можно выбрать какое-нибудь частное значение функции и,
например положить и = 0 или и = 1. В таких случаях говорят о фикса-
ции калибровки. Тем самым фиксируется закон изменения нефизических
переменных. Гамильтониан C.2.24) есть инвариант калибровочных пре-
образований в слабом смысле.
2. Система со связями первого рода. Рассмотрим более
сложный пример. Пусть теория задана лагранжианом
I(x,x,y,y) = \(i-[y,x]f -
C.2.25)
где х, у - трехмерные векторы с векторным произведением [х,у]. Имеем
тч — dL/dyi = 0 (i = 1,2,3) — первичные связи, р< = dL/dii = (х — [у, х])(.
Гамильтониан таков:
Я = \Р2 + V(x2) + (у, [х, р]), ЯТ = Н + (и, я).
C.2.26)
Исследуем непротиворечивость динамической системы. Так как {у<. т,} =
8ij, то у = ц, и — произвольная функция, и
{я, Ят} = -[х, р] = -М = 0 . C.2.27)
Это вторичные связи. Их всего три, но только две из них независимы.
Нетрудно убедиться, что
C.2.28)
т.е. связи находятся в инволюции. Вычисляя далее:
e,vlj/;-Mt, C.2.29)
убеждаемся, что теория не противоречива, гамильтониан Ят C.2.26) —
величина первого рода. Лагранжиан C.2.25) инвариантен относительно
группы калибровочных преобразований:
Поучительно ознакомиться с решениями уравнений движения. К га-
мильтоновым уравнениям
добавляем связи
[х,р]=0.
C.2.31)
C.2.32)
Уравнение у = и, как станет ясно, не содержит новой информации, ибо
вектор у оказывается произвольным. Из C.2.32) имеем: р = А(()зс, где
А — произвольная функция. Произвольность А есть следствие того, что в
C.2.32) содержится лишь два независимых условия. Подставляя получен-
ное р в C.2.31) и выбирая для простоты V = х2/2, находим:
По

х = Ах + [у,х], Ах + Ах = ~х + А[у,х]. . C.2.33)
Умножив первое из этих уравнений на А и вычтя из него второе, получим
Ах =-(А2 + 1)х, т.е.
A = -tg(t + c). C.2.34)
Первое из уравнений C.2.33) переписываем в виде
ij -eijkyk(t),
C.2.35)
и, обозначив A(t) = J X(t)dt, Л@) = 0, имеем
- f A(t')dt'\x@). C.2.36)
о /
Здесь матрица А есть Aij(t) = ejy*2/i(O> и символ Т перед экспонентой
означает упорядочение по времени. Импульс р находим умножением х
на А C.2.34), а вектор у остается произвольным. Из девяти неизвестных
величин (х.р.у) мы определили только шесть, т.е. три из девяти урав-
нений C.2.31), C.2.32) оказываются следствием остальных. По существу,
это иллюстрация 2-й теоремы Нетер (см. [6]).
Обсудим полученное решение. Фиксируем калибровку, положив у = 0.
Тогда, как явствует из C.2.35), C.2.36), частица будет двигаться по пря-
мой, проходящей через начало координат. Этот процесс и составляет фи-
зическое содержание задачи. Если же y(t) ф 0, то< учитывая, что матрицы
Gk {{Gk)ij = e.ji) есть генераторы поворотов в трехмерном пространстве и
Aij = Gyjifc(t), убеждаемся, что Т-экспонента в C.2.36) обеспечивает про-
извольное вращение оси, по которой двигается частица,, вокруг начала
координат. Это вращение никак не сказывается на физическом процессе
— движении частицы по оси.
3. Система со связями второго рода. Пусть теорил задана
лагранжианом C.1.2), где L = A/2)х". Тогда
0з(х) — вторичная связь. Необходимо убедиться, что и эта связь не про-
тиворечит уравнениям движения. Имеем:
(х,р)=03 = О. C.2.40)
р,- = dL/dii = i,-, рз = 0, г= 1,2, C.2.37)
где Рз = 01 = 0 — первичная связь. Гамильтониан имеет вид
• 1 2
Я = —р +хз0з(х), Ят = Я -f- ii0i I C.2.38)
,2
причем 02 = (х2 —К2)/2. Составляем условие непротиворечивости теории:
-02(х) = 0; C.2.39)
Это новая связь. Вычислля скобку Пуассона
1 ;¦'¦•• {02,0з} = х2« я2,
C.2.41)
заключаем, что 02 и фз — связи второго рода. Анализ следует продол-
жить, т.е. надо найти
116
{0з, Ят} = Р2 - *зх2 = 04 = 0. . C.2.42)
Это еще одна связь. Она не находится в инволюции с первичной связью
{04,0i} = -x2rs -Л2, C.2.43)
следовательно, ф\ тл ф^ — еще одна пара связей второго рода. Отметим,
что в отношении ф\ этот факт выяснился только на последнем этапе. Лег-
ко убедиться, что _
{04, Ят} = -Dг30з + их2) ss 0. C.2.44)
Выражение C.2.44) уже не есть новая связь, это условие на и, именно: и =
0. Этим заканчивается анализ непротиворечивости системы. Осталось
ЛИШЬ ОТМеТИТЬ, ЧТО СВЯЗИ фз И &4 (в ОТЛИЧИе ОТ 02 И 6* {02,04} = 20з)
также не в инволюции, {<*з,<?4} = 204+4гз*2, однако линейная комбинация
связей фз = 0з — 4гз01 находится в инволюции с 04, {<?з, Ф\} = 204.
Лагранжевы уравнения движения х = — гзх, х2 = Я2 легко решают-
ся: ip = vt + ра, г = R. хз = i>2, где г = (х2I'2, р — arctg гг/^ь т.е.
несмотря на наличие первичной связи решения не содержат произвола.
Следовательно, хотя лагранжиан C.1.2) вырожден, он не инвариантен от-
носительно каких-либо калибровочных преобразований (в противном слу-
чае, согласно 2-й теореме Нетер, решения содержали бы произвол).
Попытка перейти к наиболее общему гамильтониану
а, а = 1,2,3,4,
C.2.45)
не дает ничего нового. Имеем
. ' {0в,ЯЕ} =' '{фа,1
где антисимметричная матрица Маа имеет отличные от нуля элементы
:Vfl4 = М-23 = —M4i = -Мз2 = 1- Следовательно, все коэффициенты иа
фиксируются: ма = 0. Система не допускает более общего описания.
И последнее. Может возникнуть вопрос о правомерности использо-
вания аппарата обычных скобок Пуассона для получения новых связей,
поскольку этот аппарат предполагает независимость переменных q и р, а
в процессе исследования выясняется наличие между ними связей. Вспо-
мним, что именно наличие первичных связей вынудило нас в разд. 2.1 при-
бегнуть к произвольным коэффициентам и,. Разница в том, что первич-
ные связи появляются в момент построения гамильтонова формализма,
в котором предполагается, что все канонические переменные независимы.
После того как гамильтонов формализм построен, появление новых связей
не требует его видоизменения, ибо сами связи появляются в результате
вычисления скобок Пуассона и фигурируют наравне с уравнениями дви-
жения.
4. Типы первичных связей. Могут ли среди первичных связей
оказаться связи второго рода? Следующий пример дает ответ на этот
вопрос. В теории с лагранжианом
C.2.46)
117

первичные связи таковы: pi = — хз, Рз = 0, т.е. Ф1 — р^ + *з, Фг = Рз. Это
связи второго рода, ибо {ФъФг} = !• Лагранжиан C.2.46) есть частный
случай функции
1= 2±i ~
При к = +1 имеем первичные связи первого рода, а при к = — 1 —
второго рода. •
5. Противоречивая динамическая система со связями.
Пусть
L = ^i\ + x2. C.2.47)
Так как pi = i\, рз = 0, то гамильтониан есть Н — Pi/2 —12, #т = И + ирг
и условие непротиворечивости {Р2>#т} = 0 не выполняется, поскольку
{pi, Нт} = 1, т.е. система C.2.47) противоречива.
6. Система с фиктивной степенью свободы. Теория с ла-
гранжианом L = i?/2 + Х2, хотя и непротиворечива, бессодержательна в
отношении *2, поскольку уравнения движения для нее выполняются то-
ждественно: 0 = 0.
3.2.3. Лагранжев формализм. Выясним специфику динамических
систем со связями в лагранжевом подходе. Как упоминалось в разд. 3.2.1,
такие системы описываются вырожденными лагранжианами, у которых
детерминант матрицы Тц = d2L/dq'dqk равен нулю (см.C.1.3)). Напишем
уравнения движения:
Если ранг R матрицы Тц меньше N, то уравнения C.2.48) есть уравнения
второго порядка только для R функций qk(t), т.е. только Я"этих уравнений
можно разрешить относительно qk:
=l,2,...,R, s = 1,2, ...,N - R.
C.2.49)
Остальные N — R соотношений не есть уравнения движения, ибо после
подстановки в эти последние выражений C.2.49) из них выпадает зависи-
мость от qR+t (в частности, некоторые равенства могут оказаться след-
ствием остальных), т.е. они превращаются, вообще говоря, в некоторые
условия на координаты и скорости вида
©*(?-?)= 0, s=l,2,...,N-R.
C.2.50)
Число независимых условий C.2.50) не превосходит числа первичных свя-
зей. Их существование означает, что мы не можем произвольно задавать
начальные условия (т.е. координаты и скорости)
начальные условия должны быть такими, чтобы они не противоречили
соотношениям C.2.50), иначе задача описания движения системы не будет
иметь решения.
Исследование непротиворечивости связей соответствует здесь иссле-
дованию совместности уравнений C.2.49) и условий, получаюшихся диф-
ференцированием по времени равенств C.2.50), именно:
118
А _ вв. , вв. ¦
aq' dq'
0-
Подробный анализ подобных "связей" в лагранжевом формализме (име-
нуемых "лагранжевыми связями") можно найти в работах [105-107].
3.3. Физические переменные
в системах со связями
3.3.1. Расширенная группа калибровочных преобразований. Свя-
зи в теории должны выполняться во все моменты времени. Поэтому в про-
цессе эволюции система не выходит за поверхность, задаваемую уравне-
ниями фа^,р) ~ 0 в полном фазовом пространстве. Это означает, что сре-
ди канонических переменных р и q имеются "лишние" или нефизические,
изменение которых со временем не определяется уравнениями движения.
Естественно поставить вопрос о формулировке теории в терминах толь-
ко физических степеней свободы, т.е., как говорят, перейти к описанию в
редуцированном (или физическом) фазовом пространсве (ФП). Переход к
физическим переменным для теорий со связями первого рода отличается
от такового для теорий, содержащих связи второго рода.
Как было показано, существенное различие между системами со свя-
зями первого и второго рода состоит в том, что первые допускают дина-
мику более общего типа, когда решения уравнений движения зависят от
произвольных функций времени (см. C.2.15)). Число этих функций рав-
но числу независимых связей первого рода. Наличие такого произвола
может означать, что теория обладает локальной (калибровочной) симме-
трией, причем связи первого рода служат генераторами преобразований
этой симметрии.
Действительно, рассмотрим изменение некоторой функции F = F(p,q)
за малый промежуток времени At в рамках обобщенной гамильтоновой
динамики. Имеем (см. [104]):
= Fa +
= Fo +
= Fo.+ ({F, H} + ua{F, фа}) At, C.3.1)
где Я — гамильтониан системы, Fo = Ft=o, ua — произвольные функции
времени, фа — связи первого рода (первичные и вторичные). Функции иа
находятся в нашем распоряжении и мы можем взять вместо них другие:
и'а = иа + 6иа. Тогда изменение величины C.3.1) есть
5F&, = -6иа{фа, F}At = -At6ua$aF, C.3.2)
где мы ввели операторы A.6.5). Поскольку фа — связи первого рода, то
Г , ; 1 "У 1 /п п п\
операторы фа образуют алгебру Ли, если структурные константы с^ не
зависят от р и q (в противном случае алгебра называется открытой). Ра-
венство C.2.16) показывает, что связи первого рода фа являются генерато-
рами преобразований в пространстве нефизических переменных и соглас-
но C.3.2) индуцируют преобразования иа ^* и'а. Последние не связаны
с изменением физического состояния системы, поэтому преобразования,
119

генерируемые связями первого рода, являются калибровочными. Выпол-
нение условия C.3.3) означает, что они образуют группу.
Если нас интересует эволюция только физических величин, не завися-
щих от выбора иа, то мы должны потребовать ^д( — 0, т.е. величина F
есть калибровочный инвариант:
ф^ — {Фа, F} = 0. C.3.4)
Чтобы решить уравнение C.3.4), нужно совершить каноническое преобра-
зование, при котором связи фи становятся линейными комбинациями М
новых канонических импульсов [108] (М — число независимых связей).
Тогда решение уравнения C.3.4) дается функциями, не зависящими от Л/
координат, канонически сопряженных этим импульсам. Это эквивалентно
добавлению к связям дополнительных условий.
Итак, в отличие от систем со связями второго рода, физическое ФП
в системах со связями первого рода не совпадает с поверхностью связей
фа = 0. На поверхности связей действуют калибровочные преобразо-
вания, генерируемые операторами фа. Эти преобразования не меняют
физического состояния системы. Изучению геометрии физического ФП в
калибровочных ситемах посвящена гл. 5. Здесь мы подчеркнем, что гене-
раторами калибровочных преобразований служат все связи первого рода
(первичные и вторичные). Поэтому алгебра C.3.3) может оказаться шире,
чем алгебра калибровочных преобразований лагранжиана исходной тео-
рии. Группу преобразований, генерируемых всеми связями первого рода,
называют расширенной группой калибровочных преобразований (см. [104]).
Поясним сказанное на примере.
Лагранжиан C.2.25) инвариантен относительно калибровочных пре-
образований C.2.30), отвечающих SOC) вращениям вектора х. Группа
G = 50C) имеет три генератора. Однако алгебра связей первого рода
C.2.28) (вторичных и первичных) содержит 6 линейно-независимых гене-
раторов. Величины Mi являются генераторами 5ОC)-вращений перемен-
ных х и р и MiVj — Mi\jj = 0. Операторы т,- коммутируют друг с другом
и являются генераторами трансляций переменных у,-. Очевидно, что все
связи первого рода образуют алгебру Ли; расширенная калибровочная
группа Дирака G в этом случае есть прямое произведение групп трехмер-
ных трансляций вектора у и 5ОC)-вращений векторов х и р:
G = Ts(y)®5OC)(x,p).
Уравнения C.3.4) для модели C.2.25) распадаются на два класса:
9iF(y,n,x,p) = —F = 0,
дуг
М^(у,7Г,х,р) = 0.
C.3.5)
(З.З.б)
Из уравнения C.3.5) следует, что физические величины не зависят от
у, а в силу уравнений связи щ'= 0 они'также не зависят от'я. Сле-
довательно, переменные я и у описывают нефизические степени свобо-
ды. Поскольку Mi являются генераторами SOB), то решения уравнения
(З.З.б) есть всевозможные 5ОC)-инварианты, построенные из двух векто-
ров рях. Если ограничиться вещественно-аналитическими функциями
120
F — F(x,p), то F может зависеть только от трех инвариантов р2, х2
и (х\р) [109]. На поверхности связей А/,- = 0 вектор р пропорционален
х (см. C.2.32) и далее), поэтому инвариантные переменные взаимозави-
симы. Чтобы убедиться в чтом, перейдем к сферическим координатам
ii = rsinffcos^, i2 = rsinBsmip, Хз = rcosO и по формуле A.4.6),найдем
новые канонические импульсы:
Рг =
(х,р)
г = х ,
рв = sin if М\ — cos yr.V/2 * 0,
Ру, = -Л/з « О,
сопряженные т,9 и ^> соответственно; имеем:
Следовательно, рГ и г могут быть отождествлены с физическими не-
ременными. Общее решение C.3.5), C.3.6) на поверхности связей есть
F — F{pr, г). Альтернативный выбор переменных связан с переходом к
сферическим координатам в пространстве импульсов.
Модель содержит пять нефизических степеней свободы, хотя имеется
шесть связей. Причина этого в том, что вектор х имеет стационарную
группу SOB) (вращения вокруг оси х), которая является подгруппой
калибровочной группы 5ОC). Следовательно среди трех связей Mi
только две независимые.
3.3.2. Исключение нефизических переменных в случае связей
второго рода. Скобка Дирака. Система со связями второго рода не
допускает обобщенной динамики, поэтому калибровочный произвол в ней
отсутствует и физическое фазовое пространство совпадает с поверхно-
стью связей. Однако мы не можем решить связи до вычисления скобок
Пуассона в гамильтоновых уравнениях движения, ибо это ведет к проти-
воречию или к изменению исходной (лагранжевой) динамики. Действи-
тельно, рассмотрим пример C.2.38). В разд. 3.2.2 показано, что решения
соответствующих лагранжевых уравнений движения имеют вид (см. текст
между C.2.44) и C.2.45))
х2 — flsin(i/i + 90),
=  = const.
C.3.7
С ДруГОЙ СТОРОНЫ, С ПОМОЩЬЮ СВЯЗеЙ фа = О ИСКЛЮЧИМ Рз,Хз,Р1 И Х2 ИЗ
гамильтониана C.2.38), т.е. отождествим х\ и рз с физическими перемен-
ными. Тогда гамильтониан в физическом ФП имеет вид
' ¦ И» = ?р1 C.3.8)
Откуда получаем гамильтоновы уравнения движения
Р2 = {р2, tfph} = 0, xi = {гьЯрн} = 0,
поскольку {р2, *i} = 0 (т.е. на физическом ФП нет симплектической струк-
туры!). Общее решение этих уравнений очевидно не совпадает с C.3.7).
121

Определим матрицу {фа, Фр}~1, обратную к {фа, Фэ), где фа - незави-
симые связи второго рола. Введем скобку Дирака (см. [104]):
- {Fb
Д. ft}-
C-3-9)
Можно показать, что скобка Дирака антисимметрична, удовлетворяет
правилу Лейбница и тождеству Якоби (см. [104]). Следовательно, C.3.9)
задает симплектическую структуру на фазовом пространстве. Уравнения
движения остаются справедливыми со скобкой Дирака, так как все члены
вида {Фа, W} слабо равны нулю:
F = {F,H}D = {F,H) -
> {Фр,Н} х
Переход к обобщенному гамильтониану #е = Я + иафа не ведет к обоб-
щенной динамике, поскольку скобка Дирака любой функции канонических
переменных со связью второго рода равна нулю:
{F,«Ud = {F,<M - {F,<pT}{o,,«>,j}-1{«>0.'M = 0.
Следовательно, связи фа = 0 можно разрешить до вычисления скобок Ди-
рака в уравнениях движения.
Возвращаясь к примеру C.2.38), находим:
1
Тогда, выбирая р? = р и х\ = q в качестве физических переменных, полу-
чаем физический гамильтониан C.3.8) и симплектическую структуру на
физическом ФП: . '"
{</,pb = ^v/Rr^. C-310)
Гамильтоновы уравнения движения с симплектической структурой C.3.10)
эквивалентны лагранжевым уравнениям для модели C.1.2) с i = x /2.
Легко проверить, что равенства
q = Rcos<p, p = —-plfcosip, {<р,р„} = 1
IX
определяют переменные Дарбу для симплектической структуры C.3.10);
<р S [0;2тг), pv ? Я1. Симплектическая структура, задаваемая скобкой
Дирака, зависит от способа параметризации физического ФП. Например,
считая pi = р' и xi = q' физическими переменными, получаем
я'2
В?р'-
переменные Дарбу в этом случае имеют вид
р' = -—р„ sin у».
C.3.11)
C.3.12)
Однако соответствующая симплектическая форма инвариантна относи-
тельно выбора координат, параметризующих физическое фазовое про-
странство (поверхность связей)
122
dp= {?',р'}Б V A dp',
C.3.13)
где
q' = q, p'-pq'
Итак, исключение нефизических переменных в системах со связями
второго рода в общем случае приводит к гамильтоновой динамике с не-
тривиальной симплектической структурой. Эта структура порождает
инвариантную замкнутую 2-форму на физическом фазовом пространстве
(поверхности связей). Скобка Дирака и гамильтониан зависят от выбо-
ра физических перех(енных (выбора координат, параметризующих поверх-
ность связей второго рода). Различные координаты на физическом фазо-
вом пространстве связаны друг с другом неканоническими преобразова-
ниями, сохраняющими симплектнческую 2-форму.
Другим примером теории со связями второго рода являются системы
первого порядка, в которых лагранжиан линеен по скоростям.
3.3.3. Формализм первого порядка и гамильтонова механика. В
теории с ферми-полями лагранжиан обычно линеен по скоростям. Чтобы
выяснить содержание таких теорий с точки зрения гамильтонова форма-
лизма [149], рассмотрим модель с лагранжианом
C.3.14)
Существо дела не изменится, если мы положим для простоты и = 1, а12 =
— 1. Тогда, переходя к гамильтонову формализму, имеем *i = дЬ/д?± —
&/2, Т2 = dL/d& = -?i/2, т.е. имеем две первичные связи второго рода:
*i = *2 + si/2 = 0, Ф2 = я-1-6/2 = 0, {ФьФ2} = 1. По существу Фь *2-
пара канонически сопряженных переменных. Другая пара такова: ? =
-(*2-6/2), т = (я-! +&г/2), причем {?, Ф,} = {тг, Ф,-} = 0. Согласно Дираку
можно разрешить связи (исключить нефизические переменные), заменив
одновременно скобки Пуассона { , }, скобками Дирака (см. разд. 3.3.2):
{f,g}n = {/,'*}- {/.*«}{¦«.«Л!**.»)-
Имеем ? и ?i, -к « (^ и {?i,?2}d = 1 (знак « символизирует равенство с
учетом связей). В итоге
т.е. C.3.14) есть по существу "плотность" действия в гамильтоновой фор-
ме: действие А = 5н = / Ldt, а У есть гамильтониан. Итак, фактически
?i>s2 — канонически сопряженные переменные. Все выкладки легко обоб-
щаются на любое целое п, если учесть, что линейным преобразованием
? матрица а может быть' приведена к стандартной, блочно-диагональной
форме с матрицами г = — ir? на диагонали (-г? — матрица Паули). Вывод:
формализм первого порядка есть по существу гамильтонов формализм;
если матрица а приведена к стандартной, блочно-диагональной форме, то
6i-i,= ?«, 6к =Pi (»'= 1,2,...,"), V(^) = H(p,q), адействиеЛ =
есть действие в гамильтоновой форме: ' ¦•¦•-'"¦
123

A-SH = Jdt j i(p,-^ - ?,p,) - Я(р, <?)j ;
уравнения движения в теории с лагранжианом C.3.14) идентичны гамиль-
тоновым уравнениям движения q; = дН/dpi, ft = —дН/dqi.
3.4. Нелинейные скобки Пуассона
и системы со связями
3.4.1. Динамика с нетривиальной симплектигческой структурой
и системы со связями второго рода. В разд. 3.3.2 было показано, что
исключение нефизических переменных в системах со связями второго ро-
да с помощью перехода от скобки Пуассона, к скобке Дирака может по-
родить нетривиальную симплектическую структуру на физическом фа-
зовом пространстве (нелинейные скобки Пуассона). Естественно поста-
вить обратную задачу: по заданной симплектической структуре постро-
ить стандартную гамильтонову динамику со связями второго рода в неко-
тором расширенном фазовом пространстве, такую, что симплектическая
структура, возникающая после исключения нефкзических переменных и
перехода к скобке Лирака, совпадала бы с исходной [11].
Рассмотрим гамилыонову динамику с нетривиальной симплектиче-
ской структурой (см. разд. 1.9):
а= 1,2, .-:¦:.,
C.4.1)
где дляпростоты ограничимся случаем чисто.брзевой. системы, т.е. с" =0,
и действием A.9.20). Расширим фазовое пространство путем добавления
новых переменных жа; старые переменные б" играют в нем роль координат,
канонически сопряженных жа, т.е.
Эквивалентность новой и старой теорий достигается постулированием
связей
ipa {в, !г) = жа + ш„ь(в)в1' = 0; C.4.3)
матрица п7а» определяется равенством A.9.18). Покажем, что связи C.4.3)
являются связями второго рода, а соответствующая скобка Дирака вос-
производит симплектическую структуру C.4.1) на поверхности связей
<р„ = 0. Используя тождество A.9.13) для матрицы waj и равенство A.9.19),
нетрудно проверить, что
.-. Ааь = {tpa,tpb} — v<tb(9)- C-4.4)
Детерминант этой матрицы отличен от нуля, так как по предположению
симплектическая структура C.4.1) не вырождена, поэтому связи C.4.3)
являются связями второго рода.
Вычислим скобку Лирака переменных в" и 0* на поверхности связей
C.4.3). Имеем: /,.. , ,т .......
C.4,5)
124
т.е. согласно C.1.4), C.4.5) система с действием A.9.20) динамически экви-
валентна системе, действие которой имеет вид
= J
C.4.6)
где А" — множители Лагранжа. Полезно проверить это утверждение,
обратившись к уравнениям движения. Варьируя действие C.4.6), нахо-
дим
= ? - А"
да*?Ь - 0.
= 0,
C.4.7)
C.4.8)
C.4.9)
6Sv/6Ba = -*а-даН
Дифференцируя уравнение связи C.4.3) по времени, получаем
жа = —п/^в1— всдьпас9ь. Подставим это равенство и равенство C.4.8) в
C.4.9) и воспользуемся тождествами A.9.13) и A.9.19) для матрицы шаЬ. В
результате получаем
Шаь0ь = д„Н,. C.4.10)
что эквивалентно гамильтоновым уравнениям движения, индуцируемым
симплектической структурой C.4.1). Отметим, что в силу равенств C.4.7)
и C.4.8) только переменные в" являются независимыми.
3.4.2. Абелсва конверсия связей второго рода. Расширим еще раз
фазовое пространство системы C.4.6), добавив новый набор дополнитель-
ных переменных ф". Симплектическая структура для переменных в" и irj
сохраняет свой вид C.4.2), а дляпеременных ф" постулируем стандартную
симплектическую структуру
где индексом ф обозначены скобки Пуассона на расширенном (дважды)
фазовом пространстве. Сопоставим набору связей второго рода C.4.3)
набор связей <та(ж, в, ф) — 0, находящихся в инволюции:
- 0,
C.4.12)
таких, что
<га(х.9,Ф = 0) = ч>а(*,в). C.4.13)
Равенства C.4.12) есть нелинейные дифференциальиые уравнения первого
порядка для функций <го с начальными условиями C.4.13). Поэтому в не-
которой окрестности точки ф" = 0 расширенного фазового пространства
существует решение C.4.12), которое задает связи первого рода: сга = 0.
Рассмотренная процедура превращения связей второго рода в связи
первого рода в расширенном фазовом пространстве называется абелевой
конверсией связей второго рода. Конверсия называется неабелевой, если
правая часть C.4.12) есть линейная комбинация связей <г„. Ме"тод кон-
версии был предложен авторами публикации [110] и развит в работах
[11, 111, 112].
Для решения уравнений C.4.12) можно использовать следующий
анзац[113]:
<ха(х,в,ф) =
+ К,(в,ф) , К[0,'ф = 0)"= 0.
C.4.14)
125

Подстановка C.4.14) в C.4.12) приводит к уравнению для функций Ка:
{К„ Кь}ф = шаЬ(в). C.4.15)
В работе [114] решение этого уравнения представлено в виде ряда но сте-
пеням 6а (см. также разд. 3.4.3).
Рассмотрим действие
S, = J Л L/?a + 1ф» ыаь ф'ь - Н(9, ф) - \а<та(ж, в, ф)] ,
C.4.16)
где А" — множители Лагранжа, а новый гамильтониан определяется ли-
нейным уравнением
дн
C.4.17)
с начальным условием
Н{9, ф = 0) = Н(в). C.4.18)
Покажем, что система с действием C.4.16) динамически эквивалентна си-
стеме с действием A.9.20), т.е. уравнения движения для физических сте-
пеней свободы совпадают с C.4.10). Варьируя действие C.4.16), находим
уравнения движения:
в"
ia
= {va
= {в*
= {ф*
= о,
,Не)ф
= -дН/дв" -
= Аа,
=1 аЬдн/дфь ¦
Удаь/два,
f А4 >едаь/д6е,
C.4.19)
C.4.20)
C.4.21)
C.4.22)
где НЕ = Я + AVO. Ввиду C.4.12) и C.4.17), равенства C.4.22) суть связи
первого рода. Они являются генераторами калибровочных преобразова-
ний • .,
9 — 1 + ?>Ч, Sq = e'x9aq = ea{cra,q}^ A".—-A'-f"; C.4.23)
здесь q пробегает набор (?г, в, ф), а е" = ?а(<) — произвольные инфинитези-
мальные функции времени. Вычисляя скобки Пуассона в C.4.23), находим
5жа = еьд<п/два = ЕЬдКа/дв\ 6в" - -?ьд(гь/джа = -е", C.4.24)
6<ра = ?сдсс/дфьши = ?сдКс/дфьш'">. ' C.4.25)
Действие C.4.16) и уравнение движения C.4.19)-C.4.22) не меняются при
преобразованиях C.4.23)-C.4.25).
Чтобы исключить калибровочный произвол, т.е. перейти к динамике
в физическом фазовом пространстве, нужно фиксировать произвольные
функции А4 (фиксировать калибровку) и решить уравнения связей C.4.22).
Выберем А4 так, что ф" = 0 и положим ф"(г — 0) = О (калибровка ф" =
ОL. С помощью уравнений C.4.22) исключим переменную ?г0 из'уравнений
движения. Из C.4.17) и C.4.18) следует '
дН ;-еЬ
Ш
дн_
~два
Ф=о
C.4.26)
' *К&либровочно-инв&ри&нтный подход рассмотрен в ршзд. 3:4.3.
126
Поскольку дКа/д9ь\ - 0 (так как Ка{в,ф = 0) = 0), то из C.4.15) имеем
C.4.27)
Найдем теперь из C.4.21) А4 и, положив фа = 0, подставим его в C.4.19),
C.4.20). Продифференцируем связь C.4.22) по времени и найдем жа как
функцию в" и в" (фа = 0). Подставляя далее производную жа в C.4.19)
и учитывая тождества C.4.26), C.4.27), приходим к уравнению C.4.10).
Можно взять и калибровочно-инвариантные переменные; их динамика
также эквивалентна динамике исходной теории с дейсвием A.9.20) (см.
разд. 3.4.3).
Итак, системы с действиями A.9.20), C.4.6) и C.4.16) имеют одина-
ковую динамику на физическом фазовом пространстве. Подобная ди-
намическая эквивалентность систем с нетривиальной симплектической
структурой и систем со связями первого (или второго) рода использует-
ся при квантовании [11, 110-114]. Формальное каноническое квантование
[ , ] = ih{ , } со скобкой Пуассона C.4.1) может нарушить ассоциатив-
ность в алгебре операторов в" (возможность нарушения тождества Якоби
в квантовой теории), поэтому по существу проблема заключается в нахо-
ждении такого упорядочения операторов в" в и/аЬ(в), при котором тожде-
ство Якоби выполнялось бы на квантовом уровне. Путем расширения фа-
зового пространстпа системы и наложения связей специального вида за-
дача свелась к каноническому квантованию системы C.4.6), в которой нет
проблемы упорядочения операторов в связях C.4.3) (см. C.4.2)). Операто-
ры связей второго рода C.4.3) конвертируют в операторы связей первого
рода путем добавления дополнительных степеней свободы [113-115]. Фор-
мулы C.4.11)—C.4.15) и C.4.17), C.4.18) имеют тот же вид и в квантовой тео-
рии, если { , }ф заменить ня (>й)~'[, ]. В таком подходе проблем а упорядо-
чения операторов в" в шаЬ(в) сводится к поиску операторов Ка = Ка(9, ф),
где операторы ф" удовлетворяют стандартным коммутационным соотно-
шениям. Операторы Ка могут быть найдены в виде рядов по степеням
ф" [113]. , . .
Замечание. В общем случае программа квантования, основанная на
конверсии связей (обобщенное каноническое квантование), оказывается
самосогласованной лишь в локальном подходе, т.е. без учета топологии
фазового пространства [115]. Квантование нелинейных скобок Пуассона с
уметом топологии фазового пространства выполнено лишь для небольшо-
го класса систем [116].
3.4.3. Переменные Дарбу и конверсия связей. По теории Дар-
бу симплектическую структуру локально можно представить в виде (см.
разд. 1.11)
«- = ?^?, _ C-4.28)
где С = CW - переменные Дарбу, {С°,С'}с ="at = {C@).C*W}»- Под-
ставим C.4.28) в C.4.15) и умножим последнее на матрицу два/д?с слева, а
справа — на матрицу д9ь/д(,л. Учитывая равенство вторых производных
д2еа/д(;1д(с = д2в/дС ас', перепишем C.4.15) в следующем виде: -
Д1** /Л/*1* Л!*" /Л/"*^ /1** l** \ —> 1 {*\ Л ОС^
127

где К-а = КьдвьjdQ". Отметим, что уравнение C.4.29) инвариантно отно-
сительно канонических преобразований переменных <#а, поскольку скобка
{ i }» Г|РИ этом не меняется. Оно инвариантно и относительно канониче-
ских преобразований переменных (,":
<в-с"чо, {с\сь}<=*\ к'ш-*^к.ь, '
так как переменные Дарбу определяются с точностью до канонического
преобразования. Поэтому всякое решение уравнения C.4.29) определе-
но с точностью до двух независимых канонических преобразований по
переменным С," и ф" соответственно. Аналогично уравнение C.4.15) ин-
вариантно относительно канонических преобразоианий переменных <?" и
преобразований в" —> 0'"{0), сохраняющих си.мплектическую структуру,
т.е.
Ь
Простейшим решением уравнения C.4.29) является линейная функция
В этом частном случае абелевы связи имеют вид
<Та = <Ра{0, Ж) + д(,Ь/два ШЬс фс. C.4.30)
Отсюда легко найти решение уравнения C.4.17). Подставив C.4.30) в
C.4.17) и проделав простые преобразования, находим '
Решение C.4.31), удовлетворяющее начальному условию C.4.18), имеет
вид
¦да(в,ф) = ва(<:(в)+ф), да(е,ф = 0) = 6а, "C.4.32)
# ¦ '
где функции в" = 0°(С) задают переменные Дарбу для симплектической
структуры C.4.1). Отметим, что функции C.4.32) определены с точно-
стью до независимых канонических преобразований по переменным ?" и
ф". Они также калибровочно-инвариантны, поскольку {i?a,<n}« = 0. По-
этому их эволюция описывает эволюцию физических степеней свободы в
калибровочной теории C.4.16). Прямым вычислением убеждаемся, что
Следовательно,
• -¦'«¦: : rfa = {Г,НЕ}ф = ш
т.е. динамика калибровочно-инвариантных переменных в расширенной
теории эквивалентна динамике в исходной теории с действием A.9.2,0).
128

Глава  '
КВАНТОВАНИЕ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
СО СВЯЗЯМИ
4.1. Рецепт квантования Дирака
Впервые с проблемой квантования динамических систем со связями
первого рода исследователи столкнулись более полувека назад при опи-
сании электромагнитного поля. Уже в 20-х годах Э. Ферми (см. [117, 118]),
В. Гейзенберги В. Паули (см. [119] и подробнее см. [120]) нашли правиль-
ный рецепт квантования подобных систем. В последующем эта проблема
встала в полный рост при изучении гравитации и полей Янга — Милл-
са. П.А.М. Дирак (см. [121-121], а также [125, 126]) изучил проблему в
общем виде, дал классификацию связей и сформулировал общий рецепт
их квантования. В дальнейшем этому вопросу была посвящена обширная
литература (см., в частности, [127-138]).
При переходе к квантовому описанию систем со связями возникают
следующие вопросы: 1). Можно ли связи первого рода превратить в опе-
раторные равенства? 2). Можно ли в случае связей первого рода исклю-
чить нефизические переменные до квантования? 3). Как поступать со свя-
зями второго рода? Эти и связанные с ними вопросы рассмотрены далее.
4.1.1. Системы со связями первого рода. Поскольку независимые
связи первого рода в малой окрестности физической области можно рас-
сматривать как условия на обобщенные импульсы [108], ясно, что при
квантовом опасании их нельзя превращать в операторные равенства —
это повлечет нарушение соответствующих коммутационных соотношений
(в равенстве qp — pq = i нельзя положить р — 0). Следовательно, если мы
хотим иметь теорию, классический предел которой автоматически учиты-
вает связи первого рода, то при квантовом описании должны ограничить-
ся векторами состояний, на которых эти связи исчезают. Образованное
ими гильбертово подпространство называется физическим; связи первого
рода фа обращаются в нуль на векторах Ф из физического подпростран-
ства:
ф„Ф = 0. D.1.1)
Это отчетливо понимали творцы квантовой механики [117-119]. Между
тем, против изложенной схемы выдвигаются возражения (они, как прави-
ло, не публикуются). Основной аргумент таков: если ра — 0 есть связь, то
физические векторы Ф (р„Ф = 0) — не нормируемы, т.е. они не принадле-
жат гильбертову пространству. Аргумент легко парируется. Будем раз-
личать связи — генераторы сдвигов в компактных (такие, как угловой мо-
мент М, см. C.2.27) и разд. 3.3) и некомпактных (такие, как я, см. .разд. 3.3)
пространствах. Ясно, что в первом случае проблема ненормируемости
вообще не возникает, ибо интегрирование ведется по конечной области,
и нормировочный интеграл не может расходиться. Но и второй случай
не свидетельствует о дефектности рецепта. Появление связи означает,
что соответствующая переменная — нефизическая, она принадлежит не-
физическому конфигурационному подпространству, ортогональному фи-
зическому, и не может влиять на физические процессы. Расходимость же

нормировочного интеграла как раз и появляется при интегрировании по
иефизическим переменным. Поэтому в случае декартовых координат по-
следние можно игнорировать или, что то же, не интегрировать по ним.
Альтернативный дираковскому рецепт квантования [128], связанный с ис-
ключением нефизических степеней свободы до квантования, рассмотрен в
разд. 4.1.3 (см. также Приложение 8.4).
4.1.2. Системы со связями второго рода. Можно понимать связи
второго рода как условия на обобщенные канонически сопряженные пере-
менные, т.е. как условия тила qa = 0, ра = 0. Ясно, что их также нельзя
превратить в операторные равенства. Более того, их нельзя трактовать
и как условия на векторы состояний (не существует векторов, удовлетво-
ряющих равенствам qФ — рФ = 0, ибо последние противоречат комму-
тационному соотношению [q, p] = »). Остается два пути: 1) исключить
нефизические степени свободы до квантования; 2) переформулировать
гамильтонов формализм (изменить классические скобки Пуассона (см.
[104, 121]).
Практика показывает, что исключение нефизических переменных, как
правило, усложняет задачу. Более удобен второй путь. Его суть в сле-
дующем.
Пусть фа — связи второго рода, скобки Пуассона которых даже слабо
не обращаются в нуль. Переопределим скобки Пуассона — заменим их на
скобки Дирака [104, 121]:
- {!,9} -
D.1.2)
где под {Фа,фд}~1 понимается матрица^' обратная матрице
{<t><*t<i>i}{6-r,<j>j}~1 = <W- Смысл перехода к скобкам Дирака в том, что-
бы некоторые обобщенные канонически сопряженные переменные, отве-
чающие связям второго рода, превратить в независимые,леременные, т.е.
фактически все они переводятся в разряд обобщенных координат (или им-
пульсов), ибо {фа,Ф/з}с — 0; их число вдвое больше числа соответствую-
щих нефизических координат (или импульсов). Другими словами, вместо
{q,p} — 1 постулируем {q,p}o =.0, т.е. объявляем? = Q, р — Q' ,vaaQ,Q' -
новые координаты. Явное введение переменных, канонически сопряжен-
ных этим новым координатам, не обязательно. По существу, совершается
переход к новым каноническим переменным с помощью неканонического
преобразования, поскольку меняется скобка Пуассона. Следовательно,
применяя теперь» рецепт квантования B.1.1) с заменой { , } —> { , }D,
мы избегаем противоречия — канонически сопряженные операторы, от-
вечающие связям второго рода, теперь коммутируют (см. B.1.1)). В
изложенной трактовке условие фаф = 0 означает, что физические векто-
ры состояний не зависят от нефизических переменных. Точнее, решение
уравнения дф = О есть Ф = 6(q)$', где Ф' зависит лишь от остальных пе-
ременных. В этом смысле оба обсуждаемых пути эквивалентны: исклю-
чим ли мы нефизические переменные, отвечающие связям второго рода,
до квантования или будем их игнорировать после квантования согласно
B.1.1), D.1.1),D.1.2) (т.е. будем работать с Ф' в редуцированном конфигу-
рационном пространстве) — результат будет одинаков, поскольку во всех
случаях оии фактически коммутируют друг с другом.'
4.1.3. Связи первого рода. Правомерность исключения нефизи-
ческих переменных до квантования. В связи с упомянутой критикой
130
рецепта Дирака D.1.1) предлагается вводить так называемые дополни-
тельные условия [121] (Дирак вводил их в классической теории):
Xa(q,P)=0,
D.1.3)
такие, что {ха,Фр} ф 0 (даже в слабом смысле), и рассматривать х и t> как
соязи второго рода. Разрешая условия ф = х — 0 до квантования, мы из-
гоняем из теории все нефизические переменные. При этом радикально ре-
шается проблема ненормируемости состояний Ф, подчиняющихся D.1.1),
— нефнзические переменные отсутствуют с самого начала. Данный ре-
цент ведет свое начало из правила исключения нефизических степеней
свободы в методе ГКИ, сформулированного в [128] (см. также [137, 138]).
Формулирование теории на языке гамильтоновых континуальных инте-
гралов при работе с простейшими гамильтонианами типа B.2.2) создает
иллюзию, что таким образом удается избавиться от проблемы непере-
становочиости канонически сопряженных величин и работать целиком в
рамках классического гамильтонова формализма [43, 128]. Разумеется,
в этом случае теряется всякое различие между нефизическими перемен-
ными, отвечающими связям первого или второго рода. Их исключение
путем подстановки в континуальный интеграл й-функций от связей и до-
полнительных условий эквивалентно теории, получающейся переходом к
квантона!гию после исключения нефизических переменных. Эквивалентен
ли этот рецепт рецепту Дирака? Ответ отрицателен. Операции квантова-
ния и исключения нефизических переменных, вообще говоря, непероста-
новочяы [139]. Доказательством служит следующий пример [62, 139].
Рассмотрим динамическую систему, заданную лагранжианом ("сво-
бодная" частица единичной массы в двумерном пространстве, подробнее
см. гл. 5):
D.1.4)
в котором х — двумерный вектор, х = (хь'г); Т = — |Г2, Ti ~ матрица
Паули, (Хх),- = TijXj. Лагранжиан инвариантен относительно абелевой
группы калибровочных преобразований 6у - ш, 8х = шТх, u(f) — беско-
нечно малая произвольная функция времени. Имеются две связи первого
рода: ру = dL/dy -Ои(г = рТх = х,р2 - x2pi = 0. Связь <г есть генератор
поворотов в плоскости (xi,Xi) (см. разд. 3.3). Классический гамильтониан
таков: в декартовых координатах
D.1.5)
в полярных координатах
D.1.6)
Исключая нефизические переменные (у = р„• = Рф — Ф ~ 0), приходим к
одномерной задаче с гамильтонианом •- • "
Переход к квантовой теории не представляет труда, если не задумы-
ваться об области изменения физических неременных (г пробегает поло-
жительную полуось или всю ось?) и мере интегрирования в скалярном
131

произведении векторов гильбертова пространства (dr или rdr'!). В данном
подходе ответы на эти вопросы не очевидны. Например, не обязательно
переходить у. полярным координатам; выбрап в качестве дополнительно-
го условия D.1.3) х — 1г/1ь {Л'.<г} = 1| можно исключить хз,рг- Тогда
Н — Pi/2, т\ меняется на всей оси и ЦФЦ7 = /<foi|t/'(ri)j2. Переходя к
квантовому описанию, имеем
й = ~тй- DL8)
В нормировочных интегралах по нефизическим переменным (о или хг)
интегрирование не ведется. Идентичны ли теории D.1.6)—D.1.8)?
Рецепт Дирака (см. A04, 121J) дает иную картину. Гамильтониану
D.1.5) отвечает оператор (запись в полярных координатах)
D.1.9)
D.1.10)
2 var» ' г
На физических векторах Ф
Тг __ ^
= 0) D.1.9) превращается в
2 д' ¦ 1 д
т.е. гамильтонианы D.1.8), D.1.10) не совпадают. Кроме того, функции, в
пространстве которых определен опера-тор D.1.9), нормированы согласно
rdr
о о
/
D.1.11)
т.е. для физических функций Ф, не зависящих от угла ф (дфФ = 0), норми-
ровочное условие D.1.11) следует записывать так:
/
D.1.12)
Мы видим, что квантовые картины в обоих подходах не совпадают. Дан-
ный факт отмечался многими авторами (помимо [139] см. также [132, 140—
142]). Обычно он преподносится не без некоторого удивления. Причина
же его проста. Различие возникает только в системах, когда исключа-
емые переменные связаны с криволинейными координатами (при исклю-
чении переменных, связанных, подобно у, ру, с декартовыми координата-
ми, оба пути ведут к одинаковым результатам). Но в случае криволи-
нейных координат стандартный рецепт квантования (q,p —> q, р, f(q,p)
~* /(Я,Р), Л?<Р[ — 'ft) Уже не годится. При исключении иефизических
переменных до квантования может потеряться информация о "криволи-
нейности" остающихся физических.
Казалось бы, при наличии связей первого рода логически допусти-
мы оба способа квантования: 1) можно сначала исключить из гамиль-
тониана все нефизические переменные, а затем квантовать, 2) можно
квантовать с использованием условия D.1.1). Априори, при абстрактнег-
математическом подходе, т.е. игнорируя физику, как будто нет оснований
132
предпочесть какой-либо из этих способов. В случае же динамических
систем, встречающихся в природе, равноправие исчезает. То, что для
формулирования калибровочных теорий (т.е. для задания калибровочно
инвариантного лагранжиана) приходится привлекать нефизические пере-
менные, не есть прихоть — за этим кроется глубокая физика. Мощь ка-
либровочного принципа признана, хотя корни его пока неясны. Поэтому
следует всерьез относиться к факту появления нефизических переменных
и не разрушать те структуры, в которых они появляются. И если с нефи-
зическими переменными приходится иметь дело и считаться в классиче-
ской теории, то тем более их следует сохранить в квантовой, поскольку
первая есть предельный случай последней. Но если в квантовой теории
имеются нефизические операторы (связи первого рода), то единственный
способ учесть их и изгнать нефизические степени свободы — это перей-
ти к физическому подпространству векторов состояний, на которых они
исчезают (см. D.1.1)).
В пользу метода Дирака существуют и более прозаические аргумен-
ты. Калибровочная симметрия влечет изменение фазового пространства
некоторых физических степеней свободы (см. гл. 5). Это свойство клас-
сической теории имеет серьезные физические следствия (например, удва-
ивается частота колебаний осциллятора). Между тем простодушное из-
гнание нефизических переменных путем разрешения связей первого рода
и соответствующих дополнительных условий полностью игнорирует дан-
ный факт. Главное же, при квантовании первым способом физические
величины (например, спектр энергии) зависят от х, т.е. от выбора кали-
бровки (см. разд. 5.3.2, последний абзац разд. 5.3 и Приложение 8.4).
Выводы: 1) динамические системы со связями первого и второго рода
квантуются по-разному; 2) для связей первого рода операции исключения
нефизических переменных и квантования не перестановочны.
4.1.4. Связи первого рода. Эффективный гамильтониан. Связи
первого рода есть генераторы сдвигов в пространстве канонически сопря-
женных им нефизических переменных, (т.е. генераторы калибровочных
преобразований). Условие D.1,1) есть условие независимости физических
векторов состояний от нефизических переменных. Операторы физических
величин A(f, p) также не должны зависеть от нефизических переменных,
т.е. должно выполняться условие
[фа,А}-0.
D.1.13)
Другими¦ словами, физические операторы и векторы состояний должны
быть инва.риантами преобразований, генерируемых связями первого ро-
да (D.1.13) может выполняться в слабом смысле). На практике последние
нередко оказываются элементами алгебры Ли (в сильном смысле). То-
гда можно говорить об инвариантах соответствующей группы (см. также
разд. 3.3).
В согласии со сказанным возможны два подхода к изучению динами-
ки подобных систем: инвариантный и неинвариантный. В инвариантном
Подходе используется лишь явно калибровочно инвариантные перемент
ные, тогда как неинвариантный связан с использованием калибровочно
неинвариантных величин; последний неинвариантен и по форме (внешне).
Опыт работы с моделями показывает, что на первый взгляд привлекатель-
ный инвариантный подход даже для сравнительно простых моделей ведет
к заметному усложнению описания (см. гл. 5). В рассмотренной ранее
133

модели это отвечает переходу к переменным г = (х2I'2, рт = (х,р)/г,
инвариантным относительно вращений в плоскости (калибровочная груп-
па 50B)). Однако уже для присоединенного представления группы SU(Z)
вычисления становятся крайне громоздкими. Неинвариантный подход, в
котором гамильтониан и все физические операторы выражаются через не-
инвариантные переменные (такие, как xi,pi в модели D.1.4)), оказывается
более практичным.
Покажем, как строить эффективный гамильтониан в неинвариантном
подходе для линейных в импульсах связей [62, 143]. Пусть q' = (q",qa),
причем q" — физические переменные, a qa - нефизические, Г = 1,2,...,п;
а = 1,2,..., п — s; а = п — s + 1,.... и: греческие индексы всюду нумеруют
исключаемые координаты. Рассмотрим случай линейных в импульсах
связей:
Считаем, что D.1.14) есть независимые свя.чи некоторой полной совокуп-
ности, образующей алгебру Ли, и что нет проблемы упорядочения в свя-
зях (об упорядочении в связях см. разд. 4.2). В качестве неинвариантных
физических переменных q" можно взять любые п — s переменных, меня-
ющихся при всех преобразованиях, генерируемых свя.чями, а в качестве
дополнительных условий [121] выбираем
где (ф~')% - матрица, обратная к ф%. Условимся обозначать равенства
в физическом конфигурационном пространстве (т.е. при учете D.1.15))
посредством ~ (в отличие от слабых равенств на связях, обозначаемых
«). Скобки Пуассона \л и <?3 даются формулами
'{X°!^fj'}-*?- '" " D.1.16)
Мы будем предполагать также "слабую стационарность" ("инвариант-
ность") физических переменных:
т.е.
{<?*",<?„}-О,
Ф1(Ч) т. О,
D.1.1Т)
D.1.18)
означающую локальную ортогональность физических и нефизических пе-
ременных. Чтобы получить эффективный гамильтониан, нужно исклю-
чить из него нефизические переменные, пользуясь лишь услонием D.1.1).
Гамильтонианы изучаемого класса B.3.2) билинейны по импульсам. Вы-
берем стандартное упорядочение (с учетом неперестановочности опера-
торов):
\" D.1.19)
Согласно D.1.1), D.1.14) в применении к физическим состояниям
D.1.20)
Если Ф — физический вектор, то правая часть D.1.20), вообще говоря, та-
ковым не является, так как функции ф~1, ф%, вообще говоря, зависят от
134
нефизических переменных. Поэтому нефизические импульсы в билиней-
ном члене D.1.19) нельзя заменить на физические согласно D.1.20) - так
можно поступить лишь с одним из них. Чтобы провести эту операцию
со вторым, нужно добиться, чтобы он воздействовал на физический век-
тор, т.е. его следует сначала переставить с коэффициентом при Ф в пра-
вой части D.1.20), а затем снова воспользоваться этой формулой. После
описанной процедуры в гамильтониане появятся слагаемые, зависящие от
нефизических переменных, от которых избавляемся с помощью дополни-
тельных условий D.1.15) и условия D.1.18). Итак, для билинейных в ра
членов имеем
Первый член в правой части D.1.21) обращается в нуль при учете D.1.15),
D.1.18), т.е. при qa — 0, но второй содержит производную ф"_а и не исчеза-
ет при q" —* 0. Обращается в нуль и правая часть D.1.20). Следовательно,
на физических векторах состояний Ф, удовлетворяющих D.1-1), оператор
D.1.19) превращается в эффективный гамильтониан:
ра
D.1.22)
Его можно записать в более удобном виде с участием лишь связей D.1.14)
и дополнительных условий D.1.15)
D.1.23)
Суммирование по а,0 в последнем члене D.1.22) заменено на суммирова-
ние по индексам i,j. Законность замены проверяется непосредственно -
достаточно воспользоваться тождеством
D.1.24)
и учесть вытекающие из D.1.14)-D.1.18) равенства
Все члены в правой части D.1.24), кроме первого, исчезают в физическом
пространстве, выделяемом условиями qa — ра = 0.
Проиллюстрируем рецепт построения эффективного гамильтониана
D.1.23) на примере модели D.1.4). Имеем
исключаем переменные х2,Р2, у- Согласно D.1.23) для Я D.1.5) находим
1 д
135

мы получили гамильтониан D.1.10) в "неинвариантной" форме. Не сле-
дует забынать, что в одномерной теории с гамильтонианом D.1.25) нор-
мировочное условие "помнит" о криволинейной природе физических не-
ременных (ср. D.1.12)) и о том, что фазовое пространство может иметь
нетривиальную структуру, как это и имеет место в данной модели (см.
гл. 5). Отметим, что гамильтонианы D.1.22), D.1.23) получены в форме,
пригодной для представления ядра оператора эволюции континуальным
интегралом.
4-2. Упорядочение операторов в связях
4.2.1. Квантование систем с равным нулю гамильтонианом. На
практике встречаются динамические системы (например, теория тяготе-
ния [104]), в которых гамильтониан обращается в нуль, т.е. является свя-
зью первого рода. Умение обращаться с такими системами нам потребу-
ется для решения проблемы упорядочения операторов в связях. Любую
нерелятквистскую систему, заданную лагранжианом
L = тЗ>}(я)я'ч3 ~/i(<?)lJ' ~ l'(?)i D.2.1)
можно превратить в систему с нулевым гамильтонианом, если рассматри-
вать время t как независимую динамическую переменную, а в качестве
времени взять некоторый независимый параметр г [104]. Переходя к но-
0
вому лагранжиану L' и новым скоростям 1 по формулам
J
L(q,q)dt =
U =
), D.2.2)
D.2.3)
убеждаемся, что получается теория с одной связью. В самом деле,
Н = Щ- = Яц ~-fi, Ро = ^г = -\яа Q--V; D.2.4)
dqi t , 8t 2 t*
О
разрешал первые из выписанных равенств D.2.4) относительно ^:
и подставляя решение в оставшееся условие, находим:
ф(я,р) 3 ро + Я(?,р) = О,
Я = i*
:?,р) = 0, D.2.5)
+ fi)(pj +fj) + V. D.2.6)
Равенство D.2.5) есть первичная связь. Отвечающий D.2.3) гамильтониан
H'(q,p) = Pi Я{ +Ро t ~L- =t [ро + ^(Pi + fi)(pj + fj) + v] * 0 D.2.7)
136
пропорционален связи D.2.5) и слабо обращается в нуль. При переходе к
квантовому описанию встают два вопроса: 1) как упорядочивать опера-
торы связи D.2.5)? 2) как работать с подобными системами? На первый
вопрос ответ будет дан в следующем пункте; в качестве жч ответа на вто-
рой мы воспроизведем рецепт, предложенный в [39].
Связь D.2.5) есть следствие "калибровочной симметрии":
L'(q,dq/dT)dT= JL'(q,dq/dT')dT', т' = /(г), D.2.8)
где /(г) — произвольная функция. Обычно проблема решается "выбором
калибровки" t — г, т.е. переходом к привычной динамике. Выгоднее,
однако, сохранить калибровочную инвариантность и, следуя Лираку (см.
[104, 121)). перейти к описанию с помощью гамильтониана
Ят = Я* + v4
¦ = Ро + Я,
D.2.9)
где v — произвольная функция т. В D.2.9) //" = 0; предполагается, что
операторы в ф так или иначе упорядочены. Найдем ядро инфдаштезималь-
ного оператора эволюции {и/ — Лт — 0):
1 ,~
D.2.10)
Так как ро коммутирует с Я, матричный элемент D.2.10) факторизуется:
- /„°
exp --wjjpb
I
"ft
D.2.11)
причем первый сомножитель в D.2.11) есть 6(q° — q'° — vu). Следовательно,
применяя ядро D.2.10) к волновой функции ^(<г'.д'°), имеем
= I dq'{q exp
exp | - j
: q° - vu).
D.2.12)
Учитывая, что q° = t, констатируем: мы установили правильный закон
эволюции волновой функции (см. B.2.1)); очевидно, что v =<. В данном
подходе отпадает необходимость заботиться о выборе калибровки или до-
полнительных условий — правильный ответ получается автоматически.
Приведенный рецепт применим не только к билинейным по импульсам
гамильтонианам. В разд. 4.3 он используется для квантового описания
релятивистской частицы.
4.2.2. Упорядочение операторов в связях. Предлагаемое далее пра-
вило упорядочения операторов в связях опирается на следующие сообра-
жения. Как известно, гамильтониан есть генератор сдвигов во времени.
Мы видели (гл. 2), что существуют правила, позволяющие упорядочить
операторы в гамильтониане; при этом используется лишь информация,
заложенная в классической теории. Но связи первого рода также есть
137

генераторы сдвигов (в пространстве нефизических переменных), поэтому
можно надеяться, что и здесь применим рецепт разд. 2.8. Правда, некото-
рые сомнения может породить тот факт, что в классике связи обращаются
в нуль. Но ранее (см. разд. 4.2.1) мы выяснили, что и в этом случае можно
следовать общим рекомендациям Дирака (см. [104, 121]). Рассмотренный
пример с нулевым гамильтонианом разрешает сомнения и свидетельству-
ет о правильности обсуждаемого рецепта.
Действительно, решение задачи о квантовом описании системы с ла-
гранжианом D.2.1) известно, поскольку рецепт упорядочения операторов
в гамильтониане D.2.6) сформулирован в гл. 2 и проверен на примере кри-
волинейных координат. Только что рассмотренная динамическая система
со связью A.2.5) полностью эквивалентна задаче, определяемой функци-
ей Лагранжа D.2.1), поэтому применение к связи D.2.5) рецепта разд. 2.8
дает ответ, в правильности которого мы уже убедились. Следователь-
но, рецепт упорядочения гл. 2 применим по крайней мере к билинейным в
импульсах связям.
Пример. Продемонстрируем эффективность рецепта еще на одном при-
мере [66]. Если в D.2.6) устремить д*> -» 0, V — 0, gij ft -* f' ф 0, то Я
можно отождествить с генератором точечного преобразования канониче-
ских переменных G(q, р) — pif'(q) в классической теории. Построим, поль-
зуясь правилами разд. 2.8, ядро соответствующего унитарного операто-
ра. Пример интересен в двух отношениях. Во-первых, здесь невозможен
переход к лагранжевой теории (из равенства dG/dp = q нельзя найти р как
функцию д). Во-вторых, имеется четкий критерий правильности рецепта
— это хорошо известная формула о замене переменных в интеграле (или
правило симметризации: G{q.p) —¦ G(q,p) = (р/ + /р)/2). Для вычисления
инфинитезимального действия Sh B.8.36) нужно Прежде всего найти q как
функцию Д. Отметим, что в соответствии с замечанием в конце разд. 2.3,
основной вклад вносят траектории, для которых Д ~ е, поэтому в разло-
жении
' q(t) = q@) + q(O)t + q(O)r/2 -i D.2.13)
в отличие от B.8.11) нам достаточно ограничиться выписанными членами.
Полагая в D.2.13) ( = € и подставляя вместо q результат дифференциро-
вания по времени первого из " уравнений движения":
8G .„.. ^=_дО=_!к^ D214)
т.е. 5? = }\{q')qk(Q) (как и в гл. 2 q@) = q'), находим
{^ft f@) ^
D.2.15)
(аналог уравнения B.8.12)). Разрешая D.2.15) относительно <j@), имеем
i. . • /,-...,
Члены О(Д2) дают, как отмечалось, вклад;О(с2), которым пренебрегаем.
Два последних члена в B.8.38) оказываются равными нулю? например, для
второго согласно D.2.14) имеем
d(pq)/dt = pi?
138
Следовательно, искомое инфинитезимальное действие есть
SH(i,P,q') = Pi (д> - -2-/^(«')Д1) - cf'(q')Pj.
Остается вычислить определитель Dn:
= 0, ~
dpidq'
т.е.
VH - det
S] - i^| det
Теперь почти все готово для построения ядра (/„< («). Осталось единствен-
ное препятствие — при д'> —+ 0 det lj;j| = g —» эо; между тем в итоговой
формуле B.8.41) имеется фактор (дд')'1^, обр?тающий, казалось бы, ис-
комое ядро в нуль. Дело, однако, в том, что применение ядра B.8.41) к
функции #($') подразумевает интегрирование по мере y/g'dq', т.е. мно-
жители д.д1 перед экспоиентой комбинируются в фактор (д'/д)''^, предел
которою при д —• ехз есть 1. Следовательно, фактор (дд1)'1^4 в B.8.41)
необходимо опустить. В итоге имеем
2.16)
Перейдем в D.2.16) от опорной точки q' кд; так как f'(q') ~ /'(?) —/}»(9)Д*,
переход сводится к изменению знака во втором члене. Интегрируя далее
по р и используя формулу замены аргумента многомерной ^-функции:
получаем
Отсюда следует
D-2.17)
Формула D.2.17) по существу совпадает с формулой B.6.31) (в разд. 2.6
рассмотрено обратное преобразование). Добаним, что с помощью базис-
ных правил эквивалентности B.3.9) epjAk = tihSj показатель экспоненты
D.2.16) можно записать в виде piA' — z[pjP{q') + (»^/2)/*]. Сумма в ква-
дратных скобках есть не что иное, как "матричный элемент" {p\G\q')/(p\q')
оператора Q— (р/ + /р)/2 = PjP(q) + (ih/2)fkk(q), играющего роль гамиль-
тониана в формулах B.2.3), B.2.13). Корректность предлагаемого репепта
ддл линейного в импульсах генератора (связи) доказана.
139

4.3. Релятивистская -частица
4.3.1. Классическая теория. Задача о релятивистской частице с
действием
Г j ¦
D.3.1)
S = -т I \/l^x2dt
хорошо известна. Обычно предпочитают лвно реллтивистски-инкариант-
ную запись действия D.3.1):
; = -m / '
x = dx/dr,
= 0,1,2,3,
(-1 W
вволя вспомогательный параметр г ("инвариантное время"). Лействие S,
подобно (-1.2.2) (см. D.2.8)), иниариантно относительно параметризации
г = /(г'), где / - произвольная функция, г.е. (-1.3.2) залает систему со
связью. Задача (t.3.2) дает пример динамический системы нового типа
[144]. когда "связи", с одной стороны, содержат скорости, а с другой, не
могут быть разрешены относительно последних.
Итак.
L = -m(x7)l'\ x° = t. D.3.3)
Перейдем к гамильтонову формализму с каноническими переменными
рр. I»1, где
^ D.3,1)
D-3.5)
D-3.6)
Первые три уравнения из следующих четырех.
Pi^mi'/^, i=l,2,3; "ро = -п»
связывающих импульсы и скорости, разрешаем относительно х':
(нет суммирования по i). Отсюда получаем два решения этих уравнений:
Учитывая, что в D.3.5) берется арифметическое значение корил (г2I/2 =
т\?а\/Ер, заключаем: первым трем уравнениям D.3.5) удовлетворяет
лишь решение х' = pi\x°\/Ep. Подстановка его в четвертое дает первич-
ную '' связь"
'°) = °- t(x) = sgax. D-38)
Гамильтониан системы
Я = р„±" -L = х°(р0 + Ерс(х0)) * 0
D.3.9)
обращается в нуль при учете D.3.8) (ср. D.2.7)). Особенность задачи в
том, что D.3.8) по существу не есть связь, а D.3.9) не есть гамильтониат,
поскольку они зависят от скорости х°. Своеобразие системы с лагранжи-
аном D.3.3) в том, что хотя "связь" D.3.8) и содержит скорость х°, она
не может быть разрешена относительно нее. Существенно также, что пе-
ремена знака х° —> —х° эквивалентна переходу к отрицательным энерги-
ям (?р _» -Ер), т.е. формально D.3.8), D.3.9) допускают отрицательные
140
энергии. Обычно (см. [145]) все эти тонкости опускают, избавляясь от
скорости i° возведением обеих частей D.3.4) в квадрат; получается связь
=р2 -т- - 0.
D.3.10)
Идентичное соотношение получается почленным возведением в квадрат
равенства D.3.8). Хотя связь D.3.10) выглядит разумной — 4-импульс сво-
бодной частицы удовлетворяет такому условию, она противоречит утвер-
ждению, что все первичные связи линейны в нефизических импульсах
(см. гл. 3). Далее, несмотря на то, что полный гамильтониан по Дираку
[104] #т = Я + Г'дт теперь квадратичен по импульсам, это не выглядит
как достоинство, поскольку энергия релятивистской частицы есть Ер. и
в такой теории ядро оператора эволюции и волновая функция частицы
(она известна — это ехр(—ipx)) по-ралному зависят от импульсов. Пока-
жем, что уже "связь" D.3.S) позволяет построить последовательную кван-
товую теорию.
4.3.2. Квантовая теория. Согласно [104] полный гамильтониан #т с
учетом D.3.9) есть
= v{pQ
D.3.11)
где v обычно считается произвольной функцией от т. В данном случае
задача оказывается нестандартной (Ят зависит от знака ?°). Поэтому
неудивительно, что, как мы увидим, и функция v оказывается не впол-
не произвольной — удовлетворительное решение задачи получается при
условии ее положительности , v > 0.
Итак, в данной задаче не удается вполне изгнать скорость х° из связи
и гамильтониана. Как в таком случае строить гамильтпнов формализм?
Обратим внимание на то, что в D.3,8). D.3.9) входит лишь знак i°; если,
поэтому, ограничиться движением с i° > 0, то скорость i° из фу и Ят
выпадает. Тем самым устраняется единственное препятствие на пути к
квантовому описанию. Надо лишь проверить самосогласованность полу-
чившейся картины, т.е. убедиться, что используемые ограничения согла-
суются с квантовыми законами и не ведут к противоречию.
Воспользуемся методом квантования систем с равным нулю гамильто-
нианом [39], изложенным в разд. 4.2. Полагаем {1н,р„} = 6%, [гн,р„] = i<5?
и {х\р) = Bir)~2exp(ipi), px = рихм. Ядро инфинитезимального оператора
эволюции с гамильтонианом D.3.11) есть (ш = Дг > 0, Ах = х—х', х° > 0):
и„(х,х') = <х|ехр(-ги;Ят)|х'} = j —^ ехр{»[рнДх" - ы„(р0 4- Е,)] }.
D.3.12)
Мы предполагаем, что лдро D.3.12) будет применяться лишь к функциям,
принадлежащим к "физическому" подпространству, т.е. удовлетворяю-
щим условию в(-х )-ф — 0. Нужно убедиться, что ядро D.3.12) не-выводит
векторы состояний за пределы физического пространства. Интегрируя в
D.3.12) по ра, имеем •
x,x')= J
D.3.13)
141

из D 3.13) ясно, что ^-функция гарантирует положительность (i° — х'°)/ы
(т.е. х°) при условии v(r) > 0. Это согласуется с требованием монотонно-
го возрастания времени t (и эквивалентно ему).
Итак, в данной задаче лагранжев множитель v(r) не вполне произво-
лен — его знак оказывается фиксированным. При этом условии принятый
рецепт построения гамильтонова формализма и квантовая картина оказы-
ваются согласованными. Подставляя в формулу
r)= f
ядро D.3,13) и заменяя vui —» Дх", переписываем ее в виде
D.3.14)
Согласно D.3.14) вместе с г меняется и х°, поэтому можно ограничиться
указанием лишь х°; впредь аргумент т будем опускать.
По построению все волновые функции лоренц-инвариантны. Между
тем мера в D.3.14), на первый взгляд, не обладает этим свойством, хотя
исходные формулы были явно инвариантны. Дело в том, что <Рр н d3x пре-
образуются как нулевые компоненты 4-векторов, поэтому мера в D.3.14)
есть лоренцев инвариант (скалярное произведение времениподоСиых век-
торов в собственной системе одного из них). Данное разъяснение, одна-
ко, не исчерпывает проблемы. Лля релятивистски-инвариантных функций
Ф(г) скалярное произведение не может быть заимствовано из нереляти-
вистской квантовой механики. Как известно [146],^;каллрное произведение
инвариантных векторов состояний с положительными энергиями дается
формулой
= « 1
D.3.15)
тогда как в D.3.14) подразумевается другое выражение для скалярного
произведения. Убедимся в согласованности формул D.3.14),D.3.15). Вста-
вим под интеграл.в D.3.14) единицу: BЕР)~1{2ЕР). В координатном пред-
ставлении для функций, удовлетворяющих уравнению Клейна—Гордона-
Фока (КГФ), имеем соответствие 1Er — i до, поэтому D.3.14) тождествен-
но переписывается в виде
= i [ <Рхпе{х,х')д,.ф(х'),
D.3.16)
где
Ue(x, x1) = j i(p) exp [-i{E, At - рДх)], drfp) = J^J-; D.3,17)
Формула D.3.17) дает правильное выражение для ядра инфинитезимально-
го оператора эволюции. Многократное применение ядра D.3.17) с учетом
142
D.3.16) позволяет представить f/(_c континуальным интегралом:
xS{x(t')-x') =
D.3.18)
Его можно записать в эквивалентном виде, заменив меру гамильтонова
континуального интеграла в D.3.18) на
<
TQ <
r=!'
)i flr .
D.3.19)
Смысл символической записи D.3.19) очевиден в счете определения D.3.16)
— D.3.18). Параметр г в D.3.18) есть просто переменная интегрирования.
Заметим, что действие в D.3.18) не квадратично по импульсам. Тем не
менее нам удалось вычислить континуальный интеграл — свести его к
трехмерному. Это оказалось возможным благодаря тривиальной зави-
симости действия от х(г); вместо того, чтобы, как это обычно делается,
интегрировать сначала по р(т), мы проинтегрировали ио х(т).
Выражение D.3.18) позволяет представить пропагатор скалярной ча-
стицы континуальным интегралом. Лля этого нужно привлечь решения
уравнения КГФ с отрицательными энергиями. Но перемена знака Е? экви-
валентна перемене знака х° в D.3.8), D.3.9). поэтому введение частиц с
отрицательными энергиями предполагает (формально) их понятное дни-
жение во времени. Искомое представление дается формулой
AF(x - г') = в{1 - t')Ut-t'(x, х') + 9A' - t)UtM*, А\в,~-Е,,
в которой ядро Us-,i дается первым равенством D.3.18). Правильность по-
лученного выражения становится очевидной, если воспользуемся вторым
равенством D.3.18): '••
Дг(х-г') = Jd»(p){9(t~t')r.x?l-i(Er(t-t')~p(x-x'))}} +
+ e(t'-t)exP[i(Ep(t-t')-V(x-x'))}. .(«.20)
Формула D.3.20) есть известное, выражение для пропагатора Штюкель-
берга—Ф.ейнмана. При необходимости в этом можно убедиться, рассмо-
трев
- х') =
- 1)ф(х')ф(х)]р)
и выразив оператор свободного скалярного поля ф через операторы ро-
ждения и у1гичтожения.
4.4. Исключение нефизических переменных. -
Связи второго рода
В разд. 4.1 было показано, что связи второго рода следует разрешить
до квантования или заменить скобку Пуассона скобкой Лирака. Оказы-
вается, что получающиеся квантовые теории зависят от способа исклю-
чения нефизических переменных. Продемонстрируем это утверждение на
143

примере теории с лагранжианом (ЗЛ.2). Гамильтонов формализм для нее
дан в разд. 3.2.2 {см. C.2.37)--C.2.45)).
Возьмем в качестве физических декартовы переменны*" *\ 2 q и pi = p.
Тогда их скобка Дирака и физический гамильтониан имеют вил C.3.11). В
квантовой теории коммутационное соотношение для q и р, индуцируемое
скобкой Дирака, запишется в виде
D.4.1)
Из D.4.1) следует, что операторы if и р не могут трактоваться как обычные
канонические Координата и импульс частицы, поскольку их коммутацион-
ные соотношения не образуют алгебры Гейзенберга. Это, в частности,
ведет к изменению соответствующих соотношений неопределенности и к
ряду других следствий (см. дискуссию в [16-20] по поводу деформации
алгебры Гейзенберга). -
Другой способ - перейти к физическим переменным со стандартной
алгеброй Гейзенберга. Физические переменные следует выбрать так, что-
бы их скобка Пуассона со связями второго рода обращалась в нуль. В
этом случае скобки Пуассона и Дирака для физических координат и им-
пульсов совпадают. Рассмотрим каноническое преобразование р,х —»
Vr,p<p>T,>p: индуцированное переходом к полярным координатам. Тогда
рг = (р,х)/г «0, г — jx| я; R. Поэтому поверхность связей (физическое
фазовое пространство) параметризуется переменными р,, и ip. Их скобка
Дирака совпадает со скобкой Пуассона:
ибо {<р,фа} = {Рг<<Ря} = 0. Гамильтониан на физическом пространстве
имеет вид
1
2R?1
D.4.3)
После квантования { , }d —• [, }/(ih) проблема упорядочения в гамильто-
ниане D.4.3) не возникает, поскольку p.f ~ —ihdp-
Сравним оба способа. Для построения квантовой теории помимо ком-
мутационных соотношений операторов канонических переменных нужно
указать гильбертово пространство, в котором эти операторы являются
самосопряженными. Для теории D.4.2), D.4.3) это -~ пространство 2ir-
периодических функций со стандатным скалярным произведением. Для
теорий с нетривиальной симплектической структурой задача может быть
решена, например, методом конверсии (см. разд. 34.2) или с помощью пе-
ременных Дарбу (см. разд. 3.4). Переменные Дарбу для симплектической
структуры C.3.11) имеют вид C.3.12), поэтому операторы, удовлетворяю-
щие коммутационному соотношению D.4.1), можно задать самосопряжен-
ными операторами
q-
p= -—(
где [<p,Pv] — Л, действующими в гильбертовом пространстве теории
D.4.2), D.4.3). В координатном представлении (оператор <р диагоналей)
d ? %
имеем ру = — ihdv, причем
Тем самым, мы ввели переменные
144
Дарбу после квантования D.4.1). Завершает построение квантовой тео-
рии нахождение самосопряженного гамильтониана, отвечающего класси-
ческому выражению C.3.11). Практически задача сводится к некоторому
упорядочению операторов q и р и, следовательно, ф и. pv в гамильтониане
Ярь в C.3.11). Возьмем, например, следующее представление:
IK1
(sin y?I/2-7;v о (sin ?)ъ~% о (sin
{АЛЛ)
где квантовый потенциал AV,(o) имеет вид
Только при 7 = 1/2 оба способа ведут к одной и той же квантовой теории.
Квантовый потенциал D.4.5) не зависит от <?, если -,• = 3/2.
Таким образом, физические канонические переменные в квантовой те-
ории систем со связями второго рода не могут трактоваться как обычные
канонические координаты и импульсы, если симнлектическая структура,
иидуциругмая скобкой Дирака, не трипипльна,-т.е. зависит от канониче-
ских переменных. Построение квантовой теории с каноническими пере-
менными, удовлетворяющими стандартной алгебре Гейзенберга, предпо-
лагает нахождение переменных Дарбу для симплектической структуры,
индуцируемой скобкой Дирака, и последующее их квантование. Из при-
веденного ранее примера следует, что операции квантования и перехода к
переменным Дарбу не перестановочны между собой. Итак, квантовая кар-
тина может зависеть от выбора физических переменных. Причина этого,
как и в случае связей первого рода, кроется в проблеме упорядочения
операторов в физическом гамильтониане.
145

Глава 5
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
В КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ
Главной особенностью калибровочных теорий является наличие в них
нефизических степеней свободы, закон изменения которых во времени не
содержится в уравнениях движения. Возникает естественное желание ис-
ключить из теории подобные степени свободы и построить эффективную
динамику только физических переменных. В этой главе мы намерены по-
дробно обсудить этот вопрос. Имеются два пути построения конкрет-
ных теорий — инвариантный и неинвариантный. В инвариантном под-
ходе используются лишь явно калибровочно-инвариантные переменные,
тогда как неинвариантный связан с использованием калибровочно-неин-
вариантных величин; неинвариантен он и по форме (внешне). Поскольку
оба подхода являются различными воплощениями одной и той же теории,
физически (по своему содержанию) они должны быть неразличимы. К со-
жалению, в обеих схемах эти возможности не исследованы в общем виде,
поэтому мы адресуем читателя к конкретным моделям. Особое внимание
мы уделим анализу структуры физического фазового пространства (ФП),
поскольку этот вопрос изучен сравнительно недавно и не обсуждается в
монографической и учебной литературе по калибровочным теориям. Ока-
зывается, что физическое ФП для достаточно широкого класса калибро-
вочных теорий может иметь нетривиальную геометрическую структуру
(отличаться от обычного евклидова пространства). Это ведет к ряду ди-
намических следствий как в классической, так и в квантовой теориях.
Поскольку существует два способа построения эффективной теории,
мы рассмотрим вопрос о структуре физического ФП в обоих подходах
— инвариантном и неинвариантном. Пусть система, содержащая Л' сте-
пеней свободы, характеризуется М независимыми связями первого рода
(порвичнымы. вторичными и т.д.) фа — d, а - 1,2 М. Связи долж-
ны выполняться в любой момент времени, поэтому движение системы в
полном ФП происходит на поверхности связей фа — 0. Однако физическое
ФП не совпадает с этой поверхностью, поскольку, как было показано в
разд. 3.3. решение гамильтоновых уравнений движения, подчиняющихся
условиям фа — 0, содержат М произвольных функций времени. Вариации
этих функций не ведут к изменению физического состояния системы и, сле-
довательно, они являются чисто калибровочными переменными. Поэтому
физическое ФП получается отождествлением всех точек на поверхности
Фа — 0. связанных этими калибровочными преобразованиями, т.е.
о/б, E.0.1)
ГрН =
где под G понимается расширенная калибровочная группа Дирака, генери-
руемая всеми независимыми связями ф„ (см. разд. 3.3). Соотношение
E.0.1) определяет физическое ФП в инвариантном подходе, как фактор-
пространство поверхности связей в (объемлющем) ФП но расширенной
калибровочной группе. Размерность Грн очевидно равна 2(Л' — М).
В неинвариантном подходе сначала осуществляется переход от исход-
ного Г = R1^ ® Rfi — T2N (мы предполагаем, что оно евклидово) к меньше-
му Г2(Л"Л'\ например путем фиксации калибровки (наложение дополни-
тельных условий на канонические переменные с целью устранения кали-
146
бровочного произвола в решениях уравнений движения). Изучение про-
стейших моделей показало, однако, что в пространстве уже физических
переменных действуют остаточные дискретные калибровочные преобра-
зования, осуществляющие дальнейшую редукцию ФП [139, 154]'. Данные
преобразования в естественных калибровках образуют подгруппу кали-
бровочной группы, совпадающую с группой Вейля [92, 154, 155]. Дискрет-
ная группа не может уменьшить размерность физического ФП, но может
изменить его "объем". Таким образом,
rph = r2("-")/s,
где S — набор всех остаточных калибровочных преобразований. Суще-
ство дела заключается в хорошо известном факте физической неразличи-
мости точек конфигурационного или фазовогЪ пространств, связанных ка-
либровочным преобразованием. Остаточные дискретные преобразования
отождествляют некоторые точки пространства физических переменных,
что и ведет к его редукции, превращая, например, фазовую плоскость в
развертываемый в полуплоскость конус [139]. Указанное обстоятельство
влечет изменение динамики системы. •.
5.1. Модель
Рассмотрим динамическую систему, заданную функцией Лагранжа
[139]: ¦ • . '
Цх. х.У j» = I [QL _
х] " - V(x=),
E.1.1)
где двумерный вектор х и скаляр у — динамические переменные, Т =
-«г2 (г2 - матрица Паули), (Гх), - TijXj. Лагранжиан E.1.1) описывает
нереллтивистскую частицу единичной массы в Двумерном пространстве.
Если перейти к комплексным величинам <? = (xi + ix2)/y/2, то лагранжиан
переписывается я пиле
-
±
-УBФФ"),
E.1.2)
из которого явствует, что E.1.2) есть лагракжи&н скалярной электроди-
намики в пространстве-времени A+0), причем у = A0(i) - нулевая ком-
понента вектор-потенциала Ац. Лагранжиан E.1.1) инвариантен относи-
тельно группы калибровочных преобразований
х —ехр(Тш)х,
E.1.3)
где и/ — ui(t) — произвольная функция времени.
5.1.1. Классическая гамильтонова теория. Переход к гамильтонову
формализму определяется равенствами
р = dL/dx = х - уТх, ж = dL/ду = 0,
а гамильтониан модели дается функцией
Я = рх 4 ту - L - -р2 + Г(х2) +
E.1.4)
E.1.5)
Это явление недавно было переоткрыто и интенсивно изучается в современной
теории струн (см., например, [156]).
147

Легко убедиться, что E.1.1) Задает механическую систему с двумя свя-
зями первого рода [104]: 'тг = 0, а = рТх = 0, причем о — X\pi — X2P1
есть генератор- поворотов ^двумерном пространстве [139], а тг — генера-
тор сдвигов по оси у. Чтобы убедиться в этом, нужно вычислить скобки
Пуассона т и <т со всеми каноническими переменными согласно рецептам
разд. 1.6 и 3.3. Имеем: - •"¦' •'"'
{ж,х} =
{о,А =
E.1.6)
E.1.7)
Поэтому операторы J» = ехр(—a>ijr) и д„ = ехр(-ил>с?)> где я = {»,...}, а =
{а,...} (см. разд. 1.6), генерируют следующие калибровочные преобразо-
вания на ФП системы (см. разд. 3.3):
E.1.8)
r)p, E.1.9)
~дтъ = т, •;-, джу =
дох ~ ехр(^2Г)х, дар =
где wj, W2 — произвольные функции времени (преобразование E.1.3) отве-
чает подгруппе wi = ш2); д„ не изменяет х, р, а дс — ж, у.
Таким образом, полная калибровочная группа G, генерируемая все-
ми независимыми связями первого рода в данной модели есть Г® SOB),
где Т — группа трансляций на Я. Заключаем: из трех степеней свободы
у, ii,x2 — лишь одна физическая.
Как отмечалось, есть два способа перейти к описанию системы с ис-
пользованием только физических переменных. Первый — явно инвариант-
ный. Совершая каноническое преобразование х, р —> г, в, рг, р«, где
г — (х2I'2 и 9 — полярные координаты, рг = (р,пг), ре = (р,щ)г — сопря-
женные им импульсы (см. A.4.7), A.4.8)), пг = х/г. nj — единичные орты,
убеждаемся, что г, рг — калибровочные инварианты; они могут быть взя-
ты в качестве физических переменных 2. Второй - неинвариантный спо-
соб — таков. В силу калибровочной инвариантности 3 точки окружности
х2 = const физически неразличимы. Представителем каждой окружности
можно взять какую-нибудь ее точку, общую с некоторой линией, пересе-
кающей каждую окружность лишь один раз, например с полуосью Х2 — О,
ii > 0. Удобнее, однако, считать, что физическая переменная ii пробега-
ет всю вещественную ось. на которой отождествлены точки Х\ и — х\. Это
эквивалентно утверждению о переходе к динамической системе с калибро-
вочной группой Zi. состоящей из двух элементов 4: 1, Р, где Рх\ = —х\.
Равноправность обеих формулировок очевидна. В случае более слож-
ных групп и представлений связь между указанными подходами уже
не столь проста.
Вопрос о структуре ФП модели решается следующим образом. В ин-
вариантном подходе г > 0, —ее < рт < со, так что физическое ФП есть
полуплоскость. Более тщательное исследование (см. [139]) показывает,
Ввиду E.1.8) и первого равенства E.1.4) >и! описывают чисто нефизическую
степень свободы (ср. разд. 3.3).
3Под калибровочной группой понимается расширенная группа, генерируемая все-
ми связями первого рода [104].
4Отметим, что обычную (некалибровочную) динамику можно наделить дискрет-
ной калибровочной симметрией только "руками*. Ее нельзя задать лагранжианом,
не содержащим нефизических переменных. Здесь Zi есть подгруппа калибровочной
группы.
148
что нужно отождествить точки рг и —рг на прямой г = 0. Проще всего в
этом убедиться, рассмотрев траектории в Г(г, рг) для какого-нибудь прод-
етого потенциала, например положив в E.1.5) V = х2/2 (у играет роль
множителя Л агранжа).
Общее решение уравнения связи а — 0 имеет вид р = Ах, где А = А(г) —
некоторая функция времени, определяемая динамикой системы. Подста-
вляя его в гамильтоновы уравнения движения v"' ~ . :
~ - - - . *. 1 &
E.1.10)
и затем комбинируя их, находим уравнение для А(():
E.1.11)
т.е. при х / 0 имеем X(t) = —tg(< + to).. Константу to мы полагаем рав-
ной нулю, что соответствует ггулевыы начальным условиям для импульса
p(t = 0) = 0. Подставляя явное выражение для А в общее решение первого
уравнения E.1.10): : ' '. ' ¦¦*,¦¦-' ¦¦¦•¦¦
t
<) = expjdr [A(
r)
E.1.12)
получаем
x(<) = cos<expl I dry(r)T x@), p(t) = -tg< x(t). E.1.13)
\o /
Тогда эволюция физических переменных определяется равенствами
r(t) = \x(t)\ = |eas/|r(O), pr(t) = W\x(t)\ = -tgt| cost)r(O). E.1.14)
Отметим, что формально в решении E.1.13) вместо cost может быть
также ]costj. Это происходит в том случае, если после сокращения на
х в E.1.11) считать получающееся уравнение справедливым при всех t
(при формальной подстановке А = —tg t в E.1.12) вместо cost в E.1.13) по-
является |cost|). Между тг-м х(() обращается в нуль при изменении знака,
cost, и дифференциальное урапнеиие для А({) становится неприменимым в
момент времени, когда cost = 0. Решение E.1.13) написано с учетом тре-
бования, чтобы оно совпадало с соответствующим решением уравнений
E.1.10) при у = 0. Впрочем замена cos( на | cos/| в E.1.13) эквивалентна
некоторому калибровочному преобразованию (см. разд. 5.1.2) и поэтому
не влияет яа эволюцию калибровочно-инвариантных переменных E.1.14).
Из соотношений E.1.14) видно, что в момент времени t — nfl (г = 0) траек-
тория на плоскости (г, рг) претерпевает разрыв и рг меняется скачком (см.
рис. 5.1, а). Из физических соображений ясно, однако, что никаких скачков
в ФП данной механической системы быть не может (потенциал регулярен).
Поэтому точки (г = 0,рг) и (г = 0,—рЛ в ФП следует отождествить. Это
означает, что ФИ системы есть развертываемый в полуплоскость конус
[139] - см. рис. 5.1,6.
Результат, разумеется, не зависит от явного вида потенциала. Что-
бы убедиться в этом, воспользуемся формулой E.0.1) для физического
149

-Pr
Рис. 5.1. Коническое фазовое пространство.
ФП. Очевидно, что Г = В?{ъ, у) ®
Щу) 8> R\x, р))„=о- В результате
, р). Поверхность связей имеет вид
Щу)/Тг ® Д4(х, р)„=
Д4(х.Р)!р=лх/5ОB)
E.1.15)
в соответствии с законом действия расширенной калибровочной группы
системы. Калибровочным преобразованием E.1.9) вектор х можно приве-
сти квиду Г| = 6цх. Поэтому на поверхности связейр = Ах импульс имеет
тот же вид р,- = бцр, где р = Хх. Однако калибровочный произвол еше не
исчерпан — остается преобразование, при котором х меняет знак: х —• —х
(вращение E.1.9) на угол т). При этом калибровочном преобразовании
импульс р также меняет знак ввиду р = Хх. Поэтому E.1.15) переходит в
— cone(jr),
E.1.16)
где группа Z-> действует на плоскости R-{z, р) как отражение относительно
начала координат:
Z2: (x,p)-^(±x,±p), E.1.17)
и символом сопе(тг) мы обозначили конус, развертываемый в полуплос-
кость (на что указывает угол я\ т.е. сопеBтг) = Я2).
Рассмотрим теперь динамику физических степеней свободы в неинва-
риантном подходе, суть которого заключается в фиксации калибровочно-
го произвола с помощью калибровочного условия, налагаемого на дина-
мические переменные. Покажем, как это можно сделать в рассматривае-
мой простой модели.
Решение E.1.12) справедливо для любого потенциала. Оно допускает
следующую интерпретацию: частица движется по оси, причем сама ось
может поворачиваться в плоскости, имея неподвижную точку в начале ко-
ордипат. В самом деле, матрица Т есть генератор поворотов плоскости, а
у(т) — произвольная функция времени. Точки плоскости, получающиеся
одна из другой калибровочным преобразованием (вращением плоскости),
физически не отличимы. Поэтому выбором конкретной функции у(т), т.е.
150
выбором калибровки, задачу можно свести к изучению движения части-
цы вдоль одной из декартовых осей, скажем хх (x2(t) = 0 — унитарная
калибровка). ,
Однако требованием х% = 0 калибровочный произвол полностью не
устраняется, поскольку остается еще калибровочное преобразование
E.1.17), при котором Х\ —» ±ri, причем в силу равенства рх = Хц (след-
ствие 12 = 0 и а — 0) импульс р\ меняет знак одновременно: pi —> ±Pi-
Последнее, как мы видели, является причиной редукции ФП физических
переменных х\ ирх, Y(p\,x\) = сопе(зг). Для модели E.1.1) оба метода (ин-
вариантный и неинвариантный) выглядят равноправными. Преимущество
неинвариантного подхода выявляется в моделях с более сложными груп-
пами или представлениями, где введение калибровочно-инвариантных пе-
ременных встречает технические трудности.
Группа Zi в E.1.16), превращающая фазовую плоскость физических пе-
ременных в конус, является подгруппой калибровочной группы, поэтому
она действует локально, т.е. в любой заданный момент времени t = (' > 0
можно изменить знак х\. Явный вид калибровочных преобразований, при
которых xx{t) —> |xi(i)|, построен в [157].
5.1.2. Фазовое пространство в полярных координатах. Может
показаться, что ФП полярных переменных г, рг есть полуплоскость и в
отсутствие калибровочной симметрии, ибо г > 0. Анализ показывает,
что это не так. Рассмотрим подробнее вопрос о структуре ФП в по-
лярных координатах [139, 149]. Фазовое пространство Г каждой из двух
степеней свободы, частицы в декартовых координатах есть плоскость:
r(i,-,p,) = Я2, i = 1,2. В полярных координатах каждая из переменных
г и (р принимает значения, лежащие на части вещественной оси. Како-
вы же тогда ФП соответствующих степеней свободы? Ввиду того, что г
меняется на полуоси г > 0, a ip — на отрезке [0,2тг), напрашивается вы-
вод, что Г(г, рг) есть полуплоскость, а Т(<р,р^) — полоса шириной 2т, так
как pr, pv меняются в бесконечных пределах. Более внимательное рас-
смотрение показывает, что ФП в обоих случаях фактически есть полные
плоскости.
Чтобы убедиться в справедливости сказанного относительно г и рг,
рассмотрим движение частицы через начало отсчета в декартовых и по-
лярных координатах параллельно. Пусть движение происходит вдоль оси
х\. Пока частица движется по положительной полуоси выполняется ра-
венство 2] = г и никаких парадоксов не возникает. При прохождении
начала координат х\ меняет знак, г знака не меняет, a tp и рг меняют-
ся скачком: <р — ^ + 7г, pr = |pjcosy -* -pr. Хотя скачки и не связаны
с воздействием каких-либо сил, они не противоречат уравнениям движе-
ния. Между тем кинематика системы допускает интерпретацию, позво-
ляющую их избежа1ь. В самом деле, формулы перехода к полярным ко-
ординатам Х\ — rcosip, i2 = rsmtp инвариантны относительно замены
V —* <р + т, г —* —г. Это означает, что движение со значениями поляр-
ных координат tp + ж, г > 0 не отличимо от движения со значениями их
V, г < 0. Фазовая траектория будет одинакова как в плоскости (г, рг), так
и в плоскости (xi,p\): что и следовало ожидать.
Скажем ииач<», Г(г,рг) есть сложенная пог.ол^м вдель оси г — 0 плос-
кость; каждая из половинок плоскости отвечает зь .ч^ниям <р, различаю-
щимся на т, ноэчому физические состояния на этих полуплоскостях раз-
личны, причем вторая половинка г < 0 перед совмещением с первой г > 0
151

повернута на угол я- вокруг оси рг = 0 (ввиду скачка импульса рг —» — рг).
Таким образом, каждой точке фазовой полуплоскости г > 0, pr G Л со-
ответствуют два разных физических состояния (они различаются значе-
ниями угла <р); следовательно, такая полуплоскость изоморфна фазовой
плоскости (г, рг) 6 Л2, каждой точке которой отвечает только одно физи-
ческое состояние системы, т.е. по определению фазового пространства
именно эта плоскость и должна быть отождествлена с Г(г, рг). При нали-
чии калибровочной симметрии tp становится нефизической переменной,
поэтом}- различие между двумя наложенными полуплоскостями исчезает
и Г(г,рг) = сопеGг) (поворот на угол я- второй половинки фазовой плос-
кости г < 0 перед совмещением с первой г > 0 как раз и обеспечивает
их отождествление в согласии с идеологией калибровочной группы Z?,
действующей в ФП физических переменных).
Изучая вращение<частицы вокруг начала координат, убеждаемся, что
для однозначной характеристики движения нужно допускать изменения
угловой переменной в бесконечных пределах f G R, если учитывать чи-
сло оборотов, совершенных частицей вокруг начала координат. Следова-
тельно, r(<p,pv) также есть плоскость. Все это полностью согласуется с
записью'континуального интеграла в полярных координатах (гл. 2).
5.1.3. Квантовая теория. Инвариантный и неиявариантный под-
ходы. Переход к квантовому описанию системы E.1.1) осуществляется
переходом к операторам х, р, у, я- —> х, р, у. 5? в гамильтониане и свя-
зях (проблемы упорядочения операторов здесь нет). В соответствии с
общепринятым рецептом квантования подобных систем (гл. 4) физические
состояния выделяются условиями
5гФ = 0, е?Ф = рТхФ = 0.
E.1.18)
Первое из условий E.1.18) означает, что физические векторы состояний не
зависят от у. В дальнейшем мы будем игнорировать эту переменную (на-
пример, не будем по ней интегрировать при нормировке состояний). Фак-
тически мы исключаем нефизическую переменную у до квантования. Хотя
исключение нефизических переменных и квантование не перестановочны,
если нефизические переменные описываются криволинейными координа-
тами (см. гл. 4), в данной модели это допустимо, поскольку нефизическая
переменная у — декартова. Второе условие E.1.18) означает, что Ф инва-
риантно относительно группы поворотов плоскости, т.е. в координатном
представлении не зависит от угла у, и, следовательно, Ф = Ф(х5), так
как х2 есть единственный инвариант упомянутой группы, который можно
образовать из вектора х. Состояния нормируются согласно
i-
E.1.19)
Отметим, что хотя теория и одномерная, интегрирование ведется с нетри-
виальной мерой. Фактически это есть инвариантный подход. Переходя в
гамильтониане E.1.5) к операторам и переписывая его в полярных коорди-
Н {[22^D2)']/2}f + V'B) аходим оператор энергии
()
натах Н = {[р2+г~2р^—Dr2)~']/2}f!/pv + V'(r2)) находим оператор энергии,
действующий в физическом подпространстве (р\,Ф = 5?Ф = 0, ft = 1):
s (* - 4?)+ ^2); EL20)
152
здесь рг = —|'г~1/2Зр о г1'2 и . волновые функции нормируются
согласно E.1.19)... .. ., '. . .. .- . ¦ . . •
Избавитьсяинвариантным образом от нефизических переменных мож- •
но и до квантования.. В переменных, г,р? и <f>,Pv гамильтониан E.1.5) с
учетом связи pv = с = 0 имеет простой вид: A/2)р2 -f V{r7). Но тогда-
оператор Гамильтона, полученный из него заменой рг —* pr = —idr, не
совпадает с E.1.20). Такой подход априори приемлем. Однако ему при-: ¦
суш ряд принципиальных недостатков. Во-первых, теория формулирует-
ся на полуоси г > 0, оператор рг = — idr на полуоси не самосопряжен и
не расширяется до самосопряженного [97]. Во-вторых, чтобы уравнение
Шредингера имело смысл, его необходимо дополнить граничным усло-
вием в точке г = 0, т.е. требуется привлечение посторонних соображе-
ний. В-третьих,..выбор инвариантных переменных не однозначен. Вид
гамильтониана зависит от этого выбора (см. разд. 5.3.2). Если теперь
при квантовании канонический импульс в этом гамильтониане заменить
на соответствующий оператор дифференцирования, то квантовые.хеории,
отвечающие разным выборам инвариантных леременных, будут различ-
ны (унитарно неэквивалентны; "квантовать" можно лишь в декартовых
координатах, см. разд. 5.3.2).
Схема Дирака (см. [104]) не содержит указанных недостатков (см.
опять разд. 5.3.2). Это позволяет считать ее эталоном при сопоставле-
нии различных схем квантования. .
Неинвариантное рассмотрение связано с переходом в E.1.5) к х? = р2 =
0. Однако прямодинейшлй подход здесь недопустим. Нельзя, разрешив
связь Х\Р2 — i2Pi относительно pi и подставив рг в E.1.5), положить затем
12 = 0, после чего перейти к квантовому описанию. Нулно учесть, что
связи выполняются только на физических состояниях. Поэтому согласно
разд. 4.1 замену рг = (i2/*i)pi в члене р\ формулы E.1.5).можно совершить
лишь для одного импульса [62]: р2Ф = P2i.xilx\)Vi$* поскольку получаю-
щееся состояние {xilx\)V\$ Уже Ile будет физическим. Второй импульс
Р2 следует сначала перенести направо к Ф и только затем совершить ука-
занную замену с последующим исключением хт: x-i = 0. В шоге членр?
превратится в (-i/x\)pi\ искомый гамильтониан есть [62, 143]
^¦pi) -v ПАУ
E.1.21)
Оператор E.1.21) определенна всей оси. и мы должны учесть остаточный
калибровочный произвол, связанный с группой Z'i E.1.17), т.е. подчинить
физические состояния калибровочному условию
РФ(г,) = Ф(-х,) = Ф(г1). P2i = -ziP- E.1.22)
(Напомним, что Р — единственный нетривиальный элемент группы Zt).
Из E.1.22) заключаем, что физические векторы Ф есть четные функции ц,
т.е. Ф = Ф(х2). При втом, однако, нормировка Ф отличается от нормиров-
ки волновой функции одномерной задачи с гамильтонианом E.1.21) . В
соответствии с E.1.19) имеем
E.1.23)
153

Выбор нормировочного условия в E.1.23) требует пояснения. Интегри7-1
рование по всей вещественной оси отвечает постановке задачи: х\ прини-'
мает любые вещественные значения; но физическая область изменения Х\
есть полуось хх > 0, отсюда появление множителя 1/2 и |ri| (вместо i\)
в E.1.23). Идентичность гамильтонианов E.1.20)^ E.1.21) {х\ *-* г) и соот-
ветствующих задач очевидна. Отметим, что в неинвариантном подходе
мера интегрирования находится из требования эрмитовости гамильтони-
ана E.1.21). ¦ ¦ -sv. ¦ ., ¦ .-.г... •
Из E.1.19), E.1.22) и E.1.23) становится ясной роль дискретной кали-
бровочной группы. Благодаря ей, во-первых, отбрасывается часть соб-
ственных функций гамильтониана, во-вторых, меняется нормировочное
условие (множитель |xi|/2 в E.1.23)). И еще одна особенность. Если не-
физические переменные исключить до квантования, то получится кванто-
вая теория с гамильтонианом (l/2)pf -f V{x\).'Очевидно ее' отличие от
теории, задаваемой E.1.21), E.1.23). Всё сказанное при обсуждении инт1;
вариантного подхода относится и к неинвариантному методу. Здесь, как
и в инвариантном подходе, чтобы избежать зависимости квантовой тео-
рии от калибровки, следует обратиться к схеме Дирака {неинвариантный
подход). '
Разобранный пример иллюстрирует тезис о неперестановочности опе-
раций квантования и исключения нефизических переменных в системах со
связями [62, 132, 139, 142]. Результирующие теории могут различаться,
во-первых, гамильтонианом, во-вторых, нормировочным условием. Разу-
меется, в частных случаях эти операции могут оказаться перестановоч-
ными (исключение у в модели E.1.1) можно произвести на любом этапе
после перехода к гамильтоновой динамике). Указанная неперестановоч-
нос-п, существенна для полей Янга-Миллса [132, 163].
5.2. Гармонический осциллятор
с коническим фазовым пространством
Исключение нефизических переменных в классике для модели из
разд. 5.1 не представляет труда. Разрешая связь р-гх\ — x2pt = 0 от-
носительно Р2, подставляем решения в E.1.5) и, полагая затем х2 — 0,
получаем гамильтониан (р?/2) + Г(х?). Следствия калибровочной инва-
риантности учитываются отождествлением точек фазового пространства
(rbPi) и (—xi,—p\). В случае гармонического осциллятора (V = х?/2)
эго приводит к удвоению частоты осцилляции, ибо в конфигурационном
пространстве после прохождения частипей точки xi = 0 фактически про-
исходит обратное движение (тождественность точек х\ и — Х]). и возвра-
щение в исходное положение совершается за ндвое меньшее время. Данное
обстоятельство должно проявляться и в квантовой теории, т.е. должны
удваиваться расстояния между уровнями энергии осциллятора.
Продемонстрируем справедливость этого* утверждения на примере п-
мерпого изотропного осциллятора с калибровочной группой SO(n), когда
калибровочные преобразования суть вращения л-мерного вектора х [139].
Соответствующий лагранжиан является очевидным обобщением E.1.1):
L=l-(i + lluTaxf-l-x\ E.2.1)
где T'J - антисимметричные матрицы, генераторы SO(n), a =
154
1,2,..., п(п - 1)/2. Переход к гамильтонову формализму аналогичен пе-
реходу в модели E.1.1). Определяя канонические импульсы р = dL/dx =
зс + УоТоХ, 1Г„ = dL/dya = 0, находим отвечающий E.2.1) гамильтониан:
E.2.2)
где
. <г. = {Л,*.} = 1*7у*,- = 0, i,j=l,2,...,n, E.2.3)
- вторичные связи. Ониявляются генераторами группы SO(n). Всесвязи
находятся в инволюции (связи первого рода):
{*«,#} = fabcWc {*„,#}=: -<Та, E.2.4)
К>»} = !*ъс°с К,*»} = {*<..»»} = 0, E-2.5)
где fubc — структурные постоянные группы SO(n), \Та,Ть] = fabcTc-
Легко убедиться, что система имеет единственную физическую сте-
пень свободы с коническим ФП. Действительно, величины аа есть ком-
поненты углового момента для частицы, движущейся в Я", поэтому ра-
венства E.2.3) означают, что физическим является радиальное движение
(угловой момент равен нулю). Отсюда слелует, что общее решение свя-
зей E.2.3) имеет вид р = Лх, как и в модели разд. 5.1. Калибровочным
преобразованием (n-мериым вращением) вектор х (и, следовательно, р)
можно направить вдоль^одной из декартовых осей, например х; = 8цх.
Кроме того, калибровочным вращением на угол я- можно изменять знак
у х в любой момент-времени (остаточная калибровочная группа Zi, т.е.
на фазовой плоскости'(г.р) следует отождествить точки (х, р) и (-х,-р),
после чего она превратится в конус сопе(-). Следовательно, физическал
частота колебаний осциллятора удваивается, как и и модели разд. 5.1.
5.2.1. Квантовая теория. Координатное представление. Переход к
квантовой теории осуществляется стандартным образом — заменой всех
канонических переменных на операторы, а скобок Пуассона — на коммута-
тор: {,}__;[,]. Как и в модели разд. 5.1, мы исключим нефизические
степени свободы (уа. *„) до квантования, поэтому физические лекторы со-
стояний задаются условиями
= 0.
E.2.0)
Так как стационарная подгруппа п-вектора есть SO{n - 1). то из п{п- 1)/2
связей лишь п(п- 1)/2-(п- 1)(п-2)/2 = п- 1 независимых, а физические
состояния - это функции, не зависящие от угловых переменных: ФРь(х) =
Ф(г): благодаря п— 1 независимым связям из п степеней cnot'onu осталась
лишь одна.
Уравнение Шредингера для радиальных функций в n-мерной сфериче-
ской системе координат записывается в вило
dr7
r dr
= 2?Ф(г).
E.2.7)
где / = 0. 1 откуда подстановкой Ф = г' ехр(-г2/2)/(г) получаем для
z(l) — /(г), t = г2 следующее урапнеиие:
tz" + (a-t)z'-3z = 0, E-2.8)
155

в котором о = I + (п/2), 0 = (а — Е)/2. Его регулярное в нуле решение
дается вырожденной гипергеометрической функцией z(t) =xFi@,,a;t). Из
условия убьшания Ф(г) на бесконечности (из условия, что z(t) — полином,
т.е. при /? = — к) находим спектр энергии:
= 2k+ !+¦-, t = 0,1,
E-2.9)
Учитывая связь ]Fi с полиномами Лагерра L% ) (iFi(—к,а + l;t) =
Ll(t)r(k + 1)Г(а + 1)/Г(*+ а + I) [164, с. 189]), получаем искомое реше-
ние E.2.7):
E.2.10)
Фы(г) = const • r'4"I+(n/2)(r2)e-r3/2.
Физические решения даются сферически-симметричными функциями Ф*о.
Из E.2.9), E.2.10) явствует, что при / = 0, т.е. для функций х2, расстоя-
ния между уровнями энергии удваиваются, а физические состояния есть
четные функции г. Последнее обстоятельство означает, в частности, что
в неинвариантной формулировке регулярные в нуле собственные функции
гамильтониана E.1.21) (V = х?/2) автоматически удовлетворяют условию
E.1.22). :... т: ¦¦¦¦-,. .v •• ¦ .. ,
В заключение обсудим смысл переменной Х\. С самого начала было
ясно, что Ei — "не вполне" физическая переменная, ибо она меняется при
калибровочных преобразованиях (ei —<¦ — х\). Из E.1.22) и E.1.23) следует,
что все матричные элементы х\ между физическими состояниями равны
нулю:
Х- J
E.2.11)
Равенство E.2.11) эквивалентно следующему утверждению: состояние с
определенным ненулевым значением х\ не может принадлежать физиче-
скому гильбертову пространству Нф, т.е. х*ф = xtxt —> ф € 7tph. ибо в
этом случае Р-ф ф ф. Лействительно, операторы Р и Si не коммутируют
(Pxi = — xiP, поэтому они не могут иметь общие собственные состояния,
за искючением состояний Ф: т^ = 0. Физический смысл имеют лишь
четные степени х\, т.е. переменные вида |ii| = X]Sgnzx,Zi,:Cj,... {\x\\ да-
ется фактически рядом четных степеней ij). Данное обстоятельство суще-
ственно для квантовой теории поля. Возбуждения, описываемые модулем
поля, не могут иметь нормальный проп&гатор, т.е. они не распространя-
ются [139, 157-160, 162, 208] (см. также разд. 5.8.3).
Подведем итоги. После исключения нефизических переменных имеют-
ся две эквивалентные фор-мулироики изучаемой особенности динамиче-
ской системы: 1) система обладает коническим фазовым пространством,
2) система инвариантна относительно дискретной калибровочной группы
(в данном случае — группы Ъъ). Первая формулировка полезна при из-
учении классической гамильтоновой Механики, тогда как вторая удобна в
лагранжевом подходе, в квантовой механике, в методе континуального ин-
тегрирования. Физическим следствием данного обстоятельства является
изменение спектра гамильтониана, в частности удвоение частоты коле-
баний осциллятора, редукция гильбертова пространства. Подчеркнем,
впрочем, что условие E.1.22) начинает играть важную роль лишь при
156
исключении нефизических переменных (при переходе к одномерному дви-
жению в;задаче E.1,1)). >В рамках общего подхода Лирака (см. [104])
вся информация о физических состояниях содержится в условиях E.1.18),
E.2.6). ¦ .-. . -_ ..,,;,."' . ¦
5.2.2. ¦ "Представление вторичного квантования". Квантовомеха-
ническую задачу разд. 5.1 для осцилллторного потенциала полезно пред- '
ставить во "вторично квантованном" виде. Переходя в E.1.5) cV— x2/2 к
новым переменным а = (р — ix)V2, a+ = (р + 1'х)/л/2, записываем оператор
Гамильтона в виде ,, '
Я = а+а +
E.2.12)
Учитывая, что базис гильбертова пространства дается состояниями
(aj")m(aj")n |0), m,-n = 0,1,..., из условия исчезновения связей д — а+Та
на физических состояниях а |Ф) = 0 находим базисные векторы физиче-
ского подпространства:
Результат E.2.13) очевиден: так как? есть генератор поворотов в плос-
кости, [<т.а+] = —Га+, [д, а] = —Та, причем а |0) = 0, то физический базис
исчерпывается век-горами, которые получаются применением к |0) инва-
риантных полиномов от а+. Имеется лишь один независимый инвариант-
ный полином — это (а+J} нто и доказывает E.2.13). Ввиду соотношения
[а+а, (а J] ~ 2(а+J расстояния межлу уровнями энергии удваиваются. В
случае n-мерного осциллятора, физические состояния которого подчиня-
ются условиям еа\Ф) = 0 (см. E.2.3)), имеем [157, с. 74; 165]
1 "" а
\ Дп/2)
E.2.14)
и в силу E.2.14) частота осцилляции также удваивается.
Отметим, что в физическом состоянии возбуждены все л осциллято-
ров и что физическая картина не сводится к одномерно?*!}- осциллятору с
удвоенной частотой. Исключение составляет случай п = 3, когда норми-
ровочный множитель в E.2.И) [Bку]~'^2 допускает такую интерпретацию.
Последнее также видно из E.2.10) при / = 0, п = Z,rLlk (г2) ~ H2k+i(r)
[164, с. 193].
Представление вторичного квантования оказывается весьма полезным
в задачах, где используются присоединненые представления более слож-
ных групп (см. разд. 5.4, 5.6).
5.3. Остаточная дискретная калибровочная группа
и выбор физических переменных
Вышеизложенное может создать впечатление, что остаточная дискрет-
нал группа Zi из разд. 5.1.1 , будучи подгруппой калибровочной группы,
есть объективная характеристика динамической системы (наряду, ска-
жем, с размерностью физического пространстоа). В определенном смы-
сле это верно. Точное же утверждение такоио: остаточная калибровочная
симметрия целиком определяется выбором калибровки [166], а группа Zi
157

есть простейшая из возможных, как следствие того, что калибровочное
условие Х2 = 0 есть простейший способ устранения нефизической пере-
менной. Неудачный выбор физических переменных может сильно услож-
нить остаточную калибровочную группу. По своей природе это обсто-
ятельство родственно проблеме неоднозначности фиксации калибровки,
обнаруженной при изучении полей Янга-Миллса [153]. Обратимся к де-
талям. ;
5.3.1. Неинвариантный подход. Допустим, что в модели E.1.1) фи-
зическая переменная определена не прямой xi = 0, а некоторой линией на
плоскости (х1,г2)- Имеется несколько принципиально различных возмож-
ностей, изображенных на рис. 5.2 кривыми J-S. Концентрические окруж-
ности на нем— это орбиты. Выбор калибровки Е2 = /i(*i) (кривая 1) вооб-
ще не приемлем, ибо исключается физическая область 0 < г < го (г = |х|);
кривая / касается окружности S(ro) с радиусом го- Выбор хъ — fi{x\) (кри-
вая 2) означает, что орбиты с радиусами г < ri иг > г? пересекаются два-
жды, а орбиты с радиусами Г] < г < тъ — четырежды. В отличие от случал
xi — 0 преобразования, связывающие точки кривой S, лежащие на одной
орбите, не образуют подгруппы калибровочной группы. Действительно,
преобразованием поворота точка хг на пунктирной окружности S(r) мо-
жет быть переведена в точку Х), однако при таком повороте точка х,ч не
переходит вх;, Х4 — в Хз и xi — в Х4- Поэтому композиция двух остаточ-
ных преобразований, вообще говоря, не дает новое остаточное калибро-
вочное преобразование. Более замысловатые кривые могут еше сильнее
усложнить структуру остаточной калибровочной симметрии. В проекции
на ось х\ траектории могут иметь разрывы; примером служит кривая 3по-
сле исключения дважды проходимого участка ВВ'С (ВВ' ~ В'С). Ясно,
что со всеми такими возможностями необходимо считаться при изучении
более реалистических систем.
Данная модель служит хорошей иллюстрацией проблемы неоднознач-
ности при фиксации калибровки [153]. Видно, что неудачный выбор ка-
либровочного услопия может лишить задачу смысла (кривая 1), а может
ее и неимоверно усложнять (продолжение кривой 2 с увеличивающейся
амплитудой осцилляции).
Отметим вместе с тем, что хотя природа обнаруженного в [153] и в
.модели E.1.1) феномена неооднозначности одна и та же (выделение физи-
ческих переменных сиязано с переходом к криволинейным координатам),
речь идет о различных явлениях. В [153] говорится о фиксации произ-
вола теории (на нашем языке — о фиксации у), здесь же — об исключе-
ния иефизических переменных, скажем, т> после исключения у, т.е. после
фиксации произвола. Отметим также, что феномен неоднозначности фик-
сации калибровки обычно приписывают сложности калибровочной груп-
пы, поскольку с этой проблемой столкнулись при изучении неабеленых
теорий (см. также [167J). Из приведенного примера ясно, что такая про-
блема может возникнуть и в абелевой теории. В неабелсвой теории "не-
удачными" являются инвариантные калибровки (например, калибровка
Ферми), не допускающие существования конечномерных остаточных ка-
либровочных групп [167]. Это означает, что релятигшетски-иннариангное
калибровочное условие не является естественным для подобных систем
(см. также [168]).
В рассматриваемой модели структура орбит калибровочной группы
очевидна — окружности с центром в начале координат. В реалистиче-
158
-оо< wr2
Рис. 5.2. Иллюсграция к замене переменных, согласованной с
законом калибровочного преобразования, и к проблеме копий.
ских калибровочных теориях структура орбит не столь проста, а чаще
просто неизвестна. Поскольку физическое конфигурационное простран-
ство идентично пространству орбит, задание калибровочного условия,
изгоняющего нефизические степени свободы, есть параметризация это-
го пространства. Она может оказаться удачной (подобно условию х7 - 0)
или неудачной (подобно кривой 2 на рис. 5.2). Если структура орбит
неизвестна, то априори все калибровочные условия равноправны. По-
этому необходимо \меть онисыиать квантовую и классическую динами-
ки в общем случае, с учетом всех неприятностей, которые сулит неудач-
ный выбор калибровочного условия. Кроме того, нужно уметь выделять
допустимые калибровочные условия. Поверхность^ конфигурационном
пространстве, задаваемая этими условиями, должна пересекать каждую
орбиту по крайней мере один раз (пример недопустимого условия дает
кривая /). Этот вопрос весьма важен при формулировании калибровоч-
ной теории в методе континуального интегрирования. Мы обсудим по-
дробно проблему корректного определения континуального интеграла с
произвольным калибровочным условием и рецепт его построения в гл. 6.
Здесь мы рассмотрим операторную формулировку квантовой теории на
основе схемы Дирака, когда физические переменные задаются произ-
вольным образом.
5.3.2. Описание физических переменных криволинейными коор-
динатами. Мы знаем (см. разд. 5.1), что калибровка х2 = 0 непосред-
159

ственно связана с инвариантным описанием в терминах г = (х2I'2 = inv.
Как выглядят нетривиальные калибровочные условия типа условий, за-
даваемых кривыми S, S на рис*. 5.2, в"инвариантном подходе? Перейдем
от переменных хь xi к переменным в, и по правилу [13, 151, 166]
E.3.1)
где /i(u) (i = 1,2) — ¦некоторые функции параметра и. Случай Д(и) =
и, /: = 0 отвечает переходу к полярным координатам и2 = х2; матрица
еет в E.3.1) вращает луч хъ = 0, zi = г > 0 так, что он заметает всю
плоскость. При произвольных /,• равенства ij = /i(i'), 12 = h(u) задают
некоторую линию I на плоскости (xi,x->), причем параметр и есть инвари-
ант калибровочных преобразований (/2(и) + /|(") = г2(ы) = х2).
Отображение E.3.1), вообще говоря, не обязательно определяет заме-
ну переменных для всех (и, в) ? R2. Но это отображение будет заменой
переменных, если определить такую область К С Я2, что E.3.1) залает
взаимнооднозначное соответствие между [и,0) ? К и х ? Д2. Это накла-
дывает определенные ограничения на кривую /. В частности, она должна
проходить через начало-коо.рдинат и уходить на бесконечность при не-
котором и. Поэтому мы всегда можем выбрать параметр и так, что при
движении вдоль кривой / он монотонно возрастает от —оо до оо, причем
/j@) = 0 и г-(и) —> ее при и — со. Мы также будем предполагать, что / —
непрерывная кривая.
Чтобы определить область А', нужно изучить преобразования симме-
трии S отображения E.3.1), т.е. такие преобразования плоскости (",#) —
(»,.(?,), при которых х в E.3.1) не изменяется. Например, для полярной
системы координат (/j = u = r, J-, — 0) эти преобразования образуют
группу, которая состоит из двух подгрупп S ~ Si x S, где Se : в —¦ в + 2тгп,
г —<• г, п — целое, и S : г —» -г, в —> в Л- тг (см. разд. 2.7 и [85]). Точки
плоскости (г,в) ? Я2, связанные преобразованиями из S, соответствуют
одной и той же точке х ? Я2. Следовательно, К есть фундаментальная
область плоскости R~(r, в) относительно действия группы S: любия точка
(г, в) 6 /?2 может быть получена из точки (г, 0) ? К действием подходяще-
го элемента из S. Поэтому К — R'/S есть полоса. natip-.iM^p 0 ? [0. 2-nr).
г € [0, со). Аналогично, для переменных и. 9 E.3.1) определим S — .?# х S',
где Sb : 9 —> в + 2тгп, и —> и, п — пелое, и 5 : и —> и, — и,(и), в — б -i- Sa(u).
Общий случай отличается от разобранного тем, что преобразования из
5 есть функции и, т.е. при различных и S может иметь различное число
независимых элементов (функций и,,в,}. Вид этих функций определяет-
ся условиями пересечения кривой / с окружностями. Действительно, по
определению S имеем
.. JT
Л («О \ _
.г / /i(«) \ _
V Л(«) /"
м;
E.3.2)
Последнее равенство означает, что точка х € й! не изменяется при замене
(«,#) на (и,, в+ 9,); это есть признак принадлежности преобразования к 5.
Предпоследнее равенство в E.3.2) показывает, что точки /;(и) и /<(«,)
лежат на одной окружности и переходят друг в друга при повороте на
угол Вц. Следовательно, преобразование и —> и, связывает между собой
160
все точки пересечения кривой I с окружностью радиусом г(и). В частно-
сти, все функции и, могут быть найдены из решения уравнения ¦ "
- ,. ¦ , .-,... . ,. •• г2(и,(и));= г2(«), '.''.'... -..'- E.3.3)
где г2(«) -/2(и) = Х2(„). ;: .' • -:- ?
При данном и уравнение E.3.3) может иметь несколько решений. Бо-
лее того, структура решений E.3.3) может оказаться чрезвычайно слож-
ной. Например, кривая / может иметь самопересечения, может пересев
кать какую-либо окружность счетное число раз и т.п. Мы не будем здесь
разбирать эти случаи. Потребуем лишь ради простоты, чтобы уравне-
ние E.3.3) имело конечное число решений при каждом и ? R, т.е. чтобы
кривая Z пересекала каждую окружность с центром в начале координат
конечное число раз.
Разобьем прямую и (» R на отрезки Ro так. что при изменении и в
пределах Ro число Лга решений E.3.3) иг(и) фиксировано. Множество
преобразований из S, действующих на Ra, обозначим Sa. Очевидно, что
S = Т1а$°<- Фундаментальная область Л' для замены E.3.2) состоит из
в ? [0,2я-) и и ? А', причем К = (Ja Ко, где Ка = Ra/So есть фундаменталь-
ная область в Ro относительно действия преобразований из Sa. Положим
теперь в уравнении E.3.3) и ? Л". Тогда для каждой подобласти А'„, входя-
щей в К, решения и,(и) определяют непрерывные функции К„ —> Каг. где
А'а, — область значений функции и,(и), и ? Ка. По определению Sa долж-
но выполняться равенство Ra — UsA'o» (в So входит также тождественное
преобразование /v -=• Л',.которое отвечает тривиальному решению E-3.3)
и,(и) = и). Ввиду непрерывности и однозначности и,(и), и € К„ суще-
ствуют также обратные функции u~!(v) : Ка, — Ка. Если функции /,-(«)
дифференцируемые, то и, и t/71 также будут дифференцируемы.
Мы будем считать, что набор функций и, определяет отображение
А —А", — UaKas. В деОстчительностизадание отображеггия А" —» К, в ви-
де некоторой функции и, требует специальных оговорок, поскольку число
элементов Sa различно для каждого а. Мы будем писать: и,(и), А' — К,,
считая, что tis(u) есть некоторый элемент ич Sa при каждом к € Ка- Это
не приведет к каким-либо недоразумениям, поскольку во всех последую-
щих выкладках можно считать, что и принадлежит к одной из областей
KQ. При практическом построении функции u>(u) нужно зядать фундамен-
тальную область К в виде набора некоторого числа отрезков и полуоси.
Этот выбор, вообще говоря, не однозначен.
Например, для кривой 2 на рис. 5.2 вся ось и ? Л распадается на три
области: Ях = (u_x, 0)U@. Ui), Л2 = (u_j, u_,)(J(«b «2)U(U2«3)U(U3, «4)
и Яз = (-cc,«_2)IJ("'!-cc) ('гочки кривой 2 fi(ua), a - -2,-1 ,4, поме-
чены на рис. 5.2 точками и„), различающиеся по числу пересечений (^V)
этой кривой с окружностями: Л*1 = 2, N-> — 4, N3 = 2. Поэтому в каче-
стве К\ можно взять любой из двух отрезков (u_i,0).@, «1); в качестве
А'з — любую из полуосей в Яг; наконец, любой из четырех отрезков, со-
ставляющих Яг можно отождествить с К?. Таким образом, здесь имеется
2-4-2 = 16 способов выбора фундаментальной области К. Зафикси-
ровав один из них и положив и € К, мы однозначно определим функции
Uj(ti): Кг, —' A'aJ {а - 1,2,3). Обозначим через? абстрактные элементы
5, т.е. 5 = Па х$а и каждый набор Sa имеет некоторое число элементов
?. Для некоторого множества Ка С Ra (или К С R) элементы определяют
отображения: /?„ —> ?А'а так, что Яа = Us^sA'o (или Я = Us?A"). Выбирая
161

конкретный вид К, мы задаем представление S непрерывными функциями
?и = и,(и),,гн ? К. Если функции и, заданы, тогда из соотношения E.3.2)
можно найти соответствующие функции в,(и), и 6 К. Абстрактное мно-
жество 5 не имеет закона композиции, потому что преобразование вида
s'SKa не определено. Поэтому в общем случае S не является группой.
Заметим, что по определению функций "«(и), композиция и,< о и,(и) также
не определена., В Приложении 8.4.2 рассмотрен пример построения явных
функций и,(и) и в,{и).
Множество S превращается в группу, если элементы ехр(Тв, (и)), опре-
деляемые E.3.2), образуют подгруппу 50B). В этом случае функции us(u)
имеют аналитическое продолжение на всю область Ra- Это утверждение
справедливо для более сложных систем с калибровочной группой (см.
разд. 6.4). Если кривая х = {(и) пересекает каждую орбиту (окружность)
дважды и при преобразовании х —* —х (поворот на угол г) переходит са-
ма в себя, то S = /?2i К = Я+ = {и : и > 0}, единственный нетривиальный
элемент и,(и) = —и задает отражение Д+ —» R- = {и ': и < 0}; функция
its(u) — —и имеет аналитическое продолжение в область Л_.
Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. 5 может быть груп-
пой, в то время как элементыехр(Тв3) не образуют дискретную подгруппу
в SOB). Положим, например, /i — и, /а — ои~ (кривая х = ffu) — парабо-
ла), тогда уравнение E.3.3) имеет единственное нетривиальное решение
и,(и) — —и, т.е. S = Zi, но Cj(u) - — 2arcsin(v/r), г2 = и'г +а2и4 и. следова-
тельно, набор групповых элементов A,ехр(Т&>)) не образует подгруппу в
SOB).
Замена переменных E.3.1), вообще говоря, не имеет глобальной ко-
ординатной сетки на плоскости х ? R^. Однако эту плоскость можно
разбить на кольца так, что внутри каждого кольца такая координатная
сетка будет существовать, т.е. координатная сетка замены переменных
E.3.1) получается склейкой конечного, а вообще говоря, счетного числа
карт (колен в данном случае). Лля примера обратимся опять к кривой
2 на рис. 5.2. Возьмем A'j = (О,и]),Л'з = (щ,щ) и Л'з = (и4,х). Тогда
внутри окружности S(n) координатная сетка стрс.-тся из окружностей с
центром в начале координат и веера кривых li(f?), которые получаются
из куска кривой f, u 6 A'i, одновременным поворотом всех его точек на
углы 0 ? [0,2:г). Координатная сетка в кольце между окружностями S(t"i)
и S[r-t) состоит также из окружностей с центром в начале координат и
кривых h(8), которые получаются одновременным попоротом всех точек
куска кривой /, и € А'г на углы в ? [0,2*). Аналогично определяется коор-
динатная сетка вне окружности S(V2).
Изменив способ выбора Л', можно изменить координатную сетку. Если
в нашем примере заменить Kj = («i.tij) на отрезок (из, и?), то кри-
вые /а(б) новой координатой гетки получаются вращением куска кривой
1,и ? (и2,из). Однако при этом меняется только способ склейки локальных
координатных сеток, существующий для и ? К'„, т.е. задание координат-
ной линии в = const как непрерывной функции и. Существование такой
склепки гарантируется определением областей Ra. Так, д::я разобран-
ного примера А" = @,Ui)U("L)LK"-i- ^°) лилия в = const получается
склейкой кусков кривой /,« ? @, и;) и и G A14, оо), причем точки и4 и «г на
рис. 5.2 совмещаются попоротом второго куска.
Теперь мы готовы к анализу динамики в переменных E.3.1). Для этого
введем импульсы, канонически сопряженные переменным в, и:
162
ро = рТх = <г,
E.3.4)
Легко проверить, используя E.3.1), что {рв,рц}.= 0, {в,р)} — {и,ри} = 1
(для получения последнего равенства следует определить производную
du/dti, учитывая равенство х2 = fx(u) Vf%{u)). Из E.3.4) следует; что
в — нефизическая переменная, ибо ре = с, а с есть вторичная связь,:то-¦
гда как и — физическая степень свободы. Соотношения E.3.4) совместно с
E.3.1) определяют каноническое преобразование. Записав гамильтониан
в новых канонических переменных и положив в нем ре = <г = 0, мы по-
лучим гамильтониан физической степени свободы и,ри, и, следовательно,
сможем построить классическую динамику. Поскольку векторы х и Тх
ортогональны (хТ"х = 0 ввиду антисимметрии матрицы Г), справедливо
разложение : ... . .. ...
где //(u) = f(uKuf(u). Подставляя E.3.5) в E.1.5) и полагал pj =0, получа-
ем физический гамильтониан
^ 1 Г2(И)
If {иI
E.3.6)
Гамильтоновы уравнения движения находятся стандарт».
Точки фазовой плоскости (и,ри). спязанпые преобрчлованиями из S :
и -- и,, р„ — pUl ~ ¦{du,/du)~1pu (в E.3.4) d/du, - (du,/du)-1d/du)
отвечают состояниям системы, которые различаются чнймениями угла
в — 0 + ils(u) подобно тому, как в полярных координатах состояния (г,рг)
и (—'". —Рг) отличаются значениями угла, в —> в -\- t (см.. разд. 5.1.2). В
калибровочной теории 9 — нефи*ическая переменная, поътому точки фа-
зовой плоскости (us,Pu,) физически не различимы и должны быть ото-
ждествлены. Данную особенность Г(и,ри) следует учктын.'.ть при описа-
нии системы. Последнее замечание фактически устанавливает связь ме-
жду инвариантным и ш инвариантным способами описании классической
динамики. Оба cuocoSa совггадают, если при неиинпрчаигичм учитывать
еще и редукцию физического ФП: ведь действие группы 5 на инвариант-
ную переменную (« —* ",) совпадает с действием остаточной дискретной
калибровочной симметрии (ОДКС), редуцирующей физическое ФП при
нсинвариантном описании. Лейстш.телыю. в ка;;ибрч-;;к>-: ?j — /i(u) точки
х\ =r !i(us) лежат на одной орбите (см. E.3.3)), т.е. они связаны преобра-
зованиями OJ1KC, при ?том по построению и и и, евюаиы преобразова-
нием из 5. Подчеркнем, однако, что природа ОЛКС и S различна: ОДКС
— остаточная симметрия в неинвариантном подходе, которая не всегда
образует подгруппу калибровочной группы, а 5 — подмножество множе-
ства симметрии отображения 5. Множество преобразований 5 может ин-
дуцировать действие ОЛКС только для специальной замены переменных
в инвариантом подходе, когда поверхности уровней физических перемен-
ных образуют орбиты калибровочной группы, а поверхностями уровней
для нефизических переменных служат поворхиостн, заданчемые калибро-
вочными условиями в полном конфигурациошюм пространстве. Такую
замену переменных назовем согласованной с законом калибровочного пре-
образования и калибровхой.
163

Последнее замечание позволяет решить вопрос о допустимости кали-
бровочного условия в неинвариантном подходе. Именно: данная кали-
бровка допустима, если существует согласованная с ней и законом кали-
бровочного преобразования замена переменных. :
5.3.3. Квантовая теория в иввариавтных переменных и выбор ка-
либровки. Перейдем теперь к квантовой теории. Мы покажем, в частно-
сти, что физические амплитуды не зависят от выбора функций /;, если при
квантовании учитывать криволинейную природу физической переменной
и и редукцию физического ФП. Первое достигается квантованием до ис-
ключения нефизической переменной О, второе — определением скалярного
произведения физических векторов состояний в соответствии с правилами
замены переменных.
После квантования системы (см. E.1.18)) перейдем к криволинейным
координатам E.3.1). Второе равенство в E.1.18) эквивалентно уравнению
-гдФ/50 = 0, т.е. Ф = Ф(«). Тогда, вычисляя оператор Лапласа — Бель-
трами в координатах E.3.1) и отбрасывая в нем слагаемые, содержащие
д/dS. получим уравнение Шредингера в 7{рЪ (индекс / указывает на выбор
функций в E.3.1)):
1
oSx + VV(«)) **(«)=?**(«)¦
(u) du (t(v) du
E.3.7)
При вычислении оператора Лапласа — Бельтрами в координатах E.3.1)
мы воспользовались следующим соотношением:
откуда следует
поэтому
dx = dOTx + ехр@Г)Г 'du,
(x.dx) = (idu,
(Tx, dx) — r'dd — fTf'du;
Тх rrr
dx r2
r'/i
Скалярное произведение в W h имеет вид
Y, J du\»(u)\$E{u)$B,(u) = j <!иМ«)]ФЕ{и)Фв.(ы) = ,
E.3.8)
здесь мы учли, что dx\dx? — (i(u)dud6. В W^ интегрирование по в да-
ет фактор 2тг, который мы не включили в нормировку Фе- Вообще го-
воря, К можно выбрать так, что на некоторых Ка якобиан замены пе-
ремешшх отрицателен. fi(u) < О, поэтому в E.3.8) поставлен модуль ц.
Впрочем, всегда можно выбрать К так. что )i(u) > 0 при и ? Л', поэто-
му мы будем опускать модуль у меры в скалярном произведении. Пер-
вое равенство в E.3.8) подразумевает определенное правило ориентации
областей интегрирования Ка. Будем считать, что верхний предел в ин-
теграле JK всегда больше нижнего, т.е. Yla Ik ^u = 1к^и есть сУмма
длин интервалов Ка.
164
Докажем, что f(L при различных f изоморфны между собой. Заменим
в E.3.7)
d_
dlt
dr d
du dr
r dr'
тогда гамильтониан в уравнении E.3.7) превращается в E.1.20). Так как
E.3.1) есть замена переменных, то в равенстве E.3.8) ' "'
со
f \n(u)\dn = J rdv.
т.е. E.3.8) эквивалентно E.1.19). Отсюда следует, что Bce??^h изоморфны
между собой, так как они изоморфны гильбертову пространству теории
E.1.20). E.1.19). Лалее отсюда следует, что согласно анализу, изложен-
ному в разд. 5.2.1, Фе в уравнении E.3.7) есть регулярные функции от
г2 = f}(u). Следовательно, скалярные произведения (амплитуды) в "Hlh
не зависят от /,-, так как
E.3.9)
Из равенства E.3.9) вытекает S-инвариантность физических векторов со-
стояний:
lPh-
E.3.10)
Мы доказали следующий важный факт: при квантовании по методу
Лирака все физические амклпгуды не завися"! от выбора фичических пе-
ременных (у!ыбора калибровки), хотя гамильто!шан E.3.7) и скалярное
произнедонир E.3.8) явно :s;voHcnr от него.
Для сравнении рассмотрим альтернативный метод — исключение нс-
финических перемг-т'.чыу Л1'.' киантопакил. Простой пцроходв классическом
гамильтониане E.3.6) к операторам ри -— —гд„ нево.чможен нпнду пробле-
мы упорндоченил оперято]!ов. Kjomc того, оиернтор Гамильтона в таком
подходе нечрмитов. Требуется постулировать некоторое правило упоря-
дочения олерлторов, 4ro5ii сделать гамильтониан урмитопым. Например,
ввести эргиигов оператор импульса р„ —» —ijix^du o//~'/2. Однако имеется
более серьезная проблгма. Упорялочин операторы и доии!П:шсь эрмито-
вости гамильтониана, мы, Tt.-.м не менее, можем получить калибровочхо-
завьсимуа квантовую теорию. Л»каза»!»!лй ранее факт унитарной экви-
валентности квантовых теорий опирался на явный вид гамильтониана в
E.3.7). т.е. на некоторое определенное упорядочение О1:<г>раюров. Только
при тало:.', их упорядочении квантовая ti'-гчя кзлибровочно-независима.
Таким обра.чпм. в рамках альтернатиииого метода квангования требуется
специальное исследование, чтобы построить калибровочно-независимую
квантовую теорию. Последнее фактически эквивалентно обращению к
схеме Дирака (см. также Приложение 8.4). Отметим, что подобная про-
блема возникает и в методе континуального интеграла (см. гл. 6).
165

5.4. Модели с произвольной
простой калибровочной группой
Несмотря на свою простоту рассмотренная в разд. 5.1 модель содер-
жит все основные черты, присущие моделям как с более сложными груп-
пами, так и с большим числом степеней свободы (например, полевым). В
данном разделе мы рассмотрим динамические особенности простейших
систем с произвольной калибровочной группой. Задача важна в связи с
тем, что прежде чем изучать динамику физических переменных какой-
либо системы, нужно уметь выделять эти переменные, а это непросто
в случае произвольной группы. Впрочем, трудности здесь связаны не
столько со сложностью группы, сколько с нетривиальностью представле-
ния. Так, в разд. 5.2 была рассмотрена модель с группой произвольного
ранга SO(n), а пример попал в разряд простейших. Это произошло по-
тому, что динамические переменные принадлежали элементарному пред-
ставлению группы, в котором имелась лишь одна физическая переменная.
Мы будем изучать в основном модели, когда переменные преобразуются
по присоединенному представлению, что важно для исследования полей
Янга - Миллса.
5.4.1. Классическая теория. Выделение физических переменных.
Рассмотрим модель, заданную лагранжианом [154, 159]
L(x,i,y,y) = -Тг;ДхJ-
E.4.1)
где Dt — dt + [у, ], x,y — элементы алгебры Ли X некоторой простой
компактной группы G, х = 1<,А„ (аналогично для у), А„ образуют базис в
X, ТгАдАь -- Sai, [Aa,Aj] = F*bXc, а,Ь,с = 1,2,. ..,N = diroG. Лагранжиан
инвариантен относительно калибровочных преобразований
- х~+пхп-\ у — Пуп'1 -\-пд,п~г, E.4.2)
если V{P.xQ.~^) — V(x). Положим далее для простоты обозначений Тгх2 =
х' (и вообще рх ~ '1'грх). Функция L задает систему с Лг первичными
связями dL/ду" = 7г„ г; 0, гамильтонианом
И = -р- + V(x) + yapTar E.4.3)
(здесь р = АоРа, Ра — dL/Oia) И N ВТОРИЧНЫМИ СВЯЗЯМИ (Та = рТаХ -
ТгАа[р,г] = FoicPii,; = 0. Все связи - первого рода, т.е. для них выпол-
няются соотношения E.2.4), E.2.5), где /аь,_ следует заменить на Fau. Из
Л переменных ха требуется выделить физические и найти их как функции
времени. Здесь также возможны два подхода — иниариантпий и неинва-
риантный.
Прежде всего зададимся вопросом, сколько всего имеется физических
переменных? В инвариантном подходе ответ прост: достаточно найти все
независимые калибровочные инварианты — они и определят совокупность
физических переменных. Их число, в свою очередь, дается числом неза-
висимых инвариантных симметричных тензоров в присоединенном пред-
ставлении, т.е. равно рангу группы / (см. Приложение 8.1). Следова-
тельно, в задаче имеется / физических степеней свободы. Это означает, в
166
частности, что среди N связей аа — 0 только I независимых. Однако фор- ;-
мулировка теории в терминах лишь инвариантных физических, величин^
затруднена, ибо инварианты суть однородные полиномы разных степеней. -
от I, и совсем непросто сформулировать теорию в новых переменных (для
группы ранга 2 это сделано в [157,159]). Еще более непросто исследовать
затем динамические особенности системы (см. разд. 5.4.5).
Выручает неинвариантный подход. Пусть х — заданный элемент алге-
бры X; ключевой для дальнейшего является формула [155, с. 459]
х = S{z)hS-\z),
E.4.4)
в которой h = hj\i (i = 1,2,...,?), А,- — образуют базис в максимальном
подпространстве взаимно коммутирующих генераторов (т.е. h — элемент
подалгебры Картана Я [155]), a S(j) € С получается экспоненциальным
отображением элементах = za\a 6 Х&Н в группу G (а = /+1,/+2,.. .,-N),
hj,ia ~ вещественные числа (или функции времени). Переменные hj анало-
гичны х\ из разд. 5.1, а г„ могут быть исключены калибровочным преобра-
зованием. Лействительно, так как переменные х преобразуются согласно
E.-1.2), то в соответствии с E.4.4) подходящим калибровочным преобразо-
ванием х всегда можно превратить в элемент подалгебры Картана:
h = uxtt-\ n = S~J(-)- .*¦, E.4.5).
Итак, любой элемент алгебры А' калиброзочно эквивалентен некото- .
рому элементу подалгебры Картана [169, с. 305]. Размерность / макси-
мальной коммутатишюй подалгебры Н и определяет число физических
переменных, каковими могут быть взяты функции /i,(f). Формула E.4.4)
позволяет исключить N'— I нефизических переменных. Хотя формально
имеется N вторичных связей, независимыми из них будут только N — 1\
это следует хотя бы из инвариантности h относительно /-параметрической
подгруппы преобразований E.4.-1) с z ? Н: I генераторов (связей) тожде;
ственио обращаются в нуль на элементах Н. Сказанное можно пояснить и
по-другому: как известно, генераторы групп)! А„ в присоединенном пред-
ставлении имеют / нулевых собственных значений [170. с. 197], т.е. на /
линейно независимых векторах / из них тождестненно обращаются в нуль
(в примере из разд. 5.2 с калибровочной группой SO(n) в нуль обраща-
лось (п — 1)(п — 2)/2 генераторов стгшмонарной подгруппы вектора [УЩ,
так как там изучалось неирисоед<Ш'..'Нное представление).
Таким образом, подпространство фи>ич'.ч:ких переменных выделено.
Перейдел! к изучению его структуры. Хотя калибровочными преобразо-
ваниями мы уже не можем уменьшить размерность физического подпро-
странства, возможна дальнейшая <-\ о редукция. Как известно [155, с. 469],
любая группа Ли содержит дискретную конечную подгруппу W (группу
Вейля) (см. Приложение S.1), порождаемую зеркальными отображениями
относительно гиперплоскостей n H, ортогональных корням группы (алге-
бра X есть линейное пространство [170]). Группа W изоморфна группе пе-
рестановок корней, т.е. группе, сохраняющей систему корней. Калибров-
ку х — h называют неполной глобальной калчбровкои с остаточной группой
симметрии W С G (см. [187]). Наличие этой калибровочной дискретной
группы и ведет к дальнейшей редукции пространств.!. Если группа Zi из
разд. 5.1 отожде стиля л а зеркально симметричные точки примой хь т.е. но
множеству xi > 0 '"восстававлииала" всю вещественную ось х\, то груп-
па Вейля по некоторому подпространству Л'+ С Я (именуемому камерой
1С7

Вейля [155, с. 470]) восстанавливает все пространство Н (за вычетом гра-
ниц камеры — множества меры нуль). В дальнейшем под камерой Вейля
будем понимать пересечение всех положительных полупространств, огра-
ниченных гиперплоскостями, ортогональными простым корням ("положи-
тельность" определяется направлением корней; * камера Вейля — откры-
тый выпуклый конус" [92, с. 104], т.е. для всякого h € К+ справедливо
(h,u>)~= hiuli > 0, где ш принадлежит множеству простых корней. Итак,
остаточные калибровочные преобразования, действующие в Н и образу-
ющие группу Вейля, позволяют отождествить некоторые подобласти ли-
нейного пространства Н'. Ясно, что это влечет редукцию фазооого про-
странства. .Действительно, фазовое пространство в нашем случае можно
определить как четномерное пространство M2i(hi,pi) ~ Г2' = Я'А <3 R'f),
наделенное симплектической структурой [5]. Так как р, = <9?/ЗЛ, и L есть
инвариант, то р, также является объектом представления группы Вейля, и
физическое фазовое пространство редуцируется, ибо некоторые его точки
отождествляются. Именно, в M2i{h;,Pi) точки (h,p) и (whw~l,wpw~1), где
р = А;р,, w с W, калибровочно эквивалентны. При их отождествлении,
Mti превращается в 2/-мерный гиперконус Г2'/ W, развертываемый после
надлежащего разреза в /v'T ® R1 [154]. Как и в случае простейших систем,
редукция физического ФП радикально меняет динамику системы.
Нередко случается, что исследование квантовой теории оказывается
более легким делом, чем классической. Данная задача подтверждает это
наблюдение, поэтому изучение особенностей простейшей механической
системы — гармонического осциллятора — начнем с квантовой механики.
5.'1.2. Кваятоаал теория. Гармонический осциллятор. Квантовое
описание модели чо представляет груда. Ввиду антисимметрии мат ркц Та
(т.е. структурных констант) при переходе к операторам проблемы их упо-
рядочения не возникает ни в связях, ни в гамильтониане. В соответствии
с рецептом Дирака (см. [104]) физическое гильбертово подпространство
выделяется условиями
а=1,2,...,Л\ E.4.6)
Первая совокупность условий не интересна — она эквивалента утвержде-
нию о независимости Ф от у" (см. разд. 5.1). Вторая совокупность более
содержательна, кос связана с криволинейными координатами. Переход
к "радиальным" (трансверсальным [169]) и угловым (орбитальным) пере-
менным в операторе кинетической энергии pjj (т.е. переход к инвариант-
ным и нсинвариштным переменным) — отдельная, достаточно сложная
задача (см. [169] и разд. 5.4.4, 5.4.7), поэтому для уяснения существа дела
ограничимся задачей о гармоническом осцилляторе. Переходя к опера-
торам аь = (рь — ?г>)/%/2 и 2^, записываем гамильтониан E.4.3) с!' = х^/2
и связи йъ в виде
где a^a —
3
Я = S+o + — + tyto+r»o, 5j = я+Г4я,
i,. Состояния
(a+)---(n+.)n"i0I (e*JO> = 0), n; = 0,1
E.4.7)
E.4.8)
образуют базис гильбертова пространства. Для операторов да имеют
место коммутационные соотношения:
\do,db} = Fcalld,, E.4.9)
168
т.е. да есть генераторы калибровочной группы, поэтому из E.4.6)-E.4.9)
и равенства да\Ч) = 0 следует, что базис физического подпространства
строится применением к |0) инвариантных полиномов от 3j". Число не-
зависимых инвариантных полиномов равно рангу группы / [155, с. 573],
Iследовательно, физические базисные векторы исчерпываются состояния-
ми [154]
, ^Ч2Ч-;>г7B+)|0),- . , E.4.10)
где Рг, — инвариантные однородные полиномы Казимира степеней
гт Г], п,- =0,1 Степени г,- для всех простых групп выписаны в
Приложении 8.1. Из однородности полиномов следует
[а+а,РгХа+)} = пРгХа+). - E.4.11)
Используя E.4.11), находим спектр энергии физических состояний:
V ¦
N
E.4.12)
Ясно., что спектр E.4.12) вырожден. В некалибровочной теории {у" — 0 в
E.4.1) и E.4.3)) спектр давался бы формулой
~ -:, . ? = У> + ТГ. E-4-13)
т.е. картина уровней анергии меняется ради.калыю. Так как г; - це-
лые положительные числа, то кратность вырождения для заданного Е в
E.4.13) определяется числом решений диофантеша уравнения E.4.12) при
фиксированном целом E — N/2. Чтобы лучше представить себе структуру
возбужденных состояний, возьмемв E.4.10) простейший инвариантный по-
лином РзC+) = J2 <*?*> являющийся оператором Казимира для всех групп.
Видно, что и в случае произвольной группы физические состояния отни-
мают коллективному возбуждению всех осцилляторов.
5,4.3. Классическая теория. Аннлиз динамики групп ранга 2.
Из формулы E.4.12) видно, что спектр системы он ре деля с к ч донодьпо
тонкими характеристиками калнбропоч'к-й группы (с •>'м'.-мчу.и инвариант-
ных полиномов). Благодаря калибровочной ши.ари.ан'пюсти число фи-
зических степеной свободы системы E.4.1) сократилось с .V = (dirnG)
до / (= dim Я) — ранга группы. Суля по Gsuiiry физических состояний
E.4.10) и спектру энергии E.4.12) результирующую систему .\:ожно прел-
ставить как совокуппо'.'ть лезаписимых ; одсистем, каждцн и ! которых име-
ет спектр Ei — nrj + const, n = 0,1,.... ргчх-ц.яннямежлу у роан^ми мюргии
увеличет.1 в п раз (по сравнению с нормальным осциллятором). О чем
^.свидетельствует этот факт?
Чтобы ответить на вопрос, проанализируем динамику в случае групп
раита 2, когда осциллятор имеет всего две физические степени свободы:
7*1 и hi. Физическое конфигурационное пространство, т.е. камера Вей-
ля, есть сектор на плоскости (Л'.Лз)- Лля групп 5С"C).5ОE) ~ 5;'A)
и Gi углы раствора сектора а равны соответственно: а — тг/3, т/4, яг/б.
На рис. 5.3 изображена траектория материальной точки в физическом
.конфигурационном пространстве для группы 5С'C). Простоты ради на-
¦ чальные условия выбраны так, что решение уравнений движения есть
169

г
я/б
Рис. 5.3. Классическая динамика в камере Вейля.
/i?(i) ~ Ajcosi. hi(t) — A\ sint и Ai > .4;, Камера Вейля на рисунке запол-
нена точками. Луч О'О" является ее осью симметрии. В момент времени
( = 0 частица находится в точке А. Затем она перемещается по эллипсу,
вытянутому вдоль оси hj, и в момент времени t — тг/6 достигает точки
В, т.е. границы дК+. Дальнейшее движение по эллипсу в секторе между
лучами Оу и 07i калибровочно-эквивалентно траектории В —» С в А'+.
Частица как бы отражается от дК+, движется по траектории В —* С и
достигает точки С при I — тг/3. Отметим, что никакого реального "уда-
ра" о стенку (т.е. силового воздействия) частица не испытывает (потен-
циал осциллятора не имеет сингулярное: грй на ЗА"!), хотя кажется, что
при отражении от границы #А + импульс меняется скачком. Суть делав
том, что импульсы до "удара" и преле -юго калиброночно-эквивалентны
(связаны преобразованием из группы Вейля (см. ра^д. 5.4.1)). поэтому
никакого катастрофического изменения физического состояния частицы в
момент достижения границы не происходит. При анализе квантовой тео-
рии в рамках аппарата континуального интегрирования (гл. 6) мы увидим,
что поведение фазы волновой функции при подобном отражении от грани-
цы физического конфигурационного пространства отличается от таковою
при отражении частицы от непроницаемого барьера (как, например, в за-
дачах: частица в "ящике", на полуоси и т.п.). Продолжим анализ. В точке
С частица испытывает повторное отражение и движется по участку влли-
пск С —» D в К+. Наконец, в момент иремени ! = т она достигает точки D,
отражается от границы и проходит траекторию в обратном направлении
D --» С ~* В —» А, оказываясь снова в точке Л в момент времени t = 1-х.
Посмотрим, как происходит увеличение частот физических колебаний.
По определению угловой частотой называется величина 2яг/Т, где 'Г -
время, за которое система возвращается в исходное состояние. Состоя-
ние определяется значениями координаты и импульса изучаемой степе-
170
ни свободы. Разложим движение осциллятора h\ti на колебания вдоль
оси О'О" и вращения вокруг начала координат О. После прохождения
участков А —+ В —* С угол принимает исходное значение, так как. углы
О"ОС и О"ОА совпадают, а совпадение канонически сопряженного ю*-
пульса в этих точках следует из закона его сохранения. Из точки С угло-
вая переменная еще раз проходит "путь", эквивалентный рассмотренному
(С —¦ D —<• С), после чего возвращается в точку А по пути С -* В -* А.
Таким образом, частота осцилляции угловой переменной втрое больше
исходной. Из рис. 5.3 видно, что в точках А и D состояния радиальной
степени свободы колебаний вдоль оси О'О" одинаковы. Следовательно,
частота радиальных колебаний вдвое больше исходной.
Аналогично можно было бы рассмотреть группы SO(b) ~ SpD) и Gi\
при этом мы получили бы, что частота радиальных колебаний (вдоль оси
симметрии К*) всегда увеличивается в два раза, тогда как частоты ко-
лебаний угловых переменных (они определяются степенями вторых опе-
раторов Казимира для этих групп) увеличиваются в четыре и шесть раз
соответственно (см. таблицу в Приложении 8.1). Ясно, что подобное рас-
смотрение можно обобщить на случай группы любого ранга, однако это
не меняет качественной картины. В следующем подразделе даны явные
решения классических и квантовых уравнений движения для только что
описанного случая, установлена связь изучавшихся здесь переменных с
операторами Казимира.
Итак, в классической теории редукция физического ФИ проявляется
как феномен отражения траектории частицы от границы физического кон-
фигурационного пространства. В гл. 6 мы увидим, что этот факт необхо-
димо учитывать при построении континуального интеграла: отраженные
траектории также дают вклад в квазиклассическую амплитуду перехода.
5.4.4. Иипарпаятные координаты для групп ранга 2. Анализ клас-
сической динамики осциллятора показывает, что независимое возбужде-
ние "декартовых" физических переменных h невозможно вследствие ре-
дукции их ФП. С другой стороны, в "представлении вторичного кванто-
вания" (см. разд. 5.4.2J можно выделить независимые степени свободы.
Они оказываются коллективными возбуждениями исходных степеней сво-
боды. Подобные переменные можно ввести и и с.>'ч->р.1Ч!!птном предста-
влении [159J. Зависящие от них волновые функции явно калибровочио-
иявариантны.
В гамильтониане E.4.3) для групп ранга / = 2 введем калибровочно-
шгаариантные переменные
<h=(Trr2
E.4.U)
где г — степень второго независимого оператора Казимира и канонически
сопряженные им импульсы
it,- = ТгреДТге?)-1, i = 1,2;
с,- = Й/йгФ;. д/дх = Кд/дх„.
E.4.15)
Прямым вычислением убеждаемся, что элементы е; обладают следующи-
ми свойствами: TreiCj = 0 и [е^ег] = 0; поэтому они у.^гут служить в
качестве локального базиса в Н. Можно показать, что TrtJ = 1, Trej =
Фд) = г2Ф^*2(о — (Фт — 3)~), где 3 = Ci/2, о- = сг + cf/4,
171

а постоянные Cij2 зависят от структурных констант и определяют разло-,.
жение полинома fir Air1"J = (С1Ф2 + са)Ф^г~1\ Например, для S77C)_a-
CI=O, С2 = 1/6 (Г = 3). .' • -4:--..S. ¦ :¦ I-
Разложим импульс р, канонически сопряженный х, по базису е<, р =¦ ;
*•*! + Р, где по определению Тг е,р = 0. Решение уравнений связи [р, х] = у,
[р, х] =.0 есть р = О, (т.е. все компоненты р, ортогональные е,-, должны ^
равняться нулю), так как согласно E.4.15) р лежит вне Я и х ~ е,-. Тогда )
в случае осциллятора V = A/2)Ф| имеем физический гамильтониан
E.4.16)
причем из условия положительности нормы Тге2 > 0 вытекает —1 <
(Ф2 — 0)/\/а < 1. Гамильтоновы уравнения движения, генерируемые га-
мильтонианом. E.4.16):
= ti, E.4.17)
h?l E.4.18)
допускают осциллирующие решения независимо для каждой степени сво-
боды:
ф2 =: 7Г3 = 0,
ФЦ() = A\cost\, iri(t)
где А = const, e — знаковая функция, и
E.4.19)
ф,(,') = V — Const,
7Г; = 0.
- E.4.20)
Знак модуля в E.4.19) необходим ввиду положительное^ '<h- Из реше-
ний E.4.19) и E.4.20) видно, что независимыми частотами являются сте-
пени независимых операторов Казимира 2 и г, как и было установлено
в разд. 5.4.3. Очевидно, что агссок(Фг — 6)j\/a можно связать с yi лоиой
1и.-ремсциой, висденной в предыдущем подразделе, а Ф] — с радиальной.
5.4.5. Квантовая теория. Координатное представление. Перей-
дем к изучению динамической системы с гамильтонианом E.4.3) в коор-
динатном представлении. Прежде всего "разрешим" квантовые уравне-
ния связей E.4.6) (чисто нефизичбекие степени свободы уа,яа исключа-
ются из теории с самого начала). С этой целью введем криволинейные
координаты E.4.4). При калибровочных преобразованиях переменные 2
транслируются подобно углам сферической системы координат в модели
разд. 5.2. Поскольку операторы да являются генераторами калибровоч-
ных преобразований, то второе уравнение E.4.6) означает, что физические
волновые функции »е зависят от z (независимые связи являются генера-
торами сдвигов по z). Таким образом Фр1|(г) = Ф(Л).
Чтобы построить физический гамильтониан, нужно переписать опера-
тор Лапласа Д = ~f>l, pa — —id/dxa в криволинейных координатах E.4.4)
ЙаЬЯустить затем члены, содержащие производные по нефизическим пере-
:цеЙНЪШ Z. л: . - . .;.. . _ . ...... --•¦¦,.-' . ¦ .- - , ,
Для этого найдем метрический, тензор в новых переменных, т.е. вьь
>*даслим квадрат элемента длины ds2 = Trrfi2. Из E.4.4) имеем: dx =
!JlShS~1 + SdhS'1 + ShdS'1. Возводя dx в квадрат и используя формулу
Ш-1 = -S~ldSS~l, находим:
= -S~ldSS~l, находим:
'' • ¦ .
= тг {(dhJ + 2 {(hs-^sJ - h2(s-ldsf] + {s~lds,
= Tt [(dhJ +'[h,S-ldS\2] = dh? + ga0(h,z)dzadzi3
C.4.21)
(след последнего члена в фигурных скобках равен нулю, поскольку dh g.
Я, a [S~'d5, h] с А" в Я ). Искомый метрический тензор имеет блочную
'структуру даъ - {bij,9а$), '..7 = 1,2 /; о,/3 = / + l,...,N. Представляя
S~1dS = \aF*(z)dza, где F*(z) — неизвестные функции, и учитывая, что
'[A,,Aj] = 0, [А,-,Аа]бЯ, имеем: [h,S~ldS\ = A7h,F^F^a, т.е.
Я*? = F2{z)9yi(h)F°p(z), да^ = ша^Ру, *afl{h) = hiF^. ..E.4.22)
Следовательно, оператор Лапласа—Вельтрами записывается в виде
1'2 =
5 к2{Ь).
где g — u.i»v.,^.. v., _ ^1..,r_4./, r-v ., .. д , „ .._.
djdhi, да « д/дхъ- Имеет место тождество к~2о, о к, ~ к":^»и- к~'о,-(с-,
в Приложении 8.1 показано,* что K(h) = По>о('''0') (<* >• 0 символизирует
произведение по положительным корням), откуда вытекает, что "кванто-
вый потенциал" Vq = к~^5?к/2 = 0 (см. Приложение 1). С учетом сказан-
ного приходим к следующему выражению для гамильтониана в физиче-
ском подпространстве:
ЯрЬ = -l^'^f о к + V(h). E.4.24)
Скалярное произведение физических векторов состояний дается форму-
лой
(Ф,
.Ф2)= I
к*
E.4.25)
в которой А'+ указывает, что интегрирование ведется внутри камеры Вей-
ля. Здесь и ниже под ft разумеем вектор в Я' с компонентами (hi,.. .,/tj) в
ортогональном базисе: вместо d!h или dh будем писать dh, нместо у(Ь) —
писать v(h) и т.д. Вес /j(/t) пропорционален объему калибровочной ор-
биты. Сужение области изменения перемешых h, с Н — R1 до ЛГ+ в
E.4.25) связано, как разъяснялось в разд. 5.4.1, с действием 8 Я оста-
точной ка,либровочиой группы Вейля. С математический точки зрения
равенство E.4.4) определяет замену переменных (взаимооднозначное со-
ответствие между х и h, z) только при условии, что х € X ~ 11'к\ и
h e K+, S(z) e G/Gn, Gn - подгруппа Картана [169]. Подг лзиовкой
ФВ(Л) = K-\h)<?E(h) E.4.26)
уравнение Шрелингера ЯрьФе = ЕФг сводится к обычному уравнению
Шредингера для частицы в /мерном евклидовом пространстве:
E.4.27)
172
173

Однако не все решения вида E.4.26) образуют базис физического гильбер-
това пространства Нрь. Действительно, физические векторы состояний
должны быть калибровочно-инвариантны: ¦" . .г.. . ..,.i ..
Фръ(х) = ФрЬ(пхП-г), пев. E.4.28)
Групца Вейля W есть подгруппа калибровочной гругаты G\ поэтому из
стационарности физических состояний относительно G (дФ = Ф, J 6 С и
генерируется операторами ?„) вытекает их стационарность относительно
W (г?Ф = Ф, w ? W). Если имеется произвольная функция 4>(h), нормиро-
ванная во всем пространстве, то ее физическая (инвариантная) компонен-
та согласно E.4.28) есть
* -
/г Е
Е
E.4.29)
Поясним обозначения и смысл E.4.29). Преобразование h —> whw —
hw будем записывать как Лш = it'/i (здесь и> — матрица / х /). В силу
калибровочной инвариантности исходного лагранжиана в теории отсут-
ствуют какие-либо постоянные цстгаариантные тензоры; отсюда следует
равенство и;ц>{Ь) = Ф(ЬШ), использованное « E.4.29). Суммирование в этой
формуле ведется но всем элементам группы Вейля. Нормировочный мно-
житель выбирается из следующих соображений. Предполагается, что Ф
нормировано согласно E.4.25), т.е.
f
rfft/i|*|2 = 1, причем
= 1.
E.4.30)
R'
Но группа И7 действует р Я' просто трашитивно на множестве камер Вей-
ля J92]. поэтому для числа элементов чтой группы (N\\) имеет место сим-
волическое равенство: Л\у ~ Vr</Vki . где Удч и Гд-+ — "объемы" R1 и Л'+
(они бесконечны: о гмпим кстати, что Л\у = ri • ¦ ¦ П A55, с. 568]). Этим и
объясняется выбор множшу ля Л\у иоред знлко.м суммы п E.4.29). Ясно.
что Ф есть инъариа.чг: йФ = Ф, ибо И7 есть группа; </Л// — также калибро-
вочный инвариант.
Покажем, что функции E.4.26), симметризопанхмл в соответствии с
правилом E.4.29) (
х<ре) и нормированные согласно E.4.30), ре-
гулярны в Л;, включая rpansiity Kaf.cpb; Bt^'iji:1., k't'.'i) = 0 (множестьо
K.(h) — 0 o6pa.4Oaatio всеми гиилрнлоског.тями, оргогоняльнммк положи-
тельным корням, т.е. (Л, о) = hj<y, — 0). Более того, справедливо и
обратное утверждение: всякое регулярное решение ур;\т,ении Щрединге-
рч с гамильтонианом E.4.24) итза^клгппо относительно преобразований
из группы Всйяя. Мы опираемся на следующее уизерждение [169, с. 403):
всякий полином p()i), h 6 Н, обладающий свойством p(wh) - (detu;)p(/i),
можно предстаиить в пиле
E.4.31)
~- к~ есть инва-
E.4.32)
где q есть инвариащ группы И'.
Так как группа Вейля порождается отражениями и ц
риант W, то
к(а-Л) = ±<Л) = detwK(h), dotw = ±1.
174
?Тогда для Ф E.4.29), где ф = к~ху, у> — решение уравнения E.4.27), имеем
i ^^ '\1Г„'." E.4.33)
Очевидно, что !p(wK) = &<&w!pQi). Разложим ip{h) в ряд по степеням hi и
сгруппируем члены ряда в однородные полиномы pn{h) с фиксированной
суммарной степенью п, т.е." ¦ ¦ .'
Так как группа W действует однородно на h. то pn(wh)
Согласно E.4.31) pn{h) = K(h)qn(h), где qn{wh) = 9n(h) и
n < (N — 0/2'— степени полинома к(Л). Следовательно, ^(fc)
= detwpn(h).
$п = 0 при
= «(fc)x(fc).и
E.4.34)
— й^-инвариантная функция. , Вьгеод: cornaciio E.4.32)-E.4.34) фактор
K~x(h) а E.4.33) не может породить полюсные особенности у функций Ф
E.4.26), симметризованных по правилу E.4.29).
Длл доказательства обратного утверждения, рассмотрим
функции по;шого"гамильтониана
собственные
*E(i) =
E.4.35)
в криволинейных координатах E.4.4) (лапласиан в E.4.35) дается E.!.23)).
В этом случае справедливо следующее представление волновых функций:
*е(*) = Ч'е(-.Л) = Ф(Еп)(Л)>'(п>(.'), E.4.36)
где Y(n)(z) — coCcTPeuHUi. функции операторов Казимира в алгебре, гене-
рируемой операторами <т.,. а (п) символизирует набор соответствующих
собственных чисел. Е — ?(")¦ Физическое подпространство отвечает со-
стояниям ФрДЬ), i'(oi(:) = const. Рассмотрим далее преобразования сим-
метрии замены переменных E.4.4), т.е. такие преобразования Л и z. при
кот.-рых ленгя часть E.4.-?; но изменяется. Зги преобразования содержат
группу трансляций : на Периоды компактного многообоазия C/Gh, (h при
атом не изменяется) и дискретную группу Войлн:
х — г,
и hu
S[z)-ffS[:) =
E.4.37)
Функции E.4.36) должны быть ивпариантны опюсигельно преобразова-
ний E.4.37), поскольку они ость функции переменной х. Тогда функ-
ции $E@)(i-) = Ф^'(ft), оСразуюшие базис физического подпространства,
должны быгь инвариантны относитег!ы!'1 rpyr.i'-ь: Вейля. Регулярность
функций <J>g вытекает ич регулярности *г (потенциал прелполагается
вещественно-аналитической функцией).
Равепсгьо Ф^'(.г) = Ф^ '(Л) устанавливает взаимооднозначное соот-
ветствие между аналитическими калибровочно-инвариантными функци-
ями в нилним конфигурационном пространстпе и аналитическими И'"-
инпяриаитык(и функциями и редуцированной теории. В теории групп это
175

утверждение следует из теоремы Шевалле (см. [170]), которая утвержда-
ет, что всякий W-инвариантный полином в Н имеет однозначное анали-
тическое продолжение в'Х; инвариантное относительно присоединенного
действия группы в X, Поскольку полиномы образуют плотное множество
в пространстве аналитических функций, то утверждение справедливо и
для вещественно-аналитических функций в Я.
Продемонстрируем это утверждение на примере гармонического ос-
циллятора с группой ранга 2.
5.4.6. Теорема Шевалле и калибровочио-инвариантные волно-
вые функции осциллятора. Переменные E.4.М) позволяют построить
явно калибровочио-инвариантные функции осциллятора. С этой целью
в уравнении Шрчдиягера ЯФе = ?*е с гамильтонианом E.4.24) сле-
дует перейти к новым переменным Ф] = (ТгЛ2I''2, Ф2 = (ТгЛгФ|"г -
/3)/\/а. Непосредственным вычислением убеждаемся, что ji - к2 = const x
Ф|гA — Ф^); после подстановки Фе = к~ Ve это уравнение принимает вид
GФ?/2)
1 й 5
_ 1 _ф, _ 1.A _
Ф,ЗФ! '3$! Ф?(
E.4.38)
Решение ищем в общем виде ^е = Г(Фх)/(Ф2). Тогда E.4.38) эквивалентно
- A - *?)/" + Ф2/' + с/ = 0, E.4.39)
- /"' - —F' - | Li _ ф? + 2? ) F -- 0. Г5.4.40)
где с — постоянная разделения переменных. Поскольку фв должна быть
конечна на границе камеры Вейля (см. разд. 5.4.5), необходимо потребо-
вать выполнения граничных услоний /(±1) = 0 (ji — 0 при Ф? — ±1 ).
Отсюда находим решение уравнения E.4.39): / = A - Ф^I''2С/т(Ф2) =
sin[(rn + ljarccos Ф2], Um ~ полиномы Чебытевз и юрого рода, т = 0,1....;
с = —(га -f IJ. Уравнение E.4.40) сводится к стандартному E.2.S) подста-
новкой Р{Ф,} ~ Ф^(т+1)ехр(-Ф2/2)|7(Ф1) и заменой Ф? - (, пгн.чем в E.2.?)
следует положить а - г(т + 1) -j- 1, 0 = .-(Е - с>)/2. В результате на-
ходим окончательное выражение для инварилк'/пых относительно группы
W функций:
E4.41)
Из выражения E.4.41) видно, что фпт зависят только от я.-, С1) =
Trftri, t = 1,2; n = 2, r2 ~ г. Для групп G2 и SpD) ~ SO(b) предэкс-
понсициальное выражение в E.4.41) есть очелядно полином от ]>г,(!')> так
как г — четное число (г = 6; 4 соответств^ино) и, следоп.ггелыго, Ф"" —
полином при любом целом положительном т. Лля SL'C) г = 3, и при
нечетных т Ф^т пропорционально (Tf/t2I/2. Однако ранее отмечалось
(см. разд. 5.4.1), что для SUC) 0 - 0, следовательно, в этом случае
Ф2 = i/6'ft Л3Ф] и особенность в выражении Ф|'"С/т(Ф2) исчезает.
176
По теореме Шевалле [170] об аналитическом продолжении
^-инвариантных гголиномов в Н заключаем, что явно калибровочно-
инвариантные волновые функции в полном конфигурационном простран-
стве имеют вид E.4.41), где рг,(Л) заменены на ри{х), х Е X: ¦''
5.5. Калибровочные системы : ¦ - : v
с грассмановыми переменными
5.5.1. Классическая теория. Минимальная модель с абелевой ка-
либровочной группой. Калибровочные теории с ферми-полями столь
же употребительны, сколь и теории с бозе-полями, поэтому обратимся к
моделям с грассмановыми переменными. Рассмотрим сначала систему с
минимальным числом аптикоммутируюших степеней свободы, обладаю-
щую нетривиальной динамикой. Пусть [149, 157] N • '.-,'._ . .
'-гуТ)ф~
E.5.1)
где столбец tj> = (^l>\,tjii) — двухкомпонентный комплексный элемент грас-
смановой алгебры, фа = "J1 + №%, 8° — ''вещественные" образующие,
($?)+, — $f,. Дбр2 = 0, <*,j - 1,2; Г - оператор "электрического заряда",
Г = г3 (матрица Паули), a v+ означает, что в комплексно-сопряжештом
элементе -ф' мы перешли, от столбца к строке.. Лагранжиан E.5.1) инвари-
антен относительно калибровочных преобразований ф —> ехр()=:Г)?', У —
у 4 ё, где ? — произвольная функция времени. Вопрос о том, как с п.:;;:
пий гамильтонова формализма следует трактовать линейные в скоростях
лагранжианы С формализм первого порядка"), обсуждается в гл. 3. Из
приведенного там анализа следует, в частности, что к модели, заданной
лагранжианом E.5.1), можно относиться как к динамической системе с
двумя первичными связями второго рода [104] (связи не в инволюции).
Лыко видеть, что помимо них имеется еше и первичная связь первого
рода: «"о —" dL/ду — 0. Переход к гамильтонову формализму сводится к
разрешению связей второго рода и исключению части переменных (фак-
тически — к отождествлению %л —г if; см. разд. 3.3.3) с заменой скобок
Пу?--"сона на скобки Дирака [104]. Проделав все это, придем к гамильто-
ниану
4r, E.5.2)
из которого следует существование вторичной связи первого рода:
скобки Пуассона определяются формулой A.9.1), где п соответствии с
анализом разд. 3-3.3 {Фа,ф}} = Wa:K'}}n - -ifар- Функция Г в E,5.2]
задана разложением V ~ V'o + шф+ф + п(флф)г, где Ко, ш, п - некоторые
постоянные. Так к<ак с = V'^i''i — Ф$Фз, имеем (\р*фJ — —а. Полагая
V'o =: 0, переписываем E.5.2) в виде
Ввиду равенства E.5.3) квадратичный по связям член в гамильтониане не
сказывается на уравнениях движения, которые при П = 0 имеют вид
177

Ф = {ф, H}D = i(yT - ш)ф, ф =
-i(yT - ы)ф+
и интегрируются элементарно:
ti>{t) = exp I — iut + i
Выбирая y(t) — -ш, находим
E.5.5)
E.5.6)
E.5.7)
откуда заключаем, что степень свободы х!ч имеет тривиальную динамику,
a il>i осциллирует с удвоенной частотой. Мы знаем, что это признак ре-
дукции ФП (о понятии ФП для грассмановых переменных см. разд. 1.8).
Отметим, что выбором калибровки здесь нельзя обратить в нуль нефизи-
ческую переменную. Отличие заключается в том, что калибровочный
произвол связан с умножением Vi,2 на обычные комплексные функции,
равные по модулю единице, а такие преобразования не могут изменить
размерности грассмановой алгебры. Именно поэтому нефизическая пере-
менная проявляется здесь как переменная с тривиальной (см. E.5.7)) или
любой напередзаданной, не определяемой гамильтонианом динамикой.
К выводу о редукции ФП физической переменной в модели E.5.1) можно
прийти и другим путем. Выбором калибровки и начальных условий доби-
ваемся равенства V>i@ = fo(t) (у = 0.г/.@) = ф2@) в E.5.6)K; не нарушая
его. в любой момент времени можно изменить знак физической компонен-
ты ф1 —» — й,(у(<') —>. y{t') -f -nS(i — I')). Отсюда в соответсвии с определе-
нием ФП заключаем: ФП {щ.Ф{) = сопе(л-). i-no пары (vi, Vi"). (-4>i,~4!f)
калкбровочко-экъиьалентны. Между прочим, отсюда следует, что в вы-
ражении ф(г) - z(t)v@), где z - диагональная матрица. argz(<) для физи-
ческой переменной определен лишь по mod(ir) (см. также [171]).
5.5.2. Квантовая теория. Минимальная модель. Квантонание мо-
дели E.5.1) не представляет труда [149, 157]. Согласно гл. 4, от ь'.\.,, у'ц пе-
реходим к операторам с коммутационным соотношением, инлуиир'.'оммм
скобкой Лирака:
Как всегда, связь тго = 0 М'чм-тш игнорировать. Основное состояние
системы с гамильтонианом E.5.4) ("вакуум" |0)) фиксируется условием
i/'a|0) = 0. Произвольное соотояние |х) определяется как
сопряженное ему есть
М={0]л(*4
причем
= (Wxl + x'J, + x&$i).
E.5.9)
E.5.10)
'Фактически равенство ^,@)
E.5.6).
E.5.11)
оитекает из E.5.3) после подстановки в него
178
физические состояния |Ф) подчиняются условию исчезновения на них свя-
д\Ф)=ф+тф) = а:-
E.5.12)
Тогда среди собственных векторов |0), ФЦО), Ф*Ф*Щ оператора Гамиль-
тона • ^ '.
Н=ы{ф+ф-1)-- > ,,Jt, ... E.5.13)
(при квантовании мы заменили ф+ф -г+.A/2)(фгф — фф+) = \[>+ф — 1, что-
бы учесть неперестановочность операторов — это аналог замены а+а —>
(д+а + аа+)/2 для бозевых операторов рождения и уничтожения) тре-
бованию E.5.12) удовлетворяют только |0) и Vj"V'J|O). Действительно,
ЩЩ = №+Г)^|0) ± 0, ЪщФ\Щ = (Ф+& + &#")|0> = °- Расстояние
между уровнями энергий физических состояний равно ?# — Ео = 2w в точ-
ном соотиетствии с классической картиной. <:• -: ......
5.5.3. Модель с произвольной калибровочной группой. При-
соединенное представление. Как отмечалось, в теории элементарных
частиц системы с антикоммутирующими переменными играют не менее
важную роль, чем с коммутирующими. Это предопределяет важность
изучения моделей с грассмановыми переменными и неабелевой калибро-
вочной группой.^.Трудности здесь связаны не столько" со сложностью
группы, сколько со сложностью представления. Анализ элементарных
представлений [172], как мы убедились на примере группы SO(n), доста-
точно прост. Задача становятся нет рявиальной уже для присоединенного
представления. Изучение ого для фермионов может показаться излишним,
ибо ферми-ноля обычно преобразуются по элементарньш 1;|)е,.ставлени-
ям. Возражение отиада-ит, если ведчмпить о суперсимметряи. Вместе с
Т'-м систег.',;.; с грасг.мановыми пероменными в присоединенном предста-
влении оказываются достаточно содержательными и интересны сами по
себе [13, 149].
Итак, рассмотрим лм jj.<h:-ks'Oh E.5.1), в котором положим
V — u/IW-+V\ t'1 = t''..-*.:, t/'" = г/>+ До, где А.. - балис в алгебре Ли
группы С из ра.за. 5.1 а копар^антн/м производную дЫ> - iyTv заме-
ним на д,ф + [у,ф] (у - Д,,?/о). Так жо, как и в рачл. 5.4. считаем;
Тгт.'ч/1+ = ti'aV'.t = t/1i'l+. ITf реход к гамяльтонону формализму осуществля-
ется но тем жо праиидчм. ччо и в разд. 5.5, с той лишь ра нишей, что теперь
б\.к ; '.'.X (.V -- :l\n\G) cuiiiovi iivpuo; с yf.i.i (см. разд. 5.4):
= 0, <тл г.-
a-1.2 V.
E.5.11)
Обратимся сразу к квантовому (..писанию. Вместо E.5.П) имеем:
E.5.15)
здесь [r.,.^]+ — fai. а физические векторы подчиняюгсл условиям, ана-
логичным E.5.12). Как и в модели с коммутирующими п-.-ремс:шыми (гм.
ра-,д. ЪЛ.Ч), физические оостоячия получаются нримс-пиннем к 'вакууму'
иияариантных однородных полиномой P(v> + ). Поскольку оп> раторы ф+
179

антикоммутируют, полиномы Р определяются инвариантными антисим-
метричными тензорами, которые выражаются.через структурные посто-
янные и симметричные штариалтные тензоры. Искомые полиномы имеют
вид :. ' '
>(..A«K+ -¦?+. E.5.16)
Из E.5.16) вытекает, что при четных к Pt = 0 (ибо Тг(Аа, . ¦. Ав1) =
Тг(А«, ... А„кАа1), тогда, как Vai ¦¦¦vtk = -v? • • -^t^i,)- в случае нечет-
ных к преобразуем E.5.16) следующим образом. Положим il>ii>*Xa\i =
Р&&$/2 = АСВС = В; тогда
Я2т+1 =Tr(Aai...AamA0)Bai...Bamv+. , E.5.17)
Величины В„ коммутируют между собой, поэтому след в E.5.17) можно'
симметризовать по <ц,.. .,аот. Сделаем замену в E.5.17): А^Ад = А„Аа„ +
FlmCXa\ слагаемое F^aBam <tf - ''о„«^е<Г^^>'л/2 ~ 0'обращается в
нуль в силу тождества Якоби для структурных констант [155]:
— F'.F'n — FciFb', + Ff ,Fb' + Fc, fK — 0
где по индексам в квадратных скобках проведена аптисимметризация. По-
этому след в E.5.17) можно симметризовать По всем индексам а\... .,ат.а,
т.е. включая а. Этот след представляет из себя симметричный инвари-
антный тензор; он выражается через неприводимые симметричные инва-
риантные тензоры р<г,..аг, определяющие независимые полиномы
Казимира рг.
Предположим, что след в E.5.17) является приводимым тензором, т.е.
представляется в виде прямого произволения тензоров меньшего ранга.
Любое разбиение совокупности индексов (ai... .,am, a) в E.5.17) на под-
множества, содержащие не менее двух члемснпп: а,.а (двух, ибо г > 2).
обязательно порождает инвариантные полиномы Казимира вида P->r(V+) —
рг(В), г — 2,..., п, / = rank G. Но мы установили, что четные инва риэит-
ные полиномы от v+ рачны нулю, т.е. рг — 0. Остается единственна»
возможность: Тг(Аа, ••¦АдтА<1) есть неприводимый еимм;-гричн>л тензор
(К.'Л4.мира) рннга г — гп-t-l. Следовательно, базис гильбертова простран-
ства порождается полипомами вида Ргт+ЦР'1") = ftr-ЦV'") '•
[Tr(J+Jr>-1]n'-"-[Tr(C-uJri-1]ni!0), E.5.18)
где п,' = 0,1 (нечетные элементы грассманоаой алгебры нильпотентны).
Инвариантные антисимметричные тензоры согласно E.5.17) и определе-
нию В имеют вид
Простейший из теизороо E.5.19) совпадает со структурным тензором F(?c.
Базис E.5.18) отвечает следующему спектру гамильтониана E.5.15):
Базис E.5.18) отвечает
В практически интересных случаях (т.е. в теории поля) задача отыс-
кания инвариантных полиномов выглядит несколько иначе, поскольку
180
операторы ф могут иметь дополнительные индексы, символизирующие
наличие других квантовых чисел (например, спина). Их также нужно
учитывать в процессе антисимметризации при построении инвариантных
полиномов. ''¦'
5.6. Сложные механические системы
с бозевыми переменными
До сих пор мы рассматривали системы, в которых все физические пе-
ременные имели редуцированное ФП. Увеличение числа степеней свобо-
ды при сохранении числа калибровочных параметров приводит к ново-
му типу моделей, в которых, казалось бы, одни физические переменные
должны иметь плоское ФП, а другие — редуцированное. Ситуация, одна-
ко, оказывается более сложной. Калибровочная группа порождает специ-
фическую взаимосвязь между физическими степенями свободы, имеющую
чисто кинематический характер и препятствующую столь простой интер-
претации строения ФП [166]. . • .
Другой важной качественной особенностью моделей с несколькими
физическими степенями свободы является появление нетривиальной кри-
визны у физического конфигурационного пространства [166] (хотя полное
конфигурационное — плоское). Последнее означает, что в операторе кине-
тической энергии физического гамильтониана появляется метрика, кото-
рая имеет нетривиальный тензор Ри.мана— Кристоффеля (см. определение
B.3.21)). Эта особенность 'проявляется уже в простейших механических
моделях, таких, как две чзстины в плоскости с калибровочной г;лниоп
50B) (см. разд. 5.6.1'и 5.6.3). квантован механика Янга—Миллса (см.
разд. 5.6.4. а также [1<!7. 166]), и сохраняется при перехода к теории по-
ля [151, 173].
5.6,1. Две чагтипы в двумерном пространство. Рассмотрим си-
стему из двух частиц в двумерном пространстве. Если взять в качестс
лагр;жжиоча сумму лгч";>ан:киаилп пида E.1.1) [1-19]:
V = \\{Ъ - 2/i?>.i= + \[@t - ,V27>;]2 - V5(Xl) - V2(x,), E.6.1)
гДе у\.у> меняют'"х при калибровочных лреобгл'оазпиях независимо, то
несложный ana.iii.i спидетсльстяует, что ФП ка:кл'>й из частиц есть сопе(т),
а лнгргия системы есть сумма энергий каждой из подсистем. Сузим ка-
либровочную группу лагра1<:к:аиа E.6.1) >ОB) х .90B) до SOB), отожде-
стлин t/i = t/2 — У, т.е. перейдем к лагранжиану [1и6]
L = 1[(Э, - :/Г)Х1]2 + I[(ft - уТ)х2]2 - V,(x,) - V2(x2), E.6.2)
инвариантному относительно калибровочных преобразований
«х,-= е'/х,-, by = i, SVt-O, t=l,2. E.0.3)
Стандартный анализ показынает. что E.6.2) задает систему с одной пер-
вичной и одной вторичной связями:
181

и гамильтонианом
„ 1,
E.6.4)
E.6.5)
где каждый из i/j идентичен E.1.5). Связь а генерирует калибровоч-
ные преобразования х;. Что можно сказать о физическом фазовом про-
странстве каждой из переменных xi, хг? Если выбрать калибровку
— 0 (xi = {х\
)), то ввиду остающегося калибровочного про-
извола, связанного с дискретной группой 2i (см. разд. 5.1.1). казалось
бы естественно заключить, что V(x\ \р\ ) = сопе(тг), тогда как фазовое
пространство двух оставшихся физических степеней свободы — плоское:
Г(хг, р2) = Я^х Я2, Однако вместо х\ мы могли бы исключить х2 и сде-
лать вывод о том. что Г(г2 \р-> ) = сопе(~). Следовательно, несмотря на
видимую динамическую независимость систем, описываемых гамильто-
нианами Hi ({Hi, Н^} = 0), вопрос о структуре физического ФП каждой i«
них в отдельности не имеет смысла. Мы можем говорить лишь о строении
ФП системы в целом.
Чтобы определить структуру физического ФП, удобно использовать
формулу E.0.1). Расширенная калибровочная группа есть прямое произ-
ведение группы трансляций переменной у и группы одновременных вра-
щений векторов X;, р;. Полное ФП системы состоит из прямого произведе-
ния пяти плоскостей. Очевидно, что pi олисикают ччего нефкзическую
степень свободы, поэтому нам остается вычислить факгор-нросгранстьс
(S1 G Д4)!„=о/50B), где опера-гор В = (о\ } есть генератор .50B) на ФП
переменных х;, р;. Калибровочным преобразованием мы всегда можем
направить вектор xi вяоль первой оси, т.е. х\~* = 0. В результате, ФИ
физических степеней свободы задается двумя уравнениями:
1
12)
= о,
ТР2Гх2
E.6.6)
(второе уравнение следует из и — 0, т.е. оно задает поверхность связи
в (с..0.1)). которые выдели;от в полном ФП системы ft'1 ® RA подпростран-
ство Л3 ® Я3. Однако условия E.6.6) сохраняются при калибровочных
ниноротах на углы, кратные тт. Согласно E.6.3) при этих поворотах
Pt,2 —
E.6.7
Эти преобразования образуют калибровочную группу Z-> в пространстве,
выделяемом условиями E.6,6). Следовательно, течки ФП, связанные эти-
ми преобразованиями, должны быть отождествлены, т.е.
ГрЬ -.-- (R4 ® R*)\^C/SO[2) = Я3 в Я3/^, . E.6.8)
где Zi действует согласно E.6.7). Видно, что пространство E.6.8) не сво-
дится к прямому произведению конуса сопе(х) и двух плоскостей, посколь-
ку остаточная ли'зкрогнал калибровочная rpjinm действует на все фичи-
ческие степени свободы. Это свойстпо остаточной калибровочной симме-
трии имеет общий характер [13, 166]. Поэтому физическое ФП редуциру-
ется как целое, обеспечивая тем самым специфическую чисто кинемати-
ческую взаимосвязь физических степеней свободы.
jJTawaM образом, лагранжиан E.6.2) дает еще один пример необычно-
fcwi;свойств теорий с калибровочной симметрией: динамические харак-
теристики двух по стандартным меркам несвязанных систем оказывают'
^я.взаимнозависимы, причем влияние одной независимой подсистемы на
Другую осуществляется через посредство "не имеющей физического смы-
сла" степени свободы у (формально — через связь <т, = 0 в E.6.4)). Можно
[указать иначе: кинематическое сцепление физических степеней свободы в
{теории осуществляется через нетривиальную структуру их фазовых про-
странств.
5.6.2. Квантовая теория модели F.6.2). Осциллятор. Как мы уже
знаем, структура физического ФП влияет на квантовую динамику. В част-
ности, в случае осциллятора с коническим ФП удваиваются расстояния
между уровнями энергии по сравнению со случаем осциллятора с плоским
ФП. Если в модели E.6.2) физическое ФП имело бы вид cone(w)® Л2® Я2,
как мы предположили вначале, то, беря в качестве У12 осцилляторные
потенциалы, можно было бы ожидать получения одного осцилляторного
спектра с удвоенным расстоянием между уровнями энергии и двух нор-
мальных. Однако это не так. Оказывается, что удваиваются расстояния
между уровнями тзеех трех осцилляторов. Это дает независимое подтвер-
ждение формулы E.6.8). _
Перейдем к иычисл-^ию сл-:ктра [149, 166]. Положим Vj = w^x^/2, wj ф
wi. В "представлении вторичного квантования" оператор Гамильтона Н
и связь д (см.E.6.4), E.6.5)) записываются в виде
Н =
E.G.9)
a = ?jTSi-fa?Ta2) - E.0. !0)
гдеSj = (р- —tXj)/v/. а^ = (pj-\-xXj)/\/"L Физические сосгсяняк порожда-
ются инвариантами группы вращения, составленным!! нз иекороп а^ ,aj:
6:=(g+J, 62 = (aJJ, Ь3 = (а+а2ь). 64 = е^+я'.'^; E.6.11)
?ij — еллничиый ангисимме;точный тензор, г3т = 1. Зл<'<"ь необходимо
обратить внимание на следующее. Операторы E.6.11) инвариантны от-
иосите.);,ш> группы SO{2). Все они, кроме Ьц, vmnapnaumi.; о" нея-игельно
более широкой группы 0B) -~ ?О['!) х 2г (нетривиальный ч.-'.-мсит 1-:, от-
вечает отражению одной из осей координат, оператор 6; при этом меняет
знак). Вопрос: следует ли включать в число операторов, порождающих
базис гильбертова пространства, огг^ратор 64? Другими словами, кзкояа
калибровочная группа модели E 6.2) — SOB) или 0B)? Формально вся
информация о динамике и сши>-х слст*'м;д чяложена в лагранжиан E.6.2).
Стандарг:1Ь!Й анализ (см. [101]) дает связи — генераторы калибровочной
группы. Но генераторы позволяют восс tds-oinrrb jivtim, екчзную компонен-
ту единишл группы [155,170], поитому можно пиорить лишь о калибрдвоч-
ной группе 50B). Существование дискретной калибровочной группы для
narpajuKVrttia E.6.2) установить не удается [166]. Требование подомной
симметрия может формулироваться лишь в виде независимою углопия,
не содержащегося в лагран.+,иа.не. Другая возможность - уассматрипять
Даюгую задачу как результат редукции более широкого конфигурацион-
ного пространства, а грунну 0B) — как подгруппу более широкой группы.
182
183

например S0C). Последняя содержит элементы, меняющие направления
любой из осей плоскости. Во всяком случае, переход к дискретным ка-: >
либровочн'ым преобразованиям требует дополнительных предположений.'.>й
Этой точки зрения мы и будем придерживаться,'т.е. в число порождаю-™'*
щих операторов включим Ь^ -•:-..-•
Благодаря тождеству tijtki*— Sik&ji — 6nSjt квадрат оператора 64 вы-;э
ражается через остальные 6, (t = 1,2,3), поэтому базис физического про-
странства Wph = W°h ф ~НрЬ дается векторами ''
W
ph,
E.6.12)
п< =0.1..:.; «=1.2.3.
а спектр оператора энергии E.6.9) определяется формулой '¦ ;
Е — 2TIJU1 + 2л2Ш2 + п3(ш1 + ш2) 4- ^4(^1 + и2) + ш\ 4- шч, па — 0.1. E.6.13)
Структура спектра не дает оснований для приписывания какой-либо сте-
пени свободы определенного ФП. Например, нельзя сказать, что ФП од-.
ной переменной есть сопеGг), а остальных — плоскости. Речь может идти ,
лишь о структуре ФП в целом.
Рассмотренный пример показывает, как наличие нефизических пере-
менных влияет на физические: в результате меняется такая фундамен-
тальная характеристика системы, как фазовое пространство. Напротив,
влияние друг на друга физических степеней свободы не столь драматично
— в результате менян leu jm.'iib уравнении движения. Так. если в E.G.1) до-
бавить члс-if V'fxj.xo), инвариантный относительно группы SO('~) x SOB),
то ФП каждой из подсистем Xj, Х2 остается прежним, хотя они и будут
оказывать друг на друга силовое воздействие.
5.6.3. Кваяхсшая теория модели E.6.2). Координатное представ-
лек.ле. Ibixupei-mi проследить, как в квантовой теории возникает дейстние
остаточной калибровочной симметрии на все физические степени свобо-
Д1.7. Л Л Я ЭТОГО СОСТаПИМ ИЗ ДОуХ столбцов X; И Х2 МаТрИЦУ I, Xjj — xj
(аналогично для канонических импульсов). Тоща связь E.6.4) запишется
в вило а — Тг р Тх = 0, а закон калибровочного преобразования имеет
вид '
a-— exp(u)T)i, E.6.14)
где в правой части умножение понимается ка>>- умножение матриц. Рас-
смотрим квантовую теорию в координатном представлении, т.е. когда
= -iQ/dx
jk
Чтобы решить ураииеки1: си
E.6.15)
криволинейные координаты, согласованные с законом калибровоч-
ного условия (см. разд. 5.3) [JG6J:
х - е\р(вТ)р = пр,
E.6.16)
где р - треугольная матрица рпл — 0. Из E.6.И) следует, что при ка-
либровочных преобразованиях переменная в транслируется, а матрица
р — калиСровочно-иив.чриантпа. Поаюму в криполинейных координатах
E.6.1С) оператор <? - -ia/dO есть генератор сдвигов по в. Следовательно,
решение E.6.15) есть Фрь(*) =
Чтобы построить гамильтониан в "HPh, нужно вычислить оператор
•Лапласа—Бельтрами в координатах E.6.16) в полном гамильтониане
Н =|
V(x)
E.6.17)
в нем члены, содержащие производные по 0. С этой целью
шайдем метрический тензор в новых переменных:
TtdxTdz = Tr(dpTdp+ dHprp + (PdpTT - TdppT)d6), E.6.18)
"где Т — генератор 5ОB)-врашений (см. A.4.8)), матрица dp составлена
из дифференциалов dpij. Метрический тензор формы E.6.18) может быть
записан в виде симметричной матрицы 4x4 (а, 3 — 1, 2. 3, 4):
А
В?
В
\
В
Здесь Л есть единичная матрица 3x3. Вводя 3-вектор р„ = (^п, рц,р?2),
составленный из независимых компонент матрицы р, из E.6.16) находим
следующие выражения для столбца В: В =¦- @, — рз,р?)- Тогда плотность
ц — ^д = Y^detg^ = pi, а тензор, обратный к E.6.19), имеет вид
\ -и*р\' р\ )
Используя формулу E,4.23) для оператора Лапласа в криволинейных ко-
ординатах, находим, .что матрица 3x3 д^ = <5а* + р^'/?,, Вь дает вклад в
физическую часть оператора (л.Г,.!/). В результате
1
E.6.21)
где аа - с)/дра.
Из гамильтониана E.6.21) видно, как возникает кинематическое сценле-
ние физических степеней сноСоды ра. Лаже при V — 0 т:;>ем'чшые (*i.pa
в соответствующем уравнении ПГрслкпгера не разделяются. Поэтом)' их
независимое возбуждение невозможно.
3oMt\oitue. Уравнение Шредингера с гамильтонианом E.6.21) допус-
кает разделение переменных pi и р2,Гп- ЕУ.чи в качестве V глять оспнл-
ляторний потбчпиал V = р\~>\[2 + ^"i{f4 +^з)/2-(см- разд. 5.6.2). то pi-
осцидллгор может побуждаться |гезат(г.имо от pi.ps. Ргсстояиие между
уровнями его энергии удвоено. Соотнетсизуюшсе у,шо(;Н!'.е рясстояии."
между уровнями для осцилллг^роз р-: и р3 вытекает из их кинематиче-
ского сцеа;и.'пкя. Криволинейноеть физических переменных здесь играет
центральную роль. Ураыгения Шредкнгера можно решить в "коллектив-
ных" переменных г, <р : рг — гс«с, р.< - г sin' ? (их возбуждения соот-
ветствуют одновременному возбзгжлению рп- и р3 осцилляторов). Спектр
конечно же совпадает с E.6.13).
Для завершения построения квантовой теории необходимо задать ска-
лярное произведении в Ны,- Оно индуцируется скалярным up' извсд( ш» м
в полном гильбертопом пространстве:
j'rfi=y' АО jH3Pli(p).
dx tr. / d()
R* О А'
E.6.T2)
184
1S5

Область К в E.6.22) -г физическое конфигурационное пространство — вы-
бирается из условия взаимной однозначности отображения E.6.16). Соот-
ношение E.6.16) задает отображение R3(p) ® Я(в) —> R*(x), однако, обрат-
ное отображение не однозначно. В самом деле, рассмотрим преобразо-
вания симметрии замены переменных E.6.16), т.е. такие преобразования
р —> /V/ в -+ б,, при которых точка х остается неподвижной. Легко видеть,
что эти преобразования состоят из группы трансляций S»:
• 9 + 2кп, р —>./>, п — целое,
и группы отражения Z?:
в
-р.
E.6.23)
E.6.24)
Согласно E.6.23) и E.6.24) преобразование E.6.16) допускает взаимно од-
нозначное соответствие при
„¦-•"• V; . •¦ / • ¦ . . ., .
(р, в)еК~ Я(в) ® R3ip)/Se ® Z2 ~ [0,2-х] ® R3(p)jZ2> . ', E.6.25)
т.е. Л' = В? jZ-i. В частности, согласно E.6.25) в качестве Л' можно взят:,
полупространство pi > 0, р?,рз 6 Я в R3.
Группа Zo, изменяющая знак у матрицы р, совпадает с остаточной ка-
либровочной группой в калибровке хц = 0.
Покажем, что физические векторы состояний из 7iph инвариантны от-
н-'.снтольно этой группы. Простейший способ убедиться в этом — рассмо-
треть проектор на Ирь- Если v;'(^) есть вектор полного гильбертова про-
странства, то соответствующий вектор из Wpti можно получить, усредняя
ф(х) по калибровочной группе:
2» 2»
aw^j(e х) — '— / пшф[е р). E.6.26)
о ¦ о
Ввиду 2тт-периодичности подынтегральной функции по «.• заключаем, что
Ф(р) = Ф(~р).
E.6.27)
Если в качестве ф в E.6.26) взять собственные функции гамильтониа-
на E.6.17). то тогда Ф будут собственными функциями'гамильтониана
E.6.21). Если ф — регулярные функции, то Ф(р) также регулярны. Поэто-
му мы приходим к важному заключению, что требование регулярности
собственных функций физического гамильтониана автоматически ведет
к иг инвариантности относительно остаточной дискретной симметрии.
Наоборот, mpeocfiuiiitc симметрии относительно этих vpeoopasoaanuS вы-
дсляет из всех собственных функций регулярные. Это — аналог теоремы
ИЬвалле для данной модели. (Все независимые, инварианты преобразо-
ваний E.6.24) исчерпываются элементами матрицы рТр — х^х).
Замечание. В качестве матрицы р в E.6.16) вместо треугольной можно
п.).чг(,, натфимер, симметричную .матрицу рТ = р и вообще любую ма-
трицу, у которой на четыре Независимых компоненты наложено одно до-
полнительное условие. Последнее не должно противоречить закону кали-
бровочного преобразования, согласно которому любую матрицу х можно
привести к виду х ~ р некоторым калибровочным преобразованием (ср.
186
модель в разд. 5.3). В этом.случае остаточные калибровочные преобра-
зования могут не образовывать группы. Однако, как ив случае модели,
рассмотренной в разд. 5.3, используя криволинейные координаты, согла-
сованные с законом калибровочного преобразования, можно показать, что
все амплитуды не зависят от конкретного выбора р (калибровки), т.е. все
квантовые теории, отвечающие различным выборам р, унитарно эквива-
лентны (см. также разд. 5.7.5). , . ; ; ,,, ,, ,
5.6.4. Квантовая механика Янта-Миллса. ,Если.в, теории Ян-
га— Миллса с группой SUB) считать все. потенциалы не зависящими от
пространственных координат Л° = AJ(') (a =. 1,2,3 — изотопические ин-
дексы), то соответствующая система имеет конечное число степеней сво-
боды и называется механикой Янга—Миллса. Эта модель интенсивно из-
учалась в литературе (см. например, A47, 160]). Мы также рассмотрим
эту модель, изучим структуру физического ФП и построим квантовую
теорию с учетом его структуры.
Лагранжиан имеет вид . -' т-г • . ¦. ,
L = i
i + ух) - У(*гх),
E.6.28)
где х есть вещественная матрица 3x3 (х<п = ^"A)) и у — вещественная ан-
тисимметричная матрица 3x3 Ьиь —'— ЕаЬсАс0{Х)). Потенциал V полу част-.
ся из соответствующего потенциала поля Янга—Миллса, если A'J, = -1JA).
Он имеет вид . * .. ¦ «- v
^;|t(T(T^)J- Тг(гтгJ]. ^ E.6.29)'
Однако его явный вид несуществен для последующего анализа. Лагран-
жиан E.6.28), E.6.29) инвариантен относительно калиороиочных преобра-
зований
—Пх, у - пуп7 + fi<9,Qr, П =
E.6.30)
Поскольку L не зависит от скоростей у, тп у есть нефизическая степень
свободы. Чтобы выделить физические степени свободы в матрице г, за-
метим, что калибровочные преобразования E.6.30) есть 5О(Я)-иращепкч
столбцов матрицы х. Поэтому с помощью калибровочного преобразова-
ния произвольную матрицу х всегда можно привести к треугольной фор-
ме. Следовательно, система имеет шесть фн.чи Jcckhx степеней свободы.
Другой способ подсчета чисто физических степеякй свободы основан на
отыскании всех независимых инвариантов. Известно, что все независи-
мые SOC)-HHBapH3.irn>i для трех векторов в Я3 (столбцов матрицы г) ис-
черпываются их скалярными произведениями [109], т.е. всякий калибро-
вочный инвариант может быть построен из шго и независимы* компонент
матрицы гтх. Отметим, что detz также 5ОC)-инвариантен, но его ква-
драт разлагается но элементам хтх, поэтому он не образует независимой
степени свободы. Наличие такого инварианта приводит к градуировке
физического гильбертова пространства (см. E.6.12)).
Чтобы определить структуру физического ФП и, следовательно, струк-
туру физического конфигурационного пространства, от которой зависит
область интегрирования в скалярном произведении в квантовой теории,
необходимо, используя калибровочный произвол в теории, устранить ие-
физические степени свободы и выяснить, существуют ли оста гочныр дис-
кретные калибровочные преобразования.
187

Реализуем эту программу. Калибровочным преобразованием матрицу
х можно привести, например, к симметричной форме х — хт, что выделяет
шесть физических степеней свободы в теории. Для отыскания остаточных
калибровочных преобразований необходимо решить уравнение"'- ' ' •"'¦'
(sx)T =
50C),
E.6.31)
относительно матрицы ?. Если решение тривиально, ?Г= 1, то остаточная
симметрия отсутствует и физическое ФП — плоское6.»' >' ,.,.--•_ ~
Положим х — u!fiwT, где А — диагональная матрица, ш 6 SOC). Тогда
из уравнения E.6.31) следует wsh ~ h<J], где w, = u;T?ai € 5ОC). Сле-
довательно h = ujhuf или Л = u,h^jt, так как Лт = h. Перемножая два.
последних равенства, приходим к условию .
[h2,u5] = 0. - E.6.32)
Ввиду произвольности /г заключаем, что ш, — диагональная ортогональ-
ная матрица, т.е. и;, = {Ii = diag(l,—1,—1), /2 — diag(—1,1,—1), Гз =
(-1,-1,1), /4 = !}• По матрицам 1Ц (/i = 1,2,3,4) мож1го построить
матрицы Sf, — .j(r.}IllwT(x), которые задают решения уравнения E.6.31).
Матрицы s^ образуют группу относительно матричного умножения, на-
пример «? = 1 (ft — фиксировано), sis-; = S3 и т.д. Отметим, что группа
S - {s^} зависит от точки х € Я6. Для всех невырожденных матриц х эта
группа имеет четыре независимых элемента. Если det* = 0, то hr имеет
нулевые компоненты. Следовательно. S(x) может содержать непрерывные
преобразовании. Однако симметричные йырождечглые мкерицы образуют
множество меры нуль в множестве всех симметричных матриц. Именно
поэтому соответствующая непрерывная остаточная калибровочная груп-
па не существенна для определения структуры физического ФП. Факти-
чески вырожденные матрицы образуют границу дК физического конфи-
гурационного пространства А" — Я6/5\ Аналогичную ситуацию можно
наблюдать и в модели с произвольной группой (см. разд. 5.5): если эле-
мент h ? дК+, то кроме группы Вейля W имеются также непрерывные
остаточные калибровочные преобразования.
Структура физического ФП может быть найдена, как и в модели
рялд. 5.6.1, т.е.. отождествлением точек на поверхности х ~ х и оа — 0 в
полном ФП. связанных друг с другом преобразованием из группы S; здесь
ап — вторичные связи в ра.-смалриваемой модели. Их легко найти:
= О,
E.6.33)
где р — dL/di — ма грица канонических импульсов, Та - генераторы S0C),
антисимметричные 3 х 3-матрицы Т?ь = гаьс-
Квантовая теория с учетом правильной структуры физического кон-
фигурационного (фазопого) пространства основана на введении криволи-
нейных координат, согласованных с выбранным калибровочным услови-
ем и законом калибровочного преобразопания. В частности, для решения
уравнений ааФоь(х} = 0, ркп — —>'i3/9stn, можно использовать коорди-
наты E.6.36), где Q e SOC), p'r - р ? К = Rs/S. В этом случае опе-
раторы связей E.6.33) 0а явяются генераторами трансляций переменных
Мы не ра.сс.«атри»аем преоПрал.эамия из ОC) (см. разд. 5.6.2).
188
0П> которые параметризуют матрицы ,П = п(в) е SU{3). Поэтому физи-
'ческие векторы Фръ(г) — Ф(р) не зависят от ва. Так же, как й в моде-
ли разд. 5.6.3, физические векторы могут быть получены усреднением по
группе SU{2) ~ SO(Z):
Ф{р)= J
E.6.34)
su(i)
где
есть инвариантная мера на группе SUA). Отсюда следует 5-
инвариантность физических векторов состояний:
Квантовый гамильтониан в физическом подпространстве находит-
ся аналогично E.6.21). Определим 1-форму Ьва — ~аъ<16ь соотношением
(UTdu)ab = e.akcbecj1 = -Т^6ве/2 (см. (8.1.5)). Метрический тензор может
быть записан в виде E.6.19), где .4 — единичная матрица 6x6, отвечающая
r?tdp* в метрической форме Trdx^dx, D — симметричная матрица 3x3,
Dah = (^oiTr^2 — Рлсрсь)!^- которая стоит перед ЬОа&@ь в метрической.фор-
ме; наконец, независимые элементы тензора В„ь с = Вь.с (коэффициенты
при dpab&6c в TtdxTdx) определяют 6 х 3-матрицу В. Прямое вычисление
дает ВаЬ,с — (ZadcPdb + Udcpda)!^- Поэтому . „
E.6.35)
SUB)
где (Тгр-я)а* = &аъТЬр — РаЬ и А'л ~ ПсЛ^^- Соотношение E.6.35) опреде-
ляет скалярное произведение в физическом подпространстве. Физический
гамильтониан имеет вид E.6.21), где д„ —> даь = д/драь и j?h "~ 3°ь'° ' •
Ь.и'Ь' _ саЬ.а'Ь'
E.6.36)
здесь даьЬаЪ'а ь да'Ъ' = даьдаь в соответствии с определением символа^ ° * .
TtM самым построение квагиоиой теории завершено.
Аналогично модели, рассмотренной в разд. 5.6.3. можно показать, что
все регулярные решения соответствующего уравнения Шредингера авто-
матически .9-инваризнтны. Формула E.6.34) задает проекцию базиса пол-
ного гильбертова пространства на базис физического подпространства,
который исчерпывается регулярными собственными фунышями физиче-
ского гамильтониана E.6.21).
Тензор, обратный к E.6.36), задает метрику физического конфигураци-
онного пространстиа ds2 = ff**'** dpabdpa*b'. з1ь'сЛЯ^л.а'г — КК<- Построеч-
ный но этой метрике тензор Римана— Кристоффеля B.3.21) отличен от ну-
ля, поэтому физическое конфигурационное пространство имеет нетриви-
альную кривизну (то же справедливо и для матричной модели разд. 5.6.3)
в отличие от моделей с одной физической степенью свободы- При перс-
ходе к теории Янга—Миллса эта особенность сохраняется [151, 173].
189

5.7. Системы с бозевыми и фермиевыми
степенями свободы
5.7.1. Простейшая модель задается лагранжианом [149-151]
Ь=1-{[(^-уТ)у^-Ш1Х.2} + ф+Aд, + уТ)ф-Ш2ф+ф, Г = -»Т, E.7.1)
представляющим из себя, по существу, сумму лагранжианов E.1.1) и
E.5.1) с конкретизированными потенциалами V и заменой Г на — iT. Ана-
лиз, аналогичный проделанному в разд. 5.1 и 5.5, показывает, что E.7.1)
задает систему с одной первичной связью ру = oL/ду = О, гамильтониа-
ном
Я = ~(Р2+и,2х2)+и2ф+ф + уA)(РТх-ф+1\>) E.7.2)
¦ у <= -. .
и одной вторичной связью
а = рТх-ф+Тф = 6.. . E.7.3)
Поскольку {<т, Н) — 0. то равенство E.7.3) следует понимать как ограниче-
ние на допустимые начальные значения динамических переменных. Если
p(t — to) ~ Ро и х(/ — <о) =; Хо считать обычными вещественными векто-
рами, a w(t = t0) = Фо — образующими грассмаиовой алгебры, то связь с
есть четный элемент грассманоиой алгебры. Равенство таких элементов
нулю эквивалентно нескольким равенствам (подобно тому, как равенство
нулю вектора означает исчезновение всех его компонент), т.е. а класси-
ческой механике E.7.3) казалось бы ььнивалентно дпум условиям:
= р'Гх = 0, с-г = Ф+ГФ - 0.
E.7.4)
Возникает вопрос: означает ли это появление новых независимых связей?
Ответ на этот вопрос отрицателен. В разд. 1.9 лоьизало, ч го при рассмо-
трении динамики на суперпросгралстве бозевы переменные должны пони-
маться как четные элементы соответствующей супералгебры, а фермисвы
— как нечетные. По-тому начальные значения Хо и рй в общем случае не-
льзя считать векторами с обычными вещественными компонентами (в нро-
тииюм случае возит-«'т п|тт!'п"рсчц|? с теорией канонических преобра-
зований (см. Приложение 8.2.3)). Равенство E.7.3) означает, что началь-
ное значение углового момента i'o^r.uap^ = рГх = с\ есть четный элемент
а? алгебры Грассмана с обрап:- -щими Ф^.щ- Отметим также, что к га-
мильтониану E.7.2) можно добавить потенциал, такой, что оу; не сохра-
няются но отдельности, т.е. {/f.ai.o} ф 0, но {Я,с} — 0 (см. Приложение
8.2.3). Тогда равенства E.7.4). справедливые в начальный момент времени
t = to. в процессе эволюции нарушаются. Если же потребовать их выпол-
нения во все моменты времени, то это приведет к дополнительным связям
на динамические переменные {<т\ ;,Я} — а', 7 — 0. {а\ 2.Я} — а'{, = 0 и
т.д., что фактически означает расширение калибровочной группы исход-
ной теории (см. Приложение 8/2,3).
Сказанное согласуется с определением 6-функций от четных элементов
грассмаиовой алгебры [174]. в данном случае — функции Ь[р). Ее появле-
ние неизбежно при формулировании кнантовой теории в рамках гамильто-
нова континуального интеграла (когда нефизические переменные исклю-
чаются). Но в ГКИ фигурируют классические переменные, поэтому обра-
щение к нему может прояснить ситуацию в классике. В [17'!] показано, что
190
ij[cr) следует понимать как ряд Тэйлора:
E.7.5)
который обрывается на члене с таким номером .к; что e^t- ¦=. 0. Так
определенная б-функция обладает необходимым свойством: . - ,
E.7.6)
где { — четный элемент грассмановой алгебры (общая теория интегри-
рования на грассмановой алгебре построена в [174, 175]). Из E.7.5) яс-
но, что появление 5-функции 6(<г\ — <тг), где ег\г — классические величины
E.7.4), не означает почленного выполнения равенства <т = <Т| — <тг = О
в процессе эволюции системы. Итак, в квантовой теории имеется лишь
одна вторичная связь, а поскольку классическая картина получается из
квантОБой предельным переходом, последняя также будет отвечать дина-
мике, характеризуемой одной вторичной связью. Этот вывод становится
очевидным, если учесть, что реальный калибровочный произвол опреде-
ляется числом независимых генераторов калибровочных преобразований.
В функцию Гамильтона E.7.2), содержащую всю информацию о динамике
системы, входит лишь один произвольный параметр y(t) при единствен-
ном генераторе с. Фик"сация"вго, например, условием х^ — 0 исчерпывает
калибровочный произвол-(с точностью до дискретной подгруппы; оста-
точная кали5ровочна!гпо"дгруппа 2г не может изменмтк размерность ФП).
Теперь можно найти спектр гамильтониана E.7.2). Запишем его во
"вторично квантошшнэм" виде
Н -
Н2, E.7.7)
где Н] при им — 1 идентичен E.2.12), а Я; совпадает с E.5.4), если в по-
следнем положить ш - и.'2, Г = — iT и п = 0. Очевидно, что [Hi, Я2] = 0, т.е.
по обычним критериям подсистемы динамически независимы. Базисные
калибровочно-иннари.чнтние операторы, порождающие физическое гиль-
бертово пространство, даются формулами
где ф = (vbVs)- Причина появления оператора 6$ здесь та же, что и в
E.6.11): расширение калибровочной группы до ОB) его исключает. За-
метим, что такое расширение исключило бы и оператор &з - эю служит
еще одним аргументом й пользу группы SOB) '. Векторы состояний, по-
лученные применением всевозможных целых неотрицательных степеней
операторов E.7.8) к основному состоянию, образуют базис физического
гильбертова пространства (аналогично E.6.12)). Все они являются соб-
ственными всктграмя oi;'.-pdTop:i H. Это позволяет выписать спектр энер-
гий:
Е -
'Состояние
разд. 5.5.2.
E.7.9)
— единстиеиное иетриииальное физическое состояние в модели
191

В отличие от E.6.12) здесь лишь r»i пробегает ряд натуральных чисел:.
nj = 0,1, 2,... (тогда как т, i = 2,3,4) и принимает значения 0;1, поскольку
для него с? = 0; вклады состояний бг&^О) и Ь^^ЬзЩ нужно исключить ввиду
тождеств для операторов E.7.8): b^i"^ ^1*з И 62,4*3 = 0- Отметим, что при
ui\ = ujj энергия ochobhoi'o состояния равна нулю (суперсимметрия). Из
структуры спектра' E.7.9) заключаем, что, как и в модели E.6.2), здесь
нельзя выделить степень свободы, возбуждения которой не зависели бы
от остальной подсистемы, а спектр свидетельствовал бы о коническом
или плоском ФП. ,.}
5.7.2. Оператор Лапласа—Бельтрами в криволинейных координа-
тах на суперлространстве. В предыдущем подразделе квантовое уравне-
ние связи было решено методом перечисления всех инвариантных опера-
торов, без явного выделения физических переменных каким-либо допол-
нительным условием. Полезно также уметь строить квантовую теорию-;
в физическом конфигурационном пространстве, когда нефизические пере-
менные выделяются явно как канонические координаты, сопряженные не-
зависимым связям. Обычно нефизические переменные связаны с криволи-
нейными координатами. В случае смешанных систем связи содержат как
бозевы, так и грассмаловы переменные, поэтому надлежащие крииолиней-
ные координаты должны вводиться на суперпространстве. Соответствен-
но, для построения оператора Гамильтона в физическом подпространстве
необходимо уметь записывать оператор Лапласа—Бельтрами в криволи-
нейных координатах на суперпространстве. Обсудим этот вопрос.
Рассмотрим квантовомеханическую систему с бозевыми и грассмано-
выми переменными. Пусть ее гамильтониан имеет вид
где ра — —idjdxai <р+ = 4>*а и фа =
E.7.10)
, т.е. мы используем коорди-
натное представление для бозонов и голоморфное для фермионов. Ин-
дексы а = 1,2,..., М и о = l.2,...,N нумеруют бозевы и фермиевы сте-
пени свободы соответственно. Векторы состояний являются функциями
<р — 'р(х, ф') со скалярным произведением
dM
E.7.11)
1" "J.
причем по определению сопряжение произведения грассмановых перемен-
ных меняет порядок их следования на обратный, Например
Введем обозначение в для точки суперпространства (г,у.'). Тогда
замена переменных на суперпространстве задается некоторой функцией
в = в@), где в ¦= (у,С) ~ точка в новом суперпространстве. Мы ограни-
чимся рассмотрением специального случая, достаточного для исследова-
ния калибровочных теорий. Положим
?y). EЛ.12)
Причем П+ = О. Тогда производная по ха запишется в следующем виде:
дуь д дСа
дх„ дуь дх„
192
E.7.13)
^Дифференцируя равенство С(Ф", *), = Ф"Щу(х)) по ха и подставляя д^/
1в E.7.13), получаем ' ' ' "
дх*
E.7.14)
E,7.15).
где дь = д/дуь и операторы (%, 1;а берутся.в голоморфном представлении.
;,-Выражение E.7.14) можно использовать для записи оператора Лапласа
Д = — pi, входящего в гамильтониан E.7.10), в криволинейных суперкоор-
динатах E.7.12). Нетрудно проверить, что
¦A=Uda
а)
+ m),
E.7.16)
(
В новых переменных скалярное произведение запишется в следующей
форме:
г
Область К C~RM определяется из условия взаимной однозначности
соответствия между точками х € RM и у € А' С RM. Она может быть
найдена путем исследования симметрии отображения E.7.12). Преобра-
зования этой симметрии можно найти из уравнения
= *(?»), «6 5.
E.7.18)
т.е. преобразования из S связывают точки пространства RM(y), кото-
рые переходят в одну и ту же точку х € RM при отображении х - х(у).
Очевидно, что К — RM/S. Преобразования бозевых переменных у —» sy
индуцируют преобразования грассмановых ?* —> s{". Действительно,
действие оператора ? на С может быть найдено из условия, что при
отображении у —> % и ?* —> й;* переменная Ф' не изменяется. Имеем:
:+(Sj/), т.е.
E.7.19)
Отметим, что волновые функции у?, записанные в криволинейных перемен-
ных E.7.12):
E.7.20)
инвариантны относительно преобразований из S;
поскольку эти преобразования не изменяют точку (г, ф').
В заключение запишем гамильтониан E.7.10) в следующей форме:
Я = \ра9
ЪРь + V, + V,
E.7.22)
193

где Ра — -i/i~1/2(90 +'«>o) op1'2 - эрмитовы операторы импульса,
V, = -
E.7-23)
— эффективный квантовый потенциал (V, ~ fi2).
5.7.3. Теорема Шевалле в теории смешанных систем. Анализ
калибровочных теорий с бозевыми степенями свободы, проведенный в
разд.Ъ.б', показал, что остаточная дискретная калибровочная группа (или
симметрия) действует на все физические переменные, редуцируя их ФП
как целое. В квантовой теории, как мы выяснили, существует взаимноод-
нозначное соответствие между калибровочно-инвариантными функциями
в полном конфигурационном пространстве и функциями в физическом кон-
фигурационном пространстве, инвариантными относительно остаточной
дискретной калибровочной симметрии.
Выясним, существуют ли аналоги этих утверждений для систем, со-
держащих наряду с бозевыми также и грассмановы переменные. Возьмем
систему с лагранжианом
L = ~[
+ у)х]2
+ (д, + у)ф - 1'(х, Ф+, Ф),
E.7.24)
где х 6 Я3, V - трехмерный комплексный вектор с грассмановыми компо-
нентами, у — вещественная антисимметричная матрица 3x3. Лагранжиан
E.7.24) инвариантен относительно калибровочных преобразований, обра-
зующих ! ;. >ппу SOC):
¦их,
К ф+ — ф+
+пд,пт,
E.7.25)
= u(t) e S0{3):
предполагается, что V — калибровочный инвариант.
Переход к гамидьтонову формализму стандартен. Как всегда связи
второго рода, появляющиеся вследствие линейности лагранжиана по ско-
ростям, учитываю гея путем перехода от скобок Пуассона к скобкам Ди-
рака:
№,Фь}ъ = -*и. а. 6= 1.2,3. E.7.26)
Гамильтониан системы имеет вид
Я = -р2 + V(x, Ф+. Ф) - (р. ух) - 1(ф+, УФ),
E.7.27)
поскольку ру = 81./ду — 0: р -- 81/дх. Полагая y.,j = ус(г.ль- где e,,t,- -
полностью антисимметричный единичный тензор. С123 = 1, находим вто-
ричные связи:
<Га = СаЬс(РЪХс-1ф?Фс) = 0. E.7.28)
Они находятся в инволюции (связи первого рода):
E.7.29)
После квантования, когда все канонические переменные заменяются
на операторы и { , }д —* —1[ , ]± (коммутатор для бозеиых переменных,
194
•антикоммутатор — для грассмановых), связи налагаются на физические
векторы состояний: Г; -,'• •¦ . - ,.'¦
г- 5п|Фрь>=0.: ' "' .-г,. ... E.7.30)
Уравнения E.7.30) легко решить в представлении "вторичного квантова-
ния", подобно тому, как это было сделано в разд. 5.7.1. В данном случае
образующие всех калибровочно-инвариантных операторов имеют вид
Ч =
ft =
Ч =
E.7.31)
E.7.32)
где ас — (Рс ~ 'xc)j\/2. Операторы 6j порождают бозонные состояния, а
операторы /^ ~ фермионные.
Чтобы выяснить" роль дискретной калибровочной группы, нужно сфор-
мулировать теорию E.7.26)-E.7.29) в физическом конфигурационном про-
странстве. Особенностью теории с грассмановыми переменными явля-
ется то, что калибровочным преобразованием E.7.25) нельзя уменьшить
число компонент вектора ф (число образующих алгебры Грассмана со-
храняется цри калибровочном преобразовании). Поэтому исключать не-
физические переменные можно только в бозевом секторе. Введем коор-
динатное представление для бозонных переменных и голоморфное — для
грассмановых. Это означает, что векторы состояний являются функция-
ми х и ф'; скалярное произведение определяется равенством E.7.11).
Для решения уратятений,: E.7.30) в этом представлении введем криво-
линейные координаты На^'суперпространстве (х, ф") [13]:
x = fip, ф = Щ,
(sintfcos^ —siuy? — cos в cos tp \
sin в sin <p cos tp . -cosflsiny? I 6 SOC),
cos9 0 sin 5 /
где р"= (r, 0,0). Подстановка E.7.33) в формулу E.7.15) дает
где операторы La имеют вид
E.7.33)
E.7.34)
E.7.35)
E.7.36)
Прямым вычислением убеждаемся, что операторы ?„ в нопых переменных
задаются линейными комбинациями операторов 8^. д( и L\ (коэффициен-
ты в них зависят от tp и в, но стоят левее операторов c/v и 8в). поэтому
уравнения E.7.30) эквивалентны трем уравнениям:
= 0,
E.7.37)
Следовательно, физические волновые функции не зависят oi ^ и в. Впро-
чем, уже из соотношений E.7.33) ясно, что 9иу транслируются при кали-
бровочных преобразованиях E.7.25). Оператор L\ является генератором
5ОB)-вращений переменных ?" 3- Наличие атой калибровочной симме-
трии связано с тем, что стационарная группа вектора р EОB)-вращения
195

в плоскости 2,3) есть подгруппа калибровочной группы. Она не действует
на физическую бозеву переменную р, но вращает грассмановы перемен-
ные ?^3; ?", как и р, не изменяется при этих поворотах.
Используя E.7.35) — E.7.37), находим гамильтониан в физическом под-
пространстве: . '¦••>.--.*:•.
23)-
E.7.38)
Здесь мы воспользовались тем, что метрика в координатах E.7.33) диа-
гональна <jfa' = diag(l,r"~2, (rsin?>)~2); значения o,b = 1,2,3 соответствуют
переменным г, 9,ip и fi = г2.
Как было показано в разд. 5.5, SOB) (~ U{1)) — калибровочная симме-
трия в чисто фермионной системе эквивалентна требованию ^-инвари-
антности физических векторов состояний. Поэтому последнее уравнение
в E.7.37) эквивалентно уравнению . ¦ ,
.'"'*ph(*",eirr= *pb(r,f*), ' "" E.7.39)
где 5] =r diag(l,—1,—1) € 5ОC). Действительно, единственный инвари-
ант группы 50B), генерируемой 2Ь есть {^з- Он же> в свою очередь, .
является единственным инвариантом группы Zi = A,3\).
С помощью калибровочного преобразования E.7.25) можно добить-
ся равенств х = р, ф — ?. Не нарушая равенства х^.з = 0, с помо-
щью калибровочных 5ОB)-преобразований можно изменять знак у фи-
зической переменной г -? ±»\ Одновременно будет происходить вра-
щение вектора ?. поэтому мы вправе ожидать, что в квантовой теории
векторы состояний инвариантны относительно дискретной калибровоч-
ной группы, которая действует на бозеву и фермиеву степени свобо-
ды одновременно. Это действительно так. Рассмотрим группу симме-
трии замены переменных E.7.33). Она должна содержать преобразова-
ния р ~+ ±р и соответствующие преобразования углов в, <р, такие, что
х не изменятся. Эти преобразования образуют группу симметрии сфе-
рической системы координат и исчерпываются преобразованиями вида
Sj : в -4 —в, f ~) <р + к, г —У г; ?> • @ ~¦> в -\- it, <f —ь <р,г -+ —г; .?з :
0 —> — б + ir, <р -* р + тг, г —> —г. Кроме того, имеются еще преобразования
г —> г, в -+ в + 2тгл, ^ -+ V + 1ifm. n,m — целые числа. Однако последние
не индуцируют преобразований С (см.E.7.33)), в отличие ог преобразо-
ваний ?. Действие s на ?* и р может быть задгшо матрицами из SOC):
?j =diag(l,-l,-t), si = diag(-l.l,-l), ?3 =diag(-l,-I, I); s2 = 1.
Докажем, что физические состояния инвариантны относительно дис-
кретной группы S, образованной преобразованиями s", т.е.
Г) = Ф{р.Г). E.7.40)
Для преобразования ?i равенство E.7.40) уже было доказано (см. E.7.34)).
Заметим, что собственные функции <ре гамильтониана р /2-f V(x,^+,^)
должны быть инвариантны относительно преобразований ?2.з, поскольку
эти преобразования оставляют точки хк ф' неподвижными (см. E.7.21)).
Разложим ети функции по сферическому базису Yim(9,<p):
196
В»соответствии с E.7.37)' физические, состояния задаются функциями
Ящ>(г'?*)- Отсюда ввиду линейной независимости^У|гп(б,?>)ги равенства'
Voo(v^) .= const заключаем, что Я^„(г,{*) =.Ф(р,|*) инвариантны относи-
тельно преобразований «г и «з- : :¦ л..(Г. ';¦-,¦!! '¦ -' г- i'.-w-- '
К- .Другой способ доказать E.7.40) — использовать операцию усреднения
по калибровочной группе в качестве проектора на физические состояния
(см. E.6.34)). ¦- ...,, , ,.. .... . -. , ¦ \, -,,,,,. ...:х- v ^ ,_.
Обратимся теперь к доказательству теоремы Шевалле для смешан-
ных систем [13]. Покажем, что всякий 5-инвариантный полином в физиче-
ском конфигурационном пространстве имеет однозначное калибровочно-
инвариантное аналитическое продолжение, в полное конфигурационное
пространство." - Рассмотрим полиномы, построенные из ра и ?* и инва-
риантные относительно S. Нетрудно проверить, что все такие полиномы
могут быть построены из элементарных (ср. E.7.31), E.7.32))
?в(.с?д?кС-
E.7.42)
Поскольку тензоры 6аь и €аьс есть инвариантные тензоры группы SOC),
заключаем, что величины E-7.42) равны соответственно
где х и ф" связаны с р и С соотношениями E.7.33). С другой сторо-
ны, величины E.7.43) являются базисными полиномами, из которых стро-
ится любой калибровочно-инвариантный полином на супериространстве
(х, ф'). С.чедователыю.-всякий полином в физическом конфигурационном
пространстве, инвариантный относительно дискретной остаточной кали-
бровочной группы, может быть однозначно калибровочно инвариантным
образом аналишчески продолжен в полное конфигурационное простран-
ство. Ввиду плотности множества полиномов в пространстве аналитиче-
ских функций данное утверждение справедливо также для аналитических
функций. Тем самым мы установили взаимнооднозначное соответствие
между 5-инвариантн1.1Ми функциями в физическом конфигурационном про-
странстве и калибровочно-инвариантиыми функциями в полном конфигу-
рационном пространстве.
Это свойство имеет общий характер и справедливо для смешанных
систем с произвольной калибровочной группой (обобщенная теорема Ше-
валле (см. [13])).
5.8. Следствия изменения структуры
физического фазового пространства
В предыдущих разделах мы видели, что классическая траектория чув-
ствительна к структуре ФП, поэтому можно ожидать, что квазиклассиче-
ское описание будет зависеть от структуры ФП.
Обычно в квазиклдесическом подходе определяют спектр сис-
темы (путем использования периодических классических решений,
ВКБ-квантовалия), вычисляют амплитуды переходов [161]. Вторая зада-
ча решается методом стационарной фазы для функционального интегра-
ла [161], поэтому мы отложим ее рассмотрение до следующей главы, где
будет построен функциональный интеграл с учетом истинной структуры
физического ФП.
107

'' В этом 'разделе мы рассмотрим влияние структуры ФП на
ВКБ^квантовани'е и структуру полюсов'функций Грина (вакуумных ожи-
даний от геЙзенбёрговых операторов координат физического конфигура-,
ционного пространства). Другое интересное проявление нетривиальной
структуры ФП можно найти в квантовой космологии — учет правильной
структуры ФП калибровочных полей ведет к изменению правила кванто-
вания размеров "кротовых нор" и модификации квазиклассической вол-
новой функции Вселенной [148]. '••' ¦ '•"¦- •'¦•¦• ,'
5.8.1. Метод Венделя—Крамерса—Вриляюэна. Пусть потенциал
(V) системы таков, что существует периодическое решение классических
уравнений движения. Очевидно, что период Т — Т(Е) есть функция
энергии системы Е. Согласно правилу квантования Бора—Зоммерфельда
уровни энергии определяются из уравнения > ¦¦ <-
W(E) = jpdq = Jpqdt =2fJnTj),'lVii =
E.8.1)
Интеграл в E-8.1) берется вдоль классической траектории.
Что изменится, если Г = сопе(зг)? Как мы знаем, период колебаний
системы Т с Г = сопеGг) вдвое меньше периода системы с Г = R2 и с той
же энергией Е:
- =• ' Т'-(Е)^1-Т(Е). . .... . ¦ E.3.2)
Причина проста (см. разд. 5.2). Поскольку потенциал - четная функция
V(q) = V{—q) (следствие ^-инвариантности (см. разд. 5.3.1)). время нахо-
ждения частицы в области q < 0 равно времени нахождения ее в области
q > 0. Ввиду комичности ФП движение с q < 0 не отличимо от такового с
q > 0. Отсюда сразу же следует уменьшение периода осцилляции вдвое,
и. следовательно, для Г = сопе(тг) имеем
\V[E)
Tp
(S.8.3)
Из E.8.2). E.8.3) и условия квантования И'С(Е) = 27г(п + 1/2) (п = 0.1 )
вытекает, что физические уровни энергии для системы с Г = сопе(зг) от-
вечают только четным п в E.8.1).
В случае систем с несколькими физическими степенями свободы труд-
ности учета редукции ФП в методе ВКБ связаны с выделением незави-
симых мод колебаний. Как было показано в раал 5 .4.2, это далеко не
простая задача. В [157, 160] найден спектр внутренних возбуждений кван-
тового солитона, ФП которого есть cone(ff). Другие примеры, иллюстри-
рующие влияние структуры физического ФП в калибровочных теориях на
квазиклассическое описание, даны в [1)8. 160] и разд. 6.7.
5.8.2. Функции Грива и структура физического фазового про-
странства. В квантовой теории после исключения всех нефизических
степеней свободы информация о структуре физического ФП содержит-
ся в требовании инвариантности физических векторов состояний (а так-
же меры и области интегрирования в скалярном произведении) относи-
тельно некоторого набора дискретных преобразований. Отсюда следует.
198
что структура физического ФП влияет на квантовомеханические ампли-
туды. Наиболее интересные — это функции Грина, т.е. величины ви-
да {T{q{ti)q(t2) ¦ ¦¦q[in)))o, где q[t) = t+iHtqe~im - гейзенбергов оператор
координаты физического конфигурационного пространства и Т означает
упорядочение по времени. По особенностям этих функций можно судить
о спектре системы.
В квантовой механике величина (Т(д"а(')?»'@) )о-Где Qa{t) — U^qa{0)Ut,
UttF^ exp (—1//(), fa@) = qa, аналогична пропагатору в теории поля. Рас-
смотрим, например, систему бозе- и ферми-осцилляторов
где [Ь, Ь+] = [/, /+]+ ~ 1. Тогда оператор координаты для бозе-осциллято-
ра имеет вид q = (Ь+ + Ь)/\Д . Полагая Ь|0> = /|0) = 0, находим
Величины Dbj(t) являются функциями Грина для классических уравне-
ний движения бозе- и ферми-осцилляторов:
¦(-д;-1) ?)»(<) = (••«• -1) Dj{t) = йA).
Рассмотрим фурье-образы функций Dbj(t):
E.8.4)
= /
dt exp(iU)D(t).
Из E.8.4) следует
где г — +0. Полюсы функций Грина отвечают первому возбуждению
осцилляторов.
Рассмотрим теперь модель с калибровочной симметрией, задавае-
мую лагранжианом E.7.1). В координатном представлении, для бозе-
перемеиных и в голоморфном - дли фермионов (см. pa*п. 5.7.2) при реше-
нии уравнения связи в квантовой теории:
воспользуемся криволинейными координатами на сунерпространстве
х = ехр(^5Т)^Г, ф = ехрAузГ)?, E.8.5)
где р = (*"• 0). Переменные г и 4* играют роль физических степеней сво-
боды, тогда как f — чисто нефизическая переменная (она транслируется
при калибровочных преобразованиях <р —> <р + и). Используя соотноше-
ния E.7.14) и E.7.15), находим я> = 0, ?v = ^fT{ и 5 = — i9^. поэтому
физические волновые функции не заиисят от <р:
199

функции E.8.6) нормируются.согласно условию E.7.17), которое в данном.
случае запишется в виде . , к:
- " '..О .;¦¦ ¦; ¦•¦::-. .- И'
(ф'Дфг)'^ / drr f f[(d?
{ J 1=1
,f )]f *г(г, С) : E.8,7)
(множитель f^"dip мы включили в норму состояний Ф^г). Гамильтони-
ан в физическом подпространстве получается из E.7.10), E.7.16) путем
отбрасывания членов, содержащих производные д^. В результате соот-'
ветствующее уравнение Шредингера в "Нрь имеет вид
8)
здесь мы учли упорядочение фермионных операторов ф'ф — у+ф - 1 =
?+? — 1 и положили для простоты a>i = и>2 = 1.
Чтобы решить уравнение E.8.8), расщепим пространство Нръ на че-
тыре ортогональных подпространства "Н^ (р — 0,1,2,3) с функциями
Фд (г), Фд = Va^E (Г) И ^? ~ ^ГЙ-^Е (г)- ПОСКОЛЬКУ tv\ — 5Г,»^1^2 — 0
и Srv^* = Г^*, то уравнение E.8.8) можно решать в каждом из ~Нр'^ неза-
висимо. Операторы 5т2, и ^"+? являются с-числами в каждом W^ , поэто-
му уравнение E.8.8) сводится к четырем стандартным уравнениям вида.,
E.2.7). Нормированные собственные функции имеют вид
EW = 2„;
= In + 2;
E.8.9)
E.8.10)
E.8.11)
где л = 0,1,2 Вакуумное состояние (л = 0) не вырождено, а все возбу-'
ждения имеют четырехкратное вырождение, причем при данном значении
Еп имеется два бозевых (четных по грассмановымпеременным) и два фер-
миевых возбуждения, т.е. система обладает суперсимметрией.
В соответствии с обобщенной теоремой Шевалле (см. разд. 5.7.3) Z?-
инвариантность состояний E.8.9)—E.8.11) (г —> ±г,?" —» if") позволяет
аналитически продолжить их в полное конфигурационное пространство
(х, ф') калибровочно-инварианпгым образом. Для этого следует сделать
2
замену
г2 =
з, где г =
Полученные таким образом волновые функции удовлетворяют уравнению
Шредингера в полном конфигурационном пространстве.
Перейдем к анализу квантовых функций Грина физических переменных
[150,151] . :
Db(t) = (Г(?(О?(О))о, D?(t) = (T(b(t)?+)o. E.8.12)
Пример вычисления функций Грина E.8.12) иллюстрируется следующими
очевидными равенствами:
Db(t) =
E.8.13)
200
E.8.14)
аналогично для Djb(t). Амплитуда @|г]Ф^0') вычисляется при помощи ска-
лярного'произведения E.'8.7).~В результате для фурье-образов функций
Грина E.8.13) находим *; rN' ¦''-'- ¦ ¦ ¦ .'
E.8.15)
J.v,
- 2n-2
E.8.16)
3.соответствии с теоремой де Моргана (см. [152]), ряды E.8.15) и E.816)
¦абсолютно сходятся.и определяют аналитические функции на комплекс-
ной плоскости ш с простыми полюсами. ,,„
В, отличие от осцилляторов с плоским ФП -здесь квантовые функции
Грина содержат полюсы, отвечающие всем собственным значениям анер-
гии,- Более того, несмотря на линейность теории, функции Db(i) и Djb(t)
не удовлетворяют уравнениям типа E.8.4). Таким образом, изменение
структуры ФП радивально.меняет свойства квантовых функций Грина.
. Проанализируем прцчину появления столь экзотической полюсной
структуры у функций Грина' осцилляторов с нетривиальной структурой
ФП. Математически это'связано с редукцией области интегрирования в
.. скалярном произведении E.8.7). Скалярное произведение в квантовой те-
ории обычного осциллятора содержит интегрирование по всей осн. Это
приводит к тому, что в сумме E.8.14) только один член отличен от нуля:
. @|2|n) ~ 6П1. Редукция области интегрирования до полуоси автоматиче-
ски дает ненулевую величину для всех членов ряда E.8.14).
Ввиду четности собственных функций Ф„ мы можчм расширить об-
ласть интегрирования /0°° drr = /^ rfr|r|/2. сохраняя ортогональность
состояний Ф„ , и тем самым эффективно перейти к обычному конфигу-
рационному пространству (плоскому ФП). Однако состояния гФ^; и ?„Ф?
не являются ^-инвариантными. Если мы продолжим эти состояния ана-
литически в нефизическую область, то получим тривиальные равенства
Db(t) = Dfb(t) = 0. Поэтому эти состояния должны продолжаться в нефи-
зическую область ^-инвариантным образом, чтобы сохранить правиль-
ные значения всех амплитуд.
Следовательно, при переходе к теории на всей оси г 6 Л операторы г
и {+ должны быть заменены их ^-инвариантным продолжением на нефи-
зическую область г < 0:
rQ~rQ(9) =f в(г)г-в(-г)г-ге(?), E.8.17)
$2$(?,?+) = »rit+-4-?)t=bc(?), E-8.18)
где с(г) — знаковая функция. Величины E.8.17) и E.8.18) могут быть раз-
ложены по ^-инвариантным полиномам г3 и 7-?* (с сингулярными коэффи-
циентами) и, следовательно, по калибровочно-инвариантным полиномам.
201

Поэтому возбуждения, описываемые переменными rq и ?q, не являются
элементарными в полном конфигурационном пространстве, что и отража-
ется полюсной структурой функций E.8.15) и E.8.16) (см. также [208, 210]
и обсуждение в разд. 5.2.1).
Таким образом, мы приходим к заключению, что динамика элемен-
тарной степени свободы (фермпонной или бозонной) с редуцированным ФП
эквивалентна динамике некоторого составного обгехта в нормальном ФП.
Другое важное наблюдение, вытекающее из анализа функций Грина
этой модели, состоит в следующем. Калиброеочно-инвариантный под-
ход, рассмотренный в разд. 5.2.1, 5.6.2, показал, что физические возбужде-
ния описываются квадратичными (составными) по исходным переменным
операторами. С другой стороны, исключая нефизические степень свободы
калибровочным условием х? — 0, .мы получаем теорию, где, казалось бы, все
физические возбуждения генерируются линейными по физичесшим перемен-
ным операторами. Решение этого парадокса состоит в том, что физиче-
ские степени свободы имеют редуцированное ФП и по сути их динамика
есть динамика сложных составных объектов E.8.17) и E.8.18). Простей-
шие возбуждения а теории описываются Z^-yniB&jntsMiHhaai операторами,
квадратичными по физическим переменным г2 и г{* (их функции Грина
будут содержать только полюсы, отвечающие первому возбуждению ос-
циллятора). Подробнее см. [210]. -
Таким образом, редуцированная теория "помнит" о своем "калибро-
вочном" происхождении.' ':!•-'.•
5.8.3. Функции Грина и выбор физических переменных. Как из-
вестно, имеется произвол в выборе переменных, параметризующих физи-
ческое конфигурационное (фазовое) пространства в калибровочной тео-
рии. Он устраняется, с учетом особенностей рассматриваемой пробле-
мы. Рассмотрим вопрос о влиянии выбора физических переменных (или
калибровки) на функции Грина [150].
Пусть физическая бозева степень свободы в модели E.7.7) изменяется
вдоль некоторой кривой х = f(«), и € Я- Чтобы построить корректное
квантовое описание, введем криволинейные координаты вида
х = exp(<pr)f(«), ф = ехр(-1>Г)С.
E.8.19)
Онн являются обобщением криволинейных координат E.8.5). Их бозева
часть подробно описана в разд. 5.3. В координатах E.8.19) Э = —idv,
поэтому физические состояния будут функциями и и С*- Метрика, опре-
деляющая оператор Лапласа— Бельтрами, не имеет диагонального вида,
в отличие от случая E.8-5). Проделав необходимые вычисления по пра-
вилам разд. 5.7.2, приходим к довольно громоздкому выражению для фи-
зического гамильтониана осцилляторов:
!/>, о Щ
'- 1, E.8.20)
где Ри = — ifi~!'7ди о /j'^2 — эрмитов оператор импульса. /i(u) = f f,
f = 9uf, Vq определяется равенством
v, = ^-
202
где g(u) = i /ft2. Скалярное произведение в теории имеет
вид
= / *yi(«) / П
К 0=1
E-8.21)
мера интегрирования fK du подробно описана в разд. 5.3. Таким образом,
квантовая теория, соответствующая калибровке х = f(u), построена, и мы
можем приступить к анализу функций Грина А(') = {Tu(t)vH и J9J*(<) =
{ГС.(9б+)о- .
Для решения уравнения Шредингера с гамильтонианом E.8.20) вос-
пользуемся утверждением об унитарной эквивалентности всех квантовых
теорий, соответствующих различным выборам f, которое было доказано
в, разд. 5.3. Согласно этому утверждению существует замена перемен-
ных, которая превращает гамильтониан E.8.20) в гамильтониан уравне-
ния Шредингера E.8.8), а скалярное произведение E.8.21) — в E.8.7). Эта
замена переменных имеет вид
f(u) = ехр@(и)Г)р, С = ехр(Щи)Т)С,
E.8.22)
где exp(t'6(u)) = г//г, zj = f\ -f- «/з- Для проверки необходимо подставить
равенства
в E.8.20) и E.8.21) и воспользоваться свойством меры fK dufi — f?° drr, до-
казаннымв разд. 5.3. Поэтому собственные функции и собственные значе-
ния оператора E.8.20) имеют вид E.8.9)-E.8.П). где следует произвести
следующие замены, вытекающие из E.8.22): г2 —• f 2(ы), г^)* 2 —> г^СГг и
fi« ^ Ci'CJ-
¦• Полученные волновые функции инвариантны относительно преобразо-
ваний 5 (см. разд. 5.3):
«6
uGK, E.8.23)
,П1:. . ¦ ~ . -
где функции и,(и) и в,{и) задаются равенствами E.3.2) и E.3.3). Пре-
образования E.8.23) совместно с преобразованием ys — у>+ $»(и) являют-
ся преобразованиями симметрии замены переменных E.8.19). Но они не
образуют группы.
Рассмотрим бозеву функцию Грина
Db(t) = в{1) f;|{OJ«l*J,0))| Vs"» + (t ~ -t). E.8.24)
n=0
203

Для амплитуды, входящей в E.8.24), справедливо равенство
drr*<p(r*)u(r)*W(r») = @|u(r)|«W).
E.8.25)
Соотношения E.8.24), E.8.25) показывают, что вид функции Грина зави-
сит от выбора физических переменных (от выбора калибровки), однако их
полюсная структура инвариантна по отношению к этому выбору. Следо-
вательно, физический смысл имеют лишь полюсы функций Грина.
Переменные аи(+ имеют нестандартное ФП и поэтому не могут опи-
сывать элементарные возбуждения. Состояния, порождаемые ими при
действии, например, на вакуум не являются S-инвариаитными. Поэто-
му при расширении области интегрирования в скалярном произведении
E.8.21) до всей оси (т.е. при переходе к теории в нормальном ФП)
JK dufi = J^. dul^u^N'1, где Nu — число копий (элементов s) при данном
и, операторы аи(+ превращаются в составные S-инвариантные объекты
соответственно:
E-8.26)
E.8.27)
где 6а-(u) = 1;0, если и 6 А, и?А' соответственно. К, — sK. Функция
и является обратной к и, (и~1 : К, -> А') (см. разд. 5.3); функция ^"'(м)
задана на К, и определяется равенством
<?;'(«.(«)) = -«.(«). «ел-.
E.8.28)
Покажем, что функции uq{u) и Q(u,C) определяют S-итзариантное про-
должение функций и и С*, в нефизическую область R Q К. Прежде всего
убеждаемся, что
uQ(u) = u,
К.
Если и 6 А', то только один член в суммах E.8.26) и E.8.27) дает вклад,
когда s = 1 — тождественный элемент. В этом случае по определению
в,(и) = 0, «" = 1. Согласно изложенному в разд. 5.3 S-инвариантность
означает, что
Со(«.'(«).ехр(»М«)ГH = Cg(«,O = С, и € К,
E.8.29)
для любого s' 6 S. Легко видеть, что эти равенства выполняются. Те-
перь ненулевой вклад в суммы E.8.26) и E.8.27) дает слагаемое с s = ?, а
определение функции $~1 E.8.28) обеспечивает сокращение фазовых мно-
жителей в E.8.29).
204
Итак, фунхции Грина фермионных и бозонныг переменнйх с нестан-
дартным (редуцированным) ФП отвечают фун>си,иям fpuna составных o6t-
ектов, построенных из этих переменных, в -стандартном (плосхом) ФП.
Это важное утверждение будет также доказано независимо в рамкаХ^ме-
тода континуальных интегралов. По существу оно дает физическую ин-
терпретацию фермионных и бозонных степеней, свободу с редуцирован-
ным ФП как составных объектов. Причем, в силу доказанной ранее те-
оремы о взаимнооднозначном соответствии между 5-инвариаитными и
калибровочно-инвариантными состояниями,, возбуждениям степеней^с.во-
боды с редуцированным ФП соответствуют некоторые калибровочнр-
ипвариантные возбуждения. И мы опять возвращаемся к утверждению,
сделанному в конце разд. 5.8.2, о, том, что структура физического ФП
есть своеобразная память редуцированной системы о своем калибровоч-
ном происхождении. Все это имеет прямое отношение к конфайнменту
(см. гл. 7).
205

Глава 6
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ
6.1. Предварительные замечания
Ясно, что редукция фазового пространства изменит ГКИ, поэтому
важно выяснить — как? Это особенно актуально для квантовой теории
поля, ибо континуальный интеграл предоставляет естественную зозмож-
ность для выхода за рамки теории возмущений (квазиклассика). Но пре-
жде чем переходить к полевым системам, необходимо изучить простейшие
модели. Этим мы и займемся.
Основным объектом метода континуального интеграла, который мы
будем изучать в этой главе, является ядро оператора эволюции (h = 1):
F.1.1)
(Я —гамильтониан системы), определяющее амплитуду перехода системы
из начальной точки конфигурационного пространства q' в коиечную точку
q за время t. Как было показано в гл. 2, эта амплитуда может быть задана
гамильтоновым континуальным интегралом (ГКИ):
F.1.2)
где .V — число степеней свободы, H(p,q) — гамильтониан, и интегриро-
вание в F.1.2) ведется в бесконечных пределах по каждой из канониче-
ских переменных (фазовое пространство системы совпадает с плоским
пространством RN(q) ® RN(p)).
Непосредственное обобщение рецепта F.1.1), F.1.2) на случай систем
с калибровочной группой невозможно, поскольку он не учитывает связей,
которые должны выполняться в процесе эволюции системы (см. гл. 4).
Другими словами, не все конфигурации в фазовом пространстве (ФП)
должны давать вклад в интеграл F.1.2), а лишь те, которые подчиняются
уравнениям связей 4>a(q,p) — 0. Наивный способ решения этой проблемы
мог бы состоять в том, чтобы ввести в меру интегрирования F.1.2) ве-
личину Ца Ш=о f>(f*(P{T)>Q(T)))> что автоматически редуцирует область
интегрирования на поверхность связей. Однако действие системы, реду-
цированное на поверхность связей, инвариантно относительно калибро-
вочных преобразований, генерируемых связями -ра (см. гл. 3). Поэто-
му интеграл F.1.2) расходится. Действительно, калибровочный произвол
означает, что действие ие зависит от некоторых переменных q (их число,
очевидно, равно числу независимых связей). Интеграл по этим перемен-
ным и расходится. Эта проблема обсуждается в начале разд. 4.1. и в
работах [131, 149, 210].
Имеются и другие, более тонкие причины недостаточности прямоли-
нейного подхода.
206
6.2. Гамильтоновы континуальные интегралы
в теории калибровочных систем
с коническим фазововым пространством
Прежде чем переходить к изложению общего рецепта построения ГКИ
для калибровочных теорий, рассмотрим простую задачу о построении
ГКИ для теорий, в которых физическое ФП — конус, развертываемый в
полуплоскость. Квантовая теория в операторной формулировке была по-
строена в гл. о. Задача состоит в том, чтобы построить соответствующий
гамильтонов континуальный интеграл.
6.2.1. Гармонический осциллятор. Дискретная калибровочная
группа Z?. Чтобы выяснить существо дела, возьмем простейшую мо-
дель (одномерный гармонический осциллятор), в которой дискретная ка-
либровочная группа Zi постулируется, т.е. выступает в качестве одной
из характеристик ФП при построении гамильтонова формализма. Дан-
ная задача решается элементарно (см. [149, 176]). Основным и простей-
шим объектом гамильтоновых континуальных интегралов является ядро
инфинитезимального оператора эволюции U,(x,x') = (i|exp(-iHt)\x') —
(x\Ut\x'), t — i — 0. В случае гармонического осциллятора для него
имеет место формула (при любых t) [32, с. 218]
Ut(x,x<) =
F.2.1)
где En = n-f 1/2 — спектр оператора энергии, Нп(х) — полиномы Эрмита,
а координаты х,х' пробегают всю вещественную ось; с„ - нормировочные
константы. Как мы выяснили в гл. 5, наличие калибровочной группы Z->
меняет спектр гамильтониана, поскольку физическому подпространству
принадлежат лишь четные функции. Следовательно, в случае коническо-
го ФП (следствие существования группы Z-i) базис в физическом гильбер-
товом пространстве образуют функции
Ф7п(х) = с2пН3п{х)е-х''2, с-2„ = n/2c2ii, n = 0,1,... (Й 2.2)
Изменение нормировки с;>„ —» счп связано с переходом в нормировочном
интеграле к интегрированию по полуоси [0,оо). Следовательно, вместо
F.2.1) мы имеем для Щ (индекс с означает: ядро в задаче с коническим
ФП)
п=0
= ?/,(*, *') + ?;.(*¦-*'); F.2.3)
переменные г, г' в F.2.3) пробегают положительную полуось. Отсюда за-
ключаем:
где
CO
ф,(х) = Jdx'U'i{x,x'}i>0(x') =
о
Фо(х) = J dx'Q(x, х')фо(х'), Q(x, x')
U,(x,x')^(x'), '. F.2.4)
F.2.5)
о '
207

a 4>i(x) = iv(x,t) — волновая функция в момент времени t. Очевид-
но, что it>, нормирована на единицу- на всей оси только в том случае,
если это верно для Фо. Из F.2.5) ясно, что Фо есть функция f0, чет-
ным образом продолженная в нефизичсскую область отрицательных х:
Фо(*) = Vo(*). х > 0, Фо(х) = щ(-х), х < 0, т.е. Фо определена на всей
оси, и оператор Q с ядром F.2.5) доопределяет \р0 при х < 0. Согласно
F.2.4), F.2.5)
Щ{х,х') = j dz"Ut(x,x")Q(x'\x'):
F.2.6)
из представления F.2.6) становится ясно, как модифицируется гамильто-
нов континуальный интеграл для ядра оператора эволюции гармониче-
ского осциллятора:
F.2.7)
где х = x(t), х@) = г'.
Сделаем несколько замечаний.
1. Формулы F.2.6), F.2.7) дают полное решение задачи. Полезно убе-
диться в их самосогласованности. Известно, что представление опера-
тора Ut континуальным интегралом базируется на формуле С?1+,- = UtUf
[32]. Для оператора U,, задаваемого F.2.1), она очевидна, тогда как для
U} требуется проверка; должно выполняться равенство
00
J
о
F.2.8)
x,x') = Jdx"Utc(x,x")U,\{x!',x%
о
справедливость которого нужно еще доказать. На операторном языке за-
дача формулируется как самосогласованность условий
комбинируя их, имеем Ut+i>Q = UtQUfQ - UtUi>Q, т.е. должно выполнять-
ся условие
QU,Q = UtQ. F.2.9)
Приведенные операторные равенства требуют пояснений. Дело в том, что
второй аргумент ядра Q(x, x') меняется в пределах положительной полу-
оси, тогда как первый - в пределах всей оси. И так как смысл оператора
Q — в доопределении функции четным образом на всей оси, то на четные
функции Q действует как единичный оператор, поэтому содержание F.2.9)
заключается в требовании четности ядра UtQ по первому аргументу. От-
сюда, учитывая четность ядра Q{x,x') по первому аргументу, находим
достаточное условие для Ut : U,{-x,x') = Ut(x,—x'), которое, очевидно,
выполняется для ядра F.2.1). В действительности самосогласованность
аппарата континуальных интегралов гарантируется более слабым уело-
F.2.10)
которым и будем в дальнейшем пользоваться (см. разд. 2.2).
208
2. Из формул F.2.1). F.2.3) и F.2.6) ясно, что оператор Q исключает
вклад в ядро Uf(x,x') нефизических состояний, связанных с нечетными
функциями. В этом его смысл.
3. Поучительно сравнить роль Q в F.2.6) с ролью аналогичного опе-
ратора в задаче о частице на полуоси (с нулевым граничным условием)
(см. гл. 2), где он задается ядром Q(x, х') = 6(х — х') — &(х + х'). Ядро
Q обеспечивает выполнение граничного условия в иуле; смысл второй 6-
функции в учете, наряду с прямой траекторией, также и отраженной от
границы (при аппроксимации траектории прямыми для Ut). Разница в
знаках перед второй 6-функцией в Q и Q отвечает изменению физики за-
дачи. В рассматриваемой модели движение при i < 0 не отличимо от
движения при х > 0 в обратном направлении; в точке х ~ 0 как бы проис-
ходит отражение, но без изменения фазы, тогда как в задаче о частице на
полуоси [62, 89] при отражении от границы фаза меняется на тт. Это можно
интерпретировать следующим образом. В случае непроницаемой стенки
сумма вкладов прямой и отраженной от стенки траекторий для инфи.ни-
тезимальиого ядра Uf равна сумме вкладов траекторий (прямых) из х' и
-г' в точку х, причем второй вклад берется с отрицательным знаком. Это
обеспечивает выполнение нулевых граничных условий. В рассматривае-
мой модели также нужно взять сумму вкладов траекторий из точек х' и
-г' в х, но с одинаковыми знаками. Это обеспечивает четность волновой
функции, т.е. ее инвариантность относительно калибровочной группы Zi-
4. Несмотря на редукцию ФИ, мера в ГКИ F.2.6), F.2.7) не приобрела
множителя 1/2. как этого можно было бы ожидать. Причина в том*что из-
менилась область интегрирования в нормировочном интеграле: физиче-
ская переменная х пробегает не всю ось, а лишь полуось. Именно поэтому
в F.2.2) и F.2.3) произведена замена сп —*с„ = V2cn.
В заключение обратим внимание на следующее. При переходе к по-
лярным координатам в континуальном интеграле также появляется неко-
торый оператор Q с ядром [85] (см. B.7.50))
= 6(r-r')
Согласуется ли это с формулой F.2.5) для модели E.1.1) (частица в плос-
кости с калибровочной группой 50B)) ? Легко зидеть. что согласуется.
Так как физические функции в силу E.1.18) не зависят от угловой пере-
менной, интегрированием по в' в
2ir оо
[
d?
избавляемся от i-функций под знаком суммы. Получающееся ядро иден-
тично ядру F.2.5) (с точностью до обозначений). Фактически это есть
другой способ вывода соотношений F.2.4), F.2.5I, подчеркивающий то
'Особенности, связанные с криволинейностью физической переменной в модели,
рассмотренной в разд. 5.1.1, будут обсуждаться в разд. 6.2.3.
209

обстоятельство, что найденные формулы полностью отражают следствия
воздействий стандартных условий на физические векторы состояний
E.1.18) в схеме квантования Дирака (см. [104]).
6.2.2. Гармонический осциллятор с калиброяочной группой SOC).
В разд. 6.2.1 была рассмотрена простейшая модель, в которой дискретная
калибровочная группа Z^ постулировалась. Выясним, как обстоит де-
ло в моделях, заданных калибровочно-инвариантным лагранжианом [149,
176]. Рассмотрим лагранжиан E.2.1), в котором Та — генераторы груп-
пы SOC), а = 1,2,3, х,у — трехмерные векторы. Так как связи E.2.3)
(та = рГвх есть компоненты углового момента (см. разд. 5.2), то гамиль-
тониану E.2.2) отвечает оператор [44, с. 168] (для удобства читателя про-
делаем выкладки явно, без ссылок на разд. 5.2)
где рг = —1> лдт о г. Поскольку физические состояния подчиняются усло-
вию ?аФ = 0, задача сводится к уравнению
F.2.12)
нас интересуют решения, регулярные в нуле. Функции Ф, ведущие себя
в нуле как ~ 1/г, хотя и нормируемы (напомним, что интегрирование по
полубесконечному интервалу ведется с весом г3), удовлетворяют неод-
нородному ураннению Шредингера с ^-функцией 6(х) в правой части [34,
с. 219]. Переходя от Ф к ф — гФ, находим, что ф есть собственные функции
гамильтониана одномерного осциллятора, т.§. ф„ = с„Я„(г)ехр(—г2/2).
Из условия регулярности Ф в нуле заключаем, что физический базис обра-
зуют состояния с нечетными п, т.е.
Ф2Н-1 = саьн"""г'4 'е""". * = 0,1,..., F.2.13)
и спектр энергии дается формулой Ек = 2к + 3/2, в согласии с E.4.12).
Обращаясь опять к формуле F.2.1), обнаруживаем, что оператор эволю-
ции задачи дается разностью [176]
со
Щ Г'У = ^ №(г. г") - Щг, -г')) =;| ~Ut(r, r")Q(r", г'); F.2.
14)
Ut(r: r') — ядро F.2.1) оператора эволюции одномерного гармонического
осциллятора и Q задано как в F.2.5). В итоге приходим к формулам,
аналогичным F.2.4), F.2.5):
= J <W2f/,«(r. r>0(r') =
0 .
F.2.15)
Разница по сравнению с F.2.4), F.2.5) связана с изменением меры ин-
тегрирования. Так в пространстве физических переменных пропечаты-
ваются особенности исходного пространства, включающего физические
и нефизические переменные. Нефизические степени свободы ие исче-
зают бесследно (следствие того, что они связаны с криволинейными
координатами).
6.2.3. Модель с калибровочной группой SO(n). Случай группы
SOC) выделен тем, что физические волновые функции совпадают (с точ-
ностью до фактора ) с соответствующими волновыми функциями одномер-
ной задачи. Поэтому и удается связать ядро оператора эволюции этой
модели с ядром стандартной одномерной задачи с плоским ФП, выразив
ГКИ с коническим ФП через ГКИ с плоским ФП.
При переходе к калибровочной группе SO(n), n ф 3, столь простая
связь между волновыми функциями теории с плоским и коническим ФП
исчезает. Математически это связано с тем, что при п ф 3 квантовая
добавка к потенциалу V, = (п — \}(п — ЗУ(8г2) отлична от нуля. Рас-
смотрим вопрос о выводе ГКИ в этом случае [159]. Мы воспользуемся
методом аналитического продолжения ядра единичного оператора {г|г') в
нефизическую область г < 0, предложенным в [85, S9]. Как было показано
в разд. 5.2, физические волновые функции Фе(г) должны быть четными.
Воспользуемся этим свойством для определения ядра:
г,г'>0.
F.2.16)
(суммирование ведется по спектру Hfh). Очевидно, что должно выпол-
няться свойство (— rjr') = (г|г'), г, г' > 0, ввиду Ф^(—г) = Ф?<г). Поэтому
F.2.17)
где г?Я, г' > 0, и ядро Q определено в F.2.5). Для инфинитезимального
ядра оператора эволюции
¦\г')+О(г2) F.2.18)
получаем следующее представление:
dr"
jUTt>(r,r")Q(r",r') + O(r); F.2.19)
Г(г О = Г d± ехр ,- [р(г _ г") - ?Н»*{р, г)] ; F.2.20)
1 ,
Н**(р, г) = |р2 + V(r2).+ V,i V4 =
F.2.21)
210
211

Формулу F.2.19) можно представить в операторной форме: &'/ r= Ut^Q.
Чтобы доказать ее справедливость для конечного промежутка времени,
необходимо проверить следующее правило свертки двух операторов ?/*•
F.2.22)
Щ. = и;и; = u^qu^q = u?q.
где
оо
V?(r,r>) = I dr"lT(r,r")V:*(r"y).
— оо
Нетрудно увидеть, что
Щ-гУ)=ЩгУ).
F.2.23)
F.2.2-!)
Действительно, Ярь(—г) = И^(г) и (—г|г') = {г|г'), поэтому из F.2.Is)
вытекает F.2.24). С целью доказать равенство (б.2.22) проделаем все вы-
числения подробно. В соответствии с определением скалярного произве-
дения в Wph имеем
оо
VL (г, г') = j drir[-> >t/;(r, г, I7(г,. г') =
о
= J d
7
= j
^(r, г") у ^^(г", ri)t7(ri, г') =
* О
F-2.25)
При положительных г" модуль в аргументе ядра У/(|г"),г/) можно опу-
стить. При отрицательных г" получаем следующее равенство:
исЛ\г"\, г') = (|г"|г|)A"в)/1Ь7*(|г"|, г') + (-|г"|г')A-">/2{/Т(|г, -г') =
= (_r"r')A'")/26Tf*(-r", г') + (г"г')A-п)/2?/?эф(-г", -г'). F.2.26)
Используя выражение (S.2.22), можно доказать следующее равенство:
Vf*(-r", -г') = и?+(г"У). F.2.27)
Для этого достаточно сделать замену переменных р —> —р в интеграле
F.2.20) и учесть, что эффективный гамильтониан F.2.21) есть четная функ-
ция и пор и по г. Подставив F.2.27) в F.2.26), видим, что модуль у первого
аргумента ядра Щ в F.2.25) можно опустить2, В результате подстановка
F.2.19) в F.2.25) дает окончательное равенство:
2Формулы F.2.26) и F.2,27) дают другое доказательство утверждения F.2.24), осно-
ванное на явной интегральной форме F.2.19) ядра F.2.18).
212
F.2.28)
где ядро Vз?{г, г") задается формулой F.2.23).
Доказательство равенства F.2.22) или F.2.28) опирается на соотноше-i
ние F.2.27), поэтому представление F.2.22) будет справедливо для конеч-
ного промежутка времени, если мы докажем F.2.27) для любого е — t > 0:
соотношение F.2.29) следует из F.2.27) и представления
у .v
Ь'Г(г, г') = / Л dr,Ur»(r, г,)О?ф(г,, г2) ¦ • - Ufirs, г'),
„ '=1
F.2.29)
F.2.30)
в котором t =; (.V 4- 1)е.
Таким образом, амплитуда перехода с учетом криволинейное™ физи-
ческих переменных и истинной структуры физического ФП задается сле-
дующим ГКИ:
со
^гУ)= J {^_1
РГ(г, г") = 1 П (Щ
ехр
dr(pr - Я*»(р. г))
F.2.31)
, F.2.32)
где г@) = г" и r(t) = г. Формулы F.2.32) и F.2.21) показывают, что в
случае п ф 3 ГКИ не сводится к ГКИ одномерной механической системы
с коническим ФП, поскольку эффективный "классический" гамильтониан
приобрел квантовую добавку V^ (~ h2). Изменилась также и мера ин-
тегрирования. По построению ГКИ потенциал V',(r) учитывает порядок
следования операторов, обеспечивая тем самым унитарность оператора
эволюции F.2.31). Случай ГКИ для произвольного выбора физических
переменных будет рассмотрен в разд. 6.5.
6.3. Модели с более сложным
фазовым пространством
6.3.1, Модель с произвольной калибровочной группой. При-
соединенное представление. Полезно рассмотреть случай произволь-
ной простой калибровочной группы, изучавшейся в разд. 5.4 [149, 177].
В разд. 5.4 была построена квантовая механика системы с произвольной
калибровочной группой. После разрешения уравнений связи мы пришли
к квантовомеханической задаче о частице в /-мерном пространстве с не-
обычной нормировкой векторов состояния. Выясним, как меняется ядро
оператора эволюции системы с гамильтонианом E.4.24) и скалярным про-
изведением E.4.25), но без значка К+ при интеграле (интегрирование по
всему пространству R1) при включении калибровочной группы Вейля, т.е.
213

при переходе к скалярному произведению E.4.25) со знаком /\ + . Хотя
гамильтониан E.4.24) выражен через физические переменные, не все ре-
шения уравнения Я^'/' = Еф будут физическими. Чтобы выделить физи-
ческие решения, собственные функции гамильтониана E.4.24) необходимо
симметризовать по группе Вейля согласно E.4.29). Отсюда вытекает ре-
цепт построения ядра физического оператора эволюции U'. Из ядра Ut,
построенного с участием всех собственных функций ф(„-) оператора E.4.24)
(аналог F.2.1)), нужно выделить слагаемое, содержащее лишь физические
функции Ф(„) (аналог F.2.3)); здесь индекс (п) символизирует полный на-
бор квантовых чисел, фиксирующих Ф. Используя E.4.29), имеем
С")
F-3.1)
ш,и»'
где Ut(h,h') — ялро оператора эволюции в задаче с гамильтонианом
E.4.24) и нормировкой во всем пространстпе R1. Непосредственно убе-
ждаемся, что при ( — О
Ut(h, h') = (кк'Г1 J j^y exp ji [p(/i - h') - t {? + V
'(h)
F.3.2)
где к' = к(Л'); появление множителя (кк')";'в F.3.2) связано с тем обсто-
ятельством, что собственные функции гамильтониана IV — — (\/2)д? + V
есть, согласно E.4.21), кф(пу Несложно установить, что ядро F.3.2) обла-
дает свойством ;-
Uc(hw,h') = Uc(h,h'w) + O(c2) F.3.3)
при любом потенциале V(h); если же потенциал инвариантен: V[hw) =
V(h), то в F.3.3) член О(е2) можно опустить (ср. с F.2.10)). Это утвер-
ждение проверяется путем замены переменных в интеграле р —- wp с уче-
том инвариантности dp и р2, вытекающей из ортогональности матриц w.
Пользуясь F.3.3), переписываем ядро F.3.1) при t = e в виде
U!(h,k') =
= J
dh''Uc(h,h")Q(h",h'),
F.3.4)
F.3.5)
всюду, где не оговорено, интегрируется по всему пространству. Форму-
ла F.3.4) есть обобщение F.2.14) на случай произвольной группы. Как
и в F.2.14) ядро Q здесь играет двоякую роль: с одной стороны, Q ис-
ключает вклад нефизических состояний в U{, с другой, если обратиться к
формулам, аналогичным F.2.15), доопределяет начальную функцию Фо(Л)
во всем пространстве Я'. Так как
F.3.6)
(следствие F.3.5) и очевидного равенства S(hw) — S(h), вытекающего из
ортогональности преобразования ш), то Q доопределяет Фо вне А'+ сим-
метричным образом. Выпишем соответствующие формулы явно:
F.3.7)
F.3.8)
/
= / dh'Q(h,h')$0{h').
При получении F.3.7) мы воспользовались F.3.4) и инвариантностью
/j(h) = K2(h) относительно группы Вейля. Очевидно, что Фд (Л ? К+) =
Фо(Л); первый аргумент Q меняется во всем пространстве, второй — в пре-
делах А"+. В силу F.3.3), F.3.5) имеет место аналог формулы F.2.9) для
Vt. Многократное применение D/ даст оператор U'Q, в котором ядро Ut
задается континуальным интегралом:
F-39)
где h = q(t), h! = qr(O), к! = к(Ь'). Соотношения F.3.3)-F.3.9) вместе с
равенством U' = UtQ и определением скалярного произведения E.4.25)
решают задачу. В приведенных формулах интегрирование по h ведется с
весом J1'2 —* fi. Исключение составляет интеграл F.3.8) (или F.3.4)). Лег-
ко видеть, что, переопределяя Q —> Q« = (kk')~1Q, мы достигаем полного
единообразия:
Г dh'Q(h,h')<bo(h')= [ dh'v(h')QK(h,h')<b0(h'). F.3.10)
к+
к+
Явный вид ядра Q определяется трансформационными свойствами функ-
ции относительно группы Вейля (ср. F.2.5) и запись F.2.14)).
_ 6.3.2. . Гамильтонов континуальный интеграл для абелевой
матричной модели. Модели с нетривиальным ФП, разобранные в
разд. 6.2.2 и 6.3.1, обладали замечательным свойством — симметриза-
ция амплитуды перехода для соответствующей системы с обычным ФП
по остаточной дискретной калибровочной группе сразу приводила к пра-
вильному ГКИ. Это свойство не сохраняется при переходе к более слож-
ным системам. Уже в разд. 6.2.3 мы видели, что необходимо учитывать по-
рядок следования операторов в ГКИ, что приводит к модификации эффек-
тивного классического действия (последнееприобретает добавки ~ h~). В
данном подразделе мы изучим вопрос о влиянии криволинейности физиче-
ских переменных на вид ГКИ более подробно. Будет рассмотрен случай,
когда система имеет несколько физических степеней свободы, а остаточ-
ная калибровочная симметрия образует группу. В качестве примера мы
возьмем модель, анализировавшуюся в разд. 5.6.1 и описывающую две
частицы в плоскости с калибровочной группой 5ОB).
Операторный формализм для этой модели, основанный на схеме Дира-
;Ка,.,был.развит в разд. 5.6.3. Особенностью его является наличие нетри-
виального метрического тензора у физического конфигурационного про-
странства (тензор jp? в E.6.21)), параметризуемого координатами ра (см.
214
215

разд. 5.6). Вводя эрмитовы операторы импульса Ра — —ifi~1/2da о
перепишем физический оператор Гамильтона E.6.21) так:
1:
гдг
F.3.11)
F.3.12)
здесь мы использовали явные выражения для /j = р{ и метрики j"' (см.
E.6.20)). Наличие зависящей от ра метрики в F.3.11) является отличи-
тельной чертой 'зтой модели.
Лля построения ГКИ применим метол, изложенный в разд. 6.2.3. Ана-
литическое продолжение ядра единичного оператора в нефизическую
область следует из ^-инвариантности физических состояний E.6.27). В
результате
где й-функция от треугольной матрицы понимается как произведение 6-
фуикций трех ее независимых компонент: 6(р) = <5(/?i )<5(/>2Ж/>з), pa =
(Р1ЬР12тР!2)- Доказательство F.3.13) аналогично доказательству F.2.17)-
F.2.19).
Лля ядра F.3.13) справедливо интегральное представление, аналогич-
ное F.2.19):
со со
/ I '\ — f " р" / d3p iTrpT{p-pn.)n а
\Р\Р ) ~~ I 7 tt\l/2 I 79 i3e -Q\P >P/t F.3.14)
где р - верхнетреугольная матрица и
F.3.15)
Применяя к F.3.14) инфинитезимальный оператор эволюции Ъ'Т* =
exp(~t?#ph) = A - isHph(p) + O(s2)), находим с точностью до членов О(=2):
оо
U?4p,p') = J
—ОО
СО
иГ(р,П = J
,p")Q(p'\P'),
F.3.16)
F.3.17)
V.
F.3.18)
где ра — (pn,Pi2iP22)- Второй и третий члены в эффективном гамильто-
ниане F.3.18) (~ h и ft соответственно) фиксируют упорядочение опера-
торов в flph, т.е. они однозначно определяют обратный переход от "клас-
сического" Я** к квантовому эрмитову оператору F.3.11) (о связи Я3* и
Лрь (см. также Приложение 8.5).
216
Лля свертки двух ядер F.3.16) справедливо представление F.2.28), в
котором г", г', г и dr" следует заменить на р",р',р и <Рр" соответственно,
а в множителе перед UJ* положить г" = р", г — рл и п = 2; величину \р"\
будем понимать как матрицу 0(р\)р — ${—pt)p, если в качестве области К
в E.6.22) берется полупространство р1 > 0, рч,з 6 Я. Далее, соотношение
F.2.28) для ядра F.3.16)—F.3.18) доказывется аналогично. Оно следует
из ^2"инваРиаитности эффективного гамильтониана F.3.18) H**(—p, —p) =
Н"ф(р.р). В итоге, повторяя рассуждения F.2.29)-F.2.32), убеждаемся,
что представление для ядра F.3.16) справедливо при любом конечном с —
t, где ¦ * ¦ *
Л = / П (l
р, р))
F.3.19)
и р@) = р", p{t) = р — начальные условия для ГКИ F.3.19).
В заключение рассмотрим вопрос о калибровочной инвариантности
найденного ГКИ. Как было установлено в разд. 5.6.3, всякая Za-иниариант-
ная функция от матрицы имеет единственное калиоровочно-инвариант-
ное продолжение в полное конфигурационное пространство (пространство
вещественных матриц х размерности 2x2). В частности, для ядра F.3.13)
это продолжение имеет вид [166]
= <ф'>рA = ! det х det х'\ЧЧ{гтх - *'V) (l +
F.3.20)
где матричная |5-функция есть произведение трех дельта-функций для ка-
ждого независимого элемента симметричной матрицы (х7х — г'тг'),;- (на-
пример, ij — 11,12,22 ). Для проверки равенства F.3.20) достаточно
представить г в виде ехр(Т9)р и использовать правило замены аргумента
у многомерной ^-функции.
Ядро U?h(p,p') также 22-инвариантно по обоим аргументам. Действи-
тельно, для второго аргумента р' это следует из ^-инвариантности ядра
Q. Для доказательства равенства Ufh(—p,p') = Uf (/), р') нужно вос-
пользоваться соотношением F.2.30) {г, г1 —* р,р') для ядра F.3.19), сде-
лать в F.3.16) замену переменных р" —» -р" и затем использовать 2г-
инвариантность ядра F.3.15). Следовательно, ядро Uf {p,p') имеет един-
ственное калибровочно-инвариантно! аналитическое продолжение в пол-
ное конфигурационное пространство:
Поэтому мы заключаем, что ГКИ, построенный ранее, не зависит от спо-
соба выбора физических переменных и является аналитической функцией
только калибровочно-инвариантных величин хтх, х^х' и deti, det г'.
Итак, учет структуры физического ФП в ГКИ (оператор Q) и упо-
рядочение операторов (эффективные квантовые добавки к классическому
действию) обеспечивают соответственно калибровочную инвариантность
и унитарность оператора эволюции. В разд. 6.5 и 6.6 будет показано, что
это утверждение имеет общий характер и справедливо для всех.калибро-
вочных систем.
217

6.4. Модель с грассмановыми переменными
Выясним, как меняется континуальный интеграл при включении кали-
бровочной группы в моделях с грассмановыми переменными [149, 158].
По определению матричный элемент оператора эволюции есть
= J MdV
(см. Приложение 8.2; переменную ?* в F.4.1) мы обозначили б и оперируем
с ней как с вещественной), причем
F.4.2)
в F.4.2) суммирование ведется по спектру гамильтониана. Найдем ядро
l'i(i), в') для модели разд. 5.5.1 (9 = (9\, #;>)). Спектр гамильтониана E.5.4)
при услонии E.5.12) состоит из двух точек: 0, '2л (энергию отсчитываем
от энергии ''вакуума": Е — Е — ?о), поэтому
U,'(l в') = {вЩ{0) + е-2ш'(ё\2и)Bы\в').
F.4.3)
Выберем представление, введенное в Приложении 8.2: \?) — (8\?); ф% —
9»-*а - д/два. Тогда {№) - 1, lfi\-J)x - 9Х, <0|и/K = 02, {9]2и) = 9,92 и
сопряженные состояния запишутся п пиле
@\в) = Й1<?2, {и\вI - -92, {и>\9\J - 9xt-{1u>\9) - 1.
В результате для F.4.3) имеем
?7@, (?) = в\9'2 + е-''2""^. F.4.4)
Для модели без калибровочной симметрии (т.е. без условия E.5.12)) в
правую часть F.4.4) добавились бы члены
т.е. мы имели бы
и,(в,9') - ^ + e-iu>1(M', - Щ) + е-2>""Мз- F.4.5)
Оказывается, что, как и в разд. 6.1, ядра f/< и С/ связаны формулой
CW. 9) = / d92'd9['ir,(&. 0")Q@", 9), F.4.6)
где
; QW,9) = | (б(9- §')-+¦«(« + 9')),
F.4.7)
причем 6(9) = 9x9*21 т.е: Q(9,9') — 9192+9<19'2 (о 6-функциях от грассмановых
переменных см. [174, 175, 179, 180]). Справедливость рецепта F.4.6), F.4.7)
устанавливается непосредственно, например:
_ *,«?)(W + 9[9'2) = 0.
218
F.4.8)
Отметим появление множителя 1/2 в F.4.7) по сравнению с аналогичной
формулой для обычных переменных F.2.5), где его отсутствие связано с
переходом к интегрированию по полуоси. Для грассманоных перемен-
ных понятия "полуоси", очевидно, не существует — отсюда "половинка" в
F.4.7).
Легко проверить, что ядро F.4.6) обладает необходимым свойством:
I d?e"uctip,9')uct,{9',9) = и;+1,(в,9). F.4.9)
Формулы F.4.5) — F.4.7), по существу, решают задачу, поскольку ввиду
F.4.9) континуальный интеграл для [/< строится стандартно.
Приведем ГКИ в голоморфном представлении. Физические состол-
ния в этом представлении, подчиняющиеся условию E.5.12), есть {ф' |0) =
1, (ф~\2и) = у\ч>2- Повторяя рассуждения, приведшие к формулам F.4.5)
— F.4.7), найдем
U\ U'J") = ff[ U
J a = l
ехр
U, (ф',ф\ Q
где
Q (Ф', Ф'
F.4.10)
F.4.11)
L'tlv* ,v') в F.4.10) — ядро оператора эволюции без учета калибровочной
симметрии, для которого справедливо стандартное представление ГКИ:
exp Q^ x
Ut («' ,$') = j Ц (<W*(r)*fr
{t \
ijdr Ц (ф'ф-ф'ф) - V (ф'ф)} > , F.4.12)
)
в котором ф = v"(t)ip(t) -t- v"@)v@). Отметим, что переменные ф(() и
ф"(а) являются переменными интегрирования в F.4.12), а ф*{1) и ф@) —
свободные переменные, задающие начальные условия для ГКИ: </>*(<) =
ф", Ф@) — Ф'. Ядро Q в голоморфном представлении для бозевых пе-
ременных иайдено в Приложении 8.2. Там же приводится соотношение
между ядрами операторов F.4.2) и F.4.12).
6.5. Гамильтонов континуальный интеграл
в произвольной калибровке
В разд. 5.3 было показано, что дискретные калибровочные преобра-
зования, действующие в ФП физических степеней свободы, могут- иметь
довольно сложную структуру при неудачном выборе калибровки (физи-
ческих переменных). Более того, они не всегда образуют группу. В ре-
алистических теориях калибровку обычно фиксируют, сообразуясь не со
структурой орбит калибровочной группы, а с другими требованиями, на-
пример с требованием лоренц-ковариантности, что порождает известную
проблему неоднозначности [153, 168].
219

Покажем, как выглядит ГКИ при произвольном выборе физических пе-
ременных. Мы дадим решение этой задачи для не слишком сложных, но
достаточно представительных калибровочных условий на примере моде-
ли из разд. 5.3 и рассмотрим обобщение рецепта на произвольную группу
(случай полей Яша—Мил.чса рассмотрен в [151, 173, 232]).
6.5.1. Калибровочная группа SOB). Ядро единичного оператора
(u|u')ph в квантовой теории, заданной уравнением Шредингера E.3.7) и
скалярным произведением E.3.3), определено при и, и' ? К. Но благо-
даря свойству 5-инвариаптности E.3.10) физических волновых функций
это ядро допускает аналитическое продолжение в нефизическую область
и € Я (в полной аналогии с методом, использованным в разд. 6.2.3, см.
также разд. 2.7):
00
МфД<ц'> = J fp(,;}^""//jI/2 S(u-u")Q(u",u'l
где « € R, «' <г. К и
F.5.!)
F-5.2)
Функции и', = Uj(u') определены в разд. 5.3. Докажем 5-инвариантность
ядра F.5.1), которая согласно E.3.10) означает, что при и.ч' 6 А' должно
выполняться равенство
(uJ(u)|u'}ph = (u|u')Ph = (/i(«)/i(u'))/2'5("-''') VseS. F.5.3)
При преобразованиях из S мера ц меняется по правилу
^и'' ~ 117/ (Us) ~" 2 V du
в соответствии с определением функций и3: r2(us) — r2(u), u ? А'. Подста-
вив и,(и) вместо и в F.5.1), видим, что вклад в сумму по S в правой части
F.5.1) (см. F.5.2)) дает только одно слагаемое, так что
(u,(u)|u')ph = [fi(ut(u))ft(u3(u'))]~l'76(u3(u) — Uj(u')), и, и' ? К. F.5.5)
Уравнение иДи) = Uj(u') имеет только одно решение: и = и', поэтому,
заменяя аргумент у i-функции и используя правило F.5.4), приходим к
равенству F.5.3). Инвариантность ядра F.5.1) доказана.
Применим стандартную процедуру вьгеода ГКИ для инфинитезималь-
ного оператора эволюции. В нашем случае соответствующие формулы
выглядят так:
D7*(ti,ti') =
= A - ie?(u))<u|iiV + 0(г),
16.5.6)
где е —> 0, гамильтониан Н(и) задан в E.3.7). Подставим в (б.5.б) выраже-
ние F.5.1), заменив в нем 5-функцию интегралом BЯ-) f dpexp[ip(u — и")].
При расписьгеании F.5.6) нужно учесть порядок следования операторов
в Н(и) [62, 166]. С этой целью перепишем гамильтониан в E.3.7) через
эрмитовы операторы импульса Ри = —i(i~1/2da o^'/2 [62, 166]:
Vq+V,
Л-
F.5.7)
220
где g =. r2(u)//i2(u), а затем выполним дифференцирование в F.5.6). В
результате с точностью до членов порядка О(г') для гамильтониана F.5.7)
имеем [151, 1G6J
U^-V>)= J (^^F^[/"(U-U")Q(U"'U')' " F-58)
где
F.5.9)
1Г* = iffP
V, + V.
F.5.10)
В формулах F.5.3)-F.5.10) и 6 R и и' 6 /l (функции u,(u'), входящие в 0,
определены только на области К — UaKa (см. разд. 5.3.2)).
Рассмотрим свертку двух ядер F.5.8). В соответствии с определением
скалярного произведения имеем
К
F.5.11)
При преобразовании F.5.11) воспользуемся свойством мери F.5.1); полу-
чим:
чим:
J
Щ
/'(«)
В каждом члене суммы J^s F.5.12) сделаем замену переменной интегриро-
вания «1 —> Uj(ui). При этой замене необходимо следить за ориентацией
области интегрирования. Определим, что в интеграле jK du верхний пре-
дел всегда больше нижнего, т.е. что мера определена положительно. При
замене переменных и — u.,(u) ориентация области интегрирования может
измениться на противоположную, если du,(u)/du < 0 при и е А', т.е. после
замены переменных верхний предел в интеграле может оказаться меньше
нижнего. Условимся под символом fK du понимать определенный инте-
грал, у которого верхний предел больше нижнего, т.е. по определению
du>0
F.5.13)
Из определения F.5.13) следуют представление для интеграла по всей
°СИ: °?
и F.5.14)
F.5.15)
-оо » Ks
и правило замены переменных:
Ks
221

модуль в левой части F.5.15) обеспечивает сохранение положительной
ориентации интеграла (см. F.5.13)) при замене переменных и —> и,(и).
Используя F.5.15) для замены переменных щ —» u,(ui) в сумме F.5.12),
находим
= ?
' "
F.5.16)
При каждом фиксированном s € S перемени.™ интегрирования пробега-
ет область К,, поэтому функция u7'(ui) B F-5.16) корректно определена
(напомним, что и*1 •' А", —* А' — отображение, обратное к и, : К — К,,
которое задается непрерывной функцией).
Докажем равенство
Uf4u~\u), и') = U?h(u, »'), и € А'„ u' e А'.
@.5.17)
Воспользуемся представлением F.5.3) для ядра [>'tph с гамильтонианом
Н(и) уравнения Шредингера E.3.7). Тогда F.5.17) вытекает из двух ра-
венств:
H(uJl(u)) - #(„), F.5.18)
K-'MMph = («|u')ph. и€Л'„ и'?К. F.5.19)
Для доказательства ^-инвариантности гамильтониана F.5.18) нужно ис-
пользовать правило F.5.4) и очевидное равенство d/du — du,(u)/du- djdus.
Соотношение F.5.19) означает, что равенство", ,-
)Ph =
F.5.20)
должно выполняться при любых s G S, для и 6 А", и и' 6 К. Его доказа-
тельство аналогично доказательству S-инвариантности ядра F.5.1) (см.
F.5.3)-{6.5.5)). ' ¦ ¦
Отметим, что равенство F.5.17), вообще говоря, справедливо с точно-
стью до членов О(?2), если в качестве ядра Ufh(u, и') использовать пред-
ставление F.5.8), F.5.9). Действительно, точное равенство выполняется
лить для ядра F.5.6), которое совпадает с F.5.8) с точностью до членов
Подставляя F.5.17) в F.5.16) и используя F.5.М^ находим
2
U^(u,ui)U^(uuu') = F.5.21)
= /(^Х))'/'^'"0'""'"''' F5-22)
где мы воспользовались представлением F.5.8) и равенством -.
U^(u,u")= J duiUFfaujW^m.u"). F.5.23)
222
Амплитуда перехода за конечный интервал времени t = Ne, N
оо, е —> 0 и t — фиксировано, ракна свертке N ядер F.5.8):
.V-1
t(us-un'). .F.5.24)
Повторяя выкладки F.5.11)—F.5.22) для первых двух ядер Ufh слева в
правой части равенства F.5.24), получаем
. v~i
Г. « —9
, Uj) ¦ • ¦ О,1 (идг_1,и)- (О.Э.^Э)
Продолжим эту итерацию слева направо в F.5.25), присоединяя справа
к ядру {7?г на каждом нгоге по одному ядру U^h и повторяя выкладьи
F.5.11)-F*.5.21). Тогда
F'5-2fi)
~.V-1
и*(и, и") = lim / T[(dui)U^{uyu,)U^(
N-oc J "
,«))
to
, F.5.27)
где u(<) = u и u@) = u" - начальные ус^попия для ГКИ F.5.27).
Формулы F.5.26), F.5.27) решают поставленную задачу о виде ГКИ
при произвольном выборе физических переменных. Гамильтонов конти-
нуальный интеграл F.5.26) учитьшает криволинейность физических пере-
менных (переход от Н"(р,и) (см. Приложение 8.4) к Я3^(р, и) и мера /i
в F.5.26)) и структуру физических конфигурационного и фазового про-
странств (оператор Q, симметризующий ио остаточной дискретной кали-
бровочной симметрии). Из F.5.26), F.5.27) следует, что учет так назы-
ваемых "копий", т.е. калибровочно-эквивалентных точек на оси « ? Я,
сводится не к редукции области интегрирования в функциональном ин-
теграле [153], а к симметризации ядра U,(u, u"), определяемого ГКИ с
обычной мерой, по остаточной калибровочной симметрии S в точке и"
или и. Предложенный подход к решению проблемы '"копий" в калибро-
вочных теориях может быть обобщен на теорию Янга—Миллса [150, 151,
173] и в некоторых случаях допускает проверку путем сравнения с вычи-
. .слениями на решетках [232].
6.5.2. Система с произвольной калибровочной группой. Редукция
ФП физических переменных учитывается в ГКИ оператором Q, который
: симметризует ядро оператора эволюции по остаточной дискретной кали-
. бровочной симметрии. Явный вид Q, вообще говоря, зависит от способа
выбора физических переменных (см. разд. 6.5.1). С другой стороны, на
примере простой модели, рассмотренной в разд. 5.3.3, было показано, что
223

амплитуды (скалярные произведения) не зависят от выбора физических
переменных, поскольку векторы фичических состояний суть функции шь
вариантой исходных церемонных.
Далее мы покажем, чю оператор Q не зависит от динамики системы
и полностью определяется калибр'ч»очньй группой, ее представлением и
выбором физических переменных. Используя это свойство Q, мы дадим
рецепт построения ГКИ при проилюльмом имборо физических перемен-
ных, согласующийся со схемой квантования Дирака (с учетом криволи-
нейности физических переменных и структуры их ФП) [13, 166].
Рассмотрим квантовую теорию, зада>> <р.чую уравнением Шредингера
1,3 д
и нормировочным условием
J <
F.5.28)
F.5.2!))
Здесь i реализует некоторое линейное представление компактной группы
G,
.V
<*,ff) = ?>,№¦ F.5.30)
1=1
— инвариантное скалярное произведение в пространстве представления,
jr,, у,- — вс1г„е'.:т:-!с;;ггыи независимые компоненты элементов х и у, т.е. инте-
грирование в F.5.29} вод-.:;ел по л>л , а V — С- инвариантный потенциал.
Квантовая теория с калибровочной симметрией получается ул F.5.28),
F.5.29) требованием (см. [104]), чтобы <т.2Ф(т) =>0; эти условия выделяют
физическое гильбертово пространство Wp^y Оиераторы яа генерируют
калибровочные преобразования из группы G: exp(wa?a)t^(r) = <,гG'(»/)г),
где Т(ш) — элемент представления группы С Ввиду <?аФ = 0 имеем:
= Ф(х),
F.5.31)
т.е. Ф(г) есть калибровочные инварианты. Соотношения F.5.28) — F.5.31)
задают квантовую калибровочную теорию в полном конфигурационном
пространстве
Операция усреднения по группе
* 1 !
'G J
F.5.32)
где Vg — объем группового пространства, dg(ui) — инвариантная мера на
G, суть проектор на Wph- Рассмотрим теперь ядро единичного оператора
в полном гильбертовом пространстве 7{:
\xf) =
F-5.33)
где Фв и фъ образуют базисы физического Wph и нефизического 7inph =
7f в Wph подпространств соответственно3. Первое слагаемое в F.5.33) —
3Т»к как [аа,Н] = 0, где Н определен в F.5.28), то П - Нгь В Wnph-
224
ядро единичного оператора в 'Нф- Действуя Ра на равенство F.5.33),
получаем ядро единичного оператора, в
- {х\РаУ) = V-c1
- Т{и)х').
F.5.34)
'Калиброиочная инвариантность ядра F.5.34) очевидна.
Формула F.5.34) позволяет записать калибровочно-инвариантное ядро
оперлто;>а эволюции, не прибегая к явному выделению физических пере-
менных. Ядро оператора эволюции для задачи F.5.28), F.5.29), предста-
вляется интегралом
F.5.35)
где г@) -- х', x(t) — х. С другой стороны, по определению имеем
в g
первая сумма здесь есть ядро оператора эволюции Ufn{x,x') в Ъ
силу проекционных свойств оператора Ра получаем
В
l/,ph(r,x') = JdNx"Udx,x"){x"\PG\x').
F.5.37)
Формулы, аналогичные F.5.35)-F.5.37), получены в Приложении S.5 для
голоморфного представления, там же явно вычислены я:(ра F.5.34) для
моделей из разд. 5.2. 5.4 и 5.6 (см. также [13, 166, 181]).
Формула F.5.34) показывает, что ядро (jrU')ph имеет универсальную
структуру, т.е. зависит только от группы G и ее представления. Уста-
новим связь F.5.34) с оператором Q. Для этого нужно задать физические
переменные и перейти от описания в полном конфигурационном простран-
стве к описанию в физическом подпространстве. Пусть число физических
переменных М, тогда число независимых связей N - М. Введем криволи-
нейные координаты
х = Т(в)х, х = i(u), F.5.38)
причем: компоненты х тождественно удовлетворяют дополнительным
N — М условиям Ха{х) = 0, т.е. все N компонент элемента х являются
функциями и ? Дл', такими, чю \а(х(п)) = 0 (аналогично E.3.1)). До-
полнительные условия х» следует выбирать так, чтобы равенство F.5.38)
задавало отображение (9, и) € R*"~M ® RM ->i t Л" (см. разд. 5.3.3 о
допустимости калибровочного условия). Тогда в АЛ существует область
К, такая, что отображение F.5.38) (в, и) 6 А' -* х б RN определяет за-
мену переменных. В новых переменных физические волновые функции
Щх(и,в)) — Ф(и,0) = Ф(и) не зависят от в, так как <?„ — генераторы транс-
ляций в.
Базис Фд(и) в Hph строится из решений уравнения F.5.28) в криволи-
нейных координатах F.5.38): , .
= ЕФЕ(ч),
F.5.39)
F.5.40)
225

где g ^ (u) — метрика в физическом конфигурационном пространстве, ко-
торая определяется uu-компонентами тензора, обратного к метрическо-
му тензору в координатах F.5.38) (ср. д°^, введенном в разд. 5.6.3 и
5.6.4); Ра ~ — ii*~1t~d/dua о ц1!2 — эрмитов оператор импульса, а, в —
1,2...., Л/; /i — ;<(") определяется якобианом замены переменных F..r>.3S)
и задает меру интегрирования в скалярном произнедении в Нрь (см. ниже
F.5.42));
1 1
F 5.41)
— эффективный квантовый потенциал; Эа ~ д/Эио. Первые два слагаемых
D физическом гамильтониане F.5.40) с потенциалом F.5.41) представляют
собой оператор Лапласа -Л/2 = ~{д/дг.д/дх)/2 (см. F.5.28)) в криволи-
нейных координатах F.5.38), в когором опушены псе члены, содержащие
производные по нефизическим переменным #„. Так как F.5.38) есть замена
переменных, то состояния из Нф нормированы согласно F.5.29) с мерой
J
F.5.42)
где Vg — объем группового пространства, Уц — объем группового про-
странства стационарной подгруппы Н элемента х (фактически Уа\'^~ц(и)
есть объем орбиты G для элемента х [149, 182]). Такое представление сле-
дует из очевидного соотношения К — C/H\JK, где 0 6 G/H, и 6 А'. Если
замена F.5.38) такова, что И — 1, то \\\ = 1.
Чтобы определить К, изучим симметрию отображения F.5.38) S =
Si х S, где S) состоит из сдиигов 0 на величины, кратные периодам ком-
пактного многообразия G/H, и не меняет и. 'Множество .9 состоят из
преобразований в —* В',(в,и), и —> и,(и),'таких, что х в F.5.38) не из-
меняется. Тогда имеем Т(9'3) = Т{в)Т-1@,). 9, = 0;(и), где преобразо-
вание Т(в,) должно удовлетворять условию ХоG>) — 0, х, — Т(9,)х, т.е.
оно не нарушает дополнительных условий \а — 0. Следовательно, та-
кие преобразования х — г, индуцируют преобразования и —> и, : х, —
Т(в,)х(и) = х(и,), и, — и,(и), и ? RlW. По определению S имеем равенство
К = RN/S - Rly-M/Se\JRlif/S - G/H\JK, т.е. Л' есть фундаментальная
область в RM(u) относительно действия 5 : и — и,(и) (и, : RM —> RM).
Напомним также, что множество S может зависеть от точки и, т.е. при
разных и иметь различное число элементов. В этом случае RM(u) сле-
дует разбить на Я^* так, что при u ? R*1 число элементов S(u) = Sa(u)
фиксировано, т.е. 5 = Ца Sa и К = \Ja Ка, где Ко = Rf/Sr,.
В общем случае множество дискретных преобразований S не образует
группу, поэтому функции и,(и) не могут быть однозначно определены на
всем множестве и G R^f. Это случается, когда композиция любых двух
групповых элементов Т(в,) и Т(в,') не индуцирует новое проебразование
из S, т.е. T@,)T(9,i) ф Т(в),п), где s,?,?' e S. Поэтому, выбирая не-
которую область в Я?* в качестве Ка, мы фиксируем представление 5
непрерывными функциями и,: Ка -» Л'„,, так что R% = UsA'o,»,' компо-
зиция двух функций и, и usi не определена ввиду различия их областей
: определения и значения. Однако для построения содержательной кванто-
вой теории методом ГКИ достаточно знать функции и, : К -* К,. Для
построения явного вида функций и»(ч) нужно сначала решить уравнение
226
Х(ТF,)г(ч)) = 0, и 6 А', относительно в, = 9,{и). Точки Т{9,)х(и) = х,
лежат на одной орбите калибровочной группы. Поскольку поверхность
калибровочного условия х — ?('j) проходит через все точки z3, то долж-
но существовать решение уравнения х(и,) = Т(9,(ь))х{и), и ? К, которое
определяет функции и, = и,(и).
Итак, скалярное произведение в "Hph дается формулой E.3.8), в кото-
рой du —* dMu и множитель VcV^1 включен в нормировку Фе(и). Если
Фв{х) — базис в 7i, то базис в 7<р(, можно определить как индуцирован-
ный, используя формулу F.5.32) и разложение И — Wph Ф Wnph, т.е.
*?(") =
= РаФЕ(Т@)х(и)) = PGvE(x(u)).
F.5.43)
Последнее равенство F.5.43) вытекает из свойства инвариантности меры
dg{u) в F,5.32). Благодаря инвариантности меры dg(u>) и определению
x(us) — Т@,)х(и) из F.5.43) следует ^-инвариантность физических состо-
яний Фв(и,) — ф?-(а). Последнее равенство позволяет определить анали-
тическое продолжение ядра единичного оператора {и]и')рй в 7iph в нефи-
зическую область и ? RM аналогично (С.5.1), где du" и д(и — и") следует
заменить соответственно на dMu" и 8м(и - и"). Оператор Q так»; имеет
вид F.5.2). Если мера /i(u) = к2(и), где к'ч) — вещественно-аналитическая
функция в RM, то в F.5.2) (fiji"I/2 — кк" (пример подобной теории пред-
ставлен в разд. 5.4).
Метод построения ГКИ, предложенный в разд. 6.5.1, легко обобщается
на случай произвольной группы. Амплитуда перехода длягамильтониана
F.5.40) имеет вид
= J пш
g(u",u') =
П
. о
V(x(u));
F.5.44)
F.5.45)
р.«)) ;
F.5.46)
F.5.47)
функциональный интеграл F.5.46) берется при стандартных начальных
условиях ч@) = и" и u(t) — и; по определению и,и' лежат в физиче-
ском конфигурационном пространстве А'. Второе и третье слагаемые в
эффективном гамильтониане F.5.47) учитывают порядок следования опе-
раторов в ГКИ, обеспечивая тем самым унитарность оператора эволю-
ции J7,ph. Мы видим, что увеличение числа физических степеней свободы
не приводит к каким-либо принципиальным изменениям ГКИ. .Формулы
F.5.44)-F.5.47) определяют ГКИ для любой бозевой квантовомеханиче-
ской системы с компактной калибровочной группой при произвольном вы-
боре физических степеней свободы. В частности, их можно использовать
для построения ГКИ в квантовой механике Янга— Миллса, рассмотренной
в разд. 5.6.
227

Ядро оператора Q F.5.45) также можно определить из проекцион-
ной формулы F.5.31), полетав ив вместо х и х' соответственно Т(вJ{и)
к7'(в'I(и') и выполнив интегрирование "<> группе. В результате
|«')р„ = ^i1 J dgW(
F.5.48)
ввиду инвариантности меры dg(u) зависимость от 0 и 0' устраняется груп-
повым сдвигом. Множитель V^1 в F.5.48) связан с различием нормировок
ядер F.5.3;) и F.5.45). Ядро F.5.48) нормировано в фишческом конфигу-
рационном пространстве с мерой /d*f ufi(u). Поэтому оно получается из
к
ядра F.5.34) умножением последнего на объем политического конфигура-
ционного пространства V'gVjJ. Сопоставляя F.5-1) (определение опера-
тора Q) и (и.5.:!8), находим универсальнее выражеии'1 дчя ядра оператора
Q, пригодного для любой компактной группы и любой (в пределах разум-
ного) калибровки:
0(и.и') = Ш
F.5.4Э)
где и ? ДЛ/, v.' С К. Отметим, что вычисление интеграла в F.5.49) ав-
томатически воспроизводит сумму F.5.2), т.е. определяет преобразова-
ния симметрии 5.
Формула F.5.49) показывает, что оператор Q не зависит от динамики
калибровочной системы, а полностью определяется калибровочной груп-
пой, ее представлением и выбором физических стременных.
Каков же итог? Мы констатируем, что прииеудачном выборе кали-
бровки корректное описание системы в рамках ГКИ может оказаться за-
дачей неимоверной сложности. Как известно, инвариантные калибров-
ки типа калибровки Ферми не адекватны физике системы в теории полей
Янга—Миллса (в силу их неоднозначности [153, 167, 168]), поэтому за-
дача корректного и конструктивного формулирования этой теории с по-
мошью явно лореиц-инвариантных континуальных интегралов является,
по-видимому, безнадежной (см. также [150, 151, 173]).
6.6. Гамильтоновы континуальные интегралы
для смешанных систем
с калибровочной группой
В разд. 5.7 изучалась динамика калибровочных систем с бозевыми и
фермиевыми степенями свободы. Было показано, что после исключения
всех нефизических степеней свободы остаются дискретные калибровоч-
ные преобразования, которые не могут уменьшить число физических пе-
ременных, но могут редуцировать "объем" физического ФП. Это приво-
дит к изменению квантовой динамики (изменяется спектр гамильтониана,
функции Грина и т.д.). Остаточная дискретная калибровочная симметрия
действует одновременно на все бозевы и фермиевы переменные в соответ-
ствии с законом их калибровочного преобразования. Физические векторы
состояний являются функциями, инвариантными относительно этих пре-
образований.
228
Возникает естественный вопрос: как эта дискретная симметрия учи-
тывается.^ ГКИ для смешанных систем? Следующий подраздел посвя-
щен дайной проблеме. Сначала будет рассмотрен простейший пример, а
затем приведен общий рецепт построения ГКИ для смешанных систем с
произвольной компактной калибровочной группой.
6.6.1. Остаточная калибровочная симметрия и гамильтоновы
континуальные интегралы для смешанных систем (группа 50B)).
Рассмотрим квантовую теорию для модели, заданной лагранжианом
E.7.1), при произвольном выборе физических переменных. Она задает-
ся оператором Гамильтона E.8.20L и скалярным произведением E.8.21).
Как было показано в разд. 5.8.3, все физические амплитуды не зависят от
выбора физических переменных (выбор функций fi(u)). Особенностями
квантовой теории являются наличие нетривиальной меры интегрирова-
ния Jff duy. в скалярном произведении и 5-инвариантность векторов со-
стояний. Их необходимо учесть при построении ГКИ. чтобы обеспечить
эквивалентность ГКИ операторной формулириьке теории.
Или вывода ГКИ воспользуемся методом аналитического продолже-
ния ядра единичного оператора в нефизическую область, использован-
ным в разд. 6.5. Необходимо, однако, учесть, что остаточная симметрия
действует одновременно на бозевы и грагемановы переменные. В соот-
ветствии с E.8.21) и 5-иниариантноетыо собственных функций гамильто-
ниана E.8.20) имеем
F.6.1)
где q обозначает точку сунерпространства q = (u,С"), операторы s € S
определены в E.8.23) и
,,.,') = 5(и - и') ехрС"?
F.6.2)
— 5-функция на сунерпространстве; легко проверить следующее равен-
ство:
&{,, а')Ф(«') = ¦(*). (б.б.З)
оо -со 0=1
В формуле F.6.1) ti' G А' и и G R. Лля ядра F.6.1) также справедливо
представление
F-6-4)
F.6.5)
Покажем, что обобщенная функция F.6.1) 5-инвариантна:
'Осдилляторный потенциал здесь яе существен и может быть заменен на
произвольный.
229

Равенство F.6.6) должно выполняться при и, и' е К и для любого s 6 S
(требование u G Л" необходимо для того, чтобы запись sq имела смысл
(см. E.8.2.'!)). Действительно, при и, и' ? А' в левой части равенства F.6.5)
только одно слагаемое дает вклад в сумму F.6 1):
F.6.7)
!9%h. F.6.8)
Дельта-функцию от бозевых переменных в F.6.2) заменим fr интеграль-
ным представлением и подставим (С.6.1) в F.6.8). Выполнив дифференци-
рование по С и и, с точностью до членов О{-:~) найдем следующее ныра-
м.сние для ядра инфинитезимального оператора эполюиии:
где мы использовали преобразование F.5.4), @.5.5).
Рассмотрим инфимителш.чльный оператор эволюции
- J
^ep(C*C")««P''-S^(«'.«").
F.6.9)
F.6.10)
F.6.11)
F.6.12)
в эффективном гамильтониане функции f и/i берутся в точке u, nf — С"Г?",
потенциал V получается из оператора V ~ i-'^u),^""^) путем переноса
всех ? направо и заменой (+ на ?" и (,' на С," (результат действия оператора
( = Э/д?~ на ехр^*^" в ядре F.6.4)); потенциал \\ связан с упорядочением
операторов в операторе кинетической энергии:
F.6.13)
F.6.14)
Здесь под z,,^ понимается результат действия оператора ?о = С+ГС
E.8.23) на функцию ж^,, введенную в F.6.12). Если восстановить за-
висимость от й, то V, ~ h2, а остальные слагаемые в F.6.13) и Vf- в
F.6.14) ~ П.
Чтобы получить ядро оператора эволюции за конечный промежуток
времени, необходимо выполнить итерацию F.5.24), учитывая грассмано-
вы степени свободы. Первый шаг состоит в вычислении ядра оператора
230
j/f* = U?hUfh, т.е. в повторении выкладок F.5.11)-F.5.22) с учетом грас-
смаповых переменных. Формула F.5.12) выполняется для ядра F.6.9), где
JK dxi! следует заменить на fK dqj (мера dqi определена в F.6.3)), посколь-
ку структуры ядер F.6.9) и F.5.8) одинаковы. В интеграле но грассма-
новым переменным в формуле, аналогичной F.5.12), перейдем к новым
переменным5 exp(j'0,(ui)C*, ехр(—i#j(ui))Ci, при этом мера интегрирова-
ния dqi не изменится. Замена переменных ui —¦ Uj(uj) выполняемся ана-
логично F.5.13)-F.5.15), но следует правильно учитывать аргумент функ-
ций 0j(ui). Для этого воспользуемся равенством E.8.28), определяющим
обратное преобразование s на суперпространстве, т.е. все 0,(ui) сле-
дует заменить на — 0J'1(u,(ui'))l а затем ввести новую переменную инте-
грирования u,(uj). В этом случае после замены переменных подынте-
гральное выражение в F.5.16) будет содержать ядро {//h(s~:1<7i ></'), где
7~lq\ — (tt,(ui),exp{i071("i}^Xi)• ui € К,, следовательно. JK dq-^ коррект-
но определен.
Равенство F.5.17) обобщается на случай смешанной системы, т.е.
tTh(«"l9,?') - Vf(q,q'), и е А',, и € К- F.6.15)
Для доказательства F.6.15) нужно повторить рассуждения F.5.18)—F.5.20)
и учесть определение функции 9~л~{ч) f т S.2S). По^тьму формулы F.5.21)--
F.5.22) справедливы для смешанных систем (dui и du" в них следует за-
менить на dqi и dq").
Повторяя вычисления F.5.24), находим ГКИ для рассматриваемой си-
стемы при произвольном выборе физических переменных (произвольной
калибровке) и с учетом структуры физического ФП:
dq"
F.6.16)
а1
F.6.17)
где фаза ф = (С*(<К(*) + C@)(f@))/2 учитывает стандартные начальные
условия в ГКИ для грассмановых переменных в голоморфном предста-
влении. С*(<) = С" и (f@) = С'; u(t) = и, и@) = ц>" - начальные условия в
ГКИ F.6.17) по бозевым переменным, и
t
= J
dr (рп + i(
- СО - Я3
F.6.18)
эффективный гамильтониан определен в F.6.12)-F.6.14).
Формулы F.6.16)—F.6.18) совместно с правилом действия оператора
Ufh на волновую функцию
F.6.19)
f40(q) = Ф,(д) =
замене переменных на суперпростраистве см. разд. 5.7.2 и Приложение 8.2.1.
.231

решают задачу о ГКИ для смешанной калибровочной системы с учетом
структуры физического ФП и с произвольным калибровочным условием.
6.6.2. Гамильтоновы континуальные интегралы в криволинейных
суперкоординптах и смешанные системы с произвольной калибро-
вочной группой. Рассмотрим крантивую теорию, заданную гамильто-
нианом E.7.2'2) и скалярным произведением E.7.17), и построим ГКИ для
нее. Фактически речь идет о замене переменных E.7.12) в стандартном
ГКИ для теории с гамильтонианом E.7.10) и скалярным произведением
E.7.11) [13].
Искомый ГКИ строится продолжением ядра единичного оператора в
нефизическую область значений RM Q К бозевых переменных у. По опре-
делению имеем:
Ш) = «'"И»)-
К'У.О] =
F-6.20)
Я"
F.6.22)
iaedq — clsfyY\\ (c/f*d?<i)exp (-?*?) есть мера интегрирования на суперпро-
странстве, а 1С указывает область интегрирования ло оозевым перемен-
ным5. Лс.'1ыа-фуик;;ия &(q,q") в F.6.22) дается правой частью равенства
F.6.20), в котором вместо х, х' и ц>", Ф стоят соответственно у, у' и ?*, $\
QU.?') =
F.6.23)
преобразования s?5b F.6.23) определены равенствами E.7.18), E.7.19).
В общем случае 5 не образует группу, т.е. композиция so s1, s, s1 6 S, не
определена. Равенство F.621) вытекает из правила замены аргумента у
многомерной ^-функции и требования, что у ? RM, у1 G А'.
Структура ядра единичного оператора F.6.22) аналогична F.6.1), по-
этому ядро ннфиннтезималыюго оператора эволюции Ut — 1 — icH имеет
вид F.6.9)-F.6.11) с эффективным гамильтонианом
Я") = \Р.9лЬРъ + V, + V, F.6.24)
где Ра — Ро 4- Та, Та = —«Чо (^+5afi)<»e?5 (зависимость от ?" появляется в
результате действия операторов ? на ядро <5(д, ?") в F.6.22)),
V, = V,(y) + l-
F.6.25)
Функция V получается из оператора У(х,ф+,ф) после подстановки E.7.12)
и переноса всех операторов ? направо с последующей заменой у, |+, ? на
№ ?*> t" cooTBeTCTBetrao. Эффективная квантовая добавка F.6.25) к потен-
циалу связана с упорядочением операторов при переходе к криволиней-
ным координатам.
'Равенство F.6.21) основано на тождестве |/i(j/)|=
232
Оператор Н и ядро F.6.20) 5-иниариантны (они зависят от х, v1", ф,
которые по определению не меняются при преобразованиях симметрии
замены переменных E.7.18), E.7.19)). Поэтому итерация ядер операторов
Ut в соответствии со скалярным произведением приводит к следующему
выражению для ГКИ в криволинейных суперкоординатах (ср. с F.6-16)-
F.6.18)) [13]:
Я"
т=0
r)d'"y{r) Ц dc-(r)dc (т-
F.6.27)
F.0.28)
J
= J dr
о
.{
F-6-29)
начал1>ные условия для ГКИ F.6.27) имеют вид 4" @ = ?> s(f) = *" и ?/@ —
у, у@) = у". В качестве примера ГКИ в криволинейных суиеркоординатпх
рассмотрим двумерный суперсимметричный осциллятор Л' — М = 2, V —
х*/2 + Ф+Ф- На суперпространстве (х,^") введем новые координаты:
х*/2 + Ф+Ф- На суперпространстве (х,^") введем
rcosp, i2 = rsin^>, ф =
F.6.30)
Это простейшее обобщение полярной системы координат на случай су-
перпространства. Для бозевой системы ГКИ в полярных координатах
был построен в гл. 2. Имеем: fi =¦ г, д"' = diag(l, r~~), Pi = Рг =
-1>-!/2аг or1'2, ?, = ?,- -idv + Tv, 5f# = f^fa и Vq zz -1/(8г2). По
формулам F.6.24) и F.6.25) находим эффективное действие F.6.29). Опе-
ратор Q в F.6.26) определяется симметриями замены переменных F.6.30).
Легко проверить, что S образует группу и состоит из двух подгрупп:
F.6.31)
F.6.32)
1) <р-*<р + 2тгп, г —г, Г—Г;
2) *р —> <р + ж, г -* -г, {* — -('
(п — целое). В соответствии с разд. 2.7 и F.6.31). F.6.32) ядро оператора
Q имеет вид
0(9, <?') = QA'-P, SWr - г')ехр ?&
(-С^). F-6.33)
,v' + *b F-6-34)
где <р б R, tp' e [0,2^).
Теперь рассмотрим проблему построения ГКИ в произвольной кали-
бровке для смешанных систем с калибровочной группой [13]. К теории
с гамильтонианом E.7.10) добавим квантовые уравнения связей (как это
233

было сделано в разд. 6.5.2 для бозевых систем) <таф = 0, где операторы ?„
генерируют калибровочные преобра.зования вида
— Тцх.
F.6.35)
ЛГ х Л'-матрины ТЬ реализуют некоторое представление компактной груп-
пы С и ;ои( простоты предполагается, что Л/ х Л/матрицы П реализуют
унитарное представление G. По определению, [Я,?а] « 0, т.е. гамильто-
ниан слабо калибровочно-инпариантен. Выберем некоторое дополнитель-
ное калиброночмое условие х(х) — 0, которое будем считать допустимым,
т.е. с помощью некоторого калибровочного преобразования F.6.35) любая
конфигурация г может быть приведена к виду х = х. \(х) з 0. Сделаем
следующую замечу переменных на сугк.'рпространстве (т. ф')'-
х = тп<^гы, е - гп*(-), F.6.36)
где х(х(»)) г= 0т т.е. переменные и — физические , а л —нефизические, так
как они транслируются при калибровочных преобразованиях. По постро-
ению ртыг'чсгио -с = ?(и) задает поверхность, выделяемую калибровочным
у.:лонием \(х) = 0 п полном кснфигурац;!он(-->м лростракстве. Посколь-
ку независимые связи аа являются генераторами сдвигов х, то уравнения
Jj'I'f—, и,?') = 0 означают, что физические волновые функции не зависят
от ш. Для простоты мы ограничимся теориями, в которых конфигурация
х не имеет стационарной подгруппы в G.
Преобразования симметрии замены переменных состоят чз группы
сдвиг.IB *j на периоды группоиою многообразич (аналог F-6.31)) и пре-
образований вида и —» su, f* —¦ s^*, jj —• ?ш, которые могут быть
реализованы функциями от и. Чтобы построить эти функции, следу-
ет найти все решения уравнения \(х,) = 0, где х, "= Тп{ш,)х, причем
jjs ~ ^j(u). Точки х, задают точки пересечения орбиты калибропоч-
иой группы с поверхностью калиброночного условия. Преобразования
Тп{-">) при произвольной точке х, подчиняющейся дополнительному усло-
вию, должны быть дискретными, в противном случае условия \ — 0
не фиксируют полностью непрерывный калибровочный произвол, нали-
чие которого свидетельствует, что среди переменных и есть нефизиче-
ские. Поскольку ?, принадлежит поверхности калибровочного условия,
то функции и, определяются равенством х,(и) — i~(u,(u)), В итоге при
преобразованиях Su — us{u), iw = ц^(и.и-). где х[ определяется равен-
ством Tb(cj') = Ts-,I'jj)Tq
-;, = ш,(и), точка исходного конфигураци-
онного пространства х не меняется. Преобразования s?~ индуцируют-
ся преобразованиями $ш, такими, что у" не изменяются, т.е. ^*f2^!uj) =
(sif")n+(Si*>); это равенство определяет ??". Функции иДи), ui'Ju.u) не мо-
гут быть однозначно определены во всем Дл' Э (и,-"), если 5 не образует
группу (аналогично модели с бозевьши переменными, рассмотренной в
разд. 6.5.2). Нужяо зафиксировать область Л' С RM, такую, что при
(и/,и) — К равенства F.6.36) задают взаимнооднозначное соответствие.
Тогда иДи), u>j(w, u)—однозначные функции на А'. Область значений пе-
ременной и в А" обозначим А", т.е. функции и,{и) заданы на К С А'.
Рассмотрим ядро единичного оператора F.6.20) в полном конфигура-
ционном пространстве в переменных F.6.36) и запишем его в виде F.6.22).
234
Структура оператора Q аналогична F.6.33):
где??'=
(б-6-зт)
здесь А(„) — периоды группового многообразия (ср. с (G.G.3-1)). Поскольку
операция усреднения по rpyruie есть проектор на физическое подпростран-
ство Tiph: то, усредняя ядро F.6.22) по группе G. получим ядро единичного
оператора в ^рь. Ввиду периодичности ядра F.6.37) имеем
= /
[Сл)
где <1iiq(u) — инвариантная мера на G: первое равенство в F.6.38) следует
из dfio(u) = dfiai^) B силу инварианости меры и определения Tn(su) ¦=.
Th(.^)};"{''(u;:), в котором х, не зависит от и. Поэтому поело у..-р,.лн- ния
по группе ядра F.6.22) в переменных F.5.УС) получается выражение гого
же иида. но с ядром
и II — /i(u), где M — L — dimG и и' ? А', и 6 RL ¦ В частности, усредняя ядро
F.6.33) по группе SOB), получим ядро оператора Q в Wph для модели,
обсуждавшейся в разд. 6.6.1, где /„ = 6а1 и = Sair.
Рассмотрим уравнение Шредингсра Нф = Еф с гамильтонианом
E.7.22), записанным в координатах F.6.36). Усредним обе части этого
уравнения по группе G. Получим уравнение ЯР(,Ф = ЕФ, где функция
Ф = Ф(и,{*) 5-инвариантна и принадлежит 'Hph, оператор Яг,ь полу-
чается из Н отбрасыванием производных по j (в силу калибровочной
инвариантности потенциал V не зависит от -j и 5-ипвариантен). Ввиду
5-инвариантности правой части уравнения Шредингера в WPh, оператор
//pi^ui,^") также должен быть о-инвариантным:
В итоге мы получаем теорию с 5-инвариантным гамильтонианом и S-ин-
вариантным единичным ядром. Поэтому соответствующий ГКИ имеет
вид F.6.26)-F.6.29), где у следует заменить на и и вместо М надо взять L,
а в Я3* нужно использовать <??? вместо 9a6Cph ~ uu-блок матрицы даЬ). В
частности, таким способом можно получить ГКИ для модели, рассмотрен-
ной в разд. 6.6.1, в калибровке /„ = Saiu = 6air из ГКИ в криволинейных
координатах F.6.30).
; Приведенный анализ устанавливает связь между ГКИ в криволиней-
ных суиеркоординатах и ГКИ в произвольной калибровке для смешанных
калибровочных систем.
235

6.7. Некоторые следствия модификации
гадеильтоновых континуальных интегралов
для калибровочных систем
Вид оператора Q в ГКИ связан со структурой физического ФП, ко-
торая обычно не учитывается (см. Приложение 8.4). Формализм инте-
грирования по траекториям позволяет естественным образом определить
кваликлассическую амплитуду перехода. Выясним связь структуры ФГТ с
квазиклассическим описанием (см. также [157, 160, 177]).
G.7.I. Кваитовомеханические инстантоны. Мы рассмотрим про-
стейший пример влияния редукции ФГТ на инстиптонмме вычисления. На-
помним, что инстантоны используют в квантовой теории для вычисле-
ния туннельных эффектов [151, 178, 1S2). Например, пусть имейся од-
номерная кнантов&я система с периодическим потенциалом [161]. Тогда,
основное состояние в'окрестности каждого локального минимума потен-
циала оказывается вырожденным. Вырождение снимается вследствие на-
личия туннельных эффектов, причем основное состояние превращается в
зону. Оказывается, что знание решений евклидовых уравнений движения
(уравнения движения с мнимым временем С — —i~) позволяет приближен-
но вычислить уровни энергии в зоне и найти соответствующие волновые
функции @-вакуумы).
Возьмем модель, рассмотренную в разд. 5.4, с группой 50C) и перио-
дическим потенциалом V(x~) = 1 - ccsfr2I/5. Она совпадает с моделью,
рассмотренной я разд. 3.2.2, если независимые компоненты матриц хну
отождествить с компонентами векторов х и у*» C.2.25). -\налогичная од-
номерная модель с Г = й2 хорошо изучен! ^см. fl6i] и цитированную там
литературу). В нашем случае ФП единстве'шюй'фигшческой переменной
г= (z2I'2 есть сопе(т). - -•"
Рассмотрим евклидов вариант теории, сделав замены в E.4.1): t —*
-it, у-* iy; тогда/, — Де = (DTxJ/2+V(x2). Как показывает анализ, про-
веденный в разд. 3.2.2 и 5.4.1, динамика единственной физической степени
свободы описывается элементом подалгебры Картана // : x(r) = r(r)Ai,
где Ai — единственный базисный элемент в Н. Решения классических
уравнений движения
d dLE
йт дх
дх '
X = дтХ,
ду
= 0,
зависят от произвольной функции времени у = у(т), вариации кото-
рой означают калибровочные преобразования решения х{т) (см:, также
разд. 3.3). Устраняя калибровочный произвол условием у = О, получаем
следующее уравнение для г(г): ¦ .¦
г = sin г. F.7.1)
Инстантонное решение уравнения F.7.1) имеет вид [161]
г(т) — г11М(т) = 4acrtgexp(r- тс) + 2тт, гс = const. F.7.2)
Оно связывает локальные минимумы потенциала: i2Mt —» B?rmJ, г —> со,
И12ПК-»Bт(т-1)J, т-* -со, гдех,пм(т) = r,TOt(")Ai. Отметим, что F.7.1)
236
идентично уравнению движения для аналогичной одномерной системы с
Г — К", соответстнукнций лагранжиан получается из Ьв заменой х = Л^г
и|/-0. -'1 ля одномерной модели с плоским фазовым пространством схема
расчетов излагается ниже [161].
Методом перевала вычисляют амплитуду перехода GTB5rm,2irm') ме-
жду двумя локальными минимумами потенциала, причем стационарной
точкой служит инстантонное решение. В пределе т — со основной вклад
в эту амплитуду дают состояния из нижней доны (состояния с более вы-
сокой энергией дают экспоненциально малый вклад):
2 г
п) = Bягп|ехр(-т/?)|2я-т') »
2т
'9B7г,п\0)(в\2хгп')екр(-гЕв), г — со, F.7.3)
о
где# параметризует уровни энергии Е$ в нижней зоне. Амплитуда {2тгт\0)
получается вычислением функционального интеграла для решении F.7.2)
методом перевала. Соответствующие выкладки проделаны в [161]; найде-
но, что
игBжт,2:тт') = / ~^'-Ч"—п')«е-гЕ. | г _ Э0] F ? 4)
о
?„ = i-e-So5o/2A'coS0,
где 5о — действие на решении F,7.2). А" — некоторое число, не злиисяш-.-.е
от в (инстантонный деюр.минант [161]). Амплитуда Bтпп\0) ~ exp(-imO)
находится из уравнения F.7.3). Она дает значение волновой функции ва-
куума {г\в) в окрестности локального потенциала г = 2irm, поэтому при-
ближенное выражение для (г\в) имеет вид [161]
[г\в) = const-
(r|2irm),
F.7.5)
где (г|2ятп) ~ ехр[~A/2)(г — 2ЯТПJ] — волновая функция основного состоя-
ния в окрестности каждого локального минимума потенциала (в осцилля-
торном приближении).
Как модифицируются вычисления, если Г = сопе(тг)? Очевидно, что
теперь вместо амплитуды UTBirm,2xm') нужно взять амплитуду
U°Birm, 2irm'). Связь между этими амплитудами задана формулой F.2.14),
и которой t —• —it:
dd
F.7.6)
Следовательно, при редукции ФП распределение уровней в нижней зоне
не меняется. Однако амплитуды Bтгт|0) изменились, поэтому изменится
и вид волновой функции F.7.5) б-вакуума:
ОО
(r|ff)c = const • 53
sin тв
{г\2жт).
F.7.7)
237

Ввиду очевидного равенства: (—г\2хт) = (г\ — 2тг>п) — функция F.7.7) в
отличие от F.7.5) четна: (—г\в)с — (г\в)с (т.е. /^-инвариантна) и нормиру-
ется согласно E.4.25).
Распределение уровней Е$ не зависит от структуры ФП, вообще ю-
веря, только для непрерывного спектра. Здесь уместна аналогия со слу-
чаем свободной частицы. Редукция ФП Л; -< сопе(т) не меняет спектра
системы. Напротив, дискретный спектр (например, осцилляторный) чув-
ствителен к редукции. Это справедливо и для инстантонов, и чем jici ко
убедиться, рассмотрев модель с потенциалом V = (х2 - а3J и калибро-
вочной группой 5ОC) (одномерный аналог рассмотрен в [178]). В данной
модели вакуум двукратно вырожден: х = rAi ? Я и г - ±а. "Зона" содер-
жит два уровня, причем нижнему отвечает нечетная волновая функция,
а верхнему — четная. Изменение структуры ФП (Г = соие(я-)) влечет
исключение вклада Яг-нечетного состояния.
Рассмотрение более сложных систем не добавляет ничего принципи-
ально нового. Чтобы получить правильную кпазиьлэ'.'снческую амплиту-
ду перехода, нужно пичислить ГКИ V^" методом стационарной фп.-ы. а
затем симметрировать по остаточной дискретной калибровочной группе
с мерой, учитывающей криполинейиоетъ физических переменных [157].
6.7.2. Функции Грина для калибровочных систем с кетрияяин.-
кым физическим фазовым пространством и мотод гамилыпнпшл
континуальных ин-гегралои. В разд. 5.S.3 в рамках операторно] о фор-
мализма было показано, что эволюция фермионнмх и бозоннмх степеней
сноболы г. редуцированным ФП должна рассматриваться как -оолыния со-
стаонмх объектов. В частности, для модели, рассмотренной в разд. 6.6.1.
эволюция элементарных возбуждений физических степеней свободы и'Ф0 и
Са *о, *о -^осноштое сосюяние, выглядит как эволюция составных объек-
тов «дФ?. dj'^o (см. E.S.26),E.8.27)). Покажем, как эта картина возникает
в методе ГКИ. <'^'* -?.""
Рассмотрим ГКИ F.6.16). Он определяет эволюцию во времени любо-
го состояния по правилу F.6.19). Преобразуем интеграл в правой части
F.6.19) следующим образом:
F.7.8)
- ?М?Г'--
здесь мы повторили выкладку, аналогичную вычислению ядра U^e =
f-phf-ph B разд 6.6-1 (см. текст после формулы F.5.12)).
Множитель (p{u')/(i(u))l/2 в 1,6.7.8) можно убрать, изменив в эффектив-
ном действии F.6.11) члены, линейные по импульсам р, поскольку
!
= ехр -- / dr~-i{i . F.7.9)
о J
где по определению ГКИ F.6.17) u(t) = и, ч@) = и'. Тогда
Ф((д) = 53 / <*<1'и?Ф^,я')Фо(з~1^) = F.7.10)
238
F.7.11)
где и?* дается ГКИ F.6.17) с модифчщфованным действием, учитываю-
щим множитель F.7.'j), и
я')
F.7.12)
— S-инвариантное продолжение функции Фо(?') в нефизическую область.
^-Инвариантность означает, что должно выполняться равенство
«6 к ч*
F.7.13)
Покажем, что функция F.7.12) удовлетворяет F.7.13). Очевидно, что
при и" а К и (СТ. 12) <ba(q") — Фа(ч"), так как в сумме F.7.12) только один
член лает ненулевой вклад при ? = 1. Соответственно при q" — aq, и 6 А',
также только одно слагаемое отлично от нуля, т.е. при у е К
по определению функции S(q, q'). Равенство F.7.13) доказано.
Отметим, что для 5-инвариантных состояний Ф^ = Фо-
Формула F.7.11) связывает описания эволюш-.и систем с нетривиаль-
т-.м и нормальным фазовыми пространствами. Именно, учет структуры
физического фазового (конфигурационного) пространства сводится к за-
мене начального состояния Фо на его S-инвариантное продолжение Фо в
нефизическую область конфигурационного пространства. Отсюда следу-
ет, что состояние УФз(т), где Фо(в) - вакуумный вектор, q = (u, ?+),
эволюционирует как состояние ?д(^фо(«). в котором составные операто-
ры^ = (ид,Сд) определены равенствами E.8.27), E.828). Действительно,
ввиду ^-инвариантности физического вакуума (Фо € 'Hph) F.7.12) дает для
функции дФо(д)
функции qQ(q) = (uo(«),Cq(u-C*)) совпадают с E.S.26), E.8.27). Поэтому
эволюция элементарных возбуждений с редуцированным ФП эквивалент-
на эволюции некоторого составного объекта в соответствующей теории с
нормальным ФП.
Последнее утверждение носит общий характер и справедливо-для лю-
бой калибровочной теории с нетривиальной структурой физического ФП.
В этом можно убедиться, повторяя выкладки F.7.8)-F.7.П) для модели
с произвольной калибровочной группой, рассмотренной в разд. 6.5.2 или
6.6.2. Обобщение на случай теории Янга-Миллса можно найти в [150, 151,
173].
239

Глава 7
КОНФАЙНМЕНТ
7.1. Введение
7.1.1. Крагкал ястория вопроса. Если предыстория попоооа начи-
нается с открыта сильных изаимодейслии'й (циклонная молель ядра -
1932 г.), то начало истории можно отнести, пожалуй, к 1961 г. К началу
60-х Годов было открыто дооолыю много гильit.' вялимо,isifciнукицнх ча-
сгип (i\ К. К; Л", A. <й S. Д, Е", Н") к остро пстал вопрос о мшку^-нки поряд-
ка в этом множестве "простейших кирпичик»» материи". М. Г г; л л-Манн
и Ю- Нее:м;ьч (см. fJS3. 1X4]) япедлг.жили кла^гифицироцат!» их по грул-
пе SU{Z) (на современном языке — группа 'ароматом" (flavors) Л*C)г).
Это так называемый "&¦->¦:>. .;":ричь"Ь!й путь": мрзснн (х,Л', ?/) и Гирионы
(.V, Л,5, S) ттрипнсмаалиг;, октетным пролетавлепням трупом. Наблюдав-
шиеся час гшш. однако, реализовывэли лишь часть представлений группы
Sl'i3)f (октетное и декаплетно*1 (Л, К", Н", U~ )), роль остальных была не-
ясна. Как известно, псе представления группы SUC) можно построить
из дну.* простейших триплетов: *,?* — так назыпаемые фундаментальные
или эде.мецтзрные представления [172]. М. Гелл-Манн и Г. Цвейг (см. [185,
166]) предположили, '.то все сильно взаимодействующие чзп-лпп (.чдро-
кы) построены !гз простейших частиц, рентн^-ующих фундаментальные
прс-ястаал ,-ния группы SU(")f ("кварков" [185] или "тузов" [18в]). Boripoc
о том, являются ли !гва.рки реальными частицами или они предегапляют
собой чисто математические объекты, оставался открытым. Признание
их реальности порождало новые проблемы: 1)'"киарки, будучи формиона-
ми, описьшались симметричными по всем (известным)'квантовым числам
функциями: 2) не наблюдались дикварки и другие экзотические связан-
ные состояния; 3) не наблюдались изолированные кварки (конфайнмент).
Первая проблема решалась наделением кварков новым квантовым числом
[187-189] (на современном я?ыке — цветом), принимавшем три значения;
предполагалось, таким образом, что имеется три сорта кварков, и их вол-
новая функция в нуклоне антисимметрична по цвету.
Интерес к кваркам возрос после отрытия масштабной инвариантности
(скейлинга) и появления партонной модели адронов [190, 191], когда ста-
ло ясно, что последние построены из точечных объектов. Сстественгго
было отождествить их с кварками, но тогда в полный рост вставал во-
прос о природе взаимодействия кварков. Была выдвинута гипотеза, что
сильные взаимодействия описываются калибровочной теорией [192-194,
см. также 195, 19S], причем в работе [194] предложена модель, именуемая
ныне квантовой хромо динамикой (КХД). Современная теория сильных
взаимодействий появилась в результате превращения глобальной цвето-
вой сихшег-рии [187-1S9] в локальную (т.е. калибровочную). Итак, в
1973 г. квантовая хромодинамика как теория сильных взаимодействий
была сформулирована. Вопрос о статистике решался автоматически, во-
прос о конфайяменте (равно каки о дикварках) оставался открытым. Про-
блема была немедленно атакована теоретиками. Наметилось два подхо-
да: физический, 'опирающийся на здравый смысл, опыт и интуицию, и
"физико-математический", в котором за основу брался лагранжиан КХД.
Из работ, относящихся к первому направлению отметим модель " мешков"
240
[197] и модель вакуумного конденсата мояополей [198, 199]. Из работ вто-
рого направления сошлемся па публикации [200-202]. Наиболее полно и
носледлчательно программу изучения конфайнмента из.первых принци-
пов iq-.овол К.Вильсон (см. [203]). Его пионерская работа примечательна
в нескольких отношениях. Во-первых, им была сформулирована калибро-
вочная тесфил на р-.чпетте, во-вторых, были введены "петли Вильсона", в-
третьих, был сформулирован ''критерий Вильсона", и, наконец, в пределе
сильной связи был получен закон площадей в решеточной электродина-
мике (для массивных зарядов). Неабелевы теории в постановке Вильсона
исследопались путем вычислений на компьютерах.
Среди прочих работ, посияшениых конфайнменту, отметим исследова-
ния, связанные с моделью Швингера (см. ['20i]) (электродинамика безмас-
сопых фермяонои в пространстве-времени A + 1)). Интерес к ней связан с. _,
там. что п одномерной электродинамике конфайнмент имеет место автома-
тически (''кулонов" потенциал линеен). U безмассовой модели Швинг^ра
электрический '-ui рхл <1онцпг-[ьу> экранируется (т.е. имеет место "обесиве-
чинание") [?05 207] (см. также обзор [20*]).
7.1.2. Общио зпмочнкин о проблеме конфамнмрнта. Проблема
конфайимеита формулируется по-разному. Первоначально она сводилась
[192] к вопросу, почему мы не видим физических кваркон'7 Уместен и л;>у-
гой вопрос [209]: почему кварки встреча.ются только в бесцветных ком-
бинациях? В настоящее время, пожалуй, можно выделять чри сп-пеии
понимании ятой проблемы "удержания" (или "пленрния") кварков [2\Щ.
1) формальное доказательство отсутствия цветных объектов в физиче-
ским секторе теории;
2) выяснение природы и характера сил, удерживающих цветные об-ъ-
3) построение полной теории адронов (т.е. теории, позволяющей про-
вести аналитический или численный расчет структуры мезонов и нукло-
нов).
Постановка каждого из двух последних вопросов предполагает поло-
жительное решение предшествующего.
В рамках схемы квантования Дирака (см. [104]) решение первой за-
дачи тривиально [219, 224], ибо в физический сектор допускаются лишь
калибровочно-инвармантные операторы и векторы состояний. Кварки и
глюоны, представляемые лока.пны-мц полями, обладают цветным заря-
дом, т.е. меняются при калибровочных преобразованиях, поэтому они
исключаются из числа нормальных физических степеней свободы. Это и
есть ответ на "наивный" вопрос о том, почему мы не видим изолированных
кварков (см, также разд. 7.4.4).
Ответ на второй вопрос требует более серьезного исследования. Выяс-
нение пряроды конфайнмента предполагает выяснение более тонких дета-
лей теории калибровочных полей. Согласившись, что физический смысл
имеют лишь калибровочио-инвариантные объекты, мы приходим к зада-
че о перечислении и классификации всех калибровочных инвариантов, по-
строенных из полей. Только на этом пути можно надеятся получить ответ
на вопрос о физической природе конфайнмента. Существо дела в следую-
щем. Можно считать установленным, что удерживающие кварки силы иа
больших расстояниях характеризуются линейно растущим потенциалом.
Современные квантовые теории поля (в том числе и калибровочные) по
природе своей причинны (локальны), в них изначально заложен принцип
241

близкодействия (никакого actio ad distantia). Это означает, что взаимодей-
ствие между физическими объектами осуществляется через посредстио
окружающих ил полей. В каких формах могут проявляться (?)о:)буждатъ-
сл) эти лоля? Известно, что в электродинамике покоящиеся .;.ч ряд:.! возбу-
ждают вокруг себя статические поля, обеспечивающие их кулоново вза-
имодействие. "Физический ая(ктрои" (т.е. электрон вместе с окру:**к>-
щим его электрическим полем) описывается нелокальным калибровочно-
ишзариантным оператором [34]. В неабелсвых теориях из циетных полей
также несложно построить калиброкочио-ип.ч&риаитиые объекты. Напри-
мер, это может быть "струна." (Я--экспонента) с кварком и антикварном на
концах (см. далее разд. 7.4.9). В данном случае, как нетрудно видеть, глю-
oiaioe поле между кыркр.ми возбуждено лить на контуре интегрирования
Р-эксионенты, и энергия такой системы в случае массивных кварков да-
ется линейно растущей функцией. На первый взгляд это и с;.:ть ответ на
вопрос о природе удерживающих сил в хромодинамике. .Дело, однако, в
том. что таки^ я-se объекты можно построить и в электродинамике [225]. т.е.
подобные рассуждения недостаточны. Задача заключается в выяснении
структуры окружающих заряды полей, т.е. в пыясиении иопрога, распр"-
делены ли они по всему пространству или сосредоточены на линии, ибо в
первом случае следует ожидать убимающего с рассто.'.'чном тК'Т-.-жий-'.'л.
Итак, в неабелевых теориях нужно ответить на вопрос: допустимы ли {в
классике) цветные заряды с калибровочными полями, заполняющими все
пространство (в действительности ситуация может оказаться сложнее -
см. разд. Г.2, но сейчас это несущественно). "Кинетически" для кварков,
реализующих фундаментальное представление группы SU(S)C, возможны
лишь линейпые возбуждения полей (т.е. возбуждения лишь на одномер-
ных множествах точек). Сказанное можно продемонстрировать исходл
из весьма общих соображений (как говорятсу'из .первых принципов). Это-
му и посвящена данная глава. Что касается третьего уровня понимания
конфайнменга (возможности проведения аналитических расчетов), то эта
задача чрезвычайно сложна. Речь может идти лишь о создании работо-
способной схемы приближенных вычислений.
7.1.3. Особенности калибровочных теорий поля. Между эксперта-
ми существует,молчаливое согласие, что конфайнмент имеет место толь-
ко в калибровочных теориях. Почему? Чем отличаются калибровочные
теории ог некалибровочных? Ответ почти очевиден — они отличаются
наличием в них связей первого рода [104]. Это обстоятельство, на пер-
вый«взгляд тривиальное, и есть наиболее существенная особенность ка-
либровочных теорий; именно она выделяет их среди остальных (некали-
бровочных) и в значительной степени обесценивает единственный хорошо
разработанный метод расчета — метод теории возмущений. В отличие
от уравнений движения связи не содержат производных по времени; они
есть условия, налагаемые на канонические переменные в данный момент
времени, т.е. на мгновенные конфигурации полей. Иначе говоря, усло-
. вия связи отбирают физические состояния полей. Они абсолютны — свя-
..зя.не могут быть нарушены, ибо их нарушение означало бы нарушение
калибровочной инвариантности, т.е. отказ от исходного (калибровочно-
инвариантного) лагранжиана (см. также [208]).
. Итак, в калибровочных теориях желательно сначала выявить физи-
, неские конфигурации полей ("разрешить связи"), а затем описывать их
эволюцию во времени. Было бы, однако, опрометчиво понимать рекомен-
242
дацию "разрешить связи" буквально. Это трудно сделать в классике и
чревато недоразумениями в квантовой теории (связи первого рода нельзя
понимать как операторные равенства, см. [104, 149], а также гл. 4). К
счастью, имеется окольный путь. Вспомним, что связи первого рода есть
генераторы калибровочных преобрачепалжй [ММ], поэтому они должны ис-
чезать па физических иекторах состояний и коммутировать с физическими
операторами, т.е. физические операторы и состояния должны обладать
свойством калибровочной инвариантности. Перечисление каяибровочно-
инвариантных состояний полей и означает, по существу, учет связей.
К чему же ведет учет связей в калибровочных теориях? Чтобы от-
ветить на вопрос, обратимся к электродинамике. Хорошо известно, ччо
"физический электрон" в ней представляется нелокальнымкалибровочно-
инвариантным оператором Ф — ехр(—геА~1дА)ф [34, 120], описынаюшим
заряженмие объекты с окружающими их статическими (кулоновыми) по-
лями (кулонову полю отвечает экспонента [3 4]). Применение теории воз-
мутелшй затушемн; </уг ыто лажное обстоятельство: в нулевом приближе-
нии Фо = ф, причем п"ля Ф — локально и меняется щ>и калибровочных
преобразованиях. Именно эти поля фигурируют в приближенных вычи-
слениях, и именно благодаря их локальности возникает иллюзия, что ка-
либровочные теории, по сузгеству, lie отличаются от нека.чибровочных.
поскольку и в тех и в других работают с локальными полями.
Каковы же следствия существования у зарядов внешних статических
полей? Очевидно, что ннешнее электрическое поле заряда обладает опре-
деленной энергией — это электромагнитная масса частицы. Ясно также,
что если подсчитать энергию электрического поля двух зарядов, то ja
вычетом их собственных энергий получится некоторая функция от рас-
стояния между ними, а именно, кулонов потенциал. Таким образом, в
электродинамике статическое изаим о действие заряд on есть, по существу,
следствие калибровочной инвариантности. Именно это обстоятельство
играет центральную роль в неабеленых теориях, отличие лишь в деталях.
Оказывается, что в рамках геометрии расслоенных пространств [2 52—216]
в теориях с неаоелевой калибровочной группой сопровождающие цпетные
объекты внешние ноля не заполняют все пространство, как в случае куло-
пова поля; они сосредоточены на исходящих из источника линиях, число
которых зависит от размерности реализуемого цветным зарядом предста-
вления группы. Если классический источник преобразуется по элемен-
тарному (фундаментальному) представлению группы, то сопутствующее
поле сосредоточено на одной линии. Поле зарядов противоположных зна-
ков сое редоточено на некоторой соединяющей их линии (обычно подобные
объекты отождествляюгея со струной). Несложно установить, что, напри-
мер, в глюодинамике в случае стабильности подобных "струн" статиче-
ское взаимодействие массивных кварков в пределе сильной связи дается
линейным потенциалом. Говорят, что имеет место пленение кварков или
конфайнмент, поскольку они не могут разлететься — энергия сопутству-
ющего поля пропорциональна расстоянию между ними. Собственно, это
и есть первопричина явления, именуемого удержанием ("невылетанием")
кварков, если говорить о теории, заданной локальным лагранжианом.
Изложенное составляет идейную основу следующего далее анализа.
Изучение проблемы убеждает, что наиболее прямой путь к цели, позво-
ляющий прояснить логическую структуру построения^ связан с форму-
лированием теории калибровочных полей как теории расслоенных про-
243

странст-R [212- ?!б]; при чтом лекторлые калибровочные поля отождествля-
ются со спязностями в главном рао.'.т'ении, а заряженные поля (поля "ма-
терии") образу!.-!' згооцнирспзниме россиянин. При такой Постановке
чадачи. •••¦> ы^кание калибровочных инварианта» сводится к стандартной
чисто матмагичеокчй проблеме, оСсуждаюие-йсн в учебниках по геоме-
трии. IVm самым удастся отделить динамические свойства теории от
чисто / еометрических. Постулирование лагранжиана вносит дина\:ику -
задается наган, но котораму.эволюци.жируют изучаемые объекты. Пер"-
ходк кнаптиъо%?у описанию уже не представляет трудностей. Этого плана
мы и будем нридор
7.2. Кинематика.
Калибровочные полк
и расглоенные пространства
7.2.1. Калибровочные поля хг.к геометрические, объекты теории
ряьелоеииых пространств (см. [208, 217, 223]). Пусть1 P{M,G) есть глав-
ное расслсн'Шгое пространство, п котором б ;<_::» М — пространство Мин-
коиского, а слой G — простал компактная группа. Определенности ради
полагаем, что G — SU(n). Пу.ть, до..-г >\ uo ie <,.{,/¦) (— рх) есть объект
представления группы С (ассоциированное p-!<->.-:oe!u'e), т.е.
^ = ':H')w, v? = v;tVi-o. *?6'- (-71 я ¦=х С7-2-1)
^ьездочка оз:.?-:а.т комплексное сопряжение). Нас интересует билиней-
ные в ф, v~ инварианты. Построение игшар^антоь' из полей фх,фх, взятых
в одной и ;ой .;¦:- точке, не представляет труда и сводится к конструиро-
ванию тривиального представления группы, из нетривиальных. Для нас
важнее знать инвари;и.":и с участием полей в разных точках, например фх1
и vj. Задача имеет смысл лмпъ при условии, что определена операция
нара.члельног-о переноса из точки х' в теку г, По определению парал-
лельный перенос ф из точки г' и бесконечно близкую точку х — z' -г dt
задается формулой
V^ = (l+^rfr")Vv = P«-<Vv- G-2.2)
Связность А,, есть вектор со значениями из алгебры Ли группы G (в
представлении, реализуе.иом ф). Билинейный инвариант некоторых по-
лей vVi Фи, реализующих одно и то же представление группы, есть
ф'хфх =inv. G.2.3)
Из формул G.2.1) — G.2.3) находим
1) выражение для коварнантной производной:
Dp = d)l-Aft . G.2.4)
(как следствие G.2.2): фх - ф» % (др - A^^dx");
2) закон преобразования Ар, вытекающий из условия инвариантности
формы G.2.3):
G.2.5)
1В изложении р«д. 7.2.1 мы следуем работе [223].
244
именно,
Формулы G.2.4), G.2.6) позволяют отождествить снязность лд в расгл.,
C!i!ii\: пространстве с векторным калибрыночным полем.
Параллельный перенос ф из точки л' в точку т вдоль контур.-гнх, у')
конечной длины дается согласно G.2.2) формулой
хШ*>< G.2.7)
G.2.8)
в которой оператор параллельного переноса
Р[с{х,х')} = Рехр
получаемый многократным применением элементарной операция {"i.'l.'i),
есть не что иное как Р-экспонента. Предполагается, что унпрядочим.-
ют;;й параметр припкчает наименьшее значение п точке х'. Согласно
формулам G.2.?), [l.'l.b) Pzi' преобразуегся по правилу
KI^!J3{z)PXI.U;i/). G.2.9)
т.е. в отличие от фх оператор PTIi есть бнлокальней тензор. Из ска-
?а.иного ясно, что с геометрической точки зрения поля ф,ф, Я-экспонентн
G.2.8) и инвариантные тензоры (подобные единичному антисимметрично-
му тензору ел. .) — единственные объекты, из которых можно стр-ч-иь
нелокальные инварианты. Простейший из них согласно G.2.7) или G.2.9)
есть
- . Ф'хРгг-Фг-- . G.2.10)
Именно билокальный тензор Рт..~ представляет ассоциированное с хрома-
тическими зарядами внешнее поле, аналогичное кулонову.
Подчеркнем, что, лп-первых, все построение носит чисто геометриче-
ский характер (динамика отсутствует), во-вторых, выписанные формулы
справедливы и в том случае, когда группа G — абелева.
7.2.2. Инвариантные структуры в теориях с группами tr(l). 5ГB),
SU(Z). Прежде чем переходить к динамике, изучим инварианты перечи-
сленных групп.
Электродинамика. Начнем с абелевой группы. Все ее комплекс-
ные представления одномерны, поэтому векторное поле Ац и все заряжен-
ные поля тЬ преобразуются согласно правилам
— А„
G.2.11)
Константа g фактически классифицирует представления. После введения
динамики она отождествляется с постоянной взаимодействия {с электри-
ческим зарядом поля Ф). Принимая во внимание закон, по которому пре-
образуются заряженные поля, важно знать такие линейные по Av объекты
В, преобразование которых сводится к сдвигу В --> В + Л. Зная В, легко
построить искомые инварианты. Перечислим их [218]:
, - , X
Лх\ < О,
G.2.12)
245

A2 = (Vx,Vx) = a]2 + 9|, G.2.13)
B3-=A~l(V,A), Д = а,2 + а| + ^, G.2.14)
Д4 = -nr'fl,,^, a = ~dl = -dl + A. G.2.15)
С помощью Вь конструируем инвариантные комбинации полей 7:
= 1 4.
G.2.16)
Все они нелокальны. В $i иоле Ац сосредоточено на контуре интегриро-
вания, в '4!2 — на плоскости (яь ?•_•), н Фз - в трехмерном пространстве, а
в Ф4 — во всем четырехмерном простраистне-вр» мг-ци. На первый взгляд
3-го противоречит утверждению предыдущего иодраддела, что единствен-
ной фундаментальной структурой является Я-экспонента. Парадокс раз-
решается просто: все новые структуры можно тракгенать как составные,
построенные из линейных (т.е. из /'-экспонент). Однако прежде чем про-
демонстрировать это. заметим, что лолеФц представляет особый случай,
поскольку с-но "нелокально" и по временной координате, и его изменение
со временем носит, по существу, нединамический характер: ввиду нали-
чия в G.2.15) оператора О оно фиксировано. Нас же интересуют лишь
ста'.ичес;м!' ijon.i (связи ие содержат производных Ни времени). Но а этом
случае G.2.15) сводится к G.2.14). Действительно:
Р*'°7ЖАЛ*') = Bт) /
и для статического поля <*ц(?) — 2тг<5(?о)сГ(,(к; конфигурация Ф4 прекраща-
ется в Ф3. ,
Обратимся к *2 и Ф3- Покажем (см. {218]), что Рз в G.2.16) можно
построить из линейных структур G.2.12),'G.2.16) ЯЦх) = exp(~igB\(x)).
Рассмотрим
ftW г) = Ц exp f -ij / .4,(</,у)^. 1 .
G.2.17)
Выражение G.2.17) есть произведение .V экспонент с интегрированиями
по исходящим из точки х прямым, занумерованным индексами i,j. Эти
индексы фиксируют "координаты" телесного угла (площадки на единич-
ной сфере), приходящегося на каждую прямую: Dяул'),-,- = sindj Д^Дс*,-.
Считал произведение Ng = e фиксированным при N-~> 00, имеем
lim P3(N,x) = lim exp
jV—00 Afco
со
1гЛг(т,в,.ф{) =
= exp
. a
' • 2т -г эо 1
^- f ёф fd9sinO fdrArl =e"h,
Loo 0 J
G.2.1S)
^Структуры G.2.16) инвариантны относительно -группы локальных калибровоч-
ных преобразований с произвольными функциями Л*, исчезающими на бесконечно-
сти (Л» —> 0, х —» со). Данную группу можно дополнить глобальными преобразова-
ниями (допустин Аж —¦ const, |х| —• ее). Такое расширение возможно и полезно: оно
позволяет доказать правило суперотбора длн электрического заряда [219]; более то-
го, из него вытекает, что полный электрический заряд незамкнутой Вселенной равен
нулю [219].
где АрAуц = Аг(г,6j,^i)dr. Интеграл в экспоненте G.2.18) перепишем в
виде
J
G.2.19)
Последнее равенство в G.'.'.. 19) написано с учетом формулы
(—1/4)т]х - у)~г = Д~1(х,у) и выражения для дивергенции в сферических
координатах: (V, А) = г~-дг(г7'Лт) + (гsin 0)'v [dg(At sin в) + дфА*], а так-
же с учетом того, что А» — А., — 0. Из G.2.17), G.2.19) следует, что фактор
Рз(*), представляющий кулоново поле ча<- гинм, можно рассматривать как
составленный из линейных экспонент ("струи"). Экспонента ^(г) G.2.13),
G.2.16) представляется аналогичным образом [21S].
Итак, гущеетвилание иивариаптнпх структур G.2.10) при к = 2,3,4 в
абелевойтеории не противоречит утверждению предыдущего подраздела,
что все инварианты построен!,; из билокальных тензоров Pxxi и локально
заряженных полей ф.
Замечание. В работах [211, 220] анялмировзлась гипотеза, что число
.V у элементарных частиц конечно, хотя и велико (;V ~ Ю40). Там же
рассмотрены некоторые экспериментальные следствия гмпотезы.
Группа 51*гC). В случае G — SV{7>) появляются следующие особен-
ности. Во-первых, к полю и-', реализующему фундаментальное предста-
вление, можно 'присоединить" лишь одну струну, ибо фундаментальное
лррдгтавлсиие характеризуется лишь оллнм индексом, принимающим три
значения. Во-вторых, струны могут ветвиться. Вспомним, что в данном
случае имеются инвариантные единичные, полностью антисимметричные
трехиндексные тензоры:
taPl, a,/И,7 =1,2,3,
G.2.20)
фигурирующие в условиях утшодулярностиматриц Ug(x) : det U3(x) = 1.
Благодаря этому обстоятельству три ci руны в фундаментальном предста-
влении могут соединяться в точке, т.е. помимо очевидных инвариантов
(см. G.2.10))
\vPxP2{c(x,x')]v^,, ЪР[с{*,г)\, G.2.21)
0
используя тензоры (Т..20), можно построить еще и такие:
Я«.«^.(*) - <aw(^"J2V«^>«3);'^X^3- G-2.23)
В G.2.22) Р-экспоненты различаются контурами. Из вида выражений
• G.2.21)—G.2.23) ясно, что инвариантные структуры удобно изображать
графически [-18}, сопоставляя струнам направленные линии, например
билокальному тензору (Рц/)^ ~ линию со стрелкой от верхнего индек-
са к нижнему (от х' к л). Структуры G.2.21)-G.2.23) представляются
диаграммами, изображенными на рис. 7.1, 7.2. Светлые кружки на них
сопоставляются полю, содержащему оператор уничтожения, а темные —
оператору рождения кварка. Отметим, что благодаря ветвлению кварки
могут соединяться струнами с нетривиальной топологией (рис. 7.2).

Рис. 7.1. Простейшие инварианты.
1'ис. 7.2. Вс-глясние струн f:
мезоны).
-—О
Рис. 7.3. Ветвление струн (барионы).
Разумеется, приведенные диаграммы имеют мало общего с"диаграм-
мами Фейнмана. Первые представляют мгновенную конфигурацию струн
("неприводимые решения связей"), тогда как последние сопоставляются
амплитудам вероятности процессов. Специфика струя проявляется в том,
что граф, построенный без учета их ваправленности, может оказаться ли-
шенным смысла. Например, невозможна диаграмма с топологией, изобра-
женной на рис. 7.3, а, так как все три стрелки могут быть напраялены или
в вершину или из нее.
Группа SUB). Случай, когда О — SUB) резко отличается от преды-
дущего. В группе SUB) представление, комплексно сопряженное фунда-
ментальному, ему унитарно эквивалентно [222]: инвариантные антисим-
метричные тензоры этой группы еаа, (а,з {а,0 = 1,2) переводят спиноры '
с нижним индексом в спиноры с верхним индексом, и наоборот. Это ради-
кально меняет структуру струн. Во-первых, исчезают тройные вершины,
т.е. струны не могут разветвляться, во-вторых, теряют смысл стрелки
на диаграммах, ибо представления с верхними и нижними индексами уни-
тарно эквивалентны. Таким образом, неабелева калибровочная теория с
группой SUB) отличается от теорий с группами SU(n), n > 2, структурой
248
(топологией) статических полей. Она скорее сродни электродинамике, в
которой также отсутствует ветвление струн. Возможно, именно с этим
связан тот факт, что в модели электрослабых взаимодействий перемеши-
ваются поля именно из этих групп (т.е. 1/A) и 5GB)).
Замечание. Рассмотрены лишь простейшие инварианты калибровоч-
ных групп. Простота определяется: а) рангом структуры относитель-
но лоренцеьых преобразований (например, G.2.21), G.2.22) - скаляры, а
G.2.23) — спин-тензор; нетрудно построить лоренцеаы тензоры произволь-
ного ранга); б) топологией (числом вершин в диаграммах на рис. 7.1-7.3);
в) числом локальных тензоров (нолей материи), формирующих инвари-
ант, т.е. числом струн, оканчивающихся на зарядах; г) приводимостью;
калибровочный тензор назовем неприводимым, если он не есть прямое
произведение других тензоров [218]. Наконец, после включения динами-
ки инвариантные структуры целесообразно классифигшровгть еше и по
энергии [223]. х
7.3. Динамика.
Квантование
7,3.1. Внесение динамики. До сих нор анализ имел чисто кинема-
тический характер — основные элементы теории (калибровочные поля)
фигурировали как объекты теории расслоенных пространств. Постули-
рование лагранжиана наделяет найденные структуры динамикой. Если
лагранжиан инвариантен относительно калибровочных преобразований
из группы G, то проделанный ранее анализ целиком сохраняет опое зна-
чение — струны могут теперь эволюционировать, но иных структур, сверх
устанонленпых, не появится.
Стандартный калибровочно-инвариантный лагранжиан \G — Sf'(u))
имеет вид
?6 G.3.1)
В G.3.1) Dp = дц — igA,, (мы перешли к вещественным полям Ар, — igA^
и ввели константу связи д), А„ н -4?Аа, ?>„ = D^'/ц, причем у^ и \а —
матрицы Дирака и Гелл-Манна; ТгА„А» = 6аь, а,Ъ — 1,...,п2- 1; F^ =
^(D^D,, — DyD^/g, f нумерует сорта спинорных полей ф. В случае кван-
товой хромодинамики (КХД) п = 3 (G = Sf/C)), a / нумерует сорта квар-
ков. Итак, в нашем распоряжении имеется закон, по которому меняются
отбираемые связями нелокальные структуры — это уравнения движения,
задаваемые лагранжианом G.3.1). Для перехода к гамильтонову форма-
лизму воспользуемся процедурой, описанной в гл. 3. Гамильтониан дается
следующим выражением (в стандартных обозначениях [209]):
. G.3.2)
Классические скобки Пуассона определены в гл. 1. ' ¦ ':
7.3.2. Квантование. Переход к квантовому описанию совершается в
рамках стандартной процедуры Дирака (гл. 4). Нам понадобятся следу-
ющие канонические коммутационные соотношения (.со = Уо)'-
[АЦх),ЕЦу)] = tf»Vi«(x-y), ЬЫ*).*л(»)]+ = W(x-y); G.3.3)
249

здесь к, I (= 1,2,3) нумеруют векторные компоненты, а,Ь — компоненты
присоединенного представления, а. например, р (= i, а) включает в себя
как цветные i(=l,...,n), так и спинорные а (— 1,.. .,4) индексы. Камнем
преткновения при квантовании по рецепту Лирака нередко оказывается
проблема выбора порядка следования операторов в гамильтониане и в
связях. В рамках предлагаемого подхода эта проблема могла бы возник-
нуть лишь в отношении инвариантных структур. Весь предыдущий ана-
лиз в значительной степени обесценивается, если найденные в классике
конструкции не сохранятся в квантовой теории. К счастью, этого не про-
исходит. В абелевой теории в линейных экспонентах с пространственно-
подобными контурами интегрирования фигурируют лишь взаимокомму-
тирующкг поля Ац, и нет необходимости их упорядочивать. В теориях
же с неабелевой калибровочной группой уже в классике вводится упоря-
дочение полей (элементов алгебры Ли) вдоль пути интегрирования в Р-
экспоненте. Это упорядочение автоматически переносится на квантовую
теорию, сохраняя свой смысл даже в том случае, когда поля не коммути-
руют, как это имеет место в случае вр^мени-лодобных контуров интегри-
рования.
Итак, внесение динамики и последующее киантоваь:ие в полном объ-
еме сохраняет результаты геометрического анализа. При этом, однако,
появляется один новый и довольно важный аспект — это динамика ветвле-
ния струн, к рассмотрению которого мы и перейдем.
7.3.3. Проблема ветвления струн \G = SlrC)) [218]. Ветвление
струн (наличие структур с тройными вершинами, см. рис. 7.1—7.3) обсу-
ждалось до сих пор как абстрактная возможность. Фиксация лагранжиа-
на вносят новый момент во все рассмотрение, ибо встает вопрос: может
ли в процессе движения меняться топология струны? Может ли, напри-
мер, конфигурация, изображенная на рис. 7.J, а, перейти в конфигурацию,
изображенную на рис. 7.2, а? Очевидно, что этб'лроизойдет лишь в том
случае, если возможен переход
необходимым условием которого является наличие в лагранжиане инва-
риантных тензоров i или d-вершин, ибо
= Тг (А[А,
cА" АьАс,
G.3.4)
где А ~ A^dx", ЪА = 0 и >Ьс = 2~1'-Ъ (Аа[А*. Дс)+) : матрицы А отли-
чаются от стандартных на \/2i отсюда множитель 2'2 в определении
тензора d. Однако в лагранжиане G.3.1) нет ни d-, ни е-тензоров. Пер-
вое слагаемое суммы G.3.1) содержит лишь инвариантный тензор fahc
(структурные константы), а второе — лишь матрицы А„. Но из тензо-
ра }аЬс не построить тензор d (Tr(Fa[f\ F%) = 0, где (Fa)ic - /aSc
[222]). Следовательно, в чистой глюодинамике (L = —Тг^„/4) струны
в фундаментальном представлении не могут ветвиться, т.е. в этом слу-
чае сохраняется топология струны [218]. Не могут они и рваться, ибо
по предположению не существует частиц в фундаментальном представле-
нии, а открытая струна (открытый цвет) — это бессмыслица. .Появле-
ние вершин типа G.3.4) можно ожидать лишь в эффективном лагранжиа-
не спинорной хромодинамики. Однако треугольная диаграмма Фейнмана
250
\
Рис. 7.4. Деление струн в стандартной модели.
(рис. 7.4. а) порождает только /-вершину, поскольку к ней добавляется
диаграмма с обращенными стрелками и в сумме А матрицы порождают
фактор Тг (А'3(Л', Ас]_) ~ /"!>". Ничего не дают и треугольные диаграммы
более высоких порядков теории возмущений. Интересующая нас уершина
может появиться лишь из диаграмм с четным числом ^-вершин в ферми-
онной петле, т.е. в присутствии других взаимод^кстцующмх с фермио-
нами векторных полей. Примером служит диаграмма па рис. 7.4,6, где
пунктирной линией изображен фотон (промежуточный бозон). Сказанное
означает, что каждой вершине изображенных на рис. 7.1—7.3 диаграмм
отвечает фактор g3'2e = -4ira,(о/™,I'4. Это — в локальном пределе;
в общем же случае еще фигурирует и некоторая функция от импульсов
("формфактор").
7.4. Внешние поля зарядов
и статические силы.
Конфаинмент
7.4.1. Электродинамика. Мы выяснили, что калибровочная инря-
риантность (наличие связей) влечет появление у зарядов внешних полей.
Следуя Дираку (см. [34]), выясним их вид в электродинамике. Пусть
Ф — собственный вектор оператора напряженности электрического поля:
Е'Ф — Е'фФ. Рассмотрим состояние ФзШ* 1СМ- (~-2-14), G.2.16)); имеем
G,4.1)
Видно, что добавочное электрическое поле, порождаемое оператором Ф3 ,
идентично кулонову. Аналогичная выкладка для состояния, порождаемо-
го оператором Ф^, дает
*(у)*- [я
G.4.2)
где z(a) задает контур интегрирования, z@) = у. Из G.4.2) явствует,
что, во-первых, напряженность электрического поля, создаваемого Ф^,
251

отлична от нуля лишь на контуре интегрирования, во-пторых, отлична от
нуля лишь компонента поля, параллельная контуру, в-третьих, на контуре
поле бесконечно (~ <5B^@)).
Вычислим энергию пары статических источников. Энергия взаимо-
дейстшм определяется как энергия порождаемого источниками электри-
ческого поля за вычетом их собственных энергий. Вследствие данного
обстоятельства мы вообще не будем интересоваться вкладом в энергию
фермионных полей (полей материи). Итак, вычислим энергию состояний
р„.|о>.
G.4.3)
Здесь |0) — физический вакуум; в Р1Х> интегрирование ведется по прямой,
соединяющей точки х, х'. Нам потребуются коммутационные соотношения
г
f
dz'6(z-y),
G.4.4)
)c:,^-y). G.4.5)
Среднее от гамильтониана электрического поля Н$ — f <i3y[E~ + H"]/2 в
случае кулоновых источников есть
\зхзхазхз
= Со + jj rf3-i
)^,,] <5(z, -as,) х
¦ G.4.6)
где Со = (Но) о. Второе слагаемое в G.4.6) порождается членом Е2/2 в
Но. Вычитая собственные энергии источников (члены J"dzz[(V А~1)хгJ /2),
находим искомую анергию взаимодействия статических источников:
Лля случая одномерного линейного поля (прямая струна между источни-
ками) имеем [211, 220]
9j j d4 J
G.4.8)
Итак, энергия взаимодействия источников дляпервого состояния G.4.3)
дается G.4.7), а для второго согласно G.4.8) пропорциональна расстоя-
нию между источниками. Относительно смысла бесконечного множителя
6^@) см. далее разд. 7.4.3. Отметим, что в G.4.8) отсутствуют слагае-
мые, отвечающие собственным энергиям источников. Если бы состояние
РХх'\0) было стационнарным, его анергию можно было бы отождествить с
потенциальной энергией (подробнее см. далее разд. 7.4.3).
7.4.2. Неабелевы теории. Состояния с определенным значением на-
пряженности хромоалектрического поля Е'а в неабелевых теориях не при-
надлежат к физическому подпространству (поскольку [Е{(х), DjCE'e(y)] —
252
-igfahcE'ci(-x. — у) ф 0), поэтому в них нет аналога формулы G.4.2). Вычи-
слим энергию двух статических источников в фундаментальном предста-
влении (массивные кварки, m -4 со; G — SU(n)), т.е. вычислим среднее
значение оператора G.3.2) между состояниями \МХХ') = .^frx'|0). где
М1Х.=фтРХхП!.Ф*', "G.4.9)
а |0) — физический вакуум; контур интегрирования в Рхх> есть прямая.
Покажем, что энергия возбуждения глюоиного поля в пределе m -+ ос
пропорциональна расстоянию между кварками. При вычислении необхо-
димо учесть следующие обстоятельства.
1). Пусть V = V(+> + Г~\ Ф = Ф{+) + Ф^\ где V'(+) D>l+)) содержит
оператор уничтожения кварка (антикварна). Вообще i-оворя, Vv+)|0) Ф 0,
но при m -4 оо очевидно, что
> 0,
G.4.10)
поскольку в атом предел!- кварковые степени свобсОпл заморожены (не воз-
буждаются).
2). Рассмотрим одновременные антикоммутаторы
и аналогичное выражение для S^x — [Vvi . ^'лу ]+ >• которое получается
из G.4.11) заменами и(р) -> и(р) и р -> —р в экспоненте. В G.4.11) ис-
пользооаны стандартные обозначения и нормировки, t('(/>)Tr"(р) — (р
) Е f2 )Ч2 i Х jff; а фиксиру
га),
андартные оч рр )
~ (р - т), Ер — fp2 + т-)Ч2, р = i,a, Х- j,ff; а фиксирует
га), у(р^{р) (р ), р p )
поляризацию фермиона. Лля массивных кварков имеем
-4 iGo + I)ee*y«(x - у),
- У) . G.4.12)
3). Нормировка порождаемых оператором G.4.9) состояний \М) тако-
ва; {М\М) - С - 2Trl[rf'31@)]2, Trl = п. Нас интересует разность
Угг, = (<М„-|Я|Л(„.> - (М„\Н\М,*)) С, G.4.13)
где Я — гамильтониан G.3.2). Вычисление аналогично соответствующей
выкладке в электродинамике с той разницей, что в G.4.13) явным обра-
зом входят фермионные поля и что простая экспонента заменяется на Р-
экспоненту:
РХ1, = Рехр iig j А1(:(т))\,(т)гЦт)<1т j . G.4.14)
Здесь i^ = dz^/dr, r@) = i',' гA) — x; следуя Фейнману (см. [40]), мы ввели
зависящие от упорядочивающего параметра матрицы Ха ~ символ Р в
G.4.14) задает порядок их следования. Нам понадобится коммутационное
соотношение, аналогичное G.4.4):
G.4.15)
253

Отметим, что символ упорядочения Р относится здесь ко всем матрицам
А в квадратных скобках, включая матрицы оператора Ptz'- Принимая
во внимание коммутативность полей ,4° при одинаковых временах, то-
ждество Ptx{PzXi = 1 и уравнения G.4.10), G.4.12). G.4.15), находим для
разности G.4.13)
Р Рхх' J'x^r)ik(rN(z{r)-y)dr 1H;
G.4.16)
L о 1)
символ Р предписывает антиупорядочение по отношению к Р, например
Р+., = Pexp(-ij J Aadx"). Согласно G.4.16) искомая энергия возбуждения
глюонного поля в состоянии |-V(J)r') есть
-x'|. G.4.17)
Итак, именно оператор параллельного сдвига G.2.S) представляет по-
рождаемое зарядами внешнее поле, энергия которого пропорциональна
расстоянию между источниками. Как и в случае электродинамики, если
бы состояние j.M) было стационарным, эту энергию можно было бы ото-
ждествить с линейно растущим потенциалом. Такие потенциалы постули-
ровались для объяснения прямолинейности траекторий Редже, спектра
кваркония, конфайнмента. *т.
7.4.3. Обсуждение. Общепринято отождествлять Р-экпонеиту G.2.S)
со струной ввиду одномерности соответствующего возбуждения полей и
линейной зависимости энер! ии возбуждения от длины контура с(х, х').
Строго говоря, для такого отождествления следовало бы доказать, что в
процессе движения "струна" продолжает оставаться линейным обьектом.
Исследовать этот вопрос в неабелевом случае довольно сложно. К сча-
стью, подобные объекты имеются в электродинамике, где задача решается
до конца. Авторами работ [225-227] изучалась судьба возбуждения элек-
тромагнитного ноля, представляемого экспонеитой G.2.8), с замкнутым
контуром и с контуром, соединяющим статические источники (массивные
заряды противоположных знаков). Оказалось, что замкнутая "струна"
G.2.8) расплывается, т.е. вся ее энергия излучается, а "струна' между
зарядами после излучения избыточной энергии превращается в кулоково
поле. Поскольку результат не зависит от силы взаимодействия (величины
электрического заряда источников), встает вопрос о причинах выполне-
ния закона площадей на решетке в пределе сильной связи [203]. Как пока-
зано в [225-227], метод сильной связи в том виле. в каком он используется
при вычислениях на решетке, не пригоден для решения вопроса о конфайн-
менте. В решеточных моделях с непрерывным временем взаимодействие
записывается в виде ~ Н'/д-, где Н — магнитное поле, т.е. при д2 -1* оо
взаимодействие соседних осцилляторов поля выключается. Следователь-
но, в пределе д2 —> оо невозможно распространение волн, т.е. возбуждение
G.2.8) в этом приближении стабильно и может отождествляться со стру-
ной. Точное решение дает прямо противоположный результат — "'струна"
G.2.8) есть чистое излучение. Итак, в электродинамике экспоненту G.2.8)
254
нельзя отождествить со струной. Есть основания полагать, что в неабе-
левых теориях Р-экспонента G.2.8) ведет себя аналогичным образом.
Сформулируем предположения, которые фактически использовались
при получении формулы G.4.17): 1) статические источники (массивные
кварки, m — ъэ), 1) "статическая струна". Особенность задачи в том, что
положение струны, как и источников, фиксировано в пространстве, хотя в
принципе она может менять свою конфигурацию. Можно ли это условие
(фиксированность) сформулировать "параметрически", подобно условию
m —« оо для кварков? Очевидно, что можно. В случае искривленной
струны длиной / в G.4.17) вместо ?2|х—х'| стояло бы д, и при д2 —» оо даже
малое ее отклонение от прямой было бы связано с большим увеличением
анергии; следовательно при д2 —»¦ ее все собственные колебания струны
будут подавлены.
А что происходит при допредельных значениях обоих параметров?
Случай бесконечных фермионких масс отвечает "чистой" глюодинами-
ке. Главным следствием включения фермиошюго поля будет иечможно'.'ть
разрыва струн в фундаментальном представлении — теперь кварки могут
рождаться (на концах струны обязательно должны находиться заряды).
Это влечет появление нового параметра в теории — критической длины
струны (гс), при которой она рвется. На расстояниях г > г- потенциал те-
ряет смысл. Далее, согласно анализу разд. 7.3 как раз в этом случае, да
еще в присутствии добавочного внешнего взаимодействия, струны в фун-
даментальном представлении могут ветвиться (для групп SU{n), n > 2).
Данное обстоятельство изменяет потенциал и на докритических расстоя-
ниях (г < гс). Обратим внимание на то, что в потенциал G.4.17) входит
бесконечный множитель й^{0). Упрощая существо дела, его можно или
заменить на с/(тгг;), где га — радиус струны, или включить в определе-
ние натяжения струни с : Vr r=. от, г — расстояние между источниками.
Тем самым вводится новый физический параметр - <т. Очевидно, что
эти три параметра (гс,т,<г) связаны между собой: гс ~ т/сг, т.е. только
два из них независимы. Параметры выбираются из посторонних сообра-
жений; выбор тех или иных конкретных их значений может привести к
теориям, резко отличающимся друг от друга, хотя и имеющим одну и ту
же природу (один и тот же лагранжиан). Это обстоятельство порождает
многообразие форм, в которых может проявляться конфайнмент.
7.4.4. Конфайнмент. Перечислим формы, в которых может про-
являться конфайнмент при расширительном толковании этого термина.
Слабый конфайнмент. В слабейшей форме конфайнмент сводит-
ся к утверждению, что физическому подпространству принадлежат лишь
бесцветные (зарядово нейтральные) состояния. Слабый конфайнмент име-
ет место в любой калибровочной теории. Для неабелевой теории что
утверждение очевидно, ибо цветным объектам всегда сопутствуют стру-
ны, а бесконечные струны физически недопустимы: при конечном натя-
жении они обладают бесконечной энергией; кроме того, они преобразу-
ются при глобальных калибровочных преобразованиях [219, 2-21]. Ме-
нее тривиален абелев случай (электродинамика), когда статиче'ское вза-
имодействие убывает с расстоянием. Однако расширение класса кали-
бровочных преобразований путем включения в него и глобальных по-
зволяет доказать, что полный электрический заряд открытой Вселенной
равен кулю [219]. '
Итак, конфайнмент в расширительном толковании не обязательно свя-
255

зан с растущим на бесконечности потенциалом. Оя эквивалентен утвер-
ждению, что "силовые линии" (струны) не могут уходить на бесконеч-
ность — они начинаются н заканчиваются на зарядах.
Сильны икон фай нмент— это " классический" конфайнмент, когда
статическое взаимодействие массивных частиц описывается линейно ра-
стущим потенциалом, i.e. когда противоположно заряженные (цветные)
частицы соединены струной, которая не может разорваться.
Конфайнмент в физике адронов. В реальном мире сильных
взаимодействий струны рвутся по достижении некоторой длины гс; при
этом рождается до-пара. С величиной гс и связан вопрос о наблюдаемо-
сти или ненаблюдае.мости кварков (вопрос о том, "почему мы не видим
физических кварков?"). Чтобы быть зарегистрированной современными
приборами, заряженная частица должна пройти расстояние порядка атом-
ных размеров га. Если гс < га, то отдельный кварк не может быть обна-
ружен с помощью камеры Вильсона (или иного аналогичгюго прибора).
Такал возможность появляется лишь при гс > г». Но и в том и в другом
случае имеет места конфайнмент! Следовательно, упомянутый вопрос о
"невыле-гании" кварков возникает только при использовании определен-
ных средств наблюдения. Уже опыты по глубоко неупругому рассеянию
лептонов на адронах (т.е. применение "лептонного микроскопа") позно-
лили не только зарегистрировать кварки, по и установить их квантовые
числа (спин, изоспин, электрический заряд). Таким образом, пленение
кварков не превращает их и ненаблюдаемые объекты - очи остаются пол-
ноправными частицами 3, хотя и существующими в своеобразных услови-
ях, вследствие чего для их изучения требуются специальные приборы.
Экранирование (обесцвечивание). Если гс —* 0, то поля в фор-
ме струн не проявляются. Струна конечной длины коллалсирует, распа-
дается на фрагменты нулевой длины (явление аналогично экранированию
электрического заряда в проводнике — разрыв струны означает рождение
Пары). Феномен хорошо изучен в модели Швинге'ра [204], где безмассовые
фермионы могут рождаться в.неограниченном количестве [205-207]. Мож-
но ожидать, что струны в присоединенном представлении будут вести се-
бя аналогично.
Другие случаи. Пусть размер адрояа характеризуете параме-
тром »v Число Гс/^ь позволяет выделить два предельных случая. При
Ге 2> П,, в особенности если гс'Э> f», частицы, будучи плененными, могут
удалиться друг от друга на макроскопическое расстояние. Разумеется,
такие частицы, если они обладают'электрическими зарядами, допускают
регистрацию обычными приборами (камерой Вильсона и т.п.) — конфай-
нмент здесь не помеха. Подобная ситуация возможна при достаточно ма-
лых натяжениях струн {ог\ ^. 1, мягкий конфаЪчмечт). Напротив, если
г» >¦ гс > П>> плененные частицы по отдельности не наблюдаются. Ситуа-
ция имеет место при больших натяжениях струн (orjj ~ 1). Именно такой
жесткий конфайнмент имеет место в физике адронов.
Особый случай являет собой электрослабое взаимодействие, посколь-
ку в нем "цветные объекты" (лептоны, промежуточные бозоны) "вылета-
ют". Эта модель требует специального анализа, так как в ней принципи-
альную роль играет вакуум (имеет место феномен Хиггса).
'Впрочем, вто, пожалуй, сильно сказало; некоторое "поражение в правах" асе же
имеет место — они ае могут разлететься, (
256

Глава 8 --.•¦¦
ПРИЛОЖЕНИЯ
8.1. Краткие сведения по теории групп
8.1,1. Основные определения. Группой называется абстрактное мно-
жество С [170], если
1) Ув1,32 6 G определено произведение 17192 € G, ассоциативное и, во-
обще говоря, некоммутативное:
2) существует единичный элемент е?С: гд = д'е - д Vj g С;
3) V д существует обратный элемент д~}: дд'1 — д~'д — е.
Параметрической группой называется группа G, элементы которой мо-
гут быть параметризованы некоторым числом (вещественных) параме-
тров.
9 = <?(<Ь<2 *«)• C.1.1)
При этом параметризации может быть локальной, т.е. в различных обла-
стях группы можно пользоваться разными системами координат. Закон
умножения дз — д%3г выражается теперь в аналитической форме;
Параметрическая группа G называется группой Ли, если функция F, за-
дающая закон умножения, аналитична, и если то же верно для перехода
к обратному элементу.
Представлением группы G в линейном пространстве Е называется ото-
бражение
9-^Тй (8.1.2)
группы G в группу линейных преобразований пространства Е с выполне-
нием условий Tgin = TnTgi,Te = 1 и Т3 непрерывно зависит от jr. Отобра-
жение (8.1.2) предполагается однозначным. Представление Т3 называет-
ся контрградиентным к Т3, если существует невырожденная билинейная
форма
(г, х), . хеЕ, .?€?,.,. , (8.1.3)
инвариантная относительно одновременного действия ts и Tt:
(T,x,?,Z) = (x,3). ¦ ¦¦ , ¦, {8.1.4)
Невырожденность означает, что Vz 6 Е существует х ? Е, такой, что
(х,х) ф 0, и наоборот: Vx € Е существует г с Е, такой, что (г, х) ф 0.
При подходящем выборе базиса форма (8.1.3) может быть диагонализова-
на (т.е. пространства Е и Е отождествляются) и условие (8.1.4) эквива-
лентно л
xs ~ хз '
где индекс Т означает транспонирование.
Линейное пространство X с операцией умножения [*i,*j] такой, что
каждой паре векторов ставится в соответствие вектор %ъ = fci, ?2I обла-
дающей свойством антисимметрии: [яь^г] = ~[*2ixi] ,и подчиняющейся
тождеству Якоби: -, .¦ . ¦¦¦.;.-.
[xi[x2, х3]] + [*г[*з, ^i]] + [*з[*1, х2]] = 0,
257

называется алгеброй Ли. В силу билинейное!и коммутатора закон умно-
жения в алгебре Ли определяется однозначно, если при некотором выборе
базиса {е,} ? X, t = 1,2,..., n = dimA', известно разложение коммутаторов
базисных элементов:
Величины fijt называются структурными константами алгебры Ли.
Лля произвольного элемента А' справедливо разложение х = г'е;, где
коэффициенты х' могут быть вещественными или комплексными числами.
Алгебра Ли как линейное пространство изоморфна евклидову простран-
ству Я" (если х* € Я) или С" (если х1 € С).
Связь между группами и алгебрами Ли устанавливает теорема Ли:
элементы группы Ли G можно локально представить в виде д = ехрх,
i e х [по].
Рассмотрим 1-форму для группы Ли С:
и — g~idg,
(8.1.5)
дифференциал dg можез быть определен при некотором выборе простран-
ства параметров U (см. (8.1.1)). Если для G задано матричное пред-
ставление, то dg — матрица, составленная из дифференциалов элемен-
тов матрицы д. Форма (8.1.5) инвариантна относительно левых сдвигов
д —> hg, h € G. Аналогично форма
ui — dgg~}
инвариантна относительно правых сдвигов д — gh. С помощью лево(пра-
во)-инвариантной 1-формы можно задать метрику на группе G:
(используем матричное представление). Нетрудна/проверить, что
dgg-1) = liZ2, (8.1.6)
т.е. лево- и право-инвариантные метрики совпадают.
Используя инвариантную метрику на G, можно определить инвариант-
ную меру dfi3 на G (меру Хаара), как объем n-мерного параллелепипеда
(п = dim G), натянутого на яезависимые смещения из матрицы и — и(д).
Мера обладает следующими свойствами [170]:
. dn3)a = dy.nt - dfig-1 = dfis.
Интеграл по группе G определяется как
Справедлива следующая теорема [169]. Пусть dx — евклидова мера
¦на алгебре Ли X группы G (X ~ ЯП(С), под dx понимается мера на со-
ответствующем евклидовом пространстве) ы пусть d)X3 в окрестности
единичного элемента имеет вид (d/Jj)e — dx. Тогда для любой функции
258
f(g), имеющей компактный носитель в области ехрХ С G, «меет место
формула
J f{9№, = J
х
a x
Линейный оператор adx действует в X по правилу ad xy = [t,y] Vr, у € А"
и определяется структурными константами алгебр Ли.
8.1.2. Краткие сведения по алгебрам Ли. В алгебре Ли X рас-
смотрим множество Н всех элементов Л, коммутирующих друг с другом.
Очевидно, что Н есть подалгебра в Х\ Н называется подалгеброй Кар-
тана. Размерность подалгебры Картана I = dim Я называется рангом
алгебры Ли.
В классификации алгебр Ли центральную роль играет теорема Днн-
кина: любая простая алгебра Ли характеризуется одной из следующих схем
— рис. 8.1 [169, 170], где число кружков равно рангу алгебры I.
A,~SU{l
В, ~ SO{21 + 1), I > 2
1
1
1
Ei, 1 = 6,7,8 Ft G,
Рис. 8.1. Схемы Лынкина.
По схеме Дынкина восстанавливается любая простая алгебра Ли. Де-
лается это следующим образом. Каждому кружку ставится в соответ-
ствие вектор ш в Я', причем цифры над кружком указывают относитель-
ное (либо абсолютное при определенной нормировке) значение квадрата
вектораш. Черточки между кружками указывают углы между векторами:
о • 90", о—• 120°, а=» 135°, ^3> 150". Следовательно, каждая схема
задает / линейно-независимых векторов в Я'. Пространство Я' называет-
ся корневым пространством алгебры X, а система векторов w— простыли
корнями в нем. По системе простых корней восстанавливается система
всех корней алгебры. Все корни алгебры делятся на положительные и от-
рицательные. Положительным корнем называется вектор а = J2i=i n'w"
где rij — некоторые неотрицательные целые числа. Каждому положитель-
ному корню а > 0 соответствует отрицательный корень — а(щ —> —щ).
Числа щ определяются из соотношения
(8.1.7)
259

которое справедливо для любых корней а и 0, где р = rnin (n), q = max (n)
в серии корней -/„ — 0 + net, т.е. при п = р,р + 1,.. .,q — l,q jn является
корнем алгебры.
Заметим, что, если а и /9 — простые корни, то р = О, так как о. - /? не
может быть корнем (у корня либо нее л, > 0, либо все п, < 0). Кроме того,
следует учитывать, что кратных корней в алгебре нет.
Пример: Ai 1 о о 1 (алгебра 5ГC)). Из (8.1.7) следует
—2(o»i,wj) = 5=1, поатому wi -f u>2 — корень. Убеждаемся, что других
корней пет, используя (8.1.7).
Аналогично можно рассмотреть алгебры
пространства изображены на рис. 8.2.
. Их корневые
1 3
Рис. 8.2. Корневые диаграммы для групп ранга 2.
Из (8.1.7) следует, что Ца,0)г/[(а,а){0,0)] = Acos29ag - целое число
(9а0 — угол между корнями). Поэтому cos20O/9 = 0; 1/4; 1/2; 3/4. Из ана-
лиза этого соотношения нетрудно вывести, что взаимное расположение
корней в плоскости, проходящей через любые два-корня а. 0, совпадает
с одним из изображенных на рис. 8.2 (конечно, может быть еще случай
о о, т.е. когда в плоскости (а,0) есть только корни ±а и ±0, а X 0).
Если С/2 исключить из рассмотрения, то для всех'остальных достаточно
использовать при построении системы корней только Ai и В?.
После того как система корней восстановлена, можно реконструиро-
вать всю алгебру X, используя канонический базис Картана—Вейля. Кор-
невое пространство изоморфно подалгебре Картана Я в X (максимальная
коммутативная подалгебра в X), т.е. все простые корни как элементы Я
коммутируют друг с другом: [и,-,и>;] = 0. Всякий элемент Я есть линейная
комбинация корней. Всякая простая алгебра X разлагается в ортогональ-
ную сумму: ' ¦
а>0
где суммирование ведется по всем положительным корням а > 0 и
dim Х±а = 1. Обозначим базисный элемент в Хо как ео, а в Х-а — как
е_о- Тогда любой элемент i€.Y можно разложить по этому базису:
а<0
где ш пробегает простые корни. Базисные элементы подчиняются следу-
ющим коммутационным соотношениям (базис Картана-Вейля):
»,е_а] = а, [h,ea] = (h,a)ea, [ea,eg] =
260
(8.1.8)
где Л 6 Я, JVO0 — числа, Nop = 0, если а + 0 не является корнем, и
N%3 = (l/2)g(l - р)(а,а), р = min(n), g = max(n), в серии корней 0 + па,
причем Nag = N-a,-a- Правильные знаки у Na$ восстанавливаются из
требования выполнения тождества Якоби для всех базисных элементов.
Величина
{х,у) = Tradi ad у,
определяемая для любых элементов х, у ? X, называется формой Карта-
на—Киллинга. Отметим, что для компактных групп нормировка базиса
может быть выбрана так, что в матричном представлении алгебры (кото-
рое всегда существует по теореме Адо) Тг ху = Тг ady ad i = (х, у). Таким
образом, по схемам Дынкина восстанавливается любая простая алгебра.
Между базисом (8.1.8) и ортогональным базисом в такой нормировке
можно установить соответствие [170]. Ортогональный вещественный ба-
зис в Л" образован системой векторов ica,sa,ihw, где
со =-=(ео +е_о), sa =—=(ео-е_„), (8.1.9)
V2 V2 ,
a hu. — некоторый ортогональный базис в Я (ортогонализованный некото-
рым способом базис простых корней).
Любая группа Ли содержит дискретную конечную подгруппу W, на-
зываемую группой Вейля. которая порождается зеркальными отображени-
ями относительно гиперплоскостей в подалгебре Картана Я, ортогональ-
ных простым корням. Группа W изоморфна группе перестановок корней,
т.е. группе преобразований в Я, сохраняющей систему корней. Фунда-
ментальная область в Н относительно действия W называется камерой
Вейля: К*" — H/W. Обычно в качестве К^ выбирают пересечение всех
положительных подпространств, ограниченных гиперплоскостями, орто-
гональными простым корням ("положительность" определяется направле-
нием корней); "камера Вейля — открытый выпуклый конус" [92. с. 104], т.е.
для всякого h 6 А'+ справедливо (A,w) = /i.w; > 0, где w пробегает множе-
ство простых корней.
Рассмотрим полиномы в Я, инвариантные относительно действия груп-
пы Вейля. Существует теорема Шевалле, которая утверждает [155], что
всякий полином p(h) на картановой подалгебре, инвариантный относи-
тельно группы Вейля, может быть продолжен до полинома р(х) на всей
алгебре X, инвариантного относительно присоединенного действия груп-
пы G в X, т.е. р(х) = р(пхп~1), п € G. Следующая теорема определяет
классификацию таких инвариантных полиномов в X.
Теорема [169. 170]. Всякий полином в алгебре X простой группы,
G, инвариантный относительно присоединенного действия группы, раз-
лагается по образующим Ъхг\ г = 1,2, ...,l = rankG, где г, - степени
независим ыг операторов Казимира в X [170] (см. таблицу).
Из последней теоремы следует, в частности, что всякий полином, ин-
вариантный относительно группы Вейля, есть полином, построенный из
образующих Тг hr\
Инвариантные однородные полиномы в X порождают инвариантные
симметричные тензоры. Например, Trxn = djr. ;„х11 • • i'*, .<&, i. —
sym TrA^—Ai,} , где х = x'A,-, {AJ - базис в X, a sym означает
симметризацию по всем индексам в скобках. Очевидно, что любой ин-
вариантный симметричный тензор в X может быть разложен по непри-
водимым инвариантным тензорам, порождаемым базисными полиномами
261

A,-
B,~
С,
D,
Группа:
-SU(l + l)
50B/+ 1)
~ SpBl)
~ SOBl)
G2
Fa
Es
ET
Ea
П,
t = 1,2,...,/
i+1
2j
2i
2f, l(i ф 1)
2,6
2, 6, 8, 12
2, 5, 6, 8,
9,12
2, 6, 8, 10,
12, 14, 18
2,8,12, 14,
18, 20, 24, 30
Trir', t = 1,2,...,/ = rankX. Аналогичное утверждение справедливо и
для тензоров в Н, инвариантных относительно группы Вейля.
8.1.3. Свойства меры к2(Л) (см. разд. 5.4). Мера ft — к7 может
быть вычислена явно [154, 157, 169]. С этой целью введем в алгебре Ли
X базис Картана— Вейля (8.1.23). Очевидно, что в этом базисе любой
элемент z 6 X Q Н записывается в виде z = J^a>o(z?ea + ;~е_о). Однако
базис в XQ Н, составленный из еа,е_а, не является ортогональным, так
как квадрат вектора х = ft + г (Л 6 Я, z ? X Q Н) в этом базисе есть [170,
с. 21Т]
(8.1.10)
а>0
Чтобы вычислить detu) матрицы E.4.22), в X В Я- следует ввести орто-
гональный базис (8.1.9): . - '
Тогда второе слагаемое в правой части (8.1.10) заменится на
В базисе (8.1.9) легко найти матрицу uap(h). По определению E.4.22)
[Л,АО] — wafl(ft)Aj3, где Ао образуют ортогональный базис в X Q Н. В
качестве {А[+1, Л|+2,..., A,v} возьмем набор {cal,sOl,ca2,sV2,...}. Тогда из
(8.1.8) и (8.1.9) вытекает [Л,со] = (h,a)sa, [h,sa] — (h,a)ca. Следовательно,
в этом.базисе матрица иар составлена из блоков Г](Л,а), Т\ — матрица
Паули, а пробегает множество всех положительных корней. Поэтому с
точностью до знака имеем (в базисе Картана-Вейля шар вещественные)
(8.1.11)
а>0
т.е. к(Л)- полином Л,- степени GV — /)/2. По построению E.4.21), E.4.22)
величина ^^'^(А) есть объем орбиты калибровочной группы влемента
величина
262
h [182]. Здесь Va — объем группового простанства, Vh — объем стацио-
нарной пожруппы элемента Л, Vh = B^)' (подгруппа Картана изоморфна
(
Используя (8.1.11), нетрудно проверить, что "квантовый потенциал"
V, = к~х{д}кI2 равен нулю:
"О
по всем а ф /J > О,
плоскостям в одной
плоскости
Здесь сумму по положительным корням а ф /3 > 0 мы разбили на сум-
му по положительным корням, лежащим в одной плоскости, и сумму по
всем таким плоскостям. Сумма в одной плоскости может быть вычислена
явно, так как взаимное расположение положительных корней в ней опре-
деляется случаями cos20c,3 = {а,РJ(а.а)-1@,0)-х = 0; 1/4:1/2:3/4 [155,
170], т.е. фактически V, для группы ранга / определяется V, для групп с
/ = 2: 5GC), 5рD) ~ 50E) и G?. Можно проверить явным вычислением,
что для них V4 — 0. Тот же результат может быть получен алгебраико-
геометрическими методами (см. [169, теорема Л. 5.33]).
8.2. Грассмановы переменные
8.2.1. Анализ на граг.смановых алгебрах. Рассмотрим п элементов
Bj, j ¦=. 1,2,..., п, которые подчиняются соотношениям
0j0j = -в,9{ , (8.2.1)
для всех i,j. В частности, из (8.2.1) вытекает, что 9f = 0 (нет суммирова-
ния ло »'). Из элементов 9j и единицы можно построить 2" величин:
¦••%
*¦
(8.2.2)
по определению 01"' = 1. Все остальные однородные полиномы по 0,- то-
ждественно равны нулю в силу (8.2.1). Линейное пространство с базисом
(8.2.2) называют алгеброй Грассмана Оп, величины 9j — образующими, а
величины в^*)—базисом в Gf,. Очевидно, что произвольный элемент Gn
имеет вид #
* П
,.e(,*L.;., (8.2.3)
t=0
где тензоры .р*-* антисимметричны и являются обычными числами (веще-
ственными или комплексными). .
Четным и нечетным элементами грассмановой алгебры называются
соответственно функции вида у
k=0
[n/2]
263

где [n/2] — целая часть числа п/2. Четные элементы коммутируют с лю-
бым элементом С„, а нечетные — между собой антикоммутируют' Поэто-
му в Gn можно ввести понятие четности: нечетным элементам Gn при-
писыпастся четность 1, а четным — 0: e(/Odd) = 1, ?{/е«?п) = 0. Ввиду
антикоммутативности нечетных элементов, квадрат любого из них ранен
нулю: Poid(9) = 0.
Левой производной д/дву от базисного элемента Э'*' назывется эле-
мент Gn вида
В частности.
(8.2.4)
щ
Правой производной
мент Gn вида
в1к)
(8.2.5)
} от базисного элемента Q^k> называется эле-
Jlll-Jk ЯД
VJL
8.2.6)
т.е. для нечетных элементов Gn правая и левая производные совпадают,
а для четных — различаются знаками. Производные произвольного эле-
мента Gn (8.2.3) определяются равенствами (8.2*3;)—(8.2.6), поскольку по
определению операция d/dOj линейна. Нетрудно проверить, что
JLJL
JLJL
дв{ дв,'
Рассмотрим систему образующих {dOj} (j = 1,2,..., п), таких, что
[Mi, d9j)+ = WJjU = № • ?>]+ = 0, , (8.2.7)
где [ , ]+ означает антикоммутатор. Положим по определению [179]
/rf0,0j=uy, fd9i=O.
(8.2.8)
Правила (8.2.8) совместно с (8.2.7) определяют интеграл от любого эле-
мента Gn, причем кратные интегралы понимаются как повторные (см. так-
же [234]). Например,
,•.) = (-1)',
где (-1)р — знак перестановки
( h h ¦¦'¦ к V
V п п-1 •¦• \ )
264
Как и в обычном анализе, на грассмановой алгебре имеются формулы
интегрирования по частям:
J
Для доказательства достаточно рассмотреть в качестве /i,j произвольные
одночлены. В работах [174, 175] дана общая теория интегрирования на
грассмановой алгебре.
Рассмотрим смешанную алгебру, порождаемую антикоммутируюши-
ми (грассмановыми) и коммутирующими образующими. Последние бу-
дем обозначать *,•>, {' = 1,2, ...,п'. Функции /(х,9) имеют вид (8.2.3),
где коэффициенты /^*) зависят от коммутирующих переменных ц*. По
определению [z;',#i] = 0; дифференциалы rfi,-> и производная d/dxi> также
коммутируют со всеми 0*, rffl,- и производными по 0;. Интеграл от функций
/@, х) понимается в смысле определения (8.2.8) для грассмановых пере-
менных, а по коммутирующим переменным определяется стандартно.
Зеленой переменных будем называть переход от одной системы обра-
зующих смешанной алгебры к другой с сохранением четности [228]:
*i<=z.<(y,tf), 9i=9,{yJ). (8.2.9)
Сопоставим преобразованию (8.2.9) блочную матрицу
R
-\
Cw
30,-
Очевидно, что элементы матриц А и D — четные элементы, а элементы
матриц ВиСт нечетные. Положим
J = deb R = det(A - BD~lC)deiD-1. '•
(8.2.10)
Величина (8.2.10) называется супердетермихахтом матрицы R. В работе
[228] доказано следующее равенство:
J
*, e)dxd9,
где dd, d6 и «fy, di — меры интегрирования по грассмановым и бозевым
переменным соответственно.
8.2.2. Квантовое описание систем с грассмановыми переменными.
Помимо описания в "бескоординатном" (дираковском) формализме, при-
веденном в разд. 5.5.2, полезно име*> конкретную реализацию алгебры
E.5.8), необходимую для построения континуального интеграла. Есте-
ствен и удобен следующий выбор (голоморфное представление). Пусть
4а,4а {а — Д12,..., п) — образующие комплексной грассмановой алгебры,
?, = 9? + W%, {' = в? - i9%, (в?)* = в? (» = 1,2). Тогда произвольному
состоянию \\) сопоставляется элемент грассмановой алгебры
265

i=0 {«}
а сопряженному состоянию (х| — элемент
*=0 {о}
(8.2.11)
Оператор f+ реализуется как оператор умножения &x(V) = taXit"),
a fo согласно E.5.8) — как оператор дифференцирования: (ax(V) —
(d/d?*)x(V)- Скалярное произведение определяется следующим образом:
считая аналогично (8.2.8)
(8.2.12)
dC = 1. (8.2.13)
Данное определение есть конкретизация формул E.5.9)—E.5.11).
В формуле (8.2.12) можно проинтегрировать по f]o d{o. Тогда скаляр-
ное произведение перепишется в виде
(8.2.14)
<8-2-15)
где [149, 230]
ЯП =
и Р — четность перестановки:
0
Можно убедиться, что именно в смысле метрики (8-2.12) (или (8.2.14),
(8.2.15)) операции умножения иа{„ и дифференцирования 3/3?* сопряже-
ны по Эрмиту. Операция (8.2.15) соответствует, очевидно, определению
сопряжения по Мартину [179]. Например, для п — 2 имеем
(fix) = х(Г) = хо + х«? + хз(Ге,
Ш =
о=0
Переменную ^* в формулах типа (8.2.14) можно считать вещественной
грассмановой переменной в, так как в формализме (8.2.14) используется
только ?* и так как комплексное сопряжение превращает (8.2.14) в
= ш = /г
,266
Третье равенство есть следствие (8.2.13) (одинаковость свойств алгебр
{?} и {?*})i последнее вытекает из (8.2.14) и (8.2.15). Переменные ? и {,"
следует различать в алгебре с инволюцией, т.е. с образующими {?,{"}.
Пусть имеется ядро некоторого оператора в голоморфном представле-
нии 0{Ф~,Ф)- По определению, действие оператора О на вектор (Ф')
задается равенством
ОХ(Ф') =
(S.2.16)
— ядро оператора О, сопряженное по Мартину. Формула (8.2.16) устана-
вливает соответствие между ядром оператора эволюции F.4.4) и контину-
альным интегралом F.4.12). Легко проверить также, что ядро F.4.10), со-
пряженное по Мартину в соответствии с (8.2.16), совпадает с ядром F.4.6):
8.2.3. Решения классических уравнений движения для смешан-
ных систем со связями. В разд. 5.7 возникла проблема трактовки урав-
нения связи E.7.3). На самом деле этот вопрос гораздо шире и связан
с интерпретацией решений уравнений движения для смешанных систем.
Далее на примере модели E.7.2) показано, что начальные значения бо-
зевых переменных должны пониматься как четные элементы супералге-
бры, а не как обычные числа. С этой целью гамильтоновы уравнения
движения решаются в различных переменных, связанных между собой ка-
ноническим преобразованием, в предположении, что начальные значения
бозевых переменных в обоих случаях суть обычные числа. Найденные
решения качественно различны - в одних переменных фермионные и бо-
зонные степени свободы перемешиваются в процессе эволюции, а в других
— нет. Чтобы обеспечить равноправие переменных, связанных канониче-
скими преобразованиями, необходимо допустить, что начальные значения
бозевых беременных являются четными элементами супералгебры.
Найдем решения гамильтоновых уравнений для системы с гамильто-
нианом E.7.2), в котором для простоты положим ^ii = 0, шг = ш. По-
скольку скобка Пуассона гамильтониана со связью E.7.3) равна нулю,
эта связь ограничивает допустимые начальные значения динамических
переменных, т.е.
р0Гх0 - $Т& = 0, (8.2.17)
где нулемв индексе обозначены канонические переменные в момент.време-
ни t — 0. Предположим, что векторы р0 и хо имеют своими компонентами
обычные вещественные числа. Тогда в силу грассмановости переменных
Ф* и ^о равенство (8.2.17) эквивалентно <тв = Ро.Тхо = 0 йот = Ф??Фо = 0.
Решение гамильтоновых уравнений движения $ — {в, Я}, где в — любая
267

переменная из набора (р. х, ф+, ф) с начальными значениями 9(t = 0) = <?о,
подчиняющимися <tb,f = 0, имеет вид
(8.2.18)
(iuf)^, (8.2.19)
где Пт(/) = ехр(- /0* drj,(r)r), Пг<0 = exp(t /0* ^т-у(г)Г) и(в = const, А„ =
const (pD = АоХо — решение уравнения cr% •=. 0). Образующие грассмано-
вой алгебры ф? и фо не являются независимыми, так как от = 0. Общее
решение уравнения оу = 0 есть ф?а = сазФав, где сар = сд» и матрицы с
и Г коммутируют. Решения (8.2.18), (8.2.19) показывают, что в процессе
эволюции бозевы и фермиевы степени свободы не перемешиваются.
Совершим каноническое преобразование на суперпространстве:
х = cxp(Ttp)p, <? = exp(il»f,
pr = (x,p)/rr р„ Й
где р— (г, 0), г2 = х2. Поскольку р? = р2. •
новых переменных имеет вид
(8.'2.20)
(8.2.21)
[рТхJ/г2, то гамильтониан в
(8.2.22)
а связь E.7.3) эквивалентна равенству нулю импульса, канонически со-
пряженного угловой переменной tp: pv = 0. Поэтому только эволюция р
зависит от произвольной функции y{t) (р— нефизическая переменная);
Ф =
7 -
" *
где <тр = ?+Г? — интеграл движения: {<тр,Н} — 0. Уравнения движения
для остальных переменных имеют вид
.. .;¦' ' ';;: ' r = pr, pr = 4/r3 (8.2.23)
с начальными условиями f+ (t = 0) = ^, f(i = 0) = 4о .^независимые обра-
зующие грассмановой алгебры), r(t = 0) = г0, рг(< = 0) = рго- Нетрудно
проверить, что величина ар является нильпотентной, «т^ = 0. Представим
функции r(t) и pr{t) в следующем виде:
Pr(i) =
(8.2.24)
(8.2.25)
где R,, и Р„^— обычные вещественные функции времени, v = 0,1,2. Под-
ставляя разложения (8.2.24), (8:2.25) в уравнения (8.2.23), получаем
Я„ —
(8.2.26)
268
Рол = 0, Р2 = 1/Я?-
(8.2.27)
Если опять предположить, что начальные значения бозевых переменных
го и рг„ суть обычные вещественные числа, тогда #1^@) = 0, Pi,2@) = О
и Яо@) = г0, Ро@) = Рга - начальные условия для уравнений (8.2.26),
(8.2.27). Отсюда находим
2 / 2 \
) (8.2.28)
= ехр \-iut -
L
гОРг0
(8229)
f0,
т.е. в процессе эволюции бозевы и фермиевы переменные перемешииают-
ся. _
Легко видеть, что подстановка решений (8.2.18), (8.2.19) в (8.2.20)-
(8.2.22) не приводит к функциям (8.2.2S), (8.2.29). Поэтому траектории
(8.2.18) и (8.2.28), (8.2.29) различны. Причина этого в том. что эти тра-
ектории исходят из разных точек суперпространства, т.е. отвечают раз-
ным начальным значениям динамических переменных. Действительно, ис-
пользуя формулы обратного преобразования к неременным х, р от г, рг,
находим
х(< = 0) = хо-=ехрC>о)/5Ь.
Р(* = 0) = хо^+Тхо^.
(8.2.30)
(8.2.31)
Начальные значения (8.2.30), (8.2.31) удовлетворяют уравнению связи
(8.2.17), компоненты вектора р0 суть четные элементы супералгебры. Ре-
шение (8.2.18) есть частный случай (8.2.28), (8.2.29), соответствующий до-
полнительному условию на начальные значения o-f — 0, которое никак не
связано с наличием калибровочной симметрии в теории. Фактически оно
является следствием предположения, что начальные значения для бозе-
вых степеней свободы должны пониматься как обычные числа (но не как
произвольные четные элементы сунералгебры).
Приведенный пример показывает, что такое предположение противо-
речит теории канонических преобразований. Если в одних канонических
переменных начальные значения бозевых переменных суть обычные чи-
сла, то в других они могут оказаться четными элементами супералгебры.
Априори нет различия между тем или иным выбором канонических пе-
ременных в гамильтоновой механике. Поэтому начальные значения бо-
зевых переменных должны трактоватяся как четные элементы алгебры
Грассмана с образующими, являющимися начальными значениями фер-
миевых переменных. В качестве следствия этого утверждения получаем,
что уравнение E.7.3) (или (8.2.17)) не может трактоваться как два незави-
симых равенства <tf,b = 0. В частности, равенство
269

задает решение уравнения E.7.3); здесь A(i) — произвольная функция вре-
мени. Решения уравнений движения в декартовых и "полярных" коорди-
натах (8.2.20), (8.2.21) совпадают, если Л(<) — Pr(')/r@i гДе функции ртA)
и r(t) заданы в (8.2.28), (8.2.29).
Отметим также, что требование выполнения равенств (Тр^ = 0 во все
моменты времени приводит к дополнительным условиям (связям) на ди-
намические переменные. Если к гамильтониану E.7.2) добавить калибро-
вочно-инвариантный потенциал
где г — х\ + »Х2, то очевидно, что {<tf,b,Я} = {отв, V) ф 0. Поэтому либо
требование сгрз = 0 динамически противоречиво, либо система должна
содержать дополнительные связи на канонические переменные.
8.3. Интегралы Гаусса,
обобщенная формула Пуассона,
ядро Qn и определитель Ван Флека
8.3.1. Многомерные гауссовы интегралы. Переменные интегри-
рования в многомерных интегралах, встречающихся на практике, могут
быть вещественными или комплексными, коммутирующими или антиком-
мутируюшими (грассмановыми). Имеют место следующие формулы.
Вещественные переменные:
= c(det
(8.3.1)
где а = ±1, верхний знак относится к коммутирующим (бозевым), а ниж-
ний — к антикоммутируюшим (фермиевым) переменным; в формуле (8.3.1)
[d(\ — Y\f rf& (или J~{t d?(t)) для a — +1, A — эрмитова матрица или опера-
тор, с — некоторая постоянная, с = л-'4'2.
Комплексные переменные:
Переход от комплексных к "вещественным" по форме можно осуще-
ствить с помощью формул
Общий случаИ {вещественные фермы- и бозе-переменные):
= с det Qv(det Q)~
] ехр [~1
*s
/2 Q=E bB
270
ф(ф) — фермиевы (бозевы) переменные; далее
причем ф2 = Ь2 = 0, фЬ = —Ьф.
8.3.2. Вывод формулы B.7.58). Вывод соотношения B.7.58) основан
на формуле Пуассона [99]
exp
т=~оо т—-оо
Имеем цепочку очевидных равенств:
(«*j[m).
(8.3.2)
1
/
= ?
из которых следует B.7.58). Второе равенство есть следствие (8.3.2), тре-
тье — просто тождество. Первое равенство было бы очевидным, если бы
не предполагало восстановления аналитической функции по ее значениям
в целых точках p/ft = m (при чтении справа налево оно тоже очевидно).
Согласно теореме Карлсона (см. [231]), регулярная при Re? > 0 функ-
Ци-я /(С) однозначно определяется ее значениями в точках С = m> m —
0,1,2,..., если |/(С)| < exp(fc|C|), k < *¦ На первый взгляд, она не примени-
ма, например, к формуле B.7.56), поскольку согласно B.7.57) приходится
иметь дело с функциями типа exp(ira2/Br)), не подчиняющимися условиям
теоремы. В действительности для получения континуальных интегралов
требуется лишь асимптотика exp(im2/Bz)) as 1 + im2/B:), z ~ 1/f, t —* 0,
т.е. фактически используются лишь степенные функции.
8.3.3. Другой вывод формулы B.7.89) для ядра Qn. С точностью
до фактора ядро Qn B.7.89) есть n-мерная^-функция в сферических коор-
динатах. Покажем это для 2-и 3-мерного пространств. <
Двумерное пространство. Используя формулы перехода к полярным
координатам, имеем
iB)(x-x) = 5(rcos^-r'cos^')«('-sm0-r'sm^). (8.3.3)
Первая 5-функция дает г' = г cos ф/ cos ф'\ подставляя г' во вторую 6-
функцию и вынося фактор rcos^ из-под знака 6-функции (т.е. пользуясь
формулой 6(ах) = ja|—15(a:)), переписываем (8.3.3) в виде ¦¦
iB»(x-x')=|rcos^|-15(rcosf-r'cos^)«(tg^rtg^'). - (8.3.4)
Решения уравнения tg<# = tg^' есть ф — ф' + хп, п.= 0, ±1,...; с помощью
формулы
^tfSp ¦/(г-)=0> ' :(83:5)
271

записываем правую часть (8.3.4) в следующем виде:
jsfrr
г V cos ф
114 п — со
Сумма в (8.3.6) слагается из сумм по четным и нечетным п:
(8.3.6)
-<!>'). (8.3.7)
Учитьшая, что cos (ф + я"п) = (~l)n cos<?, находим
где Qi {т\6; гхФ') идентично B.7.50); фактор при Q2 можно представить
также в виде \(gg')~i'4\-
В случае n-мерных 6-функций стратегия остается той же самой, отли-
чие лишь в деталях, поэтому для п = 3 наметим лишь основные пункты
вывода. Имеем
5C)(х — х') = ?(rsin0cos0— г'sinO1 cos ф'N(г sm$ sin ф — г'sin0'sin о') х
х 5(rcos9-r'cos^). (8.3.8)
Из первой 5-функции произведение г'sin в" — г sin# cos Ф/ cos ф' подставляем
во вторую, сводя ее к функции от разности тангенсов:
для которой согласно (8.3.4)-(8.3.7) имеет место представление
- Ь4Г) - cos2 ф Щф - ф') + СГ(ф- *')]. (8.3.9)
Находя, далее, из последней 5-функции г' = cos в/ cos в', подставляя его
в первую и вынося из-под знака первой 5-функции г cos в, а последней —
cos в, записываем равенство (8.3.8) в виде
- х) = . . . \ f-« (г - г'
' |r2sin0|cos20 \
х &
COS0'\ I
г- X -
cos 9 J
-Ф') + СГ{.Ф-Ф')\-
Снова используя формулу (8.3.9), находим
Вьшод соответствующих формул B.7.87)-B.7.89) для произвольного п
теперь уже не представляет труда. ;<
272
8.3.4. Определитель Ван Флека. Приведем альтернативный вывод
предэкспоненциального фактора в формуле B.6.28), следуя идеям работы
[80]. Рассмотрим ансамбль частиц, распределенных с постоянной плотно-
стью в фазовом пространстве. Тогда число частиц в бесконечно малом
элементе фазового объема dN пропорционально фазовому объему:
dN = Cdp'dq', С = const.
Число частиц, в момент f находившихся в объеме dq', а в момент t — в
объеме dq, дается формулой
dN = Cdet
dq
dqdq',
(8.3.10)
где р' согласно A.5.5), B.6.15) есть р'{ - -dS{q,q')/dq'', так как переход
?',р' —> q,p есть каноническое преобразование с производящей функцией
5(«,«') = -F1(9',«).
При квантовомеханическом описании системы разбиваем простран-
ство на ячейки Лд' и, полагая, что в каждой ячейке находится одна ча-
стица, имеем
(8.3.11)
Предполагается, что волновая функция сосредоточена целиком внутри
ячейки, а ячейка достаточно мала. Учитывая условие нормировки
и соотношение (8.3.11), находим
(8.3.12)
Сравнивая (8.3.10) с (8.3.12), заключаем:
где с — некоторая постоянная, т.е.
Постоянная с определяется из услевия Uqq'(() — 6{q,q') при f -¦ 0 [100] и
равна B*ib)-"/2.
8.4. Устранение калибровочного произвола
и остаточные преобразования •"-•¦"¦.'¦•¦
8.4.1. Рецепты устранения калибровочного произвола. Что-
бы устранить расходимость меры функционального интеграла F.1.2) и
учесть связи, была предложена следующая процедура прстроения .ГКИ
для калибровочных систем [128].
273

Пусть имеется система со связями первого рода ipo, a = 1,2,...,М.
Рассмотрим М дополнительных условий:
Xa(p,q)=0.
для которых выполняется требование
(8.4.1)
О, (8.4.2)
{Ха,Хв} = 0. (8.4.3)
Тогда гамильтонова механика исходной системы со связями эквивалентна
обычной гамильтоновой механике с N — М степенями свободы и физиче-
ским фазовым пространством, определяемым равенствами <ро = \о = 0.
Канонические переменные новой динамики можно построить следую-
щим образом. Вследствие условия (8.4.2) мы можем выбрать канониче-
ские переменные в исходной теории так, что Ха будут совпадать первыми
М обобщенными координатами:
« = (Х..«')- (8-4-4)
Пусть
Р=(Ро,р') (8.4.5)
— соответствующие сопряженные импульсы. Ввиду инвариантности ско-
бок Пуассона относительно канонических преобразований (8.-1.4), (8.4.5)
условие (8.4.2) в этих переменных имеет вид
det
Поэтому уравнения связей rfia(p,q) = 0 можно решить относительно ра. В
результате новое фазовое пространство задается равенствами
Хс = ?а, Ра =Ро(р",О
и p",q" — канонические переменные. Гамильтониан этой системы запи-
шется в виде
где Н(р, q) — гамильтониан исходной системы со связями.
Эквивалентность систем {p'.q") и (p,q) означает следующее. Рассмо-
трим гамильтоновы уравнения движения исходной системы:
Р - {р.Нт} = --= Уо-х—,
dq dq
дН д<з„
(8.4.6)
(8.4.7)
Нт =Н + уара г . (8.4.8)
— обобщенный гамильтониан теории со связями (см. гл. 3). Решение урав-
нений движения (8.4.6), (8.4.7), совместное с уравнениями связей <ро = О,
где уа = ya(t) — произвольные функции времени и
274
содержит произвольные функции уо, вариации которых означают кали-
бровочные преобразования pa(t) и qo(t)- Дополнительные условия Ха = О
уничтожают этот произвол. Выражая ya{t) через канонические перемен-
ные и задавая тем самым некоторое калибровочное условие (выбор уа
соответствует выбору калибровки (см. гл. 3)). В результате в качестве
уравнений движения остаются уравнения для переменных р' и q'. Эти
уравнения совпадают с гамильтоновыми уравнениями, порождаемыми га-
мильтонианом Н* [128]:
Для задания квантовой амплитуды перехода между двумя точками
(N — М)-мерного физического конфигурационного пространства q' и q"
предлагается использовать следующий ГКИ [128]:
q'.q") = / П i
" *•(*-,«•)) (8-4.9)
с начальными условиями g*@) = q" и q"(t) — q*.
На практике связи не нсегда можно разрешить, поэтому желательно
уметь работать непосредственно в терминах исходной теории. Амплиту-
ду (8.4.9) можно представить в следующем виде:
U,(q\q") =
г=0
^d«tl{^,w}in^.)^]«piSr. (8.4.10)
t
St = Jdr{pq-UT(p,q,v)). (8.4.11)
о
Действительно, после интегрирования по уа мера в континуальном ин-
теграле (8.4.10) будет содержать множитель
\
. , (8.4.12)
который в новых канонических переменных будет иметь вид
П
П *(*
= П
П
~Po{q,p')) ) • (8.4.13)
В результате после интегрирования по ра и qa интеграл (8.4.10) сводится
к интегралу (8.4.9).
Амплитуда перехода (8.4.9) отвечает квантовой теории, которая по-
лучается стандартным квантованием теории с калибровочной симметри-
ей после исключения всех нефизических степеней свободы. Физические
степени свободы, однако, описываются криволинейными координатами, а
операции квантования и введения криволинейных координат непереста-
новочны. Поэтому квантовая теория, получаемая квантованием после ис-
ключения нефизических переменных может отличаться от теории, опре-
деляемой процедурой Дирака, когда нефиэические степени свободы ис-
ключаются после квантования (см. разд. 4.1). Многочисленные примеры,
275

иллюстрирующие это утверждение, были разобраны в гл. 5. Рецепт ис-
ключения нефизических переменных (8.4.9)-(8.4.13) неприемлем по следу-
ющим причинам. Во-первых, он не учитывает возможную нетривиальную
структуру физического фазового пространства. Во-вторых, без дополни-
тельных мер он не обладает калибровочной инвариантностью. Поясним
сказанное подробнее.
Функциональный интеграл (8.4.9) хорошо определен, если интегриро-
вание по р* и q' ведется в бесконечных пределах, т.е. априори предполага-
ется, что ФП (р',я') = RN~U(p')®RN~M (9*) — плоское. Но в гл. 5 мы виде-
ли, что такое допущение ничем не оправдано — в калибровочных теориях
физическое ФП может иметь нетривиальную геометрическую структуру.
Поэтому возникает проблема определения ГКИ с учетом реальной струк-
туры физического ФП. Отметим, что решение этой проблемы не достига-
ется путем простой замены области интегрирования в (8.4.9) (например,
плоскости на полуплоскость в случае конического ФП). В частности, ам-
плитуда перехода для свободной частицы или осциллятора с коническим
ФП может быть легко найдена операторным методом. Однако гауссов ин-
теграл (8.4.9) на коническом ФП (фактически на полуплоскости q' > 0)
вообше не может быть вычислен явно даже для свободной частицы или
осциллятора.
Наконец, необходимо доказать, что амплитуда (8.4.9) не зависит от
выбора Ха — выбора калибровки. В классической теории переход от од-
них Ха к другим связан с некоторым каноническим преобразованием. Это
означает, однако, что квантовые теории, задаваемые ГКИ (8.4.9) и от-
вечающие различным калибровочным условиям, унитарно эквивалентны.
Анализ операторного формализма показывает (см. разд. 5.3), что кван-
товые теории, отвечающие разным способам выделения физических пере-
менных, унитарно эквивалентны тогда и только тогда,'когда"для исключе-
ния нефизических перемешшх в них использовались криволинейные коор-
динаты, согласованные с законом калибровочного преобразования и за-
данным калибровочным условием. В квантовой теории, задаваемой ГКИ
(8.4.9), это требование не выполнено, поскольку, как уже отмечалось, в ней
нефизические степени свободы исключаются до квантования. Следова-
тельно, амплитуда (8.4.9), вообще говоря, зависит от выбора калибровки
со всеми вытекающими отсюда последствиями (оператор эволюции (8.4.9)
может быть неунитарным и т.п.).
Пример. Поясним сказанное на примере модели из разд. 5.3. С помо-
щью канонического преобразования E.3.4) мы можем исключить нефизи-
' ческие степени свободы и перейти к гамильтоновой динамике физических
переменных (pu,u) = (р*,?*) , где #*(pu,u) = #ph(pu,u) определя-
ется равенством E.3.6). В соответствии со стандартным определением
ГКИ (см. гл. 2) формула (8.4.9) означает свертку ядер инфинитезималь-
ных операторов эволюции Ut = Uc--Ut, гдее - t/(N + 1), N —> со, е —<¦ 0,
но t = (ЛГ 4- 1)? - фиксировано. По определению ГКИ ядро оператора
&2г = UtUt имеет вид
оо ¦ '
"^(кУ) = J du"Uc(u,u")Uc(u",u'),i
276
оо
tf,(u,ti')= J ^expi(р„(и- и') -еН'(pu,u)) =
—оо
оо
= [1 - k(-g(u)dl + V(u))} J ^eXptpu(« - и') +
(8.4.14)
где у(и) = г2///2 (см. E.3.6)). С другой стороны, по определению ядра
оператора эволюции имеем
Ut{u,u') = (и|ехрН?Я-)|и') = [l - .?/?»] (и\и') + О(?2), (8.4.15)
где ("|"') = Bт) /Г^, dpu exp ipu(u — u') = S(u-u') — ядро единичного опе-
ратора. Сопоставляя выражения (8.4.14) и (8.4.15), находим квантовый
оператор Гамильтона Я", отвечающий ГКИ (8.4.9) (это можно сделать
всегда, вид ГКИ однозначно восстанавливает операторную формулиров-
ку Шредингера и наоборот (см. гл. 2)):
1 .-^1
р„ = -idu-
(8.4.16)
Легко видеть, что этот оператор не совпадает с гамильтонианом в урав-
нении Шредингера E.3.7), что ведет к калибровочно-зависимой теории,
как было показано в разд. 5.3.3. Более того, оператор (8.4.16) не эрми-
тов, (#*)+ ф Н" ввиду некоммутативности д{и) и р2, поэтому оператор
эволюции Ut =ехр(-«'«Я*) не унитарен.
К проблеме структуры ФП в ГКИ примыкает проблема однозначности
выбора калибровки (или дополнительных условий Ха = 0). В разд. 5.3
было показано, что после устранения всех нефизических переменных с по-
мощью фиксации калибровки остается калибровочный произвол, связан-
ный с дискретными калибровочными преобразованиями, которые зависят
от калибровочного условия. Конфигурации, связанные этими остаточ-
ными калибровочными преобразованиями, отвечают одному и тому же
физическому состоянию системы и поэтому должны быть исключены из
континуального интеграла, чтобы избежать "двойного счета".
Предложенный в [153] репепт устранения неоднозначности калибров-
ки в континуальном интеграле (интегрирование по области, где Д > 0,
Д = det |{Хаа> ^з}| "" Детерминант Фаддеева—Попова) по меньшей мере не
следует рассматривать как общий, годный для любого выбора калибров-
ки. В модели, рассмотренной в разд. 5.3, фиксируем, например, калибров-
ку условием Х2 = 0 при ц < 0 и xj = f(xi) — Xi{xi -о) при ii > 0. В этом
случае определитель Д есть det{x,<r} = {хг - /(ii), рТх} = xi + /'/ =
X!Bii - 3axi + а2 + 1). Уравнение Д = 0 дает точки касания калибро-
вочных орбит с кривой, задаваемой уравнением xi = /(«О; его решения
есть xj'2 = [3a ± (a2 -8I/2]/4, z(t3) = 0. Видно, что отличные от нуля
вещественные решения возможны лишь при а2 > 8. На рис. 5.2 это точки
касания кривой 3 с окружностями S(n) и S{tq). Видно также, что опре-
делитель Д = 2xi(xi - *i )(*i — *i ) отрицателен на интервале (х\ , х\*').
Согласно рецепту, предложенному в работе [153], именно этот интервал
277

— а он отвечает движению между точками ВВ' — выбрасывается. Но из
рис. 5.2 ясно, что тем самым дважды учитывается интервал (го, тх): один
раз иа отрезке АВ, второй — на отрезке В'С- Лля кривой 2 данный факт
„пгттлгтр"!-;¦'-т~'т •!'¦¦"¦¦'¦"¦•чегким контуром переменной г= |х|: отрезки со
стрелками между точками г\ игг, на которых Д > 0, дают идентичные
вклады в интеграл, что ведет к двойному счету.
Замечание. Определитель Д не позволяет судить о допустимости ка-
либровочного условия. Лля прямой DD1 на рис. 5.2 (х2 = х\ + Ь, Д =
2zi + Ь, Ь > 0) Д > 0 при xi > —Ь/2, хотя это вообще негодный способ
фиксации калибровки.
В данной модели случай Д = const отвечает недопустимой калибровке.
Пусть Д = zi + /'/ = с. Тогда / = ±[Я2 - (ц - сJ] или х2 Т [Я3 - (п -
cj2ji/2 _ q. 3T0 есть уравнение окружности, что недопустимо (например,
при 0 < с < Я исключается полуось г > с+Я). Утверждение, по-видимому,
справедливо для любой компактной группы.
Таким образом, мы приходим к выводу, что постулат (8.4.9) не мо-
жет быть принят как общий. Определение гамильтонова континуального
интеграла для калибровочных теорий, свободного от упомянутых недо-
статков, дано в гл. 6.
8.4.2. Пример построения остаточных преобразований S. Поло-
жим в E.3.1) Д = —а, /г = —аBа + «),«< —а и Д = u, fr = аи при
и > —а, а > 0, а > 0. Лля вычисления функций itj(ti) нужно найти нетри-
виальные решения уравнения
/?(«) + /?(«) =
(8.4.17)
(см. E.3.3)). Кривая х = f(u) касается окружностей (калибровочных ор-
бит) с радиусами г = а и г = а-\/1 + а2. На интервале.Я] = (~ау,уа) у =
A + a2)'2 < 1, она представляет собой отрезок примри и лежит внутри
окружности радиусом г = а. Поэтому при u 6-Aj ур&внеяие имеет един-
ственное нетривиальное решение и,(и) = -и, Si ~'Zi и-fCi = Ri/Si =
@,7a)- Кривая х = {(и) пересекает четыре раза любую окружность с
радиусом а < г < a/f, т.е. уравнение (8.4.17) имеет три нетривиальных
решения. Область Яг состоит из двух отрезков Яз = (-За, — ay) U (ау,а).
Выбирая отрезок (ау, а) в качестве фундаментальной области Кг (т.е. по-
лагая и 6 (af, a), и, ? i?j в (8.4.17)), находим следующие нетривиальные
решения (8.4.17): ' "- ' ., ч
(-a. -ay);
(8.4.18)
и„(и) = -2а + ,/а272 _ „2/а7> uJ2:(aY)a)-.(-a,-2a); (8.4.19)
uJ3(u) = -2а - ^/а272 - u2/ft7, ".3 : («Т, а) -<¦ (~2а, -За). (8.4.20)
Из (8.4.18)-(8.4.20) видно, что функции u,(u) не имеют однозначного ана-
литического продолжения на всю область Яз. Поэтому их композиция (и,
следовательно, композиция элементов 7 6 S) не определена. Как отме-
чалось в разд. 5.3, вид функций и, зависит от выбора фундаментальной
области. Выбирая в качестве К\ отрезок (—2а, —а), получаем следующие
функции: ' .' ' : •¦-¦.-.- ¦J-
= -4a-'u, (-2a',-a)
(8.4.21)
278
u,,(u) = -7v/a2 + a2Ba + uJ, (-2a, -a) -» (-0,-70); (8.4.22)
u,,(u) = 7x/a* + a2Ba + uJ, (-2a,-a) - Ga,a). (8.4.23)
Окружности с радиусом г > a7 пересекаются кривой х = f(u) два раза,
поэтому R.3 = (—со,—3a)U(а,со). Полагая Л"з = (а,оо), находим
и,(и) = -7\/а2 + а2Bа + иJ, (а, оо) — (-со, -За). (8.4.24)
Каждой функции иа можно сопоставить функцию 9,(и), такую, что
fl» = er''(u)f(u,(u)) (8.4.25)
(см. E.3.2)). Последнее означает, что точки /(и) и /(и,) лежат на од-
ной орбите калибровочной группы и, следовательно, могут быть связаны
некоторым калибровочным преобразованием ехр(Та(и)) € 5ОB). Пусть
A'i = @, 7a), тогда очевидно, что в,{и) ~ тг; элемент ехрХО, задает враще-
ние на угол зг. В области Яг возьмем и, в виде (8.4.19), (8.4.20), тогда
9M(u) = *, (8.4.26)
в,3(и) = Зтг/2 - arcsin(a7/u) - arctga, (8.4.27)
9t,(u) = тг/2 + arcsin @7/11) - arctga. (8.4.28)
Наконец, для преобразования (8.4.24) решение уравнения (8.4.25) есть
в, (и) = Зя-/2 + arcsin (ajju) — arctg a.
Отметим, что изменение выбора фундаментальной области Л'г в Яг вле-
чет изменение функций (8.4.26)-(8.4.28). Их явный вид для случая А'г =
(-2а,-а) можно найти, подставив (8.4.21)-(8.4.23) в (8.4.25).
8.5. Калибровочло-инвариантное
представление ядра единичного оператора
8.5.1. Голоморфное представление. При формулировке квантовой
теории часто используют представление, в котором векторы состояний
суть функции комплексной переменной aj = (ij- + ipj)/\/2 (j нумерует сте-
пени свободы), а операторы 2у = (xj + »p,)/\/2 и af есть соответствен-
но оператор дифференцирования d/daj и оператор умножения на aj. В
этом представлении также можно построить ядро rfpoeKTopa на физиче-
ское подпространство Ро(а,а') и тем самым определить ГКИ без явно-
го выделения физических переменных. Проще всего это сделать с по-
мощью спектрального разложения для Pq. Например, состояния E.2.14)
(a|<$t) = Ф*(а) ((а|Фо) = 1) образуют базис в WphJ следовательно (см.
[165]): ... ' . ... " . , '.../..
rj? t=O¦!<
1,(8.5.1)
где ^ =' (а2а1^1'5/2, 1„(х) = Jv(tx) —. функции Бесселя мнимого аргумен-
та. Формула (8.5.1) показывает, что Pg является аналитической функцией
инварианта а2а*2.
279

Законы калибровочных преобразований xj и aj совпадают, поэтому
Ф(а) 6 "Нръ суть функции от инвариантных полиномов, построенных из а;.
Отсюда следует, что проекционная формула F.5.32) справедлива и для
голоморфного представления, если в ней заменить х на а. Особенностью
голоморфного представления является то, что ядром единичного опера-
тора вместо rf-функции служит ехр{а, а*) = exp(a.aj). Тогда вместо F.5.34)
имеем
Рс (¦¦¦•)= ~ y</<Ky)exp<a',r{w)a). (8.5.2)
Видно, что Pg не зависит от динамики и имеет универсальный характер.
В ряде случаев интегрирование по группе в (8.5.2) (см. разд. 8.1) или в
F.5.34) можно выполнить явно. Например, для модели из разд. 5.6.1 имеем
(в*,Т(ы)а) = Е,К*ехр(и;Г)а,), « = 1,2, VG = 2* и
2*
/ dg(ijj) = / dui;
о- о
тогда (8.5.2) дает
?± Е;(^)
8.5.2. Координатное представление. Лля вычисления в координат-
ном представлении интеграла F.5.34) в модели из разд. 5.6.1 составим
матрицу х из столбцов х,- E?у — х^1'), тогда
здесь 6-функция от матрицы понимается как произведение б-функций от
ее элементов. После замены переменных х = е*т/?, х' — е* тр', где р, р' —
верхнеугольные матрицы, интеграл легко вычисляется [166]:
(8.5.4)
Равенство (8.5.3) позволяет найти ядро Q(/>, /). Учитывая различие нор-
мировок (p\p')vh (см. F.5.48)) и ядра Pg, получаем
что находится в полном соответствии с анализом, проведенным в разд. 5.6.
Остаточная калибровочная группа S = Zi действует одновременно на все
компоненты р. Отметим, что представление (8.5.4) для Pg позволяет вычи-
слять Q при любом способе задания физических переменных, т.е. вместо
pi2 = 0 можно использовать любое условие на компоненты р. Достаточно
положить в (8.5.4) х — ехр(Т$)р (аналогично для х'), где компоненты р под-
чиняются выбранному условию, чтобы найти {/>|/>%h, по которому легко
восстановить Q.
280
В случае произвольной группы (модель из разд. 5.4) ядро Рс(х,х'),
г,г'б X, X — алгебра Ли, определяется операторами Казимира. Чтобы
установить это, построим аналитическое продолжение ядра единичного
оператора:
1
(8.5.5)
в полное конфигурационное пространство X (отметим, что ядро (8.5.5)
можно получить явным вычислением по формуле F.5.48), если восполь-
зоваться теоремой A1.5.35) из работы [169] и учесть, что стационарной
подгруппой произвольного элемента х € X является подгруппа Картана,
т.е. что Va — Bзг)' (/ = rank G). Воспользуемся формулой (Ш.3.7) из
работы [169]:
г" = с*(Л) с — const,
det
dhj
где Pr, = Tr/Г1, г; — степени независимых операторов Казимира (см. та-
блицу в разд. 8.1.2), tc(h) определенов (8.1.11). Используя правило замены
аргумента у многомерной J-функции, представим (8.5.5) в следующем виде
{А|А')рЬ = е(|са(А)«2(А')I/4П'(Л.(А)-Рг.(А'))- (8.5.6)
Здесь мы использовали инвариантность меры /с2(А) относительно груп-
пы Вейля W (см. разд. 8.1.3) и определение \к(Н}\ ~ («*(А))|/2. Полином
K2(h) выражается через полиномы РР,(А), как всякий W-инвариаптпый по-
лином в Н [170]. Ввиду равенства Pr,(x) = Pr,E(r)A5-! (z)) = РР,(А) (см.
разд. 8.1.2) элементы Л, А' 6 Я в (8.5.6) можно заменить на х,х' соответ-
ственно. Теперь, чтобы получить ядро Pg(x,x') для произвольной группы
G (8.5.6) нужно умножить на V'hV^x = B*-)'^'. Как видно из (8.5.6), ядро
Pg (и, следовательно, Q) определяется только характеристиками кали-
бровочной группы — операторами Казимира — и не зависит от динамики.
281

Указатель литературы
1. Голдстейн Г. Классическая механика/Пер. с англ. А. Н. Рубашо-
ва. - М.: ГИТТЛ, 1957. 408 с.
2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Курс теоретической физики. Т. 1.
Механика. М.: Физ.-мат. ГИЗ, 1958. 206 с.
3. Witten E. Global aspects of current algebra //Nucl. Phys. 1983.
Vol. B223. P. 422.
4. Барбашов Б.М., Нестеревко В.В. Модель релятивистской стру-
ны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987. 176 с.
5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.
М.: Наука, 1979. 432 с.
6. Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи //Вариационные
принципы механики. /Под ред. Л.С.Полака. - М.: Физ.-мат. ГИЗ, 1959.
932 с.
7. Прохоров Л.В., Сазонов Е.А. Классическая механика и квази-
классическое приближение в теориях с антикоммутирующими перемен-
ными //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1980. Вып. 2
(.V» 10). С. 12.
8. Прохоров Л.В., Сазонов Е.А. О динамических системах с конеч-
ным числом грассмаиовых переменных//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4:
Физика, химия. 1981. Вып. 1 {.Y» 4). С. 21.
9. Finkelstein R... Villasante M. Grassmann oscillator //Phys. Rev. 1986.
Vol. D33. P. 1666.
10. Govaerts J. Hamiltonian reduction of first-order "action // Int. J. Mod.
Phys. Ser. A. 1990. Vol. 5. P. 3625. ' :.¦''"'; '
11. Batalin I. A., Fradkin E.S. Operator quantization of dynamical systems
with curved phase space //Nucl. Phys. 1989. Vol. B326. P. 701.*"
12. Березин Ф.А. Квантование //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1974.
№ 38. С. 1112.
13. Shabanov S.V. Quantization of constrained systems and path integrals
in the curvilinear supercoordinates //J. Phys. Ser. A: Math. Gen. 1991. Vol. 24.
P. 1199.
14. Shabanov S.V. The proceedings of the XXVI International Symposium
on Elementary Particle Physics. (Wendisch-Rietz, Germany, September, 1992).
DESY preprint, DESY 93-013, 1993. P. 276; ^-oscillators, non-Kahler manifolds
and constrained dynamics/ Mod. Phys. Lett. Ser. A. 1995. Vol. 10. P. 941.
15. Aref'eva LYa., Volovich I.V. Quantum group particles and non-
Archimedian geometry. CERN preprint, CERN-TH.6137/91, 1991. 10 p.
16. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика /Пер. с англ. под
ред. Д.П.Желобенко. - М.: Наука, 1986. 496 с.
17. Schwinger J. Unitary operator bases //Proc. Natl. Acad. of Sci. 1960.
Vol. 46. P. 570.
18. Rampacher H., Stumpf H., Wagner F. Foundation of the dynamics
in the non-linear spinor theory of elementary particles //Fortschr. Phys. 1965.
Vol. 13. P. 385.
19. Yamamura M. On the canonical variables derived- from the Schwinger
boson representation for the quantized rotator — classical theory //Prog. Theor.
Phys. 1979. Vol. 62. P. 681.
282
20. Saavedra I., Utreras C. A generalization of quantum mechanics for
high energies and quark physics //Phys. Lett. 1981. Vol. 98B. P. 74.
21. Дриафельд В.Г. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга—
Бакстера //Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. С. 1060.
22. Jimbo M. A ^-difference analogue of U(g) and Yang—Baxter equation
//Lett. Math. Phys. 1985. Vol. 10. P. 63.
23. Faddeev L.D., Reshitikhin N.Yu., Takhtajan L.A. //Advanced
Series in Math. Phys. Vol. 9 /Eds. C.N.Yang, M.L.Ge. Singapore: WSPC, 1989.
24. Macfarlane A.J. On q-analogues of the quantum harmonic oscillator
and the quantum group SUB) //J. Phys. Ser. A: Math.Gen. 1989. Vol. 22.
P. 4581.
25. Brodimas G., Jannussis A., Mignani R. Bose realization of a non-
canonical Heisenberg algebra //J. Phys. Ser. A: Math.Gen. 1992. Vol. 25.
P. L329.
26. Shabanov S.V. Path integral for the g-deformed oscillator and its
interpretation //Phys. Lett. 1992. Vol. 293B. P. 117.
27. Shabanov S.V. The Poisson bracket for g-deformed systems //J. Phys.
Ser. A: Math.Gen. 1992. Vol. 25. P. L1245. ^
28. Shabanov S.V. Quantum and classical machaics of g-deformed systems
//J. Phys. Ser. A: Math.Gen. 1992. Vol. 26. P. 2563.
29. Wiener N. Differential-Space //J. Math. Phys. Sci. 1923. Vol. 2.
P. 131.
30. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов.
/Пер. с англ. под ред. Ю.Л.Климонтовича. - М.: ИЛ, 1961. 160 с.
31. Feynman R. Space-time approach to the non-relativistic quantum
mechanics //Rev. Mod. Phys. 1948. Vol. 20. P. 367. Пер. в книге: Во-
просы причинности в квантовой механике /Под ред. Я.П.Терлецкого и
А.А.Гусева. - М.. ИЛ, 1955. 336 с.
32. Фейимая Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по тра-
екториям уПер. с англ. под ред. В.С.Барашенкова. - М.: Мир, 1968.
382 с.
33. Dirac P.A.M. The Lagrangian in quantum mechanics //Sow. Phys.
1933. Vol. 3. P. 64. Перевод: [124].;,. .
34. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. /Пер. с англ. поя
ред В.А.Фока. - М.: Физ-мат. ГИЗ, 1960. 434 с.
35. Pauli W. Pauli Lectures on Physics. Vol. 6. Cambridge: MIT Press,
1973. J88 p. .
36. Janke W., Kleinert H. Summing paths for a particle in a box //Lett.
Nuovo Cim. 1979. Vol. 25. P. 297.
37. Kleinert H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics and
Polymer Physics. Singapore: WSPC, 1990. 600 p.
38. DeWitt B. Dynamical theory in curved spaces //Rev. Mod. Phys. 1957.
Vol. 29. P. 377. . .., ., ,K . .
39. Нураматов А.Г., Нрохоров Л.В. Об упорядочении операторов
в связях первого рода //Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия.
1981. Вып. 1 (№ 4). С. 66. .<!.,-..'.
40. Feynman R. An operator calculus having applications in quantum
electrodynamics //Phys. Rev. 1951. Vol. 84. P. 108.
41. Tobocman W. Transition amplitudes as sums over histories //Nuovo
Cim. 1956. Vol. 3. 1213. , ; -> .
283

42. Devies H. Hamiltonian approach to the method of summation over
Feynman histories //Proc. Cambridge Phil.Soc. 1963. Vol. 59. P. 147. •
43. Garrod C. Hamiltonian path-integral methods //Rev. Mod. Phys. 1966
Vol. 38. P. 483.
44. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. 376 с.
45. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Интегрирование в функциональных
пространствах и его применение в квантовой физике //Усл. мат. наук.
1956. Т. 11. Р. 77.
46. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Яглом A.M. Континуальные
интегралы //Тр. 3-го Всесоюзного математического съезда. Т. 3. М.:
Изд-во АН СССР, 1958. С. 521.
47. Далецкий Ю.Л. Континуальные интегралы, связанные с опера-
торными эволюционными уравнениями //Усп. мат. наук. 1962. Т. 17.
С 3.
48. Ковальчик И.М. Интеграл Винера //Усп. мат. наук. 1963.
Т. 18. С. 97.
49. Ковальчик И.М., Янович Л.А. Обобщенный винеровский инте-
грал и некоторые его приложения. Минск: Наука и техника, 1989. 221 с.
50. Streit L. An introduction to theories of integration over function spaces
//Acta Phys. Austriaca. Suppl. 1965. Vol. II. P. 2.
51. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965.
236 с.
52. Березин Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазо-
вом пространстве//Усп. физ. наук. 1980. Т. 132. С. 497.
53. Alberverio S.A., Hoegh-Krohn R-J. Mathematical theory of Feynman
path integrals. Berlin: Springer-Vetlag, 1976. 139 p.
54. DeWitt-Morette C, Macheshwari A., Nelson-B. Path integration
in non-relativistic quantum mechanics //Phys. Rep. 1979. Vo% ' 50. P. 255.
55. DeWitt-Morette С Feynman's path integral»-' definition without
limiting procedure //Comm. Math. Phys. 1972. Vol. 2§'.'P. 47.
56. Simon B. Functional integration and quantum physics. N.Y.: Acad.
Press, 1979. 296 p. .
57. Cameron R..H. A family of integrals serving to connect the Wiener and
Feynman integrals //J. Math, and Phys. 1960. Vol. 39. P. 126.
58. Nelson E. Feynman integrals and the Schroedinger equation //J. Math.
Phys. 1964. Vol. 5. P. 332.
59. Евграфов М.А. Об одной формуле для представления фунда-
ментального решения дифференциального уравнения континуальным ин-
тегралом //Докл. АН СССР. 1970. Т. 191. С. 979. ' L/
60. Смоллнов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы.
Изд-во МГУ, 1990. 150 с. ; '
61. Trotter H. On the product of semi-groups of operators //Proc. Amer.
Math. Soc. 1959. Vol. 10. P. 545.
62. Прохоров Л.В. Гамильтоновы континуальные интегралы //Физ.
элёментарн. частиц и атомн. ядра. 1982. Т: 13. С. 1094. ;>
63. Прохоров Л.В'. Исключение нефизических переменных в гамиль-
тоновом континуальном интеграле //3-й Междунар. семинар. "Проблемы
физики высоких энергий и квантовой теории поля". Т. 1. Протвино: ИФ-
ВЭ, 1981. С 103.
•64. Прохоров Л.В;''Обобщенные правила Эквивалентности//Вестн.
Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1982. Вып. 1 (№ 4). С. 106.
284
65. Малышев Ю.П., Прохоров Л.В. Гамильтоновы правила экви-
валентности //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1984.
Вып. 1 (№4). С. 11.
66. Малышев Ю.П., Прохоров Л.В. Квантование в рамках мето-
да гамильтоновых континуальных интегралов. Леп. ВИНИТИ 04.12.84,
№ 7676-84. 20 с.
67. Малышев Ю.П., Прохоров Л.В. .Диаграммы с одной и дву-
мя петлями в киральной модели и проблема упорядочения операторов в
гамильтониане // Яд. физика. 1988. Т. 48. С. 890.
68. Прохоров Л.В. Об одном свойстве правил эквивалентности
//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1983. Вып. 2 (№ 10).
С. 67.
69. Edwards S., Gulyaev Y.V. Path integrals in polar co-ordinates //Proc.
Roy. Soc. Ser. A. 1964. Vol. 279. P. 229.
70. Arthurs A. Path integrals in polar coordinates //Proc. Roy. Soc. Ser.
A. 1969. Vol. 313. P. 445.
71. Березин Ф.А. Невинеровские континуальные интегралы //Теор.
и матем. физика. 1971. Т. 6. С. 194.
72. Mayes I.W., Dowker J.S. Canonical functional integrals in general
coordinates //Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1972. Vol. 327. P. 131.
73. Mayes I.W., Dowker J.S. Hamiltonian orderings and functional
integrals //J. Math. Phys. 1973. Vol. 14. P. 434.
74. McLaughlin D., Schulman L. Path integrals in curved spaces //J.
Math. Phys. 1971. Vol. 12. P. 2520.
75. Langouche F., Roekaerts D., Tirapegui E. Discretization problems
of functional integrals in phase space //Phys. Rev. 1979. Vol. D20. P. 419.
76. Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля
и статистике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. 294 с.
77. Moshinsky M., Seligman T. Canonical transformations to action and
angle variables and their representation in quantum mechanics //Ann. Phys. 1978.
Vol. 114. P. 243; II. The Coulomb problem //Ann. Phys. 1978. Vol. 120.
P. 402.
78. Deenen J., Moshinsky M., Seligman T. Canonical transformations
to action and angle variables and their representation in quantum mechanics. III.
The general problem //Ann. Phys. 1978. 1980. Vol. 127. P. 458.
79. Gervais J., Jevicki A. Point canonical transformations in the path
integrals //Nucl. Phys. 1976. Vol. B110. P. 93.
80. Van Vleck J. The correspondence principle in the statistical interpre-
tation of quantum mechanics//Pioc. Nat. Acad. Sci. 1928. Vol. 14. P. 178.
81. Berry M., Mount K. Semiclassical approximation in wave mechanics
//Repts. Progr. Phys. 1972. Vol. 35. P. 315.
82. Прохоров Л.В. Канонические преобразования и гамильтоновы
континуальные интегралы //Яд. физика. 1982. Т. 35. С. 498.
83. Santos F., Oliveira L., Kodama T. Path integrals for arbitrary
canonical transformations//Nuovo Cim. 1980. Vol. B58. P. 251.
84. Fukutaka H., Kashiwa T. Canonical transformations in the path
integral and the operator formalism//Ann. Phys. 1988. Vol. 185. P. 301. "
85. Прохоров Л.В. Континуальные интегралы в криволинейных ко-
ординатах //Яд. физика. 1984. Т. 39. С. 496. .
86. Маринов М.С., Терентьев М.В. Функциональный интеграл на
унитарной группе //Яд. физика. 1978. Т. 28. С. 1418.
285

87. Marinov M.S., Terentyev M.V. Dynamics on the group manifold and
path integral//Fortschr. Phys. 1979. Vol. 27. P. 511.
88. Miura T. A path integral for a nonrelativistic spin particle // J. Math.
Phys. 1990. Vol. 31. P. 1189.
89. Прохоров Л.В. Континуальные интегралы в задачах с границей
//Вести. Леяингр. ун-та. Сер. 4: Физика, лимия. 1983. Вып. 1 (iV« 4).
С. 14.
90. Коксетер Г.С.М., Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и
определяющие соотношения конечных групп. /Пер. с англ. под ред.
Ю.И.Мерзлякова. - М.: Наука, 1980. 240 с.
91. Годен М. Волновая функция Бете. /Пер. с фр. под ред.
Л.Л.Фаддеева. - М.: Мир, 1987. 352 с.
92. Лоос О. Симметрические пространства. /Пер. с англ. под ред.
А.Т.Фоменко. - U.: Мир, 1985. 208 с.
93. Chetouani I., Guechi ?>., Hamman T.F. Path integral for a particle
moving inside a sector//Nuovo.Cim. 1988. Vol. 101. P. 547.
94. Crandall R.E. Exact propagator for motion confined to sector //J. Phys.
Ser. A: Math.Gen. 1983. Vol. 16. P. 513.
95. Choquard P. Traitement semi-classique des forces generales dans la
representation de Feynman. //Helv. Phys. Acta. 1955. Vol. 28. P. 89.
96. Эрдейи А. Асимптотические разложения. /Пер. с англ. Н.Я.Ви-
ленкина. - М.: Физ.-мат. ГИЗ, 1962. 128 с.
97. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.5. М.: Физ.-мат.
ГИЗ, 1959. 656 с.
98. Справочник по специальным функциям/ Под ред. М.Абрамовица
и И.Стиган. /Пер. с англ. Под ред. В.А.Литкина. №»Л.Н.Кармазиной. -
М.: Физ.-мат. Гиз, 1979. 832 с. , •?",.
99. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретически физики. Т. 1.
/Пер. с англ. под ред. С. П.Аллилуева и др. -' М.: Йзд-во ИЛ, 1958.
930 с. !<'¦•.;- .. '
100. Morette С. On the definition and approximation of Feynman's path
integral//Phys; Rev; 1951. Vol. 81. P. 848. "
101. Смирнов В.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991.
136 с.
' 102. Takayasu Н. Fraktals in the physical sciences. N.Y.:; Manchester Univ.
Press, 1990. 170 p. '
103. Невзглядов В.Г. Теоретическая механика. М.: Физ.-мат. ГИЗ,
1959. 584 с' ' : • ~.
104. Дирак П.А.М. Лекции по квантовой механике /Пер. с англ.
А.Г.Миронова. - М.: Мир, 1968. 84 с.
105. Нестеренко В.В., Червяков A.M. Сингулярные лагранжиа-
,да. Классическая динамика и квантование// Легаши для молодых уче-
ных. Вып. 3fi. Дубна: ОИЯИ, 1986. 102 с.
;.. 106..Pyatov P.N., Razumov A.V. Gauge invariance'and constraints //Int.
J. Mod. Phys. Ser. A. 1989. VoL^- P. 3211.
н /;107J Пятов П.Н. Лагранжев формализм для систем со связями. I.
Лагранжевы и гамильтоновы связи. Препринт ИФВЭ 90-35. 48 с; II. Ка-
либровочные-теории. Препринт ^1*ВЭ 90-148. Протвино. 1990. ,32 с.
108. Maskawa Т., Nakajuna H. Singular Lagrangiao and the Dirac-
Faddeev method //Prog. Theor. Phys! 1976. Vol. 56. P. 1295.
286
109. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.
М.: Изд-во ИЛ, 1947. 408 с.
110. Faddeev L.D., Shatashvili S.L. Realization of the Schwinger term in
the Gauss law and the possibility of correct quantization of a theory with anomalies
//Phys. Lett. 1986. Vol., 167B. P. 225.
111. Batalin I.A., Fradkm E.S. Operator quantization of dynamical
systems with irreducible first- and second-class constraints //Phys. Lett. 1987.
Vol. 180B. P. 157. Errata 1990. Vol. 236B. P. 528.
112. Batalin I.A., Fradkin E.S. Operator quantization of dynamical
systems subject to second class constraints //Nucl. Phys. 1987. Vol. B279.
P. 514.
113. Batalin LA., Fradkin E.S., Fradkina Т.Е. Generalized canonical
quantization of dynamical systems with constraints and curved phase spaces
//Nucl. Phys. 1990. Vol. B332. P. 723.
114. Batalin I.A., Fradkin E.S., Fradkina Т.Е. Another version for
operatorial quantization of dynamical systems with irreducible constraints //Nucl.
Phys. 1989. Vol. B314. P. 158.
115. Batalin I.A., Lyakbovich S.L., Tyutin I.V. Split involution and
second class constraints //Mod. Phys. Lett. Ser. A. 1992. Vol. 7. P. 1931.
116. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона.
Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991. 368 с.
117. Fermi E. Sopra relettrodinamica quantistica // Rend. Acad. Lincei.
1929. Vol. 9. P. 881. '
118. Fermi E. Quantum theory of radiation //Rev. Mod. Phys. 1932.
Vol. 4. P. 87. -
119. Heisenberg W., Pauli W. Zur Quantentheorie der Wellenfelder. II.
//Z. Phys. 1930. Vol. 59. P. 168. Перевод: Паули В. Труды по квантовой
теории. Т. 2. М.: Наука, 1977. С. 89.
120. Прохоров Л.В. Квантование электромагнитного поля //Усл.
физ. наук. 1988. 154. С. 299. ¦
121. Dirac P.A.M. Generalized Hamiltonian dynamics // Can. Journ.
Math. 1950. Vol. 2. P. 129. • ¦••¦¦'¦
122. Dirac P.A.M. The Hamiltonian form of field dynamics //Can. Journ.
Math. 1951. Vol. 3. P. 1. •"'• ¦¦¦".'-¦¦
123. Dirac P.A.M. Generalized Hamiltonian dynamics // Ртос. Roy. Soc.
Ser. A. 1958. Vol. 246. P. 326. Перевод: [124]:;
124. Дирак П.А.М. К созданию квантовой теории поля. /Пер. с
англ. под ред. Б.В.Медведева. М.: Наука, 1990. 308 с.
125. Bergmann P.G. Non-linear field theories'//Phys. Rev. 1949. Vol. 75.
P. 680. ,
126. Anderson J.L., Bergmann P.G. Constraints in covariant field theories
//Phys. Rev. 1951. Vol. 83. P. 1018. , .' ;
127. Bergmann P.G. Observables in general relativity //Rev. Mod. Phys.
1961. Vol. 33. P. 510. - / ..,-..
128. Фаддеев Л.Д, Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжи-
анов //Теор. матем. физика. 1969. Т. 1. С, ;& . .
129. Fradkin E.S. Hamiltonian formalism in covariant gauge and the measure
in quantum rgravity /fptoc.of the 10 Winter School of Theoretical Physics in
Karpacs. 1973. N 207. P. 93. -•. .
287

130. Batalin I.A., Fradfcin E.S. Operator quantization and abelization of
dynamical systems subject to first-class constraints //Riv. Nuovo Cim. 1986.
Vol. 9. (N 10). P. 1.
131. Jackiw R. Introduction to the Yang—Mills quantum theory //Rev.
Mod. Phys. 1980, Vol. 52. P. 661.
132. Christ N.H., Lee T.D. Operator ordering and Feynman rules in gauge
theories //Phys. Rev. 1980. Vol. D22. P. 939.
133. Lee T.D. Particle Physics and Introduction to Field Theory. N.Y.:
Harwood academic publishers, 1981. 865 p.
134. Henneaux M. Hamiltonian form of the path integral for theories with
a gauge freedom //Phys. Rep. 1985. Vol. 126. P. 1.
135. Hanson A.J.. Regge Т., Teitelhoim C. Constrained Hamiitonian
Systems. Roma: Acad. naz. Lincei, 1976. 135 p.
136. Гитмаи Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со
связями. М.: Наука, 1986. 216 с.
137. Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля. М.: Атом-
издат, 1972. 240 с.
138. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля
и статистической физике. М.: Атомиздат, 1976. 256 с.
139. Прохоров Л.В. Фазовое пространство в теориях с калибровоч-
ной группой //Яд. физика. 1982. Т. 35. С. 229.
140. Ashtekar A., Horowitz G.T. On the canonical approach to quantum
gravity //Phys. Rev. 1982. Vol. D26. P. 3342.
141. Isham C.J. Qnantum gravity. Imperial College preprint TP/85-86/39.
London, 1986. 19 p.
142. Jackiw R. Topics in planar physics. Columbia University preprint.
N.Y., 1989. -1
143. Прохоров Л.В. Континуальные интегралы в задачах сот связями
первого рода //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1988.
Вып. 3(JV« 18). С. 3. - —. " А
144. Прохоров Л.В., Нураматов А.Г. Континуальный интеграл для
пропагатора релятивистской частицы //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4:
Физика, химия. 1991. Вып. 3 (.\« 18.). С. 86.
145. Lust D., Theisen S. Lectures in string theory. Lecture Notes in Physics.
N 346. Berlin: Springer-Verlag, 1989. 346 p.
.146. Райдер Л. Квантовая теория поля. /Пер. с англ. под ред.
Р.А.Мир-Касимова. - М.: Мир, 1987. 512 с.
147. Матиняп С. Г., Саввиди Г.К., Тер-Арутюшга-Саввиди Н.
Классическая механика Янга — Миллсй. Нелинейные осцилляции цвета
//Журн. экспер. и теор. физики. 1981. Т. 80. С. 830.
148. Shabanov S.V. The phase space structure in minisuperspace cosmolo-
gical models//Phys. Lett. 1991. Vol. 272B. P. 11.
149. Прохоров Л.В., Шабанов С. В. Фазовое пространство механи-
ческих систем с калибровочной группой //Усп. физ. наук. 1991. Т. 161.
С. 13. - ' -
150. Shabanov S.V. Non-perturbative Green functions in quantum gauge
theories //Mod.Phys.Lett. Ser.B. 1991. Vol. 6. P. 909.
151. Shabanov S.V. Lectures on quantization of gauge theories by the path
integral method. IFM preprint, IFM-16/92. Lisbon, 1992; Proc. 4-th Hellenic
School on Elementary Particle Physics. National Technical University, Athens,
1994. Vol. 1. P. 272.
288
152. Уиттекер Ё.Т., Ьахсов Г.Н. Курс современного анализа. Ч. 1.
/Пер. с англ. под ред. Ф.В.Широкова- М.: Наука, 1963. 344 с.
153. Gribov V.N. Quantization of non-Abelian gauge theories //Nucl. Phys.
1978. Vol. B139. P. 1.
154. Prokhorov L.V., Shabanov S.V. The role of the Weyl group in gauge
theories //Phys. Lett. 1989. Vol. 216B. P. 341.
155. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления.
М.: Наука, 1970. 664 с.'
156. Ordonez C.R., Rubin M., Zwanziger D. Modular invariance and
stochastic quantization. //Phys. Rev. 1989. Vol. D40.P. 4056.
157. Шабанов С. В. Структура фазового пространства в калибро-
вочных теориях: Лекции ОИЯИ. Дубна: ОИЯИ, 1989. Р 2-89-533. 88 с.
158. Прохоров Л.В., Шабанов С. В. Особенности динамики фер-
ми систем с калибровочной группой (о природе поля Хиггса) //Вестн.
Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1990. Вып. 1 (W1 4). С. 3.
159. Шабанов С. В. Квантовая механика систем с калибровочной
группой//Теор. матем. физика. 1989. Т. 78. С. 411.
160. Prokhorov L.V., Shabanov S.V. The phase space structure of gauge
theories and quasiclassical description //Topological Phases in Quantum Theory
/Eds. B.Markovski, S.Vinitsky. -Singapore: World Scientific, 1989. P. 354.
161. Раджарамав Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории
поля /Пер с англ. под ред. О.А.Хрусталева.- М.: Мир, 1985. 416 с.
162. Prokhorov L.V., Shabanov S.V. Phase Space of Yang—Mills Fields.
JINR preprint E2-90-207. Dubna, 1990. 10 p.
163. Малышев Ю.П., Прохоров Л.В. Исключение нефизических
переменных поля Янга—Миллса //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физи-
ка, химия. 1986. Вып. 3 (JV» 18). С. 99.
164. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Т. 2. /Пер. с англ. Н.Я.Виленкина. - М.: Наука. 1974. 296 с.
165. Shabanov "S.V. Path integral in holomorphic representation without
gauge fixation. JINR preprint E2-89-687. Dubna, 1989. 16 p; Proc. Intern.
Seminar "Path Integrals: Theory and Applications"/ Eds. . V.S.Yarunin,
M.A.Smondyrev. Dubna, 1996. P. 133.
166. Shabanov S.V. Phase space reduction and the choice of physical
variables in gauge theories //Int. J. Mod. Phys. Set. A. 1991. Vol. 6. P. 845.
167. Соловьев М.А. Усиление результата Зингера об отсутствии
глобальной калибровки //Теор. матем. физика. 1989. Т. 78. С. 163.
168. Singer I.M. Some remarks on the Gribov ambiguity //Commun. Math.
Phys. 1978. Vol. 60. P. 7.
169. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. /Пер. с англ.
под ред. П.А.Кучмента. - М.: Мир, 1987. 735 с.
170. Желобенко Д.П. Лекции но теории групп Ли. Дубна. ОИЯИ,
1965. 344 с.
171. Weinberg S. Supercoductivity for particular theories //Prog. Theor.
Phys. Suppl. 1986. Vol. 86. P..43.. ¦ : . ,.;,,.
172. :„Салам А. Полупростые группы и систематика элементарных
частиц. Т. 1. Лубна: ОИЯИ, 1965. 152 с. С. 5L .,..,. , г> -,у .
173. Shabanov S.V. Path integrator Yang—MUls theory in a non-pertur-
bative region//Phys. Lett. 1991. Vol. 255B. P. 398. i.---»-
174. Прохоров Л.В. Об интегралах на грассмановой алгебре//Теор.
матем. физика. 1981. Т. 47.,С 210.
289

175. Прохоров Л.В. Об интегралах на грассмановой алгебре. Алге-
бра с п образующими //Вестя. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия.
1982. Вып. 3 (N» 16). С. 66.
176. Прохоров Л.В., Шабанов С. В. Гамильтонов континуальный
интеграл для систем с коническим фазовым пространством //Вестн. Ле-
нингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1988. Вып. 1 (№ 4). С. 68.
177. Прохоров Л.В., Шабанов С. В. Континуальный интеграл
для квантовомеханических систем с произвольной калибровочной груп-
пой //Вестн! Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1988. Вып. 2
(№ 11). С. 8.
178. Вайвштейя А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шифман
М.А. Инстантонная азбука //Усп. физ. наук. 1982. Т. 136. С. 553.
179. Martin J.L. Generalized classical dynamics and the "classical analogue"
of a Fermi oscillator //Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1959. Vol. 251. P. 536; The
Feynman principle for a Fermi system //Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1959. Vol. 251.
P. 543.
180. Огиевецкий В.И., Мезивгческу Л. Симметрии между бозонами
и фермионамии суперполя //Усп. физ. наук. 1975. Т. 117. С. 637.
181. Shabanov S.V. The role of gauge invariance in path integral construc-
tion. JINR preprint E2-89-688. Dubna, 1989. 16 p.
182. Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука,
1989. 400 с. ' '
183. Gell-Mann M. A theory of strong interaction symmetry. Preprint
CTSL. Cal.lnst.Techn., 1961; Phys. Rev. 1962. Vol. 125. P. 1067.
184. Ne'eman Y. Derivation of strong interactions from principle of gauge
invariance//Nucl. Phys. 1961. Vol. 26. P. 222.
185. Gell-Mann M. A schematic model of barions and meseris //Phys. Lett.
1964. Vol. 8. P. 214. - /r
186. Zweig G. CERN preprints 8182/TH-401, 8419/ТЯ-412. Geneva, 1964.
187. Han M., Nambu Y. Three-triplet model with double SUC) symmetry
//Phys. Rev. 1965. Vol. B139. P. 1006.
188. Боголюбов Н.Н., Струминский Б.В., Тавхелидзе А.Н. К
вопросу о составных моделях в теории элементарных частиц. Препринт
ОИЯИ Д-1968.\Дубна, 1965. 13 с. . '•
189. Miyamoto Y. Three kinds of triplet "model //Progr. Theor. Phys.
Suppl' '1965. Extra number. P. 187. ' ¦" '
190. Feynman R. Very High energy collisions of hadrons //Phys. Rev. Lett.
1969. Vol. 23. P. 1415. ....-.- .
191. # Bjorken J., Pasckos E. Inelastic electron-proton and 7-proton
scattering and trie structure of the nucleon //Phys. Rev. 1969. Vol. 185.
P.. 1975.
192. Weinberg S. Non-abelian gauge theories of the strong interactions
//Phys. Rev. Lett. 1973. Vol. 31. P. 494.
19 J. Pati J., Salam A. Unified lept'on-hadron symmetry and a gauge theory
of the bask interactions //Phys. Rev. 1973. D8. P. 1240. ;:
194. Fritzsch ft.j'Gell-Mann M., Leutwyller H. Advantages of the color
octet gluon picture //Phys.Lett. 1973. Vol. 47B. P. 365. / ' ~ •
'' 195. ; Прохоров' Л.В. Модель ВеЙнберга слабых взаимодействий и
структура адронов и пептонов //Письма ЖЭТФ. 1972. Т. 16. С. 561.
-Ч«j 196. Prbkhorov t:V. The unified model of *еак and electromagnetic interac-
tions and strong interactions. L.: Publ. House Len. St. Univ., 1972. 12 p. :
290
197. Chodos A., Jaffe R..L., Johnson K. e. a. New extended model of
hadrons //Phys. Rev. 1974. Vol. D9. P. 3471; Vol. D10. P. 2599.
198. Mandelstam S. II. Vortices and quark confinement in non-Abelian
gauge theories //Phys. Rep. 1976. Vol. 23C. P. 245.
199. t'Hooft G. Gauge theories with unified weak, electromagnetic and .
strong interactions //High Energy Physics. /Ed. A.Zichichi. - Bologna: Editrice
Compozitori, 1976. P. 1225.
200. Amati D., Testa M. Quark imprisonment as the origin of strong
interactions //Phys. Lett. 1974. Vol. 48B. P. 227. >
201. Polyakov A.M. Quark confinement and topology of gauge theories
//Nucl. Phys. 1977. Vol. B120. P. 429.
202. t'Hooft G. On the phase transition towards permanent quark confine-
ment //Nucl. Phys. 1978. Vol. B138. P. 1.
203. Wilson K. Confinement of quarks //Phys. Rev. 1974. Vol. D10.
P. 2445.
204. Schwinger J. Gauge invariance and mass. II. //Phys. Rev. 1962.
Vol. 128. P. 2425.
205. Lowenstein J., Swieca J. Quantum electrodynamics in two dimensions
//Ann. Phys. 1971. Vol. 68. P. 172.
206. Casher A., Kogut J., Susskind L. Vacuum polarization and the
absence of free quarks //Phys. Rev. 1974. Vol. D10. P. 732.
207. Danilov G.S., Dyatlov I.T.. Petrov V.Y. Evolution operator and
quark structure of states in two-dimensional massless electrodynamics //Nucl.
Phys. 1980. Vol. B174. P. 68. , ,
208. Прохоров Л.В. О конфайнменте в калибровочных теориях
//Физ. элементарн. частили атомн. ядра. 1994. Т. 25. С. 559.
209. Волошин М.Б., Тер-Мартиросян К.А. Теория калибровочных
взаимодействий элементарных частиц. М.: Энергоатомиздат, 1984. 296 с.
210. Prokhorov L.V. The Weyl group and confinement. Preprint OCIP-89-
03. Ottawa, 1989. 11 p.
211. Prokhorov L.V. The string modelof electric charge. Preprint OCtP -
89-04. Ottawa, 1989. 14 p.
212. Кабаяси Ш., Номидэу К. Основы дифференциальной геоме-
трии. /Пер. с англ. Л.В.Сабинина. - М.: Наука. 1981.,Т.Д. 344 с.
213. Дубровин Б.А., Новиков С. П., Фоменко А.Т. Современная
геометрия. 2-е изд. - М.: Наука, 1986. 760 с.
214. Даниэль М., Виалле К.М. Геометрический подход к калибро-
вочным теориям типа Янга-Миллса //Усп. физ. наук. 1982. Т. 139.
С 377.
215. ЛихяеровичА. Теория связностей в целом и группы голономий.
/Пер. с англ. под ред. В.В.Рыжкова. - М.: ИЛ, 1960. 216 с.
216. ШутдБ. Геометричеоме методы математической физики. /Пер.
с англ. Под ред. Б.А.Дубровина. - М.: Мир, 1984. 304 с.
217. Прохоров Л.В. О природе конфайнмента //Вестн. Петербург,
ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1992. Вып. 1 (JV« 4). С. 3.
218. Прохоров Л.В. Инвариантные структуры в хромодинамике
//Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1990. Вып. 3 (Xs 18).
С. 3.
219. Prokhorov L.V. On the superselection rule for electric charge //Lett.
Math. Phys. 1990. Vol. 19. P. 245.
291

220. Прохоров Л.В. Струнная модель электрического заряда и не-
которые ее экспериментальные следствия //Тр. 10-го семинара Ин-та
физ.высоких энергий. "Проблемы физики высоких энергий и теории по-
ля". М.: 1988. С. 131.
221. Mandelstam S. Quantum electrodynamics without potentials //Ann
Phys. 1962. Vol. .19. P. 1.
222. Carrutbers P. Introduction to unitary symmetry. N.Y.: Interscience
Publisher, 1966. 226 p.
223. Prokhorov L.V., Shabanov S.V. Invariant structures in gauge
theories and confinement //Int. 3. Mod. Phys. Ser. A. 1992. Vol. 7. P. 7815.
224. Kugo Т., Ojima I. Local covariant operator formalism of non-Abelian
gauge theories and quark confinement //Suppl. Prog Theor Phys 1979
Vol. 66. P. 1.
225. Fursaev D.V., Prokhorov L.V., Shabanov S.V. String-like excitati-
ons in QED //Mod. Phys. Lett. 1992. Vol. A7. P. 3441.
226. Prokhorov L.V., Fursaev D.V., Shabanov S.V. String-like excitati-
ons in quantum electrodynamics. ICTP preprint. IC/92/116. Trieste, 1992. 20 p
227. Прохоров Л.В.. Фургаев Д.В., Шабанов С. В. Струножъ
дооные возбуждения в квантовой электродинамике и метод сильной связи
//Теор. матем. физика. 1993. Т. 97. С. 373.
228. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирую-
щими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983. 208 с.
229. Лейтес Д.А. Теория супермногообразий. Петрозаводск. Ка-
рельский филиал АН СССР, 1983. 200 с.
230. Floreanini R., Jackiw R, Functional representation for fermionic
quantum states //Phys. Rev. 1988. Vol. D37. P. 2206.
231. Титчмарш Е. Теория функций. /Пер. с англ. &-А.Рохлина -
2-е изд. - М.: Наука, 1980. 463 с. . ?./
232. Shabanov S.V. Phase space structure and the path-integral for gauge
theories on a cylinder// Phys. Lett. 1993. Vol. 318 B. P. 323." л" -
233. Прохоров Л.В. Калибровочные условия и калибровочные пре-
образования// Физика элемент, частиц и атомн. ядра. 199б! Т. 27.
0. 1 <599.
234. Prokhoroy L.V. Integrals on the Grassmann and the Clifford algebras//
Proc. Intern. Seminar "Path integrals: Theory and applications"/Eds. V.S.Yaru-
nin, M.A. Smongyrev. - Dubna, 1996. P. 192. ...
292
Научное издание
Лев Васильевич Прохоров,
Сергей Викторович Шабанов
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
КАЛИБРОВОЧНЫХ СИСТЕМ
Редактор Т. В. Л/ызиикова
Верстка О. М. Перуновской
Художественный редактор Е. И. Егорова
Корректор Г. В. Маркичева
Издание подготовлено в
Лицензия ЛР .4» 040050 от 15.08.96 г.
Подписано в печать 02.06.97. Формат 70x108 1/16. Бумага офсетная. Печать
офсетная. Усл. печ. л. 25,55. Усл. кр.-отт. 25,81. Уч.-изя. л. 22,77. Тираж 160 экз.
Заказ 161.
Издательство СПбГУ. 199034, С.-Петербург, Университетская наб., 7/9. -
Типография Издательства СПбГУ.
199034, С.-Петербург, Университетская наб., 7/9.