Я. #. Виленкин, А. Г. Мордкович
ПРЕДЕЛЫ,
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Пособие для учителей
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ 19Т7

517.2
В 44
Виленкин Н. Я., Мордкович А. Г.
В 44 Цределы, непрерывность. Пособие для учителей.
М., «Просвещение», 1977
~79 с.
В книге рассматриваются важные понятия математического анализа—предел
и непрерывность. Пособие облегчит учителю усвоение новых подходов к
изложению этих вопросов в школе. |
JJ05O1-693
В 103(03)-77 I36~77 S17-2
(С) Издательство «Просвещение», 1977 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Понятия предела и непрерывности
составляют наряду с понятием функции
фундамент всего здания математического
анализа. В новых учебных пособиях для
школы («Алгебра и начала анализа» под
ред. А. Н. Колмогорова) им уделено
много внимания и соответствующая
теория изложена на значительно более
высоком научном уровне, чём это делалось
раньше.
Предлагаемая вниманию читателя
книга написана для того, чтобы облегчить
учителю усвоение новых подходов к
изложению этих вопросов в школе. Основное
внимание авторы уделили анализу
понятий предела и непрерывности, выяснению
физического и геометрического смысла
этих понятий. Книга начинается с
краткого изложения теории действительных
чисел. Авторы приняли за основу
аксиоматическое изложение этой теории. При
этом вместо обычно применяемой
аксиоматики, насчитывающей более полутора
десятков аксиом, введена аксиоматика,
содержащая лишь 8 аксиом, весьма
близкая к системе аксиом, с помощью которых
академик А. Н. Колмогоров вводит
понятие скалярной величины. Наиболее
существенное отличие дредлагаемой
аксиоматики состоит в том, что в качестве аксиомы
непрерывности принята аксиома о
существовании разделяющего .числа для двух
числовых множеств. Наш опыт показывает,
что эта аксиома наиболее доступнам
учащимся и очень удобна для дальнейшего
использования в курсе математического
з

анализа. К сожалению, объем книги не позволил полностью
развернуть теорию действительных чисел на основе этой
аксиоматики и часть доказательств опущена.
Затем излагается понятие предела последовательности. В
отличие от большинства пособий здесь особое внимание уделено
вопросам, связанным с рекуррентно заданными
последовательностями; именно такие, последовательности чаще всего
встречаются в вычислительной математике, и вопрос об их сходимости
или.расходимости является вопросом о правомерности выбранного
вычислительного процесса. Изложение теории предела
последовательности завершается тесно связанным с ним вопросом о
сходимости бесконечных числовых рядов, о которых теперь также
упоминается в школьном курсе.
После этого рассматривается понятие непрерывности функции.
Педагогический опыт авторов показал, чта целесообразно сначала
рассмотреть этопонятие и лишь, потом перейти к изучению
пределов функций (на полезность такого порядка изложения
неоднократно указывал А. Н. Колмогоров). При этом, как говорилось
выше, особое внимание уделено смыслу понятия непрерывности,
его физическим первоисточникам и геометрическому истолкованию.
Авторы будут благодарны за полезные советы и замечания
и просят присылать их по адресу: Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41, издательство «Просвещение», редакция математики.
//. Я- Виленкин,
А. Г: Мордковин

ЧИСЛОВЫЕ
Глава I ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. Аксиоматика положительных
действительных чисел. В то время как натуральные числа служат для
пересчета конечных множеств, с помощью действительных
чисел-выражают результаты измерений. Для того чтобы выразить с любой
степенью точности результат измерения, достаточно знать
положительные рациональные числа* Но в теоретических исследованиях
этих чисел уже не хватает; поскольку существуют несоизмеримые
отрезки (например, сторона квадрата и его диагональ), приходится
расширять множество Q+ положительных рациональных чисел до
множества /?+ положительных действительных чисел.
Формирование понятия действительного числа шло в течение
долгого времени — в геометрической форме оно встречается уже
у Декарта (в начале XVII в.), но строгая теория действительных
чисел была построена лишь во второй половине XIX в. В этих
теориях строились конкретные реализации таких чисел в виде
бесконечных десятичных дробей или разбиений множества
рациональных чисел. В настоящее время поступают иначе — задают
систему аксиом, описывающую фундаментальные свойства
действительных чисел, а потом строят всю теорию на основе этих
аксиом. Конкретные же реализации служат лишь для проверки
того, что система аксиом непротиворечива. Мы опишем сейчас
систему аксиом для множества R+ положительных действительных
чисел, основанную на операции сложения. Приводимые ниже
аксиомы выражают естественные свойства измерения величин.
Неопределяемыми понятиями аксиоматики в R+ являются
понятия положительного действительного числа, единицы и
операции сложения. Они удовлетворяют следующим аксиомам
(натуральные чи:ла и их свойства предполагаем известными):
IА. Единица принадлежит /?+, 1 €/?+.
1.2. Операция сложения ставит в соответствие
любой паре чисел (а, Ь) из R+ число а + b того же
множества.
Это число называется суммой чисел а и Ьу а сами а и Ь
называются слагаемыми.
1.3. Операция сложения в /?+ коммутативна: для
любых а и b из R+ имеем а+ b = b + а.
5

1.4. Операция сложения в R+ ассоциативна: для
любых а, Ь и с из R+ имеем (а + Ь} + с =* а + (Ь + с)*
1.5. Еслиia и Ь— числа из /?+, то аФа+Ь*
1.6. Если а и Ь —числа из /?+ и аФЬ, то в R+най-
дется или такое с, что а~Ь + с, или такое с, что
Ь = а + с.
1.7. Для любого atR+и любого натурального числа
п найдется единственно^ Ь £ R+, такое, что а равно
сумме п слагаемых, каждое из которых равно Ь.
В дальнейшем мы будем обозначать сумму п слагаемых,
равных числу Ь, через nb; а число Ь, такое, что nb*>*a9 через — а.
Наконец, вместо m f— а), где т — натуральное число, будем
писать ~-а и называть выражение -— дробью с числителем т
и знаменателем /г.
* Кроме этих семи аксиом, нужна еще аксиома непрерывности,
которую мы сформулируем ниже.
2. Аксиома непрерывности в /?+. Введем. в множестве /?+
отношение порйдка следующим образом:
Число! а больше числа b в том и только в том случаег если
существует такое число с € /?+, что а**Ь + с. В этом случае
пишут: а > b и с = а — Ь.
Из аксиом 1.1—1.7 легко вывести, что отношение, порядка
в R+ обладает хорошо известными свойствами {например^ что из
а>Ь и Ь>с следует а>с9 что не могут одновременно
выполняться неравенства а>Ь и Ь>ау и т, д.).
Числовым множеством будем называть любое подмножество
множества j?+. Назовем числовое множество X лежащим слева от
числового множества Y, если для любого хЧХ и любого y$Y
цыполняется неравенство х < у (например, множество площадей
многоугольников, содержащихся в круге, расположено слева от
множества площадей многоугольников, содержащих 1 этот круг;
отрезок [1,, 2] расположен слева от отрезка [5, 7] и т. д.).
Наконец, скажем, что число с разделяет числовые множества X
и Y, если для лфбых х$Х и yeY выполняется двойное
неравенство х < <? < */ (например, площадь круга разделяет множества
площадей внутренних и внешних многоугольников, число 4 раз-
. деляет числовые отрезки [1, 2} и [5, 7] и т. д.).
Ясно, что если существует число с, разделяющее числовые
, множества X и Y\ то X лежит слева от Y. Аксиома
непрерывности состоит в том, что верно и обратное утверждение.
2.1. Аксиома непрерывности. Если непустое
числовое множество X расположено слева от непустого
числового множества Y, то найдется число,
разделяющее эти множества*.
6

a)
о—
}ШХШ^/Л*УуЩ-
X У
t 5
Рис. 2
П4
-^-
ь У
Рис. 3
f—
Смысл этой аксиомы состоит1 х У
в следующем. Если бы мы вы- х<&$$$^^
бросили из множества /?+ какое* а
нибудь число а, то все
множество R+ распалось бы на два под- Рис. 1
множествами К,состоящие
соответственно из чисел, меньших
и больших числа а (рис. 1).
Ясно, что X лежит слева от Y.
В то* же время в «проколотом»
множестве /?+ уже нет числа, 5)
разделяющего эти множества, °тт
так как а выброшено. Таким *
образом, в «проколотом»
множестве /?+ аксиома
непрерывности не выполняется. Иными у
словами, аксиома непрерывности1 '
означает, что в множестве /?+
нет «проколов».
Отрезки [2, 4] и [4, 6]
разделяются одним числом 4, а от- ^0 "|
резки [2, 4] и [5, 7] — всеми J
числами, принадлежащими t)T- с Л
резку [4, 5] (рис. 2). Во
многих случаях надо знать, одним
или многими числами
разделяются числовые множества X и Y. Ответ на этот вопрос дается
следующим утверждением.
Пусть непустое числовое множество X расположено слева от
непустого числового множества Y. Для того чтобы X и Y
разделялись единственным числом, необходимо и достаточно, чтобы
для любого е € /?+ нашлись числа х € Хиу € F, такие, что у — х < е.
Сначала докажем достаточность этого условия. Предположим,
что оно выполнено, но существуют два числа а и 6,
разделяющие X и Y, причем-ог< Ь. Тогда для любых х € X и у € К имеем
у — х>Ь — а (рис. 3), а это противоречит выполнению нашего
условия при е = b — а.
Теперь докажем, что это условие необходимо. В самом деле,
пусть X и Y разделяются единственным числом с. Возьмем
промежуток \с — -i, c-f-H. В левой его половине, т. е.
в Г — Т • 4» наВД€тся хотя бы один элемент х е X, так как в
противном случае X и Y разделялись бы всеми числами отрезка
C + f
Рис. 4
■-i,c].
По той же причине в
с, с + -о- найдется у € Y.
Но тогда у — х < е* (рис. 4), и наше условие выполнено.

3. Рациональные приближения действительных чисел. Мы
определили множество положительных действительных чисел с
помощью восьми аксиом: аксиом сложения 1.1—1.7 и аксиомы
непрерывности 2.1. Чтобы установить связь между /?+ и известным
из арифметики множеством Q+ положительных рациональных
чисел, воспользуемся аксиомами 1.1 и 1.7. Отождествим единицу
в Q+ с числом 1 из R+, а число из Q+, задаваемое дробью ^ f
отождествим с числом из /?+, задаваемым той же дробью. Не
составляет труда проверить, что этим определяется вложение
Q+ в R+, при котором обычное сложение в Q+ переходит в
сложение в /?+, а значит, сохраняется отношение порядка bQ+.
Из аксиом вытекают следующие утверждения, показывающие,
как располагается множество Q+ в /?+:
а) Для любого а € R+ найдется такое натуральное число п,
что а < л. ч ■
б) Для любого at R+ найдется такое п, что — < а.
в) Если а 6 R+ и nz N, причем —<а, то найдется такое
ptN, что -J < а < ^Т"^
- г) Если а и b—два числа из /?+, причем а <Ь, то найдется
такое г € Q+, что a<r <Ь.
Мы опускаем вывод этих утверждений.
Утверждения а)—г) означают, что рациональные числа
образуют как бы «сетку» в /?+, позволяющую «поймать» любое число
из /?+. Это значит, что для- любого а е /?+ найдутся в Q+ числа
как меньшие а, так и большие а, причем и слева и справа от
а есть числа из Q+, сколь угодно близкие к а. Поставим в
соответствие числу а два числовых множества X и Y, состоящие^ из
положительных.рациональных чисел, причем в X входят числа
г, для которых г < а, а в У — числа, для которых г>а (если
~ само число г рационально, то оно входит и в X, и в Y).
Назовем X множеством рациональных приближений для а по
недостатку, a Y—по избытку. Например, 0,00001—одно из
рациональных приближений для V^2 по недостатку, а 1000 — по
избытку.
Предположим, что для числа та множествами рациональных
приближений по недостатку и избытку являются Хг и YXi а для
числа b— множества, Х2 и Y2. Тогда сумма а + Ь чисел a nb
является единственным числом, разделяющим множества X uYt
где X состоит из всех сумм вида хг + х99 a Y — из всех сумм
вида У\ + Уъ> причем х19 уг—рациональные приближения числа а
по недостатку и избытку, а х2, у2 — такие же приближения для Ь.
Точно так же произведением ab чисел а и b называют
единственное число, разделяющее множества X = {ххх21 хх £ Xl9 хг € Х2)
И У = [У1Уг\Уг*Уи Уг € Y2).
8

4. Бесконечные десятичные дроЗи Удобный способ получать
сколь угодно точные рациональные приближения для чисел из
#4. дают бесконечные десятичные дроби. Возьмем любое число*
<* из J?+. Если а< 1, то скажем, что целая часть а равна нулю.
В противном случае найдется такое натуральное число п% что
п < а < п + 1. Назовем это число п целой частью а и обозначим
Е(а). Далее разделим отрезок [я, п + 1] на 10 равных частей.
Найдется такое nlf что
или, что то же самое,
п,пг<>а< п,пг+ ^.
После этого делим отрезок \п,пг\ я^ + тл на 10 равных
частей и находим такое я2> что
п,пхп% < а < п,пгп2 + -^.
Продолжая этот процесс, получаем последовательность
десятичных дробей
п\ п9пг; П)Пхщ\ • »•; п9пхпг .. • nk; •.., (1)
такую, что для любого А имеем:
п,пгп%. •. nk < а < n,nin2. •. ^ + 7Д? • ^
Ясно, что дроби п^Яа... nk дают рациональные приближения
для а по недостатку, а дроби п>пгп2.-.. nk
H—^—рациональные приближения для а по избытку. '* *
Вместо бесконечной последовательности десятичных дробей
вида (1) можно написать одну бесконечную десятичную дробь
п9пхп2 .. - я* • -. • Если оборвать эту запись на каком-то знаке
nkt то получим приближение а по недостатку, а прибавив
к «оборванной» дроби число —", найдем приближение а по
избытку. - '<
Отметим, что описанный выше процесс образования
бесконечных десятичных дробей никогда не приведет к дроби,
кончающейся бесконечной последовательностью девяток.
Нетрудно доказать, что.любой бесконечной десятичной дроби
пупхп2 ... nk <... , не заканчивающейся последовательностью
девяток, соответствует число а € /?+, представимое в виде этой
дроби.
5. Множество всех действительных* чисел. В предыдущих
пунктах мы построили множество /?+ положительных действи-
9

тельных чисел и определили в нем операции сложения и
умножения. Обычным способом это множество расширяется до
множества действительных чисел: вводятся число нуль и отрицательные
действительные числа. При этом, опираясь на свойства
арифметических операций и свойства отношения порядка в /?+,
можно доказать выполнение соответствующих свойств в /?. Мы
докажем лишь теорему о разделяющем числе.
Теорема 1. Пусть А и В —два непустых
множества действительных чисел, причем А лежит левее В.
Тогда существует число с, разделяющее множества
А и В.
Доказательство. Если в А есть числа из /?+, то мы
рассмотрим подмножество Аг множества А, состоящее из
положительных действительных чисел. Применив к множествам Ах
и В, состоящим только из элементов R+, аксиому.непрерывности
для /?+, найдем число с, разделяющее множества Аг и В. Это же
число будет разделять множества А и В»
Если в А нет чисел из /?+, а в В нет чисел из /?__, то
разделяющим числом будет нуль.
Если, наконец, в А нет чисел из /?+, ч а в В есть числа из
/?_, то рассмотрим множества А' = {—а \а 6 А) и В' =*
= {—b\bzB}. Ясно, что В' лежит левее А, причем в В' есть
элементы из /?+. Тогда, как мы видели в первой части
доказательства, существует число, разделяющее множества В' и А'\
Это число мы обозначим (—с). Тогда число с разделяет
множества А и В. Теорема доказана.
Остается справедливым и критерий единственности
разделяющего числа: для того чтобы два непустых множества А и В
действительных чисел, из которых А лежит левее В,
разделялись единственным числом, необходимо и достаточно,
чтобы для любого е > О существовали а$ А и b $ В такие, что
Ь — а<е.
6. Непрерывность арифметических операций в /?. Остановимся
на некоторых свойствах арифметических операций в R, которые
понадобятся нам в дальнейшем. Мы докажем несколько теорем,
гласящих по сути дела, что при малом изменении компонент
результат операции мало меняется.
, Естественно ожидать, что при малом изменении слагаемых
сумма мало меняется. Чтобы доказать это, введем понятие
отклонения чисел: отклонением х от а назовем число \х — а\.
Все числа, отклонение которых от а меньше,- чем 8(8>0),
образуют 8-окрестность точки а,
т. е. интервал ]а — Ь, а + Ь]
у ^//////////tf/л^^ j, (рис. 5). Пользуясь понятием
J a L ~~ отклонения, можно сформули-
>&-& я+5 ровать утверждение о малом
изменении суммы следующим
гис. 5 * образом:
10

Теорема 2. Если отклонения х от а и у от Ь
меньше, чем Ь, то отклонение х + у щ от а + Ь меньше,
чем 28.
Доказательство. Имеем:
\(х + у)-(а + Ь)1-\(х — а) + (у-Ь)]<\*-а\ +
+ \у — Ь\<Ь + Ъ = 2Ъ.
Из доказанной теоремы вытекает с л ед с т в и е: если 8 < -£•,
то из неравенств \х —а\<Ъ и \у — Ь\<Ь следует неравенство
\(х + У)-(а + в)\<г.
Аналогичная теорема справедлива для умножения.
Теорема 3. Если отклонение х от а и у от Ь
меньше, чем 8, где 8 < 1, то отклонение ху от аЬ
меньше, чем 8 (| а \ + \ Ь \ + 1).
Доказательство. Имеем:
| Ху — а Ь | = | ху — ау + ау — аЬ | ±* 1 у (х — а) + а (у — b) | <
<М- \х—«1 + 1 «|- \V — b\< \У\- * + М- 8.
Но|у\ = |^— Ъ + Ъ\<\у — Ъ\ + |й|<8 + |*|< 1+| ЬI, поэтому
|*#-^|<(|&|+1).8+|а|.8~8(|а| + |&| + 1), "
Например, если \х—4|<0,01 и \у—5| < 0,01, то
1*0 —201< 0,01 (4 + 5+1) = 0,1.
Из этой теоремы вытекает следствие: ест 8<1
и * < |Д|[ м.Г&;|'-4~ 1 * то аз неравенств \х—а\ <8 a Ji/ — ft] < 8
следует неравенство
[ху — ab]<*«
Наконец, докажем, что при значениях л:, близких к а, где
аф09 значение — мало отличается от —.
х а
Теорема 4. Если 0 <S <J-—1 и отклонение х от а
меньше, чем 8, то отклонение — от — меньше,
чем -~2-.
Доказательство, Имеем: s
1 1 J U —el ^ ь
1—4
x a I
Далее,
\x\ = \a-{a-x)\^{a\-\a-x\>\a\-b>\a]-.±g- = ^L.
Значит, -^ < fa.
и

Таким образом,
i±_±i <_»__< _i_
2 28
\а\ **!&*
что и требовалось доказать.
Например, если взять а = 2 и 8 — 0,1, то получим, что
-§- = 0,05. Значит, если \х — 21<0,1, то
|±-|[<0,05.
Отметим два следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Если 8 < i|-i а 8<^, то из неравенства
\х — а \ < 8 вытекает неравенство
7-Т|<8- •
В самом деле, из теоремы 4 следует, что hr — — \<-~г*
а по условию 8 < ^. Значит,
4 1 I 25 Л 2
Следствие 2. Пусть а и b—действительные числа, при*
чем ЬфЪ. Для любого е > 0 найдется 8 > 0, такое, что из
неравенств \х — я|<8 и \у — Ъ\<Ь следует неравенство
Это получается из предыдущего следствия и из следствия
теоремы 3. ~
§ 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ЕГО СВОЙСТВА
1. Определение последовательности и
способы ее задания. Выше (см. § 1 п. 4) мы уже имели пример
последовательности и использовали термин «последовательность», не
дав ему, однако, точного определения. Мы построили для
данного положительного числа а последовательность его
десятичных приближений по недостатку
щ п,пг\ пупхп^л,пхпгпг\... \ п9пхп2п3 ... nk\ ... . (1)
Смысл этой записи состоит в том, что каждому натуральному
числу, выражающему номер шага в построении
последовательности (1), соответствует вполне определенное число —член по-
12

следовательности, десятичное приближение, полученное на
рассматриваемом шага
1 -*- п; 2 -*- /if/ii; 3 -*- п,пг п%\ 4 -*- п9ПхП%п3\... »
Определение 1. Числовую функцию, заданную на
множестве N натуральных чисел, называют числовой
последовательностью.
Иными словами, числовая последовательность есть
отображение множества N натуральных чисел во множество R
действительных чисел.
* Последовательность задана, если каждому натуральному
числу п поставлено-в соответствие число f(n). Это число
называют п-м членом последовательности. Обычно вместо /(я) пишут
аП9 а последовательность обозначают аъ а2, ... , ап, ... , или"(а„).
Приведем некоторые примеры числовых последовательностей:
последовательность всех нечетных натуральных чисел;
1, 3, 5, 7, ...,2л — 1, ... ;
последовательность всех квадратов натуральных чисел:
1, 4, 9, 16, 25,... \п\ ...;
последовательность всех простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... .
Наиболее важный для приложений способ задания
последовательностей состоит в том, что указывается правило, позволяющее
вычислить п-й член последовательности, если известны ее
предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по
этому правилу мы как бы Есе время возвращаемся назад,
смотрим, чему равны предыдущие члены. Поэтому" такой способ
задания называется рекуррентным'(от латинского, слова гесиг-
геге — возвращаться).
Обычно для рекуррентно заданных последовательностей
указывается формула, позволяющая выразить п-й член
последовательности через ее предыдущие члены. Примерами могут служить
равенства ,
ап *= Я/1-л + d, bn = Ьп_г • q, n « 2, 3, 4, ... ,
определяющие соответственно арифметическую и геометрическую
прогрессии. -
Задание рекуррентного соотношения ^(т. е. соотношения,
выражающего п-й член последовательности через предыдущие) еще
не определяет последовательность полностью^ Дело в том, что
начальные члены последовательности нельзя вычислить по
рекуррентному соотношению. Поэтому несколько первых членов должны '
быть заданы. Например, для арифметической и геометрической
прогрессий можно задать произвольно первый член, после чего
рекуррентное соотношение an-=an_x+cl (соответственно b^=b^Ji • g)
определяет все остальные члены.
13

Рассмотрим важный пример рекуррентной последовательности*
, Пусть нужно извлечь квадратный корень из положительного
числа а. Возьмем какое-нибудь приближенное значение хх этого
корня по избытку. Так как при а^1 имеем а^Уа, а при
0<а<1 имеем l^j/a, то в качестве хх можно взять большее
из чисел а и 1, т. е. положить *1 = max(a, 1). Тогда ~—
приближенное значение корня по недостатку. Можно доказать,
что среднее арифметическое ^ \*i +—) этих приближений будет
более точным приближенным значением корня, чем хг и —.
Так как среднее арифметическое двух положительных чисел не
меньше их среднего геометрического, то х% = у (хх + Д-] ^
^ V хг • ~т- = Уа- Значит, х2—приближенное значение корня
г х1
по избытку. Тогда ~- приближенное значение корня по не-
достатку. Рассуждая, как и выше, находим более точное
приближение корня по избытку л'3 = ^(*2 +—). Вообще, если уже
найдено приближенное значение хп для Уа, то следующее
приближение выражается формулой
Xn+i--2\x» + 1~Г
Таким образом, здесь мы пришли к рекуррентной
последовательности xlf х2,... , хп, ... , где хг = max (а, 1),' агл+1 =
= у(д:л + —). Вычисляя, например, методом последовательных
приближений УЗ, получаем хг = 3, х2 = 2, х9 = 1,75, л:4» 1,732,
хъ^ 1,732, .... Каждый следующий шаг процесса приводит ко.
все более точным приближениям для У~3. Процесс
останавливают, когда разность между хп+1 и хп становится меньше, чем
требуемая точность вычислений. Например, если надо вычислить
УЗ с точностью 0,001, то достаточно взять пять приближений
и положить УЗ = 1,732.
Задание последовательности рекуррентным соотношением не
всегда удобно: для того чтобы найти, например, а1000, нужно
найти предыдущие 999" членов. Но может случиться, что нам
нужно только а1000 и не нужны предыдущие члены. Поэтому,
когда последовательность задана рекуррентным соотношением,
бывает полезно получить из него формулу для я-го члена.
Иногда это удается (например, для арифметической прогрессии:
Ял = 0i + d (п — 1), лля геометрической прогрессии: Ьп = Ьг • flrt~I),
14

а иногда —нет (например, для последовательности,
образующейся при извлечении квадратного корня методом
последовательных приближений).
Задание последовательности формулой для /г-го члена
называется аналитическим способом задания последовательности.
Имея аналитическое выражение для ал, можно найти любой
член последовательности (ап). Если, например, ап = —р, то
имеем; а1^^ф — —1, «2 = i-2i вТ' в»"1Г"""Т и т' д*
Таким образом, получаем: —l,yf —-g-, gjj, -щ ,
"7Г
Следует заметить, что различные аналитические выражения
могут определять одну и ту же последовательность. Например,
ал = /г2 и ап = n2 + smnn задают одну и ту же
последовательность 1, 4, 9, 16,, 25, 36, ... .
В качестве еще одного способа задания последовательности
укажем так называемое логическое задание последовательности:
указывается некоторый предикат, и в случае, когда он истинен,
берется одно значение, а когда ложен — другое.
Например
( я2,
2 если п четно,
если п нечетно.
Этим задана последовательность:
—1,4, —9,16, —25,36,.,. •
Иногда от логического задания можно перейти к
аналитическому. Так, рассмотренную выше последовательность можно
задать аналитическим выражением ап*=*(—1)п-я2. Но иногда
такой переход невозможен. Например, последовательность
#1» #2» • • • i &п> • • • » ГДе
/71,
если п — простое число,
если п — составное число,
нельзя задать одним аналитическим выражением.
Последовательности задаются не только аналитически или
рекуррентно, но и «словесно». Например, для последовательности
простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13,... или для
последовательности десятичных приближений по недостатку для }^2
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;...
нет ни аналитической формулы, ни рекуррентного соотношения.
В заключение настоящего пункта введем два понятия,
связанные с последовательностями, — они понадобятся нам в
дальнейшем.
16

Определение 2. Последовательность (яЛ) называется
ограниченной сверху, если существует число М, такое, что
ап<М для всех я* (это число М называется верхней границей
последовательности). Последовательность (ап) называется
ограниченной снизу, если существует число т, такое, что ап^т
для всех п (это число т называется нижней границей
последовательности). Наконец, последовательность (ап) называется огра-
ничейной, если она ограничена и снизу, и сверху.
Если последовательность ограничена сверху, то она имеет
бесконечное множество верхних границ. В самом деле, если М —
верхняя граница последовательности (ап), т. е. ап < М для всех п%
то любое число Р> М тоже будет верхней границей для (ап).
Аналогично у ограниченной снизу
последовательности—бесконечное множество нижних границ.
Рассмотрим примеры. Последовательность
о, z, 1, 0, — 1, —-*^> —о, • • •
ограничена сверху. Последовательность
1, 2, о, 4, 5, . .^
ограничена снизу. Последовательность
ill1 1
ограничена и сверху, и снизу, т. е. является ограниченной,
Если последовательность (ап) ограничена, то все ее члены
лежат на отрезке, концами которого служат какие-либо нижняя
и верхняя границы этой последовательности^апример, все члены
последовательности (—-Глежат на отрезке [0, 1].
Определение 3. Последовательность (ап) называется
возрастающей» если. ап<ан+1 для любого п, и убывающей, если
an^an+i для любого п.
Например, последовательность
1 L i. I n
I- 2 ' 3 • 4 • 5 ' ' •' » /Г+7» '*•
является возрастающей, а последовательность
^ " 1 1 1 1
— убывающей.
, Возрастающие ц убывающие последовательности называются
монотонными последовательностями.
2. Определение предела последовательности. Рассмотрим
рекуррентную последовательность
16

с которой мы познакомились в предыдущем пункте, вычисляя УЪ.
Выпишем несколько первых членов этой последовательности:
3;2; 1,75; 1,732 ... ; 1,732...;... .
Рассмотрим еще одну рекуррентно заданную последовательность
<?i =.—1 > #2 ^ 1» ап+2 в —2ая+1 — #/*.
Выпишем несколько ее первых членов: —1, 1, —1, 1,—1, 1,,., .
Поведение этих последовательностей различно: члены первой
последовательности по мере увеличения номера члена
приближаются, к определенному числу, а именно к J/3, тогда как члены
второй последовательности не стремятся ни к какому числу.
Говорят, что первая последовательность сходится к числу ]/3 или
что ]/3 — предел этой последовательности, а вторая
последовательность расходится.
Нам нужно уточнить, что означают слова «последовательность
сходится к числу а». Рассмотрим последовательность (-"тл) • Ее
* 12 3 4
начальными членами являются -г-» у, х > Т» ••••
Видно, что с возрастанием п эти числа приближаются к числу 1,
т. е. что последовательность сходится к Г. Если взять
отклонение членов этой последовательности от 1, то получим:
K-il-lHh-H-lsTrl-.-TT-'
- С возрастанием п это отклонение уменьшается и
приближается к нулю. Это значит, что для любого числа е>0, начиная
с некоторого -значения я0, выполняется неравенство --jrT<t
(именно достаточно взять п0 — Е/—|, где Е(х)~ целай часть х\ #
Но £-т-у = | ап—11. Значит, для любого е > 0 найдется номер
«о, начиная е которого имеем \ап— 11 < е. .
'3
Возьмем, например, £ = goo * РассмотРим аш и вычислим
отклонение этого члена последовательности (ап) от 1. Имеем:
la _/г-1155—11-A--J-<r 3
1"1бв ||— ж? 1\— 1R7 —кт^йпп-
167 | Д67; 501^500'
Значит, | аш — 11 < е. Поскольку Jам — 11 > J aw — 11 > -,:- •*
то для всех членов нашей последовательности t номерами п ^
^ 166 имеем ^ ;
K-l|<t.
17

Не всегда приближение последовательности к своему пределу
происходит столь «гладко», как в разобранном примере. Иногда
члены последовательности как бы «танцуют» около предела, то
приближаясь к нему, то удаляясь от него, Но во всех случаях,
когда последовательность (хп) стремится к числу а, отклонение
\хп— а\ ее членов от предела становится, начиная с некоторого
номера, меньше любого наперед заданного положительного
числа е. v
Введем следующее определение.
Определение 4. Последовательность (хп) сходится к числу
а, если для любого е > О- можно указать такое натуральное
число п0, что член последовательности с этим номером и все
следующие за ним отклоняются от числа а меньше, чем на. s.
Иными словами, из неравенства n ^ п0 следует неравенство
\хп — а|<е.
Число а в таком случае называют пределом
последовательности (хп) и пишут a*=limxn или хп-+а при/г-^оо.
П-*-оо
" Например, для рассмотренной выше последовательности ая=*
имеем lim —т-т = 1.
л + 1 „;> + !
Воспользуемся определением для доказательства того, что
1
lim-«- = 0.
Возьмем произвольное 6 > Q. Нам нужно найти номер п0,
начиная с которого отклонение членов рассматриваемой
последовательности от нуля меньше е, т. е. 1^ 0< е. Решим
последнее неравенство относительно п. Имеем:
\яг-*\<*'Ж<*> п2>4'п>^-
Положим По = Е (-j=\ + 1. Пусть п^>п0. Тогда
n>7\'n*>}t'W<*>\w- °|<e-
Если, например, ^««™, то п0 ■■ £(1^100) + 1 = 11. Значит,
начиная с одиннадцатого члена имеем ^—01 < удд •
Таким образом, для любого е>0 мы имеем способ
отыскания такого я0, что из неравенства п^п0 следует неравенство
I ' — о1<«» а это и означает, что lim-jr^O.
\п* I л-*»"-
Аналогично можно доказать, что lim— = 0.
П-+оо П
18

Характер приближения членов сходящейся последовательности
(хп) к пределу а может быть различным: последовательность
может сходиться к числу а либо возрастая, либс^ убывая, либо
колеблясь около числа а, либо то приближаясь, то удаляясь от
предела.
„ 12 3 п
Например, последовательность у, у, -т-,... , ;j-r~p» • • • в03"
3 4
растает и сходится к числу 1. Последовательность 2, у, у,
■j, ... , —— f .., убывает и сходится к числу 1. Члены последо-
,11 1 (~l)«-i л
вательности 1, —у, у, —-г-f ... , * , ... приближаются
к нулю, колеблясь около этого значения (в физике такой
случай встречается при затухающих колебаниях маятника;
отклонения маятника от положения равновесия имеют разные знаки
и с течением времени приближаются к нулю). А члены
последовательности (ап), где
/г-н
и2 + 1
если п четно,
если п нечетно,
к 1 12
то приближаются к пределу 1, то удаляются от него: у, у,
JL 1 ?? JL
10' 5 ' 26' 7 ' •••'
Наконец, члены последовательности
0 1 -I 1 i- 1 А 1
приближаются к 1, причем бесконечно много из них равны 1.
Разумеется, далеко не все последовательности имеют пределы.
Если последовательность не имеет предела, ее называют
расходящейся. Примерами расходящихся последовательностей могут
служить такие последовательности:
* 1, 4, 9, 16, 25, ... , я2, ....
1, -1, 1, -1, 1, -1, ....
3. Геометрический смысл понятия предела последовательности.
Члены последовательности (хп) можно-изобразить точками на
числовой прямой. Если п-й член последовательности удовлетворяет
неравенству \хп—а|<е, то это означает, что он принадлежит
е-окрестности точки а (рис. 6). Если же неравенство \хп — а|<е
выполняется для всех п^щ, то это означает, что член
последовательности с номером п0 и все идущие за ним находятся в
«выбранной е-окрестности точки а. Вне этой окрестности
располагается лишь конечное множество членов нашей
последовательности.
19

+
г Если некоторое свойство вы-
х^—"a L полняется для всех членов по-
а-е a+S следовательности, кроме, Может
быть, конечного числа членов,
Рис* в то будем говорить, что почти
вся последовательность
обладает рассматриваемым свойством. Например, почти все члены
последовательности—4, —3, —2,—1,0,1,2, ...положительны.
Теперь мы можем сфо]шулироватк геометрический смысл
понятия, предела последовательности. Число а является пределом
последовательности (хп)у если выполняется следующее условие:
какую бы окрестность точки а ни взять, почти вся
последовательность содержится в этой окрестности.
Отсюда ясно, что добавление или исключение конечного
множества членов последовательности не влияет на сходимость
последовательности и на значение ее предела.
4. Свойства пределов последовательностей. Остановимся на
некоторых свойствах пределов последовательностей. Доказательства
этих свойств, как мы увидим, легко получаются на основе
геометрической интерпретации понятия предела.
Г. Последовательность (хп) не может иметь двух различных
пределов.
Предположим, что последовательность (хп) имеет' пределы а
и Ь, причем, например, а<Ь.
Возьмем непересекающиеся окрестности точек а и & (рис. 7)
например, е-окрестности при е = -~—. Так как -а = lirn л:л и Ь ^
= Нтл;я, то в каждой из, выбранных окрестностей должны ле-
жать почти все члены последовательности (хп)9 чего не может
быть, так как окрестности не пересекаются. Значив наше
предположение неверно, и двух- различных пределов у одной
последовательности быть не может.
2°. Если последовательность. (хп) имеет своим пределом число
а и если число b бо&ьще. числа а, то почти все члены
последовательности меньше ft.
.' Возьмем окрестность точки а, не содержащую точку ft (рис. 8),
Так; как а = Jim xnt то почти вся последовательность содержится
}}-*■<»
в этбй окрестности точки а, т; е. находится левее ft, откуда и
следует доказываемое' утверждение.
Аналогично доказывается следующее свойство.
yww^ Y^^s/x »
Рис. 7 Рис. 8
20

3е. Если: последовательность имеет своим пределом число а
и если b меньше а, то почти все члены последовательности
больше Ь.
Из свойств 2° и 3° вытекает, в частности, что если
последовательность сходится к отрицательному пределу, то почти все члены
последовательности отрицательны, а если последовательность
сходится к положительному пределу, то. почти все члены
последовательности положительны.
Лемма. Пусть l\mxn~a, limyn*=b и г — произвольное по-
П-*- оо П-*- оо
ложительное число. Тогда существует такое число п0, что при
п^п0 выполняются одновременно два "неравенства \хп — а\<г
и \уп — Ь\<ь. ~
Доказательство. Так как limхп = а, то существует номер
— Л-*-оо
пг, начиная с которого, т. е. при n^nlt выполняется
неравенство \хп.— а|<е. Так^как, далее, lim #„==&, то существует но-
П-+оо
мер «2, такой, что при п^п2 выполняется неравенство
\Уп — ft | < е. Выберем из двух чисел пхип2 наибольшее и
обозначим его через п0. Тогда при п^щ будут выполняться
одновременно оба неравенства \хп — а|<е и \уп — ft|<e, что и
требовалось доказать. -
Эту лемму можно распространить на случай любого
конечного числа сходящихся последовательностей.
4°. Пусть даны три последовательности (xn)t (yn), (z„),
причем для любого натурального числа п выполняется неравенство
хп<Уп<*п- Если последовательности хп и гп сходятся к одному
и тому же пределу
limxn = lim гл = а,
- то и последовательность (уп) сходится к тому же пределу
\imyn = a.
Возьмем произвольную е-окрестность точки а. Из условия и
леммы следует, что, начиная с некоторого номера п0, все членк
последовательности (хп) и все члены последовательности (гп)
лежат в этой окрестности. Так как д:л < yn<zn> то, начиная с
этого номера я0, все члены последовательности (уп) также лежат
в s-окрестности точки а. Но это и означает, что \\туп=а.
Доказанное утверждение называюх в шутку теоремой о сходимости «под
конвоем»: «конвоиры» (хп) и (гп) идут в «отделение» а, тогда и идущий между
ними «арестованный» (уп) естественно прибудет в то' же «отделение» а.
5°. Пусть Umxn =* а и \imyn = b и пусть для любого п спра*
Я-»- «• fl-ъ оо
ведливо неравенство хп^уп. Тогда выполняется* неравенство
а < Ь.
21

3itr lit г Предположим противное,
b УпУ -* хл e L что a> b, к выберем непе-
0 ресекающиеся окрестности
Рис. 9 точек а и ft {рис. 9). По
лемме найдется номер я0> такой,
у х х х что *"• С°Д€РЖИТ,СЯ в выбран-
i ?fM т**' т Г ?* t » ной окрестности точки a, a #„,
Л? ' " J а L м ~~ в окресгности точки Ь. Но
а~£ а*£ *я, > уп9 противоречит
условие 10 вию. . Наше предположение
неверно, значит, а < Ь.
Доказанное утверждение называют обычно теоремой о
предельном переходе в неравенстве. Заметим, что предельный
переход справедлив только для нестрогих неравенств: из хп < уП9
вообще говоря, не следует, что \imxn < lim yn.
П-юо П-юо
Рассмотрим для примера две последовательности: #„==——
и Уп — —. Ясно, что хп < */„, но lim xn « lim*/„ « 0.
Следующие два свойства непосредственно вытекают из
теоремы о предельном переходе в неравенстве.
• 6°. Если все члены сходящейся последовательности
неотрицательны, то предел последовательности есть
неотрицательное число.
7°. Если все клены сходящейся последовательности
неположительны^ то предел последовательности есть
неположительное число.
Отметим еще одно свойство сходящихся последовательностей.
8°. Если последовательность сходится, то она ограничена.
В самом деле, пусть Птлгл=а. Возьмем произвольное число
П-+ оо
е > 0. Тогда почти вся последовательность (xn)^ содержится в
е-окрестности точки а, т. е. вне этой окрестности на^рдится лишь
конечное число членов последовательности: хПо хПг, ... , xn'k
(рис. 10). Если теперь взять число М больше, чем любое число
из конечного множества {хПх, хПгУ ... , хч, а + &), то окажется,
что хп< М для всех т Значит, последовательность (хп)
ограничена сверху. Аналогично устанавливается ограниченность
последовательности снизу. Свойство доказано.
§ 8. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ НАД ПРЕДЕЛАМИ
i _
Выше мы доказали для некоторых
последовательностей, что данное число а является их пределом.
Каждое такое доказательство сводилось к тому, что для выбранного
22

произвольного е>0 отыскивался номер л0, такой, что /г>п0=Ф
ш*\хп—а|<е. Но в большинстве случаев отыскание п0 по
заданному значению е приводит к серьезным техническим труднос-
27 3200
тям. Возьмем, например, последовательность хп = 6 + -3 + -^- •
27 3200
Ясно, что при п -* оо слагаемые ^ и -^ уменьшаются,
становятся сколь угодно малыми, а потому предел этой
последовательности равен 6. В то же время найти значение я0, начиная
с которого выполняется неравенство хп — 6(<е, не так просто.
В самом деле, решая это неравенство, последовательно получаем:
К —6|<е, 16+^3+-^- — 6|<е,
S + ?T<S> e/z5-27/z2-3200>0,
т. е. задача свелась к решению неравенства пятой степени.
Следует, однако, заметить, что отыскивать первое значение
п0, начиная с которого выполняется неравенство \хп — а|<е,
в большинстве случаев совершенно излишне. Нам надо найти
хотя бы одно такое п0$ а будет оно наилучшим или нет — дело
третьестепенное. Такая постановка вопроса во многих случаях
облегчает решение. Вернемся к заданной выше последователь-
27
ности и положим для примера е = 0,002. Решая неравенства -д- <
3200 /
< 0,001 и-^-< 0,001, получаем, что, начиная с п = 31,
выполняется первое неравенство, а начиная с п = 21 — второе.
Поэтому при п ^31 выполняются оба эти неравенства. Тогда
|+^< 0,001+0,001 < 0,002,
т. е. | хп — 61 < 0,002. Более точный подсчет показывает, что
последнее неравенство выполняется, начиная уже с п0 = 25, но
это, как мы говорили, несущественно.
Но даже такой упрощенный подсчет значения п0 иногда
бывает слишком громоздким. Поэтому надо создать аппарат,
позволяющий более или менее автоматически вычислять пределы.
Этот аппарат основан на теоремах, которые будут
сформулированы и доказаны ниже. В доказательствах мы будем
использовать лемму из предыдущего параграфа.
Теорема 1. Если Нтлгл = а и \\туп = Ь, то
Ит(хп+Уп) = а + Ь.
П-+ ее
Эту теорему кратко формулируют так: предел суммы
равен сумме пределов.
23

Доказательство. Возьмем произвольное е >()♦ По лемме
найдется таксе я0» что ПРИ n^nQ выполняются одновременно
два неравенства \хп — а\<~ и | уп — b | < £ . Тогда | {хп +
+ Уп) — (а + Ь)\ <е (см. § 1, следствие из теоремы 2). Итак,
мы доказали, что л-> п0 *+\(хп + уп) — (а + b) | < е. А это и
означает, что lim (лг„ + уп) = а + 6. -
, Теорема 2. Zfc/ш Нтлг„ = а а Ит^ — й, то
\\тхпуп = аЪ.
П-юо
Эту теорему кратко" формулируют так: предел
произведения равен произведению пределов.
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. По
доказанному в § 1 следствию из теоремы 3 найдется такое 8>0,
что из неравенств \хп — а\'<Ь и \уп — Ь\<Ъ следует
неравенство \хпуп — аЬ | < е. По лемме найдется такое п0> что гтри п^п0
выполняются одновременно два неравенства \хп — а | < 8 и
\Уп — ^i<S, а значит, и неравенство |хпуп — ab\<e.
-Итак, мы доказали, что п^п0=£\хпуп— ab\<e. А это и
означает, что \\mxnyn~ab.
12-4-00
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за
знак предела: \\тсхп = с\\тхп.
Это вытекает из того, что предел постоянной
последовательности (с, с, ... , с; ...) равен значению этой постоянной.
- Теорема 2 распространяется на случай произведения любого
конечного числа сходящихся последовательностей. В частности,
для сходящейся последовательности (хп) имеет место равенство
^ - lim(Agft = (lim*„)*,
т. е. предел степени равен степени предела.
Т е о рема 3. Пусть limxn = а и Нту„ = Ь, причем ЬфО.
Тогда
Иными словами, если предел знаменателя отличен от нуля,
то предел частного равен частному пределов.
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. По
полученному в § 1 следствию 2 из теоремы 4 найдется такое 8 > О,
что из неравенств \хп — а|<8 и |#я— #|<8 следует неравен-
24

CTB0 \*и— -£■ < е. По лемме найдется такое п09 что при п^п0
выполняются одновременно два неравенства |л:я — а|<8 и \уп —
ft|<8, а значит, и неравенство — — ^ <е. Итак, мы
доказали, что п^п0*=> ~~тг <е- А это и означает, чтоНт^=«
\Уп о \ ПЧг00 уп
а
Теорема 4. Пусть все члены последовательности
(хп) неотрицательны и пусть llmxn^a. Тогда после-
довательность уп*=Ухп тоже сходится, причем
Urn Vxn = Va.
П-*-ео
Иными словами* предел квадратного корня равен корню из
предела. , -
Доказательство. Так как по условию все члены после-'
довательности (хп) неотрицательны, то и предел
последовательности — неотрицательное число, я^О (см. свойство 6*, § 2).
Пусть для начала а = 0, т. е. litnxn = 0. Возьмем произвольное
число е >0. Тогда найдется такое п0, что прип^п0 выполняется
неравенство \хп — 0|<е2, т. е. хп<г2. Но тогда ]/"#^<е, т. е.
\Vxn-0\<*. _
Итак, мы доказали, что я>п0=*|У"хп — 0|< е. А' это
означает, что lim |/*я = 0, т. е. в рассматриваемом случае lim ")/"*"»
«-♦-ею П-*-оо s
~V~a. . v
Пусть теперь а > 0. Возьмем произвольное число в > 0. Тогда
найдется номер п0, такой, что при п^п0 выполняется
неравенство | хп — а | < е У а. Рассмотрим теперь выражение | Vx~n — УЪ\
и выполним некоторые преобразования. Имеем:
\VrT-—Vrn\ — 1 *п-a I — \Xn — a\ ^.\Xn-a\ ^*V*^_
|K n ка|""|угй+/зг/й+/г< /5 ^уТ^*:
Итак, \\Гхп — Va\< е ПРИ я > я0, а это и означает, что
\\mYxn~Y~a. Теорема доказана.
Я-»-«г ♦ . '
Рассмотрим примеры применения теорем об арифметических
операциях над пределами последовательностей для вычисления
Пределов.
Пример 1. Вычислим Ига 2д,^3/Т ? .
25

Решение, Разделим почленно и числитель, и знаменатель
л-гоадена заданной последовательности на я2. Получим:
ni —5/t + 4 l n T/
-*'--(i)+4tf
-4+а »-• Ш+'Ш'
Так как lim— = 0, то, воспользовавшись теоремами 1, 2 и 3,
получим:
1_5./iU4.fl\a
1 - 5 - О + 4 О2 - J_
1 ^7 /цт 1\? 2-3.-0 + 7.0?^ 2*
Итак,
2 — 3* lim-1+7- /lim -iV
П-*ео fl \Я-юо Л /
ns _ 5/г + 4
1™ М-Ы+1- 2 *
Пример 2* Вычислим lim (]/ 2я2 + Зп — У 2п2 + п).
Решение. Выполним некоторые преобразования /г-ro члена
заданной последовательности:
V2n2 + 3n — V2n2+n~ .
_ (/2п2 4- Зк ~ У^п2 + п) (У2п* +3п + / 2п2 + п) _«
V№+3n+V2n* + n
« (/^2 + Зя)* - (УЖ 4- /г)? в ' 2/г ^ -
8=1 /2/г2 + 3/г + /2д2+п V^n* + 3n + /2п2 +n
2 2
"/Етлг /sy+a 1/2"7ГТ+1/Г2+1#
л ' п V п V п
Так как lim 1 - 0, то lim (2 + 3 • 1) - 2 и НпфЧ-т'Н2-
Воспользовавшись теоремой 4, заключаем, что lim 1/2 + 3 •
_ Л-*-*о V
= 1^2 и lim l/*2 +1 -1/5. Тогда
v 2 2 v_/2
Итак,
lim (l/2n2 + 3n — У2п2 + п) = ¥^.
i

§ 4. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ПРЕДЕЛА
1. Предел рекуррентно заданной
последовательности. Обратимся снова к уже знакомой нам
рекуррентной последовательности (хп), где хх = max (а, 1), хп+\ = ~(хп +
-f~) (см. § 2). Предположим, что эта последовательность имеет
Хп/~
предел \\тхп = Ь, и вычислим значение этого предела.
Так как значение предела не зависит от добавления или
отбрасывания конечного числа членов последовательности, то
Нтл:л+1 также равен Ь. Перейдем в равенстве
Л-»-«е.
к пределу при п-*-оо. Получим: ""
lim xa+1 = Tlimxn +
п+1^ *n"l n^~ 2Ншхя»
П-юо
т. е. Ь = -к- Ь + -sr1 откуда находим 6 = ]/"а. Итак, lim *„ = J/а".
* г0 rt-юо
Указанный прием вычисления предела рекуррентно
'заданной последовательности носит условный характер — он основан
на предположении, что \\тхп существует.' Иногда этот прием
П-*- оо
приводит к неверным результатам. Пусть, например,
последовательность (уп) задана следующим образом: ух,=4, уп+г = %Уп-
Предположим, как и выше, что существует предел
последовательности iim yn = b. -Тогда \\туп+1 = 2\\туп, т. е. 6 = 26, от-
куда находим Ь = 0. Но быйо бы ошибкой считать, что и на
самом деле lim уп = 0. Чтобы- убедиться в ошибочности этого
утверждения, достаточно выписать несколько первых членов
последовательности
4, 8, 16, 32, ....
Ясно, что эта последовательность не имеет конечного предела.
Про нее можно сказать, что она «стремится к бесконечности»,
уп -*■ оо.
* Чтобы вычислять пределы рекуррентно заданных последователь-
костей,~надо уметь сначала доказать, что искомые пределы
существуют. Это оказывается необходимым и в случае, когда какое-то число
определяется как предел * некоторой последовательности. Здесь
надо сначала убедиться, что этот предел существует, иначе
определение окажется лишенным смысла. Поэтому нам нужны
27

Рис. 11
х1 х2 _ Хп хп^ * признаки, позволяющие уста-
ш I и1 i°i°i Г» новить, что данная последова-
c:g °^ cJ:g тельность имеет предел. Два
таких признака будут
изложены ни&е.
2. Теоремы о пределе
монотонной последовательности.
Выше, в § 2, была доказана ограниченность всякой сходящейся
последовательности. Но не всякая ограниченная последовательность
имеет предел. Например, не имеет предела ограниченная
последовательность
О, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, .... ^
Добавочным условием, обеспечивающим существование
предела, является монотонность последовательности. Например,
последовательность *
1 2 3 4 п
Т> Т» Т' Tf."'f п + 1' •••
ограничена и возрастает. Эта последовательность сходился
lim^-^-Tail. Последовательность , г
1 ± 1 l \ '
* 2 г 3 ' ~4 • §" *Т* "•
ограничена и убывает. Эта последовательность также сходится
Нт-«0. -
Теорема. 1 Если последовательность (хп)
возрастает и ограничена сверху, то она сходится.
Доказательства. Пусть А — множество членов
последовательности (лгл), а В— множество ее верхних границ. Тогда А
лежит левее 5, а значит, существует хотя бы одно число с,
разделяющее множества А и 5. Возьмем произвольное число
е >0 и рассмотрим е-окрестность точки с (рис. 11). Число с — е
уже не будет верхней границей для последовательности (хп) (иначе
оно лежало бы правее разделяющей точки с). Значит, найдется
член последовательности хПо,такой, что xrh>c — е. По условию
. последовательность (хп) возрастает. Значит, при п > п0 имеем
хп>хп0>с — е. Таким образом, начиная с номера п0, вся
последовательность (хп) попадает в е-окрестность точки с (точнее, в
ее левую полуокрестность), а это и означает, что lim хп~ с.
Теорема доказана. Пт¥т^
В формулировке теоремы мы потребовали только
ограниченности последовательности сверху, а не ограниченности в целом.
Дело в том, что возрастающая последовательность всегда
ограничена снизу (например, своим первым членом). -
28 -
i

Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Если последовательность ^убьщает и
ограничена снизу, то она сходится.
В этом случае пределом последовательности будет число,
разделяющее множество членов последовательности и множество
ее верхних границ.
Примеры.
1. Пусть а>0 — действительное число и
(хп)'—последовательность его десятичных приближений по недостатку. Эта
последовательность возрастает (для любого п имеем хп < хп+1) и
ограничена сверху (например, самим числом а). Значит,
существует \\тхп. -Этот предел равен числу а, поскольку разность
Or—xn не превышает -^ и может быть сделана сколь угодно
малой. Точно так же доказывается, что предел убывающей
последовательности десятичных приближений числа а по избытку
равен д. Аналогичные результаты справедливы для
отрицательных действительных чисел. Итак, любое действительное число
является пределом последовательностей своих десятичных
приближений по недостатку и по избытку. , /
2. Пусть Sn— площадь правильного 2п+х-угольника,
вписанного в окружность радиуса R. Докажем, что последовательность
(Sn) имеет предел. Из рисунка 12 видно, что при удвоении
числа сторон площадь многоугольника увеличивается
(добавляется 2Л+1 треугольников). Поэтому последовательность
(5Л)^возрастает. Все члены этой последовательности не превышают числа.
4/?2 — площади описанного квадрата. Значит, (5Л) ограничена
сверху. По теореме 1 последовательное^ (Sn) имеет предел* онр равен
площади круга. ; : \и > пч
.3* Докажем, что если 0 < q < 1, то lirriqn=±0.
Рассмотрим последовательность q, q2, g3, ..., qnf .«.. Она
является, убывающей (q> qu > q* > • • > qn > • • •) и ограниченной
снизу (например, нулем)* Значит, существует предел lim qn?=a.
Так как qP+1 ~q * qn, то
а = lim qn+1 = q • lim qn ~ q • a.
Итак, a~qaf откуда, поскольку д'Ф-19
находим а = 0.
Заметим, что если —1<<7<0, то
0<|д|<1, а потому lim\q\n *=0. Но
тогда lim (f = 0.
Таким образом, если -*- 1 <q< 1, то
Umqn= 0. п in
n-^ро Рис. 12
29

Если же 1^1 > 1» то последовательность ^Л> расходится. В
самом деле, если бы она сходилась и имела своим пределом число Ь,
1\тдп — Ь, то опять выполнялось бы равенство b = gb, т. е. 6=0.
А это невозможно," поскольку при \ д \ > 1 члены
последовательности (cf1) с увеличением номера п отклоняются от нуля все
дальше и дальше.
4. Последовательность (хп) задается рекуррентным
соотношением лгл44 = 1/2 + хп% хх = 1^2. Докажем, что она имеет предел,
и вычислим его.
Покажем с помощью метода математической индукции, что
при любом п выполняется неравенство л:Л<2.
По условию хх = Y%< 2. Пусть уже доказано, что хк < 2.
Тогда имеем: xk+1 = ]/2 + xk < "J/2+ 2 = 2. Итак, неравенство •
хп < 2 верно при м = 1, и из его истинности для п = & следует
истинность неравенства и для /i = & + L Значит, оно верно для
любого п. Таким образом* наша последовательность (хп)
ограничена сверху.
Покажем теперь, что (xj — возрастающая
последовательность. Так как лгя<2, то имеем:
Мы получили, что #n+i >-£**> а это и означает» что (хп)—воз-
растакщая последовательность.
Итак, (Jtj — возрастающая ограниченная сверху
последовательность. Значит, она имеет предел, который мы обозначим
через а* ШпяЛ = а. Найдем значение предела.
»-► ее
Имеем последовательно:
Хп-Н ~ К 2+^л) %п+1 = 2 + Хп9
Iim *£fi = 2 + limxn , а*» 2+в,
а2—« — 2 = 0,
ах = 2, а2 = —К
Поскольку а„>0, то НтаЛ>0* a потому из найденных двух
решений выбираем ах = 2. Итак, lim#rt = 2.
Я-*-ее
Заметим,чтоat~V2, а2« /г +1^2, а3=/г +y'2 + Vff....
Поэтому равенство lim*rt = 2 можно записать в следующем
виде: п""°°
/2 + V2 + VT+==^ = 2.
80

5. Вернемся еще раз к рекуррентной последовательности (#„),
где
лг^пшф, 1), *я+1--ггя + £)' 0)
В начале параграфа мы показали,- что если эта последователь-
* ность имеет предел, то он равен У а. Докажем теперь, что этот
предел существует.
Так как -^- и хп— приближения к Уа по недостатку и по
избытку, то хпФ —, и потому их среднее арифметическое
Xfi
больше среднего геометрического. Поэтому для любого п имеем:
Это означает, что последовательность {#J ограничена внизу
и У а—одна из ее нижних границ.
Далее, для любого п имеем:
1/ . а\ а — %%
Так как лп > У а, то а — х% < 0, и потому хп+1 < xnt а это
означает, что последовательность (хп) убывает.
Итак, мы доказали, что последовательность (хп) ограничена
снизу и убывает. По теореме 2 она имеет предел, а тогда мы
уже можем сказать, что он равен У а.
Выше мы отмечали, что на соотношении (1) основан -метод
приближенного вычисления квадратных корней — метод
последовательных приближений. Только что доказанное равенство
lim хп^Уа убеждает нас в корректности этого метода.
3. Теорема о стягивающейся системе отрезков. Признаки
существования предела последовательности, доказанные в
предыдущем пункте, не всегда удобны для использования на практике,
поскольку с их помощью, как правило, нельзя оценить, насколько
данный член последовательности отличается от предела. Более
удобным с этой точки зрения является признак, который мы
обсудим в этом пункте.
Пусть дана последовательность отрезков
[alf bt]t [щ, 62], ... t [ат Ьп), ...,
такая, что каждый отрезок содержится в предыдущем. И пусть
последовательность длин этих отрезков стремится к нулю.
Геометрические соображения (рис% 13) наталкивают нас на мысль,
что в таком случае существует точка с, общая всем отрезкам,
причем только одна. Последовательность левых концов отрез-
81

. E [ [ [[*]] 1 -]: 1——*■•
Рис. 13
ков стягивается к этой точке/и последовательность-правых
концов отрезков стягивается к этой точке, а потому
рассматриваемую последовательность отрезков обычно называют (Лпяеиваю-
щейся. Отмеченный результат формулируется в виде следующей
теоремы, которая называется теоремой о стягивающейся системе
отрезков.
Теорема 3. Пусть последовательность (ап)
возрастает, последовательность (Ьп) убывает, причем
для любого п имеем ап < Ьп. И пусть \\гп(Ьп — ап) = 0.
Тогда обе последовательности (ап) и (Ьп) сходятся,
примем lim ап *= lim bn.
/г-*- оо п-+ оо
Доказательство. Пусть А — множество членов
последовательности (аЛ), В — множество членов последовательности (Ьп).
Из условия ап<Ьп следует, что А лежит левее В (см. рис. 13).
Тогда существует хотя бы одно число'с, разделяющее множества
А и В.
Возьмем, произвольное число е >0 и рассмотрим в
-окрестность точки ег, Так как по условию lim (&я — ап) = 0, то най-
П-¥СО
дется такой номер п0, что отрезок [яЛо, ЬПо] и все следующие за
ним попадут в _эту окрестность (рис. 14). Таким образом, при
м>л0 все члены последовательности (ап) содержатся в
е-окрестности точки с и все члены последовательности (Ьп)
содержится в е-окрестности точки с. Это означает, что liman = £
rt-+o»
и lim bn я с. Теорема доказана.
/ /1-4-00 .".,■-.-
Пример. Пусть дана окружность радиуса R и пусть (рп)
и (Рп) — последовательности периметров вписанных неописанных
правильных Я"*1-угольников. Эти последовательности
удовлетворяют условиям теоремы 3, а потому имеют общий предел.
Этот предел равен длине окружности.
§ б. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1. Вводные замечания. Возьмем отре&ок
[0,1] и разобьем его пополам. Правую половину отрезка, т. е. отрезок
у, lit снова разобьем пополам. Затем разобьем пополам правую
половину отрезка у, 1 , т. е. отрезок Up, 1 , и т. д. Продолжая
32

] ■ [[[[„]]■]] [• ♦ 1 i svy
C-£ -аП0 ЬПо c+& - 2 4 H6
Рис. 14 Рис. 15
этот процесс до бесконечности, получим разбиение отрезка чна
бесконечное множество отрезков 0, т»Т»Т» IT» ТГ » • ■ •
(рис. 15). Естественно считать, что «сумма» длин всех отрезков,
на которые разбит'отрезок [0, 1], раЪна длине разбиваемого
отрезка, т. е. единице. Иными словами, естественно считать
верным следующее «равенство»:
4 + T + T+"-+jT+v- = l. ,. (1).
В левой части «равенства» (1) стоит «сумма бесконечного
множества слагаемых». Кавычки здесь использованы потому, что
такое выражение нельзя понимать бумвально. Речь идет не об
обычной сумме (сумме конечного числа слагаемых), а о чем-то
таком, что еще нужно правильно понять и истолковать. По этой
же причине здесь мы не можем безоговорочно пользоваться
свойствами конечных сумм (коммутативность, ассоциативность
и т. д.). Более того, некритическое применение этих свойств
может привести к неверным результатам.
Пусть, например,
5s=1— Т + У-Т + Т — 6",+ У ~ Т "£Т-~г",:* Ф
Тогда
51 l л- l l j. * !"1 - /q\
• "2 "1— Т+б" — 8" + То —15+/''" I3'
В правой части равенства (2) произведем перестановку
слагаемых (считая, что это возможно и что сумма от такой
перестановки не изменится). Получим: ' -
-M+(W)+M+---
2"~ 4 **" б"-""?"*" 10 ~ 12 + ''' *
2."' 8809
33

Сопоставляя полученный результат с равенством (3), приходим
S
к выводу, что S = -£-, откуда находим S=«0.
Но, с другой стороны,
• .4'-±)+(i-T)+(W)+-">'-4-f
Значит, оперируя с «бесконечными суммами» по правилам,
доказанным лишь для конечных сумм, мы пришли к неверному ре-
1
зультату: 0>-<г*
Сказанное выше подводит нас к естественному вопросу:
какой смысл имеет понятие суммы для бесконечного множества
слагаемых? На этот вопрос мы ответим в следующем пункте.
2. Основные понятия, связанные с числовыми рядами. Пусть
дана числовая последовательность alf а2, а3, ..., ап, ....
Выражение
%+^2 + ^sH +яя+*-- (4)
называется числовым рядом, элементы последовательности (ап) —
членами ряда, а тг-й член последовательности (ап) — общим
членом ряда.
Пусть, например, дана последовательность (aj с п-ы членом
ап «в — . Тогда аг =* 1, а2 = -j, а3 = у, ... , а соответствующий
ряд (он называется гармоническим) имеет вид
■1+Т+Т+--+7Г + -- <5>
ее
Ряд с общим числом ап записывается кратко в виде ^ап
(читается: сумма ап по п от 1 до оо); Например, гармонический
ряд можно записать в виде /_, —.
««1
Несущественно, какой номер приписывается первому по
порядку члену ряда. В частности, иногда удобно» начинать
нумерацию членов ряда с нуля. Тогда ряд (4) принимает вид:
во
Яо + % + «2 + '/* + #п + • • • или Л ап.
««о
Определим теперь понятие суммы ряда. Сначала вновь
обратимся к интуитивно полученному нами выше равенству (1). При
первом делении пополам' отрезка [0, 1] мы взяли отрезок
О, yl его длина S± равна у. На втором шаге к этому
34

отрезку мы добавили отрезок jy, -jj, его длина равна -^-.
В итоге из двух отрезков 10, т| и IT» Т составился от-
Г 31 3 11
резок О, -j , его длина 52 равна -^, 5а « -j + -j-. На третьем
шаге к первым двум отрезкам добавился отрезок ~ -g-L
в итоге из трех отрезков получился отрезок |0, -g-l, его длина
о 7 с 1 . 1 , 1
S3 равна -8-»53 = y + T+g-.
Вообще на п-и шаге п отрезков составят отрезок длины Snf
где ^
°» 2 ^ 4 ^ 8 ^ ^ 2я \
Ясно, что, чем больше п, тем ближе S„ подходит к единице —
к длине отрезка [0, 1], т. е. IimSrt=l. Именно такой смысл
П-+оо
мы, видимо, и должны вложить в равенство (1).
Пусть теперь дан произвольный числовой ряд (4). Сама
запись (4) наводит на мысль о необходимости последовательного
вычисления конечных сумм:
$1 = #1» $2 = #1 + «2» S3 = #! + #2 + #3> - • t
Sn = a1 + a2+.-. +an, ... .
Эти суммы называют частичными, они образуют
последовательность Slf 52, S3, ... , Sn Последовательность частичных
сумм задается .рекуррентно:
S1^al9 Sn = S„_i + ап. (6)
Если последовательность (Sn) сходится к какому-нибудь числу 5,
limS„ = S, то говорят, что ряд сходится, а число «S называют
суммой ряда. , Если последовательность (SJ не имеет предела,
то говорят, что ряд расходится.
00
Заметим, что если ряд Л ап сходится и имеет сумму S, то
из рекуррентного соотношения (6) получаем
lim Sn = lira Snmml -f- lim ant
П-+ 00 ft-*- «в г П-* 00
т. e. S = S-Hima„, а потому Нтал = 0. Тем самым доказана
ft-*- во ft-*- оо
следующая теорема (необходимый признак сходимости ряда).
00
Теорема 1. Если ряд 2 в* сходится, то его общий
член стремится к нулю, Пт ап = 0.
2* 35

Примеры.
1. Пусть дана геометрическая прогрессия a, aq> nq*,...t
a<f9 ..., где афд, |<?|<1 (такая прогрессия называется
бесконечно убывающей). Рассмотрим^ряд a + aq + aq%.+ aqB + ■ • ■ +
+ aqn+... (ряд геометрической прогрессии). По формуле суммы
п членов геометрической прогрессии имеем:
Sn = a + aq + aq* + •• • +aqn ~a{\zf* •
Поэтому
HmSn^ « ]im(l_9«)= ° _ « Нт«Д
i-<7„;.v v/ i-я i-q
П-+00
Выше (с. 29) мы видели, что lim^rt = 0, если \q\ <1. Значит,
lim Sn = у-^~ - Таким образом, если | q | < 1,* ряд сходится и сум-
мой ряда (суммой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии) служит число YZTJ' ^
Если же |<7| > 1, то последовательность (Sn)f а с нею и ряд
2 ж/1 расходится. То же будет и в случае \q\ *= I.
««о
2. Пусть дан ряд 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + ... .ч Для этого ряда
имеем: Si=l, S2 = 0, S3=l, S4»0, .... Эта
последовательность не имеет предела, значит, ряд расходится.
3. Докажем, что гармонический ряд (5) расходится.
Рассмотрим частичную сумму этого ряда с номером я = 2*:
. Имеем^
s,-i + i-b({+i.) + (^ + i- + |+i) + ..,
• • • 4-12**1 + 1 "t" 2*-*+2 "^ " ' "^~ "2*")'
«г Д^1 1.1,1.11
-Таккак т>т,то T + -j>T + T—j.
Точно так же | + i + | + j> | + | + -у + Т =4-
Аналогично получаем, что
* . . 1 - , , 1 "1
2*-i + 1 "г 2*-»+ 2 "*" "!" "*" "2*" ^ Т'
36

Значит,
5«~,+т+(т+т) + (т+т+т+4) + ;-' +
к слагаемых
Итац,
k
Т'
sn>\+-
Это означает, что последовательность (Sn) не ограничена сверху,
а потому она не может быть сходящейся. Таким образом,
гармонический ряд расходится.
4. Докажем, что ряд 2j n(n±lV СХ°ДИТСЯ-
В еамом деле, рассмотрим я-ю частичную сумму Sn и
выполним некоторые преобразования:
12^2-3^3-4^ ' п(п+\)
2—1 . 3--2 . 4-3 . , (г?+\) — п
\ 2 "*" 2- 3 ^ 3-4 ^ ^ /г(л + 1)
^4) + (b^)+(W)+ -+(:
п '
I Ц
ft n+lj
Так как limS„ = limfl — ттт) =" Ь то РЯД сходится.
3. Свойства сходящихся рядов. Так как сумма сходящегося
ряда есть не что иное, как предел последовательности
частичных сумм, то каждому свойству предела последовательности
соответствует некоторое свойство суммы ряда. Укажем эти
свойства:
а) числовой ряд не может иметь двух различных сумм. Это
вытекает из того, что последовательность не может иметь двух
различных пределов;
б) если рцд ах + а2 + а3Н + ап + ... сходится, то к той
же сумме сходится ряд, полученный из данного любой
расстановкой скобок, например:
(ах + а2) + (a3 + a4)-i + (а2к^г + a2k) + ...;
в) прибавление или отбрасывание конечного числа членов
не влияет на сходимость ряда (но может, конечно, изменить
сумму ряда); -
37

г) пусть ряды
<*1+а%-\ + 0« + • • • (7)
«
fti + »t+---+*!•+••• (8)
сходятся и их суммы равны соответственно $ и 3. Тогда а ряд
(fli + W + {&* + W +: • • • + (fl« + Ья) + • • •, (9)
полученный почленным сложением этих рядов, также сходится
и его сумма равна s + S.
В самом деле, обозначим частичные суммы ряда (7) через s„,
а частичные суммы ряда (8) через Sn: sn = ах + а2 Н— • +ап,
Sn = 61 + &2 + • • • + &л. Частичные суммы ряда (9) имеют вид:
(fli + h) + (а2 + b2) H + (а* +!&«) = (ах + аг Л h flu) +
Так как предел суммы двух сходящихся последовательностей
равен сумм-е их пределов, то лолучаем, что
lim(s„ + 5rt)-s + S.
П-*-оо
Аналогично доказывается следующее свойство:
д) если ряд аг +щ + • • • +ап сходится w его сумма равна s,
то сходится и ряд Аах + Аа2 + • • • + АаП1 причем его сумма
равна As. /
Последние два свойства можно записать в виде следующих
равенств, справедливых для сходящихся рядов:
2 ап+ S bn-- i(an + bn)i
n=l п—\ п=\
9Q СО
Е Аап = А 2 я*-
4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Существует довольно много приёмов, позволяющих
устанавливать сходимость или расходимость рядов. Все эти приемы
называются признаками сходимости. Например, сходимость рядов
можно установить по определению, составив последовательность
частичных сумм ряда и выяснив, имеет ли она предел. Но этот
наиболее естественный путь часто оказывается неудобным по
двум причинам: во-первых, из-за трудности явного вычисления
частичных сумм и тем более предела последовательности; во-
вторых, нередко при исследовании рядов значения частичных
сумм не представляет интереса и даже сумма ряда не важна,
а все исследования ведутся лишь ради установления самого
факта сходимости или расходимости ряда.

Ввиду сказанного оказываются полезными
приёме,Г-позволяющие устанавливать сходимость или расходимость ряда без
нахождения его суммы. Одним из таких признаков является
доказанный в п. 2 необходимый признак сходимости рядов. Из этого
признака следует, что если общий член ряда не стремится к нулю,
то ряд расходится. Для установления же факта сходимости этот
признак неприменим. Мы видели, например, что гармонический
во
ряд V — расходится, хотя его общий член стремится к нулю.
В настоящем пункте мы остановимся на некоторых
достаточных признаках сходимости рядов с неотрицательными; членами.
со
Теорема 2. Если члены ряда 2апнеотрицательны
и последовательность его частичных сумм
ограничена сверху, то ряд сходится.
Доказательство. Последовательность (Sn) частичных
сумм ряда возрастает и ограничена сверху. Значит, lim-S,* су-
оо ft-*- оо
ществуёт, т. е. ряд 2 ап сходится.
Теорема 3 (признак сравнения). Пусть даны два ряда
ОО 00
с неотрицательными членами 2 ап и 2 Ьп, причем
для любого п выполняется неравенство ап < Л*. Тогда
00 00
если ряд 2 Ьп сходится, то и ряд 2 ап сходится.
00
Доказательство. Пусть S — сумма ряда 2 Ъп. Рассмот-
во
рим последовательность (Sn) частичных сумм ряда 2 ап- Имеем:
Sn"=a1+a2-] + ап < Ьг + b2 Н— • + Ьп < S.
Значит, последовательность (5„) ограничена сверху числом S.
«о
Тогда по теореме 2 ряд 2 ап сходится.
п*>*1
оо
Следствие. Ес#и ряд 2 ап расходится и 'для любого п
я«1
©о
выполняется неравенство ап<i^ /ши ряд 2 Ьп расходится.
оо •
В самом деле, если бы ряд 2 Ьп сходился, то по теореме 3
оо
должен сходиться н ряд 2 а*> что противоречит условию.-
В9

Пример I. Докажем, что ряд 2j ^ сходится.
Решение. Имеем:
1-1 1^1 1^1 1 ^ 1
2? ^4-2' 32^2.3» 42^3.4' '*! > (/i-f-l)? ^ л (/г + 1)> ••• •
ое " '
Но ряд V (п ■ t; сходится (см. п. 2), значит, по признаку
«> ее
сравнения сходится и ряд V ^, а тем самым и £ -д.
се
Пример 2. Докажем, что ряд V -7= расходится.
Решение. Имеем: "
_L^l _L>± J_>± JL>1
Но гармонический ряд V — расходится, значит, по следствию
00
из теоремы 3 расходится и ряд V _-т=.
Г~1 У п
«о
Теорема 4 (признак Даламбера1). Пусть £ ап — чис-
ловой ряд с положительными членами и пусть
существует предел
Z) = lim^±.\
Тогда: если D<\, то ряд сходится, если D>\, то
ряд расходится, а если D = 1, то возможны как
сходимость, так и расходимость ряда*
Доказательство. Пусть D < 1. Возьмем е-окрестность
точки D, целиком лежащую внутри интервала ]0, 1[? (рис. 16).
Так как Hm—^D, то, начиная с некоторого номера л0, в<^
п-+оо ап _ -
1Даламбер Жан, (1717—1783) — французский математик и философ.
2 При D = О берем интервал }0, е[,
40

ю-е „ jd+6
Рис. 16 Рис. 17
л
отношения 2jj±! будут принадлежать этой окрестности, и мы
будем иметь 0 < ^~ < D + s < 1, п > п0.
Обозначим D + е через (7 и выпишем неравенства:
а ^ */' п ^ "' * ' " » л ^ У» • • • •
<Ч а«.-Н an0fk-l
Из них следует, что
%0+, < a„0<7, а^+2 < я„а+!? < ctnjf,
аЩф < an9+2q < CW73> ... , a„e+* < апДк, ....
Таким образом, члены ряда
аПо + а„0+1 + аПо+2 Н + 0ло+* + • • • (10) '
не превосходят Членов ряда
««. + <Ч<7 + <Ч<72 -I + <Ч0ЛН . (И)
Так как 0<д<1, то ряд (11) сходится (см. п. 2), а потому
сходится и ряд (10). Но заданный ряд отличается от_ ряда (10)
лишь конечным числом членов. Значит, и заданный ряд
сходится.
Теперь рассмотрим случай D>1. Возьмем такую
^-окрестность точки D, что D—е> 1 (рис. 17). С некоторого номера п0
все отношения ^^ попадут в указанную окрестность, т. е. бу-
дем иметь -2±L > D — s > 1, п > я0. Поэтому ап+{ > а„, значит,
ап
последовательность (ап) положительных чисел возрастает. Но
возрастающая последовательность положительных чисел не может
иметь своим пределом число нуль. Значит, неверно, что lima/2=0,
П-+ ее
а потому ряд 2 ап расходится.
Пусть теперь D«l. Тогда ряд может сходиться и
расходиться. Например, для сходящегося (см. с. 40) ряда
~ 1
V -2 имеем: D = lim ■ , '' = Hm { п, п2 = 1.
41

Для расходящегося гармонического ряда V — также имеем:
/2=1
1
п
Теорема доказана.
Пример. Докажем, что ряд
сходится при всех х > 0. i
Решение. Имеем: я„ = ^, an+i'=* , , n^. Составим
отношение 2s±i и выполним некоторые преобразования:
an+i _ (п + 1)1 _ п\ х __ у
ап ~~ *« </гН-1)«! лгН-1*
п\
Тогда
Так как 0< 1, то по признаку Даламбера ряд сходится. Сумму
ряда (12) при х = 1 обозначают е. Таким образом,
*-I + -n + sr + -"+]!r + --
Можно доказать, что число е иррациональное и что е =*
= 2,718 2818284590... .
5. Знакочередующиеся ряды. В п. 4 мы говорили о признаках
сходимости рядов с неотрицательными членами. Рассмотрим теперь
числовые ряды, члены которых могут быть как положительными,
так и отрицательными, — такие ряды называют знакопеременными.
Начнем с наиболее простого случая — со случая
знакочередующегося ряда, т. е. ряда вида
а1— a2+as-7-at + a6—ae + (-(— О"-1 я«+'--» (13)
где ап > 0 для любого п.
Теорема 5 (признак Лейбница1). Пусть дан
знакочередующийся ряд (13) и пусть выполнены два условия:
1) последовательность (ап) является убывающей,
т» е*
#i^а%^#з^ • • • ^ап^ • • •;
* Лёйбиид Готфрид Вильгельм (1646— 1716) — немецкий математик
и философ.
42

Рис, 18
2) lim an = 0.
Тогда ряд (13) сходится. ^
Доказательство. Рассмотрим лоследовательность (S«)
частичных сумм ряда (13) и отметим члены этой последовательности
точками числовой прямой^ Так как последовательность (ап)
убывает, а ряд (13) знакочередующийся, то члены последовательности
(Sn) расположатся на числовой прямой так, как показано на
рисунке 18. Мы получили последовательность отрезков
[О, SJ, [S2, S.b [S4, S6],
[5г«, S2/2+i],
в которой каждый отрезок содержится в предыдущем. Далее,
длина отрезка [S2«, S 2/1+11 равна а^+и а тогда из второго
условия теоремы следует, что длины отрезков стремятся к нулю.
Таким образом, мы получили стягивающуюся систему отрезков
(см. с. 32). Воспользовавшись теоремой о стягивающейся
системе отрезков, получаем, что
lim S2/1 = Пш S2/1+1 = S.
Этот предел S и будет суммой ряда (на рис. 18 это число
изображается точкой, юбщей всем отрезкам стягивающейся системы
отрезков).
Пример. Докажем, что ряд
1 2^3 4 ^
+
+ (-1)^ +
Решение.
• • (ряд Лейбница) сходится.
Имеем:
!>Т>¥>
>1>
Кроме того, lim~r = 0. Значит, по признаку Лейбница этот ряд
сходится.
6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Во многих
случаях вопрос о сходимости знакопеременного ряда сводится к
вопросу о сходимости ряда с положительными членами. Имеет
место следующая теорема.
43

Теорема 6. Пусть дан ряд
ах + а« + а3 Ч + ап Л (14)
-- с членами произвольного знака. Если сходится ряд
l*il + l*2|+R|+--+!*«!+• •, (15)
составленный из модулей членов ряда (14), то
сходится и заданный ряд (14).
Доказательство. Очевидно, что
0<ап + \ап\<2\ап\. (16)
По-условию \ап\ является общим членом сходящегося знакополо- -
жительного ряда (15). Тщ\да сходится и ряд с общим членом
2fOfi|. Воспользовавшись признаком сравнения
знакоположительных рядов, заключаем на основе неравенства (16), что сходится
ряд с общим членом ап + \вп\, т. е. ряд
(01 + \аг\) + (а% + \а21) + • •:. + (ап +\ап\) + ... . (17)
Но заданный ряд (14) является разностью двух сходящихся рядов
(17) и (15), а потому он сходится: Теорема доказана.
Пример. Исследуем на сходимость ряд *
1 — 2» — 3"2 "Г 42 "Г уа "Т- "^ — •/ *
(далее —четыре минуса, пять плюсов, шесть минусов и т.д.).
Решение. Составим ряд. из модулей -членов данного ряда.
Получим:
1 + 22+3* + —^;? + \"*
Этот ряд, как мы видели выше (с. 40), сходится. Значит, по
теореме- 6 сходится и заданный ряд.
Однако может случиться, что ряд, составленный из модулей
членов данного ряда, расходится, а заданный ряд сходится.
Например, ряд Лейбница
1-т+т-т + "" +(-1)rt-,! + ---
сходится (см. с. 43), а ряд
составленный из модулей его членов, расходится (это
гармонический ряд). Это замечание лежит в основе следующего опреде-
44

ления: ряд J]an g членами произвольного знака называется
абсолютно сходящимся, если сходится ряд 5) \ап\, составлен-
ный из модулей его членов; если же ряд JJ ап сходится, а ряд
ее «о .
5] \ап\ расходится, то ряд $] an называется условно сходя-
щимся.
Грубо говоря, различие между абсолютно и условно
сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно
сходящиеся ряды сходятся в сиглу того, что их члены быстро убывают,
а условно сходящиеся — в силу того, что положительные и
отрицательные слагаемые взаимно погашают^ друг друга.
Вопрос с сходимости, ряда с членами любого знака часто
удается решить с помощью признака Даламбера. Если существует
D = lim
то при D<1 ряд абсолютно сходится, поскольку тогда
сходится ряд
|eil + |fltl + ---+|fln|+-- .
Если же D> 1, то, как мы видели при доказательстве признака
Даламбера, lim|ая 1=^0. Но тогда и lima«=?fcO, а потому ряд
£ ап расходится. - v;
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно
отличаются друг от друга. Например, мы знаем, что ряд
условно сходится. В начале параграфа мы видели, что в
результате перестановки членов этого ряда можно получить ряд,
сумма которого вдвое меньше суммы исходного ряда. Это
показывает, что в условно сходящихся рядах нельзя переставлять
слагаемые. ~
Абсолютно же сходящиеся ряды напоминают по своим сцой-
втвам конечные суммы. Для них, например, справедливо утвер*
м
ждение, выражающее переместительное свойство: если ряд 2 ап
абсолютно сходится, то любой ряд, полученный из него
перестановкой членов, абсолютно сходится и сумма его равна
' сумме данного ряда.
45

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать так же,
как перемножаются многочлены. Именно, если.ряды
ax+a2+az-\ + ап Ч
и
абсолютно сходятся, то абсолютно сходится и ряд
яА + (аА + афг) + (я А + «2*2 + «3*1) Ч Ь
+ (яА + афп-\ Л + я А) + • • • ,
причем его сумма равна произведению сумм заданных рядов.
Итак, абсолютно сходящиеся ряды близки по своим
свойствам к конечным суммам. Условно же сходящиеся ряды совсем
не похожи на конечные суммы. Во-первых, при перестановке
их членов сумма ряда может измениться. Более того, Риман1
доказал, что, переставляя _ члены условно сходящегося ряда,
можно получить любую наперед заданную сумму и даже
получить расходящийся ряд. Во-вторых, при умножении условно
сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.
* Риман Бернхардт (1826—1866) — немецкий математик.
\

a II НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
В ТОЧКЕ
1. Задача о площади квадрата. Как
известно, площадь квадрата выражается через его сторону а по
формуле S = a2. Поэтому, чтобы найти площадь S, достаточно
найти длину стороны квадрата и умножить полученное число
на себя. Однако измерения всегда имеют некоторую
погрешность. Поэтому число, полученное при измерении стороны
квадрата, как правило, отличается от точного значения длины
стороны. Чем точнее мы измерим сторону, тем точнее получим
значение площади.
Пусть, например, а = 3 см и потому 5 = 9^см2, Если сторона
измерена с точностью до 0,1 см, то получится число хг
лежащее в границах 2,9 < х < 3,1. Тогда 2,92<#2<3,12, т. е.
8,41 <S< 9,61. Отсюда видно, что вычисленное значение
площади отличается от истинного не более чем на 0,61 см2. Измерим
сторону квадрата точнее, сделав ошибку не более чем 0,01 см.
Тогда 2,99 < х < 3,01, и потому 2,992 < х2 < 3,012, т. е. 8,9401<
<S< 9,0601. Теперь уже погрешность измерения площади
не превышает 0,0601 см2. Ясно, что площадь квадрата можно
измерить сколь угодно точно — надо лишь с д:статочной
степенью точности измерить его сторону.
Ситуация, с которой мы встретились в этой задаче,
возникает на практике довольно часто. Во многих случаях необходимо
найти значение некоторой величины у, которую нельзя измерить
непосредственно. В этом случае прибегают к косвенным
измерениям. Измеряют другую величину лс, функцией от которой
является yt y=*f{x). Если х~ а, то y = f{a). Однако, поскольку
измерение имеет некоторую погрешность, мы получаем на самом
деле не значение а, а другое, более или менее близкое к нему
значение х. Во многих случаях у так зависит от х% что при
малом изменении х мало меняется у. Поэтому, если а
достаточно хорошо измерено, т. е. х близко к a, f(x) достаточно
близко к /(а). .
2. Непрерывные и разрывные процессы. Пусть над столом
висит на нитке груз {рис. 19). Под действием этого груза нить
4?

t
J—_ ^
Щ - m
Рис. 19 Рис. 20 „ .
растягивается, т.* е. расстояние / груза (мы считаем его
материальной точкой) от его первоначального положения А является
функцией массы груза m:/ = /(m), m>0.
Если немного изменить массу груза, то расстояние /
изменится мало. Таким образом, малым изменениям т соответствуют
малые изменения /. Но если масса груза близка к пределу
прочности т0 нити,- то небольшое увеличение массы груза может
вызвать разрыв нити: расстояние / скачкообразно увеличится
и станет равным расстоянию L of точки Л до поверхности
стола. График функции / = /(т) схематически изображен на
рисунке 20. Мы видим, что на участке [0, Щ[ этот график
является непрерывной (сплошной) линией, а в точке т0 он рвется.
В результате получается график, состоящий из двух кусков.
Говорят, что во всех точках, кроме "точки т0, функция /=У(т)
йёпрёрйвна, а в точке т0 она имеет разрыв. '
Подббная схема плавного, непрерывного изменения величины
Скачкообразным встречается ёо многих процессах. Рассмотрим
еще такой пример. Объем Годного килограмма воды зависит от
её температуры t. Если температура воды находится в
промежутке от 0 до 10Q°Q то при малом изменении температуры
объем меняется мало. Иначе обстоит дело, если температура
воды равна 0Р. Здесь йри самом небольшом понижении
температуры вода замерзнет, превратится в лед, а известно, что объем
1 кг льда при 0° значительно больше, чем объем 1 кг воды при
той же температуре. Значит, при 0° зависимость объема от
температуры не является непрерывной, функция К = /(/) имеет при
/ к= 0° разрый.
В математике различию между плавным и скачкообразным
лзменением величин соответствует различие между непрерывными
и разрывными функциями. Точнее говоря, поскольку одна и та же
величина может изменяться как плавно, так и скачкообразно,
следует различать точки непрерывности и точки разрыва одной
и той же функции. Точки непрерывности характеризуются тем,
что при малых изменениях аргумента мало меняется значение
функции, а точки разрыва —тем, что в них при малых
изменениях аргумента изменения функции могут быть значительными.
'И
1\'
L-
0
\ 1
48

3. Определение непрерывности функции в точке. Сказанное
выше подводит нас к следующему истолкованию понятия
непрерывности в точке: если вблизи от значения х = а величины х
и yz=zf(x) связаны друг с другом так, что малое изменение
этого значения влечет за собой малое изменение у, то говорят,
что у непрерывно зависит от х при х = а или что функция
у = f (x) непрерывна в рассматриваемой точке.
Данное сейчас «определение» непрерывности весьма-далеко от
завершенности, оно является неточным, описательным. Дело в том,
что использованные в этом определении слова «малое изменение»
никакого математического смысла не имеют. Например,
изменение на 0,1 .см мало, если речь идет о радиусе земного шара, но
велико, если речь идет о радиусе шарикоподшипника или о
расстоянии между атомами в кристалле. A 10Q000 км —
значительная величина, если речь идет о расстоянии от Земли до Луны,
но весьма малая величина по сравнению с расстоянием от Солнца
до Сириуса. >
Поэтому нам предстоит уточнить введенные ранее понятия и,
в частности, дать строгую математическую формулировку
понятия непрерывности функции в точке.
Если речь идет о косвенном измерении у ггутем измерения
величины х, то слова «при малом изменении х величина у мало меняется»
означают: «при малой ошибке в измерении х погрешность значения у
мала». Точнее говоря,погрешность значениям/ можцаеделать£Коль
угодно малой, если достаточно точно измерить значение х,
Величина погрешности измерения оценивается наибольшей
допустимой ошибкрй, или, как говорят, точностью издерёадя.
Если величина л: измерена с точность^ 8 > 6, то это означает,
что отклонение полученного значения х от точного значения а
меньше 8, т.е. что |*--га| < 8. Слова «погрешность значения
y=*f(x) может быть сделана сколь угодно малой», означают
следующее: какая бы точность е>0 ни была задана, врегда
можно добиться того, чтобы отклонение /(*). от f(a) было
меньше е, т. е. |/(лг)— f(a)\<e. Добиться такой точности можно;
достаточно точно измерив х> т. е. выбрав х достаточно близко к а.
Итак, слова «при достаточно малой ошибке в измерении х
погрешность значения t/ сколь угодно мала» означают
следующее:, какое бы положительное число е (допустимая погрешность
для у) ни было задано, найдется такое положительное число Ь
(допустимая погрешность для х)9 что если х измерено с
точностью 8, то у получится с предписанной, точностью s. Иными
словами, из неравенства \х — а\<Ь следует неравенство-]/(х)—
~f(a)\<*. *
Вернемся к примеру с висящим грузом. Предположим, что
масса груза далека от предела прочности нити. Тогда, если
указать некоторое значение удлинения нити, всегда можно так
подобрать дополнительную нагрузку, чтобы удлинение нити
не превысило указанного значения. Например, может оказаться,
3 8809 49

Па)
а-Ь a a+S
Рис. 21
что для. того, чтобы удлинение
нити не превысило 1 мм, надо
увеличить груз не более чем
на 200 г, а для того, чтобы
удлинение нити было не больше чем
на 0,1 мм, груз надо
увеличить не более чем на 25 г
и т. д. Для любого заранее
указанного удлинения нити е
можно подобрать такое значение 8,
что, если масса дополнительной
нагрузки меньше 8, нить
удлинится менее чем на е. Аналогичные рассуждения можно провести
для случая укорочения нити с соответствующем уменьшением массы
груза. Таким образом, в рассматриваемом случае из неравенства
\х — а\<Ь следует неравенство \f(x) — /(а)|<е.
Проведенные рассуждения делают понятным (и оправданным)
следующее определение.
Определение 1. Функция # = /(*) называется
непрерывной в точке а, если выполнены два условия:
1) функция определена в некоторой окрестности точки а;
2) для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что из
\х — а\<Ь вытекает \f{x) — f(a)\<* (т. е. если отклонение х
от а меньше 8, то отклонение f(x) от f(a) меньше в).
Дадим геометрическое истолкование этого определения.
Возьмем график функции y = f(x) и выберем на нем точку M(a,f(a)).
Спроектируем эту точку на оси координат и возьмем
«-окрестность точки f(a) на оси Оу. Если функция y~f(x) непрерывна
в точке а, то у точки а на оси Ох найдется 8-окрестность,
обладающая следующим свойством: какую бы точку х в этой
Ь-окрестности мы ни , взяли, соответствующая ей точка
на оси Оу находится в заданной ^окрестности точки f(a)
(рис. 21).
Определение 2. Функция у ~ f(x), определенная на про-
межутке X, называется непрерывной на этом промежутке,
если она непрерывна в каждой точке промежутка X.
4. Доказательство непрерывности некоторых элементарных
функций. Поскольку постоянная функция у = С, —оо < х < оо,
не меняется при изменении х, очевидно, что она непрерывна
при любом значении х. Проведем все же строгое доказательство
этого утверждения по определению, или, как говорят, «на языке
е — 8».
Возьмем произвольное число е > 0. Так как для любого х
имеем \f(x) — f(a)\ — \C— С| = 0, то \f(x) —f(a)\ <«.
Последнее неравенство выполняется для любого значения х. Поэтому,
какое бы значение 8>0 мы ни взяли, неравенство \f(x) —
— fia)\<* будет выполняться для любого значения х,
удовлетворяющего неравенству \х — а|<8.

A
y^ll
/ K
T p
С
i
к Д
/k^\
Итак, мы доказали, что для
выбранного е > 0 существует 8 >0,
такое, что из неравенства \х—а\<Ь
следует неравенство | / (х) — f (а) | < е.
А это и означает непрерывность
постоянной функции ♦ в любой
точке а.
Рассмотрим теперь линейную
функцию y~kx + b, — оо < х < оо, где
/г=^0. Графиком этой функции
является прямая линия, поэтому
непрерывность линейной функций* в любой точ- .ис'
ке а: геометрически очевидна.- Проведем строгое доказательство
этого утверждения.
Возьмем произвольное число е >0 и попробуем найти "такое
8 > G, чтобы из неравенства \х — а\<Ь следовало неравенство
\f(x)-f{a)\<*.
Имеем: \f (x) — f (а) | = | (kx + b) — (ka + b) | » \k\. \х — а\.
Поэтому неравенство | / (х) — / (а) \ < е равносильно в данном
случае неравенству \х — а|<-г^у* Поэтому рз неравенства
\х — а|<-т—- следует неравенство \f(x) — f(a)\ < е., Значит,
если положить ^ = *г|т » то из неРавенства \х — я|<& следует
неравенство \f(x) — f(a)\ < s, а это и означает непрерывность
линейной функции в любой точке а. „
Докажем, что функция у = — непрерывна в любой точке
афО.
Возьмем произвольное число е>0 и выберем 8>0 так,
чтобы выполнялись неравенства 8 < -Цр- и 8 <'^. Тогда из
неравенства | х — а | < 8 следует неравенство — | < е (см. с. 12),
а это и означает непрерывность функции у = — в любой точке
а Ф 0.
Докажем еще непрерывность функции # = cos# в любой
точке а.
Нам понадобится вспомогательный результат. Докажем, что
для любых значений х справедливо неравенство
|cos# — cosa|< [л: — а\. (1)
Чтобы доказать это неравенотво, обратимся к рисунку 22, где
изображена единичная окружность. Имеем:
|AB.| = jc, |ЛС|=а, \ВС\=*\х — а\,
|B/(| = cosx, \CL | = cosa, \BD\ = |cos* — cosa|.
3* 51

У\
.
%
yi
s
1
~~0
I .
I
I
I
i
L_
1
-ЗГ
Рис. 23
Рис. 24
Так как \BD\ < \ВС\ < \ВС\, *то получаем \со$х — cosaj <
<\х — а\. Если же х = я, то (cos'jc — cosaj = |дг — a| = 0. В итоге
|cos# — cosa|< \x — a\f что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к нашей задаче. Возьмем произвольное^
число е>0 и попробуем найти такое 8 > 0, чтобы из
неравенства | х — а | < 8 следовало неравенство | cos х — cos a | <*е.
Из неравенства (1) следует, что в данном случае можно
положить 8 = е. В самом деле, если \х — а\<Ьу т. е. \х— л\.<*9
то в силу того, что | cos л: — cosaj <)*■— а\% получим jcosx —
— cosaj < е. Это и означает непрерывность функции у*=со$х
в любой точке а.
Аналогично можно^доказать непрерывность функции # = sin x
в любой точке а. Таким образом, функции y~sinxf y — co$x
непрерывны на всей числовой прямой.
5. Точки разрыва. Пусть функция y*=f(x) определена в
некоторой «проколотой» окрестности точки х*= а1. Если в самой
точке а функция не определена или определена, но не является
непрерывной в этой точке, то точку а называют точкой
разрыва функции у =* / (#).
Рассмотрим для примера функцию у = (х—1)°, хф1. Если
хф\, то (х—1)°==1; в точке же л:=1 выражение (х—1)°
не определено. График функции изображен на рисунке 23 —это
прямая, параллельная оси абсцисс, с одной «выколотой» точкой.
"Фуцкция непрерывна вабду, кроме точки лг=1; в точке л:«=1
функция разрывна. Заметим, однако, что, если положить
y(l)*s*lf получим функцию, определенную и непрерывную при
всех х.
Тем же свойством обладает функция
если хф lf
если jfel,
-\\
х «Проколотой» Ь-окрестностью точки а называют объединение двух
интервалов Ja — 5, а [ (J ] a, a + Ц. Иными словами, это интервал Ja — 5, а + 8f
без точки а* ~
52

У*
1г
Рис. 26
-И
Рис. 27
График этой функций изображен на рисунке 24. Как и
функция у~(х—1)°, хф\, она разрывна в точке лг=1, но если
изменить ее значение в этой точке, положив (/(1)» 1, она
станет непрерывной в точке х = 1.
Если функция y~f(x) имеет разрыв в точке я, но можно
добиться* непрерывности функции в точке а, изменив ее
значение, в этой точке или доопределив ее в этой точке, то говорят,
что в точке а функция # = /(*) имеет устранимый разрыв.
Приведем еще два примера функций, имеющих устранимый
разрыв. Функция у = -rrr (ее график изображен на рис. 25)
I х\
имеет устранимый разрыв в точке х = 0: в самом деле,
функция F (х) *=* | х\ непрерывна в точке х = 0, а от заданной
функции отличается значением только в одной точке х=*0.
у2 5х 4- б
Функция у =■• — ~-, хфЪ (ее график изображен на
рис. 26) имеет устранимый разрыв. В самом деле, функция
Я(*)-
*2 _ 5* + 6
1, если х
, если лг^З,
3,
непрерывна в точке х =* 3, а от ааданной функции отличается
значением только в одной точке *=*3. Заметим, что #(*)=»
=»лг —2. В самом деле, если хфЗ, то —х^$ — ^12з **
«а: — 2; если *=*3,~то х— ~2 « 1.
Не следует думать, что в любом случае разрыв функции
может быть устранен. Так, функция у = Ц±, график которой
изображен на рисунке 27, имеет неустранимый разрыв в точке
>х=*0 (он называется скачком). Также неустранимый разрыв
имеет в точке х ~ 0 -функция у = ^ — ее график изображен на
рисунке 28 (такой разрыв называется Полюсом функции).
* 68

Существуют функции, имеющие разрыв более чем в одной
точке и даже на бесконечном множестве точек. Например,
функция Дирихле1
_ fl, если х — рациональное число,
у ~~ 10, если х — иррациональное число,
разрывна в каждой точке,
§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ
НАД НЕПРЕРЫВНЫМИ
ФУНКЦИЯМИ
Основная цель настоящего параграфа —
доказать непрерывность суммы, произведения и частного
непрерывных функций. Доказательства соответствующих теорем будут
во многом аналогичны проведенным в § 3 главы I
доказательствам теорем об арифметических операциях над пределами
последовательностей.
Лемма. Пусть функции u=f(x), v = g(x)
непрерывны в точке а # е > 0 — любое положительное число.
Тогда найдется такое 8 > 0, что из неравенства
| х — a j < S вытекают одновременно два неравенства
1/С*)-/(*)1<е я \g{x)-g(a)\<*.
Доказательство. Так как функция u — f(x) непрерывна
в точке ау то существует Ьг > 0, такое, что из \х — aj<8f
следует | / (л:) —/ (a) | < е. Так как функция v = g (x) непрерывна
в точке а, то существует 82 > 0, такое, что из \х^-а\ < 8g
следует \g(x)—g(a)\<*.
Обозначим через 8 наименьшее из чисел Ь19 82. Тогда из
\х — а\<Ъ следуют неравенстве | * — а \ < Ъх и | х.—a j* < 88» из
которых, в свою очередь, следуют неравенства | / (х) — / (а) | < *
и \g(x) — g (а) \ < е. Лемма доказана.
Ясно, что эту лемму можно обобщить на случай любого
конечного числа функций, непрерывных в точке а.
Перейдем .теперь к формулировке и доказательству теорем
о непрерывности суммы, произведения и частого.
Теорема 1. Пусть функции ~u~f (х) и v = g(x)
непрерывны в точке а. Тогда и функция у =--f(x) + g(x)
непрерывна в точке а.
Эту теорему кра"жо формулируют так: сумма непрерывных
функций непрерывна
Доказательство.. Возьмем произвольное е > 0. По лемме
найдется такое 8 > 0, что при | х — а \ < В выполняются неравен-
1 Дирихле Л ежен (1805—1859) — немецкий математик*
54

ства \f(x) — f(a)\<-f и |gW«-gMKp т. eTl«-/,(a)|<
<уи \v — g(a)\<^.
Тогда
\(u+v)-(f(a)+g(a))\<\u-f(a)\ + \v-g(a)\<± + ^=*.
Таким образом, для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что
из | х — а | < 8 следует неравенство | (/ (*) + g (х)) — (/ (а) +
+ g (a)) I < е- Поэтому функция y~f(x)+g (x) непрерывна
в точке а.
Доказанная теорема почти очевидна: ведь если и мало
изменяется при малом изменении х и v мало изменяется при малом
изменении х9 то ц + v мало изменяется при малом изменении х,
а это и означает Непрерывность функции у = и + и. * .
Теорема 2. Пусть функции u=f(x) и v = g(x)
непрерывны в точке а. Тогда и функция у = f(x)g(x)
непрерывна в этой точке.
Эту теорему кратко формулируют так: произведение
непрерывных функций непрерывно.
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. Тогда (см.
с. 11) найдется такое X > 0, что из неравенств \и — f(a)\<\,
\v — g(a)\<l вытекает неравенство | uv — / (a) g (а) \ < е. По лемме
для Х>0 найдется такое 8 > 0, что из \х — а|< 8 вытекают
неравенства |\и — / (а) | < X и \v—g(a)\<\.
Таким образом, из \х — а\<Ь следует неравенство
\uv — / (a) g (а) | < е, т. е. \f(x)g (x) — f(a)g(a) \ < е. Поэтому
функция y~f(x)g(x) непрерывна в точке а.
Доказанный результат без труда распространяется на
произведение любого конечного числа непрерывных функций. Отсюда,
в частности, следует непрерывность функции у = хп
(п—натуральное число) при любом х. В самом деле, у = х" можно
представить как произведение п непрерывных линейных функций
у = *:
л «=~# • X • • • • • X»
v v 1
п раз
Так как постоянная функция v = С непрерывна в любой точке,
То из теоремы 2 вытекает следствие.
Следствие 1. Если функция u — f(x) непрерывна в точке
а и С — действительное число, то функция у = Cf {x) также
непрерывна в этой точке.
Отметим еще два следствия из доказанных выше теорем I и 2.
Следствие 2. Если функции Ux^fiix), u2 — f2(x)f ...,
ип = fn (x) непрерывны в точке а, то и функция у = Cxfi (*) + ••.• +
+ Cnfn(x)y где Съ С2, ..., Сп—произвольные действительные
числа, также непрерывна в этой точке.
85

Следствие 3. Если функции u = f(x) и v = g(x)
непрерывны в точке ау то и их разность y~f(x)—g(x) также
непрерывна в этой точке.
Теорема 3. Пусть функции и=/(х) и v^g(x)
непрерывны в точке а, причем g(a)^0. Тогда и
функция у =77И непрерывна в этой точке.
Иными словами, частное от непрерывных функций непрерывно
в точке, где знаменатель отличен от нуля.
Доказательство. Возьмем произвольнее е > 0. Тогда
(см. с. 12) найдется такое X > 0, что из \и— /(а)[<Х,
|0— g (я) I < * следует ~ — —^ I < е. По лемме для X > 6
найдется такое 8 > 0, что из \х — а\<Ь вытекают неравенства
\u — f(a)\,<\ u\v — g{a)\<\. -
Таким образом, из \х — а\<Ь следует неравенство
Это и означает, что функция у = —1^ непрерывна в точке а.
Остановимся, еще на. вопросе о непрерывности сложной
функции. Предварительно заметим, что если у есть непрерывная
функция от /, то у мало изменяется при малом изменении t\ если,
6 свою очередь, t есть непрерывная функция от х, то t мало
изменяется при малом изменении х. В итоге получаем, что у
мало изменяется при малом изменении х, а это и означает
непрерывности у как сложной функции от х: непрерывная функция
от непрерывной функции непрерывна.
Теперь дадим точную.формулировку и строгое доказательство
этого результата.
Теорема 4. Пусть функция *=ф(лг) непрерывна
в точке а, а функция y=f(t) непрерывна в точке
Ь — у{а). Тогда сложная функция .У =/(?(•*))
непрерывна в точке а.
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. Так как
функция y*=f{t) непрерывна в точке Ь9 то найдется такое Х> 0,
что из 11 — b | < X следует \f(t) — / (b) | < е. Так как, далее,
функция t = ф (л;) непрерывна в точке а, то для Л > 0 найдется такое
8 > 0, что из \х — а|<8 следует |ф(л;)— ф(я)|<Х, т. е.
j t — b j < X. Из последнего неравенства, в свою очередь, следует,
как мы видели выше, неравенство \f(t) — f(b)]<t, т. е.
\fto(*))-f(V(a))\<u.
Таким образом, для произвольно взятого числа s > 0 нам
удалось найти такое 8>0, что из неравенства \х — а\<Ь
следует неравенство \f(q>(x) — f (<р(а))\ <ъ. А это и означает
непрерывность сложной функции у «в / (ф (х)) в точке х « а.
56

Из полученных в этом параграфе результатов вытекает
непрерывность многочленов у = а0хп + ахх?-1 + ... -f ап^хх + ап (при
любом л:), дробно-рациональных функций у ** 2i2 9 где р (х) и
g(x) -=- многочлены дпри любом х, таком, что §(х)Ф0), функций
у — tgx иг/ = sec^fnpn хф~+ пп) > функций # = ctg* и у =
s^cosecA: (при хфпп).
Коротко основной вывод, вытекающий из результатов
настоящего и предыдущего параграфов, можно сформулировать
следующим образом: все рациональные и тригонометрические функции
непрерывны всюду, где они определены.
Пример. 'Исследуем на непрерывность функцию
*■"
.о . 3* — 1
У-зш^ + ^зу.
Решение. Функция не определена только в двух точках
х =s 2 и х = —2. Так как функция представляет собой сумму
тригонометрической и рациональной функций, то она непрерывна
во всех точках числовой прямой, за исключением точек х = 2
и # = — 2. В этих двух точках функция разрывна.
§ 3. СВОЙСТВА
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе мы сформулируем и
докажем две теоремы о непрерывных функциях, имеющие
многочисленные приложения в математике: теорему о
промежуточном значении и теорему об обратной функции. Обе эти теоремы
допускают наглядные геометрические иллюстрации, с которых
мы и начнем.
Рассмотрим график некоторой функции # = /(#)>
изображенный на рисунке 29. Он состоит из одного куска. Если мы
возьмем любую точку (0, у0) на оси ординат, лежащую между
точками (0, f(a)) и (0, /(&)), и проведем через нее горизонтальную
прямую, то эта прямая пересечет график в некоторой точке.
Пусть абсцисса этой точки равна с. Тогда f(c) = у0. Таким
образом, для любого числа у09 лежащего между f(a) и /(ft),
найдется такое с, что а'<с<Ь и f(c) — y0. Иными словами, если
график функции-хостоит из одного куска, то эта функция
принимает все «промежуточные» значения, лежащие между данными
двумя значениями функции.
Если функция непрерывна, то график ее состоит из одного
куска. Значит, для всякой непрерывной функции справедливо
отмеченное выше утверждение о промежуточном значении. Для
разрывной функции это утверждение может не выполняться.
57

Рис. 29
У1
f(b)
Уо
f(a)
-И !
ь х
Рис. 30
Так, на рисунке 30 изображен график
разрывной функции. Этот график
состоит из двух кусков. Число у0 опять
лежит между f(d) и /(£), но на этот
раз между точками а и b нет такой
точки су что f(c)~yQ.
Снова рассмотрим график
некоторой функции y = f(x), состоящий из
одного куска. Предположим, что для
этой функции есть обратная у = f-1 (x).
График обратной функции у = f"1 (x)
получается из графика функции у =
= /(*) перестановкой осей х и у, т. е.
осевой симметрией графика
относительно биссектрисы первого координатного
угла (рис. 31). Так как график
функции y = f(x) состоит из одного куска,
а это свойство, очевидно, сохраняется
при симметрии, то график функции
# = f~1(*) также состоит из одного
куска. Это значит, что если функция
^==/(лг) непрерывна *и имеет обратную
функцию, то обратная функция также
непрерывна.
Итак, и теорема о
промежуточном значении, и теорема 6
непрерывности обратной функции геометрически
очевидны. Тем не менее ниже мы
дадим точные формулировки и строгие
доказательства этих теорем, ведь
геометрическая интуиция, хотя и является
нашим хорошим помощником, может
иногда привести к ошибочному выводу.
Аналитическое доказательство не
заменяет интуицию, а убеждает в том,
* что она не ввела нас в заблуждение.
Лемма 1. Если функция y = f(x) непрерывна в точке
а и f(a) > 0, то существует такая окрестность точки
а, в которой f(x)>Q.
Доказательство. Так как функция непрерывна в точке
а, то для любого е > О существует такое Ь > 0, что для всех
х из \х — а\ < 5 следует \f(x)—f(a) \ < е, ели, что то же самое,
Па)-*<Пх)<Г(а) + ш. (1)
Если, в частности, положить е = ~~, то из неравенства (1)
следует / (а) — — < f (х)9 т. е. / (х) > Ц@ > 0. Лемма доказана.
Рис. 31
68

У'
0
i
ПО-о
a J
a)
\ f(b)>0
1
А ж
ь x
Рис. 32
Аналогично доказывается лемма:
Лемма 2. Если функция у =/(*) непрерывна в точке
а и f(a)<0, то существует такая окрестность
точки а, в которой f{x)<0.
Леммы показывают, что если f (а) Ф О, то в достаточно малой
окрестности точки а непрерывная функция у **f(x) имеет тот же
знак, что и в точке а, а потому эти леммы называют обычно
леммами о сохранении знака непрерывной функции.
Теорема 1 (теорема о нуле непрерывной функции). Пусть
функцияу=/(х) непрерывна и монотонна1 на отрезке
[а, Ь] и имеет на концах отрезка значения разных
знаков. Тогда внутри отрезка существует такая
точка с} а<с<Ь, что /(с)*=0 (рис. 32).
Доказательство. Будем считать для определенности,
что y^f(X) — возрастающая функция и что f{a)<0, /(ft)>0.
Обозначим через А множество всех таких точек х из отрезка
[a, ft], в которых f{x)<09 a через В —множество всех таких
точек х из отрезка [a, ft], в которых f(x)>0. Утверждаем, что
множество А лежит левее множества В.'
В самом деле, пусть хг € Л, х2 е 5. Тогда f{xt) < 0, f (*2) > О,
е- /(*i)<f(*a). Значит, хг<х29 ибо в противном случае,
е. при хг > х2, было бы, в силу возрастания функции и «
te/(*>> f(*i) >/(*«).
Итак, А лежит левее В, а потому существует разделяющее
эти множества число с. Докажем, что /(с)**0.
Предположим противное, что /(с)=£0; пусть /<с)>0. Тогда
по лемме 1 существует окрестность точки с, в которой / (*) > 0.
Это значит, что левее точки с есть точки *, в которых /(*)>0,
т. е. точки, принадлежащие множеству В. А этого не может
быть, так как с — разделяющее число. Аналогично невозможен
случай f(x)<0. Значит, /(с) = 0, и теорема доказана.
Заметим, что точка с, о которой идет речь в формулировке
теоремы 1, не только существует, но и единственна. В самом
т.
т.
* В этом параграфе понятие монотонности рассматривается в строгом смысле,
е. xt < х2 «*/ (Xl) < / (х2) (или / (*!> > / (х2)). *. .
69

деле, в силу монотонности функции из /(4i) = 0, f(c2)=>0
должно неизбежно следовать сг = с2. Таким образом, график
непрерывной монотонной на отрезке \af b] функции y = f{x),
принимающей на концах отрезка значения разных знаков', пересекает
ось абсцисс только в одной точке.
Доказанная теорема без труда распространяется на наиболее
часто встречающийся в приложениях случай кусочно-монотонной
непрерывной функции. Пусть, например, функция y = f(x)
непрерывна на отрезке [a, b], f(a)>0, f(b)<0, и отрезок [а, Ь\
можно разбить на три участка монотонности функции: [а, сг],
[с19 с2] и [с2, Ь]. Имеем (рис. 33):
f(a)>09 f(cl)>09 /(*.)< 0, /(*)<<>.
Ha отрезке [clf c2] функция убывает и f(c1)>Ot /(c2)<0.
Значит, существует точка с, сг<с<с2> такая, что f(c) = 0.
Заметим, что .для кусочно-монотонной функции такая точка
может оказаться не единственной (рис. 34).
Можно доказать и более общий результат: теорема 1
справедлива для любой непрерывной ^функции, а не только для
монотонной или кусочно-монотоннрй.
Теорема 1 может быть использована для приближенного
вычисления корней уравнений. Пусть надо решить уравнение f (х) «= 0.
Если удается найти такой отрезок [a, b], на котором функция
непрерывна, монотонна и принимает на концах значения разных
знаков, то внутри отрезка содержится ровно один корень
уравнения. Чтобы уточнить значение искомого корня, отрезок [а, Ь]
делят пополам, выбирают половину, на концах которой значения
функции различны по знаку, и т. д. Таким путем получают
значение • корня уравнения /(*) = 0 с любой наперед заданной
точностью. *
Часто поступают так: ищут отрезок вида [п, п + 1], на
котором лежит корень уравнения /(*) = 0, делят этот отрезок на 10
равных частей, вычисляют значения функции в точках деления
и смотрят, _ на каком из отрезков функция меняет знак. Этот
отрезок снова делят на 10 равных частей и т. д. Указанный
процесс позволяет находить один за другим десятичные знаки
искомого корня»
У>
0
\ ■
а 1
1 /
/
/1
/ 1
w ь
"*
Рис, 33
Рис. 34

П р и м е р 1. Докажем, что уравнение л:8 4- 4дг + 1 = 0 имеет
корень на отрезке [—1,01, и найдем приближенное значение
этого корня с точностью до 0,01.
Решение. Функция у = х3 + 4х + 1 непрерывна на отрезке
[—It 0J» возрастает как сумма двух возрастающих функций
у = х8 и у ~ 4х + I и принимает на концах отрезка значения
разных знаков: / (— I) = —4 < 0, /(0) = 1 > 0. Значит, в отрезке
[—1, 0} заданное уравнение имеет один корень.
Применим для вычисления этого корня метод
последовательного деления на 10 частей. Разделим отрезок [—1, 0] на 10
равных частей и вычислим значения функции в точках
деления. Имеем:
/(0)- 1; . /С—0,1) = 0,599; /(—0,2) = 0,192; /(-0,3) - -0,227.
Получили /(-—0,3) < 0, /(—0,2) > 0, значит, искомый корень
лежит на отрезке [—0,3; —0,2]. Разделим этот отрезок на
10 равных частей и вычислим значения функции в точках
деления. Имеем: /(—0,21)^0,151; ... ; /(—0,24)^0,026;
/(—0,25)^—0,016. Значит, искомый корень лежит на
отрезке!—0,25;—0,24], т. е. с точностью до 0,01 искомый корень
равен —0,25.
Теорема 1 играет важную роль и при решении неравенств.
Пусть надо решить неравенство /(#)>0, где y*=f(x)—
функция, непрерывная на всей числовой прямой. Сначала решим
уравнение /(л;) = 0. Пусть xl9 #2, ... , хп, ... — корни уравнения
(множество этих корней может быть как конечным* так и
бесконечным). Эги точки разбивают числовую прямую на
промежутки, такие, что на концах каждого промежутка функция
y~f(x) обращается в нуль,*, а внутри отлична от нуля. Тогда
внутри каждого промежутка знак функции y = f{x) не меняется.
В самом деле, предположим, что точки а й fr лежат внутри'
одного промежутка, а знаки /(а) и f(b) различны. Тогда
непрерывная функция y**f(x)-- обратится в нуль между точками а
и 6, чего не может быть.
Итак, мы доказали, что корни уравнения f(x) = 0 разбивают
числовую прямую на промежутки,, внутри которых функция
y — f(x) сохраняет постоянный знак. Теперь достаточно взять
на каждом из полученных интервалов «пробрую точку» и
посмотреть, какой знак имеет функция в этой точке. Тот же знак
она будет иметь и на всем интервале. Это позволив отобрать те
интервалы, на которых выполняется неравенство f(x)>0.
Если функция y = f{x) имеет точки разрыва, to при
решении неравенства / (х) > 0 надо взять не только корни
уравнения /(л:) = 0, но и точки разрыва функции и посмотреть, какой
знак имеет функция на _. каждом из_ полученных интервалов.
Указанный метод решения неравенств носит название метода
интервалов.
61

Пример 2. Решим неравенство х_\ ' > 0.
Решение. Функция у =у м— ' r ; обращается в
нуль в точках —2, —1, Ги разрывна в точке 4. Эти точки
разбивают числовую прямую на промежутки:
']_со; -2[, ]-2; -If, J-l; 1[, ]1; 4{, ]4; оо[.
На каждом из промежутков функция непрерывна и сохраняет
постоянный знак. Беря пробные точки—3;—1,5; 0; 2; 5, находим:
/Ч-ЗХО, f(-1,5)<0, f(0)>0, /(2)<0, /(5)>0.
Значит, /(л;)>0 на промежутках ]—1; 1[ и ]4; +оо[. Их
объединение и является множеством решений заданного неравенства.
Теорема 1 является частным случаем более общей теоремы.
Теорема 2 (теорема о промежуточном значении). Пусть
функция у =/{.*) непрерывна и монотонна на отрезке
[а, Ь], тогда она принимает на этом отрезке любое
значение р, лежащее между f(a) и f(b), т. е.
существует такая точка с, а<с<Ь, что f(c) = ji.
Доказательство. Предположим для определенности, что
функция y = f(x) возрастает на отрезке [#, Ь], и рассмотрим
вспомогательную функцию у = F(x) = f{x) — ft. Эта функция
также возрастает на [а, Ь]9 причем F(a)~f{a)— у. < 0, F(b) =
~f(b)— (х > 0. Тогда по теореме 1 существует точка с, а < с <
<#, такая, что F(c) = 0. Значит, f(c) — jx = 0, т. е. /(с) = ц.
Теорема доказана.
Заметим, что теорема 2, как и теорема 1, верна для любой
непрерывной функции, не обязательно монотонной.
Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и монотонна на нем, то множество ее значений
представляет собой отрезок с концами f(a) и f(b).
Отрезок [ауЬ] был включен в формулировку теоремы 2 и
следствия только для удобства рассуждений- Можно было взять
произвольный промежуток X и сделать вывод о том, что если
функция непрерывна и монотонна на промежутке X, то мнозт-
ство ее значений представляет собой целый промежуток.
Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы
о непрерывности обратной функции.
Теорема 3. Пусть функция у = f<x) непрерывна
на отрезке [а, Ь] и возрастает иа этом отрезке. Тогда
существует обратная функция x = f~l(y), которая
определена, непрерывна и возрастает на отрезке
If (а), /(*)]•
Доказательство. ПЬ следствию из теоремы 2 множеством
значений функции y = f(x) является отрезок (/(а), f(b)]. Возьмем
у0 из этого отрезка, такое, что f(a) < yQ < f(b). Тогда существует
62

Рис. 35
точка х^ а < х0 < Ь, такая,
что !(Хо) = Уо> причем в силу
монотонности функции yr=f(x)
эта точка будет
единственной. Положим, *0 = f-1 (у0).
Аналогично можно показать,
что любому числу у € [/ (а),
/ (Ь)] соответствует одно и
только одно число х б [а, Ь], такое,
что f {х) =? у. Тем самым на
отрезке [f(a)9 f(b)] определена
функция х = f""1 (у), обратная
к функции y = f(x).
Докажем возрастание
функции х = f"1 (у). на отрезке
[/(a), f(b)). Возьмем любые две
различные точки уг и у2 из
отрезка [/ (а), / (ft)]; пусть у1 < у29
жем, что хг < х2 (это и
функции).
Предположим, что л:х> х2. Тогда / (*i) > / (#2)> т. е. ух> у2,
вопреки условию. Значит, хг < x2f и воарастание обратной
функции доказано.
Осталось доказать непрерывность обратной функции в любой
точке у0 отрезка [f(a), [(b)]. Возьмем произвольное число е >0.
Надо показать, что существует такое число 8 > 0, что из
неравенства | у — ув\ < 8 следует неравенство | f"1 (у) — f~x (yQ) | < е,
т. е. | х— х01 < е. или, что то же самое, -х0 — е < х < х0 + г, где
«■Г"^), У г-f(x), х6 = Гг(Уо)> Уо = /(*о)-
Так как функция y = f(x) возрастающая, то из неравенства
х0 — е < х0 < х0 + с следует неравенство f(x0 — z)<f (x0) <
< f(x0 + е), т. е. f(xQ — s)<y0<f(x0 + e). Выберем 8 >0 так,
чтобы выполнялась неравенства
f(xQ — t)<yo — b<,y0<y0 + b<f(x0 + s)
(рис. 35), и рассмотрим произвольную точку у из §-окрестности
точки у0, т. е. удовлетворяющую неравенству
8 < У < Уо + ».
.. ■= Г1 Ы> *2 = Г"1 Ы- Дока-
будет означать возрастание обратной
Тогда
т. е.
Уо-
f(x0 — e)<y<f(x0 + s),
Так как у
неравенства
доказать.
Теорема, аналогичная
непрерывных функций.
/(*о-е)</(*)</(*0 + в).
/ (а:) — возрастающая функция, то из
следует - х0 — е < х < х0 + е, что и
последнего
требовалось
теореме 3, верна и для убывающих
63'

Заметим, что вместо отрезка [я, Ь] в формулировке теоремы 3
можно было взять произвольный промежуток. '
Рассмотрим примеры применения этой теоремы. .
1. Функция у = хп возрастает и непрерывна на луче [0, +оо[,
и множество ее значений —луч [0, +°°.[- Тогда существует
обратная функция, которая обозначается *==>/ у\ непрерывная и
возрастающая на луче [0, +°°[-
2. Функция y = sinx возрастает и непрерывна на отрезке
— 1Г; Т » и множеством ее значений служит отрезок [—1, 1].
Тогда существует обратная функция, которая обозначается х=*
= arcsinx/, непрерывная и возрастающая на отрезке [—1, 1],
Множеством ее значений служит отрезок I — у ; -— .
Аналогично определяются остальные обратные
тригонометрические функции и устанавливается их монотонность и
непрерывность.
В конце предыдущего параграфа мы сделали вывод о том,
что все рациональные и тригонометрические функции 'непрерывны
всюду, где они определены. Теперь мы можем дать более
широкое описание класса уже известных нам непрерывных функций:
все рациональные, тригонометрические, иррациональные (т. е.
содержащие переменную под знаком радикала или в дробной
степени) и обратные тригонометрические функции, а также
функции, полученные из перечисленных с помощью арифметических
операций (в конечном числе) и с помощью операции
образования сложной функции, непрерывны Есюду, где они определены.
§ 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1. Предел функции в точке и его
свойства. Пусть функция y = f{x) определена в некоторой проколр-
тойг окрестности точки а. Если она. непрерывна в точке а, то
назовем ее значение в точке а пределом f(x)i когда тс-+а, и
будем писать lim / (х) = / (а). Если же функция у =/ (х) разрывна
в точке а, то может случиться, что этот разрыв устранимый.
Тогда можно изменить здачение функции в точке а или
доопределить ее в этой точке так, что в результате получится функция
у=*Р(х), непрерывная в точке а:
У г \Р-\Ъ9 если х = а.
Число Ь«-»F (а) называется пределом функции, у = f(x) при х -*■ а.
В этом случае пишут: lim/(#) = 6.
64

b
0
[ a)
T
1 1
1 .r-
1 6) ° x
6
3)
Рис. 36
Из сказанного выше следует, что если функция y*=F(x)
совпадает с функцией у = f(x) в некоторой проколотой
окрестности точки а и отличается от f(x) только, может быть, в самой
точке а, где функция y=*F(x) непрерывна, а функция y = f(x)
может быть разрывна, то _ - .
\imf(x)=*limF(x)=*F(a)=J>. -
На рисунке 36 даны графики нескольких функций, имеющих
при х-+а предел, равный Ь.
Из определения следует, что, когда пользуются равенством
lim/ (х) = Ь, рассматривают значения функции у = / (я) при зна-
х-+а
чениях, меньших а, и при значениях, больших а, и не
интересуются значением функции в самой точке а.
Приведем примеры вычисления пределов функций.
хъ 5jc 1 1
1.- Вычислим lim—^—г-н--.
х* _ 5jc 4-1
Решение. Поскольку функция у,=» —3 . ' ■ непрерывна
в точке л;=*1, то предел функции при х-+\ равен значению
функции в точке I, т. ё. v
jfl — 'tx+l _ 1-5 + 1
3+5
S-W5
8 *"
2. Вычислим lim
х-+2
x*-6x + S
Решение. Здесь нельзя воспользоваться рассуждением пре-
Xй-
•6х+8
Ч Л - "" иЛ ' 'I' KJ
дыдущего примера, поскольку функция у = -—5—~— не опреде-
лена, а значит, разрывна в точке я = 2. Выполним некоторые
преобразования аналитического выражения этой функции. Имеем:
х* — Ъх+8^(х — 2)(х-т-4)
ХЦ—А (* — 2)(* + 2}'
65

Но функция yg(,-2)(* + 2) C0Bna*aeT B проколотой окрестности
точки 2 с функцией у = ^fr§ , непрерывной в этой точке и
принимающей в этой точке значение — у. Таким'образом,
1. х^вх + s и„х — 4 1
Л г, 1- УТ+ТЗ — 4
3. Вычислим lim- ^—5—.
Ращение. Имеем:
lfmj/—з~4 ,,т(/ГдТ5-4)0^П8 + 4)
^з ^-9 *-*з (ж?-.9)(/* + 13 + 4)
.. (л:+ 13)-16 -. 1
= lim -—:—; r — = lim 7-7==—г.
^3 (ж - 3) (х + 3) (Ух + 13 + 4)- ^з (х + 3) (/* +13+4)
Но функция у = —___==-_ непрерывна в точке 3, зна-
(х + 3) (У х + 13 + 4;
чит, ее предел при х-»-3 равен значению функции в точке 3,
т. е. 4§ . Таким образом, lim ^2^9—в48'
Отметим некоторые свойства предела функции в точке. Из
данного выше определения сразу следует:
а) Если функция y~f{x) имеет предел при х->-а, то этот
предел единственный.
Из лемм 1 и 2 о сохранении знака непрерывной функции
(с. 59) вытекают следующие два свойства:
б) Если limf (х) = b и Ъ > О, то существует проколотая
х-+<а
окрестность точки а, в которой выполняется неравенство f (х) > 0.
в) Если lim f(x)=--b и &<0, то существует проколотая
х-*-а
окрестность точки а, в которой выполняется неравенство f (х) < 0.
Из теорем об арифметических операциях над непрерывными
функциями получаются соответствующие теоремы о пределах
функций.
Теорема 1. Если lim/ (л:) = Ь и Urn ft (jc) = с, то
lim(f(x) + h(x)) = b + c.
х-+а
Коротко: предел суммы двух функций равен сумме
пределов.
Доказательство. Так как lim/(*) = &, то функция
х-+а
непрерывна в т<?чке а,

Так как \imh(x) = с, то функция
„<„_{»<*>. ***
непрерывна в точке а.
Так как сумма непрерывных функций непрерывна, то функция
/м+ям-{£<?+*w- 1-Z
непрерывна в точке а. Тогда из определения предела следует,
что lim(f(x) + h(x))=*b+c. Теорема доказана.
х-+а
Аналогично доказываются остальные теоремы об
арифметических операциях над пределами. Приведем формулировки этих
теорем. х
Теорема 2. Если 1тг/(лг) = Ъ, Ит А (лг) = с, то
х-+а х-+а
\\mf(x)h(x) = bc.
х-+а
Теорема 3. Если Нт/(лг) = &, то \imkf(x) = kh.
х-+а х-+а
Теорема 4. Если lira/(л:) = b, Hmh(л:) = с, причем
х-*а х-+а
Если не существует способа переопределить f(x) в точке а
так, чтобы полученная функция у ~ F (х) стала непрерывной
в точке а, то говорят, что функция y = f(x) не имеет предела
при х~*а или что предел f(x) при х-*а не существует.
2. Определение предела функции в точке «на языке г — 5».
Остановимся теперь на традиционном «е — ^-определении»
предела функции. Пусть lim/(*) = &. Это значит, что функция
непрерывна в точке а, т. е. для любого s > О существует такое
8 >0, что из \х — а[<Ь следует \F(x)— F(a)\<e. Исключим
из рассмотрения точку а, т. е. потребуем, чтобы выполнялось
неравенство 0 < | х — а | < 8. Тогда F(x) = / (л:), а так как, кроме
того, F(а) = bf то неравенство \F(x) — F(a)\<& принимает вид
|/(*)_6|<е.
Таким образом, запись lim f(x) = b означает следующее: для
х-ю
любого е > 0 существует такое 8 > О, что из неравенства О <
< | х — а | < 8 вытекает неравенство \f(x) — b\< е. Это и
называется определением предела функции в точке «на языке е — 8».
Воспользуемся этим определением для доказательства одного
важного свойства предела функции. Формулировке и
доказательству этого свойства предпошлем.следующую лемму.
67

Лемма. Пусть \\mf(x) =■ b, tim ft (л:) = с и г —любое
х-*а х-*а
положительное число. Тогда найдется такое 8 > О,
* что из неравенства О < \х — а| < 8 вытекают
одновременно два неравенства \/(х) — Ь\<г и J Л (л:) — с|<е.
Аналогичная" лемма была нами сформулирована и доказана
выше (сг54), а. потому доказательство этой" леммы мы не
приводим.
Теорема 5. Пусть \\mf(x)^b, НтА(лг) = & и в неко-
торой проколотой окрестности точки а
выполняется неравенство f(x) <g(x)<h (х). Тогда limg(x) = &.
х-*а
Эта теорема носит название теоремы о пределе промеоюуточ-
jhiou функции.
Доказательство. Возьмем произвольное число е>0. По
лемме найдется такое 8 >0, что из 0<|* — а\<Ъ вытекают
одновременно два неравенства | / (л:) — b | < е и | h (х) — b | < е, или,
что то же самое,
b-s<f(x)<b+s, (1)
b — е<й(л:)<6 + е. (2)
Воспользовавшись неравенствами (1) и (2), а также тем, что
f(x)<8 (х) < h (x)> получим
b — е < / (л:) < g (x) < h (x) < b + е,
откуда
Ь — *<g(x)<b + t9
те
\g(x)-b\<*.
* Итак, для произвольного е > 0 мы нашли такое 5 > 0, что из
0<|л; — а\<Ь следует \g(x)— Ь|<£. Это и означает, что
limg(A:) = b. Теорема доказана.
Воспользуемся этой теоремой для доказательства того, что
lim^=l. .
х-*&; х ^
Как известно, еоди, 0 < х < -^ ,. то
sin* < х < tg*, (3)
а «ели -*--^ <л:<0, те
tgA: < AXsinJC* (4)
68

Разделив все части двойного неравенства (3) на sin* и учтя,
что в случае, когда 0 < х < •— , имеем sin* > 0, получим
1< ШГх<Шс* Ф
Разделив все части двойного неравенства (4) на sin* и учтя,
что в случае, когда —-£ < х < 0> имеем sin* < 0, получим
cos* ^ sin* ^ г
т. е. то же неравенство (5), ^то ив первом случае.
Таким образом, в проколотой окрестности точки х = 0,
содержащейся в интервале —|, | , имеем
откуда
— >-£-> 1,
cos х ^ sin х '
. sin x . ,
COS#< —j- < 1.
Устремим х к нулю. Так как у = cos* — всюду непрерывная
функция, то limcos* = cos 0 = 1. С другой стороны, предел
постоянной функции равен значению этой постоянной, т. е.
lim 1 = 1. Тогдэ по теореме о пределе промежуточной функции
получим lim ^Д^ = 1. - '
*-*о х
3. Предел функции на бесконечности. Рассмотрим функцию
з# — 1
^*8* хА-2-' ^е можно записать следующим.образом:
7
Ясно, что при увеличении х знаменатель дроби ~ЕЪ B03PacTaeTi
а потому значение этой дроби становится сколь угодно малым.
Поэтому при достаточно больших значениях * значения функ-
ции у « —го"' сколь угодно Мало отличаются qt чиста 3. Гово-
рят, что эта функция стремится к 3, когда я->- + с©, и пишут:
Вообще запись lim f(x)=*b означает следующее:
Для любого е>0 найдется такое N> что при x^N
выполняется неравенство | / (*) — b | < е.
69

Иными словами, отклонение функции y = f(x) от числа Ь
становится меньше е, если x^N.
Если lim f(x) = Ь, то говорят, что число Ь является пределом
функции y — f(x) при д:-»».+оо
Очевидна аналогия между понятиями «предел функции у =
= /(#) при х-*- +оо» и «предел последовательности (хп) при
п -*• оо». Различие состоит лишь в том, что для
последовательности неравенство \хп — Ъ\ < е выполняется, естественно, для
натуральных значений я, больших натурального числа N или
равных ему, а для функции неравенство |/(#) — Ь\ <е выполняется
для любых действительных значений xf больших
действительного числа N или равных ему. Эта аналогия связана с тем, что
последовательность есть частный случай функции, а именно
это функция, заданная на множестве натуральных чисел.
Пользуясь указанной аналогией, легко сформулировать
свойства предела функции при лг-^+°°, руководствуясь
установленными выше свойствами предела последовательности.
Доказательства этих свойств проводятся точно так же, как и вчслу-
чае последовательностей.
Наряду с пределом функции при х -^ +°° рассматривают
и предел'функции при х-*-—оо: число Ь является пределом
функции y~f(x) при х -*■ —оо, если для любого е > О найдется
такое Л/, что при х < N выполняется неравенство |/ (х) — Ь\ < е.
В этом случае пишут:
lim / (х) = Ь.
Х-+—ее
4w Асимптоты. Горизонтальная или наклонная прямая
называется асимптотой графика функции y = f(x) при x-*-+oof
если при х-* +оо расстояние от точки графика до точки с той же
абсциссой, лежащей на прямой, стремится к нулю.
Проще всего искать горизонтальные асимптоты. Эта задача
по сути дела равносильна отысканию предела функции при
лг-^4-00- В самом деле, пусть у = 6—уравнение
горизонтальной асимптоты при лг-^-foa для графика функции y = f(x).
По определению асимптоты это означает, что при лг-v+oo
расстояние от точки графика до соответствующей точки прямой
у = Ь стремится к нулю. Но это расстояние есть не что иное,
как отклонение f(x) от fe, т. е. (/(*) — Ь\9 а |/(дг) — Ь\ стремится
к нулю тогда и ^только тогда, когда f(x) стремится к Ь.
Итак, горизонтальная асимптота при х ->■ оо имеет уравнение
у^Ь, где Ь= lim f(x) (рис. 37).
График функции может располагаться относительно
горизонтальной асимптоты по-разному. На рисунке 37, а изображен
график функции, приближающийся к своей асимптоте сверху,
а на рисунке 37, б — снизу. График функции мо^кет пересекаться
с асимптотой, причем множество точек пересечения может быть
70

и конечным (как на рис. 37, б),
и бесконечным. На рисунке 38
изображен график отклонения
от положения равновесия
маятника, совершающего
затухающие колебания. Мы видим, что
эти отклонения стремятся к
нулю, когда х-* +оо, значит, ось
абсцисс является
горизонтальной асимптотой. При этом
график функции бесконечно много
раз пересекает ось абсцисс
(маятник бесконечно много раз
проходит через положение
равновесия).
Покажем теперь, как искать
наклонные асимптоты для
графиков дробно-рациональных
функций. Пусть дана функция
2** — Бх + 2
Разделим
натель
2х2-
~2хг-
х-Ъ '
числитель на знаме-
-5* + 2
-6л:
х + 2
* —3
* —3
2л:+ 1
Значит,
2*2— бх+2
2л:+ 1
Ясно, что lim
этому график
__ 2*-Ъ+2 (он
= 0.
-3*
По-
х — 3
функции у «
v Q v~« изображен на
X — О
рис. 39) при больших
значениях х почти сливается с
прямой линией у = 2л: + 1. Эта
линия и является наклонной
асимптотой для нашего
графика.
Вообще, если степень
числителя дробно-рациональной
функции равна степени
знаменателя или больше степени
Рис. 37
Рис. 38
Р»с. 39
71

знаменателя на 1, то график этой функции имеет асимптоту* в
первом случае — горизонтальную, во втором—наклонную. Чтобы
найти эту асимптоту, надо выделить из дроби целую часть. Эта
целая часть в первом случае окажется числом Ь, во втором —
многочленом первой степени kx + Ь. Уравнения y«*b,y = kx + b
и являкУгся^ уравнениями искомых асимптот, в первом случае —
горизонтальной, во втором — наклонной.
Более общий способ отыскания наклонных асимптот состоит
в следующем (мы приводим его здесь без доказательства). Сна-
чала ищут предел k = lim '-^. Если этот предел существует,
то затем находят предел b = lim (/(#) — kx).
В случае, когда существуют оба предела, график функции
y = f\x) имеет наклонную асимптоту при х-*+аэ и ее
уравнение имеет вид у «* kx + b.
Предоставляем читателю проверить, что для рассмотренной
выше функции у *= '- ~__*— общий метод приводит к тому же
результату, что и метод выделения целой части.
Мы говорили выше об отыскании горизонтальной и наклонной
асимптот графика функции # = /(*) при х-++со. Аналогичные
результаты имеют место для случая, когда х-*—оо.
У§ 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Существует несколько подходов к
построению теории показательной функции.-Здесь мы рассмотрим
способ, при котором показательная функция определяется с помощью
характеризующих ее свойств.
Назовем показательной функцией функцию, обладающую
следующими свойствами:
а) функция y — f(x) определена и непрерывна на всей числовой
прямой, причем принимает только положительные значения;
б) для любых действительных чисел х и t выполняется
равенство ,
/(* + *) = /(*) •/(/). (1)
Покажем, что функция с такими свойствами действительно
существует, Сначала докажем, что функциональному уравнению (L)
удовлетворяет функция, определенная для всех значений х как
сумма следующего ряда
■f<*w+*+fr+£ + ••"• +5'+-- . <2)
Выше (см. с. 42) мы видели, что этот ряд сходится для всех
положительных значений х. Аналогично * устанавливается, что
он абсолютно сходится на всей числовой прямой, а значит, он
сходится на всей числовой прямой и в обычном смысле. Таким
72

образом, рассматриваемая функция у = f(x) определена на всей
числовой прямой. В частности, из (2) сразу следует, что f(0) = 1.
При *== 1 получаем /(1) = е (см. с. 42).
Докажем, что функция y = f(x) удовлетворяет
функциональному уравнению (1). Для этого надо умножить каждый член
ряда (2) на каждый член ряда
W)-i+/+-«+£ + ...+£ + ... (3)
и сгруппировать вместе члены, имеющие одинаковые степени
(это возможно в силу переместительного свойства абсолютно
сходящихся рядов). Мы получим, что
f(x):f(t)-l+(x + t)'+(£+xt + £) +
+ ±(х2 + 2xt + t2) +~(x* + 3x2t +3xt2 +P) + -.-. .
Выражения, стоящие в скобках, являются не чем иным, как
(x + t)2, (x + t)*~ Применяя формулу бинома Ньютона, можно
доказать, что общий член полученного ряда имеет вид-.(л: + t)n;
и потому
/(*)■/ С) - } + (* + t) + ± (х + t)2 + 1 (х + tf + ...
" '••+гг(* + ')я + --«/(* + 0.
Значит, сумма f(x) ряда (2) удовлетворяет функциональному
уравнению (1). .
Очевидно, что при х > О функция / (л:) принимает
положительные значения (как сумма ряда, состоящего из
положительных зисел). Так как / (—х) • f{x) = f (—х + х) = f (0) = 1, то
и при х < 0 значения функции положительны.
Нам осталось доказать, что сумма ряда (2) непрерывна.
Докажем сначала, что она непрерывна в точке лс==0, т. е. для
любого е > 0 найдем такое & > 0, что из | х | < Ь следует*
\f(x)~ 11 < s. С этой целью заметим, что если \х\ < 1, то
1/(*)-1|-М|1+£ + £ + ...+^+.'.
Сумма ряда
73

равна в— 1. Тогда имеем: |/(*)—11 < (е— 1) • \х\. Отсюда
ясно, что при |а:|<^77 имеем \f(x)— 11 <*е, т. е. функция
у = / (дс) непрерывна в точке х =* 0.
Непрерывность функции у = f(x) в произвольной точке а
вытекает из того, что7(*) = /(а) • f(x— а). Если положить х —
— a = t, то функция у = f(x—а) примет вид у ==/(/), причем
значению л; = а соответствует / «= & Поскольку у = / (/)
непрерывна в точке / = 0, то y~f(x — a) как сложная функция
непрерывна при х ■» а, а тогда в этой точке непрерывна и функция
Итак, функция у = Дл:), определенная как сумма ряда (2),
удовлетворяет условиям а) и б), характеризующим показательную
функцию.
Мы уже отмечали, что f(l) = e. Тогда из равенства (1)
вытекает, что //2) = /(1 + 1)«/(1)-/(1)~*.*==«», /(3)-/(2 +
+ 1) = /(2) • / (1) = е* • е = е* и вообще / (я) = ё1 для любого
натурального /г. -,
Рассмотрим f(—n). Имеем:
/(-»)•/(я)-/(-я + п)«/(0)-Ь
*~ Значит,
Итак, равенство Цт)**?* справедливо для любого целого т.
. Далее, пусть /Ш = Ь. Тогда
•-/<1)-/(т-+т)-/(т)-/(т)-ь-к-Л"
Значит, Ь — /Ш == бт. Вообще /[—) = в»". Тад как е* = /(т)=*
-/(т+-+тН(т)Г'»'(т)-^
L
л слагаемых
Итак, равенство f (г) = ^ справедливо для любого
рационального числа г. Если л: — иррациональное чийло, то полагаем по
определению е* = litnef. В силу непрерывности функции */ = /(*)
имеем:
/ (лг) = Нт / (г) «= lim ^ =-^*.
Значит,
74

Из равенства (4) следует, что
Значит, при |л:|<1 имеем:
|Ф-»|<|*|(*+*.+--.+А + :->
»|*|.(в-2).
—7 1 \ «* о, т. е. lim—— » 1.
х I X-+Q х
С помощью этого равенства выводится формула
дифференцирования показательной функции (ех)' -»е*.
В большинстве курсов математического анализа число е
определяется не как сумма; ряда
е*=* 1 + 1 +2f + зТ + •■••■■■*■ +П + "** ^
а как предел последовательности г общим членом *« ^ЛД ;+• fjjj •
Покажем, что эти два определения эквивалентны. Для этого
разложим #„«=[1 -\—1 по формуле бинома Ньютона:
д^-l + Q.-i-H-cj.^+ -.+«• з +—+«• i-
+ ... + н jjj.
Разделим на п каждый множитель в числителе каждого
слагаемого:
1
1
*.-1 + 1+.-5Г1 +
,('4} ••••('-'■*),
W~'r'"+ -В + *•• (6)
Так как при любом ft, 1 <ft<» — i, имеем Q<1 *--£•< 1,
и! • ф
к
и
то *
1 1 1
Правая часть получившегося неравенства является частичной
суммой Sk+\ - ряда (5) и потому меньше, чем е. Значит,
75

С другой стороны, при любом е > 0 найдется такое &, что
£ — Sk+1<Y- Оставим в сумме (6) при n>k лишь первые
k + 1 членов. Мы получим, что \ ■
*„>l + i+-^+...+l ,п} „1 2-' , (7)
Для любого m выполняется равенство limfl—2.}= 1, а число
членов в правой части неравенства (7) постоянно. Поэтому
найдется такое М, что при п > М правая часть неравенства (7)
будет отличаться от Sk+1 = 1 + 1 -f-^тН +£г меньше чем на
--, и потому будет выполняться неравенство xn>Sk+1—~.
Поскольку Sk+1>e — у, то получаем, что хп>е — е.
Итак, для любого е > О найдется такое М, что при п > М
имеем е — в<хп<еи потому \хп — е\<г. Это и значит, что
lim хп~е, то есть что lim (1 + -L) = е. Таким образом, опре-
деления числа е эквивалентны.
Принятое нами определение числа е как суммы ряда (5)
позволяет легко доказать иррациональность числа е. В саКюм деле,
из этого разложения получаем, что ~-
e-S * I * I ■ 1 ■
(Л+1)1
'я+1 "~ (л + 1)! "Г" (л + 2)! ^ "Г j(n + Л)! п ~~
Если заменить каждый множитель в квадратных скобках на
п + 2, сумма ряда увеличится. Поэтому
Применяя формулу для суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, выводим, что
e-S - 1 1 .... » + 2 2
е °я+1^(п + 1)! ^ ~(л+1)!(л+1)^(п+1)Г
л + 2
Мы доказали неравенство
76
0<e-Sn+1<7-£1rr (8)

Предположим теперь, что е —рациональное число, е = ~.
Ясно, что гс> 2, так как сумма ряда^ + ~ Н +^fH
меньше единицы. Умножая неравенство (8) на п!, получаем
0<n\-e-n\.Sn+1<JJL[. J
Поскольку п > 2, то отсюда следует
0<n\e-^n\'Sn+1<j. (9)
Но, по предположению, е = — и потому
м! • е —л! • 5й+1 = л! • -2—n!—n!—-j-—••• — ~
Так как п\ делится и на /г, и на k\ при & < п, то все члены в
правой части равенства целые числа, и потому п\ • е — п\ • Srt+1
тоже должно быть целым числом. Но между нулем и у нет
целых чисел, а потому наше предположение о рациональности
числа е ложно. Значит, е — иррациональное число.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . i ♦♦....;. .3
Глава I. Числовые последовательности
§^1. Действительные числа 5
1. Аксиоматика положительных
действительных чисел (5). 2. Аксиома непрерывности
в /?+ -(6). 3. Рациональные приближений
действительных чисел (8). 4. ^'Бесконечные
десятичные дроби *(9). б. Множество всех
действительных чисел (9). 6. Непрерывность
арифметических операций в R (10).
§ 2. Предел последовательности и его свойства .12
1. Определение последовательности и способы
ее задания (12). 2. Определение предела
последовательности (16). 3. Геометрический
смысл понятия предела последовательности
(19). 4. Свойства пределов
последовательностей (20).
§ 3. Арифметические операции над пределами . . . . 22
§ 4. Условия существования предела 27
1. Предел рекуррентно заданной
последовательности (27). 2. Теоремы о пределе
монотонкой последовательности (28). 3. Теорема
о стягивающейся системе отрезков (31).
§ 5. Числовые ряд» • . • 32
1. Вводные замечания (32). 2. Основные
понятия, связанные с числовыми рядами (34).
3. Свойства сходящихся рядов (37). 4.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными
членами (38). 5. Знакочередующиеся ряды (42).
6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды (43).
78

Глава 11. Непрерывные функции
§ 1. Определение непрерывности функции в точке 47
' 1. Задача о площади квадрата (47). 2.
Непрерывные и разрывные процессы (47). 3.
Определение непрерывности функции в точке (49).
4. Доказательство непрерывности некоторых
элементарных функций (50). 5. Точки
разрыва (52).
§ 2. Арифметические операции над непрерывными функциями 54
§ 3. Свойства непрерывных функций . . - ♦ .57
§ 4. Предел функции .. 64
1. Предел функции в точке и его свойства
(64). 2. Определение предела функции в точке
«на языке £—5» (67). 3.-Предел функции на
бесконечности (69). 4. Асимптоты (70).
§ 5. Показательная функция 72

ИБ № 1498
Наум Яковлевич Виленкин
Александр Григорьевич Мордкович
ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Редактор Г. С. Уланский
Обложка художника И. А. Сайко
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технические редакторы К. К. Колпакова,
Е. Н. Зелянина
Корректор Я. И. Котельникова
Сдано в набор 3/V 1977 г. Подписано к печати 22/VIII
1977 г. 60X907i6. Бумага типограф. № 3. Печ. л. 5,0.
Уч.-изд. л. 4,60. Тираж 150 тыс. экз.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Просвещение» Государственного комитета
Совета Министров РСФСР по делам издательств, ,
полиграфии и книжной торговли.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Харьковской книжной фабрики
им. М. В. Фрунзе в областной типографии управления
издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского
облисполкома, г. Иваново-8, ул. Типографская, 6.
Заказ 8809.
Цена 10 коп.