Играет ли Бог в кости? Математика хаоса - Иен Стюарт

Автор: Иен Стюарт

Теги: физика философия математика

Год: 1990

Похожие

Арт-фрактал. Сборник статей

Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса

Война в эпоху разумных машин

Современная война в эпоху разумных машин

Текст

http://imi.sitc.ru/~amleonov/Stuart/Index.html
1of1
04/15/06 21:21
?
Basil Blackwell, Cambridge, MA. 1990. 348 pp.
.
--
.
pdf-
.
.
(
.1-8.
»340 K
)
.
?(
. 9-11.
» 307
)
(
. 12-32.
» 1.8
)
1.
(
. 33-56.
»1.3
2.
(
. 57-71.
» 1.4
)
3.
(
. 72-89.
» 1.3
)
4.
(
. 90-116.
» 800
)
5.
(
. 117-152.
» 755
)
6.
(
. 153-173.
» 1.2
)
7.
(
. 174-197.
» 691
)
8.
(
. 198-227.
» 2.8
)
9.
(
. 228-252.
» 1.4
)
10.
(
. 253-283.
» 5.2
)
11.
(
. 284-305.
» 1.7
)
12.
(
. 306-328.
» 509
)
13.
,
(
. 329-350.
» 508
)
14.
(
. 351-380.
» 2.2
)
15.
.
(
.381.
» 73
)
(
. 382-384.
» 272
)

Предисловие переводчика
Бум публикаций, посвященных хаосу в детерминированных динамиче-
ских системах, побил все рекорды. Число работ, посвященных этому
вопросу и его приложениям, исчисляется десятками тысяч и растет
год от года. Вместе с тем отечественные книги на эту тему можно пе-
речислить по пальцам1. Особенно это касается массовой, популярной
литературы по проблемным, мировоззренческим вопросам современ-
ного естествознания, ориентированной на ученых и специалистов, ко-
гда так быстро растет вал публикаций посвященных самым смелым
интерпретациям этой теории.
Книги Иена Стюарта, математика и известного популяризатора
точных наук, хорошо знают в нашей стране. Достаточно назвать его
(совместно с Тимом Принстоном) монографию Теория катастроф и
ее приложения, а также изданную для "взрослых" детей книгу Тайна
катастрофы. Популярность изложения в них не мешает автору изла-
гать очень актуальные и важные проблемы современной математики.
В его книгах много шуток, оригинальных сравнений, стихов, цитат --
словом всего того, что делает чтение занимательным, интересным и
содержательным. Особенно импонирует позиция автора, занимаемая
им в отношении к математике, существенно иная, чем в подавляющем
большинстве отечественных книг, как правило демонстрирующих, что
математика это только инструмент, язык, но не орудие познания, на-
ходящееся на передовых позициях. В книге Стюарта у математики
совсем иная роль, он рассматривает математику как авангард челове-
ческих знаний, как сферу наиболее универсальной науки, активно и
самостоятельно прокладывающую пути в неведомое, к тем явлениям
действительности, физические механизмы которых только угадывают-
ся во мраке неизвестности.
Эта книга посвящена прикладной математике, её роли и месту в
современном мире, которая рассматривается через призму фундамен-
тального изменения парадигмы современной науки её переориента-
ции на преимущественное изучение нелинейных процессов, как веду-
1Перечень важнейших зарубежных работ и отечественных публикаций, приведен в
конце книги. Прим. пер.

2
Предисловие переводчика
щих в объяснении наиболее актуальных для человека сложных явле-
ний. Книга ориентирована на новое поколение прикладных математи-
ков. Автор старается выявить истоки новых научных представлений,
раскрыть их суть, показать имеющиеся трудности и нащупать доро-
гу в будущее. Большое внимание в ней уделено различным уловкам,
которыми пользуются математики и их настоящему месту в науке.
Автор доверительно делится с читателем своими мыслями и мнения-
ми многих известных людей. Рассказывая об истории, он не забывает
упомянуть обо всех участниках этой работы, что выгодно отличает эту
книгу от ряда отечественных публикаций, авторы которых заботятся
не столько о читателе, сколько о своем приоритете.
Другим, не менее важным аспектом математических взглядов Ие-
на Стюарта, является его активная пропаганда математических воз-
можностей компьютеров, основанная на понимании их конструктив-
ной роли в современной науке и особенно в математике. К сожале-
нию, такие воззрения встречают у нас достаточно холодный прием и
остаются чуждыми подавляющему большинству отечественных мате-
матиков, до сих пор рассматривающих компьютер, как большой ариф-
мометр для реализации алгоритмов, а не как универсальный матема-
тический инструмент, без которого многие математические открытия
ХХ в. попросту были бы невозможны. В значительной мере это каса-
ется рассматриваемых в книге аспектов теории нелинейных динами-
ческих систем. Вместе с тем, автор предостерегает от непродуманно-
го, механического применения машин, показывая скрытые подводные
камни.
Наконец, эта книга в значительной мере посвящена тому, что из-
вестно, как пределы знания. В ней популярно рассказывается о со-
стоянии, достижениях и неясных, спорных моментах существующих
представлений о хаосе и связанных с ним вопросов. Рассматриваются
мнения, методология и проблемы применения прикладной математики
в различных сферах современной науки. Особое внимание автор обра-
щает на механизмы явлений, стараясь во всех случаях сделать изло-
жение наглядным, и показать существующие неясности. Книги такого
рода нехарактерны для отечественных публикаций, авторы которых,
по сложившейся традиции, главным образом стараются говорить об
известном, или тщательно изолируют читателя от того, что на самом
деле является кухней науки, знания которой порой так не хватает бу-

Предисловие переводчика
3
дущим исследователям. Беда в том, что в нашей стране исследователей
готовят главным образом физики, а дело математики простое... надо
вот посчитать!
Эта книга, как и предыдущие работы Иена Стюарта, меньше всего
похожа на традиционные книги по проблемам физики и истории ма-
тематики. К ней в полной мере относится замечание переводчика кни-
ги Теория катастроф и ее приложения, А. Чернавского, с грустью
отметившего . . . виртуозное использование автором возможностей со-
временного английского языка . С ними связаны основные трудности
перевода. Как известно, язык -- это феномен, который наиболее полно
и образно характеризует душу создавшего его народа. Рационализм и
лаконичность англичан общеизвестна. Поэтому роль контекста в ан-
глийском языке существенно иная, чем в русском. Английское предло-
жение без контекста, часто невозможно правильно понять, в то время
как в русском продолжает жить известная со школы догма: предло-
жение -- это законченная мысль. Поэтому при переводе, некоторые
предложения потребовали необходимых для понимания дополнений.
Специальным образом такие дополнения, как правило, не выделялись,
но есть и исключения из этого правила.
В целом процесс перевода такого рода книг, можно разбить на три
относительно независимые фазы: смысловой перевод, трансформация
текста для соответствия нормам русского языка, интерпретация тер-
минов и понятий. Сначала, необходимо правильно осмыслить содер-
жание, понять цель автора, разглядеть взаимосвязь фраз и пр., то
есть узреть "ребенка в ванной". Затем, важно организовать изложение
так, чтобы читающий не почувствовал неудобств при чтении, чтобы
разница нотаций не бросалась в глаза, и он ясно понимал прочитан-
ное. При этом переводчик может затушевать, либо подчеркнуть смысл
отдельных фраз как сознательно, так и бессознательно -- вследствии
недостаточного понимания. Здесь важно при ликвидации повторов и
упрощении фраз "не выплеснуть с водой и ребенка". На третьей стадии
осуществляется по-возможности полная замена английских терминов
-- эквивалентыми русскими, если они имеются, либо -- создание адек-
ватной русской терминологии. Это наиболее трудная и спорная фаза,
чреватая превращением перевода в интерпретацию. Грань эта тонка,
но она всегда присутствует, и требует бережного к себе отношения.
Что-то похожее на клятву Гиппократа, должен, видимо, давать и пе-

4
Предисловие переводчика
реводчик: не навредить создателю оригинала, по возможности полно
и целостно донести до читателя его мысли, сравнения и сомнения.
Далеко не всегда эта последовательность фаз различается и огова-
ривается. Зачастую замена терминов на последней фазе неправомерна
и даже ошибочна, она ведет к неоправданной упрощенческой адап-
тации текста и терминологической путанице. В настоящем переводе
адекватные русские термины удалось отыскать далеко не во всех слу-
чаях, поэтому автору перевода едва ли удалось миновать подводные
камни. Поэтому неясности и сомнительные термины, как правило, ого-
вариваются в подстрочных примечаниях. Все термины и смысловые
понятия также, по возможности полно, представлены в Предметном
указателе, заменившем традиционный английский Индекс.
Автор достаточно свободно вводит авторские замечания, употреб-
ляет сравнения и образные метафоры, несвойственные отечественной
традиции изложения научно-популярных книг, в которых такие воль-
ности обычно заключены в кавычки. При переводе такая редакция
текста была по-возможности сохранена, поскольку привела бы к утра-
те авторского отношения к проблеме, на самом деле совсем нетриви-
ального.
Кроме того, автор почти всюду обращается непосредственно к чи-
тателю на "ты" (You) и вместе с ним переходит от заключения к заклю-
чению, от вопроса к вопросу. Он говорит, вы можете сами доказать,
что . . . Традиционно на русский язык такие предложения переводят-
ся как безличные: существует, можно доказать. Это касается и дан-
ного перевода, однако в целом ряде случаев при этом утрачивается
авторская интонация, некоторые предложения становятся неуместны-
ми, перевод превращается довольно грубую интерпретацию. Поэтому
во многих местах этой книге сохранно авторское обращение к читате-
лю, хотя осуществить это в полной мере, видимо, не удалось.
При переводе по возможности сохранен оригинальный стиль автор-
ского издания. В частности, оставлены не соответствующие нормам
русского языка, но широко употребляемые автором прописные буквы
для обозначения неодушевленных объектов, например, Хаос. Однако
из этого правила есть исключения, например, напечатанное везде с
прописной буквы слово Бог (God) или Божество (Deity) во всех слу-
чаях переведено как бог и божество соответственно.
Автор широко использует наглядные образы и геометричекие пред-

Предисловие переводчика
5
ставления, не очень принятые в отечественной литературе. Однако
оригинальность и вся философия автора ратует за подобный подход.
Об этом достаточно много сказано в тексте самим автором. В силу
этого, в тексте, в ряде случаев при переводе термины "видение" и "по-
нимание" практически не различаются, в то время как в отечетвен-
ной литературе это далеко не идентичные понятия. При переводе, для
улучшения передачи смысла иногда слова "видеть (see)" переводится
как "понять".
Часто употребляемые в оригинальном тексте цитаты, обрамлен-
ные в оригинале верхними кавычками, в данном издании выделены
типографскими кавычками: Цитата . Выделяемые для специального
рассмотрения понятия, напечатанные в оригинале верхними кавычка-
ми, выделены при переводе, в соответствии с нормами русского языка,
двойными кавычками, например, как "закон". Все вновь вводимые тер-
мины и понятия, например хаос, напечатанные в оригинале курсивом,
аналогичным образом выделены при переводе. Названия научных ра-
бот, книг и статей, приводимые автором, также выделены в оригинале
курсивом. При переводе они набраны аналогично, как-то Играет ли
Бог в кости? В оригинале также приведен перечень всех 140 иллю-
страций, содержащий источник каждого, с необходимыми благодарно-
стями. Поэтому каждый рисунок завершается заключенной в круглые
скобки ссылкой на источник. При переводе этот перечень, мало что
говорящий отечественному читателю, опущен, но ссылки на источник
в самих иллюстрациях сохранены.
Напечатанные в оригинале даты переведены аналогично, то есть
они не содержат ненужных для понимания смысла, но обычно употреб-
ляемых в отечественной нотации пояснений: "г." или "гг.". Так, вместо
"в 1902 г. ...", в переводе, как и в оригинале, сказано: "в 1902..." По воз-
можности сохранены также часто употребляемые автором понятия.
Вместе с тем, нейтральные и широко употребляемые в тексте поня-
тия, имеющие несколько эквивалентных переводов на русский язык,
переводились по-разному, в соответствии с контекстом. Так, например,
термин "универсум" часто, но не всегда, заменен более употребитель-
ным в русском языке словом -- вселенная. Термин "регулярность", име-
ющий в русском языке более узкий смысл, переведен в зависимости от
контекста, и как "регулярность" и как "правильность". Аналогичным
образом употребляется в тексте и понятие "нерегулярности", обычно

6
Предисловие переводчика
как неправильности, отклонения и даже нарушения закона. Все со-
мнительные употребления понятий при переводе оговариваются.
В авторском тексте много собственных имен, транскрипция кото-
рых осуществлена по стандартным правилам и, по возможности, от-
корректирована с использованием известных словарей и имеющимся
переводам оригинальных работ автора. Вместе с тем при переводе це-
лого ряда авторских терминов и сравнений, а также имен не удалось
найти соответствующие аналоги в отечественной литературе, поэто-
му для них приводится также оригинальный английский термин. Но
оригинал все же несколько изменен в соответствии с принятыми в оте-
чественно литературе нормами, например, номера столетий набраны
не арабскими, как во оригинале, а римскими цифрами, а само слово
столетие (century) переведено как век. Некоторые предложения объ-
единены, другие разъединены для улучшения понимания. Кроме того
некоторые контекстно зависимые предложения пришлось дополнять
для понимания, не всегда оговаривая такие детали.
В настоящем издании сохранены рисунки оригинала, включенные
автором и необходимые для понимания текста. Они были отсканиро-
ваны, а важные надписи на рисунках -- переведены. К сожалению,
при этом не удалось обеспечить высокое качество, что отчасти связа-
но с использованием в качестве источника уже неоднократно переиз-
данный таким способом оригинал. Был заново составлен Предметный
указатель, в основу которого был положен оригинал, расширенный
именами, которые автор не включил в индекс, как-то авторов про-
цитированных в книге художественных произведений, которые мало
известны в России. Не все имена исследователей удалось разыскать в
отечественной литературе, поэтому транскрипция их на русский язык
сопровождается английским оригиналом.
Хотя с момента публикации книги прошло уже восемь лет и за это
время исследования хаоса продвинулись далеко вперед, идеи и мысли
автора не потускнели. Истекшие годы не изменили фундаментальных
результатов, ставших уже классическими, а интерес к ним только воз-
рос. Вместе с тем, новые исследования принесли также новые резуль-
таты и неожиданности. В основном они касаются приложений. На но-
вом этапе к исследованиям хаоса в полной мере подключились физики,
они стали находить нелинейности там, где без них ранее вполне обхо-
дились. Объектами точных наук стали кризисы и методы управления

Предисловие переводчика
7
хаосом. Более подробно о новых исследованиях, в особенности об оте-
чественных работах по T-слою, режимах с обострением и пр., можно
прочитать в недавно вышедшей книге С. П. Капицы, С. П. Курдюмова
и Г. Г. Малинецкого, указанной в списке отечественных публикаций, в
конце книги.
Переводчик выражает признательность всех тем, кто прочитал пе-
ревод и высказал замечания, способствовшие его улучшению в части
передачи смысла и языка оригинала. Сканирование текста и рисунков
осуществлено Леоновой А. С.. При переводе была использована систе-
ма отечественного перевода Stilus версий 2.5 и 3 фирмы Prompt.
Текст подготовлен для печати в системе MiKTeX, версии 2.2, сво-
бодно распространяемой по лицензии GNU в сети Интернет. При верст-
ке использовалась программа-редактор WinEdT 2.4.
Большие усилия по исправлению первоначального текста были пред-
приняты доцентами МФ ЯГУ Ю. И. Трофимцевым, Л. Т. Котуковой.
Их исправления и замечания позволили уточнить смысл и улучшить
понимание отдельных фраз и оборотов, уточнили целый ряд терминов
и понятий, а также в значительной мере освободили текст от несвой-
ственных русскому языку выражений, рыхлых, громоздких и неудобо-
варимых фраз и множества ошибок. Наконец весь текст в последней
редакции перевода был прочитан и выправлен А. С. Леоновой.
18 февраля 1999 года, г. Якутск
А. М. Леонов.
Post Scriptum
У этого перевода странная судьба. Более 6 лет назад тогдашний ди-
ректор ИМИ ЯГУ увез эту книгу в Москву, чтобы пользуясь возмож-
ностью, на юбилее А. А. Самарского, решить её дальнейшую судьбу.
Книге требовалась научная редакция, необходимо было решить во-
просы прав на издание, найти издателя, связаться автором и пр. Но
случилось невероятное. Книга затерялась. Сам директор уверял меня,
что вручил книгу лично С.П.Курдюмову. Но куда она ушла потом он
не знал. Ни ответа, ни привета. Что же это означает, или как можно
понять возникшую ситуацию?

8
Предисловие переводчика
Немного позднее, в 2002 году, я попытался предложить эту ру-
копись издательству Эдиториал УРСС . Они попросили посмотреть
первые главы и после этого, как "воды в рот набрали". Ни ответа, ни
привета? На все вопросы -- молчание.
Можно привести массу разных соображений по поводу того, поче-
му это случилось: "никто не был уполномочен", "некогда", "слишком
много чести, чтобы писать ответ", "очень сыро, плохо и некорректно"
и пр. Но мне кажется, что причина здесь чисто российского свойства,
это особенность отечественного научного менталитата. В свое время
Г. П. Щедровицкий в своих воспоминаниях ("Я всегда был идеали-
стом". М.: Путь, 2001.), незадолго до своей кончины, сделал следующее
замечание по поводу того, что в нашей стране так медленно издают-
ся труды Л. С. Выготского, по одному тому в год. Потом, пишет он,
я понял -- пока все не отсосут, не выпустят. То же, представляется
мне, происходит и с книгой Иена Стюарта, которая содержит слишком
много идей, способных если не взорвать, то по меньшей мере заметно
всколыхнуть наш научный истэблишмент.
Книга, которая несомненно была бы интересна прикладным мате-
матикам, физикам, химикам, биологам, геологам и философам, словом
всем тем, кто интересуется новыми научными направлениями, наукой
о сложности и синергетикой, оказалась выброшенной. Чтобы затраче-
ный на её перевод труд вообще не оказался невостребованным я се-
годня решился представить свой перевод книги Иена Стюарта на суд
русскоязычных читателей совершенно открытым образом. И хотя я в
полной мере сознаю, что нарушаю права автора, но в какой-то мере
меня может извинить тот факт, что с момента публикации оригинала
прошло без малого 15 лет, и что делается это без какой-либо даже ми-
нимальной коммерческой выгоды. Разумеется, перевод несовершенен
и в нем много ошибок. Но откуда происходят хорошие переводы и спо-
собен ли перевод в полной мере заменить оригинал? Это вопросы для
философов, и очень даже не простые.
21 марта 2005 года Якутск
А. М. Леонов

Часовой механизм или Хаос?
Вы верите в Бога, который играет в кости,
а я в совершенные законы и порядок.
Альберт Эйнштейн,
письмо к Максу Борну .
По одной из теорий, история развивается циклически: когда вере-
ница человеческих событий завершает свой полный цикл, он повто-
ряется снова, на новом уровне, подобно винтовой лестнице. Но такое
качение маятника культурных перемен не просто повторяет одни и
те же события. Неважно, верна эта теория или нет, но она позволяет
сконцентрировать наше внимание на цикличности событий. Содержа-
ние этой книги тоже образует такой полный спиральный цикл: хаос
прокладывает путь порядку, а тот, в свою очередь, рождает новые
формы хаоса. В качении маятника мы ищем не противодействие хао-
су, а способ понимания его.
В далеком прошлом наши предки рассматривали природу как ка-
призное создание, и отсутствие какого-либо порядка в окружающей
среде приписывали прихоти сильных и непонятных богов, которые
управляли миром. Хаос царствовал, а закон был невообразимым.
Через несколько столетий человечество постепенно убедилось в том,
что в природе имеется много регулярностей, которые могут быть запи-
саны, проанализированы, предсказаны и использованы. В XVIII сто-
летии наука столь успешно открывала законы природы, что многие
полагали, что осталось открыть совсем немного. Неизменные законы
описывали движение каждой части вселенной точно и навсегда: за-
дача ученого состояла в том, чтобы объяснить подразумеваемую эти-
ми законами сущность в каждом конкретном случае, или найти закон
для любого представляющего интерес частного явления природы. Хаос
проложил путь к механическому -- напоминающему старинные часы,
-- видению мира2.
Однако время движется вперед и наше представление о вселенной
расширяется. Сегодня даже наши часы не являются механическими,
так почему же должно сохраняться прежнее представление о мире? С
2Более точно clockwork world. Прим. пер.

10
Часовой механизм или хаос?
возникновением квантовой механики механический мир стал космиче-
ской лотереей. Фундаментальные события, такие как распад радиоак-
тивных атомов, определяются вероятностью, а не законом. Несмотря
на шумный успех, предсказательные возможности квантовой механи-
ки не были привлекательными. Знаменитое возражение Альберта Эйн-
штейна по этому поводу, которое он высказал в своем письме к Максу
Борну, приведено выше. Эйнштейн говорил о квантовой механике, но
его философия еще находилась в плену традиций классической меха-
ники, которой индетерминизм был чужд. Метафора об игре в кости,
как о методе оценки шансов, проходит красной нитью через всю эту
книгу. Действительно ли детерминизм оставляет место для выбора?
Остается увидеть, прав ли был Эйнштейн относительно квантовой
механики. Однако следует иметь в виду, что мир классической ме-
ханики является более таинственным, чем представлял его себе Эйн-
штейн. Резкое различие между случайным выбором и детерминизмом
законов, которое он старался подчеркнуть, переросло ныне в новый
вопрос. Вполне возможно, что Бог может играть в кости и создавать
вселенную, полную законов и порядка, в одно и то же время.
Цикл развития завершился и ныне повторяется на более высоком
уровне. Мы находимся в самом начале открытия того, что системы,
подчиняющиеся неизменным и точным законам, не всегда действуют
в соответствии с предсказаниями и регулярным образом. Детермини-
рованные законы могут порождать поведение, в котором проявляется
случайность. Порядок может порождать свой собственный тип хаоса.
Поэтому неважно, играет ли Бог в кости, а важно как он делает это.
Это поразительное открытие и его воздействие на науку еще недо-
статочно осмыслено. Представления о предсказуемости и воспроизво-
димости эксперимента приобретают новые черты, когда мы смотрим
на них через хаос. При этом то, что было простым, становится слож-
ным и возникают новые, волнующие вопросы о проведении измерений,
предсказуемости и верификации или фальсификации теорий.
С другой стороны, сложное может оказаться простым. Явления,
кажущиеся бесформенными и случайными, могут на самом деле под-
чиняться простым законам. Детерминированный хаос определяется
собственными законами и вдохновляет нас на создание новой экспе-
риментальной техники. В мире нет хранилищ, где содержались бы
природные нерегулярности, и только некоторые из них подтвержда-

Часовой механизм или хаос?
11
ют, что являются физическим проявлением математики хаоса. Тур-
булентное течение жидкости, вариации магнитного поля Земли, нару-
шение сердечного ритма, конвективные ячейки в жидком гелии, па-
дение небесных тел, бреши в строении астероидного пояса, рост по-
пуляций насекомых, капанье воды из крана, протекание химических
реакций, метаболизм клеток, перемены погоды, распространение нерв-
ных импульсов, колебания в электрических цепях, движение корабля
на якоре, отскакивание биллиардных шаров, столкновения атомов в
газе, основополагающие неопределенности в квантовой механике -- это
те проблемы, в которых выявлена математика хаоса.
Это совершенно новый мир, новый тип математики, фундаменталь-
ное проникновение в понимание нерегулярностей природы. Мы явля-
емся свидетелями ее рождения.
Будущее этой математики еще не является определенным.

Глава 1
Хаос из Порядка
Вновь твоя ужасная империя,
Хаос возрождается!
Свет умер и восстал твой мир,
Твоя власть, великий Анарх!
Пусть упадёт занавес,
И всеобщий мрак объемлет все.
Александр Поуп. Страна дураков.
Извечная борьба между порядком и беспорядком, гармонией и хао-
сом неизменно присутствует в глубоко прочувствованных представле-
ниях человека об универсуме, она объединяет создателей мифов раз-
ных культур. В космологии древних греков хаос -- это первобытная
космическая пустота и подземный мир, в котором обитают мертвые. В
Ветхом завете сказано: Земля была безвидна и пуста, и мрак над без-
дною . В древневавилонском эпосе вселенная возникла из хаоса после
уничтожения богом-отцом своего непокорного семейства. Хаос -- это
первичная бесформенная масса, из которой впоследствии был образо-
ван упорядоченный универсум -- вселенная (Рис. 1.1). Порядок и хаос
при этом являются противоположностями, полюсами, на которых ба-
зируются все интерпретации мира.
Какие-то врожденные побуждения заставляют человека стремить-
ся к пониманию регулярностей в природе, они вдохновили его на по-
иск закономерностей в сложной изменчивости универсума, позволи-
ли выявить порядок в хаосе. Даже древнейшие цивилизации имели
изощренные календари для определения времен года и астрономиче-
ские знания, необходимые для предсказания затмений. Древние люди
выделяли фигуры на небе и слагали легенды о звездах. Они создали
пантеоны богов, чтобы объяснять превратности судьбы в случайном и
непонятном мире. Тогда же возникли циклы, формы, числа, матема-
тика.

14
1. Хаос из Порядка
Рис. 1.1. История Земли (по часовой стрелке от правого верхнего угла): жид-
кий хаос, древняя Земля, Земля во время Всемирного потопа, современная Земля,
Земля во время Всемирного пожара, который должен наступить, Земля во вре-
мя Второго пришествия Христа, и неумолимое превращение Земли в звезду. (Из
книги Томаса Барнета Теория Земного развития, 1681).

1. Хаос из Порядка
15
Неразумное объяснение
Физик Юджин Вигнер писал о непонятной эффективности матема-
тики при описании структуры физического мира. Математика воз-
никает из вопросов о физическом мире и зарабатывает себе на хлеб
тем, что дает ответы на некоторые насущные вопросы. Но этот про-
цесс редко течет в одном направлении. Нередко математическая идея
возникает сама по себе, затем существует как бы в забвении, развива-
ется и обсуждается как объект чистой математики до тех пор, пока ее
физическая важность не раскрыта, а ее внутренние секреты не стано-
вятся общим достоянием. Возможно математика эффективна потому,
что она представляет собой низкоуровневый язык человеческого моз-
га. Возможно, что только модели мы в состоянии рассматривать как
математические объекты, и поэтому математика -- это инструмент на-
ших представлений. Возможно, математика эффективна в существу-
ющей организации природы потому, что она обусловлена ее физиче-
ским существованием. Возможно, что ее успех является космической
иллюзией. Возможно, что в дйствительности не существует реальных
моделей, а имеются только те, которыми мы слабоумно обманываемся.
Все это вопросы для философов. Практическая же реальность такова,
что математика является наиболее эффективным и надежным мето-
дом среди всех нам известных для понимания окружающего мира.
В год, когда я пишу эти строки, исполняется 300 лет со дня беспре-
цедентной публикации Mathematical Principles of Natural Philosophy1
Исаака Ньютона (Рис. 1.2). И ныне ежегодно продается по 700 экзем-
пляров этой книги, главным образом для студентов колледжей сво-
бодных искусств2, обучающихся по первоисточникам для получения
звания магистра. Такая долгая популярность удивляет, но ее превос-
ходит любой бестселлер. Тем не менее послание Ньютона пропитывет
устои нашей культуры.
Оно гласит: Природа имеет законы, и мы должны найти их.
Ньютоновский закон гравитации -- это просто. Каждые две части-
цы во вселенной притягиваются друг к другу с силой, которая в точной
1Математические принципы натуральной философии.
2В оригинале liberal arts. Во многих странах Европы и Америки математика не счита-
ется естественной наукой и, наряду с историей, юриспруденцией, философией и другими
спекулятивными науками, относится к числу свободных искусств, а потому и изучается
в соответствующих колледжах. Прим. пер.

16
1. Хаос из Порядка
и простой форме зависит от их масс и расстояния между ними (она
пропорциональна произведению масс, деленному на квадрат рассто-
яния между ними). Этот закон можно сократить до короткой алгеб-
раической формулы. В паре с другим законом Ньютона о движении
(ускорение тела пропорционально действующей на него силе), им мож-
но объяснить все богатство наблюдаемых в астрономии искривлений
пути: от проходящих через Зодиак планет до колебаний Луны на своей
оси, от резонирующих невидимых спутников Юпитера до слегка ис-
кривленных двойных звезд, от брешей в кольцах Сатурна до рождения
галактик. Просто. Элегантно. Неуловимо.
Порядок из хаоса
Ньютон был честолюбивым человеком. Он и слышать не хотел о мень-
шем, чем система мира, теория Всего.
В представлениях своего времени он превзошел свою неистовую
мечту. Более двух столетий законы Ньютона царствовали над ми-
ром, как окончательное описание природы. Только в микроскопиче-
ских атомных доменах и на гигантских космических расстояниях су-
ществуют незначительные различия между природой, согласно Нью-
тону, и действительностью, какой мы ее знаем. В этих областях пред-
ставления Ньютона были заменены квантовой механикой и теорией
относительности. Современные физики еще раз опросили чашу Гра-
аля о теории Всего, супергравитации, сверхзвездах, кварках, хромо-
динамике, нарушении симметрии и Великой Единой теории. По их
представлениям, мы живем в мире 26 измерений (или возможно их
не более 10), большая часть которых, кроме четырех, плотно скруче-
ны и напоминают ужасного армадилла3. Они могут быть обнаружены
только по их дрожанию4. Мы не можем пока сказать, являются ли
эти представления преходящими фантазиями или видениями будуще-
го. Но пока теория вытесняет теорию, парадигма сменяет парадигму,
одна вещь остается постоянной: релевантность5 математики. Законы
природы являются математическими, Бог -- геометр.
3Вид броненосцев. Прим. пер.
4В авторском тексте shivering. Иногда говорят о вздрагивании, вибрации и др.
Прим. пер.
5То есть уместность, целесообразность использования. Прим. пер.

1. Хаос из Порядка
17
Рис. 1.2. Исаак Ньютон. (С гравюры по рисунку Годфри Кнеллера).

18
1. Хаос из Порядка
Механический мир
Революция в научном мышлении, наиболее полно выраженная в зако-
нах Ньютона, привела к рассмотрению универсума как гигантского ме-
ханизма, функционирующего подобно механическим часам. Хотя мы
живем в эпоху цифровых часов, но эту метафору мы будем использо-
вать и в дальнейшем для представления о максимальной надежности
и законченном совершенстве. Важно, что такие механизмы являются
предсказуемыми: в идентичных условиях происходят одни и те же со-
бытия. Всякий инженер знает: если состояние машины в некоторый
момент времени известно, то можно, в принципе, точно предсказать
ее дальнейшее поведение. Однако оставим до лучших времен вопрос
о том, что произойдет исходя не из высоких принципов теории, а на
практике, и попытаемся понять, почему ученые XVII и XVIII веков
руководствовались тем, что на первый взгляд кажется бесплодным и
стерильным в отношении действительного мира, полного чудес и сюр-
призов.
Ньютон придал своим законам форму математических уравнений,
которые связали не только величины, но также и скорости изменеия
этих величин. Если под действием постоянной силы тяжести тело сво-
бодно падает, то это значит, что его скорость не остается постоянной,
иначе оно парило бы над землей без опоры. Важно то, что скорость, то
есть мера изменения положения тела, непостоянна: чем дольше длится
падение, тем быстрее движение. Поэтому падать с высоких зданий бо-
лее опасно, чем с невысоких. Только ускорение -- скорость изменения
скорости тела, -- остается постоянным. Возможно это рассуждение
объяснит, почему потребовалось так много столетий, чтобы столь про-
стая динамическая регулярность была наконец замечена: закон прост
только для тех, кто овладел новой концепцией простоты.
Уравнения, которыми описываются скорости изменения, называ-
ются дифференциальными. Скорость изменения некоторой величины
определяется изменением значений этой величины между двумя со-
седними моментами времени. Слово "дифференциал" пронизывает всю
математику: дифференциальное исчисление, производная, дифферен-
циал, дифференциальное уравнение. Даже решение систем алгебраи-
ческих уравнений, не содержащих скоростей, не всегда является лег-
ким делом, хотя многие и знают, как это делать, но решение диффе-
ренциальных уравнений на порядок сложнее. Оглядываясь назад из

1. Хаос из Порядка
19
конца XX столетия, необходимо отметить, что большим достижением
за этот период является уяснение того, что многие важные дифферен-
циальные уравнения могут быть решены, если проявить достаточную
изобретательность. Целые разделы математики выросли из необходи-
мости понять отдельные, решающие6, дифференциальные уравнения.
Несмотря на технические трудности решения отдельных уравне-
ний, общие принципы получения решений могут быть установлены.
Ключевым принципом этой работы является единственность реше-
ния уравнений, описывающих движение динамических систем, если
исходные положения и скорости всех компонент системы известны.
Велосипед имеет 5 или 6 движущихся частей: если мы знаем как дви-
гается каждая из них в данный момент, то мы можем предсказать
движение велосипеда после того, как он пущен вниз по дороге, и до
его падения в придорожную канаву. В более широком плане: если в
некоторый момент времени мы знаем положение и скорость каждой
частицы материи в Солнечной системе, тогда все последующее разви-
тие этих частиц полностью определено.
В этом утверждении для простоты предполагается, что сторонние
влияния на движение отсутствуют. Но если принять их во внимание,
то мы получим такую интерпретацию: положения и скорости всех ча-
стиц материи универсума, взятые в некоторый фиксированный момент
времени, полностью определяют ее будущую эволюцию. Последую-
щее развитие универсума единственно, оно предопределено динамикой
его пути. Универсум может делать только одну вещь. Красноречи-
вые слова Пьера Симона де Лапласа (Рис. 1.3), одного из ведущих
математиков 18-го столетия, записаны в его Philosophical Essays on
Probabilities7:
Если существует разум, который в любой момент времени
знает все силы, которые оживляют природу и взаимное по-
ложение всего того, что заключает эти силы, и, если этот
разум столь обширен, что может представить эти данные
для анализа, то можно сжать до отдельной формулы дви-
жение как величайших тел, так и легчайших атомов: для
такого разума не может быть ничего неопределенного; и
будущее, и прошлое, может предстать перед его глазами.
6Употреблен эпитет crucial. Прим. пер.
7Философские эссе о вероятности.

20
1. Хаос из Порядка
Это скорее благоговейный трепет перед теми выводами, которые пря-
мо вытекают из замечательной математической теоремы. Ниже я по-
стараюсь показать скрытое в этом вопиющем высказывании интел-
лектуальное жонглирование, но сейчас позвольте предложить иную
его интерпретацию. Не следует забывать, что утверждения, подобные
высказыванию Лапласа, делались в атмосфере возбужденного ожида-
ния новых научных открытий, когда только что механические, тепло-
вые, волновые, звуковые, световые, магнитные и электрические явле-
ния были поставлены под контроль человеческого разума с помощью
одной и той же техники. Это должно было выглядеть как гигантский
прорыв к замечательной истине. Тогда это работало. Так была рожде-
на парадигма классического детерминизма: если уравнения предопре-
деляют эволюцию данной системы единственным образом, без учета
каких-либо случайных внешних помех, тогда ее поведение единствен-
ным образом определено на все времена.
Вояж к Гипериону
Перенесемся в 5 сентября 1977, на Восточный полигон ВВС в Косми-
ческом центре Кеннеди на мысе Канаверал в штате Флорида. Гигант-
ская ракета Титан III-E/Центавp подготовлена к старту и застыла на
направляющих Пускового комплекса 41. Крошечный триумф инже-
нерии, космический корабль Вояджер--1 (Рис. 1), размещен на самой
верхней платформе, карликовой в сравнении с необходимой для него
гигантской ракетой. Истекают последние секунды. Паpа твердотоп-
ливных ускорителей, заполненных алюминиевым порошком и пеpх-
лоpатом аммония запускается с гpохотом, слышным в pадиусе пятна-
дцати километров. Ракета, высотой с пятнадцатиэтажный дом и весом
в 700 тонн, плавно качнулась и заскользила пpямо ввеpх, преодолевая
земное тяготение. Вначале ее движение кажется мучительно медлен-
ным, на первых сотнях метров она сжигает существенную часть топ-
лива. Тем не менее за первые десять часов корабль Вояджер--1 уда-
ляется от Земли на pасстояние, превосходящее радиус лунной орбиты.
Его маршрут пролегает к отдаленным планетам: Маpсу, Юпитеpу,
Сатуpну (Pис. 1.5).
Аналогичный корабль, Вояджер--2, уже стартовал шестнадцатью
днями раньше, а запуск Вояджера--1 был отложен из-за технических

1. Хаос из Порядка
21
Рис. 1.3. Пьер Симон де Лаплас, читающий свою Небесную механику. (С лито-
графии 19-го столетия).

22
1. Хаос из Порядка

1. Хаос из Порядка
23
неполадок. В итоге Вояджер--1, следуя по более быстрой траектории к
Юпитеру, на четыре месяца опередил собрата. Как мы теперь знаем,
Вояджер--1 из-за неожиданного столкновения с Сатурном не завер-
шил свою миссию, однако Вояджер--2 сумел исправить случившееся и
продолжал двигаться к Урану и Нептуну. Только Плутон, из-за свое-
го положения на орбите, оказался недоступен для "Великого Тура" и
избежал исследования.
Полет Вояджеров -- это чудо инженерной мысли, и это также чудо
математики, играющей в этом роль служанки технологии. Математика
управляет проектом исследования и запуском космического корабля.
Математика рассчитывает нагрузки и напряжения в металлической
конструкции корабля, она регламентирует сгорание топлива, описыва-
ет динамику воздушных потоков, обтекающих обшивку космического
корабля при кратковременном преодолении земной атмосферы. Ма-
тематика управляет электронными импульсами, проходящими через
компьютер, в то время как он беспокойно наблюдает за каждым самым
незначительным шагом продвижения космического корабля. Матема-
тика даже осуществляет кодирование сообщений, передаваемых по ра-
дио, с помощью которых земные диспетчеры управляют проведением
исследований, благодаря чему с борта корабля на Землю длительное
время передаются развернутые изображения Солнечной системы.
Сверх всего, математика управляет величественным небесным тан-
цем планет, их лун, и путями Вояджеров, поскольку она определяет
их небесные свидания. Единственный простой закон, который здесь
работает, -- это закон гравитации Ньютона. Так что нет надобности в
усовершенствованиях Эйнштейна: при сравнительно медленных ско-
ростях, которые преобладают в Солнечной системе, точность законов
Ньютона вполне удовлетворительна. Если бы Земля была единствен-
ной планетой в Солнечной системе, то закон Ньютона предсказал бы
как обращаются эллипсы ее орбиты относительно взаимного центра
тяжести -- точки, погруженной глубоко в недра Солнца, потому что
оно много массивнее нашей планеты. В действительности Земля при
этом должна двигаться по эллипсу относительно Солнца, стационарно
располагающегося в одном из его фокусов. Но Земля не единственная
планета в Солнечной системе, иначе зачем же тогда нужно было бы
посылать Вояджер? Каждая планета перемещается в пространстве по
собственному эллипсу, или должна была бы двигаться по нему, если

24
1. Хаос из Порядка
Рис. 1.5. Сатурн и некоторые из его спутников (фотомонтаж данных, получен-
ных Вояджерами.

1. Хаос из Порядка
25
бы не влияние других планет. Они возмущают движения друг друга
и делают их далекими от идеального эллипса, ускоряя или замедляя
движения планет. Космический танец планет является запутанным и
сложным: это некая космическая сарабанда, если рассчитывать их тра-
ектории по Ньютону, largo con gravita8.
Закон описывает каждый шаг танца полностью и точно. Вычисле-
ния нелегки, но они могут быть последовательно выполнены на быст-
родействующем компьютере с точностью, достаточной для целей Во-
яджеров. На основе законов Ньютона астрономы предсказали будущее
положение Солнечной системы более чем на 200 миллионов лет впе-
ред; по сравнению с ним прогноз на несколько лет вперед -- детская
игра.
Прошлое Юпитера опутано загадками и туманно, то же относит-
ся и к Сатурну, знаменитому своими кольцами. Интерес вызывают
и другие его загадки, например, луны. Земному наблюдателю были
известны всего десять его спутников, а Вояджер довел их число до
пятнадцати.
Одна луна, Гиперион, является необычной. Это образование непра-
вильной формы, этакая небесная картофелина. Его орбита точна и ре-
гулярна, но положение на орбите -- нет. Гиперион кувыркается, и не
только относительно своих осей, а сложным, нерегулярным образом.
Однако кувыркающийся Гиперион повинуется законам гравитации и
динамики, и никоим образом не бросает вызов законам Ньютона.
А теперь настало время для нашего гипотетического примера. Пред-
положим, что Вояджер--1 способен измерить кувыркание Гипериона с
точностью до десяти знаков после запятой. Это невозможно, но пред-
положим. Допустим, что по этим данным на основе законов Ньюто-
на земные ученые смогли сделать наилучшее предсказание будущего
движения Гипериона. Спустя всего несколько месяцев после того, как
Вояджер--2 прошел мимо Гипериона, они cмогли бы сравнить свой
прогноз с фактическими данными. И убедились бы. . .
. . .что их предсказание было совершенно неверным.
Прогноз был неточен?
Нет, точен.
Это нарушение закона Ньютона?
Нет. Это предсказание скорее всего неправильно именно благодаря
8Благодаря гравитации. Лат.? Прим. пер.

26
1. Хаос из Порядка
закону Ньютона.
Неопределенность? Случайное проявление внешних воздействий,
таких как газовые облака, магнитные поля, солнечный ветер?
Нет.
Нечто существенно более замечательное: прирожденная особенность
математических уравнений динамики, способность даже простых урав-
нений порождать движения столь сложные, столь чувствительные к
измерениям, что в них начинает проявляться случайность. Соответ-
ствующее название этому явлению -- хаос.
Хаос
Как и все распространенные слова, это слово не имеет каких-либо до-
полнительных, необщеупотребительных значений. Сравните со слова-
рем:Хаос ('keios, греч.) сущ.
1. (Обыч. проп.) Беспорядочная бесформенная материя, предполо-
жительно существовавшая до упорядочения универсума.
2. Сложный беспорядок, чрезмерная путаница.
В соответствии со сказанным, авторы новых словарей должны бы-
ли добавить в конец еще одно определение этого термина. Он был пред-
ложен после некоторого первоначального затруднения на престижной
международной конференции по хаосу, проведенной Королевским Об-
ществом в Лондоне в 1986. Несмотря на то, что все присутствующие
знали, что представляет собой "хаос" -- они все занимались им и на са-
мом деле должны были понимать, о чем идет речь, -- немногие желали
предложить точное определение этого термина. Это обычная практи-
ка "горячих" областях исследований, -- действительно трудно сформу-
лировать определение, когда неполнота знаний очевидна. Во всяком
случае, имеется еще и следующее определение:
3) (Математич.) Стохастическое поведение, возникающее в детер-
минированной системе.
Здесь употребляются еще два общих слова -- "стохастический" и
"детерминированный". Детерминизм Лапласа нам уже знаком. "Сто-
хастический" означает "случайный" . Чтобы понять явление хаоса, мы

1. Хаос из Порядка
27
будем в дальнейшем обсуждать это определение, потому что возникает
парадокс. Детерминированное поведение означает, что оно управляет-
ся в соответствии c точным и непререкаемым законом. Стохастическое
поведение противоположно: беззаконное и нерегулярное, оно управля-
ется случаем. Так что хаос -- это "беззаконное поведение, полностью
управлямое законом".
Подобно Гипериону.
Расчет хаоса
Почему Гиперион ведет себя таким образом? Мы пока не будем гово-
рить об этом, но я могу показать вам более доступный пример хаоса,
с которым вы можете непосредственно экспериментировать. Все, что
для этого нужно, так это карманный калькулятор. Если у вас есть до-
машний компьютер, то его легко можно запрограммировать так, чтобы
выполнить эти расчеты и спасти себя от массы работы.
Движение Гипериона описывается дифференциальным уравнени-
ем, которое говорит нам следующее. Пусть в данный момент времени
мы знаем положение и скорость Гипериона. Тогда имеется четко опре-
деленное правило, которое на основе этих конкретных значений позво-
ляет получить положение и скорость Гипериона в следующий момент
времени. Если применять его снова и снова, сохраняя полученные зна-
чения, то можно в конце концов достигнуть любого наперед заданного
значения времени.
Вы можете возразить, что время бесконечно делимо и в нем нет та-
кой вещи как момент, поэтому нет возможности рассматривать отдель-
но этот и следующие моменты времени. Возможно вы и правы, однако
элеат Зенон и несколько современных физиков не согласились бы с ва-
ми. Поэтому, для определенности, мы будем исходить из положения о
непрерывности времени. Однако существует несколько доказательств
того, что дискретное описание является в сущности корректным. В
частности, благодаря этому можно численное решать дифференциаль-
ные уравнения на компьютере, где "момент" -- это "шаг по времени",
принятый при расчете. Метод работает потому, что очень малые вре-
менные шаги обеспечивают хорошее приближение к непрерывности.
Уравнение для Гипериона содержит много описывающих его пере-
менных: положение, скорость, угловое вращение. Эти данные можно

28
1. Хаос из Порядка
поместить в калькулятор и рассчитать его движение, но жизнь слиш-
ком коротка для этого. Поэтому мы возьмем существенно более про-
стое уравнение. Хочу заметить, что это не повлияет на движение Ги-
периона, но покажет возникновение хаоса.
В моем калькуляторе есть клавиша x2, и я полагаю, что на вашем
она тоже есть. Если нет, то, нажимая на × и последующий знак =,
мы получим тот же эффект. Наберем число между 0 и 1, например
0.54321, и щелкнем по клавише x2. Делаем это снова, еще и еще раз,
и наблюдаем за числами. Что происходит?
Они уменьшаются. Нажимая клавишу своего калькулятора в де-
вятый раз, я получаю нуль, а поскольку 02 = 0, то неудивительно, что
в дальнейшем ничего интересного не происходит.
Такая процедура известна как итерация: выполнение одной и той
же операции много раз. Попробуйте выполнить итерации, используя
некоторые другие клавищи на вашем калькуляторе. В дальнейшем, я
всегда буду начинать с 0.54321, но вы можете, если хотите, начинать
с других значений, кроме 0, конечно. На моем калькуляторе, работа-
ющем в режиме "радианы" 9, после нажатия на клавишу cos приблизи-
тельно сорок раз, я получаю таинственное число 0.739085133, которое
далее не меняется. Догадываетесь ли вы, какими особыми свойствами
оно обладает? Начиная с любого значения, итерации во всех случаях
устанавливают на калькуляторе это единственное число: они проявля-
ют сходимость к устойчивому состоянию.
Клавиша функции tan делает то же самое. Видимость в этом слу-
чае является обманчивой. Я повторял итерации на компьютере до
300 000 раз, но никогда результат не сходился к какому-либо числу и
не становился периодическим, хотя калькулятор позволяет вычислять
функцию в областях, где ее значение увеличивается очень медленно,
скажем всего на 0.0000001 за итерацию. Этот эффект называется пре-
рывистостью, он объясняет почему, на первый взгляд, значения вы-
глядят сходящимися.
Имеется также бесконечно большое количество исходных значений,
для которых в последовательности вычисления tan образуются много-
кратные повторения одних и тех же значений, но только 0 - единствен-
ный случай, где действительно сталкиваешься с нулевым значением.
Типичное же поведение обусловлено прерывистостью.
9То есть углы задаются не в градусах, а в радианах. Прим. пер.

1. Хаос из Порядка
29
Рис. 1.6. Итерации x2 - 1 ведут к регулярным осцилляциям. Значение x откла-
дывается по вертикали, а число итераций -- по горизонтали.
Клавишу x на моем калькуляторе можно нажать приблизительно
268 раз, и только потом появляется сообщение об ошибке из-за слиш-
ком большого числа, символизирующего бесконечность. Клавиша √x
обеспечивает сходимость к 1.
Клавиша вычисления 1/x позволяет наблюдать нечто еще более
интересное: число поочерёдно равно либо 0.54321, либо 1.840908673.
Возникает периодическая итерация с периодом 2: при двойном щелч-
ке по клавише ничего не меняется, а при однократном -- меняется.
Вероятно, вы догадываетесь, почему это происходит.
Нажимая имеющиеся клавиши, легко прийти к мысли, что таким
образом можно изучить все типы поведения калькулятора.
Однако может быть это обусловлено тем, что клавиши калькуля-
тора специально устроены так, чтобы давать красивые значения. Для
проверки этого можно придумать другие клавиши.
Рассмотрим, например, клавишу x2 - 1. Для её моделирования на-
жмем сначала на x2, а затем -1, наконец, =. Продолжая двигаться по
этому схеме, мы вскоре обнаружим, что ходим по кругу между 0 и -1
(Рис. 1.6). Это происходит потому, что:
02-1 = -1
(-1)2-1=0.
Это циклическое повторение не дает ничего нового.
Еще одна, последняя, попытка. Теперь мы возьмем клавишу 2x2-1.
Начнем с числа, расположенного где-нибудь между 0 и 1. Результат
выглядит достаточно обычно, и трудно представить, что при этом
может произойти нечто особенное. Хммм. . .. Происходят скачки во-
круг исходного значения, их много. Давайте подождем, пока процесс
установится. . . Может быть заметить время? Но мы не можем много
раз повторять подобные вычисления. . .. Мне кажется, что эти скачки
выглядят довольно хаотично (Рис. 1.7).

30
1. Хаос из Порядка
Рис. 1.7. Итерация 2x2 - 1 ведет к хаосу.
Ура, получилось!
Простое уравнение, одно лишь повторение вычисления 2x2 -1, при-
водит к результатам, которые не выглядят столь простыми, в действи-
тельности они кажутся случайными.
Теперь мы снова будем нажимать на клавишу 2x2 - 1, но начнём
не с 0.54321, а с 0.54322. После пятидесяти итераций результат все еще
кажется случайным, но он выглядит совершенно иначе.
То, что мы рассматриваем, это некоторая разновидность поведе-
ния Гипериона в микрокосме. Детерминированное уравнение: лишен-
ный определенности результат. Небольшое изменение исходных дан-
ных: полная потеря пути к начальному значению. Эффект примене-
ния клавиши 2x2 - 1 становится еще более странным и замечательным
потому, что внешне сходная с ней клавиша, x2 - 1, характеризуется со-
вершенно правильным поведением.
Я не требую, чтобы вы обязательно выполняли все сказанное вы-
ше на калькуляторе, если, конечно, вы не любите наслаждаться дли-
тельными вычислениями, но, если у вас есть домашний компьютер, то
вот работоспособная программа. При желании вы легко сможете за-
пустить ее. Я не стал включать в текст какую-либо иную программу,
но компьютер смягчит этот недостаток и позволит вам, при необходи-
мости, найти нужные инструкции, чтобы написать собственные про-
граммы для проведения экспериментов с другими аспектами хаоса.
Эта программа как бы повторяет нажатие кнопки kx2 - 1 для каж-
дого значения k. Строки 30--50 содержат цикл, предназначенный для
установления "долгосрочного" поведения, и не включают вывод на пе-
чать полученных чисел. Например, если положить k = 1.4, то мы по-
лучим на основе этой программы кнопку 1.4x2 - 1. При этом возни-
кает довольно сложный цикл, содержащий шестнадцать различных
значений!

1. Хаос из Порядка
31
10 INPUT k
20 x = 0.54321
30 FORn=1TO50
40 x=k∗x∗x-1
50 NEXT n
60 FORn=1TO100
70 x=k∗x∗x-1
80 PRINT x
90 NEXT n
100 ST OP
Хаос устанавливается приблизительно при k = 1.5. После этого, с уве-
личением k, возрастает хаотичность возникающих форм.
Или, может быть, так только кажется. Однако на самом деле все
это далеко не просто.
При k = 1.74 возникает хорошо разработанный хаос, а при k = 1.75
появляется что-то похожее на то, с чего мы начали. Кроме того, при-
близительно после пятидесяти итераций поведение модели сводится к
циклу, содержащему три периодически повторяющихся числа:
0.744, -0.030, -0.998.
Возникает лишенная хаоса модель. Эти два типа поведения сложным
образом связаны.
Надеюсь, что это покажется вам таинственным и вдохновляющим.
Если у вас есть возможность, то я бы посоветовал исследовать пове-
дение модели в диапазоне от k = 1 до 1.40155 и далее. Вам, возможно,
потребуются более длинные циклы, чем указанные в строках 30 и 60,
чтобы получить аналогичный пример.
Мир компьютеров и хаос. Обычно вычисления на компьютере счи-
таются вершиной точности, но на самом деле это не так. Ограничен-
ность памяти ведет к тому, что числа, помещаемые в компьютер, име-
ют конечную точность, скажем восемь или десять значащих цифр.
Кроме того, "конкретный" внутренний код компьютера для представ-
ления таких чисел и его "внешняя" форма -- вид числа на печати или
на экране, -- являются различными. Это создает два источника оши-
бок: ошибки округления, возникающие при внутренних вычислениях,
и ошибки перевода, образующиеся при переводе из внутреннего кода

32
1. Хаос из Порядка
во внешнее представление. Обычно эти ошибки не имеют существен-
ного значения, но одна из характерных особенностей хаоса как раз и
состоит в том, что эти крошечные ошибки распространяются и растут.
Жизнь было бы гораздо проще, если бы все компьютеры исполь-
зовали одни и те же коды, но это далеко не так. Поэтому выполнение
идентичных программ на двух разных компьютерах может приве-
сти к различным результатам. Одна и та же программа, выполнен-
ная на одной машине, но под управлением разных версий "одного и
того же" программного обеспечения, дает различные результаты. В
дальнейшем я иногда буду приводить численные результаты, полу-
ченные мной на своем компьютере, но предупреждаю: вы не сможете
получить эти же результаты с моими исходными данными! Вы должны
сами найти такое же поведение модели, что и я.
Что же мы открыли?
Чудо. Порядок и хаос, внутренне переплетенные, возникают при
расчете такой простой формулы, как kx2 - 1. Некоторые значения
k после итераций ведут к порядку, а другие, не имеющие заметных
отличий от первых, -- к хаосу. Какие? Ну вот теперь мы и начнем
обсуждать математические исследования.
В начале обсуждения мы сказали, что не понимаем поведение Гипе-
риона, а теперь не понимаем даже как ведет себя 2x2 - 1. Это означает,
в математическом смысле, что налицо ошеломляющий прогресс.
Это -- прогресс потому, что мы осознали, в чем собственно за-
ключена проблема. Работая с калькулятором, мы почти забыли о сде-
ланном ранее предположении: есть что-то очень сложное в поведении
Гипериона. На самом деле, как мы теперь знаем, это не так. У слож-
ности очень мало общего с этим исследованием. Что-то очень неуло-
вимое, фундаментальное и крайне пленительное, проявляется в двух
этих случаях.
Оно вызывает у меня чувство сожаления, касающееся тех космоло-
гов, которые сообщают о получении убедительных данных о происхож-
дении Вселенной, кроме первой миллисекунды, или так называемого
Большого Взрыва; а также тех политических деятелей, которые убеж-
дают нас в полезности значительной и постоянной дозы монетаризма
и верят, что несколько миллионов безработных будут только немного
икать от этого. Сходные чувства выразил еще в 1976 математически
образованный эколог Роберт Мэй: Не только в научных исследовани-

1. Хаос из Порядка
33
ях, но и в повседневном мире политики и экономики стало бы гораздо
просторнее, если бы многие люди осознали, что простые системы не
всегда обладают простыми динамическими свойствами .
Индуизм и искусство поддержки механического
Ниже мы дадим краткий обзор основных моментов, показывающих
как западная цивилизация пришла к представлению об универсуме,
как о правильном часовом механизме и ввела, таким образом, себя в
заблуждение, полагая, что детерминированные уравнения всегда соот-
ветствуют правильному поведению. Восточный ум, как правило, име-
ет более широкий философский кругозор. Индусы, например, припи-
сывают хаосу более тонкую роль, рассматривая его не как простой
лишенный формы беспорядок, а как основу единения порядка и бес-
порядка. В классическом индуизме мифологический космос проходит
через три главных стадии: созидание, существование и разрушение,
отражающиеся, как в зеркале, в рождении, жизни и смерти. Брахма
-- это бог созидания (рождения), Вишну -- бог существования (поряд-
ка), и Шива -- бог разрушения (беспорядка). Индивидуальность Ши-
вы многолика. Шива -- это то, что живет в дикой стороне вещей, в
одиноком охотнике, танцоре, йоге, что уводит людей из человеческого
общества. Шива -- это непокорный отшельник, посыпанный пеплом.
Различие между порядком Вишну и беспорядком Шивы не есть раз-
личие между добром и злом. Это два различных способа, которым
божественность проявляет себя: благосклонность и гнев, гармония и
диссонанс.
Аналогичным образом, математики начинают ныне рассматривать
порядок и хаос как два отличных друг от друга способа проявления
детерминизма, лежащего в их основе. Ничто не существует изолиро-
ванно. Типичная система может существовать в разнообразных со-
стояниях, отчасти упорядоченных, отчасти хаотичных. Вместо двух
противопоставленных полярностей имеется непрерывный спектр зна-
чений. Поскольку гармония и диссонанс проявляются в музыкальной
красоте, то, аналогичным образом, порядок и хаос в сочетании друг с
другом образуют математическую красоту.

Глава 2
Уравнения для Всего
Я полагаю, что мысль о причине, вызывающей движение к центру,
естественным образом приходит каждому, кто терпеливо наблюдает
это явление, следует только признать, что земля занимает среднее
положение во вселенной и поэтому всё, имеющее вес, движется к ней.
Птолемей. Альмагест.
Эта метафора из механического мира вернулась к нам после долгого
пути, и важно, что мы понимаем скрытый в е¨
е глубине смысл. Прежде,
чем рассматривать хаос, следует изучить возникновение закона.
Начать лучше всего с древней Греции, с Фалеса из Милета. Родил-
ся он около 624 до н. э. и умер приблизительно в 546 до н. э., а известен
тем, что предсказал затмение Солнца. Вероятно, он заимствовал свой
метод предсказания от египтян или халдеев, а его результат был точен
в пределах года. Как бы то ни было, но затмение произошло в бла-
гоприятный момент, остановивший сражение лидян с мидянами, при
этом Солнце стало почти совсем черным. Это случайное обстоятель-
ство несомненно повысило репутацию Фалеса как астронома. Досад-
ной трудностью в работе историка является то, что только некоторые
события могут быть датированы точно, в то время как другие остают-
ся предположительными. Наше знание даты рождения Фалеса осно-
вано на письменных свидетельствах Аполлодора; а о дате его смерти
написал Диоген Лаэртский: обе даты ненадежны. Но без тени сомне-
ния можно сказать, что затмение это произошло 28 мая 585 до н. э.
Космические часы тикают столь надежно, что даже два с половиной
тысячелетия спустя мы можем вычислить не только время древних
затмений, но и их положение на земной поверхности, то есть указать
места, из которых они были видны. Солнечные затмения редки, и Фа-
лес реально мог быть свидетелем только этого события. Астрономиче-
ские события продолжают оставаться для историков одним из лучших
методов датирования.
Гуляя однажды вечером, как рассказывают, Фалес был так по-
глощ¨
ен изучением ночного неба, что упал в канаву. Женщина, сопро-

Уравнения для Всего
35
вождавшая его, заметила при этом: Как можно говорить о происхо-
дящем на небесах, когда вы не видите находящегося у вас под ногами?
Во многих отношениях эта история обобщает те обстоятельства, при
которых возникла классическая механика. Философы Древней Гре-
ции могли вычислять положения планет с поразительной точностью,
но они все еще полагали, что тяжелые тела падают быстрее легких.
Динамика только тогда стала делать успехи, когда математики от-
вели свои глаза от космоса и стали более пристально и критически
рассматривать происходящее у их собственных ног. Птолемей вообра-
жал Землю стационарно находящейся в центре мира, потому что он
исходил из непосредственной очевидности собственных представлений
и отвергал вопросы об их смысле. Космология обепечивала стимул для
исследований и можно не сомневаться, что едва ли в то время более
земные вопросы могли вызывать заметное воодушевление.
Космическая pеволюция
Ранняя космология сильна мифологическим воображением, но слаба
фактическим содержанием. Перед нашим мысленным взором прохо-
дит плоская Земля, лежащая на слонах, бог Солнца, пересекающий
небо на колеснице, и звезды, которые -- в ожидании электрического
освещения, -- висят на веревках и выключены в течение дневного вре-
мени. Представление пифагорейцев было не менее мистическим, но
оно было подкреплено мистическим изучением чисел, и неосторожно
позволило математике выйти на сцену. Платон предложил поместить
Землю в центр вселенной, а все, что обращается вокруг нее, -- на ря-
де полых сфер. Он также полагал, что Земля является круглой, а
его вдохновленное пифагорейцами убеждение состояло в том, что все,
даже движение небес, является проявлением математической регуляр-
ности и доказывает ее высокую значимость.
Евдокс был сильным математиком. Он построил первую строгую
теорию иррациональных чисел и понимал, что наблюдаемые движения
планет, в отличие от звезд, не соответствуют идеалу Платона. Пути,
пролагаемые планетами, являются изогнутыми, и часто столь замет-
но, что они кажутся движущимися назад. Евдокс дал математическое
описание их движения, расположив планеты на двадцати семи концен-
трических сферах, каждая из которых обращалась вокруг своей оси и

36
Уравнения для Всего
была ограничена своими соседями. Его преемники улучшили соответ-
ствие этих результатов наблюдениям путем введения дополнительных
сфер. Около 230 до н. э. Аполлоний вытеснил эту систему теорией эпи-
циклов, в которой планеты двигались по малым, а их центры -- по
большим окружностям.
Клавдий Птолемеус, иначе Птолемей, живший в Александрии око-
ло 100--160 н. э., уcовершенствовал систему эпициклов, и она стала столь
хорошо согласовываться с наблюдениями, что ничто не смогло вытес-
нить е¨
е в течение 1500 лет. Это был триумф эмпирической математики.
Механизмы греков
Метафора, что небеса ведут себя "подобно часовому механизму", может
быть понята более буквально. Наши представления о древнегреческой
культуре в значительной степени относятся к интеллектуальной сто-
роне их знаний философии, геометрии, логике. На технику всегда
обращали меньше внимания. Отчасти это обусловлено малым числом
дошедших до нас образцов греческой техники. Мы уже говорили, что
греки ставили логику -- интеллектуальную математику -- выше логи-
стики -- практической математики. Но наши источники такого пред-
ставления не являются беспристрастными, и подобные утверждения
ныне были бы услышаны в коридорах департаментов математической
логики. Полная история греческой техники может быть никогда не бу-
дет известна, но знать, что она существовала, интригующе интересно.
В 1900 несколько рыбаков, ловивших губок у побережья маленько-
го греческого острова Антикитира (против большого острова Китира,
лежащего между материковой Грецией и Критом), нашли потерпев-
шее крушение судно, которое затонуло при шторме около 70 до н. э. на
пути из Родоса в Рим. Их трофеи состояли из статуи, глиняной посуды,
кувшинов для вина, монет и довольно тусклой лампы из разъеденного
коррозией металла. Когда лампа высохла, то она распалась на куски,
сохранивщие следы зубчатых колес. В 1972 Дирек де Солла Прайс
рассмотрел лампу в рентгеновских лучах и сумел реконструировать
это сложное механическое устройство, содержавшее тридцать два зуб-
чатых колеса (Рис. 2.1). Для какой же цели оно применялось? Анали-
зируя структуру механизма, он пришел к мысли, что им пользовались
для вычисления положения Солнца и Луны относительно звезд.

Уравнения для Всего
37
Рис. 2.1. Зубчатые передачи в древнегреческом планетарном калькуляторе --
механизме с острова Антикитира.

38
Уравнения для Всего
Механизм Антикитиры имеет интересные особенности, он содер-
жит, в частности, наиболее ранний образец дифференциала. Такие зуб-
чатые механизмы используются в задних мостах автомобилей, чтобы
обеспечить движение колес с различной скоростью, -- это необходи-
мо, например, при повороте. В механизме Антикитиры дифференци-
ал применялся для определения фаз Луны, чтобы разделить движения
Солнца и Луны. Это сложное устройство было сделано с замечатель-
ной точностью, доказывающей существование длительной традиции
изготовления зубчатых механизмов в древней Греции. Однако дру-
гих примеров нет, так как старые и изношенные механизмы, вероятно,
разрущились в морской воде.
В своей статье Gears from the Greeks (Proceedings of the Royal Insti-
tution, vol. 58, (1986))1 английский математик Кристофер Зиман так
писал о влиянии подобных устройств на греческую науку:
Первыми явились астрономы, чтобы наблюдать положение
небесных тел и собирать данные. Вторыми пришли мате-
матики, они создали математические обозначения для опи-
сания движений и согласовали данные. Третьими явились
техники и сделали механические модели для моделирова-
ния этих математических конструкций. Четвертыми ста-
ли поколения студентов, изучавшие астрономию на основе
этих механизмов. Пятыми прибыли ученые, воображение
которых было уже настолько искажено поколениями подоб-
ного изучения, что они действительно полагали, что небе-
са движутся подобным образом. Шестыми явились власти,
которые настаивали на полученных догмах. Так человече-
ство было введено в заблуждение принятием системы Пто-
лемея на тысячу лет.
Солнце в центре
В 1473 Николай Коперник заметил, что в теории Птолемея много иден-
тичных эпициклов. Он понял: если принять, что Земля движется во-
круг Солнца, то их можно устранить. Идентичные эпициклы это
следы движения Земли, наложившиеся на пути остальных планет. В
1"Механизмы греков", (Труды Королевского института, том. 58 (1986))

Уравнения для Всего
39
Рис. 2.2. Модель Кеплера, объясняющая размещение планетных орбит и осно-
ванная на пяти регулярных полиэдрах (опубликовано в 1560)
итоге гелиоцентрическая теория сократила число эпициклов c трид-
цати до одного.
Иоганн Кеплер был не совсем удовлетворен ревизией Коперником
системы Птолемея. Он располагал рядом новых и высокоточных аст-
рономических данных, полученных Тихо Браге, и искал математиче-
ские модели для их описания. Он отличался настолько широким кру-
гозором, что некоторые его идеи, например, об отношении между пло-
щадью, описываемой орбитами планет, и площадью регулярного поли-
эдрa (Рис. 2.2), ныне кажутся нелепыми. Кеплер позже отказался от
этой теории, ибо она противоречила наблюдениям, но и до настоящего
времени не существует теории образования планет, которая бы удо-
влетворительно предсказывала размеры планет и расстояния до них.
В конце концов он был вынужден, почти против своей воли, создать
свой первый закон: планеты движутся по эллиптическим орбитам во-
круг Солнца. В его работе содержатся также и два других закона, ко-

40
Уравнения для Всего
торые позже получили широкое признание. Второй закон гласит, что
при любом положении планеты е¨
е радиус-вектор покрывает равную
площадь за равное время. Третий закон утверждает, что кубы рас-
стояний от Солнца до планет пропорциональны квадратам периодов
их обращения.
Эстетически теория Кеплера была гораздо привлекательнее путан-
ницы эпициклов, но она оставалась чисто описательной. Теория только
показывала, что делают планеты, но не давала никакого связанного
объяснения этому. Для того, чтобы космология смогла оттолкнуться
от Кеплера и пойти дальше, необходимо было опустить ее на землю.
Колебание маятника
Всякому студенту из университетского города Пиза, в 1580 жизнь
должна была казаться захватывающей, поскольку это был период впе-
чатляющих продвижений вперед человеческого познания. Но такое со-
стояние не может продолжаться долго. Во время церковной службы
одному студенту стало скучно, его внимание блуждало, и он стал рас-
сматривать большую подвешенную лампу, качавшуюся от дуновения
легкого ветра. Ее колебания не были регулярными, но он заметил: при
широком размахе скорость ее увеличивается, но так, что полное вре-
мя качения остается постоянным. Точные часы и ручные часы еще
не были изобретены, поэтому он подсчитывал время движения лампы
используя свой пульс.
Этим студентом был Галилео Галилей (Рис. 2.3), поступивший в
университет в возрасте семнадцати лет, чтобы изучать медицину, и
бравший частные уроки по математике. Галилей родился во Флорен-
ции в 1564 и умер в 1642. Он был не только ученым первой величины,
но и заметной литературной фигурой: его писания изящны и искус-
ны. Он имел склонность к механике и делал собственные телескопы.
Он открыл четыре луны Юпитера, первые небесные тела, которые не
вращаются вокруг Земли. У него был талант к ясной формулировке
мыслей, он предпочитал простые логические объяснения цветистым
аргументам, усложняющим и скрывающим существенное. Он жил в
эпоху, когда объяснения событий давались в терминах религиозных
целей. Например, дождь выпадал потому, что хотел2 дать воду по-
2т. е. его целью было. В оригинале it's purpose

Уравнения для Всего
41
севам; камень, брошенный вверх, падал на землю потому, что это
присущее ему место покоя.
Галилей понял, что исследование целей вещей само по себе не поз-
воляет человечеству управлять естественными явлениями. Вместо вы-
яснения вопроса о том, почему камени падают, он задался целью найти
точное описание того, как они падают. Вместо исследований движения
Луны, которое он не мог регулировать, он стал изучать движение ша-
ров, скатывающихся по наклонной плоскости. В итоге этих исследова-
ний, в гениальном порыве, он сосредоточил свое внимание на несколь-
ких ключевых количественных понятиях: времени, расстоянии, скоро-
сти, ускорении, импульсе, массе, инерции. В возрасте, который связы-
вает себя с качеством и существом3, сделанный им выбор ключевых
понятий свидетельствует о замечательном понимании сущностей, осо-
бенно потому, что многие из выбранных им переменных величин не
годились для непосредственного количественного измерения.
Время, в частности, доставило Галилею много головной боли. Нель-
зя измерить время падения камня, наблюдая за изменением длины
горящей свечи. Он использовал водные часы, частоту своего собствен-
ного пульса, и согласно Штильману Дрейку, он вероятно напевал про
себя мелодии, разделяя их на такты, как это делают музыканты. Что-
бы замедлить динамические явления и повысить точность отсчетов
времени, он изучал качение шара по слабонаклонной поверхности ча-
ще, чем явление свободно падающего тела. В конце концов, объеди-
нив мысленный эксперимент с реальными результатами, он пришел к
изящному описанию падения тел под действием силы тяжести.
В соответствии с духом греческой геометрии, в которой все объ-
екты идеализированы так, что линия не имеет ширины, а плоскость
не имеет толщины, Галилей идеализировал свою механику. При поис-
ке основных упрощений он выбирал такие эффекты, которыми можно
было пренебречь, например, сопротивлением воздуха при изучении па-
дения тел. Для того, чтобы выпутаться из паутины взаимосвязанных
влияний, которые управляют естественным миром, лучше всего начать
изучение движения с одной пряди за раз4.
В средние века думали, что путь метательного снаряда состоит
3Вероятно речь идет о возрасте 45 лет. Прим. пер.
4В оригинале a single strand at a time. Т. е. надлежащим образом разделив сложное
на простые элементы. Прим. пер.

42
Уравнения для Всего
Рис. 2.3. Галилео Галилей, основатель теоретической и экспериментальной ме-
ханики (Воспроизведено с разрешения John Wiley & Sons Ltd.)

Уравнения для Всего
43
из трех частей: первоначально прямолинейного движения, кругового
движения и конечного вертикального падения (Рис. 2.4). Галилей об-
наружил, что скорость падающего тела возрастает с постоянной ско-
ростью, то есть, что ускорение постоянно. Из этого он заключил, что
снаряд движется по параболе. Он также показал, что орудийное ядро
пролетит наибольшее расстояние, если вылетит из орудия под углом в
450. Он нашел законы сложения сил. Он понял, что тяжелый и легкий
предметы будут падать с равной скоростью при отсутствии воздуш-
ного сопротивления. Сегодня эти вещи кажутся простыми, едва стоя-
щими упоминания, но тогда они были первым отчетливым признаком
того, что естественные законы природы могут быть прочитаны чело-
вечеством. Галилей проявлял бесстрастный юмор, когда поддерживал
гелиоцентрическую теорию в своем Dialogue on the Two Chief World
Systems5:
Полагаю, что всякий, считающий более обоснованным пред-
ставление о движении вселенной, где Земля всегда остает-
ся в центральном фиксированном положении, не разумнее
того, кто вскарабкавшись на купол храма для получения
представления о городе и его окрестностях, затем начинает
требовать вращения всей сельской местности вокруг него,
дабы не утруждать поворотами свою голову.
Таким образом существовали две системы естественных законов:
одна для небес, другая для земли. С одной стороны Кеплер, с обра-
щенным в небеса взором, с другой -- Галилей, устремивший око к зем-
ле. Наличие связи между этими двумя царствами явлений представ-
лялось почти невероятным. Небеса были чистыми, незапятнанными,
домом бога и ангелов, а земля -- местом грешного человека.
Единственный удар изменил это представление навсегда.
Сила тяжести и геометрия
Некоторые большие ученые - это бывшие одаренные дети, но юный
Исаак Ньютон был довольно обычным ребенком, сохранившим на всю
жизнь привычку к изготовлению технических приспособлений. До-
машний кот, который, как рассказывают, исчез на воздушном шаре,
5Диалоге о двух главных мировых системах. Прим. пер.

44
Уравнения для Всего
Рис. 2.4. Средневековая теория движения снаряда как сложения прямой линии
и кругового движения: диаграмма траектории принадлежит Тарталье. Диаграмма
наложена на пейзаж Вальтера Г. Руффа Der Geometrichen Buchsenmeisterey.

Уравнения для Всего
45
узнал об этом на своем горьком опыте. Ньютон родился в 1642 в де-
ревне Вулсторп недоношенным и болезненным ребенком. Будучи сту-
дентом Тринити-колледжа в Кембридже, он не произвел никакого осо-
бого впечатления. Однако, когда большая эпидемия чумы привела к
прекращению занятий в колледже, он возвратился в свою деревню,
далекую от академической жизни, и, почти без посторонней помощи,
создал оптику, механику, интегральное и дифференциальное исчисле-
ния. В более поздние годы жизни он стал смотрителем Королевского
Монетного двора и президентом Королевского общества. Умер он в
1727.
Галилей обнаружил, что движущееся под действием силы тяже-
сти Земли тело подвергается постоянному ускорению. Ньютон сделал
существенно большее: дал кодекс законов, которые управляют дви-
жением тела, находящегося под действием всевозможных комбинаций
сил.В некотором смысле, проблема была скорее геометрической, чем
динамической. Если тело движется с постоянной скоростью, то рас-
стояние, на которое оно переместится через некоторое время, является
произведением его скорости на это время. Если тело движется нерав-
номерно, то есть его скорость постоянно меняется, и здесь уже непри-
менима такая простая формула. Математики до Ньютона достигли
существенного прогресса в этом вопросе, показав, что все основные ди-
намические задачи могут быть представлены в геометрической форме.
Однако, решения геометрических задач редко бывают легкими.
График, показывающий как скорость тела изменяется со временем,
имеет форму кривой. Геометрическими рассуждениями можно пока-
зать, что общее расстояние, на которое перемещается тело, равно пло-
щади, находящейся под кривой. Подобным же образом, кривая ско-
рости является наклонной или касательной к другому графику, опи-
сывающему изменение расстояния со временем. Но как мы находим
такие площади и касательные? Ньютон и, независимо от него, Готф-
рид Лейбниц решили эти проблемы путем разделения времени на все
более мелкие интервалы. Область под кривой тогда становится сум-
мой большого количества узких вертикальных полос. Они показали,
что ошибка приближения уменьшается по мере сокращения интерва-
ла, и "в пределе" ошибка может совершенно исчезнуть. Тем же самым
способом может быть рассчитан наклон касательной, если рассматри-

46
Уравнения для Всего
вать его для двух близлежащих отметок времени, когда различие во
времени между ними становится исчезающе малым. Никакой матема-
тик в то время не мог логически обосновать их метод, но они были
убеждены, что все сделано правильно. Лейбниц говорил, что "беско-
нечно малая" изменяется во времени. Ньютон имел физически более
обоснованное представление о непрерывно изменяющихся величинах,
которые он называл флюенциями и флюксиями.
Эти методы исчисления, ныне известные как интегрирование и
дифференцирование, решили практические проблемы определения рас-
стояний по скоростям и скоростей по расстояниям. Они позволили рас-
смотреть великое множество естественных явлений в рамках матема-
тического анализа.
Система мира
Труд Mathematical Principles of Natural Philosophy6 (Рис. 2.5), содер-
жащий законы движения, был опубликован в трех томах. Многое в
нем принадлежит Галилею, и основано на сходной научной филосо-
фии, поэтому Ньютон воздал ему должное в благодарностях. Он свел
все движения к трем простым законам, приведенным в первом томе:
• Если силы не действуют на тело, то оно остается в покое или
совершает равномерное прямолинейное движение.
• Ускорение пропорционально действующей силе.
• Каждому действию всегда имеется равное и противоположно на-
правленное противодействие (реакция).
Ньютон также показал, что законы Кеплера о движении планет сле-
дуют из них вместе с законом изменения силы тяжести обратно про-
порционально квадрату расстояния. Однако истинное значение Нью-
тоновой концепции силы тяжести столь велико, что не может быть
описано лишь в цифровой форме. Ньютонов закон универсален. Каж-
дая частица во вселенной притягивает другую частицу согласно этому
закону. Вихри на Юпитере и путь пушечного ядра -- два проявления
одного и того же закона. Человек вернулся в рай, и вселенная снова
стала целостной.
6Математические принципы натуральной философии.

Уравнения для Всего
47
Рис. 2.5. Титульная страница книги Ньютона Mathematical Principles of Natural
Philosofy

48
Уравнения для Всего
Это открытие было представлено и рассмотрено в третьей книге.
А теперь , говорит Ньютон, я демонстрирую систему Мира . И
он продемонстрировал применение своей теории гравитации к движе-
нию планет вокруг Cолнца и спутников вокруг планет, нашел массы
планет и Солнца относительно Земли. Он оценил массу Земли с точ-
ностью до 10 процентов от е¨
е истинного значения, показал, что Земля
уплощена вблизи полюсов, и получил довольно точную оценку вели-
чины этого уплощения, рассмотрел изменение силы тяжести на по-
верхности Земли. Ньютон также рассчитал нерегулярности движения
Луны, обусловленные влиянием Солнца, и орбиты комет, показав, что
эти, казалось бы неподвластные законам, предвестники космического
осуждения, подчиняются тем же самым законам, что и планеты.
Алдус Хаксли однажды сказал, что возможно, что гениальные
люди -- единственные истинные люди. Во всей человеческой истории
было всего несколько тысяч настоящих людей. Что же касается осталь-
ных, то они скорее являются понятливыми животными. Без помощи
истинного человека они не смогли бы почти ничего вполне выяснить .
Нет надобности соглашаться с Хаксли, чтобы признать, что некоторые
люди имеют выдающееся значение для истории. Ньютон был "истин-
ным человеком". Тем же самым образом исчисления являются "истин-
ной математикой" и имеют выдающееся значение для истории науки.
Но важность исчислений для динамики Ньютона была непосредствен-
но очевидной только для наибольшего числа его современников. При-
чина этого проста: нигде в Mathematical Principles of Natural Philosophy
не было какого-либо явного использования того, что сделано им. Вме-
сто этого Ньютон строил доказательства на языке классической гре-
ческой геометрии. Исчисления в конце концов увидели свет в один
из дней 1736, благодаря поддержке ученых друзей Ньютона. К концу
XVIII столетия европейские математики полностью овладели метода-
ми исчислений и осознали отчетливый нам¨
ек Ньютона: книга Природы
открыта для тех, кто способен прочитать е¨
е. Они не нуждались более
в его дальнейшей поддержке.
Колокола и рожки
Термин "анализ" употребляется в настоящее время для описания ис-
числения в его наиболее строгой форме: теория здесь более строга, чем

Уравнения для Всего
49
даже основы компьютерной техники. Исчисления приобрели это до-
полнительное свойство в течение XVIII столетия, когда теоретическая
база их была существенно расширена. Главным архитектором такой
разработки был Леонард Эйлер, наиболее плодовитый из математи-
ков всех времен. Эйлер также создал многие приложения исчислений
к математической физике. Он родился в Швейцарии в 1707 и сначала
обучался религии, но вскоре обратился к математике. Свою первую ра-
боту он издал в возрасте восемнадцати лет. В девятнадцать он выиграл
главный математический приз, присуждаемый французской Академи-
ей наук за исследования по проблеме качки судов. В 1733 Эйлер был
приглашен в Санкт-Петербург, в Российскую академию наук, откуда
в 1741 переехал в Берлин. Однако по просьбе Екатерины Великой он в
1766 возвратился в Россию. Поэтому в настоящее время его почитают
как великого математика Швейцария, как швейцарского, Россия, как
русского, а Германия, как немецкого. Его зрение начало ухудшаться
с юности, и к 1766 он стал совсем слепым, но это не оказало заметно-
го влияния на его изумительные способности создавать оригинальные
труды по математике.
Первым обширным предметом, выросшим из зерна, посеянного Нью-
тоном, была аналитическая механика. Это была механика, основанная
явно и полностью на исчислении, предметом которой было нахождение
дифференциальных уравнений, управляющих движением связанных
систем, а затем решение их. Вскоре возникли новые разделы матема-
тической физики. Древние пифагорейцы искали гармонию в числах
или, более точно, численную гармонию, они открыли численную при-
роду музыки и это было самое большое их открытие. Многие заявляли
об обнаружении связи между математикой и музыкой. Как бы то ни
было, но удивительно много важной математики было получено из
проблемы колебания скрипичной струны. Можно, конечно, спорить,
но без этого мы не имели бы ни радио, ни телевидения.
Решая дифференциальное уравнение колеблющейся струны, Брук
Тейлор обнаружил в 1713, что фундаментальная форма, описываю-
щая ее движение является синусоидальной кривой (Рис. 2.6(1)). В 1746
Жан Ле Рон Даламбер отметил, что возможны и другие формы реше-
ний. Даламбер -- незаконорожденный сын мадам де Тенкин, известной
общественной деятельницы и ее любовника, кавалера Десточ. Плод их
связи был оставлен на ступеньках церкви Святого Жана Ле Рона в

50
Уравнения для Всего
Рис. 2.6. Колебания скрипичной струны: фундаментальная синусоидальная фор-
ма(1)и е¨
е вторая и третья гармоники (2,3), накладывающиеся и образующие
сложную волновую форму (жирная линия)
Париже, чем и объясняется его необычное христианское имя. Пусть
же не говорят, что математики ведут унылую и заурядную жизнь.
Даламбер выполнил общий анализ колеблющейся струны. Пола-
гая, что амплитуда (размер) колебаний невелика (чтобы удалить ме-
шающие члены уравнения, к этой практике мы вернемся позже), он
записал дифференциальное уравнение так, чтобы оно удовлетворяло
свойствам струны. Это был новый тип уравнения, дифференциальное
уравнение в частных производных. Такие уравнения содержат скоро-
сти изменения некоторой величины относительно нескольких различ-
ных переменных. Для колебания струны такими переменными являют-
ся положение точки на струне и время. Даламберу удалось доказать,
что этому уравнению удовлетворяет решение, являющееся суперпози-
цией двух волн произвольной формы, одна из волн движется слева,
другая -- справа.
Эйлер сумел быстро развить это открытие. Ему пришло в голо-
ву, что отдельная синусоидальная форма волны Тейлора может быть
комбинацией более высоких гармоник -- волн, имеющих ту же самую
форму, но изменяющихся на этом же интервале дважды, трижды, че-
тыре раза ..., образуя фундаментальные частоты кривой (Рис. 2.6). В
своей A New Theory of Music7 он проанализировал колебания колоко-
лов и барабанов. Даниил Бернулли распространил эти результаты на
трубы органа.
7Новой теории музыки. Прим. пер.

Уравнения для Всего
51
Даже музыка вошла в физику. В 1759 молодой Жозеф-Луи Лагранж,
только начинавший приобретать известность, предложил идею звуко-
вых волн, а через десять лет обстоятельная и удачно сформулирован-
ная теория акустики начала свой жизненный путь.
Ветер и волны
XVIII столетие было веком утверждения военно-морской мощи, по-
требовавшей знания законов движения воды и других жидких пото-
ков. В 1752 Эйлер обратил внимание на динамику жидкостей, а к
1755 он разработал систему дифференциальных уравнений в частных
производных, описывающих движение жидкости лишенной вязкости
("клейкости"). Он рассмотрел также несжимаемость жидкости (воды)
и сжимаемость воздуха. В предложенной им модели жидкости, кото-
рая представляет собой непрерывную, бесконечно делимую среду, он
описал поток жидкости, определив его в терминах непрерывных пере-
менных величин, которые зависят от поведения частиц жидкости, от
их скорости, плотности и давления.
Один за другим разделы физики получали математичекое описа-
ние, оказываясь под властью математического закона. Жозеф Фурье
вывел уравнение, позволяющее описать распространение тепла и на-
шел новый, мощный метод его решения, теперь известный как Фурье-
анализ. Главная идея этого метода состoит в том, чтобы представить
любую волновую форму как суперпозицию синусоидальных кривых,
подобно показанным на рис. 2.6, но в более сложной форме.
Деформация материалов под воздействием напряжений, фунда-
ментальная для инженерных наук, ведет к уравнениям упругости. Бо-
лее глубокий анализ силы тяжести ведет к уравнениям, ныне именуе-
мым в честь Пьера Симона де Лапласа и Симеона Дени Пуассона. Те
же самые уравнения были использованы в гидродинамике и электро-
статике, после обобщения они образовали теорию потенциала. Теория
потенциала позволяет математикам решать такие проблемы как при-
тяжение тел эллипсоидом. Это важно в астрономии, потому что боль-
шинство планет не являются точными сферами -- они все сплюснуты
на полюсах. XVIII столетие (и начало XIX столетия) было периодом,
в течение которого были созданы большинство великих теорий клас-
сической математической физики, за исключением уравнения Навье-

52
Уравнения для Всего
Стокса для потока вязкой жидкости и уравнений Джеймса Клерка
Максвелла для электромагнетизма, которые возникли некоторое вре-
мя спустя. Уравнения Максвелла подготовили открытие радиоволн.
В итоге сформировалась единая всеобщая научная парадигма. Путь
к моделированию природы пролегает через дифференциальные урав-
нения.
Пределы возможностей анализа
На то и существует цена, чтобы платить. Математики XVIII столетия,
очертя голову, брались за проблемы, которые мучают теоретическую
механику и по сей день: но составить уравнения это одно дело,
а решить их -- совершенно другое. Эйлер как-то сказал: Если это
не позволяет нам продвинуться к завершенному знанию относительно
движения жидкостей и не относится к механике или к недостаточному
пониманию принципов движения, то мы должны определить причину.
Это - анализ самого себя, отказывающего нам в этом . В XVIII сто-
летии главные достижения состояли в создании уравнений для моде-
лирования физических явлений. Сделано было много, но существенно
меньший успех был достигнут в решении этих уравнений.
Несмотря на это, царил безграничный оптимизм, подкреплявший
общую уверенность в том, что проблемы природы раскрыты и ши-
роко распахнуты. Успехи парадигмы дифференциальных уравнений
были внушительны и обширны. Большое количество проблем, вклю-
чая фундаментальные и практически важные, которые сводились к
уравнениям, теперь могли быть решены. Процесс самоселекции под-
держивал интерес к практически разрешимым уравнениям, а все дру-
гие автоматически были малоинтересными. Учебники, из которых но-
вые поколения узнавали методы, конечно, содержали только разреши-
мые проблемы. Замечание Зимана о механизме с острова Антикитира
здесь очень уместно. Механические модели, часовое устройство мира
базировались на детерминированных математических моделях, вере в
детерминизм мира.
Математика в закладе
Этот процесс не был универсален. Существовали некоторые вопросы,
не находившие ответа, такие, как движение трех тел под действием

Уравнения для Всего
53
силы тяжести. Они стали печально известными вследствие своей недо-
ступности. Так или иначе, но такие уравнения считались исключения-
ми, хотя более честная оценка должна была бы увидеть в них правило.
На самом деле даже математический детерминизм уравнений дви-
жения имел лазейки. Один пример подобного рода широко известен. В
механике Ньютона рассматриваются тяжелые упругие частицы. При
столкновении двух частиц они отскакивают друг от друга под опре-
деленными углами, и скорости их нетрудно рассчитать, но законов
Ньютона недостаточно, чтобы установить правила разбегания при од-
новременном столкновении трех частиц (Рис. 2.7). Требования были
прекрасными, но доверие было подорвано уже во время расцвета де-
терминизма Лапласа. Мы с Тимом Постоном следующим образом на-
писали об этом в журнале Analog (ноябрь, 1981):
Рис. 2.7. Куда она полетит? Согласно законам движения Ньютона и предпола-
гая, что сферы являются абсолютно упругими, результат зависит от того, какой
шар первым ударит A: B или C. Если он ударит оба шара одновременно, то законы
Ньютона не позволяют сказать, что же случится.
Так называемые "неумолимые законы природы", на базе ко-
торых, например, Маркс старался построить свои законы
истории, никогда не были в действительности такими. Если
Ньютон не мог предсказать поведение трех шаров, то мог
ли Маркс предсказать поведение трех людей? Любая регу-

54
Уравнения для Всего
лярность в поведении больших собраний частиц или людей
является статистической, а она имеет совсем другой фи-
лософский вкус. . . В ретроспективе мы теперь видим, что
детерминизм в доквантовой физике удержался от идеоло-
гического банкротства только путем содержания проблемы
трех шаров под залогом у ростовщика.
В всяком случае математики думали, что они нашли материнскую жи-
лу и были заняты сбором золота, которое можно быть найти. Огля-
дываясь назад, с величественных высот XX столетия, мы видим, что
некоторая часть этого достояния была золотом лишь для глупцов.
Неприятный случай, который мог произойти лишь 20--30 лет назад,
показан ниже.
Доформульный период
В 1750 Лагранж взял на вооружение идеи Эйлера и сделал на их ос-
нове изящный и далеко идущий вывод -- переформулировал динамику.
Из его работы выкристаллизовались две важные идеи . Обе эти идеи
долго висели в воздухе, оставаясь полусырыми в течение десятилетий,
но Лагранж ждал, выдерживая их в духовке, пока они не приобрели
золотистую коричневую корочку, и, наконец, поместил их на прилавок
пекарни, чтобы все могли восхищаться, покупать и использовать.
Первая называлась принципом сохранения энергии. Классическая
механика знала две формы энергии. Потенциальную энергию тело
имеет вследствие своего положения. Например, в поле сил тяжести
потенциальная энергия пропорциональна высоте положения тела. По-
этому тело на вершине холма имеет больше потенциальной энергии,
чем в долине, вот почему подъем на вершину холма более утомителен,
чем гуляние вдоль берега канала. Кинетическая энергия - это энергия,
которую тело имеет вследствие своего движения, благодаря скорости.
Требуется существенно большая энергия для остановки разбежавшей-
ся лошади, чем е¨
е необходимо, чтобы скакать рысью по лугу.
Во время движения при отсутствии трения, эти две формы энер-
гии могут быть преобразованы друг в друга. Когда Галилей ронял
свое знаменитое пушечное ядро с наклонной Пизанской башни, оно
начинало падать, имея много потенциальной, но не имея кинетической
энергии; во время падения оно меняло потенциальную энергию на ки-

Уравнения для Всего
55
нетическую. То есть, оно получало ее с ростом скорости и уменьше-
нием высоты положения. Мать--природа -- скурпулезный бухгалтер:
баланс в ее бухгалтерской книге -- общая энергия тела -- потенциальная
энергия плюс кинетическая, -- в итоге не изменяется. Когда пушечное
ядро ударяется о парапет, тело теряет свою кинетическую энергию, и
поэтому должно приобрести потенциальную энергию. Этим объясня-
ется возрастание его температуры. Второй закон Ньютона о движении
эффективно выражает эту качественную перемену в точной количе-
ственной форме.
Вторая идея Лагранжа заключалась в использовании "обобщен-
ных координат" . Координаты -- это уловка, позволяющая преобразо-
вать геометрию в алгебру, связывая с каждым направлением набор
чисел. Математики нашли такой подход удобным для работы с раз-
личными системами координат, выбор которых зависит от проблемы,
которой они занимаются. Лагранж решил, что неудобно тащить такой
вычислительный багаж с математической теорией. Вначале он пред-
ложил дать такое описание, которое пригодно для любой возможной
системы координат. Затем с ошеломляющей простотой он получил
уравнения движения в форме, которая не зависит от выбранной си-
стемы координат. Лагранжева формулировка имеет многочисленные
преимущества перед формулировкой Ньютона. Многие из них явля-
ются техническими его уравнения легче применять, когда имеются
ограничения на движение, они позволяют избегать громоздких преоб-
разований координат. Кроме того, это более общая, более абстрактная,
более изящная и более простая формулировка.
Эти идеи были дальше развиты Уильямом Романом Гамильтоном
(1805--1865), великим ирландским математиком. Он переформулиро-
вал динамику еще раз, добиваясь все большей общности. В гамиль-
тоновой версии теории состояние динамический системы определяет-
ся общим набором значений координат (как у Лагранжа) вместе со
связанным набором координат импульса (скорости, умноженной на
массу). Единственная независимая переменная, теперь называемая га-
мильтонианом системы, определяет общую энергию в терминах поло-
жений и импульсов. Скорости изменения положений и импульсов коор-
динат со временем выражаются в терминах гамильтониана в простой,
изящной, унифицированной системе уравнений. Нынешние продвину-
тые курсы динамики часто начинаются с уравнений Гамильтона.

56
Уравнения для Всего
Неприятность на рыночной площади
На рыночной площади математической физики, выставлены напоказ
товары всего детерминированного прилавка. Природа повинуется от-
носительно небольшому набору фундаментальных законов. Законы --
это дифференциальные уравнения, и мы знаем, каковы они. А зная
состояние любой естественной системы в данное время и законы ее
движения, в принципе, можно однозначно определить будущее систе-
мы. Уравнения практически могут быть решены во многих случаях.
Ветер и волны, колокола и свистки, а также движение Луны подтвер-
ждают это.
Если бы хозяин прилавка мог видеть будущее, он изумился бы тех-
нологическим чудесам, порожденным его товарами. Радио, телевиде-
ние, электроника. Автомобили. Телефоны. Радар. Широкофюзеляж-
ные реактивные лайнеры. Цифровые часы. Компьютеры. Пылесосы.
Стиральные машины. Персональные стереосистемы. Подвесные мо-
сты. Синтезаторы. Дельтопланы. Спутники связи. Компакт-диски. И,
чтобы быть беспристрастным, самоходные орудия, танки, противопе-
хотные мины, межконтинентальные ракеты, разделяющиеся ядерные
боеголовки и загрязнение окружающей среды. Не будем недооцени-
ватьть влияние классической парадигмы детерминированной матема-
тической физики на наше общество.
Но пусть эти чудеса не вводят нас в заблуждение. Техника это
наше собственное создание, она не требует глубокого понимания все-
ленной. Надо лишь уметь строить свои крошечные, достаточно про-
стые универсумы в соответствии с нашими желаниями. Цель любой
техники заключается в том, чтобы осуществить управляемый резуль-
тат при данных обстоятельствах. Мы делаем наши машины так, чтобы
они вели себя детерминированно. Техника создает системы, в кото-
рых используется классическая научная парадигма. Неважно, что мы
не умеем решать уравнения, описывающие движение всей Солнечной
Системы, поскольку мы не строим машин, поведение которых непред-
сказуемо.
Владельцы детерминированного прилавка предлагают свои новые
сверкающие уравнения, не обращая внимание на вопросы, на которые
нет ответов, и мечтают о блестящем будущем. Заказчики сгрудились
вокруг них, шумные, ищущие сделок.
Что это? Другой продавец? Однако тут нет в нем потребности.

Уравнения для Всего
57
Местный совет должно быть сошел с ума, если разрешил такой неряш-
ливой компании войти на рынок! А что же они продают?
Кости?
Посмотрите, они как-будто собираются начать карточную игру пря-
мо на рынке. . ., если это так, то все общество будет. . ..
Эге! Да они расположились совсем не для карточной игры. Что же
они могут положить на прилавок в дополнение к тому, что тут уже
есть?
Страхование жизни? Настойчивость просителей? Величие челове-
ческого бытия? Размеры неудач? Лепестки лютиков? Частоту нищих
среди лиц, определенных законом о бедных? Рост числа разводов?
Все это будет рассмотрено ниже. Прежний рынок уже погиб. Пред-
полагается, что теперь нужен научный рынок. Может ли эта пустая
болтовня быть наукой?
O, да.

Глава 3
Законы oшибок
Чем огромнее толпа и чем больше видимая анархия, тем более от-
четливо е¨
е качание. Это высшее проявление неразумности. В то же
время, когда большое количество хаотически движущихся элемен-
тов, связанных друг с другом, выстраивается в порядке возрастания
их величины, возникает неожиданная и наиболее прекрасная фор-
ма регулярности, которая доказывает, что она была скрыта в них с
самого начала. Максимальные значения участвующих в распределе-
нии элементов формируют последовательную кривую на основе неиз-
меняемых пропорций и каждый элемент после сортировки находит
свою, только ему предопределенную нишу, точно приспособленную
для него и удовлетворяющую этому правилу.
Френсис Гэлтон. Природа наследственности.
Самые впечатляющие достижения классической математической
физики оставляли сущность естественного мира нетронутой. Матема-
тика могла расчитать движение спутника Юпитера, но не снежинки
в снежной буре. Она могла описать рост мыльного пузыря, но не де-
рева. Если человек прыгал с Эйфелевой башни, то математика мог-
ла сказать, сколько времени займет падение, но хранила молчание о
его причине. Из множества доказательств, которые "в принципе" мог-
ли, опираясь на малое число законов, предсказать будущее вселенной,
практически могли быть реализованы единицы. На практике, такие
понятия, как давление газа или температура горения больших масс по-
гребенного угля, оставались за границами того, что могло быть строго
выведено из фактически известных законов.
Наконец, математики могли связать друг с другом, по крайней
мере, некоторые последовательности событий во вселенной и знали
причины их возникновения, но они все еще жили в беспорядочном
мире. Они верили с некоторым основанием, что большое число бес-
порядочных событий повинуется известным фундаментальным зако-
нам. Невозможность применения этих законов к любому явлению обу-
словлена только его сложностью. Движение двух точечных масс под
действием сил могло быть рассчитано точно. Тот же вопрос для трех

Законы oшибок
59
тел был уже слишком сложен для полного решения, но в специфиче-
ских случаях приближенные методы могли привести к успеху. Пробле-
ма долговременного движения приблизительно пятидесяти основных
тел Солнечной системы была уже слишком трудной для получения
завершенного решения, но любые специфические особенности этого
движения могли быть причинно поняты при употреблении достаточно
больших вычислительных усилий. Однако любой миллиграмм газа со-
держит около ста триллионов частиц. Чтобы записать уравнения их
движения, потребовался бы лист бумаги, сопоставимый по размерам
с орбитой Луны. Смешно даже думать о возможности их решения.
Метод, который в теории решает все, а на практике напоминает
использование паутины против снежного обвала, не сможет, вероят-
но, найти много приверженцев, и неважно насколько философски без-
упречными являются его верительные грамоты. Наука не собиралась
опускать руки в отчаянии, рассматривая проблему газа, только на том
основании, что невозможно описать индивидуальные движения каж-
дой отдельной частицы. Детальная сложность большого числа частиц
может быть невообразимой, но прогресс все же возможен на пути более
реалистического определения цели. Эксперименты показывают, что,
несмотря на сложность, газы ведут себя довольно регулярным обра-
зом. Если детальное поведение больших систем непостижимо, то не
можем ли мы найти регулярности в их грубом, среднем поведении?
При ответе "Да" необходимая математика это теория вероятности и
ее прикладная кузина, математическая статистика.
Выигрыш в азартной игре
Теория вероятности возникла из азартных игр, на основе в высшей
степени практической области жизни. Каждый игрок имеет инстинк-
тивное ощущение своего "шанса". Игроки знают, что имеются регу-
лярные способы оценки шансов, но далеко не все из взлелеянных ими
представлений способны пережить математический анализ. Джирола-
мо Кардано (Рис. 3.1), знаток азартных игр, интеллектуальный гений
и неисправимый мошенник, был первым, кто стал писать о вероятно-
сти. В 1654 шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю с вопросом
как лучше всего разделить ставки в случайной игре, которая прерыва-
ется. Те же самые имена математиков, которые известны по их вкладу

60
Законы oшибок
в создание детерминированной математики, возникают и в математи-
ке случайного. Паскаль написал Ферма об этом случае и в переписке
между собой они нашли ответ. Об этом было напечатано в 1657 в пер-
вой книге, которая была полностью посвящена теории вероятности:
On Reasoning in Games of Chance1 Кристиана Хиггинса.
Вероятность, как предмет исследований в собственном смысле это-
го слова, начинается с публикации Theorie analytique des probabilites2
Лапласом в 1812. Согласно Лапласу, вероятность случайного собы-
тия это число возможных исходов, в которые оно может произойти,
разделенное на общее число исходов, при условии, что они одинако-
во вероятны. Например, вероятность семейства, в котором семь де-
вочек равна 1
128 потому, что из 128 возможных последовательностей
мальчик/девочка (B/G), только одна соответствует распределению
GGGGGGG. (Предполагается, что вероятность рождения мальчика
и девочки одинакова, но фактически рождения мальчиков более веро-
ятны. Учесть это нетрудно.)
Средний человек
Практическое применение теории вероятности обеспечивает статисти-
ка. Поразительно, что решающий вклад в её разработку внесли как
точные, так и гуманитарные науки3. Наиболее важные идеи и методы
неоднократно переходили от одних наук к другим. Далее мы рассмот-
рим типичный пример именно такого случая. Много статистических
исследований выполнено по изучению так называемого нормального
распределения (Рис. 3.2). Это -- кривая колоколообразной формы, ко-
торая близка к моделям роста населения, имеющим некоторые спе-
цифические особенности. Например, если 1000 человек случайно вы-
браны среди населения Внешней Монголии, и график, приведенный
здесь, показывает сколько из них имеют данный рост в сантиметрах,
то результат будет заметно походить на колоколообразную кривую, ха-
рактерную для нормального распределения. То же самое будет полу-
чено, если нанести на график размах крыла уток, роющие способности
кротов, размеры акульих зубов или число пятен на леопарде.
1О рассуждении в случайных играх
2Теоретический анализ вероятностей
3В оригинале "hard" and "soft" sciences. Прим. пер.

Законы oшибок
61
Рис. 3.1. Джироламо Кардано, играющий ученый (Воспроизведено с разрешения
John Wiley & Sons Ltd.).

62
Законы oшибок
Рис. 3.2. Биномиальное приближение к нормальному распределению. (Кетле,
1846)
Нормальное распределение первоначально называлось законом рас-
пределения ошибок, оно возникло в результате работ астрономов и ма-
тематиков в XVIII веке, которые, стараясь вычислить орбиты небес-
ных тел, были вынуждены принимать во внимание ошибки наблюдате-
ля. Закон ошибок показывает, что наблюдаемые ошибки группируются
около среднего значения, и позволяет оценивать вероятность появле-
ния ошибки данного размера. Этот подход был перенесен в социоло-
гию Адольфом Кетле (Рис. 3.3), который применял методы статистики
ко всему, о чем он думал: к измерениям человеческого тела, преступ-
лениям, бракам, самоубийствам. Его Social Mechanics4 была названа
так, чтобы преднамеренно провести параллель с Celestial Mechanics5
Лапласа. Кетле достаточно быстро стал делать общие заключения из
предполагаемого постоянства средних величин социальных перемен-
ных и пришел на этом пути к ложным представлениям о "среднем
человеке" . Кетле не только думал об условиях жизни человека как
о форме социальной динамики, он хотел найти инженерные способы
управления такими системами, позволяющие их настраивать, стабили-
зировать и заглушать колебания. По Кетле, "средний человек" был не
только математической абстракцией, но и неким моральным идеалом.
4Социальная Механика. Прим. пер.
5Небесной Механикой

Законы oшибок
63
Рис. 3.3. Адольф Кетле. (портрет Дж. Одивера, 1822)

64
Законы oшибок
Гений наследственности
Общественные и физические науки имеют много отличий, в частно-
сти, важные управляемые эксперименты редко выполнимы в обще-
ственных науках. Если физик желает исследовать воздействие теп-
ла на металлическую пластину, он может нагревать ее и сравнивать
полученнные при различных температурах результаты. Если эконо-
мист исследует влияние финансовой политики на экономику страны,
он иногда может проверить это, но он не сможет реализовать несколь-
ко различных способов налогообложения в тех же самых экономи-
ческих условиях. Приблизительно к 1880 общественные науки отошли
от созданной в ранних работах Кетле методологии управляемого экс-
перимента. Наиболее важные исследования для этого были выполне-
ны Френсисом Гэлтоном, Исиодором Эджуэртом и Карлом Пирсоном.
Каждый известен своими трудами в традиционной области: Гэлтон
в антропологии, Эджуэрт в экономике, Пирсон в философии. Рабо-
тая совместно, они преобразовали статистику из спорной идеологии
в более или менее точную науку. Мы рассмотрим довольно детально
только исследования Гэлтона.
Френсис Гэлтон (1822--1911) готовился стать врачом, но, получив
наследство, оставил медицину и стал путешествовать, чтобы посмот-
реть мир. В 1860 он заинтересовался метеорологией и графически-
ми методами показал существование антициклонов в массе нерегуляр-
ных данных. Он занимался психологией, воспитанием детей, социо-
логией, изучал отпечатки пальцев, однако с 1865 главным делом его
жизни стала наследственность. Гэлтон хотел понять, как наследствен-
ные признаки передаются будущим поколениям. В 1863 он нарушил
установленные Кетле правила игры и стал всегда приводить получен-
ные данные к нормальному распределению. Однако способ, которым
он пользовался, был весьма отличен от того, что защищал Кетле. Гэл-
тон рассматривал нормальное распределение не как моральный им-
ператив, а как метод классификации данных в группах различного
происхождения. Пусть, к примеру, существует смешанная популяция,
образованная пигмеями и гигантами. Рост пигмеев, как и рост гиган-
тов описывается нормальным распределением. Однако эти две кри-
вые весьма различны, в частности, пики на этих кривых не совпада-
ют. Тогда распределение роста смешанной популяции не будет иметь
нормального распределения, поскольку наложение двух независимых

Законы oшибок
65
Рис. 3.4. Наложение двух нормальных распределений может дать кривую, име-
ющую два пика.
нормальных распределений, вообще говоря, не создает нормального
распределения, а образует кривую с двумя максимумами (Рис. 3.4).
Гэлтон полагал, что нормальное распределение применимо только к
"чистому" населению, а для смешанной популяции оно не подходит.
Поэтому смешанную популяцию следует разделять на чистые состав-
ные части, где один пик соответствует гигантам, а другой -- пигмеям.
Однако эта очень привлекательная картина вызывала у Гэлтона
головную боль при размышлении о наследственности. Предположим,
что рост первого поколения чистого населения имеет нормальное рас-
пределение. Каждый индивидуум производит потомков, чьи роста ве-
роятно тоже нормально распределены. Однако пик на этой кривой
роста зависит от родителя иначе как мог бы наследоваться рост?
Таким образом, рост последующих поколений является наложением
большого количества различных нормальных распределений. Однако
наложение нормальных распределений, как мы только что видели, в
общем случае не ведет к нормальному распределению. Вывод: если чи-
стое поколение производит следующее, то оно не является больше
чистым. Мы приходим к абсурду: ведь оригинал "чистого" поколения
представляет собой самостоятельное поколение, возникшее из преды-
дущего за одно поколение!
Так было до 1877, пока Гэлтон не решил этот парадокс. К это-
му времени у него уже были сведения о душистом горошке, которые
свидетельствовали, что последующие поколения фактически соответ-
ствуют нормальному распределению. Для исследований он использо-

66
Законы oшибок
вал любопытный экспериментальный прибор, известный как "квин-
канс" 6. Этот прибор проверял математику бросанием свинцовой дро-
бины, проходившей через множество металлических булавок и отска-
кивавшей случайным образом налево и направо. Решение парадокса
состоит в следующем: поскольку родители происходят от чистого по-
коления, отдельные нормальные распределения роста их потомков не
являются независимыми. Поэтому их поведение при наложении обу-
словлено этой связностью. Происходит миниатюрное математическое
чудо: отдельные распределения связаны таким образом, что после их
наложения результат снова имеет нормальное распределение.
Гэлтон был поражен этим результатом до глубины души, и это
привело его к идее регрессии. Дети высоких родителей, в среднем, не
такие рослые, а дети низкорослых родителей, в среднем, выше своих
родителей. Это не мешает появлению более высоких детей у высоких
родителей, так же, как и более низкорослых детей у не высоких родите-
лей, но средний рост потомства немного смещен к среднему значению.
В 1855 Гэлтон подготовил диаграмму, содержащую сведения о ро-
сте 928 взрослых детей по сравнению с ростом их родителей (Рис. 3.5).
На этой диаграмме в узлах матрицы показано, как много детей имеют
родителей, чей средний рост указан слева в шкале строк, а их собствен-
ный рост, вместе с отклонением от роста родителей, задан в верхней
шкале столбцов. Гэлтон заметил, что числа в заданном диапазоне, ска-
жем в 3--5, или 6--8, размещаются приблизительно по эллипсам, имею-
щим центр в точке среднего роста всей популяции. Эта диаграмма пол-
ностью соответствует теории регрессии Гэлтона, из нее возник метод
регрессионного анализа, который позволяет выявить основные тенден-
ции изменения случайных данных. Гэлтон не формулировал свои идеи
в точных математических терминах, предпочитая графические описа-
ния и демонстрации с расположением образцов в шахматном порядке.
Математическая основательность была внесена Эджуэртом, развер-
нувшим эти идеи и сделавшим их гораздо более употребительными.
Пирсон был компетентным математиком, но менее талантливым, чем
Эджуэрт; он был популяризатором и обладал необходимой энергией
и амбициями, позволившими продать эти методы миру. Мечтатель,
техник, продавец: необходимы были все трое, чтобы статистика стала
влиять на развитие науки.
6То есть размещение в шахматном порядке. Прим. пер.

Законы oшибок
67
Рис. 3.5. Диаграмма Френсиса Гэлтона, характеризующая отношение роста де-
тей к росту своих родителей и показывающая образцы концентрических эллипсов.
Технология передачи
Статистика, как уже отмечалось, замечательна тем, что ее идеи нахо-
дят применение как в физических, так и в социальных науках. Вна-
чале астрономы разработали методы анализа ошибок, а затем ученые
из сферы социальных наук создали математические инструменты для
обнаружения структур в случайных данных. Теперь уже точные на-
уки должны были вновь заимствовать созданные инструменты, с со-
вершенно, казалось бы, иной целью: для математической обработки
данных о поведении физических систем, столь сложных, что в них
должна была проявиться случайность.

68
Законы oшибок
В 1873 великий физик Джеймс Клерк Максвелл на встрече в Бри-
танской Ассоциации по содействию науке предложил использовать
статистические методы в физике:
Мельчайшая частичка материи как объект эксперимента,
состоит из миллионов молекул, ни одна из которых ни-
когда не станет индивидуально заметной. Таким образом,
невозможно установить действительное движение какой-
либо молекулы, поэтому следует отказаться от строгого ис-
торического метода и применять статистический метод для
исследования больших групп молекул.
Применяемые в науке о молекулах данные статистическо-
го метода являются объединением значений, свойственных
большому числу частиц. При изучении отношений между
количествами такого типа имеет место иной тип регуляр-
ности, регулярность в среднем, которую можно получить с
достаточной для практических целей точностью, но от ко-
торой нет необходимости требовать той абсолютной точно-
сти, которая свойственна законам абстрактной динамики.
Физики неоднократно ссылались на успехи статистических методов в
социальных науках, оправдывая использование вероятностных проце-
дур. В физике статистический метод расцвел, а кинетическая теория
газов превратилась в основной и базовый образец сферы его приме-
нения, характеризующегося высокой научной активностью. Это был
не только плод свободной аналогии между молекулами и человече-
скими индивидами, но эта аналогия имела математический характер.
В частности, Максвелл рассмотрел важнейший вопрос: каково стати-
стическое распределение беспорядочно изменяющихся скоростей мо-
лекул? Он начал с двух очевидных физических предположений:
• Скорость частицы в любом направлении не зависит от ее скоро-
сти в любом перпендикулярном к нему направлении.
• Распределение скоростей частиц обладает сферической симмет-
рией, то есть все направления при рассмотрении одинаковы.
Исходя только из этих абстрактных принципов, не обращаясь к за-
конам динамики и опираясь только на математическую аргументацию,
он добился успеха в доказательстве того, что распределение частиц яв-
ляется трехмерным аналогом закона ошибок Кетле.

Законы oшибок
69
Голландский хаос
Слово "газ", как понятие, ввел голландский химик Д. B. Ян Гельмут в
своем труде Ortus Medicinae7, увидевшим свет в 1632, подчеркнув этим
его сходство с греческим словом "хаос". Это был очень проницательный
выбор слова для нового понятия.
В физике газов случайность и детерминированность впервые столк-
нулись лицом к лицу. Ведь, в сущности, газ это вполне детермини-
рованная совокупность движущихся молекул, повинующихся точным
законам динамики. Где же пребывает случайность?
На этот вопрос любой знающий ученый до 1970-х, а большинство
-- до начала 1980-х, автоматически отвечал: в сложности. Детальное
движение молекул газа является слишком сложным для нас.
Чтобы убедиться в этом, предположим, что мы обладаем устрой-
ством, способным отслеживать движение разумного числа газовых мо-
лекул. Такое устройство конечно не существует, но даже если бы оно
существовало, то для замедления движения частиц на много поряд-
ков -- иначе мы просто не сможем увидеть происходящее нужен
компьютер. Тем не менее, предположим, что мы сумели сделать такое
устройство. Что бы мы тогда смогли увидеть? Сконцентрируем вни-
мание на небольшой группе молекул. Они следуют по прямой линии в
течение короткого времени, затем начинают испытывать сильные со-
ударения друг о друга в направлениях, которые можно предсказать,
зная геометрию их предшествующего движения. Но так как мы на-
чинаем наше исследование, когда группа уже находится в движении,
то это сделать невозможно. Кроме того, любая прибывающая извне
молекула, разрушает нашу четко очерченную группу. И прежде, чем
мы сумеем сформировать новую группу, появится другая молекула, за
ней третья и т. д.
Если мы видим только малую часть чрезвычайно сложного движе-
ния, то оно должно казаться случайным и бесструктурным.
В этом смысле это тот же самый механизм, который делает со-
циальные науки столь трудными. Невозможно изучать действующую
экономику или нацию или ум, изолируя его малую часть. Эксперимен-
тальная подсистема будет постоянно возмущаться неожиданными и не
поддающимися контролю внешними воздействиями. Даже в физиче-
7Основы медицины. лат. Прим. пер.

70
Законы oшибок
ских науках, где постоянно ведутся эксперименты, большая часть каж-
додневных усилий расходуется на устранение внешних воздействий.
Газовые неоновые вывески освещенного Бродвея весьма эффектны,
они привлекают внимание к ночной жизни, к пошлым стриптиз-клубам
и барам, но этот же газ играет роль пустоты в приборе астрономов --
телескопе. Чувствительный сейсмометр не только записывает инфор-
мацию о действительных землетрясениях, но также способен фиксиро-
вать шаги горничной, толкающей свою тележку по коридору. Физики
идут на крайние меры, чтобы устранить различные нежелательные
эффекты. Вместо крыш Манхэттена они размещают свои телескопы
на вершинах гор, а счетчики нейтрино, вместо офиса, прячут на глу-
бине в несколько миль от поверхности. Но ученый-социолог не может
позволить себе даже этого, он должен использовать статистические
методы, чтобы получить модели, то есть так отфильтровать данные,
чтобы избавиться от влияний. Статистика -- метод извлечения драго-
ценного порядка из песка сложности.
Ученые уже сто лет назад хорошо знали, что детерминированная
система может вести себя случайным образом, но они полагали, что
на самом деле ее поведение не было таковым, оно только казалось
случайным из-за несовершенной информации. Они полагали, что та-
кая случайность обманчива, поскольку возникает в очень большой и
сложной системе, имеющей громадное число степеней свободы и содер-
жащей много различных переменных, включающих множество компо-
нент. Детальное поведение таких систем должно было навсегда остать-
ся за пределами возможностей человеческого разума.
Лишняя парадигма?
К концу XIX века в науке сосуществовали две весьма различные пара-
дигмы математического моделирования. Первой, и более старой, был
высокоточный анализ на основе решений дифференциальных уравне-
ний, в принципе способный определить весь ход развития вселенной,
но практически применимый только к относительно простым и хорошо
структурированным проблемам. Второй была стремительно развива-
ющаяся наука -- "молодая выскочка" -- статистический анализ усред-
ненных величин, позволяющий выявлять грубые черты движений вы-
сокосложных систем.

Законы oшибок
71
Между ними не было никакого действительного контакта на мате-
матическом уровне. Статистические законы не были математическими
следствиями законов динамики, а были дополнительным структурным
слоем, наложенным на математические модели, взятые напрокат в фи-
зике, они были основаны на физической интуиции. Строгая дедукция
поведения больших масс материи, исходя из законов динамики, оста-
ется проблемой даже сегодня, это предмет дискуссий в среде матема-
тических физиков. Например, только недавно было окончательно до-
казано, что (в соответствии с определенной моделью) газы существу-
ют. Теоретическое существование кристаллов, жидкости и аморфных
твердых тел остается пока вне пределов достигаемости теории.
Вначале XX века статистическая методология прочно утвердилась
и заняла место рядом с детерминированным моделированием, как рав-
ный партнер. Чтобы отобразить этот факт, в научный обиход было
введено новое слово. Даже случай имеет свои законы стохастиче-
ские. (Греческое слово stochastikos означает "искусство выбора цели" и,
таким образом, определяет практическое использование законов слу-
чайного.) Математика стохастических процессов изучение последо-
вательностей случайных событий -- процветала рядом с математикой
детерминированных процессов.
Порядок больше не был синонимом закона, а беспорядок не был
синонимом его отсутствия. И порядок и беспорядок имели законы, но
эти законы описывали два отличных друг от друга типа поведения.
Один тип законов характеризовал упорядоченное поведение, а другой
-- беспорядочное поведение. Существовали две парадигмы, два метода,
два способа рассмотрения мира, две математических идеологии, при-
менимые только в пределах собственной сферы влияния. Детерминизм
использовался для простых систем с несколькими степенями свободы,
статистика -- для сложных систем с большим количеством степеней
свободы. Система была либо случайной, либо нет. Если она была слу-
чайной, то ученые достигали результатов, пользуясь стохастически-
ми методами; в противном случае они применяли детерминированные
уравнения.
Эти две парадигмы были равными партнерами, одинаково при-
нятыми в научном мире, одинаково полезными, одинаково важными,
одинаково математическими. Равными, но различными: полностью и
несовместимо различными. Ученые знали, что они различны, и они по-

72
Законы oшибок
нимали причину этого: простые системы ведут себя простым образом,
сложные системы ведут себя сложным образом. Между простотой и
сложностью не могло быть общей почвы.
Однако то, что одно поколение ученых знает без тени сомнения,
что встроено в саму структуру их мира, является как раз тем, что
следующее поколение будет оспаривать и перевернет. Если вы знаете
что-то твердо, то не сомневаетесь в этом, а если вы не сомневаетесь,
то живете верой, а не наукой.
Это действительно очень трудный вопрос. Может ли простая де-
терминированная система уподобиться случайной? Такая постановка
вопроса решительно противоречит нашей интуиции и мешает нам за-
дать его. До сих пор прогресс науки был всецело основан на убежде-
нии, что искать простоту в природе, значит находить для ее описания
простые уравнения. Зачем же задавать глупые вопросы!
В той точке истории, куда мы теперь прибыли, прозвучал только
один диссидентский голос, но и тогда он звучал бледно, неопределен-
но, только как трепетный намек на будущие неприятности. Этот голос
возник только один раз, затем замолчал. Этот голос если бы он был
услышан, был проигнорирован. Это был голос человека, величайше-
го математика своего века, еще одного революционера бурной науки
--динамики, походя создавшего целую область математики, рассматри-
вая ее как побочный продукт. Это был голос человека, который только
коснулся хаоса. . .
И ужаснулся им.

Глава 4
Последний универсалист
"Сорок заданий вы все должны налетать до тех пор, пока вас не от-
зовет Штаб-квартира 27-х ВВС". Виссарион ликовал. "И тогда я
смогу поехать домой? Мне будет уже 48 лет". "Нет, вы не сможете по-
ехать домой", поправил его бывший рядовой 1 класса Винтергрин.
"Разве вы сумасшедший"? "Почему?"
"Уловка-221".
Джозеф Геллер. Уловка-22.
При отсутствии знания, математика корчилась в тисках Уловки-22.
Если можно разрешить уравнение аналитически, то решения бу-
дут ipso facto2 вести себя регулярно, иметь пригодный для анализа
вид. Это то, что формулы непосредственно сообщают. Однако, если
вы полагаете, что заниматься динамикой -- это значит находить ана-
литические решения дифференциальных уравнений, то такая матема-
тика будет способна изучать только регулярное поведение. Поэтому
вы будете активно искать такие проблемы, для которых ваши методы
применимы, и игнорировать остальные. Нет, даже не прятать эти про-
блемы под ковер, -- чтобы делать это, вы должны, по меньшей мере,
знать об их существовании. Вы жили в рае глупцов или, по крайней
мере, продолжали бы жить в нем, если бы не были настолько умны,
что сумели понять это.
Нужна очень специфическая комбинация обстоятельств, чтобы мож-
но было пренебречь этими ограничениями. Время, место, личность,
культура всё должно быть выбрано правильно.
Нет ничего неправильного с выбором места рождения этого челове-
ка. Франция принадлежала тогда к математическим нациям высшего
разряда. Еще принадлежала в то время.
1В оригинале сказано Catch-22. Уловка или хитрость, взаимопротиворечивые условия.
Согласно пункту 22 устава, описываемой в романе Геллера американской военной базы
в Италии, летчика можно отстранить от полетов, только когда он сам об этом заявит и
если его признают сумасшедшим. Но тот, кто обращается с такой просьбой, уже не сума-
сшедший, а каждый, кто продолжает летать, -- безумец по определению. Но отстранить
его нельзя -- он не сделал заявления. Таким образом, Catch-22 своеобразный маневр,
навсегда привязывающий летчика к военной службе в ВВС американской армии.
2В силу самого факта своего существования. лат. Прим. пер.

74
Последний универсалист
У него был мягкий, смущенный взгляд рассеянного профессора, но
он был гигантом мысли. Одной ногой в XIX, а другой -- в XX веке, он
у стоял у истоков того поворотного пункта математической истории,
когда математика начала свой роман с общностью и абстракцией. Од-
них этот роман восхищал своей конкретностью, для других он долго
оставался непонятным, а для некоторых он остается неприемлемым
до сих пор. Имя этого человека -- Анри Пуанкаре (Рис. 4.1). Вероят-
но, он был последним математиком, который был способен вникнуть
в каждую деталь, в каждую тонкость своего предмета. После Пуанка-
ре пришли специалисты и произошел взрыв математической инфор-
мации, сделавший их существование более необходимым, чем широта
и глубина математического понимания. К числу великого множества
открытий и изобретений Пуанкаре мы находим и основанную им ка-
чественную теорию динамических систем.
Таково настоящее место этой личности. Однако то время не было
справедливым к нему, а культура тем более. Когда ученые начали ис-
следовать океанские глубины, их сети подняли останки унылого цвета,
принадлежавшие странному монстру, уродливому, как смертный грех.
Только когда батискафы оборудовали поисковыми прожекторами, и
появилась возможность исследовать глубоководные морские желоба,
тонкая красота и подлинные краски этих затерянных миров проявили
себя. Трудно судить о красоте живого существа по трупу. Так было
и с Пуанкаре. Он заглянул в пропасть хаоса и различил некоторые
из форм, которые прятались в её черных провалах, но пропасть бы-
ла слишком глубока и темна. Поэтому, пребывая в заблуждении, он
дал этим монстрам несколько наиболее выразительных имен в мате-
матике. Пуанкаре обладал глубиной понимания, но не имел необходи-
мых выразительных средств. Их нашли в другом веке, вооруженном
созданной Пуанкаре качественой теорией дифференциальных уравне-
ний, компьютерами и другими техническими средствами. Этот век су-
мел пролить некоторый свет на хаотические глубины и обнаружить их
изумительную красоту. Однако все это было бы невозможным, если бы
Пуанкаре не был пионером и не шел по краю пропасти.

Последний универсалист
75
Рис. 4.1. Портрет Анри Пуанкаре, иллюстрирующий его открытие "рекурcии
Пуанкаре". Если трансформация применяется повторно к математической систе-
ме, и эта система не может выйти за пределы ограниченной области, она должна
бесконечно много раз возвращаться к состоянию, которое близко к исходному.

76
Последний универсалист
Рассеяный мечтатель
Анри Пуанкаре родился 29 апреля 1854 в Нанси на северо-востоке
Франция. Отец его был врачом, а о матери почти ничего неизвестно.
Он был необычайно понятливым ребенком, но плохо координировал
свои движения вследствие перенесеной в возрасте пяти лет дифте-
рии; этот недостаток сохранился у него на всю жизнь. Он проявил
серьезную склонность к математике уже в пятнадцать лет. В 1871 он
сдал экзамены на свою первую степень, почти провалив математику
с ним случился конфуз, поэтому он не справился с простой зада-
чей по геометрическим рядам. Вскоре после экзаменов в школу Ле-
соводства он поправил дело, получив первый приз по математике без
каких-либо замечаний. Затем он перешел в Политехническую школу,
рассадник французских математиков, снискавших репутацию матема-
тических вундеркиндов. Несколько попыток поставить его на твердую
почву трудных математических проблем дали осечку, ибо Пуанкаре
переступал через них без усилий.
В 1875 он поступил в Горную школу, мечтая стать инженером, но
между делом сделал несколько открытий в области дифференциаль-
ных уравнений и три года спустя представил их, как докторскую дис-
сертацию, в Парижский университет. В результате он получил в 1879
место профессора математического анализа в Канне. С 1881 его де-
ятельность прочно связана с Парижским университетом, где он стал
бесспорным лидером французской и, очевидно, мировой математики.
Традиционный стереотип математика это рассеянный мечтатель,
бородатый очкарик, всегда ищущий очки и не сознающий, что они у
него на носу. Немногие из великих (или ординарных) математиков в
действительности соответствуют этому стереотипу, но не Пуанкаре. Не
раз в гостиницах, по забывчивости, с него брали за белье дважды.
Пуанкаре был объединителем, искателем общих принципов, по-
следним из традиционалистов и первым из модернистов. Он факти-
чески владел всей математикой своего времени: дифференциальными
уравнениями, теорией чисел, комплексным анализом, механикой, аст-
рономией, математической физикой. Собрание его работ насчитывает
более 400 книг и статей, часто довольно пространных. Самым большим
творением Пуанкаре была топология общее учение о непрерывности.
Он называл ее analysis situs анализом положения и применил ее к
одной из труднейших проблем динамики.

Последний универсалист
77
Рис. 4.2. Шпилька, балансирующая на конце неустойчива и на практике всегда
опрокидывается. Та же булавка, лежащая на боку, устойчива.
Оскар для математики
В 1887 король Швеции Оскар II предложил приз в 2.500 крон за ответ
на фундаментальный вопрос астрономии: является ли устойчивой
Солнечная система? Сейчас мы видим, что это был главный поворот-
ный пункт в развитии математической физики.
Состояние покоя или движения устойчиво, если оно заметно не ме-
няется под влиянием небольших воздействий (возмущений). Лежащая
на боку шпилька устойчива (Рис. 4.2). Теоретически она может балан-
сировать на своем остром конце сколь угодно долго, но на практике
упадет, едва жук в соседней комнате раскроет свои крылья. В прин-
ципе для этого достаточно, чтобы некий лупоглазый монстр раскрыл
свои крылья в соседней галактике, но требуется некоторое время для
проявления этого влияния. Дело в том, что шпилька начинает падать
бесконечно медленно, и прежде, чем возмущение станет заметным,
некоторое воздействие силы тяжести от соседнего дома будет маски-
ровать удаленное воздействие чещуйчатых крыльев этого монстра --
рептилии Ворсел Велентия3.
Существует или нет специфическое состояние покоя или движения,
можно выяснить только путем рассмотрения этого состояния. Если
3Этимология этого имени Worsel Velantia неясна, что-то вроде Худший из перепонча-
тых. Прим. пер.

78
Последний универсалист
шпилька сбалансирована строго вертикально, тогда сила тяжести про-
ходит точно через ее точку опоры, и сюда же приложена реакция, ко-
торая, в соответствии c третьим законом Ньютона, должна быть равна
этой силе по величине и противоположна по направлению. Это все, что
следует знать. Однако понять, является ли это состояние устойчивым,
можно только анализируя близлежащие состояния. Если слегка на-
клонить булавку, то центр масс немного отклонится от центра, теперь
реакция и вес тоже образуют пару сил равных по величине, но они не
направлены теперь прямо противоположно. Полученная пара застав-
ляет шпильку продолжать вращение в направлении наклона. Началь-
ное смещение увеличивается, и положение становится неустойчивым.
Устойчивость движения, таким образом, более сложный вопрос,
чем его существование. Устойчивость во многих случаях имеет исклю-
чительно важное значение. Гигантский реактивный самолет должен не
только летать, он должен летать устойчиво, иначе упадет. Когда авто-
мобиль заворачивает за угол, он не должен переворачиваться на бок,
а должен продолжать устойчиво двигаться по дороге. Теоретически,
устойчивые и неустойчивые состояния -- это решения тех же самых ос-
новных динамических уравнений: математика находит их также легко,
как и всякие другие. Но в эксперименте неустойчивое состояние покоя
вообще никогда наблюдаться не будет, потому что ничтожные внешние
влияния будут препятствовать этому. Неустойчивое состояние движе-
ния может наблюдаться на практике, но только как переходное со-
стояние в пути от исходного неустойчивого состояния к устойчивому.
Движение велосипеда между моментом временем, когда вы дали ему
начальный толчок, и моментом его падения в канаву является пере-
ходным, оно заканчивается устойчивым состоянием покоя.
Существует иной способ, позволяющий наблюдать неустойчивое
состояние: использовать специальные действия по стабилизации со-
стояния, выявлять и корректировать движения, нарушающие устой-
чивость. Этим способом канатоходец бросает вызов силе тяжести, но
рассмотрение таких явлений принадлежит скорее теории управления,
чем динамике.
Солнечная система - очень сложная динамическая система. Её дви-
жение определенно существует и происходит по детерминированным
законам Ньютона (хотя существуют коллизии: три шара ростовщи-
ка, и другие типы особенностей, которые мы здесь не рассматриваем).

Последний универсалист
79
Солнечная система делает свое дело, некогда установленная и отла-
женная, она способна осуществлять только одну вещь. Но является ли
эта вещь устойчивой? Будут ли планеты продолжать движение почти
по тем же орбитам, суждено ли Земле закончить свое странствие в
холоде и темноте Плутона или рухнуть на Солнце? Будет ли Солнеч-
ная система продолжать свой путь или скатится в сторону и упадет в
космический кювет?
Следует признать, что это интригующие вопросы. Другое дело на-
сколько они важны практически, об этом, конечно, можно спорить.
В небесной механике часто требуется очень длительное время, что-
бы неустойчивости проявили себя, как в притче о человеке, который,
услышав, что вселенная перестанет существовать не позднее, чем че-
рез сто миллиардов лет, сказал: Вы взволновановали меня... Мне
показалось, что вы сказали сто миллионов!
Во всяком случае, Солнце, вероятно, взорвется раньше.
В дни короля Оскара, многие из этих дополнительных слоев физи-
ческой сложности не принимались во внимание, а устойчивость Сол-
нечной системы рассматривалась как серьезная практическая пробле-
ма. Сегодня она не очень важна, но, подобно всем хорошо сформу-
лированным физическим проблемам, ее математическая жизнь после
этого долгое время была физически мертва. За конкретной формой
этой проблемы скрывалась гораздо более общая проблема: как рас-
сматривать вопросы устойчивости сложных динамических систем.
Динамика резинового листа
Пуанкаре был, как сказано выше, "последним универсалистом", по-
следним из больших математиков, способным к работе в каждой об-
ласти своего предмета. Он был последним потому, что предмет рос
очень быстро, быстрее, чем его могли освоить слишком бестолковые
для этого практикующие математики и специалисты. Сегодня име-
ются признаки нового обьединения математики: дни универсалистов
могут вернуться. Естественно, что Пуанкаре обратился к проблеме ко-
роля Оскара. Он не решил ее: решение пришло много позже и не имело
первоначально ожидаемого вида. Тем не менее, он оставил такой след
в решении проблемы, что ему был предоставлен приз; чтобы сделать
это он создал новый раздел математики топологию.

80
Последний универсалист
Топологию можно назвать "геометрией резинового листа". Более
точно, это математика непрерывности. Непрерывность есть учение о
гладких, постепенных изменениях, наука неразрывности. Неоднород-
ности неожиданны и разительны это места, где ничтожные особен-
ности вызывают огромные изменения. Гончар, разминающий руками
ком глины, изменяет его непрерывным образом, но при разламыва-
нии кома деформация перестает быть непрерывной. Непрерывность
одно из наиболее фундаментальных, известных нам математиче-
ских свойств всего. Концепция непрерывности столь естественна, что
ее базовая роль стала ясной почти сто лет назад. Эта концепция столь
мощна, что преобразует математику и физику; столь неуловима, что
потребовались десятилетия для получения ответов даже на самые про-
стые вопросы.
Топология разновидность геометрии, но в этой геометрии дли-
ны, углы, области и формы бесконечно изменчивы: квадрат непрерыв-
но преобразуется в круг (Рис. 4.3), круг -- в треугольник, a треуголь-
ник -- в параллелограмм. Все отличные друг от друга геометрические
формы, которые мы, будучи детьми, так прилежно изучали в шко-
ле, для тополога являются одинаковыми. Топология изучает только
те свойства, которые остаются неизменными при обратимых непре-
рывных преобразованиях. Говоря "обратимые", я подразумеваю, что
и "необратимые" преобразования являются непрерывными. Добавляя
постепенно глину в ком, мы осуществляет непрерывное преобразова-
ние, но обратное преобразование при удалении глины из кома,
не является тем же самым. То есть, для тополога два комка глины
не есть то же самое, что один, но другие вещи, которые мы обычно
различаем, остаются различными.
Каковы же исходные топологические свойства? Для непривычно-
го слуха они кажутся туманными, абстрактными и расплывчатыми,
как например только что упомянутая связность. Один кусок или два?
Другой пример -- узловатость: узел - это петля, которая не может быть
развязана, и не имеет значения, как деформируется узел. Прокладка
пути -- это также звучит топологически. Дыры -- тоже топологические
объекты: нельзя избавиться от дыры с помощью обратимой непрерыв-
ной деформации. Для тополога, пончик4 аналогичен кофейной чаш-
ке, поскольку оба имеют одну дыру. (Вы можете догадаться, что это
4Имеется в виду американский пончик, имеющий форму кольца -- тора. Прим. пер.

Последний универсалист
81
Рис. 4.3. Для тополога квадрат и круг представляют один объект, поскольку
могут переводиться друг в друга непрерывной деформацией.
американец придумал фразу: британские пончики не имеют дырки, а
имеют -- позволяя избегать определенных супермаркетов, -- джем.)
Невозможно развивать топологию, как технический инструмента-
рий, используя такой язык. Дырка, принадлежащая пончику, действи-
тельно окружает его, и пончик окружает дырку: дырка и пончик свя-
заны. Необходимо много раз переосмыслить все это, чтобы привести в
порядок. Для этого нужны новые понятия, но они не являются частью
повседневного опыта, это -- понятия, для которых не существует слов.
Поэтому математики изобретают новые слова или заимствуют старые,
придавая им значение с необходимой, досконально продуманной логи-
кой, подобно приведенному выше представлению об обратимости, и
строят на этой основе новый мир. Если взять какой-нибудь учебник
по топологии, то можно читать его, опираясь на представления о пон-
чиках и резиновых листах, но когда начинаются действительно труд-
ные места, математический текст наполняется менее дружественной
терминологией: непрерывное отображение, компактное пространство,
многообразие, триангуляция, группа гомологий, аксиома отделимости.
Вся величественная доктрина топологии, главного сооружения мате-
матики XX века, возникла в конечном счете из оригинальной мысли
Анри Пуанкаре.
Топология в первом приближении кажется абстрактной до чрезвы-
чайности. Как и поросенка африканского кабана, немногие на самом
деле любят ее, но нет интереса и к другим разделам математики. Од-

82
Последний универсалист
нако Пуанкаре сумел разглядеть высокий интеллект, спрятанный под
бородавками свиньи. У него был обширный математический опыт как
в чистой, так и в прикладной математике, позволивший ему разгля-
деть потенциальные возможности строгой теории непрерывного. Ино-
гда требуется универсальный ум, чтобы понять, что же в действи-
тельности является важным: никто, кроме него, не может соединить
все части целого. В каждом направлении, к которому Пуанкаре обра-
щался, он переходил к вопросам, на которые могла дать ответ только
топология. Это ясно видно из его работ по теории чисел, по комплекс-
ному анализу, дифференциальным уравнениям и по проблеме короля
Оскара.
Безумно во всех отношениях
Пуанкаре посвятил топологии несколько лет своей жизни, создав по-
чти все ее направления. Другие развили их: больше определений, боль-
ше теорем, больше жаргона, больше абстракции и меньше контакта с
природой.
В 50-х годах топология, как почти все основные направления ма-
тематики, последовала за героем Стефана Ликока и преобразовалась
в теорию, безумную во всех отношениях. Это показалось многим аут-
сайдерам потерей связи с реальностью. В своей книге Хаос Джеймс
Глейк приводит слова Ральфа Абрахама, математика из Санта-Круз,
описавшего в этом отношении свой собственный опыт:
Роман между математиками и физиками закончился раз-
рывом в 1930. Эти люди больше не говорили. Они просто
презирали друг друг. Математические физики отказыва-
ли своим студентам в праве посещать математические кур-
сы у математиков. Изучайте математику у нас. Мы бу-
дем преподавать вам то, что вы должны знать. Мате-
матики пребывают в каком-то ужасном субъективном
заблуждении и способны разрушить ваш ум. Это было в
1960. К 1968 все полностью возвратилось на круги своя.
Это случилось потому, что Пуанкаре и математики, которые сле-
довали за ним, действительно нащупали фундаментальную идею, но в
одиночку было очень трудно эффективно выполнить эту работу. По-

Последний универсалист
83
этому она продолжалась так долго и привела в такую дикую и аб-
страктную местность. При этом многие математики даже забыли, что
Пуанкаре начал эту работу, исходя из физической проблемы. Новый
вид математики приводил их в такой восторг, что этого им было вполне
достаточно и можно было пребывать в роскошной интеллектуальной
изоляции.
Ситуация напоминала экспедицию, стремящуюся пересечь непри-
ступный горный хребет. Издалека можно было разглядеть вершину,
которую следует покорить, но было неизвестно, как осуществить вос-
хождение. Поэтому глава экспедиции решил сделать обходной маневр,
через пустыню, чтобы обогнуть гору, но в результате этого вершина
оказалась позади. Ныне техника, необходимая для выживания в пу-
стыне, стала иной, она помогает подниматься в горы. Поэтому поход
заканчивается со знатоками кактусов, гремучих змей и пауков, с ис-
следователями дюн, изучающими воздействие на них ветра и причи-
ны мгновенного перемещения, и никто больше не беспокоится о снеге,
веревках, шипах на обуви и ледорубах. Если альпинист спрашивает
исследователя песков, зачем тот изучает дюны, то, получая ответ:
чтобы понять прошлое этой горы , он не верит услышанным словам.
Это хуже, чем если бы он ответил не могу ничего сказать о горах --
песчаные дюны гораздо занятнее .
Гора топологии все еще существует, и пустыня ещё расстилается
вокруг нее. Если исследователи пустыни будут делать свое дело до-
статочно хорошо даже если они забыли о горе, то придет день,
когда гора перестанет быть препятствием.
В середине 60-х годов, две группы математиков: одна руководи-
мая американцами, другая -- русскими, наконец-то пересекли пусты-
ню топологии. Основные проблемы топологии вышли на прямую и к
финишу обе группы пришли вместе. Многие известные математики и
физики -- однако не все -- забыли при этом, что топология вышла из
физики. Математика и физика не забыли.
Вечный треугольник
Этот раздел возвращает нас к королю Оскару. В человеческих делах
двое образуют союз, а троих ждет разрыв. Аналогичным образом, в
небесной механике взаимодействие двух тел хорошо предсказуемо, а

84
Последний универсалист
Рис. 4.4. Сложность движений трех тел: здесь показано частичное облако орбит
двух фиксированных планет с фиксированной, одинаковой массой.
трех тел чревато бедствием (Рис. 4.4). Дюжина с лишним главных тел
Солнечной системы ещё более сложна, поэтому тот, кто хотел полу-
чить кроны короля Оскара, должен был работать очень интенсивно.
Статья Пуанкаре, получившая приз, названа (на французком) О
проблеме трех тел и уравнениях динамики. Она была опубликована
на французском 1890 и в оригинале имела 270 страниц. Первая часть
ее устанавливала общие свойства динамических уравнений, вторая --
применяла результаты к проблеме произвольно большого количества
тел, движущихся благодаря ньютоновой гравитации.
Рассмотрим универсум, состоящий только из Земли и Солнца. Дви-
жение двух тел является периодическим, то есть повторяется снова и
снова. Время, необходимое для повторения такого движения, по тради-
ции, будем называть годом. Наличие периодов, очевидно, доказывает,
что Земля не может упасть на Солнце или удалиться от него на бес-
конечное расстояние. Если бы такое явление имело место, то Земля
должна была приближаться к Солнцу каждый год или удаляться от
него. Эти несуществующие явления не могут происходить более одного
раза, а они не имели место в прошлом году. Поэтому они не возникнут.
Другими словами, периодичность обеспечивает нам очень полезный

Последний универсалист
85
подход к стабильности. В реальном универсуме другие тела могут на-
рушить этот удобный сценарий, но периодичность и связанные с ней
концепции продолжают действовать.
В третьей главе своей статьи Пуанкаре обращается к вопросу о су-
ществовании периодических решений дифференциальных уравнений.
Он начинает в классической манере и показывает как получить такие
решения, распространяя понятие переменной на бесконечные ряды,
каждый член которых является при этом периодической функцией
времени. В итоге получаем, -- говорит он, -- что существуют ряды с
периодическими коэффициентами, которые формально удовлетворя-
ют уравнениям .
Пуанкаре употребляет слово "формально" в связи с важной причи-
ной. Процедура кажется имеющей смысл, но он взволнован тем, что
при этом могут возникнуть ложные решения. Бесконечный ряд то-
гда и только тогда имеет определенную сумму, когда сумма большого
числа членов стремится к единственному значению: подобное поведе-
ние известно как сходимость. Пуанкаре хорошо знает это и говорит
-- Остается продемонстрировать сходимость этих рядов . Но здесь
анализ, изменчивый как всегда, покидает его. Он подтверждает свое
убеждение, что можно непосредственно показать сходимость, но не де-
лает этого. Либо он понимает, что получится несъедобное варево, либо
на самом деле не знает, как выполнить это. Положим, что ряды схо-
дятся, -- говорит Пуанкаре, -- но поскольку я не собираюсь доказывать
это положение, то хотел бы отчетливо продемонстрировать существо-
вание периодических решений, подразумевающих сходимость рядов,
рассматривая эту проблему с иной точки зрения .
Вопрос к топологии
Идея Пуанкаре такова: пусть какое-то время система находится в неко-
тором специфическом состоянии и, спустя определенное время, она
снова оказывается в этом же состоянии. Положения и скорости всех
элементов системы в это время в точности те же самые, что и прежде.
Тогда в силу единственнности решения дифференциальных уравнений
это означает, что решение должно повторяться снова и снова, то есть
осуществляется движение, состояние которого определяется им самим.
Это означает, что движение является периодическим.

86
Последний универсалист
Рис. 4.5. Если точка в фазовом пространстве движется по замкнутой петле,
значит она будет всегда периодически повторять одно и то же движение.
Вообразите, что состояние системы определяется положением точ-
ки в некотором многомерном фазовом пространстве. Поскольку си-
стема движется, то эта точка перемещается по некоторой траектории.
Чтобы вернуться в исходное состояние, после ряда перемен, траекто-
рия должна иметь форму петли (Рис. 4.5). Когда эта кривая пред-
ставляет собой замкнутую петлю ? Вопрос не содержит ничего, каса-
ющегося формы, размера или положения петли. Это -- вопрос к топо-
логии. Существование периодических решений зависит от топологи-
ческих свойств отношения между настоящим положением точки и ее
положением в следующем периоде.
Пуанкаре изложил это не совсем таким языком, но его основопола-
гающая геометрическая идея именно такова. Об этом говорит он сам в
другом месте. Теперь проще иначе сформулировать эту проблему, чем
решить, во что переходит траектория, но у Пуанкаре даже есть идея,
как можно обнаружить такие замкнутые петли. Позвольте мне опи-

Последний универсалист
87
сать его идею в фантастических терминах. Пусть русские инженеры,
занимающиеся космосом, запустили еще один спутник-шпион из серии
"Космос"на орбиту вокруг Земля, а вы хотите узнать: является ли его
орбита периодической? Тогда, как можно скорее, быстрее, чем спутник
образует след вокруг Земли, вы сканируете вашим телескопом плос-
кость, проходящую через центр Земли и линию север--юг от горизонта
до горизонта. Вы наблюдаете, как часто спутник пересекает эту плос-
кость. При этом вы отмечаете места, где происходят пересечения, а
также как быстро и в каком направлении они смещаются, и записыва-
ете результаты наблюдений. Если движение спутника периодическое,
тогда пересечения должны каждый раз происходить в одной и той же
точке, с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении.
Другими словами, вместо рассмотрения всех начальных состояний,
можно ограничиться немногими. Вообразите целую поверхность на-
чальных состояний и следите за их изменениями (если это возможно)
при каждом новом пересечении (Рис. 4.6). Можно ли найти хоть одно
состояние, которое возвращается точно туда, откуда началось? Если
это так, то обнаружено периодическое решение.
В настоящее время такая поверхность называется сечением Пуан-
каре. Большая эффективность подобного подхода в том, что он поз-
воляет отбросить много противоречивого хлама, упрощая таким об-
разом проблему представления динамики. И в этом примере возника-
ет необходимость рассмотрения всевозможных упрощений. Например,
простое существование сечения Пуанкаре обуславливает по топологи-
ческим причинам возможность периодического решения.
Небесный хаос
Эта идея была столь замечательной, что она раскрыла глаза Пуан-
каре на совершенно новую форму поведения решений. Никто даже
не думал ни о чем подобном прежде. Фактически всегда следует ду-
мать топологически, или, по крайней мере, геометрически и никогда
не следует терять надежду на возможность такого представления: его
невозможно получить из формулы.
Пуанкаре рассмотрел идеализированную проблему трех тел, из-
вестную как редуцированная модель Хилла. В этой модели три иссле-
дуемых тела, причем одно имеет столь малую массу, что не влияет на

88
Последний универсалист
Рис. 4.6. Обнаружение периодического движения сечением Пуанкаре. Для пе-
риодичности кривая должна возвращаться в одно и то же начальное положение.
два других; однако поведение последних становится парадоксальным
под воздействием этого третьего тела. Вообразите вселенную, содер-
жащую только Нептун, Плутон и зерно космической пыли. Нептун и
Плутон ничего не знают о частице пыли и, можете представить, это не
нарушает сколь-нибудь заметно их движения, поэтому они полагают,
что вселенная состоит всего из двух тел. "Ага!, -- говорит Нептун, ка-
чая своим трезубцем, -- Ньютон сработал так, что я вхожу в эллипс!".
Плутон, виляя хвостом, соглашается, и два тела, сменяя друг друга,
величественно движутся вокруг общего центра тяжести.
С другой стороны, частица пыли хорошо знает силу притяжения
Нептуна и Плутона, которые влекут её за собой. Она движется внутри
вращающегося поля двух планет, под влиянием взаимного притяже-
ния. Она полагает себя не членом системы из трех тел, а крошечным
шаром, движущимся по вращающемуся, но фиксированному пути.

Последний универсалист
89
Это и есть редуцированная модель Хилла. Пуанкаре решил при-
менить свой метод поверхностей--сечений к редуцировааной модели
Хилла, чтобы найти периодические движения частицы пыли. Его ре-
зультат был превосходно обобщен Отто Рёсслером. Я отредактировал
немного его слова, чтобы сократить технические детали.
Траектории двумерной динамической системы пересекают-
ся в сингулярных точках. Эти точки были расклассифици-
рованы Пуанкаре как, например, "седло" или "узел". Если
"то же самое" случается с двумерными поперечными се-
чениями, на которых траектории представлены листами,
то их пересечение снова может оказаться тем же самым
седлом, узлом, и т.д., но теперь существует и другая воз-
можность: пересечение в несингулярной точке. Траекто-
рия, проходящая через эту точку, как и через любую дру-
гую несингулярную точку, ограничивает положение попе-
речного сечения в некоторых других точках в следующий
момент времени. Таким образом, теперь имеется два типа
листов. Поэтому они должны пересекать друг друг снова и
снова. В результате образуется "сетка" бесконечно большо-
го числа точек пересечения (Рис. 4.7). Как заметил Пуан-
каре, все это немного сложнее и противоречит интуиции.
Действительно метод, найденный Пуанкаре, так сложен и неинтуи-
тивен, что он и сам говорит об этом в третьем издании его New Methods
of Celestial Mechanics5:
Когда пытаешься изобразить фигуру, образованную эти-
ми двумя кривыми с их бесконечным числом пересечений,
каждое из которых соответствует паре асимптотических
решений, то эти пересечения имеют вид сети, паутины, или
бесконечно затянутых петель. При этом каждая из двух
кривых никогда не пересекает себя, но должна возвращать-
ся к самой себе очень сложным образом так, чтобы пере-
сечь узлы паутины бесконечное число раз. Это настолько
усложняет дело, что получаемую цифру я даже не пытаюсь
написать. Ничто не может дать нам лучшего представле-
ния о сложности, чем проблема трех тел.
5Новые методы небесной механики.

90
Последний универсалист
Рис. 4.7. Следы хаоса на песке времени... Гомоклиническая картина в проблеме
трех тел. Пуанкаре ужаснулся.
Открытие Пуанкаре означает, что очень сложная динамика в дей-
ствительности может возникнуть из чего-нибудь очень простого, по-
добного редуцированной модели Хилла. Система, которая начинается
в точке пересечения паутины, образует кривую, которая, когда она
возвращается к сечению Пуанкаре, накладывается на паутину в дру-
гой точке пересечения, затем в другой, и снова в другой. Паутина
раскинута и свернута таким сложным образом, что она эффективно
проходит через сечение Пуанкаре в случайной последовательности то-
чек. Это немного похоже на автобус, который приезжает в город, и
неоднократно проходит через центральную площадь, но каждый раз
выбирает для остановки случайное место из миллионов возможных
остановок, которые имеются на площади. Вы можете увидеть автобус,
приходя на площадь, и вы знаете, что он приедет на площадь, - но вы
не знаете и не представляете всех его возможных остановок, поэтому
не знаете, где его следует ждать.
Такая сетка пересекающихся листов, теперь известна как гомокли-
ническая картина. Пуанкаре разглядел в ней следы хаоса. Подобно
Робинзону Крузо, вглядывающемуся в отчетливо отпечатавшийся на
песке след босой ноги, он осознал важность того, что увидел. Подобно
Робинзону Крузо, он был мало обрадован открывшейся перспективой.

Глава 5
Односторонний маятник
ПРОКУРОР. Что вы сделали, когда поднялись наверх первый раз?
МИСТЕР Г. Я был на свободном конце в это время, сэр. (Судья быстро окиды-
вает его взглядом.)
ПРОКУРОР. Вы были на свободном конце. Не могли бы вы сообщить суду,
мистер Грумкирби, своими словами, так ясно, как сможете, как был это
конец освобожден?
МИСТЕР Г. Я был совершенно замотан правым.
СУДЬЯ. (вмешивается): Совершенно замотаны. Это говорит нам очень немно-
гoе. Было ли его качание свободным? Был ли грохот? (Заседатели со зна-
чительным видом следят за реакцией Защиты и слушают.)
МИСТЕР Г. Фактически я был подвешен, милорд.
Н. Ф. Симпсон. Односторонний Маятник.
Фарс Н. Ф. Симпсона Односторонний маятник был впервые пред-
ставлен в Королевском театре в Брайтоне 14 декабря 1959. Если вы не
видели эту пьесу, посмотрите, это смешно.
Я говорю здесь об этом потому, что свободно подвешенный маят-
ник играет центральную (всеобъемлющую) роль в истории механики.
Мы уже видели, как он вдохновил Галилея. Удивительно много хо-
роших идей возникло при рассмотрении столь скромного механизма.
Легкая нить, тяжелый набалдашник на конце и булавка, на который
он подвешен, это сама простота. Так же и самая лучшая математика
всегда проста, если, конечно, вы сумеете разглядеть это. Чтобы понять
хаос, нам следует предварительно поближе познакомиться с тополо-
гическим рассмотрением регулярной динамики, и маятник -- хороший
пример для этого.
Главный герой пьесы Н. Ф. Симпсона, Киркби Грумкирби, не будет
есть свой обед, пока не позвонят к обеду, его дом наполнен весами, а в
его саду, у счетчика времени стоянки, стоит мистер Гантри, который,
опустив шесть пенсов, не шелохнется, пока его время не истечет .
Сильвия, дочь хозяина, расстроена тем, что ее руки не достают до
колен без наклона, и мать предлагает ей научиться обезьяньим ужим-
кам. Использовав в названии слова односторонний маятник, Симпсон

92
Односторонний маятник
должно быть считал, что это, и в самом деле довольно оригинальное
название, действительно отражает существо пьесы. Вероятно, он по-
лагал, что обычный маятник, качающийся туда и обратно, является
двусторонним, в то время как односторонний -- двигается только туда.
Однако маятники способны двигаться только известным образом.
Разве вам не приходилось видеть мальчишку, вращающего подвешен-
ный на нити каштан? Это и есть односторонний маятник, только от-
части похожий на тикающий, поскольку уже Галилей был убежден,
что одинаковый период качения церковной лампы не связан со сво-
дом, на котором она висит. Название пьесы Симпсона проходит через
настоящую главу, оно отражает обычно забываемый аспект маятника.
Я хочу противопоставить качественный взгляд на динамику, иду-
щий от Пуанкаре, традиционному, основанному на приближенных фор-
мулах. Односторонний и двусторонний аспекты маятника идеально
подходят для этого. В соответствии с требованием простоты, хочу
добавить, что этот усеченный, идеальный математический маятник,
предназначен для представления сущности колебаний самым эконо-
мичным образом. Идеальный маятник будет колебаться не в простран-
стве, а в вертикальной плоскости. Мы не будем учитывать трение нити
о точку опоры и сопротивление воздуха, а нить заменим совершен-
но жестким стержнем с нулевой массой. Силу тяжести будем считать
направленной вертикально вниз и постоянной. Такой маятник невоз-
можно найти в лаборатории, но наука часто делает успехи, изучая
простые абстракции, поскольку, как правило, более реалистические
модели слишком сложны и противоречивы. Один шаг в один момент
времени, медленное начальное движение подготовит нас к крутому
лыжному склону.
Если не можете выиграть, схитрите
Традиционный вывод уравнения маятника примерно таков: состояние
маятника точно описывается углом, на который он уклонился от вер-
тикали в данное время. Запишем закон Ньютона для движения маят-
ника. Это дифференциальное уравнение, содержащее вторую произ-
водную -- скорость изменения угловой скорости, вместе с некоторыми
другими переменными, такими как длина подвеса и ускорение силы
тяжести.

Односторонний маятник
93
На следующем шаге это уравнение решается. Возможно вы уди-
витесь, узнав, как отчаянно трудно вовлекаются в него такие хитрые
разделы математики, как эллиптические функции. Ряд базовых кур-
сов механики действительно содержит этот материал. Именно это имел
в виду Эйлер, когда сказал, что анализ отказывает нам . Освящен-
ная временем жертва здесь является мошенничеством.
Причина, по которой эти уравнения трудны для решения, заклю-
чается в том, что сила, действующая на маятник почти, но не совсем,
пропорциональна углу между маятником и вертикалью. Если бы они
были точно пропорциональны, тогда мы вовсе не нуждались бы даже
в небольших знаниях тригонометрии и "сидели бы сухими дома". Но
это не так (к этому можно еще прибавить, что маятник нуждается в
должном рассмотрении, которое будет дано ниже).
Поскольку математика, по общему мнению, является точной на-
укой, то слова "не совсем пропорционально" это не тоже самое, что
"пропорционально", и неважно, как мало это несоответствие. Самое
худшее, что можно в этой ситуации сделать, -- это понизить наши стан-
дарты строгости в интересах прогресса и считать, что небольшое несо-
ответствие вообще не существует. (Слова "это - обман!" мы выкрикнем
в классе физики, когда обнаружится несоответствие с этой уловкой.
Преподаватель согласится с этим и добавит, что аналогичный метод
также применяется при анализе колебаний скрипичной струны.) Если
мы не можем решить уравнения для нашего, уже идеализированного
маятника, то давайте проанализируем их для еще более упрощенного,
поддельного1 маятника, на который при малых углах наклона действу-
ет сила тяжести, очень близкая к существующей в идеальной модели.
В этом поддельном маятнике, называемом для повышения его респек-
табельности простым гармоническим осциллятором, сила в точности
пропорциональна углу.
Теперь мы можем решить уравнение. Пусть в нулевой момент вре-
мени мы отвели маятник в сторону на угол A и отпустили его. Через
некоторое время t, величина угла станет равной
A cos gt
l
где: t -- время, g -- ускорение силы тяжести, l -- длина маятника,
1В оригинале fake pendulum. Прим. пер.

94
Односторонний маятник
A -- начальное отклонение. Масса маятника не входит в это выражение
главным образом по той причине, на которую обратил внимание ещё
Галилей: легкие и тяжелые тела падают с одной и той же скоростью.
Мы знаем как ведет себя кривая косинуса: она колеблется от 1 до -1
с периодом 2π радиан (360◦). Угол, на который отклоняется маятник,
изменяется от A до -A. Отрицательные углы отсчитываются "нале-
во от вертикали", а положительные -- "направо". Угловые колебания
маятника от A до -A, слева направо, являются периодическими, по-
вторяющимися много раз. Сколько времени требуется на повторение
движения? Из этой формулы найдем соответствующий период:
2π lg
Из этой формулы можно узнать много интересного. Так, более
длинные маятники характеризуются более долгими периодами колеба-
ний: четырехкратное увеличение длины удваивает период колебания,
девятикратное -- утраивает его, и так далее. Маятник можно исполь-
зовать для определения силы тяжести: надо только измерить длину
подвеса и период колебания, а затем использовать формулу, чтобы
найти g. Если бы измерения проводились на Юпитере, то таким же
образом можно было бы измерить силу тяжести на Юпитере, а затем
использовать ее для дедуктивных заключений о химическом составе
планеты, оперируя средней плотностью.
Поэтому подобный анализ маятника является хорошей физикой.
Но такой анализ не представляет в текущей форме хорошую матема-
тику. Красивые романы могут быть основаны на ложных посылках,
они имеют тенденцию отрываться от жизни, и это обнаруживается при
их сопоставлении c полной драматизма действительностью. Аналогич-
ным образом, кажущаяся прекрасной математика может покоиться на
ложных основаниях, связанных с отрывом от действительности, и эта
ложность обнаруживается в противоречиях, также возникающих при
сопоставлении.
Имеется несколько способов выполнить анализ движения маятни-
ка в духе хорошей математики. Легкий путь такого анализа был упо-
мянут выше: рассмотреть идеализированную форму движения, "про-
стое гармоническое колебание", когда движущая сила пропорциональ-
на смещению. Затем вы делаете ногами некоторое обманное движение,

Односторонний маятник
95
объясняя, что так можно поступить и с маятником. При более честном
подходе требуется сформулировать и доказать теорему, объясняющую,
что данное решение является точным решением близкой задачи, кото-
рое может также рассматриваться как приближенное решение точной
задачи. (Нет, Вирджиния, это не то же самое: в математике нет Санта
Клауса.) Это может быть сделано: необходимая теорема была доказа-
на в 1895 великим русским динамиком, Александром Михайловичем
Ляпуновым. Много прекрасной математики возникло на основе его
Центральной теоремы, но вся она была бы пропущена, если бы мате-
матики не согласились скорее принять, чем доказать, что малые ко-
лебания маятника можно аппроксимировать простым гармоническим
движением.
Рис. 5.1. Волновые формы нелинейного маятника. Только колебания с очень
небольшой амплитудой являются синусоидальными. (Воспроизведено с разреше-
ния John Wiley & Sons Ltd.)
С другой стороны, не следует сидеть сложа руки и стонать, что
невозможно измерить ускорение, вызываемое силой тяжести только
потому, что не доказана еще соответствующая теорема. Наука слож-
ное образование со смешанными мотивами движения, и создание недоб-
росовестных работ не повредит ей при правильном выборе основ.

96
Односторонний маятник
Давайте предположим, что мы заинтересованы не в использова-
нии маятника для измерения силы тяжести, а в понимании его дей-
ствительного движения (Рис. 5.1). Малые колебания? Чепуха! Я хочу
изучать большие колебания! Туда и обратно! Смотри, я могу заставить
маятник вращаться кругами, подобно самолетному пропеллеру! И он
двигается тем быстрее, чем больше энергии я трачу на его раскручи-
вание. Что вы теперь можете сказать о его периоде, всегда ли он
остается постоянным?
На этот вопрос также имеется классический ответ, но он, как уже
было сказано, требует знания эллиптических функций, а также слож-
ной и продвинутой математики.
Однако существует ещё один очень простой геометрический ответ,
позволяющий уяснить основные особенности качения с поразительно
малыми усилиями. Он, к тому же, обладает тем преимуществом, что
обеспечивает некоторое действительное понимание динамики движе-
ния маятника. К рассмотрению его мы теперь и переходим.
Геометрия энергетических поверхностей
Чтобы понять поведение маятника, мы должны знать две величины:
положение и скорость маятника, которые обозначим как x и v. Надо
узнать, как они изменяются во времени. Чтобы изобразить это, возь-
мем разграфленной лист бумаги и будем откладывать x по горизонта-
ли, а v -- по вертикали. Пусть маятник начинает движение в нулевой
момент времени. Через каждые сто секунд мы будем измерять x, v и
ставить соответствующую точку на графике. Что мы увидим? Веро-
ятно, много близко расположенных точек, они будут лежать на плос-
кой кривой с координатами (x, v). Эта линия является траекторией
движения для выбранного начального положения и скорости. Другое
название этой кривой -- орбита, по аналогии с движением планет.
Другие начальные положения приведут к другим траекториям, ко-
торые вместе образуют семейство кривых, покрывающих всю плос-
кость листа. Для "поддельного" маятника -- простого гармоническо-
го осциллятора, эти кривые образуют концентрические окружности
(Рис. 5.2).
Для "истинного" маятника картина имеет более сложную структу-
ру: она напоминает глаз с бровями, расположенными как над глазом,

Односторонний маятник
97
Рис. 5.2. Фазовый портрет (справа) линейно идеализированного (линеаризо-
ванного) маятника (слева). Положение отложено по горизонтали, а скорость -- по
вертикали. С течением времени конец маятника описывает окружность, размер
которой определяется начальными условиями.
так и под ним (Рис. 5.3). Кривые, образованные очень большим ко-
личеством колебаний, вероятнее всего, дадут именно такую картину.
Мы могли бы подтвердить это экспериментально: для этого достаточно
иметь всего навсего лазер, чтобы измерять положение и скорость маят-
ника, микрокомпьютер, чтобы обрабатывать данные, и графопостро-
итель, чтобы строить графики, стоимостью приблизительно в 10.000
фунтов. Пользуясь же листом бумаги ценой в 5 пенсов и научным каль-
кулятором в 12 фунтов, благодаря только получасовой работе мысли
можно получить ту же самую картину, выведенную из динамических
уравнений маятника даже без полного их решения.
Позвольте мне показать, как это можно сделать, используя одно
математическое следствие законов Ньютона -- его можно в нескольких
строках вывести из уравнения Гамильтона, -- закон сохранения энер-
гии. Общая энергия: кинетическая плюс потенциальная, сохраняется
при движении в гравитационном поле (мы полагаем, что трение отсут-
ствует). Если масса равна 1, то кинетическая энергия маятника равна
1/2v2, а его потенциальная энергия -- sin x. В этом случае по закону
сохранения энергии для любой траектории имеем
1/2v2 + sin x = const.
Разрешая это уравнение относительно скорости, найдем

98
Односторонний маятник
Рис. 5.3. Фазовый портрет "подлинного" нелинейного маятника.
v =±√const-2sinx.
(Это не та же самая константа, -- она вдвое больше, но это неважно,
поскольку мы рассматриваем все возможные константы.)
Теперь с помощью карманного калькулятора или тригонометри-
ческих таблиц по этой формуле можно вычислить v, как функцию
аргумента x. Выберем значение константы, скажем 1.5, и вычислим
√1.5 - 2 sin x для всех x, от 00 до 3600. Если выражение, стоящее под
корнем, станет отрицательным, то будем игнорировать его. Нанесем
две точки на вертикальную ось для x: √1.5 - 2 sin x и -√1.5 - 2 sin x.
В этих частных случаях получается овал. Если постоянная меньше,
чем -2, то точек нет вообще. Если она равна -2, то получается един-
ственная (сингулярная) точка. При +2 овал имеет отчетливые углы на
концах, а если постоянная больше, чем 2, то возникают две отдельные
кривые. Вся система траекторий маятника является точной картиной
"глаза". Единственная точка зрачок, овалы радужная оболочка
глаза, овал с резкими углами край глаза, а отдельные линии бро-
ви (выше) и морщины (ниже).

Односторонний маятник
99
Можно проинтерпретировать различные части картины в терми-
нах динамики маятника. Так, например, единственная изолированная
точка представляет состояние, когда маятник висит вертикально и
неподвижен. Положение точки x и скорость v при этом постоянны,
именно поэтому возникает сингулярная точка. Энергия системы в точ-
ке -2 является самой низкой из возможных. (Потенциальная энергия
может быть отрицательной, -- это зависит от выбора точки отсчета.)
Замкнутые овалы характеризуют стандартные колебания маятни-
ка, настоящие и единственные, как полагал их представить своей ауди-
тории Н. Ф. Симпсон. Это те самые колебания, что вызывают тик-так
в дедушкиных часах. Чтобы убедиться в этом, допустим, что колеба-
ния начинаются от основания овала. Положение x -- это нуль: маят-
ник висит вертикально вниз в среднем положении. Отрицательная ско-
рость: это качение маятника влево (Тик!). В дальнем левом конце ова-
ла величина x является отрицательной, так как это качение влево, но
значение v здесь равно нулю. В наиболее удаленной от равновесия точ-
ке, где маятник поворачивает обратно, его мгновенная скорость равна
нулю. (То же самое истинно для подброшенного мяча, его скорость
равна нулю на вершине траектории.) Теперь величина v становится
положительной, и маятник двигается вправо (Так!) до тех пор, пока
x не проходит через нуль, а скорость маятника не достигает макси-
мума. Маятник возвращается назад, двигаясь аналогичным образом,
но вправо. Теперь он перемещается в свое крайнее правое положение,
его скорость падает до нуля и маятник достигает максимума своего
качения. Затем он возвращенается к своему исходному положению, и
весь цикл повторяется снова и снова. Замкнутая петля соответствует
такому периодическому движению.
Теперь рассмотрим одну из бровей. Здесь величина v всегда по-
ложительна, в то время как точка x пробегает значения от -1800 (то
есть, поворот по часовой стрелке на 1800) до +1800, завершающих пол-
ный оборот. Это пропеллероподобная траектория представляет собой
круг, где вращение присходит всегда в одном направлении. Нижние
брови соответствуют подобным же движениям, но происходящим не
по часовой стрелке, а в противоположном направлении.
Что можно сказать о крае глаза, который располагается в углу
овала? Это -- траектория, соответствующая такому качению маятника,
когда он завершает движения туда-обратно и превращается в пропел-

100
Односторонний маятник
лер. Как это происходит? Пусть колебания постепенно увеличивают-
ся. Сначала маятник остается у своего основания, но затем медленно
колебания возрастают то же видит играющий ребенок, который рас-
качивает маятник, придавая ему все больше энергии. Скоро, к тревоге
всех присутствующих, движение маятника становится очень сильным;
в верхней точке ребенок поднимает его выше подвеса. Если раскачи-
вать маятник еще сильнее, то... Что случится? Он начнет двигать-
ся через верх. Маятник превратится в пропеллер.
Край глаза также характеризует путь маятника, по которому он бы
следовал, если бы был установлен вертикально вверх от точки подвеса,
а затем отпущен. Но это не совсем верно. Если бы это было так, то он
должен был бы таким и оставаться, то есть точно сбалансированным
в единственной точке (угол на краю глаза), это состояние напоминает
булавку, поставленную на острый конец, или студентку-балерину sur
les pointes -- стоящую на кончиках пальцев. Оно является неустойчи-
вым. Самое ничтожное возмущение вызовет падение маятника. Оно
начинается бесконечно медленно, но затем набирает скорость, и маят-
ник несется вниз со свистом, минуя самое низкое положение, а затем
поднимается вверх на другой стороне, и снова все ближе и ближе пол-
зет к вершине. В теории полное движение осуществляется бесконечно
долго, а на практике оно требует довольно заметного времени.
Вы видите, как хорошо эта картина удовлетворяет нашей интуиции
о реальном движении маятника?
Итак, мы заплатили назначенную цену. Если вы посмотрите на то,
как мы нарисовали кривые, вы увидите, что мы использовали формулу
- но мы не решали уравнения. Решить уравнения означает: определить
какие значения x и v соответствуют каждому моменту времени t. Но
t нигде не использовалось!
Если нужно достичь простого понимания некоторой вещи, то это
обычная цена, которую надо заплатить. Здесь эта цель достигается
отбрасыванием точной зависимости от времени. Эта картина совсем не
дает нам никакой информации о величине периодов. Однако, несмот-
ря на это упущение, такой подход позволяет получить связанное и
последовательное качественное описание всех возможных движений
подлинного, хотя и идеализированного маятника.

Односторонний маятник
101
Наука не для толстокожих
Слишком много суеты вокруг маятника, подумаете вы, но вот вам
более важная информация, связанная с ним.
Прошлым летом, когда один мой коллега женился в Северном Уэль-
се, мое семейство провело там выходные. В этой лесной местности мы
нашли озеро, имевшее около ста метров в поперечнике, которое было
совершенно плоским и неподвижным. Мальчики, верные своей при-
роде, бросали камни в воду, а мы наблюдали как рябь совершенными
кругами распространяется по воде и покрывает почти всю поверхность
озера. В следующий момент еще несколько камней упали в воду и до-
полнительные круги наложились на первые.
Такой натурный эксперимент демонстрирует физический принцип
интерференции (Рис. 5.4). Если пик накладывается на пик, а впади-
на -- на впадину, то рябь усиливается. Та, где пик накладывается на
впадину, они гасят друг друга.
Рис. 5.4. Интерференционные полосы, полученные наложением двух волн.
Аналогичные математические свойства демонстрируют дифферен-
циальные уравнения, называемые линейными. Уравнение линейно, ес-
ли сумма двух решений снова дает решение. Движение мелких волн
на поверхности жидкости очень хорошо описывается волновым урав-
нением, которое подобно большинству классических уравнений,
является линейным. Решение для возмущения, вызванного падением
двух камней, представляет собой сумму решений для возмущения от

102
Односторонний маятник
одного камня, сосредоточенное в соответствующих точках.
Это утверждение основано на том, что линейные уравнения обычно
решаются гораздо легче, чем нелинейные. Сумев найти одно или два
решения, можно свободно найти массу других. Уравнение для просто-
го гармонического осциллятора является линейным, а истинное урав-
нение для маятника нет. Классическая процедура позволяет линеа-
ризовать нелинейные уравнения путем отбрасывания затрудняющих
счет членов. Для рассмотренного выше маятника приближенная тео-
рия полагает, что колебания ничтожно малы.
Как подразумевается, мы пренебрегли настолько малыми членами
уравнений, что вновь полученное уравнение остается истинным, поэто-
му различие между решением линеаризованного уравнения и истин-
ного тоже должно быть очень небольшим, в чем остается только убе-
диться. Для маятника, как я уже говорил, имеется теорема, которая
определяет работу процедуры, необходимой для этого. С другой сторо-
ны, мы получаем еще более удовлетворительную картину рассматри-
вая полные уравнения, даже если при этом мы теряем преимущество,
даваемое непосредственно пригодной для вычисления формулой.
Формула? Да кто сейчас заботится о формулах? Только плавающие
по поверхности математики и не вникающие в ее сущность!
В классические времена при отсутствии техники, позволяющей изу-
чать нелинейности, процесс линеаризации часто приводил к упроще-
ниям, при которых удалялась сама основа уравнений. Высокотемпе-
ратурные потоки - хороший пример для демонстрации этого: класси-
ческое уравнение для таких потоков линейно, и это становится ясно
прежде, чем мы пробуем решить его. Однако реальный высокотемпе-
ратурный поток нелинеен, и, согласно, по крайней мере, одному экс-
перту, Клифорду Трусделлу, все хорошее, что классическое уравнение
высоких температур сделало для математики, ничто по сравнению с
тем вредом, которое оно причинило физике высоких температур.
Давайте зададим себе вопрос, возможен ли в ближайшем будущем
метод, который бы мог, грубо говоря, решать неправильные урав-
нения. "Надо найти ответ на этот вопрос!" -- таково требование време-
ни. Линейная теория принудительно изменяет уравнения в надежде,
что никто не заметит неправильность получаемых решений.
Современная наука показывает, что природа неумолимо не линейна.
Поэтому, с чем бы бог не имел дело, все процессы не описываются точ-

Односторонний маятник
103
ной формулой. Если бы у бога был аналоговый компьютер, столь же
универсальный, как и вселенная, и он мог бы играть с ним как хотел,
фактически это та же вселенная, неужели бы он удовлетворился
формулами, разработанными для карандаша и бумаги. Не так бого-
хульно: это неудивительно, что природа нелинейна. Если вы наугад
нарисуете линию, едва ли она будет прямой. Подобным же образом,
если вы наудачу выберете дифференциальное уравнение, то среди бес-
конечного числа возможных случаев только одно будет линейным.
Классическая математика сконцентрировала усилия на линейных
уравнениях по здравой, прагматической причине: она не умела решать
ничего иного. По сравнению с непослушным, хулиганским кривляньем
типичного дифференциального уравнения, линейные уравнения -- это
группа мальчиков из хора. (Соответствует ли здесь "послушность" как
"закону", так и "правилу"?2) Линейные уравнения являются столь по-
слушными потому, что классики математики пошли на компромисс
с физикой, чтобы получить их. Именно поэтому классическая тео-
рия рассматривает только мелкие волны, мало амплитудные колеба-
ния, небольшие температурные градиенты.
Линейный подход стал настолько закоренелым и привычным, что
большинство ученых и инженеров в 40-ых и 50-ых годах нашего сто-
летия почти ничего не знало о том, что находится за его пределами.
Бог не может быть столь недобрым , -- сказал как-то известный ин-
женер, -- чтобы сделать уравнения природы нелинейными . Так еще
раз бог был привлечен для оправдания человеческой бестолковости.
Инженер знал, что он не умеет решать нелинейные уравнения, но был
недостаточно честен, чтобы признать это.
Линейность - это западня. Поведение линейных уравнений напо-
минает поведение мальчиков из хора, оно является далеко нетипич-
ным. Но если вами принято решение, что только линейные уравнения
достойны внимания, то самоцензура быстро устанавливает это: ваши
учебники заполнены победами линейного анализа, а неудачи захоро-
нены настолько глубоко, что их могилы неизвестны и даже само суще-
ствование могил почти никак не отмечается. Как мир XXVIII столетия
верил, что универсум подобен часовому механизму, так и мир середи-
ны XX столетия полагал, что он линеен. Но надо быть справедливым!
Существуют условия, при которых "линейной теории" действительно
2Фраза неясна. Скорее это замечание редактора, обращенное к автору. Прим. пер.

104
Односторонний маятник
уготован долгий путь. Однако в большинстве таких случаев успехи
этой теории мало что могут добавить к удивительным триумфам фи-
зической интуиции и замечательной уместности динамических правил,
основанных на использовании пальцев. Кроме того, успехи эти имеют
место потому, что имеются приличные теоремы, которые точно объяс-
няют: когда и почему работает линейная теория.
В некоторых областях к линейной теории вообще не прибегают.
Никогда этого не делали в небесной механике, где Пуанкаре впервые
столкнулся с хаосом. Линейную теорию не используют и в ряде других
проблемах механики, таких как свободное движение тела в трехмер-
ном пространстве, а также при описании некоторых простых движе-
ний, подобных движению маятника. Физики и инженеры на исследо-
вательском уровне все чаще приходят к пониманию того, что именно
нелинейные явления управляют игрой. Самый простой пример этому
дает закон Ома. Он гласит, что сила тока в цепи равна приложенному
напряжению, деленному на сопротивление цепи. Это - линейное отно-
шение: по закону Ома, если два напряжения накладываются друг на
друга, объединяя таким образом две цепи, то отвечающие им силы то-
ков также складываются в объединенной цепи. Однако транзисторы
работают именно потому, что они не подчиняются закону Ома.
В действительности весь язык, на котором ведется это обсуждение,
вывернут наизнанку. Чтобы назвать общее дифференциальное урав-
нение "нелинейным", надо сделать что-то похожее на переименование
зоологии в науку о "нетолстокожих". Однако, как вы знаете, мы жи-
вем в мире, который в течение столетий вел себя так, как будто бы
единственным существующим животным был слон. Он полагал, что
дырки в гладильной доске проделаны крошечными слонами, видел у
подскакивающего при взлете орла вместа крыльев слоновьи уши, рас-
сматривал тигра, как слона с довольно коротким хоботом и полосатого
потому, что его таксономисты обращались за помощью к корректиру-
ющей хирургии. Музей зоологических коллекций этого мира составля-
ли бы только образцы неуклюжей серой толстой кожи. Таким образом,
"нелинейный" означает реально существующий.

Односторонний маятник
105
Скрутить его...
Вернемся снова к маятнику. Мы можем сыграть в несколько матема-
тических игр, используя картинку маятника, и обнаружить другие его
особенности. При обсуждении кругового (подобного пропеллеру) дви-
жения маятника, было отмечено, что движение от угла -180◦ до угла
+180◦ образует полный оборот, поэтому эти значения характеризуют
идентичное положение маятника. Как это происходит, данная картин-
ка не показывает, но очевидно, что движение вправо до угла +180◦
подобно обратному движению до угла -180◦ ". Как же показать, что
эти состояния по существу характеризуют одно и то же положение
маятника?
Проблема здесь связана не столько с маятником, сколько с при-
меняемой системой координат. Маятник "знает", что -180◦ = +180◦ ,
и это скорее доказывается его гладкими круговыми движениями, чем
дикими бросками через мнимую бездну, чтобы вновь достичь верхней
точки. Здесь мы -- жертвы своего способа измерения углов. Попробуем
представлять угол поворота маятника числом на прямой линии. Мы
делаем это, (мысленно) оборачивая линию вокруг окружности, чтобы
достигая 360◦ , снова возвращаться к началу в 0◦ . Это означает, что
при добавке 360◦ , и следовательно любого, кратного этой величине уг-
ла, получается один и тот же угол. Если -180◦ + 360◦ = +180◦ , то это
один угол.
Кстати, можно разделить обе части на 180 и вывести, что -1◦ =
+1◦ . Вероятно, вы захотите понять, почему это так.
Почему геометрический круг "знает", что -180◦ = +180◦? Оче-
видно потому, что оборачивая линию вокруг себя, он присоединяет ее
к себе. В итоге получаем круг для различных топологий от линии,
и он объясняет, почему возникают проблемы: мы пытаемся исполь-
зовать числа, характеризующие линию, для представления объекта с
неправильной топологией. Неудивительно, что при этом приходится
извиваться на крючке!
Чтобы получить более достоверную картину движения маятника
и его геометрия точно отражала бы действительность, мы должны
сделать то же самое. Мы должны скрутить всю картинку так, что-
бы совместить ее левый и правый края, а физически мы совмещаем
-180◦ и +180◦ . Другими словами, мы скатываем лист бумаги в ци-
линдр (Рис. 5.5).

106
Односторонний маятник
Рис. 5.5. Свернутый фазовый план маятника на цилиндре, позволяет понять,
какой угол заслуживает большего доверия.
Следует добавить, что подобная проблема не возникает со скоро-
стью маятника. Угловая скорость 180◦ в секунду это совсем не то
же самое, что угловая скорость -180◦ в секунду. В первом случае, мы
имеем дело с пропеллером, вращающимся против часовой стрелки, а
во втором -- по часовой стрелке. Если вы будете долго и интенсивно
размышлять об этом любопытном различии между угловым рассто-
янием и угловой скоростью, то большое количество тайн предстанет
перед вашим мысленным взором, включая -- если вы способны вос-
принимать Эйлера или Гамильтона, -- полный современный тополо-
гический подход к динамике гамильтониана, как к "симплектической
структуре на котангенциальных пучках". Эта тема редко встречается
в курсах дисциплин ниже аспирантского уровня, но реальный смысл
этого заключен в том же самом маятнике. В математике большие тео-
рии вырастают из небольших примеров. Не огорчайтесь из-за этого

Односторонний маятник
107
и помните, что расстояние и скорость обладают весьма различными
математическими свойствами.
Прекрасно. Теперь динамика жизни маятника отражена на цилин-
дре, и периодические движения маятника действительно выглядят пе-
риодическими. Что мы можем сделать ещё?
Некоторые движения требуют больше энергии, чем другие, но в
данный момент трудно увидеть такие "энергетические уровни". Кар-
тинка должна сделать это ясным, чтобы со зрачка глаза можно бы-
ло проследить движение, начиная с самого низкого уровня энергии
и увидеть, что происходит, когда энергия возрастает. При этом маят-
ник движется через радужную оболочку глаза, проходит край глаза, и
далее перемещается к бровям и морщинам. Или иначе, динамически,
колебания растут, пока не достигнут вершины и не начнется вращение.
Решение состoит в том, чтобы изогнуть цилиндр в U -образную тру-
бу (Рис. 5.6). Если поступить так, -- а в данном случае это правильный
путь, -- то получится картинка, которая показывает как движения ма-
ятника, так и соответствующие уровни энергий. Если провести гори-
зонтальную плоскость через U -образную трубу, то получится сечение,
отвечающее данному уровню энергии и содержащее результирующую
кривую, изображающую соответствующее движение.
На этом рисунке показано, что при достаточно больших уровнях
энергии маятник может вращаться двумя разными способами (по ча-
совой стрелке и против нее), в то время как при низких уровнях есть
только один способ движения (туда и обратно). При этом нет никакой
возможности отличить движение "туда и обратно по часовой стрел-
ке" от движения "против часовой стрелки". Поэтому U -образная труба
имеет два ответвления сверху, которые у основания соединяются вме-
сте, в противном случае, мы бы имели не U , а ||-образную трубу.
Вы можете спросить: каков смысл всех этих манипуляций? Они ил-
люстрируют, что фактически все качественные особенности динамики
маятника, не только вблизи состояния покоя, но и глобально: при вы-
сокой или низкой энергии, могут быть рассмотрены в рамках одной
геометрической картины.
Эта картина может быть формализована, представлена на подхо-
дящем математическом языке и применена не только для изучения
маятника, но и (по-крайней мере, в принципе) для изучения любых ди-
намических систем, характеризующихся известной сложностью. Гео-

108
Односторонний маятник
Рис. 5.6. Геометрический взгляд на сохранение энергии. Если цилиндрическое
фазовое пространство маятника перенести на U -образную трубу, то траектории
останутся на той же высоте.
метрия и топология предлагают для этого очень мощную технику, и
можно использовать ее, чтобы получать такую информацию о дина-
мике, которая совершенно недоступна при классическом, основанном
на формулах, способе рассмотрения. Формулы может просто не быть,
а геометрия, подобно бедности, всегда с нами.
Нечто более странное, чем трение
Мощь такой геометрической точки зрения становится иллюзорной, ес-
ли нас интересует вопрос "что произойдет, если существует ничтожно
малое трение?". Я полагаю, что ответ на этот вопрос можно получить
с помощью вычисления эллиптических функций. Я никогда не видел,
как делаются такие вычисления, но, вероятно, это действительно tour
de force3, или возможно tour de farce4, так как это крайне неостроумно.
Использование же геометрии, -- это простота непосредственности.
3обращение к силе, фр.? Прим. пер.
4обращение к грубости, фр. Прим. пер.

Односторонний маятник
109
Каково влияние трения? Оно вызывает потерю энергии. Практи-
чески энергия превращается в теплоту, которая обуславливает неболь-
шую переформулировку закона сохранения энергии. Поэтому мы трем
свои руки, чтобы сохранить тепло.
На рисунке U -образной трубы потеря энергии означает переход
на более низкий энергетический уровень. Представьте, что движение
пропеллера начинается на большой скорости. Тогда движению точки
по одному из ответвлений U -образной трубы отвечает повторяющее-
ся движение маятника, совершающего оборот за оборотом. Прибавле-
ние небольшого трения вынуждает маятник медленно опускаться вниз
по спирали трубы (Рис. 5.7). Спуск происходит из-за постепенного за-
медления вращения, которое осуществляется в том же направлении,
поскольку маятник находится в одном и том же ответвлении трубы.
Рис. 5.7. Затухание диссипативной энергии: спирали затухающего маятника
соответствуют снижению уровня энергии.
В конечном счете спираль достигает изгиба на трубе, и переходит в
нижележащую область спирального движения, при котором маятник
качается туда и сюда. Динамически маятник вращается все медленнее
и медленнее, он падает, чтобы подняться, застыть в состоянии неустой-

110
Односторонний маятник
чивого равновесия и ринуться назад. Теперь вращение осуществляется
другим образом, оно соответствует движению маятника от вершины
одной стороны к вершине другой стороны, маятник падает, чтобы до-
стичь другого края по самому короткому пути. Маятник осциллирует
туда и сюда, размер его колебаний медленно уменьшается, и, в конце
концов, он застывает в состоянии покоя на дне трубы.
Все это интуитивно понятно и проявляется на рисунке U -образной
трубы, но, как я уже говорил, все это ужасно трудно извлечь из пове-
дения истинных динамических уравнений. Поэтому здесь представлен
простой случай, когда решение уравнений через формулы не имеет
практической перспективы, но мы можем получить геометрический
ответ без каких-либо усилий.
Роман со многими измерениями
В 1884 вышло второе издание прекрасной книги английского священ-
ника Эдвина A. Аббота Флатланд: роман со многими измерениями.
Она открывается словами
Обитателям Всего Пространства,
И H. C., в частности.
Эта работа посвящается
Скромным жителям Флатланда
в надежде, что они, как и он, Посвящены в Мистерию
Трех Измерений,
Предварительно преобразованных
В Единственные Два, то
Мы надеемся, что
Жители Небесной Области
Обратятся еще выше,
К секретам Четырех, Пяти или даже Шести
Измерений,
Внося таким образом вклад в
Расширение возможностей Воображения
И возможное Развитие
В высшей степени редкого и превосходного Дара
Умеренности,
Свойственного Лучшим Народам
Всего Человечества.

Односторонний маятник
111
Герой этого романа, "Квадрат", живет в пространстве двух изме-
рений. Опираясь на сведения о существовании третьего измерения,
полученные от тех, кто побывал в иных космических мирах, он при-
водит в ярость своего гостя, и, разыскивая пространства с большим
числом измерения, заканчивает тем, что попадает за ересь в тюрьму,
куда его помещают соотечественники.
В настоящее время идея многомерного пространства стала настоль-
ко широко употребляться в математических науках, что его существо-
вание стало считаться почти доказанным. Ересью стало бы отрица-
ние его существования, а не предположение этого. Физики в насто-
ящее время полагают, что пространство-время может действительно
иметь десять измерений: три для пространства, одно для времени, и
шесть дополнительных измерений, скрученных настолько сильно, что
их нельзя видеть. Шесть дополнительных измерений вибрируют, от-
чего и возникают все сложности ядерной физики.
Концепция многомерности пространства играет решающую, но на-
ходящуюся за кулисами, роль в разработке топологической динамики
и открытии хаоса. Причина этого проста: созданные разумом картины
должны привлекаться в науку в минимальной степени.
Многомерность -- это различные способы естественного обобщения
аналитической геометрии, берущей свое начало с одного измерения, с
линии. Положение точки на линии может быть описано одним числом
x, характеризующим ее удаление от заданной начальной точки. Ана-
логичным образом, каждая точка на плоскости представляется двумя
координатами x и y, характеризующими положение точки с помощью
пары заданных осей. Соответственно каждая точка в трехмерном про-
странстве может быть описана тремя координатами x, y и z .
Но почему этим следует ограничиться?
Хорошо, если это - конец алфавита, но так или иначе, иногда это
не кажется реальным препятствием. Что можно сказать относительно
точек, описанных четырьмя координатами, скажем w, x, y, z? Возмож-
но, они соответствуют некоторому типу пространства с четырьмя из-
мерениями. Координаты v, w, x, y, z задают точку в пространстве пяти
измерений и так далее.
В некотором смысле это можно продолжить, и нет более ничего, о
чем следовало бы сказать. Мы только что определили то, что понима-
ем под пространством с пятью измерениями, Финиш.

112
Односторонний маятник
Разумеется есть ряд небольших статей, авторы которых озабоче-
ны этим. Пусть, мы обладаем знаниями о том, что существует нечто
иное, чем пространство в этих новых "пространствах". Мы не сможем
понять как проявляется это нечто, поскольку живем в каком-нибудь
из них: ведь известно, что мы живем в добром старом пространстве с
тремя измерениями (четырьмя, если включить время: см. ниже). По-
чему наше физическое пространство ограничивает себя таким образом
остается загадкой. Но это означает также, что наш разум испытывает
определенные затруднения при визуализации пространств, имеющих
четыре и более измерений.
В известной мере, это вопрос о сущности проблемы. Наша систе-
ма визуализации обучена распознавать объекты, находящиеся в про-
странстве трех измерений. С этой точки зрения, "визуализация" едва
ли является целью, но на самом деле мы должны вырабатывать новый
тип геометрической интуиции. А это как раз то, чем математики зани-
маются уже несколько десятилетий. Сначала они играли в простейшие
игры с выводами по аналогии, такого типа:
• отрезок прямой линии имеет 2 конечные точки,
• квадрат имеет 4 угла,
• куб имеет 8 углов.
Что же просходит после 2, 4, 8 ...? Ага! Поэтому
• гиперкуб с четырьмя измерениями имеет 16 углов,
• суперкуб с пятью измерениями имеет 32 угла,
• супердуперкуб с шестью измерениями имеет 64 угла,
И так далее. Это была бы, очевидным образом, основанная на точ-
ных определениях и методах вычислений, замечательная игра "давай-
те представим себе", заключающая в себе систему координат, подобную
пространству с 6 измерениями (u, v, w, x, y, z). Она имела бы внутрен-
нюю логическую завершенность и с этой точки зрения вызывала бы
то же чувство, что и геометрия. Например, как известно, при 3-x
измерениях существует пять правильных геометрических тел (тетра-
эдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр). Можно доказать, что при 4-х
измерениях имеется шесть правильных гипергеометрических тел, од-
нако при 5-, 6-, и 7 измерениях их имеется только три. Любопытно, не

Односторонний маятник
113
правда ли? Эти пространства имеют свои собственные, индивидуаль-
ные особенности. Возможно, что есть и еще кое-что, нарушающее эту
сортировку пространств.
Постепенно употребление многомерных пространств стало респек-
табельным, особенно когда этот подход позволил получить действи-
тельно хорошую математику. Главным архитектором этого направле-
ния был английский математик Артур Кэли. Когда в 1874 Королевское
общество выставило портрет этого великого человека, Джеймс Клерк
Максвелл произнес речь в его честь" которую закончил стихами:
Иди вперед, хозяин символов! Шагом возвышенным,
Поднимись до пылающих границ пространства и времени!
Там остановись, пока не будешь ты Дикенсоном изображен
В двух измерениях так, чтобы смогли мы путь проследить
Того, чья душа слишком велика для обычного простран-
ства,
Чтоб и в n измерениях она процветала всегда.
Возможно эти идеи остались бы просто любопытными, но с них начал-
ся расцвет того математического сообщества, которому они принадле-
жали в течение столетий, и где многомерные пространства изучались
без какой-либо реализации; с ними случилось то же, что и с героем
Мольера М. Журденом, пораженным тем, что он всю жизнь говорил
прозой. Например, вернемся к проблеме трех тел. Что там требуется
вычислить? Положения и скорости трех тел. Каждое тело характери-
зуется тремя координатами положения (в обычном пространстве с 3
измерениями), а также тремя компонентами скорости. Таким образом,
получается, что мы рассматриваем задачу, зависящую от 18 различ-
ных переменных. Фактически мы думаем в 18 измерениях.
Велосипед имеет (по заниженной оценке) пять основных перемеща-
ющихся частей: руль, переднее колесо, кривошип-цепь-заднее колесо, и
две педали (Рис. 5.8). Каждая часть требует по одной координате для
описания своего положения и одной переменной для описания скоро-
сти. Инженер сказал бы, что велосипед имеет десять степеней свобо-
ды . Чтобы ехать на велосипеде, мы должны интуитивно определять
положение точки в десятимерном пространстве! Может быть поэтому
так трудно научиться ездить на велосипеде. И это без использования
переменных для определения местоположения велосипеда на дороге.

114
Односторонний маятник
Рис. 5.8. Велосипед имеет (по меньшей мере) пять степеней свободы: руль, левая
педаль, правая педаль, переднее колесо, и кривошип-цепь-заднее колесо.
Если хорошо переформулировать проблему, то десяти измерений
вполне достаточно для представления движения велосипеда. Большая
часть этой информации, к тому же, практически бесполезна.
Вместе с тем, этого недостаточно. Многомерность обеспечивает кра-
сивое геометрическое изображение, которое позволяет существенно боль-
ше облегчить "визуализацию" того, что действительно происходит в
динамике, но требуется некоторое время, чтобы осознать это. На деле,
никто пока не сумел сформулировать сколь-нибудь хорошую идею о
том, как визуально представить 10-мерную сферу, но нет сомнения,
что такое представление определенно помогло бы в некоторых случа-
ях. Однако тополог может, к примеру, нарисовать на доске два подобия
круга и сказать: рассмотрим две 7-ми мерные сферы в пространстве
с 10-ю измерениями , и не добавить к этому никакого специфического
продолжения. Он и его слушатели поймут, о чем пойдет речь.
Альберт Эйнштейн и его предшественники выдвинули респекта-
бельную идею о времени, как о четвертом измерении. (Не просто о
четвертой переменной: четырех измерений, также как и десяти, вовсе

Односторонний маятник
115
Рис. 5.9. Трехмерная проекция многомерного многогранника, осуществленная
с помощью алгоритма Кармаркера
недостаточно. На велосипеде мы имели бы семь, из которых нужно
было бы выбрать первые три.) Идея Эйнштейна идет много дальше,
чем в рассмотренном примере. В любой проблеме, будь то физика или
психология, каждое характерное свойство, представляющее интерес,
может быть рассмотрено и визуализировано как новое измерение. Эко-
номисты регулярно ищут максимальную прибыль компании, оперируя
тысячами переменных. Они работают в пространстве многих тысяч
измерений. ( Это - одна из причин, почему экономика так, кроме шу-
ток, трудна.) Самое последнее крупное и впечатляющее достижение в
этом вопросе -- метод, названный алгоритмом Кармаркера (Рис. 5.9).
Он был открыт как раз при размышлениях об этой проблеме анало-
гичным образом и позволяет говорить о " n--мерных эллипсоидах" без
малейшего смущения.
Динамика n-мерного пространства
Все дело затрудняет вопрос о соответствии многомерных пространств
друг другу. Это похоже на вопрос о соответствии 999-мерной руки 999-
мерной перчатке.

116
Односторонний маятник
Например, рассмотренная выше картина, описывающая динамику
маятника, обобщается на случай многомерных пространств. В системе
с n степенями свободы имеется n различных переменных и можно рас-
сматривать их как существующие в n-мерном пространстве. Тогда n
координат отдельной точки в n-мерном пространстве определяют все
n переменных одновременно. Что легче: размышлять о движении точ-
ки в пространстве с 10-ю измерениями, или рассматривать при этом
всю динамическую сложность велосипеда, покачивающегося при дви-
жении, имеющего руль, поворачивающийся вправо и влево, а также
опускающиеся и поднимающиеся педали?
Ну, конечно же, забудьте о 10-мерной частице пространства, ду-
майте только о точке. Так лучше? Вот и хорошо.
Как же законы движения вписываются в эту картину? Они говорят
нам о том, как данная начальная точка перемещается в многомерном
пространстве. Это движение происходит вдоль некоторой кривой, ко-
торую Эйнштейн называет "мировой линией". Теперь вы можете пред-
ставить себе целый пучок начальных точек, перемещающихся вдоль
этих кривых. Они подобны частицам некоторой жидкости, струящей-
ся вдоль них.
Любая особенность движения велосипеда соответствует точке в
этом воображаемом пространстве, имеющем 10 измерений. Все воз-
можные движения велосипеда описываются движениями потока вооб-
ражаемой жидкости в этом воображаемом пространстве с 10-ю изме-
рениями.
Если данная система является гамильтоновой (трение отсут-
ствует), тогда эта жидкость несжимаема.
Я надеюсь, что это вернет вас на землю с тем самым глухим звуком,
который я всегда при этом испытываю. Это не абстрактная игра! Это
реальноcть!
Я имею в виду нечто существенно более глубокое, возникающее,
если эту геометрическую картину использовать не для рассмотрения
динамики движения какой-то глупой жидкости в каком-то глупом про-
странстве, а для понимания того, что собственно делает жидкость
несжимаемой. (Это значит, что при движении жидкости 10-мерный
аналог её "объема" остается тем же самым.) Теорема несжимаемо-
сти жидкости была открыта Жозефом Луивиллем в XIX веке, и ее
последствия были захватывающими.

Односторонний маятник
117
Если система негамильтонова -- скажем, если учитывается трение, --
тогда текущая жидкость не является больше несжимаемой. Вы можете
получить представление обо этом, сравнивая Рис. 5.6 и Рис. 5.7. Пусть
существует капля двумерной жидкости, текущая по небольшому кругу
в основании U -образной трубы, как показано на Рис. 5.6. (Не думайте
о жидкости, "внутри" трубы только поверхность трубы соответствует
физической реальности!) Спустя некоторое время, двигающаяся вдоль
стенки трубы капля растечется в небольшой круг. Ее площадь при
этом не изменяется. В то же время, соответствующая капля жидкости
на Рис. 5.7 характеризующаяся постоянным снижением уровня энер-
гии, направленным вниз по спирали, ко дну трубы, должна сокращать
свою площадь. В этом и состоит основное различие между гамильто-
новой и негамильтоновой или диссипативной системой.
Несжимаемость -- столь естественное понятие, что теорема не мо-
жет не быть очевидной. Если, конечнро, вы не согласны со словами
Курта Воннегута, сказанными им в его Колыбели для кошки, что Бо-
женька создал универсум в качестве розыгрыша.

Глава 6
Странные аттракторы
Они имеют странные границы и это должен знать наблюдатель. Про-
стота их кажущаяся, и она превращает их в западню для новичков.
По первому впечатлению они совершенно мягкие, но если под влия-
нием чего-то внезапно они, становятся очень твердыми, следует по-
нимать, что достигнута граница.
Артур Конан Дойль. Последний поклон.
Вероятно, сущеcтвует два основных типа математиков. Большинство
думает в терминах визуальных образов и умственных картин, а мень-
шая часть мыслит формулами. Тип мышления, который чаще всего
используется, далеко не всегда зависит от предмета. Есть алгебраи-
сты и логики, которые думают образами, но я знаю одного известного
тополога, который испытывает серьезные трудности с визуализацией
трехмерных объектов. Иоганес Малер, известный биолог, как-то ска-
зал, что его мысленное представление о собаке имеет следующую вид:
DOG
Математические образы столь же обычны в математических представ-
лениях, как и логические выкладки. В течение десятилетий, разраба-
тывая тему, каждый большой математик создает в своем представле-
нии множество картин. Затем, внезапно, картины больше не требу-
ются, и стиль изложения работ становится очень формальным. Ла-
плас гордился, что его Аналитическая механика не содержит рисун-
ков, только анализ. Во времена, не столь отдаленные (в 1950-ые годы),
всего несколько диаграмм были включены в работы Николы Бурбаки.
Этот псевдоним использовала группа математиков (главным образом,
французских), сделавших попытку формализовать структуру матема-
тики. Как правило, неприязнь к диаграммам идет от некоторого кри-
зиса логики, вызванного слишком большим объемом сырых мыслей и
опьянением от свободы, обусловленным пребыванием на новой матема-
тической территории. Однако формулы по-прежнему остаются более

Странные аттракторы
119
трудными для восприятия, поэтому визуальные представления снова
и снова образуются на поверхности, возникая из общего математиче-
ского подсознания.
Великий вклад, сделанный Пуанкаре, должен был вернуть геомет-
рию обратно в механику вместе с подчеркнутым вниманием, в духе
Лапласа, к аналитическим методам и вычислениям. Однако это про-
изошло в иной исторический период, и он вызвал другой поворот спи-
ральной лестницы. Под геометрией я понимаю не чопорный стиль ма-
тематического изложения: теорема--доказательство q.e.d.1, который
применяется для наказания невинных детей от имени Евклида, а
картины. Пуанкаре выпустил геометрию из тюрьмы анализа и позво-
лил ей снова свободно странствовать. Повторяя формализмы Бурбаки
снова и снова, нынешняя математика тем не менее возвращается на-
зад, к геометрическим представлениям настолько быстро, насколько
ноги позволяют ей это делать. Давайте рассмотрим некоторые идеи
Пуанкаре. Я осовременил язык, но сохранил его точку зрения.
Время летит подобно стреле
Мы начнем с системы, имеющей две степени свободы, то есть для со-
здания представлений мы можем привлекать изображения на плос-
кости. В отличие от маятника, который мы также рассматривали на
плоскости (или по крайней мере, на не изменяющемся во времени ци-
линдре), наша система не будет гамильтоновой. Фактически, она не
будет соответствовать никакой конкретной физической модели. Это
будет чисто математическая конструкция, роднящая все системы с
двумя степенями свободы и предназначенная для иллюстрации типич-
ного поведения.
Напомню, что рассматривая отдельное дифференциальное урав-
нение, мы можем наглядно представлять поведение всевозможных на-
чальных точек, изображая их потоками воображаемой жидкости, стру-
ящимися по траекториям уравнения. Если выбрать какую-либо на-
чальную точку, то есть задать набор начальных условий для некото-
рой точки, имеющей смысл для уравнения, тогда координаты последу-
ющего течения жидкости можно получить, если найти решения этого
дифференциального уравнения с данным набором начальных условий.
1Что и требовалось доказать. Прим. пер.

120
Странные аттракторы
Рис. 6.1. Фазовый портрет потока на плоскости, показывающий (слева направо)
сток, седло, предельный цикл и источник.
Графическое изображение того, как эти линии соответствуют друг
другу, называется фазовым портретом уравнения (Рис. 6.1). "Порт-
рет" представляется достаточно понятным, он более нагляден, чем
множество математических знаков. Странное слово "фаза" пришло,
повидимому, из электрической инженерии. Колебание в форме волны
характеризуется амплитудой, или величиной, и фазой, -- смещением
волны в цикле. Если начертить их, то получится изображение волны
на плоскости. Во всяком случае, по моей теории.
Течение жидкости показано изогнутыми линиями тока, характе-
ризующими изменение во времени координат различных начальных
точек. Стрелки изображают направление линий тока. Мы уже встре-
чались с двумя фазовыми портретами: для простого гармонического
осциллятора и маятника, показанными на Рис. 5.2 и 5.3.
Обратите внимание на то, как линии тока соответствуют друг дру-
гу: стрелки на соседних кривых довольно похожи, они располагаются
близко друг к другу и хорошо выровнены. Это означает, что они отоб-
ражают поток жидкости, представленный струями, которые не обособ-
лены: движение потока является непрерывным.

Странные аттракторы
121
Имеются четыре важные особенности этого специфического пото-
ка, к которым я хотел бы привлечь ваше внимание.
Во-первых, в левой части рисунка имеется точка, к которой стека-
ются по спирали все близлежащие линии тока. Эта точка назвается
стоком. Он похож на узкое отверстие, через которое вытекает жид-
кость. Отсюда, возможно, и возникло это название.
В правой части рисунка имеется отверстие противоположного ти-
па, точка, из который истекают спиральные линии. Это -- источник.
Представьте себе пузырящийся родник.
Между ними есть место, где линии тока как бы пересекаются. Это
седло. На самом деле линии не пересекаются, а происходит, как мы
увидим ниже, нечто более интересное. Если две струи реальной жид-
кости текут навстречу друг другу, то возникает седло.
Наконец, справа источник окружает единственная замкнутая пет-
ля. Это -- предельный цикл. Он напоминает вихрь, в котором жидкость
двигается по кругу. Водоворот.
На последующих страницах мы увидим, что, вообще говоря, потоки
на плоскости обладают только этими особенностями (некоторыми или
всеми), и, в типичных случаях, никакими больше. Иногда может воз-
никнуть несколько проявлений каждой особенности, но, как правило,
невозможно найти при этом что-нибудь более сложное. Я постараюсь
далее также объяснить, зачем здесь употребляется слово "типичный".
Сначала давайте поближе познакомимся с этими четырьмя фундамен-
тальными особенностями потоков на плоскости, которые описываются
дифференциальными уравнениями, имеющими две степени свободы.
Стоки
Сток (Рис. 6.2) -- это место, где линии тока вырождаются в (отдельную)
сингулярную точку, к которой стремятся все близлежащие точки. Если
начать рассмотрение системы не с центральной точки стока, то ничего
особенного не происходит. Все линии только стекают туда. Поэтому
сток характеризует лишь стабильное состояние системы. Например,
так ведет себя кусок теста в полукруглой чаше, где его замешивают:
он будет оставаться в покое, если его положить на дно чаши.
Однако если начать с некоторой точки вблизи стока, то тесто бу-
дет двигаться к нему, а если поместить тесто еще выше, на одну из
сторон чаши, то оно начнет липко стекать вниз по стороне чаши и не

122
Странные аттракторы
Рис. 6.2. Сток
остановится, пока не достигнет дна. (Я говорю "липко стекать", чтобы
ввести трение, но если взять мраморную чашу без трения, то возник-
нет гамильтонова система, где возможно нечто иное.)
Это означает, что стабильное состояние стока устойчиво. Если точ-
ку, представляющую это состояние, немного сдвинуть от состояния
равновесия, то она тотчас по спирали вернется в исходное состояние.
Если положить тесто на одну из сторон чаши, то оно скатится обрат-
но. Поэтому стоки являются устойчивыми стабильными состояниями.
Источники
Источники (Рис. 6.3) тоже представляют собой стабильные состояния,
но теперь близлежащие точки двигаются прочь от них. Точки, явля-
ющиеся источниками, напоминают кусок теста, лежащий на дне пере-
вернутой круглой чаши. Тесто может некоторое время балансировать
в исходном состоянии, оставаясь на месте, если вы положили его очень
осторожно, но если слегка толкнуть его, то оно покатится по одной из
сторон чаши и упадет. То есть это стабильное состояние неустойчиво.

Странные аттракторы
123
Рис. 6.3. Источник
Помните, что тесто имеет очень небольшую липкость, оно не станет
прилипать к наклонной поверхности. Представьте чашу с овальным, а
не плоским дном. Возможно, более наглядно это характеризует уста-
новка одного гладкого булыжника на макушке другого. Можно осто-
рожно поставить его, но стоит дунуть ветру, и он заскользит вниз.
Седла
Седла (Рис. 6.4) более интересны. Они также принадлежат к тому сор-
ту вещей, о которых задумывался только математик, исключая, ко-
нечно, природу-мать, которая имеет даже более живое воображение.
В известном смысле это стабильные состояния, которые в одних на-
правлениях устойчивы, а в других -- нет.
Представьте себе неопытного наездника, сидящего на лошади. Его
седло намазано жиром. Если наездник перемещается вперед или назад
в седле, он только соскальзывает при этом обратно и возвращается в
центральное положение, но если он заскользит поперек, то выпадет из
седла. Его положение устойчиво при перемещении вперед или назад и

124
Странные аттракторы
Рис. 6.4. Седло: линии, пересекающиеся в центре -- сепаратрисы
неустойчиво в поперечном направлении. Эта иллюстрация объясняет,
почему такие точки получили в математике название "седло".
Точка на рисунке, располагающаяся в центре "креста" свойственна
каждому седлу, это -- седловая точка. Она характеризует устойчивое
состояние, как если бы все траектории сократились до единственной
(сингулярной) точки. Две образующие крест линии тока названы сепа-
ратрисами (в единственном числе: сепаратриса) седла. Они так назва-
ны потому, что разделяют пути близлежащих точек тока. Вообразите
подъем по сепаратрисе в левой части рисунка. Если движение начи-
нается выше сепаратрисы, то кривая совершает левый поворот и тем
резче, чем ближе располагается её начало к седловой точке. Если же
движение начинается ниже сепаратрисы, то, аналогичным образом,
кривая совершает правый поворот.
Это больше похоже на ситуацию, когда обособленные части пото-
ка как бы стягиваются в седловую точку, но, как уже было сказано
выше, это не так. На самом деле сепаратрисы не сталкиваются с сед-
ловой точкой. Это происходит потому, что для достижения седловой
точки по сепаратрисе потребуется бесконечно большой период време-

Странные аттракторы
125
ни: вблизи седла поток становится бесконечно медленным, он вытянут
в поперечном направлении, но не разрывается на части.
Можно предположить, что седла -- явления менее общие, чем ис-
точники и стоки. На самом деле это не так. Другая аналогия, которая
поможет объяснить это. Вообразите горный ландшафт и места, где
земная поверхность (или, по крайней мере, касательная плоскость к
ней) горизонтальна. Вершины -- это точки, из которых все направления
ведут вниз, они аналогичны источникам. Имеются также впадины, из
которых каждое направление ведет вверх, -- они аналогичны стокам.
В горах имеются также перевалы, на них некоторые направления
ведут вверх, а другие -- вниз. Они аналогичны седлам.
Перевалы распространены также часто, как вершины и впадины
в горной стране. Посмотрите на карту Швейцарских Альп. Обычно
седла встречаются там не менее часто, чем источники и стоки. Также
можно увидеть подобные явления, например, на изобарах погодных
карт, где имеются замкнутые петли, надписанные высокое или низ-
кое, они окружают источники и стоки давления. Изобары, изобража-
емые на карте, соответствуют круглым значениям давления, кратным
10 миллибарам. Таким образом, сепаратрисы редко можно наблюдать
сами по себе, в своей характерной крестообразной форме, но мож-
но распознать их присутствие по четырем взаимно-противоположным
кривым, которые располагаются вблизи друг друга.
Предельные циклы
Предельные циклы действительно интересны. Если начать движение
от одной из точек цикла (Рис. 6.5), то мы все время будем двигаться по
замкнутой петле, снова и снова повторяя пройденное. Это движение
является периодическим.
Имеются два основных типа предельных циклов. Один, изображен-
ный на рисунке, является устойчивым предельным циклом: близлежа-
щие точки стремятся к нему. Имеется также неустойчивый предель-
ный цикл: близлежащие точки, разбегаются от него. (Чтобы изобра-
зить его, просто измените направление всех стрелок на рисунке).
Предельные циклы отличаются от источников, стоков и седел тем,
что их нельзя обнаружить, рассматривая только одну точку. Необхо-
димо рассматривать целую область значений. Поэтому периодическое

126
Странные аттракторы
Рис. 6.5. Устойчивый предельный цикл является замкнутой петлей, в направ-
лении к которой соседние траектории сближаются.
движение обнаружить труднее, чем различные устойчивые состояния.
Именно это делает их математически более интересными.
В 1927 голландский радиоинженер Бальтазар ван дер Поль нашел
чрезвычайно важный предельный цикл. Он возникает в математи-
ческой модели электронной лампы (в США она называется вакуум-
ной трубкой). Такие лампы применялись в радиосхемах, пока Уильям
Шокли, Джон Бардин и Уолтер Бреттейн из Белл Телефон Лабора-
ториз не изобрели в 1947 транзистор. Аналогичная модель применима
также и к транзисторам. Предельный цикл Ван дер Поля описывает
волнообразное колебание в лампе, которое периодически усиливается
и ослабевает. Оно создает звук, напоминающий свист или визг.
Колебания, генерирующие радиоволны, основа радиосвязи. Идея
связи состoит в том, что на очень быстрые, основные колебания регу-
лярные радиоволны, -- накладываются сигналы передаваемого звука.
Известно два стандартных способа сделать это: амплитудная модуля-
ция (АМ) и частотная модуляция (ЧМ). В первом случае изменяет-
ся амплитуда волны, во втором -- интервал между волнами. Однако

Странные аттракторы
127
прежде необходим генератор регулярных волн, которые можно моду-
лировать. Поэтому предельный цикл в математическом осцилляторе
Ван дер Поля имеет важные технические продолжения.
Типичное, это типичное
Пуанкаре и шведский математик Ивар Бендиксон доказали теорему,
согласно которой в системе дифференциальных уравнений на плоско-
сти "типичны" только рассмотренные выше четыре типа поведения.
Однако, неверно, что каждое дифференциальное уравнение име-
ет только эти четыре типа особенностей. Легко можно вообразить бо-
лее сложные типы, например, пересечения трех линий или предельные
циклы, устойчивые с внутренней стороны и неустойчивые с внешней.
Определение "типичный" не совсем здесь уместно, но оно употреб-
ляется в конкретном смысле, который совершенно точно описывается
на математическом языке "эпсилон-гомеоморфизмов" (не подходящем,
однако, для этой книги). С их помощью можно показать крайнюю ред-
кость таких исключений. Если стоки, источники, седла, и предельные
циклы это лицевая и оборотная стороны монеты, то исключения --
её ребро. Такие сложные типы возможны в теории, но они не встре-
чаются на практике.
Результаты такого типа являются довольно распространенными в
математике, они образуют ландшафт теории динамических систем.
Если составить список абсолютно всего, что может произойти, то по-
лучится нечто бесконечно запутанное. Однако если включить в него
только то, что "типично", т. е. может происходить с отличной от ну-
ля вероятностью если вам нравится такая формулировка, тогда
все выглядит гораздо красивее. Поэтому для обычной ситуации теоре-
тики динамических систем предложили технический термин (точнее,
заимствовали его): родовая. Поведение является родовым, если ему со-
ответствуют только типичные ситуации, и оно исключает бесконечно
редкие, исключительные ситуации.
Я не предлагаю всегда хранить секреты исключений в тайне: ино-
гда можно достичь успеха и при изучении нетипичных, неродовых си-
стем. Имеется даже иерархия форм типичности: типично, довольно
типично, умеренно типично, не совсем типично, не типично.
Для математиков, практически работающих с приложениями, ис-
пользуя хорошие, а не сверхсложные теории, типичным и родовым

128
Странные аттракторы
является то, что следует изучить. То есть выделение типичного зави-
сит от того, что собственно нуждается в рассмотрении. Типичные
гамильтоновы системы ведут себя существенно иначе, чем типичные
негамильтоновы системы. Если бросить монету в болото, то типично,
что она утонет, а не упадает орлом или решкой. Если же бросить моне-
ту на стол, покрытый влажной глиной, то она имеет довольно большой
шанс приземлиться на ребро. Если вы гуляете по улице, то типично,
что человек, с которым вы встретитесь, -- это не министр финансов,
но если вы прогуливаетесь вдоль здания Парламента, то это вполне
возможно.
Каждая интересная система в некотором смысле типична в неко-
тором существенно ограниченном контексте. Поэтому, если нужно по-
нять эту систему, то следует обстоятельно выяснять, каков этот кон-
текст. Это очень похоже на ситуацию, описанную Джорджем Оруэл-
лом в его Скотном дворе, только здесь сообщение на плакате гласит
ВСЕ СИСТЕМЫ ТИПИЧНЫ
НО НЕКОТОРЫЕ БОЛЕЕ ТИПИЧНЫ, ЧЕМ ДРУГИЕ
Кружащий кот
Один законченный тип классического движения заслуживает особого
внимания: это квазипериодичность. При этом в движении участвует
несколько различных периодических движений с независимыми ча-
стотами, которые наложены друг на друга. (Частота периодического
движения -- это число периодов в секунду. Поэтому длительные перио-
ды соответствуют низким частотам, а короткие -- высоким.) Вообразим
астронавта на лунной орбите, сидящего в тесной космической капсуле,
вокруг головы которого ходит кот. (Да, я знаю, что там недостаточно
места для этого, но следуйте за мной.) Кот периодически ходит вокруг
астронавта, астронавт -- вокруг Луны, Луна -- вокруг Земли, Земля --
вокруг Солнца, а Солнце обращается вокруг центра галактики. Это
пять наложенных друг на друга периодических движений.
На топологической картине квазипериодическое движение напоми-
нает спиральное движение на торе -- американском пончике (Рис. 6.6).
Вы можете увидеть его в комбинации двух периодических движений,
потому что на торе существует только два направления "вращения".
Одно происходит через отверстие в центре, другое, перпендикулярное

Странные аттракторы
129
ему, вокруг "экватора". Если сначала заставить тор вращаться во-
круг оси, проходящей через его середину, а затем добавить к этому
вращению легкий толчок, чтобы он стал вращаться вокруг экватора,
то возникнет спиральное движение.
Рис. 6.6. Топологически, квазипериодические движения имеют место на торе:
(слева) комбинация движений при малых и больших циклах, (справа) результи-
рующий тор.
Если объединить два периодических движения с периодами, кото-
рые являются целыми множителями одной и той же величины -- их
общей меры, то результирующее движение действительно будет пери-
одическим. Если одно движение имеет период, скажем 3 секунды, а
другое -- 5 секунд, тогда одна и та же комбинация будет повторяться
каждые 15 секунд.
Однако, если у них нет никакой общей меры, например, если их
периоды относятся друг к другу как 1 к √2 секунды, то их движение
никогда не будет повторяться точно. Тем не менее можно получить
движения, которые "почти повторяются", в том смысле, что можно
найти состояния, которые с любой, наперед заданной точностью, близ-
ки к начальному состоянию. Это и есть причина, по которой такие
движения называются " квазипериодическими".
Для двух периодов критерием комбинации, позволяющей получить
периодическое движение, является рациональное отношение периодов:
pq , где p и q - целые числа. Если отношение периодов иррационально,
то есть не может быть представлено такой дробью, тогда эти периоды
не имеют общей меры, и их комбинация никогда точно не повторяется.
Движения, которые "почти повторяются", имеют период, являющийся
приблизительно общим кратным периодов, то есть отношением, кото-
рое очень близко к отношению периодов.

130
Странные аттракторы
Квазипериодическое движение не типично в общей динамической
системе. Несмотря на это, оно часто встречается в классической дина-
мике. Основная причина этого заключается в том, что такое квазипе-
риодическое движение является совершенно типичным в гамильтоно-
вых системах, а классическая динамика как раз на них концентрирует
свое внимание. Так, небесная механика устлана добавленными цикла-
ми. Это иллюстрирует, в частности, круговое движение кота. Другой
причиной является то, что во всякой системе, гамильтоновой или нет,
имеющей круговую симметрию, движения с двумя периодами типич-
ны. Эта симметрия "стабилизирует" комбинацию двух периодов. К то-
му же, круговая симметрия широко распространена. Третья причина
изучения квазипериодичности, хотя она и не типична, заключается в
том, что квазипериодическое движение часто наблюдается в процессе
перехода от одного типичного движения к другому. В этом смысле, оно
представляет такой тип движения, который мы понимаем и который
может быть ответственен за те виды движений, которые мы не знаем.
Кроме того, иногда оно может дать полезную стартовую информацию
для исследования новых видов движения, таких, как хаос.
Понимать -- это не значит видеть
Пуанкаре и Бендиксон смогли доказать теорему о типичности толь-
ко для систем с двумя степенями свободы. Плоскость действитель-
но имеет все такие типы особенностей, которые они использовали в
полной мере, но в трехмерном пространстве возникают затруднения.
Например, на что похож поток вблизи узла, образованного замкну-
той петлей? (Да, дифференциальные уравнения могут иметь узловые
решения. Уравнение Лоренца в следующей главе является тому при-
мером). На плоскости никаких узлов нет, но они есть в трехмерном
пространстве, и математика должна обратить на них внимание.
В начале шестидесятых американский тополог Стефан Смейл про-
должил качественную теорию дифференциальных уравнений с того
места, где Пуанкаре и его преемники, в частности, Джордж Биркгоф,
ее оставили. За полувековой период топология заметно продвинулась
вперед, благодаря участию множества ученых. Вероятно в течение все-
го этого времени проблема зрела для дальнейшего прогресса. И если
большинство топологов к этому времени забыли, что топология вышла
из физической проблемы, то Смейл помнил об этом.

Странные аттракторы
131
Хочу сразу оговориться, что большое количество важных достиже-
ний в динамике было сделано за полувековой период, между Пуанкаре
и Смейлом. Я выбираю только отдельные нити из этого богатого го-
белена. Ляпунов представил набор чисел, теперь известных как пока-
затели Ляпунова, которыми в настоящее время пользуются как одним
из методов для обнаружения присутствия хаоса. Работы Александра
Андронова, Александра Адольфовича Витта, и С. E. Хайкина по нели-
нейным осцилляторам заслуживают упоминания вместе с основными
топологическими идеями Соломона Лефшеца. Русская школа, осно-
ванная Андреем Колмогоровым, сделала ряд фундаментальных от-
крытий в рамках кинетической теории газовой динамики. В частности,
она распространила понятие энтропии, концепция которой была раз-
вита в термодинамике, на произвольные динамические системы. Со-
гласно критерию Колмогорова-Cиная, отличная от нуля энтропия яв-
ляется одним из наиболее надежных методов испытания на хаос. Важ-
ный класс хаотических систем был введен и изучен Д. В. Аносовым, а
Я.Г. Cинай был первым, кто доказал чрезвычайно трудную теорему
о том, что система из эластичных частиц, моделирующих газ, дей-
ствительно ведет себя хаотически. Владимир Арнольд оказал огромное
влияние на разработку современной динамики, особенно в гамильто-
новых системах, и часть его работ описана ниже.
У Смейла был очень оригинальный ум. В своем PhD-тезисе он до-
казал общую теорему, которая помимо прочего включает в себя то,
что можно вывернуть сферу наизнанку. Оставаясь гладким образо-
ванием сфера может проходить через себя, не создавая никих узлов.
Это казалось настолько маловероятным, что ни один из его читателей
не мог сразу в это поверить, но это действительно происходит пото-
му, что Смейл был прав. Теперь, много лет спустя, каждый, поступая
также как он, может получить те же самые результаты. Одним из
тех, кто мог это сделать уже тогда был слепой французский мате-
матик Бернард Морин. Я уже сказал, что "визуализация" не совсем
подходящее слово в данном случае. Понимать, а не видеть вот что
действительности нужно в топологии. Смейл был ведущим топологом
своего времени, ему принадлежат также несколько других прорывов
в понимании, включая первое доказательство для пяти и более из-
мерений, проблемы Пуанкаре, поставленной еще в 1906, где каждая
мысль еще была совершенно непроницаема.

132
Странные аттракторы
Чтобы подчеркнуть наличие новой точки зрения на этот вопрос,
Смейл использовал термин динамическая система вместо понятия
"система дифференциальных уравнений" . И он действительно думал
о динамических системах больше в терминах своей геометрии -- то-
пологии фазовых портретов, -- чем в формулах, позволяющих опреде-
лить их. Фактически, он даже не писал какие-либо формулы. Конечно,
эта тенденция огорчала теоретиков классических дифференциальных
уравнений. Смейл приводил их в бешенство, атакуя предположения-
ми, которые были все это знают , -- ложными. Однако это был его
способ достижения реальной власти над проблемой, и скоро он опери-
ровал уже истинными теоремами, которые удивили даже экспертов.
Один из первых вопросов, который он себе задал, был очень есте-
ственным: каков аналог теоремы Пуанкаре--Бендиксона в простран-
стве трех (или более) измерений. То есть, каков перечень типичных
способов поведения такой системы дифференциальных уравнений?
Пуанкаре начал движение по этому пути. Он нашел все возмож-
ные типичные формы устойчивого состояния. Всего их четыре. Это
- источники, стоки, и два седла разного типа. Источник характери-
зуется тем, что все близлежащие точки двигаются от него, а сток --
тем, что они притягиваются к нему. Седло это поверхность, все точ-
ки которой либо стремятся наружу, либо внутрь, и линия, где точки
двигаются либо внутрь, либо наружу, соответственно.
Можно изучать предельные циклы и для трех измерений, но они
будут уже трех сортов: устойчивые, неустойчивые и седлоподобные.
Это только кажется, что их множество. Никто, однако, пока не
нашел других типичных особенностей фазовых потоков.
Структурная устойчивость
Сначала Смейлу пришлось найти точное значение слова "типичный",
ибо нельзя доказать хорошую теорему, не имея ясной идеи.
Оказалось, что подходящая идея была выдвинута Александром Ан-
дроновым и Львом Понтрягиным в 1930 для систем с двумя степеня-
ми свободы. Они использовали понятие "грубые системы". Их идея
состoяла в том, что нетипичное поведение всегда может быть "раз-
бито" на типичные, путем внесения очень незначительных изменений
в уравнения. Например, место, где пересекаются три линии фазового

Странные аттракторы
133
потока, может быть разбито на конфигурацию из трех седловых точек
(Рис. 6.7).
Рис. 6.7. Структурная неустойчивость: седло с тремя сепаратрисами разру-
шается под действием небольшого возмущения, образуя три отдельных седла и
источник.
С другой стороны, четыре характерных типа поведения на плоско-
сти не изменятся, если внести небольшие изменения в уравнения. Если
превышение горной цепи слегка, скажем на несколько метров, умень-
шается под влиянием небольшого землетрясения, тогда пики остают-
ся пиками, впадины -- впадинами, а перевалы -- перевалами. Все они
лишь незначительно сместятся относительно своего положения, поэто-
му невозможно совсем уничтожить пик небольшим землетрясением.
Смейл обобщил идеи Андронова и Понтрягина применительно к
системам с большим числом степеней свободы, а понятие структурно
устойчивый стал применять к потокам, топология которых не изменя-
ется, если уравнения, описывающие их, достаточно слабо варьируют.
Это совершенно иная идея, отличная от идеи устойчивого состоя-
ния данного уравнения. Последнее это решение, которое является
устойчивым при небольших изменениях начальных условий, а струк-
турная устойчивость это свойство целой системы, и это устойчи-
воcть к относительно слабым вариациям всей системы уравнений.
Теперь Смейл смог спросить: всякая ли структурно устойчивая ди-
намическая система в пространстве трех измерений обладает толь-
ко источниками, стоками, двумя формами седла и тремя формами
предельного цикла? В более общем виде, можно ли делать подобные
утверждения для систем с произвольным числом степеней свободы?
Казалось, что нет примеров, которые опровергли бы это предпо-
ложение: любые находки более сложных форм, чем стоки, источники,

134
Странные аттракторы
седла и предельные циклы, являлись структурно неустойчивыми и,
следовательно, не типичными. С другой стороны, Смейл просто не
мог установить все многообразие этих форм. Теорема, если она дей-
ствительно существовала, сопротивлялась попыткам доказать ее.
Аттракторы
С точки зрения Смейла, наиболее важным свойством динамической
системы является ее долгосрочное поведение. Это "выборы" еще более
простого набора движений из тех, что есть в полной системе.
Например, в системе Рис. 6.1 выше, начальная точка может исчез-
нуть с рисунка (этот случай я буду игнорировать), остаться на месте (в
одном из трех устойчивых состояний) или устремиться к предельному
циклу и двигаться вдоль него по кругу. Таким образом, из всех воз-
можных движений долгосрочное поведение выбирает только те черты,
которые, как мы решили, действительно заслуживают внимания.
Инженеры имеют представление об этом. Они говорят о "переход-
ных процессах" при включении системы как о состоянии, противопо-
ложном тому, в которое она установится после их завершения. Пере-
ходные процессы важны в некоторых случаях: при включении компью-
тера неправильное выполнение переходных процессов может привести
к разрыву цепи подключения. Однако для полного представления об
общей природе систем, а не их тонких особенностей, можно проигно-
рировать переходные процессы.
Каково же долгосрочное поведение общей динамической системы?
Она устанавливается (обретает покой) в состоянии, называемом
аттрактором. Аттрактором является. . . то состояние, в котором успо-
коится система! Не существует, на данной стадии изучения, какой-либо
общей теоремы об аттракторах, подобной теореме Пуанкаре--Бендиксона,
и мы не можем указать ничего более точного. Однако, анализируя эту
идею, мы имеем некоторую возможность обосновать эту концепцию
получше. Сущность аттрактора в том, что он занимает такую часть
фазового пространства, что любая точка, которая начинается вблизи
него, с течением времени приближается к нему. (Рис. 6.8).
Мы также настаиваем, что аттрактор не может быть разбит на два
меньших объекта, каждый из которых удовлетворял бы этому опреде-
лению. То есть полагая, что сток и предельный цикл в нашем примере

Странные аттракторы
135
Рис. 6.8. Схематическое представление некоторого общего аттрактора, кото-
рый показан здесь в виде черной буквы А. Близлежащие области (зачерненные)
сжимаются в направлении аттрактора А с течением времени.
являются аттракторами, мы не хотим комбинацию "сток + предельный
цикл" рассматривать как отдельный аттрактор. Аттракторы -- это ин-
дивидуальные "особенности" динамики, а не простое смешение особен-
ностей. Вы можете вообще забыть об этом, если не доказываете теорем.
Теорема Пуанкаре--Бендиксона утверждает, что для структурно
устойчивых систем на плоскости типичны лишь такие аттракторы:
• Oтдельные точки.
• Устойчивые предельные циклы.
Единственными формами долговременного поведения являются:
• Оставаться в устойчивом состоянии покоя.
• Повторять некоторые виды движений периодически.
Или более просто:

136
Странные аттракторы
• Сидеть тихо.
• Снова и снова ходить по кругу.
Смейл также задал вопрос: является ли истинным для системы с
n измерениями, то, что истинно для двух?
Оборачивающие отображения
Смейл не сумел доказать, что единственными аттракторами в типич-
ных системах являются точки и предельные циклы. Но почему? На
это есть убедительная причина.
Это не верно.
И в конечном счете ему удалось доказать это. Первый пример, ко-
торый мы рассмотрим, возвращает нас назад, в 1949, к русским ма-
тематикам В. И. Нeмыцкому и В. В. Степанову, имел четыре степени
свободы, но в конечном счете и в трехмерном пространстве позволял
получить то же самое, что и в пространстве четырех измерений.
Мы начнем не с bona fide2 динамической системы, а сначала пра-
вильно выделим их фундаментальную идею, чтобы потом можно было
заботиться о технических деталях.
В подлинной динамической системе время течет непрерывно от ми-
нус бесконечности до плюс бесконечности и проходит через все проме-
жуточные значения. В нашей лишённой промежуточных значений мо-
дели системы время задается значениями равной величины 1, 2, 3,...
единиц. Здесь нет никаких значений между 1 и 2: нет времени 1 12
единиц, нет значения 1.22789 или чего-либо подобного. Только целые
числа: цифровые часы являются аналогом такого отсчета времени. Си-
стема будет переключаться из одного состояния в следующее при каж-
дом тике цифровых часов. Для описания таких систем применяется
специальный термин -- дискретная динамика. Ниже мы увидим, что
существует близкая связь между дискретной и подлинной непрерыв-
ной динамикой, которую математики широко используют.
Системой будет точка, двигающаяся по окружности. Для простоты
описания пусть угловая длина окружности в точности соответствует
единице. Тогда положение точки на этой окружности можно описать
числом, расположенным между 0 и 1, угловое расстояние в этих еди-
ницах циклически меняется по кругу от некоторого положения нуля.
2действительной. Прим. пер.

Странные аттракторы
137
В роли господина универсума, которую я выбрал для себя, я уста-
навливаю декретом, что точка должна повиноваться следующему ди-
намическому закону: если в данный момент ее положение x, тогда
в следующий момент времени оно должно стать равным 10x. Гео-
метрически это означает, что окружность растягивается в десять раз
и столько же раз обращается (закручивается) вокруг себя (Рис. 6.9).
Этот закон применяется в каждый момент обращения, поэтому точка
движется путем повторения итерации отображения
x→10x.
Рис. 6.9. Растягивание окружности и обращение (закручивание) ее 10 раз вокруг
себя (схематично)
Отображение - это просто правило, по которому x переходит в
нечто, описанное в терминах x , что изображается маленькой стрел-
кой. Мы уже выяснили, что термин "итерация" означает: повторение.

138
Странные аттракторы
Я собираюсь проследить, как точка, осуществляющая десятикрат-
ное обращение, выполняет итерации, используя минимальное число
деталей. Разделим окружность круга на десять равных секторов, по-
именованных 0, 1, 2, . . . , 9. Маршрутом точки на круге будем называть
перечисление секторов, которые она посещает, поскольку процедура
обращения повторяется.
В терминах угловых единиц измерения сектор 0 -- это интервал от
0 до 0.099999 ..., сектор 1 -- интервал от 0.1 до 0.199999. . ., и так далее.
Таким образом, точка со значением 0.25543786 располагается в секторе
2 и прошла уже большую половину пути.
Применяя это отображение, мы обращаем круг десять раз вокруг
себя и угловая длина его окружности возрастает в 10 раз. При этом
точка со значением 0.25543786 перемещается в 2.5543786. Проделаем
небольшую умственную работу. Одно обращение по кругу возвраща-
ет нас обратно в 0, и то же делают два полных обращения, поэтому
действительный результат это тот же самый угол 0.5543786. Он на-
ходится в секторе 5. Выполняя итерации отображения, мы наблюдаем:
Время 0 0.25543786
сектор 2
Время 1 2.5543786 =0.5543786 сектор 5
Время 2 5.543786 =0.543786 сектор 5
Время 3 5.43786 =0.43786 сектор 4
Время 4 4.3786
=0.3786 сектор 3
Время 5 3.786
=0.786
сектор 7
Время 6 7.86
=0.86
сектор 8
Время 7 8.6
=0.6
сектор 6
Время 8 6
=0.0
сектор 0
Далее получаем только 0, 0, 0,. . .. На каждой стадии выполняется
умножение на 10 и убирается первая цифра. Маршрут движения точки
A содержит, соответственно, дуги 2, 5, 5, 4, 3, 7, 8, 6, 0, 0, 0,. . .. Видели
ли вы эти числа прежде?
Да, это десятичные цифры после запятой именно той точки, с ко-
торой мы начали. И это не случайно. Если умножить число на десять
и отбросить первую цифру, то происходит смещение влево на одну де-
сятичную позицию. То же самое применимо к любой начальной точке.
Например, если начать с точки π/10 = 0.314159265. . ., тогда маршрут
поочередно будет включать сектора 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5,. . .. Динамика
воссоздает последовательные десятичные цифры числа π!

Странные аттракторы
139
Надеюсь вы согласитесь со мной, что эта кусочно-непрерывная
дискретная динамическая система является очень непосредственной
и несомненно детерминированной. Здесь не только есть точная фор-
мула для обращения точек x, а именно x → 10x, но эту формулу также
очень легко вычислить.
Следы хаоса
Первая особенность. Предположим, что начальная точка имеет деся-
тичное расширение точно такое же, как и число π, для первого милли-
арда десятичных цифр, но после этого всегда идет . . .1212121212. . .1
Назовем это новое число π . Оно очень близко к π, гораздо ближе, чем
достижимо при любом практическом измерении.
При итерации десятикратного обращения числа π и π имеют один
и тот же маршрут для первого миллиарда шагов. Но после этого точка
π осциллирует только между секторами 1 и 2, в то время как π про-
должает посещать любые сектора, какой бы миллиард последующих
цифр числа π мы не взяли. У меня нет никакой идеи по этому поводу,
но они определенно не 121212. . ..
Итак, два чрезвычайно близких друг к другу начальных условия π
и π ведут к полностью независимым результатам.
Вторая особенность. Предположим, я беру игральный кубик, на
плоскостях которого нанесены цифры от 1 до 6 и бросаю его бесконеч-
но большое количество раз случайным образом. Я заношу результаты
испытаний в бесконечный список, в котором будет что-нибудь вроде
1162541456522124366451432 . . . и так далее.
(Я получил эти цифры действительно подбрасывая кубик, так что это
совершенно типичный образец, однако у меня нет времени, чтобы со-
здать бесконечную последовательность.) Таким образом, имеется слу-
чайная последовательность чисел.
Существует некоторая точка на круге, содержащая данную после-
довательность десятичных знаков, а именно
x = 0.1162541456522124366451432 . . . .
Если я выполняю итерацию отображения, начав с x, то создаю случай-
ную последовательность. Таким образом, детерминированное отобра-

140
Странные аттракторы
жение, приложенное к этой частной начальной точке, создает после-
довательность, такую же случайную, как и бросание кости.
Третья особенность. "Почти все" числа в интервале от 0 до 1 име-
ют случайную последовательность цифр после запятой. Это доказано
известным американским математиком Грегори Чейтиным, который
изучал ограниченные перечисления. Это правдоподобно, если пока-
зать, что действительно выбранные "наугад" числа должны содержать
случайные цифры. Так что детерминированная динамическая систе-
ма, которую мы построили, ведет себя случайным образом не только
в нескольких таинственных начальных точках, но и почти всюду!
Четвертая особенность. Давайте зададим вопрос, когда маршрут
некоторой точки образует период, т. е. точно повторяется много раз.
Ответ: когда ее десятичные расширения повторяются. Имеется тео-
рема которая говорит, что такие числа в точности являются рацио-
нальными: они - точные доли дроби p/q, где p и q -- целые числа.
Между 0 и 1 существует бесконечно большое количество как рацио-
нальных (таких как 2/3 или 199/431), так и иррациональных чисел
(таких как π/10, √2 - 1). Они полностью перемешаны друг с другом:
между любыми двумя рациональными числами есть иррациональное
и наоборот. Поэтому начальные точки, которые ведут и не ведут к пе-
риодическим движениям, смешаны подобно муке и сахару в пироге.
Это означает, что все периодические точки неустойчивы: если слегка
возмутить их, то они перестают быть периодическими. В действитель-
ности, все возможные движения неустойчивы!
Кстати, не думайте, что рациональные и иррациональные числа
чередуются на стандартном интервале, описанном выше. Напротив,
"большую часть"их составляют иррациональные числа, а рациональ-
ные очень и очень редки.
Странно.
Конечно, вы можете возразить, что это довольно тривиальное пре-
образование. Реальные динамические системы ведут себя иначе. Ска-
жем, в этой системе отличные друг от друга начальные точки 0.42 и
0.52 переходят в одну и ту же точку 0.2, a в подлинной динамической
системе различные точки никогда не сливаются при движении. Поэто-
му описанное странное поведение, это всего лишь артефакт нелепого,
искусственного способа изучения динамики. Верно?
Нет неверно.

Странные аттракторы
141
Сечения Пуанкаре
Чтобы понять почему это так, мы должны рассмотреть фундаменталь-
ную идею Пуанкаре иначе. Как уже упоминалось, можно обнаружить
периодические решения, рассматривая сечения пространств.
Рассмотрим систему на плоскости, содержащую устойчивый пре-
дельный цикл. Вспомним, что это замкнутая петля, а близлежащие
точки двигаются к ней. Тополог назвал бы ее периодическим аттрак-
тором. Нарисуем отрезок прямой линии, пересекающий предельный
цикл (Рис. 6.10). Взяв точку на этом отрезке, проследим её динами-
ческий путь и отметим новую точку, в которой он пересечет отрезок.
Если точка лежит на предельном цикле, то новая точка совпадет со
старой, в противном случае при каждом обороте она будет смещаться
к предельному циклу.
Рис. 6.10. Сечение Пуанкаре (пунктир), рассекающее предельный цикл (жирная
линия): начальные точки на сечении Пуанкаре после первого возврата смещаются
к предельному циклу.
Таким образом, средство "проследи движение точки до тех пор,
пока она вновь не пересечет отрезок" определяет отображение этого
отрезка на себя, которое сжимает его к точке, через которую проходит

142
Странные аттракторы
предельный цикл. Вы, вероятно, слышали о "точка невозврата" 3, но
здесь это точка первого возврата. Если вы выполняете отображение
много раз, то при первой итерации возникает первый возврат, затем
второй, третий... . Вы отбираете образцы полной динамики через ре-
гулярные интервалы времени. Инженер--электронщик назвал бы это
"стробоскопической выборкой". Она применяется для проверки ско-
рости вращения в вашем hi-fi4 проигрывателе: выборка при этом осу-
ществляется периодически включающимся и выключающимся светом,
который освещает метки, помещенные на крутящемся диске.
Теперь возьмем другую систему, где возможно есть предельный
цикл, но мы об этом пока не знаем. Предположим, что имеется таклй
отрезок прямой линии в фазовом пространстве, что каждая начальная
точка, взятая на нем, в конечном счете вновь пересекает его. Допустим,
что предельный цикл в этой системе существует.
Я утверждаю, что должен существовать по крайней мере один пре-
дельный цикл, проходящий через этот отрезок. Причиной этого явля-
ется известная теорема топологии: каждое непрерывное отображение
отрезка прямой линии на себя имеет по крайней мере одну неподвиж-
ную точку, которая отображается в себя.
Идея моего утверждения вытекает из этого доказательства и чем-
то напоминает его. Левый конец отрезка отображается в некоторую
точку. Если эта точка -- левый конец, тогда он и есть неподвижная
точка, иначе левый конец сдвигается вправо, а правый конец, по ана-
логии, -- влево. поэтому весь отрезок преобразуется внутри себя.
Рассмотрим отрезок слева направо. Точки левого конца смещают-
ся вправо, а точки, находящиеся справа, сдвигаются влево. Между
ними должно быть место, где движение изменяется с правостороннего
на левостороннее. Единственное такое место при непрерывном изме-
нении движения является нулем. Если я двигаюсь по дороге и, чтобы
начать движение, поворачиваю направо, и позже, чтобы остановиться,
я сворачиваю влево, тогда в течение некоторого времени я должен дви-
гаться прямо вперед. (Таких мест может быть много на пути, изоби-
лующем Z-изгибами. Я должен выпрямлять движение моментально,
по крайней мере, между текущим изгибом и следующим.)
3Это такое положение корабля, при котором возврат становится невозможным из-за
нехватки горючего. Прим. пер.
4Высокоточная аппаратура высшего класса. Прим. пер.

Странные аттракторы
143
Таким образом, позвольте резюмировать сказанное. Если есть та-
кой отрезок прямой линии, что каждая начинающаяся на нем точка в
конечном счете возвращается, тогда существует по крайней мере одно
периодическое решение, проходящее через этот отрезок.
Оставим в стороне трудную проблему обнаружения такого отрезка.
Известно, что для этого есть замечательная теорема. Наличие такого
отрезка не зависит от детальной динамики.
При доказательстве этой теоремы используется непрерывность по-
тока общая особенность динамики жидкости. Это все, что в дан-
ном случае необходимо. Таким образом, мы выяснили сущность ка-
чественной динамики, используя топологический факт для получения
динамического результата. Топологический факт: "каждое непрерыв-
ное отображение интервала на себя имеет неподвижную точку". Ди-
намический результат5 -- существование периодического движения на
подходящем отрезке.
Как уже упоминалось, отрезок такого типа называется сечением
Пуанкаре, а соответствующее отображение -- это отображение Пу-
анкаре. Такая идея применима и к пространству трех измерений, но
теперь отрезок представляется некоторым участком поверхности. Ти-
пично, когда этот участок является топологическим диском, т. е. пред-
ставляет собой маленькую заплатку без каких-либо отверстий. Отоб-
ражение такого диска на себя может быть очень сложным (Рис. 6.11).
Тем не менее, в топологии и для этого случая имеется общая теорема об
отображении диска на себя: это отображение должно содержать непо-
движную точку. Трехмерный поток, который имеет сечение Пуанкаре
в форме диска, должен иметь периодическую траекторию, проходя-
щую через этот диск.
В действительности существует также n-мерная версия этой теоре-
мы. Сечение Пуанкаре в этом случае является (n - 1)--мерным гипер-
диском. Этот довольно трудный результат назван теоремой Брауэра о
неподвижной точке. Теорема утверждает, что хотя бы одна периоди-
ческая траектория должна проходить через такой гипердиск.
Топология, как я уже говорил, является очень мощной.
Она также изменяет акценты. Если дана динамическая система,
скажем, такая как движение сливы в чашке овсянки, которую мешает
маленький медвежонок Мишка и возникает вопрос: "имеется ли здесь
5В оригинале вероятно опечатка, там сказано топологический факт. Прим. пер.

144
Странные аттракторы
Рис. 6.11. В двух измерениях сечение Пуанкаре может быть очень сложным.
В приводимом здеь аттаракторе Уеда точки вихря скорее похожи на поверхность
чашки при размешивании кофе. (Воспроизводится с разрешения "Джон Вилей &
Сыновья")
периодическое решение?", то вместо решения уравнений и их после-
дующего исследования на периодичность следует искать сечение Пу-
анкаре. "Следует повторять мое отображение Пуанкаре", сказала бы
мама Медведица. Нетрудно представить, что математическая методы,
применяемые в этих случаях, являются совершенно различными.
Надстроенные соленоиды6
Как использовать десятикратное обращение круга для представления
динамики? Смейл понял, что нужно работать с сечением Пуанкаре
наоборот. Пусть данная часть поверхности это топологический диск,
который является отображением некоторой поверхности на себя. Тогда
исходная динамическая система такова, что в ней этот диск является
сечением Пуанкаре, а "первый возврат начальным отображением.
6Оригинальное название Solenoids in Suspenzion. Прим. пер.

Странные аттракторы
145
Чтобы осуществить это, мы вводим новое "измерение", напомина-
ющее круг, разрезающий диск под прямым углом. Начальная точка
на диске вытекает из него, проходит вокруг этого круга, а затем, при
новом пересечении диска, она делает это так, как предписывается ори-
гинальным отображением диска на себя. Этот трюк получил название
надстройки (Рис. 6.12). Такой подход к явлению естественен для топо-
лога, задающего общие вопросы о n-мерных потоках, но он непригоден
для химика, старающегося осмыслить динамику взрыва нитроглице-
рина. Во всяком случае, при желании для него можно записать диффе-
ренциальное уравнение. В науке обычно начинают с физической про-
блемы и приходят к дифференциальному уравнению. Однако Смейл
продвигался вперед проектированием дифференциальных уравнений.
Возникнув, этот предмет никогда не оставался тем же самым.
Рис. 6.12. Надстройка: математический трюк, превращающий отображение
(слева) в поток в пространстве более высокой размерности (справа).
Резюмируя сказанное, отметим: все, что можно увидеть в отоб-
ражении n-мерного пространства, может быть также отмечено и в
(n + 1)--мерном потоке. Поэтому лучший способ научиться понимать
потоки размерности (n + 1) состoит в рассмотрении n-мерного отоб-
ражения. В частности, недостаточно ясные трехмерные потоки при
этом превращаются в более понятные двумерные отображения. По-
добным же образом четырехмерные потоки, с которыми необходимо
работать еще более интенсивно и просто думать о них, преобразуются
в трехмерные отображения, которые, по меньшей мере, можно нагляд-
но изобразить.
Поэтому вместо исследования четырехмерных потоков, Смейл рас-
сматривал неортодоксальное отображение в пространстве трех изме-
рений, которое имело сходные свойства с нашим повторяющимся отоб-
ражением круга. Это и есть то, что он нашел.

146
Странные аттракторы
В качестве сечения Пуанкаре возьмем внутренность твердого то-
ра. Это пончик в американском стиле, с дыркой. Обычно он состоит
из теста, но на этот раз мы говорим не только о поверхности тора.
Определим отображение тора на себя следующим образом. Вытянем
его из себя на десятикратную длину окружности, скатаем в тонкую
нить и поместим обратно, обернув десять раз вокруг оси без наложе-
ний, то есть так, чтобы она прошла через каждую точку не больше
одного раза (Рис. 6.13). (Математики обычно употребляют число 2 го-
раздо чаще, чем 10, но чтобы увидеть происходящее, следует и думать
в двоичной системе. Я немного поправил эту историю, чтобы облег-
чить понимание.)
Рис. 6.13. Десятикратное закручивание, примененное к твердому тору, что-
бы исключить самопересечения. Так как тор это трехмерная фигура, то здесь
оставлено место для ещё одного оборота, чтобы выполнить его также без самопе-
ресечений.

Странные аттракторы
147
Вообразите повторение такого преобразования пончика. При сле-
дующем обращении к процедуре, он станет еще более тонким и закру-
тится вокруг себя 100 раз, затем 1 000, 10 000, и так далее.
Что же получится, если делать это достаточно долго? Некое по-
добие бесконечно тонкой линии, закрученной бесконечное количество
раз вокруг тора. Мы будем исследовать это утверждение на скрытые
ошибки чуть позже, а пока такое представление будем считать близ-
ким к истинному. Существует электрическое устройство, называемое
соленоидом, в котором километры медного провода закручены вокруг
металлического стержня для образования электромагнита. Математи-
ки заимствовали это название для построения Смейла.
Два именитых теоретика динамических систем, мои коллеги, об-
суждали все эти вопросы в одном американском баре, размахивая ру-
ками для наглядного изображения закручивания и оживленно болтая.
"Эге, -- сказал бармен, -- должно быть вы говорите о соленоидах!" Та-
кого начала они совершенно не ожидали. Был ли бармен студентом--
дипломником в области математики, работающим и параллельно обу-
чающимся в колледже? Оказалось, что раньше он служил на флоте и
сказанное им касалось реального электрического соленоида.
По крайней мере, эта история показывает, что "соленоид" -- вполне
подходящее в данном случае название.
Как бы то ни было, но мы таким образом получаем некоторое
ненормальное отображение твердого тора в трехмерном пространстве.
Теперь мы погружаем наши руки в топологическую шляпу и извлека-
ем кролика. Надстройте отображение соленоида Смайла и получится
поток в четырехмерном пространстве, где его ненормальное7 отобра-
жение является сечением Пуанкаре.
Если не использовать такой метод для представления простран-
ства четырех измерений, то возникает неверная картина. Вообразим
точку, начинающую движение из куска теста в пространстве трех из-
мерений и продолжающую свое движение в нем до завершения. Но
это невозможно. На самом деле движение происходит вне трехмерного
пространства, каждая точка проходит через кусок теста, немедленно
обворачивается вокруг него, пребывая при этом целиком в новом из-
мерении, а затем снова пересекает тесто в каком-либо другом месте.
Например, если время используется в качестве четвертого измерения,
7Авторский эпитет crazy. Прим. пер.

148
Странные аттракторы
то можно путешествовать во времени из прошлого в будущее, но при
этом вы немедленно удаляетесь из трехмерного представленния.
Если итерации отображения тора на себя выполняются много раз,
то все начальные точки все более приближаются к соленоиду. Поэто-
му соленоид аттрактор для динамики в сечении Пуанкаре. Поэтому
надстройка соленоида т.е. то, что получается, когда в модель встра-
ивается дополнительное измерение, является аттрактором для пол-
ного четырехмерного потока.
Кроме того, это отображение структурно устойчиво. Чтобы убе-
диться в этом, вообразим, что мы немного возмутили отображение
закручивания. Результат будет выглядеть почти так же. Невозможно
непрерывно изменять отображение, вытягивая не десять, а, скажем,
девять или одинадцать раз. Для непрерывности такого преобразова-
ния, например при вытягивании от десяти до одиннадцати раз, нужно
проходить через десять с половиной вытягиваний, но нет способа обер-
нуть тор десять с половиной раз вокруг себя без его разрушения. Это
означает, что динамика после внесения небольшого возмущения в фор-
му отображения топологически остается той же самай, а это как раз
и еcть то, что называется "структурной устойчивостью".
Наконец, соленоид это не точка и не круг. Поэтому он не может
быть ни одним из традиционных, типичных аттракторов. Два матема-
тика, Флорис Такенс и Дэвид Рюэль дали имя новому типу аттракто-
ра. Структурно устойчивый аттрактор, который не принадлежит ни к
одному из классических типов и не является точкой или кругом, на-
зывается странным аттрактором. Это название декларация неве-
жества: если математики называют нечто "патологическим", "непра-
вильным", "странным", или чем-либо подобным, то они признают, что
"не понимают эту проклятую вещь". Однако это также флаг, несущий
сообщение: я может быть не понимаю это, но оно кажется мне
важным.
Сыр Кантора
Соленоид не является таким ненормальным, как кажется. Он имеет
иное происхождение, это не хорошая классическая точка, или круг.
Рассмотрим его ненормальность немного подробнее, так как она свя-
зана с нашей следующей темой. Соответствующий объект известен как

Странные аттракторы
149
множество Кантора (Рис. 6), хотя он был обнаружен Генри Смитом в
1875. (Основатель теории множеств Георг Кантор использовал резуль-
таты Смита в 1883. "Множество Смита" не звучит так внушительно,
не правда ли?) Множество Кантора -- это интервал, созданный "мыша-
ми". Бесконечно много исчезающе малых "мышей" растаскивают все
уменьшающиеся кусочки.
При менее красочном построении множества Кантора мы начина-
ем с интервала длины 1 и удаляем его среднюю треть (но оставляем
её концевые точки). С оставшимися двумя интервалами в одну треть
длиной поступаем аналогичным образом: удаляем их средние трети.
Затем, повторяя этот процесс, получаем все более короткие интерва-
лы. В пределе, когда процедура построения повторяется бесконечное
число раз, получаем множество Кантора.
Сначала кажется, что вообще ничего не останется. Однако точки,
например 1/3 и 2/3, ограничивают удаленный интервал, а также точки
1/9 и 2/9, 7/9, и 8/9. Все концевые точки удаленных сегментов оста-
ются. То же имеет место и для многих других точек, когда настает их
черед. Эта процедура включает разложение в ряд, содержащий число
3. Если вам нравятся такие упражнения, то проверьте, сможете ли вы
точно указать точки, образующие множество Кантора.
Общая длина удаленных интервалов 1, такова же первоначальная
длина интервала, с которой мы начали. Поэтому в некотором смыс-
ле "длина" множества Кантора равна нулю! Это очевидно, поскольку
множество Кантора в основном состоит из дырок, оно скорее пыль,
чем интервал.
Имеются также другие конструкции, завершающиеся сходным об-
разом, они топологически эквивалентны множеству Кантора. Один из
наиболее интересных примеров такого рода первоначально имеет фор-
му круглого диска. Затем этот диск удаляется, остаются два меньших
диска (Рис. 6.15). Они напоминают пуговицу с двумя отверстиями для
нитки, которая придерживает пуговицу и не позволяет ей упасть. По-
вторим это построение на каждом меньшем диске и будем повторять
его, а затем перейдем к пределу. Может быть это не очевидно, но такое
множество является всего лишь скрытым множеством Кантора. Я на-
зываю его сыром Кантора. Оно тоже может быть получено "мышами".
Тот же самое истинно, если вы делаете по три отверстия на каждом
шаге, или десять. Да, -- соглашаюсь, -- это неожиданно, что все они

150
Странные аттракторы

Странные аттракторы
151
Рис. 6.15. Сыр Кантора: альтернативная конструкция, топологически эквива-
лентная множеству Кантора и использующая пару кругов.
топологически дают один и тот же результат, но топология -- очень
гибкий инструмент, и она оставляет много места для маневра. Вы мо-
жете найти строгие доказательства этого в книгах по топологии, и они
составляют ее суть.
Сыр Кантора, содержащий десять отверстий, характеризующих его
разнообразие, помещается внутри соленоида. Вообразите разрезание
пончика, чтобы получить круг. Мы закручиваем пончик вокруг себя
десять раз и разрезаем его на десять меньших кругов. На следующем
шаге возникает сотня меньших кругов, и так далее: точно та же самая
процедура. Так что соленоид содержит сыр Кантора в качестве попе-
речного сечения. Это наглядно подтверждает, что полученный объект
не точка и не круг!

152
Странные аттракторы
Подлинный Хаос
Обогатив свой арсенал соленоидом, мы теперь готовы к неожиданному
открытию. Отображение десятикратного закручивания имеет не толь-
ко четыре любопытных свойства: чувствительность к начальным усло-
виям, существование случайных маршрутов, широкое распростране-
ние случайных путей и смесь периодичность/апериодичность, но так
же ведет себя соленоид и соответствующее дифференциальное урав-
нение.
Здесь возникает серьезный философский вопрос. Предположим,
что имеется физический процесс, который моделируется таким урав-
нением. В духе классической прикладной математики для его реше-
ния необходимо задать так называемые начальные условия: указать
начальную точку и предсказать долговременное поведение решения.
Конкретный ответ на этот вопрос таков: Это можно сделать, ес-
ли задать начальную точку с бесконечной точностью. Необходимы все
десятичные цифры весь путь, ведущий в бесконечность. Необходим
не только первый миллиард цифр -- они никоим образом непредстави-
тельны для этого дела после миллиарда итераций. Нужна масса .
Однако указать их практически невозможно. Точность в десять
цифр это лучшее, чего можно достигнуть в подавляющем большин-
стве экспериментов.
В некотором смысле точность в десять цифр ничего не говорит нам
о долгосрочном поведении. Если задать только десять цифр, то можно
найти начальную точку, которая согласуется с ними, но после этого
она будет вести себя произвольным образом: запишем цифру 7 после
известных цифр, имитируем число π, занесем каждую пятую цифру из
числа √2, занесем последовательность простых чисел, начинающихся
с цифры 6 или занесем в этот список цены всех акций и облигаций из
Файнэншнл Таймс, стоимостью свыше 100, начиная с 25 апреля 1963
и пр. Если вы хотите получить большую прибыль в Сити, то все,
что вам необходимо, так это правильно выбрать начальную точку.
Эта модель с экспериментальной точностью предсказывает все воз-
можные маршруты, ограниченные первыми десятью цифрами. Долго-
срочное поведение полностью неопределено.
С другой стороны, какая модель может быть более детерминиро-
ванной, чем "сдвигающая по одной цифре"?

Странные аттракторы
153
Обличительный диалог
Если вам не нравится идея хаоса, то имеется только одна надежда.
СКЕПТИК: Смотри, этот парень, придумавший дифференциальные
уравнения Смейла, делает все очень хорошо, но реальный мир не
ведет себя подобным образом.
ХАОСОФ: Если структурная устойчивость существует в математи-
ке, то она возникает и в природе.
СКЕПТИК: Тогда почему я не вижу каких-либо уравнений, описы-
вающих ее?
ХАОСОФ: Потому что вы ищете регулярное поведение. Нет физика,
который, столкнувшись с подобными уравнениями, не опублико-
вал бы их.
СКЕПТИК: Хорошо, но тогда что можно сказать об экспериментах?
Вы ведь связываете наблюдение такого поведения с эксперимен-
том!
ХАОСОФ: Однако вы их делаете все время. К сожалению, здесь есть
препятствие. Знаете ли вы хоть одного экспериментатора, кото-
рый опубликовал бы итоги своей деятельности со словами "Я
получил полностью случайные результаты?"
СКЕПТИК: Ммм, вы заостряете внимание на этом. Однако факт
отается фактом: вы никогда не сможете убедить работающих
ученых, что хаос существует, пока не покажете его наличие в
природе.
ХАОСОФ: Я согласен. Мы работаем в этом направлении. Это нелег-
ко и вы об этом знаете. Мы прокладываем совершенно новый
путь в науке, размышляя о динамике. Это трудно. Однако все,
что кажется нам естественным, имеется в математике и наоборот.
Если мы не найдем хаос, я буду удивлен.
СКЕПТИК: Я буду удивлен не меньше, если вы найдете его!

Глава 7
Фабрика погоды
Разрешите хаос шторма!
Дайте облакам толпиться!
Жду я форму.
Роберт Фрост. Упрямство.
Покажите, пример хаоса в природе . Это возражение долго было
главным аргументом cкептиков. Топологи 1970-ых годов полагали, что
найти хаос удастся не скоро, но он был найден еще в 1963 году, хотя
ни топологи, ни физики долго ничего об этом не знали.
Славная неудача
В 1922 Льюис Фрай Ричардсон, неортодоксальный изобретатель полу-
сырых идей, чье имя известно как в истории прикладных динамиче-
ских систем, так и за ее пределами, опубликовал Предсказание пого-
ды численным методом -- отчет о славном провале этого дела. В нем
Ричардсон описал свою попытку использовать математику для пред-
сказания погоды. В конце этого отчета он нарисовал фантастическую
картину будущего -- фабрику погоды. Он представил целую армию лю-
дей, размещенных в обширном здании, напоминающем Альберт Холл,
и оперирующих настольными калькуляторами. (Для тех, кто слишком
молод, чтобы видеть такие машины, скажу, что они напоминали кассо-
вый аппарат с ручным приводом, в котором при выполнении операций
нельзя видеть счетчика. Внешне он похож на небольшую коробку с за-
кругленными краями. Скользящие уровни позволяют набирать циф-
ры тех чисел, с которыми нужно производить вычисления и вращать
ручку один раз, чтобы сложить, и много раз, чтобы умножить. Вычи-
тание -- это вращение в обратном направлении, а деление выполняется
повторным вычитанием.) Математический руководитель вычислений
на центральном пульте объединяет усилия работающих, а они связы-
ваются друг с другом по телеграфу, с помощью мигающих ламп и по

7. Фабрика погоды
155
пневматическим трубам. Чтобы предсказать погоду c той самой скоро-
стью, с которой она фактически меняется, то есть "в режиме реального
времени", как сегодня говорят о такой работе компьютеров, по оценке
Ричардсона необходим персонал в 64 тысячи человек.
В своем отчете он предрек, что в туманном будущем возможно на-
станет день, когда люди смогут выполнять вычисления быстрее, чем
происходят реальные перемены погоды, a стоить эти вычисления бу-
дут меньше, чем та экономия, которая будет обеспечена человечеству
благодаря полученной информации .
Это была мечта и это были пророческие слова. Туманное будущее
наступило спустя менее, чем тридцать лет. В 1950 американский ком-
пьютер ЭНИВАК (ENIAC) сделал первые успешные вычисления для
предсказания погоды, а в 1953 машина Princeton MANIAC наглядно
показала, что весь цикл вычислений, необходимый для обычного пред-
сказания погоды, полностью выполним на компьютере.
Однако предсказать погоду -- это одна сторона вопроса, а предска-
зать ее правильно -- совсем другая.
Климатические шахматы
Игра в шахматы состоит в движении ряда фигур по полю, разделенно-
му на квадраты. Движение фигур осуществляется через дискретные
интервалы времени в соответствии с правилами игры.
Численное предсказание погоды напоминает игру в огромные трех-
мерные шахматы. Представьте себе частую сетку точек, расположен-
ных на разных на разных высотах по всей поверхности Земли так,
чтобы проследить изменения в атмосфере снизу вверх, с севера на юг
и с востока на запад. Это -- наша шахматная доска. Погода на ней
описана численными значениями, измеренными в каждом узле сетки:
давлением, температурой, влажностью, скоростью ветра и осадками.
Они представляют шахматные позиции.
Тогда погода на завтра соответствует следующей позиции в игре,
но положения фигур могут быть различными: "Циклон рыцаря коро-
левы 743", "Снежная буря короля Лина", "Ливни с солнечными ин-
тервалами епископа Стаффордского". Сегодня мы знаем конкретные
значение погоды благодаря метеостанциям, судам, метеорологическим
зондам и спутниковым снимкам. И нам остается только ответить на
самый главный вопрос: каковы же правила игры?

156
7. Фабрика погоды
Правила это уравнения движения атмосферы. Как мы виде-
ли, подобные уравнения были найдены еще столетия назад, благодаря
склонности к этому Леонарда Эйлера и Даниила Бернулли. Если вре-
мя изменяется очень небольшими дискретными шагами, то уравнения
могут рассматриваться как правила, позволяющие перейти от текуще-
го момента к следующему, скажем, спустя одну секунду.
Предсказание погоды на одну секунду практически не позволяет
решить эту трудную для человечества проблему, но, очевидно, пред-
ставляют определенный ход в такой игре. Повторяя вычисление, по-
лучаем уже две секунды, после 86 400 итераций -- погоду на день, а
после 8 640 000 -- на сто дней вперед. Тогда после 8 640 000 000. . ..
Однако, в сущности, мы говорим только о способе выполнения вы-
числений. Нужно сделать многие тысячи повторных итераций, осно-
ванных на явных и детерминированных правилах... Был бы только
достаточно хороший компьютер.
Между нулем и бесконечностью
С прогнозом погоды связана философская проблематика. Дело в том,
что атмосфера не есть действительный, бесконечно делимый конти-
нуум, она образована массой довольно твердых маленьких атомов, по-
груженных в среду своих аналогов и движущихся неопределенным об-
разом, налетая время от времени друг на друга, подобно лунатикам.
Уравнения классической механики заменяют эту дискретную физиче-
скую действительность гладкой идеальной жидкостью, но чтобы ре-
шить эти уравнения, необходимо снова перейти к дискретному при-
ближению. При этом время начинает идти небольшими, но не непре-
рывными, шагами, а пространство разделяется на участки правильной
сеткой. К этому нас вынуждает структура компьютеров: они могут вы-
полнять арифметические действия только с некоторым определенным
числом десятичных цифр, скажем с десятью. В этом случае каждое
целое число складывается из 0.0000000001. Чтобы представить беско-
нечное десятичное число точно, требуется бесконечно много компью-
терной памяти, а это невыполнимо.
Философская точка зрения состоит в том, что дискретная компью-
терная модель, которую мы только что описали, не есть та же самая
дискретная модель, которая определяется атомной физикой. Для это-

7. Фабрика погоды
157
го существует очень много практических причин: число переменных в
атомной модел намного превосходит возможности компьютеров, и нет
способа проследить траекторию каждого отдельного атома.
Компьютеры могут работать только с небольшим числом частиц,
а механика континуума требует бесконечно большого их числа. Таким
образом, либо нуль, либо бесконечность, а природа-мать четко про-
скальзывает в промежуток между ними.
Поэтому мы делаем лучшее из возможного. Математики надеят-
ся, что подобная двойная аппроксимация дает возможность получать
ответы, которые являются близкими к реальным, хотя для этого нет
каких-либо обстоятельных теоретических доказательств. Тем не менее,
довольно очевидно, что такое представление работает. Пока некий ге-
ний разрабатывает новые теоретические инструменты, мы полагаемся
на чудо и продвигаемся вперед независимо от него.
Таким образом, можно сформулировать важное замечание: при
"постановке задачи" для компьютера создается некоторая идеализа-
ция, основанная на учете как специфики задачи, так и возможностей
компьютера. Это -- одна из причин, по которой компьютер никогда
не сможет стать универсальным поллиативом1 для болезней науки и
общества. К тому же компьтеры еще недостаточно умны.
Мегафлоп
Вычисления для прогноза погоды должны выполняться с головокру-
жительной быстротой. Скорость суперкомпьютера измеряется в ме-
гафлопах один мегафлоп соответствует одному миллиону арифме-
тических операций в секунду. Крей X-MP2, суперкомпьютер из Евро-
пейского центра в Рединге (Великобритания), для предсказания по-
годы средней срочности работает со скоростью около 800 мегафлопов
(Рис. 7.1). Он способен рассчитать погоду на завтра для всего север-
ного полушария приблизительно за полчаса. Каждый день он делает
десять однодневных предсказаний, вычисляя прогноз для северного
полушария на полторы недели вперед. Предсказания, как правило,
точны приблизительно только первые четыре дня, а затем они доволь-
но заметно отклоняются от реальной погоды.
1То есть универсальным средством решения проблем. Прим. пер.
2В оригинале Cray X-MP. Прим. пер.

158
7. Фабрика погоды
Рис. 7.1. Крей X-MP суперкомпьютер, производительностью 800 миллионов
операций в секунду. (С разрешения Cray Research Inc.)
Другая любопытная особенность метода заслуживает отдельного
рассмотрения. На первый взгляд наиболее правильные предсказания
можно получить, используя самые точные уравнения. Однако полная
и точная модель должна включать не только крупномасштабные по-
годные явления, но и звуковые волны в атмосфере. А решения для
звуковых волн играют скверную шутку с дискретной аппроксимацией,
используемой в компьютерах. Она называется численной неустойчи-
востью. Это значит, что ошибки в вычислении (не ошибки работы ком-
пьютера, а ошибки, обусловленные ограниченной точностью выпол-
нения арифметических операций, когда нет, например, возможности
указать различие между 0.00000000001 и нулем) растут очень быст-
ро и уничтожают действительную точность расчета погоды! Решение,
предложенное Жюли Чарни из Массачусетского технологического ин-
ститута в 1944, является искусным и неожиданным. Её модель предна-

7. Фабрика погоды
159
меренно загрублена, чтобы отфильтровать звуковые волны. При этом
используются не самые точные уравнения, а наоборот, менее точные,
чтобы придать им желательные свойства.
Однако это не наш предмет для того, чтобы углублятся в детали.
Как я уже сказал, расчет делается на "четыре дня вперед". Конеч-
но существуют долгосрочные прогнозы, но едва ли прогноз станет
лучше, если в его основу положить предположение о сходстве состо-
яний погоды в этом и прошлом году. Главный дефект существующих
методов прогноза погоды в том, что они не очень хороши для предска-
зания внезапных изменений состояний погоды. Когда я посетил Евро-
пейский центр предсказания погоды средней срочности, мне сказали:
Мы можем предсказать погоду достаточно точно, если она не сделает
чего-нибудь неожиданного .
Рис. 7.2. Когда синоптики ошибаются... Ковент Гарден опустошен "ураганом"
15 октября 1987 года.

160
7. Фабрика погоды
В четверг, 15 октября 1987, Англия испытала такой ужасный шторм,
которого не было с 1703. Его можно было бы назвать ураганом, но
ураганы не достигают Англии. Телевизионную службу погоды постиг
мрачный провал, поскольку она не только не сумела предсказать шторм,
но даже не предупредила о нем своевременно, за период меньший су-
ток. В следующий понедельник газета Гардиан поместила статью Эн-
дрю Ранслея под заголовком "Компьютер от погоды":
Самый преступный из известных плохих прогнозов погоды,
сделан прошлой ночью в маленьком городке Беркшир.
Ввиду отсутствия таких ужасных штормов за последние
285 лет, без видимого стыда нас продолжают накачивать
предсказаниями легких ливней, солнечных периодов и уме-
ренных ветров со скоростью один прогноз в минуту.
Ответ всей силе десятков заголовков - почему мы не бы-
ли предупреждены? должен дать управляющий дан-
ными цифропожиратель Сайбер 2053 из Метеорологиче-
ского Центра в Беркли. Согласно предварительной оценке,
сделанной вчера дежурным синоптиком, в настоящее время
он является наиболее ненавистным компьютером в Англии.
По словам операторов, Сайбер производит 400 миллионов
операций в секунду и может выполнить суточный мировой
прогноз по 15 высотным уровням за пять минут. К сожа-
лению, он пропустил худший за весь период с 1703 года
шторм, указав направление для него на 80 миль восточ-
нее, через Северное Море, в то время как реальные собы-
тия произошли в Южной Англии. Очень жаль, что он
стал перемещаться неправильно , согласился официаль-
ный представитель Метеорологической cлужбы.
Никто, видимо, не знает почему это произошло. Он воз-
ник на правом краю в начале недели , -- сообщил вчера
один предсказатель из Центра Погоды Лондона. -- Вначале,
во вторник, он имел форму депрессии справа по курсу сво-
его движения, а затем изменил свое направление .
3В оригинале Cyber 205. Прим. пер.

7. Фабрика погоды
161
После сильных ветров, дувших в течение недели, я пола-
гал, что сильные ветры будут продолжаться и в четверг,
-- сообщил компьютер, если его высказывания перевести на
синоптический язык. -- У нас были сомнения, но мы долж-
ны были придерживаться общей линии .
Не менее мощный компьютер Крей 1 находится в Рединге,
это самый большой конкурент Сайбера. При использова-
нии тех же самых данных со спутников, наземных радаров,
торговых судов и синоптических воздушных шаров Крей из
Европейского центра прогнозов погоды средней срочности
предсказал в данном случае свирепые ветра.
Внутреннее расследование в Метеорологическом центре по
поводу печального итога работы Сайбера старается понять,
отчего он стал перемещаться неправильно. Трудно ска-
зать, -- сообщил один из 10 операторов Сайбера вчера.
--
Возможно небольшое количество информации, получен-
ной компьютером, не должно было поступить. Прошлые
триумфы среднесрочных прогнозов Сайбера 205 включают,
видимо, и снег в июле.
Имеются планы заменить его , -- сообщил один из работ-
ников центра. Другие сплотились, стараясь защитить Сай-
бер.
-- Депрессии часто непредсказуемы , -- сказал один
прогнозист. -- Они могут быть очень капризными .
Будущие исследования, вероятно, смогут преодолеть эти трудно-
сти, но теоретические соображения позволяют понять, что имеются
присущие явлению ограничения точности, с которой можно предска-
зать погоду. Четыре или пять дней, возможно неделя, но не больше.
Посмотрите слова в словаре.
Mega: большая.
Flop: неудача.
Сердце математика
Теперь я перехожу к началу истории и возвращаюсь в 1963. В этом
году Эдвард Лоренц из Массачусетского Технологического института

162
7. Фабрика погоды
опубликовал работу под названием Детерминированный непериоди-
ческий поток. Лоренц пришел к этой идее, будучи математиком, но
вмешалась Вторая мировая война и он стал метеорологом, по крайней
мере, сам он так считал. В действительности, в своем сердце, он оста-
вался математиком. (Математика подобна пагубной привычке, или бо-
лезни: при всем желании от нее нельзя избавиться.) Позвольте проци-
тировать аннотацию, где Лоренц суммирует свои результаты.
Конечные системы детерминированных нелинейных обык-
новенных дифференциальных уравнений могут быть ис-
пользованы для описания вынужденных диссипативных гид-
родинамических течений. Решения этих уравнений могут
быть идентифицированы по траекториям в фазовом про-
странстве. Для таких систем с ограниченными решения-
ми обнаружено, что непериодические решения как правило
неустойчивы относительно небольших возмущений, поэто-
му небольшие отличия в начальных состояниях могут пере-
водить их в существенно различные состояния. Показано,
что системы с ограниченными решениями могут обладать
лишь ограниченными численными решениями.
Простая система, описывающая ячеистую конвекцию, ре-
шена в цифровой форме. Все найденные решения неустой-
чивы и почти все они непериодические.
Исследована выполнимость долгосрочного прогноза пого-
ды в свете этих результатов.
Когда я читаю эти слова, я чувствую как мурашки пробегают по
моей шее и мои волосы поднимаются. Он знал! Двадцать четыре года
назад, он знал! И когда смотрю на это более пристально, то удивля-
юсь еще больше. Менее, чем на двенадцати страницах Лоренц пред-
восхитил несколько главных идей нелинейной динамики прежде, чем
они стали модными, прежде, чем кто-либо успел понять, что новые и
трудные для понимания явления, такие как хаос, существуют.
Лоренц, как я уже сказал, думал что он метеоролог, и, естественно,
он опубликовал свою работу в Журнале наук об атмосфере -- Journal
of the Atmospheric Sciences. Метеорологи, которые не имели математи-
ческих знаний или были знакомы только с традиционной математикой,

7. Фабрика погоды
163
действительно не понимали, что можно сделать с этим результатом.
Он не казался им особенно важным. Уравнения Лоренца были только
урезанной, обрубленной версией реальной физики, так что в целом его
представления считались, вероятно, абсурдными.
Ежегодно издается несколько тысяч научных журналов, большая
часть которых содержит тысячи страниц. Если вы много читаете, то
можете по публикациям поддерживать на относительно высоком уровне
только представления о вашей собственной области. Поэтому едва ли
весенний выпуск Goatstrangler's Gazette4 может содержать идею огром-
ной важности по теории динамических систем. То же самое можно
сказать и о тысяче других неизвестых журналов. Самым желанным
журналом, самым лучшим для вас является тот, который пишет об
известных вам вещах. Топологи, по чьим шеям несомненно бы побе-
жали мурашки, подобные моим, имели малую вероятность случайно
встретить конструктивный опус Лоренца, у них не было привычки
внимательно читать страницы Journal of the Atmospheric Sciences.
Так продолжалось около десяти лет, его публикация томилась во
мраке неизвестности. Лоренц знал, что он способен на нечто большее,
но это было до наступления его времени.
Давайте рассмотрим то, что он сделал.
Смелость его идей о конвекции
Горячий воздух поднимается.
Это движение известно как конвекция, благодаря которой возника-
ет много процессов, формирующих погоду. (Рис. 7.3). Грозовые облака
образуются благодаря конвекции, поэтому грозы обычно возникают в
жаркие влажные дни. Конвекция может быть устойчивой, когда более
теплый воздух медленно и стабильно поднимается вверх, или неустой-
чивой, когда слои атмосферы перемещаются друг отнотительно дру-
га более сложным образом. Неустойчивая конвекция гораздо интерес-
нее, она более характерна для погоды. Так как самым простым, по-
сле устойчивого, является периодическое поведение, то самой простой
формой неустойчивой конвекции является периодическое завихрение.
Изучение конвекции имеет долгую историю. Приблизительно в 1900
4Пример названия неизвестной газеты, которая приблизительно означает "Под вла-
стью Козерога" Прим. пер.

164
7. Фабрика погоды
Рис. 7.3. Конвективные ячейки, создаваемые горячими потоками воздуха.
Генри Бенар выполнил фундаментальный эксперимент, показавший,
что в тонком слое жидкости, подогреваемом снизу, могут возникать
ячейки конвекции, весьма похожие на пчелиные соты. Лорд Рейли со-
здал основную теорию начал конвекции. Однако всегда можно узнать
больше, и в 1962 B. Зальцман предложил уравнения для описания кон-
векции самого простого типа. Представьте вертикальный столб возду-
ха, теплый у основания и холодный наверху, и следите за конвекцией.
Возникает регулярный, разделенный промежутками вихрь, формиру-
ющий ячейки конвекции, периодически вращающиеся по кругу. Спо-
собом, типичным для классической прикладной математики, Зальц-
ман задал приближенную форму решения для такого вихря, ввел её
в уравнения, игнорируя некоторые громоздкие, но небольшие члены,
и принялся анализировать результат. Однако и эти сильно усеченные
уравнения были сложны для аналитического решения. Тогда он обра-
тился к компьютеру.
Работая с компьютером, он заметил, что решение подвергается нере-
гулярным колебаниям, характерным для неустойчивой конвекции, од-
нако колебания не были вполне периодическими.
Лоренц заинтересовался этим и решился последовать дальше. За-
метив, что только три из рассматриваемых Зальцманом переменных
играли роль в этом результате, Лоренц отбросил совсем все остальные.

7. Фабрика погоды
165
Это был совершенно бесцеремонный, но в высшей степени сознатель-
ный акт. Он получил систему уравнений, которая стала классической
теперь:
dx
dt = -10x+10y,
dy
dt = 28x-y-xz,
dz
dt = -83z+xy,
где x, y, z -- три ключевые переменные, t - время, и d/dt -- скорость
изменения. Константы 10 и 8/3 выбраны Зальцманом, а константа 28
представляет состояние системы сразу после начала неустойчивой кон-
векции, какой мы могли бы ее видеть через секунду. Эти числа могут
быть изменены в зависимости от значений физических переменных.
Если вычеркнуть члены xz и xy из правой части, то получится
система уравнений, которую всякий стоящий математик может решить
с закрытыми глазами перед завтраком. Однако это очень скучно.
Используя эти уравнения, можно сделать нечто более полезное. На-
пример, можно найти устойчивые состояния системы, когда правые ча-
сти всех уравнений стремятся к нулю, а величины x, y, z остаются по-
стоянными. Имеются три таких состояния, не представляющих ника-
кой конвекции, а также два симметрично-связанных состояния, пред-
ставляющих устойчивую конвекцию. Можно анализировать устойчи-
вость системы около этих состояний методом, известным как анализ
линейной устойчивости. Можно также показать, что если константу
28 уменьшать до 24.74, то состояние возникающей конвекции устой-
чиво. Конвекция в принципе возникает после критической величины
24.74. Выбор Лоренцом значения этой константы, равное 28, сделан
для того, чтобы возникла неустойчивая конвекция.
В этой точке линейная теория отказывает. Она хорошо работала
около устойчивого состояния, но если устойчивое состояние становится
нестабильным, то необходимо рассмотреть, что происходит при замет-
ном отклонении системы от устойчивого состояния. Линейная теория
способна только показать, где возникает неустойчивость, но не что
происходит при этом. Пара бинокуляров способна показать, где нахо-
дится вершина следующего холма, но не то, что лежит вне его.
Но это только начало. Тем не менее, теперь вы знаете, где возни-
кает интересное поведение. В чем же оно проявляется?

166
7. Фабрика погоды
Рис. 7.4. Графики Лоренца для 3000 численных решений уравнений конвекции:
(слева) осцилляции растут и становятся хаотическими, (справа) два взгляда на
движение в фазовом пространстве (American Meteorological Society (Американское
метеорологическое общество), Journal of the Atmoapheric Sciences (Журнал наук
об атмосфере), vol. 20 (Edward N.Lorenz))
Преимущества компьютера
Никакого иного пути в данном случае нет: необходимо решить урав-
нения. Хуком, крюком, хитрой уловкой или грубой силой. Самый ра-
дикальный способ -- метод грубой силы, он основан на использовании
компьютера для нахождения численного решения.
У Лоренца был компьютер. В начале 1960-ых годов это было необыч-
но. Большинство ученых не доверяли компьютерам и едва ли кто-то
из них имел его в своей собственности. Машина, с помощью которой
я печатаю этот абзац, гораздо лучше компьютера Лоренца, к тому
же я использую его только для обработки слов. Это чем-то напоми-
нает использование автомобиля Роллс Ройс для изготовления молока,
но времена меняются. Как бы то ни было, Лоренц имел Королевский

7. Фабрика погоды
167
компьютер McBee LGP-300, который был не очень надежной маши-
ной и напоминал лабиринт с массой вакуумных ламп и проводов. Он
поместил свои уравнения на королевский McBee и позволил ему ве-
личественно McBuzz5, со скоростью приблизительно одна итерация в
секунду. (Мой языковый процессор в пятьдесят сто раз быстрее.)
Уловка-22: чтобы развязать узел, место, личность, культура и вре-
мя должны быть подходящими. Пуанкаре был личностью, Франция
была подходящим для него местом, но время и культура не были под-
ходящими. Лоренц был личностью, MIT был достойным местом, куль-
тура, необходимая для открытия хаоса, компьютерная культура
были на своем месте. Когда каждый имеет компьютер, факт нали-
чия хаоса невозможно пропустить. Однако, понимание его важности
-- это другой вопрос. Время для этого тоже должно быть подходящим
другие люди должны понять то, что получилось, увидеть в сделан-
ном нечто действительно интересное. В данном случае время не было
корректным: точнее, Лоренц опережал свое время.
В его статье приведены значения переменной y для первых 3 000
итераций (Рис. 7.4). Изменение значений происходит периодически при-
близительно через 1 500 первых итераций и можно заметить, что при
этом размер петли устойчиво растет. Лоренц знал об этом из анализа
линейной устойчивости, но что будет потом?
Безумие.
Сильные колебания, раскачивание вверх, потом вниз, едва ли име-
ющее сходство с каким-либо типом движения.
Он нарисовал графики, показывающие кривые для различных ком-
бинаций x, y, z . На плоскости (x, y) он увидел двухдольную фигуру,
напоминающую почку (Рис. 7.5). Иногда точка описывает круг по ле-
восторонней доле, иногда по правосторонней.
Траектории его уравнений, как он понял, располагаются на чем-то,
очень напоминающем расплющенный крендель. Они образуют поверх-
ность, имеющую два слоя с внутренней стороны, которые сливаются в
один -- с внешней. Точка, представляющая состояние системы, долж-
на качаться вокруг одной или другой доли этой поверхности, иногда
переходя от одной доле к другой через их сцепление.
Лоренц знал, что траектории дифференциального уравнения не мо-
гут сливаться. Поэтому то, что казалось единственной кривой, на са-
5Жарг. -- здесь шествовать Прим. пер.

168
7. Фабрика погоды
Рис. 7.5. Аттрактор Лоренца: циклические траектории, кажущиеся случайны-
ми, обращаются вокруг двух долей.
мом деле должно было быть двумя близко расположенными кривыми.
Это означает, что каждый лист позади тоже был двойным, поэтому им
соответствовало позади уже четыре поверхности. . .. Тогда четырем по-
верхностям соответстввовали восемь, и так далее. . .. Таким образом,
заключаем, -- говорит далее Лоренц, -- что имеется бесконечное коли-
чество комплексных поверхностей, чрезвычайно близких к одной или
другой кривой и состоящих из двух сливающихся поверхностей .
Неудивительно, что метеорологи были обескуражены. Однако Ло-
ренц был способен и на большее.
Удивительно, что могут делать члены xz и xy этих уравнений.
Эффект бабочки
Было бы неправдой сказать, что Лоренц нашел пример, который был
бы совершенно непредсказуем. Напротив, он нашел очень определен-
ный образец, взяв пиковые значения переменной z и нарисовал график
того, как текущий пик относится к предыдущему. Результатом стала
красивая точная кривая, с острием в середине (Рис. 7.6).
Кривая Лоренца -- это простая разновидность сечения Пуанкаре.
Вместо отображения переменной в регулярные периоды времени, она
изображает z в пиковые моменты времени. Интервалы времени между
значениями в этом случае не правильны, но это не так плохо, потому
что в аттракторе Лоренца имеется определенный основной ритм. Ис-
пользуя такую кривую, можно предсказать, что значение следующего

7. Фабрика погоды
169
Рис. 7.6. Порядок в хаосе. Если размах осцилляции располагается на графике
прямо против предыдущей осцилляции, то имеет место точная результативная
кривая. (American Meteorological Society, Journal of the Atmospheric Sciences, vol
20 (Edward N.Lorenz).)
пика z обусловлено значением текущего пика. В этом смысле, по край-
ней мере, некоторая динамика предсказуема.
Однако это касается только краткосрочного предсказания. Если
ряд краткосрочных прогнозов использовать для получения долгосроч-
ного предсказания, то незначительные ошибки каждого краткосроч-
ного прогноза начинают расти, увеличиваясь быстрее и быстрее, пока
предсказание вообще не станет абсурдом. Кривая Лоренца имеет те же
самые характеристики растяжений и сжатий, которые уже рассматри-
вались в связи с хаосом. Именно при растяжении возрастают ошибки.
Лоренц обнаружил это явление и назвал его "эффектом бабочки".
Это произошло благодаря особому стечению обстоятельств.
Имея в своем распоряжении компьютер McBee несколько лет, на-
чиная приблизительно с 1960, Лоренц использовал его для создания
моделей систем прогноза погоды. Компьютер позволял ему работать
порой в течение нескольких дней подряд. Результаты расчетов, пред-

170
7. Фабрика погоды
ставляющих траектории решения, выводились в виде длинных рядов
чисел, поскольку модная ныне компьютерная графика тогда не ис-
пользовалась. Коллеги могли заключать пари, гадая, что програм-
ма Лоренца, вычисляющая микроклимат, будет делать дальше. Зимой
1961 он работал с предшественницей своей теперь наиболее известной
системы. Он находил решение и хотел понять, как оно ведет себя в
течение значительного периода времени. Ожидая окончание решения
порой в течение нескольких часов, он отмечал числа, которые полу-
чались в середине прогона программы, брал их за основу при новом
старте программы и снова запускал машину.
То, что случилось, и было тем самым эффектом. Сначала машина
как будто бы повторяла вторую половину оригинала, а затем должна
была продолжить вычисления с этого места. Повторение служило по-
лезной проверкой счета, а отсутствующая первая половина экономила
время. Метеоролог вышел, чтобы выпить чашку кофе, а когда он воз-
вратился, то увидел, что компьютер начал новый цикла вычислений.
Но два, казалось бы идентичных прогона стали медленно расходиться,
пока в конечном счете вообще перестали походить друг на друга.
В своей книге Хаос Джеймс Глейк, популяризатор науки, бравший
интервью у Лоренца, пишет о том, что произошло потом.
Внезапно он понял причину: не было никакого сбоя, а про-
блема заключалась в числах, которые он напечатал. В па-
мяти компьютера хранилось шесть десятичных цифр: .506127,
а распечатывались, чтобы сэкономить место, только три
цифры: .506. Лоренц выводил более короткое значение, округ-
ляя последние цифры, он полагал, что различие в одну ты-
сячную является несущественным.
Отказавшись от традиционного способа размышления о том, поче-
му это может быть, Лоренц понял, что его уравнения не ведут себя так,
как ожидает того традиционно мыслящий математик. И тогда Лоренц
создал свою знаменитую фразу: "эффект бабочки" (Рис. 7.7). Взмах
крыла отдельной бабочки сегодня производит крошечное изменение в
состоянии атмосферы, благодаря которому состояние атмосферы че-
рез некоторый период времени начинает действительно расходиться с
тем, что было бы без него. Поэтому ураган, который в течение меся-
ца опустошил бы Индонезийское побережье, не возникает, и наоборот,
тот, который не возник бы, объявляется.

7. Фабрика погоды
171
Рис. 7.7. Эффект бабочки: численное моделирование в системе с одной перемен-
ной. Кривые представляют начальные условия, различающиеся только на 0.0001.
Сначала они кажутся совпадающими, но скоро хаотическая динамика приводит к
независимым, широко расходящимся траекториям.
Бабочки имеются всюду. Но кто может сказать, что взмахи их кры-
льев отменяют друг друга?
И снова слова Лоренца:
Обычному человеку кажется, что если мы в состоянии до-
вольно хорошо предсказать приливы, скажем на несколько
месяцев вперед, то почему бы нам не проделать то же и с
атмосферой? Это только различные системы, законы кото-
рых одинаково сложны, но я понял, что любая непериоди-
ческая физическая система является непредсказуемой.
Погода предсказуема или нет?
Этой фразой Лоренц заканчивает свою статью 1963 года с некото-
рыми предположениями относительно возможности прогноза погоды.
Его аргументы просты и оригинальны. Вообразим очень точную реги-
страцию ряда измерений состояния атмосферы, сопоставимую с той,
которую хотелось бы использовать для прогноза. Пусть имеется набор
таких данных в течение очень длительного периода времени.
Критическими точками в этом случае являются аналоги
погоды, которые возникли с тех пор, как ныне наблюда-
емое состояние атмосферы было впервые описано. Анало-
гами являются два и более состояний атмосферы, которые

172
7. Фабрика погоды
настолько похожи, что расхождения между ними сравнимы
с ошибками наблюдений.
Если имеются два аналога, то можно сделать идентичные пред-
сказания для будущей погоды, начиная с любого из аналогов. Однако
такая схема предсказания погоды подразумевает периодичность изме-
нения погоды, а это является абсурдом, поскольку вся трудность с про-
гнозом погоды заключается именно в том, что погода непериодична.
Если аналогов нет, то остается надеяться, что вся система, опреде-
ляющая погоду, является квазипериодической, то есть повторяет те же
самые состояния снова и снова, но с медленно растущими, небольшими
изменениями. В этом случае долгосрочное предсказание погоды воз-
можно, и все что нужно сделать для этого, так это просто обратиться
к отчетам, найти близкий аналог текущей погоды и просмотреть слу-
чившееся в последний раз.
Однако и этот аргумент следует отвергнуть , -- отмечает Лоренц,
-- поскольку разнообразие допустимых состояний атмосферы столь
велико, что необходимых аналогов, как правило, не находится . Один
важный вопрос он оставляет открытым: как продолжительны могут
быть "очень длинные ряды" ? Он замечает, что не знает ответа на этот
вопрос, но очевидно, что их она может составлять от нескольких дней
до нескольких столетий . Двадцать четыре года спустя столетия были
исключены. Остались лишь "несколько дней".
Растяжение и закручивание
Выше мы рассмотрели пример проявления эффекта бабочки. Также
ведет себя соленоид Смейла и более простая модель, отображение x →
10x на круге. Имеет место та же самая чувствительность к начальным
условиям: две точки π и π , совпадая на первом миллиарде цифр, ведут
себя относительно независимо после миллиарда итераций.
Это может звучать не столь удручающе, если учесть, что две точ-
ки, согласующиеся в шести первых цифрах, изменяются независимо
только после шести итераций.
Отчего же зависит чувствительность?
Возникает из смеси двух противоречивых тенденций в динамике.
Первая тенденция растяжение. Отображение x → 10x десятикрат-
но увеличивает расстояния, но делает она это локально. При этом близ-

7. Фабрика погоды
173
лежащие точки растягиваются обособленно друг от друга. Вторая -
закручивание. Круг - ограниченное место, его вообще нельзя растя-
нуть. Он подразумевает закручивание вокруг себя много раз -- это
единственный способ осуществить отображение после того, как дли-
на увеличилась в десять раз. Поскольку близкие друг к другу точки
двигаются обособленно, то некоторые из них, далекие друг от друга,
становятся близкими.
Расхождение вызвано точками, которые вначале были расположе-
ны вблизи друг друга, но в дальнейшем изменялись по-разныму. Вна-
чале различие медленно нарастает, но как только две точки разошлись
достаточно далеко, они "теряют друг друга из вида", и больше ни одна
из них не подражает поведению другой.
Смесь растяжения и закручивания характеризует нерегулярное дви-
жение, при котором некоторые точки сближаются. Но какие? Что
можно сказать об этом? Большие различия вызываются очень ничтож-
ными расхождениями при повторении большого количества итераций.
При этом невозможно предвидеть то, что случится.
Это и есть непредсказуемость.
Процесс растяжения и закручивания можно наблюдать в системе
Лоренца. Каждая половина фронта поверхностных ветров возвраща-
ется назад и растягивается до двойной ширины, перед "повторным
внедрением" в левую часть.
Теперь достаточно очевидно, что странная, содержащая бесконеч-
ное число листов, двудольная поверхность Лоренца должна быть стран-
ным аттрактором - аттрактором Лоренца. А его дифференциальные
уравнения, представляющие собой усеченную физическую версию, яв-
ляются переходом к земным уравнениям с тремя переменными фи-
зического происхождения, быть может засоренным в результате сме-
шения. Они не являются искусственным созданием проектировщика
дифференциальных уравнений с зеленой эмблемой пончика и надпи-
сью тщательно сделаны топологами.
В действительности можно найти реальные физические системы,
которые очень хорошо моделируются системой уравнений Лоренца,
по крайней мере, если изменить константы 10, 28, и 8/3. Одна такая
система водяное колесо, другая динамо, а третья, находящаяся
на рубеже современных физических исследований, оптический ла-
зер. Однако в то время, когда Лоренц писал свои уравнения, никто не

174
7. Фабрика погоды
знал об этом. Все, что можно было очевидным образом увидеть, так
это то, что он получил свои уравнения удалением частей из описания
конвекции. В то время ученых главным образом волновало влияние
отсутствующих членов. Они не понимали, что Лоренц не заботился о
том, чтобы его уравнения имели физический смысл.
Лоренц открыл дверь в новый мир.
Однако никто не переступил через порог.
Дверь? Какая дверь?

Глава 8
Рецепт Хаоса
Когда вы соберете его, начните растягивать кончиками пальца, до-
водя его размер приблизительно до 18 дюймов. Затем заверните его,
скатав вокруг себя. Повторяйте движение ритмически. Когда масса
станет чем-то липким, взбивайте, прилагая усилия к сторонам, по-
ка она не превратится в пышную прозрачную ленту, затем начните
сворачивать ее, а при свертывании -- растягивайте.
Ирма С. Ромбауер и Марио Ромбауер Бехер. Радости кулинарии.
Когда я был ребенком, я жил на Южном Берегу, у моря. Мои роди-
тели имели обыкновение регулярно совершать со мной прогулки. Это
было сразу после войны, и в то время у них не было автомобиля, так
что мы проделывали много здоровых упражнений. Иногда мы ходили
по соседней, Главной улице. Это была крутая, узкая улочка, выложвен-
ная булыжником, с крошечными магазинами. В ее верхней части был
магазин, в котором продавались тут же сделанные конфеты. Конечно,
он привлекал внимание ребенка. Там были леденцы из тростникового
сахара с именем города, выписанным крошечными красными буквами.
Можно было наблюдать процесс их изготовления: похожие на корот-
кие чурки заготовки, еще без красных полос и белых клиньев, тонко
раскатывались и разрезались. Здесь же была машина для приготовле-
ния леденцов, которая вытягивала и месила липкую сахарную смесь.
Две сильные стальные руки медленно вращались, сближаясь и рас-
ходясь, тяжелые нити вязкой смеси свисали с них, напоминая моток
пряжи из толстой шерсти на паре рук, время от времени они вытяги-
вались и сгибались, вытягивались и сгибались. Как зачаровыванный
я глядел на это, и не только из-за того, что получалось в итоге. То-
гда я не понимал, что происходит при этом, но это было мое первое
столкновение с хаотической динамикой.
Кондитер тоже не понимал этого, но он использовал две харак-
терные особенности хаоса. Смешивание, чтобы удостовериться, что
компоненты распределились однородно, и растягивание, чтобы вы-
тягивать длинные прозрачные сахарные пряди, из которых делались
ломкие, хрустящие, истинно приморские тростниковые леденцы.

176
Рецепт Хаоса
Действительно любопытная вещь и настолько знакомая, что мы
не обращаем на нее внимания, не замечая, что движение машины яв-
ляется совершенно регулярным. Машина, производящая конфетную
массу, движется периодически, совершая круг за кругом, но процесс
создания массы происходит хаотически. Регулярная причина порож-
дает нерегулярный эффект.
Каждый, кто пользуется миксером для приготовления пирога, взби-
вает яйца или применяет пищевой комбайн, выполняет упражнение по
прикладной хаотической динамике. Механическое устройство, переме-
щающееся регулярным и предопределенным способом, рандомизиру-
ет1 компоненты. Как же это происходит?
Растяжение и скручивание
Стефан Смейл высказал догадку, что типичная динамика устойчива
или является периодической, но выяснив, что это неверно, он заменил
эту догадку вопросом: какова типичная динамика?
Имеются два основных способа продвинуться вперед в математике.
Первый -- это создание "чистой мысли". Затратьте уйму времени на
размышление довольно общим способом относительно того, что на са-
мом деле порождает проблему. Игра идет вокруг общих особенностей
проблемы. Это попытка найти фундаментальные идеи.
Другой способ заключается в рассмотрении примеров, желательно
как можно более простых, чтобы отчетливо понять, как они работают.
Практически, чтобы достигуть чего-нибудь, необходимо использо-
вать оба подхода. Математик, занимающийся некоторой проблемой,
будет путаться в простых примерах, пока не поймет, что находится
во власти привычного и не перейдет к более общей точке зрения, а
поплутав в проблеме некоторое время, он перейдет к немного иному
набору примеров и задаст немного иные вопросы. Затем он будет при-
ставать ко всем другим математикам внутри своей сферы достигае-
мости. Он будет звонить своим коллегам по телефону от Ноксвилла
до Омска. Если удалось найти зацепку, то ему следует оставить про-
блему и заняться чем-нибудь еще: другой проблемой, заменить масло
в автомобиле, построить рыбный пруд, подняться на гору. И часто в
наименее подходящий момент вдохновение приходит. Оно редко ре-
1случайно распределяет. Прим. пер.

Рецепт Хаоса
177
шает все, но поддерживает течение процесса. Ансельм Лантур, герой
мультфильма, созданного французским физиком Жаном Пьером Пе-
ти, точно зафиксировал это чувство в Евклидовых правилах OK:
Я ПОНЯЛ ЭТО! Ну, то есть. . ., я точно не уверен, ЧТО
я понял, но у меня создалось впечатление, что я понял
КОЕ-ЧТО.
При размышлении о динамике в общем, без деталей, давая только
самое общее её изображение, мы получаем нечто вроде этого.
Традиционная динамика:
• Сидеть тихо.
• Двигаться, делая круг за кругом.
Она очистилась за пять веков развития науки, и эти правила стали
её геометрической сущностью. А какова геометрическая сущностью
хаоса?
• Вытягивание и закручивание.
• Недостающий инградиент.
Ну и не только недостающий инградиент. Хаос - богатая смесь, полная
экзотических специй и плодов диковинной формы, он также содержит
долю безумия, но основным инградиентом, мукой-и-водой хаоса, явля-
ется вытягивание и закручивание.
Давайте будем листать поваренную книгу.
От радара до подковы
Сразу после второй мировой войны, в 1945, два математика из Кембри-
джа, Мэри Люси Картрайт и Джон Эденс Литтлвуд, изучали вынуж-
денные колебания. Генератор - это устройство, в котором колебания
повторяются, как в маятнике, и существует система, которая создает
изменяющиеся во времени внешние воздействия на эти колебания. На-
пример, можно представить, что маятник в точке подвеса присоединен
к двигателю и скользит вверх и вниз как поршень. Этот пример генера-
тора вынужденных колебаний объединяет два разных периодических
движения: "естественное" колебание маятника и "искусственное" коле-
бание вынуждающей силы. В общем случае эти колебания будут иметь
различные периоды, то есть естественное движение не будет совпадать
с вынужденным. Это ведет к сложному взаимодействию.

178
Рецепт Хаоса
Вынужденные колебания существуют всюду. Наименее очевидные
из них связаны с циклом сна-бодрствования, в котором на естествен-
ный биохимический ритм накладывается регулярный суточный ритм,
вызванный вращением Земли. Другой пример -- биения: см. главу 13.
Все задачи, рассматриваемые в классической линейной теории, мож-
но представить в виде комбинации двух колебательных движений, что
ведет к квазипериодическому движению с двумя добавленными часто-
тами. Однако, вынужденные генераторы не всегда ведут себя так, как
это им предписывает классическая линейная математика. Нелинейные
эффекты существуют, а в результате часто возникает хаос.
Уравнение Ван дер Поля, упомянутое ранее в связи с радиовол-
нами, является нелинейным генератором. Картрайт и Литтлвуд до-
казали, что в подходящих условиях вынужденный генератор Ван дер
Поля совершает сложное апериодическое движение. Сейчас, с опоз-
данием, стало ясно, что их работу следует считать одним из самых
первых открытий хаоса. Эта работа была частью военных приготов-
лений, под электроникой здесь понимается радар, и это не простое
совпадение, объясняющее почему уравнение Ван дер Поля возникло
именно в электронике.
В 1960 Стефан Смейл рассмотрел генератор вынужденных колеба-
ний Ван дер Поля иначе, безотносительно к его военному применению.
Он придумал моделирующую систему с подобной геометрией, кото-
рая соответствовала более простому, но менее связанному с физикой
уравнению. Возьмите квадрат, вытяните его в длинный тонкий прямо-
угольник и скрутите, придав ему форму подковы, а затем поместите
его приблизительно внутрь первоначальной основы (Рис. 8.1).
Растяжение и закручивание.
Если рассмотреть итерации по этой процедуре, то можно увидеть,
что на следующей стадии возникают некоторого рода подковы из под-
ков, с тремя U -образными изгибами, на следующей стадии она имеет
уже семь U -образных изгибов, потом пятнадцать, и так далее. Каждая
итерация удваивает существующие изгибы и добавляет один дополни-
тельный. Поэтому вы получаете в пределе некоторый тип бесконечно
волнистой кривой. Теперь начнем снова, но вместо целого квадрата
будем рассматривать некоторую начальную точку в нем. Поскольку
отображение выполняется с помощью итераций, то должно быть неко-
торое "начало" на бесконечно волнистой кривой, потому что квадрат

Рецепт Хаоса
179
Рис. 8.1. Подковообразное отображение Смейла для моделирования хаотиче-
ского растягивания. Квадрат вытягивается, скручивается и замещает себя свер-
ху. Когда над таким отображением выполняются итерации, возникает запутанная
многослойная структура.
как целое существует! Поэтому мы можем допустить, что эта точка
фактически находится на кривой, и при каждой итерации она пе-
ремещается из одной точки на этой кривой в другую. В силу этого
кривая таких перемещений тоже является волнистой, то есть ее дви-
жение осуществляется во всех отношениях и смыслах случайно. Это
и есть та геометрия, которая лежит в основе хаотического поведения,
замеченного Картрайт и Литтлвудом.
Подкова обладает и другими важными особенностями. Она имеет
ту же самую бесконечно слоистую структуру, которая выявлена Ло-
ренцом в его аттракторе и которая обнаруживается в соленоиде, а

180
Рецепт Хаоса
также близко связанном с ними множестве Кантора. И не только это.
Внутри подковы имеется седловая точка и одна сепаратриса этого сед-
ла поворачивает прочь от него и пересекает другую. В результате воз-
никает моноклиническая картина динамическое спагетти, столь
напоминающая то, что так страшило Пуанкаре. Однако пример Пу-
анкаре возник в гамильтоновой динамике, где нет трения, а система
Смейла может существовать также и при наличии трения, в диссипа-
тивных системах.
Так что и этот пример имеет фамильное сходство со многими дру-
гими хаотическими системами, но в некоторых других отношениях он
является более простым. В частности, его можно изучать без компью-
тера, используя только геометрию и топологию.
Изучая подкову, Смейл добился успеха там, где Пуанкаре сдался,
и это привело к взрыву новых идей в теории динамических систем.
Динамика чепухи
Французский астроном, Мишель Энон, размышляя о движении звезд
внутри галактики, в 1962 пришел к математической модели динами-
ческой системы, поведение которой зависело от уровня её энергии.
Рассматриваемые в небесной механике дифференциальные уравнения
обычно являются гамильтоновыми, поскольку трением в открытом
космосе можно пренебречь.
Исходя из здравого смысла, в то время полагали, что траектории
должны быть периодическими, или по крайней мере квазипериодиче-
скими, разделяющимися на несколько отдельных периодических ком-
понент. Классические методы, такие как теория возмущений, обычно
начинали именно с таких предположений. Неудивительно, что все ре-
шения, которые были получены таким образом, соответствовали этой
стандартной мудрости. Однако, в целом, немногие были обеспокоены
возникающим при этом порочным кругом, если вообще замечали его.
Энон получил классическое образование, поэтому он начал свое
исследование с поиска квазипериодического поведения, как и было
принято. Со студентом-дипломником, Карлом Хейли, вооруженный
новым инструментом компьютером, чьи возможности тогда недо-
оценивались, он начал изучать поведение регулярных орбит при воз-
растании энергии системы.

Рецепт Хаоса
181
При низких энергиях траектории были регулярными и периодиче-
скими: здравый смысл торжествовал, но при более высоких энергиях
траектории разбивались. То, что должно было представлять собой хо-
рошие замкнутые кривые на динамических картинах, разваливалось
на случайные пятна точек. Имелись острова регулярности, размещен-
ные сложным образом в море хаоса (Рис. 8.2), как мясные куски регу-
лярности в стохастическом спагетти. Динамика чепухи. Энон и Хейли
не доказали ничего строго, но они нарисовали картину того, что они
увидели на своем компьютере, и сделали некоторые вдохновляющие
предположения о причинах этого явления. Будучи астрономами, а не
математиками, они в дальнейшем перешли к другим проблемам.
Магнитная ловушка
Математическое объяснение открытия Энона и Хейли было дано Йор-
геном Мозером в терминах того, что он называл скрученным отоб-
ражением2. Другие ученые обнаружили подобные же явления в раз-
личных приложениях. В 1960 физик из России Б. В. Чириков прово-
дил исследования плазмы -- газа настолько горячего, что некоторые
его атомы лишены электронов, -- с целью создания промышленного
термоядерного реактора, позволяющего получать дешевую и безопас-
ную электрическую энергию. В таком реакторе плазма должна дли-
тельно существовать в ограниченном пространстве при столь высоких
температурах и давлениях, что никакой обычный материал для этого
непригоден, поэтому плазму помещают в магнитную ловушку. Однако
плазма и магнитные поля взаимодействуют очень сложным образом.
Чириков стремился понять, как это происходит. Он предложил мо-
дель динамического поведения плазмы в магнитной ловушке, прибег-
нув к отображению в форме Пуанкаре, ставшего сегодня уже стан-
дартным. Анализируя стандартное отображение, Чириков обнаружил,
что в плазме может возникать хаос, порождая нестабильности, позво-
ляющие ей покидать ловушку.
Стандартное отображение обладает специфической особенностью:
оно сохраняет область3, то есть, если отображение используется, что-
бы преобразовать какую-либо часть фазового пространства, то она
2В оригинале twist maps. Прим. пер.
3В оригинале термин area-preserving. Прим. пер.

182
Рецепт Хаоса
Рис. 8.2. Ограниченная проблема трех тел в приближении Энона и Хейли: (сле-
ва) траектории, рассчитанные путем классической аппроксимации рядами, всегда
имеют регулярную форму, (справа) рассчитанные на компьютере траектории об-
наруживают острова регулярности, находящиеся в море хаоса; энергия увеличи-
вается сверху вниз.

Рецепт Хаоса
183
остается неизменной после преобразования. Это отражает тот факт,
что система является гамильтоновой, а сохранение энергии в такой
системе есть сохранение области на сечении Пуанкаре.
Стандартное отображение содержит численный параметр, который
управляет динамикой. Чириков обнаружил, что существует критиче-
ское значение этого параметра, при котором движение становится ха-
отическим. Механизм, посредством которого хаос возникает в стан-
дартном отображении является наиболее фундаментальным, извест-
ным как "breakdown KAM tori" 4. То есть это тот же самый пример
устойчивых островов и случайного поведения, который нашли Энон
и Хейли, но теперь и острова начали разбиваться. Это рамки хаоса,
обладающие запутанной и сложной структурой. Имеется еще много
проблем, связанных с областью сохраняющей отображения, которые
математикам и физикам очень хотелось бы решить.
Слоёное пирожное
В 1976 Энон заинтересовался динамической теорией систем и впервые
услышал о странных аттракторах. Он посетил лекцию по аттракто-
ру Лоренца, которая помогла ему поставить, но в общем не решить,
вопрос о его причудливой геометрической структуре. Энон задался во-
просом: не поможет ли эта новая математическая идея объяснить его
более ранние результаты и решил, что хорошим первым шагом на этом
пути будет лучшее понимание особенностей аттрактора Лоренца.
Энон ученый, который, не работая непосредственно в матема-
тике, обладал математическим инстинктом и имел склонность к лю-
бительским занятиям с простыми, нефизическими и лишенными вся-
ких излишеств моделями, в надежде достичь скорее математического,
чем физического понимания. В анналах хаоса много таких ученых. Он
предложил существенно более простую, чем Лоренц, систему уравне-
ний, которая включала ту же самую их основную особенность: растя-
жение и закручивание.
Энон получил очень похожее на подкову Смейла отображение. Те
же самые замысловатые зигзаги и многократные U -образные изгибы.
Его компьютерные эксперименты продемонстрировали ту же самую
бесконечнослоистую структуру, предсказанную теорией (Рис. 8.3). Ат-
4Разбиение или опрокдывание KAM торов. Прим. пер.

184
Рецепт Хаоса
трактор Энона имеет U -образную форму, но это не кривая: он пред-
ставляет собой слои, расположенные один на другом, напоминающие
слоёное пирожное. Он имеет очень изящную и тонкую структуру, ко-
торая настолько сложна, что невозможно описать ее геометрию во
всех подробностях. Однако вся эта структура неявно выражена са-
мыми простыми уравнениями, определяющими его аттрактор.
Рис. 8.3. Тонкая структура аттрактора Энона.
Если решать эти уравнения на компьютере, то неважно с какого
значения начинать, поскольку последующие точки быстро возвраща-
ются в лоно тонкой структуры, никогда не прерывая многослойный
паттерн. С другой стороны, невозможно предугадать приблизитель-
ное местонахождение следующей точки внутри уровней. Это простое
уравнение знает нечто такое, о чем вы не ведаете. Взаимодействие
между регулярностью и случайностью чрезвычайно запутано.
В динамической теории систем 1970-ых было два направления. С
одной стороны, топологи использовали геометрические свойства, что-
бы установить строгие результаты относительно придуманных систем,

Рецепт Хаоса
185
которые, как они надеялись, имеют некоторую связь с характером яв-
лений. С другой стороны, физики получили из уравнений, имевших
связь с характером явления, приблизительные решения на компьюте-
рах и нашли сходные структуры там, где их узрели топологи. Но были
ли они на самом деле идентичными? Или были люди, которые только
видели желаемое, не яляющиеся на самом деле истинными?
Проблема, однако, состоит в том, что нельзя полностью доверять
результату, полученному на компьютере. Компьютерный результат несо-
мненно является верным и здесь все в порядке, но компьютер не спосо-
бен производить совершенно точных вычислений -- по меньшей мере
из-за разнообразия сложных приближений, лежащих в основе моде-
лей, -- и, кроме того, сами вычисления являются лишь сложной формой
приближения к реальности. Эквивалентен ли точный ответ на прибли-
зительный вопрос приблизительному ответу на точный вопрос?
Иногда, но ни в коем случае не всегда. Например, решение уравне-
ний, описывающих движение самолета, для весьма слабовязкой жид-
кости не является близким к решению, которое справедливо для жид-
кости с нулевой вязкостью.
Уравнения Энона настолько просты, что они вселили надежду на
возможность их рассмотрения "вне связи" с динамической теорией си-
стем, если примененить к ним топологические методы и подтвер-
дить результаты Энона строгим численным анализом. Однако дина-
мическая теория систем столь трудна, что пока никто не сумел этого
сделать, даже для такой простой системы. Существовала также пред-
ставительная школа мысли, объявившая результаты Энона вообще не
хаотическими, а периодическими, с очень длинным периодом. Лишь в
1987, ставшим годом рождения первого крупного научного достиже-
ния, был осуществлен действительный прорыв в этом вопросе. Ленард
Карлсон сумел доказать, что аттрактор Энона действительно является
хаотическим, по крайней мере, для "большинства" значений численных
параметров, которые входят в его уравнения. Странные аттракторы
не только топологические конфетки, они действительно существуют в
простых уравнениях, которые моделируют аспекты реального мира.
Вдали от госпожи Битон
Теперь уместно было бы поместить такое послание:

186
Рецепт Хаоса
РЕЦЕПТ ХАОСА
Фазовое пространство 12 измерений,
1 таблетка начальных условий,
Тянуть и закручивать, повторяя,
Время года по вкусу.
Однако это математическая книга, а не поваренная книга госпожи
Битон, и мы ищем более формальное понимание таких процессов, даже
если приходится пренебрегать тонким искусством прирожденного по-
вара. Вдохновленный примером машины для приготовления конфет-
ной смеси с её вездесущим механизмом вытягивания-и-закручивания
при движении к хаосу, я хочу закончить эту главу более детальным
рассмотрением еще одного примера хаотической динамики,
Я хочу показать сущность хаоса, опуская неуместные сложности,
хотя, при более честной игре, этого не следовало бы делать. Однако
давайте не будем добавлять сложности ради нее. Я заменю прядь чрез-
мерно запутанных нитей отрезком единичной длины, чтобы получить
формулу, которая подражает машине конфетного мастера.
Ничего оригинального в примере, который я выбрал, нет. Это ста-
рый, известный математический фаворит, неизменный шимпанзе хао-
тического зверинца: логистическое отображение. Оно демонстрирует
не только возникновение хаоса, но и способ его получения.
Представьте себе черный ящик, электронную схему с регулятором,
который можно поворачивать. Ящик формирует регулярный сигнал,
который изменяется, но остается регулярным, если медленно вращать
регулятор. Чтобы с некоторого, критического положения регулятора,
сигнал потерял свою структуру и стал случайным, важно не забыть
сделать важную приставку к черному ящику, скорее представляющую
новую электронную схему.
В то же время логистическое отображение показывает, что суще-
ственные изменения его поведения происходят без заметных причин.
Не требуется никаких значительных изменений в схеме черного ящи-
ка. Только несколько тонких регулировок, скажем, изменяемого па-
раметра. Но они тем не менее способны изменить его поведение от
регулярности до хаоса.
Кроме того, именно через логистическое отображение теория хао-
са впервые пошла на серьезный контакт с экспериментом. Есть также

Рецепт Хаоса
187
близкие, родственные отображения, образованные из этого простейше-
го, которые создают наиболее сложные и прекрасные формы поведе-
ния, известные в математике. С ними мы познакомимся в следующих
главах, а пока рассмотрим логистическое отображение и исследуем
некоторые из его потрясающих свойств.
Логистическое отображение
Рассмотрим линейный отрезок единичной длины, где точка описыва-
ется числом x, заключенным между 0 и 1 и задающим расстояние до
неё от левого конца отрезка. Логистическое отображение имеет вид
x→kx(1-x),
где k -- константа, заключенная между 0 и 4. При выполнении итераций
отображения мы получаем дискретную динамическую систему
xt+1 = kxt(1 - xt)
Можно считать, что t описывает время, но оно меняется при каждом
шаге на целое число: 0, 1, 2, 3, . . .. Здесь xt -- значение переменной x в
момент времени t. Геометрически логистическое отображение растяги-
вает или сжимает линейный отрезок неоднородным образом, а затем
сворачивает его пополам. Например, возьмем k = 3, а xt = x. Тогда
имеем
xt+1 =3x(1-x)
При этом числа, находящиеся между 0 и 0.5, отображаются в числа,
расположенные между 0 и 0.75. Например, 0.5 переходит в 3 × 0.5(1 -
0.5) = 0.75. Числа, находящиеся между 0.5 и 1, отображаются в числа,
расположенные между 0.75 и 0, то есть на тот же самый интервал, но в
обратном порядке. Так что в результате отображения первоначальный
отрезок необходимо вытянуть, чтобы он покрыл отрезок между 0 и
0.75 дважды.
В общем, для данного k, такое отображение сворачивает интервал
и, перевернув, помещает его обратно в интервал от 0 до k/4. Если k
мало, то это скорее сжатие, чем растяжение, и мы будем различать
их динамику. Если k больше 4, то интервал при итерации каждый
раз помещается вне себя. При этом некоторые x демонстрируют очень

188
Рецепт Хаоса
быстрое стремление к бесконечности, что не очень удобно обсуждать
на данной стадии рассмотрения, поэтому я положил k между 0 и 4.
Для изучения динамики логистического отображения необходимо
рассмотреть долгосрочное поведение -- его аттракторы. То есть необ-
ходимо много раз выполнять итерации отображения и наблюдать, что
происходит с x. Однако при этом возникает экстраслоистая структура:
мы хотим выполнить итерации для различных значений k и посмот-
реть, как при этом изменяется структура модели.
Итак k -- это "регулятор" черного ящика, а вышеописанное уравне-
ние определяет его внутреннюю схему. Можно исследовать эффекты,
возникающие при установке различных значений k, используя карман-
ный калькулятор или домашний компьютер, но я настоятельно сове-
тую проверять все, что я говорю. Несмотря на эти тонкости, я буду
описывать то, что происходит как для пользы тех, кто не имеет досту-
па к таким машинам, так и для того, чтобы показать представляющие
интерес основные особенности отображения.
Режим устойчивого состояния
Диапазон значений k между 0 и 3 характеризует режим устойчивого
состояния, наименее интересного с точки зрения динамики. Возьмите
некоторое k в этом диапазоне, скажем k = 2, и выполните итерации
отображения. Например, возьмем x0 = 0.9. Затем, применяя формулу,
поочередно с t = 0, 1, 2, . . . мы находим последовательность значений
x0=0.9
x1 = 0.18
x2 = 0.2952
x3 = 0.4161
x4 = 0.4859
x5 = 0.4996
x6 = 0.4999
x7=0.5
x8=0.5
и размещаем ее в виде таблицы. Отсюда видно, что имеется точечный
аттрактор, устойчивое состояние, при x = 0.5. Можно легко прове-
рить, что это устойчивое состояние: если x = 0.5, то 2x(1 - x) = 0.5.
Итерация не изменяет значение 0.5.
Устойчивость можно проверить вычислением, а можно увидеть и
геометрически, вынося результаты на рисунок в форме, которую в

Рецепт Хаоса
189
математической экономике называют диаграммой паутины (cobweb
diagram) (Рис. 8.4). Это графический способ представления итераций.
Сначала постройте график формулы y = 2x(1 - x), представляющий
перевернутую параболу. Нанесите диагональную линию y = x на этой
же самой диаграмме. Чтобы выполнить итерацию для начального зна-
чения x0, восстановите вертикальную линию из x0, и отметьте точку,
в которой она пересекает параболу. Затем из этой точки постройте
горизонтальную линию до пересечения с диагональю. Горизонталь-
ная координата этого пересечения соответствует x1. Повторяйте, обра-
зуя "лестницу" между параболой и диагональной линией. Координаты
последовательных "уступов" лестницы получаем, выполняя последую-
щие итерации до xt.
Рис. 8.4. Графические итерации логистического отображения, используя пау-
тинные диаграммы (слева направо): устойчивое состояние, периодическая точка,
хаос (Воспроизведено с разрешения John Wiley & Sons Ltd.)
При k = 2 паутина блуждает по диагонали, а потом скручивает-
ся в спираль около точки, в которой парабола пересекает диагональ.
Это фиксированная точка, а устойчивость характерна для нее потому,
что паутинная спираль обращена внутрь нее. Если бы спираль была
обращена наружу, то это была бы неустойчивая фиксированная точка.
Если экспериментировать, то можно заметить, что спиральная па-
утина обращена внутрь при k меньшем, чем 3. Для k в диапазоне от
0 до 3 имеется единственная устойчивая фиксированная точка и дол-
госрочная динамика не изменяет в ней абсолютно ничего. Положение
фиксированной точки немного смещается по мере изменения значения
k, но ничего еще не происходит.

190
Рецепт Хаоса
Каскад удвоений периода
При k в точности равном 3, фиксированная точка "маргинально устой-
чива": сходимость к ней крайне медленная. Это знак того, что мы на-
ходимся на грани чего-то драматического. Действительно, если k > 3,
то неподвижная точка становится неустойчивой, а спираль паутины
обращается наружу.
Всякий раз, когда решение динамической системы становится неустой-
чивым, необходимо задать вопрос: "куда оно теперь стремится?" Прак-
тически, система не может находиться в неустойчивом состоянии, да-
же если данное решение удовлетворяет уравнению. Оно будет где-то
блуждать и делать кое-что еще. Часто это кое-что намного менее оче-
видно, и, следовательно, более интересно, чем само неустойчивое со-
стояние, с которого мы начали иследование. Есть легкий путь узнать
больше о множестве новых вещей, он называются теорией бифурка-
ций.В духе этой теории можно спросить: куда сдвигается устойчивое
состояние логистического отображения при k > 3, например при k =
3.2?Если рисовать диаграмму паутины, то можно выяснить, что спи-
раль, обращенная наружу от точки, замедляется и в конечном счете
сходится к квадратной петле. При этом значение x выбирает одну из
альтернатив между двумя разными числами. Это цикл с периодом
два. То есть устойчивое состояние теряет устойчивость и становится
периодическим. Другими словами, система начинает колебаться.
На компьютере со звуковым генератором можно при этом прослу-
шивать некоторые элементарные мелодии, используя последователь-
ные значения x для определения проигрываемых нот (Рис. 8.5). На-
пример, можно растянуть диапазон [0,1] для x так, чтобы покрыть
одну октаву: до, ре, ми и др. Устойчивому состоянию соответствует
однообразная и скучная мелодия: фа-фа-фа-фа-фа. . ., звучащая посто-
янно. Период в две единицы отображается мелодией, по меньшей мере,
имеющей свойства ритма: си-ми-си-ми-си-ми и так много раз. Конеч-
но это не Бетховен.
Если увеличить k приблизительно до 3.5, то период возрастет вдвое.
При этом аттрактор также останется неустойчивым, а период равен че-
тырем и проявляется так: си-фа-ля-ми-си-фа-ля-ми-. . .. При k = 3.56
период удваивается снова и становится равным восьми, при k = 3.567

Рецепт Хаоса
191
Рис. 8.5. Схематическое представление итераций логистического отображения
x → kx(1 - x) в "музыкальной" нотации. Высота "нот" соответствует величине x, а
"октава" выбрана произвольно. Константа k (сверху вниз) соответственно равна 2,
3.2, 3.5, 3.6, 3.56, 3.8, 4.0. По мере увеличения k музыка носит все более случайный
характер.

192
Рецепт Хаоса
он достигает значения 16, и с этого момента начинается быстродей-
ствующая последовательность удвоений, ведущая к периодам 32, 64,
128,. . . (Если вы проделываете все это на вашем домашнем компью-
тере, пожалуйста, учитывайте предупреждение, сделанное в главе 1,
о возможности компьютерных выдач с различными результатами. То
же самое справедливо и для всего, что описывается здесь.)
Этот каскад удвоений периода, который вблизи k = 3.58 уже закан-
чивается, является столь быстрым, что на всем его протяжении период
удваивается бесконечно часто. С этой отметки, сделав все возможное,
чтобы остаться периодическим, и оплачивая цену все удлиняющихся
периодов, логистическое отображение становится хаотическим. Если
вы прослушиваете звуки возникающей мелодии, то можете еще услы-
шать почти-ритмы, иногда полузнакомые мелодии, но ничего не по-
вторяется. Это все еще не Бетховен, но это уже почти неотличимо от
музыки некоторых современных композиторов-минималистов.
Порядок среди хаоса
С этой отметки (около k = 3.58) музыка становится еще более ха-
отической. При максимальном значении k = 4, мелодия буквально
блуждает по всей октаве доступных нот. Таким образом, получаемая
траектория, то есть последовательность x--значений, начинающаяся с
заданной начальной точки, проходит как угодно близко к каждой точ-
ке интервала. Весь интервал становится аттрактором.
Итак, это выглядит довольно просто. При k, изменяющемся от 0
до 4, возникает устойчивое увеличение сложности динамического по-
ведения:
постоянное → периодическое → хаотическое,
c каскадом удвоений периода, являющегося механизмом становления
хаоса. "Регулятор" k только увеличивает сложность поведения, когда
вы поворачиваете его.
Однако это не так просто, как кажется!
Возьмем, например, значение k = 3.835, переводяшее систему в ха-
отический режим. Приблизительно для первых пятидесяти итераций
все выглядит красиво, как и ожидалось, система ведет себя хаотично,
но затем мелодия превращается в поледовательность ми-соль-ре-ми-

Рецепт Хаоса
193
Рис. 8.6. Увеличение k при логистическом отображении не всегда ведет к воз-
растанию случайности: при k = 3.835 возникает цикл с периодом 3.
соль-ре..., повторяющуюся бесконечно. Возникет цикл с периодом три
(Рис. 8.6). Как это происходит?
На моем компьютере это значения
0.1520744 → 0.4945148 → 0.9586346
Если значение k возрастает очень медленно, то возникают периоды
6, 12, 24, 48, 96, . . . с новым каскадом удвоения периодов!
Еще более курьезный случай возникает при k = 3.739. Появляется
бесконечный цикл с периодом пять (Рис. 8.7):
0.8411372 → 0.4996253 → 0.9347495 → 0.2280524 → 0.6582304,
вблизи от которого возникают периоды 10, 20, 40, 80, . . ..
Рис. 8.7. Цикл с периодом 5 при логистическом отображении, возникающий при
k = 3.739.
Поэтому это не такая удобная картинка, а регулятор k не простой
"генератор хаоса". Неверно, что при увеличении k динамика всегда ста-
новится более сложной. Напротив, внутри хаотического режима спря-
таны небольшие "окна" регулярного поведения.
Где же эти окна находятся? Это -- сложная история, но есть одна хо-
рошо понятная вещь. Мы даже знаем, в каком порядке возникают пе-
риоды. Фундаментальная теорема об этом была доказана российским

194
Рецепт Хаоса
математиком A. Н. Шарковским. Запишем целые числа в следующем
порядке:
3→5→7→9→11. . .
→6→10→14→18→22→. . .
→12→20→28→36→44→. . .
→3·2n →5·2n →7·2n →9·2n →11·2n →. . .
→2m→2m-1→. . .
→32→16→8→4→2→1.
Сначала идут нечетные числа в порядке возрастания. Затем их
увеличенные в 2, 4, 8 раз ... значения, а в заключение степени чис-
ла 2 в порядке убывания. Если при данном значении k, логистическое
отображение имеет цикл периода p, то оно должно также иметь цикл
периода q для всех q, таких, что p → q принадлежат этому упорядоче-
нию. Поэтому первые циклы5, которые есть в этом множестве, имеют
периоды 1, 2, 4, 8, . . . каскад удвоений периода. Период 17, скажем,
предшествует периоду 15, но принадлежит множеству раньше, чем пе-
риод 34, и перед тем как установлены такие периоды, как 44 или 52,
которые кратные для этих периодов 4, и прежде чем установлены пе-
риоды 88 и 104, которые кратны 8. . ..
Что действительно вызывает сомнение, так это то, что столь же
причудливое упорядочение имеет место не только для итераций ло-
гистического отображения, но и для итераций любого отображения с
одним пиком на единичном интервале. Этот результат был первым
намеком на то, что некоторые паттерны хаоса могут быть универсаль-
ными, то есть не специфическими для индивидуальных примеров, а
представительными для всех классов систем.
Большие блохи, маленькие блохи ...
Кроме того, существует нечто, способное еще более смутить наш ум,
и связанное с периодическими окнами логистического отображения.
Существует способ получить обзор всех аспектов динамического
поведения логистического отображения для всех значений k за один
5Извлечение (или расположение чисел) из множества выполняется в обратном поряд-
ке, то есть первые, извлекаются последними. Прим. пер.

Рецепт Хаоса
195
раз. Он известен как бифуркационная диаграмма (Рис. 8.8). Бифур-
кация -- это любое качественное изменение формы аттрактора дина-
мический системы, а логистическое отображение как раз замусорено
бифуркациями. Его можно получить следующим образом. Будем ри-
Рис. 8.8. Бифуркационная диаграмма для логистического отображения. Кон-
станта k увеличивается от 2 до 4 по горизонтали. Вертикальная координата харак-
теризует значение x. Заметим, что фиговое дерево (fig-tree) удвоения периодов, со-
ответствует нарастанию хаотических ветвей. (Воспроизведено с разрешения John
Wiley & Sons Ltd.)
совать график, откладывая k горизонтально, а x -- вертикально. Для
каждого значения k отметим те значения x, которые принадлежат ат-
трактору для этого k. Каждый тонкий вертикальный слой характери-
зует отображение на интервале от 0 до 1, где имеется соответствующий
аттрактор. Так, например, при k меньшем 3, существует только один

196
Рецепт Хаоса
точечный аттрактор, и мы отметим соответствующее ему единствен-
ное значение x. Продолжая таким образом, получаем кривую.
Владельцам домашних компьютеров возможно захочется сначала
поэкспериментировать, а потом продолжить чтение. Нарисуем гра-
фик, где k изменяется по горизонтали от 0 до 4 с шагом, например
0.2. Ось x направим вертикально и рассмотрим значения, располага-
ющиеся между 0 и 1. (Вы должны так растянуть шкалы, чтобы яс-
но все видеть.) Для каждого значения k, выполните итерации x для
нескольких сотен шагов, не нанося на график каких-либо точек, а за-
тем продолжайте итерации для следующих приблизительно двадцати
шагов, перенося на график полученные значения x для выбранного k.
Вы сможете увидеть, что при k = 3, бывшая до этого единственная
кривая расщепляется на две ("бифуркация" имеет в английскм языке
и в математике один и тот же смысл раздвоения, которое возникает
снова и снова, в то время как k принимает значения из интервала,
отвечающего режиму удвоения периода. Вы видите красивую струк-
туру дерева, которую я называю фиговым деревом (fig-tree) (Рис. 8.9)
потому, что оно привело к замечательному открытию американского
физика Митчела Фейгенбаума. Его открытию посвящена вся следу-
ющая глава. (Фейгенбаум означает по-немецки "фиговое дерево". Я
получил по-немецки еще одну игру слов, к сожалению.)
Рис. 8.9. Схематическое изображение фигового дерева: регулярное, повторяю-
щееся бесконечное ветвление, занимающее конечное пространство.

Рецепт Хаоса
197
Приблизительно при k = 3.58 фиговое дерево достигает высшей
точки в бесконечном множестве ветвей, и система становится хаоти-
ческой. Ветви фигового дерева превращаются в полосы хаотических
аттракторов. Бифуркационная диаграмма здесь заполнена случайны-
ми точками.
Однако рассмотрим ее более детально. Довольно часто на изобра-
жении встречается тонкая белая полоса, содержащая в себе только
несколько небольших точек. Это периодические окна (Рис. 8.10).
Рис. 8.10. Детализация Рис. 8.8 внутри периодического окна: целая структура
повторяется в миниатюре. И здесь есть окна внутри окон (показаны стрелкой)...
(Воспроизведено с разрешения John Wiley & Sons Ltd.)
Если рассматривать окно при k ≈ 3.835, в котором основной пери-
од равен трем, то можно увидеть, что оно содержит три крошечных
собственных фиговых дерева. Выберите одно из них и увеличьте изоб-
ражение, чтобы обнаружить еще одну его прекрасную деталь.
Это поддерево также заканчивается полосами хаоса. Внутри этих
полос имеются ещё более тонкие белые полосы всего с несколькими

198
Рецепт Хаоса
крошечными точками. Это окна внутри окон. В этих окнах находятся
еще более крошечные деревья и так далее.
Фактически, внутри любого окна находится точная копия полного
отображения. Бифуркационная диаграмма для логистического отоб-
ражения содержит крошечные копии самого себя, совершенные в каж-
дой своей детали. Это явление называется самоподобием, и оно имеет
очень важное значение.
Деревня Котсволд, в Бартоне6, привлекает туристов моделью этой
деревни, которая в соответствующем углу имеет модель модели этой
деревни, содержащую в соответствующем углу модель модели модели
деревни. В Бартоне последовательность на этом заканчивается. Одна-
ко при бифуркациях на основе логистического отображения (Bifurcation-
on-the-Logistic) каждая копия всякий раз содержит совершенно точные
копии оригинала.
6Имеется в виду Bourton-on-the-Water. Прим. пер.

Глава 9
Чувствительный Хаос
Люблю омывать я
Пыль этого мира,
Очищая свой опыт,
Капельками росы.
Басё.
Японский поэт Мацуо Басё родился в 1644 в призамковом городе
Уэна, столице провинции Ига, в семье самурая невысокого ранга. Его
отец служил правящему семейству Тодо. В возрасте сорока лет Басё
совершил свое первое путешествие, во время которого он вел записи
о состоянии погоды The Records of a Weather-exposed Skeleton. Поэма,
строфа из которой приведена выше, воспевает весну в уединении Сей-
джо (hermitage Saigyo): То была славная весна, какой eё описал поэт,
роняющая свои чистые воды под звон капели .
Басё стремился к обновлению своей идентичности через созерцание
природы и нашел нечто прекрасное в таком простом явлении, как паде-
ние водяных капель. Мы будем следовать за ним, но в поиске красоты
математика поможет нам больше, чем поэт. Оба этих представления
связаны, они отыскивают простоту в сложности.
Различные формы падающей воды вдохновляли не только Басё.
Королевская библиотека в Виндзоре хранит много рисунков Леонардо
да Винчи, показывающих сложные завихрения, возникающие в воде
(Рис. 9.1). Точное изображение движения жидкости -- это вызов лю-
бому художнику. Многие люди имеют хорошее мысленное представ-
ление о движущейся воде и, если рука художника ошибётся в своем
отображении этого движения, они немедленно заметят это. Однако
изображение не есть осознанная ясность. Можно заметить ошибку,
но немногие смогут сказать, каким же должно быть движение. Рас-
сматривая выставленную в баре подобную картину, изображающую
скачущих охотников, можно заметить, что они выглядят забавно и да-
же указать на причины этого, например, неправильное положение ног

200
Чувствительный Хаос
лошади при движении галопом, или слишком большое расстояние до
земли, но, что касается меня, то я не могу сказать, как нарисовать
галопирующую лошадь.
Леонардо oбъединял инстинкт ученого со зрением художника, и
он предпринимал сознательные шаги, чтобы улучшить точность своей
работы, проводя тщательное изучение животных, человеческого тела,
облаков, деревьев -- всего, что живописец или скульптор желал изобра-
зить. И он, и его современники очень интересовались текущей водой.
Вода в то время рассматривалась как один из четырех элементов,
составляющих вселенную и была больше, чем просто жидкостью. Вода
была символом процессов жизни потому, что как и жизнь, вода течет.
Она рождается, растет, перемещается, изменяется и умирает. Струйка
весной становится ручейком, рекой, мчащимся потоком, океаном. Река
может произвольно меандрировать по плоской равнине, вырезать глу-
бокие каньоны в древних породах, отложившихся на морском дне сот-
ни миллионов лет назад, падать в захватывающем взор водопаде, или
засоряться илом и расширяться до гигантской веерообразной дельты в
устье. Спокойное море может стать бушующим монстром, покрытым
барашками пены, однако и охваченное штормом море может внезапно
обрести полное спокойствие. Немецкий поэт Фридрих Леопольд Фрей-
герр фон Гарденберг, живший в конце 18 столетия, который печатался
под псевдонимом Новалис, называл воду "чувствительным хаосом".
Неплохое сравнение.
Постижение глубины
Мы привыкли к гарантированной подаче воды, она просто течет из
крана. Мы редко думаем о колоссальных подвигах инженерии, обес-
печивших этот мирской факт. Однако подобные вопросы могут вновь
стать актуальными, если нарушится обслуживающий наш район вик-
торианский туннель, а пока, умывая руки или наполняя водой ковш,
мы не думаем об этом.
Какой инструмент лучше, чем скромный водопроводный кран, поз-
воляет нам проникнуть в глубинную сущность чувствительного хаоса?
Вы наблюдали когда-нибудь, как течет вода из крана? Наблюдали,
или только видели, подставляя зубную щетку под неё? Вдохновлен-
ный собственной риторикой, вероятно впервые в жизни, я проделал

Чувствительный Хаос
201
Рис. 9.1. Стремительный поток Леонардо да Винчи (Винздорский замок, Ко-
ролевская библиотека, c Ее Величества Королевы.)

202
Чувствительный Хаос
это сегодня утром. Не уверен, что ваш кран похож на мой, но реко-
мендую такой эксперимент, во всяком случае, вы узнаете много нового.
А теперь позвольте рассказать об увиденном.
Сущность научного наблюдения заключена в систематичности. Я
допускаю, что много важных открытий, таких как антибактериаль-
ное действие пенициллина, сделаны случайно, но они подтверждаются
и разрабатываются более систематическими методами. Миллион обе-
зьян с пишущими машинками, смогут, в конечном счете, напечатать
Гамлета, но я не уверен, что смогу дождаться этого. Поэтому я став-
лю перед собой систематическую задачу. Как изменяется поведение
вытекающей из крана воды, если скорость потока медленно растёт?
Чуть приоткройте кран. Что произойдет? Конечно, вода закапает.
Если вы сумеете добиться устойчивого течения, то заметите, что вода
капает регулярно между каплями имеется постоянный промежуток.
Откройте кран немного больше. Капли возникают быстрее, но они
продолжают оставаться регулярными. Старайтесь изменять поток ма-
лыми шагами: происходит то же самое. Терпение. Жизнь ученого со-
стоит из обширных периодов спокойствия, прерываемых краткими и
внезапными драмами и волнением.
В некоторый момент падающие капли соединяются вместе и обра-
зуют устойчивый поток. Найдите его! Хорошо, но должен сказать, что
вы пропустили действительно интересный момент. Прежде чем капли
соединятся в поток, возникает несколько переходов, довольно близко
отстоящих друг от друга. Если вы нетерпеливы и увеличивали сечение
потока слишком большими шагами, то вернитесь назад и попытайтесь
проделать все снова.
Первый из этих переходов - это тот, при котором ритм падающих
капель меняется. Вместо устойчивого кап-кап-кап, возникает нечто по-
хожее на капкап - капкап - капкап, близкая пара капель, затем пауза,
затем другая пара. Ритм все еще регулярный, но иной.
Хорошими приборами, вероятно, можно заметить и другие переме-
ны ритма, тоже регулярные, но иные. Однако ни глазом, ни ухом я не
могу управлять. Затем я увидел то, что было гораздо загадочнее. По-
ведение капель становится нерегулярным, они быстро следуют друг за
другом, вы еще видите и слышите падение отдельных капель, но рит-
мический звук пропал, сменившись чем-то гораздо более сложным.
Итак, имеется момент, требующий обдумывания: капли теряют ритм.

Чувствительный Хаос
203
Вскоре после этого, как я уже сказал, капли обьединяются в устой-
чивый поток. Когда поток формируется, он еще может разбиваться на
капли внизу, но скоро его поведение становится устойчивым и сгла-
живается, тонкая конусообразная нить протянулась от крана до ра-
ковины. Жидкостные динамики называют такой поток ламинарным:
жидкость течет в нем тонкими слоями (ламинарами), гладко касаю-
щимися друг друга, подобно колоде рассыпанных на столе карт.
Увеличим скорость струи заметно больше нормы. Поток остает-
ся ламинарным, хотя может возникнуть экстраструктура, когда струя
расщепится на две части или образуется спираль.
Теперь откройте кран полностью. Гладкий ламинарный поток раз-
бивается, вода бьет в раковину с большой силой, поток становится
пенистым и нерегулярным. Это турбулентный поток, и наш второй
важный переход: от ламинарного к турбулентному.
Выключите кран и уберите шваброй брызги. Эксперимент закон-
чен. Теперь переходим к математике.
Накопленные колебания
Мы рассмотрели два способа перехода к турбулентности. Первый воз-
никает в ритме капелек, он действует в дискретной динамической си-
стеме. В этом случае игнорируется детальная структура отдельных
капель. Второй возникает в непрерывной системе, когда ламинарный
поток становится турбулентным. В обоих случаях регулярное движе-
ние внезапно становится нерегулярным.
Турбулентность имеет важное значение для многих отраслей науки
от астрономии до метеорологии (Рис. 9.2), она также важна для прак-
тических инженерных проблем. Турбулентность может уничтожить
водяной канал или нефтепровод, разбить винт судна или разрушить
воздушный лайнер. Для разрешения отдельных практических задач,
имеющих дело с турбулентностью, инженеры изобрели различные ме-
тоды от правила большого пальца до сложных статистических мето-
дов, но истинный внутренний характер ее остается проблемой самого
высокого порядка.
Фундаментальная наука о турбулентности скорее относится к фи-
зике, чем к технике. Как же класическая математическая физика опи-
сывает проявления турбулентности?

204
Чувствительный Хаос
Рис. 9.2. Турбулентность в атмосфере Юпитера у Большого Красного Пятна.

Чувствительный Хаос
205
Классическое уравнение для потока вязкой жидкости, выведенное
из уравнения Эйлера, является детищем француза Клода Луи Мари
Навье и англичанина, сэра Джорджа Стокса. Поток жидкости, под-
чиняющийся дифференциальным уравнением в частных производных
Навье и Стокса, детерминирован и является предсказуемым. До от-
крытия хаоса его считали синонимом "регулярности", но турбулент-
ность нерегулярна. Вывод: что-то плохо согласуется с уравнениями.
Это не является неправдоподобным. Вспомните, что эти уравне-
ния описывают высоко идеализированную жидкость, которая являет-
ся бесконечно делимой и гомогенной. Реальная же жидкость состо-
ит из атомов (выбирайте из конкурирующих уровней детальности от
мельчайших твердых шаров до квантовых вихрей вероятности). Тур-
булентность возникает вследствие образования мелких и еще более
мелких вихрей, но вихри доатомных размеров -- физическая неле-
пость. Если реальная жидкость подчиняется уравнению Навье-Стокса
на этом уровне дробления, то вихри должны состоять из сгустков ее
собственных атомов.
Итак, предположительно, турбулентность обусловлена микроско-
пическими эффектами на атомарном уровне. Неточности в уравнениях
Навье-Стокса атомной величины распространяются физическим пото-
ком, увеличиваются в размере и наблюдаются как турбулентность. Это
теория Лери, созданная в 1934, когда атомная физика была особенно
актуальна и привлекательна.
В течение последующих десяти лет, физик Лев Ландау понял, что
имеется также другая возможность. Статья, которую он написал в
1944, начинается фразой: Хотя турбулентное движение много раз
обсуждалось в литературе, сама сущность этого явления все еще ис-
пытывает недостаток ясности . Затем Ландау переходит к анализу
ключевого вопроса: как возникает турбулентность? По мнению
автора, проблема может быть рассмотрена в новом свете, если процесс
возникновения турбулентности будет исследован максимально полно .
Представьте систему в устойчивом состоянии. Если поддающиеся
управлению внешние условия будут изменены, то состояние системы,
возможно, станет неустойчивым. Например, лежащее на плоскости те-
ло может заскользить вниз при наклоне этой плоскости, или воздуш-
ный шар может лопнуть, если его надуть слишком сильно.
Когда я сдаю свой автомобиль в ремонт, чтобы отбалансировать ко-

206
Чувствительный Хаос
лесо, гаражный механик помещает его в причудливую смесь маханиз-
мов, которые много раз вращают колесо вокруг оси. Руководствуясь
числами на экране, он добавляет металлические грузы к ободу колеса,
чтобы сбалансировать его. Дело в том, что несбалансированное коле-
со вибрирует, если вращается слишком быстро. Возникает состояние,
известное как биение колеса.
Биения в динамике -- это фундаментальная математика. Биения
являются одним из самых простых способов перехода в состояние, при
котором теряется устойчивость.
Если на существующее устойчивое состояние накладывается коле-
бание, то добавляется новое периодическое движение, и ровно вращав-
шееся до этого колесо начинает вибрировать. При этом возникают два
наложенных периодических движения: вращение и вибрация.
Ландау рассмотрел возникновение турбулентности как нарастание
биений. Чисто теоретически, он полагал, что на ранних стадиях тур-
булентность возникает из-за наложения трех или четырех различных
периодических движений, а когда их скорость в достаточной степени
возрастет, число периодических движений станет бесконечно большим.
Основной механизм, вызывающий биения, называется бифуркацией
Хопфа, по имени первооткрывателя, Эберхарда Хопфа. Сток (устой-
чивое состояние) становится нестабильным и превращается в источ-
ник, окруженный предельным циклом, представляющим периодиче-
ское движение (Рис. 9.4). В 1948 Хопф предложил существенно более
проработанную теорию в том же самом направлении, что и Ландау.
Голландский ученый Я. M. Бергерс незадолго до него изучал упро-
щенную версию уравнений Навье-Стокса, и Хопф применил сходную
тактику. Он предложил иную приближенную модель, которая очень
необычным образом имела явное решение, и показал, что его решение
вытекает из накопления биений по сценарию Ландау.
В последующие три десятилетия теория Хопфа-Ландау получила
признание и широко применялась. Она имела несколько достоинств.
Теория была простой и понятной, а механизм, посредством которого
происходило возрастание частоты, был основным и естественным. По-
явились уравнения для нескольких моделей типа Хопфа, в которых
использовался аналогичный сценарий. Теория позволяла применять
классические методы, такие как Фурье-анализ, что делало её пригод-
ной для вычислений.

Чувствительный Хаос
207
Рис. 9.4. Возникновение биения, или как устойчивое состояние переходит в пери-
одическое. Этот механизм известен как бифуркация Хопфа: сток теряет устойчи-
вость и становится источником, проходя через предельный цикл. (Воспроизведено
c разрешения John Wiley & Sons Ltd.)
Непохожий сценарий
Однако в 1970 эта удобная картина было нарушена, но не разбита
предположением, возникшим вне жидкостной динамики, которое бы-
ло весьма спекулятивным и не имело необходимой экспериментальной
поддержки. Чтобы представить дело еще острее, скажем, что новые
представления исходили не от физики жидкости, а от топологии.
Давид Рюэль, бельгийский математик, работавший в Институте
естественных наук в Париже, и его голландский гость, Флорис Такенс,
попытались осмыслить турбулентность исходя из топологической ди-
намики а ля Смейл. Они задались вопросом: существует ли типичный
сценарий, родовой процесс, предшествующий турбулентности?
Это было не совсем ясно. Но чем является ясность, если теория
Хопфа-Ландау, возможно, некорректна. Вероятно, каждое из накап-
ливаемых биений должно проявиться как математически, так и физи-
чески? Однако только первое действительно существует.
Интуиция Хопфа и Ландау исходила, с некоторыми дополнени-
ями, из гамильтоновой динамики. Там сохранение энергии налагает
ограничение, которое делает банальным квазипериодическое движе-
ние, включающее много частот. Однако это ограничение не распро-
страняется на диссипативные системы, то есть на системы с трением,
а в потоке вязкой жидкости трение проявляется весьма заметно.
Рюэль и Такенс нарисовали следующую картину.
Первый переход из устойчивого состояния к одиночным биениям

208
Чувствительный Хаос
Рис. 9.5. Блокирование частоты: (слева) два независимых периодических коле-
бания объединяются, налагаясь друг на друга. Поток (справа) разбивается, что-
бы сформировать один устойчивый периодический цикл (жирная линия) и один
неустойчивый периодический цикл. Для ясности, тор, на котором рассматрива-
лось движение, был разрезан и раскрыт в форме квадрата.
является типичным даже в диссипативных системах, он ведет к пери-
одическому движению. Здесь нет никакой трудности.
Второй переход, добавляющий дополнительную частоту, несомнен-
но может возникать. Вначале он ведет к движению, которое с тополо-
гической точки зрения представляет собой поток на торе в двух изме-
рениях. Это движение начинается извне, оно имеет сходство с квазипе-
риодическим наложением друг на друга двух независимых периодиче-
ских движений. Однако оно не может продолжаться долго, потому что
это движение не типичное и не родовое. Практически, даже небольшие
возмущения разрушают его.
К этому времени типичные родовые структурно устойчивые пото-
ки на торе уже были известны. Они предсказали то, что хорошо из-
вестно инженерам--электрикам как блокирование частоты1 (Рис. 9.5).
Два вначале независимых периодических движения взаимодействуют
и превращаются в одно объединенное, которое является периодиче-
ским с общим объединенным периодом.
При наложении трех частот возникает нечто более драматическое,
объединение происходит неправильно. Обычно три частоты не могут
1Термин frequency-locking. Прим. пер.

Чувствительный Хаос
209
даже блокироваться: вместо этого они способны объединяться для
создания нового объекта, который Рюэль и Такенс назвали стран-
ным аттрактором. Соленоид является странным аттрактором, таким
же является (предположительно) и аттрактор Лоренца. Странные ат-
тракторы имеют странную геометрию.
Основой теории Рюэля-Такенса является сценарий Хопфа-Ландау,
напоминающий, с точки зрения топологов, балансирующую на одном
конце шпильку. Шпилька неустойчива и теория Хопфа-Ландау струк-
турно неустойчива. Если слегка коснуться шпильки, то ее движение
нарушится, и она упадет на стол: если сделать небольшие изменения
в уравнениях движения, то сценарий Хопфа-Ландау рассыплется на
части и наедет на странный аттрактор.
Фальсифицируемость теории
Далеко не все ученые, занимающиеся динамикой жидкости, были удо-
влетворены предположением Такенса и Рюэля. Оно и на самом деле
было спорным. Однако те люди, которых удовлетворяло это предло-
жение, вдохновились им и задали новый вопрос: изрядно, но верно ли?
В науке есть освященный веками способ выяснить верна ли теория.
Это -- эксперимент.
Точнее, эксперимент может сказать, когда теория неверна, но он
никогда не дает абсолютной уверености в ее истинности. Можно дока-
зать теорему в математике, но нельзя доказать теорию. Как подчерки-
вал философ Карл Поппер, проверка научной теории осуществляется
для её фальсификации, а не верификации. Чем больше противоречий
с экспериментом способна объяснить теория, тем больше она похо-
жа на истинную, или, по крайней мере, тем шире диапазон условий,
при которых она работает. Однако невозможно доказать, что теория
абсолютно правильна, даже если она переживет миллион эксперимен-
тальных тестов, поскольку, как знать, она может оказаться неверной
в миллион первом случае.
Таким образом, в преддверии третьего тысячелетия от рождества
Христова ученые отказались от погони за Истиной.
Заявив это, они изо всех сил стараются не делать ошибок. Однако
мы больше не живем в эпоху абсолютов и ужасно медленно обучаемся
не делать ничего слишком серьезно.

210
Чувствительный Хаос
Чтобы считаться научной, теория должна, в принципе, быть прове-
ряемой. На острове Корфу существует суеверие: если вы обращаетесь
с просьбой к богу, то это приносит вам удачу или неудачу в зависи-
мости от того, что происходит при этом. Это убеждение не составляет
научную теорию, но не потому, что нельзя измерить "удачу", а потому,
что трудно отчетливо понять, как эксперимент может опровергнуть
эту теорию, даже если бы его можно было поставить.
Однако это вовсе не означает, что жители острова Корфу неправы.
То, что мы обсуждаем -- это пределы научного знания. Вполне могут
существовать истины во вселенной, которые не могут быть познаны в
научном смысле. Поэтому так трудно разрешать подобные споры.
Классическая лаборатория
Можно ли фальсифицировать теорию странных аттракторов?
Первоначально полагали, что прямо сделать это нельзя, поскольку
не знали ни как найти странный аттрактор, ни как выявить его от-
сутствие. Дело в том, что математический аттрактор в теории Рюэля-
Такенса не связан с какими-либо физически измеримыми переменны-
ми. Поэтому попытка проверить такую теорию выглядит немногим
лучше, чем объяснение турбулентности действием плавающих в жид-
кости невидимых монсторов, которых нельзя обнаружить физически-
ми приборами.
Существует несколько способов обойти это. Один состоит в улуч-
шении взаимодействия между математикой и физикой. Это, видимо,
очень трудно сделать для турбулентности, где нельзя сказать, что это
не важно. Другой заключается в том, чтобы уклониться от проблемы.
Возможно странный аттрактор способен проявить себя косвенно.
Теория Хопфа-Ландау значительно лучше подходит для проверки.
Требуется только измерить составляющие частоты движения и наблю-
дать как накапливаются колебания. Если накопления не происходит,
то теория Хопфа-Ландау ошибочна.
То есть, следует попытаться показать не то, что Рюэль и Такенс
правы, а доказать, что Хопф и Ландау неправы. Исторически все шло
совсем иначе: экспериментаторы прикладывали усилия, чтобы пока-
зать правоту теории Хопфа и Ландау.
Вы, конечно, уже представили себе, как это было выполнено? В

Чувствительный Хаос
211
конце концов, теория Хопфа-Ландау широко применялась в течение
нескольких десятилетий.
Эксперименты удавались не полностью. Первые несколько стадий
наблюдались, но, когда колебания накапливались, точно измерять их
становилось все труднее.
Дальнейший прогресс зависел от новой идеи.
Гарри Суини, физик из университета Остин штата Техас начал
свою карьеру экспериментатора, изучая фазовые переходы. При ки-
пении воды, плавлении металла или намагничивании магнита проис-
ходят фазовые переходы, то есть возникают микроскопические изме-
нения состояния вещества из-за его реорганизации на молекулярном
уровне. В некотором смысле переход к турбулентности -- это разновид-
ность фазового перехода в жидкости. Некоторые из великих физиков,
занимавшихся динамикой жидкости, например, Осборн Рейнольдс и
лорд Релей размышляли об этом. Однако аналогия казалась слишком
свободной и слишком неточной, чтобы быть математически полезной.
Тем не менее, эта идея была ведущей в размышлениях Суини. Су-
ществуют ли методы изучения тонких явлений при фазовых перехо-
дах, которые были бы применимы к жидкостям?
Существует ряд способов проведения эксперимента, позволяющего
сделать поток жидкости турбулентным. Первая стадия проектирова-
ния эксперимента заключается в установлении типа системы, которая
будет использоваться. Фундаментальная наука не имеет специальных
целей, вроде "выбора наилучшей формы закрылка крыла у реактивно-
го лайнера", и это позволяет ученому по своему усмотрению выбирать
систему. Для лабораторных экспериментов в фундаментальной науке
важно, чтобы система была "чиста", но не в буквальном смысле от
отпечатков пальцев , а в том, что она должна легко монтироваться и
работать, доставляя точные результаты, которые можно воспроизве-
сти при повторном выполнении.
Существует классическая лабораторная система, используемая в
динамике жидкости, которая изобретена французским гидродинами-
ком M. M. Куэттом. Он искал метод, позволяющий изучать "сдвиг
струй" в состоящем из отдельных струй потоке, и придумал располо-
жение двух цилиндров, один внутри другого (Рис. 9.6). Между непо-
движным внешним цилиндром и вращающимся внутренним имеется
постоянный и управляемый сдвиг. В такой системе жидкость движет-

212
Чувствительный Хаос
Рис. 9.6. Прибор для эксперимента Тейлора-Куэтта (схематически). Промежу-
ток между двумя цилиндрами заполнен жидкостью, а цилиндры вращаются. Этот
промежуток здесь увеличен для наглядности, обычно он не превышает 10--20 про-
центов от радиуса внешнего цилиндра.
ся по кругу вместе с вращающимся цилиндром, быстро в середине и
медленно снаружи. Это как раз и обнаружил Куэтт.
В 1923 английский математик--прикладник Джеффри Инграм Тей-
лор экспериментировал с ускорением внутреннего цилиндра и сделал

Чувствительный Хаос
213
озадачившее всех открытие. Если скорость вращения цилиндра ста-
новится достаточно высокой, то жидкость перестает гладко двигаться
по кругу и разбивается на пары вихрей, как в калейдоскопе после
вращения. Фактически это красивый пример неустойчивости Хопфа--
Ландау, когда возникает новое периодическое движение. Однако это
только первая стадия сценария Хопфа--Ландау.
Позднее экспериментаторы и теоретики изучили систему Куэтта--
Тейлора (или систему Тейлора--Куэтта, как нефранкофилы часто на-
зывают ее) очень детально. Эта система пригодна для большинства
исследований потоков жидкости. Они выявили огромное разнообра-
зие возникающих эффектов. Вихри могут стать волнистыми (Рис. 9.7).
Волны могут воздыматься и падать, подобно лошадкам на карусели,
Рис. 9.7. Волнистые вихри в эксперименте Куэтта--Тейлора. Обратите внимание
на нарушение второй и третьей волны в нижней части рисунка, где число волн
находится в процессе изменения.

214
Чувствительный Хаос
порождая модулированные волнистые вихри. Существуют также скру-
ченные и заплетеные вихри. Есть также структуры в виде спирали,
подобные вывеске парикмахера2, а также напоминающие волнистые,
модулировановолнистые и взаимопроникающие спирали.
И, при высоких скоростях, система становится турбулентной.
Все это разнообразие поведений было получено на этом приборе с
определенным расстоянием между цилиндрами точно воспроизводи-
мым способом. Поэтому Суини и его сотрудник Джерри Голлуб реши-
ли использовать классическую лабораторию Куэтта--Тейлора.
Излучение лазера
В то время измерения скорости текущей жидкости выполнялись с по-
мощью зондов и окрашивания нужных струй. Эти методы нарушали
движение потока и были не очень чувствительны и точны, но люди,
проводившие полевые эксперименты, приспособились к таким пробле-
мам и не ожидали заметных улучшений. Суини выбрал значительно
более чувствительное устройство: лазер.
В наше время лазеры стали широко использоваться. Если вы при-
обрели проигрыватель компакт-дисков, то приобрели также и лазер.
Каждый фанат Звездных Войн (я имею в виду фильм) знает, что ла-
зеры - это то, чем вооружены запоминающиеся имперские охранники.
Лазеры создают луч когерентного света, в котором все волны находят-
ся в одной фазе, они усиливают друг друга вместо того, чтобы гасить.
Таким образом возникает очень точный и правильный световой резак.
Если вы слышали сирену пожарной машины, когда она проезжа-
ла мимо вас, то возможно обратили внимание, что её звук, становит-
ся более низким, как только пожарная машина начинает удаляться.
Это эффект Допплера, названный так по имени австрийского ученого
Христиана Допплера, который впервые обнаружил его в 1842. Дей-
ствительно, звуковые волны имеют более высокую частоту во время
приближения пожарной машины, она понижается при её удалении.
Тот же самый эффект возникает и со светом, только теперь его цвет
отражает изменение частоты. Если направить луч лазера на пожарную
машину, и сравнить цвет возвращающегося света с первоначальным,
то можно определить скорость ее движения.
2Barber-pole или barber's pole -- столб со спиральной бело-красной окраской, который
устанавливается вблизи парикмахерских, как вывеска. Прим. пер.

Чувствительный Хаос
215
Аналогичным образом, если распылить крошечные частицы алю-
миниевого порошка в жидкости, то можно использовать лазер, чтобы
определить скорость движения частиц - и, предположительно, жид-
кости. Эта методика известна как лазерное определение скорости с
помощью эффекта Допплера.
Если имеется сложный сигнал, образованный наложением волн с
различной частотой, то можно выполнить матетематичекий анализ
сигнала и извлечь его индивидуальные компоненты. Можно также
узнать величину каждой компоненты и её вклад в общее количество.
Это выполняется методом Фурье--анализа, представляющим кривую в
виде суммы синусоидальных и косинусоидальных кривых.
Конечный результат такого анализа может быть представлен в
форме спектра мощности на графике, показывающем величину каж-
дой составляющей частоты (Рис. 9.8). На рисунке приведены пять се-
рий наблюдений (график слева) вместе со спектрами мощности (спра-
ва). Масштаб времени наблюдений (в секундах, s) и масштаб частоты
(в герцах: 1 Гц = 1 колебанию в секунду) указан в нижней части рисун-
ка. Верхняя часть левого изображения показывает очень регулярный
ритм с частотой приблизительно в одно колебание за десять секунд.
Ему соответствует спектр мощности справа, имеющий одиночный пик
на частоте, близкой к 0.1 Гц. Второй ряд наблюдений является суще-
ственно менее регулярным, а его спектр мощности имеет несколько
пиков. Тренированный глаз может заметить, что все они получены
наложением величин, кратных двум основным частотам f1 и f2, рас-
положенным вблизи 0.03 Гц и 0.1 Гц.
Пики на графиках спектров мощности соответствуют четко опре-
деленным составляющим частотам, намного более интенсивным, чем
близлежащие. Квазипериодический сигнал характеризуется спектром
мощности, состоящим в основном из острых пиков, как это показано
на трех верхних изображениях Рис. 9.8. Шум, то есть "случайный" сиг-
нал, имеет широкополосный спектр, а составляющие его частоты раз-
мазаны, как это показано на графике в нижней части рисунка. Смесь
двух частот, как видно на четвертом графике, также возможна.
Спектр мощности -- это "отпечатки пальцев частоты" для наблюде-
ний, он позволяет установить наличие определенных типов поведения.
Суини и Голлуб использовали компьютер, чтобы получить спектр ско-
ростей жидкости на основе имеющихся у них лазерных данных. Они

216
Чувствительный Хаос
Рис. 9.8. Временные ряды наблюдений в эксперименте по изучению конвекции
и соответствующие последовательности спектров мощности показывают, как из-
меняется величина составляющих частот. Пики соответствуют четким частотам
в периодическом или квазипериодическом движении, широкие полосы характери-
зуют хаос.
убедились, что наблюдается возникновение следующих друг за другом
новых частот, как это и было предсказано Хопфом и Ландау.
Именно такое развитие событий ожидалось.
Они искали первый переход и нашли его, затем они повторили экс-
перимент много раз и получили очень чистые и точные данные. Такие
ясные и фактически точные, что ни один физик, занимающийся дина-
микой жидкости, не поверил им. Никто не хотел издавать их результа-

Чувствительный Хаос
217
Рис. 9.9. Спектры мощностей в системе Тейлора--Куэтта. Первоначально на-
блюдается только одна частота ω1 (периодическое колебание). Затем появляется
вторая частота ω2 (вместе с другими пиками, представляющими наложение ча-
стот ω1 и ω2). В конце концов возникает широкая полоса хаоса. (Воспроизведенно
c разрешения John Wiley & Sons Ltd.)
ты. Их прикладная программа на получение гранта для продолжения
исследований была отвергнута. Одни сказали, что эти результаты не
новы, другие не поверили им вовсе.
Неустрашимые, Суини и Голлуб, продолжали путь к следующему
переходу и потерпели неудачу, пытаясь найти его. Никакого очевид-
ного способа для создания новой частоты не было. Вместо этого, по-
степенно возникла широкая полоса частот (Рис. 9.9), о которой они
написали: То, что мы нашли, было хаотическим .

218
Чувствительный Хаос
Контакт
Наука велика. Невозможно знать все, что происходит. Обычно ученые
выясняют нужные им вещи через личные контакты. Суини и Голлуб
проверили теорию Хопфа--Ландау и нашли ожидаемое, но они еще не
знали, что Рюэль и Такенс предложили альтернативный вариант.
Однако другие знали. Научная система общения работала, и в 1974
бельгийский математик Давид Рюэль появился в лаборатории Суини.
У Рюэля была теория, которая предсказывала хаос, а у Суини был
хаос, но не было теории. Оставалось только соединить их, чтобы пред-
сказания Рюэля соответствовали находкам Суини.
Имелось косвенное доказательство. Компьютерные расчеты пока-
зывали, что широкополосный спектр частот должен возникать, если
присутствует странный аттрактор.
Теперь темп исследований увеличился. Чем больше ученые узна-
вали хаос, тем больше математиков включалось в изучение его теоре-
тических аспектов. Серия экспериментов, впервые выполненная Суи-
ни и его коллегами, но очень скоро повторенная другими, достаточно
недвусмысленно показала, что странные аттракторы присутствуют в
целом ряде турбулентных потоков.
Результаты, вначале применяемые только к турбулентности, по
крайней мере в некоторых лабораторных системах хорошо поддержи-
вали теорию странных аттракторов, а теория Хопфа--Ландау оказа-
лась неверной для воды. По иронии судьбы большая часть замечатель-
ных математических особенностей, выявленных Рюэлем и Такенсом,
оказались несоответствующими и даже неверными при интерпретации
экспериментальных данных. Однако, что касается основной идеи. . ., то
тут, как оказалось, они нашли золотую жилу.
Но все это еще было неопределенным.
Могли существовать другие объяснения полученных наблюдений.
Требовалось найти более прямой путь, нечто такое, что сделало бы
гипотезу странных аттракторов фальсифицируемой.
Это требовало другой идеи.
Фиктивная наблюдаемость
Опубликованная в 1970 статья Рюэля и Такенса известна не как теория
турбулентности, а скорее как отправная точка для такой теории. Они

Чувствительный Хаос
219
предложили то, без чего не удавалось связать топологию с физикой.
Если имеется, например, некоторая величина, допускающая измерение
и графическое отображение, и позволяющая отыскивать странный ат-
трактор в результатах, то такая теория может быть фальсифицирова-
на. Теория неверна, если после проведения эксперимента в полученных
результатах невозможно найти странный аттрактор.
Что такое экспериментальная наблюдаемость? Это наличие неко-
торой численной переменной, зависящей от состояния наблюдаемой
системы. Однако в топологической теории турбулентности как раз от-
сутствует какое-либо знание того, от чего она зависит. С первого взгля-
да трудно понять, как можно обойти эту проблему, как исключить
установление такой связи. Единственная возможная программа иссле-
дования в этом случае состоит в том, чтобы проверить теорию Рюэля--
Такенса, то есть извлечь странный аттрактор из уравнения Навье--
Стокса для потока жидкости. Эта проблема требует скорее матема-
тического, чем экспериментального совершенствования, она не была
решена тогда. Аттрактор Лоренца в расчёт не принимался вследствие
содержащихся в нем приближений.
Однако другой путь существует. Предположим, что можно как-то
реконструировать форму аттрактора из серии наблюдений способом,
не зависящим от точных значений измеренных величин. Тогда кон-
кретная связь не имеет значения.
Эта изящная уловка была придумана Давидом Рюэлем и Норманом
Паккардом, полагавшими, что она поможет им работать, а Флорис
Такенс сумел доказать, что она действительно работает.
В простейшей форме последовательность экспериментальных на-
блюдений образует временной ряд: перечень чисел, представляющих
значения наблюдаемой переменной в регулярные интервалы времени.
(Ряд может быть и нерегулярным, но не будем усложнять обсужде-
ние.) Например, температура в данном месте в полдень, наблюдаемая
каждый день, образует временной ряд, содержащий нечто вроде
17.3, 19.2, 16.7, 12.4, 18.3, 15.6, 11.1, 12.5, . . .
градусов Цельсия.
Предположим, что требуется поставить эти данные в соответствие
странному аттрактору. Проблема состоит в том, что аттрактор рас-
сматривается, скажем, в трехмерном пространстве, а наблюдения вы-
полнены в одном измерении. Например, лазерный измеритель доппле-

220
Чувствительный Хаос
рового смещения позволяет получить только частоту отраженного лу-
ча, соответствующую скорости потока в некоторой конкретной точке.
Можно сказать, что аттрактор расплющен в одну размерность, и мы
видим только его контур.
Если бы можно было увидеть аттрактор с других направлений,
то можно было бы воссоздавать его полное трехмерное изображение,
точно также, как архитектор передает форму здания по плану, фасаду
и боковой проекции. Чтобы реконструировать трехмерный аттрактор,
необходима информация с трех различных направлений.
Однако в данном случае, очевидно, нет никакой возможности най-
ти эти дополнителные направления во временном ряде, содержащем
одинаковые наблюдения. Нужны два других вида наблюдений.
Рюэль и Паккард предложили для проверки гипотезы образовать
еще два фиктивных вида наблюдений из этих же временных рядов,
смещая значения времени (Рис. 9.10). Вместо одиного временного ря-
да, мы теперь сравниваем три: оригинал и две копии, сдвинутые соот-
ветственно на одно и два измерения:
Рис. 9.10. Компьютерный эксперимент по реконструкции аттракторов мето-
дом Паккарда-Такенса на двухмерном графике: (a) периодический временной ряд
sin t + sin 2t образует замкнутую петлю; (b) временной ряд с двумя частотами
sin t + sin √2t образует проекцию тора; (c) временной ряд с тремя частотами
sin t + sin √2t + sin √3t не имеет ясной структуры на двумерном графике. Тре-
тья координата используется, чтобы показать его квазипериодическую природу.

Чувствительный Хаос
221
Ряд 1 17.3, 19.2, 16.7, 12.4, 18.3, 15.6, 11.1, 12.5, ...
Ряд 2 19.2, 16.7, 12.4, 18.3, 15.6, 11.1, 12.5, ...
Ряд 3 16.7, 12.4, 18.3, 15.6, 11.1, 12.5, ...
Таким образом, получается математическая конфетка: временной
ряд трехмерных наблюдений, сформированный из исходного одномер-
ного. Просто читайте последовательные колонки как тройки чисел.
Первое фиктивное наблюдение задается тройкой (17.3,19.2,16.7), ко-
торая представляет точку в трехмерном пространстве, смещенную на
17.3 на восток, 19.2 на север и 16.7 вверх от начала координат.
Следующая точка задается числами (19.2,16.7,12.4), и так далее. С из-
менением времени эта тройка перемещается в пространстве. Рюэль и
Паккард предположили, а Такенс доказал, что пути этих троек обра-
зуют след, являющийся топологическим приближением к форме ат-
трактора (Рис. 9.11).
Рис. 9.11. Восстановление странного аттрактора (здесь аттрактор Лоренца)
методом Паккарда--Такенса (сравните с Рис. 7.4)
Для аттрактора большей размерности необходимо больше замеща-
емых временных рядов, но эта же общая идея работает. Существует
вычислительный метод для реконструкции топологии аттрактора из

222
Чувствительный Хаос
одномерного временного ряда и не имеет значения, какие результа-
ты наблюдений при этом используются.
Есть и другие способы, позволяющие делать это с большей эф-
фективностью. Некоторые методы представляют наблюдения лучше
других и могут сопровождаться звонками и свистом. Однако эта идея
очень хорошо обходит потребность идентифицировать какие-либо фи-
зические переменные, рассматриваемые математической теорией!
Странная химия
Химические реакции могут быть колебательными. Такое явление впер-
вые наблюдалось в 1921 Уильямом Бреем при разложении перекиси во-
дорода на воду и кислород с йодистым катализатором. Однако химики
в то время полагали, что это невозможно и что законы термодинамики
запрещают колебания. Вместо того, чтобы развивать открытие Брея,
они сконцентрировали усилия на объяснении ошибки, полагая, что его
экспериментальный метод неверен.
Такая установка продолжала действовать почти сорок лет. В 1958
российский химик B. P. Белоусов получил цветные периодические ко-
лебания, работая со смесью лимонной и серной кислот, бромата калия
и солей церия. Илья Пригожин к этому времени показал, что дале-
ко не всякое термодинамическое равновесие согласуется с обычными
законами термодинамики, и ученые оказались более подготовлены-
ми к тому, чтобы воспринимать такие результаты серьезно. В 1963
A. M. Жаботинский модифицировал рецепт Белоусова, используя же-
лезные соли вместо солей церия, и получил эффектные красно--синие
цветовые вариации. Он показал, что в химическом растворе, образо-
ванном тонкими слоями компонент, могут формироваться круговые
и спиральные волны. Сегодня известно много колебательных химиче-
ских реакций, а динамические эффекты более сложные, чем периоди-
ческие, стали общеизвестными.
В качестве примера относительно свежей работы рассмотрим ста-
тью, опубликованную в 1983 Суини и его сотрудниками Дж.-К. Рук-
сом и Рубеном Симоу в журнале Physics. Она посвящена не жидкост-
ной, а химической турбулентности и химическому хаосу в реакции
Белоусова--Жаботинского.
В ходе эксперимента определялось изменение концентрации иона
бромида во времени. Данные были подвергнуты различным видам ма-

Чувствительный Хаос
223
Рис. 9.12. Странный аттрактор, восстановленный по экспериментальным дан-
ным о хаотических химических колебаниях в реакции Белоусова--Жаботинского,
и отображение Пуанкаре для сечения Пуанкаре, отмеченное пунктиром. (Воспро-
изведено c разрешения John Wiley & Sons Ltd.)
тематического анализа. Они нашли спектр мощности и, благодаря это-
му, определили несущие частоты колебаний. Авторы реконструирова-
ли соответствующие динамические аттракторы (Рис. 9.12, cлева), фор-
мируя секундные "фиктивные" временные ряды. Типичная геометрия
странного аттрактора отчетливо видна. Перенося на график значение
функции всякий раз, когда она пересекает пунктирную линию на ле-
вом изображении Рис.9.12, они получили отображение Пуанкаре, при-
веденное на правом рисунке. Точки, группирующиеся вблизи экстре-
мума кривой, показывают, что основная динамика, хотя и является
хаотичной, но в действительности совершенно проста и незначительно
отличается от логистического отображения.
Результаты являются высоко детальными и согласуются со всеми
известными математическими свойствами странных аттракторов. Во
всяком случае, изображения немедленно убеждают нас в этом. Они
могли быть получены на графическом дисплее компьютера, пригод-
ном для отображения некоторого аналога аттрактора Лоренца. На са-
мом деле полученные результаты очень напоминают разновидность
аттрактора Лоренца, предложенную в 1976 Отто Рёсслером (Рис. 9.13).
Хаос действительно существует в природе. Мне кажется удиви-
тельным, насколько природа знает математику хаоса. Вероятно она

224
Чувствительный Хаос
Рис. 9.13. Аттрактор Рёсслера.
знала её намного раньше математиков. Работает не только идея ха-
отической динамики, но она работает много лучше, чем можно было
надеяться. Так или иначе, очень тонкие эффекты, предсказанные мо-
делями континуума жидкостей моделями, которые, как мы знаем,
должны быть неверны на атомном уровне, продолжают существо-
вать при аппроксимациях, заменяющих море атомов бесконечно дели-
мым континуумом. Легко просто отклонить это, как нечто очевидное,
но я полагаю, что это всего лищь принятие желаемого за действи-
тельное. Мы хотели бы, чтобы наши представления были истинными
вопреки всему опыту человечества, показывающему, что "все может
быть неверным" . Но в данном случае этот знаменитый закон почему-
то не применим. Какая-то тайна скрыта в этом.
Это не единственная проблема, которая должна быть разрешена
прежде, чем мы сможем воспользоваться преимуществом того заме-
чательного чуда, что такое представление работает.
Повторное посещение Басё
Я начал эту главу со стихов Басё о поэтическом обаянии капели. Те-
перь она подошла к концу, показав свое математическое обаяние. Звук
капели обычно вызывает скорее явное изумление, чем восклицание

Чувствительный Хаос
225
восторга, но мы видели, что имеется нечто большее в этом звуке, чем
только падение капелек воды в неподобающее место. Это хаос в
микрокосме.
Кроме того, хаотический звук капели - это дискретная динамиче-
ский система, которую проще наблюдать и анализировать именно как
дискретную, а не как непрерывную. Вместо лазера можно с успехом
использовать микрофон.
Давайте детальнее рассмотрим формирование капелек.
При малом притоке воды капли обычно падают регулярно. Вода
медленно приливает к краю, формируя выпуклую каплю, распуха-
ющую до тех пор, пока поверхностное натяжение не сможет больше
противостоять силе тяжести. Стороны капли начинают сокращаться,
образуя суживающееся горлышко, капля отрывается и процесс начи-
нается снова. При этом едва ли удивительно, что капли падают регу-
лярно и ритмично.
Если же приток воды чуть больше, может произойти нечто более
сложное. При своем образовании капля колеблется и не может перей-
ти в устойчивое состояние постепенного роста. В итоге точный момент
отрыва зависит не только от количества воды в капле, но и от частоты
её колебания. В таких условиях капли могут возникать через непра-
вильные, апериодические интервалы времени.
Имеется очевидная аналогия. При низкой скорости жидкость те-
чет гладко, а с повышением скорости она переходит к турбулентности.
При низкой скорости капли формируются регулярно, а при увеличе-
нии скорости они становятся нерегулярными. Может быть существует
математический механизм, который управляет обоими явлениями?
Может быть да, а может быть и нет. Возможно, что поток ста-
новится нерегулярным только потому, что случайные влияния, вроде
воздушных потоков, воздействуют на формирование капель. Басе при-
вел такой пример:
К ночи снова ветер дует
Через дерево Басё,
Слышу я, как просочившись
Барабанит дождь по чашке.
(Дерево Басё -- это вид банана, растущий около его дома. Поэт был так
привязан к этому дереву, под которым писал свои стихи, что исполь-
зовал его имя в качестве своего псевдонима.) Произвольное движение

226
Чувствительный Хаос
листьев обуславливается здесь нерегулярностью капель, а не тонкой
динамикой их формирования.
Детерминированный хаос? Или случайность?
Роберт Шоу со своими коллегами из университета Санта Круз, Ка-
лифорния, проверил эту идею экспериментально. Они направили па-
дающие капли на микрофон, который установили так, что он фикси-
ровал четкий звук от каждой падающей капли.
Эти звуки позволили выявить многие детали из действительной
динамики падения капель. Они не показывают движение капелек, в
то время когда они растут, а только в момент, когда они отделяют-
ся. Они напоминают ряд дискретных кадров из их динамики. Други-
ми словами, эти звуки образуют нечто очень похожее на отображение
Пуанкаре, которое также может быть представлено как ряд кадров.
Математически, они могут обрабатываться тем же самым образом.
Для изучения динамики математики из университета Санта-Круз
обработали экспериментальные данные. Они измерили интервалы вре-
мени между последовательными падениями капель и получили ряд,
состоящий приблизительно из 5000 наблюдений. Затем, точно в соот-
ветствии со сказаным выше, они использовали метод реконструкции
Такенса. С помощью компьютера они сформировали два "фиктивных"
временнных ряда, замещающие оригинал со сдвигом на одно и два на-
блюдения, образовав таким образом последовательность из 5000 троек.
Таким образом им удалось реконструировать топологию аттрак-
тора, характеризующего динамику звука капели (Рис. 9.14). Об этом
они написали в своей статье, опубликованной в декабре 1986 в журнале
Scientific American:
Захватывающим результатом эксперимента было то, что
хаотические аттракторы были действительно найдены в непе-
риодическом режиме падения капель из крана. Случай-
ность падения капель могла быть связана также с неуста-
новленными влияниями, вроде небольших колебаний или
воздушных потоков, но если бы это было так, то не бы-
ло бы никакого специфического отношения между одним
интервалом и следующими, а график данных показал бы
только бесформенное скопление точек. Тот факт, что некая
структура вообще появляется в графиках показывает, что в
данном случае случайность имеет детерминированное под-

Чувствительный Хаос
227
Рис. 9.14. Эксперимент со звуком капели: (верхний рисунок, слева) прибор,
(верхний рисунок, справа) фрагмент временного ряда, (нижний рисунок, слева)
трехмерный график наблюдаемых данных, (нижний рисунок, справа) простая ма-
тематическая модель.
крепление. Для многих наборов данных характерна подко-
вообразная форма, которая является признаком процедуры
простого вытягивания и скручивания.
Странный аттрактор действительно ответственен за этот резуль-
тат. Полученные данные очень хорошо соответствуют аттрактору, очень
похожему на аттрактор Энона.

228
Чувствительный Хаос
При более высоких скоростях потока полученный в эксперимен-
те аттрактор становится очень сложным, и его структура не совсем
понятна. Не существует никакой прямой связи между физикой фор-
мирования капель и этой эмпирической моделью. Остается еще масса
дел, которые надо сделать.
Таким образом отчетливо доказано, что хаотическая динамика стран-
ных аттракторов ответственна, по крайней мере, за некоторые турбу-
лентные явления. Но многое в турбулентности остается тайной. Полно-
стью разработанная турбулентность, если она вообще будет включать
странные аттракторы, может потребовать аттракторов огромной раз-
мерности в тысячу, в миллион измерений. В настоящее время мы не
можем сказать ничего определенного относительно них. Много тур-
булентных эффектов, повидимому, обусловлено границами, например,
стенками каналов. В теории странных аттракторов влияние границ
пока не учитывается.
Мы не должны быть одержимы хаосом, как единственно возмож-
ным объяснением. Недавно российский матфизик В. П. Маслов нашел
доказательство неединственности решения уравнения Навье--Стокса
для некоторых случаев. На самом деле уравнения не могут определять
поток во всех деталях: для данных начальных условий они могут иметь
более одного решения, по крайней мере, в некотором приблизительном
смысле. Маслов говорит, что такой эффект "может быть описан фигу-
рально. В известной сказке Пушкина О попе и работнике его Балде,
Балда крутит веревкой воду, вызывая чертей. Таким образом, когда
он вращает веревку достаточно быстро, черти начинают бесноваться
недетерминированным образом, создавая турбулентность."
Возможно эта незримая теория монстра в конце концов не настоль-
ко уж безрассудна.

Глава 10
Фиговые деревья и значения
Фейгенбаума
Глупец видит не то дерево, которое видит мудрый человек.
Уильям Блейк. Пословицы ада.
Новая математическая техника хаоса и старая проблема турбулент-
ности не могли долго существовать раздельно. Что могло быть более
естественным, чем приспособить новый инструмент к старой задаче?
Это и было сделано, а задача выполнила остальное.
Однако наука не всегда двигается в ожидаемом направлении. Стадо
в панике может бежать вдаль, но всегда есть несколько диссидентов,
упрямо идущих в противоположном направлении. Один из таких ди-
сидентов в науке стал автором крупного, фундаментального достиже-
ния. Сначала это было только крупным математическим достижением,
но позднее стало также серьезным вкладом в теорию турбулентности.
Новая идея пришла в математику из физики фазовых переходов, где
была разработана мощная методика, известная как ренормализация.
Она в очередной раз показала, что некоторые особенности хаоса яв-
ляются универсальными, они зависят не от точных уравнений, а от
качественного типа имеющегося странного аттрактора. Кроме того,
ренормализация упростила эксперименты по обнаружению некоторых
видов хаоса. Чтобы рассказать об этом обстоятельнее, я хочу вернуть-
ся к более ранней теме: к космическому кораблю Вояджер.
Бутылка в космическом океане
Великий тур Вояджеров по Солнечной Системе не будет закончен на
Уране. Подобно своим предшественникам Пионерам, они продолжат
полет в межзвездном пространстве. В последующие 40 тысяч лет они
приблизятся к звезде AC+79 3888 на расстояние, равное световому
году. Через миллионы лет они пересекут нашу галактику, возможно
сталкиваясь с другими планетными системами.

230
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
И хотя существует лишь ничтожная вероятность того, что на од-
ной из этих планетных систем существует разумная жизнь, Вояджеры
несут 12-дюймовый позолоченный медный диск, содержащий граммо-
фонную запись (Рис. 10.1). В углублениях этого диска закодированы
115 фотографий, от диаграммы континентального дрейфа до супер-
маркета, и различные звуки, от "hello" по-аккадски до пятой симфо-
нии Бетховена. Эта запись может быть воспроизведена, если косми-
ческий корабль столкнется с развитой цивилизацией в межзвездном
пространстве, -- сказал Карл Саган.
-- Запуск этой бутылки в косми-
ческий океан есть убедительное свидетельство существования жизни
на нашей планете . Не берусь решать, является ли такой специфиче-
ский космический жест дружеским проявлением упрямого человече-
ского духа или опасным предательством, выдающим наши галактиче-
ские координаты потенциальному врагу, или, наконец, характеризует
бессмысленное тщеславие. Я задаюсь вопросом, какие выводы сделают
инопланетяне, которые найдут это сокровище, в частности, фотогра-
фию Джейн Гудэл с ее шимпанзе, и думаю, что она может вызвать у
них неверные представления.
Однако уже слишком поздно возвращать ее назад.
Третья фотография, помещенная на Вояджере, содержит матема-
тические определения. По традиции, принято считать, что контакт с
инопланетянами лучще осуществлять с помощью математики, види-
мо потому, что это универсальная среда мысли. Еще Карл Фридрих
Гаусс полагал, что диаграмма теоремы Пифагора, начертанная в пу-
стыне Сахара, могла бы наблюдаться жителями Марса через теле-
скопы. Другие схемы содержат последовательности простых чисел и
знаков числа π. Авторы послания исходили из предположения, что лю-
бые цивилизованные, интеллектуальные расы сумеют распознать их и
смогут оценить интеллектуальный уровень цивилизации существ, сна-
рядивших корабль.
Полагаю, что эти схемы могут не справиться со своей задачей и
только продемонстрируют нашу ограниченность. Число π, вероятно,
останется важным для земной математики, но я не стал бы держать
пари, что и в последующие десять тысяч, не говоря уже о милли-
оне лет, оно останется объектом фундаментальной важности. Я не
знаю, что понимают под фундаментальным знанием математоиды с
зелеными щупальцами из Большого Магеланового Облака. В научно-

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
231
Рис. 10.1. Монтаж граммофонной записи на Вояджер-2.

232
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
фантастическом романе Джеймса Блиша Столкновение Тарелок мате-
матик планеты--Дирижабля Хи внешне похож на земного математика,
но там есть заблуждения: Здесь, например, Ретм использовал d, ко-
торое в опыте Амалфи было использовано в вычислениях, как простая
константа . Какое предупреждение!
Предположим, что летом 1975 некий астроном зафиксировал сооб-
щение, отправленное, вероятно, неизвестным искусственным источни-
ком: ряд двоичных вспышек, которые после перевода их в десятичные
числа, оказались содержащими повторяющуюся много раз последова-
тельность цифр 4.669201609. . .. Научный мир выразил бы некоторое
разочарование, что сигнал не оказался равным 3.141592653, который
соответствовал бы его полету фантазии в этом споре, как цифры чис-
ла π. Но может быть это некоторое другое замечательное число? Они
охотились бы за ним с помощью таблиц фундаментальных матема-
тических констант, таких, как основание натуральных логарифмов e,
золотое сечение, константа Эйлера и квадратный корень из двойки,
но безуспешно. С возрастастающим разочарованием они рассмотрели
бы менее очевидные числа, такие как константа Каталана или объем
наименьшего трехмерного гиперболического многообразия1 . . .
Нет, не существует никакого важного числа, близкого к 4.669201609.
Астрономы вынуждены будут искать естественный источник таких пе-
риодических пульсаций, удаленную нейтронную звезду, радиацию из
черной дыры.
Однако, если бы этот же сигнал был получен в 1976. . ..
Не возмущение -- ренормализация!
Митчел Фейгенбаум был физиком. В далекие 1970-ые он работал в
лаборатории Лос Аламос. Некоторые из его коллег возразили бы про-
тив слова "работал" потому, что никто точно не знал над чем работал
Фейгенбаум, включая его самого.
Его интересовали нелинейные системы. В то время основным ме-
тодом обработки нелинейностей была техника возмущений в физике
частиц, особенно часто применявшаяся в форме диаграмм Феймана,
названных так по имени нобелевского лауреата по физике Ричарда
Феймана, придумавшего их. Будучи студентом, Фейгенбаум изучил
1В оригинале сказано smallest hyperbolic 3-manifold. Прим. пер.

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
233
способы выполнения таких вычислений и отказался от них, решив,
что они отражают неправильный подход к пониманию нелинейности.
Различные разделы физики связаны с фазовыми переходами -- из-
менениями состояния вещества, такими, например, как превращение
жидкости в газ. Математика фазовых переходов нелинейна. Когда
Кеннет Вильсон в Корнеле пришел к новой теории фазовых перехо-
дов, он создал метод, известный как ренормализация. Фейгенбауму
этот метод очень понравился. Метод Вильсона основан на принципе
самоподобия, то есть на идее сохранения идентичной математической
структуры на многих уровнях. Ныне классическое изображение турбу-
лентности включает такую структуру: бесконечный каскад все умень-
шающихся вихрей. Нечто подобное описал Льюис Ричардсон в паро-
дии на Джонатана Свифта:
Большие вихри содержат меньшие вихри,
Которые питаются их скоростью,
А маленькие вихри содержат еще меньшие вихри,
И так далее до вязкости.
Не только Фейгенбаум думал о применении метода ренормализации
Вильсона к описанию турбулентности. Внешне турбулентность, ма-
тематически и физически, в точности напоминает фазовый переход.
Единственое отличие состоит в том, что при возникновении турбу-
лентности преобразование структур потока происходит быстрее, чем
изменение физической структуры вещества. Поэтому несколько физи-
ков проработывали эту идею, хотя надежда была слабой, и, даже если
бы она была, никто не знал, как её реализовать.
Фейгенбаум, как и всякий здравомыслящий ученый--исследователь,
не пытался применить свои умственные способности ко всей сложно-
сти реального турбулентного потока. Вместо этого, как и Смейл, он
интересовался, какие общие явления могут описываться нелинейными
дифференциальными уравнениями. Он решил, что учебники не содер-
жат ничего действительно полезного в этом отношении, а чтение их --
это пустое занятие. Поэтому он начал с простейшего известного ему
нелинейного уравнения нашего старого знакомого, логистическо-
го отображения.
Логистическое отображение изучалось многими. Эколог Роберт Мей
работал с ним в 1971, используя его как удобный инструмент для изу-
чения любопытных особенностей нелинейных моделей популяций. В

234
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
этом же году Николас Метрополис, Пауль Штейн и Мирон Штейн
показали, что это отображение гораздо сложнее, чем ранее полагали.
Пауль Штейн предупредил об этом Фейгенбаума и спустя некоторое
времени эта проблема стала для него исходным материалом. Если да-
же простейшее нелинейное отображение фактически непонятно, то
как можно полагаться на реалистичность нелинейной динамики?
Размышляя об этом, Фейгенбаум в 1975 посетил конференцию и
прослушал лекцию Смейла о динамических системах. Смейл упомя-
нул логистическое отображение и каскад удвоения периода, ведущий
к хаосу. Именно тогда он и осознал, что несомненный и реальный ма-
тематический интерес имеет точка, в которой все периоды удвоения
накопились, каскады закончились и возникает хаос. Вдохновленный
этим еще раз, Фейгенбаум вытащил проблему из бака с топливом и
погрузил ее в газ.
Преимущества работы без компьютера
Вы не забыли, что логистическое отображение имеет форму
x→kx(1-x),
где x находится между 0 и 1, а k - параметр, заключенный между 0 и
4. Из многих особенностей которые оно имеет, нас интересует только
каскад удвоения периода, который я ранее называл фиговым деревом
(fig-tree) в честь Фейгенбаума.
Как было показано выше, фиговое дерево возникает при возраста-
нии значения параметра k от 3 приблизительно до 3.58. При k, заклю-
ченном между 0 и 3, существует только устойчивое состояние. При k
= 3 возникает период с циклом 2, при k = 3.5 период возрастает до 4,
при k = 3.56 он снова удваивается и становится равным 8, и так далее.
Последовательные удвоения накапливаются все быстрее и быстрее, а
изображение того, как изменяется аттрактор с ростом k напоминает
дерево с бесконечно большим количеством все более коротких ветвей,
переходящих в веточки, прутья, двоичные отростки, расчленяющиеся
на два отростка на каждой стадии. Смейл спросил, что происходит в
самом крайнем двоичном отростке фигового дерева, когда k прибли-
зительно равно 3.57, а Фейгенбаум искал ответ.
Его первый шаг был рутинным: вычислить точную последователь-

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
235
ность значений параметра k, при которых происходят различные удво-
ения. Сегодня вы автоматически достигли бы этого на вашем настоль-
ном персональном компьютере, но в то время это был длительный
процесс: вычисления производились с помощью подготовленных на
колодах перфокарт заданий, а результаты выдавались днем позже;
при наличии обычной небольшой ошибки печатался один лист бумаги
с лаконичным, если повезет, сообщением об ошибке. Поэтому вместо
компьютера Фейгенбаум использовал программируемый калькулятор
фирмы Хьюлетт-Паккард, рассчитанный на 65 программ.
Это и было, как потом выяснилось, причиной его удачи, потому
что калькулятор работал так медленно, что оператор успевал поду-
мать о результатах до того, как они появлялись. Действительно, успе-
вал. Вычисление начиналось с приближения к требуемому числу, а
затем результат шаг за шагом улучшался. Поэтому чем лучше вы-
брано начальное приближение, тем меньшее количество времени необ-
ходимо для всего расчета. Так удается выиграть время ключевой
момент всей работы, если вы пользуетесь калькулятором. Фейгенбаум
старался приблизительно угадать следующее число в каскаде. Скоро
он нашел такой способ. Различие между последовательными числами
состояло в постоянстве их отношения, каждое следующее было при-
близительно в четыре раза больше, чем предыдущее. Более точно, от-
ношение было приблизительно равно 4.669.
Математик назвал бы это геометрической сходимостью и веро-
ятно не задумался бы об этом. Однако для физика, особенно кое-что
знающего о фазовых переходах, постоянство отношения означает мас-
штабирование. Физические особенности аналогичны в каждом таком
случае, но происходят в меньших масштабах. Небольшие вихри внут-
ри больших вихрей, как в турбулентности. Внутри данной структуры
должны находиться меньшие копии этой же самой структуры, их раз-
меры определяются коэффициентом масштабирования.
Фейгенбауму стало очевидно, что на крайних ветвях фигового де-
рева должна существовать математическая структура, которая оста-
ется той же самой, в то время как размер структуры изменяется с
коэффициентом масштабирования 4.669. Эта структура форма фи-
гового дерева сама по себе. Устойчивый аттрактор образует ствол де-
рева. Аттракторы с периодом 2 образуют две более короткие ветви. Из
них растут более короткие ветви с периодом 4, затем пруты с периодом

236
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
8, двоичные отростки с периодом 16 и так далее. Отношения размера
ствола к ветви, ветви к веточке, веточки к пруту, прута к двоичному
отростку, становятся все более близкими к числу 4.669, они стремятся
к нему по мере приближения к верхней части дерева.
Рис. 10.2. Самоподобие в фиговом дереве: в идеальном случае каждый двоич-
ный отросток имеет ту же самую форму, что и оригинал, но меньшего размера.
Фактически, отрывая ветку, мы получаем приблизительную копию
всего фигового дерева (Рис. 10.2). То же самое происходит, если мы
отрываем двоичный отросток. Каждая копия меньше исходной и её

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
237
размер уменьшается с масштабным коэффициентом, стремящимся к
величине 4.669. И в дальнейшем уменьшения происходят таким же
образом, причем чем дальше, тем больше подобия по форме. Это
самоподобие. Это как раз то, к чему можно применить метод ренор-
мализации Вильсона. Фейгенбаум еще не представлял, что следует де-
лать дальше, но он знал, что находится на правильном пути.
Змеи и медведи
Метрополис, Пауль Штейн и Мирон Штейн выявили некоторые ин-
тригующие особенности2 логистического отображения. Аналогичные
особенности они обнаружили, по крайней мере, еще в одном отобра-
жении -- тригонометрическом
x→ksinx
Вдохновленный этими результатами, Фейгенбаум повторил свои
вычисления, используя при этом тригонометрическое отображение. И
снова он нашел каскад удвоения периода (Рис. 10.3). Снова сходимость
была геометрической, а коэффициент масштабирования ветвей фиго-
вого дерева стремился к константе.
Рис. 10.3. Фиговое дерево: каскад удвоения периода в тригонометрическом отоб-
ражении (сравните с Рис. 8.8).
2В оригинале patterns -- примеры, образцы. Это слово не имеет точного значения в
русском языке и его часто переводят просто как паттерны . Прим. пер.

238
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
На самом деле в этом не было ничего удивительного. По меньшей
мере должна быть выявлена та же самая особенность чисел: умень-
шаться достаточно быстро, чтобы втиснуть бесконечно много ветвей в
конечное пространство. Постоянное масштабирование -- это, вероятно,
наиболее простой способ добиться этого.
И тем не менее в этом было нечто удивительное. Значение коэф-
фициента масштабирования.
Он снова был равен 4.669.
Это было удивительно. Казалось, нет никакой веской причины,
чтобы два отображения, заданные совершенно различными формула-
ми, разветвлялись с одним и тем же коэффициентом масштабирова-
ния, но калькулятор показывал, что дело обстоит именно так.
Возможно это было только совпадением. Может быть эти числа
отличались в следующей десятичной цифре. Самый простой способ
разрешить эту проблему состоял в том, чтобы выполнить вычисле-
ния более точно и теперь Фейгенбаум почувствовал, что пришло
время научиться использовать компьютер. "Сначала думайте, а потом
считайте". Этот девиз следует выгравировать на компьютерном тер-
минале каждого ученого.
Для логистического отображения Фейгенбаум быстро нашел точ-
ное значение коэффициента масштабирования: 4.6692016090.
Он повторил вычисление для тригонометрического отображения. С
точностью до десяти десятичных цифр оба числа оказались равными.
Это не могло быть совпадением. Но в чем же причина того, что
это случилось? В замешательстве Фейгенбаум обратился к аналогии,
описанной Джеймсом Глейком в книге Хаос:
Вообразим доисторического зоолога, который решил, что
некоторые тела являются более тяжелыми, чем другие, по-
скольку обладают некоторым абстрактным качеством, ко-
торое он называет весом и хочет исследовать эту идею с на-
учной точки зрения. На самом деле он никогда не измерял
вес, но думает, что имеет о нем достаточное представление.
Глядя на больших и маленьких змей, больших и маленьких
медведей, он догадывается, что вес этих животных нахо-
дится в некоторой взаимосвязи с их размерами. Он строит
некоторую шкалу и начинает взвешивать змей. К его изум-
лению все змеи весят одинаково. К его ужасу оказывается,

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
239
что каждый медведь тоже имеет тот же самый вес. Изум-
ляясь еще больше, он находит, что медведи весят столько
же, сколько и змеи. Все они весят ровно 4.6692016090. Ясно,
что вес - это не то качество, которым по его предположению
они отличаются.
На самом деле это было загадкой. Но теперь перед Фейгенбаумом
замаячил проблеск надежды в виде примера, за которым он охотился,
и он шел по горячим следам.
Однако, этот след отличался от того, что он ожидал.
Традиционное представление физики и прикладной математики
исходит из того, что наиболее важной вещью в мире является урав-
нение, описывающее исследуемую систему. Для изучения движения
воды в ванне сначала записывают уравнения. Затем можно отвлечься
от ванны и сконцентрироваться на математике. Как младенец превра-
щается во взрослого, так и все, что нужно, должно проистекать из
уравнения.
Фейгенбаум последовал за этой освященной веками практикой и
расплескал ванну. Ребенок при этом был выплеснут вместе с водой.
Коэффициент масштабирования не зависел от уравнения, логисти-
ческого или тригонометрического. Это не имело значения.
Все как будто верно, он нашел нужный пример.
Но он совсем не имел смысла.
Ренормализация
Ренормализация была известной методикой, поэтому существовало и
множество путей для атаки на проблему. Фейгенбаум опробовал их
все. Он представлял свои результаты неофициально и разговаривал
со множеством людей. Постепенно свет начал проникать через мате-
матическую темноту. К этому времени он уже готов был издать свои
идеи и имел довольно законченную картину происходящего. Метод ре-
нормализации Вильсона действительно лежал в основе этого явления,
как он и предполагал вначале, но не в своей обычной технической
форме, а скорее как его основная философия. Фейгенбаум написал
две статьи: в первой рассматривались математические аспекты этого
явления, а во второй причины, почему так много различных отоб-
ражений имеют один и тот же коэффициент масштабирования. Его

240
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
рассуждения еще были лишены строгих доказательств, но содержали
обсуждение и объяснение, что никакого чуда здесь нет это толь-
ко логическое следствие математической структуры. Последние точки
над этой загадкой расставили Пьер Колле, Джин-Пьер Эскман и Ос-
кар Ланфорд, которые нашли строгое доказательство корректности
сценария Фейгенбаума.
Основная идея очень красива, и я постараюсь описать ее, но дол-
жен предупредить, что даю только небольшой фрагмент картины и
необходимо существенно больше знаний для полного представления.
Я начну с аналогии, которая позволит вам представить то, что
происходит при ренормализации. Напомню, что процесс или объект
самоподобен, если можно выбрать его малую часть, увеличить ее и
получить нечто, очень близко напоминающее целое, подобно окнам ло-
гистического отображения. Аналогичным образом можно наугад вы-
брать в турбулентной жидкости небольшой вихрь и получить в итоге
большой. Здесь также используется коэффициент масштабирования,
поскольку необходимо возрастание в заданной степени.
Если брать все меньшие части и увеличивать их до полного разме-
ра, то возникающая в результате картина может стабилизироваться
в том смысле, что возникающие при все большем увеличении последо-
вательные версии выглядят почти идентично. Если это так, то мож-
но перейти к пределу, определяющему некоторую конечноразмерную
картину из бесконечно малой исходной геометрии. Эта процедура на-
зывается ренормализией системы. Она обладает тем преимуществом,
что в ренормализованной версии самоподобие является точным, а не
приблизительным. Любое свойство оригинала, которое зависит только
от его бесконечно малой геометрии, может быть получено из конечной
геометрии ренормализованного объекта.
Так что ренормализация - это математическая уловка, функцио-
нально сходная с микроскопом, который увеличивает самоподобные
структуры, удаляет аппроксимации и отфильтровывает всё лишнее.
Чтобы найти аналогию, позволяющую прояснить основные матема-
тические особенности ренормализации, рассмотрим геометрию малых
дуг, являющихся частью больших окружностей. Окружность прибли-
зительно самоподобна в том смысле, что малая дуга круга -- это лишь
слегка изогнутая гладкая кривая. Если её увеличить, то форма дуги
почти не изменится, и она останется слегка изогнутой и гладкой. Са-

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
241
моподобие здесь не является точным. Если взять более искривленную
дугу, то при увеличении она будет изменяться, но лишь на малую ве-
личину. Однако, прямая линия точно самоподобна: если взять отрезок
и растянуть его до нужных размеров, то получим оригинал.
На что похож для муравья большой круг? Вероятно на прямую.
Аналогичным образом, большая сфера, на которой мы обитаем, ка-
жется нам плоской. Бесконечно большой круг для бесконечно малого
муравья, вероятно, похож на точную прямую. Однако будьте аккурат-
ны с такими словами как "бесконечный" и "бесконечно малый". Можно
ли придать строгий смысл утверждениям такого рода?
Путем ренормализации. Чтобы ренормализовать круг, рассмотрим
все более малые его части и дуги, которые будут получаться при рас-
тягивании их до одной и той же длины, а затем сравним результаты.
То, что вы видите, это последовательность все более близких к прямой
дуг, которые стремятся к прямой линии как к пределу (Рис. 10.4). Этот
предел захватывает "бесконечно малую" плоскость круга и преобразу-
ет приблизительное самоподобие в точное самоподобие.
Рис. 10.4. Ренормализация круга показывает, что его "бесконечно малая" явля-
ется прямой линией.
Кроме того, процесс преобразования в прямую линию до некото-
рой степени универсален. Если повторить ренормализацию, но начать
с эллипса, то снова получится прямая линия. То же самое фактически
происходит с любой гладкой кривой. Независимо от того, насколько
гладкой является исходная кривая, процесс ренормализации преобра-
зует ее в прямую линию. Поэтому прямая линия -- это "универсальный
аттрактор" для процедуры ренормализации гладких кривых.
С другой стороны, если начать с фигуры, имеющей угол, и выпол-
нять ренормализацию так, что угол всегда остается на изображении,

242
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
то предельная кривая будет представлять собой две прямые, пересека-
ющиеся в вершине угла. Поэтому прямая линия универсальна только
для некоторого класса первоначально гладких кривых.
Физики, которые изучали фазовые переходы, обнаружили, что по-
добное явление универсально. Некоторые физические величины, из-
вестные как критические показатели, стремятся к тем же самым значе-
ниям, независимо от точности математической модели. Причина этого
в том, что после ренормализации различные модели выглядят одина-
ково, а их критические характеристики зависят только от ренормали-
зованной модели.
Отображение Фейгенбаума
Фейгенбаум осознал, что можно применить этот же прием к фиговому
дереву. Коэффициент масштабирования фигового дерева аналогичен
критическому показателю, поэтому универсализм, наблюдаемый при
фазовых переходах, должен соответствовать одному и тому же коэф-
фициенту масштабирования, который всегда проявляется в фиговых
деревьях, независимо от выбранного отображения.
Напомним, что фиговое дерево - это диаграмма, которая показыва-
ет последовательное образование периодических циклов с периодами
1, 2, 4, 8, 16, . . ., меняющимися по мере изменения параметра k.
Основная идея состоит в том, что каждое последующее удвоение
периода осуществляется идентичным образом. Периодический цикл
с 2n периодами становится неустойчивым и образует периодический
цикл с 2n+1 периодами. Способ, с помощью которого это осуществля-
ется, состоит в том что каждая точка цикла 2n расщепляется на две.
Если рассмотреть детали цикла 2n+1 сразу после его возникновения,
то пары точек размываются и можно видеть только старый цикл 2n .
Имеется математическая уловка, позволяющая выбрать только од-
ну точку в цикле 2n и наблюдать, как она распадается на две. Вы
как бы смотрите в математический микроскоп на крошечный отрезок,
заключенный между 0 и 1. Геометрия разбиения всюду, кроме этого
интервала, почти идентична. Если сделать фотографию с помощью
такого математического микроскопа и увеличить её до стандартного
размера, то последовательные изображения при удвоении периода ка-
жутся все более похожими. При стремлении периода к бесконечности

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
243
вы приближаетесь к вершине фигового дерева, и последовательные
фотографии все более напоминают предельное изображение.
Аналогия с ренормализацией теперь ясна. Математически эти про-
цедуры идентичны. То есть мы можем и дальше использовать эту ана-
логию, чтобы лучше понять, чем является предельное отображение и
чему оно соответствует.
Сначала мы полагаем, что подобная картина хорошо поддержива-
ется только определенным оригинальным отображением -- логистиче-
ским, тригонометрическим, или каким-нибудь еще, имеющим только
один пик. Критическим фактором при этом является форма предель-
ного отображения, которая остается той же самой во всех этих слу-
чаях, так же как круги и эллипсы переходят в прямую линию при
ренормализации.
Чтобы найти отображение, которое соответствует универсальной
предельной картине, мы начнем с наблюдения, что -- при такой "кру-
говой аналогии" -- прямая линия имеет специфическую особенность,
которая делает ее необычной: она остается в точности той же самой
при ренормализации -- в точности самоподобной. Предположим, что
мы смогли найти некоторое специфическое отображение, которое в
процессе увеличения под микроскопом не приближается к предельной
форме, а воспроизводит на каждом шаге одну и ту же идентичную
форму. То есть, его бифуркационная диаграмма, чей архетип показан
на Рис. 10.2, в точности самоподобна. Тогда это специальное отобра-
жение должно играть ту же роль при ренормлизации, что и самоподоб-
ная прямая линия. Давайте будем называть такое отображение отоб-
ражением Фейгенбаума. Подобно прямой линии, оно не изменяет-
ся в процессе ренормализации. Фейгенбаум доказал, что, независимо
от начального отображения, оно приближается к этому специальному
отображению после ренормализации точно также, как произвольная
гладкая кривая приближается к прямой линии.
Что касается отображения Фейгенбаума, то факт, что последова-
тельные двоичные отростки фигового дерева разветвляются с посто-
янной скоростью, непосредственно следует из его определения: посто-
янная скорость есть отношение, в котором должны увеличиваться по-
следовательные фотографии, чтобы давать идентичную форму. Эту
скорость можно рассчитать раз и навсегда, уяснив, на что же похоже
отображение Фейгенбаума. Получается только одно число, поскольку

244
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
существует единственное отображение Фейгенбаума. Так уж слу-
чилось, что это число равно 4.6692016090. Ну вот, это уже кое-что.
Однако для любого другого отображения последовательно увели-
ченные снимки не столь похожи друг друга, но они напоминают отоб-
ражение Фейгенбаума. Поэтому их фиговое дерево разветвляется с той
же скоростью и стремится к отображению Фейгенбаума. Таким обра-
зом, в пределе, мы получаем то же самое отношение 4.6692016090.
Эллипсы и круги ренормализуются в прямую линию, которая обла-
дает свойством самоподобия. Таким же образом, логистические и три-
гонометрические отображения ренормализуются в отображение Фей-
генбаума, а оно также характеризуется свойством самоподобия.
Фейгенбаум дал более сложное изображение всего процесса. Имеет-
ся разновидность динамических систем, которые описываются отобра-
жениями, а не числами. Это дискретные системы, которые на каждом
шаге преобразуют данное отображение в следующее, путем наблюде-
ния в микроскоп и изготовления увеличенной фотографии. Отображе-
ние Фейгенбаума аттрактор для такой системы. Независимо от того,
с какого отображения мы начинаем с логистического, тригономет-
рического или любого другого, -- динамика обуславливает его прибли-
жение к отображению Фейгенбаума. Поэтому свойства отображений,
которые зависят только от последних стадий процедуры увеличения,
приближаются к отображению Фейгенбаума.
В частности, существует единственное число 4.6692016090, пото-
му что в данной динамической системе имеется только один аттрак-
тор для всех отбражений. Магическое число Фейгенбаума, подобно
числу π, является естественной и фундаментальной математической
константой. Если математоиды с зелеными щупальцами из Большого
Магеланового Облака сильны в динамике, то они смогут понять, что
этот сигнал принадлежит другой части обитаемой вселенной.
Значения Фейгенбаума
Физики, изучавшие фазовые переходы, пользовались такими формами
универсальности, которые позволяли получать одинаковые численные
результаты для различных математических моделей. Как всегда, они
не могли доказать правомерность этого, но научились некоторым обра-
зом использовать их. Если масса моделей дает один и тот же результат,
то для вычислений следует выбирать наиболее простую из них.

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
245
Пока математики выбирали лучшую форму представления, Фей-
генбаум был в существенно лучшем положении. Он мог доказать, что
различные отображения всегда дают один и тот же коэффициент мас-
штабирования. В строгой версии его теории, число 4.669 возникает как
собственное значение оператора. Собственное значение измеряет сум-
марную напряженность в специальным направлении. Любящие игру
слов физики называют 4.669 значением Фейгенбаума3.
Универсальность значений Фейгенбаума не абсолютна, а относи-
тельна. Коэффициент масштабирования всегда равен 4.669 для отоб-
ражений с одним экстремумом, похожим на параболу. Для многократ-
ных экстремумов и для форм, заметно отличающихся от параболы,
скажем для плоского или заостренного экстремума, коэффициент
масштабирования иной (Рис. 10.5). Однако существует целый ряд отоб-
ражений, которые характеризуются этим новым числом как коэффи-
циентом масштабирования. Чрезвычайно разнообразные ряды отобра-
жений объединяются, образуя классы универсальности с постоянным
коэффициентом масштабирования.
Рис. 10.5. Отображения с многократными или плоскими экстремумами ведут
к различным значениям Фейгенбаума.
Существуют и другие числа, связанные с динамикой нелинейных
отображений, которые похожи на универсальные. Например, коэффи-
циент масштабирования 4.669 для фигового дерева есть отношение
длин веток или, скорее, их горизонтальных проекций, которые измеря-
ются параметром k. Если рассмотреть изображение фигового дерева,
то можно заметить, что меньшие ветви раскрываются не так быстро,
как большие. Скорость раскрытия веток тоже масштабируется уни-
версальной константой, но иной. Она равна 2.5029078750957.
3Cобственное значение eigenvalue, заменено на новое -- feigenvalue. Прим. пер.

246
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
Обоюдоострый меч
Все это является довольно любопытным и важным для эксперимен-
тальной проверки хаотических моделей. Многие реальные системы со-
держат ряды удвоения периода. Мы рассмотрим их немного позднее.
Естественная модель в этом случае превращается в динамическую си-
стему тем же способом, что и при логистическом отображении. На
основе универсального результата, полученного Фейгенбаумом, воз-
можны два экспериментальных предсказания. Отношение размеров
интервалов между последовательными удвоениями должно быть при-
близительно равно 4.669, а скорость раскрытия ветвей должна давать
отношение, приблизительно равное 2.502.
Чтобы проверить эти предсказания существует довольно простой
метод. Вы производите наблюдения и вычисляете числа. Теория мо-
жет быть опровергнута следующим образом: если она неверна, то вы
получите вместо них иные числа, например 6.221 и 0.074. Было бы за-
мечательным совпадением с действительностью, если бы удалось по-
лучить числа, близкие к предсказанным Фейгенбаумом, поскольку эта
теория считается в основном верной.
Обратите внимание, что количественные результаты предсказания
получены на основе качественных моделей! Удивительно!
Но за это чудо надо платить. Само явление, делающее это воз-
можным универсальность, означает также, что результаты экс-
периментов не различаются своими отображениями, если они принад-
лежат одному классу универсальности. Тригонометрическое отобра-
жение пройдет тот же экспериментальный тест, что и логистическое
отображение. То же произойдет и с любым отображением, имеющим
один экстремум.
Предположим, что эксперимент действительно дает числа, близкие
к 4.669 и 2.502, как и предсказано. Поэтому мы можем быть вполне
уверены, что поведение эксперимента действительно описывается дис-
кретной динамической системой, которая карабкается по фиговому де-
реву к хаосу. Однако нельзя точно сказать о какой именно системе идет
речь. Это другой вопрос. Данный тест определяет принадлежность си-
стемы к целому классу уравнений, а не к специфическому для нее.
Эта процедура заметно отличается от традиционного представле-
ния об эксперименте, в котором предсказание на основе единственного
уравнения, характерного для модели, сравнивается с реальностью.

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
247
С другой стороны, пусть мы не знаем, что значение Фейгенбаума
4.669 является универсальным, а логистическое отображение -- един-
ственое отображение с одним экстремумом, о котором мы кое-что зна-
ем. Повторяя вычисления, которые привели Фейгенбаума к его теории,
мы сможем извлечь число 4.669 из этого уравнения. Если эксперимент
подтвердит наше предположение, мы можем считать, что получили
отчетливое доказательство в пользу логистической модели отображе-
ния. Но мы не можем на этой основе понять, что любая другая модель
этого же качественного типа тоже даст нам это же самое число!
Представьте себе, например, что в другом воплощении, в альтер-
нативной вселенной, вы родились Галилеем. Разрабатывая теорию, вы
видите, что объект, подброшенный вверх, описывает параболу. Вы вы-
числяете несколько чисел, делаете эксперимент и получаете хорошее
совпадение. С полным основанием вы заключаете, что имеет место па-
раболическая зависимость. И вам даже не приходит в голову, что су-
ществует множество других теорий, которые позволяют получить те
же значения, но не показывают наличия параболической зависимости.
Поэтому открытие Фейгенбаумом универсальности - это обоюдо-
острый меч. Оно делает относительно легким процесс эксперименталь-
ной проверки на принадлежность к специфическому классу хаотиче-
ских моделей, но не позволяет различать модели из одного класса.
Имеется только один выход из этого положения -- искать более
чувствительные тесты: детализировать структуру последовательности
удвоения периодов и изучать не только поведение вблизи точек накоп-
ления, но и искать наиболее удаленную от центра ветвь дерева.
Однако следует принять во внимание, что для некоторых целей
(таких, как особенности поведения вблизи самых удаленных от цен-
тра ветвей дерева) различие между моделями не имеет не только ка-
чественного, но и количественного значения. Для таких целей любая
теория, принадлежащая данному классу универсальности, будет де-
лать всё так же хорошо, как и другая.
Турбулентные фантазии
Я уже говорил, что Фейгенбаум начал свою работу с размышлений о
турбулентности, которая описывается очень специфической и сложной
системой уравнений для движения жидкости -- уравнениями Навье-

248
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
Стокса. Вместо изучения этих уравнений в их исходном виде, он ра-
ботал с упрощенным, искусственным уравнением -- с логистическим
отображением. Таким образом он сделал бесценное открытие: универ-
сальность. Он никогда бы не получил её непосредственно из сложных
уравнений, хотя они являются более реалистическими. Иногда реа-
лизм является помехой.
Математические методы исследования дифференциальных уравне-
ний содержат обширный перечень различных приемов, позволяющих
заменить одну проблему другой. Среди них замена переменных, ко-
торая дает возможность изменить форму уравнений без изменения
основной модели, а также упрощающие методы, которые сокраща-
ют множество совместно рассматриваемых переменных. Эта техника
с трудом применима к уравнениям Навье--Стокса, но можно пофанта-
зировать о таких возможностях без обращения к этим загвоздкам.
Сначала заметим, что в математическом анализе существует ве-
ликое множество приемов, позволяющих извлечь подлинное логисти-
ческое отображение из уравнений Навье--Стокса. Без универсально-
сти анализ логистического отображения был бы только одиночным
примером и, вероятно, не характеризовал бы ничего особенного: это
было бы изолированное, бесполезное вычисление. Однако существова-
ние хаоса, скручивания и растяжения намного интереснее наблюдать в
турбулентных потоках. И простейшие системы, в которых проявляет-
ся скручивание и растягивание, качественно подобны логистическому
отображению. Благодаря универсальности, любая подобная система
позволяет получить те же самые значения Фейгенбаума.
Вывод: если существует глубоко скрытый в уравнениях Навье-Стокса
математический процесс, который включает отображение с одним экс-
тремумом, то он содержит также каскад удвоения периода с коэффи-
циентом масштабирования 4.669. Нет необходимости извлекать это
отображение, чтобы сделать подобное предсказание. Все, что сле-
дует сделать, так это догадаться, что такое отображение, возможно,
где-нибудь в них скрыто. Такое предсказание имеет все преимущества
воровства над тяжелым честным трудом.
Независимо от его этического статуса, это довольно хорошее пред-
сказание. Можно проделать эксперимент, чтобы посмотреть не обра-
щается ли полученное число в 4.669. Если это происходит, то имеется
сильное доказательство существования некоторой хаотической дина-

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
249
мики, странного аттрактора, отображения с одним экстремумом, по-
гребенного в уравнениях Навье-Стокса. Экспериментальная очевид-
ность соответствует математической теореме!
Причудливо.
Думая так, Фейгенбаум предложил новый подход к рассмотрению
турбулентности. Не следует накапливать дополнительные, независи-
мые колебания, как предлагали Хопф и Ландау. Не следует рассмат-
ривать один, два каскада и образованный деревом хаос, предложен-
ный Рюэлем и Такенсом. Вместо маршрута, образованного накапли-
вающимся удвоением периода и происходящего быстрее и быстрее, он
предложил вскарабкаться на фиговое дерево, чтобы собрать плоды
хаоса с его верхних ветвей.
Это предположение было очень спекулятивным. Немногие желали
получить лист простого, искусственного дерева вместо освященного
веками дифференциального уравнения в частных производных для
жидкости. Не привлекало также полное отсутствие физического со-
держания в теории Фейгенбаума. "Это хаотическая динамический
система, но не имеет большого значения какая именно, и даже если
эксперимент работает, он не позволит её выбрать." Замешательство.
Однако лист Фейгенбаума не был спекулятивным, ведущим к неоправ-
данным заключениям. Этот лист воображения вел к заключениям,
которые полностью подтверждались. Это был лучший способ стать
правым, хотя большинство людей этого не признавало.
Первое доказательство в пользу этой идеи, показавшее нечто боль-
шее, чем видел глаз, пришло от компьютерных вычислений с более
реалистическими уравнениями жидкости. Иногда из них удавалось из-
влечь каскад удвоения периода. Если это происходило, то можно было
вычислить и коэффициент масштабирования. Числа, близкие к 4.669
при этом возникали очень часто.
Однако отсутствовал настоящий эксперимент на реальной жидко-
сти, который дал бы это же самое число.
Другим зигзагом судьбы, столь характерным для движущейся на-
ощупь в темноте фундаментальной науки, было незнание того, что
такой эксперимент уже выполнен, хотя ни Фейгенбаум, ни экспери-
ментаторы, уже проверявшие его теорию, еще не осознали, что их ре-
зультаты не дают ничего вообще.

250
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
Холод и тишина
Жидкий гелий -- одно из наиболее таинственных веществ на земле.
Охлажденный до температуры, близкой к абсолютному нулю, он спо-
собен самопроизвольно вылиться из мензурки благодаря макроскопи-
ческим проявлениям квантовой неопределенности. В квантовой теории
вообще нельзя быть абсолютно увереным, что жидкость находится в
мензурке, и гелий проникает через эту квантовую лазейку.
Нельзя обнаружить жидкий гелий вокруг нас на улице, но не по-
тому, что он улетучивается, а потому, что он существует только при
очень низких температурах, приблизительно -270◦ по Цельсию. Уви-
деть его можно только в лаборатории, используя сложные методы. Од-
нако Альберту Лихаберу, физику низких температур, жидкий гелий
был старым другом, и это позволило ему осуществить очень чистые и
понятные эксперименты с жидким гелием.
При комнатной температуре, все атомы жидкости под воздействи-
ем тепла перемещаются беспорядочно. Как же выглядит мензурка с
неподвижной водой в атомном масштабе? Это волнующийся океан,
который возмущают бури. Тепловые эффекты производят "шум", то
есть порождают случайные возмущения экспериментальных данных.
Невозможно получить точные результаты в атомном масштабе, по-
скольку этому препятствует шум. Это напоминает прослушивание со-
ловья в разгар застолья: пение тонет в болтовне окружающих.
Чтобы избавиться от шума, необходимо прекратить буйство, то
есть замедлить тепловое движение. Другими словами следует пони-
зить температуру. Самая низкая температура -- абсолютный нуль, --
возникает приблизительно при -273◦C. При такой низкой температуре
вообще нет теплового шума: даже атомы заморожены.
Но экспериментировать с потоком жидкости, если она замороже-
на до твердого состояния, невозможно. Поэтому следует использовать
жидкость, которая не замерзает даже при близких к абсолютному
нулю температурах. Гелий уникален в этом отношении. Он является
единственным веществом, которое позволяет выполнять такие высоко-
точные эксперименты. Поэтому волей-неволей для высокоточных ис-
следований потоков жидкости необходимо применять физику низких
температур и работать с жидким гелием. Если вас интересуют скорее
классические, чем квантовые эффекты, то гелий наиболее подходит
для этого: при -269◦C он ведет себя как классическая жидкость.

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
251
Завихрения гелия
Лихабер, как и многие другие исследователи физики и динамики жид-
костей, заинтересовался конвекцией в 1997. Он знал, что эксперимен-
таторы, например Суини и Голлаб, сомневаются в теории накопления
Хопфа-Ландау. Если бы Лихабер был живописцем, то писал бы мини-
атюры, а если бы был инженером, то делал бы швейцарские часы. Он
любил небольшие, аккуратные и точные вещи. Как раз эти особенно-
сти в первую очередь и привлекали его в физике низких температур.
Для таких исследований вместо необходимой другим тридцатиметро-
вой установки с потоком жидкости, протекающей в извилистом тун-
неле, Лихабер сконструировал прибор, который можно было унести в
кармане. Сечение потока, в котором он устанавливал течение, не пре-
вышало песчинку.
Прибор Лихабера представляет собой крошечную, безупречно точ-
ную стальную камеру, заполненную жидким гелием, температура ко-
торого измеряется крошечными сапфировыми устройствами. Прибор
позволяет иметь одно или два таких устройства. Нижняя часть при-
бора может нагреваться на доли градуса относительно верхней части,
и таким образом создается инверсия температур, поднимающая более
теплые и опускающая холодные потоки жидкости. Внутри этой кро-
шечной конвективной ячейки Лихабер мог создавать почти свободные
от шума конвективные потоки и измерять их поведение.
Много лет назад, великий физик лорд Рэлей предложил механизм,
объясняющий возникновение конвекции. Жидкость образует цилин-
дрические свитки, располагающиеся подобно срубленным стволам де-
ревьев параллельными рядами так, что соседние свитки вращаются в
противоположных направлениях (Рис. 10.6). Это система аналогична
той, что изучена Лоренцем, но Лихабер работал с реальной системой,
а не с приближенной математической моделью.
Ячейка Лихабера так тщательно спроектирована и столь миниа-
тюрна, что в ней помещается только два свитка. Если нижняя часть
ячейки была более теплой, то свитки начинали колебаться, танцуя
шимми как пара балерин и сохраняя некоторое расстояние друг от
друга. Это снова вполне соответствовало классическим представлени-
ям.Случившееся потом, не было известно. Возникло новое колебание,
но в отличие от колебаний Хорфа-Ландау, его период зависел от су-

252
Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
Рис. 10.6. Параллельные свитки в потоке жидкости: соседние свитки вращаются
в противоположных направлениях.
ществующих колебаний. Он имел частоту ровно вдвое превосходящую
предыдущий период. В зависимости от степени повышения температу-
ры, колебания с частотой в четыре, восемь и, возможно, шестнадцать
периодов, хотя и смутно, еще могли различаться. Кроме того, замет-
ный тепловой атомный шум уже при -267◦ градусах Цельсия портил
измерения.
Лихабер рассматривал колебания, используя вычисленные по дан-
ным наблюдений спектры мощности (Рис. 10.7). Вспомним, что пики
на них соответствуют наиболее заметным частотам. Здесь, на изобра-
жениях сначала виден одиночный пик, затем несколько других, рас-
полагающихся все ближе друг к другу. Занимаемое ими место каждый
раз сокращается вдвое. Это означает, что период -- обратно пропорци-
ональный частоте, - всякий раз удваивается. В итоге возникает спектр
мощности, содержащий широкие области, указывающие на хаос.
Лихабер нашел удваивающую период последовательность, физиче-
ское фиговое дерево. Для него это было новое и загадочное явление.
В 1979 он установил контакт с Фейгенбаумом. Теперь он знал, чем
обусловлены его наблюдения и что делать с ними. Как фокусник, Фей-
генбаум извлек из шляпы хаоса кролика универсальности. Лихаберу
оставалось только вычислить коэффициент масштабирования для сво-
ей последовательности удвоения периода и, как сказано выше, это чис-
ло оказалось близким к 4.669.
Сделанного было вполне достаточно, чтобы в дальнейшем выпол-
нить более точные и дорогие эксперименты.
В последующие годы учеными всего мира был проделан целый ряд

Фиговые деревья и значения Фейгенбаума
253
Рис. 10.7. Экспериментальное доказательство существования фигового дерева
при конвекции. Каждая новая серия делит расстояние между предыдущими пика-
ми точно пополам, демонстрируя удвоение периода. Последовательность четырех
удвоений периода может быть замечена, она завершается хаосом.
экспериментов, которые полностью подтвердили предсказание Фейген-
баума, и не только в турбулентных жидкостях, но и во всех видах
физических систем: электронных, оптических и даже биологических.
Люди, места, культура, а теперь и время, были готовы. Все обстоя-
тельства сложились.
Хаос стал фактом, а не только теорией.
Большая наука выросла из небольшого фигового дерева.

Глава 11
Текстура реальности
У нас есть
карта вселенной
для микробов,
у нас есть
карта микроба
для вселенной.
Мирослав Голуб. Крылья.
Рассказывают, что один фермер нанял группу ученых для выработ-
ки рекомендаций по улучшению продуктивности своего стада коров.
(Прервите меня, если вы слышали этот анекдот.) После шести меся-
цев работы они подготовили отчет. Начав читать, фермер в первом же
предложении столкнулся с фразой: "Рассмотрим сферическую корову".
В этом старом анекдоте скрыт важный смысл. Формы, которые мы
видим в природе, и традиционные геометрические фигуры математики
не всегда похожи друг на друга.
Но иногда они похожи. Еще в 1610 Галилей заметил, что язык при-
роды -- математика, а ее символы - треугольники, круги, и другие
геометрические фигуры . Значительные успехи, полученные им в ди-
намике, подтверждают эту точку зрения. Тем не менее в 1726 Джона-
тан Свифт высмеял подобную философию устами Гулливера в книге
Путешествие в Лапутию. Если они отмечали красоту женщины или
животного, то описывали её ромбами, кругами, параллелограммами,
эллипсами или пользовались другими геометрическими терминами .
Эту фразу современные ехо нашли в часто цитируемом положении
Бенуа Мандельброта, приведенном в его книге Фрактальная геомет-
рия природы: Облака -- это не сферы, горы -- не конусы, береговые
линии -- не круги, кора деревьев никогда не бывает гладкой, а молнии
не образуют прямых линий . В отличие от своих предшественников,
Мандельброт молодой исследователь из управления Йорктаунским
отделением IBM, ныне работающий также в университете Джейла,
решил серьезно заняться этим вопросом. За период с конца 1950-х до
начала 1970-х он создал новый тип математики, пригодный для опи-

Текстура реальности
255
сания и анализа структурированных нерегулярностей естественного
мира и предложил термин для обозначения соответствующих геомет-
рических форм: фракталы.
В течение 1970-х, когда исследования хаоса и фракталов находи-
лись в младенчестве, оба эти направления казались несвязанными.
Однако, на самом деле, они математические кузены. Обе теории
описывают структуру нерегулярностей, в обоих геометрическое вооб-
ражение первостепенно. Однако в хаосе геометрия подчинена и обслу-
живает динамику, в то время как во фракталах геометрия доминирует.
Фракталы дают нам новый язык для описания формы хаоса.
Масштабы измерений
Как правило физические явления имеют масштаб. Структура уни-
версума, например, лучше всего описывается в масштабе миллионов
световых лет. Структура микроба изучается в масштабе, близком к
микрону. Возможно, что такая взаимосвязь между явлениями и мас-
штабом измерений в действительности является скорее артефактом
ограниченного человеческого ума, чем подлинной правдой об их при-
роде. Наш ум еще не способен воспринимать столь большие объекты
как универсум во всех тонких деталях. Поэтому мы рассекаем его на
крупномасштабные структуры, такие как скопления галактик, а затем
выделяем в них группы галактик, конкретные галактики и отдельные
звезды, и так далее. Природа же, напротив, функционирует на всех
масштабах одновременно. Как бы то ни было, но пытаясь понять при-
роду, мы вынуждены вводить "естественные" масштабы измерений.
Этот подход хорош только для явлений, происходящих в неболь-
шом диапазоне масштабов, но он гораздо меньше пригоден для явле-
ний, характеризующихся большим диапазоном масштабов. Так, при
фазовых переходах многомиллиардное множество атомов внезапно и
целиком изменяет свои физические характеристики. Механизм явле-
ния охватывает столь большой диапазон масштабов, что в нем сме-
шиваются микроскопический и макроскопический уровни. В этом и
заключена причина трудности математики фазовых переходов.
Один из новейших методов работы с проблемами этого типа нахо-
дится в начале своего становления: ренормализация. Как мы уже ви-
дели, это метод для нахождения предельной бесконечно малой струк-

256
Текстура реальности
туры самоподобного объекта или процесса путем повторяющегося уве-
личения все уменьшающихся частей целого. Самоподобные объекты,
по определению, не имеют свойственного им масштаба размеров: они
выглядят в значительной мере одинаково в различных масштабах.
Традиционные геометрические фигуры - треугольники, круги, сфе-
ры, цилиндры, - теряют свою структуру при увеличении. Мы уже ви-
дели, что круг становится невыразительной прямой линией, если его
рассматривать в достаточно большом масштабе. Люди, полагавшие,
что Земля является плоской, исходили из представлений, свойствен-
ных крошечным человечкам. Мандельброт ввел термин "фрактал" для
описания весьма различных типов геометрических объектов, которые
сохраняют детали своей структуры в большом диапазоне масштабов.
На самом деле идеальный математический фрактал сохраняет свою
структуру в бесконечном диапазоне масштабов.
Снежинки и береговые линии
Береговая линия - хороший пример естественного фрактала (Рис. 11.1).
Все карты береговых линий, вычерченные в различных масштабах,
изображают сходное положение заливов и мысов. Каждый залив со-
держит собственные заливы и мысы меньших размеров, а те в свою
очередь также имеют их, и так далее. Одна и та же общая структу-
ра видна при увеличении в Мексиканском заливе, заливе де Ла Се-
на, бухте Пендовер близ Края Земли, брешь между двумя мысами
на побережье Акапулько, и даже в индивидуальных особенностях от-
дельного мыса. Вирши Свифта, которые вдохновили Ричардсона на
цитированную выше пародию, являются той формой клише, которая
распространена среди множества фракталов, они настолько вырази-
тельны, что нельзя оставить их без внимания:
Вот видит натуралист, как блоху
Едят как жертву маленькие блохи,
А их кусают еще меньшие блохи,
И так до бесконечности.
Математической кривой с теми же общими особенностями является
"форма снежинки" Хельге фон Кох, появившаяся в 1904 (Рис. 11.2). На
ней выступы и впадины имеют форму последовательно уменьшающих-

Текстура реальности
257
Рис. 11.1. Фрактальная структура береговой линии: при увеличении возникают
новые заливы и мысы, но картина по-прежнему похожа на береговую линию.
ся равносторонних треугольников. Однако невозможно смоделировать
естественную береговую линию снежинкой Кох, потому что природа
не ваяет береговые линии из равносторонних треугольников. Тем не
менее форма снежинки очень хорошо фиксирует одну важную особен-
ность береговых линий: их масштабированное поведение. Естествен-
ные и математические фракталы не только одинаковую структуру во
всех масштабах, но они и внутреннюю причину, обуславливающую воз-
никновение той же самой структуры во всех масштабах.
Небольшой фрагмент береговой линии, увеличенный в десять раз,
все также похож на береговую линию. То же самое характерно и для
сегмента края снежинки. Мы уже встречались с идеей самоподобия. В
первом случае подобны только статистические характеристики: сред-
ние размеры впадин и мысов остаются теми же самыми при масштаби-
ровании, хотя их точное расположение может изменяться. Во втором
случае мы имеем дело с математически точным представлением.
Однако не все естественные объекты изменяют свой масштаб таким
образом. Примером здесь служит блоха Свифта. Она способна прыг-
нуть на метр, но если ее увеличить в тысячу раз и она станет такой же
большой, как и слон, то едва ли она будет способна прыгнуть на тыся-
чу метров. Кроме того, её ноги не выдержали бы веса тела. В отличии
от береговых линий блохи имеют естественный масштаб размеров.

258
Текстура реальности
Рис. 11.2. Математический фрактал, кривая снежинки.
Размерность один с четвертью
Качественное , заметил выдающийся физик Эрнст Резерфорд, не
является вполне количественным . Однако выполнить количественное
измерение всех индивидуальных деталей фрактала почти невозможно.
К счастью, численно определить степень грубости фрактала легко.
Эта величина называется размерностью Хаусдорфа-Бесиковича после
того, как два математика -- Феликс Хаусдорф и А. С. Бесикович пред-
ложили соответствующий метод. В настоящее время на него обычно
ссылаются как на метод определения размерности фрактала.
Обычно мы полагаем, что линия одномерна, плоскость двумерна,
пространство трехмерно. Но в мире фракталов размерность имеет бо-
лее общий смысл и может определяться числом, отличным от целого.
Фрактальная размерность береговой линии обычно колеблется между

Текстура реальности
259
1.15 и 1.25, а фрактальная размерность снежинки близка к 1.26. Таким
образом, береговые линии и снежинки Кох в равной степени грубы.
Сначала эта идея может показаться причудливой. Как это можно
говорить, что нечто имеет размерность один с четвертью? Но кри-
вая снежинки, очевидно, имеет более извилистую форму -- это хорошо
видно при закрашивании фигуры, -- чем гладкая кривая с размерно-
стью один. Менее очевидна эта же идея при сравнении закрашенного
пространства с поверхностью, имеющей размерность 2. Поэтому раз-
мерность пространства, имеющая величину где-то между 1 и 2, имеет
ясный смысл. Размерность Хаусдорфа-Бесиковича базируется на этой
идее, совпадая в то же время с обычной размерностью для обычного
пространства. Точное определение такой размерности является доста-
точно сложным и здесь не может быть приведено, но его основная идея
состоит в определении " d-мерного объема" некоторой формы для про-
извольного (не целого) d. Размерностью Хаусдорфа-Бесиковича этой
формы является такое значение d, при котором d-мерный объем изме-
няет свое значение от бесконечности до нуля.
Каждая форма имеет свое значение d, при котором d-мерный объем
выполняет такое переключение. Можно доказать, что для множества
Кантора d является величиной log 2/ log 3 = 0.6309 . . ., а для снежинки
она равна log 4/ log 3 = 1.2619.
Снежинки Кох и размерность Хаусдорфа-Бесиковича были созда-
ны, чтобы показать недостатки математики. Их авторы высмеяли бы
предположение, что их искусственное варево имеет отношение к есте-
ственному миру. Однако Мать Природа знает лучше.
"Избегай геометрии"
Молодой Бенуа Мандельброт мечтал стать математиком, как и его
дядя, Золем Мандельброт, который дал несколько советов своему пле-
мяннику. В частности, он рекомендовал ему избегать геометрии, так
как во времена его молодости математическая мода уделяла основное
внимание строгому анализу, а не визуальным представлениям. Дядя
рекомендовал молодому человеку изучить и использовать в качестве
примера для подражания математическое исследование, которое со-
вершенным образом соответствовало таким представлениям. Это бы-
ла 300--страничная статья французского математика Гастона Джулиа

260
Текстура реальности
по комплексному анализу исчислению √-1. Джулиа показал, что
простые множества комплексных чисел способны породить чудовищ-
но сложные формы. Почти в это же время теми же проблемами зани-
мался и соперник Джулиа, математик Пьер Фато. Вдвоем они быстро
расправились с целой областью. По крайней мере так им казалось в
1940-ых годах. Джулиа и Фато получили лишь очень грубые изображе-
ния возникающих при этом форм. Однако Мандельброт не последовал
увещеваниям дяди. Подобно многим молодым людям, как прежде, так
и теперь, он игнорировал советы старших.
Рис. 11.3. Губка Менгера, фрактал с логарифмической размерностью
log 20/ log 3 = 2.7268
В 1958 он объединил персонал IBM в работе над различными, каза-
лось бы несвязанными задачами: частотами слов в лингвистике, воз-
никновением ошибок при передаче сообщений, турбулентностью, га-
лактическими туманностями, колебаниями цен на фондовой бирже,
уровнем реки Нил. . .. Но к началу 1960-ых, он уже понял, что все его
работы связаны с геометрической структурой нерегулярных явлений.
Мандельброт инкапcулировал (упрятал) свои идеи в слово "фрак-
тал" , образованное в 1975, которое он использовал для названия своей
замечательной книги: Фрактальная геометрия природы. Она была из-
дана в том же году. Эта книга очень геометрична, то есть насыщена

Текстура реальности
261
иллюстрациями, выполненными средствами яркой и сочной компью-
терной графики (Рис. 11.3). Так он следовал завету дяди Золема.
Описательная мощь фракталов сразу же стала очевидной. "Фрак-
тальные поделки" - искусственные, созданные с помощью компьютера
изображения гор, береговых линий, лунных ландшафтов и даже му-
зыки имеют странное сходство с реальными предметами. Но может
ли теория фракталов превосходить простое описание и иметь более
глубокое и действенное значение для науки? Может ли она использо-
ваться для предсказаний новых явлений и раздвинуть границы нашего
понимания природы? Или она является только описательной?
Каково ее настоящее место в математике?
В середине 1970-ых теория хаоса была известна только несколь-
ким специалистам. Книга Мандельброта даже не упоминает хаоти-
ческую динамику как таковую, но она содержит много тем, которые
имеют прямое отношение к хаосу: турбулентность жидкости и крупно-
масштабная структура вселенной. И, возможно, наиболее важный тип
фракталов -- множество Кантора, несомненно является тем объек-
том, который характеризует геометрию странных аттракторов.
Сегодня многие из этих вопросов более понятны. В частности гео-
метрическое различие между гладкими формами -- кругами и сферы, --
точнее их многообразием, и грубыми формами, такими как фракталы,
превратилось ныне в точное различие между знакомыми нам аттрак-
торами классической математики и странными аттракторами хаоса.
Стало обычным делом определять странный аттрактор как фрактал.
Более того, фрактальная размерность это сверхъестественное
дробное число, изобретенное Хаусдорфом и Бесиковичом, и игнориро-
вавшееся учеными--прикладниками вплоть до его воскрешения, уточ-
нения и применения Мандельбротом, превратилась ныне в ключевое
свойство аттрактора, управляющее разнообразными количественными
особенностями его динамики.
Таким образом, сегодня фракталы появляются в науке двумя раз-
личными способами. Они могут возникать как первичный предмет
исследования и как описательное средство при исследованиях нере-
гулярных процессов и форм. Или они могут быть математическими
выводами из некоторой, лежащей в их основе, хаотической динамики.
Чтобы показать различия и область действия этих концепций, давайте
рассмотрим оба способа моделирования фракталов.

262
Текстура реальности
Кремниевая долина
Многие непосредственные приложения фракталов относятся к физике
поверхностей. Поверхности -- это места, где происходят разные инте-
ресные вещи. Посмотрите в окно: королевская сложность, которую мы
называем жизнью, творит суд внутри тонкой оболочки на поверхности
Земли. Поверхности - это границы между конкурирующими режима-
ми, где чуждые друг другу миры вступают в контакт друг с другом.
Топография поверхностей стала значимой благодаря науке. Антитела
связываются с вирусом и ферменты взаимодействуют с макромолеку-
лой ДНК, благодаря некоторому сходству локальных форм взаимодей-
ствующих поверхностей. Поверхность вируса полиомиелита (Рис. 11.4)
- фрактал, и это влияет на способ взаимодействия с ним различных
химических молекул. Функционирование химических катализаторов,
столь важных для промышленности, обусловлено реакциями на по-
верхностях. Металлургов беспокоят формы трещин на поверхности, а
геологи изучают подобные образования в связи с горными хребтами.
Одна и та же морфология может наблюдаться в разных масштабах:
сканирование узкой трещины на поверхности кремния с помощью мик-
рофотографий, показывает, что она напоминает Большой Каньон.
Важны и другие фориы, связанные с топографией поверхностей.
Руды редко распределяются равномерно во вмещающих породах. Гли-
на имеет высокосложную структуру, состоящую из свободно упакован-
ных молекулярных слоев. Поэтому кажущиеся твердыми глинистые
куски могут внезапно стать морем грязи, если разрушится их молеку-
лярный карточный домик. Нечто подобное имело место при Мексикан-
ском землетрясении несколько лет назад. Конечная судьба универсума
зависит от распределения материи внутри него.
В 1980 Харви Стаплетон исследовал магнитные свойства железо-
содержащих молекул протеина. Если кристалл поместить в магнитное
поле, а затем убрать его, то он теряет свою намагниченность некото-
рым специфическим образом. "Скорость релаксации" может быть из-
мерена. Для кристаллов она всегда равна 3, поскольку кристалл явля-
ется трехмерным объектом. Однако для протеинов Стаплетон получил
значения, близкие к 1.7. Он показал, что этот результат можно объ-
яснить их геометрией. Типичная молекула протеина свернута и смята
очень нерегулярным образом. Смятие напоминает фрактал, и число
1.7 можно рассматривать как размерность фрактала.

Текстура реальности
263
Рис. 11.4. Cгенерированная на компьютере модель поверхности вируса полио-
миелита имеет грубую, неправильную структуру: фрактальная модель больше со-
ответствует ей, чем гладкая поверхность. (Артур Й. Олсон, Исследовательский ин-
ститут, Скриппс Клиник, Ла Джоан, CA, c 1987)
Несколько раньше Дуглас Рис и Митчел Льюис показали, что по-
верхность протеина, например гемоглобина, который переносит кис-
лород в крови, является фракталом. Используя компьютерный анализ
данных дифракции рентгеновских лучей, они нашли, что поверхность
протеина имеет фрактальную размерность, приблизительно равную
2.4. Это означает, что его поверхность является очень грубой, в дей-
ствительности она очень похожа на смятый бумажный шарик с фрак-
тальной размерностью приблизительно равной 2.5. Рис и Льюис также
выяснили, что некоторые области на поверхности протеина являются

264
Текстура реальности
более гладкими и имеют меньшую фратальную размерность, чем дру-
гие. Подобно белым кровяным тельцам (Velcro), протеины липнут друг
к другу лучше всего там, где их поверхности более грубы, а гладкие
области, видимо, являются местами активности ферментов, где про-
теины связаны более свободно. То есть фрактальная геометрия поз-
воляет биологам количественно оценивать поверхностную структуру
важных биологических молекул и связывать её с их функциями.
Агрегация и перколяция
Когда мы жили в деревне, у нас был камин, в котором мы сжига-
ли упавшие, пораженные жуком стволы вяза. Мы все еще пользуемся
щетками для чистки труб: дешевле купить щетку, чем нанять трубочи-
ста. Я никогда не любил чистить дымоход, поэтому всегда использовал
для наблюдения за продвижением сажи каскад смотровых отверстий.
Сажа собирается повсюду, потому что она легкая и сыпучая. Она
легкая и сыпучая потому, что состоит из слабо связанной агрегации
частиц углерода. Подобные процессы происходят при электролитиче-
ском осаждении металлов (гальванопокрытие) и при коррозии. В 1983
T. A. Виттен и Леонард Сандер создали важную модель для описания
таких процессов, известную как диффузно-ограниченная агрегация,
или сокращенно DLA. В модели DLA отдельные частицы рассеивают-
ся беспорядочно, пока не наталкиваются на формирующийся агрегат,
где и застревают в месте соприкосновения (Рис. 11.5). Компьютерное
моделирование этого процесса на плоской поверхности создает свобод-
но ветвящиеся структуры, очень напоминающие неправильные листы
папоротника, с фрактальной размерностью 1.7. Подобные процессы в
трехмерном пространстве ведут к фрактальным кластерам с размер-
ностью, приблизительно равной 2.5.
Когда частицы золота распространяются по поверхности, то они
сначала формируют кластеры, подобно воде, оставшейся в ванне после
принятия душа, или росе на сети паука. Рост этих кластеров хорошо
соответствует модели DLA. Золотые коллоиды при распространении
на плоских поверхностях создают кластеры с размерностью, прибли-
зительно равной 1.75, что близко к модельному значению. Имеются
также очень интересные фрактальные фазы переноса распределенного
золота. По мере увеличения привносимого золота кластеры ветвления

Текстура реальности
265
растут и начинают соединяться. Так продолжается до четко опреде-
ленного критического состояниия, за которым они все объединяются в
единую массу. Этот перколяционный переход, имеет исключительную
важность, и различные его формы встречаются во многих материаль-
ных системах. Перколяция сама по себе также может быть смодели-
рована с помощью фракталов.
Рис. 11.5. DLA кластеров материальных частиц, полученный на компьютере.
(Разрешенная перепечатка из Nature, vol. 322, y. 791, c Macmillan Magazines Ltd.)
Почему нефть и вода не смешиваются
Очень сходный процесс ветвления, вязкий фингеринг (образование вяз-
ких пальцев), изучен много лучше, так как имеет важное значение
для нефтяной промышленности (Рис. 11.6). Для извлечения нефти из
скважин в них под давлением закачивается вода. Так как нефть и вода
не смешиваются, то нефть выталкивается через промышленные сква-
жины. Однако процесс просачивания воды сквозь нефть удивительно

266
Текстура реальности
сложен, а количество извлеченной нефти не так велико как хотелось
бы. Лучшее понимание этого процесса позволяет надеяться на повы-
шение эффективности нефтедобычи.
Рис. 11.6. Вязкий фингеринг нефти, закаченной в воду. (Разрешенная перепе-
чатка из Nature, vol. 321, p. 668, c Macmalan Magazines Ltd.)
Стандартный экспериментальный прибор, применяемый для иссле-
дования этой проблемы, известен как ячейка Хеле--Шоу1. Это две плос-
кие стеклянные пластины, между которыми помещается тонкий слой
нефти. Вода подается через отверстие в середине одной из пластин.
Вначале вода имеет форму круглого диска, но если поверхность раз-
дела нефть/вода становится совсем прямой, то возникает неустойчи-
вость и в ней образуются выпуклости, которые вырастают в "паль-
цы", проникающие в нефть и превращающие весь образец в некое по-
добие морской звезды. Эти пальцы характеризуются тем же самым
видом неустойчивости: когда они становятся очень широкими, то рас-
щепляются на тонкие пальчики. Возникает разрастающееся ветвление,
1В оригинале Hele-Shaw cell. Прим. пер.

Текстура реальности
267
напоминающее рост растения. Согласно экспериментам Дж. Нитмана,
Х. Юджина Стэнли и их коллег размерность этого процесса приблизи-
тельно равна 1.7. Это замечательно близко к размерности, полученной
на модели DLA. В настоящее время растет уверенность, что оба эти
процесса математически связаны.
На практике нефть не занимает больших свободных пространств, а
смешивается с материальными частицами, состоящими из камней или
песка. Федер Дженс и другие, изучавшие образование вязких паль-
цев в пористой среде, обнаружили, что в этом случае фрактальная
размерность сокращается приблизительно до 1.62. Это означает, что
закачивание воды в пористые породы менее эффективно для выхода
нефти. Этот результат математического анализа может помочь неф-
тяным компаниям извлекать драгоценную жидкость успешнее.
Вселенная и Все
Когда молодой человек из моей лаборатории начинает употреблять
слово "универсум" , -- говорил Резерфорд, я говорю ему, что он уво-
лен . Однако великий вопрос о Жизни, Вселенной и Всем имеет фа-
тальное обаяние. Фрактологи не защищены от него.
Долгое время астрономы полагали, что структура вселенной всю-
ду одинакова: это однородная, равномерно распределенная смесь га-
лактик и вакуума в любом масштабе. В действительности это пред-
ставление ведет к парадоксу. В 1826 Вильгельм Олберс показал, что
если диаметр звезд и приходящий от них свет уменьшаются пропор-
ционально расстоянию до них, то ночное небо должно быть освещено
равномерно, чего явно не наблюдается. Предложенные решения этого
парадокса обычно основываются на механизмах, которые экранируют
свет отдаленных звезд, таких, как облака межгалактической пыли. Со-
гласно недавнему предположению ночное небо выглядит так как оно
есть потому, что универсум существует не бесконечный период вре-
мени, и свет удаленных звезд еще не достиг нас. Если мы подождем
достаточно долго -- утверждает эта теория, -- то положение Олберса
будет доказано. Нужно только несколько миллиардов лет.
В 1960-х Мандельброт сделал другое предположение. Структура
вселенной может быть однородной -- отметил он, -- и без допущения об
единообразном распределения, если рассматривать его как фрактал.

268
Текстура реальности
Рис. 11.7. Распределение галактик внутри области в тысячу световых лет от
Земли. Является ли это распределение фракталом?
Конечное решение парадокса Олберса остается неясным, но универсум
действительно имеет сложную структуру, больше напоминающую на
фрактал, чем допускает однородность (Рис. 11.7).
Положение галактик может быть измерено очень точно, но чтобы
получить трехмерное распределение, необходимо оценить расстояние
до них. Стандартный метод, применяемый для этого, основывается на
эмпирической гипотезе, выдвинутой в 1929 американским астрономом
Эдвином Хабблом и известной как закон Хаббла. Астрономы могут из-
мерить цвет света, испускаемого звездой или галактикой и получить
его спектр. Закон Хаббла говорит, что чем дальше от нас галактика,
тем значительнее сдвиг ее спектра в область красного цвета -- "крас-
ное смещение". Работает тот же самый эффект Допплера, позволяю-
щий физикам использовать лазер для измерения скорости жидкости:

Текстура реальности
269
если вселенная расширяется, то более удаленные галактики разбега-
ются быстрее и создают красное смещение.
Новые приборы и фотографические эмульсии облегчили измере-
ние красного смещения слабых, удаленных галактик и позволили по-
лучить намного более детализированную картину вселенной. Галакти-
ки распределены неравномерно. Они образуют губкоподобную сеть с
огромными лакунами и закручены в веретенообразные нити. Во все
масштабах распределение остается глыбовым и имеет фрактальную
размерность 1.2.
Маргарет Геллер и Джон Хучра использовали фрактальные моде-
ли для изучения статистики распредения галактик различными спо-
собами. Некоторые факторы, такие как затенение ряда галактик меж-
звездной пылью, искажают наблюдения и проблема заключается в
создании методов, способных учитывать их наличие. Геллер и Хуч-
ра начали исследование с искусственной фрактальной модели, когда
размещение галактик известно. Мешающие воздействия также были
смоделированы. Затем методы удаления искажений тестировались на
созданной фрактальной модели, чтобы проверить, насколько хорошо
они восстанавливают оригинальное размещение.
Самые новые результаты позволяют утверждать, что в самых боль-
ших масштабах вселенная не является фракталом. Однако при этом
возникает "мультифрактал" , имеющий детали несамоподобной струк-
туры во многих масштабах. Возможность представления вселенной в
виде фрактальной модели зависит от масштабов исследования.
Фрактальные подделки
Одним из наиболее ранних "приложений" фракталов была компьютер-
ная графика (Рис. 11.8). Чтобы сохранять в компьютере точные дан-
ные, необходимые для реконструкции поверхности Луны, требуются
огромные объемы памяти для размещения её географического ката-
лога. Однако эти данные не нужны, если цель состоит в создании вы-
мышленной телевизионной научно-фантастической драмы. Выходом
из положения здесь является использование "фрактальных подделок",
которые воссоздают желаемые формы без точных деталей.
В действительности фракталы и компьютеры заключили брак на
небесах. Рекурсия один из наиболее мощных методов программи-

270
Текстура реальности
Рис. 11.8. Фрактальные подделки Ричарда Восса: восход планеты над возвы-
шенностью Лебелграф.

Текстура реальности
271
рования, это процедура, расчленяющаяся на последовательное и
повторяющееся выполнение самой себя. (Например: чтобы построить
кирпичную стенку, положите один ряд кирпичей, затем постройте кир-
пичную стенку наверху этого ряда. Процедура "Построить кирпичную
стенку", определена в терминах самой себя. Практически важно знать,
когда процедура останавится. В данном случае она остановится, когда
стенка станет достаточно высокой.) Фракталы также разделяются на
копии самих себя и описываются рекурсивной геометрией. Для фрак-
талов, а не стенок, рекурсивный процесс продолжается бесконечно.
Несколько лет назад, Лорен Карпентер создал компьютерный фильм
о полете над фрактальным ландшафтом, и был принят на работу Пик-
саром из отделения компьютерной графики Лукасфильм. Фракталы
использованы в фильме Звездные войны II, в фильме Небесные врата
с их помощью был создан ландшафт книги Бытия планет, а в фильме
Возвращение Джеди с помощью фракталов была образована поверх-
ность лун Ендора и контур Смертельной Звезды. Питер Оппенгеймер
использовал процесс фрактального ветвления на компьютере для со-
здания произведений абстрактного искусства (Рис. 11.9), а также для
изображения стилизованных деревьев и растений, напоминающих жи-
вые (Рис. 11.10). Ричард Восс, создав целое направление, продолжает
активно работать. Его недавний триумф -- компьютерное порождение
разумных облаков.
Облака и дождь
Говоря об облаках . . ., Шаун Лавджой проанализировала данные о
настоящих облаках, используя результаты наблюдений со спутника
Geosat, и пришла к замечательному заключению, что облака не толь-
ко являются фракталом, но и сохраняют фрактальную размерность
в пределах 7 порядков (Рис. 11.11). Такая степень единообразия по-
чти беспрецедентна среди природных явлений и означает, что облака
не имеют естественного масштаба. Это неожиданно. Атмосфера имеет
мощность почти в 10 км, а облака являются ее конвективным феноме-
ном, поэтому можно было предположить, что они имеют характерный
размер приблизительно в 10 км, позволяющий их обнаруживать.
Лавджой также изучала выпадение дождей и нашла, что грани-
цы областей, где идет дождь, являются фрактальными. Кроме того,

272
Текстура реальности
Рис. 11.9. Поцелуй. (Нью-Йоркский Технологический Институт (Питер Оппен-
геймер))
Рис. 11.10. Фрактальная имитация дерева. (Нью-Йоркский Технологический
Институт (Питер Оппенгеймер))

Текстура реальности
273
Рис. 11.11. Данные Шаун Лавджой по определению масштабируемых свойств
облаков показали четкую фрактальную размерность (представленную постоян-
ным наклоном линии), несмотря на удивительно широкий диапазон масштабов.
График показывает отношение логарифма площади облака к его периметру. (За-
крашенные квадраты представляют спутниковые данные, полые квадраты -- дан-
ные радаров.)
дождь обычно выпадает нерегулярными пятнами, а его вариации в
короткие и длинные промежутки времени являются сходными, поэто-
му временная структура дождя также является фрактальной. Гарольд
Гастингс выполнил подобный анализ для кислотных дождей для улуч-
шения прогноза стрессов экосистем. Он также надеется найти хороший
индикатор состояний, который мог бы действовать как "прибор ран-
него предупреждения" при опасности выпадения кислотных дождей.
Родные сестры
Фракталы обладают столь заметной новизной, что легко впасть в за-
блуждение, рассматривая их как совершенно новый мир, изолирован-
ный от существующей математики. Однако это не так. Об этом свиде-

274
Текстура реальности
тельствуют возрастающие контакты между фракталами и хаотической
динамикой. Турбулентные потоки относятся как раз к тем явлениям,
в которых фракталы контактируют с хаосом. Мы уже рассматрива-
ли классическое приближение к турбулентности Льюиса Ричардсона,
предложенное им в 1922 и представляющее турбулентное движение
как каскад из вихрей, в которых энергия движения жидкости прогрес-
сивно уменьшается, вызывая образование все меньших вихрей. Такой
процесс очевидным образом является фракталом.
Как мы видели, турбулентность это привлекательная тема для
приверженцев хаотической динамики. Подобно леди Полковника2 и
Джуди О'Крэйди, эти две теории турбулентности - "на самом деле яв-
ляются родными сестрами" 3 Странные аттракторы являются фракта-
лами. Та самая сложность структуры, которая позволяет фракталам
моделировать нерегулярную геометрию естественного мира, вызывает
вероятностное поведение в детерминированной динамике. Итмар Про-
казиа выполнил расширенные исследования связей между фрактала-
ми и турбулентностью, а также турбулентной диффузии с приложени-
ми к формам облаков, рассмотренных Лавджой и упомянутых ранее.
Я уже рассказывал, как Гарри Суини и его группа реконструировали
странные аттракторы по экспериментальным данным о турбулентной
конвекции. Они также вычисляли размерности полученных фракта-
лов, чтобы подтвердить странность выявленных аттракторов и для
количественной оценки их страннности.
В 1986 K. Р. Сринивейсон и К. Минвей опубликовали захватыва-
ющее экспериментальное исследование турбулентности с фракталь-
ной точки зрения. Они рассмотрели турбулентные струи, окружен-
ные обычной жидкостью. Поверхность турбулентной струи, как из-
вестно, имеет очень сложную структуру. Они попытались ответить
на вопросы: является ли поверхность турбулентной струи самоподоб-
ным фракталом и, если это так, какова размерность такого фрактала?
Их эксперименты показали, что ответом на первый вопрос является
"да", а измеренная размерность турбулентных струй, возникающих на
плоской пластине, составила 1.37. Это позволяет предполагать, что
для трехмерного потока жидкости поверхность раздела между турбу-
лентностью и нетурбулентностью имеет более высокую размерность,
2В оригинале сказано Colonel's Lady. Прим. пер.
3В оригинале сказано Sisters under their Skins. Прим. пер.

Текстура реальности
275
приблизительно равную 2.37. Важнейшее следствие этой работы ,
-- отметили они в резюме, -- заключается в том, что отдельные ас-
пекты турбулентности приблизительно могут быть описаны фракта-
лами, а их фрактальная размерность может измеряться . Однако, они
предупредили, что нужно еще много работать для того, чтобы фор-
мулировка "турбулентность является фракталом" была безоговорочно
доказана. Подобное предупреждение должно быть высказано также в
отношении конкретных теорий странных аттракторов: они работают
лучше всего при возникновении турбулентности, но не являются столь
же полезными для вполне развитой турбулентности.
Коврижный человечек
В истории науки много иронии. Поразительным примером такого рода
являются работы Фато и Джулиа, которые отвратили молодого Ман-
дельброта от чистой математики отсутствием геометрического содер-
жания, но именно они стали центральным приложением фракталов к
основному руслу математики и широко приветствовались за выдаю-
щуюся красоту картин. Едва ли следует говорить, что Мандельброт
взял на себя ответствененность за этот поворот судьбы.
Гастон Джулиа, студент Пуанкаре, изучал итеративное отображе-
ние комплексной плоскости. Сегодня вы едва ли сумеете записать та-
кое предложение без немедленного заключения: "Ага! Это дискретная
динамика!". Однако во время тех работ Джюлиа сама мысль о том,
что итерация отображения имеет отношение к динамике, была неслы-
ханной. Динамика была непрерывной, итерация была дискретной, они
были похожи друг на друга как сироп на песок.
Комплексное число - это число вформе z =x+y√-1, где x иy-
обычные вещественные числа. Слово "комплексные" используется ско-
рее в смысле "наличия несколько компонент", чем в смысле "сложный":
два вещественных числа x и y определяют единственное комплексное
число z. Однако мы знаем, что две реальные координаты определяют
точку на плоскости. Таким образом, как мы делаем видимыми веще-
ственные числа, рассматривая их положение на числовой оси, так же
точно мы можем говорить и о комплексных числах, как бы живущих
на комплексной плоскости. Комплексные числа имеют собственную
арифметику, алгебру и анализ, они являются одной из наиболее важ-

276
Текстура реальности
Рис. 11.12. Множество Джулиа: простая идея ведет к запутанной красоте и
бесконечному разнообразию.
ных и красивых идей всей математики. Своим существованием они
обязаны исключительно математическому воображению, основанному
на соглашении о том, что числу -1 разрешается иметь квадратный
корень. Это позволяет расширить понятие числа, чтобы включить в
него это ненормальное предположение.

Текстура реальности
277
Теория Джулиа рассматривает комплексные отображения, напри-
мер, z → z2+c, где c - константа. С помощью небольшого и безобидного
математического манипулирования можно показать, что это комплекс-
ный аналог логистического отображения. Идея состоит в том, чтобы
зафиксировать значение c и посмотреть, что происходит с заданной
начальной величиной z , поскольку эта формула итеративна.
В целом они существенно различны. Некоторые начальные значе-
ния z без остановки быстро уходят в бесконечность. Представьте, что
вы берете кисть и окрашиваете точки комплексной плоскости: если при
итерации отображения они не уходят в бесконечность, то -- черным,
иначе -- белым. Таким образом, вы очерчиваете бассейн аттракции
точки на бесконечности. Множество Джулиа является его границей.
Как заметили еще Джулиа и Фато, результирующие формы могут
быть невероятно сложными. Современные компьютеры позволяют ри-
совать их с легкостью. К тому же они невероятно красивы. При этом
образуются бесконечно разнообразные формы, похожие на морских
коньков, кроликов, звездную пыль, зубчатые колеса и пр. (Рис. 11.12).
Чтобы непосредственно следовать нашей идее, я хочу использовать
аналогию между комплексным отображением z → z2 + c и нашим ста-
рым другом -- логистическим отбражением x → kx(1 - x). Здесь x
и z играют сходные роли, такие же, как и k и c. Каждое значение c
имеет собственное множество Джулиа, также как каждое k -- собствен-
ный аттрактор. (Я довел аналогию почти до предела. На самом деле
множество Джулиа -- это бассейн аттракции для бесконечно удален-
ной точки, множество начальных условий, уходящих при итерации в
бесконечность. Сам аттрактор -- это только точка на бесконечности.
Терпите меня, жизнь проще, если мы игнорируем такое различие.)
Что касается логистического отображения, то там мы создали кар-
тинку, которая показывает, какая точка является аттрактором для
данного k, и как она изменяется вместе с k. Это бифуркационная диа-
грамма, и она привела нас к замечательному открытию, фиговому
дереву. И здесь имеется сходный объект, который дает краткий об-
зор того, как изменяется множество Джулиа для данного c и какую
область значений оно имеет на комплексной плоскости, но вместо фи-
гового дерева на этот раз мы получаем коврижного человечка4. Более
правильно называть его множеством Мандельброта (Рис. 11.13). Од-
4В оригинале gingerbread-man. Прим. пер.

278
Текстура реальности
нако мы видим, что оно очень напоминает имбирный пряник в форме
человечка с кряжистым телом и круглой головой, а слово "Мандель-
брот" -- это по-немецки как раз и означает "миндальный хлеб", что
делает этот каламбур неотразимым. (Уже второй раз я использую ка-
ламбур на основе немецких слов. Обещаю, больше не делать этого.)
Рис. 11.13. Множество Мандельброта или "коврижный человек".
Многообразие форм, в которых существуют множества Джулиа,
огромно. Мы рассмотрим их единственную, но грубую отличительную
особенность: одни множества Джулиа занимают один фрагмент, а дру-
гие -- много частей. То есть они либо соединены, либо разделены. Раз-
деленные, они похожи на частички пыли, а соединенные -- на кривые
или замысловатые рисунки.
Чтобы создать коврижного человечка, снова возьмем нашу кисть.
Возьмем точку c на комплексной плоскости и повторим отображение

Текстура реальности
279
z → z2 + c для всех возможных z, то есть найдем множество Джулиа
для этого c. Соединены его точки или нет? Если разделены, то рисуем
c черным, а если соединены -- белым. Проделаем это для каждого c.
Рис. 11.14. Масштабирование в коврижном человечке.

280
Текстура реальности
Этот результат замечателен своей любопытной, запутанной геомет-
рией, он полон сюрпризов и представляется коврижным человечком.
Самый лучший способ понять запутанность и красоту коврижного
человечка -- это попросить, заимствовать, украсть или (я рекомендую)
купить книгу Крастота фракталов (The Beauty of Fractals) Гейнца-
Отто Питгена и Питера Ритчера. Это уникальная, единственная в сво-
ем роде настольная математическая книга в мире. Но ее поразитель-
ные изображения не являются компьютерной имитацией психоделиче-
ского искусства: они -- части глубокого, естественного и замечатель-
ного объекта коврижного человечка. О нем справедливо говорят
как о наиболее сложной математической форме, когда-либо изобре-
тенной человеком. (Но это не мешает людям изобретать еще более
сложные формы.) Однако можно нарисовать его на компьютере с по-
мощью краткой программы всего лишь в десять строк. Коврижный
человечек представляет "сложность" в новом свете.
Наиболее потрясающая черта множества Мандельброта способ,
которым поддерживается его высокосложная структура, видимый при
увеличении масштаба на каждом уровне (Рис. 11.14). Такое путеше-
ствие внутрь коврижного человечка дает опыт, который нельзя обре-
сти иначе, однако необходим очень быстрый компьютер, чтобы поездка
была быстрой и удобной. На каждом уровне возникают все новые по-
дробности еще более удивительной структуры (Рис. 11.15): водоворо-
ты, спирали, морские коньки, светильники, побеги, расцветшие какту-
сы, тонкие змеи, катушки, насекомоподобные капли, зигзаги молний.
В каждом таком случае, глубоко внутри коврижного человечка, вы
найдете уменьшенные, возможно в миллионы раз (Рис. 11.16) . . ..
Крошечные коврижные человечки.
Совершенные в каждой своей детали, включая собственных под-
коврижных человечков. Подобно бифуркационному многообразию при
логистическом отображении коврижный человечек имеет окна, содер-
жащие самые совершенные репликации себя.
Большие блохи, маленькие блохи ...
Большой коврижный человечек, маленький коврижный человечек.
Это самоподобие множества Мандельброта только одна его заме-
чательная особенность. Имеется и другая. Возьмите точку c на кромке
множества Мандельброта и ренормализуйте его в форму, близкую к c,
увеличивая даже крошечные, находящиеся вблизи друг друга, детали

Текстура реальности
281
Рис. 11.15.
. . . глубоко внутри долины морского конька . . .
до самых больших участков. Какую форму вы получаете? Множество
Джулиа, соответствующее этому значению c.

282
Текстура реальности
Рис. 11.16.
. . . подковрижный человечек, совершенный в каждой детали!

Текстура реальности
283
Множество Мандельброта включает все возможные множества
Джулиа, каждое в бесконечно малом масштабе, они соединены друг с
другом и каждому соответствует собственное значение постоянной c.
Это - только начало рассказа. Целый новый предмет -- комплекс-
ная динамика возникает из этого рассмотрения. ("Комплексная" ис-
пользуется здесь в том же смысле, что и в "комплексных числах", а
не в смысле "сложный". Хотя это усложнено, но вместе с тем и краси-
во.) Среди приложений комплексной динамики имеются методы, поз-
воляющие выполнять численный анализ решения уравнений последо-
вательными приближениями. Но что есть последовательное приближе-
ние, как не повторение некоторого отображения? Это - старая идея,
она возвращает нас к сэру Исааку Ньютону или даже раньше. Фрак-
талы и хаос вдохнули новую жизнь в древние кости.
Фрактальная корова
От простоты снежинок до сложности множества Мандельброта суще-
ствует естественная математическая прогрессия, но какие различные
перспективы возникают при этом.
Кривые снежинок Кох интересуют математиков, потому что они
имеют бесконечную длину, но заключают конечную область; они непре-
рывны, но не имеют никакого направления в каждой точке. Этот и
много других подобных объектов были изобретены в начале столетия,
чтобы драматизировать математические патологии. Имелись кривые,
которые заполняли пространство и кривые, которые пересекали себя
в каждой точке. Восс сказал:
Разум создал странных монстров, не имеющих аналогов в
природе. Один раз обнаружив этих монстров (и поздра-
вив себя за создания, превосходящие природу), математи-
ки отправляли патологических животных, главным обра-
зом невидимых, в математический зверинец. Они не могли
вообразить, что их создания могут быть полезны или пред-
ставлять интерес для ученых-естественников. Природу, од-
нако, не так легко поставить в тупик.
Эти первоначальные вымыслы чистых математиков и кажущие-
ся несвязанными различные исследования в других областях науки

284
Текстура реальности
соединил в своем воображении Бенуа Мандельброт, чтобы создать но-
вый тип математических моделей природы. Почти все современные
работы по фракталам, теории и приложениям, берут свое начало с его
книги, вышедшей в 1975. Это захватывающий образец работы мате-
матического воображения.
Однако теория фракталов развивается. Начальные предположения
позволили сформулировать ее цель, стимулируя новые и более глубо-
кие исследования. Как и в любой развивающейся области исследо-
ваний, привлекательная начальная простота быстро отступает, чтобы
противостоять упрямым сложностям природы. Например, подходящая
концепция фрактальной размерности изменяется от одного приложе-
ния к другому. Важная математическая проблема заключается в том,
чтобы понять, как все эти различные размерности связаны друг с дру-
гом. Далеко не все еще понятно.
Применимость фракталов широка, но не универсальна. Фракталь-
ная корова не является необходимой, она столь же реалистична, как и
сферическая. Это необходимо сказать для предупреждения: далеко не
все приложения действительно нуждаются в использовании понятия
фрактал. Работа, которая двадцать лет назад была бы представлена
как степенной закон, выведенный из графика двойной логарифмиче-
ской зависимости, теперь представляется во фрактальной размерно-
сти. Имеются моды и в науке, и они следуют за модными словами во
время таких важных прорывов в понимании.
Имеется нечто большее, относящееся к фракталам, чем несколько
модных слов. Завтра никто не будет считаться грамотным с науч-
ной точки зрения, если он не знаком с фракталами , -- сказал фи-
зик Джон Уилер. Фракталы открывают новый способ представления
природы для математического моделирования. Они открывают наши
глаза на модели, которые ранее рассматривались не иначе, как бес-
форменные. Они поднимают новые вопросы и подготавливают новые
ответы. Фракталы, -- сказала известный популяризатор науки Джин
Макдермотт, фиксируют текстуру реальности .

Глава 12
Возвращение к Гипериону
Сияющий Гиперион на своем сферическом огне
Недвижимо сидит, спокойно вдыхая курящийся фимиам,
От человека солнечному Богу: еще небезопасному.
А что до земных ужасных монстров,
Пугающих и ошеломляющих, то содрогается он,
Но ни от воя собаки, ни от крика птицы Мрака,
Ни от визита близких
Под удары похоронного колокола,
А от ужаса, разрывающего гигантский нерв,
И доставляющего великую боль Гипериону.
Джон Киц. Гиперион.
Имеются две постоянных нити, проходящие через всю историю дина-
мики. Расширение наших представлений и их углубление. Вспомним
Фалеса с его взором, вознесенным к небесам, и носом, обращенным к
канаве; и Галилея, обнаружившего луны Юпитера и изучавшего цер-
ковную лампу, качающуюся на сквозняке. Великая унификации, про-
изведенная гравитацией Ньютона, касалась как планет, так и полета
пушечного ядра. Астрономические наблюдения были основным сти-
мулом к созданию статистики, но то же самое позволяло осуществить
изучение роста детей. Пуанкаре первым увидел свою моноклиниче-
скую картину в математике движения частиц пыли в гравитационных
полях Юпитера и Сатурна, но понимание его Смейлом было косвенно
вызвано задачей о радаре.
До сих пор наше обсуждение хаоса в значительной степени было
земным, оно было по большей части ограничено стенами лаборатории.
Однако существует хаос и в гиганских масштабах вселенной. Он про-
является в движении спутников, долговременном поведении Плутона,
в самой структуре вселенной.
В начале главы I я уже упомянул странное поведение Гипериона,
спутника Сатурна: астрономический хаос. Давайте начнем с этого.

286
Возвращение к Гипериону
Рис. 12.1. Три изображения неправильного спутника Сатурна -- Гипериона,
полученные Вояджером.

Возвращение к Гипериону
287
Космический картофель
Наиболее знакомая форма небесных тел -- сфера, или точнее сферо-
ид: Земля, например, сплюснута в полюсах на несколько процентов.
Гиперион, напротив, является эллипсоидом, главные оси которого (на-
зываемые длиной, шириной и высотой) составляют соответственно --
190 км, 145 км, и 114 км. Космический картофель (Рис. 12.1).
В соответствии с открытиями Кеплера и Ньютона, орбита Гипери-
она вокруг Сатурна является приблизительно эллиптической. Откло-
нение эллипса от круга измеряется эксцентриситетом. Орбита Ги-
периона имеет эксцентриситет приблизительно равный 10 процентам.
Это необычайно много для планет и спутников Солнечной Системы,
но это также означает, что его орбита -- немного сплющенный круг.
Положение Гипериона на орбите регулярно и предсказуемо. Вы
могли бы рассчитать его на десятилетия вперед и получить результат
с точностью до второго знака после запятой. Однако не это делает Ги-
перион и в самом деле уникальным среди лун и планет нашего Солнца,
а его поожение (attitude) на орбите, определяемое направлением трех
его осей. Большинство планет движется по орбите, подобно футболь-
ному мячу при неэнергичной подаче, а Гиперион напоминает скорее
мяч регби, скачущий по игровому полю. Если бы можно было зафикси-
ровать положение его центральной точки и наблюдать действительное
движение центра относительно нее, то мы бы увидели почти беспоря-
дочно покачивание в каждом из возможных направлений.
Положение Гипериона на орбите и его поведение описываются од-
ними и теми же физическими законами и математическими уравнени-
ями. Его положение соответствует регулярному, а поведение нерегу-
лярному решению этих уравнений. Кувыркание Гипериона на орбите
обусловлено не случайными влияниями, а динамическим хаосом.
Почему хаотичен Гиперион? В чем тут дело, почему другие небес-
ные тела ведут себя регулярным образом? Является ли причиной этого
его картофелевидная форма? Все ли тела такой формы хаотичны?
Совсем нет. Причина здесь более тонкая, более сложная и более ин-
тересная. Хаотическое движение Гипериона это космическое совпа-
дение. В различное время в истории Солнечной системы другие небес-
ные тела так же входят и выходят из периода динамического хаоса.
Но случилось так, что Гиперион подвергся этому процессу как раз в
то время, когда человечество заинтересовалось этим явлением.

288
Возвращение к Гипериону
Вампир Доппельгангер
Движение твердого тела это классическая задача, впервые рассмот-
ренная Эйлером. Выполнив анализ, он сформулировал несколько важ-
ных принципов. Во-первых, можно допустить, что центр тяжести те-
ла зафиксирован, тогда движение можно рассматривать относительно
него. Во-вторых, форма тела не является важным фактором, посколь-
ку движение тела определяется его осями инерции. В твердом теле
они образуют эллипсоид инерции, в значительной мере независимый
от его формы или плотности. Это призрачный компаньон тела, как
бы привязанный к нему, но не имеющий никакой массы, и, очевидно,
эллипсоидальный. Длина каждой оси инерциального эллипсоида про-
порциональна инерции тела, приходящейся на эту ось при вращении,
причем чем длиннее ось, тем большей инерцией она обладает.
Когда тело движется, его призрак будем называть его Доппель-
гангером, ведет себя аналогично. Если тело вращается равномерно,
то аналогичным образом вращается и его призрак, если тело падает,
то и призрак падает. Однако при этом происходит удивительное пре-
вращение. Пусть вампироподобный призрак всасывает материальную
сущность тела и возникает массивный призрак, некое жуткое тело, все
еще присоединенное к нему, подобное живой шелухе. Как изменяется
движение? Никак. Тело и его призрак имеют одни и те же инерциаль-
ные свойства, поэтому их движение является идентичным.
Другими словами, изучение движения твердых тел можно осуществ-
лять путем рассмотрения соответствующих им эллипсоидов. Тот факт,
что Гиперион похож на клубень картофеля не является существенным,
тем не менее эллипсоид его призрака имеет три неравные оси.
Несмотря на это, Эйлер не сумел найти общего решения уравнений
для твердого тела. Классические открытия и tour de force при ана-
лизе позволили найти решение в нескольких частных случаях, таких
как движение круглого симметричного волчка. Однако при этом ма-
тематики выявили общие принципы. Например, одним из простейших
типов движения является вращение тела относительно одной из осей
инерции. Когда такое движение устойчиво? Ответ: если ось является
самой длинной или самой короткой, но не является промежуточной.
Вы можете легко проверить это экспериментально. Книга это
доступный пример тела, имеющего три неравных оси инерции. Они
проходят через центральную точку, скрытую глубоко под обложкой.

Возвращение к Гипериону
289
Рис. 12.2. Книга и ее эллипсоид инерции. Заметьте, что самая короткая ось (S)
книги соответствует самой длинной оси (L) эллипсоида, и наоборот, а две средние
оси (M) соответствуют друг другу.
Самая длинная ось инерции проходит через середину обратной и пе-
редней створки переплета. Самая короткая ось проходит от середи-
ны верхнего обреза книги до середины нижнего обреза. Третья ось
проходит от середины корешка переплета до середины вертикального
правого обреза книги (Рис. 12.2).
Заметьте, что самая длинная ось инерции -- это самая короткая ось
книги, и наоборот. Это не ошибка, инерция вращения самая боль-
шая там, где масса изменяется наиболее быстро. Если крутить книгу
с данной скоростью вокруг наиболее короткой материальной оси, то
наиболее удаленные от оси точки, находящиеся в углу книги, переме-
щаются быстрее. С другой стороны, если крутить с той же скоростью
книгу относительно самой длинной материальной оси, то все точки
книги располагаются гораздо ближе к оси и, следовательно, двигают-
ся более медленно. Может быть случайно, но моя метафора о призраке
является хорошим приближением к этой задаче - призрак не является
в действительности собственно эллипсоидом инерции, но соответству-
ющее эллипсоидальное тело имеет тот же самый эллипсоид инер-
ции, что и первоначальное тело. Оно является толстым там, где инер-
ционный эллипсоид тонок, и является тонким там, где он толст.

290
Возвращение к Гипериону
В любом случае, возьмите какую-нибудь книгу. Что-нибудь тяже-
лое (в материальном, а не метафорическом смысле) самое лучшее: кни-
гу Война и Мир, или словарь. Возьмите ее ладонями за крышки пере-
плета, и крутаните книгу относительно самой короткой оси. Делая это,
вы не почувствуете никакого затруднения. Теперь возьмите книгу за
верхний и нижний край и крутите ее относительно самой длинной оси.
Снова никаких затруднений. В заключение возьмите ее за середины бо-
кового обреза и пробуйте закрутить вокруг средней оси. Вы увидете,
что она отказывается крутиться правильно и начинает кувыркаться
и переворачиваться. Это объясняет, почему вращения относительно
средней оси неустойчивы. В следующий раз, когда вы окажетесь на
каменистом пляже, найдите (приблизительно) похожий на эллипсоид
камень с неравными осями и попробуйте закрутить его относительно
средней оси. Вы увидете, что очень трудно остановить его биения.
Геометрия вращающейся орбиты
В 1984 Джек Виздэм, астроном Массачусетского технологического ин-
ститута, со своими коллегами Стэнтоном Пилом и Франкисом Мигнар-
дом опубликовали статью Хаотическое вращение Гипериона в журна-
ле Icarus, где предсказали, что Гиперион должен вести себя хаотично.
Их анализ в несколько упрощенном виде мы далее рассмотрим.
Орбита Гипериона является эллиптической, но она медленно ме-
няется. Пренебрегая этим, можно смоделировать орбитальное движе-
ние спутника, используя эллипс с фиксированными параметрами. Это
приближение вполне приемлемо, поскольку Гиперион движется суще-
ственно быстрее, чем меняется его орбита. Моделирование движения
самого Гипериона осуществляется подходящим эллипсоидом, а он об-
ращается вдоль своей длинной оси, которую направим перпендику-
лярно к плоскости его орбиты. Ниже мы увидим, почему так следу-
ет поступить. Его беспорядочное падение тогда может быть описа-
но геометрией вращающейся орбиты следующим образом. Поскольку
мы фиксируем направление наиболее длинной оси инерции, то один
из оставшихся углов позволит точно определить, как вращается Ги-
перион. Нам только необходимо знать, куда направлена его короткая
ось. (Средняя ось определяется правым углом по отношению к двум
другим углам). Назовем этот угол углом вращения. Еще одно число

Возвращение к Гипериону
291
необходимо, чтобы указать положение орбиты Гипериона. Это угол
между его текущим положением и некоторой фиксированной точкой
орбиты. Для удобства выберем полуапсиду -- ближайшую к Сатурну
точку, -- в качестве такой фиксированной точки, а соответствующий
угол для наглядности назовем орбитальным углом или "истинной ано-
малией". Сила, с которой Сатурн притягивает Гиперион, зависит от его
орбитального угла, изменяющегося с течением времени. Следователь-
но притяжение Сатурна может быть представлено изменяющимся во
времени гравитационным полем частного вида.
То есть можно записать нужные уравнения и закончить построение
простейшей математичеcкой модели с тремя неизвестными. Первое --
является углом вращения, второе -- cкоростью изменения угла враще-
ния, а третье -- временем или соответствующим орбитальным углом.
Гравитационное притяжение Сатурна рассматривается как завися-
щая от времени сила. Если бы оно было постояннным, то есть неза-
висимой от времени константой, то уравнения имели бы "одну степень
свободы" и точное решение, а хаос был бы невозможен. Однако за-
висимость гравитационного поля от времени переводит уравнения в
"систему с полутора степенями свободы", где хаос является жизнеспо-
собным типом поведения. (Дополнительную половину степени свободы
создает время. Соответственно, гамильтонова система с n переменны-
ми имеет n/2 степеней свободы, поскольку переменные обычно входят
в зависящие от положения пары моментов. В данном случае угол вра-
щения и скорость его изменения образуют такую пару. Следовательно,
время не входит в эту изящную формулировку.)
Уравнения можно численно решить на компьютере. Результаты
проще всего представить с помощь сечение Пуанкаре (Рис. 12.3). На
этом рисунке показаны угол вращения и скорость его изменения через
регулярные интервалы времени. Точками представляются скачки зна-
чений этих параметров спутника от одного интервала до следующего,
из одного положения на сечении Пуанкаре в другое. Сечение Пуанкаре
не позволяет увидеть, где точка находилась в течение интервала, но
это неважно, если требуется отличить регулярное поведение от хаоса.
На сечении Пуанкаре виден ряд замкнутых кривых и большая X -
образная область. Кривые соответствуют регулярным периодическим
и квазипериодическим движениям: каждый интервал характеризует-
ся точечным скачком регулярного движения по одной из замкнутых

292
Возвращение к Гипериону
Рис. 12.3. Сечение Пуанкаре для Гипериона. Область хаотического движения
показана пунктиром, все точки которой принадлежат одной траектории. Замкну-
тые петли показывают области регулярного квазипериодического движения.
кривых. Пунктирная область соответствует хаотическому движению:
точки, характеризующие последовательные интервалы движения, ска-
чут здесь "случайно", покрывая всю пунктирную область. Гиперион
может, в принципе, двигаться по каждому из этих путей, но энергия
его движения выбирает конкретный путь, и приоритет имеет хаос.
Каждая точка на картинке представляет состояние Гипериона: го-
ризонтальная координата -- угол вращения, вертикальная -- скорость
изменения этого угла. Между соседними орбитами точки скачут от
одного положения в следующее. При квазипериодическом движении
присходят точечные скачки вдоль одной из замкнутых кривых шага-
ми почти одного и того же размера, которые высоко регулярны.
При хаотическом движении эти скачки являются скорее случайны-
ми во всей выделенной пунктиром области, которая занимает большую
часть рисунка. Здесь целая область трассируется только одной траек-
торией, если наблюдать её достаточно долго.
Наблюдательные читатели увидят и вторую хаотическую зону, мно-
го меньшего размера, имеющую форму тонкой буквы X с длинными

Возвращение к Гипериону
293
следами своих рукавов, расположенную прямо над большой хаотиче-
ской зоной. Это другое хаотическое движение, но оно покрывает столь
малую область, что не является здесь важным.
Приливное трение
Гравитационное поле Сатурна оказывает и более тонкое влияние на
Гиперион. Поскольку сила гравитации уменьшается с увеличением
расстояния, Сатурн притягивает более близкую к нему сторону Гипе-
риона сильнее, чем дальнюю. Кроме того, это "приливное" притяже-
ние заставляет Гиперион вращаться вокруг самой длинной инерциаль-
ной оси быстрее, чем вокруг самой короткой, хотя оба вращения были
бы более устойчивыми при отсутствии притяжения Сатурна. Предста-
вим, что Гиперион движется по горизонтальной орбите, он наклонен
и одна его сторона обращена к Сатурну, а другая -- в противополож-
ном направлении. Предположим для определенности, что выпяченная
к Сатурну сторона расположена под горизонталью. (В пространстве
нет различия между "верхом" и "низом", поэтому мы используем та-
кой язык для описания, чтобы вы приставляли себе его специфику.)
Поскольку Сатурн притягивает маленькие частицы тем сильнее, чем
ближе они находятся, то это заставляет спутник немного выпрямлять-
ся, а его ось вращения приближается к вертикали. Спустя довольно
продолжительный период времени действие приливных сил устанав-
ливает ось вращения перпендикулярно к плоскости орбиты. Это спра-
ведливо для всех небесных тел, а не только для Гипериона. Однако
этот процесс требует много времени, а пока различие в силах на двух
выпуклостях является очень небольшим, то другие явления могут пре-
пятствовать проявлению этого эффекта.
Виздом предложил экспериментальную аналогию: "Этот процесс
хорошо иллюстрируется с помощью бросания бутылки, частично за-
полненной размоченной бумагой, которая первоначально вращается
вокруг своей наиболее длинной оси". Попробуйте. (Убедитесь вначале,
что пробка крепко завинчена.) Вспомним, что длиннейшей физической
осью является ось симметрии, проходящая вдоль середины бутылки
от горлышка до дна, она же является его кратчайшей осью инерции.
Вы скорее всего найдете, что бутылка отказывается вращаться вокруг
своей длиннейшей оси (хотя даже имея дело с заполненной до краев бу-

294
Возвращение к Гипериону
тылкой можно сделать это вполне успешно, совсем также как с книгой
Война и Мир. Вместо этого закрутите ее до вращения вокруг наиболее
короткой физической оси -- длиннейшей оси инерции. Движение жид-
кости внутри бутылки создает подобие приливного трения, оказывая
на нее то же действие, которое Сатурн оказывает на Гиперион.
Эта модель объясняет, почему ось вращения обычно считают пер-
пендикулярной плоскости орбиты, хотя существуют и другие предпо-
ложения. К счастью, как показывает более тщательный анализ этой
системы, хаос в хаотической зоне не исчезает даже при несоблюдении
этого предположения модели. В этой зоне, где ориентация оси враще-
ния определяется правыми углами к плоскости орбиты, которые толь-
ко кажутся проистекающими из приливных эффектов, хаос на самом
деле возникает от неустойчивости этой более детальной модели.
Как это видимо происходило
Завершая картину, мы можем, наконец, попытаться представить, как
Гиперион пришел к своему нынешнему хаотическому состоянию.
В отдаленном прошлом, период вращения Гипериона ("день") был
много короче, чем его орбитальный период ("год"). Вращение было ре-
гулярным и квазипериодичным. Когда приливные силы Сатурна за-
медлили его вращение Гипериона (как мы видели в эксперименте с
размоченной бумагой), началась новая эра его жизни. При этом осью
вращения стала его самая длинная ось инерции, перпендикулярная к
плоскости орбиты. Однажды Гиперион потерял настолько много энер-
гии, и переместился в хаотическую зону. Работа в миллионы лет была
аннулирована за несколько дней. Занимая от трех до четырех орбит
Гиперион стал кувыркаться во всех направлениях.
Следует отметить, что предсказаное хаотическое кувыркание Гипе-
риона еще не полностью доказано прямыми наблюдениями. Тем не ме-
нее картины, полученные Вояджером, содержат хаотические кувырки
и не включают известных регулярных состояний. Эта теория выглядит
достаточно выигрышной. Она проверялась также в течение долгого
периода времени на Земле путем анализа интенсивности отраженного
Гиперионом света, который также изменяется нерегулярно.
Гиперион -- единственный спутник в Солнечной системе, который
прямо сейчас испытывает подобные кувыркания. Однако анализ по

Возвращение к Гипериону
295
аналогии дает основание полагать, что все спутники, имеющие нере-
гулярную форму, должны на некоторой стадии своей эволюции прохо-
дить через период хаотического кувыркания. Фобос и Демос, две луны
Марса, вероятно, хаотически кувыркались несколько раз в отдаленном
прошлом. То же относится и к небольшой луне Нептуна Нереиде.
Резонанс
Во всем этом есть нечто большее, чем хаос. В нижнем левом и пра-
вом углу, по направлению к краю хаотической области, можно уви-
деть "остров" регулярного поведения. Он соответствует синхронным
движениям, при которых Гиперион всегда повернут к Сатурну одной
стороной (как Луна всегда повернута к Земле). Гиперион может при
некоторых обстоятельствах перейти от хаоса к синхронному поведе-
нию. Другие острова могут рассматриваться аналогично. Например,
небольшой островок в верхней части хаотической зоны соответствует
двум обращениям Гипериона за один орбитальный период. Эти остро-
ва напоминают результаты Энона, Хейли и Чирикова: см. главу 8. Они
соответствуют резонансу, при котором различные аспекты движения
происходят с периодами, относящимися друг к другу как простые чис-
ла, такие как 1:1, 2:1; 3:1 и т. д. Так Титан, другой спутник Сатурна,
имеет орбитальный период, близкий к Гипериону с резонансным от-
ношением 4:3. Гипериону требуется 21,26 дней, чтобы завершить один
оборот на орбите, а Титану -- 15,94. Их отношение дает число 1.3337,
довольно близкое к 4:3.
В просторечии резонанс -- это глубокий (rich) звук, а в образе Басё:
Разорвав молчание
Старого пруда
Лягушка в воду сиганула --
Глубокий резонанс.
Математическая идея резонанса связана с этим: глубокий звук, услы-
шанный поэтом, вызывается различными частями вибрирующего объ-
екта (здесь водой), движущимися в унисон друг с другом.
Резонанс важен для гамильтоновой динамики, и часто хаос ассо-
циируется с ним. Чтобы увидеть, как это происходит, давайте снача-
ла рассмотрим классический пример гамильтоновой системы -- движе-
ние по орбите, близкой к периодической. На сечении Пуанкаре, оно

296
Возвращение к Гипериону
представляется рядом концентрических окружностей (Рис. 12.4). Цен-
тральная точка характеризует периодическую орбиту; каждый окру-
жающий её круг включает второй период, независимый от первого, в
котором движение является квазипериодическим.
Рис. 12.4. Классическая картина, представляющая сечения Пуанаре вблизи
периодической траектории. Каждая окружность отображает квазипериодическое
движение с двумя различными периодами.
Эта картина обладает положительным свойством простоты, но эта
простота обманчива. В действительности, для тех, кто способен за-
метить это, здесь имеются ясные указания на нечто более тонкое. Я
только что сказал, что дополнительный период не зависит от перво-
го. В действительности это не всегда верно. Второй период изменяет-
ся непрерывно от одного круга до следующего. Рассмотрим отноше-
ние двух периодов. Если оно иррационально, то периоды независимы.
Но если оно рационально, то они комбинируются, чтобы образовать
подлинно периодическое движение. Они находятся в резонансе. Раци-
ональные числа являются плотными: любой интервал, как бы мал
он ни был, содержит рациональные числа. А классический анализ по
причинам того же сорта, что открыл Пуанкаре, не работает вблизи ре-
зонансов. Поэтому, вблизи плотного множества классических окруж-
ностей, резонансными являются те, которых вы с ужасом ожидаете.

Возвращение к Гипериону
297
Несмотря на эти неудобства, классическая картина удобна для пред-
ставления некоторых, очень редких систем, про которые говорят, что
они интегрируемы. По злой иронии судьбы, интегрируемые системы
-- это те, которые могут быть точно решены в формулах. Поэтому
классическое подчеркивание существования явных решений ведет нас
к изучению систем, которые не имеют явных представлений. Однако
руководствуясь идеями Пуанкаре и Бирхгофа, мы сможем выработать
правильный взгляд на типичную картину.
Она является невероятно сложной. Её образное представление бы-
ло получено несколько лет назад физиком Майклом Берри:
Вообразим витой кабель из тонкого провода, "сначала" в
форме одной петли. Покроем его концентрическими обо-
лочками из пластика. Этот покров далее прерываем вто-
ричной обволакивающей петлей, закручивающейся по спи-
рали на первой, чтобы плотно закрыть ее несколькими вит-
ками. В этой вторичной петле имеются третий, четвертый,· · ·
витки. Продолжая, мы прерываем первичную оболочку, что-
бы окружить её вторичной. Затем повторяем этот процесс
до бесконечности. Когда он будет завершен, в нем будет
несколько незаполненных мест. Заполним каждое из них
бесконечно длинной, запутанной проволокой.
Пластические витки представляют регулярное, квазипериодическое
движение. Вторичная оболочка является резонансной, третья оболоч-
ка и подобные ей представляют еще более тонкие мультипольные резо-
нансы. Запутанная проволока характеризует хаотические траектории.
Это не компьютерный эксперимент: это теорема. Очень трудная
теорема. Андрей Колмогоров первым осознал, что такой результат мо-
жет быть истиной, и он набросал схематический план атаки. Владимир
Арнольд, студент Колмогорова, который позже стал одним из ведущих
математиков мира и авторитетом в динамике, создал строгое доказа-
тельство, в процессе которого преодолел серьезные технические труд-
ности. Полученный результат был затем расширен Йоргеном Мозером.
Их совместные усилия привели к тому, что сейчас называется теоре-
мой КАМ. (КАМ -- это сокращение от фамилий Колмогоров-Арнольд-
Мозер). Регулярные квазипериодические траектории, предсказанные
этой теоремой, известны как КАМ-тор. Работа Чирикова, описанная в

298
Возвращение к Гипериону
главе 8, налагает ограничения на существование КАМ-тора и, следо-
вательно, на применимость КАМ-теоремы.
Ральф Абрахам и Джерри Марден, два американских математика,
которые написали одно из фундаментальных руководств по теории
динамических систем, назвали получающуюся картину НАК (VAK)
(Рис. 12.5), что означает "Неопределенный аттрактор Колмогорова"
(Vague Attractor of Kolmogorov). Это имя также является именем бо-
гини сомнения из Ригведы, которое уместно в данном случае.
НАК характеризуется тем же самым распределенным качеством,
что и фракталы Мандельброта и фиговое дерево Фейгенбаума: самопо-
добием. Ничтожно малые острова внутри НАК, на первый взгляд, на-
поминают классическое изображение концентрических витков. Однако
это только результат ограниченных возможностей рисуночной графи-
чики. Каждый остров имеет ту же сложность и ту же качественную
форму, что и все здание НАК в целом. Целая простая классическая
картина является нетипичной, вводящей в заблуждение, несмотря на
то, что сложная самоподобная структура НАК не является бредом су-
масшедшего математика, а представляет реально сущеествующее.
Брешь Кирквуда и куст Хильды
Характерные черты резонанса выпукло проявляются в другой астро-
номической загадке брешах в астероидном поясе. Самый большой
астероид, Церос, был открыт в 1802 году Вильгельмом Ольберсом --
парадоксальным человеком. Он имеет около 690 километров в диа-
метре. Самые маленькие из астероидов чуть больше огромных кам-
ней. Всего их известно около десяти тысяч. Большинство астероидов
сконцентрировано между орбитами Марса и Юпитера, хотя некоторые
располагаются гораздо ближе к Солнцу.
Орбиты астероидов располагаются между Марсом и Юпитером
неравномерно: радиусы их орбит группируются около некоторых зна-
чений, в то время как другие радиусы совсем отсутствуют (Рис. 12.6).
Даниэль Кирквуд, американский астроном, впервые обративший вни-
мание на это приблизительно в 1860 и указавший наиболее заметные
бреши. Если брешь рассматривать как тело, обращающееся вокруг
Солнца, то его орбитальный период должен находиться в резонансе с
Юпитером. Вывод: резонанс с Юпитером каким-то образом возмущает

Возвращение к Гипериону
299
Рис. 12.5. Вот что происходит вблизи типичной периодической траектории:
Неопределенный аттрактор Колмогорова (VAK). Показаны лишь некоторые клас-
сические квазипериодические движения. Повсюду хаотические траектории изви-
ваются между резонансными островами. (Ральф Абрахам и Джеральд Е. Марден.
Основания математики. c 1978 Addison-Wesley Publishing Company Inc.)

300
Возвращение к Гипериону
Рис. 12.6. Астероиды образуют группы (кусты) на некотором определенном
расстоянии от Солнца и бреши в других местах. Вероятно это обусловлено резо-
нансами с Юпитером. График показывает относительное количество астероидов
для заданных отношений периодов (период Юпитера: период астероида).
любые тела на таких орбитах и вызывает нестабильность некоторого
рода, которая выметает их прочь на расстояния, при которых резонанс
более не проявляется. Особая роль Юпитера обусловлена тем, что он
слишком массивен по сравнению с другими планетами.
Бреши очевидны в имеющихся данных, особенно для резонансов
2:1, 3:1, 4:1, 5:2 и 7:2. С другой стороны, при резонансном отношении
3:2 имеется куст астероидов, это группа Хильды.
Резонансы используются астрономами как нечто, способное быть
ловушкой. Луна всегда повернута лицевой стороной к Земле, 1:1 резо-
нанс существует между ее орбитальным и вращательным периодами.
Меркурий совершает оборот вокруг Солнца за 88 дней, а вокруг своей
оси -- за 59 дней. Две трети от числа 88 очень близко к 59, поэтому ор-
битальный и вращательный периоды Меркурия находятся в резонансе
2:3. Эти резонансы являются, вероятно, устойчивыми (или же небес-
ные тела стремятся не вступать в такие взаимоотношения). Поэтому
устойчивость резонансов "объясняет" наблюдаемые явления.
Но что касается астероидов, не входящих в группу Хильды с отно-
шением 3:2, то здесь объяснением по-видимому является их неустой-
чивость к резонансам. Несомненно, что единственным способом раз-
решения этой трудности является разработка механизма неустойчиво-
сти: возможно он различен в каждом конкретном случае. В дальней-
шем, должно быть выявлено нечто необычное в резонансе 3:2, способ-
ное объяснить возникновение группы Хильды.

Возвращение к Гипериону
301
Рис. 12.7. Эксцентриситет e орбит астероидов при резонансе 3:1 с Юпитером.
Эти пики соответствуют внезапным, значительным изменениям эксцентриситета.
Горизонтальный масштаб t задан в миллионах лет.
Пики высоких эксцентриситетов
До недавнего времени ни один специалист по численным методам не
имел возможности проводить результативные долговременные иссле-
дования таких резонансов. Но прогресс в компьютерных методах и
создание новых теоретических принципов начали проливать некото-
рый свет на подобные проблемы. В частности, резонанс 3:1 довольно
хорошо изучен в настоящее время.
Компьютерные расчеты показали, что астероиды с орбитами, кото-
рые допускают 3:1 резонанс с Юпитером, должны следовать по очень
нерегулярному пути. Эксцентриситет их орбит может изменяться про-
извольно и почти случайным образом (Рис. 12.7). Это еще один при-
мер динамического хаоса а астрономии. Нерегулярности существуют
во временном масштабе, который краток по космическим, но долог по
компьютерным меркам: около 10 тысяч лет.

302
Возвращение к Гипериону
Чтобы увидеть то, что в действительности происходит, нужно
рассматривать временные масштабы в миллионы лет. Типичная хао-
тическая трактория характеризуется всплесками высоких эксцентри-
ситетов среди низких при наличии "пиков" высоких эксцентриситетов.
При низких эксцентриситетах космические тела следуют приблизи-
тельно по кругу, но они имеют существенно более длинные и сплюс-
нутые эллиптические пути при высоких эксцентриситетах.
Расчеты сечения Пуанкаре (Рис. 12.8) помогают объяснить эти ре-
зультаты. На рисунке видны две отдельные хаотические группы. Од-
на группа имеет низкие эксцентриситеты, другая -- высокие. Итак, на
сечении Пуанкаре показано движение орбитального тела, отмеченное
последовательными "моментальными снимками" . Скачки тела проис-
ходят плавно, если они принадлежат к одной из групп. Более деталь-
ный анализ показывает, что большую часть времени, тело движется по
кругу в группе низких эксцентриситетов. Неожиданно оно попадает в
ловушку и оказывается в группе высоких эксцентриситетов. Движе-
ние здесь довольно быстрое, поэтому оно не может оставаться здесь
долго и ему соответствует краткий, высокоинтенсивный пик.
Марсианский чистильщик
Как же рассчитывается брешь Кирквуда для отношения 3:1?
На всплесках или пиках эксцентриситет астероидов увеличивает-
ся. Это приводит к тому, что астероиды, чьи эксцентриситеты име-
ют величину 0.3 и больше начинают пересекать орбиту Марса (Mars-
crossing). Это означает, что при всяком пересечении орбиты существу-
ет вероятность такого сближения с Марсом, которое способно серъёзно
возмутить его орбиту. Астероид, часто пересекающий орбиту Марса,
может в конце концов подойти к нему настолько близко, что окажется
заброшенным на некоторую, совершенно иную орбиту.
До тех пор считалось, что хаос может быть образован высоким экс-
центриситетом, а пересечение с Марсом не считалось правдоподобным
механизмом. Предполагалось, что астероиды вокруг бреши Кирквуда
3:1 свободны от влияния Марса, поэтому у них нет причин для неожи-
данной смены эксцентриситета. Но теперь такая причина -- математика
хаоса, -- существует. Вполне возможно, что брешь 3:1 Кирквуда вызва-
на тем, что именно Марс вычищает астероиды, и это не обусловлено

Возвращение к Гипериону
303
Рис. 12.8. Сечение Пуанкаре для астероидов при резонансе 3:1 с Юпитером
образует две отдельные хаотические области (группы), объясняющие пики на экс-
центриситетах.
какими-либо действиями Юпитера. Юпитер создает резонанс, благо-
даря которому астероиды начинают пересекать орбиту Марса, а уже
Марс выталкивает их в холод и пустоту. Юпитер лишь создает благо-
приятную возможность, а Марс достигает успеха.
Совпадение границ этой хаотической зоны 3:1 с действительным
распределением астероидов поразительно хорошее (Рис. 12.9). Грани-
ца выделяет те самые квазипериодические траектории, которые как и
хаотические траектории, ведут к пересечению с Марсом. Все это было
принято во внимание при определении границы.
Механизм, который позволяет Марсу выметать астероиды, может
вызывать метеоритные потоки, достигающие орбиты Земли. Резонанс
с Юпитером 3:1, вероятно, может также быть причиной перемещения
метеоритов из астероидного пояса к земной орбите, где они сгорают в
атмосфере. Трудно найти более яркий пример сущностного единства
всей Солнечной системы и лучший пример вездесущности хаоса.

304
Возвращение к Гипериону
Рис. 12.9. Граница хаотической зоны 3:1 по теоретическим и фактическим дан-
ным. Согласно теории область между двумя линиями не должна содержать асте-
роиды. Кружками и крестиками показаны наблюденные значения, подтверждаю-
щие это предсказание.
Цифровой планетарий
Что же предтавляет собой группа Хильды, собираемая вместе резо-
нансом 3:2? Что можно сказать о других резонансах?
Даже суперкомпьютеру требуется длительное время для расчета
событий небесной механики по долговременной шкале. Виздом и его
коллеги: Джеймс Апплиджейт, Майкл Дуглас, Джекта Гюрсель и Ге-
ральд Сассман решили, что единственным выходом из такой ситуации
является постройка своего собственного компьютера. Должна быть со-
здана высокоспециализированная машина, единственная цель которой
состоит в расчёте поведения небольшого числа тел, двигающихся при-
близительно по круговым орбитам под действием ньютоновой силы
тяжести. Построенная по специальному заказу машина позволит пре-
одолеть недостатки существующих компьютеров, а если удастся её сде-
лать, то можно и сократить путь.

Возвращение к Гипериону
305
Они назвали свой специально построенный для астрономических
расчетов компьютер цифровым планетарием. Планетарий -- это ста-
ринный механизм для моделирования орбитального движения планет,
использующий зубчатые передачи и колеса. Совсем как в механизме с
Антикитиры, созданном греками 2 тысячи лет назад.
Цифровой планетарий -- это параллельный компьютер, он выпол-
няет несколько заданий одновременно. Это одна из находок, позволив-
шая увеличить его скорость. В то время как последовательный ком-
пьютер должен вызывать инструкции из памяти на каждой стадии вы-
полнения программы, цифровой планетарий выполняет массу расче-
тов непосредственно с помощью аппаратуры компьютера. Математи-
ческие возможности его существенно шире. К примеру, чтобы выпол-
нить одну арифметическую операцию, ему требуется приблизительно
столько же время, сколько необходимо VAX 11/780 (Если вас инте-
ресуют детали, то это составляет около 1.25 микросекунды на умно-
жение двух 64-разрядных вещественных чисел), но он выполняет шаг
интегрирования уравнения с десятью неизвестными приблизительно в
шесть раз быстрее, чем VAX. VAX -- это популярный (но постоянно уве-
личивающий свои возможности) научно--исследовательский компью-
тер, занимающий три шкафа для хранения документов.
Цифровой планетарий предполагается использовать для изучения
движений Солнечной системы в будущем и прошлом, соответственно
на 110 и 100 миллионов лет, то есть на общем временном интервале бо-
лее, чем в 200 миллионов лет. Плутон долгое время был загадкой для
астрономов. Его орбита имеет много больший, по сравнению с другими
планетами, эксцентриситет и много больший наклон орбиты. Сравни-
тельно недавно Виздом и Сассман нашли еще один пример своенравия
Плутона. Они использовали цифровой планетарий, чтобы показать (на
своей математической модели), что его орбита хаотична. Для этого они
дважды рассчитали орбиту планеты, используя очень близкие началь-
ные условия. Согласно их предсказанию, через несколько сотен мил-
лионов лет эти две орбиты переместят Плутон на противоположные
стороны от Солнца вследствие космического эффекта бабочки.
Цифровой планетарий сейчас используется для изучения резонан-
сов 2:1 и 3:2. С его помощью уже нашли, что резонанс 2:1 (при ко-
тором возникает брешь в астероидном поясе) является хаотической
зоной, имеющей значительные размеры. Но в области резонанса 3:2,

306
Возвращение к Гипериону
где располагается куст Хильды, хаотическая зона отсутствует.
Математически каждый резонанс является уникальным явлением
со своими собственными специфическими чертами. Непонятно, почему
резонанс 3:2 должен напоминать резонанс 3:1 или 2:1 как-либо иначе,
чем число 3/2 напоминает число 3 или 2. Возможно, что именно явное
отсутствие хаоса является одной из наиболее поразительных особенно-
стей резонанса 3:2. Без хаоса нет причин для неожиданного обретения
астероидом высокого эксцентриситета, а без увеличения эксцентриси-
тета нет причины, по которой другая планета, такая как Марс, смогла
бы вымести его. Явлению куста Хильда необходимо найти "экологи-
ческу нишу" в универсуме хаоса.

Глава 13
Неустойчивость природы
Природная плодовитость растений и животных не имеет границ, но
потребность в пище заставляет их скучиваться и сталкиваться друг
с другом. Поэтому постепенно свободные участки земли могут ока-
заться покрытыми лишь одним видом растений, например, укропом,
а незаселенные местности за несколько веков занятыми только од-
ним народом, например, англичанами.
Томас Мальтус. Эссе о принципах населения (An Essay on the
Principle of Population).
У одного человека был контейнер, в котором жили мясные мухи.
Мир, без сомнения, полон навязчивых идей, но данном случае си-
туация была иной. Этот человек не был чудаком, постоянно пребы-
вающим в необычайно дурном настроении, он был ученым, который
изучал эволюцию популяции мясных мух, ограниченных в простран-
стве и питании. Его звали А. Дж. Николсон, он занимался экологией.
Сейчас мы почти каждый день слышим это слово, как правило в связи
с политикой "зеленых". Под экологией при этом понимается окружаю-
щая среда, в которой мы и оставшиеся на Земле создания, ведем
свое существование. Экология, как объект науки, изучает окружаю-
щую среду, в частности, взаимодействие между животными и необхо-
димыми для их питания растениями.
Вначале, в контейнере у Николсона было 10 тысяч мясных мух.
Через некоторое время популяция сократилась до нескольких сотен
(Рис. 13.1), затем она снова начала расти. Популяция мух сначала раз-
росталась в пространстве контейнера, а затем ступенчато сокраща-
лась. При наличии свободного места, мухи начинали размножаться,
а потом погибали. Приблизительно через тридцать восемь дней цикл
повторялся. Он никогда не оставался тем же самым, а флюктуировал
около некоторого периодического ритма.
Ритмы популяций животных и их нарушения всегда были жиз-
ненно важными для человека. Неожиданный бич саранчи приводил к
голоду и смерти. Вредители растений, будь то кролики, кенгуру или

308
Неустойчивость природы
Рис. 13.1. Флюктуации популиции мясных мух. По горизонтали показано время
в днях.
опоссумы, опустошали фермерские земли и сады. Популяции бакте-
рий и вирусов, вызывающих эпидемии, тоже испытывают флюктуа-
ции численности из года в год. Информация о численности о рысей и
зайцев в Канаде, приведенный в отчетах Охотничей торговой компа-
нии Хадсона (Hudson Bay Trading Company) несомненно представляет
один из наиболее значительных временных рядов, доступных в насто-
ящее время.
Цикада принадлежит к отряду Homoptera или сосущих насекомых.
Большинство представителей этого отряда живут недолго, кроме трех
видов цикад. Взрослые самки этих цикад прогрызают отверстия в коре
деревьев и откладывают яйца, которые лежат там несколько недель.
Вылупившиеся личинки падают на землю, зарываются в неё и начина-
ют есть корни деревьев. Они остаются под землей в течение семнадца-
ти лет, сохраняя своей внешний вид на протяжении тринадцати лет.
Затем они вылезают из земли и превращаются во взрослых насекомых.
Взрослые цикады живут всего несколько недель. Они видимо долж-
ны пройти через стадию личинок для осуществления воспроизводства.
Как личинки узнают о времени выхода? Это настоящая загадка. По
одному из мнений это обусловлено тем, что простые числа, такие как
13 или 17, не входят в резонанс с более короткими циклами потенци-
альных хищников и, тем самым, обеспечивают сохранность популяции.
Но это пока только догадки.
Некоторые из представленных флуктуаций являются регулярны-
ми, другие нет. Является ли такая динамическая картина только на-
глядным изображением? Или термин "популяционная динамика" в дан-

Неустойчивость природы
309
ном случае более точен? Как только явление становится периодиче-
ским, ответить на этот вопрос уже невозможно. Однако с пониманием
хаоса становятся доступными существенно более точные методы про-
верки. Можно ли найти следы хаоса в нарушениях ритмов популяций?
Очень возможно.
Акулы и креветки
Мысль о том, что экологические системы изменяются в соответствии
с некоторого рода динамикой, длительное время носилась в воздухе.
Итальянский математик Вольтерра Вито во время первой мировой
войны служил в военно-воздушных силах и создавал боевые дирижаб-
ли. Он первым предложил применять в них гелий вместо горючего
водорода. По окончании войны он обратился к мирным проблемам и
создал математические модели взаимодействия между хищниками и
жертвами. Он нашел систему дифференциальных уравнений, позво-
лившую объяснить периодические флюктуации численности популя-
ций рыб в Средиземном море.
Циклы Вольтерра (Рис. 13.2) можно сделать наглядными исклю-
чительно словесными доводами. Предположим, что небольшое число
хищников, скажем акул, попадает в воды, содержащие большое
число жертв, скажем креветок. Я использую эти названия лишь для
того, чтобы оживить представленную картину. Популяция креветок
ограничена доступной пищей, и, вдобавок, она сокращается хищника-
ми. В свою очередь, популяция акул ограничена числом креветок. Пер-
воначально имеется много креветок, поэтому популяция акул быстро
растет, а популяция креветок, поедаемых акулами, начинает сокра-
щаться. Скоро акул становиться слишком много, а креветок мало. Те-
перь уже голодные акулы погибают от недостатка пище, и, раздуваясь,
они всплывают на поверхность. Их численность сокращается. Вслед-
ствие этого креветки начинают размножаться быстрее, и их популяция
креветок вновь начинает расти. Цикл повторяется.
Сверхсветовые кролики
Общеизвестно, что рост популяций при отсутствии ограничений опи-
сывается экспонентой. Если как это считается необходимым, - сред-
няя семья имеет 2.3 ребенка, то скорость роста популяции равна 2.3/2 =

310
Неустойчивость природы
Рис. 13.2. Циклы хищник-жертва Вольтерра.
1.15, тогда через n поколений в популяции будет (1.15)n людей. По-
скольку (1.15)5 - очень близко к 2, то такая популяция удваивается
через пять поколений. Если возрастом поколения считать тридцать
лет, то популяция возрастает десятикратно через пять столетий.
Самая первая математическая модель роста населения имеется в
работах Леонардо из Пизы, относящихся примерно к 1220. Этот Лео-
нардо более известен как "Фибоначчи", хотя это имя было присвоено
ему лишь в XIX столетии историком математики Джулио Либри, оно
не имеет какой-либо исторической основы. Модель Леонардо была сво-
его рода пробой, скорее головоломкой, чем серьезным вкладом в мате-
матическую экологию, но она предвосхитила некоторые важные идеи.
Эта модель принимает во внимание только репродуктивное поведе-
ние кроликов. Леонардо начал с одной пары кроликов, то есть сделал
достаточно естественное предположение. Одна пара новорожденных
кроликов вырастает за сезон и в следующем сезоне способна произве-

Неустойчивость природы
311
сти новую пару, которая, в свою очередь, вступает в репродуктивный
возраст через один сезон. Предположим также, что кролики никогда
не умирают. Какой станет численность популяции за n сезонов?
Пусть в n сезоне имеется Mn взрослых пар и In новорожденных
пар, а в первом сезоне было: M1 = 0, I1 = 1. Тогда закон роста можно
представить как:
In+1 = Mn
Mn+1 =Mn+In.
В (n + 1)-м сезоне Mn взрослых пар произведут на свет Mn новых
пар, которые будут новорожденными In+1. Но они еще не способны
к воспроизводству, поэтому общее число репродуктивных пар Mn+1 в
этом сезоне образуется от сложения числа взрослых пар Mn и числа
новорожденных пар в прошлом сезоне In.
Выполняя вычисления, получим
n Mn In Всего
1011
2112
3213
4325
5538
68513
713821
8211334
и так далее. Это знаменитые числа Фиббоначчи, каждое следующее
является суммой двух предыдущих. То, что мы видим здесь, является
дискретной динамической системой. Временным интервалом здесь яв-
ляется сезон, а состояние системы описывается парой чисел (Mn, In).
Закон роста является динамическим.
Эта задача имеет точное решение. Если мы введем золотое сечение
τ =(1+√5)/2=1.618034. . . , то можно доказать, что
Mn -- это ближайшее целое к τ n/√5,
In -- это ближайшее целое к τ n-1√5.
Я не буду объяснять почему это так, но вы можете проверить этот ре-
зультат на вашем калькуляторе. Мы имеем очень хорошую аппрокси-

312
Неустойчивость природы
мацию модели Леонардо, представляя рост популяции как умножение
на 1.618034 за сезон.
Еще раз отметим, что это экспоненциальный рост. Если бы каль-
кулятор позволил рассчитать, то через 114 поколений число кроликов
превзойдет все, что нам известно во вселенной. Задолго до этого Зем-
ля будет покрыта оболочкой, образованной из популяции кроликов,
растущей быстрее скорости света!
Ограничения роста
Конечно это абсурд. Внешние влияния на практике всегда ограничи-
вают рост популяции, приводя ее к благоразумным пределам. Рост
ограничивает, например, недостаток кислорода, а скорее недостаток
пространства, пищи или всего сразу.
Таким образом дискретная динамика Леонардо должна быть моди-
фицирована, чтобы описать прекращение роста популяции. На эколо-
гическом жаргоне говорят про "зависимый от плотности рост популя-
ции", поскольку скорость рождения зависит от плотности популяции
-- отношения действительного размера популяции к максимально воз-
можной при данном состоянии окружающей среды.
Модель Леонардо является дискретной не только во времени
сезонах, -- но и в размере популяции. Чтобы немного упростить ана-
лиз уравнений, предположим, что число кроликов является непрерыв-
ным (однако остается дискретным время). Для этого заменим число
кроликов на его отношение к максимальному размеру популяции. Те-
перь величина x заключена между 0 и 1. Это ведет к очень малым
дискретным шагам: если максимальный размер популяции составля-
ет, скажем, 1 миллиард, то один шаг равен 0.000000001. Эту величину
очень трудно заметить человеку, но это легко делает компьютер.
Простейшая модель роста популяции является итеративной, со-
гласно Леонардо, плотность популяции в текущем сезоне зависит в
предсказательном смысле от ее плотности в предыдущем сезоне. Дру-
гими словами мы имеем итеративную модель, дискретную динамиче-
скую систему, в форме
xn+1 = F (xn),
где xn есть плотность популяции в сезоне n, а F является некоторым
специфическим отображением.

Неустойчивость природы
313
Был предложен целый ряд различных отображений F , чтобы вы-
явить особенности репродукционного процесса. Сначала полагали, рас-
сматривая их в классическом духе, что каждое отображение характе-
ризуется специфической динамикой. Поэтому были предприняты уси-
лия, чтобы создать методы проверки на лучшее приближение к дан-
ным, в надежде найти лучшую модель и узнать нечто новое об основах
биологии популяций.
Однако это могло быть ошибкой. Большинство отображений, опи-
санных в литературе, имеют общую черту: определяют кривые с одним
пиком. Поэтому на качественном уровне они ведут себя почти как ло-
гистическое отображение. В частности, наиболее поразительные черты
последнего -- особенно фиговое дерево с его каскадом удвоения пери-
ода, -- характерны для всех них; возникают периодические циклы с
периодами, отличными от 2n , возникает хаос.
Это не позволяет говорить, что различные модели качественно иден-
тичны. Следует иметь в виду, что в экспериментальной экологии очень
трудно получить действительно хорошие данные. Поэтому возникает
серьезная проблема различения. Лучше всего, вероятно, допустить,
что существует экспериментальная очевидность, которая больше со-
ответствует целому классу моделей.
Во всяком случае, результатом всестороннего исследования даже
простейших моделей роста популяций в ограничивающих окружаю-
щей условиях стало понимание, что они способны создавать периодич-
ность и хаос. Как мы видели, периодичность постоянно возникает в ре-
альных популяциях. Кроме того, существуют случайные флуктуации,
ставящие волнующую проблему: как велика роль внешних влияний и
насколько вероятен истинный детерминированный хаос?
Комбинации обстоятельств
Первым человеком, принявшим это во внимание, был, по-видимому,
Робер Мей, статья которого в газете Nature, с ее возбуждающим за-
явлением о широком распространении сложного поведения простых
моделей, уже была упомянута. Недавно, в очередном выпуске Запи-
сок Королевского Общества1, Мей привел ряд соображений, объясняю-
щих почему так много времени потребовалось людям, чтобы заметить
1Proceeding of the Royal Society2, vol. 413A (1987)

314
Неустойчивость природы
то, что в сущности очевидно любому человеку, имеющему настольный
калькулятор, или просто карандаш и бумагу.
Установлено, что часто встречающиеся простые уравнения
имеют столь удивительную динамику, что небезынтересно
спросить, почему потребовалось почти десять лет, чтобы
хаос занял подобающее ему место в центре современной на-
уки. Я полагаю, что ответ состоит отчасти в том, что для
широкого признания хаоса требовались люди, способные
увидеть пути обобщения таких систем в контексте с выше-
упомянутыми практическими приложениями, а отчасти в
том, что было необходимо время для создания компьюте-
ров, способных сделать численное изучение легким.
Эти слова подтверждает замечание, сделанное мной выше: требу-
ется совпадение обстоятельств -- времени, места, личности, культуры,
-- которые все вместе необходимы для того, чтобы новая идея смог-
ла пустить корни. И, как сказал далее Мей, некоторые из этих об-
стоятельств способны заметно отодвинуть успех, однако не все. Один
человек обычно не способен понять то, что возникает в результате дей-
ствия всех обстоятельств. Это верно и для фракталов: хотя отдельные
части загадки стояли перед глазами нескольких поколений, но только
особые таланты Бенуа Мандельброта позволили собрать их вместе и
убедить людей в достоинствах полученной картины.
Фактически, некоторые биологи были в определенном смысле зна-
комы с хаосом уже в 1950-х. Так, в 1950 П. А. П. Моран при изучении
насекомых, а в 1954 В. Е. Рикер при изучении популяций рыб нашли
устойчивые решения, периодичность и даже хаос. Однако интерес в это
время вызывали только устойчивые решения, а хаос -- его наблюдали
только во время утомительных работ на настольных калькуляторах,
-- не был ни понятным, ни надежным.
Но к 1970 необходимая комбинация факторов наконец сложилась.
Рассматривая эти факторы нельзя не заметить, что хаос возникает
при численном моделировании. Всякий, кто имел дело с итеративными
программами -- очень простыми для программирования, -- знает, что
часто гораздо труднее избежать хаоса, чем найти его.
Исключая, конечно, случай, когда вы преднамеренно ищете его.

Неустойчивость природы
315
Бактерии есть везде, но без микроскопа их увидеть нельзя. Галак-
тики есть везде, но без телекопа, они кажутся похожими на слегка раз-
мытые звезды. Субатомные частицы существуют не только везде, но
и входят в состав всякой вещи, однако необходимо увеличение стоимо-
стью во многие миллионы долларов, чтобы показать их действитель-
ное существование. В истории науки изобретение новых инструментов
всегда влекло немедленный научный прогресс. В нашем случае, та-
ким решающим инструментом стал компьютер. Однако только этого
недостаточно. Необходим еще ум ученого, чтобы понять, что новый
инструмент обнаружил нечто важное. И требуется еще больший ум,
чтобы понять, почему этот новый инструмент обнаружил его.
Детальный отчет о мясных мухах
Рассмотрим подробнее данные Николсона по мясным мухам.
Николсон держал своих мух на обычной, но ограниченной проте-
иновой диете. Когда популяция становилась большой, возникал недо-
статок в еде, мешающий мухам размножаться. Яиц откладывалось все
меньше и популяция мух начинала сокращаться. В конце концов оста-
валась небольшая группа самых крепких особей, которые имели до-
статочно пищи, и популяция снова начинала расти.
Выше я показал, что итеративный процесс хищник--жертва мо-
жет продуцировать циклическое поведение. Аналогичные аргументы
должны привести нас и в этом случае к пониманию причины перио-
дических колебаний популяции мясных мух у Николсона. И, действи-
тельно, приблизительно через два года главной особенностью экспери-
ментальных данных стали четкие регулярные колебания с периодом
около тридцати восьми дней.
Но и это не точно. Многие пики на дублируются. Пики, имею-
щие M -образную форму, встречаются чаще, чем пики с A-образной
формой. Это позволяет предположить, что какие-то дополнительные
высокочастотные колебания накладываются на основной период.
Амплитуда пиков модулирована довольно регулярно, в соответ-
ствии с образцом, повторяющимся через три цикла. Небольшие пики
следуют за средними, а они, в свою очередь, за большими. Затем
весь цикл повторяется. Кроме того, по прошествии 450 дней, или около
того, колебания утрачивают регулярность.

316
Неустойчивость природы
Рис. 13.3. Модель с временными задержками на основе данных о колебаниях
численности мясной мухи.
Если вы полагаете, как это принято, что регулярные циклы пред-
ставляют наиболее сложный типом поведения естественной популя-
ции, то, чтобы поддержать это мнение, вам необходимо найти допол-
нительные факторы, влияющие на популяцию и объясняющие дан-
ные Николсона. Была ли пища постоянной? Были ли среди мух боль-
ные? Как точно велся подсчет? Сегодня, однако, мы твердо знаем, что
все наблюдаемые эффекты по мясным мухам являются общими для
всей дискретной нелинейной динамики. Периодичность, квазиперио-
дичность, хаос.
Многие биологические явления включают временные задержки.
Заболеванию организма, например, предшествует инкубационный пе-
риод. Это время с момента, когда человек инфицирован, до появления
симптомов. И это может быть очень заметная задержка (для ветряной
оспы она составляет от 14 до 15 дней, а для СПИДа от пяти до десяти
лет). Циклы размножения включают период беременности. Животное,
лишенное пищи, сначала использует имеющиеся у него излишки жира
и только затем начинает серьезно голодать.
Можно показать, что очень простые модели, включающие времен-
ные задержки, могут имитировать тридцативосьмидневный цикл бур-
ного роста--сокращения популяции мясных мух (Рис. 13.3). Гладкие
теоретические кривые и зазубренные кривые экспериментальных дан-
ных обладают близким сходством.
Георг Остер осуществил дальнейший анализ. Он создал модель, в
которой размер популяции определяется двумя основными фактора-

Неустойчивость природы
317
ми. Первым фактором являются задержки: это "периоды беременно-
сти", во время которой "яйца" дозревают, приобретая свойственную
взрослым особям способность к воспроизводству. Второй фактор --
нелинейная зависимость скорости воспроизводства взрослых особей от
пищевой поддержки. Результаты, полученные на этой модели, пред-
ставлены на (Рис. 13.4). Они содержат устойчивые состояния, различ-
ные периодические состояния, такие как 3 и 6, а также хорошо выра-
женный хаос.
Единственным способом динамической имитации временных задер-
жек является использование модели с двумя классами возрастов. По-
чти такой же является модель кроликов Леонардо, где классы -- это
новорожденные и взрослые пары. Задержка возникает потому, что но-
ворожденные кролики не размножаются в первом сезоне. За это вре-
мя они превращаются во взрослых кроликов. Однако скорости роста
в модели Леонардо являются линейными, и, при отсутствии каких-
либо ограничений, популяция кроликов увеличивается экспоненциаль-
но. Модель же Остера содержит нелинейное сокращение популяции.
Эта модель способна периодически создавать взрывное увеличение
откладываемых яиц, которое налагается на основной цикл и ведет к
образованию М-образного двойного пика. Она способна также вызы-
вать увеличение частоты пиков, а это приводит к хаосу. Остер про-
должал свои исследования до получения не только качественного, но
и количественного сходства с фактическими данными. Таким образом,
все внутренние особенности динамики, которые наблюдал Николсон,
являются следствием одного детерминированного закона. Никаких до-
полнительных эффектов для этого не требуется.
Шаткое равновесие
До недавнего времени популяционные биологи полагали, по меньшей
мере неявно, что естественное состояние популяций устойчиво, но на
практике столь желательное "равновесие в природе" часто нарушает-
ся зависимостью от плотности популяций и шума, создаваемого окру-
жением. Перед экспериментаторами всегда стояла задача извлечения
основополагающих устойчивых или периодических состояний из за-
шумленных данных. Однако, если простая динамика, порождающая
устойчивые состояния и периодичность, может также порождать хаос,

318
Неустойчивость природы
Рис. 13.4. Множество периодов и хаос, полученные на модели популяционных
циклов Джорджа Остера.
тогда основополагающее состояние само по себе может быть хаотиче-
ским, и проблема извлечения структуры основного состояния стано-
вится существенно более тонкой.
В прошлом, биологи, как правило, изучали лишь усредненные па-
раметры, рассматривая соотношения средних. Это напоминает тер-
модинамический подход к газу, который четко описывается средни-
ми значениями температуры и давления. Такой подход достаточно хо-

Неустойчивость природы
319
рош для газов, но очень плох для популяций. Возможно это связано
с гораздо меньшей численностью популяций по сравнению с числом
молекул газа. Кроме того, возникающий в окружении шум (хищни-
ки, климат, наличие или отсутствие подходящей пищи) существенно
влияет на индивиды. Изменения в популяциях также возникают на
уровне индивидов. К тому же сама популяционная динамика может
очень заметно изменяться вследствие различных локальных эффек-
тов. Один такой анализ выполнен совсем недавно. Он касается ис-
следований распределения по кустам калины такого вредителя сада,
как бабочка--капустница. Данные, полученные М. П. Хасселом и Ме-
ем, позволяют заключить, что в этом случае действует трехступенча-
тый механизм. Во-первых, первоначальное распределение насекомых
по участкам очень неоднородно. Во-вторых, плотность распределения
бабочек на участках может меняться, поэтому зависимые от плотности
динамические эффекты варьируют от участка к участку. В-третьих,
шум окружения по-разному действует в каждом конкретном случае.
Чтобы проанализировать поведение такой системы, следует снача-
ла изучить динамику, а потом найти средние значения, а не наоборот.
Например, если рассматривается дюжина участков с различной плот-
ностью популяции и средний размер каждой популяции изменяется
от поколения к поколению, то не следует думать, что тот же самый
результат получился бы для однородной популяции со средней плот-
ностью. Это связано с тем, что динамика популяций является нели-
нейной, а нелинейности не описываются средними значениями.
По аналогии рассмотрим следующую задачу: автомобилю надо про-
ехать расстояние в 30 км со скоростью 20 км/ч и возвратиться назад
со скоростью в 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля? Ес-
ли мы сложим скорости и разделим полученный результат пополам,
то получим среднюю скорость в 40 км/ч. Однако это неверно. Время
в пути туда и обратно не совпадает: на весь путь туда автомобилю
потребуется полтора часа, а на обратный путь -- всего полчаса. Об-
щее время, таким образом, составляет два часа. Этому времени соот-
ветствует средняя скорость 60/2 = 30 км/ч. Причина неправильного
ответа в том, что при сложении скоростей и делении результата попо-
лам мы получаем неправильное среднее, - поскольку скорость обратно
пропорциональна времени, а это - нелинейное соотношение. Другими
словами, необходимо ставить среднее на правильное место.

320
Неустойчивость природы
Так что хаотическая динамика поднимает действительно новые и
трудные для интерпретации проблемы анализа данных. Однако лучше
иметь ясные, но трудные проблемы, чем постоянно жить иллюзиями.
Ветряная оспа
Бактерии и вирусы -- живые создания, и способ, которым их популя-
ции изменяют свою численность, в действительности очень важен. При
эпидемии кори численность популяция вируса этой болезни определя-
ет его распространение и силу инфекции. Так что динамика популяций
имеет непосредственное приложение к эпидемиологии. Например, за-
мечания, сделанные в предыдущем разделе, применяются по существу
в неизменном виде в эпидемиологии СПИДА -- противной и фатальный
болезни, о которой вы несомненно слышали. Синдром этой болезни вы-
зывается вирусом человеческого иммунодефицита (HIV) и его распро-
странение тоже крайне неоднородно. Эта болезнь связана с типом сек-
суального поведения, поэтому исследования СПИДА, основанные на
среднем инкубационном периоде заболевания и среднем сексуальном
поведении, могут оказаться заблуждением. Характер распространения
СПИДА заслуживает тщательного изучения потому, что контроль и,
возможно, даже лечение болезни во многом зависит от наличия хоро-
ших моделей её передачи.
Способна ли динамика популяций вообще и хаос, в частности, пред-
ложить нечто такое, что можно использовать для управления СПИ-
ДОМ? Такой вопрос является в настоящее время чистой спекуляцией.
Однако существуют определенные основания полагать, что эпидемии
некоторых болезней имеют отношение к хаосу. Проблема извлечения
хаотической динамики из экспериментальных данных рассматрива-
лась нами выше, в контексте турбулентности. Я упоминал и метод
Паккарда и Такенса, использующий "фиктивные" временные ряды для
реконструкции топологии аттрактора. Однако этот метод в принципе
работает с любыми временными рядами, а не только с полученными в
физических лабораториях. Протяженный же временной ряд эпидемий
известен по медицинским записям.
У. М. Шафер и М. Кот применили метод Такенса--Паккарда для ре-
конструкции аттракторов болезней. Они использовали данные о свин-
ке, кори и ветряной оспе в Нью-Йорке и Балтиморе, собранные до

Неустойчивость природы
321
возникновения практики массовых прививок (Рис. 13.5). Для каждой
болезни есть временной ряд, содержащий число случаев ее возникно-
вения за месяц. Полученные ими результаты показывали, что в каж-
дом конкретном случае возникает двумерный аттрактор (Рис. 13.6).
Он имеет одномерное сечение Пуанкаре, которое отчетливо показы-
вает присутствие хаоса. Динамика его возникновения контролируется
отображением с одним пиком, качественно подобным логистическому.
Независимый анализ данных по заболеваниям корью в Копенгагене,
осуществленный Л. Ф. Олсеном и Х. Дегном, привел к почти идентич-
ному отображению, заставляя полагать, что полученные результаты
не являются простым совпадением. Возвращаясь к популяциям жи-
вотных, Шафер показал, что в данных торгового дома Хадсона по
популяциям зайца--рыси, также присутствует хаос.
Обычно при моделировании эпидемий используются специфиче-
ские физиологические модели, включающие процессы переноса. Под-
ход с позиций хаоса дополняет их, концентрируя внимание на эмпи-
рических данных и стараясь выявить основную динамику. Главный
недостаток этого метода в том, что необходимы довольно длинные вре-
менные ряды, а они редко доступны. Совместное использование этих
двух методов способно заметно улучшить получаемый прогноз.
Остановка сердца!
Эпидемиология -- не единственное потенциально важное медицинское
приложение хаоса. Хаотическая динамика ныне применяется при мо-
делировании неконтролируемого поведения злокачественных клеток,
при анализе озарений, при генетических исследованиях. Выполнен так-
же детальный анализ нерегулярностей работы сердца (Рис. 13.7), и я
cконцентрирую на нем свое внимание. Работа выполнена Леоном Глас-
сом и его коллегами из университета Mакгилла, Монреаль.
Нормальное человеческое сердце сокращается от пятидесяти до ста
раз в минуту, каждый день и каждый год, не останавливаясь.
Тем не менее, возможно возникновение нескольких различных на-
рушений ритма сердцебиения. Некоторые из них способны убить че-
ловека, например фибриляция, когда различные сердечные мускулы
перестают работать в ритме друг с другом. Совершенно очевидно, что
важно понимать динамическую природу сердечных биений.

322
Неустойчивость природы
Рис. 13.5. Корь в Нью-Йорке и Балтиморе. Необработанные данные слева,
спектр мощности справа.
Математические модели сердцебиений переносят нас назад, в 1920-
ый, к работам У. Мобица, Балтазара ван дер Поля и Дж. ван дер Мар-
ка. Модель ван дер Поля прочно связана с его уравнениями колебаний
в электронной лампе, упомянутой ранее как пример модели, имеющей
предельный цикл. Ван дер Поль и ван дер Марк даже натолкнулись
на хаос, но в то время никто не считал это важным. Таким образом
хотя это не было широко известно, нелинейная динамика была
связана с физиологическими процессами с самых первых своих дней.
Стоит ли удивляться, что новые достижения в нелинейной динамике,
смогут предложить и новые подходы к анализу биений сердца.
В высшей степени спорно, что хаотическая динамика обуславли-
вает нерегулярное поведение человеческого сердца. В любом смысле,
динамика не может нести ответственнность за то, что наложенные ко-
лебания убивают: при квазипериодических, и даже периодических ко-

Неустойчивость природы
323
Рис. 13.6. Реконструкция странных аттракторов (слева) и сечение Пуанкаре
(справа) для данных по кори на Рис. 13.5
лебаниях со слишком большой амплитудой, сердце делает свою работу
довольно хорошо. Или на самом деле устойчивое состояние -- чтобы
быть отвратительным, возникает только тогда, когда мы умираем?
Ответить на этот вопрос так же непросто, как получить данные о фа-
тальных нарушениях сердечных сокращений: медицинский персонал
в таких условиях что вполне естественно, предпочитает бороться
за жизнь пациента, а не фиксировать детали, как он или она умирает.
Вынужденный генератор
Один важный тип сердечной аритмии, получивший название параси-
столические ритмы, возникает при наложении двух регулярных пе-
риодических воздействий. Простая математическая модель, охватыва-
ющая широкую динамику, это обычный вынужденный генератор
(kicked Rotator). Естественный генератор стимулируется периодиче-
ски меняющимися внешними силами. При этом возникает интересный

324
Неустойчивость природы
Рис. 13.7. Явление захвата фазы: нерегулярные флуктуации в биениях сердца.
Обратите внимание на пропадание регулярного паттерна между широким и узким
пиками.
вопрос: как осуществляется взаимодействие двух колебательных ре-
жимов? С помощью подковы Смейла, мы уже видели, что под воздей-
ствием вынуждающей силы осциллятор Ван дер Поля может стать
хаотическим. Поэтому вполне вероятно, что и парасистолические рит-
мы способны создавать нечто подобное.
Занимающиеся хаосом физики и математики имеют свой собствен-
ный, любимый генератор вынужденных колебаний. Подобно подкове
Смейла, он представляет максимально упрощенную версию динамики,
которая еще сохраняет ключевые черты. Он известен как нелинейный
осциллятор и скорее напоминает стробоскопический снимок, дискрет-
ное сечение Пуанкаре для генератора вынужденных колебаний. Состо-
яние системы определено отметкой на круге. Через каждый дискрет-
ный шаг времени, угол, на который эта отметка смещается, изменяется
согласно твердому правилу, но кроме того к вращению добавлено пе-
риодически изменяющееся возмущение. Например, если угол в момент
времени t равен x, то затем, в момент времени t + 1, угол может стать
равным x + 1 + sin t. Здесь x → x + 1 характеризует естественное
движение генератора, а sin t представляет эффект воздействия силы.
В более общем случае можно рассматривать результат перехода как
величину x + k + A sin t, где константа k позволяет нам устанавливать
частоту естественного генератора относительно частоты воздействия
силы, а величина A -- изменять амплитуду воздействия.
Нечто очень интересное происходит в подобных системах, об этом
было известно еще до открытия хаоса. Они захватывают фазу. Это
происходит всякий раз, когда частота вынуждающей силы и собствен-
ная частота колебаний соответствуют "шагам", находящимся в некото-
ром простом численном отношении. Например, три периода вынужаю-
щей силы соответствуют четырем периодам естественного колебания,

Неустойчивость природы
325
тогда 3 : 4 фазы теряется. Астроном заметил бы, что эти колебания
резонируют: в основном это та же самая вещь.
Если A равно нулю, то есть вынуждающая сила отсутствует, ди-
намика системы проста. На каждом временном шаге к значению x
добавляется только k, поэтому после n временных шагов, значение x
станет равным x + nk. Если k рациональный множитель 360· , то ди-
намика периодична, если же нет, и k иррациональный множитель
360· , то динамика непериодична.
Если A отлично от нуля, то нелинейность, вызванная воздействи-
ем вынуждающей силы, порождает эффект возникновения периодиче-
ских решений, который сохранятся даже в случае небольшого смеще-
ния величины k от данного рационального значения. Она ведет в об-
ласти захвата фазы, которые известны как языки Арнольда, по имени
русского математика Владимира Арнольда. На Рис. 13.8, приведенном
ниже, они имеют форму искаженных треугольных областей.
Арнольд недавно рассказал забавную историю, в который разоб-
лачил позиции математиков, привыкших к мысли о своей привержен-
ности к физиологии. Арнольд был студентом Андрея Колмогорова,
ведущей фигуры в русской математике, который умер в 1987. Говоря
о Колмогорове, Арнольд отметил: Он выделялся среди других про-
фессоров тем, что относился с полным уважением к индивидуальности
студента. Я помню только один случай, когда он вмешался в мою ра-
боту: в 1959, он попросил, чтобы я опустил раздел с приложениями
к биениям сердца из моей статьи о самоотображениях окружности,
добавив при этом: "Это не та классическая проблема, над которой сле-
дует работать". Приложение к теории биений сердца было опублико-
вано Л. Глассом 25 годами спустя, в то время как я был вынужден
заниматься приложениями этой теории к небесной механике .
Этот рассказ придает иронический оттенок распространенному мне-
нию о том, что Колмогоров с большим вниманием относился к мате-
матикам и сам работал над приложениями к биологии.
Королевcкое снисхождение
Теперь надо уклониться от темы, потому что захват фаз потребовал
новых математических методов. Впрочем новых только в том смысле,
что они не использовались для этой цели прежде. По правде говоря,

326
Неустойчивость природы
эти методы вообше не применялись ранее для каких-либо практиче-
ских целей, хотя и принадлежали к наиболее красивым идеям мате-
матики. Я имею в виду теорию чисел.
Математика, -- сказал Карл Фридрих Гаусс, -- является короле-
вой наук, а арифметика королева математики . Под арифметикой
он подразумевал теорию чисел, а не 2 + 2 = 4, а стремление короле-
вы не пачкать своих лилейно-белых рук происходило не от полного
отсутствия у неё ума. Очевидный предмет теории чисел -- структуры
и дилеммы среди обычных целых чисел, -- не имеет непосредствен-
ных приложений в науке. Этот предмет сам по себе вызывает спе-
цифический интерес и элегантен, но заключенное в нем содержание
имеет небольшую практическую значимость , -- писал о теории чисел
У. У. Роуз Белл в 1896. В терминах общего деления математики на "чи-
стую" и "прикладную", теория чисел чиста настолько, насколько этого
вообще можно добиться, -- это полюс, противоположный традицион-
ным прикладным предметам, таким как динамика.
Ничего кроме этого.
Теория чисел объясняет красивые и сложные примеры захвата фаз
в замечательных подробностях. Например, порядок, в котором могут
быть найдены области захвата фаз, используя разработки, известные
как последовательности Фарея. Последовательность Фарея состоит
из всех рациональных чисел p/q, между 0 и 1, для которых q не пре-
восходит некоторого заданного числа, размещаемых в порядке возрас-
тания. Например, если q не превосходит 5, то получаем следующую
последовательность Фарея
01
151
4
13251
2352334
451
1
И это не единственный случай, когда теория чисел используется в
хаотической динамике. То, что не так давно вообще считалось наиболее
бесполезным в смысле практических приложений, разделом ма-
тематики, внезапно приобрело новое значение в динамической теории
систем. Иен Персеваль и Франко Вивальди только что опубликовали
красивое приложение классической теории чисел к хаотическим отоб-
ражениям тора. И только несколько месяцев назад я слышал Предрага
Квитановица, матфизика, активно занимающегося хаотической дина-
микой, который сказал, что "мои основные ссылки сделаны на Харди
и Райта", авторов библии по классической теории чисел.

Неустойчивость природы
327
Сердце цыпленка
Теперь о потере фаз сказано достаточно, вернемся к хаосу.
Хаос возникает в генераторе вынужденых колебаний как кульми-
нация ряда изменений на тех частотах, где происходит захват фаз. По-
этому, чтобы исследовать квазипериодичность и хаос на сердце, Гласс
и его коллеги создали модель нелинейного осциллятора, которая, по
их мнению, специально приспособлена к сердцебиениям, и проанали-
зировали на ней захват фаз.
Они не только создали модель, но и проверили её экспериментально
(Рис. 13.8). Не на человеческом сердце, конечно. Вместо него они ис-
пользовали клетки сердца, взятые у эмбриона цыпленка. Такие клетки
могут спонтанно пульсировать, а это соответствует естественному ге-
нератору. Практически клетки желудочка сердца отделяются, а затем
восстанавливаются в культурной среде. Возникающие в результате аг-
регаты клеток имеют размер приблизительно в 200 микрон в попереч-
нике и сокращаются с частотой от 60 до 120 раз в минуту.
Затем в пульсирующую массу вставляется стеклянный микроэлек-
тород, чтобы крошечные периодические удары током создавали вы-
нуждающую силу. На практике, миниатюрному сердцу цыпленка тре-
буется в равной мере миниатюрный задающий генератор -- пейсмекер.
Изменяя частоту и амплитуду электрических импульсов, можно вос-
производить различные формы захвата фаз и хаос.
Самый сложный паттерн захвата фазы может быть обнаружен экс-
перементально, благодаря своей высокой структурности, в отличие от
бесструктурного хаоса. Если эксперимент очень обстоятельно обнару-
живает предхаотический захват фазы и демонстрирует нерегулярное
поведение там, где модель предсказывает хаос, то это сильное -- хотя
и косвенное, -- доказательство того, что хаос существует в реальном
мире. Вы можете обнаружить хаос в компании, где работаете.
Результаты Гласса очень хорошо согласуются с его теоретической
моделью вынужденных колебаний, показывая, что агрегаты клеток
сердца цыпленка могут испытывать хаотические биения.
Медицинская математика
Очевидно, что 200-микронный агрегат из клеток сердца мало похож
на реальное сердце, также как и искусственный электрический пей-

328
Неустойчивость природы
Рис. 13.8. Теория и эксперимент на модели возбуждения вынужденных сердце-
биений.
смекер мало соответствует его природе. Тем более замечательно, что
динамическая теория и физиологические эксперименты хорошо согла-
суются. В настоящее время трудно оспорить пригодность хаотической
динамики для изучения реального сердцебиения.
Живые организмы обладают огромным разнообразием видов пове-
дения. Часть их настолько сложна, что невозможно даже представить
себе их математическое описание. Трудно, на мой взгляд, построить
математическую теорию материнской любви, и я сомневаюсь, что мир
станет лучше, если какой-нибудь заблудший гений сумеет создать ее.
Но многие теории достаточно просты, и динамика сердца несомненно
проще эмоциональной психодинамики.
Многие органы работают как специализированное оборудование.
Производители сложного оборудования, несомненно, еще очень дале-
ки от возможностей организма во всех отношениях. Однако мы уже
умеем создавать достаточно хорошие искусственные сердца для под-
держки жизни людей, если их собственное сердце отказывается рабо-
тать. Говоря об образе "машины", мы совсем недавно отбросили наши
викторианские представления о её простоте и предсказуемости. Одним
из уроков хаотической динамики является понимание, что простая си-
стема может в некоторых случаях вести себя очень сложно.

Неустойчивость природы
329
Ученые всего мира начинают понимать, что математика динамиче-
ских систем перепрыгивает через бездну, отделяющую теорию от при-
ложений. Математики разрабатывают концепции и методы, чтобы му-
жественно встретить действительность нелинейной динамики. Откры-
ваются перспективы проникновения в сущность многих динамических
явлений реального мира. Физиология работы тела: сердца, легких, пе-
чени, почек, щитовидной железы, костных соединений и других, не
столь очевидных частей человеческой машины, -- начинает приобре-
тать математический смысл.
Хотя понимать неисправность -- это не то же самое, что исправ-
лять ее, но каждый гаражный механик знает, как трудно исправить
то, причину чего не понимаешь. Динамическая теория систем теперь
играет заметную роль в продвижении медицинского знания, но, как
отметил Гласс, обращаясь к работающим на сердце, полное понима-
ние будет достигнуто только при интеграции нелинейной математики
с экспериментальной физиологией и клинической кардиологией .

Глава 14
Прощай, Глубокая Мысль
Вы в самом деле не идете на подобное, осведомилась Глубокая
Мысль.
Скажите нам!
Совершенно верно , сказала Глубокая Мысль.
Ответ на Великий Вопрос...
Да ...!
О жизни, Универсуме и Всем... сказала Глубокая Мысль.
Да...!
Является ли...? , cпросила Глубокая Мысль, и сделала паузу.
Да ...!
Является ли...?
Да...!!!...?
Сорок два , сказала она с бесконечной важностью и спокойствием.
Дуглас Адамс. Руководство для путешествующих по Галактике
автостопом.
Допустим, что "Обширный интеллект" Лапласа на самом деле есть и
готов следовать приказам, чтобы описать движение как самых боль-
ших тел Вселенной, так и легчайшего атома одной формулой , а затем
представить эти данные для анализа . Возможно при этом был бы
получен более значимый ответ, чем получили в 'Руководстве для пу-
тешествующих по Галактике автостопом' герои Дугласа Адамса
Лунковл и Фоучк.
Обширный и значительный интеллект
А может быть и нет.
Давайте оставим в стороне некоторые, довольно спорные матери-
альные соображения, они не столь важны с философской точки зре-
ния, хотя, может быть, и составляют сущность вопроса. То есть я бу-
ду игнорировать неудобоваримый вопрос о том, как смог бы Великий
интеллект записать эти уравнения, ведь каждую точку Универсума
необходимо охарактеризовать по крайней мере с шестью переменны-
ми: положением и скоростью по трем осям. На это потребовалось бы
такое количество бумаги и чернил, которое невозможно создать, даже

Прощай, Глубокая Мысль
331
если бы Универсум существовал только для этого. Как сказал безы-
мянный поэт XVII века:
Если бы весь мир был бумагой,
А моря, уподобились бы чернилам,
И все деревья стали бы хлебом и сыром,
Что бы тогда стали мы пить?
Я также оставлю без ответа вопрос, каким образом мог бы су-
ществовать мозг Обширного интеллекта, позволяющий ему думать
в одиночестве обо всем и делать главное свое дело -- решать урав-
нения Жизни, Универсума и Всего. Этот мозг, превосходящий Все-
ленную и способный анализировать её, вероятно должен находиться
вне Вселенной. Возникающая при этом мысленная ситуация напоми-
нает соотношение неопределенности Гейзенберга: если Обширный ин-
теллект -- часть Вселенной, то на обдумывание, например, значения
dx7345232115/dt, ему требуется большее, чем предмет анализа, количе-
ство вещей. (Рис. 14.1.)
Если предположить, что Обширный интеллект является всеведу-
щим, то мысль Лапласа имеет довольно хорошую исходную точку.
Если универсум действительно следует детерминированным матема-
тическим законам, то Обширный интеллект сможет предсказать его
поведение.
Этот довольно туманный философский фрагмент является превос-
ходным примером того, как легко получить бессмыслицу, переходя к
крайностям. Если мы хотим получить имеющие смысл заключения
не в сверхчеловеческом, а в человеческом масштабе измерений, то
мы должны установить более реалистические требования. Получае-
мая при этом картина кардинально меняется.
Я говорю о некотором сокращении возможностей идеала Лапла-
са с Обширного интеллекта до - назовем его, скажем -- Значительным
интеллектом, который имеет огромную интеллектуальную мощь, боль-
шую, чем все человечество, собранное вместе. (Кстати, если собрать
всех людей вместе, то сила их общего мозга может оказаться и от-
рицательной, но вы, вероятно, понимаете, что я имею в виду.) Это
Большой, действительно Большой интеллект. Вы не поверите каким
значительным, чрезвычайно огромным и пугающим наш ум будет этот
большой интеллект , -- если снова процитировать Адамса. Кроме того,

332
Прощай, Глубокая Мысль
Рис. 14.1. Дилемма Обширного интеллекта.

Прощай, Глубокая Мысль
333
чтобы бросать кости в пользу Значительного интеллекта более уве-
ренно, я против существенного сужения его задачи. Существует, как
известно, миниатюрный Универсум, с явно достижимыми границами,
где не только Значительный интеллект, но и любой действительно ком-
петентный человек -- математик, -- может не только в принципе, но и
практически записать уравнения. А именно, существует усеченная мо-
дель проблемы трех тел, получившая название -- проблема Хилла. В
ней рассматривается Нептун, Плутон и космическая пылинка.
Как с сожалением заметил в своей Небесной Механике Пуанкаре,
эта проблема ведет к хаосу в виде гомоклинической картины. Если ди-
намика хаотична, то наша гипотетическая машина только тогда спо-
собна к точным предсказаниям, когда начальные условия известны с
бесконечной точностью. Однако при этом компьютеру необходима бес-
конечная память для хранения численных значений. Короче говоря,
Значительный интеллект даже не сможет начать свою деятельность.
А теперь сообщение для нас, понятливых животных. Если дина-
мическая система становится хаотичной, то происходит обмен между
точностью нашего знания текущего состояния и периодом времени, в
течение которого мы можем говорить об этом как можно подробнее.
При этом точность наблюдений должна быть немыслимо высока, что-
бы осуществить предсказание хотя бы в терминах средних величин.
С другой стороны, мы способны делать очень точные предсказа-
ния, касающиеся общей, качественной природы систем, а не их долго-
временного поведения. Мы можем накладывать на эти предсказания
количественные пределы и определять статистические особенности.
Если невозможно выиграть, приходится передвигать ворота.
Хаос дизайнера
Хаос преподнес нам много уроков. Его первое послание имеет общий
характер: "Не торопитесь с заключением." Нерегулярные явления не
требуют сложных уравнений, или уравнений со случайными членами.
В этом сообщении важны два момента.
Первый, как бы "кредит" при расчете баланса: даже если вы удач-
ливы, умны и сумеете создать хорошие уравнения, у вас может возник-
нуть проблема понимания моделируемой системы. Даже если уравне-
ния очень просты, поведение системы может оказаться сложным. На-

334
Прощай, Глубокая Мысль
личие сложности зависит от исходной точки зрения и поставленных
вопросов.
Во втором разделе, "приход", окажутся те же замечания. Явление,
кажущееся сложным, может на самом деле быть простым, то есть опи-
сываться простой, но хаотической моделью.
Теперь мы попадаем в хаос дизайнера, которому нужно строить
правдоподобные модели реальных явлений, используя ноу-хау об ос-
новных типах нелинейной динамики.
Иногда это удается, например оказалось возможным построить мо-
дели сердцебиений, эпидемий кори, и, может быть, вращения Гипери-
она. После флирта с хаосом мы начинаем лучше понимать те физиче-
ские задачи, в которых этот подход действительно применим.
Однако не всегда дело обстоит так. Например, я не вижу доказа-
тельств того, что хаотическая динамика способна улучшить качество
прогнозов погоды, её основной вклад в эту проблему в том, что мы осо-
знали саму глупость вопроса. Прогнозы на несколько дней возможны,
на неделю было бы прекрасно, но на месяц нет никакой надежды.
Это мое личное убеждение. Возможно некий гений сможет завтра
изменить все это, может быть иные методы смогут преуспеть там, где
решения уравнений погоды не дают ответа. Время покажет. Я же точ-
но знаю только то, что получу свои деньги.
Рассказ про два компьютера
Существование хаоса ставит проблемы, рассекающие поперек приня-
тое разделение наук. Следует понимать, что первичным побуждением
ученого-исследователя является процесс решения проблем, а не полу-
чаемые при этом результаты. Для ученого-исследователя достижение
подобной победы над проблемой, позволяющей ему оставить пробле-
му ради результата, есть пиррова победа. Если однажды некий док-
тор найдет универсальное лекарство от всех болезней, то удар будет
нанесен по всей медицинской профессии. Так и для исследователя-
математика существование хаоса не бедствие, а возможность нового
и возбуждающего исследования. Оно позволяет всем нам продолжать
плодотворно работать еще несколько десятилетий.
Таким образом, успех в исследовании определяется не тем, сумеем
ли мы найти решение исследуемой проблемы. Фундаментальная че-

Прощай, Глубокая Мысль
335
ловеческая глупость сохраняет сложившуюся ситуацию: ведь нет ни-
какой серьезной опасности, что когда-нибудь мы сумеем решить все.
Поэтому ученые продолжают работать, стараясь следовать за хаосом
по пятам, понимая, что приручить его можно только частично.
Одна из проблем, которую хаос действительно ставит, заключается
в численном анализе, то есть в способе, которым компьютеры выпол-
няют вычисления. Давайте рассмотрим эту проблему на примере ри-
сования аттрактора Лоренца. Обычный способ получить его состоит в
том, чтобы численно решить уравнения Лоренца и вывести результа-
ты в виде графика на экран. Казалось бы, что может быть проще? Но
этот аттрактор хаотический, -- именно поэтому мы и стараемся нари-
совать его, а в хаотическом аттракторе, как мы знаем, существует
острая зависимость от начальных условий. Мельчайшие ошибки ведут
к аварийнму завершению программы. То, что мы знаем о Лоренцовом
аттракторе базируется на нашем приблизительном решении диффе-
ренциального уравнения, и ни на чем ином!
Несколько раз мы уже сталкивались с любопытной особенностью
хаотической динамики: одна и та же программа, выполненая на раз-
личных компьютерах, дает различные результаты.
( Если вы имеете доступ к двум различным микрокомпьютерам,
постарайтесь выполнить на них логистическое отображение с "одни-
ми и теми же" начальными значениями, и подождать нескольких со-
тен итераций.) В литературе есть статья, где рассматривается хао-
тическая система, полученная численными методами на двух разных
суперкомпьютерах, с точностью приблизительно равной пятидесяти
десятичным знакам. Поскольку эти компьютеры имеют немного раз-
личные операционные системы, они выполняют численные расчеты
по-разному и вскоре начинают давать совершенно различные ответы.
Если бы они вычисляли погоду, то один бы сообщил, что надвигается
теплый фронт, в то время как другой предсказал бы снежную бурю.
Если вы полагаете, что компьютеры безошибочны, то подумайте еще.
Тем не менее, если сотня людей рисует аттрактор Лоренца на сотне
различных компьютеров, то все они получают аналогичную картину.
В некотором смысле это та же самая, уже высказанная ранее, точка
зрения. Если вы полагаете, что решение проблемы начального значе-
ния для уравнений Лоренца заключается в точном задании помещае-
мых в компьютер численных значений, то вы вводите в заблуждение

336
Прощай, Глубокая Мысль
самих себя. Однако если вы думаете, что рисуете форму аттрактора,
а не его траектории, то вы находитесь в хорошей форме. Крошечные
ошибки, которые уводят вашу точку от аттрактора, быстро глохнут,
а это как раз то, что представляет собой аттрактор. Только ошибки,
приводящие к аварии, остаются внутри аттрактора.
Это тот аргумент, который, видимо, способен работать. Однако он
не является вполне обоснованным. Существуют некоторые теоремы,
доказывающие это математически. Одни из них утверждают, грубо
говоря, что на самом деле рисуется некоторая траектория дифферен-
циального уравнения, или довольно близкая к ней кривая, но это не та
траектория, которая рассматривается. Эти трудности интерпретации
порождают некоторые сомнения: действительно ли рассматриваемые
теоремы говорят о том, что приписывают им люди.
Невоспроизводимые эксперименты
Эти же самые трудности вынуждают исправлять общепринятые идеи
об экспериментальной проверке. Традиционно, все начинается с тео-
рии, на основе которой делается прогноз, а затем выполняется экс-
перимент, чтобы опровергнуть её. Если эксперимент не опровергает
теорию, то мы говорим, что прогноз подтвердился, и мы полагаем --
это звучит скорее прагматически, чем логически, -- что теория верна.
Прекрасно. Скажем вчера вечером я проделал эксперимент, чтобы
узнать, течет ли вода в гору, и выяснил, что течет. Физика умерла.
Вы не верите мне? Позвольте рассказать об эксперименте...
Ну и что? Это явление возникает вновь? Увы, нет, я не могу...
Вы не принимаете такое свидетельство, не так ли? Совершенно вер-
но. Для того, чтобы быть убедительным, эксперимент должен быть
воспроизводимым. Если два ученых проводят одинаковый экспери-
мент в разных лабораториях, они должны получать одни и те же ре-
зультаты. Конечно, различные сторонние эффекты способны повлиять
на результат, но они должны быть приняты во внимание и исключе-
ны. В Бомбее, например, намного теплее, чем в Новосибирске: поэтому
для изучения температуры вещества индийский ученый должен экс-
периментировать в холодильнике, а русский -- использовать подогрев.
Однако хаотическая траектория для данных начальных условий
невоспроизводима экспериментом. И это действительно невоспроиз-

Прощай, Глубокая Мысль
337
водимое предсказание, как это ясно следует из рассказа о двух су-
перкомпьютерах. Вы можете спорить, утверждая, что на данном ком-
пьютере, "эксперимент" воспроизводим. Однако разным лабораториям
несомненно надо разрешить использовать различное оборудование.
Т.е. хаос свидетельствует: даже если наша теория является детер-
минированной, не все ее предсказания ведут к воспроизводимым экс-
периментам. Только робастные к небольшим изменениям начальных
условий значения являются хорошими кандидатами для тестов. Такие,
скажем, как топология аттрактора или его фрактальная размерность.
Это значит, что можно оценить, скажем, описывает ли хаотическая
модель турбулентности жидкость в целом, однако нельзя ни прямо, ни
косвенно (проверять теорию движения под действием сил гравитации
подобно Галилею) убедиться, что данная материальная точка жидко-
сти удовлетворяет динамическим уравнениям Навье--Стокса. Некото-
рые детали теории неподвластны практическим тестам.
Все эти требования, и признание корректности, выдвинуты
экспериментаторами. Это мы видели на примерах из предыдущих глав.
Чтобы исследовать хаотические системы нужны другие эксперимен-
тальные методы. Одним из наиболее значительных вкладов хаоса яв-
ляется возможность представления экспериментальных данных с по-
мощью аттракторов, которое по своей наглядности и выразительности
превосходит спектры мощностей, сечения Пуанкаре и временные ряды.
Прогулки во сне к хаосу
Существуют и другие, связанные с наукой, этические вопросы, харак-
терные не только для хаотической динамики.
Артур Кестлер в своей книге Sleepwalkers (Гуляющие во сне или
лунатики) изображает научное открытие как ряд событий, инспири-
рованных грубыми ошибками. Когда новые фундаментальные идеи
найдены, некому должным образом оценить их; а люди нашедшие но-
вые идеи не способны обеспечить их неправильное понимание. Поэтому
прогресс происходить от комбинации несчастных случаев (accident) с
интуитивной прозорливостью (serendipity).
Конечно, это очень грубый пересказ книги. И наука не смогла бы
зайти так далеко, если бы все, что она может, было создано лунати-
ками. Эволюционирующая часть науки, одна из самых значительных
её сил, использует непредвиденные открытия -- случайные или нет, --

338
Прощай, Глубокая Мысль
сознательным образом и направляет их по назначению с большим, чем
простое любопытство, смыслом.
Однако в моем рассказе о хаосе не обойтись без лунатиков. Мно-
гие из ключевых открытий, о которых здесь сказано, имеют такой же
нереальный дух. Люди, выполнявшие эти исследования, были непра-
вильно поняты, не могли получить поддержки, но упорно продолжали
работать, несмотря на скорее отрицательное, чем положительное,
мнение научного эстеблишмента. Чтобы противодействовать этому, в
качестве кредита доверия, мы должны проявить готовность полностью
изменить принятый курс, чтобы новые и неортодоксальные идеи име-
ли возможность получать поддержку. Можно при желании еще немно-
го поупражняться в представлении таких ситуаций, но в любом случае
следует учитывать существование научного консерватизма. Пионеры
должны ожидать рубки созданных ими джунглей, иначе наука трати-
ла бы все свое время, субсидируя полуиспеченных ненормальных.
Есть связующая нить, проходящая через все ранние работы по ха-
осу, объединяющая людей, которые были в своем сердце математика-
ми. Не все они являлись математиками по профессии. Так Лоренц был
метеорологом, Энон -- астрономом, Фейгенбаум -- физиком, Мэй -- био-
логом, но они позволили своему математическому инстинкту вести их
тогда, когда излишне большая концентрация "реального мира" разру-
шила бы всякую очевидность, и их работа никогда не смогла бы стать
чем--либо большим, чем обычное упрощение задачи. Если вы ищете
физику в уравнениях Лоренца, то там почти нет её. Лучшие аппрок-
симации в истинной динамике не давали ничего похожего на резуль-
таты Лоренца, на что еще в то время обратили внимание его коллеги.
Спустя десятилетия один из них, Вильям Малкус, кисло заметил: Ко-
нечно, мы полностью опустили эту точку зрения. Эд вообще думал не
в терминах нашей физики, а в терминах некоторой обобщенной и аб-
страктной модели, но он чувствовал, что её поведение характеризует
некоторые аспекты реального мира .
Другими словами, Лоренц думал как математик, а не метеоролог.
Кампания за реальную математику
Открытие хаоса потребовало многих людей и разработки многих пред-
метов. Потребовались чистые математики, чтобы развить топологиче-
ский подход к качественной динамике и задать важные общие вопро-

Прощай, Глубокая Мысль
339
сы. Потребовались физики, чтобы связать ответы с реальным миром.
Потребовались экспериментаторы, чтобы проверить наличие смысла в
теории. Потребовались электронщики, чтобы разработать и построить
мощные, выскопроизводительные компьютеры с хорошей графикой.
Какой вклад был наиболее значим?
Глупый вопрос. Что более важно: сердце, легкие или мозг?
Удалите любое, и вы умрете. Только комбинация чего-то стоит.
Однако будучи математиком, я хочу сказать одну вещь.
Люди, чуждые математике, часто критикуют ее за отсутствие кон-
такта с действительностью. История хаоса только одно из совре-
менных открытий, показывает, что такая критика неуместна. Это
напоминает критику легкого, за то, что оно не перекачивает кровь.
Если принимать "целеориентированную" точку зрения, то следо-
вало бы ожидать прорыва в понимании турбулентности, скажем, от
насыщенной программы исследований в области динамики жидкости.
На деле эти исследования не дали прорыва к странным аттракторам,
однако без них многие вопросы остались бы без ответа. Ключевые тео-
ретические идеи исходили из топологии, объект которой до настояще-
го времени не утратил связи с потоками жидкости. Ключевым экс-
периментальным средством был лазер, который в то время широко
недооценивался как инструмент для "поиска решения проблем". А экс-
периментаторы, которые использовали это средство, были физиками;
они работали под флагом фазовых переходов, а не жидкости.
Наука имеет сложную взаимосвязную структуру. Идеи могут исхо-
дить отовсюду. Хорошая идея похожа на инфекционную болезнь: она
распространяется. Никто не может предсказать, к чему это приведет,
никто не может ограничить идею в предписанных границах. Идеи не
приходят с небольшыми метками, провозглашающими:
ОСТОРОЖНО Топология!
Недопустим контакт с реальным миром.
К несчастью, многие люди молчаливо допускают то, что делают.
Критиковать математику за абстрактность -- значит полностью иг-
норировать ее специфику. Абстракция является тем, что обеспечи-
вает действенность математики. Излишняя конкретность, позво-
ляющая сконцентрироваться на весьма ограниченном применении ма-

340
Прощай, Глубокая Мысль
тематической идеи, есть ограбление математики, лишение её наиболее
важных инструментальных средств: аналогии, общности и простоты.
Математика первична для передачи технологии. Это было истинно во
времена Эйлера: аналогия между электростатикой и динамикой жид-
кости была очевидна математикам и абсурдна для всех других людей.
Это остается истинным и сегодня: мы только что видели как метод,
изобретенный для изучения хаоса в турбулентных потоках, работает
так же хорошо и при анализе эпидемий кори.
Однако, передача технологии нуждается в большем. Кто-то должен
передавать ее. Так, пока математики будут только поощряемы на про-
должение того, что они делают, независимо от того, способен или нет
внешний мир понимать сказанное ими, -- все их открытия останутся
только искусственными формами, пока достаточное количество лю-
дей не пожелает сделать усилие, чтобы применить полученные знания
к проблемам вне математики. История хаоса полна такими людьми.
Они пришли из всех наук -- физики, биологи, инженеры, химики, фи-
зиологии, астрономы, -- и вели себя как математики. Они истинные
"прикладные математики", и они сделали значимым это слово.
Они взяли математику ...
... и применили ее.
Квантовая хаология
Хаос возник в математическом воображении, возбужденном физикой.
Но откуда он пришел?
Из каждого природного явления, где есть нерегулярности в обсто-
ятельствах, предполагающих наличие в его основе паттернов.
Для них не существует хранилищ.
Есть одно интересное направление -- квантовая механика, которое
я до сих пор игнорировал несмотря на наличие цитаты из письма
Эйнштейна в самом начале книги. Я не говорил о ней, ибо не имел
достаточных оснований, не мог показать, что хаотическая динамика,
насколько мы её знаем, способна дать ответ на проблему Эйнштейна.
Однако хаос релевантен квантовой механике, поэтому позвольте мне
сделать то немногое, что необходимо, чтобы исправить это упущение.
Я заимствую начало и обсуждение из Бейкерианской лекции 1987
года моего коллеги Майкла Берри, физика, хорошо знающего этот
вопрос. Эти престижные лекции в Королевском Обществе, были ос-

Прощай, Глубокая Мысль
341
нованы Генри Бейкером, и Берри вначале сказал, что в дни молодо-
сти Бейкера под "хаологией" понимались исследования хаоса в пери-
од, когда "земля была безвидна и пуста", возвращающие нас назад,
к Рис. 1.1. В настоящее время хаология больше не активная область
богословия, а термин, освобожденный для более современной интер-
претации, а именно для исследований детерминированного хаоса.
Квантовая механика это современная физика универсума в атом-
ных масштабах. В квантовой механике количественные величины, та-
кие как энергия, не являются непрерывными: они передаются дискрет-
ными порциями, или квантами. Размер одиночного кванта исчезаю-
ще мал, он задается крошечным числом, известным как постоянная
Планка. И частицы вовсе не являются обычными частицами, а являют-
ся объектами, для которых имеет место волново-частичный дуализм,
описываемый квантово-механической волновой функцией.
Нелегко интерпретировать квантовую механику на общедоступном
человеческом уровне. Действительно, одна школа мысли выдвигает ар-
гументы, что нет никакого смысла делать это, потому что квантовый
мир и мир наших чувств не имеют ничего общего. Другие не согла-
шаются, и предлагают различные интерпретации. В популярном из-
ложении, волновая функция представляет не состояние материальной
точки, а суперпозицию всевозможных её состояний, а когда наблюде-
ние сделано, волновая функция "коллапсирует" к одиночному состоя-
нию. Перед этим коллапсом, она представляет вероятность того, что
система будет найдена в данном состоянии.
Мне на самом деле не очень нравитcя такая интерпретация. Так же
считал и Альберт Эйнштейн. Позвольте мне процитировать его письмо
к Максу Борну немного дальше, чтобы показать контекст:
Вы верите в бога, который играет в кости, а я -- в совер-
шенный закон и порядок в мире, который объективно су-
ществует, и который я диким, спекулятивным образом ста-
раюсь охватить. Я твердо верю, но надеюсь, что кто-нибудь
сумеет обнаружить более реалистический способ, или ско-
рее более усложненное основание, чем то, что было найдено
мной. Даже большой начальный успех квантовой теории не
заставит меня поверить в фундаментальную игру в кости,
хотя я хорошо сознаю, что ваши более молодые коллеги
прокомментируют это как следствие старости.

342
Прощай, Глубокая Мысль
Несмотря на это письмо, квантово-механические события, видимо,
происходят именно так, как их видит квантовая механика; и пока ста-
тистика радиоактивного распада, скажем, следует определенным за-
конам, никто не сможет предсказать, когда данному атому захочется
распасться. Или Бог играет в кости, или он играет в более глубокую
игру, которую мы называем судьбой.
Я согласен с Эйнштейном, но вторая идея о более глубокой игре,
которую мы еще не понимаем, мне нравится намного больше.
Теперь ... мы, наконец, осознали, что детерминированный хаос от-
ветственен за многие наблюдаемые случайности в классической ме-
ханике. Может быть и квантовый хаос ответственен за наблюдаемые
случайности в квантовой механике? Можем ли мы теперь сделать яв-
ной судьбу, то есть понять более глубокую игру бога?
В настоящее время нет. Если и имеется какая-то более глубокая
игра, то это все еще слишком недоступно для нас -- понятливых обе-
зьян. Мы пребываем в состоянии отчаянной потребности в истинном
человеке, который направил бы нас по верному пути.
Хаос в обычных квантовых системах проявляется иначе, чем в
классических. Мы знаем, что хаос в квантовой механике проявляется
не в случайности волновой функции, а представляет собой хаотиче-
ское изменение ожидаемых значений, поддающихся наблюдению. Су-
ществует метод полуклассической аппроксимации, который позволя-
ет описывать некоторые квантово-механические системы в терминах,
применяемых для описания их классических аналогов.
Один довольно обстоятельно рассмотренный тип таких систем
квантовый бильярд. Аналогичная классическая система это упругая
частица, отскакивающая от границы некоторой области под тем же
самым углом, подобно бильярдному шару на столе нетрадиционной
формы (Рис. 14.2). Некоторые формы стола, такие как круг, ведут к
регулярной динамике. Другие, напоминающие стадион Бунимовича,
генерируют хаос. Различие этих двух ситуаций может быть показано
на примере; оно обусловлено различием путей бильярдного шара.
Соответствующая квантовая система -- это волновая функция, опре-
деленная в ограниченной столом биллиарда области и описывающая
вероятность нахождения квантово-механической частицы в данной точ-
ке. Классический хаос также создает маршруты на квантовом ланд-
шафте. Различие между регулярным и хаотическим поведением в клас-

Прощай, Глубокая Мысль
343
Рис. 14.2. Классический бильярд, ключ к квантовому хаосу. Частица отражает-
ся от краев под тем же самым углом, что и шар на биллиардном столе. Круговое
кольцо (слева) ведет к регулярному поведению, стадион Бунимовича (справа) ве-
дет к хаосу.
сической системе возникает из-за различий в статистических свой-
ствах энергетических уровней в квантовой системе (Рис. 14.3). Разли-
чия между этими уровнями распределены, вероятно, случайным обра-
зом и приблизительно описываются плавной кривой. Способ распре-
деления отклонений энергетических уровней для квантовой системы
от этой кривой зависит от того, является ли классическая система
регулярной или хаотической. Как это ни парадоксально, но энергети-
ческие уровни в квантовом аналоге регулярной классической системы
стремятся стать менее регулярными, а в хаотической классической си-
стеме -- более регулярными! Причина этого остается загадочной, хотя
сам эффект достоверно установлен на примерах.
Тем не менее, квантовому аналогу хаотической классической систе-
мы нет надобности вести себя хаотически. Нелинейный осциллятор,
упомянутый в предыдущей главе, является таким примером. Класси-
ческий нелинейный осциллятор сначала образует сложный ряд захва-
тов фазы, а уже затем ведет себя хаотически. Однако его квантово-
механический аналог никогда не выходит за пределы состояния квази-
периодичности: его динамическое поведение регулярно, а не хаотично.
С точки зрения физика в этом есть некоторый смысл. Классиче-
ский хаос содержит фрактальные аттракторы, то есть имеет структуру
для всех масштабов. Но в квантовой механике, по крайней мере так
принято считать в настоящее время, структура не существует в мас-

344
Прощай, Глубокая Мысль
Рис. 14.3. При квантификации двух систем Рис. 14.2 промежутки между энерге-
тическими уровнями их волновых функций обладают различными статистически-
ми свойствами. Показаны отклонения от теоретического среднего (кривая), для
кругового бильярда (пунктир) и для стадиона (выделено).
штабе меньшем, чем постоянная Планка. То есть квантовые эффекты
сглаживают тонкие подробности, столь важные для истинного хаоса.
Кости и детерминизм
Но мы можем предложить дикую, чисто спекулятивную гипотезу о бо-
лее глубоком типе квантовой неопределенности: о волновой функции.
Допустим, что имеется некий новый вариант квантовой механики,
в которой вероятностная волновая функция заменена детерминиро-
ванной, но хаотической функцией. Возможно каждый радиоактивный
атом подчинен некоторой внутренней динамике, кульминирующей при
радиоактивном распаде и переходе атома в нерадиоактивное состоя-
ние. Если такая динамика существует, то она может быть хаотической,
а если она хаотична, то случайность распада может иметь детерми-
нистское объяснение. Короче говоря, важным является вопрос не о
том, играет ли бог в кости, а о том, как он делает это.
Эти же замечания, в отличие от квантовых объяснений, хорошо вы-
глядят и на классическом уровне. Важно не то, что система случайна,
а то, отчего возникает случайность.

Прощай, Глубокая Мысль
345
Могу привести доводы, показывающие, что среди начальных по-
нятий большинства текстов по теории вероятности правильная мо-
нета и метафора "кости" являются примерами наиболее неуместных
(inappropriate) для этой цели изобретений. По крайней мере до тех
пор, пока мы не пересмотрим нашу идею случайности.
Я говорю об идеальной кости, совершенно неупругом кубике, бро-
саемом на совершенно плоскую неупругую поверхность, подчиненном
некоторому точному закону трения и повинующемуся механике Нью-
тона. Я должен высказать это, чтобы представить математику точно.
То, что делает реальный кристалл случайным, мне кажется, должно
проявиться также и в этой модели. Всякому, кто надевает шляпу Ла-
пласа, видимо ясно, что Обширный интеллект способен определить
конечное состояние кости в момент, когда она брошена. С видеокаме-
рой и супер-ЭВМ мы должны суметь, по крайней мере в принципе,
предсказать результат прежде, чем кость упадет.
Это не совсем фантазия. Дж. Дин Фармер, американский хаолог,
разработал теорию вращения рулетки, которая значительно улучшает
оценку шансов. И у него возникли трудности с доступом в казино.
Во всяком случае, если можно точно предсказать что произойдет,
то где же тогда место случайности?
Я не могу проделать вычисления для кости, но я выполню их для
упрощенной монеты. Этого вполне достаточно, чтобы показать как
возникает сложность. Наша модель монеты это отрезок прямой ли-
нии единичной длины, ограниченный вертикальной плоскостью. Бу-
дучи подброшенной от уровня земли, монета получает вертикальную
скорость v и скорость вращения r оборотов в секунду. Возвращаясь на
уровень земли, она прекращает движение, а сторона, находящаяся в
этот момент сверху, рассматривается как результат подбрасывания.
Если g - ускорение силы тяжести, то монете потребуется 2v/g,
секунды, чтобы возвратиться на уровень земли, и сделать при этом
2rv/g оборотов. Граница между начальной (условно -- орлом) и конеч-
ной (решкой) поверхностями находится на точной половине поворота,
то есть когда 2rv/g половина целого числа. Если это целое число
N , то граница между орлом/решкой задана числом vr = gN/4.
Если я могу управлять значениями r и v точно, то я могу и призем-
лить монету желаемым образом. Однако, практически я могу управ-
лять этими значениями только в рамках некоторых ограничений.

346
Прощай, Глубокая Мысль
Рис. 14.4. Начальные условия для вращающейся монеты, разделенные на поло-
сы в соответствии с её возможной судьбой. Черные полосы -- орел, белые -- решка.
Например, пусть я умею создавать скорость v, величиной от 480 до
520 см/сек, и r -- от 18 до 22 оборотов в секунду.
Как же результат орел или решка, зависит от v и r?
Вы можете получить этот ответ из формулы, приведенной выше.
Прямоугольник возможных значений v и r делится в полосы: черные
для орлов, белые -- для решек (Рис. 14.4).
Любые известные значения начальной скорости и скорости враще-
ния дают единственный ответ. Результат не только является детерми-
нированным, но я действительно могу сказать заранее, что произойдет.
Если же я знаю только то, что v и r находятся в пределах данно-
го диапазона, то предсказать результат нельзя. Лучшее, что можно --
рассмотреть прямоугольник как своего рода мишень. Каждое подбра-
сывание монеты -- метание дротика: если дротик воткнется в черную
полосу орел, в белую решка. Если попадания дротика распреде-
лены равномерно по прямоугольнику, то вероятность выпадения орла
пропорциональна области, покрытой черными полосами.
То есть источник случайности -- выбор начальных условиях. Если
нельзя им управлять точно, то нельзя и предсказывать.
Лапласов детерминизм снова бит, но иным, более тонким образом.
Модель монеты -- не хаотическая, а совершенно регулярная система.

Прощай, Глубокая Мысль
347
Плюс перемена...
Хаос - горячая тема, самое новое направление. И стоит лишь горячей
тема появиться в заголовках научных изданий, как выясняется, что
некогда уже были люди, в некотором смысле знавшие об этом.
Оглядываясь в прошлое, мы часто видим предметы, которые не
были ни на что похожи, а теперь стали ясными. Вся хитрость здесь
заключается в том, что не так важно много знать о чем-либо, как
важно знать, что вы знаете об этом. То есть для оценивания важно
иметь контекст, в рамках которого можно его провести.
Старшие поколения видели части этой картины, но они никогда
не помещали их вместе. У них не было побуждений, чтобы задавать
правильные вопросы, и они не знали методов, чтобы искать ответы.
Они видели изолированные детали, а не Большую Картину.
Однако ясно, что Пуанкаре, например, видел больше, чем пони-
мали его современники. Чтобы подтвердить это, я хочу привести до-
вольно длинную цитату из одного эссе Пуанкаре. Вы найдете многое из
сказанного выше в этом тексте несмотря на то, что написан он почти
сто лет назад. Это эссе Пуанкаре озаглавлено: Случайность.
Когда некоторая, очень незначительная причина, ускользающая
от нас, вызывает значительный эффект, на который мы не можем по-
влиять, тогда мы говорим о случайном возникновении эффекта. Если
бы мы точно знали законы природы и ситуацию в универсуме в на-
чальный момент времени, то смогли бы точно предсказать ситуацию
в универсуме в любой последующий момент. Однако, даже если бы
естественные законы не составляли бы никакого секрета для нас, мы
могли бы знать начальную ситуацию только приблизительно. Если
эти знания позволяют нам предвидеть последующую ситуацию с той
же самой степенью приближения, то это все, что нам требуется, и
мы говорим, что явление предсказуемо и управляется в соответствии
с законом. Однако это происходит не всегда. Может случиться, что
небольшие расхождения в начальных условиях создают очень боль-
шие различия в конечном результате, тогда небольшая ошибка вна-
чале ведет к огромной ошибке в итоге. Прогнозирование становится
невозможным, и мы имеем дело со случайным явлением.
Почему метеорологам так трудно предсказать погоду? Почему идет
дождь, почему самопроизвольно возникают кажущиеся нам случайны-
ми ураганы, и почему так много людей считает совершенно естествен-

348
Прощай, Глубокая Мысль
ным молить бога о дожде или солнце, в то время как они считают
нелепым молить его о затмении? Мы видим, что большие возмущения
обычно происходят в областях, где атмосфера находится в неустойчи-
вом равновесии. Метеоролог понимает, что существующее равновесие
неустойчиво, что где-нибудь возникнет циклон, но где это произойдет
неясно: отклонение на десятую часть градуса в большую или меньшую
сторону в любой точке, -- и циклон возникает здесь, а не там, и про-
изведет разрушения в странах, которые он мог бы пощадить. Все это
мы могли бы предсказать, если бы знали об этой десятой градуса, но
наблюдения не были ни достаточно близкими к месту его образования,
ни достаточно точными, и по этой причине всё происходящее кажется
возникающим благодаря случаю.
Игра в рулетку не столь важна для нас, как предшествующий при-
мер. Предположим, что стрелка вращается над шкалой, разделенной
на сто чередующихся красных и черных секторов. Если стрелка оста-
навливается на красном секторе, то побеждаю я, в противном случае
-- проигрываю. Стрелка способна делать, предположим, десять или
двадцать поворотов, но она останавливается быстрее или медленнее,
согласно прилагаемому к колесу рулетки усилию. Существенно то, что
изменение этого импульса только на одну или две тысячных, способ-
но остановить стрелку на черном или на следующем красном секторе.
Эти усилия в мускульном смысле неразличимы и ускользают даже в
наиболее тонких приборах. Так что невозможно предвидеть как по-
ведет себя начавшая двигаться стрелка, именно поэтому мое сердце
трепещет, и я все свои надежды возлагаю на случай.
Затем Пуанкаре высказывает некоторые мысли о роли эксперимен-
та, и снова его слова созвучны сказанному мной выше:
Что делать, когда нужно проверить гипотезу? Мы не можем про-
верить все следствия, ибо число их может быть бесконечным. Поэто-
му мы проверяем некоторые и, если они успешны, объявляем гипотезу
подтвержденной.
Полосатые Судьбы
Фазовое пространство универсума, как и монеты, разделено полосами
на судьбы. Фазовое пространство размерностью в миллиард разделено
миллиард-размерными полосами, но это, несомненно, только ухудшает

Прощай, Глубокая Мысль
349
ситуацию. Даже если бы универсум представлял собой регулярную,
нехаотическую систему, это осталось бы верным. Под воздействием
хаоса полосы становятся бесконечно тонкими, и смешиваются, как соус
и спагетти, образуя эффектную неопределенность.
Все детерминированные методы оценки ставок плохи. Лучшее, что
можно здесь использовать -- это вероятность. В этом смысле, кость
плохой метод для получения подлинной случайности, детерминиро-
ванный хаос намного лучше.
С другой стороны, что такое подлинная случайность? Пуанкаре
подчеркивал, что рулетка также детерминирована. Возможно вообще
не существует настоящего случайного события. Все предопределено,
но мы слишком глупы, чтобы разглядеть структуру судьбы. В преде-
лах любой замкнутой системы, превалирует непреложный закон. Слу-
чайные события происходят, когда внешние влияния, не считаясь с
этими законами, нарушают их упорядоченное функционирование.
Нет и не может быть замкнутых систем, которые свободны от внеш-
них влияний и, в этом смысле, случайные возмущения всегда возмож-
ны. Однако, они являются случайными не совсем удовлетворительным
образом. Получив достаточно информации, вы чувствуете, что смогли
бы предсказать их наступление.
События становятся случайными благодаря детерминированному
хаосу, а с другой стороны, случайные события происходят даже в пре-
делах замкнутой системы, определенной в соответствии с непрелож-
ными законами. Наши наиболее взлелеянные примеры такой возмож-
ности, кость, рулетка, подбрасывание монет приближают их поведение
к хаосу больше, чем прихоти внешних событий. Поэтому, в этом пере-
смотренном смысле, несмотря ни на что, кость хорошая метафора
для определения случайности. Это наше усовершенствование концеп-
ции случайности. На самом деле возможно, что детерминированные,
но хаотические полосы фазового пространства являются истинным ис-
точником вероятности.
Квантовая неопределенность вероятно аналогична. Бесконечный
интеллект с совершенными чувствами - Бог, Великий Интеллект, или
Глубокая Мысль, вероятно смог бы точно предсказать, когда рас-
падется данный атом радия, когда данный электрон сойдет с орбиты.
Но, с нашим ограниченным интеллектом и неидеальными чувствами,
мы не сможем найти уловку, позволяющую сделать это.

350
Прощай, Глубокая Мысль
В действительности, поскольку мы только часть универсума, на-
ши предсказательные усилия могут натолкнуться на то, что он соби-
рается сделать. Этот тип проблем является очень старым, а я не хочу
рассматривать то, что мне кажется бесконечным регрессом: во всяком
случае я не знаю, как мог бы функционировать компьютер, если бы
на его атомы воздействовали результаты выполненных расчетов.
Освещение и поддержка
Про кого-то было сказано, что он использовал факты "как алкоголик
-- фонарный столб, скорее для поддержки, чем для освещения".
Алкоголики и фонарные столбы мелькают внутри и за пределами
научной субкультуры. Случай, относящийся к данной теме, можно на-
звать прогулкой алкоголика. Он начинает свое движение от фонарного
столба и беспорядочно движется на север, юг, восток и на запад. Куда
он идет? Какова статистическая регулярность его движения? Прояв-
ляется ли в этом случайность или хаос?
Джозеф Вейценбаум в книге Computer Power and Human Reason1
рассказывает о другом инциденте с алкоголиком и фонарным стол-
бом. Я перефразирую его. Пьяница стоит на коленях и что-то ищет
при свете фонаря, висящего на столбе. Проходящий мимо полицей-
ский спрашивает его: "Что вы делаете?"
"Ищу ключи, oфицер."
"Ты потерял их под этой лампой?"
"Нет, офицер. Я потерял их на темной дороге."
"Так почему же ты ищешь их под лампой?"
"Здесь достаточно света, чтобы разглядеть их."
Наука, по словам Вейценбаума, похожа на этого алкоголика. Она
исходит из того, что известно, то есть начинается там, где светло. Мно-
жество людей цитируют этот небольшой рассказ, чтобы показать, на-
сколько лишены воображения ученые. Они не желают читать книгу
Вейценбаума, хотя он старается объяснить, чем плоха аналогия.
Она плоха потому, что в науке мы не знаем, что звук после того,
как ключи упали, раздался там, в темноте. Мы не знаем, суще-
ствуют ли ключи. Фактически, мы даже не знаем о существовании
темноты, хотя и подозреваем, что она должна быть потому, что при
1Возможности компьютера и Человеческой Разум. М.: Радио и связь, 1982.

Прощай, Глубокая Мысль
351
каждом, таком частом мерцании света угадывается та или иная её
часть. Поэтому мы ищем под лампой то, что знаем, но не ключи, а
новый источник освещения. Аттрактор Лоренца не способен помочь
нам в деле улучшения прогнозов погоды. Его основная функция -- по-
казать сомнительность существующих подходов. Лучше мужественно,
подобно солдату, смотреть правде в лицо, чем игнорировать её. А кос-
венно хаос может, тем не менее, способствовать улучшению прогнозов
погоды... Или улучшить способы контроля над эпидемиями, предот-
вращать болезни сердца, наконец, просто понимать универсум.
Мы вынуждены искать под лампой. Это все, что нам остается.
Однако до сих пор такой подход работал. Свет лампы распространя-
ется медленно, но уверенно. Все, что мы знаем, пришло к нам именно
таким образом.
Хаос находится точно в таком же состоянии. Новое мерцание света
освещает темный угол, который мы совсем не знали. Этот угол был
раньше заполнен призраками, дурными предчувствиями невысказан-
ных предположений. Поднимая факел, мы делаем свет еще более яр-
ким и видим, что там находится. Это скелеты, сухие желтые кости
суеверия.
Самые яркие лучи света, проливаемые хаосом, фокусируются на
природе сложности. Теперь мы знаем, что простые уравнения могут
иметь как простые, так и сложные решения, а сложные уравнения
как сложные, так и простые решения. Что управляет взаимоотноше-
нием уравнения с решением, модели с её поведением не по форме, а по
смыслу?
Куда ведет нас факел хаоса? Мы не можем этого сказать. Каково
будущее хаоса? Это скрыто во тьме. Сейчас мы должны быть удовле-
творены тем, что изгнали особенно вредного призрака. Это единствен-
ный, безмерный триумф.

Глава 15
Игральная кость катится...
Сделать предсказание очень трудно, особенно будущего.
Нильс Бор.
Когда книга Играет ли Бог в Кости? была опубликована весной 1989
года, она не имела главы 15. Но темпы исследования хаоса, состав-
ляющего в более широкой области науки -- нелинейной динамике, --
только одну из частей, столь велики, что новое издание этой книги,
увидевшее свет в конце 1990, уже содержало новую главу. Чтобы об-
новить хронику хаоса, я выбрал только два исследования, где теория
и эксперимент соответствуют друг другу не совсем обычным образом.
В обоих случаях рассматриваются явления, возникающие в системе
Тейлора--Куэтта, в которой, как вы помните, исследуется жидкость,
заключенная между двумя вращающимися цилиндрами.
Я мог бы выбрать другие приложения хаоса, например прогнози-
рование поведения цен на фондовой бирже. Методы, разработанные
для обработки хаотических временных рядов, в частности для рекон-
струкции фазового пространства, могут использоваться для любых
типов данных, в том числе и для прогнозирования цен на фондовой
бирже при честной игре. Однако при реконструкции фазового про-
странства на свет извлекаются детерминированные, но может быть и
хаотические, паттерны, скрытые в нерегулярных данных. Реконструк-
ция будет успешной, если явно существует такой детерминированный
паттерн, позволяющий начать анализ именно с него. Более того, такие
паттерны особенно полезны при небольшом числе переменных. (В дей-
ствительности система может содержать много переменных, но ат-
трактор должен иметь малую размерность.) В физических науках
такие довольно общие паттерны хорошо известны. Мы уже рассмот-
рели некоторые примеры, где этот метод успешно работает, и теперь я
приведу новые свидетельства этого. Что же касается финансовых дан-
ных, то здесь сразу же возникает вопрос, имеются ли в них какие-либо
детерминированные паттерны, и если да, то как найти их. Новые идеи,
связанные с хаосом, конечно открывают новые подходы к таким вопро-

Игральная кость катится...
353
сам, но сначала, вероятно, необходимо выполнить много кропотливой
подготовительной работы, чтобы убедиться в наличии таких паттер-
нов. А пока нет возможности сказать об этом что-либо определенное,
я предпочитаю рассказывать об очевидных достижениях.
Даже принимая во внимание сказанное, постоянное обращение к
системе Куэтта-Тейлора может выглядеть как навязчивая идея ав-
тора. Почему так много внимания уделяется созданному человеком
искусственному лабораторному эксперименту, когда вне стен лабора-
тории, в мире естественных явлений, существуют реальные проблемы?
"Давайте повторим, король Гарольд..."
На это есть несколько ответов, но ни один не является окончатель-
ным. То, что мы обсуждаем -- в микрокосме, -- является на самом деле
соотношением между теорией, экспериментом и природой. Это боль-
шая, путаная и спорная тема. Здесь я постараюсь дать только прагма-
тический ответ практически работающего ученого: система Тейлора--
Куэтта -- это то, что работает. Природа слишком огромна для по-
нимания, она сложна, имеет запутанную структуру и подчинена си-
лам, не поддающимся контролю. Лабораторный эксперимент по-
средник между действительностью и теорией, между естественным
миром и мысленными представлениями человека о его функциониро-
вании. Цель лабораторного эксперимента состоит в том, чтобы изоли-
ровать некоторый небольшой фрагмент мира и тестировать его до раз-
рушения. Это трудно сделать в реальном мире. Покажем это на при-
мере теории: кометы -- предзнаменования бедствий. Чтобы проверить
эту теорию, необходим эксперимент, который, в частности, включает
проведение повторного сражения короля Гастингса при отсутствии ко-
меты Галлея на небе. Мудрёно. Даже если бы было можно управлять
таким экспериментом, имелось бы много других причин случившегося,
позволяющих считать теорию неверной. К тому же во всяком сраже-
нии, проигрыш одной стороны всегда есть победа другой!
Лабораторные системы не будоражут наше воображение как при-
родные, они не способны быть столь же вдохновляющими и замеча-
тельными. Но для ученого они имеют то великое преимущество, что
изолируют специфические эффекты и делают возможным их повтор-
ные исследования в условиях, которыми можно управлять. Благода-

354
Игральная кость катится...
ря этому число причин, объясняющих провал теории, сокращается до
единиц. Теория, которая не согласуется с экспериментом, умирает, но
кое-что, пригодное для последующего использования, остается.
Каждый метод далек от надежности, и даже самым лучшим экс-
периментом нельзя полностью управлять. Однако, как я уже сказал,
такой подход работает, и пока ничего лучшего мы пока не нашли.
Всего несколько относительно коротких шагов отделяют Галилея, за-
метившего, что период качающейся лампы, по-видимому, постоянен,
от Вояжеров, совершивших двенадцатилетнюю вылазку в Солнечную
систему, прокладывая свой путь в пространстве на столбах пламени.
Качающаяся лампа преобразовалась в лабораторный маятник, а через
него и несколько дюжин в равной степени простых экспериментальных
систем, на которых человечество изучило законы механики. (Конеч-
но не без труда!) Механика привела Ньютона к формулировке закона
гравитации, и человечество получило возможность работать, чтобы в
итоге создать двигатели, способные обеспечивать полеты космических
кораблей, которые позволили снарядить Вояджеры, и управлять ими.
Создание таких аппаратных средств -- это совсем другое дело, но
оно также было достигнуто с помощью ряда шагов: от проведения
простых лабораторных экспериментов до создания масштабных ин-
женерных сооружений. Алхимик с ретортой и аристократ, играющий
электричеством с лапками лягушки, являются духовными отцами эпи-
ческого путешествия Вояджеров и той технологии, которая сделала
такое путешествие возможным.
Научный метод имеет ограничения. Существует много вопросов, на
которые он не может ответить. Например, он остается немым по от-
ношению к вопросу о способности комет предвещать гибель. Однако и
здесь имеются некоторые достижения: иногда они позволяют ответить
на вопрос, который ранее казался совершенно безнадежным. Не так
давно задача выяснения химического состава звезд считалась некор-
ректной. Сегодня эту задачу решает обычный спектрограф, анализи-
рующий испускаемый звездами свет, в котором характерные химиче-
ские элементы выделяются специфическими темными линиями спек-
тра поглощения. Наука прогрессирует, отвечая на те вопросы, которые
ранее казались некорректными. Более интересным вопросом для нау-
ки, чем рассмотрение комет, как знамений судьбы, являются орбиты
комет, их химическая структура, возникновение комет и, не желая

Игральная кость катится...
355
оставить вне науки вопросы судьбы, -- естественные механизмы воз-
никновения землетрясений, вулканических извержений и наводнений.
Все это довольно далеко уводит нас от потока Тейлора--Куэтта,
но это наша точка зрения. Природа тоже далека от потока Тейлора--
Куэтта, но одно ведет к другому. Притягательность потока Тейлора--
Куэтта для ученого в том, что он достаточно сложен для создания
замечательно большого диапазона явлений, и достаточно прост для
использования его в качестве теоретической техники. Это - удобный
испытательный стенд. Достигнутое таким образом понимание полу-
ченных данных может быть перенесено в другие, менее искусственные
системы или может быть использовано в аналогичных обстоятельствах
как технология. В целом, технология -- это создание искусственных си-
стем, настолько простых, чтобы ими можно было управлять.
Мы рассмотрим два примера этого процесса, и оба начинаются с
вопроса, обращенного к системе Тейлора--Куэтта. Каждый из них ис-
пользует эту частную систему как удобный способ проникнуть в на-
много более широкое поле целого. Первый возвращает нас к вопросу
о турбулентности в жидкости. Второй обращается к той конкретной
особенности прибора Тейлора--Куэтта, которая является наиболее ис-
кусственной, к его круговой симметрии, и делает важные заключения
о поведении любой динамической системы с симметрией. Ни один из
них еще не ведет к потрясающей новой технологии, но каждый ждёт
своего времени! Давайте следовать правилу: вначале фундаменталь-
ные науки, а доллары и центы от приложений несомненно последуют.
Хаос в газете Nature
Одной из наиболее престижных научных газет является Nature, кото-
рая выходит еженедельно, она похожа на журнал и содержит короткие
статьи с переднего края науки. Она особенно сильна в биологии: ти-
пичные заголовки Nature -- "Анализ маркерных ДНК обнаруживает
множественное материнство и отцовство в одиночных выводках мало-
го снежного гуся" или "Спиральный ген дрозофилы кодирует протеин
нуклеиновыми вязкими пальцами". Однако в Nature приводятся ста-
тьи и из многих других областей науки: от физики ускорителей до
циркона в геологии. Среди них -- хаос, который даже приводится в
годовом индексе.

356
Игральная кость катится...
Обложка 6231 выпуска Nature от 27 июля 1989 демонстрирует кра-
сочное завихрение, выполненное средствами машинной графики. Изоб-
ражение сделано на канареечно-желтом фоне под ярко-красным заго-
ловком "LASER PROBING OF CHAOS". В этом номере приведе-
на статья Тома Мулена и Т. Дж. Прайса, работающих в лаборатории
Кларендон Оксфордского университета, в которой описывается тща-
тельный, чрезвычайно точный эксперимент, обнаруживший странный
аттрактор в слаботурбулентном потоке жидкости. По моему мнению
это наиболее красивое доказательство того, что слабая турбулентность
и хаос тесно связаны. Однако прежде, чем рассказать собственно о ра-
боте Мулена и Прайса, я хотел бы сделать небольшое отступление.
Червяк и яблоко
Эта математическая история на самом деле случилась в 1979, в Уни-
верситете Гэлф, Канада, с Лэнгфордом Биллом, канадским математи-
ком, который занимался тогда теорией бифуркаций. Как вы помните,
в главе 8 мы говорили, что бифуркации это метод нахождения новых
состояний динамической системы в ситуациях, когда известные состо-
яния становятся неустойчивыми, и возникает вопрос, как они продол-
жаются. Теория напоминает шляпу фокусника: на первый взгляд она
кажется пустой, но в любой момент из нее могут возникнуть кролик
или голубь. Бифуркация образование нового состояния, качествен-
но иного решения основной математической модели. Работа Лэнгфор-
да была частью общей программы, нацеленной на то, чтобы понять,
чем являются фундаментальные типы бифуркаций и как они взаимо-
действуют друг с другом. Потенциальные приложения таких знаний
очень широки и было бы достаточно просто перечислить характерные
примеры их применения. Но инициатором проекта была фундамен-
тальная наука, и я хотел бы поддержать её тем, что не буду приходить
в восторг от возможных практических приложений. То немногое, чего
я хотел бы добиться от вас, так это чтобы вы думали как матема-
тики, и сконцентрировали свое внимание на больших, структурных и
обобщающих вопросах вместо рассмотрения того, как делать деньги на
этом. ("А какая польза будет от этого, господин Фарадей?" -- с большой
долей скепсиса в голосе спросил некто, имея в виду его электрические
опыты. "Нет никакого сомнения, милорд, что за использование этого
вы вскоре будете обложены налогом," -- ответил он.)

Игральная кость катится...
357
Бифуркации происходят в двух особенностях системы: стационар-
ной и Хопфа. Стационарное состояние системы не изменяется во вре-
мени и неудивительно, что именно стационарная бифуркация создает
новое установившееся состояние. Например, если стальной стержень
поместить под пресс, то он будет сохранять свою форму и оставаться
прямым до тех пор, пока сжимающая нагрузка не достигнет некоторо-
го критического значения, после чего он изогнется. Его состояние при
этом изменяется только благодаря нагрузке. На любой стадии, если
"заморозить" нагрузку в некотором фиксированном состоянии, то и со-
стояние стержня тоже замораживается: он проходит через ряд устано-
вившихся состояний, соответствующих каждому значению нагрузки.
Нагруженное состояние значительно отличается от ненагруженного,
и, когда возрастание нагрузки достигнет критического значения, со-
стояние стержня разветвляется. Стержень или, более правильно, его
математическая модель, подвергается стационарной бифуркации.
Самая простая стационарная бифуркация -- седловой узел носит
имя, подаренное ему Пуанкаре. Здесь два отличных состояния созда-
ются "из ничего", или если вы предпочитаете выполнять все в об-
ратном порядке, два отчетливых состояния обьединяются и уничто-
жают друг друга. Обычно только одно из двух состояний устойчиво,
поэтому оно и наблюдается на практике как внезапно возникающее и
исчезающее. Представьте яйцо, лежащее на наклонной плоскости. Ес-
ли угол наклона мал, то яйцо находится в состоянии равновесия, но
если наклон увеличивать, то рано или поздно яйцо потеряет устойчи-
вость и скатится вниз. С увеличением угла наклона устойчивое состо-
яние, в котором находилось яйцо, исчезает (Рис. 15.1). Если проделать
вычисления, то можно увидеть, что это происходит путем объединения
устойчивого и неустойчивого состояний. Последнее при этом исчезает.
Бифуркация Хопфа самая простая бифуркация испытываемая
системой на пути к неустойчивому состоянию. Она возникает перио-
дически, когда система многократно повторяет свое поведение. Я уже
описал это в главе 9, так что никакой надобности в новом примере нет.
Лэнгфорд задался вопросом, как взаимодействуют фундаменталь-
ные типы бифуркаций друг с другом. Пусть некая система подвергает-
ся двум разным типам бифуркаций в одно и то же время так, что уста-
новившиеся и недавно возникшие периодические состояния начинают
конкурировать друг с другом. Система не может находиться в обо-

358
Игральная кость катится...
Рис. 15.1. Бифуркации седлового узла при устойчивых состояниях яйца.
их состояниях одновременно, поэтому одно из двух состояний должно
стать основным. Какое? Или может быть существует компромиссное
решение, объединяющее возможности обоих. Кто знает? Можно бес-
конечно и спекулятивно рассуждать об этом, но для понимания того,
что на самом деле происходит, лучше использовать математику.
В 1982 году Лэнгфорд нашел объяснение для этих вопросов, вы-
звавшие удивление. При известных условиях, конкуренция вызывает
непредвиденную "вторичную" бифуркацию к квазипериодическому со-
стоянию, в котором объединяются два отдельных периодических дви-
жения с различными частотами (Рис. 15.2). Кроме того, квазиперио-
дическое состояние может самопроизвольно качественно изменяться и
превратиться в хаотическое. Возникающий в результате этого стран-
ный аттрактор заметно отличается от всего известного прежде: он на-
поминает червяка, который многократно проедает себе дорогу сквозь
яблоко, выползает на другую сторону, а затем движется обратно, пе-
ремещаясь по внешней поверхности (Рис. 15.3). Этот тип хаоса был
обстоятельно изучен советским математиком Л. П. Сальниковым.
Анализ Лэнгфорда привел к целой последовательности изменений
состояния:

Игральная кость катится...
359
Рис. 15.2. Квазипериодическое движение при взаимодействии двух особенно-
стей системы: Хопфа и устойчивого состояний...
устойчивое → периодическое → квазипериодическое → хаотическое.
Все это возникает как нечто само собой разумеющееся, когда простей-
шая стационарная бифуркация объединяется с простейшей периоди-
ческой бифуркацией... Получается намного больше, чем ожидалось!
То есть теория бифуркаций не только может создавать новые состоя-
ния из старых, но и создала два новых, совершенно неожиданных типа
состояний. В том, что это действительно возможно, отчасти, и состо-
ит обаяние данной темы. Популяция кроликов в магической шляпе
фокусника часто приводит к гораздо большему, чем ожидалось.
В главе 9 рассмотрен классический эксперимент Тейлора-Куэтта
с жидкостью между вращающимися цилиндрами. Лэнгфорд заметил,
что есть четкая аналогия между замеченной им последовательностью
бифуркаций и переходами Тейлора-Куэтта, а именно
Вихрь Тейлора→волнистый вихрь→
модулированный волнистый вихрь→турбулентность.
Вихри Тейлора устойчивые потоки, однако это не значит, что жид-
кость не движется, а говорит только о том, что скорость жидкости в
каждой точке не меняется. Волнистые вихри периодичны по времени.

360
Игральная кость катится...
Рис. 15.3.
... и результирующий хаос.
Модулированные волнистые вихри квазипериодичны, они объединя-
ют два отчетливых периодических движения. В итоге турбулентность
возникает как проявление случайности и хаоса.
Это соответствие является точным.
Однако видимость может быть обманчивой. Поэтому Лэнгфорд
задал еще один вопрос: является ли эта последовательность только
совпадением, или она имеет прочный математический базис. Одна из
технических трудностей состоит в том, что система Тейлора--Куэтта
имеет круговую симметрию, которая как звонок трезвонит при любых
бифуркациях, а чтобы аналогичным образом вела себя математиче-
ская машина, необходимо понять, что же фактически происходит. Тем
не менее, к 1985 стало известно, что все, за исключением (возможно)
конечного перехода к турбулентности, может быть получено, исходя
из стандартной модели потока Тейлора--Куэтта. Это было установле-
но независимо Герардом Иоссом и Паскалем Чоссетом, работающими
в Ницце, Мартином Голубицки и мною в Хьюстоне. Существует так-
же опреденная возможность осуществить переход к хаосу в рамках
стандартной модели, но никто еще не сумел подтвердить его строгим
выводом из уравнений потока жидкости.

Игральная кость катится...
361
Доказательная интуиция
Именно в это время появился Том Мулен, который, исходя из собствен-
ных взглядов и экспериментального доказательства присутствия в по-
токе Тейлора--Куэтта странного аттрактора, выявил его замечательное
сходство с аттрактором, открытым Лэнгфордом.
Мулен работает в Лаборатории Кларендон (Clarendon Laboratory).
Даже краткий визит в его лабораторию свидетельствует о тщатель-
ности и внимании к деталям, столь важными в такой работе. Цель
эксперимента, описанного в Nature, заключается в измерении скоро-
сти движения жидкости в разных точках камеры Тейлора--Куэтта при
различных скоростях вращения двух цилиндров. Полученные таким
образом данные были обработаны по программе реконструкции фазо-
вого пространства на быстром настольном компьютере (см. главу 9).
Однако все это далеко не так просто.
Во-первых, цилиндры должны быть прецезионно-точными с очень
небольшим допуском, а двигатель и его вращающиеся части свободны-
ми, насколько это вообще возможно, от колебаний. Иначе они будут
влиять на наблюдения, вместе с реальным сигналом будут обработаны
на компьютере и исказят результирующую фазовую картину. Поэтому
оба цилиндра и лазер размещены на оптическом столе мраморной
плите длиной приблизительно в два метра, шириной в полметра, и тол-
щиной в пять сантиметров. Это позволяет надеяться, что луч лазера
будет точно выровнен и останется таким во время эксперимента. Ко-
лебания температуры способны столь заметно повлиять на поток жид-
кости, что не оставят никакой возможности найти странный аттрак-
тор при реконструкции фазового пространства. Чтобы предотвратить
это, цилиндры заключены в стеклянный короб, где поддерживается
постоянная температура с точностью до сотых долей градуса. При-
бор чувствителен к мельчайшим изменениям скорости жидкости, что,
к сожалению, означает также, что он чувствителен и к мельчайшим
вибрациям почвы от движения тележки уличной продавщицы или при-
паркованного автомобиля. Поэтому вся установка, мраморный стол и
все, находящееся на нем, лежат на блоке из каучуковой пены толщиной
около полуметра, способном заглушить любые колебания, вызванные
внешними воздействиями. Наконец, данные должны быть записаны и
обработаны. Электронное оборудование фиксирует изменения частоты
светового луча лазера, преобразует их в цифровую форму и посыла-

362
Игральная кость катится...
Рис. 15.4. Квазипериодический аттрактор в потоке Тейлора--Куэтта.
ет в компьютер. Компьютер обрабатывает данные, чтобы восстано-
вить основной аттрактор, во многом точно так, как сказано в главе 9,
но с использованием некоторых современных дополнений алгоритма.
Чтобы нарисовать аттрактор, используется пакет графических под-
программ. Трехмерная структура аттрактора подчеркивается более
тонким изображением внутренних кривых линий, правильно накла-
дывающихся друг на друга, чтобы сохранить иллюзию трехмерности.
На Рис. 15.4 и Рис. 15.5 показаны образцы результатов. График сле-
ва от каждого рисунка это наблюдаемый сигнал лазера: он состо-
ит из короткого пакета значительных по амплитуде колебаний, сле-
дующих за долгим "неподвижным" периодом. Изображение справа
восстановленный аттрактор. Обрабатывающий компьютер извлек ин-
формацию, которая присутствует в лазерном сигнале, но неочевидна
даже для тренированного глаза.
Рис. 15.4 это не портрет хаоса. Он изображает двухчастотное ква-
зипериодическое состояние. Представьте себе большую сферу с узким
трубчатым отверстием, просверленным через центр. Лента, которая
изображает эволюцию системы во времени в ее фазовом пространстве,
начинает винтообразно вкручиваться в это отверстие. Затем она, об-

Игральная кость катится...
363
Рис. 15.5. Странный аттрактор в потоке Тейлора--Куэтта.
разуя огромные вихри, возвращается назад, к началу отверстия через
поверхность сферы. В следующий раз при круговом движении лента
движется по совсем другому пути, но он параллелен исходному и так-
же прослеживается снаружи. При каждом обороте путь ленты немного
смещается в одну из сторон. Поскольку перемещение осуществляется
последовательно, оно является регулярным, то есть является не хао-
тическим, а квазипериодическим.
Однако хаос тоже присутствует. Рис. 15.5 представляет хаос, воз-
никающий при возрастании скорости цилиндра. Это странный аттрак-
тор. Направления последовательных перемещений изменяются прак-
тически беспорядочно. Все это сильно напоминает аттрактор Лэнг-
форда. Для "ленты", читайте "червяка", для "сферы", читайте "яблока".
Соответствие пока только качественное, но очень сходное в деталях.
Как мы уже делали выше, можно сопоставить наблюдаемый вре-
менной ряд с топологией аттрактора. Длинный неподвижный период
возникает в то время, когда лента движется по туннелю трубы. Боль-
шой пакет колебаний возникает, когда лента возвращается назад че-
рез внешность сферы. На рисунке 15.4 каждый неподвижный период в
действительности имеет ту же самую длину, что и любой другой, и это
обуславливает его квазипериодическое поведение. На Рис. 15.5 длина

364
Игральная кость катится...
неподвижных периодов изменяется очевидно произвольным образом:
на этот раз мы отмечаем при этом хаос.
Восстановленная фазовая картина отрисована в пространстве ма-
тематических переменных, выявленных сложным математическим ана-
лизом экспериментальных данных. Геометрия аттрактора прямо не
связана ни с какими физическими свойствами потоков жидкости (хотя
мы видели, как их можно сравнивать с временным рядом измереных
скоростей). Именно эта проблема терзала ранние работы по хаосу и
турбулентности и привела к разработке методов реконструкции фазо-
вого пространства, не требующих физической интерпретации его то-
пологии. Но здесь, ретроспективно, мы можем сделать такую интер-
претацию, наблюдая в эксперименте поведение жидкости в каждой
точке ленты. Грубо говоря, когда лента находится на одном конце цен-
тральной трубы, это соответствует состоянию, включающему только
два вихря Тейлора: два жирных пончика, поставленных друг на дру-
га. На другом конце трубы возникает состояние, характеризующееся
четырьмя вихрями вдвое меньшей толщины. Структура или паттерн
потока жидкости попеременно содержит то два, то четыре вихря, но
происходит это неправильным и непредсказуемым образом. Математи-
ки теперь знают типичные обстоятельства, которые вызывают такое
поведение, а эксперимент обеспечивает теоретическое понимание ма-
тематики системы Тейлора--Куэтта.
Намного больше можно было бы рассказать об этом замечатель-
ном экспериментальном результате, но основная, впечатляющая его
особенность очевидна. Методика реконструкции фазового простран-
ства показывает скрытую структуру в данных турбулентного потока.
Эта структура -- странный аттрактор точно такого же типа, как и тот,
что предложил Лэнгфорд десять лет назад, исходя из интуитивных,
но очень общих математических принципов.
Видишь? Так делается работа!
Структурированная турбулентность
Традиционно, порядок и хаос -- это две стороны монеты, две явные про-
тивоположности. Однако мы уже видели, что такая черно-белая кар-
тина окружающего нас универсума является заблуждением, на самом
деле в ней имеются все оттенки серого, сплошной спектр поведения,

Игральная кость катится...
365
изменяющийся от всеобщего порядка к всеобщему хаосу. В действи-
тельности универсум, видимо, просто движется вперед и делает то, что
ему свойственно, не заботясь о действующем режиме. Порядок и хаос
-- это понятия, которые накладывает на него человеческое восприятие,
исходящее -- чуть не сказал "из ничего", -- конечно, из свойственных,
идущих изнутри представлений, которые являются источником по-
стоянных философских и методологических терзаний. Теперь нам из-
вестны близкие связи порядка и хаоса: одна и та же математическая
система может переходить от одного состояния к другому благода-
ря простому переключению управляющей переменной. Действитель-
но, одна и та же математическая система, в зависимости от точности
задания условий, может находиться в упорядоченном или хаотическом
состоянии: если бы Гиперион имел немного иную энергию, он кувыр-
кался бы регулярно, а не хаотически.
Следы различия черное/белое все еще остаются: в зависимости от
задания переменных, наблюдаемое состояние является упорядоченным
или хаотическим. Мы не ждем иного, однако некоторые последние от-
крытия показывают, что наше понимание отношений между порядком
и хаосом следует расширить. Каждая система может существовать в
единственном состоянии, которое одновременно отображается аспек-
тами как порядка, так и хаоса.
На самом деле это наблюдалось время от времени в эксперимен-
тах, но только сейчас мы начинаем понимать причину этого. И сно-
ва система Тейлора--Куэтта является здесь удобной отправной точ-
кой, но теперь наша цель совсем иная. Наиболее общая форма турбу-
лентности в системе Куэтта--Тейлора не имеет структуры. Внутрений
цилиндр потоки жидкости обтекают произвольным, беспорядочным
образом. Однако существует по крайней мере два вида структуриро-
ванной турбулентности, да вы наверно слышали! Подавляющее число
книг утверждает, что турбулентность не имеет структуры, или, если
какая-либо структура и существует, то она скрыта в области стран-
ного аттрактора, а я ныне утверждаю, что турбулентность может
иметь чистую, непосредственно наблюдаемую структуру. Примерами
в системе Тейлора--Куэтта являются турбулентные вихри Тейлора и
спиральная турбулентность (Рис. 15.6).
Турбулентные вихри Тейлора наиболее просты и в некотором смыс-
ле не особенно загадочны. Они выглядят точно так же как вихри Тей-

366
Игральная кость катится...
лора это параллельные полосы, плотно уложенные вдоль оси ци-
линдра, но каждый из них, сам по себе, является турбулентным.
Нормальный вихрь Тейлора содержит сглаженный, ламинарный по-
ток, а эти, его более неистовые кузены, не только сохраняют слоистую
структуру вихря, но и заменяют ламинарный поток внутри каждого
вихря на турбулентный. Напротив, спиральная турбулентность содер-
жит участки турбулентного течения в составе гладкого окружения.
Участки сохраняют приблизительно ту же самую форму, но путеше-
ствуют вокруг и вдоль цилиндра по спиральным путям. Следующие
один за другим эти участки располагаются регулярно.
Какой механизм может определять столь любопытную смесь по-
рядка и беспорядка, объединенную в одном потоке?
То, что мы знаем в настоящий момент скорее является не оконча-
тельным ответом, а очень вероятным допущением о некотором, верном
в основных своих чертах, фундаментальном математическом меха-
низме этого явления. По техническим причинам еще нет определен-
ности, что он ответственен за структурированные турбулентные со-
стояния в потоке Тейлора--Куэтта, но у нас есть достаточные основа-
ния полагать, что именно он играет сходную роль в других системах,
особенно в электронных цепях. Вы возможно озадачены мыслью, что
возможна аналогия между турбулентностью жидкости и электрони-
кой, но математика -- основа передачи технологий, -- это некоторая
сеть идей, которые могут проявляться в существенно различных фи-
зических формах.
Пугливая симметрия
Ключ к пониманию структурированной турбулентности заключен в
отношении симметрии. Прибор Куэтта Тейлора высоко симметричен,
поэтому аналогичным образом ведут себя и все структуры потока, да-
же турбулентные. Чтобы использовать симметрию, сформулируем это
понятие точно. В просторечии слово "симметрия" употребляется в двух
различных смыслах. Первый довольно неточен, это нечто вроде "изящ-
ных пропорций". Видимо как раз это имел в виду Уильям Блейк, на-
звавший тигра "пугливой симметрией". Второй смысл более специфи-
чен, он относится к повторению особенностей некоторой формы. Если
первое значение апеллирует к поэтам, то второе -- к математикам.

Игральная кость катится...
367
Рис. 15.6. Структурированная турбулентность. (Слева) Турбулентные вихри
Тейлора. (Справа) Спиральная турбулентность.
Тело человека (почти) плоскосимметрично: рассматривающий се-
бя в зеркало выглядит почти таким же, каким он в действительности
является. То есть левая сторона и правая сторона человеческого те-
ла согласуются в своих общих контурах. Морская звезда имеет пяти-
кратную симметрию: каждый из ее пяти лучей имеет одну и ту же
форму. Снежинка имеет шестикратную симметрию, а бесконечные со-
ты имеют пространственно расширенную, повторяющуюся структуру,
дополняемую шестикратной симметрией каждой ячейки (Рис. 15.7).
Чтобы сформулировать сущность симметрии в этом втором смысле,
математики сфокусировали свое внимание не столько на форме объ-
екта, сколько на преобразованиях, которые выполняются при этом над
ним. Пусть на столе лежит совершенно симметричная морская звез-
да, которая, когда мы оглядываемся, поворачивается на одну пятую
часть оборота. Взглянув на морскую звезду снова, мы не заметим, что
она повернулась. То же самое произойдет, если она повернется на две
пятых, три пятых, четыре пятых оборота, или вообще останется непо-
движной. Таким образом имеются пять отчетливых, применимых к

368
Игральная кость катится...
Рис. 15.7. Симметрия естественных объектов.
морской звезде, преобразований, которые оставляют неизменными ее
форму и положение. Про каждое из этих преобразований говорят, что
оно определяет симметрию морской звезды.
Наиболее важными типами симметрии являются:
• вращения, которые оставляют некоторую точку -- центр враще-
ния, -- неизменной;
• отражения, в результате чего форма рассматривается в уже упо-
минавшемся зеркале;
• трансляции, которые перемещают телесность в некотором на-
правлении без вращения или отражения.
Квадрат, например, обладает симметрией вращения и отражения,
но не имеет никакой трансляционной симметрии. С другой стороны,
бесконечная плоскость, покрытая квадратной черепицей, имеет так-
же и трансляционную симметрию: если отдельный квадрат черепицы

Игральная кость катится...
369
переместить вдоль её боковой стороны на целое число черепиц, то её
вид не изменится. Это описание является двумерной версией способа,
которым физики определяют симметрию кристаллов.
Потерянная симметрия
Какова же симметрия системы Куэтта--Тейлора?
Наиболее очевидной является круговая симметрия. Если весь при-
бор поворачивается на некоторый фиксированный угол, то все его со-
держимое и его суть остаются теми же самыми. Внешние механизмы,
вроде вращающего цилиндры двигателя, изменяют при этом свое по-
ложение, но та часть аппарата, через которую течет поток -- область
между цилиндрами, -- остается неизменной. Конечно в действительно-
сти существуют небольшие несовершенства цилиндров, но они малы.
Поэтому мы пренебрегаем ими и полагаем, что прибор совершенен.
Рис. 15.8. Вихри Тейлора име-
ют симметрию вращения, а также
симметричны при трансляции на
целое число ширины вихрей.
Прибор также обладает зеркальной
симметрией от горизонтальной плоско-
сти, проходящей через середину при-
бора. Но он не имеет таковой относи-
тельно вертикальной плоскости, прохо-
дящей через ось, потому что такое от-
ражение изменяет направление враще-
ния.Наконец, прибор имеет "аппрокси-
мационную" симметрию, которая игра-
ет определяющую роль. Предположим,
что мы рассматриваем очень длин-
ный цилиндр, но сосредотачиваем наше
внимание только на той его части, кото-
рая близка к середине. Затем мы транс-
лируем эту часть цилиндра вдоль оси,
чтобы воспроизвести в сущности ту же
самую вещь. Это -- не точная симмет-
рия, потому что длина прибора ограни-
чена, однако это мало влияет на проис-
ходящее в середине. На самом деле стандартная математическая мо-
дель системы Куэтта Тейлора рассматривает бесконечно длинный ци-
линдр, где трансляция вдоль оси является точной. Бесконечный ци-

370
Игральная кость катится...
линдр не имеет концов и этим объясняется любовь к нему матема-
тиков: с концами связаны бесчисленные трудности, а их отсутствие,
скажем так, снимает проблемы.
Итак, прибор имеет множество симметрий вращения и симметрию
зеркального отражения. Обычная математическая модель имеет даже
больше симметрий, в частности, она включает осевые трансляции. Что
можно сказать о структурах потока? Как оказалось, каждая структу-
ра имеет свой собственный набор симметрий.
Поток Куэтта имеет те же симметрии, что и прибор. Поскольку
он не имеет паттерна, то не изменяет своего вида в результате отра-
жения, поворота или трансляции. Симметрия вообще ассоциируется с
паттерном, но очень высокая степень симметрии больше соответству-
ет её невыразительному отсутствию. Поток Куэтта имеет так много
Рис. 15.9. Спирали симмет-
ричны при комбинации симметрии
вращения и трансляции.
паттернов (они существуют везде), что
на самом деле не имеет их!
Вихри Тейлора (Рис. 15.8) менее
симметричны, но некоторые типы сим-
метрии остаются, порождая те же ха-
рактерные черты, которые, без сомне-
ния, могут быть названы "паттерном".
Сначала вихри выглядят в точности та-
кими же, когда они вращаются: каж-
дый отдельный вихрь имеет круговую
симметрию. То же самое характерно
для симметрии отражения относитель-
но горизонтальной плоскости: если пе-
ревернуть пучок вихрей, то их вид
останется прежним. Что отсутствует в
этой картине, так это большей части
трансляций. Из-за "полосатой" струк-
туры трансляционная симметрия вих-
рей Тейлора возникает только при пе-
ремещении цилиндра на целое число полос. Если переместить его на
половину полосы, то возникнет иная структура, которая, конечно, бу-
дет полосатой, но полосы изменят свое положение. Спиральные потоки
(Рис. 15.9) имеют более тонкую симметрию. Представьте себе шест па-
рикмахера. Когда он вращается, то спиральные структуры, кажется,

Игральная кость катится...
371
двигаются по всей длине шеста. Если транслировать их обратно на то
же самое число, то они должны совпадать. То есть симметрия вин-
товых спиралей -- это комбинация вращения и трансляции. На самом
деле почти все потоки в системе Тейлора--Куэтта имеют некоторую
степень симметрии, исключая поток Куэтта, но всегда меньшую, чем
у прибора. Это явление называется нарушением симметрии.
Размытая симметрия
Что можно сказать о турбулентных потоках?
С технической точки зрения, они не имеют никакой симметрии. Ес-
ли выполнить трансляцию турбулентного потока, то получится другой
турбулентный поток, отличный от оригинала. Он мог бы быть ана-
логичным, если бы частицы жидкости до и после трансляции соот-
ветствовали друг другу. Пусть, к примеру, выполняется трансляция
на один сантиметр. Как преобразование симметрии такая трансляция
возможна, если каждая частица транслированного потока имеет ту же
самую скорость, что и частица исходного потока, но в каждом турбу-
лентном потоке жидкость двигается собственным случайным образом.
Однако это еще не все. Если игнорировать тонкую структуру тур-
булентности и рассматривать её как добавочную текстуру, то поток
имеет много симметрий. На самом деле, если транслировать турбу-
лентный поток, то увидеть какое--либо изменение потока до и после
трансляции будет очень трудно. Турбулентный поток не имеет ника-
ких локальных свойств, создающих структуру некоторого типа.
Турбулентные вихри Тейлора имеют видимую структуру: можно
увидеть вихревые слои, полосы. Если игнорировать тонкие детали в
турбулентном потоке, то видны только размытые вихри Тейлора, а
(если игнорировать точные детали размытой картины) поток имеет
ту же самую симметрию, что и вихри Тейлора. Такой турбулентный
поток имеет много симметрий: вращение, отражение и трансляции на
целое число ширины вихрей. Однако, если принимать во внимание тон-
кие детали, то эти симметрии будут потеряны, поскольку, например,
трансляционная симметрия подразумевает, что поток внутри различ-
ных вихрей идентичен, а на самом деле это не так.
Спиральная турбулентность также имеет некоторую степень сим-
метрии, если проигнорировать тонкие детали, характерные для каждо-

372
Игральная кость катится...
го турбулентного участка. Если вращать весь образец потока каждый
раз на один и тот же угол, а затем транслировать через правильные
промежутки, то его участки будут точно соответствовать друг другу.
Однако симметрия снова исчезает, если восстанавить тонкие детали
турбулентного потока: она не нарушилась бы, если бы поток внутри
каждого участка был идентичен другому, но в реальности этого нет.
Такова идея, но здесь есть математическая проблема: неясно как
выявить тонкую структуру потока. Для этого пока нет никакой до-
статочно развитой теории "размытой симметрии". Если бы хоть одно
решение существовало, то оно могло бы быть положено в основу новой
отрасли математики! Могло бы быть также найдено доказательство,
что проблема ведет в очень скучный тупик. Однако, возможно менее
радикальное решение: переинтерпретировать все так, чтобы размытая
симметрия стала подлинной. Преимущество этого подхода в том, что
сохраняется много усилий: математические методы, применяемые для
работы с подлинной симметрией, могут использоваться готовыми вме-
сто того, чтобы снова разрабатывать их для новой постановки задачи.
Поэтому мы возвращаемся назад, к основам, и задаем простой, но
важный вопрос: как симметрия системы воздействует на динамику?
В частности, как воздействует симметрия на хаос? К рассмотрению
этого вопроса мы сейчас и переходим.
Кубический хаос
Нам необходим пример, желательно намного более математически про-
стой, чем поток Тейлора--Куэтта. Что-нибудь связанное только с одним
типом симметрии, а не с целым их многообразием.
Самая простая симметрия -- отображение относительно начала оси
координат. Точка, расположенная в 5 см справа, отображается в точ-
ку, находящуюся в 5 см слева, и это же верно для любого другого
расстояния. То есть преобразование посылает каждую точку в минус
самой себя: x → -x. Если поместить зеркало в начало координат под
прямым углом к оси, то каждая точка перейдет в свое зеркальное от-
ражение. Поэтому мы называем его симметричным отображением
относительно начала координат.
Теперь мы должны разместить на оси динамическую систему, кото-
рая имеет эту же самую симметрию. Что же это означает? Симметрия

Игральная кость катится...
373
объекта проста для понимания, но что такое симметрия динамиче-
ской системы? Все становится ясным, когда мы еще раз напомним, что
симметрия это преобразование. Подобно тому, как преобразуются
объекты, могут преобразовываться и динамические системы. Динами-
ческая система это облако точек, перемещающихся относительно
друг друга в пространстве, а для трансформации каждой точки в об-
лаке используется одно и то же преобразование. Так, чтобы повернуть
динамическую систему на некоторый угол, достаточно повернуть на
этот угол облако точек и направлений, в которых они двигаются.
В итоге динамическая система имеет некоторую специфическую
симметрию, если в динамике симметрично связанные точки всегда
двигаются в симметрично связанные места. Например, для отраже-
ния от начала координат: если точка, расположенная в 5 см справа
перемещается в точку 7 см справа, то точка в 5 см слева должна пе-
реместиться в точку 7 см слева. То есть, если 5 → 7, то -5 → -7.
Короче говоря, симметрия должна сохраняться.
Наша самая простая модель хаоса логистическое отображение
x → kx(1 - x), рассмотрена в главах 1, 8, и 10. К сожалению оно не
сохраняется при отражении. В самом деле, возьмем, например k = 4.
Тогда значение x = 0.5 отображается в 4(0.5)(0.5) = 1, но значение
-0.5 отображается в 4(-0.5)(1.5) = -3, а не в -1.
Небольшое размышление показывает, что слегка отличное отобра-
жение сохраняет симметрию: а именно, kx(1 - x2). Обратите внимание
на квадрат при втором x, из-за которого x(1 - x2) = x - x3 называется
кубическим отображением. Например здесь, при k = 4, x = 0.5, мы
получаем значение 4(0.5)(0.75) = 1.5, а для x = -0.5 соответственно
4(-0.5)(0.75) = -1.5, которые симметрично связаны. Имеется веская
математическая причина, объясняющая почему это происходит, но я
не буду входить здесь в подробности, достаточно сказать, что значе-
ния x и x3 являются нечетными степенями x, которые симметричны
относительно начала координат.
Самое интересное, что мы делали с логистическим отображением,
так это возможность рисовать бифуркационную диаграмму при из-
менении k -- картину изменения аттрактора вместе с k. Получается
известное фиговое дерево -- маршрут к хаосу (Рис. 8.8). Когда мы при-
меняем тот же подход к кубическому отображению, то мы получаем
Рис. 15.10. Как обычно значение x изменяется вертикально, а k -- гори-

374
Игральная кость катится...
Рис. 15.10. Бифуркационная диаграмма кубического отображения для поло-
жительных значений x.
Рис. 15.11. Бифуркационная диаграмма кубического отображения для отрица-
тельных значений x.
зонтально. Первая часть этого отображения выглядит очень знакомой:
оно имеет собственное фиговое дерево и хаотические полосы, практи-
чески подобные соответствующему логистическому отображению.
В чем же причина того, что происходит со второй частью? Воз-
никает взрыв аттрактора: его размер внезапно удваивается, когда k
достигает критического значения. Чем может быть это вызвано?
Очевидно существует нечто такое, что отсутствует на данной диа-
грамме, но должно быть в силу симметрии. Рис. 15.10 получен при по-
ложительном начальном значении x для каждого k. Если вместо него

Игральная кость катится...
375
взять отрицательное начальное значение, то получится Рис. 15.11. Он
выглядит точно так же как и первый, но это не инвертированное изоб-
ражение. Здесь симметрия динамической системы изменяет знак x,
она перемещает и инвертирует изображение. Таким образом, вероят-
но, используя симметрию можно получать нечто большее, чем без неё.
Полное отображение (Рис. 15.12) получено объединением Рис. 15.10 с
Рис. 15.11. Оно показывает все аттракторы, а не только некоторые из
них. Бифуркационная диаграмма теперь симметрична и на ней можно
видеть всё, что может произойти.
Если k мало и располагается между 0 и 1, то единственный ат-
трактор это точка x = 0, поэтому мы имеем горизонтальную линию
на бифуркационной диаграмме. При x = 1 возникает переход, но в
отличие от фигового дерева, это не переход к аттрактору с перио-
дом 2. Вместо этого, возникают два отдельных точечных аттрактора:
один при положительном значении x, другой при отрицательном. Это
можно видеть на Рис. 15.10 и Рис. 15.11: каждый характеризует только
одиночный переход и соответствующий ему одноточечный аттрактор.
Эти два точечных аттрактора связаны симметрией, подразумевающей,
что для всякого аттрактора на самом деле существует его инвертиро-
ванная версия отражение от начала x-пространства, которая тоже
является аттрактором.
Положительный точечный аттрактор раскалывается на удваиваю-
щий период каскад. В силу симметрии, то же делает его отрицатель-
ный аналог, и мы видим два симметрично связанных фиговых дерева.
На их концах располагается обычная хаотическая форма в виде расту-
щих полос: система теперь имеет два странных аттрактора. Начиная
с положительного x, вы заканчиваете в положительном аттракторе, а
начиная с отрицательного x -- в отрицательном.
Чем дальше, тем лучше. Теперь перейдем к описанию основного со-
бытия. В точке, где мы сначала видели взрыв, теперь сливаются два
странных аттрактора. Они соединяются вместе, чтобы образовать еди-
ный аттрактор, который наряду с первым содержит и его инверсию.
Обьединенный аттрактор обладает зеркальной симметрией отражения
от начала координат.

376
Игральная кость катится...
Рис. 15.12. Полная бифуркационная диаграмма кубического отображения.
Вновь обретенная симметрия
Простота этого примера (по крайней мере, при сравнении с системой
Тейлора-Куэтта!), приводит нас к двум фундаментальным принципам:
• Симметричные динамические системы часто имеют несколько
отдельных аттракторов, связанных преобразованиями симмет-
рии.
• Эти индивидуальные аттракторы могут объединяться, чтобы об-
разовать странный аттрактор с большей симметрией.
В мире обычных аттракторов симметрия приводит к их исчезнове-
нию, так как аттракторы разбиваются, в мире же странных аттракто-
ров симметрия ведет к их росту, поскольку аттракторы обьединяются.
В действительности это совершенно понятно в силу сказанного выше,
поскольку странные аттракторы включают сложные наборы точек,
обьединение которых относительно естественно. Напротив, обьедине-
ние двух устойчивых состояний двух точек, имеет очень немного
смысла, и если это вообще имеет какой-либо смысл, он заключа-
ется в создании другой особой точки.
Удивительно, что можно давать рациональные объяснения, огля-
дываясь на прошлое. Получение правильной идеи начинается с того,
что действительно имеет значение.

Игральная кость катится...
377
Слияние странных аттракторов было изучено Цельсом Гребоги и
Джимом Йорком из университета Мэриленд, которые назвали это яв-
ление кризисом. Соотношение симметрии исследовалось методами ком-
пьютерного моделирования Паскалем Чоссетом, Майком Филдом и
Мартином Голубицки. Они ввели в рассмотрение дискретные дина-
мические системы, имеющие изящные, красивые аттракторы, с сим-
метрией, напоминающей правильный многоугольник (Рис. 15.13).
Прекрасно. Теперь мы понимаем, как симметрия объединяется с
динамикой, чтобы создать аттракторы, которые объединяют аспекты
порядка (симметрии) и беспорядка (хаоса) в одном объекте.
Как это понимание помогает нам практически?
Мне хотелось бы сообщить о триумфальном экспериментальном
подтверждении того, что турбулентные вихри Тейлора и спиральная
турбулентность возникают благодаря этому механизму. Однако я пока
не могу этого сделать, так как исследования продолжаются. Имеются
серьезные технические трудности при выполнении прямых экспери-
ментов по обнаружению симметричных странных аттракторов в си-
стемах, подобных потоку Тейлора--Куэтта. Они дорого стоят, требуют
много времени, и пока никто еще не осуществил их.
Однако в лаборатории нелинейных систем университета Варвик
Питер Ашвин и Грэг Кинг выполнили эксперименты на гораздо более
удобной системе и их наблюдения подтверждают два принципа, пере-
численные выше. Их прибор - это электронная схема, в которой три
(или больше) идентичных осциллятора соединены вместе симметрич-
но (Рис. 15.14). На систему накладываются вынужденные колебания
переменного тока, а наблюдения ведутся с помощью осциллографа,
который настроен на получение не непрерывного сигнала, а отобра-
жения Пуанкаре. Возникающие в результате данные обрабатываются
на компьютере с целью выделения основного аттрактора, принимая
во внимание симметрию. На Рис. 15.15 и Рис. 15.16 представлены по-
лученные при этом характерные результаты: хаотические аттракторы
с тройной осевой симметрией и увеличенными, благодаря симметрии,
особенностями. То, что эти структуры неидентичны в целом, стано-
вится очевидно, если рассматривать временные ряды возникающих в
схеме напряжений и отвечающие им спектры мощностей, или какие-
либо другие "классические" средства. Требуется новый взгляд на эти
вещи, чтобы выявить их структуру.

378
Игральная кость катится...
Рис. 15.13. Странные аттракторы, имеющие симметрию правильного много-
угольника.
Как мы теперь знаем, в жидкостях возможны любые соотношения
между симметричным хаосом и структурной турбулентностью, но мы
не знаем что происходит в случае "электронной турбулентности", при
нерегулярных колебаниях в электронных цепях. В действительности,
имеется связь этих двух типов турбулентности: математическая техно-
логия проявляется в этом еще раз. Идеи хаоса необычайно мобильны.
Слово предупреждения
Позвольте мне, наконец, обратиться к вам с просьбой. На нынешней
стадии разработки хаотической динамики важно не предаваться без-
удержным спекуляциям. Тема возбуждает, она фешенебельна, пере-
секает многие дисциплины и очень быстро эволюционирует. В таких
условиях при отсутствии понимания все кажется слишком легким.

Игральная кость катится...
379
Рис. 15.14. Схема симметричного соединения генераторов.
Хорошие идеи могут быть дискредитированы, если за их примене-
ние берутся люди, не видящие западни. Наиболее часто это происходит
с "примазавшимися к науке". Для применения хаоса нужен математик,
знающий это дело. По сравнению с супер-ЭВМ, математик это срав-
нительно дешёвое оборудование.
Все это также очень легко "раздуть" полуиспеченными идеями, на-
пример для предсказания цен на фондовой бирже, результатов ми-
ровых колебаний валют или победителя по дерби в штате Кентукки.
Перспективы в таких областях конечно имеются, и очень ободряющие,
особенно при апелляции к корыстной стороне человеческой натуры.
Однако имеющиеся результаты еще весьма далеки от завершения.
Очень частые, необузданные спекуляции повредили бы перспективам
разработки действительно полезного применения хаоса. Помните, что
истинное описание касается детерминированного хаоса, образующего
скрытые структуры в кажущихся случайными системах. Теория не
подразумевает, что всё, кажущееся "хаотическим", имеет скрытое объ-
яснение, она касается только явлений, вызванных детерминированной
причиной. Математика -- не волшебница.
Я думаю, что осторожный оптимизм это самая правильная ори-
ентация. По этим причинам, когда я взялся за написание этой гла-

380
Игральная кость катится...
Рис. 15.15. Симметричный хаос в сцепленных электрических генераторах.
Рис. 15.16. Увеличенная симметрией бифуркация в соединенных электрических
генераторах.
вы, то решил подчеркнуть те важные математические идеи, которые
обеспечены тщательными лабораторными исследованиями. Не нечто
возбуждающее, вроде индекса Доу-Джонса, например, но я, как мне
кажется, могу быть уверенным, что говорю правду.

Игральная кость катится...
381
Движения товарных цен, запасов, акций и других аспектов все-
мирной экономики представляют прекрасную сферу для будущих ра-
бот над приложениями хаоса. Имеются также многие другие сферы
применения: геологические летописи, изменения светимости рентге-
новских звезд, реакция структур на колебания, вызванные землетря-
сениями, мерцание флуоресцентных ламп... Рыночные аналитики уже
используют математические методы и, возможно, хаос сможет пред-
ложить им некоторые усовершенствования. Я думаю, что средства и
терминология, применяемые при исследованиях хаоса, такие как ре-
конструкция аттрактора по временным рядам, смогут пролить неко-
торый свет на проблему прогнозирования рынка. На самом деле су-
ществуют научно-исследовательские проекты, продолжающиеся в на-
стоящее время и нацеленные на выяснение возможностей этих мето-
дов, и они уже обнаружили определённые признаки наличия структур
в некоторых финансовых данных. В равной степени, я убежден, что
необходимо проделать большую работу, прежде чем какой-либо подоб-
ный метод окажется способным к определенным заключениям. Нужно
обладать богатым воображением при оценке перспектив применения
хаоса к реальному миру, но следует быть консерватором при оценке
его действительных успехов.
Я не верю в великие теории, которые решают все. Как сказал фран-
цузский тополог Рене Том много лет тому назад, То, что объясняет
все, не объясняет ничего . Хаос - это инструмент, а не целый арсенал
инструментальных средств. Он требует времени, чтобы понять, как
лучше всего его использовать именно как новый инструмент. И в этом
смысле хаос не является исключением: мы все еще обучаемся приме-
нять его. Часть людей в процессе обучения делает ошибки: не каж-
дая попытка применить хаос будет обязательно успешной. Но такова
судьба всякой попытки применения, хаос "прибыл", и он не собирает-
ся покинуть нас. Будущее хаоса кажется многообещающим, но также
очевидно, что оно непредсказуемо.
Это обычная шутка всякого исследования: вы только тогда поймете
куда шли, когда доберётесь туда.

Игра в кости с Божеством
Шанс -- это псевдоним бога, когда он не хочет дать знак.
Анатоль Франс.
ЕСЛИ БОГ ИГРАЕТ В КОСТИ...
ОН ВЫИГРЫВАЕТ

Дальнейшее Чтение
Беспристрастный Иегова,
Получив Моисеевы наставления,
Доверил камню
Похожую на правду мысль:
Я всегда забывал то,
что действительно хотел сказать.
Кристофер Морели.
Отмеченные звездочками названия -- это математически продвинутые
работы! Чем больше звездочек, тем серьезнее работа!
Общие работы
James Gleik, Chaos: Making a New Science (New York: Viking Press, 1987)
Имеется перевод: Джеймс Глейк. Хаос. Создание новой науки. СПб.: Амфо-
ра, 2001.
Ilya Prigogine, From Being to Becoming (San Francisco: W. H. Freeman, 1980)
Имеется перевод: Илья Пригожин. От существующего к возникающему.
М.: Наука, 1985.
Ed Regis, Who got Einstein's Office? (Reading, Mass.: Adison-Weslay, 1987)
Ian Stewart, The Problems of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 1987).
Главы 1-4: История
E. T. Bell, The Development of Mathematics (New York: McCraw-Hill, 1945)
E. T. Bell, Men of Mathematics (2 vols.) (Harmondsworth: Penguin Books, 1965)
Carl B. Boyer, A History of Mathematics (New York, John Wiley, 1968)
Stillman Drake and I. E. Drabkin, Mechanics in Sixteenth-Century Italy
(Madison: University of Wisconsin Press, 1969)
Stillman Drake, 'The Role of Music in Galileo's Experiments',Scientific American
(June 1975), pp. 98-104.
D. L. Hurd and J. J. Kipling, The Origins and Growth of Physical Science (2 vols.)
(Harmondsworth: Penguin Books, 1964)
Morris Kline, Mathematical Though from Ancient to Modern Times
(Oxford: Oxford University Press, 1972)

Дальнейшее Чтение
383
Morris Kline, Mathematics in Western Culture (Harmondsworth: Penguin
Books, 1972)
Theodore M. Porter, The Rise of Statistical Thinking (Princeton: Princeton University
Press, 1986)
Ian Percival, 'Chaos a science for the real world', New Scientist (21 october 1989),
pp.42-7
Stephen M. Stigler, The History of Statistics (Cambridge, Mass.: Belknap
Press, 1986)
Richard S. Westfall, Never at Rest: a Biography of Isaac Newton
(Cambridge: Cambridge University Press, 1980)
Главы 5-10: Математика
∗∗Ralph Abraham and Jerrald E. Marsden, Foundations
of Mechanics
(Reading, Mass.; Benjamin/Cummings, 1978)
Ralph Abraham and Christopher D. Shaw, Dinamics: the Geometry of Behaviour
(4 vols.) (Santa Cruz: Aerial Press, 1983.)
James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, and Robert S. Shaw,
'Chaos', Scientific American (Dec. 1986), pp.38-49
∗∗Predrag CvitanoviC, Universality in Chaos (Bristol: Adam Hilger, 1989)
∗Robert L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, (Menlo Park:
Benjamin-Cummings, 1986)
∗∗John Guckenheimer and Philip Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems,
and Bifurcations of Vector Fields (New York: Springer, 1986)
∗Hao Bai-Lin, Chaos, (Singapore: World Scientific, 1984)
Douglas Hofstadter, 'Metamagical Themas: Strange Attractors', Scientific
American (Nov. 1981), pp.16-29
∗E. Atlee Jackson, Perspectives of Nonlinear Dynamics 1 (Cambridge: Cambridge
University Press, 1989)
∗∗Robert S. MacKay and James D. Meiss, Hamiltonian Dynamical Systems, (Bristol,
Adam Hilger, 1987)
Jiirgen Moser, 'Is the Solar System Stable?', Mathematical Intelligencer, vol.l no.2
(1978), pp.65-71
∗∗Heinz Georg Schuster, Deterministic Chaos: an Introduction (Weinheim: Physik-
Verlag, 1984)
Ian Stewart, Oh! Catastrophe! (Paris: Belin, 1982) [На французком, но есть
американский перевод.]
Имеется русский перевод: Иен Стюарт. Тайна катастрофы. М.: Мир, 1989.

384
Дальнейшее Чтение
Ian Stewart, 'The Nature of Stability', Speculations in Science and
Technology, vo1.10 (1988), pp.310-24
Ian Stewart, 'Portraits of chaos', New Scientist (4 November 1989), pp. 42 -- 7
∗J. M. T. Thompson and H. B. Stewart, Nonlinear Dynamics and Chaos, (New
York: John Wiley, 1986)
David Tritton, 'Chaos in the Swing of a Pendulum', New Scientist, (24 July 1986),
pp.37-40
Franco Vivaldi, 'An experiment with mathematics', New Scientist (28 October 1989),
pp. 46-9
Главы 11-15: Приложения
∗∗G. I. Barenblatt, G. Iooss and D. D. Joseph (eds.), Nonlinear Dynamics and
Turbulence (London: Pitman, 1983)
Michael V. Berry, 'Quantum Physics on the Edge of Chaos', New Scientist (19 Nov.
1987), pp.44-47
I. R. Epstein, K, Kustin, P. De Kepper, and M. Orban, 'Oscillating
Chemical Reactions', Scientific American (Mar. 1983), pp.96-108
∗Jens Feder, Fractals (New York: Plenum Press, 1988)
Имеется перевод: Дженс Федер. Фракталы. М.: Мир, 1989.
∗W. Giittinger and G. Dangelmayr (eds.), The Physics of Structure
Formation, (Berlin: Springer, 1987)
∗∗Arun V. Holden (ed.), Chaos (Manchester: Manchester University Press, 1986)
∗S. A. Levin (ed.), Studies in Mathematical Biology (2 vols.) (Washington, DC: Mathematical
Association of America, 1978)
Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (San Francisco: W. H. Freeman,
1982)
Имеется перевод: Бенуа Мандельброт. Фрактальная геометрия природы.
М.: 1997.
Robert May, 'The chaotic rhythms of life', New Scientist (18 November l989), pp.
37-41
Tom Mullin, 'Turbulent times for fluids', New Scientist (11 November 1989), pp. 52
--5
Carl Murray, 'Is the solar system stable?' New Scientist (25 November 1989), pp. 60
--4
Tim Palmer, 'A weather eye on unpredictability', New Scientist (11 November 1989),
pp. 56-9
Heinz-Otto Peitgen and Peter H. Richter, The Beauty of Fractals (New York:
Springer, 1986)

Дальнейшее Чтение
385
Theodor Schwenk, Sensitive Chaos (New York: Schocken Books, 1976)
Stephen Scott, 'Clocks and chaos in chemistry', New Scientist (2 December 1989),
pp. 53-9
Ian Stewart, Les Fractals (Paris: Belin. 1982) [На французком,
но есть американский перевод.]
Литература, добавленная при переводе
Вигнер Ю. Непостижимая эффективность математики в естественных на-
уках (Вигнер Ю. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971. С. 182-198.)
Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные
структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
Климонтович Ю. П. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука,
1990.
Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980.
Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы
с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.:
Наука, 1987.
Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.:
Наука, 1997.
Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир, 1991.
Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы бу-
дущего. М.: Наука, 1997.
Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука, 1996.
(Серия "Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограни-
чения)
Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в
нелинейную динамику. М.: Наука, 1997. (Серия "Кибернетика: неограни-
ченные возможности и возможные ограничения)