/
Автор: Эрике К.
Теги: техника средств транспорта космодинамика монография астрономия космонавтика космическая техника спутники
Год: 1969
Текст
у
и.
о
о
о
о
II
ЧАСТЬ
ПЕРВАЯ
К.ЭРИ КЕ
ОСМИЧЕСКИ И
ПОЛЕТ
ТОМ II
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
•г
PRINCIPLES OF GUIDED MISSILE DESIGN
EDITED BY GRAYSON MERRILL, CAPTAIN, U. S. N. (Ret.)
KRAFFT A. EHRICKE
Director of Advanced Studies
General Dynamics/Astronautics
SPACE FLIGHT
II. DYNAMICS
D. VAN NOSTRAND COMPANY, INC.
PRINCETON, NEW JERSEY • TORONTO • NEW YORK • LONDON
(19 6 2)
ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
УПРАВЛЯЕМЫХ СНАРЯДОВ
КРАФФТ ЭРИКЕ
КОСМИЧЕСКИЙ
ПОЛЕТ
ТОМ II
ДИНАМИКА
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
(главы 1—4)
Перевод с английского
Ш. КАРЫ-НИЯЗОВА и А. Д. КУЗНЕЦОВА
под редакцией
Д. А. ПОГОРЕЛОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1969
Космический полет, том II (динамика),
часть 1 (главы 1—4), Эрике К., перевод
с английского, издательство «Наука», Глав¬
ная редакция физико-математической лите¬
ратуры, М., 1969, 572 стр.
Первая часть второго тома трехтомной моногра¬
фии «Космический полет» посвящена исследованию
свободного движения и изменения орбиты под дей¬
ствием импульсных изменений скорости. В главе 1
рассматриваются баллистические траектории типа
«Земля — Земля», а также баллистический спуск с
орбиты. Глава 2 посвящена выводу спутников на ор¬
биты, различным видам возмущений орбит, рассмо¬
трению общего случая плоского движения в ограни¬
ченной задаче трех тел, орбитам спутников Луны
и планет и их возмущениям. В главе 3 рассматри¬
ваются орбитальные маневры в центральном поле,
исследуются плоские и пространственные переходы
между различными типами орбит, а также влияние
ошибок маневра. В главе 4 изучаются маневры пе¬
рехода из одного поля тяготения в другое (напри¬
мер, маневр выхода из поля тяготения планеты или
маневр захвата) и гиперболическая встреча, иссле¬
дуется влияние ошибок.
Табл. 17. Илл. 259. Библ. 44 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 8
Таблица перевода некоторых американских мер в метрические единицы
и единицы СИ 9
Из предисловия американского издателя 10
Из предисловия автора 12
Глава 1. Баллистика 21
1.1. Введение 21
1.2. Эллиптическая траектория 22
1.3. Траектория минимальной энергии (ТМЭ) 28
1.4. Наземная и орбитальная баллистика 33
1.5. Влияние вращения Земли 43
1.6. Расчет траекторий 47
1.7. Отклонения точки падения, вызываемые начальными отклоне¬
ниями ... .... 48
1.8. Баллистический спуск 64
Основные обозначения 93
Задачи 94
Литература 96
Глава 2. Орбиты спутников ... ... 97
2.1. Введение 97
2.2. Вывод спутника на орбиту 98
2.3. Внутриорбитальные переходы . 154
2.4. Возмущения орбиты спутника 160
2.5. Прецессия орбиты и движение спутника в поле сфероида . . .164
2.6. Оценка предыдущего анализа 184
2.7. Вековые возмущения орбиты спутника, вызванные сжатием пла¬
неты
2.8. Периодические возмущения первого порядка орбиты спутника,
вызванные сжатием планеты 202
2.9. Возмущение спутника Земли Луной и Солнцем 207
2.10. Атмосферные возмущения спутника 209
2.11. Дополнительные возмущении 249
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
2.12. Точки либрации и центры периодических движений в системе
«Земля — Луна» • 253
2.13. Общий случай плоского движения в ограниченной задаче трех
тел • • • 267
2.14. Численные результаты для системы «Земля — Луна» 272
2.15. Общее рассмотрение механики полета в долунном пространстве 276
2.16. Долу иные орбиты спутников ' 287
2.17. Орбиты спутников около других планет с учетом возмущающего
влияния Солнца и окололунные орбиты с учетом возмущающего
влияния Земли . . 303
2.18. Устойчивость орбит в долунном и залунном пространствах . . .311
Основные обозначения 312
Задачи ... . . 316
Литература . 318
Глава 3. Орбитальные маневры в поле центральной силы .... 320
3.1. Введение 320
3.2. Кинематика изменения орбиты 321
3.3. Динамика изменения орбиты . 327
3.4. Переход с орбиты на орбиту . 340
3.5. Переход между компланарными круговыми орбитами 341
3.6. Переход между компланарными круговой и эллиптической орби¬
тами 354
3.7. Переход между компланарными эллиптическими орбитами . . . 363
3.8. Влияние малых импульсов скорости на элементы кеплеровой ор¬
биты 383
3.9. Переход между некомпланарными орбитами 406
3.10. Пространственные маневры 413
3.11. Анализ изменения скорости на кеплеровой орбите 427
3.12. Анализ ошибок маневров в поле центральной силы 433
3.13. Применение анализа ошибок маневров в поле центральной силы 452
3.14. Переход с поверхности на орбиту 463
Основные обозначения 479
Задачи . . 481
Глава 4. Переходные маневры в поле двух центральных сил . . . 483
4.1. Введение 483
4.2. Переход с эллиптической или круговой орбиты на компланарную
гиперболическую орбиту 484
4.3. Основы механики полета при гиперболическом выходе и захвате 491
4.4. Маневры выхода и захвата . . . . 501
4.5. Гиперболическая встреча 513
4.6. Расчет параметров движения при гиперболической встрече и за¬
хвате 521
4.7. Общий анализ ошибок, возникающих при двухимпульсном пере¬
ходе 526
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
4.8. Ошибки гиперболической орбиты 530
4.9. Связь гиперболических ошибок с начальными ошибками гелио¬
центрической орбиты . 534
4.10. Связь планетоцентрических ошибок с элементами гелиоцентриче¬
ской орбиты 538
4.11. Влияние произвольных планетоцентрических трансверсальных и
радиальных ошибок на гелиоцентрическое удаление тела, дви¬
жущегося по гелиоцентрической переходной орбите 539
4.12. Обсуждение и выводы из анализа ошибок переходного движения
в бицентральных полях 545
4.13. Анализ ошибок при гиперболической встрече 551
4.14. Гиперболическая встреча и оценка влияния ошибок (численный
пример) 556
Основные обозначения 562
Задачи 564
Литература 565
Именной указатель 566
Предметный указатель 567
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Предлагаемая вниманию читателя книга написана извест¬
ным американским специалистом в теории космических полетов,
руководителем Отдела перспективных исследований фирмы
«Дженерал Дайнэмикс/Астронотикс». Трехтомная монография
К. Эрике «Космический полет» входит в серию «Основы проек¬
тирования управляемых снарядов», выпускаемую американским
издательством «Ван Ностранд». Первый том этой монографии
был выпущен в русском переводе в 1963 г. Редакция сочла це¬
лесообразным ввиду большого объема второго тома разбить его
на две части.
Настоящая книга представляет собой первую часть второго
тома монографии. Она включает в себя главы 1—4, посвящен¬
ные изучению свободного движения и изменения орбиты под дей¬
ствием импульсных изменений скорости. В подготавливаемой к
печати второй части книги (главы 5—9) рассмотрены вопросы
динамики полета на активном участке траектории и проблемы
динамики полетов к Луне и планетам солнечной системы.
При подготовке русского издания книги было устранено
огромное количество ошибок и опечаток в формулах, свиде¬
тельствующих, по-видимому, о небрежной подготовке к печати
американского издания. В подавляющем большинстве случаев
эти исправления не оговорены в примечаниях.
При переводе текста американские меры были, как правило,
переведены в метрические. Это, однако, не всегда могло быть
сделано на графиках и в примерах численных расчетов. По¬
этому для облегчения работы читателя прилагается таблица
перевода американских мер в метрические единицы и единицы
Международной системы СИ.
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА НЕКОТОРЫХ АМЕРИКАНСКИХ
МЕР В МЕТРИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ И ЕДИНИЦЫ СИ
Единицы длины
1 миля («уставная») = 1,609 км
1 морская
миля = 1,852 км
1 фут
= 0,3048 м
1 дюйм
= 2,54 см
Единицы площади
1 дюйм2
= 6,4516 см2
1 фут2
= 0,092903 м2
Единицы скорости
1 миля/час
= 0,447 м/сек
1 узел
= 1 морская миля/час = 0,514 м/сек
1 фут1, сек
= 0,3048 м/сек
Единицы массы
1 фунт
= 0,4535924 кг
1 слэг
= 14,5939 кг
Единицы силы (веса)
1 фунт
= 0,4535924 /сГ = 4,4482 н
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АМЕРИКАНСКОГО ИЗДАТЕЛЯ
Трехтомная монография Краффта Эрике, посвященная из¬
ложению основ теории космического полета, входит в серию
книг «Основы проектирования управляемых снарядов». Назна¬
чение указанной серии книг в целом—дать возможность сту¬
дентам университетов, научным работникам, инженерам, а
также инженерно-техническому составу вооруженных сил осно¬
вательно познакомиться с техникой управляемых снарядов и
космического полета. Настоящий, второй том назван «Дина¬
мика». Последний том серии, «Операции в космосе», завершит
рассмотрение основ космического полета. В указанной серии
уже вышли в свет следующие книги: «Управление снарядами»,
«Аэродинамика. Реактивные двигатели. Практика конструиро¬
вания и расчета», «Исследование операций. Боевые части. Пуск
снарядов», «Руководство по проектированию снарядов», «Эскиз¬
ное проектирование систем», «Словарь терминов по управляе¬
мым снарядам и космическому полету», «Бортовые радиолока¬
ционные установки» и «Инерциальная навигация». Готовятся
к печати: «Полигонные испытания», «Теория исследования» и
«Электронное оборудование космических аппаратов».
Несколько лет тому назад, когда решался вопрос о напи¬
сании и издании научной книги о космическом полете, выска¬
зывались серьезные сомнения, найдет ли книга достаточно тех¬
нически подготовленных читателей. Но это сомнение быстро
рассеялось после проведения работ по программе Международ¬
ного геофизического года и благодаря огромному воздействию
на людей запусков советских и американских спутников. Осу¬
ществимость космического полета больше уже не ставится под
сомнение, и ресурсы многих стран мобилизуются для его реа¬
лизации. Я надеюсь и верю, что трехтомный труд Краффта
Эрике «Космический полет» облегчит эту задачу.
Мы просим направлять нам критические замечания и кон¬
структивные предложения. На их основе и с учетом развития
ракетной техники мы надеемся своевременно вносить исправле¬
ния в настоящую книгу.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АМЕРИКАНСКОГО ИЗДАТЕЛЯ
И
Выражаем признательность и благодарность многочислен¬
ным авторам и издателям, любезно разрешившим использовать
свои материалы, а также Министерству обороны США, содей¬
ствие которого позволило создать содержательную книгу без
нарушения секретности.
Мнения и утверждения, приводимые в настоящей работе,
являются частными мнениями и утверждениями автора и редак¬
тора и не должны рассматриваться как официальные или как
отражающие взгляды какого-либо государственного учреж¬
дения.
Октябрь 1962 г. Грейсон Мерилл,
издатель
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Во втором томе книги «Космический полет» сделана попытка
охватить широкий круг вопросов динамики полета космических
аппаратов с учетом влияния большого количества различных
сил. Этими силами являются: сила притяжения, большие и
малые тяги, микротяги, лобовое сопротивление и световое дав¬
ление. Материал книги тематически может быть разбит на три
части. Первая часть (главы 1—4) посвящена изучению свобод¬
ного движения и изменения орбиты под действием импульсных
изменений скорости. Во второй части (главы 5—7) рассмотрены
вопросы динамики полета на активном участке траектории.
В третьей части (главы 8 и 9) изложены вопросы приложения
общей теории к изучению механики полета к Луне и механики
межпланетных полетов1).
Первая часть начинается с изложения вопросов наземной и
орбитальной баллистики, т. е. вопросов, связанных с изучением
баллистики спуска с орбиты. В заключительном параграфе
первой главы приводится большое количество графиков, описы¬
вающих характеристики траекторий при баллистическом спуске
сферических тел с начальными скоростями спуска, величина
которых находится в пределах от 70% круговой скорости до
параболической скорости, в широком диапазоне начальных
углов.
Глава 2, посвященная изучению орбит спутников, начи¬
нается с рассмотрения различных типов вывода спутника на
орбиту, включая баллистический, непрерываемый и прерывае¬
мый (с использованием промежуточной орбиты ожидания) вы¬
воды. Далее рассматриваются возможные источники возмуще¬
ний. При этом особое внимание уделяется анализу возмущаю¬
щих влияний сжатия центрального тела и атмосферы. Затем
изучается движение спутников в долунном пространстве, вклю-
*) Вторая и третья части (по терминологии автора) образуют подготав¬
ливаемую к печати вторую часть русского перевода второго тома книги
«Космический полет», (Прим, ред.)
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
13
чая периодические движения вблизи точек либрации, общее
движение в ограниченной задаче трех тел и механику полета
из околоземного пространства в долунное пространство. Глава
заканчивается анализом устойчивости орбит около одного из
тел с конечной массой в ограниченной системе трех тел (имеются
в виду системы «Земля — Луна», «Солнце — Земля» или вообще
«Солнце — планета»).
Глава 3 посвящена теории маневра в поле центральной
силы. В начале главы изучаются импульсные изменения кру¬
говой, эллиптической, параболической и гиперболической орбит.
Далее следует обширный раздел, посвященный изучению пере¬
хода между орбитами. Переход рассматривается состоящим из
двух изменений орбиты — одного изменения на исходной орбите
и второго изменения на орбите цели. Рассмотрены плоские и
пространственные переходы между различными типами орбит.
Подробно излагается вопрос о влиянии малых импульсов ско¬
рости на элементы кеплеровой орбиты. Затем приводятся диф¬
ференциальные уравнения движения космического аппарата в
прямоугольной системе координат, позволяющие рассчитывать
изменения скорости на кеплеровой орбите непосредственным
интегрированием [методом Коуэлла (Cowell)]. Исследование
ошибок маневра в поле центральной силы проведено на осно¬
вании применения теории влияния малых импульсов скорости
на элементы кеплеровой орбиты. Глава заканчивается обсуж¬
дением вопросов перехода типа «поверхность — орбита».
В главе 4 завершается обсуждение импульсных маневров.
Рассматриваются маневры перехода из одного поля тяготения
в другое, высшего или низшего порядка (например, маневр вы¬
хода из планетоцентрического гравитационного поля или ма¬
невр захвата). Траектория перехода космического аппарата с
замкнутой орбиты одного поля тяготения на замкнутую орбиту
другого поля тяготения представляет собой гиперболу. Поэтому
изложение материала начинается с рассмотрения одноимпульс-
ных маневров (изменение орбиты) и двухимпульсных маневров,
обеспечивающих переход с круговой или эллиптической орбиты
на гиперболическую орбиту или обратно. Затем рассматривается
теория маневров выхода и захвата с выводом условий опти¬
мальности этих маневров. Вторым типом маневра в полях тяго¬
тения двух тел является гиперболическая встреча. В отличие
от выхода или захвата при выполнении такого маневра движе¬
ние космического аппарата происходит по обеим ветвям гипер¬
болы. Этот тип маневра рассматривается весьма подробно, так
как его практическое использование позволяет осуществить
значительные изменения параметров гелиоцентрической или пла¬
нетоцентрической орбиты без расхода топлива. Далее следует
14
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
анализ ошибок йереходных маневров в бицентральных полях.
Рассматриваются ошибки гиперболической орбиты, связь пла¬
нетоцентрических ошибок с элементами гелиоцентрической ор¬
биты и влияние ■ произвольных планетоцентрических трансвер-
сальных и радиальных ошибок скорости на величину гелио¬
центрического радиуса-вектора космического аппарата. Глава
завершается анализом ошибок гиперболической встречи.
Главой 5 открывается вторая часть книги, посвященная ди¬
намике полета на активном участке траектории. В ней обсуж¬
даются основные понятия, связанные с движением на активном
участке, начиная с анализа движения при отсутствии гравита¬
ционного поля. В дальнейшем учитывается влияние силы тяже¬
сти и аэродинамического сопротивления и выводятся точные
дифференциальные уравнения движения центра масс аппарата
на активном участке и уравнения движения вокруг центра масс.
В этой главе приводятся также результаты численного инте¬
грирования упрощенных уравнений движения на активном уча¬
стке траектории. Затем рассматривается вертикальный активный
участок движения в бессиловом пространстве с постоянной тя¬
гой, постоянным ускорением и оптимальной программой по
ускорению. Данные этого анализа могут быть использованы и
для траектории активного участка с произвольной программой
по тангажу, поскольку эти траектории также обычно начи¬
наются с участка вертикального подъема. В заключительной
части главы 5 обсуждается роль вертикальной программы вы¬
ведения в астронавтике и сравниваются характеристики верти¬
кального активного участка при постоянной тяге и постоянном
ускорении.
В главе 6 анализ активного участка распространяется на
траектории с произвольной (не вертикальной) программой тан¬
гажа. Траектория при отсутствии силы тяжести может зада¬
ваться программой разворота, определяющей скорость измене¬
ния угла наклона траектории от начального до конечного зна¬
чения как функцию времени. Можно представить много таких
функций, для которых меняется момент достижения максимума
скорости разворота, сдвигаясь то к началу, то к концу периода
работы двигательной установки данной ступени многоступенча¬
той ракеты-носителя. Для одной конкретной функции получены
зависимости гравитационных потерь от формы орбиты. Затем
этот метод распространен на расчет траектории выведения в
атмосфере и показана возможность его эффективного приме¬
нения в данном случае. Другим важным методом управления
траекторией является гравитационный разворот, при котором
сила тяжести, действующая на движущийся по изогнутой траек¬
тории ракетный аппарат, используется для дальнейшего ее от¬
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
15
клонения. Важность маневра гравитационного разворота заклю¬
чается в том, что он позволяет продольной оси аппарата сле¬
дить за направлением касательной к траектории, поскольку при
развороте только с помощью двигателя аппарат должен пово¬
рачиваться на положительный или отрицательный угол атаки,
определяемый как угол между продольной осью и мгновенным
направлением движения. При совпадении продольной оси с ка¬
сательной к траектории угол атаки становится равным нулю,
что минимизирует аэродинамические нагрузки при симмет¬
ричной конфигурации аппарата. Таким образом, гравитационный
разворот обладает особыми преимуществами при прохождении
аппарата через нижние слои атмосферы, где динамический на¬
пор велик. В дальнейших разделах главы 6 излагается теория
оптимального (в энергетическом смысле) выведения при задан¬
ных конечных условиях (в частности, на орбите спутника) для
двух случаев: плоского поля притяжения и с учетом кривизны
Земли. Кратко обсуждается маневр отклонения прямолинейной
траектории. Траектория достигающего круговой скорости носи¬
теля, отклоняемая от почти горизонтального до горизонтального
направления, может быть достаточно точно аппроксимирована
указанным выше типом траектории. Главу заключает вывод
уравнений управления возмущенным движением для траектории
выведения с разворотом.
Глава 7 посвящена наиболее важной, с точки зрения
астронавтики, теме — полету с малой тягой. Хотя термин «ма¬
лая тяга» чаще всего применяется к весьма малым значениям
тяги [(10_4-н 10_5)g], присущим электрическим двигательным
установкам, он употребляется в этой книге для всего диапазона
от 0,1£ до области микроускорений (10~5ч- Ю'6)^, поскольку все
эти режимы ускорений имеют большее значение в механике ак¬
тивного полета, чем режим «большой тяги» [(l-MO)g' и более].
Под g здесь понимается значение местного гравитационного
ускорения, используемое в качестве эталона для сравнения,
так как даже 10~3 земного ускорения g — явно «малое» ускоре¬
ние для околоземной орбиты спутника — становится «большим»
ускорением в гелиоцентрическом пространстве на расстоянии
одной астрономической единицы, где местное ускорение притя¬
жения Солнца составляет 6 - 10-4 земного ускорения g. Меха¬
ника полета с малой тягой (и, следовательно, с малым ускоре¬
нием) рассматривается в связи с тремя важными классами
задач астронавтики, а именно: орбитальными полетами во внеш¬
них областях планетной атмосферы (сателлоид); маневрами
коррекции орбиты, встречи и стыковки с малой тягой; межпла¬
нетными перелетами с помощью двигательных систем с малой
тягой и высоким удельным импульсом. Глава 7 начинается с
16
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
рассмотрения полета сателлоида, поддержание орбиты которого
требует малой силы, уравновешивающей непрерывное малое
возмущение динамическим сопротивлением верхних слоев ат¬
мосферы планеты. Выведенная теория движения сателлоида
применима к анализу полета сателлоида Земли. Затем дается
введение в механику полета с малой тягой. Особое внимание
уделяется межорбитальным перелетам и двигательным устрой¬
ствам малой тяги с системой раздельной генерации мощности.
Отличие маневров с конечной величиной ускорения (касатель¬
ная тяга) от импульсных маневров, рассматривавшихся в гла¬
вах 1—4, иллюстрируется большим числом графиков (основан¬
ных на данных численного интегрирования), охватывающих
диапазон ускорений от 1 до 10~3 местного гравитационного уско¬
рения и диапазон удельных импульсов от 400 до 1000 сек.
Таким образом, эти графики применимы к анализу движения
космических аппаратов с химическими двигательными установ¬
ками на высококалорийном горючем и с ядерными двигатель¬
ными установками с теплообменником. Для расчета многих
типов маневров коррекции с малой тягой и для расчета орбит,
возмущаемых малыми ускорениями, важно иметь методику
упрощенного анализа. Она выведена в § 7.8, и на ее основе в
§ 7.14 проводится дальнейшее обсуждение орбитальных ма¬
невров, включая касательный, нормальный, трансверсальный,
радиальный и бинормальный (перпендикулярный плоскости
орбиты) типы ориентации тяги. Для всех упомянутых типов
маневра, а также для произвольной ориентации тяги выведены
точные дифференциальные уравнения движения в центральном
поле для случаев плоского и пространственного движений. Эти
уравнения определяют скорость и координаты, а также вариа¬
ции орбитальных элементов как для эллиптических, так и для
гиперболических активных траекторий. Активные траектории с
касательной и радиальной тягой рассматриваются в дальнейшем
более подробно. Представлено большое число обобщенных гра¬
фиков для случая касательного ускорения, на которых даны зна¬
чения числа оборотов, времени активного полета при круговой
начальной орбите, скорости в единицах круговой скорости на
начальной орбите, расстояния в единицах радиуса началь¬
ной орбиты и угла наклона траектории к местному горизонту.
Графики охватывают эллиптические и гиперболические траек¬
тории для диапазона ускорений тяги от 1 до Ю"4^ и диа¬
пазона удельных импульсов от 400 до 15 000 сек. Рассмотрен
предельный случай бесконечного удельного импульса. Подобный
же набор графиков приведен и для радиальной тяги, однако
он охватывает более узкую область ускорений, поскольку раз¬
гон до параболической скорости невозможно осуществить с по-
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
17
мощыо непрерывного радиального ускорения, если его величина
меньше 1/8 величины местного ускорения g. В § 7.11 после
обсуждения характеристик маневра касательной раскрутки
в центральном поле рассматривается безразмерная теория
усредненного расчета активных траекторий для очень малых
(меньших 10"2g*) постоянных касательных ускорений. По¬
следняя треть главы 7 в основном посвящена интересной задаче
оптимизации траекторий межорбитальных перелетов с малой
тягой, включая траектории гиперболического пролета1), а
также траектории встречи. Различие между этими двумя клас¬
сами траекторий заключается в том, что гиперболический про¬
лет требует близкого прохождения мимо цели во время ее дви¬
жения по некоторой произвольной орбите, в то время как ко¬
нечная точка орбиты встречи должна принадлежать орбите
цели, то есть значения радиуса-вектора, кинетического момента
и радиальной составляющей скорости аппарата должны в
основном совпадать с соответствующими величинами для цели
в точке встречи. Достижение этой точки с выполнением гранич¬
ных условий завершает активный маневр перелета в данном
центральном силовом поле. Если цель (например, космическая
станция) не обладает заметной массой, то этим заканчивается
и весь перелет, вслед за чем, возможно, следует стыковка с
целью. Если цель обладает собственным полем притяжения, то
маневр встречи считается завершенным, если космический ап¬
парат имеет нулевой или пренебрежимо малый гиперболический
избыток скорости относительно цели и, следовательно, прибли¬
жается к ней с околопараболической скоростью. Перелет со
встречей с целью требует больше энергии, чем пролет у цели,
и может быть предпринят, если предполагается осуществить
захват аппарата полем цели. Для околопараболической траек¬
тории требуются для захвата только относительно малые изме¬
нения скорости. Такой маневр может быть выполнен за ограни¬
ченное время до выхода из сферы притяжения цели, даже если
ускорение двигателя очень мало. Вслед за захватом следует
вывод аппарата на заданную орбиту спутника цели. Маневры
ухода (раскрутки), перелета и захвата (выхода на орбиту
спутника цели) могут рассматриваться как независимые, пока
их граничные условия «стыкуются» и дают в сумме полную
траекторию аппарата, выполняющего поставленную задачу.
Любой перелет с пролетом или встречей в конце представляет
собой переход от некоторого множества начальных (граничных)
условий. Под граничными условиями понимаются значения век¬
торов положения и скорости в данный момент времени. При
) В тексте оригинала «fly-Ьу». (Прим. перев.)
2 К. Эрике, т. II
18
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
выполнении этого перехода (маневра перелета) мы располагаем
тремя управляющими параметрами: величиной модуля вектора
тяги, ориентацией вектора тяги и временем перелета. Если,
кроме того, время перелета фиксировано, то оптимальные урав¬
нения движения определяют скорость изменения составляющих
вектора тяги относительно соответствующих осей координат
(изменения модуля и ориентации вектора тяги) таким образом,
чтобы минимизировать расход массы. Эти уравнения выведены
для одномерных, двумерных и пространственных траекторий.
Проведены расчеты по уравнениям для случая плоского дви¬
жения, результаты которых представлены в виде обобщенных
графиков, применимых как для движения в гелиоцентрическом
поле, так и для некоторых областей других центральных полей
притяжения. Эти графики, наряду с другими возможностями,
позволяют быстро оценить в первом приближении минимальный
расход массы, потребный для перелета с малой тягой, заканчи¬
вающегося пролетом или встречей, между любой группой из
двух или более орбит планет в солнечной системе при времени
перелета от одного месяца до трех лет. Если вместо времени
перелета фиксировать величину тяги, уравнения оптимального
движения будут определять закон изменения ориентации векто¬
ра тяги, обеспечивающий минимум времени перелета, поскольку
для постоянной тяги, то есть для постоянного секундного рас¬
хода топлива, расход массы может быть минимизирован только
путем минимизации времени перелета. Этот тип оптимизации
рассмотрен для случая плоского перелета. В последнем пара¬
графе главы 7 кратко анализируется механика раскрутки по¬
средством периодического включения двигательной установки в
перицентре орбиты.
Заключительная часть книги, посвященная различным при¬
ложениям динамики космического полета к конкретным задачам
астронавтики, открывается главой 8, содержащей изложение ме¬
ханики полета к Луне. В зависимости от целей запуска можно
выделить пять групп траекторий полета к Луне: гиперболиче¬
ский пролет, облет Луны, выход на орбиту искусственного
спутника Луны, попадание в Луну и посадка на Луну («жест¬
кая» или «мягкая»). Каждый из этих типов полета рассматри¬
вается в главе 8. В главе 9 исследуется динамика межпланет¬
ного полета. После обсуждения классического гомановского пе¬
релета представлен подробный обзор задачи межпланетного
перелета между компланарными орбитами и предложен быст¬
рый метод численной оценки орбиты перелета без возвращения
и с возвращением к Земле.
Большое количество графиков позволит читателю быстро
определить все необходимые параметры траектории, требования
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
19
к взаимному расположению планет, периоды захвата, возмож¬
ные периоды запуска и другие данные, характеризующие
полеты в один конец и с возвращением, с выходом на орбиту
искусственного спутника планеты и без него. Эта информация
дополняется обширным набором графиков, на которых пред¬
ставлены основные результаты расчетов (выполненных элек¬
тронной вычислительной машиной) траекторий с дискретными пе¬
риодами пассивного полета между реальными орбитами Земли,
Венеры, Марса и Юпитера для космических аппаратов с боль¬
шой тягой в отдельные периоды запуска между 1960 и 1971 гг.
Предыдущая тема естественно приводит к обсуждению меж¬
планетных перелетов между несколькими планетами. Детально
рассмотрена динамика запуска межпланетных космических
аппаратов из произвольной точки поверхности вращающейся
планеты на заданную гелиоцентрическую орбиту перелета. Об¬
суждение межпланетных перелетов с большой тягой завер^-
шается анализом численного расчета конкретных траекторий
пролета около Венеры, Марса и Юпитера, а также оценками
изменения траекторий вследствие пертурбационного маневра
вблизи планеты, чувствительности параметров траекторий к на¬
чальным ошибкам и оценкой эффективных сечений захвата.
В дальнейшем дается введение в космическую навигацию в меж¬
планетном пространстве с описанием оборудования, необходи¬
мого для навигации и наведения, и анализом принципов кор¬
рекции орбит перелета. Еще более важной, чем связь между
динамикой полета и навигацией, является связь между динами¬
кой полета и вопросами создания тяги в космическом про¬
странстве. Обсуждаются двигательные системы большой и ма¬
лой тяги и целесообразные области их применения в задачах
взлета, посадки и межзвездных полетов. Для случаев конфигу¬
рации космического аппарата типа «сферы» или «паруса» пред¬
ставлено краткое введение в теорию движения с помощью
использования давления солнечного излучения. В главе содер¬
жится также исследование вопросов создания искусственных
спутников планет и посадки на другие планеты или их естест¬
венные спутники. Глава 9 заканчивается изложением трех ме¬
тодов определения пространственной орбиты перелета в гелио¬
центрическом пространстве или внутри сферы действия планеты.
В настоящей книге предпринята попытка дать наиболее
полное (по сравнению с ранее вышедшими работами) обсуж¬
дение, анализ и оценку динамики космического полета. Не¬
смотря на это, читатель обнаружит отсутствие рассмотрения
ряда специальных вопросов, таких, как динамика посадки кос¬
мического аппарата на небесные тела, лишенные атмосферы,
подробная динамика маневров встречи и причаливания, реля¬
2*
20
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
тивистская механика полета и другие. Эти вопросы будут изу¬
чены в третьем томе наряду с рассмотрением реактивных
систем (ввиду их тесной связи с операциями в космосе). При¬
веденный список литературы далек от исчерпывающей библио¬
графии и не содержит большого количества трудов и статей,
которые во все возрастающем количестве издаются NASA,
Научно-исследовательским центром ВВС, а также частными
научно-исследовательскими институтами. Ряд глубоких теоре¬
тических исследований и вычислительных работ, проведенных
при подготовке настоящей книги, был выполнен независимо
различными авторами и организациями и опубликован в
1960—1961 гг., что свидетельствует об огромном увеличении
публикаций, ставшем возможным благодаря все увеличиваю¬
щемуся финансированию программы изучения космических по¬
летов. Для обзора быстро увеличивающейся литературы реко¬
мендуем читателю обратиться к информационным перечням
работ NASA, прекрасному «Обзору открытой литературы»,
периодически издаваемому Лабораторией реактивного движе¬
ния (Пасадена, Калифорния), обзорам и перечням публикаций
Американского ракетного общества, Института космических
исследований, Американского астронавтического общества, Аме¬
риканского общества инженеров-механиков и многих других.
Подготовка к печати и чтение корректуры этой книги вслед¬
ствие моей занятости в разработке программы ракеты-носителя
«Кентавр» и других работ потребовали значительного вре¬
мени— почти на год больше, чем предполагалось первоначально.
Я должен извиниться за эту задержку перед теми читателями,
которые приобрели первый том книги «Космический полет» и
ожидали более раннего издания второго тома. Я должен также
выразить глубокую признательность издателю Грейсону Ме-
риллу за его поистине бесконечное терпение и помощь. Однако
эта задержка была бы еще большей, если бы не действенная
помощь г-жи Елены Пенс, выполнившей проверку формул,
оценку результатов вычислений на ЭВМ, подготовку и вычер¬
чивание графиков и внесшей много улучшений в формулировки
и решения задач, приведенных в конце каждой главы. Я также
глубоко признателен моему другу доктору Та Ли из «Дженерал
Дайнэмикс/Астронотикс» за просмотр и ценные замечания по
анализу движения в поле центрального тела со сжатием, изло¬
женному в главе 2, Вальтеру Дэвису и Джеральду Флейшнеру
за подготовку и проведение большинства вычислений на элек¬
тронной вычислительной машине.
Сан-Диего, Калифорния
Октябрь, 1962 г,
К. А. Эрике
ГЛАВА 1
БАЛЛИСТИКА
1.1. Введение
Полет баллистической ракеты дальнего действия является
первым шагом к космическому полету. Снаряд, запущенный на
большую дальность, движется по эллиптической траектории,
большая часть которой лежит вне земной атмосферы. Поэтому
значительную часть времени снаряд движется как искусствен¬
ный спутник Земли. С увеличением дальности его начальная
скорость быстро приближается к круговой скорости спутника.
Следовательно, проблема входа снаряда в атмосферу порож¬
дает задачи, родственные тем, которые должны решаться для
успешного возвращения из космоса спутников и пилотируемых
космических аппаратов. Таким образом, раздел техники, полу¬
чивший развитие в связи с разработкой баллистических снаря¬
дов, отмечает собой начало космической техники.
Вследствие важности этой начальной фазы развития косми¬
ческой техники настоящая глава посвящена рассмотрению
основ баллистики больших дальностей. Мы будем называть путь
движения баллистического снаряда траекторией в отличие от
термина орбита, хотя геометрия траектории точно такая же,
как и эллиптической орбиты (или, в случае малых дальностей,
как параболической орбиты). Следовательно, траектория опре¬
деляется как путь снаряда, пересекающий в двух точках поверх¬
ность небесного тела (или плотные слои его атмосферы). В от¬
личие от траектории орбита не пересекает небесное тело.
Орбита может быть замкнутой (эллиптическая или круговая,
представляющая собой частный случай эллиптической) или
разомкнутой (парабола и гипербола).
Вначале будут рассмотрены общие характеристики эллип¬
тической траектории. Затем будет проведена оптимизация эл¬
липтической траектории для заданной дальности с целью полу¬
чения траектории минимальной энергии (ТМЭ). В параграфе,
22
баллистика
[ГЛ. 1
посвященном наземной и орбитальной баллистике, будет рас¬
смотрена механика полета на большие дальности и для случая
баллистического спуска с орбиты спутника без учета сопротив¬
ления атмосферы. После установления баллистических полетных
характеристик в инерциальном пространстве будет рассмотрено
влияние вращения Земли. В качестве примеров использования
предварительно полученных уравнений даны расчеты траекто¬
рий. Особо важным является анализ ошибок баллистических
траекторий, изложение которого дается для случая плоского
движения. В этой главе рассматривается только состояние сво¬
бодного полета. Изложение вопросов, относящихся к активному
участку полета, читатель найдет в пятой главе. В заключитель¬
ном параграфе настоящей главы приведены характеристики
траекторий баллистического спуска, полученные в результате
расчетов на электронных машинах большого числа траекторий
при величинах начальных скоростей входа от 70% круговой до
параболической. Нагрев, который зависит главным образом от
аэротермодинамических и магнитогидродинамических условий,
так же как и от конфигурации тела, в этой главе не рассмат¬
ривается— он будет рассмотрен в третьем томе настоящей се¬
рии, выходящем под названием «Операции в космосе».
1.2. Эллиптическая траектория
Эллиптические траектории учитывают кривизну Земли, то
есть учитывают тот факт, что центр масс Земли находится на
конечном расстоянии от ее поверхности. Для очень малых даль¬
ностей полета можно рассматривать поверхность Земли как
плоскость. Это равносильно предположению, что центр масс
Земли находится на бесконечном удалении. Траектории свобод¬
ного полета в этом случае должны совпадать с участками пара¬
болической орбиты1). Анализ траекторий малой дальности
можно найти в любой книге по баллистике.
Эллиптическая траектория является строго правильной
только в условиях безвоздушного пространства. В действитель¬
ности сопротивление воздуха создает возмущающий эффект.
Однако при дальностях полета, превышающих несколько сотен
километров, большая часть баллистической траектории (95%
и более) практически расположена за пределами земной атмос¬
феры. Исключение составляют лишь участки подъема и спуска,
примыкающие к поверхности Земли. На участке подъема полет
происходит под действием силы, создаваемой двигателем, и
контролируется системой управления. Спуск обычно происходит
*) См. «Космический полет», т. I, гл. 4.
1.2]
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРАЕКТОРИЯ
23
астолько быстро, что боковые смещения космического аппа¬
рата оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с даль¬
ностью (хотя и не пренебрежимо малыми с точки зрения оценки
эффективности оружия). В силу сказанного при проведении
общего анализа характеристик полета оказывается вполне при¬
емлемым предположение об отсутствии атмосферы. При точном
расчете координат точки
падения, необходимом
для баллистического ору¬
жия, условия входа в
атмосферу должны быть,
конечно, тщательно учте¬
ны, в особенности в слу¬
чае очень сильного тормо¬
жения при спуске.
Эллиптическая траек¬
тория представляет собой
часть эллипса, наибо¬
лее удаленную от центра
притяжения, т. е. лежа¬
щую в области апогея.
Большая часть эллипса
проходит внутри Земли и, '
следовательно, не пред¬
ставляет практического
интереса. Основные обо¬
значения, используемые
здесь, приведены на
рис. 1.1. Связь между
угловой дальностью 26 и
сферической дальностью,
измеренной на сферической поверхности Земли, показана на
графике (рис. 1.2).
Уравнение эллипса в полярных координатах записывается
в следующей форме:
Р Р
Окружность, проходящая
через начальную точку /
Рис. 1.1. Эллиптическая траектория.
г =
откуда
1 + е cos т] 1 — е cos 6
е COS Ц— — 1 — q — 1.
Для q можно получить следующее выражение1):
V2 COS2 0 / V \2
Я =
COS 0 = V2 COS2 (
(1.1)
(1.2)
(1.3)
*) См. «Космический полет», т. I, § 4.2. (Прим. ред.)
24
баллистика
[ГЛ. 1
где v = v/vCt a vc — круговая скорость, соответствующая рассмат¬
риваемому удалению г от центра притяжения. Выражение для
эксцентриситета через величины q и 0 может быть представлено
в таком виде1):
етУ\\ -?)* +<7*tg*e, (1.4а)
откуда
е а у [ i — V2 cos8 0]* + v4 cos* 0 sin* 0. (1.4b)
Дифференцируя равенство (1.2) по времени, получаем следую¬
щее равенство:
dr) р dr р
esin,li = 7J = 7^
Разделив последнее соотно¬
шение на соотношение (1.2),
получим:
(1-5)
По определению]).
г2 tjj- = С = rva = rv cos 0,
%/ооо
I 800
| soo
X 400
I 300
1 200
I
^ /00
V
'Километры
'Морские мили
(1.6)
где С — постоянная эллип-
0 20 40 60 80 W0 120 140 160 180 тической орбиты, представ-
Угловая далмость 28(градусы) ляющая собой, в соответст-
. вии со вторым законом Кеп-
Рис. 1.2. Связь между угловой и сфе- г
у у * лера, кинетическии момент,
отнесенный к единице массы
снаряда. Использовав оче¬
видное равенство yr = ysin0 и соотношение (1.6), из (1.5) по¬
лучим:
= Pvr = Я *ge
С(<7- 1) q-l *
И, наконец, перейдя к углу 6i с помощью равенства tgr)i =
= —tg6i, получим следующее выражение для тангенса поло¬
вины угловой дальности эллиптической траектории:
ричежой дальностями на поверхности
Земли.
tgT) =
tg б,=
Я\ tg 6| vi s>n 6i cos 0i
v2 sin 20j
1 — qx 1 — v| cos 0j
2 — 2v^ cos2 01
(1.7)
!) См. «Космический полета, т. I, § 4.2. {Прим. ред.)
1 2J эллиптическая траектория 25
где индекс «1» относится к начальным условиям, соответствую¬
щим концу активного участка [см. также далее соотношение
(133)]. При 01—*0 величина 6i—*0; при 0i~>9O° величина
tgSi—* l/tg0i, так как 1/оо—>0. Следовательно, между этими
значениями находится значение 6ь максимальное для задан¬
ного vi. Это максимальное значение величины 6i будет рассмот¬
рено в § 1.3 (см. также рис. 1.8 и 1.9).
Разрешая уравнение (1.7) относительно параметра vi, харак¬
теризующего начальную скорость, получаем:
v2_ 2 ^ п ga\
1 2 COS2 0! tg б! + sin 20! * V • /
Это соотношение позволяет в явном виде выразить начальную
скорость Vi через начальную высоту ги начальный угол броса¬
ния 01 и половину угловой дальности 6i. Имея в виду, что
v = v/vc и что для начальной точки vc=-VKJrx, находим:
,,2 ^ Г°° 2 ^ ^1 /1 QM
1 г00 гх 2 cos2 0! tg 6j + sin 20j * \ • )
где r0o — радиус Земли1) (6378,4 км), К=3,9858• 105 км3/сек2.
Сомножитель К/г^ представляет собой квадрат круговой скоро¬
сти на удалении г0о от центра Земли:
— = 62,5616 км2!сек2.
г 00
Для очень малых угловых дальностей (26i-^2°) величина
2 cos2 01 tg6i становится пренебрежимо малой по сравнению с ве¬
личиной sin201, при этом гоо/г!—»1 и 2tg6i—►2Si. Поэтому ста¬
новится справедливым приближенное равенство
v2 ^
1 г00 sin 20!
Положив в нем 6i=xi/r00, где — горизонтальная дальность,
получим формулу (известную из параболической теории) для
плоской Земли:
V2 ^ Xj = ff00*1 /1 о _\
1 Гдо sin 20j sin 20j
гДе goo ускорение силы притяжения на поверхности Земли.
Радиальная («вертикальная») составляющая скорости опре¬
деляется следующими выражениями:
yr = г = usin 0 = ua-^-sin 6, (1.9)
') См. «Космический полет», т. I, таблицы 3.16 и 3.1 в.
26 БАЛЛИСТИКА [ГЛ. 1
где va — трансверсальная («горизонтальная») составляющая
скорости. Для трансверсальной составляющей скорости можно
получить такие выражения:
va = Щ = v cos 6 = ~= ~РГ^ = —■ (1 — е cos 6) = у V1 — е2.
(1.10)
Угол наклона траектории (угол наклона вектора скорости
к плоскости местного горизонта) в произвольной точке траек¬
тории определяется выражением
dr
tge = ^ = ^_ = l *
& va *1 r dx\
dt
Из уравнения (1.1) после дифференцирования получаем:
dr __ ре sin т] r2e sin tj
dr] (1 4- е cos т])2 р
Подставив полученное выражение для производной в выраже¬
ние для tg 0, находим:
, п re . е sin ri
tg 0 = Sin Т1 = “j—; !—
b p *1 + 6 COS T]
или, перейдя от угла ц к углу 6 с помощью соотношения
г) = я — 6, можно представить выражение для tg 0 в следующем
виде:
^е=^=1^а- О-П)
Величина скорости в каждый момент времени полета может
быть выражена соотношением
v==jOv2+v2 (1.12)
или определена из уравнения (1.6) следующим образом:
г1°с, С VKP .
/-cose г cos 0 г cos 0 ило;
Вершина траектории соответствует значениям rj = 180o и 6 = 0.
Поэтому из записанных выше выражений для tg 0 следует, что
в вершине траектории 0=0. Положив 0 = 0 в соотношениях
(1.13), можно определить величину скорости в вершине траек¬
тории так:
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРАЕКТОРИЯ
27
1.2]
где _ расстояние от центра Земли до вершины траектории.
Из соотношений (1.1) и (1.2) следует, что <7 = 7>
р __ цГ. В результате для величины и* получаем следующие
соотношения:
Если орбитальную энергию, необходимую для ухода тела из
данной точки поля притяжения Земли в бесконечность, принять
за нуль отсчета, то энергия тела, движущегося по эллиптиче¬
ской орбите в поле притяжения Земли, будет отрицательной и
может быть представлена в виде
рость «ухода» из гравитационного поля Земли. Из равенства
(1.12), учитывая, что в вершине траектории t>r=0, получаем
v* = va. Из соотношений (1.15) следует, что
Таким образом, скорость в вершине траектории может быть
определена либо с помощью соотношений (1.14), либо с по¬
мощью соотношения (1.16). Из записанных выше выражений
(1.14) можно определить расстояние от центра притяжения до
вершины траектории в следующем виде:
откуда нетрудно получить выражение для высоты вершины
траектории:
Выражение для дальности, измеряемой от начальной точки
До вершины траектории по дуге окружности, проходящей через
начальную точку, может быть записано в следующем виде:
(1Л4)
(1.16)
(1.17)
28
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
а если измерять эту дальность по дуге окружности радиуса,
равного радиусу Земли г0о, то она может быть записана так:
v ^ А^> v г°°
*оо = ^ooOi
г\
(1.18Ь)
Используя выражения (1.10), (1.3) и полагая 6 = 6i и г = ги
получаем следующие удобные выражения для эксцентриситета:
1 — V? cos2 0,
COS 6j
*-<7i
COS 6i
(1.19)
1.3. Траектория минимальной энергии (ТМЭ)
Траекторией минимальной энергии (ТМЭ) назовем такую
из эллиптических траекторий, которая при заданной начальной
высоте для получения задан-
крутая ной дальности на земной
траектория поверхности требует мини-
™3 мальной начальной скоро-
сти- Влияние начальной вы-
соты на характеристики
траектории сравнительно не¬
велико, и в дальнейшем им
можно пренебречь. Среди
всех эллипсов, которые про¬
ходят через одну и ту же
начальную точку и одну и
ту же точку падения на по¬
верхности Земли (рис. 1.3),
траектория минимальной
энергии имеет наименьшую
большую полуось а, потому
что для такого эллипса
величина h [см. выражения
(1.15)] должна быть мини¬
мальной, как это следует
из данного выше определе¬
ния ТМЭ.
Действительно, поскольку постоянную h через величины р, е
и гравитационный параметр К можно выразить как
Рис. 1.3. Эллиптическая траектория
между двумя точками на поверхности
Земли.
h = —
К( 1-е2)
(1.20)
то сомножитель (1 — е2)/р для ТМЭ должен быть минимальным.
Уравнение эллипса в полярных координатах можно записать
ТРАЕКТОРИЯ МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ (ТМЭ) 29
1.31
В следующей форме*
г ■-
При 41 = 90'
/, 2\ а (1 — с2) _ а (1-е2) /. 9<\
г = а (1 — е ) er cos г) \ + е cos г| 1 — е cos б
г = а (1 — е2) = р
и, следовательно,
1 — е2 _ J_
р а
В результате выражение (1.20) для постоянной h может быть
преобразовано к виду
^ к
а
Используя последнее соотношение и соотношения (1.15), можно
выразить скорость через расстояние г в виде
— \/ТЦ. (1.22)
где v = v/vc. Из выражения (1.22) следует, что для ТМЭ боль¬
шая полуось эллипса, определяемая значениями г4, Vi и 01 в
начальной точке, должна быть минимальной. На рис. 1.3 можно
видеть, что ТМЭ действительно имеет наименьшую большую
полуось !).
В начальной точке выражение (1.1) обращается в соотно¬
шение
г = Е
1 1—е cos *
откуда для фокального параметра эллипса получаем:
p = ri( 1 —ecos6i).
Подставляя последнее выражение для р в соотношение (1.1),
находим:
г= г, (1-е cos 6.) (123)
1 — е cos б 47
Из соотношений (1.21) для апогейного расстояния (полагая
Л=180°) получаем:
гл = а( \ +е).
Поскольку точка, определяемая расстоянием гА, соответствует
6 = 0, то есть является вершиной траектории, то
______ г* = а{ 1+е). (1.24)
) Геометрически это условие выполняется (рис. 1.3), если расстояние от
торого фокуса F2 до начальной точки 1 (или конечной трчки 2) равно поло¬
вине прямой, соединяющей точки / и &
30 БАЛЛИСТИКА [ГЛ. 1
Таким образом, для вершины траектории величина г в соотно¬
шении (1.23) может быть заменена величиной а( 1+е). После
этого, разрешив уравнение (1.23) относительно а, получим:
Г| (1 6 COS 6j) ос\
а= • (1-25)
Равенство (1.25) позволяет представить величину большой
полуоси в виде функции расстояния между начальной точкой и
центром притяжения и угловой дальности между вершиной
траектории и начальной точкой. Из равенства (1.25) также
следует, что для заданной дальности 26i большая полуось эл¬
липса становится минимальной при обращении в нуль частной
производной да/де. Приравняв нулю указанную частную про¬
изводную, после элементарных преобразований получим следую¬
щее уравнение:
е2 +1=0.
COS Oi
Разрешив его относительно е, получим выражение для эксцен¬
триситета ТМЭ:
_ 1 ± sin 6,
<?mIn cos б, ’
где знак «минус» относится к случаю, когда 0<6i< 180°:
О-26)
Следовательно, для ТМЭ можно записать следующее урав¬
нение в полярных координатах:
Г = : . (1.27)
, 1 — sin о, * v 7
1 5 L COS О
COS Oi
Для определения соответствующего угла бросания (угла на¬
клона вектора скорости в начальной точке к плоскости началь¬
ного горизонта) используем соотношение (1.11) при 6 = 6i:
tge, = т-?-8-Ц-. (1.28)
te 1 1 — е cos v 7
При заданных значениях эксцентриситета е и угла 6i по¬
следнее равенство позволяет вычислить угол бросания. Для
определения оптимального угла бросания 0юрь соответствую¬
щего ТМЭ, необходимо в соотношение (1.28) подставить вы¬
ражение £min из соотношения (1.26). После проведения указан¬
ной подстановки получим:
01 opi = £mirj. (1.29а)
ТРАЕКТОРИЯ МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ (ТМЭ) о 1
1.3J
Отсюда следует, что угол 0ioPt = 45° является предельным углом
бпосания для очень малых дальностей, для которых величина
р . близка к единице (то есть к величине е для параболиче¬
ской траектории). Другим предельным углом бросания является
УГОЛ 01 opt=0, при котором <?min = 0 (эллипс обращается в окруж¬
ность) Между указанными предельными значениями находятся
оптимальные углы бросания, уменьшающиеся с увеличением на¬
чальных скоростей или дальностей. Поскольку оптимальный
угол бросания обращается в нуль при достижении начальной
скоростью значения круговой скорости vc, то можно получить
другое выражение для угла 0i opt:
tg 01 opt = Kl — = j/^l (1.29b)
Максимальная высота ТМЭ будет рассмотрена ниже. Дальность
полета, соответствующую ТМЭ, можно определить с помощью
соотношения
tg 6i opi = 1л~!—f (1.30а)
2 V 1 — vf
или соотношения
sin 26: opt = —тг ыГ' • (1 -30b)
(2-М)2
Время полета от начальной точки 1 до конечной точки 2
(рис. 1.3) можно вычислить с помощью следующей зависимости:
д/12 = г(я tr)> (L31a)
где nV a3IK — половина периода обращения по эллиптической
орбите, частью которой является рассматриваемая траектория,
a trx — время полета от перигея до начальной точки 1 по тому
же эллипсу:
- /x[arccos(Mf)'lf7Tbrsln61]- <1'31Ь)
Последнее выражение можно получить из соотношений, при¬
веденных в § 4.9 первого тома настоящей серии. Время полета
A^i2 можно представить безразмерной величиной тс, поделив Дti2
на^величину периода Т00 обращения по круговой орбите нуле¬
вой высоты
TQ0= - = 84,3 мин.
32
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
Тогда
На рис. 1.4 приведены графики зависимости начальной ско¬
рости Vi от угла бросания 0ь пунктирная линия (ui)min пере¬
секает кривые минимальных значений скоростей для каждой
дальности. На рис. 1.5 пока¬
заны графики изменения на¬
чальной скорости (в едини¬
цах круговой и параболиче¬
ской скоростей на поверх¬
ности Земли), угла броса¬
ния и безразмерного време¬
ни полета х2 в зависимости
от полной высоты траекто¬
рии, выраженной в едини¬
цах земного радиуса, для
баллистических траекторий,
соответствующих дальности
10 200 км. Как следует из
рис. 1.4, кривая, выражаю¬
щая зависимость скорости в
области минимума, отве¬
чающей ТМЭ, имеет сравни¬
тельно пологую форму, что
позволяет изменять угол бросания от его оптимального значе¬
ния без значительного увеличения начальной скорости. Рис. 1.5
позволяет сравнить начальную скорость, соответствующую
траекториям с дальностью, равной четвертой части земной
окружности, со скоростью гипотетического спутника с нулевой
высотой полета. Из рис. 1.5 также следует, что время полета по
ТМЭ равно 0,38, тогда как то же самое расстояние спутником,
движущимся по орбите нулевой высоты, будет пройдено, очевид¬
но, за 0,25. Для спутника с высотой полета 556 км это время не¬
сколько больше и составит примерно 0,265. Эти цифры пока¬
зывают, что только спутники обладают достаточной скоростью
и то без большого запаса, чтобы служить в качестве разведы¬
вательных средств в войне с использованием баллистических
снарядов. Более подходящим для проведения разведывательных
операций в короткое время и для раннего предупреждения яв¬
ляется применение спутников на очень высоких орбитах, кото-
Рис. 1.4. Зависимость начальной ско¬
рости от угла бросания для различных
дальностей (гj ^ г00).
1.4]
НАЗЕМНАЯ И ОРБИТАЛЬНАЯ БАЛЛИСТИКА
33
рые могут держать под контролем большие площади, вести
мгновенное глобальное наблюдение и осуществлять передачу
1
I*
I*
Юг
II
& §
0,90
II11 0,70
{(I*
Sj *= § I 0,05
§ 1
II1S**
50
х
%40
^30-
1
£
1^
_1 I I I I I I I I I I I 1_
0,1 0,2 03 04 0,5 0,6
1 10-
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Полная вь/сота траектории,
выраженная в единицах земного радиуса (г*/г00)
щ
*iir
И*
^ i
in
^iii
«и
0 pi
III
Рис. 1.5. Зависимость начальной скорости, угла бросания и
безразмерного времени полета от полной высоты траектории
для дальности 10 200 км (5500 морских миль).
информации по схеме «Земля — спутник — Земля» или «Земля—
спутник — второй спутник — Земля».
1.4. Наземная и орбитальная баллистика
Равенство (1.7) показывает, что дальность, отсчитываемая
метД*^Ге окРУжн°сти радиуса ги зависит только от двух пара-
ров. угла бросания 0А и параметра начальной скорости
3 К. Эрике, т. II
34
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. f
Vi==("yl‘) = Использование параметра v позволяет уста¬
навливать соотношения в общем виде, справедливые для любого
расстояния начальной точки. Это желательно потому, что
величина ri обычно заранее неизвестна. Безразмерная вели¬
чина v2 может изменяться лишь в пределах от 0 до 2. Послед¬
нее значение соответству¬
ет параболической ско¬
рости.
На рис. 1.6 показано
изменение угла бросания
0i opt, отсчитываемого от
местного горизонта, в за¬
висимости от параметра
vi для ТМЭ. Из рисунка
видно, что известное ар¬
тиллерийское правило,
согласно которому наи¬
большая дальность дости¬
гается при угле броса¬
ния 45°, оказывается спра¬
ведливым лишь при ма¬
лых начальных скоростях
и, следовательно, при ма¬
лых дальностях. С увели¬
чением начальной скоро¬
сти угол бросания умень¬
шается до нуля, что соот¬
ветствует горизонтально¬
му направлению началь¬
ной скорости. Так как та¬
кая скорость достигается
только очень большими аппаратами, то начальное расстояние гi
будет для них столь велико, что начальная точка баллистиче¬
ского полета будет находиться практически за пределами земной
атмосферы, и горизонтальное направление начальной скорости
будет вполне возможным.
В таблице 1.1 приведены основные характеристики ТМЭ. Из
таблицы следует, что при vi = 0,91 угловая дальность 26i при¬
мерноравна 90°, что соответствует четвертой части земной окруж¬
ности. При vi = 1 01=0 и при соответствующей высоте начальной
точки можно достигнуть любой точки земной поверхности1). На
0,2 ЦЗ 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Параметр начальной снорости v;=
Рис. 1.6. Зависимость угла бросания от
параметра Vj для траектории минималь¬
ной энергии.
0 С учетом сопротивления воздуха. Если высота будет слишком велика,
то есть начальная точка окажется за пределами земной атмосферы, то при
этих условиях аппарат превратится в спутник Земли.
М]
НАЗЕМНАЯ И ОРБИТАЛЬНАЯ БАЛЛИСТИКА
35
Таблица 1.1
Основные характеристики траекторий минимальной энергии
(безвоздушное пространство) !)
0i.
град
град
бь
рад
r*lrx
мин
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,91
0,92
0,94
0,96
0,98
1,0
44,86
44.4
43.65
42.5
40,9
38.65
35,53
31,0
23,55
22,52
21,4
18,85
15.65
11,24
0
0,071
0,143
0,217
0,2945
0,378
0,484
0,57
0,685
0,825
0,841
0,858
0,89
0,923
0,96
1,0
5,022 • 10'
2,038 • 10'
4,707 • 10'
8,686- 10'
0,1427
0,2193
0,2345
0,4701
0,6799
0,7058
0,7329
0,7906
0,8536
0,9228
1,0
12
18
28
42
44
47
52
58
67
17
10
41
57
12
40
55
05
49
51
04
20
30
29
0,0050
0,0204
0,0468
0,0864
0,1431
0,2210
0,3301
0,4901
0,7470
0,7827
0,8215
0,9134
1,0210
1,1778
0,9950
0,9798
0,9539
0,9165
0,8660
0,8000
0,7141
0,6000
0,4359
0,4146
0,3919
0,3412
0,2800
0,0199
0
1,0025
1,0101
1,0230
1,0416
1,0663
1,0976
1,1352
1,1765
1,2066
1,2071
1,2066
1,2013
1,1870
1,1533
1,0
0,94
1,87
2,97
4,17
5.53
7,15
9,23
11,85
15,6
16,0
16.53
17,49
18,59
19,75
0
!) Vj •= vJvc — параметр начальной скорости; Уqx — параметр горизонтальной скорости;
9 о
<7j — vjcos 0|; 0j— угол бросания; б| — половина угловой дальности; е — эксцентриситет
эллиптической траектории; г*1гх — параметр высоты вершины; tTx _ г* — время полета от
начальной точки до вершины.
рис. 1.7 приведены графики зависимости между дальностью
полета и начальной скоростью для ТМЭ.
Для сравнения на том же рисунке приведены аналогичные
графики для гипотетических крылатых ракет, имеющих различ¬
ное аэродинамическое качество (отношение подъемной силы L
к лобовому сопротивлению D). При постоянном угле бросания
0i дальность зависит только от параметра vi. На рис. 1.8 и 1.9
приведены графики, связывающие три параметра: бi, 01 и vi.
Из соотношения (1.7) можно получить:
tga, = ■
v? tg е, v? ctg е,
1 — vf + tg2 0, 1 + (l - v?) ctg 0, ^
Можно показать, что для заданного значения 6i<90° суще¬
ствуют два угла бросания в пределах от 0 до 90°, соответствую¬
щие одному и тому же значению vi, то есть одной и той же
высоте начальной точки и одной и той же величине начальной
скорости. Подтверждением этому является наличие точек пере¬
сечения между кривыми на рис. 1.8. Кроме того, подтверждение
3*
36
баллистика
[ГЛ. 1
этому можно усмотреть и из графиков, приведенных на
рис. 1.9. Действительно, прямая 26i = const (26i < 180°),
параллельная оси абсцисс, дважды . пересекает кривые
семейства и каждая пара точек пересечения соответствует
двум углам 0ь При этом одно значение угла бросания отвечает
настильной траектории, а
другое — навесной. Связь
между этими значениями
угла бросания дается сле¬
дующими равенствами:
Yi + Yi> = -^+61. 0-35)
где у = 90° — 0. При очень
малых дальностях (6г-ИЗ)
равенство (1.35) приво¬
дит к хорошо известному
положению: углы броса¬
ния при навесной и на¬
стильной стрельбе на ма¬
лую дальность являются
дополнительными. Для
случая, когда 6i>90°, ра¬
венство (1.7) всегда дает
отрицательное значение
угла бросания для на¬
стильной стрельбы
(Vi>90°). Это означает,
что вектор начальной ско¬
рости направлен в сторо¬
ну поверхности Земли.
Тогда при vf>l, если
угол 0i, оставаясь отрица¬
тельным, имеет большую абсолютную величину, брошенное тело
пересечет земную поверхность, пройдя высоту у\ = г4— г00; если
же тело не пересекает земную поверхность, то оно проходит через
точку перигея, так как оно имеет сверхкруговую скорость
(vj>1) и в предположении отсутствия атмосферы никогда не
будет пересекать Землю. Этот тип траекторий, имеющий важное
значение в орбитальной баллистике, будет рассмотрен в на¬
стоящем параграфе несколько позже. В наземной баллистике
дальности 26i> 180° могут быть получены лишь при углах бро¬
Дальность X (тыс. морских миль)
Рис. 1.7. Сравнение графиков зависимости
между дальностью полета и начальной
скоростью для баллистических ракет (ТМЭ)
и для планирующих крылатых ракет с раз¬
личным аэродинамическим качеством L/D.
1.4]
НАЗЕМНАЯ И ОРБИТАЛЬНАЯ БАЛЛИСТИКА
37
сания указанных на рис. 1.9, и при начальных скоростях, на¬
ходящихся в пределах, соответствующих диапазону I<v2<2.
ПрИ е1 = 0 все начальные скорости, соответствующие vf>l, как
это следует непосредственно из соотношения (1.7), приводят
к значению 26i=360°.
Необходимо подчеркнуть, что проведенное рассмотрение от¬
носится к инерциальной системе координат (вращение Земли
Рис. 1.8. Графики дальностей (без учета вра¬
щения Земли; угол бросания 01 — параметр
семейства).
не учитывается). Точку падения на вращающуюся Землю не¬
трудно определить, зная угловую скорость вращения Земли и
время полета на пассивном участке траектории.
Из приведенного выше рассмотрения следует, что при не¬
которых условиях точка падения будет отсутствовать. Поэтому
необходимо выяснить условия, обеспечивающие наличие точки
падения (условия, обеспечивающие пересечение траектории с
окружностью радиуса, равного радиусу Земли г00). Очевидно,
для того чтобы траектория пересекла окружность радиуса г0о,
38 БАЛЛИСТИКА [ГЛ. I
необходимо выполнить условие гР<г00, где гР — перигейное рас¬
стояние, или условие а — г00<с, где а — большая полуось
330 гггп 'I TI II гт W
340 \
10 30 30 40 50 60 70 80 90
Угол бросания 07 (грабусо/)
Рис. 1.9. Графики дальностей (без учета вра¬
щения Земли; Vi—параметр семейства).
эллипса, а с = Vo2— b2— линейный эксцентриситет. Возведя
в квадрат второе неравенство, получим:
-roo+2aroo>b2<
rl0h + 2Kr00<K-^,
где К — гравитационный параметр, h — постоянная энергии ор¬
биты, а b — малая полуось. Учитывая, что K=gr2, /С62/а=»
1.4] НАЗЕМНАЯ И ОРБИТАЛЬНАЯ БАЛЛИСТИКА 39
TS
= r2^2cos20 и а = jj-, окончательно можно получить:
2 (— l) + v2<(—) v2cos20.
\г00 / \Г 00/
Подставляя в последнее выражение г = г0о+у и разрешая его
относительно cos0, получим условие, обеспечивающее наличие
точки падения:
cos2 0,
2-^- + v\
Г 00 1
2-^- + v?-2
гоо
(1 + JM2 v2(lA_f
\ г00 / 1 \ Гоо /
(1.36)
На рис. 1.10 приведены графики граничных значений углов
бросания, обеспечивающих наличие точки падения для широ¬
кого диапазона высот начальной точки У\ — г^ — гоо-*СО,20гоо
Рис. 1.10. Нижние границы углов бросания, обеспечи¬
вающих наличие точки падения.
(или ri/гоо = 1,20), что охватывает высоты начальной точки до
1240 км. Соответствующие дальности могут быть рассчитаны
по соотношению (1.7) (также без учета вращения Земли).
Необходимо отметить, что кривые, приведенные на рис. 1.10,
представляют собой не только нижние границы положительных
углов бросания, но также являются верхними границами
40
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
отрицательных углов бросания1). Пояснение этому дано на
рис. 1.11. В первом случае (положительный угол бросания 0i)
начальная точка расположена до апогея; во втором случае (от¬
рицательный угол бросания 0i) она расположена на таком же
расстоянии после апогея. Случай отрицательного угла бросания,
особенно при vi=l, представляет
интерес как случай реализации
начальных условий спуска с ор¬
биты спутника (орбитальная бал¬
листика). Примером подобного
случая может служить траекто¬
рия капсулы, посланной с орби¬
ты спутника Марса или Венеры
на поверхность соответствующей
планеты. При применении рас¬
смотренных положений к подоб¬
ным случаям, очевидно, нет ’нуж¬
ды в допущении о движении
спутника планеты по строго кру¬
говой орбите, поскольку необхо¬
димое направление бросания мо¬
жет быть получено при различ¬
ных комбинациях параметров движения спутника и скоростях
отделения тела от спутника.
Подставляя граничное значение угла бросания в соотноше¬
ние (1.7), после несложных преобразований получаем:
Рис. 1.11. Положительный и отри¬
цательный граничные углы бро¬
сания.
tgfii
V-
xvт
1
1 +
X = ■
У1
с оо
2^ + v?
Г 00 1
(1.37)
Любая пара значений vi и yjroo, соответствующая некоторой
точке на графиках (рис. 1.10), будучи подставлена в соотноше¬
ния (1.37), определяет максимальную дальность. В этом случае
точка падения удалена на 180° от апогея эллипса, то есть точка
перигея касается поверхности Земли (без учета сопротивления
воздуха). Если в соотношения (1.37) подставить значения vi
и yi/гоо, отвечающие углу бросания, превосходящему граничное
значение, то соответствующая дальность будет меньше, то есть
перигей эллипса будет «внутри Земли». Углы бросания, мень¬
шие граничного, дают бесконечную дальность, то есть тело
будет двигаться по замкнутой орбите вокруг Земли. Для vi^l
') Верхней границей абсолютной величины отрицательных углов. (Прим.
ред.)
1.4]
НАЗЕМНАЯ И ОРБИТАЛЬНАЯ БАЛЛИСТИКА
41
значения высоты начальной точки, обеспечивающие наличие
точки падения на поверхности Земли1), даются следующими со¬
отношениями:
Уу ^ 2(1 — v?)
о
2-v?
(1.38)
'00
'00
Знак равенства соответствует касанию точки перигея траекто¬
рии поверхности Земли. Выражения (1.38) являются условиями
наличия точки падения. Зависимость, выражаемая соотноше¬
ниями (1.38), в случае, когда в них взят знак равенства, изо¬
бражена на рис. 1.12.
Кривые на этом рисунке
ставят в соответствие
друг другу те значения
величин vi и ги которые
отвечают случаю 0 = 0
(рис. 1.10). Кривые, при¬
веденные на рис. 1.12, по¬
казывают, например, что
для спуска аппарата с
круговой орбиты при
yi/roo = 0,3 величина vi
должна равняться по
крайней мере примерно
0,86. Таким образом, 14%
круговой скорости долж¬
но быть погашено при
реализации спуска. На¬
помним, что рассматри¬
ваемый пример относится
к случаю 01 = 0. Если величина yjroo меньше или равна каждой
из правых частей соотношений (1.38), то снаряд попадает на
Землю при любых углах бросания. Однако при спуске с кру¬
говой орбиты энергетически выгоднее так уменьшать круговую
скорость до величины, соответствующей значению vi = 0,86,
чтобы спуск происходил при 01 = 0, а не при 0i3sO. Углы броса¬
ния 01^0 обеспечивают при спуске более крутые траектории и,
следовательно, более высокую точность попадания, поскольку
при более крутых траекториях отклонение точки падения менее
чувствительно к ошибкам в точке бросания. Исследование точ¬
ности попадания является важным вопросом как наземной, так
и орбитальной баллистики. Этот вопрос будет рассмотрен от¬
дельно в § 1.7.
Энергетический параметр Vj
Рис. 1.12. Граничное значение высоты на¬
чальной точки, обеспечивающее наличие
точки падения (vj^l).
*) При 01 = 0. (Прим. ред.)
42
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
В заключение рассмотрим поправку в дальности, которую
необходимо учитывать для участка движения снаряда от точки 2
(точки пересечения траектории с окружностью радиуса Г\) до
точки 3 (точки пересечения траектории с поверхностью Земли).
Как следует из рис. 1.1, угол 26i соответствует дальности, изме¬
ренной по дуге радиуса Угол 6i может быть вычислен с по¬
мощью соотношений (1.7), (1.18а), (1.30) и (1.37). Соответ¬
ствующая сферическая дальность, измеренная по дуге земного
радиуса, может быть вычислена с помощью соотношений
(1.18Ь). Если на участке от точки 2 до точки 3 снаряд испыты¬
вает небольшое торможение или вовсе не испытывает торможе¬
ния, то эллиптическая траектория может быть продолжена до
земной поверхности и точка пересечения эллиптической траек¬
тории с окружностью радиуса г0о может быть принята за дей¬
ствительную точку падения. В этом случае сферическая даль¬
ность между точкой 1 и точкой 3 может быть вычислена как
^i3 = /'oo(6i+ бз), (1.39)
где 5з — центральный угол, заключенный между радиусами-век¬
торами точки апогея и точки падения. Для определения соот¬
ношения, определяющего величину 63 в явном виде, можно вос¬
пользоваться уравнением эллипса в виде
r = -j—р-—7- = —J-. (1.40)
1 — е cos о3 а — с cos б3 47
Используя соотношения
cW-6’, 1. — ft = 2gr — а2,
у h h h
v2
v2 = — и г = г00,
из выражения (1.40) можно получить:
1 — v2 cos2 0j
cos 63 = - r°° =-. (1.41)
l^(l “ V2) COS2 0! + sin2 0J
Последняя формула дает зависимость б3 от трех основных бал¬
листических параметров: параметра начальной скорости vi,
относительной высоты начальной точки г^г00 и угла бросания 0*.
В частном случае, для ТМЭ, равенство (1.41) обращается в
1.6]
ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ
43
1.5. Влияние вращения Земли
До сих пор рассматривалось абсолютное движение балли¬
стического аппарата, то есть принималось допущение о том, что
Земля является невращающейся сферой и, следовательно, коор¬
динаты любой точки на ее поверхности считались неподвиж¬
ными относительно инерциального пространства. Это допустимо
при изучении характеристик баллистической траектории. Однако
в случаях, требующих точного определения координат точки па¬
дения, необходимо учитывать влияние вращения Земли.
Пусть А,— долгота, положительный отсчет которой прини¬
мается в восточном направлении от меридиана начальной точки
с долготой А,1. Пусть ф — широта, положительный отсчет которой
принимается от экватора к Северному полюсу. Наконец,
пусть а\ — азимут начальной скорости, то есть угол, составлен¬
ный горизонтальной проекцией скорости с направлением на се¬
вер. При стрельбе строго на восток на любой широте ai = 90°.
Положительный отсчет азимута начальной скорости прини¬
мается с севера на восток (по ходу часовой стрелки).
Величины vu 0! и аи определяющие вектор начальной ско¬
рости в относительной системе координат, связанной с Землей
в случае невращающейся Земли, будут такими же, как и в
инерциальной (абсолютной) системе координат. В случае вра¬
щающейся Земли эти величины в абсолютной и относительной
системах координат будут различными. Естественно, что для
расчета траектории, рассматриваемой как часть эллиптической
орбиты, будет представлять интерес только вектор начальной
скорости в абсолютной системе координат. Эта абсолютная на¬
чальная скорость может быть представлена векторной суммой
относительной начальной скорости и окружной скорости на¬
чальной точки, с которой она участвует во вращательном дви¬
жении Земли. Если задан вектор абсолютной начальной ско¬
рости vl 0i, ai), то элементы эллиптической траектории мо¬
гут быть определены.
Рассмотрим сначала простейшую задачу: определение коор¬
динат точки падения на вращающейся Земле по заданным ко¬
ординатам начальной точки ги фь Ai и вектору начальной ско¬
рости vl (иь 0Ь а{). Как будет показано ниже, сначала может
быть определена кажущаяся точка падения (г0о, фз, А3), а затем
путем ввода поправки на вращение Земли — истинная точка
падения. После этого будет рассмотрено решение более сложной
задачи: определение начальных условий полета по заданным
координатам начальной точки и истинной точки падения. Ре¬
шение обеих задач будет проводиться без учета сопротивления
воздуха.
44
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
При рассмотрении первой задачи предположим, что на не-
вращающейся Земле координаты начальной точки заданы вели¬
чинами г и Фь ^i, а вектдр начальной скорости — величинами
Vt, 0ь fli. При определении кажущейся точки падения не на
сфере радиуса (точка 2), а на поверхности Земли (точка 3)
необходимо учитывать разность высот у\ = Гх — г00 (см. рис. 1.1).
Поскольку вектор начальной скорости известен, то можно опре¬
делить радиальную vri и трансверсальную уах составляющие
скорости и местную круговую скорость vc = VKir\- Далее можно
рассчитать величину qu эксцентриситет е и параметр £> = /4*71
с помощью соотношений (1.3), (1.4) и (1.2). Для расчета угло¬
вой дальности 61 + 60 следует воспользоваться соотношениями
cos 61 = [ 1—(p/ri)]e и cos 6о = [1—(р/rоо)]/е. Координаты кажу¬
щейся точки падения представляются величинами ф3, г00 и Х3.
Для определения ф3 и ^3 могут быть использованы выражения:
sin ф3 = sin ф! cos (6j + 60) + cos ф! sin (6j + 60) cos а{, (1.43а)
Рассмотрим теперь влияние вращения Земли. Окружная ско¬
рость начальной точки может быть определена следующим об¬
разом:
где со — угловая скорость вращения Земли. Радиальная состав¬
ляющая начальной скорости в абсолютной системе координат
остается такой же, как и в относительной системе координат:
и' = i>rj. Горизонтальная (трансверсальная) составляющая век¬
тора абсолютной начальной скорости будет равна
sin (Я3 — A,j) =
sin (6i + 60) sin ci\
COS фз
(1.43b)
wx = TjCO COS ф1#
(1.44)
v' = Y1 + sin a. + k2,
CL{ CL\ f 1 1
(1.45)
где
Далее,
(1.46a)
(1.46b)
(1.46c)
v'i = Vv2r+(v'J
(1.46d)
! '] ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ 45
(штрихами помечены параметры, определяемые в абсолютной
системе координат). Теперь величины qrv е\ р', б', 6' могут
быть определены по той же методике, которая использовалась
ранее для определения соответствующих величин в случае не-
вращающейся Земли. Определив также большую полуось эл¬
липса а\ можно рассчитать полетное время от начальной
точки 1 до истинной точки падения /, воспользовавшись равен¬
ствами (1.31а) и (1.31Ь):
^3 = А^* + Чоог»
A trir* = ny^-tri,
tr'=\/'ir [arccos (-^) - -F Sin 6‘] ’
А^ГооГ* = Л ~\/~trr>
[arccos (J^) - ^ 7=fsin 6°]
и окончательно
i fa'3 L e' /risin6i + roosin6o\
= V Т\2я+ уттр* ' a' >
- [arccos (-^) + arcc°s (^7^)]}. (1.47)
Таким образом, для определения координат кажущейся точки
падения на вращающейся Земле имеем следующие соотношения:
гоо= гоо>
sin Ф3 = sin <pj cos (б; + 6') + cos sin (6{ + 6') cos a'v (1.48a)
sin (б^ + 6q) sin a\ 4
sin(A£-*.) =—^—% L. (1.48b)
4 d COS Ф3
Окончательно для получения координат истинной точки па-
дения используем следующие соотношения:
ф, = Фз> (1.49а)
Л, — h = А' — Я, - a)f13, (1.49b)
46
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
где слагаемое со^3 представляет собой угол поворота Земли
за время свободного полета снаряда. Теперь можно записать
выражения для отклонений координат точки падения, вызван¬
ных вращением Земли:
На практике задача ставится по-разному. Могут быть за¬
даны точка падения и начальная точка, а определяться на¬
чальные условия. Эта задача не может быть решена прямо.
Обычно при ее решении используют один из следующих ме¬
тодов.
1. Метод обратного расчета. Рассмотрим случай, когда точ¬
ка падения строго фиксирована, а старт определен районом
с достаточно широкими границами. В данном случае точку па¬
дения можно принять за точку старта 0 и произвести «пуск» по
району стартов. При этом расчет точки падения 3 производится
с учетом вращения Земли. Начальную точку 1 выбирают на
траектории, для которой точка падения окажется внутри райо¬
нов стартов. Затем определяется точка старта с помощью рас¬
чета оптимального активного участка траектории, который со¬
ответствует выбранной точке 1 на эллиптической траектории.
Ограниченность описанного метода состоит в том, что он при¬
меним только для одной точки цели. При необходимости рас¬
смотрения ряда целей и использовании подвижной стартовой
установки этим методом может быть определена серия старто¬
вых точек для выбранных целей. Однако на практике может
оказаться желательным решение задачи для группы нескольких
близко расположенных друг к другу целей и для одной фикси¬
рованной или подвижной стартовой позиции. В этом случае дан¬
ный метод становится непригодным.
2. Метод расчетов таблиц стрельбы. Такие таблицы позво¬
ляют с достаточной точностью и быстротой интерполированием
находить начальные условия полета для ряда целей в пределах
досягаемости с заданной стартовой позиции. Обычно так и по¬
ступают на практике. Однако для предварительного анализа
подобные таблицы не являются рациональными.
3. Метод итераций. При достаточном объеме вычислительных
работ этот метод может обеспечить любую желаемую точность
решения задачи. По известным точкам старта и падения опре¬
деляют дальность. Затем по дальности определяют начальную
скорость (и угол бросания в случае ТМЭ) в инерциальной си¬
стеме координат, после чего задаются приближенными значе¬
ниями высоты и удаления конца активного участка от точки
Дф = Ф« - Фз.
ДА Aj* — A3.
(1.50а)
(1.50Ь)
I.ej
РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ
47
старта. Зная, таким образом, в первом приближении п, фь К\ и
v\, 0i, аь а также wu можно рассчитать kv v't а'и q'{9 v[, t[v
Фз, Л3 —cpi и Ki. Затем начальные условия уточняются по¬
следующими итерациями.
Хотя рассмотренные выше методы представляют собой зна¬
чительное уточнение методов, основывающихся на представле¬
нии о невращающейся Земле, они все же не учитывают ряда
факторов, пренебрежение которыми недопустимо в случае необ¬
ходимости определения точки падения при больших дальностях
с ошибкой не более двух километров и меньше. Основными из
этих неучтенных факторов являются сопротивление воздуха и
несферичность Земли.
В настоящее время эти факторы в действительности учи¬
тываются при расчете траекторий современных баллистиче¬
ских снарядов на электронных вычислительных машинах.
Однако обсуждение этого вопроса не входит в задачу настоя¬
щей книги. В заключение стоит, пожалуй, отметить, что при
расчете траекторий на любые дальности и практически с любой
точностью возмущающим влиянием Солнца и Луны можно
пренебречь.
1.6. Расчет траекторий
В настоящем параграфе приведен ряд примеров использова¬
ния полученных выше соотношений для решения различных
задач.
1. Заданы дальность и высота начальной точки. Требуется
рассчитать параметры ТМЭ, отвечающей заданной дальности.
Для заданной сферической дальности между точками 1 и 2
(рис. 1.1) Si=x12/2roo или, если рассматривать траекторию в
виде участка эллипса до точки падения 3, flj = л:*/г00, в3 = лГз/г00-
По этим зависимостям рассчитываются 61 и 63. Далее с по¬
мощью соотношения (1.26) определяем величину emin, а с по¬
мощью соотношения (1.25)—большую полуось а. Для опреде¬
ления начальной скорости можно воспользоваться выражением
= К [(2/гх) — (1/а)] или, так как К ==(ис)1г1» выражением л^ =
= 2— (гJa). Оптимальный угол бросания может быть определен
из выражения (1.29а).
2. Заданы скорость и высота в начальной точке. Необходимо
определить оптимальный угол бросания и соответствующую
угловую дальность.
Оптимальный угол бросания определяется из выражения
(1.29Ь), угловая дальность 61 — из выражения (1.30), угловая
дальность 63—из выражения (1.42).
48
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. Т
3. Заданы скорость и высота в начальной точке, а также
произвольный угол бросания. Требуется рассчитать дальность
и второй угол бросания, отвечающий той же дальности.
Угловые дальности и 8з рассчитываются с помощью со¬
отношений (1.33) и (1.41) соответственно, второй угол броса¬
ния— с помощью соотношения (1.35).
4. Заданы угол бросания 0Ь высота у\ и скорость v{ (близ¬
кая к круговой) в начальной точке. Требуется определить, будет
ли траектория иметь точку падения.
Для ответа на этот вопрос достаточно сравнить заданный
угол бросания с величиной граничного угла бросания, рассчиты¬
ваемого по зависимости (1.36) при заданных условиях.
5. С космического аппарата, движущегося по круговой ор¬
бите вокруг планеты на заданной высоте у{ с известной круго~
вой скоростью, необходимо опустить на поверхность планеты
автоматическую станцию. Требуется определить, существует ли
точка падения при заданной горизонтальной начальной скоро¬
сти спуска станции (vi<l), и если существует, то какова сфе¬
рическая дальность, проходимая станцией от начала спуска
до точки падения (без учета сопротивления воздуха).
Наличие или отсутствие точки падения устанавливается из
соотношений (1.38) либо по величине f/i/roo, либо по величине
после разрешения неравенств (1.38) относительно (см.
также рис. 1.12):
При наличии точки падения дальность определяется с помощью
соотношений (1.37).
1.7. Отклонения точки падения, вызываемые начальными
отклонениями
В предыдущих параграфах было показано, что при задан¬
ных начальной скорости и высоте начальной точки наибольшую
дальность обеспечивает ТМЭ. Однако имеется ряд причин, вы¬
нуждающих отступать от энергетически оптимального угла бро¬
сания.
1. Траектория минимальной энергии является оптимальной
с энергетической точки зрения лишь при отсутствии сопротив¬
ления воздуха. В реальных условиях торможение за счет сопро¬
тивления воздуха должно быть компенсировано соответствую¬
щим дополнительным расходом топлива. Поэтому при выведении
ракеты в начальную точку траектория теоретического минимума
2 г00
2
(1.51)
2г00 + У\
1.7]
ОТКЛОНЕНИЯ ТОЧКИ ПАДЕНИЯ
49
энергии не обязательно соответствует траектории минимального
расхода топлива.
2. Другой причиной, вынуждающей отступать от ТМЭ, яв¬
ляется необходимость прямой видимости ракеты из пунктов ра¬
диоуправления полетом, в особенности если по ряду причин
удаление пунктов радиоуправления от стартовой позиции огра¬
ничено.
3. Пожалуй, наиболее важная причина, вынуждающая от¬
ходить от оптимального угла бросания, вытекает из требования
точности попадания. По мере роста дальностей ТМЭ становятся
все более настильными и отклонения точки падения, вызывае¬
мые одной и той же ошибкой в начальной скорости, быстро
увеличиваются.
Поскольку в настоящее время главной технической пробле¬
мой является не получение больших начальных скоростей, а до¬
стижение высокой точности в величине и направлении началь¬
ных скоростей, то важность рассмотрения вопроса о точности
попадания становится совершенно очевидной. Особую остроту,
в частности, приобретает этот вопрос в баллистике дальнобой¬
ных ракет. Его изложению и посвящается настоящий параграф.
Для искусственных спутников Земли, оборудованных научной
аппаратурой, требования по точности являются сравнительно
менее жесткими, поскольку большинство научных задач, для
которых предназначены эти спутники, может решаться при на¬
личии отклонений параметров движения, превышающих откло¬
нения, обусловленные ошибками системы управления. Как бу¬
дет показано позже, проблема точности становится более серьез¬
ной для окололунных и межпланетных полетов автоматических
станций. При полетах пилотируемых космических аппаратов и
более усовершенствованных автоматических станций проблема
точности становится менее острой, поскольку для них имеется
возможность введения коррекции во время движения. Вообще
можно сказать, что технические решения, полученные в связи
с развитием баллистических снарядов, рассчитанных на боль¬
шие дальности, удовлетворяют большинству требований, предъ¬
являемых к полетам спутников, а также к некоторым полетам
к Луне. Это является одним из наиболее важных вкладов раз¬
вития техники управляемых снарядов в технику космических
полетов. Современные полностью инерциальные системы управ¬
ления небольшого веса и повышенной точности являются ре¬
зультатом развития систем управления снарядов.
Желаемая скорость может быть получена лишь с ограничен¬
ной точностью. Обозначим ошибку в величине начальной ско¬
рости через dv, а соответствующее отклонение в дальности че¬
рез дх или дд. Тогда для небольших дальностей (без учета
4 К. Эрике, т. Ц
60 БАЛЛИСТИКА [ГЛ. I
кривизны Земли) непосредственным дифференцированием идеа¬
лизированного выражения для дальности
и?
х = —-- sin 20 (1.62)
goo
по переменной v\ получим:
= sin 20, = 2 —. (1.53)
goo 1 Vi v '
Отсюда видно, что при малых дальностях производная от даль¬
ности по начальной скорости представляет собой простую функ¬
цию от дальности и начальной скорости.
При больших дальностях (с учетом кривизны Земли) диф¬
ференцированием соотношения (1.33) по получим:
дб = tg 9t (1 + tg291) = ctgQj (1 + ctg2 Qt) n -
<5v2 (1 - v? + tg2 0,) + vf tg2 0, [1 + (1 - v2) ctg2 0,]2 + vf ctg2 0, * (1M)
Учитывая, что
v2=(aY ii=2!
l \vc) ' dvx vx *
находим:
дб дб dv? _ 2v2 tg 01 (l + tg2 0,)
dv{ dv2 dvx vx (l - v2 + tg2 0j) + vf tg2 0j
2v2 ctg 91(l + ctg291)
V{ [l +(l -V^ctg2©!]2^-vf Ctg2©!
(1.55)
Отсюда следует, что производная от дальности по начальной
скорости при больших дальностях является функцией величин
0Ь vi и у\. Чтобы иметь дело с функцией только двух величин
(01 и vi), рассмотрим функцию V\ d6/dv\ = f(v\, 0i) (фактор ошиб¬
ки), график которой представлен на рис. 1.13. При малых зна¬
чениях vi (малые дальности) выражение (1.55) обращается
в приведенное ниже в несколько иной форме выражение (1.53):
f,-^ = ^sin29i> (1.56)
которое при оптимальном угле бросания для малых дальностей
(45°) приводится к простому виду: v{ d6/dvi=v2.
Для ТМЭ из выражения (1.55) с использованием соотноше¬
ния (1.30а) можно получить:
/ дб \ 2v\
лшмймэ тнчкялтч ямдп/ло dowj/пф
Рис. 1.13. Зависимость фактора ошибки начальной скорости от пара¬
метра начальной скорости и угла бросания.
4*
52
баллистика
(ГЛ. 1
Эта зависимость также приведена на рис. 1.13, из которого вид¬
но, что фактор ошибки неограниченно возрастает с приближе¬
нием начальной скорости к круговой, а угла бросания — к нулю.
Отсюда следует, что ТМЭ окончательно становится непрактич¬
ной хотя бы уже потому, что при этом требования по точности,
предъявляемые к реализации начальной скорости, начинают
превосходить физические возможности.
Графики, приведенные на рис. 1.13, могут быть использо¬
ваны следующим образом. С помощью графика (рис. 1.9), даю¬
щего зависимость между угловой дальностью 26i, параметром
начальной скорости vi и углом бросания 01, можно найти вели¬
чину vi, соответствующую заданным сферической дальности и
углу бросания. Затем можно определить (или оценить) высоту
У\ начальной точки и найти соответствующую ей круговую ско¬
рость vci, по которой нетрудно вычислить начальную скорость
V\= Vi^ci* После чего, сняв с графика (рис. 1.13) для заданных
vi и 01 (или только V! для ТМЭ) величину V{d6/dv\ и разделив
ее на V\, получим величину частной производной дб/dvi. Вели¬
чина частной производной угловой дальности по начальной ско¬
рости равна удвоенному значению производной d6/dv\ (напом¬
ним, что б — половина угловой дальности).
Дифференцируя соотношение (1.33) по vu можно получить
выражение для фактора ошибки также через б в следующем
виде:
Эта зависимость, приведенная на рис. 1.14, более удобна для
определения необходимого изменения начальных условий в слу¬
чае желательности увеличения дальности при сохранении преж¬
ней величины фактора ошибки либо при ее изменении опреде¬
ленным образом. Из графиков видно, что увеличение дальности
без увеличения частной производной от дальности по начальной
скорости приводит к увеличению угла бросания, а следователь¬
но, и начальной скорости, так как при этом траектория изме¬
няется (по сравнению с ТМЭ) в сторону более крутых траек¬
торий. Соответствующее увеличение vi может быть найдено ин¬
терполированием с помощью таблицы 1.2 или снято с графиков
(рис. 1.15), изображающих зависимость
При заданной дальности чувствительность отклонения по даль¬
ности к ошибкам в начальной скорости быстро уменьшается
(1.58)
(1.59)
1.7]
ОТКЛОНЕНИЯ ТОЧКИ ПАДЕНИЯ
63
с увеличением угла бросания для 0i>0i opt; в то же время тре¬
буемая энергия увеличивается. Таким образом, повышение точ¬
ности попадания за счет использования более крутых траекто¬
рий достигается ценой увеличения энергетических затрат.
Из рис. 1.9 видно, что угол 01 —45° является наименьшим
углом бросания, при котором может быть достигнута любая
Рис. 1.14. Зависимость фактора ошибки начальной скорости
от половины угловой дальности и угла бросания.
точка на земной поверхности (26 = 180°, Vj = ]/2). Чем ближе
цель, тем больше может быть угол бросания 0Ь если в нали¬
чии имеется достаточный запас энергии. Однако на практике
использование слишком крутых траекторий ограничивается не
только энергетическими соображениями, но также и темпера¬
турными условиями спуска в атмосфере, которые с увеличением
крутизны траектории становятся все более жесткими.
С помощью графиков, приведенных на рис. 1.16, можно срав¬
нить дальности, получаемые при 01 = 30° и 01 = 45°, с дально¬
стями, соответствующими ТМЭ, при различных значениях пара¬
метра начальной скорости vi. Из сравнения графиков видно, что
до дальностей, не превосходящих одной десятой части окруж¬
ности земного радиуса (26<36°), при 01=45° обеспечивается
54
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. Г
Таблица 1.2
Связь между параметром начальной скорости Vj и половиной угловой
дальности для различных начальных углов бросания *)
б,
град
в,.
град
Vi
б,
град
в,,
град
V,
б,
град
в».
град
V!
20
2,5
0,94583
30
2,5
0,96512
40
2,5
0,97588
5
0,90132
5
0,93544
5
0,95525
10
0,83342
10
0,88874
10
0,92306
15
0,78570
15
0,85560
15
0,90132
20
0,75249
20
0,83342
20
0,88874
30
0,71801
30
0,81650
30
0,88874
45
0,73054
45
0,85560
45
0,95525
60
0,83342
60
1,00000
60
1,14254
75
1,15174
75
1,41421
75
1,65538
85
2,01561
85
2,51593
85
3,00057
45
2,5
0,97979
50
2,5
0,98301
60
2,5
0,98857
5
0,96259
5
0,96888
5
0,97939
10
0,93623
10
0,94773
10
0,96738
15
0,91940
15
0,93544
15
0,96343
20
0,91120
20
0,93141
20
0,96738
30
0,91940
30
0,94773
30
1,00000
45
0,99999
45
1,04283
45
1,12603
60
1,21000
60
1,27688
60
1,41421
75
1,77614
75
1,90084
75
2,17533
85
3,25437
85
3,52563
85
4,16219
70
2,5
0,99309
80
2,5
0,99712
85
2,5
0,99905
5
0,98821
5
0,99616
5
1,00000
10
0,98433
10
1,00000
10
1,00768
15
0,98821
15
1,01165
15
1,02335
20
1,00000
20
1,03159
20
1,04763
30
1,04967
30
1,10006
30
1,12660
45
1,21091
45
1,30392
45
1,35613
60
1,56632
60
1,75048
60
1,86377
75
2,51593
75
3,00057
75
3,35466
85
5,05092
85
6,60738
85
8,11314
*) Таблица заканчивается данными для значения б = 85°, так как для значения б = 90°
Vj = sec 0i. Таблицы этой функции можно найти в сборниках математических таблиц.
практически такая же дальность, что и при ТМЭ. При 0i = 30°
отмеченное совпадение дальностей наблюдается до дальности,
примерно равной четвертой части окружности земного радиу¬
са (26<90°).
Если величина начальной скорости задана точно, но имеется
ошибка в ее направлении, то для малых дальностей дифферен¬
цированием соотношения (1.52) можно получить выражение
1.7]
ОТКЛОНЕНИЯ ТОЧКИ ПАДЕНИЯ
55
Рис. 1.15. Изменение параметра начальной скорости в зависимости
от половины угловой дальности и угла бросания.
56
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. I
для частной производной от дальности по углу бросания в сле¬
дующем виде:
дх V7
= 2 cos 20, = 2л; ctg Q{.
§00
(1.60)
Чтобы избежать неточностей в вычислении и построении
графика дх/дО\, связанных с быстрым ростом ctg 0! при
10.8
й49,6 h
§ S
* I
5 8.4 1 140
X \
I
* 7,2 ^ 120
У 11
I *
«, В,о | 100
^ I
у S
I I
1^1
I
§
§
у I
а-**
40
1,2
20
0
I
I
со"
4
I
1
§
!
Энергетический параметр —
Рис. 1.16. Сравнение дальностей.
приближении 01 к нулю, на рис. 1.17 приведен график не
дх/дв\, а фактора ошибки угла бросания (0i/*) ((3a:/(30i) =
= 20i ctg 0i. Как и следовало ожидать, чувствительность в угло¬
вой ошибке уменьшается с увеличением угла бросания.
Для больших дальностей путем дифференцирования соотно¬
шений (1.33) по 01 получим выражение для частной производной
1.7) отклонения точки ПАДЕНИЯ 57
от дальности по углу бросания в следующем виде:
дб vf (1 + tg2 ej (i — vf—tg2 e,)
ae, (i - vf+tg2 0j)2+vf tg2 e,
Графики, изображающие эту зависимость, приведены на рис. 1.18.
Воспользовавшись равенствами х = 2г0о6 и дх/д8 = 2г0о, можно
записать выражение
е, дх е, дх еь у2 (i + tg2e1)(i-v2-tg2e1)
х д0, х дб д0[ 1 6 (l — vf + tg2 0,)2 + vf tg2 0, ’
аналогичное выражению, графически представленному на
рис. 1.17. Графики, представляющие соотношение (1.62), приве¬
дены на рис. 1.19.
При оптимальном угле бро¬
сания 0i opt выражение дх/дд\
обращается в нуль, поскольку
при этом tg2 0, opt = 1 - vf и,
следовательно, выражения в
последних скобках числителей
соотношений (1.61) и (1.62)
обращаются в нуль. Этого и
следовало ожидать, поскольку
0i opt соответствует экстремуму
функции x = x(0i). Графики,
изображенные на рис. 1.9, по¬
казывают, что отклонения угла
бросания в районе 0iOpt при¬
водят к незначительным откло¬
нениям в дальности полета.
Поэтому можно сделать вы¬
вод, что ТМЭ обладает наи¬
меньшей чувствительностью к
ошибкам в угле бросания, од¬
нако при больших дальностях
сильно возрастает чувствительность ТМЭ к ошибкам в величине
начальной скорости.
Отклонение в дальности полета, являющееся результатом
наличия ошибок в величине начальной скорости, высоте началь¬
ной точки и начальном угле бросания, приближенно может быть
представлено следующим выражением:
Угол бросания в, (грабуш)
Рис. 1.17. Зависимость фактора
ошибки угла бросания от угла бро¬
сания для очень малых дальностей.
68
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. Г
Это равенство (если считать, что dvь dru dQ\ представляют со¬
бой малые конечные ошибки Дсц и т. д.) является приближен¬
ным, поскольку отклонения Д^, ДГ\ и Д01 в параметрах движе¬
ния в действительности не являются независимыми, как это
предполагается в соотно¬
шении (1.63). Однако
если каждое из этих от¬
клонений (или возмуще¬
ний) является малым, то
равенство (1.63) выпол¬
няется с достаточной точ¬
ностью.
В соотношении (1.63)
dvь dru dQi представляют
отдельные малые ошибки.
Соответствующие частные
производные в правой ча¬
сти соотношения (1.63)
выражают влияние част¬
ной ошибки на угловую
дальность.
Величина д6/ди{ дает-,
ся соотношениями (1.55),
величина дб/dQ{ — соотно¬
шением (1.61). Для на¬
хождения величины дб/dri
можно также получить
соответствующее выраже¬
ние, если воспользоваться
соотношением (1.7), ко¬
торое с учетом равенств
Vj=— , v2c = grx можно
VC
переписать так:
г2
tg 6 =
v\ sin 20j
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,7 0,8 0,9 1,0
Параметр качалшй скорости
Рис. 1.18. Зависимость коэффициента угло¬
вой ошибки от параметра начальной ско- Дифференцируя
2gr{ — 2v\ cos2 0j
рости.
послед¬
нее выражение по и
учитывая, что полная угловая дальность равна 26, получаем:
дд V? sin2 0. 0 .
= —т «—^cos 6. (1-64)
дг\ Г\ (l “ cos2 0^
В заключение рассмотрим влияние отклонения движения от
плоскости невозмущенной траектории. Такое отклонение будет
1.7]
ОТКЛОНЕНИЯ ТОЧКИ ПАДЕНИЯ
59
приводить к боковому отклонению точки падения, то есть к от¬
клонению «влево» или «вправо» от цели. Оно может быть вы¬
звано либо боковой составляющей vnX начальной скорости, либо
боковым отклонением начальной точки, или, наконец, обеими
этими причинами. Если через Х\% обозначить дальность между
Угол бросания в7 (градусы)
Рис. 1.19. Зависимость фактора ошибки угла
бросания от угла бросания для больших
дальностей.
точками 1 и 3 (см. рис. 1.1), через А\ — боковое отклонение на¬
чальной точки, через Д3 — боковое отклонение точки падения, то
при неизменных векторе начальной скорости и высоте началь¬
ной точки Г\ можно получить (с использованием формул сфери¬
ческой тригонометрии):
60
баллистика
[ГЛ. I
или, поскольку при Ai/r0o<^l величина Аз/^оо становится очень
малой, можно считать, что
А3 = Aj cos (—) ^ Aj cos (2613), (1.65b)
\ f'oo /
где 26i3 — угловая дальность между точками 1 и 3.
Если Ai = 0 и отсутствуют ошибки в и 0ь но имеет место
ошибка в величине начальной скорости V\ за счет боковой со¬
ставляющей vnU то величина начальной скорости v\ при нали¬
чии такой ошибки будет равна:
v'l = Vv2l + v2nl , (1.66)
а плоскость траектории составит с плоскостью невозмущенной
траектории угол /, определяемый соотношением
cos i =
f‘= lA-f^V)2 • (i.67)
У \ V{ COS 0J )
где v[ cos0j— горизонтальная проекция новой начальной ско¬
рости. Если дополнительно имеется еще ошибка в угле броса¬
ния (0' вместо 0j), то в соотношение (1.67) необходимо под¬
ставить 0'. Боковое отклонение точки падения в этом случае
можно рассчитать по следующей формуле:
cos
(£)-“»(£М£М£) -(£)«'■ «лад
где *1з — дальность полета при отсутствии отклонений парамет¬
ров движения в начальной точке, а х\ъ — дальность полета,
соответствующая замене величины Vi на величину v\ и (или)
замене величины 0j на величину 0'.
При 0j —0j отношение vnl/vl‘-> 0, v'l->vl и, следовательно,
*'3->*i3, А3 становится сравнительно малой величиной и вы¬
ражение (1.68а) упрощается и принимает еид:
Аз ~ гоо —V,n a s‘m
3 00 Vi cos 0! \ Гoo I
или
Vm
00 vx COS
sin (2613).
(1.68b)
Из соотношений (1.65b) и (1.68b) следует, что боковое от¬
клонение А3 точки падения, вызванное боковым отклонением Ai
начальной точки, обращается в нуль при 26i3 = 90° или 26i3 = 270°
1.7]
ОТКЛОНЕНИЯ ТОЧКИ ПАДЕНИЯ
61
(через одну четверть или три четверти окружности земного ра¬
диуса), а отклонение Д3, вызванное боковым отклонением пло¬
скости траектории на угол i, обращается в нуль при дальности
2б1з=180°или 26i3 = 360°. Наоборот, отклонение Д3, вызванное от¬
клонением Дь достигает максимума при2б13=180° или 26i3 = 360°,
а отклонение Д3, вызванное отклонением плоскости траектории
на угол i, достигает максимума при 26i3 = 90° или 26i3 = 270°.
Поскольку более вероятным источником ошибок является по¬
следняя причина (отклонение на угол i), то следует ожидать,
Рис. 1.20. Траектория минимальной энергии
для дальности 8046 км.
что максимальное боковое отклонение точки падения для бал¬
листической траектории будет иметь место при дальностях по¬
рядка четверти окружности земного радиуса. Указанную раз¬
личную связь между максимальной ошибкой и дальностью
легко объяснить, рассматривая соответствующие большие круги
сферы.
При наличии обеих ошибок (Д4 и i) можно, если считать их
малыми, получить следующее приближенное выражение для Д3:
~ "|/(*i3“*i3)2+ [Ai cos (2б13) + r00 о^ cos ^ sin (2613)j . (1.69)
Чтобы проиллюстрировать требования к точности для типич¬
ной траектории большой дальности, рассмотрим (рис. 1.20) от¬
клонения точки падения по дальности для ТМЭ, которая соот¬
ветствует дальности 8046 км, отсчитываемой по дуге окружности,
проходящей через начальную точку (0iOpt = 27°; vi = 0,75; emln =
= 0,52; высота траектории 1280 км). На рис. 1.21 приведен гра¬
фик отклонения точки падения по дальности в зависимости от
отклонения величины начальной скорости. На рис. 1.22 приведен
график отклонения точки падения по дальности в зависимости
от отклонения угла бросания. Из этих графиков видно, что при
дальностях рассматриваемого порядка влияние на дальность
62
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. Т
полета даже малых отклонений в начальных условиях является
значительным. Для рассматриваемой траектории требуемое зна¬
чение величины начальной скорости равно примерно 5900 м/сек
( — 0,75 от круговой скорости, которая для рассматриваемых
условий равна 7880 м/сек). Отклонение величины начальной ско¬
рости примерно на 2 м/сек (что составляет 0,034%) приводит к
отклонению точки падения по дальности примерно на 9,2 км.
0,9 л
0,8-
0.7-
200 -т
% пирометра 0,6-
на аильной _
П1/ППППГТ7Г/ 1У '
/DU '
Av} (фут/сек)
и пир/и
^ ^ ^ ^
“'Ч, *\э ^-0 ^
1 1 1 1
/ии
СП
ПО
-/00 -80 -6
Ах (морские мили)
0 -40 -2
-02-
2.
СП
0 4
0 6i
0 80 100
Ах (морские мили)
/о параметр
-0,3-
2-0,4-
-0,5-
-0,6-
-0,7-
-0,8-
-0.9-
oU
- Haai
CKOpi
альнои
7ста V;
IUU
AVj (фут/сек)
-/пи
-200-
Рис. 1.21. Отклонение дальности, вызываемое отклонением началь¬
ной скорости от оптимального значения (дальность 8046 км).
Зависимость отклонения точки падения по дальности от откло¬
нения величины начальной скорости можно считать практически
линейной. Выше отмечалась слабая чувствительность ТМЭ к
малым отклонениям угла бросания. Однако с увеличением от¬
клонений угла бросания, начиная с Д01^О°,5, влияние Д01 на
дальность быстро возрастает. Необходимо отметить, что кривая,
похожая на параболу (рис. 1.22), не симметрична относительно
средней линии, соответствующей значению Д01 = О. Отклонение
угла бросания в меньшую сторону от оптимального значения
оказывает большее влияние на дальность полета, чем такое же
отклонение в большую сторону. С ростом отклонений угла бро¬
сания эта асимметрия, подтверждаемая графиками, приводи¬
мыми на рис. 1.9, становится более резкой.
1.7]
ОТКЛОНЕНИЯ ТОЧКИ ПАДЕНИЯ
63
Проведенный выше анализ влияния различных отклонений
в начальной точке на отклонение точки падения позволяет сде¬
лать следующие выводы:
1. Влияние отклонения величины начальной скорости на
дальность полета возрастает с увеличением дальности.
2. Для заданной дальности влияние отклонения величины
начальной скорости на дальность полета уменьшается с перехо¬
дом к более крутым тра¬
екториям. Поскольку
ТМЭ с ростом дальности
становится все более по¬
логой, то чувствитель¬
ность дальности к откло¬
нению величины началь¬
ной скорости возрастает с
увеличением дальности.
управления дальностью
полета при дальностях,
превышающих 9000—
11 ООО км, более приемле¬
мым оказывается переход
от ТМЭ к более крутым
траекториям. Правда, по¬
следние энергетически
менее выгодны и условия
входа в атмосферу и при¬
земления для них яв¬
ляются более трудными.
3. Чувствительность
дальности полета к ошиб¬
кам в угле бросания в
основном является функцией угла бросания. Для угла броса¬
ния, соответствующего ТМЭ, эта чувствительность равна нулю.
При отходе от оптимального угла бросания степень влияния
отклонения угла бросания на дальность полета увеличивается
с ростом начальной скорости, хотя и не так сильно, как в слу¬
чае влияния на дальность полета величины начальной ско¬
рости.
В настоящем параграфе мы ограничились рассмотрением
частных влияний Vi и 01 на дальность полета. Учет совместного
влияния отклонений начальной скорости по величине и на¬
правлению на полет баллистической ракеты может быть про¬
изведен с использованием зависимостей, приведенных в § 3.3
и § 3.8.
в, (градусы)
Рис. 1.22. Уменьшение дальности, вызы¬
ваемое отклонением угла бросания от оп¬
тимального значения (дальность8046 км).
64
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. I
1.8. Баллистический спуск
В § 1.4 были рассмотрены условия пересечения траекторий
с поверхностью Земли без учета сопротивления воздуха. Эти
траектории, очевидно, можно считать совпадающими с действи¬
тельными лишь до точек пересечения с некоторой воображаемой
«поверхностью», охватывающей земную атмосферу. Ниже этой
«поверхности» вследствие влияния аэродинамических сил траек¬
торию нельзя уже считать траекторией безвоздушного простран¬
ства. Высота окружности входа, являющейся сечением упомяну¬
той «поверхности» (поверхности входа) плоскостью траектории,
зависит от скорости и формы движущегося объекта и в мень¬
шей степени от угла входа. В зависимости от аэродинамических
сил после входа в атмосферу либо произойдет спуск объекта на
Землю, либо, если торможение окажется недостаточным, объект
совершит еще ряд оборотов вокруг Земли, пока его скорость
не уменьшится до величины, необходимой для осуществления
спуска.
Чтобы познакомить читателя с траекториями баллистиче¬
ского спуска, ниже будет представлен спектр таких траекторий
последовательно для ряда начальных скоростей, начиная от
величины, равной 70% круговой скорости, и до величины, рав¬
ной параболической скорости1). Таким образом, диапазон рас¬
сматриваемых скоростей охватывает все случаи, начиная от ско¬
ростей входа в атмосферу головных частей баллистических
ракет средней дальности до скоростей возвращения космических
аппаратов после полетов к Луне и другим планетам (считая, что
скорость космического аппарата при возвращении уменьшена
до параболической).
Диапазон углов входа относится не к головным частям бал¬
листических ракет, а к объектам, спускаемым с орбиты.
В качестве параметра, характеризующего лобовое сопротив-
СВА
ление, принята величина — , где
(1.70)
— коэффициент лобового сопротивления, А — площадь попереч¬
ного сечения возвращающегося в атмосферу аппарата, W — его
вес, р — плотность воздуха, v — скорость полета, D — сила ло¬
бового сопротивления.
1) К. A. Ehricke, Astronautical and Space Medical Research with Auto¬
matic Satellites, Franklin Institute, Monograph No. 2, June 1956; K. A. Ehri¬
cke and H. A. Pence, Re-Entry Characteristics of Recoverable Spherical
Satellites, Satelloids, and Lunar Vehicles, Convair Rep. AZP-001, June 1957.
1.8]
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
65
Силу торможения, испытываемую аппаратом в любой точке
траектории атмосферного участка за счет лобового сопротивле¬
ния, можно представить в единицах ускорения силы тяжести g
следующим образом:
cda
w
[g]-
(1.71)
Следовательно, отношение CDA/W является параметром спуска.
Этот параметр представляет собой отношение силы торможе¬
ния, возникшей за счет
лобового сопротивления
(выраженного в едини¬
цах g)y к скоростному на¬
пору:
D/W Г площадь 1
L сила J *
cda
W
(1.72)
Траектория
спуска
Величина, обратная вве¬
денному параметру, при
CD= 1 представляет собой
поперечную нагрузку ап¬
парата и совпадает с его
весом, приходящимся на
единицу поперечного се¬
чения аппарата.
При расчете траекто¬
рий в качестве основного
допущения принималось
отсутствие подъемной
силы, то есть предпола¬
галось, что траектории
являются чисто баллисти¬
ческими. При заданных
начальных условиях (начальных значениях скорости входа и*
и угла входа ег-; см. рис. 1.23) и заданной атмосфере траекто¬
рия аппарата, не создающего при полете подъемной силы, одно¬
значно определяется параметром CDA/W.
Прототипом тела, не создающего подъемной силы, является
сфера. Однако любое симметричное тело при нулевом угле
атаки также может рассматриваться как тело, не создающее
подъемной силы. Например, конус, летящий таким образом, что
его ось симметрии совпадает с направлением обтекающего его
Рис. 1.23. Условия баллистического спуска
с орбиты.
б К. Эрике, т. II
66
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
воздушного потока, не создает подъемной силы. Для тела, не
создающего подъемной силы, параметр CDA/W в процессе спу¬
ска остается постоянным, если коэффициент CD является по¬
стоянным и неизменна поперечная нагрузка W/A. На графиках,
приведенных ниже, линии постоянных значений параметра
CdA/W соответствуют реальным траекториям, если выполняются
оговоренные выше условия или если отдельные сомножители,
входящие в параметр CDA/W, изменяются таким образом, что
сам параметр остается постоянным. Можно считать, что при
спуске сферы коэффициент CD большую часть времени остается
практически близким к единице, и если потери веса за счет
уноса массы атмосферой не очень большие, то приближенно
можно принять, что величина W/A также остается примерно по¬
стоянной. Если же параметр лобового сопротивления CDA/W
меняется, то линии его постоянных значений можно использо¬
вать лишь на участках, где этот параметр можно приближенно
считать постоянным. Чтобы подчеркнуть, что приведенные рас¬
четы основаны на допущении постоянства параметра лобового
сопротивления, результаты расчетов отнесены к телам сфери¬
ческой формы, так как подобная форма наиболее близко соот¬
ветствует (с отмеченными выше оговорками) допущению о по¬
стоянстве параметра лобового сопротивления.
Двумя основными преимуществами баллистического спуска
спутника, оборудованного аппаратурой, являются: 1) простота,
а следовательно, и повышенная надежность бортовой аппара¬
туры и 2) возможность его совершенствования с целью отработ¬
ки в будущем планирующего спуска с орбиты. Следует также
отметить заманчивую возможность использования возвращае¬
мых на Землю спутников для изучения влияния продолжитель¬
ного воздействия среды (включая воздействие микрометеоритов)
на внешнюю поверхность спутника при космических полетах.
Однако при спуске в атмосфере поверхность спутника будет
подвержена большим температурным и механическим воздей¬
ствиям со стороны обтекающего потока, в результате чего боль¬
шая часть следов (если не все) может быть стерта в процессе
спуска. Более того, при наличии достаточно больших деформа¬
ций от ударов метеоритов космический аппарат может разру¬
шиться на участке спуска в атмосфере. Таким образом, поверх¬
ность космического аппарата будет больше свидетельствовать
об аэротермохимических и физических процессах при спуске в
атмосфере, чем о воздействии космических факторов.
Дальнейшее совершенствование возвращаемых на Землю
капсул позволит проводить биологические исследования в кос¬
мическом пространстве с последующим надежным возвраще¬
нием опытного материала и его обработкой.
1.8]
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
67
Наконец, представляется возможным в случае аварии кос¬
мического корабля использовать сферическую капсулу с боль¬
шим значением параметра CDA/W. в качестве спасательного
средства космонавта (аналогично парашюту для пилота). Для
предупреждения вращения, а следовательно, для предотвраще¬
ния воздействия критических перегрузок капсулы с космонав¬
тами или другими высокоорганизованными существами (напри¬
мер, обезьянами) должны снабжаться реактивными и аэродина¬
мическими стабилизаторами.
Таким образом, можно различить три основных типа возвра¬
щаемых на Землю капсул: капсулы, оборудованные автоматиче¬
скими приборами, биокапсулы и капсулы с космонавтами. Кап¬
сулы, оборудованные автоматическими приборами, могут быть
использованы и для исследования атмосфер других планет.
При проведении расчетов начальные условия спуска задава¬
лись на высоте 111 км. Спутники на этих высотах движутся
почти горизонтально1), если только они не слишком легкие и
вследствие этого не начали фазу спуска раньше. При CDA/W =
= 0,041 максимально допустимое значение A/W даже для пустой
сферической оболочки составит 0,041 м2/кГч если принять CD~1.
Величина скоростного напора на этой высоте приблизительно
равна 0,5 кГ/м2 при = 1,0 (вход с круговой скоростью) и
1 кГ/м2 при v2 = 2 (вход с параболической скоростью). При рас¬
сматриваемых условиях перегрузки, испытываемые телом, со¬
ставят (0,1 -г-0,2)§ в диапазоне скоростей входа околоземных
спутников и лунников. Для реальных конструкций значение
CdA/W = 0,041 может оказаться завышенным раз в двадцать.
Углы входа в атмосферу при спуске с эллиптических орбит
могут быть различными в зависимости от элементов орбиты.
В качестве максимального отрицательного значения угла входа
принято значение 0* = —10°, поскольку даже для орбиты с
^а/^р= 1,43 и /р/г0о=1,0, то есть для орбиты высотой в апогее,
равной 0,43 радиуса Земли (2740 км), и с перигеем, теоретиче¬
ски касающимся земной поверхности, максимальное отрицатель¬
ное значение угла 0 (при истинной аномалии 90°) не превосхо¬
дит принятого значения. Углы 0 измеряются от местного гори¬
зонта в направлении к земной поверхности в пределах от 0
до —90° (вертикальное падение).
При возвращении и спуске на Землю лунников, спасатель¬
ных капсул с космонавтами и при спуске околоземных спутни¬
ков, движение которых предварительно тормозится тормозными
!) Движутся горизонтально в том смысле, что вектор скорости в каждый
момент времени остается параллельным плоскости местного горизонта.
(Прим. ред.)
68
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
ч
двигательными установками, могут встретиться почти любые
углы входа. Однако, начиная с 0г>—4°, максимальная величина
перегрузки, испытываемой при спуске, быстро возрастает, и
для значений 0*>—4° достигает1) 30g при 0* = —10°. Это обстоя¬
тельство исключает использование более крутых траекторий
спуска для решения большого числа интересных прикладных
задач. Поэтому диапазон рассматриваемых начальных углов
входа при расчетах был ограничен неравенствами2) О^0г^
<— 10°.
Изменение параметра скорости v* принято в пределах
0,7 ]/*2~. Учитывая, что при высоте 111 км круговая ско¬
рость ис = 7840 м/сек, получим следующий диапазон изменения
начальных скоростей спуска: 5500 100 м/сек.
В расчетах приняты следующие значения параметра лобо¬
вого сопротивления: 0,041; 0,02; 0,009; 0,002. При коэффициенте
лобового сопротивления Cd=1 это соответственно отвечает сле¬
дующим значениям поперечных нагрузок: 24,5; 49; 111,2;
490 кГ/м2. Соответствующие максимально допустимые значе¬
ния веса, приходящегося на единицу площади поверхности обо¬
лочки, будут: 6,12; 12,24; 27,8; 122,4 кГ/м2. Для почти пустых
сферических капсул величина параметра лобового сопротивле¬
ния будет не менее 0,009 м2/кГ, а для большинства прак¬
тических случаев эта величина ближе к 0,002. Для спутника
«Вангард» («Vanguard»), который проектировался не как спу¬
скаемый с орбиты аппарат, величина A/W = 0,025 (диаметр
0,558 ж, вес 9,6 кГ).
Величина скорости v и угол 0 с учетом вращения плоскости
местного горизонта в текущей точке определялись интегрирова¬
нием уравнений
Расчеты проводились на электронной вычислительной ма¬
шине «1103 Remington Rand» Отделения астронавтики фирмы
«Конвэр» («Convair»), при этом использовалась модель атмо¬
сферы ICAO.
Основные результаты расчетов изменения скорости в зави¬
симости от высоты при докруговой, круговой и параболической
1) Запись автора здесь математически не точна, так как он имеет в виду
возрастание абсолютной величины; надо было бы написать: «для 0i<—4°».
(Прим. ред.)
2) См. предыдущую сноску; надо записать: «0^? 0*5? —10°». (Прим. ред.)
(1.73)
— = ”cos 6(1 — v2)-
dt v ' '
(1.74)
1.81
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
69
скоростях входа, изменения торможения в зависимости от вы¬
соты и параметра CDA/W представлены на рис. 1.24—1.28. На
Скорость v (тыс. фут/сек)
Рис. 1.24. Изменение скорости в зависимости от высоты при ско¬
рости входа, меньшей круговой.
рис. 1.24 представлены графики изменения скорости в зависи¬
мости от высоты для самой легкой и самой тяжелой сфер (в
рассматриваемом диапазоне) для различных скоростей (меньших
круговой) при трех различных значениях угла входа. При
70
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
u<4880 м/сек (<16000 фут/сек) независимо от угла входа и
скорости входа кривые (рис. 1.24) располагаются достаточно
узким пучком для каждого значения параметра CDA/W. При
у = 4880 м/сек (16 000 фут/сек) кривые семейства, соответствую¬
щие CdA/W = 0,04\, по высоте занимают полосу шириной
15 250 м (50 000 фут) между высотами 54 900 м (180 000 фут)
и 70 150 м (230 000 фут). Средняя линия этого семейства до
значения v=\220 м/сек
(4000 фут/сек) следует
примерно по прямой ли¬
нии; при этой скорости
семейство кривых су¬
жается, занимая интер¬
вал высот 42 700 м
(140 000 фут) <у<48 800 м
(160 000 фут). Семейство
кривых, соответствующих
CdA/W = 0,002, аналогично
рассмотренному, но сдви¬
нуто по высоте вниз и бо¬
лее узкое в диапазоне
меньших скоростей. При
скорости v = 4880 м/сек
(16 000 фут/сек) кривые
расположены в интервале
высот от 30 500 м
(100 000 фут) до 45 750 м
(150 000 фут). При ско¬
рости v=l220 м/сек
(4000 фут/сек) — в интер¬
вале высот от 22 600 м.
(70 000 фут) до 25 900 м
(85 000 фут). На рис. 1.25
для сравнения приведены аналогичные кривые при значениях па¬
раметра CdA/W = 0,041; 0,009 и 0,002 для круговой скорости вхо¬
да. При v = 1220 м/сек (4000 фут/сек) кривые, соответствующие
CdA/W = 0,009, проходят в районе высоты */ = 34 500 м
(110 000 фут). На рис. 1.26 приведены графики зависимости ско¬
рости от высоты при параболической скорости входа для тех
же трех значений параметра лобового сопротивления. Из этих
графиков видно, что все сферы, входящие в атмосферу при
6^—2°, не захватываются атмосферой и вновь покидают ее.
Сфера с параметром лобового сопротивления, равным 0,041, за¬
хватывается атмосферой при 0* = —4°. Интересно отметить, что
район наибольшего торможения приходится на интервал высот
Скорость v (ть/о. фут/сек)
Рис. 1.25. Изменение скорости в зависи¬
мости от высоты при круговой скорости
входа (vt* = 1,0).
1.8]
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
71
от 91 500 м (300 000 фут) до 61 ООО м (200 000 фут). Действи¬
тельно, как следует из графика, приведенного на рис. 1.63, по¬
лет этой сферы на протяжении почти 740 км (400 морских миль)
происходит примерно на постоянной высоте, равной 79 300 м
(260 000 фут) (кривая С). На самом деле высота полета не¬
сколько изменяется, как это можно заключить по характеру
поведения кривой перегрузки для этой сферы (кривая С на
500
f 400
Ч
1
^-300
100
о
Рис. 1.26. Изменение скорости в зависимости от высоты при
параболической скорости входа (vi = V2 )•
рис. 1.69). При 0г = —10° скорости полета при входе с парабо¬
лической скоростью по сравнению со случаем входа с круговой
скоростью (рис. 1.25) на одинаковых высотах оказываются
большими. При этом разница в значениях скоростей полета уве¬
личивается с уменьшением величины параметра лобового со¬
противления. При CDA/W=0,002 в интервале высот от 71 000 м
(200 000 фут) до 30 500 м (100 000 фут) скорость полета
изменяется с 10 970 м/сек (36 000 фут/сек) до 5490 м/сек
(18 000 фут/сек) и с 7620 м/сек (25 000 фут/сек) до 3960 м/сек
(13 000 фут/сек) для параболической и круговой скоростей вхо¬
да соответственно.
На рис. 1.50 и 1.29 приведены значения горизонтальной даль¬
ности полета при спуске самой тяжелой (CDA/W=0,002) и са¬
мой легкой (CDA/W = 0,041) сфер при скоростях входа, меньших
круговой, и углах входа 0* = О, —5° и —10°. Аналогичные гра¬
фики приведены на рис. 1.59 и 1.38 для случая круговой ско¬
рости входа при пяти значениях углов входа. Из этих графиков
следует, что дальность примерно от точки начала действия
Скорость v (ть/с. фут/сек)
72
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
Шф от) тиотд
Рис. 1.27. Изменение перегрузки в зависи- Рис. 1.28. Изменение максимальной
мости от высоты (*v/ = 1, 0). перегрузки в зависимости от скорости
входа для различных сфер.
18]
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
73
лобового сопротивления до точки падения в сильной мере зави¬
сит от угла входа, скорости входа и величины параметра лобо¬
вого сопротивления. Для сферы с величиной параметра лобового
сопротивления 0,002 при входе с круговой скоростью и углом
входа 0г=О из 15 750 км (8500 морских миль) горизонтальной
; началь-
Дальность (тыс. морских миль)
Рис. 1.29. Изменение высоты при спуске в за-
(CdA
висимости от дальности I —^ = 0,002;
ные условия: уt = 111 км, < 1, 0
дальности до точки падения почти 12960 км (7000 морских
миль) приходится на высоты полета у >300 000 фут (91500 м)
(рис. 1.59). Для сферы с величиной параметра лобового сопро¬
тивления 0,041 аналогичная доля составляет 4450 км (2400 мор-
ских миль) из 5370 км (2900 морских миль). То обстоятельство,
что большую часть пути при спуске с орбиты тело проходит
на сравнительно больших высотах, облегчает его радиолока¬
ционное сопровождение. После прохождения высоты 91 500 м
(300 000 фут) со скоростью, соответствующей v = 0,9, наружная
поверхность тела становится светящейся, что при благоприятных
метеорологических условиях позволяет осуществить слежение
74
баллистика
[ГЛ. 1
за телом оптическими средствами. При спуске в атмосфере сфе¬
рическое тело вследствие симметричности испытывает лишь
влияние лобовой составляющей аэродинамического сопротивле¬
ния (кроме силы притяжения) и не испытывает действия СИД
Время (минуты)
Рис. 1.30. Изменение высоты при спуске в за-
(CdA
висимости от времени 1—^—= 0,002; началь¬
ные условия: у. = 111 км, vt < 1,0).
в направлении, нормальном к плоскости орбиты. Поэтому про¬
екция орбиты спутника на небесную сферу (прямые восхожде¬
ния и склонения) может быть заранее вычислена с достаточной
точностью. Это обстоятельство в случае управляемого спуска
(спуск по команде) позволяет сравнительно просто организовать
1.81
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
75
радиолокационное сопровождение спускаемой сферы вплоть до
точки падения, используя станцию, расположенную в заранее
определенной точке и начинающую сопровождение после вклю¬
чения тормозной двигательной установки. В случае неуправляе¬
мого спуска (за счет естественного торможения атмосферой)
300
I
i
1
Перегрузка (р)
Рис. 1.31. Изменение перегрузки при
спуске в зависимости от высоты
(СпА
= 0,002; начальные условия:
у.= 111 км, = 0,8).
А: 0t
Я■
= Z7
_/Г о
и •
1
о
)а^п
70 20
Перегрузка (р)
30
Рис. 1.32. Изменение перегрузки при
спуске в зависимости от высоты
(СпЛ
I—=0,002; начальные условия:
yt = 111 км, v. = 0,9).
возникает необходимость в большом числе станций сопровожде¬
ния, так как не представляется возможным заранее с достаточ¬
ной точностью определить начало спуска. В этом случае для
определения точки падения спутника имеются две основные воз¬
можности: слежение с самолетов или обнаружение по радиосиг¬
налам бортового передатчика после прохождения спутником
зоны сверхзвуковых скоростей на участке спуска в атмосфере
(или после падения на Землю или в воду). Возможность сле¬
жения с самолетов основывается на предположении, что на¬
земные стационарные станции сопровождения обеспечивают
сопровождение объекта до таких малых высот (около
180—150 км), начиная с которых возможно приближенное
76
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
прогнозирование района спуска. На этих высотах сфера успеет
совершить по крайней мере еще один виток, так что имеется
достаточно времени для отправки в ожидаемый район спуска
специальных дежурных самолетов. С накоплением опыта и
уточнением знаний о процессах торможения в верхних слоях атмо¬
сферы точность прогнозирования точки падения будет возрастать.
Графики, приведенные на рис. 1.50, 1.29, 1.59, и 1.38, пока¬
зывают, что даже малые отрицательные углы входа (0* = — Г)
Время (минуты) Время (минуты)
Рис. 1.33. Изменение перегрузки при Рис. 1.34. Изменение перегрузки при
спуске в зависимости от времени спуске в зависимости от времени
= 0,002; v; = О.Ов). = 0,002; v( = 0,9j .
значительно уменьшают дальность спуска. Поэтому крайне важ¬
но уметь измерять радиальную составляющую скорости и опре¬
делять углы входа.
В случае спуска с параболической скоростью (рис. 1.63 и
1.41 соответственно для самой легкой и самой тяжелой сфер)
диапазон дальностей спуска сравнительно невелик, поскольку
при V{= V2 спуск тела возможен лишь при сравнительно боль¬
ших отрицательных углах входа.
Продолжительность спуска с высоты 111 км на поверхность
Земли во всех случаях равна лишь нескольким минутам. Исклю¬
чение составляет лишь спуск с круговой скоростью при 0г=О.
В этом случае для сферы с параметром лобового сопротивления,
равным 0,009, продолжительность спуска составляет 27 мин,
для сферы с параметром лобового сопротивления, равным
0,002, — несколько более 40 мин и для сферы с параметром
1.81
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
77
лобового сопротивления, равным 0,041, — около 23 мин. При
углах входа 0*~— 1° продолжительность спуска уменьшается
до 10—12 мин. При угле входа 0* = —10° продолжительность
спуска при скорости спуска, равной или большей круговой, со¬
ставляет 6—7 мин независимо от величины параметра лобо¬
вого сопротивления. При скоростях спуска, меньших круговой,
продолжительность спуска составляет 18—12 мин, 12—7 мин
и 10—4 мин соответственно для сфер со значениями параметра
лобового сопротивления 0,041, 0,009 и 0,002 при углах входа
от 0 до —10° и почти не зависит от скорости спуска при 0*<О.
На рис. 1.27 и 1.28 приведены графики изменения перегрузки
в зависимости от высоты и от скорости входа для различных
значений параметра лобового сопротивления и угла входа.
Графики на рис. 1.27 показывают влияние параметра лобового
сопротивления и угла входа на высоту района максимальных
перегрузок. Высота района максимальных перегрузок в основ¬
ном зависит от параметра лобового сопротивления и в гораздо
28
О 2 4 8 в 10
Время (минуты)
Рис. 1.35. Изменение скорости при
спуске в зависимости от времени
78
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
меньшей степени от угла входа. Величина же максимальной
перегрузки, наоборот, в основном определяется углом входа и
в меньшей степени — параметром лобового сопротивления. Гра¬
фики на рис. 1.27 относятся к круговой скорости входа. Однако
20
70
А :
0t=0
В:
-7°
С:
-2°
и-
-4°
Е:
-70°
О 70 20 30 40 О 70 20 30 40
Врет (минуть/) Время (минуты)
Рис. 1.36. Изменение скорости при Рис. 1.37. Изменение перегрузки
спуске в зависимости от времени при спуске в зависимости от вре-
= °.002; vi - 1,о). мен„ = 0,002; v(. = 1,о).
следует отметить, что скорость входа не влияет на высоту райо¬
на максимальных перегрузок. На рис. 1.28 приведены графики
изменения максимальной величины перегрузки в зависимости
от скорости входа для 0г=О и 0* = —10°. Интересно отметить, что
при 0г = О максимальная величина перегрузки уменьшается при
v2 —► 1, тогда как при 0* = —10° величина максимальной пере¬
грузки с увеличением Vi возрастает. Уменьшение величины мак¬
симальной перегрузки с ростом v* при 0^ = 0 объясняется тем,
что при Vi<l траектория спуска становится сравнительно крутой
еще до того момента, как скорость тела успеет в достаточной
1.8]
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
79
степени уменьшиться. Поэтому частичное гашение орбитальной
скорости тормозной двигательной установкой до начала спуска
при близких к нулю углах входа не окупается достигаемым
при этом уменьщением величины максимальной перегрузки,
о г 4 в 8 w
Дальность (тыс морских милу
Рис. 1.38. Изменение высоты при спуске
(СпА
в зависимости от дальности 1- = 0,002;
начальные условия: уь = \\\км, vi = vc==
= 7843 м/сек, vt. = 1,0).
Следует отметить особое значение продолжительности дей¬
ствия перегрузок на живые организмы. Кривые изменения
перегрузки в зависимости от времени полета показывают, что
пики перегрузок длятся лишь несколько секунд. Однако в от¬
дельных случаях величины перегрузок оказываются довольно
80
БАЛЛИСТИКА
ГГЛ f
высокими и становятся критическими даже при отмеченных про¬
должительностях их действия (см., например, кривую Е на
400
1
!
Щ200
I
А: в,• = -
В:
С:
В:
1°
2°
С-
4°
10°
В
О 5 10 15 -20 25 30 35
Скорость (ть/с. фут/сек)
Рис. 1.39. Изменение скорости при спуске в зависимости
от высоты
(£^_ = 0,002; v; = 1,3j.
рис. 1.58, соответствующую перегрузкам, большим 20 g\ дей¬
ствующим в течение около 17 сек). В этом заключается ос¬
новной недостаток баллистического спуска по сравнению с
ыш
I
I 200
|
«1100
/
/
/
/
'А
УВ
С
——-
s'
\
S
\
А:
В:
С:
В:
0i = -1°
-2°
-4°
-10°
—
N
\
\
В
I I I I
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Мсльность (тыс. морских моль)
Рис. 1.40. Изменение высоты при спуске
(С А
в зависимости от дальности I —^ ■ = 0,002;
начальные условия: yt = 111 км, v. = l,3).
планирующим спуском, при котором имеется возможность под¬
держания перегрузки на достаточно низком уровне. При спуске
с параболической скоростью максимальная величина перегрузки
достигает примерно 45 g.
Высота (тыс. фут)
1.8]
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
81
500
| 300
I
| 200
100
/
/
/
/
А
/
У
\в
С
У
/
у
У
у
У
\
ч
ч^
у
/
\
V
А
В
С
в
0: * -1°
-2°
-4°
-10°
\
ч
и
О 0,2 0,4 0,0 0,8 1,0 1,2
Дальность (тыс. морских миль)
Рис. 1.41. Изменение высоты при спуске
(CdA
в зависимости от дальности 1—^-- =
■=0,002; начальные условия: у. = 111 км,
yt = V2).
О' 1 2 3 4 5
Время (минуты)
Рис. 1.42. Изменение высоты при
спуске в зависимости от времени
(СоА
I -jpr- = 0,002; начальные условия;
у. = 111 км, = 1,3).
Время (минуты)
Рис. 1.43. Изменение высоты
при спуске в зависимости от
(CdA
времени I—= 0,002; началь¬
ные условия: у{ = Ш км,
V-K2-).
6 К. Эрике, т. II
82
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. 1
Рис. 1.44. Изменение перегрузки при Рис. 1.45. Изменение перегрузки при
спуске в зависимости от высоты спуске в зависимости от высоты
(ir = 0,002; = 1 >3)• = 0,002; v‘=п)■
Рис. 1.46. Изменение перегрузки при
спуске в зависимости от времени
(lT ='0-002; = 1,з).
Время (минуты)
Время (мимуть/)
Рис. 1.48. Изменение скорости
при спуске в зависимости от
времени
(CdA
1,з).
,002;
Время (минуты)
Рис. 1.49. Изменение ско¬
рости при спуске в за¬
висимости от времени
- 0,002; v, = |Л2“).
6*
t>s.“
.
f
I
I
I
I
I
i
(ш/ф э;яш) viuoo/Qg
Рис. 1.50. Изменение высоты при спуске в зависимости Рис. 1.51. То же в зависимости от времени (данные рис. 1.50).
от дальности) (СDAjW = 0,041; у.>= 111 км, v.< 1,0).
Перегрузи а (р)
I
М
gm
I
100
A : 0t =» 0
В: -5°
О: -10°
А 1
/Ч J
УС
30
О 10 20
Перегруз на (р)
Рис. 1.53. Изменение перегрузки
при спуске в зависимости от высоты
V W '
а 0,041;
у{ = 111 КМ)
начальные условия:
0,9).
Время (минуты)
Рис. 1.54. Изменение перегрузки при
спуске в зависимости от времени
'С^А
W
■ 0,041; v{ -
■■ 0,8 j •
Скорость (ть/с. фут/сек)
Время (минуть/)
Рис. 1.55. Изменение перегрузки при спуске в зави-
(спА \
симости от времени I — = 0,041; = 0 9 I.
Время (минуть/)
Рис. 1,56. Изменение скорости при спуске в зависимости от вре
(СпА \
мени | —]р~ = yi ^ ^J *
1.8]
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
87
Рис. 1.57. Изменение скорости при
спуске в зависимости от времени
(тг=°>041; v,-i.o).
Время (минуты)
Рис. 1.58. Изменение перегрузки
при спуске в зависимости от вре-
мени = 0.041; v^l.oj.
Мапшсть (тыс. морских миль)
Рис. 1.59. Изменение высоты
при спуске в зависимости от
(CdA
дальности I-^- = 0,041; начальные
условия: yt = 111 кму v. = 7843 ж/се/с,
88
БАЛЛИСТИКА
(ГЛ. I
Скорость (тыс. фут/сек)
Рис. 1.60. Изменение скорости при спуске в зависимости от
= 0.041;
высоты
I
1
1
I
О 10 20 30
Скорость (тыс. фут/сек)
Рис. 1.61. Изменение скорости при спуске в зависимости от
высоты
1.8]
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ СПУСК
89
Дальность (ть/c. морских миль)
Рис. 1.62. Изменение высоты при спуске в зависимости от дальности
(СпА \
1—^—= 0,041; начальные условия: ^ = 111 км, v. = 1,31.
Дальность (ть/с. морских мильр
Рис. 1.63. Изменение высоты при спуске в зависимости от дальности
(CdA г-\
I — ^ = 0,041; начальные условия: yi= 111 км, = у 2 I.
(3) имеАЗгзЗзц
I
*
<\>
s s
а, к
с о
к s
*g.
Cu CO
U E- ^
<L> О
Л ||
0 >ГН
B E »“
О) о
s
к
О
§ ко
t4> *' К
CQ
rf
О
m я
S ”
I
I
(3) шеАЗгзЗзи
(3) меАЗгзйзц
® a
o. f-,
с о
I
§
So
1
!
>>
P-> t
n
О I
о" '
к
92
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. Г
а
4
"I
Сш/ш/ф э/т) moodoMj
S
Си
С
О
Он
о
*
о
а>
s
х
а>
х
<D
к
а,
0) вжМгзФэц
спуске в зависимости от времени спуске в зависимости от времени рости при спуске в зави-
jp— = 0,041; vi = yr2>J. = 0,041; = 1,3 j . симости от времени ^—jp— =
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
93
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а —большая полуось; азимут (географический);
b — малая полуось;
С — постоянная закона площадей;
е — эксцентриситет;
g —ускорение силы притяжения;
h — постоянная интеграла энергии;
i — угол наклонения плоскости возмущенной траектории к
плоскости невозмущенной траектории;
К — гравитационный параметр (постоянная центрального
поля тяготения);
р — фокальный параметр эллипса;
q — параметр трансверсальной («горизонтальной») скоро¬
сти [квадрат отношения трансверсальной скорости к
местной круговой скорости, определяемый равенством
(1-3)];
г — расстояние от центра притяжения;
t — время;
trx — время полета по кеплеровой орбите от перигея до
точки, удаленной от центра притяжения на расстоя¬
ние Ги
/Гоо — время полета по кеплеровой орбите от перигея до точ¬
ки, удаленной от центра притяжения на расстояние /*оо;
v — скорость полета;
w — окружная скорость точки на поверхности Земли;
х — сферическая дальность;
х* — сферическая дальность от начальной точки 1 до вер¬
шины траектории;
х*ъ — сферическая дальность от вершины траектории до точ¬
ки падения;
at 12 — сферическая дальность от начальной точки 1 до точки 2
(см. рис. 1.1);
х13 — сферическая дальность от начальной точки 1 до точки 3
(см. рис. 1.1);
у — высота полета;
у =90° —0;
А — боковое отклонение точки;
6 — половина угловой дальности баллистической траекто¬
рии;
60 — значение б, соответствующее фиктивной начальной точ¬
ке на поверхности Земли;
6j — значение б, соответствующее точке падения на высоте
начальной точки;
94
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. I
63 — значение 6, соответствующее точке падения на по¬
верхности Земли в предположении, что движение до
точки падения происходит по эллиптической траек¬
тории;
у\ — истинная аномалия;
0 — угол, образуемый касательной к траектории с местным
горизонтом;
Ф — географическая широта.
Индексы (нижние):
а — трансверсальный («горизонтальный»);
г —радиальный («вертикальный»);
с — круговой;
р — параболический;
1 — относится к начальной точке (концу активного уча¬
стка) ;
2 — относится к точке падения на высоте начальной точки
(см. рис. 1.1);
3 — относится к точке падения на невращающейся
Земле;
00 — условия на поверхности Земли;
1 —относится к точке падения на вращающейся Земле.
Индексы (верхние):
* —значение параметра в вершине траектории;
(о) — значение в градусах;
(w) — значение в радианах.
ЗАДАЧИ
1. Определите начальную скорость v\ межконтинентального снаряда при
следующих условиях: высота начальной точки г/i == 151 ООО м; сферическая
дальность, измеренная по дуге окружности, проходящей через начальную
точку, равна 9266 км; угол бросания 01 = 20°.
2. Для условий задачи 1 определите приращение дальности за счет про¬
должения траектории с высоты 151 ООО м до поверхности Земли.
3. Сравните оптимальные углы бросания для получения дальности 2780 км
на Земле, Марсе и Луне.
4. Определите угол бросания, начальную скорость (в предположении, что
начальная точка расположена на поверхности), полную высоту траектории и
полное время полета для получения дальности 1853 км при полете по ТМЭ
в условиях Луны.
5. Определите сферические дальности при следующих условиях: =
= 4575 м/сек, 01 = 45° и vi = 4725 м/сек, 01 = 35° (сопротивлением атмосферы
пренебречь; начальная точка расположена на поверхности Земли).
6. Определите для ТМЭ угол бросания и сферическую дальность до точки
падения при 14 = 7320 м/сек и уi= 183 ООО м (сопротивлением атмосферы пре¬
небречь).
7. Определите дальность и второй угол бросания, соответствующий этой
?ке дальности, при = 3660 м/сек и 0* = 6О°.
ЗАДАЧИ
95
8. Найдите величину частной производной dx/dv\ ПРИ сле_
дующих начальных условиях: #1 = 151 000 м, i>i = 7000 м/сек, 0! = 2О°.
9. При условиях задачи 8 рассчитайте величину частной производной
дх/дд\.
10. Определите величину частной производной dx/dQi при vi = 0,8 и
01=31°
11. Определите такой угол бросания 01 при Vi = 0,96, чтобы величина
частной производной дб/dvi была бы такой же, как и для траектории
с vi = 0,9 и 01 = 23°,55, а затем найдите дальность, достигаемую при
vi = 0^91.
12. При сохранении условий задачи 11 рассчитайте значение vi, обеспе¬
чивающее дальность полета, равную дальности полета по ТМЭ при vi=0,96
(при этом величина db/dvx должна быть такой же, как при vi = 0,9 и
01 = 23°,55).
13. Найдите отклонение полной дальности, вызванное совместным дей¬
ствием отклонений начальной скорости A^i = 0,305 м/сек и угла бросания
Д01=0,005 рад, для двух траекторий с полной угловой дальностью полета
26=100°; а) 01 = 30°; б) ТМЭ. Предполагается, что отклонения дальности,
вызываемые отдельными ошибками, можно складывать.
14. Определите боковое отклонение Аз точки падения при следующих
условиях: полная дальность полета *13=9266 км, боковое отклонение началь¬
ной точки Ai = 1853 м.
15. Определите боковые отклонения А3 точки падения, вызванные боко-
вой составляющей начальной скорости yni = l,5 м/сек, при высоте начальной
точки #1 = 151 000 м и дальностях 5560, 9266, 14 800 и 19 800 км.
16. Определите полные дальности полета при стрельбе на экваторе
строго на восток и строго на запад, если начальная скорость относительно
Земли ^1 = 7100 м/сек и угол бросания 01=20°.
17. Определите координаты истинной точки падения на вращающейся
Земле при следующих условиях: координаты стартовой позиции ф/=28°,5,
А/ = 82° з. д.; координаты начальной точки (конца активного участка)
ф1 = 27°,5, ^1 = 78° з. д.; £>1 = 7320 м/сек, 01 = 18°,
а1 = 90° + arcsin s;n (Фг ~ Ф») = 104од
sin (А/ — Ai)
18. С искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите
с сидерическим периодом обращения 2 час, в направлении, противоположном
скорости движения, выбрасывается некоторое тело со скоростью 91,5 м/сек
относительно спутника. Будет ли перигей орбиты брошенного тела по отно¬
шению к верхней границе атмосферы находиться: а) выше, б) ниже или
будет в) касаться? Высоту верхней границы атмосферы принять равной
91 500 м.
19. С космического корабля, движущегося по круговой орбите около
Марса на высоте 1853 км, необходимо послать разведывательную капсулу
для исследования атмосферы Марса. Определите необходимый импульс ско¬
рости, чтобы перицентр невозмущенной орбиты капсулы находился на высоте
18,5 км над поверхностью планеты.
20. Со спутника Земли, движущегося по полярной круговой орбите с си¬
дерическим периодом обращения 1,5 час, необходимо спустить капсулу на
поверхность Земли на широте ф=+40°. Определите величину необходимого
импульса скорости, если известно, что он подается автоматически в момент
прохождения спутником широты ф=—30° и направлен противоположно ско¬
рости движения спутника. Сопротивление воздуха не учитывать.
96
БАЛЛИСТИКА
[ГЛ. I
ЛИТЕРАТУРА
1. О. von Eberhardt, Einiges ueber die Ballistik grosser Schussweiten
(On the Ballistic of Large Ranges), Artilleristische Monatshefte (1928).
2. P. Schroedinger, Die Grenzen der Ballistischen Leistung grosser
R-Geraete (The Performance Limits of Large Ballistic Rocket Vehicles),
Peenemuende Archive Rep. No. 62/8 (1940).
3. R. D renick, The Perturbation Calculus in Missile Ballistics, J. Franklin
Institute, vol. 251, pp. 423—436 (1951).
4. W. E. Frye, On the Accuracy of the Long Range Ballistic Rockets,
J. Appl. Phys., vol. 22, p. 585 (1951).
5. C. D. Baker and J. J. Hart, Maximum Range of a Projectile in a
Vacuum, Amer. J. Phys., vol. 23, pp. 253—255 (1955).
6. L. В 1 i t z e r and A. D. W h e e 1 о n, Maximum Range of a Projectile in
Vacuum on a Spherical Earth, Amer. J. Phys., vol. 25, pp. 21—24 (1957).
7 B. D. Fried and J. M. Richardson, Optimum Rocket Trajectories,
J. Appl. Phys., vol. 27, pp. 955—961 (1956).
8. В. E. К a 1 e n s h e r, Equations of Motion of a Missile and a Satellite for
an Oblate-Spheroidal Rotating Earth, Calif. Inst. Tech., Jet Propulsion Lab.,
Memo 20-142, 1957.
9. J. W. Reece, R. D. Joseph and D. Shaffer, Ballistic Missile Perfor¬
mance, Jet Propulsion, vol. 26, pp. 251—255 (April 1956).
10 S. F. Singer and R. C. Wentworth, A Method for Calculating Impact
Points of Ballistic Rockets, Jet Propulsion, vol. 27, pp. 407—409 (1957).
11. A. J. Kelly, Effect of Thrust Termination Process Upon Range Dispersion
of a Ballistic Missile, ARS Journal, vol. 29, No. 6, pp 432—440 (June
1959).
ГЛАВА 2
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
2.1. Введение
Настоящая глава посвящена обширной теме — орбитам
спутников. Под спутником будем понимать тело, движущееся в
центральном или квазицентральном поле сил, мало отличаю¬
щемся от центрального поля. При этом орбита спутника, по су¬
ществу, определяется центральным силовым полем. Все прочие
влияния на движение спутника настолько малы, что могут рас¬
сматриваться в качестве возмущений.
В § 2.2, посвященном выводу спутника на орбиту, рассмот¬
рены три основных типа вывода (активный участок траектории
вывода рассматривается в главе 6), кинематика встречи спут¬
ников, возможность достижения космической станции с назем¬
ной стартовой позиции в случае непрерывного вывода и в слу¬
чае прерываемого вывода с использованием промежуточной
орбиты ожидания. Рассмотрению некоторых вопросов задачи
перехода между различными точками одной и той же орбиты
посвящен § 2.3.
В § 2.4 представлен обзор возможных источников возмуще¬
ний орбит. При этом особо подчеркивается возмущающее влия¬
ние нецентральности поля Земли и сопротивления атмосферы.
Влияние сжатия притягивающего тела на движение спутника
рассмотрено в § 2.5—2.8. Возмущающее влияние Луны и
Солнца на орбиту спутника Земли рассмотрено в § 2.9. Анализ
возмущающего влияния атмосферы приведен в § 2.10. Обзор
прочих малых источников возмущений (часто не учитываемых)
дан в § 2.11.
С § 2.12 начинается рассмотрение движения спутника Земли
в долунном пространстве, то есть в пространстве между Землей
и Луной. На движение спутника в этом пространстве оказы¬
вают значительное влияние оба силовых поля. Особый интерес
в этом пространстве представляют точки либрации. После
7 К- Эрике, г. II
98
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
1ГЛ. 2
проведенного в § 2.12 анализа основных характеристик периоди¬
ческого движения в окрестности точек либрации в § 2.13 рас¬
смотрена ограниченная задача трех тел, а ее численное решение
применительно к системе «Земля — Луна» дано в § 2.14. Вопросы
механики полета в долунном пространстве рассмотрены в §2.15.
Характеристики долунных орбит иллюстрируются специаль¬
ными примерами в § 2.16. Последние два параграфа посвящены
вопросам устойчивости орбит относительно одной из конечных
масс в ограниченной задаче трех тел. В § 2.17 рассматривается
изолированная система трех тел, тогда как § 2.18 посвящен
особым земным условиям, связанным с вопросами взаимного
влияния двух систем: «Земля — Луна» и «Солнце — Земля».
2.2. Вывод спутника на орбиту
Будем предполагать, что орбитальный летательный аппарат
выводится с Земли на орбиту спутника, которая имеет примерно
круговую форму. Механика полета орбитальных аппаратов рас¬
сматривает различные методы вывода и их влияние на многие
параметры, такие, как требуемая энергия, программа тяги, раз¬
мер ступеней, условия видимости участка вывода с определен¬
ных пунктов, продолжительность вывода и др. Однако до тех
пор, пока мы ограничены возможностями двигательных устано¬
вок, главным требованием, предъявляемым к выводу летатель¬
ного аппарата, будет оставаться требование минимизации энер¬
гии. Хотя и не исключено, что иногда важными могут оказаться
также и другие требования, определяющие собой соответствую¬
щий тип вывода. Естественно, что в подобных случаях дополни¬
тельные потери в энергии по сравнению с выводом, удовлетво¬
ряющим требованию минимума энергии, должны быть дополни¬
тельно оценены при проектировании аппарата и выборе
программы тяги.
а) Типы вывода. В настоящем параграфе мы будем рас¬
сматривать не активный участок траектории, а импульсный
вывод спутника на орбиту в консервативном поле сил. Весь
активный участок траектории сводится к точке, в которой при¬
кладывается импульс скорости. Поэтому расходы энергии на
преодоление сопротивления воздуха и действия гравитационных
сил не будут рассматриваться подробно. Однако качественная
оценка соответствующих расходов энергии будет произведена
при обсуждении вопроса о полной требуемой энергии вывода и
о программе тяги.
Вообще различают три основных типа вывода (рис. 2.1):
полностью активный вывод,
баллистический вывод,
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
99
эллиптический вывод (с участком движения по перигейной
круговой орбите радиуса, равного перигейному расстоянию
переходной орбиты, или без этого участка).
При полностью активном выводе двигательная установка ап¬
парата работает непрерывно. В этом случае имеется лишь один
активный участок, параметры движения в конце которого, по
крайней мере теоретически, должны совпадать с требуемыми
орбитальными параметрами движения спутника. При этом тяга
не обязательно должна быть
постоянной. Если не рас¬
сматривать очень низкие
орбиты, расположенные не
слишком высоко за преде¬
лами земной атмосферы
(на высотах порядка 180—
360 км), этот тип вывода по
сравнению с двумя после¬
дующими является менее
экономичным. Это объяс¬
няется тем, что с увеличе¬
нием продолжительности
активного участка возраста¬
ет расход энергии на пре¬
одоление гравитационных
сил на активном участке.
Для указанного же выше
случая вывода на низкие
орбиты, для которого пер¬
вый из рассматриваемых ти¬
пов вывода может приобретать практический смысл, необходимо
выбирать оптимальную программу движения носителя, обеспе¬
чивающую минимум этого расхода энергии. В частности, опти¬
мальная программа может выбираться из условия получе¬
ния максимальной высоты круговой орбиты при заданной
энергии всего топлива (или при заданной величине идеальной
скорости).
Эта задача выходит за рамки настоящего параграфа, и по¬
этому полностью активный вывод здесь рассматриваться не бу¬
дет. Этот тип вывода анализируется з главе 6.
При баллистическом выводе используются траектории, по¬
добные траекториям управляемых снарядов больших дально¬
стей. Траектории вывода в этом случае представляют собой
дуги эллиптических траекторий в центральном поле Земли. При
этом вершина эллиптической траектории должна касаться ор¬
биты, на которую выводится спутник. В вершине траектории
баллистически// вшоб
Рис. 2.1. Типы вывода спутника на ор¬
биту.
7*
100
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
аппарат разгоняется до требуемой орбитальной скорости (вто¬
рой активный участок).
При эллиптическом выводе аппарат вначале на сравнительно
малой высоте разгоняется до круговой скорости vc (рис. 2.1).
Затем (сразу или спустя некоторое время) аппарат разгоняется
(AvP) до перигейной скорости переходного эллипса, в апогее
которого, касающегося заданной орбиты, аппарат разгоняется
(Дуа) ДО требуемой орбитальной скорости. Для краткости кру¬
говую орбиту высотой, равной перигейному расстоянию пере¬
ходного эллипса, будем называть перигейной орбитой. Символы,
указанные на рис. 2.1 для различных точек, будут в дальнейшем
использованы в качестве индексов.
Теоретически эллиптический вывод аппарата на заданную
орбиту, вообще говоря, требует наименьших затрат энергии. На
практике это суждение не всегда оказывается верным [см. ниже
п. б)]. Вообще баллистический вывод требует большего рас¬
хода энергии, хотя и не очевидно, насколько именно больше по¬
требуется энергии при этом типе вывода. Последнее в большой
степени определяется высотой и наклоном вектора скорости
к местному горизонту в конце активного участка траектории,
которые в свою очередь могут в сильной мере зависеть от тре¬
бований прямой видимости (при слежении за аппаратом). Но
кроме энергетических имеется ряд других соображений, осо¬
бенно с точки зрения проектирования носителя, говорящих в
пользу баллистического вывода. Наконец, баллистический
вывод обладает следующими свойствами, способствующими его
использованию при решении некоторых задач.
Меньшее время полета. Очевидно, что длина траектории при
баллистическом выводе меньше, чем при эллиптическом. Сле¬
довательно, и время пассивного полета будет соответственно
короче. Вообще говоря, это преимущество может оказаться и
не очень значительным, поскольку время полета по переходной
эллиптической орбите также не слишком велико. Однако мень¬
шее время полета все же делает более гибким использование
этого метода при полетах с Земли на орбитальную станцию.
Прямая видимость во время вывода. Сравнительно более
крутая траектория в случае баллистического вывода при опре¬
деленных условиях позволяет производить радиолокационное
или оптическое слежение за аппаратом до самой вершины тра¬
ектории с пунктов, расположенных на стартовой позиции или
вблизи нее. Таким образом, определение действительной траек¬
тории и, если потребуется, управление полетом не потребуют
специальных пунктов, расположенных вдоль трассы вывода.
Это может способствовать значительному увеличению точности
Завода искусственных спутников и автоматических станций,
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
101
При эллиптическом выводе на низкие орбиты для организации
слежения на всем участке вывода возникает необходимость в
большом числе измерительных пунктов, расположенных вдоль
трассы вывода, так как апогейная точка переходного эллипса
по отношению к стартовой позиции находится примерно на про¬
тивоположной стороне Земли. Однако сеть наземных станций
используется и для ведения исследований, связанных с изуче¬
нием различных процессов в космическом пространстве, и по¬
этому создание широкой сети измерительных пунктов не сле¬
дует относить лишь к обеспечению эллиптического вывода. При
решении задачи встречи с орбитальной станцией управление
сближением лучше производить не с наземных станций, а с са¬
мой орбитальной станции. В этом случае эллиптический вывод
имеет некоторое преимущество перед баллистическим, так как
при эллиптическом выводе относительные параметры движения
при сближении меняются медленнее.
Спуск ступеней носителя. Более крутой активный участок
траектории при баллистическом выводе, меньшая величина ско¬
рости и, следовательно, меньшие размеры ступеней носителя
дают ряд преимуществ с точки зрения спуска и спасения ступе¬
ней носителя. Дальности полета отработавших ступеней носи¬
теля оказываются короче. Поэтому в случае использования
тормозных парашютов операции по спасению ступеней упро¬
щаются. Раскрытие парашютов для торможения отработавших
ступеней носителя может быть произведено еще до достижения
соответствующей ступенью вершины траектории. При этом вы¬
бор точки траектории, соответствующей моменту раскрытия па¬
рашюта, определяют, исходя из наилучшего удовлетворения как
требованиям торможения, так и требованиям максимально воз¬
можного уменьшения нагрева парашюта. Условия работы тор¬
мозного парашюта по мере продолжения подъема ступени улуч¬
шаются, поскольку уменьшается скорость движения ступени,
увеличивается высота и уменьшается плотность воздуха. Эффек¬
тивность действия тормозных парашютов оказывается доста¬
точной для предупреждения чрезмерного увеличения скорости
ступени на нисходящей ветви траектории. Чтобы обеспечить
спасение последней ступени носителя (которая, если не принять
специальных мер, будет сопровождать спутник до вершины
траектории вывода), можно отделить последнюю ступень от
спутника несколько раньше расчетной точки 1 конца активного
участка траектории вывода, а необходимую добавочную ско¬
рость получить за счет двигательной установки самого спутника.
После достижения необходимой скорости двигательная уста¬
новка спутника выключается и включается второй раз в районе
102
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
вершины траектории для разгона аппарата до необходимой
орбитальной скорости. Естественно, что это вызовет определен¬
ные конструктивные усложнения, поскольку возникает необходи¬
мость в обеспечении повторного запуска двигателя. К тому же,
если требуемая добавочная скорость в районе вершины траек¬
тории окажется большой, то указанный метод приведет к уве¬
личению и без того больших размеров космического аппарата.
При эллиптическом выводе спасение ступеней, в особенности
второй ступени, осложняется из-за больших скоростей полета
ступеней, что, вероятно, приведет к практической неприемле¬
мости использования тормозных парашютов.
б) Энергетические требования. С точки зрения механики
полета различие рассмотренных трех типов вывода заключается
в различном энергетическом уровне перигейных орбит и, следо¬
вательно, в различном уровне орбитальных энергий. Если пре¬
небречь сопротивлением атмосферы и предположить, что период
работы двигательной установки бесконечно мал, то оптимальное
расстояние перигейной орбиты от центра Земли будет равно
радиусу Земли. При этом кинетическая энергия, соответствую¬
щая требуемой перигейной скорости, приобретается без потерь
на преодоление силы притяжения и сопротивления атмосферы
на активном участке траектории и используется для вывода ап¬
парата в апогей переходной орбиты. В этом смысле эллиптиче¬
ский вывод идентичен выводу с минимальным расходом энергии.
Отступлением от вывода с минимальным расходом энергии яв¬
ляются случаи, когда перигейная орбита либо поднята над по¬
верхностью Земли, либо (теоретически) опущена вниз, «внутрь»
Земли.
В первом случае разность высот перигейной орбиты и орби¬
ты спутника уменьшается, но возникает необходимость в перво¬
начальном подъеме аппарата на большую высоту, что связано
с дополнительной затратой энергии на подъем топлива. При
этом (в случае практически осуществимого отношения тяги к
весу аппарата) дополнительный расход энергии превысит ожи¬
даемую ее экономию за счет меньшей разницы в высотах пери¬
гейной орбиты и орбиты спутника. В предельном случае, доведя
высоту перигейной орбиты до высоты орбиты спутника, получим
первый тип вывода — полностью активный вывод. При этом
перигейная орбита совпадает с орбитой спутника и расход
энергии на поднятие топлива становится максимальным. На
практике, вследствие конечной продолжительности работы дви¬
гателей на активном участке, наличия сопротивления атмосферы
и требований управления и контроля полета, приходится подни¬
мать перигейную орбиту за пределы атмосферы на умеренные
высоты (90—150 км).
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
103
Уменьшение (теоретическое) высоты перигейной орбиты, при
котором ее высота становится отрицательной, ведет к баллисти¬
ческому типу вывода. При этом все больше увеличивается раз¬
ница между уровнями энергий перигейной орбиты и орбиты
спутника и уровень энергии баллистической траектории вывода
оказывается меньшим, чем у переходной эллиптической ор¬
биты1). При эллиптическом выводе вся энергия, необходимая
для осуществления перехода из перигейной точки в апогейную,
используется самым эффективным образом: она целиком ис¬
пользуется на создание горизонтальной (нормальной к радиусу-
вектору) составляющей скорости AvPl которая представляет со¬
бой разность между требуемым значением перигейной скоро¬
сти vP и величиной местной круговой скорости vc на перигейной
орбите, так что vP = vc + AvP. При смещении перигейной орбиты
ниже поверхности Земли конец активного участка не может
совпадать с перигейной точкой. При этом энергия на переход от
конца активного участка до орбиты спутника в увеличиваю¬
щейся степени будет расходоваться на создание вертикальной
(радиальной) составляющей скорости, в то время как горизон¬
тальная составляющая скорости станет уменьшаться. Чем круче
баллистическая траектория вывода при заданной высоте орбиты
спутника и, в меньшей степени, чем больше высота вывода при
заданном угле бросания, тем больше должна быть радиальная
составляющая скорости. Это соответственно уменьшает ту часть
полной кинетической энергии в конце активного участка траек¬
тории, которая приходится на создание горизонтальной состав¬
ляющей скорости.
Не следует смешивать природу потерь кинетической энергии
на создание радиальной составляющей скорости при движении
по баллистической траектории вывода с природой потерь энер¬
гии на преодоление сопротивления воздуха и силы притяжения
на активном участке траектории, когда энергия расходуется
безвозвратно. Потеря кинетической энергии на создание ради¬
альной составляющей скорости полностью восстанавливается
при свободном падении тела до уровня высоты конца активного
участка, поскольку это возвратное движение происходит в по¬
тенциальном поле только под действием консервативной силы.
В рассматриваемом случае речь идет о потере энергии на созда¬
ние радиальной составляющей скорости, потому что горизон¬
тальная составляющая, которая одна только и нужна для обес¬
печения круговой орбиты спутника, при наличии радиальной
составляющей не оказывается максимальной в момент выклю¬
!) Это утверждение подробно поясняется автором несколько ниже.
(Прим. ред.)
104
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
чения двигательной установки. Более крутые траектории актив¬
ного участка при баллистическом выводе вносят дополнитель¬
ные потери энергии на преодоление силы притяжения. То обсто¬
ятельство, что при этом будут уменьшаться потери энергии на
преодоление силы сопротивления воздуха, не дает значительной
компенсации. Для больших ракет с небольшими отношениями
начальной тяги к стартовому весу (в пределах 1,2-г-1,5) потери
энергии на преодоление силы сопротивления воздуха состав¬
ляют лишь около 10% от потерь энергии на преодоление силы
притяжения. Более важным преимуществом баллистического
типа вывода является меньшая по сравнению с эллиптическим
выводом величина скорости Vi в конце активного участка, тре¬
бующая меньшей продолжительности активного участка и соот¬
ветственно меньшего расхода энергии на преодоление силы при¬
тяжения.
Баллистический вывод с небольшими углами бросания (то
есть с малыми величинами радиальной составляющей скорости)
по сравнению с выводом с минимальным расходом энергии вы¬
зовет только незначительное увеличение требуемой энергии.
К тому же последствия использования траектории вывода с не¬
сколько большей крутизной, как уже было отмечено выше, ком¬
пенсируются (и в некоторых случаях даже с избытком) сокраще¬
нием времени работы двигателей и уменьшением расхода энергии
на преодоление силы сопротивления воздуха. С другой стороны,
практическое применение эллиптического вывода требует, как
подчеркивалось ранее, достаточно высоких перигейных орбит.
Поэтому для не слишком высоких орбит баллистический вывод
на них оказывается с точки зрения расхода энергии равноцен¬
ным эллиптическому выводу (а в действительности даже более
выгодным). Точная граница высот, начиная с которых более
выгодным оказывается эллиптический вывод, зависит от аэро¬
динамической компоновки и программы тяги конкретного
носителя. Однако диапазон высот орбит, для которых баллисти¬
ческий тип вывода оказывается более выгодным, сравнительно
невелик. Для часто рассматриваемых высот орбит порядка
900-^-1800 км более выгодным оказывается эллиптический вы¬
вод. Поэтому применение баллистического вывода существенно
ограничено и он применяется либо при необходимости вывода
спутника с научным оборудованием на малые высоты, либо
при необходимости удовлетворения требованию прямой ви¬
димости или удовлетворения иным специальным требованиям
(например, быстрота подъема спасательного аппарата на борт
пилотируемого космического корабля), либо вообще в слу¬
чаях, когда вопросы минимизации энергии не играют главной
роли.
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
105
Из соотношения1) (1.4.32) можно получить выражение для
начальной скорости V\ траектории баллистического вывода
которое с использованием зависимости (1.24) приводится к виду
мм)- м
Величину скорости у* в вершине траектории можно определить
из соотношения (1.16). Разделив соотношение (1.16) на зависи¬
мость (2.1), получим отношение величины скорости а* в вер¬
шине траектории к величине начальной скорости
КМ)
1/2
(2.2)
(2.3)
Это же отношение можно выразить через величины rjr* и 0ь
если использовать соотношение (1.14):
О* г, а Г Jr*
— = — cos 0, = r —.
Vi r* ]^l+tg20!
Для сравнения запишем выражение этого отношения для
ТМЭ, введенной в § 1.3. В этом случае выражения (2.2) и (2.3)
приобретают вид
КМ) _и
(~) -
v 1 7 ТМЭ
/
(-) -
rjr*
Vi-'
(2.3а)
(2.3b)
Требуемая величина приращения скорости в вершине траек¬
тории для перехода на круговую орбиту, касающуюся вершины
баллистической траектории, определяется как
bv*=v*-v\
(2.4)
где v'c — величина круговой скорости в вершине траектории.
Относительное радиальное расстояние г*/г\ до вершины
1) См. «Космический полет», т. I. В дальнейшем ссылки на формулы
первого тома даются аналогичным образом. (Прим. ред.)
106
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
траектории в зависимости от величин vi, 0i и е получим из соот¬
ношения (1.17):
Это же отношение может быть выражено через половину угло¬
вой дальности:
где вшах — половина угловой дальности ТМЭ [см. соотношения
В отличие от произвольно выбранной эллиптической траек¬
тории, для ТМЭ существует однозначная зависимость между
начальной скоростью и высотой траектории. Поэтому ТМЭ не
может обеспечить вывод на любую высоту. Из анализа общих
характеристик этого типа траекторий следует, что малые вы¬
соты траекторий соответствуют либо малым величинам началь¬
ных скоростей, либо очень большим величинам начальных ско¬
ростей (vi—> 1), при этом влияние атмосферы не учитывается.
Следовательно, в этом диапазоне существует величина началь¬
ной скорости, обеспечивающая максимальную высоту траекто¬
рии, а следовательно, и максимальную высоту орбиты, дости¬
гаемую при баллистическом выводе с использованием ТМЭ.
Дифференцируя соотношение (2.5b) по vp получаем:
Приравнивая нулю числитель последнего выражения, най¬
дем условие экстремума. Это условие после преобразований
(2.5а)
и
(2.5Ь)
(2.6а)
Из уравнения (1.11) можно получить:
(2.7)
Для ТМЭ будем иметь:
(2.6Ь)
(1.30)].
(2.6)
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТА
107
запишется в виде следующего уравнения:
v} - 2v2 - 4 V1 ~ v2 - 4 = 0.
Физически интересным корнем этого уравнения является ко¬
рень
то есть максимальная высота ТМЭ составляет примерно 1260 км
и зависит от высоты начальной точки.
Энергия, необходимая при баллистическом выводе, пропор¬
циональна сумме начальной скорости Vi и приращения ско¬
рости Да* в вершине траектории (если пренебречь потерями
энергии во время работы двигателей в районе вершины траек¬
тории, что допустимо при создании двигателями больших уско¬
рений). Сумма этих скоростей называется баллистической ско¬
ростью:
На основании равенства (1.31Ь), которое является просто
модификацией уравнения Кеплера, можно записать выражение
для времени полета от начальной точки до вершины траектории
в следующем виде:
Подставляя сюда значение а = г*/(\+е) и переходя к относи¬
тельному радиальному расстоянию г*/п До вершины траектории,
получаем:
Используя соотношение г*1г{ = v2 cos2 0, j( 1 — е), запишем выра¬
жения для определения времени полета для общего случая
v2 = 0,82884, Vj = 0,91038.
Пр и этом значении V]
Wball = Vi + До*.
Д/ir* = л/\п+ лГ——, — sin 61 — arccos (-——)] . (2.9а)
* К I У 1 — е2 а \ ае / J
(2.9Ь)
108
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
баллистического вывода и случая вывода с использованием ТМЭ
в такой общей форме:
A/lr* v? cos2 02
r3/2
ri
X
(^1г*)тмэ
1-е2
я +
, Г У) cos-
V К( 1 -
К (1-е2)
X
е У 1—е2
v2 cos2
1
1 -
1-е2
sin 6, — arccosl
cos2 0j
-3/2
X
д +
(2-vgVK(2-vy
(2-vf)VT^f
X
v?-l
vi
sin 6raax - arccos l
V V I - vf
(2.9c)
(2.9d)
с вспомогательными зависимостями
..2
tg6 =
Vj tg 0
sin О =
i — vf+tar e,
X
■X,
COS 6 =
Vi+i
1
e = ■
Kl+*2 ’
1 —v2 cos2 0j
cos 6
.,2
^8 ^max
2 V" 1 — vf
В таблице 2.1 приведены вспомогательные данные для вычис¬
ления времени полета. Графики времени полета до вершины
траектории приведены на рис. 2.8.
Если пренебречь потерями энергии на активном участке тра¬
ектории, то можно считать, что минимальная энергия при эл¬
липтическом выводе обеспечивается при гА/гР-< 11,94 [см. фор¬
мулу (3.50)]. Полная энергия космического летательного аппа¬
рата после вывода на орбиту представляет собой сумму
кинетической энергии и разности потенциальных энергий на
высоте орбиты и на поверхности Земли. Эквивалентная этой
полной энергии скорость представляет собой минимально необ¬
ходимую скорость для вывода аппарата с поверхности Земли
2.2] ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ 109
на заданную орбиту. Эта энергетическая скорость определяется
следующим соотношением:
+ <2-Ю)
Разность между цьаи и vE называется баллистическим эксцессом
и обозначается через Диьаи-
Таблица 2.1
Вспомогательные данные для расчета времени полета
Высота у{
начальной
точки,
морские
мили
Радиальное
расстояние г,
до начальной
точки,
морские
мили
гЗ/2
Г1 •
{морские
мили)3^2
Высота ух
начальной
точки,
морские
мили
Радиальное
расстояние гх
до начальной
точки,
морские
мили
3/2
Г1 ’
{морские
мили)3^2
0
3440
201 761,2
60
3500
207 062,8
10
3450
202 641,6
70
3510
207 950,8
20
3460
203 525,3
80
3520
208 840,1
30
3470
204 406,3
90
3530
209 730,7
40
3480
205 290,5
100
3540
210 622,6
50
3490
206 176,0
На рис. 2.2 приведены графики изменений величин vc, vE и
Vbaii для вывода с использованием ТМЭ. Соответствующий гра¬
фик изменения величины баллистического эксцесса приведен на
рис. 2.3. Можно заметить, что баллистический эксцесс достигает
максимума при ~0,55. При этом высота ТМЭ составляет
примерно 504 км (280 морских миль), а величина баллистиче¬
ского эксцесса равна 665 м/сек (2180 фут/сек). Такое увеличе¬
ние A^baii при уже достаточно большом значении vE является
причиной ощутимого увеличения стартового веса многоступен¬
чатого носителя.
Хотя при больших скоростях баллистический эксцесс умень¬
шается, величина ^ьаи остается примерно постоянной в диапа¬
зоне 0,6<£ц/ис<0,9. Вследствие этого требуемая начальная ско¬
рость быстро уменьшается с приближением условий вывода к
условиям эллиптического вывода. Однако при дальнейшем уве¬
личении отношения v\/vc (vi/vc>0,9\) высота также быстро
уменьшается. При значениях v\/vc, меньших 0,5, величина t>baii
все еще достаточно большая, примерно 8,25 -г- 8,85 км/сек
(27 000-ь29 000 фут/сек), что объясняется возрастанием вели¬
чины Дц*, которая (при достаточно малых значениях скорости)
превосходит Vi. При этом большая часть топлива должна быть
поднята на большую высоту, чем при эллиптическом выводе.
110
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Следовательно, размеры носителя должны быть соответственно
большими и он должен состоять из нескольких ступеней. Од¬
нако эти случаи не имеют большого практического значения.
Рис. 2.2. Скорости, необходимые при эллиптическом выводе и при бал'
листическом выводе по ТМЭ.
Высота орбиты у* (мш (pymj
Рис. 2.3. Баллистический эксцесс при выводе по ТМЭ.
На рис. 2.4 представлены сводные графики требуемых скоро¬
стей для эллиптического вывода (случай минимальной требуе¬
2.2] ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ 1 1 1
мой энергии) и баллистического вывода, включая вывод с ис¬
пользованием ТМЭ. В правой части рисунка приведен вспомога¬
тельный график для перехода от относительного радиального
Рис. 2.4. Сводные графики скоростей, требуемых при эллип¬
тическом и баллистическом выводах.
расстояния r*/ri к высоте орбиты у* (отсчитываемой от поверх¬
ности Земли) в различных единицах. При заданной величине
радиального расстояния r*/ri увеличение угла бросания вызы¬
вает сильное увеличение требуемой начальной скорости. Срав¬
112
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
нительно меньшее влияние на увеличение скорости оказывает
увеличение высоты орбиты при постоянном угле бросания.
Пунктирные линии, соответствующие постоянным значениям от¬
ношения V\/vCt показывают, какую величину от круговой ско¬
рости необходимо обеспечить в начальной точке /. Энергетиче¬
ские требования при выводе с использованием ТМЭ сравни¬
тельно велики и соответствуют энергетическим требованиям
баллистического вывода при углах бросания между 30° и 45°.
Это показывает, что при баллистическом выводе ТМЭ в энер¬
гетическом отношении не занимает такого особого положения,
которое она занимает в семействе баллистических траекторий
больших дальностей. Это вполне понятно, так как оптимизация
траектории баллистического вывода достигается минимизацией
величины не начальной скорости, а величины радиальной со¬
ставляющей начальной скорости.
в) Программа тяги и размеры ступеней. Анализ полной
требуемой энергии вывода не дает картины в целом. Пунктир¬
ные линии, соответствующие постоянным значениям отношения
vjvc (рис. 2.4), позволяют быстро оценивать величину переход¬
ной скорости Aw*. Эти линии также показывают значительное
влияние уменьшения высоты на увеличение Ди*.
Более подробный анализ этой тенденции иллюстрируется
графиками, представленными на рис. 2.5. С уменьшением вы¬
соты при заданном угле бросания 01 величина Ли* увеличи¬
вается. При этом более резкое увеличение Ди* происходит
в области малых высот. Другим очень важным обстоятельством
с точки зрения проектирования является не сам факт увеличе¬
ния суммы скоростей V\ и Ли* при увеличении угла бросания,
а большее увеличение Ли* по сравнению с гц. Большое увели¬
чение Ди* приводит к увеличению веса и размеров ступеней
космического аппарата и к необходимости подъема большого
количества топлива на высоту заданной орбиты. Если сравнить
значения Ди*, взятые с графиков на рис. 2.5, с величинами ДиА
при эллиптическом выводе, то станет очевидным большее влия¬
ние увеличения Ли* по сравнению с увеличением общей суммы
скоростей V\ и Ди* на размеры и количество ступеней и требуе¬
мые тяги. Например, из рис. 2.4 видно, что при г*/г{ = 1,1 и
01 = 10° величина скорости Уьан лишь на 90 м/сек (300 фут/сек)
превышает vE, и даже этой разницы, вероятно, не будет, если
сравнивать баллистический вывод с выводом по практическим
эллиптическим орбитам. Однако графики, приведенные на рис. 2.5,
показывают, что в рассматриваемом примере величина Ди*
достигает 760 м/сек (2500 фут/сек), тогда как ДиА составляет
всего лишь около 150 м/сек (500 фут/сек). Таким образом, ме¬
жду эллиптическим выводом и баллистическим выводом при
2.2] ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ 113
0! = 10° имеется более глубокое различие, чем можно было бы
судить лишь по величине баллистического эксцесса.
Учет указанной особенности, естественно, производится в за¬
висимости от конкретных условий при проектировании. Однако
I I I—I—I—I—I—I—I—I—I
О 500 1000 Высота орбиты г/* (морскиемили)
Рис. 2.5. Разность между орбитальной скоростью и скоро¬
стью в вершине траектории вывода.
ясно, что для уменьшения веса ступеней большие выгоды сулит
эллиптический вывод, даже если при этом будет не очень боль¬
шой энергетический выигрыш или его вовсе не будет. Уменьше¬
ние веса последней ступени играет важную роль, в особенности
для пилотируемых планирующих космических аппаратов, так
8 К. Эрике, т. П
114
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
как оно облегчает решение аэротермодинамических проблем,
возникающих при спуске аппарата в атмосфере.
г) Прямая видимость. На рис. 2.6 приведены графики, по¬
казывающие изменение величины г*/г\ при баллистическом
Рис. 2.6. Зависимость высоты траектории от начальной скорости.
выводе на различные орбиты в зависимости от параметра на¬
чальной скорости. На рис. 2.7 показано изменение величины
г*/гх в зависимости от половины угловой дальности 6i траекто-
2.21
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
115
рии баллистического вывода. Там же приведены две кривые г/ги
представляющие собой предельные расстояния видимости точек
траектории (на радиальных расстояниях г) с начальной точ¬
ки 1 при заданных углах возвышения 0=10° и (3 = 0, измеряемых
вверх от горизонта начальной точки. Случай (3 = 0 соответствует
Рис. 2.7. Прямая видимость при баллистическом выводе.
максимальным дальностям прямой видимости точек траектории
в предположении, что слежение (оптическое или радиолокаци¬
онное) за космическим аппаратом возможно до пересечения им
линии горизонта. Радиальная дальность г (от центра Земли)
и угловая дальность 6i при заданном угле возвышения связаны
зависимостью
(—) =—т^глТ. (2.11а)
\гijp cos (Р + 6t) v '
8*
116
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
ГГ Л. 2
которая при (3 = 0 (максимальная дальность прямой видимости)
обращается в равенство
Приведенные на рис. 2.7 две кривые предельной видимости пе¬
ресекают семейство кривых высота — угловая дальность в раз¬
личных точках. Все точки, находящиеся справа от заданной
кривой предельной видимости, не могут наблюдаться (при за¬
данном угле возвышения) из точки, расположенной на земной
поверхности под начальной точкой 1. В частности, можно ви¬
деть, что для орбиты с относительным радиальным расстоянием
около 1,1а*оо, представляющей интерес для пилотируемых косми¬
ческих аппаратов, при (3=10° для обеспечения прямой видимости
до вершины траектории вывода угол бросания по меньшей мере
должен быть равен 32° (6i = 17°, и из рис. 2.6 vi~0,7). При (3 = 0
минимальный угол бросания при всех остальных прежних усло¬
виях уменьшается до 22° (6i = 30°, vi^0,8). Так как в действи¬
тельных условиях угол возвышения линии визирования косми¬
ческого аппарата в вершине траектории должен отличаться от
нуля (хотя бы на 5^-10°), то требование прямой видимости тра¬
ектории вывода из точек, расположенных вблизи стартовой по¬
зиции, приводит к чрезмерно большим углам бросания. По¬
этому в большинстве случаев приходится отказываться от
организации слежения только из района стартовой позиции и
переходить на слежение с пунктов, расположенных вдоль трас¬
сы вывода.
д) Продолжительность вывода. Результаты расчетов времени
вывода в зависимости от параметра начальной скорости пред¬
ставлены в виде графиков на рис. 2.8. На рис. 2.9 представлены
графики времени вывода в зависимости от относительного рас¬
стояния а*/гоо. Как следует из графиков, время баллистического
вывода гораздо меньше по сравнению с временем эллиптиче¬
ского вывода. Однако вследствие того, что время эллиптического
вывода сравнительно невелико, уменьшение времени бал¬
листического вывода не будет играть существенной роли при
обычных полетных заданиях. Количество же случаев, при кото¬
рых уменьшение времени вывода будет служить достаточным
основанием, чтобы отдать предпочтение баллистическому типу
вывода, будет не таким уж большим.
е) Анализ ошибок. Дифференцируя соотношение (2.5а) по
Vp получаем:
(2.1 lb)
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
117
а из соотношения (1.17) с использованием равенства <71 = cos2 0i
находим:
de (v2- l) cos201
dv?
de
dv,
= 2—-
e
de
°i
(2.13a)
(2.13b)
Влияние ошибки в начальной скорости на отклонение величины
г*/г\ будем характеризовать фактором ошибки начальной ско¬
рости:
а(тг) „..д(тг) 2v'C0i’9'
dv.
dv2
1-е
1 -
Vl (l — v2) COS2 0,
~e(\-e)
(2.12b)
Аналогичным образом получим выражение для фактора ошибки
начального угла бросания, характеризующего влияние ошибки
в угле бросания на отклонение величины г*/г\:
1 (т”) v? cos2 0j de
2v\ cos 0j sin 0j
d0! (1 — e)2 d0t
de V| sin 20! (2 — v2)
щ;=~“
l-e
'(£) = v‘si
2e
sin 20,
(50,
1 — e
- 1
[ (2 — V?) cos2 0j
2e (1 — e)
Дифференцируя соотношение (2.3), получаем:
vi 0 v?)cos2
Oi I
2vj cos 0j
dv{
-1
e (1 -e)
<30,
sin 0!
1 -
2 - V, r*
(2.14a)
(2.13c)
(2.14b) ■
(2.15a)
(2.15b)
Из соотношения (2.13a) следует, что при vi<l отклонение
начальной скорости в большую сторону приводит к уменьше¬
нию эксцентриситета. Это объясняется тем, что в этом случае
начальная точка располагается ближе к апогейной точке эллип¬
тической траектории, чем к иеригейной точке. При vj = 1
(и 01 >0) начальная точка является точкой пересечения малой
полуоси с эллипсом (эксцентрическая аномалия £ = 90°; см.
118
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
главу 4 тома I). При v4>l начальная точка оказывается ближе
к перигею, и в этом случае увеличение начальной скорости
приводит к увеличению эксцентриситета. Частная производная
Рис. 2.8. Время полета на пассивном участке до вершины траек¬
тории в зависимости от параметра начальной скорости.
d(r*/r\)/dvi положительна [см. выражение (2.12Ь)], так как уве¬
личение Vi всегда приводит к увеличению г*. Рассматривая кри¬
вые, приведенные на рис. 2.6, можно сделать вывод, что с уве-
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
119
личением углов бросания касательной к этим кривым обра¬
зуют большие углы с осью абсцисс, а это в свою очередь
Рис. 2.9. Время полета на пассивном участке до вершины
траектории в зависимости от относительного радиального рас¬
стояния до вершины траектории г*/г00.
свидетельствует о большей чувствительности величины г*/гх к
ошибкам в начальной скорости при больших углах бросания,
особенно при vi<0,95.
120
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Выражение (2.14Ь) показывает, что с увеличением эксцен¬
триситета баллистической траектории вывода, то есть при уве¬
личении угла бросания или при увеличении начальной скоро¬
сти, когда vi>1, возрастает чувствительность относительного
радиального расстояния до вершины траектории к ошибкам в
угле бросания. Чувствительность относительного радиального
расстояния до вершины траектории к ошибкам в угле бросания
возрастает с увеличением начальной скорости. Это можно за¬
метить по характеру кривых, приведенных на рис. 2.6. Действи¬
тельно, с увеличением начальной скорости расстояние по верти¬
кали между соседними кривыми, соответствующими определен¬
ным углам бросания, увеличивается.
Из выражения (2.15а) следует, что чувствительность вели¬
чины скорости в вершине траектории вывода к ошибкам в на¬
чальной скорости резко уменьшается при увеличении угла бро¬
сания (пропорционально cos5 0i) и увеличении высоты вывода
[пропорционально l/{r*/ri)2\. Эта закономерность подтверждает¬
ся характером кривых семейства графиков, изображенных на
рис. 2.5. При малых величинах 01 и г*/п кривые круто подни¬
маются вверх, становясь более пологими при больших значени¬
ях каждой из величин 01 и г*/п или при одновременно больших
значениях их обеих. Что касается чувствительности величины
скорости в вершине траектории к ошибкам в угле бросания
[см. выражение (2.15Ь)], то она уменьшается с увеличением
отношения г*/г{ и, в меньшей степени, — с увеличением 0Ь
Эта закономерность также подтверждается характером кривых,
приведенных на рис. 2.5. При увеличении отношения г*/г\ и
увеличении угла 01 расстояние по вертикали между соседними
кривыми, соответствующими разным углам бросания, умень¬
шается.
Таким образом, чувствительность относительного радиаль¬
ного расстояния до вершины траектории по сравнению с чувст¬
вительностью величины скорости в вершине траектории к ошиб¬
кам в величине начальной скорости и в угле бросания обладает
противоположной закономерностью. При возрастании величин
01 и vi (а следовательно, и величины г*/п) чувствительность
относительного радиального расстояния до вершины траектории
к ошибкам в начальной точке увеличивается, тогда как чув¬
ствительность величины скорости в вершине траектории в этом
случае уменьшается.
Изменение относительного радиального расстояния до вер¬
шины траектории с учетом одновременного влияния ошибок в
величинах начальной скорости и угла бросания, считая ошиб¬
ки достаточно малыми [см. выражение (1.63)], можно выразить
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
121
таким приближенным равенством:
(2.16)
Аналогичное выражение можно получить и для изменения ве¬
личины скорости в вершине траектории:
ж) Кинематика встречи спутников. Плоскость, в которой
в результате суточного вращения Земли происходит движение
любой стартовой позиции, не расположенной на экваторе, не
может совпадать с плоскостью орбиты спутника, так как по¬
следняя плоскость проходит через центр Земли. Поэтому ис¬
пользование компланарной схемы вывода космического аппа¬
рата с поверхности Земли для встречи со спутником резко
ограничено. Если угол i наклонения орбиты больше широты qpL
стартовой позиции или, более строго, больше широты cpi началь¬
ной точки (конечной точки активного участка траектории при
старте с Земли или при орбитальном старте с промежуточной
орбиты), то начальная точка будет дважды в сутки пересекать
плоскость орбиты спутника. При каждом пересечении начальной
точкой плоскости орбиты спутника и при выполнении соответ¬
ствующих начальных условий можно осуществить совмещение
плоскости траектории баллистического вывода (переходной ор¬
биты) с плоскостью орбиты спутника. При этом положение спут¬
ника на орбите в момент времени, соответствующий положению
космического аппарата в начальной точке, должно обеспечить
последующую встречу аппарата со спутником в точке касания
переходной орбиты аппарата с орбитой спутника. В случае выво¬
да аппарата по касательной эллиптической орбите, переходная
дуга которой равна 180°, координаты точки касания должны
быть равны: ср = —cpi и Х=\80° + Х\у где X—абсолютная долгота
точки касания без учета вращения Земли. В случае вывода
космического аппарата по баллистической траектории проекция
вершины траектории на поверхность Земли должна иметь коор¬
динаты ф>—ф1 и Х<\80° + %и зависящие от продолжительности
баллистического вывода. Этот случай изображен на рис. 2.10.
Линия 1—3 является линией узлов в плоскости широты фЬ Если
начальная точка совпадает с точкой 1 или 3, то космический
аппарат оказывается в плоскости орбиты спутника. Предполо¬
жим, что начальной точкой траектории баллистического вывода
является точка 1 и вершина траектории касается орбиты спутника
(2.17)
122
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
где-то между точками 2 и 3. При этом величина половины
угловой дальности траектории баллистического вывода будет
находиться в пределах между 612 и 613. Чем меньше значение
половины баллистической угловой дальности, тем выше энерге¬
тические требования к выводу (см. рис. 2.5 и 2.4), но при этом
шире диапазон баллистических траекторий, пригодных для вы¬
вода космического аппарата на орбиту. С другой стороны, если
Рис. 2.10. Условия перехода на орбитальную
станцию на неэкваториальной орбите.
угловая дальность 613 слишком мала, то аппарат может быть
выведен на орбиту, например, по траектории баллистического
вывода между точками / и ^ или по переходной эллиптической
орбите между точками 1 и 4. Такие же возможности существуют
и для случая, когда начальная точка совпадает с точкой 3
при условии, что спутник занимает соответствующее положение
на своей орбите. Чем больше дальность траектории вывода, тем
чаще можно ожидать, что взаимное расположение космического
аппарата и спутника окажется приемлемым для их последующей
встречи. При'
1 = ф1 существует только одна точка (точка 2), с
которой возможен компланарный переход аппарата на ор¬
биту спутника. При определенных условиях (см. ниже) возмож¬
ность достижимости спутника при этом может уменьшиться
вдвое.
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
123
В случае, когда cpi<i, вывод космического аппарата на ор¬
биту спутника не может быть осуществлен без азимутального
маневра. Поэтому аппараты класса «Земля — орбита» всегда
могут запускаться с той же стартовой позиции, что и спутник,
с которым предполагается осуществить встречу на орбите, так
как для них Однако если по каким-либо причинам стар¬
товая позиция, с которой был запущен спутник, окажется непри¬
годной для последующего пуска аппарата, предназначенного
для встречи со спутником, а в наличии имеется лишь стартовая
позиция, для которой ф1>1, то осуществление компланарного
вывода невозможно. Из этого следует, что использование Атлан¬
тического полигона (фь = 28°,5) для вывода на экваториальные
орбиты и орбиты с малыми наклонениями вызывает серьезные
трудности. Экваториальные стартовые позиции (например, на
островах Тихого океана), если они к тому же обладают широким,
диапазоном азимутов пуска, позволяют производить вывод и на
экваториальные орбиты и на орбиты с любыми наклонениями.
Таким образом, возможность достижимости экваториальных
орбит и орбит с малыми наклонениями при фь>1 будет зависеть
от наличия других стартовых позиций в районе экватора. При
невозможности размещения стартовых позиций на экваторе или
вблизи экватора энергетические требования для осуществления
встречи со спутником резко возрастают. В этом случае потре¬
буются большие азимутальные маневры космического аппарата
в процессе вывода. Необходимость в большом азимутальном
маневре аппарата вызывается малой высотой орбиты спутника
и, следовательно, большой величиной орбитальной скорости ап¬
парата (см. § 3.2 и рис. 3.6).
Рассмотрим для примера сравнительно более выгодный
с энергетической точки зрения при этих условиях вывод по пе¬
реходной эллиптической орбите с малой высотой в перигее,
равной 185 км у и высотой в апогее (в точке касания с заданной
круговой орбитой), равной 637 км. При этом г*/г\ = 1,1. Из рис. 2.5
следует, что импульсное приращение скорости Ava, необходимое
в апогее для перехода на круговую орбиту, при компланарном
переходе составляет примерно 150 м/сек (500 фут/сек). Круго¬
вая скорость vc на высоте 637 км равна примерно 7550 м/сек,
скорость vA в апогее переходной эллиптической орбиты соста¬
вит, следовательно, 7400 м/сек, то есть отношение vc/vA должно
быть равно 1,02. Допустим теперь, что плоскость переходной
эллиптической орбиты по отношению к плоскости заданной ор¬
биты спутника наклонена на 5°. Поскольку оптимальной (с энер¬
гетической точки зрения) точкой приложения импульса скорости
для поворота плоскости орбиты является апогейная точка, то
в точке поворота плоскости отношение скоростей примем
124
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
равным 1,02. Из графиков (рис. 3.4) можно сделать вывод,
что рассматриваемому случаю (а = 5° и v"/v' = vc/vA = 1,02) со¬
ответствует отношение (AvA)Jv' = -—— = 0,094. Отсюда (AvA)a =
VA
= 0,094*7400 =685 м/сек, что в четыре с лишним раза больше
величины Дуа=150 м/сек для компланарного перехода. Если
иметь в виду вывод на экваториальные орбиты с Атлантического
полигона, расположенного в штате Флорида (ф^=28°,5), то от¬
ношение (ДvA)JvA составит 0,49, а (Ди)а«3660 м/сек. Эти при¬
меры показывают, что при выводе на экваториальные орбиты
вынужденное использование стартовой позиции, для которой
qp£>i (вследствие невозможности использования стартовой по¬
зиции в районе экватора), приводит к значительному уменьше¬
нию веса полезного груза, выводимого на орбиту, или вообще к
невозможности вывода. Последнее' обстоятельство может слу¬
жить веским аргументом против использования экваториальной
стартовой позиции в качестве единственной позиции для обеспе¬
чения космических полетов пилотируемых аппаратов. Однако
это справедливо, если говорить об одной стартовой позиции в
строгом смысле слова. Наоборот, приведенные выше рассужде¬
ния являются сильным доводом в пользу создания хорошо обо¬
рудованных экваториальных стартовых комплексов (состоящих
по крайней мере из трех стартовых площадок) или создания
хорошо оборудованных стартовых комплексов в районе возмож¬
но малых широт, чтобы обеспечить малые углы наклонения ор¬
бит. В последнем случае можно пойти на создание плавучих
стартовых комплексов в Тихом или Атлантическом океане либо
на создание стартовых комплексов на Малых Антильских остро¬
вах. Следует отметить, что неблагоприятное влияние неравен¬
ства ф1>1 на требуемую энергию вывода уменьшается с увели¬
чением высоты орбиты спутника. Например, для вывода кос¬
мического аппарата с Атлантического полигона с начальным
наклонением плоскости переходной орбиты i = 30° на 24-часовую
экваториальную орбиту требуемое приращение скорости в апо¬
гее переходной орбиты составит 1860 м/сек, а при компланарном
переходе— 1650 м/сек.
Хотя при 1>ф1 начальная точка дважды в течение суток
пересекает плоскость орбиты спутника, приемлемой может быть
лишь одна точка пересечения вследствие ограничений, вызван¬
ных взаимным расположением начальной точки и спутника в
момент пересечения. Чтобы можно было использовать обе точки
пересечения при полностью активном выводе, должно быть вы¬
полнено условие кратности промежутка времени, необходимого
для перемещения стартовой позиции на широте ф^ в суточном
движении из одной точки пересечения в другую, звездному (си¬
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
125
дерическому) периоду обращения спутника, исправленному на
прецессию плоскости орбиты. Например, предположим, прене¬
брегая прецессией плоскости орбиты, что rsld=l,55 час. Тогда
расстояние по долготе между двумя точками пересечения дол¬
жно быть ЛЛ- = 1,55; 3,1; 4,65; 6,2; 7,75; 9,3 или 10,85 час (то есть
ДА, = 23°,25; 46°,5; 69°,75; 93°; 116°,25; 139°,5; 162°,75). Для данной
стартовой позиции или данной проекции начальной точки на
поверхность Земли каждое из этих значений соответствует оп¬
ределенному наклонению плоскости орбиты, увеличивающемуся
с увеличением расстояния по долготе между двумя точками пе¬
ресечения. Случай ДА = 0 соответствует i = cpi, случай ДА=180°
соответствует i = 90°, исключая случай cpi = 0, при котором только
одно дуговое расстояние 180° (12 час) является возможным для
любого наклонения орбиты. В рассмотренном выше примере
конечная точка интервала ДА=180° не является кратной точкой
(так как 24/7^ не является целым делителем 24 час). Поэтому
условие кратности может быть не выполнено при запуске с
единственной экваториальной стартовой позиции. С этой точки
зрения экваториальная стартовая позиция обладает ограничен¬
ной гибкостью при ее использовании. Необходимо помнить об
этой особенности экваториальных стартовых позиций, хотя, по¬
жалуй, это и не является серьезным недостатком, если иметь в
виду возможность применения вывода с прерываемым активным
участком. Этот тип вывода будет рассмотрен ниже. Стартовые
позиции на любой другой широте cpL обладают большей гиб¬
костью. Из рис. 2.10 можно установить зависимость между
Ф^, ДА, и i:
sin фг
sin l = j . (2.18a)
cos — ДА
Например, если для стартовой позиции, расположенной на Ат¬
лантическом полигоне (qp£~28°,5), расстояние по долготе ДА
между двумя точками пересечения с плоскостью орбиты, для
которой 7"sid = 1,55 час, составит 3,1 час = 46°,5, то подсчет даст
sin 1 = 0,4772/0,91875, или i^31°,33.
Графики (рис. 2.7) показывают, что при выводе космического
аппарата по баллистической траектории с угловой дальностью
до вершины траектории 6ir*=30° на круговые орбиты высотой
556 /сж<£/< 640 км (1,08 1,1) угол бросания 0! может
быть уменьшен до 20°. При этом, как следует из графика
(рис 2.6), соответствующее значение параметра начальной ско¬
рости vi будет равно 0,825, что для высоты начальной точки
#1=185 км соответствует начальной скорости £Ц~7800 • 0,825^
^6640 м/сек• Апогейный импульс для перехода на круговую
126
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
орбиту в рассматриваемом случае составит ДиА«1900 м/сек
(6250 фут/сек). Таким образом, рассмотренный нами вывод по
баллистической траектории требует чрезмерных энергетических
затрат. С дальнейшим уменьшением угловой дальности до вер¬
шины траектории энергетические требования при баллистиче¬
ском типе вывода резко увеличиваются. Для достаточно мощ¬
ного носителя, способного вывести необходимый полезный груз
на круговую орбиту высотой около 556 км по более крутой (по
сравнению с баллистической) траектории полностью активного
участка (полностью активный вывод), угловая дальность до точ¬
ки перехода на рассматриваемую орбиту может быть уменьшена
до 15°. Таким образом, угловую дальность до точки перехода
на орбиту можно назначать в достаточно широких пределах.
Это обстоятельство сильно увеличивает возможность осуще¬
ствления орбитальной встречи с космической станцией.
Во всяком случае, имеется целый ряд точек cpf), пригод¬
ных для перехода на орбиту космической станции. В табли¬
це 2.2 приведены значения синодических периодов между по¬
следовательными прохождениями спутника над данной точкой
поверхности Земли при оговоренных в таблице условиях. Из
таблицы 2.2 следует, что синодический период экваториальной
орбиты для экваториальной стартовой позиции (столбцы 3 и 6,
строки f и g) много меньше синодического периода для накло¬
ненной орбиты. Следовательно, условия осуществления встречи
с космической станцией на экваториальной орбите много благо¬
приятнее, чем с космической станцией на наклоненной орбите.
Отмеченная значительная разница в периодах и является глав¬
ной причиной, вызывающей трудности при осуществлении встре¬
чи в случае запуска с неэкваториальной стартовой позиции с
космическим аппаратом на неэкваториальной орбите. При этом
возникает целый ряд трудностей, связанных с влиянием началь¬
ных ошибок на траекторию вывода, с жесткими ограничениями
на время пуска и энергетическими требованиями. Столбцы 1 и 2
определяют период орбиты, а следовательно, ее высоту. Столб¬
цы 3—5 определяют координаты проекции начальной точки на
поверхность и условия пуска (азимут). Столбец 3 относится
к случаю плоского движения, когда cpi = i — 0. Для 24-часовой ор¬
биты и угловой дальности 180° между начальной точкой и точкой
перехода на орбиту соблюдение указанного условия приводит к
постоянному покрытию переходной точкой точки, противополож¬
ной начальной точке в инерциальном пространстве (то есть пе¬
реходная точка все время проектируется в точку, противополож¬
ную начальной точке в инерциальном пространстве). При этом
продолжительность перехода составляет примерно 5,3 час. Сле¬
довательно, по отношению к вращающейся Земле проекция пе¬
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
127
реходной точки удалена по долготе от начальной точки на
ДА = 180°—5,3 • 15° ~ 80°.
Кратные точки определяются как точки на поверхности
Земли, находящиеся на круге широт —i^cp<i-bi и отстоящие
друг от друга на постоянных по долготе ДА расстояниях, значе¬
ния которых, будучи выражены в единицах времени, являются
целым делителем 24 час. Поэтому кратные точки существуют
лишь при условии, что отношение 24/7"sid является целым дели¬
телем 24 час (без учета прецессии орбиты; учет влияния прецес¬
сии орбиты будет рассмотрен ниже). Например, для неэква¬
ториальной орбиты с Taid = 12 час данный круг широт (исключая
(p = i) дважды пересекается плоскостью орбиты. При этом спут¬
ник проходит над каждой точкой пересечения через 12 час. По¬
этому каждая точка пересечения имеет две кратные точки,
отстоящие по долготе на AAres=12 час= 180°. Следовательно,
каждый круг широт cp<i имеет четыре кратные точки: две серии
по две точки с расстоянием по долготе между точками одной
серии 12 час. При ср = 0 четыре кратные точки удалены друг от
друга на одинаковые расстояния 90° = 6 час. С приближением ср
к ±i взаимное расположение одной пары точек по отношению
к другой паре точек становится все более несимметричным. При
Ф = 1 обе пары точек сливаются в одну пару и остается лишь
одна пара кратных точек, отстоящих по долготе на 12 час. По¬
этому временной интервал между двумя парами точек составляет
ДАо=12 час при ф = 0 и ДАо = 0 при ф = и Для промежуточных
значений угла наклонения временной интервал для невращаю-
щейся Земли может быть найден из соотношения (2.18а):
cos \ ДА = 1HL2.. (2.18Ь)
2 sin i v 7
Например, если по последней формуле получится результат
“ДА =15°, то это означает, что расстояние по долготе между
парами точек составляет 30° = 2 час, так что если вести отсчет
времени после очередного прохождения спутником широты ф,
то временные интервалы соответственно составят 0, 2, 12 и
14 час, что отвечает следующим координатам проекции спут¬
ника: (ф, А), (ф, А + 30°), (ф, А+ 1800) и (ф, А + 2Ю0). Для задан¬
ной широты ф только эти точки определяют точки прохождения
спутника. В случае неэкваториальной орбиты с 8-часовым перио¬
дом обращения имеются три серии кратных точек по три точки
в каждой серии. При ф = 0 расстояние по долготе между сериями
составляет 120°. При этом расстояние по долготе между каж¬
дыми кратными точками равно 40°. Таким образом, в общем
случае количество кратных точек может быть определено как
128 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
Периоды между двумя зенитными прохождениями спутника над
Характер орбиты
Начальные точки и условия пуска
1 | 2
3
4
5
а
«Sid-
об/сут
rsid.
час
А1, ф1 = 0
i = 0
^1> Ф1 = ь
1 > 0
Я/1, Ф1 <с 1
1 > 0
b
Tsyn, час
или сут
Ауп- час
или сут
Tsyn. час
или сут
с
1
24
нет покрытия
при непрерыв¬
ном выводе
—
—
d
1
24
—*
нет покрытия
при непрерыв¬
ном выводе
—
е
1
24
'
нет покры¬
тия при не¬
прерывном
выводе
f
целое число
> 1
<24; rsid
есть целый
делитель
24 час
360° г п
24 час
24 час
Lчас\
т^-со
или
24 г ,
- [часJ
"sid 1
g
рацио¬
нальное,
но не
целое
число > 1
< 24; rsid
есть целый
делитель
24 час
как [f/3]
360° . ,
—-— [сут\ или
Л/24 [сут]'
е = соЛ
[град/сут],
Д = (24-arsid)
[час/сут]
как [g/4]
h
иррацио¬
нальное
число > 1
< 24; /'sid
^ ’ 24
не есть
целый дели¬
тель 24 час
как [f/3]
оо
ОО
Основные допущения
Орбиты круговые; Земля сферическая (прецессия орбиты отсутствует); непрерываемый
вывод «Земля — орбита» (то есть без промежуточной орбиты ожидания, см. текст); е —избыток
над суточным кратным, равным 360°; А —дробная часть от деления 24 час на звездный
период; а —любое ближайшее целое число оборотов в сутках.
Синодический период —время между двумя последовательными прохождениями спутника
над данной точкой поверхности (А,, Ф).
Начальная точка — точка конца активного участка (начало свободного полета).
2.2] ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ 129
Таблица 2.2
данной точкой поверхности ф) (плоский синодический период)
Точки перехода на орбиту
Произвольные точки
поверхности
Кратные (резонансные) точки
6
7
8
9
10
и
А-ь Ф/
1 = 0
Я/, ф;
1 > 0
Ф = 0
Ф^о
*гез
Фгеэ
^res’ ^res»
град
rsyn’ час
или сут
rsyn, час или сут
непрерыв¬
ное
покрытие
нет
покрытия
нет
покрытия
нет
покрытия
не суще¬
ствуют
—
24 час
нет
покрытия
нет
покрытия
24 час;
Фге5 = °;
12 час
0 < ДА, < 1,
— i ^ Ф^ +1
24 час,
Фг = 0;
12 час
нет
покрытия
нет
покрытия
24 час;
q>res=°;
12 час
0 < ДА, < 1,
— i ^ Ф ^ +i
как [f/3]
24 час
24 час
24 час
24 час
360
"sid
360 ,
п (<р = 1)>
"sid
— 1 ^ ф ^ +1
как [g/4]
как [g/4]
как [g/4]
как [g/4]
не суще¬
ствуют
оо
ОО
ОО
оо
не суще¬
ствуют
Точка перехода на орбиту — точка, соответствующая переходу на орбиту цели (точка
встречи).
Кратные точки— см. текст.
Покрытие — здесь употребляется для обозначения прохождения спутника надданной
точкой (А,, ф).
Условия пуска: [а/3]— пуск с экватора строго на восток, [а/4] — неэкваториальный пуск
лен° ?,а восток> [а/5] — неэкваториальный или экваториальный пуск в произвольном направ¬
лении. [Числитель указывает строку таблицы, а знаменатель — столбец. (Прим. ред.)]
9 К. Эрике, т. II
130
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
(-=nsid» а количество серий (пар, троек, четверок и т. д.) —
как 24/TSid = ftsid. ДРУГ от друга точки каждой серии находятся
на одинаковом расстоянии по долготе: 24//2sid в часах или
360//2sid в градусах. Расстояние по долготе между сериями точек
одинаково и равно АХо=24//isid или ДЯо = 360//г8ш лишь в случае
Ф = 0, когда точки всех серий удалены друг от друга по долготе
на расстояние (24/rtsid)2 или (360//7Sid)2. При ф^О (но ф¥ч) сим¬
метричность распределения кратных точек нарушается и рас¬
стояние по долготе между ними определяется по выражению
(2.18Ь). При этом Дл>Д^0. При ф = 1 все серии точек сливаются
в одну серию с числом кратных точек nsid, удаленных друг от
друга по долготе на расстояние 24//2sid в часах или 360/rzSid в
градусах. Условием наличия кратных точек является наклон
плоскости орбиты к плоскости экватора (i=£0) и равенство /zSid
целому числу (то есть 7Sid является целым делителем 24 час).
Особые условия существуют для 24-часовой неэкваториальной
орбиты, трасса которой на поверхности Земли представляет
собой фигуру восьмерки. При этом точка пересечения линии,
образующей фигуру восьмерки, приходится на экватор. Поэтому
эта точка на экваторе является точкой прохождения спутника
с интервалом в 12 час. Любая другая точка трассы (восьмерки)
проходится спутником с интервалом в 24 час.
Если 7W не является целым делителем 24 час, то кратные
точки отсутствуют. Если Tsid является целым делителем или
кратным 24 час, то данная точка земной поверхности будет про¬
ходиться спутником через интервалы времени, определяемые
либо по выражению [f/З] таблицы 2.2, либо по выражению [g/4].
Наконец, если 24/7^ является иррациональным числом (напри¬
мер, то точек, над которыми спутник прошел бы (строго
над ними) дважды, не будет, хотя иногда и будут случаи про¬
хождения спутником, позволяющие с практической точностью
считать их за вторичное прохождение через ту же точку.
з) Вывод космического аппарата на орбиту и орбитальная
встреча без учета влияния прецессии плоскости орбиты. Пре¬
дыдущее обсуждение было посвящено вопросам установления
связей между стартовой позицией (или начальной точкой)
и орбитой спутника для экваториального плоского случая и
неплоского случая с наклонениями орбит, большими или мень¬
шими широты стартовой позиции. Обозначим через ф^ широту
стартовой позиции, через ф! — широту начальной точки. Начало
переходной орбиты будем обозначать буквой D, точку встречи—
буквой Т. Орбитальные параметры движения спутника, с кото¬
рым предстоит встреча, будем снабжать индексом «5». В табли¬
це 2,3 даны три основных метода вывода. Для обозначения
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРЫI ГУ
131
параметров движения и различных участков при совершении ма¬
невра и в процессе свободного полета использованы буквенные
индексы. В частности, г]а, Т1я, г]б, г\х и^ представляют собой
центральные углы, относящиеся к соответствующим участкам.
Таблица 2.3
Определение различных методов вывода
Метод
Описание метода
Первый
маневр
Конечная
скорость
Первая фаза
пассивного
полета
Второй
маневр
Конечная
скорость
Вторая фаза
пассивного
полета
Третий
маневр
Конечная
скорость [
Полностью
активный
вывод
Вывод аппа¬
рата со стар¬
товой позиции
на орбиту
производится
одним непре¬
рывным манев¬
ром
а
vsT
Непрерывае¬
мый вывод
(включает бал¬
листический и
эллиптический
выводы как
частные случаи)
Вывод со
стартовой по¬
зиции в началь¬
ную точку
переходной
орбиты, сво¬
бодный полет
по переходной
орбите и пере¬
ход на орбиту
спутника
а
VD
Т
(0
VS. Т,
Прерывае¬
мый вывод
Полностью
активный вы¬
вод на орбиту
ожидания, сво¬
бодный полет
по орбите ожи¬
дания, старт
на переходную
орбиту, свобод¬
ный полет по
переходной ор¬
бите и переход
на орбиту цели
а
Я
6
VD
Т
- (0
На рис. 2.11 изображены три основных типа вывода.
Рис. 2.11, а относится к простейшему случаю — выводу с эква¬
ториальной стартовой позиции на экваториальную орбиту.
9*
132
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Рис. 2.11. Типы вывода спутника на орбиту.
а) Вывод спутника с экваториальной стартовой позиции на экваториальную орбиту
(е — вывод по переходной эллиптической орбите; Ъ — баллистический вывод); б) вывод
О неэкваториальной стартовой позиции при > i5; в) вывод с неэкваториальной старто¬
вой позиции при (р£ < ls.
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
133
Рис. 2.11,6 иллюстрирует вывод со стартовой позиции, для ко¬
торой широта (pL превосходит наклонение орбиты (в рассматри¬
ваемом примере 13 = 0).При этом условии плоский переход прин¬
ципиально невозможен. Кроме полностью активного вывода
(который не рассматривается в настоящей главе) могут быть
осуществлены еще три типа вывода: эллиптический с г]Т<180°,
баллистический и прерываемый. Последние два типа вывода
приведены на рис. 2.11,6. Рис. 2.11, в иллюстрирует вывод со
стартовой позиции, для которой yL<is- На этом рисунке по¬
казаны три возможных типа вывода: прерываемый вывод, пло¬
ский баллистический вывод и баллистический вывод в плоско¬
сти, не совпадающей с плоскостью орбиты. При этом возможен
и эллиптический вывод с г]т<180° (на рисунке не показан).
Возможность использования различных методов вывода при
так же как и при q)L<is, облегчает осуществление вывода
космического аппарата на орбиту спутника и, следовательно,
облегчает осуществление встречи со спутником (вывод в опреде¬
ленную точку орбиты спутника — точку встречи) при запуске
космического аппарата с заданной стартовой позиции на по¬
верхности Земли. Естественно, что при этом каждый килограмм
полезного груза, выводимого носителем на орбиту, должен быть
оплачен соответствующим немалым расходом топлива.
Вывод космического аппарата в плоскости орбиты спутника
обычно является менее дорогостоящим, но при кроме
условия совпадения плоскости траектории вывода с плоскостью
орбиты спутника, необходимо еще удовлетворить требованию
местонахождения спутника в определенной точке орбиты. Увели¬
чения «окна» пусков можно добиться использованием метода
непрерываемого вывода не в плоскости орбиты спутника или
использованием метода прерываемого вывода. Пример первой
из указанных возможностей приведен на рис. 2.11, в, из которого
видно, что баллистический вывод не в плоскости орбиты начи¬
нается спустя At мин после прохождения плоскости орбиты и
начальная точка вывода удалена на расстояние по дуге боль¬
шого круга от плоскости орбиты спутника. Ниже будет показано
(см. также рис. 2.13), что чрезмерное увеличение расхода топ¬
лива, требуемое при выводе не в плоскости орбиты, до некото¬
рой степени можно ограничить выбором соответствующей угло¬
вой дальности участка движения по переходной орбите. Однако
даже в этом случае расстояние от плоскости орбиты не дол¬
жно превосходить 4—5°, поскольку дальнейшее увеличение
приводит к значительному увеличению требуемой энергии вы¬
вода. Принятие величины 5° с целью увеличения «окна»
пусков, естественно, определяется наклонением орбиты is и
отношением Если это отношение равно нулю, что
134
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
соответствует положению стартовой позиции на экваторе, то, счи¬
тая Д/ = Да/а), где а— прямое восхождение, измеряемое в пло¬
скости экватора, а со — угловая скорость вращения Земли, по¬
лучим:
Если q)iVis= 1, то
Для промежуточных значений отношения фь/ts зависимость,
связывающая £d> Фь, и Да, разрешается не относительно Да,
а относительно £d- Во всяком случае, увеличение «окна» пусков
ограничено, если ограничено величиной около 5°. Для низ¬
коширотных стартовых позиций (например, на Атлантическом
полигоне) и для умеренных наклонений орбиты возможность
достижимости заданной точки орбиты может быть увеличена
даже при £г>~5°.
Поскольку использование вывода не в плоскости орбиты тре¬
бует больших энергетических затрат, то единственной приемле¬
мой возможностью избежания длительных временных интерва¬
лов недостижимости спутника является вывод с использованием
промежуточной орбиты ожидания. В этом случае космический
аппарат выводится на промежуточную орбиту, компланарную
с орбитой спутника (независимо от положения спутника на ор¬
бите), и находится в пассивном полете до момента соответствую¬
щего взаимного расположения со спутником (прерываемый вы¬
вод). Метод использования орбиты ожидания,, компланарной с
орбитой спутника, обладает тем преимуществом, что кинематика
встречи становится эквивалентной кинематике экваториальной
системы вывода. Использование этого метода сопряжено с опре¬
деленными техническими трудностями, связанными с условиями
пребывания аппарата на орбите ожидания и с достаточно же¬
сткими допусками на компланарность орбиты ожидания и ор¬
биты спутника. Трудности, связанные с пребыванием космиче¬
ского аппарата на орбите ожидания, будут рассмотрены в тре¬
тьем томе настоящей серии, поскольку они в основном относятся
к вопросам проектирования космических аппаратов. Трудности,
связанные с допусками на компланарность орбит, возникают
вследствие прецессии орбит (см. ниже). Указанные трудности
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
135
не являются принципиально непреодолимыми, поскольку при
проектировании аппаратов, предназначенных для длительных
космических полетов, попутно должны будут решаться и во¬
просы, связанные с пребыванием аппарата на орбите ожидания.
Требования же, связанные с точной ориентацией плоскости ор¬
биты ожидания, по точности не превосходят аналогичных требо¬
ваний, возникающих при обеспечении большинства околоземных
полетов.
Недостатком использования прерываемого вывода для встре¬
чи космического аппарата со спутником на низких орбитах
являются сравнительно большие синодические периоды обраще¬
ния спутника относительно аппарата, движущегося по орбите
ожидания. Это объясняется малой разностью угловых скоростей
движения аппарата (г\п) и спутника (r]s). Однако, как будет
показано, эти периоды все же меньше синодических периодов
обращения спутника относительно наземной стартовой позиции.
Например, отношение угловых скоростей обращения аппарата
и спутника, движущихся соответственно на высотах 185 км и
556 кму равно:
/4 = J ^4 ~ 1,088,
ч. п У 4 У 6556
откуда т)я = 1,088 • 230=250 град/сек. Синодический период обра¬
щения спутника относительно аппарата, движущегося по орбите
ожидания, составляет 360/(250—230) = 18 час или 18/1,569-
~ 11,47 оборота аппарата по орбите ожидания. Это является
максимальным временем пребывания космического аппарата
на промежуточной орбите (в рассматриваемом примере), соот¬
ветствующим самому неблагоприятному времени перехода на
орбиту спутника. Если аппарат не снабжен небольшим марше¬
вым двигателем (сателлоид; см. главу 7), то с учетом лобового
сопротивления воздуха 18-часовое ожидание будет соответство¬
вать несколько большей высоте (200-^240 км). Однако это не
изменяет основного вывода, который может быть сделан из
приведенного примера: использованием промежуточной орбиты
ожидания в плоскости орбиты спутника можно создать квази-
экваториальные условия встречи для неэкваториальных старто¬
вых позиций и орбит, что при фх. is обеспечивает более высо¬
кую степень возможности осуществления компланарного перехо¬
да, чем при выводе с наземной стартовой позиции. С увеличением
высоты орбиты спутника время ожидания на промежуточ¬
ной орбите, естественно, уменьшается. При в течение
суток существуют один или два момента времени для компла¬
нарного вывода космического аппарата на орбиту ожидания.
136
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Таким образом, каждые сутки практически представляется одна
возможность для вывода аппарата на орбиту ожидания без
азимутального маневра. Хотя это и приемлемо для решения
многих задач, связанных с орбитальной встречей космического
аппарата со спутником, однако следует помнить, что эквато¬
риальные стартовые позиции в этом отношении обладают боль¬
шими возможностями.
Ниже будет проведен анализ различных методов вывода и
требований к орбитальной встрече. Поскольку используемые
при этом зависимости являются достаточно простыми для чита¬
теля, знакомого с основами небесной механики, и так как боль¬
шинство из этих зависимостей получено в других главах этой
книги или в первом томе настоящей серии, то выводы зависи¬
мостей опущены. Здесь будут рассмотрены следующие вопросы:
периоды обращения спутника, продолжительность перехода, уг¬
ловые дальности перехода, требования к взаимному расположе¬
нию космического аппарата и спутника для обеспечения их по¬
следующей встречи и требования к скорости. Различие между
круговыми (околокруговыми) и эллиптическими орбитами спут¬
ников, там где это необходимо, будет специально оговорено.
В качестве основной системы координат принята абсолютная
геоцентрическая система (вторая экваториальная система, если
специально не оговорено). Положение точки в принятой системе
координат определяется радиальным расстоянием г от цент¬
ра Земли, прямым восхождением ос (измеряемым против хода
часовой стрелки от точки весеннего равноденствия) и склоне¬
нием б (измеряемым от плоскости экватора и совпадающим с
широтой ф).
1. Периоды обращения спутника.
Звездный (сидерический) период:
/г3 2зхг
(круговая орбига),
Гзы = 2л (эллиптическая орбита).
Число звездных оборотов за средние солнечные сутки:
_ 86 400 _ 24
USid — Tsid jсекj ^s.d ^цас^
Среднее движение спутника:
ть = -/4 —т-; ц=1/4 =^[^11=360 [i£^i
и у г3 Т ^ У а3 Т L сек J Т L сек J
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
137
Местная угловая скорость обращения спутника по эллиптиче¬
ской орбите в момент его нахождения на радиальном расстоя¬
нии г:
где индексом «Р» снабжены параметры орбиты в перигее, а С —
постоянная в законе площадей Кеплера.
Синодический период обращения спутника по отношению к
заданному меридиану на вращающейся Земле для экваториаль¬
ной орбиты:
(единицы времени: средние солнечные секунды, минуты, часы).
2. Альфа-маневр.
Поскольку а-маневр является неотъемлемой частью всех
трех методов вывода, рассмотрим его отдельно. В течение а-ма-
невра космический аппарат движется от стартовой позиции до
точки выключения двигателя (начальной точки, параметры в
которой снабжаются индексом «1»). Точка выключения дви¬
гателя может совпадать либо с начальной точкой D переходной
орбиты, либо с любой точкой орбиты ожидания или орбиты
спутника. Продолжительность ta а-маневра и центральный
угол г]а, проходимый космическим аппаратом при а-маневре,
определяются на основании расчета активного участка траек¬
тории (см. главу 6). При заданных координатах фЬ, %L стартовой
позиции и азимуте пуска aLi измеряемом по ходу часовой
стрелки от северного направления меридиана стартовой позиции,
широта начальной точки ф1 (совпадающая со склонением Si) мо¬
жет быть найдена по теореме синусов для сферических тре¬
угольников:
Для нахождения прямого восхождения oti начальной точки не¬
обходимо прежде определить прямое восхождение aL точки
старта. Поскольку долгота точки на поверхности Земли отсчи¬
тывается от гринвичского меридиана, а прямое восхождение
точки в течение звездных суток может изменяться в пределах
от 0 до 360°, то прямое восхождение aL точки старта будет за¬
висеть от времени старта. Прямое восхождение а\ начальной
где о — угловая скорость вращения Земли:
© = 4,166 • 10-з = 0,250684 = 15
7 Г> 01S 7 11 U 1J ПП
sin ф! = sin фL cos т|а + cos фь sin r\a cos aL.
138
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
точки можно определить по следующей зависимости:
= arcs
sin т]а sin aL
cos qp!
Таким образом, изменение прямого восхождения в течение ос-ма-
невра равно oci — aL• Соответствующее изменение долготы при
пусках в восточном направлении составит
где со — угловая скорость вращения Земли, значение которой
приведено выше. Если траектория вывода является плоской, то
азимут ai вектора начальной скорости определяется из равен¬
ства
Для типичных активных участков вывода со сферическими
дальностями порядка 1600-^-3300 км продолжительность ta ак¬
тивного участка находится в пределах 5 мин<Ца< 10 мин, а
центральный угол ца — в пределах 15°<г]а<30°.
3. Полностью активный вывод.
В этом случае начальная точка (координаты которой были
определены выше) будет совпадать либо с точкой перехода на'
орбиту ожидания, либо с точкой перехода на орбиту спутника.
Требуемое количество топлива определяется следующими фак¬
торами: высотой активного участка и углом i, составленным
вектором скорости в конце активного участка с плоскостью
орбиты, на которую выводится космический аппарат. Первый
фактор определяет величину энергии, расходуемой на преодоле¬
ние работы силы притяжения на активном участке траектории,
а второй — избыток энергии по сравнению с компланарным пе¬
реходом. Обычно вывод на орбиту ожидания является компла¬
нарным. Необходимо также учесть дополнительный расход энер¬
гии на преодоление работы силы лобового сопротивления (см.
главы 5 и 6; там же рассмотрены вопросы оптимизации компла¬
нарного полностью активного вывода). Дополнительная .(по
сравнению с компланарным выводом) скорость с< 2uj sin
(см. § 3.1). При расчете а-маневра в абсолютной геоцен¬
трической системе координат необходимо помнить, что скорость
при старте равна не нулю, а величине r0oco cos qpL и направле¬
на параллельно касательной к экватору на меридиане старта,
и проекция этой скорости на плоскость траектории вывода
(в плоскости местного горизонта) равна /'оооо cos qpL sin aL.
При определении необходимой тяговооруженности (см. главу 5)
hi — kL = ai — 0CL — Wla,
sin а, = — sin а,.
1 cos qp! L
cos qp^
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
139
эта скорость либо вычитается из идеальной требуемой скорости
вывода (для случая невращающейся Земли) при пусках в во¬
сточном направлении, либо прибавляется к ней при пусках в
западном направлении. Если через WP обозначить полный по¬
лезный вес топлива, расходуемый при а-маневре, а через Wi —
вес аппарата в точке выключения двигателя, то изменение
идеальной скорости Лащ, а, включающее все расходы энергии,
можно определить по следующей зависимости:
где goo — ускорение силы тяжести на поверхности Земли,
/sp — средний эффективный удельный импульс (см. главы 5 и 6).
Взаимное расположение космического аппарата и спутника
(или точки орбиты) в момент начала вывода должно быть та¬
ким, чтобы в конце вывода произошла встреча аппарата со
спутником в точке Т. Положение спутника на орбите опреде¬
ляется углом положения ф, образованным радиусом-вектором
текущей точки местоположения спутника и проекцией радиуса-
вектора центра масс аппарата в момент прохождения им точки
отсчета (радиуса-вектора точки отсчета) на плоскость орбиты
спутника. Если точка отсчета расположена не в плоскости орби¬
ты спутника, то для определения угла положения необходимо
спроектировать ее на плоскость орбиты спутника но дуге боль¬
шого круга, перпендикулярно плоскости орбиты спутника.
При полностью активном выводе точкой отсчета является
точка старта (или ее проекция на плоскость орбиты спутника).
При этом для угла положения получим:
Если орбита спутника круговая, то интеграл обращается в
г]cta, где цс = 2я/Г = У/С/г3. Если орбита спутника эллиптиче¬
ская, то f|s — мгновенная угловая скорость обращения спутника
по орбите. Интеграл может быть вычислен после нахождения
эксцентрической аномалии спутника Es,l в момент старта ап¬
парата. Это может быть сделано путем решения уравнения
= Щ [ЕSt т ЕSt I es (sin ESt j sin ESj ^)]
относительно Es> L методом последовательных приближений
(индекс «s» относится к орбите спутника). Величина ESjT опре¬
деляется для координат точки встречи (ат, бт) по известным па¬
раметрам орбиты спутника. Зная ES)T, последовательными при¬
а
О
140
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
ближениями изменяя Es>Ll добиваются получения величины Es> L,
удовлетворяющей времени ta. Зная ES)L, можно вычислить со¬
ответствующее значение истинной аномалии спутника.
4. Непрерываемый вывод.
Полное время движения космического аппарата от старта
до окончания со-маневра равно:
tt — ta + tx +Ав-
Выше был рассмотрен а-маневр. В точке D выключения двига¬
теля скорость, угол между касательной к траектории и местным
горизонтом, радиальное расстояние от центра Земли, прямое
восхождение, склонение и азимут вектора скорости соответст¬
венно обозначим vD, 0D, rDy ocDf 8d и aD. При баллистическом вы¬
воде продолжительность tx пассивного полета до вершины тра¬
ектории (апогея) равна величине kt\r*, определяемой по одной
из формул (2.9а), (2.9Ь) или (2.9с) совместно с вспомогатель¬
ными зависимостями, приведенными после формулы (2.9d). Ве¬
личина центрального угла между точкой старта и точкой встречи
равна:
% = 11a + rit+>]co>
где г],, — центральный угол, проходимый космическим аппара¬
том в течение завершающего со-маневра и определяемый чис¬
ленным интегрированием уравнений, описывающих движение
аппарата при со-маневре. В некоторых случаях этот угол может
быть приближенно определен по конечным зависимостям (см.
главу 6). Для аппаратов с большой тягой 'ПС0<^'ПТ- Если же
со-маневр рассматривать как импульсный, то = 0. В случае,
когда баллистическая траекторая в вершине (апогее) касается
орбиты спутника, то центральный угол, цх = 180° — гщ, соответ¬
ствующий пассивной фазе т, определяется выражениями (1.7),
(1.37) или вспомогательными зависимостями, приведенными
после формулы (2.9d), если положить в них 6i = 180° — гц. Если
траектория баллистического вывода пересекает орбиту спут¬
ника, то цт может быть либо больше, либо меньше 180°. Мето¬
дика определения величины цт будет показана ниже.
При эллиптическом выводе (переходная орбита целиком
располагается над поверхностью Земли) начальная точка рас¬
положена либо в перигее переходной орбиты, либо впереди
его (т. е. r\D = 0 или г]£><3600). Точка встречи на переходной
орбите может иметь истинную аномалию
цт Щ 180°.
Ниже будет рассмотрен как баллистический, так и эллипти¬
ческий вывод.
2.2] ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ 141
По известным величинам (перечисленным выше) в точке D
можно найти истинную аномалию точки D на переходной ор¬
бите:
cos TlD = -Jf1 tg9p,
VD
c/d = KP~c0s е°-
Другими элементами орбиты являются:
эксцентриситет
«“КО -Яв)2 + Я1^0>
фокальный параметр
p-=rD( 1 +ecosriD),
большая полуось
а = —-2-,
1—е2>
перигейное и апогейное расстояния
гР = а (1 — е), rA = а (1 + е).
Продолжительность пассивной фазы полета определяется:
при баллистическом выводе (т]^ > 0, % = 180°)
tx = Atlr* ^СО,
при эллиптическом выводе (t]d = 0, = 180°)
где а = (гр + гт)12. Для баллистической или эллиптической
переходник орбит имеем:
tx = [я [Ет — — е (sin Ет — sin £D)],
Е = arccos(^r) =arccos (^r) = 2arctg V ttt te "2 •
Если £>130°, то
т] = 2arctg tg =
~ (1 + е)—1
= arccos = arccos
Если Е > 180°, то
n=180° + 2arctg(l/i±ftg^4^),
142
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
и, наконец, если Е = 360° — А (точка D расположена до пери¬
гея),
T] = T]D = 360°-2arctg('j/"-y^j tg у).
В этом случае
Лт = (360° - tid) + rir.
Итак, получены зависимости, связывающие продолжитель¬
ности полета, эксцентрические аномалии и истинные аномалии.
Осталось установить зависимости, связывающие аномалии с гео¬
центрическими координатами спутника. Угловое расстояние пе¬
ригея от одного из узлов орбиты, то есть аргумент перигея со
или 180° — со, можно найти по любому из следующих равенств:
tg
(o=arctg^-^>
sin бл
со = arcsin ——— — тщ.
sin L ш
X
Здесь iT — наклонение плоскости переходной орбиты к плоскости
экватора:
Ч: 0 <aD< 180°
180°<aD<360°
cos iT = ± cos 6D sin aD
:]•
где знак «минус», стоящий перед правой частью равенства,
относится к нижней строке диапазона изменения aD. Азимут
пуска aL при заданном азимуте aD определяется из соотношения
cos бп
sin а г = — cos aDy
L COS u*
где 6d = 9d и фь — соответственно известные склонения точки D
и точки старта. Зная прямое восхождение ad, можно определить
прямое восхождение восходящего узла переходной орбиты
в момент времени, соответствующий нахождению аппарата в
точке D (точка выключения двигателя при а-маневре):
sin (ао — Дт) = •
Вследствие прецессии плоскости орбиты (см. § 2.4) линия узлов
медленно перемещается. Однако при продолжительностях дви¬
жения аппарата по переходной орбите в пределах нескольких
часов смещение узла невелико. Связь между координатами
2.2] ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ 143
точки встречи и истинной аномалией точки встречи на переход¬
ной орбите дается следующими выражениями:
sin 6Т — sin iT sin (со + %) = О,
sin (oj.- Дт)--1^ = 0.
Обычно координаты точки встречи (ат, 6Т) являются независи¬
мыми переменными. Изменение прямого восхождения за время
пассивной фазы полета космического аппарата по переходной
орбите равно:
ат = | ат - aD |.
Соответствующая величина центрального угла может быть вы¬
числена по следующей зависимости:
Лт = I % “ Ля I = arccos (sin 6D sin &т + cos SD cos 6T cos aT).
При предыдущем анализе не понадобились никакие другие
параметры орбиты спутника (или цели), кроме координат точки
встречи. По прямому восхождению f£s восходящего узла орбиты
спутника и наклонению is можно вычислить центральный угол
т]т, проходимый космическим аппаратом в пассивной фазе по¬
лета по переходной орбите, по следующей зависимости:
cos ч)х = cos (ат — <0,s — A) cos (qpD + В) +
+ sin(ат — Sls — A)sin(<pD + B)V\ — С2 )
где
sin В = sin A sin i5,
12
Г2 Г3!П(аР^Я.)Г
U ~L sin A J •
Азимут вектора скорости в точке D находится из формулы
sin (cD-ft,) sin (aT-£ls-A)
D sin A sin r\x
По найденной величине r\x можно вычислить изменение пря¬
мого восхождения за время пассивной фазы полета аппарата
по переходной орбите:
-sin 6^ sin (
144 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
По известным г\х и ат можно найти aD и по другой зависи¬
мости:
sin at *
Sin ап = —: L COS От.
u sin r\x
Теперь, после того как определены величины гщ, r]T, i'd, ?т,
а и е для переходной орбиты, можно вычислить соответствую¬
щие эксцентрические аномалии ED и Ет и по ним, как было
показано выше, определить время полета tx по переходной
орбите.
Скорость космического аппарата на переходной орбите в
точке встречи имеет величину
«.г-УЧ+т-т-
т гт г D
Если переходная орбита компланарна с орбитой спутника, но
не касается ее в точке Г, то угол между вектором скорости
аппарата и вектором скорости спутника в точке встречи опре¬
деляется равенством
Pr = I 0^. Г 0т, Т I»
где 0 — угол, образованный соответствующим вектором ско¬
рости с местным горизонтом в точке встречи Т. Для круговых
орбит спутников QSt г = 0. Для эллиптических орбит спутников
т Для эллиптических орбит
COS 0с т — ■/ 07 у
S,T l/ r 2{as~1)
где as — большая полуось орбиты спутника. Для переходной
орбиты можно использовать эту же зависимость, заменив as на
а, или зависимость
е sin riy.
tg6t.r =
1 + е cos r\T ’
где г\т — истинная аномалия точки встречи на переходной ор¬
бите.
Если плоскость переходной орбиты не компланарна с пло¬
скостью орбиты спутника, то угол iT между плоскостями этих
орбит может быть определен по простой зависимости
. . sin lD
sin iT = ———,
1 sin Tit
где — «широта» точки Д измеренная от плоскости орбиты
спутника, то есть расстояние по дуге большого круга от плоско¬
сти орбиты спутника до точки D (см. рис. 2.11,в). Последняя за-
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
146
висимость получена в предположении, что г]т=180° — , то есть
cn-маневр предполагается импульсным. В противном случае
со-маневр должен начаться до подхода космического аппарата
к апогейной точке переходной орбиты. Поскольку для аппара¬
тов с большой тягой эта разница невелика, то она здесь не
учтена. Обозначим через Да' дугу большого круга между точ¬
кой Д расположенной не в плоскости орбиты спутника, и точ¬
кой D\ лежащей в плоскости орбиты спутника на той же ши¬
роте (рис. 2.11, в). Разность прямых восхождений точек D и D\
измеренная по дуге экватора Да, найдется из соотношения
/ . Да' \
sln Т“
Да = 2 arcsin
cos bD
где склонение 6D точки D можно заменить широтой cpL старто¬
вой позиции, если значение |(pL—6D| мало. Углы Да, бd и на¬
клонение is плоскости орбиты спутника связаны следующим
равенством:
sin£D = sinSD cosi5(l — cos Да) ± sin Aal/rcos26D — cos2i5,
где знак «плюс» относится к случаю, когда точка D прошла
плоскость орбиты спутника (случай, изображенный на рис. 2.11, в),
а знак «минус» — к случаю, когда точка D еще не прошла пло¬
скость орбиты спутника. Время Д/, в течение которого Земля
совершит поворот на величину Да, можно найти как
а ± Да
td = ,
CD *
где со — угловая скорость вращения Земли. Для определения iT
через ao, 6d, <Д, ts и цх можно воспользоваться другой зави¬
симостью:
Sin(aD-^)Sin(6D + B)
Sill It — — : л 1 »
- 1 Sin Л Sin Г]т *
где А и В — величины, определенные выше.
Угол положения спутника относительно стартовой позиции
в момент старта определяется следующим выражением:
ft
^“■Па + Лг + Пв)- j ‘hsdt.
О
Метод вычисления интеграла в последнем выражении был опи¬
сан при рассмотрении полностью активного вывода. Полную
величину импульсной скорости можно найти как
Д^о1 = ДУа + Дуса*
10 К. Эрике, т. II
146
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Величина импульсной скорости а-маневра в абсолютной гео¬
центрической системе координат определяется следующим вы¬
ражением:
Ava = vD±r0o (ocoscpL sinaL,
где r0o — радиус Земли, со — угловая скорость вращения Земли,
Vd — скорость аппарата в точке D в абсолютной геоцентриче¬
ской системе координат (то есть по отношению к невращающей¬
ся Земле). Второе слагаемое представляет собой проекцию
окружной скорости точки Z), возникающей вследствие вращения
Земли, на направление пуска. При пусках в восточном направле¬
нии величина Ava требуемой импульсной скорости для соверше¬
ния а-маневра вследствие вращения Земли уменьшается, а при
пусках в западном направлении (180o<aD<360°)—увеличи¬
вается. Требуемая величина идеальной скорости а-маневра
равна;
Avi(ia = Ava + Avg + Avdi
где Avg и Дvd — соответственно величины импульсов скорости,
эквивалентные расходам энергии на преодоление работы силы
притяжения и работы силы сопротивления воздуха при совер¬
шении действительного, неимпульсного а-маневра (см. главу 5).
Эти дополнительные слагаемые в величине идеальной скорости,
которые определяют дополнительный расход топлива, должны
быть вычислены при расчете активного участка вывода (см.
главу 6). Если обозначить через vXtT величину скорости космиче¬
ского аппарата в точке встречи Т переходной орбиты, а через
vS)T — величину скорости спутника в точке Т орбиты спутника, то
необходимое изменение импульсной скорости при со-маневре
будет равно:
Дою = Vu2T> T+vlT- 2utj Tvs< T cos вт ,
где
cos Вт = cos cos iT,
a |3T и iT определены выше. При этом, естественно, для опреде¬
ления величины идеальной импульсной скорости при со-маневре
к найденной величине необходимо прибавить величину импуль¬
са скорости, эквивалентную расходу энергии на преодоление
работы силы притяжения при совершении со-маневра. При боль¬
шой тяге (например, если отношение тяги космического аппа¬
рата к весу порядка пяти) величина Ду^0,1 Avq. При малой
тяге (от 0,1 до 0,01 веса аппарата) величина Avg может быгь
значительно больше. Величина Avg может быть определена из
графиков, приведенных в главе 7,
2.21
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
147
С увеличением Вт величина импульсной скорости Av^ уве¬
личивается. Эта закономерность определяет форму переходной
орбиты минимальной энергии. С этой точки зрения представ¬
ляет интерес рассмотрение влияние угла iT. С увеличением этого
угла менее протяженные переходные орбиты (с меньшим значе¬
нием к\х ) становятся более выгодными по сравнению с переход¬
ными орбитами, приближающимися по протяженности к цт->- 180°.
Это можно показать на примере баллистического вывода кос¬
мического аппарата на круговую орбиту спутника (вершина
траектории вывода касается или очень близка к орбите спут¬
ника). В этом случае
= 0, Вт = iT, vXt т = vA, vSt т = V К/г л ,
Ду»= \[vA + -r~ 2vaYТ~ cos 1т •
f л л
На рис. 2.12 приведены графики изменения vD и Avw в зависи¬
мости от при выводе космического аппарата на круговую
орбиту спутника высотой 556 км. Обозначение vD вместо Ava
указывает на то, что расчеты проведены для случая невращаю-
щейся Земли, так как в противном случае пришлось бы учиты¬
вать влияние широты стартовой позиции и азимута пуска на
величину Ava. Из анализа графиков следует, что минимальная
импульсная скорость перехода соответствует компланарному пе¬
реходу (£d = 0) при г|г = 180°. С увеличением угла iT абсолют¬
ная величина требуемой импульсной скорости перехода возрас¬
тает, но при этом уменьшается величина Avw вследствие умень¬
шения цх. Как следует из графиков, величина Avw при 1тф0
имеет минимум в зависимости от величины цх. При углах
Рг> 1° и высотах орбит спутника в пределах нескольких сотен
километров наименьшие значения Avw соответствуют диапазону
80°с<г1/с< 120°. С увеличением высоты орбиты спутника преиму¬
щество менее протяженных переходных орбит становится мень¬
шим. С подобной ситуацией приходится встречаться при рас¬
смотрении межпланетных переходных орбит (см. главу 9).
5. Прерываемый вывод.
Полное время движения от старта до окончания со-маневра
в этом случае определяется следующим выражением:
^ = *а + ^л: +^6 + ^т + ^(й-
В этом случае a-маневр представляет собой полностью актив¬
ный вывод, причем за «орбиту спутника» принимается орбита
ожидания (обычно высотой около 160—200 км), на которой
космический аппарат находится в пассивном полете до наступ¬
ления наиболее благоприятного момента времени для начал?
10*
148
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Рис. 2.12. Изменение импульсных скоростей vD и Да^, необходимых для
вывода космического аппарата на круговую орбиту высотой 556 км.
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
149
перехода на орбиту спутника. Этот момент определяется в за¬
висимости от положения аппарата по отношению к плоскости
орбиты спутника. Поэтому продолжительность пассивной фазы
полета /я на орбите ожидания зависит от конкретных условий,
при которых осуществляется встреча. Если переходная орбита
и орбита спутника компланарны, то фаза ожидания всегда мо¬
жет быть меньше одного оборота. Одной из основных целей,
преследуемых использованием орбиты ожидания, и является до¬
стижение этой компланарности. Для этого аппарат выводится
на орбиту ожидания, компланарную с орбитой спутника. При
1б<Фl это можно осуществить лишь в определенные моменты
времени, когда стартовая позиция оказывается близкой к пло¬
скости орбиты спутника (£D->0). Это условие в большей сте¬
пени, чем условие взаимного расположения аппарата и спут¬
ника, определяет время старта. В процессе полета космического
аппарата по орбите ожидания достигается необходимое взаим¬
ное расположение аппарата и спутника, и аппарат переходит
на переходную орбиту для последующей встречи со спутником.
Таким образом, если выполнено условие компланарности, то
tn<2nVTyK,
где >я— радиус орбиты ожидания.
При 13>Фь космический аппарат теоретически всегда может
быть выведен на компланарную (с орбитой спутника) орбиту.
На практике, однако, могут возникнуть ограничения, связанные
с соображениями безопасности или возможностями измеритель¬
ных средств систем сопровождения. Если учитывать прецессии
плоскостей орбиты ожидания и орбиты спутника (см. § 2.4), то
возникают дополнительные ограничения, налагаемые на время
пуска и связанные с обеспечением компланарности орбит
при переходе аппарата на переходную орбиту. При 13<фь
орбита ожидания, а следовательно, и переходная орбита не мо¬
гут быть компланарны с орбитой спутника. При этом возникнет
необходимость в маневре изменения плоскости орбиты аппа¬
рата либо в начале переходной орбиты, либо в точке встречи.
С целью уменьшения требуемой энергии поворот плоскости пере¬
ходной орбиты может быть произведен по частям: в начале
переходной орбиты и в точке встречи [§3.10, п. (в)], но большую
часть поворота необходимо выполнить в районе апогея пе¬
реходной орбиты. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы линия
апсид переходной орбиты находилась в плоскости орбиты спут¬
ника. В этом случае возникают два ограничения: 1) взаимное
расположение космического аппарата и спутника и 2) ориента¬
ция линии апсид переходной орбиты. Может оказаться, что
150
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
потребуется несколько оборотов аппарата по орбите ожидания,
прежде чем будут удовлетворены оба условия и аппарат сможет
перейти на переходную орбиту. Поэтому при некомпланарном
переходе будет иметь место соотношение
/я^2яУТр\
Расчет tx и tQ аналогичен описанному при рассмотрении непре¬
рываемого вывода.
Рис. 2.13. Некомпланарный переход с орбиты ожидания на орбиту
спутника.
Склонение 6D и прямое восхождение aD точки старта с ор¬
биты ожидания, долгота восходящего узла <0,я и наклонение 1л
орбиты ожидания связаны следующей зависимостью:
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
151
Азимут вектора скорости космического аппарата в точке D
орбиты ожидания (начало переходной орбиты) определяется из
следующего выражения:
COS 1я
sm аD cos 6D *
Величины iT, r\x и aD рассчитываются так же, как и при исполь¬
зовании метода непрерываемого вывода. Если переходная ор¬
бита не компланарна с орбитой ожидания, то угол между пло¬
скостями орбит равен:
Id = cid —
и величину импульса скорости для перехода с орбиты ожидания
на переходную орбиту можно рассчитать по формуле
AVD = УVD+Vl,D~2VDVn.DC0SiD •
гДе yjt.D — величина скорости аппарата в точке D орбиты ожи¬
дания.
Компланарный переход с круговой орбиты ожидания на кру¬
говую орбиту спутника будет рассмотрен в § 3.5. В § 3.6 рас¬
сматривается случай компланарного перехода с круговой ор¬
биты ожидания на эллиптическую орбиту спутника. Там же
рассмотрен компланарный переход с эллиптической орбиты ожи¬
дания на круговую орбиту спутника. Компланарный переход с
эллиптической орбиты ожидания на эллиптическую орбиту
спутника будет рассмотрен в § 3.7. Угол iD между плоскостями
переходной орбиты и орбиты ожидания и угол iT между плоско¬
стями орбиты спутника и переходной орбиты при некомпланар¬
ном переходе показаны на рис. 2.13. Будем считать заданными
величинами <0,я, <Q,S, ат, 6т, ocd, 6d, i* и ls- Пользуясь рис. 2.13,
можно получить следующие зависимости:
tg 6Я = tg 1я sin (аг — ая),
COS 1тг
sinv = T^7>
sin 6т = sin у sin (6т — 6я),
ax = \aT-aD I,
cos rjt = cos 6D cos 6T cos ax ± sin 6D sin 6r,
где знак «плюс» в последней формуле соответствует случаю
одинаковых знаков 6# и а знак «минус» — случаю, когда
152
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
один из углов бd или бт отрицателен. Далее, имеем:
sin iD =
cose =
sin 6^
sin Лт 1
tg 6T
tg(er-e„)’
COS Ic
sinar = t~~ ,
1 COS 0T 7
• / C0S lD \
iT = arcsin -y- — aT — e.
^ cos or J
Поскольку взаимным расположением космического аппарата
и спутника определяется не момент пуска, а момент старта с
орбиты ожидания, то угол положения спутника отсчитывается
от точки D:
Фо “ Чб + + Л® - j Vsdt,
О
где
2 t — h + tx + ^co-
требуемые величины импульсов скорости для совершения
различных маневров, помимо рассмотренного ранее полностью
активного вывода на орбиту ожидания, могут быть вычислены
по следующим зависимостям:
Аиб = v4 + - 2vnvD cos BD,
2 _K_
v” rn
v2D~ —(2 J~e2—,
D rn\ a ) гл 1 + e cos r\D ’
cos Вp = cos 0^ cos ipt
esinn-. /^~rZ 7~a
0 n = arctg -г— -— = arccos 1 / — ■=—-— ,
ъ 1 + e cos t\D у rD 2a-rD 9
Aoa = К«?>г+ v2s T-2vX TvSJcosBT ,
JLU-Ll)^ L
rs.T \ a / r,.T l + e
V2
$,T ' a ' rs,T +e C0S “Hr
К I г, т \ к I-e
'■T '<.T \ «, / '
2.2]
ВЫВОД СПУТНИКА НА ОРБИТУ
153
и) Влияние сжатия Земли. Вследствие отличия потенциала
силы притяжения сфероидальной Земли с неоднородным рас¬
пределением массы от потенциала центрального поля все пара¬
метры орбиты спутника будут отличаться от параметров ор¬
биты, получаемых в предположении центрального поля сил,
создаваемого идеализированным однородным сферическим телом
массы, равной массе сфероида. Эти изменения параметров
орбиты будут рассмотрены в § 2.4—2.8. В конце § 2.8 в таб¬
лице 2.6 приведен обзор отклонений параметров орбиты и пере¬
чень соответствующих зависимостей для их расчета. Полный и
точный учет возмущающих факторов, включая и возмущающее
влияние Солнца и Луны, если спутник движется по орбите, не
очень близкой к Земле (§ 2.9), является очень трудоемким де¬
лом. Для приближенного учета влияния возмущающих факто¬
ров на параметры орбиты спутника можно поступить следую¬
щим образом. Вначале по заданным параметрам орбиты
(TSid, i, о,, е, р,) в центральном поле сил (невозмущенная орбита)
рассчитываются постоянные изменения параметров орбиты
(таблица 2.6) и при необходимости вводятся найденные по¬
правки в параметры невозмущенной орбиты. Двумя наиболее
важными вековыми возмущениями орбиты являются вращение
линии узлов (прецессия орбиты) со скоростью d&l/dt и враще¬
ние линии апсид со скоростью da/dt. Особое значение приобре¬
тает учет da/dt при определении точных координат точки старта
космического аппарата с орбиты ожидания в случаях исполь¬
зования прерываемого вывода. Вековая составляющая прецес¬
сия орбиты представляет собой вращение линии узлов с по¬
стоянной угловой скоростью в западном направлении (обратная
прецессия) для прямых орбит (0<i<90°) и в восточном на¬
правлении (прямая прецессия) для обратных орбит (90°<i<
<180°). В обоих случаях наклонение орбиты i определяется в
восходящем узле. При прецессии орбиты ее точки перемещаются
в абсолютном пространстве параллельно плоскости экватора,
подобно точкам поверхности Земли при ее суточном вращении.
Поэтому учет вековой составляющей прецессии орбиты может
быть произведен эквивалентным изменением угловой скорости
вращения Земли. В случае обратной, то есть в направлении
вращения по ходу часовой стрелки (западной), прецессии враще¬
ние плоскости орбиты противоположно вращению Земли, и поэто¬
му эквивалентная угловая скорость вращения Земли больше
угловой скорости вращения Земли для непрецессирующей орби¬
ты. Эквивалентная угловая скорость, или эквивалентная ско¬
рость вращения Земли, o)eq определяется по следующей формуле:
d^ (2.19)
©eg = О ±
dt
154
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
где знак «плюс» соответствует обратной прецессии, а знак «ми¬
нус»— прямой прецессии.
Эквивалентный период вращения Земли можно определить
как
(2.20)
eq
Поэтому наиболее простым путем учета влияния прецессии
орбиты является замена в уравнениях таблицы 2.2 продолжи¬
тельности суток в часах на Рщ. Экваториальные и полярные
орбиты не прецессируют. Для рассмотренного в настоящем
параграфе примера o)eq= 15 + 0,273= 15,273 град/час и Рщ =
= 360/15,273 = 23,6 час. Хотя при точных расчетах параметров дви¬
жения для осуществления встречи по схеме «Земля — орбита»
учет влияния прецессии орбиты является необходимым, основ¬
ные выводы, относящиеся к компланарному переходу космиче¬
ского аппарата с неэкваториальной стартовой позиции на не¬
экваториальные орбиты, полученные без учета влияния прецес¬
сии орбиты, остаются в силе. Следует, однако, отметить, что
поскольку период прецессии Грг является функцией высоты и
угла наклонения орбиты, то угловые скорости прецессии орбиты
ожидания (обычно малой высоты) и орбиты спутника будут
различными. Это обстоятельство необходимо учитывать при
определении времени старта с орбиты ожидания в случае ис¬
пользования прерываемого компланарного вывода. При этом
начальное положение плоскости орбиты ожидания должно быть
выбрано таким образом, чтобы в конце периода ожидания она
совпала с плоскостью орбиты спутника. Это несколько услож¬
няет расчет параметров движения при использовании прерывае¬
мого вывода, но отнюдь не уменьшает возможности его осуще¬
ствления.
2.3. Внутриорбитальные переходы
В первой части настоящей главы рассматривались вопросы,
связанные с изучением траекторий, то есть орбит, пересекаю¬
щих поверхность тела притяжения. В предыдущем параграфе
были рассмотрены энергетические характеристики различных
переходных траекторий свободного полета космического аппа¬
рата с поверхности Земли на орбиту спутника. В настоящем па¬
раграфе будут рассмотрены вопросы теории космического по¬
лета, связанные с переходом между различными точками, дви¬
жущимися по одной и той же орбите. Внутриорбитальные
переходы могут понадобиться при обслуживании системы спут¬
ников, движущихся по одной и той 9ке орбите. При заправке,
ремонте и решении ряда других эксплуатационных вопросов,
2.3]
ВНУТРИОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
155
связанных с обслуживанием системы спутников, может возник¬
нуть необходимость в переходе (не обязательно пилотируемом)
между различными аппаратами, составляющими систему. Ана¬
логичные задачи возникают и при необходимости коррекции
положения спутника (или выводимого для стыковки с ним дру¬
гого аппарата) на орбите.
Заданную орбиту, по которой движутся спутники, составляю¬
щие систему и пребывающие в каждый момент времени в точ¬
ках с различными истинными аномалиями, будем называть
опорной. Примем вначале опорную орбиту за круговую. Задача
заключается в определении перехода от точки 1, движущейся
по заданной орбите, к точке 2, движущейся по той же орбите.
На рис. 2.14 показано, что эта задача имеет два принципиально
различных решения: переход по длинной и короткой переход¬
ным орбитам.
В случае использования длинной переходной*орбиты рассчи¬
тывают интервал времени At, необходимый для перемещения
точки 1 в точку 2 по опорной орбите в абсолютной системе
координат:
где S12—расстояние между точками / и 2 по дуге опорной
орбиты, a vc — круговая скорость спутника на опорной орбите.
Если точка 2 движется по опорной орбите впереди точки 1
(рис. 2.14,а), то необходимо, чтобы период обращения по длин¬
ной переходной орбите был на At меньше периода обращения
по опорной орбите. Поэтому переходная орбита оказывается
расположенной внутри опорной орбиты. В момент начала пере¬
хода точка 1 совпадает с апогеем переходного эллипса. После
того как космический аппарат совершит один оборот по пере¬
ходной орбите, он встретится с другим аппаратом, который за
это же время перейдет из точки 2 в точку 2' по опорной орбите.
За это же время точка 1 переместится по опорной орбите в
точку Г.
Обратный переход из точки 2 в точку 1 показан также на
рис. 2.14,а (правый рисунок). В этом случае период обращения
по переходной орбите должен быть на At больше периода обра¬
щения по опорной орбите. Поэтому переходная орбита оказы¬
вается расположенной вне опорной орбиты. Таким образом, ме¬
ханика полета по длинной переходной орбите оказывается
чрезвычайно простой. В дальнейшем параметрам опорной ор¬
биты будем приписывать индекс «й». Период обращения по
длинной переходной орбите можно определить по следующей
(2.21а)
зависимости:
(2.21Ь)
Т =Td± At,
156
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
О)
S=0
Ф
Рис. 2.14. Переходы между различными точками одной и той же
орбиты (внутриорбитальные переходы).
а) Длинная переходная орбита; б) короткая переходная орбита.
2.3]
ВНУТРИОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
157
где знак второго слагаемого выбирается в зависимости от того,
впереди или сзади по ходу движения находится спутник, с ко¬
торым предполагается осуществить встречу. Используя третий
закон Кеплера [см. формулу (1.4.153)], можно получить выра¬
жение для величины большой полуоси переходной орбиты:
Расстояние от центра Земли до противоположной (по отноше¬
нию к начальной точке перехода) апсидальной точки опреде¬
ляется по одной из следующих формул:
в зависимости от того, как расположена переходная орбита
относительно опорной (внутри или вне ее).
Если переходный эллипс расположен вне опорной орбиты,
то начальная точка перехода является перигейной точкой пере¬
ходной орбиты и необходимый положительный импульс скоро¬
сти можно рассчитать [см. соотношение (1.4.130)] по следующей
формуле:
В конце переходной орбиты для перехода на опорную орбиту
к космическому аппарату необходимо приложить отрицательный
импульс скорости такой же величины. Таким образом, в рас¬
сматриваемом случае суммарная величина требуемых импуль¬
сов скорости составит 2AvP.
Если переходный эллипс расположен внутри опорной ор¬
биты, то суммарная величина требуемых импульсов скорости
составит 2Ava. Первый отрицательный импульс Ava приклады¬
вается в начальной точке переходной орбиты, а второй положи¬
тельный импульс Ava — в конечной:
Короткие переходные орбиты подобны баллистическим траек¬
ториям, рассмотренным в предыдущих параграфах. Действи¬
тельно, в данном случае мы имеем дело с аналогичной ситуа¬
цией, за исключением лишь того, что начальная и конечная
точки движутся со значительно большими скоростями в абсо¬
лютной системе координат. Обозначим через t время перехода
из точки 1 в точку 2\ соответствующую положению, в которое
(2.22)
AvP= vP-vc=vc
). (2.23)
ДОа = - Vc = °с (V- i) = *>с(У 2~~Т - 1 ) • (2-24)
158 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
переместится точка 2 по опорной орбите за время перехода
(рис. 2.14,6). Через At обозначим ранее введенный интервал
времени [см. выражение (2.21а)], необходимый для перемеще¬
ния космического аппарата из точки 1 в точку 2, которые дви¬
жутся по опорной орбите. Тогда для центрального угла 26,
описываемого радиусом-вектором при движении аппарата по
переходной орбите, имеем:
26 = — (^ + М), (2.25)
Гс
а время полета t по переходной орбите между точками 1 и 2'
можно найти по формуле (2.9с) или (2.9d), полагая 2At\r* = Atw.
Для определения переходной траектории задаются желатель¬
ным временем перехода t и, варьируя эксцентриситет е пере¬
ходной орбиты, добиваются выполнения равенства (2.25). По
найденным значениям 6 и е можно определить необходимую
величину скорости в начальной точке 1 (которая будет равна
скорости в точке 2'):
- W -/тН^+Г^Ш' <2-26>
Угол между касательными к круговой и эллиптической орбитам
в точке пересечения может быть найден из равенства (1.4.41):
cos 2е = 7|гР- (2.27)
Подставляя сюда выражение для параметра р из (1.4.44)
p = r( 1+>cos6)
(б=г); рис. 2.14,6) получаем:
cos 0 = |/ (1 + е cos 6) . (2.28)
Для рассматриваемого случая движения по опорной орбите по¬
следнее выражение принимает вид:
cos6= |/"^г(1 +ecos6). (2.29)
Теперь можно определить необходимый импульс скорости в
точке 1 (рис. 2.14,6):
Да = Vv2c + v\ — 2vcv{ cos 0 . (2.30)
Поскольку в точке 2' необходимо приложить к космическому
аппарату такой же по величине импульс, то суммарная вели¬
2.31
ВНУТРП0РПИТАЛЫ1ЫЕ ПЕРЕХОДЫ
159
чина требуемых импульсов скорости составит 2Av. Величину
угла г|), определяющего направление вектора импульса скоро¬
сти Av по отношению к местному горизонту, можно определить
по теореме синусов (рис. 2.14,6):
sin = sin 0. (2.31)
Из анализа величин требуемых импульсов скорости следует,
что при сравнительно близком расположении точек 1 и 2 раз¬
ница в энергетических потребностях для осуществления пере¬
хода между точками 1 и 2 по длинной и короткой переходным
орбитам сравнительно невелика. Поскольку при этом короткие
переходные орбиты не сильно отличаются от опорной орбиты,
то переход можно осуществить за сравнительно небольшой про¬
межуток времени.
Следовательно, в этом случае можно получить преиму¬
щество в более коротком времени перехода и, кроме того,
иметь большую свободу выбора времени перехода по срав¬
нению с переходом по длинной переходной орбите при срав¬
нительно небольших дополнительных энергетических затра¬
тах. Однако, если рассматриваемые точки удалены друг от
друга на значительное расстояние, короткая переходная орбита
будет сильно отличаться от опорной орбиты и суммарная вели¬
чина требуемых импульсов соответственно возрастет. К тому
же выигрыш во времени перехода по сравнению с длинной пере¬
ходной орбитой уменьшится. Поэтому в таких случаях пред¬
почтительнее длинные переходные орбиты.
Если опорная орбита сама является эллиптической, то мето¬
дика расчета в принципе остается прежней. Только расчет вре¬
мени At производится не по выражению (2.21а), справедливому
для круговой орбиты, а по более сложной зависимости (1.31а).
В остальном методика расчета остается прежней. Траектории
перехода по коротким переходным орбитам будут зависеть от
того участка опорной эллиптической орбиты, над (или под) ко¬
торым предполагается осуществить переход, так как движение
обеих рассматриваемых точек происходит с различными ско¬
ростями на различных участках опорной орбиты. Это обстоя¬
тельство в значительной степени затрудняет определение
угла б, поскольку величина б, соответствующая заданной ве¬
личине At, может быть найдена лишь методом последователь¬
ных приближений, включающим варьирование параметров е,
t и б.
Так как в большинстве задач, связанных с орбитальной
встречей космических аппаратов, орбиты не сильно отличаются
от круговых (е<0,2), то оценка энергетических потребностей
160
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
в первом приближении может быть произведена на основе
приведенной приближенной методики. При решении же конкрет¬
ных практических задач необходимые точные расчеты проводят
с использованием электронных вычислительных машин.
2.4. Возмущения орбиты спутника
Основными возмущениями, влияющими на движение спут¬
ника являются:
1. Несферичность центрального тела притяжения.
2. Сопротивление атмосферы.
3. Электрические и магнитные поля.
4. Релятивистские эффекты.
5. Космическая пыль.
6. Возмущения, создаваемые одним или несколькими спут¬
никами того же центрального тела.
7. Возмущение, создаваемое гравитационным полем Солнца.
Вблизи центрального тела доминирующими являются два
первых возмущающих фактора. Последние два фактора необ¬
ходимо учитывать, если спутник удален на значительное рас¬
стояние от центрального тела. Влияние остальных возмущаю¬
щих факторов сравнительно невелико. В дальнейшем при
рассмотрении возмущенного движения спутника в качестве
центрального тела принята Земля.
Понятие несферичности центрального тела включает в себя
как сжатие тела, так и его отличие от сжатого сфероида вра¬
щения (указанное отличие порождается реальным распределе¬
нием масс и реальной конфигурацией тела). Главным возму¬
щающим фактором несферичности является полярное сжатие
Земли, характеризующееся тем, что ее полярный диаметр на
46 км меньше экваториального.
Сжатие центрального тела приводит к следующим возму¬
щениям орбиты спутника:
1. Прецессия. Плоскость орбиты, наклоненная к плоскости
экватора, вращается относительно полярной оси Земли в сторону,
обратную направлению движения спутника (рис. 2.15 и 2.16).
2. Вращение линии апсид. Большая ось эллиптической ор¬
биты вращается в орбитальной плоскости. При углах наклоне¬
ния i<63°,4 направление вращения совпадает с направлением
движения спутника, а при углах наклонения i>63°,4 направле¬
ние вращения противоположное.
3. Изменение радиального расстояния. Для сжатой планеты
(двухосный сфероид) принципиально невозможно получить
строго круговую орбиту (за исключением экваториальной ор¬
биты), так как при движении по наклоненной орбите радиальное
2.4]
ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ СПУТНИКА
161
расстояние от центра планеты до спутника изменяется. При
заданном кинетическом моменте орбиты среднее радиальное
расстояние полярной орбиты на 22,2 км больше, чем для эква¬
ториальной орбиты. В течение каждого оборота (витка) спут¬
ника радиальное расстояние дважды достигает как максималь¬
ного, так и минимального значения. Для околокруговых орбит
Рис. 2.15. Движение плоскости возмущенной орбиты
в пространстве.
амплитуда колебаний величины радиального расстояния яв¬
ляется функцией высоты и наклонения орбиты.
4. Изменение периода обращения. Период между последо¬
вательными прохождениями аппаратом восходящего узла по
орбите с наклонением несколько больше периода его обраще¬
ния по экваториальной орбите.
5. Изменения параметров орбиты (см. ниже таблицу 2.6)
могут быть: постоянными, вызываемыми искажением централь¬
ного поля сжатием тела, монотонно возрастающими со временем
(вековыми), вызываемыми неизменным направлением распо¬
ложения возмущающих масс (экваториальным вздутием) отно¬
сительно плоскости орбиты, и колебательными (периодиче¬
скими)|, вызываемыми изменением положения спутника относи¬
тельно возмущающих масс.
11 К. Эрике, т. II
162
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Рис. 2.16 показывает, что прецессия орбиты вызывает пере¬
мещение проекций точек орбиты на экватор (Еь £2, Е3) и
проекций точек на заданный круг широты (Lu L2, L3). Поэтому
влияние прецессии орбиты при построении трассы спутника
можно учесть в первом приближении изменением кажущейся
угловой скорости вращения Земли [см. выражение (2.20)].
Возмущающее действие сжатия исследовано в классической
небесной механике. Эти исследования были начаты Ньютоном
и получили дальнейшее развитие в трудах Эйлера, Клеро, Да-
ламбера и Лапласа. В XIX веке Хиллом и Брауном [2] была
Рис. 2.16. Прецессия оропты.
разработана современная теория движения Луны. Все эти ран¬
ние работы связаны с изучением движения Луны и поэтому
имеют ограниченное приложение к случаям, охватывающим дви¬
жение тел по более наклоненным орбитам, находящимся на
меньших расстояниях. Позже возмущающее влияние сжатия
привлекло внимание астрономов в связи с изучением движения
спутников Юпитера, которые движутся по более близким к пла¬
нете и более наклоненным к плоскости ее экватора орбитам.
Брауэром [3] получено решение с членами высокого порядка
для спутника, движущегося в поле сжатого сфероида. Однако
его исследование было ограничено околоэкваториальными орби¬
тами, поскольку главным образом предназначалось для изуче¬
ния движения пятого спутника Юпитера. Краткий анализ Шпит-
цера [4] специально посвящен движению искусственных спутни¬
ков Земли. Им получены решения первого порядка для
прецессии орбиты и зависимости второго порядка для изменения
радиального расстояния в частном случае полярной орбиты.
В работе [5] результаты Брауэра с некоторыми упрощениями
были распространены на случай наклоненных орбит. Более по¬
2.4]
ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ СПУТНИКА
163
дробные исследования были проведены Блитцером и его сотруд¬
никами [6, 7, 8]. В работе [6] рассмотрено решение второго
порядка для круговых орбит. Благодаря удачному выбору не¬
зависимой переменной (географической долготы) были выве¬
дены конечные выражения, а также получены выражения для
прецессии орбиты и возмущений второго порядка радиального
расстояния. В краткой статье [7] эти результаты были распро¬
странены на эллиптические орбиты. В работе [8] исследовано
влияние сжатия Земли на период обращения спутника. При
решении задачи для наклоненных орбит автор пренебрегал от¬
личием орбиты от круговой. Наиболее полное и строгое иссле¬
дование, проведенное Краузе [9, 10], основано на методе вариа¬
ции элементов, в котором рассматриваются круговые и
эллиптические орбиты с произвольным наклонением. Краузе
рассмотрел также и эффекты второго порядка. Во всех случаях
предполагалась симметрия Земли относительно полярной оси.
Его исследования будут представлены в § 2.6 и 2.7.
Прецессия орбиты и вращение линии апсид имеют важное
значение при анализе работы систем низкоорбитальных спут¬
ников, предназначенных для наблюдения земной поверхности.
Прецессия орбиты в сочетании с наклоном земной оси к пло¬
скости эклиптики определяет соотношение между освещенной
и теневой частями поверхности Земли, доступными для наблю¬
дения со спутника при его движении на различных широтах.
Вращение линии апсид в случае эллиптических орбит опреде¬
ляет изменение второго порядка кажущейся угловой скорости
движения просматриваемой поверхности (изменение первого
порядка вызывается эллиптической орбитой, неизменной в инер-
циальном пространстве).
Сила лобового сопротивления воздуха, действующая в пло¬
скости орбиты, изменяет все параметры орбиты, за исключением
ее наклонения и долготы восходящего узла.
С увеличением расстояния от Земли возмущающее влияние
сжатия Земли постепенно уступает место возмущающему влия¬
нию Луны, которое становится доминирующим. Для спутников
Земли, движущихся по орбитам, расположенным в плоскости
лунной орбиты или близкой к ней, величина радиуса которых
больше 10 земных радиусов, возмущающее действие Луны пре¬
восходит возмущающее действие сжатия Земли.
При еще больших удалениях становится ощутимым возму¬
щающее действие Солнца. Это объясняется большим измене¬
нием гелиоцентрического расстояния до различных точек орбиты
очень большого радиуса. На расстояниях от Земли порядка
расстояния до Луны возмущающее действие сжатия Земли
составляет менее одной миллионной возмущающего действия
11*
164
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
сжатия Земли на близкий спутник (на расстоянии нескольких
сотен километров), тогда как возмущающее действие Солнца
примерно в 105 раз сильнее.
В сравнении с рассмотренными факторами релятивистские
эффекты пренебрежимо малы. Например, угловая скорость вра¬
щения линии апсид близкого спутника Земли почти в миллион
раз превышает угловую скорость, вызванную релятивистским
смещением перигея. Поэтому оказывается возможным иссле¬
довать возмущения, вызванные сжатием центрального тела, не¬
зависимо от действия возмущающих сил Солнца, Луны, других
планет и релятивистских эффектов.
2.5. Прецессия орбиты и движение спутника
в поле сфероида
За исключением Меркурия и Венеры, все планеты солнеч¬
ной системы до Нептуна включительно обладают заметным
сжатием. Сжатие всех внешних планет больше, чем сжатие
Земли ]).
Сжатие является одной из главных причин, приводящих к
искажению гравитационного поля планеты, которое в отличие
от поля с центральной симметрией превращается, грубо говоря,
в эллипсоидальное силовое поле. Если искажение поля неве¬
лико, как в случае планеты Земля, то его можно рассматривать
как квазицентральное.
Реализация круговой орбиты спутника в поле центрального
тела возможна лишь в плоскости экватора в предположении,
что центральное тело является двухосным (а не трехосным) эл¬
липсоидом. В случае трехосного эллипсоида экваториальное
сечение тела будет не кругом, а эллипсом, более или менее
подобным сечению в плоскости меридиана, вследствие чего на
движение спутника по экваториальной орбите будет оказывать
влияние возмущающая сила, зависящая от географической дол¬
готы текущей точки. Для целей нашего исследования модель
Земли может быть представлена в виде двухосного сфероида.
Поэтому рассматриваемые возмущения не будут зависеть от
географической долготы.
В случае наклоненной орбиты спутник после выхода из
плоскости экватора будет подвержен действию поперечной силы.
Эта сила, действующая в мгновенной меридиональной плоско¬
сти и направленная в сторону экватора, вызвана сосредоточе¬
нием дополнительных масс по экваториальному поясу планеты
1) Что касается сжатия планеты Плутон, то в настоящее время оно не¬
известно вследствие малой величины планеты и ее большого удаления.
2.5]
ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА
165
(рис. 2.17). Чтобы нагляднее проиллюстрировать влияние сжа¬
тия планеты на ее поле притяжения, представим себе, что вся
масса планеты сконцентрирована не в центре масс (как в слу¬
чае сферического однородного тела), а «размещена» по пло¬
щади круга, расположенного в плоскости экватора (на рис. 2.17
сечение этого круга по диаметру показано жирной линией).
Радиальная
аастаеля/ощая Поперечная
спутнит
Рис. 2.17. Вектор силы притяжения сферического и сжатого
центральных тел.
Вследствие этого направление силы притяжения уже не будет
совпадать с направлением к центру тела. В зависимости от
диаметра этого круга (то есть в зависимости от сжатия или
относительной величины дополнительных экваториальных масс,
которые, кроме сжатия, зависят еще и от распределения плот¬
ности внутри тела планеты) поперечная сила может иметь
различную величину. Поперечная сила может быть разложена
на две составляющие: одну в плоскости орбиты и вторую
в направлении, нормальном плоскости орбиты, Последнюю
166
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
составляющую будем называть ортогональной. Позже будет по¬
казано (см. главу 3), что ортогональная сила, действующая на
спутник в любой точке орбиты, за исключением узлов, всегда при¬
водит к вращению линии узлов. Ясно, что при прохождении
спутником плоскости экватора поперечная сила обращается в
нуль. Вращение линии узлов является внешним проявлением
прецессии орбиты (см. рис. 2.16, где точки Еь £2, Е3 изобра¬
жают различные положения одной из точек узлов орбиты).
Таким образом, составляющая силы притяжения g, ортогональ¬
ная плоскости орбиты, является причиной, вызывающей пре¬
цессию орбиты. Из рис. 2.17 видно, что поперечная составляю¬
щая силы протяжения становится максимальной на широте
Ф = 45° и обращеатся в нуль при ф = 0 и ф = 90°.
В первом томе1) было показано, что потенциал силы притя¬
жения Земли с учетом ее сжатия можно записать в виде
tf=*(l+i|>), (2.32)
где г — радиальное расстояние до спутника от центра Земли,
К—гравитационный параметр, a ф— потенциал возмущающих
сил, вызванных сжатием Земли. Потенциал Земли, форма кото¬
рой принята за геоид, может быть аппроксимирован в виде
суммы ряда (теоретически бесконечного), состоящего из сфери¬
ческих функций. При расчете потенциала на поверхности геоида
наиболее подходящей системой координат является система,
использующая радиальное расстояние от центра Земли
Гэо°(г0—радиус экватора, rQo° — полярный радиус), до¬
полнительный угол к широте '& = 90° — ф и долготу Я. В наибо¬
лее общей форме потенциал записывается в следующем виде:
оо ( оо
и = -у 21 ~ИР* I S [Anm sin (п^ (cos ^ +
т=0 ' /г=0
+ Впт COS (пХ) Pm (COS в)]}, (2.33а)
где М — масса Земли, п и т — целые положительные числа
(оо т ^ п ^ 0), Рпт (cos Ф) — так называемая присоединенная
функция Лежандра, Апт и Впш—коэффициенты, представляю¬
щие собой амплитуды сферических гармоник sin (пХ) Рпт (cos Ф) и
cos (пЯ) P^(cos ft). Использование сферических функций основано
на следующем. Если бы Земля имела форму идеальной сферы,
1) См. «Космический полет», т. I, § 3-4. (Прим. ред.)
2.5]
ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА
167
то движение по большому кругу (например, по меридиану)
можно было бы представить как гармоническое, то есть как
периодическое движение по закону, подобному закону изменения
синуса. Движение по меридиану геоида значительно сложнее.
Однако это сложное движение может быть представлено как
результат суммы гармонических движений различной частоты
и амплитуды. В принципе любое движение может быть разло¬
жено на гармоники при достаточно большом их количестве.
Выражение (2.33а) представляет собой эту сумму гармоник
для Земли, и при достаточно большом числе гармоник любая
деталь контура земной поверхности может быть подобным об¬
разом описана аналитически. Все эти детали теоретически
отражаются на отклонении орбиты спутника от кеплеровой
орбиты, получающейся в предположении идеального централь¬
ного поля. На практике, в силу ограниченной точности опреде¬
ления орбит в настоящее время, достаточно ограничиться рас¬
смотрением четырех первых гармоник, что означает замену
геоида некоторой упрощенной его моделью, хотя и более точ¬
ной, чем сфера (единственная гармоника). Сферические гармо¬
ники sin (пХ) Pm (cos О) и cos (пХ) (cos О) называются тессе-
ральными сферическими функциями. Они изменяют знаки в
сферических прямоугольниках, ограниченных в севера и юга
m-п параллелями, соответствующими нулевым значениям
(п,т)-й зональной гармоники, а с запада и востока меридиа¬
нами, отстоящими друг от друга на угол, равный 2л/п. Зональ¬
ная гармоника при п = 0 является полиномом Лежандра
Рт(cos О), который изменяет знак п раз между северным и
южным полюсами (0^0-^180°). Короче говоря, зональные
гармоники описывают отклонение меридиана от большого круга
сферы, а тессеральные функции определяют отклонение эква¬
тора или параллели от окружности. Если геоид рассматривать
как тело вращения, то экватор и параллели будут окружно¬
стями, и, следовательно, потенциал геоида не будет зависеть
от долготы (п = 0) и тессеральные функции в разложении по¬
тенциала будут отсутствовать, за исключением членов с
В0т=Вт. Наличие тессеральной функции порядка /г=1, т> 1 в
разложении потенциала должно означать, что центр масс тела
расположен не на полярной оси. Наличие тессеральной функ¬
ции порядка п = 2, т = 2 должно указывать на то, что Земля
может быть представлена в виде трехосного эллипсоида (то
есть ее экватор не является окружностью)1). До настоящего
времени коэффициенты при этих гармониках не могут быть
определены с достаточной достоверностью. Для геоида в виде
*) См. «Космический полет», т. I, сноску на стр. 195.
168 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ.*
тела вращения выражение (2.33а) упрощается и приводится
к виду
сю
и = Т^ ВтРш™*] <2'ЗЗЬ)
т = О
или, если используется экваториальная геоцентрическая система
координат, записывается в виде
сю
V = тЪ-тРм1™ПЬ) ’ (2-33с)
т=О
где г—радиальное расстояние до точки орбиты, а 6 — склоне¬
ние рассматриваемой точки. Коэффициенты Вт характеризуют
распределение масс внутри Земли:•
т
Вт = J (г'Г Pm (cos Q) dm', (2.33d)
О
где г' — радиальное расстояние от центра Земли до элемента
массы т' внутри Земли. Для полиномов Лежандра Pm(sin6),
используя для краткости обозначение sin 6=*, можно записать:
р (y\ = i — ( vp — 1 \т =
rm\*) 2тт\ dxm К 4
(2т) 1
ГYm _ т(т- 1) 2 т(т- \)(т-2) (т-3) 4 ]
[ 2 (2т — 1) ^ 2 • 4 (2т — 1) (2т — 3) *
2Ш (ml)2
Далее имеем:
У = 7¥ ^(sin^ + ^-^P.^in^ + y J^2(sin6) +
К_ _Вз р^ ^sjn 5) 4. А. Л* р4 (sin 6) +
Г Mr3 Л 3 VOIIIU/T г Мг4
где Р0 (sin 6) = 1; Воо соответствует распределению массы геоида
внутри сферы со средним радиусом геоида, то есть В00=М;
Pi (sin 6) = sin 6; Bi = 0, если начало системы координат совпа¬
дает с центром масс Земли, что и имеет место в действительно¬
сти. Для полинома Лежандра второго порядка, то есть для
второй зональной гармоники, имеем:
Р2 (sin 6) = у (3 sin2 6— 1).
Коэффициент В2 характеризует распределение масс с учетом
сжатия Земли;
Ь.
М
2.5]
ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА
169
где J часто называют коэффициентом второй гармоники:
/ = - =(1623,41 ± 4) • 106
2 Mrl V ’
[численное значение получено из наблюдений за движением
спутника «Вангард-1» (см. таблицу 2.4)].
Сжатие (сплюснутость) определяется отношением разности
между экваториальным г0 и полярным г90° радиусами к эква¬
ториальному радиусу. В первом томе этой серии было приве¬
дено значение сжатия Земли (го — /'эо°)Л'о = 1 /297, определенное
Хейфордом (1909 г.). Если бы Земля была жидким эллипсоидом,
находящимся в гидростатическом равновесии, то при сущест¬
вующей угловой скорости вращения ее сжатие было бы равно1)
1/299,8. На основании определений угловой скорости прецессии
плоскости орбиты спутника «Вангард-1» было получено1) бо¬
лее точное значение сжатия Земли: 1 /(298,2±0,2). Для третьей
гармоники имеем:
Рг (sin 6) = -i- (5 sin2 б — 3 sin б)
с периодом Р = 2п/п = 2п/3 и
где Н часто называют коэффициентом третьей гармоники. Из
наблюдений за движением спутника «Вангард-1» (см. таблицу
2.4) получено, что
Н= (6,04 ±0,73) • К)'6.
Третья гармоника, как и все нечетные гармоники, характери¬
зует несимметричность формы и распределение масс относи¬
тельно плоскости экватора. Для эллипсоида эти гармоники
равны нулю. Определение коэффициента третьей гармоники для
Земли является одним из важных результатов, полученных из
наблюдений за движением спутника «Вангард-1». Третья гар¬
моника указывает на различие в форме северного и южного
полушарий2) (на «грушевидность» формы Земли). Численное
значение коэффициента третьей гармоники указывает, что Се¬
верный полюс на 15 ж выдается над поверхностью эллипсои¬
да, а Южный полюс находится на 15 м под поверхностью
l) J. A. O’Keefe, Determination of the Earth’s Gravitational Field, p. 448
in «Space Research». N. Kallmann Bijl (ed.), Proc. 1st Intern. Space Science
Symposium., North Holland Publ. Co., Amsterdam, 1960.
*) J. A. O’Keefe, A. Eckels and R. K. Squires, Science, vol. 129.
p. 565 (1959) and J. Geophys. Res., vol. 64, p. 2389 (1959).
170 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
эллипсоида и что амплитуда изменения расстояний точек «гру¬
шевидной» поверхности от поверхности эллипсоида составляет
±7,5 м при ф=±26°,5. Для четвертой гармоники имеем:
Р4 (sin 6) = -- (3 — 30 sin26 + 35 sin4 6)
с периодом 2я/п = я/2. Как видно, периоды гармоник убывают,
указывая на все меньшие отклонения частей поверхности зем¬
ного шара. Коэффициент В,к характеризует отклонение в рас¬
пределении масс в полушариях относительно плоскости эква¬
тора:
- тт ^ “ I-0 (^)4 •
где D называют1) коэффициентом четвертой гармоники. Из
наблюдений за спутником «Вангард-1» (см. таблицу 2.4) по¬
лучено, что
D= (6,37±0,23) • 10-6.
Гармоники более высоких порядков к настоящему времени еще
не определены с достаточной точностью.
Итак, потенциал силы притяжения Земли в точке, имеющей
склонение 6 к плоскости экватора и удаленной от центра Земли
на радиальное расстояние г, может быть принят приближенно
равным:
U = j-[ 1 + (+)2(1 -3sin26) + ^(-^)3(3sin6-5sin36) +
+ (3 - 30 sin2 6 + 35 sin4 6)]. (2.34)
В последующем третья гармоника будет отброшена, чтобы
использовать полученное выражение для модели Земли, сим¬
метричной относительно плоскости экватора, то есть для случая
зависимости радиуса фигуры только от широты. Наконец, под¬
ставляя
4 1 2 U D 4 _ и
з Г0 2* 10 г0 4*
получаем:
V = t[1 +^(I+3sin26) + £-(l-10sin26+f-sin46)]. (2.35)
*) Вместо часто используемой буквы К здесь использовано обозначе¬
ние D, чтобы не путать с гравитационным параметром K=GM.
2.5] ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА 171
Радиальная составляющая ускорения силы притяжения на по¬
верхности (г = г0о) в зависимости от широты определяется вы¬
ражением
t \ - ди - А
\ёоо)г— дг л
00
На экваторе
+ (^-')4 (35 sin4 6-30 sin2 6 + 3)]. (2.36а)
- (go)r = “ 4 (i+J + JD)-
rQ \ 6 ,
Для невращающейся Земли эта величина равна 9,8142 м/сек2.
Поэтому
К 9,8142 9,8142
1+/+^> 1-001629
9,7981 м/сек2.
Поперечная составляющая на поверхности определяется вы¬
ражением
(goo)< = —(4г) =-!-[“ 2/(—V* sin 6 cos 6 +
гоо \ /Гоо гоо . \гоо/
(140 sin3 6 cos 6 — 60 sin 6 cos 6)J . (2.36b)
Графики зависимости радиальной и поперечной составляющих
от широты ф (или склонения 6) приведены на рис. 2.18 и 2.19.
При их вычислении использовались выражения (2.36а) и (2.36Ь).
При этом зависимость радиуса г0о от широты ф принималась
в виде
г0 (0,99832 + 1,683494 • 10~3cos 2ф — 3,549 • 10~6со8 4ф),
(2.37)
где г0 = 6378388 м — радиус экватора. На рис. 2.18 и 2.19 ра¬
диальное ускорение изменяется по-разному, так как его зна¬
чение на поверхности определяется контуром сжатой Земли,
а значения на высотах, приведенные на рис. 2.19, соответствуют
точкам, равноудаленным от центра Земли, и, следовательно, вы¬
сота над полюсом больше, чем над экватором.
При прецессии плоскости орбиты ее вращение происходит
в сторону, обратную направлению движения спутника. Поэтому
при запуске спутников в восточном направлении (восточном,
северо-восточном, юго-восточном), то есть в тех случаях, когда
наклонение орбиты к плоскости экватора находится в преде¬
лах 0<i<90° (прямые орбиты), узлы орбиты перемещаются
вдоль экватора в западном направлении (рис. 2.20, а). Для
172
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
обратных орбит, получаемых в результате запуска спутников в
западном направлении, узлы орбиты перемещаются в восточном
направлении (рис. 2.20,6). В астрономии принято измерять на¬
клонение орбиты в восходящем узле от плоскости отсчета до
плоскости орбиты против хода часовой стрелки. Таким образом,
при наклонении i>90° на-
1w
3 92,25
I t‘32,20
1
^ | 0,06
О 20 40 60 80 90
Географическая широта р (градусы)
Рис. 2.18. Радиальная и поперечная со¬
ставляющие ускорения силы притяжения
Земли с учетом сжатия на поверхности и
в точках, равноудаленных от центра Земли
(радиальная составляющая без учета вра¬
щения Земли).
правление угловой скоро¬
сти прецессии совпадает
с направлением угловой
скорости вращения Землщ
при наклонении i<90° на¬
правление угловой скоро¬
сти прецессии противопо¬
ложно направлению угло¬
вой скорости вращения
г=го+370км Земли (регрессия).
В главе З1) получено
уравнение движения точ¬
ки в поле центральной
силы. Было показано,
что движение является
плоским. Однако если
плоскость орбиты накло¬
нена к плоскости, приня¬
той за плоскость отсчета,
то к радиальной дально¬
сти и истинной аномалии
добавляется третья коор¬
дината— угол места точ¬
ки над или под плоско¬
стью отсчета. Если за пло¬
скость отсчета принята
плоскость экватора, то
этим углом является
склонение 6.
Поэтому положение
спутника на небесной сфе¬
ре в случае однородной
сферической Земли в геоцентрической системе координат за¬
дается радиальным расстоянием г, прямым восхождением а и
склонением 6. Прямое восхождение измеряется от точки весен¬
него равноденствия против хода часовой стрелки (если смотреть
с Северного полюса) и изменяется от 0 до 360°. Склонение б
1) См. «Космический полет», т. I.
2.5]
ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА
173
измеряется от плоскости экватора и в северном полушарии
принимается положительным,
(рис. 2.21). Вектор скорости
может быть представлен сле¬
дующими составляющими: ра¬
диальной, широтной (парал¬
лельной плоскости экватора
или направленной с запада на
восток )и меридиональной (ка¬
сательной к меридиану или
параллельной направлению се¬
вер— юг). Проекция вектора
скорости на орбитальную пло¬
скость в свою очередь может
быть представлена радиальной
и трансверсальной (под пря¬
мым углом к радиальной) со¬
ставляющими. В поле цент¬
ральной силы тело испытывает
лишь радиальное ускорение,
следовательно, трансверсаль-
ная, широтная и меридиональ¬
ная составляющие ускорения
равны нулю. Таким обра¬
зом, для случая плоского дви¬
жения, рассмотренного в главе 3, имеем для радиальной состав¬
ляющей ускорения
г-гг)2=--£- (2.38)
и для трансверсальной составляющей ускорения
|^-(г2л) = 2гг,+гг1 = 0. (2.39)
В геоцентрических координатах соответственно имеем:
для радиальной составляющей
г — г (62 Т" cos2 6а2) = г — гб2 — г cos2 6а2 = —^ , (2.40)
для меридиональной составляющей
~ (г26) + т cos 6 sin 6а2 = 0 (2.41)
а в южном — отрицательным
30,40
30,35
% 30,30
^28,80
§ 28,75
I 28,70
I
| 28,85
^ 28,80
I 27,30
I
| 27,25
^ 27,20
2715
1 0 20 40 60 80 00
Географическая широ/па <р (градусе/)
Рис. 2.19. Радиальная составляющая
ускорения силы притяжения Земли
с учетом сжатия для точек, равно¬
удаленных от центра Земли.
*Г = Г0 +185 нм
r = r0 +556нм
и для широтной составляющей
(г2 cos26а) = 0.
(2.42)
174
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Рис. 2.20. Перемещение узлов прямой и обратной орбит при пре¬
цессии.
а) Перемещение узлов орбиты к западу (прецессия прямых орбит; 0 < i < 90°);
б) перемещение узлов орбиты к востоку (прецессия обратных орбит; 90° < I < 180°).
Рис. 2.21. Иллюстрация прецессии орбиты регрессией линии узлов
(узел перемещается от к Д2, то есть к западу на угол ар/за
данный промежуток времени).
2.5] ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА 175
Интегрирование уравнения (2.39) приводит ко второму за¬
кону Кеплера, устанавливающему постоянство кинетического
момента г2ц = С, где С — постоянная закона площадей Кеплера.
Аналогичным образом интегрирование уравнения (2.42) немед¬
ленно приводит к равенству
r2cos26a = С!, (2.43)
где С1 — постоянный кинетический момент орбиты в плоскости
экватора. Теперь можно решить уравнение (2.41), содержащее
меридиональную составляющую ускорения. Легко показать, что
tg 6 = tg l sin a, (2.44)
откуда, дифференцируя по времени и учитывая, что i= const,
получаем:
6 sec2 6 = tg i cos ad.
Далее, воспользовавшись из соотношения (2.43) зависимостью
d d
между производными и в виде
d С1 d
dt г2 cos2 6 da *
перепишем уравнение (2.41) таким образом:
d /_Cj_ *6 \ _ a sin 6 cos 6 _ ~
da \ r cos2 6 / r cos2 6 *
где первый член может быть приведен к виду
d ( Сха . \ d2 ( Cjd , . \
ж (— tg I cos a) = - (— tg I sin a).
Умножая оба члена на —r/Cid, получаем:
d2
da2
(tg 6) + tg 6 = 0. (2.45)
При рассмотрении движения в плоскости орбиты угловая
скорость движения по орбите определяется выражением
Л = тг >
а при анализе орбиты в пространстве
С,/г2
Т1 = —-— ,
1 COS I
где — нацлонение орбиты относительно плосцостц экватора,
(2.46)
1 COS I 4 ’
176 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
Соответствующие выражения для гиг имеют вид:
для орбиты в плоскости
' ■- -ж (т) - - (т) - - с ii (т) • <2-47>
<2-48)
для орбиты в пространстве
<2-49>
(2.50)
COS L 1 dц2 \г ) COS2 L йц2 \ г / 4 7
Наконец, в случае орбиты в пространстве по аналогии с
равенством
nr)2 = С2/г3г
справедливым для рассмотрения орбиты в плоскости, можно
записать:
С\1'
.3
гб2 + г cos26а2 = —— • (2.51)
COS2 L V 7
Подставляя соотношения (2.50) и (2.51) в равенство (2.40), по¬
лучаем выражение
<2-52>
интегрирование которого дает:
C*lK P.
(1+6 COS Г]) COS2 I 1+6 COS Г]’ ' ■ 7
где, как и прежде, истинная аномалия отсчитывается от пери¬
центра. Выражение (2.53) является общим уравнением орбиты
относительно сферического тела в пространственной системе
координат.
Движение спутника в поле центрального тела со сжатием
уже не является плоским. В случае движения спутника с по¬
стоянной плоскостью орбиты относительно центрального тела
сферической формы справедливы соотношения
tg 6 = tg i sin a, (2.44)
2.5] ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА 177
Эти соотношения, очевидно, останутся справедливыми и для
случая движения спутника относительно центрального тела со
сжатием, если вместо а использовать величину а±арг, где
арг — изменение прямого восхождения, вызванное прецессией
орбиты (знак «плюс» соответствует западной, знак «минус»—
восточной прецессии). Таким образом, для случая центрального
тела со сжатием выражения (2.44), (2.54) и (2.55) следует за¬
менить на такие:
tg 6 = tg i sin (a + apr), (2.56)
sin 6 /n r_4
COS T) = —:— , (2.57)
1 sin I * v '
sin T) = — cos 6 cos (a + apr). (2.58)
Запишем уравнения движения в следующей форме:
г — гб2 — г cos2 6a2 = 4— , (2.59)
-Jr(r26) Ч- г cos 6 sin 6a.2 = -Г-, (2.60)
■4т (r2 cos26a) = —т^гт • (2.61)
Перепишем правую часть уравнения (2.59), используя соотно¬
шение (2.36а), в котором заменим г0о на Получим:
г — гб2 — г cos26a2 = — -[l + / ^y-j2(l — 3 sin2 б) +
+ (-^)4 (35 sin4 6-30 sin2 6 + 3)]. (2.62)
Аналогично поступим и с уравнением (2.60):
у уу (г26) + г cos 6 sin 6a2 = у- [ — 2/ {^у-j sin 6 cos 6 +
+ ^ (140 sin3 6 cos 6 - 60 sin 6 cos 6)]. (2.63)
Третье уравнение после проведения подобной операции приве¬
дется к такому же виду, как и уравнение (2.42):
cos26a) = 0, (2.64)
так как U [см. соотношение (2.35)] не зависит от а. Это нахо¬
дится в полном согласии с ранее принятым допущением о том,
что центральное тело является двухосным сфероидом и, следо¬
вательно, U не зависит от долготы (так что широтная состав¬
ляющая силы, действующей на спутник, равна нулю),
12 К. Эрике, т. IJ
178
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Уравнение (2.64) было проинтегрировано ранее, и решение
было приведено в виде (2.43). Уравнение (2.63) приводится
к легко интегрируемому виду так же, как было приведено к
такому виду уравнение (2.41):
dor
С2
Ч
— 2J ( — ] sin 6 cos 6 +
+
у(~г) D sin 6 cos 6 (7 sin2 6 — 3)j , (2.65)
где член четвертого порядка, содержащий D, является очень
малой величиной.
Для центрального тела в виде сжатого сфероида, то есть
для тела с осевой симметрией, отношение угла поворота пло¬
скости орбиты к соответствующей величине изменения истинной
аномалии является постоянным:
ЧГ = к. (2.66)
Для определения величины k можно поступить следующим об¬
разом. Углы арг и 6 входят в выражения (2.56) и (2.58). Обра¬
зуем с помощью этих выражений такое уравнение, аналогичное
уравнению (2.65), чтобы его левая часть совпадала с левой
частью уравнения (2.65), а правая часть была выражена через
величину k. Тогда, приравняв правые части этих уравнений,
можно определить величину k. Эти преобразования достаточно
просты, и поэтому они будут описаны здесь кратко. Дважды
дифференцируя уравнения (2.56) по а и прибавляя к результату
tg б, получаем:
^r(tg6) + tg6 = tgisin(a + apr)[l -(l +k-^J] +
+ tg i cos (a + apr) k . (2.67)
Для исключения производных dy\jda и d2y\jda2 найдем из ра¬
венств (2.57) и (2.58) выражения для искомых производных,
а выражение для d(tg6)/da найдем из равенства (2.56). В ре¬
зультате запишем:
(й<1)> (2.68)
аа cos i \ cos i / cos i ' 4 '
44 = — 2 sin 6 cos3 6 cos (a + apr) Sin2l (1 — fe c°s 6 ) . (2.69)
{la2 . \ pr/ eo?2 ^ ^ cos (, / 4 i
2.5] ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА 179
Подставляя эти выражения в уравнение (2.67) и исключая
cos(a + apr) с помощью соотношения (2.56), после дифферен¬
цирования по а получаем:
^(tg6) + tg6=-2fe^^. (2.70)
Отсюда, сравнивая полученное выражение с (2.65), имеем:
К Л
k = ]—z— cos3i. (2.71)
С\ г х
Теперь легко определить угол поворота плоскости орбиты за
время прохождения спутником центрального угла г). Интегри¬
руя соотношение (2.66), получаем:
арг = 6т). (2.72)
Для решения уравнения (2.62) необходимо найти 6, г, г и а.
Дифференцируя (2.57) по времени и исключая sin г] и cos 6 с
помощью (2.58), получаем:
6 = sin i cos (a + apr)r|. (2.73)
Далее из (2.68) и (2.43) находим:
Т] ~ 2С| (l+fe-£^) (Л<1), (2.74)
1 r2COSl \ COS I / v п v 7
r = Aj*L = _r2jL.(i_U= £г_ <L(IWi + (2.75)
dt\ dt dv\ \ r ) 1 cos 1 dy\ \ r J \ cos 1 / ' 7
dr . C,
dv\ 1 cos 1
* Г (J_\ 'П'*2 cos 1 _ 2^ sin & CQS & ^61
^LdvfXr) Ci dv\\r) cost dt] J *
(2.76)
d&
где величина cos 6-^ с помощью соотношения (2.54) может
быть представлена так:
cos 6 = — sin i sin г]. (2.77)
Кроме того, член (k cos2 6/cos i) <C 1, так что
1 "T k cos2 6/cos i ^ 1 и (1 + k cos2 6/cos i)2 ^ 1 +2k cos2 6/cos i.
Следовательно,
180 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
Итак, выражение для г записано. Выражение для гб2 можно по¬
лучить из соотношений (2.73) и (2.74), а выражение для
/'cos26a2 может быть определено с помощью уравнения (2.43),
так что
гб2 + г cos2 6a2 = -3—Ц— (1 + 2k sin2 ц ). (2.79)
Г3 COS2 I \ 1 COS I / v '
Записав уравнение (2.62) без членов четвертого порядка в виде
г — (гб2 + г cos26a2) = — -у |А + / (1 — 3 sin2 6)J (2.80)
и подставив в его левую часть выражения (2.78) и (2.79), по¬
лучим:
^(7)(1+2/г^г)+^(т)2ЙЫпбз1пт>^1 +
+ -^1 + 2fe-^sin2r|) = Kc°fl |^1 + 7 (т~)2(1 “ 3sin26)J (2-81 а)
или для малых значений k
J— (АЛ + _L ~ К cos:
dr\2\r) г
+/(-^-)2(1 -3sin26)J. (2.81b)
Уравнение (2.81b) отличается от уравнения (2.52) только
правой частью. Поэтому интеграл уравнения (2.81Ь) может быть
записан в виде
1 К cos21
С?
(1 + е cos г] + //2), (2.82)
где величина /2 является функцией, представляющей собой ва¬
риации второго порядка относительно г. Таким образом, проин¬
тегрировав уравнение (2.81Ь), можно определить величину /2.
Чтобы проинтегрировать это уравнение, необходимо учесть, что
в соответствии с (2.57) б является функцией г]. Следовательно,
1 — 3 sin2 6=1—3 sin21 cos2 г] = 1 — sin21 — — sin21 cos 2т].
Интегрирование сильно упрощается, если в правой части ис¬
ключить член 1 /г2. Это можно сделать, если в соответствии с
равенством (2.82) принять 1,'r « /Ccos2i/C2. Тогда уравнение
(2.8lb) может быть записано в форме
d2 ( 1 \ , 1 /С cos2 1 [ л . г 9 /С2 cos41
I i Sirr I I —
A 2 J
dr\2
L) + ±-^{1+^*w.[(
3
— у Sin2 I COS
2.5] ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА 181
Полагая теперь
1 \ К cos21 „ 1 К cos21
dr!2 \ г) С2 1 ’ г С2 Ъ
дифференциальное уравнение можно записать в виде
. 1 . 1 2 COs4 1 /1 3 2 \ 3 j п COS4 I . 9 9
%" + X = 1 + /''о—q— (1 _ 7 sin Ч “ 7 /г0 —С4 sin 1 cos2 л
и после интегрирования получить:
1 . у 9 К2 cos41 Л 3 . о \
Х= 1 +/Г0 ^4 ( 1 - -Sln2lj + eCOSr] +
| 1 Г о К2 COS4 1.9 п
Н—Jrn 1— Sint cos 2ri
2 0 с4, .
Отсюда
i a:cos21 г. , , ,, a:2cos4i г/, з .
с2
1 I I Г 2 К2 cos4 1 Г/l ^ • 2 \ .
1 + в cos г] + /г2 —— ( "2"Sm L)
■ 1 «2
+ 77- Sin L COS
24]},
где третье слагаемое в правой части и есть величина /2. Вынеся
множитель 1/2 за квадратные скобки и преобразовав полученное
слагаемое (2—3 sin21) к виду (3cos2i—1), получим следующее
выражение для величины /2:
f2=^r^(3 cos2l + sin2i cos 2г]-- 1). (2.83)
Таким образом, получим уравнение орбиты относительно цент¬
рального тела со сжатием с учетом вариаций второго порядка
величины радиуса-вектора в следующем виде:
C2Jk cos2i
Г = т-г1^ хтг • (2.84а)
1 + е cos г) + 7/2
Обозначив, как и в уравнении (2.53),
С' =Р| (2.84Ь)
К cos21 ^1
и подставив в выражение для /2, перепишем уравнение орбиты
182
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Для экваториальной орбиты оно принимает вид:
с\!к
(2.84d)
2 К2 ’
1+ е cos т) + lr0—j
^ 1
1
а для околополярной орбиты записывается так:
(2.84е)
Для экваториальной орбиты» как следует из уравнения (2.84d),
имеет место лишь зависимость изменения радиуса-вектора пер¬
вого порядка от истинной аномалии, так что для круговых орбит
(£ = 0) радиальное расстояние является постоянным. Этот ре¬
зультат находится в полном согласии с первоначально принятой
моделью двухосного сфероида, допускающей принципиальную
возможность существования строго круговой орбиты только в
экваториальной плоскости. На полярной орбите влияние сжатия
центрального тела на радиальное расстояние является макси¬
мальным.
Рассмотрим околокруговую полярную орбиту, истинную ано¬
малию на которой будем отсчитывать от восходящего узла (то
есть г] = ср, где ср — широта). Из уравнения (2.84е) следует, что
даже при £~0 величина радиуса-вектора зависит от истинной
аномалии из-за наличия члена второго порядка. Этот член яв¬
ляется отрицательным, за исключением случая экваториальной
плоскости, что указывает на то, что для орбиты, определяемой
центральным телом со сжатием, радиальное расстояние больше,
чем для орбиты с тем же кинетическим моментом, но опреде¬
ляемой сферическим телом радиуса, равного экваториальному
радиусу тела со сжатием. Наоборот, радиус экваториальной
орбиты уменьшается по сравнению с радиусом орбиты, опреде¬
ляемой сферическим телом радиуса, равного полярному радиу¬
су тела со сжатием, вследствие наличия дополнительных эква¬
ториальных масс.
Для среднего радиального расстояния от центра Земли
имеем:
Г| = о
где г определяется уравнением (2.84с). В результате интегриро¬
вания получаем:
2л
(2.85)
Pi Pi
2.5]
ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ПОЛЕ СФЕРОИДА
183
откуда
рх = r° [l + 1 /(т§-)2(3 cos2i - 1)]. (2.87)
Это является вариантом второго порядка для параметр?, входя¬
щего в уравнение (2.53) и имеющего вид pi = rcos2i для круговой
орбиты радиуса г относительно сферического центрального тела.
Для периода обращения спутника относительно восходящего
узла, определяемого как интервал времени между двумя после¬
довательными прохождениями спутником восходящего узла,
имеем:
(2.84с). Интегрирование этого уравнения с использованием соот¬
ношения (2.84Ь) дает:
X { 1 + е2 — 2/ (“т)2 (3 cos21 — 1) [ 1 — / (75-) (3 cos2i - 1)]|
2л
(2.88)
где т| определяется из равенства (2.74), а г—из равенства
(2 .89а)
или
1 + у.'-2;
2
(3 cos21-1) . (2.89b)
Из равенства (2.87), полагая
чаем:
полу-
(-£-)«1 + /(-£)2(3cos2i — 1)~1. (2.90)
Таким образом, имеем:
184
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
С учетом равенства (2.87) находим:
V — = г 1 : ~ 1 -T/f-^^COS2!.- 1).
V Pi f 1 / Гл \2 4 \ г° / '
У 1+ О cos2 1-1)
Пренебрегая членами, содержащими произведение J на е2 или
J на 7, запишем:
«2я |/i^[l+4,2-4-/(^)2(3cos4-l)]. (2.91)
Отсюда следует, что для экваториальной орбиты (cos21 = 1) пе¬
риод Тq (в данном случае совпадающий с периодом 7sld) мень¬
ше периода, соответствующего такому же орбитальному рас¬
стоянию от центра сферической Земли полярного радиуса, так
как члены второго порядка не обращаются в нуль. Этот резуль¬
тат находится в согласии с выражением (2.84с).
2.6. Оценка предыдущего анализа
Уравнения движения в силовом поле центрального тела со
сжатием были получены в предположении, что расстояние от
центра притяжения изменяется на небольшую величину, так
как при выводе удерживались лишь полиномы Лежандра вто¬
рого порядка [член четвертого порядка в уравнении (2.62) был
отброшен]. Учет члена только второго порядка позволяет рас¬
сматривать орбитальные эксцентриситеты, величина которых
имеет порядок 0<С/1/2с<4 • 10~2. Таким образом, уравнения дви¬
жения с учетом члена второго порядка охватывают влияния,
вызывающие изменения эксцентриситета на величину порядка
7^1,6- 10-4. Очевидно, при рассмотрении эксцентриситетов более
высокого порядка необходимо учитывать эффекты более вы¬
сокого порядка, вызываемые разницей между изменениями воз¬
мущающего и центрального полей в зависимости от расстояния.
Поэтому предыдущий анализ справедлив для околоземных
орбит с эксцентриситетом е^<0,04, что соответствует отно¬
шению апогейного расстояния к перигейному расстоянию
гл/гр = п= (l+e)/(l—е) ^ 1,0833. Для орбиты с высотой в пе¬
ригее уР = 556 км соответствующая этому отношению высота
в апогее будет г/А=Н28 км или, если уА = 556 км, то ;/р = 46,2ял*.
Величина К при предыдущем анализе была принята на осно¬
вании уравнения, следующего после выражения (2.36а), а вели¬
чина экваториального радиуса — на основании уравнения (2.37).
При этом К= 1,40772 • 1016 фут3/сек2, что несколько больше зна¬
чения /С = 1,40752• 1016 фут3/сек2 (3,9858• 105 км3/сек2)у приве-
2.6] ОЦЕНКА ПРЕДЫДУЩЕГО АНАЛИЗА 185
денного в таблице 3.1 б1). Числовые данные, относящиеся к Зем¬
ле с учетом сжатия, приведены в таблице 2.4.
Таблица 2.4
Данные, относящиеся к Земле со сжатием *)
Экваториальный радиус а = (г00)0 =г0-«
= 6 378 388 м = 3 444 058 морских миль =
= 20 926 425,8 фут (США).
Полярный радиус b = (rooW = 0,996632а = 6 356 912 м = 3 432 458 мор¬
ских миль = 20 855 745,6 фут (США)
Сжатие (г0 — Ь)/г0 = 1/298,2±0,2 (вычислено по скорости прецессии орбиты
спутника «Вангард-1»).
Полярный момент инерции С = 0,3339 AfrQ.
Экваториальный момент инерции А = (С — 0,0010926)/M/-Q.
Масса Земли М = 5,977- 1027 г.
Отношение моментов инерции (С — А)/А = 1/305,6.
Динамическое сжатие Я = (С — А)/С = 0,0032726±0,00000069.
Коэффициент второй гармонии / = (1623,41 ±4) • 10" («Вангард-1»).
Коэффициент третьей гармоники Я = (6,04±0,73) • 10-6 («Вангард-1»).
Коэффициент четвертой гармоники D = (6,37±0,23) • 10-6 («Вангард-1»).
Коэффициент пятой гармоники
Объем Земли V = -jnrob = 1.0833198 • 1021 мг.
Радиус сферы равновеликого объема req = 6 371 221,3 м = 0,9989а.
Средние солнечные сутки 86 400 сек = 24 час.
Звездные сутки 86 164 сек = 23h56m04s.
Угловая скорость вращения со = 2я/86 164 = 7,2921 • 10 5 сек 1 (звездные) =
= 4,17806 • 10-3 град (сек (звездные) =
= 360°/24л= 15 град (час (средние солнечные) =
= 4,18* 10"3 град/сек (средние солнечные).
Окружная скорость:
на экваторе: 2яа/86 164 = 465,12 м/сек = 1526 фут(секу
на широте <р: 2я (г00) ф/86 164 « 465,12 cos у м/сек « 1526 cos <р фут/сек.
Радиус Земли на широте ф
(гоо)ф«г0 (0,998320047 + 0,001683494 cos 2ф).
*) Коэффициенты гармоник, полученные на основании наблюдений за
изменением орбиты спутника «Вангард-1», заимствованы из: J. A. 0‘Keefe,
A. Eckels, R. К. Squires, Astron. J., vol. 64, No. 7, p. 245. См. также:
L. G. J а с с h i а, Специальный отчет № 19 Астрофизической обсерватории
Смитсоновского института (6 декабря 1958). Величину пятой гармоники
следует проставить в таблицу после получения достаточно точного ее зна¬
чения. Данные, не имеющие ссылок на спутник «Вангард-1», получены до
запуска спутников и могут быть заменены более точными данными.
Если упростить равенство (2.86), полагая pi«r°, то радиаль¬
ное расстояние, определяемое равенством (2.86), может быть
1) См. «Космический полет», т. I,
186 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
выражено через среднее радиальное расстояние г° следующим
образом:
г = , / ч-2— . (2.92)
1 + е cos г) + — / (-^ J (3 cos2 i + sin2 l cos 2rj — 1)
Воспользовавшись разложением 1/(1 +x) =*= 1 —x+'x2— ... для
x-^C 1, уравнение (2.53) можно переписать в виде
r(1) = Pi(I — е cos т]), (2.93)
где гб) обозначает первое приближение для радиального рас¬
стояния. Используя другое выражение для ри а именно выра¬
жение (2.87), получаем:
г(0 = г° Г1 -f- -4- / ("гг')2 (3 COS2 I — 1)1(1 —e COS Г]),
2 (2.94)
г0) = г° 1 — е cos г] + у / j (3 cos21 — 1)j.
Записывая выражение (2.92) в такой же форме, как и выражение
(2.94), и используя зависимость №=г для обозначения второго
приближения для г, получаем:
г(2) = _ е cos ^ __ j j (з cos21 _|_ sjn21 cos 2^ — i)j e (2.95)
Вычитая, найдем разницу между радиальными расстояниями,
определяемыми зависимостями второго и первого приближений:
г(2) __ г(1) = r0j (g cos2 t _|_ gщ2 t cos 2r] — 2). (2.96)
Отсюда .следует, что для экваториальной орбиты г(2)<г(1>:
r<2) _ rm = _ 2гЧ . (2.97)
Для полярной орбиты г(2)>г(1):
г<2) _ г(1) = _ ^ roJ (cos 2т, _ 2). (2.98)
На рис. 2.22 сплошными линиями представлены графики, рас¬
считанные по зависимостям (2.96) — (2.98) для круговой орбиты
(е = 0) среднего радиуса г°=1,1г0 (г0 — экваториальный ра¬
диус), что соответствует средней высоте орбиты у° = 637 км.
Расчеты проведены для трех значений наклонения: i=0; 45°; 90°.
Для сравнения пунктирными линиями показаны графики вели¬
чины разности между экваториальным радиусом г0 и радиусом
поверхности г00 на широте ср. Если спутник движется по строго
круговой полярной орбите, то его высота над полюсом будет на
21,5 км больше, чем над экватором. В действительности,, для
2.6]
ОЦЕНКА ПРЕДЫДУЩЕГО АНАЛИЗА
187
решения второго порядка эта разница уменьшается с 21,5 км до
14,3 км. Подобное явление наблюдается и при i = 45°. В данном
случае связь между истинной аномалией г\ и широтой ср будет
Истинная аномалия г] (градусы)
Рис. 2.22. Разность между экваториальным радиусом г0 и
радиусом поверхности г00 (пунктирные линии) и разность
[r« _rW] между радиальными расстояниями из решения
второго порядка и решения первого порядка (сплошные ли¬
нии) для круговой орбиты (е = 0) при г°/г0=1,1 и средней
высоте у0 = 637 км.
не такой простой, как для полярной орбиты (л^ф), a ф = 45° sin л,
считая г] = 0в перицентре орбиты, лежащем в плоскости экватора.
Опорные данные для графиков, приведенных на рис. 2.22, све¬
дены в таблицу 2.5,
188
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
Таблица 2.5
Данные, относящиеся к рис. 2.22
(гОо)ф = г0 (°.99832+0,0016835 cos 2ф)
Ф, град
(тоо)ф/т0
(г00) , морские мили
Го — {гоо)ф» морские мили
0
1,0
3444
0
30
0,9991618
3441
2,9
45
0,998320
3438
5,8
60
0,997478
3435
8,7
90
0,996636
3432
11,6
“П, град
0
30
45
60
90
ф = 45° sin и\
0
22,5
31,8
39,0
45,0
г0 — (^оо)ф» морские мили
0
1,5
3,1
4
5,8
Ф, град
120
135
150
180
(/oo)Jro
0,997478
0,998320
0,9991618
1,0
(
гоо)ф> морские мили
3435
3438
3441
3444
Го — (Уоо)ф» морские мили
8.7
5,8
2,9
0
т], град
120
135
150
180
ф = 45° sin т]
39,0
31,8
22,5
0
г0 — (г00) , морские мили
4
3,1
1,5
0
Период обращения между двумя последовательными про¬
хождениями восходящего узла Гд определяется выражением
(2.91). Разность между Гд и звездным периодом обращения
Tsia для орбиты с большой полуосью, равной г°, в поле централь¬
ной силы при одинаковых значениях К определяется выраже¬
нием
~ т*н = 2я /-1Г [Т е2 - 4 7 (?)2 <3 cos21 - !)] ’ (2'")
которое для экваториальной орбиты имеет вид:
(Tsi - М.0 - я /тг [Зе‘ -57 (ЗЛ • <2-100)
а для полярной орбиты записывается в виде
(тп - 7'»д.» -я Z5? [12*! +107 (#Л ■ <2-101>
Таким образом, для полярной орбиты Т^>Тац (при допущении,
что а—т° и значение К одинаково в обоих сравниваемых слу¬
2.6]
оценка предыдущего анализа
189
чаях), тогда как для экваториальной орбиты Тв зависи¬
мости от величин е и г°. В предельном случае, когда г° = г0, раз¬
ность Гд - rsld для экваториальной орбиты обращается в нуль
с данным в начале настоящего параграфа определением, при¬
ближенно является верхним пределом эксцентриситетов рассмат¬
риваемых здесь орбит. Для случая, когда г°>г0, эксцентриси¬
теты, для которых Гд — 7"sid = 0, уменьшаются. Для круговых
орбит Тq<Tsid при всех расстояниях, удовлетворяющих неравен¬
ству г°/г0<оо. При этом разница составляет 1,5J(r0/r0)2. Для
орбитальных расстояний г°>г0 и эксцентриситетов порядка
4’ 10~2 имеет место неравенство Tq<Tsi&.
Для экваториальной орбиты выражение (2.91) приобретает
вид:
Поэтому период обращения (Т £l)i по наклонной орбите больше,
чем период обращения по экваториальной орбите:
Используя соотношения (2.84Ь) и (2.87), выражение для k мож¬
но записать в виде
или, пренебрегая членами старше второго порядка, в виде
при эксцентриситете е = К/ «4-10" 2, который, в соответствии
/ тг [2+Зе2 -5/ (^)] • <2-102>
-Ц-- sin2i.
(2.103,
Для периода прецессии орбиты имеем:
(2.10:)
где из выражений (2.66) и (2.71)
1 г Р\г
(2.105)
k = J cos i [l + eeosri + ~ (3 cos i + sin2i cos 2r\ — l)j
sin21 cos
(2.106)
Отсюда
(2.107a)
190
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Для экваториальной орбиты это выражение принимает вид:
Го /г°\2 Т / Л \2
рг '
’Я,
]
г о
sid
7“
Г о
(2.107Ь)
где а = гР/(\—е)—большая полуось эллиптической орбиты,
гР — перигейное расстояние. Другие приближенные выражения
600
I ЗО0\
I
I
1100
188
%60
20,
Г
/
/
1/
/
/
/
У
у
1
~^n~V (а~гп = 038км)
и . .
1 1
О ГО 20 30 40 50 60 70 60 00
Наклонение орбите/ I (градусы)
Рис. 2.23. Сравнение периодов
прецессии орбиты по решениям
второго [уравнение (2.107а)] и
первого порядков ((колокруго-
вые орбиты).
“О 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Наклонение орбите/ i (градусы)
Рис. 2.24. Период прецессии ор¬
биты Грг в зависимости от накло¬
нения орбиты (решение первого по¬
рядка; орбита околокруговая; а—
большая полуось).
для правых частей выражений (2.Ю7) можно получить, исполь¬
зуя данные, относящиеся к полю центральной силы, и заменяя
Т ££ на 7Sid и г° на а. Эти приближенные выражения были при¬
ведены в первом томе1) и для многих целей являются достаточ¬
но точными. О точности замены решения второго приближения
решением первого приближения можно судить по графику, при¬
веденному на рис. 2.23. На рис. 2.24 приведены графики изме¬
нения периода прецессии орбиты в зависимости от наклонения
1) См. «Космический полет», т. I,
2.6]
ОЦЕНКА ПРЕДЫДУЩЕГО АНАЛИЗА
191
орбиты, полученные на основании решения первого приближе¬
ния [то есть с приближенным выражением правой части равен¬
ства (2.107а)]. В качестве параметра выбрано отношение сред¬
него радиального расстояния первого приближения (то есть
большой полуоси а) к экваториальному радиусу г0 Земли. Не¬
обходимо помнить, что графики, изображенные на рис. 2.24,
справедливы лишь для околокруговых орбит (е-<0,04), хотя
ими можно пользоваться для приближенного определения пе¬
риода прецессии орбит и с большими эксцентриситетами. Для
круговых орбит вместо большой полуоси а берется радиус ор¬
биты г.
Таким образом, период прецессии орбиты в первую очередь
зависит от наклонения орбиты и в меньшей степени от радиаль¬
ного расстояния, если влияние последнего учитывается, как в
случае, приведенном на рис. 2.24. Равенство (2.107а) показы¬
вает, что в случае полярной орбиты Грг обращается в бесконеч¬
ность. При очень малых наклонениях (околоэкваториальные ор¬
биты) период прецессии приближается к своему наименьшему
значению и зависит, по существу, только от радиального рас¬
стояния.
Период прецессии орбиты, определяемый равенстами (2.107),
относится к координатной системе, фиксированной в абсолютном
пространстве (то есть в инерциальном пространстве), а не к
системе, связанной с некоторой точкой на поверхности вращаю¬
щейся Земли. В качестве такой точки на поверхности Земли вы¬
берем точку, над которой в данный момент расположено Солнце,
или, другими словами, точку, через которую проходит прямая
«Земля — Солнце». Выбор этой точки, являющейся центром ос¬
вещенной части Земли, дает определенные преимущества при
оценке условий оптического наблюдения и освещенности спут¬
ника. Таким образом, плоскостью отсчета становится плоскость,
проходящая через центр Земли и расположенная нормально к
гелиоцентрическому радиусу-вектору Земли. Эта плоскость
вследствие движения Земли вокруг Солнца совершает один пол¬
ный оборот за один год. Если бы Солнце было удалено на бес¬
конечно большое расстояние, позволяющее считать движение
Земли прямолинейным практически для любого отрезка вре¬
мени, то Грг определяло бы изменение солнечной радиации, при¬
ходящейся на спутник, при данных значениях наклонения ор¬
биты и радиального расстояния. Однако поскольку Земля
движется относительно Солнца по околокруговой орбите и совер¬
шает полный оборот относительно Солнца за 365,25 сут, то
период прецессии относительно плоскости, нормальной к гелио¬
центрическому радиусу-вектору Земли, должен отличаться от пе¬
риода прецессии в абсолютном пространстве. Это можно уяснить
192
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
из рис. 2.25, на котором схематически показаны движение Зем¬
ли вокруг Солнца (против хода часовой стрелки) и прецессия
плоскости орбиты спутника (также против хода часовой стрел¬
ки). Поворот плоскости отсчета, которая названа герминатором
(так же, как и линия, разграничивающая дневную и ночную ча¬
сти Земли), вследствие движения Земли должен происходить
Рис. 2.25. Влияние движения Земли вокруг Солнца на солнечную
радиацию, приходящуюся на спутник, и условия наблюдения за
освещенной частью земной поверхности со спутника с учетом пре¬
цессии орбиты.
против хода часовой стрелки. Следовательно, плоскость отсчета
и плоскость орбиты поворачиваются в одинаковом направле¬
нии—против хода часовой стрелки. Поэтому период прецессии
орбиты относительно выбранной плоскости отсчета будет боль¬
ше, чем период прецессии относительно абсолютного простран¬
ства. Наоборот, для орбит с наклонением i<90°, обладающих
противоположной, чем указано на рис. 2.25, прецессией, период
прецессии относительно выбранной плоскости отсчета будет
меньшим.
2.6]
оценка предыдущего анализа
193
На рис. 2.25 последовательные положения Земли показаны
через интервал в 1/3 среднего месяца (365,25/12 = 30,42 сут),
то есть с интервалом в 10,14 сут. Прецессия происходит против
хода часовой стрелки (90°<i<180°) с периодом Грг = 30,42 сут.
В начале первого месяца (/) орбита занимает положение /,
через 10,14 сут—положение
2, через 20,28 сут—положе¬
ние 3 ив конце месяца (на¬
чало следующего месяца) —
положение 4. В этом поло¬
жении плоскость орбиты па¬
раллельна плоскости орбиты
в положении 1, но орбита
теперь уже не расположена
в плоскости, нормальной к
терминатору, так как по¬
ложение Земли относитель¬
но Солнца отличается от
первоначального положения
на 30°. Плоскость орбиты
окажется опять нормальной
к принятой плоскости от¬
счета не раньше, чем че¬
рез десять суток (пример¬
но), что указывает на то,
что период прецессии относи¬
тельно плоскости терминато¬
ра примерно на десять суток
больше, чем в абсолютном
пространстве. Период пре¬
цессии по отношению к
освещенной стороне Земли
виде:
1 =
С V 365>25 ’
где знак «минус» соответствует диапазону 90°<i<180°, знак
«плюс» — значениям i<90°.
Если плоскость орбиты совпадает с плоскостью терминатора,
то есть нормальна к гелиоцентрическому радиусу-вектору Земли,
то при 90°<i<180° и 1/Грг= 1/365,25 вся орбита всегда остается
в освещенной части. Для круговой орбиты высотой около
1925 км при 1=180°—75°= 105° период прецессии равен TVT&
^365,25 сут. В этом случае Грг = оо, тогда как при той же
13 К. Эрике, т, II
ооо
500
| 300
I
I
^ 100
I 80
р
!60
1 40
I
го.
П=1вО°-75‘=№‘
1=75°
-60°
-750
■450
-600
-300
■15°
-45°
-30°
75°
10 7,7 7.2 7,3 74 7,5
Высота орбиты r/rOD
Рис. 2.26. Период прецессии орбиты
в зависимости от величины большой
полуоси для околокруговых орбит (ре¬
шение первого порядка). Сплошные ли¬
нии — Грг, пунктирные — Т
рг-
можно выразить в следующем
194
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
высоте орбиты, но при t = 75° период прецессии 7' = 185,5 сут.
На рис. 2.26 приведены графики периодов Грг и 7рг прецессии
о
Солнце
Положение земной
оси о 14300 гоОу
Положение земной
оси о 1000 го Оу
сГЬ - восхоЗящий узел
ТР - нисходящий узел
Рис. 2.27. Регрессия узлов, вызванная прецессией оси вращения
Земли.
орбиты в зависимости от высоты орбиты. Параметром семейства
является наклонение t плоскости орбиты.
Рис. 2.25 иллюстрирует эффекты первого порядка. Суще¬
ствуют еще эффекты второго и третьего порядка, вызываемые
соответственно изменением наклонения / относительно плоскости
2.7] ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ. ВЫЗВАННЫЕ СЖАТИЕМ ПЛАНЕТЫ 195
эклиптики и эллиптичностью орбиты Земли. Наклонение пло¬
скости прецессирующей орбиты относительно плоскости эква¬
тора меняется периодически, а не монотонно (см. § 2.8). Однако
имеет место и монотонное (вернее, долгопериодическое) изме¬
нение плоскости орбиты относительно плоскости эклиптики или
относительно любой другой фиксированной в абсолютном про¬
странстве плоскости. Наклонение прецессирующей орбиты отно¬
сительно плоскости, фиксированной в абсолютном пространстве,
изменяется в пределах между i = io+i и i = i0—1, где i0 — накло¬
нение плоскости экватора к фиксированной плоскости отсчета,
a i — наклонение плоскости орбиты к плоскости экватора. Это
показано на рис. 2.27 для двух значений наклонения плоскости
орбиты: 1 = 30° и 1 = 60°. В качестве фиксированной плоскости
отсчета выбрана плоскость эклиптики. В нижней части рисунка
показана прецессия оси вращения Земли относительно полярной
оси эклиптики. Прецессия оси вращения Земли называется лун¬
но-солнечной,, ибо она вызвана как наклонением плоскости лун¬
ной орбиты, так и наклонением плоскости эклиптики к плоскости
экватора. Однако поскольку период этой прецессии достаточно
велик (25 800 лет), то для многих задач астронавтики лунно¬
солнечную прецессию можно не учитывать и считать, что пло¬
скость экватора жестко фиксирована относительно плоскости
эклиптики.
2.7. Вековые возмущения орбиты спутника, вызванные
сжатием планеты
На основании соотношения (2.35) возмущающий потенциал
Земли может быть записан в следующем виде:
1)3 =/с [-^§-(1 -3sin26) + -^-(l - 10sin26 +-у sin4б)]. (2.109)
Из рис. 2.28 следует, что
sin 6 = sin i sin и, (2.110)
где и — аргумент широты. Наклонение i не подвержено вековым
изменениям. Для sin2w и sin4w справедливы выражения
. 2 11 0
nn2 U = pr cos 2и,
....... ......... 1 '•|и|
Sin** и = ~2 ~2 ^05 I
sin4 и = у cos 4и — у cos 2и + у j
с постоянными непериодическими частями 1/2 и 3/8 соответ¬
ственно и периодическими частями, состоящими из тригономет¬
рических функций. Введем в слагаемые правой части выражения
13*
196
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
(2.109) величину большой полуоси орбиты а, поделив и помно¬
жив эти слагаемые на соответствующие степени а, чтобы полу¬
чить степени (а/r)3 и (а/r)5. Определим непериодические части
N
Рис. 2.28. Геоцентрическая система коор¬
динат, используемая при изучении возму¬
щений спутника.
для (а/r)3 и (а/r)5. Используя среднюю аномалию УИ, разложим
(а/г)т в ряд Фурье:
(~) = ^ + c{cosM + c2cos2M + ... + cncosnM + ..., (2.112)
где коэффициенты
2Л
c„=4f (y)m cos пМ dM (2.113)
о
являются функциями эксцентриситета е. Дифференцируя урав¬
нение Кеплера Е — esin Е=М, где Е — эксцентрическая анома¬
лия, получаем: dE( 1—е cos Е) =dM. В сводке формул, приведен¬
ных в главе 4 тома 1 (см. «Космический полет», т. I, стр. 390,
п. 12), имеем: 1—ecosE = r/a. Дифференцируя Е по истинной
аномалии в уравнении
2 Д _ J_±JLfrr2 Е
1 - е ё
2.7] ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ СЖАТИЕМ ПЛАНЕТЫ 197
(приведено там же, стр. 396, п. 22) и используя равенство
г cos2 у = а (1 — ё) cos2 —~
приведено там же, стр. 388, п. 5, в виде
V г cos (т]/2)
Е = 2 arccos-
Va{ 1-е) .
получаем: dE = (r/b) dr). Отсюда
dM=^d4
или, так как bja = V\— е2 и Ь21а = р>
dM = j2 (1 — e2f12 dj\.
(2.114)
(2.115)
(2.116)
Необходимая связь между a/r, р/r и г] устанавливается уравне¬
нием орбиты
а _ р/r _ 1 + е cos г\
г 1 — е2 '
откуда
Непериодической частью отношения а\г является величина Со.
Поэтому
2Л
Со /1 _ _2\(3/2) “ m
2 2я * '
М"**-
(1 _е2)(3/2)-т
2л
2я
J (1 + ^ cosr])m 2 dr].
Отсюда для непериодических, или вековых, частей функции ajr
находим:
2л
(т~)3 = ~(1~2д2) /2' J С + е cos Л) + • • • = (1 - е2Г%,
2л
(~~)5 = ^ 2п l' J (l+ecos1l)3dll+ • • • =(1~«2) 72(1+|-е2)+"-
о
(2.117)
198
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
а для вековой составляющей возмущающего потенциала полу¬
чаем:
Теперь можно определить вековые возмущения элементов орби¬
ты. Элементы а, е и i не испытывают вековых возмущений, так
как функция ^secular является функцией этих элементов. Веко¬
вым возмущениям подвержены (см. рис. 2.28) долгота восходя¬
щего узла Д, аргумент перигея со и средняя аномалия о эпохи,
то есть интервал времени, необходимый для перемещения точки
из перицентра в восходящий узел со средним движением невоз¬
мущенной орбиты [i = K/a3 = 2n/TS[d. Изменение о главным обра¬
зом (но не исключительно) объясняется изменением аргумента
перицентра вследствие вращения линии узлов. Из выражений
(1.6.104) и (1.6.105) имеем:
Подставляя соотношение (2.118Ь) в выражение (2.119), нахо¬
дим:
Это уравнение содержит члены более высокого порядка, чем
уравнения, рассмотренные в § 2.5 и § 2.6. В соответствии с опре¬
делением, приведенным в начале § 2.6, величину эксцентриси¬
тета рассматриваемых орбит можно увеличить до значений, еоот^
1 дг|э _ 1 дг|э
dt
ца2 У\ — е2 sin i di С sin i дь *
jli a2 V1 — e2 = С = V Kp = r2rj,
= — К sin i cos i (1 — e2) 3/2 +
+ 10 (1 - e2)'7/2 (l + 4 e2) (l - 4 sin21)]. (2.118b)
(2.119)
dR, _ о k2
dt — HCOSl 3 а2(!_е2)2 +
^(l ~4sin2ij+ ... . (2.120a)
T sin' I
2.7]
ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ СЖАТИЕМ ПЛАНЕТЫ
199
ветствующих 0,2, и с хорошим приближением до е~0,4. Это
уже достаточно большие значения эксцентриситетов, охватываю¬
щие орбиты большинства спутников, исключая лишь орбиты, да¬
леко простирающиеся в долинном пространстве. Если рассма¬
тривать орбиты со значениями эксцентриситета е^0,04, то необ¬
ходимо удерживать члены с е2. Таким образом, уравнение
(2.120а) можно записать в виде
^ « - |Х cos I [з -&■ (1+ 2е2) +
+ Ю-^-(1 +5,5e2)(l --^-sin2i)]. (2.120b)
Подставив в уравнение (1.6.106)
day
dt
V1 — е2 дг|э
ctg i dty
Кр di
\ла2е де
выражение (2.118Ь), частную производную
(2.121)
secular
де
Ке
aV 1 --
а2 (1 — е2)2
1+4 е2
3 • 2'\
SlIT1
2 )
+
+ (l-t2)4 (t ~ 5 sin2i +-y-sin4 ij (2.118c)
и использовав выражение (2.120a) для записи равенства
Secular _ £ silu d^l
dt
dt *
(2.118(1)
получим уравнение, определяющее изменение аргумента пери¬
центра, в следующем виде:
day
*г=I*
k, 1~-2sin*1
Зк2 £ I
-.9 /1 _9\ 9 Т
а*
1+4е2
(1-е2)2
+10~5 sin21+fsin41 + • • •)
— cosi^-. (2.122а)
Используя соотношение (2.120Ь), можно получить упрощенное
уравнение в виде
200
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
или в еще более простои форме:
~ [6 1? О + 2е2) (1 - j sin21) +
+ 10-^f ^2 + -^- е2) (^1 — ~ sin21 + 3 sin4 tj. (2.122c)
— — sin21
Наконец, воспользовавшись соотношением (1.6.109)
соотношением (1.6.110)
j_= (2Л24)
\ia2 VKp ' VKa
и выражением (2.118c), получим уравнение для определения
параметра а:
которое может быть упрощено так же, как и соотношение
Из выражений (2.120) следует, что линия узлов всегда пере¬
мещается в сторону, противоположную направлению движения
спутника. Иными словами, при i<90° перемещение линии узлов
является обратным, то есть с востока на запад, или по ходу ча¬
совой стрелки, если смотреть с Северного полюса. При i>90°
орбита является обратной и перемещение линии узлов происхо¬
дит в прямом направлении, то есть с запада на восток. Прене¬
брегая членами, содержащими &4, можно записать следующие
приближенные равенства:
для эллиптических орбит
(2.125)
(2.122а).
—гг « — 3|icos i-% (1 + 2а2) ^ ) (1 +2a2)cosi, (2.126)
си а \ & }
для околокруговых орбит
Для периода прецессии орбиты имеем:
гр 2 тс 360°
(2.128)
pr dSl/dt dSlldt ’
2.7]
ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ СЖАТИЕМ ПЛАНЕТЫ 201
где размерность знаменателя берется в зависимости от размер¬
ности числителя. Учитывая, что T’sid = 2хс/|ы, или 360°/|ы, из соотно¬
шения (2.127) для околокруговых орбит можно получить выра¬
жение для ГР1, совпадающее с выражением (2.107а), если по¬
следнее записать для поля центральной силы.
Пренебрегая в соотношении (2.122с) членом, содержащим 64,
можем записать:
% ~ §■ |х £ (1 + 2е2) (5 cos21 - 1) ~ 1 ixJ (1 + 2е2) (5 cos21 -1).
(2.129)
Приравнивая правую часть полученного равенства нулю, най¬
дем, что при cos I или при 1 = 63°26', вращения линии
апсид не происходит, то есть перигей и апогей орбиты будут
оставаться на своих неизменных широтах в геоцентрической си¬
стеме координат. В действительности, как следует из равенства
(2.122с), при таком наклонении орбиты вращение линии апсид
будет сведено к минимуму. При i>63°26/ линия апсид будет по¬
ворачиваться навстречу движения спутника.
При изменении Д, со и а изменения долготы перицентра п
(см. рис. 2.28) и средней долготы е при средней аномалии а
(то есть средней долготы для момента прохождения точки вос¬
ходящего узла), связанных равенством
е = я+'а= <0, + со + а,
будут известными, так как
dn dO dm
HT-nr+w <2-130»
1-Ж + Т- <2131>
Если e'— средняя долгота спутника в момент времени t, то ее
изменение характеризуется следующей зависимостью:
def de
+ p, = p,(l + -jj-) = p,pr, (2.132a)
dt dt
где e = de/di, а ррг— среднее движение для прецессирующей ор¬
биты. Изменение средней аномалии эпохи, характеризуемое ве¬
личиной е, отнесенной к среднему движению для невозмущен¬
ной орбиты, определяется равенством
то есть
de do dm dQ
1Г = ~df + ~df + ~df
j_ = M'pr — M- =
\i \i \ dt dt dt )7
202
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
ИЛИ
= 3 а2 (^2 ез')2- [2 - Kl - е2 - cos I - -J(5 - з/l - е2) sin2 ij +
+ 5 а4(1-е2)4[~ Je2yr 1 ~ 5 sin21 +-f-sin4i) +
+ (4 + у fi2) (l — \ sin21 + 3 sin4—
- (2 + 3e2) (1 - ~ sin21) cos i]. (2.132b)
Звездный период обращения по невозмущенной орбите опреде¬
ляется выражением 7"sici = период между двумя последова¬
тельными прохождениями
восходящего узла -- вы¬
ражением Tsi= 2я/ррг.
На рис. 2.29 приве¬
дены графики прецес¬
сии орбиты (dflJdt)/TSid
и поворота линии апсид
(dn/dt) /Tsid, приходящие¬
ся на один оборот, в за¬
висимости от величины
большой полуоси (от рас¬
стояния а/г0) при накло¬
нении 1 = 28°,5, соответ¬
ствующем пуску с Атлан¬
тического полигона стро¬
го на восток.
2.8. Периодические
возмущения первого
порядка орбиты
спутника, вызванные
сжатием планеты
Пренебрегая членами
большая полуось.или расстояте а/г0 с ^ из выражения для
Рис. 2.29. Прецессия орбиты и поворот возмущающего потенциа-
линии апсид, приходящиеся на один обо- ла (2.109) получим:
рот и вызванные сжатием Земли, в функ¬
ции расстояния а/г0 и эксцентриситета для _ is (] Q cin2, oitn2„\
орбит с наклонением i = 28°,5. ^ “ А r3 ^ 0 Sin 1 sm Щ.
(2.133)
Отсюда можно определить радиальную, трансверсальную и ор¬
тогональную составляющие возмущающей силы [см. также
2.8]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
203
выражения (1.6.129), (1.6.130) и (1.6.131)]:
R = 4?- = ~ 3/(-рг(1 — 3sin2isin2«),
5 = — -4^- = — 3/С sin21 sin 2и,
r ou г
(2.134)
(2.135)
(2.136)
Эти выражения определяют составляющие первого порядка
возмущающей силы, так как мы пренебрегли членами, содержа¬
щими &4, и членами более высокого порядка. Поскольку перио¬
дические возмущения орбиты значительно меньше вековых (хотя
они и не пренебрежимо малы), то анализ периодических возму¬
щений первого порядка вообще является достаточным для целей
астронавтики (но не геофизических исследований!).
Подставив найденные составляющие возмущающей силы в
уравнения1) Лагранжа [см. уравнения (1.6.136) — (1.6.141)] и
перейдя от dt и dx\ с помощью закона площадей
и уравнения орбиты
г = Р
1 + е cos У] 9
Краузе [10] получил уравнения для периодических возмуще¬
ний первого порядка элементов орбиты в следующем виде:
-А = з^(1 + е cost])2 {е sin г) [1 — 3 sin21 sin2 (г) + ©)] +
Щ Р
— I^HesinTiO + е cos г))2 [1 — 3 sin21 sin2 (t] + ©)] +
+ [(1 + ecost))3 — (1 — e2)(l + e cost])] sin2i sin 2 (t) + ©)}, (2.138)
~= I**-{costiO + e cos r|)2 [ 1 — 3 sin21 sin2 (ti + ©)] —
-[(1 + e cos ri)2 + (1 + e cos r])] sin ri sin21 sin (2r] — 2©)} —
~ = — V1 — e2 -^f- {[cos T) (1 + e cos t])2 — 2e (1 + e cos t]) ] X
X [1 — 3 sin21 sin2 (ti + ©)] —
— [(1 + cos t])2 + (1 + e cos ri)] sin t) sin21 sin (2r} + 2©)}, (2.140)
r
+ (1 + ecosr))sin2isin(2r) + 2©)}, (2.137)
') Полагая /= i. (Прим. nepee.)
204 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
— Y ----- (1 +6 00811)8111(211 + 2(0), (2.141)
-^- = —6—p°Sl (1 + е cos г)) sin2(т] + ©), (2.142а)
cos i — — "рт 0 + е cos Tl) cos21 sin2(г) + со), (2.142Ь)
J^L_ — е cos sjn (2ri + 2©), (2.143)
где в качестве независимой переменной вместо t принята пере¬
менная Г).
Краузе проинтегрировал эти уравнения, предварительно пре¬
образовав их к уравнениям, содержащим произведения синусов
и косинусов углов. В результате им были получены решения
для периодических возмущений орбиты в такой форме:
Да = _ 6^11 _ ,(1 + *с°зт))3 [ 1 _ 3 sin21 sin2 (п + со)]} (2.144а)
или
да = {(1 + уsin21) X
X [(1 + у е2) + Зе (1 + у-) cos rj + |- е2 cos 2ii + -у- cos 3rjj +
+ у sin2i[(l + -| e2)cos(2ri + 2(o) + ye(l +-у) X
X [cos(i] + 2©) + cos (Зг) + 2©)] + |e2[cos 2© + cos(4r| + 2©)] +
+ -y [cos (п + 2©) + cos (5ti + 2©)] j|, (2.144b)
Ap = — -1-—1 ■ [cos (2r| + 2©) + e cos (ri + 2©) +
P L
+ J cos (3ti + 2©)j, (2.145)
Ae = ^'{(1 “ Ysin2 +f e2) + 3e(1 + ’T’)cos T1 +
+ ye2cos2rj + -y- cos 3ti] + J-sin2t [y e[l + -g|-e2) cos (3ri + 2©) +
+ у (1 + -у- e2) cos (i] + 2©) +
+ у e2 cos (2r| + 2©) + -y e2 [cos 2© + cos (4ri + 2©)] +
+ -g- [cos (t| — 2©) + cos (5t) + 2©)]^» (2.146)
2.8]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
3
205
+ sin2i
\ * 4 1 е Л
) ТН е Sin 11 + ~2 sin 2г) + sin 3r]J 4
-sin* i
11 7
\ + -±e> l-|e*
sin (3r) + 2(d) -q sin (r] + 2©) +
+ -о- [2 s*n (2r| + 2co) + sin (4rj + 2©)] +
+ [sin (ri + 2©) + sin (5ri + 2©)]
— cosiA^, (2.147)
Д(Т= \ -e2 j (l --|sin2i)
X
X
l-A*.
4 1
г] H sin t| —sin 2r]
+ sin i
l+iZ-e2 !__L3
4 7 9ft
sin (t] + 2©) — sin (3t| + 2©) +
4e
+ -g- [2 sin (2r) + 2©) — sin (4r| + 2©)] —
(2.148)
— -jg [sin (ti — 2©) + sin (5ti + 2©)]
. 3*2 sin i cos i f 1 /n . о \ i
At = ", 1tcos (2л + 2ю) +
+ Y [cos (ti + 2©) +-^ cos (3ti + 2©)j |, (2.149)
д^= 3*2^s1|ii_|(2ti + 2fl)) +
+ Y [2 sin t] — sin (r] + 2©) — у sin (3t] + 2©)j |, (2.150)
(2.151)
(2.152)
Дя = ДД + Aco,
Ae = Дя 4- Aa.
Монгно заметить, что решения для со, а и <0, содержат такие
же члены, как и члены первого порядка для вековых возмуще¬
ний. Этого и следовало ожидать, так как возмущения, подоб¬
ные т], монотонно возрастают со временем. Периодические реше¬
ния не содержат вековых членов второго порядка, так как они
были отброшены в исходных уравнениях. Поэтому для расчета
только вековых возмущений более точными являются уравнения
206
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
(2.120а), (2.122а) и (2.125). Наличие вековых членов первого
порядка в периодических решениях указывает на то, что с каж¬
дым периодом (то есть за каждый цикл изменения истинной ано¬
малии в пределах 0-<г)«<360о) Д (элемент орбиты) изменяется
на соответствующую величину (если пренебречь членами вто¬
рого порядка); в действительности Д (элемент орбиты) изме¬
няется на большую величину, то есть по крайней мере на вели¬
чину, определяемую уравнениями вековых возмущений. Избытки
над этими вековыми возмущениями и являются периодическими
возмущениями, определяемыми периодическими членами в урав¬
нениях (2.147), (2.148) и (2.150).
Таблица 2.6
Возмущения спутника, обращающегося относительно планеты со сжатием
Параметр или элемент
Возмущения
постоянные
(номер
формулы)
вековые
(номер
формулы)
периодические
(номер
формулы)
Орбитальный период Т^
(2.91)
—
Период прецессии Грг
(2.107),
(2.128)
—
—
Относительный период прецессии Грг
(2.108)
-
—
Большая полуось а
(2.153)
—
(2.144)
Эксцентриситет е
(2.154)
—
(2.146)
Угол $1
—
(2.120а, Ь),
(2.126)
(2.150)
Угловое расстояние перигея © . . .
—
(2.122а, с),
(2.129)
(2.139)
Угол я = Д + ©
—
(2.130)
(2.151)
Средняя аномалия а . •
—
(2.125)
(2.148)
Средняя долгота е при средней
аномалии
—
(2.131)
(2.152)
Фокальный параметр р
—
—
(2.145)
Среднее движение ррг
(2.132а)
—
—
Наклонение орбиты i
—
—
(2.149)
В дополнение к сказанному можно заметить, что каждый из
элементов а и е содержит постоянный член, не зависящий от
времени и, следовательно, не представляющий собой периодиче¬
ского или векового возмущения:
(Aa)const = (1 -1 sin21) (1 +1 e2), (2.153)
(Ae)const = lp*{} ~ Isin2 i)(l+J-e2)- (2.154)
2.9]
ВОЗМУЩЕНИЕ СПУТНИКА ЗЕМЛИ ЛУНОЙ И СОЛНЦЕМ
207
Эти постоянные члены отражают влияние искажения поля цент¬
ральной силы (превращения поля в квазицентральное) на фор¬
му орбиты и ее энергию.
Итак, возмущения орбиты спутника, вызванные сжатием пла¬
неты, можно разбить на
1) постоянные, вызванные искажением поля центральной
силы (превращением поля в квазицентральное);
2) вековые, то есть монотонно изменяющиеся со временем,
вызванные дополнительными экваториальными массами, создаю¬
щими возмущающие силы, которые стремятся повернуть орбиту
к плоскости экватора;
3) периодические, то есть колебательные, вызванные перио¬
дическим изменением положения спутника относительно плоско¬
сти экватора.
Номера формул с обзором всех возмущений приведены в
таблице 2.6.
2.9. Возмущение спутника Земли Луной и Солнцем
Кроме искажений геоцентрического поля, вызванных сжа¬
тием Земли, существуют дополнительные возмущения, обуслов¬
ленные гравитационными полями Луны и Солнца. Однако вслед¬
ствие слабости этих полей вблизи Земли вызываемые ими
возмущения спутника очень малы. Действительно, как было под¬
считано Шпитцером [4], изменение большой полуоси составляет
несколько дюймов, а прецессия линии узлов — тысячи лет из-за
влияния Луны и десятки тысяч лет из-за влияния Солнца. Грубо
говоря, влияние Солнца в два раза меньше влияния Луны. Кра¬
узе [10] также исследовал эти возмущения для заданного спут¬
ника на основании работ Брауна, посвященных задаче трех тел.
Браун [2] исследовал вековые и периодические возмущения эле¬
ментов орбиты с произвольными эксцентриситетом и наклоне¬
нием применительно к системе двойной звезды, возмущаемой
третьей удаленной звездой. Между массой m' возмущающей
звезды и массами Мит звезд, составляющих двойную звезду,
Браун установил следующие соотношения:
М + пг' -Ь m
2
Ъ = Жх2 (т)3 f1 + 4 е'2) - е'^~3^
(2.155)
Далее, обозначая через i наклонение орбиты одной из звезд,
образующих двойную, и полагая i = sin г/2, для вековых
208 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
возмущений положений узлов и перигея Браун получил:
-jf- = — К (2 + 4е2 — 4i2 — ^ еА + 17e2i2 + -Ц- е6 — ^ еЧ2 + 50e2i4j +
+ Ха (2 - 42е2 - 12i2 - Ц- е4 + 252e2i2 + 12И + е6 -
- е\2 + 1173eh*), (2.156)
= *1 (2 - e216i2 -\е2 + 23e2i2 - ЗОИ - ± е6 - 37eV +
+ A4 - 150i6) + ^ (50 - 75е2 - 168rl8e2i2492i4 +
+ Рр е\2 - e2i4 + 2430i6). (2.157)
Применительно к нашему случаю М — масса Земли, т^О — мас¬
са спутника, а т' — масса Луны или Солнца. Если пг' — масса
Луны, то т'/М= 1/81,5; Л, = 1/82,5; \х/ = 2л/Т/ (Т' — звездный пе¬
риод обращения); р = 2л/Т (Т — период обращения спутника),
е — эксцентриситет орбиты Луны. Если же пг' — масса Солнца,
то используются соответствующие данные, относящиеся к дви¬
жению Земли вокруг Солнца (см. таблицу 2.7).
Таблица 2.7
Данные для расчета возмущений орбиты спутника Земли,
вызванных «Пуной и Солнцем
М — масса Земли, пг^О — масса спутника,
т'—масса Луны (т^) или Солнца (/?г0).
1. Источник возмущений — Луна:
т'/М== 1/81,5;
Я — 1/82,5;
и'/и = Tsid {сут)/27,321661 {сут) = звездный период обращения спутни-
ка/звездный месяц;
е' = е^ =0,05490.
2. Источник возмущений — С о л н ц е:
пг'/М = 332 488;
Я = 0,999996;
р'/р = 7sid (сут)/[365,25636042 + 0,000000001 (/ - 1900) ] {сут) = звездный
период обращения спутника/звездный год;
е' = е@— 0,0167272.
Таким образом, можно вычислить отдельно возмущающее
влияние Луны и Солнца. Поскольку эти отдельные возмущения
достаточно малы, то их можно присовокупить к возмущениям,
вызываемым членами высоких порядков. Возможность этого до¬
казывается с помощью замечательного обобщения теоремы су¬
ществования Коши, установленного Пуанкаре. На основании
этого обобщения Пуанкаре исследовал периодические решения
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
209
в задаче трех тел. Теорема Коши устанавливает: если задано
дифференциальное уравнение dx/dt = f(xy t) и если функция /
в окрестности t = t0i х = х0 может быть разложена в ряд по сте¬
пеням (t —10) и' (х — Хо), то решение этого уравнения может
быть представлено в виде
x=x0+Ci{t — /о) — ^о)2"К. • •
Для заданного конечного интервала в окрестности t = t0 этот
ряд является сходящимся. Коэффициенты си с2 и т. д. опреде¬
ляются однозначно, и указанный ряд является единственным
аналитическим решением, которое удовлетворяет условию х=х0
при t = t0.
Обобщение Пуанкаре теоремы существования Коши кратко
заключается в следующем утверждении: если задана функция
f(jt, /, р), которая может быть представлена сходящимся рядом
по положительным степеням р для всех значений на интервале
то решение дифференциального уравнения dx/dt =
= f(x, U р) на том же интервале также может быть представ¬
лено рядом по положительным степеням р, если р достаточно
мало и, кроме того, если функция /(*, t, р) допускает разло¬
жение по положительным степеням [х — х0 (/)] для всех значе¬
ний 0 4^ 14^ V.
Можно доказать справедливость этой теоремы для системы
двух и более дифференциальных уравнений и показать возмож¬
ность ее использования для определения возмущений высоких
порядков.
Результаты расчета движения спутника Земли с учетом воз¬
мущающего влияния гравитационных полей Земли, Луны и
Солнца будут рассмотрены в § 2.16.
2.10. Атмосферные возмущения спутника
Наиболее общий случай (орбита не круговая, спутник не
сферической формы) возмущения спутника силами сопротивле¬
ния воздуха представлен на рис. 2.30. Текущий угол траектории
обозначен через 0, текущий угол атаки — через ос. Возмущающее
ускорение (возмущающая сила, приходящаяся на единицу мас¬
сы аппарата) может быть представлено либо касательной Т и
нормальной N составляющими, либо радиальной R и транс-
версальной S составляющими. Третья ортогональная состав¬
ляющая W отсутствует1), так как сила сопротивления воздуха
!) В действительности вследствие прецессии орбиты возникает незначи¬
тельная третья ортогональная составляющая. Однако ее влияние по сравне¬
нию с другими возмущающими силами пренебрежимо мало.
14 К. Эрике, т. И
210
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
действует в плоскости орбиты1). Зная силу аэродинамического
сопротивления F, эти составляющие можно рассчитать по сле¬
дующим зависимостям:
В рассматриваемом случае составляющие Т и 5 оказались отри¬
цательными в соответствии с определениями, приведенными в
Рис. 2.30. Возмущение спутника сопротивлением атмосферы.
главе 62) (составляющая Т положительна в направлении дви¬
жения; составляющая 5 положительна, если ее направление
с направлением вектора скорости образует угол меньше 90°).
Составляющая N положительна, если а>0; составляющая R
отрицательна при а — 0<О или при а<0. Для сферического
спутника а = 0 и, следовательно, T = F, N = 0,
R= — F sin 0 (направлено к центру притяжения),
Если к тому же орбита близка к круговой, то 0->О и S = F = T,
а остальные составляющие оказываются близкими к нулю.
1) Вращение атмосферы (вместе с Землей) приводит к появлению го¬
раздо большей ортогональной составляющей, чем та, о которой упоминает
автор. (Прим. перев.)
2) См. «Космический полет», т. I,
Т — — F cos а, N = F sin а,
R = F sin (а — 0), S = — F cos (а — 0).
(2.158)
\
30°-(а-в)
S = F cos 0.
2.10] АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА 211
Тангенциальная составляющая силы сопротивления воздуха
по величине равна силе лобового сопротивления:
Т — F cos а = — D = — СдЛр*-^р- V2, (2.160)
где CD — коэффициент лобового сопротивления, А — площадь
поперечного сечения, р* = р/роо — отношение плотности воздуха
на заданной высоте к плотности воздуха на поверхности Земли,
v — скорость. Таким образом, тангенциальная составляющая ус¬
корения, обусловленная силой сопротивления воздуха, будет
равна:
Т = ~ — D*c'p*v2, (2.161)
где D* = CdA/W—параметр лобового сопротивления, W — вес
спутника, c' = gooPoo/2, где goopoo — удельный вес воздуха на по¬
верхности Земли на уровне моря. Для нормальной составляю¬
щей ускорения силы сопротивления воздуха можно записать ана¬
логичное выражение:
N LVpV, (2.162)
где L* = CLSjW— параметр подъемной силы. Для сферического
спутника N = 0. Для радиального и трансверсального ускорений
аналогично получим:
R = Т sin 0 = — D*c'p*v2 sin 0 = F sin (a — 0), (2.163)
S = T cos 0 = — D*c'p*v2 cos 0 = F cos (0 — a). (2.164)
Для сферического спутника, двужущегося по околокруговой ор¬
бите, касательное ускорение Т можно определить путем обра¬
ботки результатов наблюдений за движением спутника, а плот¬
ность воздуха на высоте полета — непосредственно по р* с
помощью соотношения (2.161), считая в нем CD известной вели¬
чиной. В действительности величина CD не является точно изве¬
стной даже для сферы, и поэтому с помощью соотношения
(2.161) можно определить лишь произведение CDр*.
Итак, имеем следующие уравнения движения космического
аппарата:
at = - A sin 0 + Т= - -pj-sin 0 - D*c'pV (2.165)
(касательное ускорение),
ап — cos в + N = ф- cos 0 + L*c'p*v2 (2.166)
(нормальное ускорение),
14*
212 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
= + DVpVsin 0 (2.167)
(радиальное ускорение),
аа = ri]2 = S = — D*c'p*v2 cos 0 (2.168)
(трансверсальное ускорение).
Используя уравнения Лагранжа с правыми частями, выра¬
женными через Г, Л/, W [см. формулы (1.6.150) — (1.6.163)], для
нашего случая получаем:
^ = 0, (2.169)
4г-0, (2.170)
dt
d0
dt
= у cos — 2DVp*sinr]j, (2.171)
-g-= - D'VpV К1 + 2e cos T1 + e2 = -2avD*c'p* (2 — l),
(2.172)
- 0 [2DVp* (cos ti + e) + sin л], (2.173)
Jg. _ 0 [b*c'9*-j cos ti - 2DVp'sin л (l + r-y)]. (2.174)
-f - = i [/.Vp* (2e - ^P) - 2D Vp* sin л], (2.175)
f = f{ L Vp* [2e + (1 - -
— 2D*c'p* sin л [l - + ye2)]}> (2.176)
-J- = 2pv (z, Vp*y sin л - DVp*), (2.177)
•g- = 0 /tfp sin Л - 0VP j . (2.178)
%-2v,p - D-cV (^)\, (2.179)
dr A Г r sin ri * / г я— r \
IF- - -2^ [w -*7- + ^ (-V-)
(2.180)
Эти уравнения показывают, что сопротивление воздуха при
отсутствии третьей ортогональной составляющей (спутник пред¬
ставляет собой осесимметричное тело с осью симметрии в пло-
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
213
скости орбиты) не оказывает влияния на положение линии узлов
и наклонение орбиты. Прочие элементы испытывают периодиче¬
ские возмущения в функции истинной аномалии и вековые воз¬
мущения. Вследствие отсутствия точного выражения для изме¬
нения плотности воздуха с высотой и невозможности выразить
силу лобового сопротивления и подъемную силу аналитическими
функциями, точного решения для полученных уравнений не су¬
ществует. Поэтому эти уравнения обычно решают методами
численного интегрирования, как правило, с использованием
Десятичный логарифм величины потери высоты за о Зин витое
lop (А у/rev) [log (фут/rev)]
Рис. 2.31. Потеря высоты сверхзвуковым орбитальным бомбар¬
дировщиком за один оборот в зависимости от высоты полета [16].
электронных вычислительных машин (см. «Космический полет»,
т. I, § 6.10).
Особый интерес представляет изменение большой полуоси,
определяющее время существования спутника. В частности, этот
вопрос становится особенно важным при проектировании косми¬
ческих аппаратов, рассчитанных на малое время существования,
например при проектировании глобальных ракетопланов, выво¬
димых на орбиту спутника в верхние слои атмосферы для совер¬
шения одного или нескольких витков с последующим планирую¬
щим спуском. Е. Зенгер, создавший проект современного гипер-
звукового планирующего бомбардировщика (см. «Космический
полет», т. I, рис. 1.15), произвел оценку потери высоты спроек¬
тированным аппаратом за один орбитальный виток [16]. Другим
примером, в котором изменение высоты орбиты за ограниченный
промежуток времени играет важную роль, является доставка
грузов с крылатого орбитального носителя, движущегося в верх¬
них слоях атмосферы, на орбитальную станцию [17].
На рис. 2.31 представлен рассчитанный Зенгером график
потери высоты гиперзвуковым орбитальным бомбардировщиком
214
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
за один оборот в предположении, что орбита является круговой.
Благодаря удобообтекаемой форме космического аппарата, при
нулевых и малых углах атаки он обладает очень высокой по¬
перечной нагрузкой (отношением веса к площади поперечного
сечения). Поэтому потеря высоты за один виток очень мала.
Даже на высоте 185 км потеря высоты за один виток составляет
лишь около 10 м. Потеря высоты вычислялась на основании
интеграла энергии с учетом работы силы лобового сопротивле¬
ния воздуха. При уменьшении скорости ниже круговой космиче¬
ский аппарат теряет высоту (потенциальную энергию), а его
кинетическая энергия начинает возрастать. Однако это увеличе¬
ние кинетической энергии меньше, чем в аналогичной ситуации
в консервативном силовом поле. Различие обусловлено работой
силы лобового сопротивления воздуха. В соответствии с зако¬
ном сохранения энергии сумма изменений потенциальной энер¬
гии Afpot, кинетической энергии AEkin и энергии AED рассеива¬
ния в результате работы силы лобового сопротивления должна
равняться нулю:
AiJpot + A£kin + АДо = 0. (2.181)
Если за поверхность отсчета принять поверхность Земли, то по¬
тенциальная энергия единичной массы по отношению к сфере
радиуса г0о на расстоянии г = г00+у будет равна:
£t-ZLn.—K-JL' (2.182)
р Г \ Гоо / ГооГ Гоо Г v 7
Кинетическая энергия единичной массы для круговой орбиты
радиуса г равна:
£кш = у^ = ^-. (2.183)
Сумма потенциальной и кинетической энергий будет:
+ -■£■(***&■). (2.184)
Выражение для ускорения силы лобового сопротивления может
быть представлено в виде
aD = -jt= D*c'p*v2 [путь/время2],
после чего выражение для энергии, рассеянной единичной мас¬
сой на одном витке в результате работы силы лобового сопро¬
2.10)
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
215
тивления, запишется так1):
Е 2яг3
= (D*c'p*v2 Т sid)2 = -g- (D*c'p*v2)2. (2.185)
После совершения п витков потеря энергии будет равна:
Д BD = ^-. (2.186)
В соответствии с равенством (2.181) эта потеря энергии
должна быть равна сумме изменений кинетической и потен¬
циальной энергий:
№i»...t = T<5Л87>
то есть
пЕп
Afkin+pot = Д^£> = . (2.188)
Отсюда легко получить выражение для количества оборотов п,
за которые при заданных начальных условиях произойдет изме¬
нение высоты на величину Ду:
п _ A£,kin+pot _ by/f К
EdIrev 1 - (Ey/r) 2rED/rev ’ ' * '
Это равенство было бы справедливым, если бы р* не зависело
от высоты, а D* — от скорости. При больших скоростях движе¬
ния и свободномолекулярном потоке коэффициент лобового со¬
противления при малых изменениях скорости движения можно
считать постоянным. В рассматриваемом случае изменения ско¬
рости невелики, так как по мере снижения космического аппа¬
рата скорости возрастают до тех пор, пока аппарат не войдет
в плотные слои атмосферы, где уже неприменимы орбитальные
закономерности. Эта фаза полета была рассмотрена в главе 1.
При анализе малых изменений высоты или вообще изменений
высоты в диапазоне высот с малым изменением плотности выра¬
жение (2.189), основанное на рассуждениях Зенгера [16], оказы¬
вается весьма полезным. Точность результатов, получаемых с
использованием выражения (2.189), можно повысить, вводя
среднее значение функции плотности р* = р/роо между значе¬
ниями ру и р^-Аг/. Для определения потери высоты Ду при
!) Неясно, из каких соображений автор вместо очевидного выражения
£D/rev=2jx/'aD = 2jxr(Z)Vp*y2) предпочел записать выражение (2.185). (Прим.
Ред.)
216
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
заданном числе оборотов п выражение (2.189) перепишем в сле¬
дующем виде:
-^- = ^ . (2.190)
п +
2r£D/rev
В данном случае необходимо уметь рассчитать величину р* и
при необхотимости уточнить ее методом последовательных при¬
ближений после получения Ду/r в первом приближении.
Если время нахождения космического аппарата на орбите
очень мало (1—3 витка), как в случае крылатого орбитального
носителя [17], то можно получить еще более простые зависи¬
мости, основанные на уменьшении скорости за один виток
вследствие лобового сопротивления воздуха. На рис. 2.32
приведены графики величины торможения и соответствующего
уменьшения скорости, выраженного в единицах средней круго¬
вой скорости. Расчеты производились для упомянутого крыла¬
того носителя весом 4980 кГ по формуле
aDTsld (2J91)
V
х WJL
г V г
При этом величина торможения на одном витке принималась
равной среднему постоянному значению.
Из равенства (2.187) следует, что
^ ^kin+pot
-Т— Ш • (2.192)
г j ^ Qckiin-pot
К/г
Положив, что за один виток ^ED = ~Av2D, можно величину
2 Д^кт+pot ^ ^^kin+pot
■ представить в виде —— = — = —,
К/r ^ К/г K/r \VWr )
после чего, подставив полученный результат в правую часть
формулы (2.192), получим выражение для потери высоты за один
виток в таком виде:
- = Т7??1т~(тег)г- <2Л93)
1 VkF)
Полученное выражение можно использовать для высот, превос¬
ходящих примерно 165 км, для которых знаменатель
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
217
1 + (a vd/(V к 1г У
1,0. На кривой (рис. 2.32)
Ли Лиг
для некоторых
численных значений —= например для А^/^с = 0,125
10'6
во
SO 100 120 140 160
Высота орбиты (морские мили)
Рис. 2.32. Величина торможения и соответствующая потеря
скорости за один виток в зависимости от высоты при отсут¬
ствии угла атаки (а =*» 0) для крылатого орбитального носи¬
теля [17] (goo^^iSl м/сек2).
(у=69 морских миль** 128 км), имеет место неравенство Ау>у,
то есть космический аппарат не сделает и одного витка. На
больших высотах с увеличением высоты потеря высоты за
один виток резко уменьшается, чю можно проиллюстрировать
218
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
следующими данными:
у> морские мили 82 95 113
&v/vc за виток 1,7 • 10"2 3 • 10_3 7 • 10-4
Ду, фут 6150 176 10,6
Результаты, приведенные в таблице и на рис. 2.32, основаны
на модели атмосферы Гриммингера (см. «Космический полет»,
т. 1, рис. 3.18 и 3.19).
Для рассмотренных выше практических приложений время
играет второстепенную роль. С достаточной точностью время мо¬
жет быть определено по периоду обращения. Однако при боль¬
ших продолжительностях, в особенности в случае определения
времени существования спутника, этот метод становится гро¬
моздким и утомительным.
Одним из возможных подходов к задаче определения вре¬
мени существования спутника является интегрирование точных
уравнений при допущении о малости возмущений. Если через m
обозначить массу спутника, а через D — силу лобового сопротив¬
ления, то утверждение, что возмущения малы, означает, что
(D/tn)At/v<k 1. При малых возмущениях интервал интегрирова¬
ния может быть очень большим. Наоборот, чем больше отноше¬
ние D/m, тем меньше должен быть интервал интегрирования для.
обеспечения соответствующей точности расчета. Метод, исполь¬
зованный здесь, изложен в главе 7 применительно к случаю
движения с малой тягой. Применение этого метода к изучению
влияния лобового сопротивления на движение спутника дает
следующие результаты:
изменение угловой скорости движения за время Д/
At! ~ Лс-пл* = - 7^-> (2.194)
изменение величины скорости за время Дt
bv = -^[i)cM-2sm(r\cM)], (2.195)
изменение радиального расстояния за время Д/
Дг= - Ми [^д^-sin (f), ДО], (2.196)
%
где f|c = 2jt/rsid — угловая скорость движения на начальной кру¬
говой (или околокруговой) орбите, гс—радиус начальной ор¬
биты и г)дг — угловая скорость после интервала времени Дt, в
течение которого действовало ускорение силы сопротивления
воздуха D/m,
2.101
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
219
Можно заметить, что Дг] монотонно возрастает со временем,
а изменения величины скорости и радиального расстояния со¬
держат вековые и периодические члены. Поэтому как только
спутник начинает испытывать торможение, то скорость вначале
(когда At очень мало) уменьшается, так как sin (rjc At) ^r)cAt,
затем при г]сД/= 107° 31 = lw,894 (sin г]сД^ = 0,94822) первоеивто-
рое слагаемые внутри скобок в равенстве (2.195) сравниваются,
то есть Av обращается в нуль, далее второе слагаемое по срав¬
нению с первым становится меньше, что приводит к Д^>0. Это
наступает после интервала времени
м= 2sin(Af)cQ
Следовательно, после этого интервала времени величина ско¬
рости будет увеличиваться со все возрастающей скоростью, так
как после fjcA/ = 180° (то есть за точкой, противоположной точке,
принятой за начало действия лобового сопротивления) перио¬
дическое слагаемое становится положительным. С помощью со¬
отношения (2.196) можно подсчитать время, необходимое для
заданного изменения Дг. Затем можно рассчитать соответствую¬
щее изменение величины скорости, воспользовавшись равенством
(2.195). Эти два равенства основаны на допущении, что fj~f]c.
Это легко проверить с помощью соотношения (2.194). Как толь¬
ко г] начинает сильно отличаться от rjc, то есть орбита начинает
сильно отличаться от круговой, можно, приняв новые значения rj
и г за исходные значения rjc и гс, продолжить расчет с новыми
начальными условиями. Однако с увеличением времени ошибки
будут увеличиваться, так как отношение D/m сильно возрастает
с уменьшением высоты, в особенности начиная1) примерно с
165 км. Другим важным результатом, следующим из получен¬
ных зависимостей, является то, что время существования спут¬
ника обратно пропорционально отношению D/m, то есть при
заданном значении CD время существования прямо пропорцио¬
нально поперечной нагрузке W/A, или «плотности» спутника.
Таким образом, если удалось получить зависимость времени
существования от высоты для спутника с заданной «плот¬
ностью», то ее легко пересчитать для спутника с другой «плот¬
ностью». Например, если «плотность», или W/A, одного из гео¬
метрически подобных спутников в два раза больше другого, то
при одинаковых начальных условиях на круговых орбитах время
существования первого спутника будет в два раза больше.
Кроме рассмотренного выше, существует много других анали¬
тических подходов к решению задачи о времени существования
!) Для модели атмосферы Гриммингера (см. «Космический полет», т. I,
гл. 3),
220
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
спутника. Петерсен [18] предложил приближенное решение для
специального случая диффузного отражения в свободномолеку¬
лярном течении. Им получено следующее выражение для рас¬
чета времени Дt, за которое величина начального радиального
расстояния круговой орбиты го изменится до величины г^\
Го-Гг
(2.198)
2Br0v0 *
где B = CDAp8LYe/tni рауе — средняя плотность в интервале высот,
соответствующих г0 и Г\. Это решение основано на допущении,
что величина орбитальной скорости незначительно изменяется
в интервале Дr = r0 — rit Разбивая заданный интервал Дг на ма¬
лые шаги, можно по формуле (2.198) рассчитать время сущест¬
вования спутника на всем заданном интервале. Соответствую¬
щая величина угловой скорости движения определяется по сле¬
дующему выражению:
1/2
[1/время],
где К — гравитационный параметр,
*! = ■ 1
В,=
1-6 В\г]
cdA Р.
[1/длина].
Величина скорости определяется выражением
1/2
}
Для больших высот значение k^
упрощенное выражение (2.198).
имеет вид:
гр-гх
1, при котором
Более точное
Д^ = -
2 Вг,
1/2
(2.199)
(2.200)
(2.201)
(2.202)
и получено
выражение
(2.203)
где величина УК!гх для круговой или околокруговой орбиты
является просто местной круговой скоростью. Петерсен произвел
расчеты по формуле (2.198) для небольших спутников с отно¬
шением массы к площади поперечного сечения 1,6 кг/м2,
16 кг/м2, 160 кг/м2 и свои результаты сравнил с расчетами Син¬
гера для небольшого спутника MOUSE [19] с отношением
т/А =20,35 кг/м2 и с расчетами Эрике для спутника с отноше¬
нием т/А =40 кг/м2, произведенными по формулам (2.194) —
(2.196). Полученные графики для сравнения приведены на
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
221
рис. 2.33. Левая часть графиков относится к модели атмосферы,
приведенной в журнале геофизических исследований [23] (см.
«Космический полет», т. I, рис. 3.18 и 3.19), а правая — к модели
атмосферы Гриммингера [25]. Следует помнить, что величины
плотности и давления по модели атмосферы Гриммингера, на¬
чиная с высот порядка 80 км, больше, чем по модели атмосферы,
приведенной в работе1) [23]. Графики, приведенные на рис. 2.33,
704
I
I го3
102
10’
1
I
I
1
I 10°
I
&
10
-/
50
10и Modem
J* атмосферы
по [23]
1
Модель
атмосферы по
Гри/мипгеру [25J
I
— ц
г
j^60k,
iOne/M^f
г/м*/
—
//,
X \
д/кг/м*
f
1,6хг/м2
MOUSE-
%=20,35
кг/м2 ‘
и
700 150 200 250 300
Высота орбиты (мили)
350 400
Рис. 2.33. Время существования спутника в зависимости от
высоты для круговых орбит [15].
показывают хорошее согласование между результатами, полу¬
ченными различными методами2) [18, 19, 20]. Метод Сингера [19]
определения потери высоты по существу является разновидностью
метода, основанного на приравнивании расхода энергии на пре¬
одоление лобового сопротивления изменению орбитальной энер¬
гии (кинетической и потенциальной), то есть разновидностью
метода, использованного Зенгером для гиперзвукового орбиталь¬
ного бомбардировщика. Этот подход настолько логичен, что он
обычно сразу приходит на ум почти каждому, кто сталкивается
*) Данные, полученные при помощи спутников, показывают, что модель
атмосферы Гриммингера дает хорошее согласование для больших высот.
2) В источнике [20] не приведено описание метода расчета. Эта методика
изложена здесь при получении формул (2.194) — (2.196).
222 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
с этой задачей. Ниже (в принятых здесь обозначениях) приво¬
дится графо-аналитический метод Сингера.
Запишем выражение для полной энергии тела на круговой
орбите:
Еы-£,.. + £и„-^(--^г7 + 4-7^-), |
г» U. + J 2 r.I+W (2 204)
£“ = t£(1+w)' !
Последнее уравнение можно представить графиком в функции
от высоты. Этот график эквивалентен приведенному на рис. 2.2
графику энергетической скорости в зависимости от высоты.
Запишем выражение для расхода энергии за один виток, вы¬
званного действием силы лобового сопротивления:
- &Е = 2nrD = 2л (г 00 + у) - СвАр (у) v2c = лСвАКр (у),
ИЛИ
= nCDKp(y).
(2.205)
Если принять CjD = const (Cjd = 2) , то правая часть последнего вы¬
ражения, за исключением р(у), будет представлять собой по¬
стоянный коэффициент. Выражая расход энергии за один обо¬
рот в дж/м2, Сингер получил:
- = 2,5 • 1015р (у) [дж/м2],
что соответствует 2,54* 1014 р (у) кГм/м2. В отличие от равенства
(2.185) потеря энергии здесь выражена не в единицах кинетиче¬
ской энергии. Если построить график для второго выражения
(2.204) в функции высоты и разделить АЕ на массу спутника,
чтобы получить удельную потерю энергии за один виток, то по
этому графику можно найти влияние А Е/т на потерю высоты
за один или несколько витков. Сущность аналитической методи¬
ки Сингера заключается в следующем.
Дифференцируя второе равенство (2.204) по высоте, полу¬
чаем:
<“06)
<“07>
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
223
Учитывая, что A£’tot = A£’,/m и имея в виду первое равен¬
ство (2.205), находим:
= 2nCD (г 00 + У? Р (у)- (2.208)
Используя выражение для периода обращения по круговой
орбите Т = 2я/С1/2(г00 + yf12 и полагая К ~ 4 • 10й м /сек2, CD = 2,
получаем:
% = CDKmj; (г00 + у)1'2 9 (У) = 4 • Ю7 (•£) (г00 + </),/2 р (г/) [м'сек].
(2.209)
Отсюда можно получить выражение для времени, необходимого
для снижения спутника с высоты у\ до высоты у2:
Ух
Д^ = 2,5. l(T8f Г - - . (2.210)
л j (Гоо + у) ' р(у)
У2
Этим интегральным соотношением необходимо пользоваться при
малых высотах, когда изменение высоты за один виток настоль¬
ко значительно, что не представляется возможным с достаточ¬
ной точностью осреднить плотность воздуха за один виток.
При рассмотрении эллиптических орбит наиболее распро¬
страненные подходы к определению времени существования
(например, в работах [18 и 19]) основаны на упрощающем допу¬
щении, что высота в перигее (на который приходится большая
часть торможения) остается примерно постоянной, а высота в
апогее быстро убывает. Это допущение в достаточной мере яв¬
ляется справедливым для эллиптических орбит с большими
эксцентриситетами и малыми высотами в перигее. Для подобных
орбит потеря высоты в перигее за один виток по сравнению с
соответствующей потерей высоты в апогее пренебрежимо мала
(рис. 2.34). Однако в большинстве практических случаев эксцен¬
триситеты эллиптических орбит не очень велики и высоты в
перигее достаточно большие (примерно 220-7-370 км). В таких
случаях постепенное превращение орбиты в околокруговую про¬
исходит за большое число витков и упрощенная методика яв¬
ляется неоправданной, так как пренебрежение потерей высоты
в перигейной точке, на район которой приходится основная доля
торможения, вызовет серьезные ошибки, приводящие к завы¬
шенным оценкам времени существования космического аппа¬
рата. Сингер [19] для ряда эллиптических орбит численным
интегрированием определил величину А Е/А работы силы сопро¬
тивления воздуха на одном витке, приходящуюся на единицу
224
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
а)
площади поперечного сечения спутника. Его результаты приве¬
дены на графиках (рис. 2.35). Из графиков видно, что при за¬
данной высоте уР величина —А Е/А сравнительно слабо зави¬
сит от высоты в апогее для больших значений уАу тогда как
при уА<^2уР высота в апогее оказывает
значительное влияние на величину — А Е/А,
При Ул^2уР упомянутый выше упро¬
щенный метод не подходит. Рис. 2.35
показывает, что при достаточно больших
высотах в перигее {у >200 км) метод
неприемлем для больших значений вы¬
сот в апогее, то есть для большинства
практических случаев.
Перкинс в работе [21] провел ориги¬
нальное и полезное исследование для
круговых эллиптических орбит. Посколь¬
ку при исследовании эллиптических ор¬
бит им учитывались изменения высоты
в перигее для всех значений эксцентриси¬
тетов, то мы рассмотрим методику Пер¬
кинса, используя обозначения, принятые
в настоящей книге.
Для околокруговых орбит можно при¬
нять следующую зависимость для ради¬
ального ускорения:
.. v2 К
Рис. 2.34. Превращение
эллиптической орбиты
в околокруговую орбиту
вследствие влияния со¬
противления воздуха.
а) Изменение формы эллип¬
тической орбиты с большим
эксцентриситетом и малой
высотой в перигее (измене¬
ние высоты в перигее прене¬
брежимо мало по сравнению
с изменением высоты в апо¬
гее); б) изменение формы
эллиптической орбиты с уме¬
ренной величиной эксцентри¬
ситета (изменением высоты
в перигее пренебрегать уже
нельзя).
(2.211)
Поскольку для большей части времени
существования космического аппарата
Av/v<^l и Дл/г<!С1, то последнее уравне-
ние можно переписать в виде
г = — (1 + 2 —
Т п \ 0Л
-2-)
то)
(2.212)
или
1>л / До Дг \
г = — (2 — +—,
Го V Во Го /
г = 2г)0Ло + т|2Дг (т|„-®о/го)>
(2.213)
так как для околокруговых орбит Дд/го ~ (инДекс *0» отно-
сится к начальным условиям).
Изменение орбитальной скорости можно разбить на две ча¬
сти: изменение скорости, вызванное действием силы сопротив¬
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
2 25
ления воздуха, и изменение скорости, вызванное потерей высоты:
Av = Avd +
Avd
= f
W J
Ddt
или для малых значений kvD
kvD = —
2p0
I
J P dt,
С учетом
в виде
И = ^GO^Vo-
= — г)0 А г.
этого второе уравнение1)
(2.214)
(2.213) можно записать
А г = —
Ро
г
J* 9dt-x\\Ar.
600
(2.215)
Приняв теперь р = const
и перейдя от t к новой
переменной т] = f|0£, полу¬
чим:
Аг = — хт] — А г. (2.216)
После интегрирования
найдем:
А г = — х( 1 — cosri),
А г = — х (т] — sin г]).
(2.217)
400
О
1
\
"1
{ир=Ш
у т
\ 150
\юо
"
1
If
104 105
106 ю7
-ДЕ/А (дж/м2)
10е
10*
Рис. 2.35. Расход энергии на единицу пло¬
щади поперечного сечения спутника за один
виток по эллиптической орбите в зависимости
от высоты в апогее для различных высот
Последнее уравнение иден- в пеРигее 1161-
тично уравнению (2.196).
При большом числе витков удельный вес периодического
члена в изменении высоты становится малым и можно принять
Аг = —хт], где и = £о00*р0Го* Введя переменную плотность хр/ро
вместо х, Перкинс получил:
d Лг
dv\
= — X
JL
Ро
Изменение радиального ускорения за время t. (Прим. ред.)
15 К. Эрике, т. II
226
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
и после интегрирования
или
t =
Ро
Г)0К
У о
J [время].
(2.218а)
(2.218Ь)
Полученное выражение является основным уравнением для
определения времени существования спутника на орбите. Оно
Рис. 2.36. Зависимость высоты от плотности (обе шкалы логарифмические).
может быть проинтегрировано графически для любой зависимо¬
сти плотность — высота построением графика в зависимости от
высоты. Принимая зависимость
\Г
(2.219)
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
227
где (3 — отрицательная константа, получим зависимость между
высотой и плотностью, которой можно пользоваться в достаточ¬
но широком диапазоне высот. Используя графики зависимости
Рис. 2.37. Зависимость плотности от высоты (шкала плотности лога*
рифмическая).
плотности от высоты (рис. 2.36 и 2.37), полученные сопря¬
жением данных Халберта [) (Е. О. Hulburt) и Гриммингера,
Перкинс нашел значение р = —5,05, справедливое для высот, на¬
чиная примерно с */>91,5 км.
J) Naval Research Laboratory (NRL),
15*
228
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Подставляя выражение (2.219) в соотношение (2.218Ь), пос¬
ле интегрирования получаем:
t =
У о
ЧоК (1 -Р)
-ivT
[время].
(2.220)
На рис. 2.38 приведен график изменения высоты для круго¬
вой орбиты с течением времени, рассчитанный при |3 = —5,05.
OOOi^^ ■ ■ Исходные данные принима¬
лись следующими:
у0 = 800 000$ут (240 км),
1/D* = W/CdA = 9,74 кГ/м2,
а0 = 7760 м/сек,
700
ООО
15.
i
I
S 300
200
100
Численное интегрирование
Аналитическое решение
Ло= volro~ 1.177 • 10 сек"
к = gwD\rl = 280 м.
го го
60 80 100
t (тыс. сек)
120
Рис. 2.38. Зависимость высоты от вре¬
мени для круговой орбиты.
На том же рисунке кружоч¬
ками нанесены точные ре¬
зультаты, полученные инте¬
грированием уравнений на
электронной вычислительной
машине. Из сравнения ре¬
зультатов следует, что пер¬
вые 45 км (150 000 фут) по¬
тери высоты, рассчитанные
по аналитической зависимо¬
сти, отлично согласуются с
данными, полученными чис¬
ленным интегрированием.
Далее до высоты 90 км
(300 000 фут) согласование вполне удовлетворительное. На бо¬
лее низких высотах рассогласование становится значительным,
что, как и следовало ожидать, свидетельствует о непригодно¬
сти принятого значения (3 для этих высот. Однако рассогласо¬
вание на этих высотах не имеет практического значения, так
как с высоты 90-И00 км круговая орбита вырождается в тра¬
екторию спуска (см. главу 1). Таким образом, соотношение
(2.218Ь) дает хорошие результаты для большей части времени
существования спутника в верхних слоях атмосферы (выше
90-^ 100 км).
Точность результатов в основном зависит от точности знания
коэффициента лобового сопротивления CD и принятой зависи¬
мости плотность — высотаР
2 ю] АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА 229
Полное время существования спутника, определяемое как
время спуска с начальной круговой орбиты до точки падения,
может быть определено из соотношения (2.220):
«ъ-ч-^(тяг)- <2-221>
Перкинс построил график этого уравнения в виде зависимости
Уо ( 1 \
Л W I ffooPo^U-P/
и сравнил с результатами численного интегрирования
(рис. 2.39). Как следует из сравнения, имеет место хорошее
Ю*
ю7
1
ь w°
й w1
10'г
10
0,2 0,4 0,6 0,0 1,0 1,2 1,4 1,0
Высота ух(млн.фут)х
~~50 ' Ш Ш Ж ~шГ
у (морские тли)
Рис. 2.39. Обобщенный график времени
существования спутника в зависимости от
высоты начальной точки для круговой ор¬
биты.
согласование для широкого диапазона значений CdA/W. Осгки
ванный на этих результатах график времени существования
спутника на круговых орбитах с высотами до 650 км (350 мор¬
ских миль) приведен на рис. 2.40,
230
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. I
cd я эк
ад о
Н о X
5 U
2 " ¥
я л я
ли ?
Я
Н
« К
Я
g я §
<и S
2 ч л
я <d
g t=C Я
2&Я
Яд .
Я О Я <L>
Ж Н
2 я Я Я
Н fcj д VO
t=C н СО,
>.о
> с
— о
о cd
Я н
и я я
Я <Х> К
со я я
1=1 Я
. я и
^ л Я
<n1?s
о 5
У * S’
* н >»
о
S
Я
KSf
я Q
я CJ
я
о g
U Я
О) *
<и
о
я
я
<v
*
Я
я
VO
я
а.
с
ч
и
-•я
S ° ©
Я Я &
я ч Я
S4S
я
10 й о
£ и
Я Я о
сх,^ и
С Ян о
О о
о
»я ч
я §
я о 5
h и Я
5-1
° “ I
«« в
я о ы
я я м
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
231
Исследуя эллиптические орбиты и учитывая, что в данном
случае в отличие от круговых орбит v*rQ ф К/г*, Перкинс по¬
лучил:
где Q учитывает начальное значение радиального ускорения
Дго в зависимости от ц. Принимая для малых изменений ско¬
рости
и переходя, как и прежде, к новой переменной т] = г]о^ получаем:
Величина интеграла в правой части зависит от принятой функ¬
ции плотности от высоты. С целью упрощения задачи Перкинс
принял
где т [1/длина] — отрицательный коэффициент, график кото¬
рого приведен на рис. 2.41 (на основании кривой плотность—
высота\ см. рис. 2.36 и 2.37). При этом он получил:
Чтобы найти интеграл, Перкинс в подынтегральном выражений
подобрал для А г приближенное решение в функции ц, исходя
из того, чтобы это решение соответствовало определению плот¬
ности с приемлемой точностью. Путь решения при этом был
следующий. В случае отсутствия сопротивления воздуха урав¬
нение (2.226) имеет вид:
Интегрируя с использованием преобразования Лапласа, полу¬
чаем приближенное решение в виде1)
(2.222)
о
(2.223)
(2.224)
о
р ~ етУ
(2.225)
(2.226)
о
A r=Q — А г.
(2.227)
Ar = Q (1 — cos г]).
(2.228)
]) Ср. также с дифференциальной формой (1.4.141).
232
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Подставляя это решение в подынтегральное выражение (2.226)
и дифференцируя, находим:
Ar + Ar = — /(£“C£CC0ST1, (2.229)
где с = —mQ. Раскладывая последний сомножитель в ряд по
степеням косинуса, получаем:
А\г + А г = — ке~с ^1 + с cost] + — cos 1
Воспользуемся известным выражением
+ (2.230)
+ е
-i Т1
COS Г] =
для замены степеней косинуса суммами произведений косину¬
сов кратных углов на постоянные коэффициенты:
cos'2 г] = j^cos nr\ + п cos (п — 2) г] + ^ cos (п — 4) г\ + . . . j.
(2.231)
При нечетном п суммы должны оканчиваться соответствующим
членом с cost] (например, если п = 3, то членом с cos(п — 2)г]).
При четном п суммы должны оканчиваться выражением с коси¬
нусом, аргумент которого обращается в нуль и последний член
делится на два. Подставляя соответствующие суммы (2.231)
для степеней косинусов, входящих в уравнение (2.230), и инте¬
грируя это уравнение с использованием преобразования Лап¬
ласа *), окончательно получаем:
Ar = Q (1 — cos г]) — ке~с\а (т) — sin л) + у (sin Л ™ Л cos л) +
+ 2rzy (sin Л“у sin2rl) + 32 — ! (sin Л - 4" sin Л^) + • • • ] > (2.232)
где
а = 1 +
+
+ ■
(1 !)2 ^ (2 !)2 г (3!)
+
п=0
(п О2
П — 0
(п\)2 (п + 1) ’
= С“
п = 0
п \ (и+ 2) ! ’
(2.233)
Ш2-
Подробности вывода см. в [21].
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
233
Особый интерес представляет скорость изменения высоты в
точках апсид, где ц = 0 или ц = п. В перигее sinr] = 0 и cosr]=l;
в апогее sinr] = 0, cosr] = — 1. Подставив эти значения в решение
(2.232) и продифференцировав по т], получим следующие выра¬
жения для скорости изменения высоты в точках апсид:
тР — — ке~с (а —, (2.234)
гА = - ке~с (а + у). (2.235)
Из этих формул легко получить выражение для скорости изме¬
нения величины большой полуоси эллиптической орбиты в про¬
цессе превращения эллиптической орбиты в круговую:
г А — гР = — ке~сЬу (2.236)
где а и b определяются по формулам (2.233). Постоянные а, b
и к должны быть вычислены для перигея, так как последние три
выражения были получены только для одного витка. Из реше¬
ния (2.228) следует, что Q=(rA — гР)/2. Отсюда имеем:
г А — г P — 2Q= , (2.237)
где rrio — показатель степени m в выражении (2.225) при на¬
чальной высоте у0. Считая этот показатель m постоянным и
дифференцируя последнее выражение, получаем:
<2-238)
Подставляя соотношение (2.236) в левую часть выражения
(2.238), находим:
д=т^е-сЬ^ (2.239)
Разделив (2.234) на (2.239) и имея в виду, что гР = г0о + у, по¬
лучим:
<2.240)
Последнее выражение и является искомой зависимостью, связы¬
вающей изменение высоты с коэффициентом с= —mQ = —mX
х (ro “ ^г) • Подходящей начальной точкой для интегрирова¬
ния уравнения является с= 1. Тогда Q = — l/m0 и
с
- tn0 [уР - ыс=1] = J (2 j - l) de. (2.241)
234
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
При с= 1 левая часть равенства (2.241) обращается в нуль. При
с< 1 левая часть становится отрицательной, стремясь к —оо
при с—►О, тогда как при с> 1 левая часть положительна. Пер¬
кинс проинтегрировал уравнение графически. Результаты при¬
ведены на рис. 2.42 и 2.43. Более подробные графики приведены
в работе [21]. То обстоятельство, что высота в перигее без¬
гранично уменьшается с приближением величины к к нулю,
Рис. 2.42. Высотный параметр эллиптической траектории
в зависимости от коэффициента с.
указывает на то, что в действительности орбита приближается
к круговой асимптотически и никогда не достигает ее. Подоб¬
ное представление более верно отражает реальные условия, чем
упрощенная схема, основанная на предположении об изменении
высоты только в апогее при неизменной высоте в перигее с по¬
следующим спиральным спуском в атмосфере.
В свое время мы перешли от аргумента t к новой перемен¬
ной r\ = f]t. Теперь необходимо установить связь между высотой
в перигее уР и углом г\ (то есть параметром времени):
2
Л2 — Л1 = / • (2.242)
Возможны два решения этого уравнения. Если считать, что вы¬
ражение (2.225) с достаточной степенью точности пригодно для
расчета плотности на высотах до точки падения включительно,
то возможно общее решение. Если же с целью повышения точ¬
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
235
ности решения необходимо учитывать изменение плотности в пе¬
ригейной точке по мере ее понижения, то решение требует гра¬
фического интегрирова¬
ния. Оба решения были
рассмотрены Перкинсом.
а) Решение с графи¬
ческим интегрированием.
Так как гР = уР, то, пола¬
гая к при плотности р удо¬
влетворяющим соотноше-
нию xp/p0 = g0oZ)*PoroP/Po>
уравнение (2.234) можно
записать в виде
к р
ро
(2.243)
-z7 -/
-no[yP-mcj
Рис. 2.43. Эллиптические траектории.
Таким образом, левая
часть является функцией
лишь с. Так как пара¬
метр {—т0[уР— (t/P) c=i]}
также известен в функции
коэффициента с (рис.
2.41), то можно построить
график величины (—хр/урро) в функции высотного параметра
(рис. 2.43). Параметр времени г\ можно получить из формулы
(2.242), которая может быть переписана в виде
(ур) о
_^ = Г (2.244)
Ро 1 J \Р йУр) Р
Ур
Это уравнение решается следующим образом. Сначала отыски¬
вается начальное значение коэффициента с=—mQ из второй
формулы (2.222):
c„ = /nJr0-4V (2.245)
По найденному значению с0 определяют из графиков (рис. 2.41
или рис. 2.43) начальное значение высотного параметра. Затем,
задаваясь различными значениями ур от (ур)0 до 0, определяют
соответствующие значения {—tno[yp — (ур)с=i]}, находя разности
по графикам на рис. 2.44—2.46. Это позволяет определить и зна¬
чения (—хр/г/рРо)- Эти данные вместе со значением плотности,
входящей в выражение (dyp/р), подставляются в (2.244), и ве¬
личина интеграла определяется графически. Для круговой
236
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
орбиты (с0 = 0) отношение (—хр/урро) обращается в единицу и
формула (2.244) упрощается.
б) Общее решение. Используя зависимость (2.225), можно
получить общее решение. Подставляя в уравнение (2.242) dyP
-10 -0,5
О 0,5 7,0
-^о[1/р-(Ор)с=1]
1,5
Рис. 2.44. Параметр времени эллиптической
траектории в зависимости от высотного пара¬
метра.
из выражения (2.240) и уР из соотношения (2.234) и интегрируя
от произвольной точки с= I, получаем:
Рс-1
Ро
m0K(r]-Tic=i)= - 2
h=Le—dc,
Р ь
(2.246)
(2.247)
где [см. выражение (2.225)]
Ре-i = -т [ур-(ур)СшХ\
Ро
Показатель степени в правой части полученного выражения за¬
висит лишь от с [см. формулу (2.241)]. Таким образом, правая
часть выражения (2.246) является функцией лишь с и при ис¬
пользовании (2.241) может быть вычислена графическим инте¬
грированием. Подставляя (2.241) в (2.247) и (2.247) — в пра¬
вую часть (2.246), получаем:
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
237
что эквивалентно величине
!(*-)
dc
Ъ
(X
2
/«-о*
Равенство (2.246) теперь примет вид:
Pi-i/p
(2.248)
(2.249)
Поскольку правые части равенств (2.241) и (2.247) зависят
лишь от с, то можно построить график зависимости левых
частей друг от друга. На
рис. 2.44—2.46 представле¬
ны графики основной функ- -35
ции общего решения
-М
\ ро Л
Р°
= /{- т,
-30
-25
I
-20
15
-W
V
t
[Ур “ (Ур)с-i]}*
(2.250)
Методика использования
общего решения заключает¬
ся в следующем:
а) по выражению (2.245)
определяют с0;
б) по графику (рис. 2.41)
находят значение высотного
параметра {—т0[ур —
— (#p)c=i]}, соответствующе¬
го начальной высоте;
в) вычитают (—гпоуо) из
высотного параметра, соот¬
ветствующего начальной вы¬
соте, чтобы найти высотный
параметр, отвечающий точ¬
ке падения, — при этом ис¬
пользуют график, приведен¬
ный на рис. 2.47, для нахождения значения т0, соответствую¬
щего заданному значению у0\
г) используя графики, приведенные на рис. 2.44—2.46, по
значениям высотного параметра, соответствующим начальной
О 0,2 0,4 0,6 0,8 ю 1,2
-Щ[Ур-Шс^]
Рис. 2.45. Параметр времени эллипти¬
ческой траектории в зависимости от вы¬
сотного параметра.
238
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
высоте и точке падения, определяют начальное и конечное зна¬
чения параметра времени:
Рс-1
Ро
-т0к (л-Лс-i);
д) вычитая начальное значение параметра времени из его
конечного значения, определяют параметр полного времени
-Щ [Ур-Шс*]
Рис. 2.46. Параметр времени эллиптиче¬
ской траектории в зависимости от высот¬
ного параметра.
существования спутника с помощью формулы
Allparam = ~ ^ *т0%
е) используя выражения для pc=i/p и Ко, полученные ранее,
можно записать выражение для времени в обобщенной форме:
ЛЛрагат [время-вес
(2.251)
tD*
К г0 рс=1
v0m0- — ро
[время- вес 1
площадь J *
(2.252)
площадь
гоо гоо Ро
где p*-i/Po- exp {- т0 [уР - Ыс,,]0}, a D* = CdA/W — параметр
2.Ю]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
239
лобового сопротивления спутника; в случае круговой орбиты
можно показать, что выражение (2.252) упрощается и приобре¬
тает вид
tcD =
1 _ етоУо
т0
_К_
Гоо
3/2
Гоо
Ро
время • вес
площадь
(2.253)
Таким образом, по методике, изложенной в пп. а) —е), сразу
определяется полное время существования спутника, без нахо¬
ждения промежуточных высот в зависимости от времени. Если
все же желательно иметь кривую высоты в зависимости от
времени, то в п. в) вместо
вычитаемого (—гпоу0) не¬
обходимо использовать про¬
межуточное значение
[—т0(у0 — у)\ что и было
сделано Перкинсом для
ряда примеров, приве¬
денных на рис. 2.48. Это
позволило получить полное
время существования спут¬
ника для различных началь¬
ных высот и скоростей. На
рис. 2.49 приведены гра¬
фики полного времени су¬
ществования спутника на
эллиптической орбите в за¬
висимости от t(CDA/W) для
различных постоянных зна¬
чений параметра (Ди/цс)0.
Эксцентриситет рассмо¬
тренных орбит характеризу-
ется параметром скорости (i>0 “ У~К1го )lV^lro (на Рис- 2.48 от¬
ложен по оси абсцисс). Сравнение результатов аналитического
решения с данными точных расчетов на электронных цифровых
машинах показывает отличное согласование. Исключение состав¬
ляют высоты в районе 1,83* 105 ж, где функция плотности (2.225)
очень неточная. На меньших высотах аналитическое решение дает
завышенное время существования по сравнению с данными, рас¬
считанными на ЭВМ с использованием действительной функции
изменения плотности с высотой. Интересно отметить, что для
орбит с очень большим апогейным расстоянием аналитическое
решение дает заниженное время существования по сравнению
с рассчитанным на ЭВМ. Это объясняется тем, что принятая
у (сотни тыс. фут)
Рис. 2.47. Зависимость показателя сте¬
пени в выражении для плотности от
высоты.
240
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
в аналитическом методе функция изменения плотности с высо¬
той (2.225) на больших высотах дает завышенное значение
Рис. 2.48. Полное время существования спутника на эллиптической
орбите по результатам аналитического решения и численного интегри¬
рования на электронной вычислительной машине.
плотности, что приводит к уменьшению времени существования
спутника.
По сравнению с аналитическим решением графическое реше¬
ние, использующее для всех точек орбиты начальное значение
то (за исключением перигейной точки, где подставляется «дей-
2.10] АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА 241
ствительное» значение плотности), дает заниженное время су¬
ществования.
Несмотря на значительные усилия, направленные на полу¬
чение приемлемых аналитических или графических методов
i w
Рис. 2.49. Полное время существования спутника на эллиптической
орбите для различных значений параметра (Лу/ус)0 (расчет на элек¬
тронной вычислительной машине).
решения задачи определения времени существования спутника,
этим методам присущи следующие две основные группы недо¬
статков:
1. Принятие упрощающих допущений о зависимости плотно¬
сти от высоты, об изменении коэффициента лобового сопротивле¬
ния с высотой и пренебрежение подъемной и боковой аэродина¬
мическими силами.
2. Недостаточное знание истинного изменения плотности с
высотой, а также коэффициента лобового сопротивления и его
изменения.
Большинства недостатков первой группы можно избе¬
жать, используя численное интегрирование либо более полных
J6 к. Эрике, т. II
242
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
уравнений движения (§ 1.8), либо уравнений (2.171) — (2.180) с
целью определения не только высоты, но и изменения всех орби¬
тальных элементов в функции времени. Последнее позволило
бы рассчитывать эфемериды спутника для последующей органи¬
зации наблюдений и использования получаемых параметров для
прогнозирования. Для спутника несферической формы при ус¬
ловии, что его положение в полете фиксировано, можно вычис¬
лить нормальную [выражение (2.162)] и, возможно, ортогональ¬
ную составляющие аэродинамической силы. Эти величины будут
периодически меняться при движении спутника по орбите. Если
же спутник в полете не стабилизирован, то можно принять
гипотезу о случайном движении оси космического аппарата, при¬
водящую к средним величинам аэродинамических коэффициен¬
тов подъемной силы и лобового сопротивления.
Метод решения задачи с использованием ЭВМ, как и другие
методы, не свободен от второй группы недостатков. Здесь мо¬
жет помочь лишь использование непосредственных результатов
измерений, полученных с помощью спутников. Плотность, так
же как и коэффициент лобового сопротивления, может изме¬
няться с высотой и вследствие действия электрических сил, не
учитываемых принятыми газодинамическими теориями. Быть мо¬
жет, было бы более правильным говорить о лобовом сопротив¬
лении плазмы, нежели об аэродинамическом лобовом сопротив¬
лении. Лобовое сопротивление плазмы определяется магнито¬
гидродинамическими силами, а не только гидродинамическими
(газодинамическими) силами. Изменение характеристик плазмы
будет влиять на лобовое сопротивление плазмы не только через
изменение плотности, но более сложным образом. Поскольку ха¬
рактеристики плазмы в известной мере зависят от солнечной ра¬
диации, то в достаточно узком диапазоне высот лобовое сопро¬
тивление плазмы может изменяться в гораздо больших преде¬
лах, чем этого можно было бы ожидать, судя по изменению
только плотности. На очень больших высотах этого эффекта не
будет из-за большой длины свободного пробега молекул, соот¬
ветствующей большому времени релаксации. Последнее обстоя¬
тельство уменьшает влияние солнечной радиации на характери¬
стики плазмы. Аналогичным образом на плотность оказывают
влияние электрические свойства атмосферы, зависящие от маг¬
нитного поля Земли. Таким образом, проблема точного опреде¬
ления времени существования спутника зависит от не менее слож¬
ных геофизических задач, еще не решенных в настоящее время.
После первых запусков спутников появились опытные данные
относительно действительного времени существования спутника.
К настоящему времени имеются данные о действительном вре¬
мени существования только одного спутника почти сферической
2.10]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
243
формы — «Спутника-1». Высота его начальной орбиты равнялась
примерно 550 км. Интересно сравнить действительное время су¬
ществования «Спутника-1» с результатом расчета параметра
t(CDA/W), полученным Перкинсом:
площадь поперечного сечения (включая антенны) А ^ 0,285 м2,
вес спутника № = 83,6 /сГ,
отношение веса к площади поперечного сечения №/Л =
= 293 кГ/м2,
коэффициент лобового сопротивления (с учетом антенн)
Cd = 2,5,
параметр лобового сопротивления W/CDA = 117,
время существования £ — 90 сут^7,8* 106 сек,
скорость в перигее (по сообщениям печати) Ур = 7980 м/сек,
Av в перигее = 7980—7787=193 м/сек,
(Av/vc) р = 193/7787 = 0,0247,
7 8* 106
экспериментальное значение £ (CDA/W) = ’ И7— = 6,66 • 104,
расчетное значение t(CDA/W) ^3,28 • 105 (~ 1,6 • 106 в едини¬
цах, принятых при построении графика на рис. 2.49).
Поэтому кажущееся значение CD будет равно:
= 1>28.105
6,66 -104
Меньшее фактическое время существования спутника объяс¬
няется не только большим коэффициентом лобового сопротив¬
ления плазмы, но и большей величиной действительной плотно¬
сти атмосферы по сравнению с принятой в расчетах Перкинса.
Так как ожидаемое действительное значение коэффициента ло¬
бового сопротивления может быть в два раза больше его теоре¬
тической величины, рассчитываемой по свободномолекулярной
теории (2,2 для сферы и 2,5 для спутника с антеннами), то тео¬
ретическое время существования спутника будет:
£ = 3,28 • 105 • 293/5= 1,92 • 107 сек~222 сут,
то есть почти в два с половиной раза больше, чем действитель¬
ное время существования «Спутника-1». Если предположить, что
принятое значение CD является правильным, то указанное рас¬
хождение во времени существования можно объяснить лишь
различием в плотности атмосферы. Для определения раздель¬
ного влияния CD и плотности атмосферы на время существова¬
ния спутника необходимы экспериментальные измерения лобо¬
вого сопротивления в плазменной аэродинамической трубе.
В таблице 2.8 представлено время существования некоторых ис¬
кусственных спутников Земли.
16*
Фактическое время существования различных искусственных спутников
244
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
оо
Ы
CG
ts
К
1=5
\о
са
Н
О)#
5 К
Г? к
2 £?
я о £
Rt я а
<М <м ^
8
-Л\
05 05 Ю со
Г^-
t''. со см ю
CD
°°,
со' со'
05 О —1
fs 23
in
CM
05 05 О
05 О 05 05 ю 05 1ПСО
юююю -ю
^ CM CM СМ СО СО СО со ю
^ ~ СО* 05* С"'! СО 1П
Tf СО 00 CM
О ——COtnCDOO — CD
OlOTfwtD^'tOO)
t-«. ю см о 05 05 05 оо оо
—'CMCMCMCOCOCOCM—■
Гоо:
О CM
Я2
~см^
СО Tt*' h- 00 СО 05* f-. 05* о"
МОЮ - 00 Tt< CM CD 00
COCO^JO-hNSOO
сососмсмсмсосо'-—>
05 ОО СО 00 CM ST
CM Tf СО — СО
СО —I оо
f-. t"- f-. со
, л'оОсОсГЮО)(ГО)
смсосососососо — CM
CM Ю
CO 00
CM —
OO^f-^CM^CO^CO 05 ST CM CM 00 CD in CD
00^CM0505OC0t^C0
юют^тс-^юю
1П1ПСМСМСМЮ1П1П1П
OO 00 CM CM
О t"— CD 00 00
f-. со со оо CO
и
2
CL
E-
<u
S
со
и
2 ч
5 К
о ^ Я
я
^ s ^ о
u S о
CT5 * Я
. *я a«
fe я 05 Ы
S fc я
о 5 CL 0.00
я 4°
05 ё 2 я
s 3 5 4 я
-а л 5 г 1
й ш Ч t
я -
®С0
2t--
2 я
с я
«8**1
f- О S -
^ >.ЕН ^
я?у
О о
CL >.
05 CL
и
й«
о 2
е со
с ®
1§
СО CL
я ^
я ®
Я s
>» я
Я с=г
а
Я я Si
СО о
**8
со'
CJ
СО
£.5
§•*
о «и ^
Й| "
¥ S
а*2-
-gss
^as
е 5 я 55
g *
w я ^ со
^ н .а,
Я ^ S V
я о 'Q>
ItfGgU
со“
с, с
а) я я
И- ^ СГ О
я ^ я
2 <->« 2
03 со ° S
я^§ Я -
|8|3
m|SS-
О Ч ^
cf <и я
* 2 Я
00
я
я
„ CJ
CJ_«
ч X
о 2
о я *■» «: -
00.Ю щЧУСОО,
S&gg^-2!
Е-1 cf 2 со о, S
SegsISS
£*§ и sНЯ *
t“sa||3^§t
К S О. Я Я Я У® Я -
н я е- а. я Я я £
хеЗазаз^ясьяч?
о аз S^£ я Ч Я я О
E»su«ttgg:Je:
я Ч a 4S
'7 см ^ Л
н я
>* а
я я
U0)
v *
2*9
CL Я
о я
ч я
е £
a >i
я я
CDO
V V
ч л
е 2*
о о
Я я
CDU
V V
я о.
НН
V V
я
я
к
&
<
со
Z
я о
\о и
CL О
о я
к я
я Я
*S
2^2
^ я
си я
я
2 ^
рС
8Ь
Я Е-
я Я
Я ^
a g
О) s
ия
»3|
я « 2
f&Й
о* «
° Л5 а
2 05
« О о
2 So
Я CU о
Я я
4 Е*«
Я s О
Я Й Я
Я * У
я О си
^ © i
«5*
gS-&
5 05 о
gea
о я Е-
Я
н с<
° 5! •
Я я Я а
® я х я
Я Ю Я Lh
я о яН
Я Я fcf
Ч и _ Н
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
245
На рис. 2.50 дана зависимость времени существования спут¬
ников от начального звездного периода, то есть от величины,
пропорциональной а312, где а — средний радиус начальной орбиты.
70s
70*
1
£
1
I
|
!
103
J02
10.
0,0323
Q0377•
0,0083
,• «I
*0,0029
00287
У0,057
0.0463
тг
0,0291
*0,03566 -
\ 0,0572-
0,0405
0,0459
_ 00492
0,t25\
о,оОгз
® «Спутник»
* «Эксплорер»
9 «Дискаеерер»
□ «Скор»
* «Тайрос»
О «Транзит»
▼ «Эхо»
~%0,1058
*0,727$
® 0,007
±0,1005
пат
0,07720
.*0,106
-ОООлет
-00лет
- О г оба
05 90 95 100 105 110
3вез Он ь/d периоб (минуть/)
715
120
Рис. 2.50. Обзор времени существования искусственных спутников в за¬
висимости от звездного периода. (Около условных знаков указаны ве¬
личины начальных эксцентриситетов орбит.)
Эти данные не позволяют сделать определенных выводов вслед¬
ствие большого числа неучтенных параметров, влияющих на
время существования спутника. Орбиты спутников отличаются
не только эксцентриситетами, но и высотами в перигее. Сами
спутники отличаются друг от друга по форме, плотности и ма¬
териалу (например, лобовое сопротивление спутника с фибер-
глассовым покрытием менее зависит от электрической прово¬
димости верхних слоев атмосферы, чем лобовое сопротивление
246
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[гл. а
спутника с металлическим покрытием). Все же данные, приве¬
денные в таблице 2.8 и на рис. 2.50, позволяют сделать вывод,
что время существования спутника возрастает с увеличением
среднего радиуса начальной орбиты и увеличением плотности
спутника (отношения массы к площади поперечного сечения).
Получение более точных данных о плотности верхних слоев
атмосферы потребует уменьшения количества параметров,
влияющих на время существования спутника, при проведении
систематических опытов.
Для исследования верхней атмосферы спутники представ¬
ляют собой идеальный инструмент, если их проектировать спе¬
циально для этой цели. Идеальным спутником для исследования
атмосферы является сферическое тело, плотность которого дол¬
жна быть тем меньше, чем для более высоких слоев атмосферы
этот спутник предназначен. Плотность запущенных до сих пор
спутников слишком велика, чтобы они могли быть использованы
для определения плотности атмосферы на высотах, превышаю¬
щих 100-г-200 км. Исключение составляет спутник «Эхо-1», пред¬
ставляющий собой надутую алюминизированную миларовую
оболочку диаметром 30,5 м и весом 75,8 кГ (милар — 60 /сГ,
алюминиевое покрытие—1,7 /сГ, состав для надувания обо¬
лочки— 13,5 /сГ, радиомаяк для слежения — 0,6 кГ). Это соот¬
ветствует A/W = 9,63 м2\кГ или W/A = 0,104 кГ/м2. При улетучи¬
вании газа через отверстия, образованные метеоритами, отноше¬
ние A/W приближается к величине 11,3 м21кГ. Подобный спутник
может быть использован для исследования весьма разреженных
слоев атмосферы. По эволюции его движения можно судить об
очень малых изменениях плотности атмосферы, вызванных, на¬
пример, влиянием солнечной радиации: он оказывается чувстви¬
тельным даже к давлению солнечного излучения (см. § 2.11).
На рис. 2.51 приведены графики изменения периода между
последовательными прохождениями восходящего узла орбиты,
высоты в апогее и высоты в перигее для спутника «Эхо-1» по
данным NASA за четыре месяца 1960 г. На высокую чувстви¬
тельность надувного спутника к воздействию лобового сопротив¬
ления указывает сравнительно высокая скорость изменения
периода прохождения узла орбиты (см. § 2.5 и § 2.6). Неравно¬
мерность в изменении высот точек апсид объясняется измене¬
нием плотности атмосферы, вызванным влиянием солнечного из¬
лучения. Резкое увеличение лобового сопротивления в ноябре
соответствует хромосферным вспышкам, имевшим место в то же
время. Начальная орбита спутника была почти круговой (е =
= 0,01126), с разницей между высотами в апогее и перигее
около 180 км. Следовало ожидать, что обе точки апсид вслед¬
ствие действия лобового сопротивления атмосферы будут пони¬
2.Ю]
АТМОСФЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СПУТНИКА
247
жаться. Однако этот эффект был несколько искажен влиянием
давления солнечного излучения. В течение осени 1960 г. перигей
орбиты был обращен в сторону Солнца. При этом давление
солнечного излучения уменьшало перигейное расстояние и
увеличивало апогейное расстояние. Уменьшение перигейного
расстояния вследствие влияния давления солнечного излучения
превосходило уменьшение
перигейного расстояния, вы¬
званного влиянием лобово¬
го сопротивления, что для
орбиты заданной энергии
означало соответствующее
увеличение апогейного рас¬
стояния. В середине сен¬
тября эксцентриситет ор¬
биты достиг 0,031. По мере
смещения апогейной точки
в сторону Солнца давление
солнечного излучения стало
уменьшать апогейное рас¬
стояние, изменяя орбиту в
сторону круговой. Этот цикл
будет со временем повто¬
ряться. Подобный процесс,
конечно, влияет на измене¬
ние орбиты, вызванное ло¬
бовым сопротивлением. Вся¬
кий раз при понижении
перигейной точки влияние
сопротивления атмосферы
становится более выражен¬
ным, сильно уменьшая вре¬
мя существования спутника
«Эхо-1».
Искусственные спутни¬
ки, предназначенные для
изучения плотности атмо¬
сферы, должны быть нескольких стандартных размеров (на¬
пример, диаметром 15 м, 30 м и 60 м), позволяющих их опти¬
ческое слежение в глобальном масштабе. К тому же подоб¬
ные размеры являются вполне достаточными для размещения
на спутнике легкого радиомаяка для обеспечения слежения за
спутником радиотехническими средствами и небольшого коли¬
чества солнечных батарей. Распределение солнечных батарей
по поверхности сферической оболочки должно обеспечивать
Iт
| 118
^ 117
то
^ 1500
J
7000
\ —■—
Период
-
н н
63 м2/кГ
104 кГ/м*
-
Вы
сота о а
|
погее
I
-
шсота в
перигее
Август Сентябрь Октябрь Ноябрь
1960
Рис. 2.51. Изменения периода между
последовательными прохождениями вос¬
ходящего узла, высоты в апогее и вы¬
соты в перигее для надувного спутника
«Эхо-1» (1960 il).
248
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
преобразование солнечной энергии при освещении произвольно
ориентированного спутника. Солнечные батареи можно исполь¬
зовать для подзарядки аккумуляторных батарей, питающих
радиомаяк. Потребляемая мощность бортовой радиоаппара¬
туры составляет несколько милливатт. Наличие радиомаяка
диктуется необходимостью слежения за спутником в ночное
время, а также при длительной облачности. Плотность спут¬
ника стандартного размера можно изменять в достаточно широ¬
ких пределах за счет изменения толщины оболочки, тем самым
позволяя использовать спутник заданных размеров для исследо¬
вания плотности атмосферы в широком диапазоне высот. После
наполнения оболочка должна приобрести определенную жест¬
кость (достигаемую химическими средствами), чтобы с самого
начала и до конца эксперимента обеспечить определенные па¬
раметры спутника.
При этом необходимо предусмотреть возможность выпуска
газа, что позволит по результатам обработки данных наблюде¬
ния исключить ошибки, которые могут возникнуть вследствие
изменения формы и размеров спутника из-за утечки газа (на¬
пример, при пробое метеоритом).
Приемлемыми можно считать лишь точные орбиты с неболь-.
шим числом стандартных величин эксцентриситета. Этого можно
достичь при наличии командного управления с Земли механиз¬
мом управления наполнения оболочек газом. Оболочки, выве¬
денные на орбиты с недопустимыми отклонениями, не напол¬
няются, чтобы не затруднять наблюдения за спутниками, вы¬
веденными на расчетные орбиты. Оболочки, выведенные на
слишком низкие орбиты, можно, подав команду на их наполне¬
ние, быстро спустить с орбиты. Для наиболее эффективного
исследования атмосферы надувными спутниками необходима
организация глобальной системы слежения за их полетами.
Вследствие того, что такие спутники не представляют никакой
военной опасности, организация подобных работ представляет
исключительно благоприятную возможность для развития между¬
народного сотрудничества в области космических исследований.
2.11. Дополнительные возмущения
Кроме гравитационных возмущений Земли, Луны, Солнца
и лобового сопротивления атмосферы, на спутник действуют
следующие дополнительные возмущения:
небольшие неправильности в фигуре геоида,
электрическое и магнитное поля,
релятивистские эффекты,
космическая пыль,
давление солнечного излучения.
2.11]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
249
Все эти возмущения очень малы. На рис. 2.52 показаны от¬
клонения геоида от эллипсоида с учетом второй, третьей и чет¬
вертой гармоник. Необходимо помнить, что вторая гармоника,
вообще говоря, определяет полярное сжатие по отношению к
идеальной сфере. Кривая же, приведенная на рис. 2.52, показы¬
вает отличие значения второй гармоники для геоида от ее зна¬
чения для идеального сфероида. Третья гармоника, полученная
Рис. 2.52. Вторая, третья и четвертая гармоники отклонения
действительного геоида от фигуры жидкого эллипсоида с та¬
кими же массой и периодом вращения в зависимости от ши¬
роты (на основании современных данных).
на основании изучения орбиты спутника «Вангард-1», имеет
положительную амплитуду 15 м на Северном полюсе и отрица¬
тельное значение амплитуды на Южном полюсе. Два других
амплитудных значения третьей гармоники по 7,5 м приходятся
на широты +26°,5 и —26°,5. Эти амплитудные значения откло¬
нений указывают на слегка грушевидную форму геоида. Четвер¬
тая гармоника определяет отклонения геоида от эллипсоида,
симметричные относительно плоскости экватора.
Отличие значения второй гармоники геоида от ее значения
для эллипсоида указывает на то, что полярное сжатие Земли
и ее экваториальное «вздутие» несколько больше, чем у жидкого
эллипсоида с той же массой и той же угловой скоростью вра¬
щения. Поскольку, как известно, приливные силы Солнца и
Луны чрезвычайно мало уменьшают скорость вращения Земли
(в настоящее время скорость убывания угловой скорости
вращения составляет 10~3 сек за столетие), то современная
250
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
форма Земли соответствует равновесному состоянию, имевшему
место много миллионов лет назад. Это отставание в изменении
формы Земли служит причиной значительных напряжений в ее
коре. В далеком будущем с дальнейшим увеличением продолжи¬
тельности суток эти напряжения возрастут настолько, что насту¬
пит новая эра сейсмической активности, которая приведет к бур¬
ному горообразованию и, быть может, изменению формы кон¬
тинентов.
Хотя третья и четвертая гармоники играют важную роль в
геодезии, влияние их в астронавтике незначительно. Абсолютные
величины вызываемых ими возмущающих сил очень малы и
быстро убывают с расстоянием. Например, возмущения, вызы¬
ваемые третьей гармоникой, убывают пропорционально 1 /г3,
а вызываемые четвертой гармоникой — пропорционально 1 /г4.
Силы и моменты, действующие на спутник, могут возникнуть
и вследствие его движения в магнитном и электрическом полях
Земли. Электрическое поле Земли изменяется в зависимости от
интенсивности потоков заряженных частиц, испускаемых Солн¬
цем. Магнитное поле Земли изменяется слабо (0,63 гаусса на
полюсах и 0,31 гаусса на экваторе). Сила магнитного поля
уменьшается пропорционально 1 /г3, то есть быстро убывает с
высотой. Влияние этих полей на орбитальное движение (в от¬
личие от влияния на ориентацию спутника и его движение отно-.
сительно центра масс) ограничено околоземным пространством,
примыкающим к поверхности Земли, и оценки показывают, что
оно весьма мало по сравнению с гравитационными эффектами.
Релятивистские эффекты для смещения перигелия могут
быть легко оценены по формуле Эйнштейна (полученной в
1915 г. [11]), дающей для смещения перигелия по долготе за
один оборот следующую зависимость:
где K=U/r, а — большая полуось эллиптической орбиты, е — экс¬
центриситет орбиты, с — скорость света.
Эту формулу можно преобразовать к виду [15]
Дсо =
2,6146-НГ8
(2.255)
21
где числитель равен величине 12я/С/г00с2, Гд = гА[г00У гр = Гр/г00,
гА и гр — соответственно радиальные расстояния до апогея и
перигея орбиты, г00 — радиус Земли. На рис. 2.53 показан гра-
2.П]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
251
фик смещения перигея Дсо в зависимости от относительного апо-
гейного расстояния г* при =1,1. В долунном пространстве,
как следует из графика, этот эффект, грубо говоря, в два раза
меньше, чем для орбит, расположенных в непосредственной бли¬
зости к Земле, а сама величина смещения во всей рассматривае¬
мой области чрезвычайно мала.
Влияние космической пыли на орбиту спутника оценить
точно в настоящее время не представляется возможным, так
О 10 20 30 40
Относительное апогеиное расстояние гА/г00
Рис. 2.53. Релятивистский эффект смещения перигея орбиты
спутника Земли в околоземном и долунном пространствах
(rplr оо = !»!)•
как пока ни одно из естественных тел необходимой плотности
не представляло возможности достаточно длительного наблюде¬
ния для получения суждений о возмущающем влиянии кос¬
мической пыли1). Однако все оценки показывают, что в силу
!) Когда было замечено увеличение среднего движения кометы Энке
после ее прохождения перигелия, Энке в качестве возможной причины этого
явления указал на газообразное вещество, окружающее Солнце. Однако от
этого предположения пришлось отказаться после того, как Тиссеран показал,
что в этом случае газ должен был бы обладать намного большей плотностью,
чем это можно судить по зодиакальному свету. Недавно Уиппл выдвинул
новое объяснение этому явлению. Он считает, что причиной является реак¬
тивная сила, вызванная испарением кометного льда при прохождении кометы
вблизи Солнца (The Acceleration of Comet Encke, Astrophvs. J., Ill: pp. 375—
394, 1950; 113: pp. 464—474, 1951). Наличие свободных радикалов в кометах
является дополнительным аргументом в пользу объяснения, выдвинутого
Уипплом.
252
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
значительной разреженности и малой плотности космической
пыли ее влияние намного меньше влияния гравитационных сил.
Таким образом, за пределами земной атмосферы, то есть
по крайней мере на радиальных удалениях, превышающих 2г00,
можно считать, что определяющей силой является сила при¬
тяжения. Источниками гравитационных сил являются Земля,
Рис. 2.54. Возмущающий потенциал вследствие сжатия Земли.
Для сравнения приведен потенциал силы притяжения Луны
(плоскость орбиты спутника совпадает с плоскостью лунной
орбиты; 6 = 28°36').
приближенно принимаемая в виде сжатого сфероида или мате¬
риальной точки, Луна и Солнце, принимаемые за материальные
точки.
Используя соотношение (2.33а), первый член возмущающего
потенциала можно записать в виде
Ф, =yy/(-^)2(3sin26- 1). (2.256)
Возмущающий потенциал ф! представлен графиками на
рис. 2.54. График, приведенный на левой стороне рисунка, по¬
казывает изменение ф1 в зависимости от радиального удаления
рассматриваемой точки в диапазоне от одного до 10 земных ра¬
диусов. Он показывает быстрое убывание \fi с увеличением рас*
2.12] ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В СИСТЕМЕ «ЗЕМЛЯ - ЛУНА» 253
стояния. Правый график, где ось ординат имеет логарифмиче¬
скую шкалу, дает более точные величины. Там же для сравне¬
ния приведен график потенциала силы притяжения Луны в рас¬
сматриваемых точках указанного диапазона. В данном частном
случае, когда плоскость орбиты спутника рассматривается ле¬
жащей в плоскости системы «Земля — Луна», оба рассматри¬
ваемых потенциала оказываются равными на радиальном уда¬
лении приблизительно 1 Ог0о- Сама по себе точка пересечения не
представляет какого-либо практического значения в астронав¬
тике. Однако она указывает на область, в которой эти воз¬
мущающие влияния оказываются сравнимыми. При больших
наклонениях точка пересечения между двумя кривыми прибли¬
жается к значению 14г0о* При радиальных удалениях, превы¬
шающих примерно Югоо, по сравнению с возмущающим влия¬
нием сжатия Земли все более преобладающими становятся воз¬
мущения, вызываемые силами притяжения Луны и Солнца.
Влияние давления солнечного излучения может быть значи¬
тельным в зависимости от плотности рассматриваемого спутника.
Как было показано (§ 2.10), для спутника «Эхо-1» (с отноше¬
нием AjW = 11,3 м2/кГ) это влияние было значительным. Для
спутника «Вангард-1», который имел в 800 раз большую плот¬
ность, изменение высоты в перигее вследствие давления солнеч¬
ного излучения составило всего 3 км1), тогда как для спутника
«Эхо-1» эта величина равнялась 500 км (или, если сравнивать
скорости понижения перигейной точки, то 2 км за год для спут¬
ника «Вангард-1» и 2 км за день для спутника «Эхо-1»). Влия¬
ние светового давления центрального тела на орбиту его спут¬
ника будет рассмотрено в § 9.16. Влияние светового давления
Солнца на движение спутника было рассмотрено Мюзеном2).
2.12. Точки либрации и центры периодических движений
в системе «Земля — Луна»
В § 6.3 («Космический полет», т. I) было указано на отсут¬
ствие общих методов интегрирования уравнений движения в
задаче трех тел. Там же отмечалось, что в двух специальных слу-
чаях Лагранжем были получены периодГи^^еТТППШШ:^ с)ТИХ
специальных случаях- предполагалось, что тела определенным
образом расположены относительно друг друга в однокГ плоско-
сти так, что .равнодействующая сила, приложенная к каж¬
дому телу, проходит через барицентр (центр масс) системы и
М P. М u s е n, R. Bryant and A. Bailie, Science, vol. 131, p. 935
(1960).
2) P. Musen, J. Geopliys. Res., vol. 65, p. 1391 (I960).
254
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
пропорциональна расстоянию от рассматриваемой точки до бари¬
центра. Эти точки, соответствующие решениям Лагранжа, назы¬
ваются точками либрации, “При" рассмотрении системы «Земля —
Луна — частица» одна из этих точек либрации находится в до¬
лунном пространстве, три — лежат на лунной орбите или близко
к ней. При выводе зависимо¬
стей для периодического дви¬
жения частицы около точек
либрации мы воспользуемся
методикой, разработанной зна¬
менитым шведским астрономом
Шарлье [11].
L Особое теоретическое и
2 практическое значение для аст¬
ронавтики представляет слу¬
чай, когда масса одного из рас-
сматриваемых тел может быть
принята за бесконечно малую
величину, а из двух других тел
масса одного значительно
z. /. /_ больше массы другого тела, то
;есть М^>т. ~К" такому “случаю
ф с можно отнести движение кос-
Рис. 2.55. Расположение точек ли- мического аппарата в долун-
брации в системе «Земля — Луна». ном пространстве внутри изо¬
лированной системы «Земля —
Луна». Если обозначить через г и D соответственно расстояние
между телом бесконечно малой массы и телом массы М и рас¬
стояние между телом массы т и телом массы М (рис. 2.56), то
можно получить [см. формулы (1.6.65)—(1.6.67)]:
-5“!—(жГ<2'257>
•3”1 + (жГ-** (2'258>
<2-259>
На рис. 2.55 видно, что точка либрации L\ располагается в до¬
лунном пространстве.
Кроме решений, определяющих точки либрации, были полу¬
чены другие частные решения, содержащие уменьшенное число
произвольныхЛГостоянных. Особый интерес среди них представ-
ляют так называемые периодические решения. Эти решения
характеризуются периодическим возвращением взаимного рас¬
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В СИСТЕМЕ «ЗЕМЛЯ - ЛУНА»
255
положения системы в исходное положение. Периодические ре¬
шения были получены Хиллом1). Позже их общая теория была
разработана Пуанкаре2).
Периодические орбиты (или колебания) могут быть разбиты
ня цвеНГруппы. К первой группе относятся движения. приводяГ
щие к бесконечно малым изменениям во взаимном расположе-
ни¥"'тёл Системы, то есть
дв и же ни я7 ~п р и которых из¬
менения во взаимном распо¬
ложении тел системы пре¬
небрежимо малы по сравне¬
нию с размерами самой
СИСТеМЫ. Вторая группа
включает в себя пвижрнм,
приводящие к конечным .из¬
менениям.
Периодические решения
первой группы, очевидно,
должны соответствовать спе"
циальному взаимному рас¬
положению тел в системе.
Действительно, центры пе¬
риодических движений этой
группы должны совпадать с
точками либрапии.
Задача определения дви¬
жения тел¥ бесконечно ма¬
лой массы (частицы) в поле
двух тел конечной массы известна как ограниченная задача
трех тел. Эта задача была исследована Икоби (Jacobi), Хил¬
лом, Дарвином (Darwin) и Пуанкаре.
Пусть отношение конечных масс будет пС = -jr < 1. Поло¬
жим далее (рис. 2.56), что оба тела гп и М опигктяют круткыр
орбиты относителрнп ^яриттрнтря Поместим в барицентр начало
прямоугольной вращающейся системы координат g п, ось g ко-
торой направлена по линии тМ (положительное направление
оси g в сторону М), а ось ц повернута относительно оси g на
90° по направлению вращения системы. Обозначив расстояния
от частицы до тел Мит соответственно через г и р, расстояния
*) G. W. Hill, Researches in Lunar Theory, National Academy of Sciences,
April Session (1877); also American Journal of Mathematics, vol. 1, p. 16
(1878).
2) Poincare, Sur le probleme des trois corps et les equations de la
dynamique, Stockholm, 1889,
Рис. 2.56. Координатная система, ис¬
пользуемая для изучения движения
частицы в ограниченной задаче трех
тел в системе «Земля — Луна».
256
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
от барицентра до тел М и т — через s\ и 52 и приняв расстояние
D между телами Мит равным единице, можно записать:
г2 = (| - S,)2 + т)2 = (б - -j^*)2 + ч2,
, | (2-260)
Р!М| + 5г)г-Иг-(| + -пЬ?) +Чг
Система вращается с постоянной1) угловой скоростью.
® = ^Си( l + m*)/D3
и периодом обращения
т = 2л/V Км +m*)!D3.
Если D= 1, а единицу времени выбрать так, чтобы гравита¬
ционный параметр Км-=к2М= 1, то
со = 1 + ш*, т — 2я/ 1 -Т т'.
Для потенциала в любой точке (£, л) системы имеем:
1 , т*
^ V&- stf + tf 1 V(l + s2)2 + v
Уравнения движения частицы имеют вид:
dU
I - 2сог) - со2£ = ,
dU
Л + 2со| - со2л = -н-.
(2.262)
Эти уравнения были преобразованы Дарвином [см. уравнения
(1.6.75)] в более удобную форму:
1 |-2сол = ^,
дФ
Л + 2с0| :
дг\ ’
(2.263)
где с учетом соотношений (2.260)
Ф = U + у (г2 + m*p2) = U + j [у^, + (о2 (I2 + г}2)] . (2.264)
Теперь найдем координаты ц центра периодического дви¬
жения и покажем, что центрами периодического движения яв¬
ляются точки либрации. Поскольку сейчас мы рассматриваем
первую группу периодических движений (периодические орби¬
ты), то будем считать, что частица должна оставаться вблизи
центра периодического движения. Обозначим через ц' коор-
0 Круговая ограниченная задача. (Прим. перев.)
2.12]
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В СИСТЕМЕ «ЗЕМЛЯ - ЛУНА»
257
пинаты частицы в системе координат с началом в центре перио¬
дического ^движения и осями, соответственно параллельными
осям £ и т] (рис. 2.57). Если точка (g, т]) не совпадает с цен¬
тром масс (£i, r]i) тела М или с центром масс (g2, Ц2) тела ту
Рис. 2.57. Определение центров периодического
движения в ограниченной задаче трех тел.
то функцию Ф и ее производные дФ/д% и дФ/дц можно разло¬
жить в ряды по положительным степеням £' = !■ — £ и т]' = т]—т].
Если эти разности достаточно малы, то последний удерживае¬
мый член ряда будет больше суммы всех отброшенных членов.
На основании соотношений (2.262) можно получить:
*/ о •/ дф , д2Ф . , д2Ф
| 2сот1 5| +1 5|2 +1! ati
Tj' + 2(04' = + ту
Так как §' и v(
д_
, (32Ф
дч\2 ^ & д% dfj
остаются малыми, то
(2.265)
можно положить
ао _ аФ _ п
д\ ~ ari
(2.266)
При решении этих уравнений необходимо подставить значения
'■2 = (i -S,)2 + rj2 и p2 = (i + s2)2 + fj2. Отсюда
(2'267)
-5f-^4 + ^4-0. (2.268)
dr
dp p
17 К. Эрике, т. II
258 орбиты спутников
Поэтому должно иметь место или
дФ _ дФ _ 0
дг ~ др ~ '
или
i-si
= + 52)
JL
Г?
■0.
[ГЛ. 2
(2.269)
(2.270)
Условие (2.269) приводит к определению эквидистантных то¬
чек либрации Д4 и £5" а именно:
г = р = 1,
1 1 — т*
2 1 + т* ’
“ “Л5 — о
(2.271)
где £4, Т]4 и £5, г]5 являются соответственно координатами точек
либрации L4 и L5.
Условие (2.270) требует, чтобы rj = 0 и поэтому относится
к коллинеаоным точкам ли^ралии которые лежат на оси £. Ве¬
личина | определяется из уравнения
дФ 1 —Si . дФ I + s2
- = 0.
(2.272)
дг г др
При этом возможны три случая:
l~Si=-r, | + s2 = p; 1
1 - s, = - г, I + s2 = - р; (2.273)
i ~ «1 = r, | + s2 = p. J
Для этих случаев, соответствующих точкам либратши L1. L?] Lo]
уравнения (2.272) принимают вид:
L<:
дФ
дФ
= 0,
1
дг
др
12:
дФ
дг
+
дФ
др
= 0,
i3:
дФ
~д7
+
дФ
~др~
= 0,
г — \ р;
г = 1 + р;
г = р — 1.
(2.274)
Для определения г или р можно получить три уравнения ])
пятой степени типа уравнения (1.6.55). Каждое из этих урав-
9 (1-f т*)р5± (3+2т*)р4+ (3 + т*)р3 — т*р2±2т*р — т* = 0, где верх¬
ний знак относится к точке либрации Lu а нижний знак —к точке либра¬
ции L2; для точки либрации L3 имеем: (1 -fm*)r5-f (2-f 3m*)/-4-f (l+3m*)r—
—г2 — 2г — 1=0.
2.12]
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В СИСТЕМЕ «ЗЕМЛЯ - ЛУНА»
259
нений имеет только один действительный положительный ко¬
рень. Для коллинеарных точек либрации во вращающейся си¬
стеме координат окончательно получим:
Выражения (2.271) и (2.274)—(2.277) определяют положе¬
ние точек либрации в ограниченной задаче трех тел. Прове¬
денный анализ показывает, что точки либраиии совпадают с
точками, в непосредственной близости которых возможны пе¬
риодические движения. ’ "
Используя соотношение (2.269), уравнения движения (2.265),
в непосредственной бли^пгти точки либрятти^ можно записать
Эти уравнения образуют систему линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Как известно, реше¬
ние подобных систем отыскивается в виде
Т12 = 0;
ьз■ г = 1 - -jj m* + (m*)2.
(2.275)
(2.276)
(2.277)
в виде
\
• •»
(2.278)
= ае*, т/ = peYf,
где аир определяются из соотношений
(2.279а)
J (2.279Ь)
а (y2 _ <з2ф/«з|2) _ р (2coy + д2Ф/<5| dij) = О,
a (2coy - д2ФIdl dtj) + р (y2 - д2Ф[дц2) = 0.
17*
260
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Записывая множители (в скобках) у а и (3 в виде детерми¬
нанта в том же порядке, как в уравнениях (2.279Ь), и прирав¬
нивая этот детерминант нулю, получаем уравнение для опреде¬
ления у в следующем виде:
4 2Гд2ф , д2Ф лп , *ч"| , д2Ф д2Ф ( д2Ф \2 /о оопч
Y Y [ dl1 + drf 4(l + /n)J+ д^2 ат)2 \а| э-п) °- (2.280)
Корни дтпгп уравнения определяют тип движения частицы.
Если
уг является действительным и отрицательным, то имеет
место периодическое движение. Для прочих значений у2 движе¬
ние таково, что частица не может неограниченно долго оста¬
ваться вблизи центра с координатами 1, гр Используя выра¬
жение
\2 дФ д2г , д2Ф / dp \2 дФ д2р
"2 \ до ) др до2 9
д2Ф = д2Ф ( дг \2
до2 дг2 \ до)
+
дг до2 др2
где а— либо либо гр и выражение
2
<52Ф
dl дх\
= V (<W>. Wn. Mil + ML д**п\
dRl di ац a/?„ agdnj’
где R\ = ru /?2 = р, для каждой из трех коллинеарных точек,
либрации Lu L2i L3 получаем:
2 , 2т*
а2Ф . , » 1
л -2 — 1 “Ь ш з"
дц2 г3
+
д2Ф
dl дч
— = 0.
(2.281)
Для эквидистантных точек L4 и L5 имеем:
^2Ф 9 /1 . *\
dfj2 д (1 + m )>
4 ' ’ df\2 4
д2Ф _ 3 лг^п *ч
*= + -ггз(1-т),
(2.282)
I/ ЧП _
(51 дч 4
где отрицательный знак относится к точке L4. Если положить
r~3+m*p~3 = 2w, то у для периодических решений вблизи колли¬
неарных точек либрации будет определяться из уравнения
Y2= -(1 +т*-и)± К9ы2-4ы(1 +«*). (2.283)
Пламмер*) доказал, что корни этого уравнения являются
действительными, причем один из корней положительный,
*) Н. С. Plummer, Monthly Notices of the Royal Astr. Soc., vol. 62
(1901).
2.12] ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В СИСТЕМЕ «ЗЕМЛЯ — ЛУНА» 261
а другой отрицательный. Периодические решения имеют место
при отрицательном корне уравнения (2.283), и Пламмер пока¬
зал, что для всех трех точек либрации имеют место именно
отрицательные корни. Поэтому периодические решения суще¬
ствуют в непосредственной близости около точек либрации для
всех отношений масс т*. Граничные значения для коллинеар-
ных точек соответствуют значениям
?-i±m (г.„ш
V2--0,5 ±0,5 (is). I
Для периодических решений около эквидистантных точек можно
получить:
4у4 + 4(1 + т*) у2 + 27т* = 0. (2.285)
Корни уравнения (2.283) действительные, если (l+m*)>27m*,
то есть при т*<0,04. Таким образом, если т>0,04М, то
периодические решения вблизи точек L4 и Lb отсутствуют.
Для системы «Земля — Луна» т* = 0,01Й7, и, следовательно,
принципиально возможно вывести и поместить космический
аппарат в точках L4 или Ьъ. Для т*<0,04 оба решения для у2
являются отрицательными, то есть существуют два типа перио¬
дических движений. Поскольку т* всегда очень мало, то, раз¬
ложив решения (2.285) для у2 в ряд, получим для двух перио¬
дических решений:
случай 1: у2 = — 6,75m* — 38,812т*2 (L4), |
случай 2: у2 = — 6,75т* — 38,812т*2 — 1 (L5). J ^ ^
Каждому корню у соответствует свое отношение а/р. Поэтому
общим решением уравнений (2.278) будет:
I <х(еЧ 2 P<?V, (2.287а)
i=l i=1
в 2(0Yi+<%l /0 00-71.4
ai “Pi 2 /¥v » (2.287b)
Y
где с целью сокращения записи приняты обозначения:
Ф6т| е= д2Ф1д1 df\ ^ t, = д2Ф/<Э|2.
В дальнейшем с той же целью будет использовано обозначение
ФТ1=(Э2Ф/(Эг12. Четыре из восьми коэффициентов а* и Pi могут
быть выбраны произвольно. Если в качестве этих коэффициен¬
тов выбраны рг-, то ai определяются по уравнениям (2.287Ь).
Если у\ и у2 являются комплексными сопряженными корнями,
262 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ 2
так что е2 =—у2, и соответствующие значения 81 и е2 являются
действительными, то из уравнений (2.287) можно получить:
«1 2со
81 ^,
Pj + е2 + е2
а2 Ф^ 2со
: М,
(2.288)
р2 Ф| + е2 Ф| + е2
где i = К— 1.
Разделяя действительные и мнимые части у а и (3 и записы¬
вая их в виде
cti = х} + х2/, Pi = Х{ + Л2/,
а2 = к\ ~~ х2*> Р2 = + h2i,
можно соотношения (2.279а) представить следующим образом:
= а{еУх* + а2еъК
Tl' = p,e^ + p2e4 J (2.289)
Пусть двумя (произвольно получаемыми) коэффициентами
будут Рз = Р4 = 0, тогда из уравнений (2.287) следует, что а3 =
= с&4 = 0, и, следовательно, существует периодическое решение,
которое можно получить, подставляя в соотношения (2.289)
приведенные выше выражения для аир через х и X и считая,
что 81=—82, то есть что cos ei/ = cos 82^, sin &\t =—sin 82^:
= 2xl cos e2t + 2x2 sin e2t, )
v[ = 2X{ cos 82t + 2X2 sin 82t. J (2.290)
Из уравнений (2.279b) можно получить:
(у2 _ ф^) а = 2оуР + фу
(у2 — Ф^) Р = — 2соуа + ta.
С учетом у2 =—е2 и приведенных выше выражений для аир
через х и X, а также используя первое из двух предыдущих
уравнений для Pi, р2, ai, a2, получаем:
(е2 + Ф|) (х! + х2/) = — 2соеj/ (Х{ + X2i) — t (Я, + X2i)y
(е2 + Ф^) (х, — х2/) = — 2со82/ (Х{ — X2i) — t(X{— X2i).
Из последних уравнений с учетом 81 = —е2 после преобразова¬
ний, отбрасывая мнимые части, находим:
(е2 + Ф|) х, = - a, - 2(ое2А2, J
(82 + Ф11)х2 = 2сое2А1-/Л2. J
2.12] ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В СИСТЕМЕ «ЗЕМЛЯ — ЛУНА» 263
Из уравнений (2.279Ь) также можно получить:
(е2 + Ф5)I (е2 + Фч) = 4и2е2 + fi. (2.292)
Используя соотношения (2.291) и соотношения (2.292),
можно получить:
(е2 + Ф^) (и,Я,, + х2Я2) = — t (Я2 + Я2), |
(е2 + Ф.)(к,Я2- х2Я,) = - 2сое2(Я2 + Я2), j (2.293)
(е2 + Ф|)(>с2 + х2) = (е2 + Ф11)(Л2 + Я2). j
Теперь можно получить уравнение орбиты частицы относи¬
тельно центра периодического движения, определяя %' и т)' в
выражениях (2.290) через коэффициенты кг, Яь Яг, которые
не зависят от времени:
(Я2 + Я2) Г2 + (И7 + «D Г]'2 - 2IY (х,Я, + И2Я2) = 4 (х,Я2 - и2Я,)2.
Разделив на (Я2 + Я§)и использовав соотношения (2.293), запи¬
шем следующие выражения для коэффициентов уравнения:
4 (К]Я[ х2Я2)2 16со28~ (я2 -f- Я0
Я2 + Я2 (s2 + ФЛ2
Л*.
Я2+Я2 е2 + Ф£ ’
1Я j Н- К2^2
Я1+Я2 е2 + ^ *
Таким образом, получаем следующее уравнение орбиты ча-
ститты:
(е2 + Ф6) Г2 + (е2 + Ф,) г,'2 + 2Фа'п' = -^Г ^ (2‘294)
Из уравнений (2.281) и (2.282) видно, что орбитой частицы
около любой точки либрации является эллипс^ В частности, для
коллинеарных точек Ф^ = 0, что свидетельствует о том, что
о*Дна из осей эллипса совпадает с осью £', то есть с осью «Зем¬
ля^—^1уна».
ТГрй“'р^смотрении орбит около эквидистантных точек либ¬
рации, чтобы совместить оси £' и г\' с осями эллипса, необхо¬
димо повернуть систему координат относительно системы
координат на угол 6. При этом имеем:
|/ = gcos6 — г] sin 6, |
264 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ 2
что с учетом уравнений (2.282) приводит к равенству
20fcv, 1 — га* .—
tg 26 = -—=3- = ± V3, (2.296)
s Ф| — Ф^ 1 +т* ’
где положительный знак относится к точке L4.
Поскольку т*<0,04, то (1—т*) /(1 +m*) « 1, к, следова¬
тельно, оси эллипсов около эквидистантных точек либрации по¬
вернуты относительно осей g, ц на ±30°. Это означает, что одна
Рис. 2.58. Схематическое представление
периодических движений около точек либра¬
ции в ограниченной задаче трех тел.
из осей (малая ось) направлена на главное тело М системы
(рис. 2.58). Для величин полуосей этих эллипсов можно полу¬
чить следующие выражения:
A2cos 26
а2 = -
Ь2 = -,
(i>£ + е2) cos2 6 + (Ф^ + е2) sin2 6
A2 cos 26
(Ф^ + е2) cos2 6 — (Ф^ + е2) sin2 6
(2.297)
По этим выражениям легко вычислить а и Ь. Поскольку т* <
<10,04, то можно использовать приближенные выражения для
2.12] ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В СИСТЕМЕ «ЗЕМЛЯ — ЛУНА» 265
тригонометрических функций:
cos26 = y'+|-m*, sin 26 = 5,25m*,
cos2 б = -j + J- m*, sin2 6 = j — ~ m*.
(2.298)
Аналогично можно принять:
+m*) И = + "**).
Поскольку уравнение (2.292) имеет два корня, то имеют
место два случая [см. выражения (2.286)]. Вследствие малости
т*, пренебрегая членами, содержащими малые выше первого
порядка, получаем:
Группа 1: е2 = 6,75 т*.
В данном случае
А2= 144 т*(А? + /ф,
а = 16 (Я? + а|), b2 = 48т* (А, + АI),
откуда
-^- = КЗт\ (2.299)
Таким образом, для точек L4 и L5 отношение величин полуосей
эллипса является функцией т\ Максимально возможное значе-
ние этого отношения Ыа = У3 * 0.04 = 0.346. я минимальное
равно нулю для т* = 0. Т5"этом случае либо Ь = 0 (движение
отсутствует), либо а = оо.
Группа 2: е2=1—5,75т*.
В данном случае
2 = ^4 _ 848 J48 / _ 848 .\
Л 7 49 49 \ 448 J ’
откуда
(2.300)
В данном случае форма эллипса не зависит от т* и эллипс
имеет конечные размеры даже при т*->- 0.
Используя равенство е = V\ — b2ja2, получим выражение для
эксцентриситета: в первом случае е = V\ — 3т*у во втором е =
= 0,866. Таким образом, эллипсы около точек либрации L4 и L5
всегда являются очень вытянутыми.
266 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
Если одну из эквидистантных точек либрации принять за
начало системы координат, вращающейся вместе с системой
так, что ось g" всегда параллельна оси g, а ось г\" параллельна
оси г], и если координатами точки пересечения эллипса с осью
g" являются координаты (g", о) (см- Рис- 2.58), то из уравне¬
ний (2.292) и (2.294) для g/B=g" и rj' = 0 получим:
16сое2 (Я? + AD = (Ф| + е2)2 if. (2.301)
Отсюда
2 2 11
для группы 1: Ki + Я2 = Ь ,
2 2 49 //^
для группы 2: %\ + X2 = -^li ,
так что для величин полуосей эллипса получим:
группа 1: а2=-^£''*, b2 = \lf, (2.302а)
группа 2: a2 = |g"2, b2 = ^lf. (2.302b)
Для периода обращения 0 частицы по эллиптической орбите
около одной из эквидистантных точек либрации находим:
0 = -^ = -%= (2.303)
где VI + т* = со — угловая скорость вращения оси g; т — период
вращения оси g (оси «Земля — Луна»). В соответствии с двумя
решениями для этих точек имеем следующие значения перио¬
дов для двух типов эллипсов:
1 + га* т т
группа 1: 04 5 = т Т/ - г
' V 6,75т* У 6,75т* е
группа 2: 0^5 = т ~ т (1 + 3,375т*).
(2.304)
Уравнение орбиты около коллинеарных точек либрации
можно получить из уравнения (2.294), полагая в" данном слу¬
чае (1)^ = 0. Величины полуосей этих эллипсов можно найти из
уравнения (2.292):
16<в*е* .(я,2+А|),
(Ф| + е2)2
Ь2 = — (Я2+Я|).
(Ф|+е2)(ФГ1 + е2) V 1 2>
(2.305)
2.13]
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
267
Сравнение Ф* и в уравнениях (2.281) показывает, что
ф£>ф1Г Следовательно, b в данном случае является большой
полуосью. Изменяя "обозначения так, чтобы а обозначало боль¬
шую полуось, а b — малую, и исключая (^+А|) с помощью
уравнения (2.301), получаем:
Ь2 = %\
, (*g+ey^ V в* 2
4ш2е2 Фч + е2 5г ’
62 Ф„ + е2
(2.306)
а2 Ф| + е2
где е является функцией у, то есть зависит от /я*. Для заданной
величины /я* (то есть для заданной системы трех тел) Ф^ и Ф^
являются постоянными. Поэтому отношение £>2/а2, а следова¬
тельно, и эксцентриситет эллипсов около коллинеарных точек
имеют постоянные значения для всех орбит в данной системе
тел (1+/л*).
Период обращения около коллинеарных точек определяется
по соотношению (2.303), гдее = К| — у|2. В таблице 2.9 приведены
величины у2 для системы «Земля — Луна».
Заметим, что движение частицы около всех точек либрации
происходит в сторону, противоположную Вращению системы.
Если смотреть с северного полюса эклиптики, система «земля—
Луна» вращается против хода часовой стрелки, а движение ча¬
стицы происходит по ходу часовой стрелки. Результаты вычис¬
лений орбит по приведенным выше уравнениям для системы
«Земля — Луна» будут даны в § £.14.
2.13. Общий случай плоского движения
в ограниченной задаче трех тел
В предыдущем параграфе мы рассмотрели периодические
движения частицы около точек либрации, впервые исследован¬
ные Хиллом, Дарвином, Пуанкаре, Пламмером, Шарлье и дру¬
гими. Перейдем к изучению общих характеристик движения в
ограниченной задаче трех тел.
Интегрирование уравнений (2.263) приводит к_ интегралу
Якоби [см. формулу (1.6.78)]
|2 + г)2 = и2 = 2Ф-С, (2.307)
где С — постоянная Якоби. Интеграл Якоби выражает закон
сохранения энергии при движении относительно барицентра.
268
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[гл. 2
Это уравнение играет важную роль в изучении траектории ча¬
стицы в изолированной системе трех тел, так как оно опреде¬
ляет траекторию постоянной энергии.
Для реальной траектории необходимо, чтобы всегда соблю¬
далось условие 2Ф>'С. Поэтому особое значение приобретают
траектории, определяющие линии нулевых относительных ско¬
ростей:
2Ф = С = г2 + -| + т*(р2 + -|), (2.308)
так как они характеризуют области возможного движения. Эти
кривые, впервые введенные Хиллом, называются граничными
кривыми Хилла. При заданной величине /л* форма граничных
кривых зависит только от величины С. Эта величина может ме¬
няться, но не может стать меньше определенного положитель¬
ного минимума, отвечающего условию
дФ _ дФ _ q
~д7~~др ~ ’
которое относится к случаю г = р [см. уравнение (2.269)] и опре¬
деляет эквидистантные точки либрации L4 и L5. Для этих точек,
в соответствии с соотношениями (2.271), имеют место равенства
r = р = 1, откуда следует, что
Ст\п = 3(1+ т*). (2.309)
При С = Cmin граничные кривые стягиваются в точки L4 и Ьь
(рис. 2.59).
Для очень больших значений С уравнение (2.308) удовле¬
творяется либо при очень малых г или р, либо если сумма
r2 + m*p2 становится очень большой. Соответственно существуют
три граничные кривые (рис. 2.59): одна вокруг тела М, другая
вокруг тела т и третья, окружающая оба тела. Соответствую¬
щими значениями С являются:
С = —
° а г у
Г - 2т*
С/, - —
Сс = г2+тУ.
(2.310)
С уменьшением С линейные размеры кривых Са и Сь увели¬
чиваются, а кривой Сс — уменьшаются. Для определенного зна¬
чения С кривые Са и Сь касаются друг друга и образуют фи¬
гуру лемнискаты (рис. 2.59). Одной из координат точки каса¬
ния является координата г) = 0, а другая координата должна
2.13]
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
269
удовлетворять уравнению дФ/дх = 0, или уравнению
дФ 1 , аФ l + s2 0
дг г ар р ’
(2.311)
или уравнению
ао _ аФ
дг ар ’
(2.312)
так как в данном случае g — Si = r, £ + $2 = р и r= 1—р. Эти
С очень большое
С3<С<С2
Рис. 2.59. Граничные кривые Хилла для определенных значений по¬
стоянной Якоби (области возможного движения заштрихованы).
условия выполняются для точки L\. При дальнейшем уменьше¬
нии С лемниската становится все более овальной и при С = С2
(рис. 2.59) охватывает обе точки системы. При этом т] = 0,
а г = 1 -J-р и уравнение (2.311) упрощается и принимает вид
аФ аФ
4т=-*Г- (2.313)
Это условие выполняется для точки L2. При дальнейшем умень¬
шении С контур, ограничивающий область возможных движений
270
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
около точки L2, оказывается открытым и приобретает форму
подковы (рис. 2.59). Наконец, при С=С3 остается лишь одна
точка касания L3. В этом случае г] = 0, г = р=1 и дФ/дг =
=—дф/др. Эти условия выполняются для точки L3. При даль¬
нейшем уменьшении С области, ограниченные кривыми, стяги¬
ваются к точкам L4 и L5, обращаясь в эти точки при C=Cmin.
, Значения С, соответствующие случаям Сь С2 и С3, можно
вычислить по равенствам (3.308) с помощью второго уравнения
(2.274) и уравнений (2.275) —(2.277).
Рис. 2.60. Основные граничные кривые для случаев М = т и М > т.
Общий вид основных граничных кривых Сь С2 и С3, отно¬
сящихся к пяти точкам либрации, для случаев tn* = l (М = т)
и т<М показан на рис. 2.60. Для г и р имеем следующие вы¬
ражения во вращающейся системе координат:
где обозначения и единицы совпадают с введенными в § 2.12.
Вычисление координат £ и г) для кривой с заданной величи¬
ной С является достаточно трудоемкой операцией. Метод вы¬
числения был предложен Мультоном [12]. Этот метод базируется
на том, что кривые, описываемые первыми двумя уравнениями
(2.310), приближенно можно считать окружностями. Кривая,
описываемая третьим уравнением, имеет овальную форму.
Oi
Сз
С2
4
Ct
С2
С,
£
4з
М = /77
М > т
г2 = (I - s,)2 + Т!2 = (| - 2 + г,2,
1 + т*
(2.314)
р2 = (| + s2)2 + п2 = (| + )2 + II2;
(2.315)
(2.316)
2.13] ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 271
Каждому значению С соответствует своя орбита частицы
около каждой из точек либрации. По аналогии с выражением
(2.307) постоянную Якоби можно выразить через координаты
Ш+Ш-ХФ-С' <2-317>
где t=d2Ф/д^дц. Из уравнений (2.290) можно получить:
-±- = - 2%,е2 sin e2t + 2х2е2 cos e2t, j
dn' <2'318)<
-jj- = — 2X{e2 sin е2/ + 2A2e2 cos e2t, j
где /=0 для точек Lb L2, L3. С учетом уравнений (2.266) полу¬
чим следующую зависимость Ф от £' и ц' (координат частицы
относительно данного центра периодического движения):
2Ф-2Фьр4-^6» + -^л» + 2^+ .... (2.319)
где Фьр есть значение Ф в рассматриваемой точке либрации.
Выразив С через и х\" и выбрав опять точку так,
чтобы т\" = т\" = 0, получим следующее уравнение для С:
{If ~ + (If + «‘Ш («! - С" - ^ ’ (2'320)
где д2Ф/д£дг] = 0. Следовательно, для коллинеарных центров
По определению, положение точек либрации во вращаю¬
щейся системе координат является фиксированным. Следова¬
тельно, для точек либрации уравнение (2.307) обращается в ра¬
венство Сьр = 2Фьр. Поэтому будем иметь:
с* - cLp+{^ [|£.+(|£+ef\} aw. (2.321 >
Для точек U и U выражение для константы С принимает
вид:
группа 1: С" = 2ФЬр + -j|-(£")2> (2.322а)
группа 2: С" = 2ФЬр — -^г(£")2. (2.322Ь)
Отсюда легко заметить, что С">2Фьр принадлежит к ранее
определенным эллипсам группы 1 [см. соотношение (2.299)],
а С"<2Фьр— к орбитам группы 2 [см. соотношение (2.300)].
272
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
2.14. Численные результаты для системы «Земля—Луна»
При выполнении операций в долунном пространстве опре¬
деленный интерес представляют величины постоянных Якоби и
параметры орбит периодических движений около точек либра¬
ции в системе «Земля — Луна».
Основными данными системы являются:
т« 1
т* = —^ = -— = 0,01227,
га@ 81,5
£) = 60,267г00 = 221,2р00 = 384 400 км,
радиус Земли г00 = 6371 км,
радиус Луны р00 = 1738 км,
К® = 3,9858 • 105 кмг1сек2,
К([ = 4,89 • 103 кмг/сек2.
Величина у2 Для коллинеарных точек либрации вычисляется
по уравнению (2.283), а для эквидистантных — по уравнениям
(2.286). Результаты вычислений сведены в таблицу 2.9. В таб¬
лице 2.10 приведены критические значения постоянных Якоби
С1, С2, С3 и С4> 5, отвечающие точкам либрации. Соответствую¬
щие расстояния от Земли и от Луны (/' и р), отнесенные к вели¬
чине D расстояния между Луной и Землей, вычислены по равен¬
ствам (2.271) и по соотношениям (2.275) — (2.277); величина С2
вычислена по соотношению (2.308). В этом случае С имеет раз¬
мерность D2/ceK2, так как расстояние D, масса Земли тф и по¬
стоянная Гаусса £2, а следовательно, и гравитационный пара¬
метр K®=k2m® оказываются равными единице.
Таблица 2.9
Величина у2 для системы «Земля — Луна» *)
Точки
либрации
С1
Ьг
Ьь
Ьь
У2
+ 9,54913
-5,94087
+ 4,36863
-3,18817
« 0
-1,0335
-0,0886
-1,0886
*) Для точек Lu L2, L3 — по уравнению (2.283), для точек L4 и Ьъ—
по уравнениям (2.286).
Период вращения оси «Земля — Луна» равен: т = 2я/Гг 1 + т* =
= 6,25. Разделив т на Vk®IDs = 2,652 • 10~6 сек"1, получим ве¬
личину периода вращения в секундах: 7 = 2,36 • 106 сек, что со-
2.14] ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ «ЗЕМЛЯ — ЛУНА» 273
ставляет примерно 27,3 сут. Соответствующее значение со равно
0,233 рад/сут, или 2,662 • 10-6 рад/сек,
, Таблица 2.10
Критические значения постоянных Якоби для системы «Земля — Луна»
Точки либрации
^2
1з
L4, 5
r/D
0,8551
1,1682
0,9929
1,0
Р ID
0,1449
0,1682
1,9929
1,0
( Э2/сек2
3,2412
3,2232
3,0602
3,0368
^ \ км2/сек2
3,360
3,341
3,174
3,149
v, км/сек *)
10,258
10,529
10,537
10,538
*) Для орбитального старта с круговой орбиты высотой 600 км над
Землей при расположении начальной точки на оси «Земля — Луна» на про¬
тивоположной стороне от цели.
Чтобы получить постоянные Якоби в (км/сек)2, необходимо
найденные выше значения констант умножить на /Сф/^О = 1,036.
Полученные таким образом численные значения постоянных Яко¬
би будут весьма близки к ранее вычисленным. В дополнение
можно заметить, что численные значения постоянных Якоби для
различных точек либрации мало отличаются друг от друга, что
указывает на малое отличие в полной энергии между этими
точками, сотого следовалб ожидать, так как все точки находятся
на значительном расстоянии от Земли, где градиент силы при¬
тяжения очень мал. К тому же эти точки относительно далеко
расположены и от Луны.
В последней строке таблицы 2.10 приведены величины ско¬
ростей, необходимых для достижения соответствующих точек
при орбитальном старте космического аппарата с круговой ор¬
биты высотой 600 км. При этом предполагается, что в момент
начала движения космический аппарат находится на диамет¬
рально противоположной стороне по отношению к рассматри¬
ваемой точке цели. Например, для точки L\ или точки L2 имеем:
г = 6971 км, 50=4650 км, £ = г + s®= 11 621 км,
т] = 0 и р = D + Гоо -Ь г = 397 742 км.
Необходимая величина скорости в этой точке следует из
Уравнений (2.264):
= ТТт* + ю2^2 + ^ + 2 {^Г +if) - С- <2-323а)
18 К- Эрике, т. II
274
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Траектории в долунном пространстве обладают большой чув¬
ствительностью к отклонениям в начальной скорости.
В таблице 2.11 приведены характеристики периодических
орбит около точек либрации.
Таблица 2.11
Характеристики семейства периодических орбит около точек либрации
в системе «Земля — Луна»
Точки
либрации
Lx
и
и
La
1ь
д2Ф/д~12
11,2711
7,4220
3,05859
0,7592
0,7592
д2Ф/дг\2
-4,62171
-2,19272
-0,01089
| 2,2776
2,2776
д2Ф/д1 дч
0
0
0
-1,2831
1,2831
е2
5,94087
3,1887
1,03348
0,08282
0,92945
Ь/а
0,2768
0,306
0,49989
0,19186
0,5
е
0,9608
0,9518
0,866
0,98142
0,866
0/т (в оборо¬
тах оси |)
0,41279
0,56348
0,98969
3,49602
1,0436
©0, град
148,60
202,85
356,288
3 • 360° + 178°,57
1 • 360° + 15°,7
0, сут
11,269
15,383
27,018
95,44
28,49
Движение частицы около любой коллинеарной тонки либра¬
ции является неистойчивым. .то есть под действием возмущения
(например, Солнца или отклонения в тяге, если речь идет о
космическом аппарате, и т. п.) частица будет совершать коле-
бания вдоль оси | со все возрастающей амплитудой, постепенно
удаляясь от точки "либрации. Наибольшая"'неустойчивость дви¬
жения имеет место около точки либрации Lx — единственной
точки либрации в долунном пространстве. Наоборот, движение
частицы около любой эквидистантной точки либраттии ялляртря
устойчивым, то есть частица даже после воздействия возмуще¬
ния продолжает оставаться вблизи точкилибржши. В солнеч¬
ной системе обе эквидистантные точки либрации системы
«Солнце — Юпитер» заняты астероидами Троянской группы.
Некоторые из их орбит имеют значительные амплитуды коле¬
баний. Точки L4 и L5 в системе «Земля — Луна» представляют
интерес с точки зрения выведения в них специальных спутни¬
2.14] ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ «ЗЕМЛЯ — ЛУНА» 275
ков-ретрансляторов для обеспечения слежения, за космическими
кораблями при межпланетных полетах.
Приведенная в таблицей.И величина 0/т представляет со¬
бой период обращения частицы около точки либрации, выра¬
женный в периодах обращения оси g (звездный период обра¬
щения системы «Земля — Луна»), а величина со0 является угло¬
вым поворотом оси g за период 0.
Около каждой из коллинеарных точек либрации можно рас¬
положить лишь одну орбиту первой группы. Постоянная Якоби
10
-
1 1 1 1 1 ““Г 1 ‘
^ е45 (первая г,
пуппр
— 1 Г“
)
(f)j ' е7 '
ьч 7
08
-
~Г е* ч\
0,8
в, 0/т
0,4
е4 5 (вторая /
' группа)^'
(в/г)2
0,2
п
777Q,
ч Щ X
/77© 7770
—1 1 1 1 1 1
..-I
si#
/
т>7
777ф
1 1 1
д LJ I I I | | | I | и I - I I
1П~7 'w~B w5 W4 J0'3 itr1 10'1 1
Рис. 2.61. Изменение эксцентриситета орбит около всех точек либра¬
ции и изменение величины 0/т для коллинеарных точек либрации
в функции га*.
С" [см. уравнение (2.317)] этой орбиты всегда меньше, чем зна¬
чение Clp для_соответствующей точки либрации (табл. 2.10),
так как д2Ф/д1 дг] = 0. С уменьшением т* величина большой
полуоси уменьшается, а величина малой полуоси остается по¬
стоянной. Поэтому при уменьшении т* эксцентриситет этих ор¬
бит уменьшается.
Около эквидистантных точек всегда (при т*<0,04) можно
расположить две орбиты: одну первой группы [см. уравнения
(2.302а), (2.322а)] с большим эксцентриситетом, который уве¬
личивается с ростом т*, другую — второй группы [см. урав¬
нения (2.302b), (2.322Ь)] с несколько меньшим эксцентрисите¬
том и слегка большим периодом вращения оси g, который
18*
276
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
уменьшается с уменьшением т*, приближаясь к периоду враще¬
ния оси £ при т*0. Как следует из уравнений (2.322), посто¬
янная Якоби первой группы С" = CLP + [3(|")2/16], а для второй
группы С" = CLP - [7
На рис. 2.61 приведены графики изменения эксцентриситета
орбит частицы около точек либрации и изменения величины
Рис. 2.62. Изменение величины 0/т для орбит первой группы около
эквидистантных точек либрации в зависимости от т*.
в/т в широком диапазоне- изменения величины т*. На рис. 2.62
приведен график изменения величины 0/т для орбит первой
группы около точек либрации L4 и L5 в зависимости от т*.
2.15 Общее рассмотрение механики полета
в долунном пространстве
Слово «долунный» *) в буквальном смысле означает «по эту
сторону Луны». Оно будет использоваться здесь применительно
к пространству, расположенному вне непосредственной близо¬
сти к Земле (околоземное пространство) и включающему в себя
орбиты, апогеи которых могут почти достигать лунной орбиты.
Орбиты в долунном пространстве определяются гравитацион¬
ными силами, действующими в долунном пространстве.
Определить четкую границу между околоземным и долунным
пространствами не представляется возможным, поскольку опре¬
*) В тексте оригинала «cislunar». (Прим. перев.)
2.15]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА В ДОЛУННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
277
деление этой границы в сильной степени зависит от требований,
предъявляемых к конкретным орбитам космических аппаратов.
На расстоянии примерно двух земных радиусов от центра Земли
(на высоте около 6370 км) космический аппарат, по существу,
не испытывает влияния земной атмосферы и электрического
поля Земли. Ускорение силы притяжения Луны на поверхности
Земли составляет 3 -10-6 g00. На расстоянии 2г00 отношение
ускорения силы притяжения Луны к местному ускорению силы
притяжения Земли составляет 1,53-10-5, то есть очень мало
(хотя и в пять раз больше, чем на поверхности Земли). По¬
этому орбиты спутников на таком удалении от Земли в ничтож¬
ной степени подвержены возмущениям со стороны Луны. Кине¬
тическую энергию, необходимую для ухода единичной массы
из данной точки в бесконечность, можно вычислить по следую¬
щей формуле:
На оси «Земля — Луна» на расстоянии
сила притяжения Земли уравновешивается силой притяжения
Луны. Эта точка, часто называемая нейтральной точкой, не
имеет практического значения в астронавтике, хотя она и дает
некоторое представление о районе долунного пространства, где
результирующее гравитационное поле крайне слабое.
При рассмотрении механики полета в долунном простран¬
стве можно различить следующие случаи:
а) учет только притяжения Земли,
б) учет притяжения Земли и Луны,
в) учет вековых возмущений долунных орбит с длительным
временем существования.
Первый случай является самым простым. При этом в до¬
статочно широкой области долунного пространства на радиаль¬
ных удалениях, не превышающих 45 земных радиусов, этот под¬
ход дает весьма хорошее приближение к реальным траекториям.
Этот подход можно использовать для разработки технических
требований при проектировании.
На рис. 2.63—2.66 приведены некоторые характеристики кру¬
говых и эллиптических (с различными апогейными расстояния¬
ми) орбит спутников Земли в долунном пространстве. Расстоя¬
ния даны в единицах земного радиуса г00. Расчеты проводились в
278
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
(ГЛ 2
предположении, что перигейная точка каждой орбиты, находя¬
щаяся на высоте 556 км, совпадает с концом активного участка
траектории вывода. Круговая скорость на этой высоте состав¬
ляет 7590 м/сек. Верхняя пунктирная линия на рис. 2.64 соответ¬
ствует значениям перигейной скорости, необходимой для вывода
Рис. 2.Q3. Величина круговой скорости и требования к межорби-
тальному переходу в околоземном пространстве с круговой орбиты
высотой у{ = 130 км (425 ООО фут).
космического аппарата на эллиптическую орбиту с апогейным
расстоянием, характеризуемым отношением г/г00, величина кото¬
рого отложена по оси абсцисс. График соответствующей вели¬
чины апогейной скорости приведен пунктирной линией в нижней
части рисунка.
Рассмотрение совместного притяжения Земли и Луны яв¬
ляется более сложной задачей. Покажем, как можно сравнить
графики зависимости скорости от расстояния, приведенные на
рис. 2.64, с аналогичными графиками, полученными с учетом
совместного притяжения Земли и Луны. Такое сравнение, осно¬
ванное на законе сохранения энергии, является достаточно про¬
2.15]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА В ДОЛУННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
279
стым, если рассматривать лишь величины скоростей и принять,
что отклонения от перврначальной орбиты пренебрежимо малы
и, наконец, что большая ось орбиты все время совпадает с
осью «Земля — Луна». В этом случае достаточно просто про¬
демонстрировать влияние лунного притяжения. Если известна
величина перигейной скорости V{ (принимаемая за начальную)
Расстояние от центра Земли г/г00
Рис. 2.64. Связь между величиной скорости и радиальным расстоянием
для геоцентрических орбит.
Vp — перигейная скорость; уд — апогейная скорость; гд — апогейное расстояние; rQ0 — ра¬
диус Земли.
на радиальном расстоянии от Земли и радиальном расстоя¬
нии рг- от Луны, то, согласно закону сохранения энергии, вели¬
чина скорости v в произвольной точке, отстоящей от Земли и
Луны соответственно на г и р, может быть определена из сле¬
дующего выражения:
<2-323ь)
Для эллиптических орбит имеем следующую связь между
истинной аномалией и радиальным расстоянием:
280
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
где для параболы е=\. Далее, если расстояние между Землей
и Луной обозначить через D, то для радиального расстояния р
получим:
р = Vг2+D2- 2rD cos (180° - т|)-
Истинная аномалия отсчитывается от перигейной точки в на¬
правлении полета. На рис. 2.67 приведены сравнительные ре¬
зультаты. Сплошные линии идентичны линиям графика на
Расстояние от центра Земли г/г00
Рис. 2.65. Связь между временем полета и радиальным расстоя¬
нием для геоцентрических орбит.
гЛ4 — апогейное расстояние, г00 — радиус Земли.
рис. 2.64, а пунктирные линии соответствуют результатам, полу¬
ченным по уравнению (2.323Ь). Даже при гА/г00 = 30 орбита до¬
статочно удалена от Луны, чтобы испытывать большие возму¬
щения от силы притяжения Луны. Апогейная точка орбиты при
Га/г оо = 60 оказывается расположенной на 762 км ближе к Земле,
чем центр Луны, то есть апогей этой орбиты оказывается вну¬
три тела Луны. Этим объясняется особо сильное влияние силы
притяжения Луны для этой орбиты.
Для более протяженных эллиптических орбит и параболиче¬
ской орбиты радиальное расстояние от космического аппарата
до Луны после пересечения аппаратом лунной орбиты быстро
увеличивается вследствие принятого допущения о совпадении
большой оси переходной орбиты с осью «Земля — Луна». Этим
изменением радиального расстояния от Луны и объясняется
2.15]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА В ДОЛУННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
281
(рис. 2.68) уменьшение силы притяжения Луны для орбит с от¬
ношением гА/г0о>60. Графики скорости для параболической
орбиты (например, для пролета космического аппарата вблизи
Луны) оказываются подобными графикам скорости для эллип¬
тической орбиты с ГА/Гоо = 60.
Время полета t (часы)
Время полета t (часы)
I I 1 1 j 1
0 2 4 6 8 10
Время полета t (сутки)
Рис. 2.66. Связь между скоростью и временем полета для геоцентри¬
ческих орбит.
гА — апогейное расстояние, гоо — радиус Земли.
Отдельное изучение изменения направления результирую¬
щего вектора силы притяжения при совместном учете сил при¬
тяжения Земли и Луны также является достаточно простым.
Это можно сделать, определяя мгновенные положения кажуще¬
гося центра притяжения (ЦП). При движении космического
аппарата от перигея к апогею по заданной орбите точка ЦП
колеблется между центром Земли и максимально удаленной от
Центра Земли точкой своего местоположения. Точка ЦП всегда
лежит на оси «Земля — Луна», так как пренебрежимо малая
282
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. э
масса космического аппарата не может вызвать ее смещения
с этой линии.
Положение ЦП, соответствующее точке С, легко определить
[15], используя схему, приведенную на рис. 2.69. Пусть буквами
Расстояние от центра Земли г/r0Q
Рис. 2.67. Связь между скоростью и радиальным расстоянием
для долунных орбит.
Е, М и В соответственно обозначены Земля, Луна и спутник,
движущийся по заданной орбите. Спутник испытывает ускоре¬
ния ае в направлении Земли и ат в направлении Луны. Резуль¬
тирующая сила притяжения ате, действующая на единичную
массу, направлена в мгновенное положение С кажущегося цен¬
тра притяжения ЦП на оси «Земля — Луна». Используя обо-
МЕХАНИКА ПОЛЕТА В ДОЛУННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
283
значения, приведенные на рис. 2.69, можно найти: d/r = sin p/sin у,
am/ae=sin p/sin 6, (D — d)/p = sin 6/sin(180° — y) =sin 6/sin y-
Таким образом, можно получить: d/r = (am/ac)[(D — d)/p].
Расстояние от центра Земли r/q0
Рис. 2.68. Изменение радиального расстояния
от центра Луны до точек орбит спутника Земли,
большие оси которых проходят через центр Луны.
Учитывая, что ае = К®/г2 и am = K<ilр2, для определения положе¬
ния ЦП окончательно получаем:
D 1 (2.325)
1 +
5* (*_)*'
кА г J
284
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Таким образом, в результате возмущающей силы притяже¬
ния Луны на единичную массу действуют радиальная сила (ра¬
диальное ускорение)
К гг ( D sin г] \
ar = ат cos е = - cos ^arctg J (2.326)
и трансверсальное ускорение
Кгг ( D sin ri \
aa = -^sin(arctg-Tbcosr)j. (2.327)
В более общем случае, когда ось «Земля — Луна» образует
с большой осью орбиты спутника угол Ф, в равенства (2.326)
и (2.327) вместо истинной аномалии г\ необходимо подставить
величину (г| — Ф).
Найденные выше две компоненты ускорения определяют ве¬
личины возмущений орбиты спутника Земли Луной (или, на¬
оборот, величины возмущений спутника Луны Землей). Если
точка С расположена очень близко к точке Е, то возмущение
орбиты Луной будет малым и совсем исчезнет при совпадении
точки С с точкой Е. Поэтому по смещению ЦП для данной
орбиты можно судить о величине ошибки, возникающей в ре¬
зультате пренебрежения притяжением Луны. На рис. 2.70 приве¬
дены смещения ЦП для параболической (гА/гоо = °°) и некото¬
рых эллиптических орбит в диапазоне 60 гА/г00 100, полу¬
ченные в предположении, что большая ось переходной орбиты
совпадает с осью «Земля — Луна».
Расчеты показывают, что даже для эллиптической орбиты
с отношением гА/г00 = 30 максимальное смещение точки ЦП от
центра Земли составляет 1,18-10_2Z), или около 0,71г0о, то есть
точка ЦП продолжает оставаться в теле Земли. Естественно,
что подобное смещение ЦП нельзя считать пренебрежимо ма¬
лым в случае орбит с продолжительным временем существо¬
вания. Однако для переходных орбит этим эффектом можно
пренебречь.
По графикам, приведенным на рис. 2.70, можно сделать вы¬
вод, что при предварительных расчетах переходных орбит при
г<25г0о притяжением Луны можно пренебречь. Далее, начи¬
ная с г = 25г0о, необходимо учитывать возмущающее действие
силы притяжения Луны, используя метод оскулирующих эле¬
ментов. При возвращении космического аппарата после его про¬
хождения радиального расстояния г = 25г0о вновь можно не учи¬
тывать возмущающего действия силы притяжения Луны, ис¬
пользуя для дальнейшего расчета оскулирующие элементы в
точке г = 25г00,
2.15]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА В ДОЛУННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
285
При г^25г0о необходимо учитывать и величину и направле¬
ние возмущающей силы, что является более сложной задачей,
чем раздельный учет величины и направления возмущающей
силы, как было сделано нами раньше. Поскольку время дви¬
жения по переходной орбите обычно сравнительно невелико, то
для учета возмущающих сил можно использовать методы чис¬
ленного интегрирования.
Для долунных орбит с длительным временем существования
[случай (в)] можно также использовать методы численного ин¬
тегрирования. Но в этом случае результаты будут охватывать
лишь интервалы времени, для которых проводились расчеты,
если только не выявится периодичность изменения параметров
орбиты, позволяющая экстраполировать полученные результаты
за пределы рассчитанного интервала времени.
286
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Если орбита спутника удалена на достаточно большое рас¬
стояние и от Земли и от Луны, то может возникнуть необходи¬
мость в исследовании устойчивости орбиты спутника. Если ор¬
бита спутника продолжает сколь угодно долго оставаться около
своего центрального тела, то ее называют устойчивой. Спутник,
движущийся по орбите, энергия которой близка к предельной
для данного гравитационного поля, под воздействием возму¬
щающих сил рано или поздно покинет центральное поле. Ор¬
биты подобных спутников называются неустойчивыми. Орбиты
Рис. 2.70. Смещение кажущегося центра притяжения (ЦП) для парабо¬
лической и эллиптических орбит с Гд/г00 = 60, 70 и 100.
частицы около коллинеарных точек либрации являются неустой¬
чивыми, то есть если частица приблизится к одной из этих точек
с соответствующей скоростью, то она совершит не более не¬
скольких оборотов. Действительно, Абхианкар 1) рассчитал, что
около точки L2 или L3 частица сделает не более двух оборотов.
Неустойчивые орбиты могут иметь место также и около тел с
конечными массами. Если орбита спутника расположена до¬
статочно далеко от планеты, то в результате действия давления
солнечного излучения спутник может покинуть центральное тело.
Внешние спутники Юпитера, движущиеся по обратным орби¬
там, не будут вечно спутникам^ Юпитера. Условия устойчи¬
вости орбит около тел конечной массы будут рассмотрены в
§ 2.17 и § 2.18. В следующем параграфе приведены примеры
долунных орбит.
*) К. D. Abhyankar, Stability of Straight-line Solutions in the Restric¬
ted Problem of Three Bodies, Astron. J., vol. 64 (6), p. 163 (June 1959).
ДОЛУННЫЕ ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
287
2.16 Долунные орбиты спутников
В предыдущих параграфах было показано, что с увеличе¬
нием расстояния возмущающий потенциал Земли, а с ним и
два его главных возмущающих влияния на орбиту спутника
(прецессия орбиты и вращение линии апсид) быстро убывают.
Два других возмущающих воздействия, обычно пренебре¬
жимо малые вблизи Земли, с удалением от Земли начинают
приобретать важную роль. Этими возмущениями являются сила
притяжения Луны и, в меньшей степени, возмущающее действие
гравитационного момента поля притяжения Солнца.
Образование солнечного гравитационного момента происхо¬
дит следующим образом. Спутник, как составная часть гео¬
центрической системы, участвует в свободном движении вокруг
Солнца со скоростью, которая является функцией расстояния
от Солнца. До тех пор, пока спутник движется вблизи геоцен¬
трического барицентра, скорость его свободного движения отно¬
сительно Солнца равна скорости барицентра. С увеличением
геоцентрического радиуса орбиты увеличивается максимальная
разность радиальных расстояний спутника от Солнца. В точках,
соответствующих максимальному и минимальному радиальным
расстояниям спутника от Солнца, разность в ускорениях силы
притяжения Солнца, испытываемых спутником и барицентром,
достигает максимума. Эта разность и приводит к образованию
гравитационного момента, заставляющего спутник переме¬
щаться относительно барицентра1). Это движение наклады¬
вается на собственное движение спутника относительно бари¬
центра в изолированной системе «Земля — Луна». Расстояние
системы «Земля — Луна» от Солнца настолько велико, что из¬
менение силы притяжения Солнца в зависимости от изменения
расстояния чрезвычайно мало, следовательно, и гравитацион¬
ный момент также сравнительно мал. Поэтому влиянием сол¬
нечного гравитационного момента на скорость спутника на рас¬
стояниях от Земли до 10г0о можно всегда пренебречь. Даже на
больших удалениях этот момент остается достаточно малым, но
в некоторых случаях при окололунных полетах он приобре¬
тает важную роль. Эти случаи влияния солнечного гравитацион¬
ного момента будут рассмотрены отдельно в § 8.8.
На удалениях, превышающих десять земных радиусов, воз¬
мущающее действие Солнца или Луны с точки зрения их влия¬
ния на прецессию орбиты и вращение линии апсид становится
того же порядка, что и возмущающее действие сжатия Земли.
]) Подобно тому, как удаленные частицы в хвосте кометы перемещаются
относительно головы кометы.
288
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
Для иллюстрации возмущающего влияния Луны и Солнца на
долунные орбиты на рис. 2.71 приведены графики регрессии
-103
-JO'1
Возмущения, ве/званне/е Солнцем (нанлонение
полярной орбите/ н плоскости знлиптини 66,°55;
нанлонение экваториальной орбите/ н пло- — jgl
снести знлиптини 23°45)
Возмущения, ее/зеонне/е Луной (нанлонение ~
полярной орбите/ н плоскости лунной орби ты_
67°55; нанлонение знеаториаленой орбите/ _
к плоскости лунной орбите/ 28°45)
10°
7 д 11 13 15 17 13 21 23 25 27 29
Расстояние до круеоеой орбить/ (г00)
Рис. 2.71. Угловая скорость и период прецессии круговых полярных и
экваториальных орбит, вызванные влиянием Луны и Солнца.
линии узлов (вращение линии узлов по часовой стрелке) в
функции расстояния от Земли для полярных и экваториальных
круговых орбит. На том же рисунке приведены величины пе¬
риода прецессии. Для околоземных орбит этот период имеет
2.16]
ДОЛУННЫЕ ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
289
порядок тысяч лет, то есть прецессия настолько медленная, что
ею можно пренебречь. Однако для достаточно удаленных орбит
период прецессии может уменьшиться до нескольких десятков
или даже нескольких лет. На рис. 2.71 сплошные линии соот¬
ветствуют возмущающему действию Солнца, а пунктирные —
возмущающему действию Луны. При рассмотрении влияния
Северный полюс эклиптики
Рис. 2.72. Прецессия долунной орбиты, вызванная возмущающим
действием Солнца («первоначальная» орбита — полярная).
Солнца наклонение экваториальной орбиты к плоскости эклип¬
тики (плоскости отсчета) принималось равным 23°,45, а поляр¬
ной орбиты — равным 90° — 23°,45 = 66°,55. При рассмотрении
влияния Луны наклонения тех же орбит к плоскости лунной
орбиты (плоскости отсчета) принимались равными соответ¬
ственно 28°,45 и 90° — 28°,45 = 61°,55. Графики рассчитывались
с использованием метода, приведенного в § 2.9.
Определение действительных движений линии узлов и ли¬
нии апсид, так же как и других возмущений долунных орбит,
для которых пренебрегать возмущающим влиянием Солнца и
Луны уже нельзя, является чрезвычайно сложной задачей,
так как прецессия орбиты изменяет положение плоскости
орбиты относительно плоскости отсчета (плоскости экватора).
Это иллюстрируется рис. 2.72, показывающим прецессию
19 К- Эрике, т. II
290
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
«первоначальной» полярной орбиты вследствие возмущающего
действия Солнца. «Первоначальное» положение орбиты и ее се¬
верного полюса обозначено (/), положение орбиты после поло¬
вины оборота линии узлов обозначено (2). Северный полюс орби¬
ты вращается вокруг северного полюса эклиптики, как показано
на рисунке. Если за плоскость отсчета принять плоскость земного
экватора, то северный полюс эклиптики образует с ней угол
113°,45. За один полный оборот линии узлов наклонение пло¬
скости орбиты изменится от «начального» значения 113°,45 —
— 23°,45 = 90° [полярная орбита, положение (/)] до значения
113°,45+ 23°,45= 136°,9 через пол-оборота [положение (2)] и
вновь до 90°. Таким образом, почти все время наклонение пло¬
скости орбиты t>90°. С учетом объяснений к выражению (2.34)
это означает, что в данном случае сжатие Земли вызывает пре¬
цессию в восточном направлении, тогда как возмущающее дей¬
ствие Солнца вызывает прецессию орбиты в западном на¬
правлении. Таким образом, возмущающее влияние сжатия Земли
всегда (за исключением случая, когда t = 90°) противоположно
возмущающему влиянию Солнца. Что касается возмущающего
влияния Луны, то оно зависит от положения лунной орбиты.
Орбита Луны прецессирует относительно плоскости эклиптики
с периодом 18,6 года. В течение этого промежутка времени на¬
клонение орбиты Луны по отношению к плоскости экватора ко¬
леблется между 113°,45+ 85°= 198°,45 (что соответствует макси¬
мальной земной широте 18°,45) и 113°,45—85° = 28°,45 (что
соответствует максимальной земной широте 28°,45). Поэтому воз¬
мущающее влияние Луны, которое оказывает более сильное
воздействие на орбиту спутника, чем возмущающее влияние
Солнца, может либо усиливать, либо ослаблять возмущающее
влияние Солнца или сжатия Земли. Следует отметить, что ну¬
тация земной оси в прецессионном движении относительно по¬
люса эклиптики вызвана совместным влиянием лунной прецес¬
сии и солнечной регрессии на движение оси Земли. Таким же
образом и система трех возмущающих факторов (сжатие Земли,
притяжение Луны, притяжение Солнца) вызывает сложный ха¬
рактер прецессии долунной орбиты. Так что приведенные на
рис. 2.71 графики отражают упрощенную картину, так как рас¬
сматривается лишь два из трех возмущающих факторов, да и
те раздельно. Однако, как было разъяснено в конце § 2.7, если
рассматриваемые возмущения малы (а это имеет место для
орбит в районе примерно от 7г00 до 15г00), то их можно просто
суммировать.
Для иллюстрации ниже будут приведены примеры околокру-
говых долунных орбит. Поскольку для учета возмущений ана¬
литические выражения и даже разложения в ряды не являются
2.16]
ДОЛУННЫЕ ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
291
пригодными, то необходимо использовать специальные методы
расчета возмущенного движения.
Движение космического аппарата (материальной точки) в
прямоугольной системе координат можно определить численным
интегрированием следующей- системы уравнений:
системы координат, если считать, что оно находится не в бари¬
центре системы, а в центре одного из п тел (в нашем случае
в центре Земли); Ki (i= 1, 2, п—1) — гравитационный па¬
раметр соответствующего тела; rt = (кх2. + Дг/? + Дг?)1/2; Длг£. =
= * — *., у, 2—текущие координаты космического аппара¬
та; Xuyi.Zi — текущие координаты любого из (п—1) возму¬
щающих тел.
В рассматриваемом случае, включающем четыре тела (Зем¬
ля, Луна, Солнце и спутник), имеются четыре группы коорди¬
нат: (х, у, z), (хи Уи Zi), (дс2, У2, z2), (дс3, Уг, z3); гравитационные
параметры K\ = k2mu /С2 = ^2^2» Яз —^2/Яз; радиальные рас¬
стояния /-j = (Дл;^ + At/i + Д^),/г и т. д. Предполагается, что цен¬
тробежные ускорения X, У, Z вызваны только ускорением бари¬
центра системы «Земля — Луна» и ускорением Земли относи¬
тельно этого барицентра, а влияние барицентра системы
«Земля — Луна — Солнце» не учитывается.
Тремя телами с конечными массами являются Земля, Луна
и Солнце. Начало системы координат поместим в центр Земли,
оси х и у — в плоскости лунной орбиты, ось г дополнит систему
до правой. Координаты Земли будут
i = \ 1
п—1
(2.328)
/г-1
где X, У, Z — составляющие центробежного ускорения начала
Хх — Хе = 0, Ух=Уе = 0, z, = z* = 0.
Координаты Луны: ^ = ^ _ D CQS ^
(2.329)
*/2 = */m = -Dsinal),
z2 = zm = °.
Ф=.Ф0 + М»
(2.330)
292
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
где г|) — центральный угол лунной орбиты (так как предпола¬
гается, что орбита Луны является круговой), р™ — средняя
угловая скорость движения Луны, D — расстояние от Земли до
Луны и t — время. Наконец, для координат Солнца имеем:
где R — расстояние от Земли до Солнца, Ф — центральный угол
земной орбиты (предполагается также круговой), i — наклоне¬
ние плоскости орбиты относительно плоскости эклиптики, se —
расстояние между центром Земли и барицентром системы
«Земля — Луна», a ps— средняя угловая скорость оси «Земля-
Солнце». Для X, У, Z можно получить следующие выражения:
где R'— расстояние от Солнца до барицентра системы «Зем¬
ля — Луна».
Найдя проекции скорости х, у, £ и координаты космического
аппарата х, у, z, можно определить соответствующие оскули-
рующие элементы для заданного времени. Затем можно рассчи¬
тать величины:
мгновенной скорости:
постоянной энергии орбиты по отношению к Земле (начало
системы координат):
хг= xs = R cos Ф cos i + se cos Ф,
Уъ ” У s ~ R sin Ф s* sin ф,
Z'6 = zs = R cos Ф sin it
Ф = Ф0 + p5f,
(2.331)
X = [i2mse cos ф + p^/?7 cos Ф cos iy
Y = \x2mse sin ф - p*#' sin ф?
Z = — cos Ф sin iy
(2.332)
V2 = X2 + i)1 + Z2y
(2.333)
радиального расстояния:
г2 = x2 + у2 + z2y
(2.334)
(2.335)
г
большой полуоси:
2.16]
ДОЛУННЫЕ ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
293
Для долготы восходящего узла и наклонения орбиты а,
отсчитываемого от плоскости орбиты Луны (плоскости ху),
имеем:
ZX — XZ )
ху — ух
— cos <0, t g а = —: г, I
и to v" — 7УХ 1
(2.337)
sin^tga = [
0 & xy-yx )
и, наконец, для постоянной закона площадей Кеплера
с I
2 dt cos a v 7
Имея эти данные, можно рассчитать все прочие параметры ор¬
биты.
Если h<0, то оскулирующей орбитой будет эллипс и эксцен¬
трическую аномалию можно рассчитать, воспользовавшись вы¬
ражением
cos Е = (2.339)
а время после прохождения перигея — по формуле
t-t0= E~esinE . (2.340)
И
Если h>0, то оскулирующей орбитой является гипербола и
вспомогательный угол для расчета времени после прохождения
перигея определяется по формуле
cos Н = > (2.341)
а время —по формуле
е tg Я — In (45°+-^)
t = ±. (2.342)
Смысл вспомогательного угла и прочих обозначений разъяснен
в главе 4 первого тома книги «Космический полет».
Следует отметить, что исходные уравнения являются уравне¬
ниями пространственного движения (пространственная ограни¬
ченная система четырех тел), но в них не учитывается несфе-
ричность геоцентрического поля притяжения, а следовательно,
не учитывается влияние сжатия Земли на орбиту спутника.
Чтобы выделить возмущающие влияния сил притяжения
Солнца и Луны, рассматриваемые ниже долунные орбиты рас¬
считывались без учета влияния сжатия Земли. Кроме того, на¬
чальная плоскость орбит располагалась в плоскости лунной
орбиты и орбита Луны принималась круговой.
294
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ.
2.16]
ДОЛУННЫЕ ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
296
На рис. 2.73 приведен пример расчета для системы четырех
тел со звездным периодом обращения спутника, равным 12 ча¬
сам. Приведенные результаты относятся к десяти оборотам
спутника по круговой орбите радиуса, равного 4,25 земного ра¬
диуса (точками указаны первый и десятый обороты). Начальное
положение Солнца предполагается на продолжении положитель¬
ной оси х (вправо). Орбита располагается в плоскости лунной
орбиты. Хотя при выводе на орбиту предполагалось достижение
круговой скорости, под действием возмущений орбита деформи¬
ровалась. Цифры снаружи орбиты обозначают время (в часах)
после вывода спутника на орбиту. Цифры внутри орбиты обо¬
значают первый и десятый виток. Там же показано положение
узлов и точек апсид. Смещение перигея происходит не с по¬
стоянной угловой скоростью. За рассматриваемый промежуток
времени перигей в среднем смещался на 66 дуговых секунд за
один виток. Эта величина очень близка к величине поворота
линии апсид за один виток вследствие влияния сжатия Земли.
Смещение апогея происходит по-иному и носит менее выражен¬
ный характер (по крайней мере за первые десять витков). Эта
разница в смещении перигея и апогея указывает на то, что
здесь имеет место не просто вращение линии апсид, как в слу¬
чае влияния сжатия Земли. Орбитальная энергия (а следова¬
тельно, и большая полуось), так же как и эксцентриситет,
меняется. Это показано на рис. 2.74, где приведены графики ве¬
личины h/2, движения Луны и изменения эксцентриситета е в
зависимости от количества витков, совершенных спутником. За
время, когда Луна совершит 0,2 оборота, Солнце пройдет лишь
0,0137 часть окружности в кажущемся движении вокруг Земли.
Изменение орбитальной энергии чрезвычайно мало, что свиде¬
тельствует о крайней слабости лунно-солнечного возмущения.
Ранее нами было получено выражение для отношения пери-
гейного расстояния к апогейному расстоянию в зависимости от
эксцентриситета:
После десяти витков гР/гА = 0,98, что приводит к незначительному
изменению высоты орбиты, первоначально равной 20 754 км.
Как следует из рис. 2.74, изменения кие имеют монотонный
характер. В действительности изменения являются периодиче¬
скими с периодом, равным лунному циклу. Плоскость орбиты
спутника наклонена примерно на 5° к плоскости эклиптики. По¬
этому влияние возмущающего действия Солнца на прецессию
орбиты очень мало. Из рис. 2.75, на котором приведено движение
296
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
орбиты в плоскости xz, видно, что изменение г крайне мало (по¬
рядка долей километра).
В заключение можно отметить, что для орбиты с 12-часовым
звездным периодом, расположенной в плоскости лунной орбиты,
средняя лунно-солнечная прецессия перигея и прецессия перигея,
вызванная сжатием Земли, одинаковы. Уход по оси z вслед¬
ствие регрессии линии узлов, вызванной сжатием Земли, есте¬
ственно, больше, чем вследствие возмущений, вызванных Солн¬
цем, так как наклонение орбиты почти в шесть раз больше, чем
Врет (чаш)
Рис. 2.74. Изменения эксцентриситета и орбитальной энергии в пе¬
ригее и апогее 12-часовой орбиты, вызванные возмущающим дей¬
ствием Луны и Солнца (i = 0).
в первом случае. Вековые возмущения первого порядка из-за
сжатия Земли не изменяют форму орбиты (dafdt = 0, de/dt = 0),
а лунно-солнечные возмущения, хотя и слабые, изменяют форму
орбиты по крайней мере с е = 0 до е = 0,01. Подобное изменение
эксцентриситета примерно лишь на 370 км изменяет диаметр
орбиты, равный 54 260 км. Таким образом, если изменения бу¬
дут даже в три раза большими, чем приведенное (вряд ли сле¬
дует ожидать еще больших изменений), то все равно они ока¬
зываются пренебрежимо малыми. Изменение формы орбиты
будет происходить также за счет различия в угловых скоростях
апогея и перигея и различия в угловых скоростях восходящего
и нисходящего узлов.
2.161
ДОЛУННЫЕ ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
297
На рис. 2.76 приведена околокруговая орбита (гр = 7г0о, гА =
= 8гоо, в = 0,07197, 7 = 29^,2) в сравнительно близкой к Земле
области долунного пространства. В этой области возмущающее
действие Луны еще очень мало (/С^-/р ~2 - 10-2 км2/сек2), воз¬
мущающий потенциал от сжатия Земли имеет величину того же
х (тыс. морских миль)
-16 -12 -8 -4 0 4 в 12 16
v0= vc Период равен 72 и асам
г = 4,25 земного радиуса
Рис. 2.75. Проекция 12-часовой орбиты на плоскость xz.
порядка, что и потенциал Луны. Круговая орбита на таком рас¬
стоянии испытывает пренебрежимо малые деформации. Орбиты
с небольшими эксцентриситетами, которые характерны для
орбит, получаемых с использованием ракет-носителей, подвер¬
жены более заметным возмущениям. На рисунке указаны по¬
ложения, занимаемые спутником в течение десяти витков. Стрел¬
ки показывают направление на текущее положение Луны.
Максимальные отклонения от первоначального эллипса порядка
нескольких сотен километров. В большинстве практических за¬
дач этими отклонениями можно пренебречь. Однако если речь
298
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
идет об осуществлении встречи, то естественно, что подобные
отклонения необходимо учитывать. На рис. 2.76 приведена пре¬
цессия перигея. Движение спутника в плоскости xz показано
на рис. 2.77, из которого явствует, что наклон орбиты к пло¬
скости ху (плоскости лунной орбиты) очень мал, но им нельзя
пренебрегать при решении определенных задач
Гр = 7г00; ГА = 8г00; е-0,07197; = О; т = 29*2
X (ть/с. морских миль)
Рис. 2.76. Околокруговая долунная орбита.
Околокруговая орбита, приведенная на рис. 2.78, удалена от
Земли на большее расстояние. Апогей этой орбиты близок
к орбите захвата космического аппарата, возвращающегося к
Земле по переходной орбите с Венеры или Марса (см. § 4.3);
орбита захвата лежит примерно на удалении 15г00. Сплошной
линией на правом рисунке 2.78 показана расчетная орбита с
перигейным расстоянием 57 260 км (30 900 морских миль) и апо-
гейным расстоянием 63 740 км (34 400 морских миль). Значения
Гшах и гmiii соответственно отвечают максимальному и минималь¬
ному отклонениям положения произвольной точки орбиты. По
сравнению с предыдущей орбитой, где отклонения положения
точек орбиты составляли несколько сотен километров, в данном
2.16]
ДОЛУННЫЕ ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
299
случае отклонения достигают нескольких тысяч километров.
Кроме того, эксцентриситет рассматриваемой орбиты (0,0525)
меньше, чем у предыдущей орбиты. Это указывает на сравни¬
тельно более высокий уровень возмущающей силы, так как
? (морские мили)
Рис. 2.77. Околокруговая долунная орбита (гр =* 7^, гА = 8гоп). Проек¬
ция на плоскость xz.
га ~ Мгоо * гр~ $гоо> период равен 41.14 часа, 1~ = О
-40 -20 0 20
х (тыс. морских миль)
Первый виток
Пятый виток
Десятый виток
Перигей
Апогей
\ЬЩ5! г.
ХД mi,
МОДСК МИЛЬ
575,ЗГ
I
i
-20 ^
->-40
-40 -20 О 20 40
сс (тыс. морских миль)
Рис. 2.78. Околокруговая долунная орбита спутника. (На правом
рисунке стрелки указывают направление на Луну.)
отклонения орбиты в поле центральной силы для заданного
Уровня возмущающей силы уменьшаются с эксцентриситетом.
В качестве примера удаленной долунной орбиты на рис. 2.79
и 2.80 приведена околокруговая орбита (е = 0,0256, гР=\9г0о,
300
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ.
rA=20roo, rp - Wrg0, T=?Z1h. е =0,0256, t.=0
1
!
1
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 60
х (тыс морских миль)
Рис. 2.79. Околокруговая долунная орбита.
rA =20roo; rp=19r00; T=12lh; е =0,0256
11 1
I*
0
Xi -Б060
15 -Вт
-6120
II
%
I
[
Апогей А
Перигей
\
V
N
О 1 12233445566778809 10
Количество витков, качикая с вывода ка орбиту
Рис. 2.80. Околокруговая долунная орбита.
2. Ю]
ДОЛУННЫЕ ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
301
га = 20г0о) со звездным периодом обращения 121 час, то есть
почти точно пять суток [3]. Были рассчитаны полные десять вит¬
ков. Начальное положение Солнца — опять на положительной
оси х. В рассматриваемом примере изменение орбитальной
энергии носит явно периодический характер (рис'. 2.80). Относи¬
тельное изменение орбитальной энергии даже в этом случае
ГР - 1>ОУроп ’ ГА = 40 Гдо ;
' i ■ I » i i I i I i i 1 i i I i I
-20 О 20 40 60 80 100 120 140
х (тыс. морских миль)
Рис. 2.81. Долунная орбита. (Система четырех тел.)
очень мало. Как и следовало ожидать, деформация орбиты в
этом случае значительно увеличилась, но не настолько, чтобы
исключить возможность использования автоматических космиче¬
ских аппаратов для некоторых целей.
Наконец, на рис. 2.81 и 2.82 представлена сильно вытянутая
долунная орбита = 0,95, rP=l,09r0o, гА = 40г0о). Как и следо¬
вало ожидать, орбита сильно возмущена. Апогей и перигей ор¬
биты совершают своеобразные колебания около оси я, как
показано на рис. 2.82. Движение точек апсид указывает на пе¬
риодический характер главной возмущающей силы — силы при¬
тяжения Луны. Кроме того, должны иметь место вторичные
302
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
эффекты, вызываемые возмущающим действием Солнца, кото¬
рые, очевидно, приведут к наложению вековых возмущений на
долгопериодические возмущения при движении Земли вокруг
Солнца. Однако важно отметить, что быстропериодическое дви¬
жение точек апсид позволяет примерно прогнозировать поведе¬
ние орбиты. Как следует из приведенных рисунков, орбита
Долунная орбита
Гр =7,Offr00; = 40roo ,
C^sid)geocentric ~~ 3^,28
Геометрическое место
положении перигея
(О) - вывод на орбиту
(начальное положение перигея)
(-у)- через полеитш
z (первое положение апогея)
(п) - положение перигея или апогея
на п-м витке
I . t... 1 .1-1-
Геометричеокое .
(27) •№>
J L
_1_
-20 -10 0120 130
х (тыс. морских миль)
Рис. 2.82. Движение точек апсид.
140
периодически сжимается и растягивается. На электронной циф¬
ровой вычислительной машине был проведен расчет орбиты для
отрезка времени в один год. В течение этого отрезка времени
перигей переместился из точки, очень близко расположенной к
Земле, в точку, удаленную почти на 35 200 км, и затем опять
приблизился к Земле. За это же время апогейное расстояние
претерпело примерно такое же абсолютное изменение. Полный
цикл движения апогея или перигея происходит за 1,1 года.
Последняя из приведенных орбит простирается примерно на
две трети расстояния до Луны. Еще более удаленные долунные
орбиты будут в сильной степени подвержены притяжению Луны,
и их (невозмущенная) форма будет полностью искажена.
2.17]
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ ОКОЛО ДРУГИХ ПЛАНЕТ
303
2.17. Орбиты спутников около других планет
с учетом возмущающего влияния Солнца и окололунные орбиты
с учетом возмущающего влияния Земли
Гравитационное поле в долунном пространстве является
более сложным, чем около любой из планет солнечной системы.
Это объясняется сравнительно большим отношением массы
Луны к массе Земли, которое делает систему «Земля — Луна»
наиболее похожей на систему двойной звезды среди всех дру¬
гих комбинаций в солнечной системе. Следующее по величине
отношение масс принадлежит комбинации «Юпитер — Солнце»
(примерно 10_3). Околопланетные пространства Меркурия, Ве¬
неры и Марса не содержат сколько-нибудь значительных
по массе спутников. В этих случаях основными источниками
возмущений орбит спутников являются: 1) отклонение поля при¬
тяжения центрального тела от поля центральной силы, 2) возму¬
щающее действие гравитационного поля Солнца. При рассмот¬
рении окололунных орбит спутников изменение радиального
расстояния точек орбиты от Солнца настолько мало, что со¬
ответствующей разницей в силе притяжения можно пренебречь.
Поэтому спутники Луны главным образом подвержены возму¬
щениям вследствие асимметрии лунного гравитационного поля
и гравитационного поля Земли. Таким образом, условия в око¬
лолунном пространстве, грубо говоря, аналогичны околопланет¬
ным условиям солнечной системы, если Солнце заменить Зем¬
лей. Что касается первого фактора, то наблюдениями с Земли
можно установить лишь сжатие планет. Значения сжатия пла¬
нет приведены в таблице 3.16 первого тома книги «Космический
полет». Сжатия Меркурия и Венеры настолько малы, что в
настоящее время не могут быть обнаружены. На основании обра¬
ботки результатов оптических измерений диска Марса, прове¬
денных с 1837 г. по 1952 г., Ванкулер *) получил величину сжа¬
тия для Марса 0,013±0,001«1/76,9. Это значение совершенно
отлично от значения динамического сжатия, определенного на
основании закономерностей движения спутников Марса и рав¬
ного е = 0,005215= 1/191,8. Разница превышает величину, кото¬
рую можно было бы объяснить погрешностями измерений. Это
обстоятельство может служить указанием на большую концен¬
трацию масс в экваториальных областях по сравнению с поляр¬
ными областями2). Что касается Луны, то она представляет
собой трехосный селеноид (используем такой термин по аналогии
9 G. de Vancouleurs, Physics of the Planet Mars, The Macmillan
Company, New York, 1954.
2) Подробности см. в упомянутом труде G. de Vancouleurs, часть 5,
304
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
с термином геоид). В таблице 3.9 («Космический полет», т. I)
приводятся две величины сжатия — полярное и экваториаль¬
ное (обе величины по Джеффрейсу 1)). Последняя величина для
экваториального сжатия, полученная Джеффрейсом на осно¬
вании измерений Якоукина2), более надежная, и поэтому здесь
приводится именно она. Если обозначить через с полярный ра¬
диус, через а экваториальный радиус по направлению к Земле,
через b экваториальный радиус, нормальный к плоскости ас,
а соответствующие моменты инерции обозначить через С, Л и
5, то
^~1Г~ = 4т4 = 0,0006269 ± 0,0000027,
= 4тг4 = 0,000209 ± 0,000001.
С а2 + Ь2 ’ ’
Отсюда, обозначив (С — А)/С=х и (В — А)/С=у> получим:
— = V 1^ = 0,999793,
а У \+ х 9 *
| = |/ \-у[\ +4) = 0,997653.
С Земли могут быть измерены лишь величины b и с. Их точ¬
ное определение затруднено неправильностями лунного рельефа.
С достаточной точностью можно считать 6=1738 км, тогда для
а и с будем иметь: 1738,3 км и 1738,5 км. К настоящему
времени мы не располагаем подробными данными о полях при¬
тяжения Луны и планет. Такое положение сохранится, очевидно,
до тех пор, пока не удастся послать в окрестности Луны и пла¬
нет (а еще лучше на орбиты около них) автоматические косми¬
ческие станции с соответствующей аппаратурой.
Возмущения центрального тела, действующие на орбиту спут¬
ника, если речь идет о спутниках Луны либо спутниках Мерку¬
рия, Венеры или Марса, можно рассматривать как движение
частицы относительно тела с меньшей массой в рамках ограни¬
ченной задачи трех тел, которая в первом приближении может
рассматриваться как изолированная. При этом масса одного из
тел М во много раз больше массы другого тела т, вокруг ко¬
торого движется частица (искусственный спутник).
1) Н. Jeffreys, Dynamics of the Earth-Moon System, Chap. 2 of «The
Earth as a Planet», G. P. Kuiper (ed.), The University of Chicago Press,
Chicago, 111., 1954.
2) A. A. Y a k о u k i n. General Characteristics of the Contour of the Moon.
The Free Libration of the Moon, Transactions of the International Astronomi¬
cal Union, VIII, P. T. Oosterhoff (ed.), p, 218, Cambridge University Press,
1952.
2.17]
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ ОКОЛО ДРУГИХ ПЛАНЕТ
305
Помещая, как и прежде, центр вращающейся системы коор¬
динат 1ц в барицентр, направляя ось £ по линии Мт, вращаю¬
щейся с постоянной угловой скоростью о), и обозначая (по¬
стоянное) расстояние М — т буквой Д запишем в общем виде
уравнения движения частицы:
dU
д1
dU
дц
I- 2сог) - <о2£ = ,
ц + 2о| — о2т] = ■
(2.344)
Не определяя пока единиц массы и расстояния, положим гра¬
витационную постоянную k2 = G равной единице, так что Км = М
и Km = tn• Тогда можно записать:
(0 = -
М + т
D3
где г и р — соответственно расстояния частицы от центров М
и т:
\ 2
■-(«
+
М
М + т
D
)2 + л2-
Отсюда находим:
Mr2 + тр2 — {М + т) (|2 + ц2) +
Мт
М + т
D2.
(2.345)
(2.346)
На основании равенств (2.264) потенциал Ф для рассматривае¬
мого случая можно записать в виде
2Ф = М (-£г + j) + т (Jgr +.
) МОЖНО П(
I — 2 of) = -
Тогда уравнения (2.344) можно переписать в виде
дФ
д1 ’
Л + 2со| = |^.
(2.347)
(2.348)
Нели положить Д=1, Л4= 1, то эти уравнения становятся иден¬
тичными с уравнениями (2.263). Чтобы исследовать движение
спутника относительно т, перенесем начало системы координат
в точку т:
% = - itrh:D + Z’
11=11',
(2.349)
20 К. Эрике, т. II
306 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ (ГЛ. 2
где £' и г]'—оси селеноцентрической вращающейся системы ко¬
ординат. Уравнения движения теперь примут вид:
(2.350)
Выразим необходимые величины через селеноцентрические
координаты:
г2 = (l' + D)2 + 4'\
Р2 = Г' + тЛ
1 1 Lfi _И_±/_РЛ2 + АШ2 + 1
г (D2 + р2 + 20|')1/2 Z> L D 2 \ D ) 2\D) "‘J’
Jf = А + +
D3 г D D \ D) ' ’ '
(2.351)
Тогда равенство (2.347) обратится в следующее:
2Ф = ЗМ £ + m (-g- + }) = Зш2Г2 -2m^ + m^- + ^. (2.352)
Теперь определим единицу массы. Положим т=\ и М* =
=М1т. Примем угловую скорость вращения оси Мт равной
единице, то есть со = 1. Тогда
D = 1 + М\ (2.353)
Отсюда
2®- & + £ ■- *£+•£ - £+ ^ + ТОГ ч'1- (2.354)
Наконец, получим дифференциальные уравнения движения спут¬
ника вблизи тела т:
I' - 2т|' + (—? + j + - з) = 0, j
/1 j \ [ (2.355)
Л, + 2|, + (-^--ТТд^)т1' = 0. J
Запишем выражения для интеграла Якоби этих уравнений:
V'2 = |'2 + г\'2 = 2Ф - С, (2.356а)
Г2 + Л'2 =| + (3 - -пУ Г2 + j^pr ц'2 — С, (2.356Ь)
где v'— орбитальная скорость спутника в системе координат
Поэтому уравнением граничных кривых Хилла будет урав¬
нение
(2-357>
2.17]
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ ОКОЛО ДРУГИХ ПЛАНЕТ
307
Приведенные выше уравнения получены в предположе¬
нии, что М^>т, поэтому в уравнениях движения (2.355) чле-
намТГвторого порядка и старше можно пренебречь. При том же
допущении можно пренебречь членами 2£'/(1 + М*) и г]/(1+Л4*),
которые для больших отношений М* сравнимы с величинами
£/2 и ц' . При этом уравнения движения (2.355) допускают даль¬
нейшее упрощение;
и'-2т|' + (Д-з)г = 0,
\ ri' + 2|' + Д- т/ = 0.
Эта форма впервые была предложена Хиллом. Полученные
уравнения не содержат иных параметров, кроме расстояний,
скоростей и ускорений, и поэтому их также называют канони¬
ческими нрпянеииами Хилла. основанными на специальном вы¬
боре единиц и допущении, что М^>т. Интегралом уравнений
(2.358) является
£,2 + ri/2 = | + 3|,2-С. (2.359)
Для предельной кривой Хилла имеем:
| + 3%'* - С = 0. (2.360)
Отсюда следует, что каждому значению £' соответствует одно
значение р, а каждому значению р соответствуют либо два зна¬
чения £', то есть ±£', либо ни одного. Поэтому граничная кри¬
вая является симметричной относительно оси ц'. Величина
ограничена пределами:
— |/"-§-<£'< "|/" у • (2.361)
При г]'-»оо величина Граничная кривая пересекает
ось г]' в точках
Л'=±|-. (2.362)
Точки пересечения оси £' граничной кривой определяются из
решения кубического уравнения
Г3-уСГ + 4 = 0. (2.363)
Если С очень велико, то есть величина v'2 = |'2 -f- т)'2 мала, то
граничная кривая состоит из замкнутой кривой около тела т и
Двух ветвей, приближающихся к асимптотам, определяемым
20*
308
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
неравенством (2.361) (рис. 2.83, а). По мере уменьшения С (и'
увеличивается) замкнутая внутренняя кривая расширяется (то
есть все большая область около т становится разрешенной для
движения спутника), а внешние ветви перемещаются к т
(то есть граница устойчивости орбиты уменьшается). Наконец,
внутренняя и внешняя кривые сливаются при Ci = 3(3) 1/3=4,326.
Соответствующими корнями уравнения (2.363) будут:
%,2 = ± = ± 0,6934.
(2.364)
Эти точки пересечения совпадают с точками либрации Lb L2 си¬
стемы тел М — т (рис. 2.83,6). При дальнейшем уменьшении
Т71 1
Л
Г'
т
a) Очень большое С
б) 0=С7 =3(3J
г/з
в) 0*3(3)
1/3
Рис. 2.83. Условия устойчивости орбит около тела с меньшей массой
в системе из двух тел с конечными массами.
С замкнутая часть граничной кривой исчезает и остаются две
отдельные разомкнутые ветви (рис. 2.83, б). Другими словами,
если у'>У1(где щ — скорость, соответствующая значению Ci),
то орбита спутника перестает быть устойчивой.
В § 2.13 было указано на большую трудоемкость расчета
точных граничных кривых, соответствующих заданным постоян¬
ным С. Однако для области значений С{ эти граничные кри¬
вые близки к окружностям. Приняв круговую форму граничной
кривой и для той же орбиты радиуса р рассчитав С в направ¬
лениях на различные точки (£', г/), по вариации С можно су¬
дить о правомерности допущения о круговой форме граничной
кривой. Таким методом можно быстрее получить уточненное
приближение для расстояния до граничной кривой в определен¬
ном направлении, соответствующей постоянному значению С.
Обычно определение р для Cj в нескольких направлениях по¬
зволяет найти наименьший радиус области, внутри которой ор¬
бита еще устойчива, то есть частица не может покинуть цент¬
2.17]
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ ОКОЛО ДРУГИХ ПЛАНЕТ
309
ральное тело. Орбитальная скорость частицы во вращающейся
системе координат при C>Ci может быть найдена по формуле
(2>зб5)
которая получается из второго уравнения (2.310). Приближен¬
ное значение С для различных радиусов орбит р можно вычис¬
лить, используя выражения (2.265), (2.316) и соотношение
v/2 =2Ф—С. Таким образом оказывается возможным прибли¬
женно определить величину р, для которой наступает критиче¬
ское значение С{. Зона устойчивых орбит спутника целиком на¬
ходится внутри окружности найденного радиуса р. Для Луны
p = 0,14D^8,6r0o~ 54 800 км.
Таблица 2.12
Расстояния коллинеарных точек либрации от планет *)
и
и
и
Меркурий ....
0,0034
0,0034
(2-7)
10~8
Венера
0,0093
0,0093
(2—1,43)
10~8
Земля
0,0101
0,0101
(2—1,78)
10“в
Марс
0,0048
0,0048
(2-1,9)
1(Г7
Юпитер
0,0668
0,0698
(2-5,57)
1<Г3
Сатурн
0,0450
0,0464
(2-4-1,67)
1СГ4
Уран
0,0242
0,0246
(2 2,6)
10"“
Нептун
0,0257
0,0261
(2 -т- 3)
10"“
*) В качестве единицы измерения всех расстояний принят
средний гелиоцентрический радиус орбиты соответствующей
планеты.
Для астронавтики представляют интерес орбиты спутников
около Луны, удаленные от ее центра на расстояния порядка
1800-ь-9000 км, то есть находящиеся в области устойчивых ор¬
бит. Необходимое расстояние от границы внутрь области зави¬
сит от требуемого времени, в течение которого орбита устой¬
чива. По-видимому, на расстояниях 0,03£> или 0,06D орбита
спутника остается устойчивой практически неограниченное время.
По мере приближения к границе зоны устойчивости возмущения
°т центрального тела М (в данном случае от Земли) могут за¬
ставить спутник Луны покинуть зону устойчивости и превра¬
титься в спутник Земли. Подобную ситуацию можно сравнить
310
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
орбите Луш/
с переносом чашки с кофе. Теоретически чашка может быть
наполнена до самого края. Однако возмущения при переносе
вызывают расплескивание части содержимого. Чем меньше на¬
полнена чашка, тем дольше можно нести ее, пока комбинация
возмущений не вызовет расплескивания части содержимого.
При наполнении чашки ниже определенного уровня никакая
комбинация возмущений (воз-
7,78- шло звездных можная при нормальном пе-
периодов в течение реносе) не может вызвать
tefmf=Zoeemuua расплескивания содержимого,
ЩШ еоотеетстзует го есть условия становятся ус¬
тойчивыми на неограниченное
время. Применительно к спут¬
нику Луны эти условия требу¬
ют расстояния порядка поло¬
вины расстояния до точки L{
или меньше. При этом соответ¬
ствующая продолжительность
устойчивости орбиты превосхо¬
дит пределы, имеющие прак¬
тическое значение для астро¬
навтики. Подобные рассужде¬
ния применимы и к спутникам
планет.
В таблице 2.12 приведены
расстояния до коллинеарных
точек либрации для планет
от Меркурия до Нептуна вклю¬
чительно. Эквидистантные
точки либрации лежат, есте¬
ственно, на расстоянии, рав¬
ном другому гелиоцентриче¬
скому радиусу орбиты планеты, и поэтому не представляют ин¬
тереса при рассмотрении вопроса об области устойчивости
орбит спутников планет.
В начале § 2.12 было указано, что периодические орбиты
могут быть разбиты на две главные группы, одна из которых
охватывает бесконечно малые изменения положения частицы
относительно тел системы, а вторая — конечные изменения. Пе¬
риодические орбиты около одной из конечных масс системы
относятся ко второй группе. При отыскании периодических ре¬
шений дифференциальных уравнений (2.358) можно воспользо¬
ваться численным интегрированием, рассчитывая орбиту при
изменяемых начальных условиях и добиваясь прохождения ор¬
биты через начальную точку (периодическая орбита). Можно
Рис. 2.84. Периодические орбиты
вблизи тела т2.
2.18]
УСТОЙЧИВОСТЬ В ДО- И ЗАЛУННОМ ПРОСТРАНСТВАХ
311
воспользоваться другим методом: разложить и г\' в уравне¬
ниях (2.358) в периодические ряды и с помощью уравнений
(2.358) пытаться отыскать коэффициенты 'этих рядов.
Хилл воспользовался вторым путем и получил уравнения для
группы периодических орбит около тела т, которые под пря¬
мым углом пересекали оси и ц' и имели синодический период
(то есть период по отношению к заданной точке во вращаю¬
щейся системе координат) меньший, чем период оси На
рис. 2.84 приведены некоторые из орбит, рассчитанных Хиллом.
После одного оборота они возвращаются в исходное положение.
2.18. Устойчивость орбит в долунном
и залунном пространствах
В начале § 2.17 уже отмечались причины особой сложности
учета возмущений в системе «Земля — Луна». Однако по анало¬
гии с простым суммированием малых возмущений, принимае¬
мых за независимые, можно в первом приближении две си¬
стемы, наложение полей которых создает большие трудности,
изучать в отдельности. Речь идет о системах «Земля — Луна» и
«Земля — Солнце». Первая определяет устойчивость орбит в
долунном пространстве, вторая — устойчивость орбит в залун¬
ном пространстве (рис. 2.85). Сравнение размеров показывает,
что область устойчивости орбит спутников Луны очень мала.
Любой маневр захвата должен быть произведен в небольшой
области между точками L^ и L2. Для возвращающихся к Земле
межпланетных аппаратов имеются значительно большие обла¬
сти устойчивых долунных орбит и области захвата. По причи¬
нам, отмеченным в предыдущем параграфе, необходимо также
учитывать фактор времени. Орбиты, подобные 24-часовой ор¬
бите, имеющие особо важное значение в астронавтике, отно¬
сятся к орбитам с большим временем существования. Они
устойчивы неограниченное время (r/D^0,ll). Орбиты ради¬
уса, приближающегося к r = 0,8Z), устойчивы в течение очень
малого промежутка времени (очевидно, в течение нескольких обо¬
ротов). Даже подобное малое время устойчивости орбит можег
быть использовано в астронавтике, в особенности если косми¬
ческий аппарат обладает определенной маневренностью.
Космические корабли, возвращающиеся на Землю, могут
при необходимости «зацепиться» за Землю, используя даже еще
больший район залунных орбит. Здесь опять подразумеваются
крайне ограниченные периоды устойчивости, позволяющие ис¬
пользовать кривые Ci системы «Солнце—(Земля — Луна)».
Для задач, требующих больших периодов устойчивости, область
залунного пространства соответственно сокращается по двум
312
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
причинам. Внутренняя часть области сразу за кривой Сi под¬
вержена сильным периодическим возмущениям со стороны
Луны. Внешний район области, примыкающий к (Ci)©., чрезвы¬
чайно чувствителен к возмущениям, вызываемым эллиптично¬
стью земной орбиты. Поэтому уменьшение периода устойчивости
Рис. 2.85. Граничные кривые системы «Земля — Луна» и кривые Cj
системы «Солнце — (Земля — Луна)» в одинаковом масштабе.
наступит гораздо раньше достижения орбитальных расстояний,
соответствующих C©«(Ci)0. всяком случае, получение ор¬
биты (спутника или космического корабля по его возвращении
из межпланетного полета) в залунном пространстве является
более тонкой задачей, чем получение орбиты в долунном про¬
странстве при r~0,4Z) или меньше.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Из-за обилия обозначений, потребовавшихся в настоящей
главе, здесь приводятся лишь основные из них. Многие обозна¬
чения использовались для различных целей, и поэтому их разъ¬
яснение приводилось в тексте.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
313
А — площадь поперечного сечения;
А — экваториальный момент инерции сжатого сфероида;
а — ускорение;
а — экваториальный радиус Земли;
а — большая полуось;
а' — азимут;
b — полярный радиус Земли;
С — постоянная Кеплера орбиты (постоянная закона пло¬
щадей);
С — полярный момент инерции сжатого сфероида;
с — — mQ — постоянная, входящая в уравнение (2.229);
с' = ёооРоо/2 — параметр плотности;
D — коэффиицент четвертой гармоники (см. табли¬
цу 2.4);
D — сила лобового сопротивления;
D —расстояние «Земля — Луна»;
D* — параметр лобового сопротивления [см. выражение
(2.161)];
d - расстояние от кажущегося центра притяжения до
Земли (см. рис. 2.69);
е — эксцентриситет;
F — вообще сила; аэродинамическая сила;
g — ускорение силы притяжения;
h — постоянная энергии орбиты;
i — наклонение плоскости орбиты к плоскости отсчета или
к плоскости другой орбиты;
J —коэффициент второй гармоники (см. таблицу 2.4);
К — гравитационный параметр;
к2 — постоянная Гаусса;
L — точка либрации;
L — подъемная сила;
L* — параметр подъемной силы [см. выражение (2.162)];
М — средняя аномалия;
т — масса;
гп — отношение массы Луны к массе Земли;
N — нормальная сила;
п —количество витков (оборотов);
р — фокальный параметр;
Q =rQ—Klvq—постоянная при определении времени су¬
ществования спутника [см. выражение (2.222)];
R — радиальная сила;
г — радиальное расстояние от центра притяжения;
г° — среднее расстояние от сжатого центрального тела;
г0 — другое обозначение для экваториального радиуса
Земли;
314 ОРБИТЫ СПУТНИКОВ [ГЛ. 2
г оо — средний радиус поверхности Земли (или другого не¬
бесного тела);
5 — трансверсальная сила;
5 — характерная площадь, входящая в выражение для
подъемной силы;
s —расстояние от барицентра системы «Земля — Луна»;
s — длина участка орбиты;
Т — тангенциальная сила;
Т — период обращения;
Tsid — звездный (сидерический) период обращения;
Т$1 — период между двумя последовательными прохожде¬
ниями восходящего узла спутником, движущимся по
прецессирующей орбите;
Грг — период прецессии;
112 — время полета между точками 1 и 2 орбиты;
tpQ — вРемя полета от перицентра до восходящего узла;
tt — продолжительность перехода;
ta — продолжительность активного участка вывода от
старта до момента первого выключения двигательной
установки;
t6 — продолжительность активного участка при переходе с
орбиты ожидания на переходную орбиту;
tn — продолжительность пассивного полета по орбите ожи¬
дания;
tx — продолжительность пассивного полета по переходной
орбите между исходной орбитой и орбитой цели;
ta — продолжительность активного участка при переходе
с переходной орбиты на орбиту цели (спутника);
v — скорость;
vE — энергетическая скорость;
W — вес;
х — дальность;
у — высота;
а — угол атаки;
а — прямое восхождение;
арг — угол, на который поворачивается плоскость орбиты
при прецессии за определенный промежуток времени
[см. выражение (2.72)];
Р —отрицательная константа в выражении для плотно¬
сти (2.219);
At>id — приращение идеальной скорости;
Диа — импульсное изменение скорости за время /а;
Ди6 — импульсное изменение скорости за время /6;
— импульсное изменение скорости за время /0;
6 — угловая дальность;
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
315
б — склонение спутника над плоскостью экватора;
е =л4 а — средняя долгота спутника на орбите в эпоху /0,
равная средней долготе средней аномалии а (см.
рис. 1.6.11);
£ — расстояние по дуге большого круга между стартовой
позицией и плоскостью орбиты спутника (угол склоне¬
ния по отношению к плоскости орбиты);
т) — мгновенная угловая скорость движения по орбите (в
отличие от среднего движения р);
т) — истинная аномалия;
т)л — центральный угол, проходимый космическим аппара¬
том в пассивном полете по орбите ожидания;
цх — центральный угол, проходимый аппаратом в пассив¬
ном полете по переходной орбите;
0 — угол между касательной к орбите и местным гори¬
зонтом;
1 — наклонение плоскости орбиты к плоскости экватора;
к = £00£**Р0го“ параметр при определении времени су¬
ществования спутника [см. четвертую формулу (2.214)];
X —географическая долгота;
р — среднее движение:
v= v/vc — отношение скорости к местной круговой скорости;
—вращающаяся система координат в системе «Земля—*
Луна»;
л = + со — долгота перигея, измеренная от точки весен¬
него равноденствия;
р — плотность атмосферы;
р — радиальное расстояние от Луны;
р* = р/р00 — отношение плотностей;
а = \itpn — средняя аномалия спутника в узле;
и
Ф — географическая широта;
ф — возмущающий потенциал вследствие сжатия Земли;
г|э — угол положения тела на орбите относительно опреде¬
ленного направления отсчета;
со — долгота перигея, измеряемая от восходящего узла
(аргумент перигея);
со — угловая скорость; угловая скорость вращения Земли
(см. таблицу 2.4);
Д — долгота восходящего узла, измеряемая от точки ве¬
сеннего равноденствия.
Индексы (нижние):
А —относится к апогею:
а — трансвереальный;
ball — баллистический;
316
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
с — круговой;
D —относится к лобовому сопротивлению;
D — начальный, исходный; относится к начальной точке;
d — относится к опорной орбите;
kin — кинетический;
L — стартовый; относится к стартовой позиции;
min — минимум;
п — нормальный;
Р — относится к перигею;
р — параболический;
pot — потенциальный;
рг —значение параметра при прецессии;
г —радиальный;
s — относится к орбите спутника;
Т — цель; орбита цели;
t —переходный;
Ф — относится к широте ф;
я — относится к орбите ожидания;
т — относится к переходной орбите;
00 — условия на поверхности;
0 — начальное значение;
1 — значение в момент выключения двигательной уста¬
новки.
Индекс (верхний):
* —значение параметра в вершине траектории.
ЗАДАЧИ
1. Предполагается произвести инспекцию спутника баллистическим аппа¬
ратом со специальными приборами при его пролете в непосредственной бли¬
зости от спутника в точке встречи. Точка встречи находится в вершине бал¬
листической траектории (г*/г 1 = 1,3) на расстоянии 14 825 км от начальной
точки. Начальный угол траектории 01 = 8°, высота начальной точки у i =
= 185 км. Определите относительную скорость двух рассматриваемых тел
в вершине траектории и время полета баллистического аппарата от началь¬
ной точки до вершины траектории. Допущения: орбита спутника круговая,
плоскость траектории баллистического аппарата находится в плоскости ор¬
биты спутника, направления движения баллистического аппарата и спутника
совпадают.
2. Определите отношение энергетической скорости к орбитальной ско¬
рости для следующих орбит спутников Земли: а) круговой орбиты высотой
1850 км\ б) эллиптической орбиты высотой в перигее ур=242 км и высотой
в апогее у а — 3700 км.
3. Орбита спутника проходит над наблюдателем на высоте 556 км. В мо¬
мент появления спутника угол места линии визирования от наблюдателя
составляет 5°. Какова дальность до проекции спутника на поверхность
Земли и какова дальность до спутника в момент его появления?
4. При условиях задачи 1 определите величины отклонений r*/ri и v*/vu
соответствующие ошибке в начальной скорости Avi=\ м/сек, при отсутствии
ЗАДАЧИ
317
оШибки в угле бросания (A0i = O); определите отклонения в величинах r*/ri
и v*/vi, соответствующие ошибке в угле бросания A0i = 0°,01, при отсутствии
ошибки в величине начальной скорости (Дщ = 0).
5. Спутник движется по круговой орбите на высоте 556 км. Рассчитайте
звездный период обращения, количество звездных витков за средние сол¬
нечные сутки, синодический период и количество синодических витков по от¬
ношению к точке на экваторе, считая орбиту экваториальной. Определите
в случае экваториальной орбиты, через какие интервалы времени будут на¬
ступать взаимные расположения спутника и стартовой позиции, обеспечиваю¬
щие встречу со спутником при выводе космического аппарата в точку'
встречи по заданной траектории, и количество подобных расположений за
4 сут после старта, за 24 сут после старта и за 216 сут после старта.
6. Спутник движется по круговой орбите высотой 556 км. Наклонение
орбиты к плоскости экватора 1 = 28°,5. Стартовая позиция расположена на
широте ф=28°,5 (примерно на широте Атлантического полигона, Флорида).
Определите возможность достижения спутника по компланарной эллиптиче¬
ской орбите (угловая дальность перехода 180°).
7. Орбита спутника и стартовая позиция те же, что в условиях преды¬
дущей задачи. Вычислите угол, определяющий положение спутника относи¬
тельно начальной точки, для первых двух недель полета (14 суток). Опре¬
делите тип непрерываемого компланарного вывода, осуществимого хотя бы
один раз в течение каждых суток. При этом оцените диапазон углов, опре¬
деляющих положение спутника относительно стартовой позиции, для следую¬
щих типов вывода:
а) Предельный случай баллистического вывода: 01 = 20° (следует учиты*
вать, что с увеличением 01 растет требуемая величина начальной скорости);
продолжительность активного участка ta=b мин; конец активного участка
удален от старта на 666 км.
б) Полностью активный вывод: /а=6,5 мин\ точка выключения двига¬
тельной установки расположена на орбите цели на расстоянии 1665 км от
точки старта.
в) Эллиптический вывод: ta=6 мин\ начальная точка расположена на
расстоянии 900 км от точки старта; угол, определяющий положение спут¬
ника по отношению к начальной точке для пассивной фазы полета г]т = 180о,
найден в предыдущей задаче; эллиптический переход при т]т>180° умень¬
шает положительный угол, определяющий положение спутника, а переход
при T]t<180° несколько увеличивает его (по крайней мере в начале полета)
по сравнению с переходом с г)т = 180°.
При решении этого примера предельный отрицательный угол, опреде¬
ляющий положение спутника по отношению к начальной точке, принять та¬
ким же, как в описанном выше баллистическом выводе, а его предельное
положительное значение принять равным 6°,4. Предполагается, что маневр
встречи осуществляется при помощи импульсов. При определении положе¬
ния спутника предполагается, что в начальный момент времени проекция
спутника на поверхность Земли совпадает с точкой старта.
8. Орбита спутника и стартовая позиция те же, что в условиях за¬
дачи 5. Необходимо осуществить встречу со спутником с использованием
орбиты ожидания. Космический аппарат выведен на круговую орбиту ожи¬
дания высотой 185 км, компланарную с орбитой спутника. Для заданной
переходной орбиты рассчитайте максимально возможный период нахожде¬
ния космического аппарата на орбите ожидания.
9. Спутник движется по эллиптической орбите высотой в перигее
Ур— 230 км и высотой в апогее У740 км. Наклонение плоскости орбиты
к плоскости экватора 1 = 35°. Сравните звездный период обращения с пе¬
риодом между двумя последовательными прохождениями восходящего узла,
считая Землю сжатым сфероидом.
318
ОРБИТЫ СПУТНИКОВ
[ГЛ. 2
ЛИТЕРАТУРА
1. К. А Е h г i с к е, Ascent of Orbital Vehicles, Astronautica Acta, vol. Ц
Fasc 4, pp. 175—190 (1956).
2. E. W. Brown, An Introductory Treatise on Lunar Theory, Cambridge
University Press, 1896.
3. D. Bro uwer, The Motion of a Particle with Negligible Mass under the
Gravitational Attraction of a Spheroid, Astronom. J., vol. 51, p. 223
(1946).
4. L. S p i t z e r, Jr., Perturbations of a Satellite Orbit, J. Brit. Interplan
Soc., vol. 9, p. 131 (1950).
5. R. J. Davis, F. L. Whipple, and J. B. Z i г к n e r, The Orbit of a
Small Earth Satellite, in Scientific Uses of Earth Satellites, J. A. Van
Allen (ed.), Chapman & Hall, 1956.
6. L. В 1 i t z e r, M. W e i s f e 1 d, and A. D. W h e e 1 о n, Perturbations of a
Satellite’s Orbit Due to the Earthe’s Oblateness, J. Appl. Phys., vol. 27,
No. 10, pp. 1141—1149, 1956.
7. L. Blitzer and A. D. W h e e 1 о n, Oblateness Perturbation of Elliptical
Satellite Orbits, J. Appl. Phys., vol. 28, p. 279 (February 1957).
8. L. Blitzer, Effect of Earth’s Oblateness on the Period of a Satellite,
Jet Propulsion, vol. 27, p. 405 (April 1957).
9. H. G. L. Krause, Die Saekularstoerungen einer Aussenstationsbahn, Third
International Congress, Astronautical Congress, Stuttgart, September
1952.
10. H. G. L. Krause, Die saekularen und periodischen Stoerungen der Bahn
eines kuenstlichen Erdsatelliten, Seventh International Astronautical Con¬
gress, Rome, September 1956.
11. C. L. Char Her, Die Mechanik des Himmels, W. De Gruyter, Berlin,
1927.
12. F. R. Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics, Macmillan, 1914,
pp. 282—294.
13. D. F. L a w d e n, J. Brit. Interplan. Soc., vol. 13, No. 3 (1954).
14. M. v. L a u e, Die Relativitaetstheorie, vol. II, F. Vieweg, Braunschweig,
1952.
15. K. A. Eh rick e, Some Basic Aspects of Operations in Cislunar and Lunar
Space, Paper presented at the Twenty-fifth Anniversary Annual Meeting of
the American Rocket Society, Chicago, November 1955; ARS Paper No.
235A-55.
16. E. Saenger, The Prospects of Jet Reaction Flight, Interavia, vol. IV
(July 1949).
17. K. A. Ehricke, The Establischment of Large Satellites by Means of
Small Orbital Carriers, Probleme aus der Astronautischen Grundlagen-
forschung, Proceedings of the Third International Congress, H. H. Koelle
(ed.), Stuttgart, October 1952; cf. also American Rocket Society ARS
Preprint No. 69-52, 1952.
18. N. V. Petersen, Lifetimes of Satellites from Near-Circular and Elliptic
Orbits, American Rocket Society, Jet Propulsion, vol. 26, No. 5 (May
1956).
19. S. F. Singer, Studies of a Minimum Orbital Unmanned Satellite of the
Earth (MOUSE), Part II, «Orbits and Lifetimes of Minimum Satellites»,
Astronautica Acta, vol. 11, Fasc. 3 (1956).
20. K. A. Ehricke, The Satelloid, Astronautica Acta, vol. II, Fasc. 2 (1956).
21. F. M. Perkins, An Analytical Solution for Flight Time of Satellites in
Eccentric and Circular Orbits, Astronautica Acta, vol. IV, Fasc. 2
(1958).
ЛИТЕРАТУРА
319
22 К. А Е h г i с к е, Cislunar Orbits, Convair Report AZP-004 (March 30,
‘ 1957).
23. R. J. Havens, R. Т. Ко 11 and H. L. G о w, The Pressure, Density, and
Temperature of the Earth’s Atmosphere to 160 Kilometers, J. Geophys. Res.,
vol. 57, p. 59 (1952).
24. К. A. E h г i с к e, Analysis of Orbital Systems, Proceedings of the Fifth
International Astronautical Congress, Innsbruck, Austria, September
1954.
25. G. G r i m m i n g e r, Analysis of Temperature, Pressure, and Density of the
Atmosphere Extending to Extreme Altitudes, The RAND Corp., Santa Mo¬
nica, Calif., November 1948.
26. R. M. L. Baker, Jr., Survey of Astrodynamics 1960, American Rocket
Society, Preprint 1475-60. This is a most extensive survey, covering some
260 papers on space flight dynamics published to September 1960.
ГЛАВА 3
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ
В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
3.1. Введение
Настоящая глава знакомит читателя с основами механики
космических полетов в поле центральной силы. Полученные в
данной главе уравнения будут необходимы для решения ряда
задач по оптимизации траекторий. В основу изложения поло¬
жено движение в поле центральной силы, то есть движение при
отсутствии всякого рода возмущающих сил. Последовательно
рассматриваются переходы между компланарными и некомпла¬
нарными орбитами, анализ ошибок маневра в поле центральной
силы, а также вывод космического аппарата с поверхности цен¬
трального тела на заданную орбиту в поле центральной силы.
Двумя основными типами навигационных задач в поле цент¬
ральной силы являются: переход с орбиты на орбиту и измене¬
ние орбиты. При отсутствии возмущений орбита небесного тела
неизменна в инерциальном пространстве. Космический аппарат
снабженный двигательной установкой, может создавать искус¬
ственные возмущения либо импульсами (то есть кратковремен¬
ными периодами работы двигательной установки, приводящими
к скачкообразному изменению скорости), либо более продолжи¬
тельными периодами работы двигательной установки. Подобные
искусственные возмущения могут быть использованы как для
коррекции существующей орбиты, так и для перехода космиче¬
ского аппарата на другую орбиту. В обоих случаях требуется
изменение орбиты. В первом случае изменением орбиты непо¬
средственно достигается требуемая орбита. При этом небольшие
изменения орбиты можно рассматривать как коррекцию суще¬
ствующей орбиты. При больших изменениях уместнее говорить
об изменении существующей орбиты. Во втором случае (в слу¬
чае перехода на другую орбиту) изменение орбиты преследует
цель перевода космического аппарата на переходную орбиту,
двигаясь по которой он достигает требуемой орбиты. После
3.2]
КИНЕМАТИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
321
этого необходимо второе изменение орбиты, чтобы аппарат стал
двигаться по требуемой орбите. Поэтому, прежде чем исследо¬
вать вопросы перехода между орбитами, нам придется рассмот¬
реть вопрос об изменении орбиты.
3.2. Кинематика изменения орбиты
Изменение орбиты может быть произведено либо измене¬
нием величины скорости, либо изменением направления ско¬
рости (либо одновременным изменением и того и другого).
Различают плоское, или компланарное,
изменение орбиты и пространственное, или
некомпланарное, изменение орбиты. К пло¬
скому случаю относят такое изменение
орбиты, при котором плоскость изменен¬
ной орбиты совпадает с плоскостью перво¬
начальной орбиты. Пространственный слу¬
чай предполагает изменение наклонения
орбиты. Кинематически оба случая яв¬
ляются одинаковыми. Действительно, во
всех случаях требуемое изменение скоро¬
сти определяется как разность между век¬
тором скорости, получаемым после измене¬
ния орбиты, и вектором скорости, имею¬
щимся до изменения орбиты. При этом
предполагается, что изменение скорости
происходит в виде импульса скорости, то
есть требуемое изменение скорости по вели¬
чине и направлению происходит мгновенно.
Это допущение позволяет сравнительно
просто изучить кинематику изменения Рис- 3-1- Пересечение
орбиты и установить простые зависимости АвУоднойИплос*ости.Х
для определения требуемого изменения век¬
тора скорости.
Рассмотрим (рис. 3.1) плоский случай изменения орбиты,
включающий изменение направления скорости на угол
р = 0'-0", (3.1)
где 0' и 0"—соответственно углы, образованные векторами
скоростей с трансверсалью в точке изменения орбиты до и по¬
сле маневра. Для определения требуемой величины импульса
скорости имеем:
■ 2v'v" cos р,
(3.2а)
AvB = Vу'2 + у"2 - 2v'v" (sin 0' sin 0" + cos 0' cos 6") (3.2b)
21 К. Эрике, т. I!
322
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
ИЛИ
Доэ = о'-/ l+(^)2-2f cos/
(3.3а)
До,-»'/1+/):
При малых углах р зависимости (3.2)
2-^г (sin 0' sin 0" + cos 0' cos 0"). (3.3b)
Эллипсы
компланарны
и (3.3) упрощаются:
До « | o' - o'' |. (3.4)
Эта зависимость справед¬
лива и для случая, при
котором не требуется из¬
менения направления ско¬
рости.
Если требуется изме¬
нить только направление
скорости, то есть v' = v" =
= v, то из (3.3а) получим:
До. = vV2 (1 — cos р) =
= 2asin-§-. (3.5а)
Эллипс и гипербола
компланарны
Линия пересечения
(линия узлов) плоскостей
Последняя зависимость
при малых р упрощается:
До3 « op. (3.5Ь)
На рис. 3.2, а, б, в по¬
казаны различные слу¬
чаи изменения орбиты в
плоскости, охватываемые
первоначальной и изменен' приведенными зависимо-
нои орбит s
л / стями.
Полученные зависимо¬
сти оказываются пригод¬
ными и для случая изме¬
нения орбиты, связанного
с изменением наклонения
орбиты (рис. 3.2,г). Угол
поворота плоскости орби¬
ты в дальнейшем будем
обозначать через а, что¬
бы отличать его от угла поворота в плоскости орбиты. По ана¬
логии с предыдущими равенствами для определения величины
импульса скорости, необходимого для поворота плоскости орби-
*)
Рис. 3.2. Изменение орбиты.
3.2]
КИНЕМАТИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
323
ты па угол а, находим:
Диа = У v'2 + v"2 — 2v'v" cos а
или при и' = v" = о
Доа = 2d sin у.
(3.6 а)
(3.6b)
В предельном случае при а = 90° и v'= v" — v будем иметь:
Диа = v У2,
то есть необходимая энергия для поворота плоскости круговой
орбиты (о= У К!г) на 90° оказывается равной энергии для полу¬
чения параболической скорости в точке приложения импульса
Ль
copl
Рис. 3.3. Одновременное изменение ско¬
рости по величине и направлению в пло¬
скости орбиты и поворот плоскости орбиты.
скорости. При Диа = у и v = УК1Г достигается поворот плоско¬
сти круговой орбиты на 60°.
При v' = v" = v и малых значениях а получаем:
Даа
sin а =
cos а
„и
а
а
м
1,
arcsin
Ч^)-
_АУа_
V
(3.7а)
и для величины импульса, нормального к плоскости орбиты,
Диа = v sin а ~ va. (3.7b)
В случае одновременного изменения вектора скорости в пло¬
скости орбиты и поворота плоскости орбиты необходимая вели¬
чина импульса скорости будет:
Диар =* V v'2 + v"2 — 2v'v" (sin 0' sin 0" + cos 0' cos 0") cos а (3.8)
или, с использованием выражения (3.1),
- W2 + v"2 — 2v/v" cos В9
21*
(3.9а)
324
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
где, как следует из рис. 3.3,
cos В = cos pcos а.
(3.9b)
Ha рис. 3.4 и 3.5 приведены графики величины импульса
скорости, необходимого для поворота вектора скорости в пло¬
скости орбиты на угол р или поворота плоскости орбиты на
1
О 0,2 0,4 0,6 0,8 7,0 1,2 7,4 7,6
v'/v'
Рис. 3.4. Величина импульса скорости для изменения вектора ско¬
рости по величине и направлению (р) в плоскости орбиты или по¬
ворота (а) плоскости орбиты (показана в зависимости от отноше¬
ния величин скоростей после и до маневра).
угол а. На рис. 3.6, 3.7 и 3.8 приведены графики величины им¬
пульса скорости, необходимого для одновременного поворота
вектора скорости в плоскости орбиты на угол р и поворота
плоскости орбиты на угол а. Величина импульса скорости пред-
КИНЕМАТИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
325
ставлена в безразмерном виде Ди/г/, где v' — величина скоро¬
сти до совершения маневра. Из анализа графиков следует, что
для уменьшения величины импульса скорости, необходимого
для поворота вектора скорости, он должен прикладываться в
I
10
20 30
40 50
ос ила /3
60
70
80
00
Рис. 3.5. Величина импульса скорости для изменения вектора скорости
по величине и направлению (р) в плоскости орбиты или поворота (а)
плоскости орбиты (показана в зависимости от отношения величин ско¬
ростей после и до маневра).
точках орбиты, соответствующих малым значениям v' или и'
и и", например в окрестности апоцентра эллиптической орбиты.
При совершении маневра перехода на другую орбиту иногда
оказывается выгодным требуемый поворот плоскости орбиты
разбить на два меньших поворота в каждой точке изменения
орбиты. Этот подход будет рассмотрен в § 3.5.
(Av)cc,fi _ (Avh
V' v'
Рис. З.б. Величина импульса скорости для одновременного поворота век¬
тора скорости в плоскости орбиты и поворота плоскости орбиты (а =15°).
(dv)aj _ (Ду)в
V' V'
Рис. 3.7. Величина импульса скорости для одновременного поворота век¬
тора скорости в плоскости орбиты и поворота плоскости орбиты (а = 30°).
Рис. 3.8. Величина импульса скорости для одновременного поворота век¬
тора скорости в плоскости орбиты и поворота плоскости орбиты («">45°)»
з.з]
ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
327
3.3. Динамика изменения орбиты
В предыдущем параграфе анализ изменения орбиты ограни¬
чивался только рассмотрением изменения скорости по величине
и направлению и тип орбиты не был оговорен. В настоящем па¬
раграфе вопрос об изменении орбиты будет рассмотрен в общем
виде, то есть будет рассмотрен переход космического аппарата
из любой точки заданной кеплеровой орбиты на любую другую
кеплерову орбиту.
а) Общий анализ кеплеровых орбит. Текущий угол, образо¬
ванный вектором скорости с местным горизонтом (то есть с
трансверсалью в рассматриваемой точке), будем обозначать че¬
рез 0. Угол между касательными к орбитам в точке их пересече¬
ния (то есть в точке изменения орбиты) будем обозначать че¬
рез р (рис. 3.9). Тогда
В зависимости от величины текущего радиуса-вектора г, ве¬
личины скорости vP в перицентре и величины радиуса-векто¬
ра гР в перицентре угол 0 для кеплеровых орбит может быть
определен по следующей формуле:
ф Эллипс ^ круг
Ф Эллипс ^ эллипс
Phq. 3.9. Изменение эллиптической орбиты в круговую и эл¬
липтической в другую эллиптическую орбиту.
Р = 0'—0".
(3.10а)
328 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ 3
где vp = Vpl \/К1гр — значение параметра скорости в перицентре.
В зависимости от истинной аномалии г) (отсчитываемой от
перицентра) угол 0 можно определить по следующей формуле:
cos 0 = ~ У1 + е cos г], (З.ЮЬ)
где v = v,'vc = vj У К'г — значение параметра скорости в рассма¬
триваемой точке. Величину текущей скорости можно рассчитать
по формуле
/ о . 2К 2К ,Qin
V=y &; + — — , (3.11)
где индекс «1» относится к любой фиксированной точке кепле¬
ровой орбиты (например, к перицентру). Угол 0 для любой кеп¬
леровой орбиты может быть выражен через эксцентриситет е и
истинную аномалию г\ так:
t 0=esinr!_> g j0 j
& 1 + е cos т] 4 1
Графики этой зависимости представлены на рис. 4.20 (см. «Кос¬
мический полет», т. I).
Приведем ряд полезных зависимостей, которые легко полу¬
чить из соотношений, рассмотренных в первом томе настоящей
серии («Космический полет», т. I):
фокальный параметр в зависимости от величины текущего
радиуса-вектора г:
2 2 л 2
р V cos 0 vn
7- — <^12>
эксцентриситет (с использованием соотношения v sin Q/VK/r =
— vr):
e = Y v2rv2a + (1 - v2)2; (3.13)
большая полуось (в зависимости от г; с использованием
равенства v = \VK!r):
а 1 1
г I 2 - V2 | 12 — v| — vM
(3.14)
малая полуось:
"f = Г7г=Т = лГ\ \ -tf = V°V7; (3-15)
г У12 — v | y|2-v2-vr2| г г
отношение величины малой полуоси к величине большой полу¬
оси для гиперболы в зависимости от Ф — половины угла между
асимптотами:
А = tg Ф = VavTT^v2! = vaK| 2 - — v2| ; (3.16)
3.3]
ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
329
расстояние от центра притяжения до перицентра:
1+6 i + Kv^ + O-v*)2’
расстояние от центра притяжения до апоцентра:
„2
г 1-е ’
линейный эксцентриситет:
* _ Vvyr+(i-saf
г 12 —V* I
2 — v2 — v2
а г
(3.17а)
(3.17Ь)
(3.18)
Связь между эксцентриситетом кеплеровой орбиты, текущим
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
Трансверсольная составляющая безразмерной, скорости va=va/i/ftyF=vcos0
Рис. ЗЛО. Связь между эксцентриситетом, текущим углом 0,
безразмерной величиной текущей скорости и ее трансверсальной
и радиальной составляющими для кеплеровых орбит.
углом 0, безразмерной величиной текущей скорости и ее транс¬
версальной и радиальной составляющими показана графиками,
330
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
приведенными на рис. 3.10 (для эллиптических орбит) и на
рис. 3.11 (для гиперболических орбит). Графики отношения а/г
в функции v приведены на рис. 3.12 (эллиптические орбиты) и
О 1 2 3 4 5 6 7 8
Трансверсально* составляющая безразмерной снороста %= va/rf7r=v cos 0
Рис. 3.11. Связь между эксцентриситетом, текущим
углом 0, безразмерной величиной текущей скорости и
ее трансверсальной и радиальной составляющими для
гиперболических орбит.
на рис. 3.13 (эллиптические и гиперболические орбиты). На
рис. 3.14 и рис. 3.15 приведены графики обратного отношения
r/а, которые могут быть использованы для определения угла Ф —
половины угла между асимптотами гиперболы.
3.3]
ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
331
Величина скорости в текущей точке может быть выражена
через величину круговой скорости в некоторой фиксированной
точке орбиты I (рис. 3.1):
Kjr{
= 2 T- + I v?~2|,
= 2(1 +е cos Т)) , | о _ о |
2 Т Vj Z ,
(3.19а)
(3.19Ь)
где v — величина скорости в текущей точке, удаленной от цент¬
ра притяжения на расстояние г, а г\ — расстояние от центра
30
20
10
А 4
Г 3
10
0,8
0,6
0.5,
У
г
* О 0.7 0,20.3 0,4 0,50.6 0.70,60.9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
v=v/VKTr
Рис. 3.12. Отношение а/г в зависимости от
v для эллиптических орбит.
притяжения до некоторой фиксированной точки 1 (например,
до точки выключения двигательной установки при выводе косми¬
ческого аппарата на орбиту), в которой величина местной кру¬
говой скорости равна |//С/гх, а величина скорости аппарата рав-
на Vi или в безразмерной форме vjYK!rl и vat, = vQt \lYK!ry
Трансверсальная составляющая безразмерной скорости в те¬
кущей точке, определяемой г или т], может быть представлена
В виде функции от г, ги е, т] и va,, = va< JVKIr{:
— — ve.|, (3.20a)
VJJr, r
_v 1 + e cost]
Vfl, 1
VWi - ’ (3,20b)
332
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
откуда можно получить следующие выражения для определения
величины безразмерной скорости в перицентре и апоцентре:
Vp = (va)11=0 =
VA = (Ve).
11=180°
1 + е
Vfl, 1 ’
— * ~~ е
~ Vfl, 1
(3.21а)
. (3.21Ь)
Аналогичным образом полу¬
чаются выражения для радиаль¬
ной составляющей безразмерной
скорости:
(3.22 а)
•°г
Kir
е2 sin2 ц
(3.22Ь)
Наконец, по заданным значе¬
ниям величин tv 1 и Г\ можно
О
0,5
i V
1,5
/.
у
/
У
Рис. 3.13. Отношение а/r в зави¬
симости от v для эллиптической
и гиперболической орбит.
V- Vl fffr
Рис. 3.14. Отношение r/а в зависи¬
мости от v для эллиптических орбит.
вычислить угол 0 в текущей точке орбиты, определяемой г или г\:
tg6= vrlVKjL_L = Jh__L (3.23а)
* Ve. 1 rx ve> ! Г\
, „ V^a.I <l+(1-vll)2sin11 fo ООП
tg0 = f-j j 7- о \21 1 (3.23 b)
i + K.i 1+0-< l) C0S11
Последнее равенство идентично.равенству (3.10с).
3.3]
ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
333
Особый интерес представляют следующие точки эллиптиче¬
ской орбиты: конечные точки большой оси (апсиды Р и А\
г| = 0; 180°), конечные точки малой оси (cosr] = —е\ v=l), конеч¬
ные точки фокального параметра (т] = 90°; 270°; трансверсаль-
ная составляющая безразмерной скорости va=l). Точками,
100
90
80
70
60
\Ц5°
{а^40
30
го
ю
о
10.
Парабола
| Гипербола,
У
А
1
г
О 1 г 3 4 5 6 7 8 9 10 11
v = о/\Щт
Рис. 3.15. Отношение r/а в зависимости
от v для эллиптической и гиперболи¬
ческой орбит.
представляющими интерес на параболической и гиперболиче¬
ской орбитах, являются перигейная точка и конечные точки
фокального параметра. Используя формулу (З.ЮЬ), получаем
следующие значения для углов 0 в характерных точках орбиты:
апсиды 0 = 0,
конечные точки малой оси (эллипс) cos 0 = V I — е2;
конечные точки фокального параметра:
эллипс, гипербола
парабола
cos0 = ~, 0^45°,
cos 0 = -7=, 0 = 45°.
V2
(3.24)
Для определения величины скорости в текущей точке ор¬
биты можно воспользоваться равенством
vl = г2 + (rf|)2 = с[2 sin2 г] + -^2" + 2с[ —■ cos ц + с'* cos2r],
334 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
обращающимся в равенство
V2 = с? +
^ +2c[-^-cosri,
С2
где
К
Ci = e~c>
С = гv cos 0
= rva. j
[ГЛ. 3
(3.25)
(3.26)
Подстановка соотношений (3.26) в равенство (3.25) приводит
к очень простой формуле для определения текущей скорости
для любой кеплеровой орбиты:
v2 = 2 — ,}~е2 . (3.27 а)
1 + е cos г\ 4 7
Используя последнюю зависимость, получаем следующие зна¬
чения параметра скорости в характерных точках орбиты:
v2 = 1 + е,
v2 = 2;
v2 = 1 — е;
cos г]):
(3.27Ь)
перигеи:
эллипс, гипербола
парабола
апогей:
эллипс
конечные точки малой оси (е =
эллипс v2 = 1;
конечные точки фокального параметра (г = р):
эллипс, гипербола v2=l+e2,
парабола v2 = 2.
Хотя формула (3.27а) является пригодной для расчета для
любой кеплеровой орбиты, приведем еще одну полезную зави¬
симость для определения величины орбитальной скорости в те¬
кущей точке, отнесенной к величине круговой скорости на ради¬
альном удалении, равном большой полуоси (г=а). При опреде¬
лении гиперболических и эллиптических орбит величина
большой полуоси играет особо важную роль. Для гиперболиче¬
ской орбиты
v2 _ 1 + е2 + 2е cos г\
К/а
для эллиптической орбиты
(3.28а)
v2 _ 1 + е2 + 2е cos г|
/С/а — 1 - е2
(3.28Ь)
3.3]
ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
335
Для эллиптической орбиты круговая скорость при г = а соответ¬
ствует скорости на круговой орбите, пересекающей конечные
точки малой оси. Для параболической орбиты подобной зави¬
симости не существует, так как большая полуось параболиче¬
ской орбиты бесконечна.
Дальнейший анализ изменения орбиты в общем виде, оче¬
видно, невозможен, так как расчет требуемых импульсов ско¬
рости будет основан на различных формулах, зависящих от
типа исходной и конечной орбит. Из приведенных зависимостей
наибольший интерес для расчета величины импульса скорости
представляет формула (3.2а), определяющая Аир исходя из
требуемого изменения скорости по величине и направлению.
Поворот плоскости орбиты не связан с изменением параметров
плоской орбиты; он будет рассмотрен в § 3.10. Выражение
(3.3а) для целей нашего исследования перепишем в виде
Последовательно рассмотрим следующие изменения орбиты:
б) круг эллипс или круг ;± гипербола,
в) круг^±парабола,
г) общий случай: одна кеплерова орбита другая кепле-
рова орбита,
д) эллипсу эллипс,
е) эллипс ^парабола,
ж) эллипсу гипербола,
з) парабола;±гипербола.
Знак ^указывает на обратимость импульсного маневра
в поле центральной силы.
б) Изменение орбиты «кругэллипс» или «круг^гипер¬
бола». Полагая v'=vc, v = v"lvc, (5 = 0, равенство (3.29) можно
переписать в виде
Подставив вместо v2 его выражение (3.27а) и использовав по¬
лучающуюся из формулы (З.ЮЬ) зависимость
получим общее уравнение для импульсного изменения круговой
орбиты в другую кеплерову орбиту или наоборот:
(3.29)
= Y\ + v2 — 2v cos 0.
Vc Г
(3.30)
v cos 0 = /i + e cos ту
(3.31)
336
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
В равенстве (3.32) истинная аномалия ц определяет точку
изменения орбиты относительно перицентра измененной орбиты.
Если предположить, что измененная орбита является круговой,
Рис. 3.16. Относительная величина импульса скорости для изменения
круговой орбиты в эллиптическую.
то Дц/цс = 0, что полностью согласуется с тем фактом, что пере¬
ход с одной круговой орбиты на другую круговую орбиту не¬
возможен при помощи лишь одного импульса. В точках, пред¬
ставляющих особый интерес, равенство (3.32) приобретает
следующий вид:
в перицентре (г] = 0; 0 = 0; v2=l+e\ для эллипса, параболы,
гиперболы)
(17)* =2(1 -V\+e) + e\ (3.33а)
в апоцентре (ti=180°; 0 = 0; v2=l-e; только для эллипса)
(тт)л= 2 ^ ~ -е; (З-ЗЗЬ)
в конечных точках малой оси (т]= arcsine; 0 = 71 — 90°; v2=l;
только для эллипса)
(^)с=2а-та (з.ззс)
в конечных точках фокального параметра (ц = 90°; 0 = arctg е\
v2=l+e2; для эллипса, параболы, гиперболы)
Шг‘г- Р-ззч)
3.3]
ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ
337
Последнее выражение соответствует максимуму величины им¬
пульса, в чем нетрудно убедиться, подставляя в выражение
(3.32) cosr] = 0.
В случае изменения орбиты «круг^±гипербола» верхней гра¬
ницей величины истинной аномалии точки изменения орбиты
будет tii=\/e, что соответствует Av/vc = oo. Поэтому подобное
изменение орбиты необходимо производить при меньших значе¬
ниях величины истинной аномалии, предпочтительнее всего в
Рис. 3.17. Относительная величина импульса скорости для изменения кру¬
говой орбиты в эллиптическую, параболическую или гиперболическую
орбиту.
перицентре орбиты (в вершине гиперболы). На рис. 3.16 и 3.17
приведены графики зависимости (3.32).
в) Изменение орбиты «круг парабола». Выражение (3.32)
в этом случае сильно упрощается, так как v2 = 2 и е=1:
(Al)2 = 3_2/i +costi. (3.34)
При г] = 0 получаем:
(-^У = 3_2К2=(Г2-1)2 = 0,17156 и — = 0,414.
\ ) Vc
22 К. Эрике, т. II
338 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Действительно, в перигее Av = vc(V2 — l). В конечных точках
фокального параметра (Av/vc)2 = I. Графики изменения1) Av/vc
в зависимости от г] приведены на рис. 3.17.
г) Общий случай: «одна кеплерова орбита другая кепле-
рова орбита». Общая зависимость для определения требуемого
импульса для изменения одной кеплеровой орбиты в другую
кеплерову орбиту на основании соотношений (3.1) и (З.ЗЬ) (см.
также рис. 3.9, б) может быть записана в следующем виде:
(АН.)2 = v'2 + v"2 - 2vV' cos (10' - 6" |), (3.35)
где v' = v'/vc и v" = o///oc—безразмерные величины скорости
соответственно на исходной и измененной орбитах, а 0' и 0" —
отвечающие им углы наклона вектора скорости к местному го¬
ризонту в точке изменения орбиты:
/2 о 1-е'2
v = 2 —
1 + е' cos г|'
2 1 — е"2
V" =2- 1 е
(3.36)
1 + е" cos г|" *
л/ V \ + е' cos W
0' = arccos т -
v'
a// V\ + е” cos х\"
0 ' = arccos 77
V '
Равенства (3.36) справедливы для любой кеплеровой ор¬
биты. Разность углов |ц'—г]7'! представляет собой угол пово¬
рота большой оси кеплеровой орбиты в результате изменения
орбиты. В некоторых задачах этот угол может быть задан.
В этом случае выбор точки изменения орбиты (то есть выбор г'
и г]') сразу приводит к определению т)" (так как г" = г' при
одноимпульсном маневре). В зависимости от г]', г]", е\ е", v' и
V" для разности углов между касательными к орбитам в точке
изменения орбиты можно записать следующее выражение:
cosde'-e"!)^ 1 +а + а2- 1 +е'c2os п' _ 1+ е"cos гг ^3 37^
v' V"
где
^ _ V(1 + е' cos r[') (1 + е" cos г[")
v'v"
д) Изменение орбиты «эллипс эллипс» (рис. 3.9). В этом
случае непосредственно можно использовать выражения (3.35) —
(Прим. перев.)
3.3] ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ОРБИТЫ 339
(3.37). Если требуется, чтобы |г)'—то изменение ор¬
биты необходимо производить в одной из точек апсид. В этом
случае, очевидно, 0'—0/7 = О и, следовательно,
(Al\ = | v' — v" |.
' f apsis
Однако условию 0'—0" = О соответствует изменение орбиты
ке только в точках апсид. Если изменить скорость только по
величине в любой другой точке орбиты, то параметры движе¬
ния до и после изменения орбиты будут связаны следующими
соотношениями:
v/2 cos2 0 = 1 + ef cos г]',
v"2 cos2 0 = 1 + e" cos У]",
(3.38)
откуда, если принять за независимые переменные е и ц , мо¬
жно получить:
1 + e,;cosT'.. (3.39)
1 + е cos ту 4 7
Если за независимые переменные принять г" и г", то, вводя
обозначение r'^jr"p = n" и учитывая очевидное равенство
(г" + г£)/2 = а", получим:
п
-1
v" = 2
п"+ 1
1 -
Г," 1 1 п" >
г". + г
= 2 -
Г
//
COS Г) = ■
v" cos2 0 - 1
(3.40)
где величина радиуса-вектора г (заранее определенная или из¬
вестная) и истинная аномалия г\ (известная) определяют точку
изменения орбиты. Полученные равенства легко преобразовать
и для других независимых переменных.
е) Изменение орбиты «эллипсу парабола». С учетом значе¬
ний v" = V2 и е" = 1 общая зависимость для определения тре¬
буемого импульса записывается в следующем виде:
(—)2= 1 +4--^-COS(|0,-0"l), (3.41)
\ vc / V V
22*
340
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
где
v = 2
0' = arccos
0" = arccos
1 — e
1 -f e' cos ri' *
V1 + e'cos t)'
v1
+ cos T]"
(3.42)
ж) Изменение орбиты «эллипс гипербола». В этом случае
используются зависимости, приведенные в пункте д).
з) Изменение орбиты «парабола :=± гипербола». В этом слу¬
чае V=V2> е/= I и, следовательно,
(^)2=l +^r-v"^2cos(|0'-0"|)> (3.43)
V Vc J v"
v" = 2 +
e" -1
0' = arccos
1 + e" cos т)" *
/1 + cos rf
2
0" = arccos
V\ + e" cos x\"
(3.44)
В соответствии с выводом, приведенным в конце § 3.2, сле¬
дует отметить, что точку пересечения орбит по возможности
нужно выбирать в районе малых орбитальных скоростей. На¬
пример, при изменении эллиптической орбиты в круговую точку
изменения орбиты выгоднее выбрать в районе апогейной, а не
перигейной точки. Так как в действительности изменение ор¬
биты происходит не мгновенно, а в течение конечного проме¬
жутка времени, то этот подход приводит к тому, что в большин¬
стве случаев изменение орбиты происходит при скоростях,
меньших теоретической скорости в точке пересечения орбит.
Такой подход к выбору точки изменения орбиты в соответствии
с зависимостями предыдущего параграфа позволяет уменьшить
энергетические требования к маневру.
3.4. Переход с орбиты на орбиту
В противоположность изменению орбиты переход с орбиты на
орбиту включает промежуточную, или переходную, орбиту, свя¬
зывающую исходную и конечную орбиты. Изложение целесо¬
образно начать с классификации орбитальных переходов. Раз¬
личают три основных вида орбитальных переходов:
1) орбитальный переход в поле центральной силы (ОППЦ),
2) орбитальный переход «поверхность — орбита» (ОППО),
3.5] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ 341
3) межпланетный орбитальный переход (МОП).
В случае 1) начальная и конечная траектории движения яв¬
ляются кеплеровыми орбитами, соответственно называемыми
исходной орбитой и орбитой цели. Плоскости обеих орбит про¬
ходят через центр притяжения.
В случае 2) конечная траектория также является орбитой
цели. Начальная траектория в этом случае, если тело, с поверх¬
ности которого совершается переход, вращается, представляет
собой круг широт, параллельный плоскости экватора. Таким обра¬
зом, если широта начальной точки отлична от нуля, то плоскость
начальной траектории не проходит через центр притяжения.
Случай 3) представляет собой комбинацию первых двух
случаев с учетом гелиоцентрического поля притяжения.
ОППЦ и ОППО являются операциями в поле центральной
силы. Теоретические основы этих переходов будут рассмотрены
в настоящей главе. Теоретические основы МОП будут изложены
в следующей главе. Орбитальный переход в поле центральной
силы и орбитальный переход «поверхность — орбита» будут
рассмотрены в §§ 3.5—3.12.
Переход между исходной орбитой и орбитой цели включает
в себя два изменения орбиты, которые в идеальном случае мо¬
гут рассматриваться как импульсные, то есть переход осуще¬
ствляется по методике, изложенной в предыдущем параграфе.
Так же как и в случае изменения орбиты, различают компла¬
нарные и некомпланарные орбитальные переходы. В большин¬
стве случаев долунных переходов и в особенности межпланет¬
ных переходов конечные орбиты близки к компланарным. Так
что компланарный переход может служить хорошим приближе¬
нием для первоначального анализа параметров перехода и,
следовательно, представляет определенную практическую цен¬
ность.
Между компланарными некруговыми кеплеровыми орбитами
различают соосные и несоосные орбитальные переходы в зави¬
симости от взаимного расположения больших осей рассматри¬
ваемых орбит. Естественно, что для круговых орбит подобного
различия не существует. Простейшим случаем орбитального
перехода является переход между компланарными круговыми
орбитами, с рассмотрения которого мы и начнем.
3.5. Переход между компланарными круговыми орбитами
Рассмотрим две круговые орбиты (на рис. 3.18 помечены
одним штрихом и тремя штрихами), между которыми необхо¬
димо осуществить переход космического аппарата. Переходная
орбита минимальной требуемой энергии (помечена двумя штри¬
342
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
хами) представляет собой эллипс (часто называемый гоманов-
скым]) эллипсом. Точки апсид гомановского эллипса касаются
исходной и конечной орбит. Приведенный ниже анализ основан
на применении теории эллиптиче¬
ских орбит, изложенной в пер¬
вом томе настоящей серии (см.
«Космический полет», т. I, § 4.4).
Пронумеруем три круговые
орбиты в порядке увеличения их
радиусов. Номера орбит будут
использованы как индексы для
обозначения соответствующих то¬
чек начала и конца перехода.
Переход может иметь место с
внутренней орбиты на внешнюю
(г2<г3) или наоборот (r2>ri).
В первом случае величина ско¬
рости на переходной орбите в
точке 2 (см. рис. 3.18) может
быть определена из равенства
2 г,
( "Ч
Г^х
2
\ X ,
\\
ViA
) I/
\ \ \
7 А /
\ \
zy'/
2^ У
Рис. 3.18. Орбитальный переход с
минимальной требуемой энергией
между компланарными круго- v"2
выми орбитами. 2
а в точке 3 — из следующего равенства:
1 + r2jr3
V =
V3
1 +r2/r3 1 +r3/r2
где v' = Klr2 и v'" =Klr,. Следовательно,
Г
2 К
UP,2
r2 (1 + r2/r3) V1 + r2/rz ’
2K
°з“
Jp, 3
V1 + r3/r2 ’
(3.45a)
(3.45b)
(3.46a)
(3.46b)
r3 r2 + r3
где Г2 + г$ = 2а" — большая ось переходного эллипса. Соответ¬
ствующие положительные импульсы скорости в начале и в кон¬
це переходного эллипса определяются по выражениям
&V, -fj}/ттЬ: -')’
а»,-с-Уттж)'
(3.47а)
(3.47Ь)
') По имени Гомана (W. Hohmann), первым исследовавшего этот тип
перехода (см. «Космический полет», т. I, гл. 1).
3.5] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ 343
Для перехода с орбиты 2 на орбиту 1 имеем:
' г Г \ О
,,2 I Vо 1 2
(3'48а)
+ <3-48Ь>
t,'"=l/ — = i!p^2 , (3.49а)
Г ^2 (1 + ^2/^1) )1+Г2/Г1
2* Ы
4. - 1 гпг-г ’ (3-49Ь)
г 1 Г2 + Г1 Г 1+^2
Д»2У f(/=5^-l), (3.50а)
д„, _ С /71±к). (3.50Ь)
При рассмотрении перехода с внутренней круговой орбиты
на внешнюю круговую орбиту импульс скорости Ди3 в апоцент¬
ре переходной орбиты может быть выражен в единицах круго¬
вой скорости на внутренней орбите таким образом:
(3-5,а)
Дифференцируя равенство (3.51а) по г3/г2, получаем:
d. Г Ао3 1 1 Г1 ( 1+г3/г2Л
d (г8/г2) L VK/r2 J V2r3/r2 (1 +Г3//2)3 L Г3/Г2 V '
1 + гъ/г2
2
(3.51Ь)
Выражение (3.5lb) обращается в нуль при значении г3/г2 =
= 5,879, которое соответствует максимуму импульса скорости
в апоцентре переходной орбиты, равному
Лиз =0,190. (3.51с)
VK/r
Из равенства (3.50а) следует, что Ди2->0 при г2—>оо.
Суммарная величина импульсов Ди2 + Ди3 для перехода с
внутренней орбиты на внешнюю орбиту в единицах круговой
скорости на внутренней орбите (vc = V~Kjr^) равна:
Av2 + Av3
V K/r2 V rjr2 У 1 + г3/гг ' V7jr:
344 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Дифференцируя равенство (3.5Id) по rz/r2, получаем:
d /Аа2 + Ааз\ __
d(r3/r2) \ VК!г2 )
Выражение (3.51 е) обращается в нуль при г3/гг= 15,582. При
этом значении отношения радиусов rzjr2 суммарная величина
импульсов для перехода с внутренней круговой орбиты на внеш¬
нюю круговую орбиту в единицах круговой скорости на внут¬
ренней орбите равна:
^^--0,536. (3.510
При (hv2 +hv^/VК/r2 = V2 — 1, то есть при переходе с сум¬
марной величиной импульсов, которая обеспечивает параболиче¬
скую скорость ухода с исходной круговой орбиты 2, из соотноше¬
ния (3.51 d) получим значение г3/г2«3,4. Таким образом, переход
на круговую орбиту, удаленную от центра притяжения более чем
в 3,4 раза, чем исходная орбита, требует большей энергии, чем
уход с параболической скоростью с исходной орбиты. В межпла-
3.5] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ 345
цетных полетах подобные ’ условия могут возникнуть при пере¬
летах с Земли на орбиту Юпитера или орбиты более дальних
планет.
На рис. 3.19—3.21 приведены графики величин импульсов
скорости для перехода между круговыми орбитами. На рис. 3.19
величины импульсов скорости выражены в единицах круговой
скорости на орбитах /, 2 и 3. На рис. 3.20 величины импульсов
скорости выражены в единицах круговой скорости на исходной
Рис. 3.20. Величины импульсов скорости при переходе между круговыми
орбитами (величины импульсов выражены в единицах круговой скорости
на исходной орбите).
орбите (орбите 2). На рис. 3.21 представлены те же графики,
что на рис. 3.20, но в более крупном масштабе.
Наличие максимума величины Даг + Д^з объясняется свое¬
образным характером изменения величин Ду2 и Ду3. Величина
A vJVKIr2 монотонно возрастает, асимптотически приближаясь
к значению 1^2 — 1. Характер изменения кривой Ду3 опреде¬
ляется тем, что импульс Ду3 предназначен для увеличения ско¬
рости космического аппарата в апоцентре переходной эллипти¬
ческой орбиты до величины местной круговой скорости. Вели¬
чина местной круговой скорости, равная V К /г3, монотонно убы¬
вает с ростом величины г3, стремясь к нулю. Скорость аппарата
в апоцентре переходной орбиты, равная ^/<7г31/ 2 , , так-
¥ 1 + Г з/Г 2
же стремится к нулю при непрерывном увеличении величины г3.
Таким образом, Да3 —► () при г3—►оо. При этом увеличение
346 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
отношения r<Jr2 в диапазоне его малых значений приводит к мень¬
шему убыванию местной круговой скорости по сравнению с
убыванием величины скорости в апоцентре переходной орбиты.
Рассмотренная закономерность изменения слагаемых, фор¬
мирующих величину импульса Да3, приводит к тому, что при
непрерывном увеличении отношения г3/г2 величина Да3 сначала
Рис. 3.21. Величины импульсов скорости при переходе между круго¬
выми орбитами (величины импульсов выражены в единицах круговой
скорости на исходной орбите).
увеличивается, а затем уменьшается, стремясь к нулю при
г3~> оо.
Из рис. 3.20 следует, что при г3/г2> 15,582 можно сэконо¬
мить энергию для перехода между круговыми орбитами, если
воспользоваться обходной1) переходной орбитой, то есть вна¬
чале вывести аппарат на высоту, превосходящую высоту орби¬
ты цели, а затем спуститься по эллиптической орбите на орбиту
цели с радиусом г3 (рис. 3.22). В предельном случае при этом
методе будем иметь уход с исходной орбиты с параболической
скоростью и возвращение на исходную орбиту также с парабо¬
лической скоростью. Первый маневр потребует импульса ско¬
рости &v2/v2c = V2 — 1; импульс скорости при втором маневре
!) Этот метод предложен советским ученым А. А. Штернфельдом в
1954 г. См.: Штерн фельд А. А., Искусственные спутники Земли, Гостех-
издат, 1957. (Прим. перев.)
3.5] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ 347
= 0^2 — \)~^/Г—т— . Суммарная величина импульсов бу-
Д vslv2c
дет равна:
(3.52)
График этой величины, приведенный на рис. 3.20, при г3/г2 ^
> 11,94 проходит ниже графика суммарной величины импульсов
3иэллиптический
переход
Моноэллиптический
(гомоновский)
переход
биэллиптический
переход, эквива¬
лентный гоманов-
с кому переходу
Г3=15;582г2
до эллиптический
переход, соответ¬
ствующий без¬
условному мини¬
муму энергии
/омоновский переход,
соответствующий
условному миниму¬
му энергии
Гомановский переход,
соответствующий
безусловному мини -
муму энергии
Рис. 3.22. Области моноэллиптических (гомановских) п бпэллипти-
ческих переходов в поле центральной силы.
при моноэллиптическом (гомановском) переходе, определяемой
выражением (3.51 d). При г3/г2 =11,94 кривые пересекаются, при
этом 2 &vlvic = 0,534. Таким образом, биэллиптический переход
с промежуточной апогейной точкой, для которой гл>гь требует
348
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ 3
меньше энергии, чем моноэллиптический (гомановский) пере¬
ход. В диапазоне 11,94<г3/г2< 15,582 величина гА, обеспечиваю¬
щая отмеченную экономию энергии перехода, быстро возра¬
стает, стремясь к бесконечности при г3/г2~> 11,94. Даже в этом
предельном случае выигрыш в требуемой энергии невелик (при¬
мерно 10% при очень больших значениях гА), а переходный
гз/гг
Рис. 3.23. Изменение скорости на переходной орбите в зависимости от рас¬
стояния при эллиптическом переходе с внутренней на внешнюю круговую
орбиту (г2->г3) в поле центральной силы [скорости выражены в единицах
круговой скорости на исходной орбите (г2)].
период становится чрезмерно большим. Поэтому практическое
использование биэллиптического перехода вряд ли будет оправ¬
данным, в особенности если учесть, что чувствительность пара¬
метров движения при этом переходе к начальным ошибкам ста¬
новится чрезвычайно большой при значительных величинах гА
(см. § 3.10).
Графики изменения скорости и времени полета в зависимо¬
сти от расстояния для эллиптических орбит в поле централь¬
ной силы приведены соответственно на рис. 3.23 и 3.24. Ис¬
пользуя зависимость
v*=v> + 2 к(у-±),
(1.4.64)
3.5] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ 349
выведенную в первом томе настоящей серии, легко получить
общую зависимость, связывающую скорость в текущей точке,
Рис. 3.24. Время полета по эллиптической орбите в поле централь¬
ной силы в зависимости от расстояния (время выражено в единицах
периода обращения по эллиптической орбите, характеризуемой пара¬
метром Гд/гя).
характеризуемой величиной г, для любой переходной эллипти¬
ческой орбиты, определяемой отношением г3/г2 (рис. 3.18), с
круговой скоростью в перицентре (для случая г4<г2):
■ V"V. = ,/ 2 Г— 1- — — 1
Vi У И г
Vi
irvi-
i +
-+Ц-1
г2 г
(г >rx), (3.53а)
(г<Гз). (3.53Ь)
Для двух рассмотренных случаев перигейная скорость в функ¬
ции г$/г2 выражается зависимостями
"
(3.54а)
4 Г 2 °Г Р2
/А V 1 + А ' /А /А
V г2 гъ V r2 V Гг
1Я скорость — зависимостями
гг ГГ ГГ Г О
Vo v9 г9 v9 / 2
7Г7Р'
(3.54Ь)
350 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Рис. 3.23 относится к случаю эллиптического перехода с
внутренней круговой на внешнюю круговую орбиту. Парамет¬
ром семейства графиков является величина отношения г3/г2. На
рис. 3.23 нижняя пунктирная линия соответствует значениям
скорости в апоцентре, а верхняя — в перицентре. Для получения
зависимости времени полета на переходной орбите от расстоя¬
ния воспользуемся равенством (1.4.180) для времени полета по
эллиптической орбите, отсчитываемого от момента прохождения
космического аппарата через перицентр:
Подставив в формулу (3.55) выражение р = а{ 1—£2), получим
выражение для времени полета в единицах периода обращения
на заданной эллиптической орбите:
гейное и перигейное расстояния переходного эллипса). Выраже¬
ние (3.56а) может быть использовано в приведенном виде как
для перехода ri—>г2, так и для перехода г2->г3 (рис. 3.18). Под¬
ставив в правую часть выражения (3.56а) величину большой по¬
луоси, выраженную через гА и гР, окончательно получим:
arcsm
р — г {1 — е2)
1-п Л L
ер
- ^2pr - r2( 1 - е2) - р2] . (3.55)
а —г
arcsin
ае
(3.56а)
где 2я = Г —период обращения по переходному эллипсу
к ” 1 +га!гр (
с большой полуосью а = —^—(гА и гр — соответственно апо-
ггр
3.5] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ 351
где
Графики зависимости (3.56Ь) приведены на рис. 3.24 для
различных переходных орбит, характеризуемых параметром
Гл/^р. Из графиков следует, что большая часть времени пере¬
хода приходится на долю области апоцентра переходной орби¬
ты— обстоятельство, которое необходимо учитывать в космиче¬
ских полетах при выборе «быстрых» переходных орбит, то есть
орбит с малым временем перехода.
Вместо переходных эллипсов, точки апсид которых касаются
обеих круговых орбит, между которыми осуществляется пере¬
ход, можно использовать эллиптические переходные орбиты, ко¬
торые касаются лишь одной из круговых орбит и пересекают
другую. Пример подобной переходной орбиты показан на
рис. 3.9, а. Такая переходная орбита обеспечивает более быст¬
рый переход, поскольку при переходе апогейная часть орбиты
не используется. Как следует из графиков (рис. 3.24), именно
эта часть переходной орбиты является главной причиной боль¬
шой продолжительности гомановского перехода. Энергетические
требования для вывода космического аппарата с исходной
орбиты на подобные переходные несколько выше, чем при гома-
новских переходах. Что касается энергетических требований,
связанных с изменением орбиты в точке пересечения с орбитой
цели, то они значительно выше вследствие необходимости из¬
менения скорости по направлению.
Переходные орбиты, пересекающие одну (или обе) заданные
орбиты, для краткости будем называть эллипсами быстрого пе¬
рехода. К сожалению, в общем случае не представляется воз¬
можным вычислить параметры переходного эллипса только по
заданному времени перехода. Действительно, для этого необ¬
ходимо вначале либо определить одну из точек апсид (если
в начальной точке переходной орбиты касательные к переход¬
ной и исходной орбитам совпадают, то эта точка известна),
либо определить истинную аномалию точки пересечения.
В обоих случаях время перехода является зависимой пере¬
менной.
Предположим, что величина г" перигейного расстояния пе¬
реходной орбиты известна. Тогда для точки пересечения пе¬
реходной орбиты с орбитой цели при выбранной величине
апогейного расстояния переходной орбиты г'д>г% можно
352 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
вычислить время перехода /" по следующей схеме:
+ г"
р
COS Е2 =
1
а" ’
1 //if/
1 — r2 j а
/Vi = Е2 — е sin £2,
/" =
М"
(3.57)
Как и прежде, параметры переходной орбиты помечены двумя
штрихами: ц" —среднее движение, /" — время перехода (в рас¬
сматриваемом случае от Гр до г'£)и Истинную аномалию
точки пересечения на переходной орбите можно вычислить по
выражению
cos ц
_ a (cos Е — е)
(1.4.98а)
Теперь, зная величину можно по уравнению (3.32) вы¬
числить необходимую величину импульса скорости Ду2 в точке
пересечения. Постоянная энергии переходного эллипса равна:
fi" = —
" а" *
Параметр скорости переходного эллипса в точке пересечения
равен:
о h"
(3.58)
vf = 2
h"
K/r" *
Наконец, угол наклона вектора скорости в точке пересечения
к местному горизонту равен [см. выражение (3.10b)]:
cos 02 = -рг 1 + е" cos
n?.
Если же задана истинная аномалия ц" (а не г^)» то эксцентри¬
ческая аномалия определяется из выражения
tg
Г
г-V-
, // /Г
— tg^L
1 + е" ё 2 »
(3.59)
3.5] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ 353
причем опять имеется в виду, что а", а следовательно, и е" яв¬
ляются известными величинами. Дальнейший расчет произво¬
дится так же, как и в приведенной выше схеме.
Таким образом, время перехода является функцией приня¬
той в расчете величины большой полуоси или апогейного (пе¬
ригейного) расстояния переходного эллипса. Изменяя величину
большой полуоси, последовательными расчетами по приведен¬
ной схеме добиваются желаемого времени перехода. В боль¬
шинстве случаев эта задача решается графически построением
графиков t" в зависимости от Е'\ а" или е". Графики времени
перехода в зависимости от г" приведены в главе 9 для различ¬
ных коротких (Аг|< 180°) и длинных (Аг|> 180°) переходных ор¬
бит с Земли к другим планетам в предположении, что орбиты
планет круговые и компланарные.
Более быстрые (и, следовательно, с большей затратой энер¬
гии) переходы можно осуществить, используя параболические и
гиперболические переходные орбиты. Расчет параметров пара¬
болической переходной орбиты чрезвычайно прост. По опреде¬
лению, величина параметра скорости в точке пересечения дол¬
жна быть v'2'= Y2; эксцентриситет £"=1,0; фокальный пара¬
метр р" = 2г'р. Величина радиуса-вектора точки пересечения
гакже известна, так как точка пересечения принадлежит орбите
цели. Поэтому для определения истинной аномалии т)" точки
пересечения на переходной орбите можно воспользоваться по¬
лярным уравнением орбиты
// //
cost£ = 4--1 =2-^-1. (3.60)
'2 г2
Величину импульса скорости Av2 можно определить по уравне¬
нию (3.32), а угол 02 — по формуле (3.10b), полагая £=1,0.
Время перехода t" может быть найдено из следующего выра¬
жения [см. формулу (1.4.196)]:
При расчете параметров гиперболической переходной ор¬
биты вначале задаются величиной =-^== , по которой
23 К Эрике, I II
ЗБ4
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
определяют е" = v2p — 1. Дальнейший расчет ведется по следую¬
щей схеме:
где Н — вспомогательный угол, соответствующий эксцентриче¬
ской аномалии гиперболической орбиты (см. «Космический по¬
лет», т. I, рис. 4.28). Время перехода /" = / — ГР, где ТР— вре¬
мя прохождения космическим аппаратом перицентра (ТР обыч¬
но полагают равным нулю), определяется из уравнения [см.
формулу (1.4.240)]
Как будет показано дальше, выигрыш во времени перехода
по гиперболической орбите по сравнению с эллипсом быстрого
перехода достигается большей затратой энергии. По сравнению
с гомановским переходом максимальный выигрыш во времени
достигается при использовании перехода по параболической
орбите. Поэтому до тех пор, пока при выборе типа перехода
главную роль будут играть энергетические соображения, пере¬
ход по гиперболической орбите между двумя орбитами в поле
центральной силы будет применяться крайне редко.
Рассмотрим переход с круговой орбиты радиуса г2 на эллип¬
тическую орбиту радиуса гР>г2. В этом случае необходимы два
импульса скорости: первый импульс Av2 на исходной круговой
орбите, второй — AvP или Ava соответственно в перицентре или
апоцентре конечной орбиты. В зависимости от выбора точки
приложения второго импульса имеют место два возможных ва¬
рианта перехода, изображенных на рис. 3.25 и 3.26 (рис. 3.25
соответствует варианту Av2+ДуР, рис. 3.26 — варианту Ду2 +Д^а) •
Из графиков (рис. 3.20), а также из анализа выражения
(3.47а) следует, что заданному увеличению Av2 при малых г2
COS Т)" =
rD
(1 -е”) - 1
г
(3.62)
t" = ]/ ^ [е" tg Hi - In tg (450 + . (3.63)
3.6. Переход между компланарными круговой
и эллиптической орбитами
3.6] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КРУГОВОЙ И ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТАМИ
355
»я
о
и
с
и
О,
Я
я
Ч
О
X
<и
Он
О)
с
я
О*
я
CQ
я
CU
«я
о
я
о
и
>»
Он
я
я
о
X
<D
Он
н
я
я
я
-Он
я
CQ
23*
орбиты на эллиптическую орбиту орбиты на эллиптическую орбиту (им-
(импульс прикладывается в перицентре пульс прикладывается в апоцентре эл-
эллиптической орбиты). липтической орбиты).
356
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
(отношение г3/г2 велико) соответствует большее увеличение гл
(или г3), чем при больших Г2, и создается впечатление, что ва¬
риант А^2 + А^л экономически выгоднее варианта Д^ + Д^р. Это
предположение легко проверить, воспользовавшись уравнения¬
ми, полученными в предыдущем параграфе. Действительно, из
формул (3.47) имеем:
VK>r2 VГ 1+(Г21Гр)
Аор = т/"— f 1 - j/"-i.f-iт 1 + V — [l/ т+/ ч - О,
У Гр [ У 1 +(гр/г2) _ У гр [У 1 +(rplrA) J-
разность между круговой скоростью разность между скоростью на конеч-
и скоростью на переходной орбите ной орбите и круговой скоростью
в перицентре в перицентре
At,P 2r2lfP / 2Г21ГР
ук/г2 у 1 +(гр1гА) У 1 +(гр/г2)
Таким образом, для варианта Ao2 + AoP получаем:
Av2 + Avp
(r2<rP).
Аналогичным образом для варианта Да2 + Дал, воспользо¬
вавшись формулами (3.47а) и (3.47Ь), получим:
Г Г
_ V Kir, V 1+('Л)_
[‘ + -V ттуд]}
-1,
разность между круговой скоростью разность между круговой скоростью и ско-
и скоростью на переходной орбите ростью на конечной орбите в апоцентре;
в апоцентре знак «минус» внутри фигурных скобок
указывает на то, что направление этого
вектора противоположно направлению век¬
тора первого слагаемого
Ди2 + Ava
KVA 1 f VrA _ 1 / 2г2 1ГА
rKlr2 V 1 +(rATp) V 1 +(rAlr2) ’
, 1 / —- f 1 - —) + ]/~^-А— - 1 (3.65а)
ук/г2 [ 1+{г2!га) \ ГА/ V 1 + (ГА 1Гр)
Ог2<гА)•
На рис. 3.27 приведены графики суммарной величины им¬
пульсов скорости для перехода «круг^эллипс» с приложением
3.6] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КРУГОВОЙ И ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТАМИ 357
второго импульса в апогее или перигее конечной орбиты в зави¬
симости от отношения гА/г2 для различных значений отношения
гр/гг- Для сравнения там же приведены графики суммарной ве-'
личины импульса скорости (Ау2 + До3)/ V К/г2 для перехода ме¬
жду двумя компланарными круговыми орбитами и величины им¬
пульса скорости ^vJVК!г2 для перехода с круговой орбиты на
эллиптическую, перенесенные с рис. 3.20. Из анализа графиков
Рис. 3.27. Суммарная величина импульсов скорости для перехода «круг ^
эллипс» с приложением второго импульса в апогее или перигее конеч¬
ной орбиты (гр ^ г2у
следует,что при заданной величине гР/г2 переход «круг^эл¬
липс» со вторым импульсом скорости в перицентре всегда тре¬
бует большей затраты энергии, чем в случае приложения вто¬
рого импульса в апоцентре. При этом указанная разность быст¬
ро увеличивается с возрастанием гА/г2. С другой стороны, следует
ожидать, что некоторые переходы «круг^±эллипс» с приложе¬
нием второго импульса в перицентре требуют меньшего расхода
энергии, чем переход с той же исходной круговой орбиты на
круговую орбиту радиуса, равного апогейному расстоянию ко¬
нечной эллиптической орбиты. Это объясняется разницей в уров¬
нях орбитальных энергий сравниваемых круговой и эллиптиче¬
ской орбит.
Подставляя в выражение (3.65а) гА~а(\ +е) и гР = а(\—е),
можно получить суммарную величину импульсов скорости,
358
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
выраженную через эксцентриситет еу большую полуось а ор¬
биты цели (не переходной орбиты) и г2:
Да,
2 + А1,Л _ Г
V К! Г 2 V \
2(1 + е)
_Д/Ц+]/д
1+е) V а
2 1 6 - 1. (3.65Ь)
1 -Ь в -Ь V \ е ) \ а 1+6
(Графики этой зависимости приведены на рис. 3.28.)
В случае перехода с внешней круговой орбиты радиуса г2
на внутреннюю эллиптическую орбиту наиболее экономичным
1^ 0,6
Орбита цели: круг(е=0) (верхний граничный случай)
1 2 3 4 5 6 7 8910 20 30 40 50 60 80 100
Отношение величины большой полуоси орбиты цели к величине радиуса исхобной орбиты а/гг
Рис. 3.28. Суммарная величина импульсов для перехода «круг эллипс»
при гр >г2.
является переход {г2 -► гР) в перицентр орбиты цели. Для этого
случая можно получить зависимости, аналогичные зависимо¬
стям (3.65а) и (3.65Ь):
_^= л/ - (А- \ \-л/ 2г*!Гр - I
ук/г2 V I +(Г2/Гр) \гр ) V 1 +(гр/гА)
(?2>Г/д,
Да2 + Да
(3.66а)
Ди2 + Д vp
~ТШ~
Г 2 (l-e) / r2ja \ Г Гл_ 1+е_ _
V 1 -в + (г2/а) \ 1 — е / V а 1-е
(г2 > г а),
(3.66b)
где а и е относятся к орбите цели (а не к переходной орбите).
Графики, соответствующие этому случаю, представлены на
рис. 3.29.
3.6]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ КРУГОВОЙ И ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТАМИ
359
Пример быстрого перехода с круговой орбиты на эллипти¬
ческую (или наоборот) изображен на рис. 3.30. Этот переход
состоит из двух изменений орбиты: переход «круг (исходный)
^эллипс (переходный)», для которого можно воспользоваться
выражением (3.47а) или (3.50а), и переход «эллипс (переход¬
ный)^: эллипс (цели)» с общей точкой пересечения, который
2,6
1^ 2,6
Ч
%*.*
%>2,0
1,8
1 1’6
I 1,4
§ 7’2
§
| 1’°
§ 0,8
I 0,6
| 0,4
<1 0,2
О
/
У
/
/ /Г
'Ч Г
\
к
е=0-
/
—/
\ а
\\ /Г9 \
5Y/ г
/
/ ,
0,2
0,4
5
А \
\
/
/ /
ч
\\
V
я
V \
rPj
/
/ у
✓ /
rJ
/
7/1
///
у
/
<1
ft
* л*
г
0,8
/
ff
tA
У
—
Г2:
=Ъ\
—?
/>
У
e=0,eJ
Г
0,4 \
1 \ fy
г
У
о,\а
-у*
У
S
4 5 В 7 8970
Отношение г2/а
20
30
Рис. 3.29. Суммарная величина импульсов для перехода «круг;
эллипс» при г2 ^ Гд.
будет рассмотрен в пунктах 2 и 3 § 3.7. Суммарная величина
импульса подобного перехода может быть вычислена по соот¬
ветствующим зависимостям.
На рис. 3.31 приведен третий случай — переход между пере¬
секающимися круговой и эллиптической орбитами. Среди мно¬
гих возможных вариантов перехода между этими орбитами
особый интерес представляют следующие три: «внешний» двух-
импульсный переход (Д^2), «внутренний» двухимпульсный пе¬
реход (Р^±3) и одноимпульсный переход (изменение орбиты) в
360 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
одной из точек пересечения орбит (например, в точке 4 на
рис. 3.31).
При внешнем двухимпульсном переходе, считая, что пере¬
ход совершается из точки А в точку 2, получаем (двумя штри¬
хами помечены параметры переходной орбиты):
-/^T+oaj
Для суммарной величины импульсов имеем:
/ Al>2 + I At>2 I \ = Д 2 / Jj_\ _ f гг
\ УЩ L>2 |/ *+(^л) 1д/ И
- 1
А->2 г ‘ ' V 2 Г А/ \ А/ Г 1 + (Га1ГР)
(3.67а)
или, выражая через а и е исходной эллиптической орбиты,
/А^ + | Ла2|\ Г 2(1+в) / г2/а j /~Т\
V УК/г2 )а+2 V '+* + (/"а/в) \ 1 + е 1 а 1 + е /'.
(3.67b)
При внутреннем двухимпульсном переходе, считая, что пе¬
реход совершается из точки Р в точку 3, находим:
ii4i-i”f-o?i- Ут; \у I+АД ~ [Х 1+('Д) ]•
I4»,!-»,у['-/тт|лГ
Для суммарной величины импульсов имеем:
До р | + ‘
ущ
(3.68а)
=1 + 1/ 2Г2/Гр - ]/—- (i + ^
1Г2 ')Р+ 3 ' 1+Гр/ГЛ Г 1+(А2/Гр) V ГР
или
1 + Д°з\ , , , / Д 1 4 е 1 Л , r2/a
/!дм+_дм =1 + ./iili _ |/ Л +.
\ /р-»з " г а 1-е Г 1 - е + (л2/а) V 1-е
(3.68Ь)
3.6] ПЕРЕХОД МЕЖДУ КРУГОВОЙ И ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТАМИ 361
Наконец, для изменения орбиты в точке 4 (одноимпульсный.
переход) из уравнения (3.32), учитывая очевидное равенство
(1 — е2)/(1+е cos г]) =г/а, получаем:
Из графиков зависимости а!г от v, приведенных на рис. 3.12
и 3.13, следует, что одинаковому изменению v соответствуют все
возрастающие изменения большой полуоси а по мере прибли¬
жения v к величине ]/"2, соответствующей параболической ско¬
рости. Это позволяет сделать вывод, что с увеличением а возра¬
стает чувствительность величины большой полуоси к измене¬
ниям V. Большая величина а объясняется главным образом
большим апогейным расстоянием гА. Поэтому изменение ско¬
рости в перицентре является более эффективным способом из¬
менения расстояния до апоцентра для вытянутых эллипсов по
сравнению с эллипсами с малыми эксцентриситетами. По тем
же самым соображениям изменение скорости в апоцентре яв¬
ляется более эффективным способом изменения расстояния до
перицентра для эллиптических орбит с большими эксцентриси¬
тетами (большие значения а) по сравнению с эллиптическими
орбитами с малыми эксцентриситетами. Эта закономерность,
которая нашла свое отражение на графиках, приведенных на
рис. 3.20 и 3.21, будет подтверждена многочисленными частными
случаями, рассматриваемыми в последующих параграфах. В ча¬
стности, в случае перехода между пересекающимися круговой и
эллиптической орбитами внешний двухимпульсный переход
(3.69)
Рис. 3.30. Пример быстрого пере¬
хода между круговой и эллипти¬
ческой орбитами.
Рис. 3.31. Переход между
пересекающимися круговой и
эллиптической орбитами.
362
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
является более экономичным, чем внутренний двухимпульсный
переход, так как апоцентр, представляющий собой одну из ко¬
нечных точек переходного маневра, является наиболее удален¬
ной точкой от центра притяжения. Суммарные величины им¬
пульсов для внешней и внутренней переходных орбит и для
одноимпульсного перехода приведены на графиках (рис. 3.32)
в функции е. Эти графики относятся к случаю, когда г2 = а, то
есть к случаю, при котором точ¬
ки пересечения орбит совпа¬
дают с концами малой оси эл¬
липтической орбиты. В этом
случае в точках пересечения ор¬
бит скорости на исходной и ко¬
нечной орбитах равны по ве¬
личине (равны круговой ско¬
рости), а по направлению от¬
личаются на угол 0 = arcsine.
В приведенном случае им¬
пульс скорости при одноим-
пульсном переходе близок к
максимальной величине при
£ = 0,2, поскольку, как было от-,
мечено выше, максимальная
величина импульса скорости со¬
ответствует точкам изменения
орбиты, совпадающим с конца¬
ми фокального параметра [см.
равенство (3.33d)]. С умень¬
шением отношения /'2/а<1,0
максимум сдвигается в сторону
увеличения эксцентриситета (например, при r2ja = 0,95 £ = 0,4;
при T2Ja = 0,85 £ = 0,6; при r2/a = 0J £ = 0,8), становясь все более
резко выраженным.
Энергетические требования к двухимпульсному переходу
уменьшаются при г2/а<1 и увеличиваются при г2/а>1. При ма*
лых эксцентриситетах разница в энергетических требованиях
внутреннего и внешнего двухимпульсных переходов незначи¬
тельна. Однако, так как внутренний переход обладает преиму¬
ществом по времени перехода, можно сделать вывод, что при
малом эксцентриситете (£^<0,2) эллиптической орбиты, пересе¬
кающей круговую орбиту, переход между ними предпочтитель¬
нее осуществлять по схеме «перицентр эллиптической орбиты
круговая орбита» (внутренний переход, см. рис. 3.31). Такой
переход является более быстрым и требует лишь небольшого
увеличения требуемой энергии по сравнению с переходом ми¬
0 0,2 04 0,6 0,3 7,0
Эксцентриситет исхобиои орбиты е
Рис. 3.32. Сравнение трех вариантов
переходов «круг эллипс» для слу¬
чая г2 = а (см. рис. 3.31).
3.7] ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ 363
нимальной энергии по схеме «апоцентр эллиптической орбиты
•^круговая орбита» (внешний переход), который является бо¬
лее продолжительным и требует значительно меньше энергци
при больших эксцентриситетах.
3.7. Переход между компланарными
эллиптическими орбитами
Различают следующие случаи переходов между компланар¬
ными орбитами:
1. Переход между соосными эллиптическими орбитами по
переходной орбите, касающейся заданных орбит в точках апсид
(касательный коапсидальный пе¬
реход) .
2. Переход между соосными
эллиптическими орбитами по
пересекающей переходной ор¬
бите.
3. Переход между несоосными
эллиптическими орбитами по
пересекающей переходной ор¬
бите.
4. Переход между несоосными
эллиптическими орбитами по пе¬
реходной орбите, касающейся за¬
данных орбит.
5. Переход между несоосными
околокруговыми орбитами по пе¬
реходной орбите, касающейся за¬
данных орбит.
Переходы между эллиптиче¬
скими орбитами (не обязательно
компланарными) являются наиболее распространенным видом
переходных маневров в астронавтике.
1. Переход между соосными эллиптическими орбитами по
переходной орбите, касающейся заданных орбит в точках ап¬
сид (касательный коапсидальный переход). Среди переходов
между эллиптическими орбитами этот переход является самым
простым. На рис. 3.33 пунктирной линией показаны две возмож¬
ные переходные орбиты. Как и прежде, одним штрихом и тремя
штрихами обозначены заданные орбиты, двумя штрихами —
переходная орбита. Две возможные переходные орбиты связы¬
вают перигей исходной орбиты с апогеем орбиты цели (точку 1
с точкой 2 или, при обратном переходе, точку 4 с точкой 3)
и апогей исходной орбиты с перигеем орбиты цели (точку 3
Рис. 3.33. Переход между соос¬
ными эллиптическими орбитами
по переходной эллиптической ор¬
бите, касающейся исходной и ко¬
нечной орбит в точках апсид.
364
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
с точкой 4 или, при обратном переходе, точку 2 с точкой /). По¬
следовательно рассмотрим случаи перехода l'^2f" и 3'-+4"'.
Переход V —>2'" состоит из двух импульсов скорости: первый
импульс Ди4 на исходной орбите служит для изменения орбиты
второй импульс Д^2 на орбите цели служит для измене¬
ния орбиты 2"-+2'". Переход 3'-+4/// аналогичен предыду¬
щему.
Отличительной чертой рассматриваемого касательного пере¬
хода между точками апсид соосных эллиптических орбит яв¬
ляется совпадение точек апсид переходной орбиты с точками
апсид исходной и конечной орбит. Эта особенность рассматри¬
ваемого перехода будет использована при дальнейшем анализе.
Сначала, в первой части исследования, мы получим зависимость
для суммарной величины импульсов, выраженную через круго¬
вую скорость в точке ги эксцентриситеты заданных орбит и
апсидальные расстояния. Затем, во второй части исследования,
будет получена зависимость для суммарной величины импуль¬
сов, выраженная через скорость на круговой орбите радиуса,
равного большой полуоси исходной орбиты (в рассматриваемом
случае а'), отношение апсидальных расстояний заданных орбит,
эксцентриситеты заданных орбит и отношение их больших полу¬
осей. При дальнейшем анализе будут использованы следующие
обозначения и вспомогательные равенства:
г
г
(3.70а)
р
следовательно,
(3.70Ь)
(3.71а)
следовательно,
(3.71Ь)
е = ттт]
rt=a'(l-e') = a"(l-e"), 1
г2 = а"' (1 + е'") = а" (1 + е"), J
ti — 1
(3.72)
(3.73)
= е. (3.74)
3.7]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
365
Пользуясь приведенными соотношениями, можно выразить
параметры переходной орбиты через параметры заданных орбит:
а
т
'2
а'‘
CL 1 + 6
Г\+Г2
— е
—ттт = ъг,
= п'п"' 08,
г 4
(3.75)
(3.76)
(3.77)
= 1 -
Г\
а"
= _[2_
а"
1 _ ir2‘r 1) 1
(r2lr\) + 1
= 1 -
Г 4
г 3
1 (г3/г4)-1
(гз/г4) + 1
а"
а"
= 1 -
гъ
— 1±
1 _ (г4/г3) - 1
(rjr3) + 1
а"
а"
I
| ('э > ''J.
)
(U > г3).
Часть I. Определение суммарной величины импульсов через
УК1г\, е', е'", ги г2, г3, г4.
Рассмотрим последовательно изменения орбит, составляю¬
щие изучаемые переходы.
Изменение
« - - vT =/?/?-
= ](3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
9 2/г'
=
И 1 + /2
7 = 2-^=9-=1+е',
1 + (ri/r2)
1,1 М VK/,
Изменение 2'-+2"':
7^= = V /1 + в'-
K/r 1 У 1 + (г,/г2)
“."-^-ттУЧ/т
+ 0-,/г2) ’
Г1/Г2
Ди0
/У/ // /~ , г гг Г
р2 -°2 1/ ]~е _-!± 1/
Ккк " rjr2 г2 V
1 + (ri/r2)
(3.83)
(3.81)
(3.85)
366 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Переход
л_^+А_,2 = j/TEZL _ VTT7 + т/- 2 (3.86)
V К/Гу У rjr2 У 1 + (г,/г2) \ гг)
Изменение 3'-+3":
»[-]/£(1- е'"1 -]/У' ]/[Ml - е"'), (3.87)
<-/^-/?/тгтгкй-• <3-88>
Следует заметить, что, хотя Г3О2, не обязательно должно
быть /*з</*4- Если эксцентриситеты заданных орбит малы, то бо¬
лее вероятно, что /*3<г4. Однако при больших эксцентриситетах
заданных орбит, как в случае, изображенном на рис. 3.33, мо¬
жет оказаться, что г3>г4. Это обстоятельство послужило одной
из причин, по которой вместо обычных обозначений гА и гР в
настоящем анализе используются цифровые индексы соответ¬
ствующих точек.
Из последних выражений получаем:
(3.89)
Ук/г
Изменение 4” -> 4'":
<-<тУтУТ.тШл • <3-90>
К"-1/£<1 + О + О. (3.91)
Ч _j^_1/zrr/r+^_1/ZESr‘]. (3.92)
Ktf/r, Кат/л, (/ Л4 L V 1 + (гз/гч) J
Переход 3'->4"/:
+ /77 [vTTIF*-/(3.93)
Часть II. Определение суммарной величины импульсов через
УК 1а', п', п"', а'1а'".
3.7] ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ 367
Изменение
°;-/у (3.94)
”>Y¥ ~Yv YYt Ytt¥■ <3-9»
Ai>j — v\ ^ p 2 ^ p 1 i/~
ОС/о7- ~~ / W ~ V 1-е' V 1 +Cte ~*П '
Да, — щ Г а Г 2
W=W=r^"l/ 7^7
(3.96)
//C/a
Изменение 2"-* 2"':
^-YfYpYW^yrb- <з-эт>
= -/f/^r. (3.98)
(3.99)
//С/a' //C/a' Г .л'" V l-e' /l+ae
Переход l'—>2'":
= л/~2П + лГЛ _ y^p. (З.Ю0)
//C/a' * l-e' /l+ae "л"'
Изменение 3'->-3":
<-Y¥Yr,-Y¥YT- <зло|>
<-•/? /F - /? /■,-.-■• ?. -«-7 Y77 • <зл02>
Aao Vo — vi f 2 /~ 1 1
УЩГ ~ VW ~ V n'n'" (l-e') V 1 +ae YX ‘
Изменение 4"->4"f:
<’YJYpYfY^vmr- (ЗЛ04)
<' - /£ /77 - Y¥ v^5. <з- w5>
Д^=С-<=^-777_1/Л2nV^_
//C/a' //С/a' r 1 —e' /l + ae
Переход 3'—>4"':
368
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
В соответствии с отмеченной выше закономерностью, что
наиболее эффективным способом изменения расстояния до апо¬
центра является изменение скорости в перицентре и наиболее
эффективным способом изменения расстояния до перицентра яв¬
ляется изменение скорости в апоцентре, следует, что (Дгц + Ди2)<
< (ДУз + АгМ-
2. Переход между соосными эллиптическими орбитами по
пересекающей переходной орбите. Пример быстрой переходной
орбиты приведен на рис. 3.34. В этом случае точкой начала пе¬
рехода является перицентр, то есть имеет место равенство
т\\ = у\" = 0. Этот случай энергетически наиболее выгодный. По¬
удобнее всего производить, если за независимые переменные
принять расстояние до перицентра г"р и расстояние до апо¬
центра г% переходной орбиты. По этим величинам можно сразу
определить величину большой полуоси а" переходной орбиты, а
следовательно, определить
Рис. 3.34. Переход между' соосными
эллиптическими орбитами по пере¬
ходной орбите, пересекающей орбиту
цели.
этому быстрый переход с вну¬
тренней на внешнюю эллип¬
тическую орбиту с началом в
этой точке требует меньших
затрат энергии, чем переход с
любой другой точки внутрен¬
ней эллиптической орбиты. Па¬
раметры внутренней исходной
эллиптической орбиты, как и
прежде, обозначены одним
штрихом. При переходе с внеш.-
ней эллиптической орбиты (па¬
раметры обозначены тремя
штрихами) наиболее выгодной
точкой начала перехода яв¬
ляется апоцентр исходной ор¬
биты.
Определение элементов
быстрой переходной орбиты
орбитальную энергию ,
и скорость в начале перехода
(3.108)
где г" — известная величина радиуса-вектора точки начала пере¬
хода (г'' = г[ и г' = г'р). Если г\ ф г'р9 то переходный эллипс не
является соосным с заданными эллиптическими орбитами и для
3.71
ПЕРЕХОД ЛАЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
369
него будем иметь:
скорость в перицентре v'p = v''
эксцентриситет е" =1 — ,
фокальный параметр p" = r"(I + е"),
истинная аномалия д, = arccos
{р"Ю-1
угол 0 в начале перехода бГ= arctg
гг . //
е sin гц
Jr L"
P lr i
(3.109)
Если быстрая переходная орбита не соосна с заданными
орбитами, то величина радиуса-вектора г" точки пересечения
переходной орбиты с орбитой цели определяется из условия
удовлетворения величины радиуса-вектора этой точки одновре¬
менно уравнению переходной орбиты и уравнению орбиты цели:
,(3.110)
гггг
' о
1 , " " z 1 , г гг гг г л . Г ГГ (ГГ . гг\ ’
1 + е cos д2 \ + е cos д2 I + е cos (д2 + у )
где у"—угол между большой осью переходной орбиты и (со¬
впадающими) осями заданных орбит, измеряемый против хода
часовой стрелки от направления на перицентры заданных орбит.
Величина т]" является истинной аномалией точки пересечения
для переходной орбиты. Если переходная орбита соосна с за¬
данными орбитами, то т|2 = Л2//> г2=г2/> что следует из совме¬
стного решения уравнений
= El =Г'"= /3 МП
2 1 + е" cos д" 2 1 + е"' cos д2'
Соответствующее время перехода от точки 1 до точки 2
может быть найдено из следующих выражений:
tl2=tp2-tpU
к
cos Е\ —
г^гг
COS П2 =
а" — Г
а”е‘
гг
а -г2
sin ЛГ).
sin £2),
(3.112)
(3.113)
24 К. Эрике, т. II
370
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
Варьируя г" и г", получим соответствующие им значения v"
и бГ, а следовательно, и необходимые величины импульсов ско¬
рости в начале перехода
величину радиуса-вектора точки пересечения орбиты цели
r2=r2f'y время перехода tl2 и величину импульса в конце пе¬
рехода
Углы Pi и р2 представляют собой соответственно угол между
касательными к переходной орбите и исходной орбите в точке
начала перехода и угол между касательными к орбите цели
и переходной орбите в точке конца перехода:
При изучении перехода по эллиптической орбите, соосной
с заданными орбитами, но не обязательно касающейся задан¬
ных орбит в начале и конце перехода, в качестве независимых
переменных удобнее выбрать гь г2 и е". В этом случае, если
заданные орбиты одинаково ориентированы (то есть одноимен¬
ные точки апсид расположены по одну сторону от центра при¬
тяжения), истинные аномалии точек начала и конца перехода
соответственно равны: T)f = T)i и Если же заданные
орбиты имеют противоположную ориентацию, то т)" = т|{ или
т)'' = 180° + т)|и г\2 = т)'" или т)'' = 180° + т|'". Используя первое
выражение (3.42), получаем:
где знак «плюс» берется для случая, когда лГ = Tli> а знак
«минус» — для случая, когда т\" = 180° + г\[.
Углы в переходной и исходной орбит в точке начала пере¬
хода (точка 1) можно получить, воспользовавшись вторым и
(3.114)
Ду2 = Уvf + У'"2 - 2v"v'2" cos р2 . (3.115)
(3.116)
(3.117)
(3.118)
(3.119)
3.7] ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ 371
третьим выражениями (3.42):
= arccos cos т)', (3.120)
vi
0" = arccos \V 1 ± e"cosr|', (3.121)
vi
Р, = |е;-еГ|. (3.122)
Истинную аномалию точки конца перехода получим по из¬
вестной величине г" = г"' и известным элементам орбиты цели:
cosr^-fr lrel)~l , (3.123)
где г]" = или г)" = 180° +г)'". Далее находим:
- )/2 - т
1 - е'"2
. т гп »
+ е COS Г|2
(3.124)
(3.125)
V"=-|/2 1-е"2
2 у 1 ± е" cos т\2 9
0"' = arccos -7^- ]/1 + е"’ cos ti'", (3.126)
0£'= arccos—У\± e"cosii" (3.127)
v2
Р2=|02-0Г|-
Величины импульсов скорости в точках начала и конца пе¬
рехода можно получить на основании соотношения (3.35):
= — 1/ 1 +(-V) -2^-cosPj, (3.128)
г, Г V v, / v,
К Г tv" V Т77
А«2 = — 1/ 1 + -V — 2 —V- cos р2- (3.129)
r2 V V V2 / V2
Время перехода определяется так же, как и прежде. По этой
схеме, задавшись величинами г2 и е", можно получить соот¬
ветствующие величины суммарного импульса Дсц + Дцг и вре¬
мени перехода ^12. Зная t\2> можно определить положение цели
на орбите, обеспечивающее встречу с нею (или прохождение
24*
372
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
(ГЛ. 3
вблизи от нее), в следующей последовательности: р"', е"\ а'",
Ла" и> Далее,
(отсчет средней аномалии производится от перицентра, то есть
Поскольку последнее уравнение нельзя разрешить в явном
использовать специальные методы решения. Некоторые методы
решения этого уравнения были приведены в главе 5 первого
тома настоящей серии (см. «Космический полет», т. I). Более
широкий обзор различных методов решения этого уравнения
(уравнения Кеплера) можно найти в учебниках по небесной
механике.
Как было отмечено, Мпг=0 при т)/// = 0. Поэтому, если in
достаточно велико и М\ <0 (например, 350°), то это означает,
что тело, с которым предполагается осуществить встречу, долж¬
но находиться «впереди» перицентра в момент начала перехода.
Следовательно, и Е\ <0 (этот случай относится к переходу с
внешней орбиты на внутреннюю). После определения Е\ по¬
лярные координаты цели, соответствующие началу перехода,
можно определить по следующим зависимостям:
Если же известны эфемериды цели, то ее координаты, соответ¬
ствующие началу перехода, могут быть найдены из таблиц.
3. Переход между несоосными эллиптическими орбитами
по пересекающей переходной орбите. Этот случай перехода
имеет большое практическое значение (рис. 3.35), например при
межпланетных переходах. Исследование подобных переходов
может быть сведено к предыдущему случаю перехода между
соосными эллиптическими орбитами, если принять, что
(3.130)
(3.131)
Соответствующее значение Е\" можно определить из урав¬
нения
(3.132)
виде относительно Е[", то для определения Е\” необходимо
со
(3.133)
(3.134)
3.7]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
373
± у'". Таким образом, случай перехода между несоосными
эллиптическими орбитами является просто модификацией пере¬
хода между соосными эллиптическими орбитами.
4. Переход между несоосными эллиптическими орбитами по
переходной орбите, касающейся заданных орбит. Предыдущий
анализ был посвящен двум типам переходов между двумя за¬
данными эллиптическими орбита¬
ми: переходу между соосными
эллиптическими орбитами по ка¬
сающейся соосной переходной
орбите и по пересекающей пере¬
ходной орбите и переходу между
несоосными эллиптическими ор¬
битами по пересекающей пере¬
ходной орбите. В случае несоос¬
ных эллиптических орбит переход
между ними по касающейся
соосной орбите невозможен. Од¬
нако переход между ними можно
осуществить по переходной орби¬
те, касающейся обеих заданных
орбит. В предыдущем анализе не
были рассмотрены вопросы ми¬
нимизации требуемой энергии пе¬
рехода. Все переходы по пересе¬
кающей переходной орбите тре¬
буют большего расхода энергии,
чем касательный соосный переход, но обладают соответственно
меньшим временем перехода. К тому же дополнительным пре¬
имуществом этих переходов является большая свобода выбора
времени начала перехода. Поскольку касательный несоосный
переход обладает также большей гибкостью в выборе времени
начала перехода и, очевидно, меньшей требуемой энергией, чем
переход по пересекающей переходной орбите, то этот случай
представляет определенный практический интерес. Кроме того,
поскольку касательный соосный переход невозможен между
двумя несоосными эллиптическими орбитами, то рассматривае¬
мый тип перехода в данном случае будет соответствовать пере¬
ходу с минимальной затратой энергии.
Касательный переход между компланарными эллиптически¬
ми и не обязательно соосными орбитами был исследован Лоу^
Деном (D. F. Lawden) *).
Рис. 3.35. Переход между компла¬
нарными несоосными эллиптиче¬
скими орбитами по переходной
эллиптической орбите, пересекаю¬
щей орбиту цели.
l) Orbital Transfer via Tangential Ellipse, J. В. I. S., vol. 11, No. 6,
PP. 278—289 (November 1952),
374
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
Рассмотрим две эллиптические орбиты с общим фокусом
(рис. 3.35), описываемые уравнениями
у “у+ ycos(r), + /'),
-рг = у-+ у-cos (ц, + /"),
(3.136)
где I (долгота) определяет ориентацию рассматриваемых
эллиптических орбит в орбитальной плоскости (например,
Г
Направление
V
/
\
треугольника
1
\ q'oq”
1
1
г.-г/
/ /
\
Р \J
\ \\
/ / —ч/
\ \
h-
W у
\ \
Q”
1
1 /
Р”
о /V' а" а'
Q'Q" N'N"= -L - -L,
Рис. 3.36. Геометрическая иллюстрация
условия пересечения двух эллипсов.
относительно точки весеннего равноденствия или большой полу¬
оси орбиты Земли). Полагая г' = г" = г, получаем:
COS(T)! + /')= 1/Ге,/р/Р- ,
cos (т), + Г) =
1/г-Цр"
е"/р"
(3.136)
Рассмотрим два треугольника на рис. 3.36, для которых вы¬
полняются следующие равенства:
OQ' = e'lp', OQ" — e"lp", Z Q'O/= г), +/',
Z Q"OI = rii + I''у ON' = y-y, ON" = y-y.
Вычитая из второго равенства (3.136) первое, находим:
у- COS (Т)! + I") - у COS Ol! + /') = у - у. (3.137>
3.7] ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ 375
Поскольку отрезок N'N" равен у— у,, то отсюда следует,
что положение, или «наклон», треугольника Q'OQ" по отно¬
шению к линии 01 определяется соотношением
N'N" = у-у. (3.138)
Это возможно лишь при
Q'Q"^N'N" (3.139)
или при
(я*'+ iff-2 ж'cosi[v -а ■■ <з- 14о>
Выполнению равенства соответствует случай касания эллипсов.
Если левая часть неравенства (3.140) больше правой, то эллипсы
Рис. 3.37. Геометрическая иллюстрация перехода между двумя
непересекающимися эллиптическими орбитами по переходной
орбите, касающейся заданных орбит. [Если точка О принадлежит
эллипсу (то есть является возможным положением точки Q"),
то переходная орбита является круговой.]
пересекаются. Если левая часть меньше правой, то эллипсы не
имеют общих точек и один из них расположен целиком внутри
Другого.
Расстояние Г\ — гг — гг\ удовлетворяющее равенству (3.140)
Для двух заданных эллипсов (р\ е'у V) и (р", е", /"), можно
определить из равенства
376
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
которое можно преобразовать к следующему виду:
(3.142)
Используя выражение р = а{I — е2), получаем:
(3.143)
Таким образом, если параметры двух заданных эллипсов
удовлетворяют равенству (3.140), то величина радиуса-вектора
точки касания может быть найдена по формуле (3.142) или
(3.143), а истинная аномалия r\i этой точки — по формуле(3.136).
Вернемся к вопросу о переходе по переходной орбите, касаю¬
щейся двух заданных эллиптических орбит. Рассматриваемый
случай изображен на рис. 3.37. Параметры исходной и конечной
орбит помечены соответственно одним и тремя штрихами. Па¬
раметры переходной орбиты помечены двумя штрихами. Введем
обозначения:
Тогда условия касания переходной орбиты заданных орбит
примут вид:
В приведенных двух уравнениях известными являются следую¬
щие шесть величин: е', ф', е'", ф'"; неизвестными ве¬
личинами являются: е", ф". Исключение /" из уравнений
(3.145) и (3.146) позволило бы, как было указано Лоуденом,
выразить одну из оставшихся неизвестных через другую.
Однако этот путь приводит к чрезвычайно сложным мате¬
матическим выражениям. Исключение составляет случай ра¬
венства или (в зависимости от требуемой точности) прибли¬
женного равенства V и В этом случае 2е" cos (/'— /")«
»2е" cos(/'"— /") можно исключить и разрешить полученное
уравнение относительно е":
Для общего случая (Г'ФГ) Лоуден предложил геометриче¬
ский метод определения положения Q", удовлетворяющего
(3.144)
е'2 + е"2 - 2е'е" cos (/' - /") = (ф" -1|/)2, (3.145)
s'"2 + е"2 - 2e'"s" cos (/'" - I") = (г|)" - ф")2. (3.146)
3.7]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
377
условию касания. Сущность этого метода показана на рис. 3.38.
Возможные случаи, удовлетворяющие уравнениям (3.145) и
(3.146), сведены в приведенную ниже таблицу.
Случай
Условия
q"q'
q"q"’
Угол
Л
ф" < ф'; ф" < ф'"
ф'-ф"
ф'" — ф"
OQ"Q' = т), — 1"
В
ф" > ф'; ф" > ф'"
ф"-ф'
ф"-ф'"
OQ''Q’ = 180° — (г), + /")
с
ф' < ф" < ф'"
ф"-ф'
ф"'-ф"
OQ"Q"' = т|2 + /"
D
ф/// < y < ^
ф'-ф"
OQ"Q"' = 180° — (г|| + /'")
Случаи А и В относятся к пересекающимся заданным орби¬
там, случаи С и D — к непересе-
кающимся.
В случаях А и В имеет место
равенство
I I,
(3.148)
поэтому геометрическим местом
точек касания Q" является гипер¬
бола с фокусами Q' и Q"'.
В случаях С и D имеет место
равенство
Q"Q' + Q"Q'" = | ф' — Ф'" I (3.149)
и геометрическим местом точек
касания Q" является эллипс с фо¬
кусами Q' и Q"'. Таким обра¬
зом, в любом случае имеется бесконечно большое число софо-
кусных эллипсов, касающихся заданных эллипсов.
Итак, геометрическим местом точек касания Q" переходной
орбиты между двумя непересекающимися эллиптическими ор¬
битами (рис. 3.37) является эллипс, определяемый выражением
(3.149). Геометрическим местом точек касания Q" переходной
орбиты двух пересекающихся эллиптических орбит (рис. 3.39)
является гипербола, определяемая выражением (3.148). Для
заданной пары эллиптических орбит можно в определенном
масштабе построить соответствующую кривую конического се¬
чения, являющуюся геометрическим местом гочек касания Q",
Рис. 3.38. Условия касания пере¬
ходной орбиты двух заданных
эллиптических орбит.
378
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
и, выбрав ряд значений Q", по измеренным величинам OQ" и
Q"Q' определить величины е"!р" и 1 /р"
Естественно, что геометрический метод решения задачи об¬
ладает ограниченной точностью. Для решения задачи можно
использовать графо-аналитиче-
ский метод или, при наличии
электронной вычислительной ма¬
шины, метод последовательных
приближений для совместного ре¬
шения уравнений (3.145) и (3.146).
Сущность графо-аналитического
метода заключается в следую¬
щем. Используя I" в качестве па¬
раметра, строят график ф" в
функции от е" на основании ре¬
шения каждого из двух следую¬
щих уравнений:
ф" = ф' ± (3.150)
ф" = -ф'" ± У~Ё^ (3.151)
где
£ = е + е" - 2г'е" cos (/' -1") ■■
£о = 8 + е"
Рис. 3.39. Переход между двумя
пересекающимися эллиптическими
орбитами по переходной орбите,
касающейся заданных орбит.
=(ф"-ф')2,
2eV" cos (I'" -
—/") = (ф"-ф О2-
(3.152)
Точка пересечения графиков со¬
ответствует совместному реше¬
нию уравнений (3.145) и (3.146). По найденным величинам
I", е" и ф" можно определить:
Р" ='
1
е" =
Ф" ’
2(1— р"1р')
а" - <о"1р') а'
COS (Г|" + /") = — 1)
(отсюда находится г)"),
г 2[l-(p"/p'»)] cos(r),, + n = ±(£l
Г2 _ а" - (р"1р"') а'" ’ ^ 2 ) е" \ г2
(отсюда находится т]").
(3.153)
3.7]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
379
По известным величинам г\ и можно, используя полярные
уравнения заданных орбит, рассчитать истинные аномалии
г)' и г\'2". Величины 01 и 02 определяются из соотношения
tg 0 =
е sin г\
~W~'
Затем, используя равенства
cos 0
i/l£
Укр _ V г г
получаем:
-/•f
cos 0
(3.154)
(3.155)
(3.156)
откуда с учетом ранее введенного обозначения Vi = VifV Klr{
будем иметь:
COS 0J
COS 0J ’
/Я /Я
[2_
cos 0o
v =
2 cos 02
(3.157)
Суммарная величина импульсов скорости 2= (v\ — v[) +
+ (v2/~v2) определяется из выражения
-/?>#(/?-/?)•
(3.158)
Время перехода можно рассчитать, используя следующую
формулу:
лГК
At = -rr^-{V2p"rl-ri(l-е"2)-р"2 -
+
Ki-<
~ V 2 р"г2 — г I (1 — е"2) — р"2 +
■[
arcsin
г2(1-е" )-р"
— arcsin
г, (1-0-
£=*]}.
(3.159)
При использовании графо-аналитического метода масштаб
построения графиков выбирается в соответствии с требуемой
380
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ 3
точностью. Точки пересечения определяются для заданных ве¬
личин Если заданные эллипсы не пересекаются, то /" может
иметь любое значение от 0 до 360°. Для пересекающихся задан¬
ных эллипсов решение существует лишь в определенном диа¬
пазоне значений который может быть определен заранее по¬
строением гиперболы, определяемой выражением (3.148).
5. Переход между несоосными околокруговыми орбитами
по переходной орбите, касающейся исходной и конечной орбит.
Для этого случая, имеющего большое практическое значение
при межпланетных перелетах, Лоуденом получены упрощенные
зависимости, основанные на пренебрежении степенями е выше
первой в выражении (3.147). При е' = е'" = 0 из уравнений
(3.145) и (3.146) получим:
1
(3.160)
е" = ё" = j (ф' - ф'").
Для малых значений е' и е'" при ф'>ф'" можно записать:
ф" = ф" + Х"9 8" = ё" + у\ (3.161)
где х и у— величины того же порядка малости, что е' и е'".
Подставляя полученные выражения в уравнения (3.145) и
(3.146) и сохраняя лишь величины первого порядка, получаем:
Х" + у" = е' COS (/" - /'),
_ х" + у" = б'" COS (/'
Выражая х" и у" через находим:
-п, |
-п. I
х" = ±е' cos (Г - - 4 8'" cos (I" - /"О,
у" = 4 е' cos (/" - V) + 4 в"' cos (I" - V").
(3.162)
(3.163)
Подставляя эти значения в соотношения (3.161), получаем
упрощенные выражения для ф" и е":
ф" = ф" + -L [е/ cos (/" - V) - г"' cos (/" - /"')],
е" = ё" + ^ [е' cos (Г - V) + в'" cos (/" - /"')].
(3.164)
Из выражения р = а(1— е2), используя равенства (3.144), на¬
ходим:
1 „1.//2 _//2
(3.165)
1 ф//2 - 8//2
3.7]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
381
Из соотношения v2 = К[(2/г)— (l/а)], исключая г и а с помощью
выражений (3.141), (3.165), (3.144), получаем:
К
= ф' +
, / //2 . // /2
фе —ф е
ф" (ф' - ф") 9
(3.166)
»1 _ „ Ф е - ф е
/С _г^ ф' (-ф' —
и, как было установлено Лоуденом, находим величину импульса
скорости:
I // /I Г ./1/2 „1/2 , ,2 „2чП1/2
• <3-167>
Аналогичным образом получается выражение для второго
импульса скорости:
^=ч/"+
к
. г гг гг2 . // Г ft2
ф е — ф е
ф" (ф'" - ф")
. /// //2 . // nr2
ф е — ф е
= яЬ" 4- —
^ т ф'" (ф^-ф") ’
Vk
///1/2 //1/2
ф —■ ф / е
1 ф'" -
■ф'"‘/2+ф"1/2
•ф"
• - г|)" +
//2 х-11/2
V)] .
Суммарная величина импульсов скорости будет:
2
£ = 1
УТ
/| I // /// I
М | - У2 I
Гк
(3.168)
(3.169)
(3.170)
Выражения (3.165) — (3.170) пригодны и для заданных орбит с
большими эксцентриситетами. В применении к околокруговым
орбитам величины ф" и е" могут быть вычислены по формулам
(3.164). Выражение для суммарной величины импульсов ско¬
рости было приведено Лоуденом к следующему виду:
2
yL 2 = а + b c°s (Г -1') +с cos (I" - Г), (3.171)
»=1
где
& = e//J/±3|l_ .)
\ 4(ф")3/2 Kit)'/’
„ = / з^+t
I 4(ф")3/
I
(3.172)
382 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Варьируя в равенстве (3.171) величину можно получить
выражение для минимума суммарной величины импульсов ско¬
рости:
1
VK
= а - Vb2 + с2 - 2bc cos (/' - /"') . (3.173)
И = 1
Соответствующее значение Г, обеспечивающее минимальную
суммарную величину импульсов скорости, определяется из вы¬
ражения
tg г = ^sin/'Tcsin/.I = 4- (ЗЛ74)
ь b cos I + с cos I В v 7
При этом, если
А<0У В <0 — /" находится в первой четверти,
Л<0, В>0 — I" находится во второй четверти,
А>0У В>0 — /" находится в третьей четверти,
Л>0, В<0 — I" находится в четвертой четверти.
В общем случае для заданной величины Г при r|j = г|'', то
есть в точке касания, Лоуден показал, что точками касания
являются точки апсид переходной орбиты. В этом случае время
перехода составляет половину периода обращения по переход¬
ной орбите:
Ы = ^Т = пУ<Щ
или, с использованием равенств (3.165) и (3.164),
д, _я /1 1 \3/2Г 3-ф/2в" cos Ф'"2е' cos (/" - Г)
YK \ 2<Ф' 2V") L г-ф'-ф" (ф' - ф'")
(3.175)
Последняя формула пригодна лишь для орбит с малым экс¬
центриситетом, так как она получена на основании равенств
(3.164). В правой части полученного выражения известны все
величины, кроме Варьируя величину можно определить
значение соответствующее минимальному времени перехода
или какому-либо другому ограничению по времени перехода.
При использовании полученных уравнений в задаче пере¬
хода между околокруговыми орбитами, соответственно задан¬
ными величинами ф', е', V и ф", е", поступают следующим
образом. Вначале по формулам (3.160) находят ф" и е", затем
по формулам (3.172) определяют а, b и с. Затем либо задаются
Г и соответствующую суммарную величину импульсов скорости
3.8]
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
383
определяют по формуле (3.170) с использованием соотношений
(3.163), (3.164), (3.167), (3.169), а время перехода — по форму-'
ле (3.175), либо определяют I" по формуле (3.175), исходя из
заданных требований на время перехода А/. В последнем слу¬
чае для ряда заданных значений Г определяют соответствую¬
щие значения At и интерполированием находят отвечающее
заданному At. В этом случае методика определения суммарной
величины импульсов скорости остается прежней.
Наконец, если /" выбирается из условия минимума суммар^
ной величины импульсов скорости, то tg I" определяется по фор¬
муле (3.174), а соответствующая суммарная величина импуль¬
сов скорости — по формуле (3.173). Определение величин им¬
пульсов скорости в отдельности производится по описанному
выше методу.
3.8. Влияние малых импульсов скорости
на элементы кеплеровой орбиты
Предыдущий параграф был посвящен вопросам изменения
орбит и переходам между компланарными орбитами. При этом
предполагалось, что изменение орбиты достигается приложе¬
нием импульса скорости
(мгновенным приложени¬
ем силы тяги). В настоя¬
щем параграфе будет рас¬
смотрено влияние малых
импульсов скорости на
элементы орбиты в поле
центральной силы. Под
малыми импульсами Да
будем понимать импульсы
скорости, которые по ве¬
личине составляют незна¬
чительную часть от вели¬
чины текущей скорости,
то есть Да/а<^1 или
Да/а <0,01.
а) Эллипс. Элемента¬
ми эллиптической орбиты
являются: долгота восходящего узла Д, наклонение орбиты г,
аргумент перигея со, эксцентриситет е, большая полуось а и
среднее движение ц. Силы, приложенные к движущемуся по ор¬
бите телу, можно представить в виде двух пар составляющих в
плоскости орбиты (взаимно перпендикулярных) и ортогональной
составляющей (перпендикулярной плоскости орбиты).
Ортогональная Иг
Рис. 3.40. Разложение силы на составляю¬
щие (положительные направления пока¬
заны стрелками).
384
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
Эти составляющие показаны на рис. 3.40:
тангенциальная Т — положительна в направлении движения,
нормальная N — положительна в направлении мгновенного
центра кривизны,
радиальная /? —положительна в направлении к центру при¬
тяжения,
трансверсальная 5 — положительна в сторону движения,
ортогональная W — положительна в сторону северного по¬
люса орбиты (составляющая W образует правую тройку с со¬
ставляющими 5 и R и составляющими Т и N).
Частично влияние составляющих Т> N и W было исследовано
Мультоном1). Ниже будет представлено полное исследование.
Для определения влияния тангенциального импульса на ве¬
личину большой полуоси найдем частную производную da/dv,
воспользовавшись следующим выражением:
”г-4т—j)- <ЗЛ76>
В результате получим:
да _ 2а2
dv ~ VK
да 2a /q • r7r7\
(ЗЛ77)
2(1+.cost,) М./2 178)
rp( 1 + <?) a J ' 7
Максимальной величине da/dv соответствует приложение им¬
пульса в перигее (г) = 0), минимальной — в апогее.
Изменение формы орбиты характеризуется изменением экс¬
центриситета. Большая полуось и эксцентриситет связаны со¬
отношением
<ЗЛ79>
Дифференцируя это равенство, считая переменными а, е и С и
подставляя da = 2a2v dv/K, получаем:
Кае de = a2v dv (1 — е2) — С dC. (3.180)
Умножая каждое слагаемое последнего равенства на v, учиты¬
вая, что тангенциальный импульс, по определению, не изменяет
направления вектора текущей скорости (а изменяет только ее
величину), и используя равенство v dC=C dv, получаем:
Kaev^ =flV(l -e2)-C2. (3.181)
l) An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd ed., MacMillan, pp. 323—332.
3.8]
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
385
На основании очевидных соотношений
a 1+ecosr] _ r (1 + е cos Ч) )
Т~ 1-е2 ’ К ’ I
v2 = х2 + у2 = г2 + (rf))2 = к (у - j
выражение (3.181) можно преобразовать к виду
ev-j^ = 2 (1+ е cos т]) - (1 - е2) - j (1 + е cos 11).
Преобразовав последнее слагаемое с помощью соотношении
(3.182), окончательно получим:
fj=|(e+ cost!). (3.183)
Как следует из полученного выражения, частная производ¬
ная, характеризующая изменение эксцентриситета в зависимо¬
сти от изменения величины скорости, состоит из медленно из¬
меняющегося члена 2e/v и периодического члена 2 cos ц/v.
В точке пересечения малой полуоси с эллипсом cosr] = —е и,
следовательно, де/dv = 0. При меньших значениях ц положитель¬
ный импульс скорости увеличивает эксцентриситет, при боль¬
ших— уменьшает. Поскольку положительный импульс скорости
может только увеличить орбитальную энергию, то уменьшение
эксцентриситета при этом означает, что увеличение перигейного
расстояния гР превосходит увеличение апогейного расстояния
гА, то есть орбита изменяется в сторону круговой.
Влияние тангенциального импульса на среднее движение
можно определить из соотношения р=]/К!аг\
дц 3v 0 / 1 _ р2
^-~7ж--3Т KMlUosn) • <3184>
Положительный импульс уменьшает р, то есть увеличивает пе¬
риод обращения.
Для определения влияния тангенциального импульса на ве¬
личину истинной аномалии, а следовательно, на аргумент пери¬
гея, воспользуемся полярным уравнением орбиты в следующей
форме:
p = r[ 1 “Ь в cos (т) т]0)], (3.185)
где р = С2/К—фокальный параметр, ц — истинная аномалия
точки приложения импульса и цо— истинная аномалия любой
принятой точки отсчета (например, для перигея т]о = 0). Уравне¬
ние (3.185) можно переписать в следующем виде:
С2 = Кг [1 + е cos (ц - т|0)].
(3.182)
25 К. Эрике, т. II
386
ОРЫ1ТАЛ Ы1ЫЕ Л\АПЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
Продифференцируем последнее выражение, полагая г и г) по¬
стоянными, а С, е и rjo — переменными. Получим:
2 с
е sin (т) - т|0) (9г)0 = -jt- дС - cos (т] - %) де.
Кг
(3.186)
, dv
Подставив дС = С— и де из равенства (3.183), получим вы¬
ражение для частной производной, характеризующей поворот
линии апсид вследствие танген¬
циального импульса скорости:
дт]0 = 2 sin (т] - т|о)
dv ev
(3.187)
Из полученного выражения
следует, что при положительном
тангенциальном импульсе скоро¬
сти перигейная точка смещается
в направлении движения (впе¬
ред), если точка приложения им¬
пульса находится в пределах
0<т]<180° (то есть при движении
космического аппарата от пери-
гейной точки к апогейной). Поло¬
жительный тангенциальный им¬
пульс, приложенный в точке, на¬
ходящейся в диапазоне 180°<
<т]<360°, вызывает обратный по¬
ворот линии апсид. Тангенциаль¬
ный импульс скорости не изме¬
няет наклонения орбиты и долго¬
ты восходящего узла.
В случае приложения импульса N, нормального к направле¬
нию двиоюениЯу из равенства (3.176) следует, что
Рис. 3.41. Нормальная, трансвер-
сальная и радиальная составляю¬
щие скорости.
-^- = 0
dvn и>
(3.188)
так как величина большой полуоси кеплеровой орбиты зависит
лишь от величины скорости, а не от ее направления. Из выра¬
жения ц = YК/и3 следует также, что
1^ = 0.
dvn
(3.189)
Таким образом, величина большой полуоси и среднее дви¬
жение не изменяются под воздействием нормального импульса,
так как величина скорости при этом (предполагается) не изме¬
няется. Не изменяются также наклонение орбиты и долгота вое-
3.8]
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ IIA ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ 387
ходящего узла, так как вектор импульса скорости располагает¬
ся в плоскости орбиты. Нормальный импульс скорости вызывает
изменение эксцентриситета и аргумента перигея. Из соотноше¬
ния (3.180) следует, что
ТЕ — -Ш- (ЗЛ9°)
Разлагая нормальную скорость vn, вызванную нормальным
импульсом, на радиальную и трансверсальную составляющие
(см. рис. 3.41) и используя соотношения
rr\ = va = v cos 0 и r2r\ = C = rva = rv COS0,
можно получить:
rva = r2i\ = С = rvn sin 0 (3.191)
или
= г sin 0. (3.192)
Используя очевидные соотношения
sin 0 = -^-, г = -^6sinri, Р = \,
получаем:
sin 0 = sin г). (3.193)
Окончательно из соотношений (3.190), (3.192) и (3.193) находим:
де
Ш~п'
av
sin ц. (3.194)
Величину dr)o/dvn можно получить, подставляя в соотноше¬
ние (3.186) выражения (3.190) и (3.194) для дС и де, заменяя
в последнем г] на г\ — г\о:
дт]0 = 2flg + r cos (ч ~ Ло) (3 195)
dvn aev * '
Из соотношения (3.194) следует, что нормальный импульс,
приложенный при движении космического аппарата от перигея
к апогею (первые два квадранта), уменьшает эксцентриситет.
Если же он будет приложен при движении аппарата от апогея
к перигею (оставшиеся два квадранта), то эксцентриситет уве¬
личится. Как следует из анализа выражения (3.195) и рис. 3.41,
положительный нормальный импульс, приложенный в какой-
либо точке участка D2PD\, поворачивает линию апсид в направ¬
лении движения космического аппарата. Если же импульс при¬
кладывается на участке D2ADU то линия апсид поворачивается
ь противоположную сторону.
25*
388 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Влияние малого импульса скорости
Элемент, изменение
которого рассматри¬
вается
Направление импульса
тангенциальное
нормальное
Большая ось
2а2 ^
v dv
А
0
Эксцентриситет
л / ч dv
2 (е + cos л)
1 V
г dvn .
— sin л
a v
Среднее движение
3v
г— dv
V Ка
— Зи dv ~\f- . *—-
V Кг (1 + е cos л)
0
Перицентр
2 sin (л — Ло) dv
2ае + г cos (tj - rio)
е v
— avn
aev
Наклонение *)
0
0
Узлы *)
0
0
Ло — истинная аномалия перицентра, отсчитываемая от фиксированного в инер
^£1 ~ истинная аномалия восходящего узла до точки приложения импульса;
С = г2 r| = VКа (1 - е2); q = v2ajVЩг.
*) См. анализ формул (3.196) — (3.200h).
3.8] ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ 389
Таблица 3.1
на элементы эллиптической орбиты
(всегда положительное, см. рис. 3.40)
радиальное
трансверсальное
ортогональное
2 a2edvr .
с Sin Г|
2 a2vrdvr .
sin TI
2a2C .
Kr d°a
2й2к°а dva
0
с и •
—— dvr sin rj
A
eK/r dVr
Kaerdr2)
0
гГ~к~
V ^rdVrSinr'
3 ■ d^L sin r)
Vap
3C A
~ ,vt*
-—i/~
г V a
0
■j}/'^dx)rcos (ц-Цо)
, , 4 sin (r| “ T|0) ^
(P + r) 'Ke dva
0
0
0
„ • cos (t| t|ft)
0
0
dvw sin(ri-Ti^)
va sin i
Диальном пространстве направления;
390
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. з
Аналогичным образом можно найти частные производные,
характеризующие изменения а, р, е и г}о, вызванные радиаль¬
ным и трансверсальным импульсами. При этом положение ли¬
нии узлов и наклонение орбиты также не будут подвержены
изменению, поскольку вектор импульса находится в плоскости
орбиты. Соответствующие выражения для частных производных
сведены в таблицу 3.1.
Ортогональный импульс не влияет на величину большой по¬
луоси, эксцентриситет, среднее движение и угловое расстояние
перигея от фиксированного в инерциальном пространстве на¬
правления1). Это объясняется тем, что ортогональный импульс
изменяет лишь направление вектора скорости, не изменяя его
величину. Таким образом, под действием ортогонального им¬
пульса изменяется лишь наклонение орбиты и положение линии
узлов. Наклонение орбиты и ориентация линии узлов опреде¬
ляют положение орбиты в пространстве относительно некоторой
орбиты, принимаемой за опорную. В астрономии в качестве
опорной орбиты (для солнечной системы) принимают орбиту
Земли. В астронавтике в качестве опорной орбиты может слу¬
жить любая другая подходящая орбита или плоскость, относи¬
тельно которой определяется положение орбиты космического
аппарата.
Приведенное выше утверждение, что ортогональный импульс
влияет лишь на наклонение орбиты и положение линии узлов,
означает, что ортогональный импульс не может повернуть орби¬
ту относительно оси, перпендикулярной плоскости орбиты, по¬
скольку при этом произошел бы поворот линии апсид, а следо¬
вательно, и изменилось бы угловое расстояние до перигея. Орто¬
гональный импульс поворачивает орбиту только относительно
двух осей (относительно каждой из них в отдельности или от-
носительнЪ обеих), а именно: линии узлов и линии, нормальной
ей в плоскости орбиты. В общем случае (рис. 3.42) ни одна из
этих линий не совпадает с линией апсид. В случае круговой ор¬
биты точки пересечения Н и L линии, нормальной линии узлов,
с орбитой являются соответственно самой высокой и самой низ¬
кой точками орбиты относительно плоскости, от которой произ¬
водится отсчет наклонения i. Вращение плоскости орбиты отно¬
сительно линии узлов приводит к изменению наклонения орби¬
ты. Поворот плоскости орбиты относительно линии LH приводит
к изменению долготы восходящего узла. В соответствии с ре¬
зультатами, полученными в § 3.2, следует, что независимо от
места приложения ортогонального импульса вектор орбиталь-
х) То есть угловое расстояние перигея в данном случае должно изме¬
ряться не от восходящего узла, который изменяет свое положение-
3 8] ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ 391
ной скорости v поворачивается относительно плоскости орбиты
на угол а:
а = 2 arcsin (4^-). (3.196)
cosa=l-y(^r)2, )
—) <ЗЛЭ7>
где —ортогональный импульс скорости.
Поворот вектора скорости на угол а в зависимости от места
приложения импульса будет оказывать различное влияние на
изменение наклонения орбиты Дг- и изменение долготы восходя¬
щего узла AПоясним это (см. рис. 3.43). Линия узлов, линия
апсид и линия LH проходят через центр притяжения F. Вектор
скорости перпендикулярен радиусу-вектору лишь в точках ап¬
сид. Поскольку линия узлов и линия LH не совпадают с линией
апсид, то вектор скорости в точках пересечения этих линий с
орбитой может быть разложен на радиальную и трансверсальную
составляющие. Величина радиальной составляющей скорости
не может быть изменена ортогональным импульсом, поскольку
(если бы это имело место) это привело бы к изменению направ¬
ления вектора скорости в плоскости орбиты, а следовательно,
к повороту линии апсид. Поворот вектора скорости на угол а
под действием ортогонального импульса происходит таким
392 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
образом, что при этом изменяется лишь направление трансвер-
сальной составляющей скорости уа,.а радиальная составляющая
скорости остается неизменной. Поэтому на изменения А/ и А<0,,
вызванные поворотом орбиты относительно линии узлов и (или)
линии LH, оказывает влияние лишь трансверсальная состав¬
ляющая скорости.
На рис. 3.43 положение перицентра Р определяется постоян¬
ным угловым расстоянием / от направления на точку весеннего
Рис. 3.43. К анализу изменений, вызываемых
ортогональным импульсом скорости.
равноденствия. Истинные аномалии точек орбиты, как и прежде,
обозначены через гр Предположим, что местом приложения орто¬
гонального импульса является восходящий узел <0,. В этой точке
вектор скорости va = (va)^ образует прямой угол с линией уз¬
лов, так как она совпадает с радиусом-вектором этой точки.
Ортогональный импульс скорости Avw повернет вектор скорости
V& на угол, определяемый равенством
sinf=4w <3-198а>
а плоскость орбиты на угол, определяемый равенством
sinX = T(^- <ЗЛ98Ь)
Если такой же импульс приложить в точке L или //, то пово¬
рота плоскости относительно линии узлов не произойдет, так как
трансверсальные составляющие (иа)н и (va)L параллельны ли¬
нии узлов. Другими словами, угол между трансверсальной со¬
3.8]
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
393
ставляющей скорости и линией узлов достигает максимального
значения 90° в точках Д и lj, и приложение импульса в этих
точках вызывает максимальное изменение А/. В точках L и Я
угол между трансверсальной составляющей скорости и линией
узлов обращается в нуль, и приложение импульса kvw в этих
точках не приводит к повороту плоскости орбиты относительно
линии узлов1).
Запишем выражение для составляющей (va)v, направленной
перпендикулярно линии узлов:
(^a)r7 = ^aCOS(T] — Т) Л ) -
Только при г]=г]^ будет иметь место соотношение (va)n = va =
= (va) тогда как при г] = г]о9 ±90° имеет место равенство
(0a)n = O. Изменение Ai, вызванное приложением ортогонального
импульса скорости kvw в произвольной точке В орбиты, можно
представить через изменение А/, вызванное приложением того
же импульса в точке <0,. Коэффициентом пропорциональности
является величина (va)n/va, где va — трансверсальная составляю¬
щая скорости в точке В, а {va)n — составляющая vat направлен¬
ная перпендикулярно линии узлов. Таким образом, в общем
случае имеем:
sin -f = ¥YT -^Г = ¥cos to “ Чл) (3-199а)
или при очень малых А/ (чего обычно и следует ожидать)
di = d^w_ cog ^ ^ (3.199Ь)
va
Так как максимум Ai достигается не только при Л=г1д» но и ПРИ
минимуме vai то есть при r = rAi то абсолютный максимум А/ бу¬
дет иметь место, если линия апсид совпадает с линией узлов и
импульс прикладывается в апоцентре. Если линия узлов не сов¬
падает с линией апсид, то приложение Avw в точке Д или
обеспечивает относительный максимум Ai. Если ортогональ¬
ный импульс скорости kvw приложен в точке L или Я, то по¬
ворота орбиты относительно линии узлов не происходит
и Аг’/А<0, —0, но изменение АД будет максимальным; если же
импульс Аи^ приложить в точке Д или то АД обращает¬
ся в нуль. Поэтому изменение АД пропорционально величи¬
не (&vw/va) sin (rj ).
9 Такая формулировка используется намеренно. При очень малых
kvw->dvw или при / = 90° ортогональный импульс не изменяет наклонения
орбиты (Ai = 0). Во всех иных случаях, как будет показано ниже, происходит
изменение наклонения орбиты (большей частью пренебрежимо малое), если
даже не имеет места поворот относительно линии узлов.
394
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
Однако изменение ДЦ может быть вызвано и изменением
лишь угла наклонения орбиты. Рассмотрим (рис. 3.44) проек¬
ции опорной орбиты 01 и орбиты 011 на небесную сферу.
Предположим, что вследствие ортогонального импульса,
приложенного в точке Я, орбита повернулась на угол ан-
Рис. 3.44. Поворот r^JCKOCTii орбиты от¬
носительно линии LH, перпендикулярной
линии узлов.
Соответствующее изменение (Д<0,)н можно определить из сфери¬
ческого треугольника QЯЯ/:
с^(ДД)я = ^. (3.200а)
О н
Рис. 3.44 хорошо поясняет, что именно в повороте плоскости
орбиты относительно оси LH на угол ан, то есть в повороте
только трансверсальной составляющей скорости va, сказывается
воздействие импульса Avw на изменение ДЦ и Дi, поскольку для
определения указанных изменений необходимо рассматривать
лишь проекции орбит на небесную сферу. Следовательно, для
определения ссн можно воспользоваться равенствами (3.196) и
(3.197), подставив va> н вместо v:
‘8°»- ' 2 <3-20°Ь)
Да /а „ v rr
w' a> И а, И
*8]
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ 395
В выражении (3.200а) величина i есть наклонение орбиты до
приложения импульса. Наклонение орбиты Г после приложения
импульса можно найти из сферического треугольника QHН':
sin* = sin (Д«фя' (3.200с)
По теореме синусов из сферического треугольника QQH имеем:
sin (ЛД)Я = sin ая, (3.200d)
где определяется по второй формуле (3.197) с заменой v
на Va. Член sin / зависит от изменения наклонения i орбиты,
вызванного приложением импульса в точке L или Я, если это
и не сопровождалось поворотом плоскости орбиты относительно
линии узлов. Сравнивая выражение (3.200с) с выражением
(3.200d), можно заметить, что
sin г
sin (А sin/*
Дуга / определяется из выражения
cos I = sin (Д<0,)я cos i,
откуда
sin i! 1
sin/ у i _ sin2 (A^j^cos2/
Эта зависимость показывает, что Г-W как при малых значениях
Af£, так и при cos/-*0 (/-* 90°). В этом случае cos/—►()
(/—>90° = Z &IFH). При этих условиях, если дополнительно по¬
ложить Avw/va^lU зависимость (3.200d) упрощается и прини¬
мает вид:
Sin (dSl)L,H ~ №)l,h = -{vJVHWsin t • (3-200e)
Составляющая va, перпендикулярная линии LH, равна
yasin(r] — т]Л). Аналогичными рассуждениями, использованными
при получении равенства (3.199Ь), можно найти упрощенное вы¬
ражение для изменения бЩ, вызванного приложением ортого¬
нального импульса в произвольной точке орбиты:
sin d£l~dSl=-^ • (3.200F)
Из упрощенного выражения (3.199Ь) следует, что при при¬
ложении импульса в точке L или Я величина di = 0. Во многих
396
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
случаях эго можно принять с достаточной точностью, хотя более
строго следовало бы принять ЛДЩ—► 0.
Итак, для максимального изменения наклонения орбиты
ортогональный импульс должен быть приложен в одном из узлов
орбиты. Для максимального изменения положения линии узлов
ортогональный импульс должен быть приложен (в зависимости
от знака изменения ДГ£) либо в точке L, либо в точке Н (см.
ниже).
Если ортогональный импульс приложен в произвольной точ¬
ке орбиты, то вызванный им поворот трансверсальной состав¬
ляющей va на угол а приведет к изменению Д<0,, определяемому
выражением
ctg ДД = ctg Сп - цл) cos i + sin ctg a> (3-20°g)
где i — наклонение орбиты до приложения импульса, (rj — —
аргумент широты точки приложения импульса, а ctg а опреде¬
ляется из формулы (3.200b), если в ней иа,н заменить на va
в рассматриваемой точке. Для определения угла наклонения
орбиты после приложения импульса можно использовать зави¬
симость
sini'el5^sin(,1",|a)' (3>2Ck)h)
где а определяется по второй формуле (3.197) при замене v
на va- Полагая в формулах (3.200g) и (3.200h) ц — г]л=90°, что
соответствует приложению ортогонального импульса в точке L
или Я, получим соответствующие этому случаю выражения
(3.200а) и (3.200с). Вывод выражений (3.200а, с, g,h) составляет
содержание задачи 19, приведенной в конце главы.
Анализируя таблицу 3.1, в которой собраны выражения для
частных производных, характеризующих изменения элементов
эллиптической орбиты, вызванные импульсами по различным
направлениям, можно сделать следующие выводы.
1. Положительный тангенциальный импульс, увеличивая ве¬
личину орбитальной скорости, всегда приводит к увеличению
большой полуоси и увеличению периода обращения. Если экс¬
центрическая аномалия точки приложения импульса находится
в диапазоне 270°<£<90° (перигейная область орбиты, заклю¬
ченная между двумя точками пересечения орбиты с малой осью
орбиты), то эксцентриситет орбиты увеличивается. Если же точ¬
ка приложения импульса находится в диапазоне 90°<£<270°
(апогейная область орбиты), то эксцентриситет орбиты умень¬
шается. Максимальное изменение эксцентриситета достигается
при приложении импульса в точках апсид; это изменение поло-
3.8]
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
397
жительное, если импульс приложен в перигее, и отрицатель¬
ное, если импульс приложен в апогее. В точках пересечения
орбиты с малой осью cosr] = —е и, следовательно, de/dv = 0. Так
как положительный тангенциальный импульс увеличивает орби¬
тальную энергию, то уменьшение эксцентриситета е при этом
означает, что увеличение перигейного расстояния гР превосходит
увеличение апогейного расстояния гА, то есть если Де<0, орби¬
та изменяется в сторону круговой.
Записав полярное уравнение орбиты в виде
7“ = Tricorn (3'201)
или
■Г- 1+75^ (3'202)
можно заметить, что при ц = 0 отношение г/гР=\, то есть если
импульс приложен строго в перигее, то независимо от величины
эксцентриситета величина гР останется прежней. Аналогичным
образом, если импульс приложен строго в апогее (г] = 180°), то
величина гА останется также неизменной. Однако при перигей-
ном импульсе величина drA становится максимальной и опреде¬
ляется выражением
drA = га~га _ 2de
гр гр
(3.203)
где гА и гА — соответственно апогейные расстояния до и после
приложения импульса, а е и e' = e + de — соответствующие вели¬
чины эксцентриситетов. Так как в этом случае de>0 максималь¬
ное, то drA>0 также максимальное. Аналогично максимальному
увеличению перигейного расстояния гР соответствует точка при¬
ложения импульса в апогее. В этом случае
(3.204)
rA rA (l+e)2> v 7
где гр и Гр — соответственно перигейные расстояния до и по¬
сле приложения импульса, а е и e' = e + de — соответствующие
величины эксцентриситетов. Так как и в этом случае (г]=180°)
абсолютная величина \de\ становится максимальной, то значе¬
ние drP также максимальное. Изменения гА и гР при приложен
нии импульса в произвольных точках орбиты зависят от истин¬
ной аномалии г\ рассматриваемой точки. При cosr] = —е истин¬
ная аномалия точки пересечения орбиты с малой осью г]>90°.
Однако для околокруговых орбит можно принять у]«90° в точке
пересечения орбиты с малой осью.
398
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
Если тангенциальный импульс приложен при движении кос¬
мического аппарата от перигея к апогею, то есть истинная
аномалия точки приложения импульса находится в диапазоне
0<г]<180°, то перигейная точка смещается в направлении дви¬
жения. Если истинная аномалия точки приложения импульса
находится в диапазоне 180о<г]<360°, то перигейная точка сме¬
щается в сторону, противоположную движению аппарата. Пери-
гепиая точка не смещается, если sin(r] — t]0)=0 или если г)=0
или г] =180° (считая, что до приложения импульса т}о = 0). Мак¬
симальное смещение перигейной точки соответствует приложе¬
нию импульса в точках г] = 90° или г] = 270°, то есть в точках
пересечения фокального параметра с орбитой.
В случае приложения отрицательного тангенциального им¬
пульса, уменьшающего величину орбитальной скорости, рассмот¬
ренные выше влияния меняются на обратные. Наклонение ор¬
биты и положение линии узлов не изменяются под воздействием
тангенциального импульса.
2. Положительный нормальный импульс, создающий состав¬
ляющую скорости, направленную в мгновенный центр кривизны
невозмущенной орбиты, уменьшает эксцентриситет орбиты, если
импульс приложен в диапазоне 0<г]<180°, то есть при движе¬
нии космического аппарата от перигея к апогею. Если точка
приложения импульса находится в диапазоне 180°<г|<360°, то
эксцентриситет орбиты увеличивается. Максимальное изменение
эксцентриситета имеет место при приложении импульса в точке
г] = 90° или г] = 270°. При приложении импульса в точках апсид
эксцентриситет не изменяется.
Перигейная точка смещается в направлении движения кос¬
мического аппарата, если положительный нормальный импульс
приложен на перигейном участке орбиты, ограниченном точ¬
ками пересечения орбиты с прямой, перпендикулярной большой
оси орбиты и проходящей через второй фокус (то есть на дуге
D2PDu рис. 3.41). Если импульс приложен в какой-либо точке
оставшейся части орбиты (дуга D\AD2), то перигейная точка
смещается в сторону, противоположную движению космического
аппарата. Приложение импульса в точках Dt и D2 не изменяет
положения перигейной точки. Максимальное смещение пери¬
гейной точки соответствует приложению импульса в точках
апсид.
В случае приложения отрицательного нормального импульса,
создающего составляющую скорости, направленную от мгновен¬
ного центра кривизны невозмущенной орбиты, рассмотренные
влияния меняются на обратные. Нормальный импульс не влияет
на величину большой полуоси, период обращения, наклонение
орбиты и положение линии узлов.
3.81
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ ПА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
399
3. Положительный радиальный импульс, создающий состав¬
ляющую скорости, направленную к центру притяжения, умень¬
шает величину большой полуоси, эксцентриситет и период обра¬
щения, если точка приложения импульса находится в диапазоне
0<г]<180°, и увеличивает названные величины, если точка при¬
ложения импульса находится в диапазоне 180°<г]<360о. Макси¬
мальному изменению перечисленных параметров соответствует
приложение импульса в точке г] = 90° или г] = 270°. При приложе¬
нии импульса в точках апсид рассматриваемые параметры не
изменяются. Положительный радиальный импульс смещает пе-
ригейную точку в направлении движения космического аппа¬
рата, если импульс будет приложен на участке орбиты, прости¬
рающемся от апогейной точки в обе стороны до пересечения
с прямой, перпендикулярной большой' оси и проходящей через
центр притяжения (дуга рис. 3.41). Если импульс будет
приложен на оставшейся перигейной части орбиты (дуга В2РВи
рис. 3.41), то перигейная точка смещается в сторону, противо¬
положную движению космического аппарата. Приложение
импульса в точках В{ и В2 не изменяет положения перигейной
точки. Приложение импульса в точках апсид, где радиальный и
нормальный импульсы становятся идентичными, приводит к
максимальному смещению перигейной точки.
В случае приложения отрицательного радиального импуль¬
са, создающего составляющую скорости, направленную от
центра притяжения, рассмотренные влияния меняются на обрат¬
ные. Радиальный импульс не изменяет наклонения орбиты и по¬
ложения линии узлов.
4. Положительный трансверсальный импульс, направленный
в сторону движения космического аппарата, всегда увеличивает
величину большой полуоси и период обращения. Для заданной
орбиты это увеличение достигает максимума при минимуме ве¬
личины радиуса-вектора точки приложения импульса, и наобо¬
рот, то есть при приложении импульсов в точках апсид. В этих
точках трансверсальный импульс становится идентичным танген¬
циальному импульсу. Увеличение или уменьшение эксцентриси¬
тета зависит от соотношения величин радиуса-вектора г точки
приложения импульса и малой полуоси b орбиты. Если точка
приложения импульса находится в перигейной части орбиты
(г<6), то эксцентриситет увеличивается. Если точка приложе¬
ния импульса находится в апогейной части орбиты (г>6), то
эксцентриситет уменьшается. Этого и следовало ожидать на
основании анализа влияния тангенциального импульса на экс¬
центриситет орбиты, так как положительный трансверсальный
импульс увеличивает орбитальную скорость. При приложении
импульса в диапазоне 0<г)<180° перигейная точка смещается
400
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
по ходу движения космического аппарата. При приложении им¬
пульса в диапазоне 180°<т]<360° перигейная точка смещается
в обратную сторону. Максимальное смещение перигейной точки
соответствует приложению импульса в точках т] = 90° и т] = 270°.
При приложении импульса в точках апсид положение перигей¬
ной точки не изменяется.
Отрицательный трансверсальный импульс, уменьшающий ве¬
личину орбитальной скорости, во всех случаях изменяет рас¬
смотренные влияния на обратные. Трансверсальный импульс не
влияет на наклонение орбиты и положение линии узлов.
5. Положительный ортогональный импульс, направленный к
северному полюсу от плоскости орбиты, увеличивает наклонение
орбиты, если импульс приложен при движении космического
аппарата от низшей точки орбиты к высшей относительно пло¬
скости, от которой отсчитывается наклонение орбиты. Макси¬
мальное изменение наклонения соответствует приложению им¬
пульса в точке, где отношение ('П"“т1д)/уа достигает макси¬
мума, то есть в апоцентре, совпадающем с восходящим узлом.
Если импульс приложен на оставшейся части орбиты (то есть
при движении космического аппарата от высшей точки к низ¬
шей), то наклонение орбиты уменьшается и абсолютный макси¬
мум изменения соответствует приложению импульса в нисходя¬
щем узле при г = гА. При приложении импульса в точке L или Н
пересечения орбиты с прямой, перпендикулярной линии узлов,
изменение наклонения орбиты обычно пренебрежимо мало по
сравнению с изменением положения линии узлов [см. выражения
(3.200с) и (3.200d)].
Узлы орбиты всегда смещаются в сторону движения аппа¬
рата, если ортогональный импульс направлен от плоскости от¬
счета наклонения орбиты. Это имеет место, если точка прило¬
жения импульса расположена на участке орбиты, находящемся
над плоскостью отсчета наклонений. При приложении импульса
на участке орбиты под плоскостью отсчета наклонений узлы
смещаются в противоположную сторону (регрессия линии уз¬
лов). С уменьшением наклонения орбиты величина смещения
линии узлов увеличивается. При заданном наклонении орбиты
максимальное смещение линии узлов соответствует приложению
ортогонального импульса в точках пересечения орбиты с линией,
перпендикулярной линии узлов. При приложении ортогонального
импульса в точках узлов орбиты положение линии узлов не
изменяется.
Отрицательный ортогональный импульс, направленный к юж¬
ному полюсу от плоскости орбиты, во всех случаях изменяет
рассмотренные влияния на обратные. Ортогональный импульс
не оказывает влияния на большую полуось, эксцентриситет, пе¬
3.81 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ ПА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ 401
риод обращения и ориентацию линии апсид относительно инер-
циального пространства.
б) Круг. В случае круговой орбиты необходимо, очевидно,
рассмотреть лишь влияние ортогонального импульса, так как
все прочие импульсы изменяют круговую орбиту на эллиптиче¬
скую. Поскольку для круговой орбиты va = vc и линия апсид
отсутствует, то за точку отсчета для определения положения
места приложения импульса можно выбрать одну из точек пере¬
сечения орбиты с линией, перпендикулярной линии узлов и про¬
ходящей через центр притяжения. При этом для ортогонального
импульса получим:
di = cos (90° - rj), (3.205)
Vc
d^sin(90:rn)
u Vc Sin I 4 1
Знак изменения di такой же, как и в случае эллиптической ор¬
биты. Для положительного ортогонального импульса будем
иметь:
0 < г] < 90°, 270° < г] <0: di< 0,
90° < г] < 180°, 180° < л < 270°: dt> 0,
и наоборот для отрицательного ортогонального импульса. Если
ортогональный импульс направлен от плоскости отсчета накло¬
нения орбиты, то узлы смещаются в сторону движения космиче¬
ского аппарата (то есть линия узлов поворачивается против
хода часовой стрелки, если смотреть с северного полюса относи¬
тельно плоскости отсчета наклонения).
в) Парабола. В случае параболической орбиты е=\ и а = оо.
Влияние тангенциального, радиального и трансверсального им¬
пульсов рассматривать не будем, поскольку они изменяют пара¬
болическую орбиту на другой тип кеплеровой орбиты. Для нор¬
мального импульса получим:
de = 0’ 1 (3.207)
dt\n = ^dvn, |
так как а = оо.
Для ортогонального импульса используются те же зависимо¬
сти, которые были получены для случая эллиптической орбиты
(см. таблицу 3.1).
г) Гипербола. В случае гиперболической орбиты, как и в
случае эллиптической орбиты, импульсы различных направлений
оказывают различные влияния на параметры орбиты. При этом
необходимо помнить, что диапазон значений рассматриваемых
26 К. Эрике, т. II
402 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
истинных аномалий ц является ограниченным. Предельным зна¬
чением истинной аномалии является
r\i = arccos (“ ~) = arccos . (3.208)
Как показано в § 4.7 («Космический полет», т. I), тр>90°:
гц = 90° + £. (3.209)
Поэтому для гиперболы диапазонами изменения истинных ано¬
малий будут:
0 < Л < (60° + £) и (270° - £)< л < 360°-
Вспомогательный угол Я соответственно изменяется в пределах:
0 < Я < 90° и 270° < Я < 360°.
Приведенные в настоящем пункте частные производные по¬
лучены из уравнений, выведенных в § 4.7 («Космический полет»,
т. I). Более полное исследование влияния малых импульсов на
параметры гиперболической орбиты приведено в § 4.8 настоя¬
щего тома в связи с исследованием маневра в поле, создавае¬
мом двумя центральными силами. Здесь же исследуется влияние
малых импульсов на параметры гиперболической орбиты в поле
центральной силы.
В случае положительного тангенциального импульса для из¬
менения большой полуоси получим:
да 2а2 /0
Для изменения эксцентриситета можно найти выражение
■fc = 7(e + C0S1l). (3.211)
которое совпадает с аналогичной частной производной, получен¬
ной для эллиптической орбиты. Эту частную производную можно
выразить через вспомогательный угол Я:
^—V. (3.212)
Для среднего движения можно найти следующее выражение:
*--•IVT5.
которое с учетом равенства (3.210) приводится к виду
2^=3^. (3.213)
dv V Ка '
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
403
игш
Кг (1 + е cos ц) *
е2 — 1
(3.214)
Поэтому для д\х можно использовать второе выражение в таб¬
лице 3.1 (тангенциальный импульс) с учетом, что е>\.
Для определения смещения перигейной точки можно вос¬
пользоваться теми же выражениями, что и для эллиптической
орбиты, так как они получены из общих зависимостей, справед¬
ливых для всех типов кеплеровых орбит.
При полетах по гиперболическим траекториям особый инте¬
рес представляет изменение угла между асимптотами к ветвям
гиперболы под воздействием тангенциального импульса. Из вы¬
ражения (1.4.238Ь) с помощью выражения (1.4.228) и простых
тригонометрических соотношений можно получиiь:
сти. Минимальное изменение угла между асимптотами равно
нулю при Ф = 90°.
В случае приложения положительного нормального импульса
величина большой полуоси и среднее движение не изменяются,
так как не изменяется величина орбитальной скорости. Измене¬
ние эксцентриситета подчиняется той же зависимости, что и для
эллиптической орбиты, но с обратным'знаком, так как для гипер¬
болы справедливо соотношение (1.4.214), а не соотношение
(3.179). Поэтому
Смещение перигейной точки определяется той же зависи¬
мостью, которая используется для эллиптической орбиты. Поло¬
жительный нормальный импульс всегда смещает перигейную
точку в направлении движения космического аппарата незави¬
симо от точки приложения импульса, так как величины г], кото¬
рым соответствует обратное влияние, находятся за предельным
значением истинной аномалии гц.
^Наконец, для изменения угла между асимптотами под воз¬
действием нормального импульса, воспользовавшись соотноше¬
нием e = Y 1 + tg2® = 1/cos®h равенством (3.216), получим:
гДе v2oo = — 2 у есть квадрат гиперболического избытка скоро-
(3.216)
(3.217а)
26*
404 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Частная производная дФ/дуп при приложении импульса на
ветви гиперболической орбиты, по которой космический аппарат
приближается к центру притяжения, увеличивается от нуля при
Ф = 90° (у = оо) до бесконечности при Ф = 0 (и = 2К/r), и наобо¬
рот для ветви, по которой аппарат удаляется от центра притя¬
жения. В вершине гиперболической орбиты дф/д~ип = 0.
Положительный радиальный импульс, создающий радиаль¬
ную составляющую скорости, направленную к центру притяже¬
ния, оказывает на парамет¬
ры гиперболической орбиты
такое же влияние, как и на
параметры эллиптической
орбиты. В частности, вели¬
чина большой полуоси и
эксцентриситет уменьшают¬
ся, а среднее движение уве¬
личивается !), если положи¬
тельный радиальный им¬
пульс прикладывается в
точках той ветви гипербо¬
лы, по которой космический
аппарат приближается к
центру притяжения; если
импульс прикладывается в
точках той ветви орбиты, по
которой аппарат удаляется
от центра притяжения, то
картина меняется на обрат¬
ную. Во всех случаях максимальному изменению рассмотренных
элементов соответствует приложение импульса в точке, для
которой г] = тр, и изменений не происходит, если импульс прило¬
жен в перигее, то есть в вершине гиперболы.
Перигейная точка смещается по направлению движения кос¬
мического аппарата, если положительный радиальный импульс
приложен в какой-либо точке орбиты на дуге В2РВХ (270°<т]<
<90°); при приложении импульса на оставшейся части орбиты,
то есть при т]<270° и т]>90° (рис. 3.45), смещение перигейной
точки происходит в противоположном направлении. Приложение
радиального импульса в точках Bt и В2 не вызывает смещения
перигейной точки. Приложение радиального импульса в вершине
(перигее Р), где радиальный импульс становится идентичным
нормальному импульсу, вызывает максимальное смещение пе-
Рис. 3.45. Пересечение фокального па¬
раметра с ветвями гиперболической
орбиты.
1 — ветвь, по которой космический аппарат уда¬
ляется от центра притяжения; 2 — ветвь, по
которой космический аппарат приближается
к центру притяжения.
9 Соответствует уменьшению периода обращения в случае эллиптиче¬
ской орбиты.
3.8]
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
405
ригейной точки. При этом для определения соответствующей
частной производной можно использовать то же самое выраже¬
ние, которое было получено для эллиптической орбиты.
Для определения изменения угла между асимптотами гипер¬
болы при приложении радиального импульса можно получить:
Если импульс приложен в точках той ветви, по которой косми¬
ческий аппарат приближается к центру притяжения, то угол Ф
увеличивается. При приложении импульса в точках другой ветви
угол Ф уменьшается. Величина частной производной дФ/дит
изменяется от нуля при Ф = 90° (v = oo) до бесконечности при
Ф = 0 (v = 2К/r, парабола). В вершине параболы величина ча¬
стной производной дФ/дvr всегда равна нулю.
Положительный трансверсальный импульс оказывает на па¬
раметры гиперболической орбиты такое же влияние, как на пара¬
метры эллиптической орбиты. При приложении импульса в точ¬
ках той ветви, по которой космический аппарат удаляется от
центра притяжения, происходит увеличение орбитальной ско¬
рости; поэтому большая полуось увеличивается, а среднее дви¬
жение уменьшается1). Для заданной гиперболической орбиты
указанные изменения достигают максимума при приложении
импульса в вершине, где величина г является минимальной.
В этой точке трансверсальный импульс становится идентичным
тангенциальному импульсу. Увеличение эксцентриситета про¬
исходит при приложении импульса в точках, где г<Ь, то есть
в перигейной области. При приложении импульса в точках, где
г>6, происходит уменьшение эксцентриситета.
Для определения влияния положительного трансверсального
импульса на угол между асимптотами запишем выражение для
частной производной:
Таким образом, при приложении положительного трансвер¬
сального импульса в перигейной области (г<Ь) происходит уве¬
личение угла Ф. При приложении импульса на оставшейся части
орбиты (г>Ь) происходит уменьшение угла Ф.
Наконец, влияние положительного ортогонального импульса
на положение линии узлов и наклонение орбиты такое же, как
и в случае эллиптической орбиты.
1) Соответствует увеличению периода обращения в случае эллиптической
орбиты.
(3.217Ь)
406 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
3.9. Переход между некомпланарными орбитами
Используя рассмотренные влияния ортогонального импульса
на положение линии узлов и наклонение орбиты, рассмотрим
вопрос о переходе между некомпланарными орбитами. В на¬
стоящем параграфе будет произведено общее обсуждение вопро¬
сов, связанных с некомпланарным переходом. Частные случаи
будут рассмотрены в § 3.10. Как и прежде, задача будет рас¬
сматриваться в поле центральной силы, то есть без учета влия¬
ния каких-либо второстепенных сил. Поэтому предлагаемый
ниже анализ может быть в основном использован при исследова¬
нии маневров в поле притяжения Солнца или маневров вблизи
планет, например при изучении переходов между орбитами спут¬
ников или изменения орбит спутников. В рамках оговоренного
допущения можно выделить следующие частные задачи:
1. Переход аппарата с одной орбиты (исходная орбита) на
другую орбиту (орбита цели), некомпланарную первоначальной
орбите.
2. Изменение положения линии узлов или наклонения орбиты
космического аппарата, являющегося временным спутником ка¬
кой-либо планеты или Луны, с целью последующего удаления
аппарата от этой планеты (или Луны) по гиперболической
траектории.
3. Осуществление перехвата космической цели с орбиты пе¬
рехватчика, некомпланарной орбите цели. С точки зрения меха¬
ники полета, различие между перехватом и переходом заклю¬
чается в том, что при переходе необходимо добиться, чтобы
плоскость переходной орбиты оказалась совмещенной с плоско¬
стью орбиты цели, тогда как при перехвате перехватчик может
приближаться к цели с любого направления.
В случае плоского движения, то есть если орбита цели ком¬
планарна первоначальной орбите, задача сводится к отысканию
оптимальной точки приложения положительного или отрицатель¬
ного импульса скорости. Эта задача, как было показано выше,
имеет простое решение:
а) Для достижения космическим аппаратом более высокой
орбиты положительный импульс скорости должен быть прило¬
жен в перигее первоначальной орбиты. При заданной величине
импульса это приведет к максимальному увеличению апогейного
расстояния, и при надобности переход на более высокую орбиту
может быть осуществлен в апогее переходной орбиты.
б) Для достижения космическим аппаратом более низкой
орбиты отрицательный импульс скорости должен быть приложен
в апогее первоначальной орбиты. При заданной величине им¬
пульса это приведет к максимальному уменьшению перигейного
3.9J ПЕРЕХОД МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ 407
расстояния, и при надобности переход на более низкую орбиту
может быть осуществлен в перигее переходной орбиты.
Некомпланарный случай отличается от случая плоского дви¬
жения тем, что при некомпланарном переходе необходимо изме¬
нять наклонение орбиты по отношению к плоскости исходной
орбиты. Из § 3.8 следует, что этого можно добиться приложе¬
нием ортогонального импульса. Этот импульс должен быть при¬
ложен в начале или конце переходной орбиты. Если плоскости
заданных орбит наклонены относительно друг друга, то в ка¬
честве опорной орбиты может служить орбита цели {011), так
как она является неизменной. Тогда остается возможность изме¬
нения наклонения или положения линии узлов (или обоих пара¬
метров) переходной или исходной орбиты.
Если ортогональный импульс прикладывается в одной из
точек узлов орбиты, то орбита поворачивается относительно
линии узлов (то есть имеет место поворот только по «тангажу»)
и происходит изменение наклонения орбиты (см. рис. 3.42). Если
ортогональный импульс прикладывается в точке L или Н пере¬
сечения с орбитой линии, перпендикулярной линии узлов (см.
рис. 3.42), то орбита поворачивается относительно линии апсид
(то есть имеет место только «крен») и в основном изменяется
положение линии узлов (при малых импульсах; см. § 3.7).
При приложении импульса в произвольной точке орбиты
между четырьмя отмеченными точками имеет место и изменение
наклонения орбиты, и изменение положения линии узлов. В об¬
щем виде установить, какой из трех рассмотренных вариантов
места приложения импульса является наиболее экономичным,
не представляется возможным. Из выражений (3.199) и (3.200)
видно, что величина ортогонального импульса зависит от трех
факторов:
в) От величины трансверсальной составляющей скорости va,
которую желательно иметь по возможности меньшей. Поэтому
с этой точки зрения наиболее выгодной точкой приложения им¬
пульса является апоцентр.
г) От требуемых угловых изменений А/ и (или) АД. Чем они
больше, тем больших затрат энергии потребуется для соверше¬
ния маневра.
д) От величины угла г\ — т]^, где г\ — истинная аномалия
космического аппарата в момент приложения импульса на исход¬
ной орбите, а — истинная аномалия восходящего узла на ли¬
нии пересечения исходной орбиты и орбиты цели.
Для околокруговых орбит фактор в) не играет существенной
роли. Для эллиптических орбит для получения максимальных
изменений Дг и Д^ ортогональный импульс следует приклады¬
408
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
вать в апоцентре исходной орбиты, в особенности при сильно
вытянутых орбитах. Однако вопрос о месте приложения импуль¬
са должен решаться не только исходя из условия получения
максимальных изменений Д/ и Д<Г£, то также с учетом конкрет¬
ной задачи маневра. В зависимости от того, для какой частной
задачи предназначается маневр, например для 1 или 2 (см.
выше), выводы о месте приложения импульса могут оказаться
совершенно различными. Наконец, необходимо произвести оценку
экономичности апогейного маневра по сравнению с другими
маневрами. Например, если линия апсид не совпадает с линией
узлов или линией LH (см. § 3.8), то апогейный маневр приведет
к одновременному изменению М и ДД. Полученный при этом
результат необходимо сравнить с маневрами, приводящими к
изменению только Д/ или ДД.
Чтобы пояснить этот подход к выбору места приложения
импульса, рассмотрим три основных типа маневров перехода
в поле центральной силы. Они схематически показаны на
рис. 3.46. Орбита 01 является исходной, орбита 011 — орбитой
цели, наклоненной на угол i к плоскости исходной орбиты. Там
же показаны линия узлов <0,2^, линия LH орбиты цели и линия
апсид РА исходной орбиты. Линия 1 — 2 является проекцией ли¬
нии LH на плоскость исходной орбиты или может рассматри¬
ваться как линия LH орбиты цели, если за опорную орбиту
;
-At2
Рис. 3.46. Схематическое представление трех
основных типов орбитальных импульсных пере¬
ходов в поле центральной силы.
3.9]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ ИЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
409
принять орбиту цели OIL Тремя основными методами перехода
являются:
е) Переход только с поворотом плоскости орбиты относи¬
тельно линии узлов. Этот переход состоит из следующих этапов:
переход из точки 1 в точку £1 по исходной орбите, поворот пло¬
скости орбиты в точке £1 на угол Дi = i и дальнейшее движение
в плоскости 011 до встречи с целью в точке Н. Возможен и дру¬
гой вариант этого перехода: от точки Р через точку 2 до точки
*1$, затем поворот плоскости орбиты в точке вниз на угол
Дi — i и дальнейшее движение в плоскости ОН до встречи с
целью в точке R. В качестве начальной точки можно выбрать
любую другую точку. Общим для рассмотренных двух вариан¬
тов является то, что при переходе космический аппарат прохо¬
дит центральный угол тц (Z.LFH или ZPFR), равный 180°.
Кстати, это вовсе не является обязательным. Например, можно
начать двигаться от точки 3 до точки £\ в плоскости 01, затем
в точке £1 повернуть плоскость орбиты на угол Д/ = / и двигаться
в плоскости ОН до встречи с космической станцией в точке Н.
В этом случае центральный переходный угол r\t=Z3FH будет
меньше 180° и будет соответствовать орбите быстрого перехода.
ж) Переход с поворотом орбиты относительно линии, пер¬
пендикулярной линии узлов. В отличие от только что рассмот¬
ренного метода, переход от точки 3 до точки Н может быть осу¬
ществлен непосредственно в плоскости, проходящей через указан¬
ные точки. В данном случае в точке 3 прикладывается ортого¬
нальный импульс, чтобы повернуть плоскость орбиты на угол
Д/i. В точке Н плоскость переходной орбиты будет наклонена
к плоскости ОН на угол Д/2. При решении задачи перехвата в
точке Н не потребуется прикладывать импульс для поворота
переходной орбиты на угол Д/г. При решении задачи встречи
(см. § 3.14) в точке Н необходимо приложить второй ортого¬
нальный импульс для совмещения плоскости переходной орбиты
с плоскостью орбиты цели, то есть для поворота плоскости пере¬
ходной орбиты на угол Д/2. При этом Д/1 + Д/2 =£/, то есть суммар¬
ное изменение наклонения орбиты отличается от изменения
наклонения орбиты в случае е). Требуемая энергия для этого
типа перехода может оказаться гораздо меньшей, чем в слу¬
чае е). Этот вывод следует из анализа выражения (3.6) и объ¬
ясняется величиной слагаемого, содержащего косинус. Напри¬
мер, если 01 является внутренней орбитой, то наибольшая ско¬
рость на переходной орбите будет в точке 3; в точке £1 скорость
будет несколько меньше; скорость в точке Я, вероятно, будет
много меньше. Таким образом, можно предположить, что орто¬
гональный маневр в точке 3 потребует большего расхода энер¬
гии, чем в точке <Г£. Однако не следует забывать, что требуемое
410
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
изменение наклонения орбиты в точке SI больше (i>Aii).
К тому же поворот на угол Д/2 также требует меньшего расхода
энергии. Вопрос о том, больше или меньше потребуется расхода
энергии при переходе типа Д/1 + Д/2, чем при переходе с един¬
ственным поворотом плоскости орбиты на угол Д/, зависит от
конкретных условий, то есть от величины Z3FH, величины ско¬
рости на переходной орбите в точке 3 (то есть совершается ли
переход по быстрой переходной орбите с центральным переход¬
ным углом m=Z3FH, велико или мало расстояние между ор¬
битами) и от соотношения величин Дiji и Дi^i.
3) Переход между узлами орбит. Очевидно, что наименьшего
расхода энергии потребует переход между точками <0, и Z3
через точку 2 (180-градусный переход) или, например, переход
из точки Р в точку Z3 через точку 2 (быстрый переход с цен¬
тральным углом, меньшим 180°), или из точки А в точку <Г£ (так¬
же быстрый переход) и т. д. При этих переходах ортогональный
импульс играет лишь вспомогательную роль для обеспечения
условий взаимного расположения обоих космических аппаратов.
Например, если один из них находится вблизи точки / или 2,
то приложением ортогонального импульса поворачивают пло¬
скость орбиты относительно линии, перпендикулярной линии уз¬
лов, на угол а. Тем самым точка £1 смещается на величину ДД;
на такую же величину смещается и точка . Если космический
аппарат движется от точки 2 к точке £у', то переход между уз¬
лами орбит можно осуществить из точки к точке <0/ через
точки А' и 1. Очевидно, что переход между узлами орбит с ис¬
пользованием поворота на угол ДД представляет преимущества
при решении частной задачи 1 лишь в случае перехода с внут¬
ренней орбиты на внешнюю орбиту, при котором скорость кос¬
мического аппарата в точке <0/ будет значительно снижена и
соответствующее уменьшение требуемого расхода энергии для
изменения на угол Дi=i' окажется достаточным для ком¬
пенсации расхода энергии для поворота плоскости орбиты на
угол а.
При переходе с внутренней орбиты на внешнюю орбиту из
точки £1 в точку Is через точку 2, не требующем ортогонального
импульса для смещения линии узлов, всегда предпочтительнее
поворачивать плоскость орбиты цели на угол Дi = i в точке
или вблизи нее. При переходе же с внешней на внутреннюю ор¬
биту поворот на угол Дi = i предпочтительнее производить на ис¬
ходной орбите. Очевидно, что для решения частной задачи 3 ис¬
пользование перехода между узлами орбит позволит значитель¬
но снизить энергетические требования, так как в этом случае
нет необходимости в маневре для поворота на угол Ai = i.
При полетах к Луне маневр перехода между узлами орбит
3.9]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ 411
может также представить определенные энергетические выгоды,
хотя при этом возрастают ошибки во времени полета (см. гл. 8).
Таким образом, переход между узлами орбит во многих
случаях может оказаться очень выгодным. Однако требование
необходимого взаимного расположения космического аппарата
и цели может исключить возможность применения маневра пере¬
хода между узлами орбит по
180-градусной переходной ор¬
бите или по переходной орбите
меньше 180°. В этих случаях
имеет смысл рассмотреть бо¬
лее продолжительные перехо¬
ды (>180°) (рис. 3.47). Напри¬
мер, вместо перехода по орби¬
те ADP более желательным
может оказаться переход по
орбите Однако этот ва¬
риант может оказаться непри¬
емлемым вследствие того, что
требуемое начало перехода для
точки Д окажется по времени
много раньше, чем для точ¬
ки Л, и космическая станция
еще не успеет попасть в точ¬
ку когда там окажется
космический аппарат. Поэтому
можно поступить следующим
образом: либо воспользовать¬
ся переходной орбитой ти¬
па SIA'/Cl$, либо орбитой ти¬
па IA'lj. Последний вариант
является более выгодным, так
как при этом требуется мень¬
шее изменение направления
скорости в плоскости орбиты
(Pi<P^). Правда, при этом
необходимо приложение ортогонального импульса в точке
Аг для поворота плоскости орбиты на угол Дi = i, но поскольку
точка А' является апогейной точкой, то приложение импульса
производится в наивыгоднейшей точке, тогда как в случае ис¬
пользования орбиты ДЛ"^ поворот плоскости орбиты необхо¬
димо производить в точке то есть при менее благоприятных
условиях. К тому же в последнем случае (орбита ДЛ"^)
второй маневр в плоскости орбиты для изменения направления
скорости на угол р^ имеет место при большой величине
Рис. 3.47. Влияние условий взаим¬
ного расположения космических ап¬
паратов на выбор переходной ор¬
биты в поле центральной силы при
переходах между узлами орбит
или точками вблизи узлов.
412 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
орбитальной скорости космического аппарата. Поскольку орбита
flA//cl5 является внутренней по отношению к орбите IA/r)jy
а орбита может оказаться неприемлемой, то сравнивать
надо орбиты ADP и /Л'^у. Подобный подход к выбору переход¬
ной орбиты можно приме¬
нить к случаю перехода
с внутренней орбиты на
внешнюю.
Случай использования
ортогонального импуль¬
са, приложенного в про¬
извольной точке орбиты,
для перехода с поворо¬
том плоскости орбиты от¬
носительно линии, перпен¬
дикулярной линии узлов,
приведен на рис. 3.48, на
котором показана быст¬
рая переходная орбита,
пересекающая орбиту це¬
ли. Проектируя соответ¬
ствующие участки пере¬
ходной орбиты, орбиты
цели и исходной орбиты
на небесную сферу, полу¬
чим сферический тре¬
угольник со сторонами
Si, S2, S3 и с соответствен¬
ными противоположными
углами Д/2, Ah и (180° — /), где i — известный угол между пло¬
скостями заданных орбит. Все три стороны сферического тре¬
угольника известны: Si=<Q, — lu S2=/2—<0, и S3 = /2— lu где
I — долгота, измеряемая от точки весеннего равноденствия или
любой иной точки отсчета в инерциальном пространстве. Из рас¬
сматриваемого сферического треугольника
sin (At,) = -J^fj-sin/ (53< 180°), (3.219)
и по вычисленному значению Мх находим:
(AwJ, = oeAti, (3.220
где A/j — в радианах.
Так как ортогональный импульс влияет только на изменение
i и f£, то можно подсчитать величину полного импульса скорости
Рис. 3.48. Некомпланарный переход с по¬
мощью ортогонального импульса, прило¬
женного на исходной орбите.
3.10]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАНЕВРЫ
413
на исходной орбите, определив предварительно величину им¬
пульса скорости А^сорь необходимого для изменения скорости
в плоскости переходной орбиты, а также величины Дiu Avw и
ДД в соответствии с равенствами (3.219), (3.220), (3.206) (ис¬
пользуя в качестве угла i угол между плоскостями заданных
орбит). Теперь можно определить величину полного импульса
скорости на исходной орбите:
Afltot = 1ЛАУсор1)2 + (АуХ (3.221)
Для определения величины угла Д/2 между плоскостями пе¬
реходной орбиты и орбиты цели получаем следующее выра¬
жение:
sin (Д/2) = ^ sin L (3.222)
При решении задачи перехвата (частная задача 3), в точке
пересечения переходной орбиты с орбитой цели, как уже было
отмечено, ортогонального импульса не потребуется. В задачах,
требующих совмещения плоскостей переходной орбиты и орбиты
цели, соответствующий ортогональный импульс вычисляется по
известной величине Д*2 по формуле, аналогичной формуле
(3.220). Различные методы некомпланарных переходов при меж¬
планетных перелетах рассмотрены в § 9.9 и § 9.10.
ЗЛО. Пространственные маневры
Изменение плоскости орбиты или переходы между орбитами
с различными наклонениями будут играть важную роль в прак¬
тической астронавтике, в основном вследствие ограничений,
диктуемых месторасположением стартовых комплексов, а также
вследствие некомпланарности плоскостей орбит цели (естествен¬
ных спутников, таких, как Луна или планеты) с плоскостью зем¬
ного экватора или плоскостью эклиптики. Среди всевозможных
маневров можно выделить следующие три основных:
а) поворот плоскости круговой орбиты,
б) поворот плоскости эллиптической орбиты,
в) переход между некомпланарными орбитами.
а) Поворот плоскости круговой орбиты. Предположим, что
космический аппарат движется по круговой орбите в поле цент¬
ральной силы. Наклонение орбиты может быть задано относи¬
тельно любой плоскости отсчета. Говорить об изменении плоско¬
сти орбиты имеет смысл лишь по отношению к некоторой пло¬
скости отсчета, выбираемой в зависимости от целей маневра.
Рассмотрим, например, исходную орбиту, изображенную на
414
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ.
Новая орбита, полученная поворотом
относительно линии II'
\
Новая орбита,
полученная
поворотом
относительно
линииШГ
рис. 3.49. С точки зрения сравнения величин требуемых импуль¬
сов, поворот плоскости орбиты относительно линии /— Г равно¬
ценен повороту относительно линии II—1Г. Однако эти повороты
окажутся неравноценными с точки зрения задач, решаемых кос¬
мическим аппаратом. Предположим, что космический аппарат
движется по круговой орбите относительно центрального тела,
освещенная часть которого представляет правую часть сферы,
изображенной на рис. 3.49. Если перед аппаратом поставлена
задача разведки высокоширотных областей освещенной части, то,
очевидно, предпочти¬
тельнее совершить ма¬
невр поворота относи¬
тельно линии / — /', то
есть приложить им¬
пульс в точке / или /',
так как при повороте
плоскости орбиты от¬
носительно линии II—
IIf район высоких ши¬
рот приходился бы на
область сумерек (гра¬
ницу между дневной и
ночной сторонами сфе¬
ры). Наоборот, если по
каким-либо причинам
(например, для спе¬
циальных научных на¬
блюдений или измере¬
ний) необходимо охва¬
тить область высоких широт сумеречной части, то предпочти¬
тельнее производить поворот плоскости орбиты относительно
линии II—IF.
Из равенств (3.3) следует, что чем выше орбитальная ско¬
рость космического аппарата, тем больше величина требуемого
импульса для осуществления заданного поворота плоскости ор¬
биты. Следовательно, в случае низкой исходной орбиты может
возникнуть вопрос об использовании промежуточной эллиптиче¬
ской орбиты для получения выигрыша в требуемой энергии.
В этом случае (если предположить, что ортогональный импульс
будет приложен в точке I) вначале в точке F прикладывается
перигейный импульс ( + Дур), смещающий точку F, где прикла¬
дывается ортогональный импульс, на большее расстояние от
центра притяжения, чтобы уменьшить орбитальную скорость ап¬
парата в точке I (рис. 3.50). Орбитальные элементы промежуточ¬
ной орбиты (за исключением наклонения) не изменятся, если
Исходная
орбита
Рис. 3.49. Поворот плоскости круговой орбиты.
3.10]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАНЕВРЫ
415
Исходная круговая
орбита
К и печная
круговая орбита
Перигейный импульс
для перехода на исходную
круговую орбиту
Перигейнь/й импульс
для перехода на
промежуточную
орбиту
+Avp
Ветвь промежуточной орбиту
по которой аппарат возвращается
на круговую орбиту
Av„
Y
Ветвь промежуточной орбиты,
по которой аппарат удаляется
от круговой орбиты
Вид сбоку
Ортогональный
апогейный импульс
Исходная а конечная орбиты
Промежуточная орбита
Ортогональный
импульс
Вид в плане
Рис. 3.50. Поворот плоскости круговой орбиты с использованием
пр шежуточной орбиты.
416
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
импульс (Дvw) А в точке I будет строго ортогональным. После по¬
ворота плоскости промежуточной орбиты космический аппарат
вернется в точку /', где в результате приложения второго пери-
гейного импульса (—Дур), равного по величине первому, но
обратного по направлению, аппарат будет переведен на задан¬
ную круговую орбиту. Требуемая величина двух импульсов ско¬
рости в перицентре равна:
<"-г" <3'223)
Требуемая величина ортогонального импульса скорости для
маневра в апоцентре равна:
(AVw)j[ а . А/ 2 Г 2п t Лi
VkFр ~~ VKh~ sm !Г_7 У Т+Т smT'
(3.224)
Отсюда можно получить суммарную величину импульсов ско¬
рости для совершения указанного маневра:
2Дор + (Дода)д 0Г / 2п /1 Л/ \ I
—7Щ [V 7+7 ( +7 т)- lJ' <з-225а>
Для поворота плоскости круговой орбиты на угол А/ без
использования промежуточной орбиты требуемую величину ор¬
тогонального импульса можно определить из выражения
.(АРдЬ = J^gk = 2sin —. (3.225b)
VK/rp VK/rc 2 v
В предельном случае для поворота плоскости круговой орбиты
на 90° требуется ортогональный импульс (kvw)JVKIrP = Vе! .
В случае использования предельной промежуточной орбиты, то
есть орбиты с в —► 1, Га/гр-^оо, для поворота плоскости орбиты
на 90° (или на любую другую величину) величина требуе¬
мого ортогонального импульса (Ди«?)л стремится к нулю и
[2 AvP + (ЛОл]/Г К1гР -> 0,828, что много меньше, чем в случае
поворота плоскости круговой орбиты на 90° без использования
промежуточной орбиты. Поэтому, если требуемый угол Д/ пово¬
рота круговой орбиты превосходит определенную величину, то
энергетически более выгоднее осуществлять указанный поворот
с использованием промежуточной эллиптической орбиты. В рас¬
смотренном выше примере использования предельной эллипти¬
ческой орбиты (е —> 0) угол поворота плоскости круговой орби¬
ты, при котором оба варианта являются энергетически эквива¬
лентными, оказывается равным:
Aieq = 2 arcsin 0,414«48о54'.
3.10]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАНЕВРЫ
417
В силу предельного характера рассмотренной промежуточной
орбиты (парабола) этот угол одновременно является мини¬
мально возможным, при котором выполняется условие энерге¬
тической эквивалентности обоих вариантов. Иными словами, для
любого поворота плоскости круговой орбиты на угол Д/<48°54'
энергетически более выгодным оказывается вариант без исполь¬
зования промежуточной эллиптической орбиты. Суммарная ве¬
личина импульсов, требуемых для поворота плоскости круговой
Отношение апогейного расстояния к перигеиному расстоянию прамежутошй орОитю %/гр
Рис. 3.51. Суммарная величина импульсов, требуемых для поворота пло¬
скости круговой орбиты (см. рис. 3.50).
орбиты с использованием различных промежуточных эллипти¬
ческих орбит, показана на графиках, приведенных на рис. 3.51
и 3.52.
Если приложить ортогональный импульс в произвольной
точке круговой орбиты с координатами I и б (рис. 3.53), то
плоскость орбиты повернется на угол
Л . I kvw \
а = 2 arcsin
что приведет к изменению наклонения орбиты на угол Д/ = /' — i
и изменению долготы восходящего узла на величину Д<0,=
^ •О/—<0,- Из сферического треугольника (рис. 3.53) имеем:
cos а = — cos i cos (180° — I') + sin i sin (180° — i') cos Д<Г£
27 К. Эрике, т. II
418
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
или, учитывая, что cos (180° — /') = —cos /' и sin (180° — i') = sin
получим:
cos a = cos i cos if + sin i sin I' cos Д . (3.226a)
Для полярных орбит это выражение упрощается:
а = Д<Г£. (3.226Ь)
Требуемая величина ортогонального импульса скорости может
быть определена по формуле (3.6b). В рассматриваемом случае
^ зависимой переменной яв-
ляется угол поворота а вот-
личие от случая, описывае¬
мого уравнениями (3.199а),
(3.199Ь) или (3.200с),
(3.200d), где зависимой пе¬
ременной является величина
О 20 40 60 80 90
Поворот плоскости орбиты М (градусы)
Рис. 3.52. Суммарная величина импуль¬
сов, требуемых для поворота плоскости
круговой орбиты (см. рис. 50).
Рис. 3.53. Изменение долготы вос¬
ходящего узла и наклонения ор¬
биты в результате приложения
ортогонального импульса в произ¬
вольной точке орбиты.
Д/=|/— i'\ или Д<0,. Поэтому указанные выражения являются
более подходящими для анализа ошибок, вызываемых малыми
величинами ортогонального импульса kvw или dvw, в наклоне¬
нии орбиты и положении линии узлов. С другой стороны, выра¬
жение (3.226а) является весьма полезным при анализе орби¬
тальных маневров, связанных с необходимостью определения ве¬
личины ортогонального импульса, приложенного в заданной
точке орбиты (эта точка орбиты может быть выбрана либо
ЗЛО]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАНЕВРЫ
419
исходя из обеспечения контроля маневра с заданной станции
слежения, либо, в случае военного использования космического
аппарата, исходя из желания не допустить обнаружения манев¬
ра с определенных станций слежения противника) для требуе¬
мого изменения наклонения орбиты и (или) долготы восходя¬
щего узла. Выражения (3.199Ь) и (3.200d) позволяют определить
место приложения ортогонального импульса, где рассматривае¬
мые изменения параметров орбиты могут быть произведены с
наибольшей эффективностью.
б) Поворот плоскости эллиптической орбиты. Из таблицы
3.1 следует, что поворот плоскости эллиптической орбиты отно¬
сительно линии узлов на малый угол может быть определен из
выражения
где va — трансверсальная составляющая скорости в рассматри
ваемой точке:
Отсюда для поворота плоскости эллиптической орбиты на ма¬
лый угол, что характеризуется отношением hvwfva<til, и для из¬
менения наклонения орбиты на небольшую величину имеем:
При изменении наклонения орбиты на небольшую величину,
используя выражения (3.198а) и (3.198Ь), получим:
где 0^ — угол, образованный вектором скорости в восходящем
узле, где прикладывается ортогональный импульс, с местным
горизонтом.
В случае орбитального маневра независимой переменной яв¬
ляется Д/, а не а:
cos(Tl_%)*
(3.227)
va = ri) =
/т/
г д 1 + е cos rj
rp 1 +е
(3.228)
V~Kfc 1 + е
sec(ri —т|л) ]/tJ- • (3-229)
или с учетом vjv = cos 9
(3.230b)
а . Д i п
Sin у = Sin ~Y COS 0ft.
(3.231)
27*
420 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Возводя последнее равенство в квадрат и используя зависимость
sin2y = j(l - cos х),
получаем:
cosa= 1 — cos2 0ft (1 — cosAi). (3.232)
Используя выражение
С2 г2
a (1 — е2) = - дг- = cos2 0ft, (3.233)
где C = r2f) — постоянная закона площадей Кеплера, и приписы¬
вая индекс «Д» параметрами в восходящем узле, находим:
а( 1-е2)
Г SI ^ecosT^’ (3.234)
= (3.235)
К/Га а
Окончательно имеем:
n (1 ± е cos rio)2
cos2 = отттг г^71—2т • (3.236)
2 (1 ± e cos -Пд) — (1 — e2) v '
Подставляя это выражение в соотношение (3.232) и прини¬
мая Дi за независимую переменную, можно рассчитать вели¬
чину а. Требуемую величину импульса можно рассчитать по
формуле (3.6b):
At»TO = 2oftsin-j, (3.237а)
TW=2/2-vsl"f (3'237Ь)
Наличие знаков «±» в выражении (3.234) вызвано тем, что
ортогональный импульс может быть приложен в точках с истин¬
ной аномалией г\ или 180° — г\ (см. рис. 3.43).
Очевидно, лучшим местом приложения ортогонального им¬
пульса для поворота плоскости орбиты (в случае совпадения
линии узлов с линией апсид) является апоцентр орбиты, совпа¬
дающий с восходящим узлом. В этом случае в выражении
(3.236) числитель принимает минимальное значение (1 — в2),
cos0=1 и величина Avw становится минимальной, так как вели¬
чины минимальны. Во всяком случае, маневр необходимо про¬
изводить в узле орбиты, ближайшем к апоцентру.
При больших значениях А/, в особенности если линия узлов
проходит ближе к перицентру (например, как показано на
3.10]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ АЛА11ЕВРЫ
421
рис. 3.42), более выгодным может оказаться маневр с исполь¬
зованием промежуточной орбиты, то есть маневр, подобный изо¬
браженному на рис. 3.50. Однако, в отличие от круговых орбит,
в случае поворота плоскости эллиптической орбиты могут воз¬
никнуть дополнительные ограничения, связанные с ориентацией
линии апсид. На рис. 3.54,а
показан случай наиболее
эффективного использова¬
ния промежуточной орби¬
ты— эллиптической орби¬
ты с большим эксцентри¬
ситетом и с линией уз¬
лов, совпадающей с ли-
Линия узлов,
совпадающая
с лилией апсид
-AVl
Промежуточная
орбита
Начальная и нонечная
орбиты
нией апсид. Благодаря
большому эксцентрисите¬
ту сравнительно малый
перигейный импульс ока¬
зывается в состоянии
сильно увеличить апогей-
ное расстояние и, следо¬
вательно, уменьшить ско¬
рость в апоцентре. В слу¬
чае совпадения линии
апсид с линией узлов ор¬
тогональный импульс при¬
кладывается в апоцентре
промежуточной орбиты.
Менее благоприятный
случай изображен на
рис. 3.54, б. Вследствие
большого угла между ли¬
нией узлов и линией апсид
переход на промежуточ¬
ную орбиту не может быть
осуществлен в перицент¬
ре. Это уменьшает эффек¬
тивность маневра, имеющего целью увеличение расстояния до
апоцентра промежуточной орбиты. По той же причине несильно
увеличивается и расстояние до противоположного узла проме¬
жуточной орбиты, что также уменьшает эффективность исполь¬
зования промежуточной орбиты. Эффективность использования
промежуточной орбиты была бы еще меньшей, если поменять
местами точки приложения тангенциального и ортогонального
импульсов (рис. 3.54, б). Тангенциальные импульсы должны все¬
гда прикладываться е ближайшем к перицентру узле орбиты,
й)
Рис. 3.54. Поворот плоскости эллиптиче¬
ской орбиты с использованием промежу¬
точной орбиты.
а) Наиболее эффективное использование проме¬
жуточной орбиты; б) менее эффективное исполь¬
зование промежуточной орбиты.
422
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
оставляя противоположный узел для приложения ортогональ¬
ного импульса.
Так как элементы начальной (она же и конечная) орбиты
известны, то
■•-А- <з-ад
Обозначив параметры промежуточной орбиты двумя штрихами
и рассчитав v" по vл и Ava, для промежуточной орбиты по¬
лучим:
постоянная закона площадей Кеплера
угол между линиями апсид начальной и промежуточной
орбит
Ат1“К-ч£|; (З-244)
величина радиуса-вектора до противоположного узла
(3.238Ь)
фокальный параметр
(3.239)
постоянная энергии
(3.240)
величина большой полуоси
а‘
__ А.
h" ’
(3.241)
эксцентриситет
(3.242)
истинная аномалия восходящего узла
na-arccos^- l);
(3.243)
ИЛИ
8.10]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАНЕВРЫ
423
Величина орбитальной скорости в противоположном узле
определяется из следующего выражения:
“~V 4 Л •
(3.246)
Наконец, можно определить требуемую величину ортогональ¬
ного импульса [см. выражение (3.237а)]:
Aya, = 2yftsin j, (3.247)
где а определяется из соотношения (3.231). Величину ортого-
нального импульса можно определить, используя по выра¬
жению (2.237Ь).
На рис. 3.55 приведены для сравнения графики суммарной
величины импульсов для поворота плоскости орбиты с эксцент¬
риситетом е = 0,2 в зависимости от требуемой величины М и от
2,0
ZAV
VFfa
W
1 1
Л'К-5,0
Г 0,5
0,2
/
и
=,5,0
гч
Ол=0, гл=гр
0a=S0°' rscb иш 0(fZ70°’ ГЛЬ
ГЛ=ГА
о т гд за 40 ш) во w во зо
Поворот плоскости орбиты Ai (градусы)
. Одноижульсный маневр
Прошжутошл орбита
270°
Промежуточная орбита
7]^0; №
Рис. 3.55. Сравнение требуемой суммарной величины импульсов для
поворота плоскости эллиптической орбиты с использованием проме¬
жуточной орбиты и без нее.
положения восходящего узла при одноимпульсном маневре и
маневре с использованием промежуточной орбиты, характери¬
зуемой отношением расстояния г"А до апоцентра к величине
радиуса-вектора Гд точки начала маневра. Из графиков следует,
что при одноимпульсном маневре точка приложения импульса
Должна быть по возможности ближе к апоцентру. Использова¬
ние промежуточной орбиты становится энергетически выгодным
при Д^50°.
в) Переход между некомпланарными орбитами. При пере¬
ходе между некомпланарными орбитами по переходной орбите,
касающейся заданных орбит, имеются три возможности выпол¬
нения маневра (рис. 3.56): импульс для поворота плоскости
орбиты совместить с перигейным импульсом; импульс для по¬
ворота плоскости орбиты совместить с апогейным импульсом;
поворот плоскости орбиты на угол i осуществить двумя
424
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
поворотами (в точках касания переходной орбиты с заданными
орбитами), угол каждого из которых меньше требуемого угла
поворота: Ai\=Ai2<i.
Из проведенного ранее анализа следует, что осуществление
поворота плоскости орбиты приложением ортогонального им¬
пульса в районе больших
орбитальных скоростей,
то есть в районе пери¬
центра, является крайне
неэкономичным. На осно¬
вании основного правила
о том, что изменение на¬
правления скорости дол¬
жно производиться в
точках орбиты с мини¬
мальными значениями
скорости, на первый
взгляд может показаться,
что поворот плоскости ор¬
биты должен произво¬
диться в апоцентре. Дей¬
ствительно, этот маневр
почти всегда будет бли¬
зок к энергетическому ми¬
нимуму. Однако можно
показать, что действительный энергетический минимум не совпа¬
дает с маневром поворота плоскости орбиты в апоцентре.
Предположим, что заданы две круговые орбиты, угол между
плоскостями которых равен L Поворот плоскости орбиты в пери¬
центре переходной орбиты потребует импульса скорости
AvP, i = ^ - 2vp cos i , (3.248)
а в апоцентре переходной орбиты — импульса скорости
AvAti = у v2a + j- - 2va j- cosi‘ . (3.249)
V A A
При третьем методе поворота плоскости орбиты для совер¬
шения маневра перехода потребуется суммарная величина им¬
пульсов
2 До = у- + V2 - 2vp j/7^ cos Ail +
+ у ■~ + - 2va l/-r- cos Дi2. (3.250)
* ГА f А
Рис. 3.56. Переход между некомпланар¬
ными орбитами.
3.10]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАНЕВРЫ
425
Учитывая, что v\ = К [1 + (п - l)l(n + l)]/rp, vA = vprpjrA,
n = rAlrP и Д/2 = * — Ail9 последнее выражение можно записать
так:
Для нахождения величины первого поворота Дiu для кото¬
рого суммарная величина импульсов ДуР +Дул обращается в
минимум, необходимо найти частную производную от суммарной
величины импульсов по Д/ь
Приравняв ее нулю, после некоторых алгебраических преобра¬
зований получим:
Выражение (3.252а) является решением квадратного уравнения,
и поэтому перед корнем следовало бы писать знаки «±». Од¬
нако знак «минус» опущен и берется только положительное зна¬
чение корня, которое соответствует случаю, когда Д/1<Д/г.
Поскольку величина скорости в перицентре переходной орбиты
больше, чем в апоцентре, то, очевидно, искомый минимум на¬
ходится в области значений Д/1<Д/2, а не Д/2<Дч* При Д/i —>0
то есть имеет место поворот плоскости орбиты, осуще¬
ствляемый ортогональным импульсом, приложенным в апо¬
центре переходной орбиты. На рис. 3.57 приведены графики
-"r^r— = V 2 + е — 2 V\ + е cos Д^ +
V К/гр
V~Г' cos (* ~ A/i) • (3-251)
V п 1 пг
2 V\ + е cos А/]
д Л/]
]/Г2 + е-2Уг1 + е cos Д/j
cos (i — At'i) = A
где
A =
426
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
величины оптимального угла поворота плоскости орбиты в пери¬
центре переходной орбиты в зависимости от отношения радиусов
орбиты цели и исходной орбиты для широкого диапазона на¬
клонений орбит i.
Из графиков следует, что независимо от величины наклоне¬
ния орбиты наибольшей величине угла поворота плоскости
i§ / 1,5 2 3 4 5 6 78ЭТО 20 30 40 60 80/00
Отношение радиусов орбиты цели и исходной орбиты r2/rf
Рис. 3.57. Величина оптимального угла поворота плоскости
орбиты в перицентре переходной орбиты при переходе
между некомпланарными круговыми орбитами в зависимости
от отношения радиусов орбиты цели и исходной орбиты
при различных наклонениях i.
орбиты в перигее соответствует диапазон значений 1,5^
^г2/г1К2,5. Для орбит цели, удаленных на очень большие рас¬
стояния от исходной орбиты, практически поворот плоскости
орбиты необходимо производить в апогее переходной орбиты
(то есть в районе орбиты цели). Соответственно выигрыш в тре¬
буемой суммарной величине импульсов скорости при соверше¬
нии маневра с оптимальным углом поворота в перигее по срав¬
нению с поворотом плоскости орбиты только в апогее, как это
показано на графиках, приведенных на рис. 3.58, является незна¬
чительным. Переход с использованием оптимального угла по¬
ворота плоскости орбиты в перигее целесообразно проводить при
отношении радиусов заданных орбит порядка 1,5, в особенно¬
сти если исходная орбита имеет малую высоту и, следовательно,
большую величину орбитальной скорости.
3.11] АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ НА КЕПЛЕРОВОЙ ОРБИТЕ 427
Ввиду того, что переход между некомпланарными круговыми
орбитами с двумя последовательными поворотами плоскости
орбиты дает сравнительно малый энергетический выигрыш, его
применение в случае перехода между круговой и эллиптической
Цр
1%т
14 а
^ 1 2 3 4- 5 6 7 8910 20 30 40 50 60
Отношение радиусов орбиты цели и исходной орбиты
Рис. 3.58. Выигрыш в требуемой суммарной величине импульсов ско¬
рости при совершении маневра с оптимальным углом поворота
в перигее по сравнению с поворотом плоскости орбиты только в апогее.
орбитами или между эллиптическими орбитами, очевидно, дол¬
жно дать еще меньший эффект. Чем больше разница в величи¬
нах орбитальных скоростей на заданных орбитах, тем меньший
выигрыш в требуемой суммарной величине импульсов можно
получить за счет частичного поворота плоскости орбиты в пери¬
гее переходной орбиты.
3.11. Анализ изменения скорости
на кеплеровой орбите
Если в какой-либо точке кеплеровой орбиты с известными
параметрами необходимо изменить скорость с целью заданного
изменения параметров орбиты, то требуемые тангенциальный,
нормальный и ортогональный импульсы скорости могут быть
рассчитаны по описанной выше методике. Однако при решении
навигационных задач в трехмерном пространстве более удоб¬
ным является использование абсолютной пространственной де¬
картовой системы координат с началом в центре притяжения.
Предположим, что требуется изменить орбиту 1 с парамет¬
рами (<0,ь iu соь еи аь ТРх) с целью получения орбиты 2 с пара¬
метрами (<Г£2, юг, е2> а2, Тр2). Обозначим" постоянные инте¬
грирования первой орбиты через &, а второй орбиты через х.
Величины ki — k6 и Xi — Хб могут быть легко определены с по¬
мощью уравнений (1.5.35). Величины k\ k'\ k”f и х', х", х'"
можно определить из уравнений (1.5.31).
Если координаты точки, в которой импульсом скорости про¬
изводится изменение орбиты, обозначить через х, у, z, то из
428 орбитальный маневры в ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
уравнений (1.5.5) следует:
и аналогично
yk" + km - k!
2,~ y{ l-*) ’
. _ k' + у (k" + XZ\)
У i >
a:, =
xz
xyi - k'
У
yx" + x'" — x'
(3.253)
2 г/ (1 — x)
x' + у (x" + xz2)
У 2
x9 =
xz
XI) 2 — X
У
(3.254)
Соответствующие проекции изменения скорости можно рас¬
считать по выражениям &х=хг— Дг/ = г/2— у и &z=Z2 — Zi.
Эти проекции изменения
скорости представляют
собою интегралы по вре¬
мени от проекций ускоре¬
ний на соответствующие
координатные оси, для
которых на основании
уравнений (1.5.2) можно
записать:
is х Fx '
х= — К—
г6 т ’
li¬
nt
Рис. 3.59. Связь между полярной и прямо¬
угольной системами координат, используе¬
мыми для описания движения космиче¬
ского аппарата.
гг JL
у = - к г3 -
is z Fz
z= — К~з ,
r3 m 7
(3.255)
где г — величина радиу¬
са-вектора рассматривае¬
мой точки В с координа¬
тами х, у, 2, в которой прикладывается тяга (рис. 5.39);
m — масса космического аппарата в рассматриваемый момент
времени; FXt Fyt Fz — соответствующие проекции силы тяги на
координатные оси. Используя вспомогательный угол а = г\ —
—90° — I и вводя r = r cos р = {х2 + у2)Ч>, где г — величина ра-
риуса-вектора точки В, а (3 — угол места точки В над плоско-
3.11]
АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ ПА КЕПЛЕРОВОЙ ОРБИТЕ
429
стью ху> для проекции ускорения силы притяжения на коорди¬
натные оси получим:
= ~ cos a cos 6,
у2\оЦ г2
я =^ = -
*Х Г3 (х2 + У2+ г2)3
_ К» _
8у гз
г
А*.
г3
* .
7 * л. 2 . 7^72 = т sin а cos Р>
(х2 + у2 + г2)0' г2
Kz
— sin 2ft
~~ T
(x2 + i/2 + z2)3/2 r2 2
где Kx = Kx, Ky = Ky, Kz = Kz cosp и
cos a cos p = j = у cos p,
sin a cos p = -j = у cos p,
. 0 Z
sin p = —.
(3.256)
(3.257)
По проекциям импульса скорости на координатные оси
можно вычислить величину импульса скорости:
Да = [(Дх)2 + (Д у)2 + (Д тХ'\ (3.258)
или
t\ t\
J vdt= J [x2 + ij2-\-z2^12 dt, (3.259)
to to
где to и ti — соответственно моменты времени начала и конца
работы двигательной установки, создающей импульс тяги.
Для определения расхода массы топлива для создания тре¬
буемого импульса скорости можно воспользоваться следующим
соотношением:
t\
ДУы = ve In Hoi = J p + gx)2 + (y + gy)2 + {z + gzft'2 dt, (3.260)
и
где ve — скорость истечения продуктов сгорания на срезе сопла
двигательной установки, \ioi = m0/mi — отношение массы косми¬
ческого аппарата в момент начала работы двигательной уста¬
новки к массе аппарата в момент окончания работы двигатель¬
ной установки. Через обозначено приращение идеальной
скорости1), то есть скорости, полученной в предположении, что
ускорение, создаваемое тягой двигательной установки, идет
1) Скорость по формуле Циолковского. (Прим. перев.)
430 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
исключительно на увеличение скорости аппарата. В действи¬
тельности, если в течение конечного промежутка времени работы
двигательной установки космический аппарат увеличивает рас¬
стояние от центра притяжения, то часть энергии расходуется
на преодоление работы силы притяжения и действительное при¬
ращение скорости будет меньшим. В случаях кратковременной
работы двигательной установки, позволяющей рассматривать
приложение тяги как импульс, расход энергии на преодоление
работы силы притяжения близок к нулю и им можно прене¬
бречь.
Составляющие скорости для обеих орбит в точке пересече¬
ния были представлены ранее соотношениями (3.253) и (3.254).
Для получения составляющих скорости, выраженных через г,
rj, а и р, продифференцируем уравнения (3.257) по времени:
х = г cos a cos р — га sin а cos Р — rp cos а sin р =
= в sin г] cos а cos р— sin а cos р (1 + е cos rj) ~ “
— rp cos a sin p = cos p j/"[e sin r\ cos а — sin а (1 + e cos rj)] —
Таким образом, составляющие скорости хи у и и #2, г/2, гч
для исходной и новой орбит в заданной точке их пересечения мо-
гуть быть определены либо по формуле (3.253) и (3.254), либо по
формулам (3.261)—-(3.263). Следовательно, можно рассчитать
разности Дя, Ду, Дг соответствующих составляющих скорости.
В идеальном случае приложения импульса тяги (мгновенный
импульс) соответствующее изменение скорости можно опреде¬
лить по формуле (3.258), а требуемый расход массы топлива —
из следующего равенства:
В случае конечного интервала работы двигательной уста¬
новки, но достаточно малого, чтобы можно было пренебречь
у = г sin a cos р + га cos а cos р — rp sin а sin р =
(3.264)
3.11] АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ НА КЕПЛЕРОВОЙ ОРБИТЕ 431
изменениями составляющих ускорений силы притяжения с из¬
менением координат х, у, г, составляющие полного импульса
F(ti —10) по трем координатным осям определяются из выра¬
жений (3.255):
м
t\ —t0 &х т
А# = _ Fy
U ~h т
Дг _ F*
t\ — t0 &z т
(3.265)
Отношение масс до и после работы двигательной установки
определяется в соответствии с формулой (3.260):
ve In Hoi = [(х + gxf + (у + gy)2 + (z + gz)2)4' (t, - to). (3.266)
В данном случае предполагается, что изменение массы космиче¬
ского аппарата за время работы двигательной установки столь
незначительно, что изменением ускорения аппарата при постоян¬
ной тяге за счет уменьшения его массы можно пренебречь.
При длительном периоде работы двигательной установки
при сравнительно малой тяге необходимо учитывать изменения
составляющих gx, gy, gz ускорения силы притяжения в зависи¬
мости от изменения координат х, у, z и изменения ускорения
F/tn за время работы двигательной установки. Изменение ускоре¬
ния Р/т в зависимости от времени определяется следующим ра¬
венством*
Ж= * (3.267)
Связь времени t с координатами х, у, z устанавливается после¬
довательными приближениями, так как для решения равенства
(3.267) необходимо знать ху у, z в текущие моменты времени ра¬
боты двигательной установки. Для определения изменения со¬
ставляющих ускорения силы притяжения в зависимости от из¬
менения координат х, уу z необходимо найти частные производ¬
ные по х9 уу z от выражений (3.256) с учетом соотношений
(3.257):
dgx = к х2 Л-у2 + z2 -Ъх,2 в „ г3 - 3гх2 _ „ 1 - 3 egg2 a gas2 ft
дх (х2 + у2 + z2)5^2 г6 г3 ’
dgx гг __ TS Зху — /Г fiQff2 ft
ду (х2 + у2 + z2)5/2 г5 2 г3
dgx ^ „ 3xz = - к = — -5. к SQ8-.P s*n 2Р .
dz {х2 + г/2 + z2)5^ г5 2 г3
(3,268)
432
dgy
дх
dgy
dy
dgy
dz
ОРБИТАЛЬПЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
dgx
[ГЛ. 3
dy
= к
х2 + у2 + Z2 — 3 у2
= к
г3-
з гу2
1 — 3 sin2 a cos2 р
= - К
(х2 + у2 + z2)5/2 Г г*
3yz ^ 3yz 3 ^ sin a cos р sin 2р
5/2 == “ К к = “ У к ^
(х2 + у2 + Z2
dgz _ dgx
дх dz
dgz dgy
ду dz *
dgz ts x2 + y2 + z2 — 3z2 _ ^ r3 — 3rz2 _ „I— 3sin2p
= A , „ . 0 . очя/2 ' “ A : = K
dz
(x2 + y2 + z'
2\5/2
K-
(3.269)
(3.270)
Для текущих составляющих скорости получим:
t t t
tо to to
*0 t0 to
t t t
(3.271)
где
dgx
_ dgx
x +
dgx
dt
dx
dy
dgy
_ dgy
x +
dgy
dt
dx
dy
dgz
dt
__ dgz
dx
x +
dgz
dy
dgx
dz
dgy
dz
Z,
(3.272)
Частные производные в правых частях последних выражений
определяются по формулам (3.268), (3.269), (3.270). Уравнения
(3.271) и (3.272) являются совокупными и решаются совместно.
В результате интегрирования будут найдены величины xi— хо =
= Ах и т. д., и затем можно определить величину изменения ско¬
рости Av по формуле (3.258) и отношение масс [ioi = ^oMi =
= exp(Av/ve).
В случае, описываемом уравнениями (3.271) и (3.272), точка
пересечения двух заданных орбит трансформируется в траекто¬
рию активного участка. При этом известной является точка
3.12]
АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
433
(*i, Уь 2i) начала маневра на исходной орбите. Координаты
точки окончания маневра на новой орбите являются неизве¬
стными. Поэтому при такой постановке задачи приходится рас¬
считывать текущие элементы кеплеровой орбиты как функции
составляющих мгновенной скорости до получения заданной ор¬
биты. Или же орбитальные элементы определяются прибли¬
женно, так, чтобы при последующем импульсном приложении
тяги получить требуемую орбиту. Этот случай напоминает пере¬
ход между орбитами, при котором переходная орбита состоит
из участков свободного полета (нулевой тяги), посредством ко¬
торых достигается заданная орбита.
Следует отметить, что уравнения (3.271) и (3.272) можно
использовать и в случае, когда имеет место потенциал силы
притяжения, изменяющийся со временем, например при учете
наложения потенциала возмущающей силы на потенциал учи¬
тываемой силы.
При переходе космического аппарата по переходной кепле¬
ровой орбите, пересекающей заданные орбиты, с использова¬
нием двух импульсов, приложенных в точках пересечения пере¬
ходной орбиты с заданными, минимизация суммарной величины
импульсов может быть произведена аналогично тому, как это
было сделано для ТМЭ (§ 1.3). Однако эта задача является
более сложной даже в случае компланарного перехода.
3.12. Анализ ошибок маневров в поле
центральной силы
Ликвидация отклонений параметров орбиты от требуемых,
очевидно, повлечет за собой дополнительный расход топлива.
Естественно, что реалистический подход при изучении манев¬
ров должен охватывать и вопросы, связанные с отклонением
орбиты от теоретической кеплеровой орбиты. Предположим, что
необходимо вывести космический аппарат в поле центральной
силы на заранее вычисленную орбиту, которую будем называть
теоретической орбитой. Каждая точка этой орбиты определяется
шестью переменными: тремя координатами и тремя составляю¬
щими скорости. При использовании прямоугольной системы ко¬
ординат с началом в центре притяжения этими переменными
будут ху у> г, х, г/, г. При использовании полярной системы коор¬
динат с началом также в центре притяжения этими перемен¬
ными будут г, т), б, г, fj, 6, где б — угол склонения рассматри¬
ваемой точки относительно определенной плоскости отсчета
(2 = 0).
Начальная точка свободного полета космического аппара¬
та должна совпадать с теоретической точкой выключения
28 К. Эрике, т. Ц
434
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
двигательной установки. Отклонения от теоретической точки вы¬
ключения двигательной установки либо по координатам, либо по
скорости, или по тому и другому будем называть ошибками.
Под анализом ошибок будем понимать исследование влияния
ошибок в точке выключения двигательной установки на орби¬
тальные элементы, имеющее целью выявление чувствительности
орбиты или класса орбит к ошибкам в начальной точке. В свою
очередь чувствительность орбиты к ошибкам в начальной точке
вместе с требуемой точностью маневра определяет допустимые
отклонения начальной точки (требования к точности). Матема¬
тическим аппаратом при проведении анализа ошибок являются
выражения для полных и частных производных, определяющих
чувствительность орбитальных элементов к ошибкам в началь¬
ной точке.
В настоящем параграфе будет рассмотрено движение кос¬
мического аппарата (материальной точки) в поле центральной
силы. При этом общий анализ ошибок маневров в поле цент¬
ральной силы будет ограничен рассмотрением лишь эллиптиче¬
ских орбит. Круговая и параболическая орбиты могут рассмат¬
риваться как особые случаи эллиптических орбит. Они могут
отклоняться от расчетных орбит без изменения своей геометри¬
ческой формы за счет изменения склонения (б и 6), долготы
восходящего узла Д, ориентации большой оси (парабола) или
изменения радиального расстояния; в последнем случае соот¬
ветственно должна измениться и скорость в начальной точке.
Поскольку, по определению, отклонения элементов началь¬
ной точки от их теоретических значений малы, то отклонения
орбитальных элементов в случае круговой орбиты также малы.
В случае параболической орбиты отклоняться могут лишь на¬
клонение, радиальное расстояние до перицентра и ориентация
большой оси (долгота перицентра), так как изменение прочих
параметров приводит к превращению орбиты в эллиптическую
или гиперболическую. В случае параболической орбиты ошибки
в наклонении и в ориентации большой оси оказывают значи¬
тельное влияние на координаты космического аппарата, если он
находится на большом расстоянии от центрального тела. Однако
практическое значение параболических орбит невелико. При
совершении маневров, связанных с переходом аппарата из одного
центрального поля в другое, как будет показано в § 4.3, пара¬
болические орбиты с энергетической точки зрения оказываются
менее выгодными, чем гиперболические орбиты. Поскольку ана¬
лиз ошибок маневров, связанных с движением космического
аппарата в пространстве со сложным силовым полем, образо¬
ванным наложением отдельных силовых полей, будет рас¬
смотрен в следующем параграфе, то в настоящем пар$-
3.12] АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 435
графе мы ограничимся рассмотрением лишь эллиптических
орбит.
Исследование ошибок маневра начнем с анализа влияния
ошибок в координатах космического аппарата. Соответствую¬
щая геометрическая иллюстрация приведена на рис. 3.60. Пусть
вектор скорости V в начальной точке зафиксирован в теоретиче¬
ской точке выключения двигательной установки. При дальней¬
шем исследовании будем считать, что вектор скорости в началь¬
ной точке может изме¬
нять свое положение, ос¬
таваясь параллельным
своему фиксированному
положению. Любой пово¬
рот вектора скорости по¬
требовал бы дополнитель¬
ной составляющей скоро¬
сти, что противоречило бы
допущению о фиксирован¬
ном по направлению по¬
ложении вектора началь¬
ной скорости. Предпо¬
ложим, что на рис. 3.60
точка А соответствует
требуемому положению
точки выключения двига¬
тельной установки. При наличии ошибки в радиальном расстоя^
нии г точка выключения двигательной установки в действитель¬
ности может оказаться в точке А/ или А". Если при этом отсут¬
ствуют ошибки в прочих параметрах, то ориентация плоскости
орбиты и истинная аномалия точки выключения двигательной
установки будут отвечать требуемым значениям. Подобная
ошибка dr в радиальном расстоянии без изменения вектора
скорости V может иметь место в любой точке орбиты. Однако,
как будет показано ниже, это утверждение не является справед¬
ливым в отношении ориентации плоскости орбиты и истинной
аномалии.
Если в качестве плоскости отсчета принять плоскость теоре¬
тической орбиты, то ошибка в ориентации плоскости орбиты
приведет к тому, что космический аппарат окажется в точке В,
характеризуемой ошибкой d8. При этом, поскольку было огово¬
рено, что вектор скорости может перемещаться, лишь оставаясь
параллельным своему фиксированному положению, то очевидно,
что точка А должна быть одной из точек апсид. В любой дру¬
гой точке подобное смещение начальной точки привело бы к
ошибке в векторе скорости V.
Рис. 3.60. Геометрическая иллюстрация
к анализу ошибок в координатах косми¬
ческого аппарата.
28*
436 орбитальный: маневры в поле центральной СИЛЫ [ГЛ. 3
Естественно, что при параллельном перемещении вектора
скорости в точку А' или А" он будет содержать ошибку по ве¬
личине. Если одновременно имеют место ошибки dr и d6, то вектор
скорости для точек В' и В" также будет содержать ошибку.
Третьей причиной, вызывающей ошибки в координатах кос¬
мического аппарата, является ошибка в ц. Однако легко заме¬
тить, что подобная ошибка по необходимости приводит к ошибке
в векторе скорости. Действительно, при параллельном переносе
вектора скорости V в точку С (рис. 3.60) вектор скорости не
будет направлен по касательной к орбите в точке С. Этот случай
формально может быть исследован как совместное влияние оши¬
бок в скорости и координатах.
Таким образом, анализ ошибок, в координатах может быть
сведен к двум случаям.
Случай 1. Ошибка dr в радиальной дальности. Анализ
этой ошибки может быть проведен применительно к любой точке
теоретической орбиты. Вектор скорости V, соответствующий
своему требуемому значению на теоретической орбите на ра¬
диальном расстоянии г, перемещается параллельно самому себе
на расстояние r±dr.
Случай 2. Ошибка db в склонении, а следовательно, и
в наклонении орбиты. Эта ошибка приводит к ошибкам только
в координатах, если истинная аномалия точки выключения дви¬
гательной установки равна 0 или 180° (перицентр или апо¬
центр), так как только в этих точках выполняется услоние о
параллельности вектора V своему фиксированному положению
при отсутствии ошибки dr. Таким образом, анализ ошибок в ко¬
ординатах, вызванных ошибкой в наклонении орбиты, будет
ограничен рассмотрением случая, когда начальная точка яв¬
ляется одной из точек апсид.
Рассмотрим первый случай — ошибку в радиальной дально¬
сти г. Задача может быть сформулирована следующим обра¬
зом: допустим, что космическим аппаратом в точке выключения
двигательной установки достигнута расчетная скорость V, но
имеет место небольшая ошибка dr в радиальной дальности. Ка¬
ково влияние этой ошибки на орбитальные элементы?
Используя полярное уравнение эллиптической орбиты, мож¬
но получить:
др = dr + е cost] dr + r cos г\ де, (3.273)
так как изменяться будут фокальный параметр р и эксцентриси¬
тет е, а истинная аномалия ц, по определению, остается неиз¬
менной. Будет изменяться также и постоянная закона площадей
C = r2fj:
l£- = 2rr| = 2f (3.274а)
3.12] АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 437
пли, в более общей форме,
ШтГ-% (3.274Ь)
(3-274')
Таким образом, относительное изменение С, то есть дС/С,
в два раза больше относительного изменения радиального рас¬
стояния. Поскольку эксцентриситет орбиты e = v2—1, где v2 =
= (v/vc)2 = rv2/K, то изменение радиального расстояния приводит
к изменению эксцентриситета орбиты:
17 = Х = Т' (v>1) (3-275а)
или, в более общей форме,
де/е
drlr
(v>D. (3.275b)
Приведенное выше выражение для е справедливо для эллип¬
тических орбит, орбитальная энергия которых больше орбиталь¬
ной энергии соответствующей круговой орбиты, так что v всегда
больше единицы. Это имеет место при изменении данной кру¬
говой орбиты в эллиптическую орбиту с большей орбитальной
энергией (например, при переходе с низкой орбиты на более вы¬
сокую орбиту). В обратном случае е=1 —v2 и
де v2
~dF~~ К
(v< 1), (3.276а)
177Г = Т=^ (v< 1). (3.276b)
Из анализа приведенных выражений следует, что в обоих
случаях (v^l) относительное изменение эксцентриситета, соот¬
ветствующее заданному изменению радиального! расстояния,
сильно возрастает с приближением v2 к единице, то есть с при¬
ближением теоретической орбиты к круговой. При v2->2, то есть
при е—* 1, относительное изменение де/е стремится к граничному
значению де/е-* 2. Если в качестве относительного изменения ра¬
диального расстояния использовать величину дг/а, то можно
получить более общее выражение для относительного изменения
эксцентриситета:
438 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Для определения влияния ошибки в радиальном расстоянии
на величину фокального параметра р воспользуемся выраже¬
нием (3.273):
Из выражения (3.277Ь) следует, что максимальное влияние дан¬
ной относительной ошибки дг/г на относительное изменение
величины фокального параметра имеет место, если начальной
точкой является одна из точек апсид, и минимальное влияние,
если г| = 90° или ti = 270o (в последних двух точках г=р). В при¬
веденных выше выражениях е представляет собой эксцентриси¬
тет теоретической (то есть невозмущенной) орбиты.
Для определения влияния dr на величину большой полуоси
воспользуемся выражением а = р/(1 -— е2):
Из полученных выражений, как и следовало ожидать, выте¬
кает, что с увеличением эллиптичности орбиты влияние относи¬
тельной ошибки дг/г на величину большой полуоси возрастает;
при приближении орбиты к параболе относительная ошибка
дг/г приводит к бесконечно большому увеличению большой
полуоси. В полученных выражениях истинная аномалия к\ соот¬
ветствует радиусу-вектору г исходной орбиты.
(3.277а)
(3.277Ь)
(3.277с)
(3.278а)
дг 1-е2
(v ^ 1), (3.278Ь)
(3.278d)
(3.278с)
При v>l или v/YkIo >1 берется знак «плюс». Знак
соответствует значениям v<l или v/YKIa <1.
«минус»
3.12] АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 439
Для определения изменения величины малой полуоси
b = VaP =а Yl — е2 можно получить:
п 2Ч да де др , де
(1 — ае-т- + -
дЬ дг дг_ __дг_ дг
дг ~ VT^r ~ Vl-e2
дЬ Ъ
дг
(3.279а)
= 7(1:t7T3j v2) (vSsl)> (3.27%)
Г
XLIL ~ cosrj + e
SfF - 1 ± (V ® 1), (3.279c)
r
xuiu — cosrj + e , 9
fs--T=tJW- (3.2793)
Для определения изменения радиального расстояния до апо¬
центра гА = а(\ + е) можно получить:
дг л _ да де
-gf = 0 +е)'ЗГ + а17’ (3.280а)
-fif- = ~г (1 ± vM) (v^l). (3.280b)
-щр- = 1 ± vM (v^l), (3.280с)
&*')• <3'28М>
Д cos r\ + 2е ± ( \ — е) , ,
Л ПГТ2 (V ^ 1 или -щ ^ 1). (3.280е)
И здесь, как и следовало ожидать, чувствительность гА к ошиб¬
кам в радиальном расстоянии возрастает с увеличением эксцент¬
риситета орбиты.
Для определения изменения радиального расстояния до пери¬
центра гР = а( 1—е) аналогичным образом можно получить:
дгп ч да де _ ч
(3.281а)
дгп ч да де
“аГ = (1 ~e^!F~a Hr
дг
дг
— = 1 ± \2В (v^l), (3.281b)
дг_р![р_ __ j ± v2g (V^l), (3.281с)
drplrp _ { ±
дг/г
-тг-^-щтВ (т^-ail). (3-2813)
— cos rj + 2e + (1 +е) , 2 v
В •=-£ (v ^ 1 или (3.281е)
440
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
В приведенных выше выражениях v обозначает величину
v[vc = vJVк \Г в теоретической точке орбиты. Например, если
необходимо определить влияние дгР на величину гА, то в вы¬
ражении (3.280Ь) используется величина v, соответствующая гР
теоретической орбиты, и берется знак, соответствующий значе¬
нию v>l. Аналогичным образом при определении влияния
ошибки д г а на величину тР (например, при переходе космиче¬
ского аппарата с внешней на внутреннюю орбиту) в выражении
(3.28lb) используется величина v, соответствующая гА теорети¬
ческой орбиты, и берется знак для v<l. В любом случае истин¬
ная аномалия ц соответствует радиусу-вектору г теоретической
орбиты.
Наконец, для определения влияния ошибки в радиальном
расстоянии на период обращения Т = 2паг12К~1/2 можно полу¬
чить:
дТ 3,1 да (3.282а)
-§f = 1,5 -f (1 ± Dv2) (v ^ 1), (3.282b)
дТ/T
dr VК!а дг ’
= l,5-f (1 ±
-щг = 1,5 (1 ± Dv2) (v ^ 1), (3.282с)
■Щг-‘'5(1±сж) (дат*1)- <3-282d>
г
— cos г\ + 2е
В= а . (3.282е)
Для эллиптических орбит с малым эксцентриситетом абсо¬
лютная величина изменения орбитальных элементов, вызывае¬
мого ошибками в радиальном расстоянии до начальной точки,
невелика и поэтому часто не имеет практического значения (за
исключением случаев, когда решается задача встречи со спут¬
ником).
Для орбит с большим эксцентриситетом изменения орбиталь¬
ных элементов становятся значительными.
Для иллюстрации приведем влияние ошибок в радиальной
дальности Дг, равной 1 морской миле (1,852 км), на параметры
орбиты, близкой к параболической. В качестве подобной орбиты
воспользуемся орбитой, близкой к переходной орбите «Земля —
Луна» (без учета поля притяжения Луны). Примем радиальное
расстояние теоретической начальной точки г=6920/сж (3740 мор¬
ских миль) [высота 556 км (300 морских миль)], г] = 0, у/ур = 0,99
(vp — параболическая скорость), что соответствует v2=l,95.
Эксцентриситет орбиты е = 0,96, р = 13 610 км (7350 морских
3.12] АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 441
миль), а= 170 500 км (92 000 морских миль), 6 = 47 200 км
(26 000 морских миль), г^ = 330 300 км (180 000 морских миль),
8,9 сут. Ошибка АгР) равная 1 морской миле (1,852 км),
вызывает следующие изменения параметров орбиты: Ае =
= 5,22» 10~4, Др = 7360 км (3955 морских миль), Да = 2262 км
(1223 морских мили), Д6 = 335 км (181 морская миля), ДгА =
= 4530 км (2448 морских миль), ДГ = 0,1155 сут, или 2,77 нас.
Этот пример показывает, что ошибка в положении начальной
точки может иметь большое значение. В приведенном примере
ошибка в положении начальной точки должна быть несколько
меньше 1/100 мили (16,1 м)у чтобы можно было пренебречь ее
влиянием на величину гА.
Рассмотрим теперь второй случай — ошибку в склонении db.
Если в качестве плоскости отсчета склонения выбрать плоскость
теоретической орбиты, то теоретическое значение б равно нулю
и d6 = 6, di = i. Тогда в соответствии с рис. 3.60 можно получить:
sin б = sin DB sin i,
cos 6 sin DA = sin DB cos i,
cos 6 cos DA = cos /.
В силу допущения о параллельном смещении вектора V,
sinDB=l, sin DA = 1 и, следовательно, i = b. Таким образом,
ошибка в наклонении орбиты в данном случае равна ошибке
в склонении начальной точки, то есть di/db=l.
Анализ ошибок в скорости будет основан на представлении
вектора скорости тремя составляющими в полярной системе
координат: радиальной составляющей vT = r, трансверсальной
составляющей va = rr] и ортогональной составляющей vw. Со¬
ставляющими в плоскости орбиты выбраны vr и vQl так как
практически все методы орбитальных измерений основаны на
определении vr и va, а не v и 0 (рис. 3.40).
В любой точке (г, г), 6) пространства величина вектора ско-
рости v = Yv2r + va + vw определяет данную эллиптическую ор¬
биту, если v2 — 2/(/г<0. Задача заключается в определении
влияния ошибок dvr, dva и dvw на параметры этой орбиты. Для
решения задачи мы можем непосредственно обратиться к ре¬
зультатам § 3.8, так как формально каждая из ошибок может
рассматриваться как импульсное изменение скорости от ее тре¬
буемого значения.
Напомним, что в § 3.8 было установлено, что ортогональный
импульс скорости dvw может изменить лишь наклонение орбиты
и положение линии узлов, а не величину большой оси, эксцент¬
риситет, аргумент перигея или среднее движение. Частную
производную, определяющую влияние малой ортогональной
442
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
составляющей скорости на наклонение орбиты и долготу восхо¬
дящего узла, можно взять непосредственно из таблицы 3.1, учи¬
тывая выражения (3.196) — (3.200h):
di ^ 1
^ л
или, в более общем виде,
• cos
(л-%) (3.283а)
di a cos (п — По)
7= = — „У... (е § 1). (3.283b)
dvwlVK/a rV \l-e2\
Для эллиптической орбиты с учетом выражения (3.229) получим:
<3-28ЭД
У К/а
Аналогичным образом можно получить частные производные,
характеризующие изменение долготы восходящего узла:
да sin (ri-чу
t/a sin i *
g/f sin (ч - Ча)
У 11 -e|2 sinl'
(3.288 d)
(3.283e)
da Ap 1+e sin(^-%) /* 984f\
dvw V га 1+ecosn sin/ ’ {0^901)
где va — трансверсальная составляющая скорости; ц — истинная
аномалия удаленной на радиальное расстояние г точки, в кото¬
рой прикладывается ортогональный импульс dvw\ т]л — истин¬
ная аномалия восходящего узла; i — наклонение орбиты к
плоскости, определяющей линию узлов. Зависимость частных про¬
изводных от величин г), и i исследована в § 3.8. Для числен¬
ной оценки влияния ортогональной составляющей ошибки ско¬
рости необходимо знать величины г], и i.
Случаи больших изменений наклонения i [выражение
(3.231)] или долготы восходящего узла <0, в настоящем пара¬
графе исследоваться не будут, так как большие изменения не
могут рассматриваться как ошибки, представляющие малые
отклонения от теоретических величин.
Для учета влияния ошибки в радиальной составляющей
скорости получим:
да л a Vf . 2a^Vf . /л оо л \
= — 2 у—г- “7==^ sin ri = sin т], (3.284а)
dvr V К/а У К/а 1 К 1 ' ’
З.Т2] АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 443
где г] —истинная аномалия точки с радиальной скоростью vr.
При vr ф О можно записать:
С приближением орбиты к параболической, то есть при
#->оо, /i-> 0, е-+1, изменение величины большой оси при за¬
данной величине ошибки в радиальной составляющей скорости
стремится к бесконечности. Однако вблизи точек апсид величина
радиальной составляющей скорости и величина sin г| малы. При
этих условиях влияние dvr на величину большой оси может
оказаться пренебрежимо малым в широком диапазоне значений
эксцентриситета. Для учета влияния dvr на прочие параметры
орбиты можно получить:
где, как и прежде, р — среднее движение (р = 2я/Г), Т — период
обращения, а г|0 и ц — соответственно истинные аномалии пери¬
центра и текущей точки относительно фиксированного в абсо¬
лютном пространстве направления (например, направления на
точку весеннего равноденствия).
Ошибка в радиальной составляющей в точках апсид не ока¬
зывает влияния на параметры орбиты, за исключением углового
расстояния до перигея г|0. Влияние на цо в свою очередь зави¬
сит от величины г) — г)0, то есть от взаимного углового располо-
1 + е cos rj sin rj
, (3.284b)
(3.284c)
— sin y\ = — “j/"—щ 1 sin t), (3.285a)
sin T] = -j- sin t), (3.285b)
(3.285c)
(3.286a)
(3.286b)
(3.287)
444
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
жения перигея и текущей точки, в которой находится космиче¬
ский аппарат. При этом указанное влияние является максималь¬
ным при г] = т]о или г] = г]о+ 1800. При г)—г]о = 90° или г]—г)0 =
= 270° это влияние отсутствует. Степень влияния ошибки в ра¬
диальной составляющей скорости на угловое расстояние до
перигея щ зависит от эксцентриситета орбиты. При е—>0 (кру¬
говая орбита) и е-+\ (параболическая орбита) dr\o/dvr—* оо.
Для учета влияния трансверсальной составляющей скоро¬
сти получим:
да 2tz2 /л с%оо \
va, (3.288а)
да/а
dv{
да/а 2(l+g cos т])
а/а 2а п 2vn л / vn \ 1 + е cos ч\
'= -—v2= = 2 НЧ —1 Г"1» (3.288Ь)
a/va К а h \vcJ 1 - е2 9 v 7
(3.288с)
dva/VK/a Vn-еЦ
В частности, если начальная точка совпадает с одной из то¬
чек апсид (г] = 0 или 180° и v = vai vr = 0), то
да/а _ 2v2
dvlv apsis 1 + е
(л = о или 180°), (3.288d)
С .(62_Г2)= «^(ГлГр_г2) =
dva Kaer er VКа
~Y (3.289а)
-Щг.-Ti(3.289b)
_^ = ^(|1-е!|)-^]/^, (3.289с)
так как va = С/г.
Наконец,
fvT^, (3.290а)
(3.290Ь)
sin^~ ^= 2 VkT ^ sin^~ %)• (3.291)
Рассмотренные выше частные производные получены в пред¬
положении, что имеет место ошибка либо в радиальной состав¬
ляющей скорости, либо в трансверсальной составляющей скоро¬
сти, но не одновременно в обеих составляющих. Поэтому полу¬
ченные выражения относятся к случаю, когда с изменением
величины скорости меняется также и направление вектора ско-
3.12] АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
445
рости, за исключением точек апсид, где vr = 0. Если же имеет
место одновременное изменение vr и va таким образом, что на¬
правление вектора скорости не изменяется, а изменяется лишь
его величина, то можно получить:
-аг- <3-292а>
к
VL-iiY
U к)
<3-292Ь>
daja_ = 2 _о . (3.292с)
dv/VК/а VW
— = ± Ц- = ± - v2 (v ^ 1), (3.293а)
dv vc v
|£/L=±2.v 2 (v^l), (3.293b)
dv/v e
—^J^=- = ± 2 — —7==- (lV» (3.293c)
dv/VKIa a eVKIa \V K/a )
= (v=£l), (3.294a)
до К ox'
dr „ r. 2t»
dt» У/T У/i
где
Отсюда
L = AL^fL. и vlVWa = V 2T~X •
a 1 + e cos л r г г
p - = i/9 _—e_cos ft -1, (3.295)
У^Г/a Г | l-e21
<3-294c>
,3-296)
O/t
^ ^ V2 (v ^ 1)( (3.297a)
+ -^—) (3.297b)
У/а \ |1 -el/ \У/а /
0/7
pi%2 (v^i), (3.297c)
ао/У /с/а
5rp
2 varp
dv
К
drp
rP
dv
VK/a
dr p/f p
2 v2a
У /С/,
a
dv/v К
дгр/гс
'/==■ = 2 1 + ———) (3.297d)
аи/У/C/a У/а \ 11 — e | / \ У/а /
-fr'^sinfa-rio), (3.187)
446 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
где г] и г)о обозначают те же величины, что и в выражении
(3.287).
Перейдем к исследованию влияния произвольной комбинации
ошибок в радиальной и трансверсальной составляющих скорости
на величину радиуса-вектора произвольной точки орбиты.
В дальнейшем примем следующие обозначения: vr и va — соот¬
ветственно радиальная и трансверсальная составляющие ско¬
рости в начальной точке, V\ — величина скорости в начальной
точке, 01 — угол, образуемый вектором скорости с местным
горизонтом в начальной точке, е — эксцентриситет орбиты. За¬
пишем полярное уравнение кеплеровой орбиты r = p/( 1+ecosr])
в следующей форме:
r\v ? COS^!
r = -F7rz Ц-. (3.298)
К (1 + е cos rj) * ' 7
где г ит] относятся к любой произвольной (за исключением
начальной) точки орбиты. С учетом равенства K = r{v2c, где
vc — местная круговая скорость в начальной точке, можно запи¬
сать:
/ V? COS20J \2 / V? cos2 01 \2
( 8 ‘г^г/ ’ (3'299)
Наконец, используя выражения tg9i = ivM и PiCos9i = ya>
можно переписать уравнение (3.298) в следующей форме:
Ы°сУ v;
(3.300)
Г\ 1 + % (v) COS TJ 1 + % (V) COS Г) *
где
* W - /[1 - Ш+fry fef - +0 - ^ (3-301)
Формула (3.300) позволяет вычислить относительную величину
радиуса-вектора г в произвольной точке орбиты, определяемой
'истинной аномалией г) (измеренной от перицентра), в зависимо-
сти от величины скорости в начальной точке v{ = Vvl+ v2r• В
частности, если точками, представляющими интерес, являются
точки апсид, для которых г = гА или г=гР, то cosr)=±l. В ос¬
тальных случаях должна быть задана истинная аномалия ц
рассматриваемой точки.
Начальная точка не обязательно должна совпадать с одной
из точек апсид (то есть гц=£0), за исключением случая vr = 0.
Если для любых конкретных начальных условий обозначить
теоретические значения va через и' и %(у) через %(v') (при этом
может быть уг=0 или vr=t=0)> а величины, соответствующие дей¬
3.12] АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 447
ствительной скорости при достижении теоретической радиаль¬
ной дальности ги обозначить через v" и %(v")y то при заданной
истинной аномалии г{ получим следующее отношение действи¬
тельной величины радиуса-вектора к его теоретической вели¬
чине:
В частности, для точек апсид последнее выражение упрощается:
На рис. 3.61 и 3.62 представлены графики, полученные на
основании выражения (3.303). Они показывают изменение отно¬
сительных апогейных и перигейных расстояний гА/г^ и rP/ri
(в качестве центрального тела принята Земля) в зависимости
от отношения трансверсальной составляющей начальной скоро¬
сти va к местной круговой скорости vc. На рис. 3.61 относитель¬
ные апсидальные расстояния гА/г\ и rP/ri являются пара¬
метрами семейства кривых. В качестве параметра семейства
кривых на рис. 3.62 использовано отношение vr/vc. В такой
форме график может быть использован для любого централь¬
ного тела. Случай, когда va/vc= 1 и vr/vc=0y соответствует кру¬
говым орбитам. Как следует из графиков, наибольшая чувстви¬
тельность изменения апсидальных расстояний к ошибкам в
радиальной составляющей скорости в начальной точке соответ¬
ствует случаю vjvc = 1. При vjvc^ 1 возмущенной орбитой яв¬
ляется эллипс, и если к тому же vr/vc = 0, то космический аппа¬
рат переходит на возмущенную орбиту в одной из точек апсид.
Из графиков также следует, что при сравнительно небольших
отклонениях от va/vc= 1 влияние ошибки в радиальной состав¬
ляющей начальной скорости на изменения апсидальных расстоя¬
ний значительно уменьшается. Этот вывод был бы более оче¬
видным, если бы на графиках (рис. 3.61 и 3.62) были приведены
кривые, соответствующие случаям отклонения отношения va/vc
от единицы больше чем на ±5%.
На графике, приведенном на рис. 3.63, диапазон изменения
vJvc расширен и охватывает практически все обозримые опе¬
рации в центральном поле. Пунктирный прямоугольник, изобра¬
женный на рис. 3.63, представляет собой часть области, показан¬
ной на рис. 3.62, а отрезок линии графика внутри прямоуголь¬
ника соответствует значениям vr/vc = 0 и vjvc= 1 ±0,05. Посколь¬
ку малыми ошибками в радиальной составляющей начальной
скорости (по крайней мере в пределах ±5%) вне диапазона
(3.302)
(3.303)
448 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
0,9 < vjvc < 1,1 можно пренебречь, то на рис. 3.63 приведен
график только при vr/vc = 0 для всего диапазона изменения
va/vc. Естественно, что этим графиком можно пользоваться для
(Ошибка в радиальной дальности Дг=0)
—(- -Ып 1—\—
Гр!г,
0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,0 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05
va/vc
Рис. 3.61. Зависимость между ошибками в радиальной и трансверсальной
составляющих начальной скорости для постоянных изменений относитель¬
ных апсидальных расстояний.
любого центрального поля. Поэтому на графике приведены как
геоцентрические (г), так и гелиоцентрические (R) операции1).
*) Имеются в виду касательные соосные переходные эллипсы.
3.12] АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 449
По оси ординат указаны относительные апсидальные расстояния
от центра притяжения Земли (гА/ги Гр/ri) и от центра притя¬
жения Солнца (Ra/Rь Rp/R 1). Центры либрации L, и L2
гз
1,2
V
1,0
0,9
’ 0J95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,0 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05
vJvc
Рис. 3.62, Зависимость между изменениями апсидальных расстояний и
ошибками в трансверсальной составляющей скорости для постоянных
радиальных составляющих начальной скорости.
в правой части графика относятся к коллинеарным лагранжевым
точкам либрации вблизи Земли системы «Солнце — Земля», а
не «Земля — Луна». Указанные точки лежат на прямой линии
20 К. Эрике, т. II
460
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
«Земля — Солнце» по обе стороны от Земли на расстоянии
r= 1 505 ООО км.
Крутизна кривых, приведенных на рис. 3.61, 3.62 и 3.63,
характеризует чувствительность орбиты к ошибкам в va
и vr. Очевидно, указанная чувствительность равна нулю
Рис. 3.63. Изменения в относительных апсидальных расстояниях в за¬
висимости от трансверсальной составляющей начальной скорости для
системы «Земля —Луна» и солнечной системы.
[d(r/ri)/d(va/vc) =0], если касательная к кривой графика парал¬
лельна оси абсцисс, и равна бесконечности [d(r/ri)/d(vjvc) =оо],
если касательная к кривой графика вертикальна. Легко полу¬
пить общее выражение для тангенса угла между касательной
к графику и осью абсцисс:
а(тг) _2 1 + x(p)c°sn-[x(o)]-' fe)2cosri[fe
d^va j Vc [1 +Х (о) cos Tj]2
(3.30 )
Это выражение является общим и может быть использовано для
любой комбинации ошибок в va и vr. Его справедливость огра¬
ничена лишь допущением о центральности поля. Если начальной
3.12]
АНАЛИЗ ОШИБОК МАНЕВРОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
451
точкой является одна из точек апсид (vr/vc = 0), то выражение
(3.304) упрощается:
Vc
Htrr
(3.305)
График этой зависимости приведен на рис. 3.64 почти для
всего диапазона значений va/vc = vP/(vc)P и va/vc = vA/(vc) А.
Выражениями (3.304) и
(3.305) в дифференциальной
форме можно пользоваться,
если относительная величи¬
на ошибки Дц/ц мала (что
обычно имеет место на прак¬
тике). Если vr/vc=£=0, то по
формуле (3.304) необходи¬
мо вычислить предваритель¬
но d(r/ri)/d(Va/vc) и затем
для заданного значения г,
рассчитать ошибку в ради-
альной дальности по еле*
дующей зависимости:
Дг
П, vrlvc --
■&)
kva
(3.205)
где Дца — абсолютная ве¬
личина ошибки в трансвер-
сальной составляющей ско¬
рости. Если vr/vc = 0, то
ошибка в апсидальном рас¬
стоянии до точки, противо¬
положной начальной точке
Рис. 3.64. Скорость изменения апси-
дальных расстояний в зависимости от
апсидальной скорости.
(совпадающей с одной из точек апсид), может быть вычислена
с помощью выражения (3.306):
К)
ДГ apsis —
А Уд
vc
(3.307)
Из графика, приведенного на рис. 3.63, следует, что чувстви¬
тельность гелиоцентрического переходного эллипса к Венере
к ошибкам в начальной скорости меньше, чем для переходного
29*
452
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
эллипса «Земля — Марс». Можно подсчитать, что для гоманов-
ской переходной орбиты Земля — Марс ошибка в начальной
скорости 0,305 м/сек (1 фут/сек) в перигелии приводит к изме¬
нению радиального расстояния в афелии примерно на 111 ООО км.
Для гомановской переходной орбиты Земля — Венера такая же
ошибка в скорости в афелии приводит к изменению радиального
расстояния в перигелии примерно на 3700 км. Для переходного
эллипса «Земля — Луна» в геоцентрической системе координат
ошибка в начальной скорости 0,305 м/сек (1 фут/сек) в перигее,
расположенном на 556 км над поверхностью Земли, приводит к
изменению радиального расстояния в апогее примерно на 925 км.
3.13. Применение анализа ошибок маневров
в поле центральной силы
Ввиду того, что в рассмотренном выше анализе ошибок глав¬
ное внимание было уделено теории вопроса, весьма полезно
отдельно рассмотреть некоторые важные практические прило¬
жения этой теории.
Пример 1. Необходимо вывести спутник на круговую ор¬
биту с начальными условиями: высота 556 км, Oi = 7600 м/сек,
01=О. В действительности при отделении спутника от последней
ступени ракеты-носителя были реализованы следующие началь¬
ные условия: высота 556 км, 01 = 0, а величина начальной ско¬
рости 7745 м/сек. Какая при этом будет орбита спутника?
Начальные условия: vafvc= м/сек '^ 1,02, vrlvc = 0.
Из графика (см. рис. 3.62) на линии, соответствующей
vr/vc = 0y при vjvc= 1,02 находим гА/гх = 1,085. Таким образом,
возмущенной орбитой является эллипс с rP = ri = 6371 км +
*+556 км = 6927 км, гА = 7516 км и высотой в апогее г/А=1145 км,
то есть в два с лишним раза большей, чем высота в перигее.
Пример 2. Условия те же, что в примере 1, но действитель¬
ная скорость меньше расчетной на 76 м/сек, то есть
Oi = 7524 м/сек.
7524 м/сек
Начальные условия: vjvc = ^QQ J/ceK = 0,99, vr/vc = 0.
Из графика (рис. 3.62) на линии vr/vc = 0 при оа/ос = 0,99 на¬
ходим гР/г 1 = 0,961, или гР = 6657 км, что соответствует высоте
в перигее уР=286 км, то есть перигей орбиты находится в опас¬
ной близости к земной атмосфере. Апогейная точка совпадает
с начальной точкой.
Пример 3. Условия те же, что в примере 1, но имеет место
ошибка в направлении начальной скорости Д01 = 2°. Определить
радиальные расстояния до точек апсид.
3.13] ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ОШИБОК МАНЕВРОВ 453
Начальные условия:
vl =7745 м/сек, vjvc = 1,02,
va = vi cos 0, = 7745 м/сек • 0,9994 = 7740 м/сек,
va/vc = 1,0194,
vr = v{ sin 0! = 7745 м/сек • 0,0349 = 270 м/сек,
, 270 м/сек n ло-~
vrlv* ~ 7600 м/сек ~ °’0356*
Поскольку масштаб графика на рис. 3.62 не позволяет в дан¬
ном случае учесть различие между и va, то опять примем
vjvc= 1,02. Интерполируя между кривыми vr/vc = 0,03 и
vr/vc = 0,04, в правой нижней четверти графика найдем rP/ri =
= 0,986 и в правой верхней четверти rA/ri= 1,099. По этим вели¬
чинам, как было показано выше, нетрудно рассчитать высоты
в апогее и перигее. Знак 01 при определении гА и гР не играет
роли.
Пример 4. Космический аппарат должен покинуть круго¬
вую орбиту высотой 556 км со скоростью 10 480 м/сек при 0± = 0.
В действительности направление скорости было выдержано пра¬
вильно, а величина скорости оказалась на 0,305 м/сек
(1 фут/сек) больше. Определить изменение апогейного расстоя¬
ния, вызванное этим отклонением скорости.
Для решения поставленной задачи воспользуемся формулой
(3.307):
В данном случае ri = 6927 км, &va/vc = 1/24 900 и из графика
/ о гл\ и \ 10 480 м/сек , 00
(рис. 3.64) для vp/(vc)p = -7Ш м/сек = 1,38 получаем
d{r/ri)/d(va/vc) =650. Таким образом,
Л/-л = б50|^=180,7 км.
Так что при данных условиях отклонение в величине началь¬
ной скорости на 0,305 м/сек приводит к изменению апогейного
расстояния на 180,7 км. Поскольку приведенный на рис. 3.64
график в некоторой окрестности рассматриваемой точки может
быть принят линейным, то полученный результат можно исполь¬
зовать для оценки влияния отклонения в величине начальной
скорости порядка нескольких десятков метров в секунду.
454
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
Пример 5. Условия те же, что в примере 4, но имеет место
ошибка в направлении начальной скорости (vr/vc=/=0).
В этом случае прежде всего необходимо определить va/vc
и vrlvCy как было показано в примере 3. Затем по формуле
(3.304) вычисляется частная производная, характеризующая
влияние отклонения в величине начальной скорости на измене¬
ние радиального расстояния в интересующей точке. Если необ¬
ходимо определить лишь изменение апогейного расстояния, то
частную производную d(rP/ri)/d(va/vc) определяют по фор¬
муле (3.304), полагая cosr] = — 1 (г|=180°). Затем по формуле
(3.306) находят ДгА так же, как и в примере 4.
Пример 6. Предположим, что при условиях, указанных в
примерах 4 и 5, требуется найти не изменение апогейного рас¬
стояния, а изменение радиального расстояния в произвольной
точке, определяемой величиной г<гА. В данном случае прежде
всего необходимо вычислить соответствующую данному ради¬
альному расстоянию истинную аномалию rj, например, из соот¬
ношения
(1 — е2) — 1
cos г] = — ■, (3.308)
считая, что а и е теоретического эллипса известны. Затем, как
и в случае примера 4, по формуле (3.304) при найденном зна¬
чении т| вычисляется частная производная, характеризующая
изменение радиального расстояния в зависимости от изменения
величины начальной скорости:
5 (г/г,) а 1 + X (у) cos л - [Х („)]-> (^)2 cos г, [(ffi - l]
д (va/vc) Z vc [1 + X (v) cos T|]2 ,
где теперь
*('>-/['-(t)T+fe)’- (3-310)
В случае примера 5 необходимо учесть члены, содержащие
(vr/vc).
Пример 7. Каков должен быть избыток скорости по отно¬
шению к орбитальной скорости Земли для перехода на пере¬
ходную орбиту, афелий которой касался бы орбиты Марса?
Непосредственно из графика, приведенного на рис. 3.63, на¬
ходим, что искомая величина равна примерно 10% (va/vc^ 1,1 )т
или 2980 м/сек (9770 фут/сек).
Пример 8. Предположим, что космический аппарат, движу¬
щийся по начальной круговой орбите радиуса г0, должен пере¬
сечь более удаленную круговую орбиту радиуса г. Как следует
3.13]
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ОШИБОК МАНЕВРОВ
455
из рис. 3.65, истинная аномалия точки пересечения (или каса¬
ния) уменьшается по мере перехода к более быстрым переход¬
ным орбитам. При переходе с внутренней орбиты на внешнюю
орбиту точка пересечения перемещается по ходу часовой стрелки
(при переходе с внешней на внутреннюю — против хода часовой
стрелки). Это перемещение, кото¬
рое можно выразить истинной
аномалией ц точки пересечения,
может иметь большое значение
при решении задачи встречи со
спутником (Луной, планетой),
движущимся по орбите радиу¬
са г. Выражения (3.287) и (3.291)
в данном случае не подходят, так
как они пригодны для определе¬
ния поворота линии апсид вслед¬
ствие ошибки в величине скоро¬
сти не в точках апсид. В боль¬
шинстве же случаев импульсных
переходов точка приложения
импульса скорости расположе¬
на вблизи точек апсид. В подоб¬
ных случаях поворот линии
апсид столь мал, что им в пер¬
вом приближении можно прене¬
бречь. Поэтому мы должны рас¬
сматривать только изменение
истинной аномалии точки пересе¬
чения на заданном постоянном
радиальном расстоянии г [по¬
стоянном по отношению к пере¬
ходной орбите; орбита цели (рис. 3.65) не обязательно должна
быть круговой]. Используя уравнение орбиты r = p/( 1+ecosrj),
находим cost]:
1 p — r 1 а (1 - е2) — г /о Q1 1\
cos ц = - т . (3.311)
Рис. 3.65. Изменение истинной
аномалии точки пересечения с уве¬
личением величины большой оси
переходного эллипса.
Продифференцировав это уравнение, считая переменными г],
а и е, найдем:
- да а ^ е ^ а д де
— sin 11511 = о-де да де + -j-.
1 1 re re2 г г ег
Разделив полученное выражение на dv, подставив затем значе¬
ния da/dv и de/dv из выражений (3.292а) и (3.293а), соответ¬
ственно равные 2va2/K и 2v2/v, и разрешив относительно дц/dv,
456
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
после некоторых преобразований будем иметь:
&-±-ржг[т<|+е’>-(т)’е<1-*>’-1] <val>- (3-312)
где г] — истинная аномалия начальной (невозмущенной) пере¬
ходной орбиты в точке пересечения с орбитой цели; г — ради¬
альное расстояние до точки пересечения (для орбиты цели с
большим эксцентриситетом в случае необходимости при очень
быстрых переходных орбитах можно учесть изменение радиаль¬
ного расстояния г до точки пересечения); v — скорость на
начальной орбите (то есть «невозмущенная» скорость) в точке,
где имеет место ошибка в скорости dv\ v = v/vc — параметр ско¬
рости v на соответствующем расстоянии; a we относятся к не¬
возмущенной начальной переходной орбите. С помощью фор¬
мулы (3.312) можно вычислить изменение drj, соответствующее
данному dv, которое может достигать нескольких десятков мет¬
ров в секунду или больше в зависимости от апогейного рас¬
стояния гА. Например, переходная орбита к Луне является
близкой к параболической даже при углах перехода ^=180°,
так что при сравнительно малом диапазоне отклонений в на¬
чальной скорости, порядка 100 м/сек, величина гц меняется в
пределах между 180° и 164°,5.
Пример 9. Перемещение точки пересечения в случае ошиб¬
ки в vry а не в у, как в примере 8, рассчитывается аналогичным
методом. Имеем:
dri да I е 1 \ . де ( а . а 1 \
slnrl dvT dvT \r re) dvr \re2 r e2 ) ’
где da/dvT определяется по формуле (3.284a), a de/dvr — по фор¬
муле (3.285a). Подставив эти выражения в последнюю зависи¬
мость, после некоторых преобразований получим:
Й-т{^-М1-Л-/ГП^Г[в(, + ^,_г1}. (з.з,з)
Соответственно для ошибки в va найдем:
dri да ( е 1 \ . де ( а . а 1 \
slntla^ = ^l7-ir) + ^U + 7-^)*
Используя выражение для da!dva из формулы (3.288а), а также
выражение для dejdva из формулы (3.289с)
3.13]
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ОШИБОК МАНЕВРОВ
457
после преобразования получим:
р-~—'—f-(l 1 ~е2\) — -1[а(1 +e2)-r] X
dva er sin п L г v и a J1 ' J
Vi
X
1 -е2\
Наконец, для получения выражения, характеризующего влия¬
ние ошибки в радиальном расстоянии г, продифференцируем
выражение (3.311), считая переменными г, а и е, и результат
разделим на дг:
£=^Ш70+«М-£<>-ег>+^<1-<4
(3.315)
где (де/е)1(дг/г) определяется из выражения (3.276Ь), а
da/dr —из выражения (3.278а).
Пример 10. Предположим, что космический аппарат в резуль¬
тате перехода должен встретить
другое тело, движущееся по
орбите цели (рис. 3.66). Любая
ошибка в начальной скорости (по
величине или направлению) при¬
ведет к отклонению во времени
полета по переходной орбите.
Во многих случаях представляет
интерес определение влияния
ошибки в начальной скорости на
время перехода между орбитами
радиуса и г2. Время перехода
между указанными орбитами оп¬
ределяется следующим выраже¬
нием:
^2 ^1 — ^12 —
Е2 — Ех — е (sin Е2 — sin Е:)
~~ V~K0 :
Рис. 3.66. Чувствительность пере¬
ходной пересекающей орбиты к
ошибкам в начальной скорости.
(3 316) /-точка пересечения невозмущенной
' * ' переходной орбиты с орбитой цели,
соответствующая положению цели в этой
точке; 2 — точка пересечения переходной
орбиты, реализованной с ошибкой в на¬
чальной скорости, с орбитой цели;
3 —положение цели в момент пересече¬
ния ее орбиты космическим аппаратом,
движущимся по переходной орбите,
реализованной с ошибкой в начальной
скорости.
где Е — эксцентрическая анома¬
лия (рис. 3.67). Отклонение ско¬
рости приводит к изменению ор¬
биты и, следовательно, к измене¬
нию эксцентрических аномалий
точек на радиальных расстояниях г\ и г2. Поэтому в первую
очередь необходимо определить влияние ошибки dv на
458
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
б)
Рис. 3.67. Влияние ошибки во времени перехода.
а) Начальная точка совпадает с перицентром (£, не изменяется); б) на¬
чальная точка не совпадает ни с одной из точек апсид (изменяются Е\
и Е2).
3.13]
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ОШИБОК МАНЕВРОВ
459
эксцентрическую аномалию. Воспользуемся известной зависи¬
мостью
Дифференцируя зависимость (3.317), считая переменными а
и е, получаем:
Разделив полученные выражения на dx = dvr, dx = dva и
dx = dv, но не на дг (см. ниже), получим выражение для произ¬
водной дЕ/дх, в котором да/дх и де/дх выражаются соответ¬
ствующими зависимостями, полученными в предыдущем пара¬
графе. Например, полагая dx = dv, находим:
Подставив сюда выражения (3.292а) и (3.293а) и исключив
cos £, получим:
или, исключив Е с использованием равенств sin Е = (гlb) sin ц
и b = aY1 — е2, справедливых для эллипса, получим:
Продифференцировав соотношение (3.317), считая перемен¬
ными а, е и г, получим частную производную, характеризующую
влияние ошибки в радиальном расстоянии г на эксцентрическую
аномалию Е\
где (де/е)/ (дг/г) и (да/а) / (дг/г) определяются по формулам
(3.276Ь) и (3.278с).
г, а — г
cos Е =
ае
(3.317)
(3.318а)
(3.318Ь)
дЕ
dv
(1 да ,1 де\ _ 1 да
г—| -=■— cos Е -г—
\а dv е dv I ае dv
(3.318с)
sin Е
дЕ
dv
cos Е де __ г да
е dv а2е dv
(3.318d)
sin Е
(v^l) (3.318е)
(v^l). (3.318f)
(3.318g)
(3.318h)
460 ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Продифференцировав соотношение (3.316), считая перемен¬
ными Е1, Ё2, ей а, после преобразований получим общую зави¬
симость:
<5^12 = ~\/~ [y ~~ Ех — е sin Е2 + е sin Ех) да +
+ а (1 — е cos Е2) дЕ2 — а (1 — е cos Ех) дЕх —
— a (sin Е2 — sin ^j) де] (3.319а)
или
<^12 = т'12 1Г + «]/1 [(1-ecos Е2)дЕ2-
— (1 — е cos Ех) дЕх — (sin Е2 — sin Ех) де]. (3.319Ь)
Если начальная точка совпадает с одной из точек апсид пе¬
реходной орбиты, то в случае перицентра £i = sin £i = d£i = 0,
а в случае апоцентра Е{ = п, sin Е1 = дЕ1 = 0, и полученные выше
зависимости приводятся к виду
dtP2 = \ [y ~ е sin Е2) да +
+ а (1 — е cos Е2) дЕ2 — a sin Е2 деj (v > 1), (3.319с)
dtP2 = y + [(1 — e cos E2) dE2 — sin E2dE2] (v< 1),
_a (3.319d)
dtA2 = ~[/'\ [y(£'2-It-esin£'2)(9a +
+ a (1 — e cos E2) dE2 — a sin E2 dej (v> 1), (3*319e)
dtA2=YtA2ir+ aVr~K K1-ecos£2)d£2-sin£2d£2] (v<l).
(3.319f)
При использовании зависимостей (3.319c) •— (3.319f) важно
помнить, что они получены при допущении о том, что ошибки,
вызывающие отклонения во времени перехода dtp2 и dtA2, не
изменяют Ех (0 или 180°). Это является справедливым лишь в
том случае, если имеет место либо ошибка в величине скоро¬
сти v (= vP или vA) в начальной точке переходного эллипса,
совпадающей с одной из точек апсид, либо ошибка в радиаль¬
ном расстоянии г ( = гР или гА), либо имеют место обе эти
ошибки вместе, но не в vr (которая в точках апсид равна нулю).
Наличие радиальной составляющей скорости смещает точку
апсид, и, следовательно, начальная точка перестает быть одной
из точек апсид.
3.13]
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ОШИБОК МАНЕВРОВ
461
Таким образом, в общем случае необходимо пользоваться
зависимостями (3.319а) и (3.319Ь). Разделив правую и левую
части этих зависимостей на дх = дг, dx = dv, dx = dva и dx = dvr и
использовав ранее полученные выражения для да/дх, дЕ2/дх,
дЕ\/дх и де/дх, получим частные производные, характеризующие
изменение времени перехода между заданными орбитами вслед¬
ствие ошибок в начальной точке. Например,
дЕ2
dv
(1 в cos (sin Е2 sin £,) (v 1), (3.319g)
где да/dv определяется по формуле (3.292a), de/dv — по фор¬
муле (3.293a) и
/ 1 _da de \ _J_ da
dEi \ a dv e dv j C0S 1 ae dv
dv sin^j *
dE2
I 1 da 1 de \ 1 da
r—I — cos E 2 —
\ a dv e dv J ae dv
dv sin E2
Частные производные, характеризующие изменение времени
перехода между заданными орбитами, в случае совпадения на¬
чальной точки с одной из точек апсид переходной орбиты
можно получить из соотношений (3.319с) — (3.319f), разделив
левые и правые части этих выражений на дх = дг или dx = dva
(dvP или dvA, но не dvr).
Пример И. Иногда возникает вопрос о влиянии отклоне¬
ния величины скорости в начальной точке на радиальное рас¬
стояние точки при заданной истинной аномалии. Опять будем
предполагать, что отклонение скорости имеет место вблизи то¬
чек апсид и, следовательно, поворота линии апсид не проис¬
ходит.
Продифференцировав г (полярное уравнение орбиты), счи¬
тая переменными а и е (в данном случае r] = const) и проделав
такие же операции, как и в предыдущем примере, получим:
2va 2v2 Г
К v L " 1 4 +
2е (1 + е cos r|) — е2 cos т]'
dr К v L cos ч (1 + е cos ч) l+ecos^ J /0 оол\
dv~~ 1 + е cos т] ’
где дг (или Дг) представляет собой изменение радиального
расстояния г при заданной истинной аномалии у] вследствие от¬
клонения dv (или Дг;). Прочие величины имеют тот же смысл,
что и в примере 8.
462
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [ГЛ. 3
Пример 12. Иногда возникает необходимость в определе¬
нии влияния отклонения в величине скорости на период обра¬
щения космического аппарата. Для периода обращения имеем:
Отсюда
дТ
dv
дТ да
да dv
Vk
бяаа о
V К/а VK/a
V~Kjja?
или, учитывая равенство (3.295),
дТ/Т _ g -|/*2 1 + е cos И _ J
dv/VKja ~ V 1-е2
График этой зависимости приведен на рис. 3.68. Из графика
видно, что для всех значений е>0 чувствительность периода
(3.321а)
(3.321Ь)
(3.321с)
Истинная аномалия 7] (градусы)
Рис. 3.68. Чувствительность периода обращения к тангенциальному им¬
пульсу скорости.
обращения к тангенциальному импульсу скорости уменьшается
с увеличением у], имея максимальное значение при г] = 0 (в пе¬
рицентре). В точках, где cos у]=—еу соответствующих равенству
орбитальной скорости местной круговой скорости (концы малой
оси эллипса), рассматриваемая чувствительность становится
равной чувствительности круговой орбиты.
3.14]
ПЕРЕХОД С ПОВЕРХНОСТИ НА ОРБИТУ
463
3.14. Переход с поверхности на орбиту
В § 3.4 были кратко определены три основных типа пере¬
ходов в астронавтике. В предыдущей главе были рассмотрены
некоторые вопросы, касающиеся энергетических требований, по¬
летного времени, условий прямой видимости и орбитальной
встречи с космической станцией.
В настоящем параграфе будет проведено общее исследова¬
ние геометрических и кинематических аспектов задачи вывода
космического аппарата с поверхности сферической вращаю¬
щейся планеты на орбиту цели, удаленную на произвольное рас¬
стояние и наклоненную к плоскости экватора центрального тела
(поле сил центральное). Практические приложения этой задачи
в астронавтике охватывают полет с поверхности Земли к кос¬
мической станции, вывод спутника в определенную точку ор¬
биты, по которой движется система спутников, полеты с Земли
на Луну или переходы с поверхности Марса на его спутник.
Таким образом, исследование основывается на выделении на
орбите цели определенной точки, называемой целью. Эта цель
может быть материальным телом больших (Луна) или малых
(космическая станция) размеров или просто определенной точ¬
кой орбиты, как в случае выведения системы спутников и рас¬
положения их на равных расстояниях друг от друга по орбите.
После вывода первого спутника системы на орбиту точки при¬
бытия (цели) остальных спутников становятся вполне опреде¬
ленными.
Задача перехода с поверхности на орбиту (ОППО) является
более сложной, чем задача перехода в поле центральной силы
(ОППЦ), поскольку в последнем случае плоскости обеих орбит
проходят через общий центр притяжения, тогда как при ОППО
в общем случае начальная точка движется по кругу широт,
параллельному плоскости экватора (см. главу 2). Осуществле¬
ние этого типа перехода вследствие большей его сложности
требует выполнения большего числа условий. Как было пока¬
зано в главе 2, последнее обстоятельство при космических поле¬
тах всегда приводит к уменьшению достижимости орбиты цели
с поверхности центрального тела. Поэтому часто оказывается
выгодным (а иногда и необходимым) использование промежу¬
точной орбиты (перигейной орбиты или орбиты ожидания), то
есть вместо того, чтобы пытаться решить задачу одной переход¬
ной орбитой ОППО, разбивают весь участок перехода с поверх¬
ности на орбиту цели на две фазы: начальную — ОППО и ко¬
нечную— ОППЦ. Преимущества этого метода прерываемого
вывода были показаны в главе 2 применительно к случаю вы¬
вода орбитальной станции на низкую орбиту. С увеличением
464
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
Гелиоцентрическая орбита после
пролета цели (если вь/полняется
не маневр захвата)
Орбита цели
Ох од о сферу действия
планеты-цели
£
Асимптота гиперболической
орбиты встречи
Сфера действия
Гиперболическая орбита встречи
Гелиоцентрическая орбита прибытия
(орбита до встречи)
а)
К>
6)
Рис. 3.69. Схематическое представление различных условий приближе¬
ния космического аппарата к цели.
а) Маневр захвата, осуществляемый с пересекающей переходной орбиты; б) маневр
захвата, осуществляемый с касательной переходной орбиты.
3.14]
ПЕРЕХОД С ПОВЕРХНОСТИ НА ОРБИТУ
465
•)
Меридиан точки входа
в сферу действия: /laci=0
Точка входа
г сферу действия
Гелиоцектрическая орбита прибытия
(орбита до встречи)
Плоскость экватора
плаквты-цели
Плоскость орбиты цели
Вид сбоку
Точка входа
в сферу действия
Гелиоцектрическая
орбита после встречи
Сфера действия
Сфера действия
Вид сверху
U
>)
Рис. 3.69. Схематическое представление различных условий приближе¬
ния космического аппарата к цели (продолжение).
в) Встреча, осуществляемая с пересекающей переходной орбиты; г) маневр захвата,
осуществляемый с наклоненной переходной орбиты; д) встреча, осуществляемая с на¬
клоненной переходной орбиты.
465
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
высоты орбиты цели эти преимущества возрастают вследствие
большей разницы в угловых скоростях движения цели и косми¬
ческого аппарата, движущегося по перигейной орбите. С уве¬
личением этой разницы уменьшается интервал между двумя
последовательными моментами времени, удовлетворяющими
требованию необходимого взаимного расположения цели и ап¬
парата.
Хотя при дальнейшем рассмотрении вопроса конкретное со¬
держание термина «цель» не будет определено, читатель должен
помнить о разнице между целью большой массы, обладающей
собственным гравитационным полем, которое может «захватить»
космический аппарат, и целью малой массы или вообще не
обладающей массой, которая не дает подобного облегчения для
решения задачи встречи при приближении аппарата к цели.
Этот случай встречи со «свободной» точкой орбиты будем назы¬
вать встречей в отличие от термина захват, относящегося к
встрече с материальной точкой, движущейся по орбите и обла¬
дающей собственным полем притяжения. Между этими двумя
типами маневров существует разница, которая является с точки
зрения энергетических требований очень важной при рассмот¬
рении вопроса об использовании ОППО для перехода на косми¬
ческую станцию или на Луну. Эта разница имеет важное значе¬
ние и при рассмотрении переходов, связанных с межпланетными
полетами.
Реализация встречи заключается в таком изменении вектора
скорости космического аппарата на переходной орбите, чтобы в
точке встречи этот вектор стал равным вектору орбитальной
скорости цели (рис. 3.69, а, б, в). Величина требуемого импульса
скорости ДУ может быть определена из любого выражения
(3.3) — (3.9).
Реализация захвата состоит из двух маневров (см. главу 4):
ДУ-маневра встречи в поле центральной силы, определяющего
переходную орбиту, и Да-маневра вывода космического аппа¬
рата на заданную эллиптическую или круговую ‘орбиту относи¬
тельно цели (рис. 3.69,г). При этом импульс скорости Ду =
= vp — vs, где vp и vs — соответственно параболическая скорость
и необходимая орбитальная скорость на расстоянии г отно¬
сительно цели. Для максимального уменьшения расхода топ¬
лива оба импульса скорости совмещаются: AaCaPt = ]/"ДУ2 + Да2
(рис. 3.69, д).
Таким образом, маневр захвата всегда требует большего
расхода энергии, чем маневр встречи. Однако если отношение
Ду/ДУ достаточно велико (>1 или .^>1), то ДУ не сильно уве¬
личивает суммарную величину Aflcapture в силу особенности
влияния относительно малых слагаемых на величину вектора
3.14]
ПЕРЕХОД С ПОВЕРХНОСТИ НА ОРБИТУ
467
суммы двух рассматриваемых векторов. При заданной вели¬
чине AV отношение Av/AV увеличивается с возрастанием массы
цели. Поэтому, с энергетической точки зрения, при маневре за¬
хвата оказывается не безразличным, является ли переходная
орбита касательной или пересекающей, компланарной или на¬
клоненной по отношению к орбите цели, так как от этого зави¬
сит величина AV. Однако относительный дополнительный расход
энергии в случае пересекающей или наклоненной переходной
орбиты уменьшается с увеличением массы цели. Таким образом,
условия приближения космического аппарата к цели оказывают
большее влияние на энергетические требования к маневру
встречи по сравнению с маневром захвата.
На рис. 3.70 приведены основные обозначения, используемые
при изучении перехода с поверхности на орбиту. Географическая
и геоцентрическая экваториальная системы координат (обе в
равной мере могут быть использованы для любого небесного тела
сферической формы) спроектированы на небесную сферу. Гео¬
графическая система координат представлена углом широты ф,
определяющим положение точки на поверхности либо проекцию
конца активного участка или начальной точки (орбиты), свя¬
занной с положением стартовой позиции. Начальная точка D
соответствует началу свободного орбитального полета космиче¬
ского аппарата. Геоцентрическая экваториальная система коор¬
динат используется применительно к орбите цели или примени¬
тельно к определенной точке на орбите цели. Положение точки
Т
Рис. 3.70. Основные обозначения, используемые
при изучении перехода с поверхности на орбиту.
30*
468
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
над или под плоскостью экватора определяется углом склоне¬
ния 6, максимальная величина которого равняется наклонению
орбиты i относительно плоскости экватора. Для определения
долготы, которая в данном случае может быть использована в
обеих системах координат, выбрано прямое восхождение ос, из¬
меряемое от направления на точку весеннего равноденствия -Т.
На том же рисунке показаны: aD — прямое восхождение на¬
чальной точки, ат — прямое восхождение точки пересечения с
Рис. 3.71. Проекции различных переходных орбит класса «поверх¬
ность — орбита» на небесную сферу.
орбитой цели, которая (при отсутствии ошибок) совпадает сточ¬
кой цели Т. Плоскости орбиты цели и экватора пересекаются
по линии узлов, имея восходящий узел в точке f£. Угол ат яв¬
ляется азимутом (географическим) орбиты цели в точке цели Т.
Угловое расстояние точки цели Т от восходящего узла (аргу¬
мент широты) определяется величиной 1=Z$IFT.
На рис. 3.71 представлены проекции различных орбит ОППО
на небесную сферу для двух начальных точек с широтами
ф0<1 и фь>1 и для трех точек цели: Т{ при ( + 6шах), Т2 при
(—бщах) и Т3 при промежуточной величине склонения 6. Для
правильного выполнения рисунка, с точки зрения формы проек¬
3.14]
ПЕРЕХОД С ПОВЕРХНОСТИ НА ОРБИТУ
469
ций орбит на небесную сферу, азимута aD в начальной точке и
наклонения i'tr переходной орбиты по отношению к плоскости
орбиты цели, в первую очередь учитывалось, что плоскости
всех орбит проходят через центр притяжения (то есть их проек¬
ции на небесную сферу являются дугами больших кругов), а
также принималось во внимание соответствующее значение
центрального переходного угла гцг, представляющего собой раз¬
ность истинных аномалий в точке цели Т и начальной точке D.
Рис. 3.71 показывает, что переход из начальной точки Di
в точку цели 7\ должен происходить при максимальном значе¬
нии r)tr (то есть по сравнительно «медленной» переходной ор¬
бите), и космический аппарат из начальной точки должен дви¬
гаться строго на север (а£> = 0). Более короткий переход показан
из точки D2 в точку 7\. Участкам переходной орбиты, реально
проходимым аппаратом при переходе, соответствуют сплошные
линии. Пунктирные линии являются продолжениями до точки,
отстоящей на 180° от точки цели. Из приведенного примера
видно, что для перехода D2—Т2 требуется начальный азимут,
равный примерно 45°. Начальная точка D3 отстоит от точки D2
на половину оборота (половину суток), то есть находится на
«задней» по отношению к читателю стороне сферы. Переход
D2 — Т2 показан для случая пуска в северо-восточном направле¬
нии. Однако если не представляется возможным осуществить
пуск из точки D2 или встречу в точке Ти то может оказаться
необходимым переждать 1,5; 2,5 и т. д. периода обращения (су¬
ток), пока цель должна будет (в зависимости от высоты движе¬
ния) перейти из точки Т\ в точку Т2. На круге широты сра суще¬
ствуют такие положения начальной точки D, из которых при
соответствующем положении цели Т возможен пуск строго на
восток. Для ясности на рис. 3.71 такой случай приведен для
точки D4, расположенной на другой широте (фь). Если небесное
тело обладает собственным вращением (подобно Земле или
Марсу), то пуск в строго восточном направлении {aD = 90°) по¬
зволяет максимально использовать окружную скорость старто¬
вой позиции. Так как эта скорость пропорциональна соэф, то
для северных широт это преимущество резко уменьшается. Бо¬
лее важным, с точки зрения увеличения требуемой энергии для
маневра встречи, является резкое увеличение itr с возраста¬
нием ф. Это было показано раньше (см. рис. 3.69). Количествен¬
ную оценку увеличения требуемой энергии см. в § 3.2.
Рассмотрим произвольный случай — переход из точки D2 в
точку Т3. Космический аппарат начинает орбитальный полет
в направлении под азимутом а2 (или, в общем случае, aD).
Широту начальной точки обозначим через ф2 (или, вообще, фя),
склонение выбранной точки цели после прибытия в нее
470
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
космического аппарата — через 6, наклонение переходной ор¬
биты к плоскости орбиты цели — через itг- Если азимут орбиты
цели в точке пересечения с переходной орбитой обозначить че¬
рез ат, то азимут переходной орбиты будет atr=180°— у, где
у=180°—(ат + itr), то есть atT = aT + itT. Центральным углом пе¬
реходной орбиты является r|tr, а прямыми восхождениями на¬
чальной точки и точки цели соответственно являются 0&2 (или,
в общем случае, aD) и ат.
На рис. 3.71 внизу справа отдельно приведена небольшая
схема, позволяющая лучше уяснить приведенные обозначения.
Из рисунка следует, что угол atr представляет собой разность
прямых восхождений точки цели и начальной точки, то есть
atr = aT — сер. Используя зависимости сферической тригономет¬
рии, получаем:
sin a*r
sin aD = — cos 6, (3.322)
u sin r\iT * 47
причем
cos r]tr = sin ф sin 6 + cos qp cos 6 cos atr. (3.323)
Отсюда следует, что для определения aD и нахождения щт без
дальнейшего расчета параметров орбиты должны быть изве¬
стны: широта начальной точки, склонение точки цели в момент
прибытия космического аппарата и разность прямых восхож¬
дений.
Прямое восхождение может быть задано либо в градусном
измерении, либо в единицах времени (для Земли 15°= 1 час).
Примерно такое же соотношение можно принять и для Марса.
Таким образом, при atr = 0 переходное время должно быть крат¬
ным синодическому периоду обращения меридиана начальной
точки относительно цели. Это вовсе не означает, что в момент
прибытия космического аппарата к цели она будет в зоне пря¬
мой видимости из начальной точки (или, приближенно, из рай¬
она стартовой позиции), так как точка Г, оставаясь на том же
меридиане, может отстоять далеко от точки D по широте. По¬
этому, чтобы космический аппарат в момент прибытия в точку Т
был в зоне прямой видимости из точки D, необходимо, чтобы
переходное время было кратным синодическому периоду обра¬
щения точки D на широте ф относительно точки Т (см. главу 2).
Последнее обстоятельство может предъявить очень жесткие
требования к выбору места стартовой площадки или времени
пуска. Поэтому на практике эта трудность преодолевается раз¬
мещением пунктов слежения вне района старта. Однако, к сча¬
стью, чем больше расстояние до точки Т и меньше ф и i, тем
условие atr=0 больше удовлетворяет требованию кратности
3.14]
ПЕРЕХОД С ПОВЕРХНОСТИ НА ОРБИТУ
471
переходного времени синодическому периоду обращения мери¬
диана точки D относительно точки Т. При atr=£0 переходное
время можно выразить либо частью f суток планеты, либо как
1+/, 2 + / и т. д., так как заданными являются аг> для времени
начала перехода и ат для времени прибытия космического аппа¬
рата в точку цели. Следовательно, octr можно определить в еди¬
ницах времени. Допустим, что переходное время для перехода
«Земля — Луна» равно 50 час. Воспользовавшись схемой, подоб¬
ной приведенной на рис. 3.71, можно найти, что atr = 360°+
+ 360° + 30°, то есть atr = 30°, тогда как для переходного времени,
равного 46 час, аналогичный расчет приведет к другому резуль¬
тату: atr = 360°+ 360°— 30°, то есть atr = 330°.
На практике вначале определяют меридиан (а при необ¬
ходимости и широту), на (или над) котором произойдет встреча
аппарата с целью. Обычно этот меридиан назначается либо
исходя из условий удовлетворения требованиям прямой види¬
мости, либо исходя из расположения подходящей обсерватории
или пункта радиолокационного слежения. Предположим, что
этот меридиан расположен на угловом расстоянии atr от на¬
чальной точки. В таком случае переходное время ограничено
периодами a°r> 0; 360° + a°r; 720°-ba°r (или для Земли a£ > 0;
24л + а£.; 48л + а{1г) и т. д. Некоторые значения этого переход¬
ного времени могут оказаться неприемлемыми либо вследствие
того, что они окажутся слишком малыми (например, точка Т
удалена на очень большое расстояние и космический аппарат
не сможет достичь ее за время atr), либо вследствие того, что
эти значения переходного времени будут очень большими (на¬
пример, если точка Т удалена на слишком близкое угловое рас¬
стояние 360° +atr, 720° +atr или даже atr). В подобных случаях
необходимо назначить другой меридиан. Однако если можно
определить подходящее значение atr, то можно определить и б,
поскольку при решении задач перехвата или встречи предпо¬
лагается, что элементы орбиты цели, а следовательно, и гео¬
центрические координаты цели являются известными. Так как
широта начальной точки также является известной, то по фор¬
мулам (3.222) и (3.223) можно вычислить aD и гцг.
В точке пересечения переходной орбиты и орбиты цели
имеем:
. , , . ч cos I
sin ат = sin (у + *tr) = ^y,
(3.324)
где
(3.325а)
472
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
или, если использовать выражение (3.322),
sin ап
sin Y — -Cos"6 ' cos ф- (3.325b)
Если предварительно по формуле (3.324) вычислить ат и по
формуле (3.325а) вычислить у» то легко определить наклоне¬
ние itr переходной орбиты по отношению к плоскости орбиты
цели
1Хт = 180° — (у + ат) (3.326)
и азимут переходной орбиты в точке Т
air = 180°-у. (3.327)
Для малых значений i и ф имеем: у^90° и /tr~0.
Рассмотрение ошибок в рамках предыдущего геометриче¬
ского анализа показывает, что единственной геометрической
ошибкой в начальной точке, оказывающей значительное влияние
на элементы переходной орбиты в конечной точке, является
азимут aD. Из рис. 3.71 следует, что ошибка в величине aD при¬
водит к отклонениям в octr и 6. Из выражения (3.322) следует,
что aD является функцией atr, Щг и 6. Дифференцируя выраже¬
ние (3.322) и считая величину тцг неизменной, получаем:
cos б sin atr
cos ав dao = —: cos atr datT : sin 6 d6. (3.328)
Sin T]tr Sin T]tr
Отклонения в atr и б связаны между собой выражением для i
tgi- tg/f6\ (3.329)
ь sin(datr) v 7
или
db = arctg [sin (datr) tg i]. (3.330)
Таким образом, datr = daT и db можно найти из выражений
(3.328) и (3.330) методом последовательных приближений. Из¬
менением itr можно пренебречь при очень малых ошибках в aD,
что и предполагается здесь, поскольку на практике следует ожи¬
дать, что эти ошибки будут действительно малыми.
Если угол i мал, то db будет тоже малым, по крайней мере
по сравнению с dar, которое примет значение
COS O'
da = dansin rj, ^—2—. (3.331)
T D >tr COS 6 COS Utr 4 7
Ясно, что при малом i должно быть малым и б, следовательно,
можно положить cos 6—1, и в конечной точке будем иметь от¬
клонение от цели
cos an
daт ^ daD sin r\u CQS . (3.332)
3.141 ПЕРЕХОД С ПОВЕРХНОСТИ НА ОРБИТУ 473
Кроме ошибки в азимуте большое значение может иметь
ошибка в величине начальной скорости vD. Геометрически влия¬
ние ошибки в величине начальной скорости vD можно легко
оценить, рассматривая изменение центрального угла гцг вследст¬
вие ошибки в величине начальной скорости, то есть dy\tT/dvD, и
влияние отклонения dtD) т в переходном времени tD> т на истинную
аномалию г]Т точки Т, то
есть dr[T/dtD) т. Эти два
канала влияния приводят
к отклонению реальной
точки пересечения от
точки цели по аргументу
широты dl (рис. 3.72).
Эта угловая ошибка в
случае отклонения только
величины начальной ско¬
рости может быть легко
рассчитана:
dl dr\T dtDT
~ ~ dtD,T dvD ’
(3.333)
где (5щг представляет со¬
бой разность истинных
аномалий на переходной
орбите между двумя точ¬
ками пересечений. Если
орбита цели близка к
круговой, то f)т можно за¬
менить средним движе¬
нием цт* точки цели. Отклонение dl вызывает отклонения дат
и дб, но не вызывает отклонения в величине i, так как переход¬
ная орбита предполагается компланарной. В таком случае
имеем прямоугольный сферический треугольник со сторонами
dl, да, (56 и известным углом и После определения dl можно
найти отклонение в наклонении
(56 = arcsin (sin dl sin i) (3.334)
и отклонение в прямом восхождении
даг = arccos [cos (dl) /cos ((56)]. (3.335)
Если переходная орбита не лежит в плоскости орбиты цели,
то есть ЬтФО, то ошибка в величине начальной скорости приво¬
дит не к смещению точки пересечения на угол е, а вообще
Рис. 3.72. Влияние ошибки в величине на¬
чальной скорости на элементы компла¬
нарной переходной орбиты или на эле¬
менты проекции некомпланарной переход¬
ной орбиты на плоскость орбиты цели.
474
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
исключает ее, так что космический аппарат пересекает не орбиту
цели, а плоскость орбиты цели. Если предположить, что рас¬
стояние до апоцентра невозмущенной переходной орбиты боль¬
ше, чем расстояние до орбиты цели (переход по пересекающей
переходной орбите), то небольшое отрицательное отклонение
начальной скорости приведет к тому, что переходная орбита
пересечет плоскость орбиты цели «внутри» орбиты цели и прой¬
дет под ней. При положительном отклонении начальной скоро¬
сти будет иметь место «перелет» и переходная орбита пересечет
Рис. 3.73. Влияние ошибки в начальной скорости на некомпланарную
переходную орбиту.
плоскость орбиты цели «вне» орбиты цели и пройдет над ней.
Этот случай схематически представлен на рис. 3.73. Влияние
отклонения начальной скорости на угол (3, под которым переход¬
ная орбита пройдет относительно плоскости орбиты цели в
точке пересечения с невозмущенной переходной орбитой (для
невозмущенной переходной орбиты (3 = 0), характеризуется част¬
ной производной
Очевидно, в случае компланарной переходной орбиты
ошибка в начальной скорости не приведет к образованию угла р.
Наоборот, если плоскость переходной орбиты образует с пло¬
скостью орбиты цели угол Цг = 90°, то выражение (3.333) для
угловой ошибки в плоскости приобретает вид:
Вплоскости перехобной орбиты Линия узлов орбиты (Ь)
Плоскость орбиты цели
(3.337)
3.14]
ПЕРЕХОД С ПОВЕРХНОСТИ НА ОРБИТУ
475
так как в данном случае дщт проявляется как радиальное сме¬
щение точки пересечения вдоль линии узлов без изменения
ориентации линии узлов, то есть проявляется просто как изме¬
нение длины линии узлов. Изменение (3 на единицу изменения
начальной скорости в данном случае, конечно, будет макси¬
мальным.
Одним из важных вопросов при изучении маневра встречи
является минимизация itr, имеющая целью создание наиболее
экономичных условий для реализации, например, маневра
встречи, используемого для регулярного снабжения орбитальной
станции. Другим примером использования подобных маневров
может явиться выведение первого, второго, третьего и т. д.
спутника в соответствующие точки орбиты системы спутников.
Б последнем примере каждый спутник совершает маневр встре¬
чи с точкой орбиты, расположенной на строго определенном
угловом расстоянии от ранее выведенного на орбиту спутника.
Во всех приведенных примерах в дополнение к маневру на
активном участке, имеющему целью совмещение плоскостей
орбит, необходим маневр для ликвидации остаточного угла kv.
Поскольку ликвидация z’tr может потребовать значительной
дополнительной энергии, то создание почти компланарных усло¬
вий перехода имеет большое практическое значение. При этом
обычно различают следующие случаи.
Случай 1. Компланарный ОППО всегда возможен лишь при
наличии экваториальной стартовой площадки (ср = 0) и эквато¬
риальной орбиты цели (i = 0).
Случай 2. При ср = 0, но i ф 0 плоскость орбиты цели дважды
за сутки (за один оборот центрального тела, с поверхности ко¬
торого осуществляется переход на орбиту цели) пересекает на¬
чальную точку D. Пригодность этих точек пересечения для со¬
вершения маневра ОППО зависит от периода обращения цели.
Поясним сказанное (см. рис. 3.74). Начальные точки Dt и D2
расположены на экваторе. Пусть целью является низкоорби¬
тальная космическая станция Земли, совершающая 14—15 обо¬
ротов в сутки по круговой орбите. В данном случае оказывается
пригодным большое количество комбинаций. Например, комби¬
нация Di — Т1, требующая достаточно крутой баллистической
траектории вывода (см. главу 2; роль угловой дальности б в
данном случае играет переходный угол тщ), комбинация
D1 — Г2, требующая менее крутой траектории вывода, и ком¬
бинация D1 — Г3, требующая еще менее крутой траектории вы¬
вода. Требования к точности определения времени пуска при
переходе в точки Г3, Г2, 7\ становятся все более жесткими
вследствие увеличения крутизны траектории в районе сближения
и соответствующего уменьшения горизонтальной составляющей
476
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
скорости в районе вершины траектории (предполагается, что вер¬
шина траектории баллистического вывода касается орбиты цели).
Комбинация Di — Г4 представляет собой гомановский пере¬
ход, который в этом примере является переходом ОППО с ми-
нимальным расходом энергии.
Рис. 3.74. Различные условия компланарного перехода класса «поверх¬
ность — орбита».
Комбинация Di — Г6 представляет интерес, поскольку, как
будет показано ниже, этот случай играет важную роль при не¬
которых межпланетных перелетах, в частности с Земли на Ве¬
неру и обратно (см. главу 9). При этом переходе апогей пере¬
ходной орбиты расположен за орбитой цели и космический
аппарат встречает цель Т при вторичном пересечении орбиты
цели после прохождения апогея. В этом случае компланарность
орбит сохраняется, но имеет место угол между касательными
а> 6)
3.14]
ПЕРЕХОД С ПОВЕРХНОСТИ НА ОРБИТУ
477
к орбитам в точке Г6. Если точка Т6 не слишком удалена от
узла орбиты, то Величина этого угла будет малой.
По истечении половины суток начальной точкой станет
точка D2. Переход D2—Г5 является непрактичным, как и пере¬
ход D2 — Г4, представляющий собой вертикальный подъем с вер¬
шиной на орбите цели. Условия перехода D2 — Т6 подобны усло¬
виям перехода Dx — Г2- Поскольку для орбит высотой около
556 км синодический период по отношению к точке D является
дробной частью суток, то в течение суток дважды будут (при
каждом прохождении точкой D линии узлов) иметь место раз¬
личные комбинации D — Т. При этом некоторые комбинации
не будут обеспечивать практически приемлемые условия пере¬
хода. Однако если считать, что можно воспользоваться всем
диапазоном траекторий баллистического вывода вплоть до эл¬
липтической переходной орбиты (гомановский переход), то за
сутки по крайней мере одна из комбинаций окажется практи¬
чески приемлемой. Следует отметить, что при условиях, приве¬
денных на рис. 3.74, невозможно осуществить компланарный
переход при строго восточном направлении пуска (с целью мак¬
симального использования угловой скорости вращения Земли).
Наоборот, пуск в восточном направлении может привести к та¬
ким большим значениям itr (зависящим от i), что расход энер¬
гии, требуемый для изменения орбиты в точке цели, превысит
экономию энергии, получаемую за счет использования угловой
скорости Земли.
Случай 3. Если ф 4= 0, i Ф 0, но ф < i, то при строго восточном
направлении пуска также невозможно осуществить компланар¬
ный переход. Если точка D расположена в северном полушарии,
то, как следует из рис. 3.74, б, все переходы из точки D{ в се¬
веро-восточном направлении (а^<90°) в точку Тi или Г2 пред¬
ставляют собой баллистические траектории быстрого вывода, а
комбинация Di — Т3 — траекторию эллиптического вывода. Если
по какой-либо причине встречу необходимо произвести в север¬
ном полушарии, то в качестве начальной точки предпочтитель¬
нее выбрать точку D{. Если же встречу предполагается произ¬
вести в южном полушарии, то в качестве начальной точки
предпочтительнее выбрать точку Do. Иными словами, в первом
случае будут преобладать пуски в северо-восточном направле¬
нии, а во втором — в юго-восточном направлении.
Подобные рассуждения и оценки являются справедливыми
и для случая 2. Однако между случаями 2 и 3 существует раз¬
ница, заключающаяся в том, что в случае 3 при пусках в во¬
сточном направлении образование itT происходит даже быстрее,
чем при пусках с экваториальной стартовой площадки. К тому
нее в случае 3 угловая скорость вращения Земли используется
478
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
в меньшей степени. Вообще говоря, не следует придавать слиш¬
ком большого значения необходимости пуска в восточном на¬
правлении, если это не диктуется ограничением веса полезной
нагрузки для данного носителя.
Случай 4. Если ф = i Ф 0 (рис. 3.74, в), то существует един¬
ственная точка Du удовлетворяющая условиям компланарного
перехода. При этом точка D\ является единственной точкой, из
которой возможен пуск в строго восточном направлении. Ком¬
бинации Di — Т\ и D\ — Т2 отвечают соответственно более и ме¬
нее крутым траекториям баллистического вывода, а комбинация
Di — Г3 отвечает выводу с минимальным расходом энергии, не
считая случая 1. Важно отметить, что при ф=ч=£0 условия ком¬
планарного перехода выполняются только один раз в течение су¬
ток. Однако поскольку при этом точка цели Т может не удовле¬
творять требованию необходимого взаимного расположения сточ¬
кой D1, зависящего от синодического периода обращения точки
Т относительно точки Du то этот единственный случай не га¬
рантирует реализации компланарного перехода в течение одних
суток. Поэтому этот случай является не очень пригодным, когда
речь идет о выводе космического аппарата для встречи с обитае¬
мой орбитальной станцией (см. численный пример в главе 2).
Случай 5. Если ф > i, то компланарный переход ОППО не¬
возможен. При этом существует единственная точка Du для
которой имеет место минимальное значение (itr)min-
(*'tr)min “ Ф “ Smax = Ф “ l- (3.338)
Проведенный выше анализ показывает, что если при
Ф = i = 0 для достижения низкосрбитальной станции маневр
ОППО окажется неприемлемым, то, чтобы иметь условия ком¬
планарного перехода один или два раза в течение суток, необ¬
ходимо по крайней мере соблюсти условие 1>ф. Более того, с
точки зрения осуществимости перехода, необходимо иметь зна¬
чения ф и i по возможности меньшими, чтобы несоблюдение
компланарности приводило к небольшим значениям иг, а следо¬
вательно, и к небольшому дополнительному расходу требуемой
энергии.
Если рассматривать встречу с очень удаленным объектом,
например с космической станцией на высоте 111 ООО км (или пе¬
реход с поверхности Марса на один из его спутников), то вы¬
полнение условия 1>ф является еще более важным, так как в
этом случае только одна из двух точек D (рис. 3.74,6) имеет
практическое значение для данных суток или отрезка времени
в несколько суток (это количество суток возрастает с увеличе¬
нием расстояния до точки Т). Это объясняется уменьшением
орбитальной скорости с увеличением радиального расстояния
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
479
до точки 7\ Например, на рис. 3.74,6 комбинация D^ — Tt может
оказаться практически неприемлемой для таких больших высот,
но за несколько оборотов (суток) центрального тела точка Т\
постепенно переместится в положение То или за нее, так что
при этом расположении точка D{ окажется пригодной для пере¬
хода при практически приемлемом значении угла щг. В течение
этого периода ожидания наличие второй точки Т)2 не имеет
практического значения. Таким образом, хотя при ф<ь за сутки
имеют место две точки пересечения точкой D плоскости орбиты
цели, только одна из них может оказаться пригодной для ком¬
планарного перехода в рассматриваемый промежуток времени.
В случае cp = i=£0, при котором в течение суток имеет место
лишь одно положение, соответствующее условию компланарно¬
сти, возможность достижения орбитальной станции на очень
больших высотах по компланарной переходной орбите стано¬
вится весьма ограниченной. С другой стороны, необходимо пом¬
нить, что при этом апогейная скорость на переходной орбите
будет очень малой, что приведет к соответственно меньшему до¬
полнительному расходу энергии на компенсацию заданного /tr,
чем при низких орбитах (см. § 3.2).
При использовании ОППО или ОППО — ОППЦ для ма¬
невра захвата удаленной цели значительной массы, такой, как
Луна, как было указано в начале настоящего параграфа, на¬
клонение переходной орбиты, с энергетической точки зрения, не
играет большой роли. Однако следует помнить об одном суще¬
ственном недостатке наклоненных переходных орбит при их
использовании для маневров встречи и захвата: требования
к точности реализации начальных условий возрастают с уве¬
личением наклонения. В этом можно убедиться из рассмотре¬
ния рис. 3.72 и 3.73. При наклоненной переходной орбите ошибка
в величине и (или) направлении начальной скорости вызовет не
только смещение по долготе dl, но и угловое смещение d|3. В слу¬
чае цели с большой массой это влияние будет усилено соответ¬
ствующим уменьшением силы притяжения гравитационного поля
цели вследствие большего расстояния, равного у(^/)2 _j_ (dp)2, по
сравнению с dl при компланарном случае. Это приводит к тому,
что цель с большой массой становится «гравитационно мень¬
шей» (с уменьшенным эффективным диаметром; см. § 4.5).
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — большая полуось;
а — географический азимут (измеряется по ходу часо¬
вой стрелки от направления на север);
Ъ — малая полуось;
480
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
С — постоянная в законе площадей Кеплера;
Е —эксцентрическая аномалия;
е — эксцентриситет;
g — ускорение силы притяжения;
h —постоянная интеграла энергии;
i — наклонение орбиты; угол между плоскостями двух
орбит;
К — гравитационный параметр;
k\ —k§ — постоянные, обозначающие шесть параметров ор¬
биты;
I — аргумент перигея, определяющий ориентацию ор¬
биты в плоскости орбиты; долгота;
М —масса центрального тела;
М — средняя аномалия;
т — масса;
р — фокальный параметр;
г — радиальное расстояние;
Т — период обращения;
ТР — эпоха [время прохождения перигея (часто принима¬
ется равным нулю)];
v — скорость;
х, у у z — прямоугольные координаты;
а — прямое восхождение;
Р — угол места точки над плоскостью ху (см. рис. 3.59);
у — угол между большими осями компланарных несо¬
осных эллипсов (см. рис. 3.35);
е = (1 — е')/{\ +е'") [см. формулу (3.74)]; = в/р [см. фор¬
мулу (3.144)];
у\ — истинная аномалия;
0 —угол, образованный вектором скорости с местным
горизонтом (угол траектории);
— к6— постоянные, обозначающие шесть параметров ор¬
биты;
Я —географическая долгота;
ц — среднее движение;
v — параметр скорости (отношение орбитальной ско¬
рости к местной круговой скорости);
© —угловая скорость вращения Земли; аргумент пери¬
центра, то есть угловое расстояние перицентра от
восходящего узла орбиты;
р —радиальное расстояние от Луны;
тг — безразмерное время полета по эллиптической
орбите, выраженное в единицах периода обра¬
щения;
Ф -1 1р-
ЗАДАЧИ
481
Индексы (нижние):
А —относится к апоцентру;
а — трансверсальный (горизонтальный)
apsis — апсидальный;
с —относится к круговой орбите;
capt —относится к маневру захвата;
copl — компланарный;
D —относится к начальной точке;
eq — эквивалентный;
id —идеальный;
I — предельный;
orth т- ортогональный;
Р —относится к перицентру;
р — параболический;
г — радиальный;
5 —относится к спутнику;
Т —относится к цели;
tot — полный;
tr — относится к переходу или переходной орбите.
ЗАДАЧИ
1. Под каким углом необходимо приложить импульс скорости к косми¬
ческому кораблю, движущемуся по круговой орбите радиуса г{, для плоского
маневра изменения орбиты, эквивалентного получению местной параболи¬
ческой скорости?
2. Какого изменения плоскости орбиты можно достичь при импульсном
маневре при условиях задачи 1, если величина импульса скорости равна
местной круговой скорости?
3. Определите величину импульса скорости для поворота плоскости кру¬
говой орбиты на 5° в следующих случаях:
а) окололунная орбита высотой 100 морских миль (185 км)\
б) околоземная орбита высотой 300 морских миль (556 км)\
в) околосолнечная орбита радиуса 1 а. е.
4. Космический аппарат движется по эллиптической орбите около Зем¬
ли. Высота в перигее 100 морских миль (185 км), высота в апогее 19 370 жор-
ских миль (35 900 км), наклонение орбиты к плоскости экватора 1 = 30°. Опре¬
делите апогейный импульс для изменения орбиш в экваториальную круго¬
вую орбиту.
5. Искусственный планетоид, движущийся по околокруговой орбите в
поясе астероидов на расстоянии 3 а. е. в плоскости, наклоненной на 10°
к плоскости эклиптики, должен вернуться на Землю по переходной орбите,
являющейся частью эллиптической орбиты, афелий которой расположен на
расстоянии Ra = 5 а. е., а перигелий — на расстоянии RP= 1 а. г. В момент
начала перехода планетоид находится в точке пересечения орбиты с пло¬
скостью эклиптики, так что маневр поворота плоскости орбиты может быть
совмещен с переходным маневром в плоскости эклиптики. Определите ве¬
личину импульса скорости в начальной точке.
6. Определите апогейное расстояние эллиптической орбиты, у которой
перигейное расстояние равно 1852 км (1000 морских; миль)', скорость
аппарата в точке пересечения с орбитой Луны (60гОо) равна местной круго¬
вой скорости (влиянием Луны пренебречь).
31 К. Эрике, т. II
482
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
[ГЛ. 3
7. Космический аппарат движется вокруг Земли по круговой орбите ра¬
диуса 92 700 км (50 000 морских миль) (не путать с высотой). Что является
более экономичным для перехода аппарата на круговую орбиту радиуса,
равного радиусу лунной орбиты: переход по томановской орбите или по би-
эллиптической переходной орбите?
8. Увеличивается или уменьшается большая полуось гиперболической ор¬
биты при увеличении эксцентриситета?
9. Какой из маневров для космического аппарата, движущегося вокруг
Земли по круговой орбите высотой 556 км (300 морских миль), потребует
большей энергии: переход на 24-часовую орбиту или переход на круговую
орбиту радиуса, равного радиусу лунной орбиты?
10. Что такое орбита ожидания и каково ее назначение?
И. Спутник Земли движется по эллиптической орбите высотой в пери¬
гее 185 км (100 морских миль) и высотой в апогее 1853 км (1000 морских
миль). Сравните величины тормозных импульсов в перигее и апогее исходной
орбиты для уменьшения высоты в перигее до 148 км (80 морских миль).
12. Рассчитайте высоту 24-часовой орбиты для Марса.
13. Космический аппарат достиг заданной перигейной скорости над точ¬
кой с известными географическими координатами. Необходимо перевести ап¬
парат на 24-часовую круговую орбиту. При этом маневр перехода должен
окончиться над точкой с теми же географическими координатами. Определите
тип переходной орбиты и величины импульсов скорости, начиная с перигей-
ного маневра (замечание: космический аппарат не должен задерживаться на
орбите ожидания')1.
14. Рассчитайте апогейное расстояние 24-часовой эллиптической геоцен¬
трической орбиты, перигейное расстояние которой гР=1,1г00.
15. Пилотируемый орбитальный аппарат движется около Земли по круго¬
вой орбите радиуса г = 1,1г00. Необходимо повернуть плоскость орбиты на 60°
за время, не превосходящее 12 час. Определите суммарную величину требуе¬
мых импульсов для наиболее экономичного маневра в пределах отведенного
времени и сравните ее с импульсом скорости для мгновенного поворота пло¬
скости.
16. Считая, что половина угла между асимптотами гиперболической ор¬
биты дается выражением cosO = e_l, а дф/dv можно записать в форме
дф/dv = (дф/де) j(de/dv)t проверьте выражение (3.215), получив другое выра¬
жение для de/dv через у, у*», К/г, Ф и 0.
17. С круговой полярной орбиты с периодом обращения 90 мин около
Земли необходимо спустить капсулу. Траекторией спуска выбрана гомановская
переходная орбита (лtr = 180°), касающаяся апогейной точкой переходной ор¬
биты и имеющая теоретическую (пренебрегая сопротивлением воздуха) пери-
гейную точку на поверхности Земли [гР = г00 (высота равна нулю)] с коорди¬
натами: А,= 140° в. д. и ф = 30° с. ш. Определите географические координаты
апогейной точки.
18. Пилотируемый космический аппарат движется около Земли по эллип¬
тической орбите с гР = 1,1г00 и гл=20гоо. Необходимо совершить плоский ма¬
невр поворота линии апсид на 50°. Маневр предполагается провести с ис¬
пользованием промежуточной перигейной орбиты. Рассчитайте суммарную
величину импульсов для совершения маневра и определите минимальное
и максимальное время перехода аппарата в перигей конечной эллиптической
орбиты.
19. Выведите выражения (3.200 а, с, g, h).
ГЛАВА 4
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ
В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
4.1. Введение
В предыдущей главе рассматривались маневры в поле цент¬
ральной силы.
В настоящей главе рассматриваются более сложные маневры,
осуществляемые в поле двух центральных сил. Рассмотрение
этих маневров имеет важное значение, поскольку все космиче¬
ские полеты, за исключением движения искусственных спутни¬
ков, происходят под действием более чем одной центральной
силы.
Осуществление маневров в поле гравитационных сил со¬
ставляет существо космических полетов и космической нави¬
гации. При наличии двух центров тяготения происходит нало¬
жение их гравитационных полей. Переходное движение от
одного поля к другому включает маневр выхода и маневр за¬
хвата. Орбиты выхода или захвата всегда могут быть с высо¬
кой точностью аппроксимированы гиперболой. Поэтому в сле¬
дующем параграфе настоящей главы рассматривается переход
«эллипс^±гипербола», который является типичным маневром в
центральном поле. Можно выделить три основных типа манев¬
ров в поле двух центральных сил (бицентральном поле): выход,
захват и гиперболическая встреча. При гиперболической встрече
космический аппарат пролетает вблизи тела тяготения, причем
захвата не происходит. Эти три типа маневров рассматриваются
в §§ 4.3—4.5.
Особо важное значение для анализа полетов в бицентраль-
ных полях имеют навигационные аспекты маневров с управле¬
нием скоростью, а также маневров, при которых необходимо
учитывать ошибки в направлении и величине вектора скорости.
Рассмотрению этих важных вопросов посвящены §§ 4.6—4.13.
31*
484 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ 4
4.2. Переход с эллиптической или круговой орбиты
на компланарную гиперболическую орбиту
В том случае, когда космический аппарат должен покинуть
гравитационное поле одного тела и войти в гравитационное
поле другого тела, он должен двигаться по орбите, весьма
близкой к гиперболе. Траектория космического аппарата яв¬
ляется точной гиперболой, если не учитывается движение поки¬
даемого тела (например, планеты) относительно центра притя¬
жения (например, Солнца) и предполагается, что масса поки¬
даемого тела сосредоточена в одной точке (случай центрального
гравитационного поля). Траектория возврата также является
гиперболой. Таким образом, можно сказать, что орбитой для
космических маневров, осуществляемых под влиянием импульса
тяги в поле более одной центральной силы, является гипербола.
Гиперболическая скорость Vj, превышает параболическую ско¬
рость vp = V2K:rHa определенную величину. В то время как
параболическая скорость после выхода космического аппарата
из гравитационного поля покидаемого тела номинально равна
нулю, гиперболическая скорость имеет конечное значение, на¬
зываемое гиперболическим избытком скорости Voo, который ра¬
вен скорости космического аппарата относительно покидаемой
планеты (или планеты-цели) «за пределами влияния» грави¬
тационного поля планеты. Выражение «за пределами влияния»
здесь следует понимать в смысле «за пределами измеримого
возмущающего влияния гравитационного поля планеты», по¬
скольку, согласно закону Ньютона, гравитационное поле рас¬
пространяется на бесконечно большое расстояние или, во всяком
случае, на расстояние, в практическом смысле бесконечно боль¬
шее, чем размеры планеты. Уход по гиперболической орбите
будем называть выходом, возвращение — захватом, а прохож¬
дение тела мимо планеты (то есть вхождение и выход из гра¬
витационного поля без снижения скорости до параболической
и ниже) —гиперболической встречей.
В зависимости от типа рассматриваемого маневра (выход
или захват) будем иметь орбиту спутника, от которой начи¬
нается или к которой стремится гиперболическое движение. Эту
орбиту спутника, которая может быть либо круговой, либо эл¬
липтической, будем соответственно называть начальной орбитой
спутника (в случае выхода) или конечной орбитой спутника
(в случае захвата).
Таким образом, комбинация круговой (или эллиптической)
и гиперболической орбит в астронавтике имеет место только
при операциях в поле взаимодействующих гравитационных сил.
Такими типичными операциями, например, являются операции,
4.2]
ПЕРЕХОД НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ ОРБИТУ
485
проводимые при лунных и межпланетных полетах. Механика
этих полетов будет обсуждаться в последующих параграфах.
Непосредственно ниже будет рассмотрена динамика маневров
«круг !) ;± гипербола» и «эллипс ;± гипербола», где символу
указывает на обратимость процесса (в случае импульсного ма¬
невра). Под импульсом понимается относительно кратковремен¬
ное действие тяги, приводящее к желаемому изменению ско¬
рости.
Изменение орбиты может быть осуществлено за один или два
этапа. Первый случай будем называть одноимпульсным манев¬
ром, второй — двухим-
пульсным маневром. В
случае одноимпульсного
маневра следует разли¬
чать переходы «круг;±
^гипербола» и «эллипс^
^гипербола». В случае
двухимпульсного маневра
интерес представляет
лишь переход «круг^-ги-
пербола». Все эти три слу¬
чая будут последователь¬
но рассмотрены ниже.
а) Одноимпульсный ма¬
невр «эллипсу гипербо¬
ла». С точки зрения эко¬
номии энергии, импульс
тяги выгоднее сообщать
в вершине гиперболы.
Вершина гиперболы может совпадать с любой точкой эллипса.
Для получения соосной гиперболы ее вершина должна совпа¬
дать с любой из точек апсид эллипса. Этим двум точкам соот¬
ветствуют экстремальные энергетические значения, поскольку
энергетические значения импульсов в других точках орбиты рас¬
полагаются между ними. Апоцентральный и перицентральный
маневры показаны на рис. 4.1. Если rv является расстоянием
до вершины гиперболы, то в первом случае rv = rA и во втором
случае rv = rP. Конечное направление движения при выходе или
входе задается направлением асимптоты гиперболы, которое
определяется половиной угла2) Ф между асимптотами. Этот
1) Под «кругом» в практическом смысле будем понимать орбиту, близ¬
кую к круговой.
2) Геометрические и другие основные сведения, относящиеся к гипербо¬
лической орбите, изложены в книге «Космический полет», т. I, гл. 4.
Рис. 4.1. Гиперболический выход из пери¬
центра эллиптической орбиты в централь¬
ном гравитационном поле.
486 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
угол, а также гиперболический избыток скорости скорость
в вершине vv и расстояние до вершины rv при заданном гра¬
витационном поле, характеризуемом параметром X, связаны
уравнениями 1)
из которых можно получить выражение для скорости в вер¬
шине
^ = 1/77 +y~ = l/77 (4.2а)
где
/27(77 ’ ^Р = УШ^’ ^ ~ УШ~А ' (4'3)
В случае маневра в апоцентре (апоцентральный маневр)
скорость в вершине определяется выражением
Vyy ^7 ^1+^- (4.2Ь)
Обозначив отношение расстояний до точек апсид через
n=rAjrP, получим следующее выражение для скорости в апо¬
центре:
ч-/£/тЬ <«>
Изменение скорости в результате действия импульса в апо¬
центре (апоимпульса) определяется из соотношения
"д! -Yт: Vi+44-}/ 77^
-/*[УТТЪ-4тг] =
_J/А [j/l(i±^) _ / _
(1 + я) .
где о])* = m|£.
(4.5)
*) Дополнительные соотношения см. в § 4.9 («Космический полет», т. I).
4.2] ПЕРЕХОД НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ ОРБИТУ 487
В случае маневра в перицентре (перицентральный маневр)
соответствующие соотношения имеют вид:
= УТ+Гр, (4.6)
‘V-/-77TT7T. <4-7>
д»,-К- vrl = Y т; [к 20+'©-'> 1/^иглИ- (4'8)
б) Одноимпульсный маневр «круг гипербола». В данном
случае вершина гиперболы совпадает с точкой на круговой (или
близкой к круговой) орбите радиуса г (рис. 4.2). Поскольку
Рис. 4.2. Одноимпульсный соос- Рис. 4.3. Двухимпульсный коапсидаль-
ный коапсидальный гиперболиче- ный маневр, использующий соосный
ский маневр выхода и захвата. переходный эллипс и соосную конечную
орбиту. (Расстояние от центра притя¬
жения до вершины гиперболы равно
расстоянию от центра притяжения до
апоцентра переходного эллипса.)
круговая скорость равна УК!?, то необходимое изменение
скорости определяется выражением
Д0 = ]/£ [V^2(l +г|>2)— 1].
(4.9)
488 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ 4
в) Двухимпульсный маневр «круг ^±гипербола». В рассмат¬
риваемом случае эллипс играет роль переходной орбиты между
гиперболой и кругом. При этом имеют место два перехода:
«гипербола^эллипс» и «эллипсукруг». При выполнении соос¬
ных маневров возможны два случая: или апоцентральный ма¬
невр «гипербола^±эллипс» и перицентральный маневр «эл-
липс^круг», или перицентральный маневр «гипербола^±эллипс»
и апоцентральный маневр «эллипс^±круг». Первый случай изо¬
бражен на рис. 4.3, второй — на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Двухимпульсный коапсидальный маневр, использующий со¬
осный переходный эллипс и соосную конечную орбиту. (Вершина
гиперболы совпадает с перицентром переходного эллипса.)
В первом случае изменение скорости под воздействием пер¬
вого импульса определяется выражением (4.5). Изменение ско¬
рости при воздействии в перицентре второго импульса может
быть получено из соотношений
vP = nvA, vc = l/y- =|/п-у- , (4.10)
' 'р ' 'а
ЛГЖ17Т . /—Г
тпг - у It 7J -
<4-п)
Суммарное изменение скорости, необходимое для выполне¬
ния этого маневра, равно:
Да
1 + ^-1,-
= \/ у- [K2(l+tD+(rt-l)-j/-Гп]. (4.12)
4.2] ПЕРЕХОД НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ ОРБИТУ 489
Во втором случае изменение скорости под воздействием
первого импульса определяется выражением (4.8). Изменение
скорости при воздействии второго импульса в апоцентре должно
быть равно:
Д«4 = vc - vA = л/~ — - л/ =
г пгр V грп(\+п)
-Yt; iYi -YYYY]-YY[' -Y-т?7]-<4-13>
Суммарное изменение скорости определяется выражением
дУр + дУл=:аРЛ = /А + I--/=
= 1/у- [1 + \г2(п + ■фд) — ]/2(1 + «)]• (4.14)
А
Для случая /2=1 имеем оАр = врл, и уравнения (4.12) и
(4.14) приводятся к виду (4.9).
г) Одноимпульсные и двухимпульсные несоосные касатель¬
ные маневры. В общем случае большая ось переходного эл¬
липса не совпадает с осями гиперболы или орбиты спутника,
причем сами оси гипер¬
болы и орбиты спутника
также могут не совпадать
(рис. 4.5). Однако переход¬
ный эллипс может касаться
гиперболы и орбиты спут¬
ника, которая также являет¬
ся эллипсом. Два случая,
представленные на рис. 4.5,
являются достаточно слож¬
ными. На практике с целью
уменьшения расхода топ¬
лива обычно используют ма¬
невры, близкие к соосным.
Однако маневры этого типа
весьма чувствительны к
ошибкам. Если импульс тя¬
ги будет приложен не точно
в вершине гиперболы, то
переходный эллипс не будет пользующий несоосные конечные орби-
соосным с гиперболой. И на- ты и переходные эллипсы,
оборот, ошибки, возникаю¬
щие при выходе, могут привести к тому, что орбита спутника не
будет соосной с гиперболой. Это положение может иметь место
при отлете с планеты-цели для возврата на Землю, поскольку
Переходный, эллипс захвата
Переходный эллипс выхода ^
Рис. 4.5. Двухимпульсный маневр, ис-
490
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
момент отлета выбирается заранее, а орбита спутника, полу¬
чающаяся при маневре захвата, может быть до некоторой сте¬
пени произвольной.
Если бы эллиптическая орбита спутника была более или
менее соосна с гиперболой ухода в момент отлета, то, вероятно,
упомянутые ошибки оказывали бы второстепенное влияние.
Более подходящим было бы установление орбиты спутника
около планеты-цели в прибли¬
зительном соответствии с тео¬
ретически желаемой орбитой.
Для этого в течение последую¬
щего времени пребывания спут¬
ника в гравитационном поле
планеты-цели необходимо
определять с максимальной
точностью текущие элементы
орбиты, затем определять ва¬
риацию этих элементов, обус¬
ловленную сжатием планеты-
цели и влиянием естественных
спутников этой планеты, до тех
пор, пока можно будет про¬
вести прогнозирование вариа¬
ции орбиты. После этого ста¬
новится возможным произ¬
вести расчет орбитальных эле¬
ментов в момент выхода и
связать их с элементами тре¬
буемой гиперболы выхода.
При наличии такой информа¬
ции можно рассчитать маневр
выхода и требуемый расход
топлива. Если выход осуще¬
ствляется с помощью одноим-
пульсного компланарного ма¬
невра, то для его расчета мож¬
но использовать соотношения
п. г) § 3.3.
Схема движения космиче¬
ского аппарата в рассматри¬
ваемом случае показана на рис. 4.6. В обоих случаях на этом
рисунке орбиты спутника и гиперболы касаются. Следовательно,
в уравнении (3.35) 0' — 0" = О и справедливо соотношение
Ао , /« v" \
Рис. 4.6. Одноимпульсный маневр
выхода и захвата, использующий
несоосные орбиты спутника и гипер¬
болическую орбиту.
а) Одноимпульсный маневр в апоцентре
орбиты спутника; б) одноимпульсный ма¬
невр в произвольной точке орбиты спут¬
ника.
4.31
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ВЫХОД И ЗАХВАТ
491
После определения параметров гиперболы в данной точке
эллипса легко определить значения ег (эллипс) и е" (гипер¬
бола), а также истинные аномалии г/ и т\" для данного рас¬
стояния г от космического корабля до центра притяжения; зна¬
чения v' и v" можно вычислить с помощью первых двух урав¬
нений (3.36).
В случае двухимпульсного маневра, использующего каса¬
тельный переходный эллипс в соответствии с рис. 4.5, восполь¬
зуемся соотношениями, полученными при рассмотрении каса¬
тельного переходного маневра между двумя эллипсами [см.
п. 4) § 3.7]. В данном случае в этих сотношениях вместо пара¬
метров эллипса, помеченных тремя штрихами, следует подста¬
вить параметры гиперболы. Практический интерес представляет
лишь тот случай, когда орбита спутника располагается значи¬
тельно ближе к центру притяжения и оказывается меньшей по
размерам, чем гипербола (случай непересечения) ]). Следова¬
тельно, при указанном условии справедливо соотношение
р'<р"<р'"> причем один штрих относится к орбите спутника,
два штриха — к переходному эллипсу и три штриха — к гипер¬
боле. Это соответствует случаю С в таблице, предшествующей
уравнению (3.148), причем следует иметь в виду, что точка Q
принадлежит эллипсу. Переход на переходный эллипс может
быть выполнен с любой точки орбиты спутника, но расход топ¬
лива при этом не будет одинаков. Переходные эллипсы, соот¬
ветствующие различным точкам орбиты спутника, показаны на
рис. 4.5.
4.3. Основы механики полета
при гиперболическом выходе и захвате
При движении по переходной траектории, направленной от
одного гравитационного поля к другому через промежуточное
гравитационное поле высокого порядка, например при полете от
Земли к другой планете через гелиоцентрическое поле, космиче¬
ский аппарат сначала выходит из гравитационного поля Земли
по гиперболической орбите (или квазигиперболической, см. ни¬
же), затем проходит через гелиоцентрическое поле и, наконец,
входит в гравитационное поле планеты-цели, где он либо захва¬
тывается планетой после маневра торможения, либо движется
дальше (случай гиперболической встречи).
В данном параграфе рассматривается процесс выхода кос¬
мического аппарата. В последующем изложении, в котором ча¬
сто будут одновременно использоваться планетоцентрические и
!) См. § 3.6.
492 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
гелиоцентрические обозначения, планетоцентрические скорости
и расстояния будем обозначать через v и г, соответствующие
гелиоцентрические величины — через V и R и, где необходи¬
мо, селеноцентрические х) скорости и расстояния — через до
и р. Все другие обозначения для гелиоцентрической систе¬
мы отсчета будем снабжать знаком 0. Планетоцентрические
и селеноцентрические символы, как правило, будут использо¬
ваться без специальных знаков. При необходимости будут
использоваться индексы: pi — для планет, ® — для Земли, m —
для естественных спутников планет и С —для Луны. Эти обо¬
значения соответствуют тем, которые были использованы в пер¬
вом томе книги «Космический полет».
Рис. 4.7. Наложение гравитационных полей.
Термины «выход» и «захват» используются при описании
перехода от одного гравитационного поля к другому. Для вы¬
хода из гравитационного поля необходима по крайней мере
параболическая скорость. В силу закона тяготения Ньютона
каждое гравитационное поле теоретически простирается на
бесконечное расстояние, поэтому гравитационное поле в любой
точке космического пространства представляет собой результат
наложения бесконечного количества гравитационных полей.
Однако каждое поле обладает конечным количеством энергии.
Поэтому тело, обладающее кинетической энергией, по крайней
мере эквивалентной энергии поля, при движении в соответст¬
вующем направлении может выйти из гравитационного поля.
Таким количеством энергии обладает тело, летящее с парабо¬
лической скоростью.
Явление наложения гравитационных полей иллюстрируется
рис. 4.7, на котором изображены гравитационные поля Галак¬
тики, звезд, планет и их естественных спутников. Однако и
9 Термин «селеноцентрический» означает буквально «совмещенный с цен¬
тром Луны». Однако это г термин здесь используется в более общем случае,
как относящийся к любому естественному спутнику, обладающему гравита¬
ционным полем.
4.3]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ВЫХОД И ЗАХВАТ
493
поле самой Галактики составляет лишь незначительную долю
в суммарном поле, образованном множеством галактик, и т. д.
Поэтому любая частица материи в космическом пространстве
обладает столькими энергетическими уровнями, сколько на нее
воздействует гравитационных полей высшего порядка.
Достижение космическим аппаратом параболической скоро¬
сти по отношению к полю ближайшего тела тяготения не изме¬
няет энергетического уровня аппарата по отношению к полю
ближайшего высшего порядка. Для изменения энергии по отно¬
шению к обоим полям космическому аппарату необходимо со¬
общить гиперболическую скорость. На практике «выход» в
астронавтическом смысле всегда предполагает наличие гипер¬
болической, а не параболической скорости. Подобным же обра¬
зом «захват» также происходит при гиперболической скорости
космического аппарата.
Полями низшего порядка в астронавтике принято считать
поля больших естественных спутников планет солнечной системы,
а именно: нашей Луны и потенциально также галилеевых спут¬
ников Юпитера и некоторых лун других планет (например,
спутника Титан планеты Сатурн). Гораздо большее значение
имеют гравитационные поля следующего порядка — поля планет.
Меньшее значение, с точки зрения требуемой энергии, имеет
более высокое по порядку поле тяготения Солнца при условии,
что астронавтические операции ограничиваются полетами к
Марсу или Венере.
По сравнению с огромной энергией гравитационного поля
Солнца разница в энергии полей Венеры и Марса является
сравнительно незначительной. Для космических полетов за пре¬
делы солнечной системы гравитационное поле Солнца имеет
одинаковое или даже большее значение, чем гравитационное
поле Земли. Поле Галактики не оказывает существенного влия¬
ния на полет в пределах солнечной системы и даже на меж¬
звездные перелеты при условии, что радиус области полета
существенно не превышает размеров Галактики.
а) Выход. Пусть U обозначает скорость покидаемой пла¬
неты1), a Vi — гелиоцентрическую скорость выхода космиче¬
ского аппарата.
Скорость Vi достигается в момент, когда сила притяжения
планеты оказывается пренебрежимо малой по сравнению с си¬
лой притяжения Солнца. С геомеiрической точки зрения, «пла¬
нетоцентрическая бесконечность» достигается при совпадении
]) При необходимости подчеркнуть различие между выходом и захва
том, как и прежде, будем использовать индекс «1» для выхода и индекс «2»
для захвата.
494 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
гиперболической траектории космического аппарата с одной
из асимптот гиперболы. Процесс выхода и относящиеся к нему
обозначения показаны на рис. 4.8 и 4.9. Разность между векто¬
ром U скорости планеты и вектором V{ скорости космического
Рис. 4.8. Теоретическая траектория выхода в случае каса¬
тельного гелиоцентрического маневра.
аппарата определяет гиперболический избыток скорости г>то.
Квадрат этой скорости численно равен орбитальной энергии,
которая для данной гиперболы является постоянной величиной:
h = vl = (ДУ,)2, (4.16)
где
AF, = VU2+ V\-2UVlcos р, (4.17)
представляет собой величину разности векторов U и Vu а
Pi — угол между векторами U и V, (см. § 3.2). В случае каса¬
4.3] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ВЫХОД И ЗАХВАТ 495
тельного гелиоцентрического выхода имеем следующее хорошо
известное соотношение:
V, -U-v». ' (4.18)
В случае плоского выхода результирующая гиперболическая
Рис. 4.9. Маневр выхода в случае пересекающей гелиоцентриче¬
ской орбиты.
а) Планетоцентрическая система координат; б) гелиоцентрическая система
координат.
скорость выхода в планетоцентрической системе координат
имеет выражение
yi = ]/l7+y~> (4Л9)
где v^ определяется из уравнения (4.18) либо из соотношения
^ = Vu2+V\-2UVxc os ft. (4.20)
В случае пространственного гелиоцентрического выхода при
наклонении орбиты i и угле р
v<K = Yu2 + V2l-2UVlcos$cosi=Vu2+V2l-2UVlcosBv (4.21)
496 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ - [ГЛ. 4
Следует указать, что вследствие влияния гравитационного
поля Солнца траектория выхода не является точной гиперболой.
Влияние Солнца сказывается особенно сильно в том случае,
когда выход космического аппарата происходит под некоторым
углом к направлению движения планеты, поскольку в этом
случае в процессе выхода расстояние между аппаратом и Солн¬
цем изменяется. При этом траектория выхода будет незна¬
чительно отличаться от точной гиперболы. Если бы влияние
гравитационного поля Солнца не было незначительным, то
невозможно было бы получить конечные математические соот¬
ношения. А это означало бы значительную потерю в ясности
изложения.
В соответствии с уравнением (4.19) изменение скорости, тре¬
буемое для гиперболического выхода в случае начальной кру¬
говой орбиты, определяется из соотношения
_/Л(/2+ ,4.22)
Угол между вектором скорости и нормалью к гелиоцентри¬
ческому радиусу-вектору в момент выхода обозначим через
бон > а угол между вектором скорости и касательной к орбите
покидаемой планеты — через Pi (рис. 4.9). Будем предполагать,
что углы 0О, 1 и Pi заранее известны, то есть эти углы яв¬
ляются независимыми переменными, определяемыми в зависи¬
мости от типа переходного маневра. Угол yi между асимптотой
гиперболической орбиты выхода (направлением вектора &V{)
и направлением вектора гелиоцентрического выхода (вектора
Vx ) определяется по выражению
sin Yj = " sin 0О, 1 sin 0Ol i (4.23а)
& V 1 Uqq
или
sinvi = —sin р,. (4.23b)
^оо
Эксцентриситет гиперболы определяется выражением
е=1+1Г^ (4-24)
где rP = ri — расстояние до вершины гиперболы. В данном слу¬
чае предполагается, что точка выхода г4 (точка отсечки тяги
при выполнении маневра выхода) совпадает с точкой гР. Урав¬
нение, записанное для случая г\ФгР, будет приведено ниже.
По^о^ина угла м'"т,л\ а '!^т,,тптчми определяется из соотно¬
шения
sec Ф = е (4.25)
4.3] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ВЫХОД И ЗАХВАТ 497
либо из соотношения1)
I ^ VDV 11
tg® = -^ = vP—(4.26)
К/Гр У к/гр
где vP — гиперболическая скорость в вершине гиперболы, вы¬
раженная через местную круговую скорость \ГК!гР. Если им¬
пульс выхода Дщ приложен з перицентре гиперболы, то вектор
скорости vP должен быть направлен по нормали к линии «Зем¬
ля—космический аппарат». В этом случае изменение направле¬
ния полета по отношению к Земле в процессе выхода (то есть
изменение планетоцентрического направления полета) опреде¬
ляется из выражения (см. рис. 4.9)
1 ^ / vDv \ 1 ■'
— Д£ = 90° — Ф = 90° — arctgf- ) = aicnn — = arcsin
К/Гс
[v2p~:
(4.27)
где
V'
,2
р К/г
р
Если исходная орбита является эллиптической, а не круго¬
вой, а выходной импульс приложен не в апоцентре и не в пе¬
рицентре, то точка выхода не совпадает с вершиной гиперболы.
Половина угла между асимптотами гиперболы Ф и ее экс¬
центриситет определяются из выражений
tg(D= va i =,picos9i Рсо_ (4.28)
ё Ук/г, Vk/г, Г/с/г,
y?cos20,
e-<i-1 =-Ч&г~'- <4-29>
где va, 1 — планетоцентрическая трансверсальная составляющая
гиперболической скорости, выраженная через круговую ско¬
рость VKlr\ (ya,i = ^i cos 0i, 01 — местный планетоцентрический
угол).
Дополнительные соотношения, относящиеся к задаче гипер¬
болического выхода, читатель найдет в § 4.3 и § 4.9 первого
тома книги «Космический полет».
б) Захват. Маневр захвата является обратным по отноше¬
нию к маневру выхода. Его геометрия показана на рис. 4.10.
Для данной гелиоцентрической скорости подлета V2 и данного
угла 0О.2 (или (З2), полученного из условий гелиоцентрического
перехода в случае компланарного подлета, имеем:
ДУ2 = Уоо = Vuh + Vi-2UpiV2 COS 00,2 (4.30а)
!) См. «Космический полет», т. I, стр. 380 и 381. (Прим. иерее.)
32 К- Эрике, т. И
498 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
ИЛИ
ду2 = Уоо = l^p, + Vi-2t/pIK2cos|32. (4.30b)
Соотношение (4.30а) используется в случае, когда планета-
цель движется по круговой орбите, а соотношение (4.30Ь) — в
том случае, когда орбита планеты-цели не является круговой;
предполагается, что целью захвата является совмещение на¬
правления гелиоцентрического движения космического аппарата
с направлением движения планеты, а не с направлением, нор¬
мальным к радиусу-вектору «Солнце — космический аппарат».
4.3] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ВЫХОД И ЗАХВАТ 499
Эти два направления совпадают только в том случае, когда
планета движется по круговой орбите; при этом 0©, 2 = Рг-
В данном случае имеем:
£/_, sin 0П 9
sin v2 = Р . (4.31а)
и оо
sin V2 = TT-sinp2. (4.31b)
оо
Полуось гиперболы захвата находится из выражения
I я I = (4.32)
иоо
Используя в качестве независимой переменной расстояние до пе¬
рицентра гР, получаем:
Яр=}/ (4-33)
Половина угла между асимптотами гиперболы Ф и ее эксцент¬
риситет е находятся из выражений:
*е ф ” ■ (4'34)
е = зесФ. (4.35)
Для получения желаемого планетоцентрического расстояния
Гр до перицентра необходимо, чтобы планетоцентрическая асимп¬
тота гиперболической траектории космического аппарата пе¬
ресекала орбиту планеты на расстоянии ^2бц от центра планеты
(рис. 4.11), где (см. рис. 4.10)
гр Л-а
sin(0o. 2 + Y2) sin (0о, 2 + ‘Y2)
или, поскольку
е = (4-37)
<4-36Ь)
Чтобы получить выражение для гР в функции /?2Йг], необхо¬
димо использовать выражение для эксцентриситета
e = l+i^vl и-38)
Я2Ьц = . ,1я'ии—г-sinФ = . ,аР+-т—г1 — тг (4.3ба)
'2 I -Д-л>Л. Sin o + Vol г е1 4 '
или
tfpl (е-1)
rp = —
(4.39)
32*
500 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
где величина е определяется из уравнения (4.36Ь) с учетом
соотношения (4.32):
В результате для космического аппарата, приближающегося
к планете-цели таким образом, что планетоцентрическая асимп¬
тота его траектории проходит на расстоянии /?26г| от центра
Орбита планеты-цели
Рис. 4.11. Геометрическая схема гелиоцентрических параметров
движения при подлете [v— скорость космического аппарата
по отношению к точке (с нулевой массой), совпадающей с цен¬
тром планеты-цели и движущейся со скоростью £/р1].
планеты-цели, расстояние гР до перицентра будет выражаться
через параметры Uco, 0о,2, Y2 и R26r\ следующим образом1):
гР =
+
R2 6-п sin (60| 2+ у2)
K?il<
- 1
(4.41)
]) К. A. Ehricke, Interplanetary Mission Profiles, Convair (Astronau¬
tics) Report AZM-023, April 30, 1958.
4.4]
МАНЕВРЫ ВЫХОДА И ЗАХВАТА
501
Это уравнение имеет большое значение для анализа задач на¬
вигации при выполнении маневров захвата.
Энергетические требования к маневру захвата определяются
соотношением
Да
■-V
2 К
pi
(4.42)
где Vp— скорость в перицентре замкнутой планетоцентрической
орбиты захвата (эллипса или круговой орбиты, причем в по¬
следнем случае величина а' эквивалентна величине VKp\1ГР).
Обозначение v'p использовано здесь с той целью, чтобы пока¬
зать, что орбита захвата не обязательно должна быть круговой,
а может быть и эллипсом, что позволяет получить энергетиче¬
ский выигрыш. В последнем случае имеем:
(4.43а)
(4.43Ь)
и в случае круговой орбиты величина &vP принимает макси¬
мальное значение, так как V 7^-1 (n = rAlrP).
4.4. Маневры выхода и захвата
В § 4.2 указывалось, что при наличии импульса тяги гипер¬
болический выход может быть осуществлен тремя способами:
«круг — гипербола» (круговой одноимпульсный метод); «круг —
эллипс — гипербола» (двухимпульсный метод); «эллипс — ги¬
пербола» (эллиптический одноимпульсный метод).
Ниже будет показано, что первый метод имеет строго опре¬
деленный энергетический минимум. Второй метод практически
не имеет заметного энергетического минимума. Требуемое коли¬
чество энергии, необходимое для осуществления маневра выхода
в соответствии со вторым методом, увеличивается, если энергия
502 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
гелиоцентрического1) перехода меньше параболической энергии
выхода космического аппарата из поля тяготения планеты.
С другой стороны, двухимпульсный метод требует меньших за¬
трат энергии, чем круговой одноимпульсный метод, если энер¬
гия гелиоцентрического перехода [(Al/)2=a^J больше энергии
планетоцентрического параболического выхода (то есть больше
2/С/г, если расстояние до центра планеты равно г). Другими
словами, поскольку энергия выхода пропорциональна величине
v\ = (2/С/г) + (Д1/)2, то круговой одноимпульсный метод является
более выгодным в случае, если (2K/r) = (AV)2. Двухимпульсный
метод является более выгодным с энергетической точки зрения,
если (2/С/г) < (Д V)2. В случае, когда (2/С/г) = (Д1/)2, оба метода
являются с энергетической точки зрения эквивалентными.
Поскольку в приведенных выше соотношениях присутствует
величина г, определяющая расстояние от центра планеты до
космического аппарата, то, как будет показано ниже, преиму¬
щество того или иного метода следует определять с учетом
величины г. Эллиптический одноимпульсный метод во всех слу¬
чаях требует меньших затрат энергии, чем рассмотренные выше
два метода, при условии, что планетоцентрическая энергия
эллипса выхода (или эллипса захвата) больше энергии выхода
(захвата) круговой орбиты2), поскольку энергия, требуемая для
выхода (захвата) равна разности энергии гиперболической ор¬
биты (высокая энергия) и орбиты выхода (низкая энергия).
а) Круговой одноимпульсный метод. Одноимпульсный маневр
обсуждался в § 4.2 и был проиллюстрирован рис. 4.2. Основы¬
ваясь на этом материале, можно без дальнейших пояснений про¬
вести анализ процесса выхода. Будем обозначать, как и раньше,
скорости и расстояния относительно Солнца заглавными бук¬
вами, а соответствующие величины относительно планеты ма¬
лыми буквами, используя индексы «с» и «р» для обозначения
соотвественно круговой и параболической орбит, индексы «А»
и «Р» для обозначения расстояний до апоцентра и перицентра
и символы Ко и К для обозначения гравитационных параметров
Солнца и планеты. В дальнейшем мы рассмотрим переход с
орбиты, расположенной ближе к Солнцу, на более удаленную
1) То есть разность потенциальных энергий по отношению к Солнцу на¬
чальной гелиоцентрической орбиты и переходной орбиты, или, другими сло¬
вами, гиперболический избыток скорости. Скоростной эквивалент разности
потенциальных энергий в момент выхода равен AV. Вектор AV, по опреде¬
лению, идентичен плакетоцентричоскому избытку скорости vнаправление
которого не задается, то есть у«> не является вектором, а лишь определяет
меру энергии.
2) Орбитой выхода называется орбита спутника, с которой космический
аппарат стартует в космическое пространство.
4.4]
МАНЕВРЫ ВЫХОДА И ЗАХВАТА
503
от Солнца орбиту. Однако анализ такого перехода можно
строить также и на изучении обратного переходного движения.
Скорость гелиоцентрического выхода из точки афелия в
случае касательного гелиоцентрического выхода определяется
выражением
Скорость гиперболического планетоцентрического выхода в слу¬
чае круговой орбиты радиуса г равна:
Двигательная установка космического аппарата должна со¬
здать импульс
поскольку, находясь на круговой орбите, тело уже обладает ско¬
ростью V К 1г.
Энергия, которая должна быть сообщена телу, превышает
суммарную энергию гравитационных полей планеты
Для данного значения ДЯ0> т° есть для заданных расстояний до
перигелия и афелия, изменяется лишь величина Д£Р1 при изме¬
нении г. Весьма важно определить значение г, для которого
функция
принимает минимальное значение, поскольку при этом значе¬
нии г энергия перехода от г к RA обращается в минимум. Энер¬
гия перехода от г к RP является энергией параболического вы¬
хода из гравитационного поля планеты. Всевозможные варианты
гиперболических выходов требуют большего расхода энергии.
A V=Vp-(Vc)P =
(4.45)
Ay, = у, —
К_ 2* *о
*■ п
(4.46)
оо
(4.47)
Г
и Солнца
(4.48)
(4.49)
501 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ 1
Но имеется по крайней мере один тип гиперболического выхода,
для которого энергия выхода обращается в минимум. Следует
подчеркнуть, что рассматриваемый метод определения минимума
энергии относится только к случаю импульсного маневра и не
может быть распространен на переходные маневры, совершае¬
мые под воздействием малой непрерывной тяги.
Для определения искомого расстояния г из уравнения (4.46)
найдем частную производную от А и по г:
а (Ар)
дг
(4.50)
Приравнивая правую часть нулю, найдем следующие два
решения:
^т = 0, то есть га = оо, (4.51)
'-'"«./-/"к <4'И)
Рассмотрим решение (4.52). Это решение получено из усло¬
вия равенства энергии выхода из поля тяготения планеты раз¬
ности потенциальных энергий тела в перигелии и афелии. Дей¬
ствительно, уравнение (4.52) можно записать в виде
2/С/г ДЯр1
RP \ У Rp + Ra
= 1, (4.53)
поэтому функция f{r) в уравнении (4.49) становится равной
0,5. В этом случае энергия выхода становится пропорциональной
скорости
О, = /2 У Ц- = V2 (vp)r = 2 Yt = 2 (vc>r = V* У ос. (4.54)
а величина импульса определяется выражением
= =у= = 0,707 lv„. (4.55)
Обращает на себя внимание сходство выражения vx = Y2 vp
с выражением для параболической скорости vp = У2 vc. Этот
факт означает, что чем больше разность в потенциальных энер¬
гиях точек гравитационного поля Солнца, тем большее значение
4.41
МАНЕВРЫ ВЫХОДА И ЗАХВАТА
505
должна иметь скорость vPj то есть тем ближе к планете должна
располагаться орбита выхода.
На рис. 4.12 изображен график изменения величины г в
функции гелиоцентрического расстояния до точки апсид пла¬
неты-цели (случай выхода из поля тяготения Земли). Как
Рис. 4.12. Зависимость оптимального расстояния при выходе или за¬
хвате для одноимпульсного маневра «круг — гипербола» от гелио¬
центрического расстояния до апоцентра гелиоцентрической переход¬
ной орбиты в случае касательного старта с околоземной орбиты.
видно из рисунка, значение г для полета к Венере равно при¬
мерно 128 000 км (69 000 морских миль), а для полета на
Марс — 92 000 км (49 500 морских миль). С увеличением гелио¬
центрического расстояния величина г уменьшается, так что
при некотором значении г теоретическое значение этой вели¬
чины оказывается меньшим радиуса земной поверхности (это
506 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
справедливо в случаях касательных стартов к Урану и более
удаленным планетам).
На рис. 4.13 показаны графики изменения скорости выхода
в зависимости от величины г для планет солнечной системы.
Расстояние от центра Земли г (тыс. морских миль)
Рис. 4.13. Скорость выхода в функции расстоя¬
ния от центра Земли.
Из рисунка видно, что, используя оптимальное расстояние г,
можно достигнуть значительной экономии энергии, особенно при
полетах на Венеру и Марс. Поскольку в области минимума кри¬
вые для Венеры и Марса являются весьма пологими, то прибли¬
жение орбит к Земле, например, на расстояние до 55 600 км
(30 000 морских миль) при полетах на Венеру и до 37 100 км
(20 000 морских миль) при полетах на Марс лишь незначи¬
тельно увеличивает энергию выхода.
4.4]
МАНЕВРЫ ВЫХОДА И ЗАХВАТА
607
Приведенные результаты справедливы как для маневра вы¬
хода, так и для маневра захвата. Однако в случае Земли эти
результаты применимы лишь для расчета маневра захвата, по¬
скольку при маневре выхода необходимо учитывать особенности
движения от земной поверхности. На рис. 4.14 приведены гра¬
фики, показывающие влияние энергетических возможностей
!
I
I
Расстояние от центра Земли г (тыс. морских миль)
Рис. 4.14. Влияние энергетических возможностей космического
аппарата на выбор орбиты полета к Марсу.
космического аппарата на выбор орбиты старта к Марсу (соот¬
ветствующие обозначения пояснены на рис. 4.15). Характерными
величинами для оценки расхода энергии при выходе являются
импульс в перигее AvP и импульс в апогее Ava. Сумма AvP,
Ava и Av для Марса изображается верхней кривой, которая по¬
казывает, что экономия в энергии выхода не может компенсиро¬
вать увеличения энергии, связанного с увеличением расстояния
от центра планеты до космического аппарата. Таким образом, в
случае старта космического аппарата с Земли или любой другой
планеты величина г не является оптимальным расстоянием.
В этих случаях орбита выхода должна лежать ближе к поверх¬
ности планеты, насколько это допускают условия старта
508 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
(например, влияние сопротивления атмосферы). Однако в слу¬
чае захвата расстояние г, с точки зрения экономии ракетного
топлива, является оптимальным.
Приведенные выше рассуждения основаны на допущении,
что выход или захват осуществляется с помощью одноимпульс-
ного маневра так, как показано на рис. 4.2. Рис. 4.13 показы¬
вает, что г является единственным значением расстояния от
Апогейная окружность
(орбита цела)
Av/j
/ // Перигеаная
Jtj окружность ^ '
j j (орбита выхода)
/I I
I
/к \ f
\ Avp~ vp~\rp Переходный эллипс /
i \ (коапсидальный, /
\ ч касательный) /
Гипербола ^
межпланетного \ /
выхода 4 ^ ^ ^
Рис. 4.15. Схема с обозначениями эллиптического перехода на
круговую орбиту ожидания.
центра планеты до космического аппарата, при котором энергия,
необходимая для осуществления выхода или захвата, принимает
минимальное значение. Решение (4.51) нельзя использовать в
случае одноимпульсного маневра (так как в действительности
оно выражает особый случай двухимпульсного маневра).
б) Двухимпульсный метод. Двухимпульсный маневр иллю¬
стрируется рисунками 4.3 и 4.4. В первом случае (рис. 4.3)
вершина гиперболы совпадает с апогеем переходного эллипса
(гу = гА). Во втором случае она совпадает с перигеем (rv = rP).
В случае, когда rv = rA, требуемое изменение скорости опре¬
деляется уравнением (4.12). В случае, когда rv = rP, требуемое
изменение скорости определяется соотношением (4.14),
4.4]
МАНЕВРЫ ВЫХОДА И ЗАХВАТА
50Э
Если п= 1, то имеем случай одноимпульсного маневра. Хотя
при этом для кругового одноимпульсного маневра и имеет ме¬
сто энергетический оптимум, для двухимпульсного маневра это
условие не является экстремальным. Для двухимпульсного
маневра энергетическому минимуму, очевидно, соответствует
решение гА = оо, поскольку правые части уравнений (4.12) и
(4.14) в этом случае обращаются в нуль. Это решение анало¬
гично решению (4.51).
Из уравнений (4.12) и (4.14) следует:
2(1 + п)
АР-
У 2(1 +
+ (п
-о/т
(4.56)
+ П
Vn
Легко показать, что записанное отношение всегда меньше
единицы. Это означает, что всегда энергетически выгоднее на¬
чинать переходное движение с круговой орбиты к гиперболе в
перицентре переходного эллипса (рис. 4.4).
Таблица 4.1
Планетоцентрические расстояния и высоты, при которых одно-
и двухимпульсные маневры захвата и выхода, использующие
круговые орбиты спутника, являются эквивалентными
[рассматриваются случаи выхода (захвата) из поля притяжения
Земли по гелиоцентрическому переходному гомановскому
эллипсу]
Планеты
г/гоо
Ж
У = г- гоо,
морские мили
" < ». '
морские мили
Меркурий
0,154
208
-1 184
Венера
14,39
48 100
44 700
Марс
3,968
7 050
5 260
Юпитер
113,3
4 265 000
4 425 000
Сатурн
42,8
1 291 000
1 260 000
Уран
20,19
280 000
268 000
Нептун
32,1
433 000
418 000
«3 000
« 0
Если расстояние г орбиты спутника меньше г, то косми¬
ческий аппарат должен осуществить маневр выхода или за¬
хвата одноимпульсным методом. Если, однако, имеет место
соотношение r>f, то следует использовать двухимпульсный ме¬
тод. В таблице 4.1 приведены значения расстояний г = г от
510
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
космического аппарата до центра планеты и высот у = г — г00
космического аппарата над поверхностью планеты, при которых
одно- и двухимпульсные маневры являются энергетически экви¬
валентными. В таблице рассмотрены случаи выхода (захвата)
из поля притяжения Земли с использованием касательного пере¬
хода (гомановские эллипсы).
Предположим, что космический аппарат движется по удаленг
ной круговой орбите вокруг планеты-цели. Тогда в случае ис¬
пользования двухимпульсного маневра выхода космический
аппарат должен перейти на такой эллипс, перицентр которого
расположен как можно ближе к планете. В перицентре эллипса
второй импульс должен вывести космический аппарат на гипер¬
болу выхода. С другой стороны, если космический корабль дол¬
жен попасть на удаленную орбиту при г>г, то необходимо
приблизить, насколько возможно, вершину гиперболы подхода
к поверхности планеты-цели, осуществить переход на эллипс,
двигаясь по которому космический аппарат снова достигнет уда¬
ления г, и затем осуществить маневр перехода на орбиту, близ¬
кую к круговой.
На рис. 4.16 дается сравнение величины скоростей, необхо¬
димых для осуществления маневров выхода или захвата косми¬
ческого корабля с Марса вблизи Земли. Рассмотрены два
случая: в первом случае орбита космического аппарата почти
касается верхних слоев атмосферы [гР = 6438 км (3474 морских
мили), г0о = 6371 км (3440 морских миль)], а во втором случае
производится более осторожный подлет к планете [гР = 8047 км
(4342 морских мили)]. Сравнение этих случаев показывает, что
обе кривые пересекаются в точке, удаленной на расстояние г
и являющейся точкой минимума для одноимпульсного маневра.
Поскольку пересечение этих кривых происходит под малым уг¬
лом, то для большого диапазона расстояний до перигея разница
в скоростях является незначительной. В конечном счете кривая
скоростей, соответствующая малым значениям г, достигает мень¬
ших значений. Рис. 4.16 показывает, что если возвращающийся
с Марса космический аппарат, находясь на удалении гР, должен
попасть на лунную орбиту, то маневр захвата потребует измене¬
ния скорости, равного 1370 м/сек (4500 фут!сек), в то время как
одно- или двухимпульсные маневры при конечном расстоянии г
требуют изменения скорости, равного 2130 м/сек (7000 фут/сек).
Подобным же образом и старт с поверхности планеты является
в этом случае более экономичным, поскольку величина &vp+Ava
для достижения расстояния 371 000 км (200 000 морских миль)
равна 4000 м/сек (13 000 фут/сек) по сравнению с величиной
скорости 4300 м/сек (13 800 фут/сек), требуемой для достижения
расстояния 92 700 км (50 000 морских миль).
4.4]
МАНЕВРЫ ВЫХОДА И ЗАХВАТА
511
Такой маневр кажется в высшей степени практичным, однако
для его осуществления требуется значительное время (дни, а не
часы) и, кроме того, оказываются весьма высокими требования
к точности маневра не только в отношении расстояния гР, но
также и с точки зрения встречи с космическим аппаратом на
лунной орбите.
г (тыс. морских миль)
Рис. 4.16. Влияние орбитального расстояния на тип маневра при выходе
или захвате вблизи Земли космического аппарата, стартующего к Марсу
или возращающегося с Марса.
Преимущество описанного маневра особенно существенно
в том случае, когда используется химическое ракетное топливо.
Значительное увеличение удельного импульса двигателя (до
600 сек или больше) повысило бы его экономичность и подтвер¬
дило бы то положение, что при наличии достаточно мощного
ракетного двигателя можно использовать менее сложный и бо¬
лее практичный подход к выбору траекторий космических
полетов.
При захвате космических аппаратов, возвращающихся с
Марса или Венеры, для экономичности двухимпульсного метода
необходимо, чтобы захват происходил на расстоянии более чем
92 700 км (50 000 морских миль) и 130 000 км (70 000 морских
512 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
миль) соответственно. Однако если используются переходные
эллипсы, афелии которых удалены на большее расстояние от
орбиты Земли, то величина г уменьшается и двухимпульсный
метод становится более практичным. Это положение является
справедливым также в случае касательных переходов по напра¬
влению к Меркурию или Юпитеру. Однако полеты к этим пла¬
нетам при использовании ракетных двигателей на химическом
топливе являются практически неосуществимыми.
Из таблицы 4.1 видно, что если не рассматривать Меркурий
и Плутон, то наибольший интерес представляет область захвата,
для которой Спутники Марса лежат вне этой области.
С точки зрения научных наблюдений и других практических
целей, более желательным является облет на меньших высотах.
Это положение справедливо также и для Венеры. Одноимпульс-
ный метод применим и для полета к спутникам Юпитера, а
также к спутнику Сатурна — Титану.
в) Эллиптический одноимпульсный метод. Ранее предпола¬
галось, что конечная орбита или орбита выхода является кру¬
говой. В действительности же, как указывалось выше, эконо¬
мичность выхода или захвата повышается при использовании
эллиптических орбит, орбитальная энергия которых выше, чем
у рассматриваемой круговой орбиты. Это положение является
очевидным, поскольку в этом случае необходимо осуществить
только переход «гипербола — эллипс». Анализ этого движения
приведен в § 4.2. Рассматриваемый тип маневра является вы¬
годным с практической точки зрения и с точки зрения требова¬
ний к точности, которые являются невысокими, за исключением
того случая, когда переход осуществляется на эллиптическую
орбиту специального вида. Например, если выход на эллиптиче¬
скую орбиту захвата осуществляется с целью последующего воз¬
вращения на Землю, то энергетические требования к двигателю
ракеты, стартующей на эту орбиту, снижаются, поскольку для
достижения орбиты космическому аппарату необходимо полу¬
чить приращение скорости ДиР, а не Дул- И все же более суще¬
ственным являются эллиптические орбиты захвата, распола¬
гающиеся вблизи планеты-цели. Их использование не только
повышает экономичность захвата космического аппарата плане-
той-целыо и последующего маневра выхода, но также уменьшает
начальный вес топлива, подлежащего выведению из сферы зем¬
ного притяжения, что приводит к дополнительной экономии
энергии. Для многих исследовательских целей движение по эл¬
липтической орбите является приемлемым, если расстояние до
перигея достаточно мало. Весьма вероятно, что первые облеты
планет будут осуществлены по эллиптическим орбитам, если
удастся удовлетворить требованиям точности.
4.5]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА
513
Условия для определения изменений скорости даны в § 4.2,
а именно: уравнение (4.5) для маневра в апоцентре и уравнение
(4.8) для маневра в перицентре. Отношение этих скоростей
равно:
Легко показать, что это отношение всегда меньше единицы. Этот
факт свидетельствует о том, что более экономичным является
маневр в перицентре.
Например, если п = 4, = 1,25, то
Для больших значений п преимущество маневра в перицент¬
ре становится более значительным, в то время как увеличение
фр (то есть Voo) уменьшает различие в эффективности маневров
первого и второго типов.
Космический аппарат, выходящий из поля тяготения Земли,
может пройти вблизи Луны. В этом случае аппарат входит в ее
гравитационное поле, а затем выходит из него по гиперболиче¬
ской орбите (относительно Луны).
Подобное движение относительно произвольного тела косми¬
ческого пространства будем в дальнейшем называть гиперболи¬
ческой встречей. Такая встреча может существенно изменить не
только направление полета, но также эксцентриситет и энергию
орбиты космического аппарата. Эти вопросы обсуждались в гла¬
ве 3 (см. «Космический полет», т. I) при рассмотрении вопроса
о влиянии гравитационного поля Юпитера на орбиты астероидов
(см. там же рис. 3.35 и 3.36).
В общем случае действие возмущающего гравитационного
поля может привести к увеличению или уменьшению орбиталь¬
ной энергии и изменению эксцентриситета орбиты космического
аппарата в зависимости от условий выхода в гравитационное
поле. При правильном выборе этих условий возмущающая сила
может быть использована либо для увеличения орбитальной
энергии стартующего космического аппарата, либо для ее умень¬
шения при возвращении аппарата.
(4.57)
4.5. Гиперболическая встреча
33 к. Эрике, т. II
514 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
Этот метод гравитационной навигации безусловно не нару¬
шает закона сохранения энергии, поскольку орбита возмущаю¬
щего тела также претерпевает изменения. При этом, очевидно,
изменения орбитальной энергии и элементов орбиты пропорцио¬
нальны участвующим во взаимодействии массам. Таким обра¬
зом, орбита Луны или планеты не может подвергнуться суще¬
ственным возмущениям, связанным с пролетом космического
аппарата. Если после такой встречи орбитальная энергия и
эксцентриситет орбиты аппарата увеличатся, то в случае под¬
лета по орбите, близкой к параболической, новая орбита по
отношению к главному центру тяготения окажется гиперболой.
Нетрудно определить мгновенное изменение орбитальной
энергии при встрече. Орбитальная энергия космического аппа¬
рата по отношению к централь¬
ному телу М определяется вы¬
ражением
h = v2 - , (4.58)
где v и г — соответственно
скорость и расстояние отно¬
сительно центрального тела,
Км — гравитационный пара¬
метр центрального тела, а ве¬
личина а равна большой полуоси орбиты. Дифференцнируя это
выражение по времени, получаем:
Возмущающее
тело
Космический
аппарат
Рис. 4.17. Изменение энергии при
гиперболической встрече.
dh
dt
км da
а2 dt
(4.59)
Записав уравнение (4.58) в виде v2 = K{2/r—1 /а) и продиффе¬
ренцировав по времени, получим:
da _ 2a2 dv
~di~~K^V~dt-
(4.60)
Подставив сюда (см. рис. 4.17)
dv
~dt
= COS #,
(4.61)
где г и Кт — соответственно расстояние и гравитационный па¬
раметр возмущающего тела /п, из уравнений (4.61), (4.60),
(4.59) и (4.58) окончательно получим:
dh Кт о.
—гг = 2 —2~ v cos д.
dt rz
(4.62)
4.5]
гиперболическая встреча
515
Составляющая (Кт/?2) sin О направлена по нормали к направ¬
лению движения и поэтому не изменяет орбитальную энергию.
Изменение орбитальной энергии, согласно уравнению (4.62),
может быть положительным или отрицательным, то есть энергия
может возрастать или уменьшаться в зависимости от направле¬
ния действия возмущающей силы относительно направления
движения космического аппарата. Изменение орбитальной энер¬
гии не зависит от величины Км или а, а зависит только от па¬
раметра Кт возмущающего тела и от расстояния до него. Если
'& = 90°, то изменение орбитальной энергии равно нулю. Угол Ф
отсчитывается от радиуса-вектора г по направлению к вектору
скорости v. Значение cosf> следует считать отрицательным, если
возмущающая сила Кт/?2 вызывает обратное вращение главной
оси орбиты (то есть вращение, обратное направлению враще¬
ния радиуса-вектора тела).
Чтобы определить направление изменения эксцентриситета,
следует учесть как касательную составляющую возмущаю¬
щей силы (Km/r2) cos Ф, так и ее нормальную составляющую
(Кт/r2) sin О. Можно показать, что
где (deldt)v и (dejdt)v —скорости изменения величины е, обус¬
ловленные влиянием соответственно касательной и нормаль¬
ной составляющих возмущающей силы. За положительное на¬
правление нормальной составляющей принимается направление
в сторону большой оси орбиты. Таким образом, из уравнения
(4.64) следует, что эксцентриситет будет уменьшаться в том слу¬
чае, если нормальная составляющая (Km!?2) sin О направлена во
внутреннюю область орбиты. Отсюда вытекает, что можно уве¬
личивать орбитальную энергию, уменьшая эксцентриситет. Это
обстоятельство будет пояснено рассматриваемым ниже приме¬
ром расчета гиперболической встречи с Марсом.
Термин «гиперболическая встреча» предполагает, что влия¬
ние гравитационного поля Солнца не учитывается, в связи с
чем траектория космического аппарата в этот период в течение
кратковременного прохождения вблизи возмущающего тела дей¬
ствительно считается точной гиперболой. Последующее изложе¬
ние посвящено рассмотрению случая встречи космического аппа
рата с Луной.
Пусть М — центральное тело, т — возмущающее тел<
•о — скорость космического аппарата относительно тела М
(4.63)
(4.64)
33*
516 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ 4
и — скорость тела т относительно тела М и w — скорость аппа¬
рата относительно тела т. Участок траектории космического
Невозмущенная орбита космического аппарата
после пересечения орбиты тела т
После встречи
Рис. 4.18. Геометрическая схема встречи, сопровождаемой уве¬
личением скорости космического аппарата.
аппарата при встрече, сопровождаемой увеличением скорости,
показан на рис. 4.18. Этот случай будем называть прямой гипер¬
болической встречей. Обратная гиперболическая встреча, сопро¬
4.6]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА
517
вождаемая умедыиением скорости, иллюстрируется рис. 4.19.
Тело т движется со скоростью и по орбите, пересекающей под
углом pi орбиту космического аппарата, движущегося со
\
Перед встречей
После встречи
Рис. 4.19. Геометрическая схема встречи, сопровождаемой
уменьшением скорости космического аппарата [обратная
(ретроградная) встреча].
скоростью v\. Скорость Woo аппарата относительно тела т в точке
пересечения выражается через значения и, и (3i. Обозначим
через £ угол между векторами и и. После встречи ьектор ско¬
рости w00, сохранив модуль, повернется на угол Д£ в сторону w«>*
34 К- Эрике, т. II
518 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
в то время как скорость а останется практически неизмен¬
ной. Новая скорость v2 может быть определена (графическим
построением или расчетом) по значениям скоростей и, w^ = w
Прямое (против хода часовой стреляй)
вращение вектора У потенциальным
Линия предельного приращения
скорости: V^-V^O
У;=тт
' I V
00 2 В'этой области
происходит
обращение скорости
движения космичес-
кого аппарата
\Линия предельного приращения
скорости: У2~ V^O
Обратное (по ход/ часовой стрелки) вращение
вектора V потвнциальньш полем плонеть/
б)
Ч’Ч
Рис. 4.20. Обобщенная схема гиперболической встречи.
а) Прямая гиперболическая встреча; б) обратная гиперболическая встреча
и угла (180° — £2). Далее можно определить угол пересечения
орбит (32.
На рис. 4.20 показаны оба типа гиперболической встречи
космического аппарата с планетой. На рис. 4.18 изображена
4.5]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА
519
траектория встречи аппарата в системе координат, связанной
с телом М. Если же тело т берется за начало координат, то
точка т становится стационарной. Однако скорости и
при этом совпадают по направлению с асимптотами гиперболы
и, следовательно, определяют изменение направления движения
космического аппарата, обусловленное гиперболической встре¬
чей. Стационарная гипербола и соответствующие обозначения
показаны на рис. 4.21.
Основные характеристики
движения могут быть
определены следующим
образом.
Относительная ско¬
рость перед встречей оп¬
ределяется выражением
wlo = и2+ v2 — 2uv{ cos
(4.65)
Величина главной [дей¬
ствительной] гиперболы
равна:
__ Кт __ Кт Кт
(4.66)
поскольку орбитальная
энергия при движении
по гиперболе/г = (2Кт/г + w2Jj — 2/Cm/r, где член в скобках опре¬
деляет величину квадрата скорости выхода из поля тела т по
гиперболической орбите, одна из асимптот которой пересекает
орбиту тела т под углом Pi. Таким образом, Woo является ги¬
перболическим избытком скорости, и поскольку для параболы
h — 0, то величина w^ пропорциональна энергии тела, летящего
по гиперболической орбите. Эксцентриситет гиперболы встречи
определяется из выражения
ГР ^ 180° — Д£ Д£
е = 1 + = sec Ф = sec ^ = cosec -у-» (4.67)
откуда видно, что эксцентриситет гиперболической орбиты про¬
порционален углу поворота вектора скорости. С учетом урав¬
нения (4.66) уравнение (4.67) принимает вид:
е=1 + (4-68)
А/я
Рис. 4.21. Гиперболическая траектория
после встречи согласно рис. 4.18 и 4.19.
84*
520
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. 4
Таким образом, если известна постоянная Кт возмущающего
тела, выбран радиус гР и вычислена величина Woo по уравнению
(4.65), то из уравнений (4.68) и (4.67) можно определить'соот¬
ветственно значения е и Д£. Значение £i определяется из соот¬
ношения
sin С, =~~ sin Pi- (4.69)
шоо
При расчете угла £ следует учитывать, что £>90°, если
UiCOspi<w, поскольку при этом скорость содержит составляю¬
щую Woo, направление которой противоположно направлению
скорости и. В этом случае, если, например, из соотношения
(4.69) получим £i = 40°, то следует принять £i=180°—40°= 140°.
При известном £i можно также определить £2=|£i— Д£|. Ско¬
рость движения космического аппарата и угол пересечения
траекторий космического аппарата и планеты находятся из вы¬
ражений
v\ = «2 + wl + 2uwx cos (£,- Д£), (4.70)
sin p2 = ^ sin (£, - AC) = sin (4.71)
U 2 ^2
Наконец, можно определить фокальный параметр гиперболы,
то есть расстояние от аппарата до точки т при г]=90°, из выра¬
жения
<4-72)
или, так как tg4p = sin Д£/(1 + cosA£), из выражения
Р= 2Km»(\+cosAtf. (4.73)
a&sm Д£
Таким образом, если заданы величины и, vu р4 и гР, то мож¬
но вычислить значения Woo, а, е, £ь £2, v2, Рг и р. Параболическая
скорость тела т относительно центрального тела М. определяет¬
ся выражением
2/С,
R
(4.74)
Представляет интерес определение значений £ь и2 — Vt и
гиперболического избытка (недостатка) скорости по отношению
к центральному телу М:
4.6) ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ВСТРЕЧЕ 521
Вместо использования гР в качестве независимой переменной
можно определить значение гР> для которого величина v2, а сле¬
довательно, й величина и<*> принимают максимальные значения.
Из уравнеия (4.70) следует, что и2 принимает максимальное зна¬
чение, если £i = A£. В этом случае
(^2)max = U (4.76)
то есть направление вектора относительной скорости после
встречи должно совпадать с направлением вектора орбитальной
скорости тела т. В этом случае, если заданы и, vi и ($i, значение
(^г)шах определяется из уравнения (4.76), значение — из соот¬
ношения (4.69), а соответствующее значение гР — из соотноше¬
ния (4.68):
гР = -%(е-1). (4.77)
^оо
4.6. Расчет параметров движения
при гиперболической встрече и захвате
Выше были рассмотрены методы определения основных па¬
раметров траектории космического аппарата, встречающегося
с космическим телом. В дальнейшем будем обозначать скорость
относительно тела М и расстояние до его центра масс через V
и /?, а соответствующие величины по отношению к телу, с ко¬
торым происходит встреча, через v и г. Все другие элементы
орбиты относительно тела М будем снабжать индексом «М»,
а элементы орбиты, относящиеся к гиперболе, будем записывать
без индекса. В том случае, если во встрече участвует планета,
то т обозначает массу планеты, а М — массу Солнца. Если
встреча совершается со спутником, то т является массой спут¬
ника, а М—массой планеты.
Пример 1. Космический аппарат пересекает орбиту тела т
таким образом, что если бы орбита была невозмущенной, то
угол пересечения имел бы значение р4, а скорость в точке пере¬
сечения была бы равна VP Аппарат пролетает мимо тела т
на минимальном расстоянии гРу равном расстоянию до вершины
rv. Все эти значения следует считать заданными. Необходимо
определить угол отклонения траектории, новое значение скоро¬
сти и основные параметры движения при гиперболической
встрече.
Скорость космического аппарата V\ относительно тела т
(орбитальная скорость тела т равна LJm) находится из выра¬
жения
vm = V V\+Ul + 2V{Um cosp,;
35 К. Эрике, т. II
522 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
угол между векторами и Um определяется из соотношения
sin (180° — £,) = sin р„
ОО
если V\ cos |3i<[/m, в противном случае следует взять sin£r,
действительная полуось гиперболы
, Кт .
CL о у
эксцентриситет гиперболы
е= 1 +
[р. .
а *
угол поворота вектора скорости Voo находится из выражения
. Д£ 1
sin.
2 е
Новое значение скорости V2 определяется из уравнения
(4.70), а ее новое направление по отношению к вектору Umi
то есть угол fb, определяется из уравнения (4.71). Изменение
направления полета космического аппарата, обусловленное ги¬
перболической встречей, определяется углом
Ap=|p2-pi|.
Выше были определены параметры гиперболы а и е. Пара¬
метр р равен:
р = а(е2 — 1);
половина угла между асимптотами определяется из выражения
и мнимая полуось равна:
b = аУе2 — 1.
Таким образом, основные элементы гиперболы найдены.
Пример 2. Космический аппарат подлетает к телу с целью
максимального увеличения своей скорости за счет гиперболиче¬
ской встречи.
Пусть значения Vu Um и Pi известны.
Значения Voo, и а определяются из соотношений, приведен¬
ных в предыдущем примере. Требование максимального увели¬
чения скорости означает, что A£ = £i. Поэтому
1
е = =-.
sin-!1
4.6] ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ВСТРЕЧЕ 523
Расстояние до перицентра определяется по формуле
Гр = а(е— 1).
Может оказаться, что гР<г00. В этом случае практически не¬
возможно получить максимальное приращение скорости за счет
гиперболической встречи. В тех случаях, когда это возможно,
новое значение скорости равно:
Пример 3. При полетах космических аппаратов на другие
планеты гравитационное притяжение оказывает фокусирующее
воздействие на орбиту. При этом может случиться, что траекто¬
рия, вычисленная без учета воздействия, пройдет мимо тела т,
хотя в действительности космический аппарат столкнется с пла¬
нетой. Это обстоятельство приводит к понятию кажущегося
диаметра столкновения тела т, который превышает физический
диаметр тела. Из рис. 4.22 следует, что кажущийся радиус стол¬
кновения может быть определен из соотношения
причем
V 2 U m + Уоо,
р2 = о.
соответствующая воз¬
мущенной траектории,
касающейся окружно¬
сти радиуса гсоц
Рис. 4.22. Приближенное определение ра¬
диуса столкновения с телом.
35*
524 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
где е — эксцентриситет гиперболы встречи, то есть кажущийся
диаметр столкновения уменьшается с увеличением скорости
сближения Voo и уменьшением угла под которым траектория
космического аппарата пересекает траекторию тела т. С увели¬
чением е (то есть с ускорением гиперболического движения)
возрастает угол Ф, а следовательно, и rcoii, однако уменьшение
величины а сказывается на величине гсои более сильно, чем
возрастание угла Ф. Уравнение (4.78) позволяет определить
кажущийся диаметр столкновения не только в случае ошибок
в модуле вектора скорости, но и при наличии ошибок в его на¬
правлении.
Пример 4. Рассмотрим случай полета к одной из планет,
например к Марсу. В этом случае RA/RP = n, причем Rm/Rp<n,
где Rm — расстояние от тела т до центрального тела. Необхо¬
димо рассчитать условия гиперболической встречи и захвата.
Пусть заданы пу Rm и гР. Обозначив Солнце через М, а Марс
через /п, получим следующие соотношения для переходной ор¬
биты:
Далее находим:
истинную аномалию точки пересечения переходной орбиты
с орбитой Марса из выражения
угол пересечения переходной орбиты с орбитой Марса из вы¬
ражения
п — 1
ел1_ТТТ’
Рм~ Rp( 1 + ем)-
tgB = - м т •
gp 1 ем cos
большую полуось переходного эллипса
= 2 ;
скорость в точке пересечения орбиты Марса
относительную скорость по отношению к телу т (Um — ско¬
рость Марса)
floo = VU2m + V2 — 2UmV cos р,
4.6] ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ВСТРЕЧЕ 525
действительную полуось гиперболы
К,
В случае захвата на расстоянии гР\
vp = V2KmlrP, vc = V Kir р, е = 1 +гр/а;
скорость подлета на расстояние гР, равная скорости vv в
вершине гиперболы,
Импульс скорости, необходимый для перехода космического ап¬
парата на круговую орбиту,
или для перехода на эллиптическую орбиту со скоростью vP в
перицентре
где величина -у определяет угол отклонения вектора скорости
г>оо при условии, что захват происходит в вершине.
Пример 5. Пусть для условий предыдущего примера необхо¬
димо осуществить одноимпульсный маневр захвата на оптималь¬
ном расстоянии г.
В этом случае, по определению,
причем
cos Ф = —
sin —— =
2
е
т
г
поэтому
г = ^ = 2а,
V2
voo
(4.79)
так как а = Кт1^\
|2
оо*
526 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
Далее,
(4.80)
(4.81)
(4.82)
(4.83)
(4.84)
vv = Vv2p + vl = V 2о*,,
Д£ = 38°58',
£2 = £,-38°58'.
Записанные выше уравнения справедливы для произвольной
гиперболической орбиты входа или выхода, начинающейся или
заканчивающейся в точке, удаленной на расстояние г от центра
планеты.
Будем определять ошибку как отклонение вектора положе¬
ния или скорости [по величине и (или) направлению] от требуе¬
мого значения в конце активного участка полета (то есть в на¬
чале кеплерова движения). Если начало системы координат
находится в центре планеты, то отклонение будем называть пла¬
нетоцентрической ошибкой1). Если начало координат находится
в центре Солнца, то будем говорить о гелиоцентрической ошиб¬
ке2). В первом случае анализ ошибок необходимо производить
с учетом бицентральности гравитационного поля (бицентраль-
ный анализ), поскольку траектория космического аппатара со¬
держит участок перехода с планетоцентрической орбиты на ге¬
лиоцентрическую. С другой стороны, анализ гелиоцентрических
ошибок следует производить для центрального гравитационного
поля (моноцентральный анализ). Траектория перелета космиче¬
ского аппарата от одной планеты к другой является гиперболой.
Выход космического аппарата осуществляется по гиперболиче¬
ской орбите. Поэтому планетоцентрические ошибки относятся
к гиперболическому участку траектории аппарата. Эти ошибки
оказывают влияние на гелиоцентрическую орбиту, которая в
общем случае является эллипсом. Эту орбиту можно исследо¬
вать методами моноцентрального анализа.
В дальнейшем, как и раньше, будем обозначать скорости
и расстояния, измеряемые в гелиоцентрической системе, заглав¬
4.7. Общий анализ ошибок, возникающих
при двухимпульсном переходе
*) При рассмотрении системы «Земля—Луна» планетоцентрическая ошиб¬
ка станет селеноцентрической, а гелиоцентрическая — геоцентрической.
2) Анализ ошибок в поле центральной силы приведен в § 3.12 и § 3.13.
4.7]
АНАЛИЗ ОШИБОК ПРИ ДВУХИМПУЛЬСНОМ ПЕРЕХОДЕ
527
ными буквами, а скорости и расстояния, измеряемые в плането-
центрической системе, малыми буквами. Пусть U обозначает
скорость планеты, a Vi — начальную гелиоцентрическую пере¬
ходную скорость космического аппарата, то есть скорость в
точке выхода из планетоцентрического поля тяготения и в точке
входа в гелиоцентрическое поле тяготения. Это условие выпол¬
няется, если планетоцентрическое притяжение, действующее на
тело, пренебрежимо мало по сравнению с гелиоцентрическим
притяжением. Геометрически гиперболическая траектория в этом
случае должна совпадать с соответствующей асимптотой (в бес¬
конечности по отношению к планете).
Угол Ф определяет гелиоцентрическое направление выхода.
Сравнение уравнений (4.24) — (4.26) показывает, что ошибки в
гР и Voo изменяют этот угол на величину АФ. Значение гР, содер¬
жащее ошибку, можно получить, учитывая ошибку в положе¬
нии, если выключение двигательной установки производится в
вершине гиперболы, либо учитывая ошибку в векторе скорости,
если отсечка тяги производится в какой-либо другой точке тео¬
ретической гиперболы. При этом ошибка может быть как в
величине, так и в направлении вектора скорости. Иначе говоря,
даже если направление гиперболического выхода не содержит
ошибки, а ошибка имеется только в модуле вектора скорости,
то произойдет изменение ориентации главной оси гелиоцентри¬
ческого переходного эллипса по отношению к выбранной си¬
стеме отсчета. В отличие от этого при моноцентральном анализе
ошибок изменение ориентации главной оси эллипса может воз¬
никнуть только в случае ошибки в апоцентральном направлении
вектора скорости, ошибка же в модуле вектора скорости не из¬
меняет ориентацию главной оси.
Ошибка АФ в свою очередь влечет за собой ошибку в гелио¬
центрическом направлении выхода (рис. 4.23). Поскольку рас¬
сматриваются только малые ошибки, то справедливы соотно¬
шения
cos (Др) « уг-'
V1 = t/pl + Voo,
^=t/p1 + VoecosAO.
(4.85)
(4.86)
(4.87)
(4.88)
где
г = voo sin (Дф) = sin
2
528
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
Изменение направления выхода на величину Ар приводит к
изменению ориентации главной оси гелиоцентрического переход¬
ного эллипса; другими словами, линия апсид смещается на
некоторый угол даже в том случае, если гелиоцентрическая
скорость выхода не содержит ошибки. Однако на практике эти
ошибки оказываются весьма малыми, если они вызваны только
техническими погрешностями. При полетах к Венере и Марсу
Рис. 4.23. Ошибки в гелиоцентрическом направлении выхода,
обусловленные изменением половины угла между асимпто¬
тами ДФ.
эти ошибки имеют порядок: 1,5 ^ АУГ <^4,5 м/сек (б^АУг^
<^15 фут/сек). Поскольку скорость Vi колеблется в пределах
25 000-f-35 ООО м/сек (80 ООО-т-115 ООО фут/сек), величина AVr/Vi,
а следовательно, и угол Ар оказываются пренебрежимо малыми.
Случай выполнения маневра выхода без ошибок в скорости,
соответствующей рис. 4.8, изображен на рис. 4.24, а (в гелио¬
центрической системе координат). Маневр осуществляется с
круговой орбиты по касательной траектории. В правой части
рис. 4.24, а показаны случаи выхода при наличии ошибок в мо¬
дуле и направлении вектора скорости. Угол изменения направ¬
ления вектора скорости обозначен через Ар. На рис. 4.24, б
показаны случаи точного и неточного касательных выходов с
элиптической орбиты планеты. Различие между двумя рассма¬
триваемыми случаями состоит лишь в том, что в последнем при¬
мере при точном выходе ос=£90°. Угол между векторами U и Vx
при отсутствии ошибок равен нулю, как и в первом случае, а
при наличии ошибок равен Ар. На рис. 4.24, в показан случай
4.7] АНАЛИЗ ОШИБОК ПРИ ДВУХИМПУЛЬСНОМ ПЕРЕХОДЕ 529
некасательного выхода. В данном случае при отсутствии оши¬
бок угол между векторами U и Vx равен р, а при наличии оши¬
бок этот угол принимает значение р'=р + Др.
Рис. 4.24. Ошибки при маневре выхода.
а) Круговая орбита планеты, векторы скоростей Vi и U параллельны;
б) эллиптическая орбита планеты, векторы скоростей V\ и U параллельны;
в) круговая или эллиптическая орбита планеты, вектор скорости V\ не
параллелен вектору скорости U.
Выше рассматривались ошибки в векторах положения и ско¬
рости в предположении, что эти ошибки не выходят из плоско¬
сти орбиты. Однако не исключена возможность выхода вектора
530 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
скорости из плоскости орбиты. Соответствующие ошибки были
бы эквивалентны импульсу, ортогональному желаемой плоско¬
сти движения в момент выключения двигательной установки.
Ошибку в положении всегда можно преобразовать в эквива¬
лентную ошибку в скорости. Эта ошибка играет меньшую роль
при исследовании маневров выхода и захвата, чем при анализе
движения тела в центральном поле сил, и поэтому отдельно эта
ошибка не будет рассматриваться. Ошибки в направлении и
величине вектора скорости, хотя и могут накапливаться в пе¬
риод работы двигателя, можно представить эквивалентной
ошибкой в импульсе в момент выключения двигательной уста¬
новки. Три составляющие гелиоцентрической ошибки в импульсе
связаны с планетоцентрическими ошибками следующим образом.
1. Ошибка в ориентации орбитальной плоскости гелиоцентри¬
ческого переходного эллипса, обусловленная ошибкой в направ¬
лении асимптоты гиперболы выхода. Ошибка в направлении
гиперболы может быть вызвана либо ошибкой в направлении
планетоцентрического вектора скорости выхода vu либо ошиб¬
кой в модуле вектора vu либо комбинацией этих двух ошибок.
2. Ошибка в модуле гелиоцентрического вектора скорости.
Эта ошибка обусловлена ошибкой в модуле вектора Однако
поскольку ошибка в модуле вектора вызывает также измене¬
ние направления асимптоты, то эта ошибка связана с такими
ошибками в модуле и направлении вектора viy что направление
асимптоты для модуля скорости Vh остается тем же, что и для
точного начального значения.
3. Ошибка в ориентации плоскости гелиоцентрической ор¬
биты, обусловленная наличием ортогональной составляющей
ошибки в векторе скорости (при гиперболическом выходе).
Можно вывести соотношения, определяющие влияние ошибок
гиперболического выхода на гелиоцентрические начальные ус¬
ловия, и затем, используя соотношения для центрального поля
сил, определить влияние измененных гелиоцентрических началь¬
ных условий на гелиоцентрические параметры движения в кон¬
це перехода. Однако конечной целью анализа является установ¬
ление аналитической связи ошибок гиперболического выхода
с конечными гелиоцентрическими параметрами. Для решения
этой задачи необходимы соотношения, определяющие движение
тела по гиперболе в центральном поле сил. Эти соотношения мы
и получим в первую очередь.
4.8. Ошибки гиперболической орбиты
Анализ ошибок движения тела в бицентральном поле сил
начнем с рассмотрения влияния ошибок на гиперболу вы¬
хода. В случае гиперболической орбиты скорость тела, удален-
4.8] ОШИБКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 531
ного на расстояние г от центра планеты, определяется соотно¬
шением
t,2=I)2+I)2 = /c^ + I^ (4.90)
Соотношение, определяющее влияние изменения скорости на
величину большой полуоси (расстояние от вершины гиперболы
до точки пересечения асимптот), получается путем дифферен¬
цирования выражения (4.90) по v:
да 2а2 /л т\
Ж=~1Си- (4-91)
Величина большой полуоси определяется из соотношения
(4.92)
где р — фокальный параметр гиперболы, г) = — производная
по времени от истинной аномалии и С — постоянная Кеплера.
Дифференцируя по а, е и С и подставляя вместо да выраже¬
ние (—2a2v dv/K) у получаем: Кае de = a2v dv(e2—1)—С дС. Ум¬
ножая каждый член на v и полагая, что касательный импульс
изменяет только модуль вектора скорости, а также исключая
дС с помощью равенства v dC = Cdv, находим:
Kaev = a2v2 (e2 — 1) — С2. (4.93)
Поскольку длина главной полуоси определяется из соотношения
(4.92), а величина г определяется из уравнения г_1 =
= /((l+>cosr])C"2, то после перемножения этих двух равенств
получим:
Г~—еГГр- <4-94>
Используя записанные соотношения, а также равенства
C2 = Kr( 1+cosr]) и ю2 = К{2/г+\/а)> уравнение (4.93) можно
преобразовать к виду
ev^ = 2{\ -becosт]) + (в2 — I) — — (1 +ecosл)-
Упростив последний член этого равенства с помощью урав¬
нения (4.94), окончательно получим:
|j- = |(e+cosri). (4.95)
532
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
Это соотношение совпадает с аналогичным соотношением, запи¬
санным для эллиптической орбиты. Используя соотношения для
гиперболы
„,4-, (4.96)
»оо ^ОО У
^Ф=4=-Ж7 = ^'cose* (4-97)
где Гр, vP — соответственно расстояние до перигея и скорость
в перигее, и принимая во внимание соотношение ua = ^cos0 для
горизонтальной составляющей скорости в точке, удаленной на
расстояние г, получаем:
^ I - . „г I cos 0
7П=— • (4-98>
dv Uoo sec2 Ф ' 7
Из уравнений энергии v2 — 2Klr = К2(е2 — 1)/С2 = vf+ v2a — 2/C/r
находим:
-Йг=^£- <4-">
Следовательно, для всех конических сечений имеем:
vrC
ir = smr].
Используя соотношение для гиперболы e = sec<D, получаем сле¬
дующие выражения для частной производной от угла наклона
асимптоты по положительному импульсу (то есть импульсу, на¬
правленному к фокусу):
дФ де дФ
dvr dvr де *
sin ц (sin Ф — cosec Ф). (4.100)
В выражении (4.100) величина dvr принимается положитель¬
ной, если соответствующий вектор направлен к центру гравита¬
ционного поля. Выражение для производной дФ/диа имеет вид:
(Ь2 - Г2) (cosec ф - sin ф). (4.101)
Полный дифференциал функции Ф определяется выражением
1
4.8] ОШИБКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 533
Если известны значения v, vr и va, то приращение угла Ф
можно определить из уравнений (4.98) и (4.100) — (4.102).
В том случае, когда ошибка гиперболического выхода за¬
дается погрешностью в угле 0 = arctg(yr/t>a), для вычисления
ошибки в угле Ф можно использовать соотношение (4.97), вы¬
ражающее Voo через 0, соотношение е=1 + v^^KIrp) и зави¬
симость
*!=i-(J^friF+‘g!e(iTFiF- <4лоз>
Окончательно получим:
+ m v 0 Г /С Г-ш /1 v2 cos2 0 \2 (у2 cos2 0 \2 , 2а i 11 V^2
*8ф — к77cos9{LК \~Kjr-) “hwH ‘E’e-l-'Jl •
(4.104)
Дифференцируя это выражение по 0, будем иметь:
дФ 1 у г sin 0
д0 2 у rD sec2 Ф
оо Р
(K/rD) cos Q Г /y2cos2e\2 1 Л
,к, \g Р) j? 3sec20+2l—jT-.— +1-2 . 4.105
Fi^Lj2tg2®+JLCOS2 0 L \ K/r J f
Если ошибки содержатся как в скорости у, так и в угле 0,
то ошибка в угле Ф может быть определена из выражения
d®=^dv + ^d%. (4.106)
Фигурирующие в этом выражении частные производные опреде¬
ляются из выражении (4.98) и (4.105). Таким образом, измене¬
ние угла Ф выражается через v и 0.
Изменение скорости Vco определяется из выражения (4.97).
Если выключение двигательной установки происходит точно в
вершине гиперболы, то справедливо выражение
dVoo = sec2 ФйФ — —£Р tg Фйир,
vp vp
или поскольку для перицентра из уравнений (4.106) и (4.98)
следует, что
и2
X
2 1 + -
d<D <ЗФ I ' К1г„,
— = -3— = — (4.107)
dv „ dvn v sec2 Ф ’ v '
Р Р ОО
то, исключая tg<D с помощью уравнения (4.97), получаем:
dv__ v„
534 переходные маневры в поле двух центральных сил (гл. 4
Если выключение двигательной установки происходит не в
перицентре, то величину dv«, можно определить путем дифферен¬
цирования функции Voo= (K/r)tgO/v cos 0 [см. уравнение (4.97)].
Однако использование полученного соотношения оказывается
неудобным, поскольку изменения Ф, 9 и v не являются незави¬
симыми.
Уравнение (4.108) можно также получить непосредственно из
уравнения (4.19). В силу общего соотношения
<4Л09)
если v2=v2 заменить суммой v, + v2a> получим:
dVeg = yadVa + vTdvr ' (4.110)
voo
Изменения радиальной и горизонтальной составляющих вектора
скорости являются взаимно зависимыми.
Таким образом, гелиоцентрические ошибки и dv«> выра¬
жены через планетоцентрические ошибки dv, dQ или dvay dvr,
и теперь можно вычислить новые гелиоцентрические значения
Р и Vi.
4.9. Связь гиперболических ошибок
с начальными ошибками гелиоцентрической орбиты
Часто весьма желательно иметь соотношения, непосредствен¬
но связывающие Vi и vu 9 и Ф. Если первоначально определить
связь Vi и Vu то, поскольку для случая р = 0 из уравнений (4.18)
и (4.19) следует V\ = U + v^ = U + У v\ — 2/C/rb справедливо
соотношение
Если р~0, то Uoo — V\ — U cos р, и из соотношения V\ =
= С/ cos р4-^оо следует соотношение (4.111). Если Р=£0, то из
уравнения (4.20) можно получить:
VX = U cos р ± ]/ — £/2 sin2 р, (4.112)
где = v2 — 2Klrv
Как указывалось выше, изменение Vi в общем случае вызовет
изменение величин р и Vu Поэтому полная производная имеет
следующее выражение:
dVi dVx dO
4.9] СВЯЗЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОШИБОК С НАЧАЛЬНЫМИ ОШИБКАМИ 535
Значение dV 1 определяется из соотношения
В этих соотношениях dv 1 является независимой переменной, а
члены в скобках и величина dQ> зависят от dv\. Из уравнения
(4.112) получаем:
("^7)р = ± Vt-U cos р (Р^0 = const), (4.115)
/ЙМ =+ УгУ зМ_ 4П6)
I ар )01 - V-, — £/ sin Р *
В этих выражениях знак «плюс» соответствует случаю, когда
Vi>£/, а знак «минус» — случаю, когда Vi<U. Значение dp
определяется выражением d$ = d($)VoolVi, в котором величины
Voo и Vi соответствуют измененному значению vim Из этого сле¬
дует, что изменение v\ вызывает не только изменение модуля
вектора Vi, но также и изменение р вследствие изменения угла
между асимптотами. Поэтому можно записать:
dV{ _(dVx \ dv± ,(дУЛ d$_ uun
d<b ~\dvl ap )Vi d<b 9
где
__ ^QO
V! •
В том случае, когда изменяется только модуль вектора vlt
значение производной dvJdO определяется из уравнения (4.98).
Если к тому же меняется и направление вектора vu то из соот¬
ношения (4.106) следует:
~Ж = 1кр~ аз> ае, ’ (4.118)
dvi <90! dv{
где d0i и dvi — ошибки в направлении и модуле вектора
Если Vi выражается через va и vr, то следует рассматривать
ошибки dva и dvr, по которым можно определить ошибку dvi.
Значение величины dcp при этом определяется из соотношения
(4.102). Однако сравнение уравнений (4.100) и (4.101) показы¬
вает, что при малом значении г], то есть в случае выключения
двигательной установки вблизи перицентра, ошибка dvr влияет
на значение d<D намного меньше, чем ошибка dva. Это обстоя¬
ли! dva
тельство позволяет заменить производную значением
определяемым из уравнения (4.101),
536
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
Если выключение двигательной установки происходит точно
в перицентре (р = 0), то имеет место строгое равенство
do [ dVp )р <1Ф +\ ар JVp ёФ ’ Н-119)
где dvp/dФ определяется из уравнения (4.98), в котором следует
положить cos 0=1 и г = гР. Следует отметить, что значение про¬
изводной (dVydp)t,, может оказаться весьма большим, если зна¬
чение р не очень мало. В случае касательного (или близкого
к касательному) выхода с гелиоцентрической орбиты, близкой
к круговой, этим членом можно пренебречь. В этом случае, ис¬
пользуя уравнения (4.111) и (4.98), соотношение (4.119) можно
переписать следующим образом:
dV. / dV. \ dvD uDsec20 uDsec20
— —'—L' =^ (4.120)
аФ \dvph аФ 0f, , vp ^ 2e
{ +2K/rf
Следует отметить также, что первый и второй члены в урав¬
нении (4.114) или (4.119) имеют противоположные знаки [см.
выражения (4.115) и (4.116)], так что при некоторых условиях
значение производной dVi/d(b может быть весьма малым. Вто¬
рой сомножитель уравнения (4.113) определяется из уравне¬
ния (4.106):
^ф. = дф -l -dj_ d9i и 121)
dv, dv, ^ dQ, dv, •
Выше приводились различные выражения для производной
д V
Если использовать выражение (4.117), то уравнение
(4.113) примет вид:
dyi -(дУЛ . (дУ,\ d$_dO_ ,
dv 1 \dv, ар )Vi dO dv, •
Если выключение двигательной установки происходит в пери¬
центре, то справедливо выражение
+(ЁХ±\ (4 ,
dvF ~ [ dvp)fi ' ч d° dvp ’
Для оценки чувствительности элементов гелиоцентрической
орбиты к планетоцентрическим ошибкам последние необходимо
связать с гелиоцентрическими горизонтальной и радиальной
составляющими вектора скорости. Можно записать:
dVn dVn dVy
4.9] СВЯЗЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОШИБОК С НАЧАЛЬНЫМИ ОШИБКАМИ 537
Так как l/a = K1cosp, то
-^- = cosp-y,sinp^, (4.125)
где [см. уравнение (4.112)]
dV 1 _ Vi dv i UVjsin p
Vi — U cos p ^p Vi — C/cosp*
(4.126)
Разрешая уравнение (4.20) относительно cosp и заменяя v0
через v2l — 2Klrl, получаем:
dv
vi о , I cos P 1 \ n dVj /y| 1<V74
= W7 cosecP + \ТГ ~~u)cosec^~dvT• (4Л27)
Очевидно, что в более общем случае dVJdVi является функ¬
цией dVJdvx и dVi/dfi. Другими словами, при заданных условиях
выхода и заданной ошибке сначала должна быть вычислена
производная dV\/dvu а затем d$/dvi и dVJdfi, после чего опре¬
деляется dVJdV\. Следует отметить, что в идеальном случае,
когда р = 0 (касательный переход с круговой гелиоцентрической
орбиты), первый член уравнения (4.127) обращается в бесконеч¬
ность и поэтому dUi/d^ = 0. Подобным же образом dVJd$ = 0,
и поскольку sinp = 0, то dVJdVi = I. Смысл второго сомножи¬
теля (dVi/dO) правой части уравнения (4.124) был раскрыт
выше.
Производная от радиальной скорости по углу наклона асимп¬
тоты определяется выражением
dVr _ dVr dVj
dO " dVi dO ’ (4.128)
где
^ = sinp + y1cosp^r, (4.129)
причем для определения d$/dVi используются уравнения (4.126)
и (4.127). Соотношение, связывающее составляющие плането¬
центрической скорости с составляющими гелиоцентрической ско¬
рости, имеет вид:
dVa _ dVa dO
dva d<& dva
(4.130)
Второй сомножитель правой части этого выражения опреде¬
ляется из уравнения (4.101). Подобным же образом
= (4.131)
avr d<b dvT 9 4
538 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
где йФ/dVr находится из уравнения (4.100). Далее получаем:
Установим связь записанных выше соотношений с зависимо¬
стями, полученными для случая движения космического аппа¬
рата в поле центральной силы (см. § 3.12). Орбитальные эле¬
менты, относящиеся к гелиоцентрической орбите будем обо¬
значать индексом «о».
Пусть необходимо определить влияние ошибки в радиальной
скорости vr на длину большой полуоси aQ гелиоцентрической
переходной орбиты. Для этой цели используем уравнение
(3.284а), которое для гелиоцентрической орбиты записывается
в виде
Умножив это равенство на ■^L , получим:
dVx ^ dV 1 dO
dva dO dva *
dVx __ dVi dO
(4.132)
(4.133)
dvr dO dvr
4.10. Связь планетоцентрических ошибок
с элементами гелиоцентрической орбиты
da0 dVf ddQ
dVr dvr dvr
И
(4.134)
Таким же способом получим:
4.11] ВЛИЯНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧНСКИХ ОШИБОК 639
Влияние ошибки в азимутальной скорости на элементы
гелиоцентрической переходной орбиты определяется выра¬
жениями:
2 at
dVn
deQ
dva
dvn
Co(bQ-Kl) dV
^oaoeo^i
--*V1-
»
(4.138)
а
dv 9
а
(4.139)
„ dV„
>2 . а
® dva ’
(4.140)
dVn
slnT1o dv-
(4.141)
^Л© 2 + £q COS T|q
Наконец, если направление вектора скорости является точ¬
ным, а ошибка содержится лишь в величине скорости, то с
помощью уравнений (3.292а), (3.297Ь) и (4.122) или (4.123)
можно получить следующие соотношения:
2
dar.
daQ dV j
2V©
dVx
dvt
dV{ dv
*©
dvt
det
dv
dv{
dRp
dv.
. - vA Vc) dv 1 V Ke < 1 j’
dv.
2VlaQRA ^ 2aG
_1_
Vc
V,\*l
V\ \ V
2a
Lai),
r(¥] №*')>
(4.142)
(4.143)
(4.144)
(4.145)
где Vc — круговая скорость на удалении Rv
4.11. Влияние произвольных планетоцентрических
трансверсальных и радиальных ошибок на гелиоцентрическое
удаление тела, движущегося
по гелиоцентрической переходной орбите
Задача состоит в том, чтобы оценить влияние геоцентриче¬
ской гиперболической скорости v на гелиоцентрическое расстоя¬
ние Ra (если V]/VC>1) или RP (если Vi/Vc<\)> или в более
общем случае — на любое другое расстояние R для заданного
значения истинной аномалии г]0 гелиоцентрической переходной
орбиты.
Гиперболическая скорость выхода определяется выражением
(4.19). В последующем изложении примем, что орбита гелио¬
центрического выхода (или возврата) является касательной, то
540 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
есть р = 0 [см. уравнение (4.18)]. Однако следует учитывать, что
полученные уравнения будут справедливы также и для некаса¬
тельного выхода (р=£0), если заменить U на U;=U cos р.
В уравнение (4.19) выражение 2K/ri представляет собой
местную параболическую скорость vp. Будем предполагать, что
значение местной скорости vv известно точно. На самом деле
это не так, поскольку для Земли величина К известна не точно.
Ошибка в определении значения vp повлечет за собой ошибку
в гиперболической скорости выхода vh. Поэтому мы будем счи¬
тать величину vp точно известной, а все ошибки технического
и теоретического порядка отнесем непосредственно к vh.
Пусть при заданной гиперболической скорости v\ получено
точное значение приращения гелиоцентрической скорости
дyf = v[ — U. Тогда в единицах U получим следующее соотно¬
шение:
В действительности же ошибка в скорости а" в момент выклю¬
чения двигательной установки приведет к тому, что приращение
скорости будет содержать ошибку
где v[' — скорость в момент выключения двигателя, содержащая
ошибку.
Разделив эти уравнения друг на друга, исключив U из пра¬
вой части, разделив числитель и знаменатель правой части на
местную круговую скорость в точке /ч выключения двигательной
установки и заменив Д1/ на 1Л — U, получим:
(4.146)
(4.147)
(4.148)
В упрощенном случае U = VC, то есть в случае круговой ор¬
биты планеты и соосной касательной гелиоцентрической пере¬
ходной орбиты Vi является либо скоростью в перигелии
4.11] • ВЛИЯНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКИХ ОШИБОК 541
либо скоростью в афелии
'л-у
Ya. = y-i/ 2RP
А V *я + *л’
где индекс «*» обозначает скорость (гелиоцентрическую или пла¬
нетоцентрическую), выраженную в единицах местной гелио¬
центрической круговой скорости. Таким образом, уравнения
(4.146) и (4.147) можно записать в виде
* * 1| / #2 *2
Vi = Va,p=\+V v{ -vp. (4.150)
Уравнение (4.148) позволяет оценить влияние ошибки в ско¬
рости Vi на ошибку в скорости V\. Для того чтобы установить
связь между ошибкой в скорости и соответствующей ошибкой
в скорости в любой точке гелиоцентрической орбиты, удаленной
на расстояние /?, необходимо записать уравнение (3.300) для
гелиоцентрической орбиты:
1+x(F)cost,0 * (4Л51>
где %(V) определяется выражением (3.301), в котором v необ¬
ходимо заменить на V. Трансверсальная составляющая скорости
определяется из выражения Vl = V2 — V2. Для точного соосного
перехода
Vr = 0 и Va=Vi = VA (или VP).
Последующее исследование сильно упрощается, если в урав¬
нении (4.151) пренебречь членом с Vr, входящим в функцию
х(У), определяемую выражением (3.301). Правомочность такого
допущения связана с тем, что гелиоцентрическая скорость
весьма велика и ошибка в радиальной составляющей скорости
составляет малую часть касательной составляющей скорости
(порядка 10_4-т-3 • 10"4). Из анализа, проведенного в главе 3,
следует, что влияние этой ошибки пренебрежимо мало по срав¬
нению с влиянием ошибки в трансверсальной составляющей
скорости.
Поэтому в первом приближении можно положить Vr=0. Это
позволяет заменить %(!/) выражением 1 — 1/*. Уравнение
(4.151) при этом запишется в виде
R V*2
1 (4.152)
R{ 1 + 0 ~ cos 4©
В силу выражения (4.150) уравнение (4.152) молено записать
36 К. Эрике, т. И
542 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
в виде
*2 *2
R 1 + v* — vn
я г / 'Л. »2\21 * (4.153)
*1 l+costioll-O+o, -Op) J
Значение R, соответствующее истинной аномалии ti0, является
функцией двух различных гиперболических скоростей выхода
*' *"
и и, :
R" _ 1 + V {?* У - рр 1 + cos Hq {1 - [l + V (у*')2 - v*p\ }
R ._Х + У(?\ )2-v*p- 1 + c°s-n©{l — [i -f- (f] )2-t>p] j
Поскольку
У (4ЛБ5)
то уравнение (4.154) можно переписать в виде
R" _( 1 + С \2 1 + cos Т)е [l - (l + С)2]
1 + u^j 1 + cos Г|0 [ 1 — (l + tC)2] ’
(4.154)
(4.156)
где в случае использования гелиоцентрической системы коор¬
динат, если р = 0 и U = VC,
-1. (4.157)
Здесь RPiA означает RP либо RA в зависимости от того,
как расположена орбита планеты-цели: внутри или вне орбиты
планеты, с которой происходит старт. Если Р=т^0, то точное
значение скорости определяется из выражения
V!-24i-T*rbd (4-158)
ИЛИ
<4Л59>
и поэтому [см. также уравнение (4.20)], если Р^=0 и U = V,
С*
о*! = з— 2R
-2/2-«fffecosp' (4лбо)
Уравнение (4.156) справедливо для любых значений разно¬
сти v*" — v*. Для бесконечно малого значения этой разности
коэффициент ошибки определяется производной d{R!R^Jdv\
4.11] ВЛИЯНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКИХ ОШИБОК 543
аналогично случаю, когда движение происходит в центральном
гравитационном поле.
Дифференцирование уравнения (4.153) дает:
d(R/^l) о . 1+С {1 + COS Т,0 [1 - (1 + vlf]} + (1 + О cos п0
А* ‘ (l + cos т)0 [l — (l + o^)2]}2
(4.161)
В случае, когда необходимо оценить только влияние смещения
линии апсид, cos г]0 = 1 и выражение (4.161) приводится к виду
. / ^apsis \
А «1 )
1 + Voo 4о,
. * * /„ * \212 * It)"/
dv 1 ^со [2-(l + 0oo)2]2
Если р = 0 и U = VCi то уравнение (4.162) записывается в еще
более простом виде. В этом случае Уоо=1Л— Vc, V\ = VxjVcy
так что
. / ^apsis \
V *1 )
F, 4vl
(4.163)
где V* = V%Rp, a/Ra + Rp- При малых (по сравнению с Vc)
значениях ошибки Д14 (что всегда имеет место на практике)
величина ДR при данной истинной аномалии г)0 определяется
из уравнения (4.161). Полагая R[ = R®, где R® — среднее значе¬
ние расстояния от Земли до Солнца, получаем:
'(£)
Да
(ARK—~srR®v- <4Л64>
1 С
Выражение для угла поворота линии апсид находится из урав¬
нения (4.162):
rf/^apsis_)
\ ) До.
A^apsls = -V ? (4.165)
dvx Vc
В частности, для касательных коапсидальных гелиоцентри¬
ческих орбит при Ди=1 фут/сек, /?ф=80,8184 • 10б морских миль
и 1/с = 97 770 фут/сек можно определить смещение Д/?аpsis точки
апсид в функции ошибки в скорости гиперболического выхода
1 фут/сек в следующем виде:
^ / ^aosis \
\ Rtb I Г морские мили Л
A^?aPsis = 826,6179 ® 7 — • (4.166)
L фут/сек J
36*
544 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
Зависимость (4.163) показана графически на рис. 4.25. Изо¬
браженная кривая соответствует кривой на рис. 3.64, построен¬
ной для поля центральной силы. При значении V\ = l коэффи¬
циент ошибки обращается в бесконечность. Этот факт согла¬
суется с результатами анализа ошибок для центрального поля.
Расстояние от Солнца до апоцентра Rapsis (а-е)
Рис. 4.25. Зависимость ошибок от расстояния до апоцентра
планеты (переход «Земля — другая планета»).
в соответствии с которым при параболическом выходе коэффи¬
циент ошибки обращался в бесконечность. В случае, когда
V*=\ и Vi = 2K/ru результаты анализа ошибок в центральном
и бицентральном полях совпадают. Это означает, что при малых
отклонениях орбиты космического корабля от орбиты Земли
коэффициент ошибки имеет очень большую величину. Этот коэф¬
фициент быстро уменьшается при изменении величины /?apsis в
сторону удаления или приближения к Солнцу.
Интересно отметить, что две ближайшие к Земле планеты
лежат вблизи точек минимума, за которыми кривая снова идет
вверх (см. рис. 4.25). Правая ветвь кривой снова достигает
бесконечности для V* = ]/2, в то время как левая ветвь дости¬
4.12J
ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ ИЗ АНАЛИЗА ОШИБОК
545
гает максимума (на рисунке не показано) и в конечном счете
падает^ до нуля, поскольку из уравнения (4.163) следует, что
для 1^1=0 производная обращается в нуль. Этот результат
справедлив только для случая (3 = 0. Рис. 4.25 верен также
только в случае, когда (3 = 0.
4.12. Обсуждение и выводы из анализа ошибок
переходного движения в бицентральных полях
В предыдущих параграфах этой главы и в § 3.12 были полу¬
чены соотношения для определения влияния ошибок в векторе
скорости на параметры орбиты космического корабля. Были рас¬
смотрены случаи движения в центральном поле и случай гипер¬
болического выхода, при котором космический корабль перехо¬
дит с орбиты спутника (планетоцеитрическое движение) на ор¬
биту кометы или планетоида (гелиоцентрическое движение).
При движении в центральном поле влияние радиальных оши¬
бок уменьшается по мере приближения точки, в которой имеет
место ошибка, к одной из точек апсид (sinr]-*0) и достигает
максимума в конечных точках фокального параметра. Азиму¬
тальные ошибки обнаруживают противоположную тенденцию.
Исключением для обоих случаев является влияние ошибки на
положение перицентра. В точках апсид наибольшее влияние
на положение перицентра оказывают радиальные погрешности
и минимальное влияние — азимутальные погрешности. Радиаль¬
ная ошибка в скорости оказывает наибольшее влияние на апси-
дальное расстояние в том случае, если точная скорость является
круговой (то есть аг = 0). Влияние этой ошибки быстро умень¬
шается с ростом разности между действительной и круговой
скоростями.
Азимутальная ошибка возрастает с увеличением скорости,
причем она обращается в нуль при v = 0 и — в бесконечность при
v = vc]/2.
Анализ ошибок в случаях, когда космический полет происхо¬
дит сначала в одном, а затем в другом центральном поле, весьма
сложен по той причине, что на ошибки в параметрах движения
во втором центральном поле значительное влияние оказывают
ошибки, появившиеся при выходе из первого центрального поля.
Наиболее существенным в анализе ошибок движения в бицент-
ральном поле является следующее положение: даже при отсут¬
ствии ошибки в направлении планетоцентрической скорости и
при наличии в момент выключения двигателя только ошибки
в величине скорости возникает ошибка в направлении по отно¬
шению к гелиоцентрической орбите. Коэффициент гелио¬
центрической радиальной ошибки, обусловленной погрешностью
546
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
в планетоцентрической скорости, имеет весьма малую величину.
Влияние планетоцентрических ошибок на элементы гелиоцентри¬
ческой орбиты зависит от истинной аномалии как на плането¬
центрической, так и на гелиоцентрической траектории. Коэффи¬
циенты ошибок для гелиоцентрического расстояния, особенно для
расстояния до перигелия и афелия, имеют весьма большое зна¬
чение. Из рис. 4.25 видно, что коэффициент ошибки велик вблизи
Земли и при параболическом выходе из солнечной системы.
Таблица 4.2
Геоцентрический и гелиоцентрический коэффициенты ошибок (смещение
линии апсид при гомановском переходе)
1
2
3
4
5
6
Орбита
старта
Орбита
планеты цели
d ('■apsis/o)
div Jvc)
rapsis/ui>
морск. мили
фут/сек.
d ^apsis^O
*
dvj
^apsis^i*
морск. мили
фут/сек.
Орбита
спутника
(высота
556 км)
Орбита
Марса
—
—
26,43
21 847
Орбита
спутника
(высота
556 км)
Орбита
Венеры
27,98
23 129
Орбита
Земли
Орбита
Марса
7
5700
—
—
Орбита
Земли
Орбита
Венеры
2,75
2300
—
—
Примечания:
столбец 1 определяет расстояние от апоцентра орбиты старта до
центрального тела,
столбец 2 определяет расстояние от апоцентра планеты-цели до цент¬
рального тела,
столбец 3 — коэффициенты ошибки в случае центрального поля,
столбец 4 — смещение апоцентра планеты-цели, обусловленное ошибкой
в трансверсальной скорости в момент отлета (случай центрального поля),
столбец 5 — коэффициенты ошибок в случае бицентрального поля,
столбец 6 — то же, что и столбец 4, но для бицентрального поля.
При осуществлении космических полетов высокие требования
к точности выхода необходимо предъявлять лишь в случаях
встреч с другими планетами. Требования к точности не яв¬
ляются высокими, если полет происходит в пространстве между
4.12] ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ ИЗ АНАЛИЗА ОШИБОК 547
двумя планетами солнечной системы. В связи с этим важной
задачей является определение частных производных от парамет¬
ров планетных орбит. В таблице 4.2 приводятся численные
значения производных, соответствующих расстояниям до Марса
и Венеры. Эти значения получены для случаев центрального и
бицентрального переходных маневров (в первом случае предпо¬
лагается, что Земля не имеет гравитационного поля).
В таблице 4.3 приводятся обобщенные «бицентральные»
ошибки, относящиеся к выходу из гравитационного поля Земли
и последующему движению к другим планетам, орбиты кото¬
рых являются внутренними по отношению к орбите Нептуна.
Из этой таблицы видно, что ошибка в 1 фут/сек в скорости
в момент выключения двигательной установки на высоте 556 км
(300 морских миль) над поверхностью Земли приводит к от¬
клонению траектории от центра Венеры примерно на 42 800 кн
(23 129 морских миль).
Поскольку диаметр Венеры равен примерно 12 400 км
(6700 морских миль), то требуемая точность в определении мо¬
мента выключения двигательной установки, необходимая для по¬
падания в Венеру, составляет 0,088 м/сек (0,29 фут/сек) при рас¬
четной скорости 1^=11018 м/сек (36 126 фут/сек). Для Марса,
поскольку его диаметр меньше, величина Д/?аpsis несколько
меньше и теоретическая погрешность в скорости в момент
выключения двигательной установки не должна превосходить
0,05 м/сек (0,16 фут/сек) [расчетная скорость выхода И 130 м/сек
(36 507 фут/сек)}.
При выполнении практических расчетов необходимо учиты¬
вать притяжение планеты-цели. Кроме того, космический аппа¬
рат, стартующий на другие планеты, обязательно должен иметь
маломощные двигатели, вырабатывающие корректирующие им¬
пульсы после выхода аппарата в окололунное пространство.
Траектория аппарата может быть окончательно скорректирована
при его движении по гелиоцентрической переходной орбите.
Для Венеры и Марса коэффициент ошибки в случае движения
по гелиоцентрической орбите уменьшается до величины соот¬
ветственно 3700 км (2000 морских миль) и И 112 км (6000 мор¬
ских миль). В связи с этим для попадания в Венеру допустимая
ошибка в скорости может составлять величину ±0,45 м/сек
(±1,5 фут/сек) или даже больше, если принять во внимание
притяжение планеты.
При определении приведенных выше величин учитывалось
смещение точек апсид орбит планет в пространстве. Однако при
полетах к космическим телам ошибка в скорости влечет за со¬
бой также и ошибку во времени полета. В результате возникает
дополнительная ошибка во времени переходного движения
548 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
Таблица 4.3
Смещение точки апсид при межпланетном переходе по гомановскому
эллипсу с Земли (без учета влияния гравитационного поля планеты-цели)
1 •
2
3
4
5
Планета-цель
и,
а. е.
A^apsls
1,00 Ус, ®
vh
V 1 •» ——
h Ус,®
dv*h
A^apsls
Avh ’
морск. мили
фут/сек
Меркурий . .
Венера ....
Марс
Юпитер . . .
Сатурн ....
Уран
П р и м е ч а
0,3871
0,7233
1,5237
5,2028
9,5388
19,1820
[ н и я:
0,25291
0,08377
0,09886
0,29520
0,34514
0,3794
0,4401
0,3695
0,3734
0,4656
0,4988
0,5226
47,12
27,98
26,43
78,60
214,04
802,68
38 950
23 129
21 847
64 968
176 925
663 512
столбец 1 — большая полуось орбиты планеты,
столбец 2 — гиперболический избыток в единицах гелиоцентрической кру¬
говой скорости при удалении на 1 а. е.,
столбец 3 — гиперболическая скорость выхода при выключении двига¬
тельной установки вблизи Земли в единицах гелиоцентрической скорости
движения по круговой орбите радиуса 1 а. е.,
столбец 4 — коэффициент ошибки [см. уравнение (4.162)] для соответ¬
ствующей планеты-цели,
столбец 5 — коэффициент ошибки.
Значения констант:
круговая скорость при среднем удалении Земли от Солнца Vс ф =
= 29 820 м/сек (97 770 фут/сек),
среднее удаление Земли от Солнца равно 1 а. е. = 149,6757 • 106 км
(80,8184- 106 морских миль),
гравитационный параметр Солнца К0 = 1,324 948 • 10й кмъ/сек2,
гравитационный параметр Земли /(ф = 3,9858 • 105 кмъ/сек2,
высота полета космического аппарата в момент выхода у = 556 км
(300 морских миль),
соответствующая параболическая скорость vp= 10738 м/сек (35 208 фут/сек).
(«временная ошибка»), обусловленная движением планеты-
цели. К счастью, «временная ошибка» и ошибка положения дей¬
ствуют в противоположные стороны, так что для переходных
углов <1180° расстояние до планеты (величина промаха) мень¬
ше, чем смещение точки пересечения переходной орбиты с орби¬
той планеты. Это объясняется тем, что положительная ошибка
в скорости приводит к смещению точки пересечения орбит в на¬
правлении против хода часовой стрелки. Поскольку при этом
уменьшается время достижения космическим кораблем орбиты
планеты, то к этому моменту планета переместится также про¬
4.12]
ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ ИЗ АНАЛИЗА ОШИБОК
549
тив хода часовой стрелки. Такой же результат будет иметь ме¬
сто при отрицательной ошибке в скорости. В обоих этих случаях
предполагается, что переход осуществляется с внутренней пла¬
неты на внешнюю. Однако такая же тенденция наблюдается и
при переходе с внешней планеты на внутреннюю.
Полученные выше уравнения позволяют рассчитать влияние
ошибок на параметры гелиоцентрической переходной орбиты.
Оценка смещения гелиоцентрического апоцентра при ошибке
в скорости 1 м/сек ясно показывает, что чисто «баллистические»
полеты к другим планетам предъявляют высокие требования
к точности выключения двигательной установки, лежащей в
пределах точности определения астрономических констант.
В связи с этим космический аппарат должен иметь бортовую
навигационную систему, связанную с двигателем малой тяги,
что обеспечит возможность коррекции орбиты при подлете ап¬
парата к планете-цели.
Численный пример. Рассмотрим случай полета космического
аппарата к Марсу (Д/^160 сут\ касательный выход) при сле¬
дующих начальных условиях:
2АГт =ир= 11 102 м/сек,
Отсюда
= 4820 м/сек.
vx = 12 170 м/сек = vP>
tg Ф = = 0,954, Ф = 43°, 65,
ЛФ 1гр
v2
\
ЛФ — ' ^WrpJ. _ 28,90 • 10 5 — 59" на 1 м/сек,
Да„ v sec2 Ф ’ м/сек
Р СО
Afl V
= — = 2,5.
Ли п V
Р ии
Пусть планетоцентрическая ошибка в начальной скорости равна
ДиР=1,2 м/сек. Тогда
ДФ = 3,52 • КГ4 рад = 1'12", Диот = 3 м/сек.
Таким образом, ошибка в гелиоцентрической скорости выхода
равна 3 м/сек. Ошибка в направлении вектора скорости равна:
ДУг = иооsin (ДФ) = 1,67 м/сек;
поскольку гелиоцентрическая скорость выхода равна
Vi = 29 800 м/сек + 4820 м/сек = 34 620 м/сек, то -~- = ДР =
550 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
= 4,076 • Ю~5 рад, а при ДиР = 1,2 м/сек величина Др = 3,343 Х
X Ю"5 ^ек > то есть ошибка Др является пренебрежимо малой.
космического аппарате
с планетой-аель/о
Ъг Ъг'
Величина
'отклонения
Планета-
цель
Космический
аппарат
Точная
чрбит
Возмущенная
орбита
Рис. 4.26. Определение ошибок смещения.
При точных начальных условиях выхода элементы гелио¬
центрической переходной орбиты имеют следующие значения
(индекс «2» соответствует точке пересечения с орбитой Марса):
1^! = 34 595 м/сек, 1/^ = 1/0 = 29 780 м/сек,
01 = 0,
т]2 = 123°,
е© = 0,34959,
a© = 2,26-10n м = 1,5375 а. е.,
#2 = 2,42- 1011 м = 1,646 а. е.
Записав уравнение (3.312) с соответствующими индексами:
dVs e2QV, sin ц2
ir0+4)-«ohr
r2 ' w "\r2
получим:
-4?r- ~ = — 32 • 10-5 -py-- « — 64" на 1 MjceK.
dV i AF, м/сек 1
Используя эту величину, можно рассчитать ошибку, отнесенную
к ошибке 1 м/сек в гелиоцентрической скорости выхода
(рис. 4.26):
Дг^ = #2 Дт)М,
4.13]
АНАЛИЗ ОШИБОК ПРИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ВСТРЕЧЕ
551
П<эскольку
1" = 760 км/а.е.,
а /?2= 1,646 а. е., получим:
-82 080
AFI м/сек
Производная от времени перехода по скорости V\ может
быть определена из уравнения (3.319с), поскольку точка выхода
расположена в перигелии переходного эллипса:
dtr
dtP2 , f ^о_
dvt У к0
да.
2 (^2 ео sin ^2) dV
+
дЕп
да.
"f* CLq (1 £© COS Ey/)
= 2,757 • 107
deQ 1
(2q sin E2 J »
2V,4
der
2
№
Из уравнения
^2
dVt
dVY Vi
(3.318d) получим:
= 7,8021
км/сек
м/сек
cos Eo
deo
~dV\
R0 daG
dVt
eQ sin E2
= - 3,986 • 10
,-4
м/сек
Таким образом,
— 41
м/сек
0,683
м/сек
Поскольку Марс перемещается со скоростью около
88 800 км/час, то ошибка в скорости 1 м/сек, которой соответ¬
ствует ошибка во времени подлета 37 мин, приведет к тому, что
точка пересечения траектории космического аппарата с орбитой
Марса будет располагаться на удалении 25 000 км— 18 500 км =
= 6500 км от Марса.
Результаты, приведенные в примере, свидетельствуют о вы¬
сокой чувствительности межпланетных перелетов к ошибкам
в начальных условиях старта.
4.13. Анализ ошибок при гиперболической встрече
В данном параграфе рассматриваются ошибки в парамет¬
рах движения при гиперболической встрече. Эта задача отли¬
чается от рассмотренных выше задач тем, что в данном случае
невозможно получить конечное выражение, связывающее
552 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
начальные ошибки с конечными. Влияние начальных ошибок на
параметры траектории встречи может быть оценено лишь после
вычисления значений промежуточных параметров, определяю¬
щих гиперболическое движение космического аппарата относи¬
тельно возмущающего тела.
Чтобы проиллюстрировать это положение и определить под¬
ход к анализу ошибок, выпишем уравнения § 4.5 в необходимой
последовательности и соответствующей форме. Для определен¬
ности рассмотрим случай использования Луньгдля осуществле¬
ния маневра выхода космического аппарата, запущенного с
Земли, либо для его захвата при возвращении на Землю. Пусть
Км и К—гравитационные параметры Земли и Луны, и — орби¬
тальная скорость Луны, v — скорость космического аппарата по
отношению к Земле, г и р — удаление космического аппарата
соответственно от Земли и Луны и Woo — гиперболический избы¬
ток скорости по отношению к Луне, то есть скорость движения
космического аппарата относительно Луны. Для анализа гипер¬
болической встречи должны быть известны четыре переменных.
Такими переменными являются: скорость и, скорость подлета viy
угол рь под которым орбита Луны пересекается с траекторией
аппарата, и кратчайшее расстояние до Луны рр. Тогда
wlo = и2 + v] — 2uv{ cos р,
(4.167)
(4.168)
С, = arcsin
(если t^cos^Cu, то £'= 180° —£i),
(4.169)
(4.170)
(4.171)
(4.172)
Ф = arcsec е,
Д£ = 2 arccosec е,
g2 = g, — Д£ = arcsin sin Pi j — 2 arccosec e, (4.173)
v2 = Yu2 +w200 + 2гшто cos ^2»
p2 = arcsin sin £2) •
(4.174)
(4.175)
Орбитальная энергия перед встречей по отношению к Земле
равна:
*1-01—?*. <4Л76>
1 1 га
4.13]
АНАЛИЗ ОШИБОК ПРИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ВСТРЕЧЕ
553
где г £ — расстояние от Земли до Луны. После встречи энергия
равна:
где Voo — гиперболический избыток скорости по отношению к
Земле.
Необходимость расчета промежуточных параметров гипер¬
болы вытекает из процедуры расчета ошибок.
Предположим, что известна орбитальная скорость и, а в па¬
раметрах vu Pi или рр или в произвольной их комбинации со¬
держатся ошибки. Вывести конечные выражения для расчета
ошибок во всех трех параметрах не представляется возможным.
Эту задачу можно решить только методом численного интегри¬
рования. Следовательно, ошибки в параметрах vu Pi или рР
следует рассматривать отдельно с целью получения оценки их
относительного влияния.
Для этой цели необходимо получить выражения для ряда
основных частных производных, которые составят основу ана¬
лиза. В полученных ниже выражениях эти частные производные
подчеркнуты.
1. Ошибки в Vi или Pi.
(4.177)
(4.178)
дШоо V\ — и COS Pi
dvi WQо
(4.179)
(4.180)
да
2 К
(4.181)
да __ да dw^
dvi ддооо dvi *
да _ да dwQQ
(4.182)
(4.183)
ар, dwm ар, ’
1—-^5“ (о, —и cos Р,)
(4.184)
554
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
де
да
де
= 1 -
Р р
а*
де да
dwr
да dp!
dv{ да dw
де де
Ж
дФ 1
де е Vе2
дФ _ дФ де
dvi де dvi
дФ _ dO де
dPi де dp!
dA£ _
'со dvi 9
да dw^
1
dO де да dw^
де да dw^ dt>i
dO де да dw^
де да
юоо
dp! >
де е Ye2 — 1 *
dA£ _ dAg де
dvi де dv\ 9
dA£ dA£ де
dpj де dPi ’
sin p!
Л Vj — U COS РЛ J
dvi v^-^sm2p, ( w2x
( a sin2 p, \ de
I cos Pi T111-)
«g2 I / ap,
«Р, jA^-t^sm2?, eVe2-l’
de
dvi
>/e2-
du0
w^u sin £2
Jb_ Kq
(где Q = u2 + o2 + 2w2cauvi cos £2 — 2uvl cos Pj),
dv2 _ dv2 dg2
dv{ d£2 dv{ *
dv2 _ dv2 dg2
dp2
dPi d£2 dPi ’
t>2wooCOS ^2+ 7rWtS'm\
°2
«Рг _ «Р2. dj2
dv, d£2 dv, ’
«Рг «Рг «?г
«Pi a?2 ap, »
«Рг _ «Рг «£г
dv2 d£2 dv2
[ГЛ. 4
(4.186)
(4.187)
(4.188)
(4.189)
(4.190)
(4.191)
(4.192)
(4.193)
(4.194)
(4.195)
(4.196)
(4.197)
(4.198)
(4.199)
(4.200)
(4.201)
(4.202)
(4.203)
(4.204)
4.13] АНАЛИЗ ОШИБОК ПРИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ВСТРЕЧЕ 655
Очевидно, что влияние ошибок в Vi или р4 на значения па¬
раметров v2 или р2 может быть оценено из выражений
(4.195) — (4.204) без использования выражений (4.179) —
(4.194).
Влияние ошибки в Vi или pi на значение орбитальной энер¬
гии h2 определяется из выражений:
дК ъкм
-^ = 2о2 -А, (4.205)
dv2
dh2 = dh2 dv2 _ dh2 dv2 dg2 /д
dv\ dv2 dv\ dv2 d£2 dv\ 9 \ • )
dh2 _ dh2 dv2 _ dh2 dv2 dt,2
aPi ~ dv2 aPi dv2 d£2 ^Pi
(4.207)
Если йг>0, то влияние ошибки на гиперболический избыток
скорости v<x> можно оценить с помощью выражений:
^ = у ■■■—£=•, (4.208)
Vh2
<4-209>
Ж-ЪЖ' (4-210)
2. Ошибка в рр.
Предположим, что значения и р* не содержат ошибок, а
значение рР изменилось вследствие ошибки в определении мо¬
мента приближения Луны к Земле на минимальное расстояние.
В данном случае соотношения до (4.169) включительно яв¬
ляются справедливыми. При этом изменится величина эксцент¬
риситета:
56 Т. (4-211)
дрр а ’
дФ дФ де
дрр де дрр
(4.212)
где дФ/де определяется уравнением (4.189). Далее, используя
556
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
выражения
получим:
ё А£ = д А£ де
дрр де дрр
д$2
(4.213)
= Ci — 1. (4.214)
д А£
дЪ2 _ д12 д Д£ _ дЪ2 д Д£ де
дрр д Д£ дрр д Д£ де дрр ’
dv2 _ dv2 dg2 __ ду2 д£2 д А£ де
дрр д£2 дрр д12 дА£ де дрр
д&2 = д$2 dt>2
дРр dt>2 дрр ’
dh2 dh2 ду2
дрр ду2 дрр
ди^ __ ди^ dv2
дрр ди2 дрр
(4.215)
(4.216)
(4.217)
(4.218)
(4.219)
В рассматриваемом случае в отличие от предыдущих невоз¬
можно получить единое конечное выражение для ошибок.
Поэтому в следующем параграфе мы рассмотрим численный
пример.
4.14. Гиперболическая встреча и оценка влияния ошибок
(численный пример)
На рис. 4.27 изображены зависимости эксцентриситета е®
геоцентрической гиперболы выхода, а также величин пУоо, Д£
и pi от абсолютной скорости выхода vst по отношению к Земле
(точка выхода расположена на высоте 556 км над поверхностью
Земли). Кривая Д£ показывает, что изменение орбитальной
энергии, обусловленное влиянием гравитационного поля Луны,
прямо пропорционально отклонению Д£ вектора скорости w
Рассмотрим теперь задачу определения точных условий1),
при которых в максимальной степени используется влияние гра¬
витационного поля Луны для разгона космического аппарата,
движущегося по оптимальному переходному эллипсу. Для полу¬
чения такого результата гиперболический избыток скорости дол¬
жен в 1,75 раза превышать параболическую скорость в точке,
!) В рамках следующих упрощающих предположений: орбиты Земли,
Луны и Венеры — круговые, а траектория движения космического аппарата
по отношению к Земле и Луне является точной гиперболой.
4.14] ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА И ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ОШИБОК 557
удаленной от Земли на радиус лунной орбиты, то есть ско¬
рость1) Ооо = 2452 м/сек (8110 фут/сек). Из уравнения (4.33)
(градусы)
70
е,, ВО
г,4
Woo
(№рск.мили\
' сек /
А ^
4,0
89
88
87
86
85
84
83
82
81
30
2,0
50
40
30
20
10
Ок
5,7 6,0
35
А®
Г—
/
/ у
/ У®°°
/ У
/ У
п /
у— А
—77
s' /У
2 v к
шальная скорость отлета
? орбиты для совершения
7ерелета Земля-другая
планета
• при отсутствии Муны
ппи наличии Mi/нь/
-
А
\ >/ /
/
\V //
/
\v/ :
XV (пролет с касанием)
иУ
I
-I L
7,0 8,0
vst (морские мили/сек)
-J » 1—t 1 1 ♦■ - * «
&
(градусы)
120
118
11В
114
112
110
108
106
104
102
100
98
96
94
40 45
vst (тыс. фут/сем)
J
50
Рис. 4.27. Использование гиперболической встречи с Луной,
применительно к нашей задаче геоцентрическая скорость после
О В рассматриваемом случае скорости и расстояния относительно Земли
обозначаются малыми буквами, а относительно Солнца — заглавными бук¬
вами. Солнце является ^ центральным телом, геоцентрическая гипербола —
возмущенной траекторией первого порядка, а лунная гипербола — возмущен¬
ной траекторией второго порядка.
37 К. Эрике, т. Ц
558 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
встречи определяется выражением
где грасстояние от Луны до Земли. К сожалению, направле¬
ние этого вектора скорости, определяемое углом |32, не может
быть вычислено из уравнения (4.175), поскольку wоо и £2 еще
неизвестны. Численные значения этих параметров не могут быть
определены, поскольку на начальные условия наложены два
ограничения: старт происходит с Земли, а траектория проходит
на минимальном удалении от Луны (рр = роо> где рр—наимень¬
шее расстояние от космического аппарата до центра Луны, а
роо — радиус Луны). Первое ограничение является очевидным,
а второе вытекает из условия максимального увеличения орби¬
тальной энергии при гиперболической встрече с Луной1).
В связи с этим оказывается необходимым определить £2
и Woo либо методом проб и ошибок, либо графическим способом.
При выполнении расчетов без использования специальных вы¬
числительных средств графический метод является единствен¬
но возможным практическим методом. Достижимая точность
интерполяции при этом удовлетворяет требованиям, предъяв¬
ляемым к точности подобных расчетов.
На рис. 4.27 показана типичная кривая графической интер¬
поляции. Из рисунка видно, что в случае, если траектория ка¬
сается поверхности Луны, требуемый геоцентрический эксцен¬
триситет гиперболы для выхода на переходную орбиту «Земля —
Венера» уменьшается с 1,1108 до 1,055. Обозначим соответствую¬
щие две точки на кривой (рис. 4.27) крестом и кружком. Из
графика видно, что величина v8t уменьшилась с 11033 м/сек
[36 176 фут/сек (5,95 морской мили/сек)] до 10 867 м/сек
[35 629 фут/сек (5,86 морской мала/сек)]. Проведя вертикальную
линию через последнюю точку на абсциссе, видим, что вели¬
чина Woo уменьшилась до 2,44 км/сек (1,32 морской мили/сек).
В том же случае, когда гравитационное поле Луны не учиты¬
вается, имеем ^оо = 3,015 км/сек (1,628 морской мили/сек). По¬
добным образом можно определить: Pi = 86°, £i = 109° и Д£=38°,
откуда £2 = 71°. Далее могут быть определены значения и всех
других параметров.
!) Это положение остается справедливым также и для случая возврата
с Венеры на Землю, поскольку в этом случае траектория космического аппа¬
рата должна быть изменена таким образом, чтобы его гиперболическая ско¬
рость при пролете около Земли была минимальной. Таким образом, условия
возврата аналогичны рассмотренным выше, с той лишь разницей, что дви¬
жение при возврате происходит в обратном порядке.
(4.220)
4.14] ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА И ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ОШИБОК 559
Таким образом, будем иметь:
^ = 2452 м/сек (8110 фут/сек),
£>2 = 2852 м/сек (9350 фут/сек),
wOQ = 2446 м/сек (8020 фут/сек),
£i = 109°,
Д£ = 38°,
£2 = 71°,
Р2 = 12°,284,
в = 3,07,
Ф~71°,
Рр«р00= 1852 км (1000 морских миль) —по определению,
а = 895 км (483 морских мили),
Pi = 86°,
£>j = 2300 м/сек (7540 фут/сек).
В результате проведенных расчетов определены как началь¬
ные условия выхода, так и положение точки пересечения траек¬
тории космического корабля с орбитой. Поскольку скорость Voo
должна составлять величину 2452 м/сек (8110 фут/сек) и иметь
направление, строго противоположное направлению движения
Земли, то асимптоты гиперболы должны быть параллельны ка¬
сательной к орбите Земли в точке выхода. Из этого вытекает,
что ось «Земля — Луна» должна составлять с осью «Земля —
Солнце» угол Ф^7Г (предполагается, что Земля движется по
круговой орбите). На рис. 4.28 приведены для сравнения схемы
полетов космического аппарата к Венере с использованием и
без использования гравитационного поля Луны.
Приведенные выше значения не являются абсолютно точ¬
ными. Однако с их помощью вполне можно оценивать влияние
ошибок. Считая, что скорость движения Луны и =1006 м/сек,
оценим влияние единичной ошибки в скорости (Д£ц=1 м/сек)
согласно уравнению (4.179):
А V\ — и cos 6 . ~ ~,
Д^оо = — -Aaj«0,91 м/сек
^оо
или
Из уравнения (4.181)
2 к
Да = —^ — 197 м,
87*
560
ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. 4
где ДйУоо = 0,27 м/сек, так что
да 197
= — 724 сек.
dw оо 0,27
Другими словами, ошибка в длине большой полуоси равна
Орбита Зелгли
Рис. 4.28. Схема выхода космического аппарата на пе¬
реходную орбиту «Земля — Венера» с использованием
и без использования гравитационного поля Луны.
а) Выход при отсутствии Луны; б) выход с использованием гра¬
витационного поля Луны.
724 ж=0,724 км при ошибке 1 м/сек в скорости w^. Таким обра¬
зом, из уравнения (4.182) получим:
да
dvi
то есть ошибка 1 м/сек в скорости Vi приводит к ошибке 659 м
в длине большой полуоси. Из уравнения (4.184) находим:
= — 0,91 • 724 = — 659 сек,
dvt
= 5,33 • 1(Г5 рад » 11 дуг. сек » 0°,003.
4.14] ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА II ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ОШИБОК 561
Из уравнения (4.186)
— ] __ tQQQ _ q 99*71
да “ 1 4832 и>УУ1э/1-
Поэтому из уравнения (4.187) следует, что
■^- = 0,99571 (- 0,119)0,91 = - 0,1075.
Полученный результат свидетельствует о высокой чувстви¬
тельности параметров траектории к начальным ошибкам. При
изменении скорости Vt на 1 м/сек резко возрастает гиперболич¬
ность траектории, поскольку эксцентриситет изменяется на срав¬
нительно большую величину, равную 0,354. Влияние ошибки на
величину половины угла между асимптотами можно оценить из
уравнений (4.189) и (4.190):
J5-0.II1 (-0,354) «-0,0394-^.
Это довольно большая величина, если учесть, что асимптота
определяет направление траектории выхода из гравитационного
поля. Изменение угла Д£ имеет, согласно уравнениям (4.192)
и (4.193), противоположный знак, хотя по величине это изме¬
нение равно изменению угла Ф, поскольку угол Д£ является
дополнительным к углу Ф. Аналогичным образом частная про-
изводная от £2 по Vi равна по величине производной-^-. Про¬
верка с помощью уравнения (4.195) подтверждает этот факт:
-g- = - 0,0394 рад.
Наконец, из уравнения (4.197) получаем:
4г- = -658.
д£,2
Из уравнения (4.199)
dv
dvi
и из уравнения (4.208)
= 1,12,
= (- 658)(- 0,0394) = 25,7
dvQ
dv2
так что окончательно получаем:
-ТГ55- = 28,8.
dvi 1
Таким образом, при ошибке в скорости подлета 1 м/сек
ошибка в скорости выхода из гравитационного поля Луны
562 переходные маневры в поле двух центральных сил [гл. 4
составит 25,7 м/сек, а ошибка в гиперболическом избытке ско¬
рости составит 28,8 м/сек.
Большую величину коэффициента ошибки в данном случае
можно объяснить, используя результаты, полученные при рас¬
смотрении движения тела в центральном поле.
В § 3.10 было показано, что ошибка в гелиоцентрической
скорости, равная 1 м/сек, приводит к смещению точки перигелия
на 11000 км. Таким образом, если в скорости движения по ги¬
перболе выхода будет допущена ошибка в 1 м/сек, то без
учета влияния гравитационного поля Луны точка перигелия
сместится на указанную выше величину. Однако если космиче¬
ский аппарат использует воздействие гравитационного поля
Луны так, как описано выше, то та же ошибка 1 м/сек в гео¬
центрической скорости, допущенная до момента встречи, приве¬
дет к смещению точки перигелия на 320 000 км.
Подобным же образом, хотя и в меньшей степени, гипербо¬
лическая встреча увеличивает влияние ошибок в направлении
вектора скорости и увеличивает, еще в меньшей степени (хотя
довольно существенно), влияние ошибок в определении момента
выхода, которые приводят к ошибкам в определении минималь¬
ного расстояния рР.
Указанные обстоятельства уменьшают практическую цен¬
ность использования гиперболической встречи с Луной при по¬
летах к Венере или Марсу. Требуемая точность выключения
двигательной установки вблизи Земли лежит за пределами
существующих технических возможностей даже при условии,
что астрономические константы (массы Земли, Луны и расстоя¬
ния от Земли и Венеры до Солнца) были определены с точ¬
ностью, достаточной для вычисления точного теоретического
значения V\. Использование гиперболической встречи с Лу¬
ной для получения энергетического выигрыша является целе¬
сообразным лишь в том случае, когда требования к точности
невысоки (например, при выводе космической станции на более
или менее произвольную гелиоцентрическую межпланетную ор¬
биту) или в случае, когда имеется возможность коррекции
орбиты после выхода из поля притяжения Луны (например, при
использовании автоматической межпланетной станции весьма
совершенной конструкции или пилотируемого космического ко¬
рабля).
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а —большая полуось;
b — малая полуось;
Е —энергия;
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
563
е — эксцентриситет;
h —постоянная интеграла энергии;
К —гравитационный параметр центрального тела;
М —масса центрального тела;
т —масса тела, на которое действует поле тяготения;
п ' — гА1 гР]
р — параметр конического сечения;
R — расстояние от Солнца;
г —расстояние от центра притяжения;
г00 —радиус планеты;
г — расстояние до планеты при оптимальном одноимпульс¬
ном маневре захвата или выхода;
U — гелиоцентрическая скорость движения небесного
тела (главным образом планеты);
и — планетоцентрическая скорость небесного тела (главным
образом Луны); в общем случае — скорость движения
произвольного небесного тела;
V — гелиоцентрическая скорость космического аппарата;
v — планетоцентрическая скорость космического аппарата;
—гиперболический избыток планетоцентрической скоро¬
сти;
W —селеноцентрическая скорость космического аппарата;
wоо — гиперболический избыток селеноцентрической скорости;
у = г — г00 — высота;
Р —угол между векторами скорости подлета по невозму¬
щенной и возмущенной орбитам;
Д£ —угол изменения направления движения космического
аппарата при гиперболической встрече;
аАр = + д^р, 'j общие условия осуществления маневра
= Ди -ЬДа v «гипербола — эллипс — круговая орбита»
РА р л J [см. уравнения (4.12), (4.14)];
р —расстояние от центра Луны;
t — угол между вектором гиперболического избытка
скорости и вектором орбитальной скорости возмуща¬
ющего тела;
0 —угол между направлением движения и местной гори¬
зонтальной плоскостью;
v = v\vc — скорость движения по траектории, выраженная
в единицах местной круговой скорости;
\х — среднее движение;
Ф — половина угла между асимптотами гиперболы;
«ф = vj]/2Klrv — гиперболический избыток скорости, выра¬
женный в единицах параболической скорости в вер¬
шине гиперболы.
564 ПЕРЕХОДНЫЕ МАНЕВРЫ В ПОЛЕ ДВУХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. 4
Индексы (нижние):
А — относится к апоцентру;
а — трансверсальный (азимутальный);
apsis — апсидальный;
агг — относится к прибытию;
с — относится к круговой орбите;
dep — относится к выходу;
h — гиперболический;
М — относится к массе центрального тела;
т — относится к массе возмущаемого тела:
Р — относится к перицентру;
р — параболический;
pi — относится к планете;
г — радиальный;
V —относится к вершине (гиперболы);
00 — значение на поверхности;
1 — до гиперболической встречи; выход;
2 — после гиперболической встречи; прибытие;
3 — после гиперболической встречи с планетой-целью;
О — относится к Солнцу;
0 — относится к Земле.
ЗАДАЧИ
1. Определите орбитальную энергию межпланетного аппарата, стар¬
тующего с круговой орбиты спутника Земли. Высота орбиты 185 км, ско¬
рость аппарата 11,40 км/сек.
2. Аппарат движется вокруг Венеры: а) по круговой орбите радиуса
2гоо(гсо — РаДиУс Венеры), б) по эллиптической орбите, гР = 2г00, rA = 8r00.
Космический аппарат должен стартовать при у«> = 3660 м/сек. Определите
приращение скорости при выходе: а) с круговой орбиты, б) из перигея и
апогея эллиптической орбиты.
3. Космический аппарат стартует с орбиты Земли с гелиоцентрической
скоростью Vi = 37 ООО м/сек, причем угол Pi (в плоскости эклиптики) между
вектором Vi и вектором скорости движения Земли U равен 7°, наклон ор¬
биты к плоскости эклиптики «1 = 5°. Определите требуемый гиперболический
избыток скорости и сравните его с гиперболическим избытком скорости для
случая, когда (3i = t*i = 0.
4. Определите половину угла между асимптотами гиперболы в за¬
даче 2.
5. Величина разности векторов скорости Марса и скорости космического
аппарата в момент подлета к Марсу равна 3000 м/сек. Определите длину
главной оси гиперболы входа.
6. Космический аппарат, возвращающийся с Венеры на Землю, движется
по гелиоцентрической переходной орбите, компланарной плоскости эклип¬
тики и характеризуемой параметрами: RP = 0,6 а. е., Ra = 1,2 а. е. Расстояние
до вершины гиперболы должно быть равно 20г00 (г00—радиус Земли). На
каком расстоянии от Земли невозмущенная (Землей) переходная орбита пере¬
сечет орбиту Земли? (Предполагается, что орбита Земли круговая, средний
радиус ее равен 1 а. е.у а переход на круговую орбиту происходит в резуль¬
тате одноимпульсного маневра в вершине гиперболы.)
ЛИТЕРАТУРА
Б65
7. Предположим, что переходная орбита (см. задачу не является
компланарной плоскости эклиптики, причем угол ее наклона к плоскости
эклиптики равен 25°. Каким в этом случае будет расстояние от Земли до
точки пересечения невозмущенной орбиты с орбитой Земли, если все прочие
условия згдачи 6 сохранены?
8. При условиях задач 6 и 7 определите удаление от Земли, соответ¬
ствующее минимальному импульсу захвата, и сравните значения импульсов
захвата, вычисленные в задачах 6, 7 и 8.
9. Космический аппарат движется по параболической орбите (RP =
= 1 а. е.) от Земли к Юпитеру. Определите: а) оптимальное расстояние в слу¬
чае одноимпульсного перехода на круговую орбиту спутника и требуемый
импульс захвата; б) расстояние, на котором прямая гиперболическая встреча
с Юпитером приведет к максимальному увеличению гелиоцентрической ско¬
рости после встречи. Определите это приращение скорости и эксцентриситет
новой гелиоцентрической орбиты.
10. Предположим, что в задаче 96) рассматривается обратная гипербо¬
лическая встреча. Определите величину и направление гелиоцентрической ско¬
рости, а также постоянную энергии /г, длину большой полуоси aQ, пара¬
метр /?0, эксцентриситет eQ} положение точек апсид RP и RA и период об¬
ращения Т.
11. Определите радиус столкновения с Венерой в случае подлета по ге¬
лиоцентрической переходной орбите, для которой RA = 1,0 a. e.t RP = 0,5 а. е.
Предполагается, что орбита перехода компланарна орбите Юпитера, а ор¬
бита Юпитера круговая.
12. Космический аппарат стартует с околоземной орбиты высотой 556 км
по направлению к Марсу по исходящей гиперболе, имея скорость &«> =
= 3700 км/сек. Рассмотрите: а) тангенциальный гелиоцентрический выход
(ро>1 = 0); б) гелиоцентрический выход при р0 , i = 10°. Предполагается, что
импульс гиперболического выхода приложен в вершине (апогее). Определите:
1) частные производные от гиперболических элементов а, е, Ф и по тан¬
генциальной скорости vP\ 2) частные производные от гелиоцентрических эле¬
ментов Vi, р0 r aQ, eQ,RA. RP, 'П©>1 гелиоцентрической переходной орбиты
по геоцентрической тангенциальной скорости vP.
ЛИТЕРАТУРА
1. D. F. L a w d е n, Escape to Infinity from Circular Orbits, J. Brit. Interpl.
Soc , vol. 12, No. 2, pp. 68—71 (1953).
2. D. F. L a w d e n, Entry Into Circular Orbits-2, J. Brit. Interpl. Soc., vol. 13,
No. 1, pp. 27—32 (1954).
3. K. A Eh г i eke, A New Supply System for Satellite Orbits-1, Jet Propul¬
sion, vol. 24, No. 5, pp. 302—309 (1954).
4. D. F. L a w d e n, Perturbation Maneuvers, J. Brit. Interpl. Soc., vol. 13,
No. 6, pp. 329—334 (1954).
5. К. A. E h r i с k e, Instrumented Comets, Astronautics ol Solar and Interpla¬
netary Probes, Proceedings of the Eighth International Astronautical Con¬
gress, Barselona, October 1957 (Vienna: Springer, 1958).
6. К. A. E h г i с k e, Error Analysis of Keplerian Flights Involving a Single
Central Force Field and Transfer between Two Central Force Fields, Convair
(Astronautics) Report ZM 7-551, January 1958.
7. К. A. E h г i с k e, Interplanetary Mission Profiles, Convair (Astronautics)
Report AZM-023, April 1958.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абхианкар (Abhyankar К. D.) 286
Блитцер (Blitzer L.) 163
Браун (Brown Е. W.) 162, 207
Брауэр (Brouwer D.) 162
Ванкулер (de Vancouleurs G.) 303
Гоман (Hohmann W.) 342
Гриммингер (Grimminger G.) 218, 221
Даламбер (D’Alembert G.) 162
Дарвин (Darwin G.) 255
Джеффрейс (Jeffreys H.) 304
Зенгер (Saenger E.) 213, 221
Кеплер (Kepler J.) 157, 175
Клеро (Clairaut A.) 162
Краузе (Krause H. G. L.) 163, 203,
207
Лагранж (Lagrange G.) 253
Лаплас (Laplace P. S.) 162
Лоуден (Lawden D. F.) 373, 376, 380
Мультон (Moulton F. R.) 270, 384
Мюзен (Musen P.) 253
Ньютон (Newton I.) 162
Перкинс (Perkins F. M.) 224, 243
Петерсен (Petersen N. V.) 220
Пламмер (Plummer H. C.) 260
Пуанкаре (Poincare H.) 208, 255
Сингер (Singer S. F.) 220
Тиссеран (Tisserand F.) 251
Уиппл (Whipple F.) 251
Халберт (Hulburt E. O.) 227
Хейфорд (Hayford J.) 169
Хилл (Hill G. W.) 162, 255
Шарлье (Charlier C. L.) 254
Шпитцер (Spitzer L.) 162, 20?
Штернфельд A. A. 346
Эйлер (Euler L.) 162
Эйнштейн (Einstein A.) 250
Энке (Encke I.) 251
Эрике (Ehricke K. A.) 220
Якоби (Jacobi) 255
Якоукин (Yakoukin A. A.) 304
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Азимут вектора скорости 140
— орбиты 468
Альфа-маневр 137
Анализ кеплеровых орбит 327
— ошибок 116, 433, 526
бицентральный 526
моноцентральный 526
Аномалия истинная 143
— средняя 196
— эксцентрическая 117, 196
Апоимпульс 486
Апсиды 333
Аргумент перигея 142, 198
— перицентра 198
— широты 195, 468
Астероиды Троянской группы 274
Атмосфера Гриммингера 221
Баллистика наземная 33
— орбитальная 33
Барицентр 253
Бомбардировщик гиперзвуковой ор¬
битальный 213
планирующий 213
«Вангард» («Vanguard») 68
«Вангард-1» («Vanguard 1») 169, 185,
244, 249, 253
«Вангард-2» («Vanguard 2») 244
«Вангард-3» («Vanguard 3») 244
Вздутие экваториальное 161
Видимость предельная 116
— прямая 114
Влияние импульса скорости нормаль¬
ного 386, 398, 401, 403
ортогонального 400, 405
радиального 399, 401, 404
тангенциального 384, 396,
401, 402
трансверсального 384, 401,
405
Возмущения атмосферные 209
— вековые 153, 195, 207
Возмущения периодические 203, 207
— постоянные 207
— учет влияния 153
Восходящий узел 153, 198, 468
Вращение атмосферы 210
— Земли, влияние 44, 153
Время вывода 116
— переходное 471
— релаксации 242
— существования спутника 213, 226
и д.
Встреча гиперболическая 484, 513
обратная 517
прямая 516
— орбитальная 130, 466
— спутников 121
Вход с круговой скоростью 67
— с параболической скоростью 67
Вывод баллистический 99, 131, 140
— импульсный 98
— непрерываемый 131, 140
—, основные типы 98, 131 и д.
— полностью активный 99, 131, 138
— прерываемый 131 и д., 147
— с использованием промежуточной
орбиты 134
— эллиптический 100, 133, 140
Выход 484, 493
— гиперболический 501
— параболический 503
Гармоника вторая 185, 249
— зональная 167
— сферическая 167
— третья 185, 249
— четвертая 185, 249
Геоид 249
Гипербола захвата 499
Гиперболический избыток скорости
403, 484
Гомановский эллипс 342
Грушевидность формы Земли 169
568
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Давление солнечного излучения 249
Дальность прямой видимости 115
— радиальная 115
— сферическая 23
— угловая 23, 115
Движение гелиоцентрическое 545
— Земли вокруг Солнца 192
— планетоцентрическое 545
— среднее 201
Диаметр столкновения кажущийся 523
Динамика изменения орбиты 327
Долгота восходящего узла 198
— перицентра 201
— средняя 201
Задача трех тел ограниченная 255
Закон Кеплера 157, 175
— площадей 203
Захват 466, 484, 497
Изменение наклонения орбиты 396
— орбиты 321 ид.
«круг ^ гипербола» 335
«круг ^ парабола» 336
«круг эллипс» 335
«одна кеплерова орбита^дру-
гая кеплерова орбита» 337
«парабола гипербола» 340
«эллипс ^ гипербола» 340
«эллипс ^ парабола» 339
«эллипс ^ эллипс» 338
— плоскости орбиты долгопериодиче¬
ское 195
Импульс удельный 139
Интеграл энергии 214
— Якоби 267, 306
Кинематика изменения орбиты 321
«Конвэр» («Convair») 68
Коэффициент второй гармоники 169,
186
— третьей гармоники 169, 185
— четвертой гармоники 170, 185
Кривые Хилла граничные 268, 306
Либрация 253
Линия апсид, вращение 153, 160
— узлов 142, 468
, вращение 153, 200
Луна, возмущающее действие 163
Маневр апоцентральный 486
-— встречи (АУ-маневр) 466
— вывода (Ду-маневр) 466
— выхода круговой одноимпульсный
502
Маневр гелиоцентрический касатель¬
ный 494
— «гипербола эллипс» 488
— двухимпульсный 360, 488, 508
— «круг ^ гипербола» 487
— одноимпульсный 485 и д., 512
эллиптический 512
— перицентральный 487
«эллипс ^ гипербола» 485
— «эллипс ^ круг» 488
Маневры несоосные касательные 489
— орбитальные 320 и д.
Масса Земли 185
Метод графо-аналитический решения
уравнений 378
Сингера 222
Момент инерции Земли полярный 185
экваториальный 185
— орбиты кинетический 161
Нагрузка аппарата поперечная 65
Наклонение плоскости орбиты 142,
194, 468
■ Луны 290
Несферичность центрального тела
притяжения 160
Носитель крылатый орбитальный 217
Нутация земной оси 290
Объем Земли 185
«Окно» пусков 133
Окружность входа 64
Омега-маневр 140
Оптимизация траектории 111
Орбита 21
— выхода 502
— гиперболическая 401
— замкнутая 21
— исходная 341
— кеплерова 167, 427
— круговая 136, 401
— невозмущенная 153
— неустойчивая 286
— ожидания промежуточная 135
— околополярная 182
— околоэкваториальная 191
— опорная 155
— оскулирующая 293
— параболическая 21, 401
— переходная 1,44, 155, 284, 340
быстрая 351, 412
гиперболическая 353 и д.
минимальной энергии 146
обходная 346
параболическая 353
— перигейная 100
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
569
Орбита полярная 154, 191
— промежуточная 340
— разомкнутая 21
— спутника конечная 484
— — начальная 484
— теоретическая 433
— устойчивая 286
— цели 341
— экваториальная 154, 182, 190
— эллиптическая 136, 383
Орбиты долунные 287
— окололунные 303
— периодические 255
Ошибка гелиоцентрическая 526
— планетоцентрическая 526
Параметр времени 234
— высотный 231
— высоты вершины траектории 35
— горизонтальной скорости 35
— гравитационный Земли 25
Луны 272
— лобового сопротивления 211
— начальной скорости 25, 33
— подъемной силы 211
— спуска 65
— фокальный гиперболы 520
эллипса 29, 141, 328
Парашют тормозной 101
Перехват 406
Переход биэллиптический 347
— внутриорбитальный 154
— «гипербола ^ эллипс» 488
— двухимпульсный 360, 488, 508
— касательный коапсидальный 363
— компланарный 123, 363
— «круг ^ гипербола» 487
— между некомпланарными орбита¬
ми 406, 423
пересекающимися круговой и
эллиптической орбитами 359
эллиптическими орбитами несо¬
осными 372, 380
соосными 363, 368
— моноэллиптический 347
— на гиперболическую орбиту 484
— некомпланарный 406, 409, 413, 423
— одноимпульсный 485 и д., 512
эллиптический 512
— орбитальный 340 и д.
в поле центральной силы 340
межпланетный 341
несоосный 341
«поверхность — орбита» 340, 463
соосный 341
— «эллипс гипербола» 485
Переход «эллипс круг» 488
Переходы несоосные касательные 489
Период вращения Земли эквивалент¬
ный 154
— обращения 136
звездный 136
, изменение 161
сидерический 128, 136
— — синодический 126, 470
— орбитальный 206
— прецессии орбиты 190
относительный 206
Плоскость эклиптики 194
Поворот линии апсид 386
— плоскости орбиты 322
круговой 413
эллиптической 391, 419
Поле бицентральное 483, 545
— квазицентральное 207
— магнитное 160, 248
— центральной силы 153, 320 и д.
— электрическое 160, 248
Полином Лежандра 167
Постоянная закона площадей 293, 422
— эллиптической орбиты 24
— энергии орбиты 38, 422
— Якоби 269
Потенциал Земли 166, 195
— силы притяжения 153
— Луны 252
— центрального поля сил 153
Прецессия орбиты 153, 160
Луны 290
— оси вращения Земли 194
лунно-солнечная 195
Программа тяги 111
Продолжительность вывода 116
— перехода 136
Пространство долунное 251, 276, 311
— залунное 311
Прямое восхождение 136, 172, 468
, изменение 177
Пыль космическая 160, 248
Радиация солнечная 192
Радиус-вектор Земли гелиоцентриче¬
ский 193
Радиус Земли 185, 272
полярный 185
экваториальный 185
— Луны 272
— столкновения кажущийся 523
— экваториальный 186
Ракетоплан глобальный 213
Расстояние апогейное 141
570
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Расстояние до вершины траектории
радиальное 105
— перигейное 38, 141
— перигея угловое 142
— радиальное, изменение 160
Расчет времени полета 109
Регрессия 172
— линии узлов 194, 288, 400
Релаксация 242
Решения периодические 254
Ряд Фурье 196
Селеноид 303
Сжатие 164
— Земли динамическое 185
полярное 160, 185, 249
— Луны 304
— Марса динамическое 303
— планеты 195
Сила возмущающая 203
— торможения 65
Силы,, действующие на движущееся
по орбите тело 383
Сингера метод графо-аналитический
222
Система координат абсолютная 43
— — — геоцентрическая 136, 146
декартова 427
вращающаяся 255
гелиоцентрическая 495
географическая экваториальная
467
геоцентрическая 196
экваториальная 467
инерциальная 37
относительная 43
планетоцентрическая 495
полярная 428
, связанная с Землей 43
селеноцентрическая 306
экваториальная 136
Склонение 136, 468
«Скор» («Score») 244
Скорость баллистическая 107
— в вершине траектории 105
— вращения Земли угловая 137, 185
кажущаяся 162
эквивалентная 153
— гелиоцентрическая 493
— гиперболическая 484
— идеальная а-маневра 146
— импульсная 145
— круговая 68
в вершине траектории 105
— местная угловая 137
— начальная 105
Скорость начальная абсолютная 43
— обращения мгновенная 139
— окружная 146
Земли 185
— орбитальная 100
— параболическая 27, 484
— перехода импульсная минималь¬
ная 147
— перигейная 100
— «ухода» от Земли 27
— энергетическая 109
Смещение перигелия 250
Солнечные сутки средние 185
Солнце, возмущающее действие 163
Сопротивление атмосферы 160
— плазмы лобовое 242
Составляющая возмущающей силы
ортогональная 203
радиальная 203
трансверсальная 203
— потенциала вековая 198
— прецессии орбиты вековая 153
— силы нормальная 384
ортогональная 384
притяжения поперечная 166
радиальная 384
тангенциальная 384
трансверсальная 384
— скорости вертикальная 25
горизонтальная 26
меридиональная 173
нормальная 386
радиальная 25, 173, 386
трансверсальная 26, 173, 386
широтная 173
— ускорения касательная 209
нормальная 209
радиальная 209
трансверсальная 209
Спасение ступеней носителя 101
Спуск баллистический 64
— неуправляемый 75
— с параболической скоростью 76
— спиральный 234
Спутник 97
Спутник MOUSE 220
«Спутник-1» 243
«Спутник-2» 244
«Спутник-3» 244
Среднее движение 136, 201, 352
Средняя аномалия 196
Сутки звездные 185
Сфероид 153
— вращения сжатый 160
— двухосный 160, 164
— идеальный 249
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
671
«Тайрос-Ь («Tiros 1») 244
Терминатор 192
Точка весеннего равноденствия 468
— нейтральная 271
— падения истинная 43
кажущаяся 43
Точки кратные 127
— либрации 253
коллинеарные 258, 309
эквидистантные 258
Траектория 21
— баллистическая 22
— минимальной энергии 21, 28
,время полета 31
, дальность полета 31
, характеристики 34
, эксцентриситет 30
— навесная 36
— настильная 36
— эллиптическая 235
«Транзит-1 В» («Transit 1В») 244
Угол атаки 209
— бросания 30
предельный 31
— возвышения 115
— входа в атмосферу 67
— места 172, 429
— наклона траектории 26
— переходный центральный 469
— поворота плоскости орбиты 178
— положения 139
— склонения 468
— траектории 209
— центральный 140
Узел восходящий 153, 198, 468
Уравнение Кеплера 196, 372
— орбиты околополярной 182
относительно сферического те¬
ла 176
тела со сжатием 181
полярное 385
экваториальной 182
— траектории минимальной энергии
30
— эллипса 23, 29
Уравнения движения космического
аппарата 211
— Лагранжа 203
Уравнения Хилла канонические 307
Ускорение касательное 211
— нормальное 212
— радиальное 212
— трансверсальное 212
Условие компланарности 149
— наличия кратных точек 130
Условия граничные 17
— наличия точки падения 41
Фаза пассивная 140, 149
Фактор ошибки начальной скорости
50, 117
угла бросания 56, 117
Формула Эйнштейна 250
Функция Лежандра присоединенная
166
— тессеральная сферическая 167
Цель 466
Центр притяжения кажущийся 281
Широта 467
Эклиптика 195
«Эксплорер-1» («Explorer 1») 244
«Эксплорер-3» («Explorer 3») 244
«Эксплорер-4» («Explorer 4») 244
«Эксплорер-6» («Explorer 6») 244
«Эксплорер-7» («Explorer 7») 244
Эксцентриситет 24, 28
— гиперболы 496
Эксцентрическая аномалия 117, 196
Эксцесс баллистический 109
Элементы оскулирующие 284
— эллиптической орбиты 383
Эллипс 383
— быстрого перехода 351
Эллипсоид 249
Эллиптичность орбиты Земли 194
Энергетика маневра захвата 501
Энергия аппарата полная 108
— орбитальная 102, 494
при встрече 514
Эпоха 198
Эфемериды спутника 242
Эффекты релятивистские 160, 248
«Эхо-1» («Echo 1») 246, 253
Краффт Эрике
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ
Том II, Часть 1
М., 1969 г. 572 стр. с илл.
(Серия: «Основы проектирования
управляемых снарядов»)
Редактор Ю. Г. Гуревич
Техн. редактор Я. Ш. Аксельрод
Корректор Т. С. Плетнева
Сдано в набор 29/VIII 1968 г. Подписано к пе¬
чати 21/1V 1969 г. Бумага 60X907ie. Физ.
печ. л. 35,75. Условн. печ. л. 35,75. Уч.-изд.
л. 33,55. Тираж 5350 экз. Цена книги 2 р. 66 к.
Заказ № 1612.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В 71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров
СССР. Измайловский проспект, 29.