/
Теги: электротехника общая радиотехника радиотехника антенны радиотехнические устройства
Год: 1984
Текст
ANTENNAS
IN MATTER
FUNDAMENTALS, THEORY,
AND APPLICATIONS
RONOLD W. P. KING
GLENN S. SMITH
WITH
MARGARET OWENS
TAI TSUN WU
THE MIT PRESS
CAMBRIDGE, MASSACHUSETTS, AND LONDON,
ENGLAND
1981
Р. КИНГ, Г. СМИТ
АНТЕННЫ
В МАТЕРИАЛЬНЫХ
СРЕДАХ
В 2-Х КНИГАХ
1
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Д-РА ТЕХН. НАУК
В. Б. ШТЕЙНШЛЕЙГЕРА
МОСКВА
«МИР» 1984
ББК 32.845
К 41
УДК 621.396.67
Р. Кинг, Г. Смит
Антенны в материальных средах: В 2-х книгах. Кн. 1.
Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — 824 с., ил.
В книге американских специалистов глубоко и всесторонне рассмотрены
вопросы разработки и применения антенн, помещаемых в различные материаль-
ные среды (воду, землю, биологические структуры, плазму) Описаны методы
экспериментального исследования таких аитеин, а также приведены электриче-
ские характеристики различных поглощающих сред. В русском переводе выходит
в двух книгах,
Для научных работников и инженеров, занимающихся разработкой антенн
и их применением.
Редакция литературы по новой технике
2402020000-260
К~б4Ц0ТН4~ *57’84’ Ч- '
Copyrihgt © 1981 by The Massachusetts
Institute of Technology
© Перевод на русский язык, «Мир», 1984
Предисловие редактора перевода
В ряде важных практических применений радиотехнических устройств
антенна находится в среде (или вблизи нее), электрические параметры кото-
рой значительно отличаются от соответствующих параметров воздуха. К та-
ким областям применения антенн относятся подземная и подводная радио-
связь, геофизические исследования, использование разнообразной радиоаппа-
ратуры для медикобиологических исследований, медицинской диагностики и
терапии, радиодиагностика плазмы, радиосвязь через плазменную среду и т. п.
В большинстве приложений среда, в которой находится антенна, характери-
зуется существенным поглощением энергии.
Имеющаяся на русском языке литература по антеннам представлена ря-
дом фундаментальных монографий и учебников (см., например, [1*—5*] '),
посвященных в основном антеннам, находящимся в пепоглощающей среде.
Антенны, работающие в поглощающих средах, обладают специфическими осо-
бенностями. Некоторые установившиеся представления классической теории
антенн, развитой применительно к антеннам, находящимся в непоглощающей
среде, а также методики эксперимента требуется существенно корректиро-
вать, когда поглощением энергии в среде, окружающей антенну, нельзя пре-
небречь.
Теоретические и экспериментальные работы, относящиеся к антеннам, на-
ходящимся в поглощающих средах, опубликованы в основном в журналах за
последние 10—15 лет. На русском языке книг, обобщающих эти работы, нет.
Между тем в связи с широким применением в последние годы в науке и
технике антенн такого рода потребность в руководствах обобщающего харак-
тера весьма ощутима.
Предлагаемая вниманию читателей книга известных специалистов в обла-
сти антенн в значительной степени восполняет указанный пробел. Здесь не
только достаточно полно систематизированы и обобщены результаты теорети-
ческих и экспериментальных работ по антеннам, работающим в поглощающих
средах, но и приведен ряд новых сведений, в частности из многочисленных
неопубликованных научных отчетов.
Книга состоит из трех частей. В части I (гл. 1—4) излагаются основы
теории антенн, находящихся в материальных поглощающих средах. Весьма
удачно с методической точки зрения параллельно излагаются теория длинных
линий и теория дипольной антенны, так что читатель может проследить, в
каких случаях теория длинных линий применима к антеннам без заметных
погрешностей и когда ее применение приводит к существенным ошибкам. Эта
часть служит своеобразным введением к основной в книге части II (гл. 5—II).
В части II значительно полнее и строже развивается теория основных
типов антенн, окруженных различными материальными средами. В первых двух
главах этой части весьма детально излагаются основные положения электро-
динамики поглощающих сред, а также выводятся формулы, связывающие
*) Список литературы, ссылки на которую отмечены звездочкой, приведен
в конце второй книги.
в
Предисловие редактора перевода
макроскопические и микроскопические электрические параметры материаль-
ных сред. Весьма полезными являются подробные данные об электрических
характеристиках (включая релаксационные параметры) различных поглощаю-
щих сред, в которых могут работать антенны: льда, пресной и морской воды,
различных земных пород, биологических структур, плазмы.
Часть III (гл. 12, 13) посвящена вопросам экспериментального исследова-
ния антенн в различных поглощающих средах методом масштабного модели-
рования. После краткого, но содержательного освещения теории электромаг-
нитного моделирования авторы приводят данные об электрических характе-
ристиках различных материалов, используемых при моделировании: ряда
жидкостей (в том числе смесей), композиционных материалов, имитирующих
биологические структуры (ткани человеческого тела), и др. Подробно описы-
ваются установки для экспериментального исследования антенн, работающих
в воде, земле, биологических средах. Часть 111 представляет значительный
интерес, для экспериментаторов.
Несколько замечаний о терминологии. Авторы применяют термин material
media (материальная среда) в определенном физическом смысле, а именно:
материал (среда) отличается от вакуума. Широко используются термины
«монополь» (monopole) и «диполь» (dipole) для соответствующих антенн.
В литературе иа русском языке эти термины применяются (см., например,
[б*]), но более распространенными являются термины «несимметричный виб-
ратор» и «симметричный вибратор» соответственно. Однако, учитывая, что
такие антенны в оригинале книги упоминаются очень часто, мы сочли целесо-
образным сохранить в переводе более краткие термины (несмотря иа их
условность), чтобы излишне не удлинять фразы и облегчить чтение книги.
Давно введенные в электротехнике и радиотехнике термины «импеданс» и
«адмитанс>д..рекоторое время заменялись более длинными терминами: «полное
сопротивление» ш*«полная проводимости». В последние годы в литературе
опять стали использовать указанные традиционные термины, что сделано и
при переводе дайной книги.
Монография представляет собой фундаментальный труд, в котором опи-
сана работа антенн в материальных средах, приведены электрические харак-
теристики наиболее важных поглощающих сред и изложена методика соот-
ветствующих экспериментальных исследований. Она будет весьма полезна
научным работникам, инженерам и аспирантам, занимающимся антеннами,
предназначенными для работы в воде, земле, биологических структурах,
плазме, а также интересующимся вопросами распространения радиоволн в
этих средах.
Перевод выполнен О. О Вороновой (гл. 1), капд. техн, наук Г. С. Мисеж-
ннковым (гл. 3), канд. техн, наук А. А. Визелем (гл. 4, 9, 10, И), С. А. Эль-
киндом (гл 2, 5, 6, 7, 8, 12, 13).
В. Б. Штейншлейгер
Предисловие
Аитеины находят все более широкое применение помимо радиосвязи
над поверхностью Земли. Чтобы осуществить связь под водой между под-
водными лодками и водолазами или под землей между поездами в метро или
шахтерами в штольнях, требуется создать направленные антенны, работаю-
щие в широкой полосе частот в различных средах от хороших проводников
до диэлектриков. В геофизической разведке и медицинской телеметрии ан-
тенны помещаются в такие среды, как почва, сухой песок, морская и пресная
вода, арктический лед, плазма с самыми различными значениями элек-
тронной плотности и частоты столкновений, а также в разнообразные органи-
ческие ткаии в живых организмах, например жировую или мышечную ткаиь.
Эти антенны могут быть сконструированы в форме простых металлических
неизолированных диполей и рамок или изолированы слоем диэлектрика и
сгруппированы в направленные решетки. Успешный расчет и применение та-
ких антеии возможны только на основе точных количественных знаний их
поведения в электрических цепях и излучающих свойств, когда оии находятся
в дайной среде на различных расстояниях от ее граничной поверхности. На-
стоящая книга вводит читателя в круг проблем, связанных с антеннами в
средах, знакомит с аналитическими, численными и экспериментальными мето-
дами их решения.
Вначале дипольные аитеины рассматривались как развернутый участок
двухпроводной длинной линии с синусоидальным распределением тока. Такое
приближение хорошо подходит для длинной линии, ио совсем ие пригодно
для точного количественного описания антенн. К сожалению, точная теоре-
тическая постановка и решение задачи об излучении простейшего тонкого
проволочного диполя удивительно сложны, даже если диполь находится в
воздухе. Задача намного усложняется, если диполь помещен в поглощающую
или диэлектрическую среду. Это прежде всего объясняется тем, что сопро-
тивление излучения антеии зависит от электрических размеров антенны в це-
лом, а не является удельным параметром, рассчитанным на единицу длины,
подобно импедансам и адмитансам длинной линии. Важным исключением
средн антеин, помещаемых в такие среды, как почва, пресная или морская
вода, является антенна в виде изолированного тонкого провода. Хотя теоре-
тический анализ антенн такого типа ие менее сложен, чем анализ неизолиро-
ванной антенны, он приводит к одному важному выводу: у изолированных
антенн, работающих в самых разнообразных условиях, распределение тока
оказывается весьма близким к синусоидальному с комплексным волновым
числом, так что антенна по существу ведет себя как обобщенная длинная
линия с распределенным сопротивлением излучения, рассчитанным на единицу
Длины. Этот факт имеет большое педагогическое значение, поскольку оказы-
вается возможным точное количественное изучение важного класса антеии
н зондов в среде с применением несложного математического аппарата обыч-
ной теории длинных линий. На таком принципе в начале книги дается введе-
ние в теорию антеин в поглощающей и диэлектрической средах, доступное
студентам, без потери точности и строгости изложения.
8
/7 редисловиё
Часть I данной киши—вводная, в ней элементарно излагаются основные
понятия. Вместе с тем она является достаточно полной, так как рассматри-
ваются многочисленные формы н различные приложения изолированных ан-
тенн. В этой части, посвященной в первую очередь изолированным антеннам,
дается краткое введение в теорию неизолированных антенн в упрощенном
приближенном виде. Оба типа антенн рассматриваются как зонды в мате-
риальной среде. Описывается также распространение в такой среде плоских
волн и импульсов.
Часть II посвящена современной теории антенн в различных средах. Она
начинается с подробного рассмотрения электромагнитных уравнений в одно-
родной изотропной среде и содержит основные соотношения между парамет-
рами среды. Представлена полная теория неизолированного диполя в произ-
вольной среде и дан строгий анализ изолированной антенны. Аналогичный
анализ проведен для неизолированной и изолированной рамочных антенн.
В заключительной главе ч. II рассматривается задача радиосвязи между ан-
теннами под поверхностью раздела сред вблизи плоской границы воздуха и
полупространства с произвольной средой.
В части III описываются построение экспериментальных моделей антенн
и зондов в поглощающей и диэлектрической средах и связанная с этими мо-
делями техника измерений. Материал излагается здесь на уровне ч. I. Эти
две части, представляющие собой введение в теорию антенн в средах и тех-
нику эксперимента, в доступной форме знакомят читателя с элементарной
теорией и применением таких антенн. В части II изложена современная тео-
рия для научных работников и аспирантов. Например, в Технологическом
институте шт. Джорджия вводный односеместровый курс для аспирантов по
этому предмету начинается с изложения электродинамики по материалам
гл. 5 и 6 ч. II. Неизолированные и изолированные линейные антенны рассма-
триваются на уровне гл. 1 и 2 ч. I е добавлением материала из гл. 7 и 8
ч. II. Материал по линейным излучателям из гл. 3 ч. I приводится как при-
мер приложения теории таких антенн. На протяжении всего курса исполь-
зуется материал из ч. III для того, чтобы показать, как получаются экспери-
ментальные результаты, которые можно сравнить с результатами теории.
Для полей с гармоническим изменением во времени применяются два
обозначения e~‘at и выбор обозначения зависит от того, к какой физи-
ческой величине относится запись. Например, в гл. 1 ч. I при рассмотрении
изолированной линейной антенны используется запись e~itai принятая в лите-
ратуре по этому вопросу, а в гл. 3 при обсуждении эквивалентной схемы
приемного зонда применяется запись принятая в теории цепей. В каж-
дой главе используется только одно обозначение. Простая подстановка
j = —i преобразует одно обозначение в другое. '
Рукопись написана Ронольдом У. П. Кингом и Глениом С. Смитом,
в значительной степени опираясь на публикации, в которых основные резуль-
таты теоретических исследований принадлежат Таи Т. By. Это, в частности,
относится к общей теории неизолированных и изолированных антенн, пред-
ставленной в ч. II. Идея написания вводной части книги с использованием
теории длинных линий также принадлежит Т. Т. By. Подготовка и уточнение
рукописи, техническая коррекция текста н многочисленных иллюстраций вы-
полнены Маргарет Оуэнс. Она также составила указатели.
Основной вклад в теорию изолированной антенны с эксцентрически рас-
положенным проводом, связанных изолированных антенн и горизонтальных
антенн, одиночных п связанных, внес Л. К. Шен. Он также выполнил основ-
ные измерения полей излучения изолированных антенн. Приведенные в тексте
результаты сложных и важных измерений параметров помещенных в мате-
риальную среду связанных неизолированных антенн, изолированных антенн,
одиночных и связанных, и изолированных антенн с эксцентрическим располо-
жением провода получены С. Р. Мишра.
Предисловие
9
Были использованы также следующие работы: К. Иизука — моделирова-
ние неоднородной среды, К. М. Ли — теоретический расчет и измерение пара-
метров изолированных антенн, Л. Д. Скотт — точное измерение параметров
неизолированных антенн в поглощающей среде, М. Сигель — эксперименталь-
ное исследование электромагнитного поля антенны бегущей волны в морской
воде, Р. М. Сорбелло — измерение и теоретический расчет горизонтальной
проволочной антенны и антенны Бевереджа и М. А. Уорд — исследование ан-
тенны в цилиндре с холодной плазмон. В книгу включены результаты иссле-
дований К. Л. Шена, Л. Дж. Купера, К. У. Харрисона, Р. Б. Мака, Т. Мори-
та, Б. Рама Рао и К. И. Тинга.
Барбара Сандлер составила программы и произвела вычисления, в част-
ности, данных для таблиц в гл. 11.
Точные механические работы, обеспечившие возможность проведения
экспериментов в Гарвардском университете, выполнил Нил Уитмен. Большин-
ство рисунков и иллюстраций подготовили Маргот Баррел, Таис Картер и
Уильям Минти, а фотографии сделали Арманд Дионе и Ричард Макдональд.
Многие исследования, которые легли в основу данной книги, выполнены
в Гарвардском университете при поддержке министерства обороны, Нацио-
нального научного фонда и Национального управления по аэронавтике и ис-
следованию космического пространства.
Авторы выражают благодарность всем, кто участвовал в исследователь-
ских работах и оказывал помощь в подготовке рукописи.
Декабрь 1978 г.
Ронольд У. П. Кинг
Маргарет Оуэнс
Таи Т. By
Гарвардский университет, Кембридж, шт. Массачусетс
Гленн С. Смит
Технологический институт шт. Джорджия
Атланта, шт. Джорджия
Часть I
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ АНТЕННАХ В СРЕДАХ
Глава 1
ИЗОЛИРОВАННЫЕ АНТЕННЫ
1.1. ВВЕДЕНИЕ. АНТЕННЫ В ОДНОРОДНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Антенны можно помещать в материальные среды, такие, как
почва, морская и пресная вода, арктический лед, плазма или
живой организм, в целях связи, телеметрии, разведки или диаг-
ностики. Наиболее простые излучающие, приемные или рассеи-
вающие элементы применяются в этих средах отдельно или
группируются в направленные решетки. Такими элементами яв-
ляются диполи и рамки или монополи и полукольцевые рамки,
помещенные над хорошо проводящей поверхностью земли. Ха-
рактеристики антенных элементов и решеток, когда они окру-
жены материальной средой, сильно отличаются от их характе-
ристик в воздухе благодаря влиянию электрических свойств
материала среды и даже ее формы и размеров, если влияние
материальной среды не очень сильное. Для простоты вначале
можно считать среду бесконечно протяженной и заполненной
однородным изотропным материалом.
Интересующие нас электрические свойства простого поляри-
зующегося и проводящего материала в поле с временной зависи-
мостью е~‘№{ и круговой частотой со = 2nf следуют из основных
соотношений J = оЕ и Р = (е — ео) Е, где J — вектор объемной
плотности тока и Р — вектор поляризованное™ [1]. Эти вели-
чины получаются путем интерполяции сумм J* = еЛ//Ат* и
pft = Z/ где суммирование проводится по всем заря-
дам в/, и относятся к центрам малых объемов ДтА. Каждый из
таких элементарных объемов содержит достаточное число заря-
дов е/ для получения регулярной статистики, а его размеры
малы по сравнению с учитываемыми макроскопическими рас-
Изолированные антенны
11
стояниями. Каждый из зарядов е, имеет скорость V/, а его по-
ложение определяется вектором d/, соединяющим центр объема
Дтд. с зарядом е,. Непрерывные функции J и Р принимают зна-
чения J* и РА в центрах объемов ДтА и плавно изменяются
между ними.
Коэффициенты пропорциональности о и (е — е0) в общем
случае комплексные: проводимость о = о' -ф io" и диэлектри-
ческая проницаемость е = &' + ie". Заметим также, что е = еоег,
где ег — относительная диэлектрическая проницаемость, а элек-
трическая постоянная е0 = 8,854 • 10~12 Ф/м. Мнимая часть о"
проводимости о связана с инерционностью проводимости среды,
например ионного раствора, состоящего из больших ионов.
Мнимая часть е" проницаемости е связана с инерционностью
процессов поляризации диэлектрика, например диэлектрика,
состоящего из тяжелых ионов в сильно связанных атомах и
молекулах. Эти параметры входят в уравнения Максвелла и
граничные условия задачи в следующей комбинации:
ё = е + /а/а> = ее + 1ое/(>> = е0(еег -ф /<те/®е0), (1.1)
где эквивалентная вещественная проницаемость ее = боеег и
эквивалентная вещественная проводимость ое соответственно
равны
ее = е,' — ае = о' -ф ®е". (1.2)
Величина ё, определенная в (1.1), называется комплексной
диэлектрической проницаемостью. Магнитную проницаемость р
всех сред считаем вещественной величиной; р — рпЩ, где р0 —
= 4л-10-7 Г/м — магнитная постоянная. Относительная магнит-
ная проницаемость рассматриваемых сред р, = 1 и р = р0.
Комплексная диэлектрическая проницаемость ё входит в вы-
ражения для волнового числа k и нормирующего множителя
Д. Эти величины выражаются следующим образом:
j o(pejl/2(l-ф ;К)1/2, еег>0, (1.3а)
k = Р -ф ia = ® (ёр)1,2 = j (i(dpoe)’/2, eer — 0, (1.36)
[i®(p|ej)1/2(l -ОМ''2. еег<0, (КЗв)
где (5 — вещественная фазовая постоянная, а — коэффициент
затухания и
Ре = ое/ауее (1.4)
— тангенс угла потерь. Нормирующий множитель определяется
выражением
(1.5а)
12
Г лава !
где £0 = (р.0/е0)1/2 ~ 120 лОм. Заметим, что для воздуха ц — Цо
И Р = Ро = ®(роЕо) 1/2, и поэтому
А=1. (1.56)
Применяется и другая форма выражений для волнового числа:
(<o(pee)1/2[f(pe)+ ig{pe)], eer>0, (1.6а)
1г = Р + ia — < „
[£(Ш) + '7(|Ре1)1> еег < 0, (1.66)
где для положительного ре
f(p,,) = ch[(l/2)Arshpe] = +V^CV1 +Ре + О- 0-7а)
g(pe) = sh [(1/2) Arsh ре] = + д/‘/2 (д/П7^ “"О • 0-76)
Для большинства твердых и жидких материалов относитель-
ная вещественная эквивалентная проницаемость больше еди-
ницы, еег^1, и применимы формулы (1.3а) и (1.6а). В этом
случае
Р = со (рее)1,2 f ( ре) > а = со (рее)1/2 g (ре). (1.8)
Последнее условие выполняется и для докритической плазмы,
когда 0<еег<;1. В закритической плазме вещественная ди-
электрическая проницаемость становится отрицательной и вы-
полняются формулы (1.3в) и (1.66):
P=®(^|ee|)V2^(|pe|)<a = (1)(Fl|eJ)l/2f(|/7£;(). (L9)
Промежуточный случай представляет формула (1.36), когда
а = р. Это условие относится к хорошим проводникам, метал-
лам с ре 1 и к плазме, плазменная частота которой близка
к со.
Если неизолированную антенну поместить в проводящую сре-
ду, такую, как морская вода, то можно ожидать быстрого
уменьшения тока вдоль антенны по мере удаления от входа
антенны, поскольку в окружающей среде существуют парал-
лельные проводящие пути для тока. Существование такого
явления подтверждает рис. 1.1.1, где справа показано распреде-
ление тока вдоль полуволнового монополя, опущенного в мор-
скую воду. Иначе выглядит распределение тока в той же ан-
тенне, если се опустить в пресную воду (рис. 1.1.1, слева). Силь-
ная зависимость тока в антенне от свойств среды, в которую ее
помещают, является, очевидно, полезным свойством неизолиро-
ванного диполя или монополя, применяемого для целей диаг-
ностики (см. гл. 3). С другой стороны, для целей связи нужны
антенны, в которых сильные токи текут на значительных рас-
Изолированные антенны
13
стояниях от входа и создают полезные электромагнитные поля.
Однако это невозможно в случае неизолированных металличе-
ских антенн в проводящей среде.
Чтобы уменьшить или исключить утечку тока из антенны
в соприкасающуюся с ней проводящую среду, антенну можно
покрыть изолирующей оболочкой. В зависимости от толщины
изоляция может не только предотвратить утечку свободных за-
рядов из антенны, но и значительно ослабить зависимость рас-
пределения тока от электрических свойств окружающей среды.
“Благодаря этому свойству изолированные антенны мало по-
лезны для целей диагности-
ки, н0 Ценны для связи и те-
леметрий.
При изучении антенн в
воздухе мы в первом при-
ближении рассматривали
диполь как разомкнутую на
конце двухпроводную ли-
нию с синусоидальным рас-
пределением тока. Такое
приближение оказалось
очень грубым, поскольку из-
лучение разомкнутой двух-
проводной линии с малым
расстоянием между прово-
дами пренебрежимо мало,
0-1 2
alfi-0,97 /
МА.'0,5 9
Л-48,6
0 2 4
(f/A)-\I\(V, .мАfa
в
Рис. 1.1.1. Распределение тока вдоль
диполя, помещенного в пресную (оа —
= 4-10~3 См/м, слева) и морскую воду
(ас = 4 См/м, справа). Нормирующий
множитель А = Р^о/сощ
---- теория (Кинг, Сандлер и By); • из-
мерения Скотта.
тогда как излучение очень
велико, если линия переходит в диполь. Поэтому и распределе-
ние тока, и адмитанс на входе антенны совершенно различны
у разомкнутой двухпроводной линии и диполя, и простая фор-
мула для тока в длинной линии не верна для тока в дипольной
антенне. Это справедливо для помещенной в любую проводящую
среду двухпроводной линии, раскрытой таким образом, что она
образует симметрично возбуждаемый диполь. Основная причина
состоит в том, что излучение диполя и в воздухе, и в материаль-
ной среде определяется антенной в целом; излучение нельзя
рассчитывать на единицу длины проводника как потери в двух-
проводной линии.
С другой стороны, излучение изолированной антенны, поме-
щенной в электрически относительно плотную среду, можно
рассчитать на единицу длины почти так же, как рассчитывают
на единицу длины коаксиальной линии потери в диэлектрике
или в проводниках. Поэтому изолированная антенна может быть
с приемлемой точностью описана обобщенной теорией обычной
коаксиальной линии.
14
Глава 1
1.2. КОАКСИАЛЬНАЯ ЛИНИЯ
Прежде чем излагать обобщенную теорию коаксиальных
линий и свойства изолированных антенн, целесообразно кратко
рассмотреть известную теорию обычной коаксиальной длинной
линии. Это позволит ввести определения для соответствующих
параметров в виде, удобном для последующего обобщения. При
этом можно использовать понятие отрезков линии, которые
весьма близки по своим свойствам к изолированным антеннам.
Рассмотрим отрезки коаксиальной линии, представленные
на рис. 1.2.1. Каждый из отрезков состоит из внешнего прово-
дящего металлического цилиндра (с наружным радиусом d и
внутренним радиусом с), закрытого на концах, и внутреннего
коаксиального металлического проводника (радиусом а). Про-
странство между ними заполнено двухслойным диэлектриком.
Внешний слой диэлектрика представляет собой топкую пласт-
массовую или стеклянную трубку с наружным радиусом с и
внутренним Ь. В качестве основного диэлектрика, занимающего
пространство между цилиндрами с радиусами b и а, может
быть использован любой материал с нужными свойствами, на-
пример воздух, масло, спирт, полистирол. Тонкий слой из стекла
Рис. 1.2.1. Отрезки коаксиальной линии с двухслойным диэлектриком.
а — общий случай: оконечная нагрузка 2$; б — короткозамкнутая цепь в качестве око*
печной нагрузки; в — разомкнутая цепь в качестве оконечной нагрузки.
Область I — металл; область 2 — диэлектрик; область 3 — тонкий слой пластмассы или
втекла; область 4 — металл.
Изолированные антенны
15
иЛИ пластмассы может, конечно, и отсутствовать, но в ряде
важных применений он необходим для отделения основного
диэлектрика от внешнего проводника.
В дальнейшем будут использоваться следующие обозначе-
ния: внутренний проводник — область I, основной диэлектрик —
область 2, тонкостенная диэлектрическая трубка — область 3,
внешний проводник — область 4. Внешний проводник будет обо-
значаться как область 4 и в случае отсутствия области 3.
Все три отрезка коаксиальной линии (рис. 1.2.1) возбуж-
даются с одного конца источником э. д. с. Vo, включенным по-
следовательно с внутренним проводником в точке 2 = 0. Слу-
чаи а, б, в на этом рисунке отличаются лишь характером на-
грузки, подключенной в точке z = h. На рис. 1.2.1, а показано
подключение последовательной нагрузки с импедансом Zs; ко-
нец отрезка линии, изображенного на рис. 1.2.1, б, замкнут на-
коротко, внутренний и внешний проводники соединены проводя-
щим материалом Zs = 0; на рис. 1.2.1, в конец линии разомкнут,
между концом внутреннего проводника и внешним экраном су-
ществует зазор Zs ж ос. Все три вида оконечной нагрузки важ-
ны как для обобщенной теории, так и для случая изолирован-
ных антенн. Если убрать металлический диск, закрывающий ли-
нию в точке z — h, получится вариант нагрузки, отличающийся
от рис. 1.2.1, в. В этом случае концевой эффект несколько иной,
поскольку конец линии немного излучает. Тем не менее, если
поперечные размеры отрезка коаксиальной линии достаточно
малы, его свойства в обоих вариантах работы с открытым кон-
цом близки между собой, лишь незначительно различаясь кон-
цевой поправкой.
На рис. 1.2.2 изображены симметричные отрезки коаксиаль-
ной линии, возбуждаемые в центре. Они аналогичны отрезкам,
возбуждаемым на конце, которые изображены на рис. 1.2.1. Все
три отрезка на рис. 1.2.2 подключены в центре к источнику
э. д. с. Vo, который изображен в виде двух включенных последо-
вательно генераторов с э. д. с. Ео/2, и нагружены симметрично с
обоих концов на импедансы Zs (рис. 1.2.2, а), Zs — 0 (рис. 1.2.2, б)
и Zs — ос (рис. 1.2.2, в). Отметим, что отрезок линии, возбуж-
даемый в центре, можно представить в виде двух отрезков, воз-
буждаемых на конце, которые соединены последовательно ме-
жду собой и с источником э. д. с. Vo- Если вдоль штриховой ли-
нии, показанной на рисунке, расположить идеально проводящую
плоскость, то благодаря симметрии распределения тока на от-
резках коаксиальных линий не изменятся. Поскольку каждая
из двух половин симметрично возбужденных отрезков линии
теперь совершенно идентична соответствующему отрезку, изо-
браженному на рис. 1.2.1, то и распределения токов и зарядов
10
Глава I
на них будут такими же, но с вдвое меньшей амплитудой, так
как э. д. с. на входе в данном случае не Ио, а Ио/2.
Свойства перечисленных четырех областей отражаются в вы-
ражениях для соответствующих волновых чисел. Выражения
для волновых чисел приведены с использованием временной
зависимости они могут быть преобразованы в более при-
Рис. 1.2.2. Два одинаковых отрезка коаксиальной линии, включенные последо-
вательно с источником э. д. с. Vg
а — общий случай оконечной нагрузки Zs; б — оконечная нагрузка в виде коротко-
замкнутой цепи; в —оконечная нагрузка в виде разомкнутой цепи.
Область I — металл; область 2 — диэлектрик; область 3 — тонкий слой пластмассы илн
стекла; область 4 — металл.
вычную форму с применением экспоненты efai заменой i = —/.
В области 1 (металл — хороший проводник)
= Р, + Zdj = (/<оИсте1)1/2 = (1 4- г)(<0Исте1/2)1/2. (2.1)
В области 2 (хороший диэлектрик)
= м2 = <й(рее2)1/2(1 + фе2)1/2, Ре2 = ое2/®ве2 < 1. (2.2)
В области 3 (хороший диэлектрик)
k3 = Рз + &3 = ® (иеез)1/2 (1 + ipe3)l/2, ре3 = oe3/we3 < 1. (2.3)
В области 4 (металл — хороший проводник)
ki = ₽4 + га4=:(1<йр.ае4)1/2 = (1 -ф i)(wpoH/2)'/2. (2.4)
Изолированные антенны 17
Заметим, что в выражениях (2.1) и (2.4) для 1г} и /г4 предпола-
гается выполнение неравенств
Pei = <4i/®eel » 1 и ре4 = ое4/<оее4 > 1. (2.5)
Кроме того, налагаются обычные для длинных линий условия
электрически малых размеров поперечного сечения линии:
I kJ} | < 1 и | k3c | < 1, h с > b > а. (2.6)
Эти условия позволяют пренебречь высшими модами и считать
концевые эффекты малыми. На |k^c| ограничения не нала-
гаются.
Ток во внутреннем проводнике отрезков длинных линий,
изображенных на рис. 1.2.1 и 1.2.2, удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
{d^dz2 + kl) I (z) = 0, (2.7)
где комплексное волновое число kb = Pl + i'«l определяется,
как обычно:
^ = (-г^)1/2- <2-8>
(Часто вместо числа kL используется постоянная распростране-
ния yL = ikL = (.zlPl) |/2). В выражении (2.8) yL — параллель-
ный адмитанс на единицу длины. В случае двухслойного ди-
электрика выражение для tji имеет вид
Уь = Оз/(У2 + !/з)> где (2.9а)
2л (pei ~ (мее2) _ _ 2л^
У2 In (й/а) соц In (й/а) ’ ( •“ )
_ 2тс (°еЗ ~ _ 2 л/4 „ .
In (с/й) соц In (с/й) ' ( • В1
Если область 3 отсутствует, с = й и (/3->-оо; тогда
Уь = У2- (2.Ю)
В выражении (2.8) zl — последовательный импеданс на еди-
ницу длины. Он состоит из трех слагаемых:
zL = z{-\- zl4 + ze, (2.11)
где z\ и — внутренние импедансы на единицу длины соот-
ветственно внутреннего и внешнего проводников, a ze — внеш-
ний импеданс на единицу длины. (Термин внутренний означает
часть импеданса, определяемую магнитным полем, локализо-
ванным внутри соответствующего проводника; термин внешний
относится к части импеданса, определяемой магнитным полем
Вне обоих проводников и внутри слоя (или слоев) дпэлектри-
18
Глава 1
ка.) Внутренний импеданс центрального металлического про-
водника радиусом а выражается следующей общей формулой:
21 — 1 kia Ja —
i na2aei 2 Ji (&ia)
(2.12a)
Формула для внутреннего импеданса внешнего цилиндриче-
ского проводника имеет вид1)
zi = 1 МММЧММСММ (М) (2 ,2б)
4 кс20е4 2 /I(M)//'i"(M“//<il>(M)-zi(M ’
где с и d — внутренний и наружный радиусы внешнего цилинд-
рического проводника. В этих выражениях kt = (iwpoel)1/2 и
fe4 = (шщщм)1/2 — комплексные волновые числа обоих провод-
ников.
Если оба проводника металлические и удовлетворяются ус-
ловия 10 и |k4c| 10 и если, кроме того, толщина стен-
ки внешнего цилиндрического проводника по крайней мере в
несколько раз превышает толщину скин-слоя для области 4:
(d - с) > ds4 = (2/(Оцое4)|/2, (2.13)
то общие формулы (2.12а, б) упрощаются и принимают вид со-
отношений Рэлея
2i - <( - ,-лг' = = Л-Ы- («.^2®,,)’’, (2.14а)
= Mr (МЧ.Г- (2.146)
Внешний импеданс на единицу длины равен
ze — — i(dle — (— /(оц/2л) In (с/а). (2.15)
Подставляя эти величины в формулу (2.8), получаем выраже-
ние. для нормированного волнового числа
fe = kL/k2 = Г-------------------]1/2 х
|_ In (bl а) + »2з In (clb) J
г i i т'/З
Мшдй + М1 <2Л6а>
где ^h = fe2/fe3 = (®M + M2)/(M3 + 'M)^M/ee3- (2-16б)
Последнее преобразование в выражении (2.166) справедливо
только при условии, что проводимости обеих областей диэлек-
трика пренебрежимо малы: ве? соее2, Щз о)без. Очевидно, что,
’) Здесь п далее п Нт — функции Бесселя и Ганкеля соответственно
[19*. 25*]. — Прим. ред.
Изолированные антенны
19
когда область 3 отсутствует, с->Ь, 1, и формула (2.16а)
приводится к виду
^LM = feb/fe2 = [1 + kia\n(bla) + Mln(6/a)] ‘ ^2'17^
Если оба проводника рассматривать как идеальные, оц-^оо,
п4-> оо, -+ оо, k4 -> оо, то k[.N = ke/kv = 1. В этом случае вол-
новое число для тока в коаксиальной линии равно волновому
числу для полей в диэлектрике.
Решение уравнения (2.7) для тока в каждом из двух отрез-
ков линии с открытым концом (рис. 1.2.2, в) запишется как
iVn sin k, (Л — I z I)
Z(z) = -—L . v- (2.18)
y ' 27. cosk.h y '
c L
Решение для случая, представленного на рис. 1.2.1, в, имеет та-
кой же вид, но без коэффициента 2 в знаменателе. Выражение
для тока в каждом из короткозамкнутых отрезков, изображен-
ных на рис. 1.2.2, б, имеет вид
iVen cos k, (h — I z |)
I(z) = —°------(2.19)
y ' 27 sin k.h 7
c L
Ток в отрезках линии с произвольной оконечной нагрузкой
(рис. 1.2.2, а) выражается формулой
— iVg sin \kL (h — | z |) + z0 1
I (z) = ^77— 'J' J, (2.20)
2Zc C0S (kLh + i0s) V
где Os = ps — iOs — комплексное значение угла (аргумента), со-
ответствующего нормированному оконечному импедансу ZS]ZC.
Этот угол определяется соотношением
0S = Arcth (Zs/Zc). (2.21)
Понятно, что при Zs = oo, Os — 0 выражение (2.20) принимает
вцд (2.18). Точно так же при Zs = 0, 0, = —1л/2 выражение
(£20) приводится к виду (2.19). В работе [2] рассматривается
общее соотношение между оконечным импедансом Zs и комп-
лексным углом 0s и приведена таблица числовых значений.
Волновое сопротивление Zc в выражениях (2.18) — (2.20) оп-
ределяется обычным образом:
Zc = (zjy^2 = —ikjy^ = (соц^Л/2ге^) [In (b/a) + n2 3 In (c/b)].
(2.22a)
При отсутствии области 3 это выражение упрощается к виду
’ Zc = (<op,/eL/2nfe2) In (b[a). (2.226)
I
20
Глава 1
Если внешний и внутренний проводники можно считать идеаль-
ными, а в качестве диэлектрика используется воздух, то kL =
= k2 = со (Робо)1/2, и тогда
Zc — (£о/2зт) In (b/d), (2.22в)
где £0 = (ро/ео)!/2 ~ 120л Ом — волновое сопротивление откры-
того пространства.
Входной адмитанс изолированного диполя выражается в об-
щем виде формулой
Y = G - iB = I (O)/Vo = (- z’/2Zc) tg (kLh + z0s). (2.23a)
В случае разомкнутого на концах диполя 0S = 0 и
У == (—z'/2Zc) tg йЛ/г. (2.236)
Рассмотрим далее распределение заряда вдоль линии. Это
распределение можно получить из уравнения непрерывности, от-
ражающего закон сохранения электрического заряда. Исполь-
зуя формулу (2.20), получаем
i dl (г) Vnkr cos ffer (ft — z) + 10,1
<?(z) =-------_"L-------------LA? J sJ, z>0. (2.24)
ч v ' co dz 2Zca> cos (k^h + <0S) '
Так как функция q(г) нечетная, <?(—г) ——</(z), то в отрезке
линии, изображенном на рис. 1.2.2, а, можно определить рас-
пределение заряда q(г) при отрицательных значениях г.
В общепринятой теории длинных линий в качестве перемен-
ной обычно рассматривается не заряд на единицу длины, а раз-
ность потенциалов вдоль линии V(z). Эти две величины связаны
между собой следующим простым соотношением:
В (z) = <? (z) (— z®/z/J. (2.25)
Подставляя выражения (2.24) и (2.22а), получаем
Рл cos \kr ih — z) + /0.1
JZ (г) = -°. —J, 2 > °- (2.26)
' ! 2 cos (kLh + 10S) ’ '
Отношение
У (z) = 1 (г)/У (z) = (- i/Zc) tg [kL (/г - | z I) + z0s] (2.27)
определяет входной адмитанс отрезка линии между точкой на-
блюдения z и точкой подключения оконечной нагрузки z = h.
Обратная величина, т. е. входной импеданс между точкой г
н точкой подключения оконечной нагрузки, записывается в виде
Z (г) = IZC ctg\kL (h — | г |) + z0sJ. (2.28)
Изолированные антенны
21
1.3. ИЗОЛИРОВАННЫЙ ПРОВОДНИК
В БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
Если толщину стенки внешнего цилиндрического провод-
ника неограниченно увеличивать так, чтобы область 4 стала
практически бесконечно протяженной, то получается интересная
и важная разновидность коаксиальной линии. В качестве при-
мера рассмотрим схему, приведенную на рис. 1.3.1. Проводник,
заключенный в тонкостенную пластмассовую трубку, которая
заполнена воздухом, погружен в морскую воду. К одному концу
Рис. 1.3.1. Изолированный проводник в морской воде.
Область 1 — металл; область 2 — диэлектрик (воздух); область 3 — тонкостенная трубка
из пластмассы или стекла; область 4 — морская вода,
проводника подключен источник э.д. с., а к другому — нагрузка,
и они в свою очередь присоединены к металлическим дискам.
В идеальном случае эти диски имеют бесконечную протяжен-
ность в морской воде. Такое устройство эквивалентно нагру-
женному отрезку коаксиальной линии с бесконечно протяжен-
ным внешним проводником, параметры которого удовлетворяют
условиям
Pel = ое4/®ее4 » 1, k4 = (i<op.<Te4)l/2. (3.1)
Для заданного вида проводящей среды 4, например, соленой
воды или влажной земли, условие, накладываемое на ре4, удо-
влетворяется и выражение для волнового числа справедливо при
следующем ограничении рабочей частоты:
f < <те4/50леег4е0. (3.2)
Для морской воды ое4 = 4 См/м, еег4 = 81, и из неравенства
(3.2) получается предельное значение частоты
/<35,5 МГц. (3.3а)
22
Глава 1
Для влажной земли = 10 2 См/м, eir.t — 10 л
/<0,72 МГц,
(3.36)
Если выполняется неравенство (3.2), ток в изолированном, ра-
зомкнутом на конце проводнике, расположенном в практически
бесконечно протяженной проводящей внешней среде, выражает-
ся формулой (2.18). Значения zL и yL определяют при этом из
выражений (2.11) и (2.9а), а z‘— из выражения (2.126), пола-
гая в пределе d-^oo. Поскольку в пределе отношение
Jj (/e4d)yД'" (/e4d) стремится к бесконечности, то, следовательно,
zi = ,
4 2л /г4с//("(й4с) ’
С учетом этой формулы получаем следующие выражения: для
нормированного волнового числа
kLN=kjk2 = Г------------------112 X
|_ In (Ь/а) + «2з 'п J
| in (с/«) k4c In (с/а)Н\^ (&4с) J
и для волнового сопротивления
Zc — (ti>pkL/2n.k%) [in (b/a) 4- «23 In (c/6)]. (3.6)
Если использовать полученные выражения для kLN и Zc, то тео-
рию, изложенную в разд. 1.2 для коаксиальной длинной линии,
можно применить и для случая, представленного на рис. 1.3.1.
В частности, ток во внутреннем проводнике при произвольной
нагрузке Zs определяется выражением (2.20), в случае
Zs — оо— выражением (2.18), а при Zs = 0 — выражением
(2.19).
Хотя на практике при определении тока во внутреннем про-
воднике металлические торцевые диски, показанные на рис. 1.3.1,
могут иметь не очень большие размеры, при которых уже при-
ближенно выполняется условие бесконечной протяженности, ра-
ботать с такими дисками бывает неудобно. В случае разомкну-
той на конце линии, когда Zs = оо, их можно просто убрать. Та-
кой вариант при питании линии в ее центре представлен на
рис. 1.3.2, а. Ни один из концов внутреннего проводника не
имеет контакта с внешней проводящей средой. В более общем
случае, когда нагрузка не соответствует ни короткозамкнутой
цепи с Zs = 0 (рис. 1.3.1), ни разомкнутой цепи с Z, — оо
(рис. 1.3.2, а), наиболее применимой является конфигурация
оконечной нагрузки, показанная на рис. 1.3.2, б [3]. В этой
схеме источник э. д. с. включен в конце проводника. К источ-
Изолированные антенны
23
Рис. 1.3.2. Изолированный проводник в морской воде.
а — возбуждение линии в центре проводника, концы проводника разомкнуты; б — воз-
буждение линии на одном из концов проводника, оконечной нагрузкой служат чет-
вертьволновые монополи.
Область 1 — металлический проводник радиусом о; область 2 — диэлектрик с внешним
радиусом Ь; область 3 —стеклянная или пластмассовая трубка с наружным радиу*
сом с; область ‘/ — морская вода.
нику э. д. с. и нагрузке Zs подсоединены неизолированные от-
резки проводника, помещенные в морскую воду или другую про-
водящую среду. Если длина каждого из этих отрезков состав-
ляет четверть длины волны в среде 4 (т. е. Х4/4, где л4 = 2л/р4,
а р4 — вещественная часть k4 = р4 -f- t'a4), их свойства будут
весьма близки к свойствам монополя, возбуждаемого у осно-
вания и расположенного над большим металлическим экраном.
(На рис. 1.3.2, б экран показан штриховыми линиями.) Это по-
ложение было подтверждено экспериментально измерениями
входного адмитанса монополя при наличии и отсутствии экрана.
Следовательно, оконечные нагрузки на рис. 1.3.2, б могут рас-
сматриваться как последовательное соединение нагрузки Zs па
одном конце и источника э.д. с. на другом конце с неизоли-
рованным четвертьволновым монополем, находящимся в мор-
ской воде над большим экраном. Наличие или отсутствие эк-
рана оказывает ничтожно малое влияние на ток во внутреннем
проводнике. Рассмотрим наиболее широко применяемые схемы
работы изолированного монополя в бесконечной внешней среде.
На рис. 1.3.3, а приведена схема с разомкнутым концом, а на
24
Глава 1
рис. 1.3.3, б—схема с оконечной нагрузкой Zs, включенной по-
следовательно с четвертьволновым неизолированным монополем.
В обоих случаях устройства питаются от коаксиального фи-
дера.
Интересно рассмотреть поле во внешнем проводнике в том
случае, когда его можно считать практически бесконечно про-
тяженным. Поскольку распределение тока во внутреннем про-
воднике с изолированными концами имеет простой вид (2.18),
выражение для электромагнитного поля можно просто получить
в замкнутой форме для расстояний, больших по сравнению с
длиной проводника, а именно для R* » /г2, где Ro — расстояние
от центра симметричной коаксиальной антенны простого типа,
например, как на рис. 1.3.2, а или 1.3.4. Выражение для напря-
Рис. 1.3.3. Коаксиальная линия, внешним проводником которой служит мор-
ская вода.
а — линия разомкнута на конце; б — линия нагружена на импеданс Zs и четвертьволно-
вый монополь.
Область 1- металл; область 2 — диэлектрик; область 3 — юнкосюнная ipjбка из
пластмассы или стекла; область 4 — морская вода, неограниченно протяженная.
Изолированные антенны
25
2b
Рис. 1.3.4. Электрическое поле в дальней зоне изолированной антенны в не-
ограниченно протяженной области 4.
женности электрического поля имеет вид
Е& (Яо> 0) = ~(0> k4h, kLh) [70 (k4b sin 0) -
— kib In (b/a)(k2L/kl — 1) 7i (kib sin 0)/sin 0], (3.7)
где /о и 7i — функции Бесселя первого рода, а
[cos (k.h cos 0) — cos k, Л1 sin 0
Fo(0, kji, kLh)*= Д. 1 J. -b (3.8)
u v ’ 4 ’ L ’ cos2 0] sin kLh ' '
— множитель, определяющий поле в дальней зоне. Вывод фор-
мулы (3.7) приводится в разд. 8.7.
В случае достаточно тонкой антенны, когда выполняется не
только условие |k-J) | < 1, но и гораздо более жесткое условие
|А4А| 1, справедливы упрощающие приближения Jo(k4b sin 0) я»
ж 1 и Ji (kib sin 0) /sin 0 « 0.
На расстояниях, удовлетворяющих неравенству R2 > А2, поле
определяется главным образом сомножителями Fg(&, k4h, kLh)X
X&xp(ik4Ro). В отличие от диаграммы в дальней зоне антенны
в непоглощающей среде, когда k4 — величина вещественная, мо-
дуль произведения этих сомножителей зависит от 7?0, а следо-
вательно, и от местоположения начала сферических координат
(7?,0, Ф). Рассмотрим прежде всего множитель Fo(@, k4h, kbh)
Дальнего поля в вертикальной плоскости, определяемый выра-
жением (3.8). Сравним его с аналогичным множителем
Fo(&, kh) = [cos(kh cos 0) — cos kh]/sin 0 sin kh дальнего поля
2в
Г лава 1
находящейся в воздухе неизолированной антенны с предпола-
гаемым синусоидальным распределением тока. Множитель даль-
него поля в вертикальной плоскости, определяемый формулой
(3.8), обнаруживает необычные свойства при выполнении усло-
вия |64| > |&2| ~ |М> например, когда окружающей средой яв-
ляется морская вода, а изолятором служит воздух. При всех
значениях 0, для которых справедливо неравенство
| |2 cos2 0 3> 1, т. е. практически при всех 0, за исключе-
нием равного л/2 или весьма близких к л/2, выражение (3.8)
преобразуется к виду
Fo(0, fe4/i, kLh) « — (kL/kA sin kLti) X
X [cos (kji cos 0) — cos kLh] X tg 0 sec 0. (3.9)
Величина Fo мала благодаря малости множителя kb/k^. При
0 = л/2 выражение для Fo принимает вид
Е0(л/2, kji, kLh) « (fe4/feL) tg(feL/i/2). (ЗЛО)
В данном случае благодаря коэффициенту kajkt абсолютное
значение Ео очень велико, если только kih не принимает значе-
ний, близких к нулю или 2дл. Таким образом, множитель даль-
него поля в вертикальной плоскости имеет весьма малое абсо-
лютное значение для большинства значений 0 и лишь вблизи
экваториальной плоскости, т. е. при значениях 0, равных л/2
или весьма близких к л/2, резко возрастает. Такое поведение
множителя дальнего поля указывает на наличие очень узкого
дискообразного луча с осевой симметрией.
Рассмотрим теперь влияние экспоненциального множителя
eik^ выражения (3.7) на величину поля. Так как fe4 = p4-}-
+ /а4, множитель F§ принимает вид e^a'R"ezp<R , который указы-
вает на одинаковое во всех направлениях экспоненциальное
ослабление поля по радиусу от центра. Кроме того, поскольку
для того диапазона частот, в котором морская вода является
хорошим проводником, а4 ж р4 « ((оцой4/2)|/2, ослабление поля
по мере удаления от центра происходит настолько быстро, что
на больших расстояниях от центра, т. е. при R% ~^> №, поле ста-
новится очень мало и определяется выражениями (3.7) и (3.8).
Как уже отмечалось выше, наличие множителя ослабления
в выражении для поля (3.7) изменяет характер произве-
дения Faeik‘Ka-, в отличие от случая работы антенны в среде без
потерь, например в воздухе, оно зависит от местоположения на-
чала сферических координат. Если, например, точку начала ко-
ординат поместить не в центре антенны (г = 0), а на одном из
ее концов (т. е. при г = А), то поле тонкой изолированной ан-
тенны, для которой справедливо неравенство |&4&|<С1, будет
Изолированные антенны
27
определяться формулой
= М, М)> (З.Н)
где Rh = Ro — h cos 0, a
Fh{fd, kji, kLh) — F0(&, k.h, kLh)eik<h™^ (3.12)
— множитель дальнего поля, отнесенный к новому положению
начала координат. Абсолютная величина Fh(<3, k4h, kbh) отли-
чается от абсолютной величины Fq(8, kji, ктЛ) множителем
e-a.Acos0; содержащимся в экспоненте eikth cos 0, где &4 = 04 ф-
+ ta4. Это отличие весьма важно в тех случаях, когда величина
Й4/г = p4/i принимает большие значения, как для многих изоли-
рованных антенн. Отметим, что для большинства значений угла
8 выполняются соотношения cos2 8 » | kL/kt |2 и cos (&4/i cos 8)«
«(1/2) exp (—ik^h | cos 81), а следовательно, для верхнего полу-
пространства, где 8 < л/2, выражение (3.9) преобразуется
к виду
F0(F), kjt, kLh)^
« — sin &L/i)[exp(— t£4Acos8) — 2cosALA]tg8sec8, (3.13)
Fh (8, k4h, kLh) «
« — (6£/2£4 sin kLh) [1 — 2 exp (i&4/icos 8) cos kLh] tg8sec8. (3.14)
Величина сомножителя в квадратных скобках в выражении
(3.13) в основном определяется экспоненциальным членом
ехр (а4/г cos 8), который может принимать большие значения.
В выражении (3.14) сомножитель в квадратных скобках имеет
значение порядка единицы. Поскольку выражение (3.14) слабо
зависит от величины экспоненциального затухания при измене-
нии расстояния на величину порядка А, то для сравнения направ-
ленных свойств антенн в сильно поглощающих средах предпочти-
тельно пользоваться выражением (3.12), а не формулой (3.8).
В нижнем полупространстве при л/2 < 8 < л новой точкой на-
чала координат должна быть точка z — —h. На рис. 13.5.2 для
сравнения приведены диаграммы направленности изолированной
антенны в соленой воде с а4/р4 = 0,3, рассчитанные по форму-
лам (3.8) и (3.12).
Напряженность электрического поля, определяемая выраже-
нием (3.7), связана с объемной плотностью тока в морской воде
простым соотношением
7в(/?о.0) = ^£в(/?о> ©), (3.15)
где ст4 — проводимость морской воды. В историческом плане
интересно вспомнить так называемый океанский кабель, который
был рассмотрен Оллендорфом в 1928 г. По существу это не что
28
Глава 1
иное, как изолированный провод, изображенный на рис. 1.3.1
[4J. Такое интересное приложение изолированной антенны,
которое перестало использоваться с появлением радиолокаторов,
проиллюстрировано рис. 1.3.5. Ток в изолированном проводнике
и связанное с ним магнитное поле в морской воде задают на-
правление входа в гавань для судов. С помощью двух рамочных
антенн и чувствительного приемника определяется направление
следования корабля вдоль кабеля в порт. Тот же принцип лежал
в основе антенны для подводной лодки, предложенной в 1951 г.
Муром [5]. Она представляет собой коаксиальную антенну
в виде изолированного провода, прикрепленного к корме под-
водной лодки (рис. 1.3.6) [5]. Антенна разомкнута на конце, как
показано на рис. 1.3.3, а для случая значительно более короткой
антенны; экраном на конце, где расположен генератор, служит
корпус подводной лодки.
1.4. ИЗОЛИРОВАННЫЙ ПРОВОДНИК В БЕСКОНЕЧНОЙ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОТНОЙ СРЕДЕ; РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ТОКА, ЗАРЯДА И ПОЛЯ
В предыдущих разделах теория длинных линий применя-
лась к обычной коаксиальной линии, состоящей из изолирован-
ного проводника, заключенного в тонкостенный металлический
Генератор
Изолированный
пробой
Рис. 1.3.5. Изолированный провоц в морской гавани.
. Воздух
Морская вода
Прицепная изоли-
рованная продолач- Подводная
кая антенна . лодка
Морское дно
Рис. 1.3.6. Прицепная проволочная антенна.
Изолированные антенны
29
экран. Затем был рассмотрен случай коаксиальной линии с та-
ким внешним проводником, который практически можно считать
бесконечно протяженным (например, море). Хотя для этих двух
случаев справедливы одни и те же математические соотноше-
ния, результаты действия и применения этих двух видов коак-
сиальной линии совершенно различны. Обычная коаксиальная
линия используется главным образом для передачи энергии или
информации вдоль линии. Изолированный проводник в беско-
нечно протяженной среде, например в море, излучает энергию,
распространяющуюся во всех направлениях. В этом случае обес-
печивается связь во всем объеме внешней среды. Однако из-за
сильного затухания в~провЬдящих средах типа морской воды или
влажной земли на сравнительно низких частотах дальность
связи весьма ограничена.
Для того чтобы применить теорию длинных линий к изолиро-
ванному проводу в морской воде, необходимо увеличить тол-
щину стенки цилиндрического металлического экрана обычной
коаксиальной линии и вместо параметров металла использовать
параметры морской воды. При этом, однако, внешняя среда
должна удовлетворять обычному условию, определяющему хо-
роший проводник, сте4 <оее4. Это условие ограничивает диапа-
зон частот, в пределах которого теорию длинных линий можно
применить в случае бесконечно протяженного неметаллического
внешнего проводника.
Является ли, однако, неравенство ое4 <оее4 необходимым
условием, позволяющим применить теорию длинных линий для
определения тока в изолированном проводнике, находящемся
во внешней среде (в области 4)? Во второй части книги пока-
зано, что это условие не является необходимым. Для того чтобы
решение для тока можно было получить в рамках теории длин-
ных линий, достаточно выполнения значительно менее строгого
условия
|^| = |®2н(ее4 + ше4/®)| » |^| = |<о2н(Бе2 + /ое2/<о)|. (4.1)
Неравенство (4.1) означает, что окружающая среда (область 4)
должна быть электрически более плотной, чем изолирующая
среда (область 2); для этого модуль комплексного волнового
числа внешней среды должен быть достаточно большим, но не
обязательно вследствие того, что среда проводящая. Отметим,
что когда область 4 — хороший проводник, т. е. ое4 3> <oee4, а об-
ласть 2 — воздух, условие (4.1) преобразуется к виду
|*2| = |twpoe4| » | £2[ = со2Иое0. (4.2а)
При ц = цо неравенство (4.2а) эквивалентно условию
сге4 > <ое0. (4.26)
30
Глава 1
Полученное неравенство полностью совпадает с приведенным
выше условием, определяющим хороший проводник. Однако из
неравенства (4.1) следует, что окружающая среда на рабочей
частоте может иметь и свойства диэлектрика, т. е. сте4 <оее4-
Если в качестве изолятора используется воздух, формула (4.1)
преобразуется в неравенство
^4 = “2Н8е4 » kl = “2Ноео> (4.3а)
которое эквивалентно условию
ее4 » е0 или еег4 » 1 (4.36)
при ц = ц0. Новое условие (4.1) существенно ослабляет ограни-
чение (3.2), налагаемое на частоту при использовании теории
длинных линий. Например, если выполняется условие (4.36), то
на частоту вообще не накладывается ограничение. Так, в слу-
чае, когда окружающей средой является вода, для которой
ееГ4 ~ 81, а изолятором служит воздух, условие (4.1) удовлетво-
ряется при всех значениях частоты и проводимости воды от
СГе4 = 4 • 1 0 ~3 См/м ДЛЯ ОЧСНЬ ЧИСТОЙ Пресной ВОДЫ ДО Щц =
= 4 См/м и более для морской воды.
Изложенное выше обобщение теории длинных линий можно
подытожить следующим образом. Ток в изолированном провод-
нике, помещенном в практически бесконечно протяженную среду,
для которой комплексное волновое число /г4 удовлетворяет не-
равенству (4.1), определяется обычными формулами (2.18) —
(2.20); при этом комплексное волновое число ki_ — pt + iaL опре-
деляется формулой (3.5), а волновое сопротивление Zc — фор-
мулой (3.6). На рис. 1.4.1 приведены графики зависимости
нормированных величин [пл- = Рг/^г и aLN = аг/йг от k^b при
b/а в качестве параметра и от b/а с величиной k^a, взятой
в качестве параметра. Предполагается, что область 3 отсут-
ствует, a k2 и Л?4—вещественные величины. Параллельный адми-
танс на единицу длины yL определяется формулой (2.9а) при
двухслойном изоляторе и формулой (2.10) при одном слое изо-
лятора. Последовательный импеданс на единицу длины Zl дается
соотношением (2.11), где zf определяется формулой (2.12а) или
(2.14а), — формулой (3.4), ге — формулой (2.15). Электриче-
ское поле в точках внешней среды, находящихся на значитель-
ном расстоянии от проводника, определяется формулами (3.11)
и (3.12). Таким образом, применимы все формулы, что и для
случая изолированного проводника в проводящей внешней среде,
лишь выражение kn = (гсор.сте4)1/2 заменено более общей форму-
лой ki = <о[и(ев4 + щв4/®)]|/2.
Прежде чем обсуждать физические следствия обобщения тео-
рии длинных линий, полезно рассмотреть некоторые частные
Изолированные антенны
31
Рис. 1.4.1. Нормированное комплексное волновое число изолированной ан-
тенны в среде без потерь.
случаи внутреннего импеданса на единицу длины бесконечно
протяженной внешней области 4. Для этого воспользуемся фор-
мулой (3.4):
4 2п (/<;с)
При малых значениях аргумента, т. е. при |Zs4c| 1, функции
Ганкеля принимают значения 1 — (2//л) In (2/у'£4с) и
Я(|)(^4с) « — 2//л/г4с, где In у'= у = 0,5772. Поскольку /?4 =
== Р4-На4== (0^4-02)1/2 exp (z arctg а^), активная и реактивная
32
Глава 1
составляющие импеданса z\ = r\ — zx‘ принимают следующие
значения:
Л = (®и/4) [ 1 — (2/л) arctg (а4/Р4)],
х‘ = (оц/2л)1п[2/у7(а2 + р2)1/2]. <4-б)
Если область 4 — хороший проводник (например, морская вода)
и а4 = р4 = (®ц(те4/2)1/2, выражения (4.5) сводятся к хорошо
известному виду
г‘ = ®ц/8, х| = (®ц/2л) In [2/у'с(®ц(те4)1/2]. (4.6)
Если область 4 — хороший диэлектрик (пресная вода) и а4
< р4 = ©(ре^)1/2, то
г‘ = а>р./4, х‘ = (<ор/2л) 1п |2/у'с© (рее4)'/2]. (4.7)
Заметим, что активное сопротивление на единицу длины изоли-
рованного проводника в диэлектрической среде типа пресной
воды при достаточно высоких частотах вдвое больше, чем в про-
водящей среде типа морской воды. При | k^a | < | k^c | С 1 вели-
чина не зависит от поперечных размеров проводника и изо-
лятора. Это и понятно: электрические поперечные размеры про-
водника и изолятора столь малы по сравнению с бесконечно
протяженной внешней средой, что они оказывают пренебрежимо
малое влияние на величину внутреннего импеданса на единицу
длины.
При больших значениях аргумента, а именно при |й4с|^ 10,
хорошим приближением при определении можно считать
асимптотическую форму функций Ганкеля. Тогда
г‘ = <О[л04/2лс (а2 + р2), х‘ = шца4/2лс (а2 + р2). (4.8)
Если область 4 — хороший проводник, то а4 = р4 = (w[xCTe4/2)1/2
и
г\ = х\ = (1/2лс) (®p/2ffg4)l/2. (4.9)
Если область 4 — хороший диэлектрик, то а2 <С р2 = и2цвв4 и
= (1/2лс)(p/ee4)V2, х' < г*. (4.10)
При больших значениях аргумента отношение внутреннего со-
противления на единицу длины, когда среда 4 — хороший ди-
электрик, к такому же сопротивлению в случае, когда эта сре-
да — хороший проводник, определяется соотношением
г4 (диэл.)/г4 (пров.) = [2сте4 (пров.)/юее4 (диэл.)]|/2. (4.11)
Из формулы (4.11) следует, что если величина юее4 при внеш-
Изолированные антенны
33
ней среде-диэлектрике превосходит величину 2сте4 для внешней
среды со свойствами проводника, то больше для случая про-
водящей внешней среды. Если же сте4 внешней проводящей среды
превосходит величину шее4/2 для диэлектрической внешней
среды, то г\ имеет большее значение для изолированного про-
водника в диэлектрической среде.
Рассмотрим случай, когда потери в изоляторе, отделяющем
проводник от внешней среды, малы. В этом случае уь ~ —ibL-
Для частот, достаточно высоких, чтобы выполнялось неравенство
|2е| = ш/е +%{|, получим ZL « Г\ — 1<£>1е. Тогда ПрИ УСЛОВИИ,
что г[]а>1е < 1, величина kL будет иметь вид
+ <4 - На)»=к®/'+йрщ)!1» ~
Отсюда следует, что aL = (г4/2) (Ьь1<&1еУР. Здесь Iе = (ц/2л) In (с/а),
bL = b2b3/(b2 + b3), где &2 = 2л;(оее2/1п(й/а) и Ь3 = 2л®ёе3/1п (с/Ь).
Поскольку величины Is и bL не зависят от свойств области 4, вы-
ражение (4.11) эквивалентно следующему:
а, (диэл.) г‘, (диэл.) „ , „
—-------- « ------ = [2стг4 (пров.)/иее4 (диэл.)]1'2. (4.12)
aL (пров.) г\ (пров.)
Это соотношение справедливо только при выполнении опреде-
ленных условий, принятых при выводе формулы.
Выражение для нормированного распределения тока в изо-
лированном монополе имеет вид
/(г)
sin{[l + /aL/pL][₽L(ft-|z|)]}
2ZA «МО + А/ММ]
= (4.13)
Были рассчитаны распределения тока вдоль монополя в широ-
ком интервале значений длины монополя h и для четырех зна-
чений толщины изолирующего слоя воздуха. Расчеты проведены
для двух вариантов внешней среды: для морской воды с ое4 =
= 3,6 См/м, еег4 = 80 и для пресной воды с сте4 = 4,1 • 10-3 См/м,
еег4 == 80. Для отделения слоя воздуха от воды в обоих случаях
использовалась тонкая пластмассовая трубка. Отношение
|&4/&2|2 для обеих внешних сред удовлетворяет условию (4.3а):
для морской воды |ki/ki|2 = 188,3, для пресной воды \ki/k2\2=
— 79,9. Графики расчетных значений амплитуды и фазы тока
приведены на рис. 1.4.2 и 1.4.3. Здесь же представлены резуль-
таты измерений распределения амплитуды и фазы тока вдоль
монополя. Методика измерений и используемая аппаратура опи-
саны в разд. 12.5 и 13.3. Из рисунков видно, что результаты
2 Зак 813
34
Глава 1
C/0 = 13,0, aL/gL = 0,03!
c/o = 8,9, 0L/j3L-. 0,048
1,0-
0,75-
*0,50-
0,25-
0
c/as 4,0, eL/j9L»0,l 15
♦
^c/o-2,6, 3L/£L* 0,166
I
о,юо,2оо’ о г \
Рнс. 1.4.2. Графики распределений нормированных значений тока
/ = |/|ехр(19) вдоль изолированных воздухом монополей, помещенных в со-
леную ВОДУ (СТе 4 — 3,6 См/м, Вег4 = 80).
ktlki - 11,58 + i 7,36; *£==₽/,+ (ад — волновое число аитеин. с — радиус изолятора, а —
радиус внутреннего провода антенны (3,175 мм), Д —длина монополя. Частота /-
*• 380 МГц для графиков в верхних четырех рядах, для иижнего ряда f — 470 МГц*
Длина пластмассовой трубки 70 см, толщина стеики трубки 3,175 мм для всех моио«
полей, кроме случая, когда с/а - 2,6; 6 этом случае толщина трубки 1,59 мм.
--- теория; • измерения Ли и Мишра.
измерений хорошо согласуются с расчетными данными. Так как
подсоединение питающего кабеля к антенне оказывает влияние
на распределение тока вблизи точки z = 0, нормирование с ис-
пользованием адмитанса проводилось лишь начиная с точки
2 = /1/5.
Изолированные антенны
35
Рнс. 1.4.3. Графики распределений нормированных значений тока
/ = | /1 ехр (10) вдоль изолированных воздухом монополей, помещенных в
пресную воду (<те4 = 4,1 • 10~3 См/м, gsr4 = 80).
Л4/Л2 = 8,94 + 10,011. Остальные параметры те же, что и на рис. 1.4.2.
------------------теория; • измерения Ли и Мишра.
На рис. 1.4.2 и 1.4.3 (сверху вниз) электрическая длина мо-
нополя (3£/г увеличивается от значения, близкого к л/2 (т. е.
/г«Х£/4), до значения, близкого к 2л (h » Х£). Поперечный
размер изолятора, характеризуемый отношением с/а, умень-
шается на рисунках слева направо от 13 до 2,6. Рассмотрим гра-
фики левой колонки обоих рисунков, где отношение с/а прини-
мает наибольшее значение 13. В этом случае распределение тока
2*
36
Глава 1
вдоль монополя похоже на распределение тока в обычном,
разомкнутом на конце отрезке длинной линии со сравнительно
низким уровнем потерь. Коэффициент стоячей волны (к. с. в.)
имеет достаточно большое значение, а фазовый угол изменяется
почти на 180° на протяжении сравнительно небольшого участка,
отстоящего от разомкнутого конца отрезка линии на расстояние
около Л/2. Отношение <Xl/Pl мало: для соленой воды оно состав-
ляет величину 0,031, для пресной воды 0,062. Для соленой воды
<xl/i = (at/Pi.) (pL/i) = 0,031 • 1,34 = 0,042, для пресной воды
aLh — 0,062-1,22 — 0,076. Отношение Ul (пресная вода)/aL (мор-
ская вода) — 1,8 »г‘ (пресная вода)/г‘ (морская вода). Эта ве-
личина близка к значению 2,0, рассчитанному для антенны при
малых аргументах. Величина отношения сохраняется для всех
длин монополя при с/а — 13.
По мере уменьшения поперечного размера изоляционного
слоя (т. е. по мере перемещения в правую часть рис. 1.4.2
и 1.4.3) картина распределения тока вдоль монополя продол-
жает оставаться сходной с распределением тока вдоль разомк-
нутого на конце отрезка длинной линии, но затухание на еди-
ницу длины линии при этом увеличивается. При с/а — 8,9 отно-
шение ocl/Pl = 0,048 для морской воды и (Хл/Pl — 0,099 для
пресной воды; o,l (пресная вода)/<Х£ (морская вода)= 2,03. При
с/а — 4 отношение <хь/|Д для морской воды возрастает до зна-
чения 0,115, а для пресной воды — до 0,227; aL (пресная
вода)/<Х£ (морская вода) =2,00. При с/а — 2,Г> отношение
«l/Pl = 0,168 для морской воды и <хьДД = 0,3 для пресной
воды, а ал (пресная вода)/|Д (морская вода) =1,87. По мере
уменьшения с/а и увеличения к. с. в. тока уменьшается, а ха-
рактер изменения фазы становится более плавным. Действитель-
но, когда с/а = 2,6, cxl/Pl = 0,172 и $Lh = 8,08 для монополя,
длина которого в морской воде h = 1,29Х^, амплитуда тока не-
прерывно уменьшается по направлению от основания (г = 0)
к разомкнутому концу (z = h), амплитуда наложенной стоячей
волны мала. Сравним этот случай со случаем монополя длиной
h = 1,32Xl, находящегося в пресной воде. При одной и той же
величине отношения с/а = 2,6 имеем aL/fiL = 0,298 и (Зд/г =
= 8,30. При этих значениях параметров непрерывное уменьше-
ние амплитуды тока между точками г = 0 и z=h — TL/4
и линейное уменьшение фазы на этом же отрезке вибратора
указывают на наличие почти идеальной бегущей волны тока.
Лишь на отрезке длиной Xt/4, считая от разомкнутого конца
монополя, наблюдается стоячая волна. Коэффициент стоячей
волны изолированного монополя, помещенного в пресную воду,
меньше, чем в случае, когда он находится в морской воде, так
как величина <xL для пресной воды почти в два раза больше,
чем для морской. Это утверждение справедливо, несмотря на то
Изолированные антенны
37
что соленая вода является сильно поглощающей средой, а прес-
ная вода на рабочей частоте проявляет свойства диэлектрика
с малыми потерями. В обоих случаях из антенны во внешнюю
среду передается значительная часть энергии. Чем меньше
радиус слоя изолятора, тем больше энергия, передаваемая во
внешнюю среду. Когда внешней средой является сильно погло-
щающая морская вода, большая часть излученной энергии пре-
образуется в тепло в непосредственной близости от антенны.
В случае пресной воды энергия передается на очень большие
расстояния. Очень важно, что распределение тока в изолирован-
ной антенне такое же, что и в обычной коаксиальной линии не-
зависимо от того, является ли внешняя среда неидеальным про-
водником или почти идеальным диэлектриком. Оба эффекта —
излучение энергии и ее поглощение с выделением тепла — в дан-
ном случае можно характеризовать импедансом внешней среды
на единицу длины. В общем случае сопротивление излучения
антенны является свойством антенны в целом и не может опре-
деляться в виде параметра, отнесенного к единице длины. В этом
смысле изолированная антенна в относительно плотной внешней
среде является исключением.
На рис. 1.4.4—1.4.6 приведены графики распределений нор-
мированных значений тока вдоль монополя для трех различных
внешних сред; в качестве изолятора используются не воздух,
а меламиновые втулки. Значения, полученные в результате из-
мерений, изображены точками. Расчетные и экспериментальные
данные хорошо согласуются. Для твердых меламиновых цилинд-
ров, используемых в качестве изолятора, величина относительной
диэлектрической проницаемости еег2 равна 5,54; здесь нет необ-
ходимости в пластмассовых трубках, которые использовались
в рассмотренных ранее случаях в качестве области 3. Величина
\kb/k2\2 для выбранных внешних сред находится в пределах от
162,7 до 14,4, т. е. во всех трех случаях выполняется условие
(4.3а). Поперечный размер меламиновых цилиндров, характери-
зуемый отношением b/а, принимает последовательно значения
6,4; 4,1; 2,9. Электрическая длина антенны $Lh изменяется от
~л/2 (h близко к Л£/4) до ~5л (h около Зависимость
коэффициента стоячей волны тока от величины b/а такая же,
как и в случае использования в качестве изолятора воздуха
(см. рис. 1.4.2 и 1.4.3): к. с. в. уменьшается по мере уменьшения
отношения b/а. Существенно, что к. с. в. принимает максималь-
ное значение при наибольшей проводимости внешней среды
и минимальное значение в среде с наименьшей проводимостью.
При Ь/а — 2,9 отношение а£/0£ в соленой воде равно 0,109
при Ое4 = Ю См/м, а£/р£ = 0,155 при ое4 — 3,6 См/м; в прес-
ной воде а£/р£ — 0,283 при ое4 = 4,1 • 10_3 См/м. Графики нор-
мированного распределения тока для перечисленных параметров
Изолированные антенны
39
приведены в нравом нижнем углу рис. 1 4.4—1,4.6. Из рисунков
видно, что во всех трех средах наблюдается быстрое и непре-
рывное уменьшение амплитуды тока от основания к открытому
концу антенны. Однако во внешней среде с наибольшей прово-
димостью (рис. 1.4.4) амплитуда тока уменьшается наименее
резко, а амплитуда стоячей волны имеет наибольшее значение.
В среде с наименьшим значением проводимости убывание ам-
плитуды тока происходит наиболее быстро, а стоячая волна пол-
ностью отсутствует (рис. 1.4.6).
Ток /г(г) во внутреннем проводнике пропорционален окру-
жающему его магнитному полю В^(а, z), а заряд на единицу
длины проводника q(z) пропорционален радиальной составляю-
щей электрического поля Ер(а,г) на его поверхности (р, 0, г —
цилиндрические координаты). Точность приближенного решения
интегрального уравнения для тока может быть проверена срав-
нением расчетных и измеренных распределений тока, а также
сравнением теоретических и экспериментальных распределений
величин, пропорциональных первой производной тока, например
заряда на единицу длины антенны. Такая проверка имеет суще-
ственное значение, когда интерес представляют не только даль-
нее поле и ближнее магнитное поле (зависящее от тока), но
и радиальная составляющая ближнего электрического поля (за-
висящая от заряда на единицу длины) и продольная составляю-
щая ближнего электрического поля (зависящая от тока и его
второй производной). Если кривые распределений тока и за-
ряда на единицу длины, а также наклон кривой распределения
заряда, полученные расчетным и экспериментальным путем, на-
ходятся в хорошем согласии друг с другом, то как ближнее, так
и дальнее поля могут быть рассчитаны, исходя из теоретиче-
ского распределения тока. Никакой экспериментальной проверки
значений поля в этом случае не требуется. На рис. 1.4.7—1.4.11
приведены полученные экспериментальным и расчетным путем
графики распределения заряда на единицу длины для тех же
случаев, что и графики распределения тока на рис. 1.4.2—1.4.6.
Эти графики относятся к случаям работы монополя с воздуш-
ным изолятором в соленой и пресной воде, а также работы мо-
нополя с меламиновым изолятором в пресной и соленой воде
Рис. 1.4.4. Графики распределений нормированных значений тока
I = |/|ехр (10) вдоль монополей с меламиновым изолятором, помещенных
в соленую воду (<тв4 — 10,0 См/м, еег4 = 80).
Отношение = 9.60 + 18,41 для графиков в верхних четырех рядах, для графиков
в пятом ряду kjk, = 7,18 + i 5,93. для графиков в шестом ряду kt/kt = 6,57 + i 5,24.
Нормирующий множитель Л = 2,35; Р/ + волновое число антенны; b — ра-
диус изолятора, а—радиус внутреннего провода антенны, h — длина монополя.
------ <еория; • измерения Ли и Мишра,
0° 100" 024
e hi
-280° -180° 0°0 2 4 -340° -140° 0’0 2 4
е in в in
Изолированные антенны 41
при двух значениях проводимости. Во всех случаях наблюдается
вполне удовлетворительное совпадение экспериментальных дан-
ных и данных, вычисленных по формуле распределения заряда
(2.24) для длинной линии при 0S — 0 и соответствующих значе-
ниях kL и Zc. Исключением является лишь точка z = 0, которой
присущи особенности, связанные с подключением к антенне
в этой точке питающей коаксиальной линии. Таким образом,
электромагнитное поле изолированного монополя в относительно
плотной среде можно с хорошей точностью рассчитывать по
формуле (2.18) для тока в коаксиальной линии с разомкну-
тым концом, если выполняются все условия, накладываемые
теорией.
Рассмотрим одно из следствий изложенного обобщения теории
длинных линий на случай изолированных антенн, помещенных
в любую, электрически относительно плотную среду. Исходя из
этой теории, формулу (3.7) для электрического поля при расстоя-
ниях Ro^h'1 от центра изолированного диполя, помещенного
в проводящую среду, можно применить для поля диполя, нахо-
дящегося во внешней среде, удовлетворяющей неравенству (4.3а)
при соответствующих значениях йд и Zc. Благодаря сильному за-
туханию поля в проводящей среде типа морской воды, опреде-
ляемому экспоненциальным членом exp(ikiR0) = exp(—а^о)Х
X exp(i₽4#o), поле на расстояниях R% > h2 очень мало, а диа-
грамма направленности зависит от положения начала координат.
Совсем иная ситуация получается, когда монополь помещен во
внешнюю среду типа пресной воды и работает на частотах, для
которых эта среда является диэлектриком с малыми потерями.
В этом случае затухание, связанное с экспоненциальным членом
ехр(—сс4/?о), мало, так как а4 04. Структура поля опреде-
ляется множителем дальнего поля F0(Q, kji, kLh) согласно фор-
муле (3.8); она практически не зависит от положения начала
координат. В выражении (3.8) /г4 ~ р4 — величина в основном
вещественная, a kt — 0z. + f’az. — комплексная. Когда отношение
\ki/kL\ велико, структура поля в экваториальной плоскости
имеет острую направленность. Если при этом внешняя среда —
диэлектрик, поле определяется излучением, а не диффузией, как
в хорошо проводящей внешней среде. На рис. 1.4.12 приведена
Рис. 1.4.5. Графики распределений нормированных значений тока
/|/|ехр(10) вдоль монополя с меламиновым изолятором.
Монополь помещен в соленую воду (ое4®3,6 См/м, е^г4 = 80).
Отношение 6,21 + i 4,65 для графиков в верхних четырех рядах, для графиков
В пятом ряду kjki — 4,96 + I 3,07, для графиков в шестом ряду kt/ki — 4,67 + i 2,63.
Остальные параметры те же, что и иа рис. 1.4.4.
теория: * измерения Ли и Мишра.
b/o = 4,l, aL/0L = 0,244
b/o* 2,9, aL//3L = 0,273
Изолированные антенны
43
типичная диаграмма направленности диполя, помещенного
в пресную воду и изолированного от нее слоем воздуха. Электри-
ческая полудлина антенны |3L/i — 5,946, распределение тока
вдоль диполя такое же, как на графике в третьем ряду четвер-
той колонки рис. 1.4.3. Однако в пресной воде электрическая
длина антенны р4Л равна 33,68, т. е. h = 5,36Х4, и на длине
антенны укладывается более пяти длин волн Х4. У такого ди-
поля остронаправленная диаграмма, в диапазоне углов 80°
^ © ^ 90° амплитуда поля велика, а при углах, меньших 80°,
резко падает, образуя небольшие боковые пики. Естественно,
что диаграмма направленности обладает круговой симметрией
относительно оси антенны и симметрична относительно эквато-
риальной плоскости (0 = 90°).
На рис. 1.4.13 приведены экспериментально полученные диа-
граммы направленности изолированных и неизолированных мо-
нополей длиной 0,5 й/Х4 3,0 [6]. Радиус металлического
проводника для всех антенн один и тот же, а/Х4 = 0,0123. В ка-
честве изолятора взят концентрический тефлоновый цилиндр,
диэлектрическая проницаемость которого ег2 = 2,1; отношение
его радиуса b к радиусу металлического проводника а равно 3,3.
Изолирующий цилиндр выступает за пределы открытого конца
центрального проводника на 0,4Х,-. Внешней средой (областью 4)
является вода при 20° С со следующими электрическими пара-
метрами: <т4-= о'= 0,06 См/м, ег4 =е'4 +/е" = 80 +/40. На ра-
бочей частоте 900 МГц вещественная эквивалентная проводи-
мость сте4 = а' + юеое" = 0,26 См/м,вещественная эквивалентная
относительная диэлектрическая проницаемость egr4=e'4—^47®е0==
= 80, тангенс угла потерь ре4 = сте4/<оее4 = 0,065, комплексное
волновое число &4 = р4/а4 = 169 +/5,46 м-1; длина волны
в воде ?.4 = 2л/р4 = 3,7 см, длина волны в воздухе ко = 33,3 см.
При измерениях ко всем антеннам от источника подводилась
одна и та же мощность. Все диаграммы направленности на
рис. 1.4.13 нормированы к максимальному значению поля моно-
поля длиной Х4/4, т. е. на рисунке представлена угловая зави-
симость относительной интенсивности поля
^(®)|^|e^(0)|/|^(«/2) Ift=w4.
<-------
Рис. 1.4.6. Графики распределений нормированных значений тока
/ = |/|ехр(/0) вдоль монополя с меламиновым изолятором.
Монополь помещен в пресную воду (<Je4= 1,1 10“^ См/м, =
Для графиков в верхних четырех рядах £;//г2 = 3,80 - г 0,074, для нижнего ряда kt/k4 =•
= 3,80 — 1 0,039. Остальные параметры те же, что н на рис. 1.4,4.
------ теория; • измерения Ли н Мншра.
C/d«13,0 cCLj3L=a,03t с/а = 8,Э' й|./Д = 0,048 С/а = 4,0 «i/Д’ 0,115 c/a--Z,6 cCv/^3L= 0,163
Изолированные антенны
45
с/а» >3,0
1,0 IJ
2 г
h 4
0.5 '
° 0'50"
0
<£l/Su = 0.052 С/а = 8,9
о ю го^о ад о^5о°
dt/A=0,099 с/а=4,0 di/Д’O,0ZZ7 С/а=2,6 dL/fiL= 0,300
di/j3L= 0,298
с/а=2,6
C/a= 8,9 A/jSj.’0,083 C/a=4,0 «^=0,215
C/a--13,0 di/BL’0,051
w
- j-S 01 ~ <Ah-6,l3 ' xz/’XAh=6,8Z " Z\Ah»8,30
ш1 kz ин kK
I О лллл Л ' rt ля лллл ** > ** — ** — — — - - - - •
05
0,
eM»-0(Q|W №eZOO’ 0IQ140
0° „ Z00° 0 no 80 0’ 200° 0 40 80
8 IQI 8 1Q|
Рис. 1.4.8. Графики распределений нормированных значений заряда на еди-
ницу длины Q = । Q|exp(iO) вдоль монополя с воздушным изолятором.
Монополь помещен в пресную воду (ое4 = 4,1 10~3 См/м, еег4=зоу ktlh — 8,94 + i 0,11.
Остальные параметры те же, что и на рис. 1.4.2,
--------- теория; • измерения Ли и Мишра,
46
Глава /
aL/£L-0,05J b/o-6/4 aL//3L-0,086 b/o -4,10 aJ/3,-0,120 ЬЛ -2,90
1,0-
z/h
0,5-
o;
g
)
50 00
IQI
'i_ > L -2 L 22
’oiOO 200 0 50 iob 0 100 200 м юо oldbTto » fob
6 5b 0o
ф 101
loo aJo f
Ф
Ф 101
ф 101
Рис. 1.4.9. Графики распределений нормированных значений заряда на еди-
ницу длины Q = |Q|exp(/0) вдоль монополя с меламиновым изолятором.
Монополь помещен в соленую воду (ое4 = Ю,0 См/м, eer4 = 80). kilk2 = 9,60 + i 8,41.
Остальные параметры те же, что и на рис. 1.4.4.
•----- теория; • измерения Лн и Мишра.
Изолированные антенны
47
а./А-О.ОТТ Ь/о-6,44 а,/а -0,114 Ь/о-4,10 а.ЛЗ.-0,146 Ь/а• 2,90
ф 101 ф 101 ф 101
Рис. 1.4.10. Графики распределений нормированных значений заряда на еди-
ницу длины Q = | Q| exp(iO) вдоль монополя с меламиновым изолятором.
Монополь помешен в соленую wjjiy ( ',>4=3.р См/ч —30). — 6,21 + 4 4,65.
Остальные параме>ры ie же, что и на рис. 1.4.4.
теория; • измерения Ли и Мишра.
aL/0u= 0,244 b/o = 4,09
aL//3L = 0,273 b/o = 2,89
Ф 101 Ф IQI
Рис. 1.4.11. Графики распределений нормированного значения заряда на еди-
ницу длины Q— |Q|exp(i0) вдоль монополя с меламиновым изолятором.
Монополь помещен в пресную воду (о(?4 = 4,1-10~3 См/м, е^,.4 = 80) /г4//га — 3,80—/ 0,07$
для графиков в верхних четырех рядах, для графиков нижнего ряда = 3,80 — / 0,039.
Остальные параметры те же, что и иа рис. 1.4.4.
----------теория; • измерения Ли и Мишра.
Изолированные антенны
49
Рис. 1.4.12. Диаграмма направлен-
ности по полю в вертикальной
плоскости изолированного возду-
хом диполя, помещенного в прес-
ную ВОДУ (<Те4 = 4,1 10-3 См/м,
8е,4 = 80) .
Для монополей наименьшей длины (h — 0,5 Х4) диаграммы
направленности практически одинаковы независимо от того,
есть слой изолятора или нет. В обоих случаях главный лепесток
диаграммы находится в экваториальной плоскости 0 == л/2. На-
правление главного лепестка диаграммы направленности неизо-
лированного монополя от-
клоняется от экваториаль-
ной плоскости, когда длина
монополяh становится боль-
ше 0,5 Л4. Положение глав-
ного лепестка диаграммы
направленности изолиро-
ванного монополя в эквато-
риальной плоскости сохра-
няется при длинах монополя
вплоть до Л = 2,5%4. Выше
уже было показано, что уси-
ление в направлении 0 =
= л/2 для изолированной
антенны значительно боль-
ше, чем для неизолирован-
ной, Например, для изоли-
рованной антенны длиной
/г/Х4 = 2 величина усиления
G (л/2) на 4,8 дБ больше,
чем для неизолированной
антенны длиной /i/X4 = 0,5.
На рис. 1,4,14 прослежи-
вается влияние радиуса изо-
лирующей трубки Ъ на вид
диаграммы направленности.
Здесь изображены диа-
граммы направленности в
вертикальной плоскости не-
изолированного монополя и
изолированных монополей г
лирующего слоя. Во всех случаях радиус внутреннего провод-
ника и его длина одинаковы: а = 0,0123 Х4, /i = 2,OXo. Длина
изолирующего цилиндра hi = 2,4 Х4. Сплошными и штриховыми
линиями на рис. 1.4.14 изображены диаграммы направленности,
полученные в результате измерений; крестиками нанесены точ-
ки, полученные расчетным путем по основной формуле (3.7).
По мере увеличения толщины изолирующего слоя положение
главного лепестка смещается к экваториальной плоскости
0 = л/2 и направленность диаграмм повышается. Объяснение
этим закономерностям было дано при рассмотрении формулы
и трех различных радиусах изо-
50
Г лава 1
Рис. 1.4.13. Нормированные диаграммы направленности относительной интен-
сивности поля | Е& (9) | в вертикальной плоскости изолированного и неизоли-
рованного монополей при изменении длины антенны h.
Радиус а = 0,0123M, b = 0,041 М, Ь/а = 3,3, ?г2=2,1, *г( = T +'),и4.-изо-
лированный монополь;-----------------------------------------------неизолированный монополь.
(3.7) и рис. 1.4.12. На рис. 1.4.15 показаны распределения тока
вдоль монополей, соответствующие диаграммам направленности
рис. 1.4.14. У неизолированной антенны к. с. в. тока имеет боль-
шое значение, ток на протяжении длины монополя несколько
раз меняет направление. Такому распределению тока соответ-
ствует многолепестковая диаграмма (рис. 1.4.14, (Д)). При уве-
личении толщины изолирующей трубки ток становится однона-
правленным, поле при таком распределении тока остронаправ-
ленное (рис. 1.4.14, (Г)),
Рис. 1.4.14. Нормированные диаграммы направленности относительной интен-
сивности поля | £q (0) | в вертикальной плоскости монополей при четырех
значениях толщины слоя изоляции.
Длина антенны h = 2X4, Л;- = 2,4м, а — 0,0123X4.
(А) — неизолированный монополь, Ыа = 1,0; (Б) — bja — 1,9, ег2=2,7; (В)—Ь/а=3,3,
ег2=2,1; (Г) —й/а = 12,8, er2=2,l, X теория.
Рис. 1,4.15. Распределение нормированной амплитуды тока вдоль монополя
для четырех значений толщины слоя изоляции.
Длина аитенн Л = 2М, а " 0,0123X4.
(А) — неизолированный монополь, 6/а = 1,0; (S) — Ыа = 1,9; ег2 = 2,7; (В) — Ь/а — 3,3,
ег2 = 2,1; (Г) - b/а = 12,8, ег2 = 2,1.
52
Г лава 1
1.5. ИЗОЛИРОВАННЫЙ ПРОВОДНИК В БЕСКОНЕЧНОЙ,
ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОТНОЙ СРЕДЕ.
АДМИТАНС И ИМПЕДАНС НА ВХОДЕ
В предыдущем разделе рассматривались распределения
тока и заряда вдоль изолированного проводника, помещенного
в электрически плотную внешнюю среду, а также электромаг-
нитное поле в такой среде. В этом разделе рассмотрим не менее
важный параметр изолированной антенны — входной адмитанс.
В идеальном случае входной адмитанс определяется просто как
отношение тока к напряжению Ven в точке z = 0. Так определен
адмитанс в формуле (2.23 6) для изолированного, разомкнутого
на концах диполя, возбуждаемого в центре. В этом случае иде-
альный адмитанс дается формулой
Y— i/2Zc)ig kLh. (5.1)
Здесь Y — адмитанс для генератора в виде дельта-функции
в центре проводника. Когда центральный проводник выполнен
в виде очень тонкой, хорошо проводящей трубки, генератор
дельта-функции представляет собой источник э. д. с. Ид, полу-
чаемой некоторым образом между бесконечно тонкими кольце-
выми ножевидными краями трубки, разделенными бесконечно
малым промежутком. Такая конструкция соответствует беско-
нечно большой емкости. Обычные формулы для длинной линии
с хорошим приближением описывают распределения тока и за-
ряда вдоль антенны. Однако эти формулы являются решениями
низкого порядка, в них не учитывается большой разрядный ток
в сосредоточенной емкости, обусловленной генератором. Эти
формулы соответствуют э. д. с., создаваемой на небольшом, но
конечном промежутке.
На практике питание к изолированной антенне обычно под-
водится по соответствующей линии передачи [7]. Простейший
способ подсоединения кабеля питания к антенне, помещенной
в воду, иллюстрируется на рис. 1.5.1, а. Изолированный моно-
поль помещен в воду в вертикальном положении; вдоль поверх-
ности воды вокруг монополя расположен большой металличе-
ский экран. Изолятором в монополе служит воздух, от воды он
отделен тонкой пластмассовой или стеклянной трубкой. Питание
к монополю подводится по коаксиальной линии, расположенной
над поверхностью воды. Для того чтобы упростить соединение
коаксиальной линии питания и изолированного монополя, попе-
речные сечения внутреннего проводника и изолятора антенны не
меняются и на начальном участке коаксиальной линии. Только
на некотором расстоянии от места соединения монополя с ко-
аксиальной линией (это расстояние значительно превосходит
Изолированные антенны
53
Рис. 1.5.1. Подсоединение коаксиальной линии питания к изолированной ан-
тенне, находящейся в воде.
а —соединение с неизменным сечением (гладкое); б и в — фланцевые соединения при
толстом и тонком слоях изолирующего материала соответственно. / — коаксиальная ли-
ния, внутренний диаметр 7,9 мм, наружный диаметр (8,3 мм; 2 — слой изолирующего
воздуха; 3 — коаксиальная линия, внутренний диаметр 6,35 мм, наружный диаметр 2с;
4— акриловая трубка, наружный диаметр 2с, с — Ь — 1,58 мм; 5 — слой изолирующего
воздуха, внешний диаметр 25; 6 — отверстия, уменьшающие объем фланца на 30%;
7 — металлический монополь, 2а в 6,35 мм; 8 — коаксиальная линия, внутренний диа-
метр 7,9 мм; наружный диаметр 20 мм; 9 — слой изолирующего воздуха; 10 — рексо-
литовый фланец, наружный диаметр 30 мм, толщина 12,7 мм; 11 — акриловый фланец,
наружный диаметр 120,6 мм, толщина 12,7 мм; 12 — металлический экран.
расстояние, на котором проявляется влияние подключения коак-
свального кабеля питания) поперечные размеры коаксиальной
линии резко меняются. Коаксиальная линия с поперечными раз-
мерами монополя (внутренний проводник радиусом а, слой воз-
духа наружным радиусом Ъ и тонкая пластмассовая трубка
наружным радиусом с) переходит в обычную коаксиальную ли-
нию. Электрические свойства такого ступенчатого перехода хо-
рошо известны. Эквивалентный адмитанс изолированной антен-
ны, рассматриваемой в качестве оконечной нагрузки коаксиальной
линии, измерялся обычным образом с учетом трансформирую-
щих свойств ступенчатого перехода между двумя коаксиаль-
ными линиями. На рис. 1.5.2 приведены графики теоретической
зависимости нормированного адмитанса У/Дг = О/Д2— IB/Д2
изолированного монополя от его электрической длины fiji.
Расчет адмитанса проводился по формуле (5.1) для трех
значений толщины изолирующего слоя. На этом же рисунке
представлены результаты измерений адмитанса для схемы, по-
казанной на рис. 1.5.1, а. Видно, что при с/а — 8 совпадение
теоретических и экспериментальных данных очень хорошее,
54
Глава 1
Рис. 1.5.2. Графики нормированного адмитанса У/Д2 = (G — 1В)!\г изолиро-
ванного монополя, находящегося в пресной воде, при гладком соединении.
Электрическая длина монополя = 8,94 + I 0,011, f = 300 МГц.
----- теория (б/Д2); С измерения Мишра (С/Д2);------теория (В/Д2); • измерения
Мишра (В/Д2).
а при уменьшении с/а до значений 4 и 2,5 степень совпадения
несколько снижается. К этому же выводу приводит и рассмотре-
ние спиралей адмитанса, изображенных в левой части рис. 1.5.3.
Следует, однако, отметить, что во всех случаях степень совпаде-
ния расчетных данных с экспериментальными достаточна для
большинства технических приложений. Для того чтобы повысить
точность расчета, необходимо выполнить более подробный ана-
лиз явлений в месте соединения коаксиальной линии с изолиро-
ванной антенной. Пока этот анализ не проведен.
Переход от коаксиальной линии к монополю с сохранением
сечения («гладкий» переход), показанный на рис. 1.5.1, а, не
является наиболее удобным и распространенным. При проведе-
нии многочисленных измерений, которые обсуждались в преды-
дущем разделе, использовался не такой, а более резкий переход
с помощью фланцевого соединения (рис. 1.5.1, б и в). Схемы,
представленные на рис. 1.5.1, б и в, различаются толщиной изо-
лирующего слоя. Результаты измерений адмитанса при фланце-
вой схеме соединения приведены в правой части рис. 1.5.3. При-
емлемая степень совпадения расчетных и экспериментальных
О 12 24 36 48 0 12 24 36 48
6./Дг, мОм , мСм
•Я
<Ъ
5:
л.
О 10 го 30 о 10 20 30
6/Дг, мОм 6./&Z > мСм
Рис. 1.5.3. Спирали нормированного адмитанса изолированного монополя, на
холящегося в пресной воде.
Слева — гладкие соединение, справа — фланцевое соединение.
---------------------теория; Q измерения.
56
Глава 1
данных наблюдается лишь в случае толстого слоя изолятора,
а при тонком слое совпадение очень плохое. Качественно это
можно объяснить следующим образом: лишь часть напряжения,
подводимого к концу коаксиальной линии (рис. 1.5.1, в), посту-
пает на антенну, так как радиус рексолитового фланца больше
радиуса изолирующего слоя антенны. В случае фланцевого со-
единения, для того чтобы измеренное значение эквивалентного
Рис. 1.5.4. Нормированный импеданс изолированного монополя, находящегося
в пресной воде.
------теория; X измерения, гладкое соединение, *.224 +/0,289 (Миш-
ра и Мажумдар); О измерения, фланцевое соединение, fe£yfe2=l,19 4- /0,270 (Мишра
и Ли).
адмитанса в конце коаксиальной линии точно соответствовало
идеальному входному адмитансу изолированной антенны, тре-
буется ввести корректирующую цепь. При гладком соединении
такая коррекция не нужна. Однако явления, вызываемые при-
соединением коаксиальной линии к антенне, локализованы
в месте присоединения и уже на очень малых расстояниях от
него никак не влияют на распределения тока и заряда. На
рис. 1.5.4 для сравнения приведены теоретические и эксперимен-
тальные кривые входного импеданса. Рассмотрены случаи глад-
кого и фланцевого соединений при с/а = 4.
И золированные антенны
57
1.6. АНТЕННА С ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИМ
РАСПОЛОЖЕНИЕМ ПРОВОДНИКА В ИЗОЛЯТОРЕ
Изолированная антенна с диэлектрическим слоем постоян-
ной толщины является осесимметричной, поэтому ее диаграмма
направленности в экваториальной
плоскости представляет собой круг.
В одних случаях требуется нена-
правленное поле, в других — на-
правленное. Конечно, направленную
диаграмму всегда можно получить
от ненаправленных излучателей, со-
ставив из них решетку. Однако весь-
ма удобный и компактный направ-
ленный излучатель получается пу-
тем простой модификации изолиро-
ванной антенны [8]. Для этого нуж-
но только так переместить внутрен-
ний проводник в слое изолятора,
чтобы ось проводника не совпадала
с осью изолятора. Такое взаимное
расположение проводника и изоля-
тора показано на рис. 1.6.1. Провод-
ник радиусом а помещен в диэлек-
трический цилиндр радиусом Ь. Ось
проводника находится на расстоя-
нии D от оси изолятора и на рас-
стоянии d=b — D от внешней по-
верхности изолятора. В работе [8],
где проведен подробный анализ та-
кой системы, показано, что распре-
деление тока во внутреннем про-
воднике такое же, как и в обычной
коаксиальной линии, а изменяются
лишь последовательный импеданс и
параллельный адмитанс на единицу
длины. Соответственно изменяются
Рис. 1.6.1. Цилиндрический про-
водник радиусом а, располо-
женный эксцентрически в ди-
электрическом цилиндре радиу-
сом Ь.
комплексное волновое число для
тока kb и волновое сопротивление Zc- Выражения для этих ве-
личин принимают следующий вид:
^ = 62[1 +A0/^Qa]V2, (6.1)
Zc = kiQcJZwozz = kLQ,a!2n (ие2 + ш2), где (6.2)
о -Archf- + 62--1=-1 infXo(62~Xl
Ua АГСП 2ab J 2 in [
(6.3)
2ab
58
Глава t
= Z/o (*<*) i о У ( V'
т4Дь2 ' ^+1(М)
(6.4)
и x0 = (2D)~l{(b2 + D2-a2)-[(b2 + D2-d2)2-4b2D2]il2} (6.5)
— местоположение эквивалентного линейного излучателя. Фор-
мулы (6.1) и (6.2) дают хорошее приближение при Ik4|2 > Ikz12,
Ik412 > |&з|2 и |М| < 1.
На рис. 1.6.2 приведены графики нормированного комплекс-
ного волнового числа = $ln + iai.N, рассчитанные по фор-
b (вещественная величина)
Рис. 1.6.2. Нормированное комплексное волновое число kdkz — ри- -|- ia.LN
антенны, расположенной эксцентрически в изоляторе и находящейся во внеш-
ней среде без потерь.
мулам (6.1) — (6.5) для вещественных значений k4, т. е. для
внешней среды без потерь. Такой средой может быть, например,
пресная вода при больших значениях рабочей частоты. Графики
построены для двух значений параметра а/b и трех значений
параметра D/b, в частности для D/b = §. Из рис. 1.6.2 видно,
что с ростом отношения D/b величины и o,ln также увели-
чиваются. В рассматриваемом случае все потери обусловлены
излучением; сопротивление излучения на единицу длины г\ уве-
личивается по мере смещения проводника от центра к внеш-
нему краю изолятора. Если антенну характеризовать волновым
числом и волновым сопротивлением, то антенна с эксцентриче-
ским изолятором в первом приближении эквивалентна антенне
с симметричным изолятором радиусом d. На рис. 1.6.3 приведены
Рис. 1.6.3. Зависимость нормированною комплексного волнового числа fcz/fta = pz.-, -f- iilln or угла потерь 64. \k
60
Глава 1
графики зависимости |3iAf и a,LN комплексного волнового
числа Ze4 = J/г41 exp Z64/2 от угла потерь 64, где б4 — arctg ре4.
Коэффициент затухания ailV уменьшается при увеличении б4.
Таким образом, в изолированном проводнике потери на еди-
ницу длины уменьшаются по мере роста проводимости внешней
среды. Эта закономерность согласуется с отмеченным ранее
фактом, что aL для соленой воды меньше, чем для пресной.
J3Lh^6- a/J3f 0,034 J3Lh=6,81\ ocl/J3l^o,186
Рис. 1.6.4. Распределение тока вдоль изолированного монополя, находящегося
в пресной воде (еег4 = 80, це4 = 0,0041 См/м, &/а = 18).
а — антенна расположена по центру диэлектрического цилиндра, d/a = д/а =18; б —
антенна смещена относительно оси диэлектрического цилиндра, d/a — b/За = 6.
------- теория; е измерения Мишра
На рис. 1.6.4 показано изменение картины распределения
тока при перемещении проводника от оси цилиндрического изо-
лятора до линии, отстоящей на d/b — \/2> от границы внеш-
ней среды. Внешней средой в данном случае является пресная
вода. Рассмотрен случай толстого слоя изолятора при b/а = 18.
Когда проводник расположен по центру такого изолятора, к. с. в.
очень велик, at/jK = 0,034. Когда проводник находится на рас-
стоянии d — 6а от внешней поверхности изолятора, к. с. в. ста-
новится значительно меньше, ас/Ьь = 0,186. Распределение тока
в смещенном относительно центра изолятора проводнике сходно
с распределением тока в расположенном по центру изолятора
проводнике, радиус которого b « 6а.
Направленные свойства диполя, эксцентрически располо-
женного в изоляторе, в экваториальной плоскости практически
не зависят от длины диполя, поэтому диаграмму направлен-
ности такого диполя можно рассчитывать, как для случая бес-
конечно длинной антенны. Формула диаграммы направленности
в экваториальной плоскости 0 — л/2 для дальней зоны имеет
вид
Р(Ф)
1___, 2 V1 ( ~ cos мФ
6 ' с+>(М)'
(6.6)
Изолированные антенны
61
На рис. 1.6.5 изображены полученные расчетным путем диаграм-
мы направленности в экваториальной плоскости диполя с
эксцентрическим изолятором во внешней среде с нулевым тан-
генсом угла потерь, т. е. при 64 = 0. В качестве параметра взята
величина | k^b |, b/а = 10, D/b = Q,7. На рис, 1.6.6 приведены
результаты измерений диаграмм направленности для трех ан-
тенн с различными значениями эксцентриситета D/b — 0,2; 0,5;
Рис. 1.6.5. Диаграммы направ-
ленности по полю бесконечно
длинного, эксцентрически изо-
лированного диполя, находяще-
гося в среде без потерь.
0,7 [9]. В качестве изолятора используется тефлон, b/а — 13,0,
внешней средой является вода, для которой на частоте 900 МГц
й4 — 1694-1’5,46 м-1 и |&46|= 1,0. На рис. 1.6.7 приведены
экспериментальные и расчетные диаграммы направленности для
трех антенн с эксцентриситетом D/b — 0,7, различными ра-
диусами изолирующего слоя b и соответствующими значениями
величины | k^b | = 1; 2; 4. Во всех случаях наблюдается значи-
тельное ослабление поля в направлении назад (Ф=180°).
Благодаря этому отношение величины поля в направлении впе-
ред (ф — 0°) к величине поля в направлении назад (Ф = 180°)
достаточно велико. Это отношение увеличивается с ростом
|&46| при одном и том же значении эксцентриситета, а также
при увеличении эксцентриситета при заданной величине |/г46|.
Для антенны с эксцентрическим изолятором коэффициент
направленного действия (к.н. д.) в направлении главного мак-
симума дается формулой
D (0) = 2л | Р (0) |2 Д | Р(Ф) |2о!Ф. (6.7)
' о
Коэффициент усиления антенны в децибелах определяется как
G — 10 IgD(O). На рис. 1.6.8 приведены графики теоретической
62
Глава 1
Рис. 1.6.6. Диаграммы направ-
ленности по полю изолирован-
ного монополя в горизонталь-
ной плоскости для трех значе-
ний эксцентриситета D/b.
Длина антенны h — 21.,. а =
= 0,0123Л(, &-0.16U Wo-13,0,
Л^ = 2,3 Х^, £^2 = 2,1.
Рис. 1.6.7. Диаграммы направлен-
ности по полю изолированных мо-
нополей в горизонтальной плоско-
сти для трех значений радиуса
изолятора b при заданном эксцен-
триситете D!b = 0,7.
а — 0,0123X4, длина антенны h = 2Х»,
М=2-1-
X теория.
зависимости коэффициента усиления от | kaj} | при 64, взятой
в качестве параметра. Из графиков видно, что коэффициент
усиления растет с увеличением радиуса слоя изолятора, а от
угла потерь внешней среды зависит незначительно. При D/b =
= 0,7 коэффициент усиления несколько больше, чем при
D/b — 0,5. Следовательно, величина к. н д. антенны повышается
с увеличением эксцентриситета. Хотя диаграмма излучения ан-
тенны с эксцентрическим изолятором в экваториальной пло-
скости не остронаправленная, такал антенна является весьма
подходящим единичным элементом при создании направленной
решетки излучателей, предназначенной для связи в подповерх-
ностном слое моря, озера, земли, а также для связи с погру-
женными в такие среды автоматическими ответчиками.
Для того чтобы повысить коэффициент направленного дей-
ствия антенны с эксцентрическим изолятором в экваториальной
плоскости, необходимо, чтобы электрический размер радиуса
изолирующей втулки b во внешней среде был большим. Другой
Изолированные антенны
63
метод повышения величины к. н. д. антенны в экваториальной
плоскости, не требующий увеличения размеров поперечного се-
чения изолятора, заключается в применении более сложной кон-
Рис. 1.6.8. Зависимость усиления
бесконечно длинной дипольной ан-
тенны, расположенной в изолято-
ре, от величины |&4&|; б4 — пара-
метр.
струкции антенны с тонким концентрическим изолятором. Сзади
такой антенны во внешней среде устанавливают уголковый отра-
жатель, поперечные размеры которого сравнимы с поперечными
Рис. 1.6.9. а—антенна, эксцентрически расположенная в изоляторе; б — изо-
лированная антенна с металлическим прямоугольным уголковым отражателем.
Отражатель вписывается в окружность радиусом Ь, равным радиусу изоля-
тора на рис. а.
64
Глава 1
Изолированная антенна
с уголкоВым отража-
телем
Ь~~0,ОВ1Л^
8 г 2* 2,1
1*0,7^
8--0,5Д4
1111111111111 11 111
- -20 чесни м изолятором
Ь* 0,32 Л и
-30 W"0’7
30 8rz-2,1
hi-2,3k4
111 111 । 11 i 111 । 111
180 90 0 90 180
Ф, град
Рис. 1.6.10. Сравнение диаграмм направленности в горизонтальной плоскости
монополя с эксцентрическим изолятором и изолированного монополя с пря-
моугольным уголковым отражателем; h = 2,0 Х4, а = 0,0123 Х4.
размерами антенны с эксцентрическим изолятором. На
рис. 1.6.9 изображены поперечные сечения антенны с эксцен-
трическим изолятором и антенны с концентрическим изолятором
с прямоугольным уголковым отражателем. Результаты измере-
ний диаграмм направленности этих двух антенн в экваториаль-
ной плоскости приведены на рис. 1.6.10. Из рисунка видно, что
антенна с уголковым отражателем является более направлен-
ной, отношение интенсивностей излучения вперед и назад у нее
выше.
Рассмотрим теперь случай антенны с двумя слоями эксцен-
трического изолятора. Пусть внутренний проводник радиусом
а расположен эксцентрически в воздушном цилиндре радиусом
b (диэлектрическая проницаемость 82 = е0, проводимость
ст2«0), а тот в свою очередь — в диэлектрической трубке ра-
диусом с (диэлектрическая проницаемость е3, проводимость
ст3«0). Для такой антенны формулы для волнового числа /гЛ
и волнового сопротивления Zc при расстояниях между осями
цилиндров Dab, Dbc, Dac радиусами а, Ь, с соответственно
(рис. 1.6.11) принимают следующий вид:
kL = k2F [ 1 + A (Dac, 0)/kiCQacy/2, (6.8)
Zc = kL (Q.ab + e2Q&c/e3)/2ncoe, где [10] (6.9)
( a2 + b2 - D2ab \
Qaft = Arch(------2^^)’ (6-Ю)
/ b2 + c2 - D2 \
Qftc = Arch(------(6.11)
I
Изолированные антенны
65
Рис. 1.6.11. Антенна с двухслойной экс-
центрической изоляцией.
( а2 + с2~й2аД
Qac = Arch I---5,
ас \ 2ас /
F — [^ас/(^а6 + ^6се2/ез)] •
В формуле (6.8)
Л /п пх__ Ho}(k4c) 1 о у* ( Dacxo\m Hm (k4c)
А(^’0)-^^ + 22уД с2 ) н^+{{М'
= (2OJ"' {(<* + - |(с! + - «7- 4о’оуда
Эти формулы дают хорошее приближение, если j &212,
|&з|2>|&2|2 И I k2dac | 1, где dac = c — Dac есть кратчайшее
расстояние от оси проводника до внешней среды 4.
(6.12)
(6.13)
(6-14)
1.7. ПЕРЕДАЧА БОКОВОЙ ВОЛНОЙ.
ИЗОЛИРОВАННЫЕ АНТЕННЫ БЕГУЩЕЙ
ВОЛНЫ И С ОКОНЕЧНОЙ НАГРУЗКОЙ
Как правило, прямая передача сигнала из пункта в пункт
в сильно поглощающих средах не применяется из-за быстрого
затухания электромагнитных волн по экспоненциальному за-
кону. К таким средам относятся морская вода и большинство
видов поверхностного слоя земли при работе на очень низких
частотах, для которых ос а»ее. Требуется какой-то более эф-
фективный способ связи. К счастью, существует такой способ
передачи сигнала, при котором ослабление по экспоненциаль-
ному закону происходит лишь на относительно небольшом уча-
стке пути распространения волны, равном сумме расстояний от
поверхности среды до находящихся в этой среде передающей
3 Зак 813
66
Глава 1
и приемной антенн. Речь идет о связи с помощью так называе-
мой боковой волны1), распространяющейся вдоль границы раз-
дела вода — воздух [Ц]-Ж! волн движется вверх от антенны,
расположенной горизонтаТГЛиб* в море на глубине го, и приходит
к поверхности раздела под критическим углом, при котором
волна может распространяться в воздухе вдоль границы раз-
дела. По мере продвижения цуга волн вдоль поверхности про-
исходит также непрерывный процесс просачивания части энер-
Поверхность моря
/ / И / / > > / / г
срр * * \Б Боковые * {
волны I I
Изолированная антенна в море
ПоВерхносто моря
Диаграмма — Диаграмма
направлен- пшена- направленности
ности верх '
Симметрично изолиро- Эксцвнтричвсни изолиро -
банная антенна в море ванная антенна в море
Рис. 1.7.1. Антенны в море.
гии вниз к приемной антенне, находящейся на глубине г от
поверхности. В морской воде критический угол соответствует
направлению распространения волн от антенны почти верти-
кально вверх (рис. 1.7.1). Затухание волны по экспоненциаль-
ному закону определяется множителем е-“'<г«+г). При передаче
боковой волной наименьшему ослаблению подвергается радиаль-
ная составляющая электрического поля Ер, направленная вдоль
оси антенны. В связи с этим возникает проблема создания оп-
тимальной конструкции антенны. Обычная теория решеток, свя-
занная с рассмотрением прохождения через среду, в данном
случае неприменима. Для того чтобы волны, излучаемые всеми
элементами антенны, складывались вдоль поверхности раздела
вода — воздух в фазе и сигнал за счет суперпозиции волн уси-
ливался, в антенне должен быть режим бегущей волны. Бегу-
щая волна должна распространяться с такой же фазовой ско-
ростью, что и волна в воздухе вдоль поверхности раздела, т. е.
‘) Вопрос распространения боковой волны подробно рассмотрен в ра-
ботах [8*, 9*]. — Прим. ред.
Изолированные антенны
67
со скоростью света в воздухе. Такой режим с некоторым при-
ближением может быть создан в антенне, у которой изолятором
служит воздух или пеностирол; чтобы на большей части длины
антенны поддерживалась преимущественно бегущая волна, ан-
тенна должна быть достаточно длинной, а толщина изолятора —
достаточно малой. Фазовая постоянная рд для тока в такой ан-
тенне имеет величину порядка р0 для воздуха. При этом волны,
излучаемые каждым элементом антенны, складываются на по-
верхности раздела приблизительно в фазе, так что по мере рас-
пространения волна усиливается; таким образом формируется
направленный сигнал.
Воздух: р0, £0
Поглощающая среда: Ц,ееГ11,оеь
Центральный пробод ник .
из латуни . д'1
/7 Воздух \ 'г /
Согласованная Тонкостей- /(х'/^Ив1^ Согласующая
нагрузка ная пласт- цепь
массовая
трудна
Рис. 1.7.2. Линейный коаксиальный излучатель бегущей волны.
Изолированная антенна с осевой симметрией в экваториаль-
ной плоскости излучает равномерно во всех направлениях, в
том числе и в направлении вниз, в глубину моря, что схемати-
чески изображено в нижней левой части рис. 1.7.1. Эксцентри-
чески расположенная в изоляторе и правильно ориентированная
антенна имеет широконаправленную диаграмму, характеризуе-
мую увеличением полезного излучения наверх и уменьшением
доли бесполезно теряемого излучения вниз. Этот случай изо-
бражен в правой нижней части рис. 1.7.1.
Если антенна имеет недостаточную длину, а изолирующий
слой недостаточно тонкий, то для создания режима бегущей
волны к антенне подключают резистивную оконечную нагрузку.
Схема такой антенны для работы в морской воде приведена на
рис. 1.7.2. Горизонтальный провод длиной h помещен в тонко-
стенную пластмассовую трубку, заполненную воздухом. Рези-
стивная нагрузка соединена последовательно с металлическим
экраном, который находится в контакте с хорошо проводящей
морской водой. Питание к антенне подводится по коаксиальному
3*
68
Глава t
д о Типи чная диаграмма направлен
ности для составляющей Е^
-ф=780°-
В- X
морская Вода
ао = ЮОм
' Е /« МГц
0,2 Ор 0,0 0,8 7,0
270°
Рис. 1.7.3. Зависимость продольной составляющей электрического поля Ер от
азимута для антенны бегущей волны; z + z0 = 0,3 м. Еф на 25 дБ ниже Ер.
Рис. 1.7.4. Зависимость поперечной составляющей Еф электрического поля от
азимута для антенны бегущей волны; z + z0 — 0,3 м. Еф на 25 дБ ниже Ед.
кабелю, который также находится под водой. Влияние на поле
отражений от металлического питающего кабеля, если он на-
ходится на достаточном удалении от поверхности воды, прене-
брежимо мало благодаря хорошей проводимости среды. Были
проведены теоретическое и экспериментальное исследования та-
кой антенны. На рис. 1.7.3 и 1.7.4 приведены полученные расчет-
ным путем графики зависимости от азимута нормированных зна-
чений продольной составляющей Ер и поперечной составляющей
Еф электрического поля. Длина антенны принята равной длине
волны, которая в данном случае равна длине волны в свобод-
Изолированные антенны
69
ном пространстве, /.2 — Ло. Антенна находилась на глубине
15 см. Значение поля рассчитывалось на расстоянии 100 м от
излучателя и на глубине 15 см. Расчеты проводились для ча-
стоты f — 14 МГц. Из рис. 1.7.3 и 1.7.4 видно, что максимум по-
перечной составляющей Еф поля отклонен от оси антенны на
значительный угол, а максимум радиальной составляющей Ер
поля совпадает с осью антенны. Кроме того, на расстоянии
р = 100м максимальное значение составляющей \ЕФ\ на 25 дБ
ниже максимального значения составляющей | Ер|. Диаграмма
направленности для Ер, показанная на рис. 1.7.3, очень подхо-
дит для направленной передачи сигнала.
Важными характеристиками изолированной антенны бегу-
щей волны, погруженной в морскую воду, являются скорость
ослабления поля по мере удаления от излучателя при задан-
ных глубинах г0 и г расположения передающей н приемной ан-
тенн, а также влияние увеличения длины антенны на эту ско-
рость и остроту диаграммы направленности. На рис. 1.7.5 и
1.7.6 приведены расчетные графики зависимости величин | Ер |
и 12?ф| от расстояния для четырех значений длины антенны при
одной и той же оконечной нагрузке. Частота f — 14 МГц, а ос-
тальные параметры принимают следующие значения: h/k2 =
= 0,114; 0,228; 0,342 и 0,456; h/U = 5,76; 11,5; 17,3 и 23,1. Дли-
на волны в воздухе К2 —%о, длина волны в морской воде Л4. Ан-
тенны располагались на глубине г = го = 0,15 м. Расстояниер
для радиальной составляющей |ЕР| отсчитывалось вдоль оси
антенны, а для поперечной составляющей |ЕФ|— перпендику-
лярно оси. Следовательно, уменьшение |ДР| с расстоянием на-
блюдалось в направлении максимума | Ер |, а уменьшение Еф
с расстоянием — не в направлении максимума, а в направлении,
где амплитуда поля достаточна для выполнения расчетов, а за-
тем и измерений.
Графики на рис. 1.7.5 и 1.7.6 построены в логарифмическом
масштабе по обеим осям. Из рис. 1.7.5 видно, что, начиная с
расстояния примерно 8 м, графики для всех значений длины ан-
тенны являются прямыми параллельными линиями. При изме-
нении расстояния р по горизонтали в 10 раз, от 10 до 100 м,
|Ер| уменьшается приблизительно на 19 дБ. Увеличение длины
антенны в два раза вызывает увеличение амплитуды поля на
6 дБ. Рассмотрим теперь рис. 1.7.6. Амплитуда поперечной со-
ставляющей поля при каждом увеличении расстояния в 10 раз
уменьшается примерно на 40 дБ и при каждом удвоении длины
антенны увеличивается на 6 дБ. На расстоянии р « 16 м отно-
шение I £р I макс/|£ф| макс Приблизительно рЭВНО 7 дБ.
На рис. 1.7.7 и 1.7.8 представлены графики эксперименталь-
ных зависимостей, соответствующие графикам теоретических
зависимостей, приведенным на рис. 1.7.5 и 1.7.6. Измерения
70
Глава 1
Рис. 1.7.5. Зависимость продольной составляющей электрического поля Ед от
расстояния по горизонтали. (Антенна бегущей волны.)
Рис. 1.7.6. Зависимость поперечной составляющей Еф электрического поля от
расстояния по горизонтали. (Антенна бегущей волны.)
проводились в Атлантическом океане; использованная измери-
тельная аппаратура описывается в разд. 13.5. Можно отметить
весьма удовлетворительное совпадение теоретических и экспери-
ментальных данных. Так, при увеличении расстояния р в 10 раз
| Ед | уменьшается на 20 дБ, a —примерно на 41 дБ. При
Изолированные антенны
71
-110
-120
I
$
* -по
t
-150
-160
5(1,52) 10(3,Ok) 20(6,08) 50(15,2) 100(30,k)
Расстояние по горизонтали, урут(м)
Рис. 1.7.7. Зависимость продольной составляющей £р электрического поля от
расстояния по горизонтали. Экспериментальные данные. (Антенна' бегущей
волны.)
Расстояние по горизонтали р, фут (м)
Рис. 1.7.8. Зависимость поперечной составляющей Еф электрического поля от
расстояния по горизонтали. Экспериментальные данные. (Антенна бегущей
волны.)
заданной дальности амплитуда поля увеличивается на 6 дБ при
каждом удвоении длины антенны. На расстоянии 16 м
I £р| макс /\ ЕФ 1 макс равняется примерно 7 дБ.
На рис. 1.7.9 показана схема изолированной антенны бегу-
щей волны, предназначенная для работы в пресной воде. Это
Диполь с асимметричной схемой питания, расположенный под
72
Глава 1
поверхностью воды. Длинное плечо антенны включает латунный
провод длиной hi = Л2 = 1,61 /ч, = 9,0 Л4, где Л2 = Ло = 2л/р0—
длина волны в воздухе, = 2л/|3л — длина волны тока в про-
воднике, /.4 = 2л/р4 — длина волны в пресной воде. Параметры
пресной воды: ег4 = 80, <Уе4 — 0,06 См/м, k4 — k2 (1,61 Д- (0,33)
на частоте f = 144 МГц. Оконечная нагрузка длинного плеча
состоит из сосредоточенного резистора ПО Ом и отрезка про-
вода длиной Xl/4. Короткое плечо диполя состоит только из
сосредоточенного резистора НО Ом и отрезка провода длиной
Х/./4. При оконечных нагрузках ПО Ом и волновом сопротив-
Рие. 1.7.9. Схема подводной изолированной антенны бегущей волны с асим-
метричным подключением питания.
лении изолированной антенны Zt. = (125 Д- (26) Ом во внутрен-
нем проводе длиной h} создается режим бегущей волны. Вну-
тренний провод радиуса а = 0,16 см, четвертьволновые отрезки
провода и резисторы оконечной нагрузки расположены вдоль
оси закрытой плексигласовой трубки. Внутренний радиус труб-
ки b = 0,475 см, внешний радиус с = 0,795 см, относительная
диэлектрическая проницаемость егз = 2,66. На рис. 1.7.10 при-
ведена полученная экспериментально диаграмма направлен-
ности радиальной составляющей поля такой антенны. Эта диаг-
рамма сходна с диаграммой изолированной антенны в морской
воде, приведенной на рис. 1.7.3. Однако диаграмма на рис. 1.7.10
менее направленная, так как длина антенны в пресной воде со-
ставляет 9 длин волн, а в морской воде(рис. 1.7.3) — 50,7 длины
волны.
На частоте f = 144 Мгц проводящие свойства пресной воды
недостаточны для создания условия замыкания на выходном
конце оконечного резистора. Для этой цели используется чет-
вертьволновый монополь, который в соединении с соответствую-
щим резистором образует согласованную оконечную нагрузку,
в значительной степени не зависящую от проводящих свойств
внешней среды. При этом на большей части длины антенны су-
Изолированные антенны
73
ществует бегущая волна тока. Если этот монополь, так же, как
и вся антенна на рис. 1.7.9, находится в изоляторе (область 2),
то его длина должна быть Лг/4; если монополь не изолирован
от среды 4, его длина должна быть к^/4.
Рис. 1.7.10. Измеренная диаграмма направленности по полю изолированной
антенны бегущей волны. Антенна погружена в пресную воду. Диаграмма из-
мерена на глубине 17,5 см и на расстоянии 50 и от передатчика.
Все проведенные расчеты и измерения относятся к антенне
с проводником, расположенным по центру осесимметричного
изолирующего слоя. Если использовать антенны с эксцентриче-
ским изолятором и ориентировать их так, чтобы минимум диа-
граммы направленности был обращен вниз, в глубину воды, на-
правленность всех диаграмм существенно возрастет.
1.8. СВЯЗАННЫЕ ИЗОЛИРОВАННЫЕ АНТЕННЫ
В ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОТНОЙ СРЕДЕ
Для осуществления связи на большие расстояния в по-
глощающих средах нужно применять остронаправленные ан-
тенны, так как при распространении электромагнитных волн от
источника происходит их сильное затухание. При прямой пере-
даче затухание на всем пути распространения сигнала происхо-
дит по экспоненциальному закону. При передаче боковой вол-
ной затухание, несмотря на то, что оно происходит по экспо-
ненциальному закону только на вертикальных отрезках пути
распространения сигнала, значительно из-за бесполезного рас-
пространения части энергии вниз, в среду. В результате прием-
ная антенна перехватывает лишь малую часть передаваемой
энергии. В предыдущем разделе было показано, что длинная
антенна бегущей волны, особенно если это антенна с эксцентри-
ческим изолятором, имеет умеренно направленную диаграмму.
Для улучшения направленных свойств антенн, применяемых
74
Глава 1
для подповерхностной связи, а также в качестве зондов при
геофизических или биомедицинских исследованиях, создаются
направленные решетки излучателей, содержащие две или более
изолированные антенны. В этом разделе будет рассмотрена
двухэлементная система, состоящая из двух одинаковых изоли-
рованных антенн, которые питаются от генераторов с произ-
вольными амплитудой и фазой напряжения. В частности, будет
Изолирующие
цилиндры
Zh
d
Рис. 1.8.1. Связанные изолиро-
ванные диполи.
уделено внимание весьма важному
специальному случаю, когда одна
из антенн — пассивная [12].
В простейшем случае двухэле-
ментная система (рис. 1.8.1) со-
стоит из двух одинаковых трубча-
тых проводников радиусом а (об-
ласть 1) длиной 2й, питаемых в
центре (z — 0). Каждый проводник
расположен по центру в изолирую-
щем цилиндре радиусом b (область
2, волновое число /г2), а цилиндры в
свою очередь помещены в бесконеч-
ную внешнюю среду (область 4,
волновое число fe4). Изолирующие
цилиндры настолько длиннее про-
водников, что изолятор практически
можно считать бесконечно длинным.
Если среда 2 или среда 4 — жид-
кость, между ними может быть по-
мещена тонкостенная стеклянная
или пластмассовая трубка с наруж-
ным радиусом с (область 3, волновое число &з)- Свойства всех
четырех областей определяются таким же образом, как и в слу-
чае одиночной антенны. Используются те же обозначения и на-
кладываются те же условия, а именно:
|fe4|2»|*3|2,
(8.1)
| &2а I < I I < I k3c | «С 1, а < b < с h. (8.2)
Чтобы избежать усложнений, вызванных близким расположе-
нием связанных антенн, на расстояние d между осями антенн
накладывается следующее ограничение:
b<^d.
(8.3)
Поскольку в простой теории связанных изолированных антенн
предполагается, что волны являются цилиндрическими не толь-
ко в пределах каждого из изоляторов, но и при взаимодействии
Изолированные антенны
75
токов в связанных антеннах, необходимо потребовать, чтобы
d<h. (8.4)
Однако, даже когда полудлина внутреннего провода h суще-
ственно меньше, чем разрешаемая неравенством (8.4), степень
совпадения теоретических и экспериментальных данных ме-
няется незначительно.
Определение токов в двух связанных антеннах выполняется
методом симметричных составляющих [1*, 11*]. Для двухэле-
ментной системы рассматриваются симметричная, или нулевая,
фазовая последовательность, когда к обеим антеннам подводит-
ся питание от одинаковых генераторов в фазе (И, — V2 =
и антисимметричная, или первая, фазовая последовательность,
когда антенны питаются от генераторов равной э. д. с., но в про-
тивофазе (У, — — V2 — Приближенные решения для токов
в диполях для двух фазовых последовательностей имеют обыч-
ный вид, как и для токов в длинной линии:
/<т'(г)==0ДУ<"Ч(2), т = 0, Ь (8.5а)
f{m}(z) = -(il2ZT}){sm[k{L}(h-\z\)]/cosk2h}, m = 0, 1. (8.56)
Соответствующие адмитансы для фазовой последовательности
определяются по формуле
у<т> = - tg k(c}h, m = 0, 1. (8.6)
Напряжение питания Vom\ m = 1,—это напряжение на за-
жимах генераторов при z — 0. Для монополей, расположенных
над проводящим экраном, правые части выражений (8.5) и
(8.6) должны быть умножены на два.
Комплексные волновые числа tyv = 0<.'n) + для двух фа-
зовых последовательностей при m = 0 и m = 1 имеют разные
значения:
ь Л . //oI)(M) + У12
I kib In (6/а) Я)0 (&46) )
m = 0, 1.
(8.7)
Им соответствуют волновые сопротивления
Z{r) = {^k{L}l2nk2}\u(bla\ m = 0, 1, (8.8)
где ?2 = (р/е2)1/2 = [р/(ее2-f-ioe2/®)]|/2. Удобно ввести понятия
волнового числа /г£ и волнового сопротивления Zc одиночной
антенны (при d->oo). Они определяются следующим образом:
Zc = {[(Z<°))2 + (Z<'>)2]/2}'/2. (8.9)
76
Глава t
После того как определены токи 7(0)(г) и фазовых
последовательностей, можно получить выражения для токов
Л (г) и /2(г) в двух антеннах, когда они питаются от источников
произвольных э. д. с. Vi и V2- Так как
^0,= '/2(1Л + V2), V2 (Vi — V2), то (8.10)
/, (г) = /'»>(г) + /(1> (2) = V,v (г) + V2w (г), (8.11 а)
/2(г) = /<°Цг) —/<9(z) = V^z)-}-Е2ц(г), где (8.116)
v (г) = >/2 [Л (г) + (г)], w (г) = >/2 [/° (г)] -/<» (г)]. (8.12)
Собственный адмитанс Vsi и взаимный адмитанс У12 опреде-
ляются следующими выражениями:
KS1 = v (0) = >/2 [Г<°> + ГО»], у12 = да(0) = 1/2 [У(О> _ Г<1>]. (8.13)
Адмитансам для фазовой последовательности соответствуют
следующие значения импедансов: Z^°'>=\/Y^, Z(1) = l/FI1».
Собственный импеданс определяется формулой Zsi — 1/2[^(0) -ф ,
взаимный импеданс формулой Zi2=1/2[Z(0> — Z<])];
тогда
(8.14а)
V2 = /1(0)Z12 + /2(0)Zs1. (8.146)
Далее получим следующие соотношения: Zsl = Ysi/D, Z12 =
= - Yi2/D, где D = И, - Г?2 = 1/(Z^, - Zf2).
Если антенна 2 — пассивная и нагружена в центре на произ-
вольный импеданс Z2, то V’2 = —/2(0)Z2, и тогда из соотношения
(8.146) получаем Ц (0)Z]2 + /2 (0) (Zsi -ф Z2) = 0 или /2(0) =
= —/1 (0)Zl2/(Zsi + Z2). Соответственно из формулы (8.14а)
получаем
V1 = /1(0)[Zsl-Z12/(Zsl-Z2)]. (8.15)
Импеданс на входе антенны 1 в присутствии антенны 2 равен
Z1BX = ZS1-Z12/(ZS1 + Z2). (8.16)
Если антенна содержит стеклянную или пластмассовую
трубку (область 3), комплексные волновые числа и волновые
сопротивления фазовой последовательности имеют следующие
обобщенные выражения:
,т) / 1п(С/а) \'/2Л , +
In (bja) + In (c/b) J \ k4c In (c/a) /
m = 0, 1, (8.17)
Z^,==(^C72n^2)|ln№/a) +Yalnlc/fo)], m = 0, 1, (8.18)
Изолированные антенны
77
где «23 ~ &>/^з ~ е2/ез- Если областью 2 является воздух, п%3 —
= ]/ег3. Эти формулы справедливы, когда |&з|2<^
Проводились теоретические и экспериментальные исследова-
ния свойств связанных монополей для двух фазовых последова-
тельностей. Исследования проводились для случая, когда мо-
нополи изолированы воздухом (е2 = е0, Os ~ 0), заключены в
тонкостенные акриловые трубки (е3 = 2,3 е0, <т3 « 0) и поме
щены в пресную воду (е14 = 8Оео, ое4 = 0,00041 См/м). Иссле-
дуемые монополи имели следующие наружные радиусы: для
Рис. 1.8.2. Нормированные волновые числа = P/jv + "i = 0,1, для
токов двух фазовых последовательностей.
внутреннего проводника а = 0,3175 см, для слоя воздуха b =
= 0,635 см, для акриловой трубки с = 0,794 см. Данная серия
расчетов и измерений характеризуется отношением с/а = 2,5.
Комплексные волновые числа на рабочей частоте f = 300 МГц
имеют следующие значения: fe = 0,02n см-1, k4 = 0,561 -ф
ф/0,00086 см-1. При бесконечном расстоянии между излучате-
лями комплексное волновое число ki. принимает значение
kL = 0 099 ф /0,0294 слгД а его нормированное значение
fezjv = Z>t/Z>2 = 1,58 ф/0,47. На рис. 18.2 приведены графики
нормированных волновых чисел kffy = k°L/k2= Р’/^ ф 1а£>к и
= = Р// ф ia^N для токов фазовых последовательно-
стей. Волновые числа рассчитывались по формуле (8.7) при
с]а = 2,5 и k4с = 0,45 ф /0,00068. Из рисунка видно, что вол-
новые числа фазовых последовательностей колеблются около
значения волнового числа для случая бесконечно большого
расстояния между двумя монополями. Действительные длины
монополей принимают значения h = 60, 30 и 15 см; соответ-
ствующие электрические длины для распределений тока имеют
следующие значения в радианах: f>Lh = 5,946; 2,973 и 1,486. Пер-
вое и второе значения длины являются почти антирезонансными,
78
Глава 1
третье значение близко к резонансному. Электрические
длины монополей в пресной воде |34/г принимают значения
33,68; 16,83 и 8,42, они больше электрических длин Рь/г в
p4/|3L = 0,561/0,0991 = 5,66 раза.
Рис. 1.8.3. Теоретическое распределение тока в связанных изолированных мо-
нополях, помещенных в пресную воду. р4/г = 33,68, h = 60 см, с/а = 2,5,
pL/i = 5,946.
------нулевая фазовая последовательность;--------первая фазовая последовательность
На рис. 1.8.3 приведены графики теоретического распределе-
ния тока вдоль связанных изолированных монополей для двух
фазовых последовательностей при = 5,946 и для четырех
значений расстояния между антеннами d — 7,62; 15,24; 22,86 и
30,48. Этим расстояниям соответствуют следующие значения
электрических расстояний в пресной воде: |34d — 4,3; 8,6; 12,8;
17,1. Так как длина антенн близка к длине волны и толщина
слоя изолятора не очень велика, в антеннах создается режим
преимущественно бегущей волны. Особенно это видно из линей-
Изолированные антенны
79
ного распределения фазы тока, за исключением последнего чет-
вертьволнового отрезка, где на разомкнутом конце необходимо
существование стоячей волны. Амплитуда тока уменьшается от
основания монополя к внешнему концу почти равномерно.
Амплитуда наложенной стоячей волны для нулевой фазовой по-
следовательности при расстояниях между монополями p4<i= 8,6
1,0
z/ti
22,86 см
№=12,8
d=30,08 см
№- п,1
0,5
О
_ К
100 200 300 О
&J. Ill, мА/В
о° юо° гоо°зоо°о
0 \1\,мА!В
Рис. 1.8.4. Измеренное распределение тока в связанных изолированных мо-
нополях, помещенных в пресную воду. (34/г = 33,68, h = 60 см, с/а = 2,5,
Рл/г = 5,946.
X нулевая фазовая последовательность; о первая фазовая последовательность,
и 12,8 и для первой фазовой последовательности при расстоя-
ниях между монополями |34d = 4,3 и 17,1 имеет очень малое
значение. При других расстояниях между монополями ампли-
туда стоячей волны имеет не очень большие значения.
На рис. 1.8.4 приведены графики измеренных значений тока
вдоль монополей с теми же физическими характеристиками, что
и в предыдущем случае. Однако вместо генератора в виде дель-
та-функции, который имеется ввиду при теоретических расче-
тах, питание к монополям подводится по коаксиальному ка-
белю с «гладким» переходом в месте соединения. Рис. 1.8.3 п
80
Глава 1
1.8.4 демонстрируют хорошее совпадение теоретических и экспе-
риментальных кривых распределения тока, за исключением
точек вблизи оснований монополей. Поэтому расчет электро-
магнитных полей по простым формулам теории длинных линий
должен дать отличные результаты.
На рис. 1.8.5 и 1.8.6 приведены расчетные кривые распре-
деления тока для более коротких монополей, = 2,97
(h — 30 см) и p£/i=l,48 (Я =15 ем), параметр с/а равен 2,5.
Соответствующие графики экспериментальных зависимостей
представлены на рис. 1.8.7 и 1.8.8. Степень совпадения теорети-
ческих и экспериментальных данных вполне приемлема, хотя
для некоторых случаев расстояния между антеннами превосхо-
дят разрешенные условием d< h.
На рис. 1.8.9 на комплексной плоскости изображены теоре-
тические спирали адмитансов У(т) = G(m> — и импедансов
Z<,m) __ д(т) — iX(m) для фазовых последовательностей связан-
ех ил,мА(в et \i\,maib
о° юо° о 5- ю 0° 100° о 5 ю
&х Ш, лг/l/S oz \Т\,мА1в
Рис. 1.8.5. Теоретическое распределение тока в связанных изолированных мо-
нополях. помещенных в пресную воду. 04/г = 16,84. h = 30 см, с/а = 2.5,
М = 2,97.
— — нулевая фазовая нос ледова 1елыюс т ь; ----первая фазовая последовательность,
Изолированные антенны
81
<1^7,62см d. = 15,2ч см fi^d.^8,5
-30°-20°-1Qo0 20 40 -W°-30°-20a-10° 0 0 20 40
Oj. \I\,mA!B
QT \I\,mA!B Ot \I\,hA/B
Рис. 1.8.6. Теоретическое распределение тока в связанных изолированных мо-
нополях, помещенных в пресную воду, f}4ft = 8,42, ft = 15 см, с/а = 2,5,
Pcft = 1,48.
—-----нулевая фазовая последовательность;--------первая фазовая последовательность.
ных монополей, изолированных от пресной воды слоем воздуха
и тонкими акриловыми трубками (с/а = 2,5). Электрическая
длина монополей = 5,944 (h = 60 см), электрическая длина
в воде р4/г = 33,68 на частоте / = 300 МГц. Электрическое рас-
стояние между монополями равно 0,561с/, где расстояние d
(в сантиметрах) взято в качестве параметра. На рис. 1.8.10
приведены графики зависимостей активной и реактивной частей
адмитанса от [W для тех же связанных монополей. Взаимное
влияние токов в обоих монополях с увеличением расстояния
между ними уменьшается сравнительно медленно. Это видно
также и из графиков собственного и взаимного адмитансов,
приведенных на рис. 1.8.11. Значительная связь между моно-
полями сохраняется даже при больших расстояниях между
ними, так как на частоте / = 300 МГц пресная вода является
отличным диэлектриком и, как было показано в разд. 1.4, изо-
лированные антенны в экваториальной плоскости имеют
82
Глава 1
0° 50° 100° 0 5 10 15
% 111, мА/B
Л<5=12,8
IZI, мА/8
Л,#-17,1
0° 50° 100° 0 5 10 15
Ox И\,мА/В
0° 50° 100° 0 5 10 15
Ох \1\,мА/В
Рис. 1.8.7. Измеренное распределение тока в связанных изолированных мо-
нополях, помещенных в пресную воду. ₽4Л = 16,85, h = 30 см, с/а = 2,5,
$ih = 2,97.
X нулевая фазовая последовательность; о первая фазовая последовательность.
высокую направленность. В морской воде расстояние, на кото-
ром взаимодействие монополей существенно, значительно сокра-
щается из-за сильного ослабления поля по экспоненциальному
закону.
На рис. 1.8.12 приведены графики измеренных значений ак-
тивной и реактивной частей адмитанса, соответствующие теоре-
тическим графикам рис. 1.8.10. Поскольку в воде электрические
расстояния между последовательно измеряемыми точками боль-
шие, то сначала вычерчивали спирали адмитансов по типу тео-
ретических спиралей, изображенных на рис. 1.8.9, а затем
строили графики рис. 1.8.12. Так последовательно была под-
тверждена согласованность данных измерений. Эксперименталь-
ные кривые (рис. 1.8.12) подобны теоретическим (рис. 1.8.10).
Измеренные значения положений последовательных максиму-
мов и минимумов кривых активной (G) и реактивной (В)
частей адмитансов находятся в отличном согласии с теорией.
Изолированные антенны
83
J\cG63 8,6
JS^cl-12,8 №-17,1
Рис. 1.8.8. Измеренное распределение тока в связанных изолированных мо-
нополях, помещенных в пресную воду. ₽4/г — 8,42, /1=15 см, с/а = 2,5,
М = 1,48.
X нулевая фазовая последовательность; о первая фазовая последовательность.
Однако поскольку в эксперименте не использовался генератор
дельта-функции, предполагаемый в теории, а питание подводи-
лось по фидеру, гладко соединенному с антенной, то существует
расхождение в значениях адмитанса при бесконечном разнесе-
нии монополей (практически для изолированного монополя).
Расчетные значения G и В при d~><x> изображены на рис. 1.8.10
сплошными горизонтальными линиями, а экспериментально по-
лученные значения представлены на рис. 1.8.12 горизонталь-
ными штриховыми линиями.
Теоретические и экспериментальные кривые на рис. 1.8.10 и
1.8.12 отличаются также амплитудой колебаний кривых G и
В при увеличении расстояния d между монополями. Если фор-
мы кривых, местоположения максимумов и минимумов и ско-
рости убывания величин G и В с ростом d, полученные при
измерениях, хорошо согласуются с теоретическими данными,
то разность значений в точках максимума и последующего
84
Глава t
Рис. 1.8.9. Теоретические спирали импедансов и адмитансов связанных изоли-
рованных монополей, помещенных в пресную воду (fiih = 33,68, h = 60 см).
а — нулевая фазовая последовательность; б — первая фазовая последовательность.
минимума в теории значительно больше, чем в эксперименте.
Размах колебаний является мерой взаимодействия между токами
в двух антеннах, а также амплитуд стоячих электромагнитных
волн между антеннами. Существование стоячих волн объясняет-
ся наложением двух распространяющихся от монополей проти-
воположно направленных бегущих волн. При теоретическом
рассмотрении полагают, что эти волны — идеально цилиндриче-
ские, а их фронты параллельны осям антенны. На практике
фронты волн, излучаемых изолированной антенной конечной
длины, являются приблизительно цилиндрическими только в не-
Изолированные антенны
85
Рис. 1.8.10. Теоретические адмитансы связанных изолированных монополей,
помещенных в пресную воду, для нулевой и первой фазовых последователь-
ностей (Р4Л — 33,68, Л = 60 см).
посредственной близости от антенны. По мере удаления от ан-
тенны увеличивается амплитуда поля вблизи экваториальной
плоскости антенны (рис. 1.4.12). Амплитуда касательной к по-
верхности одной из антенн составляющей электрического поля,
вызванного током другой антенны, не постоянна по всей длине
антенны, что не учитывается в приближении цилиндрических
волн. Поэтому в действительности степень взаимодействия токов
в связанных антеннах меньше, чем в теории, когда волны счи-
тают цилиндрическими. '
В табл. 1.8.1 и 1.8.2 приведены теоретические значения соб-
ственных и взаимных адмитансов связанных монополей, по-
мещенных в пресную воду и изолированных воздухом, при с/а,
равных 2,5 и 4 соответственно. Значения адмитанса рассчитаны
для четырех длин антенн. Естественно, эти значения носят
приближенный характер и будут отличаться от измеренных
Таблица 1.8.1. Собственный и взаимный адмитансы (мСм) связанных изо-
лированных антенн, помещенных в пресную воду. еег4 = 80, а с4 =
= 0,0041 См/м, kL = 9,91 + /2,94 м~‘, а = 0,3175 см, Ъ = 0,635 см,
с = 0,794 см, с/а = 2,5
<1,см М <7,х 5S1 <7(2 5(2 G,i 5,i <712 512
6.0 3.4 № = 21.93 1.486 : 8.42, h 15.80 = 15 см) .08 11.53 ДЛ = (Д4Й = 9.86 2.97 = 16.84, .36 h = 30 см) 1.43 -3.16
6.5 3.7 23.88 17.92 3.14 11.90 8.99 .29 .23 -3.24
7.0 3.9 27.06 18.81 7.14 11.17 8.37 .68 -.74 -2.87
7.5 4.2 30.47 17.39 11.15 8.15 8.10 1.25 -1.40 -2.32
8.0 4.5 31.97 13.96 13.07 3.14 8.13 1.79 -1.80 -1.73
8.5 4.8 30.87 10.81 12.19 -1.62 8.40 2.19 -2.04 -1.17
9.0 5.1 28.55 9.38 9.91 -4:72 8.79 2.41 -2.17 -.64
9.5 5.3 26.37 9.42 7.50 -6.44 9.23 2.43 -2.25 -.10
10.0 5.6 24.78 10.33 5.36 -7.41 9.62 2.20 -2.22 .47
10.5 5;9 23.86' 11.64 3.45 -8.04 9.84 1.81 -2.05 1.08
11.0 6.2 23.62 13.14 1.58 -8.50 9.80 1.36 — 1.65 1.67
11.5 6.5 24.04 14.61 -.46 -8.77 9.51 1.02 -1.03 2.10
12.0 6.7 25.18 15.74 -2.81 -8.64 9.10 .93 -.31 2.25
12.5 7-0 26.84 16.14 -5.39 -7.75 8.74 1.07 .36 2.14
13.0 7.3 28.55 15.47 -7.76 -5.76 8.53 1.34 .92 .1.85
13.5 7.6 29.48 13.86 -9.16 -2.80 8.50 1,66 1.32 1.46.
14.0 7.9 29.23 12.12 -9.16 .33 8.63 1.94 1.59 1.02
14.5 8.1 28.12 11.00 —8.09 2.90 8.86 2.11 1.75 .58
15.0 8.4 26.76 10.72 -6.52 4.69 9.14 2.14 1.82 .13
15.5 8.7 25.59 11.13 -4.86 5.86 9.40 2.02 1.80 -.36
16.0 9.0 24.83 11.96 -3.19 6.63 9.55 .1.78 1.65 -.84
16.5 9.3 24.56 12.99 -1.50 7.09 9.55 1.50 1.35 -1.29
17.0 9.6 24.80 14.03 .29 7.30 9.40 1.26 .90 — 1.64
17.5 9.8 25.54 14.83 2.24 7.14 9.15 1.16 .36 -1.80
18.0 10.1 26.64 15.16 4.27 6.38 8.90 1.21 -.19 -1.79
18.5 10.4 27.79 14.79 6.11 4.87 8.71 1.39 -.67 -1.60
19:0 10.7 28.51 13.82 7.32 2.69 8.67 1.61 -1.04 -1.30
19.5 11.0 28.50 12.63 7.59 .25 8.73 1.82 -1.31 -.95
20.0 11.2 27.85 11.73 7.01 -1.95 8.89 1.96 -1.48 -.57
20.5 11.5 26.90 11.38 5.89 -3.65 9.09 2.00 — 1.56 -.16
21.0 11.8 26.01 11.56 4.53 -4.86 9.29 1.93 — 1.55 .25
Продолжение табл. 1.8.1
d, см М G,. Ва 612 6,1 5,i 612 512
&* = 1.486 pLh = = 2.97
(М = = 8.42, h = 15 см) (p.h = 16.84, h = 30 cm)
22.0 12.4 25.07 12.88 1.54 -6.17 9.43 1.56 -1.20 1.06
23.0 12.9 25.71 14.34 -1.76 -6.24 9.16 1.27 -.39 1.53
24.0 13.5 27.37 14.44 -5.07 -4.40 8.83 1.41 .50 1.43
25.0 14.1 28.08 12.90 -6.58 -.62 8.79 1.75 1.11 .90
26.0 14.6 26.98 11.78 -5.43 2.92 9.06 1.92 1.38 .21
27.0 15.2 25.68 12.22 -3.00 4.97 9.33 1.76 1.30 -.55
28.0 15.7 25.43 13.47 -.16 5.72 9.30 1.45 .79 -1.17
29.0 16.3 26.41 14.31 2.91 5.11 9.01 1.35 .01 -1.39
30.0 16.9 27.64 13.75 5.36 2.64 8.83 1.57 -.71 -1.12
31.0 17.4 27.56 12.43 5.71 -.85 8.91 1.81 -1.14 -.56
32.0 18.0 26.43 12.03 4.11 -3.55 9.17 1.85 -1.27 .10
33.0 18.5 25.62 12.77 1.71 -4.95 9.31 1.63 -1.02 .76
34.0 19.1 25.86 13.81 -1.03 -5.18 9.18 1.41 -.44 1.19
35.0 19.7 26.93 14.06 -3.75 -3.90 8.94 1.45 .29 1.21
36.0 20.2 27.61 13.18 -5.27 -1.11 8.87 1.67 .84 .84
37.0 20.8 27.06 12.26 -4.79 1.91 9.03 1.82 1.14 .28
38.0 21.4 26.09 12.36 -2.96 3.94 9.23 1.75 1.12 -.35
00 00 26.60 13.09 0.00 0.00 9.07 1.63 0.00 0.00
Р,h = 4.458 P,h = 5.944
(М = 25.26, h = 45см) iP<h = 33.68, h = 60 cm}
6.0 3.4 11.98 5.31 .43 1.95 13.20 2.80 2.77 -.84
6.5 3.7 12.27 6.10 .84 2.18 12.72 1.93 2.19 -1.95
7.0 3.9 13.13 6.62 1.72 2.20 11.77 1.68 1.09 -2.48
7.5 4.2 14.21 6.40 2.73 1.53 11.02 2.07 .11 -2.35
8.0 4.5 14.78 5.48 3.18 .19 10.72 2.70 -.49 -1.95
8.5 4.8 14.57 4.58 2.76 - -1.04 10.80 3.26 -.81 -1.56
9.0 5.1 13.98 4.15 1.95 - -1.74 11.10 3.63 - 1.01 -1.26
9.5 5.3 13.45 4.13 1.15 - -1.96 11.48 3.81 - 1.18 -1.03
10.0 5.6 13.07 4.28 .55 - -1.92 11.86 3.79 - 1.40 -.79
10.5 5.9 12.80 4.53 .10 - -1.80 12.18 3.64 - 1.64 -.45
11.0 6.2 12.64 4.85 -.21 - 1.69 12.41 3.33 - 1.79 .03
11.5 6.5 12.63 5.23 -.49 - 1.64 12.45 2.92 - 1.77 .63
12.0 6.7 12.82 5.61 -.88 - •1.59 12.24 2.54 - 1.46 1.22
1275 7.0 13.25 5.84 - -1:39 - 1.42 11.83 2.37 - -.90 1.60
Продолжение табл. 1.8.1.
d,CM Gtl 5,i 6]2 Bl2 Bsl g12 Bi2
Я,й = 4.458 PLh = 5.944
0?4й = 25.26, h = 45 cm) (M = 33.68, h = 60 CM)
1'3.0 7.3 13.76 5.76 — 1.90 -.95 11.42 2.48 -.30 1.68
•13.5 7.6 14.09 5.36 -2.16 -.23 11.18 2.77 .19 1.56
14.0 7.9 14.09 4.88 -2.04 .56 11.15 3.12 .54 1.34
14.5 8.1 13.84 4.55 -1.61 1.14 11.29 3.38 .78 1.11
15.0 8.4 13.51 4.44 -1.09 1.44 11.52 3.53 .98 .89
15.5 8.7 13.21 4.49 -.61 1.54 Ц.77 3.56 1.16 .65
16.0 9.0 13.01 4.65 -.21 1.53 12.01 3.46 1.33 .36
16.5 9.3 12.87 4.87 .11 1.47 12.16 3.27 1.43 -.03
17.0 9.6 12.86 5.14 .42 1.41 12.21 2.99 1.40 -.48
17.5 9.8 12.99 5.40 .76 1.33 12.09 2.75 1.19 -.91
18.0 10.1 13.26 5.57 1,14 1.14 11.83 2.61 .81 -1.22
18.5 10.4 13.59 5.53 1.50 .78 11.57 2.64 .36 -1.36
19.0 10.7 13.83 5.30 1.71 .25 11.38 2.82 -.05 -1.33
19.5 11.0 13.87 4.99 1.68 -.34 11.32 3.06 -.38 -1.19
20.0 11.2 13.74 4-73 1.41 -.83 11.38 3.26 -.63 -1.01
20.5 11.5 13.53 4.61 1.04 -1.14 11.55 3.40 -.83 -.81
21.0 11.8 13.29 4.61 .63 -1.30 11.73 3.43 -1.00 -.59
22.0 12.4 13.00 4.89 —.04 -1.32 12.04 3.24 -1.22 0.00
23.0 12.9 13.06 5.28 -.64 -1.17 12.02 2.85 -1.04 .72
24.0 13.5 13.49 5.42 -1.27 -.70 11.64 2.73 -.39 1.15
25.0 14.1 13.76 5.04 -1.47 .20 11.41 3.03 .28 1.08
26.0 14.6 13.53 4.71 -.99 .95 11.56 3.31 .72 .76
27.0 15.2 13.19 4.76 -.32 1.21 11.86 3.33 1.01 .33
28.0 15.7 13.05 5,05 .27 1.15 12.02 3.08 1.08 -.27
29.0 16.3 13.25 5.32 .83 .92 11.85 2.81 .72 -.85
30.0 16.9 13.60 5.25 1.27 .30 11.55 2.87 .10 -1.05
31.0 17.4 13.65 4.90 1.18 -.49 11.49 3.15 -.42 -.88
32.0 18.0 13.38 4.75 .65 -.99 11.69 3.31 -.78 -.54
33.0 18.5 13.14 4.89 .07 -1.11 11.91 3.22 -.97 -.08
34.0 19.1 13.14 5.16 -.47 -1.00 11.94 2.97 -.88 .49
35.0 19.7 13.40 5,29 -.96 — .64 11.72 2.84 -.43 .88
36.0 20.2 13.62 5.09 -1.19 .03 11.53 2.99 .12 .93
37.0 20.8 13.52 4.84 -.91 .68 11.57 3.22 .55. .70
38.0 21.4 13.28 4.82 -.38 .99 11.78 3.27 .82 .34
CO 00 13.37 5.03 0.00 0.00 11.72 3.07 0.00 0.Q0
Таблица 1.8.2. Собственный ц взаимный адмитансы (мСм) связанных изо-
лированных антенн, помещенных в пресную воду. щг4 = 80, ае4 =
= 0,0041 См/м, = 7,69+ <1,81 м_|, а — 0,3175 см, 6=1,203 см,
с = 1,27 см, с/а — 4,0
<1^см М G„ Bsi g12 Gsl B.t Gia Bia
м = 1.16 2.31
(М = 8.42, h = 15 см) (BJr= 16.84. h = 30 cm.)
6.0 3.4 8.13 16.21 -4.08 .45 11.50 -5.26 4.48 ' -3.66
6.5 3.7 7.60 16.29 -3.65 1.39 10.30 -6.02 2.66 -4.76
7.0 3.9 7.21 16.57 -3.08 2.19 9.10 -5.84 .83 -4.88
7.5 4.2 7.02 17.00 -2.37 2.85 8.39 -5.16 -.57 -4.42
8.0 4.5 7.07 17.45 -1.50 3.36 8.18 -4.38 -1.54 -3.75
8.5 4.8 7.34 17.81 -.48 3.64 8.34 -3.71 -2.22 -3.09
9.0 5.1 7.75 17.94 .62 3.58 8.74 -3.22 -2.76 -2.40
9.5 5.3 8.15 17.84 1.63 3.16 9:28 -2.99 -3.20 -1.68
10.0 5.6 8.42 17.53 2.40 2.44 9.88 -3.02 -3.57 -.84
10.5 5.9 8.46 17.17 2.89 1.57 10.40 -3.36 -3.75 .17
11.0 6.2 8.31 16.87 3.08 .68 10.66 -3.96 —3.61 1.29
11.5 6.5 8.04 16.70 3.02 -.18 10.52 -4.60 -3.03 2.38
12.0 6.7 7.74 16.69 2.78 -.93 10.03 -5.02 -2.05 -3.16
12.5 7.0 7.51 16.83 2.39 -1.60 9.43 -5.07 -.92 3.46
13.0 7.3 7.37 17.06 1.86 -2.15 8.97 -4.79 .13 3.38
13.5 7.6 7.38 17.33 1.21 -2:57 8.74 -4.36 .98 3.05
14.0 7.9 7.52 17.54 .44 -2.78 8.77 -3.93 1.66 2.58
14.5 8.1 7.75 17.66 -.38 -2.78 8.99 -3.59 2.17 2.04
15.0 8.4 8.00 17.61 -1.16 -2.52 9.33 -3.38 2.59 .1.42
15.5 8.7 8.18 17.45 -1.79 -2.03 9.72 -3.38 2.88 .72
16.0 9.0 8.24 17.23 -2.24 -1.39 10.06 -3.60 3.01 —.09
16.5 9.3 8.17 17.01 -2.47 -.69 10.26 -3.96 2.89 -.96
17.0 9.6 8.01 16.88 -2.50 .02 10.20 -4.37 2.48 -1.80
17.5 9.8 7.80 16.85 -2.35 .68 9.92 —4.67 1.78 —2.44
18.0 10.1 7.62 16.92 -2.06 1.24 9.55 -4.76 .94 -2.78-
18.5 10.4 7.52 17.07 -1.64 1.74 9.20 -4.63 .09 -2.82
19.0 10.7 7.50 17.26 -1.09 2.11 9.00 -4.34 -.67 —2.64
19.5 11.0 7.60 17.42 -.46. 2.33 8.98 -4.03 — 1.29 -2.28
20.0 11.2 7.74 17.52 .22 2.35 9.10 -3.75 -1.79 -1.83
20.5 11.5 7.93 17.51 .87 2.17 9.34 -3.60 -2.19 -1.30
21.0 11.8 8.07 17.40 1.44 1.80 9.63 -3.57 -2.46 —.69
Продолжение табл. 1.8.2.
d,CM Gsi ®sl G12 2 GS1 B« < ^12 BX2
22.0 12.4 &* = (M = 8.09 1.16 = 8.42, h 17.09 = 15 cm) 2.10 .71 fiLh = 2.31 (Д4й = 16.84, h = 10.05 -3.95 30 cm) -2.49 .74
23.0 12.9 7.84 16.93 2.08 -.49 9.87 -4.50 -1.64 2.01
24.0 13.5 7.60 17.08 1.50 -1.46 9.32 -4.53 -.23 2.47
25.0 14.1 7.62 17.37 .49 -2.02 9.09 -4.09. 1.04 2.09
26.0 14.6 7.89 17.45 -.68 -1.95 9.35 —3.71 1.90 1.24
27.0 15.2 8.06 17.27 -1.59 -1.23 9.79 -3.75 2.28 .09
28.0 15.7 7.98 17.03 -1.94 -.20 9.95 -4.17 1.99 - -1.18
29.0 16.3 7.74 17.01 -1.71 .82 9.62 -4.49 .96 - -2.06
30.0 16.9 7.62 17.20 -1.00 1.58 9.23 -4.32 -.29 - -2.15
31.0 17.4 7.74 17.40 0.00 1.87 9.22 -3.93 -1.30 -1.62
32.0 18.0 7.96 17.37 1.00 1.55 9.54 -3.74 -1.93 -.73
33.0 18.5 8.03 17.17 1,64 .74 9.85 -3.94 -2.05 .41
34.0 19.1 7.87 17.02 1.73 -.23 9.81 -4.31 -1.48 1.47
35.0 19.7 7.69 17.10 1.34 -1.09 9.46 -4.40 -.40 1.99
36.0 20.2 7.67 17.28 .56 -1.62 9.24 -4.16 .68 1.82
37.0 20.8 7.83 17.38 -.40 -1.66 9.36 -3.86 1.48. 1.18
38.0 21.4 7.98 17.28 -1.22 -1.17 9.66 -3.83 1.88 .25
00 00 7.84 17.21 0.00 0.00 9.55 —4.10 0.00 0.00
6.0 3.4 pLh = 3.46 (Д4й = 25.26, h = 45 cm) 6.73 2.27 -.50 -1.86 (M = 9.91 4.62 = 33.68, h 4.06 = 60. cm) .38 2.57
6.5 3.7 6.18 2.34 -1.05 — 1.58 10.40 4.96 .93 2.86
7.0 3.9 5.81 2.66 -1.44 -1.11 11.52 5.58 2.05 2.97
7.5 4.2 5.68 3.06 -1.63 -.59 13.03 5.24 3.51 2.19
8.0 4.5 5.75 3.44 -1.64 -.09 13.84 3.80 4.21 .33
8.5 4.8 5.99 3.71 -1.50 .36 13.33 2.44 3.57 -1.40
9.0 5.1 6.32 3.83 -1.26 .72 12.34 1.94 2.42 -2.21
9.5 .5.3 6.65 3.75 -.99 .97 11.54 2.03 1.43 -2.40
10.0 5.6 6.89 3.53 -.70 1.16 11.03 2.38 .74 -2.32
10.5 5.9 6.96 3.21 -.39 1.27 10.72 2.81 .25 -2.21
11.0 6.2 6.85 2.93 -.03 1.34 1Q.61 3.30 -.13 -2.13
11.5 6.5 6.61 • 2.75 .35 1.30 10.69 3.80 -.50 -2.12
12.0 6.7 6.33 2.74 .73 1.14 11.03 4.27 -1.01 -2.10
V
у
Продолжение табл. 1.8.2
<1,см PJ (712 *12 Gsi BS1 g12 Bit
P,h- (P<h = 3.46 = 25.26, h = 45 ch) PLh = (p.h = 4.62 = 33.68, h = 60 cm)
12.5 7.0 6.11 2.87 1.01 .85 11.63 4.52 -1.70 -1.91
13.0 7.3 5.99 3.09 1.19 .50 12.33 4.33 -2.41 -1.33
13.5 7.6 6.01 3.31 1.24 .14 12.76 3.71 -2.80 -.34
14.0 7.9 6.13 3.50 1.18 -.21 12.67 3.00 -2.64 .69
14.5 8.1 6.33 3.59 1.04 -.51 12.22 2.58 -2.05 1.42
15.0 8.4 6.53 3.57 .84 -.74 11.71 2.49 -1.40 1.78
15.5 8.7 6.70 3.44 .61 -.91 11.30 2.65 -.81 1.88
16.0 9.0 6.76 3.24 .35 -1.03 11.04 2.93 -.34 1.89
16.5 9.3 6.71 3.05 .05 -1.09 10.93 3.28 .05 1.85
17.0 9.6 6.57 2.92 -.25 -1.06 10.99 3.64 .44 1.81
17.5 9.8 6.39 2.89 -.55 -.95 11.21 3.96 .88 1.74
18.0 10.1 6.22 2.96 -.79 -.74 11.59 4.14 1.40 1.53
18.5 10.4 6.13 3.10 -.95 -.47 12.05 4.04 1.90 1.08
19.0 10.7 6.12 3.26 -1.02 .-,17 12.36 3.68 2.21 .38
19,5 11.0 6.19 3.40 -1.00 .13 12.38 3.20 2.17 -.40
20.0 11.2 6.32 3.48 -.91 .38 12.13 2.85 1.82 -1.03
20.5 11.5 6.48 3.48 -.75' .60 11.77 2.73 1.32 -1.42
21.0 11.8 6.60 3.39 -.56 .76 11.45 2.79 .84 -1,60
22.0 12.4 6.64 3.12 -.08 .94 11.11 3.24 .02 -1.66
23.0 12.9 6.41 2.97 .43 .83 11.28 3.78 -.75 -1.53
24.0 13.5 6.20 3.10 .81 .45 11.90 3.89 -1.59 -.97
25.0 14.1 6.22 3.34 .89 -.07 12.22 3.31 -1.87 .22
26.0 14.6 6.44 3.42 .70 -.50 11.81 2.87 -1.26 1.17
27.0 15.2 6.61 3.26 .33 -.77 11.33 3.03 -.45 1.48
28.0 15.7 6.54 3.06 -.13 -.82 11.21 3.47 .27 1.47
29.0 16.3 6.33 3.04 -.55 -.63 11.54 3.80 1.02 1.22
30.0 16.9 6.22 3.20 -.79 -.23 12.02 3.63 1.62 .45
31.0 17.4 6.32 3.37 -.75 .24 12.02 3.13 1.52 -.60
32.0 18.0 6.51 3.35 -.51 .57 11.59 2.97 .85 -1.23
33.0 18.5 6.57 3.18 -.14 .74 11.31 3.22 .14 -1.38
34.0 19.1 6.44 3.06 .28 .71 11.36 3:61 -.54 -1.29
35.0 19.7 6.28 3.12 .62 .43 11.75 3.72 — 1.21 -.86
36.0 20.2 6.26 3.27 .74 .02 . 12.02 3.41 -1.52 0.00
37.0 20.8 6.40 3.36 .62 -.36 11.84 3.06 -1.18 .82
38.0 21.4 6.54 3.28 .34 -.62 11.48 3.09 -.52 1.23
00 00 6.41 3.21 0.00 0.00 11.64 3.35 0.00 0.00
Изолированные антенны
93
вследствие различия в способах возбуждения антенн и подклю-
чения источников питания.
Все расчетные и экспериментальные данные относятся к мо-
нополям, изолированным воздухом и работающим в пресной
воде на достаточно высокой частоте, f = 300 МГц, при которой
ое4/(оее4« 0,003 и вода является хорошим диэлектриком. Ко-
эффициент затухания тока в антенне почти полностью опре-
деляется излучением. Когда величина (Хл/Рл равна 0,297 и 0,235
(при значениях с/а, равных 2,5 и 4,0 соответственно), излуче-
ние весьма значительно. Отношение а4/р4 = 0,0015 для прес-
ной воды невелико, и волны, распространяющиеся от обеих
антенн, не подвергаются сильному экспоненциальному ослаб-
лению.
Когда внешняя среда является очень хорошим проводником,
как, например, морская вода при ое4 = 4 См/м, а4/|34 = 0,97, вол-
ны, распространяющиеся от антенн, очень сильно ослабляются
по экспоненциальному закону. В этом случае токи в двух свя-
занных антеннах сильно взаимодействуют лишь на очень не-
больших расстояниях от антенн и при малом разнесении антенн.
Это должно улучшить точность теории.
В заключение следует подчеркнуть, что по простой формуле
(8.5) для распределений токов в связанных антеннах можно с
достаточной точностью рассчитывать и ближние, и дальние элек-
тромагнитные поля. Формула (8.6) дает правильное представ-
ление об общем характере изменения адмитанса, но требует
поправок, учитывающих влияние места соединения с питающим
фидером.
1.9. ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПРОВОЛОЧНАЯ АНТЕННА
НАД ПРОВОДЯЩИМ ИЛИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ
ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ
В 1923 г. в классической статье «Волновая антенна» Бе-
вередж, Райк и Келлог описали новый тип приемной антенны,
которая впоследствии получила название антенны Бевереджа
[13]. Она представляет собой длинный провод, расположенный
горизонтально у поверхности земли, как показано на
рис. 1.9.1, а. Вместо генератора, изображенного на рисунке,
первоначально на приемной антенне располагался приемник.
Оконечные импедансы Zs выбирались такими, чтобы отражение
на концах было минимальным и токи, наведенные на антенне,
распространялись в ней в виде бегущих волн. Провод отстоял
от поверхности земли всего на О,ОО1Хо, где Ко— длина волны
в воздухе. Работа антенны зависела от эффективности зазем-
ления обоих ее концов. Схема заземления представляла собой
94
Глава I
Воздух
tthijiiiiiiiiiiiiiii.
Проводящая земля
а
zs Воздух
77777777^77777777777777777777777777^777.
2s
8
BZZ22WVS3
^з
Проводящая или диэлектрическая среда
5
Рис. 1.9.1. Антенна Бевереджа (а) и
обобщенная антенна Бевереджа (б).
7777777777777777777777777777777777777777777
в
Рнс. 1.9.2. Горизонтальный провод
над землей (а), антенна Беверед-
жа (б) н обобщенная антенна Бе-
вереджа ( а).
достаточно протяженные электрические цепи, по которым ток
с антенны проводился в землю. Земля, таким образом, должна
была обладать свойствами сравнительно хорошего проводника.
На рис. 1.9.1,6 изображена в обобщенном виде горизонтальная
антенна бегущей волны, для которой заземления на концах не
требуются и которую, следовательно, можно применять не толь-
ко над проводящими средами. Такая антенна также состоит
из длинного горизонтального провода, но оконечные нагрузки с
импедансом Zs соединены с четвертьволновыми отрезками, про-
должающими горизонтальный провод. При включении этих от-
резков совместно с оконечными нагрузками правильно подо-
бранной величины Zs отражения на концах минимальны и в
антенне создается режим почти идеальной бегущей волны тока.
На рис. 1.9.2 изображена симметричная, возбуждаемая в цент-
ре (или нагруженная в центре) антенна при трех видах око-
нечной нагрузки; а) концы разомкнуты, б) концы через око-
нечные нагрузки Zs соединены с заземляющими цепями, в) кон-
цы через оконечные нагрузки Zs соединены с четвертьволновы-
ми отрезками, продолжающими линию провода.
Первоначально при анализе антенны Бевереджа ее рассмат-
ривали как длинную линию, образованную горизонтальным про-
водом и его зеркальным изображением в земле. При этом пред-
полагалось, что земля—хороший проводник [14]. В выражениях
для волнового числа и волнового сопротивления электрические
свойства земли не принимались во внимание. Считалось лишь,
что проводимость земли достаточно высока и электрическое поле
имеет горизонтальную составляющую вдоль провода антенны.
В работе Карсона проводимость земли принималась в расчет.
Предполагалось, что ее величина достаточно большая или же
Изолированные антенны
95
частота достаточно малая, чтобы выполнялось неравенство
Се wee, т. е. считалось, что земля имеет свойства хорошего
проводника [15].
Теория горизонтальной проволочной антенны получила ин-
тересное и важное развитие, когда такую антенну предложили
рассматривать как особый случай антенны, эксцентрически
расположенной в изоляторе [16]. Справедливость такого под-
хода вызвана весьма малым электрическим расстоянием антен-
ны от земли. Если рассматривать воздух как изолирующую об-
ласть 2, а землю — как внешнюю среду 4, для" которой |^4|2^
| k212, и если выполняется условие | k2d| 1, где d—крат-
чайшее расстояние от оси проводника до поверхности изоли-
рующего слоя, то можно допустить, что радиус этого слоя стре-
мится к бесконечности (&->оо). Таким образом, антенна с экс-
центрическим изолятором преобразуется в антенну, располо-
женную в воздухе на расстоянии d от поверхности земли
(рис. 1.9.2, а). Рассмотрим подробнее весьма важный вопрос
такого предельного перехода. Вначале при анализе изолиро-
ванной антенны накладывалось условие |й26| С 1. Это усло-
вие совместно с условием |й4|2»р2|2 позволяло использовать
хорошо известное приближение теории длинной линии, когда все
процессы в поперечном сечении линии предполагаются квази-
стационарными, т. е. поперечные размеры считаются электри-
чески малыми и не влияющими на волновое уравнение. В экс-
центрически изолированной антенне условие |k2b| 1 заме-
няется условием |й2г/|<С1, где d—кратчайшее расстояние до
поверхности изолятора, так как воздействие внешней среды на
ток в проводнике главным образом обусловливается той ее ча-
стью, которая расположена в непосредственной близости от
проводника, а более удаленные части внешней среды влияют
'незначительно. Однако поле в изоляторе по-прежнему опреде-
ляется по простым формулам для квазистационарного состояния-
Эти формулы можно применять и при & оо. Действительно,
излучение в верхнее пространство (воздух) можно считать пре-
небрежимо малым. До тех пор пока выполняются условия
|&2d| С 1 и |й4|2> |й2|2, такое предположение справедливо,
так как практически вся мощность, подводимая к антенне, пе-
редается в смежную область 4. Когда условие |fe2d| 1 не
удовлетворяется, значительная часть мощности излучается в
полупространство, заполненное воздухом (область 2). В тео-
рии длинных линий это излучение в расчет не прини-
мается, поля в области 2 считаются квазистационарными, т, е.
волновые явления и излучение в этой области не учиты-
ваются.
В пределе при Ь->оо распределение тока и адмитанс гори-
зонтальной проволочной антенны с произвольной оконечной
96
Глава 1
нагрузкой Zs определяются формулами (2.20) и (2.23а) соот-
ветственно для длинной линии:
(9.1а)
' ’ 2/с COS (М + Я)
Y = (-i/2Zc)tg(kLh + iBs), где (9.16)
, . (, . 2 Г 1 Ki (2fe4d) . . /1 (2W) _
«г,— Й2|1-Г ln (2d/a) L (2kid)2 2kid 1 4k<d
(9.2)
АГСЬ ~ 1П (9>3)
В соответствии с формулой (2.21) комплексный аргумент в вы-
ражении для оконечного импеданса равен
Os = ps-iO>s = Arcth(Zs/Zc). (9.4)
f
В формуле (9.2) /Си / — модифицированные бесселевы функ-
ции [19*, 25*], а в (9.3) = (11/82)1/2 = ощ.Ж. На рис. 1.9.3 при-
^Я d/Z0
Рис, 1.9.3. Волновое число для горизонтального провода, расположенного над
неидеально проводящей средой.
------соленая вода (ef=8I, ре = 2,96); — • — земля (ef»ll,5, ре=0,012).
ведены типичные графики Рл/Ро и аг/Рт для антенны, располо-
женной над соленой водой и над землей; здесь fe2 = Ро — вол-
новое число для области 2 (воздух). Из рисунка видно, что
земля оказывает более сильное влияние на величину волнового
числа, чем морская вода. При d/X0 0,01 величина Pz./Po су-
щественно отличается от единицы, а величина az./Pi, при rf/X0
0,001 имеет достаточно большое значение и увеличивается
по мере уменьшения высоты d. Такое поведение функций pL/p0
Изолированные антенны
97
Металл и ческий
экран
-Уеч
77
h
Та
Металли-
'чески й экран
ZS
воздух
’'7777777777777777777777777777777777г\7777777Т,
; Земля, море или озеро :
а
Металла чески и
экран
Антенна
Коаксиаль-
ная линия
Zs
Металли-
ческий экран
д
Воздух
1ТП'М/////ПI/)Mill)11)!//))>/>>>>/Ь ’77.
; Земля, море или озеро
8
Рис. 1.9.4. Горизонтальные проволочные антенны над плотной средой. Оконеч-
ная нагрузка на обоих концах — идеальная короткозамкнутая цепь (Zs = 0).
а—антенна с симметричной схемой питания; б — антенна с несимметричной схемой
питания.
и ад/Р/. объясняется близостью поглощающего полупростран-
ства (область 4).
Простейшим видом оконечной нагрузки горизонтальной про-
волочной антенны является идеальная короткозамкнутая цепь,
выполненная в виде присоединенного к каждому из концов про-
вода очень большого металлического экрана, перпендикуляр-
ного к антенне и поглощающему полупространству. Схемы с та-
кой оконечной нагрузкой приведены на рис. 1.9.4, а для диполя,
возбуждаемого в центре, и на рис. 1.9.4, б для монополя, возбуж-
даемого на конце. Когда оконечной нагрузкой является коротко-
замкнутая цепь (рис. 1.9.4), величина импедансов Zs равна
нулю. Такая антенна благодаря множественным зеркальным
отражениям в экранах эквивалентна бесконечно длинной антен-
не, в которую включено множество источников возбуждения и
нагрузок. Так как излучение бесконечно длинной антенны в полу-
пространство, заполненное воздухом (область 2), пренебрежимо
мало даже при больших значениях высоты d над электрически
плотным полупространством (область 4), то короткозамкнутая
на концах антенна является идеальной при проведении сравне-
4 Зак. 813
98
Глава t
Рис. 1.9.5. Фазовая постоянная и коэффициент затухания, вещественная и
мнимая части аргумента 0S функции, характеризующей оконечную нагрузку
короткозамкнутого монополя и разомкнутого на конце горизонтального моно-
поля, расположенного над пресной водой.
- расчетные данные для бесконечно длинной линии; ° экспериментальные данные
для короткозамкнутого монополя; х экспериментальные данные для разомкнутого на
конце монополя.
ния теоретических значений волнового числа ki = Рг + с из-
меренными значениями. Результаты такого сравнения приведены
на рис. 1.9.5. Сплошными линиями на этом рисунке представлены
теоретические зависимости фазовой постоянной (Зл/Ро и коэффи-
циента затухания а/./р0 для тока в горизонтальном монополе от
нормированного значения высоты d/Xo на частоте / = 300 МГц.
Эти зависимости рассматриваются применительно к схеме антен-
ны, изображенной на рис. 1.9.4, б (Zs — 0); антенна расположена
над пресной водой. Соответствующие измеренные значения вол-
нового числа отмечены маленькими кружками. Во всем интерва-
ле 0 d/X0 0,15 наблюдается хорошее совпадение экспери-
ментальных и теоретических данных. Измерения были проведены
также при d/X0 = 0,25; получены следующие значения: Рл/(30 =
= 1,004, ссл/Ро — 0,0059 при = |3о = 2л м-1. Теоретические зна-
чения соответствующих величин равны (З^/Эо = 1,000, аг./р0 =
= 0,0060. Можно сделать вывод, что для горизонтальной прово-
лочной антенны, оконечными нагрузками которой являются ко-
Изолированные антенны
99
роткозамкнутые цепи (экраны, перпендикулярные проводу и
поглощающему полупространству), применение основной форму-
лы теории длинных линий (9.1а) совместно с формулой (9.2) для
kt дает отличные результаты при определении kL — + га/. по
крайней мере в интервале 0 < d/X0 0,25.
Формула для тока в монополе, питаемом на одном конце и
короткозамкнутом на другом, получается из формулы (9.1а) при
0s = —гл/2. Коэффициент 2 в знаменателе дроби должен быть
опущен:
, ‘Ve0 cosfe£(/i-|z|)
‘W— z sin/г.й
c L
(9.5)
(Для диполя, возбуждаемого в центре, коэффициент 2 в знаме-
нателе остается.) На рис. 1.9.6а — е изображены теоретические
графики распределения тока /(z), рассчитанного по формулам
(9.5) и (9.2), и заряда на единицу длины q(z), полученного из
формулы (9.5) совместно с уравнением непрерывности dl(z)/dz —
—iaq(z) = 0, для значений d/Ko в интервале от 0,01 до 0,25. Дли-
на горизонтального монополя между двумя вертикальными экра-
нами h = 1,5 Хо- На этих же рисунках нанесены соответствующие
данные измерений распределений тока и заряда на единицу дли-
ны; они хорошо совпадают с расчетными данными. Эти графики,
а также графики фазовой постоянной и коэффициента затуха-
ния (рис. 1.9.5) наглядно показывают, что теория длинных ли-
ний, используемая для изолированной антенны, может с большой
точностью применяться и к горизонтальной проволочной антенне,
по крайней мере когда излучение в полупространство, заполнен-
ное воздухом, пренебрежимо мало. Отметим, что рассматривается
случай, когда более плотное полупространство — вода, прояв-
ляющая свойства очень хорошего диэлектрика (тангенс угла
потерь Оел/ювеЛ = 0,067).
Проследим поведение токов при увеличении высоты d с очень
малой доли длины волны. Начнем со значения г/До = 0,01, при
котором ат/Р/. = 0,147 (рис. 1.9.6а). Коэффициенты стоячей вол-
ны тока и заряда па единицу длины имеют небольшую величину,
распределение фазы близко к линейному, что соответствует ре-
жиму бегущей волны от точки подключения питания вплоть до
последнего четвертьволнового участка монополя, где режим
стоячей волны обусловлен коротким замыканием на конце. Ре-
жим бегущей волны устанавливается благодаря очень тесной
связи между антенной и водой. Эта связь обусловливает боль-
шую величину z\ той части импеданса на единицу длины Zl,
которая определяется свойствами более плотного полупрост-
ранства (области 4). Так как величина относительно велика,
антенна нагружена вдоль всей длины. Энергия, поступившая
4 •
фрград \Q1, пКл/В-м
Рис. 1.9.66. Распределение тока (а) и заряда (б)
на короткозамкнутом монополе, расположенном
над пресной водой (Л/Ло = 1,5: б/Л0 = 0,02).
• измерения; --- теория.
Рис. 1.9.6а. Распределение тока (а) и заряда (б)
на короткозамкнутом монополе, расположенном
над пресной водой (Л/Ло = 1,5; d/Ло = 0,01).
• измерения; --- теория.
Рис. 1.9.6в. Распределение тока (а) и заряда (5)
на короткозамкнутом монополе, расположенном
над пресной водой (h/KQ = 1 ,5; d/KQ = 0,05).
*• ----- . измерения; ------ теория.
ф,ерад g \0.\упКл(В-м
Рис. 1.9.6г. Распределение тока (а) и заряда (б)
на короткозамкнутом монополе, расположенном •
над пресной водой (Л/Ло == 1,5; d/Ло = 0,1).
Изолированные антенны
103
в область 4, распространяется в ней в виде излучения. При
= 0,02 II ccl/Pl = 0,096 коэффициент стоячей волны ста-'
новится значительно больше, а при значениях d/Z0 = 0,05,
at/fh. = 0,039 и d/'K0 = 0,10, ccl/Pl = 0,018 резко возрастает.
Наконец, при максимальной высоте, d/"k0 = 0,25, ai/Pz. = 0,006
величина коэффициента стоячей волны достигает значения, близ-
кого к тридцати. Распределения тока и заряда на единицу длины
на рис. 1.9.бе сходны с распределениями тока и заряда на еди-
ницу длины для длинной линии с малыми потерями. Очевидно,
что в воду передается малая часть мощности, и излучение в воз-
дух незначительно. При увеличении высоты горизонтального
провода над водой от 0,01 до 0,05 происходит быстрое изменение
распределений тока и заряда на единицу длины вдоль монополя,
а-при дальнейшем увеличении d/K0 до 0,25 эти распределения
изменяются медленнее, так как связь антенны с полупространст-
вом, заполненным водой, уменьшается. Влияние близости воды
быстро усиливается при d/Ko 0,05; это хорошо видно на гра-
фиках для ai/Po и Рг/Ро (рис. 1.9.5). Так как пресная вода име-
ет свойства диэлектрика, большая часть мощности, поступившей
от антенны, не теряется вблизи от нее на токи проводимости,
как в морской воде, а передается на большие расстояния в виде
излучения.
Для горизонтального проволочного монополя с разомкну-
тым, а не короткозамкнутым концом распределение тока выра-
жается формулой
I (г)
— IVо sin kL th — | г |)
Z cos k.h
c L
(9.6)
Когда d/^o принимает малые значения, излучением в полупрост-
ранство, заполненное воздухом, можно пренебречь, ток можно
рассчитывать по формуле (9.6), а kb — по формуле (9.2) Теоре-
тические кривые и экспериментальные данные распределения
тока в горизонтальном, разомкнутом на конце монополе' длиной
Л = 1,5^о представлены на рис. 1.9.7. В левой части рисунка
приведены данные для . .антенны, расположенной на • высоте
d/X0 = 0,01 над пресной водой (еег4 = 81, тангенс угла потерь
Ф?4/<в®в4 = 0,067); в правой части — для антенны над соленой
водой (еег4 == 81, тангенс угла потерь ст^/сое^ = 2,96). Как и
Для других изолированных антенн, затухание за счет излучения
в пресную воду больше, чем затухание за счет поглощения в виде
тепла в соленой воде. На рис. 1.9.8 приведены теоретические
кривые и измеренные значения тока для той же антенны, нагру-
женной на импеданс Zs = Z(/2 и четвертьволновый отрезок, ко-
торые совместно создают режим бегущей волны. Фаза тока
распределена линейно по всей длине антенны, за исключением
104
Глава 1
четвертьволнового участка на конце, для случаев пресной и со-
леной воды. Однако амплитуда тока быстрее уменьшается вдоль
Рис. 1.9.7. Ток в горизонтальной антенне, расположенной над нендеально про-
водящей средой (ЛДо = 1,5; </Д0 = 0,01).
а —пресная вода (еег4=81; ре4 = 0,067); б —соленая вода (egr4=81, pg4=2,96). -теория!
• измерении.
Фаза,»рад \1\,мА/В Фаза, град \1\, мА/В
а 8
Рис. 1,9.8. Ток в модифицированной аитеине Бевереджа (йД0 = 1,75;
d/Xo = 0,01).
а —пресная вода (egr4=81; pe4=0,06Z); б —соленая вода (е(,г4=81; ре4 = 2,96). тео’
рня; • измерения.
антенны, расположенной над пресной водой. Теоретические и
экспериментальные данные очень хорошо согласуются. Теоре-
тические кривые рассчитывались по формулам (9.1а) и (9.2)
при соответствующих значениях оконечной нагрузки.
На рис. 1.9.9 изображены диаграммы направленности го-
ризонтальной проволочной антенны бегущей волны, показанной
Изолирование антенны
105
на рис. 1.9.1,б; приведены диаграммы направленности верти-
кальной составляющей электрического поля в воздухе над по-
верхностью раздела. Антенна длиной h — Хо расположена на вы-
соте d = 0,Щ над поверхностью пресной воды или земли. На-
правленность значительно больше у антенны, находящейся над
пресной водой. Максимум диаграммы направленности располо-
жен вдоль оси антенны. Заметим, что в этом направлении поле,
Рис. 1.9.9. Диаграмма направленности по полю в дальней зоне антенны Бе-
вереджа (ft/Ko = I; d/Ko = O,l). Вертикальная поляризация.
— • — пресная вода (er=81. pg = 0,04);---земля (ег=3, pg=0,002).
обусловленное непосредственно токами в проводе, равно нулю.
Очевидно, что поле в направлении максимума создается пол-
ностью токами поляризации и проводимости в воде (область 4).
Когда возбуждаемая в центре горизонтальная проволочная
антенна конечной длины 2h расположена в воздухе над плотным
полупространством (рис. 1.9.2,а), излучением в воздух можно
пренебречь по сравнению с мощностью, передаваемой в плотное
полупространство, только в том случае, когда величина d со-
ставляет малую часть длины волны, d/X0 0,05. Это утверж-
дение справедливо, если концы антенны не замкнуты накоротко
большими экранами, когда антенна по существу становится бес-
конечно длинной. Если d/X0 > 0,05, излучение в воздух в отличие
от излучения в полупространство, заполненное плотной средой,
не может быть учтено в последовательном импедансе на единицу
106
Глава 1
длины в виде равномерно распределенной нагрузки и, следова-
тельно, в постоянной затухания. Тем не менее, если высота d/X0
не настолько велика, чтобы нельзя было использовать выраже-
ние для тока в приближении теории длинной линии, излучение
в воздух можно приблизительно учесть в величине оконечной
нагрузки на обоих концах антенны, где заряды движутся с мак-
симальным ускорением. В антенне с разомкнутыми концами
(рис. 1.9.2, а) необходимо ввести оконечные нагрузки с импедан-
сами Zs. Вещественная часть этих импедансов определяется
излучением, мнимая часть — емкостными концевыми эффектами.
Если антенна уже имеет нагрузку (рис. 1:9.2, s), в Zs следует
внести поправку на излучение. В случае возбуждаемой в центре
горизонтальной проволочной антенны с разомкнутыми концами
обобщение, учитывающее излучение в воздух и емкостные кон-
цевые эффекты, требует применения формулы для тока в общем
виде (9.1а), а не более простой формулы следующего вида:
- sin kL (h - | z |)
1 ~ . 2Z
(9-7)
COS kjl
В формуле (9.7) не учтены ни излучение в воздух, ни емкостные
концевые эффекты. В выражении (9.1а), полученном в рамках
обобщенной теории длинной линии, ток зависит от шести вели-
чин, определяющих три комплексных параметра: питающее на-
пряжение Уо (амплитуда и фаза), комплексное волновое число
кь = + iaL и комплексный аргумент 0,s = ps— г'Ф5 в выраже-
нии для оконечного импеданаа. В общем случае величина Vo
может быть задана, a kb = Pz. + можно рассчитать по фор-
муле (9.2). Было показано, что расчетные данные хорошо сог-
ласуются с результатами измерений, по крайней мере когда
высота d/X0 не превышает величины 0,25. Формулы для расчета
комплексного аргумента Os = ps — гФ, для провода, расположен-
ного над электрически плотным полупространством, не выведены.
Для того чтобы получить значения 0s и подтвердить ранее
полученные данные для kb, указанные шесть параметров были
подобраны так, чтобы было хорошее согласие эксперименталь-
ных значений тока и значений, рассчитанных по формуле (9.1а).
Значения величин ai, ps и Ф5, полученные по измеренным
величинам тока в горизонтальном монополе с разомкнутым кон-
цом, расположенном над водой, также приведены на рис. 1.9.5.
Параметры воды должны быть те же, что и для монополя с иде-
альным коротким замыканием на конце. Точки, рассчитанные
по результатам измерений, отмечены на рисунке крестиками.
Видно,- что значения и ul хорошо согласуются и с тео-
рией, и с данными измерений для короткозамкнутой антенны. На
рис. 1.9.5 также представлены значения ps и Ф5, полученные для
200
Рис. 1.9.10. Измеренное распределение тока и теоретическое распределение,
наилучшим образом совпадающее с данным» измерений, для антенны с разо-
мкнутым концом и при согласованной оконечной нагрузке (см = 0,092 См/м:
d/X0 = 0,0775).
- — теория; X измерения, антенна разомкнута на конце; О измерения, антенна Q
согласованной оконечной нагрузкой.
Рис. 1.9.11. Измеренное распределение тока и теоретическое распределение,
наилучшим образом совпадающее с данными измерений (ot4 = 0,092 Cm/mj
d/Xo = 0,0775). Резистивная нагрузка (резистор 270 Ом н четвертьволновой
отрезок провода).
-----теория; X измерения.
Рис. 1.9.12. Фазовая постоянная н коэффициент затухания, вещественная н
мнимая части аргумента 65 функции, характеризующей оконечную нагрузку
для горизонтального, разомкнутого на конце монополя, расположенного над
соленой водой.
" теория; X измеренные значения при разомкнутом на конце монополе.
разомкнутой на конце антенны. Когда конец замкнут накоротко
экраном, р$ = О, Ф5 = л/2.
Если пренебрегать излучением в воздух и применять простую
формулу (9.7), то получается выражение PSjM для
эквивалентного коэффициента затухания. Этому случаю на
рис. 1.9.5 соответствует линия, представленная точками. При
d/X0 > 0,05 эквивалентный коэффициент затухания быстро уве-
личивается с ростом d/Xo и значительно превосходит истинные
значения коэффициента затухания. Аналогичная ошибка будет
в значении Pl, если фазовую постояннную определять как р^ =
= Pl + Фз/h. Ясно, что для антенны с разомкнутыми концами
или антенны, нагруженной на любой импеданс, кроме случая
идеального короткого замыкания, осуществляемого большими
экранами, следует применять более общую формулу (9.1а). Она
Изолирование антенны
109
упрощается и преобразуется к виду (9.7), когда 0S ~ 0, т. е.
когда величина d/K0 достаточно мала. Типичные кривые для то-
ка в резонансном монополе и монополе бегущей волны приведе-
ны на рис. 1.9.10 и 1.9.11. Длина антенны равна длине волны,
в случае режима бегущей волны дополнительно подключались
резистивная нагрузка и четвертьволновой отрезок. Теоретические
Данные в совокупности с измеренными значениями 0s опять хо-
рошо согласуются с экспериментальными данными.
На рис. 1.9.12 изображены теоретические графики а£/р0 п
Рь/Ро и этих величин, полученных по измерениям тока при /гД0 =
= 1,5 для монополя с разомкнутым концом, находящегося над
соленой водой- Здесь же представлены соответствующие значе-
ния ps и Ф5 комплексного аргумента в выражении для оконечного
импеданса и изображен график величины (аг/Ро + ps/Po/г). Мож-
но отметить хорошее согласие теоретических и эксперименталь-
ных значений at/Po для всего диапазона 0,01 d/ko ^0,15; раз-
ница между теоретическими и измеренными значениями Pjl/Po со-
ставляет примерно 1 %.
1.10. СВЯЗАННЫЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПРОВОЛОЧНЫЕ
АНТЕННЫ НАД ПРОВОДЯЩИМ
ИЛИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ
Для того чтобы увеличить направленность горизонтальной
проволочной антенны (антенны Бевереджа), можно объединить
несколько таких антенн в направленную решетку. Пусть две или
более антенн расположены параллельно, коллинеарно или усту-
пами по отношению друг к другу, но при этом все антенны
параллельны поверхности проводящего или диэлектрического
полупространства и находятся на одной высоте d над этой по-
верхностью. Тогда токи и заряды в каждой антенне взаимодейст-
вуют не только с наведенными токами и зарядами в поглощаю-
щем полупространстве, но и с токами и зарядами во всех других
антеннах. Так как горизонтальную проволочную антенну вблизи
'электрически плотного полупространства можно рассматривать
как особый вид антенны с эксцентрическим изолятором, спра-
ведливо предположить, что значения тока в антеннах соответст-
вуют обобщенной теории длинной линии, а взаимное влияние
антенн учтено в величинах относительных амплитуд и фаз тока,
I волновых чисел и волновых сопротивлений. Изучение такого
сложного случая целесообразно начать с двух параллельных, не
СЙвинутых относительно друг друга элементов, питаемых в цент-
ре [17]. Такая система изображена на рис. 1.10.1. Антенны рас-
положены в воздухе (область 2, волновое число Аг — ₽о —
= (й(р,оео)1/2) на высоте d над электрически плотным полупрост-
110
Глава 1
ранством (область 4, волновое число kt — [К + tcc4 — щ[ц(ее4 +
+ д<те4/со)]1/2). Расстояние между элементами по горизонтали
равно L. Точное определение токов в этих антеннах с учетом их
взаимного влияния и свойств смежного материального полу-
пространства является сложной задачей, за исключением случая,
когда область 4 — идеально" проводящая. В этом случае с по-
мощью теории зеркальных изображений задача сводится к опре-
делению токов для системы из четырех одинаковых параллель-
ных антенн в воздухе, расположенных в углах прямоугольника
Si
li
Поглощающая среда
__"________L__»J
Irzfiaz , Проволочная'
антенна I
==^=±
Воздух с2'еО'k2\flo
птп /1 т ! I /1 / т I! I)
Поглощающая среда £4,64, к
Рис. 1.10.1. Связанные горизонтальные проволочные антенны над поглощаю-
щим или диэлектрическим полупространством.
1
ill
li
'г
'!
со сторонами 2d и L. Антенны, отстоящие на расстоянии 2d, пи-
таются от одинаковых, но противофазно включенных генерато-
ров. Когда полупространство не является идеально проводящим,
теория зеркальных изображений в общем виде не применима.
Тем не менее в случае, когда среда имела свойства хорошего
проводника, проводились приближенные расчеты с применением
теории зеркальных изображений. Приближенное решение для
токов в связанных антеннах, расположенных над любой электри-
чески плотной средой (|fe4|2 3> l^l2), можно получить в пре-
дельном соотношении, подобно тому как было получено решение
для одиночной горизонтальной проволочной антенны из урав-
нения для эксцентрически изолированного провода.
На рис. 1.10.2 показана система, состоящая из двух провод-
ников, находящихся в цилиндре из изолирующего материала
(область 2), помещенного в свою очередь в бесконечно протя-
женную область 4. Радиус каждого проводника а, радиус изо-
лирующего цилиндра Ь. Ось каждого проводника отстоит на
Изолированые антенны
111
расстоянии D от оси изолятора или на расстоянии d = b — D от
поверхности изолятора. Радиусы изолятора, проведенные через
центры проводников, составляют угол 20о. Предполагается, что
удовлетворяются следующие неравенства:
IV» IV, IMKL
L = 2690 > d ~^> а.
(ЮЛ)
(10.2)
При выполнении этих условий ток в проводниках можно опреде-
лить, подключая их к генераторам с равными э. д. с., действую-
Рис. 1.10.2. Цилиндрические проводники радиусом а, расположенные эксцен-
трически в диэлектрическом цилиндре радиусом Ь.
щими в фазе (нулевая фазовая последовательность), и при тех
же э.д.с. в противофазе (первая фазовая последовательность).
Выражения для токов имеют обычный для теории длинных ли-
ний вид:
(m., sin й(лт)М-|г|-Н0*т>)
/т’ г) =------°—------1 L r-s л-, щ == 0, 1, 10.3)
7 2Z(cm> cos \k{ph 4- 10^>]
где 0(.т> — —/ф(.т> == Arcth т = 0, 1 — комплексный
аргумент в выражении для оконечного импеданса для /n-й фазо-
вой последовательности. Входные адмитансы для фазовых по-
следовательностей выражаются формулой
y,"“ = _(i72Z(cm')tg(fe(Z'1>/z + iQ{sn}\ m = 0, 1. (10.4)
112
Глава 1
Комплексные волновые числа и волновые сопротивления для
двух фазовых последовательностей имеют следующий вид:
( Ло + (-1)( Д(Ц 20о) Г
Мт> = 1 + —т------------, т = 0, 1,
L Ц М[йа + (-0 20о)])
^[€la + (-l)mQ(D, 20о)]
Zc —
(10.5)
(10.6)
т = 0, 1,
где и2 = (р/ё2)1/2—комплексное волновое сопротивление облас-
ти 2. Для открытого пространства £2 = £0 ~ 120л Ом, ki =
= ро = ю/с, где с — 3 108 м/с.
Когда в выражениях (10.5) и (10.6) т = 0, оба проводника
возбуждаются в фазе равными по величине э. д. с. V) — У2 =
= Иц01 и токи в проводниках идентичны, Л (г) =/2 (г) = /(0)(г).
При т = 1 проводники возбуждаются в противофазе равными
по величине э.д.с. V, = — 1Л, = и токи в проводниках равны
по абсолютной величине, но противоположно направлены,
/1(г)=-72(г)=/<»(2).
В пределе, когда &->оо, и величина d удовлетворяет усло-
вию (10.1), параметры в выражениях (10.5) и (10.6) принимают
следующие значения:
□а « Arch (d/а) ~ In (2d/a), (Ю.7)
Q(D, 26o) ~(l/2)ln(l +^dI 2/L2), (10.8)
A0/fe4b « 2T (2M, 0), (10.9)
A(£>, 2Q0)/k<b ~ 2T(2k<d, k^L). (10.10)
Величина T в выражениях (10.9) и (10.10) определяется следую-
щим образом:
Л2—В2 in H^(B + iA)
Т (А, В) = (Л2 + fi2)2 + — в + ,А И
I Г (В iЛ) Ki (В — /Л) 1 !
4 L в + / л в - Та J "т"
оо
+ 4 £ [(S + M)2,i- ’ - (в - i А)2'г~ Ч ап, (10.11)
п = \
где ai = —1/3 и ап — —ап_х/(Ап2 — 1). В формуле (10.11) бес-
конечный ряд быстро сходится, так что на практике можно брать
только несколько первых членов ряда. Если параметры Йа,
Й(£>, 200), До//г4& и Л(£>, 2©о) //г4Ь определены, то известны и вол-
новые числа и волновые сопротивления а, зная эти
величины, с помощью формул (10.3) и (10.4) можно получить
значения для токов Лт)(г) и адмитансов F(m).
Изолирование антенны
113
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Расстояние методу антеннами L/Xo
Рис. 1.10.3. Нормированные комплексные волновые числа ~ +
+ га£”Ур0 для двух фазовых последовательностей в связанных антеннах, рас-
положенных над пресной водой (ае4 = 0,09 См/м; ееГ4 = 81).
Проведен расчет волновых чисел й(£т) по формуле (10.5) для
системы из двух проводов равных радиусов (а =1,5 мм), воз-
буждаемых соответствующими фазовыми последовательностями
э.д. с. У/,0' и У(оп. Теоретические кривые нормированных комп-
лексных волновых чисел й<2п,/Р0= P(LOT)/P0 + для двух фа-
зовых последовательностей при частоте / = 300 МГц показаны
на рис. 1.10.3 для случая пресной воды и на рис. 1.10.4 — для слу-
чая соленой воды. Отметим, что вещественная фазовая постоян-
ная Р(/"уро и вещественный коэффициент затухания «2” Ур0 за-
висят от расстояния L между проводами и фазовой последова-
тельности двух токов в проводах. Величины аРуро и Р^’/Ро Для
первой фазовой последовательности всегда меньше соответствую-
щих. величин а(дУР0 и Р^’/Рд для нулевой фазовой последова-
тельности. По мере увеличения высоты d/k0 величины Р(/”7Р0
114
Глава /
Расстояние между антеннами L/Ao
Рис. 1.10.4. Нормированные комплексные волновые числа &£”УРо = Р/ГУРо+
+ <‘/Ро для двух фазовых последовательностей в связанных антеннах,
расположенных иад морской водой (а<>4 = 4,2 См/м, е<?Г4 = 81).
и aj/”ypo стремятся соответственно к значениям Pl/Ро и aL/Po
для случая бесконечного расстояния между проводами. Значе-
ния параметров P(Lm'/P0 и а(£тУ^о для °Дн°й и той же антенны
вполне сравнимы в случаях пресной воды, обладающей в основ-
ном диэлектрическими свойствами, и соленой воды с весьма
большой проводимостью. Коэффициент затухания для обеих
фазовых последовательностей для соленой воды приблизительно
в два раза меньше, чем для пресной воды. Это согласуется
с данными, полученными для других изолированных антенн.
При одной и той же величине тока в проводах в пресную воду
со свойствами диэлектрика переносится примерно в два раза
больше энергии, которая здесь распространяется в виде излу-
чения, чем в соленую воду, в которой энергия быстро поглоща-
ется в виде тепла в непосредственной близости от проводов.
Были проведены теоретические и экспериментальные иссле-
дования параллельно расположенных горизонтальных проволоч-
ных монополей, питаемых напряжениями первой и нулевой фа-
зовых последовательностей на частоте / = 300 МГц. Схема экс-
периментальной установки приведена на рис. 1.10.5. Нормирован-
ная длина антенн в воздухе h/'ka=\. Они расположены гори-
зонтально на нормированной высоте d/k0 над поверхностью воды.
Изолированные антенны
115
Рис. 1.10.5. Схема экспериментальной установки.
При расчетах и измерениях величина d/k0 изменялась в интер-
вале от 0,025 до 0,13. Нормированное расстояние по горизонтали
между параллельными проводами L/k0 изменялось от 0,1 до 1,2.
Длина волны в воздухе кг = к0 = c/f = 1 м. Волновые числа
на частоте 300 МГц для пресной воды и соленой воды равны
k4 = 56,6 4- *1,9 м~1 и kt = 82,6 + *60,2 м_| соответственно. Вол-
новое число в воздухе = ₽о = 2л м-1. На рис. 1.10.6 показаны
типичные распределения тока вдоль двух разомкнутых на концах
монополей, находящихся друг от друга на расстояниях L/ko =
= 0,3 и ЛДО = оо и на высоте d/k0 = 0,0775 над поверхностью
соленой воды. Антенны возбуждались напряжениями обеих фа-
зовых последовательностей.
Для расчета токов фазовой последовательности в монополях
следует пользоваться формулой (10.3), отбросив коэффициент
2 в знаменателе. Все величины, необходимые для расчета токов
по этой формуле, известны, за исключением комплексных аргу-
ментов в выражении для оконечного импеданса 0(sm), m = 0, 1,
Для которых нет аналитических выражений. Эти величины, учи-
тывающие излучение в воздух и емкостной концевой эффект,
имеют существенное значение, когда высота d/к^ > 0,05. Зна-
чения 0Р”) определялись таким образом, чтобы обеспечить наи-
лучшее совпадение теоретических значений тока, полученных по
формуле (10.3), и соответствующих измеренных значений. Изме-
ренные распределения токов вдоль антенн изображены на
116
Глава 1
рис. 1.10.6. Амплитуда расчетных значений тока нормировалась
так, чтобы значения токов в точках максимума вблизи z = О,25Хо
или z = 0,75Хо совпадали с измеренными значениями. Затем 0^">
изменяли так, чтобы обеспечить наилучшее соответствие тео-
ретических и экспериментальных данных с точки зрения наи-
меньших квадратичных ошибок. На практике оказалось удобнее
менять комплексные коэффициенты отражения Г<т> = | Пт> I X
l'i
Si
Рис. 1.10.6. Распределение тока вдоль связанных горизонтальных, разомкну-
тых на концах проволочных антенн над морской водой для двух фазовых
последовательностей.
------теория,* измерения (LAo в <»); • теория, о измерения (LAo в 0,3, нулевая фа-
зовая последовательность);--------теория, X измерения (LAoв 0,3, первая фазовая
последовательность).
Хехр(~ *'Ф(5т))> которые связаны с величиной 0<sm)=p(sm)—/ф(т) про-
стыми соотношениями |Г5| = ехр(—2ps), фх = —2OS. Получен-
ные таким образом величины 0^т) подставлялись наряду с другими
теоретически полученными параметрами в формулу (10.3) для
расчета тока /<т>(г), т — 0у 1. Эти расчетные значения тока для
случаев L = 0,3Xq и L — оо также приведены на рис. 1.10.6.
Хорошее совпадение получено также для других значений высо-
ты с! и расстояния L. Итоговые графики приведены на рис. 1.10.7.
Здесь изображены графики зависимости измеренных значений
рОш и фцч)от £Д0 для обеих фазовых последовательностей в слу-
чаях пресной и соленой воды.
Применение метода наименьших квадратов при определении
Q'sm> для антенны бегущей волны подтвердило правильность та-
кого подхода. Оконечная нагрузка, состоящая из правильно
Изолирование антенны
117
подобранного резистора (Rs — 220, 270 и 330 Ом при высотах
4//Х0 = 0,025, 0,0775 и 0,13 соответственно) и четвертьволнового
отрезка, обеспечивает распределение тока по антенне, близкое
к режиму бегущей волны. Теоретически идеально нагруженная
антенна характеризуется значением р$ = оо или коэффициентом
стоячей волны, близким к единице:
к. с. в. = cth р
RS/RC>1, Фз = л,
RJRS>1, Ф5 = л/2.
(10.12)
На рис. 1.10.8 изображены идеальные теоретические графики
фд = д и Ф5 = л/2 для ps — оо или к. с. в.= 1. Здесь же при-
Рис. 1.10.7. Вещественная р'т) и мнимая Ф$т) части комплексного аргумента
О'"1» для m-н фазовой последовательности; рассчитаны по измеренным значе-
‘ пням тока методом наименьших квадратов.
--- ое4 = 0,09 См/м, еег4=81;----%4=4 См/м, еег4=81.
ведены измеренные значения Ф^’ и значения к. с. в., полученные
по измеренным значениям p(sm) для нагруженных антенн бегущей
волны, находящихся на высоте d/Xo = 0,0775 и d/’Ko = 0,13 над
пресной и соленой водой. Видно, что условие согласования на-
грузки очень хорошо подтверждается. Для нормированной вы-
соты с!/Х0 = 0,13 имеем Rs> Rc и Ф5~ л; для высоты Д/Хо =
= 0,0775 имеем Rs < Rc и Ф5 яз л/2. Результаты показывают,
что оконечные нагрузки подобраны правильно, так что распреде-
ление тока соответствует режиму бегущей волны.
Выражения для токов и адмитансов фазовых последова-
тельностей (10.3) и (10.4) можно также просто объединить,
как и формулы (8.10) — (8.16) при получении выражений для
токов и адмитансов антенн с произвольным возбуждением.
118
Глава 1
При проектировании направленных решеток из горизонталь-
ных проволочных антенн бегущей волны элементы могут распо;
лагаться параллельно, а также коллинеарно и с уступами. Поэ-
тому интересно определить взаимное влияние токов в паре эле-
ментов и при таких положениях. Теоретические расчеты не
проводились, но был выполнен ряд измерений для двух колли-
неарных горизонтальных проволочных антенн бегущей волны.
Рис. 1.10.8. Функции ф£т’ и к. с. в. = cth р’/71’, рассчитанные по измеренным
значениям тока методом наименьших квадратов.
..... теория; • нулевая фазовая последовательность; о первая фазовая последова»
тельность (rf/Ao 0,0775); X нулевая фазовая последовательность; □ первая фазовая
последовательность (rf/Ao = 0,13).
Результаты измерений указывают на весьма незначительные
взаимные влияния токов. Они проявлялись наиболее сильно,
когда антенны были достаточно высоко (d/ho = 0,18) над соле-
ной водой (6^4 = 81 ер, Ое4 = 4,2 См/м), а их соседние концы на-
ходились на расстоянии всего 0,02 \0- Даже в этом случае вза-
имное влияние привело к изменению фазы тока не более чем
на 10° и амплитуды тока не более чем на 1 дБ в нескольких
точках вдоль длины коллинеарных антенн по сравнению с то-
ком одиночной изолированной антенны. Связь между элемен-
тами уменьшается с увеличением расстояния между соседними
концами, уменьшением высоты d и проводимости воды. В гори-
зонтальных проволочных антеннах бегущей волны при их кол-
линеарном положении токи в большой степени независимы и
весьма сходны с токами в таких же изолированных элементах.
Это не удивительно, ибо электрическое поле вдоль поверхности
Изолированные антенны
119
антенны из-за воздействия токов и зарядов во втором коллине-
арном элементе определяется зарядами вблизи концов антенны
и убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. На-
пряженность поля в непосредственной близости к антенне ве-
лика, а на расстоянии в половину длины волны становится пре-
небрежимо малой. Тот факт, что максимум диаграммы направ-
ленности антенны бегущей волны находится на оси антенны,
В данном случае не имеет значения. Составляющая поля, имею-
щая. большую величину и определяющая вид диаграммы
направленности, перпендикулярна антеннам и поверхности раз-
дела сред, а не параллельна им.
: Поскольку связь даже между параллельными элементами
существенно влияет на комплексное волновое число только ког-
да расстояние между элементами не превышает Хо/2, взаимо-
действие достаточно разнесенных, расположенных уступами
элементов тем более мало, и им обычно пренебрегают.
1.11. АНТЕННА В ЦИЛИНДРЕ С ХОЛОДНОЙ
ПЛАЗМОЙ
В предыдущих разделах при рассмотрении свойств изоли-
рованных и неизолированных антенн было показано, что свой-
ства внешней среды, в которую помещена антенна, оказывают
более сильное воздействие на неизолированную антенну, чем на
изолированную, когда металл отделен от внешней среды слоем
воздуха или другого изолирующего материала. Рассмотрим те-
перь интересную схему антенны другого вида, представленную
иа рис. 1.11.1. Здесь внешней средой (областью 4) является воз-
дух,- а цилиндрическая оболочка с внутренним радиусом а и на-
ружным радиусом b (область 2) обладает свойствами и ди-
электрика, и проводника [18]. Если область 2 — жидкость, то
вводится еще тонкостенная пластмассовая или стеклянная труб-
ка-с-наружным радиусом с (область 3). Для такой системы вол-
новые числа записываются следующим образом:
^2 = 02 + «а2 = ©(р.е₽2)1/2(1 4- iPezY12, Pe2 = °e2l^e2y (1 1 -1 а)
й3 « со (це.з)12, Рез ~ 0, (11.16)
&4 = Ро = м(цоео)’/2, ре4 = о, (11.1 в)
где.величина тангенса угла потерь среды 2рег не ограничивает-
сят она лишь должна быть меньше очень большого тангенса
угла.потерь металлического проводника (область 1). - -
Для того чтобы простые формулы, полученные для изолиро-
ванных антенн из теории длинных линий, можно было использо-
120
Г лава 1
вать для антенны, показанной на рис. 1.11.1, необходимо, как и
для изолированных антенн, выполнение неравенств
|^|2<р4|2=Ро- |fe3c|2<L (и-2)
Очевидно, что если область 2 — обыкновенный жидкий или твер-
дый диэлектрик или проводник, для которого справедливо не-
равенство |&2//г4|2 = eer2| 1 4- io^/we^l >1, то условие |£2|2<С
<С |fe4|2 не может выполняться. Для холодных ионизированных
нейтральных газов и плазм вещественные эквивалентные ди-
электрическая проницаемость и
проводимость имеют следующие
выражения:
Г. <
ее2 — е0 [ 1 W2 + V2
°е2~ W2 + v2 ’
(11-3)
где сйр — угловая плазменная ча-
стота, определяемая соотноше-
нием
Ю2 = пее2 le^m е. (11.4)
В формулах (11.3) и (11.4) е —
абсолютная величина заряда
электрона, те — масса электрона,
пе — концентрация электронов и
v—частота электронно-нейтраль-
ных столкновений.
Рис. 1.11.1. Изолированный ди- Если частота столкновений на-
поль, возбуждаемый генератором столько мала, что выполняется
дельта-функцнн. неравенство 0 v/top 0,1, то
первое из условий (11.2) можно
с хорошим приближением заменить следующим:
I &2/^4 I2 =
1 ~ _|_ v2 ( 1 — г'^/И)
< 1.
(П.5)
В неравенстве (11.5) предполагается, что магнитная проницае-
мость р, области 2 равна магнитной проницаемости р,0 воздуха
(область 4). Для весьма важного и с физической точки зрения
наиболее интересного диапазона частот, определяемого соотно-
шением
0,75 < (сор»2 < 1,05,
(Н.6)
Изолирование антенны
121
условие (11.5) удовлетворяется. При выполнении условия ма-
лости частоты столкновений (11.5) или приближенно эквива-
лентного ему условия (11.6) теория изолированных антенн пол-
ностью применима к антенне в плазменной трубке. Однако
антенна должна быть достаточно тонкой, чтобы удовлетворялось
третье из условий (11.2), и достаточно длинной, чтобы для моно-
поля длиной h выполнялось обычное для длинной линии условие
h » c^b. (Н-7)
Понятно, что теорию изолированных антенн можно приме-
нить к антенне в трубке, заполненной плазмой, с целью изучения
свойств плазмы. Так как плазма соприкасается с металлической
поверхностью антенны, продольные распределения тока и за-
ряда в ней очень зависят от электрических свойств плазмы, а
именно от величин ае2 и вег, входящих в выражения для комп-
лексного волнового числа ki. = Pl + гаг и волнового сопротивле-
ния Zc. При отсутствии области 3 (с — Ь) величины kL и Zc
определяются как
kL = (-zLyL)^, Zc = (zL/yL)^, (11.8)
где параллельный адмитанс ут имеет следующее выражение:
2л (щ2 — i<nee2) 2nik2
i<BcL In (&/а) <вц In (6/а)
(Н.9)
а последовательный импеданс на единицу длины zl складывает-
ся из следующих составляющих:
zL =z\ + z,( -\-ze. (11.10)
Первое слагаемое в выражении (11.10) — внутренний импеданс
на единицу длины металлической трубки антенны:
= (—iiup,/oel)I/2/2na. (11.11)
Второе слагаемое — внутренний импеданс на единицу длины
внешней среды на расстоянии Ъ от оси антенны:
4 глМ^'ЧМ)'
Третье слагаемое — внешний импеданс на единицу длины (часть
последовательного импеданса, связанная с полем в области 2):
ze — — i(mle — — (1Шц/2л) In (bja). (11.13)
Если внешняя среда — воздух, в выражении (11.12) &4 = Ро =
e to(p0e0)1/2 и ц = цО.
122
Глава 1
На практике плазма заключается в достаточно толстый стек-
лянный сосуд. Относительная диэлектрическая проницаемость
стекла erg — еез/ео имеет величину порядка 4 или 5, так что вы-
полняется условие &3 = ₽oe'g>Po- Тогда стеклянную трубку
следует рассматривать как область с большим, чем для внешней
среды, значением k, а не с меньшим, как было до сих пор. Фор-
мулы для такого случая получаются более сложные. В выраже-
нии (11.10) член г] заменяется на при радиусе й:
== г‘+ + ге, где (11.14)
zi = Ро(М + и5)
3 2л{1^)(М~^Л,,|1)(М[7о(М + с'го(М]} ’
с _ _ k3cHf0li (fe4c) /, (fe3c) - (fe4c) /0 (k3c)
k3c/Jo1 (M Yi (M - *4c/y(11’ (fe4C) k0 (£3C) ’
А = ^[/1ад + сг1ад]-М1Л(М + сг1ад1. (1Ы7)
Из выражений (11.15) и (11.17) видно1), что если с-+Ь, т®
L->0, а определяемому формулой (11.12).
Зная yL и Zl, можно определить ki. и Zc, а затем распределе-
ния тока и заряда на единицу длины вдоль диполя, питаемого
в центре. В нормированном виде эти распределения запишутся
следующим образом:
I (z) i sin k, (h — I z I)
~^ =-----------------L-----—, (11.18)
VqA2 2Zc&2 cos kLh v
q (z) k, cos k, (h — I z |)
T-----L-------, где (11.19)
2ZcA2ro cos kJ1
k t
Для монополя, расположенного над большим экраном, в выра-
жениях (11.18) и (11.19) в знаменателе не должно быть мно-
жителя 2.
Для изучения свойств антенны, помещенной в стеклянную
трубку с плазмой, были проведены расчеты в разных диапазо-
нах значений параметров. Эти диапазоны следует выбирать так,
чтобы удовлетворялись указанные ранее условия, а также была
обеспечена возможность проведения экспериментов. Антенна,
предназначенная для измерений, представляет собой латунную
трубку радиусом а = 0,25 см, помещенную в стеклянную трубку
’) В этих формулах Ут — функции Бесселя второго рода (функции Ней-
мана) m-го порядка [19*, 25*]. — Прим. ред.
Изолирование антенны
123
(наружный радиус с), которая заполнена плазмой. В зависи-
мости от размеров трубки наружный радиус b слоя плазмы мо-
жет иметь значения от Ь/а — 3 до 6/а = 28. Толщина стекла
может меняться от очень малого значения до сантиметра и бо-
лее. На практике толщина стекла трубки с — b = 0,35 см. Вели-
чина относительной диэлектрической проницаемости стекла erg
обычно находится в пределах от 3 до 10, наиболее часто исполь-
зуемое значение erg = 5. Для того чтобы лучше выявились
свойства системы, величины с — b и erg должны меняться в го-
раздо более широком интервале значений.
При совместном решении нескольких неравенств получено,
что при v/wp = 0,01 величина \ki,/k2\2 находится в интервале от
4 до 100, а при v/cop = 0,1 —в интервале от 4 до 10, как пока-
зано в табл. 1.11.1. В этой таблице приведены значения комп-
лексных волновых чисел fe2 = £2 + ia2 Для бесконечно протяжен-
ной плазмы и соответствующие значения комплексных волновых
чисел kL, характеризующих распределения тока и заряда на
единицу длины вдоль антенны, помещенной в бесконечно про-
тяженную плазму. Данные в таблице приведены для шести зна-
чений (wp/co)2 и четырех значений v/cop. Плазменная частота
при расчетах была выбрана равной 1200 МГц.
На рис. 1.11.2 изображены графики фазовой постоянной pL,
коэффициента затухания aL и весьма важного показателя ад/Рд
в зависимости от (юр/й))2 для антенны в трубке, наполненной
плазмой. Частота столкновений, выраженная отношением v/cop,
взята в качестве параметра. Фазовая постоянная Pi, с уве-
личением (Wp/a>)2 уменьшается равномерно и почти не зависит
от частоты столкновений, пока рабочая частота не прибли-
зится вплотную к плазменной частоте. Когда рабочая ча-
стота становится равной плазменной частоте, а затем меньше
ее, скорость уменьшения фазовой постоянной увеличивается,
причем более резко при больших значениях параметра v/cop.
Коэффициент затухания также уменьшается с ростом (сор/со)2,
пока это отношение не становится близким к 1; затем коэффи-
циент затухания быстрой резко возрастает. Величина отношения
ад/рЛ сначала увеличивается очень незначительно, а затем воз-
растает очень быстро, когда величина (сор/о>)2 приближается
к единице и становится больше единицы. При ад > Pt амплиту-
да бегущей волны тока и заряда на единицу длины весьма
быстро затухает. Уже на расстоянии, равном длине волны от
точки подключения питания, амплитуда бегущей волны прене-
брежимо мала.
Электрические свойства плазмы, в которую помещена антен-
на, тесно связаны с измеряемыми характеристиками антенны
через величины тангенциальной составляющей магнитного поля
и радиальной составляющей электрического поля. Они в свою
124
Глава 1
Таблица 1.11.1. Волновые числа вблизи плазменной частоты
(«,/со)2 k2, см~1 lfc4/fc2l2
v/cOp = 0.01 .75 .1451 + 1.0019 .1873 + 1.0612 .327 4.0
.90 .0839 +1.0036 .1100 + 1.0382 .347 10.2
.95 .0580 + 1.0053 .0754 +1.0301 .399 19.4
.975 .0410 +1.0076 .0521 + 1.0264 .508 37.2
1.000 .0179 + 1.0177 .0171 + 1.0309 1.808 100.0
1.005 .0141 + 1.0225 .0101 + 1.0359 3.553 88.4
v/w„ = 0.025 .75 .1453 + 1.0047 .1864 + 1.0649 .348 4.0
.90 .0845 +1.0089 .1087 + 1.0454 .418 9.7
.95 .0594 + 1.0129 .0743 +1.0409 .550 18.0
.975 .0443 + 1.0176 .0526 + 1.0411 .782 28.5
1.000 .0284 + 1.0277 .0274 + 1.0486 1.776 40.0
1.0125 .0225 + 1.0353 .0164 + 1.0565 3.437 35.6
v/ci)p = 0.05 .75 .1458 + 1.0094 .1852 + 1.0712 .384 3.9
.90 .0864 + 1.0173 .1079 + 1.0574 .532 9.0
.95 .0637 + 1.0241 .0756 + 1.0575 .760 14.3
.975 .0517 +1.0301 .0576 + 1.0608 1.057 18.1
1.000 .0407 + 1.0387 .0395 + 1.0682 1.725 20.0
1.025 .0324 + 1.0493 .0243 + 1.0793 3.258 17.7
v/Wp = 0.10 .75 .1479 +1.0184 .1842 + 1.0837 .454 3.8
.90 .0928 +1.0320 .1105 +1.0795 .720 7.3
.95 .0747 +1.0408 .0838 + 1.0842 1.005 9.0
.975 .0663 +1.0466 .0766 + 1.0887 1.257 9.6
1.000 .0588 + 1.0532 .0582 + 1.0948 1.630 10.2
1.050 .0473 + 1.0677 .0375 + 1.1103 2.944 9.0
/, = 1200 МГц; a = 0.25 см ; b/a = 5; c = b + 0.35 ‘ cm : s,9 = 5
очередь пропорциональны току и заряду на единицу длины ан-
тенны соответственно. Следовательно, знание распределений
тока и заряда очень важно, если использовать антенну для ис-
следования и определения свойств плазмы или для радиосвязи
через слой плазмы. На рис. 1.11.3 приведены теоретические рас-
пределения, рассчитанные по формулам (11.18) и (11.19) при
Изолирование антенны
125
Рис. 1Д1.2. Фазовая постоянная fit н коэффициент затухания ат диполя в
трубке, заполненной плазмой.
Vo=lB для диполей, электрическая длина которых pL/i состав-
ляет 0,8; 1,8; 3,2; 4,8 и 6,0. При изменении в таком широком
диапазоне на полудлине антенны h укладывается от очень ма-
лой доли до полной длины волны тока. Для каждой длины ди-
поля распределения рассчитывались для шести значений часто-
ты, приведенных в табл. 1.11.1. Все распределения тока и за-
ряда, изображенные на рис. 1.11.3, рассчитывались для значения
параметра v/wP = 0,01. В левой части рисунка приведены нор-
мированная амплитуда и фаза тока, в правой части — нормиро-
ванная амплитуда и фаза заряда на единицу длины. Графики
в верхней части рисунка относятся к антенне малой электриче-
ской длины. Форма распределения амплитуды тока здесь ме-
няется от треугольной, когда (®P/w)2 — 0,75, до экспоненциально
затухающей, когда (wp/co)2 > 1. Распределение заряда при
(иР/®)2 = 0,75 носит почти постоянный характер с максималь-
ным значением на открытом конце диполя (z = /i), а при
(®Р/со)2^1 величина заряда убывает вдоль диполя по экспо-
О 0,04 0,08 о,12
Iq 1/Л2, пКл/см
(cj0 fu)2 = 0,750 QJQQ 0'950 Qt975 1,000 1,005', у0,01
Рис. 1.П.З. Нормированные распределения тока и заряда на единицу длины
вдоль диполя в стеклянной трубке, заполненной плазмой.
Изолированные антенны
127
ненте и вблизи открытого конца диполя очень мала. Аналогич-
ным образом меняются с частотой распределения и при р£/г =
== 1,8. Пока отношение (а>р/<о)2 не слишком близко к 1, распре-
деления тока и заряда напоминают аналогичные распределения
в антенне той же электрической длины, находящейся в воздухе.
Когда отношение (сор/со)2 становится близким к 1, а затем боль-
шим 1, форма распределений быстро изменяется. Ток и заряд
уменьшаются вдоль диполя по экспоненте, их величины вблизи
открытого конца диполя малы. При увеличении (сор/со)2 в очень
узком интервале значений от 0,975 до 1,000 происходит настоль-
ко резкое изменение формы распределения тока, что по этому
изменению можно с большой чувствительностью измерять плот-
ность плазмы. Чувствительность зонда Ленгмюра, используемого
для этой цели, существенно ниже. По мере увеличения длины
антенны форма распределения тока в ней становится характер-
ной для режима бегущей волны, и распределение фазы оказы-
вается почти линейным. При больших значениях параметра
v/(Op распределения тока и заряда на единицу длины по форме
сходны с приведенными на рис. 1.11.3, но амплитуды тока и за-
ряда уменьшаются.
Расчеты нормированного входного адмитанса диполя в труб-
ке с плазмой, возбуждаемого в центре, проводились по формуле
r/A2 = -(i72ZA)tgM- (11.21?
На рис. 1.11.4 приведены рассчитанные по этой формуле значе-
ния адмитанса в зависимости от электрической длины диполя
р£/г. Для верхних двух графиков частота столкновений невелика,
v/(op = 0,01; для нижних двух графиков частота столкновений
значительно больше, v/(oP = 0,1. Для всех четырех графиков па-
раметром служит отношение а£/(3£, тесно связанное с величиной
(<0р/ш)2. Из рисунков видно, что затухание велико при всех зна-
чениях параметра, и кривые активной и реактивной проводимо-
стей уже при сравнительно малой электрической длине диполя
приближаются к соответствующим постоянным значениям для
бесконечно длинной антенны. Особенно малы эти электрические
Длины при а£/6£ > 1.
Поперечное сечение столба плазмы можно менять в преде-
лах, ограничиваемых условием |fe2b|2,< 1. На рис. 1.11.5 пока-
зано влияние изменения отношения b/а на величину адмитанса.
При плазменной частоте fp= 1200 МГц величина b/а менялась
°т 3 до 12, а при fp = 600 МГц — от 3 до 28. Соответствующие
значения р£ и а£ даны в табл. 1.11.2. Там же приведены значе-
ния р£ и а£ при Ь—>оо; они рассчитывались на основании теории
неизолированной антенны в бесконечно протяженной плазме.
Из графиков видно, что и активная, и реактивная проводимости
на входе плавно изменяются при увеличении отношения Ь/а.
128
Г.шва 1
8
6
4
2
О
-2
0 2 4 6 8
А*
G/&2
г/ыр*0,01
\ В/Л2
Рис. 1.11.4. Нормированный адмитанс диполя в трубке, заполненной плазмой.
Рис. 1,11,5. Входной адмитанс антенны.
Параметр — радиус плазмы Ь\ « = 0,25 см; с = Ь + 0,35 см.
Изолированные антенны
129
Таблица 1.11.2. Влияние радиуса Ъ цилиндра плазмы на волновое число
kl = Pz. + IKZ.
Л, см Ь/а Pl , см" «ьсм"
1200 МГц , к2 = .0580 + /.0053 см"
0.75 3 .0937 .0383 .409
Г.25 5 .0754 .0301 .399
2.00 8 .0652 .0233 .357
3.00 12 .0603 .0177 .294
ОО ОО .0580 .0053 .091
fr = 600 МГц ,.k2 = .0290 + 1.0027 см
0.75 3 .0525 .0169 .322
1.25 5 .0431 .0139 .322
2.00 8 .0376 .0118 .315
3.0 12 .0341 .0102 .298
4.0 16 .0323 .0090 .277
5.0 20 .0312 .0080 .257
6.0 24 .0305 .0073 .239
7.0 28 .0300 .0062 .222
ОО ОО .0290 .0027 .093
(в>,/»)2 = 0.95 ;v/w,= 0.01
a = 0.25 см; с = b + 0.35 см; е,, = 5
Особенно быстро это изменение происходит при малых значе-
ниях Ь/а.
Из рис. 1.11.5 ясно, что свойства цилиндрической антенны
в плазме зависят от поперечных размеров плазмы. Свойства
антенны, помещенной в трубку плазмы конечного радиуса и
в бесконечно протяженную плазму, совершенно различны. По-
этому точную теорию неизолированной антенны в бесконечно
протяженной плазме нельзя применять к той же антенне в плаз-
ме конечного поперечного размера.
В лаборатории измерения проводились лишь для антенн в ко-
нечном объеме плазмы, помещенных в герметичный сосуд. На
практике удобна и обычно применяется цилиндрическая форма
столба плазмы (радиусом Ь), заключенного в стеклянную труб-
ку наружным радиусом с и с толщиной стенки с — Ь. При такой
конструкции достаточно просто получить относительно однород-
ную и устойчивую плазму для исследования ее свойств. Так
как толщина стекла в силу конструктивных причин не должна
быть слишком мала, а его относительная диэлектрическая
5 Зак. 813
Рис. 1.11.7. Входной адмитанс антенны. Параметр—диэлектрическая прони-
цаемость стеклянной трубки.
проницаемость eer3 = erg в несколько раз больше, чем окружаю-
щей внешней среды (воздуха), присутствие стекла необходимо
учитывать при аналитическом определении характеристик ан-
тенны, а затем по ним — электрических свойств плазмы.
На рис. 1.11.6 и 1.11.7 показано теоретически рассчитанное
влияние стеклянной трубки на адмитанс антенны. На рис. 1.11.6
толщина стеклянной трубки (с — Ь)/а взята в качестве перемен-
ного параметра при Ь/а = Ъ и erg = ее3/е0 = 5. На рис. 1.11.7
параметром является диэлектрическая проницаемость, величина
Изолированные антенны 131
b/а по-прежнему равна 5, толщина стекла (с — b)/a= 1 для
левой части рисунка, а для правой части (с — Ь)/а = 3. Видно,
что и активная (О/Д2), и реактивная (В/Д2) нормированные
проводимости на входе зависят как от толщины стекла, так и
от его диэлектрической проницаемости. Чем толще стекло и боль-
ше его диэлектрическая проницаемость, тем значительнее их
влияние на адмитанс.
Более полные данные о влиянии стеклянной трубки на свой-
ства системы типа длинной линии можно получить, исследуя
изменения внутреннего импеданса на единицу длины z‘ = r^ —
—/х'всей внешней области, включая стеклянную трубку толщи-
ной (с — Ь) и бесконечно протяженную воздушную среду. Вели-
чина z‘3 играет существенную роль для всех электромагнитных
свойств антенны, в частности она определяет излучение энер-
гии, так как устанавливает связь антенны и слоя плазмы с окру-
жающей средой. Поскольку ни в стекле, ни в воздухе энергия
практически не поглощается, вся энергия, прошедшая через
слой стекла, должна излучаться в воздух. Следовательно, вели-
чина г‘3 характеризует излучение на единицу длины антенны
в слое плазмы.
Проводились расчеты зависимости внутреннего импеданса
2з в нормированном виде гз/со/е = гз/со/е —от толщины
стека (с — Ь). Внешняя индуктивность на единицу длины Iе
определяется по формуле Iе = (р/2л) 1п (b/а), а г* рассчитыва-
ется по формуле (11.15). Расчеты проводились для антенны со
следующими параметрами Ь/а = 5, а = 0,25 см; относительная
диэлектрическая проницаемость стекла изменялась в широких
пределах от erg — 1,5 до erg = 12; толщина стекла изменялась от
Нуля до (с— b) 1а = 18; рабочая частота f = со/2л = 1230 МГц;
Плазменная частота = шр/2л = 1200 МГц; отношение
(шр/ш)2 — 0,95. На рис. 1.11.8 приведены графики зависимости
хз/<п1е и гз/®1е от толщины стенки стеклянной трубки (с — Ь)/а
при erg в качестве параметра. Из графиков видно, что величины
Хз!®1е и Гз/®1в значительно отличаются от соответствующих
значений x\‘l<s>le и полученных при отсутствии стеклян-
ной трубки. Это различие объясняется многократными отраже-
ниями на обеих поверхностях стекла и явлением внутреннего
резонанса в стекле при его достаточно большой электрической
толщине fe3(c — b) — (о(рсобгг)1/2(с — Ь). Так как гз является
мерой излучения на единицу длины антенны, очевидно, что, из-
меняя электрическую толщину стекла, можно увеличивать или
Уменьшать величину излучения. Таким образом, при заданной
мощности на входе антенны можно управлять соотношением из-
лученной мощности к мощности, поглощенной пламой ]^за счет
6*
132
Глава 1
(c-b)/a
Рис. 1.11.8. Нормированный импеданс на единицу длины Zj = на
внутренней поверхности стеклянной трубки.
столкновений) и неидеально проводящей антенной. Перераспре-
делять мощность можно, изменяя отражение на границе раздела
плазмы и стеклянной трубки, окруженной воздушной средой.
Когда здесь происходит значительное отражение вовнутрь,
к. с. в. тока в антенне велик, и большая часть мощности, подве-
денной к ее зажимам, поглощается в виде тепла в плазме и в
проводнике антенны. Если же отражение вовнутрь на границе
раздела при р — b мало, мощность, излучаемая на единицу
длины антенны, увеличивается, а к. с. в. тока в антенне умень-
шается. Заметим, что в обычной изолированной антенне, поме-
щенной в воду, можно аналогичным образом воздействовать на
долю излучаемой энергии, увеличивая или уменьшая толщину
слоя изолирующего воздуха. При большой толщине изолятора
к. с. в. тока велик, энергия в основном поглощается в омиче-
Изолированные антенны
133
Рис. 1.11.9а. Влияние толщины стенки (с — Ь) и диэлектрической проницае-
мости е,е стеклянной трубки на волновое число kt = Pt + Io.l-
ском сопротивлении проводника антенны; при тонком слое изо-
лятора к. с. в. имеет малую величину, большая часть энергии
передается в окружающую антенну воду и там распространяется
в виде энергии излучения.
Комплексное волновое число &т = Рт + 1'ат, определяющее
распределения тока и заряда вдоль антенны, в большой степени
зависит от внутреннего импеданса на единицу длины г* внешних
сред антенны (стекло — воздух). Если потери на излучение
в воздух и на столкновения в плазме сравнительно малы, фазо-
вая постоянная [Зт определяется главным образом величинами
х^,(й1е и a>cL, где cl = 2пЕе2/\п(Ь/а)— емкость на единицу длины.
При тех же условиях коэффициент затухания ат определяется
в основном членами^, и gL, где gL== 2лое2/1п(Ь/а)— прово-
димость на единицу длины. Величина gL связана с частотой
столкновений через вещественную эквивалентную проводимость
плазмы ое2- Когда частота столкновений мала, коэффициент за-
тухания ад почти полностью определяется излучением; при бо-
лее высоких частотах столкновений потери в плазме сравнимы
с потерями на излучение. Поэтому было построено два ряда
графиков зависимостей для различных значений v/cop. На
Рис. 1.11.9а величина v/wP== 0,001 достаточно мала, и основной
134
Глава t
О 4 8 12 16
(с-Ь)(а
Рис. 1.П.96. Влияние толщины стенки (с — Ь) и диэлектрической проницае-
мости егг стеклянной трубки на волновое число йг. = fJz. + iaz..
причиной затухания является излучение. На рис. Ш.96 вели-
чина v/cdp = 0,025 находится в диапазоне значений, где общее
затухание в значительной степени определяется столкновениями
в плазме и излучением. Видно, что графики на рис. l.ll.9a
и Lll.96 в общем сходны с графиками Xj/cof на рис. 1.Н.8,
а графики aL на рис. l.ll.9a и 1.П.96 — с графиками гЦа>1е на
рис. 1.11.8. При увеличении частоты столкновений от очень ма-
лого значения (v/®p = 0,001) к более реальному значению
(v/wP = 0,025) главным образом повышается величина ад, а об-
щий характер этих кривых меняется сравнительно мало. Вели-
чина при этом меняется незначительно,
Глава 2
НЕИЗОЛИРОВАННАЯ АНТЕННА В ВОЗДУХЕ
И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
2.1. РАЗОМКНУТАЯ ДВУХПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ
И ДИПОЛЬНАЯ АНТЕННА В ВОЗДУХЕ
Характеристики изолированной антенны в различных сре-
дах и при самых разнообразных условиях были получены выше
непосредственно из теории коаксиальной линии. Формально ток
в центральном проводе определялся по простой формуле для
длинной линии, для которой были заданы константы линии или,
что равносильно, ее комплексное волновое число и волновое
сопротивление. Может показаться, что токи в неизолированном
металлическом диполе, окруженном материальной средой, рас-
пределены подобно токам в разомкнутой двухпроводной линии,
из которой можно получить диполь, если развернуть провода на
длине h, как показано на рис. 2.1.1. Однако это не так. Разомк-
нутый на конце отрезок двухпроводной линии и развернутый
отрезок, образующий диполь, имеют совершенно различные рас-
пределения тока. Чтобы понять причину этого различия и найти
распределение тока в диполе, следует вывести выражения для
распределений тока в обоих случаях, пользуясь общим методом.
На рис. 2.1.1, а показан отрезок разомкнутой двухпроводной
линии, который превращается в диполь с симметричным воз-
буждением от двухпроводной линии на рис. 2.1.1,6, если этот
отрезок развернуть на длине h. В целях упрощения укоротим
двухпроводную разомкнутую линию до длины h, как показано
на рис. 2.1.1,в; тогда из нее образуется диполь с симметричным
возбуждением от источника, показанный на рис. 2.1.1,а. Задача
состоит в том, чтобы найти распределения токов в двух проводах
при их различном взаимном расположении. Провода предпола-
гаются электрически тонкими, а расстояние между проводами
в двухпроводной линии — электрически малым. Кроме того, счи-
тается, что длина проводов велика по сравнению с их радиусом
« и расстоянием между проводами линии Ь. Это позволяет на-
писать условия для линии
(Роа)2 < (₽0b)2 < 1, а < b < h, (1.1а)
и антенны
(р0а)2<1, a<^h. (1.16)
136
Глава 2
+ i
в
г
Рис. 2.1.1. а —отрезок двухпроводной линии; б — развернутая двухпроводная
линия, из которой образуется дипольная антенна; в — разомкнутый на конце
отрезок двухпроводной линии длиной h с питанием в начале линии; г — ди-
польная антенна длиной 2Л с питанием в центре.
Основное условие, определяющее распределение тока, состоит
в равенстве нулю тангенциальной составляющей электрического
поля всюду на поверхности проводников. Для тонких проводов
это приводит к условию Ех(а, х) = О на поверхности двух про-
водов на рис. 2.1.1, в и к условию Ег(а, г) = 0 на поверхности
провода на рис. 2.1.1,г. Введение скалярного и векторного по-
тенциалов и решение однородных волновых уравнений, которым
эти потенциалы удовлетворяют во всех точках вне проводов,
приводят к следующим интегральным уравнениям для тока в
верхнем проводе разомкнутой линии и диполя (на рис. 2.1.2,а,б
верхние провода обозначены цифрой /):
h
lix(x')KL(x, x')dx' = (t4«/^)[CLcosp0x + (Vo/2)sin Рох], 0-2)
о
h
^Iu(z')KA(z, z') dz'= (i4n/^0) [Сл cos Poz(Vo/2) sin Рог]. (1.3)
О
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
137
Рис. 2.1.2. а — отрезок разомкнутой линии; б — секция дипольной антенны.
Ядра этих уравнений соответственно равны
KL(x, х') = е1^/^-е^ь/1^ь> (1.4)
КА (z, z') = eiM'/Rt + el^/Ra, (1.5)
а расстояния
/?а = [(х-х')2 + а2]'/2, /?6 = [(х-х')24-62]"2, (1-6)
/?, = [(?-г')2+ а2]'/2. R2 = [(г + г')2 + а2]!/2. (1.7)
Токи в нижних проводах получаются из следующих условий
симметрии:
Лх (*) = — Лх (*)> /2х(~ г) = /1г(г). (1.8)
Теперь задача сводится к решению интегральных уравнений
Для токов и одновременному нахождению неизвестных постоян-
ных Cl и Са из граничного условия /(/?) =0 на концах x = h
и |г| =h проводов. Из-за сложного выражения ядер эта задача
Непроста. Однако возможен процесс аппроксимации, дающий
вполне удовлетворительные решения низких порядков. Хотя ре-
шение уравнения (1.2) для двухпроводной линии можно провести
быстрее, чем уравнения (1.3) для антенны, мы будем искать
Решения одинаковых порядков для обоих случаев, чтобы про-
вести их сравнение и подчеркнуть их важные сходства и раз-
личия,
138
Г лава 2
Первый шаг решения представляет простую перестановку,
которая выполняется вычитанием из обеих частей значений ин-
тегралов на концах x = h и [z| ==й. В результате будем иметь
h
J /u (х') KLd (х, х') dx' = (i4n;/g0) X
О
XKcosfVH- (Vq/2) cos рох + t/L], (1.9)
h
J Лг (s') KAd (г, г') dz' = (i4n/£0) X
0
XfocosIV + CVo/ShinPoz + L'J, (1.10)
где разностные ядра равны
KLd (х, х') = KL (х, х') - KL (h, x'), (1.11)
KAd(z, z') = KA(z, z')-KA(h, z'). (1.12)
Константы U зависят от распределений токов и равны следую-
щим интегралам:
h
UL=J^\liAx')KL(h, x')dx', (1.13)
О
h
UA = ^-\ll2^')KA(h,z')dz'. (1.14)
о
Постоянные CL и СА можно теперь выразить через U, полагая
х = h. в (1.9) и z — й в (1.10). В результате получаем
CL — ~ [t/д + (VS/2) sin Ml/cos рой, (1.15)
CA = - + (Vn/2) sin M]/cos рой. (1.16)
Подстановка этих величин в уравнения (1.9) и (1.10) соответ-
ственно дает
h
Ля (х ) Кда (х, х ) dx —
о
= f К^о/2) sin Ро (й — х) 4- UL (cos рох — cos рой)], (1.17)
COS ро^
h
J /1г (S') К Ad (^> Z')dz' =
О
= sin Ро(й-г)4-//д(cos р^-cos рой)]. (1.18)
^0 COS ррЦ
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
139
Эти уравнения для токов 11х(х) в верхнем проводе двухпровод-
ной линии и Iiz(z) в верхнем проводе антенны формально сов-
падают, так же как и связанные с ними уравнения (1.13) и
(1.14) для Ul и Ua- Они отличаются только видом разностных
ядер KLd(x, х') и K.Aa(z, z') и членов Kl (h, х') и Ка (h, z') под
интегралами для Ul и Ua. Однако из рассмотрения приближен-
ных решений станет очевидным, что эти различия имеют перво-
степенное значение.
Рассмотрим сначала уравнения (1.17) и (1.13) для тока в
длинной линии. Они содержат
^Ld(x, х')
el$oRa e{$oRb
Ra Rb
- /Q (h, х'),
KL(h, х')
e‘Wah el№bh
Rah Rbh
(1-19)
(1-20)
где Ra и Re определены в формулах (1.6) , а
RaH = [{h-x'f + a2]'12, Rbh = [(h-xy + b2]1'2. (1.21)
При выполнении неравенств (1.1а) из формул (1.21) следует,
что Rah « Rbh всюду, кроме значений х', очень близких к от-
крытому концу х = h, с точностью до расстояний порядка не-
скольких значений Ь. На всей длине линии, за исключением ко-
роткого отрезка вблизи ее конца, Rah « Rbh, так что Kl(/i, х') х
яОи KLd(x, х') « Kl(x, х'). Отсюда следует, что UL ~ 0, и
формула (1.17) упрощается до приближенного уравнения
* Г ,»Л -I2«vj.lnpo(»~x)
------ё— ' (L22)
о а о
Дальнейшее упрощение возможно, если учесть, что Ra « Rb и
подынтегральное выражение обращается в нуль, когда расстоя-
ние х' от х превышает несколько значений Ь. Поэтому замет-
ный вклад в интеграл вносят только значения х', очень близкие
к х, а именно когда расстояние х' от х не превышает нескольких
значений Ь- В этой области fi0Ra < ?>oRb & Роб <С 1. Отсюда
exp(tp0/?a)^ 1 и ехр(1'Ро/?б) « 1 на всем интервале значений х',
близких к х и вносящих заметный вклад в величину интеграла.
Итак, поскольку можно ограничиться значениями х', близкими
к х, и Лх(х') пренебрежимо мало изменяется на электрически
коротком расстоянии Роб, на значительной области интегриро-
вания 1\х{х') « 1\х(х). При этом формула (1.22) упрощается
к виду
Ilx 5 ( Ra
1 \ , — 12 л У® sin р0 (А — х)
-и- I ах ==------------г------х—.--------
J L cos fkft
(1.23)
140
Глава 2
Интеграл в (1.23) можно вычислить в конечном виде следующим
образом:
— । dx' — 2 In (ft/а) — In
Rb /
% + (%2 + г>г)1/2 ~|
х 4- (х2 -р a2)112 J
Г h- x + [(h-x)2 + ft2]1'2]
L h - x + [(h - x)2 + a2]112 ]'
(1-24)
Второй член в правой части имеет значение только на расстоя-
ниях от конца линии х = 0 второго порядка малости относитель-
но Ь, третий член в правой части существен только на расстоя-
ниях порядка b от открытого конца. Таким образом, оба этих
члена представляют собой концевые поправки, действующие
непосредственно вблизи одного из концов двухпроводной линии.
Всюду в других точках линии эти члены пренебрежимо малы,
и формулу (1.23) можно записать в окончательном виде как
, — IV п sin Bn (й — х)
Лх(*) =-----F-drb------' ^(х) = -Лх(х), (1.25)
CUb роп
где Zc = (£0/n)ln(6/a) » 1201n(b/a) Ом. (1.26)
Адмитанс на входе определяется выражением
r = (-i/Zc)tgM- (1.27)
Заряд иа единицу длины равен
<7. 92(x)==_9i(x)j (L28)
где с = лео/ln (b/a) — емкость на единицу длины линии. Форму-
ла (1.25) представляет собой выражение для тока в абсолютно
проводящей разомкнутой линии с точностью до поправок, вли-
яющих только на очень малых расстояниях от концов линии.
Эти поправки также не учитываются формулой (1.25) для тока,
выведенной обычным способом для двухпроводной линии в
воздухе.
Приближенное решение уравнений (1.18) и (1.14) для тока
l\z(г) в верхней половине антенны можно получить аналогично,
но результаты оказываются неизбежно более сложными, по-
скольку ядро в (1.18) не допускает таких же последовательных
упрощений, как ядро в (1.17). По аналогии с формулами (1.19)
и (1.20) в подынтегральных выражениях появляются следую-
щие функции:
KAd (г, z') = el^/R\ + e^/R2 - КА (h, z'), (1,29a)
KA(h, z'j^e^h/R^ + e^h/R^, (1.296)
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
141
где Ri и /?2 определены в формуле (1.7), а
= + R2h = [(h + zy + a2\'12. (1.30)
Первый шаг в получении приближенного решения (1.18)
состоит в разделении ядра в (1.29а) на вещественную и
мнимую части. Таким образом, Клй(г, г') == ^ая(г, г') —
— iKAai(z, z'), KA(h, z') = KAR(h, z’) — iKAi(h, z'), где
г') = cos р0/?1 cos р0/?2 Z?i 1 Ri KAR(h> z )> (1.31a)
KAdl (z, z') = - Г sin р0/?1 , sin р0/?; L /?1 1 R2 Хл/(/г, г')], , (1.316)
KAR(h, _ cos 0(Лй , cos in (1.31b)
KAI (h, z') _ Г sin p0/?lft , L Rin 1 sin ] R2h J’ (1.31г)
После такого разделения интеграл /(ft, z) в левой части
(1.18) можно представить в виде двух интегралов:
h h
Ji(h, z)=\/iz(z')KAdR(z, z'}dz' = J Iz{z')KdR(z, z')dz', (1.32a)
0 -h
h
J2(h, z)= J Ilz(z') KAdI(z, z')dz'. (1.326)
о
В правой части формулы (1.32а)
cos В„/? cosBn/?A _____
KdR(z,z} =—--------------(1.33)
где R = [ (г — г')2 + а2]!/2, Rh~[(h— z')2 + а2]1/2 при
—h О z' С ft-
Интеграл в формуле (1.32а) можно приближенно вычис-
лить, если принять во внимание некоторые свойства подынтег-
рального выражения. В области интегрирования по z' от —h до h
величина Хая (z, г') резко возрастает до очень большого пико-
вого значения при z'= z ввиду большого значения величины
(cos р0/?)/₽0Х = 1/₽оо в этой точке. Это следует из малости
электрического размера радиуса провода (р0<2<С1)- Осталь-
ные члены сравнительно малы при z' — z. В результате /2(2')
•В (1.32а) умножается на весовую функцию, достаточно малую
142
Глава 2
О
'I
всюду, кроме узкого интервала г — д г'г6, где 6 — ма-
лая величина. Отсюда следует, что
Л (h, z) « J /г (zz) KdR (z, z') dz'
z-Й
h
~/г(г) J KdR(z, z')dz' ~ lAz^dR, (1-34)
-h
где ЧАя — постоянная, которую нужно определить.
Интеграл 72(/г, z) в формуле (1.326) не похож на h(h, г).
При г' = г ни один из членов в (1.316) не становится большим.
Функция практически сохраняет свою величину, если во всех
членах пренебречь величиной а. Таким образом,
R- '/r ~ Г sin ро (z — z') . sin po (г + z')
Po КлаЛ2- 2)~ [ р0(г-г') + Мг + z')
_ sin p° o —г,) _ sin о + г'ц /I
Po (h — г') Po (h + z') ] '
и не становится большой величиной при любых значениях г'.
Если электрическая длина половины антенны р0/г ограничена
условием (30/г 5л/4, то можно применить приближение
(sin 2p0/i)/2p0/i = (2 sin р0/г cos fioh)/2р0/г ~ cos р0Л и такие же
приближения для четырех аргументов в (1.35), после чего по-
лучим
Ро 'кA dl (z, z') ~ — [cos '/2р0 (z — z') + cos '/2р0 (г + z') —
— cos 72₽о (й — г') — cos 72р0 (Ji + z')] =
= — 2 cos J^z' (cos 72poz — cos 7г₽о^)- (1.36)
Отсюда следует, что
J2 (h, z) ~ Jo (cos 72Poz — cos 72M), (1.37)
где постоянная амплитуда /0 определяется формулой
h
/0 = — 2р0 /1г(г') cos l/&oz'dz'. (1.38)
О
Как и постоянная Ч7 в формуле (1.34), /о зависит от распре-
деления тока.
Подставляя выражения (1.34) и (1.37) в интеграл левой
части (1.18), получаем
11г rov7~~T^poh Isin Ро (Л — z) + Л/ (COS poz — cos poft) +
4-Tp (cos 7^02 — cosVaPoft)], /2г(~ z) = /12(z). (1.39)
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
143
Постоянные Ти и TD можно выразить непосредственно через
Va и /о. Более высокую точность можно получить, если ис-
пользовать формулу (1.39) только для определения формы
распределения тока, а коэффициенты Ти и TD найти непос-
редственно подстановкой выражения (1.39) в формулы (1.18)
и (1.14). Это приводит к трем алгебраическим уравнениям [1]
и дает следующие выражения:
Ти = Q~ ’ (Л) >VdD + (h) ад], (1.40а)
TD = iQ~ ‘ {4dI [WdUR cos p0A - Ty (A)] + Tr (A) Wdul}, (1.406)
Q = [адй cos p0A - (A)] - ZTD (A) WduI. (1 .40b)
Несколько функций T в формулах (1.40а) — (1.40в) опреде-
ляются следующим образом:
( zm = 0, р0А X л/2,
Т^=ад(2т), 12т = /г_Ло/4> $oh>ni2, (1,41а)
h
ад(z) = cosceр0(А — |г|) j sin р0 (А — |z' | )Х
-h
X[KR(z, z') — KR(h, z')]dz', (1.416)
h
ад = (1 — cos '/гРо/г)-' j sinP0(A —|z'|)X
— h
XK/(0, z') — /(ДА, z')]dz', (1.42)
h
= — cosPoAf1 (cosp0z' —cosp0A)X
-ft
X\KR(Q, z'~) — KR(h, z')]dz', (1.43a)
ft
^dui = (1 — cos '/гРсЛГ' 5 (cos poz' — cos p0A) X
-h
x lKr (0, z') - K, (h, z')] dz', (1.436)
ft
ад> — (1 — cos ’APoA)-1 (cos 'APoZ' — cos УгРоА) X
-ft
X [tf (0, z') - к (A, z')J dz', (1.44)
ft
TK (A) = cosp0(A — | z'J) ft (A, z') dz7, (1.45a)
-ft
144
Глава 2
x¥u(h')= j (cos Вог' — cosp0/2)A (A, z')dz’, (1.456)
-h
h
(h) = (cos '/&oz' — cos '/2р0Л) К (A, z') dz'. (1.45b)
-h
В этих формулах
К (z, z')=-KR(z, z') — iK]{z, z'), где (1.46a)
KR (z, z') = (cos $aR)/R, K, (z, zz) = — (sin $0R)/R
при R = [(z — z')2 -j- а2] Ч2. Интегралы, входящие в предыду-
щие формулы, можно вычислить, применяя цифровую технику
на быстродействующей ЭВМ или выражая их через табули-
рованные значения функций интегрального синуса и косину-
са [2].
Адмитанс диполя определяется по формуле
Y [sin р0/г + Т’ц (1 — COS рой) -ф TD (1 - cos ‘/2р0й)].
(1-47)
Заряд на единицу длины антенны равен
(2) = yj 73sp0ft' tcos ₽о(й - г) + Ту sin рог -j- (TD/2) sin ]/2Poz],
(1.48а)
9г(—z) = —9i(z). (1.486)
Выражения (1.39), (1.47) и (1.48а) становятся неопреде-
ленными при рой —л/2. В случае когда рой равно или близко
к л/2, нужно перейти к формулам
/2лРо
Лг (z) = -Гт К sin рог — sin рой) ф- Ту (cos рог — cos р0Л) —
Ф1 dR
— T'D (cos '/грог — cos '/грой)], (1.49)
K = T^-[- sinp0A + Tb(l -со5р0й)-Т1>(1 -cos'/гРой)],
(1.50)
qx (г) =-^p^-[cos рог — Т’и sin Вог + (Tb/2) sin '/2P0z]. (1.51)
dR
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
145
Новые параметры Т'и и Гд определяются следующим об-
разом:
Т'и — — (Ти + sin (30Zt)/cos poft, T'D = TD/cos Р0Л. (1.52)
Если poft = л/2, то Чаш = 47/, Wu(h) = Y (ft). От-
сюда следует, что
т, _ + Л)-5а(Л, А)]
1 и =------------------------------
(1.53)
Т'о
Vv^ + 'W)’
(1-54)
где С = 3,41 {Са (h, h) Im [Еа (ft, 0) — Еа (h, ft) — Sa (h, h)\ —
-[Ea(ft, h)-Sa(h, ft)] Im [Co (ft, 0)-Ca(h, ft)]}, (1-55)
h
Ca (h, z) = cos poft exp (i$0R)/Rdz',
-h
h
Sa (h, z) = sin p01 z' | exp (i$0R)/Rdz',
-Л
h
Ea (h, z) = exp (i$aR)IRdz',
-h
R = [(z — z')2 + a2]l/2.
Формулы (1.25) и (1.39) для распределений токов вдоль
разомкнутого отрезка двухпроводной линии рис. 2.1.1,в и вдоль
тех же проводников, раздвинутых и образующих дипольную
антенну (рис. 2.1.1, а), имеют важные сходства и различия.
Вместо обычного волнового сопротивления Zc = (?о/л) In (b/d)
длинной линии, не зависящего от длины линии и частоты,
антенна характеризуется величиной ^о^ак/^л, которая зависит
от длины 2ft, радиуса провода а, а также от частоты, вхо-
дящей в функцию WdR из (1.41а,б). Ток в длинной линии опи-
сывается одним членом sin Ро (ft— |z|), а выражение для распре-
деления тока в антенне содержит этот член и еще два других:
сдвинутый косинус COS0oZ—cospoft и сдвинутый косинус поло-
винного аргумента cos '/2PoZ — cosJ/2Poft. Физический смысл
этих нескольких членов становится понятным из рассмотрения
определяющих их условий.
Основной факт, обусловливающий простую формулу для
тока в длинной линии,— это независимость тока в любой точ-
ке линии от токов в других точках, за исключением ближар-
146
Глава 2
ших точек. Такая независимость получается в результате вза-
имной компенсации влияний близко расположенных равных
и противоположно направленных токов. Распределение
sin(30(/z — |z|) задается полем, создаваемым источником в
центре сложенной линии. Это распределение непрерывно на
входе линии, но его производная, пропорциональная заряду на
единицу длины и разности потенциалов, имеет разрыв на вхо-
де линии.
Состоящее из трех членов выражение распределения тока
в антенне (1.39) можно теперь просто объяснить. Член
sin Ро (Л — |г|) соответствует току в длинной линии и так же,
как в разомкнутой линии, задается полем, создаваемым ис-
точником в центре антенны. Этот член непрерывен в центре
антенны, но его производная, пропорциональная заряду на
единицу длины и напряжению на входе, имеет разрыв. Одна-
ко отличие от длинной линии возникает потому, что токи и
заряды в достаточно далеких точках антенны взаимодейству-
ют, а в длинной линии такого взаимодействия нет. Тангенци-
альное поле, направленное вдоль антенны и вызванное всеми
токами, имеет значительную часть, постоянную по амплитуде
и одинаковую по фазе во всех точках антенны. Эта часть поля
вызвана составляющей тока, описываемой сдвинутым косину-
сом. Вследствие конечной скорости распространения электро-
магнитных эффектов к однородной части поля на антенне не-
обходимо добавить корректирующий член — сдвинутый коси-
нус половинного аргумента,— который учитывает временную
задержку взаимодействия на расстоянии. Две составляющие со
сдвинутыми косинусами не зависят от условий на входе антен-
ны. Обе эти составляющие, а также их производные сохраняют
непрерывность на входе антенны. Более того, в точке z — О
обращаются в нуль производные этих двух составляющих тока,
а также связанные с ними части заряда на единицу длины.
Распределения тока и заряда, рассчитанные по формулам
(1.25) и (1.28) для двухпроводной линии при выполнении ус-
ловий (1.1а) и без учета влияния коротких участков вблизи
концов, настолько хорошо совпадают с результатами измере-
ний, что ими часто пользуются для калибровки приборов. Зна-
чительно менее точны соответствующие выражения (1.39) и
(1.49) для Лг(г) и (1.48) и (1.51) для <?|(г) дипольной антен-
ны. Эти выражения дают хорошие приближения низкого по-
рядка и далеки по точности от эквивалентных формул для длин-
ной линии, что можно видеть из графиков распределений тока
и заряда вдоль полуволнового диполя и диполя длиной в одну
волну на рис. 2.1.3—2.1.6. Здесь приведены теоретические зна-
чения вещественной и мнимой составляющих тока и заряда
(напомним, что / =—Г), а также соответствующие измеренные
Рис. 2.1.3. Распределение тока вдоль полуволнового диполя.
Z (г)/И*=/"(г)/У* + //(г)/1'£. 2 = 2 1п 2Л/а = 8.51, аД=7,022-10~3, М = л/2
—-------------теория (трехчлен); ------измерения Мака.
Рис. 2.1.4. Распределение заряда на полуволновом диполе.
1 (г)/У«= /" {г)/Уе0 + //' (zVV«,
Й=»21п2Л/о=8,54. а/Л = 7,022-10-3,
cq (if/V^jC/V^ Iq" (г) + jq <г)].
(З.Д=л/2, q' (г) — (1/и>> Id/' (z)/dz]
q" \ЛГ lz)ldz}
теория (трехчлен);------no измерению наклона экспериментальных кривых.
Рис. 2.1.5. Распределение тока вдоль диполя длиной в одну волну.
/2(Z)/V®=/"(Z)/V« + jl'z (z)/V« 2 = 2 1n 2/i/a=9,92, a/!i = 7,022-10 ~3, р0Д=л.
---------------- теория (трехчлен); X, ° измерения Мака.
cq.(z)
— „ , отн. ед.
Vo
Рис. 2.1.6. Распределение заряда на диполе длиной в одну волну.
I (г)/У^= l" (z)/V^ + jl' cq{z)/V^ = ^jc/V^ [q" (z) + jq' (г)], q' (г)=(1/ш) [di' (z)/dz],
q"iz)={4<a)ldl"(z)ldz], ₽Л-=Л, a/X = 7,022.10~3, Я = 2 In 2ft/a=9,92.
-- - теория (трехчлен); — — — по измерению наклона экспериментальных кривых.
Рис. 2.1.7. Распределение тока вдоль полуволнового диполя. Q = 10 12;
= л/2.
- теория (синус);-----измерения Морита.
Рис. 2.1.8. Распределение заряда на полуволновом диполе. Й = 10,12;
= л/2.
----- 1еорня (синус);------измерения Морита.
I
I
1
Реактибная прободимость , мСм
Актибная прободимость, мСм
Рис. 2.1.11. Адмитанс цилиндрической дипольной антенны в воздухе. а/Х 0,007022, а/3 0.
—— теория (Кинг. Саидлер и By); о, X измерения Мака.
152
Глава 2
значения. Совпадение с теорией вполне удовлетворительное
всюду, кроме участков, близких к разомкнутому концу и ко
входу антенны, где существенную роль играют краевые.,эффек-
ты, не учитываемые теоретическим решением низкого порядка.
Интересно отметить, что токи и заряды, рассчитанные по фор-
мулам с тремя членами, дают намного лучшее приближение, чем
токи и заряды, рассчитанные по формулам с одним первым си-
нусным членом. Это видно на рис. 2.1.7—2.1.10, где измеренные
распределения тока и заряда сравниваются с простой синусои-
дой. Из рис. 2.1.7 видно, что при рой = л/2 распределение тока
по синусу является неплохим приближением. С другой стороны,
на рис. 2.1.8 можно увидеть, что предположение о косинусои-
дальном распределении заряда приведет к чрезвычайно плохим
приближениям для амплитуды и фазы-
На рис. 2.1.9 и 2.1.10 приведены графики для случая Рой =
— л. При такой длине диполя синусоидальное распределение
оказывается плохим приближением для тока и несколько луч-
шим для заряда.
Выражение из трех членов (1.47) для адмитанса диполя с
питанием в центре иллюстрируется рис. 2.1.11 [3]. Совпадение
с экспериментом оказывается хорошим, за исключением неболь-
шого отклонения по величине реактивной проводимости (кото-
рое легко устраняется эмпирически).
Электрическое поле в дальней зоне, т. е. его меридиальная
составляющая, просто вычисляется из следующего выражения
с интегралом от Iz(z'):
.д h
ffillln д^РОАО Q
E^-^sin©^- V2(2)^zp»2'coseaz'. (1.56)
- h
Величина Ro есть радиальное расстояние от центра антенны до
точки, где определяется поле. Если использовать трехчленное
выражение для тока, то
__уе
Ев = (0’ Р°/г) + TuG" (0-b'h> + (0. РоА)1,
(1.57)
г? ег\ о COS (роА COS 0) COS РоА г-г»ч
где Fm (0, р(,й) =---------------------, (1.58)
„ ш ОМ sin р0А cos (р0А cos 0) ccs 0 — cos р0А sin (Р0А cos 0)
Gm (0, рой) = ------------------sin © cos 0--------------- (1 -59)
М /М О IA [2 cos (PoAcos0) sin'/гроА — 4 sin (p0A cos0) cos'/2P0A cos 0
Z)m(0, Рой)=[----------------------[ — 4 cos2 0-------------------’
sin (рр/г cos 0) cos'/зРр/г 1
COS 0 JbHlV. Щ.ОО/
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
153
Если взять формулу (1.49) для тока в антенне при рой, равном
или близком к л/2, то получается выражение для поля
Ere=" f'(Q, р0А), где (1.61а)
dRK0
f' (0, Р0А) = Hm (&, М + TbGm (&, р0А) - T’nDm (0, РоА). (1.616)
Функции Gm(0, Рой) и Dm(Q, Рой) определены в формулах (1.59)
и (1.60), а новая функция
и ir\ о r\ [1 — cos р0Л cos (Во/г cos©)] cos 0 — sin Зо/г sin (Р0Л cos 0)
(0, Рой) = ------------------sin© cos 0----------------- •
(1.62)
2.2. РАЗОМКНУТАЯ ДВУХПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ
И ДИПОЛЬНАЯ АНТЕННА В БЕСКОНЕЧНОЙ
ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Разомкнутую двухпроводную линию или диполь с питанием
в центре можно поместить в бесконечную однородную изотроп-
ную среду, электрические свойства которой характеризуются ве-
щественной эквивалентной проводимостью ое, вещественной эк-
вивалентной диэлектрической проницаемостью ее = вовег и маг-
нитной проницаемостью ц0. Теорию для двухпроводной линии
в такой среде несложно получить обобщением теории для такой
же линии в воздухе, а теорию для диполя следует существенно
изменить. Теперь волновое число для окружающей среды имеет
вид
& = Р + = рХ'/О +фе)1/2, Ре = <Гв/<08в, (2.1)
а волновое сопротивление
Z = [р/(8е + /Ч/®)]7’- (2.2)
Условия (1.1) из разд. 2.1 заменяются на
I ka |2 < | kb |2 < 1, а < b С А, (2.3а)
для линии и на
I ka |2 С 1, а <£. А, (2.36)
для антенны. После подстановки k и £ вместо Ро и So можно
применить интегральные уравнения (1.17) и (1.18) из преды-
дущего раздела.
Чтобы получить решения
— iVen sin k (h — x)
I\x (x) = cos kh • fix W = ~ fix (*)> (2.4)
Zc = (S/л) In (b/a) ~ 120 (ser + zoe/®80)1/2 In (b/a) (2.5)
154
Глава 2
путем подстановки k вместо Ро и £ вместо £0 в решении (1.25)
и (1.26) из разд. 2.1, нужно чтобы остались допустимыми все
приближения (1.22) —(1.24). Степень приближения зависит от
скорости убывания величины exp (ikRa) /Ra — exp (ikRb) /Rb при
удалении x! от x. Поскольку токи и заряды в симметричных
проводах остаются равными и противоположно направленными,
эффекты вычитания сохраняются. Быстрое убывание с рассто-
янием величин exp(f£/?a) = ехр(—aRa)exp (ifiRa) и exp (ikRb) =
= exp (—а/?й)ехр(ф/?б) подчеркивается добавлением экспонен-
циально убывающих множителей ехр(—aRa) и ехр(—aRb). Сле-
довательно, хорошее приближение для двухпроводной линии в
воздухе преобразуется в еще более точное приближение для
линии в среде с отличной от нуля вещественной эквивалентной
проводимостью. Поэтому решение (2.4), (2.5) справедливо
для двухпроводной линии в проводящей диэлектрической
среде.
Неожиданным может показаться тот факт, что подстанов-
кой k вместо р0 и £ вместо в формулу (1.39) нельзя восполь-
зоваться, чтобы получить приближенную формулу для тока в
диполе с питанием в центре, если диполь находится в среде,
слабо проводящей. Дело в том, что в случае поглощающей
среды область больших значений Kdn(z, z') в формуле (1.32а)
больше не ограничена окрестностью точки z' — z, а приближе-
ние, допущенное в выражении (1.34), основано на наличии локаль-
ного максимума вблизи z’ — z. В частности, при exp(ikR)/R =
= (cos kR + i sin kR)/R рассмотрение главного члена (cos kR)/R=
= [cos (p -ф »a) #]/# = [cos P# ch aR — i sin p/? sh a/?] /R показы-
вает, что пока существует острый пик при z = z'', т. е. при
R = а, гиперболические функции быстро возрастают с увеличе-
нием аргумента. Отсюда следует, что только при достаточно ма-
лом а, таком что aR 1 во всей области интегрирования, можно
утверждать, что на величину интеграла существенно влияют зна-
чения подынтегральной функции лишь в малом интервале z' вбли-
зи z. По этой причине следует воспользоваться другим возмож-
ным выражением exp (ikR) /R = exp (—aR) (cos p/? -ф i sin p/?) /R,
член которого exp (—aR) (cos $R)/R не дает пика при z' = z, и
подынтегральная функция может быть большой только на не-
большом участке интегрирования. Интегральное уравнение для
тока в диполе теперь запишется в виде
h
рг (zf) Ra (z, ?') dz’ = (— z4n/£ cos kK\ X
X [( Vo/2) sin k (h — I z I) -ф U (cos kz — cos kh)\, (2-6)
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
155
где Ка (z, z') = К (г, г') — К. (h, z'),
K(z, z') = eikR/R = e~aR[cos fiR/R + i (sin ₽/?)//?] =
= KR (z, z') — [К, (z, z'), (2.7a)
h
u = -^ \j2(z')K(h, z')dz', (2.76)
-h
/? = [(z— z')2 4- a2]l/2, £ = (ц/ё)1/2 = соц/ft и ft = p 4-га. Стро-
гое решение уравнения (2.6) низкого порядка приведено в час-
ти П. Формула низкого порядка для тока, полученная в части
II, весьма сложна, хотя содержит только тригонометрические
функции. Однако существует значительно более простая полез-
ная формула [4]. Эту формулу нельзя вывести чисто логичес-
ким путем, хотя можно разъяснить ее смысл н показать, что она
хорошо совпадает с более строгой формулой и результатами
измерений.
Простое приближенное решение уравнения (2.6)
можно получить, воспользовавшись поведением функции
ехр(—aR) (cos $R)/R в максимуме вблизи z'= z:
1г (z) ~ vvio^kh l(Vo/2) sin k (h — j z I) 4- U (cos kz — cos kh)\ —
h
lz(z')Rdf(z, z')dz'. (2.8)
—h
Разложение основного члена sin k(h — |z\) дает
sin [(P + ia) (h — | z I)] = [e~“ г 1 *ei|3 (/!-1 z 1 • —
— ea th -| г I )e-i0 (h—1 г | )j/2j «
ea (ft_iг 11 [1 — cos p (ft — | z |) 4- i sin p (ft — | г | )]/2z =
__ (Л-| г 1 y2] [(1 _ i tg Pft) sin p (ft — I г I) 4-
4- i (cos pz — cos pft)/cos pft], (2.9)
Второй переход в (2.9) основан на том, что при достаточно
большом а член exp[a(ft — |г|)] велик по сравнению с членом
ехр[—«(ft — |z|)] всюду, кроме области вблизи z — h, тце они
оба становятся равными единице. Поскольку в целом выраже-
ние мало вблизи z = ft и обращается в нуль при z — ft, прибли-
жения, допущенные в (2.9), можно считать приемлемыми.
[Следует заметить, что величина (2.9) обращается в нуль в
в точке г = ft благодаря единице, стоящей в квадратных скоб-
156
Глава 2
Kax.J Хотя полный параллельный вывод нельзя выполнить ни
для второго члена в (2.8), ни для интеграла в правой части,
можно допустить следующее разумное приближение для
распределения тока, особенно если <х/|3 не слишком малая вели-
чина:
/г(г) « е~а |г 1 [Л sin р (/г — | z |) + В (cos pz — cos p/i) +
+ C(cos'/2Pz — cos‘/гР/ОЬ (2.10)
где комплексные амплитуды А, В и С—постоянные, которые
нужно определить. Формула (2.10) представляет собой обоб-
щение трехчленного выражения для распределения тока вдоль
диполя в воздухе. В эту формулу входят вещественная фазовая
постоянная среды р и простой экспоненциальный множитель.
Поскольку выражение (2.10) не было получено решением урав-
нения (2.6), аналитических формул для комплексных коэффи-
циентов А = А,— [А/, В = В, — IB, и С = С, — iCt не сущест-
вует. Однако эти коэффициенты можно просто вычислить, если
подставить выражение (2.10) в интегральное уравнение (2.6).
Тогда А, В и С можно найти из системы полученных уравне-
ний для трех удобно расположенных точек z или применяя ме-
тод наименьших квадратов на интервале, равном длине антен-
ны. Если для распределения тока получено хорошее приближе-
ние, то выбор опорных точек не критичен. Шесть коэффициентов,
полученных из шести уравнений, приведены в табл. 2.2.1 для
значений а/р = 0,016; 0,07; 0,106; 0,301; 0,592 и 0,972.
Графики распределений токов вдоль неизолированных ан-
тенн в поглощающей среде, рассчитанные по уравнению (2.10)
для различных длин и значений а/p, изображены на
рис. 2.21а — 2.2.1г. На этих же рисунках приведены теорети-
ческие значения, полученные на основании более строгой тео-
рии, изложенной в части II, а также результаты измерений.
Получено хорошее совпадение результатов. Распределения то-
ков, показанные на рис. 2.2.1а—2.2.1г, относятся к верхней по-
ловине диполя или к монополю с шестью различными значе-
ниями электрической длины, начиная с элементарных диполей,
длина которых значительно короче резонансной, и кончая ан-
теннами, длина которых значительно превосходит антирезонанс-
ную длину. На рис. 2.2.1а приведены графики для антенн в сре-
де с исключительно малым затуханием а/р = 0,07, поэтому за-
кон распределения тока очень похож на распределение тока
вдоль антенны в идеальном диэлектрике. На рис. 2.2.16 а/р —
= 0,301, на рис. 2.2.1в а/р = 0,592, на рис. 2.2.1г а/р = 0,972.
При возрастании затухания график распределения тока приобре-
Таблица 2.2.1. Таблица коэффициентов в выражении для тока в виде
произведения трехчлена на экспоненту [в(1/Л)(мА/B)]
(z) = е “ ' z ' [Л sin р(Л — |г|) + В (cos рг — cos р/г) ф- + C(cos рг/2 — cos р/г/2)
0h л. 4 Вг Сг G
0.315 0.016, а/Л 0.329 = 0.00273 10.008 -131.086 -3,856.570 517.394 15,203.398
0.324 0.315 9.761 -116.092 -3,412.407 457.901 13,448.901
0.486 0.252 7.701 -26.902 -699.929 104.947 2,706.135
0.648 0.238 7.117 -11.511 -246.977 44.918 929.667
0.950 0.295 7.925 -6.231 -73.605 26.437 258.820
0.972 0.305 8.088 -6.184 -69.227 26.570 242.064
1.296 0.941 14.704 -10.668 -40.174 61.153 129.880
1.550 11.256 167.385 -16.005 -173.685 49.339 49.344.
1.620 -3.725 -69.392 1.420 63.611 29.565 29.868
1.890 -0.369 -10.293 0.325 5.081 5.946 6.112
1.950 -0.300 -8.625 0.336 3.621 2.155 4.977*
2.160 -0.183 -5.524 0.311 1.227 1.663 3.400
2.250 —0.158 -4.808 0.292 0.773 0.619 3.085
2.700 -0.703 -3.099 0.228 -0.040 0.504 1.940
2.809 -0.098 2.914 0.223 -0.096 0.257 1.720
3.140 0.090 2.617 0.243 -0.165 0.164 1.166
а//? = 0.07, а/к = 0.00265
0.315 1.362 9.649 -535.864 -3,717.489 2,113.976 14,657.014
0.473 1.067 7.531 -113.532 -756.931 441.426 2,931.170
0.500 1.043 . 7.351 -93.065 -615.180 360.933 2,373.268-
0.630 0.976 6.859 -42.848 -266.679 164.534 1,007.679
0.946 1.047 7.424 -15.490 -72.538 61.608 254.519
1.261 1.282 11.979 -13.753 -37.197 68.953 103.744
1.550 8.619 171.108 -14.881 -177.833 46.986 6.757
1.620 -4.425 -72.001 0.282 66.375 33.038 0.615
1.839 -1.194 -12.764 -0.053 8.153 11.287 -0.041
1.950 -0.920 -8.889 0.151 4.605 7.181 0.374
2.101 0.708 -6.274 0.265 2.411 4.233 0.967
2.627 0.426 -3.257 0.348 0.430 0.996 0.950
2.809 0.390 -2.892 0.382 0.267 0.593 0.774
3.140 0.358 -2.557 0.497 0.130 0.093 0.485
Продолжение табл. 2.2.1.
Продолжение табл. 2.2.1.
Ph А, At В, В, С, ct /и Аг At Вг Bt Сг С,
«/Р = 0.106, а/Х = 0.00266 а//? = 0.592, а/Х = 0.0037
0.316 2.059 9.563 -807.608 -3,677.869 3,185.816 14,500.600 0.315 15.164 8.302 -7,101.012 -3,686.968 28,026.003 14,536.472
0.475 1.602 7.430 -168.853 -745.332 656.280 2,886.276 0.441 11.107 6.162 -1,832.852 -894.860 7,153.807 3,475.117
0.633 1.454 6.742 -63.056 -262.592 241.788 992.022 0.648 8.504 5.054 -445.815 -178.946 1,701.875 658.874
0.648 1.612 7.461 -68.451 -280.370 261.980 1,055.928 0.662 8.418 5.039 -414.932 -163.741 1,581.267 598.267
0.949 1.500 7.212 -21.837 -71.291 85.822 249.591 0.833 7.697 5.459 -159.324 -41.286 586.603 119.187
1.266 1.581 10.425 — 16.247 -36.557 74.977 103.674 0.975 7.851 6.079 -115.621 -23.385 415.686 47.345
1.550 12.143 171.862 -19.263 -178.469 46.123 7.862 1.324 14.266 14.057 -47.539 -9.388 124.042 -34.454
1.620 —6.184 -72.733 1.049 67.313 34.261 1.845 1.550 158.163 161.183 -174.044 -156.005 56.197 -33.050
1.846 -1.662 -12.632 -0.203 8.506 12.860 -1.077 1.620 -66.057 -67.216 53.434 72.006 43.666 -30.613
1.950 — 1.320 -9.030 0.055 5.195 8.634 -0.601 1.765 — 16.399. -16.508 8.673 20.300 25.185 -25.057
2.109 -1.017 -6.259 0.256 2.814 5.019 -0.034 1,950 -8.227 -8.134 4.333 10.611 11.295 -18.385
2.250 -0.853 -4.932 0.341 1.785 3.258 0.224 2.207 -4.788 -4.670 3.771 5.528 1.694 -11.000
2.637 -0,620 -3.233 0.470 0.675 1.031 0.310 2.250 - 4.469 -4.360 3.765 4.974 -0.741 -9.980
2.809 -0.570 -2.880 0.533 0.482 0.535 0.251 2.574 -2.967 -2.985 3.736 1.944 -3.173 -3.932
3.140 -0.512 -2.521 0.714 0.27-1 -0.123 0.146 ‘ 2.809 -2.403 -2.562 3.596 0.435 -3.844 -0.959
— 2.942 -2.188 -2.443 3.461 -0.289 -3.789 0.322
а/Д = 0.301, а/Х = 0.0028 3.140 -1.969 -2.386 3.185 -1.255 -3.350 1.772
0.315 6.068 9.145 -2,527.375 -3,727.793 9,973.325 14,702.280 —
0.337 5.736 8.646. -1,922.883 -2,826.444 7,574.270 11,125.056 «//? = 0.972, а/Х = 0.0072
0.506 4.385 6.644 -411.385 -580.630 1,595.505 2,240.303 0,315 70.874 -11.698 -39,846.552 8,118.895 157,151.512 -32,044.489
0.648 3.917 6.030 -176.281 -234.545 675.146 883.230 0.648 25.059 1.760 -1,422.695 203.070 5,372.317 -843.698
0.674 3.862 5.696 -155.226 -203.696 593.382 762.836 0.855 22.038 2.910 -467.162 122.238 1,668.799 -512.366
1.011 3.606 6.725 -50.351 -49.981 191.328 159.760 0.975 22.562 3.760 • -287.203 92.160 939.754 -392.926
1.348 5.519 15.702 -25.681 -25.101 87.705 22.263 ' 1.282 34.867 8.289 -108.979 38.856 252.337 -193.253
1.550 56.447 169.126 -67.360 -172.508 47.782 -2.088 1.550 410.734 110.326 -438.439 -85.074 83.697 -104.008
1.620 -24.858 -72.025 15.996 69.458 38.443 -5.068 1.620 -167.687 -46.122 146.150 67.413 62.168 -88.125
1.686 -10.933 -30.634 3.752 28.579 30.848 -6.574 1.709 -57.091 -16.318 41.592 33.236 41.654 -70.852
1.950 -3.698 -8.998 0.575 7.643 12.519 -6.728 1.950 -18.962 -5.844 12.918 14.369 11.040 -38-514
1.966 -3.567 -8.612 0.596 7.272 11.841 -6.625 2.250 -9.746 —3.438 8.363 5.444 -2.139 -15.414
2.247 -2.239 -4.874 1.084 3.559 4.119 -4.541 2.564 -6.408 -2.877 6.279 0.524 -4.611 -2.805
2.809 -1.343 -2.712 1.719 1.104 -0.948 -1.559 2.809 -5.222 -2.534 4.872 -1.853 -3.674 2.312
3.140 -1.103 -2.340 2.018 0.246 -1.854 -0.308 3..140 -4.514 -2.604 2.990 -3.949 -1.304 5.435
Рис. 2.2.1а. Распределение тока вдоль дипольной аитеииы в поглощающей
среде, а/р = 0,070; а/Х = 0,00265; Iz = /R(z) +
-----теория (трехчлен, умноженный на экспоненту); Д измерения Скотта; ♦ теория
(Книг и др.).
Рис. 2.2.16. Распределение тока вдоль дипольной антенны в поглощающей
среде. а/Р = 0,301; а/Х = 0,0028; I(z) = /R(z)
теория (трехчлен, умноженный на экспоненту); Д измерения Скотта) ♦ теория
(Кинг и др.).
в Зак. 813
I, Ц/й)-.(нА/В)
Рис. 2.2.1в. Распределение тока вдоль дипольной антенны в поглощающей
среде, а/р = 0,592; аД = 0,0037; 7(z) = 1r(z) +jh(z).
- — -теория (трехчлен, умноженный на экспоненту); ▲ измерения Скотта; ♦ теория
(Книг и др.).
I, (j/^AlB)
Рис. 2.2.1г. Распределение тока вдоль дипольной аитеины в поглощающей
среде. а/Р = 0,972; а/Х = 0,0072; /(г) = /^(z) + jlt(z).
теория (трехчлен, умноженный на экспоненту); А измерения Скотта; ♦ теория
(Книг и др.).
6*
164
Глава 2
Рис. 2.2.2а. Нормированный адмитанс дипольной антенны в поглощающей
среде.
А теория (трехчлен, умноженный на а.^ч^нситу); О измерения Скотта; о теория
(Книг и др.).
тает форму кривой со все более заметной вогнутой частью,
вызванной экспоненциальным изменением затухания от входа
антенны к ее концам. У длинных антенн амплитуда тока ста-
новится очень малой на расстояниях, превышающих четверть
длины диполя.
Адмитанс антенны определяется как /2(О)/Уо- Таким обра-
зом, если Vo= 1В, то
У = A sin p/t + В (1 — cos рй) + С(1 -cos‘/2°/i). (2.11)
Графики нормированного адмитанса У/Д=О/Л —ф/Д, где
Д = изображены на рис. 2.2.2а—2.2.2в для шести зна-
чений а/p. Здесь также приведены теоретические значения, по-
лученные из более строгой теории, изложенной в части II, и ре-
зультаты измерений. Совпадение результатов можно считать
хорошим, если учесть, что влияние соединений не учитывалось.
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
165
Рис. 2.2.26. Нормированный адмитанс дипольной антенны в поглощающей -
среде.
А теория (трехчлен, умноженный иа экспоненту); 0 измерения Скотта; о теория
(Кинг и др.).
Распределение заряда на единицу длины получается из фор-
мулы q(z) = (—i/®)dlz(z)/dz и уравнения (2.10) для распре-
деления тока:
q (z) = (i'Pe-a ।z >/co) {A cos ₽ (h — | z |) sin P | z | +
+ (C/2) sin ‘/2P I z | + (a/P) [Л sin p (h — | z |) + В (cos p? — cos p/i)+
+ C(cos 72Pz: — cos’/2p/i)]}. (2.12)
На рис. 2.2.3 a — 2.2.3 г приведены графики распределений за-
рядов, рассчитанные по (2.12) и формуле, выведенной из более
строгой теории в части II, а также результаты измерений. Сов-
падение теории с результатами измерений для распределения
тока несколько лучше, чем для распределения заряда. Этого и
следовало ожидать согласно дифференциальной теории нулевого
порядка.
Графики распределений зарядов показывают быстрое умень-
шение плотности заряда на разомкнутом конце и вблизи него
по мере возрастания а/p. Это особенно характерно для длинных
Диполей, у которых фактически отсутствуют заряды в верхней
части, начиная от 0,5 или 0,75 их длины, если а/p равно или
166
Глава 2
Рис. 2.2.2в. Нормированный адмитанс дипольной антенны в поглощающей '
среде.
А теория (трехчлен, умноженный на экспоненту); 0 измерения Скотта; о теория
(Кинг и др.).
больше 0,6. Очевидно, что распределения тока и заряда вдоль
неизолированной антенны сильно зависят от проводимости окру-
жающей среды. Этот факт, очень важный и полезный при ис-
пользовании антенн в диагностических или исследовательских
целях, препятствует применению антенн для связи и теле-
метрии.
Если длина монополя р/i = л/2, для расчета антенны в воз-
духе требуется особая формула, поскольку исходное трехчлен-
ное выражение становится неопределенным. Если антенна на-
ходится в существенно поглощающей среде, эта трудность
исчезает. Тем не менее в целях сравнения желательно вывести
специальную обобщенную формулу для р/г — я/2 при а = 0.
Можно применить другой вид выражения для тока:
/г (z) = 1 *' [A (sin Р | z | — sin р/г) + В (cos pz — cos р/г) +
+ С (cos ’/гР2 — cos 'ДР^)].
Вещественные и мнимые части входящих сюда коэффициентов
приведены в табл. 2.2.2 для некоторого интервала значений
а/р.
Q, (1/лу(*Кл/6-с)
Рис. 2.2.3а. Распределение заряда на дипольной антенне в поглощающей сре-
де. а/р = 0,070; «/X = 0,00265; Q(z) = <3Л(г) + jQ,(z).
теория (трехчлен, умноженный на экспоненту); А измерения Скотта; ♦ Теория
(Кинг и др.).
]R
Р-ис, 2,2.36. Распределение заряда на дипольной антенне в поглощающей сре-
де. а/ft = 0,301; а/Х = 0,0028; Q(z) = QR(z) + jQ<(z).
—— теория (трехчлен, умноженный на экспоненту); ▲ намерения Скотта; ♦ теория
(Кинг и др.).
Qf (1/ty (mKjiIB’c)
Рис. 2.2.3в. Распределение заряда на дипольной антенне в поглощающей
среде, а/р = 0,592; а/К = 0,0037; Q(z) = QR(z) + jQi(z).
— теория (трехчлен, умноженный на экспоненту); А измерения Скотта; ♦ теория
(Книг и др.),
I
Рис. 2.2.3г. Распределение заряда на дипольной антенне в поглощающей
среде. а/Р = 0,970; а/?. = 0,0072; Q(z) = Qn(z) +
---теория (трехчлен, умиожеииый на экспоненту); ▲ измерения Скотта; ♦ теория
------, (Кинг и др.).
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде 171
Таблица 2.2.2. Таблица коэффициентов в выражении для тока в виде про-
изведения трехчлена на экспоненту для случая 0/г = л/2 [в (1/Л)-(мА/В)
/г(г) =» '21 [A (sin fjz — sin р/г) + В (cos рг — cos р/г) +
+ С (cos Рг/2— cos р/г/2) ]
а/Д А, в. Сг с,
0 0.286 3.635 3.966 6.205 -44.349 5.912
0.016 0.252 3.736 4.737 6.504 -45.520 1.893
0.070 0.256 3.881 6.598 6.968 -46.325 -5.499
0.106 0.348 3.901 7.540 6.870 -46.323 -6.933
0.301 1.293 3.775 11.232 3.661 -48.460 1.984
0.592 3.066 3.198 13.086 -5.015 -48.902 31.676
0.970 5.147 1.940 11.619 -17.844 -34.599 75.088
Электрическое поле, созданное в далеких токах бесконечной
поглощающей среды неизолированной дипольной антенной,
можно рассчитать по формуле
£rra--g.sin0-^ lz(z')e-lk*'созв dz', (2.13)
° —h
где Ro — расстояние от точки наблюдения до центра диполя,
0 — сферическая координата, измеряемая от оси антенны. Ис-
пользуя трехчленное выражение для тока,.можно записать поле
в виде
£е = S (0, kh), где (2.14а)
S(0, kh) = AFm(&, kh) + BOm(e, kh) + CDm(&, kh). (2.146)
Три множителя для поля могут быть записаны в явном виде.
Они содержат только тригонометрические функции, но весьма
сложны из-за далеко не простого распределения тока. Обычно
приводят формулы, выражающие множители поля через сле-
дующие параметры, помимо комплексного волнового числа
= р + 1а:
у, = р + k cos 0, у2==р —&cos0, (2.15а)
= р/2 + k cos0, д2 — Р/2 — k cos0. (2.156)
Глава 2
Неизолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
173
Полные формулы для трех множителей поля имеют вид
Рт (0, kh) = L ah[ «(v2~ vf)
2 I [p + y-op + yD
sin (/г/г cos 0) -f-
। / Vi
Va2 + vi a2 + vU J
+ 7 + ~ ' -2Л a sin pft —
\a2 + yi a +У2/
— (—- н------cos P
V a2 + yf a2 + vV
G (0 kh) sl'n 0 e~ah (— a cos у i/г + Yi sin y^) -f- a
Y2
(2.16)
Вследствие быстрого затухания электромагнитных волн, распро-
страняющихся от антенны в сильно поглощающей среде, такой,
как морская вода, поле на требуемом расстоянии /?/ /г2, рас-
считанное по формуле (2.14), становится исчезающе малым. Но
даже в этом случае можно определить общую направленность
излучения. Поля в среде с умеренным или слабым затуханием
имеют практически полезные значения. Однако невозможно по-
лучить столь высокое направленное действие в экваториальной
плоскости, каким обладают изолированные антенны.
2.3. СВЯЗАННЫЕ НЕИЗОЛИРОВАННЫЕ АНТЕННЫ
В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
2 ( a2 + У? +
e~ah (— a cos y2ft + y2 sin y2A) + a _ 2 cos £ZlX
2.2
a + y2
Г e~a>l [— a cos (kh cos 0) Ч- fe cos 0 sin (k h cos 0)] + a "11
L a2 + k2 cos2 0 J J ’
n /л _k&inQ j" g-aft(—acos д,/г + sin di/г) + a ,
Htl) —— | +
+ + a _ 2 cQs }^h x
a + 62
y Г e~ah [— a cos (kh cos 0) + k cos 0 sin (kh cos 0)] -pall
s'' L a2 + k2 cos2 0 If*
На рис. 2.3.1 справа показаны два параллельных диполя,
расположенные на расстоянии d друг от друга в произвольной
среде, а слева изображены два ориентированных вниз монополя
(2.17)
Диэлектрик (Воздух) Коаксиальная
(ео,(ао,а=0) линия
Z=0
z~-h —1
\К=1(г-ъ,г)г*ак'
Генератор___
дельта-функции
г Идеальные___„
проводники
d
(2.18)
при a = (J, т. e. для среды без поглощения, эти формулы упро-
щаются и в результате совпадают с (1.58) — (1.60).
В экваториальной плоскости 0 = зт/2 имеем у1==у2==н
& = 62 = р/2 и
Fm(n/2, fe/l) = 1^4^{e-“ft[l-coSp/i + (a/p)sinP/l]}> (2.19)
Gm (л/2, kh) = (1 + га/Р) -
-(1 — e afl) (P/a) cos р/г j, (2.20)
n /„/о bh\ H । • /R3 2e“ah(sin1/2P/2-(2a/P)cos1/23A) + 4a/p
Dm (л/2, kh) = (14- ia/р) |-------------f+ --------------------
- (1 - e “A) (p/a) cos ‘/2р/г}. (2.21)
Рис. 2.3.1. Связанные антенны в произвольной среде.
а —связанные антенны с коаксиальной схемой питания (экспериментальная модель);
б — цилиндрические диполи (математическая модель).
с питаниехМ от коаксиальной линии, излучающие в произвольную
материальную среду, закрытую сверху большим металлическим
экраном. Токи в обеих дипольных антеннах удовлетворяют сле-
дующей системе двух интегральных уравнений:
: h
J [/1(z/)/(11(z, г') + Ц(г')К12^, z')]dz' =
-h
= (г4лй/ар) [С) cos 4~ (^i/2) sin fe], (3.1)
h
J \I2 (z') K22 (Z, z') + Ц (zz) F21 (z, z')] dz' =
-л
= (i4n^/ap) [C2 cos kz + (V2/2) sin kz\, (3.2)
174
Глава 2
где
(г, z') = Кп (Z, z') = e^/R^, (3.3)
Rn~[(z-z')2 + a2]112, /?12 = [(z-z')2 + d2]1/2. (3.4)
Ядра #2i(z, z') и K22(z, z') получаются из формул (3.3) и (3.4)
перестановкой индексов 1 и 2 [5].
Систему из двух интегральных уравнений можно*свести
к двум независимым интегральным уравнениям методом сим-
метричных составляющих. Нулевая фазовая последовательность
получается, когда две антенны питаются в фазе равными вход-
ными напряжениями; первая фазовая последовательность полу-
чается, когда входные напряжения равны по величине, но сдви-
нуты по фазе на 180°. Таким образом, для нулевой последова-
тельности
17, = У2 = И% Л(г) = /2(г) = /,0,(г), (3.5)
h
/<0) (г') /<<0) (z, z') dz' = (i’4nfe)/(cop.) [с(0) cos kz + (И0)/2) sin kz\,
Л
(3.6)'
A(2,2^-£__ + __. (3.7)
Для первой фазовой последовательности
V^-V^V^, Il(z)^-I2{z) = [[l\z), (3.8)
it
j (z, z') dz' = (Z4nfe)/(wn) [C(1) cos kz + (]7(1)/2) sin fez)],
Kw(z, zz) = —---------------.
' ’ /?u /?l2
(8.9)
(3.10)
После того как из формул (3.6) и (3.9) найдены решения для
/(0)(г) и Л1) (g), токи двух антенн Л(г) и /2(z) при произвольных
напряжениях на входах V) и V2 получаются путем суперпозиции.
Таким образом, для
V, = у<0) + 0'); v^v(o>_v^t (ЗПа)
Ii(z)*~I[0](z) +rl](z), /2(z) ==/’>)-Z(l’(z) (3.116)
постоянные G<°) и С<‘) вычисляются при условии 1(h) —0.
Симметричное Антисимметричное
питание питание
L
20
60 0 I 2 3 20 60 О I 2 3
Ф, град \1\'М&-(мМВ) ф, град \1\,Ш-(мА/В)
pd-1,277
Рис. 2.3.2а. Распределение тока для двух одинаковых монополей в поглощаю-
щей среде, а/р = 0,295; р/г = 0,681.
*" —•* три члена степенного ряда; - — три тригонометрических члена; + измерения.
Симметричное
питание
Антисимметричное
питание
Рис. 2.3.26. Распределение тока для двух одинаковых монополей в поглощаю-
щей среде, а/р = 0,295; р/г — 1,362.
— — —• три члена степенного ряда; 1 три тригонометрических члена; + измерения.
Неиэолированная антенна в воздухе и поглощающей среде
177
Симметричное Антисимметричное
питание питание
Рис. 2.3.2в. Распределение тока для двух одинаковых монополей в погло-
щающей среде. а/Р = 0,295; fih = 2,270.
------ три члена степенного ряда; --- трн тригонометрических члена; + измерения.
Приближенные решения низкого порядка уравнений (3.6) и
(3.9) можно получить, если обобщить трехчленное выражение
для тока, ранее введенное для изолированной антенны. Предпо-
лагается, что токи имеют следующие распределения:
/°> (2) = е~а 121 [Л(0‘ sin р (/г -1 z |) + В(0) (cos pz - cos р/г) + •
+ С(0) (cos '/2pz — cos 72pA)], (3.12a)
7(1) (г) = e~ “1 z 1 [ Л(1) sin p (/г -1 г I) + B(1) (cos рг - cos р/г) +
+ C(i,(cos V2pz) - cos */2p/i)]. (3.126)
Эти выражения можно подставить соответственно в два незави-
симых уравнения (3.6) и (3.9); комплексные коэффициенты Л,
В и С для каждой фазовой последовательности определяются
при z = 0, /г/3 и 2/г/З, как для изолированной антенны. Про-
цедура идентичная, но ядра различные. На рис. 2.3.2 а — 2.3.2 г
и 2.3.3 а — 2.3.3 г приведены расчетные графики распределений
токов в случаях симметричного (нулевая фазовая последова-
тельность) и антисимметричного (первая фазовая последова-
тельность) возбуждения антенн, а также измеренные значения
тока. Получено очень хорошее совпадение результатов. Теоре-
Симметричное
питание
Антисимметричное
питание
Рис. 2.3.2г. Распределение тока для двух одинаковых монополей в поглощаю-
щей среде. а/₽ — 0,295; = 3,46,
— —три члена степенного ряда; - 1 1 три тригонометрических члена; + измерения.
Симметричное Антисимметричное
питание питание
Рис. 2.3.3а, Распределение тока для двух одинаковых монополей в поглощаю-
щей среде. а/Р = 0,602; = 0,856.
три члена степенного ряда; ----три тригонометрических члена; + измерения.
Симметричное Антисимметричное
питание питание
Рнс. 2.3.36. Распределение тока для двух одинаковых монополей в поглощаю-
щей среде, а/р = 0,602; fift = 1,712.
— — — три члена степенного ряда; ---77 три тригонометрических члена; + измерения.
Симметричное
питание
Антис им ме три чное
питание
Рис. 2.3.3b. Распределение гока для двух одинаковых монополей в поглощаю-
щей среде. а/Р = 0,602; flfi = 2,860.
______три члена степенного ряда;----- три тригонометрических члена; + измерения.
182
Глава 2
Симметричное Антисимметричное
питание питание
Рис. 2.3.3г. Распределение тока для двух одинаковых монополей в поглощаю-
щей среде, a/fj = 0,602; р/г = 4,352.
----- три члена степенного ряда; - три тригонометрических члена; + измерения.
тические выражения адмитансов для фазовых последователь-
ностей имеют вид
У(0) —Л(0) sin р/г + В(0)(1 — cos р/г)+ С(0)(1 — cos'/гРЛ), (3.13)
У(1) = Л<!| sin р/г + В(1)(1 — cos р/г) + С(1)(1 - cos */2р/г). (3.14)
Собственные и взаимные адмитансы У^ и У]2 получаются
из соотношений
Л (0) = + У2Г12, (3.15а)
/2(0) = У1У12+У2У,1, (3.156)
где Y'si — Gsi — iBsl и У[2 = G12 — iBl2. Они просто определяются
из адмитансов для фазовых последовательностей по формулам
У„ = (1/2) [У(0Ч У(1)], У12 = (1/2) [У(0> — У(1)]. (3.16)
На рис. 2.3.4 — 2.3.6 приведены теоретические графики собст-
венных и взаимных адмитансов, рассчитанных по формулам
(3.16), (3.13) и (3.14), и результаты измерений для трех значе-
ний а/p. Поскольку никакие поправки на условия соединения
не вносились, результаты измерений У12 точнее совпали с теоре-
тическими значениями, чем результаты для У31, ввиду независи-
мости У12 от устройства соединений. В табл. 2.3.1—2.3.3 при-
теория (трехчлен); о измерения.
-Ofi -0,2 0 0,2
G /Д, мОм
Рис. 2.3.5. Нормированные адмитансы связанных неизолированных монополей
в поглощающей среде. а/Р = 0,295; А — 9,68.
—— теория (трехчлен) j ° измерения Скотта и Мишра.
Рис. 2.3.6. Нормированные адмитансы связанных неизолированных монополей
в поглощающей среде. а/Р = 0,602; Д = 12,16.
----- теория (трехчлен); о измерения Скотта и Мишра.
Таблица 2.3.1. Нормированные собственные и взаимные адмитаисы связан-
ных монополей [в (1/Л) • (мА/B)]; а/Р = 0,016, Д = 9,18
fid <л>/Д в„/д а12/д В12/Д Я Gsl/A В51/Д С?12/Д л12/д
(А) /ЗА 0.404 = 0.646, Л/а = 0.13 2.21 = 37.80 0.02 -0.17 (В) flh 0.404 = 1.29, й/а = 2.93 7.55 = 75.59 1.32 -2.79
0.808 0.14 2.20 0.03 -0.05 0.808 2.88 7.66 0.95 -2.60
1.212 0.14 2.20 0.03 -0.03 1.212 3.61 7.82 о:з8 -2.46
1.615 0.14 2.20 0.02 -0.02 1.615 4.07 7,91 -0.42 -2.24
2.019 0.14 2.20 0.01 -0.03 2.019 4.79 7.74 -0.56 -1.&
2.423 0.14 2.20 0.00 -0.02 2.423 4.57 7.43 — 1.41 -1.06
2.827 0.14 2.20 0.00 -0.02 2.827 4.41 7.18 -1:47 -0.54
3.231 0.14 2.20 -0.01 -0.02 3.231 4.19 7.06 -1.24 -0.03
3.635 0.14 2.19 -0.01 -0.01 3.635 4.12 7.08 -1.04 0.36
4.039 0.14 2.19 -0.01 -0.01 4.039 3.98 7.16 -0.70 0.63
4.442 0.14 2.19 -0.01 0.00 4.442 3.96 7.25 -0.51 0.75
4.846 0.14 2.19 -0.01 0.00 4.846 4.04 7.35 -0.05 0.86
5.250 0.14 2.20 -0.01 0.00 5.250 4.14 7.32 0.23 0.75
5.654 0.14 2.20 0.00 0.01 5.654 4.14 7.32 0.58 0.64
(С)/?й 0.404 = 2.15, 0.95 h/a — '. -1.93 125.98 0.50 1.52 (О)ДЙ 0.404 = 3.285, h/a 0.47 0.87 = 192.13 0.25 0.24
0.808 1.13 -1.40 0.65 0.91 0.808 0.57 0.99 0.31 0.17
1.212 1.34 -1.25 0.73 0.57 1.212 0.65 1.11 0.33 0.09
1.615 1.50 -1.22 0.76 0.27 1.615 0.72 1.01 0.32 -0.01
2.019 1.63 -1.27 0.74 0.00 2.019 0.75 0,98 0.28 -0.11
2.423 1.69 -1.37 0.65 -0.24 2.423 0.76 0.94 0.21 -0.19
2.827 1.66 -1.47 0.46 -0.43 2.827 0.74 0.91 0.17 -0.23
3.231 1.61 -1.52 0.25 -0.52 3.231 0.71 0.91 0.01 -0.24
3.635 1.55 -1.51 0.04 -0.53 3.635 0.68 0.93 -0.08 -0.2Q
4.039 1.51 -1.47 -0.15 -0.45 4.039 0.68. 0.95 -0.14 -0.15
4.442 1.51 -1.43 -0.28 -0.33 4.442 0.69 0.96 -0.17 -0.08
4.846 1.54 -1.41 -0.35 -0.22 4.846 0.71 0.96 -0.18 -0.01
5.250 1.59 -1.40 -0.38 -0.04 5.250 0.72 0.95 -0.16 0.06
5.654 1.61 -1.42 -0.35 0.10 5.654 0.72 0.94 -0.13 0.12
Таблица 2.3.2. Нормированные собственные н взаимные адмитансы свя-
занных монополей [в (1/Л) • (мА/B)]; а/р = 0,295, Д = 9,68
Я Ся/Д В12/Д Я Gsi/Д Bsi/Д GnjK В12/Д
(А) Я 0.426 = 0.681 1.68 > h/a = 1.83 37.80 -0.12 -0.19 (В) Я 0.426 = 1.362, й/а 4.73 0.52 = 75.59 -1.44 —
0.852 1.67 1.81 -0.04 -0.07 0.852 4.39 0.47 -0.77 —
1.277 1.67 1.81 -0.02 -0.04 1.277 4.29 0.52 -0.48 —
1.703 1.67 1.81 -0.02 -0.03 1.703 4.24 0.53 -0.28 —
2.129 1.67 1.81 -0.02 -0.01 2.129 4.23 0.54 -0.14 —
2.555 1.67 1.81 -0.02 0.01 2.555 4.22 0.57 -0.03 —
2.980 1.67 1.81 -0.01 0.00 2.980 4.24 0.60 0.03 —
3.406 1.67 1.81 -0.01 0.00 3.406 4.24 0.60 0.06 —
3.832 1.67 1.81 0.00 0.01 3.832 4.25 0.60 0.07 —
4.258 1.67 1.81 -0.01 0.01 4.258 4.30 0.57 0.02 —
4.683 — — — — 4.683 4.24 0.59 0.04 —
5.109 — — — — 5.109 4.24 0.58 0.04 —
5.535 — — — — 5.535 4.24 0.58 0.01 —
5.961' 1.67 1.80 0.00 0.00 5.961 4.25 0.58 -0.01 —
(9 Я 0.426 = 2.27, 2.19 й/а = 125.98 -0.89 -0,13 0.82 (О)Я 0.426 = 3.46, й/а 2.20 0.18 = 192.13 -0.19 0.29
0.852 2.22 -0.64 0.11 0.51 0.852 2,20 0.27 0,02 0,17
1.277 2.27 -0.57 0.19 0.30 1.277 2.24 0.29 0.08 0.08
1.703 2.30 -0.55 0.22 0.16 1.703 2.23 0.29 0.12 0.01
2.129 2.32 -0.57 0.19 0.04 2.129 2.27 0.28 0.07 -0.03
2.555 2.33 -0.58 0.15 —0.04 2.555 2.27 0.27 0.05 -0.05
2.980 2.34 -0.59 0.10 -0.08 2.980 2.26 0.27 0.01 -0,06
3.406 2.32 -0.60 0.07 -0.09 3.406 2.26 0.26 -0.01 -0.06
3.832 2.32 -0.60 0.03 -0.08 3.832 2.26 0.27 -0.03 -0.04
4.258 2.32 -0.59 -0.01 -0.06 4.258 2.25 0.26 -0.04 -0.03
4.683 2.32 -0.58 -0.02 -0.04 4.683 2.26 0.27 -0.04 -0.02
5.109 2.32 -0.58 0.03 -0.02 5.109 2.26 0.27 -0.04 0.00
5.535 2.32 -0.58 -0.03 0.00 5.535 2.26 0.28 -0.03 0.01
5.961 2.32 -0.59 0.03 0.01 5.961 2.26 0.27 -0,02 0.02
188
Глава 2
Таблица 2.3.3. Нормированные собственные и взаимные импедансы связан-
ных монополей [в (1/А) • (мА/B)]; а/|3 = 0,602, А = 12,16
/W G,i/A Ai/A G12/A Bu/A Д* <Zi/A Bsl/A G12/A В12/Д
(А) ДА = 0.85 16, h/a = . 37.80 (В) ДА = 1.71 2, h/a = 75.59
0.535 7.04 0.38 —0.74 0.00 0.535 6.58 -2.88 -0.54 1.32
1.070 6.96 0.34 —0.26 0.12 1.070 6.56 -2.56 0.06 0.66
1.605 6.96 0.40 -0.10 0.10 1.605 6.60 -2.50 0.20 0.32
2.140 6.98 0.36 -0.06 0.06 2.140 6.62 -2.50 0.18 0.12
2.675 6.98 0.40 0.00 0.00 2.675 6.62 -2.52 0.14 0.00
3.211 6.98 0.40 0.00 0.00 3.211 6.62 -2.52 0.08 -0.04
.4.105 6.98. 0.40 0.00 0.00 3.746 6.62 -2.52 0.02 -0.04*
4.281 6.62 -2.52 0.00 -0.04
7.491 6.62 -2.52 0.00 0.00
(ОДА = 2.85 ;, h/a =: 125.98 (D)/JA = 4.35 >2, h/a = 192.13
0.535 5.54 -2.20 -0.14 0.86 0.535 5.78 -2.14 -0.24 0.86
1.070 5.64 -1.98 0.18 0.34 1.070 5.82 -1.90 0.12 0.36
1.605 5.70 -1.96 0.20 0.12 1.605 5.86 -1.92 0.18 0.16
2.140 5.72 -2.00 0.12 0.00 2.140 5.86 -1.90 0.10 0.02 i
2.675 5.68 -2.00 0.06 -0.04 2.675 5.88 —1.92 0.U4 -0.02
3.211 5.68 -2.00 0.06 -0.02 3.211 5.90 -1.92 0.02 -0.02
3.746 5.68 -2.02 -0.02 -0.04 3.746 5.88 -1.92 0.00 -0.04
4.281 5.68 -2.02 0.00 0.00 5.351 5.88 -1.94 0.00 0.00
4.816 5.68 -2.02 0.00 0.00
7.491 5.70 -2.00 0.02 0.00
ведены измеренные нормированные значения собственного и
взаимного адмитансов Уя/А и У12/А для монополей над боль-
шим заземляющим экраном. Коррекция влияния концов и сое-
динений не производилась. Приближенные значения адмитансов
для диполей можно получить делением табличных значений на 2.
Следует заметить, что такая процедура неявно вводит влияние
соединения у монополя в значение собственного импеданса ди-
поля. Очевидная неточность возникает из-за различия геометрии
соединений у монополя и диполя.
Глава 3
ВИБРАТОРНАЯ АНТЕННА В КАЧЕСТВЕ
ЗОНДА В МАТЕРИАЛЬНОЙ СРЕДЕ
3.1. ВВЕДЕНИЕ
Знание параметров материальных сред, определяющих
характеристики распространения электромагнитных волн в этих
средах, имеет фундаментальное значение во многих областях
исследований, так как эти параметры полностью описывают
взаимодействие электромагнитного поля со средой на макроско-
пическом уровне. Полезно также знать распределение электри-
ческого поля в среде, так как такие эффекты, связанные с элект-
ромагнитным излучением, как, например, нагрев, являются
функциями напряженности поля. Во многих случаях характери-
стики среды и распределения электромагнитного поля не могут
быть определены путем соответствующих расчетов, а должны
быть измерены с помощью должным образом сконструирован-
ных зондов. В этой главе рассматривается использование вибра-
торной антенны в качестве зонда при таких измерениях [1].
Электромагнитный зонд может быть применен в геофизике и
биофизике для измерения электрических характеристик таких
сред, как горные породы, почва, лед, ионосферная плазма и
биологические ткани. При этом используется не только излу-
чающая, но и приемная антенна. Например, с помощью прием-
ной антенны, находящейся в земле, можно определять характер
распространения электромагнитного импульса в земле после
ядерного взрыва. Зонд, помещенный в биологический объект,
позволяет измерить электрическое поле в этом объекте, причем
любые повреждения структуры ткани или физиологические эф-
фекты могут коррелироваться с локальным изменением величи-
ны электрического поля. Возможны и другие применения. Так,
зонд может быть использован для измерения ближнего поля
антенны, утечки энергии из СВЧ-печей и т. п.
3.2. ИЗМЕРЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ
Распределение тока вдоль идеально проводящей вибра-
торной антенны, погруженной в материальную среду, зависит
от размеров антенны, рабочей частоты и трех скалярных пара-
метров, описывающих линейную изотропную среду: эффектив-
190
Глава 3
ной проводимости ае, вещественной диэлектрической проницае-
мости ее =serso и магнитной проницаемости р, которая для рас-
сматриваемых здесь материалов предполагается вещественной
и равной проницаемости свободного пространства (ц==ц0)-
Когда антенна используется в качестве зонда, указанные пара-
метры среды могут быть определены по измерениям тока в ан-
тенне. Обычно ток измеряется на входе антенны в месте подсое-
h
О
z
v
Неизолированный Изолированный,
зонд зонд
Рис. 3.2.1. Зонды электрического поля в виде неизолированного и изолирован-
ного диполей.
динения фидерной линии. Если рассогласование между антенной
и линией мало, то измерение тока приблизительно эквивалентно
измерению адмитанса У = В принципе определе-
ние распределения тока по длине антенны может позволить по-
лучить больше информации об окружающей среде. Однако для
этого требуется более сложная аппаратура и возникают труд-
ности, связанные с использованием перемещающегося по антен-
не зонда, когда окружающая среда твердая. Во многих случаях
измерение только входного адмитанса или импеданса достаточ-
но для точного определения параметров окружающей среды.
Конфигурация неизолированной и изолированной от окружаю-
щей среды дипольных антенн показана на рис. 3.2.1. Провод-
ники обеих антенн одинаковы; изолированный зонд образован
добавлением концентрического слоя с эквивалентной проницае-
мостью ее(-, длиной 2/г,- и радиусом Ь. Тангенс угла потерь рв
в линейной однородной изотропной среде, окружающей антенну,
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
191
Рис. 3.2.2. Нормированный импеданс Д-(/? + jX) цилиндрической дипольной
антенны, находящейся в поглощающей среде.
и волновое число равны
ре = ае/а>ее, (2.1)
k = р - /а = со (Иоее)1/2 f (ре) [ 1 - jpe/2f2 (ре)], (2.2а)
а/Р = РеМ2(Ре), (2.26)
f (Ре) = {(1/2) [ 1 + (1 + Ре2),/2]},/2> % > о; (2.2в)
при этом предполагается гармоническая зависимость полей от
времени в виде е’а‘. Нормированный входной импеданс и адми-
танс определяются формулой
XZ = 1/(У/Л) = А • R 4- /А • Л, (2.3)
192
Глава 3
где Д — нормирующий множитель, равный
A = ₽WCd^o = e^(/’e). (2-4)
Для упрощения обозначений в этой главе, где предполагает-
ся, что антенна является идеально проводящей, а изолятор пред-
ставляет собой однородный диэлектрик, величины, определяю-
щие изолятор и внешнюю среду, которые обозначались в гл. 1
индексами 2 и 4 соответственно, будем представлять ниже с ин-
дексом I для изолятора и без индекса для внешней среды.
На рис. 3.2.2 показана зависимость нормированного импе-
данса антенны от электрической длины диполя р/г для различ-
ных значений отношения а/p при величине параметра Й =
= 21п (2/г/а) — 10. Импеданс антенны при других значения^ Q
зависит от р/г аналогичным образом. Кривые показывают, что
входной импеданс неизолированной антенны существенно зави-
сит от параметров окружающей среды, что и используется для
определения параметров среды при фиксированной длине ан-
тенны. Ниже рассматриваются антенны двух видов: короткие
(й<О) и резонансной длины.
Электрически короткий зонд
Неизолированный зонд считается коротким, когда выполня-
ется условие
\kh\<&\. (2.5)
Входной адмитанс такой антенны определяется путем разложе-
ния функции распределения тока вдоль антенны в ряд по степе-
ням величины kh (при сохранении в выражении для адмитанса
членов порядка k3h3) [2]. При определении параметров еее и ре
окружающей среды обычно используют следующие нормирован-
ные выражения для составляющих входного адмитанса:
В/Во = (₽/₽о)2{(1 - а7₽2) + (1/3) ₽»(1 - 6а2/р2 + а4/р4) -
- [р3А3/3 (Q - 3)] (а/Р) (5 - 10а2/р2 + а4/р4) + ...} X
X{l+(l/3)P02A2F+(2.6)
G/B = {2 (а/Р) [1 + (2/3) PW (1 - а2/р2)] +
+ [р3/г3/3 (Q — 3)] (1 — 10а2/Р2 + 5а4/Р4) + . . .}Х
Х{( 1 - а2/Р2) + (1/3) ₽W(1 - 6а2/Р2 + а4/Р4) -
-[Р3/г3/8(£2-3)](а/Р)(5-10а2/р2Н-а4/р4)+ (2.7)
где Во = юеол/г[1 + Р7г2/731/[1п (/г/а) — 1], (2.8a)
F= 1 +[1.08/(Q-3)J. (2.86)
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде 193
Величина Во — реактивная проводимость антенны в свободном
пространстве, Ро = 2л/Хо — постоянная распространения в сво-
бодном пространстве [3]. После подстановки измеренных зна-
чений величин В/Вй и G/В уравнения (2.6) и (2.7) могут быть
решены численно или графически относительно параметров еег
и ре окружающей среды. Этот метод иллюстрируется на рис. 3.2.3,
Рис. 3.2.3. Составляющие нормированного адмитанса В/Во и G/В электриче-
ски короткого зонда при различных значениях диэлектрической проницаемо-
сти е„, и тангенса угла потерь ре окружающей среды.
где изображены значения В/Во и G/В для короткой антенны
(Л/Хо = 3-10~3) при использовании еег и ре в качестве парамет-
ров. Заметим, что В/Вй « (р/р0)2(1—а2/р2) = еег и G/Bca
« 2(сс/Р) (1 — а2/Р2) — Ре Для малых значений еег и ре. Этот
результат следует также из квазистационарного рассмотрения,
при котором в выражениях (2.6) и (2.7) сохраняются только
члены, не зависящие от р/г. При больших значениях еег и ре ука-
занные выше простые соотношения для B/BQ и G/В перестают
быть справедливыми. Это является следствием необходимости
сохранения в выражениях для B/BQ и G/В членов более высо-
кого порядка относительно р/г.
Интервалы значений параметров ее, ае, которые могут быть
измерены с использованием короткого зонда, зависят от точно-
сти, с которой может быть измерен адмитанс антенны. Для не-
которых сред и определенного диапазона частот тангенс угла
1
7 Зак. 813
194
Глава 3
потерь может быть либо очень малым, либо очень большим.
В этом случае достаточно точно измерить только величину G
или В. Так, например, когда тангенс угла потерь очень мал,
точно может быть измерена только реактивная проводимость
зонда В, так как В » G. Эквивалентная диэлектрическая про-
ницаемость ее может быть в этом случае определена из отноше-
ния В/В0(В/Вй м еег). Однако тангенс угла потерь или эквива-
лентная проводимость среды в этом случае не могут быть точно
43
«О
1,0 3,0 В,0 10 30 ВО 100
(жидкого раствора)
Рис. 3.2.4. Относительная диэлектрическая проницаемость еег жидких раство-
ров, измеренная с помощью зонда в виде электрически короткого монополя.
определены. Если же тангенс угла потерь достаточно большой,
то G» В и точно может быть измерена только величина G.
В этом случае эквивалентная проводимость среды определяется
по результатам измерения величины G/B0(G/B0 ~ ffe/weo), а эк-
вивалентная диэлектрическая проницаемость точно не может
быть определена. Кривые, аналогичные приведенным на рис. 3.2.3,
могут быть полезны, когда измеряемые величины G и В одного
порядка. При B>G (или G В), так что только B(G) можно
точно измерить, отношение B/B0(G/B0) может быть использова-
но для определения еег(а(?).
Электрически короткая антенна может быть успешно приме-
нена для измерения параметров ионосферной плазмы или плаз-
мы, создаваемой в лабораторных установках, а также парамет-
ров геологических пород [4]. Рис. 3.2.4 иллюстрирует точность
этого метода для случая В» G. Величина относительной ди-
электрической проницаемости еег для жидких смесей с малыми
потерями (ре ~ 0), измеренная с помощью короткой антенны,
сравнивается на этом рисунке с величиной еег, измеренной неза-
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде 195
висимым методом. Совпадение между значениями ser, получен-
ными двумя методами, достаточно хорошее во всем диапазоне
исследуемых значений диэлектрической проницаемости (2,4
Ёег 80) .
Резонансный зонд
По мере роста частоты, на которой проводятся измерения
электрических характеристик среды, длина зонда h должна
уменьшаться для того, чтобы удовлетворялось условие \kh\ <С 1.
Для любого материала имеется максимальная частота, на кото-
рой может быть использован короткий зонд: при большей ча-
стоте потребуется уменьшение длины зонда до практически не-
реализуемой величины. На таких высоких частотах в качестве
зондов обычно используют антенны с большой электрической
длиной. При этом можно применять антенны резонансной дли-
ны hr, определяемой как наименьшая длина, большая нуля, для
которой входная реактивность антенны X равна нулю [5]. Об-
ратившись к рис. 3.2.2, заметим, что резонанс возникает только
в том случае, если величина а/p лежит в интервале 0 гС сс/[3
г< 0,7. При этом нормированное активное сопротивление вблизи
резонанса является плавной функцией длины антенны. Электри-
ческая длина антенны р/гг(Q, сс/р), на которой возникает резо-
нанс, и нормированное сопротивление при резонансе &-Rr(Q,
а/p) могут быть определены путем отыскания корней уравнения
Х=0 [6]. На рис. 3.2.5 приведены графики зависимости и
h-Rr от отношения а/p для различных значений параметра Й,
характеризующего толщину антенны: й = 8, 9, 10, 11.
Для определения характеристик окружающей среды еег и
Ре должны быть получены формулы, связывающие эти величины
с, измеряемыми параметрами. Для резонансной антенны такими
параметрами являются резонансная длина, нормированная
к длине волны в свободном пространстве на рабочей частоте
ftr/Xo, и входное сопротивление при резонансе Rr. Эти величины
могут быть выражены через относительную диэлектрическую
проницаемость еег и тангенс угла потерь ре с помощью следую-
щих параметрических уравнений:
= й)/2лЦ/>ЖЛ (2-9)
Ре) = |А-/?г(^. ЭДрЖЛ (2.10)
где величины и & -Rr зависят только от ре и й-
Для заданной конфигурации антенны правые части обоих
Уравнений являются произведениями функций ре и множителя
еГг1/2, т. е. оба уравнения одного порядка относительно диэлект-
рической проницаемости еег. Уравнения (2.9) и (2.10) представ-
7*
196
Глава 3
лены графически на рис. 3.2.6 для нескольких значений пара-
метров еег иди двух значений величины Q (8 и 11).
Электрические характеристики среды, окружающей антенну,
могут быть определены по измерениям резонансной длины /гг/Х0
и сопротивления при резонансе Rr с использованием кривых,
аналогичных приведенным на рис. 3.2.6. На этом рисунке по-
стоянному тангенсу угла потерь соответствуют прямые линии,
поскольку уравнения (2.9) и (2.10) одного порядка относитель-
Рис. 3.2.5. Резонансная длина и нормированное резонансное сопротивление
цилиндрической дипольной антенны, помещенной в поглощающую среду.
£2 = 2 In (2h/a).
но величины е~г1/2. Приведенные кривые позволяют легко
интерполировать между отмеченными значениями &ег на линиях
постоянного значения ре. Левая и нижняя оси координат на ри-
сунке соответствуют величинам Rr и hr/То для значений ее, в ин-
тервале 10=С Еег ^100, а правая и верхняя оси координат —
для значений 1 eer 10. Величины тангенса угла потерь,
большие чем ре — 2(а/0 « 0,7), не приводятся, так как при таких
больших потерях в среде резонанс не наблюдается (см. рис. 3.2.2).
Резонансная длина hr/To не зависит от тангенса угла потерь для
значений 0 ре с< 0,2. Поэтому знания резонансной длины hr
достаточно для определения относительной диэлектрической про-
ницаемости в этом интервале значений ре. Для повышения точ-
ности измерений соответствующая часть графиков может быть
увеличена и использована самостоятельно.
Описанная процедура расчета с резонансной антенной мо-
жет быть распространена и на антенны с большей электрической
длиной, также имеющие на некоторой частоте пулевое входное
реактивное сопротивление. Так, например, реактивная проводи-
Рис. 3.2.6. Резонансная длина и резонансное сопротивление цилиндрической
Дипольной антенны, помещенной в поглощающую среду, для различных зна-
чений относительной диэлектрической проницаемости еег, тангенса угла потерь
Ре н двух значений параметра Q, характеризующего размеры диполя:
£> = 2 1п(2й/а) = 8(н) и Й = 11(6).
198
Глава 3
мость обращается в нуль при так называемой антирезонансной
Длине антенны (см. рис. 3.2.2). Кривые, аналогичные приведен-
ным на рис. 3.2.6, могут быть получены и для антирезонансной
антенны. Это позволяет определять параметры среды на двух
частотах при использовании одной антенны фиксированной дли-
ны. Заметим, что интервал допустимых значений а/p при анти-
резонансе меньше, чем при резонансе (см. рис. 3.2.2). Это об-
стоятельство ограничивает интервал значений тангенса угла
потерь, который может быть измерен с помощью антирезонанс-
чой антенны, участком 0 ре 0,7.
Регистрирующая
^аппаратура
Монополь
Заземление
'-"Исследуемая геоло-
гичес.кая среда
Рис. 3.2.7. Схема установки, ис-
пользующей антенну в виде ци-
линдрического монополя для изме-
рения электрических характери-
стик геологических пород.
В качестве иллюстрации использования метода резонансной
антенны рассмотрим экспериментальную установку для измере-
ния электрических характеристик земных пород, показанную на
рис. 3.2.7. Антенна в виде монополя выступает из плоского зазем-
ляющего экрана, который расположен на поверхности раздела
между исследуемой средой и воздухом. Резонанс достигается из-
менением либо длины h при постоянной частоте, либо частоты
при постоянной длине антенны. В обоих случаях, когда обнару-
жен разонанс, фиксируют длину антенны и ее входное сопротив-
ление, а электрические характеристики среды определяют из гра-
фиков, аналогичных приведенным на рис. 3.2.6.
На рис. 3.2.8 — 3.2.10 представлены параметры пресной воды,
водного солевого раствора и влажного песка, измеренные с по-
мощью установки, аналогичной показанной на рис. 3.2.7. Метод
резонансной антенны был использован для измерения относи-
тельной диэлектрической проницаемости ее, пресной воды как
функции частоты в диапазоне 12 МГц / 90 МГц. Результа-
ты этих измерений представлены на рис. 3.2.8. Там же приведена
величина относительной диэлектрической проницаемости еег =
= 78,5 для чистой воды, измеренная на низкой частоте при t —
= 25° [7]. Относительная проницаемость, измеренная методом
резонансной антенны, отличается от этой величины не более чем
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
199
Рис. 3.2.8. Измеренная относительная диэлектрическая проницаемость еег прес-
ной воды, температура 25 °C.
—»— — гег ~ 78.5 — величина цпэлек шческой проницаемости для пресной воды при
низких частотах; • измерения с резонансной антенной.
30
80
бег
70
Рис. 3.2.9. а — относительная диэлек-
трическая проницаемость еег; б — от-
ношение а/p для водного солевого
раствора на частоте 28,01 МГц.
—-----на рис. а средняя величина eer в
** 80,0; • измерения методом резонансной
антенны.
О 0,2 0,6 0,6
а/Л
а/^в (измерения другим
методом)
5
на 4%. На рис. 3.2.9 приведены электрические характеристики
среды егг и а/p для пяти значений концентрации водного рас-
твора поваренной соли (NaCI), измеренные методом резонанс-
ной антенны на фиксированной частоте 28,01 МГц. Величина
относительной диэлектрической проницаемости примерно оди-
накова для всех пяти растворов и равна ее, х 80. Как видно
из рис. 3.2.9, значения отношения а/p, определенные методом
резонансной антенны, находятся в хорошем согласии с резуль-
татами, полученными другим методом [8].
200
Глава 3
Электрически короткий и резонансный зонды используются
в смежных частотных диапазонах, причем один и тот же зонд
может быть применен в обоих методах. При этом нужно лишь
изменить частоту, на которой проводятся измерения. Рис. 3.2.10
иллюстрирует использование как электрически короткого, так
и резонансного зонда для измерения электрических характе-
ристик влажного песка в диапазоне частот 20 МГц < f <
< 400 МГц. Величины еег и ре, измеренные этими двумя спо-
20 30 60 100 300
Частота, МГц
Рис. 3.2. Ю. Зависимость относитель-
ной диэлектрической проницаемости
еег и тангенса угла потерь ре для
влажного песка от частоты.
------ средняя величина еег= 4,3; Ф ре-
зультаты измерений с помощью электри-
чески короткого зонда; ) результаты из-
мерений методом резонансной антенны.
собами, находятся в хорошем согласии друг с другом. Отно-
сительная диэлектрическая проницаемость песка практически
постоянна во всем использованном частотном диапазоне и
равна еег = 4,3. Измеренная величина тангенса угла потерь
также достаточно постоянна в интервале использованных ча-
стот, слегка возрастая на низких и высоких частотах. Значе-
ния тангенса угла потерь для влажного песка и песчаника, из-
меренные другими исследователями, также характеризуются
сравнительным постоянством величины ре в диапазоне УВЧ [9].
Этот результат, по-видимому, является следствием двух физи-
ческих процессов, существенных на УВЧ, а именно поглоще-
ния энергии, связанного с низкочастотной проводимостью, и
релаксационных процессов в молекулах воды. Для частот, зна-
чительно меньших релаксационной частоты, вклад релакса-
ционных процессов в величину тангенса угла потерь пропор-
ционален частоте ре ~ со, тогда как вклад низкочастотной про-
водимости пропорционален обратной величине, т. е. ре ~ ш-1.
Оба этих процесса определяют измеренные значения тангенса
угла потерь, приведенные на рис. 3.2.10 (о релаксационных
процессах см. также в разд. 6.7).
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
201
Для каждого метода измерений существуют ограничения,
связанные как с характеристиками исследуемого материала,
так и с диапазоном частот, для которых этот метод применим.
Основное ограничение при использовании метода резонансной
антенны состоит в том, что резонансная длина должна иметь
приемлемую величину для исследуемого материала на выбран-
Рис. 3.2.11. Зависимость резонансиой длины антенны от частоты для различ*
иых геологических сред.
/—лунный грунт, еег=3,0, ре=0,003; 2—чистый лед (—0,1° С), eer=3,l, ae=3,55.10~s!
3—Очень сухая почва, е^г=2,7, о^ = 3*10—4; 4 — сухая почва, &ег — 4, О^ = 5>10~3; 5 —влаж-
ная почва, eZJ_ = 20, о =З.Ю""2; 6 — пресная вода, 8^.=80. а =10“3; 7 — морская вода,
СГ/ С. t. Г С
еег=80, ае=4,0.
ной рабочей частоте. Для пояснения обратимся к рис. 3.2.11,
где представлены результаты вычислений резонансной длины
hr диполя с Q = 10 как функции частоты для различных гео-
логических сред. Параметры различных сред, указанные на ри-
сунке, взяты из работы [10]. Параметры сред с различным со-
держанием воды представляют собой упрощенные усреднен-
ные данные, так как в указанном на рисунке частотном диапа-
зоне может сказаться влияние дисперсии на указанные харак-
теристики. Из рис. 3.2.11 следует, что резонансная длина в
УВЧ-диапазоне (30—300 МГц) находится в пределах от не-
скольких сантиметров до нескольких метров. Для сильно по-
глощающих сред, таких, как морская вода, тангенс угла по-
терь достаточно велик, так что резонанс наблюдается только
202
Глава 3
на очень высоких частотах. Приведенные результаты показы-
вают, что метод резонансного зонда может быть использован
с антеннами приемлемых размеров для измерения электриче-
ских характеристик геологических пород, в частности почвы,
на частотах УВЧ-диапазона. Если условия опыта позволяют
применять более длинные антенны, этот метод может быть рас-
пространен и на более низкие частоты.
Изолированный зонд
Изолированный зонд получается добавлением к неизо-
лированному зонду концентрической диэлектрической оболочки
радиусом b и длиной hi (см. рис. 3.2-1). Предполагается, что
эта оболочка не имеет потерь и характеризуется следующими
электрическими параметрами: е<ц = еепео, ое< = 0 и ц0- Добав-
ление изолирующего слоя может существенно изменить влия-
ние параметров внешней среды ее, и ое на входной адмитанс
зонда. Анализ изолированного зонда в общем случае, когда
внешняя среда и материал изолятора имеют произвольные
электрические характеристики, достаточно сложен (см. гл. 8).
Относительно простое рассмотрение проведено в гл. 1 для слу-
чая, когда постоянная распространения во внешней среде су-
щественно больше, чем в изоляторе [11]. Полезная информация
о поведении изолированного зонда в широком диапазоне зна-
чений электрических параметров может быть получена из
следующих простых физических соображений. Для электриче-
ски короткой антенны распределение тока по длине изолиро-
ванного зонда приблизительно треугольное, т. е. имеет ту же
форму, что и для электрически короткого неизолированного
зонда. Введение диэлектрической оболочки приводит просто
к добавлению емкостного адмитанса /coCs последовательно с ад-
митансом Gm + j®Cm, создаваемым полем во внешней среде.
Это положение иллюстрируется эквивалентной схемой, приве-
денной на рис. 3.2.12. Если радиус изолятора мал по сравнению
с длиной зонда
b<£h, (2.11)
то адмитанс Gm + j&Cm приблизительно равен адмитансу не-
изолированного зонда длиной 2Л и радиусом b [формулы (2.6)
и (2.7), в которых члены порядка р/г или меньше опущены].
Таким образом,
Gm + !®Ст = ,n (oe + /Ш8е). (2.12)
Емкость на единицу длины изолированного зонда примерно
равна емкости на единицу длину коаксиальной передающей
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
203
линии, имеющей те же размеры (а, Ь) и тот же материал изо-
лятора (ее(). В предположении треугольного распределения
тока из уравнения непрерывности для электрического заряда
на единицу длины зонда следует, что распределение заряда по
длине зонда равномерное. Следовательно, емкость оболочки
для каждого из плечей диполя приблизительно в h раз больше
Рис. 3.2.12. Эквивалентная схема
входного адмитанса электрически
короткого неизолированного и изо-
лированного зондов.
а — неизолированный зонд; б — изоли-
рованный зоид.
емкости на единицу длины, так что полная емкость, добавляе-
мая оболочкой диполя, равна
Cs = neeih/ln(b/a). (2.13)
Используя выражения (2.12) и (2.13), найдем величину вход-
ного адмитанса изолированного зонда
у г 4- н(Г*/Ст)2 Gm 4- ю Cs № + (1 + Cs/Cm)] -
Ре + О + Cs/Cm)2 р2 + (1 + Cs/Cm)2
_ рел/г Г у2 ~| . ееглА Г р2 + (1 + у) ~|
“ In (А/6) - 1 L р2 + (1 + у)2 J + /<Й In (b/a) [ р2 + (1+ У)2 J ’
у = Cs/Cm = 1 • (2.15)
' s/ m кег In (b/a) v '
где
Заметим, что формула (2.14) сводится к выражению для ад-
митанса неизолированного зонда, когда электрические пара-
метры внешней среды такие же, как у изолятора, или когда
толщина диэлектрической оболочки становится равной нулю.
Представляет интерес рассмотреть, как изменяется входной ад-
митанс электрически короткого изолированного зонда, опреде-
ляемый формулой (2.14), при изменении параметров внешней
среды (ое, ее), входящих в выражение для параметра у [см.
формулу (2.15)]. Отношение членов в выражении для у, со-
держащих логарифмы отношения размеров зонда, определяется
геометрией зонда (a, b, h) и, как правило, имеет величину по-
рядка единицы. Поэтому величина параметра у в основном
определяется отношением относительной диэлектрической про-
ницаемости оболочки &еп к проницаемости еег внешней среды.
264
Глава 5
В качестве примера на рис. 3.2.13 представлены составляющие
В/Во и G/В нормированного адмитанса для электрически ко-
роткого изолированного зонда с b/а = 2,0, eeri — 1,0. Как вид-
но из рисунка, адмитанс зонда существенно зависит от пара-
метров окружающей среды еег, ре только при малых значе-
ниях этих величин. При больших еег и ре составляющие
адмитанса мало изменяются в зависимости от этих параметров.
Малые ошибки в измеряемых величинах BjB0 и G/В могут
привести к большим ошибкам в вычисляемых значениях пара-
метров &ег и ре. Поэтому использование электрически короткой
Рис. 3.2.13. Составляющие нормированного адмитанса В/Ва и G/В электриче-
ски короткого изолированного зонда для различных значений относительной
диэлектрической проницаемости евг и тангенса угла потерь окружающей сре-
ды Ре.
изолированной антенны для измерения больших значений еег
и ре нецелесообразно. На рис. 3.2.3 графически представлен
нормированный адмитанс неизолированного зонда, имеющего
те же размеры (указанные на рис. 3.2.13), что и внутренний
проводник изолированного зонда. Сравнение этих двух рисун-
ков иллюстрирует эффекты, вызываемые добавлением к зонду
изолятора.
Измеренные значения входной емкости, приведенные на
рис. 3.2.14, иллюстрируют описанное выше поведение адми-
танса. Зависимости входной емкости зонда от величины еег,
приведенные на этом рисунке, соответствуют неизолированно-
му и изолированному зондам-монополям, находящимся в жид-
ком диэлектрике (1 80) с малыми потерями:
С“=с--------"Н — 80)~ * (2Л6)
^неизолир. зонд — w/
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
205
Рис. 3.2.14. Нормированная входная емкость электрически короткой неизоли-
рованной и изолированной антенн в виде монополя, помещенного в жидкий
диэлектрик с малыми потерями.
------теория; •, О. А. + эксперимент.
Все изолированные зонды имеют одинаковые размеры (й/Х0 =
— 3,71-10-3, h/a =17,9, &/я = 2,31, hi/h = 1,29), но различ-
ную проницаемость диэлектрической оболочки (eeri = 1,07, 2,1,
8,0, 20,0). Приведенные данные показывают, что входная ем-
кость изолированного зонда не зависит от относительной ди-
электрической проницаемости внешней среды, когда отношение
ееп/eer мало. Такое поведение Сп прямо противоположно ха-
рактеру изменения входной емкости электрически короткого
зонда, которая является приблизительно линейной функцией еег-
Измеренные значения емкости хорошо совпадают со значения-
ми, определенными в соответствии с упрощенной теорией по
формуле (2.14).
Проведенное рассмотрение показывает, что электрически
короткий зонд не пригоден для измерения электрических пара-
метров окружающей среды, когда они сильно отличаются от
параметров материала изолятора. Существуют, однако, ситуа-
ции, когда проницаемость изолятора может быть очень близка
к проницаемости окружающей среды. Примером этого может
быть электрически короткий изолированный зонд, используе-
мый для измерения диэлектрических характеристик льда. На
рис. 3.2.15, а показана схема эксперимента, выполненного Род-
1
206
Глава 3
4 8 12 16 20
£’r
6
Рис. 3.2.15. а — схема устройства зонда, разработанного для измерений элек-
трических характеристик антарктического материкового льда; б — типичные
результаты измерений зависимости составляющих комплексной относительной ч
диэлектрической проницаемости eer = ef — i&' от частоты. Источник: Ro-
gers J С., Peden I С., Radio Science, 10, 763 (1975).
1 — скважина, заполненная жидкостью; 2 — кабельная линия передачи данных; 3 —
капсула с приемной регистрирующей аппаратурой; 4 — нейлоновый канат; 5 — зонд в
виде металлического диполя.
• эксперимент; теория, чистый лед. Глубина скважины 750 м, температура 28,8 °C.
жерсом и Педеном, для измерения комплексной относительной
диэлектрической проницаемости (бг = е' —/е") антарктического
льда как функции частоты и глубины погружения зонда [12].
Неизолированный диполь был погружен в скважину, проруб-
ленную во льду и заполненную смесью трихлорэтилена, этилен-
гликоля и дизельного масла. Эта жидкость являлась изолято-
ром диполя (с характеристиками ееГ£ « 2,1; b/а т 1,6). Ре-
зультаты измерения входного адмитанса диполя передавались
в приемную камеру, расположенную в скважине над зондом,
и затем по кабелю к регистрирующей аппаратуре, находящей-
ся на поверхности. Измеренные в этом эксперименте электриче-
ские характеристики льда оказались равными 4 еег 16,
0 Ре 3 в диапазоне частот 1,25—20 кГц. Малые значения
еег и ре в указанном диапазоне значений могли быть измерены
с высокой степенью точности с использованием изолированного
зонда с ееГ| = 2,1. Типичные результаты, полученные с исполь-
зованием описанной установки, приведены на рис. 3.2.15,6.
Здесь представлены измерения вещественной и мнимой частей
комплексной относительной диэлектрической проницаемости
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
207
У льда = в'—/е" = еег(1 —/ре). Ошибка измерения проницае-
«’ мости увеличивается с ростом величин е' и в". Как уже от-
мечалось выше, увеличение ошибки является следствием умень-
шения чувствительности изолированного зонда при больших
значениях еег и ре.
Использование резонансной изолированной антенны для из-
мерения характеристик окружающей среды связано с трудно-
. стями, аналогичными тем, которые имеют место в случае элек-
трически короткого изолированного зонда. Анализ изолирован-
ной вибраторной антенны произвольной длины относительно
прост только тогда, когда отношение | k |2/|3? не слишком мало
(здесь k — волновое число внешней среды, р, — фазовая по-
: стоянная в диэлектрике изолятора [13]). В этом случае рас-
пределение тока по длине антенны подчиняется синусоидаль-
ному закону, как в разомкнутой длинной линии:
imoeeiV sin k. (h — I z I)
'<*) = tjnw.fesj <2J7>
где kL — волновое число для бесконечно длинной антенны того
же поперечного сечения. Для больших величин отношения
] k |2/Р; волновое число приблизительно равно
/ нТ (kb) \1/2
fez. = Рт - /ат - Р J 1 + — ° м | . (2.18)
kbti\ (kb) In (Ь/а) J
В гл. 8 величина kL определяется более точно для малых зна-
чений отношения | k |2/Р? как корень g следующего уравнения:
(р2Д>) нт Ш [НТ Ш Ш - Jo Ш НТ Ш] -
- О2Д2) нТ ш [нТ (<&)Jo (6s01 - Jo («SO нТ (611)1 = о, (2.19)
где £i = (P1-£2)I/2> ^ = О2-:2)1/2- (2.20)
Резонансная длина изолированной антенны определяется как
величина hr/^o, для которой 1т[/(0)] = 0. Это эквивалентно
нахождению решения х следующего уравнения:
sin [4л (РЛ/Ро) х] = - (аДРД sh [4л (РЛ/ра) (aL/Pz.) х]. (2.21)
На рис. 3.2.16 приведены графики зависимости резонансной
Длины неизолированного и изолированного зондов (ее„ =1,0;
Ь/а = 2,4) от величины относительной диэлектрической прони-
цаемости среды еег в предположении, что эта среда не имеет
потерь (ре = 0).
Несколько интересных точек можно отметить на рис. 3.2.16.
Когда диэлектрические проницаемости изолятора и внешней
Ж
208
Глава 3
среды одинаковы, неизолированный и изолированный зонды
должны иметь одинаковую резонансную длину Лг/Х0 ~ 0,235.
Резонансная длина неизолированного зонда приблизительно
пропорциональна е^Р2. Резонансная длина изолированного зон-
да в меньшей степени зависит от еег, а именно величина hr/'ko
уменьшается при малых e.sr, становится постоянной при проме-
жуточных значениях еег(еег « 10) и затем начинает увеличи-
ваться при больших еег. Наконец, при очень больших е«г вели-
Рис. 3.2.16. Зависимость резонансной длины А,/2.о неизолированного и изоли-
рованного зондов от величины относительной диэлектрической проницаемости
окружающей среды ре — 0.
чина hr/^o стремится к резонансной длине разомкнутого уча-
стка длинной линии Лг/Хо « 0,25.
Резонансная длина изолированного зонда не зависит от про-
ницаемости внешней среды в широком диапазоне значений esr.
Поэтому одинаковая резонансная длина зонда может быть по-
лучена для двух различных значений еег- Отсюда следует, что
резонансный изолированный зонд нецелесообразно использо-
вать для определения электрических характеристик окружаю-
щей среды. Исключением является случай, когда электрические
характеристики изолятора выбраны примерно такими же, как
у среды, характеристики которой должны быть измерены.
В этом разделе рассматривались в первую очередь методы
измерений, связанные с определением неизвестных электриче-
ских характеристик среды по результатам измерений входного
адмитанса (импеданса) вибраторной антенны. При определе-
нии электрических характеристик среды по результатам изме-
рения админтанса (импеданса) используется теория антенн.
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде 209
При этом все полученные результаты основаны на модели, в
которой антенна возбуждается генератором дельта-функции,
т. е. генератором, имеющим бесконечно малую протяженность.
Эта модель не совсем строго соответствует условиям возбуж-
дения диполя или монополя, применяемым при измерениях [14].
В тех случаях, когда требуется высокая точность, может быть
использован экспериментально полученный поправочный коэф-
фициент для учета реальных условий возбуждения антенн. Од-
нако для большинства применений характеристики среды мо-
гут быть определены с достаточной точностью с использованием
формул, полученных без учета условий возбуждения антенны.
Это положение иллюстрируется результатами, приведенными
на рис. 3.2.4 и 3.2.8—3.2.10. (Влияние условий возбуждения
антенны на ее адмитанс рассматривается более детально в
разд. 1.5, 7.12 и 13.4.)
3.3. ИЗМЕРЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ
Другим применением вибраторной антенны является ее ис-
пользование в качестве зонда для измерения электрического
поля внутри материальных сред. Представляет интерес получе-
ние информации как о поле в некоторой точке, так и о распре-
делении поля внутри тела. Большинство изучаемых материаль-
ных тел являются пространственно неоднородными в том смыс-
ле, что параметры среды (еег, оД не постоянны в объеме тела.
Это справедливо, в частности, для геологических сред и биоло-
гических объектов. В идеале электрическое поле должно изме-
ряться в различных точках независимо от значений параметров
среды в этих точках. В соответствии с рис. 3.3.1 напряжение на
выходе антенны V должно быть пропорционально составляю-
щей электрического поля, параллельной оси зонда:
K = KeE(r)-z. (3.1)
Коэффициент пропорциональности Ке должен быть независимым
от параметров окружающей среды [15]. Такой зонд исключает
необходимость знания параметров среды в месте расположения
зонда. Отдельная калибровка не требуется для каждой из сред,
где используется зонд; достаточно одной первоначальной ка-
либровки.
В качестве примера рассмотрим задачу измерения распре-
деления электрического поля в облучаемом биологическом объ-
екте. Значение поля может потребоваться для установления
корреляции между напряженностью поля и наблюдаемыми мор-
фологическими изменениями в тканях, физиологическими эф-
фектами и т. п. или для определения внутренних резонансов в
210
Глава 3
объекте [16]. Электрические параметры могут существенно раз-
личаться в разных частях объекта. Например, еег в диапазоне
СВЧ может быть равно 5 для тканей с малым содержанием
воды, таких, как жировая ткань, или иметь величину порядка
100 для тканей с большим содержанием воды, таких, как мы-
шечная ткань [17]. Зонд с описанными выше характеристи-
ками, как правило, должен быть прокалиброван только в одной
среде, а затем может использоваться для измерения электри-
ческого поля в любой биологической ткани.
, ев (г);
Рис. 3.3.1. Измерение локального электрического поля в теле, обладающем
неоднородными электрическими характеристиками.
Электрически короткая вибраторная антенна вполне подхо-
дит для таких измерений, поскольку ее малые физические раз-
меры обеспечивают высокое пространственное разрешение.
Электрически короткий зонд слабо возмущает первоначальное
поле в объекте. Это важно, поскольку множественные переотра-
жения между зондом и границами тела могут повлиять на точ-
ность измерений. В этом разделе рассматриваются условия, ко-
торые должны быть выполнены для того, чтобы электрически
короткий неизолированный или изолированный зонд мог исполь-
зоваться для измерения электрического поля независимо от
значений электрических параметров окружающей среды. Мате-
риальная среда предполагается линейной и однородной во всем
объеме, влияющем на работу зонда. Для электрически корот-
кого зонда длиной 2h таким объемом является сфера радиусом,
примерно равным 1г, с центром, совпадающим с центром зонда.
Указанное условие эквивалентно предположению, что электри-
ческие характеристики тела, хотя оно и неоднородно, не изме-
няются на интервале, сравнимом с длиной зонда 2h,
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
211
При использовании зонда для определения локального элек-
трического поля предполагается, что нагрузка с адмитансом
Yl = Gl-Y1Bl подсоединена параллельно входу антенны.
Для электрически короткого зонда напряжение V на на-
грузке является мерой составляющей электрического поля, па-
раллельной оси зонда, Ег = гЕг (рис. 3.3.2,а). Связь между V
и Ег может быть определена с помощью эквивалентной схемы,
составленной в соответствии с теоремой Тевенина для нагру-
женного зонда (рис. 3.3.2,б);
V = КеЕг = — 1(0, YL = оо)/(У + Гь) = - 2heEz [Y/(Y + ГЦ], (3.2)
где 2he— эффективная длина диполя, Y — входной адмитанс
зонда по отношению к приложенному напряжению [181 и
Рис. 3.3.2. а — нагруженный
приемный зонд; б — эквива-
лентная схема зонда, нагру-
женного на адмитанс У
7(0, yL = oo) — ток в цепи зонда, когда нагрузка замкнута на-
коротко. Эффективная длина электрически короткого неизоли-
рованного и изолированного зондов с размерами, удовлетворяю-
щими условиям а С h, Ъ < /г и \kh\ 1, равна примерно h. Та-
ким образом,
Ke = -h[Y/(Y + YL)]. (3.3)
Целью расчета является определение постоянной зонда Ее,
независящей от электрических параметров среды ег и ае. По-
скольку входной адмитанс неизолированного зонда является
функцией ее и ае (см. разд. 3.2), то его отклик на внешнее
поле будет независящим от этих параметров только в том слу-
чае, если адмитанс нагрузки много меньше, чем входной адми-
танс зонда:
I Yl | < | Y (3.4)
Если это неравенство выполняется для всех значений е(. и ог,
внешней среды, то отклик неизолированного зонда на электри-
ческое поле приближенно равен
V = — hEz, Ee = -h. (3.5)
Заметим, однако, что входной адмитанс неизолированного
212
Глава 3
зонда может быть очень малым, что затрудняет выполнение
неравенства (3.4).
Как было показано в предыдущем разделе, входной адми-
танс изолированного зонда может быть сделан полностью неза-
висящим от параметров окружающей среды путем соответ-
ствующего выбора размеров и диэлектрической проницаемости
Eei изолятора. Отклик изолированного зонда также не будет
в этом случае зависеть от есг и ег, поскольку эти параметры
входят в выражение для Л',, в формуле (3.3) только через адми-
танс зонда. Это положение остается, без сомнения, справедли-
вым при любой величине входного адмитанса нагрузки Уд.
Рассмотрим электрически короткий изолированный зонд, рас-
положенный в биологическом объекте. Если в качестве изоля-
тора зонда используется материал с малой диэлектрической
постоянной, например пенополистирол, имеющий еег(- аг 1, и
зонд окружен биологической тканью, то величина e.eril^er в фор-
муле (2.15) для у принимает значения от 0,2 (еег — 5) до 0,01
(еег = 100). Величина у входит в множитель[р2 + (1 + Y)]/[Pg+
+ (1 + у)2], определяющий выражение для емкости зонд^ С
[см. формулу (2.14)]. Этот множитель имеет минимальное зна-
чение, равное (1+у)-1 при ре = 0, и максимальное, равное 1, '
когда ре велико. Когда зонд погружен в ткань с малым содер-
жанием воды (еег ~ 5), этот член имеет величину от 0,83 до 1,
а в тканях с большим содержанием воды (еег = 100) — от 0,99
до 1,0. Таким образом, максимальное изменение емкости изоли-
рованного зонда, находящегося в различных биологических
тканях, не превышает 17%. Это изменение может быть еще
уменьшено увеличением радиуса b изолятора, что приводит к
уменьшению отношения логарифмов в выражении для у [см.
формулу (2.15)]. Отношение активной проводимости к реак-
тивной для изолированного зонда равно
. (3б)
р| + (1+у) v
Эта величина максимальна, когда ре = (1 -ф у)1/2. Следова-
тельно,
— С-------(3.7)
соС 2 (1 + у)1/2
и в рассмотренном примере G/coC 0,09. Таким образом, вход-
ной адмитанс изолированного зонда в основном является реак-
тивным и слабо зависит от ее и ае ткани.
Чувствительность изолированного зонда по сравнению с не-
изолированным определяется отношением
Ке (изолир.)/7% (неизолир.) = У; (Уь + Уд)/У?, (У,- + Уд). (3.8
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
213
Индексы b и i относятся к неизолированному и изолирован-
ному зондам соответственно. Если адмитанс нагрузки много
меньше, чем входной адмитанс зондов обоих типов (Yl С Yb,
Yl^Yi), то эти зонды имеют одинаковую чувствительность и
отношение (3.8) равно единице. Другой предельный случай
имеет место, когда адмитанс нагрузки много больше, чем вход-
ной адмитанс каждого зонда (Yl Yb- YL К) Если, кроме
Рис. 3.3.3. Зависимость нормированного отклика неизолированного и изоли-
рованного зондов в виде монополей от относительной диэлектрической про-
ницаемости окружающей среды при различных значениях емкости Се-
hia = 21,8; ЛДо “ 1,85 • I0-3. О эксперимент при емкости Сд=8,5 пф; А —при =
= 20 пф; 9 — при CL С; -----------------------теория.
того, 8eri/eer<Cl, так что адмитанс изолированного зонда не-
чувствителен к окружающей среде, то отношение (3.8) прибли-
женно равно Yi/Yь, где Y, определяется выражением (2.14) при
у <g 1, a Yb — выражением (2.14) при b ~ а:
Ке (изолир.) __ / eeri X 1 Г In (h/a) — 1 ~l .
Ке (неизолир.) к гег J (1 — jpe) I In (b/a) J' ‘ '
В этом случае чувствительность изолированного зонда в Server
раз меньше по сравнению с неизолированным зондом. В боль-
шинстве случаев адмитанс нагрузки и относительная чувстви-
тельность находятся между этими двумя предельными ситуа-
циями.
Характеристики рассмотренных зондов двух типов иллю-
стрируются рис. 3.3.3, где представлены графики зависимости
214
Глава 3
нормированного отклика на электрическое поле
у z \_____________V (Вег) __ Ке (бег)
v п — у (Ъег = 80) — Ке {Rer = 80)
(3.10)
от относительной диэлектрической проницаемости внешней
среды. Для идеального зонда /п(еег) = 1 для любых значений
Еег. На рис. 3.3.3 приведены измеренные и расчетные значения
Vn для неизолированного зонда и зонда с изолятором из теф-
лона (ееп = 2,1; 6/0 = 3,28). Внешней средой при измерениях
Рис. 3.3.4. Зависимость нормированного отклика неизолированного и изолиро-
ванного зондов в виде монополей от относительной диэлектрической прони-
цаемости окружающей среды еег.
Изолятор зонда выполнен из тефлона, eeri~!,i'' ЛДо = 1,85.1О~3. Емкость
Сд С. Зоид A: h/a = 55.6; b/a = 3,4. Зоид В: h/a = 39,7; b/a = 9,6.
------теория;# эксперимент для зоида А; эксперимент для зонда В.
является жидкий раствор, характеризующийся малыми поте-
рями (ре « 0,1 eer 80) [19]. Как видно из рис. 3.3.3, нор-
мированный отклик неизолированного зонда есть функция ди-
электрической проницаемости еег и адмитанса нагрузки YL =
= ja>CL. Этот отклик пропорционален величине ее, при любых
ее значениях, если выполняется неравенство С Сд. Нормиро-
ванный отклик изолированного зонда практически постоянен
при больших е»г (рис. 3.3.3) и изменяется менее чем на 10%
при ее, ^12. Изменения емкостной нагрузки слабо влияют на
нормированный отклик, что является следствием очень малой
входной емкости изолированного зонда при любых еег. Для трех
значений величины Cl, использованных в эксперименте, выпол-
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде 215
нялось неравенство С CL. Вследствие этого нормированный
отклик (3.10) в первом приближении не зависит от CL:
(Еег) = У (Е?г)/У (вег = 80). (3.11)
Рис. 3.3.4 иллюстрирует влияние изменения толщины изоля-
тора на нормированный отклик зонда. Радиусы внутренних
проводников зондов А и В приблизительно одинаковы, тогда
как радиус изолятора зонда В в четыре раза больше, чем у
зонда А. Увеличение толщины изолятора делает нормирован-
ный отклик зонда постоянным для широкого интервала значе-
ний относительной диэлектрической проницаемости внешней
среды еег. Нормированный отклик зонда В изменяется меньше
чем на 10 % для еег 3, тогда как Еег должна быть больше 25
для таких же вариаций в отклике зонда А. Полученные ранее
простые выражения [см. формулы (2.14) и (3.3)] позволяют
получить результаты, которые находятся в хорошем согласии
с измеренными данными, приведенными на рис. 3.3.3 и 3.3.4.
3.4. ЗОНД В ПРОИЗВОЛЬНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ
ПОЛЕ. ИЗОТРОПНЫЙ ЗОНД
В предыдущем разделе был определен отклик одиноч-
ного диполя на составляющую электрического поля, параллель-
ную его оси. Когда поляризация поля не известна, для опреде-
ления поля может быть использована комбинация диполей раз-
личной ориентации. Монохроматическое электрическое поле в
некоторой точке тела может быть записано (в комплексной
форме) в общем виде как
Е(г, со) = £х(г, ш)х + Еу(т, со)у + £г(г, co)z =
= Е \Ei (г, w)|exp[/^t (r, co)]L (4.1)
l =x, у, z
Величина мгновенного электрического поля равна
Е(г, /) =Re[E(r, ш)е'м/]. (4.2)
Для измерения амплитуды и фазы каждой составляющей поля
(4.1) могут быть использованы три ортогональных диполя,
имеющие общий центр (рис. 3.4.1, а). Чтобы связь между ди-
полями была пренебрежимо мала, они должны быть достаточно
тонкими, т. е. а <С h, b <С 1г. Если диполи одинаковы и имеют
постоянную отклика, равную Ке, то величина электрического
поля падающей волны в общем центре диполей равна
Е (г, ш) = [Кх(г, ш)х + Ку(г, ш)у+Ег(г, и) z]/Ke. (4.3)
Определенные трудности возникают при измерении ампли-
туд и фаз напряжений К (г, о) на выходах диполей, когда они
216
Г лава 3
имеют малые физические размеры и пространство для подсое-
динения соответствующей измерительной схемы ограничено.
Если измерять только амплитуду поля, как, например, в случае
определения опасной дозы облучения, то может быть использо-
вана простая схема (рис. 3.4.1, б). Выпрямленное напряжение
на выходе детектора, подсоединенного к каждому из диполей,
пропорционально квадрату амплитуды напряжения на выходе
диполя | /, (г, со) |2, i = х, у, г.
Рис. 3.4.1. а — ортогональные диполи с общим центром; б — схема установки
для измерения поля детектора сигнала.
Выпрямленные напряжения от отдельных зондов суммируют-
ся, так что результирующее напряжение имеет следующий вид:
Кьс. = С[|УЛг, <о) |2 + | УДг, «в) |2 + | Vz (г, со) |2] =
= C|KJ2[|Ex(r, <о)|2 + |^(г, со) |2 + |£г(г, оз) |2] =
= С|Ке|2[Е(г, (o).E’(r, со)] = C|KJ2| Е(г, со) р, (4.4)
где С — постоянная, характеризующая параметры детектора, а
звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину. Мо-
дуль в этих уравнениях (эрмитов модуль) определен следую-
щим образом:| V | = (1//*)1/2для скаляра V и | А | = (АхАхА-АуАуА-
+ /мЭ1'2 для вектора А. Таким образом, зонд, образованный
тремя ортогональными диполями, может быть использован для
измерения модуля электрическго поля | Е(г, со) |. Этот зонд изо-
тропен, т. е. его отклик не зависит от направления вектора элек-
трического поля.
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде 217
Амплитуда мгновенного значения электрического поля свя-
зана с эрмитовым модулем следующим выражением:
| Е(г, /)| = (|Е(г, ш) |2 — £ | Et (г, со) |2 sin2 [ш/+-Mr,
I у, z J
(4.5)
Заметим, что
I Е (г, со) | ^ | Емакс (г, /) |, (4.6)
так что измеренная величина |Е(г, со) | может быть использо-
вана для установления верхнего предела максимума амплитуды
Антенна
Соединитесь -
ноя линия о
потерями.
(г, С)
Соере до то -
ченные зле-
менты кон-
тура
'"днкт.
Рис. 3.4.2. Приемный зонд с квадратичным детектором.
мгновенного электрического поля. Если электрическое поле ли-
нейно поляризовано, то в формуле (4.6) имеет место равенство;
для круговой поляризации поля | Е (г, со) | = д/21 ЕмаКе (г, 01-
Квадрат эрмитова модуля поля | Е(г, со) |2 — Е(г, со) • Е*(г, со)
может служить количественной мерой опасной величины элек-
трического поля, так как он пропорционален скорости, с кото-
рой энергия поля поглощается средой, например биологиче-
ской тканью [20].
Квадратичный детектор, используемый в описанном зонде,
может быть реализован с помощью достаточно простой схемы,
показанной на рис. 3.4.2. В эту схему должны быть внесены
некоторые изменения в зависимости от того, находится зонд в
свободном пространстве или помещен в материальную среду
[21]. Главным элементом схемы является диод, который вслед-
ствие нелинейной характеристики преобразует напряжение вы-
сокой частоты на выходе диполя в напряжение постоянного
тока на сопротивлении 7?т. Сосредоточенные элементы контура
Ci и Rm и соединительная линия с потерями (характери-
зуемая сопротивлением г и емкостью с на единицу длины) об-
разуют замкнутый контур. Величина емкости Ci выбирается
1
218
Глава 3
Прижимной
контакт •
Металлическая
игла
Металла ческий
Вывод
-Полупроводник----—
Металлический
вывод
Диод с точе чным
контактом
Соединительная
проволока
/Напыленный
М слой металла
Д? Слой окисла
23
Диод с барьером
Шоттки
Влй
Рис. 3.4.3. а — устройство диода; б — приближенная эквивалентная схема
диода.
достаточно большой для того, чтобы создать короткое замыка-
ние для высокочастотных составляющих тока и препятствовать
проникновению высокочастотного сигнала непосредственно в на-
грузку, минуя диод. Сопротивление соединительной линии спо-
собствует уменьшению в ней высокочастотной составляющей
тока, которая может привести к возмущению поля, измеряемого
диполем. Для постоянного тока сопротивление, шунтирующее
диод, равно
= + (4.7)
где Ri = rl — сопротивление соединительной линии длиной I.
Детекторные диоды, используемые в схеме, показанной на
рис. 3.4.2, работают, как правило, без смещения и являются
точечными диодами или диодами с барьером Шоттки. Устрой-
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
219
ство этих диодов показано на рис. 3.4.3, а. Точечный контакт
металл — полупроводник возникает между концом металличе-
ской иглы и полупроводником, в который упирается эта игла.
В диоде с барьером Шоттки контакт возникает между метал-
лическим слоем, напыленным на полупроводник, и этим полу-
проводником. В диоде, показанном на рис. 3.4.3, а, металл на-
пылен на полупроводник через отверстия, вытравленные в слое
окисла, который является защитным изолирующим слоем, обра-
Рис. 3.4.4. Вольт-амперная характеристика типичного диода с точечным кон-
тактом или с барьером Шоттки при нулевом смещении.
зованным при окислении полупроводника. Структура диода с
барьером Шоттки много прочнее, чем диода с точечным контак-
том, а сам контакт и его электрические параметры более вос-
производимы.
Приближенный анализ, который дает удовлетворительные
результаты, основан на эквивалентной схеме, показанной на
рис. 3.4.3, б, и нелинейной вольт-амперной характеристике
диода, снятой на постоянном токе [22]. Типичная вольт-ампер-
ная характеристика для точечного диода или диода с барьером
Шоттки при нулевом смещении показана на рис. 3.4.4. Эле-
менты эквивалентной схемы соответствуют различным областя,м
физической структуры диода. Нелинейное сопротивление R, и
емкость Cj характеризуют сопротивление и емкость контакта
металл — полупроводник, а последовательное сопротивление
— сопротивление полупроводника. Это сопротивление лока-
лизовано вблизи контакта металл — полупроводник, где сосре-
доточивается ток, протекающий через контакт. Последователь-
ная индуктивность Ls и параллельная емкость Ср являются па-
разитными элементами, связанными с конструкцией диода, а
220
Глава 3
именно с индуктивностью металлической иглы и емкостью кор-
пуса.
Для постоянного тока, протекающего через диод в прямом
направлении, вольт-амперная характеристика может быть при-
ближенно описана уравнением идеального диода
//о = Id0 = Is (eul/0 - 1) = Is (e“ (Vd0- 1), (4.8)
где a = elnkT к 38,7/п при T = 300 °K, Is — ток насыщения,
k — постоянная Больцмана, T — температура, е — заряд элек-
трона, п — коэффициент неидеальности, близкий к 1 для реаль-
ных диодов и равный 1 для идеального диода.
Индексы j и d соответствуют величинам, измеренным на
контакте металл — полупроводник и выходных зажимах диода
соответственно. Составляющая постоянного тока сигнала имеет
индекс 0. Если к диоду приложено большое напряжение в пря-
мом направлении, то вольт-амперная характеристика приблизи-
тельно линейна с наклоном, равным \/Rs. Когда приложенное
напряжение мало (aV/o 1), разложение экспоненты в фор-
муле (4.8) в ряд Тейлора приводит к выражению
//o = /s(al//o + 4l//o + ••• • (4-9)
Сопротивление R, = 1 / (Isa) равно примерно обратной величине
тангенса угла наклона вольт-амперной характеристики в окре-
стности нуля. Действительно, наклон характеристики равен
dIM/dVdf=[Rs + R//(l +/do//s)]-1, I d0 — 0 в начале координат,
и Rs<^Ri, так что окончательно получаем dl^ldVм « URj-
Внешняя схема, подсоединенная к диоду, образует цепь с со-
противлением Ro для постоянного тока (см. рис. 3.4.3). В до-
полнение к формуле (4.9) прямой ток 1!о и напряжение V/0
должны удовлетворять соотношению
Z/o = — V/0/(/?s +/?о)- (4.10)
Когда гармоническое напряжение Vdi(t) — Re[Vd((o)e'“'] ВЧ-
или СВЧ-диапазона приложено к диоду, то дополнительные
паразитные элементы С/, Ls и Ср в эквивалентной схеме диода
(см. рис. 3.4.3) приводят к тому, что только часть этого на-
пряжения Vji (/) = Vji cos at = Re[V/(rn)e/m<] прикладывается
непосредственно к контакту. Для упрощения последующего
анализа фаза УДы) выбрана равной нулю. Предполагается
также, что вольт-амперная характеристика в области слабого
сигнала, снятая на постоянном токе [см. формулу (4.9)], также
применима и для ВЧ-напряжения и для тока, которые находятся
в фазе на контакте, поскольку они связаны сопротивлением R,.
Вследствие нелинейного характера сопротивления контакта ток
через контакт кроме первой гармоники (ш) содержит также по-
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде 221
стоянную составляющую н гармонические члены более высокого
порядка, т. е. он может быть представлен рядом
//(/)==/;0+ //! cos со/4-//2соз 2ш/. (4.11)
Поскольку постоянный ток через диод должен удовлетворять
уравнению (4.10), то на контакте возникает постоянное напря-
жение Vjo- Напряжение на контакте можно представить в виде
ряда
Vj (/) = Vjo + V/J cos со/ + vj2 COS 2со/ =
= ~ IIO(RS + Ro) + V/i cos co/ + I//2cos 2co/ + . . . . (4.12)
Когда вольт-амперная характеристика, измеренная на по-
стоянном токе, используется для синфазных составляющих пе-
ременного тока и напряжения на контакте, то ряды (4.11) и
(4.12) для //(/) и !//(/) подставляют в формулу (4.9) вместо
членов 1,0 и И/о. Пренебрегая составляющими с частотой 2со и
выше и используя неравенство а!//о<^1, получаем следующие
выражения для первых двух коэффициентов в разложении тока
в ряд;
аУ^
= 1м ~ 4 (R, + RS + Ro) ’ (4.13а)
~ ViJRj. (4.136)
Заметим, что проведенный анализ справедлив, когда амплитуда
полного напряжения на контакте |V/(/)| настолько мала, что
можно использовать выражение (4.9) для вольт-амперной ха-
рактеристики, полученное в предположении малого сигнала.
Полученные результаты показывают, что постоянное напря-
жение на диоде или сопротивлении Ro пропорционально квад-
рату амплитуды напряжения Vji'.
— a| V/(со) |2/?0 -a| V/(со) |2 1 _
Vd0 ~ 4 (Rj +Rs + Ro) 4 (Rj + Rs) 1 , 1
Rj + "Г Ro
----1---l_2_
Rj + Ro
Здесь произведена замена Vji = И/(со). Уравнение (4.14) может
быть использовано для построения эквивалентной схемы (пока-
занной на рис. 3.4.5, а) для выходного постоянного тока диода.
В этой схеме ток, создаваемый генератором тока, равен току
(4.13а) для короткозамкнутого по постоянному току диода
(Ro = 0)
a | И (со) Р
222
Глава 3
Рис. 3.4.5. Эквивалентная схема диода в предположении линейности элементов
схемы.
а —схема для выходного постоянного тока; б —схема для входного высокочастотного
тока.
Генератор тока включен параллельно сопротивлению нагрузки
/?о и последовательно с сопротивлениями R, и Rs. Комбинацию
сопротивлений R, и Rs часто называют видеосопротивленивм
диода Rv.
Из формулы (4.136) видно, что составляющие высокочастот-
ного напряжения и тока, находящиеся в фазе на контакте, связа-
ны линейным сопротивлением Rj. Для малых входных сигналов
емкость контакта С, также предполагается линейной. С та-
кими линейными элементами (/?,- и С(), характеризующими кон-
такт металл — полупроводник, диод представляется на высокой
частоте эквивалентной схемой, показанной на рис. 3.4.5, б. Эта
схема может быть использована для определения адмитанса
УДсо) диода и соотношения между напряжениями КДсо) и КДсо).
Таким образом,
Yd (®) = Grf(®) + jBd(a>) =
= ({(-S7 “ Л-с! +1) [тд - + ^)] +
+ (r^C, + -^) [сое, - tfLsCi + 1) + соС,.]} +
+ / {(4; - “>2^с/ + 1) (-^- - ^LsCi + 1) + соС/] -
- + »]}) X
X [(^- - ^2LsCi + 1)2 + (/?>?,• + , (4.16)
V, (со) _ +
К/(«>) Л , Rs ,, ~ \2 , ( ®LS , „ „ V (4Л7)
(J + ~Rj~<i,LsCi) +\-j^- + R^Ci)
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
223
Так как постоянный ток /;6 (/?о = 0) пропорционален квад-
рату амплитуды ВЧ-напряжения на контакте | V/(co) |2, то его
можно выразить через величину средней ВЧ-мощности, погло-
щаемой диодом:
РаЫ = (1/2) Gd^) I Vd (®) I2- (4.18)
Обычно определяют чувствительность диода по току р как
а V, (со) 2
Цо (Ro = 0) = (co) = 2 + (ю) (ю) Pd(a>). (4.19)
Изготовители диодов, как правило, приводят чувствительность
по току р или по напряжению у = (^/ + ^з)Р на некоторой ча-
стоте и не сообщают параметры элементов эквивалентной схемы
диода. На постоянном токе или очень низких частотах чувстви-
тельность по току равна
= 2(1 + RsIRjY = ЫТ ’ (~4-20')
где Rs Rj. Квадратичный характер поведения диода, выра-
жаемый формулой (4.19), является обычно хорошей аппрокси-
мацией, когда усредненная по времени величина ВЧ-мощности,
поглощаемой диодом, меньше чем 10 мкВт.
Рис. 3.4.6. Эквивалентная схема приемного зонда с квадратичным детектором.
На рис. 3.4.6 приведена эквивалентная схема приемного зон-
да с квадратичным детектором, для получения которой исполь-
зованы эквивалентные схемы диполя и диода (см. рис. 3.4.2).
Емкость Ci на рис. 3.4.2 создает короткое замыкание по высо-
кой частоте, не оказывая влияния на цепь постоянного тока.
Соотношение между током короткого замыкания I(0,YL = oo)
на выходе зонда и постоянным напряжением на сопротивлении
Rm легко определить из эквивалентной схемы
!/ _ + I уь = °°) 2
Vd-Q- ^(Rj + Rs + Rm + ZRi + Ri) | У + ^ + im
(4.21)
224 Глава 3
Для электрически короткого зонда формула (4.21) сводится к
более простому выражению (4.4) между постоянным напряже-
нием и квадратом амплитуды составляющей электрического
поля параллельной оси зонда |Ei(г, со) |2:
(Vd.c.)/==C| ДеНЕДг, со) |2 =
- p/?m (R, + R.) Gd I hY 2
— 2(R! + Rs + Rm + 27?! + 7?z) I Г + + 1/27?! । (r> ®) I • (4-22)
Проведенное рассмотрение показывает, что детектор
(рис. 3.4.2) создает постоянный ток, пропорциональный квад-
рату амплитуды монохроматического электрического поля в
месте расположения зонда. Этот вывод остается справедливым
для амплитудно-модулированного ВЧ-поля Ei(r, t)= E0f(t)cos, at.
И в этом случае та же схема может быть использована для по-
лучения меняющегося во времени напряжения, пропорциональ-
ного квадрату модулирующего сигнала /2(/), при условии, что
частотная зависимость (дисперсия) составляющих тока, свдер-
жащихся в квадрате модулирующего сигнала, не столь сильна,
чтобы существенно исказить сигнал. Условия, которые должны
быть выполнены для обеспечения малых искажений, могут быть
определены из эквивалентной схемы, содержащей диод, ди-
скретные элементы и линию с потерями. Если эквивалентная
схема для диода на постоянном токе, приведенная на рис. 3.4.5, а,
является хорошей аппроксимацией для всех частот, содержа-
щихся в спектре квадрата амплитуды модулирующего сигнала,
то диод не искажает сигнала. Это условие обычно удовлетво-
ряется, если для частот, представляющих интерес, выполняется
неравенство aCiRj 1. Сопротивление разомкнутой схемы для
диода (R, + Rs + 2Ri) с емкостью С1 образуют фильтр нижних
частот, слабо искажающий сигнал, если выполняется неравен-
ство wCi (Rj + Rs + 2Ri) <С 1 для частот, содержащихся в квад-
рате модулирующего сигнала. Передающая линия с потерями
длиной I также действует как фильтр нижних частот. Прибли-
женный анализ показывает, что дисперсия в такой линии мала,
если выполняется неравенство acrl2 1 для всех частот, содер-
жащихся в квадрате модулирующего сигнала.
Работу типичного зонда, основанного на схеме рис. 3.4.2, и
значения различных элементов эквивалентной схемы, в частно-
сти тех, которые связаны с диодом, проиллюстрируем на при-
мере. Параметры зонда в рассматриваемом примере выбраны
не для обеспечения оптимального отклика, а скорее для того,
чтобы показать влияние различных элементов зонда на вели-
чину отклика. Использован электрически короткий диполь
(йД 0,15) длиной 2h = 1,8 см и радиусом а = 0,5 мм в рас-
сматриваемом диапазоне частот (1 МГц^^^б ГГц).
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
225
Параметры диода, элементов схемы и длинной линии с по-
терями следующие: R, — 50 кОм, Ci = 500 пФ, Rm — 1 МОм,
С/ = 0,1 пФ, = 25 Ом, Rs = 1,0 нГ, Ср = 0,05 пФ, п = 1,0,
г = 5,0 МОм/м, с = 30 пФ/м, I — 10 см. На практике за под-
ключенной к диполю высокоомной линией малой длины (I =
= 10 см) должна следовать линия с малыми потерями, под-
соединенная к измерительному прибору. В этом случае сопро-
тивление нагрузки Rm включает также и сопротивление этой
дополнительной линии. На рис. 3.4.7 показана зависимость от-
клика Kd.c- такого находящегося в свободном пространстве
зонда от частоты сигнала при величине напряженности падаю-
щего поля 1 В/м, параллельного оси зонда. Результаты пред-
ставлены для двух значений сопротивления контакта диода:
Ri = 2 и 20 кОм.
На низких частотах указанного диапазона адмитанс антенны
и емкости контакта меньше, чем адмитанс сопротивления диода.
Вследствие этого большая часть тока генератора 7(0, Ул=оо)
(см. эквивалентную схему антенны на рис. 3.4.6) протекает че-
рез сопротивление диода. Поскольку ток /(0, Yl = °о) для элек-
трически короткого диполя пропорционален частоте, то высоко-
частотное напряжение на диоде также пропорционально ча-
стоте, т. е. I//(со) « RjI(O, Yl = оо) ~ со. Поэтому напряжение
постоянного тока Vd. с- на выходе пропорционально квадрату
частоты. Вследствие этого зависимость Va. с. от частоты, пред-
ставленная на рис. 3.4.7, в области низких частот имеет вид
прямой линии с наклоном, приблизительно равным двум.
По мере роста частоты адмитанс антенны, который имеет
для электрически короткого диполя приблизительно емкостной
характер (У» /соС), и адмитанс емкости контакта увеличи-
ваются и становятся больше, чем адмитанс сопротивления
диода. В результате основная часть тока 7(0, Уд = оо) генера-
тора протекает через эти емкостные адмитансы. Вследствие
этого ВЧ-напряжение на контакте и результирующее постоян-
ное напряжение на выходе остаются приблизительно постоян-
ными при увеличении частоты. Если пренебречь паразитными
элементами диода и сопротивлением Rs, то Vj (со) « 7(0, Yl —
— оо)/[/(о(С 4-С,)] ~ со0. В соответствии с этим кривые на
рис. 3.4.7 стремятся по мере роста частоты к прямой, параллель-
ной оси абсцисс. Небольшие отклонения от этой прямой яв-
ляются следствием частотной зависимости паразитных адми-
тансов /(оС„ и —Частотный диапазон, в пределах кото-
рого отклик зонда приблизительно постоянен, увеличивается
с ростом сопротивления контакта диода Rj.
Отклик зонда на амплитудно-модулированные колебания
представляет собой неискаженный квадрат модулирующего сиг-
нала при условии, что все частоты, содержащиеся в его спектре,
8 Зак. 813
226
Глава 3
удовлетворяют ранее отмеченным ограничениям: ыС;/7;С1,
coCi (R,-|- Rs -|- 2Ri) <С 1 и а>сгР^\. Наиболее серьезное огра-
ничение накладывается фильтром нижних частот: f < [2лС! (R, ф-
+ ^ + 27?!]-' = 3,1 кГц (/?; = 2 кОм), 2,7 кГц (R, = 20 кОм).
Три ортогональных диполя могут располагаться иначе, чем
показано на рис. 3.4.1, а. На рис. 3.4.8, а изображен миниатюр-
ный зонд, разработанный Бюро радиологической защиты (БРЗ)
США [23]. Три ортогональных электрически коротких диполя
h/A
Рис. 3.4.7. Зависимость отклика Га. с зонда, находящегося в свободном про-
странстве, от частоты; | Е, (г, <о) | = 1 В/м.
расположены таким образом, что их центры смещены относи-
тельно друг друга на расстояния h и 2/г, где h — половина длины
каждого диполя. Если диполи тонкие, то связь между ними пре-
небрежимо мала. Каждый из диполей измеряет составляющую
электрического поля в различных точках. Однако это обстоя-
тельство не приводит к существенным ошибкам при измерении,
если пространственные вариации падающего электрического
поля малы в объеме, занимаемом зондом. Преимущество рас-
положения диполей со смещенными центрами заключается в
том, что элементы схемы и линию, соединяющую зонд с реги-
стрирующей аппаратурой, проще изготовить, чем в случае, когда
зоны имеют общий центр.
Устройство миниатюрного зонда, разработанного БРЗ для
измерения изотропного электрического поля, показано на
рис. 3.4.8, б. Диполи (2/г = 2,5 мм) и резистивные линии обра-
зованы напылением металла на подложку из окиси алюминия
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
227
(еег~9). Каждая резистивная линия представляет собой по-
лоску из чистого хрома шириной 25 мкм. Две полоски, располо-
женные на расстоянии 25 мкм друг от друга, образуют длинную
линию с потерями и с сопротивлением и емкостью на еди-
ницу длины, равными г « 19,4 МОм/м, с » 62 пФ/м соответ-
ственно. Диод с барьером Шоттки с нулевым смещением и с ба-
лочными выводами расположен в центре каждого диполя, при-
чем выводы диода накладываются на вибраторы диполя, как
показано на рис. 3.4.9. В такой конструкции выводы диода ста-
Рис. 3.4.8. а — расположение ортогональных диполей со смещенными центра-
ми; б — конструкция миниатюрного зонда, разработанного Бюро радиологи-
ческой защиты США.
новятся частью антенны. Тем самым исключаются дополнитель-
ные соединения между антенной и диодом, что делает паразит-
ные элементы схемы Ls и Ср, связанные с корпусом диода, пре-
дельно малыми.
Сигнал, детектируемый диодом, передается по линии с поте-
рями на расстояние примерно 6,5 см, а затем, через вторую ли-
нию с малым сопротивлением, — к миниатюрному оптическому
устройству, которое преобразует напряжение на линии в опти-
ческий сигнал. Передача этого сигнала к регистрирующему
устройству осуществляется по световолоконному кабелю, очень
слабо взаимодействующему с измеряемым электрическим полем.
Комбинация диполя и детектора в зонде БРЗ похожа на ту,
что изображена на рис. 3.4.2, за исключением того, что отсут-
ствуют элементы фильтра нижних частот R\, Сь Это связано с
тем, что длинная линия с потерями, образуемая резистивной
линией, действует как фильтр нижних частот. На высоких
8‘
228
Глава 3
Рис. 3.4.9. Устройство зонда при
использовании диода с барьером
Шоттки и балочными выводами.
1 — антенны; 2 — полупроводник; 3 —
контакт; 4 — слой окисла; 5 — золотые
балочные выводы.
частотах измеряемого поля вход-
ной импеданс длинной линии
приближенно равен
Zl = (г/2шс)1/2(1 —/). (4.23)
Для зонда БРЗ может быть ис-
пользована эквивалентная схема,
показанная на рис. 3.4.6. Необ-
ходимо только сопротивление 2/?t
во входном контуре заменить на
Zi, а сопротивление 2Ri в выход-
ном контуре положить равным
нулю.
Для создания изотропного
зонда три диполя на подложке
располагают в виде конфигурации
типа буквы I (см. рис. 3.4.8, б)
и в этом положении фиксируют
с помощью эпоксидной смолы.
Полученный таким образом* зонд
может быть использован в
свободном пространстве и также
имплантирован в биологические ткани, причем в этом случае
слой эпоксидной смолы изолирует зонд от окружающей
среды.
3.5. ЗОНД ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
В практических ситуациях зонд часто используется для
измерения электрического поля в неоднородных телах, имею-
щих конечные размеры. В частности, зонд может быть распо-
ложен вблизи границы раздела сред с различными электриче-
скими характеристиками. Так, например, зонд, используемый
для измерения электрического поля в биологическом объекте,
может быть имплантирован вблизи границы между жировой и
мышечной тканями — средами, имеющими сильно различаю-
щиеся характеристики: ое » 5-Ю-2 См/м, гег ~ 5 для жировой
ткани и ог « 2 См/м, eL,r ~ 50 для мышечной ткани. Отклик
зонда, расположенного вблизи границы раздела, отличается от
отклика зонда, находящегося в бесконечно протяженной среде.
Однако в точках, достаточно удаленных от границы раздела,
отклик зонда практически равен отклику зонда, расположен-
ного в неограниченной среде, имеющей те же параметры, что
и среда, находящаяся в непосредственной близости от зонда.
Влияние поверхности раздела на отклик зонда зависит от не-
скольких факторов: расстояния между зондом и этой поверх-
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
229
Рис. 3.5.1. Расположение зонда элек-
трического поля вблизи поверхности
раздела двух различных сред.
ностью, размеров, ориентации и нагрузки зонда, а также зна-
чений электрических параметров сред, находящихся по обе сто-
роны от поверхности раздела. Вместо того чтобы анализировать
каждую конкретную конфигурацию расположения зонда и по-
верхности раздела, проще рассмотреть предельную ситуацию
для выяснения качественной картины влияния различных фак-
торов на отклик зонда и определения минимального расстояния
между зондом и поверхностью
раздела, необходимого для то-
го, чтобы различия в отклике
рассматриваемого зонда и зон-
да, расположенного в беско-
нечной среде, были меньше
определенной величины [24].
Расположение зонда элект-
рического поля вблизи поверх-
ности раздела двух различных
сред показано на рис. 3.5.1.
Если зонд используется для
измерения распределения поля
в каждой из сред (1 или 2),
его размеры 2h должны быть
малы по сравнению с размера-
ми, которые определяют об-
ласть, занимаемую каждой
средой. В частности, когда ра-
диус кривизны, описывающий
поверхность раздела, равен
Rc, то 2h <С Rc- Если расстоя-
ние между зондом и поверхностью раздела также мало,
s <С Rc, то эта поверхность в непосредственной близости от
зонда может рассматриваться как плоскость. Для приближен-
ного анализа ситуации, показанной на рис. 3.5.1, можно при-
нять, что зонд расположен на расстоянии s от плоской границы
раздела двух сред.
Следует отметить, что максимальное влияние поверхности
раздела на отклик зонда наблюдается тогда, когда электриче-
ские характеристики сред по обе стороны от границы суще-
ственно различны, а зонд параллелен границе. Этот предельный
случай будет рассмотрен ниже, а именно: зонд расположен в
поглощающей среде с электрическими параметрами ое, оег (об-
ласть 1) на расстоянии s от идеального проводника (область 2),
как показано на рис. 3.5.2, а. По-видимому, влияние среды 2 на
характеристики зонда при этом больше, чем в случае, когда
область 2 заполнена средой с конечной проводимостью. Таким
образом, результаты, полученные при анализе описанной ситуа-
230
Глава S
ции, могут рассматриваться как наихудшие из возможных при
оценке ошибки в расчете отклика зонда, расположенного вблизи
поверхности раздела. Предполагается, что источником электри-
ческого поля является электромагнитная плоская волна с век*
Идеальный
проводник
Рис. 3.5.2. а — расположение зонда параллельно плоскости раздела между
идеальным проводником и материальной средой; б — эквивалентное располо-
жение зондов, полученное с использованием метода зеркальных изображений.
К
тором электрического поля, параллельным оси зонда и пло-
скости границы:
Е'=2Еое"м\ (5.1)
Используя метод зеркальных изображений, можно получить
схему расположения источников и проводников, показанную на
рис. 3.5.2, б. Такое расположение полностью эквивалентно
рис. 3.5.2, а, при определении электромагнитного поля в области
х 0. Ток в мнимом зонде на рис. 3.5.2, б имеет направление,
противоположное току в реальном зонде, Г = —7, и изображе-
ние падающей плоской волны определяется выражением
E‘'=-iEoeikx. (5.2)
Пара настроенных параллельных диполей, показанная на
рис. 3.5.2, б, может быть проанализирована с помощью метода
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
231
расчета связанных линейных антенн, находящихся в поглощаю-
щей среде [25]. Распределение тока I (г) вдоль диполя опреде-
ляется путем решения следующего интегрального уравнения:
Л ft
I (z') Kd (г, z') dz' = j 1 (г') Kd {г, z') dz' —
-h -h
~ iSr (cos kz -cos { } • (5-3>
Когда к зонду приложено напряжение V, выражение в скобках
в правой части уравнения (5.3) равно
{ } = (Р/2) sin k(h — |г I). (5.4а)
Когда зонд используется в качестве приемной антенны, ориен-
тированной в падающем электромагнитном поле так, как пока-
зано на рис. 3.5.2, б, а выходные зажимы зонда короткозам-
кнуты, то выражение в скобках в правой части формулы (5.3)
принимает вид
{ } — (2jE0/k) (sin ks) (cos kz — cos kh). (5.46)
При постоянной U, определяемой выражением
U — (— /?/4я) I (z') К (h, z') dz', (5.5)
-л
ядро Kd(z, z') становится равным
K'd(z, z') = (г, z') — К (/г, z') (cos kz — cos kh)lcos kh — = К (z, z') — К (/г, z') (cos kz/cos kh), (5.6)
где Kd(z, z') = K(z, z') — K(h, z') и (5.7) -jkRu p-jkRu . (5.8)
при /?н = [(г-г')2 + а2]1/2, (5.9a) = [(г - z')2 + a- + 4s2]’/’. (5.96)
Для антенны умеренной длины (р/г Зл/2) в разд. 2.1 было
получено следующее простое выражение для осевого тока ди-
поля, входящего в систему двух диполей, находящихся в погло-
щающей среде, которое обеспечивает удовлетворительную точ-
ность:
I (z) ~еи| гЦЛ sin р (/г — | z |) + В (cos рг — cos р/г) +
+ С (cos рг/2 — cos р/г/2)]. (5.10)
232
Г лава 3
Коэффициенты А, В и С в формуле (5.10) выбираются таким
образом, чтобы ток I(г) удовлетворял интегральному уравне-
нию (5.3) либо точно в трех точках антенны, либо приближенно
в среднеквадратичном смысле вдоль всей длины антенны [26].
Распределение тока, результирующий входной адмитанс зонда
Г = /(0)/|/ (5.11)
и ток 7(0, У = оо) при закороченной выходной цепи приемного
зонда определяются с помощью формул (5.10), (5.3), (5.4а) и
(5.46). Напряжение на нагрузке, подсоединенной к выходу
приемного зонда, определяется с использованием эквивалентной
схемы рис. 3.3.2, б:
1/ =-7(0, = <х>)/(У + (5,12)
Когда выходная цепь зонда разомкнута, это напряжение (на-
пряжение холостого хода) равно
i/(Kl = 0) = -7(0, Кд = оо)/У. (5.13)
Влияние поверхности раздела на отклик зонда может быть
определено путем решения уравнения (5.3) как с учетом, 'так
и без учета членов, представляющих мнимое изображение зо*Нда
(членов, зависящих от 7?1г), и сравнения полученных результа-
тов. Индекс 0 используется для обозначения величин, вычис-
ленных при отсутствии мнимого изображения зонда. Ошибки
в расчете амплитуды напряжения на нагрузке, напряжения хо-
лостого хода и амплитуды тока при короткозамкнутом выходе,
связанные с пренебрежением наличия поверхности раздела,
равны
1'1 1'01 IM 1 \ Г. /1 । 0 L 1 , u ,
Д||/ (Кд = 0)| = |/о(0, уА = оо))1У| Ь (5Д4б)
Д|7(0, Yl = oo) 11 (°- ЧЛ-dd--1- <5-14в)
Для электрически короткого приемного зонда, несогласованного,
как правило, с адмитансом нагрузки YL, представляют интерес
ошибки в измерении напряжения зондом для двух предельных
значений импеданса нагрузки, а именно |Уд|<С|У| и | YL1
> | Y |. Из формулы (5.14) следует, что ошибка в величине на-
пряжения на выходе приемного зонда приближается к ошибке
для напряжения холостого хода, когда |Уг|<с|У|:
Д | V | ж Д | У (У£ = 0) |. (5.15)
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
233
Ошибка в величине напряжения приближается к ошибке для
случая короткозамкнутой схемы, когда |Д|»|У|:
Л|1/|«Л|7(0, У£ = оо)|. (5.16)
Числовые результаты определения ошибок измерения для этих
двух предельных случаев получены для следующих примеров.
s/л sth
s/A з/Л
Рис. 3.5.3. Зависимость величины ошибок для тока короткого замыкания и на-
пряжения холостого хода неизолированного зонда длиной Л/Л = 0,1 и 0,2,
находящегося в непоглощающей среде, от расстояния между зондом и по-
верхностью раздела.
На рис. 3.5.3 приведены величины ошибок для тока корот-
кого замыкания (5.14в) и напряжения холостого хода (5.146)
неизолированного зонда длиной Л/Л = 0,1 и 0,2 в зависимости
от расстояния хД между зондом и поверхностью раздела. Оба
зонда имеют одинаковый радиус аД — 0,005, и предполагается,
что среда, окружающая зонд, не имеет потерь (а/р = 0). Как
видно из рис. 3.5.3, ошибка в величине тока короткого замыка-
ния существенно превышает ошибку измерения напряжения при
разомкнутой схеме (напряжения холостого хода). Таким обра-
зом, ошибки, вносимые в результаты измерения вследствие бли-
зости поверхности раздела, могут быть уменьшены выбором ад-
митанса нагрузки таким, чтобы |Д|<С|Т|- Сравнение резуль-
татов, приведенных на рис. 3.5.3 для двух длин зонда, пока-
зывает, что использование более длинного зонда сопровождает-
ся внесением больших ошибок как в величину тока короткого
234
Глава 3
замыкания, так и напряжения холостого хода. Увеличение ра-
диуса неизолированного зонда также увеличивает ошибки как
в случае короткого замыкания, так и холостого хода. В этом
нетрудно убедиться, обратившись к рис. 3.5.4, где приведены
результаты расчета ошибок для зонда длиной hfK — 0,1, нахо-
дящегося в среде без потерь, при различных а/\.
Влияние поглощения в среде, окружающей неизолированный
зонд длиной /г/Х = 0,1, на ошибки в величине тока короткого
замыкания и напряжения холостого хода иллюстрируется
рис. 3.5.5. На этом рисунке приведены графики зависимости
ошибки измерения от расстояния между зондом и поверх-
ностью раздела для трех сред с а/Р = 0; 0,3 и 0,9 (тангенс угла
потерь ре = 0; 0,66; и 9,5 соответственно). При больших рас-
стояниях (s/Z,>-0,15) увеличение отношения а/p приводит к
уменьшению ошибки. Этот результат согласуется со структурой
поля при взаимодействии зонда и его изображения: ослабление
плоской волны, распространяющейся между зондом и его изо-
бражением, происходит по закону e~2as вследствие поглощения
в среде, заполняющей пространство между поверхностью раз-
Рис. 3.5.4. Зависимость величины ошибок для тока короткого замыкания и на-
пряжения холостого хода неизолированного зонда, находящегося в непогло-
щающей среде, от расстояния между зондом и поверхностью раздела. (Пара-
метром является радиус зонда а/)..)
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
235
Рис. 3.5.5. Зависимость величины ошибок
для тока короткого замыкания и напряже-
ния холостого хода неизолированного зон-
да, находящегося в среде с потерями, от
расстояния между зондом и поверхностью
раздела. (Параметром является величина
а/р.)
дела и зондом. Когда зонд находится близко к поверхности
раздела (s/X < 0,15), с увеличением отношения а/p растет
ошибка. На столь малых расстояниях нельзя использовать вол-
новую картину поля. Взаимодействие между зондом и его изо-
бражением определяется
проводимостью и емко-
стной связью. Рост вели- п 1П °п
чины а/p приводит к уве-.
личению связи между зон-
дом и его изображением и,
как следствие, к увеличе-
нию ошибки измерения.
Когда используется
электрически короткий
изолированный зонд с изо-
лятором в виде концентри-
ческого диэлектрического
экрана (рис. 3.2.1), то |
можно воспользоваться <з
результатами приближен-
ного рассмотрения, про-
веденного в разд. 3.3 для
изолированного зонда,
расположенного вблизи
поверхности раздела. По-
лученные ранее результа-
ты [см. формулу (2.14) ]
показывают, что входной
адмитанс У, электрически
короткого изолированного
зонда приближенно ра-
вен адмитансу схемы, со-
стоящей из неизолирован-
ного зонда с адмитансом
Yb (длиной 2h и радиу-
сом 6), включенного последовательно с емкостью Cs диэлектри-
ческого изолятора [см. (2.13)]. Таким образом,
У ja>CsYb(b, h)
1 Yb (b, h) + /<oCs '
(5.17)
Индексы but используются для обозначения величин, отно-
сящихся к неизолированному и изолированному зондам соот-
ветственно. Для зонда, находящегося вблизи поверхности раз-
дела, адмитанс Yb обусловливается взаимодействием между
зондом и его изображением и может быть определен решением
интегрального уравнения (5.3) с учетом формулы (5.11).
236
Глава 3
Напряжение холостого хода V^Yl = 0) для электрически ко-
роткого изолированного зонда приближенно равно напряжению
холостого хода для неизолированного зонда того же радиуса и
длины 2h Это напряжение может быть получено решением ин-
тегрального уравнения (5.3) с учетом формулы (5.13):
' Vt(YL = 0)=Vb(a, h, Уд = 0). (5.18)
Ток короткого замыкания для изолированного зонда в этом
случае равен
/ДО, Уд = °°) = — I/(. (I/L = 0) У, =
_ -Vb(a, h, У£=0)/<оСЛ(6, h)
Yb (b, h) + f<aCs
Ошибки в величинах тока короткого замыкания и напряже-
ния холостого хода для электрически короткого изолированного
зонда, находящегося вблизи поверхности раздела, могут быть
определены тем же способом, что и для неизолированного зонда
с использованием формул (5.146) и (5.14в). Влияние изоля-
тора на эти ошибки для изолированного зонда, находящегося.в
среде без потерь при b/а = 3 и Rerl&ert= 1,0 (неизолированный
зонд), 4,0 и 30, показано на рис. 3.5.6. Ошибка в величине на-
пряжения холостого хода одинакова для трех различных изолято-
ров, поскольку выполняется условие (5.18). Ошибка в величине
тока короткого замыкания уменьшается по мере увеличе-
ния отношения ber/teri, проницаемости внешней среды к прони-
цаемости изолятора, и стремится к величине ошибки при изме-
рении напряжения холостого хода, когда это отношение велико.
Такой характер зависимости ошибки от отношения ter/teri легко
понять, исследуя выражение (5.17) для адмитанса изолирован-
ного зонда. Когда отношение ъет1ъеп увеличивается, емкостной
адмитанс диэлектрической оболочки зонда Cs уменьшается по
сравнению с адмитансом Yb, \Yb(b, a>Cs, так что адми-
танс изолированного зонда приближается к величине адмитанса
диэлектрической оболочки У,- » ja>Cs. Ток короткого замыкания
в этом случае просто пропорционален напряжению холостого
хода 7,(0, Yl = оо) л; —/<oCs!/, (//. = 0). Следовательно, относи-
тельные ошибки в величинах Vi(Yl = 0) и 7,(0, У/. = оо) при-
близительно одинаковы. Заметим, что ошибка в величине на-
пряжения на входе зонда [формула (5.14а)] для любых значе-
ний адмитанса нагрузки также приближенно равна ошибке в
измерении тока короткого замыкания Д| 1/,| « Д|7,(0, Уд = оо) |,
когда отношение zer/teri велико, поскольку У,о « У, « j(aCs.
На рис. 3.5.7 и 3.5.8 приведены результаты расчета и изме-
рений ошибок в величине выходного напряжения в зависимости
от расстояния между зондом и хорошо проводящей поверх-
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде
237
J//7
Рис. 3.5.6. Зависимость величины ошибок для тока короткого замыкания и
напряжения холостого хода неизолированного и изолированного зондов, на-
ходящихся в среде без потерь, от расстояния между зондом и поверхностью
раздела. (Параметром является отношение еег/еегг.)
ностью раздела, смоделированной в эксперименте с помощью
плоской металлической пластины [27]. Результаты, представ-
ленные на обоих рисунках, соответствуют случаю, когда адми-
танс нагрузки |Уг|»|У|; поэтому приблизительно такими же
будут ошибки в величине тока короткого замыкания. Рис. 3.5.7
соответствует неизолированному зонду, находящемуся в среде
без потерь (воздух), а на рис. 3.5.8 приведены результаты, по-
лученные для неизолированного и изолированного зондов
(b/а = 3,28; еег/еен = 37,1), находящихся в слабо поглощаю-
щей среде (пресная вода с ее, « 77,8; а/р — 2,4• 10-2). Для
обоих этих случаев наблюдается хорошее соответствие между
теорией и экспериментом. Большой разброс ошибок связан с
тем, что числитель выражения (5.14а) представляет собой раз-
ность между двумя примерно одинаковыми числами. Поэтому
небольшая ошибка в каждом из этих чисел может приводить
к большой относительной ошибке в результате расчета. Так,
например, если величина Д| V| равна приблизительно 0,1, то
238
Глава 3
Рис. 3.5.7. Сравнение результа-
тов расчета и измеренных оши-
бок в величине выходного на-
пряжения для неизолированно-
го зонда, находящегося в не-
поглощающей среде, в зависи-
мости от расстояния между
зондом и поверхностью разде-
ла, |У£| > | У|.
-----теория; • — эксперимент.
Рис. 3.5.8. Сравнение ре-
зультатов расчета и изме-
ренных ошибок в величине
выходного напряжения для
неизолированного и изоли-
рованного зондов, находя-
щихся в поглощающей сре-
де, в зависимости от рас-
стояния между зондом и по-
верхностью раздела, b/а =
= 3,28; beriberi = 37,1.
-----теория; • эксперимент.
Вибраторная антенна в качестве зонда в материальной среде 239
ошибка ±1 % в измерении | V) и | Ио| может привести к
ошибке ±0,02 (±20%) в величине Л| V|.
Проведенный достаточно простой анализ показывает, что
взаимодействие между электрически коротким зондом и иде-
ально проводящей поверхностью раздела характеризуется не-
сколькими особенностями. Во-первых, ошибка в измерении от-
клика зонда уменьшается по мере уменьшения радиуса или
длины зонда. Во-вторых, при малой величине адмитанса на-
грузки зонда (|17|<С|У|) ошибка в отклике зонда меньше по
сравнению со случаем большого адмитанса нагрузки |Уь| 3>
В третьих, увеличение поглощения (а/p) в среде, окру-
жающей зонд, уменьшает взаимодействие (ошибку в отклике)
при достаточно большом расстоянии между зондом и поверх-
ностью раздела, однако может привести к увеличению взаимо-
действия, когда зонд расположен вблизи поверхности раздела.
Наконец, использование изолированного зонда при выполне-
нии условия beriberi 1 уменьшает взаимодействие (ошибку в
отклике) до уровня, который может быть получен с неизолиро-
ванным зондом тех же размеров, работающим в режиме холо-
стого хода, причем это взаимодействие в отличие от неизолиро-
ванного зонда не зависит от величины адмитанса нагрузки.
Глава 4
ВОЛНЫ И АНТЕННЫ В ПОГЛОЩАЮЩЕМ
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
4.1. ПЕРЕДАЧА ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ В ЗЕМЛЮ
ПРИ НОРМАЛЬНОМ ПАДЕНИИ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В предыдущих главах при изучении как неизолирован-
ных, так и изолированных антенн делалось допущение о беско-
нечной протяженности окружающей среды. В действительности
же тело, в которое помещается антенна, имеет конечные раз-
меры и вполне определенные границы. Например, антенна мо-
жет быть помещена в соленую или пресную воду, сухой и влаж-
ный грунт или лед; она может быть также помещена в кожу
или другие мягкие ткани живого организма. При этом она мо-
жет находиться достаточно далеко от границы с воздушной сре-
дой, так что распределение тока и адмитанс оказываются почти
такими же, как и в бесконечно протяженной среде. Однако элек-
тромагнитное поле, создаваемое этими токами в материальном
теле и воздушной среде, сильно зависит от формы и относи-
тельного расположения граничной поверхности. Прямой расчет
электромагнитного поля, создаваемого во всех точках про-
странства токами передающей антенны, находящейся внутри
материального тела, сложен из-за наличия отражений на гра-
нице. К их числу относятся полное внутреннее отражение и рас-
пространение боковой волны, рассматриваемые в одной из по-
следующих глав. Несколько проще обратная задача передачи
из воздушной среды в полупространство, заполненное веще-
ством, особенно когда волна падает нормально к границе. В этом
случае поле в поглощающей среде можно довольно легко опре-
делить (на любой глубине) в виде его зависимости от основ-
ных параметров и частоты. Это поле представляет большой ин-
терес как источник возбуждения для погруженных приемной
и рассеивающей антенн.
Первый шаг в исследовании свойств простых пассивных ан-
тенн, погруженных в изотропное и однородное полупростран-
ство, состоит в том, чтобы вывести формулу для возбуждающего
электромагнитного поля, выраженного для точки произвольной
глубины через напряженность поля падающей волны в воздухе
на границе раздела с поглощающей средой [1]. Здесь учиты-
ваются отражение от плоскости границы в воздушное полупро-
странство и передача с ослаблением в поглощающее полупро-
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
241
странство. Как отражение волн на границе, так и затухание их
при распространении в среде зависят от частоты.
Пусть верхнее полупространство (область 0, воздух) харак-
теризуется волновым числом k0 = Ро = со/с, где с = (poeo)~1/2 =
= 3-108 м/с — скорость света, и волновым сопротивлением
£о = (цо/ео)1/2 « 120л Ом. Нижнее полупространство имеет ком-
плексное волновое число
fei = ₽i + Zai = PQe./2(l +iPiy/2t (1.1)
где Bi = Brieo — вещественная эквивалентная диэлектрическая
проницаемость, си — вещественная эквивалентная проводимость,
выражаемая в См/м, и pt = Oi/coei— тангенс угла потерь. Для
упрощения записи дополнительный индекс е опускается. Пред-
полагается, что [и = р0; как обычно, со = 2л/ и зависимость от
времени выражается членом Вещественные фазовая по-
стоянная и коэффициент затухания определяются выражениями
р, = Wf f (р ,)=(®Ж) 1 f (Pl )/p.l • (1 -2)
«, = f (P,) = (»йМ) |S (P, )/P, J. (1 -3)
где f(p) = ch(‘/2 Arshp) и g(p) = sh(‘/2 Arsh p). Графики f(p),
g(p), f(p)lp и g(p)lp как функции p представлены на рис. 4.1.1
с частотными шкалами для сухой, влажной и мокрой земли.
Волновой импеданс среды имеет вид
£, = +Р?),,г- О-»
Граничная плоскость между двумя областями соответствует
координате г = 0 при положительном направлении оси z в
землю . Плоская электромагнитная волна, падающая нормально
к границе раздела, определяется в воздухе выражением
elx(z, f) = ReE((z, со)e~iu>t = Е‘х (0, со) cos (со/— р„г). (1.5)
Комплексная амплитуда поля равна
Elx(z, со) = Е£(О, со)е‘Р«г. (1.6)
Магнитное поле, связанное с электрическим, имеет комплекс-
ную амплитуду By(z, со) = Ех (г, со)/с. Комплексная амплитуда
волны, передаваемой в землю,
(г, со) = (0, со) Г(егЧ12> (1.7)
а вещественное мгновенное значение
e‘x(z, /) = Е((0, со)|Г,]е и‘г cos (со/ — р.г 4- фД (1.8)
242
Г лава 4
Земля частота, МГц
СуХИЯ 25 12,8 5 J 2^5 0,57 0,25 0,17 0,13 0,10
Влаж-цо 72 3018« 5.0 289 20 Ti, Тб0 7
идя у i । I I I I '| I__I_____j____
Мон- 150 90 55 30 20 18 6,0 3,56 1,8 1,2 1,0 0,7
рая it । ।। । I ,j।।।
О 0,5 1
р 0 5 10 15 20 .25
Рис. 4.1.1. Функции f(p) и g(p)
и связанные с ними величины.
где комплексный коэффициент передачи через границу воз-
дух — земля
rf = 2po/(₽o + kJ =| rtK£4 (|.9)
Ясно, что выражение (1.8) описывает плоскую волну, распро-
страняющуюся в глубь земли с фазовой скоростью vp = <»/Pi и
амплитудой, которая уменьшается на границе (в соответствии
с множителем |Г\|) и затем экспоненциально затухает при
углублении в землю.
Коэффициент отражения у поверхности
Гг = Г( - 1 = (Ро - kj/$o + kJ =\Гг\е~ l*r. (1.10)
Отраженная волна имеет вид
^(z, t) = Elx{0, ®)|Гг|соз(®/ + Рйг + Фг), (1.11)
и распространяется без затухания в воздушном пространстве
(вверх) с фазовой скоростью с ~ ы/р0.
Волны и антенны в поглощающем полупространстве 243
Отношение поля на произвольной глубине г = d к полю на
поверхности имеет простой вид:
E‘x(d, а>)/Е1х(0, = = (1.12)
Величина этого отношения, равная е a,d, представлена на
рис. 4.1.2 в функции частоты; глубина d, выраженная в метрах,
взята в качестве параметра для трех случаев — сухой, влажной
и мокрой земли.
Основной интерес представляет отношение электрического
поля на произвольной глубине г = d к падающему полю при
z = 0. Это комплексное отношение известно как стационарная
передаточная функция и представляется в виде
Gid, &) = GR(d, со) — iG,(d, co) = |G(d, со) ехр[—с’Ф (d, со)] (1.13)
Тогда
G(d, <ф = Е‘х№, <ф/Е‘х(0, со) = | Г, | exp [z (k,d — ф,)], (1.14)
откуда | G (d, со) | = | Г( I e~a,d, Ф (d, со) = ф/ — p,d. (1-15)
В частности, при d = 0
| G(0, со) | = | Г41, Ф(0, со) = ф(. (1.16)
Свойства волны, передаваемой в землю, в установившемся
режиме полностью определяются комплексной передаточной
функцией G(d, со). Свойства этой функции методически удобно
рассмотреть сначала на обоих концах спектра, т. е. в низко-
частотном и высокочастотном диапазонах, где могут быть сде-
ланы полезные упрощения.
Низкочастотный диапазон зададим неравенствами
р\ > 1 или р2^25, (1.17)
что эквивалентно со ^0,2oi/ei или f ft, где ft = 3600(сТ]/ег1)
МГц — верхняя граница низкочастотного диапазона. В этом диа-
пазоне можно считать f(p\) « g(p\) « (pi/2)1/2 (см. рис. 4.1.1),
так что
| Tf | « 2 (соеоЮ1/2, (1.18)
Ф/ ~ arc^g {(ст^гсое!)1'2/!! -Нф/2сое0)]} ~ п/4, (1.19)
Р, « а, « ₽0 (erlP1/2)1/2 ~ (<оц0ст1/2)'/’> = l/ds, (1.20)
где ds — глубина проникновения. Таким образом, в низкоча-
стотном диапазоне
|G(d, со) | =» 2 (®е0/сТ|)1/2ехр (— d/ds), (1.21)
ф(</, со) = ф,-р^~ (n/4)-(d/ds). (1.22)
244
Г лава 4
£*(о,а>)
О
0,01
0,8
0,6
0,2
1,0
0,8
0,6
0,0
0,2
1,0
0,8
O,ffk
0/t
d,2|~
E^tci, ш)
Е*^)
i
E^(d,io}
Е*{О,ы)
оа
100
1 3'56 10
Частота, МГц
Рис. 4.1.2. Модуль отношения напряженности электрического поля на глу-
бине г = d (м) к напряженности электрического поля на поверхности z = О
в зависимости от частоты.
Из формулы (1.21) следует, что |G(d, и) | растет с частотой
благодаря члену <о1/2 и вместе с тем уменьшается из-за экспо-
ненциального затухания. Максимум функции |G(d, <о)| (при
условии, что он существует в заданном низкочастотном диапа-
зоне) имеет место при d — ds, т. е. при / = l/nd2pocn. Соот-
ветствующее максимальное значение равно
\G(d, ©) |макс = (2/dai)(2e0/n0),/?exp(—l) = (2,76/d<r1) • 1(Г3. (1.23)
Из формулы (1-21) с очевидностью вытекает, что на достаточ-
но низких частотах функция G(d, ®) сначала растет
пропорционально f1''2 вдоль прямой с наклоном 45° (при уве-
Волны и антенны в поглощающем полупространстве 245
дичении частоты от 0), а после достижения максимума экспо-
ненциально уменьшается. Одновременно с этим угол Ф(с1, со)
сначала увеличивается в направлении по часовой стрелке про-
порционально f'/2, так что конец вектора G(d, со) описывает
спираль относительно начала координат, расширяющуюся на
низких частотах, а после прохождения максимума эта спираль
на более высоких частотах сжимается. Отметим, однако, что
такое описание справедливо, только пока f <Z ft. В зависимо-
сти от свойств среды и глубины d значение частоты может
лежать до или после максимального значения \G(d, со) |.
Следует отметить, что | G (d, со) | ->• 0 при Это озна-
чает, что при f ->• 0 падающая волна полностью отражается и
через границу не передается. Этот вывод имеет первостепенное
значение при изучении передачи импульса в землю.
Высокочастотный диапазон определяется неравенствами
р2{ <С 1 или р2{ «С 0,04, р, 0,2, (1-24)
что эквивалентно со 5ff]/ei или f fh, где fh =
— 9- 104(ст1/еГ1) МГц представляет собой нижнюю границу вы-
сокочастотного диапазона. В этом диапазоне можно считать
f(pi) « 1, g(pi) « pi/2 = ffi/2(oei (см. рис. 4.1.1), так что
| Г< | « 2/( 1 + еV*), « ст,/2сое0 (eV/ + 8Н), (1.25)
₽1 - со (ц0е,)-/2 = ₽ое а, ~ о, (р0/е^/2 = о^2. (1.26)
Коэффициент затухания ос.] в этом диапазоне не зависит от
частоты и волновое число Pi линейно меняется с частотой. Та-
ким образом, передаточная функция записывается как
\G(d, со) Н [2/(1 +8>/2)]ехр[- (1.27)
Ф(с/, со) « ст1/2соеГ1(е'/ + 8г|) —cod/ii^e,)'/2 « — &d (роб,)’/2. (1.28)
Следовательно, при достаточно высоких частотах f > fh и лю-
бой глубине функция \G(d, со) | есть константа, не зависящая
от частоты. При d = 0 угол Ф(0, со)-* 0, когда f—оо; если
d > 0, то основная составляющая ® (d, со) линейно возрастает
с увеличением со. Это означает, что при f > fh конец вектора
G{d,(d) с увеличением частоты описывает окружность в на-
правлении вращения часовой стрелки (отрицательные Ф).
4.2. СТАЦИОНАРНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
ДЛЯ СУХОЙ И МОКРОЙ ЗЕМЛИ
Чтобы проиллюстрировать поведение стационарной
передаточной функции G (d, со) = | G (d, со) | ехр [—сф(й, со)] =
— Gp(d, со)—iGi (d, со) в изотропном и однородном полупро-
246
Глава 4
странстве, полезно -рассмотреть три важных для практики
конкретных случая [2]:
Сухая земля: еи=7,
Влажная земля: ег1 = 15,
Мокрая земля: ег1 = 30
Qi = 10 3 См/м,
/( = 0,51 МГц,
<Т] = 1,2- 10~2 См/м,
/( = 2,84 МГц,
сГ] = 3 102 См/м,
/, = 3,56 МГц,
Pi = 2,58 • 106//;
fh = 12,8 МГц;
А = 14,4- IO6//;
= 72 МГц;
Pi= 18,0- 106/f;
/Л = 90 МГц.
В каждом из этих случаев /( — верхняя граница низкочастот-
ного диапазона, которой соответствует pi = 5,0; /й — нижняя
граница высокочастотного диапазона с соответствующим зна-
чением рн = 0,20. Для диапазона промежуточных частот, ле-
жащих между /, и fn, нужно использовать общие формулы.
Соотношения между тангенсом угла потерь функциями
Pi ~ и й] ~ g(Pi) /Р\ и частотой для указанных трех
типов грунта приведены на рис. 4.1.1.
Передаточная функция G(d, со) для сухой земли графиче-
ски представлена на комплексной плоскости (рис. 4.2.1) с ча-
стотой в качестве параметра. При d = 0 функция G(0./o) воз-
растает пропорционально <о’/2, почти точно следуя радиальной
прямой Ф(0, о) = 45° вплоть до верхней предельной Частоты
// = 0,505 МГц. Высокочастотный диапазон начинается с f —
= 12,8 МГц и простирается до f — оо. В этом диапазоне гра-
фик функции G(0, о) на комплексной плоскости представляет
собой небольшой участок дуги. Заметим, что G(0, оо) = 2/(1 +
eiQ = о,55 и Ф(0, оо) = 0.
На рис. 4.2.1 построены также графики G(d, <о) для значе-
ний d— 1, 5, 15 и 25 м, вид которых определяется поведением
этой функции на низких и высоких частотах. Поскольку диапа-
зон низких частот простирается от / = 0 до / = /, = 0,505 МГц,
на рис. 4.2.1 он соответствует лишь сравнительно небольшим
участкам кривых. Все кривые начинаются в 0 и совпадают
с прямой с углом наклона 45°, а затем отклоняются от нее
из-за наличия члена d/ds в выражении (1.22). Высокочастот-
ный диапазон начинается с / = fh = 12,8 МГц. Как можно ви-
деть, этот диапазон достигается при d = 1 и 5 м и практически
при d— 15 м. Соответствующие этим случаям кривые — окруж-
ности с радиусами, определяемыми из формулы (1.27), т. е.
| 0(1, ы) | = 0,55ехр(—0,0714) = 0,51, | G (5, ©) | = 0,55 X
Хехр (—0,357) = 0,39 и | G (15, со) | = 0,55 ехр (—1,08)=0,187. При
d = 25 м имеем | G (25, ы) | = 0,55 ехр (—1,78) = 0,093. Эта кри-
вая уже при 5 МГц закручивается по спирали внутрь весь-
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
247
Рис. 4.2.1. Передаточная функция G (d, <в) = Ех (d, <п)/Ех (0, <о) для сухой
земли (6ri = 7, 01 — 10~3 См/м) в представлении на комплексной плоскости.
В качестве параметра служит частота в мегагерцах. Глубина d указана в
метрах.
ма близко к предельной окружности с радиусом 0,093. Когда d
мало, а величина <о не слишком велика, член | Г/1 в формуле
(1.14) становится доминирующим и, так как он растет с ча-
стотой, кривые спирально раскручиваются до предельной вы-
сокочастотной окружности. Если же величины d и <о достаточ-
но большие, то в формуле (1.14) преобладает экспоненциаль-
ный сомножитель и кривая закручивается по спирали внутрь,
приближаясь к предельной высокочастотной окружности, ра-
диус которой не зависит от частоты. В случае сухого грунта
небольшой загиб внутрь виден для кривой, соответствующей
d — 25 м.
Передаточная функция G(d, <о) для случая мокрой земли
представлена на комплексной плоскости рис. 4.2.2. При d — О
248
Глава 4
Рис. 4.2.2. Передаточная функция G (d, и) = Е*х (d, и)/Е*(0, ®) для мокрой
земли (eri = 30, 01 — 3-10_2 См/м) в представлении на комплексной плоско-
сти. В качестве параметра служит частота в мегагерцах. Глубина d указана
в метрах.
кривая выходит из нуля и с увеличением частоты идет близко
к прямой с углом наклона 45°. Верхняя граница низкочастот-
ного диапазона /( = 3,56 МГц, что достаточно велико для по-
строения на рисунке значительной части графика. Высокоча-
стотный диапазон начинается с 90 МГц. G(0, оо)-> 2/(1 -f-
4- (30) '/2] == 0,309, а Ф (0, оо) = 0 при f -> оо.
Когда d = 1 м, функция G (d, со) ведет себя так же, как на
рис. 4.2.1 для случая сухой земли, за тем исключением, что а\
теперь больше и радиус предельной высокочастотной окружно-
сти получается намного меньшим. Диапазон высоких частот
начинается с 90 МГц примерно после 1,5 оборота относительно
начала координат. Когда <1 = 5 м, затухание велико и стано-
вится существенным уже в низкочастотном диапазоне. Поэто-
му частота, соответствующая максимуму передаточной функ-
ции, f = 1/лД2цо(Л = 0,338 МГц, а максимальное значение
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
249
функции, определяемое из формулы (1.23), |G(5, со) | =0,0184.
С увеличением частоты выше этого значения передаточная
функция продолжает по спирали закручиваться внутрь. После
многих витков она должна достичь высокочастотного диапа-
зона (f = 90 МГц) на окружности с малым радиусом
| G (5, <о) | = 0,0018. При d =10 м постоянная затухания а1
имеет еще большую величину; | G (10, со) | макс = 0,0092 при ) =
Рис. 4.2.3. Действительная и мнимая части передаточной функции G(d, w) =
— Ex(d, <о)/Ех (0, <»)для влажной земли (е,1 = 15, Oi = 1,2-10-2 См/м).
= 0,0846 МГц, т. е. находится далеко внутри низкочастотного
диапазона. Функция G (10, со) с дальнейшим увеличением ча-
стоты закручивается по спирали к центру и после многих вит-
ков должна достичь предельной высокочастотной окружности
с радиусом | G (10, со) | = 10-5 при f = 90 МГц.
Кривые рис. 4.2.1 и 4.2.2 дают полную картину частотной
зависимости передаточной функции G(d, <о). При d = 0 функ-
ция G(0, <о) равна Г/ — комплексному коэффициенту передачи,
характеризующему полную передаваемую волну, когда она
проходит границу воздух — земля, чтобы войти в грунт. Влия-
ние глубины расположения в грунте d и зависящих от нее ве-
личин коэффициента затухания и фазового сдвига отражается
в различии между функциями G(0, <о) и G(d, <о). Кривые за-
висимости GR(d, <о) и Gi(d, <о) от частоты для промежуточного
случая влажной земли приведены на рис. 4.2.3.
250
Г лава 4
Когда антенна расположена параллельно поверхности раз-
дела на глубине d от этой поверхности и ориентирована так,
что ее ось параллельна вектору электрического поля, переда-
точная функция G(d, со) представляет собой нормированное
электрическое поле, имеющее одинаковую фазу и постоянную
амплитуду по всей длине антенны.' Если антенна повернута в
горизонтальной плоскости на угол V, нормированное поле
вдоль ее длины имеет ту же самую фазу и постоянную ампли-
туду G(d, со) cos ЧЛ Если же антенна не лежит в горизонталь-
ной плоскости, то и амплитуда, и фаза поля меняются вдоль
антенны, и индуцированный в антенне ток определить гораздо
сложнее. Это справедливо также и в случае, когда антенна
лежит в горизонтальной плоскости, но волна падает на по-
верхность раздела воздух — земля не под прямым углом.
4.3. ПРОХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСА В ЗЕМЛЮ
Поле волны, нормально падающей на плоскую поверх-
ность земли, может представлять собой не периодически ме-
няющуюся во времени бегущую волну, как предполагалось в
предыдущем разделе, а некоторый импульс. Это означает, что
электрическое поле падающей волны будет иметь неизменное
мгновенное значение по всей плоскости (в воздухе), парал-
лельной поверхности земли, но вдоль оси г и во времени —
форму некоторого импульса. Обычно используют *импульс гаус-
совой формы в виде
e\(z, t) = elx(O, 0) exp [—(/— z/c)2/2/2]. (3.1)
где Zi — постоянный параметр, характеризующий ширину им-
пульса во времени, а г, = ctt — соответствующая ширина им-
пульса в пространстве [3]. Это распределение иллюстрируется
на рис. 4.3.1. При z = Q отношение е£(0, t)/elx (0, 0) есть функ-
ция времени; при t = 0 отношение e£(z, 0)/е(.(0, 0) является
функцией нормированной координаты z/c. Отметим, что t —
= t\ — это время, за которое величина импульса, имевшего
максимальное значение при z = 0, уменьшается до уровня
е-'/2 — 0,606. За время, равное 1,175 21, амплитуда импульса
уменьшается в два раза.
Спектр частот, содержащихся в импульсе (3.1), определяет-
ся его преобразованием Фурье:
со
E‘x(z, со) = efv(z, t) eitot dt =*'
~ со
ОО
= ех(0, 0) ехр[—(/— z/c)2/2/1]eiwfd/. (3.2)
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
251
После несложного интегрирования получаем
Е*х (г, со) = е‘х (0, 0) exp (йог/с) /, (2л)1/2 ехр(— со2/2/2). (3.3)
На границе раздела воздух — земля, т. е. при z — 0,
£1(0, <о) = е(.(0, 0)/1(2л)'/2ехр(- ®2ф). (3.4)
Поле волны, переданной в землю, на глубине z = d и на ча-
стоте со будет иметь вид
Е‘х (d, со) = Е1Х (0, ©) G (d, ©), (3.5)
где G(d, со) — передаточная функция, определенная форму-
лой (1.14). Мгновенное значение поля на глубине d, обуслов-
Рис. 4.3.1. Падающий импульс гауссо-
вой формы.
~3 -Z -1 0 1 2 3
ленное действием всего импульса гауссовой формы, определяет-
ся следующим интегралом обратного преобразования Фурье:
e\{d, /) = (2л)"‘ j £l(d, <o)e"toZdco =
— 0О
— (2л)-1 J £1(0, &)G(d, d®. (3.6)
— oo
Учитывая формулу (1.14) и то, что <?l(d, /) и Е1Х (0, со) — веще-
ственные функции, получаем
e^d, /) —(2л)-' £1(0, ©)|G(J, со) | cos [со/ + Ф (d, со)] с/со. (3.7)
-99
252
Г лава 4
Поскольку этот интеграл — четная функция относительно ы,
можно записать
е'х (d, t} = л 1 Е‘х (0, со) | G (d, со) | cos Ф (d, со) cos со/ da —
и
ОО
— лЕ‘х (0, со) | G (d, со) | sin Ф (d, со) sin со/ da.
(3.8)
С учетом формулы (3.4) получаем
2е‘ (0, 0) t,
\ | G (d, со) I cos Ф (с/, со) X
.0
X ехр (— и2/^2) cos со/ da —
— | G (d, со) | sin Ф (d, со) ехр(— a>2z2/2) sin at da I.
о J
В этом выражении первый интеграл — четная функция
рой — нечетная. Однако падающее поле при г = 0
е1' (0, 0) /, Г°°
е1х (0, /) = —— j ехр (— со-/2/2) cos at da =
= e‘x (0, 0) exp (— /2/2/2),
е‘ (d, t) =-----------fjv
х (2л)1/2
(3.9)
I,
а вто-
(3.10)
есть четная функция /. Таким образом, импульс, передаваемый
в землю, имеет как положительную, так и отрицательную со-
ставляющие, если даже импульс поля в воздухе был положи-
телен.
Из того, что поле падающей волны положительно, следует,
что в его спектре содержится значительная составляющая ну-
левой частоты (т. е. постоянная составляющая). Однако было
показано, что стационарная передаточная функция на нулевой
частоте равна нулю. Следовательно, нуль-частотная составляю-
щая падающего импульса полностью отражается, а положи-
тельная и отрицательная части передаваемого импульса урав-
новешиваются так, что его среднее значение равно нулю. Это
означает, что форма передаваемого импульса при всех z > 0
(в земле) должна сильно отличаться от гауссовой формы па-
дающего импульса при z <. 0 (в воздухе).
При бесконечных верхних пределах интегрирования выра-
жение (3.9) не поддается численной оценке. Было, однако, по-
казано, что в случае гауссова импульса замена бесконечного
верхнего предела интегрирования величиной ас — 2,6 /] вле-
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
253
время, мкс
Рис. 4.3.2. Распространяющаяся в глубь среды часть импульса гауссовой
формы в зависимости от времени I (мкс) и глубины й (м) для сухой
(e,i — 7, Ci = 10~3 См/м), влажной (e,i = 15, Oi = 1,2' 10-2 См/м) и мокрой
земли (e,i = 30, Oi — 3-10_2 См/м).
чет за собой пренебрежимо малую ошибку. Таким образом, под-
лежащий оценке интеграл имеет вид
i , 2,6Л
, 2е‘ (0, 0) ,
4 (d> о=—\ cos ~
— G^d, <d) sin «>/| ехр(—ю2/2/2) Ao. (3.11)
Оценка этой формулы была выполнена на ЭВМ, и были рас-
считаны отношения efx (d, t)/e‘x (0,0) для случаев сухой, влаж-
ной и мокрой земли при длительности импульса /, — 1 мкс и
для значений глубины d = 0, 1, 5, 10, 15, 20 и 25 м. На
рис. 4.3.2 приведены графики этого отношения в функции
254
Глава 4
времени. В соответствии с вышеизложенным каждая кривая
представляет собой некоторую суперпозицию четной и нечетной
функций времени. Положительный лепесток выше, но короче,
чем отрицательный. Из графиков видно, как меняется во вре-
мени амплитуда нормированного электрического поля на не-
которой фиксированной глубине. Для случая сухой земли, ко-
торый представлен в левой нижней части рис. 4.3.2, поле сна-
чала нарастает в положительном направлении до некоторого
максимума, затем спадает до нуля, меняет знак и нарастает
до второго максимума (имеющего меньшую абсолютную ве-
личину), где вектор электрического поля направлен в сторо-
ну, обратную его начальной ориентации. Затем поле спадает
сначала быстро, а потом сравнительно медленно. Такой ход
кривых наблюдается на всех глубинах от 0 до 25 м, причем
с увеличением глубины максимумы получаются позже и ста-
новятся более низкими и широкими. Семейства кривых такого
же типа наблюдаются и для случаев влажной и мокрой земли,
отличающихся более высоким затуханием, но максимумы здесь
получаются более низкими и широкими. Таким образом, если
на некоторой глубине d расположить дипольную антенну в го-
ризонтальной плоскости так, чтобы ее ось была параллельна
фронту падающего импульса, в ней будет индуцироваться ток
сначала одного, а затем другого направления. Если размер
антенны выбран в соответствии с временным циклом реверса
поля, в ней могут индуцироваться переходные колебания зна-
чительной амплитуды.
Из графиков рис. 4.3.2 видно, что ослабление поля с уве-
личением глубины в мокрой земле происходит гораздо быст-
рее, чем в сухой. Объясняется это экспоненциальным затуха-
нием на более высоких частотах, являющихся главными состав-
ляющими спектра передаваемого импульса, так как самые
низкие частоты спектра импульса в значительной мере отра-
жаются от границы воздух — земля. Отметим, что даже во
влажной земле на глубине 25 м существует довольно значи-
тельный сигнал.
Таким образом, когда нормально к плоской поверхности
земли распространяется возмущение электромагнитного поля
в виде импульса гауссовой формы с плоским фронтом, боль-
шая часть падающего поля отражается. Относительно неболь-
шая часть, передаваемая в землю, не содержит нуль-частотной
составляющей, а низкочастотные составляющие имеют очень
малые амплитуды. Таким образом, земля действует как отра-
жающий экран. Более высокочастотные составляющие, про-
ходящие в землю, распространяются в виде импульса с плос-
ким фронтом, состоящего из двух последовательных частей
с противоположно направленными электрическими векторами.
Волны и антенны в поглощающем полупространстве 255
С продвижением импульса в глубь земли амплитуды частот-
ных составляющих экспоненциально затухают, причем высо-
кочастотные составляющие затухают с глубиной быстрее. По-
скольку низкие частоты в значительной степени ослаблены в
спектре передаваемого импульса вследствие отражения на гра-
ничной поверхности, может существовать некоторая оптималь-
ная частота, на которой амплитуда максимальна. Однако, если
di и еГ| таковы, что максимум амплитуды имеет место на ча-
стоте высокочастотного диапазона, определенного формулой
(1.24), затухание, а следовательно, и амплитуда на всех более
высоких частотах по существу не зависят от частоты.
4.4. ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛНЫ В ПОЛУПРОСТРАНСТВО
С ПАРАМЕТРАМИ КОЖНОЙ ТКАНИ
При исследованиях свойств живых организмов для приема
сигналов, проникающих в тело снаружи, или для передачи ин-
формации изнутри на принимающий и регистрирующий при-
бор, расположенный на некотором расстоянии в окружающей
воздушной среде, могут потребоваться погруженные зонды.
Комбинации передающего и приемного устройств, выполненные
в виде миниатюрных приемопередатчиков, заключенных в обо-
лочку, также находят применение, когда передачу информации
из живого организма нужно начать по сигналу, посылаемому
снаружи.
Вследствие больших размеров земли представление частей
ее поверхности как сечений полупространства является хоро-
шим приближением при исследованиях подповерхностных по-
лей и погруженных антенн. Аналогичный подход можно при-
менить и при определении полей и исследовании антенн в те-
лах много меньших размеров при условии, что частота доста-
точно высока и тело имеет достаточно большое поглощение.
Так, например, если в живом организме вблизи от поверхности
тела нужно расположить антенну и если эту поверхность на
ограниченном участке можно считать приблизительно плоской
в пределах длины волны или более, то электрическое поле на
небольшой глубине под поверхностью тела можно определять
таким же способом, как в предыдущих разделах.
Рассмотрим задачу, связанную с размещением приемопере-
датчиков в коже домашнего животного с целью идентифика-
ции электронными средствами и телеметрических исследований.
Будем считать, что поле имеет вид плоской волны, нормально
падающей на полупространство, обладающее электрическими
характеристиками кожи или шкуры [4]. Как показано на
рис. 4.4.1, в данном случае плоская электромагнитная волна
с электрическим вектором Ely(z, а) падает нормально на плоскую
256
Г лава 4
границу z = 0 между воздушной средой (область 0 с е0
и Цо, а также <т0 = 0) и кожей или шкурой (область 1 с еь
Ц1 = Цо и ®i)- Диполь с подключенной в его середине нагруз-
кой расположен в области 1 на глубине d так, что его ось па-
раллельна как граничной плоскости, так и фронту падающей
электрической волны. Конечная цель состоит в том, чтобы вы-
разить напряжение Vl на нагрузке ZL через напряженность
падающей электрической волны Е1 (0, <о) на границе z = 0.
В качестве первого шага нужно записать передаваемое элек-
Область О
Воздух
<")
/ Область 1 (cf~^rr
/ Кожа
Дипольная антенна
Рис. 4.4.1. Плоская волна, падающая на полупространство со свойствами
кожной ткани, и погруженная неизолированная дипольная антенна.
трическое поле в виде нормированной комплексной передаточ-
ной функции G(d, <о) на глубине d (от 0,1 до 1 см) и на ча-
стоте, которая была бы подходящей с точки зрения практиче-
ских размеров антенны и соответствовала условию аппрокси-
мации области полупространством. Эта задача отличается от
задачи с грунтом тем, что диэлектрическая проницаемость и
проводимость кожи являются функциями частоты, а не кон-
стантами, как приближенно принималось в предыдущей за-
даче.
Относительная эквивалентная диэлектрическая проницае-
мость ем и выраженная в См/м проводимость кожи <Т] графи-
чески представлены на рис. 4.4.2 как функции частоты в диа-
пазоне от 50 МГц до 3 ГГц [5]. Числовые значения ег) и щ
приведены в табл. 4.4.1, где также даны значения тангенса
угла потерь pt = О\/ае,\. С увеличением частоты тангенс угла
потерь убывает во всем диапазоне, хотя проводимость од при
этом возрастает, а проницаемость е, уменьшается. В этой таб-
лице представлены и числовые значения вещественного вол-
нового числа &0 = 0О = а>/с = (<о0е0)1/2 длй воздуха и
= Р, + +ipJP, (4.1)
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
257
Рис. 4.4.2. Относительная диэлектрическая проницаемость efl и проводимость
at кожи [5].
где ₽! — вещественная фазовая постоянная, а а, — веществен-
ный коэффициент затухания кожи. Нормированное по отноше-
нию к воздуху волновое число кожи
kiN - Ш (1 + Ф,)'/2- (4-2)
Длина волны в воздухе А,о = 2л/р0, а в коже Л|==2л/р|. Ча-
стотные зависимости р|ЛГ и aiN показаны на рис. 4.4.3, где так-
же представлена зависимость от частоты модуля комплексного
Рис. 4.4.8. Нормированное комплексное волновое число kiN = kt/fio =*
= pi« + i’aiA, и модуль коэффицента передачи Г/.
Q Зак. аы
258
Г лава 4
Таблица 4.4.1. Параметры кожной ткани
f, МГц 100 200 400
(О 0.628 x 109 1.256 x 109 2.51 x 109
ZO, М 3.0 1.5 0.75
00, М_| 2.09 4.19 8.37
&1* 75 57 48
<Т1,См/м*Г5] 0.75 0.80 0.85
Pt 1.80 1.26 0.80
к\, и-1 22.4 + <13.2 36.1 + <17.5 61.9 + <21.8
к\ц m к\/^о 10.71 +<6.30 8.62 + <4.17 7.40 + < 2.60
a.i/^1 0.59 0.48 0.35
At, см 28 17.4 10.1
Г, 0.132 — <0.071 0.175 — <0.076 0.217 -<0.067
Ini 0.150 0.191 0.227
(d = 0.1 см)
0.987 0.983 0.978
Ir.le’’1'1 0.148 0.188 0.222
(d = 0.5 cm)
0.936 0.921 0.897
1Г,1е~*“‘ 0.140 0.176 0.204
(d = 1 cm)
0.876 0.839 0.804
1Г,1е~’“' 0.131 0.160 0.182
коэффициента передачи Г/ на границе воздух — кожа, опреде-
ляемого выражением
Г< = 2/(1 = (4.3)
Как видно из рис. 4.4.3, коэффициент передачи |Г<| резко воз-
растает при частотах, близких к нулю, но после приблизитель-
но 600 МГц изменяется мало. Числовые значения Г/ и | Г/|
также даны в табл. 4.4.1.
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
259
700 1 000 1 500 3 000
4.40 х 109 6.28 х 10° 9.42 х 109 18.85 х 109
0.43 0.30 0.20 0.10
14.67 20.9 31.4 62.8
45 44 43.5 42
0.95 1.10 1.37 2.4
0.54 0.45 0.38 0.34
101.8 + /25.8 141.9 + /30.5 210.4 + /38.6 412.6 + /68.5
6.94 + /1.75 6.79 + /1.46 6.70 +/1.23 6.57 + /1.09
0.25 0.21 0.18 0.17
6.2 4.4 3.0 1.5
0.242 —/0.053 0.248 - /0.046 0.253 - / 0.040 0.259 - /0.037
0.248 0.252 0.256 0.262
0.974 0.970 0.962 0.934
0.242 0.244 0.246 0.245
0.879 0.858 0.822 0.710
0.218 0.216 0.210 0.186
0.772 0.737 0.680 0.504
0.191 0.185 0.174 0.132
Комплексная передаточная функция имеет вид
G (d, ®) = Е‘у (d, ^/Е1У (0, и) = rteik‘d = | Г( | e~a'de (4.4)
Особый интерес представляет величина Числовые
значения этой величины для глубин d = 0,1, 0,5 и 1 см при-
ведены в табл. 4.4.1, а соответствующие кривые — на рис. 4.4.4.
Из кривых видно, что в диапазоне 0,1 -С d 1,0 см модуль
передаточной функции достигает некоторого максимума вблизи
260
Глава 4
f — 700 МГц. Величина этого максимума лежит в пределах
от 0,242 при d = 0,1 см до 0,191 при d = 1,0 см. Множитель
e~“,d, характеризующий затухание, меняется от 0,97 при d =
= 0,1 см до 0,77 при d—l,Q см. Ясно, что снижение ампли-
туды приблизительно в четыре раза по сравнению с амплиту-
дой волны на поверхности раздела получается из-за отраже-
ния. На частоте 700 МГц большая часть волны (около трех
четвертей по амплитуде) отражается и только одна четверть
передается внутрь. Так как отражение от граничной поверхно-
Рис. 4.4.4. Модуль комплексной передаточной функции G(d, w) для кожной
ткани.
сти растет с уменьшением частоты, а затухание в коже уве-
личивается с повышением частоты, частота 700 МГц является
оптимальной для материалов с электрическими характеристи-
ками кожи. В области частот, близких к этому оптимуму, на-
пряженность поля на глубинах от (/ = 0,5 до (/=1,0 см будет
иметь наибольшую относительную величину.
Из табл. 4.4.1 видно, что при / = 700 МГц длина волны
в воздухе к0 — 43 см, а в коже Х| = 6,2 см. Следовательно, по-
луволновый диполь на этой частоте имеет длину около 3 см,
т. е. достаточно мал, чтобы его можно было ввести в кожу быка.
Если участок кожи над погруженным в нее диполем в основном
плоский во всех направлениях в радиусе 6 см, то приближение
полупространства должно быть справедливым (в отношении
боковых размеров). Слои кожи и мышечной ткани, расположен-
ные ниже погруженной антенны, должны быть достаточно тол-
стыми и создавать такое затухание, чтобы можно было прене-
бречь любыми отражениями, возникающими внутри тела. Это
условие в общем выполняется, если между кожей ’и мышечной
тканью нет значительного слоя жира.
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
261
4.5. ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛНЫ В ТРЕХСЛОЙНОЕ
ПОЛУПРОСТРАНСТВО С ПАРАМЕТРАМИ КОЖНОЙ,
ЖИРОВОЙ И МЫШЕЧНОЙ ТКАНЕЙ
Представление живого организма полупространством со
свойствами кожи в задаче определения отклика погруженной
дипольной антенны приемлемо, если слой кожи в реальном
теле достаточно толст и простирается намного ниже уровня
Рис. 4.5.1. Трехслойное полупространство в разрезе (г 0).
расположения антенны или же если между слоями кожи и мы-
шечной ткани нет сколько-нибудь значительного слоя жира. Мы-
шечная ткань составляет основную часть тела и по своим элект-
рическим характеристикам очень близка коже. Наличие тол-
стого слоя жира между кожей и мышечной тканью оказывает
существенное влияние па величину электрического поля на раз-
личных глубинах, поскольку и относительная диэлектрическая
проницаемость, и проводимость жировой ткани намного мень-
ше, чем у кожи и мышечной ткани.
Чтобы определить влияние слоя жира на электрическое поле
в живом организме на глубине d, удобно воспользоваться трех-
слоиной моделью (рис. 4.5.1). В этой модели одно полупрост-
ранство — воздушная среда (область 0, z < 0: е0, Цо; <то = 0),
а другое состоит из слоя кожи (область 1, 0 г а : е,, щ =
= цо, щ), слоя жира (область 2, а z а + b = с : е2, цг =
= цо, но) и бесконечного по толщине слоя мышечной ткани
262
Г лава 4
(область 3, с z оо : е3, ц3 — р0, о3). Падающая плоская
электромагнитная волна распространяется в направлении поло-
жительной оси z, причем ее электрический вектор направлен
вдоль оси у, а магнитный—вдоль отрицательной оси х. Частот-
ные зависимости относительных вещественных эквивалентных
диэлектрических проницаемостей е,/ и проводимостей ст/, где
/ = 1, 2 и 3, для кожи, жировой и мышечной тканей показаны на
Рис. 4.5.2. Относительная вещественная эквивалентная диэлектрическая про-
ницаемость ег, проводимость о и тангенс угла потерь р кожной, жировой и
мышечной тканей [5]. Области: 1—кожа; 2—жир; 3—мышечная ткань.
рис. 4.5.2. Там же приведены кривые тангенсов угла потерь р(,
числовые значения этих параметров сведены в табл. 4.5.1. Как
можно видеть, кожа и мышечная ткань обладают весьма похо-
жими характеристиками и имеют сравнительно большие ди-
электрические проницаемости и проводимости; жировая ткань
в отличие от них обладает очень малыми значениями диэлект-
рической проницаемости и проводимости. Это означает, что
электромагнитная волна испытывает сильное отражение не
только на границе воздух — кожа, но и на границах жир — мы-
шечная ткань и жир — кожа.
Падающая электрическая волна El(z, <а)—Е‘у(0, ш)ехр(/рог)
имеет на границе воздух — кожа амплитуду Е‘у(0, а). Задача
состоит в том, чтобы определить электрическое поле (нормиро-
Источник: Marha, Musil, Tuhd. Electromagnetic Field and the Life Environment, San Francisco Press, 1971.
1
264
Глава 4
Таблица 4.5.2. Коэффициенты отражения и передачи плоской волны fr и
Cs (я = 0,5 см кожной ткани, b = 1 см жира)
/, МГц 100 200 400 700
Л. 0.132- /0.071 0.175 -/0.076 0.217-/0.067 0.242-/0.053
fi. 1.61 +10.064 1.56 + i 0.059 1.51 +10.047 1.48+/O.O36
fl. 0.374 —/0.073 0.418-/0.075 0.455 -10.062 0.481 —10.047
fir —(.867 + 1.072) -(.825 + 1 .076) -(.782 +1.068) -(.759 + 1.053)
fir 0.606 +/0.064 0.556 + /0.059 0.510+ 10.047 0.481 +1О.ОЗ6
fir -(.625 + / .073) -(.582 + / .075) -(.545 +1.0621 -(.519 + i .047)
D 0.622 - i 0.070 0.661 -/0.066 0.670 — 10.082 0.656 — 10.176
D'1 1.59 +/0.179 1.498+10.150 1.470 + 10.180 1.422 + /O.382
Ci 6.135 - /0.086 0.186 - i 0.100 0.254 — 10.097 0.314 - / 0.049.
GJ 0.002 -/0.017 0.011 —/0.081 0.043 -/0.042 0.096 -1 0.002
Ci 0.356 -/0.094 0.411 -10.060 0.466 + /0.028 0.448 +/O.186
Ci —(.215 + /.ОО8) -(.210 + i .070) —(.155 + i .161) 0.001 -10.213
C3 0.127 — /0.047 0.166 - /0.027 0.196 - i 0.048 0.143 -/ 0.161
Co —(.863 + 1.103) -(.803 + / .131) -(.702 +1.139) -(.590 + 1.051)
1 +c0 0.137 — /0.103 O.197-/O.131 0.298 -10.139 0.410-1'0.051
ванное по отношению к единичной напряженности падающей
волны) на произвольной глубине z = d в слоистой структуре.
Таким образом, нужно найти комплексную передаточную функ-
цию
G (d, <о) = Eyl (d, (о)/Е1у (0, ш) = ЕУ1 (d, со), (6.1)
где Е^(0, а) = 1 В/м. Индекс j принимает значения 1, 2 или 3
в зависимости от того, в какой области (1, 2 или 3) оказывается
точка, взятая на глубине d. Электрическое поле в четырех рас-
сматриваемых областях 0, 1, 2 и 3 в нормированном по отноше-
нию Е1 (0, со)= 1 В/м виде описывается выражениями
£у0(г, со) = е‘Р»г 4-Coe“‘P'z, — oo<z<10, (5.2)
Ey\(z, co) = C(eift‘2 + Cl'e-£ft‘z, 0<z<a, (5.3)
Eyz(z, co) —C<teik!!: + C'{e~iklS, a^z + b — c, (5.4)
Eyiiz, co) ==C'zeik‘* ==Czeik‘(*~c\ c^z<oo, (5.5)
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
265
ft на трех границах и нормированные постоянные Со, Ct и Ct , С2 и С2 ,
1000 1 500 2 250 3 000
0.248 - 0.046 0.253 -10.040 0.257 - 1О.ОЗ8 0.259 - i 0.037
1.47 + i 0.032 1.466 + 10.028 1.44 + i 0.029 1.46 + 10.022
0.498 -10.036 0.506 -10.027 0.536 - i 0.021 0.521 - 1’0.033
-(.752 + i .046) -(.747 + 1 .040) -(.743 + 1 .038) -(.741 + 1 .037)
0.472 +10.032 0.466 + 10.028 0.440 + i 0,029 0.460 +10.033
-(.502 + i .036) -(.491 + i .021) -(.464 + I .021) -(.479 + i .022)
0.706 -1’0.325 0.986 -10.503 1.460-10.216 1.345 +10.303
1.169 + i 0.538 0.915 + 10.467 0.667 + 10.099 0.701 -10.158
0.304 — 10.013 0.237 -10.030 0.200-10.021 0.211 -10.074
0.079 +10.074 -.016 + 10.095 -.075 +0.027 -(.071 + i .054)
0.319 + 10.280 0.158 + 10.246 0.113 + 10.180 0.128+10.182
0.120 -10.124 0.108 + /0.024 0.014 +10.071 -.058 + 10.044
0.027 + 1 0.190 - .068 + 10.112 -.082 + 10.039 —(.095 + 1.009)
— .616 + 10.087 — .779 + 10.125 -.881 +10.006 -(.860 + i .128)
0.384 + 10.087 0.221 +10.125 0.119 + 10.006 0.140 — 10.128
где ₽0 = ш/с и = + /a/ = Poe'f(I+фу)|/2, / = 1, 2, 3.
Числовые значения параметров ег/, а/, pj — <Jj/ae,rj^o и kj пред-
ставлены в табл. 4.5.1 для широкого диапазона частот от
100 МГц до 3 ГГц.
Коэффициенты Со, С{, С", Сг, Сг и С3 можно определить,
если использовать граничные условия непрерывности электри-
ческого и магнитного полей на нескольких граничных поверх-
ностях. Используя уравнения Максвелла, получаем ив формул
(5.2) — (5.5) следующие уравнения для магнитного поля:
HxQ (z, со) = — [е/0°г — Сое-^«г]/Со, (5.6)
(z, со) = - [Cfe^* - (5.7)
/Лг(г, со) = - - C’{e~ik^2, (5.8)
На (z, со) = - С'3е‘к (5.9)
где = |ро/(е/ + io;/co) ]1/2 — волновые сопротивления. Так как
р3 = ц2 = [л = р0) условия непрерывности для Еу и Нх должны
выполняться на границах г = 0, а и с. Поскольку ц,- = ц0, в по-
лучаемых уравнениях можно сделать замену (kj+\/kj) =*
266
Г лава 4
= (£/Ду+|). Эти уравнения и их решения упрощаются, если
коэффициенты отражения и передачи на каждой границе ввести
в явном виде:
fir ~ (₽о — 6i)/(Po + 6;),
fir — (6j — 62)/(6, + 62),
/зг = (^2 — 63)/(62 + 63),
fu = fir+ 1 = 2₽о/(₽о + 6,), (5.10)
^ = f2r + l =267(6,+ U (5.11)
^ = ^+1 = 262/(62 + 63). (5.12)
Числовые значения этих комплексных коэффициентов приведены
в верхней части табл. 4.5.2. Шесть уравнений для коэффициен-
тов С, полученные из граничных условий, имеют следующие ре-
шения:
D = 1 + f2rf+ fir (f2r + f3re12M) ei2kia, (5.13)
C0 = D-1 [(/2Л + f3rei2k^ei2k'a + flr(l + f2rf3rel2k^], (5.14)
C( = Z?" 7It (1 + f2rhrei2k!b), C{=D~lfu(f2r + f3rel2klb)el2k-a, (5.15)
c;=D-7j2/(fc'-Wo, C2' = 0'7u+Milfel+fe2,“42fe,&, (5.16)
C3 = D-'fuf2tf3teik'aeik2b. (5.17)
Чтобы найти числовые значения этих постоянных и передаточ-
ной функции G(d, <о), нужно задать толщину кожи а и толщину
жирового слоя Ь. В общем случае толщина кожи или шкуры
может составлять от 0,1 до 1 см и более, а толщина жирового
слоя — от 0,5 до 1,5 см. Влияние этих слоев можно проанализи-
ровать, положив а = 0,5 см и b — 1,0 см, так что с = а + b =
= 1,5 см. Числовые значения постоянных С, приведенные в
табл. 4.5.2, рассчитаны для этих толщин. Для оценки G(d, со)
следует дополнительно задать глубину d. Чтобы можно было
провести непосредственное сравнение с предыдущим случаем,
когда рассматривалось проникновение в слой кожи, были вы-
браны те же самые значения d = 0,1, 0,5 и 1 см, а также допол-
нительно d= 1,5 см. Последнее значение соответствует грани-
це жировой слой — мышечная ткань, и поле здесь определяет
бегущую волну, передаваемую в бесконечно толстый слой мы-
шечной ткани.
На рис. 4.5.3 приведены графики зависимости комплексной
амплитуды Со — Сод + /Со/ отраженной волны в воздухе от час-
тоты. Здесь приведены значения модуля |С0| отраженной волны
и модуля | Со + 11 полного нормированного электрического по-
ля в воздухе на поверхности указанной слоистой органической
структуры. На нулевой частоте падающая электромагнитная
волна отражается полностью (СП/ = 0 и Со« = Со = —1) и пе-
редачи в слоистую структуру нет. С увеличением частоты ам-
плитуда отраженной волны уменьшается до некоторого минц-
Волны и антенны в поглощающем полу проел ранстве
267
Рис. 4.5.3. Нормированное электрическое поле на поверхности многослойной
структуры.
Рис. 4.5.4. Коэффициенты нормированного электрического поля в многослой-
ной структуре.
268
Глава 4
мума вблизи частоты f = 900 МГц, а затем снова возрастает
и убывает. Такой немонотонный характер зависимости обуслов-
лен отражениями от внутренних граничных поверхностей.
На рис. 4.5.4 представлены частотные зависимости комплекс-
ных постоянных С', — С'щ + iC'ji, С" =CjR ~г iCjj при /=1, 2.
В каждой из рассматриваемых областей коэффициенты со штри-
хом определяют комплексную амплитуду прямой волны, а с
двумя штрихами — отраженной. Суперпозиция этих двух волн
Рис. 4.5.6. Нормированный коэффициент для бегущей волны в неограничен-
ном по толщине третьем слое многослойной структуры.
дает результирующую волну’в данной области, которая имеет
характеристики как стоячей, так и бегущей волн, так как поле
на каждой ‘границе частично отражается, а частично проходит
через границу.
Комплексный коэффициент С3 = C3R -ф iC3! чисто бегущей
волны в неограниченной по толщине области 3 графически пред-
ставлен на рис. 4.5.5. Модуль этого коэффициента | С31 возрас-
тает от нуля при нулевой частоте до некоторого максимума
вблизи 700 МГц, а затем уменьшается с ростом частоты. Не-
большое наложенное колебание является следствием существо-
вания зависящих от частоты стоячих волн в областях 1 и 2 и
соответствующих вариаций поля, передаваемого в конечном
итоге через граничную поверхность z = с.
4.6. СРАВНЕНИЕ ПОЛЕЙ В ТРЕХСЛОЙНОЙ
И ОДНОСЛОЙНОЙ СРЕДАХ
При использовании погруженных приемопередающих ан-
тенн особенно важно определить модуль комплексной переда-
точной функции G(d, &) = Е1 (d, ы)/Е^(0, м). Эта функция от-
носится к довольно сложным, так как учитывает отражение
и пропускание на каждой из трех границ, а также затухание
с различными постоянными затухания в каждой из трех сред.
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
269
Рис. 4.6.1. Модуль комплексной передаточной функции для однослой-
ного и трехслойного полупространств.
-----кожная ткань 0,5 см, слой жира 1,0 см, мышечная ткань бесконечной толщины;
-------------------------кожная ткань бесконечной толщины.
Результаты расчетов, выполненных для нескольких значений глу-
бины, сравниваются графически на рис- 4.6.1.
При я? = 0,1 см расчетная точка находится очень близко к
поверхности кожи толщиной 0,5 см и к границе полупростран-
ства. В этом слое толщиной 0,5 см амплитуда поля на глубине
0,1 см весьма сильно меняется при увеличении частоты от 0 до
3 ГГц. Так, вблизи 850 МГц имеется большой максимум, а на
частотах за 3000 МГц—- глубокий минимум. Отклонения в мак-
симуме и минимуме относительно штриховой кривой (d =
= 0,1 см), построенной для случая полупространства со свойст-
вами кожи, приблизительно одинаковы. Осцилляции эти опре-
деляются главным образом модулем волны, отраженной от
границ жирового слоя, т. е. от границ области 2. Отметим, что
|С"| = (С"2 + С"2)‘/2 имеет максимум вблизи 1000 МГц и мини-
мум вблизи 2600 МГц.
Поле на глубине 0,5 см, которая соответствует границе
между областями 1 и 2, нарастает до максимума на частоте,
270
Г лава 4
Рис. 4.6.2. Нормированное электрическое поле как функция частоты; толщина
кожной ткани взята в качестве параметра.
близкой к 900 МГц, и затем спадает до минимума вблизи
2100 МГц. На высоких частотах амплитуда поля в трехслой-
ной структуре на этой глубине оказывается существенно больше,
чем в однослойной структуре (полупространство со свойствами
кожи), которая на рис. 4.6.1 представлена штриховой линией
с d = 0,5 см.
Глубина d=\ см соответствует середине жирового слоя
(область 2). Как видно из сравнения со штриховой кривой для
d = 1 см, амплитуда в жировом слое оказывается значительно
больше, чем на той же глубине в полупространстве со свойст-
вами кожи. Наличие максимумов и минимумов на графике
обусловлено резонансами.
Глубина d— 1,5 см совпадает с границей между областями
2 и 3, а значение d — 2 см соответствует погружению в мышеч-
ную ткань на 0,5 см. Амплитуды поля у этих частотных кривых
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
271
0,6
El 1 жир Мышцы
\ к *2 к3
а
а:
<3
к
’а
о
05
0,4
К г=0 а а*Ь
\х <1,0 ld(d,ajp в середи-
\ \ не слоя колки
d=a/2
Ь=1см
ьатггц
0,3
0,2
0,2\рХ
0,1
0,1
/5 0середине
’ жирового слоя
й=а*Ы2
b = 1см
,f=3,0 ГГц J
0,4
3
а
»а
Й2
7
> 0,1
лГ
аз
.2
Э
S'
ч
0,2
~ор
- f =0,4ГГц~<
- \ ‘ u___________________Л----~
- г\ -и-
— ~~2Д=
I <7,0^—
0,1
са
О 0,2 0,1/ 0,6 0,8 1,0
а, см
3
!
5
о
^-~0
Рис. 4.6.3. Нормированное электрическое поле как функция толщины кожной
ткани; частота служит параметром.
оказываются довольно близкими к тем, которые получены для
случая однородного полупространства. Максимумы и миниму-
мы кривых объясняются многократными отражениями в двух
поверхностных слоях.
Из рассмотрения рис. 4.6.1 следует заключить, что переда-
точная функция для однородного полупространства со свойст-
вами кожи не может служить надежной аппроксимацией пере-
даточной функции на соответствующих значениях глубины
в трехслойной среде. Поле в последней может оказаться значи-
тельно больше или меньше в зависимости от глубины и частоты,
на которых производится сравнение. Отсюда следует, что поля
в трехслойной среде с а = 0,5 см и b — 1 см не обязательно
будут характеризовать поля в слоях с другой толщиной.
272
Глава 4
f, ГГц
Рис. 4.6.4. Нормированное электрическое поле как функция частоты; толщина
жирового слоя взята в качестве*иараметра.
На рис. 4.6.2—4.6.5 проиллюстрированы эффекты, получае-
мые при различных толщинах кожи и жирового слоя. На
рис. 4.6.2 представлены частотные зависимости величины
\G(d, <о)|, взятой в середине слоя кожи (глубина d — a/2), в
середине жирового слоя (d — a-\-b/2) и в мышечной ткани
(d = а + b + 0,5 см). Переменным параметром служит толщи-
на слоя кожи а, а жировой слой имеет фиксированную толщину
b = 1 см. На рис. 4.6.3 та же информация дана в зависимо-
сти от толщины кожи а с частотой в качестве параметра. На
рис. 4.6.4 показаны частотные зависимости величины \G(d, о))|,
взятой на глубинах d = a/2 см в коже, d = a-j-b/2 в жиро-
вом слое и d = а + b -ф 0,5 см в мышечной ткани, но теперь
переменным параметром служит толщина жирового слоя Ь, а
Волны и антенны а поглощающем полупространстве
273
А см
Рис. 4.6.5. Нормированное электрическое поле как функция толщины жиро-
вого слоя; частота служит параметром.
толщина кожи принята фиксированной (а = 0,4 см). На
рис. 4.6.5 та же информация дана с толщиной b в качестве
переменной и частотой в качестве параметра.
Семейство кривых рис. 4.6.2, полученных при фиксированной
толщине жирового слоя, показывает, что на всех трех глубинах
d = a/2, a-j-b/2 и а + b + 0,5 см максимум электрического по-
ля с увеличением толщины кожи смещается в сторону более
низких частот; одновременно с этим снижается и величина
максимума. Из кривых рис. 4.6.4 также видно, что при фикси-
рованной толщине кожи максимум поля с увеличением тол-
щины жирового слоя смещается в сторону более низких частот;
однако теперь одновременно с этим величины максимумов в ко-
же и жировом слое увеличиваются. На обоих рисунках имеются
дополнительные максимумы, появляющиеся на более высоких
274
Глава 4
частотах. Кривые рис. 4.6.3 свидетельствуют об общем уменьше-
нии модуля \G(d, и) | при увеличении толщины кожи и о нало-
жении осцилляций на ход кривых в области более высоких
частот. Напротив, кривые рис. 4.6.5 показывают общее началь-
ное повышение |G(cf, <d) | при увеличении толщины жирового
слоя, за исключением полей в жировой и мышечной тканях на
более высоких частотах. Величины | G (с/, о>) [, представленные
на рис. 4.6.2—4.6.5, важны для расчета напряжения, созда-
ваемого погруженной антенной в подключенной к ней на-
грузке.
4.7. НАПРЯЖЕНИЯ НА НАГРУЗКЕ
НЕИЗОЛИРОВАННОЙ И ИЗОЛИРОВАННОЙ АНТЕНН,
ОКРУЖЕННЫХ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ
ИЗ КОЖНОЙ ТКАНИ
Напряжение на нагрузке любой погруженной антенны
прямо пропорционально комплексной передаточной функции
G (d, ю) в месте расположения антенны. Оно также более слож-
ным образом зависит от волнового числа для тока, наведенного
в антенне, и импеданса антенны. Чтобы можно было количест-
венно сравнивать свойства нескольких различных типов ан-
тенн, погруженных аналогичным образом, удобно и целесооб-
разно пользоваться представлением о полупространстве со
свойствами кожной ткани [6].
Если неизолированная металлическая антенна длиной 2/г
и радиусом а погружена в область 1 — полупространство со
свойствами кожи (см. рис. 4.4.1), то ток в нагрузке zl, под-
ключенной к антенне в ее середине, будет
НО) ==^^-«(0)2^^-,* (7.1)
где Zo — входной импеданс антенны, получаемый из Zo — \/Yo,
а У о определяется выражением (1.50) в гл. 2; гг(О)—ток, на-
веденный в середине антенны, когда ZL = 0. В гл- 7 показано,
что и(0) хорошо аппроксимируется следующей простой форму-
лой при условии, что антенна достаточно топкая (а <С /г) и
(3 i/г л/2:
и(0)
;'4лй1 Г 1—cos^i/г
®Н0
(7.2)
Вещественный параметр Тйуя и комплексная константа Wu(h)
определяются в гл. 7.
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
275
Напряжение на нагрузке
(d, ы)
V, =/(0)ZL
I — cos k\ h
^dURC0Sklh ~
(7.3)
Напряжение на
грузки (ZLoo)
VL(ZL->^)~
зажимах нагрузки при разомкнутой цепи на-
tAnZoE1 (d, со) Г 1 —cos k\h
“ + [ VdUR C0S k\h~'vи
Как видно из рис. 4.4.4 и табл. 4.4.1, в случае кожи и на
глубинах от d = 0,1 см до d =1,0 см функция G(d, со) дости-
гает своего наибольшего значения на частоте около 700 МГц.
На этой частоте комплексное волновое число ki = (Г + =
= 101,8 + 125,8 м-1, а длина волны М = 2л/Р1 = 6,2 см. Эти же
значения имеют волновое число и длина волны для тока, теку-
щего по неизолированной хорошо проводящей антенне, непо-
средственно погруженной в кожную ткань. Так как длина ре-
зонансной дипольной антенны несколько меньше половины длины
волны, в нашем случае она составит около 3 см, что прием-
лемо для имплантации таким крупным животным, как коровы
и быки. При заданной величине E‘(Q, со) = 193,8 В/м и взятом
из табл. 4.4.1 значении | G(d, <о) | напряженность поля переда-
ваемой волны на разных глубинах будет
E\d, со) = 46,9; 42,2; 37,0 В/м, d = 0,l, 0,5, 1,0 см. (7.5)
При Pi/z = n/2? 2/г = 3,08 см и <
имеем Tdi/R = 6,23 и Ч+(/г) = -
= 27,4 — 75,8 Ом [7]. Если ZL =
= 25,7 Ом. Теперь напряжение
бин легко найти из формулы
| = 0,57, 0,51, 0,45 В,
z = 0,435 мм (а/%1 = 0,007022)
-(0,11—72,66), а также Zo =
300 Ом, то |ZoZL/(Zo + Zi)| =
| Vl| для трех указанных глу-
(7.3):
d = 0,l, 0,5, 1,0 см. (7.6)
Если импеданс нагрузки имеет комплексно-сопряженную ве-
личину, соответствующую максимальной передаче мощности, т. е.
Z£ = Z; = 27,4 + /5,8 Ом, то | Z0ZL/(Z„ + ZL) | = (/?,( + ^)/2/?0 =
= 14,3 Ом. В этом случае на глубинах d = 0,1, 0,5 и 1,0 см
получаем I V+| =0,32, 0,28 и 0,25 В соответственно.
Вместо неизолированной металлической антенны можно ис-
пользовать изолированную. Изоляция может потребоваться,
чтобы избежать непосредственного контакта металла с живы-
ми тканями. Однако волновое число для тока вдоль изолиро-
ванной антенны будет уже не рь а (Зд, и длина вблизи резонаи-
276
Г лава 4
са будез определяться не выражением [ф/г « л/2, a |>z7z ж л/2.
Подходящей частотой в этом случае является 3 ГГц. Свойства
кожной ткани на этой гораздо более высокой частоте приведе-
ны в табл. 4.4.1. Передаточная функция на этой частоте имеет
несколько меньшие значения (рис. 4.4.4), чем на [ = 700 МГц.
Область О
доз дух
а>)
Рис. 4.7.1. Плоская волна, падающая на полупространство со свойствами
кожной ткани, и окруженная средой изолированная дипольная антенна.
Напряжение на нагрузке ZL изолированной! дипольной антенны
(рис. 4.7.1) определяется формулой
Vl = I(Q)Zl =
Е1 (d, со) |“ 1 — cos h 'j J" Z0Zl
TL [ cos kLh J [_ Zfl +
где комплексное волновое число kL = fk -|- Io,l равно
1 +
b) 11/2
ktb In (bja) ///’ (btbj J
(7.7)
(7.8)
Здесь //{ф и Я)”— функция Ганкеля, а Ь — наружный радиус
изолирующего цилиндра. В формуле (7.7) Zl — последователь-
ный импеданс на единицу длины, определяемый как
-
k^bH^ (kfi)
(соц0
z, =------------
2л
+ In (Z>/a)
(7.9)
Входной импеданс дипольной антенны в ее середине равен
ZQ = 2iZcctgkLh, (7.10)
где Zc— волновое сопротивление изолированной антенны:
с .fe,
(7-И)
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
277
а С, = ыцо/kt. В случае воздушной изоляции £г = £0 = (Цо/ео)1/2
« 120л Ом и ki = ро = <о/с. При замкнутой цепи нагрузки
£! (d, ш) Zn Г 1 — cos k.h 1 ,
VL (Zl -> oo) =------. 7.12
L ' L ’ zL |_ cos kLh J
На частоте 3000 МГц в кожной ткани ki = 412,6 + /68,5 м-1;
при b = 2,5а = 0,109 см величина kn, определяемая выражением
(7.8), становится равной kb = 92,6 + 724,2 м-1. Из соотношения
Pl/i = л/2 имеем 2/г = 3,4 см, что близко к 2/г = 3,08 см в слу-
чае неизолированной дипольной антенны на частоте 700 МГц.
Отсюда непосредственно следует, что zL = (0,393 — 70,699)X
ХЮ4 Ом/м, Zc = 81,0 + (21,2 Ом и Zo = 62,9 + 716,4 Ом. Ис-
пользуя эти величины и Zl = 300 Ом, получаем
|У£| = 0,82, 0,62, 0,44 В при г/ = 0,1, 0,5, 1,0 см. (7.13)
В случае комплексно-сопряженной нагрузки ] Vz.| = 0,48,
0,37 и 0,26 В при d = 0,1, 0,5 и 1,0 см соответственно.
На рис. 4.7.2 сравниваются напряжения, полученные на на-
грузке 300 Ом в случае неизолированной дипольной антенны
длиной 3,08 см на частоте 700 МГц и в случае изолированной
Рнс. 4.7.2. Напряжение на нагруз-
ке неизолированной и изолирован-
ной дипольной антенн, погру-
женных в кожную ткань на глу-
бину d.
---неизолированная дипольная ан-
тенна, f = 700 МГц:------изолирован-
ная дипольная антенна, f = 3 ГГц.
Е1 (и, ш) = 193,8 В/м
278 Глава 4
дипольной антенны длиной 3,4 см на частоте 3000 МГц. Как
можно видеть, при малых глубинах погружения изолированная
антенна создает большее напряжение на нагрузке на гораздо
более высокой частоте, несмотря на то что передаточная функ-
ция имеет при этом несколько меньшие значения. Причиной
этого является гораздо более высокая направленность изоли-
рованной антенны, имеющей острый максимум диаграммы на-
правленности в экваториальной плоскости.
Напряжение на нагрузке изолированной антенны можно
несколько повысить, увеличив толщину изолирующего цилиндра.
Так, если b = 4а = 0,175 см (вместо b = 2,5а), напряжения на
нагрузке 300 Ом будут | VL\ = 1,12, 0,85 и 0,60 В при d = 0,1,
0,5 и 1,0 см соответственно. Их можно повысить еще больше,
если применить эксцентрически изолированную антенну в до-
статочно толстом изолирующем слое. Пусть на частоте 3 ГГц
имеем b = 10а — 0,435 см, смещение металлического диполя
от оси цилиндрического изолятора D = Q,7b — 0,304 см, kb —
= 76,6 + t'12,3 м-', Zt = 117,4 + П9,0 Ом и Zo = 58,7 + t'9,5 Ом.
При pL/r = л/2 2й = 4,1 см. Напряжения на нагрузке ZL =
= 300 Ом получаются из формулы (7.7) умножением на мно-
житель горизонтальной составляющей поля, равный 1,52. То-
гда после умножения
\VL |= 1,81, 1,37, 0,98 В при d = 0,1, 0,5, 1,0 см (7.14)
Эти напряжения существенно больше тех, которые были получе-
ны для осесимметричной изолированной дипольной антенны с
6/а = 2,5 (| Гц| = 0,82, 0,62 и 0,44 В) или для такой же антен-
ны cft/a = 4 ([ VL | = 1,12, 0,85 и 0,60В).
4.8. НАПРЯЖЕНИЯ НА НАГРУЗКЕ СИНФАЗНЫХ
РЕШЕТОК ИЗ НЕИЗОЛИРОВАННЫХ
ИЛИ ИЗОЛИРОВАННЫХ АНТЕНН, ПОГРУЖЕННЫХ В
ПОЛУПРОСТРАНСТВО ИЗ КОЖНОЙ ТКАНИ
Если требуются напряжения, большие, чем можно полу-
чить от одиночных полуволновых неизолированных или изоли-
рованных элементов, две одинаковые дипольные антенны можно
соединить между собой двухпроводной линией с подключенной
к ней (в середине) нагрузкой Zl- Такое соединение показано
для случая элементов без изоляции на рис. 4.8.1 и для изоли-
рованных элементов на рис. 4.8.2 [8].
Напряжение на нагрузке такой решетки легко найти, если
известны напряжения Vl(Zl->oo) при разомкнутой цепи на-
грузки для одиночных антенн. Вследствие синфазных свойств
решетки токи в обеих антеннах идентичны, а в соответствующих
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
279
половинах двухпроводной длинной линии, соединяющей антен-
ны, текут равные, но противоположно направленные токи. Если
единственную нагрузку заменить ее эквивалентом в виде двух
Диполь
Рис. 4.8.1. Двухэлементная син-
фазная решетка в тонком контей-
нере, заполненном жидкостью.
Тонкая
пластмассовая
стенка
Водно - спиртовой
раствор с
включенных параллельно нагрузок, каждая из которых равна
2Zl, то в отношении своих нагрузок обе антенны станут незави-
симыми друг от друга. Каждая из
них окажется подключенной
Рис. 4.8.2. Двухэлементная синфазная
решетка из изолированных диполей.
D
2h
к отрезку двухпроводной линии длиной ^/4, нагруженному на
конце на 2Z/.. Отношение напряжения на входе линии к напря-
жению на ее нагрузке известно из теории длинных линий:
Vl
viAzl^°°)
2ZLZcI
I^+ZZlZo) ’
(8.1)
280
Глава 4
где Zo—импеданс каждой из антенн в присутствии другой,
a Zci — волновое сопротивление соединяющей их двухпровод-
ной линии, погруженной в среду 1 [9]. Во многих случаях удоб-
но выбирать Zci таким, чтобы выполнялось соотношение 2^ =
= 2ВД.
Входной импеданс неизолированной антенны, расположен-
ной на расстоянии 2^/2 от идентичной ей, равен
Zo = 24,4— г 1,5 Ом
(8-2)
и отличается от входного импеданса Zo = 27,4 — /5,8 Ом одиноч-
ного изолированного элемента главным образом из-за взаимной
связи и в меньшей степени потому, что выражение (8.2) полу-
чено для антенны с а/Т\ — 0,008496, а не с a/ki = 0,007022.
Используя формулу (8.2) и равенство 2Zl = 600 Ом, получаем
Zci = (2/?J?a)'/2 = 121 Ом и
(d, со)
ШЦ0
1 — cos kih.
WdURcosklfl~'VUl'h'>
2ZLZclZ0 1
- ‘ + 2ZlZ0) ] '
(8.3)
Напряжения будут иметь следующие числовые значения:
1 = 2,02, 1,82, 1,59 В при d = 0,l, 0,5, 1,0 см (8.4)
соответственно. Таким образом, достигается существенный вы-
игрыш по сравнению с одиночным неизолированным элементом,
для которого при тех же значениях d =* 0,1, 0,5 и 1,0 см были
получены | 14,| = 0,57, 0,51 и 0,45 В.
Выше предполагалось, что длинная линия и элементы ан-
тенны находятся в непосредственном контакте с материа*лом
области 1. Чтобы обеспечить хороший контакт и низкие потери
линии, может оказаться целесообразным заключить всю систе-
му в тонкостенную капсулу, заполненную, например, водно-
спиртовым раствором. Эта смесь обладает такой же относитель-
ной диэлектрической проницаемостью, что и кожная ткань, но
имеет много меньшую проводимость. Такая конструкция схе-
матически показана на рис- 4.8.1.
Теория связанных изолированных антенн в материальной
среде в общем случае сложнее, чем соответствующая теория
неизолированных антенн, так как волновое число для тока в
первом случае зависит как от расстояния между элементами,
так н от относительных амплитуд и фаз токов. Для равных и
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
281
синфазных токов (нулевая фазовая последовательность) волно-
вое число
Н +
1п (&/а) //^(М)
(8.5)
На частоте 3 ГГц получаем k\ = 412,6 -ф z‘68,5 м-1 и Pid = л;
отсюда следует, что d= 0,761 см, a k{d = л -ф 70,52 = 3,18 X
X ехр (70,165). Используя эти величины и те, которые были вве-
дены для одиночной изолированной антенны, погруженной в
среду, получаем
££)== 84,2 + 722,3 м"1. (8.6)
Если ₽<|?)/i = ji/2, то h = 1,866 см. Отсюда следует, что k^h =
— л/2 4-1'0,416 и 2/г = 3,73 см. Таким образом, связанные антен-
ны оказываются несколько более длинными, чем одиночный
антенный элемент. Волновое сопротивление каждой из связан-
ных антенн с воздушной изоляцией
Zc = (gofeW/2n₽o)ln(&/a) = 73,6 + il9,5 Ом. (8.7)
Входной импеданс каждой антенны в присутствии другой при
условии их синфазного возбуждения сигналами одинаковых ам-
плитуд
Zo = t2Zcctg &£>А = 57,9 + 715,3 Ом. (8.8)
Волновое сопротивление соединяющей двухпроводной линии
ZcZ = (2/?J?0)1/2=186 Ом. (8.9)
Зная напряжение холостого хода, определяемое выражением
(7.12), и отношение напряжений (8.1), находим следующие на-
пряжения на нагрузке на соответствующих глубинах:
|1/£|= 1,43, 1,09, 0,77 В, d = 0,1, 0,5, 1,0 см. (8.10)
В проведенном анализе предполагалось, что изолированные
антенны и двухпроводная длинная линия, соединяющая их
с нагрузкой в середине, погружены в среду с фазовой постоян-
ной кожной ткани. Как и в случае неизолированных антенн,
изолированные антенны вместе с линией можно поместить в тон-
костенную капсулу с водно-спиртовым раствором, обладающим
на заданной частоте той же диэлектрической проницаемостью,
что кожная ткань.
Следует полагать, что напряжения на нагрузке на трех рас-
сматриваемых глубинах погружения окажутся наибольшими у
синфазной решетки с двумя эксцентрически изолированными
антеннами, поскольку направленность каждого элемента уси-
282
Глава 4
ливается благодаря направленному действию решетки. К сожа-
лению, каких-либо количественных теоретических сравнений
сделать невозможно, так как пока не существует теории свя-
занных антенн с эксцентрическим положением провода в изо-
ляции.
4.9. РАСЧЕТ ТОКА В ДИПОЛЬНОЙ АНТЕННЕ
ДЛЯ СОЗДАНИЯ ЗАДАННОГО ПОЛЯ
В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ
В предыдущих разделах количественно определено на-
пряжение на нагрузке, подключенной к антенне (или антенной
решетке), которая погружена в полупространство со свойствами
кожной ткани и облучается нормально падающей плоской вол-
ной. Остается рассмотреть обратную задачу определения на-
пряжения на нагрузке приемной антенны, находящейся в воз-
духе, когда погруженная антенна (или антенная решетка) ис-
пользуется для передачи, а не для приема. Прямой путь реше-
ния этой задачи усложняется тем, что электромагнитное поле,
создаваемое погруженной антенной, на границе является не нор-
мально падающей волной, а имеет сложную структуру ближнего
поля. В общем случае оно эллиптически поляризовано и имеет
сферический волновой фронт, так что определить полное электро-
магнитное поле, создаваемое в обоих полупространствах ан-
тенной, окруженной средой, весьма затруднительно. Эта задача
рассматривается в части II. К счастью, есть более простой путь,
поскольку на данном этапе наши требования сводятся к тому,
чтобы найти напряжение на нагрузке (или ток в ней) приемной
антенны (или антенной решетки), расположенной в воздухе на
некотором расстоянии от материального тела, в котором нахо-
дится передатчик. При этом не нужно находить явное выраже-
ние для электромагнитного поля. Искомые ток или напряжение
можно довольно просто получить, применяя теорему взаимности
ко всей системе, в которой передатчик первоначально находит-
ся в воздухе, а приемник погружен в полупространство, обла-
дающее свойствами кожной ткани [10]. Тогда, поскольку ха-
рактеристики приемных антенн, окруженных средой, были нами
выражены через известное поле падающей плоской волны, нуж-
но перед применением теоремы взаимности лишь определить
передающую систему, которая будет создавать такое поле. Сна-
чала в качестве передатчика будет рассмотрена простая полу-
волновая дипольная антенна, а затем — антенная решетка типа
волнового канала, обладающая гораздо большей направлен-
ностью.
Пусть передающей антенной служит одиночный полуволно-
вый диполь, показанный на рис. 4.9.1. Электрическое поле в
воздухе на расстоянии R от дипольной антенны, равном пяти
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
283
2а
Рис. 4.9.1. Дипольная передающая антенна, создающая в экваториальной
плоскости поле Ее.
или большему числу длин волн, выражается следующей форму-
лой для дальнего поля (см. разд. 2.1):
Ее = (V/WdR) (eiM/R) [Hm (0, M + T'uGm (0, ₽0A) +
+ T'DDm (0, ₽oft)], (9.1)
где V — напряжение на входных зажимах дипольной антенны,
подводимое извне, например по длинной линии. Для дипольной
антенны, электрическая длина которой р0Л — л/2, а радиус
проволоки взят таким, что Q — 21п (2/г/а) = 10, применимы
следующие значения постоянных коэффициентов [11]:
4^ = 6,218, Т'и = 3,085 — /3,581, 7’3 = 1,061 -/0,025. (9.2)
Тогда, поскольку в экваториальной плоскости 0 = л/2 коэф-
фициенты дальнего поля Нт(л/2, л/2) = 1—л/2=—0,571,
бт(л/2, л/2) = 1 и Dm (л/2, л/2) = д/2 (1 — л/4) = 0,304, элек-
трическое поле описывается формулами
£в = ]/(е^«//?) (0,456 -/0,577), \Ев | = 0,7351 V\/R. (9.3)
Ток на входе антенны связан с напряжением ее возбуждения
соотношением V = IqZ = Io (83,76 — /41,60). Отсюда
£0 = /о(е«'М/я) (14,19 -/67,30), | Ев | = 68,81 /0 \/R. (9.4)
Чтобы получить поле с заданным значением |£е| = 193,8 В/м
на поверхности полупространства, требуется, чтобы
|/0|//? = 2,8 А/м. (9.5)
Беря расстояние R, равное 10 длинам волн (при / = 700 МГц
Хо = 0,43 м и R = 4,3 м, а при / = ЗГГц Хо = 0,10 м и R = 1 м),
получаем
| 701 = 12,0 А при / = 700 МГц и | 701 = 2,8 А при / = 3 ГГп. (9.6)
Таким образом, мы нашли токи, которые должны протекать
В передающей дипольной антенне.
284
Глава 4
4.10. РАСЧЕТ ТОКА В РЕШЕТКЕ ТИПА ВОЛНОВОГО
КАНАЛА ДЛЯ СОЗДАНИЯ ЗАДАННОГО ПОЛЯ
В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ
Значительно больший коэффициент усиления достигается
при использовании вместо одиночной дипольной антенны какой-
либо более направленной антенной структуры. Хорошо подходит
для этого 10-элементная линейная решетка типа волнового ка-
пала (рис. 4.10.1) [12]. Опа состоит из пассивного рефлектора
Рис. 4.10 1. Десятиэлементная решетка типа волнового канала.
Полудлпна элементов h\ — О,255А,о, й2 = О,25Хо, й3.йю = О,2%о-
Расстояние между элементами: й, 2==О,25ло, пf 3 = b3 4 =.й9 IO=sO,3A,o.
Длина линии- s = rzA,o/2, где п — целое число.
(элемент 1 с электрической полудлиной р0/г1 = 0,51 л), питае-
мого в середине диполя (элемент 2 с электрической полудлиной
po/i2 = O,5n) и восьми одинаковых директоров (элементы с 3-го
по 10-й, электрическая полудлина которых p0/ii = 0,4 л, где i = 3,
..., 10). Расстояние между рефлектором и питаемым элементом
Ь|,2 — 0,25Хо, а между другими соседними элементами b = 0,3Хо.
Коэффициент усиления в прямом направлении равен 11,56 дБ
[13]. Величину электрического поля в прямом направлении наи-
более просто определить, используя выражения (9.3) или (9.4)
для одиночной дипольной антенны и относительный коэффи-
циент усиления, добавляемый решеткой. У отдельно взятого
элемента 2 входной импеданс Z = 83,76 — i 41,60 Ом; когд® же
элемент 2 является частью 10-элементной решетки, его входной
импеданс Z2 = 94,41 — 75,66 Ом.
Коэффициент усиления в прямом направлении 0 = л/2, Ф =
= 0 у 10-элементной решетки G!0(n/2, 0) = 10 1g £>10(л/2,0) —
— 11,56 дБ или £>ю(л/2,0) = 14,30. Коэффициент усиления от-
дельно взятого полуволнового диполя G](л/2,0) = 101g£>[ (л/2,
0) =2,15 дБ или £>1(л/2,0) — 1,64. В этих формулах £>10(л/2, 0)
и £>1(л/2, 0) —абсолютные величины коэффициентов направлен-
ного действия 10-элементной решетки и одиночного диполя со-
ответственно.
Относительный коэффициент усиления решетки, взятый по
отношению к одиночной дипольной антенне, равен Gr(0) =
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
285
= 6Н1(л/2, 0)— Gx (л/2, 0) = 10 lg D, (0) = 9,40 дБ, так что
Dr (0) = 8,73. Тогда относительный коэффициент направленного
действия, определяемый как отношение квадратов напряженно-
стей электрических полей, будет иметь вид
BMn(R2, л/2, 0) 2 Р2 .
£>г(0) = E R n/2~^ 7^’ <10Л’
(л2. U) г2. 10
где Р2, , = '/2 1 /2, г I2 R?. 1 = '/21 /2. । [2 X 83,76,
Р2. ю = ’/21 Л, >о I2 Ri. io = ’/2| /2. io I2 X 94,41.
В этих выражениях /2>, и /?2,, — ток возбуждения и сопротивле-
ние элемента 2, отдельно взятого, а /2,10 и R?,io — соответствую-
щие параметры в том случае, когда элемент 2 является частью
10-элементной решетки. Аналогично P2,i и P2,io — усредненные
во времени мощности в элементе 2 для случаев, когда он рабо-
тает отдельно или входит в состав 10-элементной решетки. Если
токи в этом элементе в обоих случаях равны (/2,i = /2,io), то от-
ношение мощностей Рг.ю/Лгл = 1,127.
Из формулы (10.1) следует, что величина максимального
электрического поля, создаваемого 10-элементной решеткой, свя-
зана с соответствующей величиной поля, создаваемого одиноч-
ной дипольной антенной, соотношением
I Ев!о(/?2, л/2, 0)| = [£>г(0)Р2.!0/Р2,,]1/2|Ев1(/?2, л/2, 0) |, (10.2)
так что | Бфю (/?,, л/2, 0) | = 3,141 Ев] (R2, л/2, 0) |. (10.3)
Таким образом, из-за наличия решетки для поля в прямом на-
правлении (Ф = 0) появляется множитель 3,14 при условии, что
ток возбуждения имеет ту же величину, что и в отсутствие ре-
шетки. В результате вместо формулы (9.5) получаем
I/2, 101/^2 = °,89 А/м, откуда (10.4)
| /2 )01 = 3,83 А при f =-- 700 МГц и | /2,101 = 0,89 А при / = 3 ГГц.
(10.5)
Напряжения на входе возбуждаемого элемента, необходимые
для получения этих токов, равны
| у21 = |/2_ 10Z21 = 459 В при /==700 МГц,
117,1=108 В при / = ЗГГц. (10.6)
4.11. ПЕРЕДАЮЩАЯ СИСТЕМА В ВОЗДУХЕ.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ
Передающая система с решеткой типа волнового канала
показана на рис. 4.11.1, вверху. В нее входят передающая линия
и генератор с внутренним импедансом Zo. В целях упрощения
286
Глава 4
Рис. 4.11,1. Решетка типа волнового канала и погруженная двухэлементная
синфазная решетка, используемые согласно принципу взаимности.
положим длину s передающей линии равной целому числу полу-
волн s = пХо/2, где п — целое число. В таком случае напряжение
V2 на нагрузке с импедансом Z2 антенны 2 будет V2 = VoZ2/(Zo+
+ Z2), где Vo —э. д. с., включенная последовательно с Zo. Для
удобства допустим, что вся схема настроена так, что Zo = Z2,
где Z*> — величина, комплексно-сопряженная с Z2. Отсюда сле-
дует, что
Ve0z2 Ve0 (94,41 —/75,66) „ „
V2 =—= --------------- = Vo(O,5 — Z0,4). H.l)
Z2 + Z2 188,82 V '
Величина соответствующего тока в элементе 2 определяется из
формулы (10.4), которая принимает вид
I Д, 10 I I I
R.2 Ri
или
Ve0 0,5 - /0,4 0,64 Vq п on л ,
94,41 - (75,66 = ТадГ ~Ri = °’89
(41.2)
V*//?2= 168 В/м. (11.3)
При Д2 = ЮХо
Vo = 723 В на частоте / = 700 МГц и Vo = 168 В на f = 3 ГГц.
(П.4)
Таковы должны быть э. д. с. в схеме рис. 4.11.1 (вверху) для по-
лучения на поверхности кожной ткани напряженности поля
193,8 В/м, когда передающая антенна удалена на расстояние
10 длин воли, R2 = 4,3 м па частоте 700 МГц или 1 м при f =
= 3 ГГц. Именно такое поле создает на нагрузке ZL = 300 Ом
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
287
погруженной в среду антенны напряжение Vl, соответствующее
вычислениям, выполненным в разд. 4.7.
Если поменять функции окруженной средой (цепь 1) антен-
ны, которая рассматривалась в разд. 4.7, и находящейся в воз-
духе схемы (цепь 2) так, чтобы первая стала передатчиком,
а вторая приемником, то в цепи 1 вместо нагрузки нужно вклю-
чить генератор, а в цепи 2 вместо генератора следует включить
нагрузку. Пусть исходный вариант включения (генератор во
внешней цепи, а нагрузка в цепи, окруженной средой) будет
обозначаться одним штрихом. В этом случае, согласно формуле
(11.1), э.д.с., соответствующая величине Уг/Яг = Vq/R2 =
= 168 В/м, действует во внешней цепи 2. В нагрузке= 300 Ом
погруженной цепи 1 течет ток 7( = Е£/300.
Теперь поменяем местами генератор и нагрузку, а параметры
будем обозначать двумя штрихами (рис. 4.11.1, внизу). В цепи 1
последовательно с импедансом Zt =300 Ом включена э.д.с. Vf.
Через нагрузку с импедансом Z\ наружной цепи 2 течет ток/2.
Заметим, что при использовании наружной цепи 2 для приема
импеданс нагрузки в целях упрощения предполагается таким же,
как импеданс генератора Zo = Z*этой цепи, когда она исполь-
зуется для передачи. Аналогично импеданс генератора в окру-
женной средой цепи 1, используемой для передачи, взят таким
же, как импеданс нагрузки этой цепи, когда она используется
для приема. В результате из одной цепи в другую перемещена
только э. д. с.
Согласно теореме взаимности, в указанных выше условиях
[14]
= (11.5)
При V(/R2 = 168 В/м и /;= V//300
/"/vf= 19,8Г1М мкА/В. (11.6)
В частном случае, когда величина V'l лежит в пределах от 2,02
до 1,59 В, синфазная решетка, состоящая из неизолированных
антенных элементов, расположенных на глубине от 0,1 до 1,0 см,
будет иметь при / = 700 МГц и R2 = 1ОХо = 4,3 м передаточный
адмитанс
У21 =IzlVe\ = от 9,3 до 7,3 мкСм. (11.7)
Аналогично, если VI лежит в пределах от 1,43 до 0,77 В, син-
фазная решетка, состоящая из изолированных антенных элемен-
тов, расположенных на глубине от 0,1 до 1,0 см, имеет при / =
= 3 ГГц и R2 = ЮХо = 1 м передаточный адмитанс
У21 = hlVe = от 28,3 до15,2 мкСм. (11.8)
288
Глава 4
Соответствующие отношения величины напряжения
па согласованной нагрузке Z* = 94,41 +/75,66 Ом в наружной
цепи 2 к напряжению возбуждения Vf в цепи 1, окруженной
средой, будут
\/"Z2\/Vet" = от 1,12- 10 s до 0,88 • 10~3 при f = 700 МГц, (11.9)
I/2Z2IM = от 3,42 • 10 '3 до 1,84 • 10“3 при f = 3 ГГц. (11.10)
Полученные значения справедливы для равного 10 длинам воли
расстояния /?2 от наружной приемной цепи до поверхности по-
лупространства со свойствами кожной ткани, в котором нахо-
дится приемопередатчик.
Аналогичным образом может быть решена задача о двусто-
ронней связи между антенным элементом, погруженным в трех-
слойную среду кожа — жир — мышцы, и наружным устройством.
При этом антенна должна находиться либо в кожной, либо
в мышечной тканях, поскольку ее свойства в значительной сте-
пени определяются средой, контактирующей с неизолированны-
ми и изолированными поверхностями антенны, а как кожная, так
и мышечная ткани электрически достаточно плотные. Свойства
антенн, погруженных в жировой слой, характеризующийся низ-
кими значениями ег и о, не известны.
4.12. ИМПЕДАНСЫ НЕИЗОЛИРОВАННОГО
И ИЗОЛИРОВАННОГО ДИПОЛЕЙ В СЛОИСТОЙ СРЕДЕ
Чтобы рассчитать ток, наводимый в антенне приемопере-
датчика полем падающей волны при приеме или генератором
при передаче, необходимо знать входной импеданс антенны.
В предыдущих разделах были получены выражения для такого
импеданса для антенн, погруженных в бесконечную среду, об-
ладающую свойствами кожной ткани. При этом рассматрива-
лась оптимальная ориентация антенны, при которой ее ось па-
раллельна поверхности полупространства, заполненного органи-
ческим веществом. Теперь следует обратить внимание читателя
на случаи расположения антенн в каждом из трех слоев. В це-
лях упрощения изложения будут рассмотрены только случаи
расположения антенн в средних плоскостях кожной ткани и жи-
рового слоя (d = а/2 и d = а + &/2), а также в точках мышеч-
ной ткани, не слишком близких к границе с жировым слоем, на-
пример на глубине d = а + b 0,5 см.
Поскольку электрические характеристики среды, в которой
находится антенна, в каждом из трех ее положений различны,
естественно ожидать, что импедапсы будут иметь различные
значения. Если антенна находится в полубесконечной среде, об-
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
289
| ладающей свойствами мышечной ткани, не слишком близко
f к границе среды, то импеданс Zo изолированной или неизолиро-
? ванной антенны оказывается по существу таким же, как и в слу-
Г чае, когда среда погружения бесконечна во всех направлениях.
Для неизолированной антенны импеданс определяется выраже-
нием Уо= 1/Zq [см. формулу (1.50) в гл. 2)] или более точной
- и сложной формулой (7.20) в гл. 7. Для изолированной антенны
справедлива формула (7.10).
Если антенна расположена в середине жирового слоя (d =
= аф-Ь/2), определить импеданс сложнее. Жир действует как
слой, изолирующий металлическую антенну от слоев кожной и
- мышечной тканей, обладающих сравнительно большими волно-
| выми числами. Таким образом, здесь следует применить обоб-
I щенную теорию длинной линии, но теперь для случая полоско-
вой, а не коаксиальной линии. Емкость на единицу длины поло-
I сковой линии определена в работе [15]. Ее можно представить
i следующим образом:
- cL= ~-.2яе-.------, (12.1)
s L In (2Ь/лас) — w '
ъ «ттл м» 1,353 (ас/Ь}2 /in п\
। рде w^'i-5,68m/6F' (12-2)
а — радиус проводника, a b — толщина жирового слоя. При
(ас/ЬУ 1 членом w в формуле (12.1) можно пренебречь, и
тогда приближенно
у, Ь; = 2Ь/л. (12.3)
ь In (&i!ас} ‘ '
Эта формула совпадает с формулой для емкости на единицу
длины коаксиальной линии, у которой наружный радиус изоли-
рующего диэлектрика равен Ь,. Очевидно, что такая полосковая
линия эквивалентна коаксиальной линии с радиусом bi. Чтобы
найти волновое число kL, распределение тока и импеданс, неизо-
лированную антенну, расположенную в центре жирового слоя,
можно рассмотреть как изолированную антенну, изоляцией
которой служит жировой цилиндр с наружным радиусом и
внутренним радиусом ас. Формулы, приведенные в разд. 4.7 для
изолированной антенны, применимы, если величина Ь,, опреде-
ляемая из (12.3), используется как наружный радиус изоляции,
а ас—как внутренний. Такой изолированный жировой тканью
*? проводник заключен между слоем кожи, с одной стороны, и
слоем мышечной ткани — с другой. Так как кожная и мышечная
ткани по своим свойствам близки друг к другу, для определения
| тока и импеданса антенны внешнюю область, окружающую
К изолированную антенну, вполне можно считать однородной и
Ю Зак. 818
290
Глава 4
имеющей свойства кожной или мышечной ткани. Если требует-
ся более высокая точность, можно взять усредненные парамет-
ры этих двух видов тканей.
В случае изолированной антенны, окруженной жировым
слоем, ее проводник фактически находится в двух слоях изоля-
ции. Первый имеет наружный радиус Ь, и может представлять
собой воздух или какой-либо другой диэлектрик (область 4).
У второго слоя эквивалентный наружный радиус с,- = 2Ь/л, где
b — толщина жирового слоя, а электрические характеристики
такие же, как у жира (область 2). Снаружи этого двойного слоя
изоляции лежит фактически бесконечная область кожной или
мышечной ткани (область 1) либо среда, обладающая их сред-
ними электрическими характеристиками. При такой двуслойной
изоляции волновое число для тока в проводнике определяется
выражением
/ In (с ./а ) \V2
kL = k41-----------------------1 x
k 1П (bi/ac) + nl 2 In (C76f) /
/\ I A | / ». I , I 1 < T I
\ (kici) ln (ci/ac) )
где n* 2 = k^kl = (coe4 + i<r4)/(®e2 + iff2).
Соответствующее волновое сопротивление
сощ/г ,
Zc = [In (Ш) + < 2 In (C//bt.)]. (12.B)
Напряжение на нагрузке Zl, подключенной в середине изолиро-
ванной антенны, дается формулой (7.7), в которую надо под-
ставить /?l и Zc из (12.4) и (12.5) и zL из (7.9), заменив b на ci
и а на ас. Входной импеданс определяется выражением
(7.10).
В случае когда неизолированная дипольная антенна поме-
щена в середине слоя кожной ткани, определить волновое тесло
для тока и входной импеданс при малой толщине слоя кожи за-
труднительно. (При достаточно толстом слое и очень тонкой
антенне волновое число для тока и импеданс хорошо аппрокси-
мируются величинами, определяемыми для антенны, погружен-
ной в неограниченную область со свойствами кожной ткани.)
Проводник, погруженный в тонкий слой кожной ткани, ведет
себя как антенна, покрытая диэлектриком, — в нем могут воз-
буждаться поверхностные волны с волновым числом ks, мень-
шим волнового числа кожной ткани k\. Волновое число ks, а так-
же распределение тока и импеданс были определены для осе-
симметричной антенны с диэлектрическим покрытием [16]. Для
Волны и антенны в поглощающем полупространстве
291
неизолированной антенны, находящейся в тонкой полоске кожи,
должны быть применимы следующие общие качественные вы-
воды, полученные для цилиндра с диэлектрическим покрытием.
Такая антенна из-за диэлектрического покрытия имеет большую
эффективную толщину, что соответствует большей величине ак-
тивной проводимости и большей реактивной индуктивной про-
водимости по сравнению с такой же неизолированной антенной.
Отсюда следует, что антенна с диэлектрическим покрытием име-
ет меньшую резонансную длину.
Из рассмотрения волнового числа ks для тока антенны с ди-
электрическим покрытием видно, что при условии |3о& In (Ь/а) 3>
1 величина ks приблизительно равна волновому числу ди-
электрического материала kt; здесь р0 — волновое число для
воздуха, b — наружный радиус покрытия па — радиус провод-
ника- Предполагается, что волновое число ks для тока неизоли-
рованной антенны, находящейся в полоске кожи, приблизитель-
но такое же, как и в случае антенны, работающей в бесконеч-
ной среде со свойствами кожной ткани, т. е. ks « kt, когда
Poaln(a/ac)> 1, где а —толщина слоя кожи, а ас — радиус про-
водника погруженной антенны. Для случая, когда данное усло-
вие не выполняется, формулы для определения волнового числа
ks нет. Однако распределение тока в этом случае хорошо аппро-
ксимируется распределением тока в такой же неизолированной
антенне, окруженной бесконечной поглощающей средой с волно-
вым числом ks.
Параметры изолированной антенны гораздо менее чувстви-
тельны к электрическим характеристикам окружающей среды,
чем параметры неизолированной антенны. Поэтому следует ожи-
дать, что ток и импеданс изолированной антенны, погруженной
в слой кожной ткани, не будут сильно зависеть от толщины слоя,
пока эта толщина в несколько раз превышает диаметр изоляции
антенны.
Таблица 4.12.1. Неизолированная антенна, расположенная в середине жиро-
вого слоя (d = а + 6/2, толщина кожной тканн а = 0,4 см, толщина жиро-
вого слоя b = 1 см)
/,ГГЦ kL = Pt. + '«(. Zq — &o ^0
1.0 55.58 + /13.67 52.28 - /0.86 0.69
1.5 81.05 + /16.80 43.15 - /0.59 0.98
1.8 96.24 +. /18.36 39.54 - /0.77 0.74
2.25 119.05 + /20.35 35.55 - /0.73 0.56
2.6 136.86 + /21.28 32.10 - /0.67 0.49
3.0 157.34 -1- /22.03 29.03 - /0.57 0.45
10*
292 Глава 4
Напряжение Vl на нагрузке антенны, помещенной в один из
слоев трехслойной среды, можно определять так же, как это
делалось в предыдущих разделах, где рассматривались антенны,
погруженные в бесконечное полупространство кожной ткани'
Напряжение Vl пропорционально нормированному электриче-
скому полю, показанному на графиках рис. 4.6.2—4.6.5 для раз-
личных случаев расположения антенны. Типичные значения на-
пряжения и связанных с ним величин для антенны, расположен-
ной в середине жирового слоя, приведены в табл. 4.12.1.
Часть II
СТРОГАЯ ТЕОРИЯ
Глава 5
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
I
5.1. ВВЕДЕНИЕ. АНТЕННЫ В СРЕДАХ
| Многие важные задачи приходится решать, когда антенна
J находится в материальной среде или вблизи ее граничной по-
I верхности. Задачи связаны с тремя группами антенн. К__первой
| группе относятся приемные и передающие антенны для радио-
'* связи между двумя пунктами и телеметрии, во вторую группу
: входят зонды для исследования материалов, а третью группу
составляют источники мощности в виде антенн или электродов,
v которые нагревают среду или изменяют ее структуру. Ко всем
• трем группам возможен общий электродинамический подход,
однако существенные различия между ними сохраняются.
Когда источник излучения находится внутри или вблизи ма-
1 териального тела или протяженной области, усредненное макро-
скопическое электромагнитное поле во всех точках внутри и вне
этого тела зависит не только от его электрических характери-
стик, но и от его формы, размеров и удаленности от других
объектов. В общем случае поле является функцией температуры
। > тела и зависит от частоты в стационарном режиме или от дли-
I тельности и формы импульса при переходном процессе возбуж-
' дения. Измерения этого поля, выполненные в удобных выбран-
ных точках, можно использовать для определения электрических
характеристик материала, образующего тело или заполняющего
область, и таким образом получить информацию о структуре
материала. Подобные наблюдения могут включать измерение
поля, рассеянного телом, или поля проходящей волны в теле,
или просто измерения составляющих поля вблизи активной ан-
t тенны, окруженной этим телом. Если внутри объекта имеется
очень сильное электромагнитное поле во всем его объеме или
i
294
Глава 5
только в ограниченной области или если это поле действует дли-
тельное время, то внутренняя структура материала может изме-
ниться либо под действием высокой температуры, вызванной
индукционными токами, либо в результате деформации и разру-
шения молекулярных связей. Последняя возможность очень су-
щественна, особенно если это полярные связи, а материал яв-
ляется органическим соединением. Очевидно, что с существова-
нием электромагнитного поля в материальной среде связаны
две основные задачи. С одной стороны, возможно прямое взаи-
модействие поля с материалом, настолько сильное, что в мате-
риале возникают остаточные изменения или повреждения. С дру-
гой стороны, взаимодействие может быть достаточно слабым и
вызывать только обратимые изменения, при которых устанавли-
ваются новые временные условия равновесия в микроскопиче-
ской структуре материала. В последнем случае происходит из-
менение усредненных электромагнитных полей внутри и снаружи
тела, измерение которых позволяет сделать вывод о макроско-
пических электрических характеристиках материальной среды.
Таким образом, общая задача, связанная с антеннами внутри или
вблизи материальной среды, состоит не только в формальном ре-
шении уравнений Максвелла для электромагнитных полей и свя-
занных с ними распределений тока и заряда в близких областях,
но и в определении макроскопических или усредненных свойств
материальной среды, характеризуемых параметрами в основных
электромагнитных уравнениях. Эти параметры в свою очередь
определяются из микроскопической структуры материала.
5.2. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Прежде чем начать систематическое изучение антенн и
электромагнитных волн в присутствии материальной среды, сле-
дует рассмотреть особенности типичных макроскопических за-
дач и варианты расположения антенн. Задачи можно объеди-
нить в группы, определяемые взаимным расположением источ-
ников излучения и точек наблюдения или приема, а также
границ между областью, заполненной материальной средой, и
воздухом.
Изолированный элемент в бесконечной окружающей
среде
Изолированные элементы отличаются простотой, но пред-
ставляют собой некоторую идеализацию, поскольку не могут
быть точно осуществлены на практике. Отдельные антенны в бес-
конечной однородной и изотропной среде приближенно рассмат-
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
295
риваются как монополи, выдвинутые из достаточно большого
заземляющего экрана в море, большое озеро, землю или аркти-
ческий лед, или как монополь, выступающий в ионосферу через
поверхность ракеты. Электрическими характеристиками таких
антенн являются распределения тока и заряда вдоль проводни-
ков, образующих или ограничивающих антенну (диполь, моно-
поль, рамку или щель), адмитанс элемента, если к этому эле-
менту подведено питание, и действующая длина, если он рабо-
тает на прием. Изолированный активный элемент (или элемент
с питанием) имеет специальную локализованную область разде-
ления заряда или источник энергии, создающий распределение
тока вдоль проводников; изолированный пассивный элемент (или
приемный и рассеивающий элемент) несет только токи, индуци-
рованные независимо созданным электромагнитным полем па-
дающей волны. Излучение антенн характеризуется электромаг-
нитным полем вблизи антенны и далеко от ее границ. Однако
вследствие затухания теряет смысл разделение поля изолиро-
ванной антенны в бесконечной поглощающей среде на поле
в ближней или индуктивной зоне и на поле в даль-
ней зоне или зоне излучения (такое разделение обычно
применяется для антенн в среде без потерь). Значения многих
параметров антенны в бесконечной среде такие же, как у этой
антенны в ограниченной области, заполненной тем же материа-
лом; анализ работы антенны в бесконечной среде дает полезные
сведения для изучения антенны в более сложной ограниченной
области. Такой подход особенно полезен, когда предварительно
рассматриваются граничные условия и основные уравнения сре-
ды с границами упрощенной формы.
При расчете основных излучающих элементов — цилиндриче-
ского диполя или монополя и кольцевой рамки,— помещенных
в поглощающую среду, необходимо рассмотреть два сильно раз-
личающихся случая: изолированные и неизолированные элемен-
ты. Поскольку проводник неизолированного элемента имеет
прямой электрический контакт со средой, антенна особенно
чувствительна к свойствам среды. У изолированного элемента
между проводником и средой введен слой трубчатого диэлект-
рика, который определяет распределение тока на антенне и, сле-
довательно, ее излучательные и приемные характеристики. Во
многих приложениях наиболее полезным оказывается электри-
чески тонкий элемент, для которого упрощается математическое
решение. У неизолированной антенны радиус провода а должен
быть электрически малым и, следовательно, малым по сравне-
нию с половиной длины диполя h или по сравнению с половиной
длины окружности nb у кольцевой рамки с радиусом Ь. Таким
образом, | ka | 1, а <§; h у диполя или монополя и \ka\ < 1,
a^:ib у рамки; величина k — волновое число бесконечной по-
206
Глава В
глощающей среды. Для изолированной антенны с радиусом про-
вода а и радиусом изолятора а; > а должны выполняться
условия kia < kitti 1, а < at h для диполя и монополя и
условия kta < kitti <С 1; для рамки, где £,•— вол-
новое число Диэлектрического или изолирующего материала.
Следует заметить, что, когда элемент изолирован, никакие усло-
вия не накладываются на |&щ|, где k — волновое число внешней
бесконечной поглощающей среды. Таким образом, изолирован-
ная антенна должна быть электрически тонкой только по сравне-
нию с изолирующим слоем, а не по сравнению с длиной волны
в бесконечной поглощающей среде с волновым числом k.
Передающий и приемный элементы в воздухе вне тела
из поглощающего материала
Во второй группе задач, относящихся к антеннам в по-
глощающих средах, рассматриваются источник и один или не-
сколько приемников, находящихся вне границы, расположенной
вблизи поглощающей среды. Наиболее наглядным примером
расположения этого типа может служить система телевизион-
ной трансляции, состоящая из передающей антенны и многих
приемных антенн, приподнятых над поверхностью земли. Элект-
рические характеристики элементов, расположенных вблизи по-
верхности земли, и электромагнитные поля во всех точках
приема существенно изменены под влиянием земли. Иное изме-
нение характеристик элементов и полей наблюдается, когда ан-
тенны располагаются над поверхностью океана, пустыни и арк-
тического льда. (Радиотрансляционная система значительно
сложнее телевизионной, поскольку передающая и приемная
антенны фактически находятся частично в воздухе, а частично
в земле и устройство заземления представляет собой важную
часть антенны.)
Другим примером является система, применяемая при гео-
физической разведке хорошо известным методом. Передатчик
устанавливается (или перемещается) над поверхностью земли;
один или несколько приемных элементов также перемещаются
(или устанавливаются неподвижно) над земной поверхностью.
Поле, индуцирующее токи в приемных элементах, определяется
не только токами в более или менее удаленной передающей ан-
тенне, но также токами в ближайших участках земли и в телах,
которые в этих участках находятся. Таким образом, поля на по-
верхности земли или на некоторой постоянной малой высоте
над ней будут существенно различными в точках над залежами
железной руды и в остальных точках. Очевидно, что системати-
ческое наблюдение рассеянного поля земли, включающей различ-
ные предметы и неоднородности над поверхностью, позволяет
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
297
обнаружить аномальные участки и неодонородности и опреде-
лить их координаты.
Третьим примером, иллюстрирующим применение передаю-
щей и приемной антенн в воздухе вблизи поглощающей среды,
является так называемая антенна Бевереджа. Она имеет длин-
ный провод, протянутый горизонтально весьма низко над
землей, и питается или нагружена на одном конце и заземлена
через подходящий резистор на другом конце. Направленные
свойства антенны при работе на прием или передачу зависят
от наклона волнового фронта, определяемого потерями в распо-
ложенном рядом участке поверхности земли.
Передающая антенна в поглощающей области,
а приемная антенна вне нее
Третью группу задач, связанных с антеннами в материаль-
ных средах, составляют задачи, возникающие, когда источник
излучения находится внутри материального тела, а все точки
наблюдения расположены вне его границы. Существуют много-
численные примеры передачи этого типа. Сюда относятся рас-
положенные над морской или земной поверхностью приемники
радиосигналов от антенны на подводной лодке или от водолаза,
или от передатчика, расположенного в буровой скважине в тол-
ще льда или скальной породы, в шахтном стволе, в пещере или
туннеле. Сходная ситуация имеет место, когда миниатюрный
передатчик имплантируется в живой организм и передает внеш-
нему приемнику телеметрическую информацию о внутренних
условиях, например данные температуры и потока крови. Для
подводной лодки или водолаза антенной может служить неизо-
лированный или изолированный провод. В буровой скважине,
шахте и туннеле может применяться неизолированная проволоч-
ная антенна, если она отделена слоем воздуха или воды от об-
ладающей гораздо большим поглощением земли; тогда вся
комбинированная структура фактически представляет собой
изолированный элемент. Антенна, имплантированная в живую
ткань, по физиологическим причинам должна быть изолирована
подходящим материалом.
Передающая антенна в воздухе, приемные элементы
в поглощающей среде
В четвертой группе систем, содержащих антенну в по-
глощающей среде, источник электромагнитного излучения рас-
полагается вне тела из поглощающего материала, а приемные
элементы находятся внутри этого материала. Такой случай име-
ет место, когда передатчик расположен в воздухе над морем или
298
Глава 5
землей и служит для радиосвязи с погруженной подводной
лодкой или водолазом. Другим важным и интересным примером
является облучение организма или биологической ткани распо-
ложенным вне их диполем, щелевой или рупорной антенной.
В этом случае интерес представляют поле внутри облучаемого
тела и вызываемый им эффект нагрева (диатермия) или эффект
изменения молекулярной структуры. Неизолированные или изо-
лированью зонды могут применяться для измерения напряжен-
ности поля и определения его амплитудного и фазового распре-
делений.
Передающая и приемная антенны в ограниченной
поглощающей области
Пятая группа задач относится к ограниченной области,
содержащей поглощающую среду, в которой расположены все
передающие и приемные антенны. Важными примерами являют-
ся системы радиосвязи между двумя погруженными подводными
лодками или водолазами, между ракетными колодцами или
горнодобывающими шахтами. Другими примерами могут слу-
жить системы передачи между антеннами в буровых скважи-
нах и шахтах для определения свойств материала, расположе-
ного между антеннами, а также измерения электромагнитного
поля с помощью зондов на поверхности антенны, окру-
женной поглощающей средой конечной протяженности. К по-
следнему случаю относится монополь в трубчатом сосуде
с плазмой.
Передающая и приемная антенны в слоистой среде
Наконец, ряд наиболее сложных задач возникает, когда
область, в которую помещены передающая и приемная антен-
ны, состоит из нескольких слоев различных материалов. Важным
примером является сферическая слоистая область, состоящая из
сильно проводящей земли, окружающего ее изолирующего слоя
воздуха и за его пределами слоя ионосферы, обладающей неко-
торой проводимостью. Передающую и приемную антенны мож-
но расположить в воздухе, как при коротковолновой связи, или
в земле и море, как в случае сверхдлинноволновой дальней
связи между подводными лодками, погруженными в разных
океанах. Передающую антенну можно представить себе в виде
зарытой в землю решетки больших физических, но малых элект-
рических размеров, состоящей из изолированных проводов; на
подводной лодке можно применить приемную антенну в виде
изолированного провода, тянущегося вслед лодке- При этом
для связи может быть выбрана столь низкая частота (40 Гц),
Теория электромагнитного поля и основные уравнения 299
что в изолирующем слое воздуха между нижней и верхней про-
водящими границами (землей и ионосферой) возбудится поле
стоячей волны с распределением, характерным для сферического
резонатора.
Еще одним примером действия антенн в слоистой среде яв-
ляется передача сигналов в напоминающей волновод структуре
земной коры. Предполагается существование сильно проводя-
щего поверхностного слоя и аналогичной по проводимости об-
ласти глубоко в земле, а между ними — слоя с относительно
низкой проводимостью. Чтобы использовать этот плоский волно-
вод, нужно поместить передающую и приемную антенны на
уровне среднего слоя.
По мере приближения передающей антенны к границе воз-
духа с поглощающей средой все сильнее возрастает влияние
среды на распределение тока в антенне и на излучаемое ею
электромагнитное поле. Когда передающая антенна расположе-
на у самой границы среды, может возникнуть сложное распре-
деление поля с областями большой интенсивности, особенно при
наличии резонансных условий для образования стоячей, а не
бегущей волны. Такие поля представляют особую проблему,
если они возникают в живой ткани.
Источник электромагнитного излучения независимо от его
расположения можно рассчитать так, что он будет возбуждать
монохроматическое поле с длиной волны, очень малой или очень
большой по сравнению с характерными размерами области, за-
нятой данной средой, или создавать поля импульсами различ-
ной формы, длительности и частоты следования. Поскольку
взаимодействие электромагнитного поля с материальной средой
в общем случае зависит от температуры, давления и частоты,
можно ожидать самые различные характеристики результи-
рующего поля в точке наблюдения. Наблюдаемое поле зависит
от частотного спектра первичного излучения, дисперсионных
свойств материала среды, формы и размеров границ среды и
взаимного расположения источника излучения и точки наблю-
дения.
5.3. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ СРЕД
Краткое описание практических случаев расположения
передающих и приемных элементов в поглощающей среде или
вблизи нее, приведенное в предыдущем разделе, дает некоторое
представление о возможных материалах, применяемых в антен-
нах и заполняющих среду. Антенны обычно изготовляются из хо-
рошо проводящих металлов, например из меди, которые часто
рассматриваются как абсолютно проводящие. Важное исключе-
300
Глава 5
ние представляют элементы с электрически малым размером,
большая, но конечная проводимость которых может оказаться
основным фактором, определяющим электрические параметры
антенны. Изолированные элементы с большой проводимостью
заключены в оболочку из материала, практически лишенного
потерь, т. е. из хорошего диэлектрика. В частном случае эта
оболочка представляет собой трубку, заполненную плазмой
с большой частотой столкновений, далеко не являющейся средой
с малыми потерями. Потери имеют место и в рамочных антен-
нах с электрически малым размером, подобных используемым
в транзисторных радиоприемниках и в системах наведения ра-
кет, которые снабжены ферритовыми сердечниками, чтобы по-
лучить нужные характеристики для приема и передачи. В ре-
зультате требуемые характеристики достигаются ценой значи-
тельных частотно-зависимых потерь, связанных с диэлектриче-
скими и магнитными свойствами ферритового материала.
Окружающая среда, внутри которой или рядом находится
антенна, может быть сравнительно хорошим диэлектриком, как
например, пресная вода, сухой песок или горные породы, или
же материалом с большой электрической проводимостью, как
соленая вода, находящаяся не только в море, но и в живом ор-
ганизме. Разумеется, существует множество материалов со
свойствами, промежуточными между указанными крайними слу-
чаями, т, е, материалов, обладающих и проводящими, и ди-
электрическими свойствами. Сюда относятся лед и различные
смеси земли с водой и растворами самых разнообразных солей.
К этой общей категории относятся и плазменные среды.
Чтобы использовать различные типы материалов и объяс-
нить результаты измерений, выполненных при наличии этих ма-
териалов, желательно иметь детальное представление об их
свойствах, а не ограничиваться составлением основных соотно-
шений пропорциональности между величинами, входящими
в уравнения Максвелла. Подробное понимание микроскопиче-
ских свойств материалов, по-видимому, необязательно для по-
строения теории радиосвязи в присутствии материальной среды,
но существенно для исследования материалов, облученных
электромагнитным полем. Надо иметь хотя бы общее представ-
ление о микроскопической теории материалов и об ограничениях
этой теории, в первую очередь влияющих на решение электро-
магнитных задач. Без такого представления невозможна квали-
фицированная интерпретация результатов макроскопических
измерений. В связи с этим здесь будет дан обзор соотношений
между измеряемыми электрическими величинами и их выраже-
ниями в математической теории свойств среды. Следует заме-
тить, что не так просто найти идентичную математическую мо-
дель свойств материалов для описания реальной физической
Георач электромагнитного пол.ч и основные //равнения 301
системы. Большинство таких моделей чисто гипотетические, и
для установления их достоверности требуется всесторонняя
экспериментальная проверка. Существуют различные модели
диэлектрических и проводящих сред. Хотя эти модели не поз-
воляют получить полное и определенное решение, они дают
правильное общее представление, много точной количественной
информации по частным вопросам и полезных соотношений.
Несмотря на ограничения, существующая теория представляет
собой необходимую структурную основу для рассмотрения и
объяснения экспериментальных фактов в едином систематиче-
ском виде.
5.4. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СРЕДЫ
Основная проблема приложения электромагнитной тео-
рии к телам и областям, заполненным материальной средой,
состоит в разработке метода для предсказания результатов
экспериментальных наблюдений и измерений. Для этого нужно
создать математическую модель среды, более простую, чем
чрезвычайно сложная структура, которую предоставляет атом-
ная теория,’ но достоверно описывающую все наблюдаемые
электрические и механические характеристики. К таким ха-
рактеристикам, в частности, относится взаимодействие несущих
токи и заряды проводников, разделенных пространством или
поглощающей средой общего вида. Нужную модель можно по-
лучить путем допустимых упрощений атомной картины среды,
состоящей из атомов и молекул, построенных из электронов,
протонов и нейтроцов, Для большинства макроскопических яв-
лений подробности формы и строения этих элементарных ча-
стиц не имеют значения и можно ограничиться представлением
их в виде небольших масс и зарядов (+ и —), сосредоточен-
ных в некоторых дискретных точках. Можно игнорировать факт
непрерывного случайного движения частиц (если только на
них не действуют внешние силы), имея в виду, что каждая ча-
стица имеет статистическое положение покоя, определяемое за
время наблюдения, продолжительное по сравнению с атомны-
ми явлениями, но очень короткое по сравнению с наблюдае-
'мыми макроскопическими изменениями. Именно такое положе-
ние покоя занимает каждая частица. Под действием соответ-
ствующих макроскопических сил частица может совершать
регулярное движение, наложенное, разумеется, на случайное дви-
жение, В этом случае статистические положения покоя или
средние координаты положения частиц изменяются во времени.
Важными являются следующие количественные данные, от-
носящиеся к основным элементарным частицам. У электрона
масса покоя ше = 9,1 10~31 кг и заряд qe ~ — е — 1,6- 10 й9 Кл.
302
Г лава 5
У протона масса покоя тр = 1836,3 те > те и заряд qp = е.
У положительного иона заряд qi = Ze, где Z — целое число.
У нейтрона масса покоя тп = тр и заряд qn = 0.
Масштаб микроскопической структуры определяет длина dc,
характеризующая пространственное распределение частиц. Вы-
бор числового значения этой длины в большой степени зависит
от типа рассматриваемого материала. У твердых и жидких
диэлектриков dc может представлять межатомные или межмо-
лекулярные расстояния. Например, для воды при температуре
300 К величина dc имеет среднее значение порядка 3-10~10 м.
Для материалов, у которых средняя длина свободного пробега
определяет процесс проводимости, т. е. для металлов, газов я
плазмы, dc представляет среднюю длину свободного пробега.
У металлов с высокой проводимостью, например у меди при
температуре 300 К, средняя длина свободного пробега порядка
dc = 3-10-8 м, у газов и плазмы эта длина обычно намного
больше.
Если длину dc = 4-10~10 м принять за масштаб микроско-
пической структуры, то внутреннюю область твердой или жид-
кой среды можно разделить на кубические ячейки объемом
Лт/ = с/^, где di 4 • 10~8 м, и каждая ячейка будет содержать
N, — (dt/dc)'6 Ю6 частиц. Можно также разделить тонкий
слой на границе одной из сред на поверхностные ячейки объе-
мом Lxs = d~idc, в котором содержится Ns = (di/dc)2 104 ча-
стиц. Обе системы ячеек содержат достаточное количество ча-
стиц в ячейке для применения законов статистики, хотя раз-
меры ячеек di очень малы по сравнению с любым учитываемым
макроскопическим размером, если сЛ 4 10~3 м. Так, для твер-
дых тел и жидкостей 4- IO-'3 di 4-10-8. Средняя длина про-
бега в любом газе при нормальных давлении и температуре
имеет значение порядка 10~7 м, поэтому каждая кубическая
ячейка Ат, должна иметь размер dt 4 • 10-6 м; тогда она со-
держит число частиц N,— (di/dc)3 64-103, достаточное для
применения законов статистики. Таким образом, при нормаль-
ных температуре и давлении ячейка для газов гораздо больше,
чем для жидкостей и твердых тел, и все же она мала по срав-
нению с макроскопическими расстояниями. Однако для
разреженных газов или разреженной плазмы это не так;
например, при давлении 0,01 мм рт. ст. длина свобод-
ного пробега равна 1 см и сравнима с макроскопическими рас-
стояниями.
Чтобы упростить определение макроскопически точных ха-
рактеристик электрических и механических свойств среды, це-
лесообразно математически моделировать ее соответствующие
микроскопические характеристики. Практически каждая части-
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
303
ца заменяется суперпозицией ее элементарных характеристик,
локализованных в точке, представляющей статистическое по-
ложение покоя. К учитываемым характеристикам относятся
масса, заряд, электрический дипольный момент, магнитный ди-
польный момент, электрический квадрупольный момент и т. д.
Набор характеристик, входящих в представление частицы
каждого вида, зависит от ее микроскопической структуры
и необходимой точности макроскопического описания
среды.
В отличие от микроскопической теории среды, где рассмат-
ривается большое число дискретных атомов и молекул с раз-
личными структурами и характеристиками, макроскопическая
теория имеет дело только со средними значениями и эффек-
тами. Если микроскопические характеристики слабо изменяют-
ся на расстояниях, больших по сравнению со средней длиной
свободного пробега (за исключением перехода через границу
между различными материалами, где всегда имеет место бы-
строе изменение), то соответствующие усредненные макроско-
пические характеристики можно представить двумя системами
медленно изменяющихся функций плотности: одна, система
объемных плотностей, характеризует внутренние точки запол-
ненной материалом области, а вторая, система поверхностных
плотностей, учитывает особые условия быстрых изменений при
переходе через тонкую границу на поверхности среды или че-
рез граничный слой.
5.5. ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА. КОНЦЕНТРАЦИЯ ЧАСТИЦ
Определение непрерывных функций плотности, входящих
в описание статистического распределения и упорядоченного дви-
жения большого числа N дискретных заряженных частиц в
объеме V, зависит от выбора элементов объема и поверхности.
Для объемной плотности заряда р(г) должно выполняться ра-
венство
N
jj р (г) dV = У q, (5.1)
v /=1
в объеме V. Средняя плотность в этом объеме равна
Рао (г) = £ q(/V, (5.2)
/=1
однако это уравнение не дает информации о распределении
заряда в объеме в функции координат. С другой стороны,
304
Глава 5
микроскопическая плотность равна
n
( S М N
p(r)= lira = У 7/6 (г — г//( (5.3)
ЛИ-»0
где 6 (г — г;) — дельта-функция Дирака, обладающая извест-
ными свойствами:
( 1, если V содержит г,-,
( 0, если V не содержит Г/.
Очевидно, что микроскопическая плотность (5.3) только лока-
лизует «точечные» заряды q, с «нулевым объемом» и «бесконеч-
ной плотностью» в точках статистического положения покоя
реальных зарядов. Эта функция не может быть непрерывной.
Больше физического смысла содержит другое определение
объемной плотности заряда, которое получается, если разделить
объем V на кубические ячейки где di много больше
микроскопических размеров и много меньше макроскопических.
Для твердых тел и жидкостей минимально возможная величина
di приблизительно равна 4-Ю-8 м. Средняя плотность в каждой
ячейке определяется из формулы (5.2). Таким образоь ,
Р (<";) = У 7//А^> (5.5)
где суммирование выполняется по всем зарядам в Ат/, а г, опре-
деляет центр ячейки i. После того как такая средняя плотность
определена в центре каждой ячейки, можно построить непре-
рывную функцию р(г) (Кл/м3), которая принимает заданные
значения р (г,) в центрах ячеек и сохраняет непрерывность п
гладкость между этими центрами. Корректно построенная та-
ким образом непрерывная интерполяционная функция р(г) дает
макроскопическую усредненную объемную плотность заряда
вблизи каждой точки области.
Непрерывная плотность массы £)(г) (кг/м3) может быть
также определена интерполяцией дискретных значений
D (г;) = У, msl\xt, (5.6)
где суммирование выполняется по всем частицам в объеме Ат/.
Аналогично путем интерполяции дискретных значений можно
определить непрерывную объемную концентрацию частиц (чис-
ло частиц в единице объема) nk(r) для каждого вида частиц:
>4 (К) = (5.7)
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
305
где Nki — общее число частиц данного вида k в Дщ. Таким об-
разом, пе(г) есть объемная концентрация электронов, п,(г) —
объемная концентрация положительных ионов и т. п. Объемные
концентрации частиц связаны простыми соотношениями с объ-
емными плотностями заряда и массы в области, содержащей,
например, три вида частиц; электроны, положительные ионы и
нейтральные молекулы; эти соотношения имеют вид
р (г) = ре (г) + рг (г) = — епе (г) + Zerit (г), (5.8)
D (г) = De (г) + (г) + Dn (г) — metie (г) + ед (г) + mntin (г). (5.9;
В некоторых средах, особенно благодаря действию внешних
сил, могут возникать высокие концентрации зарядов в поверх-
ностных и граничных слоях, толщина которых одного порядка
с микроскопическим расстоянием de, т. е. с межатомными рас-
стояниями. Такие концентрации имеют место, например, при
электростатическом распределении зарядов на поверхности ме-
таллов. Интерполяционная плотность заряда, определенная с
помощью кубических объемных ячеек Arz. = d2, где dL dc, не
может учесть высокую локальную концентрацию в тонких гра-
ничных слоях. Поэтому необходимо ввести поверхностные ячей-
ки объемом ^xs = dcd'2i и определить поверхностную плотность
заряда в слое, которая непрерывно и медленно изменяется вдоль
поверхности, но ее задание ограничено тонкой поверхностной
пленкой толщиной dc. Непрерывная поверхностная плотность
заряда т] (г) (Кл/м2), где конец вектора г совпадает с централь-
ной поверхностью внутри тонкого слоя, получается интерполя-
цией дискретных значений, заданных в центрах поверхностных
ячеек Ats:
П (rs) = S Qj/^s- (5.Ю)
Здесь суммирование проводится по всем зарядам в Ars. Непре-
рывную поверхностную концентрацию частиц п(г) каждого типа
в поверхностном слое также можно определить путем интерпо-
ляции с помощью тонких поверхностных ячеек. По аналогии
с формулой (5.8)
Л (г) = т]е (г) + t]z (г) = — епе (г) + Zerii (г), (5.11)
где гр(г) — поверхностная плотность заряда и пе(г) — поверх-
ностная концентрация частиц, заряженных отрицательно, а
т]/(г)—поверхностная плотность заряда и н,(г)—поверхностная
концентрация частиц, заряженных положительно. Следует заме-
тить, что наличие высокой концентрации зарядов в поверхно-
стном слое особенно важно, когда во всем объеме концентрация
зарядов мала вследствие равного количества положительных и
306
Глава 5
отрицательных зарядов (а не по причине отсутствия частиц).
Подобное увеличение концентрации на поверхности не относит-
ся к распределению массы, которое достоверно определяется
объемной плотностью массы £)(г) во всех точках заполненной
материалом области. Поэтому нет необходимости вводить по-
нятие поверхностной плотности массы.
5.6. ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ
ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ
Нейтральные атомы и молекулы состоят из электронов,
протонов и нейтронов, связанных друг с другом внутренними
силами в различных комбинациях. В определенных твердых
телах (проводниках) некоторые электроны не связаны и сво-
бодно передвигаются от атома к атому под действием даже
очень слабых внешних сил. В других твердых телах и жидко-
стях (диэлектрики, изоляторы) электроны связаны с атомами
большими внутренними силами. Существуют две разновидности
молекул в диэлектриках: неполярные молекулы, у которых
центры положительных и отрицательных зарядов совпадают при
отсутствии электрического поля внешних источников, и поляр-
ные молекулы, у которых центры положительных и отрицатель-
ных зарядов постоянно смещены в противоположных направле-
ниях вдоль некоторой оси поляризации, даже если приложен-
ное извне электрическое поле полностью отсутствует. Однако
в объеме материала эти оси у различных молекул в резуль-
тате теплового воздействия ориентированы по случайным на-
правлениям, и объем в целом не поляризован макроскопи-
чески.
Если электрическое поле приложено к неполярной молекуле
с сильными внутренними связями, то положительные и отрица-
тельные заряды смещаются в противоположных направлениях
вдоль линий приложенного электрического поля, пока смеще-
ние центров не приведет к равновесию внешних и внутренних
электрических сил. Таким образом, достигается новое равнове-
сие молекулы, и неполярная молекула временно становится по-
лярной, пока действует внешнее поле. Временная поляризация
неполярной молекулы с сильными связями, индуцированная под
действием внешнего поля, определяется прежде всего внутрен-
ними силами связи. Последние сравнительно слабо зависят от
температуры в широком диапазоне температур. Если внешнее
электрическое поле приложено к материалу, состоящему из по-
лярных молекул со случайной ориентацией, то на молекулы
действует механический момент, который стремится направить
оси поляризации молекул параллельно приложенному электри-
ческому полю. Силы, возвращающие молекулы к случайным
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
307
ориентациям, в первую очередь теплового происхождения и по-
этому сильно зависят от температуры.
Основной микроскопической характеристикой поляризован-
ной молекулы независимо от механизма поляризации (поляри-
зация постоянная, обусловленная внутренним строением, или
временная, индуцированная внешним электрическим полем) яв-
ляется дипольный момент, вызванный микроскопическим разде-
лением центров положительных и отрицательных зарядов и рас-
положением их вдоль некоторой оси.Математически дипольный
момент поляризованной нейтральной молекулы определяется
уравнением
Р(г)= S <7/d/ = Qd> (6.1)
j-i
где суммирование проводится по всем зарядам в молекуле, а
d/ — векторы, проведенные из центра молекулы к зарядам. Член
Qd справа — дипольный момент эквивалентного диполя, состоя-
Рис. 5.6.1. Электрический дипольный момент двух зарядов,
р = ffidi + </2d2 = Q(d2 - di)= Qd.
щего из всех входящих в молекулу положительных и отрица-
тельных зарядов, сконцентрированных в своих центрах, которые
разделены вектором d, проведенным из центра отрицательных
зарядов к центру положительных зарядов (рис. 5.6.1). Хотя
микроскопическое разделение и ориентация зарядов в отдель-
ной молекуле не имеют макроскопического значения, совокуп-
ный эффект миллионов поляризованных молекул в малом
объеме представляет собой весьма важное макроскопическое
явление. Поэтому целесообразно ввести непрерывную плотность,
чтобы получить характеристику усредненной поляризации мо-
лекул в окрестности каждой точки области.
Отнесенный к единице объема дипольный момент всех моле-
кул в объеме ячейки Дт/ с центром в точке г,- дается уравнением
N
P(r/)=S^d//AT,-. (6.2)
/=1
После того как такой вектор определен и локализован в центре
каждой объемной ячейки Дт«, непрерывный вектор объемной
308
Г лава 5
плотности дипольного момента Р(г) можно определить путем
интерполяции дискретных векторных величин. По определению
Р(г) принимает дискретные значения Р(г,) в центрах ячеек Ат,
и изменяется между центрами непрерывно и гладко по вели-
чине и направлению. Такая интерполяция имеет смысл только
при медленном изменении Р(г). Объемная плотность дипольного
момента Р(г) называется поляризованностью материала; эта
величина определяет усредненное макроскопическое состояние
поляризации в окрестности каждой точки заполненной материа-
лом области.
Рис. 5.6.2. Область со слабо связанными зарядами под действием внешнего
поля.
Разделение I (только объемные ячейки): pj=O, pj = O, r|j=O.
Разделение II (объемные н поверхностные ячейки): Рц=0» Рц = 0,
Если каждая молекула в заполненной материалом области
содержит равные количества положительных и отрицательных
зарядов и центры положительных и отрицательных зарядов
совпадают при отсутствии внешних сил, то область является
электрически нейтральной и не поляризованной. Это означает,
что объемная плотность заряда, определяемая интерполяцией
величин (5.5), и поляризованность, определяемая интерполя-
цией величин (6.2), обращаются в нуль, т. е. р(г) —0, Р(г) = 0.
Если в области существует постоянное поле от внешних ис-
точников (рис. 5.6.2), то на каждую заряженную частицу дей-
ствует сила, смещающая положительные заряды в направлении
поля, а отрицательные заряды против поля. Если в материале
находятся свободные заряженные частицы (электроны в про-
водниках, положительные и отрицательные ионы в плазме и
электролите), то они будут двигаться к границам объема, как
показано схематически на рис. 5.6.2, пока поверхностный заря-
женный слой не создаст обратное электрическое доле, доста-
точно сильное для компенсации приложенного поля внутри
объема. Если область разделена на кубические объемные ячей-
ки Ат, (разделение I), как показано сплошными линиями на
рис. 5.6.2, то плотность р; (г,), определяемая формулой (5.5),
будет равна нулю во всех объемах Ат,-, кроме прилегающих к
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
309
границе, например Ац и Ат,,. Слева pi(rj) будет иметь неболь-
шое отрицательное значение, а справа — небольшое положи-
тельное значение, относящееся к центрам толстых объемных
ячеек. Интерполяционная непрерывная объемная плотность
pi (г) будет всюду равна нулю, кроме крайних правых точек, где
она имеет небольшой подъем, и крайних левых точек, где она
имеет небольшое снижение. Очевидно, что при усреднении те-
ряются реальные резкие подъемы и снижения плотности заряда
вблизи границ. Если область разделена на тонкие поверхно-
стные ячейки Ats вдоль границ и на кубические объемные ячей-
ки Ат,, как показано штриховыми линиями на рис. 5.6.2, то при
определении непрерывных интерполяционных плотностей из
Рис. 5.6.3. Область с сильно связанный зарядами под действием внешнего
поля.
Разделение I (только объемные ячейки): Cj=O, Pj =£ 0,
Разделение II (объемные и поверхностные ячейки): Рц=0- Яц
формул (5.5), (5.10) и (6.2) получается рц(г)=0, Рц(г)=0
и т]ц (г)=й 0. Таким образом достигается правильная аппро-
ксимация реальных локальных значений заряда и поляризо-
ванное™.
Если в объеме нет свободных зарядов, то наложенное внеш-
нее электрическое поле вызывает деформацию смещения каж-
дой молекулы; это значит, что все положительно заряженные
частицы смещаются в направлении поля, а отрицательно заря-
женные— в противоположном направлении, пока не будут до-
стигнуты условия равновесия. В равновесном положении поло
жительные и отрицательные заряды несколько смещены в про-
тивоположных направлениях, как показано схематически на
рис. 5.6.3. Если разделение на ячейки произведено способом I
(только на объемные ячейки), как показано на рисунке штрихо-
выми линиями, то отличное от нуля значение поляризованное™
Pi (г) получается интерполяцией дискретных значений из (6.2).
Вместе с тем pi (г) = 0, поскольку каждая молекула и каждый
элемент объема Ат,- содержат равное число положительных и
отрицательных зарядов. Так как поверхностные ячейки не вве-
дены, щ (г) == 0.
310
Г-iaen 5
Дели по всей поверхности области ввести поверхностные
ячейки Ats толщиной dc и соответственно сдвинуть внутрь стен-
ки объемных ячеек Ат,-, то получится разделение на ячейки спо-
собом II. При этом на обеих границах будет значительная по-
верхностная плотность заряда цц(г), поскольку дискретные зна-
чения трДгД, согласно формуле (5.10), будут отличаться от
нуля. В результате горизонтального растяжения атомов на од-
ной границе окажется в среднем больше положительных заря-
дов, а на противоположной границе будет больше отрицатель-
ных. Это означает, что внутренние границы поверхностных ячеек
разрежут поперек молекулярные диполи, и поэтому в один гра-
ничный слой будет включено больше положительных зарядов,
а в противоположный граничный слой — отрицательных. Это по-
казано на рис. 5.6.3. Следует заметить, что заряженные концы
молекулярных диполей, попавшие в поверхностные ячейки, бу-
дут при этом обязательно удалены из соседних внутренних
ячеек, что приведет к некоторому уменьшению поляризован-
ное™, полученной путем интерполяции значений из (6.2).
В частном случае, показанном на рис. 5.6.3, Рн(г) = 0. Из фор-
мулы (5.5) также следует, что рн(г) = 0.
Ответ на вопрос о том, что характеризует поляризацию дан-
ного объема материала: поляризованность или поверхностная
плотность заряда на границах, очевидно, связан с выбором типа
деления на ячейки при определении соответствующих плот-
ностей. Этот интересный факт будет рассмотрен значительно
подробнее в связи с очень важной задачей определения плот-
ностей, независящих от способа деления объема на ячейки.
5.7. ПОЛЯРНЫЕ ВЕЩЕСТВА: ВОДА И ЛЕД
Важным примером вещества, состоящего из поляризо-
ванных молекул, является вода. Молекула воды состоит из двух
ионов Н+ и одного иона О=. Если бы эти три иона в микроско-
пической структуре молекулы располагались по одной линии
с кислородом в центре симметрии, то молекула не имела бы по-
стоянного дипольного момента. Данные спектроскопии и другие
факты показывают, что линии связи, соединяющие два водород-
ных иона с кислородом, образуют угол 105°, причем отрица-
тельный заряд кислородного иона смещен из центра иона.
Из многих предполагаемых конфигураций молекулы воды
Кирквуд [2], а затем Остер и Кирквуд [3] выбрали модифи-
кацию теоретической модели молекулы, первоначально предло-
женной Берналом и Фаулером [1], и предсказали наблюдаемые
диэлектрические свойства воды. На рис. 5.7.1 схематически по-
казана типичная молекула воды рядом с ближайшей соседней
молекулой. Точки с обозначением Н+ показывают положения
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
311
центров положительных атомов водорода, точки с обозначе-
нием — представляют небольшие смещения центров двух отри-
цательных зарядов, принадлежащих кислороду. В данный мо-
мент плоскость Н+ОН+ молекулы 1 и плоскость — О — моле-
кулы 2 совпадают с плоскостью рисунка, а плоскость Н+ОН+
молекулы 2 и плоскость — О — молекулы 1 перпендикулярны
Рис. 5.7.1. Модель двух молекул воды по Кирквуду, 9 = 105°. Молекулы мо-
гут вращаться вокруг линии связи.
плоскости рисунка. Углы Н+ОН+ и — О — равны 105°. Линия
ОН+ — О, соединяющая центр молекулы 1 с центром моле-
кулы 2, показывает направление связи между двумя молеку-
лами. Каждая молекула может свободно вращаться вокруг
этой линии, как вокруг оси. 'Электрический дипольный момент
р каждой молекулы направлен от центра отрицательного за-
ряда к центру положительного заряда молекулы. В частности,
на рисунке показано взаимное расположение молекул, при ко-
тором их векторы дипольных моментов параллельны, как если
бы молекулы находились под действием внешнего поля.
В более общем случае считают, что вода состоит из моле-
кул, центры которых расположены в вершинах тетраэдра. На
рис. 5.7.2 показано такое взаимное расположение молекулы
312
Глава 5
воды с четырьмя соседними молекулами. Два атома водорода,
принадлежащие каждому кислородному атому, всегда лежат на
линиях связи с соседними кислородными атомами, но на каж-
дой линии связи лежит только один атом водорода. Это озна-
чает, что вокруг каждого кислородного атома находятся че-
тыре водородные связи. Предполагается, что у воды эти связи
Рис. 5,7.2. Молекула воды с четырьмя соседними молекулами в вершинах
тетраэдра.
являются гибкими и непрочными, но у льда они сильные и
жесткие.
Хотя отдельные молекулы воды являются полярными, бла-
годаря тепловому движению, вызывающему колебания и вра-
щение молекул относительно линий связи, молекулы ориенти-
руются случайным образом, и любой макроскопический объем
воды не поляризован. При наложении электрического поля дан-
ного направления молекулы сдвигаются и поворачиваются так,
чтобы их дипольные моменты были параллельны полю. Если на-
правление внешнего поля периодически изменять с низкой ча-
стотой, молекулы будут двигаться и векторы их дипольных мо-
ментов будут вращаться с той же частотой и приблизительно
в фазе. Если повысить частоту переменного электрического
поля, то силы инерции и трения вызовут задержку движения
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
313
молекул и изменение направления отдельных дипольных мо-
ментов будет отставать от изменения поля. В связи со слож-
ностью структуры можно ожидать, что колебательные и враща-
тельные резонансы возникнут на определенных критических
частотах и что в конце концов на достаточно высокой частоте
постоянные диполи (которые принадлежат взаимно связанным
молекулам, обладающим сравнительно большой инерцией) не
смогут следовать из изменением внешнего поля. При таких
условиях материал ведет себя как неполярный. Переход от по-
лярных свойств к неполярным у льда, когда молекулы связаны
более жесткими связями твердого тела, может произойти на
более низкой частоте, чем у воды. Однако даже в неполярном
состоянии на достаточно высоких частотах и вода, и лед могут
поляризоваться под действием внешнего поля. Так же, как в
веществах, неполярных по своей структуре, электроны будут
сдвинуты по направлению к положительным частицам и воз-
никнет состояние индуцированной поляризации. При этом де-
формация смещения зависит от других внутренних сил и не свя-
зана с инерционными вращательными явлениями, характер-
ными для молекул с постоянной поляризацией.
5.8. ПЛОТНОСТЬ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ
ИЛИ ТОК
В твердых телах (металлах) со свободными электронами,
в ионизированных жидкостях (электролитах) и ионизирован-
ных газах, в плазме, в области пространственного заряда ме-
жду электродами электронной лампы можно вызвать упорядо-
ченное движение частиц одного знака или обоих знаков путем
приложения к зарядам соответствующих внешних сил. Средняя
макроскопическая характеристика такого потока заряженных
частиц может быть представлена непрерывной медленно изме-
няющейся векторной функцией — объемной плотностью тока
J(t)[A/m2]. Она определяется интерполяцией по величине и
направлению дискретных значений, заданных в центрах объем-
ных ячеек Ат/ (с координатами центров, определяемыми векто-
рами Г;) :
J (П) = S 7/V//Atj. (8.1)
Суммирование в (8.1) проводится по всем зарядам q: в объеме
Ат,; V/ есть скорость заряда <77. Следует заметить, что величина
9/V; есть электрический аналог импульса движущегося заряда
rtijN). Она является мерой величины заряда и его скорости.
314
Глава 5
Объемную плотность тока J(r) можно выразить через объ-
емные концентрации положительных и отрицательных носителей
тока:
J (г) = Je (г) + Jf (г) = — еуе (г) пе (г) 4- eZVi (г) щ (г), (8.2)
где средние упорядоченные скорости двух видов заряженных
частиц равны
ve (г) = —— , V, (г) = - (8.3)
е' ' — епе (г) ‘ ’ eZnj (г) ’
и отдельные объемные плотности тока Je(r) и J, (г) движущих-
ся отрицательных и положительных зарядов определяются ин-
терполяцией.
У тел из хорошо проводящего металла токи на высокой ча-
стоте сосредоточены в тонком слое вблизи поверхности. Харак-
теристический размер проникновения тока в металл по нормали
к его поверхности называется глубиной проникновения, ее клас-
сическая величина ds = (2/соцст) №. Даже на сверхвысоких ча-
стотах глубина проникновения для металлов велика по срав-
нению с межатомными расстояниями и со средней длиной
свободного пробега. Например, на частоте 1 ГГц глубина про-
никновения для меди приблизительно равна 2,1 -10-6 м, тогда
как типичная средняя длина пробега в металле при температуре
300 К порядка 3-10~8 м. Такой результат можно было ожидать,
поскольку глубина проникновения зависит от электрической
проводимости, а последняя является макроскопической величи-
ной и определяется в масштабе, намного превышающем длину
свободного пробега. Даже у сверхпроводников ток сосредоточен
в слое толщиной порядка 3 • 10~8 м. При повышении частоты
глубина проникновения тока становится сравнимой со средней
длиной свободного пробега. Однако эта глубина определяется
уже не так называемым классическим скин-эффектом, а ано-
мальным скин-эффектом. Аномальный скин-эффект у металлов,
подобных меди, при температуре 300 К возникает на частоте
миллиметрового диапазона волн (fas 160 ГГц) [4].
Для решения электромагнитных задач часто бывает полезно
ввести идеализацию хорошего проводника (металла), а именно
понятие «идеального проводника». Ток в идеальном проводнике
считается сосредоточенным в тонком поверхностном слое, соиз-
меримом по толщине с межатомными расстояниями или длиной
свободного пробега. Объемная плотность тока J (г), полученная
интерполяцией дискретных значений, заданных на расстояниях
Д/2 от поверхности т. е. на расстояниях, очень больших по
сравнению с длиной свободного пробега, не может характери-
зовать поверхностный ток идеального проводника. Плотность
тока J(r) не соответствует также плотностям тока, обусловлен-
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
315
ным микроскопической циркуляцией зарядов вблизи поверх-
ности. Для различения поверхностных токов, сосредоточенных
в тонких слоях, нужно ввести особую поверхностную плотность
движущихся зарядов К (г) (А/м), определенную путем двумер-
ной интерполяции дискретных значений:
К (rs) = dc £ (8.4)
где суммирование проводится по всем зарядам в тонкой поверх-
ностной ячейке Ats = dcd2t, координаты центра которой опреде-
ляются вектором rs. Теперь V/ — скорости, параллельные по-
верхности. Следует заметить, что функция К (г) должна мед-
ленно изменяться в направлениях, параллельных поверхности
или границе, и что она не определена за пределами тонкого
слоя, соизмеримого по толщине с длиной свободного пробега.
Поверхностная плотность тока К (г) выражается через кон-
центрации частиц п(г) и средние скорости v(r) упорядоченного
движения двух видов заряженных частиц:
К (г) = Ке (г) + К/ (г) = — епе (г) ve (г) + eZtii (г) vj (г). (8.5)
5.9. НАМАГНИЧЕННОСТЬ. МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬНЫЙ
МОМЕНТ
Чтобы представить усредненные, наблюдаемые макроско-
пически явления, вызванные зарядами в микроскопических
условиях среды, понадобилось ввести не только объемную и
поверхностную плотности зарядов, но и объемную плотность
дипольных моментов. Это является следствием того, что нельзя
игнорировать даже очень малое разделение статистических цен-
тров положительных и отрицательных зарядов в каждой от-
дельной молекуле, приводящее к образованию микроскопиче-
ского диполя. Совместный эффект миллионов таких маленьких
диполей, соответствующим образом выстроенных под воздей-
ствием внешних сил, превращает все тело в большой диполь.
По тем же причинам для описания упорядоченного движения
зарядов недостаточно использовать только объемную и поверх-
ностную плотности тока. Под действие^ внешних сил могут ин-
дуцироваться микроскопические круговые движения зарядов
в виде вихревых токов внутри атомов и молекул, которые сов-
местно ориентируются и создают существенное макроскопиче-
ское вращение заряда вокруг общей оси, оси намагничения. Та-
кие индуцированные магнитные моменты являются диамагнит-
ными; они аналогичны диэлектрическим индуцированным
дипольным моментам.
Магнитные моменты индуцируются не только внешними си-
лами. Наряду с веществами, состоящими из постоянно
316
Глава 5
поляризованных (электрически) молекул, существуют магнит-
ные материалы с локальными постоянными магнитными момен-
тами, которые обусловлены в основном электронными спинами,
в различных атомах, ионах и молекулах. Ядерные спины также
вносят небольшие магнитные моменты. Когда число электронов
нечетное и не все спины объединены в пары, возникает парамаг-
нетизм; магнитный момент при этом относительно слабый. При
ферромагнетизме электронные спины объединяются в так на-
зываемые домены, внутри которых спины параллельны. Это
Рис. 5.9.1. Мгновенный и средний по времени магнитный момент т, заряда </,,
движущегося по кругу радиусом г, со скоростью v,; вектор гп/ перпендикуля-
рен плоскости векторов ф и V/ (средний по времени момент отмечен двумя
черточками сверху).
происходит в материалах (железе), обладающих сильными
магнитными моментами и слабо связанными электронными
структурами, характерными для металла. Ферримагнетизм ана-
логичен ферромагнетизму с макроскопической точки зрения, но
отличается по микроскопическому строению. Магнитные мо-
менты соседних ионов при ферримагнетизме направлены анти-
параллельно, но так, что они полностью не вычитаются. Это
наблюдается в ферритовых материалах, в которых сильные маг-
нитные моменты сочетаются с сильно связанной структурой ди-
электрика.
Магнитный момент за счет упорядоченного микроскопиче-
ского кругового движения зарядов относительно общей оси в
элементе объема Д-р определяется следующим образом:
тс (г,) = ’/г [d/ X 9/V/] = Е <’/2 [Г/ X 9/V/]) = Е <Ш/>- (9-1)
Как показано на рис. 5.9.1, вектор г, определяет координаты
центра объемной ячейки Д-р, Суммирование выполняется по всем
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
317
зарядам q, в элементе Ат,. Вектор d/ проведен из центра ячейки
к заряду <7/, движущемуся со скоростью V/. Для статистически
большого числа зарядов сумма мгновенных значений гл/ =
— (‘/2) [Ф X <7/V;] совпадает со средним значением <т,-> за
время, большее по сравнению с длительностью микроскопиче-
ских событий, но короткое по сравнению с длительностью мак-
роскопических наблюдений. Это можно понять из рис. 5.9.1 и
уравнения (9.1). Круговое движение зарядов происходит вокруг
оси намагничения, совпадающей с вектором магнитного момента
тс(Г;). Путем интерполяции дискретных значений из (9.1) по-
лучается непрерывная, медленно изменяющаяся объемная плот-
ность магнитного момента Мс(г), или намагниченность (обу-
словленная циркуляцией зарядов)
Мй (г,) = шс (гг)/Атг. (9.2)
Магнитный спиновый момент электрона равен
mes = ± s (/ге/4лпг0е), (9.3)
где h — постоянная Планка, е — заряд, тОе — масса покоя элек-
трона, s — единичный вектор, направленный по оси намагниче-
ния. Общая намагниченность в элементе объема Ат/, обуслов-
ленная электронными спинами, равна
Мя(п) = Е mes/ATo (9.4)
где суммирование проводится по всем электронам в Ат,-. Об-
щая намагниченность М(г) равна сумме намагниченностей за
счет электронных спинов и кругового движения зарядов;
М (г) = Мй (г) + Mes (г). (9.5)
В эту формулу при необходимости может быть добавлен третий
член, учитывающий ядерные спины.
Магнитные материалы и магнитные моменты не имеют от-
ношения к большинству задач, связанных с антеннами в погло-
щающей среде или вблизи нее. Они возникают главным обра-
зом, когда нужно теоретически определить магнитный момент
рамочной антенны электрически малых размеров, а также при
рассмотрении специальных случаев рамочных антенн с ферри-
товыми сердечниками и ферритовых стержневых антенн.
5.10. МУЛЬТИПОЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
ДВОЙНОЙ слой
Молекулярная структура материала в большинстве слу-
чаев очень сложная, и его свойства не всегда можно полно и
достоверно описать, рассматривая распределения зарядов,
318
Глава 5
токов, а также электрические и магнитные дипольные моменты.
Иногда приходится рассматривать распределения квадруполей,
состоящих из двух близко расположенных равных и антипарал-
лельных электрических или магнитных дипольных моментов
(рис. 5.10.1, а или б); квадруполи приблизительно эквивалентны
Рис. 5.10.1. а — электрический квадруполь; б — магнитный квадруполь;
в — электрический октуполь; г — магнитный октуполь.
нейтральным неполярным и немагнитным частицам, характери-
зуемым только массой. Это относится и к октуполям
(рис. 5.10.1, в, г), и ко всем мультиполям высших порядков.
Для задач, связанных с антеннами в поглощающей среде и
вблизи нее, рассмотрение дипольных моментов является отлич-
ным приближением, и поэтому плотности распределений квад-
руполей и мультиполей более высоких порядков вводить не
надо. Таким образом, всюду ниже мы будем применять матема-
тическую модель материала, представляющую только суперпо-
зицию положительных и отрицательных зарядов и электриче-
ских и магнитных дипольных моментов.
+ + + + + + + + + + + + }
Случайное распределение
Рис. 5.10.2. Двойной слой зарядов или поверхностная поляризация.
Особые свойства металлов, идеальных проводников и сверх-
проводников можно характеризовать очень тонкими слоями за-
рядов и токов, поэтому необходимо также ввести в рассмотре-
ние поверхностные плотности зарядов и токов. Поверхностная
Теория электромагнитного поля и основные уравнения 319
плотность дипольных моментов не вводилась ввиду ее беспо-
лезности для решения рассматриваемых задач. Такая плотность
будет нужна, если применяемый материал может нести на своей
граничной поверхности двойной слой зарядов или одинарный
слой диполей, как показано на рис. 5.10.2. Слои диполей ориен-
тированы перпендикулярно к граничной поверхности, и поляри-
зованность всюду внутри объема равна нулю.
5.11. ПЛОТНОСТИ, НЕЗАВИСЯЩИЕ ОТ СПОСОБА
РАЗДЕЛЕНИЯ МАТЕРИАЛА
НА ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЯЧЕЙКИ
Различные понятия плотности, введенные для получения
приближенного математического представления макроскопиче-
ских свойств материала, были определены с применением объ-
емных и поверхностных ячеек, достаточно больших и содержа-
щих много частиц. Несмотря на очень малые, но конечные раз-
меры каждой частицы, она была приближенно заменена
дискретной, не имеющей размера точкой, в которой были скон-
центрированы сосредоточенная масса и заряд. Отсюда следует,
что каждая данная частица может находиться в одной или дру-
гой ячейке, но не может частично помещаться в двух соседних
ячейках, если рассматриваются масса и заряд частицы. Однако
это не верно для поляризованной или намагниченной частицы,
микроскопический размер которой имеет тем не менее макро-
скопическое значение. Этот размер есть расстояние между по-
ложительными и отрицательными зарядами в микроскопиче-
ских диполях или диаметр орбит круговых токов в микроско-
пических контурах. Разделенные центры положительных и от-
рицательных зарядов в диполе и круговое движение зарядов
вокруг оси по орбите малых, но конечных размеров эквива-
лентны соответственно двум несовпадающим заряженным ча-
стицам и двум противоположно направленным элементам тока.
Эти два заряда и два элемента тока могут оказаться в одной
ячейке, или по разные стороны границы между двумя соседними
объемными ячейками, или же между объемной и соседней по-
верхностной ячейками. В последнем случае два заряда вносят
вклад в суммарную объемную или поверхностную плотность
заряда в каждой из ячеек, но не в объемную плотность диполь-
ного момента ни в одной из них. Аналогично два элемента тока
входят в расчет объемной или поверхностной плотности тока
в двух ячейках, но не вносят вклада в объемную плотность маг-
нитного момента в этих ячейках. Как показано на рис. 5.6.3, по-
ляризованность, полученная интерполяцией дискретных значе-
ний из (6.2), может принимать значения от максимального,
когда стенки ячеек не пересекают ни одного диполя, до нуля,
320
Глава 5
когда пересечено некоторое определенное число диполей. Объ-
емная и поверхностная плотности заряда также зависят от вида
деления на ячейки. Аналогичные утверждения справедливы для
намагниченности, а также для объемной и поверхностной плот-
ностей тока.
На схематическом примере можно наглядно показать, как
изменение способа разделения на ячейки влияет на расчет плот-
ности заряда [тока] и поляризованности [намагниченности]. На
рис. 5.11.1 [5.11.2] изображен отрезок пластины из диэлектри-
ческого (магнитного) материала с плоскими параллельными
границами при х = 8 и х — 24. Эти плоскости не ограничены
в направлениях у и z. Пластина поляризуется и ее дипольный
момент Р = хРх(х) [намагничивается, и ее магнитный момент
М = zAfz(x) ]. Число диполей [круговых токов] возрастает при
изменении х от 8 до 24. На рис. 5.11.3 [5.11.4] схематически
показано одномерное расположение диполей [круговых токов]
в квадратной призме единичного сечения, вырезанной в пла-
стине (см. верхнюю часть рис. 5.11.1 [5.11.2]). Все диполи [кру-
говые токи] идентичны, за исключением отдельных диполей
двойной длины, т. е. с двойным электрическим моментом [кру-
Рис. 5.11.1. Элементы объема и поляризованность пластины.
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
321
говых токов двойного диаметра, т. е. с двойным магнитным мо-
ментом].
Разделим сначала область на кубические объемные ячейки
(разделение I) объемом Ат1=о!? где di =4, так что между
граничными плоскостями х = 8 и х = 24 нужно разместить всего
четыре ячейки. Поскольку материал однороден и простирается
до бесконечности в направлениях у и х, можно получить те же
значения плотности более простым путем при делении на ячей-
ки с единичным сечением и длиной 4. Диполи [круговые токи],
помещенные в четырех таких ячейках между плоскостями х = 8
и х = 24, показаны на рис. 5.11.3 [5.11.4]. Следует отметить,
что физический смысл имеет только поперечное распределение
диполей, а распределение по направлению вверх-вниз смысла
не имеет. Все диполи [круговые токи] в каждой ячейке единич-
ного сечения в целях упрощения показаны лежащими в пло-
скости рисунка. Объемная плотность заряда [тока] в каждой
ячейке равна нулю, поскольку здесь содержится равное число
положительных и отрицательных зарядов [равное число на-
11 Зак 813
322
Глава 5
Разделение 1: только объемные ячейки
Л'О Рз'О >>♦=0
л-Р^-2 11 aS--. <1 и Ь* CL ОТ р2=/4 -* Рг'3.5 f f «о S? W * к? сГо?^ Ь. ДЭ т> л II 11 и .4 Ьо О о, к> 1 1 А _ _
-[ 4- — + + - + 1 1 1 1 J- + - + 1 -1 + - + -1 + - + 1- + - + 1-+ -1 ♦ - - 1 1 1- + - + 1 1 ill । li it + + + 1 + + + + + ._rL L _ 1 1 1 Г | I + + + + + + -F* 1 1 1 1 1 1 1 III + + + + +i + + + + + 1 1 1 । 1 1 1 1 1 1
АТу ! 7^-2 — *^,-0,25 ' Р,-0 ; аг2=4 1 ~ ~0,25 ! Р2’0 !ат2=4 [ \/>3'-0,25^-0,25 1- ! РХ° \К‘° ! If
Разделение Д: объемные и поверхностные ячейки
Рис. 5.11.3. Одномерное распределение микроскопических диполей в поляри-
зованной призме с единичной площадью сечения.
правленных вверх и вниз половинок круговых токов]. Поэтому
каждое значение р(ге) [J (г,)], определяемое формулами (5.5),
(8.1), равно нулю, и интерполяционная непрерывная плотность
pi (г) = 0 [Jt(r) = 0], как показано в верхней части рис. 5.11.3
[5.11.4]. Если самый короткий диполь [наименьший круговой
ток] принять за единицу поляризованное™ [намагниченности],
то значения
Pi = Z 4Ai = Е Р/ [mz = S '/2 [d/ X qiVj] = £ mJ
будут равны pi == 10х, р2 = 14х, р3 = 18х, р4 = 22х, где х —
единичный вектор [mi = 10z, m2 = 14z, гпз = 18z, m4 = 22z, где
z— единичный вектор]. Объемные плотности в центрах ячеек
Р, = р,/Ат,- соответственно будут равны Р| = 2,5х, Р2 = 3,5х,
Р3 = 4,5х, Р4 = 5,5х [М( = m,/ATi и М, = 2,5z, М2 = 3,5z
М3 —4,5z, M4 = 5,5z], Эти значения отложены в нижней части
рис. 5.11.1 [5.11.2]. Прямая линия, проведенная через четыре
дискретных значения в центрах ячеек и экстраполированная к
двум границам, представляет непрерывную функцию, поляри-
зованное™ Р1(г) = хР1Дх), где Р1Х = 0,25х [намагниченность
Ali(г) = zAJiz(x), где М1г(х) = 0,25х]. Экстраполированное зна-
Теоэп.ч электромагнитного поля и основные уравнения
323
Разделение Г. только объемные ячейки
лх
лг(-Мя)-51
т,= 10 о
М,= 2Л°
т2= /4 о
M2=j,f О
дт2=р
т3=/8 о
М3=4,5о
Л Г; =4
Разделение П: объемные и поверхностные ячейки
Рис. 5.11.4. Одномерное распределение микроскопических токов в намагни-
ченной призме с единичной площадью сечения.
чение у левой границы (х — 8) равно Рц(г) = 2х[Мц(г) = 2z],
а у правой границы (х —24) равно P[R(r) — 6x[MiR(r) — 6z],
Поскольку в способе разделения I поверхностные ячейки не ис-
пользуются, поверхностная плотность не вводится;' это значит,
что т][ (г) = 0 [Ki (г) = 0]. Нормальные [тангенциальные] со-
ставляющие вектора Р(г) [—М(г)] на двух поверхностях равны
п-Pil = — 2 и n-PIR = 6[пХ(—Ми) = — 2у и п><(—MiR) = бу].
Аналогом вектора Р(г) является вектор —М(г), а не М(г).
Очевидно, что, согласно разделению I, пластина оказывается
поляризованной [намагниченной], но при этом ни внутри об-
ласти, ни на границе заряда [тока] нет.
Если способ разделения на ячейки изменить и ввести в рас-
смотрение и поверхностные, и объемные ячейки (разделение II),
и*
324
Глава 5
как показано штриховыми линиями на рис. 5.11.3 [5.11.4], то
в четырех ячейках получатся новые значения объемной плот-
ности р! = р2 = Рз = Р4 = —0,25[Ji = J2 = J3 = J4 = —0,25у].
Этот результат непосредственно следует из того, что каждая но-
вая объемная ячейка теперь содержит дополнительный отри-
цательный заряд [направленную вниз половинку кругового
тока]. Новым значениям соответствует непрерывная интерпо-
ляционная плотность рп (г) = — 0,25[Jn (г) ——0,25у]. Электри-
ческий [магнитный] дипольный момент каждой ячейки р( — р2 =
= Рз = P4 = 0 [mi = т2 = т3 — т4 — 0]. Последний результат
следует из £ qsAj = 0 [ £ (d/ X <7/V,) = О], где d; — расстояние от
зарядов [движущихся зарядов] до центральной линии ячейки
(проходящей посредине между штриховыми границами парал-
лельно этим границам). Далее следует, что Рц(г)= 0 [Мц(г) =
= 0]. Поверхностные плотности определяются непосредственно,
как заряд [ток] на единицу площади поверхности границы. Эти
плотности равныЦш = —2 и цпд = 6 [Кщ = —2у и Кик — бу].
Очевидно, что в случае разделения II пластина оказывается не-
поляризованной [ненамагниченной], но во внутренних и в по-
верхностных ячейках имеются заряды [токи].
В зависимости от числа диполей [круговых токов], пересе-
ченных стенками ячеек, объемная плотность заряда р(г) [тока
Л(г)]и поляризованность Р(г) [намагниченность М(г)] данного
тела могут сильно изменяться. Это относится и к поверхностной
плотности заряда ц(г) [тока К (г)]. Сопоставляя различные ре-
зультаты при разных способах разделения на ячейки, можно
сделать вывод, что основные макроскопические свойства пла-
стины совпадают при двух системах значений: р! (г) = 0, Pj (г) =
= 0,25хх, = Щд = 0 [J, (г) = 0, (г) = 0,25xz, Кщ = Kiд =
= 0] и Рп(г) = — 0,25, Р„(г) = 0, Пп£ = — 2, пПд = 6 [Jn (г) =
= - 0,25у, Мп (г) = 0, Кпь = - 2у, Кпд = бу]. Анало-
гичный вывод справедлив и для другого способа разделения
на ячейки, промежуточного между двумя выбранными, в ко-
тором меньшее число диполей [круговых токов] пересекается
стенками ячеек. Для реального тела с миллионами диполей
[круговых токов] возможен широкий диапазон значений плот-
ностей.
Если тщательно проследить за тем, что происходит с заря-
дами [токами] и электрическими [магнитными] моментами при
малом перемещении стенок от разделения I к разделению II,
то выяснится, что существуют некоторые инвариантные вели-
чины, независящие от способа разделения на ячейки, если толь-
ко материал состоит из нейтральных молекул с сильно связан-
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
325
ними зарядами [круговыми токами]. Этими величинами яв-
ляются следующие:
внутри объема рь(г) = — div Р (г) [Jj (г) + rot М (г)],
на поверхности л* (г) + п • Р (г) [К* (г) — n X М (г)].
Индекс b указывает на то, что плотность определяется только
для связанных зарядов [связанных или круговых токов]. В этих
выражениях п — внешняя нормаль к поверхности области, в ко-
торой определяется Р(г)[М(г)]. Дивергенция и ротор, входя-
щие в формулы (11.1), заданы векторно и равны
п • Р dS
div Р = lim -—г------, (11.2а)
дт->0 Лг
J nX М Й
rot М = lim ----т-----, (11.26)
Лг->0 лг
где S — замкнутая поверхность вокруг объема Ат. Из непре-
рывности функциий Р и М следует существование математиче-
ского предела при Ат->0.
Если в объеме содержатся не только сильно связанные за-
ряды [токи] с индексом Ь, но и относительно свободные заряды
[токи] с индексом f, то можно отдельно определить плот-
ности свободных зарядов pf(r) [Jf(r)] внутри объема и i]f (г)
[ЛДг)] на поверхности. Очевидно, что pf(r)[J/(r)] не зави-
сит от малых смещений стенок ячеек. С другой стороны, по
физическому смыслу распределений зарядов [токов] тр(г)[КДг)]
необходимо использовать поверхностные ячейки. Поскольку лю-
бой способ разделения на ячейки, промежуточный между спосо-
бами I и II, дает ту же величину р/ (г) [Jf (г) ], физическая мо-
дель, лежащая в основе определения поверхностной плотности
специально для описания распределения свободного заряда
[тока], обязывает применить способ разделения на ячейки с
использованием поверхностных ячеек.
Обычно из практических измерений определяют усредненные
макроскопические величины заряда [движущегося заряда]
внутри области или тела и на поверхности. При этом 'наблю-
даются величины
р (г) = р (г) — div Р (г) [J (г) = J (г) + rot М (г)],
q (г) = п (г) + п • Р (г) [К (г) = К (г) — n X М (г)],
где p(r) = pf (г) + po(r) [J (г) = Jf (г) + Jb (г)],
Т) (г) = (г) + П& («) (К (г) = Kf (г) + Кб (г)].
326
Глава 5
Решить, какие части p(r)[J(r)J относятся к р; (г) [ Jf (г) ]
и р*(г) [Jft(r)] и какие части i](r)[K(r)] действительно пред-
ставляют тр(г) [Kf (г)] и л&(г) [К&(г)], можно только произведя
дальнейшие измерения, основываясь на определенной модели.
Изложенный выше метод не позволяет ответить на этот вопрос,
так как результат зависит от рассматриваемой физической мо-
дели. От физической модели зависит также ответ на дополни-
тельный вопрос: можно ли выразить р (г) — pf (r)=p& (г) — div Р (г)
и _ т] (г) — П/ (г) = Пь (г) +5 • Р (г) [ J (г) — Jf (г) = (г) + rot М (г)
и К (г) — Kf (г) = Кг, (г) — n X М (г)] только через Рг, (г) и гр (г)
[J6(r) и Кг, (г)], только через Р(г)[М(г)] или через комби-
нацию всех трех функций при соответствующем выборе способа
разделения на ячейки? Для такого выбора нужна дополнитель-
ная информация о свойствах измеряемого материала; измере-
ния только величин р (г) — pf(r) и ц (г) — ip(r)[J(r)— Jf(r)
и K(r)-Kf(r)] недостаточно. Макроскопические электрические
параметры любых тел с одинаковыми распределениями р(г)
и fj(r) [J(г) и К(г) ] неразличимы, и без дополнительной инфор-
мации нельзя определить, какая из возможных комбинаций ве-
личин р/(г), рДг), div Р(г) и щ(г), пДг), nP(r)[Jf(r), Jb(r),
rotM(r) и Kf(r), Кг,(г), пХМ(г)] применима к данному телу.
Для ответа на этот вопрос и выбора подходящего способа разде-
ления данного материала на ячейки нужны сведения о микроско-
пической структуре материала или об его поведении в некото-
рых диапазонах частот, температур и давлений. Важно отме-
тить, что данные о распределении зарядов [токов] в объеме
области и на ее поверхностях и границах дают полную инфор-
мацию о средних макроскопических электрических параметрах
независимо от того, являются ли эти заряды [токи] свобод-
ными или связаны в форме микроскопических диполей [круго-
вых токов]. Данное распределение зарядов [токов] вызовет
точно тот же самый внешний эффект и в случае свободных
зарядов [токов] на поверхности идеального проводника, и в слу-
чае, если оно образовано половинками диполей в идеальном
диэлектрике [половинками круговых токов в идеальном маг-
нитном материале]. Однако изменение данного распределения
зарядов [движущихся зарядов] в зависимости от частоты, тем-
пературы и давления будет совершенно различным в случаях
свободных и связанных зарядов [токов] ввиду их неодинаковых
микроскопических свойств. По физическим причинам, завися-
щим от структуры материалов различных типов, к объемным
и поверхностным распределениям зарядов и токов следует до-
бавить объемные распределения диполей и микроскопических
круговых токов (спинов).
Теории электромагнитного поля и основные уравнения
327
5.12. ПЛОТНОСТИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ.
УРАВНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Четыре основные плотности и их шесть составляющих
были введены как непрерывные, медленно изменяющиеся функ-
ции координат, связанных с объемом и поверхностью мате-
риальных тел. По существу тела были заменены математиче-
ской моделью, являющейся суперпозицией этих четырех плот-
ностей. При стационарных условиях, когда все заряды остаются
в статистическом положении покоя, как в электростатике, или
участвуют в равномерном упорядоченном движении постоянных
токов, все плотности не зависят от времени и являются только
функциями координат. Нестационарные условия возникают
в теле или в заполненной материалом области, когда плотности
являются функциями не только координат, но и времени. Это
значит, что внутренние точки области характеризуют плотности
р(г,/), J(r, t), Р(г,0 и M(r, t), а поверхность и границы опи-
сывают плотности ц(г, t) и К (г, t). В стационарном состоянии
существуют основные плотности, характеризующие состояния
неподвижных и движущихся зарядов внутри п на поверхности
области независимо от способа разделения области на ячейки:
р(г)—divP(r), J(r) + rot М(г), ц(г) +пР(г) и K(r) —nXM(r).
Нетрудно убедиться, что условие сохранения электрического за-
ряда, которое просто записывается в виде уравнения непрерыв-
ности для внутренних точек области
divJ(r,/) + ^Цр-==0, (12.1)
не удовлетворяется, если J (г, t) заменить на J (г, t) -|- rot М(г, t),
а р(г, 0—на p(r, t) — div P(r, t). Необходимо обобщить завися-
щую от времени объемную плотность всего движущегося заряда
добавлением члена dP (г, t)/dt. Тогда плотности, зависящие от
времени и независящие от способа разделения на ячейки, удов-
летворяют уравнению непрерывности и во внутренних точках
области равны
р(г, /) = р(г,/) — div Р (г, 0, (12.2)
J(r, O = J(r, t) + rot M (г, /) + <9Р (г, /)/<Э/. (12.3)
Можно просто доказать, что div J (г, t) ф- др (г, t)/dt — 0, так
как div rot М = 0.
Условием сохранения электрического заряда в поверх-
ностном слое является следующее уравнение непрерывности
для тонкого граничного слоя на поверхности произвольной
328
Глава 5
поглощающей среды, соприкасающейся с воздухом или сво-
бодным пространством, где все плотности равны нулю:
V- К (г, /) + -^1/— ~ " • J(r- 0 = 0- (12.4)
01
Оператором V обозначено1) дифференцирование только в на-
правлениях вдоль поверхности; п — направление внешней нор-
мали к области, в которой задан J (г, t). Плотности К (г, t)
и г)(г,/) определены лишь в тонком поверхностном слое. Для
границы между двумя различными поглощающими средами
получается уравнение, аналогичное (12.4), но в нем отдельные
переменные заменяются суммами их значений в обеих средах:
К (г, 0 = Ki(r, t)+ К2(г, 0, (12.5а)
П(г, 0 = »li(r> 0 +Л2(г. 0> (12.56)
п • J (г, t) = n( Jj (г, t) + n2 • J2(r, t). (12.5b)
Легко доказать, что уравнение (12.4) удовлетворяется, если три
плотности, зависящие от способа разделения на ячейки, заме-
нить на плотности, независящие от этого разделения. Полу-
чается уравнение V К(г, t) -ф <5f)(г, t) /dt — nJ (г, t) — 0, где J (г, t)
дано в (12.3) и
Л (г, 0 = п(г, 0 + п ' Р(г> 0> (12.6)
К (г, 0 = K(r, 0-nXM(r, t). (12.7)
Четыре основные плотности в зависящей от времени области
определены в (12.2), (12.3), (12.6) и (12.7). Они характеризуют
электрические свойства среды в искомой наиболее общей форме.
Если способ разделения выбрать так, чтобы ни один диполь
и ни один круговой ток не был разрезан (разделение I), то
внутренние плотности (12.2) и(12.3) примут вид
р(г, О = Рг(г, 0~divPI(r, t), (12.8)
J (г, t) = Jf (г, t) -ф rot М, (г, t) -ф —, (12.9)
где pf(r, t) и Jf(r, t) — объемные плотности только свободных
зарядов и токов свободных зарядов. Если в поверхностном слое
') Оператор V- — дифференциальный оператор Гамильтона, примененный
к вектору поверхностной плотности тока К, — дает так называемую поверх-
ностную дивергенцию Div К, соответствующую дифференцированию только
вдоль поверхности [10*]. — Прим. ред.
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
329
нет свободных зарядов и их токов, то поверхностные ячейки не
нужны и формулы (12.6) и (12.7) упрощаются к виду
т) (г, t) — n • РДг, t), (12.10)
K(r, t) = — n X (r, t). (12.11)
Если существуют свободные заряды и токи свободных зарядов,
ограниченные тонким граничным слоем, то нужно ввести по-
верхностные ячейки, чтобы определить ф (г, t) и Кг (г, t), но не
надо включать в расчет заряды, образующие части диполей,
и токи, принадлежащие к микроскопическим круговым токам.
Эти заряды и токи уже полностью учтены членами п-РДг, t)
и —nXMi(r, t). Таким образом, если существуют оба типа
поверхностных зарядов и токов, которые рассмотрены отдельно
и независимо друг от друга, то для поверхностных плотностей
справедливы соотношения
Л (г, 0 = Мг> 0 + п ' Pi О, 0, (12.12)
К (г, 0 = Kf (г, 0-пХЛМг, t). (12.13)
Два члена в правой части формулы (12.13) не встречаются
одновременно ни для одного физически существующего мате-
риала. Поверхностная плотность тока свободных зарядов
КДг, t) бывает только в идеальных проводниках, для которых
Mi (г, 0 = 0. Магнитные материалы, для которых МДг, 1)^=0,
не имеют достаточно тонкого слоя токов свободных зарядов,
и для их описания не требуется поверхностная плотность
К/(г, 0; достаточно задать плотность J/(г, t).
Для понимания смысла плотностей в (12.12) и (12.13)
важно заметить, что Pj(r, t) и Mi (г, t) получены при одном спо-
собе разделения на ячейки (только объемные ячейки), а для
определения Лг(г> 0 и КДг, t) понадобились поверхностные
ячейки, которые перекрываются с объемными ячейками, исполь-
зуемыми для определения Pi (г, t) и МДг, t). Это значит, что по-
верхностные ячейки содержат заряды, отрезанные на концах
диполей, и токи, отрезанные от круговых токов, но их не надо
учитывать. Поэтому заряды и токи из связанных групп можно
выявлять и вводить в расчет отдельно от свободных зарядов
и токов. На рис. 5.12.1 схематически показаны плотности, опре-
деленные в идеальном проводнике на границе с воздухом и в
обычном хорошем проводнике на границе с произвольной
средой.
Если при выбранном способе разделения разрезается столько
диполей и круговых токов, что Р(г, t) и M(r, t) становятся
330
Глава 5
равными нулю (разделение II), то получаются следующие со-
отношения:
Р(г, 0 = Ри(г, /) = рДг, О+рРп(г, 0, (12.14)
J(r, O = Jn(r, 0 = Jf(r> 0 +Jmn(r, 0 + Jpn(r, /), (12.15)
где ppu(r, /) — объемная плотность связанных зарядов, входя-
щих в диполи, Jmii(r, t)— объемная плотность (связанных) на-
магничивающих токов, входящих в круговые токи, и JPn(r, t) —
объемная плотность (связанных) токов поляризации диполей,
Л
I, Воздух (область?)
Все плотности равны нулю
•V (г, t), q/f (г, t), поверхностный слой (1)
Все плотности равны нулю
' Область идеального проводника'(1)
пг а
Область произвольной среды (2)
''J)zf(r,t), Jzf(r,i), P2l(r,t), MZ[(r,t)
(r, i), поверхностный алой (2)
Oif^t), поверхностный слой (1)
* Область хорошего проводника (1)
г 5
Рис 5.12.1. а — граница между
воздухом и идеальным про-
водником; б — граница между
произвольной средой и хоро-
шим проводником.
причем все эти плотности изменяются во времени. Соответ-
ствующие поверхностные плотности равны
П<г, 0= Пн (г. О = Hf (г, 0 + и (г, 0> (12.16)
К (г, 0==Кц(г, 0 = КДг, 04-KmIi(r, О- (12.17)
где При(г, 0 — поверхностная плотность зарядов, отрезанных на
концах диполей, Kmii(r, t)— поверхностная плотность токов, от-
резанных от круговых токов.
Основные плотности, отмеченные чертой сверху, не зависят
от способа разделения, поэтому их величины в (12.8), (12.9),
(12.12), (12.13) такие же, как в (12.14) — (12.17). Это следует
из соотношений
Рри(г, 0 = —divP](r,/), Jmli(r, 0 = rotMj(r, 0,
Jpii(r, /) = 3P((r, t;/dt, * { l)
Hpii(r> 0 = n pi(r> 0> Km н (r, /) = — n X M, (r,/), (12.19)
как было показано на рис. 5.11.3 п 5.11.4.
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
331
Определяя свойства материальной среды, желательно в об-
щем случае отдельно рассматривать свободные и связанные
заряды и токи, чтобы получить однозначную и полную харак-
теристику поляризованное™ и намагниченности. Только таким
образом можно теоретически учесть важные различия в мик-
роскопической структуре и соответствующих внутренних силах.
Для такого рассмотрения не нужны поверхностные ячейки,
а стенки объемных ячеек не должны разрезать диполи и кру-
говые токи. С другой стороны, если строение данной молекулы
или иона зависит от присутствия свободных зарядов и свобод-
ных токов в тонком поверхностном слое, то необходимо исполь-
зовать поверхностные ячейки. При этом проникающие в по-
верхностные ячейки заряды, образующие концы диполей, и эле-
менты токов, входящие в круговые токи, не должны включаться
в расчет поверхностной плотности, так как их вклад в ц (г, t)
И К(г,0 уже учтен членами nP(r, t) и —nXM(r, t). Однако
доступные измерению поверхностные заряды и токи выра-
жаются именно через л (г, 0 и К(г, /). Более того, деление
тДг, t) и K(r, t) на две части, связанные с различными микро-
скопическими структурами, зависит от физических соображений
и измерений других величин, а не только зарядов и токов.
5.13. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В предыдущих разделах описана математическая модель,
которая заменила реальные тела и заполненные материалом
области набором из пяти непрерывных медленно изменяющихся
функций плотности. Эти функции представляют усредненные
распределения массы, заряда и движущегося заряда в окрест-
ности каждой точки внутри тела и в граничном слое на его
поверхности. Внешние силы, создающие упорядоченные рас-
пределения зарядов и токов совместно с внутренними силами
в материале, могут быть выражены через макроскопическое
усредненное электромагнитное поле и связанные с ним элек-
тромагнитные силы и моменты. Распределения зарядов и токов
непосредственно выражаются четырьмя интерполяционными
плотностями полного заряда и полного движущегося заряда:
р(г, /) == р (г, t) — divP(r, O = Pf(r, t) — div Pi (r, t), (13.1)
J (r, /) s J (r, f) + rot M (r, /) + P (r, f) =
= Jf (r, /) + rot M, (r, t) + P, (r, t), (13.2)
П (r, /) = T] (r, t) + n P (r, /) = T)f (r, /) -Г П P, (r, t), (13.3)
K(rj)=K(r, t)-nXM(r, 0 = Kf(r, Z)-nXMI(r, /). (13.4)
332
Глава 5
Выражения в правой части получены при условии, что поляри-
зованность и намагниченность определены через параметры
объемных ячеек, содержащих только целые (неразрезанные)
диполи и круговые токи, и лишь поверхностные плотности сво-
бодных зарядов и токов вычислены в поверхностных ячейках.
В стационарных состояниях (электростатика, постоянный ток)
выражения для этих плотностей принимают следующий неза-
висящий от времени вид:
р (г) = р (г) — div Р (г) = pf (г) — div Р, (г), (13-5)
J (г) = J (г) + rot М (г) = Jf (г) + rot М] (г), (13 6)
rj(r)si](r) + n- Р (г) nf (г) + п • Р, (г), (13.7)
K(r) = K(r)-nXM(r) = Kf(r)-^XMI(r). (13.8)
Электромагнитное поле описывается электрическим вектором
E(r, Z) [В/м] и магнитным вектором В (г, t) [Вб/м2], которые по
определению удовлетворяют уравнениям Максвелла
div Е (г, /) = е~‘р (г, /), (13.9)
rot Е (г, /) = — В (г, t), (13.10)
rot В (г, 0 — р,0 [J (г, /) + е0Ё (г, О], (13.11)
divB(r,/) = 0, (13.12)
где р(г,/) и J (г, t) определены в формулах (13.1) и (13.2). Ве-
личина ео называется диэлектрической проницаемостью свобод-
ного пространства, а ц0 — его магнитной проницаемостью1).
Эти размерные константы имеют значения е0 = 8,854-10-12 Ф/м
и цо == 4л-10-7 Гн/м в международной системе единиц СИ. Для
стационарного состояния уравнения Максвелла разделяются на
две независимые пары уравнений, связывающих векторы поля
с их дивергенциями и роторами:
div Е (г) —Ед‘р (г), (13.13)
rotE(r) = 0, (13.14)
rot В (г) — ц0J (г), (13.15)
divB(r) = 0, (13.16)
Уравнения (13.9) — (13.12), содержащие зависимость от вре-
мени, значительно сложнее, так как два вектора в них взаимо-
') Для обозначения этих величин в последнее время приняты названия
электрическая постоянная и магнитная постоянная соответственно [22*].—
Прим. ред.
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
333
связаны через дифференциальные уравнения в частных произ-
водных от координат и времени, а не просто выражаются через
дивергенции и роторы. Тем не менее их можно рассматривать
как определения электрических и магнитных полей. Следует
заметить, что поскольку функции плотности представляют
только интерполяционные средние значения, то и векторы поля
могут быть только макроскопическими величинами, усреднен-
ными за интервалы времени и расстояний, большие по сравне-
нию с микроскопическими интервалами, но очень короткие по
сравнению с макроскопическими величинами.
В дополнение к дифференциальным уравнениям в частных
производных, определяющим электромагнитные векторы внутри
некоторой области, необходимо задать условия, связывающие
векторы в области 1, находящейся с одной стороны границы,
с векторами в области 2 — с другой стороны. Эти условия имеют
вид
п, • Е,(г, 0Н-п2- Е2(г, 0 = — ®о 1 [Bi 0. 0 + Й2(П 0]. (13.17)
п( X Е( (г, /) + n2 X Е2(г, /) = 0, (13.18)
nfXB^r, l) + n2XB2(r, 0 = —Но[К((г, /) + К2(г, /)], (13.19)
П[ • В, (г, 0 + п2 • В2(г, 0 = 0- (13.20)
Нормали считаются внешними для области с данным индексом.
Эти граничные условия поясняются на рис. 5.13.1, где показаны
области 1 и 2 с их граничными слоями. В этих слоях плотность
полного поверхностного заряда (свободного и связанного) равна
f,(r, 0 = Пг(г, 0 + При (г, 0, гДе При (г , 0 = п-Pi (г, t), и плот-
ность полного поверхностного тока (свободного и связанного)
равна К(г, 0= Kf(r, 0+Kmii(r, f), где Kmii(r, 0=~«X
XMi(r, t). Если одна из двух областей является свободным
пространством (воздухом), в котором все плотности равны
нулю, из правых частей уравнений (13.17) — (13.20) исчезают
соответствующие поверхностные плотности. Однако это не озна-
чает равенства нулю векторов поля в данной области.
Как показано на рис. 5.13.1, векторы Е/ и В, (t = 1, 2)
в уравнениях (13.17)—(13.20) определены на внутренних краях
граничных слоев, содержащих поверхностные заряды и токи.
На рисунке показаны также векторы, передвинутые к фактиче-
ской границе областей, чтобы дать представление об их взаим-
ном расположении и величине. В действительности E(r, t)
и В (г,/) не определены в граничных слоях, где их составляю-
щие п-Е(гХ) и пХВ(г, t) изменяются очень быстро (хотя и не-
прерывно), если слой содержит поверхностные заряды и токи.
334
Глава 5
Граничные слои
S
Рис. 5.13.1. а — вектор Е на границе сред; б — вектор В на границе сред.
Электромагнитное поле, заданное уравнениями Максвелла
и соответствующими граничными условиями, определяет только
часть сил, входящих в общие условия равновесия. Остаются
еще сила и механический момент, действующие на данное тело
с распределениями зарядов и токов, которые устанавливаются,
когда тело помещено в электромагнитное поле, созданное за-
рядами и токами в других телах и областях. Таким образом,
результирующая сила, действующая на тело А с объемом -г и по-
верхностью 2, равна
F(r, f) = Fe(r,/) + Fm(r, 0, (13.21)
где электрическая часть силы
Fe (г, 0 = J Р (г. О Е (г- О dr + J п (г, /) Е (г, /) d2, (13.22)
т т
а магнитная часть силы
Fm(r, 0= J J(r,/)ХВ(г, /)dt+J К(г,/)ХВ(г, Z)d2. (13.23)
X s
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
335
В эти выражения входят плотности во внутренних точках и на
поверхности тела А; электрические и магнитные поля созданы
зарядами и токами других тел, а не тела А.
Аналогично действующий на тело А механический момент
относительно точки О, являющейся началом координат век-
тора г, равен
Т (г, 0 = Те (г, /) + Tm (г, I), где (13.24)
TJr, O=JrXdF,T+JrXdFeS, (13.25)
т S
T,Jr,/) = J г X + J г X dFm£. (13.26)
т s
В формулах (13.25) и (13.26) использованы следующие обозна-
чения:
dFeT = р (г, О Е (г, t) dx, dFeS = f) (г, t) Е (г, t) d'Z,
dFmx = J (r, t) X В (r, t) dx, dFmv = К (r, /) X В (r, t) dS.
На рис. 5.13.2 показана сила dFe(r, t), действующая на элемент
заряда р (г, t)dx, принадлежащий телу, помещенному в электри-
/ dx _
( 1
у
Рис. 5.13.2. Сила и механический момент
относительно начала координат О, дей-
ствующие на элементарный заряд р</т; ' & ' \\
аТХ = г X О
ческое поле Е(г,/). Показан также вектор действующего на
элемент р (r,t)dx механического момента сГГет(г, £) относительно
начала координат О. Следует заметить, что вектор dTex(r, t)
перпендикулярен плоскости векторов г и dFex(r, t).
5.14. ПРОИЗВОДНЫЕ (ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ)
ВЕКТОРЫ D и Н
Если полные плотности р (г,?), J (г, 0 > Л (г> О и К (г, О
разложить на их составляющие и выбрать способ разделения I,
при котором стенки ячеек не разрезают диполи и круговые
токи, то два уравнения Максвелла и два граничных условия,
336
Глава 5
содержащие плотности, примут вид
div Е (г, /) = е- 1 [pf (г, t) — div Pt(r, /)], (14.1)
rot В (г, /) = po [Jf (г, О + rot Mi (г, /) + Pi (r, t) + е0Ё (г, /)], (14.2)
Hi • Е,(г, /) + п2- Е2(г, 0 + ni • Р„(г, t) +
+ »12f (г> 0 + п2 • Р21 (г, /)], (14.3)
П] X В, (г, /) + n2 X В2 (г, /) = — р,0 [KIf (г, Z) — n, X (г, /) +
+ K2f (г, /) - п2М21 (г, /)]. (14.4)
Если ввести производные (вспомогательные) смешанные век-
торы D(r, t) [Кл/м2] и H(r, t) [А/м], определив их как
D(r, /)^е0Е(г, /)+ P,(r, t), (14.5)
H (г, /) = ц~‘В (г,/) — M, (г,/), (14.6)
то уравнения (14.1) — (14.4) примут более простой вид
divD(r, /) = pf (г, /), (14.7)
rot Н (г, /) = Jf (г, /) + D (г, /), (14.8)
П] • D] (г, /) + п2 • D2(r, /) = — T]If (г, /) — л-f (г, 0, (14.9)
й,ХН,(г, t) + n2XH2(r, 0 = -KIf(r, 0-K2f(r, /). (14.10)
Важно отметить, что вспомогательные векторы D(r, t) и Н (г, f)
должны быть обязательно выражены через Pi (г, t) и —Mi (г, t),
иначе они не задаются однозначно. Эти векторы являются сме-
шанными в том смысле, что представляют собой суммы функции
плотности (характеризующей распределение диполей или круго-
вых токов) и вектора поля (умноженного на размерный мно-
житель), который определяется плотностями всюду во всех
областях. С физической точки зрения векторы D(r, t) и H(r, t)
не имеют смысла, но представляют математическое удобство.
5.15. УРАВНЕНИЯ, НЕ СОДЕРЖАЩИЕ
ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ
Уравнения (13.9) — (13.12) представляют собой уравне-
ния Максвелла, содержащие зависимость от времени. Время
можно исключить, применяя парное преобразование Фурье
G(r, 0 = -^- j G(г, ®)da, (15.1a)
— co
G(r, ®)= G(r, t)e-w dt, (15.16)
— co
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
337
где вместо G можно подставить Е, В, р или J. Если написать
выражение (15.1а) для Е(г, t), B(r, t),p(r, t) и J(r, t) и под-
ставить в уравнения Максвелла (13.9) — (13.12), то получим
оо
[divE(r, св) — е~’р(г, св)] e^atda = 0, (15.2)
— оо
оо
[rot Е (г, ®) + /®в (г, св)] e<at da = 0, (15.3)
— оо
оо
[rot В (г, св) —p0J(r, <в) —/<веор,оЕ (г, св)] da = 0, (15.4)
— оо
оо
div В (г, <в)е/“* da = 0. (15.5)
— со
Если фурье-преобразование некоторой функции есть нуль, то
сама функция равна нулю. Поэтому
divE(r, <в) = ео'р(г, св), (15.6)
rot Е (г, <в) = — /свВ (г, а), (15.7)
rot В (г, <B) = p.0[J (г, <в) +/®е0Е (г, св)], (15.8)
div В (г, св) = О, где (15.9)
р(г, и) = р (г, св) —div Р (г, <в) = р?(г, со) — div Pi (г, со), (15.10)
j (г, <в) = J (г, св) + rot М (г, св) + /соР (г, св) =
= Jf(r, co) + rotMz(r, св)ф-/свР|(г, св). (15.11)
Полученные уравнения не содержат зависимости от времени.
Соответствующие граничные условия получаются простым при-
менением преобразования Фурье к (13.17) —(13.20). В резуль-
тате получаются уравнения
nI-EI(r, св) ф- п2 Е2(г, со) == — еЕГ1 [П1 (г, <») + т)2 (г, <»)], (15.12)
n, X Е1 (г, со) ф-n2 X Е2(г, со) = 0, (15.13)
nfXBi(r> (B) + n2XB2(r> ®) = -Мо[К;(г, <в) + К2(г, св)], (15.14)
п, • В, (г, со) + п2 • В2(г, со) = 0, где (15.15)
| т) (г, <в) = т|(г, <В)4-П-Р(г, св) = (г, со)-|-П • Pl (г, со), (15.16)
{ К (г, о) = К (г, св) — n X М (г, св) = Kf (г, св) —
I -пХМ/(г, о). (15.17)
338
Глава 5
Уравнения непрерывности, не содержащие зависимости от вре-
мени, получаются из (12.1) и (12.4). Таким образом,
div J (г, и) 4- /а>р (г, со) = 0 или div J (г, со) 4- /ар (г, и) = 0, (15.18)
V • К (г, <й) + /сот] (г, <й) —п • J (г, со) = 0, (15.19)
или
V • К (г, <й) + /СОТ] (г, <й) — п • Т(г, <й) = О,
где для двух слоев на границе между областями 1 и 2 К(г, и) =
= К1 (г, (й)+ К? (г, (й), Т](г, (й) = Т)1 (г, (й) + *12 (г> <й) И nJ (г, и) =
= nJi (г, (o)4-n2J2(r, и)-
Уравнения Максвелла, не содержащие зависимости от вре-
мени, можно решить относительно Е(г, со) и В (г, и), а затем
по формуле обратного преобразования Фурье (15.1а) найти
Е(г, t) и В(г, t).
Если существует единственная частота соц а не спектр час-
тот, то
E(r, Z) = ‘/г [Е (г, + Е*(г, a1)e^'WlZ] =
= Re[E(r, (oJeM'] (15.20)
оо
и Е (г, и) =‘/2 Е (г, и,) dt +
+ V2E’(r, иО е-/(“+а1)/Л =
= л[Е(г, (Oj)6((o — и^ + Е*(г, а,)6(и + ©!)]. (15.21)
Применение обратного преобразования Фурье к формуле (15.21)
дает
Е(Г, /) = ^- J Е (г, <й)е/“Ч(й. (15.22)
— оо
К тем же результатам можно прийти, если подставить в фор-
мулу (15.20) величину Е(г, и), полученную решением уравне-
ний (15.6) —(15.9), и положить со — сен.
5.16. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Чтобы определить импеданс и поле излучения передаю-
щей, приемной или рассеивающей антенн, расположенных
внутри или вблизи тел, заполненных поглощающей средой, не-
обходимо решить уравнения Максвелла при граничных усло-
виях, определяемых данным расположением тел. Эта задача
чрезвычайно сложна, так как необходимо учесть взаимодействие
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
339
токов и зарядов не только в антеннах, но и в заполненной ма-
териалом области, окружающей антенны. Для решения задачи
необходимо знать распределения токов и зарядов во всех телах,
когда заданное питающее напряжение подано на вход передаю-
щей антенны. Поскольку токи и заряды обязательно зависят от
всех сложных внутренних сил связи, определяющих структуру
материала, нужно найти соотношения между плотностями этих
токов и зарядов и усредненным электромагнитным полем, в
которое материал помещен. Зная заданное среднее электромаг-
нитное поле в конкретном материале, нужно найти в нем равно-
весные распределения заряда, тока, поляризованности и намаг-
ниченности.
Из разд. 5.13, где была рассмотрена природа электрических
и магнитных сил и моментов, следует, что в однородной и изо-
тропной среде поляризованность и объемная плотность свобод-
ного тока зависят в основном от электрических сил, а намагни-
ченность определяется в основном магнитными силами. Поэтому
для изотропного материала подходят следующие разложения
в ряд:
Р[(г, 0= Ро + ео%г1Е(г, 0 4-е0Хе2£2(г> 0Ё + •••, (16.1)
— МДг, t) = — Мо + р,ц *хш1В(г, O + Po_1Xm2fi2(r» /)£+•••> (16.2)
Jf (г, /) = Jo + OjE (г, t) + сг2Е2(г, t) Ё + .... (16.3)
В каждом ряду первый член — постоянный вектор, независящий
от электромагнитного поля и принадлежащий материалу. В не-
которых анизотропных кристаллах и типах воска существует
собственный электрический момент, который «застывает» в при-
сутствии электрического поля. Такие материалы называются
электретами. Собственным магнитным моментом обладают фер-
ромагнитные материалы. Токи в сверхпроводниках с большой
точностью представляют сохраняющиеся электрические токи.
Если такие постоянные поляризованности, намагниченности
и токи существуют, то они должны быть учтены членом, незави-
сящим от внешнего поля. Такие величины, как правило, не по-
являются в задачах для материалов, рассматриваемых в данной
книге. Поэтому постоянный член ряда можно опустить, понимая,
что при необходимости его можно добавить.
Наибольший интерес представляют линейные члены. Прак-
тически для многих материалов присутствие в ряде одного толь-
ко линейного члена дает отличное приближение. К таким
материалам относятся диэлектрики, диамагнетики, парамагне-
тики и металлические проводники. Однако только линейные чле-
ны не могут выражать Pt (г, t) для диэлектрика, подвергающе-
гося интенсивному лазерному облучению, M|(r, t) для ферро-
магнитных материалов или Jf(r, t) для неметаллических провод-
340
Глава 5
ников типа угля. Во всех случаях, когда требуется введе-
ние нелинейных членов более высокого порядка, применяются
специальные методы расчета. В излагаемой здесь теории не-
линейные члены считаются пренебрежимо малыми и опускаются.
Для математического анализа очень важна линейность урав-
нений Максвелла относительно составляющих электромагнит-
ного поля. Таким образом, предполагается, что следующие со-
отношения являются хорошими приближениями для рассматри-
ваемых материалов:
Р, (г, 0 = BoXeiE (г, 0, (16.4)
- Mj (г, 0 = р.о-(г, (16.5)
J/ (г, 0 = СТ1Е (г, 0- (16.6)
Здесь /е!—электрическая восприимчивость, — магнитная
восприимчивость [5] и од — проводимость.
Для изменяющихся во времени полей эти соотношения вы-
ражают линейную зависимость, которая предполагает мгновен-
ную реакцию на изменения электрического и магнитного полей.
Такое предположение является строгим ограничением, которое
плохо выполняется в случае высокочастотных периодических
полей. Нетрудно обобщить условие линейности так, чтобы
учесть отставание во времени изменения соответствующих плот-
ностей в зависимости от внешнего поля. Запишем следующие
соотношения:
Pi (г, /) = адсе1 [Е (г, 0 + С,Ё (г, t) + С2Ё (г, t) + . . . ], (16.7)
-МДг, П = Но'Хт1[В(г, /) + О,В(г,/) + О2В(г, /)+...], (16.8)
(г, 0 = а, [Е (г, 0 + 5,Ё (г, /) + 52Ё (г, t) + ... ]. (16.9)
Здесь точки сверху означают дифференцирование по времени,
а С, D и S — неопределенные коэффициенты. Для гармоничес-
ких колебаний электромагнитного поля эти выражения преобра-
зуются к виду
Р, (г, O = Re[Pi(r)e/“q = Re{eoXel[l +/СОС,-
— (й2С2 + .. . ] Е (г) eiat} = Re [еоХеЕ (г) (16.10)
— Mj (г, /) = — Re [Mj (r) —
= Re {1V lXml [ 1 + ja>Dl - <s>2D2 + ... ] В (r) =
= Re [Ро_|ХтВ(г)е^], (16.11)
Jf (r, 0 = Re [ Jf (r) = Re{^ [ 1 + jaSx — a2S2 -ф .. . ] E (г) =
= Re [ctE (r) (16.12)
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
341
где Р|(г), —Mj(r), — Jf(r), Е(г) и В(г) — комплексные вектор-
ные функции координат, а
Хв = Хе1(1+МС1-<о2С2+ ...), (16.13)
Xm = XmI(l + /<»£>,-<й27)2 + ...), (16.14)
о = <7| (1 ф- jaSi — <b2S2 + . . .) (16.15)
— комплексные константы. Очевидно, что
Pi (г) = адеЕ (г) = е0 (ег — 1) Е (г) = (е — е0) Е (г), (16.16)
- М, (r)=- p.0-1xmB(r) = p.0-,(p;1 - 1) В (г) = (jx-1 -H0-')B(r),
(16.17)
jf (Г) = сгЕ (г), (16.18)
где er = 1 + — относительная комплексная диэлектрическая
проницаемость, а 1 = 1 + хт— обратная относительная маг-
нитная проницаемость. Выше рассматривались так называемая
абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость е =
= еоег и абсолютная комплексная магнитная проницаемость
ц = цоЦг- Эти проницаемости, а также комплексную проводи-
мость сг можно разложить на вещественную и мнимую части.
Таким образом,
е = е'—/е" = еоег = е0(е( —/е7), (16.19)
р = р/ — /н" = РоНг = Но (Hr — /р"), (16.20)
сг — сг' — jo". (16.21)
В большинстве рассматриваемых задач р является вещественной
величиной и в целях упрощения будет считаться вещественной
во всех теоретических выводах. Специальные случаи, в которых
р — комплексная величина, будут отмечены особо.
5.17. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ
ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
Если основные соотношения для линейной среды
pi(r)=--(e—е0)Е(г), — М, (г) = 01-'— *)В(г) и Jf(r) = oE(r)
ввести в уравнения Максвелла (15.6) — (15.9), не содержащие
зависимости от времени, то будем иметь
div Е (г) = e_|pf (г), (17.1)
rot Е (г) = —/®В (г), (17.2)
rot В (г) — ц (сг + /сое) Е (г), (17.3)
div В (г) = 0. (17.4)
342
Глава 5
Соответствующие граничные условия записываются в виде
• Е1 (г) + е2п2 • Е2 (г) = — rjif (г) — ifcf (г), (17.5)
^1ХЕ1(г) + п2ХЕ2(г) = 0, (17.6)
X В, (г) + р- 'n2 X В2 (г) = - Kf (г), (17.7)
nj -В1(г) + Й2-В2(г) = 0. (17.8)
Плотность Kf (г) входит в соотношение (17.7), когда один из
двух материалов представляет собой идеальный проводник.
Только идеальный проводник может нести свободный поверх-
ностный ток в таком тонком слое, при котором нужно вводить
поверхностную плотность тока, причем лишь одна из двух сред
1 или 2 может быть идеальным проводником. Поэтому Kf(r)
в формуле (17.7) не имеет индекса среды. Если идеального про-
водника нет, то Kf(r)= 0, а если есть, то проставляется индекс
идеально проводящей среды. Следует напомнить, что внутри
идеального проводника Е(г) и В (г) обращаются в нуль.
Применяя формулу (17.1), можно получить уравнение не-
прерывности для внутренних точек в виде
div Jf (г) + /copf (г) = (о + /сое) div Е (г) = 0, (17.9)
так что вместо формулы (17.1) имеет место равенство
divE(r) = 0. (17.10)
После такой подстановки из четырех уравнений Максвелла ис-
ключаются все плотности.
Уравнение непрерывности для граничных слоев (15.19)
можно записать в более удобном виде в двух общих случаях.
При определении проводимости, диэлектрической и магнитной
проницаемости требовалось, чтобы плотности были представ-
лены величинами Pi (г, t), Mi (г,/) и Jf(r, t). Отсюда следует,
что остальные три плотности — это pf(r, t), тр(г, t) и Kf(r, t).
Однако Kf (г, t) появляется только у идеальных проводников, по-
скольку в любой физической среде Jf(r, t) может быть доста-
точно тонко разделен. Поэтому если граничат два физически
возможных линейных, однородных и изотропных материала, то
Kf(r) = 0 и уравнение непрерывности на поверхности имеет вид
M[T]if (г) + n2f (г)] — Hi • Jif(r) — п2 • J2f(r) = 0, (17.11)
а с учетом формулы (17.5) и основного соотношения Jf(r) —
= аЕ(г) получается
(Gj +/иеОП! • Е] (г) + (а2 + /а>е2)п2 • Е2(г) = 0. (17.12)
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
343
Другие граничные условия для двух произвольных сред запи-
сываются как
Й1ХЕ1(г) + Й2ХЕ2(г) = 0, (17.13)
НГ’П! X Bj (г) + |*2- 'n2 X В2 (г) = 0, (17.14)
n1-B1(r) + n2-B2(r) = 0. (17.15)
Все поверхностные плотности исключены из граничных условий.
Если одна из областей, например область 2, считается иде-
альным проводником, то для граничащих сред останутся плот-
ности Кг?(гД)> r]2f (г, Z), Jif (г,/), г]1Дг,/), Pi (г, t) и МДг,/),так
как все объемные плотности и векторы поля для области внутри
идеального проводника обращаются в нуль. Теперь получается
другое уравнение непрерывности на поверхности:
V- K2f(г) +/®[т|г/(г) + Bif(г)] — nj • Jif(r) = O. (17.16)
Если применить формулу (17.15) совместно с Е2(г) = 0 и основ-
ным соотношением Jlf(r)= о^ЕДг), то получится уравнение
V • K2;(r) — (cfj + /raeOnj • Ej (r) = 0, (17.17)
которое связывает плотность поверхностных токов на идеальном
проводнике с нормальной составляющей электрического поля
соседней произвольной среды. Другую, часто более полезную,
форму уравнения непрерывности можно получить непосред-
ственно из соотношения (17.16), средний член которого содер-
жит сумму поверхностных зарядов на единице площади поверх-
ности каждой области. Разделение зарядов между идеальным
проводником и любой другой средой является произвольным и
не отражено в формуле (17.17). Это разделение можно произ-
вести так, чтобы удовлетворить условию сохранения электриче-
ского заряда независимо в поверхностном слое идеального про-
водника и в соприкасающейся произвольной среде. Таким об-
разом, плотности заряда r]if(r) и Лаг (г) должны удовлетворять
следующим независимым уравнениям:
V-K2f(r) + /®n2f(r) = 0, (17.18)
П) • Jlf (г) — /G>T)if (г) = ДП! • Ej (г) —/coT]if (г) = 0. (17.19)
Сумма этих двух уравнений дает уравнение (17.16). Соответ-
ствующее граничное условие имеет вид
е,П| • Е] (г) = — i]if(r) — Лаг (г). (17.20)
Теперь из формул (17.17) и (17.18) получается второе гранич-
ное условие для второго случая
(Oj + /wej) rij • Ej (г) = — jcoihf (г). (17.21)
344
Глава 5
Таким образом, т]1Дг)и ПгДг) связаны с tijEi (г) формулами
(17.19) и (17.21) соответственно, а их сумма, являющаяся ос-
новной величиной, представлена в (17.20). Следует заметить, что
комплексный коэффициент пропорциональности для тщ(г) ра-
вен —/сц/со, для T]2f (г) равен — (е, —/сц/со), а для их суммы
равен —ер Для отношений отдельных плотностей к суммар-
ной плотности получаются уравнения
—— = -2Н1_ —2?!— — 1--------HLl (17 22)
nlf + n2f ®8j *lif + n2f ®е1 ‘
Таким образом, если известны основные параметры сц и si сре-
ды 1, то можно определить долю поверхностного заряда, вно-
сящего вклад в плотность К2Дг) на поверхности идеального
проводника и в плотность Jif(r) в произвольной среде. Если
ЦгДг) можно определить из расчета идеального проводника,
например антенны, окруженной произвольной средой, то плот-
ность T]if(r) находится из формулы (17.22). Следует заметить,
что если соприкасающаяся среда представляет собой идеаль-
ный диэлектрик с си = 0, то все заряды вносят вклад в ток на
антенне, поскольку в диэлектрике Лц(г) = 0.
5.18. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ
ПАРАМЕТРЫ СРЕДЫ. КОМПЛЕКСНОЕ ВОЛНОВОЕ
ЧИСЛО. КОМПЛЕКСНОЕ ВОЛНОВОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ. НОРМИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
В соотношение между поляризованностью, намагничен-
ностью и током свободных зарядов для линейной однородной
изотропной среды входят следующие основные параметры сре-
ды: комплексная диэлектрическая проницаемость б = е' — je",
комплексная магнитная проницаемость ц = ц'—jp." и комп-
лексная проводимость <у = </— ]а". Из рассмотрения уравнений
Максвелла и связанных с ними граничных условий для данной
среды видно, что ей а всюду появляются в сочетании
сг 4- /сое = У + <че" + /со (б' — а"/®) = ае + /<яее. (18.1)
Уравнение (18.1) определяет вещественную эквивалентную про-
водимость <уе = <у' -|- сое" и вещественную эквивалентную ди-
электрическую проницаемость ge == е' — а"/со. Для некоторых
приложений целесообразно ввести комплексную эквивалентную
диэлектрическую проницаемость б:
ё=е- !<у/а = ее — i<ye/a = ее (1 — jpe), (18.2)
где
Ре =
Ое
®ей
й)£ — О
418.3)
а' + ®е"
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
345
— тангенс угла потерь. Из формулы (18.2) видно, что комплекс-
ная диэлектрическая проницаемость е = е'— /е" и комплексная
эквивалентная диэлектрическая проницаемость ё— разные ве-
личины.
Комплексная диэлектрическая проницаемость е — е'— /е"
характеризует макроскопическое распределение диполей и опре-
деляется через Pi(r); комплексная проводимость ст = ст'—/ст"
характеризует макроскопические движущиеся свободные заряды
и определяется через Jf(г). -Поскольку и дипольные осциллято-
ры, и совершающие периодическое движение свободные заряды
вносят вклад в J (г) = Jf (г) + rot Mi (г) + /со Pi (г), то усреднен-
ные основные параметры должны включать характеристики
микроскопически различных типов тока. Сравнение уравнения
Максвелла в общем виде (15.8) с соответствующим уравнением
(17.3), содержащим основные параметры, показывает, что
Но [J (г) +/сое0Е (г)] = ц (а +/сое) Е (г), откуда (18.4)
J (г) = Jf (г) + rot Mi (г) + /соР, (г) = стЕ (г), (18.5)
где
ст = цгст + /ие0 (цгег—1). (18.6)
Таким образом, для линейной однородной изотропной среды,
удовлетворяющей трем основным соотношениям: РДг) —
= (е — е0) Е (г), — Mj (г) = (ц-1 — из'1) В (г) и Jf£r) = стЕ(г),
полная объемная плотность движущегося заряда J(r) также
пропорциональна электрическому полю с коэффициентом про-
порциональности, равным эквивалентной полной комплексной
проводимости ст. Если ст = ст' — /ст", то нетрудно показать, что
ст' = - ц/ст") + сое0(ИХ + Н'<)> (18.7а)
о" = (X°' + Иг0") + мео(] + р''е" “ И#)- (18.76)
Следует заметить, что полная плотность движущегося заряда
включает три плотности Pi (г), —Mi (г) и Jf (г), и поэтому в об-
щий коэффициент, выражающий линейность среды, входят три
основных параметра е = е'— /е", ц = ц'— /р" и ст = ст' —/ст".
Если использовать компактную запись (18.2), то уравнения
Максвелла для произвольной линейной среды примут вид
divE(r) = 0, (18.8)
rot Е (г) = —/соВ (г), (18.9)
rot В (г) =/соцёЕ (г), (18.10)
divB(r) = 0. (18.11)
346
Глава 5
Первое и четвертое уравнения удовлетворяются автоматически,
так как div rot А — 0, и их можно опустить. Условия на границе
двух таких сред имеют вид
- Е) (г) + е2п2 • Е2 (г) = 0, (18.12)
n, X Ei (г) + n2 X Е2 (г) = 0, (18.13)
РГ1п1 х Bj (г) + х в2(г) = 0, (18.14)
Й1-В1(г) + п2.В2(г) = 0. (18.15)
Граничные условия между одной произвольной поглощающей
средой (область 1) и идеальным проводником (область 2) запи-
сываются как
ejti! • Е[ (г) = — n2f (г), (18.16)
П1ХЕ1(г) = 0, (18.17)
pf'n1XB1(r) = -K2f(r), (18.18)
п1-В,(г) = 0. (18.19)
Векторы Е(г) и В(г) в уравнениях (18.9) и (18.10) нетрудно
разделить, взяв роторы от обеих частей уравнений и произведя
подстановку. Тогда получаются уравнения второго порядка
rot rot Е (г) — й2Е (г) = 0, rot rot В (г) — й2В (г) = 0. (18.20)
Оператор Лапласа, действующий на вектор, определяется как
V2E s grad div Е — rot rot E;
имея в виду, что divE(r) —0 и div В (г) = 0, получим другую
эквивалентную форму уравнений (18.20):
(V2 + k2) Е (г) = 0, (V2 + k2) В (г) = 0. (18.21)
В уравнения (18.20) и (18.21) введено комплексное волновое
число k — р — /а, определяемое как
&2 == (о2рё = и2 (8е — }(Уе/(£>)(ц' — jij"). (18.22а)
Это соотношение можно записать иначе:
k2 = со2р'ее (1 — jpe) (1 — jpm), (18.226)
где ре — ое/а>е.е и рт sz Отсюда следует, что
k — со д/нЧ V1 — !Рт V1 “ ее>0- (18.23)
Поскольку существуют среды с отрицательным ее, то приме-
няется и другое выражение для k:
k = — /coVn'IeJ Vl — iPm Vl + /lpe|, ee < o. (18.24)
Теория электромагнитного поля и основные уравнения
347
Вещественную и мнимую части (18.23) и (18.24) просто разде-
лить с помощью формулы
V1 ± /Р = Нр) ± / £ (р)> где (18.25а)
f (р) = ch (>/2 Arsh р) = + V ‘/г (77+^ + 0. (18.256)
g(p) = sh(V2 Arshp) = + V'/г (Vp2+ 1 ~ 0- (18.25в)
Характер функций f(p), g(p), f(p)/p и g(p)/p показан графи-
чески на рис. 4.1.1. Следует заметить, что £(р)//(р) =
— th (‘/г Arsh р) 1. В важных частных случаях
р2« 1, f(p)~ 1, £ (р) ~ р/2, (18.26а)
Р2 » 1, Нр) « £(р) ~ Vp/2. (18.266)
Комплексное волновое число k является основной характе-
ристикой произвольной линейной среды. Другим полезным па-
раметром является волновое сопротивление среды, определяемое
как
_______(|)|1 = 11Я 974
* k ₽(1-;а/₽) Л(1 —ja/P) ’
где t0 = д/.11о/ео ~ 120л Ом— волновое сопротивление свобод-
ного пространства, а
(18.28)
— нормирующий множитель. В этой формуле предполагается,
что у," — 0, р' — у = рощ В трех рассмотренных выше случаях
А = д/^г/НгИРе). ег>0, (18.29)
А = 7Г^Ж£(1Ре1)> ее < 0, (18.30)
Д = ^/cre/2tdyre0> ее = 0. (18.31)
Важное значение множителя Д состоит в том, что он распро-
страняет общие формулы на данную поглощающую среду.
Глава 6
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ПАРАМЕТРЫ СРЕДЫ
6.1. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Комплексные основные параметры е = е'— /е", ц == ц' —
— /р," и ст = ст' — /ст" были введены как коэффициенты при линей-
ных членах разложений в степенной ряд комплексных функций,
выражающих поляризованность Р(г), намагниченность М(г) и
объемную плотность тока свободных зарядов Jf (г) через усред-
ненные электрические и магнитные поля в заполненной мате-
риалом области. Они появились в уравнениях Максвелла в ре-
зультате чисто математического приема уменьшения числа не-
известных плотностей в системе линейных уравнений. Полез-
ность такой процедуры зависит от существования материальных
сред, для которых постулированные соотношения между плот-
ностями и полями являются хорошими приближениями при
достаточно общих условиях. Разумеется, свойства сред опре-
деляются их молекулярной и атомной структурами и внутрен-
ними силами связи, а точность их макроскопического описания
в конечном счете проверяется экспериментом. Однако все три
параметра среды тесно взаимосвязаны в уравнениях Максвелла
и в граничных условиях и всегда появляются в этих уравнениях
в виде комбинаций сте = ст'+ сое" и ее = е'— ст"/о>, которые на-
зываются эквивалентной вещественной проводимостью и экви-
валентной вещественной диэлектрической проницаемостью соот-
ветственно. Возможность определения ст', ст", в' и е" по изве-
стным значениям сте и ее, полученным, например, путем измере-
ния коэффициента затухания а и фазовой постоянной 0, стано-
вится реальной при наличии формул, связывающих основные
параметры среды с микроскопическими константами заряжен-
ных частиц. Вообще невозможно отличить ст' от сов" или от е',
не имея информации о молекулярной или атомной структуре
среды и результатов наблюдения поведения сред при изменении
частоты, температуры и т. д. Общие точные формулы должны
быть основаны на принципах квантовой механики, однако и
простые классические формулы часто дают достоверные каче-
ственные и количественные характеристики материала.
Основные уравнения и параметры среды
349
6.2. ПРОВОДИМОСТЬ И ТОК СВОБОДНЫХ ЗАРЯДОВ
Чтобы вывести выражение для комплексной проводи-
мости = — характеризующей линейное соотношение
между объемной плотностью движущихся свободных зарядов
Jf (г) и усредненным электрическим полем Е(г), удобно приме-
нить простую модель. Рассматривается объем, заполненный до-
статочно большим количеством отрицательных и положитель-
ных ионов и нейтральных частиц, позволяющим определить кон-
центрации частиц каждого вида путем интерполяции. Эти кон-
центрации обозначаются через ме(г), щ(г) и пп(г) соответствен-
но. Связанные с ними объемные плотности зарядов pfe(r) =
= —eZene(r) и рц(г) = eZ,n>(r), где Ze и Z,— числа электрон-
ных зарядов на отрицательных и положительных носителях со-
ответственно. Для электронов Ze — 1. Объем предполагается
электрически нейтральным, и поэтому
(г) = Zitii (г), Pf(r) = pfe(r) + pf/(r) = O. (2.1)
Интерполяционные объемные плотности тока свободных заря-
дов равны Jfe(r) =—eZene(r)ve(r) для отрицательных носите-
лей и Jfi- (г) = eZirii (г)V/ (г) для положительных ионов, где ve и
v(- средние скорости упорядоченного движения отрицательных
и положительных ионов соответственно. Полная интерполяцион-
ная объемная плотность тока свободных зарядов равна
Jf (г) = — eZene (г) ve (г) 4- eZitii (г) v, (г). (2.2)
В областях и материалах, где отрицательными частицами яв-
ляются электроны с Ze = 1, вклад тяжелых относительно слабо
подвижных положительных ионов в величину полного тока в
первом приближении пренебрежимо мал по сравнению с вкла-
дом подвижных электронов. Это справедливо в одном крайнем
случае для плазмы и ионизированных газов и в другом для ме-
талла. В плазме и ионизированных газах тяжелые положитель-
ные частицы могут свободно двигаться, но их инерция настоль-
ко велика, что движение, вызванное периодическим полем, чаще
всего незначительно по сравнению с движением столь же сво-
бодных, но гораздо более легких электронов. В металлах поло-
жительные ионы жестко связаны, и только электроны могут
свободно двигаться. В областях и материалах, где существен-
ным является только электронный ток, объемная плотность тока
свободных зарядов равна
•Мг) ~ Jfe(r) = — (г) ve (г). (2.3)
Сила, с которой усредненное макроскопическое поле Е(г) и
магнитное поле В (г) действуют на типичный отрицательный
350
Г лава 6
носитель, равна
Fe (г) = — Zee [Е (г) + ve (г) X В (г)]. (2.4)
Сила, действующая на типичный положительный носитель, равна
F, (г) = Z,e [Е (г) + v, (г) X В (г)]. (2.5)
Эти силы ускоряют заряды и увеличивают их средние упорядо-
ченные скорости. В результате ускоренные положительные ча-
стицы сталкиваются с другими частицами и их скорости изме-
няются по величине и направлению. И в металле, и в жидкости,
и в плазме заряды, движущиеся под действием ускоряющих
сил, испытывают также действие тормозящих сил трения, что
приводит к усилению случайного или теплового движения всех
взаимодействующих частиц за счет потери энергии упорядочен-
ного движения. Существенной характеристикой достигнутого
равновесия является сохраняющееся упорядоченное движение.
Время, необходимое для отклонения данной частицы от направ-
ления ускоренного упорядоченного движения на угол 90°, назы-
вается временем релаксации тс; его обратная величина есть ча-
стота столкновений vc = 1/тс Если предположить, что на заря-
женную частицу действует возникающая при столкновениях
сила трения, пропорциональная в первом приближении средней
скорости упорядоченного движения частицы v(r), то результи-
рующая механическая сила, действующая на ускоряемую ча-
стицу массы т, равна
Fm(r) = rn[v(r) + vcv(r)]. (2.6)
Здесь первый член — сила инерции при ускорении, а второй
член — тормозящая сила трения, возникающая при столкнове-
ниях. Из уравнений (2.4) —(2.6) следуют уравнения движения
для отрицательных и положительных носителей
те [ve (г, /) + vceve (г, /)] = — Ze е[Е (г, t) +
+ veMXB(r,/)], (2.7а)
1Щ [vz (г, f) + vcivt (г, 0] = Z,e [Е (г, t) + vz (г, t) X В (г, /)]. (2.76)
Здесь те—масса и vce — частота столкновений отрицательных
носителей. У ионов в электролите те и т; — соизмеримые вели-
чины. Если отрицательными носителями являются электроны, то
те <С mt.
При отсутствии внешнего постоянного магнитного поля сила,
определяемая вторыми членами в (2.7а) и (2.76), пренебрежимо
мала по сравнению с действием электрического поля, и уравне-
ния (2.7а), (2.76) упрощаются. Если исключить из формул
Основные уравнения и параметры среды
351
(2.7а) и (2.76) В (г, t) и внести зависимость в виде v(r, /) =
= v(r)e/ra/, то получим
(j® + vce) Ve (г) == — (eZelme) Е (г), (2.8а)
(/“ + vCi) vz (г) = (eZJtni) Е (г). (2.86)
Решив эти уравнения относительно скоростей и подставив ре-
зультат в (2.2), найдем выражение для объемной плотности
полного тока движущихся зарядов
j (г) = Г. е^Мг). + e2z‘^(r) 1 Е (г) оЕ (г). (2.9)
' L те (/и + vce) tni (/и + Vci) J
Это соотношение определяет комплексную проводимость а как
макроскопическую константу, характеризующую область, в ко-
торой задан ток J/(r), при условии постоянства пе(г) = пе и
п,(г) = п,- во всей области. Если это выполняется, то а можно
легко разделить на вещественную и мнимую части. Полагая
о = <у' — ja", можно получить
2^2 2^2
, e Zenevce е zi^ivcL ч
° =-----7 2 2 X н--/4" " Ч х~- (2.1 Оа)
2+v2ce) т{(в> + v2z)
e2Z2n.® e2Z2inia>
°" = 7 2 2 X + 7 2 2 X • (2-1 Об)
«е(® +v2e) mz(®2 + v2z)
Если отрицательными носителями являются электроны, то
Ze = 1 и те~ масса электрона, которая весьма мала по срав-
нению с массой tni положительного иона. Для электрически
нейтральной области Zene = Zpii. Отсюда следует, что вторые
члены в формулах (2.10а) и (2.106) малы по сравнению с пер-
вым членом, и если ими пренебречь, то
2 2
, елх, е njo
0 = 7 2 2 X ’ ° = ГТ 2~Х ’ (2.1 i)
me(® + vce) тА.® +vce)
Это общие уравнения, характеризующие так называемую холод-
ную плазму.
Для достаточно плотных материалов, таких как металлы,
частота столкновений очень велика и со2 <С v2 на радиочасто-
тах. В этом случае формулы (2.10а) и (2.106) упрощаются
к виду
а » о'
e2Z2ne e2Z?nz
mevce ' miVci ’
(2.12a)
+
e2Z2n{
m0>ci
co < o'.
(2.126)
352
Глава 6
Аналогично упрощаются и выражения (2.11):
о « о' = e2n lm v , а" = е2п а/tnу2 < ст'. (2.13)
Следует заметить, что а — <у' — j<y" ~ crz, поскольку or" мала по
сравнению с а'. Более того, а' не зависит от частоты. Веществен-
ная проводимость, определяемая формулой (2.12а) для двух
противоположных зарядов сравнимой массы и формулой (2.13)
для электронов, является статической проводимостью, или про-
водимостью для постоянного тока. Таким образом,
щ. == e2nelmevce = (e2ne/me) тсе, (2.14)
где Хее — время релаксации для электронов.
В некоторых случаях бывает удобно ввести частотно-неза-
висимую статическую проводимость as в явном виде. Согласно
формулам (2.11),
о = ^ — (or5 — o') — /от", где
(2.15)
(2.16)
mevce(®2 + vee) ’
Величина ors дана в (2.14), a or" — в (2.11).
Вещественная эквивалентная проводимость и вещественная
эквивалентная проницаемость записываются в виде ое = or' +
+ сое" и Е-е — е' — or"/со. Если в среде нет поляризуемых моле-
кул или атомов, например в плазме и ионизированном газе, либо
поляризуемые атомы или молекулы сильно экранированы по-
движными свободными зарядами, так что на них не действуют
поляризующие силы, как это имеет место в металлах, то в' — 1
и е" = 0. Таким образом, для металлов, где v~ a2,
ore = or' = е2пе/теусе, ве = е0 — а"/а ~ е0.
Для плазмы
(2.17)
(2.18)
ее = ео (1 — ст/7®е0) = % [1 - ®2/(а2 + v2J],
где
®р = еЧ/е0те (2-19)
называется плазменной частотой (угловой). В ионизированном
газе заряженные частицы сильно удалены друг от друга, и по
этому частота столкновений очень мала потравнению с рабочей
частотой. В этом случае v2e <С а2 и
ore = or' = е2пусг.1те^2, <з" = е2пе/те(и. ^2.20)
Основные уравнения и параметры среды
353
Отсюда следует, что
ее= ео (1 — ®p/®2)’ ®p = e4/eome- (2-21)
Существенно, что в обоих выражениях (2.18) и (2.21) отно-
сительная вещественная эквивалентная проницаемость etv =
— 1 — со2/(сд2 4- v2e) «= 1 — ®р/®2 может изменяться от положи-
тельных значений, меньших единицы, когда co2/w2 < 1, до отрица-
тельных значений, когда со2/и > 1, проходя через нуль при
со2 = и2. Следует заметить, что в случае еег < 0 поляризуемые
атомы отсутствуют, и диэлектрическая проницаемость опреде-
ляется только отставанием во времени движения сильно уда-
ленных друг от друга электронов от переменного периодически
меняющегося электрического поля.
Сверхпроводники не имеют прямого отношения к проблемам
антенн в произвольной поглощающей среде. Однако для пол-
ноты изложения здесь рассматриваются их общие свойства. По-
добно обычным металлам, сверхпроводники представляют собой
область со свободными зарядами, в которой электроны могут
свободно двигаться под действием внешних сил. Однако су-
ществуют два различных типа электронов. К первому из них
относятся электроны в обычных металлах, их объемная концен-
трация обозначается через пе; объемная плотность тока таких
электронов равна Jf об (г) = сгоб Е (г), где °об. = <б. -/<б. и
а'б. = £4^0. , <б = _ (2 22)
me')ce "Wee
Электроны второго типа существуют парами, их общую объем-
ную концентрацию можно обозначить через песв.. Движение
этих электронов происходит без столкновений. Основное соотно-
шение для объемной плотности тока сверхпроводимости имеет
ВИД Jf св. (г) = СГсв.Е (г), где СГсв. = СГсв. — /СГсв.,
^в.-0, (2.23)
fflgw
Общее число электронов в единице объема пе = пе св. + пе об..
Доля электронов, находящихся в обыкновенном и сверхпроводя-
щем состояниях, зависит от температуры. При значениях темпе-
ратуры ниже критической температуры данного металла число
сверхпроводящих электронов велико, пеСв. ~ пе, а число обыкно-
венных электронов мало, пеОб. ~ 0. По мере приближения к кри-
тической температуре снизу пег.в. уменьшается oi величины,
близкой к пе, до нуля, а пе об. увеличивается от величины,
12 Зак. 813
354
Г лава 6
близкой к нулю, до пе при Песв. = 0. Общая объемная плот-
ность тока равна
(г) = (%б. + %.) Е («•) = [<б. - / «б. + <;.)] Е (г). (2.24)
При со2 <С v2g из формул (2.22) и (2.23) нетрудно получить
(2.25)
(2.26)
сопро-
Е (г) = (гоб. + /“/об.) Jf, об. (г) = св. (г), где
_ те^се < __ те . __ те
гоб. „2п , > ‘об. р2„ > ‘св. рг„
& ае об. е ае об. * св.
Входящая в формулы (2.26) величина гОб. есть активное
тивление на единицу длины, а /об. и 1СВ.— индуктивности на еди-
ницу длины. Объемная плотность тока в сверхпроводнике на
единицу длины, очевидно, эквивалентна току в параллельном
контуре, состоящем из индуктивности /св., соединенной парал-
лельно с последовательной комбинацией активного сопротивле-
ния и индуктивности /об.. Обыкновенная часть тока в сверхпро-
воднике ведет себя как ток в любом проводнике, в частности,
имеет место скин-эффект для обыкновенного тока, с которым
связано определенное распределение плотности. Сверхпроводя-
щая часть тока ограничена тонким слоем толщиной б =
= (me/poC2ne св.)1/2 — Ю~7 м. Эта толщина достаточно велика,
что позволяет использовать для описания распределения тока
объемную плотность тока J/ (г) во внутренних точках.
Электрическая проводимость металлов (значения которой
лежат в диапазоне от 105 и почти до 108 См/м) и полупроводни-
ков (проводимость от 106 до 10-7 См/м) определяется долей
валентных электронов, которые могут участвовать в установле-
нии упорядоченного движения зарядов в материале, и энергией,
необходимой для возникновения такого движения. Для металлов
так называемая энергия активации по существу равна нулю, и
максимум проводимости наблюдается вблизи абсолютного нуля
температуры; для полупроводников энергия активизации поряд-
ка нескольких десятых или единиц электрон-вольт, и проводи-
мость становится очень малой при приближении температуры к
абсолютному нулю.
Электрическая проводимость материалов другого класса,
изоляторов и диэлектриков, очень мала, меньше 10~7 См/м, и
почти достигает нуля. В упорядоченном движении зарядов в ди-
электрике под действием внешнего поля могут участвовать
электроны, если приложенное поле достаточно сильное, но основ-
ными движущимися зарядами являются ионы, несмотря на их
малую подвижность. Ионы нескольких типов могут составлять
ток в диэлектрике. В жидком диэлектрике это обычно ионы
обоих знаков, катионы и анионы, двигающиеся в противополож-
ных направлениях. В твердых диэлектриках (или твердых элек-
Основные уравнения и параметры среды
355
тролитах) ток обычно состоит только из анионов или катионов
и редко из ионов обоих знаков.
В кристаллическом диэлектрике три группы ионов могут
участвовать в упорядоченном движении зарядов. Первая группа
состоит из ионов регулярной решетки, небольшая часть которых
может сдвигаться в промежуточные точки решетки под дейст-
вием теплового возбуждения. Для такого сдвига необходима
энергия диссоциации. Ток образуется передвижением таких
ионов на вакантные места в решетке. Две другие группы воз-
можных переносчиков зарядов представляют ионы, образуемые
дефектами решетки, неидеальной в нормальном состоянии, и
ионы примесей. Проводимость на дефектах решетки преиму-
щественно возникает при высоких температурах и включает
ионы кристаллической решетки. Число подвижных примесных
ионов, способных вносить вклад в ток проводимости, весьма
различно у разных материалов, но часто наличие этих ионов
является основной причиной не слишком малой проводимости
в диэлектрике.
Проводимость, осуществляемая путем смещения ионов в ре-
гулярной решетке под действием теплового возбуждения, без-
условно, сильно зависит от температуры. Эту зависимость можно
записать в виде
а(Т) = аоьехр(-£оьт), (2.27)
где Eol — энергия активации ионов решетки, участвующих в
образовании тока; k — постоянная Больцмана и TL — абсолют-
ная температура ионов решетки. Если аналогичное выражение
записать для примесной проводимости, то общая проводимость
будет равна
а (Т) = o0L ехр (— EQLlkTL) + о0/ехр (— E0IlkT[). (2.28)
6.3. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ. ИНДУЦИРОВАННАЯ
ЭЛЕКТРОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Простое линейное соотношение
р (Г) = (е - е0) Е (г) = (е' - /е" - е0) Е (г) (3.1)
между комплексной амплитудой поляризованности Р(г) и комп-
лексной амплитудой усредненного макроскопического электри-
ческого поля Е(г) в заполненной материалом области содержит
комплексную постоянную пропорциональности
(е-ео) = ео(ег- 1)==ео(ег-/ег'- !)• W
Как она связана с микроскопическими молекулярными пара-
метрами среды и как зависит от частоты и температуры?
12*
356
Глава 6
Поляризованность Р(г) была определена интерполяцией зна-
чений дипольных моментов р отдельных сильно связанных поля-
ризованных молекул. Таким образом, объемная плотность ди-
польных моментов в элементе объема Атг- с центром в г, равна
Р(гг)=£р//Лтг, (3.3)
где р/ = qsdj — дипольный момент /-й молекулы в объеме Ат;
и суммирование выполняется по всем молекулам в Ат,. Непре-
рывная функция Р(г) получается путем интерполяции. Опреде-
ленная таким путем поляризованность является результирую-
щей, обусловленной всеми источниками поляризации, включая
эффекты смещения в неполярных молекулах и поворота поляр-
ных молекул. Поскольку различные виды поляризации связаны
с совершенно разными силами, целесообразно независимо рас-
смотреть идеальный неполярный материал с чисто индуцирован-
ной поляризацией, связанной только с эффектом смещения, и
идеальное полярное вещество, в котором поляризация не инду-
цируется, а вызывается только эффектом поворота, т. е. ориен-
тацией полярных молекул. Наиболее общий случай одновремен-
ного существования обоих типов поляризации нельзя считать
простой суперпозицией независимых эффектов смещения и по-
ворота, хотя результат такой суперпозиции часто оказывается
достаточно точным.
Существуют два типа индуцированной поляризации. Элек-
тронная поляризация возникает при смещении центра электронов
в молекуле относительно центра положительных ионов. Ионная
или атомная поляризация есть следствие смещения и дефор-
мации заряженного иона или целой решетки таких ионов отно-
сительно других ионов. Хотя между смещением центра отрица-
тельных электронных зарядов и смещением центра ионных
зарядов нет существенного физического различия, для точного
рассмотрения смещения электронов требуется квантовомехани-
ческий подход. Вместе с тем можно ожидать, что классический
метод даст приемлемые результаты во втором случае. Практи-
чески классический анализ электронной поляризации дает уди-
вительно хорошее приближение к результату более строгого
квантовомеханического анализа и для качественного понимания
основного эффекта и оценки величин он вполне пригоден.
Индуцированный молекулярный дипольный момент рга(г/)
типичной молекулярной системы с центром в г/, содержащей
N частиц с зарядами qt и массами т/, равен
w
рт (п) = Е <7 А = qmRm, (3.4)
£-1
где dfc — вектор, проведенный из начала координат в электри-
ческом центре системы к заряду qk. Поскольку ионный зар^яд
Основные уравнения и параметры среды
357
электрически нейтральной молекулы равен нулю, координаты
ее центра произвольные, В формуле (3.4) qm — величина сме-
щенного заряда одного знака. — вектор, проведенный из
центра отрицательного заряда в центр положительного заряда.
Поляризуемость молекулы определяется как коэффициент ат
в уравнении
Рга(Г/) = ате0Ее(Г/). (3.5)
Он характеризует предполагаемую линейную возвращающую
силу для молекулы данного типа. Так как коэффициент ат
определяется в основном условиями внутри молекулы, то он
слабо зависит от температуры, но может сильно зависеть от
частоты. Следует заметить, что предполагаемое в формуле (3.5)
совпадение направлений векторов р,«(г/) и Ее(г;) означает изо-
тропность молекулы. (Такое предположение не справедливо для
полярных молекул.) Величина Ее(г/) представляет электрическое
поле без учета вклада зарядов рассматриваемой молекулярной
системы; это поле не совпадает с усредненным макроскопи-
ческим полем в точке г/, которое определяется из урав-
нений Максвелла с заданными граничными условиями и выра-
жается через интерполяционные плотности в среде. Это значит,
что поле Ее (г,) было бы создано в небольшой полости объемом
Ду, образующейся в случае удаления /-й молекулы при сохране-
нии на месте всех остальных зарядов. Точное определение этого
локального поля затруднено, поскольку оно зависит от формы
и размеров полости, а также от симметрии в расположении за-
рядов в j-и молекуле и других соседних молекулах.
Если вследствие симметрии в расположении зарядов в Ли
можно пренебречь чисто локальным влиянием соседних молекул
(как если бы они были достаточно удалены) и принять объем,
занятый /-Й молекулой, за маленькую сферу, то можно получить
простое соотношение между локальным полем Ее(г) в объеме
Ли и средним макроскопическим полем Е(г) в точке г. Локаль-
ное поле в точке г в объеме Ли по определению является раз-
ностью между средним макроскопическим полем, созданным
всеми повсюду расположенными зарядами, и средним полем в
точке г, созданным зарядами из объема Ли. Таким образом,
Ее (г) — Е (г) — (Е„ (г))ср, где (3.6)
Ео (г) = -Л- /г ~ г/?з Р (И du', (3.7а)
v ' ' 4ле0 J | г — г I3 г 4 7 к 7
Av
<Ep(r))cp = -^-jEp(r)fi(y. (3.76)
&v
В формулу (3.7а) входит микроскопическая объемная плотность
р(г') = 27/6 (|г — г'|), которая определяет положение зарядов
358
Глава 6
в Ду. После подстановки выражения (3.7а) в (3.76), изменения
порядка интегрирования и взаимной перестановки переменных
со штрихами и без штрихов получается соотношение
(Ей (г))ср = — 4яео До $ Р(г)^ |(г _г/13 dv'. (3.8)
Ди
Как видно из формулы (3.7а), второй интеграл в правой части
(3.8) с коэффициентом 1 /4ле0 представляет электрическое поле
Ev(г) в точке г, созданное однородной плотностью заряда
p(rz) = 1 в объеме Ди. Этот интеграл вычисляется просто. Так
как поле обладает сферической симметрией, то применение тео-
ремы Гаусса дает
4лг2 [гЕв (г)] — 4лг3/Зе0, (3.9)
isd i7^A’' = E-'W=-3b *зло>
Др
Подставив выражение (3.10) в (3.8), получим
<Ер(г))ср = - гр (г) с!у. (3.11)
Ди
Так как р (г) = 2<?й6( |г — rk |), где суммирование выполняется
по всем зарядам в Ду, то
Jrp(r)dy = ^<7^ = pM(r), (3.12
До
где рт (г) — дипольный момент молекулы. В результате для мо-
лекулы с центром в г = Г/ имеем
ZF (гЪ -- Р"(Г?) - Р(Г^ /oi<n
<Е0(г/))ср- Зе0 До Зе0 ’ (3’13'
где Р(г?) = рт(г;)/До = nmpm(Ti) — средняя объемная плотность
дипольного момента в объеме Ду с центром в Г;. Аналогично
можно определить плотность в центре объема Ду, занятого лю-
бой другой молекулой, и путем интерполяции этих дискрет-
ных значений плотности получить непрерывную функцию Р(г).
С другой стороны, Р(г) = HmPm(r), где пт — число молекуляр-
ных диполей в Ду на единицу объема. Таким образом,
(ЕДг))ср = -Р(г)/Зео. (3.14)
Если подставить (3.14) в (3.6) и использовать формулы
(3.1) и (3.2), то получается выражение для локального поля
Основные уравнения и параметры среды 359
в точке г
Ее (г) = Е (г) + Р (г)/Зе0 = (1 + -^-)Е(г) = (^±^)е(г).
(3.15)
Действующее локальное поле оказывается больше макроскопи-
ческого усредненного поля, когда er> 1. Таким образом, инду-
цированная объемная плотность дипольного момента с индек-
сом а равняется
Ра (г) = nmpm (г) = цтат80Ее (г) = ае0 ( е' 2 ) Е (г), (3.16)
где ат — поляризуемость молекулы, а а = пташ — безразмер-
ная молекулярная поляризуемость. Последний член в формуле
(3.16) получен из (3.15). Если рассматриваемый материал со-
держит несколько типов молекул с различными поляризуемо-
стями и если эти молекулы независимы друг от друга, то полу-
чается общая индуцированная объемная плотность дипольного
момента в виде
Ра(г)=* Е afte0Eeft(r), где ak = nmamk. (3.17)
k
Если соотношение (3.1), являющееся определением диэлек-
трической проницаемости е = объединить с (3.16), то
можно непосредственно связать диэлектрическую проницаемость
с молекулярной поляризуемостью в области, где существуют
только индуцированная поляризация и лишь один тип молекул.
Таким образом,
где пт—концентрация молекул (число молекул в единице
объема). Это хорошо известная формула Клаузиуса — Мосотти
для индуцированной поляризации [23*]. С другой стороны,
ег — 1 = а/(1 — а/3). (3.186)
Чтобы получить представление о частотной зависимости ди-
электрической проницаемости, можно использовать уравнение
движения для смещенного электронного заряда qem в молекуле
при отсутствии постоянного магнитного поля. Это уравнение
имеет вид
(0 + VА (0 + (О - (г, /), (3.19)
где тет — масса смещенных электронов в молекуле; Rm(0 —
вектор, проведенный из центра отрицательного заряда к центру
положительного заряда; ve— коэффициент трения на единицу
массы и— коэффициент линейной возвращающей силы на
360
Глава в
единицу массы. Для гармонических колебании ноля ЕДг, i) =
= Re[Ee(r)e'wZ] смещение равно Rm(t) — Re[Rme/<of], и фор-
мула (3.19) принимает вид
(Ч - = (Яет/еет) Ее (г), (3.20)
так что Rm = -----------Ее(г). (3.21)
\ ®0е ®0s )
Отсюда следует, что электрический дипольный момент молекулы,
обусловленный электронной поляризацией, равен
Рет (*") Яет^-т’ (3.22)
а соответствующий дипольный момент на единицу объема равен
Ре (г) = птрет (г) == аее0ЕДг), (3.23)
где пт — число молекул в единице объема и ае — птат — без-
размерная электронная молекулярная поляризуемость. Из фор-
мулы (3.21) следует, что
2 2
/ n\ ^т^ет пее
«еО = «е (® = 0) = ---------= —-----, (3.25)
ы0етете0 ®(Ле0
поскольку nmqem = — пее, пттет = пете. (3.26)
Частота собственных колебаний электрона со0е лежит в даль-
ней ультрафиолетовой части спектра, и на радиочастотах хо-
рошо выполняется неравенство со too?. Это значит, что при
рассмотрении электромагнитных задач в данной книге можно
считать, что
~ “ »« (3.27)
1 + /--j"
®0е
Предполагается что <ove/a>^ 1; это всегда верно, если
со < со0е.
Если выражение (3.24) подставить в (3.18а), то можно вы-
разить относительную комплексную проницаемость ег = е'— /е"
через молекулярные параметры:
е, — 1 е' — 1 — js," ар0
------= Ч---------7, = Л с • (3-28)
ег + 2 Рг + 2-/ег 3 Л _-+ /-V 7
\ ®0е ®0е )
Основные уравнения и параметры среды
361
Выражение для ег можно разделить на вещественную и мни-
мую части:
z । . cteo (X с^о/3) п___ схеоУ (1 X) /ц 901
Бг 1 "" (Д’ - ае0/3)2 + У2 (1 - X) ’ er ~ (X - ае0/3)2 + У2 (1 — X) ’ ' '
Здесь для упрощения записи введены безразмерные параметры
X == 1 — co2/co2g и Y = ^е/аве- Выражения (3.29) сложным обра-
зом зависят от частоты и молекулярных параметров.
Если существует ряд собственных частот со* и можно пре-
небречь потерями, то выражение (3.28) преобразуется к виду
62~1 62 У nk
ег + 2 Зтее0 - <о2 ’
(3.30)
где nk — число электронов в единице объема, способных совер-
шать колебания на одной из различных частот a>k под действием
соответствующей возвращающей силы. Колебания на частотах
a>k возникают одновременно и независимо друг от друга. Общее
число электронов в единице объема пе — Япь. Более точная
квантовомеханическая формула имеет вид
ег~‘ _ е2 у
ег + 2 Зтге0 ®1 ~ ®2 '
(3.31)
В этой формуле fk — однозначно определяемая вероятность пе-
рехода; для суммы вероятностей существует соотношение
Частоты переходов определяются по формуле со* =
~2n(Wk—Fo)/Л, где h — постоянная Планка, F*— уровни
энергии в возбужденных состояниях, a Fo — уровень энергии в
основном состоянии. Классические и квантовомеханические фор-
мулы очень похожи, но входящие в них величины имеют раз-
личный физический смысл.
Подстановка выражения (3.24) в формулу (3.186) дает
2
, . . „ _ ае ______ аг0®0е __
ег ~ 1 1ег — i _ ае/з ~~ 2 (. ае0\ , , . —
®0е *---j)-J — ®2 + /®Ve
2 2
®Ы ®|й
где
и
пее2
3®0emseo
__ । __ ugj 1 ~Ь 2ggo/3
— 1 _ ае0/3 ’ -= 1 - ае0/3
= СО*
0s
(3.33)
(3.34)
362
Глава 6
представляет собой статическое, или низкочастотное, значение
проницаемости, которое получается из (3.32) при ® = 0.
Если разделить вещественную и мнимую части (3.32), то
_ ^(1-^1)‘/2 п _
е„-1 X? + У?(1 -X,) ’ 8fs-l Х2+У2(1-Х1) ’
где XI = 1 — w2/“?e> У) — ve/a>ie- Эти выражения просто иссле-
довать при Y\, малом по сравнению с 1. В этом случае макси-
Таблииа 6.3.1. Соотношения между проницаемостью и частотой
Х,= 1 г> 0 -У. -1 - оо
®/(£>1 = 0 (1 — У1)1/2 1 (1 + г.)1''2 2 ОО
е'-1 1/2У! 0 - 1/2Г. 0
ers — 1
/7 ег 0 1/2Г, 1/г, 1/2У, У, V2 0
&rs 1
Рис. 6.3.1. Дисперсия при ин-
дуцированной поляризации.
Безразмерные параметры Х( =
= 1—ог/а>| и Kj = v/®!,
2
угловая частота о)( =
= ®о(1 -а0/3).
Основные уравнения и параметры среды
363
мум е'' достигается при Xi = 0, т. е. при е' — 1 — 0;
максимумы е'— I расположены очень близко к Xi = ±Уь По-
ведение е'— 1 и е" в зависимости от Xi показано в табл. 6.3.1
и на рис. 6.3.1. Часть кривой е' — 1с отрицательным наклоном
представляет область, которая называется областью аномаль-
ной дисперсии; в этой области е' — 1 уменьшается с ростом
частоты. Для индуцированной поляризации область сильной дис-
персии проницаемости лежит вблизи со = ы1е = V 1 — аео/3
в дальнем ультрафиолетовом диапазоне частот; следовательно,
во всем радиодиапазоне волн для электронной индуцирован-
ной поляризации можно использовать низкочастотное, или
статическое, значение проницаемости (3.34). Приведем другой
вид формулы (3.34):
&rs 1 Це о Прв^ 36)
ers + 2 3 3co^mee0 ’
6.4. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ. ИОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
СМЕЩЕНИЯ
Внешнее электрическое поле вызывает не только дефор-
мацию электронной оболочки внутри каждого иона, но и раз-
деление положительного и отрицательного ионов в молекуляр-
ной структуре, поэтому полная индуцированная поляризация
равна сумме ионной и электронной поляризации:
Р(г) = Ре(г) + РДг). (4.1)
Уравнения движения для смещений положительного и отрица-
тельного ионов от положения равновесия в типичной молекуле
имеют вид
пг^ (0 + С [rt (0 - г2 (/)] + D [г, (/) - г2 (/)] = q^e (г, /), (4.2)
m2r2 (0 + С [г2 (0 — Г! (/)] + D [г2 (/) — Г! (0] = — (г, I). (4.3)
Здесь гЦ?) и г2(/) — смещения двух ионов от их равновесных
положений. Возвращающие силы взаимодействия двух ионов
равны по величине и направлены в противоположные стороны.
Силы трения, замедляющие движение, предполагаются пропор-
циональными относительным скоростям ионов. Ионы имеют за-
ряды противоположного знака. Поскольку имеют смысл только
относительные перемещения, скорости и ускорения двух ионов,
то два уравнения можно вычесть одно из другого, предвари-
тельно разделив на массы. Если ввести обозначения R(/) =
364 Глава 6
— гг(0> Al — + m2), vt = C/M и <i>2{ = D]M,
то получится уравнение
R (t) + v,R (/) + (/) = Ee (r, t). (4.4)
Это уравнение аналогично (3.19) и в случае периодических
колебаний позволяет перейти к уравнению для поляризован-
ности, вызываемой смещением ионов, аналогичному уравне-
нию (3.23):
Р, (г) = а;е0Ее(г), где (4.5)
2 2 2
а<0 ni4i е
а, =-----о---------• «го ~ ~~5-----~ ~5-----> (4.6)
<о>0
4, —величина заряда каждого иона. Следует заметить, что Z —
число зарядов в каждом ионе, а п,— число ионов в единице
объема.
Вклад электронов в величину поляризованное™, обуслов-
ленный их смещением относительно положительных зарядов
внутри каждого иона, равен
Ре (г) = аее0Ее (г), (4.7)
где ае ~ аео “ пее2/иоетеео и пе концентрация электронов, уча-
ствующих в поляризации молекул. Полная поляризованное™
равна сумме выражений (4.5) и (4.7). Таким образом,
Р (г) = (ае + «/) е0 [Е (г) + Р (г)/Зе0], (4.8)
где Е(г) — усредненное макроскопическое поле. Отсюда
р (г) = .. ± ”С ерЕ (г) = (Bf - 1) Ё0Е (г), (4.9)
1 _ Щ
3
и, следовательно,
8Г — 1 — —, или (4.10а)
1 _ + «г v ’
3
-~Ьг==^Ч^' (4.юб)
Последние соотношения аналогичны формулам (3.186) и (3.18а).
Следует заметить, что при наличии нескольких типов попов
с различной поляризуемостью ионную поляризуемость аг в
(4.10а), (4.106) нужно заменить на У, aik.
к
Основные (/равнения и параметры среды
365
Уравнение в виде (4.10а) удобно для получения частотной
зависимости проницаемости:
Величина низкочастотной, или статической, проницаемости ers
получается при ers — вещественная величина, равная
1 + у (вео + а;о)
j
1----д' («ео + Що)
1 «ео 4" Що
1 —з (аео -Т <Х(о)
• (4.12)
Следует заметить, что ers зависит и от электронной, и от ион-
ной поляризации. Значение высокочастотной, или оптической,
проницаемости егоо получается при <±>->-оо. Это тоже веществен-
ная величина, она равна
2
1 + -Д аео
8ГО0=------1— , 1^-1= af (4.13)
1 —х- аео 1 —х- аео
и определяется только электронной поляризуемостью. Оптиче-
ский показатель преломления H = Veroo- Из формулы (4.13)
можно получить выражение для аг0:
ae-aeo = 3(-|^l). (4.14)
X ЬГ ОО “Г z /
Низкочастотная проницаемость зависит как от электронной,
так и от ионной поляризуемости, поскольку поляризованность
P(r) = (ers—1)е0Е(г) определяется и электронным, и ионным
смещением. По мере возрастания частоты тяжелые ионы, дви-
жущиеся под действием приложенного переменного поля, на-
чинают отставать от поля, и, наконец, на достаточно высокой
частоте поле не способно вызвать ионное смещение. Легкие
электроны, напротив, продолжают двигаться без фазового от-
ставания от поля. Таким образом, в области низких частот, где
электроны и ионы успевают мгновенно реагировать на измене-
ние поля, проницаемость вещественна и определяется формулой
366
Глава 6
Таблица 6.4.1. Вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости в зависимости от частоты
3 1
1 8 8 z>
1
X»
1
) со
со к 4) 1 «0 со
1 <м
— 1см 8
1с 'q
1 > СО
*—
1 СМ
8 1
Л
со 8
ч
со
8 8 +
СО * “ 8
j 1 см
см о> СМ 1 со
со со
-г СО ч со 1 сЗ
L
1 СО
8
L_
СО
О — 1 1 X
8 8 со
Л> Л) СО
1
8 см 1 8 СМ 1 8 см
со СО со
+ +
см 8 8| 8
Ч V
см см со <N О) со
1 сч
1 1 см 1 1 СМ
1 со 05
«м т—> со СО ч со
•—<
— о О
со Со
к
О О
1
II
п « 1 3 1 II
3 О 0й
Основные уравнения и параметры среды
367
(4.12); в области высоких частот, где ионы не двигаются, а
электроны продолжают без фазового отставания реагировать
на переменное поле, проницаемость также вещественна и опре-
деляется формулой (4.13), а в области промежуточных частот
диэлектрическая проницаемость — комплексная величина и
имеет сложное выражение (4.116).
Комплексную диэлектрическую проницаемость ef=e' — /е"
удобно разделить на вещественную и мнимую части, используя
выражение (4.11а), которое преобразуется к виду
<-!-/< =
=г_%о+^1гл_4+/^уГ1-4+/^)1=
L 1 - (ае0 + <Чо)/3 J IA ®1 ®1 // \ ®2 ®2 Л
где со* = со2(1 +а;0/ае0), (4.156)
со2^Со2Г1_~1а^+._а»о)/31 1 - ае0/3 J’ (4.15в)
“>? = (е,оо- 1)/(е™~ О’ (4.15г)
Если ввести = 1 — ®2/®2, ЙГ2 — 1 — ®2/®2, y^Vj/®!, y2 = Vc/®2, (4.16)
то (4.17)
ers~l Х2 + /У2(1 -X2)i/2 ’
e;-l У,Г2(1 — XI)I^2(1 — X2)1/2 (4.18a)
е^-Г Х2 + Г2(1-Хг)
< . ХсГ2(1 - X2)I/2—X2y, (1 - x,)I/2 (4.186)
e„-l Х2+У2(1-Х2)
Последние уравнения легко исследовать, когда обе величины
Vi и У2 малы по сравнению с единицей. В табл. 6.4.1 приведены
критические значения от Х2 = 1 до Х’2 = —оо или от со/сог = О
до со/со2 = оо. Следует заметить, что Xt = 1 при Х2 = 1 или
со = 0 и = — оо при Х2 = — 00 или со = оо.
На рис. 6.4.1 иллюстрируется поведение е' и в" в зависи-
мости от Х2 и со2/со| согласно формулам (4.18а) и (4.186) при
== 9, еГОо = 3, У2 = 0,1. Аномальная дисперсия и явление
368
Глава 6
ионного резонанса наблюдаются при Х2 — 0 или со2=со2=со2[^егоо—
~X)/(.Rrs ~ 0] = “с { Р ~ (авэ + асо)/3]/(1 ~ аео/3)}- Интересно
отметить, что, если со2 со2 и со2 с со2, т. е. А'2 ~ 1 «г Х[ (со-
стояние, при котором молекулы остаются практически непод-
вижными в промежутке между столкновениями),
6=е'_/е"~е (4.19)
г г >2 г оо I 1 _|_ ущх V /
где т = vz/co|-
Рис. 6.4.1. Индуцированная ионная и электронная поляризация (ers = 9,
8гсо = 3, == 6,1).
р, +/у, -j
Ia+'W7^ J
Xl=l —ш2/ш2, Xg=l —(ш2/а2),
yi=v;7®r y2 = vz/®2-
W27“?=(%oo-!)/(ErS-!).
6.5. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ
ОРИЕНТАЦИОННОЙ И ИНДУЦИРОВАННОЙ
ПОЛЯРИЗАЦИИ
Рассмотрим среду, состоящую из молекул с постоянными
собственными дипольными моментами. При отсутствии внешнего
электрического поля дипольные моменты отдельных молекул
Основные уравнения и параметры среды
369
имеют случайную ориентацию, и общая поляризованность рав-
на нулю. Когда приложено внешнее электрическое поле, на
каждую молекулу действует механический момент, стремящий-
ся установить молекулу по полю. Этому противодействуют теп-
ловое возбуждение и взаимодействие соседних молекул (осо-
бенно в твердых телах и некоторых жидкостях), стремящиеся
восстановить случайную ориентацию. В результате устанавли-
вается равновесная ориентация с минимально возможным уров-
нем энергии.
Влияние теплового возбуждения на достаточно подвижные
полярные молекулы, например молекулы газа, учитывается за-
коном распределения Больцмана, согласно которому вероятность
нахождения молекулы в элементарном телесном угле dQ про-
порциональна ехр(— V/kT), где V — потенциальная энергия мо-
лекулы, k — постоянная Больцмана и Т — абсолютная темпе-
ратура.
Потенциальная энергия молекулы с постоянным собственным
дипольным моментом р0, находящейся в локальном электриче-
ском поле Ее, равна К = Ко — роЕс = Ко — роЕе cos 9, где 0 —
угол между вектором р0 и вектором электрического поля Ев,
а Ко — постоянный член, независящий от 0. Среднее значение
дипольного момента <рт> типичной молекулы и величина по-
ляризованности Р определяются как
(Pm) = Ро <COS 0), P = nm(pm), (5.1)
где nm — концентрация полярных молекул с моментами р0, а
<cos 0> — среднее значение при равновесном распределении.
Направления <р™> и Р совпадают с направлением Ее. Для
<cos 0> получается выражение
\ ехр (— V/kT) cos 6 dQ
(cos 0) = ----------------, (5.2)
\ exp (— VlkT} dQ
где dQ — элемент телесного угла. Выражение (5.2) преобра-
зуется к виду
Л
2л sin 0 cos 0 exp [(р0Ее cos 0)/йГ] d0
(cos 0) = —------------------------------. (5.3)
2.n sin 0 exp [(p0£0 cos 0)/йГ] d0
о
После подстановки x = cos 0 и w = paE0/kT и интегрирования
получаем
(cos0) = L(w) = cth w — 1/w, (5.4)
370
Глава 6
где L(w) — функция Ланжевена. Таким образом,
Р = nmp0L (w) = птр0 [cth {poEe/kT) — kT/p0Ee]. (5.5)
Когда w 1, функция L(w) «з 1, и поляризованность почти рав-
на максимально возможному значению, которое достигается в
состоянии «насыщения», т. е. когда все молекулярные диполи
ориентированы по полю. Практические значения напряженности
электрического поля далеки от поля насыщения, и неравенства
15 и (paEe/kT)2 < 15 являются хорошими приближениями.
При этом cthw — \/w + w/3 — ш3/45 + ... «з \/iv 4- ьу/З,
L(w) «2 w/З и получаются приближенные формулы
<Рт) = рК/МТ, Р = пт (p>/3kT) Ее. (5.6)
Молекулярная поляризуемость арт обусловленная собственным
дипольным моментом молекул, есть коэффициент пропорцио-
нальности в выражении для <р>:
<Pm) = aPmeoEe. арт = Pl/3kT ео- (5 -7)
Безразмерная поляризуемость, обусловленная собственными ди-
польными моментами молекул, равна ар = птарт, и в слабых
полях
р = аРеоЕе’ аР = п«,Ро/зй7,ео- (5.8)
В общем случае у полярных молекул во внешнем поле су-
ществует не только ориентационная поляризация за счет пово-
рота постоянных дипольных моментов, но и наложенная на нее
индуцированная поляризация за счет относительного смещения
центров положительных и отрицательных зарядов при переме-
щении электронов или ионов. Строго говоря, эти два вида по-
ляризации не являются независимыми. Однако в первом при-
ближении можно представить полную поляризацию как сумму
независимых эффектов ориентации и смещения. Таким обра-
зом, для индуцированной электронной и собственной поляри-
зации
Р(г) = Ре(г)+Рр(г) = ав0Ее(г), где (5.9)
2 2 к 2 2
Рет । Ро 4 пее , птРо /г ,
---------1-----— 1 , (5.10)
®ое'иетео 3We0/ со0е«ее0------3kTе0
qem — величина смещенного электронного заряда в молекуле
и Шет — масса этого заряда. У электронов nmqem = —пов,
птт.ет = пете. Если далее предположить, что результирующее
локальное Поле (г) есть поле Лоренца Ee(r)=E(r)-f-
а = ае + ар = пт
Основные уравнения и параметры среды
371
+ Р(г)/3ео, то
P(r) = (8f- 1)е0Е (г),
' г 4 1—а/3 1 - (ае + ар)/3
гг - 1 _ а _ пт ( , Ро А
ИЛИ ег + 2 3 '3 \aem + 3fe7e0 )'
(5.П)
(5.12)
(5.13)
Последнее соотношение называется формулой Ланжевена —
Дебая. Сделанное предположение о том, что эквивалентное ло-
кальное поле, ориентирующее полярные молекулы, есть поле
Лоренца, сомнительно. Однако измерения показывают, что та-
кое допущение дает более точные результаты по сравнению с
расчетом по усредненному макроскопическому полю без кор-
рекции по Лоренцу. Это лучше можно показать, если предста-
вить формулу (5.13) в виде
е.-1 Jf ( \
ег + 2 = Т V6"1 + 3kTe0 ) ’ (5-14)
где У— молярный объем (т. е. объем, занимаемый одной грамм-
молекулой вещества), а Л9 — число Авогадро. Очевидно, что
№ /У есть число молекул в единице объема. Левая часть (5.14)
называется функцией Клаузиуса — Мосотти. Она не зависит от
давления и изменяется в зависимости от температуры по закону
1/Г для полярных веществ. Если локальное поле Лоренца не
применяется для коррекции среднего по времени макроскопи-
ческого поля, то формула (5.14) заменяется на
(е-1)Г Л ( pl \
i2-F^ = T-K+3lfc)- <5-15)
Здесь множитель 3 введен для того чтобы правые части (5.14)
и (5.15) были равны. Левые части (5.14) и (5.15) не должны
зависеть от температуры для неполярных веществ, т. е. при
р0 = 0, и должны изменяться обратно пропорционально абсо-
лютной температуре Т для полярных веществ. В табл. 6.5.1
сравниваются значения величин левых частей (5.14) и (5.15)
для неполярного вещества двуокиси углерода в газообразном
и жидком состояниях. В табл. 6.5.2 приведены соответствующие
данные для полярного вещества — аммиака. Как видно, и
(ег—1)У/3, и функция Клаузиуса — Мосотти (ег—1)У/(ег ф-
ф-2) несколько зависят от давления, но в последнем случае
зависимость значительно слабее. Если провести экстраполяцию
функции (8г—l)F/(er ф- 2) к нулевой плотности по Кею и
Кирквуду и представить графически зависимость от Т этой ве-
личины, умноженной на Т, то для аммиака [2] получится
372 Глава 6
значение р0 = 1,44-10-18 Кл-м. Более подробные современные
данные показывают, что формула Клаузиуса — Мосотти (5.14)
не дает удовлетворительного приближения для такой полярной
Таблица 6.5.1. Значения левых частей уравнений (5.14) и (5.15) для дву-
окиси углерода
7) °C Состоя- Додле- Платность, У, СМ* fir — 1 fir — 1 < 3 fir - 1 Г & + 2
ние, атм. толь [л
ние
100 Газ 10 0.33 2994- 0.00753 7.507 7.485
50 1.87 535 0.04306 7.680 7.577
100 4.37 229 0.1041 7.947 7.687
151. ' 7.75 129 0.1912 8.220 7.729
0 Жидкость 50 21.39 46.75 0.6016 9.273 7.809
100 22.24 44.97 0.6321 9.477 7.826
150 22.84 43.78 0.6526 9.557 7.822
200 23.34 42.85 0.6675 9.533 7.798
Источник. Keyes F. G., Kirkwood J. G., Phys. Rev., 36, 1570(1930).
Таблица 6.5.2. Значения левой части уравнений (6.14) и (5.15) для аммиака
Дабле нив, Пло/лнос/пь, см* fir - 1 fir. - 1 з r fir - 1 V fir + 2
Т,°С атм МОЛЬ/Л
100 20 0.72 1385 0.0940 43.40 42.07
55 2.65 377 0.3867 48.60 43.05
125 20 0.66 1512 0.0822 41.43 40.32
60 2.40 406 0.3381 45.77 41.12
150 20 0.61 1636 0.0713 38.87 37.98
60 2.09 479 0.2621 41.83 38.50
100 4.48 223 0.6382 47.43 39.12
175 20 0.57 1753 0.0638 37.27 36.49
59 1.88 533 0.2237 39.73 36.99
100 3.69 271 0.480П 43.33 37.38
Источник. Keyes F. G., Kirkwood J. Q., Phys. Rev., 36, 1570 (1930).
Основные уравнения и параметры среды 373
жидкости, как вода. Основная ошибка связана с тем, что выра-
жение Лоренца для результирующего локального поля, приме-
няемое для определения индуцированной поляризации при от-
сутствии полярных молекул, не позволяет правильно рассчитать
собственную поляризацию. Причины ошибок были специально
исследованы Онзагером, который вывел улучшенную формулу,
уточненную в дальнейшем Бетчером, Кирквудом и другими.
6.6. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ. УЛУЧШЕННЫЕ МОДЕЛИ
ОРИЕНТАЦИОННОЙ И ИНДУЦИРОВАННОЙ
ПОЛЯРИЗАЦИИ
Если внешнее электрическое поле с макроскопической
усредненной напряженностью Е действует на однородный изо-
тропный материал, состоящий из полярных молекул одного вида
с собственным дипольным моментом р0, то результирующее ло-
кальное поле Ее, действующее на каждую молекулу, оказывает-
ся значительно сложнее, чем поле в неполярном материале.
Причина этого в том, что дипольный момент каждой отдельной
молекулы р действует на соседние молекулы, изменяя ориен-
тацию их собственных моментов и индуцируя дополнительный
момент электронного или ионного смещения. Такие явления про-
исходят даже при полном отсутствии внешнего электрического
поля. Таким образом, результирующее локальное поле записы-
вается в виде
Ее = gE + fpm/e0, (6.1)
где член gE обусловлен внешним полем; здесь учтено измене-
ние поля за счет индуцированной и ориентационной поляриза-
ции, вызванной внешним полем, а член fpm/e-o выражает вклад
поляризации смещения и ориентационной поляризации, индуци-
рованной в молекулах, окружающих данную молекулу, под воз-
действием ее дипольного момента рт. Если считать молекулу
изотропной с поляризуемостью ат, а ее дипольный момент рт —
суммой ее собственного момента ро и индуцированного момента
аше0Ее, то
Рт = Po + ате0Ее, (6.2)
и после подстановки (6.1) в (6.2) и решения полученного урав-
нения относительно рт получается
Рт = Ро + <е0Е> <6’3)
374
Глава Г
где собственный дипольный момент и молекулярная поляризуе-
мость преобразованы к виду
Ро= Ро/(1 - К). <=<?“«/(1 - Ю- (6-4)
В этих формулах р0 — собственный момент типичной молекулы,
когда она изолирована и не находится под воздействием элек-
трического поля; р'о — дипольный момент той же молекулы,
когда она окружена другими такими же молекулами, заполняю-
щими среду, и внешнее поле отсутствует. В общем случае р„
больше чем ро, поскольку поле каждой молекулы поляризует
молекулы в окружающей среде и таким образом возрастает
момент каждой молекулы. Это увеличение отражает множитель
(1 — fam)-1. Аналогично, чтобы выразить дипольный момент
через усредненное макроскопическое поле Е, молекулярная по-
ляризуемость ат, пропорциональная отношению индуцирован-
ного дипольного момента к локальному полю Ее, умножается
на множитель g, и, кроме того, умножается на множитель
(1 — учитывающий изменение дипольного момента за
счет эффекта взаимной поляризации молекул.
Если бесконечно малый диполь с постоянным моментом рт
поместить в центре сферической полости с радиусом а, выре-
занной в бесконечной диэлектрической среде с относительной
проницаемостью ег, в которой установилось макроскопическое
усредненное поле Е, то локальное поле Ее в центре полости бу-
дет равно [3]
р Зег р । 2 (er 1) рт
е ~ 2er + 1 -Г 2er + 1 4ле0а3 '
Сравнение с формулой (6.1) позволяет определить коэффи-
циенты для сферической полости
1 2(ег—1)
4ла3 2er + 1 ’
Зег
S ~ 2er + 1 ‘
(6.6)
Чтобы связать молекулярный момент рт, определяемый фор-
мулой (6.3), с поляризованностью Р и проницаемостью е =
= еоег, нужно сначала определить средний дипольный момент
<рт> типичной молекулы. Векторы <рт> и Р совпадают по на-
правлению с Е, и их величины выражаются формулами
(Рт) = (Ро C0S 0 + <е0£)- Р = пт (Рт)> (6-7)
Основные уравнения и параметры среды
375
причем аналогично (5.3)
л
(ро cos 6 + а^е0£) exp (— V/kT) sin 6 d9
<Pm) = --S-------------------------------• (6-8)
j exp (— V/kT) sin 9 dQ
о
Потенциальная энергия молекулы в сферической полости равна
V = Vo —gpo-Е, (6.9)
где pg определено в (6.4) [4].
Вычисление в (6.8) выполняется так же, как в (5.3). Пред-
полагая (gp'^jkTy- 15, можно получить выражение, анало-
гичное (5.7);
<Рт) = (а™ +'з^ег)8оЕ> (6.10а)
и затем
( ёРо j
P = «m<Pm) = «ml4am + Je°E. (6.106)
Из формул (6.106), (6.4) и определения диэлектрической про-
ницаемости следует
[2 -1
+ 3*Ге0 (1 -fam) J е°Е = е°^г “ Е> (6>1
Далее с помощью формулы (6.6) получаем из (6.11)
(er- 1)(2ег+ 1) _ nm [ ( pl
2er 1 - fam 1“"' 3feTe0 (1 — fam)
(6-12)
Эта формула была получена Онзагером. Она основана на мо-
дели, в которой каждая молекула считается расположенной
в центре сферической полости с радиусом а внутри непрерыв-
ной среды с относительной диэлектрической проницаемостью ег.
Применение формулы (6.12) осложняется появлением произ-
вольного радиуса полости а, от которого зависит параметр f
в (6.6). Онзагер выбрал этот радиус равным некоторому эф-
фективному радиусу молекулы, так что одна молекула запол-
няет сферическую полость, в центре которой она находится.
Это значит, что он принял концентрацию молекул пт равной
обратной величине объема сферической полости пт = 1/(4ла3/3).
(Это своеобразное соотношение требует, чтобы радиус моле-
кулы странным образом зависел от плотности материала.) При
376
Глава 6
таком радиусе величина f, определяемая формулой (6.6), равна
f пт 2 (er 1) /с 1
' ~3~ ' 2ег+"Т ’ <6ЛЗ)
Если в равенстве (6.12) подставить р0 = 0 и f из (6.13), то по-
лучится формула Клаузиуса — Мосотти. Кроме того, среднее
локальное поле <Ее> = gE + f<pm>/e0 приводится к полю Ло-
ренца Ег — Е(ег 2)/3, определенному в (3.15).
Если предположить, что полная индуцированная поляриза-
ция является чисто электронной, то из формулы (4.14) следует,
что птат = Птает = 3 (егос— 1) /(егоо -ф 2), а из (6.13) следует
amf = 2(ег — 1) (ето—1 )/(2er + 1) (егоо + 2). Тогда (1— fam) —
= 3(2ег + ел<х.)/(егоо + 2) (2er + 1) и соотношение (6.12) прини-
мает вид
3(ег-еГоо)(2ег + ег ж) = птр20
ег (Ег оо + 2)2 3kTе.о '
Эта формула справедлива, когда отклонение ег от высокоча-
стотного значения полностью вызвано ориентационной поля-
ризацией. Если постоянные моменты отсутствуют, р0 = 0 и
(6.14) сводится ке,= егоо.
Когда индуцированная поляризация пренебрежимо мала по
сравнению с ориентационной поляризацией, ат « 0 и еГОо ~ 1.
В этом случае формула (6.14) упрощается к виду
(er- l)(2er + 1) птР20
------2ГГ-----= -зИ>Г- <6’15)
Таким образом, было показано, что несколько формул, осно-
ванных на сферической модели Онзагера, переходят в формулу
Клаузиуса — Мосотти (основанную на локальном поле Лорен-
ца) при отсутствии полярных молекул. С другой стороны, при
наличии полярных молекул требуется более точная характери-
стика локального поля с учетом взаимодействия дипольного
момента каждой молекулы с окружающей средой. При опреде-
лении этого взаимодействия молекул каждая молекула рас-
сматривается как сфера, помещенная в непрерывную среду. На
самом деле такая модель недостаточно точна, так как каждая
молекула обязательно связана с группой отдельных ближайших
соседних с ней молекул, а не с непрерывной средой за преде-
лами сферической полости.
Улучшенная поляризационная модель разработана Киркву-
дом [5]; в ней учитывается число Z ближайших соседних мо-
лекул. В теории Онзагера можно оставить без изменения фор-
мулы (6.4) для pg и а'т. Новая формула получается просто из-
Основные уравнения и параметры среды
377
менением только общих выражений (6.12) пли (6.14), а именно
в этих выражениях р% умножается на множитель glt равный
gi = 1 + Z (cos у). (6.16)
Здесь Z — среднее число ближайших молекул, входящих в пер-
вую оболочку связей данной молекулы, у — угол между диполь-
ными моментами данной молекулы и ближайшей к ней сосед-
ней, a (cosy) есть среднее значение, вычисленное по прибли-
женным значениям статистических весов ближайших молекул.
Таким образом, путем коррекции соотношения (6.12) получает-
ся формула Кирквуда
"ХХ _ Г , _ 1 (6 17)
3er 1 -fam La'« ЗйГе0(1 - fa,n} J’
где gt определено в (6.16).
6.7. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ.
ЯВЛЕНИЕ РЕЛАКСАЦИИ
Когда к материалу, состоящему из полярных молекул,
приложено внешнее электрическое поле, на каждую молекулу
действует сила, стремящаяся ориентировать постоянный соб-
ственный дипольный момент молекулы в направлении прило-
женного поля. Этим силам противодействуют термодинамиче-
ские силы, стремящиеся восстановить ориентацию дипольных
моментов молекул и нулевую поляризованность материала. Если
приложено статическое поле (как это предполагалось в преды-
дущих разделах), то наступает положение равновесия, при ко-
тором молекула имеет значительную составляющую среднего
собственного момента в направлении приложенного поля. Та-
кое состояние называется полной ориентационной поляризацией
на нулевой частоте под действием приложенного поля заданной
величины. Это не означает, что все молекулы повернулись так,
что направления их собственных моментов совпадают с полем,
так как силы, стремящиеся установить случайное распределе-
ние моментов, всегда не равны нулю. Полная ориентационная
поляризация характеризуется максимальной поляризован-
ностью, возможной в данном материале под действием поля
данной величины.
Если вместо статического поля приложено переменное поле
очень низкой частоты, то отдельные молекулы совершают ко-
лебания, вращаясь вокруг осей, проходящих через их центры,
378 Глава 6
так что в каждый момент средняя поляризованность пропорцио-
нальна приложенному полю:
Р = МЛ5-1)Е, (7.1)
где ers — статическая относительная диэлектрическая проницае-
мость— величина вещественная. При переходе к более высоким
частотам инерция молекул не позволяет им моментально реаги-
ровать на изменение поля, и поэтому Рр(г), часть общей поля-
ризованности Р(г), обусловленная ориентацией собственных мо-
ментов молекул, отстает от изменения приложенного перемен-
ного электрического поля. Это значит, что если приложенное
поле задано вещественной частью от Е(г)е'и', то ориентацион-
ная часть поляризованности равна
Рр(О = адрЕ(г). (7.2)
Ориентационная восприимчивость %р = Хр— /хр— комплексная
величина, отличающаяся от вещественной статической величины
%ps. Для многих материалов временное отставание ориентацион-
ной поляризации начинается с очень низких частот, и поэтому
Хр ~ Хр« только вблизи нулевой частоты. Индуцированная элек-
тронная поляризация, напротив, реагирует на переменное поле
без отставания вплоть до оптических частот. Таким образом,
индуцированная поляризация смещения дает составляющую
общей поляризованности
Р< (г) = еоХ/Е (г) « eox/sE (г), (7.3)
где — восприимчивость, связанная с индуцированной элек-
тронной поляризацией, a x«s — статическая часть восприимчи-
вости, вещественная величина, являющаяся хорошим прибли-
жением к полной восприимчивости на радиочастотах. Если воз-
никает также ионная поляризация, то х/ отличается от статиче-
ского значения в области резонанса ионного смещения. Однако
в дальнейшем изложении индуцированная поляризация будет
предполагаться чисто электронной. Полная поляризованность
равна
Р (г) = Рр (г) + Р< (г) = е0(%р + Xi) Е (г) = е0 (ег — 1) Е (г), (7.4)
где ег — комплексная величина.
Простой закон для ориентационной поляризации получается,
если предположить, что Pp(r, t) приближается к своему нуле-
вому пределу со скоростью, пропорциональной разности между
статическим значением xPsE(r, t) и истинным значением Pp(r, t)
в данный момент. Таким образом,
аРп(г, 0 1
- Pdt = Т [XPSE (г, 0 - Рр (г, I)], (7.6)
Основные уравнения и параметры среды
379
где вещественный коэффициент пропорциональности т есть вре-
мя релаксации. При гармонических колебаниях из формулы
(7.5) следует уравнение, не содержащее времени:
Рр (г) = еохрЕ (г), где (7.6а)
Хр = Хр-/Хр = Хр/1 + W. (7.66)
Отсюда получаем
Комплексная относительная диэлектрическая проницаемость по-
лучается из формулы (7.4):
ег = 1 + Xfs + ХРЛ1 + /ют), (7.8а)
откуда
< = 1 + xfs + Xps/0 + ®2т2), е"= “TXps/O + ю2!2). (7.86)
При и = 0 относительная проницаемость вещественна и
е'4 efS = 1 4-+ xps; е"=0. При со = оо величина е, также
вещественна и е'оо = е/.оо = 1 + xts; = 0. В этих обозначениях
формула (7.8а) имеет вид
= + <7-9а)
Отсюда следует
< = е,оо + ®2т2 « 1, (7.96)
е/ = ют е77юе2;г- - ют (gfS - е, J, ®V«1. (7.9в)
Функции (1 -f-co2^)-1 и ют (I 4-(о2т2)~’ изображены на рис. 6.7.1.
Некоторые авторы предпочитают рассматривать критическую
длину волны Хс или критическую частоту fc вместо времени ре-
лаксации т. Эти критические величины вводятся через соотно-
шения (ОТ = Хс/Х или (ОТ — f/fc и
Хс = (оХт = 2лст или /с==1/2ят, (7.10)
где с = 3-108 м/с — скорость света и X — длина волны в сво-
бодном пространстве.
Следует заметить, что выражение (4.19) для относительной
проницаемости представляет ионную поляризацию смещения
вдали от резонансной частоты, и для этой поляризации суще-
ствует релаксационный процесс с такой же характеристикой,
380
Глава 6
Рис. 6.7.1. ФуНКЦИЯ (1 + W2T2) И <1)Г(1 + <l)2T2)-i.
как (7.9а). Однако поляризуемость при поляризации смещения
не зависит от температуры, а поляризуемость при ориентацион-
ной поляризации изменяется обратно пропорционально абсо-
лютной температуре.
Графическое представление (7.9) поучительно и полезно для
сравнения измеренных значений проницаемости с теоретиче-
скими. Нормированные величины в'/&гоо и удобно выра-
жаются в функции параметра 6 = arctgwT. Величина
/X / //
7^=1 +1“--------lb-'ecos0 = T-^-/-^- (7.11)
fcr со ''fcroo / оо Ьг оо
представлена на рис. 6.7.2 на комплексной плоскости с абсцис-
сой е'/егоо п ординатой е"/егоо. График функции (7.11) —поду-
Основные уравнения и параметры среды
381
круг с центром в точке e'/efoo = [(е„/егго) + 1]/2 и радиусом
[вгя/вгоо—1]/2; он расположен на горизонтальной оси так, что
ег/еГоо — ers/eroo при 0 = 0 и er/eroo = I при 0 = л/2. Макси-
мальное значение е"/егоо> равное [(ers/eroo)—1]/2, достигается
при 0 = л/4. Графики \1ггх, и ъ"1ъгао в функции сот
представлены на рис. 6.7.3. Как видно, максимум ъ"1&Гао нахо-
дится в точке сот = 1; в ее окрестности функция ^'г1^гоо быстро
уменьшается от величины, близкой к е«/еЛ^, до I.
Рис. 6.7.2. Комплексная относительная диэлектрическая проницаемость по-
лярной среды в комплексной плоскости.
Для многих веществ простое соотношение (7.9), содержащее
одну релаксационную частоту, представляет хорошее прибли-
жение к экспериментально наблюдаемому поведению вещества.
Для других веществ формула (7.9) мало пригодна, потому что
наблюдаемый переход от еГОо к e,rs занимает широкий диапазон
частот, не предсказанный формулой. Это значит, что для таких
веществ может существовать целая последовательность близко
расположенных значений времени релаксации или наблюдается
непрерывное распределение времени релаксации в данном ча-
стотном интервале. Тогда вместо формулы (7.5) выполняется
следующее соотношение:
Рр (г) = 8oXps
dx Е (г)>
1 + /сот I V '
о’ J
(7.12а)
где f(x)dx—вероятность нахождения значения времени релак-
сации в интервале (т, т-фс/т). Для /(т) выполняется уравнение
\ f (т) dx = 1.
о
(7.126)
382
Глава 6
В таком более общем случае вместо формулы (7.9а) имеем
оо
e, = eroo + (ers-erj( = 6; -/е; (7.13а)
J * “Г / W "
(I
оо
- <=’,. + ('„-«,»)) <7-13б>
О
оо
Рис. 6.7.3, Графическое представление релаксации при ориентационной поля-
ризации.
е = е —/е = е
rS Г ОО __q п
—, егс=3,2е
1 + /шт rs
Следующие соотношения справедливы для ег(®) в линейной
среде:
оо
, Z ч 2 С пидя
₽((о) —- е = — \ er (Q) ;
г 4 ' г ОО их J г 4 ' Q2 __
и
оо
9 С
о
(О </й
Й3 — <02 ’
(7.14)
(7.15а)
(7.156)
—• е
Основные уравнения и параметры среды
383
здесь интегралы — главные значения Коши. Вывод выражений
с двумя последними интегралами приведен в приложении к
книге Фрелиха [6]1). Выражения (7.15а), (7.156) в литературе
обычно называются соотношениями Крамерса — Кронига. Оче-
видно, что если известна одна из двух величин е' или е", то,
зная егос, можно найти вторую из формул (7.15а) или (7.156).
Следует заметить, что е" (и) 0 в пассивной среде, и этому не-
Рис. 6.7.4. Графики относитель-
ной проницаемости в виде дуг.
а — общий график; б — глицерин
при —50 °C; в — хлорированный ди-
фенил № 2 при 8 °C; г — канифоль-
ное масло № 1 при 7 °C; д — транс-
форматорное масло при 0 °C. Ис-
точник: Cole and Cole, J. Chetn.
Phys., 9, 341 (1949).
равенству должны удовлетворять значения е'' (со), определенные
по формуле (7.156), если в (7.156) подставить известные из
измерений или приближенные значения s' (а>).
Если имеется распределение значений времени релаксации,
а не только одно значение, то графическое представление ег не
, является полукругом, лежащим на горизонтальной оси, как на
► рис. 6.7.2. Была предложена эмпирическая формула для ег, оп-
|ределяющая условие существования непрерывного распределе-
ния значений времени релаксации. График этой формулы пред-
ставляет собой дугу с центром, лежащим ниже горизонталь-
ной оси [7]. Такая формула получается простым преобразо-
ванием (7.9а). Она записывается в виде
г е'=''-+<7J6a>
|4 ) См. также [24*]. — Прим. ред.
384
Глава 6
Нетрудно показать, что положение центра круга ниже оси за-
дается углом ал/2, как показано на рис. 6.7.4, а. Вещественная
и мнимая части (7.16а) определяются из соотношения
/'“ = ехр р -у(1 — а)] = je~'anl2— sin (ал/2) -|-/cos (ал/2).
Таким образом, ег = е' — /е", где
е'— е Д-Гр Р X [1 + (<от)'“а sin (ал/2)] ,
Г е-) ! + 2 (мт)1-а sin (ая/2) + (шт)2<-Т)’ (7-166)
= _р X ______________(<от)'~а cos (ал/2)__.
Г ( rs ег-Л+2 (сот)'-“sin (ал/2) + (сот)2 ( }
При а — 0 последние уравнения приводятся к уравнению Де-
бая [формулы (7.96), (7.9в)] для полярных жидкостей. На
рис. 6.7.4, б приведены графики зависимости измерений е" от ег
для различных жидкостей и изображены соответствующие тео-
ретические дуги. Форма дуг является хорошим приближением
к экспериментальным результатам.
6.8. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРИИ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
И ПРОВОДИМОСТИ
В предыдущих разделах описаны основные типы поляри-
зации: индуцированная поляризация, обусловленная смещением
сильно связанных заряженных частиц, и ориентационная или
релаксационная поляризация в материалах, состоящих из по-
лярных молекул. Чаще всего имеет место поляризация, вызван-
ная смещением электронов относительно положительных ядер.
Такой процесс происходит во всех материалах — твердых, жид-
ких и газообразных. Поскольку масса электрона очень мала,
полная поляризация за счет смещения электронов происходит
за очень короткое время порядка 10~15 с, что значительно мень-
ше периода колебаний в любых радиотехнических устройствах.
Так называемая высокочастотная диэлектрическая проницае-
мость определяется главным образом электронной поляриза-
цией и имеет полосы дисперсии и поглощения в диапазоне ви-
димого света и в ближнем ультрафиолете. Электронная поля-
ризация не зависит от температуры.
Помимо поляризации электронного смещения в данном ма-
териале может существовать поляризация, обусловленная сме-
щением ионов в атомах и молекулах. Такая поляризация воз-
можна и в кристаллических, и в аморфных материалах. По-
скольку положительные ионы тяжелее электронов, время ионной
поляризации значительно больше, обычно от 10~'3 до 10-12 с
Основные уравнения и параметры среды 385
(на частотах инфракрасного диапазона). Соответствующие зна-
чения относительной диэлектрической проницаемости е, нахо-
дятся в диапазоне от 4 до 15. Относительная проницаемость на
верхней границе радиочастот, но ниже инфракрасных полос по-
глощения обозначается как егх.
Релаксационная поляризация происходит прежде всего в ди-
электриках, состоящих из полярных молекул. Она также на-
блюдается в материалах, состоящих из молекул с полярными
радикалами из слабо связанных ионов, которые легко сме-
щаются со своих нормальных положений в кристаллической
решетке под действием теплового движения, и в материалах с
электронными дефектами теплового происхождения. Во всех
этих случаях поляризация, вызванная приложенным внешним
полем, непосредственно связана с тепловым движением частиц
и, следовательно, сильно зависит от температуры. Для релакса-
ционной поляризации необходимы достаточно длинные времена
возбуждения и релаксации, и поэтому дисперсия и поглощение
возникают на сравнительно низких частотах. В общем случае
время релаксации зависит от энергии активации, собственной
частоты колебаний поляризованных частиц и от температуры.
Оно определяется уравнением Больцмана
х = хоеЕ1кТ, (8.1)
где Е— энергия активации, k — постоянная Больцмана и Т —
абсолютная температура.
Процесс поляризации в реальном физическом материале
очень сложен; он может включать несколько описанных выше
идеализированных механизмов поляризации одновременно; до-
полнительные сложности связаны с микроструктурой материала
и его поведением при изменении частоты, температуры и дав-
ления. Подробности можно найти в обширной литературе [8].
В настоящей главе при рассмотрении основных параметров
среды было обращено внимание на сложную природу коэффи-
циента пропорциональности в простом линейном уравнении
Р (г) = еоХЕ (г) = е0 (8f - 1) Е (г), (8.2)
Гдеег = е' — /е" для изотропного материала. Схематический
график частотной зависимости ег приведен на рис. 6.8.1.
Поскольку многие материалы, которые могут окружать ан-
тенну, обладают и диэлектрическими, и проводящими свой-
ствами, в них одновременно существуют свободно движущиеся
заряды и связанные заряды, совершающие колебательные и
вращательные движения. Внутренняя область материала ха-
рактеризуется объемной плотностью тока Jf (г) и поляризован-
13 Зак. 813
886
Глава 6
ностью Р(г). Последняя определяется формулой (8.2), a J/(г) —
уравнением
Jf(r) = <rE(r), (8.3)
где о — о' — jo". Выше были определены вещественные эквива-
лентные параметры
ое — о' 4- сое", (8.4а)
ег = е' — о"/а, (8.46)
которые входят в соотношение
о- 4- /йе = сге 4- /соег. (8.5)
На достаточно низких частотах
О"е = Os, 8е = 8S. (8.6)
Логарисрм частоты.(Гц)
Рис. 6.8.1. Схематический график области релаксации и полос атомного и
f : "
электронного резонанса; ег = ег — /ег .
Можно выбрать другой вид определения вещественной ди-
электрической проницаемости и проводимости вместо (8.4а) и
(8.46), а именно
Ъ'е = ее = е' ~ а"/&’ (8-7а)
е" = о,/со — в" 4~ о1/®. (8.76)
Иначе можно записать
ст' = ое — о' 4- сое", (8.8а)
о" == — соее—ст" — сое'. (8.86)
Отсюда следует, что соотношение (8.5) можно выразить раз-
личными способами:
о' - /о" 4- /со (в' — /е") = ое 4- /соее = /со (е' — je”) = ст' — jo" (8.9)
Основные уравнения и параметры среды
387
Выбор вещественных эквивалентных основных параметров среды
является произвольным, и можно применять любую из трех пар
параметров.
6.9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ЛЬДА
Одним из самых важных веществ, участвующих в пере-
даче электромагнитных сигналов при радиосвязи, телеметрии,
геофизических и биофизических исследованиях, является Н2О в
виде воды, льда и снега. Ясное понимание электрических свойств
воды и возможностей ее теоретического описания очень полезно
при изучении антенн, расположенных внутри или вблизи среды,
содержащей жидкую или твердую воду. К таким средам отно-
сятся большая часть земной поверхности и все живые организ-
мы. Следует заметить, что свойства поликристаллического льда,
которые будут описаны в этом разделе, отличаются от свойств
монокристаллических образцов с анизотропной проницаемостью.
Идеальные кристаллы льда, не имеющие дефектов, трещин,
пузырей или примесей и свободные от напряжений, представ-
ляют собой почти идеальный полярный диэлектрик с вращатель-
ной поляризуемостью, которая допускается тетраэдрической
структурой, изображенной на рис. 5.7.2 для воды. Кроме того,
молекулы в кристалле льда обладают поляризуемостью смеще-
ния, как электронного, так и ионного. Электроны в ионах
Н+ и ОН-- сильно связаны, поэтому исключена возможность
движения свободных зарядов от атома к атому, и объемная
плотность тока свободных зарядов Jf = 0 равна нулю. Это зна-
чит, что при идеальных условиях ст = ст'— /ст" » 0; в частности,
отсутствует проводимость по постоянному току. Оптическая от-
носительная диэлектрическая проницаемость определяется элек-
тронной поляризуемостью и равна 1,72. Атомная и ионная по-
ляризуемости определяют широкие полосы поглощения в ин-
фракрасном диапазоне с характеристическими временами в пре-
делах от 6-Ю-13 до 3- 10-и с. Эти поляризуемости вызывают
изменение относительной диэлектрической проницаемости от
е' = 1,72 в оптическом диапазоне дое' = 3,15 ± 0,05 в радиодиа-
пазоне. Эквивалентная, независящая от температуры относи-
тельная проницаемость на верхнем пределе частот радиодиапа-
зона равна еГоо ~ 3,17. Вращательная поляризуемость полярных
молекул точно описывается формулой Дебая с единственным
весьма длинным временем релаксации т. Время т зависит от
температуры; хорошим приближением для этой зависимости
является
X = То exp (E/R.T), (9.1)
13*
388
Глава 6
где для льда постоянная времени т0 и энергия Е равны
т0==5,3- 10“16 с, Е = 13,25 ккал/моль. (9.2)
Газовая постоянная R= 1,9865 кал/(моль-К). Следовательно,
для льда
Igr = 2,900/Т — 15,3. (9.3)
Это значение т можно подставить в формулу Дебая. На
рис. 6.9.1 приведен теоретический график и нанесены измерен-
Рис. 6.9.1. Время релаксации чистого льда.
----- теория релаксации; • измерения (Оути и Коул).
ные точки [9]. Уравнение Дебая для определения е' и е" льда
имеет вид
в, = <-Х'-3,17 + Л^Д!’, (9.4)
где т определяется формулой (9.3); значения статической ди-
электрической проницаемости ers приведены в табл. 6,9.1 и на
рис. 6.10.1.
Основные уравнения и параметры среды
389
Таблица 6.9.1. Статическая диэлектрическая проницаемость, время релакса-
ции и критическая длина волны чистого льда (ег«, = 3,1).
т, °с £rs т, с Ас, -V
0 91.1 2.05 х 10"5 3.86 х 104
-5 93.4 3.25 6.13
-10 95.0 5.13 9.67
-15 96.1 8.70 1.64 х 105
-20 97.2 1.49 х 10"“ 2.81
-25 98.3 2.55 4.81
-30 99.7 4.55 8.58
-35 100.8 8.12 1.53 х 106
-40 102.4 1.49 х 10"3 2.81
-45 104.5 2.65 5.00
-50 107.8 4.95 9.33
-55 112.3 9.40 1.77 х 107
-60 118.6 1.87 х 10"2 3.52
-65 131.0 4.00 7.54
Источник. Auty R. Р„ Kole R. Н., J. Chem. Phys., 20 1313 (1952), интерполирован-
ные данные.
Статическая относительная проницаемость льда изменяется
от значения, близкого к 91,1 при 0°С, до еще больших значений
при более низкой температуре; при 0°С статическая проницае-
мость льда значительно больше, чем у воды на той же частоте.
Эти большие значения являются следствием усиления связей
молекул в твердом веществе с понижением температуры. Ча-
стотная зависимость ег показана в табл. 6.9.2. При —10,8 °C
максимум поглощения наблюдается на частоте f = 2,65 кГц,
когда ит=1. На этой частоте е" достигает своего наиболь-
шего значения 46,4. Следует заметить, что е" определяется из
измеренного значения вещественной эквивалентной проницае-
мости е" — е'' + о-7ие0 согласно (8.76), причем в данном случае
предполагается, что <т' — его, где <т0 — проводимость по постоян-
ному току. В табл. 6.9.2 приведены результаты расчетов по экспе-
риментальным значениям; а0 принято равным 2,1-Ю-8 См/м.
В таблице приведены также значения величины его/сое0; эта ве-
личина пренебрежимо мала всюду, кроме диапазона очень низ-
ких частот. Относительная проницаемость е,'г уменьшается от
статической величины e( = ers = 95 на нулевой частоте до зна-
чения 3,32 на частоте 50 кГц. Последнее значение проницае-
390
Глава 6
Таблица 6.9.2. Относительная диэлектрическая проницаемость льда при
—10,8 °C (По = 2,1-10-8 См/м)
/, г/ц Ег еТ <70/Ы0
0.05 94.8 1Л 7.6
0.1 94.6 3.2 3.8
0.2 94.1 6.4 1.9
0.5 91.6 16.4 .76
1 83.4 29.1 .38
2 61.7 44.3 .19
5 23.0 38.3 .076
10 9.55 22.9 .038
20 4.75 12.2 .019
50 3.32 5.0 .008
Примечание. См. сведения о диэлектрической проницаемости льда в работе
Auty R. Р.. Cole R. Н., J. Chem. Phys., 20, 1313 (1952).
мости близко к бгоо = 3,17, т. е. к величине, которая достигается
на самой высокой радиочастоте перед тем, как проницаемость
падает на интервале инфракрасных полос поглощения до опти-
ческого значения. На рис. 6.9.2 показана зависимость е" от е'
при температуре —10,8°C (кривая для чистого льда). Изобра-
женные сплошными линиями теоретические полуокружности хо-
рошо совпадают с экспериментальными точками.
Как видно из табл. 6.9.1, с понижением температуры льда
время релаксации сильно возрастает. При температуре —65,8 °C
величина т = 0,045 с, и максимальное значение е" находится
при сот = 1 на частоте f — 1/(2л-0,045) = 3,5 Гц. Это означает,
что релаксация происходит на очень низких частотах, на кото-
рых трудно произвести измерения статической проницаемости
и времени релаксации с помощью мостовых схем, и необхо-
димо использовать методы измерения переходного заряда. При
этом определяется так называемая переходная диэлектрическая
проницаемость
(/) = er + (еГЛ — er J [ 1 — ехр(—//т)]. (9.5)
На этом соотношении основано определение ers, е,.х. и т путем
измерения переходного заряда. Применение мостовых схем за-
труднено еще и тем, что приходится производить измерения при
низких температурах. При использовании переходного заряда
на диэлектрик подается ступенчатый импульс напряжения, и пе-
реходной заряд измеряется в функции времени. Высокочастот-
Основные уравнения и параметры среды
391
полю, то кривая а на рис.
^roo ‘-is ^rs
ная проницаемость егоо определяется начальным зарядом (t — 0),
статическая проницаемость ers — окончательным зарядом
(/—>оо), а время релаксации — как время, необходимое для
достижения значения проницаемости ег(т) = eroo + (ers—
— eroo) (1 — е-1).
Если в образце льда сделать трещину, проходящую под пря-
мым углом к электрическому
перейдет в кривую б, а это
очень существенное измене-
ние. Трещина, параллельная
электрическому полю, влия-
ет очень слабо, что свиде-
тельствует об анизотропных
свойствах треснувшего льда,
имеющего различные значе-
ния ёгз в разных направле-
ниях. Очевидно, что диэлек-
трические свойства льда со
случайным расположением
трещин нельзя определить
по известным простым ха-
рактеристикам чистого не-
треснувшего льда.
В связи с обсуждением
табл. 6.9.2 упоминалось, что
проводимость льда за счет
тока свободных зарядов мо-
жно выразить через вещест-
венную эквивалентную про-
водимость crg = сг' + ие''е0
или вещественную эквива-
лентную диэлектрическую
проводимость ё" = е/+ <т'/ие0. Если вместо графика зависимо-
сти е" от е' построить график зависимости е'' от е', то вместо
кривой а на рис. 6.9.2 получатся кривые типа виг. Отличие
кривых состоит не только в быстром росте величины е'' с
уменьшением частоты, но и в большем значении величины ers.
По существу это фиктивное изменение, связанное с условиями
измерения на границе соприкосновения льда и измерительных
электродов. Еще раз подтверждается, что изменение условий
приводит к большим кажущимся отклонениям от релаксацион-
ных характеристик льда в идеальных условиях. При наличии
примесей проводимость льда увеличивается и намного превы-
шает значение 2,1 -1СН8 См/м, использованное в табл. 6.9.2. Если
а0 принять равным 2,1 -10^6 или 2,1 • 10~5 См/м, то последний
Рис. 6.9.2, Относительная диэлектрине-
г . /г
екая проницаемость ег = ег —- /ег льда
при — 10,8 °C.
а, — чистый однородный лед, зависимость е„
от е ; б — кривая, аналогичная а, но при на-
личии трещины, перпендикулярной полю Е;
в и г — относительная вещественная пропи-
и н
цаемость е =е h-OoW- в зависимости от
ег г
е . искаженная влиянием соединений Пара-
метр-частота, кГц. Сплошные линии—тео-
рия Дебая; точки — результаты измерений
Оути, Коула [/. С hern. Phys.. 20, 1313(1952)].
392
Глава 6
столбец в табл. 6.9.2 надо умножить на 100 или 1000, и на гра-
фике зависимости е" = в" -ф от в' полукруг будет пол-
ностью устранен частотно-зависимым членом сго/ыео. Проводи-
мость морского льда с содержанием соли 0,5 % составляет
10-4—10~3. Такая высокая проводимость есть следствие нали-
чия тонких слоев соленой воды между кристаллами льда. Дру-
гой причиной возрастания проводимости и ers являются дефекты
кристаллической решетки льда тетраэдрической структуры.
Как показано в табл. 6.9.3, проводимость чистого льда по
Табица 6.9.3. Проводимость по постоянному
току воды и образовавшегося из нее льда
т, °с Со, См/м -10 6
(17,9) (71)
0 2,8
-4 2,3
-10 0,11
— 19 0,026
постоянному току очень мала [10]. В таблице приведена также
проводимость по постоянному току воды, из которой образо-
вался лед; ао льда гораздо меньше <т0 воды.
Вещественная эквивалентная проводимость и проницаемость
чистого льда точно определяются соотношениями
<гв = <г0 + е". ее«в', (9.6)
где е = еоег получается из (9.4). Если не принимать специаль-
ных мер, то всегда найдутся некоторые примеси внутри объема
льда и на границах, включая небольшие пузырьки газа, кото-
рые дополнительно увеличат <зе. Напряжение на электродах,
между которыми помещен лед, вызовет при наличии примесей
разделение зарядов внутри объема льда и на поверхности, что
значительно изменит измеренную величину поляризованности.
На рис. 6.9.2, в кажущееся изменение е' и в" отразится так же,
как и изменение а0, и эти эффекты сложатся. Таким образом,
а = а0 + “ (е" + е")> ee^s' + (9-7)
где е" и в'— дополнительные слагаемые, которые могут быть
очень значительными.
Основные уравнения и параметры среды
393
6.10. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОДЫ
Структура воды достаточно подробно описана в разд. 5.7.
Каждая молекула воды имеет строение, как на рис. 5.7.1, и
связана с соседними молекулами в тетраэдрической структуре,
как показано на рис. 5.7.2. В идеале эта структура у льда и
воды одинакова. Однако в жидком состоянии связи не такие
сильные и жесткие, как в твердом. Предполагается, что они мо-
гут непрерывно изгибаться или рваться. Тем не менее стати-
ческая диэлектрическая проницаемость хорошо определяется по
формуле Кирквуда (6.17) и равна ers = 78,2 при 25 °C. Соответ-
ствующая измеренная величина ers равна 78,5. С увеличением
температуры совпадение с формулой (6.17) ухудшается: при
83 °C теоретическая величина ers равна 67,5, а измеренная вели-
чина составляет 59,5. При дальнейшем уточнении теории [11]
принимается в расчет разрыв отдельных связей, что приводит
к значительно лучшим результатам при вычислении темпера-
турной зависимости ers. Это видно из табл. 6.10.1, где теорети-
ческие значения ers, полученные в предположении разрыва 9 %
связей при 0 °C, сравниваются с результатами интерполяции из-
мерений [12]. Выбор разорванных связей был произвольным и
производился из соображений наилучшего совпадения с экспе-
риментом, в результате очень хорошее совпадение было полу-
чено в весьма широком диапазоне температур. Результаты срав-
ниваются с помощью графиков рис. 6.10.1, где также изобра-
жена кривая для чистого льда.
Подобно льду, вода имеет две широкие полосы поглощения
и дисперсии в инфракрасном диапазоне частот. Относительная
проницаемость в длинноволновом инфракрасном диапазоне
близка к е(~4,0, а в микроволновом радиодиапазоне ъгоо ~
« 5,0 ± 0,5 при 25 °C. Отличие этих величин для чистого льда,
по-видимому, объясняется наличием разорванных и нежестких
связей в жидком состоянии.
Релаксационные свойства воды хорошо описываются форму-
лой Дебая, содержащей одно значение времени релаксации.
Однако максимальное поглощение во льду происходит на очень
низких частотах, а в воде — в области микроволновых радио-
частот. Время релаксации для воды при различных температу-
рах дано в табл. 6.10.1 и графически представлено на рис. 6.10.2.
У воды значения времени релаксации намного меньше, чем у
льда, для которого они приведены в табл. 6.9.1. Измеренные и
теоретические значения ег=е' —/е" воды для трех микровол-
новых частот и в интервале температур от 0°С до 75°C даны в
табл. 6.10.2 и графически изображены на рис. 6.10.3. Соответ-
ствующие круговые графики зависимости е" от е' для различ-
ных значений частотных и температурных параметров приве-
394 '
Глава 6
Таблица 6.10.1. Статическая диэлектрическая проницаемость, время релак-
сации и критическая длина волны для воды (егоэ = 5,5)
т,°с £rs Т, С Ъ,СМ
0 88.2 (89) 17.8 х 10 12 3.34
5 86.2 15.1 2.85
10 84.2 12.7 2.39
15 82.3 10.9 2.05
20 80.4 9.50 1.80
25 78.2 (78.3) 8.31 1.57
30 76.7 7.36 1.39
35 75.0 6.58 1.24
40 73.1 5.95 1.12
45 71.4 5.37 1.01
50 69.8 4.87 .912
55 68.2 4.44 .837
60 66.6 (65.8) 4.03 760
65 65.0 3.72 .701
70 63.6 3.45 .650
75 62.1 3.23 .608
80 60.8
85 59.5
90 58.1
95 56.8
100 55.4(53.7)
200 34.6 (31.6)
300 17.7 (15.2)
Источники. Collie et al., Proc. Phys. Soc., London, 60, 145 (1948), интерполирован-
ные данные; Akerlof, Oshry, J. Chem. Soc., 72, 2844 (1950); в скобках указаны теорети-
ческие зиачеиия, вычисленные по формуле Кирквуда (6.17) (Kirkwood J. G., /. Chem.
Phys., 7, 911 (1939) н Oster G„ Kirkwood J. G„ /. Chem. Phys., 11, 175 (1943)1.
дена на рис. 6.10.4. Как видно, экспериментальные точки рас-
полагаются очень близко от теоретических полуокружностей,
рассчитанных по формуле Дебая.
Проводимость дистиллированной воды по постоянному току
значительно выше проводимости чистого льда, но тем не менее
очень мала. Она рассчитывается, исходя из эквивалентной ион-
ной проводимости, плотности и ионизационной способности. Ре-
зультаты приведены в табл. 6,10.3 [13]. Измерения были проведе-
ны со специально очищенной водой, проводимость которой очень
близка к теоретической. Однако при малейшем загрязнении
Основные уравнения и параметры среды
395
Температура, °C
Рис. 6.10.1. Относительная статическая диэлектрическая проницаемость льда
и воды.
Лед: • измерения, Оути и Коул; Вода: о измерения, Акерлёф и Ошри, • измерения,
Колли, Хастед, Ритсон, □ теория, Кирквуд.
Рис. 6.10.2. Время релаксации т и критическая длина волны Тс = 2лст для
воды в зависимости от температуры.
Таблица 6.10.2. Диэлектрические свойства воды
Примечание. Collie Q. Н., Hasted J. В., Ritson D. М., Proc. Phys. Soc., London, 60, 145 (1948). Верхний ряд —экспериментальные результаты, ниж-
ний ряд—теоретические результаты.
Основные уравнения и параметры среды
397
Рис. 6.10.3. Относительная диэлектрическая проницаемость воды в зависимо-
сти от температуры.
е. =е'—/в”=е. +/е — е
Г Г Г Г°° ' rs гоо)/
------теоретические кривые; о измерения Колли и др.
Рис. 6.10.4. Относительная диэлектрическая проницаемость воды в. =
= е' — je," Экспериментальные длинные, Колли, Хастед и Ритсон [Proc.
Phys. Soc. London, 60, 145 (1948)].
------теоретические кривые:er = eroo + (ers - еГоо)/0 + Jan) при постоянной температуре;
—. — — кривые постоянной частоты; о измерения.
398
Глава 6
Таблица 6.10.3. Теоретическая проводимость пресной воды по постоянному
току
Т, °C Со, См/м-10 б Г, °C а , См/м-10 6
0 1,2 25 5,5
10 2,3 35 9,1
15 3,1 40 11,5
18 3,7 50 17,1
воды эти предельно низкие значения проводимости сразу
переходят в значительные. Проводимость дистиллированной
воды по постоянному току составляет около 2-10—4 См/м, тогда
как вода в озерах имеет проводимость порядка ст ~ 10-3 —
— 10-2 См/м.
Для большинства приложений вещественная эквивалентная
проницаемость и проводимость воды могут быть выражены как
ее = е', ае = а0 + we", (10.1)
где сг0 — проводимость по постоянному току, а е' и е" опреде-
ляются из формулы Дебая
е = е' —/e" = eoo + (es — ej/(l +/ит). (10.2)
6.11. МОРСКАЯ ВОДА. ЭЛЕКТРОЛИТЫ
Когда соли растворяются и ионизируются в воде, образуя
электролит, появляется много достаточно подвижных ионов и
устанавливается значительный ток свободных зарядов с объем-
ной плотностью Jf = crE = (cr'— /сг") Е. Ионы, носители тока в
электролите, конечно, очень велики и тяжелы по сравнению с
электронами в металле; поэтому при возрастании частоты про-
исходит отставание тока ионной проводимости во времени. В об-
щем случае комплексное волновое число равно = p — ja =
= (w2pee + /wp.ae)1/3, где величины <те = <т'-ф we" и ее = е' —
— а"/<л определяются главным образом проводимостью сг =
— сг' — /сг"; и основную часть сг' составляет проводимость по по-
стоянному току его. Тангенс угла потерь ре — ае/(л&е велик вплоть
до микроволновых частот. Измерения вещественной эквивалент-
ной диэлектрической проницаемости ее сильно затруднены при
большом ре и могут быть произведены на сверхвысоких часто-
тах или с использованием методов измерения пондеромоторных
сил. Практически для многих приложений точность измерений
Основные уравнения и параметры среды
399
волнового числа k и волнового сопротивления g = ощ/'/г явля-
ется достаточной. Когда величина р = сге/иео велика, точность
k определяется в основном <те и в малой или незначительной сте-
пени зависит от ее; поэтому даже большие ошибки в определе-
нии ее незначительно влияют на k и
Таблица 6.11.1. Проводимость морской воды по постоянному току (См/м)
Т, °C .5 (г соли/кг морской Роды)
5 10 15 20 25 30 35 40
0 48 .92 1.35 1.76 2.16 2.54 2.93 3.31
5 .55 1.07 1.56 2.03 2.48 2.92 3.35 3.78
10 .63 1.22 1.78 2.31 2.83 3.32 3.82 4.30
15 71 1.38 2.01 2.61 3.19 3.75 4.31 4.86
20 79 1.54 2.25 2.92 3.57 4.20 4.82 5.43
25 .88 1.71 2.49 3.23 3.94 4.64 5.32 6.01
30 .97 1.87 2.73 3.54 4.33 5.10 5.85 6.60
Из всех электролитов наибольшее практическое значение
имеет соленая вода; она заполняет моря и океаны и является
основной частью в составе тканей живого организма. Морская
вода — далеко не однородный раствор; ее состав и соответствую-
щие электрические свойства в широких пределах зависят от
географического положения, скорости испарения, притока прес-
ной воды за счет рек, айсбергов и осадков, а также от глубины,
на которой забирают пробу. Различные океаны и соленые озера
содержат множество солей и минералов в различных коли-
чествах и пропорциях. В результате и проводимость воды сильно
различается. Важными параметрами, влияющими на проводи-
мость, являются, конечно, солевой состав и температура. Соле-
вой состав обычно характеризуется хлоросодержанием и соле-
содержанием. Хлоросодержанием называется общий вес хлора
в граммах на килограмм морской воды после замещения хло-
ром брома и иода, также присутствующих в морской воде. Хлор
находится в основном в виде КС1 и NaCl. Солесодержанием
называется общий вес твердого вещества в граммах на один
килограмм морской воды. В табл. 6.11.1 приведены результаты
расчета по приближенным формулам; эти результаты в основ-
ном совпадают с результатами измерений [14]. Дополнитель-
ные сведения по диэлектрической проницаемости и проводи-
мости водно-солевых растворов приведены в разд. 12.3.
400
Глава 6
6.12. СМЕСИ ДИЭЛЕКТРИКОВ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СНЕГА
Значительный практический интерес представляет задача
определения диэлектрических свойств смеси двух веществ, для
каждого из которых известна диэлектрическая проницаемость.
Примерами таких смесей могут служить снег, т. е. частицы
льда в воздухе, и песок, т. е. частицы горной породы в воздухе.
Вода, находящаяся между кристаллами льда или частицами
горной породы, обычно вызывает значительное увеличение ди-
электрической проницаемости.
О. Винер показал эмпирическим путем, что относительная
проницаемость егт смеси двух диэлектриков с комплексными
относительными проницаемостями ем и ег2 приблизительно опре-
деляется из уравнения
етт=₽(^)+(1-₽)(-й^). O2.i>
где р — часть полного объема, занятая средой 1, а и — число,
зависящее от формы частиц этой среды [15]. Предполагается,
что остальной объем занят однородной изотропной окружающей
средой 2. Если среда 1 состоит из длинных пластинок с грани-
цами, перпендикулярными электрическому полю, то и « 0 и фор-
мула (12.1) упрощается к виду
е™ = Per’i‘ + (1 ~ Р) 8Г~2‘- (12.2)
Этой формуле соответствует эквивалентная схема из двух по-
следовательно включенных конденсаторов. Если же границы
длинных пластинок параллельны полю, то и « оо, и вместо
(12.1) получается другая простая формула
ггт = Р?г1 + (1 — Р)8г2, (12.3)
которой соответствует эквивалентная схема из двух конденса-
торов, включенных параллельно. Наконец, если среда 1 состоит
из сфер, то и = 2, и формула (12.1) принимает вид
Для продолговатых частиц с преобладанием ориентации вдоль
поля выполняется общая формула (12.1) со значениями и в
пределах 2 < и оо. Если преобладает направление частиц,
перпендикулярное электрическому полю, то 0 «С и < 2.
Когда окружающая среда 2 — воздух, то er2 = 1 +/0, и вто-
рой член в формуле (12.1) исчезает. Для снега средой 1 является
лед; его плотность равна 0,92, и отношение объемов р =
в 0/0,92 = 1,090, где D — плотность снега, а массой воздуха
Основные уравнения и параметры среды
401
Рис. 6.12.1. Относительная диэлектрическая проницаемость снега в зависимо-
сти от плотности по Эвансу [/. of Glaciology, 5, 773 (1965).]
----- формула Винера; о измерения Куроива, • измерения Камминга.
О ~8 -12 ~ 16
Температура, °C
а
6 0,8 1.2 1,6
Содержание боды по веси, %
6
Рис. 6.I2.2. а — тангенс угла потерь сухого снега; б — тангенс угла потерь
мокрого снега с содержанием свободной воды. Измерения Камминга [J. Appl.
Phys., 23, 768 (1952)].
402
Глава 6
можно пренебречь. Таким образом, относительная проницае-
мость ers сухого снега определяется соотношением
е „ — 1 / в , — 1 \
rS, =1,09Д( 7 , I, (12.5)
ers + “ \^rl + UJ
где ег; = е'; — /е" — относительная проницаемость льда. На
рис. 6.12.1 приведены теоретические графики, построенные по
формуле (12.5), а также нанесены экспериментальные точки для
относительной проницаемости e's снега в зависимости от его
плотности [67]. Кривые в верхней части рисунка относятся к
низкочастотной области, где относительная диэлектрическая
проницаемость льда принята равной 90. Аналогичные кривые в
нижней части рисунка относятся к высокочастотной области, где
ег/ льда принята равной 3,2. Из распределения измеренных ве-
личин следует, что фактор формы и, как и ожидалось, лежит в
пределах от и — 2 до и — оо.
Тангенс угла потерь для сухого снега определяется по фор-
муле
+ (12.6)
® соее сое — а сое е ' ’
где в правой части предполагается, что о" <С сое'. Зависимость
tg б от температуры, определенная Каммингом на частоте
9,375 МГц, показана на рис. 6.12.2, а [17]. Во влажном снеге
при О °C присутствует небольшое количество воды, сильно
влияющее на тангенс угла потерь. Зависимость tg6 от влаж-
ности снега на частоте 9,375МГц показана на рис. 6.12.2, б. По-
тери на этой частоте объясняются в основном релаксационным
спектром воды. Если вода содержит соль или другие примеси,
то тангенс угла потерь имеет значительно большую величину.
6.13. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ
Биологические ткани — гетерогенные материалы со слож-
ной микроскопической структурой. Отдельные клетки, состав-
ляющие ткань, часто выполняют особые функции, и разные типы
клеток имеют самое различное строение. Части клетки — внутри-
клеточные органеллы — имеют особое специализированное на-
значение. На молекулярном уровне ткань состоит из мириад
сложнейших молекул, из которых самая простая — молекула
воды. Все эти элементы — клетки, внутриклеточные органеллы,
биомолекулы — состоят из заряженных частей, на которые
действуют силы, если их поместить в электромагнитное поле.
Поведение отдельных элементов в поле зависит от частоты поля,
Основные уравнения и параметры среды
403
а их изменения в результате воздействия поля проявляются в
виде дисперсии макроскопической диэлектрической проницае-
мости ткани. Дисперсия оказывается сложной даже у биологи-
ческих материалов, которые кажутся простыми, например у
крови. В гл. 4 были представлены в виде таблиц и графиков
измеренные количественные данные, характеризующие электри-
ческие свойства кожной, жировой и мышечной тканей. Ниже
дается качественное описание физического механизма, вызы-
вающего частотные изменения свойств.
Эффекты проникно-
Рис. 6.13.1. Качественное описание дисперсии относительной эквивалентной
диэлектрической проницаемости еег биологической ткани с большим содер-
жанием воды по данным X. Швана (Proc, of Int. Symposium on Biologic Ef-
fects and Hazards of Microwave Radiation, p. 152, Warsaw, 1973).
Дисперсию диэлектрической проницаемости в различных диа-
пазонах частот можно связать с определенными чертами в строе-
нии биологической ткани. Ввиду ограниченности эксперимен-
тальной информации и сложности проблемы некоторые предло-
женные механизмы являются более или менее умозрительными.
На рис. 6.13.1 [18] представлена дисперсия относительной ди-
электрической проницаемости еег ткани с высоким содержанием
воды (как у мышечной ткани) в диапазоне частот от 10 до
30 ГГц. На графике можно заметить три области дисперсии, ко-
торые обычно обозначают буквами а, 0, у.
Дисперсия типа а наблюдается на нижнем краю диапазона
частот, обычно вблизи 100 Гц, и является самой непонятной из
трех видов дисперсии. В этом диапазоне измерены значения про-
ницаемости порядка гег = Ю5. Для объяснения этой дисперсии
было предложено несколько механизмов, включая эффект
переноса через клеточную мембрану и релаксацию ионной
404
Глава 6
атмосферы вокруг каждой клетки. Ионная атмосфера связана с
коллоидными частицами, находящимися в виде суспензии в рас-
творе электролита. Эти частицы электрически заряжены бла-
годаря постоянно содержащимся в них ионам или ионам, ад-
сорбированным из электролита. Каждая коллоидная частица
электростатически притягивает ионы противоположного знака,
которые окружают частицу, образуя двойной слой зарядов, или
ионную атмосферу, как показано на рис. 6.13.2, а. Электроста-
тическое притяжение в какой-то мере позволяет ионам двигаться
Ионная
Рис. 6.13.2. Возможные расположения
ионов в ионной атмосфере, окружающей
коллоидную частицу.
а — электрическое поле не приложено; б — элек-
трическое поле приложено.
внутри слоя вдоль поверхности частицы и препятствует им по-
кинуть поверхность. Если приложить электрическое поле, как
на рис. 6.13.2,6, то ионы противоположных знаков сместятся и
создадут индуцированный результирующий дипольный момент
для всей частицы вместе с ее атмосферой. Этот индуцированный
дипольный момент может существенно увеличить эквивалентную
проницаемость раствора. Согласно теории, предложенной Швар-
цем, время релаксации дипольного момента (движение ионов)
определяется диффузией ионов в слое [19]. Дисперсия (или
явление релаксации) наблюдалась на низких частотах в суспен-
зиях небиологических веществ. Пример представлен на
рис. 6.13.3, где показана частотная зависимость измеренной ди-
электрической проницаемости суспензии полистироловых сфер
(диаметр сфер 1,88-10~7 м, объемная концентрация 30 %) в рас-
творе электролита [20].
Дисперсия типа 0 (рис. 6.13.1) объясняется основным строе-
нием клетки. У ткани с высоким содержанием воды внутренняя
часть клетки и материал, окружающий ее снаружи, представ-
ляют собой проводящие водные жидкости, разделенные клеточ-
Основные уравнения и параметры среды
405
ной мембраной; проводимость и диэлектрическая проницаемость
мембраны ниже, чем у разделяемых ею сред. Суспензия клеток
представляет собой неоднородный материал, в котором наблю-
дается дисперсия эквивалентной проводимости и проницаемости,
вызванная эффектом Максвелла — Вагнера.
Частота, кГц
> п
Рис. 6.13.3. Относительная диэлектрическая проницаемость er = — /ег сус-
пензии капельного полистирола (диаметр капель 1,88-10-7 м) в растворе
электролита; объемная концентрация 30% Данные X. Швана и др. [Л Phys.
Chem., 66, 2626 (1962)].
Эффект Максвелла — Вагнера просто объяснить на показан-
ной на рис. 6.13.4 модели из неоднородного материала, поме-
щенного в плоскопараллельный конденсатор. Материал состоит
из однородных слоев, парал-
лельных пластинам. Слои
толщиной d\ и di имеют
электрические параметры
81, ОД И 82, 02, которые для
простоты считаются веще-
ственными и независящими
от частоты. Адмитанс кон-
денсатора можно использо-
вать для определения основ-
ных эквивалентных пара-
метров материала, находящегося между пластинами; таким об-
разом, для двухслойного неоднородного материала
У == [о + /иеоег(®)] A/d, (13-1)
где А— площадь пластин, a d = d, d2. Из простых соотноше-
ний для конденсатора определяются проводимость по постоян-
406
Глава 6
(13.2)
(13.4)
(13.5)
(13.6)
(13.7)
ному току (низкочастотная) о и относительная проницаемость
8, (со) неоднородного материала:
о = OjOj/Ioj (d2/d) + о2 (djd)],
8Г (®) = 8ГОО + (б« ~ Er оо)/( 1 + /®т) =
__ [ &rs ~ ег оо • Cfl'E (^rs " еГ оо)
— ЬГ оо "Г ! _|_ W2T2 1 | + W2T2 >
где чгоо = еиег2/[ег1 (d2/di) + er2 (djd)],
ers = [Cria2(dl/rf) + ег2а? (Gf2/fif)]/[cyi (d2/d) + °2(di/d)]2
и т = (erld2 + ег2<Л) e0/(ai^2 + Mi)-
Как видно из формулы (13.4), эквивалентная проницаемость
неоднородного материала зависит от частоты, хотя основные
параметры его частей (двух слоев) частотно-независимы. Срав-
нение формул (13.3) и (7.9а) показывает, что выражение для
проницаемости неоднородного материала имеет тот же вид, что
для однородного материала с дипольной релаксацией и един-
ственным значением времени релаксации т.
Если в конденсатор на рис. 6.13.4 поместить многослойный
материал, состоящий из п параллельных слоев материала 1 с
общей толщиной d\ и из п параллельных слоев материала 2
с общей толщиной <Д, то основные эквивалентные параметры
неоднородного материала будут определяться формулами (13.2)
и (13.3). В результате эффекта Максвелла — Вагнера значение
низкочастотной проницаемости ers неоднородного материала
оказывается большим, чем значения проницаемости каждой от-
дельной части ей или ег2. Например, если <т2 щ и er2 = 1, то
отношение 8rS/eri много больше единицы при d/di '^> 1.
Эффект Максвелла — Вагнера в суспензии биологических
клеток намного сложнее, чем в двухслойном конденсаторе на
рис. 6.13.4. Однако результаты анализа этого эффекта в обоих
случаях похожи. Для качественного объяснения релаксации в
суспензии вводится эквивалентная схема (рис. 6.13.5,6), при-
ближенно описывающая среднюю биологическую клетку в сус-
пензии [21]. Электрический ток в клетке и ее ближайшем окру-
жении показан схематически на рис. 6.13.5, а. Он состоит из
двух частей. Ток, проходящий через клеточную мембрану и
внутреннюю часть клетки, представлен элементами Ri и Ст экви-
валентной схемы, а ток, текущий по внешней среде около клетки,
представлен элементами Re и Сс- Адмитанс на контактах схемы
рис. 6.13.5, б равен
Yc = Ge + + /соГсе + , г1, (13.8)
с е 1 + со2т2 1 J L 1 + со2т2 J 7
где
x = Cm/Gh Ge=l/Re, G^i/Ri. (13.9)
Основные уравнения и параметры среды
407
Если считать, что биологический материал состоит из таких
средних клеток, то кусок материала, помещенный в конденсатор
(рис, 6.13,4), можно рассматривать как систему, состоящую из
множества эквивалентных схем, представляющих отдельную
клетку и соединенных между собой в различных последователь-
ных и параллельных комбинациях. Например, если W— число
клеток в единице объема материала, А — площадь пластин
идеального конденсатора и d— расстояние между пластинами,
Электрический
ток
Рис. 6.13.5. а — биологическая
клетка; б — приближенная эк-
вивалентная электрическая
схема.
то объем материала Ad можно считать параллельной комбина-
цией из [А№/3] схем, каждая из которых представляет собой
последовательную комбинацию из [cZ7V1/3] простых эквивалент-
ных схем. Тогда адмитанс, измеренный на контактах конденса-
тора, и электрические параметры образца материала будут
равны
y = {o + /weoer(w)}A/d = ycHA^ « YcNil3A/d, (13.10)
о +/сое0ег (со) ~ Л/1/3Ус,
(13.11)
где [ ] обозначает наибольшее целочисленное значение ве-
личины.
Приближенный анализ показывает, что основные параметры
среды можно просто связать с эквивалентным адмитансом
клетки, имеющим ту же дисперсию. В результате упрощений,
допущенных в анализе, выражение для эквивалентного адми-
танса (13.8) имеет такой же вид, как выражение для прони-
цаемобти материала с дипольной релаксацией (7.9а), характе-
ризуемой единственным значением времени релаксации т.
В общем случае дисперсия типа (3 характеризуется распреде-
лением времени релаксации.
408
Глава б
Проведенное обсуждение показывает, что дисперсия типа 0
связана с электрически неоднородным строением клетки. Поря-
док величины времени релаксации т можно оценить, рассматри-
вая типичную клетку. Емкость Ст и полная активная проводи-
мость Gj входят в выражение для времени релаксации (13.9).
В первом приближении емкость Ст связана с мембраной клетки,
и можно предположить, что Ст пропорциональна г2гт/1, где г —
радиус клетки, t — толщина мембраны и е,„— диэлектрическая
проницаемость мембраны. Аналогично проводимость связана
с током в клетке и должна зависеть от проводимостей сред
внутри и снаружи клетки. Поскольку обе эти среды имеют
приблизительно одинаковую проводимость щ, можно предполо-
жить, что G; пропорциональна r2Oi[r. Тогда время релаксации т
получается порядка Для типичных параметров клетки
г — 10-5 м, t— 10-8 м, erm = 3, щ—1 См/м, время релаксации
составляет т = 2,7-10—8 с, что соответствует центральной частоте
дисперсии около 6 МГц. У тканей, состоящих из клеток больших
радиусов, дисперсия типа 0 диэлектрической проницаемости
наблюдается на более низких частотах.
Дисперсия типа у имеет место на более высоких частотах
и вызвана дипольной релаксацией свободной воды, содержа-
щейся в ткани, что подробно рассматривалось в разд. 6.10. На
частотах, промежуточных между основными частотами диспер-
сий типа 0 и у, наблюдается слабо выраженная дисперсия. Она
может быть связана с процессами во внутриклеточных органел-
лах, релаксацией белковых молекул, вращением заряженных
групп в белковых молекулах, релаксацией аминокислот и пеп-
тидов и с другими эффектами. Кроме того, возможна релаксация
в слое воды, связанной с белковой молекулой. Релаксационные
характеристики связанной воды должны, по-видимому, пред-
ставлять нечто среднее между характеристиками свободной воды
и льда.
Следует заметить, что частота дисперсии тем выше, чем
меньше физические размеры структуры: дисперсия, связанная
с клеткой и ее окружением,имеет место на низких частотах,
дисперсия во внутриклеточных органеллах и больших молеку-
лах-— на промежуточных частотах и, наконец, дисперсия моле-
кул воды — на самых высоких частотах.
6.14. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ГОРНЫХ ПОРОД И ЗЕМЛИ
Горные породы представляют собой сложные структуры,
состоящие из многих различных материалов, входящих в самых
различных пропорциях. В состав горных пород входят, в част-
ности, так называемые породообразующие минералы: кальцит,
Основные уравнения и параметры среды 409
доломит и кварц, а также влага. Диэлектрические свойства ми-
нералов неполностью изучены, однако известно, что кальцит,
доломит и кварц имеют структуру одноосных кристаллов с не-
сколько различающимися значениями относительной диэлектри-
ческой проницаемости вдоль двух взаимно перпендикулярных
главных осей. Для материалов в сухом состоянии получены
следующие значения проницаемости [22]:
Минерал Относительная
проницаемость
Кальцит 8,49; 7,56
Доломит 7,8; 6,8
Кварц 4,55; 4,7
Поскольку относительные проницаемости кальцита и доломита
значительно больше, чем у кварца, следует ожидать, что оса-
дочные породы, состоящие в основном из кальцита и доломита,
имеют большее значение ег, чем породы типа песчаника, состоя-
щие из кварца. Для песчаника е, имеет значение от 3,96 до 4,66
[23]. Метаморфические породы, такие, как мрамор и кварцит,
сходны по своим диэлектрическим свойствам с осадочными по-
родами. Для кварцита ег лежит в пределах от 4,36 до 4,85,
а для мрамора — от 8,22 до 8,37. Вулканические породы более
разнообразны по составу, чем осадочные и метаморфические,
и обычно содержат не один основной породообразующий мине-
рал, а несколько различных. Вулканические породы бывают
кислотные и щелочные. Диэлектрические проницаемости кислот-
ных пород меньше, чем щелочных. В частности, на частоте
f = 0,5 МГц для гранита ег лежит в пределах от 4,7 до 5,4, а для
базальта ег » 15,6-
Болыпинство пород содержит влагу, обычно с некоторым со-
лесодержанием. При большом содержании воды диэлектриче-
ская проницаемость породы определяется в основном диэлектри-
ческими свойствами воды и только во вторую очередь свойст-
вами материала, образующего породу. Даже очень небольшие
количества воды могут значительно увеличить проницаемость
породы благодаря большому значению ег ~ 81 для воды. Типич-
ные изменения е, различных горных пород в зависимости от
содержания влаги представлены на рис. 6.14.1 [24]. Эти данные
получены на частотах от 105 до 106 Гц.
Многие горные породы анизотропны. Они характеризуются
различными значениями проницаемости вдоль разных осей кри-
сталлической (или слоистой) структуры.
Значения проводимости горных пород по постоянному току
(или низкочастотной проводимости) охватывают очень широкий
диапазон, простирающийся на двадцать порядков. Проводимость
зависит от структуры и состава породы, еще сильнее от свойств
410
Глава 6
различных минералов и содержания воды. Например, проводи-
мость песчаника изменяется от 7-10~6 См/м во влажном состоя-
нии до 1,5-10~9 См/м в сухом состоянии. Соответствующие зна-
чения проводимости в См/м для мрамора изменяются от
7-10~5 до 5-Ю-11, для кварцита — от 2-Ю-4 до 5-10~9, для гра-
нита— от 3-10~6 до 3-10“17, для базальта — от 5-Ю-4 до 10~7.
Более высокие значения про-
водимости наблюдаются у руд.
Например, проводимость раз-
личных пиритовых руд состав-
ляет от 104 до 1СН См/м.
Земля представляет собой
смесь различных компонентов.
Это могут быть тонко раз-
Рис. 6.14.1, Влияние влажности гор-
ной породы на электрическую прони-
цаемость.
мельченные горные породы,
входящие в глину и песок; бо-
лее крупные частицы горных
пород различной формы и раз-
меров, включая мелкие камни,
входящие в гравий; органиче-
ские материалы в виде пере-
гноя; вода с растворенными в
ней различными солями и ми-
нералами. Диэлектрические и
проводящие свойства почвы
сильно зависят от содержания
влаги. Например, сухой песок
и земля могут иметь значения
относительной диэлектриче-
ской проницаемости от 2 до 6
и значения проводимости от
10~4 до IO-5 См/м; у влажной
земли относительная диэлек-
трическая проницаемость составляет от 5 до 15 и проводимость
от 10-2 до 10~3 См/м.
Электрические характеристики какого-либо образца горной
породы или почвы не измерялись в широком диапазоне частот.
Существование дисперсии электрических характеристик в диа-
пазоне частот от 100 Гц до микроволновой области может быть
установлено на основании данных измерений для отдельных
образцов на различных частотах. На рис. 6.14.2 показана частот-
ная зависимость основных эквивалентных параметров (еег, ое)
для типичной суглинистой почвы со средним содержанием воды
около 10 % (по весу). Три ряда измеренных значений были
объединены, и построены графики на рис. 6.14.2, дающие пред-
ставление об электрических характеристиках почвы [26]. Ре-
Основные уравнения и параметры среды
411
зультаты измерений на образцах, выполненных разными иссле-
дователями различными методами, хорошо совпадают. На низ-
ких частотах для измерений использовалась емкостная ячейка,
на промежуточных частотах — длинные линии, а измерения на
более высоких частотах производились методом отражения во
временной области. Дисперсия эквивалентной относительной
проницаемости почвы е, оказалась похожей на дисперсию
в биологической ткани (рис. 6.13.1). Действительно, многие
Рис. 6.14.2. Зависимость от-
носительной эквивалентной
проницаемости ее, и эквива-
лентной проводимости de ОТ
частоты для типичной су-
глинистой почвы с содержа-
нием воды около 10% (по
весу).
Данные измерений: • Скотта,
о Диппа; X Хекстера и Де-
лапен.
ю" 10s ю9 iow
‘/астата, Гц
физические механизмы, определяющие дисперсию в биологи-
ческой ткани, имеют место также в скальных породах
и почве.
На низких частотах относительная диэлектрическая прони-
цаемость почвы очень велика, так же как у биологической
ткани. Некоторое время эти большие значения проницаемости
и дисперсия на низких частотах объяснялись ошибками изме-
рений; предполагалось, что они вызваны электрохимическими
эффектами на границе между металлическими электродами и
образцом породы или почвы. Однако измерения, выполненные с
электродами из различных материалов, показали, что большая
диэлектрическая проницаемость присуща геологическому мате-
риалу и не связана с влиянием электродов [27].
Для объяснения большого значения проницаемости и сущест-
вования дисперсии на низких частотах было предложено не-
сколько физических механизмов. Предполагалось, что релакса-
ция связана с ионным (рис. 6.13.2) окружением коллоидных
412
Глава 6
частиц, в частности в глине. Частицы глины могут находиться в
порах горных пород или почвы и вызывать общую поляризацию
среды [28]. Отрицательный заряд на частице глины, прижатой
к стенке поры, может электростатически притянуть положитель-
ные заряды (катионы). Под действием приложенного электри-
ческого поля катионы могут свободнее передвигаться через про-
странство, окружающее частицу глины в поре, чем анионы. По-
этому частица глины действует как селективная ионизирующая
мембрана. Таким образом, когда приложено внешнее поле, на
пути внутри поры происходит разделение положительных и
отрицательных ионов, т. е. электрическая поляризация (мем-
бранная поляризация).
Был предложен еще один механизм поляризации, основан-
ный на разделении разрядов в порах [29]. Адсорбция воды на
поверхности поры может привести к возрастанию вязкости воды
в порах и, следовательно, к уменьшению подвижности ионов
в растворе. Изменение вязкости вдоль пути в поре приводит
к образованию зон большой и малой подвижности. Если
приложено электрическое поле, ионы собираются на краях
зоны большой подвижности. Это вызывает разделение положи-
тельных и отрицательных ионов, т. е. электрическую поля-
ризацию.
На границе материалов с различными носителями зарядов,
например электронами и ионами, может возникнуть электриче-
ская поляризация по электрохимическим причинам. Такая
электрохимическая поляризация на границах компонентов, вхо-
дящих в горную породу и землю, также рассматривалась как
механизм, объясняющий высокую проницаемость на низких ча-
стотах [30]. Дисперсия, связанная с эффектом Максвелла —
Вагнера, которая обсуждалась в разд. 6.13, также имеет место
в неоднородных породах и почве; однако этот эффект не счи-
тается основной причиной высокой проницаемости на низких
частотах.
Как показано на рис. 6.14.2, эквивалентная проводимость в
области частот от 102 до 106 Гц и эквивалентная относительная
проницаемость в области частот от 107 до 3-109 Гц фактически
не зависят от частоты. Эквивалентная проводимость на указан-
ных частотах в основном определяется ионным током в электро-
литическом растворе, заполняющем поры материала. Эквива-
лентная относительная проницаемость в том же диапазоне
частот определяется низкочастотными значениями проницае-
мости различных компонентов, входящих в смесь, в твердых
частицах, воде и воздухе.
На более высоких частотах дипольная релаксация, связан-
ная с наличием воды в породе или почве, вызывает дисперсию
электрических параметров. Как видно из рис. 6.4.2, релаксация
Основные уравнения и параметры среды
413
не вызывает значительного изменения эквивалентной проницае-
мости почвы на частотах ниже 1 ГГц. Влияние релаксации на
эквивалентную проводимость проявляется на гораздо более низ-
ких частотах около 1 МГц. На частотах примерно до 1 МГц
эквивалентная проводимость ов = о' + <ое0е" (со) остается постоян-
ной, указывая на то, что вещественная часть проводимости (про-
водимость по постоянному току) главным образом определяет
потери в материале. На частотах выше 1 МГц основными ста-
новятся потери, связанные с дипольной релаксацией воды и
представленные членом ивое''(и).
Оглавление
Предисловие редактора перевода....................................5
Предисловие.......................................................7
ЧАСТЬ I. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНТЕННАХ В СРЕДАХ
ГЛАВА 1. ИЗОЛИРОВАННЫЕ АНТЕННЫ...................................10
1.1. Введение. Антенны в однородной изотропной среде.............10
1.2. Коаксиальная линия..........................................14
1.3. Изолированный проводник в бесконечной проводящей среде .... 21
1.4. Изолированный проводник в бесконечной относительно плотной сре-
де; распределения тока, заряда и поля............................28
1.5. Изолированный проводник в бесконечной, относительно плотной сре-
де. Адмитанс и импеданс на входе ......................... 52
1.6. Антенна с эксцентрическим расположением проводника в изоляторе 57
1.7. Передача боковой волной. Изолированные антенны бегущей волны
и с оконечной нагрузкой ........................................ 65
1.8. Связанные изолированные антенны в относительно плотной среде 73
1.9. Горизонтальная проволочная антенна над проводящим или диэлек-
трическим полупространством .................................... 93
1.10. Связанные горизонтальные проволочные антенны над проводящим
или диэлектрическим полупространством .......................... 109
1.11. Антенна в цилиндре с холодной плазмой.....................119
ГЛАВА 2. НЕИЗОЛИРОВАННАЯ АНТЕННА В ВОЗДУХЕ И ПОГЛОЩАЮ-
ЩЕЙ СРЕДЕ...................................................... 135
2.1. Разомкнутая двухпроводная линия н дипольная антенна в воздухе 135
2.2. Разомкнутая двухпроводная линия и дипольная антенна в беско-
нечной однородной и изотропной среде .......................... 153
2.3. Связанные неизолированные антенны в поглощающей среде . . . 173
ГЛАВА 3. ВИБРАТОРНАЯ АНТЕННА В КАЧЕСТВЕ ЗОНДА В МАТЕРИАЛЬ-
НОЙ СРЕДЕ.......................................................189
3.1. Введение...................................................189
3.2. Измерение основных параметров среды........................189
3.3. Измерение электрического поля в материальных средах........209
3.4. Зонд в произвольном электрическом поле. Изотропный зонд . . 215
3.5. Зонд вблизи поверхности раздела ... .......228
Оглавление 416
ГЛАВА 4. ВОЛНЫ И АНТЕННЫ В ПОГЛОЩАЮЩЕМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Передача плоской волны в землю при нормальном падении. Общие
положения.........................................................240
4.2. Стационарная передаточная функция для сухой и мокрой земли . . 245
4.3. Прохождение импульса в землю ................................250
4.4. Прохождение волны в полупространство с параметрами кожной
ткани ............................................................255
4.5. Прохождение волны в трехслойное полупространство с параметрами
кожной, жировой п мышечной тканей.................................261
4.6. Сравнение полей в трехслойпой и однослойной средах...........268
4.7. Напряжения на нагрузке неизолированной и изолированной ан-
тенн, окруженных полупространством из кожной ткани................274
4.8. Напряжения на нагрузке синфазных решеток из неизолированных
или изолированных антенн, погруженных в полупространство из кож-
ной ткани....................................................... 278
4.9. Расчет тока в дипольной антенне для создания заданного поля в
дальней зоне .................................................... 282
4.10. Расчет тока в решетке типа волнового канала для создания задан-
ного поля в дальней зоне..........................................284
4.11. Передающая система в воздухе. Применение теоремы взаимности 285
4.12. Импедансы неизолированного и изолированного диполей в слоистой
среде.............................................................288
ЧАСТЬ II. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ........................................ 293
ГЛАВА 5. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ОСНОВНЫЕ УРАВ-
НЕНИЯ ...................................................293
5.1. Введение. Антенны в средах...................................293
5.2. Обзор основных задач.........................................294
5.3. Физические свойства и теоретические модели сред...299
5.4. Теоретическая модель среды...................................301
5.5. Плотность заряда. Концентрация частиц . . ......303
5.6. Поляризованность. Электрический дипольный момент..306
5.7. Полярные вещества: вода и лед................................310
5.8. Плотность движущихся зарядов или ток.........................313
5.9. Намагниченность. Магнитный дипольный момент..................315
5.10. Мультиполи высших порядков. Двойной слой....................317
5.11. Плотности, независящие от способа разделения материала на эле-
ментарные ячейки................................................ 319
5.12. Плотности, зависящие от времени. Уравнения непрерывности . . . 327
5.13. Уравнения Максвелла. Граничные условия......................331
5.14. Производные (вспомогательные) векторы D и Н....335
5.15. Уравнения, не содержащие зависимости от времени.............336
5.16. Основные соотношения........................................338
5.17. Уравнения Максвелла для линейной однородной изотропной среды 341
5.18. Вещественные эквивалентные параметры среды. Комплексное волно-
вое число. Комплексное волновое сопротивление. Нормирующий мно-
житель .......................................................344
ГЛАВА 6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПАРАМЕТРЫ СРЕДЫ.....................348
6.1. Формулы для основных параметров............................ 348
6.2. Проводимость и ток свободных зарядов........................ 349
6.3. Диэлектрическая проницаемость и связанные заряды. Индуцирован-
ная электронная поляризация . ................................. . 355
416 Оглавление
Преди!
Предш
6.4. Диэлектрическая проницаемость и связанные заряды. Иоьная поля-
ризация смещения.................................................. 363
6.5. Диэлектрическая проницаемость и связанные заряды. Простая мо-
дель ориентационной и индуцированной поляризации ...... 368
6.6. Диэлектрическая проницаемость и связанные заряды. Улучшенные
модели ориентационной и индуцированной поляризации ..... 373
6.7. Диэлектрическая проницаемость и связанные заряды. Явление ре-
лаксации ...........................................................377
6.8. Основные выводы из теории диэлектрической проницаемости и про-
водимости ........................................................ 384
6.9. Электрические свойства поликристаллического льда...............387
6.10. Электрические свойства воды....................................393
6.11. Морская вода. Электролиты.................................... 398
6.12. Смеси диэлектриков. Электрические свойства снега..............400
6.13. Электрические свойства биологических тканей....................402
6.14. Электрические характеристики горных пород и земли.............408
ЧАС!
ГЛАВА
1.3. и
1.4.
I
1.5. 4
д
1.6. 4
1.7. Г
и
1.8. С
1.9. Г
т!
1.10. d
11
1.11. Л
ГЛАВА
2.1. F
2.2. 1
н
2.3. (
ГЛАВ/
3.1. Е
3.2. 1
3.3. Е
3.4.
3.5. ;
Ронольд Кинг. Гленн Смит
АНТЕННЫ В МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ
Книга 1
Старший научный редактор Л. П. Якименко
Младшие научные редакторы Ю. Л. Евдокимова,
Н. И. Снвилева
Художник Г, А. Шипов
Художественный редактор В. Б. Прищепа
Технический редактор Н. И Манохина
Корректор В. С. Соколов
ИБ № 3681
Сдано в набор 20.09.82. Подписано к печати 03.05.84. Формат 60x90l/io- Объем 13,00 б. л.
Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 26,00.
Усл. кр.-отт. 26,00. Уч.-над. л. 23,50. Изд. № 20/2750. Тираж 4800 экз. Зак. 813. Цена 3 р. 40 к.
L Издательство «Мир» 129820, Москва. И-110, ГСП. 1-й Рижский пер, 2
V.
Ленинградская типография № 2, головное предприятие ордена Трудового Красного Зна-
мени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзпо-
лиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 198052, г. Ленинград. Л-52, Измайловский п, оспект, 29.