Сборник задач по подземной гидравлике - Евдокимова В А.. Кочина И. Н.

Автор: Евдокимова В А.. Кочина И. Н.
Теги: горные работы при разработке месторождений полезных ископаемых движение жидкостей гидродинамика гидравлика сборник задач
Год: 1979
Похожие
Основы разработки нефтяных и газовых месторождений
Гидродинамика в бурении
Географические методы контроля разработки нефтяных пластов
Петрофизика
Текст
                    

В. А. ЕВДОКИМОВА, И. Н. КОЧИНЛ
СБОРНИК
подземной
ЗАДАЧ
гидравлике
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образована СССР - качестве учеб-
ного потбия для студентов вузо обучающихся
по специальности «Технологии и комплексная ме
ханизация разработки нефтяных и газовых мес-
торождений»
МОСКВА • «НЕДРА > • 1979
УДК 622.276:532.5(1)75.8)
Евдокимова В А.. Кочина И. Н. ( Гири и. :ач по подземной
пике М . «Недра», 1979. 1*8 с.
В сборник включены задачи на опргде.ъ чие фильтрационных
характеристик пластов, дебитов нефтяных И газовых ске^Ж В
однородных и неоднородных по проницаемости пластах, vic г ин-
терференции гидродинамически совершенных и несовершенных
скважин, расчет продвижения водонефтяного контакта, опреде-
ление дебита и распределения давления при установившемся дви
/Ленин г зириванной жидкости в пористой среде, изменение деби
тов и давлений при неустановившейся фг штрацин упругой жид
кости и газа в деформируемом пласте, .1 г.ть «..• задачи па опреде
ние дебита при установившейся с .гидрации в трещиной <
пласте, дебита и геометрии застойной зоны при фильтрации не-
ньютоновской жидкости.
В каждой! главе приведена краткая теория Типовые и нанбо
лее сложные задачи даны с решениями.
Задачи, помещенные в сборнике, можно использовать при
проектировании разработки нефтяных и газовых месторождении
Книга предназначена в качестве учебного пособи» для :,
дентов нефтяных вузов и факультетов
Табл. 20, ил. 97, список лиг 24 назв
Реце нзенты
Кафедра разработки и эксплуатации нефтяных и газовых Ме-
сторождений Ивапофранковского нефтяного института.
Акад АН ЛзССР Мирзаджанаадё А X*
Е
30802—038
043(01)—79
175—79 2504030300
©
I Ьдательство «Недра»,
1979
ИБ № 3102
Вера Алексеевна Евдокимова
Ираида Николаевна Кочина
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ПОДЗЕМНОЙ ГИДРАВЛИКЕ
Редактор издательства Г К. Лазарева
Переплет художника Я. Т Др^жкав/Л
Художественный редактор В. В. Шу1ьк<>
Технический редактор Л II. Шиманова
Корректор С В Зимина
Сдано в набор 15.05.7S Подписано в печи к V, 01.79 Т (12515
Формат 60х90>,|е Бумага Kt 2 Гарнитуре литер Печать высокая
Печ. л. 10,5 Уч.-изд. л. 9.12 Тираж 43Ю акт Заказ 1496/7-
Цсна 30 коп
Издательство «Недра», '.ОЗозЗ, Москва, К-12, Тпетьяконский проезд, 1/ц
Московская типография .V fi Соючполшрафпрома
л] ч Государственном комитете СССР
л делам НТДЛТМЬСТВ. полиграфии и книжно!) торговли
Г'1'1--. Москва, Ж -- Южпопэртовая ул . 24.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В сборник включены задачи, которые можно использовать
при проектировании нефтяных и газовых месторождений, ре-
шении различных проблем гидротехники, инженерной геологии,
гидрогеологии, ирригации и горного дела Решение многих
задач подземной гидравлики полезно также при расчете ис-
кусственных фильтров различных конструкций, пористых ката-
лизаторов и т. д.
При составлении сборника задач авторы использовали мно-
голетний опыт преподавания курса «Подземная гидравлика» в
Московском институте нефтехимической и газовой промышлен-
ности им акад. И М Гхбкина В сборник, в основном, вошли
задачи которые предлагались студентам на практических за-
нятиях.
Настоящее пособие предназначено ;акже для студентов
специальностей «Геология и разведка нефтяных и газовых ме-
сторождений» и «Экономика и организация нефтяной и газо-
вой промышленности».
Сборник задач состоит ил 15 1лав К каждой главе дает
ся краткая теория Ко всем задачам имеются ответы Типовые,
и наиболее сложные задачи приведены с решениями В решг
ниях некоторых задач даются выводы формул, отсутствующие
в учебной литературе
В сборник входят задачи на определение фильтрационных
характеристик пластов, расчет производительности нефтяных
газовых эксплуатационных и нагнетательных скважин в од-
нородных и неоднородных: по проницаемости пористых плас
тах. а также в деформируемых трещиноватых пластах, учет
интерференции скважин (совершенных и несовершенных), рас-
чет продвижения водонефтяного контакта, определение высо-
ты подъема конуса подошвенной воды при эксплуатации неф-
тяных или газовых месторождений с подошвенной водой, оп
ределение .тебитов и распределения давле ния при движении га-
зированной жидкости в пористой среде, изменение дебитов и
давлений при нестационарном движении упругой жидкости и
газа в деформируемой пористой среде, вытеснение нефти водой
по теории Баклея — Леверетта и др.
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
§ 1. Фильтрация
Фильтрацией называется движение жидкостей, газов
и их смесей в пористых и трещиноватых средах, т в твер-
дых телах, пронизанных системой сообщающихся между собой
пор и микротрещин
Фильтрация жидкостей и i азов по сравнению с движением
в трубах и каналах обладает некоторыми специфическими осо-
бенностями
Фильтрация происходит по чрезвычайно малым в попереч-
ных размерах поровым каналам при очень малых скоростях
движения жидкостей. Силы трения при движении жидкости в
пористой среде очень велики, так как площади соприкоснове-
ния жидкости с твердыми частицами огромны.
Пористая среда характеризуется коэффициентами пористо-
сти и нросветности
Коэффициент пористости т есть отношение объ-
ема пор (тдор) ко всему объему пористой среды (т)
т Кюр/т-	О!)
Под пористостью в теории фильтрации понимается
активная пористость, которая учитывает только те
поры и микротрещины, которые соединены между собой и че-
рез которые может фильтроваться жидкость
Коэффициентом просвет ноет и п называется от-
ношение площади просветов (ю11Роси) в данном сечении пори-
стой среды ко всей площади этого сечения (со)
„ _ ^просв	/Т О\
Можно показать, что среднее по длине пласта значение
нросветности равно пористости, т. е.
поэтому среднее значение площади просветов
^просв ~	~ 772^0.
Упрощенной моделью пористой среды является модель
фиктивного грунта. Фиктивный грунт состоит из шари-
ков одного диаметра, уложенных определенным образом. Ос-
4

ловным элементом (основной ячейкой) фиктивного грунта яв-
ляется ромбоэдр, который получится, если принять центры
восьми соприкасающихся частиц за вершины углов (рис. 1).
В зависимости от острого угла В боковой грани ромбоэдра ук-
ладка шаров более или менее плотная
Угол А изменяется в пределах от 60° до 90°. Углу 0 = 60°
соответствует наиболее плотная укладка шаров, углу 0 = 90с —
наиболее свободная
Пористость фиктивного грунта определяется по формуле
Ч. Слихгера
т = 1  ------------—==—,	(1.4)
6(1 — cos 0)	1 4- 2 cos 6
из которой следует, что пористость зависит не от диаметра
частиц а лишь от их взаимного расположения, которое опре-
деляется углом 0
Чтобы формулы для фиктивного грунта можно было при-
менять для естественного грунта,
грунт эквивалентным ему фик-
тивным. который должен
иметь такое же гидравличес-
кое сопротивление, как у ес-
тественного грунта. Диаметр
час гиц такого фиктивного
грунта называется эф ф е к-
тивпым диаметром (da).
Эффективный диаметр оп-
ределяется в результате ме-
ханического анализа грунта.
Его просеивают через набор
сит с различной площадью отверстий и, таким образом, разде-
ляют на фракции. За средний диаметр каждой фракции прини-
мают среднее арифметическое крайних диаметров, т.е.
.	di—1 + di
нужно вменить реальный
Рис. 1
Затем строят кривую механического (фракционного) соста-
ва грунта, откладывая по осн абсцисс средние диаметры фрак-
ций di, а по оси ординат — сумму масс фракций Agi+Ag2+
+ ... в % от общей массы.
Последняя точка кривой имеет абсциссу, равную dn, и ор-
динату Agi + Ag2-l--.. + Ag„=1000/o (рис. 2)
Существует много способов определения эффективного
диаметра. По способу А Газена dB определяется по кривой
механического состава За эффективный принимается такой
диаметр шарообразной частицы который соответствует сумме
масс всех фракций, начиная от нуля и кончая этим диамет-
ром, равной 10% Надо найти, кроме того, диаметр d0, кото-
5
рый соответствует сумме масс фракций, равной Ь0% Коэф-
фициент однородности dolda должен быть не более 5
•^5) и d-. должен лежать в пределах от 0,1 до 3 мм
По способу Крюгера — Цункера используют данные меха-
нического анализа грунта и определяют d., по формуле
t1
(1-5)
Скоростью фильтрации щ называется отношение
объемного расхода жидкости к плошади поперечного сечения
Рис. 2
пласта, нормального к направле-
нию движения жидкости
U»=Q(d.	(1.61
Скорость фильтрации представ-
ляет собой фиктивную скорость, с
которой двигалась бы жидкость,
если бы пористая среда отсутство-
вала (т 1)
Средняя скорость движения
жидкости и равна отношению обь-
емного расхода к плошади просве-
тов ю11()осв (живому сечению пото-
ка)
v~- —Q—	(1.7)
Скорость фильтрации и средняя скорость движения связа-
ны соотношением
v w/m.
(1-8)
§ 2. Линейный закон фильтрации Дарси.
Коэффициенты проницаемости и фильтрации
Закон фильтрации Дарси устанавливает линейную зависи-
мость между объемным расходом несжимаемой жидкости и по-
терей напора, приходящейся на единицу длины, и имеет вид
Q с	(I 9)
где Я, =2j -|-и Н2=г - — —полные напоры i начальном
• „ Pg	pg
и конечном сечениях образца пористой среды (скоростные £ а-
поры отброшены вследствие их малости), !—длина образца,
<i> площадь поперечного сечения (рис 3); с — коэффициент
фильтрации, зависящий как от свойств пористой среды, так и
от свойств фильтрующейся жидкости
4J
Учитывая, что (Hi—H2)ll=i— гидравлический уклон, (19)
можно записать так
Q ст®,	(I 10)
деля обе час г последнего равенства на щ, получим
х' а.
(I.H)
Способность пористой среды пропускать сквозь себя, жид-
кости и га ы называется проницаемостью Это свойство
характеризуется оэффициентом
от коэффициента фильтрации
k зависит только от свойств
пористой среды.
При решении задач нефтя-
ной подземной гидравлики
удобнее записывать закон
Дарси, пользуясь коэффици-
ентом проницаемости-
~ k Р\ Р k&p* ,т , о.
Q —-----------®-——со, (1.12)
Р I	(г!
или'	2’*.
k Pi — р'	k \Р’
ji I	и	l
проницаемости k В отличие
коэффициент проницаемости
Рис. 3.
где p\=p>gZ\+Pi'- р‘ pgz2+p2 давления, приведенные к
плоскости отсчета геометрических высот
Закон Дар<н и дифференциальной форме имеет вид
те	—L JPL	(1.13)
rfs
где х - координата вдоль линии тока.
Коэффициенты проницаемости и фильтрации связаны соот -
ношением
—.	(1-14)
р PC
К<юффициен1 проницаемости имеет размерность площади,,
а коэффициент фильтрации- размерность скорости
На практике проницаемость нефтяных и газовых пластов
измеряется единицами, называемыми дарси (Д) За единицу
проницаемости 1 Д принимают проницаемость такой пористой
среды, при фильтрации через образец которой площадью 1 см2,
длиной 1 см при перепаде давления в 1 кгс/см2 (98 000 Па)
расход жидкости вязкостью сП (1 мПа-c) составляет 1 см3/с.
Величина, равная 0,001 Д, называется миллидарси (мД).
1 Д = 1,02-10-» см2- 1,02-10 12 м2
Проницаемость реальных пластов изменяется от нескольких
миллидарси до нескольких ларси
7
Задача 1
Определить пористость ячейки фиктивного грунта (по Слих-
теру) в случае, когда угол грани ромбоэдра 6=90° (пис 4)
Ответ: /n = 47,6%	'
Задача 2
Показать, что пористость т и
грунта не зависят от диаметра
Рис. *
просветность п фиктивного
частиц, слагающих грунг
Рассмотреть случай, когда угол
грани ромбоэдра 6 = 90° (рис. 4).
Решение. Рассмотрим основ-
ную ячейку фиктивного грунта
по Слихтеру. Пористость этого
элемента
т	=
Тибр
nd'1
d3 ---------
6	_ п
d3 ~ — 6 ’
откуда следует, что пористость т не зависит от диаметра
Аналогично для просветности
^просв__4	__ ] __ П
б/обр	d-1	4
Задача 3
Определить удельную поверхность песка (поверхности пес-
чинок, заключенных в 1 м3 песчаного пласта), пористость ко-
торого т = 25% и эффективный диаметр песчинок d3=0,2 мм.
Найти также число частиц в единице объема пласта, принимая
их форму сферической
Ответ:
5	6(1-/п)	2,25-Ю4 м2/м3,
d
N = 6(1—m) = j 79 10u
nd3
Задача 4
Определить пористость фиктивного грунта (по Слихтеру)
при наиболее плотной укладке шаровых частиц, соответствую-
8
шей значению острого угла грани ромбоэдра 6-=60с (рис. 5)
Решение. Объем основной ячейки фиктивного грунта
тобр «/i (h d sin а),
to - d2 sin 6	d2 sin 60 ' = d2 J 3/2
Значение sin а найдем следующим образом:
из A71O£' ОЕ' dcosO;
из ЬЕОЕ' ОЕ = OE'jcos— - dcos60 -dl- 2- = -l^.d
2 cos 30	2 )A3	3	’
из ЛАОЕ cos a OE/d = ] ' 3 /3,
since yf 1 cos2 a
Подставляя h и w, полу-
чим
^oCp —
_LLrf>
3	2	2
Объем скелета ячейки
равен объему одной шаро-
вой частицы
тч — ггиР/б.
Рис. 5
Пористость фиктивного грунта при 6 = 60" будет
т — 1
_Ед_ = 1 —	1- =: 1--------= 0,259
то6р	0/2^	3|/2
25,9%.
Задача 5
Определить эффективный диаметр песчинок da по способу
Крюгера Цункера для песка следующего механического со-
става:
Диа* «^частиц,	0_005	а,05-0.1	0,1—0,2	0,2—0.3	0,3—0,5	0,5-1,0
Ag„ вес. %	6,9	38,6	44,2	6,3	3,3	0,7
Ответ: d3=0,09 мм.
Задача 6
Сопоставить число частиц диаметром d, заключенных в
1 мл фиктивного грунта, при наиболее свободном расположе-
нии частиц (6 = 90°) и при их наиболее тесном расположении
(6 = 60°)
9
I
Решение. Обозначим число частиц в 1 м3 грунта при 0 = 90
через Л, а при 0 = 6ОС	через .V|. Тогда
д/ = 60 —"0	6 С1 — С,*7Gj 6  0,524
ltd3	fid3	nd”
6(1 — mj 6 (1 —0,259)	6 0,741
1 nd3	nd3	nd3
Л\/Л/ = 0,741 /0,524 =1,41.
Задача 7
Построить кривую механического состава грунта и опреде-
лить аффективный диаметр грунта по способу Газена, исполь-
зуя следующие данные.
Диаметр частиц _	Л _
мм	0-0.05 0,05 0,1 0 1- 0.2 0.2—0,3 и.3-0.5	0,5 1
Age, вес, %	1,5	5,3	7,2	40.1	35,7	10,2
Ответ: е/э=0,11 мм.
Задача 8
Определить коэффициент проницаемости пористой среды (в
дарси), если известно, что коэффициент фильтрации с=
=0,3 -10 4 см/с, а кинематический коэффициент вязкости
фильтрующейся жидкости \-10~6 м2/с. Фильтрация жидкости
происходит по закон) Дарси
Ответ: А = 30 мД
Задача 9
Определить коэффициент фильтрации, если известно, что
площадь поперечного сечения обра 1ца песчаника ш = 30 см2,
длина образца 1 = 15 см. разность давлений на входе жидкости
в образец и на выходе ip=19.6 кПа (0,2 кгс/см2), плотность
жидкости р = 1000 кг/м3 и расход равен 5 л/ч
Ответ: с=3,17-10’3 см/с
Задача 10
Определить скорость фильтрации и среднюю скорость дви-
жения нефти у стенки гидродинамически совершенной скважи-
ны и на расстоянии г=75 м, если известно, что мощность пла-
ста й=10 м, коэффициент пористости т=12%, радиус скважи-
ны гс=0,1 м, массовый дебит скважины Q№ = 50 т/сут и плот-
ность нефти р=850 кг/м3.
Ответ: w, 1,09-10-* м/с; t'c = 0,91-10-3 м/с; да=1.45Х
ХЮ 7 м/с, и = 1,21-10-6 м/с
10

3 а дача 11
Определить объемный дебит Q, и скорость фильтрации
газа ж, у стенки гидродинамически совершенной скважины,
если известно, что приведенный к атмосферному давлению и
пластовой температуре объемный дебит газа <2ат = Ю6 м3/сут,
радиус скважины г,=0,1 м, мощность пласта /1 = 20 м, абсо-
лютное давление газа на забое рс = 4,9 МПа (50 кгс/см2).
Ответ: Q, =0,239 м3/с; ЬУ 0,019 м/с.
Задача 12
Определить коэффициент пористости, зная, что скорость
движения через образец, определяемая при помощи индикато-
ра, равна и=3-10~® см/с, коэффициент проницаемости k =
=0,2 Д, вязкость жидкости ц=4 мПа-с и разность давлений
Лр=2 кгс/см2 при длине образца (=15 см.
Ответ: т — 22'
Задача 13
Определить среднее значение скорости фильтрации у вход^
жидкости в ги гродинамически несовершенную по степени
вскрытия скважину, если мощность пласта й = 25 м, относи
тельное вскрытие пласта k 0,6, радиус скважины гс=0,1 м,
дебит жидкости Q = 250 м3/сут.
Ответ: а/=0.0308 см/с.
Задача 14
Определить коэффициенты проницаемости и фильтрации
для цилин зрического образца пористой среды диаметром d=
= 5 см. длиной ( = 20 см, если разность давлений на концах
образца составляет 300 мм рт. ст., расход жидкости Q =
= 1,70л/ч, динамический коэффициент вязкости жидкости ц =
= 5 мПа-с, плотность ее р = 0,85 г/см3 Найти также скорость
фильтрации.
Ответ: k = 5,9 Д; с=10~д см/с; w= 0,024 см/с.
Задача 15
Определить скорость фильтрации и среднюю скорость дви-
жения при плоскорадиальной фильтрации газа к скважине в
точке на расстоянии г=150 м от центра скважины, если дав
ление в этой точке равно р = 7,84 МПа (80 кгс/см-'), мощность
пласта /г=12 м, пористость его т = 20%, а приведенный к ат
мосферному давлению и пластовой температуре дебит QaT =
—2-10® м3/сут, рач=0,1 МПа
Ответ: w = 0,262 10-4 м/с; ц= 1,31-10 ( м/с.
11
II. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНА ДАРСИ.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ
§ 1. Критерий Рейнольдса
Подобно тому, как в трубной гидравлике критерием режи-
ма движения служит число Рейнольдса
Re — vdp/p,	(П1)
в теории фильтрации вводится безразмерный параметр
Re — иар/р,	(И.2)
где и—некоторая характерная скорость; а линейный пара-
метр, характеризующий среднее сечение поровых каналов;
р плотность жидкости; ц динамический коэффициент вяз-
кости.
Скорость фильтрации, при которой нарушается закон Дар-
си, называется критической скоростью фильтра-
ции ( ТОкр)
Однако нарушение линейного закона фильтрации еще не
означает перехода от ламинарного движения к турбулентному
Закон Дарси нарушается вследствие того, что силы инерции,
возникающие в жидкости за счет извилистости каналов и из-
менения площади их поперечных сечений, становятся при
соизмеримыми с силами трения.
В трубной гидравлике значение Re, при котором происхо-
дит смена режимов, равно ReKIJ = 2320, в теории фильтрации
закон Дарси имеет место при значении безразмерного парамет-
ра Re. меньшего критического (ReKp), которое устанавливается
из опыта
Впервые число Рейнольдса для фильтрации жидкости было
введено Н. Н Павловским в виде
Re
(О, 75m-f-0,23) р.
(П.3)
т. с. за характерную скорость была взята скорость фильтрации
ш, а линейный параметр представлен выражением
</э
а
(П.4)
Критические значения Re по Павловскому заключены в
интервале
Некр = 7,5 4- 9.
12
I
Б Н Щелкачев предложил взять за линейный параметр
выражение, пропорциональное корню квадратному из коэффи-
циента проницаемости,
а = 10 j/ATm-2’3.	(П.5)
Число Рейнольдса по В Н. Щелкачеву имеет вид
Re = 1(W'T Fp ,	(П.6)
т2,3ц
 критические значения лежат в интервале
l<ReKp< 12.
По М. Д. Миллионщикову за характерную скорость взята
-средняя скорость движения жидкости
v = ш/т,
.3 за линейный параметр — выражение ^kjm, т. е.
Re = v 1 р = w ' р	(И 7)
И	/п1>5ц
0,022 ReHp <0,29.
Если вычисленное по одной из формул (II.3), (116), (II.7)
значение числа Re оказывается меньше нижнего критического
значения Re1>p, то закон Дарси справедлив, если Re больше
верхнего значения ReKp, го закон Дарси заведомо нарушен.
Широкий диапазон изменения ReKp объясняется тем, что в
формулы для числа Re входят параметры k и т, которые не
полностью характеризуют микроструктуру породы. Как следуе!
из опытов, для каждой горной породы можно указать более
узкий диапазон значений Rehp [16]
Определение режима фильтрации жидкостей и газов имеет
большое практическое значение, ибо без знания закона фильт-
рации в пласте нельзя правильно рассчитать дебиты скважин,
распределение давления в пласте, а также невозможно опреде-
ление параметров пласта (k, h, т и др ) по данным исследо-
вания нефтяных и газовых скважин
§ 2. Нелинейные законы фильтрации
При нарушении закона Дарси зависимость между скоро-
стью фильтрации w и градиентом давления dpfds лучше всего
описывается двучленной формулой
—	— aw 4- baf,	(II .8)
ds
которая выражает плавный переход от линейного шкона
фильтрации к нелинейному. При малых значениях скорости
13
а&’^Ьи.'2 пренебрегаем вторым членом и получаем закон Дар-
си; при значениях a>^u слагаемые ах1 н bw2 имеют один н
тот же порядок; при больших скоростях фильтрации aw<^bw2
и можно принять
(11.9)
— —
л .
что соответствует квадратичному закону сопротивления и име-
ет место при фильтрации в крупнозернистых и трещиноватых
породах. Формула (П.9) называется формулой А. А Красно-
польского.
Коэффициенты а и b определяются либо экспериментально,
либо а по формуле п = р//г, а b приближенно по формуле,
предложенной А. И. Ширковским
, из 10»
b р-----------\.
к te/m) •
(П.10)
где р —плотность в кг/м3; k — коэффициент проницаемости в
Д; т коэффициент пористости в долях единицы.
Можно записывать закон фильтрации, отличный от закона
Дарси, в виде одночленной степенной зависимости между ско-
ростью фильтрации и градиентом давления
1*1 C^SigH^V,
\ ds as /
(П. П)
где sign — знак производной dplds\ с и п — некоторые' постоян-
ные. определяемые опытным путем, причем 1<п=С2. п=2
соответствует закону Краснопольского.
Используя принцип однородности размерностей, можно най
ти выражение для коэффициента С
ReKp •
I bn) .
п—1 3—п л—2 1—п
п 1 2п п п
к [X р
(П-12)
где f(m) -= 10 /и-2-3.
Задача 1b
Определить значение числа Рейнольдса у стенки гидро щ-
намически несовершенной по характеру вскрытия нефтяной
скважины, если известно, что эксплуатационная колонна пер-
форирована, на каждом метре длины колонны прострелено
10 отверстий диаметром б/0=Ю мм, мощность пласта /1 = 15 м,
проницаемость пласта /г=1 Д, пористость его т = 18%, коэф-
фициент вязкости нефти р=4 мПа-C, плотность нефти р =
= 870 кг/м3 и дебит скважины составляет 140 м3/сут.
Ответ: Re=15,6 (по формуле Щелкачева),
Re = 0,396 (по формуле Миллионщикова).
и
Задача 17
Определить радиус призабойной зоны гьр, в которой нару-
шен закон Дарси, при установившейся плоскорадиальной
фильтрации идеального газа, если известно, что приведенный
к атмосферному давлению дебит скважины QaT = 2-106 м3/суг,
мощность пласта /i=10 м, коэффициент проницаемости /? =
= 0,6 Д. коэффициент пористости пласта /и=19%, динамиче-
ский коэффициент вязкости газа в пластовых условиях р=1,4х
ХЮ-3 кг "Л с, плотность газа при атмосферном давлении и пла-
стовой температуре рат = 0,7 кг/м3.
Указание. В решении использовать число Рейнольдса по
формуле М. Д Миллионшикова и за RcKp взять нижнее шаче-
ние ReKP = 0.022
Ответ: г,., =7,9 м.
Задача 18
Определить по формуле Щелкачева, происходит ли фильт-
рация в пласте по закону Дарси, если известно, что дебит
нефтяной скважины 0 = 200 м3/сут, мощность пласта h=5 м,
коэффициент пористости /тг=16%, коэффициент проницаемости
fe = 0,2 Д, плотность нефти р = 0,8 г/см3, динамический коэффи-
циент вязкости ее р=5 мПа-с. Скважина гидродинамически
совершенна, радиус ее г,. = 0,1 м
Ответ: Re = 0,036<ReI,p= 1
Задача 19
Дебит газовой скважины, приведенный к атмосфернимх'
давлению при пластовой температуре QaT=2-106 м3/сут, аб-
солютное давление на забое рс=7,84 МПа (80 кгс/см2), мощ-
ность пласта h 10 м. коэффициент пористости пласта т=*
18"., коэффициент проницаемости £=1,2 Д, средняя молеку-
лярная масса газа 18, динамический коэффициент вязкости в
пластовых условиях р = 0,015 мПа--с, температура пласта
45 С
Определить, имеет ли место фильтрация по закону Дарси
в призабойной зоне совершенной скважины радиусом г..=
= 10 см.
Решение. Определим плотность газа у забоя скважины
Для этого найдем плотность газа при 0 С и 760 мм рт ст.
(0,Ю13 МПя)
р„ - 18/22,4	0,804 кг/м3,
и при условиях на забое
Ро^оРс 0,804 273 7,84 го 3 КРМз
О_________	'	-- 1 IV1 я
1 Трв (273 -р 45) 0,10(3
15
Скорость фильтрации на забое равна

2jirchpc
2-10е 0,1013_______
0,864 105 6,28 0,1 10-7,84
= 0,0477
М/С.
Число Рейнольдса по Щелкачеву
Re =
Юге \ rk р
10 0,0477/1,2-1,02 10~12 53,3	„„ Г1 ,,,
--------- —	—	=96.о> ReKp= 12;
0,0195 0,015 10 3
т р
по Миллионщикову
Re =
w 4 fe Р
т‘-5р
0,04771 1,2 1,02 10—12 53,3
0,18* 5-0,015 10—
2,46 > ReKp = 0,29,
т. ( в призабойной зоне нарушается закон Дарси.
III. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ ВОДОНАПОРНОГО РЕЖИМА
Движение жидкости считается напорным, когда пьезометри-
ческая линия располагается выше верхней непроницаемой гра-
ницы потока (кровли пласта)
Установившийся фильтрационный поток жидкости или газа
называется одномерным в том случае, когда давление и ско-
рость фильтрации являются функциями только одной коорди-
наты, взятой по линии тока.
К одномерным потокам относятся.
1)	прямолинейно-параллельный (пли параллельно-струй-
ный) фильтрационный поток;
2)	плоскорадиальный;
3)	радиально-сферический.
§ 1. Прямолинейно параллельное движение несжимаемой
жидкости. Приток к дренажной галерее
Прямолинейно-параллельное движение имеет место в том
случае, когда векторы скоростей фильтрации параллельны
между собой.
Если пласт горизонтальный, кровля и подошва непрони-
цаемы, мощность пласта h и ширина пласта В всюду одина
ковы, то в плане пласт представится прямоугольником (рис 6)
Если в первом сечении пласта, соответствующем границе плас-
та с областью питания, поддерживается давление рр. а в дру-
гом сечении, совпадающем, например, с дренажной галереей и
отстоящем от первого сечения на расстоянии /, поддержива-
ется давление рг, то будет установившееся прямолинейно-па
раллельное движение
Направим ось Ох вдоль линии тока.
16
Считая, что фильтрация происходит по закону Дарси,
пласт однородный по пористости и проницаемости, можем оп-
ределить объемный дебит
Q -А Рк Рг
и I
(Ш.1)
|де м—Bh— площадь сечения
пласта, нормального к направ-
лению движения,
давление в любом сечении
пласта
Р-Рк ±к~Рг X (III.2)
и время, в течение которого ча-
стицы пройдут путь х,
t ---------1Л—	(Ш.З)
k Рк— Рг
§ 2. Плоскорадиальное напорное движение несжимаемой
жидкости. Приток к совершенной скважине.
Формула Дюпюи
При плоскорадиальном движении векторы скорости фильт
рации направлены по радиусам к оси скважины, поэтому дав-
ление и скорость фильтрации зависят только от одной коор-
динаты г При этом во всех горизонтальных плоскостях поле
скоростей и давлений будет одинаковым.
Примером плоскорадиального фильтрационного потока яв-
ляется приток к гидродинамически совершенной скважине,
вскрывшей горизонтальный пласт бесконечной протяженности
на всю мощность h и сообщающейся с пластом через пол-
ностью открытую боковую поверхность цилиндра, отделяющею
ствол скважины от продуктивного пласта
Поток 65 дет также плоскорадиальным при притоке к со-
вершенной скважине радиуса г (или оттоке от скважины)
расположенной в центре ограниченного горизонтального ци-
линдрического пласта мощностью h 11 радиусом (рис. 7).
Если на внешней границе пласта, совпадающей с контуром
питания, поддерживается постоянное давление рь, а на забое
скважины постоянное давление рс, пласт однороден по пори-
стости и проницаемости, фильтрация происходит по за-
17
кону Парен, то объемный дебит скважины определится по
формуле Дюпюи
q 2nkh рк рс	(Ш. 4)
И	А'к
|п----
'с.
где ц — динамический коэффициент вязкости
Закон распределения давления определяется по одной из
формул:
Р Рк ~ Рк Рс- Ш — , (HI.5)
Rk г
In —
б:
либо
п А-	(III.6)
1	Н1> 2nkh
либо
р р Рк-Рс_]п2_ (III .7)
и J , R.
Линия р = р(г) называется де-
прессионной кривой дан
и'в ия. Характерно, что при при-
ближении к скважине градиенты
давления и скорости фильтрации
резко возрастают При построении
карты изобар следует учитывать,
что радиусы изобар изменяются в
геометрической прогрессии, в то
время, как давление на изобарах
изменяется в арифметической про-
грессии
Индикаторная линия — зависимость дебита скважины от
депрессии \p=pt р^. при притоке к скважине в условиях
справедливости закона Дарси представляет собой прямую ли-
нию, определяемую уравнением Q = K,\p
Коэффициент продуктивности
2nkh
I
Il In-----
(Ш.8)
численно равен дебиту при депрессии, равной единице
Закон движения частиц вдоль линии тока, если при 1=0
частица находилась в точке с координатой г=г0, описывается
уравнением
18
или
ithm
П
(III 9)
t

mil In(rj— r2)
t =-----—------
2fe (Рк Pc)
(III 9a)
Средневзвешенное по объему порового пространства Q
пластовое давление
Р ±\pd£>,	ПНЮ)
" Q
где
Q - л (А’к Тс) hm,
d.Q 2nhmrdr.
сквзгкине
(III. 12)
Подставляя выражение для р (III.5), выполняя интегриро-
вание пренебрегая всеми членами, содержащими г2с, полу-
чим
р рк—^=^-.	(П1.П)
2	In—
Закон распределения давления и формула дебита при на-
рушении закона Дарси при притоке к совершенной
получаются из двучленной формулы
Д^Р. „ Др_ -dd w- bw2.
ds dr k
Подставляя выражение для скорости фильтрации
w Q '2nrh
в (III 12) и разделяя переменные, получим
, Qii dr Q~b dr
dp —------------------- ---
2nkh r (2nh)2 r2
Интегрируя по p в пределах от р,- до рк и по г в
г до /?к, будем иметь
Q,u 1 Rk	/ 1	_1 \
Рк ~Рс 2sikh П ”7Г	(2л/1)3 \ rc RK)
(III. 13)
пределах
<111.14)
Решая полученное квадратное уравнение, находим дебит
скважины Q Интегрируя (III.13) по р в пределах от р до рх
и по г б пределах от г до найдем закон распреде зения
давления
Qu 1 RK Q2b f \	1
P -= pv-----In —------------------(-----------
И	2nkh r (2n/i)- r RK
(III. 15)
19
Как видно из (III И), индикаторная линия при нарушении
закона Дарси является параболой
Если фильтрация происходит по закон} Краснопольского,
то дебит определяется по формуле
Q — 2лй 1 -^Ар .	(III.16)
§ 3. Радиально сферическое движение несжимаемой
жидкости по закону Дарси
Фильтрационный поток называется радиально-сферическим,
если векторы скорости фильтрации направлены в пространстве
по прямым, радиально сходящимся к од-
ной точке (или расходящимся от нее).
Благодаря центральной симметрии дав-
ление и скорость фильтрации зависят и в
этом случае только о г одной координаты
г, отсчитываемой от центра (рис. 8). При-
мером потока, весьма близкого радиаль-
но-сферическому, является приток жидко-
сти к гидродинамически несовершенной
скважине малого диаметра, едва вскрыв-
шей непроницаемую горизонтальную кров-
лю однородного пласта большой мощное! и
(теоретически бесконечной)
скважины, представленной в виде полусферы
Если на забое
радиуса гс, поддерживается постоянное приведенное давление
d3 . а на достаточно большом расстоянии от скважины, на
полусферической поверхности радиуса RK сохраняется посто-
янное давление р* и фильтрация в однородном пласте проис-
ходит по закону Дарси, то объемный дебит скважины опреде-
ляется по формуле
2nrck,(P'K -pl)
I1
(III. 17)
Приведенное давление
по формуле
в любой точке
пласта определяется
Рк~Р1
1
Р =РК !
ГС Рк
(III. 18)
1
1
а закон движения частиц вдоль линии тока от точки с коорди-
натой г0 До точки с координатой г описывается уравнением
'20
Задача 20
Определить дебит дренажной галереи шириной В = 100 м,
если мощность пласта й = 10 м, расстояние до контура питания
I = 10 км, коэффициент проницаемости пласта k — 1 Д, динами-
ческий коэффициент вязкости жидкости р = 1 сП, давление на
контуре питания рь = 9,8 МПа (100 кгс/см2) и давление в гале-
рее рг=7,35 МПа (75 кгссм2). Движение жидкости напорное,
подчиняется закону Дарси
Ответ: Q = 21,6 м3/сут
Задача 21
Определить коэффициент проницаемости пласта (в различ-
ных системах единиц), если известно, что в пласте происходит
одномерное, прямолинейно-параллельное установившееся дви-
жение однородной жидкости по закон} Дарси. Гидравлический
уклон i=0,03, ширина галереи В = 500 м, мощность пласта
А=6 м, плотность жидкости р = 850 кг/м3, динамический коэф-
фициент вязкости р = 5 сП и дебит галереи Q = 30 м3/сут
Ответ: /? = 2,27 Д = 2,32-108 см2= 2,32-10 ~12 м*
Задача 22
•
Показать графически распределение давления и найти
градиент давления при прямолинейно-параллельном движении
в пласте несжимаемой жидкости по линейному закону фильт-
рации, используя следующие данные: длина пласта /к=5 км,
мощность пласта /г=10 м, ширина галереи В = 300 м, коэффи-
циент проницаемости п шста /г = 0.8 Д, давление в галерее рг=
= 2,94 МПа (30 кгс/см2), динамический коэффициент вязкости
жидкости р = 4 сП, дебит галереи Q = 30 м3/сут.
Ответ:	р=5,78—0,0568 10 • х (х в м, р в МПа), —-у-
=0,0568-10 МПа/м
Задача 23
Определить дебит нефтяной скважины (в т/сут) в случае
установившейся плоскорадиальной фильтрации жидкости по
закону Дарси, если известно, что давление на контуре питания
рь-=9,8 МПа (100 кгс/см2), давление на забое скважины рс =
= 7,35 МПа (75 кгс/см2), коэффициент проницаемости пласта
Л = 0,5 Д, мощность пласта й=15 м, диаметр скважины £>с =
= 24,8 см, радиус контура питания 7?lt=10 км, динамический
коэффициент вязкости жидкости р = 6 мПа-с и плотность жид-
кости р = 850 кг/м3.
Ответ; QIH= 127 т/сут
21
Задача 24
Определить давление на растоянии 10 и 100 м от оси
скважины при плоскорадиальном становившемся движении
несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации, счи-
тая, что коэффициент проницаемости пласта fe=0,5 Д, мощ-
ность пласта /1=10 м, давление на забо< скважины р =
= 7,84 МПа (80 кгс/см2), радиус скважины г. = 12.4 см. дина-
мический коэффициент вязкости нефти ц=4-10“3 кг/м-с, плот-
ность нефти р = 870 кг/м’ и массовый дебит скважины Q.
= 200 т/сут.
Ответ: pt = 9,28 МПа; р2= 10,06 МПа
Задача 25
Построить индикаторную линию (зависимость дебита Q от
перепада давления Ар=р1:—рс), имеющуюся при установив-
шейся плоскорадиальной фильтрации жидкости пи линейному
закону, если известно, что давление на контуре питания р, =
= 8,82 МПа (90 кгс/см2), коэффициент проницаемости пласта
k = 600 мД мощность пласта /1 = 10 м, диаметр скважины Ос=
= 24,8 см. расстояние от оси скважины до контура питания
/?к=10 км и динамический коэффициент вязкости нефти р =
= 5 мПа -с.
Ответ: индикаторная линия прямая, описываемая уравне-
нием Q = 5,77 Др (Q в м3/сут Ар в кгс/см2).
Задача 26
Определить коэффициент гидропроводностп пласта khlu
по данным о коэффициенте продуктивности скважины. Извест-
но, что фильтрация происходит по закону Дарси, коэффициент
продуктивности К = 18 т/сут (кгс/см2), среднее расстояние меж-
ду скважинами 2 о= 1400 м, плотность р = 925 кг/м3, радиус
скважины гс = 0,1 м
Ответ: Р/1/р = 3.18-10 '' м4-с/кг (318 Д-см/сП)
Задача 27
Определить средневзвешенное по объему пластовое давле-
ние, если известно, что давление на контуре питания рк=
= 9,8 МПа (100 кгс/см2), давление на забое возмущающей
скважины ре=7,84 МПа (80 кгс/см2) расстояние до контура
питания /?! =25 км. радиус скважины гс=10 см. В пласте име-
ет место установившееся плоскорадиальное движение несжи-
маемой жидкости по закону Дарсн
Ответ: р=9,72 МПа (99,19 кгс/см2).
Задача 28
Определить относительное понижение sp/s=(Hh—Н)/(НК
—Нс) пьезометрического уровня в реагирующих скважинах,
22
расположенных от возмущающей скважины
1 м, 100 м. 1 км, 10 км. Движение жидкости
плоскорадиальное по закону Дарси. Радиу<
==0,1 м, расстояние до контура питания РЕ = 100
Ответ: sE/s равно соответственно 0,83, 0,50,
на расстояниях
установившееся
скважины гс=
км.
0,33, 0,167
3 а д а ч а 29
Определить время отбора нефти из призабойной зоны сква-
жины радиусом га=100 м, если мощность пласта /1=10 м, ко-
эффициент пористости пласта гл = 20%. массовый дебит нефти
Qm = 40 т/сут. плотность ее р=920 кг/м3, гс -0,1 м.
Ответ: Т = 1440 с i
Задача 30
Определить время t, за которое частица жидкости подойдет
к стенке скважины с расстояния го=2ОО м, если коэффициент
проницаемости пласта k = l Д, динамический коэффициент вяз-
кости нефти ц=5 сП, депрессия во всем пласте радиусом Р, =
= 1 км составляет рк рг = 10 кгс/см2; мощность пласта Л=10м,
коэффициент пористости пласта /71=15%, радиус скважины
г, — 10 см
Ответ: /=1600 сут.
3 а а ч а 31
Как изменится дебит скважины Q при увеличении радиуса
скважины вдвое?
1	Движение происходит по линейному закону фильтрации
2	Фильтрация происходит по закону Краснопольского
Начальный радиус скважины гс=0,1 м. Расстояние до кон-
тура питания /?к = 5 км
Ответ: 1) Q'Q=l,07; 2) Q' Q=1.41, т е. при движении
жидкости по линейному закону фильтрации влияние изменения
радиуса скважины менее интенсивно, чем при движении по
закону Краснопольского
Задач 32
Найти изменение перепада давления \р при увеличении ра-
диуса скважины вдвое, при котором дебит остается прежним
Рассмотреть два случая, как в предыдущей задаче Начальный
радиус скважины гс = 0,1 м. расстояние до контура питания
/?к	1 км
Ответ: 1) \р'1 \р = 0,925, 2) \р'/ \р = 0,5.
Задача 33
Во сколько раз необходимо увеличить радиус скважины,
тобы дебит ее при прочих равных условиях удвоился?
1) Движение жидкости происходит по закону Дарси.
23
2) Жидкость фильтруется по закону Краснопольского. На-
чальный радиус скважины гс=0,1 м. Расстояние до контура
питания 7?,. = 1 км.
Ответ: 1) «=100, г',. = 10 м; 2) п = 4, г'е = 0,4 м.
Задача 34
Скважина радиусом гс=10 см расположена в центре круго-
вого пласта радиусом /?т. = 350 м. Коэффициент проницаемости
пласта А = 0,8 Д, мощность /1=12 м,
динамический коэффициент вязко-
сти неФти р = 5 сП. Определить
дебит скважины, считая, что за-
У	/	лежь по конт) ру радиуса Д.( ча-
л	/	—т"	стично непроницаема (рис. 9). Кон-
ч	Гс tb—	тур питания представляет собой в
4	Рс\	плане дугу окружности радиусом
X	с Центральным углом а = 120°.
\/ Давление на контуре питания р, =
— 27,9 МПа (285 кгс/см2), давление
На забое скважины рс = 7,84 МПа
(80 кгс/см2).
р1;С ।	Решение. Задачу можно свести
к плоскорадиальной, если в форму-
ле Дюпюи за контурное давление
принять средневзвешенное по длине окружности давление pt.
рк Рк J2! 27,9	9,3 МПа,
гк	360 г	360
2nkh (рк — рс) __ 6,23 0,8 1,02 10 ы. 12 (27,9- 7,84) 10« _
У	~	350
pin—	5-10 s.2,31g-—
/*с	и, 1
= 2,22-10 м3/с 192 м3/сут.
Задача 35

Сколько жидкости следует закачивать в пласт в единицу
времени через нагнетательную скважину, если необходимо,
чтобы давление в скважине поддер/кивалось в процессе за-
качки на Др = 1,47 МПа (15 кгс/см2) выше давления, устано-
вившегося в пласте на расстоянии г= 2 км от скважины?
Имеет место закон Дарси. Динамический коэффициент вязко-
сти р = 1 сП, коэффициент проницаемости пласта /г = 150 мД,
мощность пласта й = 10 м, радиус скважины гс = 10 см.
Ответ: Q=123 м3/сут
Задача 36
Определить приведенное давление в точках, отстоящих на
г=20 м, 10 м, 5 м, 1,5 м, 1 к от центра забоя скважины,
24
вскрывшей пласт бесконечной мощности на величину 6 = 0,5 м.
На расстоянии Л!к=1000 м приведенное давление р’ =9,8 МПа
(100 кгс/см2), на забое скважины р* =7,35 МПа (75 кгс/см2),
радиус скважины /^,- = 12,4 см Фильтрация к скважине про-
исходит по закону Дарси.
Указание. Представляя забой скважины в виде полусферы,
равновеликой по площади забою действительной скважины,
определить радиус полусферы г, (2зсг'с6 = 2лг2 )
Ответ: соответственно р* = 9,77; 9 74 9,68. 9,39; 9,19 МПа
Задача 37
Скважина вскрывает пласт бесконечно большой мощности
на небольшую глубину Считая движение радиально-сфериче-
ским, определить время перемещения частиц жидкости вдоль
линий тока \ точки с координатой г(1 100 м до точки коор-
динатой г=5 м. Скважина эксплуатиру ется с постоянным де-
битом Q 120 м3/сут, коэффициент пористости пласта щ = 15'‘: .
Ответ: /=7,15 лет.
IV. УСТАНОВИВШАЯСЯ ПЛОСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ЖИДКОСТИ. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СКВАЖИН.
СВЯЗЬ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ФИЛЬТРАЦИИ С ТЕОРИЕЙ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Б самом общем случае давление и скорость фильтрации за-
висят от трех координат точки в пласте. Если давление и ско-
рость фильтрации зависят только от двух координат, то в
каждой плоскости, перпендикулярной к третьей оси, поле ско-
ростей и давлений будет одинаковым В этом случае фильтра-
ционный поток на гывается плоским Плоский фильтрационный
поток имеет место при работе одной или нескольких гидроди-
намически совершенных (эксплуатационных и нагнетательных)
скважин в однородном горизонтальном пласте постоянной мощ-
ности Именно такие потоки будут рассмотрены в настоящем
разделе
§ 1. Потенциал точечного стока и источника на плоскости.
Принцип суперпозиции
Назовем точечным стоком на плоскости точку, поглощаю-
щую жидкость Сток можно рассматривать как гидродинами-
чески совершенную эксплуатационную скважину бесконечно
малого радиуса в пласте единичной мощности. Точечный источ-
ник это точка, выделяющая жидкость (аналог нагнетатель-
ной скважины) Заменяя источники и стоки скважинами ко-
нечного диаметра, мы практически не допускаем никакой ошиб-
25
кп. поэтому будем в дальнейшем отождествлять скважины с
источниками и стоками
При работе в бесконечном пласте одной скважины-стока
фильтрация будет плоскорадиальной и давление в точке на
расстоянии г от центра скважины определяется по формуле
р In г	(IV 1)
2л/г
где q=Q/h — дебит скважины-стока, приходящийся на едини
ц\ мощности пласта, С - постоянная интегрирования
Назовем потенциалом скорости фильтрации Ф выражение
ф=Лр р. Переходя от давления к потенциалу, получим значе-
ние потенциала в точке на расстоянии г от центра скважины
ф -Мпг-: С.	(IV.2)
2л
Дебиту источника (нагнетательной скважины) приписыва-
ется знак минус.
При совместной работ' в пласте нескольких скважин
зультирующий потенциал в любой точке пласта /И равен ал-
гебраической сумме потенции лов Фь Ф2,обусловленных
работой каждой отдельной скважины
Фм -—Inn -’-1ПГ2 + — 1ПГа -	... С
2л	2л	2л
1 Л
---V qt in rt 4- С.	(IV 3)
2л ***
I 1
Скорости фильтрации при этом складываются геометриче-
ски (рис 10, а, б) Это называется принципом суперпозиции»
или сложения течений
Используя принцип суперпозиции, можно приближенно ра<
считывать дебиты или забойные потенциалы (а следовательно,
и забойные давления) для группы скважин, работающих
пласте с весьма удаленным контуром питания Потенциал Ф
на контуре питания считается известным, а расстояние от кон
26
гура питания до всех скважин — одно и то же и приблизитель-
но равно R,
Помещая мысленно точку Л1 последовательна на забой
каждой скважины, где Фм=Ф< . получим из общего уравнения
(IV 3) систему п уравнений (п— число скважин] Постоянная
интегрирования находится из условия на контуре питания
Окончательно система уравнений для определения дебитов
или забс иных потенциалов примет вид
Фк-Фс1=4^^1п— - ?21п — - • •	(IV.4)
2л \ гг1	гг1	rln j
Фк Фс2	<721п-^ - . .
2л X гхг	r2n J
Ф„-
1
2л
q} In — + q2 In 4-
rxn	r2n
Чп^~\
rcn J
здесь ro расстояние межд^ центрами /’-той и j-той скважин.
Принцип суперпозиции можно использовать, если скважины
работают в пласте, ограниченном контуром питания той или
иной формы, или непроницаемыми границами (линии выклини-
вания, сбросы). но для выполнения тех или иных условий на
границах приходится вводить фиктивные скважины за преде-
лами пласта, которые создают в совокупности с реальными
скважинами необходимые условия на границах
При этом задача сводится к рассмотрению одновременной
работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном
пласте. Этот метод называется методом отображения источни-
ков и стоков Он широко применяется
не только в подземной гидравлике и
гидродинамике, но и при решении задач
теории электричества, магнети ша и
электропроводности
Так, если эксплуатационная скважи-
на находится в пласте с прямолинейным
контуром питания на расстоянии а от
контура, то ее надо зеркально отобра-
зить относительно контура, т. е. поме
стить фиктивную скважину с другой сто-
роны от контура на расстоянии а (рис.
11/ и считать ее дебит отрицательным
(скважина источник) При этом потенциал в любой точке М
равен
Ф.м
-^-1пГ|----------— In г, С -^-1п— -С,
2л	2л	2л:	г..
'27
на контуре питания п = г2 и Ф = С = ФК, а дебит
определяется по формуле
_ 2лй (Фк Фс)	(рк — рс)
4	2с	, 2а
In --- р In------------!
Гс	ГС
скважины
(IV.5>
Метод отображения источников и стоков используется так-
же в задачах 52, 53 для нахождения дебита скважины, рабо-
тающей в пласте, ограниченном пересекающимися прямолиней-
ными непроницаемыми границами. При помощи этого метода
можно определить дебит скважины, эксцентрично расположен-
ной в круговом пласте
Q
ЭКСЦ
2nkh (рк — рс)
ц In
(1V.6)
где б — расстояние от центра скважины до центра кругового
пласта (эксцентриситет)
§ 2. Интерференция скважин
Дебит каждой скважины бесконечной цепочки, расположен-
ной на расстоянии L от прямолинейного контура питания
(рис 12), выражается формулой
Рис 12	Рис. 13
2nkh (рк — рс)
q____(Фк Фс)
л/.	, с
In 2sh -— -г In ------
а
/	nL
р ( In 2 sh--- Д In
\	°
(1V.7)
где о-—половина расстояния между скважинами.
Если L^o, го приближенно можно принять, что
(л£	лЬ у
е ° — е °	—,
о	о
28
и тогда

(IV.8)
Дебит одной скважины кольцевой батареи, состоящей и и
скважин, в круговом пласте радиуса 7?к (рис 13) имеет вид
2nh (Фк — Фс)	2zikh (рк — рс)
(IV.9)
где Ri радиус батареи, г, радиус скважин.
Если число скважин батареи велико (больше пяти или ше-
сти), го (Rt Rt )2	1 и этим выражением можно пренебречь по
R! о
сравнению с единицей, если, кроме того, заменить —	—*
лгс
то получим приближенную
формулу
7)	_____2nfe/l (Рк Рс)_
w	( I	1	°	)
ч ”Х+
(IV 10)
Формулы (IV 7) и (IV 9)
можно вывести, используя
метод отображения
Если в пласте эллипти
ческой формы работает п
равноотстоящих дру! от
друга скважин (рис 14),
то дебит одной скважины определяется по формуле, предло-
женной Б. Т. Мироненко [11]
рт
2nkh (рк — pRi sh р ch--
Q
L	1	о
|i sh («Р) Arab-----	— In--------
па	n	nrc
(IV. 11).
где p находится из уравнения
cb(2[3)	1 +
ln n
(n — 1) In —
rc
(IV. 12)
x — координата центра скважины; L — малая полуось эллипса;
о—половина расстояния между скважинами.
29
§ 3 Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений
Одним из методов расчета дебитов многорядных батарей
или цепочек скважин является метод эквивалентных фильтра-
ционных сопротивлений Ю П Борисова
С ммарный дебит цепочки из п скважин равен
q, =	2nkhn (рк — рс)	Рк Pl ([у
/ лЬ	o'	ц/.	it о
III -- In------	---£--—-------In-----
\ о лгс	kh2nn 2nkhn nrc
Используя электрогидродинамическую аналогию и учиты-
вая, что аналогом объемного расхода является сила тока, а
аналогом разности давлений — разность электрических потен-
циалов, выражение, стоящее в знаменателе, можно назвать
фильтрационным сопротивлением Оно складывается из внеш-
него фильтрационного сопротивления
|,iP
Wi -2an khB
(IV. 14)
которое представляет собой сопротивление потоку от контура
питания до галереи длиной В = 2ап, расположенной на рас-
стоянии L от контура питания, и из внутреннего фильтрацион-
ного сопротивления
, ц	,	о
р	—-— 1п-----.
2nkhn пгс
(IV. 15)
которое выражает собой сопротивление, возникающее при под-
ходе жидкости к скважинам в зоне радиуса о/л, где фильтра-
ция практически плоскорадиальная
Формула (IV 13) примет вид.
Q'
(IV. 16)
Электрическая хема, соответствующая последней формуле,
представляет собой два последовательно соединенных провод-
ника с сопротивлениями р и р'. < разностью потенциалов рк и
р, и силой тока О' (рис 15)
Если в пласте имеется три цепочки с числом скважин rh,
n2, 'is в каждой, радиусами г( , гс2, гс3, с забойными давле-
ниями рс1, рС2, рез в суммарными дебитами Q'i. QO. Q'3 соот-
ветственно, то схема эквивалентных фильтрационных сопро-
тивлений будет разветвленной (рис. 16), гак как общее коли-
чество жи гкости, поступающее от контура питания, в дальней-
ше разделяется дебит Q'\ перехватывается первой цепочкой,
а остальная жидкость двигается гальше. затем дебит <?'2 пе-
рехватывается второй цепочкой и г. д.
30
В этом случае внешние фильтрационные сопротивления
будут
01=-^-, р,	Рз	(IV.17)
11 khB	khB ' khB	’
где £]— расстояние от контура питания до первой цепочки
скважин; L-, расстояние между первой и второй цепочками,
/.: между второй и третьей
Внутренние сопротивления определяются по формулам
1	я/с1
р' ----------In—*—,	(IV IS)
2яОДц зтгс.»
и 1 ая
р	—:------- In- —
2nkhn3	.
Расчет схемы проводится по законам Ома и Кирхгофа; при
этом состав, яютсч алгебраические линейны уравнения
числу неизвестных (либо Q'If Q'2, Q'3, либо рсь Ра, Рез)
Суммарный дебит круговой батареи скважич определяется
тоже по формуле (IV 16), в которой внешнее сопротивление
Р —Lin 2k	(IV. 19)
iltkh R.	v
а внутреннее имеет вид (IV 15)
Для этого случая схема эквивалентных фильтрационных
сопротивлений будет той же, что и для прямолинейной це-
почки.
В случае нескольких круговых батарей (например, грех)
схема представлена на рис 16 При пом внешние фильтраци-
онные сопротивления рассчитываются по формулам
Pi —— In—,
2nkh	7?,
Р2 : И ~ 1П— ,
2n.kh	R2
(IV.20)
31
p3=_E_ln2^t
2nkh R3
где A?,, R2, Rs— радиусы батарей Внутренние сопротивления
определяются по формулам (IV.18)
§ 4. Связь плоской задачи теории фильтрации
с теорией функций комплексного переменного
При исследовании плоского фильтрационного потока, под-
чиняющеюся закону Дарси, можно использовать теорию функ-
ций комплексного переменного. Совместим плоскость комплекс-
ного переменного z — x+iy с основной плоскостью течения
Для каждого плоского фильтрационною потока можно най-
ти характеристическую функцию течения, или комплексный
потенциал F(s), который является функцией комплексного пе-
ременного г В функции F(z) можно отделить действительную
часть от мнимой
F(z) — &(x.y)	1ф(л, //),	(IV.21)
где Ф(х, у)- потенциал скорости; ф(х у) — функция тока.
Эти функции	связаны между	собой уравнениями	Коши Ри-
мана	ЭФ	_Л|_	
	Эл ЭФ	Э</ *1	(IV. 22)
	Э^	дх	
и подчиняются уравнению Лапласа
Э2Ф Э-Ф q Э-’ф	Э-ф-
дх*	rly1	Эх2	д у1
(IV. 23)
У равнение Ф(Д, у) = <
лотенциалей совпадающих
I dF
W = -----
| dz
определяет собой семейство экви-
с изобарами, так как Ф = — р, а
И
ф (х, у) = с — семейство линий
тока. Эквипотенциали и линии
тока взаимно ортогональны
(рис. 17).
Проекции скорости фильтра-
ции на координатные оси нахо-
дятся по формулам
ЭФ	ЭФ
wr -------, w.,---------,
х Эх 5 ду
(IV.24)
а модуль скорости фильтрации
(IV 25)
32
Время движения частицы жидкости вдоль линии тока s
можно определить по формуле
dz
dF
dz
t —т
S
(IV.26)
Где г = х—iy— сопряженное с г комплексное переменное
Если какой-либо сложный плоский фильтрационный поток
можно представить как результат наложения нескольких про-
стейших потоков, то характеристическая функция сложного
потока равна по принципу суперпозиции алгебраической сумме
характеристических функций простейших потоков.
Задача 38
Определить дебит батареи из четырех скважин, располо
женных вдали от контура питания, и одной скважины, находя
щеися в центре (рис 18),
ли известно, что все скважины
находятся в одинаковых усло-
виях; радиус батареи /ф =
— 200 м, расстояние до конту-
ра питания /?к = 10 км, радиус
СКваЖПНЫ /> = 0,1 М, МО’ЦНОСТЬ
пластя й=10 м, потенциал ня
контуре питания Фк=40 см2/с,
потенции т на скважинах
Ф< =30 см2/с.
Решение. Будем исходить
из формулы для потенциала
при работе труппы скважин
Ф 4-^/Jnr С. (IV 27)
Рис. 18
Учитывая, что скважины расположены вдали от контура пи-
тания. в точке, помещенной на контуре питания, получим
Фк . — Yqt In RK 4- С.
(IV.28)
Помещая точк} VI на забой первой скважины и учитывая,
что q, =q2 = q3 = qn, будем иметь
Фс1 = -5-(71пгс4-91пг21-, in rs In r4i+<75 In г51)+С. (IV.29)
2л
Вычитая из (IV 28) (IV.29) и заменяя (см рис. 18)
r2i:=r4i = Ri, r3i = 2/?lt r5 = Ry,
2 Зак 1496
33
ПОЛУЧИМ
фг— ф.,	1п-^ - - 21п	-----In—-
2 - \ гс	I 2/?i	2R,
—In—~—	— 1п-^-
2л >?, 2л 4^Гс 2л к,
(1V.30)
Помещая точю (И па <абой центральной скважины, опре-
делим Ф,
Фс5—^-(ф1пг15 q In г, 5	7 In г, 5 щ/lnr, . | q. In rc) -4- C.
(IV .31)
Вычитая из (IV 28) (IV.31) и учитывая что
ri •> г-.ь гза Gs
получим
Фк Фр 5	-^-41n-^
2л /?, 2л гс
Подставив з (IV .30) и
(IV 31) исходные данные
In---Ь^1п
4 23 ]0« 0 1 2ц 200
10 -^±1п
2л
104
200
<7» । Ю4
— In------------
2л О, I
и решив полученную систем) уравнений относительно и
найдем
q 2,28 см2,/с, qh 1,95 см2 с,
Q	qh 2,28-103 см3 с — 197 м3.сут,
Q5	qji — 1,95-103 см3 с — 168 м3/сут.
Задача 39
Круговой нефтяной пласт радиусом /?к=15 км, мощностью
/;=8м эксплуатируется пятью скважинами радиусом гс = 7,5 см.
из которых четыре расположены s вершинах квадрата со сто-
роной d = 150 м, а пятая в центре (см. рис 18) Контурное
давление рк=10,78 МПа (НО кгс/см2), скважины работают с
одинаковым абойным давлением рс=8,82 МПа (90 кгс/см2)
Коэффициент проницаемости пласта k 0,6 Д, динамический
коэффициент вязкое ги нефти ц 1,1 мПа-с.
Определить дебиты скважин и отношение дебитов QS/'Qi.
Ответ: Qi 161 м3 суп, Q 130 м3/сут; Q- Q’.= °,812
Задача 40
Найти значения потенциалов на скважинах, расположенных
симметрично на расстоянии 2о^-300 м относительно центра
34
крхгового контура питания радиуса /?, =5 км, если известно,
что дебит одной составляет 200 т/сут, а другой — 300 т/сут. по-
тенциал на контуре питания Фк =50 см2/с, радиус скважины
/,.=0.1 м, мощность пласта h — 10 м, плотность нефти р =
= 850 кг/мл.
Указание. Считать, что контур питания одинаково удален
ют каждой из интерферирующих скважин.
Ответ: ФС1 =43,5 см2/с: ФС2=41.8 см2/с.
Задача 41
Определить, при каком постоянном забойном давлении ра-
ботала скв. 1 с радиусом г( =0,1 м в круговом пласте радиуса
= 10 км, если при введении скв. 2 с таким же радиусом, рас-
положенной на расстоянии 2о= 150 м от первой и работающей
< забойным давлением рС2=6,82 МПа (70 кгс/см2), скв. 1 была
полностью заглушена Давление на контуре питания рк=
= 9,8 МПа (100 кгс см2).
Решение. Считая скважины достаточно удаленными от кон-
тура питания и применяя принцип суперпозиции, запишем вы-
ражение для потенциала результирующего течения в произ-
вольной точке М (рис. 19).
Фк ФМ A-In^s-
2л rL
Помещая точку М на контур пер-
вой скважины.
Ф, - ФС1 =
* cl 2л
получим
1 Rk
In —
2л
помещая ее на
жины, найдем
контур
второй сква-
41
Ф.. — Фс, - —
к с2 2л
1п-^
£г_1п А-
2л гс
in .А
2л г.
1п-^ ,
2о '
1 полностью заглуше-
Так как скв.
на. то ее дебит </i = 0 и уравнения приобретают вид
Ф„-Фс] -МпА-
,ч С1 2л 2п
42
Фк-Фе, .
к	2п гс
отсюда, исключая дебит q2, определим потенциал Ф,ч
Фк Фс1	2р
Ф,; —Фсо . Rk
In----
rc
2*
35
Переходя от потенциалов к давлениям, окончательно найдем
Ig^-	1g
Pci - Р« - (Рк - Рс-2)---= 9,8 - 2,94 —1^-
lg —	1g -7—
rc	(J, I
9,8 — 2,94	8,72 МПа,
Задача 42
Совершенная скважина расположена в водяном пласте
вблизи прямолинейного контура питания Ра шесть статическо
го и динамического уровней \Н=8 м, коэффициент проницае-
мости k —2Д, динамический коэффициент вязкости р=1 сП, ра-
диус скважины г, = 10 см и мощность пласта Л=12 м. Найти
дебит скважины при двух значениях расстояния от контура пи-
тания до скважины 1) о —100 м, 2) ц = 200 м. Представить
графически расположение изобар для случая 1) при условии,
что статический уровень Л, =40 м
Решение. Дебит скважины вблизи прямолинейного контура
питания определяется по формуле
~ 2nkhpg/\H
2а
ц 1п----
*с
В случае 1)
„	2 3,14 2 1,09 10 12 12-10® У ,8 8	. 1П ,	,
3=---------------------------—-	1.58 -10 м3/с	136 м3/сут
9-Ю1	'
10-®-2,31g----
10
В случае 2)
„	2-3,142-1,0210 12 12 103.9,8.8	. Аг. ... . 3,	, ог
0=------------------------------- 1,45 • 10“® м3/с	125 м3/сут.
4-Ю4
10 з 2,31g----
6 10
Используя метод отображения источников и стоков, полу-
чим результирующий потенциал в точке
Ф ф д. ф -‘C-lnr. -^-inr, -С = -^-1п — -Фк.
1	2 2л 1 2л	2л г2 ь
36
Переходя от потенциала к давлению и заменяя
rf = х2 + (г/ с)2, г* = х2 4- {У а)2,
получим закон распределения давления
2 In ----
х3^(у-а)2
х2 -г (У а)2
откуда найдем уравнение изобары
Х3~Т~ (У о)2	_ ^2
х1  (У -4-й)2
ИЛИ
X2 -|-
4с'2с2
(1-с2)2 ’
т ( изобары представляют собой окружности с радиусом /? —
2сс	/а I \
=------ и центрами в точках с координатами (0. а ------ )
I — с2	* с
Для построения изобар найдем давления на контуре пита-
ния и на забое скважины
А. pgHK = 103.9,8-40 = 0,392 МПа,
Pc Pg(H* АН) = ЮЗ-9,8-32 =0,314 МПа,
37
я представим уравнение. изобары в виде
lg (У — Q)2	_ lgc2 Р ~Рк
	1“ -4~ (У + а)2	С1 •
где	Рк-Рс	°’078	 0,0118 МПа. 1	2а	200 21g		2 1g	 rc	6 0.1
Построим изобары с давлениями 0,323 МПа (3,3 кгс/см2);
0,333 ( 3.4); 0,343 (3,5): 0,353 (3,6);	0,363 (3,7), 0,372 (3,8);
0,377 (3,85); 0,382 (3,9), 0,387 (3.95). Для этих давлений опре-
делим сг, с, R (табл. 1) и координаты центров изобар (рис. 20).
Таблица I
р, МПа (кгс/см2)	. 1	0,392-р	с2	0,0118		" 1				ж	
						Q	т	1-ЧД	Т
0,323 (3,3) 0,333 (3.4) 0,343(3,5) 0,353 (3,6) 0,363 (3,7) 0,372(3,8) 0,377 (3,85) 0,382 (3,9) 0,387(3,95)	5,79 4 96 4,14 3,30 2,48 1,65 1,24 0,828 0,413		6,18-Ю5 9,12-Ю4 1.38-10ч 2,0 Юз 3,02 102 44,7 17,4 6,74 2,58	785 302 117,5 44,72 17,38 6,69 4,17 2,60 1,606	1,27 10 з 3,31-10 » 0,852 10 2 0,0224 0,0575 0,1495 0,240 0.385 0,621	0,255 0,663 1,85 4.48 11,55 30,6 51 90,4 203		100 100 100 100 101 104 112 134,5 226	
			Зал	а ч а 4	3				
Назовем эффектом взаимодействия Е отношение суммарного
дебита всех интерферирующих скважин к суммарному дебиту
того же числа скважин бет учета их взаимодействия.
Найти изменение эффекта взаимодействия в зависимости
ют числа скважин, эксплуатирующих залежь радиусом /?ь =
= 5000 м; радиус скважины гс = 10 см, скважины работают при
постоянной депрессии.
Сопоставить следующие случаи:
а)	две скважины находятся на расстоянии d= 100 м;
б)	три скважины расположены в вершинах равносторонне-
го треугольника со стороной d 100 м;
в)	четыре скважины — в вершинах квадрата со стороной
d= 100 м (рис 21)
38
Решение. Считая, что скважины расположены равномерно
по окружности концентричной с контуром питания испс/ьзу-
i\ |у дебита одной скважины круговой батареи
Q
2лМ  • рс)
К
R
Il In
mR"'
которую можно
так как (/?. /?„)
упростить в условиях
представить в виде
1. и
рассматриваемой адачи,
и In-------
tnR"^
RK
Q
2ji.Wi (рк — рс)
С
скважины в круговом пласте определя-
Дебит одиночной
ется по формуле Дюпюи
Седин
&ikh (рк Рс)
I
|i In -—
Эффект взаимодействия
с mQ
L------------
глФоДИН
равен
In-----
гс
1
1g—
In------
mR'l'-
С
1g——
В случае а)
7?, = — - 50 м.
1	2
2,
т
5000
lg 0 1	4,699
25.106	6,398
lg 2.500,1
39
б' радиус батареи из трех сква/кин (т—3), расстояние
-между которыми d, равен Rt =d/l 3, в этом случае
4,699	4,699
125 10s	8,097
1g---------
104 0.1
в) радиус батареи из четырех скважин, расположенных в
„ ,	и Т/2
вершинах квадрата со стороной d, составляет Rt= —— =
= 70,7 м.	'
Я*
lg^T
4/??г<
4,699
625-1013
1g-------------
4 70,73 0,1
4,699
9,647
= 0,487.
По полученным данным, и учитывая, что при т=1 Et = l,
достроим график изменения эффекта взаимодействия Ет в за-
висимости от числа скважин т (рис 22).
Задача 44
В круговом пласте радиуса 200 м работает эксцент-
рично расположенная скважина радиусом гс=10 см (рис. 23).
Найти изменение дебита в зависимости от расположения сква-
жины (эксцентриситета 6) по отношению к дебиту скважины,
расположенной в центре.
Решение. Дебит эксцентрично расположенной скважины оп-
ределяется по формуле
Сэксц
2nfeh (рк — рс)
40
Отношение Сэксц к
Qn
, Рк
и In----
Гс
равно
. Рк
In----
1 R«
lg----
Qo
In
RK
б2
1 --------
Рк’
Рк
б2
1 --------
r2k
Значения
«/Рк • •
(/аксц/Qo
QsbL'i/Qo В
0,1
1,000
0,3
1,013
ависимости от
0,5	0,7
038	1.097
5/7?к приведены
0,8
1,153
0,9
1,280
ниже:
0,98
1,735
^-tfeh (Рк — Рс)
Задача 45
м
с мощностью
1г= 10 м
При \р = рк—рс= 1,18 МПа
Рис 24
В круговом пласте радиуса 7?.. = 150
и коэффициентом проницаемости £ = 0,5 Д расположена сква-
жина радиусом г, -10 см ~
(12 кгс/см2) дебит нефти с
динамическим коэффициен
том вязкости р=2мПа-с
при центральном располо-
жении скважины равен
223 м3/сут
Как необходимо изме-
нять депрессию \р, чтобы
пли изменении положения
скважины относительно цен-
тра пласта дебит оставался
постоянным?
Решение. И-i формулы
дебита эксцентрично рас-
положенной скважины вы
разим депрессию
Ар Рк - Рс -
Q|i
l2nkh
и подставим данные задачи
Ар
223 2 10- » 2 3
lgI 1500 fl---------—
0,864.105 2.3,14-0,51,02 10 i’ lO L '	2.2510*
= 0,372 lg I 1500 f 1------—----) , (МПа)
L \	2,25-10* J v
В зависимости от различных значений эксцентриситета ft
получаем соответствующие значения депрессии Ар (рис 24)
41
6. и................ о 15
Др. МПа................ 1,180 I, (Ж)
а, м................................ до
Др. МП-.......................... 1.107
45	60
I 173	1,166	1,151	1,134
105	12Q	135	149
1,071	1,015	0,912	0,483
Задача 46
Вынести форм} iv дебита скважины круговой батареи ради-
уса Р. состоящей из т скважин, расположенной в центре кру-
гового пласта радиуса RK, концентрично контуру питания
Подсчитать дебит при следующих данных R = 156 м, гп
—6, /?ь=3000 м, 0,1 м, /?,	11,76 МПа (120 кгс/см2), р,.=
=9,8 МПа (10U кгс/см2), коэффициент проницаемости k
-0,2 Ц. мощность пласта ft=10 м, динамический коэффициент
вязкости нефти ц = 2 мПа-с Сравнить дебит одной скважины
батареи с дебитом одной скважины в центре пласта
Решение. Используя принцип суперпозиции, запишем ре-
зультирующий потенциал на забое первой скважины
{	п'	I
Ф„ ~ 1пгг £ In гМ	С.	(IV.32)
1Де Г| расстояние между центрами первой и /-той скважин.
Как видно из чертежа (см. рис 13),
/ ,; — 27? sin.	(IV .33)
где
Ф — (/ И (/ 2, 3, . .	, т).
т
Потенциал на контуре питания
Ф, — mln/?F т С,
2л
(IV.341
вычтем и (IV .34) (IV 32), получим
Ф Ф
Hi 4 с
42
4
2л
In + In
Rm-I
a . я.г
2 sin-----
m
-i-1 In
2л |
«к
т— I
In PJ 2 sin
(IV.35)
Преобразуем выражение
1пП 2 sin —
11 т
51П
Л1
m
(IV. 36)

m—1
И вестно [5], что
sin mx
ш
tn
о
Выделив первый сомножитель, равный sin х, из произведе-
ния и разделив на него правую и левую части равенства, по-
лучим
sinmi. 2"' *П sinfx+—V
sinx	11	\ т J
1-1
При х->0 левая часть принимает значение т, поэтому
т—I
П sin2IL .	(IV.37)
il т 2'^ 1
1-1
Подставляя (IV.37) в (IV.35), учитывая (IV.36),
я I \
^Vn7^
Фк — Фс
In tn I,
найдем:
откуда
9
2л (Фк-Фс)
<2
‘2nkh (рк — Рс)
R"
P 1П mrcRm 1
, R“
nmrcRm-1
2nkh (pK — Pc)
-In
Н
2nkh (рк — Рс)
Rk °
In -Г- In -----
R	лге
4.
Подставляя исходные данные, получим
2 3,14 0,2-1,02 10 13-10(11,76 — 9,8) 108
2-Ю-3
6-2 3 1g
3000
150
+ 2,31g
150
6 0,1
= 5,35-104 м3/с =
46 м3 су г.
Дебит отдельной скважины, расположенной в центре плас-
та, составлял бы
„	2-3,14 0,2 1,02 10—12 10 (11,76 — 9,8) 10®
Чц --------------------------7777-------'----- 1,22-10~3 м3/с -
3000
2 10-3-2,3 1g------
0,1
— 106 м3/сут.
Q/Qn = 46/106 = 0,434.
Задача 47
Определить дебиты скважин двух круговых батарей с ради-
усами /?1 = 1000 м и /?2=600 м, расположенных концентрично в
круговом пласте с радиусом кон-
тура питания /?к=3500 м. Сква-
жины радиусом г, =10 см экс-
плуатируются при постоянных
забойных давлениях ры=
= 9,8 МПа (100 кгс/см2), рсг =
= 9,31 МПа (95 кгс/см2), давле-
ние на контуре питания р,,=
= 12.25 МПа (125 кгс/см2), мощ-
ность пласта h= 10 м, коэффици-
ент проницаемости пласта k =
= 0,2 Д, динамический коэффи-
циент вязкости нефти р =
Рис 25
= 5 мПа-c. Число скважин в батареях гщ- 10, т2=6.
Решение. Используя метод 10. П. Борисова, составим схе-
му эквивалентных фильтрационных сопротивлений (рис 25).
Определим внешние и внутренние фильтрационные сопро-
тивления-
it . RK	5.10-3 2,3	.	3500
2nkh Rt 2-3,14 0,2-1,02-10—г2-10	1000
0,488- Ю9 Па-с/м3;
Il . R.	5 10-3 2,3	,	1000
—-— In —-	-----------------------1g---
2nkh R2 2-3,14 0,2 1,02 10“”.10 b 600
= 0,199 109 Па-с/м3.
44
Для определения внутренних фильтрационных сопротивле-
Чий найдем половины расстояний между скважинами первой и
второй батарей
°1 =		2nRt 2mr	6,28 1000 Qly1 	= 314 m, 2 10	
		2nR2	6,28-600 =	— 314 m. 2-6 5 I0~3-2,3	
Pi =	—Lln-^- 2nkmjh	nrc	2m2		In 314
		6.28-0,2 1.02.10~12 10 10		g 3,14-0,1
= 0.269-109 Па-с/м3,
ц	, о,	5-10-3.2,3	314
- 2nkm.li nrc	6,28-0,2-1,02-10—12-6-10 Ь 3,14-0,1
0,449-109 Па-с/м3.
Используя законы Ома и Кирхгофа, напишем уравнение
для участка цепи между контуром питания и забоем скважины
первой батареи
Рк — Pel = (<21 + <2г) Pl <21 Pl
и аналогично между контуром питания и забоем скважины вто-
рой батареи
Рк — Рез ~ (<21 4- О?) Pl + Q2 (р2 + Pz) 
В полученную систему уравнений подставим данные
2.45 106 - (Qi Д Q>) 0,488- I09 Qi U.269- 10s;
2,94-106 (qJ у Q2) 0,488  109	Q2 (0,199 + 0,449) 10s,
решая уравнения относительно Qj и Q2 . найдем
Qi =2,18-IO-3 m^c 188 м3/сут,
Qa = 1,65-10' m3/c 142,6 лгУсут.
Учитывая, что Qj и Q'2 суммарные дебиты первой и
(Второй батарей, найдем дебиты одной скважины
Q -£1-	18,8 м3/сут,
тх	10
Q, = —	142’1-	23,8	м3'сут.
т2	6
Задача 48
Определить дебиты скважин, расположенных тремя кольце-
выми батареями. Давление на конторе питания рк=16,7 МПа,
забойные давления на всех эксплуатационных скважинах оди-
45
накопи и равны р, i=Pc2=pi з~ 11,8 МПа. Радиусы батарей
/?; = 4000 м, /?2 — ЗоОО м. 3000 м. Радиус скважин гс=0,1 ч,
радиус контура области питания 7?,, =20 км Расстояние между
скважинами в батареях 2щ 2о2 = 2о3- 400 м, мощность плас-
та й=10 м, коэффициент проницаемости £=1 Д, динамический
коэффициент вязкости нефти ц = 3 мПа-с.
Указание. Задачу решать методой эквивалентных фильтра
ционных сопротивлений Ю П. Борисова.
Ответ: Q1==57,9 м3 сут; Q2=22,2 м3/сут; Q3=10,4 м3/сут.
Задача 49
Определить забойные давления скважин, расположенных в
круговом пласте радиуса = 10 км двумя концентричными
кольцевыми батареями с радиусами Aj =2000 м, 7?2=1200 м.
Число скважин в батареях т|=30, га2 = 16; дебит одной сква-
жины первой батареи (Д - 80 мг/сут, второй Q2 = 70 м3/с\т;
радиус скважины гс= 10 см, мощность пласта /г = 15 м. коэффи-
циент проницаемости пласта ft = 0,8 Д, динамический коэффи-
циент вязкости жидкости ц = 8 сП, давление на контуре пита-
ния пласта р., = 14.7 МПа (150 кгс/см2)
Ответ рс| = И,9 МПа (121,5 кгс/см2); рс2=Ц,7 МПа
(119,1 кге см2)
Задача 50
В полосообразной залежи имеется один ряд эксплуатаци-
онных и один ряд нагнетательных скважин, расположенный
между контуром питания и эксплуатационными скважинами
Рис 26
Рис 27
(рис 26) Определить необходимое количество нагнетаемой
жидкости (ZQH), давление нагнетания и утечку жидкости
за контур питания (2Q,) (или количество поступающей жид-
кости от контура питания), чтобы суммарный дебит эксплуа-
тационных скважин составлял XQa=1000 м3/сут. Ширина за-
лежи равна В = 5000 м, мощность пласта /г= 10 м, расстояние
46
К контура питания до ряда нагнетательных скважин L, —
-1500 -•, расстояние между рядами скважин £2 600  рас-
стояние между нат нетитульными скважинами 2о„ = 300  меж-
ду эксплуатационными скважинами 2п 400 м; все скважины
гидро шнамически несовершенны, приведенный радиус состав
IRCI г, =0,1 см, давление на контуре питания р, II ГС ЧП т
[I2G кгесм2), давление на	эксп i\.ттаиионных скважин
Л» 7,84 МПа (80 кгс/см2), коэффициент проницаемости пласта
£ = 0.5 Д. динамический коэффициент вязкости нефти р 4 мПа-<
Решение. Составим схему фильтрационных сопротивлений
отвечающую нашей задаче (рис 27), и найдем фильтрацион
in.it сопротивления, проводя расчет тля суммарных дебитов ря-
дов.
Внешние сопротивления равны
между контуром питания и нагнетательным рядом
_______________4 10 3 М 10------	0,235 Ю» Па-с/м3,
‘ " kBh 0,5.1.02 10 12.5.103 Ю
между рядами скважин
______410~.3_6пп---- 0,9 4 Н « Па • с/м3.
kBh 0,5 1,02 10 о,5доз in
Для определения внутренних сопротивлений найдем число
эксплуатационных (т.,\ и нагнетательных (тн) скважин
	В	5000	.,, ~ lo, 2a,	400				
			В	5000 ~ 17 2oH	300		
тогда p;=	P k2nm-Bh	 ln-^ ЛГС		4 10 -» 2,3	 u.5 ',.02 10 11 6.28-17 10	lg	15 000 3,14 0,1
	p		0,791 108 Па-с/мф 4-10 » 2,3	lg	20 C00
p =	k2nm3h	in	— лгс	0.5 1 02 10 1’-6,28 13 10		3,14 0,1
			1,058-108 Па с/м3.		
жидкость
посту
Согласно законам Кирхгофа, считая, что
пает в пласт от контура, составим уравнения'
Рк ~ Ры РнЭД5 рн
Рк — Рс Ph2Qv + (Р + р')
кроме того,
£Qa _z ZQy -I- ZQH.
47
II	уравнения на ходям
SQ	{Рк ~ Рс) ~ Ф "' Р ) £(7
Рн
103
•; 92 1<)в	(0,94-- 1.05Я) 10s-----
0 864 10’ с о in	3	кее 3
	 6,8 1 и	м' с 588 хг сут
0,235 Ю»--------------------------------------2
из третье! о закачиваемый дебит
2QH SQ3 — 2Qy = 1600	5/8	412 м3,сут 4,77 10~5 м3/с,
а из первого — давление нагнетания р„
ря Рк — Ph^Qj + pH2QH 11,76-10fi-0,23.6-10».6j8.10-з
: 0,791 1US 4,77 10	11,52 МПа (117,6 кгс см2)
Так как 3Qv>0, то в действительности имеет место приток
жидкости в пласт, а не утечка за контур питания
Задача 51
Используя данные предыдущей задачи, определить давле-
ние нагнетания рн, количество нагнетаемой жидкости SQH и
величину \течки за контур питания SQy, если поменять места-
ми ряды эксплуатационных и на! нетательных скважин (т. е.
рассмотреть случай заводнения со стороны непроницаемой гра-
ницы) и принять давление на контуре питания /д =9,8 МПа
(100 кгс/см2).
Ответ: рн = 10.19 МПа (104 кгс см2); SQn=619 м3/сут
SQ, =383 м3/сут.
Задача 52
Совершенная скважина радиуса г, =10 см работает в пла-
сте, ограниченном дву мя прямолинейными непроницаемыми
границами, расположенными под углом 90° друг к друг,
(рис 28). Расстояния до границ равны а— 150 м, Ь = 300 м, рас-
стояние до контура питания /?1( = 8,0 к Давление на контуре
питания рк= 11,76 МПа (120 кгс/см2), давление на забое сква-
жины рс = 9,8 МПа (100 кгс/см2), мощность пласта /1=12 м,
динамический коэффициент вязкости жидкости р, = 3 мПа-с,
коэффициент проницаемости £ = 700 мД. Найти дебит скважины.
Решение. Продолжим непроницаемые границы вверх и вле-
во до кругового контура питания радиусом и отобразим
скважину-сток относительно них без изменения знака дебита.
В результате отображения получим в круговом пласте четыре
скважины-сток: из которых одна — реальная и три — фиктив-
ные. При этом гидродинамическая картина течения в пласте
при отсутствии непроницаемых границ при одновременной ра-
боте четырех скважин-: токов будет совпадать с гидродинами-
48
,,1Ч кой картиной при наличии непроницаемых границ, так как
ати границы являются линиями тока. Считая, что контур пита-
ния расположен на достаточно большом расстоянии от сква-
жин, результирующий потенциал в некоторой точке пласта
можно записать в виде суммы потенциалов, возбуждаемых
каждым стоком в неограниченном пласте,
In г, С.
Поместим точку М на кон-
тор скважины, тогда
Н = гс,
r2 2Ь,
г3 = 2 Д/а2 + б2 ,
г4 = 2а.
Помещая точк> М на кон
тур питания, получим
Фк = -2- 4 In RK + С,
2л
а вычитая, найдем
откуда
2л (Фк-Фс)
R*
1ft .____________
Hrcab ~\/аг -р Ь-
ИЛИ
Q ___2nkh (рк — рс)
, ________R*_____
Р П 8гсий [Л;3 J-t>2
6,28-0,7-1,02 10~12-12 (11,76-9,8) 106
__________8М012____________
3-10 3-2,31g 01.8. iso зоо,/ 150^-I--ЗОСР
155 м3/сут.
Задача 53
Определить дебит скважины, работающей в пласте, огра-
ниченном двумя прямолинейными непроницаемыми границами,
расположенными пол у1лом 60° друг к другу. Расстояние от
точки пересечения непроницаемых границ до скважины г=
49
— м, расстояние до одной из границ а - 50 м, радиус кон-
; - : питания R, -5 км (рис. 29) Мощность пласта Л = 10 м.
коэффициент проницаемости плас k 0,3 Д динамический
коэффициент вязкости жидкости ц=2 мПа-c. депрессия \р =
= 2.45 МПа (25 кгс/см2), радиус скважины г, =0.1 м
Решение. Продолжим непроницаемые гранив и отобразим
реальную скважину-сток относительно границ, сохраняя для
дебита тот же знак. В результате получим два стока-изобра-
4 — № 2 и .V 6; появление стока-изображения № 6 нару
Рис 2'3
шае условие непроницаемости
границы СМ, наличие сток.
№ 2 нарушает условие' на
грани ОВ. поэтому их надо
в свою очередь отразит].
№6 относительно границы
Q i ,\j 2 — относительно ОВ
При появляются стоки
। юбражевия № 3 и № 5, из
которых № 3 нарушает непро-
ницаемость границы ВВ а
№ 5 границы 4.4'. их изо
бражения относительно згих
границ совпадают и дают
сток-и зображение № 4
Таким образом, задача о
фильтрации в клине сводик я
к задаче о фильтрации в кру-
говом пласте радиуса R,, в
котором работаю! одновременно реальная скважина сток и
пять стоков-изображений, расположенных по окружности ра-
диуса г.
Применяя принцип суперпозиции, запишу м результирующим
потенциал на забое реальной скважины:
Ф — (In гс 4- In Tj . lnrJ3-f-lnr]4 in/] 5 4* In Г] e) — C,
9tt	*
где
г|3	2a, г1Я rlb 2rcos3U , r,, 2r sin (60c 4-a);
r1B- 2r sin (60	a),
а угол a определяется из соотношения sin a=a/г=0,25. a =
= 1 '30 (см рис 29)
Потенциал на контуре питания, который считаем удален-
ным от группы взаимодействующих скважин, получим в виде
фк = _^-6-lnRK4-C.
50
р-зность потенциалов
-u In------------------ In -------------------
2r sin (60 а) 2г sin (60 — а)
2л 32гсаг4 cos3 30 sin (60 -f а) sin (60 —а) ’
откуда
qh
Q
2nkh\p
u. In
32гсаг4 cos3 30° sin (60 ' -j- a) sin (bO — a)
6,28 0,3-1,02 1C 13 10 2,45 10'=
2-10-3 2 3-lg
56 1018
3
32 0 1-50 16 IO8- —
= 0,926 10~3 m3/c =
0,964 0.713
= 80 мЗ/сут.
Задача 54
В пласте с эллиптическим контуром питания работает пря-
молинейная цепочка, составленная из т=10 равноотстоящих
друг от друга скважин радиусом гс = 0,1 м. Расстояние между
соседними скважинами цепочки 2о = 300 м Минимальное рас-
стояние от центра залежи до контура питания (малая полуось
эллипса) £ = 5 км. Мощность пласта h= 10 м, коэффициент
проницаемости k=800 мД, динамический коэффициент вязкости
жидкости р=ЗмПа-с, давление на контуре питания рк=
= 11,76 МПа (120 кгс/см2), давление на забое скважин рг =
= 9,8 МПа (100 кгс/см2). В пласте имеет место установившаяся
фильтрация однородной жидкости по закону Дарси.
Определить дебиты крайних и центральных скважин и со-
поставит!; их с дебитом скважины бесконечной прямолинейной
цепочки.
Решение. Дебит одной скважины конечной прямолинейной
цепочки в эллиптическом пласте определяется по формуле
В Т Мироненко
2л/е/г (рц — рс) sh Р ch-
1	~\
u. sh (mB) [ Arsh-	— In- )
г	\ то т пгс)
51
где р находится из уравнения
ch (2Р) = 1	---—--------;
(т — 1) In-
Гс
х — координата центра скважины (см. рис 14).
Подставляя данные задачи, найдем
ch2₽ 14- —2’--!g—— = 1,036,
'	150
9-2’31gTT
откуда 2р = 0,246, ₽=0,132,
sh р sh 0,132 = 0,1324, sh(mp) sh 1,32 = 1,738.
Для определения Arsh — воспользуемся формулой
тс
Arsh a In (а ]/а2	1)
и получим
Arsh --00- Arsh 3,33 In (3.33 4 1- 3,332 + 1) - 1,92.
10 150
Для центральных скважин х( = ±150 м, поэтому
, Р*>	,0.132 150	, п . ...	। ППГ1
ch -S--!- ch-------— ch 0,132 = 1,009
о	150
и дебит равен
о _А28 °>8 I-02 10 ~12 10 и96 1°6 0.1324 1,009 J 014-10—3 м3/с =
/	1	150	\
Ю-з.З 1,738 (1,92 +- -2,31(1^^)
37,6 м3/сут.
Для крайних скважин xs=±1350 м, поэтому
, РАл i, 0,132-1350 li щ 1 •7ОО
ch2—-	ch — -------- ch 1,19 — 1,796
о	150
и дебит равен
6,28 0,8-1,02-10-42,1Q.1.96 Юб.0,1324-1,796 _
—
/	1	150 X
310-M,738 (l,92 + --2,31g^7)
= 1,81  IO-3 м3/с = 156 м3/сут.
Дебит одной скважины бесконечной цепочки в пласте с
двусторонним контуром питания, расположенным на расстоя-
нии L = 5 км от цепочки, определяется по формуле
4nfeft (Рк - Рс)	12,56 0,3-1,02 10—10 1,96 108
® ~	( nL о
II ' —- -4- In -
г \ 2о	лг,
= 1,15- 10-3 м3/с = 99 м3/сут.
/3,14-5000	,,	150
31°Д^Т55- + 2’3'е^Ш
52
Задача 55
Определить, каким плоским фильтрационным потокам соот-
ветствуют следующие характеристические функции (комплек-
сные потенциалы)
1)	F(z) = Az,
2)	F(z) - Az2.
3)	F (z) = A In (z — a),
4)	F(z) = Л1п-^—
z-f-o
где Лиа —действительные постоянные числа.
Решение. В качестве примера рассмотрим случаи 2 и 4.
Для этих случаев найдем потенциалы скорости фильтрации и
функции тока, уравнения изобар и линий тока, модули скорос-
тей фильтрации и построим семейства изобар и линий тока.
Для случая 2)
F (z) — Az2 А (х iy)2 А (х2 21ху — у2) А (х2 — у2) ф-
ф 12Аху.
Приравнивая действительую часть потенциалх скорости
фильтрации Ф. а мнимую часть функции тока Т, получим
Ф(х, у) А(х2~у2),
Т (х, у) = 2Аху.
Уравнение семейства эквипотенциалей получим, полагая
Ф (х, у) = const,
т. е.
А (х2 - у2) = су,	(IV .38)
а уравнение семейства линий тока, полагая
У (х, У) = ‘-oust = с2,
т, е.
2Аху = с2.	(IV. 39)
Уравнение (IV.38) определяет собой семейство гипербол,
асимптотами которых являются биссектрисы координатных
углов, а уравнение (IV 39) семейство гипербол с асимптота-
ми, совпадающими с осями координат (рис. 30)
Найдем составляющие скорости фильтрации wx и wu
53
и модуль скорости фильтрации
| и> — ] Л	= V 4Л2х2	4Л2г/2 2А ф х2 ф- у2 2Аг.
Представим для случая 4 комплексные
полярных координатах (см. рис 31)
г — а = г^',
числа и и --j-а
2+и	г2е'\
Тогда комплексный потенциал
f(zMln —=	4In— +':(61-б2)1.
Z a	r2e,e- L r2	J
отсюда
Ф = Л1п — ,
Y Л (6,-6^
и уравнения семейства эквипотенциалей и линий тока можно
записать в виде
или
-1 с2 -с,	(IV.40)
г?
0х — 0., = с2.	(IV .41)
Перейде’ к декартовым координатам и определим, какие
кривые описываются уравнениями (IV 40) и (IV 41) Как вид-
но тв чертежа (см рис 31),
54
(л - «124-^,
rj = (X - - fl)2 у2.
и р мнение (IV 10) принимает вид
«)г
(х -а)"‘ V-
ИЛ к
а -	2ол ———	и1 иг 0.
- с
Дополняя первые дна слагаемых до квадрата разности,
получим
что является сравнением окружности с центром в точке с ко-
ординатами
*о о-;—Уи Г|
1 — с
и радиксом 20 1с
1
Как видно из чертежа,
Uj arc tg —-— ,
х — а
6, = arc tg —,
x a
что после подстановки в уравнение (IV 41) дает
arc tg —------arc tg —-— — с,,,
х — а	х -f- а
Используя формулу тангенса разности двух углов, запи-
шем
У У
у	, ц	, х — а х т-а
arc tg — -----arc tg —-—	arc tg-------------------- <?3.
x — a	x -p a	j У
(x — a) (x a)
или
У У
x a x -|- a
(x — a) (x -r c)
-C2
Ь5
Последнее уравнение можно привести к виду
откуда видно, что оно описывает окружность с центром х>= О
а
Цъ= — и радиусом
С2
Cj, С; 2 ~ 1
Рис 32
Если нанести на рису-
нок эквипотенциали и ли-
нии тока (рис 32), то мож-
но увидеть, что данная ха-
рактеристическая функция
F(z) — Aln^^-
2 а
соответствует фильтрацион-
ному потоку в неограничен-
ной плоскости при наличии
источника и стока, распо-
ложенных на оси х в точ-
ках с координатами +а и
—и.
Модуль скорости фильт-
рации определим по фор-
муле
_^| |ЛЛ41п^^| I-----_____
dz \ I dz \	: a J\ I (z — а) (г г а)
2аА
r2et0s
2дЛ
rtra
Задача 56
Эксплуатационная скважина работает в пласте, в котором
пробуривания имелся напорный плоскопараллельный
поток жидкости со скоростью фильтрации ^=0,001 см/с
Дебит скважины Q = 100 м3/сут, мощность пласта h= 10 м.
Изобразить графически линии тока результирующего течения
Решение. Используя принцип суперпозиции sa пишем ха-
рактеристическую функцию для фильтрационного потока как
сумму характеристической функции, отвечающей плоскопарал-
лельному потоку в направлении оси х и равной ( wz), и ' а-
56
рактеристической функции плоскорадиального потока со сто-
ком в начале координат ( — 1пг)
2л
F (z) - — wz 4—— In z.
2л
Представляя комплексную переменную г в декартовых и
полярных координатах
z = х 4- iy re16,
отделим действительную часть от мнимой
F(z) — —-f- iy) 4—— ln(re'e) = —Щ'Н—— Inr 4-
2л	2л
и запишем выражение для функции тока
ф — — wy -У— 6 = — wy -!—q— arc tg — .
2л	2л	л
Уравнение линий тока имеет вид
, а 1 ч
— wy —— arc tg —
2л	,v
Подставляя исходные данные
в системе СГС, получим
0,00 It/
10010е	, у
4-----------------arctg — - с,
0,864 103 10s 2л х
или
— 0,001г/ 4- 0,5 - arc tg — = с.
л	X
Запишем последнее уравнение в
виде
Рис 33
Рассчитаем несколько линий тока, придавая постоянной с
различные начения Результаты расчетов сведены в табл 2 и
представлены на рис 33
Значению с = q/2w = 0,53 соответствует линия тока у=+0,
х<0 В нижней полуплоскости картина линий тока симметрич-
на относительно оси х, только соответствующие линии тока
характеризуются значениями с с обратными знаками
S7
Таблиц
€=0		е=0,.		‘-о-2 1 1		г= -0.1		с— 0,35		с* —0.2	
у	Л		X	V	X	и	X			ч	С
580		30	.50	—417	300	—644	450	150	180	673	600	-405
435	435	.300	—202	250	298	190	0	150	322	490	0
290	0	200	10.5	200	135	ТОО	159	100	1Ш	400	212
145	1 15	’.50	33,3	100	—5,26	200	333			.300	508
0	185	30	54	50	10.8	150	540				
			47,5		1	100	1- ОО				
Как видно из графика, линия тока со значением с = 0 явля-
ется нейтральной линией, oi раничивающей область засасыва-
ния, т е. область, в которой жидкость поглощается скважи-
ной. Наибольшая ширина области засасывания равна
2z/o | с о	1160 см.
V. ВЛИЯНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО
НЕСОВЕРШЕНСТВА СКВАЖИНЫ НХ ЕЕ ДЕБИТ
Скважина называется гидродинамически совершенной, ес-
ли она вскрывает пласт на всю мощность и забой скважины
открытый, т. е. вся вскрытая поверхность забоя является
фильтрующей поверхностью. Поток жидкости к совершенной
скважине плоский фильтрационный поток
Если скважина с открытым забоем вскрывает пласт не на
всю мощность, а только на некоторую величин) Ь, или если
скважина сообщается с пластом через отдельные отверстия,
то фильтрация жидкости или газа будет пространственной
(трехмерной;, а скважина гидродинамически несовершенной
Различают три вида несовершенства скважин:
1)	скважина гидродинамически несовершенная по степени
вскрытия пласта это скважина с открытым забоем, вскрыв-
шая пласт не на всю мощность,
2)	скважина гидродинамически несовершенная по характе-
ру вскрытия пласта - скважина, вскрывающая пласт от кров-
ли до подошвы, но сообщающаяся с пластом через отверстия
в колонне груб, в цементном кольце или в специальном фильт-
ре;
3)	скважина гидродинамически несовершенная как по сте-
пени вскрытия пласта, гак и по характеру вскрытия
Дебит скважины, несовершенной по степени вскрытия,
можно определить по формуле- М. Маскега, если радиус плас-
та	/г>
58
Q =_ Рк—Pc t	(V.l)
P В
где
' <v-2>
и относительное вскрытие пласта h=b/h.
Функция ф(Л) имеет следующее аналитическое выражение:
ф (Л) = Ш WHI».!»)  _	(V 3|
Г (I — 0,8758)-Г (1 — О 1258)
где Г — интеграл Эйлера второго рода или иначе, гамма-функ-
ция, для которой имеются таблицы в математических справоч-
никах; <p(h) представлена графически на рис 34.
Рис 34
Рис 35
Для скважины в пласте бесконечной мощности (рис 35)
/ложно найти дебит при помощи формулы Н К. Гиринского
q  2nkb рк — р,
И
1,66
In ——
(V.4)
Дебит скважины гидродинамически несовершенной как по
степени, так и по характеру вскрытия пласта можно подсчи-
тать по формуле
Q	2nfeft(pK—рс)	(У .5)
ц (In —— - С, -|- С3^
где С — безразмерная величина, определяющая дополнитель-
ное фильтрационное сопротивление, обусловленное несовер-
шенством скважины по степени вскрытия пласта; С2 — безраз-
мерная величина, определяющая дополнительное фильтрацион-
59
ное сопротивление, вызванное несовершенством скважины по
характеру вскрытия пласта.
Cj и С2 находятся из графиков В И. Щурова, построенных
по данным исследования притока жидкости к скважинам с
двойным видом несовершенства на электролитических моде-
лях
Величина С| представлена на рис 36 в зависимости от па-
раметров a = h/Dc и h = b h
На рис. 37, 38, 39 дана зависимость С2 от трех парамет-
ров-
nDr, I I' D,. и a dnDc.
где п—число перфорационных отверстий на 1 м; Dc — диаметр
скважины в м; Г глубина проникновения пуль в породу;
d?— диаметр отверстий
Соответствие между кривыми и значениями параметра а —
dn!D< видно из следующих данных
Номер кривой 12	3	1
я........	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,03	0.09
Формулу (V 5) можно записать иначе, введя в нее приве-
денный радиус скважины
г;-гс.е-4С‘+с*>- /-Се-с,	(V.6)
т, е. радиус такой совершенной скважины, дебит которой равен
дебиту несовершенной скважины,
2-Tfe/l (рк —Рс)
I
|2 In -—
гс
Иногда гидродинамическое несовершенство скважин учи-
тывается при помощи коэффициента совершенства скважины
б ,	(V.8)
Qcob
где Q дебит несовершенной скважины; QC0B — дебит совер-
шенной скважины в тех же условиях.
Коэффициент совершенства скважины б и величина С=
= С\ + С> связаны между собой зависимостью
RK
In —
6 =---------- (V.9)
In------р С
гс
ИЛИ
C = f—-iVn—.	(V.10)
\ 6	/ rc
60


 литературе приводятся i рафики 6, которые можно ис-
по.1ьзова гь для оценки С.
Задача 57
Пласт мощностью й = 50 м вскрыт скважиной ради
12.35 см на малую глубину /э = 0,4 м. Расстояние до конту-
ра питания /?,	1 км. коэффициент проницаемости пласт.? А =
= 0>4 Д, динамический коэффициент вязкости нефти ц=2 мПа X
Хс, давление на контуре питания р„=9.8 МПа (ЮО вг<
давление на забое скважины р — 7.34 МПа (80 кгс.'см2)
Найти дебит скважин! по приближенному решению Парно-
го и сопоставить с дебитом, определенным по формуле Маскета.
Указание. На некотором расстоянии Ro = l,5 h от оси сква-
жины провести мысленно цилиндрическую поверхность слое
нхю со скважиной (рш 40)
Фильтрационный поток
между контхром питания
R и цилиндрической по
верхность радиуса Ro счи-
тать практически плоскора-
диальным с давлением /ь.
на границе.
Поток между вспомога
тельной поверхностью ради-	Рж? *0
уса Ro и скважиной рас-
сматривать как радиально-сферический к скважине с полусфе-
рическим табоем. радиус R.. которого определяется из условия
2л Rc 'Znr.b.
Ответ:
Г ИС. б©
Qnp 47,5 м3/сут; Qv 58,9 м3 сут;
(Q. Qnp) Qm 19
Задача 58
Гидродинамически несовершенная скважина вскрывает
пласт мощностью 20 м на глубину Ю м. Радиус скважины
Ю см, радиус контура питания R} =200 м.
Каково превышение фактического дебита, определенно! ,
по формуле Маскета, над дебитом в случае строго плоскоради-
. льного потока к. скважине с частичным вскрытием пласт? ?
Решение. Дебит, определенный по формуле Маскета. равен
2ЛД/1 (рк — рс)
Г I I	4/1	—1	4'1 )
,ч Н~ 21n -----------— Ч <h) “In —
1 2/г I	rc	j	RK I
63
где
ф (h) = In
Г (0,125/t)-Г (0,875/1)
Г (1 — 0,125Л)-Г (1— 0,875ft)
Дебит в случае строго плоскорадиального потока к скважи
не с частичным вскрытием пласта определяется по формуле
Дюпюи в предположении, что мощность пласта равна вскры-
тию b
2nkb (рк — рс)
Отношение дебитов
ftln-^
Qm	гс
Подсчитаем значение функции ф(/г) =<f (0,5), для чего най-
дем значения гамма-функции по таблицам, используя свойст-
во гамма-функции
Г(х+ 1) — хГ (х),
Г(0,125-0,5) = Г (0,0625) »= 15,5,
Г(0,875-0,5) = Г(0,4375) -2,02.
Г(1 -0,125-0,5) = Г (0,9375)	= 1,04,
Г(1 -0,865-0,5) = Г (0,5625) =	= 1,58.
Отсюда
<Р(0,5)
= In ‘±,±112? = 2,31g 19	2.94.
1,04 1,58
Отношение
<2м
Q
(I	4 20	I	4 20 )
10{l22'31g^T“2-94l“2’31g^rl
Дебит, определенный по формуле Маскета, оказывается
на 34 больше, чем дебит, определенный без учета притока к
скважине из нижней части пласта мощностью h—b
64
Задача 59
Используя решения Маскета и графики В И. Щурова, оп-
ределить коэффициент Сь учитывающий несовершенство сква-
жины по степени вскрытия. Известно, что скважина диаметром
203 мм вскрывает пласт мощностью h—25 м на глубину
5 м. Расстояние до контура питания R,.= 1000 м.
Ответ: по Маскету С1=15,1. По Щурову Q= 15,0.
Задача 60	?
Используя график В И. Щурова, найти коэффициенты Ci
и С2, определяющие дополнительные фильтрационные сопро-
тивления, обусловленные несовершенством скважины, соот-
ветственно по степени и по характеру вскрытия, а также при-
веденный радиус скважины г' , считая, что нефть притекает к
скважине диаметром dc = 24,7 см, несовершенной как по степе-
ни, так и по характеру вскрытия. Мощность пласта h= 12 м,
вскрытие пласта Ь = 1 м, число прострелов на 1 м вскрытой
мощности пласта п=17 отв./м, глубина проникновения пуль в
породу /'=6,25 см, диаметр отверстия d0= 1,1 см.
Ответ: Ci = 2,3; Сг=2,3; г' =0,123 см.
Задача 61
Определить коэффициент совершенства скважины, несовер-
шенной по характеру вскрытия. Забой скважины обсажен и
н рфорирован при помощи кумулятивного перфоратора число
круглых отверстий на 1 м п = 10, диамцтр отверстия d0= 16 мм,
длина канала /'=100 мм, радиус скважины гс = 10 см, рассто-
яни до контура питания Ru= 500 м.
Ответ: 6 = 0,825.
Задача 62
Определить коэффициент Сь учитывающий дополнитель-
ное фильтрационное сопротивление, приведенный радиус гс' и
коэффициент совершенства 6 гидродинамически несовершенной
по степени вскрытия скважины радиусом гс = 0,1 м, находя-
щейся в пласте с круговым контуром питания. Мощность пла-
ста й=16 м, мощность вскрытой части пласта 6=9,6 м, радиус
контура питания 7?к=1 км.
Ответ: С| = 2,4; г' =0,907’ см; 6 = 0,793.
Задача 63
Какому коэффициенту С, определяющему дополнительное
фильтрационное сопротивление, обусловленное гидродинами-
ческим несовершенством скважины, соответствует 6 = 0.75?
Радиус скважины rc=0,1 м, радиус контура питания 7?ь=1 км.
Определить также приведенный радиус скважины
Ответ: С=3,067,	=0,466 см.
3 Зак 1496	65
Задача 64
Скважину исследовали по методу установившихся отборов
изменяя диаметр штуцера и замеряя забойное давление гл'
бинным регистрирующим манометром Результаты замере
приведены ниже.
До . кгс/см2	Q, 10~в м’с	Q. м’/сут	WO, (кгс/см1 )-c.'c.m
10	157	13,5	0,0638
20	256	22,1	0,07й2
30	334	28, Л	0,0900
40	401	34,6	0,100
50	459	39 7	0,109
Определить коэффициент проницаемости,
если мощность
пласта й=12 м, вскрытие пласта b = 7 м. диаметр скважины
(/<=24,7 см, число прострелов на один метр вскрытой мощ
ности пласта и 8, глубина проникновения пуль в породу Г =
= 0, диаметр пулевого канала d=l,1 см, половина расстояния
до соседних скважин о =	=300 м, динамический коэффициент
вязкости жидкости р=4 сП.
Решение. Из данных исследования видно, что зависимость
между Q и Ар нелинейная, т е. индикаторная линия не будет
Рис. 42
прямой (рис. 41). Используя двучленную формулу Ap=XQ +
+ BQ2 и приведенные данные, построим график зависимости
\p!Q от Q (рис. 42) Из графика по точке пересечения прямой
&p/Q = A+BQ с осью \p/Q (осью ординат) найдем значение
А = 0,04 (кгс/см2) е.'см3, а по тангенсу угла наклона прямой к
оси абсцисс (Q) В=0,00015 (кгс/см2) с2/см6.
Коэффициент проницаемости найдем по полученному зна-
чению А из формулы
А
Р
2nkh
66
Значения С, и Cj найдем с помощью графиков Щурова
Определим параметры b/ft = 0,584, hldc = A^,7. ndr = 197, did =
=0,0447, *’7dc = 0 и по их значениям — Ci=2.3 и Сг = 34, при
ом найдем коэффициент проницаемости
k
2nAh L гс
— Lj
________*________<2,3
2 3,14 0,04 1200 у 12,35
2,3 4-34)	0,585Д.
VI. УСТАНОВИВШЕЕСЯ БЕЗНАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Движение жидкости безнапорное, если пьезометрическая
поверхность совпадает со свободной поверхностью жидкости, в
каждой точке которой действует постоянное давление.
При безнапорном движении свободная поверхность АВ жид-
кости в пласте у стенки дренажной прямолинейной i :ереи
(рис. 43) или скважины (рис. 44) расположена выше уровня
жидкости в галерее или в скважине Разрыв уровней образует
промежуток высачивания ВС.
В области добычи нефти безнапорная фильтрация встреча
ется, например, когда уровень нефти, залегающей в прод} ктив-
ном пласте, перекрытом непроницаемой кровлей, вследствие
истощения пластовой энергии опускается ниже кровли пласта.
Безнапорная фильтрация наблюдается также при шахтном и
карьерном способах эксплуатации нефтяных месторождений
Гидротехникам часто приходится сталкиваться с безнапорным
движением грунтового потока.
При решении задач установившегося безнапорного движе-
ния жидкости в пласте часто пользуются приближенной теори-
ей— так называемой гидравлической теорией Дюпюи — Форх-
геймера.
3*
67
В гидравлической теории сделаны следующие допущения
1) горизонтальные компоненты скорости фультрации в по
перечном сечении потока распределены равномерно;
2) давление вдоль вертикали распределено по гидростата
ческому закону
Н = z Н—— = const,
Pg
т. е. считается постоянным вдоль вертикали.
Эти предпосылки гидравлической теории допустимы для той
части потока, где уклон свободной поверхности i=sina«l
(а — угол наклона поверхности к горизонту).
Если потоком жидкости со свободной поверхностью охва-
чена большая площадь, го свободная поверхность бывает сла-
бо искривлена. Тогда задачи о безнапорном течении i
прямозчнейной галерее и о безнапорном течении к гидродина-
мически совершенной скважине можно решать, используя ме-
тоды теории одномерного движения.
§ 1. Безнапорное движение жидкости
к прямолинейной галерее
Считаем, что установившееся безнапорное движение жид
кости в пласте происходит по закону Дарси, при выбранном
расположении координатных осей (см. рис. 43). Тогда приток
к галерее шириной В со стороны области питания будет харак-
теризоваться дебитом
бЧ1)
2|г/
Пьезометрическая линия (кривая депрессии АС) будет
описываться уравнением
1 / 2 Н2К — //'
h = | Hl-------------х.	(VI.2)
а движение частиь жидкости — подчиняться закон)
B*mkpg Г fH2----2Qp_ V/.. _	_ _2Qp_ %у 1 j 3)
3<Э2И |Д Bkpg °)	\ Bkpg J J
где х0—координата движущейся частицы жидкости при t=0
Если допустить, что при прочих равных условиях дзиженш
жидкости во всем пласте подчиняется нелинейном^ закон)
фильтрации
1
~ dh \п
w - С--------) .
v	J
6S
где С и п — некоторые постоянные, причем
мула для дебита будет иметь вид:
1 ^п^2.
то фор-
Q4.BC
н£-Ц-н"+1
(«+!)/
(VI.4)
§ 2. Безнапорное движение жидкости к скважине
В случае, если гидродинамически совершенная скважина
(или колодец) (см. рис. 44) вскрыла первый сверху водонос-
ный пласт радиуса Д’ (в центре) до горизонтального водоупо-
ра и я пласте движется жидкость со свободной поверхностью
по закону Дарси, то дебит определяется по формуле
(^к —^с)
Р In---
ГС
(VI.5)
а кривая депрессии — по формуле
путем
(VI.6)
Время движения частиц находится
графоаналитическим методом уравнения
интегрирования
I =	. 	/^2-------ln _Rk	(VI.7)
Q J f	nkpg r
r
или приближенно по формуле
t = h j rdr = 2^1	- r*),	(VI.8)
r
где 7t— среднее значение напора в интервале изменения вели-
чины г от г0 до г.
Дебит скважины при нелинейном законе фильтрации жид-
кости находится по формуле
Q 2лС /	п — 1	К		1 \ п	(VI.9)
	П + 1	1 п—1 гс	1 - /<-*	1	
При /1 = 2 из (VI9) получается формула, выведенная
А А. Краснопольским для безнапорной фильтрации в трещино-
ватых породах.
60
Формулы (VI 1) и (VI.5) называются формулами Дюпюи
И. А Чарный показал что формулы (VII) и (VI.5) для де-
бита являются совершенно строгими и точными
Депрессионные кривые (пунктирные линии на рис. IJ и
рис 41), рассчитанные по (VI.2) и (VI.6), вблизи стока сущест-
венно отличаются от истинных (сплошных линий) Но прибли-
женной гидравлической теории не получается промежутка вы-
сачивания ВС
Задача 65
В истощенной нефтяной залежи (рис 45) по простиранию
пласта проведен дренажный штрек длиной Ь = 75 м. Нефть
притекает в штрек при гравитационном режиме. Уровень неф-
ти в штреке находится от подошвы пласта на высоте Лг=
= 0,9 м; высота уровня нефти на контуре питания /г,	’ м.
Пласт имеет длину / = 800 м, штрек находится посередине
пласта. Коэффициент проницаемости пласта k=2 Д, динамиче-
ский коэффициент вязкости нефти р -6 мПа-с, плотность неф-
ти р=970 кг/м3. Найти производительность штрека.
Ответ: Q = 9,2 см3 с=0,80 м3/сут.
Задача 06
Для возведения фундамента требуется понизить хровень
грунтовых вод на 1,5 м на площади 10X10 м2 при помощи
дренирования Уровень грунтовых вод находится на глубине
0,5 м от поверхности земли.
Вырыт килолец радиусом 20 см на глубину 6,5 м (рис. 46)
до водоупора
Определить-
1) производительность насоса для обеспечения необходимо-
го дренажа;
2) на каком расстоянии г' уровень воды понизится на 2 м,
если производительность насоса увеличить на 10%
70
Расчет провести при условии, что коэффициент проницае-
мости /г-1 Д, радиус контура питания Р; = 200 м. плотность
жидкости р 1000 кг/ма, динамический коэффициент вязкости
ее ц= 1 мПа-с.
Решение. Исходя из условия, что уровень грунтовых вод
должен быть понижен на 1,5 м на площади 10X10 м2, найдем
радиус ft круговой зоны, охватывающей
указанную площадь (рис. 47).
Как видно из чертежа, r( = i4 2=5] 2=
= 7,05 м.
Определим необходимый уровень грун-
товых вод на расстоянии ri = 7,05 м, отсчи-
тывая его от дна колодца /?1=6,0- 1.5 =
= 4,5 м.
i ровень воды в колодце найдем по фор-
муле
Рис 47
Г36 - 20,25	,	200	, о„
36-----------1. 1g -------- = 18/ м.
200	0,2
|	lg 7,05
Подсчитаем подачу насоса
nfepg /;к — Лс _ 3,14 1,02 10~12103 9,8(62 - 1,87-*)
И In	Ю-з.2,з.Ig-^-
гс	0,2
= 0,148-10 1 м®/с — 0,535 м®/ч.
Если подачу насоса увеличить на 10%, то она составит
Q'=l.l Q = 0,163-10~3 м3/с.
Определим уровень воды в колодце, соответствующий зна-
чению Q',
200
0 163 10 -» 10 -3.2,3-lg——
36----
3,14 1,02 10-12-юз 9,з
0,447 м.
71
Найдем расстояние г', на котором понижение уровня воды
равно 1,5 м, т. е. й' = 4,5 м.
г' 'с
или
1g =	2 ]g А. = 36 - 20.25 1б 200 = J 32
S г' h2 — h’'3 гс 36 — 0,2 ё 0,2	’ ’
. пк “с
откуда
= 20,9 и г' = -А- =	= 9,57 м.
г'	20,9	20,9
Задача 67
При шахтном методе добычи нефти истощенная залежь
дренируется при помощи колодца 1 из выработки 2 над неф-
тяным пластом 3 (рис. 48). Определить дебит колодца и ско-
рость фильтрации на расстоянии 20 м от колодца в условиях
безнапорной фильтрации, если высота уровня на контуре пи-
тания /гк=13 м, высота уровня жидкости в колодце Лс=3 м,
вязкость нефти ц=8 сП, плотность нефти р=850 кг/м3, коэф-
фициент проницаемости пласта k=l Д, расстояние до контура
питания /?к=100 м, радиус колодца гг = 90 см.
Ответ: Qm=7,6 т/сут; w=9,61 • 10~5 см/с.
72	.Л'.л.ЛМ’	* - Лм
VIE ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛАСТЕ
С НЕОДНОРОДНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
проницаемость в различных точках продуктивных пластов
не является строго постоянной величиной. Иногда изменение
проницаемости по пласту носит столь хаотичный характер, что
пласт можно рассматривать в среднем однородно проницаемым
Если изменение проницаемости носит не случайный харак-
тер, а на значительном протяжении
Рк
Рис. 49
пласта имеют место опре-
деленные закономерности
в изменении проницае-
мости, тогда движение
жидкостей и газов суще-
ственно отличается
движения их
ных пластах.
Отметим
простейшие
однородности пластов.
слоев (рис. 49, 50). В пре-
одинакова и
от
в однород-
следующие
случаи не-
1 Пласт состоит из нескольких
делах каждого слоя проницаемость в среднем
скачкообразно изменяется при переходе от одного слоя к дру-
гому. Допустим, что все п слоев горизонтальны, мощность i-ro
слоя hi, проницаемость со-
ответствующего слоя ki. На
одном конце каждого слоя	z
давление равно рк, на дру-	Г
гом — Рг-	*1
Если движение жидко-
сти прямолинейно-парал-
дельное (см. рис. 49) по за- l
кону Дарси, го распределе-
ние давления р в каждом I
слое линейное и характери-
зуется уравнением
Рис 50
2гк
Рс Р
^(2)
Рк ' Рг
I
дебит потока вычисляется по формуле
VfeA.,
Я
а средний коэффициент проницаемости по формуле
Р = Рк
(VIII)
(VII.2)




Рс________.



fecp -	„
(VH.3)
73
В случае плоскорадиалъного движения жидкости в много-
слойном пласте к гидродинамически совершенной скважине по
закону Дарси (см. рис. 50) давление в каждое слое меняется
по логарифмическомх 1акону
Р Р.--1^^,	(VII.4)
1п-
Гс
дебит скважины определяется по формуле
Q =
2it (рк Р
1
в|п ~
п
(VII.5)
а средний коэффициент проницаемости пласта и в этом случае
находится по (VII 3)
2 Пласт состоит из нескольких зон различной проницае-
мости (рис. 51, 52). На границе двух зон проницаемость ме-
няется скачкообразно; в преде-
лах одной п той же зоны про-
ницаемость в среднем одинако-
ва. С неоднородностью такого
рода можно встретиться, напри-
мер, при соприкосновении двух
разных пластов вдоль сброса
или в случае наличия порога
фациальной изменчивости одного
и того же пласта
Допустим, что горизонталь-
ный пласт мощностью h, длиной
Рис 52
Рис 51
I с непроницаемыми кровлей и подошвой состоит из п зон раз-
данной проницаемости. Длина i-той зоны коэффициент про-
ницаемости kt (см рис. 51).
При прямолинейно-параллельной фильтрации жидкости в
таком пласте по закону Дарси дебит фильтрационного потока
подсчитывается по формуле
74
(VII.6)
где В—ширина потока.
Средний коэффициент проницаемости
^ср
(VII 7)
При п - 2 распределение давления в первой зоне р\ и во
второй р2 описывается уравнениями
л (гтРГь2-х' 0	(V,I8)
Р2-Рг -	- I.
‘1^г + ‘2«i
Если при плоскорадиальном притоке жидкости к гидроди-
намически совершенной скважине по закону Дарси зоны раз-
личной проницаемости пласта имеют кольцеобразную форму
(см. рис 52), то формула дебита скважины имеет вид
Q
(VII 9)
2nh (рк — рс)
п
I
где kt — коэффициент проницаемости зоны за номером i, г, ,
и г. — соответственно внутренний и внешний радиусы этой зо-
ны, причем г0 = гг, а г. =Rb.
Средний коэффициент проницаемости в этом случае нахо-
дится по формуле
(VII 10)
При п = 2 распределение давления в ирвой зоне pt и во
второй зоне р2 определяется по формулам
75
(Рк--Рс)
Pl = Рс Н--------—r~~;	гс < Г < Гt,
Г1 , *1 i Як
1п— +— 1п------
Гс «2 f'l
(VII .11)
р2 = Рк +
«1	г
“Г" (Рк —Рс)1п —
R2_________ Кк .
1п^-+А-1п-^ ’
ГС	^2
Г1 < г < RK.
3. Проницаемость пласта непрерывно изменяется, увеличи-
ваясь или уменьшаясь в каком-либо направлении. Допустим,
что при плоскорадиальном течении коэффициент проницаемос-
ти изменяется по линейному закону
k = а -4- Ъг = АЯк-Vc
Рк - гс
кд f’c г
Rk — г с
У забоя скважины коэффициент проницаемости равен kc, а
на контуре питания (r=Rr) k = k0.
Фильтрация жидкости происходит по закону Дарси В этом
случае формула для дебита имеет вид;
2л/г (Рк — Рс) 2л/г (рк — рс) (kcRK - - feorc)
хЛ Як . , kc \
dr	р(Рк — Тс) ( In—- 4-ln——
И | ——	\ rc k0 )
. rk (г)
гс
(VII.12)
Задача 68
Определить средневзвешенный по мощности коэффициент
проницаемости пласта, представленного несколькими проницае-
мыми пропластками, разделенными глинистыми пропластками.
Жидкость движется в направлении напластования. Мощность
и коэффициент проницаемости каждого пропластка указаны
ниже.
Пропласток	Мощность, м	Проницае - мость, м
I	5	600
II	О	200
III	3	900
Ответ: /гср=457 мД.
76
Задача 69
Определить средневзвешенный по длине коэффициент про-
ницаемости неоднородного пласта, состоящего из двух пластов,
соединенных последовательно (см. рис. 51). Первый пласт
имеет длину /1=8 км и &t = 500 мД, второй пласт — длину
/з= 1 км и k2= ЮОО мД, ph = 9,8 МПа (100 кгс/см2), рг= 4,9 МПа
(50 кгс/см2). Построить график распределения давления в
пласте.
Ответ: 6ср=530 мД. Закон изменения давления в I зоне:
Р(]) = 9,8-10®—576 х, во II зоне: р(2)=7,5-10®—288 х (р в Па, х
в м). Градиенты в каждой зоне постоянны и их отношение об-
ратно пропорционально отношению проницаемостей этих зон:
Задача 70
Определить средний коэффициент проницаемости пласта в
юне радиуса /?ь=500 м, если первоначальный коэффициент
проницаемости всего пласта fe=1200 мД, а затем в результате
запарафинирования коэффициент проницаемости призабойной
зоны радиусом п = 30 м снизился до М = 150 мД. Радиус сква-
жины гс=0,1 м.
Ответ: fecp = 210 мД.
Задача 71
Скважина радиусом ге = 10 см эксплуатирует пласт радиу-
сом Ri = 10 км с коэффициентом проницаемости k2. Во сколь-
ко раз изменится дебит скважины, если
а)	проницаемость в призабойной зоне радиуса г = 0,5 м воз-
растает в 10 раз в результате ее обработки (М-&2=Ю)?
б)	проницаемость этой же призабойной зоны ухудшится в
10 раз (&i: /22=0,1)?
в)	рассмотреть ту же задачу при г=5 м. Сравнить получен-
ные результаты
Ответ: a) Q:Q2=1J4, б) Q : Q2=0,44; в) Q:Q2=144;
Q:Q2 = 0,25 (Q2 — дебит скважины в однородном пласте с
проницаемостью k2).
Сравнение полученных результатов позволяет сделать важ-
ный вывод: ухудшение проницаемости призабойной зоны в
10 раз приводит к резкому уменьшению дебита скважины
(на 56% при г=0,5 м и на 75% при г = 5 и), увеличение же
проницаемости в 10 раз приводит к увеличению дебита сква-
жины (на 14% при г=0,5 у. и на 44% при г=5 м).
Задача 72
Какие давления должны быть на забое скважины радиуса
гс = 10 см, чтобы получать один и гот же дебит для случаев:
1) когда пласт радиуса /?ц = 10 км по простиранию однородный
77
с коэффициентом проницаемости kz = 1000 мД; 2) когда пласт
делится на две зоны с /?1=150 мД в призабойной зоне радиу
са Ti = 5 м и ^2=1000 мД в остальной части пласта? Пластовое
давление рк=14,7 МПа (150 кгс см2). депрессия в однородном
пласте pR—Рс = 2,94 МПа (30 кгс, см2).
Решение. По условию задачи дебит однородного пласта
р 1п------
г с
равен дебиту неоднородного пласта
откуда
Рк — Рг
Рк—Рс
1000 ,	10 000
----1g 50 -]g----
150 s к	5
,	10 000
lg_Tr
= 2,92,
рс = рк —2,94	14,7 —2,94 = 11,76 МПа,
р'= рк — (рк — рс)-2,92 = 14,7 —2,94-2,92	6,11 МПа,
т. с давление на забое скважины должно быть снижено почти
в 2 раза для поддержания того же дебита.
Задача 73
Определить дебит дренажной галереи и распределение дав
ления при установившейся фильтрации жидкости по закону
Дарси в неоднородном по проницаемости пласте, если известно,
что коэффициент проницаемости пласта на участке длиной
/1 — 2 км равен &t = 800 мД, а на участке /2 = 500 м в призабой-
ной части пласта уменьшается линейно от kA до £2=80 мД
(рис. 53), давление на контуре питания ph = 9,8 МПа (100
кгс/см2), давление на забое галереи рг=7.35 МПа (75 кгс см2),
динамический коэффициент вязкости р=5 мПа-с, мощность
пласта h = 15 м, ширина фильтрационного потока В 600 м
Ответ:
78
при 0 xc/j р рк------х 9,8 106 —748;с (в Па).
«>fe1
,	,	.	QpA QmA
при lr < х lt /., p pK-----------------—
(0 (fe2- kx)
*4' ('-tXI-f l
= 8,3-IOB-0,957- Wig(4,6— 1,8-10 Д) (в Па) (рис. 54).
Задача 74
Определить дебит совершенной скважины, расположенной
в центре кругового пласта, состоящего из двух концентричных
кольцевых зон. В первой зоне, ограниченной окружностями с
радиусами г <.= 10 см и гп=3 м, коэффициент проницаемости
изменяется линейно от k\ = 200 мД до /г2=1 Д. Во второй зоне,
ограниченной окружностями г0=3 м и R, = 10 км, коэффициент
проницаемости постоянен и равен Д Мощность пласта й = 10 м,
динамический коэффициент вязкости нефти р=4 сП. Перепад
давления между контуром питания и контуром скважины \р=
=-1,47МПа. Фильтрация происходит по закону Дарси
Решение. Возьмем закон Дарси в дифференциальной форме
dp	... Q
----—	—	 где w 	.
ds k (г)----------------2nrh
ИЛИ
dp _ |.iQ
dr k (r) 2nrh
откуда
2nh k (r) r
79
Интегрируя по р от рс до pt, и по г от гс до г0 и от г0 до ,
получим
РК	ДК	Г„
[ dp -	f JL. 4. f _JL_
J	2nh J k2r J Z’ (r) r
Pc	L	rc
В призабойной зоне проницаемость изменяется прямолинейно
k = аг -|- Ь.
Значения а и b найдем из граничных условий:
при г rc k /?ь
при г r0 k - k2,
ki = arc + b,
k2^=aru b.
Решая полученную систему алгебраических уравнений, най-
дем
— k,
a -----------------!
I) — ^1Г° ' k‘2r<
k (r) -
'о ~~ rc
Vo	^2ГС
Г0 rC	rQ Гс
Подставим выражение k(r) под интеграл
рк _ Г	г0
I I Рк
--- In—
^2	Гд
dr____________
feifo - fe°rc ‘
; \ ru - - rc r„ — rc ,
является табличным и равен
____1_ । ах + b
b
J f — kJ
c
Интеграл, стоящий справа,
Г dx_____________________
J (ax -r b) x
нашем случае получим
Рв—Рс
2nh
&2
'о
'с In
fe2rc — ^lro
fej ----- fej
''о —гс
k, ------ k.
Vo — k2rc
Го —rQ
fejT0 •— k2rc \
'o
Го—Гс
2nh
Л
В
— 1п-^ {-
х
или
Рк — Рс =
/'J_ in A.
2nft \ fe2 rn k2rc — Vo
Гр -Гс
1'0
2-T.hk.,
1п-^
го
A
^2
1П-51Г»
fe2rP
80
Отсюда
2яМ(рк —Рс)
q _ ------------------------------=
(, «к , То—rc	Vo \
1П7Г + Ч---------'"“SV
Vr"“r‘ I
6,28-1,02-10—12-10-1,47-10е
0,2-3
<	10 000
4 10-з-2,3 1g---------J- -----------1g
\ з 0,2-3 —0,1 е 0,1
1,28-10~3 м3/с = ПО м3/сут.
3 — 0,1
VIII. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
§ 1. Аналогия между установившейся фильтрацией
сжимаемой жидкости (газа) и несжимаемой жидкости.
Функция Лейбензона
При установившейся фильтрации сжимаемой жидкости и га-
за массовый расход во всех поперечных сечениях пласта оди-
наков
Qm = const,	(VIII. 1)
а объемный расход возрастаем по мере падения давления за
счет расширения жидкости или газа.
Назовем функцию
Р	pdp + C	(VIII.2)
функцией Л. С. Лейбензона
Целесообразность введения этой функции видна из сопостав-
ления Формул, выражающих закон Дарси в дифференциальной
форме тя несжимаемой жидкости
Q _ _ ± JE. и (s),	(VIH.3)
р ds
где Q — постоянный объемный расход жидкости, и для сжимае-
мой жидкости или газа
Qm - - Р ($) = - —	(s), (VIII.4)
р ds	р as
где Qr„ постоянный массовый расход; dP = pdp— дифферен-
циал функции Лейбензона.
Выражения (VIII.3) и (VIII.4) являются однотипными диф-
ференциальными уравнениями, ь которых объемному расходу
Q в уравнении (VIII 3) соответствует массовый расход О,,, в
формул? (VIII 4), а давлению в (Vfll.3) — функция Лейбензона
в (VIII.4).
81
Отсюда следует вывод, что все формулы, полученные для
установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону
Дарси, можно использовать при установившейся фильтрации
сжимаемой жидкости и газа при тех же граничных условиях
со следующей заменой переменных:
Несжимаемая жидкость
Сжимаемая жидкость или газ
Объемный расход Q
Давление /?
Объемная скорость фильтрации w
Массовый расход Qm
Функция Лейбензона Р
Массовая скорость фильтрации рш —
§ 2. Установившаяся фильтрация сжимаемой жидкости
Для сжимаемой капельной жидкости, следующей закону
Гука, уравнение состояния, выражающее зависимость плотности
жидкости от давления, определяется соотношением
р рое₽»(/’~7’“) = poe~V	(VIII.5)
где ри,—коэффициент объемного сжатия жидкости, а Кж=
= 1 Ри; модуль упругости ЖИДКОСТИ.
Так как рж(р -рД 1 (например, для воды рк = 4,5х
Х10 5 см2/кгс) и, если р—ро=1ОО кгс/см2, то Рж(р—Ро) =
= 4,5-10 ", тогда, раскладывая в ряд ерж<Р_?’> и ограничиваясь
двумя первыми членами ряда, приближенно можно записать
р « Ро [ 1 + Ри (р — ра)].	(VIII .6)
Точное значение функции Лейбензона для сжимаемой жид-
кости равно
Р = f pdp + С = f p^^’dp 4-С -2- + С. (VIII.7)
«I	J	РЖ
Приближенное значение функции Лейбензона
Р = {РоП + ₽ж(Р p0)]dp + C.	(VIII.8)
Так как обычно р;1 (р—рп)<С1, то можно принять
Р«РоР С,	(VIII.9)
т. е считать жидкость несжимаемой и рассчитывать установив-
шееся течение по формулам, выведенные для фильтрации не-
сжимаемой жидкости.
82
§ 3. Установившаяся фильтрация идеального газа
Уравнение состояния идеального газа при изотермическом
течении можно записать так
рт,	(VIII. Ю>
Г- par
где рат — плотность газа при атмосферном давлении и пласто-
вой температуре.
Отсюда
Р	(VIII.11)
Рат
поэтому функция Лейбензона для идеального газа имеет вид
Р f pdp 4- С	dp 4 С 4- С, (VIII. 12)
J	J Рат	2рат
где р — абсолютное давление.
1	Рассмотрим параллельно-струйную фильтрацию идеаль-
ного газа по закону Дарси При параллельно-струйной фильтра-
ции несжимаемой жидкости объемный расход определяется по
формуле (III 1); используя аналогию между течением несжи-
маемой жидкости и газа, о которой говорилось в § 1, запишем
для газа формулу массового расхода
Qm -	—— Ph,	(VIII. 13)
р/
или с учетом (VIII 12)
Qm=	Bh.	(VIII. 14)
Ц 2paTZ
Приведенным расходом QaT назовем объемный расход, при-
веденный к атмосферному давлению и пластовой температуре
QaT = -^.	(VII1.15)
Pai
Из формулы (VIII 14) получим
QaT"	(VIII.16)
vdl	г-.	f	'
Заменяя в формуле (III.2), выражающей закон распределе-
ния давления при параллельно-струйной фильтрации несжи-
маемой жидкости, р на Р, получим распределение функции
Лейбензона по линейному закону
Р Рк--к~Рг-х,	(VIII. 17)
83
и, используя формулу (III 12), — распределение давления по
параболическому закону
(VIII. IS)
2
р т
(VIII. 19)
Рк-Р? v
р- = ук----I—х-
Средневзвешенное по объему пласта давление газа равно
Рк—р;
2.	При плоскорадиальной фильтрации газа в соответствии с
формулой Дюпюи (Ш.4) получим формулу для массового де-
бита газа
2nkh (Рк — Рс)
(VIII.20)
fi In--------
Подставляя значение функции Лейбензона (VIII 12) в пре-
дыдущую формулу, найдем
лййрат (Рк — Pz)
кт
(VIII.21)
I
Mtn In----
а выражение для объемного дебита газовой скважины, приве-
денного к атмосферному давлению и пл 1стовой температуре,
получим в виде
Я^(Рк-Ре)
QdT . RK
црагIn ---------
rc
Заменяя в формуле (III Ь) р на Р, получим логарифмиче-
ский закон распределения Р при плоскорадиальной фильтрации
газа
(VIII.22)
ш '
(VIII.23)
откуда, используя (VIII 12), найдем закон распреде <ния дав-
ления
P =
Рк	рс	RK
. RK	'	'
In-----
(VIII. 24)
Средневзвешенное пластовое давление газа при установив-
шейся плоскорадиальной фильтрации по закону Дарси опреде-
лявши приближенно по формуле
84
(VIII.25)
3.	В случае плоскорадиальной фильтрации идеального газа
при нелинейном законе фильтрации, выраженном формулой
(II 8), дебит скважины, приведенный к атмосферному давлению
и пластовой температуре, определяется по формуле
Pl-Pc
ВРат
zikh
ln-^QaT +
rC
Р*РатРат
2n2h2
(VIII.26)
§ 4. Установившаяся фильтрация реального газа
При больших давлениях уравнение состояния реального газа
отличается от уравнения Клапейрона и имеет вид
Рг
Т,
= zRT,	(VIII.27)
Р
где z=z(pr, Тг)ь—коэффициент сверхсжимаемости газа, учиты-
вающий отклонение реального газа от идеального и зависящий
от приведенных давления и температуры
Р
Рср кр
т
т
ср.кр
и определяемый по графику (рис. 55). Здесь р<р.кр и ТСр.кр—
соответственно среднекритическое давление и среднекритиче-
ская температура. Так как природный газ состоит из различ-
ных компонентов (метан, этан, пропан и др.), го предваритель-
но нужно вычислить значения рсрл,р и TCp.ip по формулам
__ ^П/Ркр/
Рср кр----------,
Sn,
т ______ ^р/7кр/
1 ср.кр —-------,
24lj
где tij — содержание /-го компонента в газе, об. %; Ркр.. и 7кр/—
критическое давление и температура /-го компонента соответ-
ственно.
Динамический коэффициент вязкости природного (реально-
го) газа зависит от давления и температуры. Считая процесс
и отермическим. нужно учитывать зависимость р(р). Па осно-
вании экспериментальных исследовании построены графики, по
которым с точностью до 6 можно найти значения динамиче-
№
ского коэффициента вязкости природного газа при различных
давлениях и температурах в зависимости от относительной
плотности по воздуху (рис 56).
Для определения массового дебита реального газа или зако
на распределения давления нужно записать закон Дарси для
бесконечно малого элемента пласта и, учитывая зависимость
|л(р) и формулу (VIII.27). проинтегрировать его графоаналити-
Рис 55
ческим методом (см. задачи 83, 84). Если давление в пласте
меняется в небольшом интервале, го можно аппроксимировать
зависимость p/p(p)z(p) простой алгебраической функцией,
взять интеграл аналитически и получить аналитическое выра-
жение для дебита и закона распределения давления
Задача 75
Определить проницаемость песка, если через трубу диамет-
ром с/=200 мм и длиной /=12 м, заполненную этим песком
пропускался воздух вязкостью 0,018 мПа-с при перепаде дав-
86
ления равном 4.41-104 Па (0,45 кгс/см2); избыточные давления
в начале и в конце трубы составляютPi = 0.98-10 1 Па (1 кгс/см2).
р2 = 0,539-105 Па (0,55 кгс/см2). Средний расход воздуха, приве-
денный к атмосферном у давлению, равен 250 см3/с. Атмосфер-
ное давление принять равным рат = 0,98-Ю5 Па, температуру
/=20°С.
Ответ: & = 21,5 Д.
Задача 76
Сравнить распределение давления в пласте в случаях уста-
новившейся плоскорадиальной фильтрации газа и несжимаемой
жидкости по закону Дарси при одинаковых граничных условиях:
гс=0,1 м, рс=50 кгс/см2, Дк = 750 м, рк= 100 кгс/см2.
Решение. Определим, какая часть (в процентах) депрессии
Рк—рс теряется при движении несжимаемой жидкости и газа
в пласте на расстоянии г—гс.
6= р~Рс  100 %.
Рк — Рс
Из закона распределения давления в несжимаемой жидкости
Р Рс
ln-^-
получим
6Ж 2МДГс2]00 lg(r/rc)
1п (Рк/гс)	1g (Рк/>с)
Из закона распределения давления газа
87
найдем
2	9	\
_Рс 10(
1п	гс	/
Задаваясь различными значениями г гс, подсчитаем 6Ж и
и результаты представим на рис. 57 и ниже
Задача 77
В пласте имеет место установившаяся плоскорадиальная
фильтрация газа по закону Дарси. Абсолютное давление на
контуре питания рк=9,8 МПа (100 кгс/см2), давление на забое
скважины р, = 6,86 МПа (70 кгс/см2), приведенный к атмосфер-
ному давлению и пластовой температуре объемный расход газа
QaT=8-105 м3/сут. Радиус контура питания Дк = 750 м, радиус
скважины г<_ = 0,1 м, мощность пласта h= 10 м, пористость т—
= 20%. Определить давление, скорость фильтрации и среднюю
скорость движения газа на расстоянии г = 50 м от скважины.
Ответ: р = 9,02 МПа, <£7 = 3,32-10 5 м/с; ч = 1,66-10-4 м/с.
Задача 78
Определить расстояние г' от возмущающей газовой скважи-
ны до точки пласта, в которой давление равно среднеарифмети-
ческому от забойного давления рс = 70 кгс/см2 и давления на
контуре питания рк=100 кгс/см2. Расстояние до контура пита-
ния /?к=1000 м, радиус скважины гс = 10 см
Ответ: г' = 6,76 м.
3 адача 79
Определить объемный приведенный к атмосферному давле
нию и массовый дебиты совершенной газовой скважины, считая,
что фильтрация происходит по закону Дарси, если мощность
пласта /i=25 м, коэффициент проницаемости пласта Л = 250 мД
динамический коэффициент вязкости газа ц = 0,014 мПа-с
88
плотность газа в нормальных условиях рат=0,650 кг/м3, радиус
скважины г(;= 0,1 м, расстояние до контура питания /?, =900 м,
абсолютные давления на забое скважины /ж = 2.94 МПа и на
контуре питания рь=3.92 МПа. газ считать идеальным
Ответ: Qm = 607 т сут; QaT = 0,935 - 10е м3/сут.
Задача 80
Известно, что в таете происходит установившаяся плоско-
радиальная фильтрация газа по закону Дарси. Радиус контура
питания /?к=1000 м, радиус скважины гс = 0,1 м, абсолютное
давление газа на контуре питания рк=100 кгс/см2, давление на
забое скважины р,. = 92 кгсФм2 Определить средневзвешенное
по объему пласта давление р.
Решение. При установившейся плоскорадиальной фильтрации
газа по закону Дарси давление в каждой точке пласта опреде-
ляется по формуле
Для нахождения средневзвешенного пластового давления га-
за р выделим на расстоянии г от скважины кольцевой элемент
пласта шириной аг. Объем порового пространства этого элемен-
та равен
dfi = 2nrhdrm.
Объем порового пространства всег пласта равен
Давление
Q = л (7?к — о) hm.
Если правую и левую части полученного равенства разделим
на рк и введем обозначения g=p/pK и е=Рс/Рк> " получим
\ __________________
? = _£_ =_?__[ Г 1------In  rdr
Р*	Z-rMl	г
F
'с
«9
Заменим
х =
1 — е2

тогда
Если |xl <1. то У1—х можно разложить в ряд
Известно, что
(1 х)2	1±-U--------|--хг4--1-х3-
2	8	~ 16
Разложим } 1— х в ряд, удержав первые два члена ряда
1 [нтегрируя, подставляя пределы и пренебрегая членами, со-
держащими г2, получим
Подсчитаем среднее пластовое давление по данным задачи
= 1 — 0,0042 — 0,9958,
откуда р=0,9958-100 = 99,58 кгс/см2
Как видно, при установившейся плоскорадиальной фитьтра-
ции газа средневзвешенное пластовое давление р близко к кон
турному давлению
90
Задача 81
Показать, что при установившемся прямолинейно-параллель
ном движении газа в пористой среде в условиях напорного ре-
жима распределение давления в пласте не описывается зако-
ном фильтрации, выраженным в виде одночленной степенной
формулы вида (II 11).
Решение. Из принципа однородности размерностей следует,
что
-—1 3—п п—2 1 — п	, . —
W = Г---‘-KI— I П k 2п р п р п (-— \ ,
L f("О J	\ dx /
уде х— координата, взятая вдоль линии тока по движению । аза
Отсюда массовый расход
-—- 3—п п—2	—
- ртат = [- е“Р- У £ 2” р ” to < ^~~У
L / (м) 1	\ ах J
Обозначив
п—1	__
А = Г -ReKP 1 " /:т р~ и
L Кт) J
и введя функцию Лейбензона
Р J pdp С,
получим дифференциальное уравнение
Qm~~ \ dX ) ’
откуда
dP = — fУ dx.
\Л/
Проинтегрировав полученное уравнение с мчетом граничных
условий
х 0; Р= РК; X Г. Р - Рг;
₽к	о	I
t dP=- У f dx =	| dx,
p	'	1 I	0
получим
PK-P? (QmlAyP
откуда
91
Интегрируя по х от 0 до х и по Р от Р до Р. получим
P = PK-(Qm/A)nX,
или
р р _______ В к	Р
1 г к
I
Переходя от функции Лейбензона к давлению, получим
окончасельно закон распределения давления
Рк-Рг
------х,
I
нс зависящий от значения характеризующего закон фильтра
НИИ.
р- - Pl
Задача 82
Найти коэффициенты А и В уравнения индикаторной кривой
по данным испытания газовой скважины, приведенным в габл.З.
Таблица 3
1	‘	см2	кгс см1	0ат, тыс. м’/сут
1	95,3	94,5	85,52
2	95,3	92	210.75
3	95,3	СП - , □	251,21
Возьмем уравнение индикаторной линии в виде
Решение.
двучленной формулы (VIII 26)
АР2 = Д(?ат -4- 7?Q“T,
где
ар2 р1~
и перепишем его в виде
= А + BQar.
чат
Коэффициенты Д и В найдем по способу наименьших квад-
ратов, для чего подсчитаем значения Др2, Др2/<2ат, Qaj и их
суммы и результаты занесем в табл 4.
ЕДр2 1841;	= 8,97-10—3,
Qaj
£(& = 11,48-IO10.
92
Таблица 1
i	/• КГС az>'. 	 ' CMI 2	)	/кгс ; 	 | сут Др2 ' см2	Q*j . м»/сут»
			О	м3 * ^ат	
1	151,8		1,775 IO—»	7,314 10’
2	617,1		2.928 10-?	4,442 1010
3	1071,8		4,267-10-3	6,311-Ю10
Кроме того, найдем
SQa, — 5,475-10s м3/сут
и
(SQaT)2 = 29,97- Ю10 м«/сут2.
Обозначим через х, и уг значения QaT и Ap-/QaT при I то и
замере. Для каждого замера мы имеем уравнение
у( = А + Вх(.	(VIII.28)
Сложив почленно уравнения (VIII.28) для 1=1, 2, п (где
п — число испытаний), получим
п	п
Уу^пА+В^х,.	(VIH.29)
I I	1 -1
Умножим правую и левую части уравнения (VIII.28) на х,
xtyt - Ах^Вх?
и просуммируем полученные уравнения
у Х(1/{ = Л У 4- У 4	(VIII. 30)
/=i rSi
Система уравнений (VIII 29) и (VIII.30) служит для определе
ния неизвестных А и В, которые найдем по формулам Крамера
Sz/f Sxf
^xtyi ^4
п Sjq
I п У-Ус ।
I Sxt- I
n Sxj
Sxr Lx-
Sf/iSx2 — SxfSrr^
n^xtyt —
93
Учитывая, что

xtyt = (Др2),:,
получим формулы для А и В в виде
VAp2
SQfT- SQnrSAp2
у| _ -*«« Ч/ат_____________
nSQ2T = (SQar)2
Ар2
nW2 -2QiTS—
ю __ ч/ат
nSQ*-(2QST)2
Подставляя исходные данные, найдем численные значения
А и В
д 8,97 10* 11,48 IQio — 1841-5,475 10а	2,2-10
3 11,48 IO20 — 29,97.10“	4,48-Ю10
— 4,92 10—4 (кгс/см2)2 • сут/м3,
р 3 1841 —5,475 105-8.97-10-з	611 1А 1П
п ----------------------------- ------- 1и
3 11,48 1010	29,97 10“	1,48
— 1,36-10~8 (кгс см2)2-(сут/м3)2.
Задача 83
Природный газ имеет следующий состав:
Компонент	Метан	М 5	Пропан	1 Изобутан	Н-бутан	CD Е С со	Н пентан 	1	Г ексан
Содержание, об % . . .	86 02	70	4,26	0,57	0,87	о,н	0,14	0,33
Определить дебит Qai газовой скважины, учитывая свстства
реального газа, и сравнить его с дебитом Q'ar для идеадного
газа.
При решении использовать график зависимости коэффииен-
га сверхсжимаемости z от приведенных температуры к Явле-
ния и график зависимости динамического коэффициента вяз-
кости р от давления и плотности газа при температуре паста
= 38' С.
Статическое давление на забое скважины, принимаем? за
контурное, рк=!50 кгс/см2, динамическое — р, =100 кт см2,
коэффициент проницаемости /г = 0,1 Д, мощность пласт; й =
94
= 10 м, радиус нсонтура области дренирования км, радиус
скважины ге = 10) см.
Решение. Прш линейной фильтрации и установившемся .ви-
жении газа массовый дебит скважины определяется по формуле
Дарси
=2лгЛр —(VIII.31)
р dr
Интегрируя и учитывая, что р и р яв шются функциями дав-
ления, получим
Q,„	<VIII-32)
In (Ryjr^ .J p
Pc
Из уравнения состояния реального газа р p=zRT имеем
-Р. = —Р... ..	(VIII.33)
р [izRT
Подставляя в интеграл (VIII. 32) выражение (VIII.33). за-
пишем
рк	рк
\ — dp J_ f PdP- .
p P RT J p (p) z (p)
₽c	Pc
Для того чтобы найти численное значение интеграла, раз-
биваем диапазон изменения давления на шесть интервалов и
аппроксимируем шнтеграт
f	Р*Р	V	;	(VHI.34).
J р I р) z (п)	2	ZiHt
рс	t=i
здесь р ' и pt'-—крайние значения давлений в f-том интервале;
2, и р. — значения коэффициента сверхсжимаемости z(p) в
динамического коэффициента вязкости ц(р) при давлении pt—
— (Р/ + Р 2.
С учетом выражения (VI 11.34) получим формулу для деби-
та в виде
6	/ '42	/_*\2
Л	nkh
ZzPr
(VHI.35)
Значения г, определим из графика z=z(p,, Тг). для чего
найдем приведенные давление и температуру в каждом интер-
вале по формулам
Pr Р Рср.«р>
тг = 77ДСркр’
95
Учитывая, что
Х1 ' - (Сат)и
х(у{ = (Др2),,
получим формулы для .1 и В в виде
А
Ар2 >
SQi.-2QaTW
Ча г
-(SQaJ*
\р2
nSbpi _-SQaT 2-^-
_______________ Чат
»2(2я2т - (2QaT)2
Подставляя исходные данные, найдем численные значения
А и В
А 8,97 10-8-11,48-lQi°— 1841 5,475 105	2,2-Ю7
3 11,48 10™—29,97 1010	4,48-101»
4,92-10-4 (кгс/см2)2 • сут/м3,
D 3 1841 —5,475 105-8,97-Ю-s	611
в —-------------------------------------- • ]()—10 =
3 11,48-1010	29,97 10’"	4.48
1,36-10_8 (кгс/см2)2-(сут/м3)2.
Задача 83
Природный газ имеет следующий состав:
Компонент	Метан	Этан	Пропан	Изобутан	Н-бутан		X с с о 5	Н пет ан	Гексан
Содержание, об % . . ,	86,02	7,70	4,26	0,57	0,87	0	и	0.14	0.33
Определить дебит QaT газовой скважины, учитывая свойства
реального газа, и сравнить его с дебитом Q'^ для идеального
газа.
При решении использовать график зависимости коэффициен-
та сверхсжимаемости z от приведенных температуры и давле-
ния и график зависимости динамического коэффициента вяз-
кости |т от давления и плотности газа при температуре пласта
/=38 С.
Статическое давление на забое скважины, принимаемое за
контурное, ph=150 кгс/см2, динамическое — рс=100 кгс/см2,
коэффициент проницаемости /? = 0,1 Д, мощность пласта h =
94
= 10 м. радиус контура области дренирования 7?н=1 км, радиус
скважины г, =10 см.
Решение. При линейной фильтрации и установившемся
жении газа массовый дебит скважины определяется по формуле
Дарси
Qm = Kirhp —	.	(VIII.31)
ц dr
Интегрируя и учитывая, что р и р являются функциями дав-
ления. получим
"к
f ~dp-	(VIH.32)
In (RK/rr) p
Из уравнения состояния реального
Р Р
[л	[izRT
газа pip=-zRT имеем
(VIII.33)
Подставляя в интеграл (VIII 32)
выражение (VIII.33), за-
пишем
рк	рк
\ — dp __L f PdP
p	RT J p (p) г (p)
Pc.
Для того чтобы найти численное значение интеграла, раз-
биваем диапазон изменения давления на шесть интервалов и
аппроксимируем интеграл
- Ду И2-РУ ;	(VIII.341
J р (р) Z (р)	2	Zipt
‘ 1
здесь ри р,"—крайние значения давлений в j-том интервале:
2, и р? —значения коэффициента сверхсжимаемости z(p) и
динамического коэффициента вязкости р(р) при давлении рг -
= (р,'+р/')/2.
С учетом выражения (VIII.34) получим формулу для деби-
та в виде
Qm -------Я/г\—У! ~	 (VIII.35)
RT In —	z‘Il£
rc
Значения zt- определим из графика z = z(p;, Т,), для чего
найдем приведенные давление и температуру в каждом интер-
вале по формулам
Рг Р Рср.кр>
тг т т
ср кр»
95
где
П - ^П!РкУ. I
^ср.кр —	>
—flj
2п,Ткь ;
<р	J КР 7
'сркр —	v„,
। rij — объемное (молярное) содержание /-го компонента в газе
(табл. 5), 5п;= 100.
Таблица 5
Компонент	Содержание комли- цента, об %	Критическая темпе- ратура Гкр. / . К	Критическое давне - НИР рКр. у, кгс/см»	О о м sT	001 !d*dlu	Плотность по позлу-	<П>|. и
Метан	86,02	190,5	45,8	163,870	39,400	0,5538	0,4770
Этан	7,70	305,2	48,8	23,700	3,700	1,0381	0,0800
Пропан	4,26	370.2	42.0	15,762	1,789	1,5222	0,0649
Изобутан	0.57	406,7	37,0	2,328	0,211	2,0000	0,0114
Н-бутан	0,87	425,0	37,47	3,700	0,325	2,0000	0,0174
Изопентан	0,11	461,0	32,9	0,507	0,036	2,4800	0,0027
Н-пентан	0,14	470 4	33,0	0,Ь58	0,046	2,4800	0,0035
Тек сан	0.33	507, 1	30,0	1,672	0 099	2,9650	0,0098
По данным табл. 5
Рср.кр 45,69 кгс/см2, Тср кр = 222,2 К,
™	273 -f38 j .
г ' 222,2
Относительную плотность газа по воздуху определяем по
данным последней графы табл. 5.
(7=2-^ =0,667.
Значения р, найдем по графику зависимости р, от относи-
тельной плотности газа р = 0,667 и от давления при £ = 38° С
(см рис. 56).
Определим члены суммы, входящей в выражение (\ III 35)
(табл. 6).
у (/-У ' _ 991300
гм
Приведенный к атмосферному давлению объемный дебит
реального газа равен
Qm	Qm^ar R1
Ч т
Рат	Рат
96
Т а Г> л и ц а
i // . 1.1 c/l> р кгч СМ1 (м (дЛ (кгс/см2)® pf. кгс/см2 Р *Pt/Pcp. кр г1 Ч(. сП (<Г (кге/см* р/сП
1	150	ИО	2900	145	3 18	0,710	0,019	215 000
2	140	130	2700	135	2,96	Ц.715	0,018	210 000
3	130	120	2500	125	2,74	0,720	0,017	204 000
4	120	110	2300	115	2,52	0,730	0,017	185 000
5	ПО	105	1075	107,5	2,35	0,735	0,016	91 300
6	105	100	1025	102 5	2,24	0 745	0,016	86 000
Так как с.,т = 1 то
nkh уч (pJ2 (pJ2
OdT In L	2,Щ
I I
3,14 0,1 103-991 300-86 400
1000
1,033 In------- 10е
0 1
= 2,83- 106 м3/сут.
Считая газ идеальным и принимая вязкость р = 0,0175 сП
(значение соответствующее среднему значению давления газа
в пласте р= (100+150, 2=125 кгс cW), получим
QdT
Д^О'к "Ре)
ратЦ ^к/ Ге
. 1,01 1Q3 (150-' 1008) 86 400
1000
1,033 0,0175 In-------- 106
О 1
2.05- 10вМ3 CAT
Как видно из полученных данных, условия^ рассматривае-
мой здачи дебит скважины с учетом (сальных свойств "'зг
больше дебита идеального газа на 28
Задача 84
В пласте происходил плоскорадиальная установившаяся
фильтрация газа по закону Дарси. Найти распределение дас-
тения в пласте с учетом реальных свойств газа.
Состав газа приведен в условии задачи 83, давление на кон-
туре питания рк = 150 кгс/см-, давление на забое скважины р =
= 100 кгс/см2, радиус контора питания 7^ = 1000 м, радиус сква
Жины гс = 0,1 м, температура га в пласте 1 = 38° С коэффици-
ент проницаемости пласта k = 0,1 Д, мощность пласта /г = 10 м.
4 Зак. 1-19G	97
Решение. Для проскорадиалыюй фильтрации реального
газа пи закону Дарси массовый дебит равен
-А(VIII 36)
И(р) dr
Из уравнения состояния реального газа р;'р=г(р, Т)Н
найдем зависимость о от р
р ----Р---.
г(р. T)RT
При атмосферном давлении
2 (Ра,, Л I
И
' читывал последнее равенство, найдем
р . - _ Р_ .
г (Р, Т', р„
Подставляя значение р в дифференциальное уравнение
(VIII 36), разделяя переменные и интегрируя по р от р до р
и по г от г до /?,. получим
дачи 83, найдем значения
Рис '>	подынтегральной функции
р_____
г (Р. Т) р (р. Г)
при и мпературе 7 = 273’г 38	311 К (тцбл 7) и построй'! ее
график (рис. 58).
98
Таблица 7
КГС см1	Z(lPf)	U/tpp. сП	Р( кгс/си*
			г, И,	сП
150	0,708	0,019	1.115 10*
145	0,710	0,019	1,072 16*
1 15	0,715	0,01g	J ,048 10»
125	0,720	0.017	1 02 10*
115	0,7,30	0,017	0,928 1<>*
107,5	0,735	0,016	0 015 10*
102,5	0,745	0,016	0,862 10*
100	0,750	0,016	0,835-10'
Задаваясь различными значениями р
(100
кгс
ГМ2
150
кгс.
см!
подсчитаем значения
pdp
zp
как площади, заключенной между
латами р=р и р = р, (габл. 8)
кривой, осью абсцисс и орди-
Таблица й
кгс р. 	 см*	Рк Г pdp J гм Р	-4-	<к Г	Г, м
150	0		1	1000
1 10	1 .092 10»	0.881	7,60	132
130	2.14 10*	1,725	53,1	18.8
120	3.14-10»	2,54	346	2.89
110	4,08 10’	3.30	2000	0.5
105	4,53 10»	3,66	4570	0,219
100	4 96 10»	4,00	10000	0 1
4*	99
Зная из задачи 83, что QaT = 2 83 • 1 (Iе m3/cvt = 32.75 м. с. на-
ходим значения 1g — .
Г
lg ----------2^kh— г _pdp_ = П 806.1f). pdp
Г	QarPaT 2-3 .1 zii	’	,1 ZU
p	p '
и nd ним отношении /?ь г и расстояния г (см табл 8). На
рис, 59 приведен график зависимости р о" Iglr г.) по данные
,абл 8
Задача 85
Определить приведенный дебит газовой скважины, если при-
родный газ имеет следующий состав (табл 9).
Таблица 9
Компонент	Содержание компонента п., об %	гкр. /. К	Ркр кгс см2	Плотность по воздуху О/
Метан	83,19	190,5	-45,8	0,5538
Этан	8,48	305	48,8	; .03.8
Пропан	4.37	370	42.0	1.522
Бутан	5 44	425	37,5	2
Более тяжелые фракции	1,53	461	32,9	2.4s
Давление на контуре питания рк = 100—, давление на забое
см2
скважины рс = 50х—, проницаемость тласта £ = 0,12 Д. мощ-
см2
ность пласта /г 8 м, радиус контура питания /?ь = 75О м, радиус
скважины гс = 10 см, температура пласта 7 = 38 С.
Указание. При решении восполь оваться методикой з, |чи 83.
Отчет. фат 1.77 • 10° и3 сут
Задача 86
Совершенная скважина расположена в центре кругового
пласта радиуса Rt =10 км, мощность пласта в среднем равна
£=15 м. коэффициент проницаемости £ = 400 мД, коэффициент
динамической вязкости пластовой жидкости р = 1,02 мПа>с,
коэффициент сжимаемости жидкости р;к=4.64-10"10 Па-1, дав
 нис на контуре питания pt = 11,76 МПа, забойное давление
/Л =7,35 МПа, радиу< скважины г< —0,1 м Фильтрация проис-
эдит при водонапорном режиме по закону Дарси.
Определить различие в объемном сеточном дебите i пажи
ны, подсчитанном с учетом сжимаемости жидкости и при усло-
вии, что жидкость несжимаема
100
Решение. Формуле дебита скважины с учетом сжимаемости
можно получить из формулы Дюпюи, заменяя объемный расход
О расходом Q,n, а давление р функцией Лейбензона Р
2n/,7i Рк — Рс
“7 In /?к/гс
Для жидкости, подчиняющейся закону Гука с уравнением
состояния р — poei'.1 " функция Лейбензона
('	.	С	°о1 , рп ₽ж(р—Ро> ,
Р pdp + С = рое ж dp = е ж -г С,
J	Рж
а
р ___р	[еР , (Рк-7’» _(рс Po,J .
Р?к
Раскладывая е* в ряд и ограничиваясь тремя членами раз-
ожения
(ех	1 х — +—	. . Л,
V	21	31
получим
сГ. (Рк •₽«)_ с.Рж(Рс рж(рк_рс)р + Ьь(рк + Рс_2р0)|
и
Qm --г/'Р°- f 1	-V- (Рк + Рс - 2р0)1 (Рк - рс)
. А’к L	J
g In---
г с
Давления в последней формуле абсолютные. Если положить
рл=раг, то можно записать формулу для Qm через избыточные
давления pt И Рс
Qm
2jxfe/ipaT (рк Рс}
Рк
р In —
[1+-^(Рк+Рс)].
Разность между объемным дебитом с учетом сжимаемости
и дебитом, определяемым по формуле Дюпюи, равна:
AQm	(рк — Рс) Р?к (Рк + Рс) =
Рат	pln-^-
Гс
_ 3,14 0,4 1,02-10 12 15 (11,76—7,35)-106 4,64-1Q—10 (11,76 4-7,35) Ю6 =
—	Ю4
1,02 10 3.2,31g----
0, I
0,642-10 м3/е . 5,55 м^'сут,
101
чтс составляет от дебита, определяемого по формуле Дюпюи
q 2nkh (рк - рс)
р. In--
Гс
6,280,41,0210	15 (11 ,76 - 7,35) 106 <|,8Ь4.10»
----------------------------—---------------	1245 м3 сут
104
1,02 10 1-2,3-lfi--
0,1
величину
:Q 0,00445 0,445%-
Рат
Следовательно, при установившемся режиме фильтрации
дебит можно определить по формулам для несжимаемой жид-
кости.
IX. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ГАЗИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
Если давление в пласте выше давления насыщения, то весь
газ полностью растворен в жидкости, и она ведет себя как од-
нородная. При снижении давления ниже давления насыщения
из нефти выделяются пузырьки газа. По мере приближения к
забою скважины давление падает и размеры пузырьков увели-
чиваются вследствие расширения газа и одновременно проис-
ходит выделение из нефти новых пузырьков газа Здесь мы
имеет дело фильтрацией газированной жидкости, которая
представляет собой двухфазную систему (смесь жидкости и вы-
делившегося из нефти свободного газа).
При фильтрации газированной жидкости рассматривают от-
дельш движение каждой из фаз, считая, что жидкая фаза дви-
жется в изменяющейся среде, состоящей из частиц породы и
газовых пузырьков, а газовая фаза в изменяющейся среде,
состоящей из породы и жидкости Полагая, что фильтрация
происходит по линейному закону, записывают его отдельно для
каждой фазы вводя коэффициенты фазовых проницаемостей
kK и /?г, которые меняются в пласте от точки к точке:
1йк ds
Q	(И 1)
I1 Г uS
Здесь Q/—дебит свободнее!) i аза в пластовых условиях»
Опытами Викпва и Ботсета установлено, что фазов! при
ницаемости зависят i завным образом от насыщенности порово-
го пространства жидкой фазой о. Насыщенностью о называется
отношение объема пор, занятого жидкой фазой, ко всему объему
102
пор в данном элементе пористой среды В результате опытов
построены графики зависимостей относительных фазовых про-
ницаемостей k'^k-^ik и k‘r=kTjk от насыщенности о для несце-
ментированных песков (рис. 60), для песчаников (рис 61),
известняков и доломитов (рис. 62); здесь k — абсолютная про-
ницаемость породы, определяемая из данных по фильтрации
однородной жидкости.
Рис 62
Рис. 63
В теории фильтрации газированной жидкости вводится по-
нятие газового фактора Г. равного отношению приведенного к
атмосферному давлению дебита свободного и растворенного в
жидкости га ia к дебит' жидкости
р Qr ат
(IX .2)
103
иРи установившейся фильтрации газированной жидкости
газовый фактор остается постоянным вдоль линии тока.
Гак как насыщенность является однозначной функцией дав
ления, то относительную фазовую проницаемость жидкой фазы
можно связать с давлением и построить график
(рис 63), где безразмерное давление
а
Рат £
? — р _Ei_
Уж
Назовем функцией С. А. Христиановича выражение
р <
H=\kxdp.	(IX.3)
О
Через функцию Христиановича дебит жидкой фазы записы-
вается по закону Дарси, в котором роль давления играет функ-
ция Н:
Qx = - — ^-<o(s).	(IX.4)
Уж ds
При определении дебита жидкой фазы и распределения
давления при установившемся движении газированной жидкости
справедливы все формулы, выведенные для однородной несжи-
маемой жидкости с заменой давления на функцию Христиано-
вича Например, дебит жидкой фазы газированной жидкости
скважины, находящейся в центре горизонтального кругового
пласта, определяется со1ласно формуле Дюпюи
(?ж =	-Л) ,	(1Х 5)
У-ж In--
гс
а дебит жидкой фазы галереи шириной В в пласте длиной I
равен
(?ж = —	к-~ Нг) Bh.	(IX.6)
Уж
Функция Христиановича в условиях плоскорадиальной
фильтрации газированной жидкости подчиняется логарифмиче-
скому закону распределения
Н Нк — -к ~Нс In ,	(IX.7)
1п^
гс
а при параллельно-струйной фильтрации — линейному закона
Н -г-	(IX.«)
104
При расчетах по методу Б Б Лапука значения функции
Христиановича находят следующим образом. Путем графическо-
г интегрирования строят безразмерную функцию Христиано-
вича
р*
Н* । k^dp*.
о
используя график k'^p Зависимость Н от р” представлен..'
на рис. 64 для трех значений a=S\xTl^Kp^ (7 —сс = 0,020; 2-
а = 0.015; 3 — а = 0,010). Определяю; величину с=Г — , затем
Рж
. р 13мерного дввлеми I 11 безразмерному при помощи
формулы
=	(IX.9)
Рат?
по рис. 64 находят значение Н*, соответствующее подсчитанному^
значению р'. Переходят к размерной функции Христиановича
Н	(IX. 10)
,1л । нахождения давления в некоторой точке пласта снача-
ла определяют значение функции Н по формуле (IX.7) или
(IX.8), затем, используя график зависимости Н*(р*\ (см. рис.
64). переходят к соответствующему значению давления
Отметим, что функция Хри-
стиановича зависит, кроме дав-
ления (величины переменной в
пласте), от постоянного парамет-
ра a-S — р т, где 5 — объем-
Рж
ный коэффициент растворимости
газа в жидкости.
И А. Чарным было отмечено,
что зависимость Н*(р*) соглас-
но графику (см. рис (54) в ши-
роком диапазоне значений р*
изображается почти прямой ли-
нией (при р,-/р. ^0,2), поэтому-
приближенно можно принять,
что
Н* Ар* + В (IX. 11)
и следовательно,
Н,-Н^ А(рк рс), (IX 12)
где .4 ~ 0,94 I—21,43 а
Г. Б Лихачев отмечает, что даже если давление в пласте
меняется в широких пределах, фазовая проницаемость k’ нзме-
105»
няется слабо, поэтому приближенно можно считать ее постоян
ной н равной значению фазовой проницаемости, соответствую
щей средневзвешенному давлению в пласте CBJ- При этом
^.(Рк-Рс).	(1X13)
Задача 87
В пласте имеет место фильтрация газированной нефти. Оп-
ределить, при каких насыщенностях жидкостью и газом фазо-
вая проницаемость для жидкости k-M равна фазовой проницае-
мости для газа kr. Найти величину этой фазовой проницаемо-
сти. если абсолютная проницаемость пористой среды 6=0,8Д.
Рассмотреть случаи, когда коллектор представлен несцементи-
рованным песком, песчаником, известняками и доломитами.
Указание. Воспользоваться графиками зависимостей фазо-
вых проницаемостей от насыщенности жидкостью порового про-
странства (см. рис. 60—62).
Задача 88
Через пористую среду, представленную несцементированным
песком, фильтруется газированная жидкость. Абсолютная про-
ницаемость пористой среды k -5 Д, вязкость жидкое т-i ju —
= 1 сП, вязкость 1аза цг=0,012 сП, насыщенность жидкостью
порового пространства о= 65%.
Определить фазовые проницаемости /гж и /гг; сравнить сумму
фазовых проницаемостей с абсолютной проницаемостью пористой
среды, найти отношения скоростей фильтрации жидкости и газа
wM!u>t и скоростей движения у!К1 сг.
Ответ: йж= 1,15 Д; /гг = 0,75 Д; wHt/wr = 0,0184, v-lhl'vr =
=-0,00991
Задача 89
В полосообразном пласте происходит установившаяся па
раллельно-струйпая фильтрация газированной жидкости по
закону Дарси Ширина пласта В - 600 м. длина пласта L = 3 км,
мощность h= 10 м, абсолютная проницаемость пласта k= 150 мД,
коэффициенты вязкости нефти и газа в пластовых условиях со-
ответственно равны - 1.12 мПа г, рг=0,014 мПа-c, коэффи-
циент растворимости газа в нефти 5=1,22-10	м3/.м Па,
газовый фактор Г = 350 м3 м;:. Давление на контуре питания
р„ = 14,7 МПа 1150 кгс/см2), на забое галереи поддерживается
давление рг — 10,8 МПа (110 кгс/см2).
Опредетить дебит галереи и давление в точке, расположен-
ной на расстоянии х=2,5 км от контура питания
Указание. Воспользоваться графиком зависимости функции
/У* от безразмерного давления р*.
Ответ: Qw=61 м1 сут, (Qr)aT = 21 300 мл/суг, р = 11,5 Д4Па.
106
Задача 90
В центре нефтяного пласта радиуса 7?„ = 35О м находится
эксплуатационная скважина радиуса г, —0,1 м.
В каждой точке пласта давление ниже давления насыщения,
поэтому имеет место движение газированной нефти Определить
дебиты нефти и газа, распределение давления в пласте и по-
строить индикаторную диаграмму, если давление на забое
скважины />с = 8,82 МПа (90 кгс/см2), давление на контх-рс пи-
тания pv 13,2 МПа (135 кгс/см2), абсолютная проницаемость
пласта fe = 0,l Д. мощность пласта Л = 10 м, коэффициенты вяз-
кости нефти цн=1,2 мПа-с и газа рг = 0,012 мПа-с, коэффи-
циент' растворимости газа в нефти S—1,53-10 1 м м3-Па. газо
ьый фактор Г = 400 м3'м3, ра1 = 1,01  105 Па
Зависимость №* от р* для а = 0,015 приведена ниже
р*	0	1	2	3	1	5	6	7	8	9	10
Я*	0	0,1 0,3 0,6 0.95 1,32 1,72 2,15 2,61 3,08 3,56
р*	12	14	18	20	22	24	26	28	30	32	34
Я*	4,56 5,65 7,85 9	10,18 11,36 12,56 13,76 15	16,25 17,50
Решение Дебит нефти при установившейся плоскорадиаль-
ной фильтрации газированной жидкости определим по формуле
Qu
2rtkh (Нк Нс)
Цн In------
Гс
для чего найдем значения функции Христиановича Нк и Н, при
давлениях р, и рс. Подсчитаем коэффициент a=S—рят, кото-
11н
рый является параметром при определении функции Христиа
иовича Н:
а 1,53-10	U’012 1,01-105	0,0154.
1,2
Определим значение безразмерного газового фактора
Е = -Hi- Г -°’-2-  400 4
Цн	1  2
и безразмерные давления на контуре питания н на забое сква
жины
107
По таблице зависимости между безразмерными значениями
давления р* и функции Христиановича Н при а=0,015 найдем
Д’= 16,75 и //’ = 10,06 и перейдем к размерным значениям
Hl{	H*Ktpdr 16,75 4-1,01 10» = 6,77 МПа,
Нс ЯсЧрат = 10,06 4-1,01 -Ю» 4,06 МПа.
При этом дебит нефти
п _ 6.2» 0,1 1,02 10~12 10 (6,77— 4,06) Щв
ХН --
= 1,78-10—* 6 м3с --
350
1,2-Ю-з 2,3-lg -^-р
— 154 м3/сут;
дебит газа
= Q„ Г = 154 400 Ы 600 м3 су г.
функции Христиановича в пласте определя-
Qr ат
Распределение
ется по формуле
н = нк—
I
1п--

давления получим.
Распределении
значениями г, определяя соответствующие значения Н
Рис. 65
задаваясь различными
и W*
при заданных R,, гс, //> и Нс,
и по значениям Н* — значения
р* и р Результаты расчетов при-
ведены в табл.10
Таблица 10
н*
п*
м
р. МП.',
(кгс/см*)
Н.
МПа
0 1	4,06	10,06	21,80	8,82(90)
1,0	4,83	12,00	25 07	10,1 (103)
10 0	5,60	13,85	28.00	11 ,3(115)
100,0	6.35	15,70	31,12	12,5(128)
350,0	6.77	16,75	32,80	1 2(135)
Для построения индикаторной диаграммы задаемся различ-
ными значениями р,. и для этих значений по формуле
„ 2л£/фРэт « - Я*)
хн ~
Ин In RKlrt.
6,28-0,1 1,02-10~12-10 4 1,01 10= (16,75—#’)
1,2 10“3.2.3-lg-——
6 0.1
108
= 0,264 -10-3 (16.75 — Я*) (в м3 с)
по .. Н' гаем дебаты Q (табл. 11, рис. 65).
Таблица 11
р.. .МПа (кгс/см*)		нс	9(|, м'/с}’т
12,25(125)	30,4	15,25	34,3
10.78 (110)	26,7	12.9.4	86,4
8.82 (90)	21,6	10,Пь	154,0
4,90 (50)	12,1	4,61	276.0
о,9а (Ю)	2.43	0,43	372,0
0,101 (1,03)	0,25	0,025	382,0
Задача 91
В пласте имеет место установившаяся плоскорадиальная
фи.и :рация газированной нефти по закону Дарси
Выяснить, в каком случае при заданной депрессии '\р —
= 25 кгс/см2 = 2,45 МПа и заданном газовом факторе Г=
= 200 мм будет более высокий дебит нефти, если пластовые
давления различны. 1) р,, - 9,8 МПа (100 кгс/см2). 2) р
= 4,9 МПа (50 кгс/см2). Коэффициенты вязкости нефти р -
1 мПа-c и газа рг=0,012 мПа с, коэффициент растворимости
газа н нефти S 1,73-Ю"5 м3/м3-Па.
Указание. Воспользоваться графиком зависимости И* от р*.
Ответ:
Q>K 1	"С)1 _ ] | у
Сн<* (н*к-н‘)2
3 а да ч а 9 2
Сравнить дебиты при установившейся плоскорадиальной
фильтрации газированной нефти по закону Дарси при разных
тазовых факторах и одной и той же депрессии. Отношение
р , Иг-=Ю0, коэффициент растворимости газа в нефти 5=
-1,02-10 5 м3/м3-Па, рат-9,8-104 Па, давление на контуре
питания р, ='11,76 МПа (120 кгс/см-), давление на забое сква-
жины рг = 9,8 МПа (100 кгс/см2). Газовые факторы Г, = 300 м3/м3
и Г9=600 м3/м2. Пласт представлен несцементированным пес-
ком.
Ответ: фж I Фж2=СЗ', (фг)ат 2 Qr ат I = 1,33
Следовательно, при прочих равных условиях и неизменяю-
щейся депрессии с повышением газового фактора дебит жид-
кой фазы уменьшается, а дебит газа растет.
109
Задача 93
Найт средневзвешенное по объему пористой среды шаче-
ние функции Христиановича 11 и соответствующее ему' значение
давления при установившейся плоскорадиальной фильтрации
Iазированной жидкости в пласте с радиусом R, = 1 км, если
давление на контуре питания р,.-=10,29 МПа (105 кгс/см*2),
давление на забое р, =8,33 МПа (85 кгс/см2), отношения-
Рг/Рж=0,01, коэффициент растворимости газа в нефти i’=-
— 1,02-10 м3 я3 Па, газовый фактор Г=400 mj/m3, радиус
скважины Гг = 0,1 м. Пласт представлен несцементированным
песком.
Решение. Средневзвешенное по объему пористой среды знэ
чение функции Христиановича определяется по формуле

н = — \HdQ =-----L
Mt [,, RK
. Rk г
In ——
Г.-
2rthmrdr.
Н

нс
2 1п ---
Найдем значения коэффициентов
а Л'-Рат 001,
И;к
g -	Г 4

и безразмерные давления
Pi -	26,2,
оРат
р'с	21.2.
ьРат
По графику зависимости Я* от р ; при а = 0,01 (см. рис 64)
найдем	г
Як — 11 и Нс 7,
откуда
нк = Н'к ерат = 11 • 4 -9,8  10* 4,31 МПа,
Н. Я.’^^7-4-9,8-16*	2,74 МПа
И
Я 4,31-----------4”-' -	4,23 МПа.
8,
0,1
ПО
соответствующее значение
й* = 4,23-10*
4 9,« 10*
р* 25,9 и р р^Рат: — 25,9 4-9,8-104	10,16 МПа,
Задача 94
По данным предыдущей задачи определить дебит жидкой
фазы по методу Г. Б Пыхачева и по методу И. А. Парного,
если абсолютная проницаемость пористой среды /г = 0,3 Д, мощ-
ность пласта h-8 м. динамический коэффициент вязкости нефти
р •= 1,2 мПа - с
Решение. По методу Пыхачева дебит жидкой фазы опреде-
ляется по формуле
2л/г„;/1 (рк — рс)
, RK ’
иж In --
где — фазовая проницаемость для жидкости, определяемая
по среднему давлению р. Значению р= 10,16 МПа соответствует
безразмерное давление р* = 25,9, которому отвечает относитель-
ная фазовая проницаемость ft.* =0,64 (см рис 63).
Дебит жидкости
Л 6,28 0,64 о,5 1,02 10 -12.8 1,96Д0*	2 9-10 М®/С
1000
1,2 Ю-з-2,3-lg-^-j-
= 250 м^сут.
По метод} Парного
q	2nkhA (рк — рс)
i R-
Щк In---
где А = 0,944 21,43 и = 0,944—21,43-0,01 = 0,730, Тогда
6,28-0,5-1,02 10~^ 8 0.73 1 ,96-IO6 331.IO-3 м3 С
Q
1000
1.2-10-’-2,3-lg-^Y
286 м3/суг.
X. ДВИЖЕНИЕ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ
ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
§ 1. Вытеснение нефти водой
При проеь лровании разработки нефтяных месторождений
в условиях водонапорного режима, когда нефть вытесняется
111
У
е скваЖИВН напором краевых вод. необходимо учесть стягива-
ние контура нефтеносности.
С вытеснением нефги водой приходится встречаться и при
расчетах деформации водонефгяного контакта. Аналогичные
задачи возникают и при .сплхатапии газовых месторождений
с краевой или подошвенной водой.
Предполагается, что вытеснение «поршневое^ и граница раз-
дела двух жидкостей является некоторой поверхностью. При
решении задач о вытеснении учитывается различие в вязкостях
нефти и воды. Плотности нефти и воды считаются одинако-
выми. Это дает возможность рассматривать границе раздела
. вух жидкостей вертикальной. В общем случае на границе раз-
дела ^гвух жидкостей с различными физическими свойствами
Рис. Gfi
происходит преломление ли-
ний тока. Учет этого пре
ломления и составляет i в-
ную трудность в точном реше-
нии задачи о вытеснении неф-
ти водой (или газа водой)
Линии тока не преломляются
при прямолинейно-поступа-
тельном и радиальном движе-
ниях, когда в начальный мо-
мент времени они перпендику-
лярны границе раздела. В
этих случаях получены точные
решения, в которых жидкости
(нефть, вода) принимаются
несжимаемыми, пласт гори-
зонтальным. режим пласта
водонапорным, фильтрация
происходящей по линейному
закону.
(рис. 66),
J 1ри прямолинейном движении границы раздела
когда в нача 1ьном положении она параллельна галерее,
в пласте с постоянными мощностью, пористостью и проницае-
мостью формула ля дебита галереи имеет вид
q = kllh (Рк — Рг)
p,Bs- nH(Z —s)
(X.l)
где l длина пласта; S расстояние от контура питания до
водонефгяного контакта.
И j приведенной формулы видно, что ;ебит нефти при задан-
ных постоянных значениях рв и рг возрастает при продвижении
границы раздела, если цн>Ц ,
Время вытеснения нефти водой в случае прямолинейно-
поступательного движения границы раздел: подсчитывается
по формуле
112
t - -—-—-| M(s s0)---------J- (m- |1B) (s2 - sj) ,	(X.2)
k (Рк — PA I	2
где s-„—координата, определяющая положение границы раз-
дела в начальный момент времени.
Чтобы найти время полного вытеснения нефти, нужно в фор-
муле (X 2) положить s=I
Аналогичная картина наблюдается и в условиях плоско-
радиатьной фильтрации (рш
67) В этом случае дебит оп-
ределяется по формуле
Q	Р<)-	. <Х 3)
/?к	г
нв1п ---+ рн In —
'	rQ
где г — координата, определи
югцая положение границы раз-
Рис 67	Рис Ь8
Время радиального перемещения границы от начального по-
ложения г—га (при I 0) до г находится по формуле
[	Д_ г2
t -	----(Рв,п^к —Нн1пгс)-Ц-----Р (Нн — Мв)
k (Рк — Рс) I	2
Х[К1ПГС-^ ,^lnr	(Х.4)
[\ 2	1 )	\ 2	4 JJJ
Различие вязкости нефти и воды существенно влияет как на
время извлечения нефги (газа) из пласта, так и на характер
продвижения контура водоносности.
Допустим, чю первоначальное положение водонефтяного
контакта в пласте АВ не параллельно галерее (рис. 68) Для
решения задачи о продвижении водонефтяного контакта в ка-
занных условиях используют приближенный метод «полосок»,
предложенный В. Н. Щелкачевым. Рассматривается послойное
движение частиц. Выделяют несколько узких полосок, и : пре-
делах каждой полоски рассматривают вытеснение как поршне-
вое с контуром водоносности, параллельным галерее. При усло-
вии Ци>Цв скорость точки В больше, чем скорость точки А.
отсюда можно сделать вывод, что скорость движения «водя-
113
ного языка» в наиболее вытянутой точке по мере его дни жения
к галерее (или прямолинейной цепочке скважин) растет быст-
рее, чем скорость его основания и остальной части контура водо-
носности.
§ 2. Конус подошвенной воды. Определение предельного
безводного дебита скважины
При отборе нефти (газа) из гидродинамически несовершен-
ной по степени вскрытия скважины в пласте с подошвеннгой во-
дой происходит деформация границы водонефтяного контакта.
Образующееся повышение уровня воды называется кшнусом
подошвенной воды (рис 69) При увеличении дебита конус под
нимается и при некотором предельном значении Q = QnpcjSi про-
исходит прорыв подошвенной воды в скважину. Условием! ста-
бильности конуса является равенство градиента давления на
вершине конуса удельному весу воды
(Х.5)
Методы расчета предельных безводных дебитов были пред
дожены И. А. Парным, II. Ф. Ивановым, Н С. Пискуновым,
Д. А Эфросом, Г. Дж. Мейером, О. А Гардером и др.
Н. А. Парный, сопоставляя движение нефти при наличии
конуса подошвенной воды с напорным равнодебитным двшже
нием нефти в пласте постоянной мощности h(Rt})=fin и испголь-
зуя условие стабильности конуса (Х.5), получил формулу' для
верхнего значения предельного безводного дебита в одноро дно-
анизотропном пласте, в ка/кдой точке которого значение ксоэф-
фициента проницаемости в горизонтальном направлении Лгор
114
резко отличается or значения коэффициента проницаемости
в вертикальном направлении Ад.ерт, в виде:
—	Отт /л/т	. 
Qi Qnil(h) -  „ 0 (,on - pj ghuq(h),	( .6)
где h -blhy-, q(h) безразмерный дебит.
Кривые q(h) для различных значений р = /?, х/г0 показаны
на рис 70 Здесь х = f^rcp/А’перт коэффициент, учитывающий
анизотропию пласта.
На рис. 70 приведены также графики r|niav= ——,х для рас-
Ло— Ь
чета высогы подъема конуса соответствующей Qb
Рассматривая предельный случай, в котором вершина водя-
ного конуса находится у забоя скважины, Н. Ф. Иванов вывел
приближенную формулу для предельного безводного дебита
скважины, аналогичную формуле (VI.5) дебита скважины при
безнапорном движении
Чпр —	-	.	(л./;
1	''о
р In --
Гс
Задача 95
В полосообразном п таете имеет место поршневое вытесне-
ние нефти водой. Первоначальная граница раздела вертикальна
и параллельна галерее. Длина пласта LK=5 км, длина зоны,
занятой нефтью в начальный момент, — 1 км. Динамические
коэффициенты вязкости нефти рн = 4 сП, воды ц„=1 сП. Найти
отношение дебита галереи в начальный момент эксплуатации
и дебита той же галереи, когда весь пласт заполнен нефтью.
Определить отношение времени вытеснения нефти водой и
нефти нефтью.
Ощ»т. Qh-! Qu н = 2.5, Т„ В/Тп „ = 0,325.
Задача 96
Определить время продвижения нефти от контура водонос
ности до скважины в случае плоскорадиального движения по
закону Дарси и сопоставить его со временем прохождения того
же пути водой. Определить дебит скважины в начальный мо-
мент времени и в момент обводнения. Расстояние до контхр.ч
питания /?к= 10 км, первоначальный радиус водонефтяного
контакта г(| 450 м. мощность пласта Л = 10 м, пористость пласта
гп = 20‘ коэффициент проницаемость пласта k = 0,2 Д, коэф-
фициенты вязкости нефти р„ " мПа-с, волы н, 1 мПа , ,
давление г. контуре питания	МПа 000 ю е/см2). дав-
ление н« завое скважины рс.« 6,86 МПа (J0 кгс/см*), радиус
скважины г,.=0,1 м.
115
Ответ Т=46,2 лет; Т, 12,5 лет: Очач=72,2 ма/сут; QKn„ =
= 283 м' сут.
Задача 97
Положение водонефтяного контакта в пористом пласте,
изображенном в плане на рис. 71, в начальный момент времени
показано линией ab. не параллельной галерее. Найти скорость
фильтрации в точках а и Ь.
Определить положение точки а, когда точка b достигнет
галереи. Расстояние от галереи до контора питания /,н=10 км,
расстояние от контура питания до точки а рав-
но xd-=920l) м, расстояние до точки b х/,=-9500 м, коэффи-
циенты вязкости нефти ц„ = 6 сП, воды ци= I сП, коэффициент
прон цаемости пласта k -1 Д, коэффициент пористости пласта
m - 20%, давление на контуре питания рк = 9,8 МПа
(100 кгс/см2), давление на забое галереи рг = 6,86 МПа
। ГО кгс/см2).
Решение Задач} будем решать приближенным методом по
досок, предложенным В Н. Щелкачевым. Выделим в пласте две
Рис 71
___k ( ”К - Рг)
Р|| (% “*о) • Р»Х0
узкие полоски в окрестностях то-
чек а и h и будем считать, что в
каждой из них граница раздела
нефть вода вертикальна и па-
раллельна галерее. В каждой по-
лоске перемещение границы раз-
дела будем рассчитывать по фор-
мулам для поршневого прямоли-
нейно-пара [дельного вытесне-
ния.
Найдем скорости фильтрации
в точках а и Ь.
1,02 10" о 2 /14 Ю1-
10—з-SO । -с 10 --920(1
2,12 ю-7 м'с,
fe(rK - Г,)
!‘|1 (4; — *ь) -1
1,02Ю~п-2'.°4-10*
1. 10 '3 - 50 ’	10 - • 9500
! ',0 • 10"7 м с.
Определим время, за которое точка й достигнет галереи:
Т»	-----Г	)	Р..14	Х,)2]=:
2fe (рк — рг)
------------------[10 (KJ* 9,5* 10я')-6-10	(10‘
2-1,02-10	2 94 106
0,95-104)2] -3,75-10’ с -= 11,9 лет.
Найдем положение точки а, когда точка Ь достигнет 1алереи:
116
___И»____I — х '
ла I
Р-н — рв
6
.104 —
5
2k (рк — щ) .
1,1 (Мн — Mb '
104—0,92 W4
2 1,02 10 1! 2,9410е 3 75 10-
0,2-510-3
= 9640 м.
г. е. точка а будет отстоять от галереи на 360 м и граница раз-
дела нефть—вода примет положение а'Ь'.
Задача 98
Определить предельный безводный дебит скважины, вскрыв-
шей нефтяной пласт с подошвенной водой, если /?K=2Q0 м,
радиус скважины гс = 10 см, нефтенасыщенная мощность пласта
ft0= 12 м, разность плотностей воды и нефти рв—рв = 0,398 г,'см3,
динамический коэффициент вязкости нефти |iH=2,54 сП Пласт
считать однородным по проницаемости (х = 1), &=-1Д.
Задачу решить по формуле Н. Ф. Иванова и по методу, пред-
ложенному И А Чарным при мощности вскрытой части пласта
Ь, равной 6 м и 2 м
Решение Определим предельный безводный дебит по при-
ближенной формуле Н. Ф. Иванова
.	PH)g0o &3)
И Чпр	„
1 "к
Мн'п---
гс
1.02 10-» 398 9,8 (1«-36> _	|(| ,	6	*
200
2,54-Ю-з-2,31g-уу-
По графикам И. А. Чарного (см. рис. 70) найдем §(р. ft) =
— Qnp Qot где
_	6,28 1,02 Ю"»»-144-398-9,8
Qo —у (Рв Рн)£—	2,54 10-3
= 1,425-10-3 м’/с — 123 м3/сут;
р = А. = _200_ = 16 g
Г х/1„	12
ft — = 0,5:
<7(16,6; 0,5) — 0,097, откуда фпр 0,097-123	11,95 м3/сут.
и;
2)<3.T	-14	Ч".	0,91.10 м>с-
2,54 10 ’2,3 -^-
0 1
7,85 м’/сут,
7(16,6; 0,166)	0,11, Q„p 0,14 123	17,2 м3 сут.
Как видно из расчетов, формула Н. Ф. Иванова дает резко
заниженный пределыный безводный дебит по сравнению с пре-
дельным безводным дебитом по методу И. А Чарного
Задача 99
По данным предыдущей задачи определить высот) подъема
конуса подошвенной воды по методу И. А. Чарного.
Решение
I.	Определим по графикам И. А. Чарного T]may = i/niax/(fto—b)
в зависимости от р =7?в/х/?о= 16,6 и
h b/h0	U,5;
Лтах=0,81, откуда высота подъема вершины конуса
i/mas 0,81(12 — 6)	4,86 м.
2)	f]maX(16.6; 0.167) = 0,7,
//,гаах- 0,7(12-2)	7 м.
Задача 100
Определить предельно допустимую депрессию при отборе
нефти из скважины, вскрывающей пласт с подошвенной водой
на глубину fe=12,5 м. Мощность нефтеносной части пласта в от-
далении от скважины ftn = 50 м. проницаемость пласта £ = 0,5 Д,
плотность воды рв=1 г/см3, плотность нефти рн=0,7 г/см3, дина-
мический коэффициент вязкости нефти рн = 2 сП, расстояние до
контура питания R ==200 м, диаметр скважины dc = 21,9 см,
ПЛаСТ СЧИТаТЬ ИЗОТрОПШЫМ (Х = £Гир/^верт = 1) 
Решение По методу И А. Чарного определим приближенное
значение предельного безводного дебита нефти
Qi = Qo<7 (h, р),
где
Рн) ё 6,28 0,5 1,02 1 0- 12-25-102 300 9,8
(J g	------------------------------
Мн	2-ю 3
= 1,175-10- м3/с.
h-- —	2_Д_	0 25,
/гп 5
x/t0 50
lit
По графику зависимости q от р и h (см. рис. 70) при значе-
нии р = 4 и h = 0,25 получаем
9(0.25; 4)	0,173
и
Qi 1,175-10-2-0,173	2,04-10_3 м3/с
Предельно допустимую депрессию найдем из решения Мас-
кета о притоке к скважине гидродинамически несовершенной
по степени вскрытия
2nkh
(1|	4 50 Т	200 ।
2.04 10	2 10	------ 4,61g----— 4,6 -t-2.3 1g-—
______________>2 0,25 L 0,109 J	4 50 J
2 3.14 0,5 1.02 10 12-50
0,529 МПа,
здесь значение, функции <р(й) = <р(0,25) =4,6 (см рис. 34).
XI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ жидкости
И ГАЗА В ДЕФОРМИРУЕМОМ ТРЕЩИНОВАТОМ
ПЛАСТЕ
§ 1. Основные характеристики
Различают чисто трещиноватые и трещиновато-пористые
коллекторы Если в первых движение жидкости и газа проис-
ходит только по трещинам, то во вторых в трещинах и по-
ристых блоках, расположенных между трещинами. Трещино-
вато-пористую среду рассматривают как совокупность двух
разномасштабных пористых сред первая среда, в которой по-
ровыми каналами служат трещины, а пористые блоки между
ними зернами породы, характеризуется своей пористостью тт
и проницаемостью йт, вторая среда — система пористых блоков,
характеризуется своей пористостью т„ и проницаемостью йп-
Пористость /пт и проницаемость fe, чисто трещиноватых пла-
стов определяются густотой трещин Г, геометрией систем тре-
щин в породе и их средним раскрытием 6.
Густотой трещин Г называется число трещин приходящееся
на единицу длины секущей, нормальной к поверхностям, обра-
зующим трещины
Пористость тт свя sana с густотой трещин и средним их рас-
крытием соотношением
тт 6Гб,	(XI. 1)
где fi коэффициент, учитывающий геометрию систем трещин
и принимающий значения Кб 3.
119
Коэффициент проницаемости изотропного трещиноватого
пласта выражается через густоту трещин и их среднее pacKpj
тис соотношением
- (Х1
12	12	'	
Если считан., что и зменение раскрытия трещин при измене,
нии пластового давления определяется упругими деформациями
в трещиноватом пласте и описывается формулой
6 —60 —AtS 60| j — ₽(рр —p)J.	(XI.3)
то коэффициент проницаемости Ю в таком пласте в соответст
вии с формулой (XI.2)
/гт /гт0[1 Р(р0 р)]3,	(XI i
где раскрытие трещины при давлении рР; р = рт/б9 — комп
лексный параметр трещиноватой среды; рт = (1 — 2о) Е - упру
гая константа; о — коэффициент Пуассона; Е — модуль Юнг,.,
породы; I — среднее расстояние между трещинами.
При малых изменениях давления зависимость коэффициент
проницаемости от давления можно считать линейной
&гоП г^(ри— р)Е	(XI.
1де а = 3р.
Некоторые авторы представляют зависимость коэффициента
проницаемости трещиноватого пласта от давления в виде экс-
поненциальной функции
k.t -/гтое	(XI.6
При рассмотрении фильтрации в трешиновато-пористом
пласте обычно считают, что коэффициент проницаемое!и тре-
щин /гт существенно зависит от давления и определяется одной
из указанных формул, а коэффициент проницаемости пористых
блоков /у, практически не зависит от давления и принимается
постоянным
§ 2. Установившаяся плоскорадиальная фильтрация
жидкости и газа в трещиноватом пласте
Принимая зависимость от давления по формуле (XI.5) и
считая вязкость жидкости постоянной, получим выражения для
дебита
2.тА.’Т()/г (рк — рс) |1 — — (рк — рс)
И In RK/rc
(XI. 7)
и распределения давления
120
(XI.8)
Если зависимость коэффициента проницаемости /гт от давления
>брать в виде (XI.4), то дебит
давление
р --Рн
nfeTOh{l _[1-Р(рк-рс)ф}
2(ф In RJrc
1	,	\ hi RJr
1-J
p
(XI.9)
(XI 10)
а закон движения частицы жидкости вдоль траектории описы-
вается формулой
2mT (rg - Н) In RK/rc	/XI 1П
*т0(1-[1 ₽(рк ре)14} •	1	’
где г0 координата точки в начальный момент времени (f=0).
Решение задачи об установившейся плоскорадиальной филь-
трации идеального газа в деформируемом трещиноватом пласте
при выполнении зависимости (XI.4) приводил к формуле при-
веденного к атмосферному давлению объемного дебита газа
----ЛД------(	р _	4
*аг 2цРрат1п/?кЛс I
__[1—(1	р(Рн pjh}.
эр	1
(XI. 12)
Для того чтобы найти распределение давления в пласте при
известном Qut, можно, записав (XI.12) в виде
Qa, 9 в Д°-р—{1Рк РО 0(Рк-Р))*1-
2ц₽РаГ In RK/r I
-^П-О-НРк р))51|.	(Xi-13)
эр	1
задаваться рядом шачений p<pv и находить по (XI.13) соот-
ветствующие значения г.
Задача 101
Определить значения коэффициента проницаемости дефор-
мируемого трещиноватого пласта при разных давлениях, пола-
гая, что коэффициент проницаемости
121
]) является линейной функцией давления
k. =ЛтП[1 а(Рр —р)],	(XI. II)
где <i - реологическая постоянная трещиноватой среды,
2) определяется формулой
К Ml ₽(Ро-Р)13.	1X1.15)
где а связана с комплексным параметром [5 соотношением
ч Зр,
3) меняется по закону экспоненты
k, - krOc Hp.-PI,	(XI. 16)
Принять следующие исходные данные: о = 0,25, Е 10’° 11/м2
Г 0,1 м, Р = 1и0 мкм, fcT0=50 мД, ро=3- Ю7 Н/м2.
Рассмотреть следующие случаи: р = 29 МПа: 25 МПа
20 МПа; 10 МПа.
Решение Найдем параметры, характеризующие трещинова
гую среду:
|3	_!--<-20,25 О,5Ю'ом2Н,
1 Е	10*"
Р р(2_	0,5-10 7 м2П,
•%
а Зр 1.5-10 м2Н.
Результаты вычислений по формулам (XI 14)- (XI 16) све
дены в габл. 12.
Таблица 12
*т, «Д	р. МПа			
	29	25	20	10
Mol1 а(Ро г)1	12.5	12,5	—	—
*то!< Й (Ро Р)Р	42.8	21.1	6,25	—
feTOe а<*>-	43,0	23,6	11,15	2.49
Из таб 1ицы видно, что при малых депрессиях значения
коэффициента проницаемости трещиноватого пласта по всем
трем формулам практически одинаковы.
При линейной и кубической зависимостях проницаемости от
депрессии суще, лугi предельное тначсние депрессии, при кото-
рой для тайных значений аир коэффициент становится
равным нулю, что соответствует полному смыканию трещин.
В действительности, за счет шероховатостей стенок трещины по-
следние всегда будут иметь некоторую незначительную ост:
тоннею проницаемость. В рассматриваемой задаче в с. г.
чае (XI 14)
122
(р„ Р)п] д~~~-------рг 6,67-106 Н м- (66,7 кгс см2);
г. случае (XI. 15)
(Ро Р)пр. ( V  10' Н м2 (200 КГС см2),
р
Точность определения проницаемости по (XI. 14) и (XI 15)
естественно уменьшается при приближении депрессии к пре-
дельным значениям.
Задача 102
Принимая зависимость коэффициента проницаемости греши-
новатого пласта от давления в виде kr -/cToi 1 Р(рк р)Р. опре-
делить дебит совершенной скважины при фильтрации однород-
ной несжимаемой жидкости в деформируемом трещиноватом
пласте по закону Дарси, если мощность пласта h = 50 м, £то=
30 мД, динамический коэффициен* вязкости нефти р 2 сП.
параметр трещиноватой среды р = 0.005 10 м2 Н, расстояние
до контура питания /?к = 1 км, радиус скважины гс = 0,1 м. дав-
ление на контуре питания р,г = 3 107 Нм2. давление на забое
скважины р, = 2.5-107 Нм2. Сопоставить полученное значение
дебита Q с дебитом Q, той же скважины, пренебрегая деформа-
цией пласта.
Ответ Q 151 м3,’сут; Q Qi~ 151 : 222 -0,63.
Задача 103
Определить время отбора жидкости из скважины, располо-
женной в центре трещинова юго пласта из зоны гн = 200 м при
заданной разности давтений \р=р., р, =-2,'> МПа, считая, что
коэффициент трещинной пористости т - Г ,. радиус скважины
г, -0,1 м, динамический коэффициент вязкости жидкости р
= 1 П, параметр трешинсзатои среды |3 0.75-10 7 .м2, Н, коэф-
фициент проницаемости при р„ равен krt .= 10 мД
Ответ: * = 937 су г.
Задача 1Г|4
Построить индикаторные кривые при фильтрации несжимае-
мой жидкости в деформируемом трещиноватом пласте для экс-
плуатационной и нагнетат тьной скважин, принимая зависи-
мость коэффициента трещинной проницаемости от давления
в виде:
a) k	Ar(1[l	/?)].
б» k.r	/',п|1	р(/?„ р)Д
Принять следующие данные коэффициент трещинной про
ницаемости (при /’, = /’ ) &тв = 25 мД, мощность пласта й=30м,
динамический коэффициент вя кости р 1,5 иП. -с, отношение
Д’, г,=1и\ нала тьное птлстпвое давление р,=2(,’ МПа, комп-
123
лексный параметр трещиноватого пласта р = 0,002-10 и2/Н
Решение. Для случая а) формула дебита эксплуатационной
скважины записывается в виде
2.nfeTOh (рк Рс) [ 1 — (рк — рс)~]
----------------------------•
Р In /?к,тс
где и 3^=0,006-10 м2/Н
Подставляя данные, получим
Q 6,2б 0,025 10 ~13 30 (рк — рс) 11 — 3-10~ч (рк р )|	=
ЧэкС	1,5 10-3.2,3.5
= 2,36-10 (рк — рс)[1	3-10-3(рк рс)| в м3сут.
Для случая б)
=	{1~[1	Р<Рк-Рс)]4} =
2рР In RKlrc
= 3-14 30 °'025 10 IJ ц _ ц _2. ю-й (Рк _Р )]»}0,864.10s
2 1 ,510-з.2.10-й 2,3 5	с' 1
294{1 — [1 —2-10-s(pK —рс)]4} в м3/сут.
Задаваясь различными значениями депрессии, подсчитаем
соответствующие дебиты и результаты сведем в табл. 13 и по-
строим графики (рис. 72).
Таблица 13
Рк-Рс, МН V2	Сэке’ М’/«УТ		<?н . м3/сут	
	•)	б)	»)	б)
0,5	11,6	11,5	12 0	11,76
1,0	22,9	22,9	24,3	24, (
2,0	44,4	44,4	50,0	49,а
3,0	64,2	64,2	77,2	77,0
4 0	83,0	83,5	105,7	105.8
5,0	100,0	101,0	'35,7	136.4
7,0	131,0	133,0	200,0	203,0
10,0	165,0	173,0	307,0	316,0
скважины в
случае а)
дебит опреде-
Для нагнетательной
лится по формуле
С4	1
2л^т0Д (рс — рк) | 1 -| — (Рс — Рк) I
-----------Н—---------------J=2,36.10^(pc-pK)
II 1П < \ [<‘ с
[1	3-10-8(рс — рк)] в м’/сут.
124
Р . 73
В случае б)
q..	{' п ₽(р0- Рк)п
2.ЧР 1п ₽к. ГС
294 {1	[1 + 2-10 л(Рг pjl1} в м'/сут.
Значения дебитов нагнетательной скважины и соответствх ю-
u не депрессии приве (ены в табл 13 и на рис. 73.
Как показывают результаты расчетов (см. габл. 13
и рис. 72. 73), в случае эксплуатационной скважины индикатор-
ная линия имеет выпуклость к оси дебитов, а для нагнетатель-
ной к оси депрессий. Дебит (приемистость) нагнетательной
скважины увеличивается при возрастании депрессии в большей
степени, чем дебит эксплуатационной скважины (сравни цеби
ты QJb( и Q„ при рк—Р< =0.5 МПа и 10 МПа). Это объяс-
няется тем, что при поступлении воды в пласт давление увели
чивается, в результате чего происходит раскрытие грешин и
растет проницаемость пласта.
Задача 105
Сравнить давления при пчоскорадиальной фильтрации не-
сжимаемой жидкости по закону Дарси на расстояниях г = 2; 10;
100 и 500 м от оси скважины в случаях чист трещиноватого
и пористого коллекторов. Принять следующие расчетные дан-
nt  давление на контуре питания 20 МПа (204 кгс/см2).
давление на забое скважины р, 17 МПа (173 кгс/см2), рагиус
конт\ра питания /?,	1500 м, радиус скважины г, 0,1 м, комп
лексный параметр трещиноватой среды [3=0,8-10' м- Н
Указание При решении задачи считать, что зависимость
коэффициента проницаемости kT о тавлепия опретеляется фор-
мулой (XI.4), а пористый коллектор недеформируемый.
Ответ (табл 1 I)
Таблиц* 14
Давление в пласте. .МПа	Г, м			
	2	10	100	500
I решиипватом Пористом	18.22 17,94	18.73 18.44	19,36 19,16	19,75 19,66
Задача 106
Определить приведенный к атмосферномх давлению объем-
ный дебит газозой скважины при установившейся плоско-
радиальной фильтрации газа в деформируемом трещиноватом
пласте по закону Дарси, принимая зависимость коэффициента
проницаемости k- от давления в виде (XI.4), если давление на
। рс питания р,;= 15 МПа (153 кгс/см2). давление на
скважины р =13 МПа (133 кгс/см-» при начальном пласто-
126
вом давлении feT0 = 20 мД, коэффициент вязкости газа
ц=0,012 мПа-c, комплексный параметр трещиноватого гаст;
(3 = 0.5-10 7 м2, Н, атмосферное давление р,1Г = 10' Па, мощ-
ность пласта /т=10 м, радиус контура питания R 750 м,
радиус скважины г, —0,1 м. Газ считать идеальным
Ответ QdT = 250 тыс
XII. НЕУСТЛНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ
ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
§ 1. Основные определения
При пуске скважин в эксплх атацггю, при остановке их, при
к вменении темпа добычи жидкости и скважин в таете возни
кают неу становившиеся процессы, которые проявляются в пере
ратпределении пластового давления (в падении или росте дав-
ления вокруг скважины), в изменениях с течением времени
дебитов, скоростей фильтрационных потоков и д
Особенности этих неустановившихся процессов зависят от
упругих свойств пластов и насыщающих их жидкостей. Хотя
коэффициенты сжимаемости воды, нефти и пористой среды
очень малы (р„ = 4,59-10 м2/Н, р„ (7-у-ЗО) 10 1и м2 Н, |3, =
= (0,3 — 2) 10 10 м Н), упругость жидкостей и породы окаты
вает огромное влияние на поведение скважин и пластов в про-
цессе их эксплуатации, так как обьемы п гасла и насыщающей
его жидкости могут быть очень велики. Поэтому при подсчете
запасов нефти (и газа), при проектировании разработки нефтя-
ных и газовых месторождений, при эксплуатации, при исследо
вании скважин, при создании подземных хранилищ газа прихо
дггтся учитывать сжимаемость жидкости и пористой среды
Объ, м насыщающей пласт жидкости при снижении пласте
вогт; давления увеличивается, а объем порового пространст I
уменьшается: это и определяет вытеснение жидкости из пласта
в скважину (или газовую залежь)
Если ; процессе разработкгг преобладающей формой р-
гни явля । энергия спругой деформации пласт и сжатой
жидкости, то режим пласта называется \пругим. При том
предполагается, что фильтрационный поток однофазный, г. е.
пластовое давление выше давления насыщения
В условиях упругого режима характерно то, что процесс
перераспределения гавления происходит медленно (длительно),
•| не мгновенно, как эго было бы при абсолютной несжимае-
мое! н пласта и насыщающей его жидкости.
В теории упругого р,	тылую роль играют два пара-
метра
1	Коэффициент трудоемкости пласта
Р ™Рж 4 Ре,	(ХИ
127
где m пористость; р,к и рг—соответственно коэффициенты
. I, мае'лости жидкости и пористой среды.
Коэффициент р* численно равен изменению упругого запаса
жидкости в единице объема пласта при изменении пластового
давления на одну единицу. Иногда вместо коэффициента упр,-
гоемкости пласта используют приведенный модуль упругости
и 1 R
Ри. ---- Рс
т
т
(XII .2)
2	. Коэффициент пьезопроводности пласта
k	kK
х ------- ----- ;
|-ip”	цт
(ХП.З)
он характеризует темп перераспределения пластового давления
I. условиях упругого режима. Эта величина аналогична коэф
фициенту температуропроводности в теории теплопередачи
и впервые была введена В. Н. Щелкачевым.
§ 2.	Точные решения дифференциального уравнения
упругого режима
Дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации
можно записать
др
fit
/ д1Р	д-р , Л2р
\ дх1	ду1 Пг2 ,
(XII .1)
Интегрируя дифференциальное уравнение (XII.4) при за-
данных начальном и граничных условия <, определяют давле-
ни любой точке пласта в любой момент времени.
Решение задачи перераспределения давления после пуска
ci.T 1жины I постоянным дебитом Q в бесконечном горизонталь-
но, и ii.i.icTc сводится к интегрированию дифференциального
уравнения (XII 4), имеющего для плоскорадиальной фильтра-
ции вид
[ ^р ]	'>р
Л I ’	।
dl \ дг- г дг
(XII.5)
с начальным п граничными условиями
p(r f\ рк при ! I
Q ^1,
р(г г) при г =оо.
(XII.6)
128
Точное решение этой задачи при г<; = 0 дается формулой
Рк P(r, t)	£-),	(XII.7)
4nkh \ 4nt j
CO
_ Ei (—	= J — du.	(XII.8)
r2
4xZ
Эта табулированная функция называется интегральным
экспоненциалом, или интегральной показательной функцией.
При малых значениях аргумента r2j4xt функцию Ei( — —
можно приближенно заменить формулой
— Ei Г— «In - 0,5772,	(XII.9)
и тогда
Рк-Р(п 0 fin —- 0,5772Y (XII. 10)
4nkh \ ri	J
пласте конечных размеров.
Рис 74
dip
Формула (XII.7) является основной формулой упругого ре-
жима пластов, широко приментйоЩейся При исследовании про-
цесса перераспределения пластового давления, вызванного пус-
ком скважин с постоянными дебитами, остановкой скважин,
изменениями темпов добычи и г. д.
Формул} (XII.7) также можно использовать в случае при-
тока жидкости к скважине конечного радиуса и в начальной
стадии изменения давления в
При неустановившсйся па-
раллельно-струйной фильтра-
ции упругой жидкости к гале-
рее, расположенной в полосо-
образном пслубесконечном
пласте перпендикулярно к
оси Ох в сечении х=0 (рис.
74) и эксплуатирующейся с
постоянным давлением на за-
бое галереи рг, давление в лю-
бой точке пласта в любой
момент времени получим, ин-
тегрируя уравнение
др
— — к
dt
(XII. 11)
при начальном j. граничных условиях
р (х, t) = рк при I = 0,
р(х, t) рг при х = 0,	(XII. 12)
р (х, t) = рк при х = со.
5 Зак. 1496
129
Решение выражается формулой
Р (х, t)'~ рк — (рк — рг) (1 — erf В).
(XII. 13)
где
9	?
erf В	—7= I е~и* du
Т/л J
v о
(XII. 14)
— интеграл вероятности.
Подробное решение задачи о неустановившемся притоке
упругой жидкости к галерее при постоянном отборе приведено
ниже (см. задачу 114).
§ 3. Приближенные методы решений
В связи со сложностью точных решений были предложены
различные приближенные методы решения задач неустановив-
шейся фильтрации упругой жидкости. Одним из наиболее рас-
пространенных приближенных методов является метод после-
довательной смены стационарных состояний. Этот метод заклю-
чается в том, что в какой-то момент времени зона пониженного
давления (возмущенная зона) считается распространенной на
определенное расстояние 1=1 (t) (приведенный радиус влияния)
и предполагается, что во всей возмущенной зоне давление рас-
пределяется так, как будто движение жидкости установившееся.
В действительности же распределение давления в пласте не
будет стационарным и зона пониженного давления захватит
теоретически весь пласт. Закон изменения во времени приведен
ного радиуса влияния l(t) определяется из условия материаль-
ного баланса. При неустановившемся притоке упругой жидко-
сти к галерее Z(/)=2]'xZ, если отбор проводится при постоянной
депрессии рк pr=const; Z= ^2х/, если задан постоянный дебит
Q(0, t) = const.
При плоскопадиальном притоке упругой жидкости к сква-
жине можно считать с точностью до 10—15%> что Z=2yxZ
(если	как для случая постоянной депрессии, так и для
постоянного отбора.
В методе А. М. Пирвердяна, который развивает метод по-
следовательной смены стационарных состояний, эпюра давле-
ния задается так. чтобы она не имела угловых точек. Например,
при притоке к галерее распределение давления по пласту за-
дается в виде параболы, касательная к которой в точке x=Z(Z)
горизонтальна (рис. 75).
130
Если отбор жидкое ги нс меняется с течением времени, т. е.
Q (0, f) — дул const,
то
р(х, t) рк — (рк — рг) 1	7^-Т.
I v) -
(XII. 15)
где
I Гз Н ,-г
Рл-Рг } ~2-kWiVKt •
(XII. 16)
а приведенный радиус влияния,
найденный из уравнения мате-
риального баланса, определяется
по формуле
/(/) - /6ЙЛ (XII. 17)
§ 4. Суперпозиция в задачах упругого режима
Метод суперпозиции (наложения фильтрационных потоков)
широко применяется и в задачах неустановившихся течений при
упругом режиме.
Если в пласте действует группа скважин, то понижение дав-
ления в какой-либо точке пласта рк—р определяется сло-
жением понижений давления, создаваемых в этой точке отдель-
ными скважинами
Ар ^Лр,
i- 1
(XI1.18)
где п число скважин: Q3 — дебит /-той скважины, причем
Q7>0, если скважина эксплуатационная, и Q,<0, если сква-
жина нагнетательная; г, — расстояние от центра /-той сква-
жины до точки, в которой определяется понижение давления.
Если скважины начали работать в разное время, то (XII.18)
будет иметь вид
(XII. 19)
где / время, прошедшее с начала работы /-той скважины.
Методом суперпозиции можно решить задачи, связанные
с пуском, остановкой или с изменением темпа добычи сква-
жины. Пусть, например, скважина была пущена в эксплуатацию
с постоянным дебитом Q и через промежуток времени Т оста-
новлена. Требуется определить давление в любой точке пласта.
5*	131
Для решения задачи предположим, что скважина продолжает
работать с тем же дебитом; тогда к моменту t после остановки
понижение давления в какой-либо точке пласта, вызванное пус-
ком непрерывно работающей скважины, будет равно
Др	-------Г1--11
Ш/i I I.	4х(Т + 0 I/
Допустим мысленно, что в том же месте, где расположена
эксплуатационная скважина, в момент остановки начала рабо-
тать нагнетательная скважина с тем же дебитом. К моменту t
повышение давления в какой-либо точке пласта, вызванное
пуском нагнетательной скважины, определится по форммле
Др, = _|—Ei(-------L—М ф
4nkh I \ 4v.t J J
Результирующее понижение давления \р запишется в виде
\р Ьр, — \р2	Ei Г— —	1 +
(	|_ 4х (Т 4 0 J
/ г2 \ у
4 (ХП-2О)
Если аргументы функций малы, то можно использовать
приближенную формулу (XII.9), и тогда
Др -^_1п-(Г-Н °- .	(XII.21)
4nkh t	v 1
Задача 107
Нефтяная залежь площадью 5 = 500 га и мощностью /г = 30м
имеет пористость /п = 20% и водонасыщенность ов=3.0%. Сколь-
ко нефти можно отобрать за счет объемного упругого расшире-
ния жидкости при падении давления от 300 кгс/см2 (29,4 МПа)
до 200 кгс/см2 (19,6 МПа), если коэффициент сжимаемости
нефти рн=1,53-10 9 м2/Н, а коэффициент сжимаемости воды
₽в = 3,06-10 10 м2/Н?
Пласт считать недеформируемым.
Решение Считая нефть и воду упругими жидкостями, опреде-
лим изменение объемов, занимаемых нефтью и водой при паде-
нии давления на Др=100 кгс/см2 (9,8 МПа)-
ДЕН = Shm (1 — ств) рн \р,
ДЕВ 5йтоврвДр,
объем вытесненной нефти ДЕ/ равен сумме объемов ДЕН+ДЕВ
ДЕ; = Shm [(1 — <тв) рн + <тв₽в1 Др = 500-104-30-0,2 [(1—0,3) 1.53Х
X Ю-9 4- 0,3-3,06- ю—10] 9,8-10®	3,42-105 м3.
132
Задача 108
Определить упругий запас нефти в замкнутой области нефте-
носности площадью 1500 га, мощностью ft=15 м, если средне-
взвешенное пластовое давление изменилось на 50 кгс/см2,
пористость пласта /п = 18%, коэффициент сжимаемости нефти
fitl = 2,04 -109 м2/Н, насыщенность пласта связанной водой
ов = 20%, коэффициент сжимаемости воды pn=4,59-10“10 м2/Н,
коэффициент сжимаемости породы рс = 1,02-10~10 м2/Н.
Ответ. ДУ3= 1,35-10е м3.
Задача 109
Определить количество нефти, полученное за счет упругого
расширения нефти, воды и горной породы, если плошадь об-
ласти нефтеносности S„=1000'ra, законтурная вода занимает
плошадь SB=10 000‘ra, средняя мощность пласта /г=10 м,
пористость пласта /п = 25%, водонасыщенность в зоне нефтенос-
ности сгп=20%, коэффициенты сжимаемости нефти, воды и по-
роды соответственно равны
(Зн = 6 • 10~5 см2/кгс = 6,12 • 10“-’° м2/Н,
0В = 4,2- 10-ь см2/кгс 4,28-10-’0 м2/Н,
2-10“5 см2'кгс = 2,04-10~10 м2/Н.
Пластовое давление снижается от 180 до 80 кгс/см2
Решение. Коэффициент нефтеотдачи за счет упругого рас-
ширения определяется как отношение объема нефти, получен-
ного за счет сжимаемости, к первоначальному объему нефти
г] = AV/V.
Начальный объем нефти
V SHhm(l-ов) 1000-104-10.0,25-(1 —0,2) 2-107 м3.
Объем нефти, вытесняемой из зоны нефтеносности при паде-
нии давления на Ар=100 кгс/см2 за счет сжимаемости нефти и
пористой среды, равен
АГ =5нй(1-<тв)ЙДр.
где
₽н = /п0н + ₽с = 0,25-6,12-Ю-’о 4- 2,04-10~10 = 3,57-10—10 м2/Н;
ДУ' =0,8 108-3,57-10-’° • 100-9,8-104 = 2.8-105 м3.
За счет расширения воды и породы в зоне нефтеносности
объем вытесненной нефти составит
АГ' = 5н/говр*Ар,
где
₽; = тРв ₽с = 0.25 4.28-10-’°	2,04-10-’° = 3,11-10-’0 м2/Н;
ДУ" 107-10 0.2-3,11  10—10 9,8-10®	0,61-105 №.
133
Объем нефти, вытесняемой из окружающей зоны водонос-
ности за счет упругости воды и пласта, равен
ДУ'"Ю8-10 3,11 • 10-’о 9,8.10е 3,05-10® м3,
ДУ - ДУ' ф ДУ" -у ДУ'" - 2,8-105 4- 0,61  10® 4- 30,5- Ю® =
33,9-105 м3,
33.9 105	0 17 = 170
1 V 2-Ю7
Задача 110
Определить дебит галереи, расположенной в полосообразном
полубесконечном пласте (см. рис. 74) шириной В=300 м, мощ-
ностью й=15 м. с коэффициентом проницаемости fe = 0,8 Д, в
момент 1=2 сут с начала эксплуатации с постоянным забой-
ным давлением рг=9,8 МПа. Начальное пластовое давление
Рк= 12,74 МПа, коэффициент сжимаемости жидкости и породы
равен соответственно рж= 1,53-10~9 м2/Н и рс = 0,612-10“10 м2/Н,
коэффициент пористости ш = 2О°/о, динамический коэффициент
вязкости нефти р = 1.5 мПа-с.
В пласте имеет место неустановившаяся фильтрация упру-
гой жидкости по закону Дарси.
Найти дебиты но точной формуле и по формуле, получен-
ной по методу последовательной смены стационарных со-
стояний.
Решение Распределение давления в пласте при неустановив-
шейся параллельно-струйной фильтрации \ пругой жидкости
к прямолинейной галерее при постоянном давлении на забое
выражается следующей формулой (точное решение):
р(х, 0 - рк — (рк — рг) (1 — erf —~ Y
\	2 |/хГ /
где
х
2 1x7
erf —^=-  ---|=- f е-“г du
2 Ух/ Д/зГ
— интеграл вероятностей.
Согласно закону Дарси
Найдем
7 др 
(17
134
поэтому
QtO4
fe (рк — Рг) Bh
|i l/ли/
Коэффициент пьезопроводности х в условиях рассматривае-
мой задачи равен
k__________k___________________0,8-1,02 10~12_________
Х = ц₽* ~ ц (т₽ж+ ₽с) ”” 1,5 10-3(0,2 1,53 10-" ф 0,612 10 10)
1,48 м2/с.
Дебит, определенный по точной формуле, будет
_ 0,8.1,02.10-ь2 (12,74-9,8) .1Q6-300-15
^™ч	1,5 10—» 1/3,14-1,48 2 0,864-105
= 694 м3/сут.
По методу последовательной смены стационарных состояний
дебит приближенно определяется по формуле для стационар-
ного режима движения
k (Рк — Рг) Bh
ц/ (0
где /(() —длина, на которую распространилось бы понижение
давления к моменту t, если бы давление в зоне депрессии меня-
лось по прямой линии; l(t) определяется из условия матери-
ального баланса при рг=const и равна
I = 2У^.
Тогда
fe (Рк — Рг) Bh _ 0,8 1,02 10 12 (12,74 — 9,8) 106 300 15
Упри6 и2уй ~	1,5-10-3 2У1.48 2 0,864-10“
= 7,12 10~3 м3/с 615 м3/сут.
Погрешность при определении дебита по приближенной
формуле составит
Д __ Сточ Сприб _ |QQ _ 694 - - 615	| | д
<2ТСЧ	694
Задача 111
Представить графически изменение во времени давления на
забое галереи, проведенной в полосообразном полубесконечном
пласте (см, рис. 74), если в момент /=0 ее начали эксплуати-
ровать с постоянным дебитом Q = 500 м3/сут. Ширина галереи
/3=400 м, мощность пласта h= 18 м, коэффициент проницае-
мости &=0,5 Д, коэффициенты сжимаемости жидкости ₽» =
= 2,04-10-и м2/Н и породы рс=0,51 • 10~10 м2/Н, коэффициент
135
пористости zn = 16%, коэффициент ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ р =
= 3 мПа-с, начальное пластовое давление рк=14,7 МПа.
В пласте имеет место неустановившаяся фильтрация упругой
жидкости по закону Дарси.
Сравнить значение депрессии в момент /=10 сут, определен-
ное по точной формуле, с депрессией, найденной по методу
последовательной смены стационарных состояний.
Решение. В рассматриваемом случае дифференциальное
уравнение фильтрации упругой жидкости в деформируемой по-
ристой среде имеет вид
др _ д2р
------- Л	,
dt дх2
(X 11.22)
а начальное и граничные условия запишутся следующим об-
разом:
при f = 0 р(х, 0)=рь,
w(x, 0)=Q(x’ °)	0.
Bh
(XII 23)
при х = 0
u,(0. t) = Q-(0’ ° = uy = 0,805-Ю-® м/с.
Bh
Умножая (ХП.22) на Л/ц, дифференцируя по к и
k др
что w=------получим
И дх
k д2р	k	сРр
р. dxdt	р	дх3
или, изменяя порядок дифференцирования,
k др
р дх
(X 11.24)
учитывая,
---и
д
dt
д2
x-------
дх2 \ р
k др
дх
т. е.
dw	d2w
dt	дх2
Уравнение теплопроводности (XII.25)
нием (XII.22), и начальным и граничным
при t = 0 w (х, 0) - 0,
при х = 0 щ(0, t) — uij =-const.
Решением уравнения (XII.25) при условиях
(XII 27) является интеграл вероятности
совпадает
условиями
(XII.25)
с уравне-
являются:
(XI 1.26)
(XII.27)
(ХП.26) и
*-w J
v о
w (х, t) =
~u* du .
(ХП.23)
136
Для того, чтобы найти закон изменения давления, необхо->
димо проинтегрировать по х уравнение
. л	/	„2
---— ~ w I 1-------— f е ~"2 * * du
И дх	Ч уЯ ’
при фиксированном t:
X____	Y
х	х I	2 yj	\
— f dx — ге»! ill-----------5=	I	е~и‘ du jdx	=
j-i J	dx	J	|/л	.	1
e	о	о
х ’ ] к:
w.x — f e~“‘dudx.	(ХП.29)
J л ,1
6 о
Возьмем по частям интеграл
х
х 2 Кй
f j е dudx.
о о
Обозначим
Л
2 I Kt
U \	е~' ил, V х,
Ъ
тогда
К2
dL, ~mt dx^^ dV dx^
2 Vx*"	/	_ Xs 6 \
J e-«! du - W U - e 4XV •	(XII,30)
0
Подставив (XII.30) в (XII.29), получим
г-	x
2 l у
p(X,h-p(0,n -у 1 -pj f
L	и
е-и* du 4-
6 Зак. ЫМ>
137
-Фа'1
1 — erf S + —-—r
Ул 6
где
e -	.
*	2]/xt ’
X
2
erf e = —/= | e~“’ du.
Устремляя x-<-oo и учитывая, что при этом erf £->1,
е V -О,
f -2УД 2 -
ъ	х	г
Р (х, I) Рк,
найдем депрессию в любой момент времени
Рн Р(0Д) JgV2V*
t Ул
и давление на забое галереи
рг - р(0. t) р„ .У'12	.
*У^
Подсчитаем коэффициент пьезопроводности
k	____________0,5 1,02 10 1-______________
р(трж Рс) 310 3 (0,16-2,04 10 -г 0.51 10-1°)
и постоянную величину
иат-г рх" .i-10-J-0,«05 10 « 21, (Г45 о„„пг.
—------—	----------—-------—	3600 Па-с
*Ул	0,5-1,02-10-'- УЗ 14
Тогда
р(О,г) 1-1,7 0,0036yf. МПа.
Сдаваясь различными t, найдем р('), /)=рг(^) и результаты
поместим в табл. 15.
График зависимости pr oi 1 приведен на рис. 76.
Определим тепрсссшо по методу последовательной смены
стационарных состояний черт 1=10 сут после начала отбора.
Согласно этомт	депрессия находится по формуле дебита
галереи при установившейся фильтрации по закону Дарси,
13S
i под l(t) понимается длина возмущенной области, которая
при постоянном отборе равна
КВ у2х/ ₽ 1/2-0,45 0,864 10®	882 м.
Рк Рг ~
Qul (П 500 3 10 Д-882 
kBh 0,864.10».0,5 1Щ2 10 1 400 18
4,16 МПа.
Таблица 15
/, сут	t. с	1Т	рк-рг 0,0036 Г г, МПа	°Г’ МПа
0,25	2.1G-104	147	0.529	14. Г
0.5	4.32 101	208	0 749	13,91.
1	0,Ы 1 105	294	1 058	13,64
2	1 73-105	116	1,500	13,2П
5	4,32-10’	657	2,360	12.33
10	0.864-106	9.30	3 350	11,38
20	1,7 10в	1315	4,740	9,96
30	2,59 10в	1609	5,780	8,92
депрессия, определенная по точной фор-
Соответсгвующая
табл 151, равна
(Р>< —	3,35 МПа.
11огрешне'’ть
А =
I (Рк Рг)точ 1 Г_________Рг)ир |
(Рк Рг)тич
1 3,35 ~ 4,16 i 0,243 24,3°
3,35
Задача 112
Найти распределение давления в полосообразном полубес-
конечном пласте в момент /—15 сут с начала отбора, если
в пласн имеет место приток упругой жидкости к дренажной
галс-pt. при условии постоянного отбора Q = 100 м3/сут; длина
г алереи В 250 м, мощность пласта h 10 м, коэффициент про-
ницаемости k=400 мД, коэффициент сжимаемости пористой
средн р, 0,306-1U м Н, коэффициент сжимаемости жидко-
сти |>1и = 4,59-10 *•" м2/Н, динамический коэффициент вязкости
р 1,2 ;Па-с, коэффициент пористости /71=15%, начальное
п ; товое давление pj = 1 1,76 МПа (120 кгс см2).
Задач решить по точной формуле, по методу последова-
кльной смены стационарных состоянии и по методу X. М Пир-
вердян?
6
139
Решение. В задаче Ш выведена точная формула для ра ;
ности авлсний
, хи», /	.	—и \
p(x.t) -р(0. ,0 = —— ( 1 — erf;-----(XII 31>
\	Уч У
где
В - —~-
2“|/х7 ’
2 Г
ef I ъ	--т= I е du;
1'ir I
Из этой формулы давление на забое галереи равно
А р(°. О - Рк У1 У	(XII.32)
k Ул	г
Подставив (XII 32) в (XII31), получим
PUU) Рк-	4- ~1)	(XII.33)
Р Г i у
Вычислим постоянней множители
[№', |iQ	1,2 ю < юо
k kBh 0,86* 10’ 0,4 1.02 10—250 10	Па М’
k	0,4 1 02 10 »=
М («₽я» ₽СI	1.21 с"3 (0,15 4.59.10 »* 0,306.10-»*)	12 С’
2	2у 7у42 15 0,864 10г	2.37-10-'м
при этом ; 2.37 10-* X Задаваясь ра!личныии х			подсчитаем р(х) при ной формуле (XII 33) рис 77 (кривая () Та	/=15 гут приведены блица 16
Результаты в таб. 16 и	расчетов гР То1			
	представ	ле1Ь[ на		
	1362 х,			—
х. ы	Па	1 		erf •	;»	
0	0	0	0	II	
102	0,272	04; !	о 0530	2,247 10 з	0,998
5 10=	0.681	1,1185	0,1330	1,404 10 »	0,986
10J	1,362	2.170	0,2625	0 0562	0 945
2103	2,720	(,4740	0,4973	0,2247	0 798
ЗЮ3	4,090	(.7110	0,6854	о 5^50	О'603
5 1(Р	6,810	П«50	0,9062	1,404 1	0,245
1 10
Продолжение табл 16
Ж, м		• 2 е > > Л £	. -5’ eri £ -	_	1 V л Z	л„—д (»». МПа	р (х). МПа
0 2 10-	0 0,084	11,85	10,90	3,24 2,97	8,52 8,79
5 10-	С,210	4,69	3,82	2,61	9,15
10J	0,420	2,25	1,51	2,06	9,70
2 10J	0,840	0,950	0.447	1,22	10,54
3 1<>‘	1,200	0,479	0,164	0,671	11,08
5 Юз	2.100	0,1165	0,0227	0, 155	11,60
Рис 77
По приближенному методу А. М Пирвердяна при постоян-
ном отборе
Р (х, t)	р„ — (рк рг) I 1 — -у-Т ,
L Ц*) -1
(XII.34V
где
PK — Pr= I -2—
/ (/) - УбхЛ
При заданном /=15 сут
рк — р, 1,225• 1362 V 3,42-15-0,864 - 10»	3,53 МПа,
I (t) = У 6-3,42 1 5-0,864 1 05	5.16  103 м,
р (х, t) 11,76 - 3,53 (1 - Y, МПа (XII 35)
\	5,16/
141
Результаты вычислений по (XI 1.35) приведены в табл 17 и
на рис 77 (кривая 2)
Таблица 17
	х 10—3	/	х ю ' у	
X, м	5,16	V	5.16	)	Р (х), МПа
0	0	1	8,23
2-102	0,0388	0,9235	8,5П
5 102	0,0970	0,8154	8,88
IO3	0,1940	0,6496	9,47
2-Ю3	0,3880	0,3745	10,44
З-Юз	0,5820	0,1747	1 1,14
5-103	0,9700	0,0009	11,76
По методу последовательной смены стационарных состояний
давление распределяется линейно
p(x,t) = Pl ^--^-х,	(XII.36)
t (J)
где
l(t) -|/2ЙГ_ V 2-3,42-15-0,864 10s	2,98-103 м;
давление на забое галереи
А Рк — U) 11,76—1362 2,98 10—3	7,68 МПа.
few
Следовательно.
р(х) = 7,68 +	-7У8Х	768	1,37-IO-3х, МПа. (XII.37)
2,98 103	.	v /
Прямая <?, соответствующая уравнению (XII 37), изображена
на рис 77.
Как видно из полученных результатов, распредели ние дав-
ления по методу Пирвердяна ближе к истинному, чем распре-
деление давления по методе последовательной смены стацио-
нарных состояний.
Задача 113
Из скважины, расположенной в оесконечном пласте, начали
отбор нефти, поддерживая постоянное давление на забое р,=
= 8,82 МПа. Начальное пластовое давление рк = 11,76 МПа
Используя метод последовательной смены стационарных состоя
ний, определить дебит скважины через 1 ч, 1 сут и 1 мес после
начала эксплу атеции, если коэффициент проницаемости пласта
k -250 мД, мощность пласта h 12 м, коэффициент пьезопровод-
ности п даста х 1,5 м2/с коэффициент вязкости нефти ц= 1,3 сП.
Скважина гидродинамически совершенная, радиус ее гс=0,1 м.
142
Указание. По методу последовательной смены стационарных
состояний дебит скважины определяется по формуле Дюпюи,
в которой под /?,. понимается приведенный радиус влияния сква-
жины, который увеличивается с течением времени по закону
А?, = 2(''х/
Ответ: Q-Iac = 515 м3/сут; фСут=424 м3/сут; QMec = 356 м3/сут.
Задача 114
Определить коэффициент гидропроводности пласта khip и
коэффициент пьезопроводности пласта х но данным об измене-
нии давления на забое совершенной скважины, расположенной
в бесконечном пласте постоянной мощности. Скважина работает
с постоянным дебитом Q=100 м3/сут в условиях упругого ре-
жима. Начальное пластовое давлеш-н рк =150 кгс/см2. радиус
скважины Гг = 0,1 м. Изменение депрессии pv—рс с течением;
времени приведено ниже:
Номер.........................
I.........................
&Рс, кгс/см*..................
1	2
15 мин 1 ч
3,46	3,84
3	4	5
12 ч I сут 5 сут
4,57	4,76	5,23
Решение. Изменение давления
на забое скважины
ляется по формуле
опреде-
РК Pc{i}	0,5772
4.тт£Ь I /
( 2,31g—
inkh \	r-
0,5772 I - 2,31g t
Qp-2,3 lgZ4_ /2,31g— —0,5772 1
4nkh	irtkh I	J
По приведенным выше дан-
ным построим график зависимо-
сти Лр.—р,-от 1g/ (рис.
78).
Как видно из рис. 78, зави-
симость \рс от 1g / линейная:
Арс dgf-f-6.
Это дает возможность опре-
делить свободный член по отрез-
ку, отсекаемому прямой на оси
ординат, и коэффициент при lg i
по тангенсу угла наклона пря
мои к оси lg t.
Из графика следует, что Ь =
= 1,5 кгс/см2,
Рис.. 78
н = tg<f
^Рсз ДРс1
lg t3 — lg 6
Из первой формулы
4,57 —3,46
4,64—2,95
следует, что
=  - 11	0,658 кгс/см2.
1 ,6Э
а - 0,658
Qn-2,3
4nfe/i
143
откуда коэффициент гидропроводности пласта
kh _	<2 2.3 1QS 2,3 = Д ем
у 4л 0,658	0,864-105.4 3,14 0,658	сП
-3,29-10 9_[±_
Па с
b 1,5 -%-(2.3 1g-0,5772V
4nkh I	-2	I
\	с	/
-откуда
1 к _ 1,5 4лМ 0,5772	1,5	0,5772
ё r2 Qu-2,3	2,3	0,658 '	2?3
—	338,
гс
х - 338г2 = 3.38 -104 см2/с = 3,38 м2/с.
Задача 115
Гидродинамически совершенная скважина, расположенная в
центре кругового пласта радиуса 7?„ —10 км с горизонтальными
и непроницаемыми кровлей и подошвой, до момента остановки
работала в течение такого продолжительного периода, что рас-
пределение давления в пласте можно принять за установив-
шееся Дебит скважины до остановки Q= 120 м3/сут, динами-
ческий коэффициент вязкости ц—2 сП, коэффициент проницае-
мости пласта 6 = 600 мД, мощность пласта 6 = 10 м, радиус сква-
жины гс = 0,1 м, коэффициент пьезопроводности пласта х =
= 2,5 м2/с Найти по методу суперпозиции нарастание давления
на забое скважины, принимая рк = 14,7 МПа (150 кгс/см2).
Решение. Установившуюся депрессию Лрс=рь— Рс у, пред-
шествующую остановке скважины, определим по формуле
Дюпюи
Др' -^-1П-^ =-^1п-^-
2тМ rc 4nkli
1С
По методу суперпозиции считаем, что с момента остановки
скважины в той же точке пласта начала работать одновременно
с эксплуатационной скважиной нагнетательная скважина, имею-
щая гот же дебит. При этом результирующий дебит равен ну-
лю, а разность давлений
Рк — Рс (0 = Ар' — Ар;.
где \pc=pr (Z)—рс у — повышение давления на забое, вызван-
ное работой только нагнетательной скважины, которое опреде-
ляется формулой
144
Ьр'с	( in —	—0,5772 1
с	4л*й	1	,2
\	•	с	i
Таким образом,
Рн —РсЮ Ар’ —Ар'	-------------------0,57721
с с 4nWi r2 4nkh \ г2	t
с	\ 'с	)
- -— ( In-—	0.5772V
4nkh \ 4xt	/
откуда
Рс (0 Р«------~~ (in ~	0,5772^1
4nkh \ 4xt	J
14.7--------------H°2-L°:3____________/2 31g-^ +
0,864-10» 43.14-0,61,02 10 12-10 ъ 4-2,5
0,5772 -2,31g/ '	14,7 — 0,604	0,083'1g/	14,1
4- 0,08311g/, Mila.
Задача 116
Определить коэффициент гидропроводности пласта khl\iT
если известно, что гидродинамически совершенная скважина,
расположенная в центре кругового пласта радиуса RK, длитель-
ное время эксплуатировалась с постоянным дебитом Q =
= 80 м3/сут, затем дебит скважины мгновенно уменьшился до1
Qi = 55 м3/сут. В последующее время эксплуатации скважины
дебит Qi сохранялся неизменным
Изменение давления на забое скважины во времени пред-
ставлено ниже Время 1 = 0 соответствует моменту изменения
дебита скважины
Номер............................. I
t...............................5 мин
Арс Рк—Рс» кгс/см2 . .	3.71
lg X............................ 2,48
2	3	4	5	6
15 мин 3 ч	I cvt 3 сут 10 сут
3,62	3,44 3.27 3,18	3.1
2,95	4,03 4,94 5,41	5,94
Решение. По принципу суперпозиции понижение давления на
забое скважины найдем по формуле
АрР -ЗН-1п-^---------(Q-Qi)n Г Eil ,
2nfe/i rc	4nkh	[	'	4х/ )
где первое слагаемое определяет депрессию, вызванную дли-
тельной эксплуатацией скважины с дебитом Q, а второе слагае-
мое-повышение давления за счет действия в той же точке
пласта нагнетательной скважины с дебитом (Q— Qi)
145
Представляя приближенно интегральную показательную
функцию через логарифм, получим
\р = In _ (Q - <?) и in
2лкЛ гс 4nkh	г-
QigHn-«2
&РС -
С
Выделяя слагаемое, содержащее 1g/, запишем
(Q-Qi)l1 2,3	•2,3
4nkh ь inkh	.
'с
И . последней формулы видно, что зависимость Дрс от 1g /
прямолинейная с угловым коэффициентом
. _ __ (Q —Q,)p 2,3
4 л/г/г
По приведенным выше данным построим график в координа-
тах \р,-— 1g/ и определим значение / (рис. 79).
1-	"	-0,181 кгс/оЛ
lg/t lg t- 2,48-5,41
По полученном) значению / найдем коэффициент гидропро-
водности
kh
(80 — 55)-2,3
(Q — Qi) 2,3
4ni
И
0,8Ь4 10» 4-3,14 0,181 98 10*
м'-
2,99 10~9
Па с '
Задача 117
Гидродинамическая совер-
шенная скважина радиусом г,
= 10 см начала работать в бес-
конечном пласте с постоянным
дебитом Q =80 м3/сут. Мощность
пласта й = 7,5 м, коэффициент
проницаемости k = 400 мД, коэф-
фициент пьезопроводности х =
= 2 м2/с, динамический коэффи-
циент вязкости жидкости ц =
= 1,5-10 •’ Па-с. По истечении
Т 10 сут скважина была мгно-
венно остановлена. Определить
1) распределение давления в
пласте в моменты /1 = 1 сут и
Д= • сут после остановки скважины; 2) радиус зон, в которых
с точностью до 1 % давление в моменты /| и /2 будет посто-
янным
Решение. Используя метод суперпозиции, найдем результи-
рующее понижение давления в любой точке пласта
Ар Др' — Др",
(XII.38)
146
считая, что в некоторый момент времени пущена в эксплуата-
цию скважина с постоянным дебитом, а через промежуток вре-
мени Т в этой же точке пласта начала работать нагнетательная
скважина с тем же дебитом. Время Т соответствует моменту
мгновенной остановки эксплуатационной скважины, начиная с
этого момента отбор жидкости из пласта равен нулю
\р' понижение давления, вьннанно< Действием эксплуата-
ционной скважины, определяемое по формуле
Др'.------^-Ei\---------------1;	(ХП.39)
' 4nkh [	4% (7 ч-/)'
Др" — повышенш давления, вызванное действием нагнета-
тельной сважины.
Др" -------------------(XII.40)
4nkh \	4-/7 /
Учитывая выражения (XII 39) и (XII.40), получим
4и(7 -р /)
— ) (XII.41)
4х/ /I
Известно, что при малых эначениях аргумента г2/4и/ функ-
пию £i(	—) можно приближенно представить в виде
4х/
Ei( ——= In — — 0,5772.
\	4х/ /	г2
Погрешность не превышает 1%. если
г2
—	0,03
4и1
или > Я,33.
г2
(XII.42)
Поэтому (XII 41) можно записать в виде
Др . Он.1 ]П 4х(Г +-й_ 0,5772 In—-0,57721
4nkh L г*	г2	]
_9н_ 1п г + с	(XII.43)
t
при выполнении условия (XII 12).
Как следует и (XII 13), в н<которой области пласта, опре-
деляемой условием (XII 12), для одного и того же момента
времени давление будет одинаково
При Д I сут эта она ограничена радиусом
г,	=144 м;
1 V 8,33	|/	8,33
117
при /j—5 сут
2 5 0-86,'°‘ - 322 м.
8,33
Понижения давления
в этих зонах соответственно равны
Др = Ом ]п (Г-Hi) ___________________80 1,5 10"* 2,3_________
^kh tr 0,864 Ю5 4 3,14 0,4 1,02 10-12.7,5
X lg -i10 ^ ° = 8,29 104 lg 11	0,0862 Ml la:
А/?л ~^kh ln ~	= 8-29’194lg--°- 5)	0,0395 Mila.
Вне указанных зон понижение давления надо определять по
точной формуле (XII 41) Результаты расчетов Др помещены
в табл. 18 и представлены на рис. 80.
Рис. 80
Таблица 18
Г, м	200	300	400	500	600
Ьр (в МПа) при /j 1 Су3 Ар (в Ml 1а) при t2 5 сут	0,0846	0,0819	0,0784 0.0375	0,0757 0,0367	0,0718 О,О35ь
148
XIII. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА
Дифференциальное уравнение неустановившейся изотерми-
ческой фильтрации идеального газа по закону Дарси имее! вид
др k f д-р"	сН/r	д2р-
dt	2тр \ дх1	ду2	дг-
(XIII 1)
или
^£1	?pL.	(XIII.2)
dt mp \ дх- ду1 dz2
Это уравнение является нелинейным уравнением параболи-
ческого типа, оно отличается от дифференциального уравнения
у пругого режима тем, что искомой функцией является не дав
ленис р, а квадрат давления р2. а вместо постоянного коэффи-
циента пьезопроводности х в уравнение входит переменная вели
чина kp тр.
Точные решения нелинейного уравнения (XIII.2) получены
только для некоторых частных задач Как правило, это урав-
нение интегрируется приближенными методами
Наиболее простым приближенным методом является метод
линеаризации, предложенный И. А. Чарным, в котором пере-
менное значение коэффициента kpfmp заменяется усредненным
значением kp^lmp, где
Pep ~ Ptntn ! 0,7 (ртах Pmln)>
здесь ртах- и Ртт — максимальное и минимальное давления в
залежи за расчетный период, или
Рср 0,722рнач.
При такой замене уравнение (XIII.2) приводится к линей-
ному дифференциальному уравнению теплопроводности. Это
дает возможность нестационарное движение газа рассчитывать
как движение упругой жидко-
сти по формулам упругого ре-
жима фильтрации
Л. С Лейбензоном было
получено решение задачи об
истечении газа из полосооб
разного замкнутого пласта
при условии постоянного дав-
ления на галерее (рис. 81). Задача сводится к интегрирова
нию дифференциального уравнения
др1	кр о2р-
dt	rnp dx2
(XIII.3)
149
при начальном и граничных условиях:
p = pH=const при (=0,
рг = const, при х=0.
=^= О при х — I	(XIII.41
дх
— условие на непроницаемой границе газового пласта.
Задача решалась метолом последовательных приближений.
В первом приближении коэффициент, входящий в правою
часть (XIII.3), считается постоянным и равным kpH/mii.
При этом (XIII 3) обращается в уравнение теплопроводно-
сти, интеграл которого при условиях (XIII.4) имеет вид
со
p*(x.t) = pl+ — (fi-tf) V — e-^'sin^-, (XIII.5)
л '	'	i	21
/=”5...
где
n2fepH
to =---—,
4mpZ2
Во втором приближении принимается, что переменное дав-
ление р, входящее в коэффициент kplmp, зависит только 01
времени t и выражается формулой
Р(0 = Рг+(Рн —Рг)е 2=рн[ —	1---риб(О,
L Рн \ Рк Z J
(XIII.6)
далее, введя новую переменную
/
е = Сб(0Л = -^-(+—-4") (хш.7)
Рн «» \ Рн / V — е J .
приведем (ХШ.З) к уравнению теплопроводности
JpL	(XIII.8)
ЙО ту дх2	V
решение которою при условиях (XII1.4) дается уравнением
(ХШ.З), в котором переменная I должна быть заменена на 0:
р2(х,П=р2-В -(р-:-р?) У ±e-“^sin^. (XIII.9)
л	j	21
/=1,3,5...
Объемный дебит галереи, приведенный к атмосферному дав-
лению, можно записать в виде
Q„ _ 2SL ЛЙД) _ ^(4-гЭ
2ЦРат \ дх Ух=0	црат1
(XIII. 10}
150
Многие дачи неустановившейся фильтрации газа решаются
приближенно по методу последовательной смены стационарные
•состояний с привлечением уравнения материального баланса
газа.
Если газовая залежь замкнута, то отобранное за время di
количество газа по объеме, приведенному к атмосферному дав-
лению и пластовой температуре, равное QaTc!Z, равно изменению
запасов газа в пласте за тот же промежуток времени
Г ли объем порового пространства Q постоянный, газ идеаль-
ный фильтрация изотепмическая, то изменение запасов можно
представить в виде Q -р- де dp - изменение средневзвешенного
Р- 
по объему давления в газовой залежи за промежуток dt Урав
нение
Q^dt -Q-^-	(XIII. 11)
Рат
называется дифференциальным уравнением истощения газовой
залежи.
При неустановившейся плоскорадиальной фильтрации газа
средневзвешенное давление р мало отличается от контурного,
поэтому. заменяя р на рк, записывают уравнение истощения
газовой залежи в виде
Q^dt	(XIII. 12)
P.«r
Уравнение (XIII 12) в сочетании с методом последователь-
ной смены стационарных состояний позволяет определять рас-
пределение давления по пласт\ изменение давления с течением
времени в любой точке пласта, изменение во времени дебитов
газа при эксплуатации залежи с различными условиями на
забое Такими простейшими условиями являются следующие:
a) Qar=consi; б) р, = const; и) QaT срс, где с=2лгсйгита¥, а
iPmaix максимально допустимая скорость фильтрации газа, ис-
ключающая возможность выноса песка и образования песчаных
пробок.
Задача 118
Определить падение давления р, на внешней границе полосо-
образной газовой талежи длиной I 7500 м, шириной В = 800 м,
мощностью h = 10 м (см. рис 80, если коэффициент пористости
пласта пг = 20%, коэффициент проницаемости &=0.5 Д, коэф-
фициент вязкости и = 0,014 мПа-c, начальное пластовое давле-
ние ри 14,7 МПа (150 кгс/см2). Давление на выходе газа в
галерею постоянно и равно рг 12,74 МПа (130 кгс/см2).
Найти также приведенный к атмосферному давлению и пла-
стовой температуре расход таза Qa, и распределение давления
151
г.о длине пласта через / = 30 сут после начала отбора газа из
галереи.
Решение. Для определения падения давления во времени на
границе пласта ph(i) и распределения давления по длине пла-
ста р(х) в момент (=30 сут используем решение Л С. Лей-
бензона по методу последовательных приближений (XIII 9)
Прежде всего подсчитаем значение параметра
ш	3,1-Р.0,5-1,02-10-^-14,7.103
4mj.il3 4 0,2 0,014 10-3-7,5* 106
и значения переменной 6(?) в разные моменты времени
0(0	A fi __Рг\ (j _е“ЛГ) 12-74 t
Рн <“ \ Рн !	14,7
22£Lfi	_ e-o.585.io-’/)	0 867z
1	\	14, J
-|-2,27-10е (1	e-u-5e5-,0~’/),
а результаты поместим в табл. 19
				Таблица 19				
/, сут	Т о	3	т О	3	о а	С'	X С	41W
10	0,861	0 1006	0,9044	0,405	0,0813	0,00721	216	14 70
15	1,280	0,1506	0,8600	0,258	0,0232			215	14,65
30	2,562	0,3000	0,7410	0,0672	—	—	210	14,50
150	12,400	1,4500	0,2350	—	—			178	13,33
300	28,900	3,3900	0,0337	—	—	—	165	12.84
По формуле x = Z) имеем		Л с	Лейбензона		на границе		пласта	(при
- тащи	»
е- ше Д------- - е-------J-------	\
3	5	7	’ * 7 •
Значения величин, входящих в эту формулу, приведены в
габл 19
На рис 82 представлен график зависимости рь(/).
152
Закон распределения давления по пласту через 30 сут=
— 2,53 Ю6 с после начала отбора'
р2(х, 2.59 • 10fi с) 162 10“	68,75 • 1012 X
/п-7 11  лх	0,0072 . Зпл\
( 0,741 sin--	—-----sin------ )
A	2Z з 21 J
Результаты расчетов даны в табл 20. На рис. 83 показана
кривая изменения аавления по пласту.
Злх
sin-----
21
р2 МПа8
Р, МПа
0	0	0
0,25	0,384	0,925
0,5	0,707	0,707
0.75	0.925	-0,384
1	1	1
о
0,306
0,540
0,676
0,718
162
183
199
207
210
12,74
13,52
14,11
14,41
14,50
Расход газа, приведенный к атмосферному давлению и пла-
стовой температуре, найдем по (ХШ 10)
= kBh [др>\	+
аТ 2ИРа1 \ дх Л=0,«=2.59 10«с црат/ Ин ,М
)	°’5 ‘-°2	80(1 10 54-—(0.741	0,0672)
0,014 10—4 7,5 10».104-9,8
17,25 м3 с — 1,49- 10е м3сут.
Задача 119
Газовая скважина расположена в центре кругового замкну-
того пласта радиусом R, = 1000 м, мощностью /г = 8 м и экс-
153
плуатируется при постоянном давлении на забое р= 6,86 МПа
(70 кгс см* 2 * *) Начальное давление в газовой залежи р„
11.16 МПа (120 кгс/см2), коэффициент проницаемости пласта
fe = 8O0 мД, коэффициент пористости пласта /и- 18%, динами-
ческий коэффициент вязкости газа р 0,013 мПа-c, радиус
скважины г, = 10 см.
Найти । мененш во времени давления на внешней границе
залежи /?>-(£) и приведенного объемного дебита скважины.
Решение. Полагая, что средневзвешенное пластовое давление
газа р равно давлению на внешнем контуре д , решим задачу
методом последовательной смены стационарных состояний. За
время di при изотермическом процессе из залежи отбирается
количество газа (по объему, приведенному к атмосферному
давлению)
Qardt S2./.' р '	(XIII. 13)
\ Pm	\ Рар 7
Учитывая, что
!	R	7
/х!<
№т 1П-----
Ге
II
Й nhm (/?к — г|).
и подставляя эти выражения в уравнение материального ба-
-ланса (XIII 13), получим
1П ““
dt ----------------------------
k
ЛРк
Рк —
Интегрируя по I от 0 до t и по р, от до рк, найдем
(Л2 - г2) ту In —
t rc j (Рн-Рс)(Рк Рс)
Wc	(Рн Рс) (Рк — Рс)
Подставляя исходные данные подсчитаем для различных pL
значения /:
Ю« 0,18 0,013.10—з-2,31g
/ =
1000
0,1
20,8 1,02-10—,2-6,86-106
.2 .3• 1Н (4.76-6,86) (Рк-г 6,ьб)
’ ё (11,76	6.8b)(рк — 6,36)
или
г 44,2 10s 1Й [ о 263	-— ] (в с)
I (Рк -ЭД I
= 51,2 lg| 0,263 -(И—(в суд).
SL УРк —6,в6) I
154
Результаты подсчетов представлены на рис. 84 и ниже.
рк МПа .... 11.76	10 78	9,8	8,82	7,84	6.96
t. су............ 0	3,77	8,88	16,5	30,5	80.5
ОатГ^/суг........13,4-10° 10,1.106 ?jbio« 4^1-10° 2,11» 10* 1,вв<10*
Подставляя найденные значения р в (XIII 11), найдем из-
менение (?ят во времени
3,14 0,8 1,02-10-12 8 (р2	6,86’1-0,864.103 1СП-
QaT = ----------------------—--------------------------
„ „ .	юоо
0,013 10-3-1,01 -103.2.31g---
0,1
1,47-10s (р2	6,862).
Соответствующие значения дебитов даны на рис. 85.
Задача 120
Определить время истощения газовой залежи и изменение
во времени давления на внешней границе и на забое скважины,
считая, что скважина дренирует круговую лону радиуса /?,.=
=500 м и эксплуатируется с постоянным приведенным дебитом
0ат = 500 000 м3/суа Начальное пластовое давление рн=9,8 МПа
(100 кгс/см2).. конечное давление на забое газовой скважины
(р< )кс.ц = 0,101 МПа (1,033 кгс/см2), мощность пласта /г = 12 м,
радиус скважины гг = 10 см, коэффициент проницаемости пласта
Л = 500 мД, коэффициент пористости /7г = 20%, динамический
коэффициент вязкости газа ц= 0,015 мПа-с
Решение. Из уравнения материального баланса, в котором
средневзвешенное пластовое давление заменено контурным,
имеем
d = _ _0агРат
й
(XIII. 15)
155
Интегрируя (XIII 15) по р1{ в пределах от р„ до р,. и по !
от 0 до I. получим
	Рн Рн	Qarffai о	(XIII. 16)
Нз формулы дебита nWi(p2-P^		- n (PK /).	
где nkh	РРат In	 rc 3,14	0.5- ’.02-10—l-.12	
НРзт In		0,015-10	G 1.!	1.91-10»	
rc		0,1	
- 1,487-10	1,23-Н*---------
с-Па*	сут (кгс см-)4
найдем давление на забое скважины
А V к "V (ХШЛ7)
По значению забойного давления в конце разработки р, 1(ОП
найдем конечное значение давления на внешней границе рк ,
Рк кон = j/(Рг кон)2
/(1,012-10*)2 ----------------------
v	0,864 10г>-1,487 10~13
= 1,975 МПа 20,2 кгс/см2.
Подставляя полученное зна-
чение рькон в (XIII. 10), найдем
время истощения газовой за-
лежи
у Рн Рк кон
QarPar
12
9,8 (100 — 20,2)10* ОП1
——-----------—-----— 291 сут.
9,8-5105 1,033 104	j
3,14 500М2 0,2
Изменение во времени р, и
рс определяется из (XIII.16) и
(XIII 17).
Результаты подсчетов приведены на рис 86 и ниже.
t сут....................................... 0	50	100	150	200 291
рк. кгс/см4	100	86,3 72,6 58,9 45,2 20.2
Рс, кгс см2 .	................ 97,9 83 9 69,7 55.3 40,5 1,033
156
Задача 121
Определить изменение во времени дебита газовой скважины,
давления на внешней непроницаемой границе р (t) и давления
на забое скважины р, (?), эксплуатирующейся при поддержании
постоянной скорости движения 1аза в призабойной зоне пласта.
Начальное пластовое давление рн=9,8 МПа (100 кгс/см2), ра-
диус контура зоны тренирования /?,. = 750 м, мощность пласта
/г =10 м, коэффициент проницаемости пласта Р = 0,3 Д, коэф-
фициент пористости пласта т = 20%, динамический коэффици-
ент вязкости газа в пластовых условиях р =0,012 сП, радиус
скважины г-=0,1 м. Коэффициент с, который соответствует
максимально допустимой скорости фильтрации в призабойной
М*1*
зоне, определяемый практически, равен с = 0,0314 -----------
с (кгс/см2)
= 2,71-103----------- Принять атмосферное давление pdT~
сут - (кгс/см2)
= 0,098 МПа (1 кгс/см2)
Решение. Если газ отбирается при поддержании мак-
симально допустимой скорости фильтрации у забоя
скважины, го приведенный дебит
Qar 2nr,tomax-^;	(XIII. 18)
ftrt
обозначая
climax
Рят
получим
Qa СРс.	(XIII. 19)
С другой стороны.
Q.T nkhtt~® Л(Р2 _р2у (XIII.20)
I Кк
РРат 1П -
Гс
где
sikh
Л -------------------------------------
МРат In--
rc
Приравнивая соотношения (XIII 19) и (XIII 20), найдем
СРс П (/£	Р^-
откуда
Обозначая а = 2т]/с. запишем
Рс -1-1 + Г1	(XIII.21)
а
157
Подставляя (XIII.21) в(ХШ.19), найдем зависимость дебита
Qut от
<2аТ = -M-4-V 14- ^).
Из уравнения материального ба„ анса, заменяя среднее пла-
стовое давление контурным, найдем
dt= —	—$adpK
Qa-гРат	| 1 /~
(XIII.22)
Рат^
Вводя новую переменную

и интегрируя
z —арк=у 1
дифференциальное уравнение (XI 11.22), получим
t
Ратс
In а^н ’ I
а2Рк
’к “I
Рис 87
(XII1.23)
+ аДн — 1
2
2
Подсчитаем объем порового пространства
£2 = 3,14-750* 10-0,20 = 3,53-10е м3,
значение коэффициента
а _	2-3, ’ 1 0,3 1,02 - 1Q—10-0,864 1О-М9,8.1О«
0,012 10 3 0,098 106.2,3 1g——— 2,7 103
0,1
= и,576-10-3 1/Па.
158
Подставляя численные значения параметров а, с, р.ат и рп
в соотношение (ХШ.23), задаваясь различными значениями р1;,
определим значения г Соответствующие значения р, .(/) и
найдем из выражений (XIII.1
числений представлены на рис.
J, сет..........О	226	462
, МПа.......... 9,8	8.33	в.86
ре. МПа........ 9.62	8,15	6,68
<?ат :о м*/сут. 2,66	2,25	1,85
9) и (XIII.21). Результаты вы-
87, 88 и ниже.
776	1196	1825	В130	4250	6100
5,39	3.92	2.45	0.980	0 490	0,210
5,22	3,74	2,28	0,822	0.345	0.098
1,4451.0350,6320,227 0,0955 0,0271
XIV. ДВИЖЕНИЕ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ
ЖИДКОСТЕЙ С УЧЕТОМ НЕПОЛНОТЫ ВЫТЕСНЕНИЯ.
ТЕОРИЯ БАКЛЕЯ — ЛЕВЕРЕТТА
При проектировании разработки и эксплуатации нефтяных
и газовых месторождений большое внимание уделяется задачам
движения границы раздела двух жидкостей в пористой среде.
1 (апример, н нефтяных пластах, разрабатываемых при водона-
порнОхМ режиме, вода обычно не заполняет полностью область,
первоначально занятую нефтью В этой области происходит
одновременное движение вторгшейся воды и оставшейся, по-
степенно вымываемой нефти.
Решение такого важного вопроса, как повышение коэффи-
циента нефтеотдачи нефтяных месторождений, разрабатывае-
мых при поддержании пластового давления закачкой в пласт
воды или другого вытесняющего нефть агента, связано С зада-
чами фильтрации многокомпонентных жидкостей.
При фильтрации двухфазной жидкости для каждой фазы в
отдельности справедлив закон Дарси В общем случае при нали-
чии массовых сил фильтрация двухфазной несжимаемой смеси
описывается (по числу неизвестных pi, p%, Qi, Q2, о) следующей
замкнутой системой уравнений:
_	(XIV.1)
Ml X йх	/
__ fefe; (о)	_ pJA ю (x)t	(XIV. 21
Ш X
Pi-Pl	-£-) Ри^\	(XIV.3)
= — ган (х)	,	(XIV.4)
дх	dt
(XIV.5)
дх	' dt
где <т--насыщенность порового пространства первой (вытесняю-
щей) фазой; р и Р2 — соответственно давления каждой фазы,
159
которые, вообще говоря, не равны друг другу из-за капилляр-
ных эффектов; X — проекция массовых сил, отнесенная к сди
нице массы, рк(о) —капиллярное давление, R} и Rz— в фор-
муле Лапласа (Х1\ 3) —главные радиусы кривизны менисков
контактной поверхности, зависящие, в основном, от насыщен-
ности; а — поверхностное натяжение. Остальные обозначения
прежние.
На практике капиллярное давление считается известной экс-
периментальной функцией насыщенности и представляется в
виде зависимости безразмерной функции Леверетта /(о) =
— pb(o)cos-16 от насыщенности а порового простран-
ства вытесняющей жидкостью (рис. 89), 6 — статический крае-
вой угол между жидкостями и породой.
Оценки, сделанные М Маскетом, показывают, что в пласте
градиент капиллярного давления обычно мал по сравнению с
градиентом гидродинамическою давления всюду, кроме зоны
фронта вытеснения, где насыщенность о резко изменяется, а
поэтому имеют место большие значения градиента капиллярного
давления (см рис. 89), которые необходимо учитывать. Однако
из-за исключительной сложности решения задач двухфазной
фильтрации оба эти фактора не принимаются во внимание,
а капиллярность косвенно учитывается самим видом экспери-
ментальных кривых k\(о),	для несцементированных и
слабо сцементированных песков (рис. 90); на графиках k{ (ст) =
= /г;(о), k\(a) =/?н(о).
1[аиболее разработанной теорией является теория одномер-
ного движения двухфазной жидкости в пористой среде Баклея —
Леверетта
160
Рассматривая двухфазную фильтрацию в трубке тока по
сгоявного сечения при отсутствии капиллярного давления и без
учета массовых сил и полагая, что суммарная скорость фильт-
рации является постоянной величиной: + w2 = w = const, Бак-
лей и Леверетт из системы уравнений (XIV 1) — (XIV.5)
получили дифференциальное уравнение относительно а
(о) — + m — = О,	(XIV .6)
дх dt
где m — пористость пласта, /'(о) производная от функции Ле-
веретта
f(o) ------° '	=	(XIV.7)
Р-0^1 (°) + ^2 (а)
Уравнение (XIV.6) является квазилинейным дифференциаль-
ным уравнением 1 го порядка в частных производных.
Решение уравнения (XIV 6) имеет вид:
х х(о, 0) -—/'(о),	(XIV .8)
т
где х(о, 0) — координата точки с заданной насыщенностью о
в момент t=0
Уравнение (XIV 8) определяет перемещение точки с задан-
ной насыщенностью с течением времени.
Скорость распространения заданной насыщенности <г полу-
чим из уравш ния (XIV 8), взяв производную dxldt,
—	—	(XIV.9)
dt т
Функция Леверетта f(o) и ее производная f'(o) представ-
лены на рис. 91. Как видно из графика, одному и тому же
значению f'(n) определяющему скорость распространения на-
сыщенности заданной величины, соответствуют два разных
значения насыщенности о
Это означает, что, начиная с некоторого момента, распреде-
ление насыщенности становится многозначным, а это физически
невозможно. Многозначность означает, что в зоне движения
двухфазной жидкости имеет место скачок насыщенности
(рис 92).
Баклей и Леверетт из условия материального баланса полу-
чили формулу для определения значения фронтовой насыщен-
ности Оф (насыщенности на скачке)
°фУ <°ф) ~И°ф) “ °-	<XIV•10)
Очевидно, что фронтовую насыщенность <тф можно легко
определить графически. Проведя из начала координат каса-
тельную к кривой [(о) (рис 93) и опустив перпендикуляр из
161
точки касания на ось о, получим значение фронтовой насыщен-
ности.
Подставив <Тф в (XIV 8), можем найти координат'» скачка
насыщенности %ф.
Чтобы найти среднее значение насыщенности в переходной
зоне, разделим объем поступившей вытесняющей жидкости на
объем порового пространства переходной зоны, определяемого
1  .  о-;
координатой Хф пои площади поперечного сечения пчаста, рав-
ной единице.
°сР = (XIV. 1П
F тхф. 1
среднюю насыщенность схСр можно определить графически
следующим образом. Если продлить касательную к кривой f(o)
до nepeiечсния с прямой /(о)	•. то .значение ст в точке пере-
сечения и есть средняя насыщенность пср (см. рис. 93)
162
Как правило, среднее значение насыщенности порового про-
странства водой (уср значительно меньше единицы Поэтому, на-
пример, в процессах вытеснения нефти водой для более полного
извлечения нефти из пласта на объем добытой нефти нужно
закачать несколько объемов воды
Задача 122
Построить функцию Леверетта f(<j) в случае, если зависи-
мости относительных фазовых проницаемостей нефти k*v и
воды k* от насыщенности водой порового пространства о за-
даются кривыми Леверетта (см. рис 90), отношение щ - pF, рв =
=4.
Решение. Задаемся рядом значений о, для каждого зна-
чения а по графику Леверетта (см. рис. 90) определяем соот-
ветствующие к' и А’; подставляя их в (XIV.7), подсчитываем
f(n) и строим график f(o) (см рис 93). Результаты расчетов
приведены ниже,
о ........... 0	10	20	30	40	5(1	60	70	80 90 100
fe*................... 0,70	0,50 0,34 0.2.1 0,13 0.05 0,02 0	0
/г*.............О	0	0 0,01 0 05 0,11 0,21 0. . и,51 0.72 —
/(а).	. 0	0 и 0,074 0,37 0,66 0.87 0,96 0.99 1	1
Задача 123
Используя полученный в задаче 122 график функции Леве-
ретта (см рис 93), определить значение фронтовой насыщен-
ности <тф и средней насыщенности <т(р порового пространства
водой в зоне вытеснения нефти водой
Решение. Для определения фронтовой насыщенности Оф из
начала координат проведем касательную к кривой, выражающей
функцию Леверетта (см. рис S3) Значение насыщенности в
точке касания соответствует фронтовой насыщенности Оф —59'
Значение средней насыщенности найдем, продолжая каса-
тельную к кривой /(о) до пересечения ее с горизонтальной
прямой f(cr) = l Значение насыщенности в точке пересечения
касательной с прямой f(c>) — 1 определяет значение п,р=69%.
Задача 124
В однородном по мощности, пористости и проницаемости
пласте происходит прямолинейно-параллельное вытеснение
нефти водой по закону Дарси. Определить положение фронта
вытеснения в различные моменты времени, если пористость
пласта т =20%, ошошение ро=Ц2/щ =2, дебит галереи Q =
21.6-103 мусут, ширина фильтрационного потока S = 500 м,
мощность пласта Л=10 м. Зависимости относительных прони-
цаемостей нефти и воды от насыщенности порового простран-
ства водой задаются графиками Эфроса, для которых графики
163
функции Леверетта f(o) и ее производной Г(о) представлены
на рис. 94 и 95.
Насыщенность пласта связанной водой составляет Осв=18(,,.
Решение. Определим значение Оф, для чего проведем из
начала координат касательную к кривой f (о) (см. рис 941 Как
видно из чертежа, Оф = 0,84 и соответствующее значение произ-
водной /'(<Тф) = 1,4 (см. рис. 95). Суммарная скорость фильт-
рации
W Wj —
Q
Bh
21,6-1°з
----------------- 5-10 'м/с.
0,864 10s-500 10
Задаваясь различными значениями /, подсчитаем по (XIV.8)
координату фронта вытеснения лф, учитывая, что в начальный
момент времени х(оф, 0)=0.
Хф (Оф, t) - Г (Оф) -	1,4/ 3,5 • 10-4 / (в м)<
Результаты вычислений приведены ниже.
С Ч........................... 1	12	24	48	240
м......................... 1,26	15,1	30,2	60,4	302
На рис 96 представлено распределение насыщенности для
двух моментов времени.
164
XV. ФИЛЬТРАЦИЯ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ
Для некоторых нефтей закон Дарси не имеет места при
малых значениях скорости фильтрации Это свя ;ано с гем. что
нефти, содержащие повышенное количество парафинов и смо
листо-асфальтеновых веществ, представляют собой неньютонов
с не жидкости, т. е жидкости, для которых зависимость каса-
тельного напряжения т от градиента скорости duldn не подчи-
няется закону Ньютона
Эти нефти главным образом, при низких- температурах об-
ладаю! вязко-пластическими свойствами и их течение прибли
женно описывается моделью Бингама Шведова с реологиче-
ским ураьн< нием
т т0 Ц-—, т>т<»
dn
О,
dn
Т< То
(XV.1)
Величина т0 называется предельным напряжением сдвига.
Эта же зависимость приближенно выполняется для глини-
стых и цементных растворов, растворов жидкостно-песчаных
смесей и т д.
Проявление неныотоновских свойств жидкостей при их
Фильграции приводит к закону фильтрации с предельным гра-
диентом давления G
w	G\ |-^- I > G,
“'“.J "	(XV.2)
w 0, ------- G.
I i
Величина G гависит от предельного напряжения сдвига т
и среднего диаметра пор (G ато/'У& где а — безразмерная кон-
станта) .
Закон фильтрации (XV.2) может иметь место и в том случае,
когда наблюдается физико-химическое взаимодействие фильт-
рующихся жидкостей и газожидкостных смесей с пористой
средой, содержащей примеси глины
Формула дебита скважины при плоскорадиальной фильтра-
ции неньютоновской жидкости получается при интегрирова-
нии (XV 2)
q znkh |	— рс — О’ (RK — гс) ]
1
р In--
гс
а формула, выражающая закон распределения в пласте, в виде
165
р^рс^ Рк~-?с GRk In— :-G(r-rr).	(XV.4)
ln-^
rc
И (XV.3) видно, что дебит неньютоновской жидкости
„	2 nkh(j (RK — rc)
меньше, чем ньютоновской на ----------------— , а при депрессии
[X In (1?К/ГС)
Ръ-—pe<Z(j(RK—-Тс) обращается в нуль. Индикаторная линия
прямолинейна, но не проходит через начало координат, а отсе-
кает на оси депрессий отрезок, равный
Ар0 = G(RK — гс).
При фильтрации неньютоновской жид-
кости по закону (XV.2) в пласте воз-
можно образование застойных зон, в ко-
торых движение жидкости отсутствует
Эти зоны образуются в тех участках
пласта, где градиент давления меньше
предельного На рис. 97 застойная зона,
расположенная между двумя эксплуа-
тационными скважинами с равными де-
битами, заштрихована Возникновение
застойных зон уменьшает нефтеотдачу
пластов. Величина застойной зоны зави-
сит от параметра X=Qp/kGL. Здесь L —
характерный размер, например половина
расстояния между соседними скважи-
нами.
Задача 125
В пласте происходит фильтрация неньютоновской жидкости
с предельным 1радиентом давления 0=0,03 (кгс/см2) м. Найти
дебит скважины и построить индикаторную линию- при плоско-
радиальной установившейся фильтрации, а также сопоставить
с дебитом ньютоновской жидкости, если мощность пласта К
= 7 м, коэффициент проницаемости fe = 0,7 Д. давление на кон-
туре питания Pt, = 100 кт с см2, 1абойное давление рс —70 кгс/см2
радихс контура питания /?,. =400 м, радиус скважины гс = 0,1 м,
динамический коэффициент вязкости нефти р = 17 сП
Ответ: Q = 34,0 м3/сут; <2Ныит = 56>' м3/сут
> равнение индикаторной линии
Q 19,2 (рк рс) —22.6,
здесь Q в м3/сут; (рь р<) в МПа
Задача 126
Используя данные предыдущей задачи, найти распределение
давления в пласте при фильтрации неныотоновской нефти с
предельны!) градиентом
166
Ответ: р 6,86 + 0,49 !g — + 2,94-10~*( ------------1).
ГС	гс
г)гс ............... I 5 ю 100	1000	4000
р, МПа.............. 6,86	7,20	7,35	7,87	8,62	9.80
Задача 127
Оценить предельный градиент G и предельное напряжение
сдвига т® по промысловым данным исследования, После дли-
тельной эксплуатации скважины в пласте с неньютоновской
нефтью увеличивают противодавление на пласт до р . -
= 70 кгс/см2, при котором прекращается поступление нефти в
скважину Затем закачивают в нее такое количество той же
нефти, при котором начинается поступление жидкости в пласт;
при этом давление на забое будет />с=120 кгс/см2 Известно,
то радиус контура питания /?к=500 .м, коэффициент прони-
цаемости пласта 6 = 300 мД, коэффициент а принять равным
ц= 1,70-10-2 [ю]
Решение. До остановки скважины распределение давления
в пласте подчинялось формуле lXV.li, В момент прекращения
движения
Ph-P’c = GRk	(XV.5)
и распределение давления линейно
p — pzR-Gr.	(XV .6)
При закачке нефти в скважину поступление нефти в пласт на-
чинается не сразу, а лишь по достижении депрессией (р - рк)
значения GRK:
Р' -р„ GR„.	(XV.7}
Исключив из формул (XV.5) и (XV.7) рк, получим
G = Pc- V =.»20 — 70	0 05 Urc/?1-1	4 9 1Сг»Пам.
2RK 2 • 500	м
Учитывая, что О-ат() I'k, найдем
G/Г
10 —
4.9 10» , о,з 1,02 ю-12	_	.
!	----- ==0,159 г! м“ =
1.70 10 2
1,6-10 кгс/см2
а
I
СОДЕРЖАНИЕ
м!
Pl
П1
Ю
д1,
р
л
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	Баренблатт i И, Ентов В М Рыжик В М Теория нестационарной
фильтрации жидкости и газа. М„ Недра, 1972
2	Бронштейн И Н . Семендяев К Л. Справочник по математике М.
Физматгиз, 1962
3	Гиматудинов Ш К Физика нефтяного и газового пласта М Недра,
1971
4	Говорова Г Л Сборник задач по разработке нефтяных и газовых мес-
торождений М , Гостоптехиздат, 1959
5	Градштейн И С, Рыжик И М. Таблицы интегралов, сумм,
произведений. М, Физматгиз, 1962
6	. Закиров С Н Лапук Б Б Проектирование и разработка
месторождений М Недра, 1974.
7	Лапук Б Б Теоретические основы разработки месторождений
ных газов М, Гостоптехиздат, 1948
8 Лейбензон Л С Движение природных жидкостей и газов в пористой
среде. М, ТИТТЛ, 1947
° Маскет М Течение однородных жидкостей в пористой среде М , Гос-
топтехиздат. 1949
10	. Мирзаджанзаде А X . Ковалев А Г., Зайцев Ю В Особенности экс-
плуатации месторождений аномальных нефтей М, Недра, 1972
II	Мироненко В Т Подсчет дебитов с~—
Груди Московского нефтяного института, вып 1
12	ПирверОян ,4. М Нефтяная подземная
нздат. 1956
13	. Пыхачев Г. Б Исаев Р Г Подземная
!	1 Пыхичев Г- Б Сборник задач по кур
Гостоптехиздат. 1957.
15. Телков 1 II Стклянин Ю И Образование конусов воды при добыче
нефти и газа М Недра. 1965
I'l Упругий режим фильтрации и термодинамика пласта М Недра,
1972
17 Чарный И Л. О предельных дебитах и депрессиях в водоплавающих
и подгазовых нефтяных месторождениях. Труды Совещания по развитию
нау цо-исследокательеких работ в области вторичных методов добычи нефти.
Бат ’ Азнефтеиздат, 1953
Чарный И А Основы подземной гидравлики
19 Чарный И Д Подземная гидрогазодинамика
А.
21	Щелкачев В Н., Лапук Б. Б Подземная гидравлика. М
издат, 1949
22	Щелкачев В Н Разработка нефтеводоносных
режиме М„ Гостоптехиздат, 1959
23	Эфрог Д А Исследования фильтрации неоднородных
Гостоптехиздат, 1963
24	Probleme <1е hidraulica subterana Autori I Cretu A Scare, V. David.
A. Osnea. tditura texnica Bucurecti, 1967 (1966i
рядов Н
газовых
природ
Груди
нздат,
18
1956.
1963
20.
Ширковскии
М Недра 1974
издат. 1949
И Задари
и
16
скважин прямолинейной батареи.
- 16, 1956.
гидравлика Баку, Азнефте-
гидравлика М., Недра, 1973
урсу ’Подземная гидравлика/- М,
М„ Гостоптехиздат
М_, Гостоптехиздаг.
Г. И Добыча и подземное хранение газа
, Гогтоптех-
пластов при упругом
систем М.
Предисловие
I. Основные понятия теории фильтрации...............................
§ I Фильтрация..............................................
S 2. Линейный закон фильтрации Дарси. Коэффициенты проницаемости
и фильтрации.........................♦	......................
|1 Пределы применимости закона Дарси. Нелинейные законы фильтрации
§ 1 ПКМфкЯ Рейноль"сз................................................
§ 2. Нелинейные законы фильтрации....................................
III. Одномерное движение несжимаемой жидкости в условиях водонапор-
ного режима............................................................
4 I, Прямольпепно-параллельное движение несжимаемой жидкости. Прмюк
к дренажной галерее..................................................
§ 2, Плоскорадмзльное напорное движение несжимаемой жидкости. Прнл -
К совершенной скважине. Формула Дюпюи ....	.	.
4 3. Радиально-ефсепческое движение несжимаемой жидкости по закону Дарси.
IV. Установившаяся плоская фильтрация жидкости. Интерференция сква-
жин. Связь плоской задачи теории фильтрации с теорией функции ком-
плексного переменного ..................................................
§ 1. Потенциал точенного стока и источника ни плоскости. Принцип супер
позиции. ..................................................... .	.
§ 2 Интерференция скважин................... .......................
4	3. Метод эквивалент пых фидотрационных сопротивлений..............
§	4. Связь плоской задачи теории фильтрации г теорией функций комплексного
переменного.	...........		.
V.	Влияние гидродинамического несовершенства скважины на ее дебит.
VI.	Установившееся безнапорное движение жидкости в пористой среде.
§ I, Безнапорное движение жидкости к прямолинейной галерее ....
§ 2 безнапорное дгпжиние. ж	к скважине........................
VII. Движение жидкости в пласте с. неоднородной проницаемостью .
Установившаяся фильтрация сжимаемой жидкости и газа .
1.	Аналогия между уста «овившейся фильтрацией сжимаемой жидкости (гаяа)
я	функция Лейбензона.......................
2.	Установившаяся фильтрация сжим ••.'О' «илкосп!..............
:?•. Уг гневившаяся фильтрация идеального газа .	.................
4.	Установившаяся фильтрация реального газа ........
'III
§
§
§
IX.	Установившаяся фильтрация газированной жидкости.................
X.	Движение границы раздела двух жидкостей в пористой среде .
§	. Вытеснение нефти водой.
§	2 Конус подошвенной поды Определение предельного безводного дебита
скважины......................................................
XI.	Установившаяся фильтрация жидкости и газа в деформируемом тре-
щиноватом пласте
4 1. Основные характеристики.....................................
$ 2. Установившаяся влоскорадиальная фильтрация жидкости н газа и трещи-
поваром пласте .......	.....................
XII.	Неустановившаяся фильтрация упругой жидкости в упругой пори-
стой среде ..........................................................
I.	Основные определения........................................
5 2. Точные решения дифференциального уравнения упругого режима .	.	
5 3. Приближенны» метопы пешениП..............................
§ 4 Суперпозиция в задачах упругого режима.......................
XIII.	Неустановившаяся фильтрация газа...............................
XIV.	Движение границы раздела двух жидкостей с учетом неполноты вы-
теснения. Теория Баклея — Леверетта..................................
XV.	Фильтрация неиьютоиовской жидкости..............................
Список литературы.............................  .	. . .	. .
3
1
6
12
13
16
16
17
20
25
25
28
30
58
68
69
73
81
81
83
85
102
111
lit
114
119
119
120
127
127
125
130
131
149
159
165
168