Текст
В./1ИТЦМАН
ME ОШИБКА
ГДЕ ОШИБКА
ГДЕ ОШИБКА
1ДЕ ОШИБКА'
•1П1!Гл%
I, U W Ш Г I \
:ДЕ ОШИБКА
ГЕ ОШИБКА?
ГДЕ ОШИБКА
В. ЛИТЦМАН
ГДЕ ОШИБКА?
Перевод с немецкого
Б. С. ВИЛЕНСКОЙ
под редакцией
В. Г. БОЛТЯНСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962
51
Л 64
WO STECKT
DER FEHLER?
Mathematische Trugschliisse und
Warnzeichen
gesammelt von
Dr. W. LIETZMANN
Professor an der UntversltSt Gottingen
Zweite, durchgesehene und erweiterte Auflage
Mit 121 Figuren
B. G. TEUBNER
VERLAGSGESELLSCHAFT LEIPZIG
19 5 2
Вальтер Литцман
Где ошибка?
М„ Физматгиз, 1962 г., 192 стр. с илл.
Редактор И. А. Угарова
Техн, редактор К. Ф. Брудно. Корректор 3 В Автонеева
Сдано в набор 22/11 1962 г. Подписано к печати 19/V 1962 г.
Бумага 84 X Юв'/аа- Физ. печ. л. 6,0. Условн. печ л. 9,84. Уч.-изд. л. 8,48
Тираж 50 000 зкз. Цена книги 25 коп. Заказ № 2785.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Первая Образцовая типография имени А А Жданова
Московского городского совнархоза. Москва, Ж-54, Валовая, 28,
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора .............................................. 4
Введение .................................................. 5
А. Ошибки и ошибочные заключения......................... 9
I. Ошибки при оценке величин........................ 9
II. Зрительные ошибки ............................... 15
III. Авторские ошибки................................. 26
IV. Ошибки школьников................................. 38
Предварительные замечания (38). Уравнения (41). Арифме-
тика (50). Планиметрия (54). Тригонометрия и стереомет-
рия (59). Аналитическая геометрия и исчисление бесконечно
малых величин (64)
В. Софизмы................................................69
I. Введение........................................ 69
II. Арифметика ........................... 74
III. Алгебра......................................... 83
IV. Теория вероятностей............................. 87
V. Планиметрия...................................... 90
VI. Тригонометрия и стереометрия....................103
VII. Аналитическая геометрия......................108
VIII. Логика..........................................111
Предварительное замечание (111)
IX. Некоторые примеры из физики.....................117
С. Примеры-предупреждения из анализа бесконечных -величин 121
I. Бесконечно большие и бесконечно малые величины . . 121
II. Переход к пределу................................127
III. Последовательности...............................137
IV» Функции и кривые..................................143
V. Ряды.............................................159
VI. Дифференциальное исчисление.......................175
Максимум и минимум (184)
VII. Интегральное исчисление..........................188
ОТ РЕДАКТОРА
Книга немецкого популяризатора В. Литцмана «Где
ошибка?» (Wo steckt der Fehler?) отчасти известна советскому
читателю по переводу, осуществленному (под тем же назва-
нием) в 1932 г. (В. Литцман и Ф. Трир, Где ошибка?,
ГТТИ, Москва — Ленинград). Эта небольшая книжечка уже
стала библиографической редкостью, и давно назрел вопрос
о ее переиздании. Отсутствие нового издания отчасти ком-
пенсировалось появлением небольшой книги Я. С. Дубнова
«Ошибки в геометрических доказательствах» (Гостехиздат,
Популярные лекции по математике, выпуск 11), последнее,
третье, издание которой вышло в 1961 г. Тем временем
В. Литцман опубликовал новое, значительно расширенное из-
дание книги, историю создания которого автор подробно изла-
гает в своем введении. Это издание и было взято для перевода.
Автор собрал в своей книге весьма обширный ма/ериал,
включающий не только древние и новейшие софизмы, но
также наиболее интересные и типичные ошибки школьников
и студентов, обманы зрения, психологические ошибки при
оценке размеров величин и т. д. Следует отметить, что по-
добранные автором примеры весьма разнообразны и неодно-
родны (что вполне естественно в книге такого рода), причем
наряду с очень красивыми и поучительными примерами имеются
в немалом количестве и значительно менее удачные. Однако
производить сокращение объема книги за счет «менее удачных»
примеров мы сочли нецелесообразным, поскольку, во-первых,
польза и привлекательность того или иного приема, оце-
ниваются каждым читателем по-своему, а во-вторых, при-
веденные примеры совершенно самостоятельны, и те из них,
которые читателю покажутся менее интересными, могут быть
пропущены при чтении.
В. Г. Болтянский
ВВЕДЕНИЕ
В 1913 г. автор совместно с датским учителем Вигго
Триром опубликовал в серии математическо-физической
библиотеки брошюру1) под названием «Где ошибка?». В нее
вошли, с одной стороны, математические софизмы, собранные
автором, с другой стороны — настоящие ученические ошибки,
выбранные большей частью из рукописного собрания, при-
надлежащего Триру, откуда он в течение ряда лет черпал
материал для упражнений при обучении учителей.
В 1916 г. Вигго Трир умер. Второе издание, вышедшее
в свет в 1917 г., было подготовлено автором. По сравнению
с первым изданием было увеличено количество софизмов;
некоторые ученические ошибки, далекие от учебного мате-
риала немецкой школы, были заменены другими. Все это при-
вело к тому, что количество материала, относящегося
к обоим разделам, значительно увеличилось и превысило раз-
меры брошюр физико-математической библиотеки, в частности
благодаря сотрудничеству читателей книги и работников «ве-
селого уголка» математического и естественно-научного жур-
нала, издаваемого автором. Пришлось произвести раздел:
«Софизмы» вышли отдельной брошюрой, а в брошюре «Оши-
бочные заключения» к ученическим ошибкам были присоеди-
нены ошибки при оценке величин, зрительные ошибки, а также
авторские ошибки.
Теперь обе брошюры снова собраны вместе и к ним при-
соединена также третья часть. Среди софизмов имелись не-
которые относящиеся к исчислению бесконечно малых. Ведь
именно в этой области математического анализа так часты
ошибочные заключения. Это навело на мысль расширить при-
меры из этой области. Конечно, при этом автор не имел
’) Русский перевод: В. Литцман и Ф. Трир, Где ошибка?,
изд. 2, ГГТИ, 1932. — Прим. ред.
5
намерения выйти за пределы учебного материала высшей школы
или, напротив, ограничиться только теми понятиями из ана-
лиза бесконечно малых, которые вводятся в старших классах
общеобразовательной школы.
Приводя ошибки школьников и софизмы, автор не указы-
вает, где скрывается ошибка. Достоинство сборника заклю-
чается как раз в том, что он ставит читателя перед задачей
самостоятельно найти ошибку. Автор не считает поучитель-
ным тот случай, когда читатель, не умея сразу в течение
нескольких минут получить правильный ответ, обращает
свой взор к тому месту книги, где он получит этот ответ
без всякого труда. Ведь в математике дело обстоит так, что,
обнаружив ложное утверждение и поняв, в чем заключается
ошибка, получаешь уверенное, не требующее других под-
тверждений понятие о правильном ходе рассуждений. До тех
пор, пока нет такой уверенности, наши знания не являются
совершенными.
В исчислении бесконечно малых величин автор отступил
от этого принципа. Софизмы сформулированы им как приме-
ры-предупреждения; имеются примеры, которые должны стра-
ховать нас от ложных, опрометчивых, хотя и очень напра-
шивающихся выводов. Для специалистов-математиков это,
конечно, тривиальные вещи. Они хорошо представляют себе
свойства вводимых понятий, а также знают, какие операции
над этими понятиями являются допустимыми, а какие нет.
Однако преподаватель не может предполагать у учащихся
таких познаний, и поэтому он всегда должен иметь под ру-
кой предупреждающие примеры, помогающие предотвратить
ложные выводы. Помочь ему в этом — цель третьей части
книги. Автор сознает, что этот раздел можно было значи-
тельно расширить. Много прекрасных предупреждающих при-
меров остаются либо совсем неизвестными, либо появляются
иногда в лекциях того или иного лектора.
В этой части, в отличие от первой и второй частей, под
рубрикой «вывод» автор излагает мораль рассказа, что, ко-
нечно, для многих является излишним, но, по мнению автора,
далеко не для всех. Как раз в тех случаях’, когда встре-
чаются поверхностные рассмотрения или опрометчивые суж-
дения, не надо бояться излишней убедительности!
Ошибки и софизмы всегда служили предметом заниматель-
ной математики; они появлялись во многих книгах, посвящен-
ных занимательной математике, кроме того, во многих
журналах, а в последнее время также и в передачах радио,
£
Часто они являются предметом шутки, иногда ими желают
одурачить других, а некоторым доставляет удовольствие
сознание ошибки, допущенной другими. Серьезное же зна-
чение изучения ошибок и софизмов для воспитания матема-
тического мышления, как кажется автору, еще недостаточно
осознано.
Не только учитель должен иметь дело с ошибками, кото-
рые делают его ученики; сами учащиеся зачастую научатся
большему на примере разъясненной ошибки, чем даже при
правильном выполнении по готовым образцам задач и упраж-
нений. Я вспоминаю в этой связи слова Гёте: «Юноша, кото-
рый заблуждается на собственном пути, мне приятней того,
кто верно следует по чужому пути».
Таким образом, для целей преподавания и воспитания
весьма полезно даже простое собрание примеров, содержа-
щих ошибки. Но еще важнее, чтобы преподаватель мог дать
им методически хорошо продуманное употребление. Собст-
венно говоря, можно было бы ожидать, что в методиках
преподавания арифметики и математики должно содержаться
основательное изложение проблемы ошибок. Однако поиски
ваши будут тщетными; автору известен только один неболь-
шой труд относительно арифметических ошибок. Обычно учи-
тель исправляет при устном преподавании ошибки своих
учащихся, подчеркивает ошибки в письменных работах уча-
щихся и дает их исправлять, чаще всего не углубляясь,
почему именно вот это—верно, а то — неверно. Автору ка-
жется, что теория и практика изучения ошибок заслуживают
основательного исследования.
Все сказанное относится, конечно, не только к школе, но
и к изложению математических дисциплин в лекциях, семи-
нарах, книгах. Особенно удивительно, что совершенно три-
виальные софизмы были впервые указаны только в «Парадок-
сах бесконечного» Больцано, опубликованных в 1851 году.
В высокой науке также нельзя ограничиваться указанием, чтб
является верным; необходимо указать, что ложно — особенно
в случае, когда легко впасть в заблуждение. Не следует
ограничиваться утверждением что данное положение ложно.
Надо показать на предупреждающих примерах, почему оно
ложно.
Физик Вильгельм Вебер не допускал и мысли о су-
ществовании непрерывных функций, не имеющих производной.
Простое ознакомление, например, с функцией Вейерштрасса
в том виде, как она изложена в книге Клейна «Элементарная
7
математика с точки зрения высшей», могло бы убедить
его в противном. Только продираясь через густой ку-
старник заблуждений, удалось создать ясное определение
понятия «дифференциал». В этом деле незабываемы заслуги
Р. Роте. Строгое обоснование теории бесконечных рядов
последовало после того, как Е. Ландау беспощадно рас-
крыл ошибки в изложении этого вопроса не только в кни-
гах для средней школы, но и в книгах для высшей школы,
в частности в лекциях Геттингенских курсов повышения ква-
лификации учителей. Говорят, что математика, начиная
с первых уроков арифметики и кончая самыми большими
высотами научного исследования, является своеобразным «то-
чилом» для ума. Автор думает, что это замечание справед-
ливо и относительно разбора ошибок и софизмов, о которых
и идет речь в этом сборнике. При этом безразлично, зани-
маются ли ими в устной беседе или в игре или же они
являются предметом серьезного изучения.
А. ОШИБКИ И ОШИБОЧНЫЕ ЗАКЛЮЧЕНИЯ
I. Ошибки при оценке величин
В этом разделе мы укажем ряд ошибок. Все эти ошибки
объясняются тем, что, наблюдая различные явления, мы
обыкновенно плохо представляем себе истинные соотношения
между характеризующими их величинами. Лучший, чем это
обычно наблюдается, навык в оценке величин сделал бы
эти ошибки невозможными.
1. Начнем с ряда самых простых примеров, в которых
разница между данной нами оценкой величин и их действи-
тельным значением, которое можно получить путем прибли-
женного измерения или вычисления, в большинстве случаев
поразительно велика.
Читателю предлагается сначала, не проводя никаких из-
мерений, ответить письменно на следующие вопросы, а затем
записать рядом действительные значения величин. После
этого предлагается найти абсолютную или относительную
погрешность данной им оценки величин.
а) Какова высота стола?
Ь) Чему равна площадь сидения стула?
с) Какова высота современного головного убора?
d) Припомните какую-нибудь круглую башню, располо-
женную поблизости от вашего жилища. Как относится длина
внешней окружности башни к ее высоте?
е) Диаметр глобуса равен 1 м. Изобразим на нем вы-
пукло рельеф земного шара. Какую высоту будет иметь на
этом макете высочайшая гора Европы Монблан, высота кото-
рой равна 4800 Mt
f) Какое количество людей может поместиться на круг-
лой площади, радиус которой равен 1 км'}
9
g) Какие размеры должна иметь квадратная площадь,
на которой могут разместиться все жители Германии?
h) Можно ли разместить всех жителей Земли на поверх-
ности Боденского озера?
i) Сколько мальчиков можно поместить в одном кубическом
метре?
к) Сколько горошин помещается в стакане обычного раз-
мера?
1) Каков вес воздуха, заполняющего вашу комнату1)?
ш) Сколько весит пробковый шар, радиус которого ра-
вен 1м 2)?
п) Сколько полных лун может поместиться на небе?
о) Наконец, нечто совершенно удивительное. На карте
Германии, масштаба 1:1 000 000 должны, казалось бы, раз-
меститься 66 человек из 66-миллионного населения Германии.
Однако это при всем желании неосуществимо.
2. Несколько вопросов, наглядно поясняющих соотноше-
ния между числовыми характеристиками земного шара.
а) Какова высота свода, образованного озером шириною
в 1 км, 4 км или 6 км по отношению к плоскости, соеди-
няющей его берега; другими словами, как велико влияние
кривизны земной поверхности на отклонение водного зеркала
от плоскости?
Ь) Какой высоты свод образует Каспийское море?
с) Улица Фридрихштрассе в Берлине имеет длину около
3 км (точнее, 3240 М) и простирается точно с севера на юг.
Дома, стоящие на противоположных концах улицы, построены,
как обычно, вертикально, т. е. их боковые ребра направлены
к центру земли. Следовательно, боковые ребра этих домов
образуют некоторый угол. Какова величина этого угла?
d) Поскольку боковые ребра упомянутых выше домов на
Фридрихштрассе не параллельны, расстояние между верхними
концами ребер больше, чем между нижними. Насколько?
е) Фридрихштрассе — горизонтальная улица. В силу сплю-
щенности земного шара, которая достигает величины ~, север-
ный конец улицы ближе к центру Земли, чем южный. Насколько?
На эти вопросы, в силу того, что подсчет сопряжен с не-
которыми трудностями, я приведу ответы: а) 2 см, 31 см и
71 см; обратите внимание на сильное возрастание величин!;
’) Литр воздуха весит 1,293 г
2) Удельный вес пробки равен 0,24.
10
3'
b) 28 км', c) 1 -J; d) около 1 сл; e) северный конец на
10,6 м ближе к центру Земли, чем южный. Таким образом,
нужно подняться почти на третий этаж, чтобы расстояние
до центра Земли в северном конце равнялось расстоянию до
центра Земли в южном конце.
3. Предположим, что вокруг земного экватора решили
натянуть веревку, но она оказалась слишком длинной, так
что остался кусок около 10 м. Концы веревки все-таки сое-
динили так, чтобы она окружила Землю
на некотором от нее расстоянии. Для про-
стоты допустим, что зазор между вере-
вочным кругом и экватором имеет всюду
одну и ту же величину. Чему равна эта ве-
личина? Может ли, например, муха пропол-
зти между веревкой и поверхностью Земли?
Ответ гласит, что не только муха
может проползти, но и не слишком высо-
кий подросток может пройти, не сгибаясь,
это наглядно — довольно хитрая штука!
Представить себе
Один математик
уверял меня, что он совершенно не может себе это пред-
ставить. Многие из нематематиков говорили мне, что они не
верят в правильность решения, им оно кажется невероятным.
Чтобы исправить это положение, можно несколько видоиз-
менить формулировку задачи. Вместо истории с веревкой
рассмотрим следующую аналогичную задачу, насколько путь,
проделанный головой пешехода, длиннее пути, пройденного
его ногами? Сразу же возникает «чувство», что разница
должна быть небольшой.
Для тех, кого не убеждает и эта задача, я приведу еще
один пример. Вместо того чтобы прибавить к окружности
в одной ее точке лишние 10 метров, прибавим по 2,5 м
в четырех точках (рис. 1). Прибавляя эту величину в точ-
ках / и //, мы раздвинем дуги круга на 1,25 м вверх и вниз;
прибавляя эту величину в точках /// и /V, мы раздвинем
дуги круга на 1,25 м влево и вправо. Новая кривая, которая,
конечно, не будет точным кругом, отстоит всюду от старого
круга на расстоянии 1,25 м. Далее, заменим круг квадратом;
тогда сразу видно, что, распределяя излишние 10 м, т. е.
по 2,5 м в каждой вершине, можно получить квадрат, сто-
роны которого отстоят от сторон исходного квадрата на
2,5 ,
-^-м= 1,25 м.
11
Кстати, каждый знает, что воротничок, который велик
хотя бы на один номер, значительно отстает от шеи. Для
задачи, разбираемой в данном пункте, совершенно безраз-
личны размеры исходной окружности, т. е. безразлично,
будет ли это экватор или, например, кольцо для пальца.
4. Арифметической прогрессией называется такая число-
вая последовательность, у которой разность двух соседних
членов постоянна. Сумма п членов арифметической прогрессии
a, a-j-d, а-ф-2d, а-[-(п—l)d
равна
s = an-{- ф 2 ' d.
Как пример того, насколько плохо мы умеем оценивать
степень возрастания этой суммы по мере увеличения числа
членов прогрессии, проделаем следующий опыт. Ответим
сначала на нижеследующий вопрос, пользуясь только нашим
«чувством числа», а затем произведем необходимые вычисления.
Некто А заключил пари с В; А утверждает, что он пройдет
расстояние в 6000 шагов и вернется в исходное место раньше,
чем В соберет в корзину 200 яблок. Яблоки должны быть
расположены в один ряд на расстоянии одного шага друг
от друга, кроме того, В должен переносить в корзину каж-
дое яблоко в отдельности, а корзина должна стоять около
первого яблока. Оба участника пари передвигаются с одина-
ковой скоростью. Кто выиграет?
5. Еще быстрее растет сумма членов геометрической
прогрессии при увеличении числа ее членов. Напомним хорошо
известное предание об изобретателе игры в шахматы, кото-
рое распространилось благодаря сообщению арабского исто-
рика Я-Куби. Изобретатель шахмат попросил у короля в на-
граду некоторое число пшеничных зерен, которое получалось
следующим образом: на первое поле шахматной доски кла-
дется одно зерно, на второе 2 зерна, на третье — четыре
и т. д., т. е. число зерен на последующем поле всегда
вдвое больше числа зерен на предыдущем. Тот, кто подсчи-
тает получающуюся сумму зерен и постарается представить
ее себе наглядно, будет так же изумлен, как тот король,
когда он убедился, чего стоит мнимая скромность изобретателя.
6. Другие трудности в оценке величин возникают при
переходе от конечных геометрических прогрессий к бесконеч-
12
ным. Построим сначала, разумеется, мысленно, некоторое тело,
имеющее конечный объем, но простирающееся в бесконеч-
ность. Несведущему человеку может показаться на первый
взгляд, что это противоречит всем нашим пространственным
представлениям.
Возьмем куб с ребром, равным 1 м, и разделим его попо-
лам плоскостью, параллельной основанию. Обе половины при-
ставим друг к другу. Разделим, далее, правую половину куба
пополам с помощью плоскости, параллельной основанию,
и отрезанную верхнюю часть приставим справа к нижней.
Теперь снова разделим таким же образом правый кусок по-
полам и приставим его справа к оставшейся половине. Будем
продолжать этот процесс неограниченно. Мы получим неко-
торое тело, имеющее вид лестницы, ступеньки которой имеют
различную высоту, убывающую слева направо, причем каж-
дая ступенька вдвое ниже предыдущей. Высота ступенек
становится все меньше и меньше, приближаясь как угодно
близко к нулю, но оставаясь все время отличной от нуля.
Само тело простирается вправо до бесконечности. Каков
однако его объем? Из способа построения тела ясно, что его
объем равен объему исходного куба, т. е. равен 1 л*.
7. Построим некоторую спираль — снова лишь мысленно.
Практическое осуществление построения наталкивается на
те же трудности, что и в предыдущем при- ______
мере. К некоторой полуокружности при- f \
строим, как это показано на рис. 2, I----г—Н-----1
новую полуокружность, вдвое меньшего \ 1
радиуса. К этой новой полуокружности \ у
пристроим снова полуокружность, радиус х''-.________
которой равен половине радиуса предыду- Рис. 2.
щей окружности и т. д. Все полуокружности
расположатся в виде спирали. После предыдущего примера нас
не удивит, что спираль, приближаясь к центру, будет иметь
бесконечное число витков. Какова же однако длина этой спи-
рали с бесконечным числом витков? Наивный человек ответит,
что ее длина также бесконечна. Однако это не так. Пусть
г — радиус первой полуокружности; тогда ее длина равна лг,
длина второй полуокружности равна лг, длина следую-
1 i
щей равна лг и т. д. Общая длина спирали равна
)==2пг>
13
г. е. конечна и равна как раз длине той окружности, поло-
вина которой составляет первый виток спирали.
8. Положим на стол две шляпы одинакового размера, при-
чем так, чтобы они касались друг друга. Оставим одну шляпу
неподвижной, а другую будем поворачивать без скольжения
по краю неподвижной шляпы, пока она снова не вернется
✓ч в исходное положение. Так как длина
<7 \ окружности края у шляп одинакова, то
7 \ мы легко можем ответить на вопрос,
А ^7777777777) С сколько раз при этом подвижная шля-
^7777/7 па повернется вокруг своего центра.
V Проведем аналогичный опыт с двумя
g треугольниками. Начальное положение
g * треугольников показано на рис. 3, а.
^ТТТТТТ^ Поворот будем производить вокруг вер-
XZ//ZZ шин Л, В и С неподвижного треуголь-
^77 ника. Переведем сначала подвижный тре-
7 угольник путем вращения вокруг вер-
/ Ь) шины А в положение Ь, затем при помо-
7 щи поворота вокруг вершины В в поло-
yl * жение с и, наконец, поворотом вокруг
^777777\ вершины С вернем его в исходное поло-
^777 \ жение а. Мы заметим, что при этом
\ движении подвижный треугольник повер-
$ \ нется два раза вокруг себя. Действи-
тельно, вокруг вершины А треугольник
рис J поворачивается на угол 4d— 2а, во-
круг вершины В—на угол 4d— 20,
а вокруг вершины С—на угол 4d— 2у, где а, 0, у — углы
данных треугольников. Таким образом, в результате произой-
дет поворот на угол
4d —2a4-4d —204-4d —2y = 12d —2(а-{- 0 + у) = 8d,
так как
a4“04"Y = 2^-
Если этот результат читателю все еще кажется поразитель-
ным, то пусть он проведет аналогичное рассуждение для
случая двух квадратов. Теперь ему будет ясно, почему и
для случая двух шляп подвижная шляпа сделала два полных
оборота. А теперь, положа руку на сердце, скажите, не ожи-
дали ли вы только одного поворота?
14
II. Зрительные ошибки
1. Зрительные ошибки известны в большом числе под
названием «оптико-геометрических ошибок» *). Их изучением
занимаются большей частью физиология и психология, реже
математика. В данной книге ввиду недостатка места приве-
дены только некоторые типичные примеры таких ошибок,
причем не делается никаких попыток сопроводить их каким-
либо объяснением.
Начнем с ряда ошибок, возникающих при оценке длины
отрезков и частей кривых. Насколько существенна при оценке
длины отрезка его граница, показывает эффект Мюллер а—
Лиэра, впервые описанный в 1887 г. На рис. 4 приведены
два отрезка одной и той же длины; на рис. 5 такие же отрезки
размещены иначе; рис. 6 является видоизменением рис. 4.
Рис. 7 показывает, что из двух равных дуг окружности дуга,
ограниченная хордой, кажется меньше. Еще большей кажется
разница в длине, а особенно в кривизне у двух равных, но
по-разному заштрихованных дуг (рис. 8). Рис. 9 показывает,
как различное окружение влияет на зрительную оценку длины
двух в действительности совершенно одинаковых отрезков
АВ и ВС. Из двух равных отрезков (рис. 10) отрезок, покры-
тый штриховкой, кажется длиннее. Очень важно также взаим-
ное расположение сравниваемых фигур. Это особенно бро-
сается в глаза на примере расположения двух равных отрезков
на рис. 11. Вертикальный отрезок кажется нам значительно
более длинным, чем горизонтальный. Влияние взаимного
расположения сравниваемых предметов читатель может просле-
дить также на следующем примере.
Проделайте такой опыт. Вырежьте три прямоугольные
полоски одной и той же длины, из них две полоски одина-
ковой ширины и третью полоску половинной ширины. А
теперь расположите их, как указано на рис. 12. Укажем
в связи со сказанным выше еще один обман зрения. Если
расположить одну под другой большое число равных полу-
окружностей 8), то оценивая размеры изображений, мы обя-
зательно ошибемся. Проверка этого факта предоставляется
читателю.
’) В русской литературе их называют также «обманами зрения».-—
Прим. ред.
2) Центры полуокружностей (начерченных в одной плоскости),
должны находиться на одной прямой, а диаметры перпендикулярны
этой прямой.— Прим. ред.
15
16
2. Приведем теперь ряд геометрических ошибок, возни-
кающих при оценке размеров фигур. Как и в случае
отрезков, на зрительное восприятие формы и величины фигур
влияет способ оформления границы фигуры. Показанный
на рис. 13 квадрат после присоединения к нему двух полу-
кругов кажется прямоугольником. Рис. 14 иллюстрирует влияние
различного окружения фигуры на оценку ее размеров. Из двух
Рис. 14.
равных прямоугольников, изображенных на рис. 15, верхний
кажется длиннее, а нижний — выше; это происходит исклю-
чительно в результате различного расположения проведенных
17
внутри них отрезков. На рис. 16, а круг вписан в квадрат,
а внутри круга помещен другой концентрический круг.
На рис. 16, Ь тот же самый круг описан около квадрата и
концентрического с ним круга.
При зрительной оценке кажет-
помещен внутри другого
ся, что исходные круги имеют
различные размеры. Как и в случае отрезков, различная
штриховка одной и той же фигуры может ввести нас в заблуж-
дение при оценке ее размеров. Особенно заметно влияние
штриховки в случае двух равных квадратов, один из которых
заштрихован горизонтально, а другой — вертикально. Здесь
□ О □ 5 8
Рис. 17.
Рис. 18.
играет роль уже само расположение изображений. Это влияние
наглядно показано и на рис. 17. Квадрат, поставленный
на угол, кажется больше двух других квадратов. На рис. 18
показаны две равные фигуры, вырезанные из кругового кольца;
этот хорошо известный пример зрительной ошибки приводится
еще Мюллером и Лиэром (правда, для случая двух равнобедрен-
ных трапеций).
Большое число ошибок возникает при восприятии контраст-
ных фигур1). Если (рис. 19) окружить один и тот же круг
*) Такие резкие контрасты весьма распространены: предмет выгля-
дит тем светлее, холоднее, краснее, чем темнее, горячее, зеленее его
окружение. Незначительные контрасты мало влияют на зрительное
восприятие предметов.
18
сначала меньшими, а затем ббльшими кругами, то его размеры
в каждом случае кажутся нам различными. Круговой сектор
на рис. 20 представлен сначала в окружении двух меньших,
а затем двух ббльших секторов. Оценивая его размеры, мы
снова впадаем в ошибку. Даже в случае отрезков можно
отчетливо наблюдать такое же влияние контрастности. Про-
верка предоставляется читателю.
Рис. 21.
3. Рассмотрим теперь ошибки в определении направлений.
Приведем сначала общеизвестный пример Цёлнера (рис. 21).
Отрезки, параллельные диагонали квадрата, штрихуются
19
различны^ образом, и потому кажется, что они имеют разные
направления. Еще более заметно действие штриховки на па-
раллельные прямые, представленные на рис. 22, Заменяя
Рис. 22.
штриховку нанесенными по обе стороны прямых квадратами
(рис. 23), достигаем того же результата. На рис. 24 исход-
ные диагонали отсутствуют, оставлена только штриховка,
АМА
Рис. 23.
Рис. 24.
и тем не менее наблюдается тот же эффект. Аналогично
ведут себя параллельные прямые на рис. 25. На фоне звезд-
чатой фигуры Геринга (рис. 25, а) они кажутся выгну-
тыми наружу, а на фоне так называемой псевдоскопи-
ческой лучевой фигуры (рис. 25, Ь) они кажутся вогну-
20
тыми внутрь. Тот же эффект наблюдается и в случае пары
прямых, изображенных на рис. 26. Как показывает рис. 27,
на фоне псевдоскопической лучевой фигуры круг кажется
деформированным. На рис. 28 кажущаяся деформация дуги
достигается с помощью всего двух хорд: дуга круга кажется
дугой эллипса.
Рис. 27.
Проводя внутри круга множество подходящим образом
подобранных хорд, можно добиться кажущегося изгибания
окружности. Проверка предоставляется читателю.
Закончим этот раздел рассмотрением Поггендорфовой
фигуры (рис. 29). На этом рисунке приведена прямая, пе-
ресекающая два бруска; кажется, что она разбита на
21
параллельные отрезки, не составляющие продолжение один,дру-
гого. Аналогичный эффект достигается, если накрыть прямую
линейкой. Что произойдет, если края линейки не будут парал-
лельными?
4. Много ошибок возникает при перспективном изобра-
жении пространственных образов. Прежде всего следует
отметить одно весьма интересное явление: некоторые рисунки
нам очень трудно воспринимать как плоскостные чертежи,
! I
а не как изображения пространственных объектов. Удиви-
тельно также и то, что один и тот же чертеж может изо-
бражать предмет в совершенно различных положениях. Изобра-
жение куба на рис. 30 можно рассматривать либо как вид
справа и сверху, либо как его вид слева и снизу. Сложенный
листок, изображенный на рис. 31, воспринимается нами то как
повернутый ребром вперед, то как повернутый назад. Рис. 32
может восприниматься либо как изображение лежащего
на квадратном основании креста с горизонтальными и верти-
кальными (треугольными) лопастями, либо как изображение
лежащего на том же основании креста с косыми (четырех-
угольными) лопастями. При этом одно из указанных восприя-
тий изображения легко переходит в другое. Лестницу
22
Цёлнера или Шредера (рис. 33) можно воспринимать располо-
женной таким образом, что левая нижняя поверхность кажется
расположенной спереди, а правая верхняя — сзади, но можно
также воспринимать ее совершенно по-другому; кажется,
что рисунок изображает вы-
ступающий вперед кусок
стены.
В указанных случаях весь-
ма существенно, на какой
Рис. 32.
Рис. 33.
части фигуры мы фиксируем наше внимание. Если на рис. 30 наш
глаз фиксирует ребро куба, отмеченное цифрой /, то рису-
нок воспринимается нами как вид куба слева и снизу; если же
фиксируется ребро //, то — как вид куба справа и сверху.
Таким образом, линия, которую мы фиксируем, представляется
нам лежащей впереди.
Проверьте это на других
фигурах и на рис. 34, вос-
приятие которого, впро-
чем, сопряжено с неко-
торыми трудностями.
Рис. 34.
Рис. 35.
Рис. 35 показывает, каким многообразным может быть
зрительное восприятие одной и той же плоской фигуры. Этот
рисунок можно считать изображением цилиндрического тела,
рассматриваемого либо сверху, либо снизу. Этот же рисунок
можно рассматривать и как изображение кольца, имеющего
различную ширину спереди и сзади. Тонкая сторона кольца
23
может быть расположена либо спереди, либо — при некотором
воображении — сзади. Рис. 36, так же как и рис. 134, порож-
дает большое многообразие зрительных восприятий, особенно
если рассматривать его с
разных сторон.
б. Не следует думать,
что приведенные здесь оп-
тико-геометрические ошибки
являются только редкими
причудами математической
или психологической фан-
тазии. Подобные заблужде-
ния встречают нас всюду в
ежедневной жизни, правда
рис зб. не в таком «чистом виде»,
как выше. Приведем указан-
ное Элснером изображение детской плетенки из бумаги (рис.37),
Рис. 37.
восприятие которой приводит к зрительным ошибкам. Чита-
телю предоставляется свести этот рисунок к простейшей форме.
24
Многочисленные примеры фотографий действительных
предметов убеждают нас в широкой применимости всего
вышесказанного. Из-за отсутствия места автор не указывает
таких примеров, предоставляя их поиски читателю. Изучение
этих примеров путем их расчленения покажет, какие элемен-
тарные ошибки встречаются в них. Читатель, действительно
интересующийся вопросом, в чем заключается ошибка, ко-
нечно, не удовлетворится таким приведением ошибки к про-
стейшим геометрическим образованиям, но обязательно заин-
тересуется происхождением этих
ошибок. Ответ на эти вопросы за-
ставил бы нас обратиться к смеж-
ным областям математики, физио-
логии и психологии; размеры
книги, к сожалению, не позво-
ляют автору проделать это.
6. Наблюдение столь частых
оптико-геометрических ошибок,
естественно, вызывает скептиче-
ское отношение к голому визуаль-
ному определению длин, углов,
площадей и т. д. Проверка пу-
тем измерения, проведения доказательств является совер-
шенно необходимой. Будет ли, например, изображенный
на рис. 38 восьмиугольник, полученный путем соединения
вершин квадрата с серединами противоположных сторон, пра-
вильным? Можно ли с уверенностью ответить на этот вопрос,
ограничиваясь только зрительными восприятиями?
7. «Это невозможно!» — скажет, наверно, читатель, про-
читав следующие задачи, и только более длинные рассужде-
ния покажут ему, что он заблуждался.
а) Пересечь куб плоскостью так, чтобы в сечении полу-
чился правильный шестиугольник.
Ь) Вырезать в кубе сквозное отверстие, через которое
может пройти куб, равный исходному.
с) В куске картона вырезаны три отверстия в виде квад-
рата со стороной а, круга с диаметром а и равнобедренного
треугольника с основанием а и высотой а. Найти тело, ко-
торое может пройти через эти три отверстия, плотно при-
мыкая к краям отверстий, т. е., другими словами, такое тело,
25
Для которого перечисленные фигуры являются горизонтальной,
вертикальной и боковой проекциями.
d) Имеются шесть отрезков одинаковой длины (например,
спичек). Составить из них четыре равносторонних треуголь-
ника.
8. В заключение этого раздела приведем небольшой
диалог. Математик покупает в лавке какой-то предмет. «Он
стоит 90 марок».— «Позвольте, но здесь обозначено 60 ма-
рок».— «Ах, извините, я неправильно расположил цифры».—
«О, нет, число 60 прочитано неверно...».
III. Авторские ошибки
Прежде чем перейти к последнему, самому большому
разделу этой части книги — к ошибкам школьников, я при-
веду здесь ряд авторских ошибок. Пусть некоторым утеше-
нием для школьников будет сознание того, что и другие
люди допускают ошибки, что ошибки встречаются чаще, чем
принято думать. Однако гораздо важнее добиться того, чтобы
обнаруженные ошибки выработали у читателя критическое
восприятие изучаемой литературы. Тогда ошибки других
будут не только, как это часто случается, предметом
насмешки, даже злорадства, но и приобретут большое зна-
чение для обучения.
1. Дадим сначала слово философам. Так, в «Логике чистого
разума» мы находим следующее объяснение хорошо известной
каждому начинающему математику, даже школьнику старших
классов, записи функциональной зависимости у =f(x).
«И в этом смысл формулы функции. У не остается у,
а превращается в /(х). Таким образом обесценивается тре-
бование различия. У не просто у, в качестве какового оно
безусловно отлично от х, так что влияние х на у представ-
ляется превышением власти, таинственным влиянием внешнего.
Нет, у можно воспринимать как /(х). Таким образом, по-
требность вычислительных операций заставляет отречься от
требования различия и подчиниться требованию однород-
ности с х. Это подчинение — очень точное выражение зави-
симости, так как это подчинение является итогом собствен-
ного и собственнейшего суверенитета чистого мышления,
которое может так же абсолютно проявляться в у, как и в х.
Так у сохраняет в этом абсолютном подчинении х, которое
26
проявляется в f(x), суверенитет чистого мышления, чуждое
влияние, противоречащее х; тем самым заменяется вполне
понятное требование различия. Ибо будет ли это также
различие, которое выступает в f(x) относительно х?». После
этого тем, кто не знает, что означает запись _у=/(х),
нельзя ничем помочь!
2. Предоставим теперь слово юристам и даже, чтобы
избежать односторонности, международной казуистике. Так
например, § 5 известного в Западной Германии закона гла-
сит: «Если после 20 июня 1948 г. первый срок выплаты
заработной платы и жалования приходится на число более
позднее, чем 29 июня 1948 г., то лица, получающие зара-
ботную плату и жалование, получают доплату в немецких
марках’). Доплата должна составлять 70% от той части
заработной платы, исчисляемой в германских марках’),
за вычетом подоходного налога, церковного налога и взносов
в фонд социального страхования, которая причиталась полу-
чателю за период от 30 июня 1948 г. и до следующего
установленного дня выплаты заработной платы».
Здесь речь идет даже не о средней и высшей математике
с а, Ь, х и у, а о простом гражданском счете. Однако кто
понял, что подразумевалось в этом параграфе? Действительно,
понадобились многочисленные комментарии газет, и так как
и они не давали ясного истолкования, то потребовались даль-
нейшие разъяснения.
3. Литераторы, романисты и лирические поэты, как пра-
вило, не в ладах с математикой, хотя из этого правила бы-
вают и исключения’). В одном романе, содержанием которого
является трагедия учеников, не имеющих математических
способностей, автор рассказывает, что четыре кровеносных
сосуда образовали на руке юноши «параллелепипед»; автор
уверяет читателя, что во время обучения один математик
сошел с ума после того, как выучил наизусть таблицу лога-
рифмов Вега.
’) Денежная единица в ФРГ после 1948 г. (Прим, перев.)
2) Денежная единица в ФРГ до 1948 г. (Прим, перев.)
’) Об отношении математики к поэзии см. Литцман, Смешное
и удивительное в мире чисел и фигур, изд. 7, Гёттинген, 1951
(W. Lietzmann, Lustiges und Merkwurdiges von Zahlen und
Formen).
27
Иммерман в 1837 г. посетил рабочую комнату Гёте и
увидел там «треугольник из картона, изготовленный самим
поэтом, причем ... Гёте хотел продемонстрировать на нем
соотношения между душевными силами. Чувственность считал
он основой всех остальных; поэтому он изобразил ее в
основании треугольника и окрасил последнее в зеленый цвет.
Окрашенная в темно-красный цвет боковая грань изображала
фантазию, окрашенная в желтый цвет — здравый смысл, в го-
лубой— разум».
Неясно, где обнаружил автор боковые грани у треуголь-
ника? Где разместил он четыре цвета? Я предполагаю, что
описанный автором треугольник был тетраэдром!
Поэты также весьма вольно обращаются с математическими
понятиями. В одном романе о Галилео Галилее сказано, что
на надгробном памятнике Архимеда изображены «пирамида,
полушар и цилиндр». Но Цицерон в Тускуланских дис-
путах, книга V, сообщает только о шаре, вписанном в ци-
линдр.
Если бы на надгробье было еще и третье тело, то это
мог быть только шар, но никак не пирамида.
«Из геометрии нам известно, что у любой фигуры имеется
бесконечное множество подобных ей фигур и только одна
конгруэнтная ей (т. е. равная) фигура». Эта фраза взята из
сочинений одного писателя, который любит выражаться об-
разно и охотно цитирует математику. Легко догадаться, что
на самом деле подразумевал автор, давая такую формули-
ровку, но предложение, приведенное выше, конечно, неверно.
4. Особенно часто встречаются ошибки, противоречащие
элементарным положениям математической астрономии, при
описании природы. Приведем некоторые примеры.
«Медленно поднимается вечером над горизонтом серебря-
ный серп луны».
Описывая заход Солнца, автор утверждает: «В то время
как на западе развертывалось это великолепное явление
природы, на востоке поднялся полумесяц, и в золотом сиянии
мерцали звезды».
«Луна, горизонтальный серп, стояла почти в зените, такая
светлая, что можно было наблюдать ее затененную часть; на
темно-голубом горизонте появились сияющие звезды»,— фраза
из известнейшего романа одного поэта-инженера.
В одной вполне современной робинзонаде автор, занимаю-
щийся с чисто образовательными целями наблюдением природы,
28
во время своих каникул ранним летним вечером наблюдает
в Гамбурге Орион, Ригель и Бетельгейзе.
«Во время поездки из Нью-Йорка на Азорские острова
царила чудесная летняя погода, ночи были еще прекраснее,
чем дни. Мы наблюдали, кроме того, одно интересное явле-
ние: Луна появлялась каждый вечер в одно и то же время
и в одном и том же месте неба. Причина этого оригиналь-
ного поведения Луны казалась нам сначала загадочной, затем
мы поняли: каждый час мы передвигаемся на 20 градусов
долготы на восток, т. е. именно с такой скоростью, которая
позволяет нам не отставать от Луны».
«Первые касательные лучи восходящего над Венгрией
солнца коснулись вершины Монблана».
В одном иллюстрированном еженедельнике за 1949 г.
можно было прочесть в одной из статей: «на 50-м градусе
южной широты солнце поднимается при кажущемся восходе
так же, как и в наших широтах, и несется со скоростью
300 я]сек над землей в зависимости от времени года из юго-
восточного или северо-восточного направления навстречу на-
блюдателю». Далее читаем в этой же статье: «Жители экватора
могут в одно и то же время наблюдать полностью все север-
ное и южное звездное небо».
Знаток, возможно, поймет, что подразумевает автор, но
читателя, для которого предназначалась эта статья, она
собьет с толку.
«Все более золотилось небо на западе, все ниже опуска-
лось солнце к горизонту. Ночь царила над одной половиной
этого вращающегося шара, в то время как на огромном
Атлантическом океане восходящее солнце приветствовало
корабль, плывший по направлению к юной Америке».
Поэты обычно не воспринимают такие промахи трагически.
Роз Макалей писала однажды своему брату: «На сгр. 27 ты
допустил ошибку относительно Луны. Молодая Луна не может
находиться на востоке в 10 часов вечера». Ответ гласил:
«Литературную Луну не следует принимать всерьез».
5. Наиболее сомнительное дело — поэт, выступающий в
роли научного критика. Приведем в качестве примера Стринд-
берга, у которого мы наблюдаем многочисленные ошибки.
«Пусть А — Солнце, В — Земля, тень которой при лунном
затмении закрывает Луну (рис. 39). Но как возникает полу-
тень и откуда берутся прямые ad и cb, мне совершенно не-
понятно. Светящийся шар должен испускать лучи в виде
29
сплошных радиусов; при этом не должно возникать никакой
полутени. Либо же лучи являются прямолинейными и парал-
лельными, как это предполагается в физике. Тогда также не
образуется полутени. Верхний рис. 39 непонятен и противо-
речит положениям физики; стоящие под ним рисунки понятны,
однако не встречаются нигде в книгах по физике». Певца
превзошел, однако, некий философ, который утверждал, что
«даже наиболее выносливые и
jig стойкие живые существа должны
✓ замерзнуть на Северном полюсе
f д и погибнуть от жары на Южном
v полюсе».
g Это высказывание перекли-
кается со следующим местом из
книги «Кто может это повер-
Х*~^\ нуть?» Вильгельма Раабе: «Там
I внизу на Южном полюсе, где так
V жарко, что люди предпочитают
строить свои дома в воде...».
Но Раабе говорит это несерьез-
.............. но, он вкладывает эти слова в уста
С'~у— ........= одного юноши, которого он изо-
I ( бражает невеждой.
‘•S = 6. Перехожу теперь к классу
Рис. 39. так называемых специалистов. На-
чнем с журналистов. К сожалению,
газеты редко пишут о математике, однако если это и слу-
чается, то часто остается только покачать головой. Приведем
несколько примеров, касающихся даже не вычислений, а про-
сто математических понятий и обозначений.
Одна газета сообщала о размерах Вселенной, о числе
мельчайших частиц и т. д. Там можно было, например, про-
читать, что во всей Вселенной имеется 10,79 протона и т. д.
Гигантские степени превратились тут в маленькие десятичные
дроби.
В почтовом ящике одного очень известного иллюстриро-
ванного еженедельника можно было прочитать такой ответ:
«Масштаб 1:25 000 на вашей географической карте означает,
что отрезок длиной в 1 см на карте соответствует на мест-
ности расстоянию в 25000 см = ~ км. Таким образом, измерив
на карте с помощью линейки расстояние между какими-
30
нибудь пунктами, вы получите истинное расстояние, умножив
результат на 25 000 см или кмъ.
Когда однажды ураган опрокинул в Науэне башню радио-
станции, то одна из газет объяснила это тем, что центр
тяжести башни разделился на две части.
Одна газета так писала о событии дня: «Проблема является
такой же неразрешимой, как и задача о делении окружности
на три части». В статье «Люди, контролирующие звезды»
одного из иллюстрированных еженедельников автор следую-
щим образом рассказывает о работе Гринвичской обсерва-
тории: «В продолжение 12 часов сидит в маленьком домике...
ночь за ночью человек и наблюдает Северный полюс. Каж-
дую ночь фотографирует он северные звезды и узнает из
фотографий, где должен быть Северный полюс. Сравнивая
полученный результат с показаниями компаса, он определяет,
где действительно находится полюс».
О другом человеке, работающем в той же обсерватории,
сообщается: «Его специальность — наблюдение двойных звезд,
которые постоянно расположены очень близко друг от друга
и, что особенно характерно, имеют общий центр тяжести,
вокруг которого они вращаются».
В то время, когда проблема Ферма обходила все газеты,
в одной из наших известных ежедневных газет было напи-
сано, что уравнение
хп -^-уп = zn (« + 2)
нельзя разрешить в целых числах! Один из читателей дей-
ствительно взялся за эту проблему; он легко показал, что
уже для л=1 имеется бесконечно много решений, и требо-
вал обещанную награду.
Известную задачу о шахматной доске одна иллюстриро-
ванная газета излагала следующим образом: Поставим на
первое поле 1, на второе поле 2 и затем «на каждое сле-
дующее поле — число, равное квадрату числа, стоящего на
предыдущем поле». Таким образом мы получим числовую
последовательность 1, 2, 4, 16, 64, 256, ... Однако это
будет, если не считать первых двух чисел, последователь-
ность 4, 4‘, 4’, 44, ..., а вовсе не последовательность
2, 2* = 4, 4, = 2‘1 = [2]’, [2]4. Как велико число [2]‘4?
Способ выражения мыслей в газетах, особенно в области
математики, оставляет желать лучшего.
31
Хорошо еще, что не все утверждения газет остаются
неопровергнутыми. Незадолго до солнечного затмения некто
писал во многие газеты о своем возмущении тем, что, по-
видимому, все они сговорились ввести людей в заблуждение.
Но его-то во всяком случае не удастся обмануть. Он по-
смотрел в календарь. В тот день, когда, согласно сообщению,
будет солнечное затмение, должно быть новолуние. А так
как в новолуние Луны не будет, то она не сможет закрыть
Солнце.
7. Значительно хуже обстоит дело с большим классом
дилетантов в математике. Именно в этом случае большое
рвение и самоотверженная любовь к науке расточаются со-
вершенно бесполезно на достижение слишком трудных целей.
Все старания направляются на преодоление больших проблем,
которые в большинстве случаев даже не
полностью понимаются, именно в силу про-
стоты своих формулировок. К числу увлечен-
ных проблемами трисекции угла1), квадра-
туры круга и удвоения куба присоединились
в последние десятилетия ферматисты. Систе-
матическое изучение выявляющихся при этом
групп ошибок было бы очень поучительным.
Я приведу здесь только три образца та-
ких «доказательств». Первое предоставил
Рис. 40.
в мое распоряжение один читатель первого издания этой
книги, которому в свою очередь оно было вручено для экспер-
тизы. Второй пример касается доказательства теоремы Ферма
и был переслан мне самим автором. Третий является «ре-
шением» известной проблемы теории простых чисел, которое
было мне также сообщено письменно.
Угол (рис. 40) с вершиной в точке О надо разделить на
три равные части. Отложим на одной стороне угла от его
вершины три последовательных произвольных равных отрезка
АО — АВ— ВС. Опишем из вершины О радиусом ОВ дугу,
которая пересечет противоположную сторону угла в точке В,.
Разделим дугу BBt пополам; пусть ее середина — точка /И.
*) Вскоре после окончания второй мировой войны по поручению
одного довольно высокого официального учреждения мне было пере-
дано решение проблемы трисекции угла. Оно оказалось, как и боль-
шинство таких находок, приближенным решением. К решению прила-
гается чертеж построения длиною около 2 метров. Вышеуказанное
учреждение видимо предполагало, что имеет дело чуть ли не с атомной
бомбой.
32
Опишем из вершины О дугу радиуса ОС, которая пересечет
противоположную сторону угла в точке С,. Отложим теперь
дугу ВМ на дуге СС, от точки С до точки М'. Тогда
Z/w'oc=lzc,oc.
А ферматист пишет следующее: «Что следует из теоремы
Ферма? Чтобы наглядно представить себе третью степень (куб)
некоторого числа, надо вообразить некоторый куб. Согласно
теореме Ферма (так как уравнение а’ — — с’ неразрешимо
в целых числах), из тела, оставшегося после вынимания из
большего куба внутренности меньшего куба, нельзя получить
новый математически точный куб. Иначе: расплавим два куба
из плавкого материала (причем вводится условие, что при
плавке материал совершенно не теряется), тогда из получен-
ной расплавленной массы нельзя изготовить точный куб. Для
того чтобы получить точный куб, надо добавить в массу
еще материала или, наоборот, часть его удалить, так как
ни в коем случае из общей массы нельзя осуществить мате-
матически правильный куб».
«В вашей брошюре „Великаны и карлики в мире чисел" ’)
в разделе 7 (о больших простых числах) вы сообщаете, что
до сих пор не решена проблема, касающаяся пар простых
чисел, отличающихся друг от друга на 2. Эта проблема
заключается в том, чтобы узнать, не перестают ли такие
числа встречаться вовсе, т. е. существует ли последняя,
наибольшая пара, или число таких пар бесконечно. Ответить
на этот вопрос, по-моему, очень легко. Возьмем за исходную
точку доказательство Евклида бесконечности числа простых
чисел. Предположим, что имеется наибольшее простое число р.
Евклид показал, что число /и=Ь2-3...р-)-1 является
дальнейшим простым числом, большим чем р. Таким же
образом можно показать, что число л= 1-2-3 ... р—1
является простым. Следовательно, мы получили пару простых
чисел, отличающихся друг от друга на 2. Пусть теперь г
и г-|-2 — наибольшая из пар простых чисел, отличающихся
друг от друга на 2. Полагая тогда p = r-j-2 и образуя, как
указано выше, числа п и. т, мы получим еще одну пару
простых чисел ббльших, чем предыдущие».
8. Нередки ошибки в учебниках тех отраслей знаний,
для которых математика является вспомогательной наукой.
’) В. Л и т ц м а н, Великаны и карлики в мире чисел, Физматгиз,
1959.— Прим. ред.
33
Это в значительной степени относится к географии, в учеб-
никах которой часто весьма плохо излагаются сведения из
математической географии и математической астрономии.
а) «21 марта Солнце стоит как раз над центром земного
шара».
Ь) «В любом движущемся шаре две точки должны быть
неподвижными; эти точки называют полюсами земного шара».
с) «Тот диаметр земного шара, который имеет направле-
ние точно с севера на юг, называется земной осью».
d) «Каждое полушарие (Земли) имеет свое теплое время,
а именно то, в течение которого Солнце находится в данном
полушарии».
е) «Если провести через каждый из 360 градусов эква-
тора окружность большого круга, то образуются 180 мери-
дианов. Следовательно, всего имеется 360 меридианов. Их
расстояния от экватора равны 111,3 км.»
f) «В местностях, лежащих на различных меридианах,
полдень наступает в различное время дня».
g) «Луна также стремится притягивать тела. Вода легче
поддается действию притяжения Луны, чем твердая Земля;
вследствие этого вода в море приливает к обращенной к Луне
стороне. Своеобразным является то, что и на противополож-
ной стороне Земли наблюдается явление приливов».
h) «Но плоскость кажущейся орбиты Солнца (эклиптика)
и плоскость орбиты Земли не совпадают, а образуют угол
1°
в 23-2“».
9. Приведу еще один аналогичный пример, так как он
встречается почти во всех учебниках и атласах, а именно:
изображение орбиты Луны. Обычно она изображается, как
на рис. 41, заимствованном мною из проспекта некоего сочи-
нения. Орбита Луны изображена здесь в виде извилистой
линии, которая обращена к Солнцу то выпуклой своей частью,
то вогнутой, в то время как орбита Земли во всех точках
34
Первая четверть /
выпукла. Если бы орбита Луны действительно имела такие
изгибы, то в силу чисто математических соображений это
привело бы к довольно удивительным следствиям. В действи-
тельности орбита Луны на всем своем протяжении выпукла.
Кажется непонятным, как это может быть: ведь Луна совер-
шает движения туда и обратно относительно обеих сторон
земной орбиты (внутренней и внеш-
ней, если смотреть со стороны Солн-
ца). Дело объясняется тем, что радиус
лунной орбиты чрезвычайно мал по от-
ношению к радиусу земной орбиты.
Рис. 42 представляет собой двенадцатую
часть земной орбиты (пунктирная ли-
ния) и лунной орбиты (сплошная линия).
Полнолуние
4
к
I
I
I
Лослевняя
четверть
Новолуние
10. В заключение предоставим слово
авторам математических учебников.
Все приведенные ниже отрывки до-
словно воспроизводят текст соответ-
ствующих учебников. Конечно, обна-
ружение ошибок и недостатков в до-
казательствах не всегда является про-
стым делом. Я старался не приводить
тривиальных ошибок, которые также
нередко встречаются в учебниках. В
одном учебнике планиметрии, второе
издание которого вышло в свет в 1922 г.,
можно прочитать следующее: «Все пря-
моугольные треугольники подобны». Это
утверждение не является опиской, так
как спустя две страницы в одном из при-
мечаний повторно указывается, что «все
прямоугольные треугольники подобны».
А в одном американском школьном
учебнике можно прочитать: «в то время
как уравнение №-)-j’ = 0 изображает круглую точку, изо-
бразить четырехугольную точку невозможно» ‘).
Первая четверть''
Рис. 42.
11. «Бесконечную десятичную непериодическую дробь
нельзя обратить в обыкновенную дробь. Действительно, если
*) По этому поводу один читатель писал мне: переходя в уравне-
нии |x|J-|y|=A> к пределу при k—* 0, получим квадратную точку.
Здесь | а | означает абсолютную величину числа а.
35
бы первая дробь получалась из обыкновенной дроби, то она
была бы периодической, так как остатки в конце концов
стали бы повторяться. Рассматривая эту дробь как чисто
периодическую, но с бесконечным по длине периодом, мы
получим, обращая ее в простую дробь, в числителе беско-
нечно много чисел, а в знаменателе столько же раз число 9.
Вместо этого ее можно записать, как это обычно и делают,
в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой представ-
ляет собой единицу с бесконечным числом последующих ну-
лей. Такую дробь называют иррациональным числом.
Примером является число л = 3,14159265..., вычисленное
Ламбертом. Его можно рассматривать либо как дробь
314159265 , , 314159265... ,
'9&9Э9990 *' * либ° как Дробь 166856606..: С бесконечными чис-
лителями и знаменателями».
12. «Понятие степени ... Под степенью а” подразумевают
произведение п сомножителей, каждый из которых равен а...
Если вместо а” рассматривать произведение 1-а", то п-ю
степень числа а можно рассматривать как результат «-крат-
ного последовательного умножения числа 1 на число а. Отсю-
да следует, что первая степень числа а должна равняться
а... Если совсем не умножить 1 на а, то получается число 1,
т. е. а°=1. Нулевая степень любого основания а равна 1».
13. «Из... следует особый, совершенно аналогичный имею-
щемуся в случае эллипса метод проведения касательных
к гиперболе из заданной точки R, лежащей вне гиперболы
(т. е. внутри той части плоскости, которая расположена Между
обеими ветвями гиперболы). Одновременно получаем, что из
каждой такой точки можно провести к одной и той же ветви
гиперболы две касательные. Так как при этом фокус, лежа-
щий внутри ветви, к которой проводятся касательные, играет
иную роль, чем второй фокус, то касательные, проведенные
к одной ветви гиперболы, не совпадают с касательными, про-
веденными из той же точки к другой ветви. Таким образом,
из любой точки R можно провести четыре касательные к ги-
перболе: две к одной ветви, две к другой».
14. Ошибки и ложные заключения могут скрываться и
среди задач. Во время одного предварительного экзамена на
звание учителя в Дании была предложена задача, в которой
речь шла о прямом круговом конусе с радиусом основания
25 см, высотой 50 см и весом 1 кг. Сообразите, какой удель-
36
ный вес имело это тело. Далее в одном известном учебнике
предлагается задача: «Найти диаметр гиперболы 5№— 6_у* = 30,
делящий хорду у = 2^4"4 пополам».
Чтобы научиться воздерживаться от слишком поспешного
осуждения таких «авторских ошибок», я приведу ниже отры-
вок из Алгебры Эйлера (п°. 33, глава 1, том 1), которую при
случае приводят как образец книги, содержащей большое
количество логических ошибок. А ведь Эйлер был настоящим
математиком!
«Прежде всего ясно, что произведение, обозначенное бук-
вами, имеет вид ab; однако какой надо поставить знак, -ф-
или —, еще неизвестно. Однако ясно, что должен быть либо
один, либо другой знак. Но теперь я могу сказать, что это
не может быть знак—. Действительно, —а, умноженное на
4~6, дает — ab, и так как —а, умноженное на —Ь, не может
дать то же самое произведение, какое дает —ас 4" то
произведение — а на —b должно равняться -{-аб».
В 1935 г. вышла в свет книга Лека «Ошибки математи-
ков от древности до наших дней», Брюссель, Кастей. Она
содержит около 500 «ошибок» около 330 авторов в области
чистой и прикладной математики, причем в их число, за ред-
ким исключением, не вошли многочисленные ошибки, относя-
щиеся к попыткам доказать аксиому параллельности, великую
теорему Ферма, решить проблемы трисекции угла, удвоения
куба и квадратуры круга.
Среди авторов, ошибки которых приводятся в этой книге,
находятся почти все великие математики: Абель, Даламбер,
Якоб и Иоганн Бернулли, Коши, Декарт, Эйлер, Ферма,
Галилей, Гаусс, Лагранж, Лаплас, Лежандр, Лейбниц, Монж,
Ньютон, Пуанкаре, Штейнер, если называть только извест-
нейших.
Надо иметь в виду следующие соображения. Во-первых, то,
что раньше считалось доказанным строго, может показаться
в более позднее время, когда к проблеме подходят с более
сильными методами доказательства, доказанным нестрого. Это
имеет место, например, в исчислении бесконечно малых. Так,
однажды во время доклада о Ньютоне один критически на-
строенный математик сказал: «Ах, это человек, который нашел
то, из чего впоследствии возникло дифференциальное исчи-
сление!» Во-вторых, в процессе образования новая отрасль
науки проходит стадию перехода от шаткого обоснования
к строгому систематическому представлению доказательств.
Я сам пережил это в студенческие годы, когда один наш
37
величайший математик создал теорию интегральных уравне-
ний. Помню, как тогда ассистент Андре, который обработал
курс лекций, написал тонким карандашом на краю машино-
писного текста: «начиная от стр. ... до ... не дается га-
рантии в справедливости изложенного» и как в рождествен-
скую ночь математическая корпорация приветствовала про-
фессора следующими стихами:
«Чтб было сперва непонятным,
Андре, наконец, сделал ясным».
Совсем недавно один известный математик писал в преди-
словии к книге: «При построении классической топологии,
начиная с Пуанкаре, часто использовалась человеческая
привилегия ошибаться. Я старательно следовал этому великому
примеру в моей „маленькой" топологии».
Математические книги, совершенно свободные от ошибок,—
я исключаю отсюда изложения общепринятых разработанных
областей науки — встречаются очень редко. И тем не менее
в других областях науки дело обстоит еще хуже.
Во время одного заседания математического общества пред-
седатель представил присутствующим только что вышедший
труд одного из самых критически настроенных членов обще-
ства. Он значился в книге Лека как труд с единственной
ошибкой и с примечанием, что ошибка сообщена самим авто-
ром. Председатель назвал этот труд «книгой без ошибок».
Несколько месяцев спустя я беседовал за границей с близким
коллегой автора и рассказал ему это высказывание. «Я уже
сообщил автору об одной ошибке», — ответил он.
IV. Ошибки школьников
Предварительные замечания
Приводимые ниже примеры, за немногими исключениями,
действительно представляют собой «подлинный» продукт
творчества учащихся, т. е. приведены мною в их первона-
чальном виде. В нижеследующих разделах я старался не рас-
сматривать совершенно бессмысленных ошибок, которые не
так уж редки в тетрадях учащихся. Приведем лишь несколько
таких примеров, звучащих весьма курьезно.
1. Из экзаменационной работы одной юной дамы, которая
хотела получить экстерном свидетельство об окончании лицея:
3S
«Теорема Пифагора гласит: квадрат, построенный на ги*
потенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
Требуется доказать: аг = Ь*-\-с*.
Доказательство. Если площадь квадрата, построенного на
гипотенузе, равна 2, а площади обоих квадратов, построен-
ных на катетах, равны 1, то мы приходим к результату
2 = 14-1, но 14“ 1 и есть 2. Следовательно, 2 = 2. Под-
ставляя вместо этих чисел буквы а, b и с, мы получаем
а* = Ь1-\-с1, что и требовалось доказать».
2. Приведем теперь пример из творчества мужской поло-
вины человечества. Ошибка в этом примере не так прозрачна,
и в конце даже получается правильный результат. Один
ученик старших классов дает такое решение следующей
задачи; «Найти уравнение окружности с центром на оси х,
проходящей через точку Р (4,2) и имеющей радиус 13».
«В общее уравнение окружности
(х——&)* = rl
подставим известные нам значения; мы получим (х— 4)2-j-
4~(у— 2)2=13. Исключим сначала у, а затем х:
/ —4j-{-7 = 0, у = 24-/4 —7;
у равно 0, так как корень не извлекается;
х2— 8x4-7 = 0, х, = 7, х1 = 1(у1 = 0, у2 = 0).
Отсюда получаем два решения;
(х — 7)*4-(у — 0)2=13 и (х— l)‘4-(j —0)! = 13.»
3. Приведем еще один пример ученической ошибки, кото-
рый часто рассказывают как шутку. Требуется доказать
следующее предложение. На прямой взяты точки А, О, №.
В, N, расположенные в указанном порядке, причем АО=ОВ
ОМ ов п
и qq=o^- Доказать, что
AM _ AN
МВ~~~ BN •
Решение, которое действительно дал один ученик, было таким:
он сократил первую дробь на №, вторую — на и получил
£ ±
В "в •
39
4. Этот пример очень напоминает шуточный вопрос, за-
данный в математическом обществе, почему нельзя сократить
du , С dx (* .
выражение на а ), и почему нельзя написав I — — \ а
и получить единицу,— ведь известно, что интегрирование
и дифференцирование — взаимно обратные операции! Однажды
мне действительно встретилось следующее вычисление:
[ f (х) dx J dx х
J' f (x) g (x) dx J’ g (x) dx j' g (x) dx '
5. В нижеследующих примерах почти не приводятся обыч-
ные ошибки в вычислениях. Однако и они иногда бывают так
замаскированы, что невнимательный читатель обнаружит их
не сразу. Пусть, например, требуется определить расстояние
между точками РДП; 46) и /-*,.(137; 14). По известной фор-
муле
РЛ=/(л—л)г+(л —
мы имеем:
PJ\ = /322 4- 126г = /1024 + 15 876 = И 16 900 = 430.
6. Приведенные здесь задачи не содержат никаких особых
трудностей или особенностей в формулировке, которые могли
бы натолкнуть на неверное решение. Это обычные школьные
задачи. Приведем пример, когда из-за своеобразной формули-
ровки совершенно тривиальная задача может показаться
трудной проблемой. Произвольная точка гиперболы соединяется
с фокусами. Через середины радиусов-векторов проведены
к ним перпендикуляры. Найти геометрическое место точек
пересечения этих перпендикуляров для всех точек гиперболы.
Можно подойти к решению задачи аналитически или синте-
тически, можно даже сделать точный или приблизительный
чертеж, и все же ошибиться. А в действительности задача
решается следующим образом. Так как в треугольнике три
перпендикуляра, проведенные через середины сторон, пересе-
каются в одной точке, то для любой точки гиперболы точка
пересечения упомянутых в задаче перпендикуляров всегда
*) Когда верно равенство —у? Оно верно для случая
y — kx, а также при у — е^пх; последнее выражение, впрочем, есть
не что иное, как у = х.
40
лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка,
соединяющего фокусы.
Неправильное, ложное понимание или просто непонимание
изучаемых положений вместе с прямым прегрешением против
логики—наиболее частые причины ошибок. Иногда случается,
что все написанное учащимся верно, но отсутствует .нечто
более или менее важное, в результате чего решение полу-
чается неудовлетворительным. Иногда неправильный чертеж
приводит к ложному результату. Особого внимания заслужи-
вают некоторые курьезные случаи, в которых получается
верный результат, несмотря на грубые ошибки в решении.
Одна ошибка особенно характерна для большинства при-
веденных здесь подлинных работ учащихся. Они боятся из-
лагать свои мысли и ограничиваются приведением голых фор-
мул, даже в тех случаях, когда объяснение является совер-
шенно необходимым. Насколько затрудняется этим понимание
хода решения, покажут приведенные ниже примеры.
Уравнения
1. Решить уравнение
а — х 1 — Ьх
1 — ах b — х '
Решение.
(а — х}(Ъ— х) = (1 —ах)(1 — Ъх\,
ab — ах — Ьх-\-х*—\ — Ьх — ах-\- abx*;
хг = 1 аЬхг — ab;
х*— 1 =ab(xl — 1);
1 =ab.
2. Задано уравнение
(х + 1 )г - (х + 2) (х 4- 3) = (х 4- 4) (х 4г 5) - (X 4- 6)1.
Решение.
х14" 2х 4-1 — х*— 5х — 6 = х*4- 9x4" 2® — х*— ^х— 36;
— Зх — 5 = — Зх — 16;
5 = 16.
3. Решить уравнение
6______9____1________4__
х — 3 X — 2 х—4 х— I’
41
Решение.
6(х - 2) — 9(х — 3)_(х- 1)-4(х-4).
(х —3)(х —2) (х — 4) (х — 1) ’
6х — 12 — 9х + 27 х — 1 — 4х 16 ,
х2 - 5х + 6 х2 — 5х + 4 ’
15-Зх __ 15-Зх
х* - 5* + 6 х2 — 5л + 4 *
Итак,
6 = 4.
4. Решить уравнение
/7+4 __ /7-4
/7+1 + 2/6 + 1 —‘/«+1- 2/6+1
Решение.
/лЛ/х — 2/бх-//х + 4 /х/Т — 8/б + 4 =
= /х1-/х -/ 2 /бх -/ /х — 4 /х/1 — 8 /б — 4;
8/х4-14“8=:4/бх;
2 /х/Т = /бх —2;
4х4-4 = 6х4-4 — 4/ 6х;
2 /бх = х;
24х = х1;
х = 24.
5. Решить уравнение
/х —4 ——/х —1=0.
У х— 4
Решение.
х — 4 — 3 — /(х — 1) (х — 4) = 0;
х — 7 = /(х— 1)(х—4);
х* — 14х / 49 = х* — 5х 4- 4;
9х = 45;
х = 5.
6. Составить уравнение, корни которого на у больше
корней уравнения 7х! — 6x4* 1=0,
42
Решение. Пусть а и 0 — корни данного уравнения;
корни нового уравнения будут тогда а-|-у, р-|-у,асамо
уравнение примет вид
/-(» + 4 + ?+|)^ + («+т) (₽ + |)=°-
Но а-{-0 = 6, ар=1 (по формулам Виета). Отсюда полу-
чаем требуемое уравнение
у* — 7у-|-4 = 0, или 4у4— 28у-|-17 = 0.
7. х-|-х ]/2 = 1; найти х.
Решение.
х ]/~2 =1 — х;
2х* = 1 х* — 2х;
х’-|-2х—1=0;
х = — 1+1/2.
8. х-{-2]/х = 3; найти х.
Решение.
Так как заданное уравнение содержит квадратные корни,
то необходимо проверить подстановкой, удовлетворяют ли
найденные значения уравнению. Число 1 удовлетворяет урав-
нению, число 9 является «посторонним корнем».
9. Решить систему двух уравнений с двумя неизвестными
I - + ^ = 2,
J У ‘ х ’
( х —у = 4.
(1)
(2)
43
Решение. Из (1) следует
х2 -\-уг = 2ху\
х1 — 2ху-{-у’ = 0;
(x-yf^O;
х—у = 0;
х —у я= 4;
6 ==’4?
10. Решить систему уравнений
[ (а — 2)х-(-(За—1)_у = 2а,
I 4х — 2 (а—1)у = — а.
Провести, в частности, исследование для случаев а = 0
и а = —3.
Решение. Умножим первое уравнение на 4, а второе —
на а — 2. Затем вычтем почленно второе уравнение из пер-
вого; получим
у(2а* + 6а) = а* + 6а, откуда Д'= •
Подставляя это значение в первое уравнение, получим
__ а — 3
Х — 2(а + 3) •
Если а — 0, то №—1-^ = 1.
Если а = — 3, то х = —оо, у^=оо.
11. Решить систему уравнений
( хг-\-ху = 14, (1)
1 х + у— 7. (2)
Решение. Деля почленно первое уравнение на второе,
получим х = 2, а потому у = 5. Подставляя для пробы зна-
чение у — 5 в уравнение (1), получим
хг4-5х—14 = 0;
5 , 9
х— 2 — 2 ’
х, = 2;
х2 = —7.
Теперь из уравнения (2) следует, чтоу2 = 14.
44
12. Решить систему уравнений
( а1х1 = Ь1уг,
| 2ах* = Ь' су.
Решение. Разделим уравнения почленно:
а у ас
-=У- „ли у = у.
Подставим значение у в уравнение (2):
2ах' = Ьгс~;
*
। t>o
х=± у-
Подставляя значение х в уравнение (1), получаем
Ь*с*__«.»„».
(2)
« aV.
у =-4-;
. ас
13. Решить систему уравнений
J х*—у* = 9,
| 2х-|-Зу = 22.
22 — Зи
Решение. Из уравнения (2) имеем х=—%—. Под-
ставив в уравнение (1), получаем 5_у’—132^-|-448 = 0;
л 112
^ = 4 и—.
Подставляя в уравнение (1), находим
, _ ,113
х = -4-5 и х = ±"з~- 14 * * *
(1)
(2)
14. Решить систему уравнений
x__z/-26
. у x-i6'
ху = 25.
(1)
(2)
45
Решение.
х* — 26х = у* — 2&у,
х* — у1 — 26х + 26у = 0;
(х — у){х-\-у) — 26 (X—>) = 0;
(х —+ > —26) = 0;
а) х — _у = 0,
Ь) х 4" У = 26.
2х = 26; х=13.
2у = 26; у = 13.
Ученик, давший такое решение, заметил при этом: «Одно
уравнение с двумя неизвестными также может быть решено.»
Беря, однако, уравнение Ь) с исходным уравнением (2),
получаем
( х-|-^==26,
| ху = 25.
х(26 — х) = 25;
Xs —26x4-25 = 0;
х= 13 ±У 13* —5*;
х = 13±12.
При х, = 25 из уравнения х — у = 0 следует, что _у,=25.
При х, = 1 получаем аналогично, чтод>,= 1.
15. Найти такие два числа, у которых равны сумма, про-
изведение и сумма квадратов.
Решение. По условию задачи
х 4-у = ху = х* 4-/.
В силу соотношения
х* 4"Уг = 4"У)2 — %ху
следует, что
З(х4-^)=(х4-^)*,
т. е.
х4-.у = 3.
Следовательно, х и у являются корнями уравнения
«* —За 4-3 = 0,
45
откуда
3±
«=—---------•
Задача имеет, таким образом, только мнимые решения.
16. Из Скандерборга в Силькеборг (два города в Ютлан-
дии) отправились три поезда: А, В и С. Поезд А расходует
на весь путь на 10 минут больше, чем поезд В, но на
40 минут меньше, чем поезд С; поезд А проходит в час
1 2
на 6-=- км меньше, чем поезд В, но на 12-=- км больше,
о о
чем поезд С. Сколько часов требуется поезду А на весь
путь и какова его скорость?
Решение.
А тратит на весь путь 60х минут, его скорость у км;
В » » » » 50х » » » у 6 ;
2
С » » » » 100х » » » у—12 — »;
и
Теперь мы можем составить уравнения:
бОху = 50ху 31 Ох
у = 31
Используя найденное значение у,
получим х— 1.
Искомая скорость поезда А равна 31 км в час, а продол-
жительность всего пробега— 1 час.
17. Решить уравнение
"Кх — а*-|-ргх — Ь2 = а — Ь.
Рассмотреть отдельно случай, когда а — Ь.
Решение.
J/ х— а* — а — b — /х — Ь2;
х — а2 = а2 — 2аЬ b2 х — Ь2 — 2 (а — b) Vх — Ь2;
а(Ь — а) = {Ь — а) Ух — Ь2;
а2 = х — Ь2;
X = а2 Ь2.
47
Подстановка показывает, что первый квадратный корень сле-
дует брать отрицательным. В случае а = Ь имеем х = 2а*.
18. Решить систему уравнений
( х* ху — а* ab,
I У* Нг ХУ — а* — а&-
Решение. Почленно складывая уравнения, получаем
(х+# = 2а*,_
х-\-у = а V2.
Почленно перемножая заданные уравнения, получаем
ху (х у)г = ai — a'b*,
откуда, используя предыдущее уравнение, имеем
Составим теперь квадратное уравнение
Решая это уравнение, получаем
Итак,
г_(«+&)/2 (a-fe)/2
х-----j 2
(a-b)/2 (a 4-fe) /2
у~~ 2 2
19. Решить уравнение 9 • 12^х = 6*.
Решение 1. Положим }/~х=у; тогда
9-12^' = &'1, или 9 (2 • 6/ = (б^)1.
Последнее уравнение распадается на два уравнения 6х = О
и 9-2у = 6у, из которых первое не имеет корней. Второе
уравнение можно преобразовать следующим образом:
9 • 2У = 2У • 3<
48
Последнее уравнение снова распадается на два уравнения
2’' = 0 и 9 = 33'. Первое из этих уравнений, как и раньше,
не имеет корней, последнее имеет корень у~2, откуда
х==4.
Решение 2. Обозначим }/гх=у, тогда наше уравнение
примет вид
9-12^ = бЛ
Разложим числа 9, 12 и 6 на простые множители:
Зг+у-2гу = 2уг-Зу\
Так как число может быть разложено на простые множители
только одним способом, то
2 4- у — у*‘, 2у — уг\
отсюда
г 2, _ /2,
Так как два уравнения должны удовлетворяться одновре-
менно, то только у —2 и /х = 2, х = 4.
20. Решить уравнение .
Решение. 3*+7 = 4*+’, откуда в силу равенства пока-
зателей степеней получаем, что 3 = 4.
г> / 2 Мг* / 3 \1г* 13,.
21. Решить уравнение (-д-1 “Г(у ) = -g- ).
Приводятся три варианта «решения».
Решение 1.
4!g* 9ig* 13
gig X "Т gig X "S’ ’
lg x = 1; я =10.
*) Согласно общепринятым обозначениям, произвольный логарифм
обозначается через log, десятичный логарифм — через 1g, а натураль-
ный логарифм — через 1п.
49
Решение 2.
lg х lg-| 4- lg x lgy=lgy; lgx(lgy4-lgy)=lgy;
igx-ig^=ig^; ig*=i; x=io.
Решение 3').
Так как log a l°g b = l°g ab, to
ig«(ig4+i4)=iB [(M)1"]-
- , 2 . . 3 , ( 2 3 \
Так как, далее, 1g y-f- lg у = lg I у • у 1, т°, следовательно,
lgx-lg 1 =lg 1;
lgx=l;
x=10.
Арифметика
’) Это решение было прислано мне в редакцию одним абитуриен-
том и рассматривалось им как безусловно «ошибочное».
6Q
3. Чему равно iint
Решение.
i‘n=(V-1 r=((- =(+1)1* =+ь
4. В формуле разложения бинома Ньютона
(а + Ь)п = ап + пап~'b-J- • • • ±Ьп
при л = 0 получаем (a4;i>)0= 1 4-0-j-• • • ± 1-
Таким образом (а-Ь равно либо 0, либо 2.
5. В сосуде имелось 2000 литров воды. С помощью трубы
из сосуда выливается каждую минуту 50 литров воды. Какое
количество воды останется в сосуде через 1, 2, 3, х
минут? Будет ли количество воды в сосуде прямо или
обратно пропорционально времени? Будет ли количество
вытекшей жидкости прямо или обратно пропорционально
времени?
Решение.
По прошествии 1 минуты в сосуде осталось 2000 — 50 = 1950 л
» » 2 минут » » 2000 — 2-50= 1900 л
» » 3 » » » 2000 — 3-50= 1850 л
» » х » » 2000 — х-50 л.
Чем больше прошло времени, тем меньше становится коли-
чество воды в сосуде, т. е. количество воды в сосуде
обратно пропорционально времени. Чем больше прошло вре-
мени, тем больше количество вытекшей воды, т. е. количество
вытекшей воды прямо пропорционально времени.
6. Вычислить с помощью таблиц логарифмов х= р/ 1g 0,3.
Решение.
х = /0,4771 — 1 = . 0.7184 х)= 3 1g х = — 0,2395 = х = = р/ —0,5228; = 0,2395; = 0,7605— 1; = 0,5761. 51
7. Для каких значений а и Ь имеет место неравенство
Решение.
4- + —>2?
Ъ 1 а '
а*Ьг 2аЬ;
а1 — ab^-ab — Ь*;
а(а—b)>b(a — Ь);
а~> Ь.
Следовательно, неравенство справедливо, когда а'^>Ь.
8. Доказать, что число п*—1, где п — простое число,
большее 5, делится без остатка на 240.
Решение. 240 = 3>5>24.
Число л4—1 1)(«-}-1) (п—1) делится на 3,
так как л—1, л, л-}-1 являются тремя последовательными
целыми числами. Одно из этих чисел поэтому должно делиться
на 3, а так как л — простое, то на 3 делится либо л—1,
либо л —|-1. На 5 число л*—1 делится в силу теоремы
Ферма*). Число 24 также является делителем числа л4—1
в силу следующих соображений: при делении числа л на 2
получается остаток 1, поэтому при делении числа л4 на 2‘
получается остаток 14 = 1 и, следовательно, число л4—1
делится на 24 без остатка.
9. Какой остаток получается при делении числа а* — а
на 12 (а — целое положительное число)?
Решение. Число а’ — а = а(а-|_П(а—1) делится на
3, так как три его сомножителя являются тремя последова-
тельными целыми числами. При делении на 4 число а дает
в остатке 0, 1, 2 или 3, а число а* — соответственно 0, 1,
8 или 27. Поэтому при делении числа а* — а получается
остаток 0, 0, 6 или 24; последний остаток можно отбросить,
так как при этом число аг — а делится на 12. Ответ, сле-
довательно, таков: 0 или 6.
10. Доказать, что сумма а-\-Ь и произведение ab двух
взаимно простых чисел а и b взаимно просты.
*) Теорема Ферма утверждает, что число аР~1 — 1, где а —целое
число, р — простое число, делится без остатка на р, за исключением
того случая, когда а делится на р.
52
Решение. Любой делитель произведения ab является
делителем только одного из сомножителей, например сомно-
жителя а. Поэтому он не может быть делителем суммы
а-\-Ь, так как в противном случае он должен быть делителем
числа b (сумма делится на какое-нибудь число только в том
случае, когда на> это число делятся все слагаемые), что не-
возможно в силу взаимной простоты чисел а и Ь. Следова-
тельно, числа а-±-Ь и ab не имеют общих делителей, т. е.
а-\- b и ab взаимно просты.
11. Доказать, что для любых целых положительных чи-
сел а и b абсолютная величина суммы а-\-Ь больше абсо-
лютной величины разности между а — Ъ.
Решение. Обозначим абсолютную величину числа t
через ]/] и проведем следующее рассуждение:
| а [ а [ —61;
|а| 4-| Ь\> | a J \Ь\;
|а| — |Z»l = |a — ь\.
Следовательно, [ — ft], что и требовалось доказать.
12. Исследовать, можно ли из неравенств
вывести неравенство
bf>ed
(все входящие в неравенства величины положительны).
Решение. Деля почленно данные неравенства, получим
положительный.
13. Найти последний член ап и число членов п геомет-
рической прогрессии, в которой первый член равен а, зна-
менатель равен k и сумма членов равна Ь.
Примеры:
a) a — k~ 3, Ь — 1092; Ь) а =й = 3, Ь— 10000.
Решение, а)
1092 ^-31_ап33-; ап = 729;
729 = 3.3В-, = 3"; л = 6.
S3
10000= . V ;
а = 6667 4;
9
6667 4 = 3”.
о
lg6667,67_ 3,8240 __
lg3 ~"0,4771 — 8,1
14. Первый и четвертый члены геометрической прогрессии
равны соответственно 2,1 и —0,0168; сколько членов про-
грессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 1,75056?
Решение. Из 2,1#’ = — 0,0168 получаем, что q =
=—0,2. Далее, из
1,75056 = 2,1 •
следует, что (—0,2)" = — 0,00032, откуда
IgO,00032 0,5052 - 4 _ , л
”=~"'ig0,2 =0,301б-1=5 (приблизительно).
Планиметрия
, гт 1Z(2аг— Ь2) /2 ,
1. Построить отрезок х— у ———, где а и о —
данные отрезки.
Решение. Положим 2а* — Ь*—у* и построим у как
катет прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза
равна 2а, а другой катет равен Ь. Тогда
Положим теперь
^/2 _
з —г
и построим z как четвертую пропорциональную к отрезкам 3,
у и К2. Наконец, построим отрезок
x=V~yz
как среднюю пропорциональную между отрезками у и г.
54
2. Даны две концентрические окружности радиусов а и Ь,
причем а>Ь. Найти радиус третьей концентрической окруж-
ности, кбторая делит круговое кольцо между исходными
окружностями на два таких круговых кольца, что площадь
внешнего кольца в два раза больше площади внутреннего.
Решение. Обозначим радиус искомой окружности через
х; тогда в силу теоремы о площадях подобных фигур мы
имеем
(х- Ь)*_ 2
(а - х)г ~~ 1 ’
откуда после преобразований получим
хг — 2х (2а — Ь) 4- 2а’ — Ьг = 0;
х = 2а — V4а’ -\-Ь2 — 4аЬ — 2а2 Ь2;
х = 2а — b + (а — Ь) р^2.
3. Дан треугольник АВС. Построить прямую, пересекаю-
щую стороны АВ и ВС, одинаково удаленную от вершин А
и В и находящуюся от вершины С на расстоянии, вдвое
меньшем, чем от вершины В (рис. 43).
Решение. Разделим сторону АВ в точке М пополам,
а сторону ВС—на три равные части, причем через N обо-
значим конец ближайшего к С отрезка. Прямая MN—искомая.
4. В треугольнике АВС даны стороны
а =1,3 см, Ь = 0,5 см, с =1,2 см.
Биссектриса внешнего угла В пересекает продолжение сто-
роны АС в точке D. Определить AD (рис. 44).
Решение. В силу теоремы о свойстве биссектрисы
внешнего угла треугольника мы имеем
х х-р0,5 0,5
ГЗ 1,2 —0,1 ’
55
откуда х-}-0,5 = —6. Так как длина отрезка не может быть
отрицательной, то Л£) = 6 см.
5. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника
делит противолежащий катет на два отрезка в 4 см и 5 см.
Найти стороны треугольника (рис. 45).
Решение.
У_.
5 ~ 4 ’
у* = х’4-81;
gx- = x’+81;
^ = 81;
, 16-81
х = — = 144;
х=12(см); у=}5(см).
в. Через середину хорды, стягивающей дугу в 120°,
проведена другая хорда, у которой одна ее часть в три
раза больше другой. Что это за хор-
\\ да?
Решение. Эта хорда-диаметр,
х \ так как расстояние первой хорды от
\ центра равно половине радиуса. Таким
_______\\ образом, два отрезка второй хорды рав-
5______13
Рис. 45. ны у г и-^г(г — радиус круга). Послед-
ний отрезок в три раза больше первого, как и требовалось.
7. Две окружности, пересекающиеся в точках Р и Q,
касаются сторон некоторого угла. Обозначим точки касания
первой окружности со сторонами
угла через А и Л,, второй окруж-
ности—через Ви В,, причем уело- \
вимся, что точки Л и В лежат на )
одной стороне угла. Доказать, что s' к \АЛ J
1) прямая PQ делит отрезки ЛВ и ' —
А,В, пополам, 2) отрезки ЛЛ., ВВ, „
и PQ параллельны (рис. 46).
Решение. Прямая PQ пересекает отрезок ЛВ в точке С,
отрезок А1В1— в точке Ct. По теореме о степени точки от-
носительно окружности имеем
CAt = CP-CQ==CBi.
Следовательно, С—середина отрезка ЛВ, Аналогично дока-
56
зывается, что Ct— середина отрезка AtBt. Прямые ЛЛ,, PQ
и ВВХ параллельны, так как они отсекают равные отрезки
на прямых АВ и Л, В,.
двух решений эта сторона
8. Построить треугольник по двум отрезкам, на которые
биссектриса одного из углов делит противолежащую сторону,
и углу, прилежащему к этой стороне. Указать, при каких
условиях задача имеет два
различных решения (рис. 47).
Решение. На одной из
сторон данного угла Л от-
ложим данные отрезки а и
Ь. Вершина третьего угла
треугольника должна быть
точкой пересечения другой
стороны угла с «кругом от-
ношений» 1). В случае наличия
должна пересекать круг. В случае, когда сторона касается
мы имеем по определению радиуса г круга отно-
круга,
шений
а___а + 2г
Ь 2г—Ь'
аЬ
откуда г=—у.
Таким
образом,
• л г
sin Л =—г
аЬ
а— Ь ____ab b
ab аг а
а — Ь
При наличии двух решений должно быть sin Л Известно,
что sin Л<^ 1; из этих двух неравенств следует, что
— < 1 или b <” а.
а
Искомым ограничением является, таким образом, условие,
чтобы больший из заданных отрезков
заданного угла.
прилежал к вершине
9. В прямоугольном треугольнике
В треугольник вписан квадрат, одна
даны катеты а и Ь,
из вершин которого
’) См. Ада мар, Элементарная геометрия, ч. 1, Учпедгиз, 1957,
стр. 115; — Прим. ред.
сектрисы внутреннего
Рис. 48.
совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Найти
сторону квадрата (рис. 48).
Решение. Диагонали квадрата являются биссектрисами
его углов. На основании известной теоремы о свойстве бис-
угла треугольника мы имеем (см. обо-
значения, указанные на чертеже)
а___ b __а-^-Ь __ а4- b
т"~ р ~~т-}-р / а2 + &2 ’
откуда
m_aV^+T,!
т =------г-г—.
а ь
левый маленький прямоугольный тре-
Далее, рассматривая
угольник, получим
— х)г — тг
аг (а2 4-й2)
(« + *)’
Решая это уравнение, получим для искомой стороны квадрата
два значения
ab а?
л 4“ й и 4~ й
10. Два треугольника имеют соответственно стороны а,
'о, с и а,, 6], с,; их периметры равны р и р,. Известно, что
Р_
ai Pi
Подобны ли треугольники?
Решение. Если треугольники подобны, то, как известно,
а__________________________Ь с
ai
В силу свойства ряда равных отношений мы имеем
а ________________ b __ с __ а-^-Ь 4-с __ р
ai ci ai 4* ci Pi
А так как стороны двух треугольников пропорциональны, то
треугольники подобны.
11. В каком описанном четырехугольнике диагонали
взаимно перпендикулярны (рис. 49)?
Решение. Так как четырехугольник описанный, то (см.
обозначения на чертеже)
а-\- с —
58
По теореме Пифагора
аг + сг = х1 + / + г14-и1 = г>2 + й’.
Из этих равенств мы получаем
a* — b'^d' — c* I a1 —dl = Z>‘ —с*
и а —b =d — с; | и а —d — b— с.
Деля почленно, имеем
a-\-b = d-\-c;
следовательно,
a = d
и Ь = с.
a-\-d — b-\-c;
следовательно,
а = Ь
и d — c.
Все четыре стороны
является ромбом.
четырехугольника равны, т. е. он
Тригонометрия и стереометрия
1. Каким условиям удовлетворяют углы a, f и у, если
tg а + tg Р + tg у = tg а • tg p • tg у?
Решение. Данное равенство можно преобразовать
в следующее:
tga = - =~tg(P + Y)-
Аналогично получается, что
tgP = — tg(a-f-Y) и tgY = — tg(a-{-p).
59
Подставляя значения tg р и tg -у в выражение для tga, получим
tg « == l-Va+t^X + P) = tg (2“ + ₽+Y) = “tg (₽+Y)
(в силу верхнего соотношения). Следовательно,
2. Найти х из
Решение.
2x = ctg(lg 7)
уравнения
tg2x = ctg(tg(lg7)).
1 _- 1_______1 ___i q oq.
tg (lg 7) tg48,42° 0,052 ' '
X = 9,615.
3. Доказать для треугольника формулы
w-tgy-tgf-tg-X,
n_ ________________S_______
л a ₽ V
4 cos • cos ~ • cos -Д-
где г— радиус вписанной, R— радиус описанной окружности,
$ — полупериметр.
Решение. Деля первое равенство на второе, имеем
X- = 4 sin ~ • sin • sin -X .
1\ III
Это же соотношение получаем при почленном делении из-
вестных формул
„ a Sln I -s,n f
R=^I И Г=а--------------------~
c°Sy
Следовательно, заданные формулы правильны.
4. Стороны треугольника равны а, Ь, с. Определить sin а.
Решение. По теореме синусов
а _ Ь в
sin a sin Р sin y ‘
60
Переставляя средние члены пропорции, получаем
а Ъ sin Р .
sin а с sin y ’
следовательно,
. ас
sin а = —.
о
5. Высота, проведенная из вершины А тетраэдра ABCD,
равна Л; три выходящие из вершины В ребра относятся, как
заданные числа р, q и г; двугранный угол между гранями АВС
и DBC равен а; £АВС=и, £DBC=v. Найти объем тет-
раэдра.
Решение.
АВ: ВС: BD=р :q: г;
АВ ________
BC-BD qr ’
BC-BD = ^^~:
Р
У=4-Л* -±-ВС• BD sin v = 4- h ABqr- sin v;
ox о p
AB—- h , ;
sin a • sin u
у___ h‘qr sin v
6p sin a sin и ’
6. Шар радиуса г пересечен плоскостью так, что кривая
поверхность получившегося сегмента в п раз больше площади
его основания. Какова высота сегмента? Какие значения мо-
жет принимать число л?
Решение.
2глЛ = ле!л (1)
е’ = Л(2г —Л) (2)
2гЛ = лЛ(2г — Л)
А = 2г1^1.
п
Чтобы установить, какие значения может принимать число п,
рассмотрим крайние значения для h.
1. Л, = 0. 2. ht — 2r.
61
Следовательно,
?—1 =0,
п
л— 1=0,
л = 1,
— = 1,
п ’
п— 1 = л,
0 = 1,
т. е. п не может быть правильной дробью.
7. Каким должен быть шаровой сегмент, если его объем
в п раз больше, чем объем вписанного в него конуса, имею-
щего с сегментом одинаковые основание и высоту?
Решение. Пусть х — высота, а у — радиус основания
сегмента. Тогда
п 2-/х = -£х’(Зг — х),
О о
или
пуг = х(3г — х); (U
уг = х(2г — х). (2)
Отсюда
з
Следовательно, должно быть . Наибольшее значение,
которое может принимать х, равно х = 2г. При таком наи-
большем значении х мы имеем
2г = г?^—/;
п — 1
2л — 2 = 2л — 3;
2 = 3.
8. Развертка боковой поверхности конуса на плоскость —
круговой сектор с центральным углом 237,77*. Определить
угол при вершине в осевом сечении конуса.
Решение. Пусть $ — образующая конуса, г — радиус
основания и v — половина угла при вершине в осевом сечении.
Тогда
2лг = 237,77*,
откуда г = 37,85. Далее,
237,77 2 о_ о_
- as = л37,85$,
льи ' *
62
откуда 5 = 57,31; наконец,
sin 1? =
37,85
57,31 ’
откуда 17 = 41,35°.
9. Где пересекаются на сфере большие окружности, про-
веденные перпендикулярно к одному и тому же меридиану
через точки А, В этого меридиана, расположенные на широ-
тах ф, и ф1 соответственно (рис. 50)?
Решение. Для определения долготы х и широты и мы
имеем соотношения
sin и
sin х — —-
sin и
. sin Z i ci\
sinx = -— (2)
sin и
cos и = cos у-sin ф,; (3)
cos и = cos z • sin ф2. (4)
Из (1) и (2) следует, что
sin у_______________sin г ,
sin и sin и ’
sin у = sin z; y — z. (5)
Из последнего соотношения и из равенств (3) и (4) вытекает,
что
cosy • sin ф,= cos z- sin ф1; (6)
sin ф, = sin ф,;
Ф1 = Ф,.
Следовательно, задача не имеет смысла!
10. Решить сферический треугольник, если заданы: а = 70е»
6 = 50°, у = 64,3°.
Решение. По теореме косинусов получаем
cos с = cos а • cos b -f- sin а • sin b • cos у (*)
Затем fro теореме синусов находим угол а:
63
Для вычислений используем четырехзначные логарифмы')
lg cos 50е = 9,8081 — 10
lg cos 70е = 9,5341 — 10
IgS, = 9,3422 — 10
Igsin 50° = 9,8843— 10
lg sin 70® = 9,9730— 10
lg cos 64,3® = 9,6371 — 10
IgS, = 9,4944 — 10
S, = 0,2199
S, = 0,3122
cos c = 0,5321
c = 57,85
Igsin 70° = 9,9730— 10
Igsin 64,3° = 9,9548—10
9,9278— 10
Igsin c = 9,9277 — 10
Igsin a = 0,0001
Таким образом, для угла а получается невозможное значение.
Аналитическая геометрия и исчисление
бесконечно малых величин
1. На прямой лежат три точки А, В, С в указанном
порядке. Найти аналитическим способом геометрическое мес-
то точек, из которых отрезки АВ и ВС видны под равными
углами.
Решение. Расположим оси координат таким образом,
чтобы точки А, В, С и переменная точка Р имели коорди-
наты (0, 0), (а, 0), (Ь, 0) и (х, у) соответственно. Согласно
условию задачи,
У_____У У
х — а х ______ х — а х — b
+ . У*
~ х (х — а) ' (х — а) (х — Ь)
’) Через S, и S, автор обозначает при вычислении соответственно
первое и второе слагаемые в правой части соотношения (*). — Прим,
ред.
64
Преобразуя это выражение, получим
— 2ах-\-а* — 0.
Последнее равенство является уравнением окружности.
2. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника переме-
щается параллельно самой себе. Найти (рис. 51) геометри-
ческое место точек пересе-
чения прямых AD и ВС. в
Из подобия треугольников имеем
а __п
Ь п
Из (1) и (2) получаем
bzx
Подставляя в равенство (3), получаем: -а_ х—'ь_ 1
агЬу — а'у* — аЬгх — Ь*х1;
Ьгхг — а1 у* = аЬгх — агЬу;
(Ьх — ау) (Ьх 4- ay) = аЬ (Ьх — ау).
Поделим почленно на (Ьх—ау)
bx-\-ay = ab;
а 1 b
Итак, получаем заданную гипотенузу (?)’).
’) Вопросительный знак поставлен самим учащимся.
65
3. Вывести уравнение окружности.
Решение. Соединим (рис. 52) произвольную точку (х, у)
окружности с началом координат. Тогда
х*4-у! = г‘,
где г — расстояние взятой точки от начала координат. Это
соотношение верно для каждой точки ок-
ружности.
4. Составить уравнения касательных к
[ \ окружности
Л ) (х4-1)14-(у-3)‘ = 29,
/ *
i __________ проведенных в точках, абсциссы которых
х равны 4. Найти далее уравнение второй
Рис. 52. степени, выражающее эту пару касатель-
ных.
Решение. Подставляя значение х = 4 в уравнение
окружности, получим у = 5, _у = 1. Уравнение касательной
к окружности в точке (4, 5) будет
5(х-{- 1)-|-2(у— 3) = 29’ или 5х4-2у = 842.
Уравнение касательной к окружности в точке (4, 1)
5(х4"1) — 2 (у— 3) = 29’ или 5х— 2у = 830.
Уравнение пары касательных получается перемножением
уравнений отдельных касательных; та-
ким образом, оно имеет вид
(5х + 2у) (5х — 2у) = 842 • 830,
или
25х’ — 4/= 698 860.
5. Какие координаты имеет точка
параболы, для которой отрезок, соеди-
няющий ее с фокусом, имеет ту же
длину, что и проведенная в этой точке касательная к
параболе (рис. 53)?
Решение. Длина касательной
/, = /(2x1)i + .yf.
66
Длина отрезка, соединяющего точку Р с фокусом:
4= ]/ + у/•
Так как = то
—2") ;
= X, 2 •
Итак, точек параболы, обладающих требуемым свойством,
не существует.
6. Найти1
tg3x4-tg5x
lim -s——
к tgx
-> —-
2
Решение.
Если х = у, то tg3x = tg5x = tgx. Таким
, 2tg х п
образом, искомый предел имеет вид -^- = 2,
7. Исследовать функцию
№ 4-х-20
У ~~ 2х - 8
на максимум и минимум.
Решение.
, _ (2х — 8) (2х-р 1) — (х24-х-20)-2__2хг- 16*4-32 .
У ~' (2х — 8)г ~ (2х - 8)а
2№— 16х-|-32 —0;
х1 — 8х-{-16 = 0;
(х — 4)’ = 0;
х = -{-4;
164-4-20 0
у= Т-~> У=-о-
*) Упражнение было предложено школьникам, знакомым с диф-
ференциальным исчислением.
67
Для определения у дифференцируем числитель и знаме-
натель в отдельности
При x = -[-4 получим
i 9
J —+ y •
Таким образом, ^-(“4, “by)—искомая пара.
8. Вывод закона преломления (рис. 54). Луч света в пер-
вой среде
имеет скорость clt во второй среде — скорость сг.
Время, которое луч тратит на путь
PiPPj, равно
4
Далее
Cl
(1)
jrp = sina,
Таким образом,
1 sin a ’
е— х . а
-p77=sin₽-
PP =-—-
* sin p •
2
С2
Подставляя в равенство (1), получим
__ х । е— х
Ct sin a •" с2 sin p ’
Минимум времени достигается при t' =0,
—S-4-—=о
с, sin a 1 с, sin р ’
т. е. при
или
Cj sin a = c2 sin P,
Ct________sin p
c2 sin a '
В. СОФИЗМЫ
I. Введение
Содержанием второй части данной книги являются софизмы.
Им обычно противопоставляют ошибочные заключения, разо-
бранные в первой части книги. Если в софизмах явно про-
является намерение ввести изучающего их в заблуждение,
то случай ошибочных заключений отличается тем, что до-
пускающее их лицо само искренне уверено в правильности
рассуждения. Естественно, что это различие не является
существенным. Ошибочное заключение, сделанное мною се-
годня, я смогу завтра сформулировать в виде софизма. Точно
так же самые известные софизмы встречаются вновь и вновь
как непреднамеренные и очень распространенные ошибки.
Было сделано много попыток сгруппировать софизмы и
ошибочные заключения по характеру допущенных в них
ошибок, но по вполне понятной причине они не оказались
удачными. Дело в том, что зачастую при доказательствах
и рассуждениях опускаются многие необходимые промежу-
точные звенья в цепи логического построения. Очень часто
погрешность находится именно в этих, не разобранных по-
дробно местах. Таким образом, многие ошибочные заключения
и софизмы принадлежат к тому большому классу рассужде-
ний, в которых некоторые не рассмотренные подробно места
считаются очевидными.
Большим искусством является так изложить софизм,
чтобы читатель или слушатель не заметил допущенной ошибки
до тех пор, пока абсурдный вывод не натолкнет его на
мысль о том, каким же образом он был введен в заблужде-
ние. Эта цель, однако, не всегда достигается. Встречаются
очень сообразительные люди, которых трудно ввести в за-
блуждение, особенно когда их внимание вдвойне обостряется
69
в силу странности утверждения. Кроме того, имеет большое
значение, в какой мере читатель знаком с методами доказа-
тельств и вычислений. Например, софизмы, относящиеся к
неравенствам, введены лишь потому, что в Германии тема
«неравенства» проходится в средней школе очень поверх-
ностно. Человеку, хорошо знакомому с неравенствами, они
покажутся просто грубыми.
Итак, софизмы должны быть таким образом замаскированы,
чтобы озадачить читателя или слушателя; только тогда они
достигнут цели. Если этого нет, то они становятся, триви-
альными и непривлекательными. Я приведу три примера, ко-
торые в завуалированной форме много раз встречаются нам в
двух первых разделах.
1. Из
0-7 = 0.8
получаем, сокращая на общий сомножитель 0, что
7 = 8.
2. Извлекая квадратный корень из обеих частей равен-
ства
(-а)’= (+«)*,
получим
— а = -|-а.
3. Даны два уравнения первой степени с двумя неиз-
вестными
х4- у = 1
х--у = 2
Из них выводим, что
1 = 2.
Конечно, софизм, который уместен в пятом классе школы,
может вызвать у старших школьников только улыбку. Мне
70
вспоминается известный шуточный вопрос: как показать что
45 — 45 = 45?’)
4. Имеем:
94-84-74-64-54-44-34-24-1=45,
14-24-34-44-54-64-74-84-9 = 45.
Вычтем вторую строчку из первой, причем вычитать бу-
дем согласно известному правилу, с конца: 9 из 1 вычесть
нельзя, займем 1, 11 минус 9 равно 2; 8 из 1 вычесть
нельзя, займем 1, И минус 8 равно 3; продолжая вычитать
таким способом, получим: 12 минус 7 равно 5, 13 минус 6
равно 7, 14 минус 5 равно 9, 5 минус 4 равно 1, 7 минус
3 равно 4, 8 минус 2 равно 6, 9 минус 1 равно 8. Таким
образом, получается
84-64-44-14-94-74-54-34-2 = 45.
Следовательно, показано, что 45 — 45 = 45.
Конечно, нельзя оспаривать, что и некоторые из тех
софизмов, в которых ошибка совершенно очевидна, все-таки
имеют свою прелесть. Вот некоторые примеры такого рода.
S. Приведем сначала одну известную историю. Некто
купил в магазине картину за 15 марок. На другой день
покупатель возвращается в магазин: он хочет поменять кар-
тину. Покупатель выбирает новую картину стоимостью в 30
марок. Не платя денег, он хочет уйти. Владелец магазина
возвращает покупателя назад. «Позвольте, — возражает
хитрец, — я ведь вернул Вам картину стоимостью в 15 марок,
да еще вчера заплатил Вам 15 марок. Вместе это составит
30 марок. Итак, мы квиты!»
6. Не менее поучителен следующий софизм. Часто гово-
рят, что число людей в древности было гораздо меньше,
чем сейчас. Простое вычисление показывает, насколько оши-
бочен такой взгляд. Пусть число людей, живущих в настоя-
щий момент, равно п. Каждый из них имел отца и мать,
т. е. двух родителей, каждый из которых обладал тоже двумя
родителями; всего предков второго поколения, следова-
*) Этот пример и некоторые другие во введении взяты из книжки
автора, указанной в сноске на стр. 27.
71
Тельно, 4. Нисходя таким образом до р-гО поколений пред-
ков, получим для каждого живущего 2-° предков. Примем
теперь, что каждое новое поколение появляется через 30 лет
(это, пожалуй, даже больше, чем в действительности). Тогда
у каждого ныне живущего человека 30-р лет тому назад
жило на земном шаре 2Р предков. Для п человек это число
увеличится до л-2р предков. Так как 210 приблизительно
равно 1000, то 300 лет назад население земного шара было
в 1000 раз больше, чем теперь, а 600 лет назад — даже в
1 000 000 раз больше и т. д.
7. Уравнение
(5 — Зх) (7 — 2х) = (11 — 6х) (3 — х)
один ученик решал следующим образом:
5 —3x4-7 —2х= 11—6x4-3 —х;
12 —5х= 14 —7х;
2х = 2;
х= 1.
Производя проверку, он получил
2-5 = 5-2.
(1 4- х)’
8. Другой ученик сократил у дроби * _ показатели 2,
X 1 Н- %
получил дробь и при этом пришел к правильному ре-
зультату.
Можно также сформулировать софизм в виде вопроса.
В этом случае от отвечающего требуется раскрыть софизм.
Часто случается, что отвечающий не замечает софизма, осо-
бенно если он сформулирован в виде упражнения, да еще
при некотором умении спрашивающего.
9. На вопрос, сколько стоит книга и сколько стоит ее
переплет, если переплетенная книга стоит 11 марок, а
книга на 10 марок дороже, чем переплет, многие не очень
сведущие в математике люди дают неверный ответ: книга
без переплета стоит 10 марок, а переплет стоит 1 марку.
10. Некто покупает у лавочника товар за 6 марок. Он
дает купцу банкнот в 10 марок. Продавец не может дать
72
сдачу, он разменивает деньги у соседа и после этого дает
покупателю 4 марки сдачи. На следующий день сосед при-
носит лавочнику деньги назад—они оказались фальшивыми.
Купец вынужден, кроме 4 марок, которые он дал покупателю
в виде сдачи, уплатить еще 10 марок соседу. Сколько де-
нег потерял при этом купец? Опрометчивый ученик скажет
сначала, что купец потерял 14 марок, затем прибавит сюда
еще потерю денег за счет проданного товара, не задумываясь
ни 'на мгновение, что купец ведь получил уже от соседа
10 настоящих марок.
11. Курьерский поезд, следующий из Лейццига в Берлин,
и пассажирский поезд, следующий из Берлина в Лейпциг,
встречаются в пути. Скорость курьерского поезда равна
80 км в час, скорость пассажирского поезда равна 40 км
в час. Какой поезд находится дальше от Берлина, курьер-
ский или пассажирский? Произведите опрос, и вы будете
удивлены тем, что очень многие попадутся на эту «удочку».
*
Особый тип софизмов составляют такие, в которых со-
вершенно неправильный ход решения приводит к верному
результату. С такими софизмами мы познакомились уже в
пп. 7 и 8. Неожиданность в этих софизмах заключается в
том, что вместо ожидаемого неверного результата получается
верный. Приведем еще два примера таких софизмов.
12. Дроби || и || можно безнаказанно «сократить» на 6
и получить правильный результат.
13. В выражении 5^ можно вынести за знак ради-
12
121^3 можно вынести за знак
радикала 12. Действительно,
/^=5/й: /'2те=12/3'-
Обобщая эти примеры, получим
/ »+»-=Ь='* 16ЙЬ-
73
*
В следующих двух главах опущены указания на проис-
хождение наиболее распространенных и часто встречающихся
в литературе софизмов. Для отдельных софизмов, относи-
тельно которых известно, что они новы, сообщены имена их
авторов. Относительно происхождения большинства софизмов,
как это показывает история с парадоксом Зенона, известно
очень мало. Большей частью софизмы передаются из уст в
уста, пока их кто-нибудь не опубликует (в большинстве
случаев без упоминания автора), и при этом редко удается
установить, первое ли это воспроизведение и не встречался
ли этот софизм раньше в каком-нибудь семейном листке или
юношеском журнале. Радио также играет свою роль в рас-
пространении софизмов, опуская однако ссылки на их источник.
Каково мнение автора относительно чтения приводимых
ниже софизмов? Удивления по поводу неверного результата
еще недостаточно. Ошибка безусловно должна быть найдена
и понята. Это целиком предоставляется читателю; автор не
делает даже указаний в этом направлении. Но и отыскание
ошибки читателем кажется мне еще недостаточным. Нельзя
удовлетвориться тем, что ткнешь пальцем в ошибку. Надо
попытаться изложить софизм наиболее сжато, извлечь ошибку
из скрывающих ее одежд. Может быть целесообразно само-
стоятельно поискать для данного софизма другую формули-
ровку. «...Когда я читаю книгу мыслителя, который заблуж-
дается, я должен найти то место, в котором он сбился с
пути, я должен проследить ошибку до ее истоков...», — го-
ворил старый французский моралист Галиани.
В истории математики софизмы сыграли немалую роль.
Некоторые из них можно рассматривать как исходные точки
новых путей в развитии математики.
II. Арифметика
1. Известно, что 2 лгг = 2000 г,
3 #2 = 3000 г.
Перемножая почленно, получаем
6 кг = 6 000 000 г.
Произведя, кроме того, почленное деление, получим
2 2
‘3 кг 3 г'
И
2. У2500 коп. = ]/50 коп.>50 коп. =
у руб.-у руб.= руб. =У25 коп. = 5коп.
Далее, так как у руб. = 25 коп., то
у руб. = )/25 коп.;
следовательно,
1 Л к
— руб. = 5 коп
3. Складывая почленно следующие два выражения:
1 кошка имеет 4 ноги,
0 кошек имеют 3 ноги
(последнее предложение означает: не существует кошек,
имеющих три ноги), получим следующий удивительный ре-
зультат:
1 кошка имеет 7 ног.
4. Один отец оставил после своей смерти 3 сыновьям
17 верблюдов. Он завещал так разделить этих верблюдов,
чтобы старший сын получил половину, средний сын — треть,
а младший сын — девятую часть верблюжьего стада. В то
время, как озадаченные наследники спорили по поводу раз-
дела наследства, к ним подошел старик со старым загнан-
ным верблюдом. Он сразу взялся разделить стадо и предо-
ставил для этого в распоряжение братьев своего собственного
верблюда. Таким образом, старший сын получил из имевшихся
теперь 18 верблюдов 9, второй 6, третий — 2. Один верб-
люд при этом остался лишним. Он оказался не старым
загнанным верблюдом старика, а одним из упитанных верб-
людов умершего. С этим верблюдом довольный старик про-
должал свой путь.
5. Каждое число равно своей удвоенной величине. Имеем:
а2 — а* — аг — а2.
Вынесем в левой части а за скобку, а правую преобразуем
по формуле
(х4-.у)(* — У> = хг— у2.
75
Мы получим тогда, что
а {а — а) = {а а) (а — а).
Разделив обе части равенства на {а — а), мы найдем:
а —2а.
Этот софизм можно несколько видоизменить. Пусть х= 1;
тогда хг = 1 или х2—1=0. Разделим обе части послед-
него равенства на разность х—1. Получим х4'1=0>т- е-
х — —1. Из этого следует, что 1=—1, или 2а = 0, т.е.
любое число равно нулю. Таким образом, удается математи-
чески обосновать пословицу «один раз не в счет» («einmal
1st keinmal»)!
6. Все числа равны между собой. Пусть а и b — два
произвольных числа, и пусть, например, а>Ь. Тогда най-
дется такое положительное число с, что
а = Ь-\-с,
Умножим это равенство почленно на а — Ь\
а-а — а-Ь = а-Ь-\-а-с — b-b— Ь-с;
а-а — а-Ь— а-с —а-Ь— b-b— b-c;
а {а — 6 — с) = Ь{а — b — с).
Разделив обе части последнего равенства на а — b — с, по-
лучим:
а = Ь.
7. 4 = 5-. В одной из кабин купальни в Веймаре, как мне
сообщили, в 1892 г. нашли следующую надпись.
Пусть
а = Ь-\-с.
Умножим обе части на 5:
5а = 5Ь-]-5с.
Сложим почленно с равенством
46 4с = 4а
и вычтем из обеих частей полученного равенства по 9а.
Мы получим
46 4с — 4а = 56 5с — 5а,
76
или
4 (b с — а) = 5 (Ь с — а).
Отсюда сразу следует наше утверждение.
8. Доказательство «равенства» 2^(2 = 5. Известна пьеса
под названием «Дважды два пять». Если качество пьес про-
порционально числу представлений, то это, вероятно, пре-
красная пьеса. К сожалению, мне неизвестно, доказывается ли
в этой пьесе правильность ее заголовка. Во всяком случае
«равенство» 2X2 = 5 может быть доказано либо по образцу
п. 7, либо следующим образом:
16 — 36 = 25 — 45;
16 —36 + ^ =25 —45-{-^;
4 = 5.
9. Число не изменит своего значения, если к нему
прибавить единицу.
Легко проверить, что’)
л’ — п (2л 4- 1) = (л 4-1)! — (п 4-1) (2л 1).
Отсюда следует, что
;f_/z(2/l4-i)4-(2i±_iy==
=(л4-1)’—(л4~ 1)(2л4* 1)4"^—2~”):
/ 2л 4-IV /, ... 2л 4-IV
(п----=[(«4-1)—
2л -4-1 । - 2n -|- 1
л——г-;
п = л4-1.
10. 2 = — 2. Имеем
/^17/^4 = /(—1)(—4) = /4 = 2.
’) Пункт 8 является частным случаем п. 9.
77
С другой стороны,
J/ZT1. ]/_ 4 = i. 2i = — 2,
так как У—1—z и z‘ =—1. Следовательно, 2 =— 2.
Аналогичным образом можно показать, что
Любое положительное число равно отрицательному
числу, имеющему ту же абсолютную величину. В самом
деле, по правилам извлечения корней мы имеем
У — а-У — а = У (—а) (—а) = У а* = а;
У— а-У — а —(У—а )* = — а.
Следовательно,
а —— а.
11. zs=/. Мы имеем У х —У = 1 У У — х. Это равенство
справедливо при всех значениях х и у. Следовательно,
У а — Ь — ^Уь— а
и аналогично
Уb — a = i У а — Ь.
Перемножая почленно эти равенства, получим
У а — b -У b — а = 1гУ b — а-У а — Ь.
Разделив на общий множитель, получим
? = 1.
Этот факт можно «доказать» и иначе. Так как
1 _ - 1
-1~' 1 ’
то
УТ У^Т 1
-- —--- или —= Z.
У-1
Таким образом,
12. i = 1. Утверждение следует из такого преобразования:
У1 1
1г= 1.
78
13. Логарифм отрицательного числа равен логарифму
соответствующего положительного числа. Имеем
2 lg а = lg (a1) =t= 1g ([— а]2) = 2 1g (— а),
или
1g а =lg(—а).
Частный случай этого «доказательства»:
Логарифм числа —1 равен нулю. Логарифмируя равенство
(—1)‘= 1,
получаем
21g(-l) = lgl=0.
Из равенства 1g (—1) = 0 можно также получить и другие
неожиданные утверждения. Отсюда следует, например, что
10° = — 1,
а так как левая часть равенства имеет значение 1, то
1=—1.
14. Четные числа равны нулю, нечетные — единице.
Логарифмируя равенство
(- 1)’я=4-1,
получаем 2«lg(—l) = lg 1 =0. Следовательно, имеет место
одно из равенств
2/2 — 0 или 1g (—1) = 0.
Но
(—1)2п+1=—1;
(2л4- l)lg(- l) = lg(- 1);
2л 4-1 = 1.
Следовательно,
2л = 0.
15. 4- 1 = —1. Пусть b—положительное, отличное от
1 число. Пусть, далее, а — такое число, чтойа = —1. Тогда
&’а = 4-1,
и так как Ь=^=1, то 2а = 0. Следовательно, а = 0, и потому
£’а = 4~1. Отсюда и из исходного равенства вытекает, что
-1=4-1.
79
16. 2л = 0. Так как
cos ф = cos (2л ф),
sin q> = sin (2л 4- ф)
для любого угла ф, то
cos ф -J-1 sin ф = cos (2л ф) i sin (2л 4“ ф).
Возводя обе части равенства в степень I и применяя формулу
Муавра, получим
cos I ф 4~ i sin I ф = cos i (2л 4~ ф) 4"1 s*n z 4" Я5)'
Полагая в формуле
cos х 4~ i sin x = е'я
x равным (ф, а затем г'(2л4-ф), найдем в силу полученного
выше соотношения
е-<Р==е-»''-<Р,
откуда вытекает
егп=1, 2л = 0.
17. я = 0. Так как егп = —1, то е*'”=4_1. Логариф-
мируя последнее равенство, получим 2/л1пе = 0.
Так как In е — 1, то
2/л = 0, л = 0.
Можно рассуждать и так: по формуле Муавра
е'х = cos х 4- i sin х,
откуда при х = 2л получаем:
егл = 1 = еа,
2л/ = 0.
Если читатель ие согласен с равенством л = 0, то он
должен принять, что i=0, т. е. должен полностью отка-
заться от комплексных чисел.
18. Из неравенства а>Ь следует неравенство а>2Ь
(здесь а и b — произвольные положительные числа).
Из неравенства
(1)
получаем почленным умножением на Ь
a-b>b\
60
Вычтем из обеих частей полученного неравенства аг:
а.Ь — аг>Ь2 — а2.
Разделим почленно на b — а:
а>Ь-\-а.
Сложив теперь это довольно любопытное неравенство с исход-
ным неравенством (1), мы получим
2а>2Ь-[-а
или
а^> 2Ь.
19. Любое положительное число меньше нуля. Пусть
п — произвольное целое положительное число. Тогда
2л— 1 <^2л.
Умножим обе части этого неравенства на — а, где а—
некоторое положительное число:
— 2ап а — 2ал.
Наконец, прибавляя к обеим частям неравенства 2 ап, получим
а<^0.
20. больше у. Перемножая почленно соотношения
3>2,
мы получим
31g4>2lg4:
2 )
что и требовалось доказать.
21. —/^>4“^- Если в пропорции
а___ с
b ~ d
81
левая дробь больше 1, то правая дробь также больше 1;
другими словами, из неравенства а>Ь следует c^>d.
Основное свойство пропорции
a-d = b-c,
очевидно, не нарушается, если положить
<2=1, Ь = —1, с = —1, =
Здесь b и, следовательно, должно быть c^d,
т. е. —
22. 1^=1. Из пропорции
а _________________________ с
~b ~d
следует
а а — с с
b Ь — d d ’
ибо в обоих случаях произведения одноименных членов
одинаковы:
ad = bc.
Пусть в пропорции
Зх — d___За — 4d
Зх — 5Ь За — 8Ь
х определено так, что равенство выполняется. Тогда при-
менение предыдущего правила дает
За — ib Зх — За -[- 3d
За — ЗЬ Зх — За 4- 3d ’
В правой части получается 1, в левой части — дробь, заве-
домо отличная от 1.
23. Ц-/ =—/. Из пропорции
а с
~b ~d
следует, как легко проверить с помощью основного свойства
пропорции, что
a—d с—d а с
—г—=—т— и г--------------------------= т-----.
d а d — a d — с
Применяя полученный результат к уравнению
х 4- 1 _ х — 1
а4- d 4- 1 ~а4-d — I ’
82
получим
х— а — Ь___х — а — b
аb1~~ а-\-b — 1 ’
х + 1 _ х — 1
а 4- b — х a-f- b — х '
В обоих случаях заключаем, что Ц-1 =—1.
III. Алгебра
1. Имеются два уравнения
2х-\-у = 8 и х = 2— j
Чтобы решить уравнения, подставим значение х из второго
уравнения в первое. Получаем
4 —у =
Отсюда следует, что 4 = 8.
2. Уравнение 6хЦ- 25 = 10хЦ- 15 некто решал следую-
щим образом:
3 (2х — 5) = 5 (2х — 5).
Следовательно, 3 = 5.
3 1________। 1 п.
14-х х-{-2 • x-j-3
(хЦ-2)(х-]-3) —2(хЦ-1)(хЦ-3)4-(хЦ-1)(хЦ-2) = 0;
ха Ц— 5х —6 — 2 (х* Ц- 4х 3) х* Ц- Зх Ц- 2 = 0.
Следовательно, 2 = 0.
4. —-----1-----1---— = 1;
х-{-1 ‘ x-f-2~x-f-3 ’
(х 4~ 2) (х 4~ з) 4~ х (х 4" 1) (х 4~ 3) 4~ (х 4-1) (х 4~ 2) =
= (х4-1)(х4-2)(х4-3);
хг 4~ 5х 4- 6 4~ х* 4- 4х2 4* Зх 4~ хг 4~ Зх 4" 2 =
=х’4-бх2 4- Пх4-б.
Следовательно, 2 = 0.
5. Уравнение
х 4“ 5 р.__4х — 40
х-7—0== 13-х
83
некто решал Следующим образом:
х + о — 5 (х — 7) 4х — 40 .
х —7 13-х ’
4х — 40 4х — 40 .
х —7 13-х ’
4х’— 40__4х — 40 .
7 — х 13 — х ’
и вывел отсюда, что 7=13.
6. Уравнение
3(5x4-4) 4 — Их —67
х (х 4- 6) х (х 4- 6) (х — 5)
Некто решал так:
3 (5х 4- 4) (х — 5) — 4 (х Ц- 6) (х — 5) = х (11х — 67);
15х2 — 63х— 60 — 4х‘ — 4x4- 120= Их2 —67х;
60 = 0.
7. Для сравнения двух функций
, . . Зх2- 15x4-18
Д(х)=
, I ч Зх2- 15x4-18
Л 'Х' х2 4- Зх - 10
И для решения вопроса, где пересекаются соответствующие
Этим функциям кривые, составим уравнение
Зх2 - 15x4-18_Зх2 - 15x4-18
2х — 4 х2 -|- Зх — 10
Из него следует, что
х24-3х— 10 = 2х —4;
х’4-х = 6;
х, = 4-2, х, = — 3.
Действительно ли это решение?
8. Два произвольных числа равны между собой. Имеется
уравнение
(х — а)! = (х — Ь)\
Извлечем из обеих частей уравнения квадратный корень:
х — а = х — Ь.
Следовательно, а = Ь.
84
Могут сказать, что X— а=^=х— Ь при а=^=Ь и, следова-
тельно, (х — а)*=^(х— д')1, т. е. что начальное уравнение
бессмысленно. Но оно, однако, имеет решение. Действительно,
х2 — Чах а' = х* — ЧЬх Ц- Ьг;
2х (а — Ь) = а1 — Ь\
а 4- b
Х = ~2 1
9. Решить уравнение]/х-J-я = 2. Из
/7 = 2 — х
следует
х = 4 — 4х + х2;
х2 — 5х Ц- 4 = 0;
-.=4+ /(4)‘-*=4+т^=4-
«.=4- / (4)’-4=4-4^=1-
Подставляя первый корень в исходное уравнение, получаем
6 = 2.
10. Решить уравнение
3]/х-|-х4-2 = 0.
Из
3 ]Лх =— х — 2
следует:
9х = х2 4~4х Ц-4,
х2 —5х 4-4 = 0,
х> = 4+ — 4 = 4’ х2=^-
Подставляя первый корень в исходное уравнение, имеем
12 = 0.
Подставляя в исходное уравнение второй корень, имеем
6 = 0-
85
11. Решить следующее уравнение:
+ /х^4 = VT=7 4- /х^б.
Возводя обе части уравнения в квадрат, получим
х — 9 4“ 2 ]/ (х-г-9)(х—4) 4- х — 4 =
= х — 7 4~ 2 ]Л(х — 7) (х— 6) 4-х— 6.
Отбросив в обеих частях уравнения равные члены и снова
возводя в квадрат, имеем
(Х —9)(х —4) = (х—-7)(х —6);
X’_13X4-36 = X2— 13x4-42;
36 = 42; 6 = 7.
12. Даны два уравнения второй степени с двумя неизве-
стными:
2х2— Зху4~.Уг = 4, (1)
х2 2x^ — 3/ = 9. (2)
Перемножим уравнения «крест-накрест»:
9 (2х2 — ixy j2) = 4 (х2 4~ 2х_у — 3j2);
14х2 —35x^4-21/= 0;
сократив на 7, получим 2х* — 5х_у 4~ ty* — 0- Деля обе части
уравнения на уг, получим квадратное уравнение относительно
неизвестного (— ):
\У J
2(i)‘-57+3=°-
Корнями этого уравнения являются
Подставляя значение х—Х-^у, например, в уравнение (1),
получим корни
Л,*=± 2> х1,2 = ±3-
Однако если положить, согласно второму решению, х=у,
то первое уравнение обращается в 0 = 4, второе в 0 = 9.
Достаточно удивительные результаты!
86
, b =a-\-b
c a-j-c
Применим к системе уравнений
х — а-|-с b
y — a + b Т'
х-\-с___а-{- Ь
Уb a-j-c
упомянутое в п. 22 предыдущего раздела свойство пропорции:
х — a— b -\-с b
у — а-\- Ь — с с ’
х — а — & с_______а + Ь
у — а-|- b — с а-]-с ‘
Итак, дроби -у
равны между собой даже и в том
случае, когда число а отлично от нуля.
14. Решить уравнение
1,3247*4- 1,3247*+14- 1,3247*+s = 1,3247*.
Из
х4-(х4-1)4-(х4-2) = 6
следует
Зх 4-3 = 6:
х = 1.
Проверка показывает, что результат верен.
15. Решить уравнение
Как показывает проверка, корень найден правильно.
IV. Теория вероятностей
2 3
1. • У монет различают две стороны: лицевую (Л)
и гербовую (Г). Какова вероятность того, что при двукрат-
ном бросании хотя бы один раз выпадет гербовая сторона?
Для решения вопроса безразлично, бросаем ли мы двукратно
одну и ту же монету, или одновременно две монеты. Рассмотрим
87
— 8
первый случай. При первом бросании выпадет либо гер-
бовая сторона (благоприятный случай), либо лицевая. Затем
мы снова бросаем монету, и выпадает либо гербовая сторона,
либо лицевая. Двум благоприятным случаям противостоит один
2
неблагоприятный. Таким образом, вероятность равна -х-.
О
Рассмотрим теперь второй случай, т. е. одновременное
бросание двух монет. На этот раз мы имеем четыре различ-
ных случая, которые мы коротко можем обозначить через
ГГ, ГЛ, ЛГ и ЛЛ. Благоприятны три случая. Таким образом,
3
вероятность выбросить гербовую сторону равна .
2. у = Бросаем одновременно три монеты. Какова ве-
роятность того, что все три монеты выпадут одинаковой сто-
роной, безразлично, гербовой или лицевой? Вероятность того,
что все три монеты выпадут лицевой стороной равна (у
вероятность того, что все монеты выпадут гербовой стороной
(IV 1
равна также -я- —~а- Вероятность того, что произойдет
\ 7 ° 1 । J
один из этих случаев равна -g--|_'8'==:'4' •
Вероятность нашего события можно вычислить также пу-
тем следующего рассуждения. При любом бросании всегда
из трех монет две лягут одинаковой стороной, гербовой или
лицевой. Вероятность того, что третья монета также ляжет
той же стороной, равна ~. Тем самым вероятность нашего
события равна 1-у=у.
3. Существует только одно четное простое число и
бесконечно много нечетных чисел. Поэтому вероятность
того, что произвольно взятое простое число четно, равна
— — 0. Следовательно, невозможно, чтобы какое-нибудь про-
стое число было равно двум!
Наибольшее среди известных в настоящее время простых
чисел равно1)
212’ — 1 = 170 141 183 460 469 231 687 303 715 884 105 727.
9 В настоящее время известны значительно большие простые
числа, см., например, Я. И Перельман, Занимательная алгебра,
стр. 87 Однако утверждение, что число известных нам простых чисел
конечно, сохраняет свою силу.— Прим. ред.
88
Отсюда следует, что число всех известных Математикам про-
стых чисел конечно. Обозначим это число через п. Однако,
как доказал еще Евклид, число всех простых чисел беско-
нечно. Следовательно, вероятность того, что произвольное
простое число принадлежит множеству известных простых
чисел, равна -^-=0. Другими словами, любое простое число,
которое может нам встретиться, должно принадлежать мно-
жеству неизвестных нам простых чисел.
. 1 1 1 „
4. -у=у=-^-. Бертран решил следующую задачу
и получил при этом три различных ответа. В круге прово-
дится произвольная хорда. Какова вероятность того, что она
больше стороны правильного вписанного в данный круг тре-
угольника?
а) Зафиксируем один из концов хорды и сделаем его одной
из вершин правильного вписанного треугольника. Хорда будет
больше стороны правильного треугольника, если она прохо-
дит внутри угла треугольника. Число всех возможных направ-
лений хорды относится к числу благоприятных направлений,
как 180° относится к 60°, т. е. искомая вероятность w.=4-.
О
Ь) Выберем произвольный диаметр 2г и рассмотрим мно-
жество перпендикулярных к нему хорд. Среди этих хорд
только те хорды больше стороны правильного вписанного
треугольника, которые проходят через точки диаметра, уда-
ленные от центра круга на расстояние, меньшее чем г/2.
Следовательно, искомая вероятность wi = -^- .
с) Рассмотрим середины всех хорд, проведенных в круге.
Проведем окружность, концентрическую данной, радиусом,
равным г/2. Хорды, середины которых расположены внутри
последней окружности, будут больше стороны правильного
вписанного треугольника. Так как площадь последнего круга
1 1
составляет т площади данного, то №, = —.
4 ’ • 4
5. Два способа выиграть деньги в Монте-Карло'}.
1) Выберем игру, в которой вероятность выигрыша оавна
(как, например, при игре в красное и черное). Поставим
') Второй способ известен под названием петербургского парадокса.
89
в первый день 10 франков, в случае выигрыша ставим снова
10 франков. В случае выигрыша ставим опять 10 франков и т. д.
При первом проигрыше прекращаем в этот день игру. Так
поступаем в течение длительного срока. Возможный проигрыш
в течение одного дня равен 10 франкам, возможный выигрыш,
однако, равен 10 франкам, 20 франкам и т. д. в. зависимости
от того, прекращена ли игра после двух, трех и т. д. ставок.
Так как однократный выигрыш и однократный проигрыш равно-
вероятны, то игрок во всех случаях, когда он участвует
в игре два или более раз в день, имеет преимущество перед
банком.
2) Выберем снова игру, в которой вероятность выигрыша
равна -j~. Ставим 10 франков, в случае выигрыша повторяем
ставку. В случае проигрыша ставим 20 франков. Если мы
после этого выиграем, то общий выигрыш равен 10 франкам,
так как выдача равна 40 франкам, а в банк всего поставлено
было 30 франков. В этом случае снова ставим 10 франков
и продолжаем игру, как и в начале. Если же мы дважды
проиграли, то ставим 40 франков. Если мы после этой ставки
выиграем, то теперь выдача будет равна 80 франкам, а общая
сумма ставок будет равна 10 фр. -|- 20 фр.,-)- 40 фр. = 70 фр.
Снова общий выигрыш равен 10 франкам. Если же мы и
в третий раз проиграем, то ставим 80 франков. В случае
выигрыша выдача равна 160 франкам против 150 франков,
внесенных всего в банк. Таким образом продолжаем играть
и дальше. Так как в конце концов, если все время ставить
на один и тот же цвет, все-таки хоть раз выйдет благопри-
ятный цвет, то мы должны, наконец, выиграть и будем иметь
тогда хотя и маленький, но гарантированный выигрыш в
10 франков.
При обоих методах выигрыш гарантирован, несмотря на то,
что вероятность выигрыша равна только .
V. Планиметрия
1. Две прямые не пересекаются, даже если они и не
параллельны').
Пересечем данные прямые а и b третьей прямой с, обра-
зующей с прямыми а и Ь равные острые углы, расположен-
ные по одну сторону от прямой с (рис. 55). Ясно, что точка
’) По Проклу из Византии (412—485), Афины.
90
пересечения прямых а и Ь не может лежать в направлении
тупых углов, и потому мы будем рассматривать только полу-
плоскость, содержащую острые углы. Пусть А и В — точки
пересечения прямой с с прямыми а и b соответственно. Отложим
на прямой а отрезок АС, равный отрезку ABI2, а на прямой
b — отрезок BD, также равный отрезку ЛВ/2. Точка С не
может совместиться с точкой D, так
как в любом треугольнике сумма
двух сторон больше третьей стороны.
Тем более отрезки АС и BD не могут
иметь общей точки S, так как в
противном случае в Д SAB сумма
двух сторон была бы меньше третьей
стороны. Соединив теперь точки С и
D отрезком, получим равнобочную
трапецию ABDC. Повторяя для пря-
с
Рис. 55.
мой CD аналогичное построение, получим прямую EF. Та-
кое построение может быть продолжено снова и снова,
и каждый раз мы продвигаемся на шаг вперед, но не можем
получить точки пересечения прямых а и Ь. Следовательно,
прямые а и Ь не пересекаются.
2. Если две стороны одного треугольника и угол, ле-
жащий против одной из этих сторон, соответственно равны
двум сторонам и углу, лежащему против соответствующей
стороны, другого треугольника, то эти треугольники равны.
Пусть даны треугольники АВСн А'В'С и пусть ’) ВС=В'С,
АВ = А'В' и а = а'. Приложим Д А'В'С к ДЛВС так,
чтобы вершина В' совпала с вершиной В, а вершина С —
с вершиной С. Соединим вершины А и А'. £\ВАА'— равно-
бедренный, так как ВА = ВА'‘, поэтому / ВАА' =/_ ВА'А.
Так как а —а', то £САА' = £СА'А (рис. 56 и 57).
') Здесь и далее через а, 0, у автор обозначает углы Л АВС
с вершинами А, В, С соответственно,— Прим. ред.
91
Следовательно, Д САА' — равнобедренный и потому СА = СА'.
Таким образом, треугольники АВС и А'В'С’ равны по третьему
признаку равенства треугольников. Дополнительное условие
(обычно включаемое в формулировку теоремы) о том, что
угол должен лежать против большой стороны, не является
необходимым, как это показывает рис, 57.
3. Каждый треугольник — равнобедренный. Пусть АВС—
произвольный треугольник. Проведем биссектрису угла А и
А перпендикуляр к стороне ВС, прохо-
/К дящий через ее середину О (рис. 58).
/ \\ Эти две прямые пересекаются, так
<4 \ как в случае их параллельности
/ \ треугольник является равнобедрен-
ным и дальнейшее доказательство
В^~-------излишне. Обозначим через М точку
пересечения этих прямых. Рассмот-
Рис. 58. рим сначала случай, когда точка М
расположена внутри треугольника.
Опустим из точки М перпендикуляры MF и ME на стороны
АВ и АС соответственно. Тогда
&AFM = £\AEM, (1)
ДЖ)В=ДМОС. (2)
Из (1) следует, что MF=ME, из (2) следует, что МВ — МС\
поэтому
Д MBF— Д MCE. (3)
Из (1) и (3) следует, что
AF=AE, (4)
FB=EC. (5)
Складывая равенства (4) и (5),
получаем требуемое утверждение
АВ=АС.
Если точка пересечения бис- рис. 59.
сектрисы угла А и перпендику-
ляра к стороне ВС расположена вне треугольника АВС
то, как показывает рис. 59, доказательство проводится ана-
логично с той только разницей, что равенства (4) и (5) не
складываются, а вычитаются.
92
Непосредственным следствием доказанной теоремы является
утверждение о том, что все треугольники равносторонние.
4. Прямой угол равен тупому углу. Рассмотрим четы-
рехугольник ABCD (рис. 60). В этом четырехугольнике / А
прямой, стороны AD и ВС равны и, на-
конец, / АВС тупой. Проведем через
середины сторон АВ и DC перпендикуляры
к этим сторонам; они пересекутся в некото-
рой точке S. Соединим точку S со всеми
вершинами четырехугольника. Тогда 5Л =
= SB и SD = SC, и потому
Д5ЛО = Д SBC.
Отсюда следует, что
/.SAD — /SBC.
Почленно вычитая из последнего равенства соотношение
/SAB=/SBA,
получим, что первоначально взятый тупой угол АВС равен
прямому углу BAD.
5. Если в четырехугольнике две противоположные сто-
роны равны, то две другие стороны параллельны. Пусть
ABCD — четырехугольник, противоположные стороны АВ и
DC которого равны (рис. 61). Через сере-
дину Е стороны AD и середину F сторо-
ны ВС проведем к этим сторонам перпен-
дикуляры, которые пересекутся в некото-
рой точке S. Действительно, если эти
перпендикуляры параллельны, то и сто-
роны AD и ВС также параллельны, и наше
утверждение уже доказано. Мы сейчас
докажем, что ESF—прямая, откуда уже будет следовать,
что прямые AD и ВС параллельны. Соединим точку S с вер-
шинами четырехугольника. Треугольники SAE и SDE, так же
как и треугольники SBF и SCF, равны, откуда в силу равен-
ства сторон АВ и DC вытекает, что Д 5.45= Д SDC. Из
равенства треугольников следуют равенства углов:
/ESA — /ESD, (1)
(2)
/BSF=/ CSF. (3)
93
Складывая эти равенства почленно, находим, что угол ESF
равен 180°. Тем самым наше утверждение доказано.
Необходимо, однако, сделать следующее замечание. Нами
был рассмотрен случай, когда точка S пересечения перпен-
S
Рис. 62.
так же как и SE,
дикуляров лежала внутри четырех-
угольника. Точка S может, конечно,
лежать и вне четырехугольника. Этот
случай показан на рис. 62. Доказатель-
ство проводится аналогично, только в
конце при доказательстве совпадения
прямых SE и SF мы не складываем все
три равенства, а путем сложения ра-
венств (2) и (3) убеждаемся, что SF,
является биссектрисой угла ASD, т. е.
эти прямые совпадают.
6. Острый угол равнобедренного прямоугольного тре-
угольника равен 60°. Пусть АВС—равносторонний, a DBC—
равнобедренный прямоуголь- &
ный треугольники, располо-
женные по одну сторону от-
резка ВС(рис. 63). Отложим
на стороне АС отрезок
CH—CD. Соединим точку
Н с серединой К стороны
BD и продолжим прямую
НК до пересечения в точке L
с продолжением стороны ВС.
Соединим точку L с точкой
D. Из середины М отрезка
LD проведем к этому отрез-
ку перпендикуляр, который
пересечется с перпендикуля-
ром, восставленным из сере-
дины ’) N отрезка LH в не-
которой точке О. Соединим
эту точку О с точками С, D,
Н и L. Тогда OD= OL и
OL — OH. Поэтому OD —
—ОН. Так как, кроме того, CD — CH, то Д ОСН— Д OCD.
Отсюда, однако, следует, что острый угол DCB равно-
') На чертеже точки N и К расположены очень близко друг от
друга.
94
бедренного прямоугольного треугольника равен углу равно-
стороннего треугольника.
7. Прямой угол равен 45° (рис. 64).
Пусть АВС—равнобедренный прямоугольный треугольник.
Проведем DCj_BC и DC=AC. Пусть Е—середина сто-
роны АВ. Прямая DE пересекает продолжение стороны ВС
в некоторой точке F. Че-
рез середину О стороны
АР и через середину Н
стороны FD проведем к
этим сторонам перпенди-
куляры. Эти перпендику-
ляры пересекутся в точке
К. Наконец,соединим точ-
ку К с точками F, A, D
и С. Тогда
Д FQK=/\ AGK,
и потому
fk=ak-,
^FHK=/\DHK,
и потому FK=DK. Следовательно, AK—DK. В треуголь-
никах АСК и DCK
AK—DK,
АС= DC,
КС — общая сторона.
Следовательно,
Д ACK=^DCK,
и потому
/_ACK=/_DCK.
Отнимая от обеих частей / ВСК, получим
т. е.
/ ACB = /_DCB,
45° = 90°.
8. Треугольник с двумя прямыми углами можно построить
следующим образом (рис. 65). Две окружности с центрами
в точках А и В пересекаются в точке С. Проведем диаметры
95
CAD и СВЕ и соединим точки D и Е. Прямая DE перес е-
кается с одной окружностью
в точке F, а с другой — в
/_________________________X. точке Углы CFE и CGD
/ \ (опирающиеся на диаметр)
| [II 1 будут прямыми, следователь-
1 у I \ 1 но, Л CFG имеет два пря-
------------гуд------мых угла.
х. 9. Геометрическое до-
казательство того, что
Рис. 65. 64 — 65. Вырежем из мил-
лиметровой или другой клет-
чатой бумаги два треугольника с катетами в Зи 8 единиц и две
прямоугольные трапеции, у которых параллельные стороны
имеют длину 3 и 5 единиц, а расстояние между ними равно 5
зано на рис. 67, то1 площадь получающейся фигуры равна 64;
если же их приложить, как указано на рис. 68, то, очевидно,
96
получим фигуру площади 65. Из этих же фигур можно соста-
вить и фигуру с площадью в 63 единицы. Как это сделать ’)?
10. Площадь равностороннего треугольника равна нулю.
Преобразуем равносторонний треугольник АВС (рис. 69)
в квадрат. Проведем высоту AD и построим равновеликий
треугольнику АВС прямоугольник
ADCE. Продолжим высоту AD за
точку D на отрезок DF, равный
отрезку CD, и построим на отрез-
ке AF как на диаметре полуокруж-
ность, которая пересекает про-
должение стороны CD в некото-
рой точке О. Так как GD* =
= AD • DF, то квадрат GDJH рав-
новелик треугольнику АВС, так
же как и прямоугольник ADCE.
Сдвигая треугольник СЕА вдоль
прямой АС таким образом, чтобы
вершина С заняла положение К,
вершина Е—положение Н и
вершина Л — положение L, убеждаемся, что квадрат GHJD
можно составить из фигуры CLJD и из равной ей фигуры BMJD.
Мы получаем, что квадрат GHJD равновелик трапеции CBML.
Так как этот квадрат одновременно
равновелик Д АВС, то площадь рав-
ностороннего треугольника ALM рав-
на нулю, что и требовалось
зать.
В
А
дока-
Рис. 70.
ключенный между
вой его стороне (рис. 70). Мы имеем
11. Пересечем треугольник
мой, параллельной одной из его
рон. Тогда отрезок этой прямой, за-
двумя другими сторонами, равен пер-
пря-
сто-
BC.DE—AB.AD,
’) Математический разбор этого софизма приводит М. Буш. Пусть
не только как у нас 8-8 и 5-13, а и в общем случае Ь, с, и a, d —
стороны двух различным образом разрезанных прямоугольников, для
которых имеют место следующие уравнения: d = aA-b и b-c = a-dz±: Г
Решениями этих уравнений являются, например, все подходящие дроби
непрерывной дроби, соответствующей золотому сечению. Подходящими
97
или
BC-AD = DE-AB.
Умножая последнее равенство на ВС—DE, получим
BC*-AD — BC-AD-DE=BC-DE-AB — DE*-АВ;
ВС* • AD — ВС-DE-АВ = ВС-AD-DE—DE* АВ;
BC(BC-AD —DE-АВ) —DE (ВС-AD-DE-АВ),
откуда
BC—DE.
Следствие. Из доказанного легко получаем, что
AD = AB, т. е. что любой отрезок равен своей части.
Рис. 71.
12. Часть отрезка равна всему отрезку. Пусть X а—
наибольший угол разностороннего треугольника АВС. Тогда
угол р — острый (рис. 71). Отложим угол BAD, равный
углу у. Опустим из вершины А перпендикуляр АЕ на сто-
рону ВС. Тогда
ДЛЗСслДДВЛ. (1)
Так как площади подобных тре-
угольников относятся, как квадраты
сходственных сторон, то
Д ABC: ADBA = AC* :AD‘. (2)
Далее, так как оба эти треуголь-
ника имеют одну и ту же высоту АЕ (считая ВС и BD осно-
ваниями), то их площади относятся, как основания ВС и
BD. Таким образом, имеет место пропорция
АС!АРг
ВС ~~ ВР •
(3)
Угол, противолежащий стороне АС в Д АВС и стороне AD
в Д ABD, является острым. Применим теперь теорему:
квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения
1 2 3 5 8 13 21
дробями являются t v ’ Т* ’ "я > Гэ 1 оТ • ол * Так, например,
21 О О о lo 2k o^t
„ 5 8^,8 13
нашему случаю соответствуют дроби у и [-j • ДР°ои и дают
8'21 = 168 и 13-13=169. Однако эти подходящие дроби не исчерпы-
вают всех решений. Так, например, пара 11-5 = 55 и 9-6 = 54 также
годится для построения аналогичного софизма, но не получается из
рассмотрения подходящих дробей нашей непрерывной дроби.
£8
одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны-
Согласно этой теореме,
AB‘ + BC-2BCBE_AB‘ + BD2 - 2BD-BE .
ВС ~ BD ' W
Разделим теперь каждую из сумм, стоящих в числителях,
почленно на знаменатель и отбросим в обеих частях равенства
одинаковое слагаемое 2ВЕ. Мы получим
^Ч^^Ч^- (5)
Перенесем ВС в правую часть, a BD—в левую, после чего
приведем каждую часть равенства к общему знаменателю:
АВ‘- BC-BD _ АВг— BC-BD
ВС “ BD
Так как числители дробей равны, то
ВС= BD.
13. Каждая прямая, проведенная через вершину угла,
делит угол пополам. Пересечем треугольник АВС некоторой
прямой, которая встречает стороны треугольника или их про-
должения в точках В', А' и С
(рис. 72). Согласно теореме
Менелая, имеем
АВ' ВС -СА' — АС • ВА' • СВ',
или
АВ' СА' __ А'В
СВ' ‘ АС ~~ ВС ‘
Перенесем теперь прямую В'С
параллельно самой себе так,
чтобы она проходила через вершину В. В этом случае
A'B — BC' = Q, СА'— СВ и АС —АВ. Наше равенство
принимает вид
Л В' СВ___£ ..
СВ’ ' АВ~ 0 •
Неопределенность -у раскрывается путем подробного рассмот-
рения специального случая, когда прямая В'С проходит так,
что ВА' = ВС. Тогда
АВ' СА' __ .
СВ' АС'~1‘
99
Так как мы теперь снова путем параллельного переноса мо-
жем добиться прохождения прямой через вершину В, не
меняя величины правой части равенства, то неопределенное
выражение -у равно 1. Вернемся снова к равенству (1). Пе-
репишем равенство
АВ' СВ,
СВ' ' АВ~~ 1
в виде пропорции
АВ:СВ=АВ':СВ'.
Согласно теореме, обратной теореме о том, что «биссектриса
угла делит противолежащую сторону на части, пропорцио-
нальные прилежащим сторо-
нам», В'В является биссектри-
сой угла АВС, что и требова-
лось доказать.
14. Va4-]Tb =]/2(а-{-Ь).
Пусть в треугольнике (рис. 73)
р и q — проекции сторон АВ и
АС на сторону ВС. Проведем
прямую Л', параллельную вы-
соте h треугольника и делящую
треугольник на две равновеликие части. Обозначим через х
отрезок стороны ВС от вершины В до основания прямой Л'.
Тогда
2xh' — (р q) h.
Кроме того,
h':h=-x:p.
Подставляя в первое равенство значение
,, hx
Л =— ,
Р ’
получим
—=(р4-9)л.
Сокращая обе части на h, получим х = . Так
< точки В п С равноправны, то аналогично получим, что
4;.?), где у — отрезок стороны ВС от вершины С
ания прямой Л'. Так как x-\-y = p-\-q, то, деля
обе части этого равенства на V p-\-q, получим
Наше утверждение получается отсюда при р = 2а, q = 1b.
15. Сумма двух параллельных сторон трапеции равна
нулю. Продолжим параллельные стороны трапеции ABCD
в противоположных направлениях, и на величину, равную
длине противоположной сторо-
ны, а именно, сторону АВ—а
продолжим за точку В на
отрезок BE—DC, а сторону
DC=b — за точку D на отре-
зок DF—BA. Соединим точки
Е и F и проведем диагона-
ли АС и BD трапеции. Пусть
Рис. 74.
z, у, х — отрезки диагонали
BD, на которые ее делят прямые АС и EF (рис. 74). Из по-
добия двух пар треугольников получаем
а___ х_____ г
b У + г » + у '
Преобразуя вторую из этих двух пропорций, получим
а___х — г_____.
b г — х '
г. е.
а —— — b, а b О,
16. Каждая точка диаметра
любого круга лежит на окруж-
ности. Пусть С (рис. 75) — произ-
вольная точка диаметра АВ. По-
Рис. 75. строим для точек А, В, С чет-
вертую гармоническую точку D.
Пусть Н—середина отрезка CD, а М—центр круга. В
силу известной теоремы MC-MD = MA*. Но
МС—МН—СН,
MD — MH-^CH-,
следовательно,
МН2 — СНг = МА\
(1)
101
С другой стороны, если перпендикуляр, проведенный к диа-
метру АВ в точке Н, пересекает окружность в точке Е, то
ME* = МН* + НЕ*,
СЕ* = СН* 4- НЕ*;
следовательно,
МН*— CH* = ME*— СЕ* = МА* — СЕ*. (2)
Из (1) и (2) вытекает, что
МА* = МА* —СЕ*.
Отсюда СЕ=0, т. е. точка С лежит на окружности. Так
как точка С выбиралась произвольно, то данное утвержде-
ние верно для всех точек диаметра АВ.
17. Все окружности имеют одинаковую длину. Пусть
два концентрических круга неподвижно скреплены друг
с другом (рис. 76). Больший круг катится по прямой AD и
Рис. 76.
сделал на ней один оборот; тогда точка С меньшей окруж-
ности опишет путь СВ. Отрезки AD и СВ равны, как про-
тивоположные стороны прямоугольника. Так ГГак круги
неподвижно скреплены между собой, то меньший круг в те-
чение одного оборота большего круга сделал также только
один оборот и, следовательно, отрезок СВ равен длине
окружности меньшего круга. Отсюда получаем, что окруж-
ности обоих кругов имеют одну и ту же длину.
18. Все хорды одной и той же окружности имеют
одинаковую длину. Пусть АВ и CD — две параллельные
между собой хорды некоторой окружности. Пусть, далее,
5—точка пересечения прямых АС и BD. Из подобия тре-
угольников SAB и SCD имеем
AB:CD = AS:SC.
102
Следовательно,
AB-SC=CD-AS.
Умножая почленно последнее равенство на отличную от нуля
величину CD — АВ, получаем
А В SC- CD — АВ* • SC = AS CD* — А В • AS - CD,
или
АВ • SC-CD — AS • CD1 = АВ* • SC — АВ • AS • CD,
или, наконец,
CD (АВ-SC — AS • CD) — AB (AB- SC— AS - CD).
Сокращая на общий множитель, имеем
CD —АВ.
Так как две хорды одной и той же окружности всегда
можно сделать параллельными, то данное утверждение спра-
ведливо для всех хорд окружности,
VI. Тригонометрия и стереометрия
1. 2* = 4*. Исходя из равенства cos‘x=l—sin’x, по-
лучим сначала
(cos’x)* = (1—sin’x)* ,
а из него
cos’ х 4- 3 = (1 — sin’ х)2 4-3.
Следовательно,
(cos’ х -j- 3)’ = [(1 — sin’ х) * 4- 3]’.
При значении х=90° получаем, так как cos 90° = 0.
sin90°= 1, верное соотношение
3* = 3*.
При значении х=180° получаем отсюда, так как
cos 180° = —1, sinl80° = 0, что
2’= 4’.
103
2. Все треугольники — равносторонние. Продолжим сто-
роны b н с треугольника АВС за вершину А, как показано
на рис. 77. Применяя к треугольникам ВСЕ и BCD теорему
синусов, получим
Рис. 77.
Следовательно,
₽ = у.
Аналогично доказывается, что у = а, и так как все три
угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
3. Все треугольники — прямоугольные. Пусть в треуголь-
нике АВС высота CD=h, a AD=p и BD = q — проекции
сторон АС и ВС на сторону АВ. Согласно теореме сложения,
sin (а 4- р) = sin а cos р 4“ cos а sin р,
т. е.
, . . h q р h h-c h sin у
sin (а 4-p) b • a 4- b • a a.b 2/? sin a sin P'
Кроме того,
h = 2R sin a-sin p,
ибо
sin a = 4- и b = 2R sin p.
0 r
Следовательно,
sin (a4-p) = siny,
« + ₽=Y-
Отсюда
a4-p = y=90°.
4. Все треугольники — равносторонние. Пусть 5 — пло-
щадь треугольника; тогда, как известно,
25 = Ь- с sin a,
25 = a-csinp.
104
Умножим первое равенство на 2Ra, второе — на 2Rb-.
4RaS = 2Rabe sin a,
4RbS= 2Rabc sin p.
Следовательно,
4RaS — 2Rabc sin a = 4RbS — 2Rabe sin p.
Так как
2R sin a = a, 2R sin P = b,
TO
4RaS — a2 be = 4RbS — ab‘c;
a (4RS — abc) = b (4RS — abc}.
Следовательно,
a = b.
Аналогично доказывается, что a = c.
5. В треугольниках со сторонами
а1 = 18см, bt= 12 см, с, —8 см;
at = 27 см, Ьг = 18 см, с3= 12 см,
кроме двух попарно равных сторон, равны также соот-
ветственные углы. Таким образом, в этих треугольниках
равны соответственно не только три, но даже пять эле-
ментов, поэтому треугольники равны. Как это все-таки
возможно, ведь третьи стороны треугольников различны?
Для доказательства равенства углов «, = «,, р, = ра,
у1 = у2 применим следующие формулы:
1 / & — — С) ё2 У р(р-а) ' Для первого треугольника о. bi 4-Ci «л Л= 2 --= 19, р, — а для второго треугольника ра==а-*±|+£? = 28,5; р, Pt — c fa 1/ <Р ~ °) (Р ~ с) ё 2 ~ К р(р-Ь) ’ (Р — а) (р — Ь) Р(Р~ с) ’ ! = 1 — ^, = 7,^, — с, = 11, , —а2 = 1,5; ра — Ьа =10,5; а= 16,5.
105
Отсюда
а, _ -./ 7-11 _ 1 Г 10,5-16,5 а,
g 2 V 19 V 1,5 28,5 g 2 ’
tg Ь — 1/ _LL — iZ16-51’5- = tg Ь
g 2 V 7-19 V 10,5-28,5 g 2 ’
tg^l — 1Л —— = 1,5,1°'5- —tg^
g 2 V 11-19 Y 16,5-28,5 g 2
Таким образом, действительно a, = as, Р1 = 02, Yi=Ys-
Вычисляя величины углов, получим углы 127,2°, 32,1° и
20,7°. Другими парами треугольников, обладающих этими
свойствами, являются треугольники со сторонами
at= 150 см, bt= 180 см, Cj = 216 см,
at = 125 см, b2= 150 см, с2=180с-и,
а также треугольники со сторонами
а, = 100 см, />, = 80 см, с, ±=64 см,
а2 = 125 см, Ь2= 100 см, с2 = 80 см.
6. Сумма углов сферического треугольника равна 180°.
Теорема о сумме углов плоского треугольника может быть
доказана, например, следующим образом (рис. 78). Вообра-
Азим треугольник АВС лежащим на по-
лу и будем его обходить. Сначала идем
от Л к В, в точке В поворачиваемся
по направлению к точке С на угол,
“ равный внешнему углу доходим до
точки С, поворачиваемся в этой точке
Рис. 78. на Угол У' и движемся по направлению
к А. Придя в точку А, поворачиваемся
на внешний угол а', после чего будем иметь то же самое
направление, которое мы имели в начале обхода. Так как
при этом обходе будет сделан полный оборот, то сумма всех
внешних углов равна 360°. Так как каждый внутренний угол
в сумме с прилежащим к нему внешним углом равен 180°,
то сумма всех внешних и внутренних углов треугольника
равна 540°. Следовательно, на долю внутренних углов
остается 180°.
В этом доказательстве нигде не использовалось условие,
что мы движемся на плоскости. Поэтому все эти рассужде-
ния можно повторить и для кривой поверхности. Если, на-
пример, взять за точки А, В, С не три близко лежащие
106
точки на полу комнаты, а три далеко лежащие друг от
друга точки в Германии или вообще на земном шаре, то
наше рассуждение не теряет своей силы. Отсюда следует
правильность нашего утверждения для сферического тре-
угольника, так же как и для всякого треугольника на любой
другой кривой поверхности.
7. Сумма углов сферического треугольника равна ISO*.
Пусть АВС—сферический треугольник. Обозначим сумму
углов треугольника, выраженную в прямых углах, через х.
Возьмем внутри треугольника произвольную точку Р и прове-
дем через точки Р и А, Р и В, Р и С окружности большого
круга. Тогда сумма углов каждого из этих треугольников
равна xd, а всех углов всего Sxd. Сумма углов этих трех
новых треугольников равна сумме углов треугольника АВС,
уменьшенной на сумму углов, образовавшихся вокруг точки Р,
т. е. на 4rf. Поэтому
Зх— 4 = х,
2х = 4,
х=2,
т. е. сумма углов треугольника АВС равна 2d.
8. Сферический избыток сферического треугольника
равен нулю. Пусть klt kt и kt — три окружности на шаре,
имеющие общую точку Р и образующие треугольник АВС.
Рис. 79 является стереографической проекцией, которая со-
храняет углы и изображает круги в виде кругов. Обозначим
107
через а, р, у углы треугольника. Из чертежа непосредственно
следует, что аРу = 180°.
9. Площадь круга равна нулю'). Мне вспоминается чер-
теж, который используется при нахождении объема шара
(рис. 80). Квадрат ABCD вращается вокруг стороны АВ-,
при этом вращении четверть круга АС, вписанная в этот
ходимо доказать,
квадрат, описывает полушар, диагональ
BD — боковую поверхность прямого кру-
гового конуса с вершиной В, а сторона
DC квадрата — боковую поверхность ци-
линдра. Секущая плоскость, образованная
при вращении прямой MR, образует с каж-
дым из перечисленных тел некоторое пло-
ское сечение. Для того чтобы затем при-
менить основную теорему Кавальери, необ-
что площадь круга с радиусом MQ равна
площади кругового кольца, ширина которого равна PR,
т. е. что
uMQ* = лМА?8 — лМР*.
Это соотношение справедливо при любом положении секущей
плоскости, параллельной общему основанию данных тел.
Пусть секущая плоскость -займет положение AD; тогда пло-
щадь круга равна нулю, так- как он в этом случае сводится
к одной точке А, а площадь кругового кольца равна пло-
щади круга с радиусом AD. Так как площадь кругового
кольца должна равняться площади первого круга, то наше
утверждение доказано.
VII. Аналитическая геометрия
1. Целое равно своей части. Площадь треугольника
с вершинами (х^у,), (х„ yt) и (x„ yt) равна
5 = 4 [*i (Л — У.) + (У. — У.) + xi О'. — Л)]-
Вычислим площадь четырехугольника с вершинами (1,4),
(3,5), (5,3) и (0, 0). Проведем диагональ четырехугольника,
*) В книге Больцано, Парадоксы бесконечного, Одесса, 1911 г.,
говорится, что это предложение приводит еще Галилей в «Discorsi
е dimostrazioni».
108
проходящую через начало координат, и вычислим по нашей
формуле площадь каждого из
диагональ разбила четырех-
угольник (рис. 81):
S=|[0(4-5) + l(5-0) +
4-3(0 — 4) 4- 0 (3 — 5)4-
4-5(5 —0)4-3(0 — 3)] =
= ±(5-124-25-9) =
треугольников, на которые
Таким образом, площадь „
Рис. 81.
четырехугольника равна пло-
щади заштрихованной части фигуры, состоящей из 4 ± еди-
ничных квадратов.
2. Окружность с центром в точке (3, 4), проходящая
через начало координат, пересекает ось х под прямым
углом. Так как г2 = 324~ 42 = 52, то уравнение окружности
имеет вид
х2 — 6x4-/ — 8у = 0.
Окружность пересекает ось
с координатами
х, = 6,
х в точке (0, 0) и в точке
_у, = 0.
Подставляя эти координаты в уравнение касательной
получим
хх.-\-ууг = гг,
6х = 25, х = 4±.
’ о
Следовательно, касательная параллельна оси у.
3. Окружность пересекается с диаметром только
с одной точке. Уравнение окружности с центром в начале
координат и радиусом 1 имеет вид
x = cos(p, ^ = sin<p,
109
или, полагая
tg -§- = *,
_ 1 - t2 _ 2t
x—l + t2’ y~~l + t2'
Точки пересечения окружности с осью х получаются приу = О,
т. е. при t — О. Это дает для х только значение х= 1. Сле-
довательно, ось х пересекает окружность только в одной
точке. Так как произвольный диаметр можно принять за ось х,
то наше утверждение справедливо для всех диаметров окруж-
ности.
4. Пара прямых является гиперболой. Уравнения
х = 4, _у = 8, (1а)
или, иначе,
х — 4 = 0, у — 8 = 0, (1b)
являются уравнениями двух прямых, одна из которых парал-
лельна оси у, а другая — оси х. £)ба уравнения можно обыч-
ным образом объединить в уравнение пары прямых
(х — 4) {у — 8) = 0 или ху — 4у — 8x4-32 = 0. (2а, 2Ь)
С другой стороны, непосредственное почленное перемножение
уравнений (1а) дает уравнение равносторонней гиперболы
х_у = 32. (3)
Подставляя выражение (3) в уравнение (2Ь), получим урав-
нение одной прямой, причем отличной от прямых (1Ь), а
именно
у — — 2х-|-16. (4)
Различные результаты получаются также при почленном де-
лении уравнений (1а) и уравнений (1b). В первом случае мы
получим уравнение прямой
у = 2х, (5)
а во втором случае — уравнение
из которого неосторожный читатель может вывести уравнение
прямой
^ = 8. (6)
110
5. Не существует натурального числа, квадрат кото-
рого имеет вид 4/г-|-1. Все числа, являющиеся точными
квадратами, представляют собой ординаты точек параболы
У = **, (1)
абсциссы которых — целые числа; все числа вида 4л 1 яв-
ляются ординатами точек прямой
^ = 4x4-1, (2)
абсциссы которых — целые числа. Те числа, которые одно-
временно являются точными квадратами и имеют вид 4л-{“Ъ
соответствуют точкам, принадлежащим ’одновременно пара-
боле (1) и прямой (2). Однако парабола (1) и прямая (2) пе-
ресекаются только в двух точках, абсциссы которых получа-
ются из уравнения
х2 = 4х-}- 1;
оба корня
*,,, = 2±/5
этого уравнения не являются целыми числами.
6. / = —/. Определим угловой коэффициент прямой,
образующей с прямой
y = x + t
угол, равный 45°. Подставляя в формулу
тангенса угла S, образуемого двумя прямыми, данные значе-
ния (tg 45° = 1; А, = 1), получим
1 + *«
14-£а = А,—1, 1 = - 1.
й
VIII. Логика
Предварительное замечание
Методы математики применяются для определения понятий
и доказательства теорем. В обоих случаях используется ло-
гика. Поэтому софизмы, относящиеся к этой незаменимой для
математики науке, должны найти свое место в этой книге.
111
1. Противоположным для понятия простого числа яв-
ляется понятие составного числа. Непростое число явля-
ется составным числом. Числа, делящиеся на 2, являются
составными числами; числа, делящиеся на 5, являются
составными числами. Следовательно, числа, делящиеся на 2,
являются числами, делящимися на 5 ’).
2» Нет правил без исключения! Это предложение, оче-
видно, само является правилом, следовательно, и из этого
утверждения имеются исключения. Тем самым мы приходим
к противоречию.
3. Два предложения верны, несмотря на то, что одно
из них противоречит другому *). Эти предложения гласят:
предпоследнее слово предложения, которое теперь записы-
вается, является артиклем. Предпоследнее слово предложения,
которое теперь записывается, не является артиклем
4. Несмотря на то, что два предложения противо-
положны друг другу, они оба неверны.
Число слов в записанном здесь предложении равно девяти.
Число слов в записанном здесь предложении не равно девяти.
5. Логический, софизм по Гегелю.
Пусть однородный стержень укреплен в точке, являю-
щейся его центром тяжести. Если теперь утяжелить один из
его концов, то он наклонится в эту сторону. Но так как же-
лезный стержень, если он намагничен, наклоняется на одну
сторону, то, следовательно, один его конец тяжелее.
6. Из уравнения хг — ЗхЦ-2 = (х — 2)(х—1) = 0 сле-
дует, как обычно говорят, что х = 2 или х=\. Однако из
этого уравнения может следовать в то, что х = 2, и то, что
х=1, а потому 2=1. Разве это не так?
7. Некто А говорит В: «Я солгал в своей жизни только
три раза». На это В отвечает: «Тогда ты лжешь теперь
в четвертый раз». Это заключение противоречиво: либо А,
') Этот софизм по Платону принято приписывать Сократу.
2) Этот и следующий софизмы исходят от Больцано.
’) В подлиннике непереводимая на русский язык игра слов: пер-
вая фраза кончается словами «ist ein Geschlechtswort», а вторая —
словами «ist kein Geschlechtswort». — Прим, перев.
112
действительно, до сих пор солгал только три раза и тогда он
сейчас говорит правду, либо он лгал больше, чем три раза,
и тогда в данный момент он солгал более чем в четвертый
раз.
8. Запишем в прямоугольнике следующие 4 числа:
1, 2, 3
наименьшее не записанное в этом прямоугольнике
целое положительное число
Пусть теперь а—наименьшее не записанное в данном пря-
моугольнике число; тогда оно как раз и должно находиться
в данном прямоугольнике. Мы пришли к противоречию.
9. Крокодил. У одной египтянки крокодил похитил ре-
бенка. Египтянка просила вернуть ребенка, и крокодил обе-
щал ей это, если она правильно укажет, как поступит кро-
кодил. Мать ребенка сказала: «Ты не возвратишь мне моего
ребенка». На это крокодил ответил: «Если ты, действительно,
права, то ты, как сама говоришь, не получишь назад ребенка;
если же твое высказывание неверно, то, согласно нашему уго-
вору, ты не получишь ребенка. В любом случае ребенок
должен остаться у меня». «Наоборот,— возразила женщина,—
если мое высказывание верно, то я получу ребенка назад
в силу нашего условия; если же я ошиблась, то это озна-
чает, что ты сам вернешь мне ребенка. В каждом из слу-
чаев я получу ребенка назад». Кто из них прав?
То, что здесь рассказано всерьез, можно сформулировать
в виде следующей игры. Условимся, что на все вопросы
некто В должен отвечать словами: «три спички», в против-
ном случае он проиграет ставку в 3 марки. Сначала .А за-
дает В пару любых вопросов, на которые В все время отве-
чает: «три спички». Наконец, А спрашивает: «что ты пред-
почитаешь иметь, три марки или три спички?» В отвечает: «три
спички». Тогда А говорит: «вот они», дает В три спички и
берет себе три марки.
10. Процесс. Эвакл обучался у Протагора софистике.
Было условлено, что за уроки он заплатит после того, как
выиграет свой первый процесс. Эвакл никаких процессов не
ИЗ
вел, поэтому, естественно, не платил Протагору условлен-
ного гонорара. Тогда Протагор подал на него жалобу в суд.
Он сказал Эваклу: «Если я выиграю процесс, то ты должен
будешь заплатить мне деньги согласно решению суда, если
же ты выиграешь этот первый для тебя процесс, то ты упла-
тишь мне гонорар в силу нашего условия». «Вовсе нет,—•
ответил Эвакл,— если я выиграю процесс, то, согласно при-
говору, я не должен буду платить тебе деньги; если же я
проиграю мой первый процесс, то, согласно нашему условию,
я опять же не должен буду уплатить тебе». Кто прав?
11. Лжец. Из древности до нас дошел следующий софизм.
Житель Крита Эпименид утверждает, что все критяне —
лжецы. Однако Эпименид сам критянин, следовательно, он
лжец. Поэтому и его утверждение ложно, т. е. жители Крита
не являются лжецами. Этот софизм можно видоизменить сле-
дующим образом. Некто говорит: «Все, что я говорю, ложно».
Следовательно, это его утверждение неверно; отсюда выте-
кает, что не все, что данный человек говорит, ложно.
Однако это противоречит исходному положению.
12. Кто виноват? Некто купил шляпу, которая оказа-
лась для него негодной, она была слишком мала. Кто вино-
ват, шапка или голова? Шапка во всяком случае не вино-
вата, так как если’бы голова была меньше, она бы подошла.
Следовательно, виновата голова! Но это также неверно. Если
бы шапка была больше, то она была бы годна. Следовательно,
ни шапка, ни голова не виноваты.
13. Неправильное применение индукции. Куммеру
принадлежит следующий пример. Число 60 делится на 2, оно
также делится на 3, 4, 5, 6. Поэтому 60 делится на любое
число. Проверим это утверждение для какого-нибудь боль-
шего числа, например, для 12. Действительно, 60 делится
на 12. Следовательно, наше утверждение верно.
Другой пример относится к числам вида р = 2,"-|-1,
встречающимся в задаче о построении правильных много-
угольников. При л = 0 мы получим число 3, при л=1 —
число 5, при л = 2 — число 17, при л = 3 — число 257. Все
эти числа являются простыми; в случае л = 4 мы также по-
лучаем простое число 65 537. Ферма предполагал, что все
числа вида 22” —1 простые, однако его предположение ока-
залось неверным. Как показал Эйлер, получающееся при
114
п — ъ число 2324"1 делится на 641. Теперь известны и дру-
гие значения л, для которых числа Ферма не являются про-
стыми ’).
В этой связи мне вспоминается так называемая великая
теорема Ферма* 2). В широких кругах математиков царит убеж-
дение, что при п>2 уравнение xn-[-yn = zn неразрешимо
в целых положительных числах. Однако неразрешимость урав-
нения доказана только для некоторых значений л, начиная
с л = 3 " кончая некоторым, правда достаточно большим,
числом.
14. Аутологичные и гетерологичные слова. Некоторые
слова обозначают такое свойство, которым обладает само
слово. Так, слово «трехсложный» трехсложно,слово «framjais»—
французское слово, слово «русский» — русское и т. д. Та-
кие слова мы будем называть аутологичными. Слова, не обла-
дающие этими свойствами, мы будем называть гетерологич-
ными. Так, например, слова четырехсложный, французский —
гетерологичны. Естественно, что преобладающее большин-
ство слов гетерологично. Определим, будет ли слово «гете-
рологичный» аутологичным или гетерологичным. Допустим,
что слово «гетерологичный» гетерологично, тогда по опре-
делению оно аутологично, и мы приходим к противоречию.
Если же предположить, что слово «гетерологичный» аутоло-
гично, то, согласно нашему определению, оно будет гетеро-
логичным, и мы снова приходим к противоречию.
Что же, собственно говоря, случилось с этим словом?
15. Наименьшее целое число. Пусть а — наименьшее
целое число, определение которого требует более 20 рус-
ских слов. Так как в этом предложении содержится меньше
20 слов, то а не является требуемым числом. Следовательно,
в данном предложении содержится противоречие.
16. Сельский парикмахер. Введем следующее опреде-
ление. Будем называть сельским парикмахером того жителя
села, который бреет жителей села мужского пола, не брею-
щихся самостоятельно. Попытаемся ответить на вопрос, бреет
’) В. Литцман, Великаны и карлики в мире чисел, Физмат-
гиз, 1959.
2) В. Л и т цм а н, .Теорема Пифагора, Физматгиз, 1960,
115
ли сельский парикмахер самого себя? Предполагая, что сельский
парикмахер бреется самостоятельно, мы приходим к про-
тиворечию. Ведь парикмахер — житель села, а согласно на-
шему определению парикмахер бреет только тех жителей,
которые не бреются самостоятельно. Итак, парикмахер не
бреет самого себя. Но тогда именно в силу нашего опреде-
ления парикмахер должен брить себя сам. Итак, мы снова
приходим к противоречию.
17. Парадокс Рассела. Будем различать два рода мно-
жеств. Отнесем к первому роду все множества, которые со-
держат сами себя в качестве элемента. Примером такого
множества является множество всех абстрактных понятий.
Множества, не содержащие себя в качестве элемента, при-
надлежат ко второму роду. Ко второму роду,который,впро-
чем, содержит почти все наиболее часто встречающиеся мно-
жества, принадлежит, например, множество чисел 1, 2 и 3.
Любое множество является либо множеством первого рода,
либо множеством второго рода. Рассмотрим множество М всех
множеств второго рода. К какому роду принадлежит множе-
ство М7 Предположим сначала, что М является множеством
первого рода; тогда М является элементом множества М.
Но множество М содержит только множества второго рода.
Полученное противоречие заставляет нас отказаться от пред-
положения, что М—множество первого рода. Поэтому оста-
ется принять, что М является множеством второго рода,
т. е. не содержится в себе самом в качестве элемента. Но это
также невозможно, ибо в этом случае М, являясь множест-
вом всех множеств второго рода, должно содержаться в М'.
Итак, обе возможности приводят нас к противоречию.
18. Предание о Тристаме Шэнди. Тристам Шэнди ре-
шил написать свою автобиографию и принялся за дело так
основательно, что трудился над описанием первых двух дней
своей жизни два года. Предположим, что Шэнди продол-
жает свою работу дальше -в том же темпе. Ясно, что он ни-
когда не завершит своей автобиографии и умрет за своей
столь основательной работой. Чем старше он становится, тем
больше делается разрыв между данным и описываемым мо-
ментами его жизни.
Но если бы Шэнди мог жить бесконечно долго, то он
мог бы написать свою полную автобиографию, несмотря на
то, что разница между временем, о котором автор пишет,
116
и временем, когда он пишет, стремится к бесконечности. Дей-
ствительно, даже если речь идет о дне из более позднего
периода его жизни, все равно в своем описании он дойдет
до этого времени, так как возраст его неограничен1).
IX. Некоторые примеры из физики
1. Основания для построения машины времени. Из гео-
графии известно, что экипажи кораблей во время кругосвет-
ного путешествия, проходя определенное место, лежащее
близ 180-го меридиана, переводят календарь на один день
назад при путешествии с запада на восток и на один день
вперед при путешествии с востока на запад. Представим себе
быстроходный самолет, который облетает Землю за 23 часа.
Тогда, облетев с данной скоростью Землю в направлении
с запада на восток, летчик вернется в исходное место на
час раньше, чем вылетел.
В наших широтах этот перелет может осуществляться
только на специальных летательных аппаратах. Но проблему
перемещения во времени можно решить и иначе. Вообразим, что
мы находимся на Северном полюсе. Вращаясь в направлении с за-
пада на восток, мы при каждом полном обороте возвращаемся на
день назад. Вращаясь вокруг полюса в противоположном на-
правлении, можно совершить путешествие в будущее. По-
строив аппарат, быстро вращающийся на полюсе, можно
с его помощью за короткое время превратить стариков
в юношей. Необыкновенные перспективы открываются для
истории; любому станет доступным путешествие в будущее.
2. Воздушный корабль имеет собственную скорость с ки-
лометров в час. Он летит при попутном ветре, дующем со
скоростью v километров в час, в некоторый город, находя-
щийся на. расстоянии I километров. Прилетев в город, корабль
сразу поворачивает обратно и летит теперь уже против ветра
назад. Так как замедляющее влияние ветра на обратном пути
такое же, как и ускоряющее при попутном ветре, и так как
пути при попутном и обратном ветре одинаковы, то проиг-
рыш во времени на обратном пути равен выигрышу во вре-
мени на прямом пути. На путь туда и обратно требуется,
2/
таким образом, — часов. Если, например, с = 80 км[час,
*) Согласно теории множеств, число дней его жизни будет экви-
валентно числу лет.
117
/=600 км, то на весь путь туда и обратно потребуется
15 часов. Мы видим, что скорость ветра v не влияет на
продолжительность путешествия. Как бы велика ни была ско-
рость ветра, путь будет пройден за те же 15 часов, так
как сколько будет времени потеряно при противном ветре,
столько будет выиграно при попутном на обратном пути,
если, конечно, предполагать, что скорость ветра не меняется.
Это рассуждение показывает, что воздушный корабль мо-
жет возвращаться в исходный пункт и в том случае, когда
скорость ветра на обратном пути равна или даже больше
собственной скорости корабля!
3. л = 4. В вертикально стоящем круге из самой нижней
точки А проведена хорда АВ1). По этой хорде из В в А
движется без трения материальная точка с нулевой началь-
ной скоростью. Под действием силы тяжести движение ста-
нет равномерно-ускоренным, причем ускорение равно^э!па.
Согласно известной формуле S = у/1, для определения пути
равномерно-ускоренного движения мы имеем
AB=^t\
Но ?!B = ^C’-sina = 2r-sina, откуда
п . £f-sina ,,
2г sin a = —g— • t ;
поэтому
Следовательно, время i не зависит от угла а, т. е. все хорды,
кончающиеся в точке А, пробегаются точкой за одно и то
же время.
Рассмотрим теперь математический маятник. При доста-
точно малых амплитудах можно заменить дугу окружности,
которую пробегает материальная точка маятника, хордой.
Согласно формуле маятника, время, затраченное на четверть
колебания, равно __
’) Хорда проведена под углом а к горизонтальной прямой; верх-
няя точка круга обозначается через С. — Прим. ред.
118
причем в нашем случае 1=г. Следовательно, имеет место
равенство
Отсюда получаем для л необычное значение 4 ’),
Рис. 82.
4. Как не надо вычислять центр тяжести. Разобьем
ДЛВС с помощью прямых, параллельных стороне ВС, на
большое число узких полос. Из соображений симметрии ясно,
что центр тяжести каждой полосы находится в ее середине.
Поэтому геометрическим местом центров тяжести полос яв-
ляется медиана, проведенная из вершины А.
Повторяя аналогичное рассуждение для сто-
роны АС, получим другое геометрическое
место центров тяжестей полос. Поэтому
центром тяжести треугольника является точка
пересечения его медиан.
Пусть теперь задана луночка (рис. 82).
Для определения ее центра тяжести найдем
по методу полос геометрическое место цент-
ров тяжестей полос — линию, которая делит
пополам перпендикулярные к прямой АВ хор-
ды луночки. Кроме того, из соображений
симметрии, центр тяжести луночки должен
лежать на перпендикуляре к прямой АВ, проведенном через
ее середину. Поэтому центр тяжести луночки находится в
точке на пересечении обеих линий.
К сожалению, «настоящий» центр тяжести находится не
в этой точке, а в другой точке указанного перпендикуляра.
5. Критика одного физического закона. Как известно
из закона Гей-Люссака, любой газ при постоянном давлении
при увеличении температуры до /° увеличивает свой объем
от значения при 0° до значения
vt = v„ U + а0.
(1)
где а примерно равно 1 273.
*) Этот парадокс, ставший известным благодаря Эйлеру,
содержится в книге: Больцано, Парадоксы бесконечного, Одес-
са, 1911.
119
При постоянном объеме имеет йесто соотношение
Pt = Po(1+a/), (2)
где pt и р0— давление при t° и 0° соответственно.
Перемножая оба равенства, получим
<'rPt = 'VPo(1+a0’.
Следовательно, известный закон Бойля — Гей-Люссака
^Р| = г'о-Ро(1 +“0
неверен.
6. Когда двое наблюдают одно и то же явление, они не
обязательно наблюдают одно и то же. В естественных нау-
ках нормальным условием любого научного исследования
является убеждение в том, что два наблюдателя одного и
того же явления приходят к одним и тем же результатам, не
считая, конечно, незначительных отклонений, которые
объясняются различием в сноровке, остроте чувств и т. д.
Следующая интересная история убеждает нас в том, что
с Этим основным положением не все благополучно.
Физик, машинист и хитрец стояли вместе. «Почему локо-
мотив свистит высоко, когда он приближается, и низко, когда
он удаляется?» — спросил физик. «Потому, что так прика-
зала дирекция железной дороги,— ответил хитрец,—’Это де-
лали все локомотивы, которые проезжали мимо меня». «Это
совершенно неверно,— возразил машинист,— локомотивы сви-
стят всегда одинаково высоко, уж я должен это знать!»
С. ПРИМЕРЫ-ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА
БЕСКОНЕЧНЫХ ВЕЛИЧИН
I. Бесконечно большие и бесконечно малые величины
1. Число оо как последнее натуральное число. Число оо,
т. е. бесконечно большое число, иногда вводится как наиболь-
шее число в последовательности натуральных чисел
1, 2, 3,...,оо.
Если принять такое определение, то удастся доказать, что 1
является наибольшим натуральным числом ’).
Пусть —наибольшее целое число; тогда
Последнее неравенство показывает, что k не является наиболь-
шим натуральным числом. Следовательно, никакое целое число
не может быть наибольшим целым числом. Остается
принять, что наибольшим целым числом является 1, так как
только в этом случае мы не приходим к противоречию.
2. Число оо = -^-. Число оо часто вводится с помощью
равенства
а
О' — 00-
где а — произвольное действительное число, отличное от 0’).
’) Этот софизм, как мне сообщили, исходит от Перрона.
2) Такой способ введения числа оо очень распространен, так что
излишне делать ссылки на источники. Так как из равенства
121
Приняв это определение, мы сможем доказать равенство любых ,
двух действительных чисел. Пусть а и b — два действитель-
ных числа; тогда
а Ь
- = оо И у=ОО.
Следовательно,
а____________________________b
О — 0 •
Умножая обе части равенств) на 0, что, в отличие от деления,
допустимо, получим
а = Ь.
3. Связь между числом оо и бесконечно малым числом.
Равенство
а п а
— = 0, — = ОО
оо ’ О
иногда сопровождается примечанием: «в обоих равенствах
символ 0 надо рассматривать как некоторое бесконечно малое
число». Бесконечно большое и бесконечно малое числа, таким
образом, связаны друг с другом. Употребляя для бесконечно
малого числа символ 0, получим
а а
— = Z, —=оо.
оо ’ 0
Пусть а и b — произвольные отличные от 0 и оо действи-
тельные числа. В силу любого из записанных выше равенств
мы получаем
а = 0-оо, 6 = 0-оо,
откуда
а = Ь.
4. Другой способ введения бесконечно большого и бес-
конечно малого чисел. Числа оо и 0, бесконечно большое
и бесконечно малое, вводятся также и с помощью равенства
оо-]-а = оо, (1)
0-^-а — а, (2)
где а—некоторое конечное число. Из этих равенств, приме-
следует, что-^-=6, то из нашего определения следует также равен-
а п „ а « b а а Ъ
ство — = 0. Отсюда получаем: так как — = 0, — = 0, то — = — ;
00 ОО 00 ОО 00
следовательно, а =Ь.
122
няя к числам оо и 0 обычные правила счета, можно доказать
конечность числа оо. Действительно,
(оо а)1 = оо2;
rtn® 1- 1 . Z74-
а
°° —“Т •
Аналогично доказывается конечность числа 0:
(0-{-а)г — аг-,
а1 -|-2а0 аг — а*;
а *)
0—у
Отсюда также следует, что 0 = оо. Бесконечно большое
число равно бесконечно малому.
Вывод из пп. 1—4. Не следует думать, что с помощью
символов оо и 0 можно ввести новые числа, «бесконечно
большое» и «бесконечно малое», для которых справедливы
равенства
— = оо или оо-]-а = оо, в-\-а = а
0 1,1
и обычные правила счета. Такое введение «чисел» оо и 0
приводит к противоречию. Не существует, следователь-
но, постоянных чисел оо и 0.
5. оо <*—1. Мы имеем:
а1 2 а1 1 а* о ,
— — а\ — =а' = а, — = а = 1
а 'а 'а
I И Т- Д‘
а
Иногда таким образом вводятся степени с отрицательными
показателями и показателями 1 и 0. Валлис однажды примени;
такой метод к следующей последовательности дробей:
Из этой последовательности неравенств, принимая -д- = оо,
можно, в частности, вывести, что
1 оо — 1 .
’) Последнее равенство неясно. Скорее следует написать 0 == —2а.
По-видимому, это — просто описка.— Прим. ред.
123
6. Равные точечные множества; 'g 200=10.
В решетке точек, изображенной на рис. 83, число точек,
принадлежащих стороне квадрата, равно числу точек, лежа-
щих на диагонали. Если увеличить число точек решетки та-
ким образом, чтобы при неизменных размерах решетки рас-
стояние между точками
OQOO0OOOOO
X X
ОООООООООО
X X
оооооооооо
оооооооооо
X X
ОООООООООО
X X
оооооооооо
X X
оооооооооо
X х
оооооооооо
X х
оооооооооо
оооооооооо
Рис. 83.
уменьшилось вдвое (новые точки
отмечены на стороне квадрата и
на диагонали крестиками), то чи-
сло точек, лежащих на стороне,
по-прежнему останется равным чи-
слу точек на диагонали. Это соот-
ношение останется справедливым,
если еще раз аналогичным обра-
зом увеличить число точек, и да-
же если продолжать этот процесс
неограниченно. В пределе полу-
чается, что число точек на стороне
квадрата равно числу точек, при-
надлежащих диагонали, так что
диагональ квадрата и сторона одинаково велики, т. е. имеют
равную длину. Применяя, с другой стороны,, теорему Пи-
фагора, получим другое соотношение между длиной сто-
роны и длиной диагонали. В результате мы получим равен-
ство, указанное в заголовке.
7. / = оо. С помощью лучей, выходящих из точки О,
каждой точке ломаной АВС ставится в соответствие в точ-
ности одна точка бесконечной прямой gw наоборот (рис. 84).
Взяв
АВ=ВС=~,
получим, что отрезок длиной 1 содержит такое же число
точек, что и бесконечная прямая g. Измеряя отрезок и пря-
мую в сантиметрах, получаем, что 1 = оо.
124
8. Квадрат так же велик, как и его сторона. Читатель
скажет сначала, что фигура не может иметь такие же раз-
меры, что и линия. На рис. 85 изображен квадрат с верши-
ной в начале координат и стороной, рав-
ной 1. Возьмем любую точку, лежащую
внутри квадрата или на сторонах, сов-
падающих с осями координат, и пусть
эта точка имеет координаты х и у. Коор-
динаты х и у удовлетворяют неравен-
ствам 0х1, их можно
представить в виде бесконечных десятич-
ных дробей. Если координата является рис 85.
конечной десятичной дробью, например
дробью 0,43, то ее всегда можно представить в виде бес-
конечной дроби, т. е. в виде дроби 0,42999... Пусть
х = 0, а.а.а.а. ... ,
J = 0, •••
— координаты точки (х, у). Поставим в соответствие этой
точке точку с координатой
z = 0, a,b.aj>.a.b.a,b. ...,
лежащую на оси х. Здесь цифры а,, аг, ... и bit bt, ...
принимают значения 0, 1, 2, ... , 9.
Каждой точке квадрата соответствует при этом только
одна точка на етороне квадрата и наоборот. Следовательно,
квадрат и его сторона содержат одинаковое число точек,
т. е. одинаково велики.
9. Длины двух концентрических окружностей равны.
На рис. 86 изображены две концентрические окружности и
два луча, выходящие из их общего
центра. Из чертежа видно, что
каждой точке малой окружности от-
вечает только одна точка большой
окружности и наоборот. Обе окруж-
ности содержат, следовательно, оди-
наковое число точек, т. е. имеют
равную длину.
Вывод из пп. 4—9. Из того
факта, что точки одной линии вза-
имно однозначно соответствуют точкам другой линии или
другой фигуры, не следует, что линии и фигуры имеют оди-
наковые размеры.
125
10. Угол как сектор плоскости. Докажем, что сумма
углов треугольника равна 180°. Обозначим через а-оо сек-
тор плоскости, соответствующий углу а. Тогда заштрихо-
ванная полуплоскость будет обозначаться через 180°-оо. Как
показывает рис. 87, сумма секторов
а-оо-|-Р,оо-|-у,о0
отличается от полуплоскости только на конечную величину
Рис. 87.
(треугольник АВС). Так как этот конечный кусок не влияет
на величину бесконечной полуплоскости, то
а-оо~|-р-оо-|-у-оо= 180°-ос. (1)
Следовательно,
a-4-p-4-Y=J8O°.
Для тех, кому не нравится пренебрежение конечным куском
плоскости, можно предложить провести доказательство сле-
дующим более «безупречным» способом. Проведем через вер-
шину А, как это делают при обычном доказательстве этого
предложения, прямую, параллельную прямой ВС (рис. 88).
Тогда для полуплоскости, расположенной по одну сторону
этой прямой, имеет место равенство
а-оо-|-р.<х>-|-у-оо— 180°-оо. (2)
Обе полуплоскости, обозначенные у нас через 180°-ос, от-
личаются друг от друга не только на конечный, но даже на
бесконечный кусок плоскости, а именно, на полосу, располо-
женную между прямой ВС и проходящей через точку А пря-
мой, параллельной ВС. Поэтому проведенные нами вычисле-
ния являются недопустимыми; два, казалось бы, равных выра-
125
жения (1) и (2) отличаются не только на конечную, но даже
на бесконечную величину.
Вывод. При оценке величины углов, основанной на оп-
ределении угла как сектора бесконечной плоскости, мы на-
талкиваемся на противоречия.
Рис. 88.
11. Дешевые велосипеды. Гражданину А фабрика посы-
лает 5 талонов, которые тот должен раздать пяти своим
друзьям Вг, Вг, Bt, Bs. Каждый талон стоит 20 марок.
Когда А раздаст полученные талоны, он получит велосипед —
при условии, что его друзья В,, В2, Вг, Bt, Bi заплатят,
во-первых, по 20 марок, а во-вторых, раздадут каждый по
5 талонов ценою в 20 марок некоторым лицам Сп, С12, ...
. .., С15, С21, . .. , С55. Люди С продолжают действовать таким
же образом. Если этот процесс продолжается бесконечно,
то А получит свой велосипед бесплатно, все же остальные —
за 20 марок. Однако фабрика получит за каждый велосипед
по 100 марок.
II. Переход к пределу
1. «Принцип непрерывности». Лейбницу принадлежит
следующий принцип, названный Арбогастом «принципом не-
прерывности»: каждое свойство, которым обладают все члены
определенного ряда, выполняется и для его предела. Этот
принцип применяется, например, в элементарной геометрии,
когда переходят в круге от вписанного угла к углу, состав-
ленному касательной и хордой, причем из равенства углов,
опирающихся на одну и ту же дугу, выводят, что угол, со-
ставленный касательной и хордой и заключающий между
своими сторонами ту же самую дугу, равен исходным впи-
санным углам. Другим примером является переход от теоремы
о секущих, проведенных из одной точки, к теореме о
1/7
секущей и касательной, проведенных из одной точки. Теорема
о секущих гласит: если из одной и той же точки Р прове-
дены к окружности две секущие, пересекающиеся с окруж-
ностью в точках Л,, Аг и В„ Вг соответственно, то РАг- РА2 =
= РВ,-РВг. Если, в предельном случае, одна секущая пре-
вращается в касательную РД,, то из данного принципа «сле-
дует», что
РА* = РВ1 PBt.
Вот еще один пример применения этого «принципа»-
Центр тяжести отрезка делит отрезок в отно-
шении 1:2. В равнобедренном треугольнике центр тяжести
расположен на высоте, проведенной к основанию, и делит ее
в отношении 1:2. Сохраняя высоту треугольника неизменной,
будем постепенно уменьшать основание равнобедренного тре-
угольника. Положение центра тяжести треугольника при этом
не меняется. В пределе треугольник превращается в высоту,
а предельное положение центра тяжести остается тем же,
т. е. центр тяжести высоты делит ее в отношении 1:2.
2. Диагональ квадрата равна сумме двух сторон. Рас-
смотрим изображенный на рис. 89 квадрат со стороной, рав-
ной единице. Для того чтобы попасть из точки А в точку С,
пройдем сначала из точки А в точку В,
а из точки В— в точку С. Проделан-
ный путь будет равен 2. Длина пути
не изменится, если мы вместо перво-
начального пути пройдем «ступенча-
тый» путь AB,BtB,C. Если теперь
удвоить число ступеней, то общая дли-
на пути по-прежнему будет равна 2.
Этот процесс можно продолжать и даль-
ше, как показано на рис. 89. Продол-
жая процесс удвоения числа ступеней
до бесконечности, мы все время будем иметь общую длину пути,
равную 2. Вместе с тем путь все более приближается к диа-
гонали АС, а в пределе совпадает с диагональю. Отсюда —
длина диагонали равна 2.
Ход проведенного рассуждения совершенно не зависит от
выбора в качестве исходной фигуры квадрата; квадрат может
быть с тем же успехом заменен параллелограммом, и указан-
ным способом можно доказать, что диагональ параллелограмма
равна сумме двух прилежащих сторон, или, иначе, что сто-
рона треугольника равна сумме двух других сторон.
128
3. п — 2. Начертим круг и проведем в нем диаметр.
Пусть длина диаметра равна d; тогда длина окружности
равна nd. Начертим внутри круга два новых круга, центры
которых лежат на диаметре первого круга и диаметры кото-
рых в два раза меньше диаметра большого круга. Они распола-
гаются так, как это изображено на рис. 90. Сумма длин
окружностей этих двух кругов также ----
равна nd. Впишем в каждый новый круг /
еще по два круга, как выше. Сумма /^——-Л
длин окружностей получающихся новых
кругов снова равна nd. Продолжая этот f—+—4-—тг—п
процесс дальше, мы получаем все время 3^7
тот же результат. Что же получится V-----' J
в пределе при бесконечно большом X.
числе кругов? Предельная фигура не
отличается от диаметра, который, одна- Рис. 90.
ко, придется рассматривать как двой-
ной: один раз он получается как предел верхних полуок-
ружностей, другой раз — как предел нижних полуокружно-
стей. Таким образом, nd = 2d, следовательно, л = 2.
4. п — 4. По окружности неподвижного круга, имеющего
радиус г=ОА, катится снаружи меньший круг, радиус ко-
торого равен где п—некоторое целое число (рис. 91).
Точка А малого круга описывает при этом эпициклоиду.
После поворота на угол t центр меньшего круга займет не-
которое положение М', а точка А — положение А'. Тогда
£BM'A, = nt, £ВСА' = ^ (как вписанный угол). Пусть
129
прямая М'А' пересекает прямую ОА в точке D, прямая ВА'
пересекает прямую ОА в точке Е, а прямая СА' — в точке F.
Угол A'DE является внешним в £±M'OD, и потому
£A’DE={n-\-\)t.
Далее, ОМ’ — г -|- — = г ” ; поэтому координаты точки
М' равны
х' =-^(n-\-\)cost, у' = ~(п1)sini.
Пусть х и у — координаты точки А’; тогда 0Х=з=х, А'Х=у.
Мы легко получаем (обратите внимание на знак косинуса!),
что
х = -^-(л-|- 1) cos t — ~ cos (п-[-1)/,
У = 'п (« + J)sin / — sin («4-1)/,
или
х = -^- [(«4" О COS /— cos («4-1) /],
у = [(« 4“ 1) sin t — sin (п 4- 1) /].
Вычисляя после этого обычным путем *) площадь эпицикло-
иды, получим
<j(n + l)(« + 2) №
Определяя далее *) длину дуги эпициклоиды, соответст-
вующей полному обороту / = 2л, получим для длины пол-
ной замкнутой кривой число
^__8(л4-1)т
п
Перейдем в этих выражениях к пределу при п—>-оо, т. е.
при радиусе катящейся окружности, стремящемся к нулю,
тогда эпициклоида как угодно близко приближается к окруж-
ности. И действительно, из соотношения
lim S = lim
П-»ОО П-»О0
’) По известным формулам интегрального исчисления.
130
получается известная формула площади круга. С другой
стороны,
lim /= lira 8 (1 -f- — V = 8r.
n-»oo \ n J
Так как известно, что длина окружности равна 2лг, то л = 4.
5. л* = 2л. Построим на сторонах правильного «-уголь-
ника (рис. 92), как на диамет-
рах, полуокружности. Пусть
рп—периметр правильного п-
угольника. Тогда сумма 1п длин
всех полуокружностей равна
I я „
2 Рп'
Считая, что л-угольник вписан
в круг фиксированного радиуса г
и переходя к пределу при л—>• оо,
получим для периметра рп пре-
дельное значение 2лг, и потому
для длины линии, образованной
полуокружностями, полу-
чим предельное соотношение
Z„—>л7.
Однако последняя линия в пределе переходит в окружность,
длина которой равна 2лг.
2
в. л = 2~. Площадь пол у эллипса, ограниченного малой
и
осью, равна -g-nao, где а и о — большая и малая полуоси
эллипса. Рассмотрим фигуру, образованную дугой параболы
и хордой длины 26, параллельной касательной в вершине и
отстоящей от нее на расстоянии а1). Площадь этой фигуры
2
равна-х-а-2Ь. Будем все время увеличивать длину а полуоси
и
') Речь идет о параболе у = ~ хг, у которой горизонтальная
(т. е. параллельная касательной в вершине) хорда, проведенная на вы-
4
соте у —а, равна 26. Эта хорда отсекает фшуру площади уаб.—
Прим. ред.
131
эллипса; тогда эллипс перейдет в параболу. Таким образом,
в пределе мы получим равенство
1 2
-% nab = у а • 2Ь.
Следовательно,
4^=4
или
„—А—9А
Я—• 3 —2 3
Вывод из пп. 1—6. «Принцип непрерывности» не
обоснован.
7. Поверхность шара равна п*г*. Покроем сферическую
поверхность, как глобус, меридианами и параллелями и со-
единим при помощи радиусов точки их пересечения с центром
шара. Тем самым шар разбивается на четырехугольные, а
около полюса — на треугольные пирамидальные тела. Извест-
ное доказательство соотношения
О
между величиной S поверхности шара и его объемом V ис-
пользует тот факт, что в «пределе», т. е. при увеличении
густоты сетки, составленной из меридианов и параллелей,
пирамидальные тела можно с любой степенью точности счи-
тать пирамидами. Точно так же при выводе соотношения
между длиной окружности I и площадью круга S используется
аналогичное соображение: площади круговых секторов вычи-
сляются с любой степенью точности по формуле для площади
треугольника.
Соответствующее соображение используется также в сле-
дующем софизме.
Выберем на шаровой поверхности произвольную точку и
будем считать ее полюсом. Проведем через этот полюс
п меридианов, расположенных на равном угловом расстоянии
друг от друга; проведем также на сфере соответствующий
данному полюсу экватор. Далее рассмотрим сферические
треугольники, образованные двумя соседними меридианами
132
и экватором. Чем больше становится п, т. е. чем меньше
будет угол между соседними меридианами, тем с большей
точностью можно считать площадь треугольника равной по-
лупроизведению основания на высоту. Пусть лежащее на
экваторе основание треугольника равно g; его высота равна
о л Лг
одной четверти окружности большого круга, т. е. равна ,
где г-—радиус шара. Следовательно, площадь треугольника
равна -у g . Поверхность полушара оказывается равной
яг ngar
/z.g-. —, а поверхность всего шара .Так как произведе-
ние ng равно длине экватора, т. е. 2лг, то поверхность всего
шара равна л’г*.
Вывод. Предположим, что некоторая поверхность или
тело составлены из произвольно большого числа частей.
Оценим величину поверхности или объем тела, установив,
что площади или объемы частей как угодно мало отличаются
от площадей или объемов некоторых других малых фигур
или тел. Оказывается, что установление этого факта еще
недостаточно для определения величины поверхности или
объема тела ’).
8. 2 — 3 = п. Обычный вывод производной для функции
у = хп
проводится следующим образом. Вычисляют отношение при-
ращения функции к приращению аргумента:
----- = х"_,4-х"-2 х. -4-х"_’х2-4- ... -4-хх"~!4-х"_’,
X — Xt 1 11 11 till’
а затем переходят к пределу при х—>-х1. Таким образом,-
производная в точке х, оказывается равной
*) Эту формулировку (в подлиннике еще более туманную, чем в
предлагаемом переводе) следует понимать в том смысле, что площадь
сферического треугольника, образованного двумя соседними
меридианами и экватором, и площадь прямолинейного тре-
угольника с тем же основанием и высотой -% не являются эквивалент-
ными бесконечно малыми, т. е. отношение этих площадей не стремится
к 1 при п—>«>.— Прим. ред.
133
Использованное
принимает вид
при этом выводе соотношение при х, = 1
х’- 1
= х*4-х4-1,
и вообще
55г=^-’+«—+••+»+!.
где я— некоторое натуральное число. При х= 1 левые части
О
этих равенств принимают одно и то же значение -у, поэтому
должны быть также равны и их правые части, т. е. 2 = 3 = я ’).
Вывод. Если при некоторых значениях независимого
переменного функция не определена, так как при этих зна-
чениях она теряет смысл то нельзя пытаться определить
ее для этих значений переменного, преобразуя ее с помощью
х2 — 1
недопустимых операций. Функция у = отлична от функ-
ции поскольку первая функция не определена при
х=1, а вторая определена. Аналогичное утверждение спра-
ведливо и для остальных выражений.
9. sin2x — 2 sinx. Из формулы
sin х ,
lim -----------------------— 1
X -* о х
следует, что
sin2x 2 sinx
lim --------------------= lim ------= 2;
X -» 0 X X 0 x
таким образом,
sin 2x — 2 sin x.
Вывод. Из соотношения lim ^7^= lim не следует,
X -> a s (x) x aS (x)
что /,(х)=/1(х).
10. Соотношение 1 — —1 можно получить, прирав-
нивая выражения
lim lim ^7— и lim lim .
х-а>у-юох + 1/ у^х + ъх + У
’) Это возражение против распространенного вывода производной
было выдвинуто еще английским философом Беркли.
134
Действительно,
Пт
х-юо
Х~У =
х-^у
y-L
lim ----
х-*оо 14.^.
х
следовательно,
в то время как
lim lim
у -КХ> X -> ОС Х 4~ У
Н-
следовательно,
— -1
пт х^у= Ит у—=
1>-»®*4"1/ у-юоЛ. I 1
У
lim lim Ц-^ = —1.
х-ооу->оо*4-</
0 С
11. Равенство двух произвольных дробей. можно
установить, если в выражении
lim
X -* о
lim
у-ю
ах-{-су
bx+ dy
допустить изменение порядка перехода к пределу. Имеем:
lim
X -» о
lim
ах-[-су ах а
hm т—~= lim т- — -г-;
^„I’x + dy X^„bx Ь
ах-\-су су с
hm -—= lim = -г .
,-,<>6*4-^ y^tdy d
12. Соотношение 1 = 0 можно доказать, переставляя в
выражении
lim lim ab
а -► о Ъ -» о
порядок перехода к пределу. В самом деле,
lim lim ab = lim a0 = lim 1 = 1,
a -> о t> -» о a -t о a -* 0
lim lim ab = lim 0* = lim 0 = 0.
Ь -> о a -* о b->o t> -» о
Вывод из пп. 10—12. He всегда можно изменять по-
рядок перехода к пределу.
135
13. Чему равен Um а"? Вычислим этот предел следующим
а -> о
образом:
lim а
lim ae = (lim а)а-“ .
а -> о а -* о
Переходя к пределу сначала для основания, а затем для по-
казателя, получим при этом 0. Если же перейти к пределу
сначала для показателя, то получим 1.
/ 1 \п
14. Чему равен lim I 1 ------, единице или оо? Если
и -»оо \ п /
перейти к пределу при п—<-оо сначала для основания сте-
пени, то мы получим Замечая, однако, что
п 00
« । 1 Л —р- 1 \ « 1 • и \ 1
1 ----= —— 1 и что lima" при а^>1 равен оо, полу-
л л п -> 00
чим для предела выражения значение оо. Как из-
вестно, оба вывода неверны.
Вывод из пп. 13 и 14. Не следует вычисление слож-
ного предела заменять выполнением двух следующих друг за
другом предельных переходов.
15. Штейнеровское доказательство изопериметричности
круга основано на том, что для произвольной замкнутой ли-
нии, отличной от окружности, всегда существует другая ли-
ния такой же длины, ограничивающая ббльшую площадь').
Вот аналогичное рассуждение* 2). Рассмотрим ряд 14_*4_
-J-х2. Он сходится для различных положительных зна-
чений х. Рассматривая одно из таких значений х, всегда
можно указать другое число х,, большее чем х, для кото-
рого ряд все еще сходится. Так как нельзя утверждать, что
ряд сходится для как угодно больших значений, то сущест-
вует наибольшее значение, для которого ряд сходится.
Это заключение, однако, неверно. Ряд расходится при
| х j 1 и сходится при —1<х<4-1. Следовательно, не
существует наибольшего значения х, при котором ряд схо-
дится.
Вывод. В доказательстве Штейнера не доказано суще-
ствование хотя бы одной линии, которая при заданной длине
*) Штейнеровское доказательство можно найти, например, в книге
Д А. Кр ыжановск ого «Изопериметры». — Прим. ред.
2) По Перрону.
136
ограничивала бы наибольшую площадь. Доказав существова-
ние такой линии, убеждаемся, что ею может быть только
окружность. Штейнером было доказано только следующее
утверждение: отличная от окружности линия не может огра-
ничивать наибольшую площадь.
16. Ломаную линию АВС надо заменить такой кривой,
которая бы наиболее близко приближалась к ломаной.
Заменим излом в точке В дугой круга, для которого прямые
ВА и ВС являются касательными. Требование, чтобы эта
кривая возможно ближе приближалась к ломаной АВС, не-
выполнимо, так как для каждой такой кривой существует
другая кривая, более тесно примыкающая к ломаной ’),
III. Последовательности
1. Упорядочение числовой последовательности по вели-
чине ее членов. Числовая последовательность с положитель-
ными членами не всегда является монотонно возрастающей
или монотонно убывающей. Однако члены такой последова-
тельности всегда можно расположить по величине. Пусть,
например, задана последовательность
a«n-i—Л> а™~ 2п>
т. е.
i 1 1 1 1 ± 1 ±
’ 2 ’ 2 ’ 4’ 3’ 6’ 4’ 8 ’ ‘ '
Меняя порядок членов, ее можно преобразовать в последо-
вательность
,1111 ±±11
*’ 2 ’ 2 ’ 3’ 4’ 4’ 5’ 6’ 6 ’ • “
Посмотрим, действительно ли это всегда можно сделать.
Рассмотрим множество всех дробей -у, расположенных
между 0 и 1, Расположим их в виде последовательности,
например, по следующим правилам: дроби, у которых сумма
числителя и знаменателя равна п, предшествуют тем дробям,
’) Это рассуждение автор приводит, по-видимому, для того, чтобы
еще раз подчеркнуть, что не во всяком классе фигур существует
«крайняя» фигура (например, наибольшая по площади, наиболее близ-
кая к данной ломаной и т. д.). Тем самым еще раз подчеркивается
логический пробел в доказательстве Штейнера.— Прим. ред.
137
у которых эта сумма равна дроби, имеющие равные
суммы числителя и знаменателя, располагаются в порядке
возрастания числителя; сократимые дроби не включаются в
последовательность. В результате мы получим последова-
тельность
111J.11J.A1_1 m
2 ’ 3’ 4 ’ 3’ 5’ 6’ 5’ 4’ 7 ’ 5 >• • •
Сделаем попытку расположить в порядке возрастания дроби
этой последовательности, не являющейся, конечно, монотонно
возрастающей или монотонно убывающей. Пусть это уже
осуществлено. Предположим, что в новой последовательности
, а с
за дробью -у следует дробь .
~ , а 4- с
Тогда дробь г--j также
о а
принадлежит1) последовательности (1). Из у<^А следует,
что ad<^bc. Я утверждаю, что
а а -)-с
(2)
Это неравенство эквивалентно неравенству
abad <^abЬс,
и потому неравенство (2) верно. Далее,
о 4- с с
ибо неравенство
ad cd Ьс 4- cd
справедливо. Следовательно,
а с
b ~d ’
С а
т. е. -j вовсе не является следующим за у членом после-
довательности. Тем самым мы пришли к противоречию.
!) Возможно, эту дробь придется сократить. Например, дроби
18 g 1 Ц- 8
а и тт несократимы, в то время как дробь уже является со-
Z 1У 2, -4- 1у
кратимой.— Прим. ред.
138
Вместо такого построения, используемого в рядах Фаре’),
можно взять среднюю арифметическую дробей* 2), т. е.
2 b ~ d J
ad-[-be
2bd
так как для нее также
a ^ad-\-bc с
b 2bd d 1
Вывод. Не всегда удается с помощью перестановки чле-
нов преобразовать последовательность с положительными
членами, не являющуюся монотонно возрастающей или убы-
вающей, в монотонно возрастающую или монотонно убываю-
щую последовательность.
2. Некто рассуждает следующим образом. Пусть за-
дано положительное число а<^ 1, тогда аг <^а, а* <^а2, ... ,
т. е. степени постоянно убывают, следовательно,
о
lim а" = 0 при
п 00
а
1.
В последовательности
О 1 1 1 1 , 1
а1 = 2, а, = 1у, а,= 1т, = 1 .
члены также постоянно убывают, следовательно, они должны
стремиться к нулю. Однако это неверно, lim апу^0, члены
П -> 00
последовательности не приближаются как угодно близко
к значению 0. Легко видеть, что lim ап = \.
И QD
Вывод. Если в последовательности с положительными
членами, начиная с некоторого п, выполняется неравенство
ап+1 <^,ап>
то отсюда еще не следует, что
lim ап = 0.
п -* 00
*) См. И. М. Виноградов, Основы теории чисел, стр. 22—23. -
Прим. ред.
2) Следует также произвести сокращение дробей, если возможно.—
Прим. ред.
139
3. Наоборот, даже и в случае, когда не выполняется не-
равенство an+i<Zan> может быть lim ап = 0. Это можно
п -* оо
проследить на примере последовательности
а»п-1— п> агп 2п’
т. е. последовательности
1 ± .I ± ± 1 1 1
*’ 2 ’ 2 ’ 4 ’ 3’ 6’ 4 ’ 8 ’ ”*
Вывод. Требования
а»+1<ап, lim а„ = 0
п -► 00
никак не связаны друг с другом.
4. е = оо. Некто рассуждает следующим образом. Если
а^>1, то аг>а!‘, ... , т. е. степени постоянно
возрастают; следовательно,
lim а" = оо при а^>1.
п -> 00
Основываясь на подобном заключении, покажем, что е = оо.
Как известно,
(1 \П / ] \П-1
1-4--I "> ( 1 -4--; I * Тогда, основыва-
' п / ' \ 1 л — 1)
ясь на вышеприведенном рассуждении, можно утверждать,
/ 1 \"
что последовательность с общим членом ( 1 -------1 стре-
мится к оо.
В силу биномиальной формулы
(1 4-х)"> 1 4-их.
Отсюда при х =— i получаем1)
’) Соотношение (1 -|- х)л > 1 + пх действительно легко следует из
формулы бинома для положительных х. Однако автор применяет это
соотношение Для отрицательного значения х = —что дает
140
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Вывод. Требования
+ 1
и lim а„ = оо
п -► ОС
никак не связаны друг с другом.
5. Последний член некоторой последовательности. По-
следовательность чисел
0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...
приближается как угодно близко к числу -j-, т. е. пределом
этой последовательности является число ~. Следовательно,
О
1
-х- является последним членом этой последовательности,
о
Что это заключение неверно, показывает прежде всего
последовательность целых чисел, как это следует из п. 1
(стр. 121). Существование такого последнего числа поста-
вило бы нас перед таким затруднением: является это послед-
нее число четным или нечетным? Точно так же в последова-
тельности
-Н, — 1, 4-1, —1, ...
мы сталкиваемся с тем же затруднением; чему равно «по-
следнее» число, 1 или —1?
Рассмотрим теперь не расходящуюся, а сходящуюся по-
следовательность. Является ли число л последним числом
\ — 7?) >1 —п ' СпРаведливость такого заключения вытекает из
того, что и при — 1 < х < 0 неравенство (1 + *)” > 1 4-ях справед-
ливо. Проще всего это установить так: функция (1(1+л*)
монотонна на отрезке — 1 0, так как ее производная
п [(1 + х)'1-1'— 1J внутри этого отрезка в нуль не обращается (един-
ственный корень производной х = 0); далее при х = 0 эта функция
обращается в нуль, а при х= — 1 она положительна (п. > 1); таким
образом, эта функция положительна при — 1 <, х < 0. — Прим. ред.
141
последовательности
3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; ...?
Кто это утверждает, пусть назовет последнее число!
То же затруднение наблюдается в сходящейся к нулю
последовательности
1 1 1 J_ ±
*’ 2 * Т’ 4 ’ 5 ’
Действительно, как определить ее наименьшее число? Точно
так же и первая последовательность этого пункта не дости-
гает числа 4-.
U
Вывод. Число, являющееся пределом некоторой после-
довательности, в общем случае не принадлежит последова-
тельности.
Мы сказали «в общем случае». Конечно, можно было бы
включить предельное значение в последовательность, напри-
мер в последнюю:
I, 0, О, 1, о, 1, о..............
или в исходную
0,3; 4-1 0,33; 1; 0,333; 4-1 0,3333; 4-; ...
ООО О
6. Сравнение двух последовательностей. Заданы две по-
следовательности. Пусть в последовательности
а., at, а.....
lim ап=а,
Л -> ОО
а в последовательности
bit bt, b„...
lim bn = b.
Пусть, кроме того,
Дует, что а~>Ь.
Пример.
ak'^>bk для всех k. Отсюда еще не сле-
_ 1 . 1
а*~Т’ Ь*~ 2.4’
142
IV. Функции и кривые
1. Исследуем функцию
f{x) = sin хх
и постараемся определить ее предел при х—кзо. Когда х
пробегает все целые числа, мы получаем последовательность
значений
sin 0 = 0, sin л = 0, sin 2л = 0, sin Зл = 0,... , sin kx = 0,...
Казалось бы, lim sin хх равен 0. Но если х пробегает по-
* оо
1 „ 1 . 1 .
следовательность -у , 2 —, 4 — , то функция принимает зна-
чения
sin — = 1, Sin-^-=l, Sin-y = l,...
Если, наконец, х пробегает значения 1у, 3-у, 5у, то
значения функции вновь изменяются. Итак, искомый предел
не существует.
Вывод. Для нахождения предела функции при х—
следует узнать, будет ли функция приближаться к одному
и тому же предельному значению, когда х пробегает со-
вершенно произвольную последовательность, сходя-
щуюся к а.
2. Как выглядит функция у = у ? О функции, кажу-
щейся элементарной, не следует думать, что она определена
для всех значений х.
Функция
/(*)=у
не определена при х = 0. Однако здесь мы имеем дело
с устранимым разрывом. Функция отличается от функции
у — 1 только поведением в точке х = 0. Если х пробегает
произвольную монотонно убывающую или возрастающую схо-
дящуюся к нулю последовательность, то соответствующие
значения функции пробегают последовагельность 1, 1, 1,...
Следовательно,
lim — = 1.
К 9 Х
143
Точно так же функция
хг — а2
х — а
при х = а не определена, но
lim /(х) = lim (х4"а) = 2а.
х а х а
Вывод. Может случиться, что для некоторого значения
х = а функция не определена, но существует ее предел
при х—>а.
3. Предельные значения справа и слева. Исследуем
функцию
№£(|*|),
где |х|— абсолютная величина числа х, а Е|х|— наибольшее
целое число, меньшее или равное | х |. На рис. 93 изображен
У график этой функции. Если, на-
, , „ пример, мы будем приближаться
к значению функции в точке
•——° •—° х=1 слева, то получим _у = 0,
_________________________________ в то время как приближаясь к
I этому значению справа, получим,
Рис. 93. что limj = -4-1*
X -> 1
Вывод. Говоря о пределе функции, следует различать
предел функции слева и предел функции справа.
4. Значение функции и предел функции выданной точке
различны. Нельзя считать, что значение, которое принимает
функция при х — ау всегда равно ее w
пределу при х—>а. - " - —
Функция ______________„д.
/(х)= lim у/\х\,
п-*х> Рис. 94
где | х | — абсолютная величина числа х,
принимает при х = 0 значение 0. Однако при х=/=0, х—>0
безразлично, будет ли х^>1 или х<^1, предельное значе-
ние функции равно 1 (это здесь не будет доказано). Итак,
как это показывает график функции на рис. 94,
/(0) = 0,
но
lim f(x)= 1.
х -> О
144
Вывод. Может случиться, что для некоторого значения
х = а функция определена, но значение функции при х = а
отлично от того значения, которое мы
получаем путем перехода к пределу
при х—>-а. •— —<»
• •
о
5. Может случиться, что функция, -2 -1 +/
имеющая в некоторой точке раз лич- _f
ные предельные значения справа и
слева, определена в этой точке, но ее рИс. 95.
значение в этой точке отлично как
от предельного значения слева, так и от предельного
значения справа (рис. 95). Пусть задана функция
/(х)— 1Ш1। 1 + | .
И —► QD ’ • *
Мы имеем
О, если | х К 1,
lim |х|" = , 1 если |х|=1
оо, если | х | ^> 1.
Следовательно,
при |х|< 1 /(х)=^1нп^т-р7р=1,
при |х|=1 /(х)=п11т;ГЧ±ПЙ=1
при И>] ^(х)=ЛтмТ+Т7р = 0-
Л л
6. -----g? Функция у = arctg х — обратная для функ-
ции j = tgx. Следовательно, можно переписать соотношение
J = tgx в виде x = arctg.y, а затем переставить во второй
функции наименование переменных.
Из того факта, что
lim tgx = — оо, lim tgx = -|-oo,
(т)+°
. л
где -j-О означает, что мы приближаемся к значению —
145
справа, а —0 означает приближение к у слева, для обрат-
ной функции следует
lim arctg-l=y, lim arctg-t = —у.
x->+o * 2 Z->-0 * z
График функции представлен на рис. 96.
7. О = оо? Задана функция у = е х.
1
Имеем lim е. * =0, в то время как
х -»+о
1
lim е х = оо.
X -»-0
8. Функция signx (читается сигнум х) определяется
следующим образом:
4- 1 при х^>0,
— 1 при х<^ О,
О при х = 0.
sign х =
Рис. 97 от а до е показывает еще раз различные функ-
ции, построенные с помощью signx. На этих рисунках, как
4
а)у<улх
b)y*sign‘x
c)y*f-slgn‘x
^f’signx
Рис. 97.
и ранее, значения функции в данной точке обозначены с по-
мощью маленького черного кружка, а предельные значения
с помощью белого кружка.
9. Исследуем функцию
/(х) = (—!)*,
146
Когда х пробегает все целые числа, функция принимает зна-
чения /(0)=1, /(1) = - 1, Д2)=+1, /(3) = —1,...
Если х пробегает значения
Ь, 14-Л, 24-&, 34-6, 4-^-b.........
где b — некоторая дробь, причем 0<^/><^1, то значения
функции, поскольку они существуют, отличаются только
знаками. Если = то получается последовательность
в, —в, 4-в, —в,...
Мы можем поэтому ограничиться исследованием функции
при 0<^х<^ 1.
с ж 111 .
Если х пробегает значения -х-, , ... , то функция
О о /
принимает значения
/(1)=-'. ..
так как, например,
1 ____
(— i)> —У —1=— 1.
То же значение имеет функция /(х), если х есть дробь
р
вида ,
где р и q — взаимно простые нечетные числа.
Действительно, например,
» ________ _____
(— !)• = У(—1)*= У—1=—1.
ПА 2
Если х пробегает значения ,
О
принимает значения
2 2
, то функция
О •
<т)=+'...
так как, например,
(— = 1)8 = ^/Т=1.
Функция /(х) принимает те же значения, когда х является
дробью вида у, где р и q — взаимно простые числа, р —
четно, q—нечетно. Если, наконец, х пробегает значения
р
вида ~, где р и q — взаимно простые числа и q — четно,
147
то действительных значений функции не существует. В самом
деле, например, значение = (—1)‘ =1^—1 не яв-
ляется действительным числом.
Вывод, следовательно, таков: значение функции /(х)
при 0<х<Ч равно -|-1, если где у — несокра-
тимая дробь и р — четно, и равно — 1, если в этой дроби
р и q—нечетные числа. Функция /(х) не определена, если
в несократимой дроби — знаменатель является четным числом.
Представим эту функцию графически. График этой функции
У состоит из отдельных точек, рас- положенных на прямых, парал-
лельных оси х и находящихся по
-г -/ */ <з '1 разные стороны от нее на расстоя- нии, равном 1. Заметим, что если
-1 какая-нибудь точка прямой}» = -|-1 принадлежит графику функции
Рис. 98. у =з/(х), то точка с той же абсцис- сой на прямой у = —1 не принад-
лежит графику, и наоборот. Кроме того, в любом как угодно
малом интервале на оси х содержится бесконечно много
точек, для которых функция не существует; точки верхней
и нижней прямой, соответствующие этим абсциссам, не при-
надлежат графику функции; мы будем говорить, что таким
значениям х соответствуют «дырки» на прямых. Точки на
верхней и на нижней прямой, принадлежащие графику у =f(x),
а также «дырки» расположены всюду плотно (рис. 98).
Какое значение принимает функция /(х) для некоторого
иррационального числа х? Иррациональное число можно рас-
сматривать как последовательность рациональных чисел.
Так как те различия в значениях функции, которые мы
наблюдаем для
дробей
нельзя распространить на иррацио-
нальные числа, то нельзя определить значение функции/(х)
для иррационального значения х = с; lim /(х) не существует.
х->с
Такие патологические функции можно, конечно, построить
значительно проще. Определим функцию /(х), считая, что
/(х) = — 1 для рациональных и /(х)= 1 для иррациональных
значений х. Получится функция, которая в любом как угодно
малом интервале значений независимого переменного имеет
бесконечно много разрывов. Г рафиком этой функции являются
148
отдельные точки двух параллельных прямых, причем если
какая-нибудь точка одной «прямой» принадлежит графику
функции, то в точке с той же абсциссой на другой «прямой»
будет дырка.
10. Умножение уравнения функции. Умножим уравнение
рассмотренной в п. 2 функции
У = | (П
почленно на х; получим
ух = х. (2)
Графики этих двух функций (рис. 99, а и Ь) будут различны.
Графиком функции (1)
будет прямая, параллель-
ная оси х и находящаяся '
от нее на расстоянии, рав- .
ном 1, с «дыркой» в
точке х = 0. Графиком
функции (2) будет целая
прямая у=1 и ось у,
так как уравнение (2)
удовлетворяется также и
ство является уравнением
Рис. 99.
при х = 0, а последнее равен-
оси у. Аналогично, графиком
функции У==^1 является
гипербола (рис. 100, а),
которая при х = 0 не
имеет действительных зна-
чений; графиком же кри-
вой хгу = х является
(рис. 100, Ь) гипербола
у = ±-н ось у, так как в
этом случае уравнение удовлетворяется и при х = 0.
Такое же различие наблюдается и между функциями
sin х
у = —— и ух = sin х.
И. Возведение уравнения функции в квадрат. Если под-
разумевать под знаком Y арифметическое значение корня,
149
то функция у = у х и получающаяся из нее путем возведения
обеих частей равенства в квадрат функция у* = х раз-
Рис. 101.
личны, как это показывают
рис. 101, а и Ь.
Вывод из пп. 10 и
11. При умножении и при
возведении в квадрат функ-
ция и ее график изменяются.
12. Наибольшее и на-
именьшее значения. Не
непременно
следует думать, что произвольная функция
должна принимать в интервале, на котором она определена,
наибольшее и наименьшее значения. Функцию
/(х)== Um (|/|х| —х*)
п 00
можно изучить, основываясь на п. 4.
Имеем
/(х) = 0 при х = 0,
/(х)=1—х* при х=£0.
На рис. 102 изображен график этой функции, причем
надо заметить, что вершина параболы не принадлежит гра-
фику, а вместо нее берется начало координат.
Функция
/(х) = lim (х‘— р/| х|)
п -> 00
при х = 0 также равна 0, а при х^О принимает значение
/(х) = х2—1.
Ее график изображен на рис. 103. Эта функция не имеет
150
минимума, так как и для нее вместо вершины параболы бе-
рется начало координат.
Вывод. Может случиться, что в некотором интервале
функция определена для всех значений независимого пере-
менного, но не принимает в этом интервале ни наибольшего,
ни наименьшего значений.
Обе функции
f(x)= lim (|/|xT±x‘)
п со
показывают далее, что функция может быть определена при
х = а, может одновременно существовать lim f(x), но эти
х -» а
значения могут не совпадать.
Вывод из пп. 6, 8 и 12. Выражения /(а) и lim /(х)
х -» а
никак не связаны друг с другом; они могут иметь различные
значения, одно из них может не
существовать, и, конечно, могут не
существовать одновременно оба вы-
ражения.
13. Неправильное применение
правила ложного положения. Если
у(а) = Л, f(b) = B, то, применяя
правило ложного положения, получим
из следующей пропорции приближенное значение х = с для
точки х9, в которой /(хо) = О (рис. 104):
| Л |:|В| = (с — а):(Ь — с),
| Л р— | А | с = | В | с— | В | а,
,_|Л |& + |В|а
С— |Л| + |В| •
Функция /(х)== у при x = -j-l положительна, при
х==—1 отрицательна. Так как при а ——1, = мы
имеем А = —1, В=-|-1, то
1 - 1
2
с
0.
Однако эта функция в интервале между — 1 и -{-1 не обра-
щается в нуль (она вообще нигде не обращается в нуль)
и с не является приближенным значением никакого нуля
функции /(х).
151
Вывод. Из того, что функция /(х) положительна при
х = а и отрицательна при х = Ь, еще не следует, что между
а и b существует такое значение с, что /(с) = 0.
Рис; 105.
она принимает как
14. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значения в некоторой области. Если функция для некото-
рого конечного значения х бесконечна, т. е. если функция
имеет точку обращения в бесконечность, то это означает,
собственно говоря, что для такого зна-
чения х функция не определена. Однако
это точки особого рода.
Функция
/U) = ^
в точке х = 0 не определена, но в точ-
ках, достаточно близких к точке х = 0,
угодно большие значения (рис. 105).
Этот факт записываем следующим образом:
.. 1
lim — — оо.
Рассматриваемая функция не имеет наибольшего значения
во всей области изменения независимого
переменного.
Поведение функции
аналогично, но только
Эта функция не принимает наименьшего значения (рис. 106).
15. -j-oo =—оо? Функция
/(х) = 1
при х = 0 обращается либо в -]-оо, либо в —оо, смотря по
тому, подходим ли мы к значению х = 0 справа или слева
(рис. 107). Аналогичным свойством обладает lim tgx. Есте-
152
ственно, отсюда вовсе не следует, что Ц-оо = —оо. Тем самым
мы получаем следующий
Вывод. Даже если допустить запись lim /(х)=оовтом
случае, когда fix'} при приближении
х к а превосходит любое заданное
число, то для случая, когда при при-
ближении к а справа получается -J-00,
а при приближении слева получается
—оо, эта запись недопустима. Осо- """х -/
бенно сомнительна запись tg у = оо , I
если точно не оговорено, что при I
этом подразумевается. рис_ ю/.
16. Рассмотрим теперь следующую функцию
/(х)= lim
п -> оо 1 л
Имеем
lim х*" = 0 при |х|<1,
п -> 00
lim хгп = 1 при | х | = 1,
п -> 00
lim х!"=оо при |х|>1.
п 00
Следовательно,
При х = Ц-1
нечность, однако
/(х)= 1 при | х| < 1,
/(х)=оо при |х| = 1,
/(х) = 0 при |х|> 1.
Рис. 108.
и х =—1 функция обращается в беско-
для точек, близких к 1 и —1, значения
функции не будут как угодно боль-
шими по величине. Как показывает
рис. 108, lim /(|х |) имеет справа и
I х | -> 1
* слева различные значения, и оба эти
значения отличны от /(|х|)=оо.
Вывод. Может случиться, что
функция обращается при некотором зна-
чении переменного в бесконечность, в то время как для сосед-
них значений переменного она не стремится к -]-оо или —оо.
153
17. Ломаная, состоящая из бесконечного числа отрез-
ков, может иметь конечную длину. Рассмотрим в качестве
примера популярную задачу на движение и начертим также
график движения (рис. 109). Из пункта А в пункт В, нахо-
дящийся от А на расстоянии в 120 км, движется пешеход
со скоростью 5 км в час. Велосипедист едет из пункта В
в пункт А со скоростью 10 км в час1). Как легко подсчитать,
пешеход и велосипедист
встретятся через 8 часов в
точке С, причем за это время
пешеход пройдет 40 км, в
велосипедист проедет 80 км.
Предположим теперь, что в
момент начала движения из
А навстречу велосипедисту
вылетает голубь со скоро-
стью 20 км в час, встре-
чается с велосипедистом,
сразу же поворачивает на-
зад и летит к пешеходу. До-
стигнув пешехода, он, не
теряя времени, поворачи-
вает назад и летит к велосипедисту и т. д. Из графика
движения сразу видно, что, в то время как пешеход и вело-
сипедист приближаются к месту встречи в точке С, голубь
все быстрее возвращается от одного к другому. Пользуясь
графиком движения, можно легко определить длину пути,
проделанного голубем. Его зигзагообразный путь имеет та-
кую же длину, что и путь, который он про-
летел бы, двигаясь все время в одном на-
правлении до некоторой точки с', т. е.
длина пути голубя равна тем 160 км,
которые он может преодолеть за 8 часов.
18. Кривые, которые делают беско- Рис. ПО.
нечно много витков вокруг некоторой
точки, могут иметь конечную длину. Опишем на отрезке
а, как на диаметре, полуокружность (рис. ПО). Присоеди-
ним к ней по другую сторону отрезка полуокружность ди-
а
аметра у , затем
по другую сторону отрезка — полуокруж-
*) Пешеход и велосипедист выходят одновременно,— Прим. ред.
154
ность диаметра j и т. д. Длина первой полуокружности рав-
на л , второй л , третьей л 4- и т. д. Длина всей кривой
2 4 о
равна
(1 I 1 I 1 , \
2’4_z+ 8'+ ••• J==na>
т. е. длина составленной из полуокружностей линии, окру-
жающей некоторую точку, расположенную на диаметре а
(где расположена эта точка?), равна длине окружности диа-
метра а.
Аналогичное соотношение имеет место не только для
этой спиралеобразной кривой, но и для «настоящих» спира-
лей, например для спирали, получающейся при локсодромии
шара. Если эта спираль образует с меридианами угол, отлич-
ный ет 0° и 90°, то она делает бесконечное число витков
вокруг полюса, но все же имеет конечную длину.
19. Кривые, которые делают вокруг некоторой точки
бесконечное число витков и имеют бесконечную длину.
Пусть М — центр некоторой окружности k радиуса г. Пусть,
далее, АВ—диаметр этой окружности. Из точки В, как из
центра, построим на прямой АВ полуокружность fe, доста-
точно большого радиуса, например радиус 6г, как это пока-
зано на рис. 111. Обозначим через CD диаметр этой окруж-
ности, а через Е— середину отрезка ВС. На DE, как на
155
диаметре, построим по другую сторону диаметра полуокруж-
ность &2; на нашей фигуре ее радиус равен 4-i г. Осталь-
ная часть кривой строится, как геометрическое место точек,
которые делят пополам отрезки выходящих из точки М лу-
чей, расположенные между окружностью k и ближайшей
к ней дугой кривой. Определенная таким образом кривая
делает вокруг окружности k бесконечное число оборотов,
причем длина каждого однократного оборота всегда превос-
ходит 2лг. Следовательно, общая длина кривой бесконечно
велика.
20. Кривая, заполняющая целый квадрат. Разделим
квадрат на четыре равные части с помощью прямых, парал-
лельных его сторонам, и поместим в квадрат замкнутую
Рис. 112.
ломаную, изображенную на рис. 112,а. Возьмем теперь дру-
гой квадрат тех же размеров, таким же образом разделим
его на четыре равные части и впишем аналогичную ломаную
в каждую четверть квадрата, а затем, соединив эти фигуры,
превратим их снова в замкнутую ломаную, как это показано
на рис. 112,6. Повторим этот переход от фигуры 112,а к фи-
гуре 112,6 в каждой четверти фигуры 112,6, а затем будем
повторять этот переход снова и снова. Переходя к пределу,
получим замкнутую ломаную, проходящую как угодно близко
от каждой точки внутри квадрата. Полученная ломаная за-
полняет, следовательно, весь квадрат.
21. Снежинкообразная кривая. На рис. 113,а изображен
равносторонний треугольник, вписанный в круг. Пусть его
периметр равен 1. Так как треугольник вписан в круг, то
его площадь меньше площади круга. Разделим теперь каж-
дую сторону треугольника на три части и построим на каж-
156
дом среднем отрезке равносторонний треугольник. Замени
основания этих треугольников двумя боковыми сторонами,
получаем шестиугольную звезду (рис. 113,6). Периметр
звезды равен 4. Для каждой стороны этой шестиугольной
звезды мы проделаем аналогичное построение: делим каждую
сторону на три части и заменяем средний отрезок двумя
боковыми сторонами равностороннего треугольника, построен-
ного на этой трети. Полученная восемнадцатиугольная звезда
(рис. ИЗ,с) имеет периметр, равный • Она, как и пре-
дыдущая звезда, целиком расположена внутри круга; поэтому
Рис. ИЗ.
ее площадь меньше площади круга. Повторяя аналогичное
построение для каждой стороны восемнадцатиугольной звезды,
/ 4 \ •
получим новую звезду с периметром v • После л-крат-
\ о J
ного повторения построения получается звезда с перимет-
t 4
ром l-g-1 . Переходя к пределу при п—»-оо, замечаем, что
периметр получающейся «снежинкообразной» кривой стре-
мится к бесконечности, в то время как площадь, ограничен-
ная ею, остается конечной. Следовательно, замкнутая кривая
бесконечной длины может ограничивать конечную площадь.
22. Кривая «гребенка-». Исходная фигура (рис. 114,а)
состоит из прямоугольника со сторонами а и 6, на котором
надстроен прямоугольник со сторонами ~ и с. Пусть, напри-
мер, а = 8, 6=1, с = 2. Фигуру 114,а преобразуем в фи-
гуру 114,6 следующим образом: разделим верхний прямо-
угольник пополам и надстроим над нижним прямоугольником
каждую из полученных половин (рис. 114,6). Повторяя это
157
построение, получим фигуру 114,с, затем фигуру 114,d
и т. д. Будем бесконечное число раз повторять указанное
построение. В полученной последовательности замкнутых
ршшд
с)
d)
114.
фигур площадь каждой фигуры остается неизменной, а именно
равной ab-\-^-ac. Периметры же полученных фигур обра-
зуют возрастающую последовательность
2а2Ь2с, 2а-\-2Ь-\-22с, 2а-\-2Ь-\-2'с
и т. д. Члены этой последовательности по мере удаления от
начала возрастают неограниченно. В пределе получается кри-
вая бесконечной длины, ограничивающая постоянную конеч-
ную площадь1), которая, кроме того, проходит как угодно
близко от любой точки прямоугольника а-с.
23. Кривая «зубчатое колесом. Присоединим к полу-
окружности радиуса г полуокружность радиуса 2г, имеющую
тот же центр и общий диаметр (рис. 115,а). Эта исходная
Рис. 115.
фигура преобразуется следующим образом: большой полу-
круг, а также малый полукруг заменяются двумя четвертями
большого и двумя четвертями малого кругов, как это пока-
’) С этим выводом автора трудно согласиться.— Прим. ред.
158
зано на рис. 115,Ь. Повторим это построение еще раз, т. е.
заменим каждую из имеющихся четвертей попеременно сле-
дующими друг за другом восьмыми частями кругов радиу-
сов 2г и г. Пусть этот процесс продолжается неограниченно.
Площадь замкнутой фигуры остается при этом постоянной
„ яг* I 4яг! 5лг*
2 ~Г 2 2 •
Длины кривых, ограничивающих получающиеся фигуры, об-
разуют последовательность
= nr 2nr 2r — Злг -J- 2r,
1г = Злг -j- 2’r,
/, = 3nr-|-2*r,
общий член
/п = Злг-|-2пг
которой при увеличении п возрастает неограниченно. В пре-
деле снова получается фигура той же площади, ограничен-
ная кривой бесконечной длины'), причем эта кривая как
угодно близко проходит от любой точки кругового кольца
площади Злг*.
V. Ряды
1. Ахиллес и черепаха. Ахиллес и черепаха бежали на-
перегонки. Черепаха при этом получила 100 м вперед. Пока-
жем, что Ахиллес не в состоянии догнать черепаху, даже
если он передвигается в 10 раз быстрее ее. Действительно,
когда Ахиллес пробежит 100 л, черепаха опередит его на
Юл. Пробежит Ахиллес Юл, черепаха уйдет вперед на
1 л. Когда Ахиллес преодолеет и этот метр, его против-
ница будет все же на 10 см впереди. Пробежит Ахиллес
и это расстояние, черепаха все еще впереди. Продолжая
наше рассуждение дальше, мы увидим, что расстояние между
соперниками все время уменьшается, но никогда не обра-
тится в нуль. Ахиллес, действительно, не в состоянии до-
гнать черепаху!
В качестве разъяснения приведем один греческий анекдот,
приписываемый Пифагору. Пифагор сказал одному своему
ученику, который не смог раскрыть этого парадокса: «под-
нятая рука, двигаясь к цели, например, щеке непослушного
*) С этим выводом автора трудно согласиться,— Прим. ред.
159
ученика, проходит сначала половину пути, затем еще одну
четвертую пути, затем еще одну восьмую и т. д. Таким
образом, она все время находится на некотором расстоянии от
цели, сначала на полупути, затем на 1/4 пути, затем на 1/8
пути и т. д. Рука не может достигнуть цели».
2. Фигура бесконечной протяженности с конечной пло-
щадью. Приложим к квадрату со стороной, равной 1, прямо-
угольник с основанием 1
и высотой у. Затем при-
ложим прямоугольник с
основанием 1 и высотой
1/4, к последнему прило-
жим прямоугольник с осно-
Рис. 116.
ванием 1 и высотой 1/8 и т. д., как это показано на рис. 116.
Составленная таким образом ступенчатая фигура простирается
вправо до бесконечности и имеет площадь
1 + 1/2+1/4+1/84-,^=2.
Вывод. Фигуры бесконечной протяженности .могут иметь
конечную площадь.
3. Члены некоторого ряда все время возрастают,
однако ряд сходится. Из теории рядов известно, что ряд
сходится для любого с. Действительно,
Посмотрим, однако, как выглядит этот ряд при с = 1000:
1000* , 1000» , 1000*
2! “Г 31 ' 41
Мы замечаем, что за первыми сравнительно небольшими чле-
нами следуют сильно возрастающие дальнейшие члены.
Вывод. Члены этого ряда также. становятся убываю-
щими, правда, начиная с 1002-го члена. Следовательно, имея
дело со сходящимся рядом, не надо ожидать, что члены на-
160
чинают убывать с самого начала ряда. Как показывает при-
веденный пример, иногда это случается довольно нескоро.
4. Каждое число а равно О’). С одной стороны, имеем
а — а-{-а — а —- ... — (а — а)-}-(а — а)-}-... =0,
с другой стороны,
а — а-\-а — а-}----... = а — (а — а) — (а — а) — ... = а.
Вывод. В бесконечных рядах не всегда возможно вво-
дить скобки.
5. Сумма бесконечного ряда
1— 1-{-1 — 1Д------...
принимает, по желанию, любое из значений
£
2 '
1 1
У’ 7 И т. д.
Производя обычное деление, получим следующие ряды:
Полагая х=1, получаем в правой части равенств исходный
1 1 1
ряд, а в левых частях у , -у, .
Вывод. Необходимо учитывать область сходимости ряда.
6. оо = —1. Бесконечную цепную дробь
1
выражающую больший отрезок золотого сечения отрезка
длиной 1, можно вычислить следующим образом. Обозначим
’) Этот парадокс содержится в книге: Вольцано, Парадоксы
бесконечного, Одесса, 1911.
161
величину этой дроби через х", тогда, очевидно,
1
Г-i— = Х.
1 +х
Следовательно,
х* 4-х— 1 =0.
Искомое значение является решением этого квадратного урав-
нения. Мы имеем
1 , 1 i/F
xi.« 2 — 2'5-
Отрицательный корень, естественно, не удовлетворяет усло-
виям. Получаем х = 0,618.
Аналогичным образом можно вычислить, например, выра-
жение
24-/24-/24- ...
Обозначив его величину через х, получим
откуда
24-х = х*.
Решая это квадратное уравнение, получим искомое значе-
ние х.
Точно так же, выражение
аУа]/а...
вычисляется с помощью уравнения
х = У~ах,
которое дает ответ х = а.
Применим теперь этот надежный, использованный еще
Якобом Бернулли, метод к вычислению суммы ряда
1 4-2.4-.44-84-I64- ...
Пусть эта сумма равна х; тогда
х=14-2х.
Решая полученное линейное уравнение, находим
х —— 1.
162
Ту же сумму можно вычислить еще и так:
х = 1 -|- 2 4х, Зх =— 3.
Снова получаем тот же результат. Далее, рассмотрим ряд1)
1-24-4 — 84-16 — + ...
Применяя аналогичный метод, получим
1-2(1 — 2 4-4 — 8 4-16-----------h - -
х=1—2х, х = 4-.
О
Тот же результат получится при следующем подсчете:
1-24-4(1—2 4-4 — 84-16--------------Н •••-)>
х=—14-4х, х=~з>
или при таком:
1 — 24-4 — 8(1—24-4 — 8-|---...),
х = 3— 8х, х = 4".
Далее, согласно этому методу,
а — а-]-а — а-|-... — а— (а — а-|-а-|- ...),
а
х — а— х, х = —.
Вывод. Нельзя производить вычисления выражений, су-
ществование которых не доказано.
7. —1 —/.Из соотношения
г±_ = 14-2х4-(2х)г4-(2х),4-...
при х=1 получим
— 1 = 14-24-44-8-4-164-... (1)
С другой стороны, разложение в ряд выражения J
дает, как легко убедиться с помощью деления,
! J_..i=i4-x4-2x‘4-3x»4-5x*4-...
’) Этот парадокс также сформулирован Больцано.
163
Полагая здесь х=1, получим
— 1 = 14-14-24-3 + 5+... (2)
Сравнивая ряды (1) и (2), замечаем, что за исключением
первого члена, каждый член ряда (2) меньше соответствую-
щего члена ряда (1). Следовательно, в равенстве (1) правая
часть больше, чем правая часть в равенстве (2). Однако
левые части обоих равенств равны —1.
8. оо, а не 0 получается в следующем примере, если
проводить деление таким образом ’):
(_Ю+10):( — 1 +2) =«10 + 10 + 20 + 40+ ... =оо
— (—10 4-20)
—16
Ю + 20)
—W
— (— 20 + 40)
— 40
• •••ее»
9. оо, а не — 1 получается при а^> 1 из выражения
(—а + 1):(— 1 +<z) = a+a’ + a’ + ...
+ a! — а
— a‘ + l
+ а* — а*
+"1
Вывод. Распространение способа деления, применяемого
при разложении обыкновенной дроби и периодической деся-
тичной дроби, иа случаи, в которых получается бесконечная
последовательность частичных слагаемых, вообще говоря,
недопустимо.
10. Любое положительное число равно отрицательной
бесконечности, любое отрицательное число равно положи-
тельной бесконечности.
’) Этот пример сообщен мне одной школьницей из Атена, Вскоре
она прислала мне свою математическую диссертацию.
164
Из ряда
1 _д' U — °) ,=:14a4_a, Ч-*2* 4".-.
при а = 3 получаем
-4-=Ч-з+зЧ-зЧ-.--=+~,
а из ряда
i _ а= — U —а)~' =— (l-J-a-J-a1
|=_(1 + з+з*+зч-,..)=-О0.
Вывод. В случае бесконечных рядов необходимо прини-
мать во внимание область сходимости ряда.
11. Иногда случается, что кажущиеся правильными
вычисления с расходящимися рядами приводят к неверным
утверждениям. Некто утверждает, что
— 1 = 44-4.54-4.52 +4-5’4-...,
и доказывает это следующим образом.
Прибавляя к обеим частям равенства 1, получим
0 = 54-4.54-4-5* 4-4-5* 4-...,
или
О = 04-5-54-4-5*4-4-5’4-.
или
0 = 04-04-5-5*4-4-5*4- ...,
или
0=04-04-04-5.5*4-...
Продолжая этот процесс, мы можем постепенно убирать
в левой части один член за другим. В предельном случае
в правой части все слагаемые равны нулю. Поэтому исход-
ное равенство также справедливо.
12. Натуральный логарифм') числа 2 равен 0. Разло-
жение в ряд дает для In 2 следующее выражение:
1п2 = 1 —у4-Т —4 + 4'----1-...
') См. сноску на стр. 49.
165
Ряд сходится. Соберем отдельно положительные и отрица-
тельные члены ряда:
in 2=(14-i4-I4-...)—+4-+4+ • • )•
Прибавляя и одновременно отнимая значение второй скобки,
получим
1”2=(i+4+4+--+4+t+4+-..)-
_2fl4-l-|-14- ..1 .
\ 2 I 4 I 6 I ) •
Преобразуя это выражение, получим
13. Величина числа 1п2 не изменяется при умножении
на 2. Умножая ряд
I О 1 1 । 1 1 । 1 1 .
In 2— 1 — -g-4-у — -4-_ ——--...
на 2, получим
21п2==2_1+4-4 + 4-4 + |-+...
Объединим члены с одинаковыми знаменателями и располо-
жим полученные числа в порядке возрастания знамена-
телей:
21п2=1 —1-4-1 —1-|-1 —
Отсюда получается, что
21п2 = 1п2,
14. 1п2 = -^1п2. Умножая все члены ряда
In2=1— 2'4“з' — т+5~6 “
1
на у, получим
11п2 = 1-14-1-1 + 1_1+_
2 2 4 ‘ 6 8Т10 12 ‘
166
Складывая оба ряда, получим
располагая члены этого ряда по возрастанию их абсолютных
величин, получим
А1п2=1-4+4-4 + 4- + ... =Ш2.
15. 1п2 = 0. Рассмотрим ряд
Так как
2 4 8
то в сумме с 1 эти члены дакУг нуль. Так как, далее,
6 12 24 ------ 3 2 ‘ 4 । 8 ' • • J 3 ’
1 .
то в сумме с у эти члены также дают нуль. Аналогичное
рассуждение применимо и для остальных членов. Следова-
тельно, общая сумма равна нулю.
Вывод из пп. 12—15. В бесконечных рядах нельзя
без дальнейших обоснований переставлять члены ряда. Ряд
для In 2 не является абсолютно сходящимся.
16. Квадрат конечного числа равен бесконечности. Ряд
1______1_ ,__1______1 .____
/ 2 V"4
сходится, так как он знакопеременный и его общий член схо-
дится к нулю. Пусть сумма этого ряда равна 5. Построим
квадрат рассматриваемого ряда. Общий член этого ряда,
отвлекаясь от знака, равен
..+ +-_L.
Vi-k~ V2(k- 1)~
Так как средняя геометрическая меньше средней арифмети-
ческой, т. е.
167
то
/Т^<ЦД, ...,/йй< ЦД.
Z *
и потому
/П ^*4-1 ’ /2(Л- О^Л+Г ’’ /П'^’л + 1’
т. е. все дроби, входящие слагаемыми в общий член, больше
2 2А
чем ; , : , а все k дробей вместе больше чем г-г -,-. т. е.
я 4-1 ’ k 4-1 ’
больше 1. Ряд, следовательно, расходится.
Вывод. Произведение двух сходящихся рядов может не
быть сходящимся рядом.
17. Для ряда
имеет место соотношение
lim ав = 0.
п -+ со
Несмотря на это, ряд расходится. В самом деле,
Д| Д\Д±Д=Д.
3 Т- 4 X* 4 -Г 4 2 ’
1 _L_ Д _1_Д Д > 1 _L_1 4-1-4-1 =1 •
5< б 7-Г 8-^8^- 8 "Г йТ 8 2’
Обозначая общий член расходящегося ряда
I + I + I + ---
через и полагая в данном ряде
1 । 1
ci — 3 + 4 -
с =Д_1_Д_1_Д + Д
С| 5 т 6 т 7 Т 8 >
с =_J________1___!____L _|_Д
* 2*~14-1п2*"14-2 ‘ ' 2*’
168
получим
bk.
Следовательно, данный ряд расходится.
Вывод. Условие lim ав = 0 не является достаточным
П->ОО
для сходимости ряда.
18. В ряде
1т+1т+1у+---
для всех п имеет место соотношение
ал + 1 *Сап-
Несмотря на это, ряд расходится. Кроме того, для ряда не
выполняется условие
lim ав = 0.
п -+ 00
Первое утверждение доказывается сравнением данного ряда
с расходящимся рядом
I4-I4-I4-...
Второе утверждение доказывается следующим образом:
lim ап= lim ( 1 4-^ = 1.
га -► Go га -*оо \ /
Вывод. Из соотношения ав+1 <Сап не следует, что
lim ав = 0, а также не следует сходимость ряда,
га оо
19. Из сходящегося ряда
___!—I___!__1_ . =о 111 = —
ю“100‘ 1000^10 000 ' -----9
при помощи перестановки каждых двух следующих друг за
другом членов получается сходящийся ряд
li l+J_+±+_L_i
100 ‘ 10 ' 10000“ 1000 ' 1 000000 “ 100000“
169
В этом ряде
£«._ 100 _ 1П.
а, “ 10 ~ ’
а, _ 10 _ 1
аг 10 ООО ' Тббб ’
а4 10 000
а, ~ 1000 —
а5___ 1000 _ 1
а4 1 000 000 1000 ’
Отсюда видно, что lim вообще не существует. Более
П -* ОО I ап I
того, верхняя граница этого выражения равна 10, нижняя
1 х 1
граница равна , т. е. верхняя граница больше 1, а ниж-
няя граница меньше 1.
Более ярким является следующий простой пример. Возь-
мем сходящийся ряд
ci + ci + ci + • • •
и построим из него следующий ряд, имеющий ту же сумму
с1 + 04-с»4-0 + с. + 04----
Тогда отношение в последнем ряде колеблется
I “п I
между 0 и оо.
Вывод. Из того, что соотношение lim 1 слу-
п -+ оо I ап I
жит достаточным критерием сходимости ряда, не вытекает,
что оно является также и необходимым условием.
20. Для ряда
_1________1—4—1___________1-4-
/2—1 /2 + 1 1 /3-1 /3-{-Р
имеет место соотношение
,. г/1 1 \ А
lim а„= lim [ —?=----— 1 = 0.
п -> 00 п-»оо\)/л — 1 /л-|-1/
С другой стороны, условие ап+1<^ап не выполняется. Ряд
расходится, так как
1_______1 _ 2
/Г-1 /Гн-*-1’
1/0
и потому ряд можно записать в следующем виде:
т+4+4+4+---=2(1 +4+4+ •••)’
где в скобках стоит известный расходящийся ряд.
Вывод. Из соотношения lim ап = 0 не следует, что
п оО
an+i<an.
21. Каждый бесконечный ряд может принимать напе-
ред заданное значение с. Имея произвольный ряд
ai + аг + а> + • • • >
мы можем написать:
Я1 = с + (а> —с).
as = —(«1 —c)4-(«i+«2 —с).
а, = — (а, 4- а, — с) + (а1 + а» + а> — с)>
Складывая эти равенства почленно, получим
ai + ai + a.+ ---=c + (aI — с) — (а> — с)
+ (ai + ai —с)~ (а14-яг —с)
+..........................
= с.
Вывод. Нельзя допускать, чтобы «остаточный член» не
стремился к нулю.
22. 1 = 0. Сумма ряда
Г2 + Гз + Л+4Т5+---
равна 1, так как он идентичен ряду
\ 1 З^Дз 5 J "Г---»
в котором два стоящих друг за другом числа в сумме дают
нуль, за исключением первого члена, равного 1. Таким образом,
1 — J___। J__i__Lj_L_i_
1>2 ' 2-3 ' 3-4 • 4-5 * ” ’
1= _L+_L i_J_ I.
2 2-3 ‘ 3-4 ‘ 4-5 ‘ ’
1= _L_L_L_1_
3 3.4-Г4.5-Г ”•
171
Складывая эти ряды, получим
Следовательно, 1 = 0.
Вывод. Над расходящимися рядами, вообще говоря,
нельзя производить арифметические операции1).
23. / = у. Имеем
+ + ’
С другой стороны,
X4._L4._L4....
___. j_m_ Lilf-L______________И I _ 1
“ 2 \. I 3/| 2\3 5 J I- 2 \ 5
24. Ряд
имеет частную сумму
Поэтому нижний предел значений частных сумм равен —3,
верхний равен —1. Казалось бы, все частные суммы ряда
также лежат между — 3 и — 1. Однако
с _ 9 3 _ ч_1_
si — * 2 3 2 ’
т. е. все частные суммы расположены вне интервала (—3, —1).
') В то время как в начале построения исчисления бесконечно
малых не проводилось никаких строгих исследований относительно
172
25. е = -у4~е. Для того чтобы получить разложение
в ряд числа
е= lim f 1 4- — ') ,
я-аЛ 1 nJ
/ . Г \n
применим формулу бинома Ньютона к выражению ( 1 +~ I .
В результате мы получим («4“ ^-членный ряд
1 +Т| + 5Т (1 — 7) +зг (1 — 4) (1 —%) +
Переходя затем к пределу при п—юо, получим ряд
е = 1 +тг+2г+“зГ +41+ • ’ •
Далее
1 -|-2-|-3+ ...
Следовательно,
г«+^+^+---+г2=у(1 + «) (2)
Складывая почленно ряды (1) и (2), получим ряд
1 + [Ё+?] + [у(1— 4)+^-] +
Переходя в выражении (1) к пределу при п—»-оо, получим
разложение в ряд числа е; переходя к пределу при п—►оо
в выражении (2), получим число у ; переходя к пределу при
п—>оо в выражении (3), получим снова разложение в ряд
для числа е. Следовательно,
. 1
сходимости и расходимости, позднее ограничились созданием теории
сходящихся рядов. Теория расходящихся рядов начала развиваться
только в последнее время.
173
Вывод. В бесконечном ряде, вообще говоря, нельзя
производить почленный переход к пределу.
26. Исследовать, при каких значениях х сходится сте-
пенной ряд
х 4- 2’х2 4- З’х* 4- 4V 4- ...
Несомненно, что
Ига п • | х | = оо
п -► 00
для любого отличного от нуля значения х = а. Точно так
же верно соотношение
lim (л-|х[)п = оо,
И -> СО
т. е. ряд расходится для всех отличных от нуля значений х.
Вывод. Существуют степенные ряды, которые расхо-
дятся для всех отличных от нуля значений переменной.
27. Ряд Маклорена имеет вид
/ U) =/(0) 4- (0) 4-$г (0) 4-...
Так как
dex х d!ex х
-^=-еХ, ^=ех,...,
то
Так как этот ряд сходится для всех значений х, то тем
самым получено разложение функции ех в бесконечный ряд.
Проведем аналогичное рассуждение для функции
/(x) = e“K
Эта функция не определена при х = 0; учитывая соотно-
шение
lim /(х) = 0,
«-♦о
мы положим /(0) = 0. Имеем
f^{x)==e-^pn(x-^
174
где Pn(x~l)— некоторый многочлен от х~'. Отсюда следует,
что все производные функции f(x) при х = 0 обращаются
1
в нуль. Таким образом, ряд Маклорена для функции е *’
сходится, так как все его члены равны нулю. Следовательно,
е~^ = 0.
Вывод. Не достаточно доказать, что ряд Маклорена
сходится; надо также доказать, что полученный ряд пред-
ставляет исходную функцию, или, соответственно, что оста-
точный член стремится к нулю.
VI. Дифференциальное исчисление
1. 1 =—/? Функция
где [ х| —абсолютная величина числа х, непрерывна для всех
значений х. График функции приведен на рис. 117.
Что можно сказать относительно производной этой функ-
ции в точке х = 0? Производная справа равна 1, производная
слева равна — 1. Следовательно, в точке
х = 0 производная/'(0) не существует. X. У 7у-\х\
Вывод. Непрерывность функции в X. /
некоторой точке еще не обеспечивает X. /
существования производно'й в этой с~
точке.
2. у gt = gt. «Скорость есть путь, рис И7
деленный на время»—так написано в
учебниках и так мы заучиваем. Свободно падающее тело
проходит за время t путь
Поэтому, согласно предыдущему правилу, его скорость
1 ,
Однако это выражение не является ни скоростью тела в на-
чале движения, так как в этот момент она равна нулю, ни,
тем более, скоростью в конце пути (т. е. в момент времени /),
175
так как в конце пути скорость равна
Вывод. Нужно различать среднюю скорость, которая
является частным от деления пройденного пути на протекшее
время, и мгновенную скорость, которая является производной
пути по времени в данный момент.
3. Простой способ решения уравнений. Продифференци-
руем заданное уравнение
18x-f-81 = 0
по X', мы получим
2х — 18 = 0,
откуда х = 9.
Проверка показывает, что полученное число действительно
является корнем исходного уравнения. Однако это случай-
ность. Для общего уравнения
хг ах 4~ — 0
этот метод непригоден.
Дифференцируя по х, получим
2х4~а = 0, х =— у.
Проверка показывает, что левая часть принимает значение
т. е. что найденное число не является корнем уравнения.
Вывод. Можно дифференцировать функции по перемен-
ным, но не уравнения по постоянным, хотя еще и неизвест-
ным величинам.
4. 0=^0 (доказательство по методу Эйлера). Согласно
Неперу,
In х = lim х . *.
Л-о h
Производную этой функции Эйлер вычислил следующим
образом:
d . d хЛ — 1 hxk~' .. 1
у- In х = lim т— = lim —г— — lim x = —
176
Между прочим, Эйлер не употреблял знака lim, например,
— 1
вместо lim—г— он писал
а
х’~ 1
О -
Таким образом, здесь Эйлер переставляет дифференциро-
вание и переход к пределу. Применим этот прием к функции
ах 4- Ь
У сх-{- d'
Прежде всего имеем
х 0 dx ex + d
С другой стороны,
lim d ex+*>. . |im Д (ex + d) - с (ах + Ь)
. (cx-f-d)*
__.. ad — be ad — be
выбраны так, что
ad — be 0,
то справа стоит отличное от нуля число.
Вывод. Переход к пределу и дифференцирование не
всегда перестановочны.
Если a, ft, с и d
5. Из одного письма к автору: «Общие правила справед-
ливы также и для частных случаев. Откуда же следует, что
формула
lim (а • b) = lim а • lim b
неприменима к частному случаю пределов, а именно к вы-
числению производной произведения? Согласно приведенной
формуле, должно быть
(uv)’= и'v’,
в то время как обычно доказываемая формула имеет вид
(uv)’ — u'v-\-v'u».
6. Что такое касательная?
а) Прямая, имеющая с кривой только одну общую точку.
Но график любой однозначной функции пересекается только
177
в одной точке с каждой прямой, параллельной оси у и про-
ходящей через произвольную точку интервала, на котором
определена функция. Однако эти прямые не будут, вообще
говоря, касательными. С другой стороны, прямые у = 4^ 1
имеют с синусоидой не одну, а бесконечно много общих
точек, и все же являются касательными к этой кривой.
Ь) Касательная — это такая прямая, которая имеет с кри-
вой общую точку, причем все точки кривой в окрестности
этой точки лежат по одну сторону от данной прямой. Но
ось х пересекает кривую у = хг и все же является для нее
касательной. Аналогичное утверждение справедливо и для
кривой у = sin х и прямой у — х.
с) Касательная — это секущая, проходящая через две
соседние (другие говорят: через две «следующие друг за
другом») точки кривой. Но между двумя как угодно близкими
точками непрерывной кривой имеется всегда как угодно много
других точек кривой.
Вывод. При формулировке общего понятия касательной
нельзя обойтись без понятия предела. Касательная в неко-
торой точке кривой есть предельное положение секущей,
которая проходит через данную точку прямой и у которой
вторая точка пересечения с кривой как угодно близко при-
ближается к первой. При этом предполагается однозначное
существование такого предельного положения.
7. Существует ли касательная? Задана кривая с урав-
нением
2
у = х ’ .
Производная этой функции вычисляется по известной формуле
' 2 "Т 2
у==^х
При х = 0 производная у' не существует, или, говоря
иначе, у' равна бесконечности. Что следует отсюда для
касательной? Она существует, но будет перпендикулярна
к оси х.
Аналогичное явление наблюдается для функции
у которой производная
178
в точке х = 0 не существует, однако в этой точке суще-
ствует касательная, перпендикулярная к оси х.
Вывод. Если в некоторой точке кривой j=/(x) каса-
тельная перпендикулярна к оси х, то в этой точке произ-
водная у' равна бесконечности. Иначе говоря, в этой точке
она не существует.
8. Существует ли касательная? Функция _y = i, гра-
фиком которой является гипербола, имеет производную
у' = В точке х = 0 имеем у' = оо, т. е. в этой точке
у' не существует. Означает ли это, как в п. 7, что каса-
тельная в этой точке перпендикулярна к оси х? На самом
же деле ось х является для кривой не касательной, а асимп-
тотой, которая в конечных точках с кривой не пересекается.
Иногда, правда, говорят, допуская некоторую вольность, что
кривая и ось у пересекаются в бесконечности.
Точно так же прямая, параллельная оси у и расположен-
ная от нее на расстоянии -у, является асимптотой для тан-
генсоиды
J = tgx.
Производная этой функции равна
1
У COS2 X
л
и обращается при х = — в бесконечность.
Вывод. Если для некоторого значения х производная
функции y=f(x) обращается в бесконечность, то в этой
точке кривая, изображающая данную функцию, может иметь
асимптоту. Вывод из п. 7, таким образом, не является обра-
тимым.
9. Существует ли касательная? Исследуем функцию
/(x) = x-siny.
В то время как
.. . 1
lim sin —
Х->0 х
не существует (несмотря на то, что функция .у = sin у при
179
непрерывна), непрерывная функция /(x) = xsiny су-
ществует также и при х = 0. А именно /(0) = 0. Рис. 118
показывает поведение кривой _y = siny . На рис. 119 схема-
тически изображена функция _y=*xsln-i- вблизи нулевой
точки.
Относительно касательной к функции у = sin у в нуле-
вой точке нечего и говорить. Однако что можно сказать по
этому поводу относительно непрерывной функции у = х sin-i- ?
Производная этой функции вычисляется по правилу нахожде-
ния производной произведения:
, ,1 11
у = sin------X —.. cos — .
z X X* X
Оба члена этой разности при х = 0 не существуют1). Отно-
сительно касательной в этой точке не может быть и речи.
Вывод. Существуют функции, которые в некоторых
точках не имеют производной, хотя они и непрерывны в этих
точках. Соответствующая кривая не имеет в таких точках
касательной.
10. Два произвольных числа а и Ь равны. Один гово-
рит, что дробь равна 0, так как ее числитель равен 0,
*) Из того, что каждая из двух функций не имеет предела прн
t—>-0, конечно, еще не следует, что их разность не име.ет предела.
Однако здесь один член ограничен, а другой — не ограничен.—
Прим. ред.
180
второй, хорошо знакомый с дробями,— что дробь у равна 1,
так как ее числитель и знаменатель равны, третий, наиболее
осведомленный — что дробь равна оо, так как ее знаме-
натель равен нулю.
Положим а — Ьгяах и получим сначала путем возведения
в квадрат, а затем с помощью умножения на х соотношения
х* = а* — 2ab-\-b\ х* = ах— Ьх.
Из получающегося равенства
ах — bx=sal — 2ab Ь*
следует
а (х b — а)з=Ь(х b — а).
Поэтому
х -f- ft — а а
x-j-b —а Ь ’
откуда первый из упоминавшихся выше людей сделает вывод,
что а = 0, второй, что а — b, третий, что b = Q. Кто прав?
Дифференциальное исчисление предписывает нам в таких
случаях продифференцировать числитель и знаменатель и об-
разовать новую дробь. Это дает
1 а
т=*т-
Следовательно, два произвольно выбранных числа а и b равны
между собой, т. е. х = 0.
Вывод. Если а и b — постоянные величины, то х также
является постоянной величиной, и потому у нас нет отноше-
ния двух функций.
11. Все правильные дроби равны. Пусть п<^т. Тогда,
как можно проверить с помощью простого деления,
1 _ гп
—хв+т4-х,от------}-...
Положим х=1. Тогда слева получается неопределенность
вида . Раскроем ее обычным способом, т. е. продифферен-
цируем числитель и знаменатель по х и положим х—1.
Получим
т 1 1
181
Так как правая часть равенства не зависит от выбора чисел
п и т, то все правильные дроби равны.
Вывод. Вообще говоря, нельзя производить вычисления
с расходящимися рядами1).
12. В окружности не существует ни наибольшей, ни
наименьшей хорды. Пусть задана окружность с уравнением
хг + у*=г\
Из точки х =— г, у = 0 проведем хорду. Пусть ее второй
конец имеет координаты х, у. Тогда квадрат хорды равен
$2 = (х Ц- г)2 4~у2 = хг ^гх 4~ г2 Ц-у2 = 2г2 ^гх-
Дифференцируя по х и приравнивая производную нулю, по-
лучим
2г = 0.
Вывод. Точки экстремума могут лежать на границе
допустимой области.
13. Определение точек экстремума. Задана функция
/ (х) = Зх4 4- 4х2 — 6х2 — 12х — 8.
Чтобы определить точки экстремума, приравняем нулю про-
изводную
/'(х)=12х’4- 12№— 12х—12= 12(^4“ I)2 (* —1) = 0.
Отсюда получаем
х, = —1, ха=4-1, у1 = —3, у, = —19.
Далее,
/(-2)=4-8, /(—1) = —3, /(0) = —8,
/(1) = -19, / (2) = 4-24.
Отсюда можно сделать следующий вывод: так как справа
и слева от точки х=1 значения функции больше, чем /(1)-,
то точка х, = 4-1 является точкой минимума; далее, справа
и слева от точки х ——1 функция имеет различные знаки,
причем значение функции слева от точки х — —1 больше,
чем /(—1), а справа — меньше чем /(—1), и потому
в точке х = — 1 функция не имеет ни максимума, ни ми-
нимума.
’) Ср. сноску ') на стр. 172.
182
Вывод. Условие (необходимое) /'(х) = 0 не являете^
достаточным для существования точки относительного экстре-
мума. В рассматриваемом случае имеем:/"(х) = 36х* 2 *4~24х—
— 12, и выполняется соотношение /"(—1) = 0, а не соот-
ношение /" (— 1)^=0 ’).
14. Определение точек перегиба. Задана функция
/(х) = х4— 4х’-|- бх2— 4х 4.
Имеем
/• (х) = 4х* — 12х2 -j- 12х — 4 = (х — 1)’ • 4;
/'(х)=12х2 —24x4-12= 12(х—1)2.
Полагая /’(х) = 0, находим, согласно известному правилу,
точку перегиба. Следовательно, точка
X- = 1, уп = 3
Л ’ л
является точкой перегиба, и притом единственной. Однако рас-
сматривая значения функции
/(0) = 4, /(1) = 3, /(2) = 4
и замечая, что f'(хП) = 0, убеждаемся, что точка хп является
точкой экстремума, а именно, точкой минимума, а вовсе не
точкой перегиба.
Вывод. Необходимое условие f (х) — 0 для того, чтобы
точка с абсциссой х была точкой перегиба, не является доста-
точным условием. Именно, если в этой точке f'(x)==0, то
эта точка может быть точкой экстремума. В рассмотренном
выше случае (х) = 24х — 24 и мы имеем
/"'(4-1)=о.
В общем случае имеет место следующее правило. Пусть
для точки х0 выполнены соотношения: f (хо) = 0, f (хо) = 0,...
..., /*'’” (лг0) = 0, (ха)—уп^0. Тогда точка х0 яв-
ляется точкой максимума, если уп отрицательно и п четно,
точкой минимума, если уп положительно и п четно, точкой
перегиба, если п нечетно2).
’) Причем f"' ( — 1) / 0. — Прим. ред.
2) Если же выполнены соотношения /'(х0) = у, / 0, /*(Х(,) = 0,
f'"(x0) = O, ... , Р"-1’ (х0) = О, f(П> (х0) = уп / 0, то х„ является точ-
кой перегиба при нечетном п и не является точкой перегиба (и, ко-
нечно, не является точкой экстремума) при четном п.— Прим. ред.
183
Максимум и минимум
15. Задача: вписать в шар радиуса г конус с наибольшей
поверхностью S. Имеем (рис. 120):
S = «Q* -]- «QS,
Qs==h(2r — ft),
s* = 2rh.
Выбирая высоту h за переменную величину jc, имеем
— =f(x) = x (2r — х) V%гх* (2г — я) •
f \ \ Дифференцируя, получим
/ /* г \ \ „ _ . 4г’х-3гх*
I / \ / (х) = 2г — 2х -4- -===== .
А/ . \ ~ Уь*х*-2гх*
\/ \\ Р XJ
\ ; у Приравнивая производную нулю, полу-
j чаем уравнение для определения точки
экстремума хт:
Рис. 120. ——г--------г- , ,
2(*т — И 'Ьг хт— 2гхт=4ггхт—3гхт .
Так как корень хт = 0 не удовлетворяет условиям „задачи,
то обе части уравнения можно разделить на хт. Возводя обе
части уравнения в квадрат, получим следующее уравнение •'
4 (хт — г)‘ (4г’ — 2гхт} = (4г‘ — Згх»)1.
Упрощая это уравнение, .получим
8xJ,— 23гхиЦ-16г! = 0.
Следовательно,
xm = 23~l^- г, xm,=sl,7r, xffl3=sl,2r.
Для обоих значений f(x)<^0, следовательно, в обеих точках
функция достигает максимума.
Вывод. Из графика функции /(х) легко установить, что
только точка х = 1,2г является точкой максимума. Точка хт,
является посторонним корнем, который появился при возведе-
нии в квадрат уравнения, полученного путем приравнивания
нулю первой производной. Итак, если при определении точки
экстремума получается иррациональное уравнение, то надо
быть особенно внимательным,
184
16. Каждая точка внутри круга является центром
круга. Решим следующую задачу: найти наименьшее и наи-
большее расстояние некоторой точки внутри круга от его
окружности. Уравнение окружности относительно ее центра
имеет вид
х*-\-у* — г\
Пусть система координат выбрана таким образом, что произ-
вольно выбранная точка внутри круга расположена на оси х
и находится от центра круга на расстоянии -\-е. Пусть s —
расстояние этой точки от произвольной точки окружности
с координатами (х, у}. Тогда
$* = (х —
или
s* = (х — е)! 4~ г* — х*.
Для получения точки экстремума функции
s = — 2хе
продифференцируем ее по х:
d s е е
Приравнивая производную нулю, получим
е = 0,
что подтверждает сформулированное в заголовке утверждение.
Вывод. Имеются функции, например линейная функция
у = тх-\-п, (1)
которые в заданном интервале не имеют точек экстремума.
В этом случае, однако, экстремум может достигаться в точ-
ках, лежащих на границах интервала. Например, в случае
линейной функции (1) имеем у’ — т, однако отсюда нельзя
заключить, что т = 0.
17. Некто решает следующую задачу. Основание равно-
бедренного треугольника равно 12 см, высота 3 см. Найти
точки на высоте или ее продолжении, сумма расстояний ко-
торых от трех вершин треугольника имеет наименьшую ве-
личину.
Решающий поступает обычным образом: если искомая точка
лежит на расстоянии х см вверх от основания, то искомая
185
функция имеет вид
у = (3 —х)4-2/х‘4-36. (1)
Находим производную
, 2х
У — — 1 + /хг 4. 36 '
Приравнивая ее нулю, получим уравнение
2х .
у х2н-3б~ ’
из которого находим
х = Ч= 2 У 3.
Далее, 2У 3^>3. Если х положительно, то искомая точка
лежит вне треугольника, выше его вершины. Однако в этой
точке не может осуществляться минимум, в чем мы убеж-
даемся сразу же, приближая точку
к вершине треугольника. Отрица-
zv тельный корень не удовлетворяет
условиям задачи.
Вывод. Во-первых, значение
-----------------—2]/ 3 не является корнем урав-
нения (2). Снова напоминаем, что с
Рис. 121. иррациональными уравнениями сле-
дует обращаться осторожно. Пред-
ставляя функцию (1) графически, убеждаемся, что она вообще
не имеет относительного минимума. Из рис. 121 видно, что
наименьшее значение функции (1) достигается при я = 3, т. е.
в случае, когда точка является вершиной треугольника.
18. Задача. Две прямые взаимно перпендикулярны; третья
прямая отсекает от них отрезки длиной в а см и b см. Рас-
смотрим прямоугольники, у которых один угол совпадает
с данным углом между перпендикулярными прямыми, в то
время как противоположная вершина расположена на третьей
прямой. Когда площадь прямоугольника будет иметь наиболь-
шее или наименьшее значение?
Пусть х и у — стороны прямоугольника. Тогда, где бы
ни лежала подвижная точка на секущей прямой, имеем
х:а = (Ь—у):Ь.
Следовательно,
. Ь
у = Ь--х.
186
Площадь прямоугольника имеет значение
S — x-y — bx-----хг.
z а
Для нахождения точек экстремума положим
откуда
и
ab
Однако сразу видно, что площадь прямоугольника не может
иметь минимальное значение. Действительно, когда подвижная
точка приближается к одной из точек пересечения секущей
прямой с перпендикулярными прямыми, площадь прямоуголь-
ника становится все меньше и меньше и, наконец, обращается
в нуль. Если, с другой стороны, подвижная точка передви-
гается за эту точку пересечения, то площадь прямоуголь-
ника может принимать как угодно большие значения. Полу-
ченное значение не является, следовательно, ни минимумом,
ни максимумом.
Вывод. Надо
19. Имеет ли
ступая обычным образом, т. е. дифференцируя числитель и
знаменатель дроби, получаем
2 cos х
3 -f- cos х'
Это выражение не приближается ни к какому значению, так
как числитель изменяется от 1 до 3, а знаменатель — от 2
1 3
до 4, т. е. частное изменяется от — до . Некто диффе-
ренцирует дробь еще раз и получает значение т. е. 1.
С другой стороны, имеем
2 . sin х
, 2x4-sinх х 2
lim -x—1----= lim --------— = —
x-»oo 3x4-sinx , sinx 3
следить за знаками отрезков.
2x4-sinx , . „
lim =—------ определенное значение? По-
x->oo3x + slnx
187
так как
,, sin х п
lim------= 0.
*->оо х
Кто прав?
VII. Интегральное исчисление
1. Интегрирование — действие, обратное дифференциро-
ванию. Имея это в виду, некто уничтожил знаки и d и по-
лучил поэтому J dx^x, J dsinх = sinх. Осмелев, он сокра-
тил выражение \ — еще и на х, но получил неверный ответ 1.
Уничтожая в выражении знаки j и d, он получил х*
вместо правильного выражения Вывод здесь излишен.
2. Графиком синуса является ось х. Имеем sin 0 = 0,
sin2/zn = 0, если п — целое число. Заключенная между точ-
ками х = 0 и х = 2лл часть синусоиды y = sinx имеет
площадь
*пя .1ИП
\ sinxdx = — cos jc =—1 1 = 0.
• •
Но если площадь фигуры, образованной кривой и осью х,
равна нулю, то кривая должна совпадать с осью х.
Вывод. При интегрировании площадь получается со зна-
ком. Равные площади, расположенные по разные стороны оси
абсцисс, уничтожаются.
3. tg jc = —Z. Имеем
, 1 • S
sin X • cos X dx =*у Sin JC,
так как
d sin* x c, .
—-— = 2 sin x cos x.
dx
Точно так же
1 1
sin х cos х dx — —cos х,
так как
d cos* х
dx
2 cos х sin х.
188
Следовательно, sin2x =— cos*x, или tg2x =—1, откуда
и следует наше утверждение.
4. sinx = :+: 1. Имеем
d tgгх _ . 1 2 sin х
*—7— = 2 tg х —s— « —г*
dx ® cos2 x cos* x
d——f—
COS2 X
dx
d(cosx)-2 n . 2 sinx
-4^^-2005 >х{_кпх) = ^
Отсюда следует, что
Из
sinx . 1 , . 1 I
—г- dx = -±-tg x==-=- • j—s—.
cos*x 2® 2 Cos’x
tg* Х=з—L-
® COS2 X
следует, что
sin* x = 1, sin X — +1.
5. C0SX — -+-1. Имеем
d 1 d . . 2cosx
T . . —j- (Sin X) =—2(snx) COSX =-----------r-j—,
dx sin2 x dx' ' v ' sin2 x ’
d , г n , — 1 2 cos x
gjCtg x = 2clgX.s-IHrx=-^Hi7.
Следовательно,
1 ‘ ctg2 x.
J sin‘x 2 sin2 x 2 “
Из соотношения
. » 1
Ctg X =
° stn2x
следует, что
cos*x=l, cos x = 1.
6. sinx== — cosx и tgx== — ctgx. Из соотношений
d . 1 d 1
-r- arcsin x = -7--- , -j- arctg x » t-,—г ,
dx । _ X2 ’ dx 6 1 + x2 ’
d — 1 d — 1
— arccos x = -/ .77- / , -j- arcctg x = r-i—г
dx К1 -x2 ’ S !+**
189
следует, что
С ах
\ — — = arcsin х = — arccos х,
J у 1 - х‘
С dx , .
j = arctg х = —arcctgx.
Далее,из z — arcsin x = — arccos x следует,что sin z — — cos z.
Из £ = arctgx =— arcctgx следует, что tgz =— ctg£.
Вывод из пп. 3—6. Из равенства неопределенных ин-
тегралов не следует равенство любых двух первообразных
функций. Нельзя пренебрегать постоянной интегрирования.
7. l = sin8x. Продифференцируем функцию _y = tgx.
,, , 1 , 2 jin л „ , 1 п ,
Имеем у =—, у -----------------5— = 2 tg х-----— = 2уу .
z cos2 х * cos’ х ® cos2 х
Следовательно, у" — {уг)'. Интегрируя, получим у'—у*.
Следовательно, —- = tg8 х = ^пг х , откуда и следует
COS X COS X
наше утверждение.
Вывод. Не следует пренебрегать при интегрировании
постоянной интегрирования.
8. Тело, имеющее такой же объем, как и его часть.
Равносторонняя гипербола хг — у* =1 вращается вокруг
оси х. При этом получается двуполый гиперболоид вращения,
вершины которого лежат на оси х по обе стороны от начала
координат на расстоянии 1 от него. Плоскости х = Ч- 2 от-
секают от обеих полостей гиперболоида некоторые тела. Вы-
числим их объем. В силу соображений симметрии обе полу-
ченные части гиперболоида равновелики.
Вычислим сначала объем тела, отсекаемого плоскостью от
одной полости гиперболоида. Для этого вычислим определен-
ный интеграл от х = 1 до х = 2\
2 2
V. = л С y*dx = л f (х8 — 1) dx = л ( v — х |2,
J J ;|i
IZ — n Р I 2 V 4 „
Л\к3‘ 3 } 3 Л-
Вычислим теперь объем обеих частей гиперболоида, получен-
ных при пересечении его плоскостями х = Ч-2. Для этого
190
вычислим интеграл от х =— 2 до х — -\-2'.
-2
Получается, что обе части гиперболоида имеют тот же объем,
что и одна его часть.
Вывод. При интегрировании следует учитывать, что
квадрат функции может иметь действительную величину, в то
время как функция принимает мнимые значения.
9. 1п(—а) —Ina; поэтому, например, 1п(—1) = 0.
В выражении
заменим х на —х. Тогда в интеграле отрицательный знак
взаимно уничтожится и остается
J-^- = ln(— х)4-с,
что и требовалось доказать.
Вывод. Надо обращать внимание на определение функции.
10. Конечное тело вращения с бесконечно большим
осевым сечением.
х х
Jdx 1 .. f dx
— = 1пх и, следовательно, lim \— = оо.
i х х
Поэтому площадь, заключенная между гиперболой У = -~ и
осью х от х=1 и до бесконечности, бесконечно велика.
Будем вращать теперь эту фигуру вокруг оси х; тогда
получается тело вращения с объемом
V= lim = lim л f 1-------------~^ = л.
1 \ Y I
*-*ОО 1 *-*оо \ /
Объем тела конечен.
Вывод. «Наглядность» и «здравый смысл» иногда при-
водят к ошибке.
191
11. Работа, как можно прочесть в некоторых учебниках
физики, есть «сила, умноженная на путь». При этом молча-
ливо подразумевается, что оба вектора имеют одно и то же
направление. Потенциалом тяготения Р называется работа,
необходимая для перемещения тела с массой т из точки,
находящейся на конечном расстоянии г, в бесконечность.
Здесь путь бесконечен, сила конечна, потенциал должен
быть в каждом случае бесконечен, в то время как
нт
г
где х— постоянная тяготения.
Фактически работа А, соответствующая силе fe(s) и пути
от s, до st, имеющему то же направление, что и сила, равна
А = J k (s) ds.
В случае силы тяготения
Для потенциала Р отсюда следует при rt —► со
wn
г
Вывод. Данное вначале определение работы молчаливо
подразумевает, что величина силы на всем пути постоянна. Тогда
Как и в случае скорости, в случае работы нельзя забывать,
что величины (скорость, сила) могут быть переменными.